LINEAS GEODESICAS
NICOLÁS GARCÍA MIRQUEZ CÓD. - 20101032011
UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSÉ DE C ALDAS SEDE MEDIO AMBIENTE Y DESARROLLO INGENIERÍA TOPOGRÁFICA BOGOTÁ 2011
INTRODUCCIÓN
Para entender el concepto de línea geodésica, se debe tener una información previa sobre el comportamiento del elipsoide de revolución, tomando en cuenta la diferencia entre puntos y su comportamiento en la misma. Un elipsoide de revolución es la superficie generada por una elipse que gira alrededor de uno de sus dos ejes de simetría , por ende podemos decir q es una elipse en 3D, ya q posee coordenadas x, y, z las cuales son usadas para la ubicación sobre él. Los elipsoides de revolución presentan unos planos, como lo es el plano normal perpendicular o plano del primer vertical que se caracteriza por contener a la gran normal puesto q es perpendicular al plano meridiano, y el plano normal del punto que como su nombre lo dice contiene la normal del mismo. Además de planos también podemos decir q tiene una sección normal, la cual es la curva formada por la intersección entre el plano normal y cualquier punto de la superficie elipsoidal.
OBJETIVOS
GENERAL
Comprender
la importancia de una línea geodésica (o geodésicas) para la obtención de la longitud de la misma y así determinar la distancia existente entre dos puntos conocidos
ESPECÍFICOS
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Entender la definición de una línea geodésica y su forma dependiendo del medio en el que se esté aplicando Comprender
la razón de q la distancia en la línea geodésica comprendida entre el punto A al punto Z sea diferente a la que existe partiendo del pun to Z al punto A interpretar la importancia de las variedades riemannianas a la hora de interpretar y entender mejor el concepto de una línea geodésica o de la distancia de 2 puntos en una elipse
MARCO TEORICO
Cuando
hacemos alusión a una línea geodésica, nos estamos refiriendo a la mínima distancia comprendida entre dos puntos cualquiera en una superficie o el camino más corto para ir de un punto a otro, esta línea no necesariamente tiene que ser recta ya que, como podemos observar en algunas superficies circulares estas pueden ser segmentos de círculos máximos y en las elipses de revolución serán arcos. Por lo anterior si tomamos como superficie de referencia la del elipsoide, las cosas ya no son tan sencillas. En primer lugar, debemos tener en cuenta que Las normales al elipsoide trazadas desde dos puntos con dife rente latitud, se intersectan con el eje menor del elipsoide en puntos El problema se complica cuando los puntos A y Z se encuentran en distintas elipses meridianas (tienen distinta longitud geodésica, caso más frecuente), pues las verticales al elipsoide serán dos rectas que se cruzan en el espacio, siendo imposible determinar, al contrario que sucedía con la esfera, un único plano que contenga a los dos puntos y a las verticales trazadas desde ellos a la superficie del elipsoide. Por esta razón, suele decirse que el plano normal directo de A a Z es el que pasa por estos puntos y contiene a la normal al elipsoide en A. Del mismo modo, el plano normal directo de Z a A será el que pasa por estos puntos y contiene a la normal en Z. Está claro que las secciones generadas por estos dos planos con la superficie del elipsoide no serán coincidentes
Aunque también si tomamos los puntos A Y Z, cada uno con su respectiva latitud y longitud, posteriormente de haber trazado las norma les correspondientes, las cuales se interceptan con el eje menor ubicado sobre el eje de simetría, podemos notar que cada una de las normales trazadas están contenidas en ot ros planos y no en uno mismo, esto nos demuestra lo dicho anteriormente que las distancias entre el punto A Y Z son diferentes a la que hay entre Z Y A. Así que el plano osculador (plano que contiene en cada punto de la curva a su vector tangente y a su vector normal ) de la línea geodésica es perpendicular y/o
ortogonal en cualquier punto a un plano tangente a la superficie de dicha figura ya será una esfera o un elipsoide en revolución. Por otro lado cuando hablamos de una geodésica o línea geodésica (Geodésica: Camino más corto entre dos puntos. En una superficie plana, una geodésica es una línea recta; en una superficie esférica, un arco) generalmente, se puede hablar de espacios y lugares curvado de dimensión superior llamados variedades riemannianas, que es una variedad diferenciable real en la que cada espacio tangente se equipa con un producto interior de manera que varíe suavemente punto a punto, en donde, si el espacio contiene una métrica natural, entonces las líneas geodésicas son (localmente) la ruta más corta entre dos puntos en el espacio . Si tomamos como superficie de referencia la del elipsoide, las cosas ya no son tan sencillas. En primer lugar, debemos tener en cuenta que ³ Las normales al elipsoide trazadas desde dos puntos con diferente latitud, se intersectan con el eje menor del elipsoide en puntos´
CONCLUSIONES
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Cuando
hablamos de una geodésica o línea geodésica hacemos referencia al camino más corto entre dos puntos. En una superficie plana, una geodésica es una línea recta; en una superficie esférica, un arco. Suponiendo que tengamos dos puntos Z y A sobre el elipsoide de revolución, podemos decir que la distancia existente entre la línea ZA es diferente a la que comprende AZ debido a que las dos líneas o segmentos d e arcos tienen diferentes ángulos y azimuts aunque la principal razón es que están comprendidas en otros planos. Las variedades riemannianas como su nombre lo indica son una variedad diferenciable real en la que cada espacio tangente se equipa con un producto interior de manera que varíe suavemente punto a punto , según esto la distancia entre dos puntos es la ruta más corta existente en el espacio.
INFOGRAFIA
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http://es.wikipedia.org/wiki/Geometr% C3%ADa_diferencial_de_curvas http://es.wikipedia.org/wiki/Geod% C3%A9sica#V. C3.A9ase_tambi. C3.A9n http://es.scribd.com/doc/2539474/Apuntes -De-Geodesia
