UNIVERSITE D’ANTANANARIVO ---------------------------FACULTE DES SCIENCES ---------------------------DEPARTEMENT DE PHYSIQUE INSTITUT POUR LA MAITRISE ---------------------------DE L’ENERGIE (I.M.E)
MEMOIRE POUR L’OBTENTION DU DIPLOME D’ETUDES APPROFONDIES (DEA) ès Sciences P!si"#es O$%i&n ' Ene*%i"#e ------------------------------Présenté par : Ortholly A. MALAMA -------------------------------
In%i%#+* '
EQUATION ,ENERALE DES PERTES DE CHAR,E SUBIES PAR UN FLUIDE QUELCONQUE LORS DE SON ECOULEMENT DANS UN TRONON DE CANALISATION Soutenu publiquement le 17 Septembre 2004 --------------------------------
e!ant la "ommission #$e%amen "omposée #e :
' Président ' Rapporteur : Examinateurs '
Mr. Minoson &A'O(OMALALA
Pro)esseur (itulaire
Mr. *i"tor &A+A,-/A(O
Pro)esseur (itulaire
Mme. +e +ely &A&-AMAA(A Mr. r runo A A&-AA(A-A
Pro)esseur (i (itulaire Ma3tre #e #e o on)éren"es
Avant-propos
Monsieur Minoson RAKOTOMALALA, Professeur Titulaire à la Faculté des Sciences de l’niversité d’Antananarivo et !irecteur de l’"nstitut pour la Ma#trise de l’$ner%ie, a &ien voulu nous nous inscrire au sein de son é'uipe é'uipe au la&oratoire la&oratoire d’$ner%éti' d’$ner%éti'ue ue et nous nous a fait le tr(s %rand )onneur d’assurer la présidence de *ur+ de ce éoire .ous lui adressons nos vifs reercieents .os profondes %ratitudes à Monsieur /ictor RA0AF".1ATO, Professeur Profess eur Titulaire à l’$cole Supérieure Pol+tec)ni'ue d’Antananarivo et !irecteur du !éparteent de 2énie 3ivil à l’"nstitut Supérieure de Tec)nolo%ie d’Antananarivo, 'ui a fait preuve d’une a&né%ation anifeste par sa disponi&ilité et nous a prodi%ué prodi%ué des conseils précieu4 pendant la réalisation de ces travau4 .ous saisissons é%aleent cette occasion pour rendre )oa%e à Monsieur $dond RA0AF".!RAKOTO, Professeur $érite, fondateur et ancien !irecteur de l’"nstitut pour la Ma#trise de l’$ner%ie 5"M$6, de nous avoir laissé de erveilles .ous voudrions particuli(reent e4prier notre reconnaissance à Monsieur 7runo A.!R"A.A.T$.A".A,, Ma#tre de 3onférences, !o+en de la Faculté des Sciences de A.!R"A.A.T$.A".A l’niversité d’Antananarivo et Madae 0el+ RA.!R"AMA.A.TA.8, Professeur Titulaire à la Faculté des Sciences de l’niversité d’Antananarivo, 3)ef du !éparteent de P)+si'ue, tous tous les deu4 e&re e&ress du *ur+ 'ui ont &ien voulu voulu accept acceptéé d’e4ai d’e4ainer ner et de porter leurs coentaires et rear'ues constructifs .ous reercions e4presséent tous les e&res du la&oratoire d’$ner%éti'ue ainsi 'ue le personnel de l’"M$ pour leur servia&ilité et leur s+pat)ie prononcée
Avant-propos
.ous ne pouvons, en aucun cas, an'uer de dire tout ce 'ue nous devons à toute notre faille, en particuliers à 9 Madae Odette MALAMA, Monsieur et Madae Ren%o:+ 0AF"TOMPO, Monsieur et Madae "%nace F 7$TKO, 7$TKO, Monsieur et Madae Aié F 7$TKO, 7$TKO, 'ui n’ont pas cessé de nous soutenir oraleent et financi(reent ;u’ils soient aussi c)audeent reerciés 3eci étant, nous ne saurions ou&lier tous ceu4 'ui, de pr(s ou de loin, nous ont aidés à la réalisation de ce travail .ous attac)erons, cela va sans dire, le plus %rand pri4 au4 su%%estions 'ue tout utilisateur de ce rapport de éoire nous fera l’)onneur et l’aitié de nous couni'uer
.otations
NOTATIONS S+&oles !éfinitions
: oe))i"ient #e l$e%pression #e λ 5 #épen#ant #u type #$é"oulement -5 s : oe))i"ients pour le "al"ul #e / = +* & : *itesse moyenne #u )lui#e : #iam9tre #e la "analisation "ylin#rique # : oe))i"ient )i%ant la plae #e !ali#ité sur #e la
nités
A
linéarisation #e l$e%pression #e olebroo; < : ébit massique / : Perte totale #$énerie motri"e par m= #e )lui#e5 > : ' e : L: Leq : M: : O: P: P: 5 P:r :
appelée perte #e "hare réuli9re ou linéaire oe))i"ient unitaire #e perte #e "hare linéaire oe))i"ient #$e%pansion Lonueur #u tron?on Lonueur équi!alente au% sinularités oe))i"ient "ara"téristique #u type #$é"oulement oe))i"ient "ara"téristique #u )lui#e oe))i"ient "ara"téristique #e la "analisation %posant #u #iam9tre Pressions absolues #u )lui#e : réelle et #e ré)éren"e
Pressions totales l$entrée et la sortie #$un tron?on #e "analisation B : ébit !olumique & : %posant #e la !ariable #$é"oulement
P5 PS :
r : oe))i"ient )i%ant la plae #e !ali#ité #u &e #e la linéarisation #e l$e%pression #e olebroo; &e : ombre #e &eynol#s t5 u5 ! : *ariables booléennes5 )on"tion #u "hoi% #e la
6m.s 18 6m8
6;.s18 6Pa8 6Pa.m 18 6m8 6m8 unité !ariable 6m @8 6Pa8 6Pa8 6m .s 8 = 1
.otations
(: 5 (:r : (5 (S :
*: *: 5 *:r : %5 y5 @ : +:
!ariable #$é"oulement et #u type #e )lui#e (empératures absolues #u )lui#e : réelle et #e ré)éren"e (empératures absolues l$entrée et la sortie #$un tron?on *ariable #$é"oulement *olumes #u a@ : réel et #e ré)éren"e Puissan"es #es termes #e l$e%pression #e D -mpé#an"e #u tron?on
6C'8 6C'8 6m.s18 ou 6m=.s18 ou 6;.s18 6m =8 unités !ariables
S+&oles 2recs
E : D : F : G : H :
&uosité absolue #e la "analisation oe))i"ient "ara"téristique #u type #$é"oulement *is"osité #ynamique #u )lui#e *is"osité "inématique #u )lui#e oe))i"ient #es pertes #e "hare sinuli9res I5 I r : Masse !olumique #u )lui#e et masse !olumique #e ré)éren"e
6m8 6Pa.s8 6m 2.s18 6;.m=8
Soaire
SOMMAIRE
PR.SIDENT '/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// 0
RAPPORTEUR '////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// 0
E1AMINATEURS '///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// 0
AVANT PROPOS///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// 0
NOTATIONS //////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// 0
SOMMAIRE ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// 0
INTRODUCTION //////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// 0
CHAPITRE I//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// 2
DESCRIPTIF DU PROBLEME ETUDIE////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// 2 I/3 ,ENERALITES////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////2 -.1.1 LM(S ALJL..............................................................................................................K -.1.2 O(-O P&(S A&<........................................................................................... 10 -.1.= P&SS-O LA P&( A&<.............................................................................. 10 -.1.1 &<-MS $OJLM(S OJ &<-MS &AJL-BJS.......................................... 11 -.1.1 (&M-A(-O J O,,--( P&( A&< λ.......................................12 -.1.4 AS S ,LJ-S OMP&SS-LS..................................................................................... 14 -.1.N AS S P&(S A&< S-
E1PRESSION SIMPLIFIEE DES PERTES DE CHAR,E/////////////////////////////////////////////////////////// 30
Soaire
II/33 E1PRESSION PLURIVALENTE DE 5/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// 30 --.1.1.1 &LA(-O (& .................................................................................................................17 --.1.1.2 P&SS-O J O,,--( P&( A&< λ ...........................................1K --.1.1.= &-(J& J-BJ P&( A&< L-A-& ................................................1 II/63 CAS DES FLUIDES COMPRESSIBLES //////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// 63 II/73 CAS DES PERTES DE CHAR,E SIN,ULIERES/////////////////////////////////////////////////////////////////67 II/83 EQUATION DU TRONON///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// 69 --.4.1.1 APPL-A(-OS SP-,-BJS............................................................................................. 2N CHAPITRE III/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// 7:
RESULTATS ET COMPARAISONS AVEC LA BIBLIO,RAPHIE/////////////////////////////////////////// 7: III/3 FLUIDE INCOMPRESSIBLE/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// 7: III/6 FLUIDE COMPRESSIBLE////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////74 DEMARCHE ////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// 7;
CONCLUSION ,ENERALE//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// 83
ANNE1ES /////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// 83 ANNE1E 3 ' MOTS CL.S ET D.FINITIONS ////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// 83 ANNE1E 3//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// 6
MOTS CLES ET DEFINITIONS//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// 6
ANNE1E 6//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// 7
METHODES DE RESOLUTION PONCTUELLE DE L’E1PRESSION DE COLEBROO< //////7
ANNE1E 7//////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// 4
ECRITURE SOUS UNE FORME UNIQUE DU COEFFICIENT DE PERTE DE CHAR,E DE L’E1PRESSION DE COLEBROO< ///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// 4
Soaire
ANNE1E 8////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// 3:
CALCUL NUMERIQUE ////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// 3:
ANNE1E 9////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// 32
TABLEAU1 =6>////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// 32 (ALAJ 1A: *-(SS $OJLM( MQS POJ& A((-& .................................................................... 1K (ALAJ =A: O,,--( O&&(-O &J
ANNE1E 4////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// 11VII
ABAQUES =6>///////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// 11VII
DIA,RAMME UNIVERSEL DE MOODY =0>/////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// 74
REFERENCES BIBLIO,RAPHIQUES ////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// A
RESUME ////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// A
SUMMARY ////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////////// A
"ntroduction
INTRODUCTION ,a"e au% probl9mes #u "al"ul #$é"oulement #e )lui#e #ans les réseau% #e "analisation5 le "on"epteur etQou l$utilisateur se trou!ent a"tuellement obliés #e sui!re #es #émar"hes spé"i)iques en utilisant l$outil in)ormatique. es #émar"hes sont )on"tions 628 6 78 : ♦
es !ariables #$é"oulement "hoisies : !itesse moyenne #u )lui#e5 #ébit !olumique5 #ébit massique.
