LÓGICA-Administración

Lógica

UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS FILIAL JAEN FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIÓN Y NEGOCIOS INTERNACIONALES

UNIDAD I:

NOCIONES BASICAS DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL

1.1. INTRODUCCION: Lógica es el estudio de los procesos válidos del razonamiento humano. En la actualidad el estudio serio de cualquier tema tanto en el campo de las humanidades como el de las ciencias y la técnica requieren conocer los fundamentos y métodos del razonamiento lógico preciso que permite al estudiante o profesional extraer y depurar sus conclusiones evitando el riesgo de modificar en forma equivocada la información que posee. Esto es aún más en esta era de la computación, herramienta que es empleada en todos los campos del desarrollo de una sociedad y con la velocidad a la cual se procesan los datos cualquier error de lógica puede srcinar prolemas técnicos, sociales y económicos. !iendo muy importante, en lamane"o matemática moderna el análisisydel lengua"edecon un criterio lógico# Lógica tiene como fin de conducirnos a un háil del lengua"e matemático el empleo métodos eficaces delarazonamiento. Existen dos tipos importantes del razonamiento$ El %nductivo y el &eductivo. El razonamiento inductivo es el razonamiento por el cual una persona en ase a sus experiencias espec'ficas, decide aceptar como válida un principio general. El razonamiento deductivo es, en camio, el medio según el cual dicha persona utiliza el principio general aceptado previamente para decidir sore la validez de una idea, que a su vez hará de determinar su curso de su acción. &ado que las proposiciones son preceptos válidos de razonamiento deductivo, en el desarrollo de nuestro estudio veremos lo esencial de la lógica proposicional, a través del uso y mane"o de una simolog'a adecuada, ya que el razonamiento es un género especial de pensamiento en el cual se realizan inferencias, es decir, se derivan conclusiones a partir de premisas Padre de la Ló!"a: La lógica es conocida como una de las ciencias más antiguas, tanto es as' que se le atriuye a Ar!#$ó$ele# la paternidad de esta disciplina. !in emargo, los lógicos no están todav'a de acuerdo con el o"eto de esta ciencia, deido a que existe un prolema semántico, es decir que existen varias disciplinas sore esta ciencia lo que crea confusión. Es preciso por ello determinar con exactitud su o"eto para poder definirla. N%"!ó& de '%r(a Ló!"a La )r%)%#!"!ó& es una oración aseverativa susceptile de ser calificada de verdadera o falsa. E"emplos$ a(

Einstein fue el creador de la teor'a de la relatividad

(

El )erú está al norte del Ecuador

En estos e"emplos *a(+ y *(+ son proposiciones$ *a(+ es verdadera y *(+ es falsa. En consecuencia, la verdad y la falsedad son sus propiedades. La !&'ere&"!a es una operación lógica que consiste en otener la verdad de una proposición, conocida como conclusión, a partir de la verdad de una o más proposiciones, conocidas como premisas. E"emplos$ a(

!iereslimeo,entonceseresperuano !i eres peruano, entonces eres sudamericano Luego, si eres limeo, entonces eres sudamericano

(

ingúnperuanoeschileno /odos los loretanos son peruanos Luego, ningún loretano es chileno

-premisa( -premisa( -conclusión(

-premisa( -premisa( -conclusión(

Es fácil advertir que *a(+ y *(+ son e"emplos de inferencias válidas, puesto que en amos casos la conclusión deriva necesariamente de las premisas. En efecto, nadie puede aceptar la verdad de éstas, y simultáneamente, negar la verdad de aquella sin incurrir en flagrante contradicción. )ero 0cómo saemos que las mencionadas inferencias son válidas1 /odos lo saemos por intuición, si emargo ésta es su"etiva y no puede garantizar o"etivamente la validez de las inferencias en todos los casos. Es aqu', entonces, donde se hace necesario estalecer las condiciones formales de validez de las inferencia.

EJERCICOS DE APLICACION 2 continuación se presentan con"untos de expresiones, de los cuales algunos son inferencias y otros no. En cada caso determine cuales son inferencias y cuáles no, identificando porque. 3.

!i el )erú es un pa's co n una estailidad pol'tica y "ur'dica, entonces es un pa's que garantiza la inversión privada, y si el )erú es un pa's que garantiza la inversión privada, entonces es un pa's con posiilidades de desarrollo. Luego, si el )erú es un pa's con una estailidad pol'tica y "ur'dica, entonces tiene posiilidades de desarrollo.

4.

La 5atemática es una aproximación si y sólo si es un cálculo. !i la matemática es un cálculo entonces la aritmética tamién es un cálculo.

Profesor: Lic. Javier Saldarriaga Herrera

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6.

El precio del dólar su e rápidamente por la inestailidad pol'tica y social. La moneda perua na pierd e su valor adquisitivo. El 7anco 8entral de 9eserva dicta la pol'tica monetaria del pa's.

:.

!i es tan uen alcalde entonces deer'a querer aumentar la limpieza en la ciudad reparando la antigua red de alcantarillado que se cae a pedazos. o quiere reparar la red de alcantarillado. )or lo tanto no se atreva a decir que es tan uen alcalde.

;.

Lima es la capital del )erú, sin emargo Lima es una ci udad con un comercio amulatorio desordenado.
=.

El cielo está nulado, pero si la temperatura es mayor de 4>? cent'grados entonces no lloverá. )ero, lloverá si y solo si el cielo está nulado.

@.

i llego tarde a la ceremonia de graduación de 2dministración, enton ces no podr é ingresar y se postergará mi graduación. )or consiguiente, no llegue tarde a la ceremonia de graduación.

>.

!i hay lluvias y las tierras son aonadas adecuadamente, entonces se otendrán uenas cosechas. Acurre que, hay lluvias y las tierras son aonadas adecuadamente. Luego, se otendrá uenas cosechas.

B.

La Luna gira alrededor de la tierra. La /ierra gira alrededor del !ol, la Luna gira alrededor del !ol.


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3C. La matemática es exacta si y solo si es un cálculo. !i la matemática es un cálculo entonces la geometr'a tamién es un cálculo.

33. 8olon descurió un nuevo continente porque estaa seguro de que la ti erra era redonda. 8olon creyó haer llegado a las indias. )or lo tanto, 8olon no descurió un nuevo continente.

34. !i 8opérnico di"o la verdad entonces el !ol es el centro de los planetas. La tierra es redonda. En consecuencia, si la tierra es redonda entonces el !ol es el centro de los planetas.

36. Lima es la capita l del )erú, sin emarg o Lima es una ciudad desordenada. )izarro fundo la ciudad de Lima, no ostante es una ciudad desordenada.

3:. El director del colegio es un uen conse"ero, sin emargo los alumnos son inquietos. 9o"as es un alumno aplicado si el director del colegio es un uen conse"ero, además 9o"as es un alumno aplicado si los alumnos son inquietos. Luego, 9o"as es un alumno aplicado.

3;. Day mucha gente tratando de conseguir oletos para el partido de futol y los polic'as se esfuerzan por guardar el orden. %ngresare al estadio si y solo si puedo conseguir oletos para el partido de futol. 2unque los polic'as se esfuercen por guardar el orden, ingresare al estadio.

1.*. EL LENGUAJE: El Lengua"e es un instrumento para la comunicación. )uede ser un con"unto de sonidos articulados que el homre usa para expresar ideas o sentimientos. )or e"emplo$ el idioma de un puelo o una nación es el lengua"e con el cual se entiende dicha comunidad. A.

FUNCIONES B+SICAS DEL LENGUAJE: El lengua"e cumple tres funciones ásicas que son$ la función informativa, la función expresiva y la función directiva. a,

La F-&"!ó& I&'%r(a$!a:


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La
0,



Las lluvias han provocado inundaciones en el norte del pa's.



)or el Aeste, el )erú limita con el Acéano )ac'fico.

La F-&"!ó& e)re#!a: El lengua"e cumple una función directiva cuando se usa para comunicar sentimientos, emociones y actitudes. E/e()l%#:

",

B.



7ravoF Ganamos el partido.



&ios m'o, &ios m'o, 0por qué me has desamparado1



Ah si un instante contra el pecho m'o yo te apretara, oh celestial elleza, se alegrar'a mi infeliz tristeza, se llenar'a mi mortal vac'oH

La F -&"!ó& D !re"$!a: El lengua"e cumple una función directiva cuando se usa para dar órdenes o hacer pedidos, o con el propósito de srcinar una acción manifiesta o de impedirla. E/e()l%#: 

*)rohiido fumar+.



*2l entrar cierre la puerta+.



*08uánto vale este liro1+.

LAS FUNCIONES M2LTIPLES DEL LENGUAJE: !on las diversas cominaciones de las tres funciones ásicas del lengua"e, porque el lengua"e, en la vida cotidiana, muy pocas veces se presenta en cada una de sus funciones puras. E/e()l%: 

!i al pasar por una helader'a la dama dice$ *2h qué ricos heladosF+ o es ésta una manifestación puramente emotiva, sino que indirectamente puede estar ordenando o sugiriendo al amigo que le invite.



*0!aes que el )residente de la 9epúlica via"ó de urgencia a la frontera del pa's1+



*Lenin es muy acogedor y simple en apariencia.
1.3. EL LENGUAJE CIENTIFICO: El lengua"e cient'fico es un lengua"e especializado que restringe la función del lengua"e ásicamente a la información. Este lengua"e pretende ser claro, preciso y exacto, especialmente en las ciencias formales como la matemática y la lógica# en las ciencias naturales y en las ciencias humanas no se alcanza igual precisión. La ciencia crea lengua"es artificiales. 8uando es necesario inventa palaras, signos matemáticos, s'molos qu'micos, etc., dándoles significados determinados por medio de las reglas de designación. E/e()l%#:  

*J+ designa la suma de cantidades *D+ designa el elemento de peso atómico unitario

1.4. EL LEN GUAJE LÓGI CO: El lengua"e lógico es un lengua"e coherente, secuente, donde una idea sigue necesariamente a la otra. )or e"emplo, cuando una proposición sigue necesariamente a otra se dice que la inferencia es válida, y una inferencia es válida en función de su forma lógica.


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!i las premisas de una inferencia son$ 

/odos los números pares son divisiles por dos.



Acho es un número par.



La conclusión que se sigue es$



Acho es divisile por dos.



!i 2$ *números pares+ 7$ *divisiles por dos+ x$ *ocho+ Entonces se tiene la siguiente estructura formal. /odos los 2 son 7. x es 2. Luego, x es 7.

El lengua"e lógico es un lengua"e simólico -que representa a la inferencia( por que este lengua"e está en función de un con"unto de reglas lógicas.

EJERCICOS DE APLICACION: 0KI
Las tropas iraqu'es invadieron PuQait el 4 de agosto de 3BBC.

.

El )apa Ruan )alo %% visitó el )erú en 3B>;.

c.

o te apartes de m', porque se acerca la triulación, y no hay nadie que me socorra. -!almos NN%, 34.(

d.

)apa, no olvides traerme un pan, porque de harina es la mitad del sueo, según mama me dice, y de harina es tamién toda la dicha. -8arta de un nio pidiendo pan de RA! GAS2LA 5A92/E(.

e.

2ndrés 2velino 8áceres, por sus acciones en las atallas de )ucará, 5arcavalle y 8oncepción, fue llamado *El ru"o de los 2ndes+

f.

Ah más dura que mármol a mis que"as, T al encendido fuego en que me quemo 5ás helada que la nieve, GalateaF -Gracilazo Oega(

g.

adie será sometido a torturas ni a penas o tratos crueles, inhumanos o degradantes. -2rt. ; de la &eclaración Iniversal de los &erechos humanos(.

h.

0!aes que la distancia media de la luna a la tierra es de :34,C CC Pm.1 !er'a fascinante via"ar a ese satélite.

i.

&ichoso aqué l varó n que no se de"a llevar de los con se"os de los malo s, ni se deti ene en el camino de los pecadores, ni se asienta en la cátedra pestilencial de lo liertinos.-!almos %, 3(.

".

El cólera no es un prolema cl'nico sino un prolema ecológico y amiental.

1.5. FALACIAS DEL LENGUAJE COM2N:


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En el Lengua"e común las falacias son tipos de razonamientos incorrectos, pero psicológicamente persuasivos. !e conoce con el nomr e de 'ala"!a a cualquier idea equivocada o creencia falsa, es decir son argumentos o razonamientos aparentemente correctos, pero si los analizamos cuidadosamente resultan ser incorrectos. E/e()l% 1: Algunos niños juegan bien al fútbol y algunos niños juegan bien al tenis. Por lo tanto, algunos niños juegan bien al fútbol y al tenis.

En las falacias la verdad de las premisas no logra garantizar la verdad de la conclusión. Las
Fala"!a# F%r(ale#$ !on formas aparentes de razonamientos válidos. Estas
7.

Fala"!a# N% F%r(ale#$ !on errores de razonamientos que se cometen por falta de atención en el tema o por la amigUedad en el uso del Lengua"e. Estas
Fala"!a# de a$!&e&"!a $ se cometen cuando en el razonamiento influye la conexión psicológica entre la premisa y la conclusión, a pesar de no existir una conexión lógica. Estas
ii.

Ar-(e&$-( ad 6%(!&e( $ Es el argumento dirigido contra el homre. !e comete esta falacia cuando se ataca a la persona que hace la afirmación, en vez de refutar la verdad de su argumentación. E/e()l%$ "La filosof%a de &ant es idealista y no tiene aplicación en la ida real porque &ant fue un filósofo burgu's, jorobado y med%a sólo (.)* m.# +Se ataca a la persona para desprestigiar su filosof%a, en lugar de refutarla.

iii.

Ar-(e&$-( ad I&%ra&$!-( $ Es el argumento por la ignorancia. !e comete esta falacia cuando se sostiene que una proposición es verdadera porque no se ha demostrado su falsedad, o que es falsa porque no se ha demostrado su verdad. E/e()l%: "-odos tenemos que admitir que los malos esp%ritus eis ten porque nadie /a demostrado su ineistencia#

iv.

Ar-(e&$-( ad (!#er!"%rd!a($ Es el argumento de un llamado a la piedad o a la clemencia. !e comete esta falacia cuando se apela a piedad o a la clemencia para conseguir una conclusión. E/e()l%: 

El argumento del estudiante que no ha entregado su tarea después de todos los plazos fi"ados# dice$ *!eor )rofesor, en estos últimos d'as he tenido que soportar prolemas familiares agoiantes. 5i madre enfermó y a diario ten'a que llevarla al médico. 2 mis hermanitos sólo yo pod'a prestarles atención en casa. )or esta razón pido una nueva fecha para que recepcione mi traa"o, pienso que no se negará porque comprende Id. mi prolema+

 hacha y al ser El argumento de aquelcon "oven que ha'a asesinado rutalmente susser padres con un "uzgado y condenado prueas arumadoras *pidió clemenciaapor huérfano+.

v.

Ar-(e&$-( ad P%)-l-($ Es el argumento dirigido al puelo. !e comete esta falacia al dirigir un llamado emocional al puelo con la finalidad de ganar su asentimiento popular para una conclusión, despertando las pasiones y el entusiasmo de la multitud. E/e()l%: Las propagandas comerciales, entre otros. *NKI%!%/, los "aones importados de fragancia exquisita son usados por nueve de cada diez estrellas del cine. 2presúrese en adquirirlos.+

vi.

Ar-(e&$-( ad Vere"-&d!a( $ es el argumento de apelación a la autoridad. !e comete esta falacia cuando se usca asentimiento apelando a una autoridad, en cuestiones que no son de su especialidad. E/e()l%:


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UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS FILIAL JAEN FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIÓN Y NEGOCIOS INTERNACIONALES "Los canones religiosos son infalibles porque 0in stein, feriente católico, tambi'n lo admit%a#.

vii.

La Ca-#a Fal#a $ denominada tamién non causa pro causa. !e comete esta falacia cuando se admite una conclusión a partir de una causa con la cual no tiene conexión. E/e()l%:   

"Sab%a que me iban a despedir de mi trabajo, porque cuando sal%a de mi casa un gato negro se cru$ó en el camino# Si tomas un trago de 1/is2y y te gusta, seguramente tomarás más. 3 otro d%a olerás a beber y cada e$ lo /arás más y más frecuentemente, /asta que iirás borrac/o todo el d%a# "4ira, no se /a donde /emos llegado, pero de seguro no es 0uropa. Lisboa está en 0uropa y te aseguro que esta ciudad no es Lisboa.

La Pre-&$a C%()le/a $ llamada tamién falacia de interrogación. !e comete esta falacia cuando en la formulación de una pregunta hay varias cuestiones diferentes, y se exige una sola respuesta como si fuera una pregunta simple.

viii.

E/e()l%: "Si eres abogado, 5trabajarás en el palacio de justicia y estarás de acuerdo con el plan de gobierno sobre la justicia6

9esponder con un s' o con un no a la pregunta es caer en una falacia de pregunta comple"a. ix.

A)ela"!ó& a la '-er7a $ ocurre cuando se aandona toda razón para fundamentar algo, y se pasa directamente a la alusión más o menos velada de que tal cosa dee hacerse porque quien tiene el poder para sancionar lo hará. Es decir, no hay argumento a favor, sino una amenaza contra quien use un argumento en contra. E/e()l%$ "7ebes arreglar tu /abitación a/ora, porque si no tendrás pro/ibido salir el fin de semana#.

