LINEAS_CAPITULO_8

LINEAS DE TRANSMISIÓN DE ENERGÍA ELÉCTRICA Ing. Gustavo Adolfo Nava Bustillo

CAPITULO 8

CÁLCULO MECÁNICO DE LAS LINEAS DE TRANSMISIÓN

8.1. ECUACIÓN CARTESIANA DE LA CATENARIA Un cable flexible de peso uniformemente distribuido, sujeto entre dos apoyos por los puntos A y B situados a la misma altura, forma una curva llamada catenaria. La distancia “f” entre el punto más bajo situado en el centro de la curva y la recta AB, que une los apoyos, recibe el nombre de flecha. flecha. Se llama vano a la distancia "a" entre los dos puntos de apoyo o de amarre A y B.

Los postes o estructuras deberán soportar las tensiones TA y TB que ejerce el conductor en los puntos de amarre. La tensión T = TA = T B dependerá de la longitud del vano, del peso del conductor, de la temperatura y de las condiciones atmosféricas.

123


Condición de equilibrio del arco de catenaria c atenaria OQ Sea: L = Longitud del arco de la catenaria OQ T = Tensión mecánica en el punto Q H = Tensión mecánica en el punto inferior de la catenaria O W = Peso del cable por unidad de longitud (incluye sobrecargas) Se pueden escribir las siguientes ecuaciones de equilibrio para el arco de la catenaria OQ y

T β

x

H W.L

 Fx :  Fy :

T cos   H  0  A Tsen  WL  0  B (

De las ecuaciones anteriores

124


Condición de equilibrio del arco de catenaria c atenaria OQ Sea: L = Longitud del arco de la catenaria OQ T = Tensión mecánica en el punto Q H = Tensión mecánica en el punto inferior de la catenaria O W = Peso del cable por unidad de longitud (incluye sobrecargas) Se pueden escribir las siguientes ecuaciones de equilibrio para el arco de la catenaria OQ y

T β

x

H W.L

 Fx :  Fy :

T cos   H  0  A Tsen  WL  0  B (

De las ecuaciones anteriores

124


W.L dy  H dx W.L dy  dx  C H tg 

(

Por otro lado dy 

L L2 

H2

 dx  dL  dx 2  dy 2  dy 1    dy  

2

H2 2 L  H2 W2  dy 1  2 2  dy L W L

dL

W2

int egrando

H2 y  C1  L2  W2

Si se considera un nuevo eje referencia O´x´ paralelo al Ox y a una distancia de este igual a

H h W

Se cumple si L=0 entonces y 

H h W

de donde C1 = 0

125


H2 2 y  L  2  L2  h2 W Por tanto L dy  dL  E 2 H L2  2 W

igualando ( C ) y ( E )

(

dy 

WL dx  H

dx  h

L H2 2 L  2 W

dL L2  h2

dL

integrando

2 2  x  C 2  h ln L  h  L 





Cuando L=0 entonces x=0 de donde C2=h ln(h) Por tanto

2 2  x  h ln( h  h ln L  h  L  )





 L  h2  L2   x  h ln   h   x  ln h

x

e h

 L  h2  L2      h  

 L  h2  L2      h  

x h e h  L  h2  L2 ………(F)

Invirtiendo ecuación (F)

1 x

he h



1 L  h2  L2

Multiplicando numerador y denominador del segundo miembro por

126

h2  L2  L


1 x

he h



h2  L2  L h2  L2  L

1 L  h2  L2

1 x

he h

siendo una diferencia de cuadrados

h2  L2  L  2 2  h  L  L2

(

x he h



h2  L2  L h2

)

 h2  L2  L  G (

Sumando (F) y (G)  x h   x h h e  e   2 h2  L2    x  h cosh   2 h2  L2 igualando con E h   (

 x  y  h cosh   h 

Ecuación cartesiana de la catenaria

La longitud de la catenaria se obtiene restando (F) – (G) x x h e h  h e h  L  h 2  L2  h 2  L2  L  2 L

   h e h  e h  x

L  

 x  L  h senh   h 

x



2

Longitud de la catenaria

La tensión mecánica en un punto Q de la catenaria de coordenadas x, y se puede obtener de las ecuaciones (A) y (B) elevando al cuadrado y sumando. T2 cos2   T2sen2   H2  W 2L2

 H2  2 2 2 2 T cos   sen   W  2  L2  W   





127


T2  W2 h2  L2

Sustituyendo la ecuación (E)



y 2  L2  h2 T2  W2 y 2 TWy

Como

 x  y  h cosh   h  H  x   x  T  W h cosh   W cosh  W  h   h 

 x  T  H cosh   h 

Tensión del cable en el punto Q

8.2. FÓRMULAS DE LA CATENARIA

a = Vano o claro en (m) f = Flecha (m) H = Tensión mecánica en el punto más bajo de la catenaria (kg) T = Tensión mecánica en los puntos Q y Q´ (kg) W = Peso del cable por metro (kg/m) L = Longitud del arco de la catenaria Q-Q´ (m)

128


Para el caso particular

x

a

2

se tiene

y  f h W a   a   H     1 f  h cosh   1   cosh 2h   W  2 H   

 W a  H  a     2 senh h W H 2 2    

L  2 h senh

 a   W a    H cosh  h H 2 2    

T  H cosh

Como 2H>>Wa

 W a    1 H 2  

entonces cosh

Entonces aproximadamente se considera T=H 8.3. FÓRMULAS PARA LA PARÁBOLA La ecuación cartesiana de la catenaria es  x  y  h cosh   h 

