BAB I PENDAHULUAN 1.1
LATAR BELAKANG
Matematika berasal dari bahasa latin "mathematika" yang mulanya diambil dari dari baha bahasa sa yuna yunani ni "mat "mathe hema mati tike ke"" yang yang bera berart rtii mem mempela pelaja jari ri.. Bany Banyak ak yang yang beranggapan bahwa matematika adalah sesuatu yang rumit. Padahal seringkali Matema Matematik tikaa kita kita jumpai jumpai di dalam dalam kehidupa kehidupan n sehari sehari-ha -hari. ri. Banyak Banyak masala masalah h dalam dalam kehi kehidu dupan pan seha sehari ri-h -har arii
dapat dapat diny dinyat atak akan an dalam dalam sist sistem em persam persamaan aan..
Sebel Sebelum um
menyelesaika menyelesaikan n suatu permasalahan, permasalahan, terlebih dahulu permasalaha permasalahan n tersebut tersebut diubah menjadi model matematika yang membuat sistem persamaan linier. Masalah yang dijumpai dalam kehidupan sehari-hari dapat dimodelkan dalam bentuk model Matematika, yaitu bentuk persamaan linear dan persamaan nonlinear. Sebag Sebagia ian n besar besar model model mate matema mati tika ka yang yang muncu muncull berb berben entu tuk k non non linea linearr. Untu Untuk k mendapa mendapatka tkan n solusi solusi masala masalah h yang yang berbent berbentuk uk sistem sistem non linear linear tidakla tidaklah h mudah. mudah. amun demikian, hal ini tidak menjadi masalah karena bentuk model matematika khususny khususnyaa yang yang berbent berbentuk uk sistem sistem persam persamaan aan di!ere di!erensi nsial al non linear linear dapat dapat diliha dilihatt perilaku solusinya melalui sistem persamaan di!erensial linear dengan syarat bagian real akar karakteristik tidak nol. inearisasi dilakukan untuk mendapatkan sistem linear linear dari dari sistem sistem non linear linear.. #leh #leh karena karena itu penulis penulis tertar tertarik ik mengan mengangkat gkat judul judul $inierisasi%. 1.2 RUMUSAN MASALAH &umusan masalah pada makalah ini adalah ' (. Bagaimana Bagaimana penyele penyelesaian saian dari sistem sistem persama persamaan an linear linear)) *. Bagaimana Bagaimana penyeles penyelesaian aian dari dari sistem sistem persamaan persamaan nonlin nonlinear) ear) 1.3
TUJUAN +ujuan dari pembuatan makalah ini adalah (. Untuk mengetahui mengetahui penyeles penyelesaian aian dari dari sistem sistem persamaan persamaan linear linear.. *. Untuk mengetahui mengetahui penyeles penyelesaian aian dari dari sistem sistem persamaan persamaan nonline nonlinear. ar.
1.4
MANFAAT
Man!aat dari makalah ini adalah untuk menambah wawasan dalam linearisasi sistem persamaan nonlinear dan penyelesaian dari persamaan linear.
