Magnetizam

Stranica: V-1

Magnetizam 

Magnetsko polje, indukcija i tok.



Magnetsko polje ravnog beskonačnog vodiča protjecanog strujom.



Sila na naboj u magnetskom polju.



Sila na vodič protjecan strujom u magnetskom polju.



Zakon protjecanja.



iot-Savart -ov zakon.

Stranica: V-2

1. zadatak Mlaz nabijeni" čestica ubacuje se u prostor u kojem djeluje električno polje # i magnetska polja indukcija 1 i $ prema slici. %dredite brzinu v1 i polaritet čestica koje udaraju u točku &. Zadano: 

# ' 1().* +MVm



1 ' ). +/



$ ' ).10 +/ + $

1  v1  &

Stranica: V-3

2vodni pojmovi 

Magnetsko polje opisuje se pomo3u sljede3i" osnovni" veličina: 4 5akost magnetskog polja:

 H  [ A/m]

4 Magnetska indukcija: 

 B [ T ]

Veza jakosti magnetskog polja i indukcije:  B =  µ 0 ⋅ µ r  ⋅ H  gdje je:



 µ 0

= 4 ⋅ π  ⋅10−7 [ Vs/Am]

6ada se naboj giba u magnetskom polju tada na njega djeluje magnetska sila:

 F  = Q ⋅ ( v × B ) 4  - naboj 4 v - brzina gibanja naboja

Stranica: V-4

2vodni pojmovi 

Smjer magnetske sile na naboj de7iniran je vektorskim produktom brzine i magnetske indukcije:

;

-

=



v ;

v





!o iznosu sila ovisi o kutu izme8u vektora v i :  F 

= Q ⋅ v ⋅ B ⋅ sinα 

4 ukoliko se naboj giba paralelno silnicama magnetskog polja, magnetske sila na naboj je jednaka nuli 9sin α ' ) 4 ukoliko se naboj giba okomito na silnice magnetskog polja tada je sila po iznosu jednaka: ; ' 
Stranica: V-5

>je?enje zadatka 

2 kondenzatoru na naboj djeluju električna i magnetska sila. @a bi bio zadovoljen uvjet pravocrtnog gibanja te dvije sile po iznosu moraju biti jednake: ;mag 

1

;el 

= ;el 

1

- v1

;mag 

 F el  Q ⋅ E  = Q ⋅ B1 ⋅ v1

=

⇒

v1

F mag  v1 =

 E   B1

v1 = 281.4 ⋅106 [ m/s]

=

140.7 ⋅10 6 0.5

Stranica: V-6 

6ada naboj prije8e u područje gdje djeluje mag. indukcija $, na njega djeluje samo magnetska sila pomo3u čijeg smjera se moAe odrediti odrediti predznak naboja: $  ;mag 



v1

Bz smjera magnetske sile vidljivo je da se radi o negativnom naboju. Q < 0

Stranica: V-7

2. zadatak /ri vrlo duga ravna vodiča smje?tena u zraku prema slici protjecana su strujama B1, B$ i BC. %dredite:

a smjer i veličinu magnetske indukcije koju vodiči 91 i 9$ stvaraju na mjestu vodiča 9C b smjer i veličinu sile koja djeluje na element duAine l  vodiča 9C 

B1 ' 1)) +&



B$ ' 1) +&



BC ' * +&



l  ' D) +cm

91

 cm

( cm

9$

C cm 9C

Stranica: V-8

2vodni pojmovi 

%značavanje smjerova struje u vodiču:



Magnetsko polje ravnog vodiča:  H  =

 I  2 ⋅ π  ⋅ r 

 B = µ  ⋅ H 

Smjer polja određuje se pravilom desne ruke: palac - smjer struje prsti - smjer polja

Stranica: V-9

2vodni pojmovi 

Sila na vodič protjecan strujom u magnetskom polju  F



= I ⋅ ( l × B) [ N]

Smjer sile odre8uje se pravilom lijeve ruke: 4 silnice 9B - dlan 4 struja 9! l  - prsti 4 sila 9" - palac



Bznos sile:

 F  =  B ⋅ I  ⋅ l ⋅ sinα  [ N ]

# l  je duljina vodiča u magnetskom poljuEEE 4 kut α je kut koji zatvaraju vektori polja 9indukcije i duljine 9smjer struje

4 ukoliko je vodič okomit na silnice magnetskog polja tada je magnetska sila po iznosu jednaka: ; ' 
Stranica: V-10

>je?enje zadatka 

Zadatak se rje?ava metodom superpozicije.



