Materia:
Lógica
Cátedra: Oller Teórico: N°17 Tema:
Propiedades de la consecuencia lógica. Metateoremas de corrección y
completud. Consistencia de la lógica de primer orden. -.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-.-
Profesor: Habíamos visto en las clases pasadas las propiedades que tiene la relación de consecuencia clásica, fundamentalmente tres que son las que caracterizan a las relaciones de consecuencia deductiva que se llaman relaciones tarskianas de consecuencia. Esas propiedades son corte — una una suerte de transitividad — , reflexividad y monotonía. Habíamos tratado de dar un respaldo intuitivo a estas propiedades y habíamos visto que parecían propiedades sensatas para una relación de consecuencia deductiva. Estas propiedades no pertenecen sólo a la relación de consecuencia deductiva de la lógica clásica de primer orden, sino que son propiedades que tienen toda una variedad de relaciones de consecuencia correspondientes a diversas lógicas deductivas. Son propiedades estructurales dado que no hacen referencia al lenguaje del sistema, es decir no dependen de cuál sea el conjunto de constantes lógicas y de cuál sea su conjunto de reglas lógicas. Por eso estas propiedades pueden pertenecer a más de un sistema lógico deductivo. Si apareciesen en el enunciado de estas propiedades algún tipo particular de constantes lógicas, eso me limitaría el conjunto de sistemas cuya relación de consecuencia puede tener estas propiedades. Pero no aparece ninguna constante lógica en su enunciado, es decir, son propiedades que uno puede considerar como requisitos para que una relación de consecuencia sea deductiva en un sentido más o menos sensato.
Habíamos relacionado esto con el segundo texto que tienen que leer para el parcial de teóricos que es el texto de Susan Haack, que trata sobre la cuestión de las lógicas divergentes. Como habíamos visto las clases pasadas, casi al mismo tiempo que se consolida la lógica de primer orden clásica, es decir, fines del siglo XIX, principios del siglo XX, aparecen los heterodoxos, los que sostienen que la lógica de primer orden clásica contiene principios — es decir, leyes o reglas — que están equivocadas. Entonces formulan sistemas de lógica matemática, con todos los requisitos de precisión que tiene la lógica de primer orden clásica, pero que no contienen algunos de esos principios que consideraban equivocados. Habíamos visto dos principios que muchos de estos lógicos heterodoxos consideraban erróneos, que eran el ex contradictione quodlibet y el verum ex quolibet sequitur . ¿Cómo podemos eliminar esos principios que están equivocados según los lógicos divergentes? Hay distintas maneras de hacerlo, y hay distintas lógicas divergentes. Pero hay un problema, que es que cuando uno hace caer esos principios también en general debe hacer caer otros. Y eso puede tener consecuencias desagradables. Una de esas consecuencias desagradables, que estábamos viendo para unas nociones de consecuencia heterodoxas, es que se pueden llegar a perder algunas de estas propiedades que uno consideraría esenciales de la noción de consecuencia deductiva. Por ejemplo, en algunos casos se pierde reflexividad, que parece una propiedad absolutamente intuitiva. Si lo característico de la consecuencia deductiva es que, en todos los casos, nos permite pasar de verdades a verdades, entonces concluir
“Llueve”
de
“Llueve”, parece el ejemplo más sencillo en
el que uno pasa de verdad a
verdad. Si la premisa es idéntica a la conclusión, entonces si la premisa es verdadera la conclusión debe ser verdadera. Eso parece absolutamente obvio y, sin embargo, como vimos en el ejercicio número 12 se pierde esa propiedad respecto de esta noción de consecuencia que ahora vamos a recordar. De manera que las lógicas divergentes tienen sus problemas y esa es la razón por la cual la lógica contemporánea no abraza la divergencia, la heterodoxia. El texto de Haack lo vamos a ver un poco más el lunes, durante la clase de consulta y revisión.
