TD : Rotation autour d’un axe fixe Questions de cours ou de raisonnement
M6-Q1 En quelle unit´e s’exprime un moment de force ? Avec quelle autre unit´e ne faut-il pas la confondr confondree ?
` quelles conditions conditions le moment d’une force par rapport `a un axe est-il nul ? L’illustrer L’illustrer M6-Q2 A par l’exemple de l’ouverture d’une porte.
ıt J ∆G , le moment d’inertie par rapport `a un axe ∆, M6-Q3 Soit un solide dont on connaˆıt passant par son centre de masse G . Par rapport `a un u n autre au tre axe ∆, parall` pa rall`ele ele `a ∆G , `a une distance eor` eor`eme eme d’Huygens d’Huyge ns donne le moment d’inertie d’iner tie : J ∆ = J ∆G + md2 . d de ∆G , le th´ Que peut-on peut -on d´eduire eduire de ce r´esultat esultat quant `a la facilit´e de mise en rotation d’un solide pour une direction d’axe de rotation donn´ee ee ?
M6-Q4
Sur les figures ci-dessous les morceaux de tˆole ole ont tous tou s mˆeme eme masse mas se (et (et donc donc la mˆ e me surfa eme surface ce)) ; les les classer par ordre croissant de moment d’inertie par rapport a` l’axe trac tr ac´´e en point oi ntil ill´ l´e. e.
fa it un garagiste lorsqu’il r´ealise ealise l’´equilibrage equilibrage des roues d’une voiture ? M6-Q5 Que fait
M6-Q6 « C’est C’est le frottement frottement avec le sol qui permet la marche marche d’une personne ». Expliquer Expliquer
et donner d’autres exemples simples où la force de frottement (loin de s’opposer au mouvement) permet une mise en mouvement.
M6-Q7 On souhaite montrer montrer qu’il est possible de déterminer déterminer la masse d’une bouteille avec avec une balance qui n’est pas « juste », ses bras de levier étant inégaux : l = l . Il faut pour cela
procéder à une double pesée, dite méthode de Gauss. Déterminer la masse m de la bouteil teille le en fonc foncti tion on des masses masses m1 et m2 .
′
′
′
Exercices Applications
M6-E1 Ordres
de grandeur
1) Le moment moment d’inertie de la Terre en rotation uniforme uniforme autour de l’axe passant passant par ses pôles p ôles 2 24 3 kg et R T = 6, 4.10 km. Calculer le moment d’inertie vaut J = 0, 33.M T T RT avec M T T = 6, 0.10 de la Terre et son moment cinétique par rapport à l’axe de ses pôles. 2) Dans Dans le modèle de Bohr, Bohr, le mouveme mouvement nt de l’élec l’électro tronn autour autour du noya noyauu est assimilé assimilé à un mouvement circulaire et uniforme de centre O confondu avec le noyau. La trajectoire de rayon r0 = 53 pm est parcourue à la fréquence f = 6, 6.1015 H z . Calculer le moment cinétique de l’électron. On rappelle sa masse vaut me = 9, 1.10 31 kg . k g tourne à la vitesse 3) Un tambour de machine à laver de rayon R = 25 cm et de masse m = 5 kg 1 angulaire angulaire de 1000 tr.min . Calculer son moment cinétique par rapport à son axe de rotation sachant que son moment d’inertie par rapport à cet axe vaut J = mR 2 . Rép : 1) L 6.1033 J.s ; 2) L 1.10 34 J.s ; 3) L 33 J.s −
−
≃
≃
−
≃
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PTSI Exercices – M´ ecanique : Solide en rotation autour d’un axe fixe TMC
2013-2014
et solide en rotation
M6-E2 Chute
d’un arbre
On assimile un arbre à une tige longue et homogène de longueur L et de masse m. On le scie à sa base et l’arbre bascule en tournant autour de son point d’ appui au sol. On suppose que le point d’appui reste fixe et ne glisse pas et on repère la position de l’arbre pas l’angle θ qu’il fait avec la verticale. À t = 0, l’arbre fait un angle θ0 = 5 avec la verticale et est immobile. 1 On donne le moment d’inertie par rapport à son extrémité I = mL2 . 3 1) Établir l’équation du mouvement de chute de l’arbre. 2) Montrer que, lorsque l’arbre fait un angle θ avec la verticale, sa vitesse angulaire vaut : ◦
θ˙ =
3g (cos θ0 L
3) Montrer que cette relation peut être réécrite : 4) Déterminer la durée
√ √ π
On prendra g = 10 m.s . On donne pour θ0 = 5 :
3g d t =
L τ de chute d’un arbre de 30 m.
