Inferencia L´ ogica ogica Salom´ on Ching Brice˜ on no no Licencia Lice nciado do en Matem´ Mate m´ aticas atic as http://mathsalomon.260mb.com
UNPRG 18 de marzo de 2011
Contenido I
Introducci´ on on Considere los siguientes casos que pueden darse en la vida cotidiana. 1
Un joven le dice a un amigo: t´ u to todos dos los d´ıas dices mentir mentiras as , y el contesta: no es ciert cierto, o, ay ayer er en todo el d´ıa no dije una s´ ola mentira.
2
Si llueve hay nubes. Y si hay nubes ¿qu´e se pue puede de ded deduci ucir? r?
3
Si haces la tarea te llevo al cine. Pero si ya est´as as en el cine, ¿qu´e pue puede de eso sig signifi nificar? car?
4
Todos los libros sobre computadores son terriblemente ´ aburridos. Este es un libro sobre computadores. Este libro es terriblemente terrible mente aburrido aburrido..
La validez y sentido l´ogico ogico que tengan estas declaraciones o frases lo estudia la inferencia l´ ogica. ogica.
Razonamiento e Inferencia Resumen Validaci´on on de un razonami razonamiento ento Bibli Bi bliogr ograf´ af´ıa ıa
Ejemplos I Lenguaje formal
Formalizando Una inferencia l´ ogica es un razonamiento expresado en una frase ogica cuya ultima u ´ltima parte se afirma con base a lo que previamente se haya declarado.
Razonamiento e Inferencia Resumen Validaci´on on de un razonami razonamiento ento Bibli Bi bliogr ograf´ af´ıa ıa
Ejemplos I Lenguaje formal
Aspectos del Razonamiento I El t´ermino razonamiento tiene dos acepciones: Funcional (la relaci´ on entre las premisas y la conclusi´ on on). y on). Procesal (la actividad del agente que razona) Significado Funcional La l´ogica ogica se ocupa de los razonamientos en el sentido funcional. De hecho, en el proceso que lleva de las premisas a la conclusi´ on pueden encadenarse m´ on ultiples pasos elementales. ultiples La l´ogica ogica inferencial estudia las condiciones bajo las cuales estos pasos son correctos.
Razonamiento e Inferencia Resumen Validaci´on on de un razonami razonamiento ento Bibli Bi bliogr ograf´ af´ıa ıa
Ejemplos I Lenguaje formal
Aspectos del Razonamiento II Significado Procesal En el caso de que el agente sea humano humano,, de los aspectos procesales de los razonamientos se ocupa la psicolog´ıa. Pero si el agente es un artefacto, artefacto, por ejemplo, un computador, entonces es un asunto propio de la inteligencia artificial. La inferencia es un razonamiento formal Una inferencia es simplemente un razonamiento formal, formal, en el sentido de que lo importante es la forma de las premisas y la conclusi´ on, on, y la relaci´on on entre ellas, mas no su contenido.
Video Explicativo El Razonamiento y el concepto de Inferencia
Click aqu aqu´ ´ı o en e n el bot´on on para mostrar el video
Parte 01 Aseg´ urese urese que Acrobat Acrobat Reader permita p ermita la apertura de hiperv´ hiperv´ınculos de la red.
Razonamiento e Inferencia Resumen Validaci´on on de un razonami razonamiento ento Bibli Bi bliogr ograf´ af´ıa ıa
Ejemplos I Lenguaje formal
Inferencias con condicionales Las condicionales junto con otras proposiciones, forman inferencias. Ejemplo 1.1 “Todos los hombres son mortales, S´ ocrates es un hombre, ocrates S´ ocrates es mortal.” ocrates Ejemplo 1.2 “Si estudio, apre aprendo. ndo. Es as as´ ´ı que estudio, luego apr aprendo.” endo.” La conclusi´ on de una inferencia es la proposici´ on on on que se afirma sobre la base de las otras proposiciones que nos dan los elementos de juicio o razones para aceptar la conclusi´ on. on.
Video Explicativo Ejemplos de Inferencia
Click aqu aqu´ ´ı o en e n el bot´on on para mostrar el video
Parte 02 Aseg´ urese urese que Acrobat Acrobat Reader permita p ermita la apertura de hiperv´ hiperv´ınculos de la red.
Razonamiento e Inferencia Resumen Validaci´on on de un razonami razonamiento ento Bibli Bi bliogr ograf´ af´ıa ıa
Ejemplos I Lenguaje formal
Lenguaje formal de un razonamiento Todo razonamiento predeterminadamente est´a en lenguaje natural. En l´ ogica proposicional usamos las variables p q r ogica para las proposiciones simples, y junto a los conectivos ( ∼ ∨ ∧ → ↔) se forman las proposiciones compuestas. ,
,
,
,
,
, . . .
