>1
ère
partie :
Continuité, théorème des valeurs intermédiaires
>2
e
partie :
Produit scalaire dans le plan et dans l’espace
Séquence 3 – MA02
101
1ère partie : Chapitre 1
> Continuité A B A C A D C A
Chapitre 2
............................................................................................................................................................. 105
Définitions Propriétés Fonctions continues et fonctions dérivables La fonction partie entière
> Théorème des valeurs intermédiaires A B A C A D C A
Énoncé du théorème Cas particuliers des fonctions strictement monotones Recherche de f(I) Valeurs approchées des solutions de : f(x) = 0
Chapitre 3
> Exercices d’apprentissage
Chapitre 4
> Aspects plus théoriques A B A
.......................................................... 109
....................................................................................................... 116
.............................................................................................................. 117
Théorème des valeurs intermédiaires Bijections,, fonctions réciproques Bijections
Chapitre 5
> Synthèse
Chapitre 6
> Exercices d’entraînement
.................................................................................................................................................................... 120
> Aides aux exercices
........................................................................................................ 121
............................................................................................................................. 123
Sommaire séquence 3 – MA02
103
Continuité A
Définitions On considère la fonction fonction f définie définie sur sur un un intervalle intervalle ouvert I contenant contenant le réel x 0 et dont dont la courbe représentative est donnée ci-dessous. y
f (xo)
x
xo
O
Cette fonction ne possède pas l’une des propriétés que l’on rencontre habituellement lors de l’étude de fonctions comme les fonctions polynômes, rationnelles, racine carrée, etc ... : « il est impossible de tracer la courbe représentative de f sans lever le crayon de la feuille ». C’est cette régularité que nous allons formaliser. Sur notre exemple, nous pouvons remarquer que f admet une limite à droite de x 0 et une limite à gauche de x 0 mais ces deux limites sont différentes et f n’admet donc pas pas de limite limite en x 0 . Pour Pour pouvoir pouvoir tracer cette courbe « sans lever le crayon crayon », il aurait fallu que f admette une limite en x 0 et que cette limite soit égale à f ( x 0 ) . C’est ainsi que nous allons définir la continuité.
Définition
Soit f une fonction définie sur un intervalle contenant x 0 . f est continue en x 0 si : lim f ( x ) = f ( x 0 ) . x → x0
Définition équivalente Exemple ᕡ
Soit f une fonction définie sur un intervalle contenant x 0 . f est continue en x 0 si : li m f ( x 0 + h ) = f ( x 0 ) . h→0
Soit f la fonction définie sur ޒpar : f( x)
sin x si x 0 et f 0 ≠ ( ) x
= ----------
=
1 . Montrer que f est continue en 0.
sin x est le taux d’accroissement de la fonction sinus entre 0 et x, on a donc : x sin x lim ---------- = sin ′ ( 0 ) = cos 0 = 1 . Ainsi : lim f ( x ) = 1 = f ( 0 ) et f est continue en 0. x→0 x x→0 ----------
Séquence 3 – MA02
105
1
y
A Ꮿf
0 –6
–4
–2
0
2
4
6
x
sin x est définie sur *. Sa courbe représentative semble passer ޒ x par le point A ( 0 ; 1 ) mais ce n’est pas le cas puisque g n’est pas définie en 0. Il est assez naturel de prolonger g en 0, on obtient alors la fonction f. On dit que f est un prolongement par continuité de g en 0. La fonction g définie par g ( x )
Définition (continuité sur un intervalle) Remarque
= ----------
Soit f une fonction définie sur un intervalle I. f est continue sur I si f est continue en tout point de I.
̈ Graphiquement
cela signifie que l’on peut tracer la courbe représentative de f sur I « sans lever le
crayon ».
B
Propriétés En utilisant les propriétés sur les limites (séquence 1), on obtient immédiatement que : • Si f et g sont continues en x 0 alors f + g et f ⋅ g sont continues en x 0 . f • Si f et g sont continues en x 0 et si g ( x0 ) est différent de 0 alors -- est continue en x0 . g • Si f est continue en x 0 et g est continue en f ( x 0 ) alors g f est continue en x 0 . Ⴆ
On déduit de cela et des résultats sur les limites (séquence 1) que les fonctions polynômes, rationnelles, racines carrées, trigonométriques trigonométriques sont continues sur leurs ensembles de définition .
C
Fonctions continues et fonctions dérivables Propriété Si f est dérivable en x 0 alors f est continue en x0 . En effet, si f est dérivable en x 0 alors : f ( x0 + h )
=
f ( x 0 ) + hf ′ ( x 0 ) + h ε ( h ) où lim ε ( h )
lim f ( x 0 + h )
h→0
Remarque
106
Toutefois une ̈ Toutefois une
h→0
=
=
0 (cf. séquence 2). On en déduit :
f ( x0 ) et f est bien continue en x 0 .
fonction continue n’est pas forcément dérivable . dérivable . En effet la fonction racine carrée est continue sur son ensemble de définition définition donc en particulier en 0 mais n’est pas dérivable en 0 (elle est dérivable sur ] 0 ; + ∞[ ).
Séquence 3 – MA02
Exemple ᕢ
On considère la fonction f définie sur ޒpar : f ( x )
x .
=
f est-elle dérivable sur ? ޒ f est-elle continue sur ? ޒ Pour tout x > 0 , f ( x ) = x u définie sur ޒ+ * par u ( x )
x alors f est continue et dérivable sur ] 0 ; + ∞[ (puisque la fonction x est continue et dérivable).
= =
Pour tout x < 0 , f ( x ) = x = – x alors f est continue et dérivable sur ] – ∞ ; 0 [ (puisque la fonction v définie sur * – ޒpar v ( x ) = – x est continue et dérivable). Il reste à étudier la dérivabilité et la continuité en 0. On
lim f ( x )
a:
lim f ( x )
x→0 x<0
x→0 x>0 =
lim x
x→0 x<0
=
=
lim
lim x
x→0 x>0
x→0 x<0
x
–
=
=
lim x
x→0 x>0
0
=
(x
=
x
x . Ainsi : lim f ( x )
0 pour ( x
= –
x>0)
po pour
x→0
0
=
=
et
f ( 0 ) et f est
continue en 0. Étudions la dérivabilité de f en 0. Pour x > 0 ,
f ( x ) – f ( 0 ) ------------------------x – 0
x
0
x x
– = ----------------- = -- =
x
f ( x ) – f ( 0 ) ------------------------x – 0 x→0
1 , donc lim
=
1;
x>0
f(0) Pour x < 0 , f---(--x---)-- – --------------x – 0
x
0
x x
f ( x ) – f ( 0 ) ------------------------x – 0 x→0
– – = ----------------- = ------ = –
x
1 , donc lim
1 . Ainsi f n’est pas
= –
x<0
dériv dérivabl ablee en 0 ( Ꮿf admet admet deux deux demi-t demi-tang angent entes es au poin pointt d’abs d’abscis cisse se 0). En conclusion, f est continue sur ޒet dérivable sur *ޒ.
Illustration graphique
Soit f une fonction dont la courbe Ꮿ représentative est tracée ci-dessous. Ꮿ peut être tracée « sans lever le crayon » par contre elle admet au point d’abscisse 1 deux demi-tangentes. demi-tangentes. f est continue en 1 mais n’est pas dérivable en ce réel. y Ꮿ
4
2
0 –0,5
D
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
x
La fonction partie entière On, considère la fonction partie entière définie sur égal à x. Alors si n ≤ x < n + 1 ( n ∈ ) ޚ, E ( x )
=
ޒ
par : E ( x ) est le plus grand entier inférieur ou
n. Séquence 3 – MA02
107
Par exemple : E ( 1 ,23 23)
=
1 ; E(π)
=
3 ; E ( – 5 , 12 124 )
6 ; E ( – 0 ,01 )
= –
1 et E ( 148 )
= –
=
148 .
Voici la courbe représentative de la fonction E dans un repère ( O ; i , j ) :
y 3 2
Cela signifie signifie que E(3) E(3) est égal à 3 et non à 2. x 3
0
Cette fonction semble donc être continue en tout réel non entier relatif et discontinue (c’est-à-dire non continue) en tout entier relatif. relatif. Montrons ce résultat. ̈
Soit x ∈ ޚ \ ޒ. Il existe alors un entier n tel que n < x < n + 1 . n
x
n+1
I
Il existe donc un intervalle ouvert contenant x et inclus dans l’intervalle ] n ; n + 1 [. Pour tout réel de I la fonction E vaut n. Ainsi lim E ( x + h ) = n = E ( x ) et E est continue en x. h→0
Soit n ∈ ޚ. Si x appartient à ] n – 1 ; n [ alors E ( x ) = n – 1 . On en déduit que E tend vers n – 1 quand x tend vers n tout en lui étant inférieur inférie ur.. Si x appartient appartien t à ] n ; n + 1 [ alors E ( x ) = n . On en déduit que E tend vers n quand x tend vers n tout en lui étant supérieur. E n’admet donc pas de limite en n (car E ( x ) tend vers 2 valeurs différentes selon que x tend vers n en lui étant inférieur ou supérieur). ̈
En conclusion E est continue sur
108
Séquence 3 – MA02
ޒ
\ ޚet discontinue sur ( ޚnon continue en tout point de )ޚ.
Théorème des valeurs intermédiaires A
Énoncé du théorème
Théorème
Soient f une fonction définie et continue sur un intervalle I et a et b deux réels de I. Pour tout k compris entre f ( a ) et f ( b ) , il existe un réel c compris entre a et b tel que : f ( c ) = k .
Remarque
̈
Ce théorème est démontré chapitre 4. y
f (a) k
f (b) x a
Remarque
O
c
b
Si f est une fonction continue sur I, il suffit de trouver 2 réels a et b tels que k soit compris entre f ( a ) et f ( b ) pour prouver que l’équation f ( x ) = k admet au moins une solution dans [ a ; b ] .
̈
Si f est une fonction continue sur un intervalle I et a et b deux réels de I tels que f ( a ) × f ( b ) < 0 (c’est-à-dire : f ( a ) < 0 et f ( b ) > 0 ou f ( a ) > 0 et f ( b ) < 0 ) alors l’équation f ( x ) = 0 admet au moins une solution dans [ a ; b ] . ̈
Exemple ᕣ
Montrer que l’équation : cos x
=
π
x admet une solution (au moins) dans 0 ; -- . 2
Considérons la fonction f définie sur
π
π
f ⎛⎝ -- ⎞ = – -- . 0 appartient à 2⎠ 2 cos c = c .
