SADRŽAJ UVOD........................................................................................................................... 2 1. Linearno programiranje (LP) ............................................................................... 3 Matematički model linearnog programiranja........................................................... 4 Rješavanje problema LP-a grafičkom metodom...................................................... 5 Postavljanje modela LP za problem maksimuma...................................................... maksimuma...................................................... 8 Problem minimuma...................................................................................................... 12 Posebni oblici ograničenja ili jednadžbi i nejednadžbi............................................. 13 Bilanciranje proizvodnje.............................................................................................. 13 Određenje strukture proizvodnje................................................................................ 14 Zaključak
1
Uvod Linearno programiranje je namijenjeno rješavanju problema optimalne kombinacije više varijabli radi ostvarenja maksimalnog ili minimalnog rezultata uz zadovoljenje postavljenih ograničenja i/ili zahtjeva. Optimizacija uključuje odabir varijabli i određivanje njihovih vrijednosti. Traženi maksimum ili minimum jest rezultat funkcije cilja ili funkcije kriterija u kojoj se mjeri doprinos pojedine varijable ukupnom rezultatu modela. Doprinos pojedine postaje kriterij njena nj ena odabira u kombinaciju, može biti pozitivan ili negativan. Najčešće je kriterij odabira ili doprinos varijable ekonomske prirode: dobit, trošak, cijena i sl. U ovom seminarskom ćemo vidjeti kako je moguće riješiti problem pomoću metode linearnog programiranja
2
1. Linearno programiranje (LP) Problemi koje možemo rješavati LP-om su prvi put prikazani matematičkim modelom početkom 20. stoljeća (Kantorović, 1939), a najraširenija metoda za rješavanje ovakvih modela objavljena je 1947. godine (Dantzing) pod nazivom SIMPLEX postupak (algoritam). Ukoliko je traženi cilj LP-a kombinacija varijabli za dobivanje najviše vrijednosti funkcije kriterija, govorimo o problemu maksimuma. Ovakvi modeli LP-a obično imaju za cilj maksimum bruto dobiti ili bruto dohotka iz mogućeg proizvodnog programa. Ako modelom LP-a nastojimo odrediti takvu kombinaciju varijabli koja će nam osigurati najnižu vrijednost funkcije kriterija, radi se o problemu minimuma. Model kojim tražimo minimum za cilj ima najmanje troškove, kao na primjer pri traženju najjeftinije kombinacije krmiva za smjesu. Dakle, s obzirom na cilj, optimalno rješenje modela u LP-u može biti ili minimum il i maksimum funkcije kriterija. Zbog toga kod linearnog programiranja pojam optimalno moramo razlikovati od slučaja do slučaja, premda je optimum uvijek ekstrem: maksimum ili minimum funkcije kriterija. U poljoprivredi se primjenom linearnog programiranja stručnjaci bave od samog početka njegova postojanja. Razvoj i širenje primjene LP-a prati razvitak računala, jer su ona omogućila ubrzavanje i pojednostavljenje procedura. U nas se LP u poljoprivredi izučavalo i primjenjivalo najviše na velikim gospodarstvima u vlasništvu države. Najčešće se u poljoprivredi LP-om rješavaju slijedeći problemi: 1. modeli maksimuma funkcije kriterija: Izbor optimalnog proizvodnog programa s obzirom na ekonomski rezultat. Usklađivanje međusobno povezanih proizvodnji. Planiranje plodoreda i postavljanje optimalnih odnosa među proizvodnjama itd. 2. modeli minimuma funkcije kriterija: Odabir načina transporta proizvoda ili robe iz više odredišta na više ishodišta uz minimalne ukupne transportne troškove. Izrada receptura obroka smjesa smjesa za ishranu stoke s najmanjom cijenom, iz raspoloživih krmiva krmiva i prema zadanim zahtjevima. Odabir vina radi dobivanja kupaže željenih značajki uz minimalnu cijenu.
3
Matematički model linearnog programiranja
Glavno obilježje modela linearnog programiranja jest linearnost odnosa između resursa (ograničenja) i varijabli u modelu. Zbog toga što pretpostavlja linearnu zavisnost između promatranih varijabli, ova metoda ima naziv linearno. Iz razloga što je razvijeno ra zvijeno primarno zbog rješavanja problema alokacije ograničenih resursa re sursa na više konkurentskih djelatnosti nekog proizvodnog sustava, metodu nazivamo programiranje. Naime, metoda omogućuje određenje optimalnog programa proizvodnje: programiranje proizvodnje. Linearnost olakšava razumijevanje modela i olakšava računske operacije, ali ujedno otežava kvalitetno modeliranje stvarnih problema. U stvarnosti je, naime, linearnost više iznimka nego pravilo kod većine proizvodnih ili ekonomskih odnosa. Ipak, u ograničenim intervalima vrijednosti pojedinih varijabli, možemo linearnost prihvatiti kao dobru aproksimaciju stvarnosti. Primjer za razumijevanje problema linearnosti možemo naći u funkciji proizvodnje. Ako, na primjer pretpostavimo da se odnos količine proizvoda i količine inputa može iskazati jednadžbom y=2x (što znači da je za jedan proizvod potrebno potrošiti 2 jedinice inputa), to ne znači da će ovaj odnos ostati nepromijenjen s povećanjem obujma proizvodnje. Jasno je da će se s povećanjem iskorištenja kapaciteta ili povećanjem obujma proizvodnje dogoditi promjena u izdašnosti inputa, pa će u nekom trenutku odnos možda biti y=1,5x ili y=0,1x2. To znači da će linearni odnos iskazan prvom jednadžbom vrijediti samo u određenom intervalu vrijednosti y i x.
