ELEMENTOS DE LÓGICA SIMBÓLICA.a) ENUNCIADO.-
Se denomina enunciado a toda frase u oración
Ejemplos: 1) 11 es un número primo 2) París está en Italia 3) ¿Qué hora es? 4) ¡Viva Perú! 5) 5 6) 6+2=8 7) 8)
₊ ≤ 4
Los enunciados que matemáticamente tienen significado son aquellos que pueden ser considerados como verdaderos ó falsos (proposiciones); algunos enunciados no es posible afirmar si es verdadero ó falso, como por ejemplo, las interrogaciones, las exclamaciones ó las preguntas.
b) ENUNCIADOS ENUNCIADOS ABIERTOS.- Son expresiones que contienen variables y no tienen la propiedad de ser verdadero ó f also.
Ejemplos: 1) x< 7, es un enunciado abierto, porque no podemos afirmar si es verdadero o falso, solamente cuando a la variable x se le da un valor numérico podemos decir si es verdadero o falso. Así por ejemplo: para x = 3, 3 < 7 es verdadero Para x = 9, 9 < 7 es falso 2) ₊ = 16, también es un enunciado abierto.
c) VARIABLE.- Es una cantidad susceptible de variar en un determinado campo o recorrido, a las variables representaremos por las letras minúsculas x, y, z, t, u, v, a estas variables se les da el nombre de variables indeterminados.
Ejemplos: 1) √ es un número real, si x es un número real que sea mayor o igual a 5. El campo o recorrido de x es x ≥ 5
2) En la ecuación
El campo o recorrido de x es - 4 ≤ x ≤ 4 El campo o recorrido de y es - 4 ≤ y ≤ 4
PROPOSICIONES LOGICAS.Llamaremos proposiciones lógicas a todo enunciado abierto que pueden ser calificados como verdaderas o bien como falsas, sin ambigüedades (que está sujeta a dos o más interpretaciones).
NOTACIÓN.- Las proposiciones lógicas serán denotadas generalmente con letras minúsculas p, q, r, t,…, etc. A la veracidad o falsedad de una proposición se denomina valor de verdad.
Ejemplos de Proposiciones Lógicas.1) 2) 3) 4)
p: 15 – 15 – 4 = 11, q: Lima es la capital de Perú, r: 107 + 301 = 48, t: 7 es un número par,
verdadero (V) verdadero (V) falsa (F) falsa (F)
DEFINICIÓN.Se llama valores de verdad de una proposición a sus dos valores posibles; verdadero o falso, estos posibles valores se puede esquematizar en una tabla de verdad en la forma. p V F
CONECTIVOS LÓGICOS.Son expresiones que sirven para unir dos o más proposiciones, entre los más importantes conectivos lógicos tenemos: La conjunción, disyunción, implicación o condicional, bicondicional, negación, contradicción, estos los mostraremos en el siguiente cuadro:
Nombre
Expresión
Símbolo Lógico
Conjunción Disyunción Implicación o Condicional Bicondicional, equivalencia doble implicación Negación Contradicción
∧ ∨
y ó Sí,…, entonces, …
→
…Sí y solo sí, …
↔ ≡
No … no equivalente, …
~ ≠
CLASES DE PROPOSICIONES
a) PROPOSICIONES SIMPLES Ó ATÓMICAS.ATÓMICAS.Es una proposición que no contiene ningún conectivo lógico. Ejemplos: 1) 6 es par. 2) 2 + 5 =7
b) PROPOSICIONES COMPUESTAS Ó MOLECULARES.Es una proposición que contiene al menos un conectivo lógico.
Ejemplos: 1) 5 es primo y 2 es par. 2) Si 5 es par entonces 2 es impar. 3) Si n es par entonces n es divisible por 2. 2.
PROPOSICIONES COMPUESTAS COMPUESTAS BÁSICAS Y TABLA DE VERDAD.a) LA NEGACIÓN.- Dado una proposición p, llamaremos la negación de p, a otra proposición que denotaremos por ∼p, y que se le asigna el valor opuesto a p. La negación se presenta con los términos gramaticales: “ no”, “ni”, “no es verdad que”, “no es cierto que”, que” , y su tabla de verdad es:
p V F
∼p F V
El principio lógico de la negación es: Si una proposición es verdadera V, su negación es falsa F y recíprocamente, si dicha proposición es falsa F, su negación es verdadera V. La proposición ∼ p es leída así “no p”, “no es cierto que p”
Ejemplo.-
1) 2 es primo Su negación es: 2 no es primo
V F
2) 5 es par Su negación es: no es cierto que 5 es par
F V
3) Dada la proposición p: 5 x 7 = 35 Su negación es ∼ p: no es cierto que 5 x 7 = 35
V F
b) LA DISYUNCIÓN.-
La disyunción de dos proposiciones p y q es la proposición compuesta que resulta de unir p y q por el conectivo lógico “o” en el sentido inclusivo y/o y que el principio lógico es “La proposición ∨ es falsa únicamente en el caso en que p y q son ambas falsas, en cualquier otro caso es verdadera”. La disyunción se presenta con el término gramatical “o”. La tabla de verdad para la disyunción es: p q pvq V V V V F V F V V F F F
Ejemplo.- Hallar el valor de p q donde p: 7 es mayor que 9; q: 4 es menor que 5
Desarrollo p F
q V
pvq V
c) LA CONJUNCIÓN.-
La conjunción de dos proposiciones p y q es la proposición compuesta que resulta de unir p y q mediante el conectivo lógico “y” que simboliza p ^ q, donde el principio lógico es “La conjunción ∧ es verdadero V, solo cuando p es verdadero y q es verdadero V, en todos los demás casos es falso”. La conjunción se representa con los términos gramaticales: “y”, “pero”, “mas”. Su tabla de verdad es:
p
q
p˄q
V V F F
V F V F
V F F F
Ejemplo.- Sí p: 4 < 7 y q: 6 es número par. Calcular el valor de verdad de ∧ Desarrollo p V
q V
p˄q V
d) LA CONDICIONAL (IMPLICATIVA).- La implicación ó condicional de dos proposiciones p y q es la proposición compuesta mediante el conectivo lógico “si,…, entonces,…” y se simboliza p → q, donde el principio lógico es “La proposición implicativa es falso únicamente en el caso que la proposición p es verdadera y la proposición q es falsa, siendo verdadera en todos los demás casos. La condicional se representa con los términos gramaticales: “Si a, entonces b”, “a sólo si b”, “a solamente si b”, “si a, b”, “cuando a, b”, “los a son b”, “a implica b”, o cualquier expresión que denote causa y efecto. Su tabla de verdad es:
p
q
V V F F
V F V F
V F V V
La proposición p es llamado antecedente y la proposición q es llamado consecuente.