Decíamos que los dos principios que rechazan muchos lógicos divergentes son ex contradictione quodlibet y verum ex quolibet sequitur . Entonces, ¿por qué no caracterizar una noción de consecuencia que filtre esas inferencias? Habíamos visto la
vez pasada que decir que un razonamiento que tiene como conjunto de premisas a Γ y como conclusión a φ es válido deductivamente es lo mismo que decir que no tiene
contraejemplos. En este caso, contraejemplos de su validez. ¿Qué quiere decir que no tiene contraejemplos de su validez? Que no vamos a encontrar, en el caso de la lógica proposicional, ninguna valuación que haga verdaderas a todos los miem bros de Γ y falsa
a φ.
En términos de la lógica de primer orden, quiere decir que no hay ninguna
interpretación para un lenguaje de primer orden que verifique a todas las premisas y falsifique a la conclusión. Si no existe ningún contraejemplo de la validez de un argumento, el argumento es válido. Es decir que podemos expresar la noción de validez en términos de la noción de contraejemplo. Un argumento válido es un argumento que no tiene contraejemplos. Sin embargo, la ausencia de contraejemplos puede deberse solo a la inconsistencia del conjunto de premisas, como en el caso del argumento que tiene como premisas a p y a p y como conclusión a q. La ausencia de contraejemplos también puede deberse a la tautologicidad de la conclusión del argumento, como en el caso del argumento que tiene como premisa a p y como conclusión a (qq).
(p p) q
p (qq)
Esto explica la validez de esquemas inferenciales contraintuitivos, por lo menos si uno exige relevancia entre premisas y conclusión, como el ex contradictione quodlibet y el verum ex quolibet sequitur. Si ustedes tienen p, p, por lo tanto q, este argumento no va a tener contraejemplos.
p p q
¿Por qué? Porque ninguna valuación va a poder verificar a todas las premisas y falsificar la conclusión. ¿Por qué no va a poder hacerlo? Porque no va a poder verificar simultáneamente a las dos premisas. Esto lo podemos expresar en términos un poco
más formales en términos de, por ejemplo, la semántica de la lógica proposicional. Podemos decir que un argumento es válido si y sólo si no existe ninguna valuación que verifique a todas las premisas y falsifique a la conclusión. Supongamos que nuestro
conjunto de premisas es Γ y que Γ está formado por φ1…φn: = {1, …, n}. A la conclusión vamos a llamarla ψ. Tenemos entonces el argumento Γ/ψ. Entonces , este argumento va a ser válido si y sólo si no existe ninguna valuación que verifique todas sus premisas y falsifique su conclusión:
¬∃V ((V (1) = 1 ∧ V (2) = 1 ∧….. ∧ V (n) = 1)
∧ V ()
= 0)
Si el conjunto de premisas es inconsistente, como en nuestro ejemplo de más arriba, no va a haber ninguna valuación que verifique a todas las premisas. Entonces, si no hay ninguna valuación que verifique a todas las premisas, no va a haber ninguna valuación que verifique a todas las premisas y falsifique a la conclusión
— si
no hay ningún
estudiante de la comisión que domine el sánscrito, podemos concluir que no hay ningún estudiante de la comisión que domine el sánscrito y el tibetano — . Por lo cual se concluye que no hay contraejemplos de la validez de ese argumento. Algo simétrico sucede cuando tengo una conclusión tautológica, en proposicional, o universalmente válida, en primer orden: no puedo construir un contraejemplo porque no hay ninguna valuación que falsifique esa conclusión. Y si no hay ninguna valuación que falsifique a la conclusión, no hay ninguna valuación que falsifique a la conclusión y verifique a todas las premisas.
Para evitar estos casos de paradojas de la relevancia puede modificarse la definición de validez estándar del siguiente modo: un argumento proposicional es válido si y sólo si toda valuación que verifica a las premisas verifica a la conclusión — esta es la cláusula clásica a la que le agregamos dos cláusulas más para evitar esos casos de falta de la relevancia — y hay por lo menos una valuación que verifique simultáneamente a todas las premisas — no admitimos conjuntos de premisas insatisfacibles — y hay por lo menos una valuación que falsifique la conclusión — no admitimos conclusiones que sean verdades lógicas — . Pero sucede que esta relación de consecuencia pierde alguna de las propiedades que uno considera que son esenciales, muy intuitivas, de la relación de consecuencia deductiva.