♦
u type #e "analisation : a"ier5 )onte5 "ui!re5 matériau% "omposites T
♦
u )lui#e : liqui#e5 a@ "onsi#éré in"ompressible ou "ompressible T
♦
u type #e réseau : "omple%e ou rami)ié5 simple ou maillé T
Si l$installation )ait inter!enir plusieurs )lui#es5 les outils sont nombreu% et #i))i"iles érer #$une mani9re rationnelle. A!e" le #é!eloppement #e l$in)ormatique5 les métho#es #e résolution #e "es #istributions #e )lui#e par analoie éle"trique sont ren#ues abor#ables5 mUme sur #e petite unité #e "al"ul. ous aimerions )aire remarquer que5 nous ne re#is"utons5 é!entuellement les équations a#mises #ans le "al"ul #e perte #e "hare5 mais nous nous appuyons sur les #é)initions5 relations #é> trou!ées. n e))et beau"oup #es )ormules ont #é> été proposées pour le "al"ul #e perte #e "hare #ans les réseau% #e "analisation. es )ormules proposent la relation entre la perte #e "hare et la !itesse pour les réseau% simples. Au "as pratique #es réseau% les )ormules sont #onnées en )on"tion #u #ébit !olumique. e tra!ail propose une équation énérale #e perte #e "hare5 !alable en tout "as pour un )lui#e neVtonien #ans n$importe quels réseau% #e "analisation5 reliant la #iminution #$énerie motri"e #u )lui#e5 appelée perte #e "hare et la !ariable #$é"oulement représentant sui!ant le "as soit la !itesse moyenne5 soit le #ébit massique5 soit le #ébit !olumique #u )lui#e. e tra!ail "omporte trois "hapitres : ♦
Le premier traite le #es"ripti) #u probl9me étu#ié.
♦
Le se"on# "hapitre est a%é sur l$e%pression simpli)iée #es pertes #e "hare.
♦
Le troisi9me "hapitre est #estiné la présentation #es résultats obtenus en "omparaison a!e" "eu% #e la biblioraphie.
Les ré)éren"es biblioraphiques sont ren!oyés en anne%es.
7
3)apitre " 9 !escriptif du pro&l(e étudié
CHAPITRE I DESCRIPTIF DU PROBLEME ETUDIE I/3GENERALITES I/3/3LM(S ALJL Sans entrer #ans les #étails5 il est né"essaire #e rappeler quelques param9tres physiques qui inter!iennent #ans les e%pressions #es pertes #e "hare.
I/3/3/3VISCOSITE ans un ?+#i@e *e+5 les )or"es #e "onta"t ne sont pas perpen#i"ulaires au% éléments #es sur)a"es sur lesquelles elles s$e%er"ent. La !is"osité est #ue au% )rottements qui s$opposent au lissement #es "ou"hes )lui#es les unes sur les autres. Les phénom9nes #Ws la !is"osité #es )lui#es ne se pro#uisent que lorsque "es )lui#es sont en mou!ement. S
,
y
1 = 4 0
fi%ure "-< 9 %radient de vitesse dans un écouleent
lle est #é)inie #ans la loi #e Ne%&n ∇ , = − F :ra# 61=8 :
K
3)apitre " 9 !escriptif du pro&l(e étudié
, = F ⋅ S⋅
#
X-5 0Y
#y
oZ , est la "ontrainte tanentielle
# #y
5 le ra#ient #e !itesse
5 la !itesse moyenne #e
l$é"oulement
µ 5 le "oe))i"ient #e !is"osité absolue Xou #ynamiqueY #u )lui#e. Les "al"uls #es pertes #e "hare )ont appel en pratique la !is"osité "inématique ν liée la !is"osité #ynamique par la relation : G =
F I
X-5 0Y
I étant masse !olumique #u )lui#e.
Les unités employées pour la mesure #e la !is"osité sont #onnées par le tableau 1 : Ta&leau < : Les deu4 viscosités et leurs unités >?@
Visc&si%*
S!s%èe @’#ni%*s cs #SI D!ni"#e Poise 6Po85 Q"m.s Poiseuille 6P-8 ou ;Qm s Cin*%i"#e Sto;es 6St85 "m2Qs 1 Pl[10 Po ou m 2Qs ♦
P&# +es +i"#i@es 5 ν #é"ro3t a!e" la température et n$est pas in)luen"é par la pression.
♦
P&# +es 5 ν "ro3t a!e" la température et #é"ro3t a!e" la pression.
I/3/3/6RU,OSITE L$état #e sur)a"e intérieure #$une tuyauterie >oue un r\le important #ans les phénom9nes #$é"oulement. et état #e sur)a"e est "ara"térisé par sa ruosité. On "on?oit aisément que l$in)luen"e #e la ruosité est #$autant plus ran#e que le #iam9tre #e la tuyauterie est plus petit. -l est #on" né"essaire #$e%aminer simultanément "es #eu% )a"teurs pour en #éterminer leurs e))ets sur l$é"oulement #u )lui#e. Pour "ette raison5 il y a lieu #e #istinuer : ♦
L #&si%* s&+#e E qui est la hauteur moyenne #es aspérités #e la paroi T
♦
L #&si%* e+%ie
E
qui est le rapport #e la ruosité absolue par le #iam9tre #e
la tuyauterieT "es #eu% !aleurs étant é!i#emment mesurées a!e" les mUmes unités.
3)apitre " 9 !escriptif du pro&l(e étudié
I/3/6NOTION DE PERTES DE CHAR,E ♦
La pression #$un )lui#e réel #iminue tout au lon #$une "analisation #ans laquelle il s$é"oule5 mUme si elle est hori@ontale et #e se"tion uni)orme.
♦
La pression #$un )lui#e réel #iminue apr9s le passae tra!ers un "ou#e ou une !anne ou un rétré"issement ou un élarissement.
Jn )lui#e réel en mou!ement subit #es pertes #$énerie #ues au% )rottements sur : ♦
Les parois #e la "analisation : pertes #e "hare systématiques ou réuli9res ou linéaires T
♦
Les a""i#ents #e par"ours : pertes #e "hare sinuli9res ou a""i#entelles.
es pertes #e "hare #épen#ent #e la )orme5 #es #imensions et #e la ruosité #e la "analisation5 #e la !itesse #$é"oulement et #e la !is"osité #u liqui#e5 la !aleur absolue #e la pression #ans le liqui#e n$inter!ient pas. La #i))éren"e #e pression ]p = p1 − p 2 entre #eu% points X1Y et X2Y #$un "ir"uit hy#raulique pro!ient #e : ♦
Pertes #e "hare réuli9res
♦
Pertes #e "hare sinuli9res.
I/3/7E1PRESSION DE LA PERTE DE CHAR,E La perte #e "hare réuli9re ]p est #onnée par la )ormule 61=8 : ]p = D ⋅
I 2 2
⋅
L
X-5 0Y
ans laquelle λ 5 un nombre sans #imension5 est le "oe))i"ient #e perte #e "hare et "al"ulé sui!ant #i))érentes e%pressions #épen#ant #e la !aleur #u nombre #e &eynol#s &e X-5 Y. $est#ire #u réime #$é"oulement. La perte #e "hare peut s$e%primer en m9tre #e "olonne #u )lui#e5 sui!ant la relation : ]h
= D ⋅
2 L
⋅
X-5 0Y
2:
ans les "al"uls5 il est "ommo#e #$utiliser la perte #e "hare unitaire G rapportée une unité #e lonueur : > =
]p L
= D ⋅
I 2 2
⋅
1
X-5 0Y
> est e%primé en Pas"al par m9tre #e "on#uite 6Pa.m 18
10
3)apitre " 9 !escriptif du pro&l(e étudié
I/3/3&<-MS $OJLM(S OJ &<-MS &AJL-BJS -l e%iste plusieurs réimes #$é"oulement ou réimes hy#rauliques. ara"térisant la mani9re #ont le )lui#e "ir"ule #ans une tuyauterie. On #istinue : ♦
Le *ie +inie oZ tous les !e"teurs !itesses sont parall9les un instant t. Si "es !e"teurs !itesses sont la )ois parall9les et #e mo#ule "onstant5 l$é"oulement laminaire est uni)orme.
♦
Le *ie %##+en% oZ les !e"teurs !itesses instantanés se #i))9rent en #ire"tion5 en sens et en intensité. es remous se )orment au sein #u )lui#e.
♦
Le *ie @e %nsi%i&n se situent entre les pré"é#ents et #ans lequel l$é"oulement est in"ertain et instable5 peut Utre laminaire ou turbulent selon le "as.
I/3/3/3 NOMBRE DE REYNOLDS La nature #$é"oulement #$un )lui#e est #éterminée au moyen #u nombre #e &eynol#s 6148 #é)inie par : &e =
⋅
X-5 0Y
G
oZ est la !itesse moyenne en 6mQs8 5 le #iam9tre #e la "on#uite en 6m8 G 5 la !is"osité "inématique #u )lui#e en 6m 2Qs8
&éime laminaire : &e < 2000 &éime #e transition : 2000 < &e < =000 &éime turbulent : &e > =000
I/3/3/6 VITESSE CRITIQUE D’ECOULEMENT L$e%pression #u nombre #e &eynol#s peutUtre mise sous )orme : =
&e ⋅ G
X-5 0aY
Si nous a#mettons pour limite supérieure #u réime laminaire la !aleur &e = 2000 5 nous obtenons : =
2000G
X-5 7bY
qui #onne la !itesse ma%imum au#el #e laquelle le réime laminaire n$est plus stable. $est la !itesse "ritique #$é"oulement pour une !is"osité et un #iam9tre #onnés.
11
3)apitre " 9 !escriptif du pro&l(e étudié
I/3/3
(&M-A(-O J O,,--( P&( A&< λ
I/3/7/3RE,IME LAMINAIRE OU RE,IME DE POISEUILLE n réime laminaire Xou réime #e Poiseuille Y 61=8 D = 4 ⋅ &e − 1
X-5 0Y
ette relation montre que D est uniquement )on"tion #u nombre #e &eynol#s. L$état #e la sur)a"e intérieure n$inter!ient pas et par "onséquent le "oe))i"ient D ainsi #éterminé est !alable pour toute nature #e tuyauterie.
