División: Matemáticas Semestre: Segundo Semestre #signatura: $%gebra &inea% " #ctividad: #ct #ctivid ividad ad 2* Sube Subes+a s+acio cios, s, inde+e inde+ende ndenci nciaa de+end de+endenc encia ia %inea% %inea%,, bases bases dimens dimensión ión
Nombre: César Morgado Pérez Fecha: 26 de Mao de 2!"6 Fo%io: 'S"(2"2!)("2 -ru+o: -ru +o: M./ M./M#& M#&0"/" 0"/"6!" 6!"/12 /12/!! /!!22
Instrucciones: Comprueba lo siguiente: 1. Si x , y están en N , x + y está en N . Tesis: Tesis: x , y ∈ N Hipótesis:
( x + y ) ∈ N
Por defnición el subconjunto
N , contiene al elemento
0 =(0,0, ⋯ , 0 )
Por lo tanto: x =( a k 1 x 1+ ak 22 x 2 + ⋯ +akn x n )= 0 y =( ak 1 y 1 + a k 22 y 2+ ⋯+ akn y n ) =0
Para comprobar comprobar la ipótesis: x + y =( a k 1 ( x1 + y 1 )+ ak 22 ( x 2+ y 2 )+ ⋯+ akn ( xn + y n ) )
Por la propiedad distributi!: x + y =( a k 1 x 1+ ak 1 y1 + ak 22 x 2+ ak 22 y 2 + ⋯ + a kn x n + a kn y n )
Por la propiedad asociati!a: x + y =( a k 1 x 1+ ak 22 x 2 + ⋯ + akn x n ) + ( ak 1 y 1 + a k 22 y 2+ ⋯ + akn y n ) 22
Sustitu"endo: x + y =0 + 0 =0
Por lo tanto:
( x + y ) ∈ N Queda demostrada la hipótesis. #. $n la demostraci demostración ón %ue sigue justif%u justif%ue e cada paso paso con la propieda propiedad d usada.
(S + T )( a ∙ x + b ∙ y )= S (a ∙ x + b ∙ y )+ T ( (a ∙ x + b ∙ y )
Por defnición de suma de &unciones
¿ a ∙ S ( x )+ b ∙ S ( y )+ a ∙ T ( x )+ b ∙ T ( y )
Por la propiedad distributi!a de &unciones
¿ a ∙ S ( x )+ a ∙ T ( x )+ b ∙ S ( y )+ b ∙ T ( y )
Por la propiedad conmutati!a de
&unciones
¿ a ∙ ( S ( x )+T ( x ))+ b ∙ ( S ( x )+ T ( x )) &unciones
Por la propiedad distributi!a de
¿ a ∙ ( S + T )( x )+ b ∙ (S + T )( x )
Por defnición de suma de
&unciones
'. (emuestra %ue: )a suma de dos combinaciones lineales es una combinación lineal " %ue multiplicar una combinación lineal por un escalar resulta en una combinación lineal. Sean * " + dos combinaciones lineales, tales %ue A = c1 ∙ A 1+ c 2 ∙ A 2 + ⋯+ c n ∙ A n
B =b 1 ∙ A 1+ b2 ∙ A2 + ⋯ + b n ∙ A n
Por lo tanto: A + B=( c1 ∙ A 1+ c 2 ∙ A 2 + ⋯+ c n ∙ A n ) + ( b1 ∙ A1 + b2 ∙ A 2+ ⋯+ bn ∙ A n)
Por la propiedad asociati!a: A + B= c1 ∙ A 1+ c2 ∙ A 2+ ⋯+ c n ∙ A n + b1 ∙ A 1+ b2 ∙ A2 + ⋯ + b n ∙ A n
Por la propiedad conmutati!a: A + B= c1 ∙ A 1+ b1 ∙ A1 + c 2 ∙ A2 + b 2 ∙ A 2+ ⋯+ c n ∙ A n + b n ∙ A n
Por la propiedad distributi!a: A + B=( c1 +b 1 ) ∙ A1 + ( c 2 + b 2) ∙ A 2 + ⋯ + ( c n + bn ) ∙ A n
)o cual es combinación lineal los !ectores: A 1 , A 2 , ⋯ , A n . (emuestra %ue T es realmente una trans&ormación lineal. Puesto %ue
dim ( V )= n , podemos tomar una base
A ={ A 1 , … , A n } . Todo !ector A V se puede
escribir en &orma -nica como una combinación lineal de las
A i
A = a1 ∙ A1 + a 2 ∙ A 2+ ⋯+ an ∙ A n )a trans&ormación lineal asocia al !ector * sus coordenadas: T ( A )=( a1 , a 2 , ⋯ ,a n)
Para demostrar %ue T es una trans&ormada lineal debe cumplir con las dos propiedades de las trans&ormaciones lineales. Propiedad de la suma: T ( A ) + T ( B ) =T ( A + B )
Sean: T ( A )
(
)
T ( B )=( b b
b)
T ( A B )=(
b
b
b )