p
q
Antecedente
Consecuente
Premisa
Conclusión
Hipótesis
Tesis.
OBSERVACIÓN.-
1) Una implicación es verdadera si el antecedente es falso, cualquiera que sea el consecuente. 2) Una implicación es verdadera si el consecuente es verdadero, cualquiera que sea el antecedente.
Ejemplo.- Sean p: Cristóbal Colón descubrió América; q: 6 + 3 = 8 Hallar el valor de verdad de p → q
Desarrollo Para calcular el valor de verdad de la proposición p → q primero calcularemos el valor de verdad de las proposiciones dadas. p: Cristóbal Colón descubrió América es verdadera V q: 6 + 3 = 8, es falsa F p V
q F
p→ q F
e) LA BICONDICIONAL (Equivalente o Doble Implicación).- La doble implicación o bicondicional de dos proposiciones p y q es la proposición compuesta mediante el conectivo lógico “si y sólo si” y se simboliza son verdaderos si tienen el mismo valor de verdad o en otros casos es falso F. La bicondicional se representa con los términos gramaticales: “ a si y sólo si b”, “a si y solamente si b”, “a implica b y b implica a”, “a cuando y sólo cuando b”. Su tabla de verdad es:
PROPOSICIONES
p
q
p↔q
V V F F
V F V F
V F F V
Mediante los conectivos lógicos se pueden combinar cualquier número finito de proposiciones cuyos valores de verdad pueden ser conocidos, construyendo su tabla de verdad, en dicha tabla se puede indicar los valores resultantes de estas proposiciones compuestas, para todas las combinaciones posibles de valores de verdad de las proposiciones compuestas.
Ejemplo: La tabla de verdad de la proposición compuesta de:
[( ) ∧ ( )] ( )
Desarrollo p
q
r
p→q
q→r
p → r
V V V V F F F F
V V F F V V F F
V F V F V F V F
V V F F V V V V
V F V V V F V V
V F V F V V V V
[( ) ∧ ( )] ( ) V F F F V F V V
V V V V V V V V
V F V F V V V V
JERARQUÍA DE LOS CONECTIVOS Si se tiene una proposición compuesta con varios conectivos lógicos, para realizar las operaciones primero se debe colocar los paréntesis adecuadamente empezando con las proposiciones que se encuentran dentro de los paréntesis anteriores, luego siguen todas las negociaciones y se avanza de izquierda a derecha (los corchetes son considerados como paréntesis).
Ejemplo:-
Hallar la tabla de valor de verdad de la proposición:
[ ∨ ( ∼ )] ∧ [(∼ ∨ ) ∼ ]
Desarrollo p
q
r
[p
˅
(q →~ r)]
˄
[(~p ˅ r)
↔
~q]
V V V V
V V F F
V F V F
V V V V
V V V V
F V V V
F V V F
V F V F
F V V F
F F V V
F F F F
V V F F
V F V F
F F F F
F V V V
F V V V
F F V V
V V V V
F F V V
F F V V
TAUTOLOGIAS, CONTRADICCIONES Y CONTIGENCIAS.a) TAUTOLOGÍA.-
Son proposiciones compuestas que siempre son verdaderos cualquiera que sea el valor de las proposiciones componentes.
Ejemplo de Tautología.1) p ∨ ~ p (principio del tercio excluido) 2) [(p → q) ˄ p] → q 3) ~ (p ∧ ~ p) En efecto tenemos:
1) p V F
p v ~p V V F F V V Es Tautología
2) p V V F F
q V F V F
[( p→ q) V F V V
˄ V F F F
p] V V F F
→ V V V V
q V F V F
Es una Tautología
3) p
~p
~
( p ∧ ~p )
V F
F V
V V
F F
Es una tautología
b) CONTRADICCIONES (FALACIA).-
Son proposiciones compuestas que siempre son falsas, cualquiera que sea el valor de las proposiciones compuestas.