Habíamos visto que esta relación de consecuencia no era reflexiva, porque excluía casos como el siguiente (le ponemos el subíndice S porque esta relación la presenta un autor que se llama Smiley en un artículo 1):
{(p
∧
¬p)}
├ S
(p
∧
¬p)
Para probar que no se da reflexividad es necesario encontrar por lo menos un contraejemplo de reflexividad para la relación de consecuencia de Smiley. De acuerdo a la caracterización de consecuencia de Smiley, en este ejemplo no hay consecuencia, porque el conjunto de premisas es inconsistente o, dicho de otra manera, insatisfacible
— a la noción sintáctica suele llamársela “inconsistencia” y a la correspondiente noción semántica “insatisfacibilidad”. No hay ninguna valuación que verifique al conjunto de premisas cuyo único miembro es (p
∧
¬p). Otro contraejemplo de la propiedad de
reflexividad de la relación de consecuencia de Smiley es este:
{(p
¬p)}
v
╞ S
(p
¬p)
v
Como la tercera cláusula me pide para que haya consecuencia lógica que la conclusión no sea una tautología, entonces este argumento no cumple con la tercera cláusula. Cumple con la primera, hay consecuencia clásica, cumple con la segunda, el conjunto de premisas no es inconsistente o insatisfacible, pero no cumple con la tercera. Con lo cual tenemos dos contraejemplos de reflexividad.
¿Qué pasa con la monotonía? Supongamos que tenemos el siguiente conjunto de premisas:
{p, (q
∧ r)}
De este conjunto de premisas puede inferirse clásicamente r:
Smiley,T.J.(1958 - 1959) “Entailment and Deducibility ”, Proceedings of the Aristotelian Society, New Series, Vol. 59, , pp. 233-254 1
{p, (q
∧
r)}
╞ r
y también puede inferirse r de acuerdo a la relación de consecuencia de Smiley:
{p, (q
∧
r)}
╞ S
r
¿Por qué? Porque hay consecuencia clásica, la conclusión no es una verdad lógica y el conjunto de premisas es satisfacible, es decir, hay por lo menos una valuación que lo verifica. ¿Cuál es esa valuación? La que hace verdadera a p, verdadera a q y verdadera a r. Si la relación de consecuencia de Smiley tiene la propiedad de monotonía, entonces si agregamos elementos al conjunto de premisas tendría que seguir infiriéndose r , pero eso no sucede. Vamos a poner un contraejemplo de ello. Mantenemos los elementos del conjunto original de premisas y le agregamos una premisa más. Le vamos a agregar p:
{p, (q ∧ r), ¬p}
╞ S
r
Observamos que cae la relación de consecuencia entre r y el conjunto ampliado de premisas, porque al agregar p tenemos ahora un conjunto inconsistente de premisas — es decir, no se cumple el segundo requisito para que haya consecuencia de Smiley, que pide que el conjunto de premisas no sea inconsistente o insatisfacible — . Ya no va a haber ninguna valuación que verifique todas las premisas del conjunto ampliado, porque cuando verifica a p falsifica a p y cuando verifica a p falsifica a p.
Ahora nos queda preguntarnos por la tercera propiedad, es decir si esta relación de consecuencia es transitiva o si vale corte unitario para ella. ¿Qué se tiene que cumplir si se cumple la propiedad de corte para ╞ S
y
{}╞ S ,
entonces
╞ S?