−2
Rép :
− cos θ)
◦
2
θ0
4) τ = 5, 1 s
dθ
cos θ0
− cos θ .
dθ
cos θ0
− cos θ = 5, 1
La M6-E3
tige qui tombe Ox est un sol horizontal et O y un mur vertical. Une tige AB de masse m , de longueur 2l et de moment d’inertie par rapport à l’axe Oz (J ∆ = 31 m(2l)2)
évolue dans le plan de la figure. Initialement, elle est verticale et cet équilibre (instable) est détruit de façon infinitésimale, ce qui signifie que sa vitesse initiale est quasi nulle. L’extrémité A peut tourner librement en O sans frottement.
1) Déterminer par deux méthodes différentes (ThMC et ThEm ) les expressions de α˙ et α¨ en fonction de g, l et α. −→ 2) Calculer, tant que A est en O, les composantes Rx et R y de la force de contact R s’exerçant en A sur la tige. Commentaires. 3g 3g Rép : 1) α¨ = 4l cos α et α˙ = (1 sin α) ; 2) Rx = 94 mg cos α(sin α 23 ) et R y = 14 mg(3sin α 1)2 2l −
M6-E4 Oscillations
−
−
−
−
d’un solide soumis ` a une force ´ elastique
Un solide {S} est constitué de deux tiges homogènes rigidement liées l’une à l’autre, AO et O B, faisant entre elles un angle droit. Chaque tige a pour masse m et pour longueur 2l. {S} peut tourner autour d’un axe horizontal ∆ = (Oz ) passant par O. La liaison en O est une liaison pivot parfaite. Un ressort de masse négligeable, de constante de raideur k, est accroché à l’une de ses extrémités en A, l’autre extrémité C étant maintenue fixe. Lorsque l’ensemble est en équilibre dans le champ de pesanteur supposé vertical et uniforme, AO est horizontale, et OB verticale. On donne le moment d’inertie d’une tige de masse m et de longueur 2l, par rapport à un axe perpendiculaire à la tige et qui passe 4 par une extrémité : I = ml2 3 Préliminaires : 1) Que vaut le moment d’inertie J ∆ de l’ensemble des deux tiges par rapport à l’axe ∆ ? 2) Déterminer l’allongement du ressort lorsque le système est à l’équilibre. Oscillations : 2
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Exercices – M´ ecanique : Solide en rotation autour d’un axe fixe PTSI
2013-2014
On se propose d’étudier les oscillations autour de la position d’équilibre. L’angle θ restant petit, on pourra considérer que la force exercée par le ressort sur le solide reste verticale pendant tout le mouvement. 3) Déterminer l’équation différentielle vérifiée par θ. Montrer que le mouvement est sinusoïdal et donner l’expression de la période en fonction de m, g , k et l. 4) Application numérique : calculer la période sachant que m = 100 g , l = 10 cm, g = 9, 8 m.s −2, k = 12 N.m −1 .
Rép :
4 kl 2 + mgl 3) θ¨ + θ = 0 ; 4) T = 0, 43 s J ∆
Énergétique
d’un solide en rotation
e M6-E5 Pendule invers´
Un pendule est constitué d’un point matériel de masse m placé à l’extrémité A d’une tige de masse négligeable, dont l’autre extrémité O est fixée sur un support. L’ensemble, rigide, est mobile en rotation autour de l’axe ∆ = Ox, perpendiculaire à la tige ; on note θ l’angle entre la tige et l’axe vertical Ox. On admet que l’action subie par la tige en O présente un moment des forces :
−− e M→ = −kθ −→ O
x
Hormis la liaison en O , le pendule est soumis au poids de la masse ponctuelle en A, on note l la longueur AB . 1) Exprimer, à partir de la définition, le moment cinétique du pendule en O , lors d’un mouvement de rotation à vitesse angulaire θ˙. 2) Faire de même pour l’énergie cinétique. 3) Que représente la quantité ml2 dans les expressions précédentes ? 4) Écrire la loi du moment cinétique en O, en considérant le référentiel lié au support comme étant galiléen. 5) Exprimer la puissance du poids. 6) Proposer une expression de la puissance des autres actions et, le cas échéant, une forme pour leur énergie potentielle. 7) Retrouver l’équation du mouvement. 8) Exploiter le résultat précédent pour déterminer les éventuelles positions d’équilibre. 9) Discuter leur stabilité et commenter le résultat.
