MAKĠNE DĠNAMĠĞĠ MAKĠNE Kuvvete karşı direnç gösteren cisimlerin bileştirilmesiyle oluşan ve mekanik kuvvetlere belirli bir hareket ile birlikte iş yapmasını sağlayan sistemlerdir. Bu tanım sadece mekanik makineleri içerir (ısı makinelerini içermez!). MEKANĠZMA Mekanizma, kuvvet ve hareket iletimi için kullanılabilen rijit cisimlerin rijit mafsallarla birleştirilmesiyle meydana gelen bir sistemdir. Makine: belirli bir amaç için üretilmiştir. Mekanizma: genel amaçlıdır. KĠNEMATĠK Hareketi oluşturan nedenler (kuvvetler veya momentler) dikkate alınmadan mekanizmaların hareketi inceleyen bilim dalıdır. Hareketin geometrisini inceler. TEMEL KAVRAMLAR KĠNEMATĠK ELEMAN Bir rijit cismi diğer bir rijit cisme, bir birlerine göre bağıl hareket yapabilecek şekilde, bağlamak için kullanılan rijit cismin bu kısmına kinematik eleman denir. KĠNEMATĠK ÇĠFT (MAFSAL) İki rijit cisim üzerinde bulunan kinematik elemanların yan yana getirilmesi ile oluşan bağlantıdır. MAFSALLARIN SINIFLANDIRILMASI İki kinematik eleman arasında temas, mekanizmanın tüm hareketi süresince mevcut ise, bu tür kinematik çiftlere, kapalı kinematik çift denir. Eğer temas bir kuvvetten dolayı ise, bu tür kinematik çiftler, kuvvet kapalı olarak adlandırılır. Kinematik çiftlerin geometrik şekillerinden dolayı aralarında temas devamlı sağlanıyor ise, bu tür kinematik çiftler şekil kapalıdır. Şekil kapalı kinematik çiftlerde bir kinematik eleman diğerini sarar. Açık kinematik çiftlerde kinematik elemanlar hareketin tümü boyunca temas etmeyebilirler ve bu temas kontrol edilebilir. Kapalı kinematik çiftler, ayrıca temas şekillerine göre basit veya yüksek kinematik çift olarak sınıflandırılabilirler. Basit kinematik çiftlerde kinematik elemanlar bir yüzey boyunca temas ederler. Bu durumda temas gerilimleri daha düşük olacaktır. Yüksek kinematik çiftlerde ise temas, geometrik olarak bir nokta veya bir çizgi üzerindedir.
(Kuvvet Kapalı)
(Şekil Kapalı)
YÜKSEK KİNEMATİK ÇİFTLER
BASİT KİNEMATİK ÇİFTLER
1
AÇIK KİNEMATİK ÇİFT
SERBESTLĠK DERECESĠ Serbestlik derecesi, bir cismin konumunu belirlemek için gerekli olan birbirinden bağımsız parametre sayısıdır. MADDESEL NOKTA için: Bir maddesel noktanın uzaydaki serbestlik derecesi, üçtür. Bu, o cismin uzaydaki konumunun en az üç koordinatla (x, y ve z) belirlenebileceğini ifade eder. Ayrıca, bu cismin üç ‘doğrultuda’ serbestçe hareket edebildiğinin bir ölçütüdür. z
y
y
x
x
Düzlemde ise, maddesel noktanın hareket serbestisi ikidir. Üçüncü doğrultudaki hareketi kısıtlanmıştır. Çünkü artık üçüncü boyuttaki hareket, cismin düzlemden ayrılmasını gösterir ki bu düzlemsel değil uzaysal bir hareket olur. RĠJĠT CĠSĠM için: Maddesel noktadan farklı olarak bir rijit cisim, kendi etrafında dönebilme imkânına sahiptir. Dolayısıyla cismin konumuyla birlikte yönelimi de önem kazanır. Bu yönelimi ifade etmek için de konum (x, y ve z) parametreleri yanında dönme miktarları (θx, θy ve θz) da kullanılır. z
y
θz
θy θx
x
Dolayısıyla bir rijit cismin uzaydaki serbestlik derecesi altıdır. Yine bu, cismin altı doğrultuda serbestçe hareket edebildiğini gösterir. θz y x
Düzlemde bir rijit cisim ise, üç serbestlik derecesine sahiptir. Bunlar iki öteleme (x ve y) ve bir dönme (θz) şeklindedir. Diğer öteleme (z) ve dönmeler (θx ve θy) ise kısıtlanmıştır. Yönelimin önemini anlamak için, yatay düzlemde kütleler arası uzunluğu L olan bir halteri düşünelim. Bu halterin konumunu, yere sabit bir eksen takımına göre, halterin kütle merkezinin orijine olan uzaklığı (xG ve yG) olarak düşünebiliriz. Fakat bu halterin sadece