Ejemplo de contradicciones.1) p ^ ~p (principio de contradicción) 2) ∼(p v ~p) 3) (p → q) ∧ (p ∧~q) En efecto tenemos:
1) p V F
~p F V
p ∧ ~p F F Es una contradicción
2) p V F
~p F V
~ F F
(p v ~p) V V Es una contradicción
3) p V V F F
q V F V F
(p → q) V F V V
˄ F F F F
(p ∧~q) F V F F Es una contradiction
c) CONTINGENCIA.- Son proposiciones compuestas que no son ni tautología ni contradicciones, es decir, son proposiciones que en algunos casos es F, y en otros es V.
Ejemplos de Contingencia.1) p ↔ q 2) p ^ q 3) (p q) p En efecto tenemos:
1) p V V F F
q V F V F
(p ↔ V F F V
q)
Es una contingencia
2) p V V F F
q V F V F
p∧q V F F F Es una contingencia
3)
p V V F F
q V F V F
(p → q) → p V V V F V V V F F V F F Es una contingencia
PRINCIPALES LEYES LÓGICAS O TAUTOLÓGICAS Las llamadas leyes lógicas o principios lógicos viene a ser formas proposicionales tautológicas de carácter general y que a partir de estas leyes
lógicas se puede generar otras tautológicas y también cualquier tautología se puede reducir a una de las leyes lógicas, entre las principales leyes mencionaremos.
EQUIVALENCIAS LÓGICAS 1) Ley de la Idempotencia a) p∧ p Ξ p
b) p v p Ξ p
2) Leyes conmutativas a) p ∧ q Ξ q ∧ p c) p
qΞq
b) p v q Ξ q v p p
3) Leyes Asociativas a) p ∧ (q ∧ r) Ξ (p ∧ q) ∧ r
b) p v (q v r) Ξ (p v q) v r
c) p ↔ (q ↔ r) Ξ (p ↔ q) ↔ r
4) Leyes Distributivas a) p
∧ (q v r) Ξ (p ∧ q) v (p ∧ r)
b) p v (q ∧ r) Ξ (p v q)
c) p →(q ∧ r) Ξ (p → q) ∧ (p → r) d) p → (q v r) Ξ (p →q) v (p→ r)
5) Leyes De Identidad p ˄V Ξ p
pvFΞp
p˄FΞF
pvVΞV
6) Leyes del Complemento p∧pΞF
V Ξ F, F Ξ V
pvpΞV
pΞp
∧ (p v r)
6) Leyes De Morgan. a)
~ (p ∧ q) Ξ ~p v ~q
b) ~ (p v q) Ξ ~ p ∧ ~q
7) Leyes del Condicional a) p → q Ξ ~p v q
b) ~ (p → q) Ξ p ∧ ~q
8) Las Leyes del Bicondicional. a) (p ↔ q) Ξ (p → q) ∧ (q → p) b) (p ↔ q) Ξ (p ∧ q) v (~p ∧ ~q)
9) Leyes de la Absorción. a) p ∧ (p v q) Ξ p c) p v (p
∧ q) Ξ p
b) p ∧ (~p v q) Ξ p
∧q
d) p v (~p ∧ q) Ξ p v q
Ejemplo.- Simplificar las proposiciones siguientes aplicando las leyes lógicas.
1) [(p v ~q)
∧ q] → p
DESARROLLO [(p v ~q) ∧ q] → p Ξ ~ [(p v ~q) ∧ q] v p Ξ [~ (p v ~q) v ~ q] v p Ξ [~ (p v ~q)] v (p v ~q) Ξ ( p ∧q) v (p ∧ q) ΞV
2) ~ [~ (p ∧ q) → ~ q] v q
DESARROLLO
por definición → por Morgan por asociativa por Morgan por complemento
~ [~ (p ∧ q) → ~ q] v q ≡ ~ [(p∧q) v q] v q ≡ [~ (p ∧ q) ∧ ~q] v q ≡ [(~ p v ~q) ∧ ~q] v q ≡ (~ p ∧~ q) v (~q ∧ q)] v q ≡ [(~p ∧ ~ q) v F] v q ≡ (~p ∧ ~ q) v q ≡ q v (~ q ∧ ~p) ≡q
3) Simplificar la expresión [((~ p)
Definición de → Por Morgan Por Morgan Por Distributiva Por Complemento Por Identidad Por Conmutativa Por Absorción
∧ q) → (r ∧ ~r)] v ~ q
DESARROLLO [((~ p) ∧ q) →(r ∧ ~r)] v ~ q ≡ [((~ p) ∧ q)→ F] v ~ q ≡ [~ ((~p ∧ q) v F] v ~ q ≡ [(p v ~q) v F] v ~ q ≡ (p v ~q) v ~ q ≡ ~q v (~ q v p) ≡ ~q
Ejemplo.a)
Por Complemento Definición de→ Por Morgan Por Identidad Por Conmutativa Por Absorción
Determinar si a) y b) son proposiciones equivalentes:
p →(r v ~q)
b)
(q → ~p) v (~r → ~p)
DESARROLLO Determinaremos la equivalencia mediante la tabla de la verdad
p
q
r
p
→
(r v ~q) (q → ~p)
v
(~r → ~p)
V V V V F F F F
V V F F V V F F
V F V F V F V F
V V V V F F F F
V F V V V V V V
V F V V V F V V
F F V V V V V V
V F V V V V V V
V F V F V V V V
Idénticos
Otra manera es mediante la simplificación.