Desarrollando el coseno hiperbólico en una serie infinita 4  x 2  x y  h 1      2h 2 24h 4   

Tomando los dos primeros términos no se comete error apreciable siempre que la flecha sea menor al 10% del vano (lo que normalmente ocurre) x2 y h  2h

Como también

y  f h

ecuación de la parábola entonces

129


x2 f 2h

pero

W a2 f 8H

x

a

2

pero como

h

H W

H≈T

W a2 f 8T

Si

Ww S Tt S

w (kg/m-mm2) T (kg/mm2) S (mm2) w a2 f 8t

Para vanos de hasta unos 500 metros la forma de la curva de la catenaria se puede equiparar a la forma de una parábola, lo que permite ahorrar unos complejos cálculos matemáticos, obteniendo, sin embargo, una exactitud más que suficiente. Con la sustitución de la parábola en vez de la catenaria y para vanos menores a 400 m, que es muy corriente y con flechas menores del 3% del vano, el error que se comete en la determinación de la flecha es del orden del 0,1% La catenaria deberá emplearse necesariamente en vanos superiores a los 1000 metros de longitud, ya que cuanto mayor es el vano menor es la similitud entre la catenaria y la parábola. El valor de la tensión T, es la tensión de trabajo, que de ninguna manera debe sobrepasar la tensión de rotura del cable (TR), pues de lo contrario este se rompería. Entonces, puesto que el cable no debe trabajar nunca en condiciones próximas a la de rotura, se deberá admitir un cierto coeficiente de seguridad (CS) tal que T T R Cs

El Reglamento de Líneas de Alta Tensión admite coeficientes de seguridad mínimos

130


Ejemplo. Comparación entre la catenaria y la parábola Con un cable ACSR Duck (605,000 MCM) calculamos las flechas para distintos vanos con un coeficiente de seguridad de 4,5. El conductor Duck presenta una tensión de rotura (TR) de 10.210 kg y un peso unitario (W) de 1,158 kg/m. W a   T  W a   H       1 1   cosh cosh    2 H   W  2 T   W 

La flecha para la catenaria es:

f

La flecha para la parábola es:

W a2 f 8T

Los valores que se sustituyen son : T 10210 T R   2268,89 4,5 CS

(

kg

; W=1,158 (kg/m)

De esta manera se elabora la tabla siguiente en la que aparece la longitud del vano en metros, la flecha para la catenaria y para la parábola en metros y la diferencia entre los dos valores expresada en tanto por ciento.

VANO

CATENARIA

PARÁBOLA

%

100

0,63801

0,63798

0,0047

200

2,55246

2,55191

0,0216

400

10,21650

10,20763

0,0868

600

23,01208

22,96718

0,1951

800

40,97255

40,83054

0,3466

1000

64,14469

63,79772

0,5409

1200

92,58888

91,86871

0,7778

Como se puede verificar en la tabla, es suficiente aproximación el empleo de la parábola, sobre todo para vanos inferiores a 1000 metros.

131


Dada la flecha que se produce en un vano, la longitud del conductor no es igual a la distancia entre los postes. Por lo tanto, para hallar el valor exacto del conductor empleado, se obtendrá la expresión de la longitud del conductor en un vano, en función de la distancia entre los postes, del peso del conductor y la tensión de flechado.  a   h  2 

L  2 h senh

desarrollando el seno hiperbólico de una serie infinita  a  a3 a5  L  2h      2h 3! 2h 3 5! 2h 5    (

)

(

)

Tomando en cuenta únicamente los dos primeros términos  a W 2 a3 a 3  a3 a3   a a a L  2h 2 2  2h 48h3  24h 24 H2  H    24   W  W 2 a3 L a 24 T 2

o en función a la flecha

8 f2 L a 3a

Ejemplo Hallar la longitud de un cable en un vano de 400 m que tiene una flecha de 10 m. Aplicamos la fórmula que relaciona la longitud del conductor con el vano y con la flecha:

8 f2 8 . 10 2 L a  400   400,67 3a 3 . 400

(

m

Como se observa cómo el vano es prácticamente igual a la longitud del cable, pese a que la flecha es relativamente grande.

132


8.4. SOBRECARGAS Para realizar el cálculo mecánico de un conductor es necesario conocer cuáles son las fuerzas que actúan sobre el mismo. El primer dato que debe considerarse es el propio peso del conductor, pero además existirán sobrecargas importantes debidas a las inclemencias atmosféricas (hielo y/o viento). 8.4.1. Sobrecarga del viento. Se puede decir que la fuerza ejercida por el viento sobre un cuerpo es directamente proporcional al cuadrado de la velocidad del viento y a la superficie expuesta

WV  P . d  0,007 .K . v 2 . d

 kg     m 

Donde: WV = Fuerza del viento (kg/m) P = Presión del viento (kg/m2 de sección longitudinal del cable) v = Velocidad del viento (km/h) K = Factor de corrección. d = diámetro del conductor (m) Por ejemplo, para una superficie plana la constante K es igual a 1. Si la superficie expuesta al viento tiene cierta forma aerodinámica, como puede ser un conductor eléctrico de forma cilíndrica K = 0,6 para cables cuyo diámetro sea igual o inferior a 16 mm K = 0,5 para cables cuyo diámetro sea superior a 16 mm El viento actúa de forma horizontal, mientras que el peso del conductor lo hace verticalmente, por tanto se debe componer ambas fuerzas W   W 2  Wv 2

133

(kg/m)


La relación entre el peso aparente W´ y el peso del conductor (W) se denomina coeficiente de sobrecarga (m) m

W  W

donde

m1

W  m W

8.4.2. Sobrecarga de hielo El hielo que se puede formar alrededor del conductor hace aumentar considerablemente el peso del mismo, por lo que se eleva la tensión, pudiendo llegar a la rotura de los cables.

