Graniˇ cna cna vrijednost vrijedn ost funkcije realne varijable Izraˇ Izr aˇcuna cun a jte sljede´ slj ede´ce ce graniˇ gra niˇcne cne vrijed vri jednos nosti: ti: Zadatak 1
x3 + x 1 + x − 3x3 3 a) lim 4 (= 0) b ) l i m (= ). − x x x − 3x2 + 1 1 + x2 + 4x 4x3 4 →∞
→∞
Zadatak 2
(2x (2x + 1)3 (1 − x)7 a) lim 4 (= −2) b) lim x x (x + 2)(2x 2)(2x3 − 1)2 →∞
→∞
100
+ k)10 (= 100) . x10 + 1010
k=1 (x
Zadatak 3
a) lim
x→∞
x3
− 2x2 − 1
x2 2x + 1
1 = 4
b) lim
x→∞
3x2 2x + 1
−
(2x (2x − 1)(3x 1)(3x2 + x + 2) 4x2
=
1 . 2
Zadatak 4
a) lim
x→∞
√2 √ x +1+ x √3 (= −1) x +x−x 4
√2 √ x + 1 − x2 + 1 √4 √ (= 1) . x + 1 − x4 + 1 3
b) lim
x→∞
4
5
Zadatak 5
√7 √ 3 3 + 2x − 1 √x + (= ∞) x8 + x7 + 1 − x 5
a) lim
x→∞
√
4
6
3
b) lim
x→∞
√ 5
x + 3 − x3 √7 (= 0) . x +1 4
3
Zadatak 6
5x − 5 a) lim x x + 5 +5
x
−
→
x
−
∞
5x − 5 (= 1) b) lim x x 5 +5
x
−
x
−
→−∞
(= −1) .
Zadatak 7
3x − 2x a) lim x (= 0) b) x + 5 − 2x →
3x − 2x 3x − 2x lim x (= 1) c) lim x (= ln ln (3/ (3/2)/ 2)/ ln(5/ ln(5/2)) . x x 0 5 − 2x 5 − 2x
∞
→−∞
→
Zadatak 8
a)
lim
x→+∞
√
3x x + 3x 2
− x
3 = 2
b) 1
lim
x→−∞
√
3x x + 3x 2
−
x (= ∞)
Zadatak 9
a)
√
lim
x +1−
x→+∞
2
√
x
2
−
4 (= 0) b)
lim
x→−∞
√
x +1− 2
√
x
2
−
4 (= 0) .
Zadatak 10
a) b)
lim
ax2 + b1 x + c1
x→+∞
lim
ax + b1 x + c1 2
x→−∞
√− − √−
− −
ax2 + b2 x + c2 , a > 0 =
b1 b2 2 a
b1 b2 2 a
ax + b2 x + c2 , a > 0 = 2
Zadatak 11
lim
x→+∞
√
x2 + x + 2 +
√
3x + 4 + x2 + 3x
√
5x + 6 − 3x x2 + 5x
=
9 . 2
Zadatak 12
x+
lim
x→+∞
x+
√ √ − x
x
=
1 . 2
Zadatak 13
a)
lim
x→+∞
x (= 1) b) x2 + 5
√
x (= −1) . x2 + 5
lim
√
lim
√2 2 √x 2 + a2 + x
x→−∞
Zadatak 14
a)
lim
x→+∞
√2 2 √x 2 + a2 + x (= 1) x +b +x
b)
x→−∞
x +b +x
Zadatak 15
1 + x sin x − cos2x cos2x 0 1 − cos x
lim
x→
(= 6)
Zadatak 16
−
1 cos(x cos(x − 1) lim x 1 sin x (x2 − 2x + 1) →
2
1 = 4sin1
a2 = 2 b
.
.
Zadatak 17
e2x − ex lim x 0 sin πx
=
→
1 π
Zadatak 18
x(e5x − e2x ) lim x 0 cos x − 1
(= −6)
→
Zadatak 19
lim (sin x + cos x)tg x
(= e)
x→π/2
Zadatak 20
lim
x→∞
Zadatak 21
√
lim
x→−1
x2 1 x2 + 1
−
x2
(= e 2 ) −
√ √ arccos x
π−
x+1
1 =√ 2π
Zadatak 22
ax − 1 lim x 0 sin bx
=
→
ln a b
Zadatak 23
lim ln x · tg x (= 0)
x→0
Zadatak 24
tg x − sin x lim x 2π (x − 2π )3 →
=
1 2
Zadatak 25
sin2x sin2x + cos cos 2x − 1 0 1 + sin sin 2x − cos2x cos2x
lim
x→
(= 1)
Zadatak 26
4x2 − 1 lim x 1/2 e2x 1 − 1 →
−
3
(= 2)
Zadatak 27
tg(3x tg(3x)tg(5x )tg(5x) 0 x2 + x
lim
(= 0)
x→
Zadatak 28
lim x 2 (1 − 4cos x + 3 cos cos2 x) (= −1) −
x→0
Zadatak 29
lim (sin (sin 6πx + 2 sin 3πx) πx ) · ln
3
−
x→1
x (= −27π 27π 3)
Zadatak 30
(1 + x sin x − cos2x cos2x) ln (1 + x) 0 x(1 − cos x)
