PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE VALPARAÍSO FACULTAD DE INGENIERÍA ESCUELA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA
CURSO EIE 684-01 PROYECTO SUBESTACIONES ELÉCTRICAS Y LÍNEAS DE TRANSMISIÓN Profesor : Carlos Rojas Agüero
CAPÍTULO IV CÁLCULO MECÁNICO DE LÍNEAS DE TRANSMISIÓN Marzo 2006
TEMARIO
Cálculo de flechas y tensiones. Cargas de viento y hielo sobre conductores. Ecuación de cambio de estado. Tablas de tensado de conductores
Resumen Proyecto EIE-684-01 Subestaciones Subestacione Suministro s Eléctricas Eléctrico y Líneas Enap Refinerías de Transmisió Transmisión Aconcagua n Carlos Rojas Agüero
Marzo 2006
TEMARIO
Cálculo de flechas y tensiones. Cargas de viento y hielo sobre conductores. Ecuación de cambio de estado. Tablas de tensado de conductores
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Marzo 2006
CÁLCULO DE FLECHAS Y TENSIONES CONSIDERANDO ESTRUCTURAS A IGUAL NIVEL
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Marzo 2006
Estructuras a Igual Nivel
wC a T 0
: Peso del cable por unidad de longitud (kg/m) : Distancia entre estructuras - Vano (m) : Tensión horizontal en cualquier punto de la curva (kg)
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Marzo 2006
Cálculo de la Catenaria
∑ F
X
=0 y
∑ F = 0 Y
(T + dT ) cos(θ + d θ ) = T cos θ (T + dT ) sen(θ + d θ ) = Tsenθ + wC dl Consideraciones dl ≈ dx ⇒ wC ⋅ dx
Peso del trozo de conductor
d ( T cos θ ) = 0
cos(d θ ) ≈ 1
Variaciones pequeñas del ángulo
d ( Tsenθ ) = wC ⋅ dx
sen( d θ ) ≈ d θ
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Cálculo de la Catenaria d (T cos θ ) = 0
⇒ T cos θ = T 0
d (Tsenθ ) = wC ⋅ dx
Reemplazando en la ecuación
y=
T 0 wC
⋅ cosh (
x ⋅ wC T 0
Desarrollando en series de Taylor y tomando solo los dos primeros términos, se tiene que:
y=
T 0 wC
+
(Valor Constante)
x 2 ⋅ wC
2 ⋅ T 0
)
se tendrá que:
Ecuación de la catenaria que describe la curva que adopta el conductor. cosh ( z ) = 1 +
z2
2!
+
z4
4!
+
z6
6!
+ ..........
Ecuación de la parábola que describe la curva que adopta el conductor.
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Cálculo de la Catenaria
y= y=
T 0 wC T 0 wC
+
x 2 ⋅ wC
2 ⋅ T 0
⋅ cosh (
x ⋅ wC T 0
)
y=
T 0 wC
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Cálculo de Longitud de Conductor dl = ( dx )2 + ( dy )2 y=
Sabiendo que
T 0 wC
⋅ cosh (
L' =
x ⋅ wC
− a / 2
T 0
∫
cosh (
L' =
) ⋅ dx
2 ⋅ T 0 wC
dy = senh (
x ⋅ wC T 0
) ⋅ dx
x ⋅ wC T 0
) ⋅ dx
luego:
;
⋅ senh (
L' = a +
T 0
) ⇒
dl = cosh (
Reemplazando, se tiene que + a / 2
x ⋅ wC
a ⋅ wC 2 ⋅ T 0
a ⋅ wC 3
2
24 ⋅ T 0
2
)
Longitud del conductor usando la catenaria.
Longitud del conductor usando la parábola.
