1.5.2 Eventos Independientes
Eventos Independientes: Independientes: Dos eventos A eventos A y B son eventos independientes si: P ( A A∩ B)= B)= P ( A) A) P P ( B) B) Si esta ocurrencia no se satisface, los eventos son dependientes. Si P(A)≠0 ó P(B)≠0 Tiene sentido hablar de la siguiente equivalencia: P ( A ∩ B) = P ( A) P ( B) ⇔ P ( A B) = P ( A) o P ( B A) = P ( B) Probando la equivalencia: ⇐) Suponiendo que P(B) ≠ 0 P ( A B ) = P ( A) P ( A ∩ B ) P ( B)
= P ( A)
P ( A ∩ B ) = P ( A) P ( B)
⇒) P ( A ∩ B) = P ( A) P ( B) P ( A ∩ B )
Sea P(A) ≠ 0 P ( A ∩ B) = P(A)P(B) ⇒
P(A)
Sea P(B) ≠ 0 P ( A ∩ B ) = P(A)P(B) ⇒
P ( A ∩ B ) P(B)
= P ( B )
⇒ P ( B | A) = P ( B)
= P ( A) ⇒ P ( A | B ) = P ( A)
Ejemplo 1 Considérese los eventos relacionados con el lanzamiento de un dado donde los eventos son los siguientes: A: {Se observa un número impar} B: {Se observa un número par} C:{Se observa un 1 ó un 2} a) Son los eventos A y B independientes? b) Son A y C eventos independientes? Solución a) Comprobando de acuerdo a la definición: P ( A ∩ B) 0 P(AB)= = =0 P ( B) 1/ 3 P(A)=3/6=1/2 Ya que P(AB)≠P(A) entonces los eventos A y B son dependientes. b) P(AC)=
P ( A ∩ C ) 1 / 6 = = 1/ 2 P (C ) 2/6
Ya que P(AC)= P(A) entonces A y C son eventos independientes
Teorema: Si A y B son independientes ⇒A y B son independientes C
13
Demostración: A = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ B c )
obsérvese que ( A ∩ B) ∩ ( A ∩ B c ) = φ
P ( A) = P ( A ∩ B ) + P ( A ∩ B c ) P ( A ∩ B c ) = P ( A) − P ( A ∩ B ) = P ( A) − P ( A) P ( B ) = P ( A)[1 − P ( B)] = P ( A) P ( B c ) C
entonces A y B son independientes. Además dada la hipótesis del teorema anterior se deduce de inmediato que: C A y B son independientes. C C A y B son independientes. Definición: Una colección de eventos A1 , A2 ,... An son independientes si se cumple que: P ( Ai ∩ A j ) = P ( Ai ) P ( A j ) i ≠ j P ( Ai ∩ A j ∩ Ak ) = P ( Ai ) P ( A j ) P ( Ak )
i ≠ j i ≠ k j ≠ k
n n P I Ai = ∏ P ( Ai ) i =1 i =1 Teorema: Si una colección finita A1 , A2 ,... An son eventos independientes entonces también lo son los eventos B1 , B2 ,... Bn donde Bi = Ai o Bi = AiC Ejemplo 2 Sea Ω = { a1 , a 2 , a 3 , a 4 } sean P ({a i }) = 1 / 4
i = 1,2,3, 4
Definase los eventos A1 = ( a1 , a 2 ) A2 = (a1 , a3 )
Son A1 , A2 , A3 eventos independientes?