WH = Peso del manguito de hielo (kg/m) W  W  WH

Peso aparente del cable

El peso del hielo se puede calcular de dos formas: 1°) Utilizando el reglamento español Este reglamento clasifica las líneas de acuerdo a la altura de instalación Zona A, entre 0 y 500 metros de altitud sobre el nivel del mar, no se considera la formación de hielo Zona B, entre 500 y 1000 metros sobre el nivel del mar Zona C, más de 1000 metros sobre el nivel del mar PESO DEL HIELO POR UNIDAD DE LONGITUD WH (kg/m)

ZONA

d (mm)

A

0

B

0,18 d

C

0,36 d

134


2°) Utilizando el criterio del espesor de hielo

WH   h

  dh 2  d 2    h  d  2e 2  d 2  4 4



(

WH   h  e d  e  Donde ρh =

)

kg   m   

Peso específico del hielo (kg/m3)

e = Espesor del manguito de hielo (m) d = Diámetro del cable (m) 8.4.3. Sobrecarga de viento y hielo

WV W W´

WH

W  WV 2  WH  W 2

Donde WV  P d  2e

Ejemplo: Una línea de transmisión tiene un conductor ACSR N° 4/0. Tiene un vano promedio de 210 m. Calcular la flecha para las condiciones de tensión máxima (coeficiente de seguridad CS de 2,5) (Factor de seguridad del 40%); una velocidad del viento de 75 km/h y un depósito de hielo de 5 mm de espesor. De tablas

Cable ACSR N° 4/0 Penguin Diámetro exterior 14,31 mm Peso 432,5 kg/km = 0,4325 kg/m Tensión de ruptura 3820 kg Sección total 125,1 mm2

135


Peso del hielo WH   h  e d  e  920,8 .  0,005 0,01431  0,005  0,2793

kg / m

Fuerza del viento WV  0,007 v 2 0,6 d  2e   0,007 . 75 2. 0,6 0,01431  2 . 0,005   0,5743

(

kg / m

Peso aparente W   WV 2  WH  W 2 

0,5743 2  0,2793  0,4325 2  0,9146

(

kg / m

Peso especifico w

W 0,4325   0,003457 S 125,1

 kg     m  mm2 

Tensión de trabajo T 3820  3820 . 0,4  1528 T R  CS 2,5

(

kg

Tensión de trabajo específico  kg  T 1528  12,21  t   2 S 125 .1  mm  Coeficiente de sobrecarga W  0,9146   2,115 m W 0,4325 Calculo de la flecha

W a 2

0,9146 . 210 2 f   3,30 8T 8 .1528

(

m

W a2

0,4325 . 210 2 f m . 2,115  3,30 m 8T 8 .1528 w a2 0,003457 . 210 2 f m . 2,115  3,30 m 8t 8 .12,21 (

(

8.5. ECUACIÓN DEL CAMBIO DE CONDICIONES La temperatura influye sobre los conductores de las líneas, de forma que si aquella disminuye, la longitud del conductor y la flecha también disminuyen, aumentando la tensión T. Por el contrario a un aumento de la temperatura la flecha crece y disminuye la tensión de los cables.

136


Por otro lado los conductores están también sometidos a la acción de sobrecargas de viento y nieve (hielo), que aumenta el peso aparente. Por tanto, es preciso tomar en cuenta tanto las sobrecargas como los cambios de temperatura, para que en todo momento los conductores trabajen en buenas condiciones de seguridad. Para plantear la ecuación de cambio de condiciones se usará la siguiente notación: f = Flecha (m) a = Vano (m) L = Longitud del arco de parábola correspondiente al vano a (m) t = Tensión específica en el punto más bajo del cable (kg/mm2) w = Peso específico (kg/m-mm2) α = Coeficiente de dilataci ón lineal del cable (1/°C) E = Módulo de elasticidad del cable (kg/mm2) Θ1 y Θ2 = Temperaturas (°C) L1 y L2 = Longitudes del cable que corresponden a Θ 1 y Θ2 (m) t1 y t2 = Tensiones específicas correspondientes a Θ1 y Θ2 (kg/mm2) El alargamiento o acortamiento (L2 – L1 ) del cable, correspondiente a una variación de temperatura (θ 2 – θ1) y a una tensión de (t 2 – t1) tiene por expresión en función del coeficiente α de dilataci ón lineal y suponiendo que la deformaciones son elásticas y que se pueda aplicar la ley de Hook

Por otro lado

t t L 2  L1  L   2   1   L 2 1 E

w 22 a 3 L2  a  24 t 2 2 w 12 a 3 L1  a  24 t12

restando

w 2 2 w12  a 3   L 2  L1   24  t 2 2 t12 

igualando 2 w 2  t 2  t1 a 3  w 2  L   2   1   L   1  2  E 24  t 2 t12 

Si se admite que en esta ecuación L difiere poco de a (lo que es evidente cuando f y a son pequeños, dividimos el primer miembro entre L y el segundo entre a t 2  t1 a 2  w 2 2 w 12     2   1     24  t 2 2 t 12  E