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Ecuación de la Flecha f ' = y B − f ' =
T 0 wC
T 0 wC
⋅ cosh (
xa ⋅ wC T 0
)−
T 0 wC
luego:
f ' =
f ' =
T 0 ⎡
a ⋅ wC
wC ⎣
2 ⋅ T 0
⎢cosh (
a ⋅ wC 2
8 ⋅ T 0
⎤
) − 1⎥
⎦
Flecha del conductor usando la catenaria.
Flecha del conductor usando la parábola.
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Cálculo de la Flecha f = y=
T 0 wC
⋅ cosh (
x ⋅ wC T 0
)
f =
a 2 ⋅ wC
8 ⋅ T 0
⎤ T 0 ⎡ a ⋅ wC cosh ( ) − 1⎥ ⎢ wC ⎣ 2 ⋅ T 0 ⎦
f ' = flecha
y=
T 0 wC
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Comparación Catenaria - Parábola Ejemplo: Se tiene un conductor ACSR Grosbeak cuyas características principales son las siguientes: Diámetro Sección Peso
: 25,15 mm : 374,7 mm2 : 1,302 kg/m
Este conductor se instalará en vanos de 100, 200, 300, 400, 500 y 600 m. La tensión horizontal será siempre de 2.000 kg. Determine la flecha para cada uno de los vanos y las tensiones máximas en las torres, usando la ecuación de la catenaria y la ecuación de la parábola. Resumen Proyecto EIE-684-01 Subestaciones Suministro Eléctricas Eléctrico y Líneas Enap Refinerías de Transmisión Aconcagua Carlos Rojas Agüero
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Comparación Catenaria - Parábola Cálculo de la flecha por catenaria T 0 ⎡
⎤ − f ' = cosh ( ) 1 ⎢ ⎥ wC ⎣ 2 ⋅ T 0 ⎦ 2.000 ⎡ a ⋅ 1,302 ⎤ f ' = ) − 1⎥ ⋅ ⎢cosh ( 1,302 ⎣ 2 ⋅ 2.000 ⎦ a ⋅ wC
Cálculo de la flecha por parábola f ' = f ' =
a 2 ⋅ wC 8 ⋅ T 0 1,302 8 ⋅ 2.000
⋅ a2
CUADRO COMPARATIVO DE FLECHAS L (m)
f’ (parábola) (m)
f’ (catenaria) (m)
Diferencia (m)
100
0,81
0,81
0
200
3,26
3,26
0
300
7,32
7,33
0,01
400
13,02
13,04
0,02
500
20,34
20,39
0,05
600
29,30
29,39
0,09
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Comparación Catenaria - Parábola Cálculo Tmáx por catenaria T máx = T 0 cosh (
a ⋅ wC 2 ⋅ T 0
T máx = 2.000 ⋅ cosh (
Cálculo Tmáx por parábola 2
⎛ w ⋅ a ⎞ T máx = ⎜ C ⎟ + T 02 ⎝ 2 ⎠
)
a ⋅ 1,302 2 ⋅ 2.000
)
2
⎛ 1,302 ⋅ a ⎞ 2 T máx = ⎜ ⎟ + 2.000 ⎝ 2 ⎠
CUADRO COMPARATIVO DE TENSIONES L (m)
Tmáx (parábola) (m)
Tmáx (catenaria) (m)
Diferencia (m)
100
2.001,06
2.001,06
0
200
2.004,23
2.004,24
0,01
300
2.009,51
2.009,54
0,03
400
2016,88
2016,98
0,10
500
2026,31
2.026,55
0,24
600
2037,79
2.038,26
0,47
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Tensiones y esfuerzos en el conductor
y=
T 0 wC
⋅ cosh (
x ⋅ wC T 0