a) p → (r v ~q) Ξ (~p) v ( r v ~q)
Definición de
→
b) (q → ~p) v (~r → ~p) Ξ (~q v ~p) v (r v ~p)
Definición de
→
Ξ (~q) v (~p v ~p) v r
Por asociativa
Ξ (~q) v (~p) v r
Por idempotencia
Ξ (~p) v (r v ~q)
Por asociativa
Luego se tiene que: a) Ξ b)
Cuantificadores Con las proposiciones que dependen de variables están ligadas dos tipos de afirmaciones que se encuentran frecuentemente: a) La proposición p(x), x es verdadera para todos los elementos del conjunto U . b) La proposición p(x), x es verdadera para al menos un elemento del conjunto U ; es decir, es decir existe un elemento a para el cual la proposición p(a) es verdadera. Estos tipos de afirmaciones se escriben con la ayuda de los llamados cuantificadores, que son de dos tipos:
Cuantificador universal: Sustituye las palabras «todos», «todo», «cualquiera». Se simboliza mediante el signo y se lee «para todo».
Cuantificador existencial: se utiliza en vez de las palabras «al menos un», «existe», «hay un». Se nota con el signo y se lee «existe un» ó «para algún».
Con la ayuda de los cuantificadores, las afirmaciones a) y b) se pueden escribir de la manera siguiente: a) b)
( ) () que se lee «para todo x, p(x)». () () que se lee « existe un x tal que, p(x)».
Ejemplos Representar mediante cuantificadores las proposiciones: 1. «Todos los ecuatorianos son optimistas» Solución: ( ecuatoriano) ( es optimista) 2. «Algún ecuatoriano es optimista» Solución: ( ecuatoriano) ( es optimista)
Ahora, tenemos la siguiente regla proposicionales con cuantificadores:
para
la
negación
de
funciones
La negación del cuantificador universal equivale al cuantificador existencial y la negación afecta únicamente a la proposición:
[( )()] ()[()] La negación del cuantificador existencial equivale al cuantificador universal y la negación afecta únicamente a la proposición:
[()()] ()[()] Ejemplos Negar las siguientes proposiciones: 1. «Todos los ecuatorianos son optimistas». Solución: Habíamos determinado que la proposición es ( ecuatoriano) ( es optimista). Su negación es [()( )], o sea, ()( ) lo que se lee como «hay un ecuatoriano que no es optimista»
2. «Algún gato es negro» Solución: La proposición puede escribirse como ()( ) Su negación es [()( )], que se lee «todos los gatos no son negros». 3.
⁄
Solución:
[ ⁄ ] ⁄
Circuitos lógicos Un circuito lógico es la representación gráfica de una o más proposiciones, utilizando los esquemas denominados circuitos eléctricos. Las proposiciones simples se representan como interruptores en el circuito, abriendo o cerrando el circuito.
La forma de interpretación de los circuitos es:
El circuito funciona si la proposición es verdadera, el interruptor está cerrado y pasa corriente El circuito no funciona si la proposición es falsa, el interruptor está abierto y no pasa corriente. Según la disposición de los interruptores en un circuito, se tiene dos tipos de circuito: serie y paralelo.
Circuito en serie Es aquel que está constituido por interruptores dispuestos el uno detrás del otro. Para que el circuito funcione, todos los interruptores deben estar cerrados (proposiciones verdaderas). Así, el circuito en serie representa la conjugación de dos o más proposiciones.
Circuito en Paralelo Es aquel que está constituido por interruptores dispuestos el uno al lado del otro.
Si un circuito en paralelo no funciona, todos los interruptores están abiertos (proposiciones falsas). Así, el circuito presenta la disyunción de dos o más proposiciones.
Las operaciones lógicas fundamentales se representan de la siguiente manera:
1. p ∧ q se representa por
2. p ∨ q se representa por
3.
se representa por
4.
se representa por
EJERCICIOS RESUELTOS
1) Determinar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones: a) Si 5 + 4 = 11, entonces 6 + 6 = 12 Solución Es verdadera puesto que el antecedente es falso mientras que el consecuente es verdadero. b) No es verdad que 3 + 3 = 7 si y solo si 5 + 5 = 12 Solución Es falso puesto que se está negando una proposición verdadera. c) Lima está en Chile o La Paz está en Ecuador. Solución Es falso puesto que ambas componentes son falsas. d) No es verdad que 2 + 2 = 5 o que 3 + 1 = 4 Solución Es falso puesto que se está negando una proposición verdadera.
2) Determinar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones: a) 4 + 8 = 12 y 9 – 4 = 5 Solución Es verdadera V, porque es una conjunción cuyas dos proposiciones son verdaderas. b) 8 + 4 = 12 y 8 – 3 = 2 Solución Es falso F, puesto que es una conjunción con una proposición falsa c) 8 + 4 = 12 o 7 – 2 = 3 Es verdadera V, puesto que es una disyunción con una proposición simple verdadera
d) Sí 4 + 3 = 2, entonces 5 + 5 = 10 Solución Es verdadera V, por ser una implicación en donde el antecedente es falso F, y el consecuente es verdadero V de dos proposiciones simples. e) Si 4 + 5 = 9, entonces 3 + 1 = 2 Solución Es falso F, puesto que de una proposición verdadera V no puede implicar una proposición falsa F. f) Sí 7 + 3 = 4, entonces 11 – 7 = 9 Solución Es verdadera V, puesto que las proposiciones que intervienen en la implicación son falsas.