137


Si se considera a

 w i Wi     w W 

mi  

Coeficiente de sobrecarga

w = Peso específico del conductor solo (kg/m-mm2) wi = Peso específico del conductor y sobrecargas (kg/m-mm2)

Donde

SOBRECARGA DE Viento

Coeficiente de sobrecarga m

Hielo Viento y hielo m

w2  wv2

w w  wH m w w  w 2  w 2 H

v

w

m

m

W 2  Wv 2

W W  WH m W W  W 2  W 2 H

v

W

Ordenando respecto a t2  a 2 m12 w 2 E  a 2 m 2 2 w E 3 2   t 2  t 2  E  2   1   t1  2   24 t 24 1    a 2 m12 w 2 E  a 2 m2 2 w E 2  t 2 t 2   E  2   1   t1   2   24 24 t 1   Que es una ecuación de tercer grado de la forma x 2 x  A   B a 2 m12 w 2 E Si K 1  t 1  24 t12

Entonces

a2 w2 E 2 t 2 t 2  K1   E  2   1   m2 2

24

Ecuación del cambio de estado o ecuación de Blondel Con esta ecuación, para las distintas condiciones de temperatura y sobrecargas, se pueden obtener valores t2 con los que se puede calcular las flechas a través de la ecuación a2 w 2 a2 w f2   m 8 t2 8 t2 2

138


La ecuación de cambio de estado es válida para vanos nivelados, es decir, que los dos apoyos están a la misma altura. Sin embargo, se consigue suficiente aproximación hasta un 14% de desnivel, lo que es muy común en la mayor parte de los casos prácticos. Para vanos muy desnivelados o muy grandes se aplican fórmulas más complejas que requieren un estudio más especializado. 8.6. APLICACIÓN DE LA ECUACIÓN DE CAMBIO DE CONDICIONES HIPÓTESIS DE CÁLCULO El objetivo de la aplicación de la ecuación de cambio de condiciones, es la determinación de las condiciones más desfavorables (la máxima tensión o la mayor flecha), y para ello se plantean una serie de hipótesis, que vienen preestablecidas. Esta hipótesis no están reglamentadas en Bolivia, sin embargo como referencia se indicarán las establecidas por la norma española. Se plantean tres hipótesis: a) Hipótesis de viento (V): Peso propio del conductor (P), acción horizontal del viento equivalente a 60 kg/m2 (120 km/h) (V) y temperatura de + 15°C b) Hipótesis de temperatura: Peso propio del conductor (P) y temperatura no inferior a + 50°C c) Hipótesis de hielo (H): Peso propio del conductor (P), sobrecarga de hielo (H) y temperatura de 0°C

ZONA A HIPÓTESIS

PESO

TEMP.

TRACCION MAXIMA

P+V

-5 °C

P+V

+15 °C

P

+50 °C

T.D.C.

P

+15 °C

FLECHA MINIMA

P

-5 °C

FLECHA MAXIMA

139


ZONA B HIPÓTESIS

PESO

TEMP.

TRACCION MAXIMA

P+H

-15 °C

ADICIONAL

P+V

-10 °C

P+V

+15 °C

P+H

0

P

+50 °C

T.D.C.

P

+15 °C

FLECHA MINIMA

P

-15 °C

HIPOTESIS

PESO

TEMP.

TRACCION MAXIMA

P+H

-20 °C

ADICIONAL

P+V

-15 °C

P+V

+15 °C

P+H

0

P

+50 °C

T.D.C.

P

+15 °C

FLECHA MINIMA

P

-20 °C

FLECHA MAXIMA

ZONA C

FLECHA MAXIMA

Las hipótesis de flecha mínima y tensión de cada día (T.D.C.) no están reglamentadas, pero dada su importancia se introducen en las tablas. La TDC Tensión de Cada Día, es la tensión a la que el conductor está sometido la mayor parte del tiempo y corresponde al peso del conductor sin sobrecargas y a una temperatura de +15 ºC. La ecuación del cambio de condiciones nos permitirá hallar cuál es la peor condición a la que estará sometido un conductor en un vano, es decir, aquella situación en la 140


que se acerque más a la rotura del conductor; ésta será la hipótesis más desfavorable. Para aplicar la ecuación del cambio de condiciones se necesita una serie de datos básicos que quedarán definidos una vez determinado el conductor. La determinación del conductor se hace en función de las características eléctricas de la línea, y casi nunca por requerimientos mecánicos. Posteriormente se elige el vano, teniendo encuenta que cuanto mayor sea el vano las flechas resultantes serán mayores y por tanto también la altura de las estructuras que soportan la línea. Las características del conductor que se necesita y que facilitan las tablas son:      

Peso propio por unidad de longitud Diámetro total Sección total Carga de rotura Módulo de elasticidad. Coeficiente de dilatación

Para obtener la hipótesis más desfavorable, se compara entre la hipótesis de tracción máxima o la hipótesis adicional. Como datos para la Hipótesis de tracción máxima se tienen el peso aparente, la temperatura y la tensión máxima que puede soportar el cable (carga de rotura dividida entre el coeficiente de seguridad adoptado). Como datos de la Hipótesis adicional se tiene el peso aparente y la temperatura, resultando la tensión t2 la incógnita que se obtiene de la ecuación de cambo de condiciones. La hipótesis que presenta una mayor tensión será la más desfavorable y con los datos de esta hipótesis se calcula la constante K1 en la ecuación del cambio de condiciones, y a partir de aquí se halla las tensiones correspondientes al resto de las hipótesis Una vez efectuadas todas estas operaciones se tendrá la tensión a la que está sometido el conductor en cada una de las hipótesis que marca el reglamento, y por lo tanto se hallará las flechas correspondientes, debiendo fijarse especialmente en la flecha máxima que condiciona la altura de las estructuras. Además con los datos de la hipótesis más desfavorable se calculará las tablas de flechado del conductor que se estudiará más adelante.

