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Apuntes de Grupos de Lie Dpto. de Matematicas. Univ. de Extremadura 28 de septiembre de 2009

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Índice general Lecci´ on 1. Introducci´ on. Conceptos b´ asicos 1.1. Variedades diferenciables . . . . . . . . . . 1.2. Inmersiones locales, subvariedades . . . . 1.3. Distribuciones . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Proyecciones regulares . . . . . . . . . . .

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5 . 5 . 7 . 8 . 14

Lecci´ on 2. Grupos de Lie

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Lecci´ on 3. Subgrupos de Lie

19

Lecci´ on 4. Subgrupos de Lie inmersos

21

´ Lecci´ on 5. Algebras de Lie 24 5.1. Constantes de estructura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ´ 5.2. Algebra de Lie de un grupo de Lie. . . . . . . . . . . . . . 25 Lecci´ on 6. Sub´ algebras de Lie

28

Lecci´ on 7. Subgrupos uniparam´ etricos

32

Lecci´ on 8. La aplicaci´ on exponencial

36

Lecci´ on 9. El funtor de Lie

41

Lecci´ on 10.Subgrupos cerrados

43

Lecci´ on 11.Grupos de Lie abelianos 46 11.1. Grupos de Lie abelianos conexos. Clasificación . . . . . . 48 11.2. Idem no conexos. Clasificaci´ on . . . . . . . . . . . . . . . 49

3

4

Grupos de Lie

Lecci´ on 12.La acci´ on de un grupo 51 12.1. Grupos de Lie cl´ asicos conexos . . . . . . . . . . . . . . . 57 Lecci´ on 13.El espacio topol´ ogico de ´ orbitas 13.1. Conjunto cociente . . . . . . . . . . . . . . 13.2. Espacio topol´ ogico cociente. . . . . . . . . . 13.3. Cociente de una G–variedad por el grupo G 13.4. Cociente de un grupo por un subgrupo . . .

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59 59 60 61 62

Lecci´ on 14.Variedad cociente categorial

64

Lecci´ on 15.Variedad cociente geom´ etrico

66

Lecci´ on 16.Espacios Homog´ eneos

79

Lecci´ on 17.El fibrado normal 82 17.1. El Teorema del entorno tubular. . . . . . . . . . . . . . . 83 Lecci´ on 18.La acci´ on en el fibrado normal 86 18.1. La medida de Haar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 18.2. Construcci´ on de una métrica Riemanniana invariante. . . 87 18.3. La acci´ on sobre el Fibrado normal. . . . . . . . . . . . . . 88 Lecci´ on 19.El espacio de ´ orbitas 89 19.1. Tipo de isotrop´ıa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 19.2. Variedad cociente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 19.3. El espacio topol´ ogico de tipos de isotrop´ıa. . . . . . . . . 94 Lecci´ on 20.Ejemplos de espacios de ´ orbitas

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Lecci´ on 1. Introducci´ on. Conceptos b´ asicos

1. 1.1.

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Introducci´ on. Conceptos b´ asicos Variedades diferenciables

Definici´ on. Llamamos estructura diferenciable en un espacio topológico X , a una colecci´ on {C ∞ (U ) ⊂ C(U ), con U abierto de X }, de subconjuntos de las funciones continuas de cada abierto U de X , cada una de las cuales es una R-´ algebra, que llamaremos de funciones diferenciables, que satisfacen las siguientes propiedades: i.- La restricci´ on de una funci´ on diferenciable es diferenciable, es decir dados dos abiertos U ⊂ V , f ∈ C ∞ (V )

⇒

f|U ∈ C ∞ (U ).

ii.- Dada una colecci´ on Ui de abiertos, U = ∪Ui y f ∈ C(U ), cuya restricci´ on a cada Ui es diferenciable, entonces f ∈ C ∞ (U ). iii.- Para cada punto x ∈ X existe un abierto Ux , que lo contiene y al que llamaremos entorno coordenado de x, un abierto V de un Rn y un homeomorfismo H : Ux → V , tal que para cada abierto U ⊂ Ux f ∈ C ∞ (H(U ))

⇔

f ◦ H ∈ C ∞ (U ).

Llamaremos variedad diferenciable a un espacio topológico dotado de una estructura diferenciable. Nota 1.1 Normalmente se suele a˜ nadir a la definición de variedad diferenciable el que sea Hausdorff y de base numerable (en esta primera lecci´ on consideraremos que las variedades son de base numerable). Sin embargo nosotros no lo incluimos en la definición por dos razones. La primera es que construiremos cocientes que serán variedades diferenciables, pero no Hausdorff en general y la segunda es que los grupos de Lie con la definici´ on anterior autom´ aticamente son Hausdorff y de base numerable sus componentes conexas. Proposici´ on 1.2 En toda variedad diferenciable los puntos son cerrados. Demostraci´ on. Sean x, p ∈ X y p 6= x, entonces por la propiedad (iii) existe un entorno coordenado Ux de x que no contiene a p, por tanto {p}c es abierto y {p} cerrado.

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Grupos de Lie

Proposici´ on 1.3 Toda variedad es uni´ on disjunta numerable de sus componentes conexas, que son abiertos y cerrados de la variedad. Demostraci´ on. Consideremos, para cada x de la variedad, la unión Ux de todos los conjuntos conexos de la variedad que contienen a x. Se demuestra f´ acilmente que cada Ux es conexo, que es abierto (por la propiedad iii), que es cerrado pues su complementario es abierto y que cada dos o son iguales o disjuntos, por tanto si el espacio tiene una base numerable de abiertos, la colecci´ on de estas componentes conexas a lo sumo es numerable. Definici´ on. Diremos que una aplicaci´ on continua entre variedades diferenciables F : X −→ Y, es diferenciable si para cada abierto V ⊂ Y f ∈ C ∞ (V )

⇒

F ∗ (f ) = f ◦ F ∈ C ∞ (f −1 (V )).

Definici´ on. Llamamos germen en un punto x, de una función continua (diferenciable) f definida en un entorno abierto de x, a la clase de equivalencia de todas las funciones continuas (diferenciables) definidas en entornos abiertos de x, que coincidan con f en alg´ un entorno de x. Denotaremos con Cx (X ) (´ o Cx si no hay confusión) y Cx∞ las R–álgebras de gérmenes de funciones continuas y diferenciables respectivamente en x. Llamamos espacio tangente de una variedad X en un punto x al R–espacio vectorial Tx (X ), de las derivaciones Dx : Cx∞ −→ R, en el punto x, el cual —si X es Hausdorff y de base numerable como supondremos en el resto de esta primera lección—, se demuestra que coincide con las derivaciones en x de todo el a´lgebra C ∞ (X ) en R. Llamamos espacio cotangente a su dual, que denotamos Tx∗ (X ). Llamamos campos tangentes a las derivaciones D : C ∞ (X ) −→ C ∞ (X ), las cuales forman un C ∞ (X )–m´ odulo, que denotamos D(X ), y un álgebra con el producto definido por el corchete de Lie [D1 , D2 ] = D1 ◦ D2 − D2 ◦ D1 .


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Llamamos 1–formas a los elementos de su módulo dual Ω(X ). Dada una funci´ on f ∈ C ∞ (X ) llamamos diferencial de f a la 1–forma df : D(X ) −→ C ∞ (X ),

df (D) = Df.

Definici´ on. Dada una aplicaci´ on diferenciable F : X −→ Y, llamamos aplicaci´ on lineal tangente en x ∈ X a F∗ : Tx (X ) −→ TF (x) (Y),

F∗ (Dx ) = Dx ◦ F ∗ ,

a la aplicaci´ on dual entre espacios cotangentes la denotamos F ∗ . Llamamos rango de F en x al rango de F∗ , es decir a la dimensión de su imagen.

1.2.