BAB II ISI DAN PEMBAHASAN
2.1 PERSAMAAN LINIER
x 1 , x 2 , … , x n Suatu persamaan linier yang mengandung n peubah dinyatakan dalam bentuk '
a1 x1 + a2 x 2 + … + a n x n= b
dengan
a1 , a2 , … , an ,b
adalah konstanta riil. alam hal ini peubah yang dimaksud
bukan !ungsi trigonometri, !ungsi logaritma atau !ungsi eksponensial. amun, apabila diketahui sistem persamaan linier dengan
m
buah persamaan linier dan
n
peubah maka bentuk umumnya sebagai berikut '
a11 x 1+ a12 x 2 + … + a1 n x n=b 1 a21 x 1 + a 22 x2 + …+ a2 n xn =b2 ⋮
am 1 x 1+ am 2 x 2 + … + amn x n= bm
Sistem persamaan linier di atas dapat ditulis dalam bentuk matriks yaitu '
A ´ x =b´
[
a11 a12 … a21 a22 … ⋮
⋮
⋱
a1 n a2 n ⋮
][ ] [ ] x 1 x 2 ⋮
am 1 a m 2 … amn x m
=
b1 b2 ⋮
bm
Untuk menyelesaikan persamaan linier tersebut dilakukan eliminasi menggunakan metode eliminasi auss-ordan. Prosedur umum untuk metode eliminasi auss-ordan adalah ' a. Ubah sistem persamaan linier yang ingin dihitung menjadi matriks augmentasi. ´ b. akukan operasi baris elementer pada matriks augmentasi [ A ∨ b ] untuk mengubah matriks / menjadi dalam bentuk baris eselon yang tereduksi. 0ontoh sistem persamaan linier dengan tiga 123 peubah ' 2 x + 4 y −2 z = 12
x + 5 y + 3 z =8
−3 x + y + 3 z =−4
Penyelesaian ' (. Ubah sistem persamaan linier di atas menjadi matriks augmentasi '
[
2
4
−2
1
5
3
−3
1
3
12 8
−4
]
*. 4alikan baris pertama dengan 5,6
[
1
2
−1
1
5
3
−3
1
3
6 8
−4
]
2. Baris pertama dikalikan dengan 1-(3 lalu tambahkan dengan baris kedua
[
1
2
−1
0
3
4
−3
1
3
6 2
−4
]
7. Baris pertama dikalikan 123 lalu ditambah dengan baris ketiga
[
1
2
−1
0
3
4
0
7
6 2
0
14
]
6. Baris kedua dikalikan dengan (82
[
1
2
0
1
0
7
−1
6
0,33 0
0,67 14
]
9. Baris kedua dikalikan dengan 1-*3 lalu tambahkan dengan baris pertama
[
1
2
−3,67
0
1
0,33
0
7
0
4,67 0,67 14
]
:. Baris kedua dikalikan dengan 1-:3 lalu tambahkan dengan baris ketiga
[ [
1
0
−3,67
0
1
0,33
0
0
−9,33
] ]
4,67 0,67
9,33
;. Baris ketiga dikalikan dengan -(8<,22 1
0
−3,67
0
1
0,33
0
0
1
4,67 0,67
−1
<. Baris ketiga dikalikan 2,9: lalu tambahkan dengan baris pertama
[
1
0
0
0
1
0,33
0
0
1 0,67
−1
1
]
(5. Baris ketiga dikalikan 1-5,223 lalu tambahkan dengan baris kedua
[
1
0
0
1
0
1
0
2
0
0
1
−1
]
Setelah langkah ke-(5 maka matriks ini telah dalam bentuk baris eselon tereduksi. ari matriks terakhir ini dapat disimpulkan bahwa nilai x =1, y =2 dan z =−1 . 2.2 PERSAMAAN NONLINIER
Pendekatan linier dari sistem nonlinear, untuk memperoleh model matematik yang linier dari suatu sistem nonlinier, dianggap bahwa =ariable hanya mengalamide=iasi yang kecil dari titik kerjanya. +injau suatu sistem yang mempunyai masukan >1t3 dan keluaran y1t3. ?ubungan antara y1t3 dan >1t3 diberikan oleh ' y @ !1>3 y
x ika kondisi kerja normal dinyatakan dengan
, dan
, maka persamaan di
atas dapat diuraikan menjadi deret +aylor di sekitar titik kerja, sebagai berikut' y @ !1>3
df x dx @ !1 3 A imana turunan-turunan
x =ariasi > -
df dx ,
( df
1 x
*B dx
x -
1 x − x 3 * + ....
3A
2
d f x 2 d x , .... , dihitung pada > @ . Cka
x adalah kecil, dengan mengabaikan suku-suku 1>- 3 berorde tinggi.
Selanjutnya persamaan dapat ditulis dengan lebih sederhana, berikut'
y = y´ + K ( x − x´ ) y
dimana
x @ ! 1 3 dan
df x´
dx 4@
untuk > @
Persaman di atas dapat diubah menjadi, berikut' y - y´ @ 4 1 > - x´ 3 y
yang menunjukkan bahwa y -
x sebanding dengan > -
D persamaan ini akan
memberikan suatu model matematik linier dari sistem nonlinier yang diberikan persamaan sebalumnya melalui pendekatan deret +aylor.