3) Evaluar la tabla de verdad de la proposición compuesta ~ (p Λ q) (~p V ~q) Solución p V V F F
q V F V F
~ F V V V
(p ˄ q) V F F F
↔ V V V V
(~p v ~q) F V V V
4) Construir la tabla de verdad de la siguiente proposición: ~{ ~[ p v (~q→p) ] v ~[ (p ↔~q)→(q Λ ~p) ]} Solución Primero simplificaremos la proposición por la ley de Morgan: ~ ~{[ p v (~q → p) ] ˄ [ (p ↔~q) → (q ˄ ~p) ]}
de donde se tiene
[p v (~q →p)] ˄ [(p ↔~q) → (q ˄ ~p)]
p V V
q V F
[p V V
v V V
(~q →p)] V V
˄ V F
[(p ↔~q) F V
→ V F
(q ˄ ~p)] F F
F F
V F
F F
V F
V F
V F
V F
V V
V F
El valor de verdad
5) Determinar la proposición [((~p) v q) Λ ~ q] ~ p es una tautología
p V V F F
q V F V F
[(~p v q) V F V V
˄ F F F V
~q] F V F V
→ V V V V
~p F F V V
Es una tautología
6) Verificar que las siguientes proposiciones son contradicciones: a) ( p ˄ q ) ˄ ~ ( p v q )
b)
~[ p v ( ~ p v ~q )]
Solución p V V F F
q V F V F
(p ˄ q) V F F F
˄ F F F F
~ F F F V
(p v q) V V V F
~ F F F F
[p V V F F
v V V V V
( ~ p v ~q)] F V V V
Contradicción
7) Demostrar que las proposiciones dadas es una tautología: [(p v ~q) ˄ q] →p
Solución p V V F F
q V F V F
[(p v ~q) V V F V
˄ V F F F
q] → p V V V F V V V V F F V F Es una tautología
8) Verificar que la proposición dada es una contingencia: [~p ˄(q v r)] [(p v r) ˄ q] Solución p V V V V F F F F
q V V F F V V F F
r V F V F V F V F
[~p F F F F V V V V
˄ F F F F V V V F
(q v r)] ↔ [(p v r) V F V V F V V V V F V V V V V V F F V F V F V F Es una contingencia
˄ V V F F V F F F
q] V V F F V V F F
9) Determinar si las proposiciones [p(r v ~q)] y [(q~p) v (~r ~p)] son equivalentes. Solución p V V V V F F F F
q V V F F V V F F
r V F V F V F V F
[p V V V V F F F F
→ V F V V V V V V
(r v ~q)] V F V V V F V V
[(q→~p) F F V V V V V V
v V F V V V V V V
(~r→~p)] V F V F V V V V
Idénticas
Por lo tanto son equivalentes es decir: [p→(r v ~q)]
[(q→~p) v (~r→~p)]
10) Determinar si las proposiciones [(~p v q) v (~r ˄ ~p)] y ~q ~p son equivalentes Solución p V V V V F F F F
q V V F F V V F F
r V F V F V F V F
[(~p v q) V V F F V V V V
v V V F F V V V V
(~r ˄ ~p)] F F F F F V F V Idénticas
~q→~p V V F F V V V V
Por lo tanto son equivalentes es decir: [(∼p v q) v(∼r Λ ∼p) ∼q →
∼p
11) Determinar los esquemas más simples de la proposición:
~q] v p
~ [~ (p Λ q) Solución ~ [~ (p Λ q) → ~q]
v p
~ [~ (~ (p Λ q) v ~q)] v p
por la condicional
~ [(p Λ q) v ~q] v p
por la negación
~ [~q v (p Λ q)]
por conmutativa en la conjunción
~ [~q v p] (~p Λ q)
v p
v p v p
p v q
por absorción por Morgan por absorción
~ [~ (p Λ q) → ~q] v p
p v q
12) De la falsedad de la proposición: (p ~q) v (~r s) determinar el valor de verdad de los esquemas moleculares. a) (~p Λ~q) v ~q c) (p q) (p v q) ^ ~q Solución
b) (~r v q) (~q v r) ^ s
Determinaremos el valor de verdad de p, q, r, y s. (p → ~q) v (~r→s)
F falso
por la disyunción
p → ~q F por implicación
~r→s F por implicación
p es V y ~q es F por negación
~r es V y s es F por negación
P es V y q es V
r es F y s es F
Por lo tanto: p es V, q es V, r es F, s es F a) (~p ^ ~q) v ~q F
b) (~r v q) ←→ ( ~q
F
V
F
V
v
F
r)
^ s
F
F
F
F V
F
F
F
el valor de verdad es F
el valor de verdad es F
c) (p → q) → (p v q) ^ ~q V
V
V
V
F
V V
F F
el valor de verdad es F
13 El valor de verdad de: ~[(~p v q ) v (r q)] ^ [(~ p v q) (q ^ ~p)] es verdadera. Hallar el valor de verdad de p, q, y r Solución