2
konumunu gösterir yönelimini göstermez. Dolayısıyla halterin yönelimini, halter kolunun pozitif x-ekseninden sağ el kuralına göre açısını (θ) ölçerek gösterebiliriz. y
B L A
θ
(xG,yG) rG
x
O
Bu durumda halterin hem konumu hem de yönelimi, üç parametrenin (xG, yG ve θ) atanmasıyla belirlenmiştir. Bu işlem, birbirinden bağımsız üç parametre atanarak gerçekleştirilmiştir. Kısıt (Bağ) Denklemleri: Halter probleminde aynı işlem, kütlelerin her birine ayrı ayrı parametreler (xA, yA ve xB, yB) atanarak da gerçekleştirilebilirdi. Bu durumda, bu parametreler bir birinden bağımsız olmazdı. Çünkü serbestlik derecesi bir birinden bağımsız atanan parametrelerin sayısı kadardır. Böylece bu parametrelerin birbirlerinden bağımsız olmadıkları ortaya çıkar ki bu bağa, kısıt denklemi denir. y
B(xB,yB) A(xA,yA) rA
L rB
L ( xB x A ) 2 ( y B y A ) 2 x
O
Şekilden halterin boyunu, kütlelerin konumları cinsinden yazmak mümkündür:
L ( xB x A ) 2 ( y B y A ) 2 Bu bir kısıt (bağ) denklemidir ki atanan parametrelerin bir birinden bağımsız olmadığını gösterir. Öyleyse, serbestlik derecesini (F) F nm
3
şeklinde tanımlamak mümkündür. Burada n, atanan koordinat sayısını ve m ise kısıt denklem sayısını göstermektedir. Bu bilgiler yukarıdaki halter problemine uygulanırsa; Koordinat sayısı:
n4
Kısıt denklem sayısı: Serbestlik derecesi:
( L ( xB x A ) 2 ( y B y A ) 2 ) m 1 F n m 4 1 3
(xA, yA, xB, yB)
Yine aynı sonuç (F = 3) bulunmuş olur. MAFSALLARIN SERBESTLĠK DERECESĠ Bir mafsalın (kinematik çiftin) serbestlik derecesi, o mafsalla birleştirilen cisimlerin bir birlerine göre bağıl konumlarını belirlemek için kullanılması gerekli bağımsız parametre sayısıdır. Kinematik çiftlerin serbestlik dereceleri ve bu serbestliklerin müsaade ettiği hareketin yönü ve tipi (dönme veya öteleme), kinematik çiftleri birbirinden ayıran en önemli özelliktir ve bu özellikler kinematik çiftlerin tiplerini belirlemekte kullanılır. Tablo I ve II’de bu özelliklere göre sınıflandırılan mafsallar görülmektedir. En genel uzayın serbestlik derecesi 6 olduğundan ve bir kinematik çiftin bu serbestliklerden en az birini sınırlaması gerektiğinden, serbestlik derecesi en yüksek mafsalda 5 serbestlik bulunmalıdır (Tablo I). Ötelemeyi sınırlamadan dönme hareketlerini sınırlamak mümkün değildir ve bu nedenle 5 serbestlik dereceli kinematik çiftte bir öteleme hareketi sınırlandırılır. Uzuv-Kinematik Zincir Bir rijit cisim üzerinde kinematik çift oluşturan en az iki kinematik eleman var ise, bu cisme uzuv denir. Uzuv ikiden fazla kinematik eleman ihtiva edebilir (fakat iki kinematik elemandan az olamaz). Uzuvlar iki, üç, dört kinematik elemanlı olarak kinematik eleman sayısına göre sınıflandırılabilir.
Birbirlerine kinematik çiftlerle bağlanmış uzuvlar bir zincir oluşturur. Bu zincire Kinematik Zincir denir. Eğer kullanılan kinematik çiftlerin hepsi kapalı kinematik çift ise, bu zincir "Kapalı kinematik zincir" dir, kinematik çiftlerden birisi açık ise "Açık kinematik zincir" söz konusudur.
4
5
Bazı mafsal noktalarında ikiden fazla uzuv birbirine bağlı olabilir. Bu durumda o mafsalda birleşen uzuv sayısının bir eksiği, mafsal derecesi olarak alınır ve o noktada mafsal derecesi kadar mafsal olduğu kabul edilir (Alttaki şekli inceleyiniz). Not: Mafsal derecesi ile mafsal serbestlik derecesi iki farklı kavramdır.
