Lucia 2010 [Lezioni Di Scienza Delle Costruzioni - 01] R0.1.0

Corso di Scienza delle Costruzioni

1

dott. ing. Pasquale Lucia

Fina Fi nalit lità, à, ipot ipotesi esi e mod modell ellii della della mecc meccan anic ica a stru strutt ttur ural ale: e: conc concet etti ti fon fonda dame ment ntali ali • Struttura e risposta strutturale; • modello delle azioni esterne; • modelli meccanici delle strutture;

deformazioni; • spostamenti e deformazioni; • forze e tensioni; • la reazione dei vincoli; • i modelli meccanici dei materiali;

deformabili; • la statica dei sistemi rigidi e dei corpi deformabili; vettori, tensori, unità di misura; • vettori, • i sistemi di vettori (statica grafica).



Struttura e risposta strutturale Per costruzione si intende non solo l’opera civile realizzata in cemento armato (edificio, diga, ponte etc.) oppure oppure in acciaio (capriata (capriata di copertura, copertura, serbatoio serbatoio in pressione pressione etc.) ma anche qualunque macchinario macchinario o apparecchiatura che l’uomo costruisce per la propria utilità. In ogni costruzione è sempre individuabile una struttura portante (ossatura portante) a cui viene affidato il compito di resistere alle sollecitazioni indotte dalle azioni esterne.

La struttura portante può immaginarsi costituita da un’insieme di elementi strutturali tra di loro interconnessi interconnessi ed in grado di reagire con l’ambiente circostante. Al fine di garantire la sicurezza, sicurezza, l’attitudine al serviz servizio io e la durab durabili ilità tà delle costruzioni è necessario conoscere la struttura, ossia prevedere il suo comportamento in funzione di tutti i possibili stimoli cui potrà essere sottoposta durante la sua vita. Per prevedere prevedere il comportamen comportamento to della struttura, struttura, la meccanica meccanica strutturale strutturale fa uso di modelli modelli matematici matematici che servono a semplificare il complesso problema fisico reale; tali modelli risultano appropriati solo se i dettagli trascurati non impediscono di cogliere gli aspetti essenziali del fenomeno e quindi sono in accordo con i risultati sperimentali.

Le informazioni che si deducono dal modello matematico di comportamento della struttura al variare delle cause sollecitanti, costituiscono la risposta strutturale .



Struttura e risposta strutturale Per costruzione si intende non solo l’opera civile realizzata in cemento armato (edificio, diga, ponte etc.) oppure oppure in acciaio (capriata (capriata di copertura, copertura, serbatoio serbatoio in pressione pressione etc.) ma anche qualunque macchinario macchinario o apparecchiatura che l’uomo costruisce per la propria utilità. In ogni costruzione è sempre individuabile una struttura portante (ossatura portante) a cui viene affidato il compito di resistere alle sollecitazioni indotte dalle azioni esterne.

La struttura portante può immaginarsi costituita da un’insieme di elementi strutturali tra di loro interconnessi interconnessi ed in grado di reagire con l’ambiente circostante. Al fine di garantire la sicurezza, sicurezza, l’attitudine al serviz servizio io e la durab durabili ilità tà delle costruzioni è necessario conoscere la struttura, ossia prevedere il suo comportamento in funzione di tutti i possibili stimoli cui potrà essere sottoposta durante la sua vita. Per prevedere prevedere il comportamen comportamento to della struttura, struttura, la meccanica meccanica strutturale strutturale fa uso di modelli modelli matematici matematici che servono a semplificare il complesso problema fisico reale; tali modelli risultano appropriati solo se i dettagli trascurati non impediscono di cogliere gli aspetti essenziali del fenomeno e quindi sono in accordo con i risultati sperimentali.

Le informazioni che si deducono dal modello matematico di comportamento della struttura al variare delle cause sollecitanti, costituiscono la risposta strutturale .



Struttura e risposta strutturale

INPUT SOLLECITANTE

Modello della azioni esterne

Modell Mod ello o geomet geometric rico o del sistem sistema a

SISTEMA STRUTTURALE

Modell Mod ello o meccan meccanic ico o dei mater material ialii

Risposta Risposta strutturale strutturale

no

Verifica soddisfacente?