Matematički gledano, model linearnog programiranja jest sustav m linearnih jednadžbi ili nejednadžbi s n nepoznanica. Rješavanje sustava razumijeva traženje vrijednosti svih n nepoznanica xi, uz uvjet da postignemo ekstremnu vrijednost posebno postavljene funkcije cilja ili funkcije kriterija. Sustav linearnih jednadžbi ili nejednadžbi u modelu LP se zapisuje na slijedeći način: y1 ≤ a11 x x1 + a12 x x2 + ... + a1n x xn y2 ≥ a21 x x1 + a22 x x2 + ... + a2n x xn
ym ≤ am1 x x1 + am2 x x2 + ... + amn x xn
Y
Z Z
ma x
=
Z m in
Z = Σa i xi
xi ≥ 0; i=1,2,3,...,n; j=1,2,3,...,m;
Pri tome je: y j = oznaka resursa ili ograničenja xi = oznaka varijable ili djelatnosti a ji = tehnički koeficijent i-tog proizvoda za j-ti resurs ai = koeficijent funkcije kriterija Y Z = ekstremna (optimalna) vrijednost funkcije kriterija Z (minimum ili maksimum) Z = funkcija cilja ili funkcija kriterija
4
Svaka jednadžba ili nejednadžba je model odnosa jednog resursa (ograničenja) i svih n nepoznanica. Nepoznanice su varijable koje mogu poprimati samo nenegativne vrijednosti, dok su vrijednosti resursa ili ograničenja zadane kapacitetima ili tehnološkim zahtjevima. Optimizacija sustava se zato svodi na traženje vrijednosti za sve varijable xi, i to takvih koje će dati ekstremnu vrijednost funkcije kriterija uz slijedeće uvjete: 1. da rješenje za svih n varijabli bude pozitivno ili 0 (nenegativno) ili xi ≥ 0; i=1,2,3,...,n 2. da je rješenje moguće (izvodivo, eng. feasible), što znači da zahtjevi ili ograničenja moraju biti postavljeni tako da omoguće bar jednu izvedivu kombinaciju. Problem izvodivog ili mogućeg rješenja posljedica je konflikta različitih zahtjeva u modelu. Jednostavan primjer takvog konflikta jest slijedeća hipotetska situacija: modelu elu su pretpo pretposta stavlje vljene ne varija varijable ble u vidu vidu proizv proizvodn odnji ji različi različitih tih žitar žitarica ica i zahtije zahtijeva va se - u mod iskorištenje točno 50 ha za proizvodnju svih žitarica; - kao drugi zahtjev traži se da ukupna količina žitarica bude u okvirima raspoloživog kapaciteta skladišta, a to je, recimo, 100 t; - ukoliko za pojedine proizvodnje planiramo i izuzetno mali prinos, npr. 3 t/ha, ukupna proizvodnja na 50 ha iznositi će 150 t; - dakle, ako zadovoljimo uvjet da je "zasijano 50 ha žitarica", nemoguće je istovremeno zadovoljiti uvjet da je "popunjeno točno 100 tona skladišta". Ovakav model s dva ograničenja i više varijabli (žitarica) nema mogućeg rješenja.
Kako znamo, odgovarajućim računskim operacijama rješiv je svaki sustav od n jednadžbi s n nepoznanica. No, s povećanjem broja nepoznanica i jednadžbi, uobičajeni načini rješavanja su spori i složeni, a u slučaju nejednakog broja jednadžbi i nepoznanica, i neučinkoviti. Algoritmi koji se primjenjuju u LP-u omogućuju rješavanje vrlo velikih sustava sa stotinama varijabli (nepoznanica) i isto tako velikim brojem jednadžbi. Simplex algoritam dostupan je u mnogim programima za stolna računala, a LP modele moguće je rješavati i raširenim uredskim alatima kao što su Excel, Lotus i sl. Rješavanje problema LP-a grafičkom metodom
Kako matematički model LP-a iz prethodnog poglavlja povezati sa stvarnim problemima? Za početak, uzmimo jednostavan problem optimizacije proizvodnog programa: Na nekom gospodarstvu sredstva i znanje omogućuju sjetvu dvije kulture: kukuruza i soje. Raspoloživi su proizvodni resursi zemlja i rad. Potrebno je odrediti optimalnu strukturu sjetve, tj. onu koja će dati najveću bruto dobit. U ovom slučaju, količine sjetve kukuruza i soje su varijable ili nepoznanice x1 i x2 čije vrijednosti tražimo. Količinu sjetve možemo mjeriti u jedinicama za masu ili za površinu. Zemlja i rad su resursi ili ograničenja, jer gospodarstvo raspolaže s njima, ali u ograničenoj količini. Kako tražimo rješenje za samo dvije varijable, možemo se poslužiti dvodimenzionalnim prikazom modela na koordinatnom sustavu. Prvo, odredimo mjerne jedinice varijabli i resursa. Mjerne jedinice su nužne jer kvantifikacija modela bez naznačenih mjernih jedinica postaje neprotumačiva i beskorisna. Neka mjerne jedinice kukuruza i soje budu vagoni (10 t), zemljišta hektari i rada sati. Ukupno na raspolaganju ima 8 ha zemlje i 30 sati rada. x1 i x2 – kukuruz i soja) i dva resursa ( y y1 i y2 – zemlja i Ovime smo definirali naše dvije nepoznanice ( x rad).