Inmersiones locales, subvariedades

Definici´ on. Decimos que F es una inmersi´ on local en x si la aplicación F ∗ : CF∞(x) −→ Cx∞ ,

F ∗ (f ) = f ◦ F,

definida entre ´ algebras de gérmenes de funciones diferenciables, es sobre. Lo cual equivale a que F∗ : Tx (X ) −→ TF (x) (Y), sea inyectiva. Diremos que F es inmersi´ on si es inyectiva e inmersión local en todo punto, en cuyo caso diremos que F (X ) es una subvariedad inmersa en Y. Si adem´ as, con la topolog´ıa inducida por Y, resulta que F : X −→ F (X ), es un homeomorfismo, diremos que F (X ) es una subvariedad (ó subvariedad regular como la llaman algunos autores), de Y. Teorema de caracterizaci´ on de subvariedades 1.4 S es una subvariedad de una variedad X si y s´ olo si para cada p ∈ S, existe un abierto coordenado Vp de p en X , con coordenadas ui , tal que S ∩ Vp = {x ∈ Vp : uj (x) = 0,

j = 1, . . . , k}.

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Grupos de Lie

Teorema del rango 1.5 Si F : X → Y es diferenciable de rango constante k, entonces para cada p ∈ X y q = F (p) existen entornos coordenados Vp y Vq , con coordenadas (u1 , . . . , un ) y (v1 , . . . , vm ), tales que si x ∈ Vp tiene coordenadas (x1 , . . . , xn ), F (x) tiene coordenadas (x1 , . . . , xk , 0 . . . , 0). Proposici´ on 1.6 Sea F : X → Y diferenciable de rango constante k. 1.- Para cada q ∈ Y, F −1 (q) es vac´ıo ´ o una subvariedad cerrada de X , de dimensi´ on dim X − k. 2.- Cada p ∈ X tiene un entorno abierto Vp tal que F (Vp ) es una subvariedad de Y de dimensi´ on k. 3.- Si F es sobre dim Y = k. 4.- Si F es localmente inyectiva k = n y F es inmersi´ on local. Demostraci´ on. 1.- Sea p ∈ F −1 (q), y consideremos los entornos del teorema del rango, entonces F −1 (q) ∩ Vp = {x ∈ Vp : F (x) = q} = {x ∈ Vp : vj (F (x)) = vj (q), j ≤ k} = {x ∈ Vp : uj (x) = vj (q), j ≤ k}. 2.- En el entorno Vp , F es composici´ on de una proyección (que lleva abiertos en abiertos) y una inmersi´ on, por tanto existe un abierto U ⊂ Vq , tal que F (Vp ) = {y ∈ U : vk+1 = · · · = vn = 0}. 3.- Como X es de base numerable, por el apartado anterior Y se puede poner como uni´ on numerable de subvariedades de dimensión k y si k < dim Y es absurdo porque las subvariedades son de medida nula y la uni´ on numerable de conjuntos de medida nula es de medida nula. También porque las subvariedades son densas en ning´ un lado y por el Teorema de Baire su uni´ on numerable también es densa en ning´ un lado. 4.- Es obvio.

1.3.

Distribuciones

Definici´ on. Llamaremos distribuci´ on en una variedad X a una aplicaci´ on x ∈ X −→ ∆x , donde ∆x es un subespacio de Tx (X ), verificando la siguiente condición:


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Para cada p ∈ X existe un abierto Up ⊂ X y campos D1 , . . . , Dr ∈ D(Up ), tales que para todo x ∈ Up , D1x , . . . , Drx son base de ∆x . Si la variedad es conexa al n´ umero r lo llamamos rango de la distribución. Dada una distribuci´ on ∆x , definimos para cada abierto V ⊂ X el subm´ odulo de D(V ) ∆(V ) = {D ∈ D(V ) : Dx ∈ ∆x ∀x ∈ V }. Habitualmente llamamos distribuci´ on a ∆ = ∆(X ). Definici´ on. Diremos que una distribuci´ on ∆ es involutiva si para D1 , D2 ∈ ∆ se tiene que [D1 , D2 ] ∈ ∆. Teorema de Frobenius 1.7 Una distribuci´ on de rango r es involutiva si y s´ olo si para cada x ∈ X existe un entorno abierto V de x en X , y un sistema de coordenadas (u1 , . . . , un ) en V , tales que ∆(V ) est´ a generada por ∂ ∂ ,..., , ∂u1 ∂ur y las subvariedades de V (a las que llamaremos franjas del entorno) S = {x ∈ V : ur+1 = cte, . . . , un = cte}, son tangentes a la distribuci´ on, es decir para cada z ∈ S Tz (S) = ∆z . Definici´ on. Llamaremos variedad integral de una distribución ∆ de X , a toda subvariedad inmersa conexa H ⊂ X , por tanto tal que i : H ,→ X , es inmersi´ on, tal que para cada x ∈ H i∗ [Tx (H)] = ∆F (x) , si no es conexa diremos que es una variedad tangente. Nota 1.8 Observemos que en el teorema de Frobenius las franjas del entorno son variedades integrales y por lo tanto si una distribución es involutiva por todo punto pasa una variedad integral.

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Grupos de Lie

Ejercicio 1.9 Sea ∆ una distribuci´ on involutiva en X y V un abierto coordenado como en el teorema de Frobenius. Demostrar que si H ⊂ V es una variedad integral (conexa), entonces est´ a en una franja, es decir existen ar+1 , . . . , an ∈ R, tales que H ⊂ {x ∈ V : ur+1 = ar+1 , . . . , un = an }.

Definici´ on. Llamaremos variedad integral m´ axima de una distribución, pasando por un punto x a una variedad integral (conexa) K ⊂ X , tal que si H ⊂ X es otra variedad integral con x ∈ H, entonces H ⊂ K. Veremos que si ∆ es una distribuci´ on involutiva, entonces por cada punto de la variedad pasa una u ńica variedad integral máxima. Pero para ello necesitamos unos resultados previos. Teorema 1.10 Sean U, V y W variedades diferenciables, y consideremos el diagrama conmutativo F

U H

− → &

V .G

W donde G es inmersi´ on y H es diferenciable, entonces cada afirmaci´ on implica la siguiente: i) G(V) es una subvariedad de W. ii) F es continua. iii) F es diferenciable. Demostraci´ on. (i)⇒(ii) Para cada abierto V ⊂ V se tiene por ser G inyectiva F −1 (V ) = F −1 [G−1 [G(V )]] = H −1 [G(V )], y F es continua por serlo H y G(V) tener la topolog´ıa inducida por W, por lo que G(V ) = A ∩ G(V), con A abierto de W y F −1 (V ) = H −1 (A). (ii)⇒(iii) Si F : U −→ V es continua, entonces podemos definir para cada x ∈ U F ∗ : CF (x) (V) −→ Cx (U), tal que F ∗ [f ] = [F ∗ f ], para cualquier representante f . Ahora que F es diferenciable se demuestra f´ acilmente en germen, pues si f es el germen


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de una funci´ on diferenciable en y = F (x) ∈ V, para un punto x ∈ U, entonces f = G∗ (g) (por ser G inmersi´ on local), para g el germen de una funci´ on diferenciable de W, por lo tanto F ∗ (f ) = F ∗ [G∗ (g)] = H ∗ (g), es el germen de una funci´ on diferenciable. Teorema 1.11 Sean U, V y W variedades diferenciables, y consideremos el diagrama conmutativo de teorema anterior, con G inmersi´ on, H diferenciable y adem´ as para cada y ∈ V, G∗ [Ty (V)] = ∆G(y) , para ∆ una distribuci´ on involutiva de W. Entonces F es continua y por el resultado anterior diferenciable. Demostraci´ on. Sea V ⊂ V un abierto y x ∈ F −1 (V ), basta encontrar un entorno abierto de x cuya imagen por F esté en V . Para ello consideremos y = F (x) y z = H(x) = G(y) (sin pérdida de generalidad podemos considerar que las variedades son de base numerable, pues podemos quedarnos con sendos entornos coordenados de cada punto). Sea (Wz ; wi ), entorno coordenado de z con coordenadas (w1 , . . . , wm ), tal que wi (z) = 0 y para cada p ∈ Wz ∆p =<

∂ ∂ p, . . . , p >, ∂w1 ∂wn

y consideremos el abierto G−1 (Wz ), el cual tiene por (1.3) una colección numerable de componentes conexas Vk que son abiertos. Llamemos V0 a la que contiene a y y Vy = V ∩ V0 . Ahora consideremos las funciones de G−1 (Wz ), vi = G∗ (wi ) = wi ◦G, las cuales son constantes, para i = n + 1, . . . , m, en cada componente conexa Vk , pues para cada q ∈ Vk y Dq ∈ Tq (V) Dq vi = Dq (wi ◦ G) = G∗ (Dq )wi = 0, ya que G∗ (Dq ) ∈ ∆G(q) . Por lo tanto existen n´ umeros aik ∈ R, con i = n + 1, . . . , m y k = 0, 1, 2, . . . , tales que vi [Vk ] = aik ,

vi [V0 ] = 0.