141


Ejemplo de cálculo mecánico Hallar las flechas de cada una de las hipótesis aplicando la ecuación de cambio de condiciones, de una línea de transmisión que tiene un cale ACSR N° 556,500 Eagle (Águila). La línea está situada a 2500 m.s.n.m. y tiene un vano teórico de 280 m. Coeficiente de seguridad 3 Los datos del conductor son: Designación Composición: Sección aluminio Sección conductor completo Diámetro conductor completo Peso total Resistencia de rotura Módulo de elasticidad Coeficiente de dilatación

Eagle (Águila) 556,500 MCM Al (30 x 3,46 mm) ; Ac (7 x 3,46 mm) 282 mm2 347,8 mm2 24,22 mm 1.243 kg/km 12.360 kg E = 8.200 kg/mm² α = 1,78 10 -5 ºC-1

La línea corresponde a la zona C, por tanto las hipótesis a analizar serán: HIPOTESIS

PESO APARENTE

TEMP.

A

TRACCION MAXIMA

P+H

-20 °C

B

ADICIONAL

P+V

-15 °C

P+V

+15 °C

P+H

0

P

+50 °C

1 2

FLECHA MAXIMA

3 4

T.D.C.

P

+15 °C

5

FLECHA MINIMA

P

-20 °C

Inicialmente calculamos las sobrecargas de viento y hielo Sobrecarga del viento (v=120 km/h) P  0,007 . v 2 . 0,6  0,007 . 120 2 . 0,6  60,48 kg / mm 2 WV  P . d  60,48 . 0,02422  1,4648 kg / m (

(

W   W 2  Wv 2 

)

1.243 2  1,4648 2  1,9211

(

Sobrecarga de hielo

142

kg / m


WH  0,36 d  0,36

24,22  1,7717 kg / m W   W  WH  1,243  1,7717  3,0147 kg / m La ecuación de cambio de condiciones es (

)

(

a2 w 2 E 2 t 2 t 2  K1   E  2   1   m2 2

24

Donde

a 2 m12 w 2 E K 1  t1  24 t12

El peso específico del cable será: w 

W 1,243   0,003574 S 347,8

 kg     m  mm2 

A) Hipótesis de tracción máxima (P + H ; θ1 = -20 °C) El cable está sometido a un peso

W1  3,0147 kg / m W  kg  3,0147  0,008668   w1  1  2 S 347,8  m  mm 

El coeficiente de sobrecarga será: m1 

W1 3,0147   2,42 W 1,243

T 12360  4120 T1  R  3 CS

(

La tensión será:

La flecha será

T 4120  11,84 t1  1  S 347,8 a 2 w1 f1   8 t1

kg

)

 kg     mm2 

280 2 0,008668  7,17 8 . 11,84

(

m

B) Hipótesis adicional (P + V ; θ2 = -15) W2  1,9211 kg / m Peso aparente W 1,9211  0,005523 w2  2  S 347,8

Coeficiente de sobrecarga

m2 

 kg    2  m  mm 

W2 1,9211   1,54 W 1,243

143


Calculando 280 2 2,42 2 0,003574 2 8200 a 2 m12 w 2 E 11 2 K 1  t1  ,84  ,45 kg / mm 2    24 t12 24 . 11,84 2 (

La ecuación de cambio de condiciones

a2 w 2 E 2 t 2 t 2  K1   E  2   1   m2 2

24

280 2 0,003574 2 . 8200 -5 2 t 2 t 2  2,45  1,78x 10 . 8200  15  20   . 1,54 2



t 2 2 t 2  3,18   812



resolviendo

La flecha para esta hipótesis será:

24

t 2  8,38

(

kg / mm 2

a 2 w 2 280 2 0,005523   6,46 f2  8 t2 8 . 8,38

(

m

Como t1 > t2 entonces la hipótesis más desfavorable es la de Tracción Máxima Una vez conocida la hipótesis más desfavorable, y haciendo uso de la constante K1 hallada anteriormente, se calcula el resto de las hipótesis marcadas en la tabla: 1.- Hipótesis de flecha máxima (P + V; θ = +15) Tenemos los siguientes datos iniciales: t1 = 11,84 (kg/mm2).; w1 = 0,008688 (kg/m-mm2) ; θ1 = - 20 ºC ; K1 = -2,45 (kg/mm2) Los datos de la hipótesis de flecha máxima son: w2 =0,005523 (kg/m). ;