)
T 0
T 0
T X
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Marzo 2006
Tensiones y esfuerzos en el conductor Sabiendo que Luego
y=
T 0 wC
T X = T 0 ⋅ cosh (
⋅ cosh ( x ⋅ wC T 0
x ⋅ wC T 0
) ⇒
y ⋅ wC = T 0 ⋅ cosh (
x ⋅ wC T 0
) = T X
) T v = T X 2 − T 02
La componente vertical de la tensión será: 2
Reemplazando; Para
x=
a 2
⎛ x ⋅ wC ⎞ x ⋅ wC T v = ⎜⎜ T 0 ⋅ cosh ( ) ⎟⎟ − T 02 = T 0 ⋅ senh ( ) T 0 T 0 ⎝ ⎠ se tiene que
T v =
wC ⎡ 2 ⋅ T 0
a ⋅ wC ⎤ ⋅⎢ ⋅ senh ( )⎥ ⇒ 2 ⎣ wC 2 ⋅ T 0 ⎦
T v =
wC 2
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⋅ L'
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Tensiones y esfuerzos en los extremos
y=
T 0 wC
⋅ cosh (
x ⋅ wC T 0
)
T 0 T A
T B T 0
T X
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Marzo 2006
Tensiones y esfuerzos en el extremo Sabiendo que
Luego para
T X = T 0 ⋅ cosh (
x=
a 2
x ⋅ wC T 0
)
se tiene que:
En forma aproximada se tiene que:
T A = T B = T 0 ⋅ cosh (
a ⋅ wC 2 ⋅ T 0
⎛ a ⎞ 2 T A = T B = T 0 + ⎜ ⋅ wC ⎟ ⎝ 2 ⎠
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)
2
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Tensión máxima de diseño La tensión máxima a aplicar en el conductor, deberá ser menor que su tensión de ruptura:
T máx ≤
T Ruptura
T Ruptura
CS
CS
Tensión de ruptura del conductor en kg. Coeficiente de seguridad
Los criterios de diseño de líneas de transmisión consideran en general que el valor de la tensión máxima no sobrepase el 50% de la tensión de ruptura del conductor.
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Marzo 2006
Tensión máxima de diseño T B = T máx = T 0 ⋅ cosh (
Con esto se tendrá que:
T máx = T 0 ⋅ cosh (
a ⋅ wC 2 ⋅ T 0
a ⋅ wC 2 ⋅ T 0
)
Mediante el método de Neton Raphson se puede determinar el valor de T 0
)
Utilizando la ecuación de la parábola, se tiene que:
⎡
2
⎤
⎛ T máx ⎞ a 2 ⎥ wC ⎢ T máx ⎟⎟ − ⋅ + ⎜⎜ T 0 = 2 ⎢ wC w 2 ⎥ ⎝ C ⎠ ⎣
Válido solamente si: T máx ≥
⎦
wC ⋅ a 2
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Tensión máxima de diseño Ejemplo: Se tiene un conductor ACSR cuyas características principales son las siguientes: Diámetro Sección Coeficiente dilatación térmica Peso unitario Tensión de rotura Módulo de elasticidad
: : : : : :
21,79 mm 281,0 mm2 0,0000193 1/ºC 0,977 kg/m 8880 kg 7000 kg/mm2