5
Definirajmo sad i koeficijente ai j j1. Ovi koeficijenti uz nepoznanice se u modelima LP-a nazivaju tehničkim koeficijentima. Njihova vrijednost iskazuje odnos pojedine varijable xi prema odgovarajućem resursu y j. U realnosti, oni nam pokazuju koliko je jedinica resursa potrebno za jednu jedinicu varijable. U našem slučaju, recimo da je za proizvodnju vagona kukuruza potrebno 2 ha zemljišta, a za vagon soje 5 ha. Neka je za jedinicu kukuruza i jedinicu soje potrebna ista količina rada: 10 sati/vagonu. S ovim informacijama možemo postaviti naš sustav od dvije jednadžbe s dvije nepoznanice: 8 = 2x1 + 5x2 (Ako proizvedemo 1 v. kukuruza (x 1=1), potrošiti ćemo 2 ha od ukupno 8. Za soju ćemo potrošiti 5 ha od 8 na 1 v (ako je x2=1). To nam govore koeficijenti koeficijenti 2 i 5. Dakle, proizvodimo proizvodimo li samo po jednu kulturu, kulturu, možemo proizvesti ili 4 v. kukuruza ili 1,6 v. soje.) 30 = 10x1 + 10x2 (Ako proizvedemo 1 v. kukuruza, potrošiti ćemo 10 sati od ukupno 30. Isto vrijedi i za soju. Dakle, proizvodimo li samo po jednu kulturu, možemo proizvesti ili 3 v. kukuruza ili 3 v. soje.) Nedostaje nam funkcija cilja, ili funkcija kriterija, za koju ćemo tražiti ekstremnu vrijednost. Funkcija kriterija (FK) sadrži koeficijente čija vrijednost predstavlja kriterij za odabir varijabli. S obzirom da je zadatak proizvodni program s najvišom bruto dobiti, logičan kriterij za odabir pojedine kulture jest bruto dobit koju ona donosi po po jedinici proizvodnje. Bruto dobit po vagonu za svaku svaku varijablu biti će koeficijenti funkcije kriterija u ovom slučaju. Neka je bruto dobit po vagonu kukuruza 1.500 kn, a po vagonu soje 2.000 kn. Tada našim dvjema jednadžbama možemo dodati i treću - jednadžbu funkcije kriterija - pa sustav s funkcijom kriterija glasi: 8 = 2x1 + 5x2 30 = 10x1 + 10x2 Z max = 1500x1 + 2000x2 (xi ≥ 0, i=1,2) Rješavanje postavljenog modela razumijeva traženje takvih vrijednosti x1 i x2 (količine kukuruza i soje u vagonima) koje će značiti utrošak ukupno 30 sati rada i 8 ha zemlje, a ujedno osigurati najvišu moguću vrijednost funkcije Z. Iz funkcije cilja Z je vidljivo da će svaka jedinica (vagon) kukuruza povećati vrijednost funkcije za 1.500, a soje za 2.000 kn. Uz to, uvjet u zagradi ograničava vrijednosti varijabli x1 i x2 na vrijednosti nula i pozitivne: što znači da ne možemo proizvesti -1 ili -2 vagona pojedine kulture, već samo ništa ili neki pozitivni broj. Grafički, svaku od naše dvije jednadžbe možemo predstaviti pravcem, jer su to linearne jednadžbe. U koordinatni sustav unosimo vrijednosti varijabli x1 i x2 na osi sustava, i zatim ucrtamo pravce.
1
6
4 aj o s -
x
2
3
30=10x1+10x2 (rad)
2 A
BD2
1
B
BD1
8 =2x1+5x2 (zemljište)
0 0
1
2
C
3
x1 = kukuruz 4
Iz grafikona je vidljivo kako ograničenja, u vidu jednadžbi predstavljenih pravcima, utječu na moguće kombinacije kukuruza i soje. Kao prvo, količina soje je ograničena raspoloživom zemljom na 1,6 ha, premda bi, što se rada tiče, bila moguća i veća proizvodnja. Količina kukuruza je ograničena prvo radom, jer zemljišta ima dovoljno i za veću proizvodnju no što je to 3 ha. Dužinama 0-A, A-B, B-C i 0-C je obilježeno područje mogućih kombinacija ovih dviju proizvodnji (osjenčano). Prema našem sustavu jednadžbi rješenja su ograničena na same rubove (granice) područja, jer zahtijevamo potpuno iskorištenje zemljišta i rada. Znakovi jednakosti zahtijevaju da ukupno utrošena zemlja i sati budu jednaki zadanim veličinama, a ti su uvjeti zadovoljeni samo na samim pravcima. Kako nam je cilj struktura proizvodnje proizvodnje koja će dati najveću bruto dobit, nas ne zanimaju sve točke na rubu označenog područja, već (ako postoji) ona točka u kojoj ćemo ostvariti cilj, tj. najveću vrijednost funkcije kriterija – maksimum. Kod problema maksimuma rub područja mogućih rješenja je omeđen konveksnom izlomljenom dužinom (A-B-C). Isturene točke na toj dužini nazivamo ekstremima ili točkama učinkovitih rješenja. Izlomljena dužina predstavlja ujedno i granicu proizvodnih mogućnosti kukuruza i soje s raspoloživom količinom zemlje i rada. Izlomljenost granice ovisi o broju ograničenja (jednadžbi) i smjeru pravca za svako ograničenje. Za traženje optimalnog rješenja moramo nadalje odrediti pravac jednakih bruto dobiti, a njegov smjer je definiran omjerom bruto dobiti traženih varijabli po jedinici. (u našem slučaju 1.500 : 2.000 (slijedom za kukuruz i soju). Ovim je omjerom određen smjer pravca jednakih bruto dobiti za pojedinu razinu proizvodnje. Na slici su ucrtane dvije mogućnosti pravaca jednakih bruto dobiti: BD1 i BD2. Sve točke na pravcu BD1 imaju istu bruto dobit, ali predstavljaju različite količine varijabli x1 i x2. Isto vrijedi i za BD2, a razlika je u tome da je bruto dobit u svim točkama BD2 veća no na BD1. To znači da ćemo višu dobit ostvarivati na pravcima jednakih dobiti koji su udaljeniji od ishodišta, a još uvijek sadrže kombinacije unutar granice proizvodnih mogućnosti. Optimalno rješenje ili najvišu dobit