Se tiene que cumplir que, si
╞ S . Para demostrar este condicional
metalingüístico, suponemos su antecedente y tratamos de obtener su consecuente. Supongamos que ╞ S
y
{}╞ S . Entonces, por la definición de consecuencia de
Smiley, se sigue de ╞ S
que será una consecuencia clásica de y no será
insatisfacible y no será una tautología. Por otra parte, de la definición de consecuencia de Smiley y de {}╞ S se sigue que es una consecuencia clásica de {} y no es una contradicción y no es una verdad lógica. De todo esto, y de la transitividad de la
relación de consecuencia clásica, se sigue que es una consecuencia clásica de . Además, como no es insatisfacible y no es una verdad lógica, podemos concluir, en virtud de la definición de la consecuencia de Smiley, que ╞ S .
Ahora podemos
introducir el condicional y llegar a la conclusión deseada: si
╞ S
entonces ╞ S .
la propiedad de corte
Es decir, la relación de consecuencia╞ S tiene
y
{}╞ S ,
unitario. También es posible hacer una demostración indirecta o por el absurdo, suponiendo que se dan ╞ S
{}╞ S y que no se da ╞ S , para mostrar que
y
esto nos lleva a una contradicción.
Vamos a tratar en el poco tiempo que nos queda algunos resultados metalógicos que tienen que conocer respecto de la lógica de primer orden, y vamos a examinar cuál es la importancia filosófica de estos resultados y cómo se relacionan con algunas cuestiones que hemos visto en el curso. Tenemos una pluralidad de sistemas lógicos rivales de la lógica clásica — y que rivalizan entre sí — y, por ello, surgen las siguientes preguntas: ¿cómo justifico las reglas de la lógica clásica?, ¿por qué la selección de reglas de la lógica clásica es mejor que las de los sistemas rivales? La idea es que frente a las lógicas divergentes que impugnan ciertos principios clásicos, el lógico clásico debe justificar sus reglas, como una reacción defensiva. ¿Por qué las reglas clásicas son buenas? Este es el problema filosófico de la justificación de la deducción: ¿cómo justifico los principios de la deducción?
Estudiante: Inductivamente.
Profesor: Esa es una opción que resulta muy débil. Una justificación inductiva de la deducción es muy débil, porque
funcionó”. Pero aun
la justificación inductiva lo que dice es “hasta ahora
si aceptásemos esa justificación inductiva tendríamos problemas
porque hay otros sistemas lógicos que te están diciendo que la lógica clásica no da resultados satisfactorios. Ese es el problema de las lógicas rivales. La justificación inductiva es insuficiente y, además, insatisfactoria porque justamente lo que sostienen los lógicos rivales es que la lógica clásica no funciona adecuadamente. Sobre este tema hay un artículo clásico de Susan Haack que se llama justamente
deducción” 2. 2
Haack, S. (1976), “The Justification of Deduction”, Mind 85(337): 112-119.
“La justificación de la
¿Por qué tenemos que seguir las reglas clásicas de la deducción? Un tipo de justificación de esas reglas, que tiene que ver con este metateorema que inmediatamente veremos, es lo que se llama justificación semántica de la deducción. ¿Por qué tengo que aceptar una regla como el modus ponens? La justificación semántica de la deducción lo que dice es que se tiene que aceptar porque si se observa la tabla de verdad para el condicional se ve que toda vez que las dos premisas resulten verdaderas la conclusión también va a resultar verdadera. Es decir que esta regla es una regla que transmite verdad de premisas a conclusión, y eso es lo que se busca en la deducción, que las reglas aseguren la transmisión de verdad. De manera que, si se interpreta el condicional material como lo pide la lógica clásica, nunca se va a poder pasar de verdad a falsedad utilizando esta regla. Esto es lo que se llama justificación semántica de la deducción: las reglas clásicas aseguran transmisión de verdad, si uno les da a las conectivas lógicas y a los cuantificadores el significado que la lógica clásica le pide que se les dé.