MODELLO MATEMATICO DI STRUTTURA

OUTPUT

si

Progetto esecutivo

ANALISI DELLA RISPOSTA: VERIFICHE STRUTTURALI



Modello delle azioni esterne Con il modello delle azioni esterne vengono definiti i carichi agenti sulle strutture sulla base delle delle indica indicazio zioni ni fornite ornite dalla dalla normat normativa iva in vigor vigore. e. Le azioni azioni posson possono o essere essere classif classific icat ate e secondo la loro variazione nel tempo (a), nello spazio (b), oppure secondo il loro carattere statico o dinamico (c). permanenti,, se le variazioni (a) Secondo la variazione nel tempo le azioni possono venir classificate in: azioni permanenti variabili se le variazioni sono frequenti o continue e sono trascurabili (es. peso proprio della struttura); azioni variabili dell’opera, non trascurabili rispetto al valor medio. Le azioni variabili comprendono i carichi dovuti all’utilizzo dell’opera, accidentali ali se intervengono le forze risultanti dal vento, dalla neve, dagli effetti della temperatura, etc; azioni accident solo raramente, comprendono le forze dovute urti, esplosioni, valanghe, terremoti etc.

azioni ni fiss fisse, e, la cui distribuzione sulla (b) Secondo la variazione nello spazio le azioni si classificano in: azio azioni libere libere se possono avere qualunque distribuzione arbitraria sulla struttura è definita senza ambiguità; azioni struttura. statiche che non generano accelerazioni (c) Le azioni secondo loro natura possono essere di due tipi: azioni statiche azioni dinami dinamiche che che generano accelerazioni significative sulla significative sulla struttura o su parti di essa; azioni struttura.



Modelli meccanici delle strutture Tra le varie fasi che caratterizzano la modellazione matematica e l’analisi delle strutture, la meccanica dei solidi è fondata sulla definizione e sullo studio di modelli meccanici in grado di interpretare il comportamento di parti semplici di strutture fino ad arrivare all’analisi del comportamento meccanico di strutture portanti complesse.

I modelli meccanici che assieme alla definizione e caratterizzazione dei vincoli interni ed esterni rappresentano i modelli geometrici dei sistemi strutturali, possono essere distinti, in base alla forma, in tre categorie fondamentali: modelli tridimensionali (di forma generica o indefinita), modelli bidimensionali in cui due dimensioni “prevalgono” sulla terza e modelli monodimensionali in cui una dimensione “prevale” sulle altre due.

Il modello tridimensionale per eccellenza è il modello di corpo continuo. In tal caso la forma del corpo può essere generica. Nell’ambito di un tale modello possono essere comprese tutte le parti semplici di strutture comprese quelle mono e bidimensionali come anche le strutture complessive stesse.



Modelli meccanici delle strutture Un corpo continuo occupa una porzione B di contorno dB dello spazio euclideo tridimensionale.

Gli elementi geometrici da considerare sono: • i punti P, interni al corpo oppure posti al contorno; • i volumi V estraibili dal corpo, con il loro contorno dV ; • le superfici S, con il loro contorno dS poste sul contorno esterno dB oppure internamente al corpo; • le linee l interne al corpo o poste sul contorno.



Modelli meccanici delle strutture I modelli tridimensionali analizzati nella meccanica strutturale sono i corpi solidi, caratterizzati dalla proprietà di conservare nel tempo la forma o quantomeno un ordine tra le parti componenti che permette di identificare il corpo ad ogni istante.

E’ possibile quindi assumere una configurazione di riferimento fissa B0, detta anche configurazione materiale o lagrangiana. I punti della configurazione di riferimento detti punti materiali, individuano con le loro coordinate i punti del corpo solido che possono assumere nel tempo posizioni diverse nello spazio. La configurazione effettivamente assunta ad un dato istante B è invece la configurazione deformata (relativamente alla configurazione di riferimento).



Modelli meccanici delle strutture Tra i modelli di solidi tridimensionali, il modello di Saint-Venant risulta sicuramente quello maggiormente studiato nella scienza delle costruzioni.