A3 = ( a1 , a 4 ) P ( A1 ) = P ( A2 ) = P ( A3 ) =
1
2 P ( A1 ∩ A2 ) = P ( A1 ∩ A3 ) = P ( A2 ∩ A3 ) = 1 / 4 P ( A1 ) P ( A2 ) = P ( A1 ) P ( A3 ) = P ( A2 ) P ( A3 ) = (1 / 2)(1 / 2) = 1 / 4 P ( A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = 1 / 4 P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) = 1 / 8 Entonces P ( A1 ∩ A2 ∩ A3 ≠ P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) entonces A1 , A2 , A3 no son eventos independientes Ejemplo 3
14
Supóngase que se lanza un dado en equilibrio. Sea A el suceso de obtener un número impar y sea el Evento B el suceso de obtener uno de los números 1,2,3, ó 4, comprobar que los eventos A y B son independientes. Solución: A:{1,3,5} B:{1,2,3,4} P ( A)=1/2 P ( B)=2/3 P ( A ∩ B ) = 1 / 3 P ( A ∩ B ) = P ( A) P ( B ) entonces los eventos A y B son independientes. Si son independientes no necesariamente son ajenos como se ve en el ejemplo anterior Ejemplo 4 Supóngase que se arrojan dos dados balanceados tres veces de manera sucesivas. Determinar la probabilidad que en cada una de las tres tiradas la suma de los dados de los números que aparecen sea 7. Solución: En cada lanzamiento se tiene: Ak ={En el k-ésimo lanzamiento la suma de los dados es 7} #Ω= 36 Ω ={(i,j) tal que i,j es 1,2,...6} Ak ={(1,6), (2,5), (3,4), (4,3),(5,2), (6,1) } # Ak =6 P ( A1 ∩ A2 ∩ A3 ) = P ( A1 ) P ( A2 ) P ( A3 ) = P ( A1 ) P ( A2 A1 ) P ( A3 A1 ∩ A2 )
1 = = 36 36 36 6 6 6 6
1.5.3
3
Teorema de Bayes
Partición de un conjunto: Dado cualquier conjunto S y B1 ,B2 ...Bk subconjuntos de S se dice que B1 ,B2 ...Bk es una partición de S si S= B1 ∪ B2 ... ∪ Bk y Bi ∩ B j = φ i≠ j Teorema de probabilidad total : Supóngase un espacio de probabilidad (Ω,A, P(.)) y B1 ,B2 ...Bk partición de Ω con P(Bi ) >0 i=1,2,...k . Entonces para cualquier evento A se tiene que: k
P ( A) =
∑ P(A B )P(B ) i =1
i
i
Demostración:
15
k k A = A ∩ Ω = A ∩ U Bi = U ( A ∩ Bi ) i =1 i =1 k P ( A) = P U ( A ∩ Bi ) Bi y B j son ajenos i ≠ j entonces ( A ∩ Bi ) y ( A ∩ B j ) son ajenos i =1 k
P ( A) =
∑ P ( A ∩ B ) i
i =1 k
=
∑ P ( A B ) P ( B ) i
i
i =1
Corolario: P( A)= P( A B) P( B)+ P( A B ) P( B ) C
C
Teorema de probabilidad total : Supóngase un espacio de probabilidad (Ω,A, P(.)) y B1 ,B2 ...Bk partición de Ω con P(Bi ) >0 i=1,2,...k . Entonces para cualquier evento A se tiene que: k
P ( A) =
∑ P(A B )P(B ) i =1
i
i
Teorema de Bayes: Sea Ω un espacio muestral y B1 ,B2 ...Bk una partición de Ω con P( Bi )>0 i=1,2…k y A cualquier evento tal que P( A )>0, entonces para cualquier j=1,2,…k se tiene que: P(A B j )P(B j ) P(B j A) = n P(A Bi )P(Bi )
∑ i =1
Demostración:
P ( B j A) =
P ( B j ∩ A)
=
P ( A)
definición de probabilidad
P ( A B j ) P ( B j ) k
∑ P ( A B ) P ( B ) i
empleando el teorema de probabilidad total (denominador) y
i
i =1
definición e probabilidad condicional: P ( A ∩ B j ) P ( A B j ) = ⇒ P ( A ∩ B j ) = P ( A B j ) P ( B j ) P ( B j ) Ejemplo 1 Dos cajas contienen cerrojos grandes y pequeños. Supóngase que una caja contiene 60 cerrojos grandes y 40 pequeños y que la otra caja contiene 10 grandes y 20 pequeños. Supóngase también que se selecciona una caja al azar y que se extrae un cerrojo aleatoriamente de la misma. Determinará la probabilidad de que este cerrojo sea grande. Solución: Definiendo los eventos: A={el cerrojo es grande} C1={Se selecciona la 1ª. Caja} P(C1)=0.5 P(A|C1)=60/100 C2={Se selecciona la 2ª. Caja} P(C2)=0.5 P(A|C2)=10/30 16
P ( A) = P ( A C 1) P (C 1) + P ( A C 2) P (C 2) P ( A) = P ( A C 1) P (C 1) + P ( A C 2) P (C 2) =
60 100
(0.5) +
10 30
(0.5) =
3 5
(0.5) +
1 3
(0.5) =
7 15
