Universidad de Concepci´ on Facultad de Ciencias F´ısicas y Matem´ aticas Departamen Depart amento to de Estad Esta d´ıstica ısti ca
Esta Estad d´ıstic ıstica a (52321 (523210) 0) Listado 4 Primer Semestre 2014 Profesores: Profeso res: In´es es Varas y Francisco Mu˜noz. noz. Ayudante: Ayud ante: Mar´ıa ıa Paz Tapia. api a. 1. La probabilidad probabilidad de que un paciente paciente se recupere recupere de una rara enfermeda enfermedad d sangu´ sangu´ınea es 0.4. Si se sabe que 15 personas contraen esta enfermedad, ¿Cual es la probabilidad de que, (a) Sobreviv Sobrevivan an al menos 10 personas?. personas?. (b) Sobreviv Sobrevivan an de 3 a 8 personas? personas? (c) Sobreviv Sobrevivan an exactamen exactamente te 5 personas?. personas?. 2. Se selecciona s elecciona al azar a zar un u n comit´ co mit´e de cinco personas pers onas entre tres qu´ qu´ımicos y cinco cin co f´ısicos. ısicos. Encuentre la distribuci´on on de probabilidad para el n´umero umer o de qu´ qu´ımicos ımi cos en el comit´ comi t´e. e. 3. Lotes de 40 componentes cada uno se denominan aceptables si no contienen m´as a s de tres defectuosos. El procedimiento para muestrear el lote es la selecci´on de cinco componentes al azar y rechazar el lote si se encuentra un componente defectuoso. ¿Cu´al es la probabilidad de que se encuentre exactamente un defectuoso en la muestra si hay tres defectuosos en todo el lote?. 4. Encuentr Encuentree la probabilida probabilidad d de que una persona que lanza tres monedas obtenga s´olo olo caras o solo sellos por segunda vez en el quinto lanzamiento. 5. Se sabe que cierto cierto proceso proceso de fabricac fabricaci´ i´on, on, en promedio, uno de cada 100 1 00 art´ art´ıculos est´a defectuoso.¿Cu´ al al es la probabilida probabilidad d de que el quinto quinto art´ art´ıculo que se inspecciona inspecciona sea el primer primer defectuoso que se encuentra?. 6. En tiempo ocupado, un conmutador conmutador telef´ telef´ onico onico est´a muy cerca de su capacidad, por lo que los usuarios usuarios tienen tienen dificultad dificultad al hacer sus llamadas. llamadas. Puede ser de inter´ inter´ es es conocer conocer el n´umero umero de intentos necesario a fin de conseguir un enlace telef´onico. onico. Suponga que 0.05 es la probabilidad probabilidad de conseguir un enlace durante el tiempo ocupado. Nos interesa conocer la probabilidad de que se necesite cinco intentos para una llamada exitosa. 7. Duran Durante te un experim experimen ento to de laborat laboratori orioo el n´umero umero promedio de part´ part´ıculas radioactivas radioactivas que pasan a trav´ trav´es es de un contador en un milisegundo es cuatro. ¿Cu´al al es la probabilidad de que seis part´ part´ıculas entren al contador en un milisegundo dado?