∼ [(∼ p v q ) v (r → q)+ Λ *( ∼ p v q ) →( q Λ ∼ p)]
es
Por conjunción [( ∼p v q ) v (r → q)+ es V
[(∼p v q ) →( q Λ
Por negación
(∼p v q ) es F
Por disyunción
por disyunción
(r → q) es F
Por disyunción
∼p es F y q es F
es V
por implicación
(∼p v q ) v (r → q) es F
(∼p v q ) es F
∼p)]
( q Λ ∼p)]
por conjunción q es F y ∼p es
P es V y q es F
por implicación
por negación
r es V y q es F
Q es F y p es V
p es V y q es F
p es V Por lo tanto el valor de verdad de
q es F r es V
14) Se sabe que p Λ q y q t son falsas, determinar el valor de verdad de
los esquemas moleculares siguientes: a) (~p v t) v ~ q
b) ~ [p Λ (~q v ~p)]
c) [(p → q) Λ ~ (q Λ t)] ←→ [~p v (q Λ ~t)] Solución
Determinaremos el valor de verdad de las proposiciones p, q, t ( p Λ q ) Λ ( q → t) es F
Por conjunción ( p Λ q ) es F
( q → t) es F
Por conjunción
por implicación
p es F y q es V
q es V y t es F
Por lo tanto p es F, q es V y t es F a) (
∼p v t ) v ∼ q V
b)
∼ [ p Λ (∼q v ∼p ) ]
F
F
V
F
F
V
V V
F V
c) [(p → q)Λ∼(q Λ t)] ←→ [ ∼p v (qΛ∼t)] F
V
V
V
F
V
V V
F
V
V V
V V
15) Si la proposición ( p Λ q) ( s v r) es falsa. Determinar cuál de las proposiciones son verdaderas: a)
∼ [ ( p → q) → r ]
c) [(p v
b)
∼ ( ~∼p Λ q) Λ [ (∼r v r ) Λ s ]
∼q) Λ p] v ∼q Solución (∼pΛq ) → (∼s v r ) es F
Por implicación (∼p Λ q ) es V
Por conjunción
∼p es V
y q es V
(∼s v r ) es F
por disyunción
∼S
es F y r es F
Por negación
por negación
p es F y q es V
q es V y t es F
Por lo tanto p es F, q es V S es V, r es F
a)
∼ [ ( p → q) → r ] F
V
b)
F
∼ (∼ p Λ q ) Λ [ (∼r v r ) Λ s ] V
V
V
V
V
F V
F
V
V
V F
V
El valor de verdad es V
c) [ ( p v F
El valor de verdad F
∼q ) Λ p ] v ∼q F F
F F
F F
El valor de verdad es F Por lo tanto únicamente es verdadera la a)
16) Determinar el esquema más simple de la proposición [(p Λ q) v (p Λ
V
q)] v ( p Λ q) Solución
[(p Λ q) v (p Λ
∼q)] v (∼p Λ ∼q)
[((p Λ q) vp) Λ ((pΛq) v ∼q)] v(∼pΛ∼q)
Por distribución con respecto a Λ
[p v (p Λ q) Λ (∼q v (p Λ q)] v (∼p Λ ∼q)
Conmutativa
[p Λ ((∼q v p) Λ (∼q v q))] v (∼p Λ ∼q)
Por absorción y distributiva
[p Λ (∼q v p) Λ V] v (∼p Λ ∼q)
Por identidad
[p Λ (∼q v p)] v (∼p Λ ∼q)
Por identidad
[p Λ (p v ∼q)] v (∼p Λ ∼q)
Por conmutativa en v
p v (∼p Λ ∼q)
Por absorción
P v ∼q
Por absorción
Por lo tanto [(p Λ q) v (p Λ ∼q)] v (∼p Λ ∼q) Ξ p v ∼q
17) Hallar la proposición equivalente más simplificada del siguiente circuito ∼p
p
o
q
∼p
p
∼q
o
q
Solución
La función booleana del circuito dado es: [pvq v (∼p Λ∼q)] Λ [(∼p v q) Λ p] Simplificando la proposición obtenida se tiene: [(p v q) v (∼p Λ ∼q)] Λ [(∼p v q) Λ p] [p v q v
distributiva con respecto Λ
∼p) Λ (p v q v ∼q)] Λ [(∼p v q) Λ p] distributiva respecto a v
(V Λ V) Λ [(p Λ ∼p) v (p Λ q)]
por equivalencias
V Λ [F v (p Λ q)] = V v (p Λ q) = p Λ q Por lo tanto la equivalencia es: [p v q v (∼p Λ
∼q)] v [(∼p v q) Λ p] Ξ p Λ q
Por lo tanto el circuito simplificado equivalente es:
o
p
q
o
18) Determinar la menor expresión que representa el circuito dado: p
o
∼p
q
∼q
o
∼p
Solución La función Booleana del circuito dado es: [p v (∼q Λ ∼p) v q] Λ ∼p Ahora simplificamos la proposición obtenida [p v (∼q Λ ∼p) v q] Λ ∼p Ξ [p v q v ∼p] Λ
∼p
Ξ [(p v ∼q) v q] Λ ∼p Ξ ( Vv q) Λ ∼p Ξ q Λ
∼p
19) Determinar la menor expresión que representa al circuito dado: ∼p o
∼q ∼p
p q
Solución
o