Selanjutnya, tinjau suatu sistem yang keluarannya, y, merupakan !ungsi dari dua buah masukan >( dan >*, sedemikian rupa sehingga berlaku' y @ ! 1>(, >*3 /nalog, dengan cara yang sama seperti diatas akan diperoleh hasil model linier, sebagai berikut'
x´ 1 x´ 2 y - y´ @ 4 ( 1 >( 3 A 4 * 1>* 3 y
dimana,
x( x * @!1 , 3 df
x´ 1
dx(
4 ( @
untuk >( @
x´ 2 dan >* @
df
x´ 2
x´ 1
dx * 4 * @
untuk >( @
dan >* @
Untuk mempelajari perilaku sistem dinamik non linear dilakukan melalui linearisasi di sekitar titik ekuilibrium. iberikan sistem dx dt dy dt
= f 1 x, y 3 = g 1 x, y 3
1(3 1 a, b3D f 1 a, b 3 = g 1a , b 3 = 5
dengan titik ekuilibrium
. Pendekatan linear !ungsi
f 1 x,y3 di sekitar 1a,b3 diperoleh dengan menderetkan !ungsi f 1 x,y3 sebagai berikut
f ( x , y ) f ( a , b )+
f f ( a , b ) ( x −a )+ ( a ,b ) ( y −b ) + Q f x y
1*3
Sedangkan eret +aylor !ungsi g 1 x,y3 di sekitar 1a,b3 adalah
g ( x , y ) g ( a , b )+
g ( a ,b ) ( x − a ) + g ( a , b ) ( y −b )+ Q g x y
123
Q f
dengan
Q g
dan
suku-suku non linear yang selanjutnya dapat dihilangkan.
ari 1(3 dan 1*3 diperoleh pendekatan linear untuk Sistem 1(3, yakni
dx f f = ( a , b ) ( x −a )+ ( a ,b ) ( y −b ) dt x y dy g g = ( a , b ) ( x −a ) + ( a , b ) ( y −b ) dt x y
173
Persamaan 173 dapat dituliskan sebagai matriks
(
dx dt = dy dt
f ( a , b ) f ( a , b ) x y g ( a , b ) g ( a , b ) x x u
=
x
-
)(
( x −a ) ( y −b )
163
v = y- b
a
Substitusi
)
dan
diperoleh persamaan yang lebih
sederhana, yaitu
(
du dt = dv dt
)( )
f ( a , b ) f ( a , b ) x y u g ( a ,b ) g ( a , b ) v x x
(
f ( a , b ) x J = dengan g ( a , b ) x
193
f ( a ,b ) y g ( a , b ) x
)
dikenal sebagai matriks acobian Sistem 1(3
pada titik 1a,b3. x = 1 x( , x* ,..., xn 3
iberikan
=ariabel bebas dan u merupakan !ungsi yang x( , x* ,..., xn
bergantung pada =ariabel berbentuk sebagai berikut'
. Sistem persamaan dua =ariabel orde satu
∂u( ∂ x ∂u* ∂ x
+
∂u(
+
∂u*
∂t
∂t
= f ( 1u 3
= f * 1u3
1:3 ⋮ ∂un ∂ x
+
∂un ∂t
= f n 1u3
. engan Sistem
u=( u1 ,u 2 , … , un )
dan nilai awal
dengan
awal
1:3
u ( x ,t )=u ( u 0 , x , t )
nilai
u0=( u01 ,u 02 , … , u 0 n)
u0=( x ,t 0)
. Solusi
dinyatakan
sebagai
.
¿
Eektor
u ( x ) disebut distribusi umur steady state Sistem 1:3, jika
¿
u ( x )
memenuhi Sistem berikut.
du(F 1 x3 dx
du*F 1 x3 dx
= f(Gu
*
( x) H
*
= f * Gu
( x) H 1;3
'
dunF 1 x 3 dx
= f n Gu
*
( x) H ¿
/ndaikan Sistem 1;3 dengan nilai awal yang diberikan misal ¿
memiliki solusi
¿
u ( 0 ) =u0
,
u ( x ) , kestabilan distribusi umur steady state tersebut dapat
diselidiki dengan melakukan linearisasi Sistem 1:3.
Selanjutnya, linearisasi sistem persamaan di sekitar kondisi steady state
[
¿
¿
]
¿
u ( x )= u1 ( x ) , u2 ( x )
sebagai berikut. iperhatikan dua persamaan awal pada
Sistem 1:3, yakni ∂u( ∂ x ∂u* ∂ x
+
∂u(
+
∂u*
= f( 1u( , u* 3
∂t
= f * 1u( , u* 3
∂t
.
