MAKALAH METODE NUMERIK METODE REGULA FALSI Makalah ini Diajukan untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Metode Numerik Dosen Pengampu: Nendra Mursetya Somasih Dwipa, M.Sc
Disusun oleh:
1. Anisah
(14144100046)
2. Endah Supiati
(14144100055) (14144100055)
3. Erina Indriyani
(14144100144) (14144100144) Kelas 7A2
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA 2017
i
KATA PENGANTAR
Puji syukur saya panjatkan kehadirat Allah SWT, yang atas rahmat dan karunia-Nya sehingga penyusun dapat menyelesaikan Makalah Metode Numerik dengan harapan dapat bermanfaat dalam menambah ilmu dan wawasan kita. Makalah ini dibuat dalam rangka memenuhi tugas UTS Mata Kuliah Metode Numerik. Dalam membuat Makalah ini, dengan keterbatasan ilmu pengetahuan yang penyusun miliki, penyusun berusaha mencari sumber data dari da ri berbagai sumber informasi, terutama dari media internet dan media cetak. Penyusun juga ingin mengucapkan terima kasih kepada seluruh pihak yang telah ikut serta membantu dalam pembuatan Makalah ini dan beberapa sumber yang kami pakai sebagai data dan acuan. Dalam penulisan Makalah ini penyusun merasa masih banyak ban yak kekurangan kekurangan baik pada teknis penulisan maupun materi, mengingat akan keterbatasan kemampuan yang penyusun miliki. Tidak semua bahasan dapat dideskripsikan dengan sempurna dalam Makalah ini. Untuk itu kritik dan saran dari semua pihak sangat penyusun harapkan demi penyempurnaan pembuatan Makalah ini. Akhirnya kami selaku penyusun berharap semoga Makalah ini dapat memberikan manfaat bagi seluruh pembaca.
Yogyakarta, 27 November 2017
Penyusun
ii
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ............................................ ................................................................... ............................................. ......................... ... ii DAFTAR ISI .................................. ........................................................ ............................................ ............................................. ............................ ..... iii BAB I PENDAHULUAN ......................... ............................................... ............................................ ........................................ .................. 1 A. Latar Belakang .......................................... ................................................................ ............................................ ............................. ....... 1 B. Rumusan Masalah ............................................ .................................................................. ............................................ ...................... 2 C. Tujuan ............................................ .................................................................. ............................................ ........................................ .................. 2 BAB II KAJIAN PUSTAKA ....................... .............................................. ............................................. .................................... .............. 3 A. Angka Signifikan/Bena ............................................ ................................................................... .................................... ............. 3 B. Deret Taylor .......................................... ................................................................ ............................................ ................................. ........... 7 C. Deret Mclaurin .......................................... ................................................................ ............................................ ............................. ....... 9 D. Error (Galat) .......................................... ................................................................ ............................................ ............................... ......... 10 E. Metode Biseksi Biseksi .......................................... ................................................................ ............................................ ........................... ..... 13 BAB III METODE REGULA FALSI........................................ FALSI.............................................................. ........................... ..... 16 A. Pengertian Metode Regula Regula Falsi ............................................ ................................................................ .................... 16 B. Algoritma Metode Regulasi Regulasi Falsi .......................................... .............................................................. .................... 18 C. Latihan Soal Soal Dan Pembahasan ............................................ ................................................................... ....................... 19 BAB IV STUDI KASUS .................................................... .......................................................................... .................................. ............ 23 BAB V KESIMPULAN ........................................... ................................................................. ............................................ ........................ 28 DAFTAR PUSTAKA .......................................... ................................................................ ............................................ ........................... ..... 29
iii
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang
Tidak semua permasalahan matematis atau perhitungan dapat diselesaikan dengan mudah atau dapat diselesaikan dengan menggunakan perhitungan biasa. Contohnya dalam persoalan yang melibatkan model matematika yang sering muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, bidang fisika, kimia, ekonomi, atau pada persoalan rekayasa. Seringkali model matematika tersebut muncul dalam bentuk yang tidak idealis atau rumit. Model matematika yang rumit ini adakalanya tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik yang sudah umum untuk mendapatkan solusinya. Metode analitik seringkali hanya unggul untuk sejumlah persoalan yang memiliki tafsiran geometri sederhana, padahal persoalan yang mincul dalam dunia nyata sering melibatkan bentuk dan proses yang rumit. Akibatnya nilai praktis penyelesaian metode analitik menjadi terbatas. Bila metode analitik tidak dapat lagi diterapkan, maka solusi persoalan sebenarnya dapat dicari dengan metode numerik. Metode numerik adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan / aritmatik biasa ( tambah, kurang, kali dan bagi ). Secara harafiah metode numerik memiliki arti sebagai cara berhitung dengan menggunakan angka-angka. Metode numerik yang berangkat dari pemakaian alat bantu hitung merupakan alternatif yang baik dalam menyelesaikan persoalan – persoalan perhitungan yang rumit, saat inipun telah banyak yang menawarkan program-program numerik sebagai alat bantu perhitungan. Dalam penerapan matematis untuk menyelesaikan persoalan – persoalan perhitungan dan analisis, terdapat beberapa keadaan dan metode yang baik : 1.
Bila persoalan merupakan persoalan yang sederhana atau terdapat theorem analisa matematika yang dapat digunakan untuk menyelesaiakan persoalan tersebut, maka penyelesaian matematis ( metode analitik ) yang digunakan
1
adalah penyelesaian excat yang harus digunakan. Penyelesaian ini menjadi acuan bagi pemakaian metode pendekatan. 2.
Bila persoalan sudah sangat sullit atau tidak mungkin diselesaikan secara matematis (analitik ) karena tidak ada theorema analisa matematika yang dapat digunakan , maka dapat digunakan metode numerik.
3.