6
Kinematik zinciri oluşturan tüm uzuvların hareketi aynı düzlemde veya birbirlerine paralel düzlemlerde ise, bu kinematik zincirler "Düzlemsel kinematik zincir" dir. Uzuvların üzerinde bulunan noktaların tümü aynı merkezli küreler üzerinde hareket ediyor ise, "Küresel kinematik zincir" dir. En genel zincir ise "Uzaysal kinematik zincir" dir. Kinematik zincirde bulunan bir uzvun sabitleştirilmesi ile elde edilen sistem mekanizmadır. Bu tanım mekanizma için önceden vermiş olduğumuz (mekanizma, kuvvet ve hareket için kullanılabilen rijit cisimlerin rijit mafsallarla birleştirildiği sistem) tanımından farklı gibi görünür ise de, iki tanım da aynıdır. KAPALI KİNEMATİK ZİNCİR Bir uzvun tespit edilmesi
MEKANİZMA N tane uzvun tahriki
YÖNLENDİRİLMİŞ MEKANİZMA Belirli bir iş için kullanılması
MAKİNE
MEKANĠZMALARIN SERBESTLĠK DERECELERĠ Bir mekanizmanın serbestlik derecesi, bir mekanizmada bulunan tüm uzuvların konumunu belirlemek için gerekli olan parametre sayısıdır. Örnek olarak dört döner mafsalla birbirlerine bağlı dört uzuvdan oluşan ve genellikle dörtçubuk mekanizması olarak adlandırılan mekanizmayı ele alalım.
7
açısı değeri verildiğinde her bir uzuv üzerinde iki noktanın konumu {A0B0 (1 uzvu), A0 A (2 uzvu), AB (3 uzvu) ve BB0 (4 uzvu)} bulunabildiğine göre, bu mekanizmada bulunan tüm uzuvların konumunu belirlemek için sadece bir parametre gerekmektedir. Öyle ise, dört-çubuk mekanizmasının serbestlik derecesi 1' dir.
İkinci bir örnek örnekolarak olarakyanda yanda gösterilen İkinci bir gösterilen beş beş döner beş mafsallı beş uzuvlu döner mafsallı uzuvlu mekanizmayı ele mekanizmayı ele alalım. tanımladığımızda Aalalım. 0 AC0 üçgeni ile tanımladığımızda A AC üçgeni ilgili gerekli bilgi elde 0 edilmiş 0 olurileiseilgili de, gerekli bilgi ABCC elde edilmiş olur iseolup de, kalan kalan kısım bu 0 bir dörtgen kısım bu kısmın kısmınABCC belirlenebilmesi 0 bir dörtgen içinolup bir yeni belirlenebilmesi için bir yeni parametre ( açısı) gerekecektir.parametre Bu (durumda açısı)beş gerekecektir. Bu durumda beş çubuk mekanizmasının tüm çubuk mekanizmasının tüm uzuvlarının uzuvlarının konumunu belirlemek için konumunu belirlemek için gereken gereken parametre sayısı 2 olduğundan, parametre sayısı 2 2'olduğundan, serbestlik serbestlik derecesi dir. derecesi 2' dir. Yukarıda gösterilmiş olan örneklerde belirtilen ve parametrelerinden farklı parametreler de mekanizma uzuvlarının konumlarını belirlemek için kullanılabilir. Buna karşın kullanılması gereken parametre sayısı belirlidir. Bir başka husus ise, genel olarak gerekli olan parametre sayısının uzuvların boyutlarına bağlı olmamasıdır. Örneğin a 2 boyutu 5 birim yerine 4 birim olsa, dört çubuk mekanizmasının serbestlik derecesi yine 1, beş çubuk mekanizmasının serbestlik derecesi ise yine 2 olur.
Sonuç: Mekanizmaların serbestlik derecesi uzuv sayısına, mafsal sayısına ve mafsal serbestlik derecesine bağlıdır, uzuv boyutuna bağlı değildir.
8
Öyle ise, mekanizma serbestlik derecesi ile mekanizmada bulunan mafsalların serbestlik derecesi, mafsal sayısı, uzuv sayısı arasında bir bağıntı bulmayı hedefleyebiliriz. Matematiksel olarak olaya bakmak için aşağıda verilmiş olan parametreleri tanımlayalım: λ = Uzay Serbestlik Derecesi (Düzlemsel mekanizmalar için λ = 3; uzay için λ = 6) ℓ = Mekanizmada uzuv sayısı (sabit uzuv dahil) j = Mekanizmada mafsal sayısı fi = i mafsalının serbestlik derecesi F = Mekanizma serbestlik derecesi ℓ sayıda uzvun λ serbestlik dereceli uzayda herhangi bir kinematik çift ile birbirlerine bağlanmadan durduklarını düşünelim. Bu durumda sabit uzuv hariç, diğer (ℓ -1) uzvun her biri için λ sayıda parametre tanımlamamız gerekir (sabit uzva referans koordinat sistemi bağlı olduğundan sabit uzvun konumu sabittir). Öyle ise hiç bir mafsal olmadığında uzuvların konumu: λ (ℓ -1)
(1.1 a)
parametre ile belirlenecektir.