Si tratta del problema di un solido cilindrico di materiale omogeneo e isotropo caricato solo in corrispondenza delle basi.

I risultati che si ottengono dalla soluzione di tale problema, detto problema di Saint-Venant, si estendono alla trave generica comunque caricata ottenendo così una meccanica della trave nota come teoria tecnica delle travi.



Modelli meccanici delle strutture Un solido che si sviluppa prevalentemente in una direzione, ovverosia che ha due dimensioni trascurabili rispetto alla terza può essere schematizzato attraverso un modello monodimensionale facendo riferimento ad una linea media l .

Il modello monodimensionale più semplice è quello di filo, caratterizzato dalla scarsa resistenza alla variazione di forma. E’ possibile, infatti, atteggiare il filo secondo una linea geometrica qualsiasi. L’ordine tra le parti che compongono il filo viene comunque sempre mantenuto cosicché non è improprio catalogare i fili tra i corpi rigidi.



Modelli meccanici delle strutture La trave è un solido monodimensionale che presenta una non trascurabile resistenza alla variazione di forma. Tale capacità dipende oltre che dal materiale di cui è composta la trave anche dalla geometria tridimensionale della trave stessa. Ad ogni punto delle linea media, che viene detto asse della trave, corrisponde una sezione retta, figura a geometria bidimensionale che si ottiene intersecando l’asse della trave con un piano perpendicolare alla linea d’asse stessa.

Detta l la lunghezza dell’elemento trave ed H una dimensione significativa della sezione trasversale, il modello monodimen-sionale a trave è attendibile se risulta H/l <<1.

La trave è un solido monodimensionale con struttura: alla geometria monodimensionale della linea media è necessario aggiungere la geometria bidimensionale delle sezioni rette associate ai punti della linea d’asse.



Modelli meccanici delle strutture Se la sezione della trave è composta da parti di spessore medio e “piccolo” rispetto alla dimensione media globale H della sezione, la trave viene detta trave a sezione sottile (e/H<<1).

Nel caso di trave di sezione sottile, si può fare riferimento alla linea media della sezione a cui viene associata la corda ortogonale (spessore). Se la linea media è aperta la trave viene definita a sezione sottile aperta, se invece la linea media è una curva chiusa, la trave si dice a sezione chiusa o in parete sottile chiusa.



Modelli meccanici delle strutture Un solido che si sviluppa prevalentemente in due direzioni, ovverosia che ha una dimensione trascurabile rispetto alle altre due, viene modellato geometricamente facendo riferimento ad un modello bidimensionale caratterizzato da una superficie media S. Il modello bidimensionale più semplice è quello di membrana, caratterizzato, come per i fili, da una scarsa resistenza alla variazione di forma. Comunque a causa della doppia curvatura di una superficie, una membrana possiede una maggiore rigidità alla variazione di forma rispetto ad un filo. Una lastra è invece un modello bidimensionale con struttura, nel senso che alla geometria bidimensionale della superficie media è necessario aggiungere la geometria monodimensionale dei segmenti ortogonali ai punti della superficie media. La lastra a differenza della membrana presenta una non trascurabile resistenza alla variazione di forma. Se bmax indica lo spesso massimo ed H la dimensione significativa della superficie media, affinché il modello risulti attendibile deve risultare bmax/H <<1.



Spostamenti e deformazioni Fissata la configurazione di riferimento B0 di un solido, è possibile individuare, per ogni punto materiale X, la configurazione deformata B attraverso il vettore spostamento u:

X  u  x  x  X

dove x corrisponde ad X nella configurazione deformata.

Lo spostamento u risulta evidentemente dipendente dalla configurazione di riferimento.

Se la posizione x della generica particella di posizione iniziale X dipende dal tempo allora disegna nel tempo una traiettoria di velocità v:

u t 0 t

v  lim



Spostamenti e deformazioni Nel passare dalla configurazione B0 alla configurazione B il corpo solido si “deforma”. E’ possibile, infatti, definire delle misure di deformazione associate alle linee, superfici e volumi interni al corpo.