I/3/7/6RE,IME CRITIQUE ans le réime "ritique5 "$est#ire entre 2000 et =000 &e5 la )ormule #e "al"ul employée sera traitée #e la mUme mani9re qu$en situation #e réime #$é"oulement turbulent.
I/3/7/7RE,IME TURBULENT Le "oe))i"ient #e perte #e "hare D est #éterminé partir #es mesures e%périmentales. i))érentes )ormules ont été proposées pour sa #étermination. La plupart #e "es )ormules sont restreintes "ar !alables seulement #ans #es #omaines bien parti"uliers #u nombre #e &eynol#s.
In?+#ence @e + #&si%*
n réime laminaire5 l$état #e la sur)a"e intérieure #e la tuyauterie n$inter!ient pas #ans le "al"ul #e la perte #e "hare. ontrairement en réime turbulent "e )a"teur #e!ient sensible et son in)luen"e est #$autant plus ran#e que le nombre #e &eynol#s est plus ran#.
F&#+es @e <n Ni#@se
3/ Ec&#+een% %##+en% +isse ' Le tuyau est #it hy#rauliquement lisse si le "oe))i"ient #e perte #e "hare D est in#épen#ant #e la ruosité. -l est )on"tion #u nombre #e &eynol#s5 sui!ant les e%pressions.678 1 D
=
(
) − 05K
X-5aY
25N1
X-5 bY
2lo: &e D 1 D
= − 2lo:
&e D
6/ Ec&#+een% %##+en% ##e#J ' 12
3)apitre " 9 !escriptif du pro&l(e étudié
Le "oe))i"ient D est in#épen#ant #u nombre #e &eynol#s mais #épen# #e la ruosité #e la sur)a"e intérieure #e la "on#uite sui!ant les relations. 678 1 D
=
2lo:
1 D
2E
+ 157=N
= − 2lo:
E
X-5 10aY X-5 10bY
=57
$apr9s "es )ormules les réimes turbulents lisse et ruueu% étaient bien "onnus et représentés par "es )ormules T mais la @one intermé#iaire ou @one #e transition a été peu étu#ié. olebroo; )ut le premier présenter une )ormule tenant "ompte #e l$é"oulement #ans la @one #e transition suit la relation :
E = − 2lo: + D =57
1
D
25N1 &e
X-5 11Y
ans la @one #e transition5 les !aleurs #onnées par olebroo; étaient supérieures "elles résultant #es e%périen"es #e i;ura#se.6785 Xiaramme uni!ersel #e Moo#y #e l$anne%e Y Pour #es !aleurs su))isamment )aibles #u nombre #e &eynol#s5 le se"on# terme #u se"on# membre #e )ormule pré"é#ente est ran# par rapport au premier et on retrou!e la )ormule #e *on 'arman et l$é"oulement suit appro%imati!ement la loi #es tuyau% lisses. Pour #es !aleurs éle!ées #e &eynol#s5 "$est le se"on# terme est nélieable #e!ant le premier5 on retombe sur la #roite #e i;ura#se "orrespon#ant la ruosité #es tuyau% "onsi#érés. /usqu$ présent5 la )ormule #e olebroo; est la plus utilisée "ar elle #onne #es résultats pro"hes #e la réalité #ans un !aste #omaine #u nombre #e &eynol#s.
F&#+es e$ii"#es
Les )ormules pré"é#entes sont appli"ables tous les probl9mes #$é"oulement et le "oe))i"ient D ainsi
#éterminé est !éri)ié par e%périen"e. Mais elles sont "omple%es et ne sont pas
"al"ulables5 #$oZ la né"essité #e )aire appel #i))érentes )ormules !alables #ans #i))érents #omaine #u nombre #e &eynol#s. Sui!ant "e #omaine #e !aleur #u nombre #e &eynol#s on utilise la )ormule : ♦
Pour &e < 10 N 5 lasius a a!an"é la )ormule 6148 D = 05=1 ⋅ &e − 052N
X-5 12Y
ette #roite #e lasius est pratiquement "on)on#ue a!e" la "ourbe #e *on 'arman en réime turbulent lisse #ans "e #omaine. 1=
3)apitre " 9 !escriptif du pro&l(e étudié
♦
Pour &e > 2.10 K len"h a proposé #ans le "as #u réime turbulent ruueu% la )ormule empirique #e len"h. 61N8 X-5 1=Y
05N
E D = 0570 ⋅
I/3/8AS S ,LJ-S OMP&SS-LS (outes les )ormules établies #ans le "a#re #es étu#es pré"é#entes sur le "al"ul #es pertes #e "hare supposent un )lui#e in"ompressible. La perte #e "hare ou la "hute #e pression n$a pratiquement pas #$in"i#en"e5 ni sur le #ébit !olumique5 ni sur la masse !olumique5 ni sur la !is"osité. Si la température reste "onstante5 le "oe))i"ient #e perte #e "hare D reste éalement "onstant. -l n$en est pas #e mUme pour les )lui#es "ompressibles tels que les a@ #ont le !olume5 la masse !olumique et la !is"osité !arient #e )a?on tr9s sensible en )on"tion #e la pression. Lors #e l$é"oulement #e "es )lui#es a@eu% #ans une tuyauterie5 la perte #e "hare s$a""ompane #$une e%pansion qui se tra#uit par #es aumentations #e la !ariable #$é"oulement et #e !is"osité "inématique et par une #iminution #e la masse !olumique.
I/3/8/3VITESSE REELLE D’ECOULEMENT Si B r est le #ébit !olumique mesuré #ans les "on#itions #e ré)éren"e P:r la pression absolue #e
ré)éren"e
(:r la température absolue #e ré)éren"e a!e" (:r = 27=°
+ ^ 5 ^ étant la température #e )lui#e
#ans l$é"helle "entira#e. P: la pression absolue #$utilisation (: la température absolue #$utilisation
Alors le #ébit s$é"rit :
P:r (: B= P: (:r B r
X-5 14Y
Buant la !itesse réelle #$é"oulement 61185 elle est #onnée par : =
4 B r (:
⋅
_
⋅ 2
⋅
P:r
X-5 1NY
(:r P:
oZ est le #iam9tre #e la tuyauterie.
14
3)apitre " 9 !escriptif du pro&l(e étudié
I/3/8/6PERTES DE CHAR,E ntre les points A et #$une tuyauterie #ans laquelle s$é"oule un )lui#e "ompressible ans le sens A !ers 5 la perte #e "hare s$e%prime par la relation 628 :
p A − p
= D ⋅
I 2 2
⋅
L
⋅
2p A
X-5 1Y
p A + p
#ans laquelle : p A et p sont respe"ti!ement les pressions en A et
ans "ette )ormule le terme #e perte #e "hare représentait ]p1 : A!e" ]p1 la )ormule X-5 1Y #e!ient: p A − p
n posant ' e =
2p A p A + p
=
]p1 ⋅
2p A
X-5 17Y
p A + p
5
,inalement5 on a p A − p
=
' e ⋅ ]p1
X-5 1KY
$oZ l$énon"é #e la r9le sui!ante : La perte de c)ar%e d’un fluide copressi&le est é%ale à la perte de c)ar%e de fluide supposé incopressi&le et est a*orée d’un coefficient ' e
I/3/9AS S P&(S A&< S-
I2
X-5 1Y
2
A!e" H le "oe))i"ient #e perte #e "hare sinuli9re une ran#eur sans #imension.
1N
3)apitre " 9 !escriptif du pro&l(e étudié
Le )a"teur H est #onné soit par le "onstru"teur #e l$élément "onsi#éré5 soit par #es abaques soit par #es "orrélations #onnés par #es ou!raes spé"ialisés 61=8. ous sa!ons que le #iaramme uni!ersel #e Moo#y #e l’Anne4e /" peut Utre utilisé pour la #étermination #u "oe))i"ient #e perte #e "hare réuli9re5 aussi bien pour le )lui#e "ompressible que le )lui#e in"ompressible5 pression et température "onstantes. -l ré"apitule en quelque sorte les !aleurs #u "oe))i"ient #e perte #e "hare en )on"tion #u nombre #e &eynol#s. ans "e mémoire5 les équations a#mises ainsi que les #iarammes "orrespon#ants5 sont #onnés 618 61N8.
I/3 HYPOTHESES DE ASE Les pertes #e "hare totales 61=8 / 6Pa8 #ans un tron?on sont #onnées par l$équation : /
= > ⋅ L + H ⋅ I ⋅
2
X-5 20Y
2
1
#ans laquelle > 6Pa.m 8 est #é)inie par la relation X-5 NY oZ le "oe))i"ient D est "al"ulé sui!ant #i))érentes e%pressions selon la !aleur #u nombre #e &eynol#s &e . H 5 le "oe))i"ient #e perte #e "hare sinuli9re
Les e%pressions #e λ 5 "ouramment utilisées sont #onnées par : ♦
Poiseuille sui!ant la relation X-5 KY 61=8
♦
olebroo; sui!ant la relation X-5 11Y 678
♦
lasius #onnée par la relation X-5 12Y 6148
♦
len"h #é)inie par la relation X-5 1=Y.61N8
1
3)apitre "" 9 $4pression siplifiée des pertes de c)ar%e
CHAPITRE II E1PRESSION SIMPLIFIEE DES PERTES DE CHAR,E II/33 $PR$SS"O. PLR"/AL$.T$ !$ * II/3/3/3&LA(-O (& CK QK , K ReK G n mé"anique #es )lui#es5 l$étu#e lo"ale #es é"oulements utilise #e pré)éren"e la !itesse #u )lui#e appelée aussi !itesse pon"tuelle ou !itesse moyenne. Au "as pratique #es réseau%5 elle est rempla"ée : ♦
Soit B 6m=.s18 le #ébit !olumique #u )lui#e
♦
Soit < 6;.s18 le #ébit massique #u )lui#e
ous supposons que la "on#uite est "ir"ulaire. ela n$e%"lut pas les autres "on#uites #ont le #iam9tre équi!alent est "al"ulé partir #es abaques ou )ormules 628 et 6=8. La !itesse est prise "omme étant la !itesse moyenne #e l$é"oulement.
=
4 − 2 B = 4 I − 1 − 2 < ou _ _
X--5 21Y
Si nous #é)inissons une !ariable #$é"oulement * représentant5 sui!ant les "as5 soit la !itesse 5
soit le #ébit !olumique B 5 soit le #ébit massique < et #eu% !ariables booléennes t et u5
nous a!ons la table #e "orrespon#an"e sui!ant le tableau 2.