Bila persoalan sudah merupakan persoalan yang mempunyai kompleksitas tinggi, sehingga metode numerikpun tidak dapat menyajikan penyelesaian dengan baik, maka dapat digunakan metode-metode simulasi.
B. Rumusan Masalah
Pada makalah ini penyusun mencoba merumuskan permasalahan yang akan dibahas sebagai berikut: 1.
Apa pengertian metode numerik?
2.
Apa pengertian metode numerik Regula Falsi?
3.
Bagaimanakah algoritma dari metode numerik Regula Falsi?
4.
Bagaimanakah contoh dan penyelesaian dengan menggunakan metode Regula Falsi?
5.
Bagaimanakah aplikasi metode numerik Regula Falsi dalam kehidupan sehari-hari?
C. Tujuan
Tujuan yang ingin dicapai dalam penyusunan makalah ini adalah: 1.
Mengetahui pengertian metode numerik.
2.
Mengetahui pengertian metode numerik bagi dua (Bisection).
3.
Mengetahui algoritma dari metode numerik bagi dua (Bisection).
4.
Mengetahui contoh dan penyelesaian dengan menggunakan metode numerik bagi dua (Bisection).
5.
Mengetahui aplikasi metode numerik bagi dua (Bisection) dalam kehidupan sehari-hari.
2
BAB II KAJIAN PUSTAKA A. Angka Signifikan/Bena 1. Pengertian Angka Bena
Konsep angka bena ( significant figure) atau angka bermakna telah dikembangkan secara formal untuk menandakan keandalan suatu nilai numerik. Angka bena adalah angka bermakna, angka penting, atau angka yang dapat digunakan dengan pasti. Angka bena terdiri dari angka pasti dan angka taksiran. Angka taksiran terletak pada akhir angka signifikan. Ketika melakukan pengukuran atau perhitungan, kita harus menghindar dari keinginan untuk menulis lebih banyak digit pada jawaban terakhir dari jumlah digit yang diperbolehkan. Suatu indikasi bagi ketepatan pengukuran yang diperoleh dari banyaknya angka-angka penting. Angkaangka penting tersebut memberikan informasi yang aktual (nyata) mengenai ketelitian pengukuran. Makin banyak angka-angka penting, ketepatan pengukuran menjadi lebih besar. 2. Aturan-aturan tentang Angka Bena
a. Setiap angka yang bukan nol pada suatu bilangan adalah angka bena. Contoh: 14569 memiliki 5 angka bena. b. Setiap angka nol yang terletak diantara angka-angka bukan nol adalah angka bena. Contoh: 406 memiliki 3 angka bena. 5000,1003 memiliki 9 angka bena. c. Angka nol yang terletak di belakang angka bukan nol yang terakhir dan di belakang tanda desimal adalah angka bena. Contoh: 23,50000 memiliki 7 angka bena 278,900 memiliki 6 angka bena 3
d. Angka nol yang terletak di belakang angka bukan nol yang terakhir dan tanpa tanda desimal bukan merupakan angka bena. Contoh: 38000000 memiliki 2 angka bena. e. Angka nol yang terletak di depan angka bukan nol yang pertama bukan merupakan angka bena.
Contoh: 0,0090 memiliki 2 angka bena 0,001360 memiliki 4 angka bena f. Semua angka nol yang terletak di belakang angka bukan nol yang terakhir, dan terletak di depan tanda desimal merupakan angka bena. Contoh: 800,0 memiliki 4 angka bena. Komputer hanya menyimpan sejumlah tertentu angka bena. Bilangan riil yang jumlah angka benanya melebihi jumlah angka bena komputer akan disimpan dalam sejumlah angka bena komputer itu. Pengabaian angka bena sisanya itulah yang menimbulkan galat pembulatan. 3. Penulisan angka bena dalam notasi ilmiah
Jika beberapa angka 0 dipakai di bagian ekor suatu bilangan, tidak jelas berapa banyaknya 0 itu yang signifikan. Misal: 45,300 dapat memiliki 3, 4, atau 5 buah digit signifikan tergantung apakah harga 0 itu telah diketahui dengan pasti. Ketidakpastian itu dapat diselesaikan dengan memakai notasi ilmiah. Misalnya tetapan dalam kimia dan fisika atau ukuran jarak dalam astronomi. Contoh: a. 4,3123 × 10 memiliki 5 angka signifikan b. 1,764 × 10 -1 memiliki 4 angka signifikan c. 2,78300 × 10 2 memiliki 6 angka signifikan d. 6,02 × 10 23 (bilangan Avogadro) memiliki 24 angka signifikan e. 1,5 × 10 7 memiliki 8 angka signifikan (jarak bumi-matahari). 4
4. Aturan Pembulatan
Terkadang kita diminta untuk membulatkan angka ke sejumlah tempat desimal ( atau ke angka keseluruhan). Ini tidak berarti kita memindahkan titik desimal tersebut, tetapi menyingkirkan beberapa nomor di akhir. Pembulatan suatu bilangan berarti menyimpan angka bena dan membuang yang bukan merupakan angka bena dengan mengikuti aturanaturan berikut: a. Tandai bilangan yang termasuk angka signifikan dan angka tidak signifikan. Contoh: Empat angka bena dari bilangan 16,7321 adalah 16,73 (angka bena) dan 21 (bukan angka bena). b. Jika digit pertama dari bukan angka bena lebih besar dari 5, maka digit terakhir dari angka bena ditambah 1. Selanjutnya buang bukan angka bena. Contoh: Jika bilangan 23,472 dibulatkan menjadi tiga angka signifikan, maka ditulis menjadi 23,5. c. Jika digit pertama dari bukan angka bena lebih kecil dari 5, maka buang bukan angka bena. Contoh: Jika bilangan 23,674 dibulatkan menjadi empat angka signifikan, maka ditulis menjadi 23,67 d. Jika digit pertama dari bilangan bukan angka bena sama dengan 5, maka: -
Jika digit terakhir dari angka signifikan ganjil, maka digit terakhir angka signifikan ditambah 1. Selanjutnya buang angka tidak signifikan.