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8. El n´ umero promedio de camiones tanque que llega cada d´ıa a cierta ciudad portuaria es 10. Las instalaciones en el puerto pueden manejar a lo m´as 15 camiones tanque por d´ıa. ¿Cu´ al es la probabilidad de que en un d´ıa dado los camiones se tengan que regresar?. 9. Suponga que puede reservar una sala de conferencias grande para cierta compa˜ n´ıa por no m´as de cuatro horas. Sin embargo, el uso de la sala de conferencias es tal que muy a menudo tienen lugar conferencias largas y cortas. De hecho, se puede suponer que la duraci´on X de una conferencia tiene una distribuci´on uniforme en el intervalo [0, 4]. (a) ¿Cu´al es la funci´on de densidad de la probabilidad? (b) ¿Cu´al es la probabilidad de que cualquier conferencia dure al menos 180 minutos? (c) Cu´ al es el tiempo esperado de duraci´on de cualquier conferencia? 10. Cierto tipo de bater´ıa de almacenamiento dura, en promedio, 3 a˜nos, con una desviaci´on est´andar de 0.5 a˜nos. Suponga que las duraciones de la bater´ıa se distribuyen normalmente, encuentre la probabilidad de que una bater´ıa dada dure menos de 2.3 a˜nos. 11. Una empresa el´ectrica fabrica focos que tienen una duraci´on, antes de fundirse, que se distribuye normalmente con media igual a 800 horas y una desviaci´on est´andar de 40 horas. Encuentre la probabilidad de que un foco se funda entre 778 y 834 horas. 12. En un proceso industrial el di´ ametro de un cojinete es una parte componente importante. El comprador establece que las especificaciones en el di´ametro sean 3 ± 0,01 cm. La implicaci´on es que ninguna parte que caiga fuera de estas especificaciones se aceptar´a. Se sabe que en el proceso el diamante de un cojinete tiene una distribuci´on normal con media 3 y una desviaci´on est´andar 0.005. En promedio, ¿Cu´antos cojinetes se descartar´an? 13. Suponga que un sistema contiene cierto tipo de componente cuyos tiempo de falla en a˜nos est´a dado por T. La variable aleatoria T se modela bien mediante la distribuci´on exponencial con tiempo medio para la falla de 5. Si se instalan cinco de estos componentes en diferentes sistemas, ¿Cu´al es la probabilidad de que al menos dos a´un funcionen al final de ocho a˜nos? 14. Se estudi´o el tr´afico de veh´ıculos por una carretera que conduce hacia un peaje encontr´andose un promedio de 120 veh´ıculos por hora, de los cuales 2/3 son autos y 1/3 camiones. El peaje cuesta $1500 por auto y $2500 por cami´on. Suponga que las llegadas de los veh´ıculos al peaje constituyen un proceso de Poisson. (a) Calcular la probabilidad de que en un minuto lleguen m´as de 3 veh´ıculos al peaje. (b) Determinar la cantidad promedio de dinero recibido en el peaje en un per´ıodo de 3 horas. (c) Se sabe que el 80 % de los veh´ıculos que pasan por este peaje tienen sus documentos al d´ıa. Suponga que en un per´ıodo de 5 minutos pasan 10 veh´ıculos por este peaje. La polic´ıa revisa al azar los documentos a dos de ellos, ¿cu´ al es la probabilidad de que ambos tengan sus documentos al d´ıa?
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15. Entre 16 postulantes para un traba jo, 10 ten´ıan un t´ıtulo universitario. Si 3 de los postulantes son elegidos al azar para una entrevista, ¿cu´al es la probabilidad que 2 tengan un t´ıtulo universitario?, ¿cu´al es el n´umero esperado de postulantes entrevistados con t´ıtulo universitario?. 16. ¿Cu´al es la probabilidad de que una mesera se rehuse a servir bebidas alcoh´olicas u ´nicamente a tres menores de edad, si verifica aleatoriamente s´olo 5 c´ edulas de identidad de entre 9 estudiantes, de los cuales 4 tienen edad suficiente?. 