Exemple ᕤ
ޒ
par : f ( x )
=
cos x – x . f est continue et : f ( 0 )
π ; 1 donc il existe c ∈ 0 ; -π- tel que : f ( c )
– --
2
2
=
=
1 ,
0 c’est-à-dire :
Soit f une fonction continue définie sur [ 0 ; 1 ] et telle que pour tout x appartenant à [ 0 ; 1 ] , f ( x ) appartient à [ 0 ; 1 ] . On considère la fonction g définie sur [ 0 ; 1 ] par g ( x ) = f ( x ) – x . a) Montrer que : g ( 0 ) ≥ 0 et g ( 1 ) ≤ 0 . b) En déduire que l’équation f ( x )
=
x admet (au moins) une solution.
1 c) En déduire que l’équation : -----------------x2 + 1
=
x admet au moins une solution sur [ 0 ; 1 ] .
• f ( 0 ) ∈ [ 0 ; 1 ] donc : f ( 0 ) ≥ 0 et g ( 0 ) g ( 1 ) = f ( 1 ) – 1 ≤ 0 .
=
f ( 0 ) – 0 ≥ 0 ; f ( 1 ) ∈ [ 0 ; 1 ] donc : f ( 1 ) ≤ 1 et
Séquence 3 – MA02
109
• La fonction fonction g est continue continue sur [ 0 ; 1 ] donc d’après d’après le théorème théorème des valeurs valeurs intermédi intermédiaires aires,, g ( x ) prend toutes les valeurs comprises entre g ( 0 ) et g ( 1 ) . g ( 0 ) est positif ou nul, g ( 1 ) est négatif ou nul donc il existe c appartenant à [ 0 ; 1 ] tel que : g ( c ) = 0 c’est-à-dire f ( c ) – c = 0 . Ainsi l’équation f ( x ) = x admet au moins une solution c. • Soit f la fonction fonction définie définie sur [ 0 ; 1 ] par f ( x ) = ---------1--------- . f est continue continue et, de plus pour tout x x2 + 1 appartenant appartena nt à [ 0 ; 1 ] , on a successivement successi vement : 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ x 2 ≤ 1 , 1 ≤ x 2 + 1 ≤ 2 , 1 1 1 1 ≤ x 2 + 1 ≤ 2 , ------- ≤ ------------------ ≤ 1 . Ainsi pour tout x de [ 0 ; 1 ] , f ( x ) appartient à ------- ; 1 2 2 x2 + 1 donc à [ 0 ; 1 ] . Ainsi (d’après a) et b)) l’équation f ( x ) = x admet au moins une solution dans [0 ; 1 ] .
B
Cas particuliers des fonctions strictement monotones Le théorème des valeurs intermédiaires nous prouve l’existence d’une solution à une équation mais ne nous donne aucune information sur l’unicité. Ce théorème a toutefois un corollaire 1 qui nous prouve sous certaines conditions l’unicité d’une telle solution. Corollaire
Soient f une fonction définie, continue et strictement monotone sur un intervalle I et a et b deux réels de I. Pour tout k compris entre f ( a ) et f ( b ) , il existe un unique réel c compris entre a et b tel que : f( c) = k . Démonstration
A connaître
Supposons f strictement croissante (le cas f strictement décroissante est parfaitement similaire). Soient a et b deux éléments de I tels que a < b . On a alors : f ( a ) < f ( b ) (f strictement croissante). Soit k tel que : f ( a ) < k < f ( b ) . Le théorème des valeurs intermédiaires nous prouve alors qu’il existe au moins un réel c ∈ ] a ; b [ tel que : f ( c ) = k . Montrons que cette solution est unique. Si x > c alors f ( x ) > f ( c ) = k donc l’équation f ( x ) = k n’admet aucune solution x telle que : x>c. Si x < c alors f ( x ) < f ( c ) = k donc l’équation f ( x ) = k n’admet aucune solution x telle que : x
Propriétés Soient a et b deux réels tels que a < b . • Si f est une fonct fonction ion cont continue inue et stri strictemen ctementt croi croissan ssante te (resp (resp.. décro décroissan issante) te) sur [ a ; b [ et si lim f ( x ) = ᐉ existe (ᐉ est réel ou est éventuellement égal à + ∞ ou – ∞ ) alors pour tout k x→b x
appartenant à [ f ( a ) ; ᐉ [ (resp. ] ᐉ ; f ( a ) ] ) l’équation f ( x ) = k admet une unique solution dans [a ; b [ . • Si f est une fonc fonction tion cont continue inue et stri strictemen ctementt crois croissant santee (resp (resp.. décro décroissan issante) te) sur ] a ; b [ et si lim f ( x ) = ᐉ et lim f ( x ) = ᐉ ′ existent (on peut avoir ᐉ = ± ∞ ou ᐉ ′ = ± ∞ ) alors pour x→a x>a
x→b x
tout k appartenant à ] ᐉ ; ᐉ ′[ (resp. ] ᐉ ′ ; ᐉ [ ) l’équation f ( x ) ]a ; b [ . Les autres résultats ( a = – ∞, ... ) sont similaires similaires.. 1.Corollaire : proposition résultant d’un théorème 110
Séquence 3 – MA02
=
k admet une unique solution dans
Exemple ᕥ
1 . 4
Déterminer le nombre de solution de l’équation : x 1 + x
= – --
x 1 + x + 1-- . f est définie sur [ – 1 ; + ∞[ 4 ( 1 + x ≥ 0 ⇔ x ≥ – 1 ) et dérivable sur ] – 1 ; + ∞[ (la fonction racine carrée étant dérivable sur ] 0 ; + ∞[ . Pour tout x appartenant appartena nt à ] – 1 ; + ∞[ , on a :
Considérons la fonction f définie par : f ( x )
f ′ ( x )
=
=
1 1 × 1 + x + x × ------------------- + 0 2 1+x 2(1 x) x 2 1 x
1 x×2 1 x x 2 1 x 2 1 x
+ + = ----------------------------------------- + ------------------+ +
3x 2 . 2 1 x
+ + + = ---------------------------- = ------------------+ +
Ainsi f ′ ( x ) et 3x + 2 ont le même signe, on a : 2 f ′ ( x ) > 0 ⇔ 3 x + 2 > 0 ⇔ 3 x > – 2 ⇔ x > – -- . On en déduit le tableau de variations de f : 3 1
+∞
2 3
–
x
– --
–
signe de f ′
0
+ +∞
1 -4
f
a
f ( – 1 ) a
=
1 ; lim x 4 x→+∞
= --
2 f ⎛⎝ – --⎞ 3⎠
=
=
lim
x→+∞
1+x
⎛ – 2--⎞ × 1 + ⎛ – 2--⎞ + 1-⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ 4
=
f est strictement monotone et continue sur Ainsi l’équation f ( x )
=
=
x→+∞
⎛ – 2--⎞ × 1-- + 1-⎝ 3⎠ 3 4
+∞ ;
=
2 3 1 4 9
– = -------------- + --
Ӎ
0 13 < 0 .
– ,
2 2 < 0. 1 ; – -- , f ( – 1 ) > 0 et f ⎛⎝ – --⎞ 3 3⎠ 2 1 ; – -- . 3
–
2 2 ; + ∞ , f ⎛⎝ – --⎞ < 0 et lim f ( x ) 3 3⎠ x→+∞
– --
0 admet une unique solution dans
L’équation x 1 + x + 1-- = 0 ou x 1 + x 4 Remarque En ce qui concerne la rédaction :
f( x)
–
0 admet une unique solution dans
f est strictement monotone et continue sur Ainsi l’équation f ( x )
+ ∞ donc lim
=
=
+∞.
2 ;+∞ . 3
– --
1 admet donc 2 solutions réelles. réelle s. 4
= – --
̈ Dans un tableau de
variations, les flèches obliques exprimeront la continuité et la stricte monotonie de la fonction considérée. Ainsi, dans l’exemple précédent, il sera suffisant d’écrire : d’écrire : ̈
« D’après le tableau de variations de f, l’équation f ( x )
2 1 ; – -- et l’autre dans 3
–
C
=
0 admet deux solutions, l’une dans
2 ; + ∞ ». 3
– --
Recherche de f(I) Si I est un intervalle et f une fonction, f ( I ) désigne l’image de I par f c’est-à-dire l’ensemble des images f ( x ) où x est un élément de I. On cherche à déterminer sous certaines conditions l’ensemble f( I) . Séquence 3 – MA02
111
y
f (I)
O I
Si f est une fonction continue et croissante (resp. décroissante) sur [ a ; b ] alors : Pour tout x de [ a ; b ] , f ( a ) ≤ f ( x ) ≤ f ( b ) (resp. f ( b ) ≤ f ( x ) ≤ f ( a ) ) ; f ( x ) prend toutes les valeurs comprises entre f ( a ) et f ( b ) (y compris f ( a ) et f ( b ) bien sûr). On déduit de cela que f ( [ a ; b ] )
=
[ f ( a ) ; f ( b ) ] (resp. f ( [ a ; b ] )
=
[ f( b) ; f ( a ) ] )
Ici, la monotonie n’est pas nécessairement stricte. Ces résultats se généralisent :
Propriétés Soient deux réels a et b tels que : a < b . • Si f est une fonc fonction tion continu continuee et stri stricteme ctement nt croissante croissante (resp. (resp. stric strictemen tementt décroissant décroissante) e) sur [ a ; b [ et si lim f ( x ) = ᐉ existe (ᐉ est réel ou est éventuellement égal à + ∞ ou – ∞ ) alors : x→b x
f ( [ a ; b [) = [ f ( a ) ; ᐉ [ ; (resp. ] ᐉ ; f ( a ) ] . • Si f est une fonc fonction tion continu continuee et stri stricteme ctement nt croissante croissante (resp. (resp. stric strictemen tementt décroissant décroissante) e) sur ] a ; b [ et si lim f ( x ) = ᐉ et lim f ( x ) = ᐉ ′ existent (on peut avoir ᐉ = ± ∞ ou ᐉ ′ = ± ∞ ) x→a x>a
x→b x
alors : f ( ] a ; b [ ) = ] ᐉ ; ᐉ ′[ ; (resp. ] ᐉ ′ ; ᐉ [ . Les autres résultats ( a = – ∞, ... ) sont similaires similaires..