5
Contoh: Jika bilangan 37,759 dibulatkan menjadi tiga angka bena, maka ditulis menjadi 37,8 Jika digit terakhir dari angka bena merupakan bilangan genap, maka buang bukan angka bena. Contoh: Jika bilangan 79,859 dibulatkan menjadi tiga angka bena, maka ditulis menjadi 79,8. 5. Operasi Angka Penting
Dalam operasi perhitungan dengan menggunakan angka penting ada suatu aturan umum yang harus diikuti. a. Penjumlahan dan Pengurangan Hasil dari penjumlahan atau pengurangan dua bilangan tidak mempunyai angka signifikan di luar tempat desimal terakhir dimana kedua bilangan asal mempunyai angka signifikan. Bila jumlah angka penting dalam hasil penjumlahan atau pengurangan harus dikurangi, maka megikuti aturan umum untuk membulatkannya. Contoh: 2,34 + 0,345 = 2,685 (dibulatkan menjadi 2,68) 34,31 + 2,165 = 36,475 (dibulatkan menjadi 36,48) b. Perkalian dan Pembagian Jumlah agka signifikan pada hasil perkalian atau pembagian tidaklah lebih besar daripada jumlah terkecil angka signifikan dalam masingmasing bilangan yang terlihat dalam perkalian atau pembagian. Contoh: (32,1 × 1,234) ÷ 1,2 = 33,0095 Bilangan yang mempunyai angka signifikan paling sedikit adalah 1,2 (2 angka signifikan). Jadi hasil perkalian dan pembagian di atas dibulatkan menjadi 33 (2 angka signifikan). 6
c. Kombinasi perkalian dan/ pembagian dengan penjumlahan dan/ pengurangan. “Jika terdapat kombinasi operasi angka penting, maka hasil operasi di
dalam kurung harus dibulatkan terlebih dahulu sebelum melakukan operasi selanjutnya”
Penerapan angka penting dalam kehidupan sehari-hari salah satunya ketika seseorang melakukan pengukuran seperti mengukur tinggi badan, mengukur celana, menimbang benda, spedometer, dan lain-lain. Dalam pengukuran tersebut tidak pasti tepat sehingga angka penting berperan dalam pengukuran agar ketepatan pengukuran menjadi lebih besar. B. Deret Taylor
Deret Taylor pertama dikemukakan oleh matematikawan inggris Brook Taylor (1685 – 1731) dalam bukunya “ Methodus Increamentorum Directaet Inversa” pada
1715 , dimana dia menguraikan fungsi ke dalam deret pangkat
yang kemudian diketahui sebagai deret Taylor. Andaikan f dan semua turunannya f 1 , f 2 , f 3 ,......, f n kontinue pada selang [a, b]. Misalkan x0 a, b , maka untuk nilai-nilai x di sekitar x0 (gambar 2.1) dan x0 a, b , f(x) dapat diperluas (diekspansi) ke dalam deret Taylor: f ( x) f ( x0 )
( x x0 ) 1!
1
f ( x0 )
( x x0 ) 2 2!
2
f ( x0 ) ...
( x x0 ) n n!
f n ( x0 ) ...
Gambar 1. Nilai-nilai x di sekitar xo
7
Persamaan di atas merupakan penjumlahan dari suku-suku yang disebut deret. Perhatikan bahwa deret Taylor ini panjangnya tidak berhingga sehingga untuk memudahkan penulisan suku-suku selanjutnya kita menggunakan tanda elipsis ( ... ). Jika dimisalkan x x0 h , maka f(x) dapat juga ditulis sebagai. f ( x) f ( x0 )
h
1!
1
f ( x0 )
h2
2!
2
f ( x0 ) ...
hn n!
f n ( x0 ) ...
Untuk alasan praktis, proses komputasi dilakukan sampai suku ke n saja. Artinya ada bagian atau beberapa suku yang sisanya dipotong dan tidak dimasukan ke dalam proses komputasi. Suku-suku yang diabaikan tersebut dikenal sebagai residu, dan merupakan galat karena pemotongan. Jika faktor residu dimasukan ke dalam deret Taylor, maka persamaan 2.1 menjadi, f ( x) f ( x0 )
( x x0 ) 1!
1
f ( x0 )
( x x0 ) 2 2!
2
f ( x0 ) ...
( x x0 ) n n!
f n ( x0 ) Rn ( x)
dalam hal ini, ( x x0 ) ( n 1)
Rn ( x)
(n 1)!
f ( n 1) (c)
, x0 c x
Disebut galat atau sisa (residu). Dengan demikian deret Taylor yang dipotong sampai suku orde ke- n dapat ditulis sebagai : f ( x) Pn ( x) Rn ( x)
Yang dalam hal ini, n
Pn ( x)
( x x0 ) k k !
k 1
Rn ( x)
( x x0 ) ( n 1) (n 1)!
f k ( x0 )
f ( n 1) (c)
, x0 c x
Contoh:
Hampiri fungsi f(x) = sin x ke dalam deret Taylor di sekitar
x 0
1
.
Penyelesaian : Terlebih dahulu kita menentukan turunan sin x terlebih dahulu sebagai berikut.
8
sin x
f ( x )
f 1 ( x ) cos x f 2 ( x ) sin x f 3 ( x) cos x f 4 ( x ) sin x
Dan seterusnya Maka berdasarkan persamaan 2.1, sin x dihampiri dengan deret Taylor sebagai berikut: sin x sin (1)
( x 1) 1!
cos(1)
( x 1) 2 2!
sin (1)
( x 1) 3 3!
cos (1)
( x 1) 4 4!
sin (1) ...