La función booleana del circuito dado es: [(∼pΛ ∼q) v (p Λ (∼p v q))] Ahora simplificando la proposición obtenida [(∼p Λ ∼q) v (p Λ (∼p v q))] Ξ [ (∼p Λ ∼q ) Λ ( p Λ q ) ] Ξ p ←→ q
20) Determinar la menor expresión que representa el circuito dado: r p
∼q
o
r
o
q p
q
Solución La función booleana del circuito dado es: (p v q) Λ [(∼q Λ (r v ∼q)) v (p Λ q)] Λ r Simplificando la proposición obtenida (p v q) Λ [ (∼q Λ( r v∼q) ) v ( p Λ q ) ] Λ r Ξ( p v q ) Λ [∼q v ( q Λ p ) ] Λ r Ξ (p v q) Λ [∼q v p] Λ r Ξ [p v (q Λ ∼q)] Λ r Ξ (p v F) Λ r Ξ p Λ r
21) Determinar los circuitos lógicos que representan los siguientes esquemas moleculares. a)
∼[ p → ∼ ( q v r ) ] Solución Simplificando se tiene:
∼[ p → ∼ ( q v r ) Ξ ∼ [∼p v ~∼ ( q v r) = p Λ (q v r)
b) (∼ p ) ←→ ( p → ∼q ) Solución (∼p ) ←→ ( p → ∼q ) Ξ (∼p ) ←→ (∼p v ∼ q ) Ξ (∼p Λ (∼p v ∼q ) v ( p Λ ( p Λ q ) ) Ξ (∼p ) v ( p )
c) ( p v q ) → [ (∼p v q ) → ( p Λ q ) ] Solución ( p v q )→[ ( ~p v q ) → ( p Λ q ) Ξ ∼ (p v q ) v [∼ (∼p v q ) v ( p Λ q ) ] Ξ ∼ ( p v q ) v[ ( p Λ ∼q ) v ( p Λ q ) ] Ξ (∼p Λ ∼q) v p Ξ (p v ∼q)
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Determinar cuáles de los siguientes enunciados son proposiciones:
a) b) c) d) e) f) g) h) i)
5 + 7 = 16 - 4 3 x 6 = 15 + 1 y 4 – 2 ≠ 23 x 5 ¿El silencio es fundamental para estudiar? ¡Estudia lógica simbólica! Nosotros estudiamos en la Universidad Ecuatoriana. Los hombres no pueden vivir sin oxígeno. ¡Arriba Quito! 5+x=7 2+x≠3+x
2. Determine cuáles de los siguientes enunciados son enunciados abiertos:
a) b) c) d) e) f)
x es hermano de y 28 < 15 x+y+z≠1 9x + 3 > 12 Tenga calma, no se impaciente x es ingeniero y Juan es matemático.
3. ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas y cuáles son
falsas? a) b) c) d) e) f)
Sí 3 + 3 = 6, entonces 4 = 4 Si 5(7) = 35, entonces 10 – 3 = 13 Si 19 – 7 = 3, entonces 4(5 + 3) = 32 Si 2 = 3 entonces 8 es un número primo. Si 3(7) es un número natural, entonces 17 es un número primo. Si x = 2, entonces 3x = 6
4. Si P ( ): ³ = 27; q( ):² = 9; r(x): x < 10. Hallar el valor de verdad de:
a) [p(1) → q(12)] ↔ [r(-3) ∨ ~r(3)] b) [p(0) ∧ ~q(-1)] ∨ [r(-5) → (r(-6) ∨ r(0)] c) [(p(3) ∨ p(2)) ↔ (r(2) ∧ ~q(3))] ↔ [~q(3) ∨ ~p(-3)
5. Construir la tabla de verdad de las siguientes proposiciones:
a) b) c) d) e) f)
(p ∧ q) ∨ (~p) (p ∨ q) (p q) r (p q) (q p) ((~p) ∨ q) (~q ~p) (p ∧ r) (~q ∨ r) (p ∧ q) ∨ r (~p ∨ ~q) ∧ (~r)
6. Por medio de una tabla de valores, establecer, si cada una de los siguientes
esquemas moleculares es tautología, contingencia o contradictoria. a) b) c) d) e) f)
~[~p → ~(~q ∧ ~p)] ∨ ~(~p ∨ ~q) [(p ∨ ~q) ∧ ~p] ∧ (~q → p) ~(p → q) ↔ ~(~q → ~p) [p → (q → r)] ↔ [(p ∧ ~r) → ~q] [p ∧ (~q →p)] ∧ ~[(p → ~q) → ( q ∨ ~p)] [~p ∧ (q ∨ ~r)] ↔ [(~p ∧ q) ∨ ~(p ∨ r)
7. Simplificar las siguientes proposiciones:
a) {[(~q)→(~q) ] →[(~p)→(~q) ] }→~(p∧q) b) [(p→q)∨→~p]∧(~q→p) c) ~{[~(~p∧q)∨~p] →[~(p∨q) ] } d) (~p∨~q) ∧ [~p∧ (q→p)] e) [(pq) (p∧q)] ∨ (p∨r) f) ~[~(p∧q)→q]∨p g) [(~p∧q)(qp) ]∧p
8. Si ~ [(~p
∨ q) ∨ (r → q)] ∧ [(~p ∨ q) → (q ∧ ~p)] es verdadera, hallar los
valores de verdad de p, q y r. 9. Si la proposición (p → ~q) → (r → ~s) es falsa. Hallar el valor de verdad de
las proposiciones p,q,r,s. 10. Si la proposición ~(p
∧ q) ∧ (q ↔ p) es verdadera; entonces hallar los
valores de verdad de p y q respectivamente.