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Grupos de Lie

Por otra parte, las funciones vi = wi ◦G, para i = 1, . . . , n, son un sistema de coordenadas en V0 , ya que si q ∈ V0 y Eiq es la base de Tq (V0 ) tal que G∗ (Eiq ) =

∂ G(q) , ∂wi

i = 1, . . . , n,

tendremos que dq vj ∈ Tq∗ (V) es su base dual, pues dq vi (Ejq ) = Ejq (wi ◦ G) = G∗ [Ejq ]wi = δij , y en estas coordenadas G : V0 → Wz se expresa de la forma (y1 , . . . , yn ) −→ (y1 , . . . , yn , 0, . . . , 0), por tanto podemos considerar un abierto W ⊂ Wz , entorno de z tal que G(Vy ) = {p ∈ W : wn+1 (p) = · · · = wm (p) = 0}. Si ahora llamamos U a la componente conexa del abierto H −1 (W ) que contiene a x, basta demostrar que F (U ) ⊂ Vy ⊂ V ó equivalentemente por ser G inyectiva H(U ) = G[F (U )] ⊂ G(Vy ). Ahora por una parte tenemos que F (U ) ⊂ G−1 (Wz ) = ∪Vk , pues G[F (U )] = H(U ) ⊂ W ⊂ Wz y por tanto para i = n + 1, . . . , m wi [H(U )] = vi [F (U )] ⊂ {aik ∈ R : k = 0, 1, . . .}, pero por otra parte wi [H(U )] es conexo, por ser imagen continua de un conexo, por lo que debe ser constante y como x ∈ U , wi [H(U )] = 0, es decir que H(U ) ⊂ {p ∈ W : wn+1 (p) = · · · = wm (p) = 0} = G(Vy ). Teorema 1.12 Sea ∆ una distribuci´ on involutiva en una variedad X , entonces por cada punto de la variedad pasa una u ńica variedad integral m´ axima. Demostraci´ on. Sea p ∈ X y K el conjunto de puntos que se unen a p por una curva continua, diferenciable —salvo en un n´ umero finito de puntos—, y en los puntos en los que es diferenciable es tangente a la distribuci´ on. Veamos que: K es una variedad diferenciable, conexa, con


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base numerable; que la inclusi´ on i : K ,→ X es inmersión local; que K es variedad integral m´ axima; y que es u ńica. Por el Teorema de Frobenius ∆ es totalmente integrable, por tanto cada punto x ∈ X , tiene un entorno abierto coordenado c´ ubico (Ux ; ui ), cuyas franjas son tangentes a la distribuci´ on, ahora bien como X tiene base numerable Vm , existe un m tal que x ∈ Vm ⊂ Ux , ahora elegimos para cada uno de estos m –que es una colecci´ on numerable–, un Um = Ux cualquiera que contenga a Vm . De este modo tendremos un recubrimiento numerable de X , por abiertos coordenados c´ ubicos (Um ; umi ), cuyas franjas son tangentes a la distribuci´ on y por comodidad pondremos p ∈ U0 . Sea q ∈ K, sea Um(q) el abierto del recubrimiento que lo contiene y Vq = {x ∈ Um(q) : um(q)r+1 (x) = um(q)r+1 (q), . . . , um(q)n (x) = um(q)n (q)}, la franja del abierto que lo contiene, la cual está en K, pues de q se llega a todos esos puntos por curvas tangentes a la distribución. Ahora consideramos en cada Vq la topolog´ıa para la que φ = (um(q)1 , . . . , um(q)r ) : Vq → φ(Vq ) ⊂ Rr , es un homeomorfismo y definimos un abierto A ⊂ K sii A ∩ Vq es abierto de Vq , para cada q. Ahora consideramos la estructura diferencial en K que definen las aplicaciones φ. Con esta estructura diferenciable K es una variedad de dimensi´ on r, conexa —pues es conexa por arcos por definici´ on— y veamos que tiene una base numerable de abiertos. Basta ver que para cada m, Um ∩ K es una colección numerable de franjas, para ello observamos que cada punto x ∈ Um ∩ K, se une a p por una curva, que se recubre con una colección finita de abiertos U0 , Ui1 , . . . , Uim —este recubrimiento puede hacerse de muchas formas, pero a lo sumo hay una colecci´ on numerable de ellos, pues es numerable la colecci´ on de subconjuntos finitos de un conjunto numerable—. Ahora en cada uno de los Uij , la curva por ser continua y tangente a la distribución va por una u ńica franja, por tanto sale de la franja de U0 que contiene a p y pasa a una franja de Ui1 de esta a una del siguiente abierto y as´ı hasta el u ´ltimo. Basta entonces ver que cada franja S se interseca con cada abierto Ui en una colecci´ on a lo sumo numerable de franjas. S ∩ Ui es un abierto de la subvariedad S, que como tiene base numerable tiene (por (1.3)) una colecci´ on numerable de componentes conexas, que como son tangentes a la distribuci´ on y son conexas est´ an cada una de ellas en una franja.

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Grupos de Lie

Por tanto K tiene base numerable y es una variedad diferenciable conexa, para la que la inclusi´ on es inmersi´ on local y es tangente a ∆. Por tanto es variedad integral pero adem´ as es maximal, pues si hubiera otra N pasando por p, cada punto suyo x puede unirse a p (pues es arco conexa) por una curva diferenciable tangente a la distribución, por tanto de K. Veamos ahora que es u ńica. Por lo anterior si hubiera otra N pasando por p, ser´ıa N ⊂ K y por ser maximal, se dar´ıa la igualdad conjuntista. Ahora bien las dos inclusiones ser´ıan aplicaciones diferenciables por (1.11), por tanto son variedades diferenciables iguales y K es u ńica.

1.4.

Proyecciones regulares

Definici´ on. Diremos que una aplicaci´ on diferenciable π : X → Y es una proyecci´ on regular en x ∈ X si se verifican cualquiera de las condiciones equivalentes: 1. π∗ : Tx (X ) → Tπ(x) (Y), es sobre. 2. Existen entornos coordenados Vx de x y Vy de y = π(x), tales que si p ∈ Vx tiene coordenadas (x1 , . . . , xn ), F (p) tiene coordenadas (x1 , . . . , xm ). 3. Existe una secci´ on local σ : Vy → X , π ◦ σ = Id, tal que σ(y) = x. Diremos que π es proyecci´ on regular si lo es en todo punto.1 Veamos otras propiedades de las proyecciones regulares (pero antes demos un resultado previo). Lema 1.13 Si π : X → Y es continua, abierta y sobre, entonces U ⊂ Y es abierto (cerrado) si y s´ olo si π −1 (U ) ⊂ X es abierto (cerrado). Demostraci´ on. “⇒”por continuidad. “⇐”por que por una parte se tiene que para A ⊂ Y, π −1 (Ac ) = [π −1 (A)]c , por tanto basta demostrarlo para U abierto. Ahora como π es sobre, π[π −1 (U )] = U y es abierto si π −1 (U ) es abierto. Proposici´ on 1.14 Si π : X → Y es una proyecci´ on regular sobre, entonces se tienen las propiedades siguientes: 1. Para cada abierto U ⊂ Y, f ∈ C ∞ (U ), si y s´ olo si f ◦ π ∈ ∞ −1 C (π (U )). 1 Observemos que por el apartado 3 de (1.6) si π es sobre y de rango constante, entonces es proyecci´ on regular, pues se satisface la condici´ on 2 de la definici´ on en todo punto.