Misalkan x 1 h , maka berdasarkan persamaan 2.2 diperoleh: sin x
h2
h
h4
cos(1) sin (1) cos (1) sin (1) ... 1 2 6 24 2 3 4 0,8415 0,5403 h 0, 4208 h 0,0901 h 0,0351 h ...
sin (1)
h3
C. Deret Mclaurin
Deret Mclaurin adalah kasus khusus dimana bila fungsi diperluas sekitar x0 0 yang disebut juga deret Taylor baku. Kasus x0 0 paling sering
muncul dalam praktek. Contoh:
Uraikan sin x kedalam deret Mclaurin. Penyelesaian: Beberapa turunan sin x sudah dihitung pada contoh 2.1. Deret Mclaurin dari sin x adalah : sin x sin (0) x
x
3
3!
( x 0) 1! x
cos(0)
( x 0) 2!
2
sin (0)
( x 0) 3!
3
cos (0)
( x 0) 4!
4
sin (0) ...
5
5!
...
9
Deret Taylor dan deret Mclaurin ini sangat bermanfaat dalam Metode Numerik untuk menghampiri nilai-nilai fungsi yang susah dihitung secara manual seperti nilai sin x, cos x , dan log x. Tentu kita tidak akan bisa menghitung nilai-nilai fungsi tersebut tanpa menggunakan bantuan kolkulator atau tabel. D. Error (Galat)
Menganalisis galat sangat penting di dalam perhitungan yang menggunakan metode numerik. Galat berasosiasi dengan seberapa dekat solusi hampiran terhadap solusi sejatinya. Semakin kecil galatnya, semakin teliti solusi numerik yang didapatkan. Untuk itu kita harus memahami dua hal: 1. Bagaimana menghitung galat, dan 2. Bagaimana galat timbul. Galat dapat berasal dari : a. Simplifikasi dan asumsi yang digunakan untuk merubah peristiwa alam ke dalam formula matematik. b. Kesalahan/Keteledoran atau kesalahan aritmatik dan programming. c. Ketidakpastian dalam data d. Kesalahan mesin e. Kesalahan matematis dalam kesalahan pemotongan Hampiran, pendekatan atau aproksimasi ( approximation) didefinisikan sebagai nilai yang mendekati solusi sejati ( exact solution). Galat atau kesalahan (error ) sebenarnya ( ) didefinisikan sebagai selisih solusi sejati (a) dengan solusi hampiran ( a ). Misalkan a adalah nilai hampiran terhadap nilai sejati a, ˆ
ˆ
maka selisihnya:
a a ( Disebut galat ) ˆ
Sebagai contoh, jika a 10,5 adalah nilai hampran dari a 10,45 , maka ˆ
galatnya adalah
0,01 . Jika tanda galat (positif atau negatif) tidak
dipertimbangkan, maka galat mutlak dapat didefinisikan sebagai :
aa ˆ
Sayangnya, ukuran galat e kurang bermakna sebab ia tidak menceritakan seberapa besar galat itu dibandingkan dengan nilai sejatinya. Sebagai contoh,
10
seorang anak melaporkan panjang sebatang kawat 99 cm, padahal panjang sebenarnya 100 cm. Galatnya adalah 100 - 99 = 1 cm. Anak yang lain melaporkan panjang sebatang pensil 9 cm, padahal panjang sebenarnya 10 cm, sehingga galatnya juga 1 cm. Kedua galat pengukuran sama-sama bernilai 1 cm, namun galat 1 cm pada pengukuran panjang pensil lebih berarti daripada galat 1 cm pada pengukuran panjang kawat. Jika tidak ada informasi mengenai panjang sesungguhnya, kita mungkin menganggap kedua galat tersebut sama saja. Untuk mengatasi interpretasi nilai galat ini, maka galat harus dinormalkan terhadap nilai sejatinya. Gagasan ini melahirkan apa yang dinamakan galat relatif.
Galat relatif didefinisikan sebagai:
R
a
Atau dalam presentase:
R
a
100 %
Karena galat dinormalkan terhadap nilai sejati, maka galat relatif tersebut dinamakan juga galat relatif sejati. Dengan demikian, pengukuran panjang kawat mempunyai : galat relatif sejati
1 100
0,01 , sedangkan pengukuran
panjang pensil mempunyai galat relatif sejati
1 10
0,1
Dalam praktek kita tidak mengetahui nilai sejati a, karena itu galat e seringkali dinormalkan terhadap solusi hampirannya, sehingga galat relatifnya dinamakan galat relatif hampiran:
RA
a ˆ
Contoh:
Misalkan nilai sejati
10 dan nilai hampiranya 3,333. Hitunglah galat, galat 3
mutlak, galat relatif, dan galat relatif hampiran. Diketahui :
11
a
10 3
a 3,333 ˆ
Penyelesaian : Galat =
10 3
3,333
10 3
3333 1000
1 3000
0,000333 ...
Galat mutlak = 0,0003333 0,000333 ... Galat relatif =
1
10
3000
3
Galat relatif hampiran =
1 1000
1 3000
0,0001
3,333
1 9999
Faktor-faktor yang menyebabkan kesalahan pada metode numerik antara lain: 1.
Galat Inheren ( Inheren Error) Galat inheren merupakan galat bawaan akibat penggunaan suatu metode numerik. Akibat perhitungan numerik yang sebagian besar adalah tidak eksak, dapat menyebabkan data yang diperoleh adalah data aproksimasi. Selain itu, keterbatasan dari alat komputasi seperti tabel matematika, kalkulator atau komputer digital juga membuat perhitungan numerik tidak eksak. Karena keterbatasan tersebut, bilangan-bilangan yang diperoleh adalah hasil pembulatan. Di dalam perhitungan, galat inheren dapat diperkecil melalui penggunaan data yang besar, pemeriksaan galat yang jelas dalam data, dan penggunaan alat komputasi dengan ketelitan yang tinggi.
2.