4. i.

Fala"!a# de A(0!8edad$ Llamadas tamién
ii.

La a&'!0!%l%a$ se comete por la mala construcción gramatical o por los significados confusos que surgen al cominar las palaras. E/e()l%:    V V V V V

*El perro de mi aogado+ *La solicitud de traa"o que dice inútil sin experiencia+ In nio que canta en el microús se le acerca a un pasa"ero a pedirle una colaoración$ Ina monedita, seor. 2qu' tienes. 08uántos hermanos son ustedes1 !iete, seor. 0/odos vivos1 o seor. &os traa"an. El ;&'a#!#$ Esta falacia se comete cuando se trata de proar lo que uno desea haciendo resaltar una

iii.

palara o frase, palaras o frases que alteran el significado haciendo engaoso y carente validez de razonamiento. E/e()l%: 

*El titular de un periódico dec'a$ *EL 9ET )ELE L2&9A H+, y luego con letras más pequ eas continuaa diciendo$ *El famoso popular futolista )elé filmará el t'pico ladrón rasileo.



El titular que dice$ *EL )9E!%&E/E !E &%OA98%2H y luego con letras más pequeas continuaa$ *se divorcia de sus aliados pol'ticos para las próximas eleccionesH+

EJERCICOS DE APLICACION:


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<=U; FALACIA SE COMETE EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES ARGUMENTOS> JUSTIFI=UE SU RESPUESTA EN CADA CASO. 3.

*/odas las declaraciones de 8halaquito %% en el triunal son falsas porque él es un delincuente criminal y plagiario+.

4.

*8omo "urado del concurso de poes'a, estoy de acuerdo en que se le otorgue el premio a )edro 5anuel porque es un "oven inspirado y sensile, cuando declamaa conmov'a siempre al auditorio.+

6.

*Ruliana roó ese collar desesperada por el hamre, po rque no ten'a que comer. Oiv'a en la miseria, aandonada por sus padres. Ella es v'ctima de la crisis social y económica de nuestro puelo. )or eso !r. Ruez, Ruliana no dee ser condenada.+

:.

*El perro de )epito es carioso. 8ome de todo. Le gustan mucho los nios.+

;.

*/odos los métodos artificiales de control de la natalidad son dainos po r que han sido conde nados por la iglesia católica.+

=.

En una entrevista al astronauta Gagarin$ 08reé usted en &ios1 )ues, realmente no. En ninguno de mis via"es lo he visto.

@.

*08uándo vamos a poner final al espantoso despilfarro y a la corrupción de los empleados púlicos1+

>.

*Los haitantes extraterrestres siempre nos visitan, sólo que nadie ha tenido un contacto directo en la tierra.+

B.

*EL 829%8E9A &E 72G&2&H !addam Dussein es un guerrero sanguinario. Isara las armas qu'micas contra la humanidad+


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3C.

*0Isted ha perdido cuernos1 0!i o no1+

33.

*En esta legislatura deemos aproar la ley sore el control de la natalidad para evitar muchas muertes por aortos ilegales.+

34.

*8arla y R osé pelean siempre y t ienen prolemas en su hogar. Eso les pasa porque se casaron un viernes trece.+

36.

In diálogo entre dos mu"eres$

-

Luisa $ 0Elia te sientes una mu"er realizada1

-

Elia $ )lenamente, hi"a,F Ta he realizado mi segundo divorcio y me voy por el tercero.

3:.

*!i la oposición insiste en no reconocer la carta fundamental, entonces puede quedar nulo el pleiscito realizado en Acture de 3BB> -&eclaración del )residente 2. )inochet, *El comercio+ 3BV33V>>(.+

3;.

*ietzche fue un individuo enfermizo, atormentado y desleal, que pasó los últimos d'as de su vida en un asilo para locos.+ )or lo tanto lo que sosten'a sore la ley moral es falso.

3=.

3@.

3>.

*5arx es comunista, en consecuencia todo lo que dice sore la econom'a es falso+

*El control de n atalidad normado po r el g oierno pe ruano es per"udicial, porque e l )apa, máxima autoridad de la %glesia 8atólica, lo condena+.

*!e vende casacas de cuero para caalleros de ecerro+.

1.?. LOGICA PROPOSICIONAL ELEMENTOS DE LA LOGICA SIMBOLICA:


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

ENUNCIADO$ se llama enunciado a toda frase u oración. 2lgunos enunciados son mandatos o interrogaciones o son expresiones de emoción# otras en camio son afirmaciones o negaciones que tienen la caracter'stica de ser verdadera o falsa. E"emplos$ 3. 0Kué curso te has matriculado1 4. Oaya rápidoF 6. Oiva el )erúF :. )rohiido hacer ulla ;. &os más tres es igual a cinco =. /odas las gallinas sonaves @. )ar's es la capital de . ; W > B. ; J 6 X > 3C. x4 Y :y 33. x4 J y4 Y B

O0#era"!ó&$Los enunciados que expresan una exclamación, una interrogante, una emoción# son expresiones no proposicionales, tales como los e"emplos 3, 4, 6 y : 

PROPOSICION$ llamamos proposición a todo enunciado que tiene la cualidad de ser OE9&2&E92 -O( o de ser <2L!2 -<( pero nunca puede ser O y < a la vez. Los e"emplos ;, =, @, > y B son proposiciones.



ENUNCIADOS ABIERTOS$ son expre siones que contienen variales y que no tienen la propiedad de ser verdadero o falso. Los e"emplos 3C y 33 son enunciados aiertos.

VARIABLE$ es una cantidad susceptile a variar en un determinado campo o recorrido, a las variales las representaremos con las letras minúsculas x, y, z, t, u, v# a estas variales se les da el nomre de variales indeterminados. )or e"emplo$ *x Y ;+ es un enunciado aierto, porque no podemos determinar que es O o que es <. sólo cuando la variale *x+ toma un valor numérico se hace O o <. as' tendremos$ 

!i x X 6$ 6 Y ; es O



!i x X B$ B Y ; es <

1.@. PROPOSICION LOGICA: Llamaremos proposiciones lógicas a todo enunciado aierto que pueden ser calificados como verdaderas o ien como falsas, sin amigUedades. N%$a"!ó&$ las proposiciones lógicas serán denotadas generalmente con letras minúsc ulas$ p, q, r, t, H , etc. 2 la veracidad o falsedad de una proposición se denomina al%r de erdad. E"emplos$ V p$3;Z:X33. Vq$ Lima es la capital del )erú. V r$3C@J6C3X:>. V s$@esunnúmeropar.

Oerdadero-O( Oerdadero -O(
N%$a$!e llama valores de verdad de una proposición a sus dos valores posiles# verdadero o falso, estos posiles valores se puede esquematizar en una tala de verdad p en la forma. O <


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1.. CONECTIVOS LOGICOS: !on expresiones que sirven para unir dos o más proposiciones, entre los más importantes conectivos lógicos tenemos$ La con"unción, disyunción, implicación, icondicional, negación, contradicción, esto mostraremos en el siguiente cuadro$ omre Expresión !'moloLógico 8on"unción y [ &isyunción o O %mplicación !i, H entonces, H \ 7icondicional, equivalencia, dole ] H s' y sólo s' H implicación _ egación o ^ &isyunción exclusiva, contradicción



oH , o H no equivalente

≢

1.. CLASES DE PROPOCIONES LOGICAS: PROPOSICIONES SIMPLES O ATOMICAS$ es una proposición que tienen un solo su"eto y un sólo predicado. o llevan ningún conectivo lógico. E"emplos$



V p$*Besmúltiplode6+

donde

pesO

V q$*6esmayorque4+

donde

qesO

V r$34+ *4 X ;x

donde

es r<

V s$*4esmayorquecero+

donde

sesO

V t$*6esmayorque>+

donde

es t <

⏟⏟

PROPOSICIONES ATOMICAS O MOLECULARES$ son aquellas proposiciones que se otienen de la cominación de dos o más proposiciones simples, los cuales son enlazados por los s'molos$ [, O, \, ], ^# llamados conectivos lógicos. )or e"emplo$



“ 9 es mayor que 3 ” y “ 3 es mayor que 2” ⇒ p ∧ q V

V

p

q

⏟

⏟

p

q

“ José llegó tarde , sin embargo dió examen ” ⇒ p ∧ q p : José llegó tarde ,q : José dióexamen

V

“Mradona jugó , aunqueestu vo lesionado” ⇒ p ∧ q p : Mradona jugó , q : Maradonaestuvo lesionado

⏟ ⏟

⏟ ⏟⏟ p

V

q

“ si 9 es múltiplo de 3 y 12 esmúltiplo de 3 ” , entonces 9 + 12 es múltiplode 3 ⇒ ( p ∧ q ) →r p

q

r


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V

Noes casoque el{Pedr obai e} u l bnder arc{ {nocant ep y}e”} ubnder arc{eq}⇒

N%$a$ La OE9&2& o <2L!E&2& de una proposición se denomina su validez -o su valor de verdad(. La validez de la con"unción, de la disyunción, de la condicional, de la icondicional y de la negación puede representarse en talas. En consecuencia, dadas dos o más proposiciones simples cuyos valores de verdad son conocidos, EL O2LA9 &E OE9&2& de una )9A)A!%8%M 8A5)IE!/2 depende de la verdad de cada uno de las proposiciones componentes y se determina mediante /27L2! & OE9&2&. 1.1.PROPOSICIONES COMPUESTAS BASICAS: LA NEGACION$ dada una proposición p, llamaremos la negación de ), a otra proposición que denotaremos por ), y que se le asigna el valor opuesto a p, y su tala de verdad es$ p

^p

O <

< O

El principio lógico dees la falsa negación *si una es proposición si dicha proposición <, sues$ negación verdaderaesO+.verdadera O, su negación es falsa <+ y rec'procamente+, La proposición ^p es le'do as' *no p+, no es cierto que p, +no es caso que p+, *es falso que p+.

E/e()l%#: V

*4esprimo+

O

sunegaciónes$

V

*;espar+

<

sunegaciónes$

V

*;x@X6;+

O

*4noesprimo+

sunegaciónes$

<

*noesciertoque;espar+ *esfalsoque;x@X6;+

< <

LA CONJUNCION$ la con"unción de dos proposiciones ) y 9 es la proposición compuesta que resulta de unir p y q mediante el conectivo lógico *y+ que se simoliza )  9, donde el principio lógico es *la con"unción p [ q es verdadero O, sólo cuando p es verdadero y q es verdadero, en todos los demás casos es falso <+. su tala de verdad es $ p

q

O

O

q[p O

O

<

<

<

O

<

<

<

<


Lógica


En todo párrafo, las palaras$ *pero+, *sin emargo+, *además+, *no ostante+, *aunque+, *a la vez+, etc. equivalen al conectivo lógico *[+. E/e()l%#: V

*la andera peruana es lanco y ro"a+

{

p ∧ q ⟺ p : la bandera peruana esblanco q : la bandera peruana esroja

V

*5anuel es "uez pero honesto+

p : Manuel es juez

p∧ q ⟺

q : Manuel es onesto

{ V

*las computadoras son muy caras, sin emargo son muy útiles+

p∧ q ⟺

V

{

p: las computadoras soncaras q : las computadoras son muy útiles

*6 es menor que ;, pero mayor que 3+

p ∧ q ⟺ p : 3 es menorque  q : 3 es mayor que 1

{

LA DISYUNCION$ la disyunción de dos proposiciones ) y 9 es la proposición compuesta que resulta de unir p y q mediante el conectivo lógico *o+ que se simoliza ) V 9 en el sentido inclusivo y`o, donde el principio lógico es *la disyunción p O q es falsa <, únicamente en el caso en que p y q son falsas, en cualquier otro caso es verdadera O+. !u tala de verdad es $ p

q

O O

O <

qOp O O

<

O

O

<

<

<


Lógica


!e le conoce tamién como disyunción inclusiva o déil. E/e()l%#: V

*x es menor o igual a 6+

{

p ∨ q ⟺ x < 3 ⋁ x =3 ⟺ p : x es menor que 3 q : x es igual que 3

V

&e dos idiomas$ inglés y francés *Ruan hala por lo menos un idioma+

{

p ∨ q ⟺ p : Juanablainglés q : Juanabla !rncés

LA CONDICIONAL  IMPLICATIVA,$ la implicación o condicional de dos proposiciones ) y 9 es la proposición compuesta que resulta de unir p y q mediante el conectivo lógico *si,H, entonces, H+, o tamién *sólo s'+ y se simoliza )  9 , donde el principio lógico es *la proposición implicativa es falso <, únicamente en el caso que la proposición p es verdadera y la proposición q es falsa, siendo verdadera en todos los demás casos+. !u tala de verdad es $ p

q

O O

O <

q\p O <

<

O

O

<

<

O

La proposición p se llama 2/E8E&E/E -Dipótesis( y la proposición q se llama 8A!E8IE/E -/esis o conclusión(.


Lógica


8uando en un párrafo, se encuentran los términos$ *porque+, *puesto que+, *ya que+, *siempre que+, *cuando+, *s'+, *cada vez que+, *dado que+# estos términos, tamién, son conectivos condicionales. !e caracterizan porque después de cada uno de estos términos está el 2/E8E&E/E. E/e()l%#: V

*el profesor controló la asistencia, puesto que la oficina de la dirección del colegio estaa cerrada y no estaa el portero+

{

: el pro!esor laa sistencia ( q ∧∼ r ) → p ⟺ q p: la o!icina delcontroló colegio estaba cerrada

V

r : el portero estaba

*&oy examen sólo cuando estudio+

{

p→ q ⟺ p : doy examen q : estudio

V

*%ré de via"e y me divertiré, si me saco la loter'a +

r → p ∧q ⟺

V

{

p : iré devia je q : me divertiré r : me sacola loter"a

*)edro compra un liro sólo cuando tiene dinero+

{

p→ q ⟺ p : #edro compraun libro q : #edrotiene dinero

V

*!e apagarán las luces porque se interrumpió el fluido eléctrico+

{

p→ q ⟺ p : seinterrumpió el !luido eléctrico q : se apa gar$nlas luces


Lógica


V

*9oerto aproará el curso puesto que dio uen examen+

{

q → p ⟺ p : %oberto aprobar$ el curso q : %oberto dió buen examen

LA BICONDICIONAL E=UIVALENTE O IMPLICACION, $ la dole implicación o icondicional de dos proposiciones ) y 9 es la proposición compuesta mediante el conectivo lógico *si y sólo s'+, y se simoliza ) H 9, donde el principio lógico es *la proposición icondicional es Oerdadera O, en el caso que la proposiciones p y q son verdadera o son falsas, siendo falsa en todos los demás casos+. !u tala de verdad es $ p

q

O

O

] pq O

O

<

<

<

O

<

<

<

O

p& q ≅ ( p→ q ) ∧ ( q → p )

La icondicional tamién se denota por *p _ q+ se lee$ *p es equivalente a q+. E"emplos$

V

*a4 X : s' y sólo s', a X 4 O a X V 4+

{

2

p : a =! p& ( q ∨ r ) ⟺ q : a=2 r : a =−2

V

*x4 Y : s' y sólo s' V 4 Y x Y 4+


Lógica


{

2

p : x −2 r : x <2

LA DISYUNCION ECLUSIVA$ la disyunción EN8LI!%O2 o
q

O O

O <

qp < O

<

O

O

<

<

<

p △ q ≅ ∼( p & q )

La disyunción fuerte p  q, tamién se denota por

p≢ q .

E/e()l%#: V

*el profesor ordeno hacer la tarea 2 o 7 pero no amas+

{

p △ q ⟺ p : el pro!esor ordenó acer la tarea ' q : el pro!esor ordenó acer la tarea (

V

&e dos idiomas$ inglés y francés *Ruan hala sólo un idioma+


Lógica


{

p △ q ⟺ p : Juanablainglés q : Juanabla !rncés

1.11.USO DE LOS SIGNOS DE AGRUPACION: En un párrafo que se presentan proposiciones simples, conectivos lógicos, comas y puntos se requiere, para su representación simólica, el uen uso de los signos de agrupación -paréntesis, corchetes, llaves(. Los signos de agrupación se usan para indicar la "erarqu'a de los conectivos lógicos y as' evitar las amigUedades en las
( p ∧ q ) →r ⟺

{

p :me aumentanel sueldo q : aorro r : viajaré al )uzco

V A 8uilla "uega si le contrata el 2lianza Lima, o hará protesta si no "uega. La simolización es$

p : )ubillas juega

( q → p ) * ( ∼ p →r ) ⟺ q : ≤contratael 'lianza +ima

{

r : abr$ protesta

V Las personas nadarán en el mar si la municipalidad da el permiso, s' y sólo s', el clima no está fr'o. La simolización es$

{

p : las personas nadar$n en el mar

( q → p ) & ∼ r ⟺ q : la municipalidad da el permiso r : elclima est$ !r"o

NOTA$ Atra finalidad de los signos de agrupación es darle mayor a menor "erarqu'a a los conectivos. En general, *^+ es la conectiva de menor "erarqu'a# le siguen el *[+,+O+ que son de igual "erarqu'a# luego *\+ y por último *]+ que es el de mayor "erarqu'a. !in emargo, cada conectivo puede ser de mayor "erarqu'a si as' lo indica el signo de colección. )or e"emplo$ V

*o es el caso de que B es múltiplo de 6 o que 4 x ; X 3;+

{

( p ∨ q ) ⟺ p : 9 es múltiplode 3 q : 2 x =1 ótese que aqu' la negación afecta a las variales dentro del paréntesis V

*!i el testigo no dice la verdad, entonces Ruan es inocente o culpale+

∼ p → (q ∨ r )⟺

{

p : eltestigo dice la verdad q : Juanesinocente r : Juanesculpable

2qu', el s'molo de mayor "erarqu'a es *\+. Asérvese que *^+ sólo afecta a la variale *p+ y que *O+ está limitado por el paréntesis.