Hay un problema que sólo vamos a enunciar: el razonamiento que se hace para justificar las reglas clásicas usa las mismas reglas que pretende justificar. Por ejemplo, la justificación semántica del modus ponens usa el modus ponens. Le dice, si usted mira la tabla de verdad del condicional material va a ver que si la premisa primera es verdadera y la premisa segunda es verdadera, entonces la conclusión es verdadera. Entonces, suponiendo que la premisa primera es verdadera y la premisa segunda es verdadera, se puede concluir que la conclusión es verdadera. Pero ese argumento utiliza el modus ponens. Es decir que hay una circularidad en la justificación semántica de las reglas deductivas. Justificamos nuestras reglas deductivas usando las mismas reglas que pretendemos justificar. Como dicen algunos filósofos “con este tipo de justificación sólo podemos convencer a los que ya están
convencidos”.
A este tipo de circularidad se
lo suele llamar circularidad de las reglas, porque no es la circularidad que ilustra un argumento
como “Llueve, por lo tanto llueve”, donde la conclusión repite la premisa.
Acá no sucede lo mismo, sucede otro tipo de circularidad que es que para justificar una regla usamos la misma regla que pretendemos justificar. Hay distintas soluciones propuestas para el problema de la justificación de la deducción pero no tenemos tiempo para verlas.
Sí tenemos tiempo para enunciar un resultado metateórico que puede verse como una generalización de esta justificación semántica del modus ponens. Es el metateorema de corrección. Como su nombre lo indica enuncia que nuestras reglas son correctas. ¿Qué quiere decir que son correctas? Que transmiten verdad. Es decir, este metateorema es una generalización de la justificación semántica para la regla el modus ponens que, en su artículo clásico, Susan Haack acusa de circular.
El metateorema de corrección afirma que si, en la lógica de primer orden, de Γ se sigue sintácticamente , entonces de Γ
se sigue semánticamente .
Metateorema de corrección Si ├ , entonces ╞ ¿Qué quiere decir esto? La prueba de este metateorema puede ser interpretada filosóficamente como una justificación semántica de las reglas de inferencia clásicas. Lo que afirma este metateorema en esta lectura es que todas nuestras reglas clásicas son correctas porque me aseguran transmisión de verdad de premisas a conclusión.
El metateorema cuyo enunciado es el condicional converso del enunciado del metateorema de corrección es el metateorema de completitud o completud.
Metateorema de comple(ti)tud: Si ╞ , entonces ├
El enunciado del metateorema de completitud que me dice que, en la lógica de primer orden, si es una consecuencia semántica derivación de
a partir de Γ. ¿Qué
de Γ, entonces hay por lo menos una
importancia tiene el metateorema de completitud?
La siguiente: podría suceder, como demuestra el metateorema de corrección, que nuestras reglas fuesen todas formas de argumento válidas. Pero podríamos preguntarnos, ¿son suficientes nuestras reglas para probar todos los argumentos válidos de primer orden? Supónganse, por ejemplo, que del conjunto de reglas de deducción natural que ustedes vieron en las clases prácticas solo tienen las reglas para la conjunción y la disyunción. En ese caso se cumpliría el metateorema de corrección,
porque se puede probar que esas reglas preservan verdad. Sin embargo, no resultarían suficientes para derivar todos los argumentos válidos de la lógica de primer orden. Otro ejemplo: supónganse que ustedes tienen todas las reglas básicas para la lógica de primer orden que aparecen en el GAMUT menos la regla de introducción de la negación. Entonces, ¿qué va a suceder? Que su sistema de reglas no va a ser completo: va a haber argumentos válidos que no van a poder demostrar con esas reglas. Lo que les asegura el metateorema de completitud respecto de, por ejemplo, el conjunto de reglas presentadas por GAMUT, es que si un argumento es válido entonces vamos a poder derivar su conclusión a partir de sus premisas usando el conjunto de reglas básicas de introducción y eliminación que aparecen allí. Es decir, el metateorema de completitud nos dice intuitivamente que tenemos suficientes reglas para construir las derivaciones de la conclusiones de los argumentos válidos a partir de sus premisas. No va a suceder que tengamos un argumento válido cuya conclusión no podamos derivar a partir de sus premisas usando las reglas básicas del sistema. Es decir, resumiendo, hay suficientes reglas de inferencia en nuestro sistema de deducción natural para la lógica de primer orden.