Galat Pemotongan ( Truncation Error ) Galat ini disebabkan oleh adanya penghilangan sebarisan suku dari suatu deret/ekspansi untuk tujuan peringkasan pekerjaan perhitungan. Galat pemotongan adalah galat yang tak dapat dihindarkan.
12
3.
Galat Pembulatan (round-off error ) Kesalahan karena pembulatan (round-off error ) terjadi karena tidak kita memperhitungkan beberapa angka terakhir dari suatu bilangan; artinya solusi hampiran digunakan untuk menggantikan solusi sejati (eksak). Contoh:
Tulis bilangan 8632574 dan 3,1415926 menjadi tiga angka bena. Penyelesaian: 8632574 dapat dibulatkan menjadi 8630000 3,1415926 dapat dibulatkan menjadi 3,14 Dalam praktek sehari-hari, misalnya dalam bidang teknik dan bisnis, sering terdapat kasus gagalnya pencarian penyelesaian eksak suatu masalah aritmatika. Sehingga pendekatan dengan metode numerik sering digunakan dalam perhitungan. Metode numerik adalah perhitungan yang dilakukan secara berulang-ulang dengan suatu pertimbangan agar memperoleh hasil yang semakin mendekati nilai penyelesaian. Dengan menggunakan metode pendekatan semacam ini, tentunya setiap nilai hasil perhitungan akan mempunyai galat ( error ) atau nilai kesalahan. Kesalahan ini penting artinya, karena kesalahan dalam pemakaian algoritma pendekatan akan menyebabkan nilai kesalahan yang besar, tentunya hal seperti ini tidak diharapkan dalam perhitungan di bidang apapun. Sehingga dengan dengan mengetahui galat suatu perhitungan kita dapat mengetahui kesalahan dan faktor apa yang mempegaruhi perhitungan. E. Metode Biseksi
Ide awal metode ini adalah metode tabel, di mana area dibagi menjadi N bagian. Hanya saja metode biseksi ini membagi range menjadi 2 bagian, dari dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung akar dan bagian yang tidak mengandung akar dibuang. Hal ini dilakukan berulang-ulang hingga diperoleh akar persamaan. Dinamakan metode biseksi (Bi Section) didasarkan atas teknis metode ini adalah “belah dua”. Metode Biseksi diformulasikan berdasarkan Teorema 1.1
yang menyatakan bahwa bila fungsi (x) kontinu dalam selang/interval (a,b), 13
dan ( ) dan (b) berlawanan tanda, maka ( ) = 0 untuk suatu bilangan α
sedemikian hingga < α < b . Dengan metode Biseksi, nilai α pertama kali diaproksimasi dengan
+
memilih x0 yang didefinisikan dengan x 0 = . Bila (x0) = 0 atau (x0) “dekat” kepada nilai 0 untuk suatu nilai toleransi yang diberikan maka x0
adalah nilai akar dari (x0) = 0. Sebaliknya bila (x0) ≠ 0 atau (x0) “dekat” kepada nilai 0 tetapi tidak memenuhi suatu nilai toleransi yang diberikan, maka berdasarkan Teorema 1.1 ada dua kemungkinan yakni nilai akar berada
di antara dan xo atau nilai akar berada di antara xo dan b. Dari salah satu kemungkinan ini, metode Biseksi kembali akan digunakan. Secara geometris, metode Biseksi yang dikemukan di atas diilustrasikan melalui gambar grafik berikut ini.
Gambar 2. Grafik Metode Biseksi 1.
Langkah menggunakan metode biseksi
a.
Untuk menggunakan metode biseksi, terlebih dahulu ditentukan batas
+
bawah (a) dan batas atas (b). Kemudian dihitung nilai tengah : x =
b. Dari nilai x ini perlu dilakukan pengecekan keberadaan akar. Secara matematik, suatu range terdapat akar persamaan bila f(a) dan f(b) berlawanan tanda atau dituliskan : f(a) . f(b) < 0
14
c.
Setelah diketahui dibagian mana terdapat akar, maka batas bawah dan batas atas di perbaharui sesuai dengan range dari bagian yang mempunyai akar.
2.
Algoritma Metode Biseksi
a. Definisikan fungsi f(x) yang akan dicari akarnya b. Tentukan nilai a dan b c. Tentukan torelansi e dan iterasi maksimum N d. Hitung f(a) dan. f(b) e. Jika f(a) . f(b) > 0 maka proses dihentikan karena tidak ada akar, bila tidak dilanjutkan
+
f. Hitung x = g. Hitung f(x)
h. Bila f(x) . f(a) < 0 maka b = x dan f(b) = f(x), bila tidak a = x dan f(a) = f(x)
i. Jika |b-a| < e atau iterasi > iterasi maksimum maka proses dihentikan dan didapatkan akar = x, dan bila tidak, ulangi langkah 6. Contoh
Carilah nilai akar dari persamaan
() = 3 − − 1 = 0 .
Penyelesaian : Pilih a = 1 dan b = 2. Karena
(1) negatif dan (2) positif, maka salah satu + 3
akar terletak diantara 1 dan 2. Oleh karena itu xo = = = 1,5. Kemudian, karena
3
3 = 3 − 3 − 1 =
7 8 (positif) maka akar karakteristik terletak
antara 1 dan 1,5.
Kondisi ini memberikan =
+, 9 ( ) ( ) = 1,25 = − = 1,25. Karena 64
(negatif), nilai akar yang dicari terletak diantara 1,25 dan 1,5. Sehingga
,+, = 1,375. Bila prosedur di atas diulang kembali hingga diperoleh nilai-nilai aproksimasi berikut: 3 = 1,3125, 4 = 1,34375, =
diperoleh = 1,328125.