Ejemplo 2 Para la fabricación de un gran lote de artículos similares se utilizaron tres máquinas M1, M2 y M3. Supóngase que el 20% de los artículos fueron fabricados por la máquina M1, el 30% por la máquina M2 y el 50% por la máquina M3. Suponga además que el 1% de los artículos fabricados por la máquina M1 son defectuosos, que el 2% de los artículos fabricados por la máquina M2 son defectuosos y el 3% de los artículos fabricados por la máquina M3 son defectuosos. Por último, supóngase que se selecciona al azar uno de los artículos del lote y que resulta ser defectuoso. Se determinará la probabilidad de que el artículo haya sido fabricado por la máquina M2. Solución Definiendo los eventos Ai: El suceso de que el artículo seleccionado haya sido de la máquina Mi B : El suceso de que el artículo seleccionado sea defectuoso. Se desea calcular P ( A 2 B ) 20% fabrica M1 30% fabrica M2 50% fabrica M3 1% de los artículos fabricados por M1 es defectuoso
P(A1)=0.2 P(A2)=0.3 P(A3)=0.5 P ( B A1 ) = . 01
2% de los artículos fabricados por M2 es defectuoso
P ( B A 2 ) = .02
3% de los artículos fabricados por M3 es defectuoso
P ( B A 3 ) = . 03
Así, por el teorema de Bayes se tiene: P(A2 B)
P(B A 2 )P(A2 ) 3
∑ P(B A )P(A ) i
=
(0.02)(0.3) (0.01)(0.2) + (0.02)(0.3) + (0.3)(0.5)
= 0.26
i
i =1
Ejemplo 3 Don gato tiene tres candidatos: Demóstenes, Cucho, Benito Bodoque para una misión que consiste en vender boletos de una rifa inexistente a unos turistas ingenuos. Sólo uno de los tres debe hacerlo. Se estima Demóstenes cuenta con el 35% de probabilidades de ser el elegido, Cucho 45% y Benito el 20%. Hay una probabilidad de 0.09 de que los atrape el sargento Matute si va Demóstenes, 0.11 si va Cucho y el de 0.07 si va Benito a) ¿Cual es la probabilidad de quesean atrapados? b) ¿Si los atrapa cual es la probabilidad que halla sido Benito Bodoque como el encargado de vender los boletos?
17
Solución: D: Demóstenes es el seleccionado C: Cucho es el seleccionado B: Benito Bodoque es el seleccionado A: Son atrapados por el Sargento Matute a) Se desea P(A) P(A)= P(A|D)P(D)+ P(A|C)P(C)+ P(A|B)P(B) P(A|D)=0.09 P(D)=0.35 P(A|C)=0.11 P(C)=0.45 P(A|B)=0.07 P(B)=0.20 P(A)=0.09(0.35)+0.11(0.45)+ 0.07(0.20)=0.0315+0.0495+0.014=0.095 Entonces P(A)=0.095 b) Se desea P(B|A) P ( B | A) = =
P(A | B)P(B) P(A | D)P(D) + P(A | C)P(C) + P(A | B)P(B) 0.014
= 0.147368 0.095 Entonces: P(B|A)= 0.147368
*Una caja contiene tres monedas con cara en cada lado, cuatro monedas con sello en cada lado, y dos monedas balanceadas. Si una de estas monedas es seleccionada al azar y lanzada una vez. ¿cuál es la probabilidad de que sea obtenida cara? Solución M 1 = {seleccionar una moneda que tiene cara en ambos lados}
M 2 = {seleccionar una moneda que tiene sello en ambos lados} M 3 = {seleccionar una moneda que es balanceada} A
= {se obtiene cara}
Se observa que M 1 , M 2 y M 3 es una partición del espacio muestral Ω . A es el evento de interés, entonces, por la teorema de probabilidad total se tiene: P ( A) =
3
∑ P ( A / M ) P (M ) i
j
i =1
Así: P ( A / M i ) = 1
P (M 1 ) = 3 / 9
P ( A / M 2 ) = 0
P (M 2 ) = 4 / 9
P ( A / M 3 ) = 1 / 2
P (M 3 ) = 2 / 9
por lo tanto:
3 1 2 1 1 4 P ( A) = 1 + 0 + = + = 9 2 9 3 9 9 18
•
Una nueva prueba ha sido dispuesta para detectar un particular tipo de cáncer. Si la prueba es aplicada a personas que tienen este tipo de cáncer, la probabilidad de que esta persona pueda tener una reacción positiva es del 0.95, y la de que pueda tener una reacción negativa es del 0.05. si la prueba es aplicada a una persona que no tenga este tipo de cáncer, la probabilidad de que la persona pueda tener una reacción positiva es del 0.05 y la reacción negativa es del 0.95. Supóngase que la población en general, una de 100 000 personas tiene este tipo de cáncer. Si una persona es seleccionada al azar y tiene una reacción positiva a la prueba ¿Cuál es la probabilidad de que tenga este tipo de cáncer? Solución: A = {tiene el tipo de cáncer} B = {la persona tiene reacción positiva} Obsérvese que A, Ac es una partición de S Se desea P ( A / B ) Entonces por el teorema de Bayes se tiene que: P ( B / A) P ( A) P ( A / B ) = P ( B / A) P ( A) + P ( B / Ac ) P ( Ac ) =
(0.95)(1 / 100000 ) 0.95 = = 0.00018996 (0.95)(1 / 100000) + (0.05)(99999 / 100000) 5000.9
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