17. Una empresa electr´onica observa que el n´umero de componentes que fallan antes de cumplir 100 horas de funcionamiento es una variable aleatoria de Poisson. Si el n´umero promedio de estos fallos es ocho: (a) ¿cu´al es la probabilidad de que falle un componente en 25 horas?. (b) ¿y de que fallen no m´as de dos componentes en 50 horas?. (c) ¿cu´al es la probabilidad de que fallen por lo menos diez en 125 horas?. 18. Cada muestra de aire tiene 10 % de posibilidades de contener una mol´ecula rara particular. Suponga que las muestras son independientes con respecto a la presencia de la mol´ecula rara. Encuentre la probabilidad de que en las siguientes 18 muestras, exactamente 2 contengan la mol´ecula rara, calcular el valor esperado y su varianza. 19. Un avi´on de alto rendimiento contienen tres computadoras id´enticas. Se utiliza ´unicamente una para operar el avi´on; las dos restantes son repuestos que pueden activarse en caso de que el sistema primario falle. Durante una hora de operaci´on la probabilidad de que una falle en la computadora primaria( o de cualquiera de los sistemas de repuesto activados) es 0,0005. Suponiendo que cada hora representa un ensayo independiente, (a) ¿Cu´al es el tiempo promedio para que fallen las tres computadoras?. (b) ¿Cu´al es la probabilidad de que las tres computadoras fallen en un vuelo de 5 horas? 20. Si se supone que el comienzo de las guerras est´a distribu´ıdo aleatoriamente en el tiempo, con una frecuencia media de ocurrencia de una cada 10 a˜nos. ¿Cu´al es la probabilidad que por lo menos una guerra comience en los pr´oximos 10 a˜ nos? 21. Supongamos que es razonable suponer que los contactos individuales de un representante de ventas con los clientes constituyen ensayos Bernoulli independientes, donde la realizaci´on de una venta es llamada ´exito y la probabilidad de ´exito es p, 0 < p < 1. (a) Determine el n´umero promedio de clientes contactados hasta obtener la primera venta. (b) Si p=0.2 , ¿cu´ al es la probabilidad que este representante tenga que hacer 10 contactos para realizar 2 ventas?. (c) Si p=0.2, ¿cu´ al es la probabilidad de realizar 2 ventas en tres contactos ?
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22. Fernando y Nicol´as juegan un partido de tenis al mejor de tres sets (esto es, el que gana dos sets gana el partido). Suponga que la probabilidad de que Fernando gane el primer set es 0.5. Para los siguientes sets, la probabilidad de que Fernando gane es: 0 ,5 + (−1)Y (0,1)(k − 1), k = 2, 3, donde 1 si Fernando perdi´o el set anterior Y = 0 si Fernando gan´o el set anterior
(a) Sea X : No de sets que Fernando perdi´o. Encuentre la funci´on de distribuci´on de X . (b) Calcule la probabilidad de que Fernando gane el partido. (c) Suponga que la empresa “ABCDE” le paga a Fernando mil d´olares por el encuentro, pero por cada set que ´este pierde se le descuentan 100 d´olares. Sea G: ganancia obtenida por Fernando. Encuentre E {G}. 23. Una empresa que produce tubos de TV Color a un costo muy bajo y estima que en la producci´o n de este tipo de tubos un 20% es defectuoso. Un lote de 25 tubos se somete a inspecci´on antes de ser embalados. El procedimiento consiste en extraer 4 al azar, sin reemplazo y someterlos a prueba. Si menos de dos tubos fallan, el lote es aceptado. De otra manera el lote es rechazado. (a) ¿Cu´al es la probabilidad exacta que el lote sea aceptado?. (b) ¿Cu´a l es el n´umero medio de art´ıculos buenos en la muestra? 