Si la tensión de diseño es del 18% de la tensión de rotura, para vanos entre 600 m y 1000 m, determine: a) Flecha del conductor b) Tensión máxima c) Coeficiente de seguridad en tales condiciones Resumen Proyecto EIE-684-01 Subestaciones Suministro Eléctricas Eléctrico y Líneas Enap Refinerías de Transmisión Aconcagua Carlos Rojas Agüero
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Tensión máxima de diseño La tensión de diseño será:
T 0 = 18% ⋅ TR = 0 ,18 ⋅ 8880
→ T 0 = 1598 ,4 ( kg )
Las flechas serán calculadas para cualquier vano, según:
T 0 ⎡
⎤ − f ' = cosh ( ) 1 ⎢ ⎥ wC ⎣ 2 ⋅ T 0 ⎦ a ⋅ wC
1.598 ,4 ⎡ a ⋅ 0 ,977 ⎤ f ' = ) − 1⎥ ⋅ ⎢cosh ( 0 ,977 ⎣ 2 ⋅ 1.598 ,4 ⎦
CÁLCULO DE FLECHA Vano (m)
Flecha (m)
600
27,58
650
32,38
700
37,58
750 800 850
43,16 49,14 55,51
900
62,27
950
69,44
1000
77,00
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Tensión máxima de diseño La tensión máxima se dará en el extremo superior del conductor, por lo tanto:
T B = T máx = T 0 ⋅ cosh (
a ⋅ wC 2 ⋅ T 0
)
Vano (m)
TMÁX (kg)
Coeficiente de Seguridad
600
1.625,35
5,46
650
1.630,04
5,45
700
1.635,12
5,43
750 800 850
1.640,57 1.646,41 1.652,64
5,41 5,39 5,37
8.880
900
1.659,25
5,35
T MAX
950
1.666,24
5,33
1000
1.673,63
5,31
T máx = 1.598 ,4 ⋅ cosh (
a ⋅ 0 ,977 2 ⋅ 1.598 ,4
El coeficiente de seguridad es:
CS =
TR T MAX
=
CÁLCULO DE TENSIÓN MÁXIMA Y COEFICIENTE DE SEGURIDAD
)
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CÁLCULO DE FLECHAS Y TENSIONES CONSIDERANDO ESTRUCTURAS A DIFERENTE NIVEL
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Estructuras a Diferente Nivel
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Estructuras a Diferente Nivel y= y=
T 0 wC T 0 wC
+
x 2 ⋅ wC
2 ⋅ T 0
⋅ cosh (
x ⋅ wC T 0
y=
)
T 0 wC
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Cálculo de Longitud de Conductor dl = ( dx )2 + ( dy )2
y=
Sabiendo que
T 0 wC
⋅ cosh (
Reemplazando, se tiene que L=
xb
∫
xa
cosh (
L=
x ⋅ wC T 0
T 0 ⎡
) ⋅ dx
⋅ ⎢ senh ( wC ⎣
x ⋅ wC T 0
) ⇒
dl = cosh (
dy = senh (
x ⋅ wC T 0
) ⋅ dx
x ⋅ wC T 0
) ⋅ dx
luego:
;
xb ⋅ wC T 0
) − senh (
xa ⋅ wC ⎤ )⎥ T 0 ⎦
Longitud del conductor usando la catenaria.
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Longitud en Función del Desnivel Sabiendo que
x ⋅w x ⋅w ⎤ ⋅ ⎢ senh ( b C ) − senh ( a C )⎥ wC ⎣ T 0 T 0 ⎦ T ⎡ x ⋅w x ⋅w ⎤ h = 0 ⋅ ⎢cosh ( b C ) − cosh ( a C )⎥ wC ⎣ T 0 T 0 ⎦
L=
T 0 ⎡
Desarrollando las ecuaciones
(1)
L + h = .........
(2)
L − h = .........