7
postižemo tamo gdje pravac jednakih bruto dobiti dodiruje ili tangira granicu proizvodnih mogućnosti na njenoj najisturenijoj točki. U ovom slučaju to je točka B, na pravcu jednakih bruto dobiti BD2 i na granici proizvodnih mogućnosti. Premda je bruto dobit jednaka u svim točkama pravca BD2 , , jedino kombinacija u točki B je moguća, jer je unutar granica proizvodnih mogućnosti. Grafičko rješenje problema linearnog programiranja slikoviti je prikaz koji pomaže shvaćanju modela, no učinkovit je samo za probleme koji uključuju dvije varijable (dvodimenzionalni problemi). Već uvođenje treće dimenzije znatno otežava postupak, a više dimenzija bi grafički bilo nemoguće prikazati. Zato se za slučajeve s više od dvije varijable koriste razvijene metode rješavanja modela LP koje se danas koriste razni računalni paketi. Postavljanje modela LP za problem maksimuma
U prethodnim poglavljima smo već upoznali temeljne elemente LP-modela: 1. varijable izbora ili djelatnosti (nepoznanice, xi); 2. ograničenja ili resurse (jednadžbe ili nejednadžbe) s količinama y j; 3. tehničke koeficijente (koeficijente uz nepoznanice, a ji); 4. funkciju kriterija ili funkciju cilja (funkcija Z ).). Prilagodba stvarnog problema za rješavanje linearnim programiranjem jest umijeće dobrog određivanja svakog elementa početnog modela. Odabir i definiranje varijabli, te postavljanje kombinacije jednadžbi i nejednadžbi, najvažniji su dio procesa linearnog programiranja. Sam matematički proces je danas sveden na unos u računalo i pokretanje procedure. Mogućnosti uporabe LP-a su zato vrlo široke, ukoliko imamo znanje i sposobnost osmisliti i izraditi kvalitetne modele koji će dobro odražavati stvarne odnose među varijablama i resursima. Sam postupak izrade modela LP-a započinje definiranjem problema. Najrašireniji je primjer problema alokacije ograničenih resursa na potencijalne proizvodnje radi postizanja maksimalnog učinka. To je slučaj programiranja proizvodnje s ciljem ostvarenja najviše dobiti uz zadane resurse. U poljoprivredi se problem odabira proizvodnje također može rješavati LP-om. Za primjer, uzmimo da neko obiteljsko gospodarstvo raspolaže znanjem i resursima za proizvodnju tri ratarska proizvoda: pšenicu, kukuruz i ječam. Moguća količina proizvodnje određena je raspoloživim resursima gospodarstva, a neka su to na ovom gospodarstvu slijedeći resursi: traktor, zemljište i radna snaga. Iz teksta možemo iščitati što su u ovom primjeru varijable odabira: to su tri moguće proizvodnje. Pitanje je koju kombinaciju odabrati, tj. koliko koje kulture proizvoditi, a odgovor će ovisiti o cilju koji želimo postići kombinacijom i ograničenim resursima. Za varijable moramo odrediti podesne jedinice mjere. Jedinice mjere odabiremo tako da nam je lakše postaviti odnose u modelu, odnosno odrediti tehničke koeficijente u kasnijem koraku. Uzmimo da ćemo proizvodnju navedenih kultura/varijabli mjeriti u hektarima. Za sad smo, s matematičke točke gledišta, definirali samo nepoznanice iz našeg sustava jednadžbi ili nejednadžbi. Imamo tri nepoznanice, odnosno tri varijable, čije vrijednosti mjerimo u hektarima: pšenica, kukuruz i ječam (ili: x1, x2 i x3) Iz podataka o resursima vidimo da naš model uključuje tri ograničenja: to znači da će imati tri jednadžbe ili nejednadžbe. Kako bi model mogli izgraditi u potpunosti, i za svako ograničenje moramo odrediti jedinicu mjere. Uzmimo da ćemo resurs traktor mjeriti u satima (raspoloživi radni sati), resurs zemljište u hektarima i resurs radne snage u satima. Slijedeći je korak stavljanje u odnos varijabli i ograničenja, odnosno kompletiranje sustava jednadžbi ili nejednadžbi.
8
Za potpuno određenje jednadžbi potrebni su nam još tehnički koeficijenti. U svakoj jednadžbi i nejednadžbi uz svaku nepoznanicu moramo odrediti odgovarajući koeficijent. Ako imamo tri jednadžbe i tri nepoznanice, moramo odrediti devet koeficijenata. Vrijednosti tehničkih koeficijenata određuju se temeljem poznavanja tehnološkog procesa ili iz povijesnih podataka o proizvodnji. Oni pokazuju koliko pojedina varijabla zahtijeva određenog resursa po jednoj jedinici. Tumačenje tehničkih koeficijenata izravno zavisi o mjernim jedinicama odgovarajućeg resursa i varijable. Odredimo najprije odnos varijabli i resursa traktor čiju ćemo raspoloživu količinu označiti y1. Količina resursa, ili raspoloživih sati rada traktora, neka iznosi 1.000 sati. Ako je za 1 ha pšenice potrebno 20 sati rada traktora tijekom proizvodnog ciklusa, za 1 ha kukuruza 30 sati i za 1 ha ječma 15 sati, tada možemo ispisati jednadžbu ograničenja ili resursa traktora: y1 = a11 x x1+ a21 x x2+ a31 x x3 => 1000 = 20x1+30x2+15 x3 Svaki koeficijent a ji predstavlja tehnički koeficijent uz varijablu "i" za resurs "j", pri čemu i=1,2,...,n, a j=1,2,...,m. Ukupno imamo m × n tehničkih koeficijenata.