θ2 = +15 ºC


; m2 =1,54 a2 w 2 E 2 t 2 t 2  K1   E  2   1   m2 2

24

280 2 0,003574 2 . 8200 -5 2 t 2 t 2  2,45  1,78x 10 . 8200 15  20  . 1,54 2



t 2 2 t 2  7,56   811 resolviendo




24

t 2  7,37

(

kg / mm2

a2 w 2 f2   8 t2

144

280 2 0,005523  7,34 8 . 7,37

(

m


2.- Hipótesis de flecha máxima (P + H ; θ = 0) Tenemos los siguientes datos iniciales: t1 = 11,84 (kg/mm2).; w1 = 0,008688 (kg/m-mm2) ; θ1 = - 20 ºC ; K1 = -2,45 (kg/mm2) Los datos de la hipótesis de flecha máxima son: w2 =0,008688 (kg/m). ;

θ2 = +0 ºC

; m2 =2,42 a2 w 2 E 2 t 2 t 2  K1   E  2   1   m2 2


24

280 2 0,003574 2 . 8200 -5 2 t 2 t 2  2,45  1,78x 10 . 8200 0  20   . 2,42 2



t 2 2 t 2  5,37   2004



resolviendo


24

t 2  11,,05

(

kg / mm2

a2 w 2 f2   8 t2

280 2 0,008688  7,70 8 . 11,05

(

m

3.- Hipótesis de flecha máxima (P ; θ = +50 °C) Tenemos los siguientes datos iniciales: t1 = 11,84 (kg/mm2).; w1 = 0,008688 (kg/m-mm2) ; θ1 = - 20 ºC ; K1 = -2,45 (kg/mm2) Los datos de la hipótesis de flecha máxima son: w2 =0,003574 (kg/m). ;

θ2 = +50 ºC


; m2 =1 a2 w 2 E 2 t 2 t 2  K1   E  2   1   m2 2

24

280 2 0,003574 2 . 8200 2 -5 2 t 2 t 2  2,45  1,78x 10 . 8200 50  20   .1



t 22 t 2  12,67  342



resolviendo


24

t 2  4,,46

(

kg / mm 2

a2 w 2 f2   8 t2

145

280 2 0,003574  7,85 8 . 4,46

(

m


Por lo tanto, la flecha máxima se tiene cuando el conductor esté sometido a la acción de su propio peso y a una temperatura de 50 °C. Este dato servirá para calcular la altura de los postes. 4.- Tensión de cada día (P ; θ = 15°C) TDC (no reglamentaria) Tenemos los siguientes datos iniciales: t1 = 11,84 (kg/mm2).; w1 = 0,008688 (kg/m-mm2) ; θ1 = - 20 ºC ; K1 = -2,45 (kg/mm2) Los datos de la hipótesis de TDC: w2 =0,003574 (kg/m). ;

θ2 = +15 ºC


; m2 =1 a2 w 2 E 2 t 2 t 2  K1   E  2   1   m2 2

24

280 2 0,003574 2 . 8200 2 -5 2 t 2 t 2  2,45  1,78x 10 . 8200 15  20   .1



t 2 2 t 2  7,56   342



resolviendo


24

t 2  5,18

(

kg / mm 2

a 2 w 2 280 2 0,003574   6,76 f2  8 t2 8 . 5,18

(

m

5.- Hipótesis de flecha mínima (P ; θ = -20°C) (no reglamentaria) Tenemos los siguientes datos iniciales: t1 = 11,84 (kg/mm2).; w1 = 0,008688 (kg/m-mm2) ; θ1 = - 20 ºC ; K1 = -2,45 (kg/mm2) Los datos de la hipótesis de TDC: w2 =0,003574 (kg/m). ;

θ2 =

-20 ºC


; m2 =1 a2 w 2 E 2 t 2 t 2  K1   E  2   1   m2 2

24

280 2 0,003574 2 . 8200 2 -5 2 t 2 t 2  2,45  1,78x 10 . 8200  20  20   .1





146

24


t 2 2 t 2  2,45  342

resolviendo

t 2  6,27


(

kg / mm2

a2 w 2 f2   8 t2

280 2 0,003574  5,59 8 . 6,27

(

m

Resumen:

A B 1 2 3 4 5

HIPÓTESIS Tracción máxima Adicional Flecha máxima Flecha máxima Flecha Máxima TDC Flecha mínima

TENSIÓN

TENSION

Coeficiente

FLECHA

(kg/mm2) 11,84 8,38 7,37 11,05 4,46 5,18 6,27

(kg) 4118 2915 2563 3843 1551 1802 2181

sobrecarga 3 4,24 4,82 3,22 7,97 6,86 5,67

(m) 7,17 6,46 7,34 7,70 7,85 6,76 5,59

8.7. TENSIÓN DE CADA DÍA Por la experiencia adquirida en la explotación de las líneas eléctricas se llegó a la conclusión de que cuanto más elevada sea la tensión mecánica de un cable, mayores son las probabilidades de que aparezca el fenómeno de las vibraciones. De aquí se dedujo la conveniencia de mantener dicha tensión dentro de ciertos límites para eludir en lo posible la presencia de tal fenómeno. Se pretendía determinar cuál sería la tensión admisible para poder recomendar valores con los que se esperaba no se produjeran averías por vibración, es decir, roturas de los hilos componentes de los cables. Se llegó al concepto de "tensión de cada día" (T.D.C.) que es la tensión a la que está sometido el cable la mayor parte del tiempo correspondiente a la temperatura media de 15 ºC sin que exista sobrecarga alguna. El coeficiente T.D.C. (tensión de cada día) se expresa en tanto por ciento de la carga de rotura, es decir: T C TCD  TDC x100 TR

%

Se admite que cuando el coeficiente es mayor del 18% se colocarán antivibradores.