Luego despejando L en función de h, se obtiene que: 2
⎡ 2 ⋅ T 0 a ⋅ wC ⎤ ⋅ senh ( L= ⎢ )⎥ + h 2 2 ⋅ T 0 ⎦ ⎣ wC
→
L=
L' + h 2
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2
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Cálculo de Longitud de Conductor
En forma aproximada, se tiene que:
cosψ =
1
⎛ h ⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝ a ⎠
2
→
L≈
a cosψ
+
8 ⋅ f 2 ⋅ cos 3 ψ 3⋅a
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Cálculo del Desnivel
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Cálculo del Desnivel h = yb − y a
Luego;
h=
T 0 ⎡
⋅ ⎢cosh ( wC ⎣
xb ⋅ wC T 0
) − cosh (
xa ⋅ wC ⎤ )⎥ T 0 ⎦
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Cálculo del Desnivel
h>0
si
xb > xa
→ h >0
si
xb < xa
→ h<0
si
xb = xa
→ h =0
h<0
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Ecuación de la Flecha
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Ecuación de la Flecha xm =
xa + xb 2
f = y N − yM = f =
y a + yb 2
f =
− yM
T 0 wC
⋅ cosh (
xa ⋅ wC T 0
)−
T 0 wC
⎡ xa ⋅ wC xb ⋅ wC ⎤ T 0 xm ⋅ wC + − cosh ( ) cosh ( ) cosh ( ) ⎢ ⎥ w 2 ⋅ wC ⎣ T 0 T 0 T C 0 ⎦ T 0
La flecha en función de xm será:
f =
T 0 ⎡
a ⋅ wC
wC ⎣
2 ⋅ T 0
⎢cosh (
⎤
xm ⋅ wC
⎦
T 0
) − 1⎥ ⋅ cosh (
)
→
f = f ' ⋅ cosh (
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xm ⋅ wC T 0
)
Marzo 2006
Ecuación de la Flecha La flecha en función de xa será:
f =
T 0 ⎡
xa ⋅ wC
wC ⎣
T 0
⎢cosh (
) − cosh (
(a 2 − xa ) ⋅ wC ⎤ T 0
)⎥ +
h
⎦ 2
En forma aproximada, se tiene que:
f ≈
wC ⋅ a 2 8 ⋅ T 0
⎛ h ⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝ a ⎠
2
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Ecuación de la Saeta
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Ecuación de la Saeta s = ya − yV = ya − s=
T 0 wC
⋅ cosh (
T 0 wC
xa ⋅ wC T 0
)−
T 0 wC
luego:
s=
T 0 ⎡
⋅ ⎢cosh ( wC ⎣
xa ⋅ wC T 0
⎡ ⎛ h ⎞ 2 ⎤ ⎟⎟ ⎥ s ≈ f ⋅ ⎢1 − ⎜⎜ ⋅ 4 f ⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎥⎦
⎤
Ecuación de la Saeta del conductor usando la catenaria.
) − 1⎥
⎦
s≈
xa ⋅ wC 2
Ecuaciones aproximadas
2 ⋅ T 0
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Tensión To en función de la longitud Dato conocido
L
T 0 = ?
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Marzo 2006
Tensión To en función de la longitud Sabiendo que L −h 2
a
q
2
=
L=
2 ⋅ T 0 a ⋅ wC
L' + h 2
⋅ senh (
2
a ⋅ wC 2 ⋅ T 0
→ L' = L2 − h 2 = ) →
z
Luego reemplazando , se obtiene que:
q=
senh( z ) z
z = 3 ,162 ⋅
T 0 =
2 ⋅ T 0 wC
≈ 1+
⋅ senh ( z
2
6
+
z
a ⋅ wC 2 ⋅ T 0
)
4
120
1,2 ⋅ q − 0 ,2 − 1
a 2⋅ z
⋅ wC
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Marzo 2006
Tensiones y esfuerzos en los extremos y=
T 0 wC
⋅ cosh (
x ⋅ wC T 0
)
T B
T 0
T A
T 0
T X
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Marzo 2006
Tensiones y esfuerzos en el extremo T X = T 0 ⋅ cosh (
Sabiendo que
x ⋅ wC T 0
)
Luego para
x = xa