Kako znamo da oznake xi predstavljaju hektare pojedinih kultura kao varijable odabira, gornju jednadžbu možemo tumačiti na slijedeći način: - od raspoloživih 1000 sati rada traktora, za pojedini hektar pšenice troši se 20 sati, za pojedini hektar kukuruza 30 sati, a za pojedini hektar ječma 15 sati. - za zadovoljenje jednadžbe uz postavljeni odnos, ako se ne sije niti jedna druga kultura, potrebno je proizvoditi 50 ha pšenice, (50ha × 20h/ha = 1000 h). Promijenimo li znak jednakosti u znak nejednakosti tipa ≥, gornja se jednadžba mijenja u nejednadžbu: 1000 ≥ 20x 1+30x2+15 x3 Ova nejednadžba omogućava mnogo više rješenja nego prethodna jednadžba je dnadžba jer je zadovoljava svaki zbroj umnožaka s desne strane koji je manji ili jednak tisuću. Sa znakom jednakosti morali smo dobiti točno 1.000. I novi odnos je logičan, jer se ne mora osigurati iskorištenje svih 1.000 sati rada traktora, premda se isto omogućava. Nejednadžbe ovoga tipa, ili ograničenja ovoga tipa, nazivamo ograničenja na maksimumu, jer su zadana s maksimalnim iznosom. Ujedno, nejednakost ove vrste nazivamo « L» tip ograničenja, jer je znakom nejednakosti «≥» određeno da suma utroška resursa za sve varijable (s desne strane znaka) mora biti manja od zadanog iznosa (eng. lower than). Neka je nadalje, utrošak rada po hektaru za pšenicu 25 sati, za kukuruz 45 sati i za ječam 20 sati, a ukupno je raspoloživo 2.200 sati. Uz to, gospodarstvo raspolaže sa 75 ha zemljišta. Sada možemo izvesti i preostale dvije nejednadžbe na način kako smo to uradili za resurs traktora: 2200 ≥ 25x1+45x2+20 x3 - za ljudski rad: 2 - za zemljište : 75 ≥ 1x1+1x2+1 x3 Cijeli sustav nejednadžbi glasi 1000 ≥ 20x1+30x2+15 x3 2200 ≥ 25x 1+45x2+20 x3 75 ≥ 1x1+1x2+1x3 Pojednostavljeno rečeno, gospodarstvo može sijati različite kombinacije pšenice, ječma i kukuruza sve dok se ukupan utrošak rada traktora za proizvodnju kreće do 1.000 sati, utrošak rada ljudi do 2.200 sati i utrošak zemljišta do 75 sati. 2
Za lakše postavljanje postavljanje modela modela praktično praktično je zapamtiti zapamtiti pravilo da tehnički tehnički koeficijent iznosi 1 ako su mjerne jedinice jedinice varijable i ograničenja iste: to znači u ovom slučaju da je za 1 ha kukuruza potreban 1 ha zemlj išta.
9
Što se tiče tipa ograničenja, posebnu pozornost treba voditi o usklađenosti pojedinih ograničenja. Naime, svako ograničenje sa znakom jednakosti sputava ili smanjuje broj mogućih rješenja i prisiljava model da se ravna prema njemu. Ako bi, na primjer, zahtijevali iskorištenje točno svih 2.200 radnih sati ljudi, tada bi ovaj zahtjev mogao doći u koliziju s raspoloživim količinama drugih resursa: možda oni ograničavaju ostvarenje takvog zahtjeva. S druge strane, "široko" postavljeni model omogućava mnoštvo rješenja i ne može nam dati dovoljno precizan rezultat za donošenje odluke. Kombinacijama jednadžbi i nejednadžbi s različitim znakovima jednakosti ili nejednakosti kontroliramo konačni rezultat modela prema našim ciljevima i potrebama
Preostaje nam završni korak u izradi modela: određenja funkcije kriterija. Ne zaboravimo da je naš cilj odabir najbolje kombinacije proizvodnji s obzirom na određeni kriterij. Neka nam je u ovom programu taj kriterij bruto dobit iz proizvodnje. Tada u funkciji cilja moramo matematički definirati izračun ukupne bruto dobiti iz svih triju proizvodnji. Ukupna bruto dobit je jednaka zbroju umnožaka bruto dobiti po jedinici proizvodnje s odgovarajućim brojem jedinica proizvodnje. Optimalnu kombinaciju ostvariti ć emo onda kad ukupna bruto dobit bude najveća moguća uz zadane uvjete. Odredili smo da ćemo količinu svih triju proizvodnji mjeriti u hektarima. Za postizanje najviše ukupne bruto dobiti birati će se pojedine proizvodnje u kombinaciju s obzirom na njihovu bruto dobit po hektaru. Bruto dobit po hektaru za pojedinu kulturu predstavlja koeficijent u funkciji kriterija uz odgovarajuću kulturu, tj. varijablu izbora. U našem slučaju, ako je bruto dobit po hektaru pšenice 500 kn/ha, za kukuruz 350 kn/ha i za ječam 400 kn/ha, funkcija kriterija bi glasila: Zmax = 500x1+350x2+400 x3 x1) donosi 500 kn u ukupnu bruto dobit. Ako u Vidljivo je da svaki odabrani hektar pšenice ( x x2), svaki će donijeti 350 kuna ukupnom rezultatu. kombinaciju uđe određeni broj hektara kukuruza ( x x3) donositi će po 300 kn. Hektar ječma ( x Cijeli model matematički definiramo kao sustav jednadžbi i nejednadžbi: x1≥0, x ≥0, x2≥0 i x3≥0) Zmax = 500x1+350x2+400 x3 ( x 1000 ≥ 20x1+30x2+15 x3 2200 ≥ 25x 1+45x2+20 x3 75 ≥ 1x1+1x2+1x3 Kad ne bi postojale jednadžbe ograničenja, očigledno je da bi po kriteriju bruto dobiti optimalna kombinacija bila proizvodnja samo pšenice: sjetvom 75 ha pšenice ostvarivala bi se najviša dobit. No, ovako to nije moguće jer ograničenje rada traktora ne omogućava sjetvu pšenice na 75 ha – nema dovoljno radnih sati. Za rješavanje problema LP-a Simplex algoritmom, odnosno u računalu, sustav nejednadžbi i jednadžbi se unosi u matricu pogodnog oblika. Ovakvu matricu nazivamo početna matrica za rješavanje problema linearnim programiranjem ili, jednostavno, LP matrica. U LP matricu unosimo sve podatke LP modela, a opći izgled matrice je vidljiv iz sheme koja slijedi.