15
BAB III METODE REGULA FALSI A. Pengertian Metode Regula Falsi
Metode regula falsi disebut juga metode Interpolasi Linear atau metode Posisi Salah adalah metode yang digunakan untuk mecari akar-akar persamaan nonlinear melalui proses iterasi. Metode regula falsi merupakan metode pencarian akar persamaan dengan memanfaatkan kemiringan dan selilih tinggi dari dua titik batas range. Solusi akar (atau akar-akar) dengan menggunakan metode Regula Falsi merupakan modifikasi dari Metode Bisection dengan cara memperhitungkan ‘kesebangunan’ yang dilihat pada kurva berikut:
Gambar 3. Representasi grafis metode Regula-Falsi
Metode Regula Falsi menetapkan hampiran akar sebagai perpotongan antara garis yang melalui titik [ a, f(a)] dan titik [b, f(b)] dengan sumbu- x. Jika titik potong tersebut adalah tersebut adalah c, maka akar terletak antara (a,c) atau (c, b). Perhatikan kesebangunan antara
Pcb dan PQR pada Gambar 1
,
sehingga didapatkan persamaan berikut dapat digunakan:
16
Pb bc
PR RQ
Diketahui : Tabel 1. Koordinat titik-titik pada Gambar 1 Koordinat
Titik koordinat
a
(a, 0)
b
(b, 0)
c
(c, 0)
P
(b, f(b))
Q
(a, f(a))
R
(c, f(c))
Dari persamaan di atas diperoleh: f (b) 0 bc
f (b) f (a) ba
Sehingga c b
f (b) b a
f (b) f (a)
Persamaan di atas disebut sebagai persamaan rekursif dari metode Regula Falsi. Nilai c merupakan nilai akar x yang dicari. Sehingga jika dituliskan dalam bentuk yang lain, nilai akar x adalah sebagai berikut: x b
f (b) b a
f (b) f (a)
Dengan kata lain titik pendekatan x adalah nilai rata- rata range berdasarkan F(x).
Pada kondisi yang paling ekstrim | b – ar | tidak pernah lebih kecil dari
, sebab salah satu titik ujung selang, dalam hal ini b, selalu tetap untuk iterasi r = 1,2,3,..... Titik ujung selang yang tidak berubah itu dinamakan titik mandek
(stagnan point). Pada titik mandek, |br – ar | = |b – ar | , dimana r = 1,2,3,... 17
Yang dapat mengakibatkan program mengalami looping. Untyk mengatasi hal ini, kondisi berhenti pada algoritma Regula-Falsi harus ditambah dengan memeriksa apakah nilai f(x) sudah sangat kecil hingga mendekati nol. B. Algoritma Metode Regulasi Falsi Langkah pertama : Asumsi awal yang harus d iambil adalah ‘menebak’
interval awal [a, b] dimana f(x) adalah kontinu padanya, demikian pula interval tersebut harus terletak ‘mengapit’ (secara intuitif) nilai akar
, hitung pula
nilai f ( a ) dan f (b) sedemikian rupa sehingga: f (a). f (b) 0
a disebut batas atas dan b adalah batas bawah.
Langkah kedua : tentukan toleransi ( ) dan iterasi maksimum (n) Langkah ketiga : adalah mencari nilai x dengan persamaan P 1. 4 yaitu :
x b
f (b) b a
f (b) f (a)
Langkah keempat : mencari nilai f (c) Langkah kelima : melakukan iterasi untuk mendapatkan akar yang dicari,
kemudian tentukan akar persamaan x. Kriteria penghentian iterasi | f(x n )|
.
Algoritma Metode Regula Falsi secara singkat dapat dijelaskan sebagai berikut: 1.
Definisikan fungsi f(x)
2.
Tentukan batas bawah (a) dan batas atas (b)
3.
Tentukan toleransi error ( ) dan iterasi maksimum (n)
4.
Tentukan nilai fungsi f(a) dan f(b)
5.
Untuk iterasi I = 1 s/d n x b
f (b) b a
f (b) f (a) 18
6.
Hitung nilai f(x)
Hitung error = | f(x)|
Jika f (a). f ( x) 0 maka a = c jika tidak b = c
Jika | f(x)|
, hentikan Iterasi
Akar persamaan adalah x
Adapun tabel kerja dari metode ini (sesuai dengan algoritmanya), dapat disajikan secara sistematis sebagai berikut.
Tabel 2. Tabel kerja Regula Falsi C. Latihan Soal Dan Pembahasan Soal 1.1
Tentukan akar persamaan f(x) = ex – 5x2 menggunakan metode Regulasi Falsi! (nilai e = 2,718282) Penyelesaian: Langkah pertama : menentukan batas bawah a dan batas bawah b, misalkan
diambil : a = 0 dan b = 1
sehingga nilai f (a ) dan f (b) adalah : f (0) e 0 5.0 2 1 f (1) e1 5.12 2,281718
f (a). f (b) 1. 2,281718 2,281718
Karena f (a). f (b) 0 , maka di sekitar a dan b terdapat titik penyelesaian.
