1. Demuestra que: Si , ∈ ⊂ ℝ , +
∈
Demostración. Sean
, , … , = , , … , dos vectores en N que son solución de un =
sistema de ecuaciones homogéneo. Entonces,
+ = + , + + ⋯ + + ∈ pues de otro modo el sistema
seria inconsistente. Pero esto es una contradicción ya que un sistema homogéneo siempre tiene o bien, la solución trivial o infinitas soluciones ∎ 2. En la demostración demostración que sigue, justifique cada paso con la propiedad usada.
+ ∙ + ∙ = ∙ + ∙ + ∙ + ∙ = ∙ + ∙ + ∙ + ∙ = ∙ + ∙ + ∙ + ∙ = ∙ ( + ) + ∙ + + ∙ + = ∙ +
Por definición definició n de suma de funciones. funciones . Por definición de transformación transformación lineal. Conmutatividad Conmutatividad de la suma en ℝ Propiedad distributiva en ℝ Definición de suma de funciones.
3. Demuestra que: La suma de dos combinaciones combinaciones lineales es una combinación lineal y que multiplicar una combinación lineal por un escalar, resulta en una combinación combinación lineal. Demostración. Sean , , … , vectores con n componentes que forman las siguientes combinaciones lineales
= + + ⋯ + = + + ⋯ + , ,, = 1, 2, …, Entonces
+ = = + + ⋯ + + + + ⋯ + = + + + + ⋯ + + = + + + + ⋯ + + es una combinación lineal = 1,2 1,2,, … , son escalares dado que la lineal pues + , suma de escalares es cerrada.
= + + ⋯ + = + + ⋯ + = + + ⋯ + es una combinación lineal pues , = 1, 2, … , son escalares ya que la multiplicación multiplicación de escalares es cerrada.∎ Por otro lado, sea r un escalar, entonces ∙
4. Si = + + ⋯ + = + + + ⋯ + , entonces B se reduce a una combinación lineal de las . Sustituyendo la A como combinación lineal de las en la B, computa a la B como combinación lineal con solo las .
= + + + ⋯ + = + + ⋯ + + + + ⋯ + = + + ⋯ + + + + ⋯ + = + + + + ⋯ + + = + + + + ⋯ + + 5. Demuestra que T es realmente una transformación lineal. Demostración. Sean V un espacio vectorial de dimensión finita n y : → ℝ tal que a cada vector ∈ le asigna coordenadas en ℝ , de modo que si A y B son dos vectores en V,
= , , … , = , , … , Sabemos que las coordenadas de la suma de vectores + equivalen a la suma de las coordenadas + ,
= 1, 2, . . , , esto es:
+ = + , + +,…,+ + Pero
+ = , , … , + , , … , = + , + +,…,+ + Luego
+ = + , por lo que T es una transformación lineal∎ 6. Demuestra que T es biyectiva.