Lógica


EJERCICOS DE APLICACION: 3.

)ara los siguientes enunciados$

-3( 9ecoge ese lápiz -4( 4 J ; Y = -6( x Z y X ; -:( Dace mucho frio 08uál de las alternativas siguientes es la correcta1 a(

&os son proposiciones

(

&os son enunciados aiertos

c(

&os no son ni proposiciones ni enunciados aiertos

d(

/res son proposiciones

9espuesta$ HHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHHH.

4.

&adas las proposiciones$ p$ 5arcos es comerciante, q$ 5arcos es un pr óspero industrial y r$ 5arcos es ingeniero. !imolizar el enunciado$ *!i no es el caso que 5arcos sea un comerciante y un próspero industrial, entonces es ingeniero o no es comerciante+ !olución$

6.

&eterminar los valores de verdad de las siguientes proposiciones$ -3(

-6 J ; X >( v -; Z 6 X:(

-4( -; Z 6 X >( \ -3 Z @ X =(

-6( -6 J > X 33( [ -@ Z : W 3( -:( -: J = X B( ] -; Z 4 X :(


Lógica


:.

&adas las proposiciones q$ *: es un número impar+, p y r cualesquiera tal que ^b-r v q( \ -r \ p( es ve rdadera# hallar el valor de verdad de los siguientes esquemas moleculares$ 2 X r \ -^p v ^q(#

7X br ] -p [ q( ] -q [ ^p(#

8X -r v ^p( [ -q v p(

!olución$

;.

&e la fal sedad de la pro posición$ -p \ ^q( v -^r \ s( se ded uce que el valo r de verdad de los esq uemas moleculares$ 2X-^p [ ^q( v -^q(# 7X b-^r v q( ] b-^q v r( [ s# 8X -p \q( \ b-p v q( [ ^q son respectivamente$

a(

O
(

<<<

c(

OOO

d(

<

Lógica


=.

&efinamos p  q como una operación erdadera si p es falsa y q verdadera, y como 'al#a en todos los casos restantes. !egún esto, si r$ *Ruan es médico+ y s$ *Ruan es deportista+# hallar la traducción de -^r(  s.

1.1*.EVALUACION DE ES=UEMAS MOLECULARES POR LA TABLA DE VALORES !on esquemas moleculares$ a(

bp [ -p \ q( \ p

(

b-^p [ q( \ ^r ] br [ ^-p v ^q(


Lógica


c(

-q \ r( v -p \ r(

La evaluación de esquemas moleculares consiste en hallar los valores del operador principal a partir de la validez de cada una de las proposiciones simples -variales proposicionales(. El número de valores que se asigna a cada variale proposicional depende de la fórmula *&, donde *n+ indica el número de proposiciones simples que existe en el esquema molecular y 4 es una constante que indica los valores -O( o -<( que tiene una proposición simple. Luego en una tala rectangular, que la llamaremos TABLA DE VERDAD , se escrien horizontalmente todas las variales proposicionales y el esquema molecular# dea"o de las variales proposicionales se escrien en columna, todas las cominaciones posiles de verdad y falsedad. 2 continuación se aplica la regla a cada uno de los operadores -conectivos(, empezando por el de menor alcance y terminando con el de mayor "erarqu'a. 1.13.TAUTOLOGIAK CONTRADICCION Y CONTINGENCIA In esquema molecular es TAUTOLOGICO cuando los valores de su operador principal son todos VERDADEROS. In esquema molecular es CONTRADICTORIO cuando los valores de su operador principal son todos FALSOS. In esquema molecular es CONSISTENTE -contingente( cuando en su resultado hay por lo menos una verdad y una falsedad. a(

(

b p

[

-p

\ q(  \ p p

q

O

O

O <

< O

<

<

b - ^p [ q (

c( - q

\

bp [ -p \ q( \ p

^r

p

q

r

O

O

O

O

O

<

O

<

O

O

<

<

<

O

O

<

O

<

<

<

O

 ] b r [ ^- p v ^q (  b - ^p [ q ( \

^r 

] b r [ ^-p v^q( 

< < < \ r ( v - ^p \ r ( p

q

r

O

O

O

O O

O <

< O

O

<

<

<

O

O

<

O

<

<

<

O

- q \ r ( v - p^ \ r (

< < < 1.14.LA E=UIVALENCIA Y LA IMPLICACION !ean los esquemas moleculares o fórmulas proposicionales -o simplemente proposiciones compuestas($ a(

bp [ -p \ q( \ p


Lógica


(

b-^p [ q( \ ^r ] br [ ^-p v ^q(

c(

-q \ r( v -p \ r( &eemos distinguir los conceptos de equivalencia e implicación de los conceptos icondicional y condicional respectivamente. La equivalencia y la implicación son relaciones entre 'ór(-la# )r%)%#!"!%&ale#, mientras que la icondicional y la condicional son relaciones entre )r%)%#!"!%&e#. 2s' tenemos las siguientes definiciones$ LA E=UIVALENCIA: &os fórmulas 7 y 8 son equivalentes cuando unidos por la icondicional *]+ el resultado es una /2I/ALAG%2. LA IMPLICACION: Ina fórmula 2 implica a 7, cuando unidos por la condicional *\+, siendo 2 antecedente y 7 consecuente, el resultado es una /2I/ALAG%2. &esarrollando las talas de verdad correspondiente, tenemos$ a(

7 p

q

r

O

O

O

O O

O <

< O

O

<

<

<

O

O

<

O

<

<

<

O

<

<

<

]

8

b ^- p [ q ( v ^r  ] ^-p[ q [ r (

(

7 \2 p

q

r

O

O

O

O O

O <

< O

O

<

<

<

O

O

<

O

<

<

<

O

<

<

<

b ^p^r  \

b^-p[q(v^r

8omo vemos$ 7 es equivalente a 8 y 2 implica a 7 NOTA$ 8uando 7 no es equivalente a 8, denotaremos por 7

↛

↮

8. cuando 2 no implica a 7, denotamos por 2

7.


Lógica


1.15.PROPOSICIONES LOGICAMENTE E=UIVALENTES 8uando sus talas de verdad de dos esquemas moleculares 2 y 7 son idénticos se denominan equivalentes -o lógicamente equivalentes( en este caso se simoliza en la forma$ 2 _ 7. Los esquemas moleculares 2 X - p \ q ( y 7 X - ^ q \ ^ p ( son lógicamente equivalentes, puesto que sus talas de verdad son idénticos. En efecto$

p O

q O

O <

< O

<

<

p \q

^q\^p

EJERCICOS DE APLICACION: 3.

&eterminar el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones$ a(

!i ; J : X 33, entonces = J = X34

(

o es verdad que 6 J 6 X @ s' y sólo s' ; J ; X 34

c(

Lima está en 8hile o la paz está en el Ecuador

d(

o es verdad que 4 J 4 X ; o que 6 J 3 X :


Lógica


e(

La I5!5 está en 2requipa o está en Lima

f(

A la I% está en Lima o está en /ru"illo

4.

Evaluar la tala de verdad de la siguiente proposición compuesta$ ^ - p [ q ( ] - ^ p v ^ q (

6.

8onstruir la tala de verdad de la siguiente proposición$ ^^bpv-^q\ p(v^b-p]^ q( \-q[^p(

:.

&eterminar si la proposición b - ^ p v q ( [ ^ q  \ ^ p es una tautolog'a.

;.

Oerificar que las siguientes proposiciones son contradicciones$ a(

- p [q ( [^ - p v q (

(

^bpv-^pv^q(


Lógica


=.

&emostrar que la proposición dada es una contingencia b ^ p [ - q v r (  ] b - p v r ( [ q 

@.

&eterminar si las proposiciones b p \ - r v ^ q (  y b - q \ ^ p ( v - ^ r \ ^ p (  son equivalentes.

>.

&e la fals edad de la propos ición$ - p \ q ( v - ^ r \ s ( determinar el val or de verd ad de los sig uientes esquemas moleculares a(

- ^ p [ ^ q( v ^ q

(

- ^ r v q ( ] - ^ q v r ( [s


Lógica


c(

- p \ q ( \ - p v q ( [^ q

B.

El valor de verdad de ^ b - ^ p v q ( v - r \ q (  [ b- ^ p v q ( \ - q [ ^ p(  es verdadero. Dallar el valor de verdad de p, q, y r.

1.1?.LA INFERENCIA LOGICA La inferencia es el proceso de pasar de un con"unto de )re(!#a# a una "%&"l-#!ó&.

a está implicación, se le llama también

La inferencia es una condicional de la forma$

ARGUMENTO LOG!O

&onde

p1 , p2 , p3 ,,p

n

, son llamadas premisas y srcinan como consecuencia otra proposición *K+ llamada

CONCLUSION. El resultado de la implicación puede ser$ V !i la implicación es una $a-$%l%a -O(, entonces se tiene una !&'ere&"!a l!da -o argumento válido(. V !i la implicación es <2L!A, entonces se tiene la llamada FALASIA.

TEOREMA: si la implicación es O2L%&A y las premisas

p1 , p2 , p3 ,,p

n

son

verdaderas -O(


Lógica


E/e()l% 1: Determinar si p O q es una consecuencia válida de$ ^p \ ^q, ^q \ r, ^r.

!olución$ aqu' las premisas son

&eemos demostrar que

p1 : p→ q-p

( p1 ∧ p 2 ∧ p3 ) → .

2

: ∼ q→r-p

¿

3

:∼r y la conclusión

.: p ∨ q .

, es una tautolog'a. En efecto la tala de verdad, para esta

inferencia es$ r

-^p\^q(

OO

p

q

O

O

[

-^q \ r([ -^r( \ O

O

<

-pOr( <

O

O

OO

<

O

O

O

O

O

O

O

O<

O

O

O

O

<

<

O

O

O<

<

O

<

<

<

O

O

O

O

<

<

O

<

<

O

O

< O

< O

< O

O O

< <

O <

O O

< O

<<

<

O

<

<

<

O

O

<

8omo el resultado es una tautolog'a, la con"unción de premisas implica a la conclusión, por tanto, la inferencia es válida. O0#era"!ó&$ V En los casos en que las premisas forman dos o más con"unciones, se toma la última con"unción como la principal del antecedente.

V La validez de una inferencia no depende de los valores de verdad ni del contenido ni del contenido de los enunciados que aparecen en la inferencia, sino de la forma particular de la inferencia. V !i la condicional no es una tautolog'a, entonces se dice que la inferencia es &% l!da o es una 'ala"!a.

E/e()l% *: &eterminar la validez de la inferencia$ *si el triángulo es isósceles entonces tiene dos lados iguales. )ero, el triángulo no tiene dos lados iguales# por lo tanto, no es isósceles+. !olución$ sean p$ El triángulo es isósceles+, q$ *El triángulo tiene dos lados iguales+. Esto es$ p1 : p→q-p 2 : ∼ q y la con clusión . : p . Entonces, el esquema de la inferencia es

( p1 ∧ p 2) →.

y deemos demostrar que, es una tautolog'a.


Lógica


p

q

O

O

- p\q( [ O

-^q(\ ^p <

<

O

O

<

<

<

O

O

<

<

O

O

<

<

O

O

<

<

O

O

O

O

O

<

8omo el resultado de la tala de verdad es una tautolog'a, la inferencia es válida.

EJERCICOS DE APLICACION: DETERMINAR SI SON INFERENCIAS LÓGICAS O FALACIAS: 3.

!i 5aradona es argentino entonces es aficionado al fútol. )ero, 5aradona no es aficionado al fútol. )or lo tanto, no es argentino. S%l-"!ó&$

[ ( p → q ) ⋀ ( ∼ q ) ] → (∼ p )

4.

{

p : Maradonaes argentino q : Maradona es a!icionado al !útbol

8omo es hora de clases, se concluye que en el aula hay profesores y alumnos, dado que, si es hora de clases, en el aula hay profesores, y hay alumnos si en el aula hay profesores. S%l-"!ó&$

[ p ∧ ( p → q ) ⋀ ( q → r ) ] → (q ∧ r )

6.

{

p : esora decla se q : en el aulaay pro!esores r : enel aula ay alumnos

!i Ruan participa en u n comité electoral de la Iniversidad entonces los estudiantes se eno"arán con él, y si no participa en un comité electoral de la Iniversidad entonces las autoridades universitarias se eno"arán con él. )ero Ruan participará en un comité electoral de la Iniversidad o no participará. )or lo tanto, los estudiantes o las autoridades universitarias se eno"arán con él. S%l-"!ó&$

[ ( p → q ) ⋀ ( ∼ p →r ) ∧ ( p ∨∼ p ) ] → ( q ∨ r )

{

p : Juan participa enun comité electoral q : los estudiantesse enojaran con él r :las autoridadesuniversitarias se enojaran con Juan


Lógica


:.

!i 2n ito dec'a la verdad, entonces !ócrates corromp'a a la "uventud y si el /riunal lo condenó equivocadamente, entonces 2nito no es el culpale. )ero !ócrates no corromp'a a la "uventud o 2nito es el culpale. )or lo tanto, 2nito no dec'a la verdad o el /riunal no condenó a !ócrates equivocadamente. S%l-"!ó&$

{

p : 'nito dec"ala verdad : q /ócrates corromp"a a la juventud [ ( p → q ) ⋀ ( r → ∼ s ) ∧ (∼ q ∨ s )] → (∼ p ∨ ∼ r ) r : eltribunal locondeno equivocadamentea /ócrates s 0 'nito esel culpable

TRABAJO ENCARGADO N1 1. &e los siguientes enunciados$ (1) Dola que talF 2

(2)

x + 1 < 1"

(3)

2 + > #

(4) /odos los homres son inmortales (5) !ócrates nació en 2tenas (6)

x + 1 $

08uál de las alternativas siguientes es correcta1 a) b) c) d)

6 son enunciados aiertos 4 son proposiciones 6 no son proposiciones : son proposiciones

2. &iga si las siguientes proposiciones son atómicas o moleculares$ a) Dace unos aos se consideraa al computador como una gran *calculadora+, pero hoy se

hala de sus logros intelectuales. b) El ox'geno no produce óxido en presencia de metaloides. c) Asama y Amar son concuados. d) 5e parece que la izquierda posmarxista actual difiere de la marxista anterior

principalmente en que esta última ten'a en mente una revolución concreta. 3. &iga si las siguientes proposiciones moleculares son con"untivas, disyuntivas inclusivas,

disyuntivas exclusivas, condicionales, icondicionales o negativas. &os ángulos son suplementarios siempre que formen un par lineal. El 4C de 3;C es 6C ó ;C. !i consigo una eca, entonces y solo entonces via"aré al extran"ero. &avid no es limeo ni loretano. La huelga continúa, puesto que no hay solución. Oilma traa"a despacio, pero sin pausa.

a) b) c) d) e) f)

4.
y escria la fórmula correspondiente. a) Pant es filósofo, pero

Lógica


5.
correspondiente. a) Esta figura no es un cuadrilátero, puesto que es un triángulo. Es un triángulo. En

consecuencia, no es un triángulo. b) !i el nio, el adolescente y el anciano son aandonados, entonces son protegidos por el

estado. )ero el nio es aandonado, además el anciano. Luego, tanto el nio como el anciano son protegidos por el estado. c) In cuerpo está en estado neutro y no presenta ningún fenómeno eléctrico en su con"unto siempre que su carga eléctrica positiva esté en estado igual que la negativa. )ero es falso que el cuerpo esté en estado neutro y no presente ningún fenómeno eléctrico en su con"unto. En consecuencia, la carga eléctrica positiva de un cuerpo está en estado igual a la negativa d) In número es divisile por 4 si termina en cero o cifra par. In número es divisile por ; si termina en cero o ;. )or tanto, un número es divisile por 4 sino termina en ;. 6. &adas las siguientes proposiciones$

p :  > 1" 2 q : si x + 1= ", entonces x es un númeroreal r :el punto %edio de un se&%ento, equidista de los e'tre%os t: si '3, entonces '*3

Dallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones. a ¿ [ ( p ∧ q ) → r ] ∧∼ t b ¿ [ ( p ⟷ q ) → ∼ r ∧ t ] ∨ ( p ∨ q ) 7. )or medio de una tala de valores, estalezca, si cada una de los siguientes esquemas

moleculares es una tautolog'a, contingencia o contradictoria. a ¿ ∼ [ ∼ p → ∼ ( ∼ q ∧ ∼ p)] ∨ ∼ ( ∼ p ∨ ∼ q) b ¿ [ ( p ∧ q) ∨ q ] ⟷q