Vodič 91 na mjestu vodiča 9C stvara magnetsko polje F 1: 91:

9$

( cm

C cm F$

F1

9C

9C: 

Vodič 9$ na mjestu vodiča 9C stvara magnetsko polje F $.



!o iznosu mag. polja:  H 1

=

 H 2

=

 I 1 2 ⋅ π  ⋅ 4 ⋅10

−2

=

−2

=

 I 2 2 ⋅ π  ⋅ 3 ⋅10

100 2 ⋅ π  ⋅ 4 ⋅10

−2

= 4 [ A/cm]

−2

= 8 [ A/cm]

150 2 ⋅ π  ⋅ 3 ⋅10

Stranica: V-11 

2kupno polje na mjestu vodiča 9C jednako je vektorskoj sumi magnetski" polja: 91

9$

 cm F ( cm

 H  =  H 1 + H 2

C cm F$

F1 9C



udu3i da su vektori F 1 i F$ pod kutem od G) o vrijedi sljede3e: 

 H 



=

 H 1

2

 H  = 4 2 + 82 

H 2

2

= 9 [ A/cm]

6ut vektora F u odnosu na vektor F 1: sin α  =



+



 H 2 

 H 

=

8

α  = 63°

9

Magnetska indukcija:  B

H 

4

10−7

9

1 13 [ mT]

Stranica: V-12 

Smjer sile na vodič 9C odre8uje se pravilom lijeve ruke: 91

9$ 

;



9C

udu3i da su vodič i smjer vektora magnetskog polja pod G)o, sila iznosi:  F  =  B ⋅ I 3 ⋅ l  = 1.13 ⋅10 −3 ⋅ 75 ⋅ 80 ⋅10 −2

= 68 [ mN]

Stranica: V-13

3. zadatak Vrlo dugi ravni vodič i kruti metalni okvir smje?teni su prema slici. %kvir ima teAinu H. 2z ostale navedene podatke odredite smjer i veličinu struje B1 uz koju 3e okvir zadrAati zadani poloAaj. Zadano: 

H ' ). +I



B$ ' 1 +&



a ' 1 +cm



b ' 1) +cm



c ' ) +cm

B1 a b

B$

c

Stranica: V-14 

Vrlo dugi ravni vodič protjecan strujom stvara mag. polje u svojoj okolini. Za različite smjerove struje B 1 to mag. polje djeluje na okvir silama ; 1 i ;$: ;1

B1

B1 1

1

B$

B$

;1

;$ ;$ 

H

H

@a bi okvir ostao u istom poloAaju ukupan zbroj sila mora biti jednak ):  F 1 + F 2 + G = 0



udu3i da je ; 1 J ;$, to se moAe posti3i samo u slučaju kada struja B1 teče s lijeva na desno 91. slučaj.  F 1

=  F 2 + G

Stranica: V-15 

Sile ;1 i ;$ odre8uju se kao: B1 a B$

b

c

 F 1 =  B1 %a $ ⋅ I 2 ⋅ c =  µ 0 ⋅  F 2



=  B1 %a + &$ ⋅ I 2 ⋅ c =  µ 0 ⋅

 I 1 2 ⋅ π  ⋅ a

⋅ I 2 ⋅ c

 I 1

2 ⋅ π  ⋅ ( a + & )

⋅ I 2 ⋅ c

Bz uvjeta ravnoteAe okvira odre8uje se iznos struje B 1:  µ 0 ⋅

 I 1

=

 I 1

2 ⋅ π  ⋅ a

⋅ I 2 ⋅ c =  µ 0 ⋅

G ⋅ 2 ⋅ π  ⋅ a ⋅ ( a  I 2 ⋅ µ 0

+ & )

⋅ c ⋅ &

=

 I 1

2 ⋅ π  ⋅ ( a + & )

⋅ I 2 ⋅ c + G

0.5 ⋅ 2 ⋅ π  ⋅1 ⋅ (1 + 10) −7

15 ⋅ 4 ⋅ π  ⋅10 ⋅ 50 ⋅10

= 3.7 [ 'A ]

Stranica: V-16

4. zadatak %dredite veličinu struje koja teče kroz vodiče koaksijalnog kabela u suprotnim smjerovima, ako jakost magnetskog polja na udaljenosti d od sredi?ta kabela iznosi Fd. /ako8er odredite 7unkciju promjene magnetskog polja, F9r za ) K r K ∞. Zadano: 

>1 ' ). +cm



>$ ' $. +cm



>C ' $.0 +cm



d ' $. +cm



Fd ' *D.D +&m

>$

>C B

>1

B

Stranica: V-17

>je?enje zadatka 

Zadatak se rje?ava primjenom zakona protjecanja.