Dilatazione lineare (o allungamento per unità di linea) e (adimensionale):

 

Dilatazione quadratica (o allungamento per unità di superficie)  (adimensionale):

lL

 

L S  S0 S0

Dilatazione cubica (o allungamento per unità di volume)  (adimensionale):

 

V  V 0 V 0



Spostamenti e deformazioni Due linee orientate r 0 ed s0 nella configurazione di riferimento B0 diventano nella configurazione deformata B, r ed s, e l’angolo Ψ da esse individuato in B0 diventa ψ in B.

La variazione g dell’angolo tra due linee che si ha nel corso della deformazione viene chiamato scorrimento:

  

Quale differenza tra due angoli lo scorrimento ha le dimensioni di un angolo e può quindi essere misurato in radianti.

Processo deformativo congruente avviene senza lacerazioni o sovrapposizioni di materiale, conservando quindi la continuità della struttura.



Forze e tensioni Le forze ed i momenti esterni applicati ad un generico volume V di un corpo continuo rappresentano l’azione che l’ambiente esterno al volume esercita nel volume stesso.

Forza esterna per unità di volume f :

f  P   lim

V P

F(V ) V

dove F è la forza che interessa tutto il volume V definito in un intorno del punto P.

Forza esterna per unità di superficie p:

p  P   lim

S P

F(S) S

dove F è la forza che interessa tutta la superficie S definito in un intorno del punto P.



Forze e tensioni Definita una generica superficie S contenente il punto P ed interna al mezzo continuo, che separa il corpo in due parti, si individuano due facce attraverso le quali si esercitano le azioni di una parte sull’altra (necessarie affinché le due parti restino individualmente in equilib rio con le forze esterne). Si definisce tensione t o forza interna per unità di superficie ([F]/[L2] associata a P e ad S

t  P,S   lim

S P

F(S) S

Ipotesi di Chauchy: la tensione t(P,S) dipende dalla superficie S tramite la normale n ad S in P.

t  P,S   t( P,n )

Principio di azione e reazione: le tensioni agenti sulle due facce di una stessa superficie sono l’una opposta all’altra, ovvero hanno uguale direzione e modulo e verso opposto.

t  n   t( n )



Forze e tensioni Fissata una giacitura di normale n nell’intorno di un punto P di un corpo continuo, la tensione che agisce sulla giacitura può scomporsi in due componenti: una nella direzione normale ed una nella direzione parallela alla giacitura La componente nella direzione normale viene detta componente normale di tensione o tensione normale, mentre quella in direzione componente tangenziale viene detta tangenziale di tensione o tensione tangenziale.

Dato un sistema di riferimento cartesiano ortogonale Oxyz si consideri nell’intorno di un punto P un cubo avente facce parallele ai piani coordinati. Su ogni faccia del cubo (giacitura) agiscono tre componenti di tensioni: una normale e due tangenziali



Forze e tensioni Le componenti di tensione uscenti concordi con gli assi definiscono una matrice detta matrice degli sforzi, che rappresenta lo stato di tensione nell’intorno di un punto.

   

x



yx



zx



xy

y

zy

 xz

     yz

Le componenti di tensione relative ad una faccia del cubo definiscono una colonna della matrice degli sforzi.

z

Teorema di reciprocità delle tensioni tangenziali.

Date nell’intorno di un punto P, due giaciture ortogonali tra loro, le componenti tangenziali sulle due giaciture, nelle direzioni ortogonali allo spigolo comune sono uguali in modulo e orientate entrambe verso lo spigolo comune oppure orientate entrambe nella direzione opposta.



Forze e tensioni Il teorema si dimostra imponendo l’equilibrio alla rotazione intorno all’asse x passante per P ed ortogonale agli assi y e z di un cubo di lato b con centro in P.

equilibrio attorno ad x:



yz

 dx  dz   dy   zy  dx  dy   dz  0

yz   zy

Equazioni di equilibro

Ad ogni parte (ad ogni volume estraibile del corpo) si richiede di soddisfare le due equazioni di equilibrio :

F0 M0

(equilibrio alla traslazione) Equazioni cardinali della statica (equilibrio alla rotazione)

Le sole equazioni di equilibrio sono sufficienti e stabilire la statica del corpo rigido ma non del corpo continuo deformabile.