[

]

c ¿[ ∼ p ∧ ( q ∨ ∼ r ) ] ⟷ ( ( ∼ p ∧ q ) ∨ ∼ ( p ∨ q ) ) d ¿ ∼ ( p → q) ⟷ ∼ ( ∼ q → ∼ p )

>. !i la proposición

( p ∧ q ) → ( q →r ) es falsa. Dallar el valor de verdad de las siguientes

proposiciones. a ¿ ( q ∨ r ) ∨ ( p ∨ q ) b ¿ ( p ∨∼ q ) → ( ∼ r ∧ q ) c ¿ [ ( p ∧ q ) ∨ ( q ∧ ∼ r ) ] & ( p ∨ ∼ r )

B. !i la p roposición

( ∼ p ∧ q ) → ( ∼ s ∨ r ) es falsa. Dallar el valor de verdad de las

siguientes proposiciones. a ¿ ∼ [ ( p → q ) → r ] b ¿ [ ( p ∨∼ q ) ∧ p ] ∨∼ r c ¿ ∼ [ ( ∼ p ∧ q ) ∧ ( ∼ r ∨ r ) ] ∧ s

3C. !i e l esq uema

( ∼ p → ∼ q ) ∨ ( r △ q ) es falsa, determine el valor de verdad de las

siguientes proposiciones. a ¿ ( p → q )→ (r △ ∼q )b ¿∼q → [( p & q )∧ r ]


Lógica


33. &emostrar si las siguientes fórmulas son lógicamente equivalentes. a ¿ ∼ p ∧ q 2 ∼ ( p ∨ q ) b ¿ ∼ [ ( p ∧ q ) ∧ ∼ r ] 2 ∼ [ (∼ p ∧∼ q ) ∧ ( p ∨ r ) ] 34. .&emostrar que las icondicionales siguientes son equivalentes lógicas. ⇔∼ ∨

a¿(p→q)

p

∨

qb¿(p

∧ ⇔

q)

p

p

36. Oerifique la validez de los siguientes argu mentos$ a ¿ ( p ∧ q) ∧( ∼ p → q) ⇒ ∼ q b ¿ [ p∧ ( p ∨ q) ] ∧ [ p ∨ q → r ] ∧ ( r → s ) ⇒ s c ¿ [ ( p ∧ q ) → ( r ∧ s ) ] ∧ [ ∼ q ∨∼ s ] ⇒ [ ∼ p ∨∼ q ] d ¿ [ ( r → ∼ q ) ∧ ( p → q ) ∧ ( ∼ r → s ) ] ⇒ ( p → s ) 3:. 8omproar la validez del siguiente enunciado$ *!i estudio, entonces no perderé 5atemática# y si no "uego futol, entonces estudiaré# pero perd' 5atemática. )or tanto, "ugué futol+. 3;. !imolizar y analizar el valor de verdad del siguiente enunciado$ *!i un satélite gira alrededor de la luna, gira tamién alrededor de la tierra# y si gira alrededor de la tierra, tamién gira alrededor del sol. T, si gira alrededor del sol, entonces gira alrededor de la lira. En consecuencia, si un satélite gira alrededor de la luna, entonces gira alrededor de la constelación de la lira+. 3=. /raducir a forma simólica y comproar la validez del siguiente enunc iado$ *!i traa"o , no puedo estudiar. Estudio o paso matemática, pero traa"é. )or tanto, pasé matemáticas+ 3@. /raducir a forma simólica y comproar la validez del siguiente enunci ado$ *!i = es par, entonces 4 no divide a @. ; no es primo ó 4 divide a @. )or tanto, = es impar+. 3>. /raducir a forma simólica y comproar la validez del siguiente enunc iado$ *!i traa"o , no puedo estudiar, traa"o o aprueo matemática, pero aproé matemática. )or tanto estudié+. 3B. /raducir a forma simólica y comproar la valid ez del siguiente enunc iado$ *!i Londres no está en &inamarca, entonces )ar's no está
UNIDAD II: 1.1.

LEYES Y REGLAS LOGICAS

EL METODO ABREVIADO El desarrollo de la tala de valores de la inferencia

( p1 ∧ p 2 ∧ p3 ∧  ∧ p n) →.

resulta muy laorioso

cuando se desea saer su validez. )ara evitar este engorroso y laorioso traa"o se utiliza un 5 $%d% A0re!ad% de fácil mane"o y gran precisión. El M;TODO ABREVIADO, consistes en analizar la única posiilidad de ser FALSO la implicación$

p →q 34

⏟

4


Lógica


8omo podemos apreci ar, la implicación es

4

sólo cuando el antecedente es Verdadero y el consecuente es

Falso. El análisis que haremos es a la inferencia

( p1 ∧ p 2 ∧ p3 ∧  ∧ p n) →.

.

Pa#%# a #e-!r: 3(

2signar el valor V -verdadero( a cada una de las premisas

pi

y de F -falso( a la conclusión.

8omo el antecedente es una con"unción de *n+ premisas y el antecedente es O, entonces cada premisa

pi

⏟

necesariamente será verdadera.

4

2s' tendremos$

( p1 ∧ p2 ∧ p 3 ∧  ∧ p n) → . ⏟ 4 3

4(

&educir el valor de cada una de las variales proposicionales, teniendo en cuenta las reglas para$ ∧ , ∨ ,→,&, △ , ∼ que se pueden presentar en cada premisa.

LA DECISION 3(

!i cada una de las vari ales proposicionales tiene I !ALA O2LA9. Entonces la inferencia no es válida. Es decir no hay implicación puesto q la con"unción de premisas es O y la conclusión es <.

4(

!i una variale proposicional llega a tener &A! O2LA9E! 2 L2 OES -O y <( , entonc es quedará demostrado que no es posile que la con"unción de premisas son O y la concusión <. por tanto, hay implicación y la inferencia es válida

E/e()l% 1: e#$a0le"er #! e# l!da la !&'ere&"!a la !&'ere&"!a:

[ ( p & q ) ∧ ( q ∨ r ) ∧∼ r ] →

q

!olución$ empezamos escriiendo el esquema de la inferencia en la forma$

[(

]

p & q ) ∧ ( q ∨ r ) ∧∼ r → q

⏟

⏟

⏟

3

3

3

⏟

4

2nalicemos$

q

6(

2signar F a la conclusión$

⏟

4


Lógica


q , luego

8omo la conclusión es una negación, entonces por la regla de la negación otendremos$ F para

q

:(

es V.

2signar V a cada premisa. /eniendo en cuenta los valores otenidos en la conclusión se van analizando qué valores tendrán las variales en cada premisa. 2nalizamos cada premisa$

p& q p1 : 4 4 . )or lo deducido en la conclusión, ya tenemos que q es V entonces

⏟

q

es F. 8omo la

3

7icondicional es V, entonces

p3 :

p es F

∼r

3

. En la tercera premisa encontramos que

r

es V entonces el valor de verdad de

r

es F.

estos dos valores encontrados satisfacen el valor de verdad de la segunda premisa.

;(

8omo cada una de las variales cumple una sola función veritativa, decimos que la !&'ere&"!a &% e# l!da. Esto es, se ha demostrado que la con"unción de premisas es verdadera y la conclusión falsa

E/e()l% *: e#$a0le"er #! e# l!da la !&'ere&"!a la !&'ere&"!a:

[ ( p → q )∧(∼ p △ ∼ r )∧(r & q)] →( p → r )

!olución$ empezamos escriiendo el esquema de la inferencia en la forma$

[(

p → q ) ∧ ( ∼ p △ ∼ r ) ∧ (⏟ r & q) → ( p → r )

⏟

3

⏟ 3

3

]

⏟

4

2nalicemos$

( p→ r ) 3(

2signar F a la conclusión$

⏟

4


Lógica


8omo la conclusión es una implicación$ F para

4(

(p→r)

, luego

p es V y r

es F.

/rasladamos estos valores en la primera y tercera premisa. 2nalizamos cada premisa$

p→q p1 : 3 3 . )or lo deducido en la conclusión, ya tenemos que

⏟

p

es V entonces

q

es V.

3

r &q p3 : 4 4 . En la tercera premisa encontramos que

⏟

q

es F puesto que

r

es F.

3

6(

8omo la variale

q tiene los valores de V y F a la vez, concluimos afirmando que la !&'ere&"!a e# l!da.

E/e()l% 3: *!i 2nito dice la verdad, entonces !ócrates corromp'a a la "uventud# y, si el triunal lo condenó equivocadamente, entonces 2nito no es el culpale. )ero, !ócrates no corromp'a a la "uventud o 2nito es el culpale. )or lo tanto, 2nito no dec'a la verdad o el triunal no condenó a !ócrates equivocadamente+

!olución$


Lógica



[ ( p → q ) ∧ ( ∼ p → r ) ∧ ( p ∨∼ p ) ] → ( p ∨ r )

!olución$


[ ( ∼ p & ( ∼ q ∨ r ) ) ∧ ( r → s) ] → ( s → ∼ p ) !olución$


Lógica


E/e()l% ?: 8omproar la validez del enunciado siguiente$ *!i estudio, entonces no perderé 5atemáticas# y, si no "uego fútol, entonces no estudiaré# pero perd' 5atemáticas. )or lo tanto, "ugué fútol+.

!olución$

E/e()l% @: !imolizar y analizar el valor de verdad del siguiente enunciado$ *!i 9aúl participa en el comité electoral de la Iniversidad, entonces los estudiantes se eno"arán con él# y, si no participa en un comité electoral de la Iniversidad, entonces las autoridades universitarias se eno"arán con él. )ero 9aúl participará en un comité electoral de la Iniversidad. )or lo tanto, los estudiantes o las autoridades universitarias se eno"arán con él+.

!olución$


Lógica


1.*.

PRINCIPALES LEYES LOGICAS O TAUTOLOGICAS Las llamadas leyes lógicas o principios lógicos viene hacer formas proposicionales tautológicas de carácter general y que a partir de estas leyes lógicas se puede generar otras tautológicas y tamién cualquier tautolog'a se puede reducir a una de las leyes lógicas, entre las principales leyes lógicas mencionaremos$ A.

LOS TRES PRINCIPIOS LOGICOS CLASICOS 1.

Le de ! de&$!dad

{ *.

p⟶ p p⟷ p

*una proposición sólo son idénticos as' mismo+

Le &% "%&$rad!""!ó&

∼(p∧ ∼ p)

3.

Le del $er"!% e"l-!d%

p∨ ∼ p

B.

*una proposición no puede ser verdadero y falso a la vez+

*una proposición es verdadero o es falso no hay una tercera posiilidad+

E=UIVALENCIAS NOT ABLES

1.

Le de la d%0le &ea"!ó&


Lógica


∼(∼ p )2 p

*.

*la negación de la negación es una afirmación+

Le de la Ide()%$e&"!a

a ¿ p∧ p 2 p b ¿ p ∨ p 2 p

3.

Lee# C %&(-$a$!a#

a ¿ p ∧ q 2 q ∧ p b ¿ p ∨ q 2q ∨ p c ¿ p ⟷ q 2q ⟷ p

4.

Lee# A#%"!a$!a#

a ¿ p ∧ ( q ∧ r ) 2 ( p ∧ q ) ∧ r b ¿ p ∨ (q ∨ r ) 2 ( p ∨ q ) ∨ r

c ¿ p ⟷ ( q ⟷ r) 2 ( p ⟷ q )⟷ p

5.

Lee# D!#$r!0-$!a#

a ¿ p ∧ ( q ∨ r ) 2 ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r ) b ¿ p ∨ (q ∧ r ) 2 ( p ∨ q )∧ ( p ∨ r )

c ¿ p → ( q ∧ r ) 2 ( p → q ) ∧ ( p→ r ) d ¿ p → ( q ∨ r ) 2 ( p → q ) ∨ ( p→ r ) ?.

Lee# De M%ra&

a ¿ ∼ ( p ∧ q ) 2 ∼ p ∨∼ q b ¿ ∼ ( p ∨ q ) 2 ∼ p ∧ ∼ q


Lógica


@.

Lee# del C%&d!"!%&al

a ¿ p→q2 ∼ p ∨ q b ¿ ∼ ( p → q ) 2 p ∧∼ q

.

Lee# del B !"%&d!"!%&al

a ¿ p ⟷ q 2 ( p →q ) ∧ ( q → p )b ¿ p ⟷ q 2 ( p ∧ q ) ∨ ( ∼ p ∧∼ q ) 2 ∼ ( p △ q )

.

Lee# de la A0#%r"!ó&

a ¿ p ∧ ( p ∨ q) 2 p b ¿ p ∧ ( ∼ p ∨ q) 2 p ∧ q

c ¿ p ∨ ( p ∧ q ) 2 p d ¿ p ∨ ( ∼ p∧ q )2 p ∨ q

1. Lee# de Tra&#)%#!"!ó&

a ¿ p→q2 ∼ q → ∼ p b ¿ p ⟷ q 2 ∼ q ⟷ ∼ p

11. Lee# de E )%r$a"!ó&

a ¿ ( p ∧ q ) →r2 p→ ( q →r )

b ¿ ( p1 ∧ p 2 ∧  ∧ p n ) →r 2 ( p 1 ∧ p 2 ∧  ∧ p n− 1) → ( p n → r )

1*. F%r(a# &%r(ale# )ara la "%&/-&"!ó&  d!#-&"!ó&


Lógica


F.N. C%&/-&$!a

a ¿ 5 ∧ 5 25 b ¿ 5 ∧ p 2 p c ¿ ) ∧ p 2)

F.N. D!#-&$!a

a ¿ ) ∨ )2)b

-/$ /autolog'a,

¿ ) ∨ p 2 p c ¿ 5 ∨ p 25

8$ 8ontradicción,

p$ Esquema molecular cualquiera(

13. Ele(e&$%# &e- $r%# )ara la C%&$r ad!""!ó&  la Ta-$%l%a

a ¿ p ∧ ) 2) b ¿ ) ∨ 5 25 c ¿ p ∨ 5 2 5

O0#era"!ó&: estas leyes son muy usadas para simplificar los prolemas, puesto que es válido reemplazar una proposición por su equivalente sin alterar el resultado.

E/e()l%#:

3.

!implificar las proposiciones siguientes aplicando las leyes lógicas. a(

b-^p O ^ q( [ q \ p


Lógica


(

^ b^-p [ q( \ ^q O q

4.

&emostrar si a( y ( so n proposiciones equivalentes$

a(

p \ -r O ^q(


Lógica


(

-q \ ^p( O -^r \ ^p(

6.

2plicando equivalencias lógicas, simplificar lo más posile la siguiente proposición$

[( p 6 q ) → ( r 6 r )] 6 q

:.


¿¿∨ p


Lógica


;.


[( p 6 q ) ∨ ( p ∧ ∼ q ) ] ∨ ( ∼ p ∧ ∼ q )

=.


( p ∨ q ) ∧[ ( ∼ q ∧ ( r ∨∼ q )) ∨ ( p ∧ q ) ] ∧ r


Lógica


@.


(∼ p ∨ ∼ q )∧ [ ∼ p ∧ ( q → p ) ]

1.3.

IMPLICACIONES N OTABLES Las implicaciones notales se pueden escriir de dos formas$ en forma horizontal y en forma vertical. 2.

F%r(a %r!7%&$al: cuando la con"unción de premisas que implican a la conclusión escrien horizontalmente en forma expl'cita usando los conectores$

7.

p1 ∧ p 2 ∧  ∧ p n

se

∧, ⇒

F%r(a er$!"al : llamada tamién forma clásica # en este caso no se escrien en forma expl'cita los conectores$ ∧ , ⇒ . La conclusión de premisas se escrien verticalmente una después de otra y al término de la ultima premisa se escrie una raya horizontal y tres puntos para luego escriir la conclusión. El razonamiento es *si ocurren

p1 y p2 y  y p n # por tanto ocurre

. +

p1 p2 0 0 0 pn

( p1 ∧ p 2 ∧  ∧ p n ) ⇒ .

I. Le de MODUS PONENS: !u representación simólica es$

p→ q p ∴


Lógica


[( p → q )∧ p ]⇒q

!i se afirma el antecedente de una premisa condicional se concluye en la afirmación del consecuente. E/e()l%:

+i en erano -ace calor, entonces en inierno -ace .r/o

¿ ¿

II. Le de MODUS TOLLENS: !u representación simólica es$

[ ( p → q )∧ q] ⇒

p

p→ q q ∴

!i se niega el consecuente de una premisa condicional se concluye en la negación del antecedente. E/e()l%:

+i icardo Pal%a naci en i%a, entonces es li%e4o %icardo #alma no es lime8o +ue o :  icardo Pal%a no naci en i%a

III. Le del SILO GISMO DISYUNTIVO: !u representación simólica es$

[ ( p ∨ q) ∧ p] ⇒ q o [ ( p ∨q ) ∧ q ] ⇒ p

p∨ q p ∴

o

p∨ q q ∴


Lógica


!i se niega uno de los miemros de una premisa disyuntiva, se concluye en la afirmación del otro miemro.

