r
∩ s = P ∩
{ }
r s = P
A a
a A a
A A
∈
a A a / A
∈
a
x y
P
∈ A
Q
x P
y
B
∈ B
A
Q P
x
Q
y 2 3y +2 = 0
−
y
{
− −
}
{ }
A = . . . , 4, 2, 0, 2, 4, 6, . . . x x A
∈
B = 1, 2
P y
Q
∈ B
y
∈ A y ∈ B
x P
y
x
Q
∪
(A B ) (A
A
P
⇒
∩ B)
⊂ B )
(A
∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B ) ∪ (A ∩ C )
A
⊂ A ∪ B
Q A
A = B P Q
⇔ ⇔
∅
⊂B
B
⊂A
{
}
∅ = x ; x = x
x
x
∅
∈
x
x /
∅
X
X x
x
∈
X x
x
x
x
{x}
A B
B
A
A
B
A
B
A
⊂ B
A B A a / B
B
B
A
⊂ B A
A
⊂ B
a
∈
T
a
∈ A
P T
⊂ P
A
⊂ B / A 3∈
A
∈
3 B
2
∈ A
B 2 / B
∈
B
⊂ A
Π
r
Π
r
Π
Π
r
r
∈
r r Π
Π
⊂Π
r
Π
A
⊂ A
A
∈ ∅ ∅ ⊂ A
A
⊂ A ∅ ⊂A x ∈ ∅ ∅
∈
x
A A
x / A
x
A
B
A
B A A B
⊂ B
⊂ B
B B
A = B
C A
A
A=∅
⊂ A
⊂ A A ⊂ B B ⊂ A A ⊂ B B ⊂ C
A = B A
⊂ C A B A
A
B
A
B
H A
M
⊂ A
H A
⊂ M
⊂
H M P U U Q
U P
Q A
P
B
Q
P
⇒ Q
Q
P A
B
A
⊂ B
U R
P
⇒ P
R B
Para todo x
∈ R,
x2 + x
A
⊂
A B
3
− 1 = 0 ⇒ x − 2x + 1 = 0. x +x−1=0 2
x3
Q P
P P
− 2x + 1 = 0. ⇒
P Q Q Q
Q P Q
P
x
x
⇒ Q
P P Q
Q P
∈ Z
4
n
4
4
4
n
⇒
n
n
⇒
4
n
n
n
4
4 4 4
4
4
Q Q
⇒Q
Q
⇒ Q
Q Q
⇒ P
⇒ Q
P
x = 1 x3 x
∈R
x3
P
x2 + x 1 = 0
− 2x +1 = 0
Q Q
−
− 2x + 1 = 0 ⇒
x2 + x
P
Q
− 1 = 0. P ⇒ Q
Q
⇒ P P
⇔ Q.
P
P Q P Q
z 2 = x 2 + y 2
⇔
P
x, y < z Q
P Q
⇒ Q
P
x2 P Q R S
Q
⇒ R
⇒ R
P
−x−2 = 0 x −x−2=0 (x − 2)(x + 1) = 0 x = 2 x = −1 x ∈ {2, −1} 2
P Q R S x
⇒ Q ⇒ R ⇒ S.
P x
P P
Q
⇒ S
x2
−x−2 =0 x2
x
∈ {2, −1}
−x−2 = 0
2
−1
R
{2, −1} ⇒ P
P
S
x2
−x−
⇔
−
2
P S 2=0
⇒ R ⇒ Q ⇒
S 1
x2 + 1 = 0 P Q R x P Q R S
x2 + 1 = 0 x4 1 = 0 x4 = 1 x 1, 1
x2
−
−1
∈ {− } ⇒ ⇒ R ⇒ S
⇒ S {−1, 1}
P Q x2 + 1 = 0
P
x2 + 1 = 0
{−1, 1}
P
⇒Q ∅
⊂ {−1, 1}
S
U U U U
U
U
U U
A AC
A
U U
U C = ∅
∅C = U.
e
A x
U x
∈ A
x
∈
x / A
A
⊂ B
∈ U
∈
x A
A BC
⊂ U
⊂ A
C
A
∈A
∈
x / A
C C A
x
= A
∈
x / A
⇒ C
C
C
C
A
⊂ B ⇒ B ⊂ A .
A
⊂ B ⇔ B ⊂ A .