1<3
iberikan trans!ormasi v
1 x, t 3 = Gv( 1 x, t 3, v* 1 x, t 3H = Gu( 1 x, t 3 − u(F 1 x3, u* 1 x, t3 − u *F 1 x3H
engan
mengambil deret +aylor f ( dan f * Sistem 1<3, diperoleh ∂v(
∂v(
+
∂ x
*
≅ f( 1u 3 +
∂t
∂f( ∂u(
1u* 3Gu( − u(F H +
∂f( ∂u*
1u* 3G u* − u*F H + Θ( ,
≅
∂ f( ∂u(
1u* 3v( +
∂f ( ∂u*
1u* 3v* ,
∂v* ∂ x
+
≅
∂v* ∂t
∂ f * ∂u(
*
≅ f * 1u 3 +
1u* 3v( +
∂f * ∂u*
∂f * ∂u(
1u* 3Gu( − u(F H +
∂f * ∂u*
1u* 3G u* − u*F H + Θ *
1u* 3v* ,
dengan
Θ1 , Θ2
suku suku non linear sehingga dapat diabaikan. ?asil
linearisasi Sistem 1<3, yakni ∂v( ∂ x
+
∂v( ∂t
=
∂f( ∂u(
1u* 3v( +
∂f( ∂u*
1u* 3v*
BAB III PENUTUP
3.1
KESIMPULAN
Adapun kesimpulan dari makala ini se!a"ai !eriku#$
(. untuk memperoleh model matematik yang linier dari suatu sistem nonlinear, maka model persamaan nonlinear harus dilinearisasi dengan menggunakan bantuan deret taylor dan juga matriks jacobian. /dapun bentuk persamaan setelah dilinearisasi adalah sebagai berikut' ∂v( ∂ x
+
∂v( ∂t
=
∂f( ∂u(
1u* 3v( +
∂f( ∂u*
1u* 3v*
*. m%del persamaan linear memiliki !en#uk a1 x1 + a2 x 2 + … + a n x n= b &an dapa# pula diselesaikan den"an men""unakan me#%de "auss '%rdan. &en"an men"u!a persamaan linier men'adi ma#riks au"men#asi. Kemudian lakukan %perasi !aris elemen#er un#uk men"u!a ma#riks au"men#asi ke !en#uk !aris esel%n (an" #ereduksi 3.)
SA*AN
Adapun saran un#uk pem!a+a adala men+ari re,erensi lain #erkai# pen(elesaian sis#em persamaan linier selain den"an me#%de "auss-'%rdan dan 'u"a pen(elesaian dari linearisasi dari persamaan sis#em n%nlinear
&ATA* PUSTAKA
/nonim. Sistem persamaan linear. *5(* http'88ocw.stikom.edu8course8download8*5(*8(58Sistem-Persamaan-inier.pd! Dia!"! #a$a %a&''a( ) &*v"+,"- 21/ /nonim. Model State Space. a-research.upi.edu/operator/upload/s_mat_060849_chapter3.pdf
Dia!"! #a$a %a&''a( ) &*v"+,"- 21/ Brauer . dkk Mathematical Epidemiology, *55;, Springer-Eerlag, Berlin?eidelberg- ew Iork Les#ari de/i. Linearisasi sis#em persamaan di,erensial parsial pada m%del epidemi sir !erdasarkan kel%mp%k umur. )01). https'88www.google.co.id8url) sa@tJrct@jJK@Jesrc@sJsource@webJcd@*Jcad@rjaJuact@;J=ed@5ahU4L wiNpi99j/hO4Po;4?Qp/rgRgggM/LJurl@http2/*R *Rseminar.uny.ac.id*Rsemnasmipa*Rsites *Rseminar.uny.ac.id.semnasmipa*R!iles*Rpaper*RMatematika*Rwi *6*5estari-makalah*6*5semnas*6*5MCP/-UI *6*5*5(*.doc>Jusg@/Rj0R:BpO;#bP//<
Sibaroni, Iuliant. *55*. Buku /jar /ljabar inear. S++ +elkom
.