19
Langkah kedua : tentukan toleransi ( ) dan iterasi maksimum (n)
Misalkan
= 10-6, dan n = 5
Langkah ketiga : mencari nilai x dengan persamaan:
f (b ) b a
x
b
x
1
x
1
x
1 0,69528
x
f (b) f ( a ) 2, 281718
1 0
2,281718 0,891976 2,281718 3,173694
0,30472
Iterasi selanjutnya mencari nilai an dan f(an) dan begitu seterusnya sampai didapatkan nilai error lebih kecil dari 10 -6. Sehingga diperoleh data seperti pada tabel berikut. Tabel 3. Tabel kerja Regulasi Falsi untuk f(x) = e x – 5x2 n
a
b
x
f(a)
f(b)
f (x)
1
0
1
0,30472
1
-2,28172
0,891976
2
0,30472
1
0,50013
0,89198
-2,28172
0,398287
3
0,50013
1
0,57442
0,39829
-2,28172
0,126319
4
0,57442
1
0,59674
0,12632
-2,28172
0,035686
5
0,59674
1
0,60295
0,03569
-2,28172
0,00975
6
0,60295
1
0,60464
0,00975
-2,28172
0,002639
7
0,60464
1
0,60510
0,00264
-2,28172
0,000713
8
0,60510
1
0,60522
0,00071
-2,28172
0,000192
9
0,60522
1
0,60525
0,00019
-2,28172
5,19E-05
10
0,60525
1
0,60526
5,2E-05
-2,28172
1,4E-05
11
0,60526
1
0,60527
1,4E-05
-2,28172
3,78E-06
12
0,60527
1
0,60527
3,8E-06
-2,28172
1,02E-06
13
0,60527
1
0,60527
1E-06
-2,28172
2,75E-07
20
Nilai | f(x)| = 2,75 × 10 7 maka hentikan Iterasi karena | f(x)| diperoleh nilai akar x = 0,60527 dengan
. Sehingga
= | f(x)| = 2,75 × 10-7
Soal 1.2
Carilah penyelesaian dari persamaan nonlinear berikut ini dengan metode Regula Falsi: f ( x) x 3 x 2
3x 3
0
Penyelesaian: Langkah 1:
Menentukan dua titik nilai f(a) dan f(b) dan harus memenuhi hubungan f(x1) . f(x2)<0. Misalkan nilai a =1 dan b =2.
f ( a ) 13
1 3(1) 3 4
2
f (b) 2 3
2 3(2) 3
2
3
Di dapat f(a). f(b)<0 maka titik penyelesaian berada diantara nilai a=1 dan b=2 Misalkan diambil
= 10-8
Langkah 2:
Mencari nilai x dengan persamaan: x b
f (b) f (b) f (a)
(b a) 2
3 3 (4)
(2 1) 1.5714285714
dan f ( x) 1.57142 3 1.57142 2 3(1.57142 ) 3 1.3644314869 Langkah 3:
Melakukan iterasi dengan persamaan 2.1 pada hasil langkah 2 nilai f(x) hasilnya negative, dan untuk menentukan nilai x4 harus f(a). f(b)<10 maka yang memenuhi syarat nilai yang digunakan yaitu x2 dan x3 karena nilai f(a). f(b)<0 maka: x2 2
3 3 1.3644
(3 1.57142 ) 1.7054108216
dan f ( x 2 ) 1.70541 3 1.70541 2 3(1.70541) 3 0.247745
21
Iterasi selanjutnya mencari nilai an dan f(an) dan begitu seterusnya sampai didapatkan nilai error lebih kecil dari 10-8. Sehingga diperoleh data seperti pada tabel berikut. Tabel 4. Tabel kerja Regulasi Falsi untuk f ( x) x 3 x 2
3x 3
0
n
a
b
x
f(a)
f(b)
f (x)
1
1
2
1,57143
-4
3
-1,36443
2
1,57143
2
1,70541
-1,36443
3
-0,24775
3
1,70541
2
1,72788
-0,24775
3
-0,03934
4
1,72788
2
1,73140
-0,03934
3
-0,00611
5
1,73140
2
1,73195
-0,00611
3
-0,00095
6
1,73195
2
1,73204
-0,00095
3
-0,00015
7
1,73204
2
1,73205
-0,00015
3
-2,3E-05
8
1,73205
2
1,73205
-2,3E-05
3
-3,5E-06
9
1,73205
2
1,73205
-3,5E-06
3
-5,4E-07
10
1,73205
2
1,73205
-5,4E-07
3
-8,4E-08
11
1,73205
2
1,73205
-8,4E-08
3
-1,3E-08
12
1,73205
2
1,73205
-1,3E-08
3
-2E-09
Nilai | f(x)| = 2 × 10 -9 maka hentikan Iterasi karena | f(x)| diperoleh nilai akar x = 1,73205 dengan
. Sehingga
= | f(x)| = 2 × 10-9.
22
BAB IV STUDI KASUS
Didalam usaha mendapatkan penyelesaian matematika yang menjabarkan model dari suatu persoaalan nyata di bidang rekayasa, sering solusi yang dicari berupa suatu nilai variabel x sedemikian rupa sehingga terpenuhi persamaan f(x) = 0 yang digunkan dalam model. Dalam beberapa kasus, melalui faktorisasi f(x) = 0
dapat diperoleh penyelesaian seperti yang diinginkan, akan tetapi lebih banyak jabaran persamaan dalam model mempunyai bentuk yang rumit, sehingga teknik analisa matematika murni tidak dapat memberikan solusi. Persamaan non linier sebagai model matematika bagi solusi masalah rekayasa sipil dengan metode numerik merupakan salah satu alternatif prosedur pemecahan yang digunakan apabila tidak dimungkinkan perolehan bentuk closed form dari permodelan. Persamaan non linier akan selalu ditemuai pada hampir seluruh bidang kekhususan rekayasa sipil, sebagai contoh: 1.
Persamaan frekuensi alami getaran balok uniform yang terjepit pada salah satu ujungnya yang bebas dan bebas pada ujungnya yang lain untuk bidang teknik struktur.
2.
Persamaan kelengkungan jalan untuk bidang transportasi.
3.
Persamaan koefisien gesek untuk aliran turbulen dalam sebuah pipa untuk bidang teknik tumber air.
4.
Persamaan untuk menentukan kedalaman pemancangan akibat pengaruh tekanan tanah aktif dan pasif untuk bidang geoteknik.
5.
Perhitungan tentang kebutuhan akan produksi optimal suatu komponen struktur untuk bidang manajemen konstruksi. Salah satu contoh permasalahan yang dapat diselesaikan dengan Metode
Regula Falsi adalah sebagai berikut.