E/e()l%:

5uan es abo&ado o es in&eniero Juan no esabogado +ue o : 5uan no es in eniero

IV. Le de la INFERENCIA E=UIVALENTE: !u representación simólica es$

p& q p

[ ( p & q )∧ p ] ⇒q

∴

!i uno de los miemros de la premisa icondicional es verdadera, entonces es verdadera el otro miemro. E/e()l%:

+i ' es %6ltiplo de 2, si y slo si ' es par x es múltiplo de 2 +ue o : ' es ar

V. Le del SILO GISMO 6IPOTETICO: !u representación simólica es$

[ ( p → q ) ∧ ( q →r ) ] ⇒ p →r

p→ q q →r ∴ →r


Lógica


!i

p→ q

es verdadero y

q→r

es verdadero, entonces

p→ r

es verdadero. Esta ley indica que

el condicional es transitivo. E/e()l%:

+i ' es un n6%ero real tal que {'} 7 {2} '*#", entonces le.t ('3 ri&-t ) le.t /i le.t ('3 ri&-t ) le.t ('*2 ri&-t ) ", entonces:'*3  '2 +ue o : +i ' es un n6%ero real tal ue {'} 7 {2} '*#" entonces:'*3

VI. Le de la TRANS ITIVIDAD SIMETRICA: !u representación simólica es$

p& q q &r ∴ &r

[ ( p & q ) ∧ ( q &r ) ] ⇒ p &r

!i

p& q

es verdadero y

q&r

es verdadero, entonces

p& r

es verdadero. Esta ley indica la

transitividad de la icondicional. E/e()l%:

0l iento sopla s / y s  lo s / lluee +lueve s" y sólo s" el cielo est$ nublado +ue o : 0l iento so la s/ slo s/ el cielo est8 nublado

VII. Le de la SIMPLIFICACION: !u representación simólica es$

( p ∧ q) ⇒ p o ( p ∧q )⇒ q

p∧ q ∴p

o

p∧ q ∴q


Lógica


&e una premisa con"untiva se puede concluir en cualquiera de sus componentes. E/e()l%:

a" *; es menor que @ y 3; es múltiplo de ;, por tanto, ; es menor que @+

( *!ócrates fue un filósofo griego y !haespeare fue un dramaturgo inglés, por lo tanto, !haespeare fue un dramaturgo inglés+

VIII. Le de la ADICION: !u representación simólica es$

p

p⇒ ( p ∨ q) o q ⇒ ( p ∨ q)

∴ p ∨q

o

Ina disyunción está implicada por cualquiera de sus miemros. E/e()l%:

*7en"am'n
I. Le de l ABSURDO: !u representación simólica es$

[ p → ( q ∧∼ q ) ] ⇒ ∼ p o [

p → ( q ∧∼ q ) ] ⇒ p

p→ ( q ∧ ∼ q ) ∴ p

o

!i una contradicción se deduce de una premisa condicional, se concluye en la negación del antecedente.


Lógica


EJERCICIOS DE APLICACIÓN I.

II.

USANDO IMPLICACIONES NOTABLESK DETERMINAR LA CONCLUSIÓN CORRECTA DEL SIGUIENTE CONJUNTO DE PREMISAS: 3.

*!i 4 es divisor de :, entonces 4 es divisor de : 6+ *4 es divisor de : 6+

4.

*!i Rorge estudió, entonces aproó Lógica+ *Rorge no aproó Lógica+

6.

*x es un número par o múltiplo de ;+ *x no es par+

:.

*a es un número primo, s' y sólo s' es múltiplo de 3 y de a+ *a es múltiplo de a y de 3+

SIMBOLIQA LAS SIGUIENTES EPRESIONES Y USANDO IMPLICACIONES NOTABLES DETERMINA LA CONCLUSION CORRECTA DE CADA UNO DE LOS SIGUINETES EJERCICIOS. ADEMAS DEBE MENCIONAR LA IMPLICACION NOTABLE =UE ESTA USANDO:

;.

*!i Ruan va a 8hiclayo, se encuentra con )edro+ =. *Ruan va a 8hiclayo+ @. >. B. 3C. 33. 34. 36. 3:. 3;. 3=. 3@. *!i Luis no apruea el ao, no via"a a 2rgentina+ 3>. *Luis no ha pasado de ao+ 3B. 4C. 43. 44. 46. 4:. 4;. 4=. 4@. 4>. 4B. *!i Enrique no via"a a 2requipa, no se encontrará con 2ndrés+

6C. *Enrique se encontró con 2ndrés+ 63. 64. 66. 6:. 6;. 6=. 6@. 6>. 6B. :C. :3. *!i hace calor, Ruan va a la piscina+ :4. *!i Rua n va a la pi scina, ar regla la casa después de almorzar+ :6. ::. :;. :=. :@. :>. :B. ;C. ;3. ;4. ;6. ;:.


Lógica


;;. ;=. ;@. *A via"o a /ru"illo o no via"o a 2requipa+ ;>. *Oia"o a 2requipa+ ;B. =C. =3. =4. =6. =:. III.

=;. EN CA DA UN O DE LOS SI GUIENTES EJ ERCICIOS SE MUE STRA UN CO NJUNTO DE PRE MISASK SE DEB E DEMOSTRAR =UE UNA PROPOSICIÓN ES CONSECUENCIA LÓGICA DE ESTE CONJUNTO DE PROPOSICIONES. DEBE MENCIONAR LA IMPLICACIÓN NOTABLE =UE EST+ UTILIQANDO. @?. @@. &emostrar, que se otiene$ a(

%→ 5

(

/ →%

c(

/

5

a( ( c(

>;. >=. &emostrar, que se otiene$ a(

∼J → ( M ∨ 9 )

(

( 4 ∨: ) →∼ J

c(

4 ∨:

M ∨9

B;. &emostrar, que se otiene$ a(

:→ ;

(

∼ :→ ∼ ( ∼ 4 )

∼;

. ∼ #→ ( % ∧ / )

3CC. 3C3. 3C4. 3C6. 3C:. 3C;. 3C=. 3C@.

a( (

4

% ∧/

#→ ∼ .

3C>. &emostrar, que se otiene$

>@. >>. >B. BC. B3. B4. B6. B:.

c(

B@. B>. BB. &emostrar, que se otiene$

@>. @B. >C. >3. >4. >6. >:.

1.4.

==. =@. =>. =B. @C. @3. @4. @6. @:. @;.

.

∼ %→ /

/ →( % ∧ . )

c(

% →5

d(

∼5

3CB. 33C. 333. 334. 336. 33:. 33;. 33=. 33@. 33>. 33B. 34C. 343. 344.

B=. 346. 34:. 1*5. METODO DE DEMOSTRACION O DERIVACIONES 34=. En la demostración de muchos teoremas y otras proposiciones que se presentan en 2lgera y en el 2nálisis -2nálisis real, topológico, geometr'a, etc.( se aplican ordenadamente los pasos lógicos agotando todas las premisas -antecedentes o hipótesis( para verificar la conclusión -consecuente o tésis(.


Lógica


34@. )ara evaluar un razonamiento por el método de las demostraciones o derivaciones, es decir, para demostrar que la conclusión de una argumento se sigue lógicamente de las premisas se siguen$ 34>. 34B. 3? !e asigna a cada proposición atómica su correspondiente variale. 36C. 4? !e simolizan las prem isas y la conclusión, disponiendo aquel las en forma verti cal y escriiendo la conclusión a continuación de la última premisa, en el mismo renglón. Entre la última premisa y la conclusión se ∴

escrie una arra separatoria *`+ seguida del s'molo * + que se lee$ *por lo tanto+. 363. 6? !e procede a ef ectuar las derivaciones tomando como punto de partida cualquiera de la s premisas, siempre que sea factile, e indicando a la derecha en forma areviada de qué premisas y mediante qué ley o regla se ha otenido la nueva expresión. 364. :? haiéndose otenido la conclusión, puede afirmarse que la argumentación original es correcta o válida. 366. 36:. E/e()l%: !ea la argumentación siguiente$ 36;. !i hay aundancia de peces, hará aundante harina de pescado. 36=. !i hay aundante harina de pescado, se incrementa la producción. 36@. La exportación no se incrementa. 36>. A hay aundancia de peces o será preciso recurrir a otras actividades. 36B. Luego, será preciso recurrir a otras actividades. 3:C. 3:3. 3:4. 3:6. 3::. 3:;. 3:=. 3:@. 3:>. 3:B. 3;C. 3;3. E/er"!"!%# de A)l!"a"!ó& I.

F%r(-le la / -#$!'!"a"!ó& de "ada )a#% e& la# # !-!e&$e# d er!a"!%&e#: p→q a(

3.

p ∧ r ` ∴q ( c( d( e, ', g( ^ (r h(

4. 6. :.

p q

t)

aa(

4.

a(

6.

^ r∧ ^ t

ac(

:.

^r ^s

ad(

;.

3. i(

→

r ` ∴^ s

4.

"( ( l( (,

6. :. ;.

^p

r(

6.

q

↔

p ` ∴^ s

:.

( q →) (p ;.

→

s

s

→

r ` ∴r

p

→

r

af(

@.

ag(

>.

ah(

B.

ai(

3C.

a"(

33.

^ (q ∧ r)

→

p

^ (q ∧ r)

→

r

(q ∧ r) ∨ r

q∨r

t(

=.

^s

4.

s(

ae( →

3. q(

p

(q ∧ r) ∨ p

&, o(

r

^q r ^s

3. ∨

s

p(

( q → p)

u( =. v( @. Q( >. , B. , p ∨ (q ∧ r)

∧

)p → q

( q ∨) r(

∧

)r ∨ r

( r ∨) r(

∧

)q ∨ r

r∨r


Lógica


a( al( am( ( p ∨ q) an(

34.

→

r

r

ap(

6.

aq( ar(

:. ;.

p p∨q r p∧r

3.

p ∧ s ` ∴p ∧ r ao(

4.

as(

=.

at(

a-,

II.

a, a, Med!a&$e e l ($%d% de l a# d er!a"!%&e# d e(-e#$ra l a a l!de7 de l a# # !-!e&$e# !& 'ere&"!a#: ad( p∨q ^ (t ∧ r) a( 3.

^ (p ∨ r ) ` ∴ q ( c( d( e( f( g( h( i( "( ( l(

4.

af(

4.

ag(

6. :.

p∧s

ah( ai( a"( a( al( am( an( ao( ap(

q` ∴r

aq( ar( as(

( p ∧ q) → r

n(

4.

o( p( q( r( s( t( u( v( Q( x( y(

6.

→

s

^t

→

s

( p ∨) q ( →) r ∨ s at( 3.

^p au(

4.

av( aQ( ax( ay( az( a( ( c( d( e( f( g( h(

6.

→

( t →^ t )

^r`∴ ^ t

( p ∨ q) → r 3.

s→ p

aa(

4.

a(

6.

t

→

q

s ∨ t / ∴w∨ r

III.

^r

w → −s / ∴ −w

m( 3.

z(

ae( 3.

ac( :. i( "( ( l( m( n( Pr-e0e la al!de7 de l%# #!-!e&$e# ra7%&a(!e&$%# (ed!a&$e el ($%d% de la# der!a"!%&e#: 0%, a. !i eliges una carrera profesional, tendrás que esforzarte en lograr una uena prep aración. A eliges uena carrera profesional o te dedicas al deporte. Es as' que no te dedicas al deporte. Luego, tendrás que esforzarte en lograr una uena preparación. p( q( r( s(


Lógica


t( u( v( Q( x( y( z( ca( c( cc( .

!i el la chofer es astemio, entonces la eriedad no fueeslaastemio. causa delLuego, accidente. )erodel la causa del dee accidente o ien eriedad o ien una falla mecánica. El chofer la causa accidente haerfue sido una falla mecánica.

cd( ce( cf( cg( ch( ci( c"( c( cl( cm( cn( co( cp( cq( cr( c. !i el capitán 2ha fue mutilado por 5oy &ic, entonces la perseguirá hasta alcanzarla. )ero si la pers igue hasta alcanzarla, entonces 5oy &ic matará a 2ha. Es as' que 2ha fue mutilado por 5oy &ic. )or consiguiente 5oy &ic matará al capitán 2ha. cs( ct( cu( cv( cQ( cx( cy( cz( da( d( dc( dd( de( df( dg( dh( di( d"( d. !i la polic'a actúa rápidamente o se vale de perro s amaestrados entonces los ladrones serán aprehendidos o se recupera la mercader'a. !i los ladrones serán aprehendidos o se recupera la mercader'a, entonces el comerciante podrá evitar la quiera de su negocio. La polic'a actúa rápidamente. Luego, el comerciante podrá evitar la ruina de su negocio. d( dl( dm( dn( do( dp( dq( dr( ds( dt( du( dv( dQ( dx( dy( dz( NOTA: Day dos métodos para demostrar una )r%)%#!"!ó&$ 1.5.

M;TODO DIRECTO DE DEMOSTRACIÓN


Lógica


ea( Es una modalidad dentro del método de las derivaciones y se aplica en los casos en que una argumentación tenga conclusión implicativa. e( En efecto, siendo la conclusión una expresión implicativa, necesariamente tendrá antecedente y consecuente. )ara saer si una conclusión de este tipo se deriva de las premisas dadas, se agrega el antecedente de la conclusión a las premisas y luego, aplicando a este nuevo con"unto de premisas las leyes lógicas ya conocidas, se realizan las derivaciones hasta otener el consecuente de la conclusión. &e aqu' la$ Rela de De(%#$ra"!ó& C%&d!"!%&al -)8($ *!i es posile deducir N de S y un con"unto de premisas,

Y

→

entonces se puede deducir sólo del con"unto de premisas la expresión implicativa

Z +.

ec( Esta regla puede hacerse corresponder con la ley de expor tación$

[ ( p ∧ q) → r ] ↔ [p → ( q → r ) ] ed( ee( e', Pr%"ed!(!e&$%: eg( &ado el caso de que la conclusión de una argumentación sea una expresión implicativa$ a.

!e toma su antecedente y se introduce como una nueva premisa -premisa adicional -)2(.

.

!e efectúan las derivaciones, corriendo la demostración algunos lugares hacia la derecha, hasta hallar el consecuente de la conclusión.

c.

!e une implicativamente la p remisa adicional con el ú ltimo pa so lo grado, v olviendo la demostración a l a izquierda, a la posición srcinal. eh( E/e()l%: Itilizando la demostración condicional, pruee la validez de las siguientes inferencias$ ei(

s→r e"(a. 3. s∨p e( el"

4. p→q #.

r e$" e&" eo" e'" e(" er" es" e)" e*" ev" e+" e," e" e" fa" f/" fc"

→

t `∴ ^ q → t

%.

fd" fe"

( p ∨ q) →^ r ff"/. 0.

s→ p

fg"

1.

f2"

#.

t

→

q

s ∨ t / ∴r fi" f3" f4"

→

q

%.


Lógica

UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS FILIAL JAEN FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIÓN Y NEGOCIOS INTERNACIONALES fl" f$" f&" fo" f'" f(" fr" fs" f)" f*" fv" f+" f," f" f" ga"

( r ∨ s) → t g/"

c.

0

.

p gc"

1.

gd" ge" gf" gg" g2" gi" g3" g4" gl"

#.

→

^t

p ∨ s / ∴r

→

s

g$" g&" go" g'" g(" gr" gs" g)"

^p g*"

d.

0.

^r gv"

1.

g+" g," g" g" 2a" 2/" 2c" 2d" 2e" 2f" 2g" 22" 2i" 23" 24" 2l" 2$" 2&" 2o" 2'" 2("

#.

→

t

s ∨ p ` ∴^ ( r

1.?.

∧

s)

→

t

M;TODO DE REDUCCIÓN POR EL ABSURDO


Lógica


hr( Es otra modalidad dentro del método de las derivaciones. 9esulta de la fusión de la regla de la demostración condicional y de la noción de contradicción, de aqu' su nomre$ demostración por el asurdo. hs( 8onsiste en introducir como premisa adicional la negación de la conclusión para llegar a encontr ar una contradicción en las premisas. Es decir, se supone la falsedad del consecuente para llegar a la falsedad del antecedente, mostrando de esta manera que la conclusión se halla implicada en las premisas -de(%#$ra"!ó& !&d!re"$a(. ht( El sentido de esta demostración se puede entender fácilmente si se recuerda que por MODUS TOLENS se puede deducir la negación del antecedente cuando se niega el consecuente, es decir cuando se sae que el consecuente es falso. hu( Rela de de(%#$ra"!ó& )%r el a0#-rd%: *!i es posile deducir una contradicción de un con"unto de premisas y de la negación de S, entonces S puede deducirse del con"unto de premisas solo.+ hv( Esta regla corresponde a la le del a0#-rd% cuya expresión es la siguiente$ hQ(

[ p → ( q ∧∼ q ) ] → p

, Pr%"ed!(!e&$%: hy( &ada una argumentación cualquiera$ a.

!e niega la conclusión y se introduce como una nueva premisa -premisa adicional -)2(.

.

!e efectúan las derivaciones corriendo la dem ostración varios lugares hacia la dere cha, hasta encontrar una contradicción.

c.

!e une implicativamente la premisa adicional con la con tradicción hallada, volviendo la demostración a la izquierda, a la posición srcinal -)8(

d.