147


En la figura se representa un antivibrador Stockbridge constituido por dos mazas enlazadas a través de un cabo de cable por cuyo centro se fija al conductor.

En el caso del ejemplo anterior la tensión de cada día es igual a 1802 (kg). El coeficiente de la tensión de cada día es: 1802 x100  14,6% < 18% ; por tanto no es 12360 necesario la colocación de antivibradores T C TCD  TDC x100 TR

% 

8.8. TABLAS Y CURVAS DE FLECHADO Como ya hemos visto, tomando como punto de partida la hipótesis más desfavorable, obtenemos el resto de las hipótesis de flecha máxima, flecha mínima, condición T. D. C., etc. No obstante, estos cálculos no serán suficiente, ya que a la hora de montar la línea, las condiciones climatológicas no serán las de las citadas hipótesis. Se trata pues de establecer una serie de condiciones que sean normales a la hora del montaje y que tendrán como condición extrema de referencia la hipótesis más desfavorable. Así, mediante la ecuación del cambio de condiciones, deberemos resolver una serie de casos en los que supondremos que el viento y el manguito de hielo no existen, teniendo como única variable las diversas temperaturas que se suponen normales en la zona. Para cada valor de temperatura obtendremos una tensión, formando así lo que llamaremos tabla de tendido para un determinado vano. La siguiente tabla de tendido está construida para un cable ACSR Tagle 556,500 MCM y un vano de 280 metros. Se ha considerado un intervalo de temperaturas comprendido entre -5 y 35 grados centígrados. Para el cálculo se utilizó la ecuación de cambio de condiciones con: t1 = 11,84 (kg/mm2).; w1 = 0,008688 (kg/m-mm2) ; θ1 = - 20 ºC ; K1 = -2,45 (kg/mm2)

148


α = 1,78 x 10 -5 (1/°C)

; E = 8200 (kg/mm2)

Y los datos para las distintas condiciones w2 =0,003574 (kg/m). ;

θ2 = varia

de -5 °C a +35 ºC

; m2 =1

a2 w 2 E 2 t 2 t 2  K1   E  2   1   m2 2

24

VANO 280 m Θ2

(ºC)

Θ2 – Θ1

t 22 t 2  2,45   E  2   1  342

( °C )

t (kg/mm2)

T

f

(kg)

(m)

-5

15

t 2 2 t 2  4,64  342

5,74

1996

6,10

0

20

t 2 2 t 2  5,37   342

5,59

1944

6,26

5

25

t 2 2 t 2  6,10   342

5,44

1892

6,44

10

30

t 2 2 t 2  6,83  342

5,31

1847

6,60

15

35

t 2 2 t 2  7,56   342

5,18

1802

6,76

20

40

t 2 2 t 2  8,29   342

5,06

1760

6,92

25

45

t 2 2 t 2  9,02   342

4,95

1722

7,07

30

50

t 2 2 t 2  9,75   342

4,84

1683

7,24

35

55

t 2 2 t 2  10,48   342

4,74

1649

7,39

De esta tabla podemos obtener lo que llamaremos curvas de tendido, es decir, la variación de la tensión y la flecha con la temperatura: Se observa como la tensión disminuye con la temperatura, mientras que la flecha aumenta con la temperatura.

149


8.9. VANO IDEAL DE REGULACIÓN. Un tramo de línea está constituido por una serie de apoyos de alineación, limitadas por dos estructuras de anclaje (o de tensión). Los vanos entre apoyos serán en general distintos puesto que la configuración topográfica del terreno obliga a tal situación.

Si el cálculo de las tensiones y flechas se hiciese de modo independiente para cada uno de los vanos del tramo (para cada vano a), en función de las diferentes longitudes de los vanos, habría que tensar de manera distinta en vanos contiguos, pero como los cables cuelgan de cadenas de aisladores de suspensión, las diferencias de tensión quedarían automáticamente anuladas por las inclinaciones que en sentido longitudinal tomarían dichas cadenas, cuya posición correcta es precisamente vertical y no inclinada. Puesto que en un tramo de línea constituido por una serie de apoyos de alineación, limitada por dos de anclaje, las cadenas de suspensión (verticales) no pueden absorber las diferencias de tensado, debidas a las distintas longitudes de los vanos,

150


se debe admitir que las tensiones de los cables, iguales en todos los vanos, varíen como lo haría el de un vano teórico que se llama "Vano ideal de regulación". Es necesario, por consiguiente, que las tablas regulación (de tendido o flechado) de los distintos vanos tengan una misma tensión para cada valor de la temperatura, siendo la variación de la flecha quien compense las diferencias de longitud de los vanos. El vano ideal de regulación aR puede calcularse mediante la fórmula siguiente: n

aR 

 a13  a 2 3  a 3 3    a n 3     a1  a 2  a 3    a n   

 ak3

k 1 n

 ak

k 1

si los apoyos están al mismo nivel También se puede admitir de manera aproximada aR  a 