24. El criterio para aceptar cada caja con chips es el siguiente: se seleccionan 3 de ellos al azar, y si a lo m´as aparece un defectuoso, entonces se acepta la caja. Suponiendo que una caja contiene 3 defectuosos y 17 buenos, calcule la probabilidad que la caja sea rechazada. 25. Una familia tiene exactamente n hijos (n ≥ 2). Suponga que la probabilidad que uno de ellos sea ni˜ na es 1/2 y que todos los cumplea˜nos son independientes. Dado que la familia tiene al menos una ni˜ na, determine la probabilidad de que la familia tenga al menos un ni˜no. 26. Una v.a. X tiene funci´on de densidad de probabilidad dada por f (x) = x/2, 0 < x < 2 Si se extraen 10 valores de X en forma independiente. (a) ¿Cu´al es la probabilidad que exactamente 4 sean mayores que el percentil-90?. (b) ¿Cu´al es la probabilidad que por lo menos cuatro est´en entre 0.7 y 1.2? 27. Si la probabilidad que una persona, en Concepci´ on, compre un kino es 0.3 ¿Cu´al es la probabilidad que la novena persona entrevistada al azar en Concepci´on sea la cuarta persona que haya comprado un Kino? 28. Suponga que los mont´ıculos, de di´ametro no inferior a 1 metro, est´an distribu´ıdos al azar en la superficie de la luna, a una tasa de 1000 por kil´ometro cuadrado (satisfaciendo los supuestos de un proceso de Poisson). 4
(a) ¿Cu´al es la probabilidad de que no se encuentren estos mont´ıculos en un metro cuadrado de la superficie lunar? (b) Si se marca una porci´on de 25 m para el alunizaje de una nave, ¿cu´al es la probabilidad de que en esta ´area particular no haya mont´ıculos? 29. Una compa˜ n´ıa telef´onica emplea cinco operadoras de informaci´on que reciben solicitudes de informaci´on independientemente una de otra, cada una seg´ un un proceso de Poisson con tasa λ = 2 × minuto. (a) ¿Cu´al es la probabilidad de que durante un periodo dado de un minuto, la primera operadora no reciba solicitudes? (b) ¿Cu´al es la probabilidad de que durante un periodo dado de un minuto, exactamente 4 de las 5 operadoras no reciban solicitudes? (c) Escriba una expresi´on para la probabilidad de que durante un periodo dado de un minuto, todas las operadoras reciban exactamente el mismo n´umero de solicitudes. 30. En una versi´on del juego Keeno, Ud. como jugador puede marcar 5 n´umeros cualesquiera de los 100 primeros enteros. Luego el casino selecciona al azar 20 de los 100 primeros n´umeros enteros. Sea X el n´umero de enteros que coinciden con los que Ud. marc´o y los que seleccion´o el casino. ¿Cu´al es la funci´on de probabilidad para X? 31. Entre 16 postulantes para un trabajo, 10 ten´ıan un titulo universitario. Si 3 de los postulantes son elegidos al azar para una entrevista, ¿Cu´al es la probabilidad que 2 tengan un titulo universitario?, ¿Cu´al es el n´umero esperado de postulantes entrevistados con titulo universitario? 32. Supongamos que la probabilidad de tener una unidad defectuosa en una l´ınea de ensamblaje es de 0.05. Si el conjunto de unidades terminadas constituye un conjunto de ensayos independientes: a) ¿Cu´al es la probabilidad de que entre diez unidades dos se encuentren defectuosas? b) ¿Y de que a lo sumo dos se encuentren defectuosas? c) ¿Cu´al es la probabilidad de que por lo menos una se encuentre defectuosa? 33. Un jurado de 7 personas va a decidir cual de las dos finalistas, Marta y Carolina, del concurso de belleza ser´a la ganadora. Una mayor´ıa simple determinar´a la ganadora. Suponga que hay 4 jueces que votan por Marta y 3 que votan por Carolina. Si se eligen al azar 3 de los jueces ¿cu´al es la probabilidad que una mayor´ıa en la muestra vote por Marta?. 34. Si el 90 % de todos los solicitantes para cierto tipo de hipoteca no llenan correctamente el formato de solicitud en la primera remisi´on, ¿Cu´al es la probabilidad de que entre 15 de estos solicitantes seleccionados al azar: (a) Por lo menos 12 no la llenen a la primera remisi´on? (b) Entre 10 y 13 inclusive no la llenen a la primera remisi´on? 5