17
3)apitre "" 9 $4pression siplifiée des pertes de c)ar%e
Ta&leau B 9 Ta&le de correspondance de 3, ; et 2
hoi% *itesse #$é"oulement ébit !olumique ébit massique
* = * = B * = <
t
u
0 0 1 0 1 1
Alors s$é"rit sous la )orme unique sui!ante: X--5 22Y
t
4 = I − u − 2t * _
Buant au nombre #e &eynol#s5 il s$é"rit :
X--5 22bisY
t
4 &e = I − u G − 1 1− 2t * _ t l$e%pression #e > est #onnée par :
X--5 2=Y
2t
> =
D 4
2 _
I1− 2u − ( 1+ 4t ) * 2
II/3/3/6E1PRESSION DU COEFFICIENT DE PERTE DE CHAR,E Le "oe))i"ient D est )on"tion #u nombre #e &eynol#s &e ainsi que #e la ruosité relati!e
E
.
A partir #es #i))érentes e%pressions #u "oe))i"ient D susproposées5 on peut proposer une @
)ormulation unique #e D sui!ant la relation D = A ⋅ &e ⋅ %
y
E ⋅ . La présen"e #e #ans
"ette e%pression est >usti)iée puisque #ans la )ormule #e mon\me5 le #é!eloppement est par)ois insu))isant pour tra#uire la !ariation #u "oe))i"ient #e perte #e "hare réuli9re. -l )aut intro#uire une "orre"tion #e #iam9tre. ans "ette e%pression A5 %5 y5 @ sont #es "onstantes pré#éterminées ou "al"ulées et #ont le "hoi% #épen# #u type #$é"oulement5 tra!ers le nombre #e &eynol#s. La !aleur #e "es "onstantes est é!i#ente pour "ertaines e%pressions5 "omme "elles #e lasius5 Poiseuille5 len"h. lles le sont beau"oup moins #ans le "as #e olebroo;. La #étermination #e "es "onstantes "onsiste en la linéarisation #e la "ourbe
E
en )on"tion
#u loarithme #é"imale #e &e et #e D eu% métho#es #e résolution pon"tuelle #e l$e%pression impli"ite #e olebroo; ainsi qu$une métho#e #e linéarisation #es e%pressions #e olebroo; sont présentées en anne4e B et en
1K
3)apitre "" 9 $4pression siplifiée des pertes de c)ar%e
anne4eC. lles permettent #$obtenir la )orme #ésirée5 #ans un #omaine limité5 par rapport au%
!ariations totales possibles #e &e et #e λ . Les "onstantes A5 %5 y5 @ étant "onnues5 il su))it #e "on"e!oir un arbre #e séle"tion #e l$e%pression #e D en )on"tion #u nombre #e &e . (oute)ois5 il )aut pren#re ar#e au% probl9mes #e #is"ontinuité qui peu!ent appara3tre au% "hanements #$e%pressions. Ar&re de sélection du coefficient de perte de c)ar%e ré%uli(re
al"ul #e Oui
Poiseuille
on
2000
Relation 5", D6
Oui 1eN
lasius
on
Relation 5",
Oui
olebroo; Relation 5",<<6
2.10 on
len"h Relation 5",
II/3/3/7ECRITURE UNIQUE DE PERTE DE CHAR,E LINEAIRE On rappelle que D peut s$é"rire sous la )orme : 6118 X--5 24Y
@
D = A ⋅ &e
⋅
%
y
E ⋅
t
4 oZ le nombre #e &eynol#s est #e la )orme : &e = I − u G − 1 1− 2t * _ Alors X--5 24Y #e!ient : t%
soit
4 D = A _
@
I
− u% − %
G
X1− 2tY%
%
*
y
E
t%
4 D = A _
I
− u% − %
@
G E
X1− 2tY% + y − @
*
%
X--5 2NY
X--5 2Y
1
3)apitre "" 9 $4pression siplifiée des pertes de c)ar%e
n reportant #ans l$e%pression X2=Y5 il !ient : A 4 > = 2 _
t%
X--5 27Y
2t
I
− u% − %
@
G E
( 1− 2t ) % + y − @
*
%
4 _
I
1− 2u
− ( 1+ 4t )
*
2
soit :
A 4 > = 2 _
X--5 2KY
t% + 2t
I1− 2u − u% G − % E @ % − 2t% + y − @ − 1− 4t * 2 + %
que nous é"ri!ons : X--5 2Y
> = M ⋅ ⋅ O ⋅ P ⋅ * &
a!e" : & étant
l$e%posant #e la !ariable #$é"oulement éal 2% . On "onstante que5 sau) pour le "as
#e Poiseuille5 157N < & < 2 P 5 l$e%posant #u #iam9tre : P[2&t%y@1. Pour * = 5 P est !oisin #e
− 1 et que #ans le
"as #e * = B ou * = < 5 P est !oisin #e − N O 5 le "oe))i"ient "ara"téristique #e la "analisation a!e" O = E @ 5 le "oe))i"ient "ara"téristique #u )lui#e :
=
I1− &u G − %
M 5 un "oe))i"ient #épen#ant #u type #$é"oulement et #u "hoi% #e la !ariable #$é"oulement : &t
A 4 M = T 2 _ e "oe))i"ient M peut intérer les "oe))i"ients "orre"teurs lorsque les unités utilisées sont #i))érentes #es unités S -.
20
3)apitre "" 9 $4pression siplifiée des pertes de c)ar%e
II/63!AS DES "L#IDES !O$PRESSILES H%pot&'ses ♦
Les )lui#es "ompressibles sont "onsi#érés "omme #es a@ par)aits #ans leur #omaine au sein #u tron?on.
♦
Les !itesses #$é"oulement restent su))isamment )aibles "$est#ire nombre #e Ma"h est petit a)in #$é!iter toute é!olution thermo#ynamique #u )lui#e.
♦
Les pertes #e "hare se répartissent uni)ormément sur toute la lonueur #u tron?on.
ompte tenu #e "es hypoth9ses5 seulement5 les "ara"téristiques #u )lui#e I5 G 5 et la !ariable #$é"oulement * sont )on"tion #e la5 pression absolue P et #e la température absolue ( 5 ellesmUmes )on"tion #e I5G5* . A partir #e l$équation #es a@ par)aits é"rite sous la )orme : 648
P:r ⋅ *:r = (:r
P: ⋅ *: (:
*:r et *: sont respe"ti!ement les !olumes #u )lui#e (:r et (: sous les pressions P r
X--5 =0Y et P:
n )aisant inter!enir B r et B 5 il !ient :
P:r (: B= P: (:r B r
X--5 =1Y
l$in#i"e r se rapporte #es ran#eurs physiques #e ré)éren"es
_ ⋅ 2 et B 5 par n rempla?ant B r par r 4
_ ⋅ 2 4
P:r (: = P: (:r r or B r =
< r I r
5 B =
< I
X--5 =2Y
et "omme < ne #épen# ni #e P: et ni #e (: "$est #ire que < = < r
alors : I=
P: (:r I r P:r (:
X--5 ==Y
n intro#uisant une !ariable booléenne ! telle que pour le : ♦
,lui#e in"ompressible : ! = 0 T
♦
,lui#e "ompressible : ! = 1 . -l s$é"rit :
21
3)apitre "" 9 $4pression siplifiée des pertes de c)ar%e
P:r (:r * = P: (:
X--5 =4Y
! ( 1− u )
*r
OZ * et *r sont respe"ti!ement la !ariable #$é"oulement et a!e" les !ariables
P: (:r I = P:r (:
r
et ρ r 5 on a : X--5 =NY
!
I r
Pour les )lui#es in"ompressibles5 on pré)9re utiliser la !is"osité "inématique G et pour les )lui#es "ompressibles5 la !is"osité #ynamique F . On intro#uit le "oe))i"ient permettant le "hoi% #e ν a!e" X--5 =Y
− !%
=
I
1− &u
G
( ! − 1) %
F I
=
I
1− &u + !%
G
( ! − 1) %
F
− !%
ans la relation X--5 2Y #onnant > 5 les "oe))i"ients M5 O5 P et & sont in"hanés. Seuls "hanent et * & et #e!ient :
P: (:r = P:r (:
X--5 =bisY
! ( 1− &u + !% )
I
( 1− &u + !% )
G
( ! − 1) %
F
− !%
P: (:r 5 #e Si nous reroupons les e%pressions #e et P:r (:
et #e * & #ans le seul
"oe))i"ient puisque "elui"i est "ara"téristique #u )lui#e5 nous aurons le pro#uit :
P: (:r P:r (:
! ( 1− &u + !% )
P:r (: P: (:r
&! (1− u )
P ( = : :r P:r (:
! (1− & + !% )
#$oZ )inalement :
P: (:r = P:r (:
X--5 =KY
! ( 1− & + !% )
I
1− &u + !% r
G
( ! − 1) %
F
− !%
Pour un tron?on oZ le )lui#e "ompressible est sous pression P : 5 la température (: et une !is"osité F 5 l$e%pression #e > partir #es "ara"téristiques I r et *r 5 #es "on#itions P:r et (:r s$é"rit : X--=Y e "oe))i"ient permet #$aller plus loin lors #u "al"ul #u tron?on "omplet. ous pou!ons > = M ⋅ ⋅ O ⋅ P ⋅ *r &
é"rire l$équation #e tron?on sous la / = + ⋅ * & . Ainsi5 on peut en!isaer que #ans un tron?on #e lonueur L le type #$é"oulement ne "hane pas T par "onséquent M5 O5 5 P et & sont "onstants sur "e tron?on. e tron?on est #é"oupé en éléments ei plus petits #e )a?on pou!oir "onsi#érer que5 sur "ha"un #$eu%5 le )lui#e se "omporte "omme un )lui#e
22
3)apitre "" 9 $4pression siplifiée des pertes de c)ar%e
in"ompressible On "al"ule l$équation #es pertes #e "hare #e l$élément ei qui s$é"rit la )orme : / ei
=
X--5 40Y
+ ⋅ *r &
n appliquant la loi #es montaes en série5 il !ient: /
=
+ ⋅ *r &
=∑
/ ei
=
i
∑
+ ei ⋅ *r &
=
*r &
i
∑
+ ei
i
n posant +=
∑
+ ei
i
oZ l$e%pression #e + ei est #e la )orme + ei
=
M ⋅ ei ⋅ O ⋅ P ⋅ L ei
onnaissant les "on#itions #$entrée #ans le tron?on et les "on#itions #e ré)éren"e5 on a
P (:r e1 = P:r ( PS e1
=
! ( 1− & + !% )
I1r − &u + !% G
P − / e1 et P e2
=
( ! − 1) %
F − !%
PS e1
et e ( i + 1)
PS ei (:r = P:r (S ei
! ( 1− & + !% )
I1r − &u + !% G
( ! − 1) %
F − !%
Si les "on#itions #e sortie sont #onnées5 on peut )aire un raisonnement similaire. Les pertes #e "hare sinuli9res peu!ent Utre soit prises )or)aitairement "omme un pour"entae #es pertes #e "hare linéaires #u tron?on5 soit "al"ulées lobalement sur le tron?on apr9s a!oir #éterminé les pertes #e "hare linéaires a))e"tées "haque élément ei .