Le reazioni vincolari Il punti dei sistemi strutturali anziché liberi di muoversi liberamente, possono essere obbligati ad assumere solo posizioni compatibili con certe condizioni dette di vincolo.

I problemi della “statica” per essere risolti devono riguardare sistemi i cui vincoli risultino almeno sufficienti ad impedire qualunque movimento. Se i vincoli sono insufficienti il sistema si definisce labile, se i vincoli sono strettamente sufficienti il sistema si dice isostatico, mentre la struttura si definisce iperstatica se i vincoli risultano sovrabbondanti.



I modelli meccanici dei materiali Materiali omogenei. Un materiale è detto omogeneo se le sue caratteristiche non variano da punto a punto, ovverosia non variano nello spazio occupato dal materiale. Materiali isotropi. Un materiale è detto isotropo in un dato punto se le sue caratteristiche non variano al variare della direzione uscente dal punto. Il materiale è detto isotropo se risulta isotropo in ogni punto.

I modelli meccanici dei materiali, impiegati nell’analisi strutturale, dipendono dalla raffinatezza dell’analisi condotta, dal tipo di struttura analizzata e dall’entità delle azioni cui il materiale è sottoposto. Le caratteristiche meccaniche dei materiali strutturali vengono determinate tramite prove su elementi semplici detti provini, costruiti con il materiale oggetto di indagine ed opportunamente sollecitati. Al fine della riproducibilità delle prove e del confronto dei risultati ottenuti, le prove sono standardizzate sia nella forma dei provini che nel modo di sollecitarli.



I modelli meccanici dei materiali Prova di trazione monoassiale. Viene effettuata su un provino a forma di cilindro allungato a sezione simmetrica, sollecitato da una forza di trazione ad un’estremità la cui retta d’azione passa per l’intersezione tra i due assi di simmetria (assenza di inflessioni laterali).

Il provino presenta uno stato di deformazione omogeneo, almeno ad una certa distanza dalle sue sezioni di estremità fin tanto che l’intensità della forza resta limitata. In una sezione ortogonale all’asse, sufficientemente lontana dagli estremi, agisce la sola tensione normale s=F/A con A = sezione del cilindro dopo l’applicazione della forza. Lo stato di tensione è detto di trazione semplice. I risultati della prova vengono riportati in un diagramma tensione-dilatazione lineare.

La tensione viene normalmente espressa in termini di tensione nominale s0=F/A0 con A0 area iniziale del provino. Se la dilatazione superficiale di A0 è piccola la tensione nominale approssima opportunamente la tensione vera s=F/A.



I modelli meccanici dei materiali Anche la dilatazione lineare viene espressa in termini nominali :

 0 

l  l0 l0

dove l ed l 0 rappresentano rispettivamente la lunghezza del provino soggetto alla forza F e nella configurazione scarica (indeformata).

Prova di torsione. Viene effettuata su un provino a forma di cilindro cavo allungato di spessore sottile b e composto da materiale omogeneo che viene fissato ad un’estremità e assoggettato all’altra ad un momento torcente Mt. Nella zona centrale del provino si crea uno stato di sforzo omogeneo di taglio semplice. Stato di tensione di taglio semplice

Superficie media di raggio Rm e altezza h



I modelli meccanici dei materiali Si può ipotizzare, in virtù dello spessore sottile, che lungo la generica corda la tensione tangenziale sia approssimativamente costante e abbia la direzione della linea media. I risultati della prova a torsione vengono riportati in un diagramma tensione-scorrimento. tensione

 

M t 2

2 bRm

scorrimento

 

Rm h

Modelli ideali di comportamento. Le risposte dei materiali alle diverse azioni che li sollecitano possono essere fatte rientrare in tre tipi fondamentali:

Elasticità. Un materiale è detto elastico se la deformazione provocata dall’applicazione di certe forze si annulla una volta che le forze siano state rimosse.