!e estalece la conclusión deseada como una inferencia lógicamente deducida de las premisas originales -). 2.( hz( E/e()l%: Itilizando la demostración por el asurdo pruee la validez de las siguientes inferencias$

a(

1 ( p ∧ q ) 2 ∼ r →q 3 ∼ p → r / ∴ r ia( i( ic( id( ie( if( ig( ih( ii( i"( i( il( im( in(

1 p → q (

2r → p 3 ∼ q / ∴ ∼ r io( ip( iq( ir( is( it( iu( iv( iQ( ix( iy(


Lógica


iz( "a( "( "c( "d(

c(

1 p → ( q ∨ r ) 2 q → ∼ p 3 s → ∼ r / ∴ ∼ ( p ∧ s ) "e( "f( "g( "h( "i( ""( "( "l( "m( "n( "o( "p( "q( "r( "s( "t( "u(

d(

1 ( p ∧ q ) 2 p → r 3 ( q ∨∼ r ) / ∴ ∼ p "v( "Q( "x( "y( "z( a( ( c( d( e( f( g( h( i( "( ( l( m( &, LAS FORMAS NORMALES: o( !e llaman
(∨)

y negaciones

( ∼)

(∧)

disyunciones

que sólo afectan a variales.

p( Las
p∨ ∼ p ∨ q . r, CLASES: s( Las

Lógica


p∨ q ∨ r ∨ ∼ r

t(La F%r(a N%r(al C%&/-&$!a FNC,: es la constituida por disyunciones ásicas como o por con"unciones de disyunciones ásicas como$

( p ∨ q ∨r )∧(∼ r ∨ s ∨t )

u( La F%r(a N%r(al D!#-&$!a FND, es la p∧ q ∧r ∧ ∼ r o por disyunciones

constituida por con"unciones ás icas com o de

con"unciones

ásicas

como$

( p ∧ q ∧r )∨(∼ r ∧ s ∧t ) , PRINCIPIOS Y ANTIPRINCIPIOS: Q( Estando la función ásica compuesta por con"unciones o por disyunciones de variales, pueden darse estos dos casos$ 3.

!i l a fu nción  ásica e stá c ompuesta p or c on"unciones, en tonces e s po sile qu e un a mi sma var iale aparezca afirmada y negada dentro de la misma función, con lo que se dar'a una "%&$rad!""!ó& o a&$!)r!&"!)!% del tipo$ x(

4.

p∧ ∼ p

!i la función ásica está compuesta por disyunciones, entonces puede suceder que una misma variale se repita con diferente signo dentro de la misma función, dándose en consecuencia una $a-$%l%a o )r!&"!)!% del tipo$ y(

p∨ ∼ p

z( La presencia o ausencia de estos antiprincipios o principios constituyen el criterio para determinar la validez o invalidez de un enunciado o inferencia. la( l0, PROCEDIMIENTO DECISORIO: lc(8omo toda función proposicional -sea implicativa, equivalente, etc.( es reducile a estas dos formas normales, el procedimiento decisorio puede realizarse por cualquiera de ellas. ld(Pr%"ed!(!e&$% )ara FNC: &ada una función proposicional, se reduce a su equivalente <8 de la siguiente manera$ le(

3? !e cancelan todos los conectores que no sean con"unciones o disyunciones mediante la aplicación de sus respectivas definiciones.

lf(

4? !e eliminan las negaciones que afectan a los conectivos mediante las leyes &e 5organ.

lg(

6? !e suprimen las doles negaciones aplicando la ley del mismo nomre.

lh(

:? !e aplican las Leyes de distriución, asorción e idempotencia cuando fuera necesario.

li(

;? 8riterio$ La <8 es tautológica cuando todas y cada una de sus funciones ásicas contiene el principio del tercero excluido. l/,

E/e()l%:

[( p → q )∧ p ]→ q

a(

l( ll, l(, -

S%l-"!ó&: !e eliminan los operadores condicionales aplicando implicación ln( lo(

-

[ ( ∼ p ∨ q) ∧ p] ∨ q

lp( !e elimina la negación que está delante del corchete aplicando &e 5organ lq(


Lógica


∼ ( ∼ p ∨ q ) ∨∼ p ∨ q

lr( -

ls( !e elimina la negación que está delante del paréntesis aplicando &e 5organ lt( lu(

-

( p ∧ ∼ q ) ∨∼ p ∨ q

lv( !e aplica la ley de distriución para otener la <8 lQ( lx(

( p ∨ ∼ p ∨ q) ∧ ( ∼ q ∨ ∼ p ∨ q)

ly( lz( Re#)-e#$a: haiendo tercio excluido en las dos disyunciones ásicas resultantes, la fórmula es TAUTOLOGIA.

[ ( p → q )∧ q] → p

(

-

ma( (0, S%l-"!ó&: !e eliminan los operadores condicionales mediante implicación mc( md(

-

me( !e elimina la negación que está delante del corchete aplicando &e 5organ mf( mg(

-

∼ ( ∼ p ∨ q ) ∨∼ q ∨ p

mh( !e elimina la negación que está delante del paréntesis aplicando &e 5organ mi( m"(

-

[(∼ p ∨ q) ∧q ] ∨ p

( p ∧ ∼ q ) ∨∼ q ∨ p

m( !e aplica la ley de distriución para otener la <8 ml( mm(

( p ∨ ∼ q ∨ p) ∧ ( ∼ q ∨ ∼ q ∨ p)

mn( mo( Re#)-e#$a: no haiendo tercio excluido en las disyunciones ásicas resultantes, la fórmula no es TAUTOLOGIA. mp( mq(

Pr%"ed!(!e&$% )ara FND: &ada una función proposicional, se reduce a su equivalente <& de la siguiente manera$

mr(

3? !e niega la función proposicional propuesta.

ms(

4? !e realizan los mismos pasos que el procedimiento anterior.

mt(

6? 8r iterio$ La < & es ta utológica cuando to das y cada un a de su s funciones ásicas contienen una contradicción o antiprincipio. !e comprende que ésta <& sea contradictoria desde el momento en que se parte de la negación de la función proposicional srcinaria. (-, E/e()l%:

a(

[( p → q )∧ p ]→ q mv( (, S%l-"!ó&: (, !e niega toda la fórmula my(


Lógica


mz( -

∼

{[ ( p →q ) ∧ p ] → q }

na( !e eliminan los operadores condicionales aplicando implicación n( nc(

∼

{ [ (∼ p∨ q )∧ p ] ∨ q }

nd( -

!e ne(cancela la negación que está delante de la llave aplicando &e 5organ nf(

-

( ∼ p ∨ q ) ∧ p ∧∼ q

ng( !e aplica la ley de distriución para otener la <& nh( ni(

( ∼ p ∧ p ∧∼ q ) ∨ ( q ∧ p ∧∼ q )

n"( n( Re#)-e#$a: haiendo contradicción en las dos con"unciones ásicas resultantes, la fórmula es TAUTOLOGIA. nl(

[ ( p → q )∧ q] → p

(

nm( &&, S%l-"!ó&: &%, !e niega toda la fórmula np(

∼ ( p →q ) ∧ q → p nq( nr( !e eliminan los operadores condicionales aplicando implicación ns(

{[

-

nt( -

{ [ (∼ p∨ q )∧ q] ∨ p }

nu( !e cancela la negación que está delante de la llave aplicando &e 5organ nv( nQ(

-

∼

}

]

( ∼ p ∨ q) ∧ q ∧ ∼ p

nx( !e aplica la ley de distriución para otener la <& ny( nz(

( ∼ p ∧ q ∧∼ p ) ∨ ( q ∧ q ∧∼ p )

oa( Re#)-e#$a: no haiendo contradicción en las dos con"unciones ásicas resultantes, la fórmula es una TAUTOLOGIA.

%0,

TRABAJO ENCARGADO N*

3. )or las talas de verdad y el método areviado, determine si es válida o no cada una de las inferencias siguientes$  El triángulo se llama isósceles si tiene dos lados iguales. o se llama isósceles. En consecuencia, no tiene dos lados iguales.  El puelo es una masa pasiva que sigue las ideas de un gran homre, o los preceptos de la idea asoluta. !igue los preceptos de la idea asoluta. )or lo tanto no sigue las ideas de un gran homre.


Lógica


 !i )edro es urgués, es propietario de los medios de producción social y emplea traa"o asalariado. Es urgués y propietario de los medios de producción social. Luego, )edro emplea traa"o asalariado.  !i eres fiscal, eres aogado, si eres profesional, eres aogado. Luego, si eres fiscal eres profesional.  !i eres cardiólogo, eres médico. !i eres médico, eres colegiado. Luego, si eres cardiólogo, eres colegiado. oc( 4. &etermine mediante el método areviado si las siguientes inferencias son válidas o inválidas.  !i las aguas del mar peruano se enfr'an o calientan excesivamente, entonces no se podrá pescar anchoveta ni atún. o se puede pescar anchoveta ni atún. )or tanto, las aguas del mar peruano se han enfriado se han enfriado o calentado excesivamente.  !i dos miemros de una desigualdad son positivos y se elevan a una misma potencia positiva, el signo de la desigualdad no camia. !i los dos miemros de una desigualdad son negativos y se elevan a una misma potenci a positiva, el signo de la desigualda d camia. )or tanto, el signo de la desigualdad camia o no camia.  A la vitamina 2 no es requerida por el homre o es requerida por otros verterados. La vitamina 2 no es hidrosolule o se almacenan en el h'gado. En consecuencia, la vitamina 2 no es hidrosolule ni antihemorrágica si es requerida por el homre. od( 6.
o*"

oe" 0.

p ∧ r / ∴q

q ∧ p / ∴r

of" 1. og" #. o2" %. oi) o3"

0.

' (

o+" 1.

r∨s

o," #.

s→ p

o" %. o" 5. 'a" 6. '/"

( q →) (r

o4" 1. −

ol" #. o$"% . o&" 5. oo) −

r /∴p

s '

'c" 0.

(r ∨ t)

'd" 1. 'e" #.

s → r / ∴ −s o(" 1. −

#. %. 5.

-r -s

∧

)r → q

q→r ( r

( p ∨ q) → r p∧s /∴p∧r

o'" 0.

or" os" o)"

q↔r

ov" 0.

r ∧ −t

'f" %. 'g" 5.

' p∨q r p∧r

'2" 6. pi)


Lógica


p→q '3"

0.

'r"

0.

's"

1.

')"

#.

( p ∧ q) → r '4" 1.

( p ∧ r) / ∴− p

−

'l"

#.

'*" %.

p→r

−

p

s

q∨r

( q →)(p

∧

)p → q

'v" 5.

'&" 5.

( q → p)

p → ( p ∧ r) 'o" 6. ''" 7. pq)

→−

q ↔ p / ∴ −s

p → ( p ∧ q) '$" %.

r

'+" '," '" '"

-'

6. 7. 8. 9.

-( r -s

(a" (/"

:. &emuestre por la pruea directa -)& ( y luego mediante la prue a por la reducción al asurdo -)92( qc( a( 3.

p→q

"( 6.

s→ p/∴s

( ( 4. ( p ∨ r )/ ∴q c( d( 3. p→ q

l(

p→r

e(

4.

f(6.

q /∴ r

i(4.

p→ q

r→ s

m(

4.

n(

6.

p∨ r

o(

:.

q /∴ s

p( q( r( s( t( u(

g( h( 3.

3.

(q → p )∧( p → r ) r →q

;. &emuestre mediante la pruea condicional -)8($ v( ∨

a( 3. (

4.

s→p

c(

6.

t∨q

d(

:.

e( f(

3.

g( 4. t s h( 6. s →q / ∴ ( p ∨ r ) →t

( p ∨ q) ∨ r

q→ p

s ∨ t / ∴ r →q

i( "(

3.

(r ∨ s )∨ t

(

4.

l(6.

p→ t

p →s/∴r→s


Lógica


m( n( 3. o(

p→ q

4.

q→ r

p(

6.

s ∨t

q(

:.

r ∨ s/∴ t → p

=.
p→ ( p ∨ q )

f(

c(

( p ∧ q) → q

g(

d(

( p ∧ q) → q

h(

( p ∧ q) → ( p ∧ q)

[ p → ( p∨ q) ] [ ( p ∨ q ) ∧ p ] →q

y( z( >. &iga si las siguientes fórmulas son tautol ógicas o no mediante la forma norma l disyuntiva -<&(. a(

p→ ( q ∨ p )

d(

( p ∧ q) → p

(

p → ( p ∨ q)

e(

( p ∧ q) → ( p ∨ q )

c(

( p ∨ q) → q

f(

[ ( p → q ) ∧ q] → p


Lógica


g(

[ ( p → q )∧

p ]→ q

h(

[ ( p → q ) ∧ ( q →r ) ] → ( r → p )

aa, UNIDAD III: LOGICA CUANTIFICACIONAL 1.

EL CALCULO PREDICATIVO: a0, La lógica de predicados llamada tamién Lógica 8uantificacional, comienza distinguiendo dos clases de términos$ los *su"etos+( que representan individuos -gramaticalmente y los que representan propiedades -gramaticalmente *predicados+(. Lógicamente los llamaremos argumentos y predicados respectivamente, de acuerdo a este esquema$ ac( Ral "a&$a ad(

Pred!"ad% Ar-(e&

%$ae( af( ag(

ah( El predicado determina al argumento y es considerado por la lógica de predicados como una nota o caracter'stica del su"eto. *.

CLASIFICACIÓN DE PROP OSICIONES PRE DICATIVAS: ai(

Las proposiciones que intervienen en este nuevo tipo de inferencia son atómicas predicativas. &e acuerdo a la cantidad del su"eto pueden clasificarse en$

a.

!ingulares$ el su"eto es un individuo. a/, E/e()l%: a( Este homre, Ruan.

.

Iniversales$ el su"eto indica la totalidad de individuos. al, E/e()l%: am( /odos los homres.

c.

)articulares$ el su"eto seala una parte de los individuos. a&, E/e()l%: ao( 2lgunos homres, ciertos compatriotas. ap( aq( La cantidad del su"eto en estas proposiciones introduce nuevos elementos, los cuantificadores, representados por los términos *todos+ y *algunos+. Estos nuevos elementos determinan cuantitativamente a sus argumentos. ar( a#, SIMBOLOS: at( Los s'molos que introduce la Lógic a de )redi cados son$

•

•

•

•

Oariales individuales$ representan individuos indeterminados. !e emplean las últimas letras del alfaeto$ x, y, z, H. 8onstantes individuales$ representan individuos determinados. !e emplean las primeras letras del alfaeto$ a, , c, d, H. Oariales predicativas$ significan predicados indeterminados$ !e usan las letras mayúsculas$ <, G, D, P,H. 8uantificadores$ sirven para generalizar a las funciones singulares. )udiendo ser la generalización universal o particular. Los cuantificadores son de dos tipos.


Lógica


au(

( ∀  ) : cuanti!icador universal

av(

( ∃  ) : cuanti!icador existencial aQ( Los

∀

s'molos

y

∃

se

llaman

cuantificadores. En el espacio vac'o que le sigue dentro del paréntesis se colocan o ien variales individuales como

(∀ x )

y

(∃ x )

, y entonces estamos en

el ámito de la lógica de predicados de primer orden# o ien, variales predicativas como

(∃ 4 )

(∀ 4 )

y

situándonos, con esto, en el contexto de la

lógica de predicados de segundo orden. ax( La lógica cuantificacional aqu' desarrollada es de primer orden, pues los cuantificadores sólo tienen variales individuales. a, Rela# de '%r(a"!ó& de 'ór(-la# 0!e& '%r(ale#: 3.

8ada variale predicativa segu'a de una o más constant es individuales es una propos ición atómica. E"emplos$

4a

-

Ga

-

Dac az(

4.

8ada proposición atómica afectada al menos por un operador es una proposición molecular. E"emplo$ -

4a ∧ :b

-

4a→ ( :b ∨ ;c )

-

4a ∧ :b ∧ ;c

6.

8ada variale predicativa seguida de una o más vari ales indiv iduales es una func ión propo sicional atómica. E"emplo$ -

4x

-

:xy

-

;xyz a(

:.

8ada función proposicional atómica afectada al menos po r un operador es una func ión proposicional molecular. E"emplo$ -

4x ∧ :y

-

4x → ( :y ∨ ;z )


Lógica


4x ∧ :y ∧ ;z

-

;.

!on variales lires las variales que no son afectadas por algún cuantificador. E"emplo$ -

4x

-

( 4x →:y ) ∨ ;z

-

4x ∧ ( :y ∧ ;z ) (

=.

!on variales ligadas las variales ligadas por algún cuantificador. E"emplos$ -

( ∃ x ) 4x

-

( ∃ x ) ( ∃ y ) ( 4x ∧ :x )

-

( ∀ x ) ( ∀ y ) ( ∀ z ) [ ( 4x →:y ) ∨ ;z ] c(

@.

!on fórmulas cerradas las fórmulas que no contienen variales lires. E"emplos$ -

( ∃ x ) 4x

-

( ∃ x ) ( ∃ y ) ( 4x ∧ :x )

-

( ∀ x ) ( ∀ y ) ( ∀ z ) [ ( 4x →:x ) ∨ ;z ] d(

>.

!i sustituimos las vari ales lires de una funci ón proposicional por const antes individuales ote nemos una proposición. E"emplos$ -

4x $

4a

-

:xy $

:ab

-

;xyz $

;abc

e( 3.