,
Definici´ on 1.1 on En el lenguaje formal la conclusi´ on on va precedida precedid a del s´ımbolo ımb olo ( ∴ ), que se lee: “luego” ´o “por tanto”.
Lenguaje formal de un razonamiento Ejemplo 1.3 El razonamiento del ejemplo anterior en lenguaje natural es: 1. 2.
“Si estudio aprendo” “Es as´ as´ı que estudi estudio” o” Luego: “Aprendo”
(premisa 1) (premisa 2) (conclusi´ on) on)
´ Esto, en lenguaje formal, es: 1. 2.
p → q p ∴
q
(premisa 1) (premisa 2) (conclusi´ on) on)
Resumen 1. En l´ogica ogica no interesa tanto la verdad o falsedad de las proposiciones, sino las relaciones l´ ogicas ogicas que existen entre ellas. 2. Un razonamiento es v´ alido alido cuando la conclusi´ on on se deriva necesariamente de las premisas y es inv´alido alido cuando la conclusi´ on no se deriva de las premisas. on 3. En lenguaje formal todo razonamiento es de la forma: P 1 P 2
1. 2.
.. .
.. .
´o
(P 1 ∧ P 2 ∧
. . .
∧
P ) → C n
P
n.
n
∴
C
Donde P 1 P 2 P son las premisas (proposiciones at´omicas omicas o compuestas) y C es la conclusi´ on on (tam (tambi´ bi´en en prop prop osic osici´ i´ on on at´ omica omica o ,
compuesta)
, . . . ,
n
Video Explicativo Resumen del concepto de inferencia
Click aqu aqu´ ´ı o en e n el bot´on on para mostrar el video
Parte 03 Aseg´ urese urese que Acrobat Acrobat Reader permita p ermita la apertura de hiperv´ hiperv´ınculos de la red.
Razonamiento e Inferencia Resumen Validaci´on on de un razonami razonamiento ento Bibli Bi bliogr ograf´ af´ıa ıa
M´ eto dos de Valid etodos Validaci aci´ o on ´n Tablas veritativas Prueba formal de invalidez Implicaciones notables Prueba formal de validez Demostraci´ on Indirecta on Ejercicios IV
Validaci´ on de un razonamiento on ¿C´omo omo se puede saber sab er si un razonamiento razonamiento es o no v´ alido alido sin necesidad de manejarlo solo en lenguaje natural? Para Para validar se puede usar cualquiera los siguientes m´ etodos: etodos: 1
Tablas veritativas
2
Prueba formal de invalidez (absurdo I)
3
Prueba formal de validez (leyes l´ ogicas) ogicas)
4
Demostraci´ on on Indirecta (absurdo II)
Tablas Veritativas Para validar por tablas, se procede de la siguiente manera: Modus operandi 1. Se halla las tablas de cada una de las premisas y de la conclusi´ on, on, usando 1 para la verdad y 0 para la falsedad.
2. Si en alg´ un un rengl´ on de la tabla encontramos que todas las on premisas sean 1 siendo la conclusi´ on on 0 , el razonamiento es inv´ alid al ido o. 3. Si no hay ning´ un un rengl´ on como el mencionado anteriormente, on se dir´ di r´a que qu e el razonami razonamiento ento es v´ alido. alid o. Recuerde que un razonamiento es de la forma: Premisas → Conclusi´ on on Es el unico u ´nico caso en que el razonamiento es falso.
Video Explicativo Tablas Veritativas
Click aqu aqu´ ´ı o en e n el bot´on on para mostrar el video
Parte 04 Aseg´ urese urese que Acrobat Acrobat Reader permita p ermita la apertura de hiperv´ hiperv´ınculos de la red.
Prueba formal de invalidez Ventajas Es menos laboriosa que la validaci´ on on por tabla u otro m´ etodo etodo y no requiere del uso de las leyes de inferencia (implicaciones notables). Desventajas Puede resultar poco po co pr´ actico actico cuando el razonamiento tiene muchas variables (proposiciones at´ omicas) omicas) o bien pueda tener muchas premisas. Prueba formal de invalidez Se trata de una demostraci´ on on indirecta por reducci´ on on al absurdo (primera forma). Si la conclusi´ on on tiene valor falso 0, y las premisas pueden tener valor verdadero 1, el razon razonamien amiento to es inv´ alid o. alido.
Prueba formal de invalidez Modus operandi 1
Se da valor 0 a la conclusi´ on. on.
2
Se le asigna valor 1 a cada premisa.