Exemple ᕦ
Soit f la fonction définie par : f ( x )
cos x . 2 sin x
= -------------------+
a Montrer que f est définie sur ޒ.
π π
b Déterminer f ⎛⎝ – -- ; -- ⎞ . 2 2 ⎠ • Pour Pour tout x réel, sin x ≥ – 1 et donc sin x + 2 ≥ 1 > 0 . Ainsi Ainsi sin x + 2 ne s’annule s’annule pas ce qui prouve que f est définie sur ޒ. 112
Séquence 3 – MA02
• f est est déri dérivvable able sur sur ( ޒquotient de fonctions dérivables) et pour tout x ∈ ޒ, – sin x ( 2 + sin x ) – cos x ( cos x ) – 2 sin x – sin2 x – cos2 x f ′ ( x ) = ---------------------------------------------------2------------------------- = ------------------------------------------2---------------- . ( 2 + sin x ) ( 2 + sin x ) 2 1⎞ ⎛ = – --------------------------- × sin x + -2 ⎝ 2⎠ ( 2 + sin x )
π ; -π- . On a :
Étudions f sur
– --
2 2
1 π ⎞ ⇔ x ∈ f ′ ( x ) > 0 ⇔ sin x + 1-- < 0 ⇔ sin x < – -- ⎛⎝ = sin ⎛⎝ – -- ⎞ 2 6⎠ ⎠ 2 2 2
π
π
– --
π
– --
2
--
6
+
0
2
–
3 3
-------
f 0
π π f ⎛⎝ – -- ; -- ⎞ 6 2 ⎠
D
=
=
0
3 3 2 2 3 ⎛ π π ⎞ ------------------------- = ---------------- = ------- × -- = ------- . Ainsi : f – -- ; – -⎝ 2 6 ⎠ 2 3 3 – π – 1 sin ------- + 2 ------ + 2 6 2 π π = 0 ; ------3- . 3 0 ; ------- et donc : f ⎛⎝ – -- ; -- ⎞ 3 2 2 ⎠ 3 –
– π On a : f ⎛⎝ -------⎞ 6 ⎠
6
– --
signe de f ′
π
2
π ; -π- :
On en déduit le tableau de variations de f sur x
π; π .
– -- – --
cos ------6
-------
Valeurs aleurs appro approchées chées des solutions solutions de : f ( x )
=
=
3 0 ; ------- et 3
0
On se place sous les hypothèses : f est une fonction continue strictement monotone sur un intervalle [ a ; b ] , f( a ) × f( b) < 0 . On sait alors que l’équation l’équati on f ( x ) = 0 admet une unique solution c dans [ a ; b ] . On essaie, ici, de déterminer une valeur approchée de c.
1) La dichotomie a + b⎞ a + b⎞ --------------- ≤ 0 ou f ⎛⎝ -----est du signe de f ( a ) ou du signe de f ( b ) donc : f ( a ) × f ⎛⎝ -----⎠ 2 2 ⎠ a + b⎞ ⎛ a -+-------b-⎞ = 0 , on a : c = -a------+-------b- . La recherche -------- × f ( b ) ≤ 0 . Bien sûr si : f -----f ⎛⎝ -----recherc he du signe de ⎝ 2 ⎠ 2 ⎠ 2 a + b⎞ a+b a+b -------------------- ou à ------------- ; b . En réitérant f ⎛⎝ -----nous permet donc de savoir si c appartient à a ; 2 ⎠ 2 2 l’opération avec le nouvel intervalle, on peut obtenir un encadrement de plus en plus précis de c. On dit, alors, qu’on procède « par dichotomie ». L’algorithme ’algorithm e suivant nous fournit une valeur approchée à 10 – n près de c : Algorithme Lire a Lire b Lire n Tant que b – a > 10 – n a + b⎞ --Si f ⎛⎝ ---------2 ⎠
=
0
Programme TI 83 plus Prompt A Prompt B Prompt N While B – A > 10 ^ ( – N ) If Y1 ( ( A + B ) ⁄ 2 ) = 0
Séquence 3 – MA02
113
Alors Afficher : « c
=
»,
Then Disp « C Stop
a+b ------------ ,, 2
Arrêter Sinon Si
Else If Y 1 ( A ) × Y1 ( ( A + B ) ⁄ 2 ) < 0 Then ( A + B ) ⁄ 2 → B
a + b⎞ --- < 0 f ( a ) × f ⎛⎝ ---------2 ⎠ Alors dans b mettre
Else ( A + B ) ⁄ 2 → A
a+b -----------2
END END END
Sinon Dans a mettre
a+b -----------2
Fin du Si Fin du Si Fin du Tant que Afficher a
Remarques concernant le programme sur TI 83 Exemple
», ( A + B ) ⁄ 2
=
Disp « C
», A
=
La fonction fonction f devra être rentrer dans dans Y1 , la la plupart plupart des fonctions If, Disp, ... s’obtiennent grâce au menu PRGM , Y 1 s’obtient grâce au menu VARS , = s’obtient grâce au menu 2nd TEST et → s’obtient grâce à la touche ST O .
2) Recherche par « balayage » La fonction f définie sur ޒpar f ( x ) = x 3 – 2 est strictement croissante sur ( ޒf ′ ( x ) = 3x 2 ) . De plus, f ( 1 ) = – 1 et f ( 2 ) = 6 . L’équation ’équatio n f ( x ) = 0 admet donc une unique racine c dans [ 1 ; 2 ] 3 (en fait c = 2 ). On cherche une valeur approchée de c à 10 – 2 près. Utilisons le tableur pour déterminer les valeurs de f ( 1 ,01 0 1 ) , f ( 1 ,02 0 2 ) , ..., f ( 1 ,99 99) : A
B
1
1 2
A 1 + 0 , 01 01 et on étend à la colonne A =
A1 ∧ 3 – 2 et on étend à la colonne A =
On repère alors dans le tableau le changement de signe des valeurs de f ( x ) . A
B
24
1,23
– ,
0 139 133
25
1,24
– ,
26
1,25
– ,
27
1,26
0,000 376
28
1,27
0,048 383
0 093 376 0 046 875
Changement de signes
On en déduit : 1 ,25 < 3 2 < 1 ,26 .
Exemple ᕧ
On considère, considère, dans un repère orthonormal, orthonormal, la parabole d’équation y 2 tion y = -- . x a) En combien de points ces courbes se coupent-elles ?
=
x 2 – 4 et l’hyperbole d’équa-
b) Donner des valeurs approchées (à 10 – 3 près) des coordonnées de ces points. points. • Les points points d’intersect d’intersection ion des deux courbes courbes sont sont les points de ces courbes courbes dont l’absci l’abscisse sse vérifient vérifient 2 2 l’équation l’équati on : x 2 – 4 = -- ⇔ x 2 – 4 – -- = 0 . x x
114
Séquence 3 – MA02
2 x 2 – 4 – -- , f est dérivable sur *ޒet pour tout x 2 2 2x 3 + 2 x de * ޒ: f ′ ( x ) = 2x – 0 – ⎛⎝ – ----2-⎞ = 2x + ----- = ----------------- . On a donc : x ⎠ x2 x2 f ′ ( x ) > 0 ⇔ 2x 3 + 2 > 0 ⇔ x 3 > – 1 ( = ( – 1 ) 3 ) ⇔ x > – 1 (la fonction cube est strictement croissante sur )ޒ. On en déduit les variations de f : Considérons la fonction f définie sur
*ޒ
par f ( x )
∞
x
=
1
–
–
signe de f ′
0
+∞
0
–
+
+
+∞
+∞
+∞
f –∞
1
–
lim
x→+∞
x2
=
l im x 2
x → – ∞
=
+∞,
1 -x→+∞ x lim
1 -x → – ∞ x lim
=
1 -x→0 x
= –
=
0.
On en déduit : lim
x→+∞
f(x)
=
lim f ( x )
x → – ∞
=
1 -x→0 x
+ ∞ . De plus, lim
=
+ ∞ et lim
x>0
lim f ( x )
x→0 x>0
∞
= –
et
D’après le tableau de variations, variations, l’équation f ( x ) b ∈ ] – 1 ; 0 [ et c ∈ ] 0 ; + ∞[ .
∞ . On en déduit :
x<0
lim f ( x )
x→0 x<0 =
=
+∞.
0 admet 3 solutions : a ∈ ] – ∞ ; – 1 [ ,
• Par dichoto dichotomie mie et à l’aide l’aide de la calculatri calculatrice, ce, on obtient obtient : – 1 ,675 2 < a < – 1 ,675 1 ; – 0 ,539 2 < b < – 0 ,539 1
et
2 ,214 3 < c < 2 ,21 214 4
(on pourra, à l’aide l’aide du du tableau de variations, variations, remarquer que a est supérieur à – 2 et c inférieur à 3). Alors : ( – 1 ,675 1 ) 2 – 4 < a 2 – 4 < ( – 1 ,675 2 ) 2 – 4 d’où – 1 ,195 < a 2 – 4 < – 1 ,193 ; ( – 0 ,539 1 ) 2 – 4 < b 2 – 4 < ( – 1 ,539 2 ) 2 – 4 d’où – 3 ,710 < b 2 – 4 < – 3 ,709 ; 2 ,214 3 2 – 4 < c 2 – 4 < 2 ,214 4 2 – 4 d’où 0 ,903 < c 2 – 4 < 0 ,904 . Les points d’intersection sont alors (les coordonnées sont données à 10 – 3 près) : A ( – 1 , 67 675 ; – 1,194) ; B ( – 0 , 53 539 ; – 3 ,709 ) et C ( 2 ,214 ; 0 ,903 903) .
C j O
i
A
B
Remarque
Pour obtenir des encadrements des ordonnées suffisamment suffisamment précis, il a été nécessaire, ici, de don- ner des encadrements de a, b et c d’amplitude 10 – 4 . ̈
Séquence 3 – MA02
115
Exercices d’apprentissage Exercice ᕡ
Exercice ᕢ
Montrer que les fonctions suivantes sont continues en a : x 2 si x ≠ 4 et f ( 4 ) x 4
ᕡ
f( x)
– = -------------- –
ᕢ
f( x)
=
xE ( x ) ; a
=
4.