P Q A
A B P
U B
U AC
Q P x
∼ P
x
∼
P
⇒ Q
∼ Q Q
∼ Q ⇒∼ P
P
P
∼ Q ⇒∼ P
BC Q P
Q
⇒Q
P
Q P
U R
∼
P
⇒ P
R X
∼R ∼ P ⇒∼ R
X
X
Q
X P
X
∼ Q ⇒∼ P
P
⇒
2 2
n
∈N n∈N n∈N
∈N
n > 2 n
n
n > 2
∼
n
n > 2
⇒n ⇒∼
n
⇒ n
n > 2 n
P
∼ Q ⇒∼ P Π r s P s s s
Π
x r
∼ P
Q P r
Π
x
∼ Q
⇒Q
Π Π
Q s
⇒ Q
P
s
x
r s
∼ Q ⇒∼ P
x
∼ Q ⇒∼ P
⇒ Q
P
⇒ Q
P s
x
A s
x
r
A
r
A
\
{
B
∈
∈ }
B A = x ; x B e x / A .
\ A = A \ B
B AC
A
\
U A
U
A A
B
∪B A∩B
A A
∈
B
∈
x A
∈ A ∪ B
B
x B
x
∈ A ∩ B
x
∈ ∪B x ∈ A ∩ B
∈ x ∈ A
x A
x A
∈ x ∈ B
x B
∪
∩
A B A B
P
A B P Q
Q
A P
∪B
Q
∈ R − 5x + 6 = 0
x x2
A
∨ ∧ Q
∩B P
x2
− 3x + 2 = 0 P
{ }
Q B = 2, 3 x2 5 x + 6 = 0 x 3x + 2 = 0 x2 3x + 2 = 0 x2 5x + 6 = 0 x
−
−
A
−
∪ B = {1, 2, 3}
A
{ }
A = 1, 2
∈ {1, 2, 3} ∈ {2} x = 2
∩ B = {2}
x2
−
A
(A
∪ B = B ∪ A,
∪ B ) ∪ C = A ∪ (B ∪ C ),
∩ ∪
(A
∩ ∪ ∩
∪ ∩ ∪
A (B C ) = (A B ) (A C ).
∪ B = B ⇔ A ⊂ B ⇔ A ∩ B = A.
A
A C
∪ B)
B
= A C
U
∩B
C
e P
Q
∩ B ) ∩ C = A ∩ (B ∩ C ).
∪ ∩
A (B C ) = (A B ) (A C ),
(A
∩ B = B ∩ A.
A
∼ P ∼ Q
(A Q
C
∩ B)
= A C
∼ P ∼ Q
C
∪B . P
P U
Q A B
U
⇔ ⇒ ∼ ∨ ∧
A = B P Q A B P Q AC P A B P Q A B P Q
⊂ ∪ ∩
P Q
∅
∈∅
∅
A
⊂∅
∅
∈ {∅}
∅
⊂ {∅}
∪ B = B ⇔ A ⊂ B ⇔ A ∩ B = A
⊂ U
A, B
C
= A C
C
= A C
∪ B) (A ∩ B ) (A
∩B ∪B
C C
P Q R U A B C Q R R A
U A B
C
AC
∩ B ⊂ C
AC
P P Q
C
⊂ B ∪ C
A
\
C
AC
∪ B ⊂ C C
C C
∪ B ⊂ C
C
⊂ B ∪ C {
∈
∈ }
B A = x ; x B e x / A .
\ ∅ B \ A = B
⊂ A A ∩ B = ∅
B A =
B
\
\
B A = A B
A = B
\ \
\ \
A (B C ) = (A B ) C.
√ x + x = 2
√ x + 3 = x 2
⇔ x − 2x + 1 = 0 ⇔ x − 2 · 1 + 1 = 0 ⇔ x − 1 = 0 ⇔ x = ±1 x = 1 ⇔ x = ±1 x = 1
2 2
A B
C
A
∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ C.
P (x) x P (x) P (x)
x x A
x P (x)
U
x n x x
x2 = 1 n2 > n x > 1 x2 < 1
−
n
n>x n n>x
F M C P
x
4
P (A)
A A f : A
A
f
∈
}
A ; x / f (x)
→ P (A) { ∈
X = x
x r P r
s r
∩ s = {P }
{x}
P
∩ s = P A
{. . .} A =
A =
{
A = 2n ; n
∈ Z}
1
2
N
⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.
∈ A
a a
{a} ⊂ A B
A a
⊂ A {a} ∈ A a
A A
∼ Q ⇒∼ P
Q
⇒
P
Q
P
Q
P
x3 n Q
− 2x + 1 = 0 ⇒ x ⇒ n
2
+x
− 1 = 0 4
⇒ Q ∈ N ⇒ n ∈ Z
n n n
n n
n
n > 1
1 n
5
P
Q
⇒ Q
P P P
⇒Q
P
P
a > b c a2 = b 2 + c2
Q
⇒ Q
P
⇒ Q
P Q P
P
Q P
Q P
⇒Q
P Q
P
{ ∈ Z ; x > 10}
{ ∈ Z ; x < 20}
A = x A
Q
B= x
∪ B = Z
A
∈ ∪
x A
B B
x
a=b
a
b α
β
ABC
A B C