II/73!AS DES PERTES DE !HARGE SING#LIERES ans l$e%pression établie #e > 5 l$e%posant #e la !ariable #$é"oulement * 5 #on" #e la !itesse est
#i))érent mais !oisin #e 2 . n supposant que l$e%posant #e #ans l$e%pression #es
pertes #e "hare sinuli9res est le mUme que "elui #ans l$e%pression #es pertes #e "hare linéaires5 #on" on peut rempla"er :
∑ H⋅
I 2 2
par
∑ H⋅
I & 2
Ainsi5 nous pou!ons utiliser : ♦
Soit la métho#e #ire"te en rempla?ant par son e%pression X--5 22Y5 #$oZ :
2=
3)apitre "" 9 $4pression siplifiée des pertes de c)ar%e
I &
∑ H⋅
2
= ∑
&t
H
4 I 2 _
I − &u − 2&t * &
&t
n posant : s =
1 4
I1− &u − 2&t
2 _
-l !ient :
∑ ♦
I &
H⋅
=
2
∑
s ⋅
H ⋅ * &
X--5 41Y
Soit la métho#e in#ire"te en "al"ulant la lonueur #e tuyauterie équi!alente L eq qui #onnerait la mUme !aleur #e pertes #e "hare linéaires que la !aleur #es pertes #e "hare sinuli9res enen#rées par la somme #es sinularités.
A partir #e l$éalité : M ⋅ ⋅ O ⋅
P
⋅ * ⋅ L eq &
#$oZ il ressort que :
L eq
= ∑
∑ =
&t
H 4
2 _
I1− &u − 2&t * &
&t
H 4
2 _
I
1− &u
− 2&t
*
&
X--5 42Y
X--5 4=Y
M ⋅ ⋅ O ⋅ P ⋅ * &
n utilisant les résultats #u pararaphe II()(* et en rempla?ant les "oe))i"ients par leurs e%pressions respe"ti!es &t
H 4
∑
2 _
H
∑A Les param9tres A et ∑ H ont #es r\les équi!alents. M
=
P: (:r = P:r (:
I1− &u
! ( &u − 1− !% )
G ( 1− ! ) % I r − !% F !%
n e))et #ans l$e%pression #e pertes #e "hare sinuli9res5 la !is"osité n$appara3t pas. 1 O
=
E− @
e mUme5 #ans l$e%pression #e pertes #e "hare sinuli9res5 la ruosité n$appara3t pas. − 2&t
P
=
− % − y+ @+ 1
OZ %5 y5 @ et 1 sont spé"i)iques D . Soit :
24
3)apitre "" 9 $4pression siplifiée des pertes de c)ar%e
L eq
H P ( = ∑ : :r A P:r (:
! ( &u − 1− !% )
G
( 1− ! ) %
−@
!%
F E
− % − y+ @ + 1
X--5 44Y
II/83 E+#ATION D# TRON,ON n reportant les #i))érents #é!eloppements #e la perte #e "hare sinuli9re #ans la relation X-5 20Y5 nous obtenons5 selon les "as5 les résultats sui!ants : ♦ Mét)ode directe pour les pertes de c)ar%e sin%uli(res 9
/
=
M ⋅ ⋅ O ⋅ P ⋅ * & ⋅ L + s
∑ H⋅ *
&
n posant par - = M ⋅ ⋅ O ⋅ P ⋅ L 5 pour un tron?on #$in#i"e i : /i
= ( - i ⋅ L +
s i
∑ H)*
&
n posant par + i = ( - i ⋅ L + s i
∑ H ) 5 l$impé#an"e #u tron?on5 son e%pression est telle que : /i
=
+ i ⋅ * &
X--5 4NaY
♦ Mét)ode indirecte pour les pertes de c)ar%e sin%uli(res 9
Apr9s le "al"ul #e la lonueur équi!alente #ans l$e%pression #u param9tre / selon la relation /
=
M ⋅ ⋅ O ⋅ P ⋅ * & ⋅ ( L + L eq )
P t posant par + i = M ⋅ ⋅ O ⋅ ⋅ ( L + L eq ) i 5 l$impé#an"e #u tron?on5 il !ient :
X--5 4NbY ans les #eu% "as5 nous a!ons établi une équation #onnant les pertes #e "hare #u tron?on /i
=
+ i ⋅ * &
selon la )orme / = + ⋅ * & qui est pro"he #e la loi #$ohm en éle"tri"ité J = & ⋅ -1 . ette )orme permet l$utilisation #e l$analoie éle"trique pour le traitement #es "al"uls #e réseau%.
II/8/3/3APPL-A(-OS SP-,-BJS II/8/3/3/3CAS DES FLUIDES INCOMPRESSIBLES ∠
Les ins%++%i&ns @’e#
-l s$ait #es #istributions in#ustrielles5 #es installations sanitaires et #e "hau))ae. n s$appuyant sur l$équation énérale e%posée pré"é#emment et en utilisant les abaques #onnant la perte #e "hare en )on"tion #es #ébits5 #e la !itesse et le #iam9tre6285 nous #onnons #es résultats qui sont en a""or# satis)aisant "eu% obtenus par les abaques. Le but #u tra!ail "onsiste entre autres trou!er une équation énérale #es pertes #e "hare subies par un )lui#e neVtonien5 nous allons ainsi "onsi#érer #eu% e%emples #e )lui#e : ♦
L$eau
♦
L$air
2N
3)apitre "" 9 $4pression siplifiée des pertes de c)ar%e
Pour "e )aire5 il est intéressant #e !éri)ier la !ali#ité #e "ette équation par les installations #$eau. L$eau étant #istribuée #es températures #i))érentes. La )ormule tient "ompte #e la !is"osité #ont l$in"i#en"e n$est pas nélieable et #e la nature #es tuyauteries "ouramment employées #ans les installations #omestiques et in#ustrielles. ette "onsi#ération "ou!re #e toute é!i#en"e plusieurs réimes #$é"oulement5 mais le réime laminaire5 est pratiquement éliminé "ar il ne se ren"ontre que tr9s e%"eptionnellement. ans la ma>orité #es "as5 le réime #$é"oulement est turbulent et sui!ant les !aleurs #e nombre #e &eynol#s et #e la ruosité relati!e5 se trou!er #ans la @one #$é"oulement ruueu% ou #ans la @one #$é"oulement lisse. ∠
R*ie %##+en% +isse
Pour "e réime #$é"oulement5 on utilise la )ormule #e lasius #ont les limites #$utilisation sont #é)inies par :. ♦
Le n&e @e Re!n&+@s/ On sait que la )ormule #e lasius est !alable >usqu$ &e = 10 N .
On peut en #éterminer les !aleurs limites #es param9tres en "ause #e
"ette "on#ition. Les #i))érentes !aleurs #e la !itesse #$é"oulement sui!ant le #iam9tre #e la tuyauterie5 la température ( et la !is"osité "inématique #u )lui#e sont #ressés #ans le tableau 1A #e l$anne%e N. A partir #e "es !aleurs5 on peut apporter les "on"lusions sui!antes : ♣
Pour l$eau 1N C 5 les appli"ations "ourantes sont en a""or# a!e" la )ormule #e lasius.
♣
Pour l$eau 0 C qui se ren"ontre essentiellement #ans les #istributions #$eau "hau#e sanitaire5 on #épasse rarement la !itesse #e 1 mQs pour é!iter le bruit. ette !itesse est asso"iée au #iam9tre #e N0 mm.
♣
Pour l$eau K0 C5 tou>ours #ans le but #$é!iter le bruit5 la !itesse est #e l$or#re #e 1 mQs.
♦
Lii%es @’#%i+is%i&n $&# + #&si%* ε
n "omparant les résultats obtenus par )ormule énérale et "eu% #e l$abaque5 il !ient : ♣
Pour E [ 0.002 mm les points se trou!ent sur la "ourbe #u réime #$é"oulement turbulent lisse. ette !aleur #e ε est relati!e au% matériau% sui!ants : !erre5 laiton5 aluminium et mati9re plastique.
♣
Pour E [ 0.00N mm a!e" une !itesse #e 2 mQs &e ma%i #e 1eN 5 les résultats #e la )ormule sont ma>orer.
∠
R*ie %##+en% ##e#J 2
3)apitre "" 9 $4pression siplifiée des pertes de c)ar%e
e #omaine est beau"oup plus !aste que le pré"é#ent. L$analyse "orrespon#ante montre qu$au #el #u réime turbulent lisse5 il e%iste une @one oZ le "oe))i"ient #e pertes #e "hare D est la )ois )on"tion #e &e et #e la ruosité ε . ans la @one #u réime par)aitement ruueu%5 le "oe))i"ient #e pertes #e "hare est in#épen#ante #e &e et est )on"tion uniquement #e la ruosité. ♦
D*+ii%%i&n @# @&ine @’#%i+is%i&n
n premier lieu5 il )aut )i%er ruosité. On obser!e ainsi que pour toutes les #istributions intérieures5 qu$elles soient in#ustrielles ou #omestiques5 on utilise tr9s )réquemment le tube a"ier appelé tube #e "ommer"e X T+e# 6A #e l’Anne4e EY La nature "haneante #u matériau ren# #i))i"ile l$estimation #e la ruosité. Pour les "al"uls5 nous )i%ons la !aleur #e 0.0N mm sau) mention "ontraire. ♦
C&ec%i&n @e #&si%*
Si la tuyauterie utilisée a une ruosité supérieure 0.0N mm 5 On utilise les abaques 1A5 2A5 =A5 4A5 NA5 7A5 KA en e))e"tuant apr9s une "orre"tion #e ruosité. Les pertes #e "hares sont alors estimées a!e" une bonne appro%imation en appliquant au% résultats #onnés par l$abaque le "oe))i"ient multipli"ateur #onné par le %+e# 7A #e l’ Anne4e E/ ♦
A$$+ic%i&ns # c#??e e% sni%ie
ous "onsi#érons l$installation #e #istribution #$eau sanitaire #ans les #eu% "as oZ l$eau est )roi#e ou "hau#e. Ainsi pour ♦
♦
Pour la #istribution #$eau )roi#e5 on utilise : ♣
Pour le tube en "ui!re : "#e 3A #e l’Anne4e
♣
Pour le tube en a"ier : "#es 8AK 9A #e l $Anne4e
Pour la #istribution #$eau "hau#e5 on utilise ♣
Pour le tube en "ui!re : "#e 4A #e l $Anne4e
♣
Pour le tube en a"ier : "#es 0AK 2A #e l $Anne4e
II/8/3/3/6CAS DES FLUIDES COMPRESSIBLES ∠
Les *se#J @’i
-l s$ait #es installations #e !entilation et #e "on#itionnement #$air #ans lesquelles le )lui#e !éhi"ulé est #e l$air atmosphérique quali)ié #e basse pression "ause #e sa pression relati!ement )aible qui ne #épasse pas pratiquement les 100 mbars.