SIMBOLIQACIÓN DE PR OPOSICIONES: f( Ina proposición predicativa se simoliza funcionalmente invirtiendo el orden de sus elementos y, por razones operativas, se usa cualquier letra mayúscula para los predicados y cualquier letra minúscula para las constantes individuales. E"emplo$ g( h(

Ruan es universitario a

<

2lerto escrie  i(

"(

G !e simolizan respectivamente

G$selee$*Gde+


Lógica


( Estas expresiones$
FUNCIÓN PROPOSICIONAL: m( Las siguientes expresiones$ n(

*x es estudioso+,

* x escrie+ bo) se simolizan$

p(

4x

y

4x y :x respectivamente

:x

son funciones proposicionales ya

que los su"etos están determinados por variales que significan individuos indeterminados de manera que no se pueden decir ni verdaderas ni falsas. q( 5.

CUANTIFICACIÓN: r( Ina función proposicional simoliza la forma de una proposición individual. )ara ampliar su significación a más individuos se le antepone los cuantificadores. 2s'$

?.

s(

4x = x estudia

t(

( ∃ x ) 4x

$ algunos x estudian

u(

( ∀ x ) 4x

$ todos los x estudian

v( TRANSFORMACION DE F UNCIONES EN PR OPOSICIONES: Q( Day dos maneras de transformar funciones en proposiciones$

a.

!ustituyendo la variale por una constante$ bx)

4x =!unción proposicional ⇒ 4a= proposición

.

2nteponiendo un cuantificador a la función$ by)

4x =!unción proposición ⇒ ( ∃ x ) 4x = proposición o ( ∀ x ) 4x = proposición z( 2l anteponer un cuantificador a la función se ha especificado cuantitativamente el dominio de la variale individual de manera que las expresiones resultantes pueden ser calificadas de verdaderas o falsas ya que tienen un significado determinado. @.

PROPOSICIONES CUA NTIFICADAS: "a, S!(0%l!7a"!ó&: "0, Pr%)%#!"!%&e#

S!(0%l!7a"!%&e#

cc(

odo 5 x estudia ⇒ ( ∀ x ) 4x

cd(

9ing ún x estudia ⇒ ( ∀ x ) 4x

ce(

'l gún x estudia ⇒ ( ∃ x ) 4x


Lógica


cf( .

'lg ún x noest udia ⇒ ( ∃ x ) 4x

LEYES DE INTERCAMBIO DE CUANTIFICADORES: ",

•

•

( ∀ x ) 4x ⇔ ( ∃ x ) 4x

( ∀ x ) 4x ⇔ ( ∃ x ) 4x

( ∃ x ) 4x ⇔ ( ∀ x ) 4x

( ∃ x ) 4x ⇔ ( ∀ x ) 4x

E/e()l%#: •

/odos son Lógicos.

•

inguno es Lógico.

•

2lgunos son lógicos.

•

2lgunos no son Lógicos.

•

Rela: )ara intercamiar cuantificadores se suple uno con otro teniendo cuidado de camiar de signo tanto el cuantificador como a la función predicativa.

•

•

.

SIMBOLIQACIÓN DE LAS PRO POSICIONES TRAD ICIONALES: U&!er#al A'!r(a$!a A,: La proposición$

•

•

/odos los leones son melenudos )uede representarse funcionalmente

•

•

)ara todo x, si x es león, entonces x es melenudo ∀x

-

•

: (

Gx

Es decir, la fórmula resultante es$

•

∀x

: -
•

Gx(

U&!er#al Nea$!a E,: La proposición$

•

•

ingún león es melenudo !e representa funcionalmente

•

•

)ara todo x, si x es león, entonces x no es melenudo ∀x

-

•

: (

^Gx


•

∀x •

-

: ( -
^Gx(

Par$!"-lar A'!r(a$!a I,: La proposición$

•

•

2lgunos leones son melenudos. !e representa funcionalmente

•

•

Existe por lo menos un x tal que, x es león y x es melenudo


Lógica


∃

x

-

•

∧

(

Gx


•

∃ •

x

-

∧

( -
Gx(

Par$!"-lar Nea$!aO,: La proposición$

•

•

2lgunos leones no son melenudos. !e representa funcionalmente

•

•

Existe por lo menos un x tal que, x es león y x no es melenudo ∃

x

-

•

∧

(

^Gx


•

∃ •

-

x

∧

( -
^Gx( •

E/er"!"!%# de A)l!"a"!ó& %. 3.

!imolice y clasifique las siguientes proposiciones predicativas$ !ócratesesateniense.

4. 6.

/odos los nios son inocentes. 8iertos pol'ticos son demócratas.

:.

ingún filósofo es escéptico.

;.

2lgunas "ustificaciones no son válidas.

=.

&escartes fue un rillante matemático y un filósofo profundo.

@.

!i jngel estudia otendrá su t'tulo.

>.

jngel estudia otendrá su t'tulo si y sólo si estudia.

B.

)alollegó temprano aclase.

3C. %%. 3.

2lgunos estudiantes son atentos. &etermine cuáles de las siguientes fórmulas representan funciones y cuáles funciones proposicionales$
( ∀ x ) Fx 4.

Fx

∧

Gx

Fa

∧

( ∀ x ) Gx

6. :.

( ∀ x ) Fx

∧

Ga

;. %%%. 3.

!imolice cuantificacionalmente$ /odas las secretarias son pelirro"as.

4.

ingúnálcaliesácido.

6.

2lgunos docentes son pol'glotas.

:.

2lgunos verterados no son mam'feros.


Lógica


;.

/odos los prolemas no son insolules.

=.

/odas las mu"eres no son sinceras.

@.

Las colegialas son románticas.

>.

Lasestrellasrillan.

B.

Los timales y las campanas son instrumentos de percusión.

3C.

Los f'sicos y los astrónomos son cient'ficos.

33. 34.

ingún payaso que sea equilirista es t'mido. inguna mu"er indiscreta puede ser secretaria.

36.

ingún
3:.

o es el caso de que algunos caallos no sean equinos y mam'feros.

3;.

o existen envidiosos que no sean infelices.

3=.

ingún insecto es verterado. )or lo tanto, algunos no insectos no son inverterados.

3@.

/odas las aleaciones de core son metales, pero ningún metal es no conductor. Luego, todas las aleaciones de core son conductores.

3>.

/odos los "aenos son peruanos y Rosé es "aeno. Luego, Rosé es peruano.

3B.

inguna muchacha es ella si se maquilla.

4C.

2lgunos alumnos aproarán el curso si estudian. NOTA: ;V= Las proposiciones cuantificacionales universales que niegan el vero copulativo -el que une los dos predicados de la proposición( se simolizan con una negación delante del cuantificador. •

@V>

•

Las oraciones que empiezan con un art 'culo se refi eren a tota lidades, por lo que co rresponde

simolizarlas con un universal. BV36 La *y+ del lengua"e natural en el antecedente de una proposición de tipo universal se simoliza con una disyunción. !e utilizará una con"unción cuando el antecedente conste de dos predicados que dean cumplirse con"untamente. •

•

3:V3> 2parecen proposiciones en las que la "erarqu'a principal no la tiene un cuantificador.

•

3BV4C El condicional que aparece al final afecta sólo al segundo término de las mismas.

TRABAJO ENCARGADO %.

!imolice y clasifique las siguientes proposiciones predicativas$

3. 4. 6. :. ;. =. @. >. B. 3C.

!ócrates es ateniense. /odos los nios son inocentes. 8iertos pol'ticos son demócratas. ingún filósofo es escéptico. 2lgunas "ustificaciones no son válidas. &escartes fue un rillante matemático y un filósofo profundo. !i jngel estudia otendrá su t'tulo. jngel otendrá su t'tulo si y sólo si estudia. )alo llegó temprano a clase. 2lgunos estudiantes son atentos.

%%.

!imolice cuantificacionalmente$

3. 4. 6. :. ;. =. @.

/odas las secretarias son pelirro"as. /odas las secretarias no son pelirro"as. 2lgunas secretarias son pelirro"as. 2lgunas secretarias no son pelirro"as. ingún álcali es ácido. 2lgunos docentes son pol'glotas. 2lgunos verterados son mam'feros.

•


Lógica


>. B. 3C. 33. 34. 36. 3:. 3;.

2lgunos verterados no son mam'feros. ingún payaso que sea equilirista es t'mido. inguna mu"er indiscreta puede ser secretaria. ingún
3=. 3@. 3>. 3B. 4C. 43. 44. 46. 4:. 4;. 4=. 4@. 4>. 4B. 6C.

2lgunos prolemas no son insolules. Las colegialas son románticas. Las estrellas rillan. Los timales y las campanas son instrumentos de percusión. o es el caso de que algunos caallos no sean equinos y mam'feros. o existen envidiosos que no sean infelices. o existen envidiosos que sean infelices. /odos los envidiosos son infelices. /odos los envidiosos no son infelices. /odos los envidiosos son felices. /odos los envidiosos no son felices. ingún insecto es verterado. )or lo tanto, algunos no insectos no son inverterados. /odas las muchachas son ellas si se maquillan. 2lgunos alumnos aproarán el curso si estudian. /odos los alumnos aproarán el curso si estudian.

%%%.

Itilice las Leyes de intercamio de cuantificadores y haga el intercamio según corresponda$ 3. 4. 6. :. ;. =. @. >. B. 3C.

/odos loshomres homresnoson 2lgunos sonmortales. mortales. ingún homre es mortal. 2lgunos homres son mortales. /odos los nios son inocentes. 2lgunos nios son inocentes. ingún nio es inocente. 2lgunos nios no son inocentes. /odos los ároles son verdes. /odos los ároles no son verdes. 33. algunos ároles son verdes. 34. ingún árol es verde. 1. LÓGICA DE CLA SES: •

!e entiende por clase a cualquier tipo de colección de entidades con propiedades comunes. E"emplo$

•

-

la clase de los "aenos

-

La clase de los números pares.

-

La clase de los católicos. •

/amién se puede usar como sinónimo de clase la palara con"unto.

•

!e dice que los miemros de una clase o con"unto pertenecen a la clase dada.

•

E"emplos$

3.

8arloses"aeno.

4.

33 es un número primo.

6.

5art'n es católico. •

En este caso *8arlos+, *33+ y *5art'n+ son los miemros, y *"aeno+, *número primo+ y *católico+ son las clases consideradas.


Lógica


2s' podemos afirmar correctamente que$

•

3.

8arlos es miemro de la clase de los "aenos.

4.

33 es miemro del con"unto de los números primos.

6.

5art'n es miemro dela clase de los católicos. !i reemplazamos cada uno de los miemros por las letras minúsculas *a+, *+ y *c+ respectivamente y de igual modo cada uno de los predicados por las letras mayúsculas *2+, *R+ y *8+ se tiene simólicamente$

•

a∈ '

•

•

•

se lee$ *a pertenece a la clase 2+

b∈J

se lee$ * pertenece a la clase R+

c∈)

se lee$ *c pertenece a la clase 8+

11. NOCIÓN DE CLASE: •

Ina clase o con"unto es una entidad astracta, aún cuando sus miemros son entidades concretas.

• •

•

En los e"emplos$ *8arlos+, *33+ y *5art'n+ son entidades concretas mientras que los predicados son entidades astractas.
{ x / Jx }

•

•

2 la clase de todos los individuos que tienen la propiedad de ser "aenos y se lee$ *para cualquier x tal que x tiene la propiedad R, siempre y cuando R represente a los *"aenos+

1*. REPRESENTACIÓN DE LA S CLASES EN LOS DIA GRAMAS: •

A. Cla#e U&!er#al: La clase Iniversal es la clase que contiene todo. Es el dominio de individuos a los que se refiere, nuestro discurso. Es la clase que ora como universo de un determinado contexto, de ah' el nomre de universo del discurso. •

!imólicamente se expresa por *I+, y formalmente se define como sigue$

•

< = {x / x= x }

•

•

y se lee$ *para cualquier x tal que *x es idéntico a x+ es satisfecho por cualquier elemento+.

•

E"emplo$

3.

!i

< = 2 - ! - # - $ - 1" } entonces cualquiera de las interpretaciones siguientes es verdadera con

respecto a I$

2 ∈ < , ! ∈ < , # ∈ < , $ ∈ < , 1" ∈ <

•

•

En el diagrama la clase universal se representa por un rectángulo, de la siguiente manera$

•

•

•

I

4

=

•

•

3C :

>

•


Lógica


•

•

•

•

B. Cla#e Va"a: • •

La clase Oac'a o nula es la clase que no tiene elementos. Es la clase que está impl'citamente incluida en todas clases.

•

!u s'molo es

φ , formalmente se define$

=[ x / x 1 x ]

∅

•

•

y se lee$ *para cualquier x tal que *x es diferente de x+ no es satisfecho por ningún elemento+.

•

E"emplo$

•

2.

En el diagrama la clase vac'a. )or e"emplo si a es una clase vac'a, se tiene$ 2

•

• • • •

T simólicamente se expresa$

•

'=∅

13. OPERACIONES CON CLASES: •

A.

En la Lógica de clases pueden efectuarse operaciones introduciendo las definiciones de complemento, unión, intersección y diferencia. C%()le(e&$%:

•

El complemento de una clase 2 es la clase formada por todos los miemros que no pertenecen a

2. El s'molo del complemento es * •

•

+ y se coloca en la parte superior de la clase que designa.

´ =[x/ x1 x ] '

• •

T se lee$ *para cualquier x tal que x no es miemro de 2.

• •

 !

A

• •

E"emplos$

•


Lógica


si < = {3 - ! -  - # -  - $ - 9 }

3.

•

' = {3 -  - # } ,

y

entonces

´ = {! -  - $ - 9 } ' 4.

•

si

< = { $rboles } y, ' = { pinos }

entonces

´ ={todoslos $rboles que no son pinos ¿ ' B.

U&!ó&: La unión o suma de dos clases 2 y 7 es la clase formada por todos los miemros que pertenecen a 2 ó 7 ó a amas clases.
•

' ∪ ( ={ x / x ∈ ' ∨ x ∈ ( }

•

• •

y se lee$ *para cualquier x tal que x pertenece a 2 o x pertenece a 7+

•

•



!

"

AU? • •

E"emplo$

A = ; 3 ,4< ,7 ,9 3.

;y

!i

entonces

AUB = ; 3,4 ,5 ,6 ,7 ,9 ,12< •

C.

I&$er#e""!ó&: •

La intersección de dos clases 2 y 7 es la clase formada por todos los miemros que pertenecen a la vez a 2 y a 7.

•

A> B = x / x ∈ A

∧

x∈ B

•

•

y se lee$ *para cualquier x tal que x pertenece a 2 y x pertenece a 7+

•

•



!

" .x

> • •

E"emplo$


Lógica


A = ; 2 ,3 ,4 ,8< •

3.

A > B = ; 2 ,4<

B = ; 2 ,4 ,6 <

!i

y

entonces

•

D.

D!'ere&"!a: !e llama diferencia de dos clases 2 y 7 es la clase formada por todos los miemros que son de 2 y no pertenecen a 7. •

•

A> B = x / x ∈ A

∧

x

B

•

•

y se lee$ *para cualquier x tal que x pertenece a 2 pero x no pertenece a 7+ •



!

" ·x

!#"

•

E"emplo$

•

3.

' = {1 - 2 - 3 - ! } y

!i

( = { 3 - ! - - # } entonces

' − ( ={ 1- 2 }

14. RELACIONES ENTRE CLASES: •

A.

Entre las primeras relaciones se tienen la inclusión, la igualdad y la exclusión de clases.

I&"l-#!ó&: !e dice que una clase 2 está incluida en una clase 7 cuando todos los miemros de 2 son miemros de 7. tamién se dice que 2 es suclase propia de 7 •

•

•

•

' ⊂ ( ={ x / x ∈ ' ⇒ x ∈ ( } y se lee$ *para cualquier x tal que si x pertenece a 2 entonces x pertenece a 7+

•

•



! !

•

3.

B.

"

E"emplo$ La clase de los animales mam'feros está incluida en la clase de animales verterados.

I-aldad: !e dice que una clase 2 es igual a una clase 7 cuando todos los miemros de 2 son miemros de 7 y cuando todos los miemros de 7 tamién son miemros de 2. •

•


Lógica


' = ( ={ x / x ∈ ' ⟺ x ∈ ( }

•

•

y se lee$ *para cualquier x tal que si x pertenece a 2 si y sólo si x pertenece a 7+ •



!

" !

C.

E"l-#!ó&: •

!e dice que una clase 2 está excluida de una clase 7 cuando ningún miemro de 2 es miemro de 7.

•

A @ B = x / x∈ A

⇒

x

B<

•

•

y se lee$ *para cualquier x tal que si x pertenece a 2 entonces x no pertenece a 7+ •



!

" $x

@ •

E"ercicios$

U 3. 8alcular$

•

=

; 1,2 ,3,4 ,5<

&ados los con"untos$

A = ; 1,2 ,4<

B = ; 3,5<

,

C = ; 1,3,5< ,

.

•

A a.

A> B . c. 8V7

A>C

d.

A A∪B" > C e.

U 4.

&ados los con"untos$ 8alcular.