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2. Para cada abierto U ⊂ Y, φ : U → Z es diferenciable si y s´ olo si φ ◦ π : π −1 (U ) → Z es diferenciable. 3. Para cada abierto U ⊂ Y, φ : U → Z es proyecci´ on regular si y s´ olo si φ ◦ π : π −1 (U ) → Z es proyecci´ on regular. 4. U ⊂ Y es abierto (cerrado) si y s´ olo si π −1 (U ) ⊂ X es abierto (cerrado). 5. S ⊂ Y es subvariedad si y s´ olo si π −1 (S) ⊂ X es subvariedad. Demostraci´ on. “⇒”Para (1) y (2) es obvio por ser π diferenciable, para (3) por ser la composici´ on de proyecciones regulares una proyección regular. Para (5) sea x ∈ π −1 (S) e y = π(x) ∈ S, entonces existe un entorno coordenado de y, (Vy ; vi ), tal que S ∩ Vy = {z ∈ Vy : v1 = · · · = vk = 0}, entonces para Ux = π −1 (Vy ) y ui = π ∗ vi , que son diferenciablemente independientes, pues π ∗ es inyectiva, tendremos que π −1 (S) ∩ Ux = π −1 (S ∩ Vy ) = {p ∈ Ux : u1 = · · · = uk = 0}. Veamos ahora “⇐”. (1), (2) y (3) se demuestran f´ acilmente tomando secciones locales, teniendo en cuenta que π es sobre. (5) Sea y ∈ S y x ∈ π −1 (S), tal que π(x) = y y consideremos sendos entornos abiertos coordenados Ux de x y Uy de y, con coordenadas respectivas (x1 , . . . , xn ) e (y1 , . . . , ym ), tales que xi (x) = 0 y si p ∈ Ux tiene coordenadas (p1 , . . . , pn ), π(p) tiene coordenadas (p1 , . . . , pm ), adem´ as podemos suponer que π(Ux ) = Uy , que tenemos la sección de π, σ : Uy → Ux ,

σ(y1 , . . . , ym ) = (y1 , . . . , ym , 0 . . . , 0),

y que existen funciones u1 , . . . , uk ∈ C ∞ (Ux ), diferenciablemente independientes y tales que π −1 (S) ∩ Ux = {p ∈ Ux : u1 (p) = · · · = uk (p) = 0}, entonces S es subvariedad, ya que para vi = σ ∗ (ui ) S ∩ Uy = π[π −1 (S) ∩ Ux ] = {π(p) : p ∈ Ux , u1 (p) = · · · = uk (p) = 0} = {q ∈ Uy : v1 (q) = · · · = vk (q) = 0},

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Grupos de Lie

pues en la u ´ltima igualdad ⊂ se sigue tomando q = π(p) ∈ S ∩ Uy (por las dos primeras igualdades), por tanto σ(q) ∈ π −1 (S) ∩ Ux , ya que π[σ(q)] = q, y vi (q) = ui [σ(q)] = 0 y la otra inclusión ⊃ es obvia pues basta tomar p = σ(q). El resultado se sigue pues para i = P 1, . . . , k, vi = σ ∗ (ui ) son diferenciablemente independientes, ya que si ai dvi = 0, P Pk Pn ∗ entonces σ ( ai dui ) = 0 y si i=1 ai dui = j=1 λj dxj , por una parte tenemos m X X λj dyj ⇒ λ1 = · · · = λm = 0, 0 = σ∗ ( ai dui ) = j=1

y para j = m + 1, . . . , n es π∗ (∂xj ) = 0, por tanto para τt el grupo uniparamétrico de ∂xj , π[τt (p)] = π(p) y si p ∈ π −1 (S) ∩ Ux , entonces τt (p) también y u1 [τt (p)] = · · · = uk [τt (p)] = 0, lo cual implica que,Ppara j = m + 1, . . . , n, ∂ui (p)/∂xj = 0 y esto que λj = 0. Por tanto ai dui = 0 y como las dui son independientes, las ai = 0. Por u ´ltimo (4) es consecuencia del Lema (1.13).

2.

Grupos de Lie

Una de las ideas subyacentes en la noci´ on de grupo de Lie es la de movimiento. El grupo de Lie por excelencia es el de los movimientos r´ıgidos en el espacio, los cuales no s´ olo forman un grupo, pues la composici´ on de dos movimientos es un nuevo movimiento, sino que además el nuevo movimiento depende “diferenciablemente”de los dos dados. Definici´ on. Llamaremos grupo de Lie a una variedad diferenciable G, con una estructura de grupo, para la que las aplicaciones de la estructura χ

(a, b) ∈ G × G −→ab ∈ G,

a ∈ G −→ a−1 ∈ G

son diferenciables. Habitualmente denotaremos con e ∈ G el elemento neutro del grupo y con notaci´ on multiplicativa la operación del grupo. Llamaremos morfismo de grupos de Lie a todo homomorfismo de grupos de Lie que sea diferenciable. Para cada elemento a ∈ G definimos las aplicaciones Ra : b ∈ G −→ ba ∈ G,

La : b ∈ G −→ ab ∈ G,

consistentes en trasladar, por la derecha y por la izquierda respectivamente, el grupo mediante el elemento a.

Lecci´ on 2. Grupos de Lie

17

Ejercicio 2.1 Demostrar que las traslaciones anteriores son difeomorfismos tales que (La )−1 = La−1 , (Ra )−1 = Ra−1 . Ejercicio 2.2 Demostrar que una variedad diferenciable G, con estructura de grupo es un grupo de Lie si y s´ olo si µ

(a, b) ∈ G × G −→ab−1 ∈ G es diferenciable. Ejercicio 2.3 Demostrar que los R–espacios vectoriales de dimensi´ on finita, con la suma como operaci´ on, son grupos de Lie.

Notaci´ on. Con Mn (R) denotamos la variedad diferenciable formada por las matrices reales de orden n, con la estructura diferenciable dada 2 por su biyecci´ on natural con Rn . Ejercicio 2.4 Demostrar que el abierto de Mn (R), Gln (R) = {A ∈ Mn (R) : det A 6= 0}, formado por las matrices reales de orden n no singulares, llamado Grupo lineal general, forma un grupo de Lie con el producto como operaci´ on. Para n = 1, lo denotaremos con R∗ . Ejercicio 2.5 Demostrar que C∗ = C − {0} con el producto como operaci´ on es un grupo de Lie. Ejercicio 2.6 El cuerpo de los cuaterniones es el primer ejemplo (hist´ oricamente) de un cuerpo no conmutativo y consiste en un espacio vectorial real de dimensi´ on 4, con una base (1, i, j, k), cuyos elementos son de la forma a + bi + cj + dk,

(a, b, c, d ∈ R),

que se suman componente a componente y su producto satisface i2 = j 2 = k2 = −1, ij = −ji = k, jk = −kj = i y ki = −ik = j. Demostrar que los cuaterniones no nulos H4 , con el producto anterior y la estructura de variedad diferenciable dada por su biyecci´ on con R4 \{0}, es un grupo de Lie.

Proposici´ on 2.7 Las traslaciones de un grupo de Lie G, llevan componentes conexas en componentes conexas y la componente conexa que contiene al neutro Ge es un subgrupo normal, abierto y cerrado y grupo de Lie.