se tiene que:
T A = T 0 ⋅ cosh (
Luego para
x = xb
se tiene que:
T B = T 0 ⋅ cosh (
xa ⋅ wC T 0 xb ⋅ wC T 0
)
)
En forma aproximada se tiene que: Para
x = xa
se tiene que:
T A = T 0 + ( xa ⋅ wC )
Para
x = xb
se tiene que:
T B = T 0 + ( xb ⋅ wC )
2
2
2
2
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Marzo 2006
Ubicación cartesiana de los extremos
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Marzo 2006
Ubicación cartesiana de los extremos Las coordenadas cartesianas de los extremos, se pueden determinar como: ⎡ ⎤ ⎛ a ⋅ wC ⎞ ⎢ ⎟⎟ − 1 ⎥ cosh ⎜⎜ T ⎢ h d ⎝ T 0 ⎠ )⎥ xa = − 0 ⋅ ⎢ senh −1 ( ) − tgh −1 ( 2 2 wC ⎛ a ⋅ wC ⎞ ⎥⎥ ⎡ ⎛ a ⋅ wC ⎞⎤ ⎡ ⎛ a ⋅ wC ⎞ ⎤ ⎢ ⎟⎟ senh ⎜⎜ ⎟⎟⎥ − ⎢cosh ⎜⎜ ⎟⎟ − 1⎥ ⎢ senh ⎜⎜ ⎢ T ⎝ 0 ⎠ ⎥⎦ ⎝ T 0 ⎠⎦ ⎣ ⎝ T 0 ⎠ ⎦ ⎣ ⎣
En forma aproximada se tiene que: xa =
xa =
a ⎛ h ⎞ ⎟⎟ ⋅ ⎜⎜ 1 + 2 ⎝ 4 ⋅ f ⎠ a 2
−
T 0
⋅
xb = a − xa
h
wC a
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Ejemplo Ejemplo: Se tiene un conductor suspendido de dos estructuras que se encuentran a 400 m y con un desnivel de 3,5 m. Las características del conductor de fase son las siguientes: Diámetro Peso unitario Tensión de ruptura Longitud
: : : :
31,98 mm 1,868 kg/m 14016 kg 200 km
Se desea conocer a qué distancia de las estructuras se encuentra el punto más bajo del conductor en proyección horizontal y en proyección vertical. Determine la flecha y la longitud del conductor suspendido entre las estructuras. Se considerará una tensión de diseño igual al 27% de la tensión de ruptura.
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Marzo 2006
Ejemplo
a = 400 ( m ) h = 3 ,5 ( m )
yb
f ya
s
L
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Marzo 2006
Ejemplo La tensión de diseño será:
T 0 = 27 % ⋅ TR = 0 ,27 ⋅ 14.016 → T 0 = 3784 ( kg ) xa =
El valor de xa estará dado por:
a 2
−
T 0
⋅
h
wC a
=
400 2
−
3.784
⋅
35
1,868 400
xa = 22 ,75 ( m ) xb = a − xa = 400 − 22 ,75
El valor de ya es:
El valor de yb es:
ya =
yb =
→
xb = 377 ,25 ( m )
xa2 ⋅ wC
22 ,75 2 ⋅ 1,868
2 ⋅ T 0 xb2 ⋅ wC 2 ⋅ T 0
= =
2 ⋅ 3.784 377 ,25 2 ⋅ 1,868 2 ⋅ 3.784
→ →
ya = 0 ,128 ( m )
ya = 35 ,13 ( m )
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Marzo 2006
Ejemplo La flecha será calculada como: f =
wC ⋅ a 2 8 ⋅ T 0
=
1,868 ⋅ 400 2
→
8 ⋅ 3.784
f = 9 ,87 ( m )
El largo del conductor será: cosψ =
L≈
1
⎛ h ⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝ a ⎠
a cosψ
+
2
1
=
⎛ 35 ⎞ ⎟ 400 ⎝ ⎠
2
→
cosΨ = 0 ,996 ( m )
1+ ⎜
8 ⋅ f 2 ⋅ cos 3 ψ 3⋅a
→
L = 402 ,2 ( m )
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Marzo 2006
EFECTO DE LAS CARGAS DE HIELO Y VIENTO EN EL CÁLCULO MECÁNICO
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Cargas de Hielo y Viento en el Conductor Conductor
FV Hielo
F R =
FH
⎛ F V ⎞ ⎟⎟ θ = tg ⎜⎜ ⎝ F C + F H ⎠ −1
θ
FC
(F C + F H )2 + F V 2
FR