2 a  a 3 max

n

 ak

Donde

a  vano promedio  k 1 n

En la que a1, a2, a3, ... a n son las diferentes longitudes de los vanos que forman un determinado tramo de alineación comprendida entre dos estructuras de tensión. 8.10. TABLA DE REGULACIÓN DEL CABLE Una vez determinado valor del vano ideal de regulación, se debe hallar su condición reglamentaria más desfavorable y la tabla de tendido correspondiente. De esta manera tendremos el punto de partida para determinar las características de los vanos que integran esta serie. Según la tabla de tendido, para cada temperatura le corresponde una tensión y una flecha, por lo tanto para el vano de regulación aR le corresponde una flecha de regulación fR cuyo valor resultará ser: aR 2 . w fR  8 .t

151


Como la tensión en la serie de vanos que integran la alineación es igual en todos ellos, tendremos que la flecha "incógnita" para cada uno de los distintos vanos, será: ai 2 . w fi  8 .t 2

Dividiendo estas dos igualdades, resulta:

 a  fi   i  . fR  a R 

Ecuación que nos proporciona el valor de la flecha fi , de cada vano, en función de la flecha de regulación fR , y de sus correspondientes vanos ai y a R, para una condición determinada de temperatura, tensión y peso del conductor. Ejemplo: Tomado el ejemplo anterior, y asumiendo que el vano de regulación es de 280 m θ (ºC)

t (kg/mm )

T (kg)

f (m)

-5

5,74

1996

6,10

0

5,59

1944

6,26

5

5,44

1892

6,44

10

5,31

1847

6,60

15

5,18

1802

6,76

20

5,06

1760

6,92

25

4,95

1722

7,07

30

4,84

1683

7,24

35

4,74

1649

7,39

Se pueden calcular las flechas para distintos vanos utilizando la expresión anterior 2

2  ai  a i    . fR   fi    fR a 280    R 

152


TABLA DE TENSIONES Y FLECHAS DE REGULACIÓN CABLE ACSR 556,500 MCM EAGLE FLECHAS EN METROS °C

-5 0 5 10 15 20 25 30 35

Kg

1996 1944 1892 1847 1802 1760 1722 1683 1649

LONGITUDES DE VANO EN METROS 220

240

260

280

300

320

340

360

3,77 3,86 3,98 4,07 4,17 4,27 4,36 4,47 4,56

4,48 4,60 4,73 4,85 4,97 5,08 5,19 5,32 5,43

5,26 5,40 5,55 5,69 5,83 5,97 6,09 6,24 6,37

6,10 6,26 6,44 6,60 6,76 6,92 7,07 7,24 7,39

7,00 7,19 7,39 7,58 7,76 7,94 8,12 8,31 8,48

7,97 8,18 8,41 8,62 8,83 9,04 9,23 9,46 9,65

8,99 9,23 9,49 9,73 9,97 10,20 10,42 10,67 10,90

10,08 10,35 10,64 10,91 11,17 11,44 11,69 11,97 12,22

U.T.O. – F.N.I. - LINEAS DE TRANSMISION Ing. Gustavo Adolfo Nava Bustillo

154

8.11. PROCEDIMIENTOS DE FLECHADO 8.11.1. Medición de la flecha por visualización Para este procedimiento se debe contar con la tabla de regulación. La medición de la temperatura se la realiza por medio de un termómetro suspendido en una estructura y cubierto de la acción directa de los rayos del sol. Debe evitarse el flechado en horas donde hay bruscos cambios de temperatura. Con la finalidad de que en un tramo entre dos estructuras de tensión (retensión o anclaje) de una línea se realice correctamente el tesado de los conductores, se efectúa la medición de la flecha en un vano cualquiera del tramo. Una vez determinada la flecha más adecuada, de acuerdo a la tabla de regulación, se procede a la medición señalando en cada una de dos estructuras contiguas la distancia de la flecha medida desde el punto de suspensión del conductor (Puntos A y B). Luego se dirige la visual alineando la parte más baja del conductor con las señales de las dos estructuras, pudiendo usarse un teodolito.

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8.11. PROCEDIMIENTOS DE FLECHADO 8.11.1. Medición de la flecha por visualización Para este procedimiento se debe contar con la tabla de regulación. La medición de la temperatura se la realiza por medio de un termómetro suspendido en una estructura y cubierto de la acción directa de los rayos del sol. Debe evitarse el flechado en horas donde hay bruscos cambios de temperatura. Con la finalidad de que en un tramo entre dos estructuras de tensión (retensión o anclaje) de una línea se realice correctamente el tesado de los conductores, se efectúa la medición de la flecha en un vano cualquiera del tramo. Una vez determinada la flecha más adecuada, de acuerdo a la tabla de regulación, se procede a la medición señalando en cada una de dos estructuras contiguas la distancia de la flecha medida desde el punto de suspensión del conductor (Puntos A y B). Luego se dirige la visual alineando la parte más baja del conductor con las señales de las dos estructuras, pudiendo usarse un teodolito.

8.11.2. Medición de la flecha por el método de la onda de retorno Este es un método alternativo, muy utilizado en las líneas de alta tensión. El método consiste en que un individuo golpee secamente el conductor con la mano o desde tierra con una soga a una distancia de un metro de la cadena de aisladores, con el fin de producir un impulso mecánico que viajará en forma de onda y se reflejará en la estructura alejada un ano del individuo. Las sucesivas reflexiones continuarán hasta que la energía de la onda se disipe completamente. En el momento de producirse el golpe se cuenta cero y en ese instante se acciona un cronómetro. Se cuenta cada retorno hasta el décimo y en ese momento se

154

LINEAS_CAPITULO_8

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