∫  H d l  = ∑ I 

i

i

l 



Mag. polje se mijenja različito u četiri slučaja:



Za r K >1, obu"va3en je samo dio unutarnjeg vodiča:  H  ⋅ 2 ⋅ r ⋅ π  = I ( Husto3a struje u svakoj točki je jednaka.

B

>1

G=

r 

 H  = 

 I   R12 ⋅ π 

=

 I ( 2 ⋅ r ⋅ π 

 I ( r 2 ⋅ π  r 2  I  ⋅ 2  R1

=

⇒

2 ⋅ r ⋅ π 

 I ( = r 2 ⋅

=  I  ⋅

 I   R12

r  2 ⋅ π  ⋅ R12

Za >1  K r K >$, linijom l   obu"va3en je vodič kroz koji teče struja B pa mag. polje iznosi:

 H  ⋅ 2 ⋅ r ⋅ π  =  I 

⇒

 H  =

 I  2

Stranica: V-18 

Za >$ K r K >C, obu"va3en je unutra?nji vodič i dio vanjskog vodiča:

 H  ⋅ 2 ⋅ r ⋅ π  =  I  − I ( ( >$

>C

B

udu3i da su smjerovi struja suprotni nji"ovi doprinosi se oduzimaju.

B

G= r 

 I   R32 ⋅ π  − R22 ⋅ π   I ( ( =  I  ⋅

=

 I ( ( r 2 ⋅ π  − R22 ⋅ π 

r 2 − R22  R32 − R22

   R22    I  1 + 2 2    H  = − ⋅ r  2 2   2 ⋅ r ⋅ π     R3 − R2   2 ⋅ ( R3 − R2 ) ⋅ π   I 



Za r J >C:  H  ⋅ 2 ⋅ r ⋅ π  =  I  − I   H  = 0

Stranica: V-19 

;unkcija promjene jakosti mag. polja izgleda kao na slici: F9r

>1 

>$

>C

r 

Bz zadanog mag. polja na mjestu r ' d moAe se odrediti struja B:

   R22    I  1 + 2 2    H d  =  H %r  = d $ = − ⋅ d  2 2   2 ⋅ d  ⋅ π     R3 − R2   2 ⋅ ( R3 − R2 ) ⋅ π   I 

 I  =

2 ⋅ π  ⋅ H d  ⋅ ( R32 − R22 ) ⋅ d  2 3

 R

− d 

2

=

2 ⋅ π  ⋅ 78.8 ⋅ ( 2.6 2 − 2.52 ) ⋅ 2.55 ⋅10− 2

 I  = 25 [ A ]

2.6 2 − 2.552

Stranica: V-20

5. zadatak 6roz vodič u obliku L pro7ila protječe struja B. @imenzije vodiča su zadane na slici. %dredite smjer i jakost magnetske indukcije u točki &. Zadano: 

B ' ) +& 1. m  &

1. m B

1. m

Stranica: V-21

2vodni pojmovi 

>avni vodič konačne duljine kroz koji protječe struja B u svojoj okolini stvara magnetsko polje koje se moAe odrediti na sljede3i način:  H T

=

 I  4 ⋅ π  ⋅ d 

⋅ ( sin α 1 − sin α 2 )

Smjer magnetskog polja de7iniran je pravilom desnog vijka. 

!rimjeri: /

 H T α

1

α

2

d

=

⋅ ( sin α 1 − sin α 2 )

4 ⋅ π ⋅ d  α 1 * 0 ⇒ sin α 1 * 0

α 2 B

 I 

)0

⇒ sin α 2 ) 0

Stranica: V-22

2vodni pojmovi /

α

 H T

=

⋅ ( sin α 1 − sin α 2 )

4 ⋅ π ⋅ d  α 1 * 0 ⇒ sin α 1 * 0

1

α

 I 

d 2

α 2

*0

⇒ sin α 2 * 0

 I 

⋅ ( sin α 1 − sin α 2 )

B



eskonačno dugi ravni vodič : / α

1

α

4 ⋅ π  ⋅ d  α 1 → + 90° α 2

2

d

B

=

 H T

 H T

=

 H T

 I  4 ⋅ π  ⋅ d   I 

=

→ − 90°

⋅ ( sin 90° − sin%−90°$ )