FC Fuerza debida al peso del conductor FH Fuerza debida al peso del hielo FV Fuerza debida a la presión del viento Resumen Proyecto EIE-684-01 Subestaciones Subestacione Suministro s Eléctricas Eléctrico y Líneas Enap Refinerías de Transmisió Transmisión Aconcagua n Carlos Rojas Agüero
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Fuerza debida al peso del conductor Conductor
FV F C = δ ⋅ S ⋅ 10 − ( kg / m ) 3
Hielo δ
Densidad del material (kg/mm3)
S
Sección del conductor (mm2)
FH θ
FC
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FR
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Fuerza debida al peso del hielo
(
)
F H = 0 ,785 ⋅ D 2 − d 2 ⋅ δ ⋅ 10 −3 ( kg / m )
Hielo
Conductor
FV
D = d + 2 ⋅ t
d Diámetro del conductor (mm) t Espesor manguito de hielo (mm)
δ
Densidad del hielo (kg/mm3)
S
Sección del conductor (mm2)
FH θ
FC
FR
Densidad del hielo = 1 (kg/dm3)
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Fuerza debida al viento Presión de viento
Hielo
PV = 0 ,061 ⋅ V 2 ( kg / m 2 )
si V en ( m / s )
PV = 0 ,00471 ⋅ V ( kg / m ) 2
Conductor
2
FV
si V en ( km / h )
Fuerza del viento F V = PV ⋅ (d + 2 ⋅ t ) ⋅ k 1 ⋅ k 2 ⋅ 10 − ( kg / m ) 3
FH θ
PV
Presión de viento en (kg/m2)
d
Diámetro del conductor (mm)
t k 1
Espesor del manguito de hielo (mm) Factor de arrastre (para conductor cil í ndrico ndrico vale 1,1)
k 2
Factor de ráfaga (varí a entre 1,87 y 3,3)
FC
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FR
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Ejemplo Ejemplo: Se tiene un conductor AAAC Flint instalado entre dos estructuras que se encuentran al mismo nivel y separadas por un vano de 450 m. Las características del Flint son las siguientes: Diámetro Peso unitario Tensión de ruptura
: 25,16 mm : 1,035 kg/m : 11.068 kg
Determinar la flecha para las condiciones de tensión máxima, con una velocidad de viento de 90 km/hr y una capa de hielo de 1 cm. de espesor. Se considerará una tensión máxima de trabajo igual al 50% de la tensión de ruptura.
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Ejemplo Fuerza debida al peso del hielo
Hielo
)
F H = 0 ,785 ⋅ D 2 − d 2 ⋅ δ ⋅ 10 −3 ( kg / m ) D = d + 2 ⋅ t = 25 ,16 + 2 ⋅ 10 = 45 ,16 ( mm )
(
)
F H = 0 ,785 ⋅ 45 ,16 2 − 25 ,16 2 ⋅ 10 −3 ⋅ 1
FH
F H = 1,104 ( kg / m )
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Ejemplo Fuerza debida al viento F V = PV ⋅ (d + 2 ⋅ t ) ⋅ 10 − ( kg / m ) 3
FV
2 PV = 0 ,00471 ⋅ 90 ⋅ 90 = 38 ,15 ( kg / m )
F V = 38 ,15 ⋅ 45 ,16 ⋅ 10 −3 F V = 1,722 ( kg / m )
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Ejemplo Fuerza resultante FV
F R =
(F C + F H ) + F
F R =
(1,035 + 1,104 )2 + 1,722 2
2
2 V
FH F R = 2 ,746 ( kg / m )
θ = tan −1
F V
(F C + F H )
=
θ 1,722
1,035 + 1,104
FC
FR
θ = 56 ,5º
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Ejemplo La tensión de diseño será:
T 0 = 50% ⋅ TR = 0 ,50 ⋅ 11.068
→ T 0 = 5.534 ( kg )