A A -" BA

∪"

=

; 2 ,4 ,6 ,8 ,1< A = ; 2 ,4 ,6< B = ; 6 ,8 ,1< ,

C ,

=

; 2 ,4 ,8 ,1< .

A∪ B

a.


Lógica


A A >" BA

∪"

B-A

.

A A ∪"AB - " B - A c.

A A -" BA

∪"

A A >" B A

∪"

A∪ B

d. e.

B ∪C

A A > B > C"

-A

f.

A A >" C A

∪"

A C -"A A

- "B- A

B>C

g.

h. •

•

•

•

PRACTICA DIRIGIDA •

3.

&iga 0cuáles son proposiciones y cuáles funciones proposicionales1 •

a(

4a

(

:ab

c(

4x ∧ :a

4. 6.

d(

( ∀ x ) ( 4x ∨ :x )

e(

4a→:b

f(

( ∃ x ) 4x ∧ ;y

8onvierta en proposición cada una de las siguientes funciones proposicionales :. a(

d( 4x ∧ :a

4x ∨ :x

( :xy

e(

c(

f(

4x →:x

( ∃ x ) 4x ∧ ;y ;. =.

4x → ( ∃ y ) ;y

)edro es aogado )edro y &aniel son ingenieros &avid y Goliat son hermanos )edro es poeta y literato

e( 5ar'a y Rosé son esposos f( Es falso que )edro y &aniel sean filósofos g( i )edro ni &aniel son escépticos


Lógica


h( Ruan y Luis no son médicos >. B.

/odos son profesores /odos los penalistas son aogados ingún adolescente es congresista 2lgunos musulmanes son talianes ingún es mentiroso

33. 34.

f( o todos los peruanos son tacneos g( Existe al me nos un mé dico que no es otorrinolaringólogo h( ingún universitario es autista

Escria el equivalente aplicando las reglas de intercamio de cuantificadores 36.

( ∀ x ) ( 4x →:x )

a(

e(

( ∀ x ) 4x

(

( ∃ x ) 4x

f(

( ∃ x ) 4x

c(

( ∃ x ) ( 4x ∧ :x )

g(

( ∀ x ) ( 4x → :x )

d(

( ∀ x ) ( 4x → :x )

h(

( ∃ x ) ( 4x ∧ :x )

3:. 3;.

Escria el e quivalente de l as siguientes proposiciones aplicando las reglas de intercamio de cuantificadores 3=. a( ( c( d( e(

3@. 3>.

ingún homre es inmortal 2lgunos pol'ticos son deshonestos ingún peruano es chileno 2lgunos artistas no son pintores /odos los universitarios son estudiantes

f(

Es falso que ningún pol'tico sea irresponsale g( Es falso que al gunos congresistas no sean peruanos h( /odos los americanos no son europeos

Escria el eq uivalente de l as pr oposiciones de l e" ercicio -= ( ap licando la s reglas de las proposiciones contradictorias 3B. U = {(,8 ,> ,) ,= ,< ,; ,: ,9 ,(* ,((,(8} , A = { 8 ,) ,< ,: ,(* ,(8} , 4C. &ados los con"untos$ B = {(,> ,= ,; ,9 ,((} , C = { 8 ,) ,:} ! = { 8 ,> ,) ,= ,< ,; ,:} " = { 8 ,> ,= ,; ,((} , , . 8alcular$ 43.

( 2 V 7 ) ∪ ( 2 ∪7 )

2

a. 2 > 7 . c. 8 V7

f.

( 2 )8(  ) 2 ∪7

2 >8

h.

d.

( 2 ∪7 ) > 8 e. ".

( 2 V )7( ∪ )2 ∪7

g.

2 >7

i.

.


Lógica


l. m.

&. UNIDAD I V: 1.

CIRCUITOS

INTRODUCCION o. Las computadoras electrónicas es un e"emplo de aplicación de las leyes lógicas. )uesto que la construcción de las máquinas electrónicas se asa en la construcción de circuitos electrónicos y ésta es posile mediante la aplicación de las leyes de la lógica proposicional. p. La aplicación de la lógica proposicional a los circuitos eléctricos es posile en virtud del isomorfismo existente entre amos. Lla(a(%# !#%(%r'!#(% a la relación de igualdad estructural que existe entre dos o"etos. q. En efecto, el matem ático e ingen iero norteamericano 8laudio !hannon Z uno de los dise adores de la s modernas computadoras Z descurió, en 3B6=, el isomorfismo -igualdad de formas ásicas( existentes entre la lógica de proposiciones y la teor'a de los circuitos eléctricos. r. Gracias a este descurimiento se ha desarrollado una teor'a sistemática de los circuitos eléctricos y ésta ha hecho posile resolver cualquier prolema concerniente a la construcción y funcionamiento de estos circuitos ásicos de las computadoras electrónicas. s. )ara estalecer el isomo rfismo entre am as teor'as es nec esario considerar sólo 6 func iones lógicas$ la con"unción, la disyunción y la negación. 8omo a través de esas 6 funciones ásicas se puede definir las demás funciones lógicas, entonces el isomorfismo es total. t.

*. CIRCUITOS ELECTRICOS: u. !e denomina circuito eléctrico a un ensamla"e de int erruptores automáticos que permi ten el pas o de la corriente eléctrica o la interrumpen. )or lo tanto circuito eléctrico es toda transmisión de impulsos eléctricos. Los circuitos eléctricos reales tienen los siguientes elementos$ 
%nterruptores as'información porque interrumpen o permiten el flu"o de electricidad( 9esistencia o-llamados receptor de -foco, lámpara(

v. Q.

8ircuito Eléctrico

x. La energ'a parte del polo negativo de la fuente y se transmite por el cale llega hasta el foco -que se prende( y via"a por el cale hasta llegar al polo positivo de la fuente. y. 3. CIRCUITOS LOGICOS: z. !on estructuras formales -sistemas astractos( que representan sistemas para la transmisión de información de toda 'ndole -desde la electricidad hasta datos informáticos( simulando el comportamiento real de un circuito eléctrico. aa. 2 un interruptor se puede representar por medio de una proposición p y viceversa, de tal manera que el valor de *verdad+ de la proposición p se identifique con el *paso de la corriente+ en este caso se dice que el circuito está cerrado y cuando el valor es *falso+ con la interrupción de la corriente en este caso se dice que el circuito está aierto.


Lógica


a. ac. 8ircuito Lógico ad. ae. La verdad o la falsedad de una proposición puede representarse por *3+ y *C+. 5ientras que el *3+ indi ca presencia, el *C+ indica ausencia, de ah' que 3 y C se asocian a lo verdadero y lo falso. a'. PRIMER ISOMORFISMO ag. Ina proposición simple puede ser verdadera o falsa. &e igual manera podemos decir que un interru ptor puede estar cerrado o aierto. !er verda dero es como estar cerrado y ser fals o es como estar aier to. Las posiilidades son análogas$ ah.

O X *3+ X in terruptor cerrado \ pasa la información

ai.

O X *C+ X interruptor aierto \ no pasa la información

a". a. SEGUNDO ISOMORFISMO al. Ina proposición compuesta puede ser verdadera o falsa. &e igual manera, si fluye la información entonces el foquito encenderá, y si no fluye entonces el foquito no encenderá. am. El estado de encendido y apagado corresponden a los valores de verdad y false dad respectivamente. &e nuevo, las posiilidades son análogas$ an.

O X *3+ X fo co prendido \ la información está pasando.

ao. ap.

< X *C+ X foco apagado \ la información no está pasando.

a9. TABLA DE ISOMORFISMO ar. a#. ESTADO LOGICO

a$. INTERRUPTOR

a-. SITUACIONDELCIRCUITO ax. 2pagado

av.
aQ. 2ierto

ay. OX3

az. 8errado

a. Encendido

. c. El interruptor determina si la información pasa o no pasa. El foquito forma parte del ca le y, por tant o, tamién su situación depende de los interruptores. d. 4. TIPOS DE CIRCUITOS: 4.1. CIRCUITO EN SE RIE $ Es aquel que está constituido por interruptores situados uno detrás de otro. 7asta que uno de los interruptores esté aierto para que el foco no prenda. !e le representa mediante una con"unción. )or lo tanto, el circuito en serie y la con"unción son dos funciones isomórficas tal como se oserva en el siguiente cuadro$ 0e.

0'.

p i.

0.

q

C!r"-!$% Ló!"% l.

p

". 3

0.

p∧ q

3

.

q

3


Lógica


m. 3

n. C

q. C

r.

u. C

v. C

p.

p

o.

C

s.

C

Q.

C

p

3

q

t.

q

x.

y. 07. E& "%&#e "-e&"!a , para que la corriente pase y se prenda el foco, es necesario que los interruptores estén cerrados. 7asta que uno de los interruptores este aierto para que la corriente no pase y no pueda encenderse el foco. 2simismo, si los interruptores están cerrados asume n el valor 1# en camio, si los interruptores están aiertos, asumen el valor .
p ∧ q .

fórmula con"untiva$  ca.

4.*. CIRCUITO EN PARALELO $ Es aquel que está constituido por interruptores situados uno al lado del otro. 7asta que uno de los interruptores este cerrado para que el foco prenda. !e le representa mediante una disyunción. )or lo tanto, el circuito en paralelo y la disyunción son dos funciones isomórficas tal como se oserva en el siguiente cuadro "0.

"".

p

q

3

cg. 3

cf.

"d. "e.

p∨ q

C!r"-!$% Ló!"%

p

ch.

3

q

ci. c". 3

c. C

cl.

3 cm.

cn. C

co. 3

cp.

3 cq.

cr. C

cs. C

ct.

C

cu. cv. cQ. E& "%&#e"-e&"!a, para que la corriente pase y se prenda el foco es suficiente que uno de los interruptores esté cerrado. 2simismo, si los interruptores están cerrados, entonces asumen el valor 3# mientras que si están aiertos, entonces asumen el valor C.
p

%

d0.


Lógica


d". C!r"-!$% e& Paralel%:

p

dd. de.

%

d'. d. d. Pr%)%#!"!ó& S!()le: di. d".

Ina proposición simple se representa mediante un circuito con un solo interruptor. E/e()l%$ p

d. dl. 8uando encontremos proposiciones simples negadas las representaremos de la siguiente manera. E/e()l%$ dm. p

dn. do. ?. CONSTRUCCION DE CIRCUITOS

dp. !ore la ase de estas consideraciones es posi le, cons truir circu itos para fórmulas con"untivas o disyuntivas. dq.

E/e()l%#$

a(

r ∧( p∨ q )

h(

[ p ∨ ( ∼ q ∧∼ p ) ∨ q ] ∧∼ p

(

( p ∨ q) ∧r

i(

{[ ( r ∨ q ) ∧ p ] ∨ ∼ r } ∧ q

d(

( p ∧ q) ∨( p ∧ ∼ q ) ( p ∨ q ) ∧ ( ∼ p ∨∼ q )

e(

[ ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧∼ q ) ] ∨ ( ∼ p ∧∼ q )

c(

(

( p ∨ q) ∧ [ (∼ q ∧ (r ∨ ∼ q ) )∨ ( p ∧ q) ∧r ] l(

f(

[ p ∨ q ∨ ( ∼ p ∧∼ q ) ] ∧ [ ( ∼ p ∨ q ) ∧ p ] g(

[ ( ∼ p ∧ ∼ q) ∨ ( p ∧ ( ∼ p ∨ q ) )]

"(

( ∼ p ∧ ∼ q) ∨ ( p ∧ q )

[ ( p ∨ ∼ q ) ∨ ( p ∧∼ r ) ∨ ( ∼ r ∧∼ q ∧ p ) ] m(

[ p ∧ ( p ∨ r ) ] ∨ [∼ q ∧ ( ∼ r ∨ p ) ] ∨ ∼ r &"


o( @.

( ∼ p ∨ ∼ q ) ∨ [ ( r ∨ s) ∧ ( ∼ s ∨ r ) ] ∨ ( p ∧ ∼ q)

CAMBIOS DE CIRCUITOS LOGICOS A ES=UEMAS MOLECULARES: p( q(

8onsiste en expresar los circuitos lógicos a fórmulas moleculares -esquemas moleculares(. E/e()l%#$

r(

3( & p '%

%

'&

p ∧ (r ∨ ∼ q) ∨(q ∧ ∼ r ) s( t( u(

[

]

4( p 'p

p 'p

Q( x(

6(

y( z(

'%

{ p ∨ [ p ∨ ( ∼ p ∧ ∼ q ) ]} ∧∼ p

v(

:(

p

p

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& p

%

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s

&

s

& t p



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p &

p %

p

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aa( a( ac( ad( ae( af(

;( =( @( p p

% p

ag( ah(

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p

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ai(

>( % p

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a"( a(

p p %

B( p

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p

% p

p

p

% p

%

al( % p

&

& p &

p %

p

p

& &

am( 3C( an( ao( . SIMPLIFICACION DE CIRCUITOS: ap( )ara la simplificación de circuitos emplearemos las siguientes equivalencias tautológicas$ 1.

Le de la Ide()%$e&"!a a ¿ p∧ p 2 p b ¿ p ∨ p 2 p aq(

*.

Lee# D!#$r!0-$!a# a ¿ p ∧ ( q ∨ r ) 2 ( p ∧ q ) ∨ ( p ∧ r ) b ¿ p ∨ (q ∧ r) 2 ( p ∨ q )∧ ( p ∨ r ) as(

ar(

at( 3.

au( Lee# De M%ra& av(

4.

a ¿ p→q2 ∼ p ∨ q b ¿ ∼ ( p → q ) 2 p ∧∼ q

ay( Lee# d el B !"%&d!"!%&al az(

?.

a ¿ ∼ ( p ∧ q ) 2 ∼ p ∨∼ q b ¿ ∼ ( p ∨ q ) 2 ∼ p ∧ ∼ q

aQ( Lee# del C%&d!"!%&al ax(

5.

c ¿ p → ( q ∧ r ) 2 ( p → q ) ∧ ( p→ r ) d ¿ p → ( q ∨ r ) 2 ( p → q ) ∨ ( p→ r )

a ¿ p ⟷ q 2 ( p →q ) ∧ ( q → p )b ¿ p ⟷ q 2 ( p ∧ q ) ∨ ( ∼ p ∧∼ q ) 2 ∼ ( p △ q )

a( Lee# de la A0#%r"!ó&

a ¿ p ∧ ( p ∨ q) 2 p b ¿ p ∧ ( ∼ p ∨ q) 2 p ∧ q bb)

bc)

d(

c ¿ p ∨ ( p ∧q )2 p d ¿ p ∨(∼ p∧ q )2 p ∨ q e( f( OBSERVACIÓN$ 2 una tautolog'a se representa mediante un circuito siempre cerrado -donde la corriente siempre está circulando(. g( 0, E/e()l%#:

3.

2plicando la s equivalencias tautológicas si mplificar lo s siguientes esquemas moleculares y c onstruir su s circuitos lógicos$

p&( p→ q)

a(

p→ ( q → p )

( c(

p& q

d(

[ p→(

e(

{[ ( r → q )

f(

( p ∨ q ) → [( p ∨ q ) → ( p ∧ q ) ]

q → r )] p ∨ ( q →r ) ]}

[ ( p → q )∨ p ] ∧[ ( p → q) ∨ p ] [ ( p → q ) → (q → p) ] ∧ ( p ∨ q )

g( h(

( p & q )& ( p & q )

i( "(

[ ( p ∨ q) ∧q ] → p

(

[

p ∧ (q ∨ r )] &[( p ∧q )∨

{[ (

l(

p∧ q )∨ q ]→ [

( p ∨ q ) ]}

m(

[ ( p ∧ q) ∧ (q → p) ∧ r ] ∨ p

n(

( p ∨ ∼ q) ∧ [ ∼ p ∧ (q → p ) ] ∼ [ ∼ ( p ∧ q) →∼ q ] ∨ p

o(

3(

4(

( p ∨r )]

0!, EJERCICIOS DE APLI CACIÓN

"( 8onstruir un circuito para cada uno de los siguientes esquemas moleculares ( a(

[ ( p ∨ q) &( r ∧ s ) ]

(

[ ( p → q )→ (r → s )]

c(

[ ( p → q )∨ ∼ p ]∧ ( ∼ q → p)

d(

{[ ( ∼ q ) → ( ∼ q ) ] → [( ∼ p ) → ( ∼ q ) ] } → ( p ∧ q )

e(

∼ p & ( p→ ∼ q )

f(

∼ ( p ∨ q) →

g(

p ∧ ( q ∨∼ p )

h(

{[ ( r ∨ q ) ∧ p ] ∨ ∼ r } ∧ q

i(

∼ ( p ∨ ∼ q) ∨( p ∧ ∼ r ) ∨ ∼ ( r ∨ q ∨ ∼ p)

"(

( p ∧ ∼ q ) → ( ∼ p ∨∼ q )

[

(q ∨ r)]

[

]

l( m( Dallar la proposición equivalente más simplificada de los siguientes circuitos$ n( p

p

%

%

o( a( p( c(

( p & %

q( d(

e( p

%

p

p

&

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p

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p

p

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p

p

p

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p

& % &

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p

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p

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r( f( s( h(

p &

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g(

p

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p p

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t( i( p

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p

u( "( p

p

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v( /9272RA E829G2&A Q( x( )928/%82 &%9%G%&2 y(

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