M6-E6 Un volant ayant la forme d’un cylindre homogène de rayon R = 50 cm, de masse M = 200 kg , est mis en rotation autour de son axe par un moteur qui fournit une puissance constante P = 2, 0 kW . Quelle durée minimale τ faut-il pour que le volant, partant du repos, tourne à n = 2000 tours par minute ? 1 Pour le cylindre, le moment d’inertie par rapport à son axe est J ∆ = mR2 . 2
Rép :
τ = 4 min 34 s
M6-E7 Un oscillateur particulier
Un fil de torsion F de constante de torsion C est solidaire d’une poulie P de rayon R = 5, 0 cm et de moment d’inertie J = 1, 0.103 kg.m2 par rapport à son axe. Le fil enroulé sur P porte en son extrémité une masse m = 200 g. On lâche la masse en A avec une vitesse initiale nulle lorsque F n’est pas tordu; en l’absence de frottements elle oscille entre deux positions A et B telles que AB = H = 20 cm . 1) En déduire la constante de torsion C du fil. 2) Quelle est la vitesse maximale vm de la masse m au cours des oscillations. Rép : 1) C = 5, 0.10 2 m.N.rad 1 ; 2) vm = 0, 58 m.s 1 −
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PTSI Exercices – M´ ecanique : Solide en rotation autour d’un axe fixe
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M6-E8 Entraˆınement
par frottement de pivotement Un disque D pivote à l’intérieur d’un cadre C ; on note J D et J C leur
moment d’inertie par rapport à l’axe ∆. À t = 0, C est au repos et D y tourne à la vitesse angulaire ω0 . Le frottement de pivotement au niveau des pivots se traduit par un moment constant de valeur absolue Γ par rapport à l’axe à ∆ . 1) Quelle est la vitesse angulaire finale ωf , du système {C + D } ? 2) Calculer les variations d’énergies cinétiques ∆Ek (C ) et ∆Ek (D) du cadre et du disque et en déduire celle ∆ Ek de l’ensemble ; quel est son signe ? 3) Calculer ωC et ωD en fonction du temps. Quel est le temps tf au bout duquel ωf est atteinte ? 4) Faire un bilan énergétique et en déduire l’énergie W f transformée en chaleur par frottement. Donnée : On précise que le théorème de l’énergie cinétique pour l’ensemble {C + D } s’écrit : ∆Ek = W int + W iext. Que représente W int ? Quelle est la différence entre cette relation et celle étalie en cours pour le solide en rotation autour d’un axe fixe ?
Rép :
1) ωf =
TMC
J D J C +J D
ω0 ; 2) ∆ Ek =
−
1 2
J C J D J C J D ω0 2 ω0 < 0 ; 3) t f = ; 4) W f = ∆Ek < 0 J C + J D (J C + J D )Γ
et solide en équilibre
M6-E9 Un
règle homogène de longueur AB = l a une masse m . Elle repose horizontalement en −→ −→ son milieu sur un appui C et aux extrémités A et B , on lui applique deux forces F A et F B de sens opposé. Pour maintenir l’équilibre, on place un second appui en D, milieu de AC ,au-dessus de −→ −→ la règle. On note T C et T D , les forces supposées perpendiculaires à AB , exercées respectivement par les appuis C et D sur la règle. Exprimer les intensités T C et T D de ces forces en fonction des données du problème. Rép : T C = F A + 3 F B + mg et T D = 2(F A + F B )
pied de biche » Un levier « pied de biche »est coudé à 90 au point O ; afin d’ar−→ racher un clou en A , on exerce en B une force F perpendiculaire à OB et d’intensité F = 200 N . Données : OB = 70 cm ; OA = 10 cm ; l’angle entre OB et le plan d’appui est α = 30 . −→ 1) En déduire l’intensité de la force R normale au plan et exercée par le levier sur le clou (le poids du levier est négligé). Commenter le résultat. −→ 2) En déduire la réaction R du sol en O par ses composantes sur les axes. Commenter le résultat. Rép : 1) R = 2, 8 kN ; 2) R x = 100 N ; R y = 3 , 0 k N ; R 3, 0 k N M6-E10 Int´erˆ et
d’un levier «
◦
◦
′
′
Savoir-faire
−
′
′
≃
et exercices corrigés en ligne
Exprimer les propriétés des forces de pesanteur : SF1
Exploiter le moment cinétique scalaire d’un solide : SF3
Étudier les oscillations d’un solide en rotation : SF4
M6-E11 Balance M6-E12 Moulin
de Coulomb : Sujet et corrigé
` a farine : Sujet et corrigé
M6-E13 Fluctuations 4
du couple d’une machine tournante : Sujet et corrigé http://atelierprepa.over-blog.com/
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Exercices – M´ ecanique : Solide en rotation autour d’un axe fixe PTSI