4 ⋅ π ⋅ d 

⋅ (1 − %−1$) =

 I  2 ⋅ π ⋅ d 

Stranica: V-23

>je?enje zadatka 

!olje u točki stvaraju dva vodiča jedan duAine C m, a drugi duAine 1. m. 2kupno polje jednako je vektorskom zbroju pojedini" komponenti polja:  H A



=  H A1 + H A2

Smjer polja odre8ujemo pomo3u pravila desnog vijka:

F &1

B  &

udu3i da su polja istog smjera, ukupno polje jednako je algebarskom zbroju polja:

F &$

 H A

=  H A1 + H A2

B 

!rimjenom iot-Savart-ovog zakona odre8uju se iznosi polja F &1, odnosno polja F &$.

Stranica: V-24



!olje F &1:  H A1 =

1. m

α1 1. m

 &

α2

!olje F &$:

4 ⋅ π  ⋅1.5

 H A2

 &

1. m 9$:

 I 

⋅ ( sin%+45°$ − sin% −45°$)

  2    H A1 = ⋅  −  − 4 ⋅ π  ⋅1.5   2    I   H A1 = ⋅ 2 4 ⋅ π  ⋅1.5

91

α1M

=

4 ⋅ π  ⋅1.5

⋅ ( sin α 1 − sin α 2 )

 I 

1. m



 H A1

I 

 H A2 1. m

=

=

I  4 ⋅ π  ⋅1.5  I 

4 ⋅ π  ⋅1.5

2

       

⋅ ( sin α (1 − sin α (2 )

⋅ ( sin%+45°$ − sin%0°$)

  2     H A2 = ⋅  − ( 0)     4 ⋅ π  ⋅1.5   2    I  2  H A2 = ⋅ 4 ⋅ π  ⋅1.5 2  I 

2     

Stranica: V-25



2kupno polje F &:  H A

=

 I  4 ⋅ π  ⋅1.5

 H A



2+

 I  4 ⋅ π  ⋅1.5

 I  4 ⋅ π  ⋅1.5

⋅

⋅

2 2

3⋅ 2 2

Magnetska indukcija u točki &,  &:  BA

=  µ 0 ⋅ H A = 4 ⋅ π  ⋅10−7  BA



=

⋅

=5

50 4 ⋅ π  ⋅1.5

⋅

3⋅ 2 2

2 [ µ T ]

Smjer vektora mag. indukcije jednak je smjeru mag. polja.

Stranica: V-26

6. zadatak %dredite magnetski tok koji se zatvara kroz zatvorenu petlju prikazanu na slici. Zadano: 

a ' 1 +cm



B ' 1) +&

$a

a

B $a

Stranica: V-27

2vodni pojmovi 

Magnetski tok je skalarna veličina kojom se opisuje magnetsko polje i de7iniran je kao:

Φ =  B ⋅ S  Φ = ∫∫  B ⋅ d S  = ∫∫ S  ⋅ d  B S  

S 

!rimjer, tok kroz zatvorenu petlju: 



Φ = ∫∫  B% x$ ⋅ d S  = S 

B

a

 x 2

Φ=

∫ 

 µ 0 ⋅

 x1

∫  B% x$ ⋅ a ⋅ dx

 x1

 I 

2 ⋅ π  ⋅ x

⋅ a ⋅ dx =  µ 0 ⋅

dN

Φ =  µ 0 ⋅

N1

 x2

N$

Φ =  µ 0 ⋅

 I  ⋅ a 2 ⋅ π   I  ⋅ a

2 ⋅ π 

 I  ⋅ a

 x2  x1

dx

∫  x

2 ⋅ π   x1

⋅ ln  x  xx12 ⋅ ln

 x 2

Stranica: V-28

>je?enje zadatka 

Smjer magnetskog toka odre8uje se pravilom desnog vijka: $a

a

B

Φ $a



!alac se stavlja u smjer struje kroz vodič i tada prsti odre8uju smjer magnetskog toka.

Bznos toka: Φ =  µ 0 ⋅

 I  ⋅ 2 ⋅ a

2 ⋅ π 

⋅ ln

 x2  x1

=  µ 0 ⋅ −7

Φ = 4 ⋅ π  ⋅10 ⋅

 I  ⋅ 2 ⋅ a

2 ⋅ π 

10 ⋅10 −2 π 

⋅ ln

3a a

=  µ 0 ⋅

 I  ⋅ a

⋅ ln 3 = 44 [ nVs]

π 

⋅ ln 3