0.
=
Pour chacune des équations suivantes, déterminer le nombre de solutions sur I et en donner des valeurs approchées : ᕡ
x 5 – 5x + 5 x
=
1 ;I 5
ᕢ -------------- = --
x4 + 3
ᕣ ᕤ
116
1 ;a 4
= --
Séquence 3 – MA02
sin3 x + cos3 x
0 ;I
= ޒ
.
= ޒ
=
1 + x + 1 – x
0 ,8 ; I =
=
1 ,5 ; I
π
0 ; -- . 2
[ 1 ; 1] .
= –
Aspects plus théoriques A
Théorème des valeurs intermédiaires Rappelons et démontrons le théorème des valeurs intermédiaires
Théorème
Soient f une fonction définie et continue sur un intervalle I et a et b deux réels de I. Pour tout k compris entre f ( a ) et f ( b ) , il existe un réel c compris entre a et b tel que : f ( c ) = k . Ce résultat est graphiquement évident : il suffit de prendre pour c l’abscisse d’un des points d’intersection de la courbe et de la droite d’équation y = k . La continuité de la fonction nous prouvera que cette intersection existe bien (« on ne soulève pas le crayon de la feuille pour franchir la droite d’équation y = k »). La démonstration qui suit nous prouvera bien l’existence de c tout en nous donnant un moyen de donner des valeurs approchées de ce nombre. nombre. Démonstration
Considérons une fonction f définie et continue sur I. Soient deux éléments de I ( a < b ) et k strictement compris entre f ( a ) et f ( b ) . Montrons qu’il existe c ∈ [ a ; b ] tel que : f ( c ) = k . Supposons par exemple : f ( a ) < f ( b ) (le cas f ( a ) > f ( b ) est similaire). Nous allons construire le réel c par dichotomie. a + b⎞ -------On a : f ( a ) ≤ k et f ( b ) > k ⋅ f ⎛⎝ -----est soit inférieur ou égal à k soit strictement supérieur à k. 2 ⎠ a+b a+b -------- ou à ------------- ; b tel que : f ( a ) ≤ k Dans tous les cas il existe un intervalle [ a 1 ; b 1 ] = a ; -----1 2 2 et f ( b1 ) > k . On peut alors recommencer l’opération avec le nouvel intervalle [ a1 ; b 1 ] de manière à obtenir un intervalle [ a 2 ; b 2 ] de longueur moitié et tel que : f ( a 2 ) ≤ k et f ( b2 ) > k . y
y
y
y
k
k
k
f(b)
k
f(a)
O
a
b
O
a1
b1
O
a2
b2
O
a3 b3
On construit ainsi deux suites ( a n ) et ( bn ) telles que : f ( an ) ≤ k et f ( bn ) > k . Ces suites vérifient de plus est croi croiss ssan antte ( a n + 1 est est éga égal à a n ou au mili ilieu de [ an ; b n ] ) ; ( a n ) est ( bn ) est décroissante ; Séquence 3 – MA02
117
la longueur de [ a n + 1 ; b n + 1 ] est égale à la moitié de la longueur de [ a n ; b n ] et donc : b
a
b a tend vers 0. 2n 2n De telles suites sont dîtes adjacentes (cf. séquence 6). bn – a n
– 0 – 0 = ---------------- = -----------
Les suites ( a n ) et ( b n ) semblent converger vers le point c que l’on cherche. En fait, on verra (cf. séquence 6) que deux suites adjacentes convergent vers la même limite. Notons donc
ᐉ =
lim
n→+∞
an
=
lim
n→+∞
bn .
Pour tout n ∈ ގ, f ( a n ) ≤ k et f ( bn ) > k donc par passage à la limite : f ( ᐉ ) ≤ k et f ( ᐉ ) ≥ k . De ces 2 inégalités, inégalit és, on déduit : f ( ᐉ ) = k et ᐉ est donc bien solution de l’équation.
B
Bijections, fonctions réciproques 1) Définitions
Définition ᕡ
Soit f une fonction définie sur un intervalle I, on dit que f est une bijection de I sur J si : Pour tout élément x de I, f ( x ) appartient à J ; Tout élément de J admet un unique antécédent dans I par f.
Définition ᕢ Remarque
Théorème Exemple
Soit f une bijection de l’intervalle I sur l’intervalle J. La fonction g définie sur J par : g ( y ) est l’unique antécédent de y dans I par f est la fonction réciproque de f. ̈
g ( y ) est alors définie par : g ( y )
=
x ⇔ f(x)
=
y.
On considère une fonction f définie sur un intervalle I continue et strictement monotone. On sait alors que f ( I ) = J est un intervalle et que, d’après le théorème des valeurs intermédiaires : pour tout y de J , l’équation f ( x ) = y admet un unique antécédent x dans I. On en déduit le théorème : Si f est une fonction continue strictement monotone sur I alors f est une bijection de I sur sur f ( I ) . Considérons la fonction racine carrée : f définie sur [ 0 ; + ∞[ par : f ( x ) = x . Le tableau de variation de f est le suivant : +∞
0
x
+∞ f 0
On a : f strictement croissante sur [ 0 ; + ∞[ , f continue et f ( [ 0 ; + ∞[ ) Ainsi f est une bijection de ޒ+ sur ޒ+ . Pour tout y ≥ 0 , l’unique antécédent de y par f est y 2 . En effet : f ( y 2 ) = y 2 = y = y ( y ≥ 0 ) . On en déduit que la fonction :
⎧ ޒ+ → ޒ+ est la fonction réciproque de f. y2 ⎩y
=
[ 0 ; + ∞[ .
g:⎨
Exemple ᕨ
π
Montrer que la fonction cosinus est une bijection de 0 ; -- vers un intervalle que l’on déterminera. 2 π La fonction cosinus est dérivable sur 0 ; -- et : cos ′ = – sin . On en déduit le tableau de variations 2 de cette fonction : x
π
0
--
2
–
signe de – sin x 1 cos
0
118
Séquence 3 – MA02
π
On en déduit que la fonction cosinus est une bijection de 0 ; -- sur [ 0 ; 1 ] . 2 La fonction réciproque, réciproque, ici, n’est pas une fonction connue en terminale : c’est la fonction arccos et s’obtient à la calculatrice grâce aux touches 2nd cos .
2) Courbe représentative représentative d’une fonction réciproque Soit f une bijection de I sur J, on note g la fonction réciproque de f, Ꮿf et tatives respectives dans un repère orthonormal.
Ꮿg
leurs courbes représen-
On a : M ( x ; y ) ∈ Ꮿf ⇔ y
=
f(x) ⇔ x
=
g ( y ) ⇔ M ′ ( y ; x ) ∈ Ꮿg .
De plus, M ( x ; y ) et M ′ ( y ; x ) sont symétriques par rapport à la droite d’équation y
=
x.
M'
x
M
y
y
On en déduit que
x Ꮿ f
et
Ꮿg
sont symétriques par rapport à la droite d’équation y
=
x.
y
y = x2
y=x
3
y= x 2
1
x
0 0
Remarques
1
̈ Si Ꮿ
2
3
4
5
6
7
une tangente (non « horizontale ») alors alors par symétrie Ꮿ g f admet au point d’abscisse x, une
admet une tangente au point d’abscisse y = f ( x ) une tangente (non « verticale » car la symétrie ayant pour axe la droite d’équation y = x transforme les droites parallèles à l’axe des abscisses en droites parallèles à l’axe des ordonnées). On en déduit que si f est dérivable en x 0 et si f ( x 0 ) ≠ 0 alors g est dérivable en y 0 = f ( x 0 ) . Cette propriété peut être utile pour " construire " d’autres fonc- tions que les fonctions usuelles (cf. séquence 6). ′ ′
Séquence 3 – MA02
119
Synthèse Définition
f est continue en x0 si : • f es estt défi éfinnie en x 0 , •
120
lim f ( x )
x → x0
=
f ( x0 ) .
Théorème
Soient f continue sur un intervalle I, a et b deux éléments de I. Pour tout k compris entre f ( a ) et f ( b ) , l’équation f ( x ) = k admet au moins une solution c comprise entre a et b.
Théorème
Soient f continue sur un intervalle I, a et b deux éléments de I ( a < b ) . Si f ( a ) × f ( b ) < 0 alors l’équation f ( x ) = 0 admet au moins une solution dans ] a ; b [.
Théorème
Soient f continue et strictement monotone sur un intervalle I, a et b deux éléments de I. Pour tout k compris entre f ( a ) et f ( b ) , l’équation f ( x ) = k admet une unique solution c dans I et c appartient à [a ; b] .
Séquence 3 – MA02
Exercices d’entraînement Exercice ᕡ
Discuter le nombre de solutions de l’équation : x 3 – 6x 2 + 9x
Exercice ᕢ
que l’équation ( E ) : x 3 – 3x + 1 = 0 admet 3 solutions réelles et que celles-ci sont éléments de [ – 2 ; 2 ] . En donner des valeurs approchées à 10 – 2 près.
=
m selon les valeurs de m.
ᕡ Montrer
ᕢ a) Montrer que pour tout a réel,
cos 3a
=
4 cos3 a – 3 cos a .
1 2 cos a . Montrer que x est solution de ( E ) si et seulement si : cos 3a = – -- . 2 1 c) Résoudre dans ] – π ; π ] l’équation : cos 3a = – -- . 2 d) En déduire (sous une forme trigonométrique) trigonométrique) les valeurs exactes des solutions de ( E ) . b) Soit x
Exercice ᕣ
Exercice ᕤ
=
π
Soit f la fonction définie sur 0 ; -- par f ( x ) 2
=
cos2 x + sin x .
π
ᕡ Dresser le tableau de variations de f
sur 0 ; -- . 2
ᕢ Montrer que f est
--
une bijection de
π ; -π- sur un intervalle que l’on déterminera. 6 2
Montrer que si f est une fonction polynôme de degré impair, l’équation l’équati on f ( x ) une solution réelle.
=
0 admet au moins
Rappel Une fonction polynôme f définie sur de degré impair si n est impair.