Con riferimento a prove di trazione monoassiale, se il comportamento del materiale è elastico si ottiene una curva che passa dall’origine degli assi e che viene percorsa in un senso se la forza viene incrementata (fase di carico) mentre viene percorso nel verso opposto se l a forza viene diminuita (fase di scarico),



I modelli meccanici dei materiali Se la deformazione è proporzionale all’intensità delle forze applicate si parla di elasticità lineare. La proporzionalità tra tensione e deformazione è nota come legge di Hooke. Dal diagramma s-e (tensione normale-dilatazione lineare) risulta definito il modulo di Young o modulo di elasticità normale:

E

 

 tan  E

[F]/[L2]

Dal diagramma t-g (tensione tangenziale-scorrimento) risulta definito il modulo di elasticità tangenziale o modulo di Coulomb:

G

 

 tan  G

[F]/[L2]

Plasticità. Un materiale è detto plastico se tutta o parte della deformazione dovuta alle forze applicate non viene recuperata, una volta che tali forze siano state rimos se.

Si dice che un materiale ha un comportamento elasto-plastico se solo una parte della deformazione dovuta alle forze applicate non viene recuperata. Tale comportamento è accompagnato dalla presenza di un dominio di elasticità all’interno del quale le deformazioni sono totalmente recuperabili superato il quale si manifesta il comportamento plastico.



I modelli meccanici dei materiali Le deformazioni plastiche si manifestano superata la tensione di snervamento tensione limite del dominio elastico. Se la curva di carico del provino vergine oltre il limite di snervamento è crescente, snervando il materiale provoca un innalzamento del limite di snervamento, fenomeno che ha il nome di incrudimento.

Il modello più semplice possibile per un materiale elasto-plastico è rappresentato da un diagramma composto da una bilatera: una linea passante dall’origine degli assi a rappresentare un comportamento iniziale elastico lineare ed una linea raccordata alla precedente in corrispondenza della tensione di snervamento a rappresentare un successivo comportamento plastico ancora lineare.



I modelli meccanici dei materiali Viscosità. Un materiale è detto viscoso se la sua risposta alle sollecitazioni varia con il tempo. Un materiale viscoso modifica quindi la sua risposta nel tempo senza che si modifichino le azioni che lo sollecitano.

Nel caso di solidi viscoelastici il comportamento è identico a quello dei solidi elastici se le forze sollecitanti sono praticamente istantanee, mentre se i carchi sono applicati per lunghi periodi anche con valori costanti nel tempo le deformazioni aumentano.

Con riferimento ad una prova di trazione semplice, in breve intervallo di tempo (quasi istantaneamente viene applicata una tensione s provocando una deformazione elastica istantanea e0. Mantenendo poi costante la tensione, la dilatazione continua a svilupparsi nel corso del tempo raggiungendo il valore asintotico e . la differenza e0-e viene definita elasticità ritardata. 





I modelli meccanici dei materiali Prove su materiali metallici. I materiali metallici presentalo a livello di provino un comportamento analogo a trazione e compressione, la prove standard più semplice da realizzare è indubbiamente la prova a trazione semplice.

Diagramma tensione nominale-dilatazione nominale di un acciaio per struttura metallica (Fe360).

Il diagramma è caratterizzata, nella parte iniziale, da un tratto elastico lineare, fino al valore della tensione di snervamento e da un successivo tratto perfettamente plastico.



I modelli meccanici dei materiali

In realtà lo snervamento avviene ad un valore sss detto di snervamento superiore, successivamente la tensione diminuisce fino a stabilizzarsi sul valore denominato snervamento inferiore ssi che a differenza di sss non dipende dalla forma del provino e pertanto viene assunto come valore di riferimento.

Al tratto perfettamente plastico segue un tratto ad incrudimento positivo seguito a sua volta da un tratto ad incrudimento negativo. La tensione massima sr, raggiunta al passaggio tra incrudimento positivo e negativo viene definita tensione di rottura. Dopo il raggiungimento della tensione di rottura si sviluppa un fenomeno di localizzazione delle deformazione noto come strizione e consiste in un restringimento localizzato che fa perdere l’omogeneità nel provino.



La statica dei sistemi rigidi e dei corpi deformabili

Nella presente trattazione si studierà la risposta strutturale di sistemi sollecitati da azioni applicate “quasi staticamente”, cioè in modo da non provocare accelerazioni sensibili al sistema. Pertanto vengono trascurate le azioni inerziali che determinano la risposta in condizioni dinamiche.