Shema: Početna matrica za rješavanje problema linearnim programiranjem Ograničenja (resursi) Varijable (djelatnosti, nepoznanice)
Naziv i jedinica mjere x1 do xn) ( x 10
Naziv
J. mj.
Količina
Resursi ili ograničenja ( y y1 do ym) Funkcija kriterija
Z maxmin
Tip ograničenja ,
i
v o k a n z
Tehnički koeficijenti (a11 do amn)
= ,
≥ ,
≤
=
Koeficijenti funkcije kriterija (a1 do an)
Početna matrica za problem LP-a iz primjera Ograničenja (resursi) Naziv J. mj. Količina Tip ograničenja Traktor h 1.000 ≥ Ljudski rad h 2.200 ≥ Zemljište ha 75 ≥ Funk unkcija cija kri krite terrija ija Zmax =
Varijable (djelatnosti, nepoznanice) pšenica kukuruz ječam ha ha ha 20 30 15 25 45 20 1 1 1 500 350 400
Ovo je matrica s tri varijable i tri nejednadžbe. Složeni modeli LP-a mogu sadržavati po nekoliko stotina varijabli i isto toliko jednadžbi ili nejednadžbi. Tip ograničenja, koji predstavlja vrstu odnosa između raspoložive količine resursa i utroška resursa po varijablama, uvijek se čita od strane varijabli: u ovom slučaju to je desna strana znaka nejednakosti ili jednakosti. No, za rješavanje u računalu u modelima se najčešće varijable postavljaju s lijeve strane, a raspoloživa količina resursa s desne tipa ograničenja. To znači da bi prvu jednadžbu iz ovog modela onda pisali: 20x1 + 30x2 + 15x3 ≤ 1000 Prema ovom pravilu, obično se količine resursa ili vrijednost yi nazivaju skraćeno RHS vrijednosti, ili right hand side vrijednosti - s obzirom na položaj u odnosu na znak jednakosti/nejednakosti. Recimo još da se u stupac tip ograničenja u nekim računalnim programima unosi znak jednakosti ili nejednakosti ≥, ≤ i =, dok se u drugima koriste slova abecede: L, G i E (eng. lower than, greather than i equal ). ). Tip ograničenja određujemo prema vlastitom izboru s ciljem dobivanja izvedivog modela i što kvalitetnijeg rješenja. Ako se radi o resursu koji neke od djelatnosti koriste i želimo ga iskoristiti u potpunosti (onoliko koliko je raspoloživo) tip ograničenja postavljamo na E. To znači da ukupna količina utroška ili doprinosa resursa po svim varijablama mora odgovarati zadanoj vrijednosti. Ako želimo dozvoliti nepotpuno iskorištenje resursa – sve ili manje - govorimo o resursu na maksimumu i tip ograničenja postavljamo na L. U tom slučaju sve varijable zajedno mogu trošiti resurs ili mu doprinositi u zadanoj količini ili u nekoj manjoj količini. Ako želimo za neki proizvod utrošiti utrošiti minimalno određenu količinu resursa ili više, više, govorimo o resursu na minimumu i tip ograničenja postavljamo na G. Tada ukupna količina utroška resursa ili doprinosa resursa iznosi zadani iznos ili više od njega. Što se tiče tehničkih koeficijenata, napomenimo da se koeficijenti vrijednosti 0 ne moraju unositi u matricu već ta polja mogu ostati prazna. Koeficijent 0 znači da određena varijabla ne potrebuje ("ne troši" ) dani resurs niti ga ne proizvodi ("ne puni" ). ). U postupku rješavanja modela LP-a Simplex metodom sve se nejednadžbe prevode u jednadžbe. Uzmimo primjer nejednadžbe: 5≤ 1x1+1,5x2. Ovakva nejednadžba dozvoljava kao rješenje sve vrijednosti x1 i x2 za koje je rezultat ili 5 ili manje od 5. Želimo li ovu nejednadžbu prevesti u
11
jednadžbu možemo uvesti fiktivnu varijablu x3 , , pa će jednadžba izgledati ovako: 5 = 1x 1+1,5x2+1x3. U slučaju da x1 i x2 poprime vrijednosti takve da je rješenje manje manje od 5, (npr. x1=0, x2=2), x3 će poprimiti vrijednost kojom će jednadžba biti zadovoljena (u ovom slučaju x3=2). Tada nam vrijednost nove varijable x3 pokazuje preostalu (neiskorištenu) količinu resursa prikazanog nejednadžbom .
Pri rješavanju LP modela kombiniraju se količine varijabli ili djelatnosti i provjerava iznos funkcije kriterija za pojedinu kombinaciju. Od mogućih kombinacija odabire se ona za koju je vrijednost funkcije kriterija najveća. Pri provjeri, u obzir se uzimaju samo kombinacije na rubu područja izvedivih kombinacija, tj. na granici proizvodnih mogućnosti. Problem minimuma
Do sad smo gotovo isključivo govorili o modelu LP-a za problem maksimuma ili traženja maksimalne vrijednosti funkcije kriterija. LP modelima se mogu rješavati i problemi minimuma, odnosno traženje kombinacije varijabli s minimalnom vrijednosti funkcije kriterija. Kao primjer navedimo traženje kombinacije krmiva u smjesi s minimalnim troškovima. Za problem minimuma s dvije varijable rješenje se može potražiti i grafički. Načelo je isto kao i kod problema maksimuma, samo što se optimalno rješenje traži približavanjem pravca jednakih vrijednosti (u ovom slučaju najčešće jednakih troškova ) ishodištu koordinatnog sustava. Područje mogućih rješenja problema nalazi se s desne strane granice mogućih rješenja, a sama granica je konkavna izlomljena dužina. Optimalno rješenje nalazi se na samoj granici. Postavljanje LP modela minimuma u početnu matricu isto je kao kod maksimuma, osim što se u funkciju kriterija upisuju vrijednosti čiji iznos želimo minimizirati (npr. troškovi po jedinici ili cijene inputa). Primjer početne matrice za problem smjese Varijable - raspoloživa krmiva (vlastita ili kupljena) Ograničenja - zahtjevi za hranjivima u smjesi
Opis MJ NEL g SP g SV Ca/g P/g Na/g Mg/g Max. sun. sač. 25% Max. kukur. 30% Struktura
F. kriterija Zmin
J.mj. kj g g g g g g kg kg kg Kun a
kukuruz ječam
Zahtje v Tip 7 G 180 G 35 G 7 G 5 G 2 G 2.5 G 0 E 0 E 1 E
kg 8.40 98.00 21.00 0.20 2.50 0.10 0.38 -25% 70% 1
0
1.00
E
sojina suncokr. sačma sačma
kg kg 7.30 6.80 110.00 420.00 65.00 65.00 0.70 4.00 3.30 7.00 0.20 3.00 1.10 2.70 -25% -25% -30% -30% 1 1 1.20
2.80
VMD*
kg kg 6.20 0 330.00 0 65.00 0 4.00 180.00 908.00 60.00 0.50 100.00 5.00 30.00 75% -25% -30% -30% 1 1 1.80
11.00
Važno je napomenuti da je posljednja jednadžba nužna radi dobivanja rezultata koji će odgovarati minimumu za jedan kilogram smjese. Jednadžbe za maksimum suncokretove sačme i kukuruza na 25% i 30% pojašnjavaju se dalje u tekstu.