23
Permasalahan:
Akan ditentukan letak garis netral pada sebuah kolom pendek dengan menggunakan metode bisection dan metode secant . Setelah letak garis netral diperoleh dilanjutkan dengan pembuatan gambar diagram interaksi. Dimensi kolom adalah 30 x 50 cm dan diberi tulangan 6Φ25 seprti pada gambar 2. Tegangan leleh baja direncanakan f y = 4000 kg/cm2, sedangkan tegangan tekan beton f c’ = 300 kg/cm 2. Jarak tepi luar beton ke inti tulangan adalah 5 cm.
Gambar 4. Penampang kolom, Regangan dan Tegangan
Dalam perumusan, notasi-notasi yang dipakai h adalah sebagai berikut: B
: lebar penampang (mm)
H
: tinggi penampang (mm)
C
: lokasi garis netral dari serat atas (mm)
d cs
: jarak tulangan tekan dari serat atas (mm)
d ts
: jarak tulangan tarik dari serat atas (mm)
ecs
: regangan tulangan tekan
ets
: regangan tulangan tarik
ey
: regangan leleh baja (0.002)
a
: kedalaman stress block (mm)
Cc
: gaya tekan yang disumbangkan penampang beton (N)
Cs
: gaya tekan yang disumbangkan tulangan tekan (N)
Ts
: gaya tekan yang disumbangkan tulangan tarik (N)
Acs
: luas tulangan tekan (mm2)
24
Ats
: luas tulangan tarik (mm2)
lcc
: jarak titik berat stress block ke plastic centre penampang (mm)
lcs
: jarak tulangan tekan ke plastic centre penampang (mm)
lts
: jarak tulangan tarik ke plastic centre penampang (mm)
f y
: tegangan leleh tulangan (MPa)
f c’
: tegangan karakteristik penampang (MPa)
P
: gaya dalam normal yang bekerja pada penampang (N)
M
: momen lentur yang bekerja pada penampang (Nmm) terhadap plastic centroid kolom
E
: modulus elastisitas baja (= 200000 MPa) Gaya dalam P dan M pada penampang dapat diturunkan sebagai fungsi dari
c. Komponen-komponen yang menyumbangkan P dan M berasal dari gaya tekan beton serta gaya tulangan tekan dan tarik. Sera umum perumusannya adalah P
= Cc + Cs + Ts
M
= Cc*lcc + Cs*lcs + Ts*lts
Komponen C c, Cs, Ts dan lcc merupakan fungsi dari c, sedangkan l cs dan l ts merupakan konstanta, sehingga persamaan tersebut dapat juga ditulis: P
= Cc ( c ) + C s ( c ) + T s ( c )
M
= Cc ( c )*l cc ( c ) + C s*lcs + Ts*lts
Asumsi-asumsi yang dipakai pada kondisi batas adalah: 1.
Regangan tekan batas adalah 0.003
2.
Hukum Navier-Bernauli berlaku, sehingga diagram regangan berbentuk segitiga dapat dipakai
3.
Distribusi tegangan beton pada kondisi batas berbentuk segi empat, yang besarnya adalah 0.85fc’ dengan tinggi block “a”
25
Perumusan gaya sumbangan beton C c (c), gaya sumbangan tulangan tarik Ts(c), gaya sumbangan tulangan tekan C s(c) dan jarak titik berat stress block ke plastic centre penampang (lcc) dapat di formulasikan berdasarkan kondisi-kondisi yang lazim. Formula yang didapat adalah sebagai berikut: P (c)
= 6502 c + (c-50)/c * (882000) – 625485
M (c) = (6502 c – 37845 ) ( 250 – 0.85c/2) + (c-50)/c * (882000)(200) – (588200)(200) Pencarian Akar Dengan Metode Bisection + Regula Falsi
P( c ) = 6502 c + ( c - 50 )/c * (882000) - 625485 P'( c ) = 6502 c + 44100000/ c^2 M( c ) = (6502 c - 37845)( 250 - 0.85c/2) + ( c-50)/c * (882000)*(200) - (588200)*(200) Tabel 5. Pencarian Akar Dengan Metode Bisection + Regula Falsi
Setelah terdefinisinya komponen komponen C c(c), Ts(c), Cs(c) dan lcc(c) sebagai fungsi c, maka P(c) dan M(c) dapat didefinisikan sebagai fungsi c. Masingmasing komponen mempunyai pernyataan fungsi yang interval domainnya terbagi bagi, sehingga jika digabungkan. P(c) dan M(c) pun mempunyai interval domain yang terbagi-bagi. Ada 9 interval c yang menghasilkan formulasi fungsi yang berbedabeda, hasilnya ditabelkan sebagai berikut:
26
Tabel 6. P(c) dan M(c) sebagai fungsi c.
Dari formulasi berdasarkan interval-interval tersebut dapat digambarkan diagram interaksi kolom beton bertulang tersebut
Gambar 5. Hasil Diagram Interaks
27
BAB V KESIMPULAN
Metode numerik merupakan teknik untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan pengoprasian aritmatika (hitungan) dan metode penyelesaian model matematika dengan rumus-rumus aljabar yang sudah baku atau lazim. Penyelesaian yang digunakan dalam metode numerik adalah penyelesaian pendekatan, oleh karena itu biasanya timbul galat (error). Pada penyelesaiannya diusahakan untuk mendapatkan error yang sekecil mungkin. Metode numerik digunakan untuk mencari penyelesaian persoalan-persoalan secara lebih singkat yang apabila dikerjakan menggunakan metode analitik membutuhkan langkah-langkah yang lebih panjang. Dalam menyelesaikan persamaan non-linier kita sering menemukan fungsi yang rumit, sehingga untuk mencari penyelesaiannya atau untuk mencari f(x) = 0, kita perlu menggunakan cara pendekatan atau cara dengan metode numerik. Salah satunya dengan metode Regula Falsi. Metode Regula Falsi dapat mempermudah kita dalam mencari akar fungsi non linier, dengan metode ini kita dapat menemukan suatu nilai akar pendekatan dari sebuah fungsi non-linier yang rumit.
28