Per studiare la struttura resistente è necessario conoscere tutte le forze esterne che la sollecitano. Perciò noti i carichi, occorre innanzitutto determinare le reazioni dei vincoli. Queste devono soddisfare alla condizione di mantenere in equilibrio il corpo qualora vengano sostituite ai vincoli, cioè di “fare equilibrio con i carichi”. Tale condizione è a volte sufficiente per determinare le reazioni, il sistema strutturale in tali casi può essere studiato come un insieme di corpi rigidi (strutture isostatiche), in altri casi (strutture iperstatiche) oltre alle condizioni di equilibrio è necessario fare riferimento anche alla congruenza degli spostamenti tra i corpi che compongono la struttura e tra i corpi ed i vincoli esterni (statica dei corpi deformabili).



La statica dei sistemi rigidi e dei corpi deformabili Ogni corpo solido sotto l’azione di forze esterne si deforma. Se le forze non raggiungono valori eccessivi (comunque all’interno del limite elastico) le deformazioni risultano piccolissime rispetto alle dimensioni del corpo. Risulta pertanto spontaneo studiare l’equilibrio del corpo, soggetto ai carichi e alle reazioni dei vincoli, trascurando le deformazioni elastiche cioè considerandolo come rigido. Non sempre però questa semplificazione è possibile, per cui spesso si è costretti a tener conto delle deformazioni, casi b) e c). Se gli spostamenti dei corpi sono “piccoli” è sempre lecito imporre l’equilibrio nella configurazione indeformata, che evidentemente è nota al momento dell’analisi . In alcuni casi (b) per garantire equilibrio tra reazioni vincolari e carichi esterni e necessario far riferimento alla configurazione deformata. Il calcolo della risposta strutturale prevede la soluzione di un problema non lineare (l’equilibrio viene imposto in una configurazione incognita).



Vettori, tensori ed unità di misura Vettori. Un vettore ordinario v, nello spazio euclideo tridimensionale, è caratterizzato da un modulo se il modulo v è diverso da zero, da una direzione orientata nello spazio.

e,

L’opposto – v di un vettore v ha lo stesso modulo e direzione ma verso opposto.

Il vettore u + v somma di due vettori si può calcolare graficamente con la regola del parallelogramma. Il prodotto di uno scalare a per un vettore definisce un vettore di modulo a quella di v oppure opposta a seconda che a sia positivo o negativo.

e di direzione orientata pari

 v

Il prodotto scalare o interno u·v di due vettori definisce lo scalare:

u  v  u v cos  dove a indica l’angolo tra le direzioni orientate di u e di v. Il prodotto vettoriale o esterno u x v definisce un vettore di modulo:

u  v  u v sin 

Avente quale direzione quella ortogonale al piano di u e v e di verso definito in modo tale che i vettori u, v , u x v costituiscano, in questo ordine una terna destra.



Vettori, tensori ed unità di misura Rappresentazione algebrica (in componenti) di vettori. Si definisce una terna di assi cartesiani ortogonali Oxyz, ex, ey, ez siano i versori degli assi.

 1 se i=j ei  e j  ij   0 se i  j

Un qualunque vettore v può esprimersi come:

v  v x e x  v y e y  vz e z 

 ve i

i

i

con i=x,y,z

Il vettore algebrico delle componenti vale:

v  v   v  v

x

y

z

Secondo tale rappresentazioni le operazioni vettoriali diventano:

    



Vettori, tensori ed unità di misura Tensori. Un tensore doppio o tensore è una trasformazione lineare nello spazio dei vettori che ad un vettore v associa un altro vettore u.

Operazioni con i tensori doppi:

Il prodotto tensoriale equivale ad un tensore doppio: Proiezione di un vettore nella direzione e:

La rappresentazione algebrica di un tensore A, relativamente ad un dato sistema di coordinate, risulta quindi essere la matrice 3x3 composta dagli scalari Aij, detti componenti di A:


Vettori, tensori ed unità di misura Unità di misura. Si fa riferimento al sistema internazionale (SI).