12
Posebni oblici ograničenja ili jednadžbi i nejednadžbi
Osim što se pojedinom jednadžbom predstavlja pojedini resurs, postoje i specifični oblici jednadžbi i nejednadžbi u modelima LP-a. Ovakve jednadžbe ili nejednadžbe ne predstavljaju ograničenja u izravnom smislu riječi, već definiraju složenije odnose između komplementarnih (nadopunjujućih) proizvoda, ili relativno definiraju strukturu konačnog rješenja (zahtijevani ili dozvoljeni udjel pojedine proizvodnje).
Obzirom na međusobni odnos dvije djelatnosti (proizvoda) prema jednom resursu (ograničenju) razlikujemo: − konkurentske djelatnosti: obje djelatnosti trebaju određeni resurs − komple komplemen mentar tarne ne djelatn djelatnos osti: ti: jedna jedna djelatn djelatnos ostt treba treba određe određeni ni resurs resurs,, a druga druga omo omoguć gućuje uje povećanje njegove raspoložive količine (prva ga “troši”, a druga “puni”) − nezavisne djelatnosti: jedna od djelatnosti nema nikakve veze s određenim resursom. Ovi se odnosi u LP modelu postavljaju preko odgovarajućih tehničkih koeficijenata. Pravilan odnos tehničkih koeficijenata za dvije varijable s obzirom na jedan resurs u različitim međusobnim odnosima dan je u tablici: Vrst odnosa
Resurs
1. konkurentski
y1
2. komp komple lem menta entarn rnii (nadopunjujući) 3. nezavisni
y2 y3
Predznak tehničkih koeficijenata djelatnost 1 djelatnost 2 + + (troši resurs y 1 ) ) (troši resurs y 1 ) ) + (troši resurs y 2 ) ) (puni resurs y 2 ) ) + ili 0 (puni ili troši resurs y 3 ) ) (nema vezu s y3 ) )
Dok u odnosu na jedan resurs dvije djelatnosti mogu biti konkurentske, u odnosu na drugi mogu biti nezavisne. Na primjer, pšenica i soja su konkurenti za zemljište, ali nisu konkurenti za korištenje sijačice za soju.
Bilanciranje proizvodnje
Jednadžbe u kojima se postavlja odnos između izm eđu nadopunjujući proizvodnji nazivamo bilance ili jednadžbe bilance. Za primjer, proširimo model iz našeg primjera za jednu jednadžbu bilance. Neka se na gospodarstvu proizvode svinje koje hranimo vlastitim kukuruzom. Kukuruz će biti proizvodnja koja će puniti novi resurs, a svinje će isti resurs trošiti. Otvoriti ćemo novu jednadžbu za novi resurs koji ćemo nazvati bilanca kukuruza, kao i novu djelatnost tova svinja. Početna raspoloživa količina novog resursa je nula. Program će optimizacijom preko znaka jednakosti i predznaka koeficijenata bilancirati proizvodnju i potrošnju kukuruza, jer će uvijek proizvedena količina morati biti jednaka potrošenoj za svinje.
13
Proširena matrica problema LP-a: uvođenje komplementarne djelatnosti Ograničenja (resursi) Varijable (djelatnosti, nepoznanice) pšenica kukuruz ječam svinje Naziv J. mj. Količina Tip grlo ha ha ha Traktor h 100 0 20 30 15 0 ≥ (L) Ljudski rad h 22 00 25 45 20 0 ≥ (L) Zemljište ha 75 1 1 1 0 ≥ (L) Bilanca kukuruza t 0 0 -8 0 0,15 = (E) Funk Funkci cija ja kri krite teri rija ja (FK (FK)) Zmax 500 -1200 400 200 = (kn/ha) (kn/ha) (kn/ha) (kn/grlu ) U novoj jednadžbi definirali smo odnos po kome svaka jedinica kukuruza (hektar) daje 8 t za bilancu. S druge strane, nova proizvodnja, svinje, troši 0,15 t kukuruza iz bilance po jednom grlu. Dakle, prvi koeficijent je prinos kukuruza u tonama po hektaru, a drugi je utrošak kukuruza u tonama po jednom grlu svinje. Negativni koeficijent -8 će se množiti s hektarima kukuruza, a pozitivni 0,15 će se množiti s grlima svinja, dok će za zadovoljenje jednadžbe ova dva umnoška morati biti jednaka. Drugim riječima, koliko se kukuruza proizvede toliko će pojesti svinje, ili, koliko bude trebalo s obzirom na proizvodnju svinja toliko će se morati zasijati kukuruza. Koje će to količine biti, program će odrediti prema kriteriju bruto dobiti tako da dobije maksimum FK. Novom, četvrtom jednadžbom nismo samo povećali model, već smo utjecali i na promjenu funkcije kriterija. Proizvodnja kukuruza više ne pridonosi ukupnoj bruto dobiti, jer je postala input i nput za svinje. Zato varijablu kukuruz tretiramo kao trošak i u funkciji kriterija postavljamo negativan koeficijent. Vrijednost koeficijenta predstavlja izravne troškove po hektaru kukuruza za koje se umanjuje vrijednost funkcije kriterija. Kod koeficijenta funkcije kriterija za svinje potrebno je voditi brigu o izračunu bruto dobiti na način da se isključi izravni trošak kukuruza. Dakle, bruto dobit je potrebno uvećati za trošak kukuruza kako se isti ne bi dva puta oduzimao u modelu. Određenje strukture proizvodnje