La flecha está dada por: f ' =
f ' =
f ' =
f ' =
F R ⋅ a 2 8 ⋅ T 0 F R ⋅ a 2 8 ⋅ T 0 F R ⋅ a 2 8 ⋅ T 0 F R ⋅ a 2 8 ⋅ T 0
=
= = =
2 ,746 ⋅ 450 2 8 ⋅ 5.534 2 ,139 ⋅ 450 2 8 ⋅ 5.534 2 ,009 ⋅ 450 2 8 ⋅ 5.534 1,035 ⋅ 450 2 8 ⋅ 5.534
f ' = 12 ,56 ( m )
Hielo y viento
f ' = 9 ,78 ( m )
Solo hielo
f ' = 9 ,18 ( m )
Solo viento
f ' = 4 ,73 ( m )
Sin viento, sin hielo
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Ejemplo La tensión de diseño será:
T 0 = 50% ⋅ TR = 0 ,50 ⋅ 11.068
→ T 0 = 5.534 ( kg )
La flecha está dada por: f ' =
f ' =
f ' =
f ' =
F R ⋅ a 2 8 ⋅ T 0 F R ⋅ a 2 8 ⋅ T 0 F R ⋅ a 2 8 ⋅ T 0 F R ⋅ a 2 8 ⋅ T 0
=
= = =
2 ,746 ⋅ 450 2 8 ⋅ 5.534 2 ,139 ⋅ 450 2 8 ⋅ 5.534 2 ,009 ⋅ 450 2 8 ⋅ 5.534 1,035 ⋅ 450 2 8 ⋅ 5.534
f ' = 12 ,56 ( m )
Hielo y viento
f ' = 9 ,78 ( m )
Solo hielo
f ' = 9 ,18 ( m )
Solo viento
f ' = 4 ,73 ( m )
Sin viento, sin hielo
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ECUACIÓN DE CAMBIO DE ESTADO EN CONDUCTORES
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Ecuación de cambio de estado
Los conductores y cables de guardia de las líneas de transmisión están sometidos a la influencia de factores ambientales y climatológicos que les producen variaciones de tensión mecánica y longitud. Estos factores son, principalmente: • Variación de la temperatura. • Acción del viento. • Acción del hielo.
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Ecuación de cambio de estado Una variación de temperatura ∆θ=θ2-θ1, provoca en un cable de coeficiente de dilatación lineal α, una variación de su longitud dada por:
Un incremento de la tensión mecánica ∆T=T 2-T 1, provoca una variación de longitud, suponiendo que es aplicable la ley de Hook, según la siguiente relación:
siendo S (mm2) la sección y E (Kg/ mm2) el módulo de elasticidad.
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Ecuación de cambio de estado Además, si se supone que se tiene un vano a igual nivel, entonces para dos longitudes de conductor se tendrá que:
L1 = L2 =
2 ⋅ T 1 wC 2 ⋅ T 2 wC
⋅ senh ( ⋅ senh (
a ⋅ wC 2 ⋅ T 1 a ⋅ wC 2 ⋅ T 2
)
(3)
)
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Ecuación de cambio de estado De las ecuaciones (1), (2) y (3), se obtiene que:
⎡ ⎤ a 2 ⋅ w22 ⋅ S ⋅ E ⎛ a 2 ⋅ w1 ⎞ T 1 − α ⋅ t 1 − + α ⋅ t 2 ⎟⎟ ⋅ S ⋅ E ⎥ = T ⎢T 2 + ⎜⎜ 2 ⋅ ⋅ 24 T S E 24 1 ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ 2 2
Esta ecuación relaciona la tensión mecánica T 1 en condiciones de temperatura θ1 y de peso aparente w1 , con la tensión T 2 en otras condiciones distintas θ2 y w2. Conocida la tensión mecánica a que está sometido un cable en unas condiciones determinadas, resolviendo la ecuación de cambio de condiciones podemos predecir la tensión mecánica que se producirá cuando cambien las condiciones de temperatura y/o sobrecarga.
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