3
Se deducen los valores las variables que componen a las premisas y de la conclusi´ on. on.
4
En estos valores, si no se encuentra ning´ un un conflicto o ambiguedad, el razo razonami namiento ento es inv´alido. alid o.
Leyes Elementales Se usan para la demostraci´ on directa on
Algunos razonamientos razona mientos v´alidos, alidos, son leyes l´ogicas, ogicas , y sirven tambi´en en para calcular la validez de otros razonamientos. A dichos razonamientos se les llama: Implicaciones Notables
1. Modus ponens
on 8. Ley de transposici´on
2. Modus tollens
on 9. Ley de traslaci´on
3. Modus tollendo ponens
10. Leyes de Morgan
4. Ley conjuntiva
11. Dilema constructivo
simplificativaa 5. Ley simplificativ
12. Dilema destructivo
6. Ley aditiva
13. Ley del condicional
7. Silogismo condicional
.
Presentaremos cada una de estas leyes, las cuales siempre se usar´ an an en la
Modus ponens 1. Modus ponens 1. 2.
p → q p ∴
q
Ejemplo 1.4 “Si llueve, las calles se mojan” “Est “Est´´a llov ll ovie iend ndo” o” Luego: “Las calles calle s se est´an an mojando” mojand o”
Modus tollens 2. Modus tollens 1. 2.
p → q ∼q ∴
p
∼
Ejemplo 1.5 “Si llueve, las calles se mojan” “Las calles calle s no est´an an mojadas” mojada s” Entonces: “Es seguro que no ha llovido”
Modus tollendo ponens 3. Modus tollendo ponens A) 1. 2.
p ∨ q ∼p ∴
q
Ejemplo 1.6 “O vamos al cine o vamos al teatro” “no vamos al cine” Entonces: “Vamos al teatro”
3. Modus tollendo ponens B) 1. 2.
p ∨ q ∼q ∴
p
Ejemplo 1.7 “O vamos al cine o vamos al teatro” “no vamos al teatro” Entonces: “Vamos al cine”
Ley conjuntiva 4. Ley conjuntiva p q
1. 2. ∴
p∧q
Ejemplo 1.8 “Soy guapo” “Soy millonario” Luego: “Soy guapo y millonario”
Ley simplificativa 5. Ley simplificativa A) 1.
p ∧ q ∴
B) 1.
p
p ∧ q ∴
q
Ejemplo 1.9 “Soy guapo y millonario” Luego, puedo decir que: “Soy guapo” Ejemplo 1.10 “Soy guapo y millonario” Luego: “Soy millonario”
Ley aditiva 6. Ley aditiva A) 1. ∴
B) 1.
p
Ejemplo 1.11 “Voy al cine”
p∨q
Luego, puedo decir que:
q ∴
p∨q
“Voy al cine o voy al teatro” Ejemplo 1.12 “Voy al teatro” Luego: “Voy al cine o voy al teatro”
Silogismo condicional Silogismo mo condicio condicional nal 7. Silogis o Ley transitiva 1. 2.
p → q q → r ∴
p→r
Ejemplo 1.13 “Si llueve las calles se mojan” “Si las calles se mojan me resbalo” Luego:: Luego “Si llueve me resbalo”
Leyes de transposici´ on, traslaci´ on, on y Morgan on 8. Ley de transposici´on on B) 1. A) 1.
q → ∼p
∼
p → q ∴
∴
p→q
q → ∼p
∼
9. Ley de traslaci´ on on A) 1.
(p ∧ q ) → r ∴ p → (q → r )
B) 1.
p → (q ∧ r ) ∴
(p ∧ q) → r
10. Leyes de Morgan A) 1.
(p ∨ q ) ∼p ∧ ∼q
∼
∴
B) 1.
(p ∧ q ) ∼p ∨ ∼q
∼
∴
Dilema constructivo, destructivo, y ley condicional 11. Dilema constructivo 1. 2.
(p → q ) ∧ (r → s ) (p ∨ r ) ∴ q ∨ s
12. Dilema destructivo 1.
(p → q ) ∧ (r → s ) q ∨
2.
∼
∴
∼
s
∼
p∨
∼
r
13. Ley del condicional A) 1.
p → q ∴
p∨q
∼
B) 1.
p ∨ q
∼
∴
p→q
Video Explicativo (en HD) Leyes de Inferencia y ejemplos
Click aqu aqu´ ´ı o en e n el bot´on on para mostrar el video
Parte 08 Aseg´ urese urese que Acrobat Acrobat Reader permita p ermita la apertura de hiperv´ hiperv´ınculos de la red.