Por lo tanto: T ( A ) + T ( B ) =( a1 , a2 , ⋯ , an ) +( b1 , b2 , ⋯ , bn )
*plicando la suma de !ectores: T ( A ) + T ( B ) =(a 1+ b1 ,a 2+ b2 , ⋯ , an + b n)
Por lo tanto: T ( A ) + T ( B ) =T ( A + B )
Propiedad de la multiplicación escalar. T ( r ∙ A )=r ∙T ( A )
Sean: T ( A ) =( a1 , a2 , ⋯ , an )
r ∈ R
T ( r ∙ A )=( r ∙ a1 , r ∙ a2 , ⋯ , r ∙ an )
r ∙T ( A )=r ( a1 , a2 , ⋯ , a n)
*plicando la multiplicación de un escalar por un !ector. r ∙T ( A )=( r ∙ a1 , r ∙ a2 , ⋯ , r ∙ an )
Por lo tanto: T ( r ∙ A )=r ∙T ( A )
. (emuestra %ue T es bi"ecti!a, i.e., a. Primero, a" %ue !er %ue T es in"ecti!a: Si Sean las trans&ormaciones lineales: T ( A ) =( a1 , a2 , ⋯ , an )
1
, a2 , ⋯ , an ) =( a ' 1 , a ' 2 , ⋯ ,a ' n )
Por lo tanto: '
a1= a 1 ⋮
'
T ( A )= T ( A ’ )
Tal %ue:
(a
T ( A ) =( a ' 1 , a ' 2 , ⋯ , a ' n)
'
a2= a 2
T ( A )= T ( A ’ ) entonces A = A ’
an =a ' n
Sean los !ectores A " A ' , combinaciones lineales de los !ectores A i , tales %ue: A = a1 ∙ A1 + a 2 ∙ A 2+ ⋯+ an ∙ A n A ' = a ' 1 ∙ A1 + a ' 2 ∙ A 2 + ⋯+ a ' n ∙ A n
Por las igualdades anteriores: A = A
'
)a &unción es in"ecti!a. b. Segundo, a" %ue !er %ue T es supra"ecti!a: para todo !ector %ue
(a
1
, a2 , ⋯ , an ) , e/iste A V tal
T ( A ) =( a1 , a2 , ⋯ , an )
Para comprobar esto es necesario comprobar %ue la imagen de ( a1 , a2 , ⋯ , an ) ∈ W .
V es el espacio
W tal %ue
W sea el espacio generado por la trans&ormación lineal de todos los !ectores de V 0nota se utiliara L para describir a un espacio generado por los elementos %ue lo contin-an2 L [ T ( A 1 ) ; T ( A2 ) ; ⋯ ;T ( A n) ]= W
Sea
V ={ A 1 , A2 , ⋯ , An }
$l espacio generado por
V , ser3a el espacio generado por los !ectores:
W =ℑ(T ) L [ T ( A 1 ) ; T ( A2 ) ; ⋯ ;T ( A n) ]=ℑ( T )
Comprobando esto: Por defnición: T ( A1 ) ∈ ℑ(T )
T ( A2 ) ∈ ℑ( T )
⋮
T ( A n) ∈ ℑ(T )
Por lo tanto T ( A1 ) + T ( A 2 ) + ⋯ + T ( A n ) ∈ ℑ( T ) )o %ue implica %ue el espacio L [ T ( A 1 ) ; T ( A2 ) ; ⋯ ;T ( A n) ] ∈ ℑ( T )
Por lo tanto el espacio generado por la tras&ormación lineal de todos los !ectores de 4, es un subespacio de la imagen de T o el espacio W Se procede a comprobar
ℑ(T )∈ L [ T ( A ) ; T ( A ) ; ⋯ ;T ( A n)] 1
Sea
2
w ∈ ℑ(T )
)o %ue implica
∃ A ∈ V ∨T ( A ) = w
Sea A una combinación lineal dl espacio generador de
V
A = a1 ∙ A1 + a 2 ∙ A 2+ ⋯+ an ∙ A n
Por lo tanto: T ( A ) =T ( a1 ∙ A 1 ) + T ( a 2 ∙ A 2 ) + ⋯ + T ( a n ∙ A n )
Por las propiedades de las trans&ormaciones lineales T ( A ) =a1 ∙ T ( A 1 ) + a2 ∙T ( A 2 ) + ⋯ + an ∙T ( A n )
Por lo coefcientes %ue se manejan se a comprobado %ue la imagen de T es un subespacio del espacio generado por:
[ T ( A ) ; T ( A ) ;⋯ ; T ( A )] 1
2
n
Por lo tanto emos probado: L [ T ( A 1 ) ; T ( A2 ) ; ⋯ ;T ( A n) ] ⊂ ℑ( T )
ℑ(T )⊂ L [ T ( A 1) ; T ( A 2 ) ; ⋯ ;T ( A n )] Por la le" de la doble contención: L [ T ( A 1 ) ; T ( A2 ) ; ⋯ ;T ( A n) ]=ℑ( T )
5ue es lo mismo %ue: L [ T ( A 1 ) ; T ( A2 ) ; ⋯ ;T ( An ) ]=W
Por lo %ue para todo !ector Por lo tanto *l ser
A ∈ V , e/iste una
T ( A ) ∈ W
T es supra"ecti!a
T in"ecti!a " supra"ecti!a,
T es bi"ecti!a