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M6-SQ1
−−→ −→
L’unité d’un moment de force est le m.N (penser à OM × F ), à ne pas confondre avec l’unité −→ →r ), et qui seul est appelé joule (symbole J ). En pratique les d’énergie, le N.m (penser à F d− moments sont exprimés en N.m et les travaux des forces (ou les énergies) en J . M6-SQ2
Situation 1 : lorsque la droite d’action de la force est perpendiculaire à l’axe de rotation à , alors le moment de la force par rapport à l’axe est nul : M∆ = 0 (le bras de levier est nul). Situation 2 : lorsque la droite d’action de la force est parallèle à l’axe de rotation à ∆, alors le −−→ moment de la force par rapport à l’axe est également nul : M∆ = 0 (le moment MO est alors non nul mais orthogonal à l’axe et donc sa projection sur l’axe est nulle). Il faut toujours se rappeler que c’est le moment d’une force par rapport à un axe qui permet de faire tourner un solide autour de cet axe. S’agissant d’une porte entrouverte et que l’on souhaite ouvrir davantage par exemple par rotation autour de l’axe passant par ses gonds, il y a deux actions inefficaces : - tirer sur la poignée vers l’extérieur de la porte ( situation 1) ; - pousser sur la poignée vers le haut ( situation 2). M6-SQ3
Pour une direction donnée, ce résultat montre que le moment d’inertie est minimal si l’axe passe par le centre d’inertie G c’est donc autour de cet axe passant par G que la rotation du solide est la plus facile à mettre en oeuvre. M6-SQ4
Le bon classement est celui de gauche à droite sur les figures de l’énoncé. Le classement entre la 1 ère et la 3 e est facile. Quant à la 2e , la contribution d’une masse étant proportionnelle au carré de la distance à l’axe, l’excédent lié à la large base du triangle est plus important que la diminution liée à l’étroitesse du sommet. Trois schémas équivalents (correspondants à des distributions de moment d’inertie équivalents à celles de l’énoncé) permettent confirment ce classement : - les parties communes en blanc correspondent à des contributions identiques au moment d’inertie ; - sur la première superposition, les parties bleues correspondent à des contributions au moment d’inertie moins importantes que les parties vertes ; - sur la première superposition, la partie verte correspond à une contribution au moment d’inertie moins importante que la partie orangée ;
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J 1 < J 2 < J 3
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PTSI Exercices – M´ ecanique : Solide en rotation autour d’un axe fixe
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M6-SQ5
Le garagiste fixe un morceau de plomb sur la jante de la roue afin que le centre de masse de l’ensemble soit sur l’axe; n’importe quelle position de la roue autour de son axe horizontal est alors position d’équilibre stable (équilibrage statique). En réalité il en fait un peu plus pour éviter que la roue en rotation n’ait tendance à tordre l’axe de rotation (équilibrage dynamique). Tout ceci pour éviter les usures d’axe et donner au dispositif une meilleure longévité. M6-SQ6
Lorsque la jambe droite est mise en avant, sur une patinoire horizontale où aucune force extérieure n’existe parallèlement au sol, la jambe gauche recule afin que le centre de masse reste immobile dans sa position initiale. Sur un sol normal c’est l’action de contact qu’exerce le sol sur le pied gauche qui l’empêche de reculer et permet à la personne d’avancer. Ou à un véhicule de démarrer, à un cylindre de tourner, à une corde de violon d’être entraînée par l’archet,.. . L’idée qu’une force de frottement « freine » un mouvement est donc loin d’être toujours juste ! M6-SQ7
Attention : les bras de levier étant inégaux, on n’a pas l’égalité des masses sur les deux plateaux ! Il faut traduire que la somme algébrique des moments est nulle, mais comme l’un est positif et l’autre négatif, cela revient à écrire l’égalité des deux moments en valeur absolue. m′1 g.l mg.l
6
= mg.l ′
= m2 g.l
⇒
m =
m′1 .m′2
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