Prueba formal de validez o Demostraci´on on Directa Consiste en obtener la conclusi´ on, a partir de las premisas on, utilizando las implicaciones notables, anteriormente expuestas. En la mayor mayor´´ıa de ejercicios, usamos esta prueba, cuando se nos pide demostrar un razonamiento. La prueba formal de validez tamb tambi´ i´en en es llam llamad adaa demostraci´ on directa. on Modus operandi 1
Se enumeran las premisas.
2
Se contin´ ua ua la enumeraci´ on en cada uno de los pasos que se on van dando.
3
Al mismo tiempo se indica a la derecha (en lenguaje natural) la implicaci´ on on notable que se aplica.
4
Finalmente se alcanza la conclusi´ on. on.
Razonamiento e Inferencia Resumen Validaci´on on de un razonami razonamiento ento Bibli Bi bliogr ograf´ af´ıa ıa
M´ eto dos de Valid etodos Validaci aci´ o on ´n Tablas veritativas Prueba formal de invalidez Implicaciones notables Prueba formal de validez Demostraci´ on Indirecta on Ejercicios IV
Demostraci´ on Indirecta on Tambi´ ambi´en en es llam ll amad ada: a: Demostraci´ on on por reducci´ on on al absurdo Modus operandi - I 1
Se supone falsa la conclusi´ on on C , es decir:
C es verdadera.
2
Se agrega
3
Se demuestra, por el m´ etodo etodo directo, que estas premisas conducen a una falsedad o contradicci´ on. on.
∼
C como una nueva premisa.
∼
Razonamiento e Inferencia Resumen Validaci´on on de un razonami razonamiento ento Bibli Bi bliogr ograf´ af´ıa ıa
M´ eto dos de Valid etodos Validaci aci´ o on ´n Tablas veritativas Prueba formal de invalidez Implicaciones notables Prueba formal de validez Demostraci´ on Indirecta on Ejercicios IV
Demostraci´ on Indirecta on Modus operandi - II 4. No hay que llegar a la conclusi´ on, solamente buscar una on, contradicci´ on on en las premisas. 5. Se concluye que C es verdadera, ya que inferencia.
C hace hace inv´ inv´alid alidaa a la
∼
As´ As´ı, se habr´a demost demostrad rado o formalme forma lmente nte la infere inf erenci nciaa por el m´etodo eto do indirecto.
Ejercicios Explicativos Ejemplo 1.14 Demostrar que el razonamiento: 1. 2.
p → ∼q ∼q → r
3.
p→r
4.
∼
∴
Soluci´ on on Agregamos una nueva premisa negando la conclusi´ on: on:
∼
es v´alid alido o por demostraci´on on indirecta.
( ∼p → r ) negaci´on on de la conclusi´ on on
∼
(D.I.)
(p ∨ r ) sustituci´on on del condicional en
∼
3.
5.
∼
6.
∼
p ∧
r Ley de Morgan en 4.
∼
r Ley simplificaci´on on en 5.
7. r Silogismo condicional en 1-2. 8. r ∧ ∼r Ley conjuntiva en 6-7. As´ As´ı se co conc nclu luye ye ∴ ∼p → r, porque que la negaci´ on on de esta proposici´ on on conduce al absurdo r ∧ ∼r .
Ejercicios Explicativos Ejemplo 1.15 Demostrar que el razonamiento: 1. 2.
p → q p → ∼q ∴
p
∼
es v´alido ali do por demost demostrac raci´ i´ on on indirecta.
Ejercicios Explicativos Soluci´ on on . 1. p → q 2. p → ∼q
Regla Premisa Premisa
Comentario
3.
Hip´ otesis
Se supone falsa la conclusi´ on ∼p on
( ∼p ) = p
∼
4. q 5.
Modus pon Modus ponen enss entre 1 y 3. q
Modus pon Modus ponen enss entre 2 y 3.
6. q ∧ ∼q
Ley co Ley conj njun unti tiva va entre 4 y 5.
∼
Ten enem emos os la co cont ntra radi dicc cci´ i´ on on buscada.
Puesto que p produce una contradicci´ on (absurdo), se concluye on
Razonamiento e Inferencia Resumen Validaci´on on de un razonami razonamiento ento Bibli Bi bliogr ograf´ af´ıa ıa
Bibliograf´ıa Fi guero Figue roaa G, Rub´en. en. Matem´atica B´asica. Editorial America S.R.L., Lima, Per´u, u, 1995. Educared L´ ogica ogica Proposicional. [en [e n l´ınea ın ea]] http://portales http:// portales.educa .educared.ne red.net/wikiE t/wikiEduca ducared/ red/ [Cons [Consulta: ulta: 22 Dic 2010]. Licencia de Creative Commons - Fundacion Telef´ onica.