Exercice ᕥ
par f ( x )
=
a n x n + a n – 1 x n – 1 + ... + a1 x + a0 ( a n ≠ 0 ) est
n un entier naturel fixé. Montrer que l’équation : x 4 – 4n x 3 – 1 tion dans ޒ+ . On note u n cette solution. ᕡ Soit
ᕢ Calculer
=
0 admet une unique solu-
u0 .
ᕣ Donner des valeurs approchées à ᕤ Déterminer
Exercice ᕦ
ޒ
lim
n→+∞
10 – 3 près de u 1 , u 2 et u 3 .
un .
Soit f la fonction définie sur ޒpar f ( x ) ᕡ Étudier la parité et
=
cos x ( 1 – 2 cos x ) .
la périodicité de f. En déduire qu’il est suffisant d’étudier f sur [ 0 ; π ] .
4 sin x ⎛⎝ cos x – 1--⎞ . 4⎠ 1 ᕣ Montrer que l’équation cos x = -- admet une unique racine α dans [ 0 ; π ] . 4 ᕤ Donner une valeur approchée à 10 – 3 près de α. ᕢ Montrer
que : f ′ ( x )
=
ᕥ Calculer la valeur exacte
de f ( α ) .
ᕦ Dresser alors le tableau de variations de f
Exercice ᕧ
sur [ 0 ; π ] puis sur [ – π ; π ] .
On décide de construire une boîte avec une feuille de papier cartonnée de 40 cm par 20 cm. Pour Pour cela, on retire un carré de chaque coin de la feuille et on replie les bords pour obtenir une boîte (sans couvercle) (cf. schéma ci-dessous).
Séquence 3 – MA02
121
carré de côté x
On cherche les dimensions des carrés à enlever pour obtenir une boîte de volume 1 litre. On décide d’utiliser le dm comme unité (on rappelle : 1 dm 3 enlevé. ᕡ Quel est l’ensemble I des
=
1 ᐉ ). On note x le côté du carré
valeurs pouvant être prises par x ?
ᕢ Exprimer les dimensions de cette boîte en fonction de x. ᕣ Montrer que le
volume de cette boîte est alors : V ( x )
=
4x 3 – 12x 12 x2 + 8x .
ᕤ Dresser les variations de V. ᕥ Quel est le volume maximum que peut
contenir cette boîte ?
ᕦ Montrer
qu’il est possible de construire, de cette façon, une boîte dont le volume est exactement 1 l. Donner les dimensions des « boîtes solutions ».
Exercice ᕨ
x 2 . x 1 ᕡ On considère la fonction g définie sur ޒpar : g ( x )
Soit f la fonction définie par f ( x )
– = -------------3+
=
2x 3 – 6x 2 – 1 .
a) Calculer g ′ ( x ) . b) Dresser le tableau de variations de g. c) En déduire que l’équation g ( x ) approchée de α à 10 – 3 près.
=
0 admet une unique solution α dans ޒ. Donner une valeur
d) Déterminer le signe de g ( x ) . ᕢ Quel est l’ensemble de définition Ᏸ f de ᕣ Déterminer les limites de f aux
f?
bornes de l’ensemble de définition. – g ( x ) ᕤ Montrer que pour tout x de Ᏸ f : f ′ ( x ) = --------------------- . ( x3 + 1)2 ᕥ Dresser alors le tableau de variations de f.
122
Séquence 3 – MA02
ides aux exercices Exercice ᕢ
ᕢ a) On pourra utiliser les formules :
Exercice ᕣ Exercice ᕤ
cos ( a + b ) = cos a cos b – sin a sin b , cos 2a = 2 cos2 a – 1 et sin 2a = 2 sin a cos a . b) Si x = 2 cos a alors : x 3 – 3x + 1 = 2 cos 3a – 1 , ... c) On a : cos a = cos b ⇔ a = b + 2k π ou a = – b + 2k π . 1 1 ᕡ On pourra montrer que : f ′ ( x ) = – 2 cos x ⎛ sin x – --⎞ et étudier le signe de ⎛ sin x – --⎞ . ⎝ ⎝ 2⎠ 2⎠ En l’infini, une fonction polynôme polynôme a même limite que son monôme de plus haut degré.
Exercice ᕥ
ᕤ En utilisant
Exercice ᕨ
ᕡ a)
le tableau de variations, on pourra montrer que : u n > 3n .
On déduira du tableau de variations de g son signe.
ᕥ On pourra utiliser 1.d). ■
Séquence 3 – MA02
123
2e partie Chapitre 1
Chapitre 2
Chapitre 3
Chapitre 4
> Produit scalaire dans le plan
........................................................................................... 127
A
Rappels
B A
Expression en repère orthonormal de la distance d’un point à une droite
> Produit scalaire dans l’espace A
Projections orthogonales dans l’espace
B A
Produit scalaire dans l’espace
C A
Exercices d’apprentissage
...................................................................................... 131
> Équations cartésiennes de plan
................................................................................ 135
A
Plan orthogonal à un vecteur passant par un point
B
Inéquation définissant un demi-espace
C
Exercices d’apprentissage
> Exercices d’entraînement > Aides aux exercices
...................................................................................................... 140
............................................................................................................................ 142
Sommaire séquence 3 – MA02
125
Produit scalaire scalaire dans le plan A
Rappels
Définition
On appelle produit scalaire du vecteur u par le vecteur v le nombre réel, noté u . v , défini par : 2 2 2 1 u . v = -- [ u + v – u – v ] (1). 2 u désigne la norme du vecteur vecteu r u , c’est-à-dire c’est-à -dire sa longueur.
ᕡ
Autres expressions du produit scalaire
a) Dans un repère orthonormal
Dans un repère orthonormal, considérons un vecteur u de coordonnées ( x ; y ) . Alors la longueur du vecteur u , notée u , est le réel u = x 2 + y 2 (2). En particulier particulie r, avec A ( x A, y A ) et B ( x B, yB ) , AB = ( x B – x A ) 2 + ( yB – yA ) 2 . Si dans un repère orthonormal, les coordonnées de u et v sont : u ( x : y ) et v ( x ′ ; y ′ ) , alors on peut démontrer à l’aide de (1) et (2) que u.v
=
x x ′ + yy ′ .
b) En fonction de la norme et de l’angle ( u, v ) .
Si u et v sont deux vecteurs vecteur s non nuls, et α la mesure de l’angle géométrique associé à u et à v u . v = u × v cos ( u, v ) On déduit immédiatement de cette expression que si π • Si α = -- r a d , alors u . v = 0 2 • Si α est aigu aigu,, alors u . v > 0 . • Si α est obtus obtus,, alors u . v < 0 .
=
u × v cos α
c) Cas particulier de deux vecteurs colinéaires.
Si les deux vecteurs u et v sont colinéaires et de même sens, alors u . v = u × v . Si les deux vecteurs u et v sont colinéaires et de sens contraire, alors u . v = – u × v . d) Projection orthogonale et produit scalaire.
A B et C D sont deux vecteurs, C et D se projettent orthogonalement orthogonalement en C ′ et D ′ sur la droite ( AB ) . Alors : A B . C D
=
AB . C′ D′ .
Dessin 1
D C
A
B
C'
D'
Pour calculer le produit scalaire A B . C D , on peut remplacer C D par son projeté orthogonal sur ( A B ). Séquence 3 – MA02
127
En particulier particulie r, avec u sur ( AB ) .
AB et v
=
=
AC , u . v
=
A B . A H où H désigne le projeté orthogonal de C
Dessin 2
C
A
Exemple résolu
H
B
Pour chacune des figures suivantes, suivantes, calculer u . v en choisissant l’expression du produit scalaire qui vous semble la mieux adaptée. Dessin 3
C
a
A
A u
v
u
a
B
a
v
1 O
Figure 1
1
Figure 2
B
A D
C
3
v
C
a
D
J
C
u I
2,5
v
u A
B
2,4
Figure 3
Figure 4
Figure 1 : u . v
=
CB . BA
C B B A cos 120 °
=
=
B
C B × B A × ⎛⎝ – 1--⎞ 2⎠
a2 2
= – -----
Le résultat est négatif car l’angle géométrique associé à ( u , v ) est obtus. obtus. Figure 2 : AB ( – 3 ; – 2 ) AC ( 2 ; – 4 ) donc A B . A C = – 3 × 2 + ( – 2 ) × ( – 4 ) Figure 3 : 2 2 2 1 u . v = A B . A D = -- [ u + v – u – v ] 2 1 1 u . v = -- ( AC 2 – AB 2 – AD 2 ) = -- ( 2 ,5 2 – 2 ,4 2 – 3 2 ) = – 4, 255 . 2 2
Propriétés
Le résultat négatif provient du fait que l’angle BAD BA D est obtus. obtus. Figure 4 : u . v = A I . A J = A I . A B = A I × A B = -a---2 Pour tous vecteurs vecteur s u , v , w et tous réels a et b u.v
=
u+v u – v
v . u ; u . (v + w) 2 2
=
u
=
u
( u + v ) ( u – v )
2 2 =
+
v
+
v u
2
2
u . v + u . w ; ( au ) . ( bv )
2u.v
+
2
=
2u.v
–
–
v
2 2
Le carré scalaire u . u , noté u , vérifie u 128
Séquence 3 – MA02
2
=
2
u .
=
a b ( u . v)
=
2
Produit scalaire et orthogonalité
ᕢ
Soit u et v deux vecteurs non nuls.
Dessin 4
D v C
u et v sont deux vecteurs orthogonaux signifie que si u
=
AB et
u
A
B
v = CD , alors les droites ( AB ) et ( CD ) sont perpendiculaires perpendiculaires.. Par convention conventi on le vecteur nul, 0 , est orthogonal à tout autre vecteur vecte ur.. Le résultat essentiel démontré en première est le suivant.
Théorème
Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul soit u . v
Exemple résolu
=
0.
Soit ABC un triangle rectangle en A, avec A B
=
2 a et AC
=
a.
C ′ est le symétrique de C par rapport à A et K le point défini par AK
1 AB . 4
= --
Montrer que les droites ( C ′ B ) et ( CK ) sont orthogonales. orthogonales. Dessin 5
Méthode 1.