(c) A lo sumo 2 llenen correctamente sus formatos en la primera remisi´on? 35. En un parque de entretenciones Ud. tiene la posibilidad, por 25 centavos, de entretenerse en el juego del lanzamiento de tres aros hacia un palo. Usted lanza los aros de uno en uno al palo. Si Ud. emboca un aro obtiene un premio de 50 centavos, si Ud. emboca dos aros, obtiene un premio de 1 d´olar y si emboca los tres aros Ud. obtiene un premio de 5 d´olares. Suponiendo que la probabilidad de embocar es de 0.1 en cada lanzamiento (a) ¿cu´al es su ganancia esperada si Ud juega una vez? . (b) ¿10 veces?. 36. Los pesos de 2000 soldados presentan una distribuci´ on normal de media 65 kg y desviaci´on t´ıpica 8 kg. Calcula la probabilidad de que un soldado elegido al azar pese: (a) M´as de 61 kg. (b) Entre 63 y 69 kg. (c) Menos de 70 kg. (d) M´as de 75 kg. 37. El tiempo de reparaci´o n de unas m´aquinas de escribir tiene una distribuci´on aproximadamente exponencial, con media 22 minutos. (a) Hallar la probabilidad de que el tiempo de reparaci´on sea menor que diez minutos. (b) El costo de reparaci´ o n es de 2000 pts. por cada media hora o fracci´on. ¿Cu´a l es la probabilidad de que una reparaci´on cueste 4000 pts.? (c) Para efectuar una programaci´on, ¿cuanto tiempo se debe asignar a cada reparaci´on para que la probabilidad de que cualquier tiempo de reparaci´on mayor que el tiempo asignado sea solo de 0.1?. 38. El volumen que una m´aquina de llenado autom´atico deposita en latas de una bebida gaseosa tiene una distribuci´on normal con media 34 cl. Y una desviaci´on t´ıpica 1,5 cl. (a) Si se despachan aquellas latas que tienen menos de 33 cl., ¿cu´ al es la proporci´on de latas desechadas?. (b) La m´aquina de llenado puede ser ajustada para cambiar el volumen medio µ para que u ´ nicamente el 1 % de las latas tuviera menos de 33 cl.? 39. Sup´ongase que la concentraci´on que cierto contaminante se encuentra distribuida de manera uniforme en el intervalo de 0 a 20 pares de mill´on. Si se considera t´oxica una concentraci´on de 8 o m´as. ¿Cu´al es la probabilidad de que al tomarse una muestra la concentraci´o n de esta sea t´oxica?. Concentraci´on media y varianza. Probabilidad de que la concentraci´on sea exactamente 10. 6
40. El personal de la compa˜ n´ıa Onda S.L. usa una Terminal para realizar sus pedidos internacionales. Si el tiempo que cada comercial gasta en una sesi´on en la Terminal tiene una distribuci´ on exponencial con media 36 minutos, encontrar: (a) Probabilidad de que un comercial utilice la Terminal 30 minutos o menos. (b) Si un comercial a estado 30 minutos en la Terminal, ¿Cu´al es la probabilidad de que pase al menos una hora m´as en la Terminal?. (c) El 90 % de las sesiones terminan en menos de R minutos. ¿Cu´anto vale R?. 41. La dureza Rockwell de un metal se determina al golpear con un punto acerado (herramienta)la superficie del metal y despu´es medir la profundidad de penetraci´on del punto. Suponga que la dureza Rockwell de cierta aleaci´on est´a normalmente distribuida con media de 70 y desviaci´ on est´andar de 3. (a) Si un especimen es aceptable s´olo si su dureza est´a entre 67 y 75, ¿Cu´al es la probabilidad de que un especimen seleccionado al azar tenga una dureza aceptable? (b) Si la escala aceptable de dureza es (70 − c, 70 + c), ¿para qu´e calor de c tendr´ıa una dureza aceptable el 95 % de todos los espec´ımenes? (c) Si la escala aceptable es como el inciso (a) y la dureza de cada diez espec´ımenes seleccionados al azar se determina independientemente, ¿Cu´a l es el n´umero esperado de espec´ımenes aceptables entre los diez? (d) ¿Cu´al es la probabilidad de que a lo sumo ocho de diez espec´ımenes seleccionados independientemente, tengan una dureza menor a 73.84? 