27
3)apitre "" 9 $4pression siplifiée des pertes de c)ar%e
ous aimerions )aire remarquer au passae que le présent pararaphe s$inspire pour une lare part #e 6=8. ♦
L&i @e Mi&%%e e% @e ,! L#sc/ ans le #omaine #es pressions "ourantes pour les installations in#ustrielles5 l$air est assimilé l$équation #$état "orrespon#ant un a@ par)ait5 permet #e "al"uler le !olume o""upé par une masse a@euse #i))érentes pressions.
♦
Tns$&% e% @is%i#%i&n @e +’i c&$i* ♣
F&#+e $%i"#e @e +’i c&$i*
Pour une "analisation en tube #$a"ier #e ruosité absolue 0.0N mm 5 on utilise la )ormule sui!ante : D = 0.0==N ⋅ &e − 0.0K ⋅ − 0.1
X--5 4Y
n a#optant les !aleurs sui!antes #e : I [ 1.22N ;:Qm= X!aleur 1N C Y F [ 17.10
;:Qms
P:r [ 1.01= bar
nous a!ons la )ormule 62=8 qui e%prime / est la sui!ante /
=
4=200 ⋅
B15=2 r
X--5 47Y
P: N511
/ étant les perte #e "hare en mbar par m9tre B r 5 le #ébit #$air libre en m = Qh Xmesuré 1N C et 1.01= bar Y
5 le #iam9tre intérieur #e la "analisation en millim9tre P: 5 la pression absolue en bar
Pour l$air "omprimé5 le #ébit est sou!ent e%primé en m = Qmin . A!e" "ette unité la )ormule "i #essus #e!ient alors5 /
=
112.10
⋅
B152 r
X--5 4KaY
P: ⋅ N511
Les param9tres ayant les mUmes unités que #ans la )ormule "i#essus sau) B r . La pression e))e"ti!e #e 7 bars étant sou!ent utilisée5 la )ormule e%priment / pour tel "as s$é"rit : /
=
14.10
⋅
B152 r
X--5 4KbY
N511
L’"#e ;A #e l’ Anne4e est établi #$apr9s "ette )ormule5 pour le "as #e l$air "omprimé.
2K
3)apitre "" 9 $4pression siplifiée des pertes de c)ar%e
II/8/3/3/7PERTES DE CHAR,E SIN,ULIERES Pour la premi9re appli"ation #u "as l$installation #e l$eau5 on utilise la relation X-5 1Y #ont les !aleurs #u "oe))i"ient #e pertes #e "hare sinuli9res sont #onnées #ans le %+e# 8A #e l$ Anne4e E ans les installations #$air "omprimé5 les pertes #e "hare sinuli9res sont "al"ulées sui!ant la métho#e #es équi!alen"es.
2
3)apitre """ 9 Résultats et coparaison avec la &i&lio%rap)ie
CHAPITRE III RESULTATS ET COMPARAISONS AVEC LA BIBLIO,RAPHIE n appliquant la )ormule énérale que nous !enons #$établir5 les tableau% =5 45 N5 5 7 nous #onnent les résultats obtenus ainsi que "eu% #onnés par les abaques respe"ti)s.
III/3 FL"!$ ".3OMPR$SS"7L$ Le %+e# 0A #e l’Anne4e E #onne les !aleurs sui!antes : ♦
Pour l$eau 1N C et 0C ♣
La masse !olumique
♣
La !is"osité
Les résultats ainsi obtenus sont "onsinés #ans le ta&leau C.
=0
3)apitre """ 9 Résultats et coparaison avec la &i&lio%rap)ie
Ta&leau C 9 $au à
68 : sans #imension au 1N C5 [=0 mm5
au 0 C5 [=0 mm5
[0.2 mQs5 E [ 0.0N mm 5 H = 0
ρ µ
[0.2 mQs5 E [ 0.002 mm 5 H = 0 5 ρ [ K=.2 ;: Q m= 5 µ [ 4=%10
[ ;: Q m = 5
[ 11N0%10 ;Qm.s
,ormule énérale Abaque 2A &e68 N207.N r68 #68 D 1 68 D 2 68 D i 68 D s 68 D 0 68 %68 0.2N y68 0 @68 0 A68 0.=1 &68 1.7N P68 1.2N M68 0.1NK 6!ariable8 =2.72K @ O6m 8 1 Léq6m8 0 +6!ariable8 414.1K 2 0 0 H 6m,8
;Qm.s. ,ormule énérale Abaque A 12741.= 0.2N 0 0 0.=1 1.7N 1.2N 0.1NK 2N.7NN 1 0 =2N.= 0 0
2:
/6Pa8
24.774=
1.4NN
/16mm,8
2.N27
2.N
2.012
1.
On rel9!e sur l$ "#e 7A #e l’anne4e #e pertes #e "hare #e /[4.N mm #$eau pour un tube #e #iam9tre 200 mm et une !itesse #e 1 mQs. Pour la ruosité E [ 0.N mm 5 le %+e# 7A #e l’anne4e E #onne le "oe))i"ient #e
"orre"tion "orrespon#ant éal 1.4 .
on" en premi9re appro%imation5 les pertes #e "hare estimés pour "e tube sont #e 4.N ` 1.4 [ .= mm # eau Xvoir Ta&leau I6 .
=1
3)apitre """ 9 Résultats et coparaison avec la &i&lio%rap)ie
Rear'ues :
ous a!ons )ait remarquer que seulement pour le "as #e olebroo; ou la
linéarisation #e "ourbe s$impose pour la #étermination #es "onstantes A5 %5 y5 @. ous aper"e!ons #es !i#es #ans les tableau%. ans la "olonne ils sont >usti)iés par le )ait que les abaques ne #onnent que #e la !aleur #e perte #e "hare. Buant la "olonne )ormule énérale5 les !i#es e%pliquent l$ine%isten"e #es !aleurs "orrespon#ant "es param9tres. es param9tres5 en #$autres termes5 résultent #e la linéarisation #e l$e%pression susmentionné.
=2
3)apitre """ 9 Résultats et coparaison avec la &i&lio%rap)ie
Ta&leau I 9 $au à
&e68 r68 #68 D 1 68 D 2 68 D i 68 D s 68 D 0 68 %68 y68 @68 A68 &68 P68 M68 6!ariable8 O6m@8 Léq6m8 +6!ariable8 H
2 2:
6m,8
au 1N C5 [200 mm5
au 1N C5 [200 mm
[1 mQs5 E [ 0.N mm 5 H = 0 ,ormu ormule le én énéra érale Abaq baque =A 17=7= HHE 2 0.02NKN42 0.02N2N 0.0=0K7 0.022104K 0.02N720N 0.0=2K=2 0 0.2411=N 0.121N= 1.114 1.274 0.0K107 =7.=7 0.1NNK 0 4.2= 0 0
[1 mQs5 E [ 0.N mm 5 H = 0 ,ormu ormule le én énéra érale Abaque aque =A 17=7= H< 2 0.02N=N4 0.02NN47K 0.0=0K7 0.022104K 0.02N720N 0.0=27774 0 0.2411=N 0.11K 1.722 1.27=K1 0.0K02 =K.12= 0.1NNK 0 4.2= 0 0
/6Pa8
4.2=
4.2=
/16mm,8
.NN4
.=
.NN4
.=
n mo#i)iant la !aleur #e r5 la !aleur #e la perte #e "hare5 est pratiquement in"hané. Seulement les "oe))i"ients #e perte #e "hare λ "hanent )aiblement. (oute)ois5 en "haneant la !aleur #e #5 la !aleur #e la perte #e "hare subit une lé9re !ariation. X!oir le ta&leau EY.
==
3)apitre """ 9 Résultats et coparaison avec la &i&lio%rap)ie
Ta&leau E 9 $au à
&e68 r68 #68 D 1 68 D 2 68 D i 68 D s 68 D 0 68 %68 y68 @68 A68 &68 P68 M68 6!ariable8 O6m@8 Léq6m8 +6!ariable8 H
2 2:
6m,8
au 1N C5 [200 mm5
au 1N C5 [200 mm5
[1 mQs5 E [ 0.N mm 5 H = 0 ,ormule énérale Abaque =A =A 17=7= 0.0N C 0.02NKN42 0.02N2N 0.0=4K424 0.020NNK 0.02N720 0.0=2K=1 0 0.24014 0.1112 1.714 1.274 0.0K0NN =7.=7 0.1117= 0 4.2=7K 0 0
[1 mQs5 E [ 0.N mm 5 H = 0 ,ormule é énérale Abaque =A =A 17=7= 0.0N
/6Pa8
4.2=7K
4.240K
/16mm,8
.NN47
.=
.NNN
.=
Ta&leau 9 9 $au à
au 1N C5 [200 mm5 [1 mQs5 E [ 0.N mm 5 H = 0
&e68 r68 #68 D 1 68
,ormule énérale 17=7= 0.0N 2 0.02NKN42
Abaque =A
au 1N C5 [200 mm5 [1 mQs5 E [ 0.N mm 5 H = ,ormule énérale 17=7= 0.1 2 0.02N=N4
0.2
=N
3)apitre """ 9 Résultats et coparaison avec la &i&lio%rap)ie
0.02N2N 0.0=0K7 0.022104K 0.02N720N 0.0=2K=2 0 0.2411=N 0.121N= 1.114 1.274 0.0K107 =7.=7 0.1NNK 0 4.2= 0
0
0.02NN47K 0.0=0K7 0.022104K 0.02N720N 0.0=27774 0 0.2411=N 0.11K 1.722 1.27=K1 0.0K02 =K.12= 0.1NNK 1.NNN1K 14.1=7 0.0102
0.01
/6Pa8
4.2=
14.1=7
/16mm,8
.NN4
.=
1.74K=
D 2 68 D i 68 D s 68 D 0 68
%68 y68 @68 A68 &68 P68 M68 6!ariable8 O6m@8 Léq6m8 +6!ariable8 H
2 2:
6m,8
Si nous "onsi#érons une "on#uite ayant une sinularité #e "oe))i"ient #e perte #e "hare H = 0.2 5
la !aleur #e la perte #e "hare totale tenant "ompte #e pertes #e "hare linéaires et
sinuli9res5 est #e 1.74K= m, par m9tre #e "on#uite X Ta&leau Y. Y.