18

Grupos de Lie

Demostraci´ on. Las aplicaciones continuas llevan conexos en conexos, por tanto los homeomorfismos conservan las componentes conexas. Si g, h ∈ Ge , entonces Lg−1 (Ge ) = Ge , por tanto g −1 h ∈ Ge y la aplicación (g, h) → g −1 h es diferenciable pues Ge es un abierto. Ahora es subgrupo normal pues para cada g ∈ G, gGe g −1 es una componente conexa que contiene a e, por tanto es Ge . El siguiente resultado es un simple ejercicio. Proposici´ on 2.8 El producto finito de grupos de Lie es grupo de Lie. Lema 2.9 Sea G un grupo de Lie conexo y U un entorno del neutro. Entonces G = ∪U n , para U n = {g1 · · · gn : gi ∈ U }. Demostraci´ on. Consideremos el abierto entorno de e, V = U ∩ U −1 ⊂ U , para el que V = V −1 , y H = ∪V n ⊂ ∪U n ⊂ G, que es subgrupo pues si g, h ∈ H, entonces gh−1 ∈ H, es abierto pues Lg (V ) = gV ⊂ H es un entorno abierto de g ∈ H y es cerrado pues si g ∈ Hc , gH es un entorno abierto de g que está en Hc , pues como H es subgrupo gH ∩ H = ∅. Por tanto por conexi´ on se sigue que H = G. Teorema 2.10 Todo grupo de Lie conexo es Hausdorff y de base numerable. Demostraci´ on. G es Hausdorff sii la diagonal D = {(x, y) ∈ G × G : x = y} es cerrada, pero en nuestro caso D = µ−1 (e), para µ(x, y) = xy −1 , que es continua y los puntos son cerrados. Consideremos un entorno coordenado U del neutro, que es de base numerable Bi (basta considerar en Rn las bolas abiertas de radio racional centradas en puntos de Qn ). Ahora como el producto χ : U × U → U 2 es continua, dado un abierto W ⊂ U 2 y xy ∈ W con x, y ∈ U , existen entornos Bi de x y Bj de y tales que Bi Bj ⊂ W , por tanto U 2 tiene una base numerable de abiertos Bi Bj = ∪g∈Bi gBj , as´ı como cada U n , y por el Lema anterior también la tiene G = ∪U n . Corolario 2.11 Todo grupo de Lie es Hausdorff y cada componente conexa es de base numerable. Demostraci´ on. Se sigue del resultado anterior y de (2.7).

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Lecci´ on 3. Subgrupos de Lie

3.

Subgrupos de Lie

Definici´ on. Llamaremos subgrupo de Lie a toda subvariedad de un grupo de Lie que sea subgrupo (Algunos autores lo llaman subgrupo de Lie regular ). El resultado que sigue nos permitir´ a reconocer de una forma sencilla otros grupos de Lie. Teorema 3.1 Todo subgrupo de Lie es un grupo de Lie. Demostraci´ on. Basta demostrar que la aplicación µ en el cuadrado conmutativo H× H  y G×G

µ

−→ −→

H   y G

(x,y) −→  y (x, y) −→

xy−1  y xy −1

es diferenciable, lo cual es consecuencia de (1.10). Corolario 3.2 Sea F : G → V diferenciable y de rango constante, con G grupo de Lie. Si para un y ∈ V, G−1 (y) es subgrupo, entonces es grupo de Lie de dimensi´ on dim G − rang F . Demostraci´ on. Por (1.6) es subvariedad de esa dimensión, por tanto subgrupo de Lie y por el resultado anterior grupo de Lie. Corolario 3.3 Si F : G1 → G2 es morfismo de grupos de Lie, entonces: 1) El rango de F es constante. 2) ker F = F −1 (e2 ), para el neutro e2 ∈ G2 , es un subgrupo normal de G1 y un grupo de Lie de dimensi´ on dim ker F = dim G1 − rang F. 3) F (G1 ) es un subgrupo de G2 . Demostraci´ on. (1) Sea x ∈ G1 y z = F (x−1 ), entonces para cualquier y ∈ G1 F (y) = F (x−1 xy) = zF (xy) = Lz ◦ F ◦ Lx (y), por lo que el rango de F∗ en e es igual al de F∗ en x, por tanto es constante. (2) se sigue de (3.2). El resto es sencillo.

20

Grupos de Lie

Corolario 3.4 Todo morfismo localmente inyectivo de grupos de Lie es inmersi´ on local. Demostraci´ on. Por el resultado anterior el morfismo es de rango constante. Ahora por ser localmente inyectivo se sigue del corolario del teorema del rango que k = n, por tanto es una inmersión local. Ejercicio 3.5 Demostrar que la circunferencia unidad S1 = T1 = {z ∈ C : |z| = 1}, con el producto como operaci´ on, es un grupo de Lie. Ejercicio 3.6 Demostrar que el toro n–dimensional, Tn = S 1 × · · · × S 1 , es un grupo de Lie. Ejercicio 3.7 Demostrar que el grupo de las afinidades de un espacio af´ın n–dimensional An , sobre R, es un grupo de Lie. Ejercicio 3.8 Demostrar que el grupo de las proyectividades de un espacio proyectivo n–dimensional es un grupo de Lie. Ejercicio 3.9 Demostrar que S3 = {x ∈ R4 : kxk2 = 1}, con el producto del grupo H4 (de los cuaterniones no nulos) es grupo de Lie. Ejercicio 3.10 Demostrar que el grupo ortogonal On = {A ∈ Gln (R) : At A = I} es un grupo de Lie. Ejercicio 3.11 Demostrar que el grupo ortogonal de signatura m, k Om,k (R) = {A ∈ Glm+k (R) : At EA = E} es un grupo de Lie, para In la identidad de Rn y Im 0 E= . 0 −Ik

Ejercicio 3.12 Demostrar que el grupo simplético Sp2n (R) = {A ∈ Gl2n (R) : At JA = J} es un grupo de Lie, para J=

0 I

−I 0

.


21

Ejercicio 3.13 Demostrar que el grupo lineal especial Sln (R) = {A ∈ Gln (R) : det A = 1} es un grupo de Lie. Ejercicio 3.14 Demostrar que el grupo lineal especial ortogonal SOn (R) = {A ∈ On : det A = 1} es un grupo de Lie, que es (On )e . Ejercicio 3.15 Demostrar que las A ∈ Gln (R) triangulares superiores (inferiores) forman un grupo de Lie.

4.

Subgrupos de Lie inmersos

En (3.1) hemos demostrado que toda subvariedad que sea subgrupo de un grupo de Lie es un grupo de Lie. Sin embargo una subvariedad inmersa en un grupo de Lie puede ser subgrupo (al que llamaremos subgrupo de Lie inmerso), como es el caso de la imagen por un morfismo inyectivo, y sin embargo no ser subvariedad, por no poseer la topolog´ıa inducida. A continuaci´ on estudiamos un caso particular de esto: Consideremos el morfismo de grupos de Lie F : (x, y) ∈ R2 −→ F (x, y) = (e2πix , e2πiy ) ∈ T2 , que es inmersi´ on local por serlo x → e2πix ´ o por (3.4), pues F es localmente inyectiva. Si consideramos un n´ umero α ∈ R y la inmersión local (que es inyectiva si y s´ olo si α es irracional, demuéstrelo el lector) σ : t ∈ R −→ σ(t) = F (t, αt) ∈ T2 , tendremos que C = σ(R) es una subvariedad inmersa que es subgrupo, sin embargo si α es irracional no es subvariedad, pues es densa en el toro T2 —y una subvariedad no puede ser densa por su caracterización—, para ver que es densa necesitamos un resultado previo. Lema 4.1 Todo subgrupo de (R, +) es denso o ´ Zp, con p ∈ R.