C
Calculons C K . C ′ B . a
C K . C′B
B
K 2a
A
( CA + AK) . C′B = CA . C′ B + AK . C′B = C A . C ′ A + A K . A B = – CA × C ′ A + A K × A B 1 = – a 2 + -- a × 2a = 0 2 donc les droites ( CK ) et ( C ′ B ) sont orthogonales. orthogonales. =
C'
Méthode 2.
On choisit le repère orthonormal orthonormal ( A ; i , j ) tel que A B Les coordonnées des points sont : C ( 0 ; 1 ) ; K ( 0 ,5 ; 0 ) ; C ′ ( 0 ; – 1 ) et B ( 2 ; 0 ) .
=
2 i et AC
=
j.
C K ( 0 ,5 ; – 1 ) et C ′ B ( 2 ; 1 ) . C K . C′B
B
=
0 ,5 × 2 + ( – 1 ) × 1
=
0 et l’on retrouve le même résultat.
Expression en repère orthonormal de la distance d’un point à une droite du plan
Définition
ᕡ
Vecteur normal à une droite
Un vecteur n , non nul, est normal à une droite D si sa direction est orthogonale à D. Dessin 6
n C
Théorème
D
Toute droite de vecteur vecteu r normal n ( a ; b ) , avec a et b non tous les deux nuls, a une équation de la forme a x + b y + c = 0 . Séquence 3 – MA02
129
Réciproquement, l’ensemble des points M ( x ; y ) vérifiant a x + b y + c
=
0 , avec a et b non tous les
deux nuls, est une droite de vecteur normal n ( a, b ) . Nous admettons ce théorème que vous avez probablement vu en première et démontrerons un résultat analogue dans l’espace.
Expression en repère orthonormal de la distance d’un point à une droite dans le plan ᕢ
Formule
Dans un plan muni d’un repère orthonormal ( O ; i , j ) , on considère la droite D d’équation a x + b y + c = 0 et le point M 0 ( x 0 ; y 0 ) . On se propose de calculer la distance de M 0 à la droite D, c’est-à-dire la distance M 0 H où H désigne la projection orthogonale de M 0 sur D. Dessin 7
H n
Mo
j O
La méthode consiste à déterminer le réel k tel que M 0 H
=
i
kn .
Le vecteur n ( a ; b ) est normal à la droite D. M 0 H et n sont colinéaires ; il existe donc un réel k tel que M 0 H = kn , où k désigne un nombre réel non nul. Notons ( x ; y ) les coordonnées de H. Les coordonnées de M 0 H sont : M 0 H ( x – x 0 ; y – y0 ) . M 0 H = kn est équivalent à x – x 0 = ka et y – y 0 = kb soit x = x 0 + ka et y = y 0 + kb . De plus le point H appartient à la droite D donc ses coordonnées vérifient l’équation de D. On en déduit a ( x 0 + ka ) + b ( y 0 + kb ) + c – ax – by – c donc k = -----------0--2------------2-0--------- . a +b Or M 0 H
Théorème
Exemple résolu
=
kn
=
k n
=
=
0 . On a donc k ( a 2 + b 2 )
ax
by
a
b
c
– 0 – 0 – ----------------------------------2+ 2
× a2 + b2
ax
by
c
0+ 0+ = ----------------------------------
a2 + b2
.
Dans un repère orthonormal orthonormal,, la distance d d’un point M 0 ( x 0 ; y 0 ) à la droite D d’équation a x + b y + c = 0 est : ax + by + c d = --------0---------------0----------a2 + b2 Dessin 8
A
I
D
ABCD est un carré de côté 3 et I est le milieu de [ AD ] . Calculer la distance d de C à la droite ( BI ) en utilisant la formule ci-contre. 1 1 Choisissons le repère orthonormal orthonormal ⎛⎝ A ; -- AD ; -- AB⎞ . 3 3 ⎠ Dans ce repère, ( IB ) a pour équation y = – 2x + 3 soit 2 x + y – 3 = 0 . C( 3 ; 3 ) donc
K
d B
130
ax 0 – by 0 – c
= –
Séquence 3 – MA02
C
=
CK
2×3 3 3 22 + 12
6 5
6 5 . 5
+ – = --------------------------------- = ------- = ----------
Produit scalaire dans l’espace A
Projection Projection orthogonale sur un plan ᕡ
Projection orthogonale sur un plan
Dessin 9
M H ᏼ
est un plan et M un point extérieur à ᏼ. La perpendiculaire au plan ᏼ menée par M coupe le plan ᏼ en H. H est appelé le projeté orthogonal de M sur ᏼ. Si M appartient à ᏼ, M est sa propre projection orthogonale sur ᏼ. ᏼ
ᕢ
Projection orthogonale sur une droite
Dessin 10
Δ M
H ᏼ
Δ est une droite et M un point n’appartenant pas à Δ. Il existe un unique plan ᏼ contenant M et orthogonal à Δ. Soit H l’intersection de Δ et de ᏼ. H est appelé le projeté orthogonal de M sur Δ. Si M appartient à Δ, M est sa propre projection orthogonale sur Δ.
B
Produit scalaire dans l’espace
Définition
La définition et le calcul du produit scalaire de deux vecteurs de l’espace u et v se ramènent immédiatement au calcul du produit scalaire dans le plan. Dessin 11
C v u ᏼ
A
B
Choisissons trois points A, B, C tel que u = AB et v = AC . Il existe toujours un plan ᏼ contenant ces trois points. Alors par définition : u . v est le produit scalaire A B . A C , calculé dans ᏼ. 2 2 2 1 La définition de u . v dans ᏼ par u . v = -- [ u + v – u – v ] prouve que le produit scalaire 2 ne dépend que de la norme des vecteurs u et v . Il est donc indépendant des représentants A B et AC choisis (ainsi que du plan ᏼ lorsqu’il y a plusieurs possibilités). Séquence 3 – MA02
131
ᕡ
Calculs de produit scalaire
a) Expression du produit scalaire dans un repère orthonormal de l’espace.
D’après la définition du produit scalaire, les propriétés u . v = v . u u . ( v + w ) = u . v + u . w ( au ) . ( bv ) sont toujours vraies.
=
a b ( u . v)
Par suite, avec u ( x ; y ; z ) et v ( x ′ ; y ′ ; z ′ ) dans un repère orthonormal ( O ; i, j, k ) , u.v
=
( x i + y j + z k ) . ( x ′ i + y ′ j j + z ′ k )
=
xx ′ i . i + x y ′ i . j + x z ′ i . k + y x ′ j j . i + yy ′ j j . j + yz ′ j j . k + zx ′ k . i + z y ′ k . j + z z ′ k . k
et, vu les propriétés propriété s du repère orthonormal, i . i u.v
=
=
j.j
=
k.k
=
1 et i . j
=
i.k
=
j.k
=
0
x x ′ + yy ′ + zz ′ .
b) Les quatre expressions du produit scalaire.
Les quatre expressions utilisables du produit scalaire dans l’espace sont : 2 2 2 1 u . v = -- [ u + v – u – v ] 2 u . v = u × v cos ( u, v ) u.v
=
AB . AH
Dessin 12
C
v A
u H
B
ᏼ
En repère orthonormal, u ( x ; y ; z ) et v ( x ′ ; y ′ ; z ′ ) , u . v
=
x x ′ + yy ′ + zz ′ .
De cette dernière égalité, on déduit qu’en repère orthonormal u
=
u.u
=
x 2 + y2 + z2 .
Avec A ( x A, y A, z A ) et B ( xB, y B, z B ) , on retrouve que AB
ᕢ
=
( xB – x A ) 2 + ( yB – yA ) 2 + ( zB – zA ) 2 .
Utilité du produit scalaire
Comme en géométrie plane, le produit scalaire sera utilisé pour démontrer que des droites sont orthogonales, pour calculer des distances et des angles. Ainsi : Deux vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul soit u.v
=
0.
On déduit immédiatement de cet énoncé que : – Deux droites ( AB ) et ( CD ) sont orthogonales si et seulement si A B . C D
=
0.
– On pourra être aussi amené à utiliser le produit scalaire pour démonter l’orthogonalité l’orthogonalité d’un plan et d’une droite en se souvenant qu’une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.
Exemples résolus 132
Dans un tétraèdre régulier ABCD, ABCD, démontrer que les arêtes opposées sont orthogonales.
Séquence 3 – MA02
Exemple ᕡ
Dessin 13 Dessin 13
A
AB . CD
=
AB . ( CB + BD )
=
A B . CB CB + A B . BD BD
B A . BC BC – B A . BD BD = B A × B C × cos 60 ° – B A × B D × cos 60 ° = 0 Donc ( AB ) et ( CD ) sont orthogonales. orthogonale s. La démonstration serait analogue pour tout autre couple d’arêtes opposées. opposées. =
C
D
B
Exemple ᕢ
Soit ABCDEFGH un parallélépipède rectangle tel que : A B
=
AE
=
2 et AD
=
3.
Soit J le milieu du segment [ EH ] et I le centre de la face ABFE. a) Montrer que les droites ( BJ ) et ( AF ) sont orthogonales. orthogonales. b) Déterminer à 0,1˚ près, l’angle IJ G . Dessin 14
E
J
On peut, par exemple, choisir le repère orthonormal ⎛ A ; 1-- AB , 1-- AD , 1-- AE⎞ . ⎝ 2 3 2 ⎠ • Dans ce repère, les points A, B, B, J, F ont pour coordonnées : A ( 0 ; 0 ; 0 ) , B ( 2 ; 0 ; 0 ) , J ( 0 ; 1 ,5 ; 2 ) , F ( 2 ; 0 ; 2 ) .
H
F
G I A
D
B
C
BJ ( – 2 ; 1 ,5 ; 2 ) et AF ( 2 ; 0 ; 2 ) B J . A F = – 2 × 2 + 0 × 1 ,5 + 2 × 2 = 0 . Donc, les droites ( BJ ) et ( AF ) sont orthogonales. orthogonale s.
• I ( 1 ; 0 ; 1 ) , J ( 0 ; 1 ,5 ; 2 ) , G ( 2 ; 3 ; 2 ) JI ( 1 ; – 1 ,5 ; – 1 ) et JG ( 2 ; 1 ,5 ; 0 ) . JI JG
= =
1 2 + ( – 1 ,5 ) 2 + ( – 1 ) 2 2 2 + 1 ,5 2 + 0 2
=
=
4 ,25
6 ,25 .