42. La resistencia a la compresi´ on de una serie de muestras de cemento puede modelarse con una distribuci´ on normal con media 6000 Kg/cm2 y una desviaci´on est´andar de 100 Kg/cm2 . (a) ¿Cu´a l es la probabilidad de que la resistencia de una muestra sea menor que 6250 Kg/cm2 ? (b) ¿Cu´al es la probabilidad de que la resistencia de una muestra se encuentre entre 5800 y 5900 Kg/cm2 ? (c) ¿Cu´al es el valor de resistencia que excede el 95 % de las muestras? 43. El tiempo X (minutos) para que un asistente de laboratorio prepare el equipo para un experimento tiene una distribuci´on Uniforme(25,35). (a) Escriba la funci´ on de densidad de X y trace su gr´afica. (b) ¿Cu´al es la probabilidad de que el tiempo de preparaci´on exceda de 33 min.? (c) ¿Cu´al es la probabilidad de que el tiempo de preparaci´on se encuentre a una distancia a lo m´as de 2 min. del tiempo esperado? (d) Para cualquier a tal que 25 < a < a + 2 < 35, ¿Cu´al es la probabilidad de que el tiempo de preparaci´on est´e entre a y a + 2 minutos? 7
44. Sea X la distancia en metros que un animal se mueve desde su lugar de nacimiento hasta el primer territorio vacante que encuentra. Suponga que para las ratas canguro, X tiene una distribuci´ on exponencial con par´ametro λ = 0.01386. (a) ¿Cu´al es la probabilidad de que la distancia sea a lo sumo 100 metros?, ¿Entre 100 y 200 metros? (b) ¿Cu´al es la probabilidad de que la distancia sea mayor que la distancia promedio en m´as de 2 desviaciones est´andar? (c) ¿Cu´al es el valor de la mediana de la distancia? 45. La presi´on del aire de un neum´atico seleccionado al azar, instalado en un autom´ovil nuevo, est´a normalmente distribuida con valor medio de 31 lb/pulg 2 y desviaci´on est´andar de 0.2 lb/pulg 2 . (a) ¿Cu´al es la probabilidad de que la presi´on de un neum´atico, seleccionado al azar, exceda de 30.5 lb/pulg 2 ? (b) ¿Cu´al es la probabilidad de que la presi´o n de un neum´atico, seleccionado al azar, se encuentre entre 30.5 y 31.5 lb/pulg 2 ? (c) Suponga que un neum´atico se considera con presi´on baja si est´a debajo de 30.4 lb/pulg 2 . ¿Cu´al es la probabilidad de que al menos uno de los cuatro neum´aticos de un autom´ovil se encuentre con presi´on baja? 46. Suponga que el n´umero de horas X que funcionar´ a una m´aquina antes de fallar es una variable aleatoria con distribuci´on Normal de par´ametros µ = 720 y σ 2 = 482 . Suponga que en el momento en que la m´aquina comienza a funcionar Ud. debe decidir cuando el inspector regresar´a a revisarla. Si el vuelve antes de que la m´aquina falle, se ocasiona un costo de a d´olares por haber desperdiciado una inspecci´on. Si vuelve despu´es de que la m´aquina haya fallado, se ocasiona un costo de b d´olares por el no funcionamiento de la m´aquina. (a) Determine una expresi´on para el costo esperado, considerando que el tiempo hasta que el inspector vuelve a inspeccionar la m´aquina es de t horas. (b) Suponga que el inspector decide volver en un tiempo de t = 816 hrs. Calcule la probabilidad de que el inspector llegue tarde a la inspecci´on, es decir, la m´aquina ya ha dejado de funcionar. (c) Se observa este proceso durante 15 per´ıodos. Determine la probabilidad de que el inspector llegue tarde m´as de 12 veces.
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