22

Grupos de Lie

Demostraci´ on. Sea S un subgrupo y p = ´ınf{x > 0 : x ∈ S}, entonces existe tn ↓ p, con tn > 0 y tn ∈ S. Si a partir de un n los tn son iguales tendremos que son p y por un lado Zp ⊂ S y por otro dado s ∈ S existe n ∈ Z, tal que s ∈ (np, (n + 1)p], por tanto 0 < s − np ≤ p y s − np ∈ S, por tanto s = (n + 1)p ∈ Zp, por tanto Zp = S. En caso contrario existe una subsucesi´ on de tn , que llamamos igual estrictamente decreciente y de Cauchy, por tanto para todo > 0 existe un n tal que > tn − tn+1 > 0 y s = tn − tn+1 ∈ S, pero entonces dado x ∈ R, existe un n tal que x ∈ (ns, (n + 1)s]. Se sigue que S es denso. Lema 4.2 La curva σ(R) (para α irracional) es densa en el toro T2 y no es cerrada. Demostraci´ on. Dado un punto del toro q = (e2πix , e2πiy ), queremos encontrar un t ∈ R, tal que σ(t) esté pr´ oximo a q. Ahora bien para todo m∈Z σ(t) = (e2πit , e2πiαt ) = (e2πit , e2πi(αt+m) ), y dado > 0, basta encontrar n, m ∈ Z tales que, para t = x + n, |α(x + n) + m − y| < , lo cual se sigue del lema anterior pues {αn + m : n, m ∈ Z} es un subgrupo y por tanto denso en R, ya que no es de la forma pZ, pues en ese caso α = n1 p y 1 = n2 p, de donde n2 α = n2 n1 p = n1 y α ∈ Q. Adem´ as no es un cerrado, pues C no es T 2 , ya que por ejemplo no existe t para el que σ(t) = (eπi , eπi ) ∈ T 2 . El ejemplo anterior nos da pie a dar la siguiente definición. Definici´ on. Llamaremos subgrupo de Lie inmerso (´ o virtual) de un grupo de Lie G a todo morfismo inyectivo F : S −→ G de grupos de Lie (en ocasiones y por abuso del lenguaje llamaremos subgrupo de Lie inmerso, a la imagen H = F (S), del morfismo, que por el corolario (3.4) es una subvariedad inmersa y al grupo S lo llamaremos su parametrizaci´ on). Si adem´ as la topolog´ıa de S es la inicial del morfismo, H es una subvariedad y por tanto un subgrupo de Lie.


23

En los siguientes resultados daremos una caracterización que nos permitir´ a comprender algo mejor el ejemplo del toro, en ellas se establece que los conceptos: subgrupo (abstracto), subvariedad (diferenciable) y cerrado (topol´ ogico), est´ an relacionados. Proposici´ on 4.3 Todo subgrupo abierto de un grupo de Lie es cerrado. Demostraci´ on. Sea A el subgrupo abierto y x ∈ G − A, entonces Lx (A) es un abierto, entorno de x, que no corta a A, por tanto A es cerrado. Teorema 4.4 Sea S un subgrupo de un grupo de Lie G. Si S es subvariedad entonces es cerrado. Demostraci´ on. Si dim S = dim G = n, S es un abierto y el resultado se sigue de la proposici´ on anterior. Si dim S = n−k < n, basta demostrar que si xn ∈ S tiene l´ımite x ∈ G, entonces x ∈ S. Para ello consideremos un entorno coordenado del neutro Ue , con coordenadas ui , tal que S ∩ Ue = {g ∈ Ue : u1 (g) = · · · = uk (g) = 0}. Ahora por la continuidad del producto podemos encontrar otro entorno del neutro U ⊂ Ue , tal que si p, q ∈ U , entonces pq ∈ Ue y como −1 xn → e, existe un N a partir del cual x−1 x−1 n x ∈ U y n x → e y x −1 x xn ∈ U , por tanto para n, m ≥ N tendremos que −1 (x−1 xm ) = x−1 n x)(x n xm ∈ S ∩ Ue ,

y por tanto ui (x−1 n xm ) = 0, para i = 1, . . . , k, y haciendo m tender a infinito, como xn−1 x ∈ Ue se sigue por continuidad que ui (x−1 n x) = 0, para i = 1, . . . , k, por lo tanto x−1 n x ∈ S ∩ Ue , y multiplicando por xn ∈ S, tendremos que x ∈ S. El rec´ıproco también es cierto. Lo veremos en 10.5. Teorema Si S es un subgrupo cerrado de un grupo de Lie, entonces es una subvariedad. En definitiva un subgrupo (abstracto) de un grupo de Lie es “subvariedad si y s´ olo si es cerrado”.

24

5.

Grupos de Lie

´ Algebras de Lie

Definici´ on. Llamaremos ´ algebra de Lie sobre R a un espacio vectorial g dotado de un operador bilineal (producto), que denotamos [ , ] y llamamos corchete de Lie, para el que se tienen las propiedades [x, y] = −[y, x], (anticonmutatividad ) [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0. (identidad de Jacobi )

Demostrar que los siguientes espacios forman álgebras de Lie: Ejercicio 5.1 El m´ odulo D de los campos tangentes a una variedad, con el corchete de Lie [D1 , D2 ] = D1 ◦ D2 − D2 ◦ D1 . Ejercicio 5.2 Todo espacio vectorial, definiendo [x, y] = 0, para cualquier par de vectores, define un ´ algebra de Lie. Llamaremos abeliana a toda a ´lgebra de Lie con el corchete nulo. (Nota.- Veremos en 8.6, la raz´ on de llamarla as´ı). Ejercicio 5.3 El espacio vectorial de los campos tangentes de R4 generado por los tres campos ∂ ∂ ∂ ∂ + x1 + x4 − x3 , ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x4 ∂ ∂ ∂ ∂ −x3 − x4 + x1 + x2 , ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x4 ∂ ∂ ∂ ∂ −x4 + x3 − x2 + x1 . ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x4 −x2

Ejercicio 5.4 El espacio vectorial Mn (R), de las matrices reales de orden n, con el corchete [A, B] = AB − BA. Ejercicio 5.5 El espacio vectorial E = {A ∈ Mn (R) : traz(A) = 0}, con el corchete de matrices. Demostrar que si A, B ∈ Mn (R), [A, B] ∈ E. Ejercicio 5.6 El espacio vectorial {A ∈ Mn (R) : A + At = 0}, con el corchete de matrices. Ejercicio 5.7 El espacio vectorial de las matrices de M2n (R) del tipo A B C −At con A, B, C ∈ Mn (R), B y C simétricas; con el corchete de matrices.

´ Lecci´ on 5. Algebras de Lie

25

Ejercicio 5.8 R3 con el producto vectorial (x, y, z) × (x0 , y 0 , z 0 ) = (yz 0 − zy 0 , zx0 − xz 0 , xy 0 − yx0 ). Ejercicio 5.9 R3 con el corchete [(x, y, z), (x0 , y 0 , z 0 )] = (yz 0 − zy 0 , 2(xy 0 − yx0 ), 2(zx0 − xz 0 )).

5.1.

Constantes de estructura.

Sea g un ´ algebra de Lie de dimensi´ on n y sea x1 , . . . , xn una base suya. Entonces existen constantes ckij , a las que llamaremos constantes P k de estructura, relativas a la base, tales que [xi , xj ] = cij xk . Estas constantes satisfacen las propiedades ckij + ckji = 0, n X r m r m [crij cm kr + cjk cir + cki cjr ] = 0, r=1

y rec´ıprocamente cualquier conjunto de n3 constantes satisfaciendo estas P propiedades, define un ´ algebra de Lie verificando [xi , xj ] = ckij xk . Esto permite clasificar f´ acilmente las ´ algebras de Lie de dimensión peque˜ na.

5.2.

´ Algebra de Lie de un grupo de Lie.