Appliquons la formule : JI . JG
=
cos ( IJ G )
J I × J G × cos ( I J G) ; il vient – 0 ,25
=
4 ,25 × 6 ,25 × cos ( IJ G ) d’où
0 25 ( J I ⋅ J G = 1 × 2 – 1 ,5 × 1,5 – 1 × 0 = – 0 ,25 ) . 26 562 5
, = – ------------------------,
En utilisant la touche cos – 1 de la calculatrice, calculatrice, on obtient IJ G
C
Ӎ
92 ,8 ° .
Exercices d’apprentissage
Exercice ᕡ
Soit ABCDS une pyramide de sommet S à base carrée dont toutes les arêtes ont la même longueur a. Calculer en fonction de a les produits scalaires suivants. suivants. a) S A . S B b) S A . S C c) S A . A C Séquence 3 – MA02
133
134
Exercice ᕢ
On considère dans un repère orthonormal ( O ; i, j, k ) les points A ( 1 ; 2 ; – 2 ) , B ( 2 ; 3 ; – 2 ) , D ( 0 ; 3 ; – 2 ) et E ( 1 ; 2 ; – 2 + 2 ) . Montrer que A B = A D = A E et que les droites ( AB ) , ( AD ) et ( AE ) sont deux à deux orthogonales.
Exercice ᕣ
Soit ABCDEFGH un cube d’arête a et de centre O. Déterminer une valeur approchée de l’angle sous lequel on voit une arête depuis le centre du cube à 0,1˚ près.
Séquence 3 – MA02
Équations cartésiennes de plan A
Plan orthogonal à un vecteur passant par un point
Définition
ᕡ
Propriétés
Par définition, le vecteur A B (avec A ≠ B ) est normal Par au plan P si la droite ( AB ) est orthogonale au plan ᏼ. Plus généralement ; Un vecteur normal à un plan P est un vecteur u non nul dont la direction est orthogonale à P. Il résulte de la définition que :
Vecteur normal à un plan Dessin 15 Dessin 15
B A
– Lorsqu’un vecteur u est normal à ᏼ, tout vecteur v
ᏼ
non nul colinéaire à u est aussi normal à ᏼ. – Deux vecteurs u et v normaux à un même plan sont colinéaires. colinéaires. – Pour qu’un vecteur soit normal à un plan, il suffit qu’il soit orthogonal à 2 vecteurs directeurs (c’està-dire non colinéaires) de ce plan.
ᕢ
Équations cartésiennes de plan
a) Caractérisation Caractérisation d’un d’un plan passant par un point de vecteur normal n .
Le plan qui passe par A et qui est orthogonal à n est l’ensemble des points M tel que A M . n
=
n
0.
M
A ᏼ
Dessin 16 Dessin 16
b) Recherche sur un exemple d’une équation cartésienne d’un plan
Soit un repère orthonormal ( O ; i, j, k ) . Recherchons une équation du plan passant par A ( 0 ; 0 ; 5 ) dont un vecteur normal n a pour coorcoordonnées n ( 2 ; – 1 ; 1 ) . On peut pour cela utiliser la caractérisation précédente : M(x ; y ; z ) ∈ ᏼ ⇔ A M . n
=
AM ( x ; y ; z – 5 )
0.
A M . n = 0 ⇔ 2x – y + z – 5 = 0 . Cette dernière relation est appelée équation cartésienne de ᏼ.
Théorème
c) Cas général
Dans un repère orthonormal : 1) Tout plan ᏼ a une équation de la forme a x + b y + c z + d
=
0 , avec a, b, c non tous nuls.
En outre, le vecteur n ( a ; b ; c ) est normal à ᏼ. 2) Réciproquement, a, b, c, d étant quatre nombres donnés avec a, b, c non tous nuls, l’ensemble des
points M ( x ; y ; z ) tel que a x + b y + c z + d
=
0 est un plan.
En outre, ce plan est normal au vecteur n ( a ; b ; c ) . Séquence 3 – MA02
135
Démonstration
1) Soit ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) les coordonnées d’un point A de ᏼ et ( a ; b ; c ) les coordonnées d’un vecteur
normal n à ᏼ. M ( x ; y ; z ) ∈ ᏼ ⇔ A M . n = 0 ⇔ a ( x – x 0 ) + b ( y – y 0 ) + c ( z – z0 ) a x + b y + c z – ( a x0 + by 0 + cz 0 ) soit a x + b y + c z + d
=
0 avec d
=
=
0, c’est-à-dire
0.
( ax 0 + by 0 + cz 0 ) .
= –
2) Réciproquement notons Ᏹ l’ensemble des points M ( x ; y ; z ) tels que a x + b y + c z + d
=
0.
a, b, c ne sont pas tous nuls ; on peut donc choisir les nombres x 0 , y0 , z 0 tels que d d = – ( ax 0 + by 0 + cz 0 ) . (Par exemple, si a ≠ 0 , on choisit y0 = z 0 = 0 et x 0 = – -- ). a Ainsi A ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) est un point de Ᏹ. M ( x ; y ; z ) est un point de Ᏹ équivaut à dire que : ax + by + cz + d
=
0 soit a x + b y + c z – ( a x 0 + by 0 + cz 0 )
soit a ( x – x 0 ) + b ( y – y 0 ) + c ( z – z0 )
=
=
0
0.
Notons n le vecteur de coordonnées ( a ; b ; c ) . La dernière égalité se traduit par A M . n
=
0 , et
M appartient au plan ᏼ qui passe par A et est normal à n . Donc Ᏹ
= ᏼ
.
➠ Cas particuliers ; équations incomplètes.
Le plan ( xO y ) a pour équation z = 0 et tout plan parallèle à ( xO y ) a une équation du type z = c , c étant la cote d’un des points du plan. Le plan ( yOz yO z ) a pour équation x = 0 et tout plan parallèle à ( yO yOzz ) a une équation du type x = a , a étant l’abscisse d’un des points du plan. Le plan ( xO z ) a pour équation y = 0 et tout plan parallèle à ( xO z ) a une équation du type y = b , b étant l’ordonnée d’un des points du plan. Dessin 17
z
z
z
c ᏼ
O
O
y a
x
y
ᏼ
ᏼ
x
b
O
x
ᏼ parallèle à (xOy)
ᏼ parallèle à (yOz)
ᏼ parallèle à (xOz)
Équation : z = c
Équation : x = a
Équation : y = b
ᕣ
Distance d’un point à un plan
Méthode
La méthode utilisée pour déterminer la distance du point M 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) au plan ᏼ d’équation a x + b y + c z + d = 0 est analogue à celle utilisée pour déterminer la distance d’un point M0 à une droite du plan d’équation a x + b y + c = 0 . 136
Séquence 3 – MA02
y
Dessin 18
n
Mo
k j i
H
O
P
Cette distance est M 0 H où H est le projeté orthogonal de M0 sur ᏼ. On appelle ( x ; y ; z ) les coordonnées de H et on cherche le réel k tel que M0 H On obtient M 0 H en utilisant la relation M 0 H
=
=
kn en écrivant que H appartient à P.
kn .
On obtient alors le résultat suivant similaire à celui obtenu pour les droites.
Théorème
Dans un repère orthonormal, la distance δ d’un point M 0 ( x 0 ; y 0 ; z 0 ) au plan a x + b y + c z + d = 0 est :
δ
Exemple
by
cz
d’équation
d
0+ 0+ 0+ = --------------------------------------------------
a2 + b2 + c 2
La distance du point A ( 1 ; 3 ; – 3 ) au plan ᏼ d’équation 2 x + y – 4
δ
B
ax
ᏼ
2×1 3 4 1 = ------5 22 + 12 + 02
+ – = ---------------------------------
=
0 est :
5 5
= -------
Inéquation définissant un demi-espace ᕡ
Rappels dans le plan
Dessin 18
x + y –2 > O
x + y – 2 = O
x + y –2 < O
Toute droite d’équation a x + b y + c = 0 dans le plan crée deux demi-plans. Le demiplan 1 qui est l’ensemble des points M ( x ; y ) vérifiant a x + b y + c ≥ 0 et le demi-plan 2 qui est l’ensemble des points M du plan vérifiant a x + b y + c ≤ 0 . Par exemple sur le dessin ci-contre, on a hachuré le demi-plan ᏼ2 ensemble des points M de coordonnées x et y vérifiant vé rifiant : y ≤ – x + 2 ou encore y + x – 2 ≤ 0 . On peut remarquer que O appartient à 2 car ses coordonnées vérifient bien l’inéquation 0 + 0 – 2 ≤ 0 . On peut en déduire que tous les points situés du même côté de cette droite que O appartiennent à 2.
Séquence 3 – MA02
137
Généralisation à l’espace
ᕢ
Dessin 19
K
O J
y
Nous admettrons que tout plan d’équation ax + by + cz + d = 0 dans l’espace crée deux demi-espaces. Le demi-espace Ᏹ1 qui est l’ensemble des points M ( x ; y ; z ) vérifiant a x + b y + c z + d ≥ 0 et le demiespace 2 qui est l’ensemble des points M du plan vérifiant ax + by + cz + d ≤ 0 . Par exemple sur le dessin ci-contre, on peut définir le tétraèdre dessiné en gras comme intersection de quatre demi-espaces. Ce tétraèdre est l’ensemble des points M ( x ; y ; z ) vérifiant :
I
⎧ x≥0 ⎪ y≥0 ⎪ ⎨ z≥0 ⎪ ⎪ x + y + z – 4 ≤ 0 ⎩
x
Le plan d’équation x + y + z – 4 = 0 a été représenté ici en cherchant ses intersections avec les axes du repère. Le demi-espace Ᏹ2 défini par l’inéquation x + y + z – 4 ≤ 0 est le demi-espace que l’on ne verrait pas si ce plan était opaque car O appartient à Ᏹ2 .
C
Exercices d’apprentissage d’apprentissage
Exercice ᕡ
Donner une équation cartésienne de chaque plan : ᕡ plan ᏼ passant par
A ( – 1 ; 0 ; 1 ) de vecteur normal n ( 0 ; 1 ; 2 ) .