Lo que me permiten afirmar los dos metateoremas conjuntamente es que las dos nociones de consecuencia clásica para la lógica de primer orden — la sintáctica y la semántica — son coextensionales: siempre que una fórmula sea una consecuencia sintáctica de un conjunto de premisas, va a ser una consecuencia semántica de dicho conjunto, y viceversa. Como hemos definido dos nociones matemáticamente precisas pero diferentes de consecuencia para la lógica de primer orden, podemos preguntarnos si las extensiones de esas dos nociones coinciden y estos metateoremas me aseguran que sí lo hacen: ├ si y sólo si ╞
Una observación que se debe hacer es que, estrictamente, cabría subindicar el signo de consecuencia sintáctica
├ con el nombre del sistema, porque este signo ├ no quiere
decir lo mismo en un sistema que en otro. Porque la extensión de la relación denotada por
este signo ├
queda caracterizada en parte por el conjunto de reglas del sistema en
cuestión, dado que la noción de derivación se caracteriza en términos de la noción de regla de inferencia. De manera que no va a denotar lo mismo este signo de consecuencia
sintáctica si yo lo subindico con el nombre de un sistema que tiene como reglas básicas el conjunto de reglas GAMUT que si yo lo subindico con el nombre de una lógica que tiene un conjunto de reglas que resultan aceptables para un lógico intuicionista.
Estos dos metateoremas son resultados metateóricos importantes. En un caso, porque justifican las reglas de inferencia probando que aseguran la transmisión de verdad de premisas a conclusión. El segundo metateorema, por su parte, responde a la pregunta: ¿son suficientes estas reglas para probar todas las verdades lógicas y derivar la conclusión de todos los argumentos válidos? El segundo metateorema me asegura que es así. Estas demostraciones son propias de una disciplina que se llama metalógica o metamatemática.
Esta disciplina surge alrededor de los años 20’ por impulso de un
matemático alemán muy notable, David Hilbert, que propone esta disciplina como una manera de terminar con lo que se llamó, a fines del siglo XIX principios del XX, la crisis de los fundamentos de la matemática. Con ese fin, a Hilbert le interesaba fundamentalmente demostrar la consistencia o no contradicción de la matemática.
Uno puede plantearse el problema de la consistencia también respecto de la lógica de primer orden. ¿Qué quiere decir que la lógica de primer orden sea consistente? Puede querer decir varias cosas, de acuerdo a cómo definamos consistencia, ya que hay varios conceptos de consistencia. Una de estas nociones de consistencia se puede caracterizar de este modo: un sistema de deducción natural para la lógica de primer orden es consistente si y sólo si no es el caso que haya por lo menos una fórmula del sistema tal que tanto ella como su negación sean teoremas:
No (├ y
├ ¬)
La consistencia de la lógica de primer orden puede derivarse del metateorema de corrección para esa lógica. El enunciado del metateorema de corrección está expresado en toda su generalidad de la siguiente manera:
Si Γ ├ φ, entonces Γ ╞ φ Esta formulación del teorema se llama metateorema de corrección fuerte, puede ser cualquier conjunto de fórmulas.
porque Γ
Γ es el conjunto vacío. El metateorema de corrección en su versión débil se enuncia para Γ vacío. En ese caso, no escribo Γ en Ahora bien, un caso particular es aquel en el que
el enunciado del metateorema, y lo que obtengo es: Si ├ φ, entonces ╞ φ Si tengo la versión fuerte del metateorema, también tengo la versión débil como un caso particular. El enunciado del metateorema de corrección en su versión débil implica que si se da tanto├ como
├ ¬, entonces se da tanto╞ como ╞ . Pero, por la definición de la relación de consecuencia semántica ╞ y la cláusula de verdad para la negación, no es posible tener que ╞ y ╞ , ya que no es posible que toda interpretación para un lenguaje de primer orden verifique tanto a como a . Por lo tanto, por modus tollens, se puede inferir que no es el caso que se dé tanto ├ como
├ ¬.