3
2
4
1 Şimdi mafsalları bir örnekle göz önüne alalım. Şekilde düzlemde hareket eden dört uzuv gösterilmektedir. Bu uzuvlar arasında hiç bir bağlantı yok iken ve bir uzvunda gövde olduğunu düşünülürse uzuvların konumunu belirlemek için 3*(4-1)=9 parametre gerekir. Bir mafsal iki ötelenme serbestliğini kısıtlayarak sadece bir dönme serbestliği sağlar. Eğer 2 nolu uzuv gövdeye (1 nolu uzuv) bir mafsal ile bağlanırsa 2 serbestlik kısıtlanacağından gövde hariç diğer uzuvların serbestliğini belirlemek için 9-2=7 parametre gerekli olur. 3
4
2 1
9
Eğer 3 uzvuda 2 uzvuna bir mafsal ile bağlanırsa bu mafsalda 2 serbestliği kısıtlayacağı için gövde hariç diğer uzuvların serbestliğini belirlemek için 7-2=5 parametre gerekli olur.
3 4
2 1
Son olarak 4 nolu uzuv 3 nolu uzva ve gövdeye birer mafsal ile bağlanırsa bu iki mafsal 2*2=4 serbestliği kısıtlayacağı için gövde hariç diğer uzuvların serbestliğini belirlemek için 5-4=1 parametre gerekli olur. Bu şekilde sadece döner mafsallar ile birbirlerine bağlanmış dört uzuvlu bir mekanizmanın serbestliği bir olmuş olur.
3 4 2
1
Uzay serbestlik derecesi λ olan bir uzayda fi serbestliği olan bir mafsal, (λ - fi ) kadar hareket serbestisini kısıtlar ve cisimlerin serbest olduğu duruma nazaran bu kadar parametreyi tanımlamamız gerekmez. Eğer her bir mafsalın engellediği hareket serbestliği diğer mafsaldan farklı ise, mekanizmada bulunan j mafsal ile uzuv hareketleri üzerine getirilecek olan toplam sınırlama:
(1.1 b) olacaktır. Bu durumda mekanizmada bulunan uzuvların konumlarını belirlemek için gereken parametre sayısı, hiç bir mafsal olmadığında gereken parametre sayısından mafsalların sınırladığı serbestliklerin çıkarılması ile elde edilir. Öyle ise: F = Serbest uzuvlar için gerekli parametre sayısı (1.1a.) - Mafsalların getirdiği sınırlamalar (1.1b)
10
Veya
Son elde ettiğimiz bu denkleme "Mekanizma serbestlik derecesi denklemi" diyeceğiz. Serbestlik derecesi denklemi, birçok mekanizma için geçerli ise de bu denkleme uymayan mekanizmalar da bulunmaktadır. Bunun nedeni bu denklemin elde edilişi sırasında yapılmış olan varsayımlardır. Bu varsayımların en önemlisi mafsalların getirmiş olduğu hareket sınırlamalarının birbirlerinden bağımsız olmasıdır. Ancak uzuv boyutlarının belirli değerler alması durumunda bu varsayım geçerli olmayabilir ve mekanizma serbestlik derecesi denklemi bazı mekanizmalar için doğru sonuçlar vermeyebilir. Bu özel durumları görmeden önce denklemin geçerli olduğu mekanizmaların incelenmesinde yarar bulunmaktadır.
Mekanizma Örnekleri MEKANİZMA ŞEKİL
Serbestlik Derecesi Hesaplaması
Krank-Biyel Mekanizması
Dört-Çubuk Mekanizması
11
Planet dişliKamalı kol
Vargel Mekanizması
Uzaysal DörtÇubuk
Ayarlı Tahrik Mekanizması
12
Kepçe Mekanizması
Bir Mekanizmanın serbestlik derecesini belirlerken Uzuv sayısını Mafsal sayısını Mafsal tiplerini belirlememiz gerekecektir. Uzuv Sayısını belirlerken bir uzvun birden fazla parça kullanılarak imal edilebileceğini hatırlayalım. Eğer bir veya birkaç cisim arasında bağıl hareket yok ise, bu cisim kümesi tek bir uzuvdur. Mafsal sayısı ve tipini belirlerken temas sayısı ve şekli önemli değildir. Önemli olan husus mafsal ile birleştirilen kinematik çiftler arasında bulunan bağıl harekettir.
13