ᕢ plan ᏽ passant par
A ( 2 ; – 1 ; 1 ) et parallèle au plan d’équation cartésienne 2x – y + z
ᕣ plan médiateur de
Exercice ᕢ
=
1.
[ AB ] avec A ( – 1 ; 3 ; 1 ) et B ( 0 ; 5 ; – 3 ) .
Dessin 20
ABCDEFGH est un cube de côté 4. H
E
On considère le repère orthonormal ( A ; i, j, k ) tel que i = 1-- AB , 4 1 1 j = -- AD , k = -- AE . 4 4 ᕡ Donner dans ce repère une équation des plans ( AB F ) et ( BC G ) .
G
F I
k
ᕢ Reconnaître le plan d’équation
A
j
D
i
B 138
Séquence 3 – MA02
I est le milieu de [ AE ] .
C
x – z
=
0.
ᕣ Reconnaître
le plan d’équation P x + y + 2 z – 4 = 0 .
Exercice ᕣ
Dessin 21
Le repère ( O, I, J, K ) est orthonormal.
z
ᕡ Chercher une équation de chacun
des plans ( OI J ) , ( OI K ) , ( OJ K ) et ( IJ K ) .
K
A(a ; a ; a )
ᕢ Soit
avec
1 3. 2 6 Calculer les distances de A à chacun des plans ( OI J ) , ( OI K ) , ( OJ K ) et ( IJ K ) . a
= -- – -------
ᕣ En
O J
y
déduire qu’il existe une sphère centrée en A qui est tangente à chacune des faces de la pyramide OIJK. Préciser son rayon.
I x
Exercice ᕤ
Un fabriquant de téléviseurs produit trois modèles : standard (en quantité x), de qualité (en quantité y) et de luxe (de quantité z). Le modèle standard nécessite 1 heure d’installation électrique, le modèle de qualité 2 h et le modèle de luxe 3 h. Le fabriquant dispose d’au plus 120 heures pour l’installation électrique. Traduire les contraintes à ᕡ Traduire
l’aide d’un système S d’inéquations. d’inéquations.
dans un repère orthonormal de l’espace la pyramide composée des points M ( x ; y ; z ) dont les coordonnées vérifient le système S. On appellera respectivement A, B et C ses intersections avec les axes ( Ox ) , ( Oy ) et ( Oz ) . ᕢ Dessiner
ᕣ Pour
des raisons techniques, le fabriquant décide de produire 20 modèles de luxe. Soit E le point de côte 20 de la droite ( AC ) et F le point de côte 20 de la droite ( BC ) . a) Calculer les coordonnées des points E et F. Reconnaître l’ensemble des points M ( x ; y ; z ) dont
les coordonnées vérifient le système S et cette nouvelle contrainte.
b) Quel est le nombre maximal de modèle de qualité que le fabriquant peut produire ?
Séquence 3 – MA02
139
Exercices d’entraînement Exercice ᕡ
Soit ABCD un tétraèdre. ᕡ Montrer que si A B . D C = 0 et A C . B D = 0 , alors A D . B C = 0 . On appelle hauteur d’un tétraèdre toute droite contenant l’un des sommets, orthogonale au plan de la face opposée à ce sommet. ᕢ On suppose que le tétraèdre ABCD satisfait aux conditions de la question 1 (ABCD est alors un tétraèdre orthocentrique). orthocentrique ). a) Soit A ′ le projeté orthogonal de A sur le plan (BCD). Calculer les produits scalaires : BA ′ . C D et C A ′ . BD . En déduire que A ′ est l’orthocentre du triangle BCD. BCD. b) Soit B ′ le projeté orthogonal de B sur le plan (ACD). Montrer que B ′ est l’orthocentre du triangle ACD. ACD. c) ( BA ′ ) coupe ( CD ) en K.
Exercice ᕢ
Exercice ᕣ
Montrer que K appartient à la droite ( AB ′ ) . En déduire que les droites ( AA ′ ) et ( BB ′ ) sont sécantes en un point H. d) Montrer que les quatre hauteurs du tétraèdre sont concourantes. Le point de concours est appelé orthocentre du tétraèdre orthocentrique ABCD. Dans un repère orthonormal ( O ; i, j, k ) , on considère les trois points A ( 2 ; 1 ; 1 ) B ( 3 ; 0 ; 2 ) et C( 0 ; 2 ; 1 ) . On cherche à déterminer une équation du plan ( ABC AB C ) de la forme a x + b y + c z + d = 0 par deux méthodes différentes. AB C ) . ᕡ Déterminer un vecteur normal n au plan ( A B C ) . En déduire une équation du plan ( ABC AB C ) . Résoudre le système ainsi formé. ᕢ Écrire que chacun des points A, B et C appartient au plan ( ABC L’espace est muni d’un repère orthonormal ( O ; i, j, k ) . À tout réel m, on associe le plan Pm d’équation : ( m 2 + 3 ) x + 4 y + 2 m z + m 2 – 7m = 0 . On appelle Q le plan d’équation : x + y + 4 z + 1 = 0 . On appelle D la droite passant par A ( 1, 1, 1 ) et dirigée par le vecteur v ( 1 ; 3 ; – 4 ) . ᕡ Déterminer un vecteur normal N m au plan P m et un vecteur w normal au plan Q.
( E ) des réels m tels que Pm soit perpendiculaire à Q. b) Déterminer l’ensemble ( F ) des réels m tels que P m soit parallèle à D. c) Déterminer l’ensemble ( G ) des réels m tels que P m soit perpendiculaire à D. ᕢ a) Déterminer l’ensemble
ᕣ Dans cette question, S désigne la sphère de centre O
Exercice ᕤ
140
et de rayon 1. a) Exprimer en fonction de m la distance d m du point O au plan P m . b) Calculer d – 2 ; d 0 ; d 1 . Que pouvez-vous en conclure quant à la position de la sphère S par rapport à chacun des plans P – 2 ; P0 ; P1 ? c) Déterminer l’ensemble des réels m pour lesquels P m est tangent à S. d) Soit T le point de de contact de la sphère S et de P 1 . Calculer les coordonnées de T. Soit un repère orthonormal ( O ; i, j, k ) , et a, b, c trois réels strictement stricteme nt positifs. A, B et C sont les points de coordonnées respectives : ( a ; 0 ; 0 ) , ( 0 ; b ; 0 ) et ( 0 ; 0 ; c ) .
Séquence 3 – MA02
Exercice ᕥ
On se propose d’exprimer l’aire S du triangle ABC en fonction de a, b, c. x y z ᕡ Montrer qu’une équation du plan (ABC) est -- + -- + - – 1 = 0 . a b c AB C ) . ᕢ Déterminer en fonction de a, b, c la distance du point O au plan ( ABC ᕣ En considérant le volume du tétraèdre OABC, montrer que 1 S = -- a 2 b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 . 2 (« Réécriture d’un énoncé » de J. Lubczanski, dans Les Maths au jour le jour , Éditions Cedic, 1985.) Argine, Judith, Pallas et Rachel sont les quatre prétendantes au titre de Reine des reines. Au premier tour, Pallas obtient 19 % des suffrages, Judith 33 %, Rachel 16 % et Argine 32 %. Seules les deux candidates arrivées en tête peuvent se maintenir pour le second tour ; tous les prévisionnistes de la politique se plongent dans les calculs pour anticiper les résultats définitifs. définitifs. Ils admettent que : – il n’y a pas de nouveaux électeurs au second tour et les électeurs ayant voté au premier tour pour Argine ou Judith ne modifieront pas leur vote au second tour ; – parmi les électeurs ayant voté pour Pallas au premier tour, une proportion x reportera ses voix sur Judith au second tour, une proportion y, plus grande que x, se reportera sur Argine et les autres s’abstiendront s’abstiendront ; – parmi les électeurs ayant voté pour Rachel au premier tour, tour, une proportion z votera pour Judith au second tour et les autres s’abstiendront. La donnée de ( x ; y ; z ) suffit donc pour déterminer le vote du second tour. tour. Dans la représentation ci-dessous, on a visualisé graphiquement l’ensemble des situations de vote possibles au second ᕡ–
tour (le repère ( O ; O A ′ ; O B ; O E ) est orthonormal orthonormal et A est le milieu de [ BA ′ ] ) : décrire cet ensemble et contrôler le dessin. z E
C D
O
A'
B A
y
x ᕢ – Quelles relations entre les trois variables x, y et
z traduisent le fait que Judith est élue au second
tour ? ᕣ – À quelles situations de vote correspondent les points A, D et C ? situations suivantes : ᕤ – À quelles régions de l’espace correspondent les situations a) Judith est élue ? b) Judith et Argine sont ex aequo ? c) Argine est élue ? ᕥ – Certains prévisionnistes assurent que : a) si plus de 48 % des électeurs de Pallas votent pour Judith, alors alors Judith est élue ; b) si plus de 95 % des électeurs de Pallas votent pour Argine, alors Argine est élue. Leurs prévisions vous semblent-elles correctes ? Quelle est la plus petite valeur m de x qui garantit l’élection de Judith ? Séquence 3 – MA02
141
ides pour les exer exercices cices d’entraînement Exercice ᕡ
ᕡ Transformer ᕢ c)
A D . B D et A D . D C en tenant compte des hypothèses.
Calculer A K . C D .
d) Montrer que CH est orthogonal au plan (ABD).
Exercice ᕢ
b) Exprimer b, c et d en fonction de a.
Exercice ᕣ
Pm et Q sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux N m et w sont orthogonaux. ᕢ a)
b) P m est parallèle à D si et seulement si N m et v sont orthogonaux. c) P m est perpendiculaire à D si et seulement si v et N m sont colinéaires. colinéaires. ᕤ c) Ne
pas oublier que a 2
=
a.
d) Remarquer que T ∈ P1 , que OT est colinéaire à N1 , et que OT
Exercice ᕤ
Exercice ᕥ
=
1.
1 volume d’une pyramide est donné par la formule : V = -- bh où b est l’aire d’une base et h la 3 hauteur relative à cette base. Appliquer cette formule en choisissant deux bases et leurs hauteurs relatives différentes. ᕣ Le
ᕡ x, y et
z sont trois réels compris entre 0 et 1 et x ≤ y .
ᕣ Matérialisez l’intersection du demi-espace défini dans la question 2 avec le
142
Séquence 3 – MA02
prisme OABCDE.
■