La importancia del concepto ´ algebra de Lie, reside en que hay un ´ algebra de Lie especial (que adem´ as es finito dimensional), asociada a cada grupo de Lie y que las propiedades del grupo quedan reflejadas en las de su ´ algebra. Por ejemplo los grupos de Lie conexos y simplemente conexos est´ an completamente determinados por sus álgebras de Lie y el estudio de estos se reduce en parte al estudio de aquellas que en bastantes aspectos son mas sencillas. Definici´ on. Sea F : U → V diferenciable, D ∈ D(U) y E ∈ D(V). Diremos que F lleva D en E (y lo denotaremos F∗ D = E) si para todo x ∈ U es F∗ Dx = EF (x) . Lema 5.10 1) F lleva D en E sii F ∗ ◦ D = E ◦ F ∗ . 2) Si F∗ D1 = E1 y F∗ D2 = E2 , entonces F∗ [D1 , D2 ] = [E1 , E2 ].

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Grupos de Lie

Definici´ on. Diremos que un campo tangente a un grupo de Lie D ∈ D(G) es invariante por la izquierda (resp. por la derecha), si para cada a ∈ G, La∗ D = D, (resp. Ra∗ D = D), es decir para cada x ∈ G La∗ Dx = Dax ,

(resp. Ra∗ Dx = Dxa ).

Observemos que si D1 y D2 son invariantes, entonces también lo es su corchete, pues (1)

La∗ [D1 , D2 ] = [La∗ D1 , La∗ D2 ] = [D1 , D2 ].

Definici´ on. Llamaremos ´ algebra de Lie (por la izquierda) de un grupo de Lie G, al ´ algebra de Lie de los campos invariantes por la izquierda DG = {D ∈ D(G) : La∗ D = D, ∀a ∈ G} con el corchete de Lie como producto. Del modo obvio se define el ´ algebra de Lie por la derecha, que denotamos con DG . El siguiente resultado demuestra que ambas álgebras son canónicamente isomorfas, como espacios vectoriales, a Te (G) y por tanto como espacios vectoriales tienen la misma dimensi´ on que el grupo. En general consideraremos s´ olo los campos invariantes por la izquierda, y sobrentenderemos las propiedades correspondientes de los campos invariantes por la derecha. Proposici´ on 5.11 La aplicaci´ on D ∈ DG → De ∈ Te (G), es un isomorfismo lineal. Demostraci´ on. Es lineal trivialmente. Es inyectiva pues para todo x ∈ G, Dx = Lx∗ De , por tanto si De = 0, D = 0. Es sobre pues dado De ∈ Te (G) entonces el u ńico posible campo D ∈ DG que en e define De es el que para cada x ∈ G, Dx = Lx∗ De . Basta demostrar que el campo de vectores tangentes {Dx : x ∈ G}, define un campo tangente D, es decir que para cada f ∈ C ∞ (G), la funci´ on Df (x) = Dx f = De (f ◦ Lx ) ∈ R, es diferenciable. Consideremos un campo E ∈ D(G) que en e defina Ee = ˜ ∈ D(G ×G) tal que π1∗ E ˜ = 0 y π2∗ E ˜= De y sub´ amoslo al u ńico campo E

´ Lecci´ on 5. Algebras de Lie

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E. Sea χ la aplicaci´ on producto en G, χ(a, b) = ab, y consideremos la funci´ on y la aplicaci´ on diferenciable g = f ◦ χ ∈ C ∞ (G × G), i : a ∈ G −→ (x, a) ∈ G × G, ˜(x,e) , pues π1∗ (i∗ Ee ) = 0 y π2∗ (i∗ Ee ) = Ee , por lo que entonces i∗ Ee = E ˜ Df (x) = De (f ◦ Lx ) = De (g ◦ i) = i∗ De g = Eg(x, e), que es diferenciable en x. Ejercicio 5.12 Demostrar que el ´ algebra de Lie de (Rn , +) es {a1

∂ ∂ + · · · + an : ∂x1 ∂xn

ai ∈ R},

por tanto es el espacio vectorial Rn con el corchete [x, y] = 0, por tanto es abeliana. Ejercicio 5.13 Demostrar que el ´ algebra de Lie del grupo de los cuaterniones no nulos est´ a generada por los campos ∂ ∂ ∂ ∂ + x2 + x3 + x4 , ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x4 ∂ ∂ ∂ ∂ D2 = −x2 + x1 + x4 − x3 , ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x4 ∂ ∂ ∂ ∂ D3 = −x3 − x4 + x1 + x2 , ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x4 ∂ ∂ ∂ ∂ D4 = −x4 + x3 − x2 + x1 , ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x4

D1 = x1

para los que [D1 , Di ] = 0,

[D2 , D3 ] = 2D4 ,

[D3 , D4 ] = 2D2 ,

[D4 , D2 ] = 2D3 .

Ejercicio 5.14 Demostrar que el ´ algebra de Lie de Gln (R) es Mn (R) con el corchete de matrices.

Nota 5.15 Del mismo modo, si ahora consideramos el grupo de Lie formado por los automorfismos Aut(E), de un espacio vectorial n– dimensional E, con la composici´ on como producto, el cual es un abierto del espacio vectorial real n2 –dimensional End(E), de los endomorfismos

28

Grupos de Lie

de E —las aplicaciones lineales del espacio en si mismo—, entonces su algebra de Lie es precisamente End(E) con el corchete ´ [F, G] = F ◦ G − G ◦ F, lo cual se sigue del resultado anterior si, eligiendo una base en el espacio E, identificamos End(E) con las matrices reales de orden n, Mn (R), con lo que tendremos que el grupo de los automorfismos del espacio vectorial se identifica con el grupo lineal general de orden n, con el producto de matrices como operaci´ on.

6.

Sub´ algebras de Lie

Definici´ on. Diremos que un subespacio h de una álgebra de Lie g, es una sub´ algebra de Lie si [X, Y ] ∈ h, para X, Y ∈ h. Proposici´ on 6.1 Sea G un grupo de Lie y h una sub´ algebra de su ´ algebra de Lie g, entonces ∆x = {Dx : D ∈ h}, es una distribuci´ on involutiva e invariante por traslaciones por la izquierda. Demostraci´ on. Sea D1 , . . . , Dr una base de h, entonces para todo x∈G ∆x =< D1x , . . . , Drx > ⇒ ∆ =< D1 , . . . , Dr > y la distribuci´ on es involutiva pues [Di , Dj ] ∈ h, por tanto [Di , Dj ] = P ckij Dk , de donde [Di , Dj ] ∈ ∆. Adem´ as es invariante por traslaciones por la izquierda, pues para x, p ∈ G Lx∗ ∆p = ∆xp . Proposici´ on 6.2 Todo morfismo de grupos de Lie F : G1 → G2 define un morfismo de ´ algebras de Lie ϕ : DG1 −→ DG2 , tal que si ϕ(D) = E, entonces para cada x ∈ G1 F∗ (Dx ) = EF (x) . por lo que lo denotaremos ϕ = F∗ .

Lecci´ on 6. Sub´ algebras de Lie

29

Demostraci´ on. Como todo campo invariante E está determinado por su valor en el neutro e2 ∈ G2 , que en nuestro caso debe ser Ee2 = F∗ (De1 ), la cuesti´ on consiste en demostrar que este campo que en cada y ∈ G2 define el vector Ey = Ly∗ (Ee2 ) = Ly∗ [F∗ (De1 )], satisface el resultado. Consideremos un x ∈ G1 , entonces como LF (x) ◦ F = F ◦ Lx , ya que LF (x) [F (z)] = F (x)F (z) = F (xz) = F [Lx (z)], tendremos que EF (x) = LF (x)∗ [F∗ (De1 )] = F∗ [Lx∗ (De1 )] = F∗ (Dx ). Adem´ as se tiene que es morfismo de ´ algebras de Lie, pues por el lema anterior F∗ (rD1 + sD2 ) = rF∗ (D1 ) + sF∗ (D2 ), F∗ [D1 , D2 ] = [F∗ D1 , F∗ D2 ].