III/6 "L#IDE !O$PRESSILE On "onsi#9re le "as #e l$air a!e" #e N m =Qmn mesuré #ans les "on#itions #e ré)éren"e5 sous la pression e))e"ti!e #e #e 7 bars XK.01= bars bars absolusY. Le ta&leau BA de l’Anne4e E #onne "omme #iam9tre intérieur #e la tuyauterie en a"ier5 la !aleur #e 27.= mm5 soit ==.7%=.2 Xorme ,A 411N5 tube tari) =Y. Pour l$air ([(r [1N [1N C5 le ta&leau A de l’Anne4e / #onne #onne T la masse !olumique #e 1.22N ;Qm = et la !is"osité #ynamique #e 17.N%10 ;Qm.s.
+’"#e ;A #e l’Anne4e l’Anne4e 5 la perte #e "hare est éale 14 mbars par m9tre. La On lit sur +’"#e perte #e "hare "al"ulée "al"ulée partir #e l$équation l$équation énérale est est "onsinée #ans #ans le ta&leau D Si nous "onsi#érons une "on#uite ayant une sinularité #e "oe))i"ient #e pertes #e "hare H = 0.2 5
la !aleur #es pertes #e "hare totales in"luant les pertes #e "hare linéaires et
sinuli9res5 est #e 1=.174 mbars par m9tre #e "on#uite X Ta&leau ? Y. Y.
=
3)apitre """ 9 Résultats et coparaison avec la &i&lio%rap)ie
Ta&leau ? 9 Air coprié sous pression de ? &ars
Air "omprimé (r[1N C5
[==.7%=.25 B[N m =Qmn5
[==.7%=.25 B[N m =Qmn5
E [ 0.0N mm 5 H = 0
E [ 0.0 Nmm 5 H = 0.2
,ormule énérale 2N22 0.0N 2 0.02=N1 0.02=N0== 0.02K112K 0.020=N1K 0.02=N7K 0.027K1 0 0.2==0=4 0.14KN1 1.7022 N.20=2N 0.11N 111.1 0.0474N 0 1K121 0
Abaque A 0
,ormule énérale 2N22 0.0N 2 0.02=N1 0.02=N0== 0.02K112K 0.020=N1K 0.02=N7K 0.027K1 0 0.2==0=4 0.14KN1 1.7022 N.20=2N 0.11N 111.1 0.0474N 12.N001 1K1=0 =.02K
2.K=
/16Pa8
1=NN.=N
1=1.74
/26mbar8
1=.NN=N
14
1=.174
&e68 r68 #68 D 1 68 D 2 68 D i 68 D s 68 D 0 68 %68 y68 @68 A68 &68 P68 M68 6!ariable8 O6m@8 Léq6m8 +6!ariable8 H
Air "omprimé (r[1N C5
2 2:
6m,8
=K
!éarc)e et conclusion %énérale
DEMARCHE Les probl9mes #u "hoi% #e l$e%pression a#équate ou #u bon abaque pour le "al"ul #e > 5 ainsi que #e son #omaine #e !ali#ité5 ne se posent plus. On suit la #émar"he sui!ante. ♦
éterminer les #onnées internes #u proramme : r et # pour la @one #e !ali#ité #e la linéarisation #es e%pressions #e olebroo;
♣ ♦
étermination #es #onnées énérales #u réseau étu#ié : le type #e )lui#e )i%e ! T I ou I r et G ou F . Si le )lui#e est "ompressible5 il
♣
)aut pré"iser P:r 5 (:r . Le type #e "analisation #étermine ε et les #iam9tres peu!ent Utre arbitraires ou
♣
"hoisis #ans les ammes "ommer"ialisées T !ariable #$é"oulement )i%e t et u .
♣ ♦
L5
étermination #es #onnées #u tron?on. -l s$ait #es #étermination #es ran#eurs
∑ H5 5 * ♦
"al"uls pour "haque tron?on : ♣
u nombre #e &eynol#s &e qui )i%e les !aleurs #e A 5 % 5 y 5 @ T
♣
es param9tres sui!ants :
& = 2 + % P=
− 2&t + % + y − @ − 1
O = E @
P: (:r = P:r (:
! ( 1− & + !% )
I (r 1− &u + !% ) G ( !− 1) % F − !%
&t
A 4 M = 2 _ L eq
H P ( = ∑ : :r A P:r (:
+ = M ⋅ ⋅ O ⋅ P ♦
/
=
⋅ (L +
! ( &u − 1− !% )
G ( 1− ! ) % I −r !% F !% E − @ − % − y+ @ + 1
L eq )
étermination #e / partir #e la relation :
+ ⋅ * &
=
!éarc)e et conclusion %énérale
Pour bien mettre en é!i#en"e les #émar"hes sui!re pour le "al"ul #e perte #e "hare en utilisant la )ormule énérale. *oi"i un oraniramme #e "al"ul Oraniramme 1 ébut
r5 #5 !5 ou 5 5 5 é!entuellement Pr 5 (r 5 5 u5 t5 L5 5 *5
,i%era les !aleurs #e A5 %5 y5 @
&e
/ = +× *
&
,in
40
!éarc)e et conclusion %énérale
CONCLUSION ,ENERALE Apr9s un bre) rappel #es éléments qui inter!iennent #ans les e%pressions #es pertes #e "hare5 nous a!ons #onné les )ormules #es pertes #e "hare. A l$issu #es hypoth9ses #e base5 nous a!ons retenu5 parmi les nombreuses e%pressions #e "oe))i"ient #e pertes #e "hare5 "elles #e ♦
Poiseuille
♦
lasius
♦
olebroo;
♦
len"h.
omme5 pour l$étu#e lo"ale #e )lui#e5 on utilise #e pré)éren"e la !itesse moyenne #u )lui#e T "ontrairement au% "as pratiques #es réseau% oZ on utilise5 soit le #ébit massique5 soit le #ébit !olumique #u )lui#e. ous sommes ainsi amenés #é)inir : ♦
Jne !ariable #$é"oulement * représentant5 sui!ant le "as une #e trois ran#eurs susmentionnées
♦
eu% !ariables booléennes u et t.
ous a!ons #on" pu é"rire5 une relation entre 5 <5 B5 &e et >5 sous une )orme simpli)iée. n obser!ant les #i))érentes e%pressions #u "oe))i"ient #e pertes #e "hare que nous a!ons retenues5 nous a!ons en!isaé aussi une )ormulation unique #e λ . Par ailleurs5 #$autres hypoth9ses "onsi#érées pour le "as #u )lui#e "ompressible ainsi que l$intro#u"tion #$une autre !ariable booléenne v5 relati!e au type #e )lui#e "hoisi5 nous ont naturellement5 "on#uit é"rire une équation énérale #es pertes #e "hare subies par un )lui#e quel"onque lors #e son é"oulement #ans un tron?on #e "analisation. Jn seul sousproramme permet #e "al"uler tous les "as #e )lui#e et #e "analisation. La )orme / = + ⋅ * & ainsi obtenue simplement peutUtre alors utilisée )a"ilement #ans un proramme #e "al"ul #e réseau #e )lui#e #ans les tron?ons élémentaires #e "analisation. n obser!ant les résultats obtenus5 nous "onstatons une erreur relati!e #e =c. e qui est bel et bien a#missible pour le "al"ul #e perte #e "hare. L$appli"ation #e "ette équation pour les réseau% simples ne pose pas #e probl9me. Mais5 l$utilisation #e l$analoie éle"trique sur les réseau% "omple%es est un autre probl9me. Jne étu#e plus appro)on#ie est né"essaire. L$établissement #$un abaque partir #e "ette équation pour lui ren#re plus utilisable #ans la pratique peut aussi Utre en!isaé.
41
Anne4es
ANNE1ES Annexe ) : $ots -.és et dé/initions
Anne4e B 9 Mét)odes de résolution ponctuelle de l’e4pression de 3ole&roo: Anne4e C 9 $criture sous une fore uni'ue le coefficient de perte de c)ar%e @
D = A &e %
y
E
Anne4e I 9 3alcul nuéri'ue Anne4e E 9 Ta&leau4
Ta&leau
Ta&leau BA 9 Principales caté%ories de tu&e d’acier utilisées le plus couraent
Ta&leau CA 9 3oefficient de correction de la ru%osité
Ta&leau IA 9 3oefficient des pertes de c)ar%e sin%uli(res
Ta&leau EA 9 3aractéristi'ues de l’air à
Ta&leau A 9 3aractéristi'ues de l’air à
Ta&leau ?A 9 $au à la pression indi'uée
Ta&leau DA 9 /aleurs usuelles du coefficient de la ru%osité a&solue E
Anne4e 9 A&a'ues
Anne4es < 9 Mots clés et définitions
ANNE1E 3 MOTS CLES ET DEFINITIONS F+#i@e Ne%&nien : "$est un )lui#e5 température "onstante5 ayant une !is"osité "onstante quelque soit la !aleur #e "ontrainte appliquée Xe%emple eau : quan# on tourne une "uill9re #ans un bol5 la résistan"e l$a!an"ement ne "hane pas si on "hane la !itesse #e rotationY.
F+#i@e n&n Ne%&nien : la !is"osité !arie selon la "ontrainte appliquée. Par e%emple5 on remue #u yaourt #ans un pot : il #e!ient moins !isqueu% si on le bat rapi#ement Xil se )lui#i)ieY. Jne boue saturée #$eau #iminue #e !is"osité si elle re?oit une se"ousse : "$est le "as #es lissements #e terrain #é"len"hés par les séismes.