I sistemi di vettori (statica grafica) Definizioni base

Dato un vettore applicato (A, u), avente r come retta d’azione e fissato un generico punto O, distinto da A, si definisce vettor momento o momento M(O) di (A, u) rispetto al polo O il vettore definito dalla seguente relazione:

M( O )  ( A  O )  u Risultante e momento risultante di un sistema di vettori applicati.

Dato S sistema di vettori applicati (A1, u 1), (A2, u 2), …. (A n, u n) si definisce risultante R del sistema il vettore somma dei vettori u1, u2, …. un.

R 

n

u

j

j 1

Si definisce momento risultante rispetto ad un punto O (polo) il vettore somma dei momenti dei singoli vettori tutti valutati rispetto ad O.

M(O ) 

n

( A  O )  u j 1

j

j



I sistemi di vettori (statica grafica) Legge di trasposizione dei momenti. Il momento risultante di un sistema S di vettori applicati rispetto ad un polo O’ è pari alla somma del momento risultante di S rispetto al polo O e del momento, rispetto ad O’ del risultante applicato in O.

M( O')  M( O )  ( O  O')  R  se

O’ viene assunto lungo una retta parallela ad R per O  M(O’)=M(O) .

Sistemi equivalenti. Due sistemi S ed S’ di vettori applicati si dicono equivalenti quando hanno egual risultante ed egual momento risultante rispetto a tutti i punti del dominio in cui è definito il polo, ossia quando soddisfano, qualunque sia il polo P, alle relazioni:

 R R';

 M(P)

M '( P )



per accertarsi che sussista l’equivalenza in assoluto (per ogni polo) è sufficiente provare l’esistenza di un punto O con riferimento al quale si abbia:

 R R';

 M(O)

M '( O )



I sistemi di vettori (statica grafica) Sistemi piani. Si dicono piani i sistemi di vettori applicati le cui rette d’azione appartengono tutte ad un piano. Per essi il risultante R se diverso da 0 appartiene al piano ed il momento risultante M(O) rispetto ad un polo O appartenente allo stesso piano di R è normale ad R.  Il sistema è equivalente al risultante R applicato all’asse

centrale;



se R=0 il sistema è equivalente ad una coppia di momento M pari al momento risultante rispetto ad un punto qualsiasi. 

vale il teorema di Varignon (per i sistemi ad invariante scalare nullo): il momento risultante rispetto ad un qualsiasi polo O può essere calcolato semplicemente valutando il momento della risultante R rispetto ad O.

M(O)  (   O )  R

dove Ω è un punto qualsiasi dell’asse centrale.

Detto (A j, u j) un vettore applicato del sistema, il suo momento rispetto al polo generico nel piano O si può esprimere come prodotto del versore i normale al piano per la componente del momento M j rispetto ad i:

M (O)  M i i j

Il momento risultante vale:

j

con Mi j momento statico di u j rispetto ad O.

M(O)  M i i   M i i j

j

con Mi momento del sistema rispetto ad O.



I sistemi di vettori (statica grafica) Molto frequentemente nelle applicazioni di statica è necessario comporre un sistema piano di vettori, ossia determinare il risultante equivalente o la coppia risultante; inversamente può essere richiesto di decomporre un vettore applicato in un sistema piano ad esso equivalente. Le operazioni di composizione e decomposizione possono compiersi per via grafica o per via analitica. In ogni caso è evidente che occorre fissare innanzitutto opportune scale atte a rappresentare nel rapporto voluto le lunghezze (scala delle lunghezze) e le intensità (scala delle intensità/forze) Il procedimento grafico di composizione di un sistema piano di n vettori concorrenti può comporsi per via grafica oltre che per applicazione ripetuta del procedimento valido per la composizione del due vettori anche e più agevolmente attraverso la poligonale dei vettori. Se la poligonale è aperta la risultante R è diversa da 0 ed è individuata dal lato di chiusura della poligonale (segmento L’operazione orientato O4). di composizione si completa conducendo per il punto A la retta parallela ad R.

Lucia 2010 [Lezioni Di Scienza Delle Costruzioni - 01] R0.1.0

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