11. Si la proposición (p
~q) ∨ (~r → s) es falsa. Hallar el valor de verdad de
los siguientes esquemas moleculares. a) (p q) [(p ∨ q) ∧ ~q] b) (~r ∨ q) [(~q ∨ r) ∧ s] c) (~p ∧ ~q) ∨ ~q 12. Determinar el valor de verdad de las proposiciones p y q si se conoce la
información siguiente: a) (p ∧ q) (p ∨ q) es verdadero b) ~(p ∧ q) es verdadero 13. Determinar el valor de verdad de las proposiciones p y q si se conoce que
el valor de verdad del siguiente esquema [~(~p q) ~(p → ~q)] (p → q) es falso. 14. Si p y q son verdaderos ¿para qué valores de r, el esquema siguiente es
verdadero? (r → p) (~q r) 15. Si se tiene los siguientes datos: p es verdadero; r ~p es verdadero y w
t es verdadero, hallar el valor de verdad de ~r y de t. 16. Si el esquema (p
∧ q) → (p → r) tiene valor de verdad, falso, halla el valor
de verdad de los esquemas. a) [(p ∧ q) ∨ (q ∨ ~r)] (p b) (p ∨ ~ q) (~r ∧ q) c) ~(q ∨ r) ∨ (p ∨ q) 17. Si la proposición (~p
∨ ~r)
∧ q) [(p ∧ r) ∨ t] es falsa. Hallar el valor de verdad
de cada una de las siguientes proposiciones. a) (~p t) (~q r) b) (~q ∧ ~r) ∨ [~t ∧ (p ∨ q)] c) ~[(~p ∨ ~q) (r ∨ ~t)]
18. Demostrar si las siguientes fórmulas son lógicamente equivalentes:
a) ~p ∧ q ≡~(p ∨ q) b) p ∧ ~p ≡ ~[(p ∨ p) p] c) ~q ∨ p ≡ ~(~p ∧ q) ≡ ~p (p ~q)
d) ~[(p ∧ q) ∧ ~r] ≡ ~[(~p ∧ ~q) ∧ (p ∨ r)] e) ~(p q) ≡ ~p q ≡ p ~q ≡ ~(~p ~q) 19. Probar la equivalencia de las siguientes proposiciones:
a) b) c) d) e)
~(p q) y p ∧ (~q) ~(p ∧ q) y (~p) ∨ (~q) ~(p ∨ q) y (~p) ∧ ~q p q y ~q ~p (p q) ∧ (q r) y p r
20. Demostrar que las bicondicionales siguientes son equivalencias lógicas.
a) b) c) d) e)
(p → q) (~p) ∨ q (p ↔ q) (p → q) ∧ (q → p) (p ∧ q) ∨ p p (p ∨ q) ∧ p p ~(p → q) (p ∧ ~q)
21. Determinar el valor de verdad de los siguientes enunciados considerando
como universo a los números reales. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j)
{ϵR / ³ = } { x ϵ R / 2x = x} {ϵR / ² + 3 – 2 = 0} {ϵR /² – 2 + 5 = 0} { x ϵ R / 2x + 3x = 5x} {ϵR / 2² + = 15} { x ϵ R / x – 3 < x} { x ϵ R / x + 3 < 6} { x ϵ R / x + 3 < 6} {ϵR / ² – 10 ≤ 8}
22. Sean las proposiciones p: {ϵ / ½ +
> 0}, q: { x ϵI / x + 0 = π}, r: {ϵR / ² + 1 = 0}. Hallar el valor de [(p → q) ∧ r] ~q 23.
¿Cuáles son equivalencias lógicas?
a) ~(q → ~p) (q ∨ p) b) [(~p ∧ ~q) ∨ ~q] [(p ∨ q) ∧ q] c) ~(p → q) [(p ∨ q) ∧ ~q]
24. Determinar el valor de cada uno de las siguientes proposiciones:
a) b) c) d) e) f)
{ ϵ Z / ² = } { x ϵ Z / x – 7 < x} { x ϵ Z / x + 5 = 5} { x ϵ Z / x + 8 > x} {ϵ Z / ² ≥ } { x ϵ Z / x + 1 = x}
25. Si U = {1, 2, 3,…99}, determinar cuáles de los siguientes proposiciones son
verdaderos. a) b) c) d)
{ ϵ U / x + 5 = 2x} { x ϵ U / x +1 ϵ U} { x ϵ U / | x - 8 | > 5} { x ϵ U / 20 – 3x ≮ 0}
26. Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Si U = {1,
2, 3} es el universo y si x, y ϵ U a) b) c) d) e)
, / ² < + 1 , / ² + ² < 12 , / ² + ² < 12 , , / ² + ² ≤ 2² , , / ² + ² ≤ 2², ϵ U
27. Negar las siguientes proposiciones para el conjunto z.
a) b) c) d)
xϵz/x+1>x ϵ / ² + 1 = 0 ϵ / ² = ϵ / ² - 1 > 0
28. Negar las siguientes proposiciones.
a) x / x 7 < y b) ( x / p(x)) ∧ ( y / q(y)) c) ( x / p(x)) → ( y / ~p(y)) d) (p ∨ ~q) → (p ∧ ~r) e) x / q(x) _ 5x + 7 < 10 f) x / 5x + 8 < 4
29. Determinar los circuitos lógicos que representan a los siguientes esquemas
moleculares. a) b) c) d) e) f)
(~p) ↔ (p → ~q) p ∧ (q ∨ ~p) ~[p ∨ → ~(q ∨ r)] {[(r ∨ q) ∧ p] ∨ ~r} ∧ q (p ∨ q) → [(~p ∨ q) → (p ∧ q)] [(p → q) ∨ p] ∧ [(p → q) ∨ ~p]
30. Representar mediante funciones booleanas los siguientes argumentos:
a)
b)
c)
d)
31.
Dado el circuito lógico, hallar el circuito lógico más simple posible.