Re&#s ' ensemble #e mou!ement en sens #i!ers qui se )orme apr9s le passae #$un )lui#e sur un obsta"le.
R*se# si$+e &# i?i* &# en s*ie &# $+* qui est "onstitué #e telle mani9re qu$il est impossible #e #é"rire une bou"le )ermée en sui!ant le tra"é #es "analisations
R*se# c&$+eJe &# i++* &# en $++è+e qui est "onstitué #e telle mani9re qu$il est possible #e #é"rire une bou"le )ermée en sui!ant le tra"é #es "analisations
Anne%esQPae
2
Anne4es B 9 Mét)ode de résolution ponctuelle de l’e4pression de 3ole&roo:
ANNE1E 6 METHODES DE RESOLUTION PONCTUELLE DE L’E1PRESSION DE COLEBROO< ∠
M*%&@es i%*%ies ec c&neence cc*+**e $ + %nen%e
L$é"riture #e la relation X212Y peut Utre mo#i)iée en : D − 05N
= − 2lo: 25N1&e − 1D − 05N + E( =57) − 1
D − 05N
= − 2lo:(=57 − 1 ){52&e − 1D − 05N +
D − 05N
= − 2lo:(=57 − 1 ) −
E − 1 }
2lo:{52&e − 1 D − 05N
+
E − 1 }
on pose :
D − 05N et a
=
=
52&e − 1
on a alors :
1514 − 2lo:( a + E − 1 )
=
on "onsi#9re les )on"tions : 1
=
1514 − 2lo:( a + E − 1
et 2 =
La #éri!ée #e 1 est : =
=
1
= − 2alo:e( E − 1 +
a )
−1
La tanente 1 au point i et 1i : 4
−
1i
=
=i ( − i )
Anne4esJPa%e
=
Anne4es B 9 Mét)ode de résolution ponctuelle de l’e4pression de 3ole&roo:
4
=
=i + ( 1i
−
=i i )
Le point #$interse"tion #e la tanente 4 a!e" la #roite 2 = #onne la !aleur i + 1 : i+ 1
= ( 1i −
=i i )(1 − =i )
il su))it que ( i + 1 − i ) soit in)érieur ou éal la pré"ision souhaitée. La "on#ition ( i + 1 − i ) ≤ 10 − K qui "orrespon# ( D i + 1 − D i ) ≤ 10 − 10 X!oir Oraniramme 2Y
0
2
=
M
01i
02i
1
4i 04i Mi
i i+ 1
+
4i
+
2
+
=
)XMY
2
1
M
2rap)e < 9 résolution ponctuelle
∠
M*%&@e @e T/
ette métho#e 6108 "onsiste "onsi#érer les résultats 1 5 2 5 = #es trois premi9res itérations #e la métho#e par "on!eren"e non a""élérée a!e" 0 = 457K Soit
= − 2lo: E( =57 ) − 1 +
i+ 1
25N1 &e − 1 i
et poser
[
D = 1
− ( 1 −
2 )
2
( 1 −
2 2
+
= )
−1 −2
]
Anne4esJPa%e
4
Anne4es B 9 Mét)ode de résolution ponctuelle de l’e4pression de 3ole&roo:
♦ !on-.usion
La "omparaison #es résultats obtenus par les métho#es présentées #ans "ette anne%e montre que : ♣
La !aleur obtenue par la métho#e #e (.'.Serhi#es s$éloine )ortement #e "elle #e la métho#e #e "on!eren"e a""élérée pour &e < 10 4 T
♣
− 10 La métho#e #e "on!eren"e a""élérée #onne un résultat a!e" D i − D i + 1 < 10
apr9s quelques itérations X2 N ma%imumY. on"5 le "hoi% se porte plut\t sur la métho#e #e "on!eren"e a""élérée5 plus pré"ise sans aumenter le temps #e "al"ul.
Onie 6 &P
&e5 2psillon5 5 M 0
=
O52OQ&e
1i
= 1514 −
a
2lo:10 ( psillon d − 1
= − 2alo: 10 e( psillon d − 1 + M i + 1 = ( 1i − =i M i )(1 − =i ) =i
+
a d Mi )
aM )
−1
Mi
=
Mi
+
1
M i+ 1 − M i <
D = M i−+21 n# Anne4esJPa%e
N
Anne4es C 9 $criture sous une fore uni'ue le coefficient de perte de c)ar%e de l’e4pression de 3ole&roo:
ANNE1E 7 ECRITURE SOUS UNE FORME UNIQUE DU COEFFICIENT DE @
PERTE DE CHAR,E D =
%
A &e
y
E DE L’E1PRESSION DE
COLEBROO< Les "ourbes représentati!es #es é"oulements sont tra"ées en )on"tion #e la ruosité relati!e
E #ans un rep9re
lo:( &e )
et lo:( D ) . Pour arri!er une e%pression #e la )orme !oulue
nous a!ons #eu% possibilités. ∠
Peie cs ' @*%eine #ne +in*is%i&n @’#ne ?&nc%i&n
Pour "ela5 nous allons #e!oir limiter le #omaine #$appli"ation a)in #e pou!oir "onsi#érer une !ariation linéaire #e lo:( D ) en )on"tion #e lo:( &e ) . Pour un tron?on5 0 et E 0 sont #éterminés par #es "hoi% antérieurs. Soit &e 0 la !aleur #u "as "onsi#éré5 #é)inissons une plae #e &e entre &e1 = 10 − r &e 0 et &e 2 = 10 + r &e 0 X r sera )i%é arbitrairement selon la pré"ision #ésiréeY. ans les e%pressions #e olebroo; apparaissent e%pli"itement les !ariables &e et
E
5 aussi
nous les ar#erons en posant arbitrairement y = 0 .
Anne4esJPa%e
Anne4es C 9 $criture sous une fore uni'ue le coefficient de perte de c)ar%e de l’e4pression de 3ole&roo:
X--24Y #e!ient : @
D = A &e
E
%
X--24 bisY
lo:D
lo:D 1
lo:D i lo:D 0
E
lo:D s
i E
lo:D 2
0 E s
lo:&e lo:&e 0
lo:&e1
lo:&e 2
2rap)eB 9 linéarisation de l’e4pression de 3ole&roo:
al"ulons5 partir #e la résolution pon"tuelle5 les "oor#onnées #es points P1 ( 1 5 1 ) et P2 X 2 5 2 Y #e
la "ourbe
E0 0
au% abs"isses lo:( &e1 ) et lo:( &e 2 ) . La #roite = a 0 + b 5
passant par "es #eu% points5 aura pour pente : a0
=
− 1 − 1
lo: a0
= lo:
2 2
=
− lo:&e1 − lo:D 1
lo:D 2 lo:&e 2
D 1
D 2 &e1
&e 2
"onsi#érons que la #roite = a 0 + b 0 parall9le la #roite = a 0 + b par le point P ( M 0 5 0 ) 5 est la linéarisation #e la "ourbe5 alors :
Anne4esJPa%e
7
Anne4es C 9 $criture sous une fore uni'ue le coefficient de perte de c)ar%e de l’e4pression de 3ole&roo:
lo: b 0
=
0
−
=
a 00
lo:D 0
− lo:
D 1
D 2 lo:&e 0 &e1
&e 2
et "omme = lo:&e et = lo:D 5 nous pou!ons é"rire : lo:D = a 0 lo:&e + b 0
=
lo:( &e
a0
) + lo:(10 ) = b 0
lo:(10 0 &e b
a0
)
soit : D = 10 0 &e b
a0
Pour #éterminer l$in)luen"e #u rapport
que la linéarisation #e #eu% "ourbes
E
E
sur l$or#onnée #u point5 posons "omme hypoth9se
pro"hes #onne #es #roites #e pentes éales.
Soit #eu% #iam9tres i et s en"a#rant 0 tels que i =
onsi#érons les points Pi et Ps #$abs"isse &e 0 #es "ourbes
0 # E0 i
et s = 0 # a!e" ( # > 1) .
et
E0 s
T nous pou!ons )aire
le rapport #e leurs or#onnées. n a#mettant la X--24 bisY :
A 0 &e a0 = A 0 &e a0
D s D i
D s = D i
lo:
i @ = @ E s i @
0
E s
0
i s
@ lo:
#$oZ :
D s D i @= lo: i s lo:
n)in5 puisque #$une part : D 0
=
b
a
10 0 &e 00
et #$autre part :
Anne4esJPa%e
K
Anne4es C 9 $criture sous une fore uni'ue le coefficient de perte de c)ar%e de l’e4pression de 3ole&roo:
@
D 0
=
A &e
% 0
E 0 0
nous aurons : % = a 0 et
A
=
b 0
10
@
E 0 0
Anne4esJPa%e
Anne4es I 9 3alcul nuéri'ue
ANNE1E 8 CALCUL NUMERIQUE f in"lu#e gst#io.h f in"lu#e g"onio.h f in"lu#e gmath.h f in"lu#e giostream.h f #e)ine pi =.141N27 f #e)ine Alpha 1eK f #e)ine e 2.71K2K1K f #e)ine .K1 #ouble &e5 5 5 psillon5 iT
Qdé"laration #es !ariables lobales dQ
#ouble SP&PX#ouble &e5 #ouble Y Qdé"laration #e la )on"tion5 résolution pon"tuelle int >T
Qdé"laration #es !ariables lo"ales dQ
#ouble lamb#a5 aT )loat =i5 1i5 i1T #o a[.2Q&eT 1i[1.14X2dlo10XXpsillonQYXadiYYYT Anne4esJPa%e
10
Anne4es I 9 3alcul nuéri'ue
=i[X2dlo10XeYdaYQXXpsillonQYXadiYYT i1[X1iX=idiYYQX-5=iYT i[i1T j Vhile XabsXi1iYAlphaYT lamb#a[X1QXi1di1YYT returnXlamb#aYT j !oi# mainXY
QdProramme prin"ipal dQ
bool t5 u5 !T
Qdé"laration #es !ariables lo"ales dQ
)loat S#@eta5 rho5 rhor5 nu5 mu5 r5 #5 hT #ouble y5 %5 @5 A5 b05 P5 Pr5 (5 (rT #ouble &e05 &e15 &e25 *5 *r5
11
Anne4es I 9 3alcul nuéri'ue
"out ggen#lgg kntrer la !ariable booléenne 50 ou 15 