strukture proizvodnje u modelu odnose među udjelima pojedinih varijabli možemo Kod definiranja strukture proizvodnje postaviti u količinskom ili relativnom iznosu. Najjednostavnije su nejednadžbe kojim se zahtijeva minimum ili maksimum površina pod jednom kulturom. Uzmimo za primjer da smo u našem modelu odlučili uvesti ograničenje sjetve pšenice na 20% ukupnih površina i obaveznu sjetvu kukuruza na 20% površina. Tada u početnu matricu moramo dodati dvije nove nejednadžbe na slijedeći način:
Ograničenja (resursi) Naziv
Varijable (djelatnosti, nepoznanice) pšenica kukuruz ječam svinje J. mj. Količina Tip grlo ha ha ha (ovaj dio matrice čine sve dosad unesene nejednadžbe) Najviše pšenice 20% ha 15 1 0 0 0 ≥ (L) Najmanje kukuruza 20% ha 15 ≤ (G) 0 1 0 0 max Funkc unkciija kri kritteri erija Z = 500 -1200 400 200
14
Novim jednadžbama je sjetva pšenice omogućena na 15 ili manje ha (što je 20% od 75 ha), a sjetva kukuruza se mora obaviti na 15 ili više ha (mora biti veća od ili jednaka 15 ha). Kako je vidljivo odnosi su riješeni različitim znakovima nejednakosti. nej ednakosti. Kod svake jednadžbe tehnički koeficijent je različit od nule samo za kulturu o kojoj se radi, jer ostale kulture "ne trebaju" ovaj resurs, niti ga troše niti ga pune. Rečeno je da se struktura proizvodnje, ili udjeli pojedinih varijabli, mogu dati i u relativnom odnosu. To znači da će struktura sjetve ostati zadovoljena bez obzira na ukupan broj zasijanih hektara. Na primjer, pri postavljanju modela može se zahtijevati da u zasijanim površinama u našem primjeru udjel pšenice uvijek bude 20% ili manje, bez obzira koliko će od 75 ha biti z asijano svim kulturama. Tada se jednadžba strukture postavlja na slijedeći način: Ograničenja (resursi) Naziv
Varijable (djelatnosti, nepoznanice) pšenica kukuruz ječam svinje J. mj. Količina Tip grlo ha ha ha (ovaj dio matrice čine sva dosad unesena ograničenja) Najviše pšenice 20% ha 0 0,8 -0,2 -0,2 0 ≥ Funkcija kriterija (FK)
Zmax
=
500
-1200
400
200
Ispišemo li ovu jednadžbu iz matrice, ona će glasiti: 0 ≥ 0,8x1 - 0,2x2 - 0,2 x3 ili (1) 0,2x2 + 0,2 x3 ≥ 0,8x1 (2) x 2=10 i x 3=10). Tada bi Razmotrimo slučaj da je rješenjem zasijano 10 ha ječma i 10 ha kukuruza ( x vrijednost lijeve strane nejednadžbe (2) iznosila: 0,2×10 + 0,2×10 ili 4 iz toga proizlazi rješenje za x 1: 4 ≥ 0,8x1 => 4/0,8 ≥ x1 => 5 ≥ x 1 (ha) Da bi desna strana nejednadžbe (2) bila manja ili jednaka 4, pšenicom može biti zasijano najviše 5 ha. Tako smo u graničnom slučaju dobili ukupno zasijanih 25 ha (10+10+5), pri čemu pšenice 5 ha, što je najviše dozvoljenih 20%. Odnos mora vrijediti za bilo koju količinu kukuruza i ječma, a udjel pšenice uvijek će ostati 20% ili manje. Za praktičnu primjenu, možemo zapamtiti da se tehnički koeficijenti kod određivanja najviše dozvoljenog udjela u strukturi proizvodnje definiraju na slijedeći način: - tehnič tehnički ki koefic koeficijen ijentt varijab varijable le koju koju ograni ograničav čavamo amo do određe određenog nog udjela udjela u dobiva dobiva pozitivnu pozitivnu vrijednost 1-u, - tehnički koeficijenti ostalih varijabli koje konkuriraju za taj resurs dobivaju negativnu vrijednost u, - tip ograničenja je L ili ≥. U našem slučaju: - udjel u iznosi 0,2 = 20%: uz predznak "-" to je tehnički koeficijent za ostale varijable osim pšenice - vrijednost 1-u iznosi 1-0,2 = 0,8: to je predznak uz varijablu pšenica. Po istom se načelu postavlja i zahtjev da udjel jedne varijable bude uvijek jednak il i više od zadanog udjela. Jedina je razlika u tome što se mijenja raspored predznaka tehničkih koeficijenata. Negativan predznak ima tehnički koeficijent uz varijablu za koju se traži udjel jednak ili veći od zadanog.
15
Zaključak
Svaki proizvodač želi odrediti kako iskoristiti ogranicene količine sirovina uz najveci profit, poslovođa kako rasporediti zadani posao izmedu svojih zaposlenika tako da bude napravljen u najkraćem mogućem vremenskom roku... Cilj ovih problema je optimizacija, maksimiziranje korisnosti ili minimiziranje troškova uz zadana ograničenja što se rješava linearnim programiranjem. Podrucje primjene linearnog programiranja je široko: proizvodnja, transport i distribucija, marketing, telekomunikacije, financijsko ulaganje i planiranje, raspored zaposlenika,… Formulirati (modelirati) realni životni problem kao problem linearnog programiranja zahtijeva timski rad stručnjaka iz više područja.
16