La aplicaci´ on anterior hace conmutativo el diagrama F

∗ Te1 (G1 ) −−→ Te2 (G2 )   y y

DG1

F

∗ −−→

DG2

M´ as adelante demostraremos que: “Si F, G : G1 → G2 son dos morfismos de grupos de Lie tales que F∗ = G∗ en el neutro, entonces F = G en un entorno del neutro. Si adem´ as G1 es conexo, F = G en todo el grupo. Y si ambos son conexos y el primero es simplemente conexo, entonces dado un morfismo de sus ´ algebras ϕ existe un u ńico morfismo F tal que ϕ = F∗ ”. Nota 6.3 Si H ⊂ G es un subgrupo de Lie inmerso de un grupo de Lie G, entonces i : H ,→ G es inmersi´ on local y morfismo de grupos, por lo

30

Grupos de Lie

que ambas aplicaciones i∗ en el diagrama conmutativo i

∗ Te (H) −→ Te (G)   y y

DH

i

∗ −→

DG

son inyectivas y por (6.2), h = i∗ (DH ) es una subálgebra de Lie de g = DG , que por (6.1), define una distribuci´ on involutiva tangente a las subvariedades inmersas (que llamamos los cosets de H), Lx (H) = xH, para cada x ∈ G, (con la estructura diferenciable de H pasada por Lx ), pues ∆x =< D1x , . . . , Drx >= Lx∗ [i∗ [Te (H)]] = i∗ [Lx∗ [Te (H)]] = i∗ [Tx (xH)]. Adem´ as H es una variedad tangente que contiene al neutro, que en principio no es variedad integral pues no es necesariamente conexa como hemos exigido, sin embargo su componente conexa He que contiene al neutro, que como vimos en (2.7) es un subgrupo de Lie de H, y sus cosets xHe , s´ı son variedades integrales, de hecho veremos que son las variedades integrales m´ aximas de la distribución. Esta propiedad es la que nos permitir´ a reconstruir el subgrupo inmerso si lo que conocemos es su ´ algebra de Lie, como pone de manifiesto el siguiente resultado. Teorema 6.4 Sea G un grupo de Lie y g = DG su ´ algebra de Lie. Si h ⊂ g es una sub´ algebra, entonces existe un u ńico subgrupo de Lie inmerso conexo H ⊂ G, cuya ´ algebra de Lie es h. Demostraci´ on. Por (6.1), h define una distribución que es involutiva e invariante por traslaciones por la izquierda, es decir que para x, p ∈ G Lx∗ ∆p = ∆xp , por lo tanto si S es una subvariedad integral, también lo es Lx (S). Consideremos en Ge , que es de base numerable por (2.10), la subvariedad integral m´ axima H, que contiene al neutro e (ver (1.12)), entonces para cada h ∈ H, Lh−1 (H) es una variedad integral que contiene el neutro, pues Lh−1 (h) = e, por lo tanto Lh−1 (H) ⊂ H y H es subgrupo, pues h, g ∈ H

⇒

h−1 g ∈ H.

Lecci´ on 6. Sub´ algebras de Lie

31

Por otro lado el producto y paso al inverso h ∈ H −→ h−1 ∈ H,

(g, h) ∈ H × H −→ gh ∈ H

son diferenciables por (1.11), por la hip´ otesis y por ser la inclusión H ,→ G inmersi´ on local. Que DH = h, se sigue de (6.3), pues all´ı hemos visto el diagrama conmutativo i

∗ Te (H) −→ Te (G)   y y

DH

i

∗ −→

DG

⊃ ∆ e  y ⊃ h

siendo isomorfismos las flechas verticales e i∗ (Te (H)) = ∆e . Veamos la unicidad. Supongamos que hay otro subgrupo de Lie inmerso conexo F ⊂ G, tal que DF = h, entonces F es una subvariedad integral conexa de ∆ que como contiene al neutro, F ⊂ H. Ahora la composici´ on de inclusiones F ,→ H ,→ G, y la segunda inclusi´ on son inmersiones locales, por lo que la primera es diferenciable, como consecuencia de (1.11), e inmersión local (entre grupos de la misma dimensi´ on), por lo tanto difeomorfismo local y F es subgrupo abierto de H, por tanto cerrado y por conexión son iguales y grupos de Lie isomorfos. Corolario 6.5 Sea H ⊂ G un subgrupo de Lie inmerso y He su componente conexa que contiene al neutro, entonces sus cosets xHe son las variedades integrales m´ aximas de la distribuci´ on definida por DH . Demostraci´ on. Por el resultado anterior existe un u ńico subgrupo de Lie inmerso conexo, cuya ´ algebra de Lie es DH y como DHe = DH —como sub´ algebras de g—, tal subgrupo es He . Además el resultado dice que este subgrupo es la subvariedad integral máxima que contiene al neutro y el resultado se sigue. Ejercicio 6.6 Dar los campos del ´ algebra de Lie del grupo C∗ , correspondientes a ∂xe , ∂ye ∈ Te (C∗ ). Y dar en términos de estos campos las sub´ algebras del a ´lgebra de Lie y los subgrupos de Lie correspondientes.

32

Grupos de Lie

Ejercicio 6.7 En los términos del ejercicio (5.13), demostrar que el espacio vectorial generado por los campos D2 , D3 , D4 , es una sub´ algebra del a ´lgebra de Lie del grupo de los cuaterniones H4 . Demostrar usando los resultados de esta lecci´ on que S3 es un grupo de Lie y que su a ´lgebra de Lie es R3 con el producto vectorial.

7.

Subgrupos uniparam´ etricos

Proposici´ on 7.1 Cada campo invariante es completo. Demostraci´ on. Sea D ∈ DG (idem para DG ) con grupo uniparamétrico y curva integral m´ axima pasando por e, τ : WD → G,

τe : I(e) −→ G,

queremos ver que WD = R × G. Como para cada x ∈ G es Lx∗ D = D, tendremos que para todo x ∈ G, τt ◦ Lx = Lx ◦ τt , en el dominio abierto de τt . Ahora bien para cada t ∈ I(e), el neutro e ∈ G está en ese dominio, por lo tanto para todo x ∈ G y todo t ∈ I(e) (2)

τx (t) = τt (x) = xτt (e) = xτe (t),

en particular I(e) ⊂ I(x) para todo x ∈ G, lo cual implica que I(x) = R, pues si t ∈ I(x) y a = τ (t, x), entonces I(x) = t + I(a) y por tanto t + I(e) ⊂ I(x), por tanto D es completo. Corolario 7.2 Si D ∈ DG , entonces τe : R → G, su curva integral m´ axima pasando por e, es morfismo de grupos. Demostraci´ on. Basta considerar (2), para x = τe (r). Definici´ on. Llamamos subgrupo uniparamétrico de G a un elemento σ ∈ Hom(R, G), es decir a un morfismo de grupos de Lie σ : R → G, o equivalentemente a un subgrupo {gt = σ(t) ∈ G : t ∈ R}, tal que ´ t ∈ R → gt ∈ G es diferenciable y g0 = e,

gt+r = gt gr ,

el cual define un morfismo de ´ algebras σ∗ : DR −→ DG , y un campo invariante D = σ∗ (∂t), del cual σ es una curva integral.


33

Proposici´ on 7.3 Sea G un grupo de Lie. Entonces se tiene: 1) ) σ ∈ Hom(R, G) D ∈ DG ⇔ D = σ∗ (∂t) σ = τe para τe : R −→ G la curva integral de D pasando por e, 2) Si τt : G → G es el grupo uniparamétrico de D ∈ DG y gt = τe (t), entonces τt (x) = xgt (= gt x), es decir τt = Rgt (= Lgt ). Demostraci´ on. La implicaci´ on “⇒”de (1) se sigue del teorema de unicidad de soluci´ on de una EDO, pues τe (0) = e = σ(0) y τe∗ (∂t)t = Dτ (t,e) ,

σ∗ (∂t)t = Dσ(t) .

El resto se sigue de (2). Nota 7.4 El resultado anterior nos da una biyección canónica entre los subgrupos uniparamétricos de G y el ´ algebra de Lie del grupo Hom(R, G) −→ DG ,

σ −→ σ∗ (∂t),

que en términos de subgrupos y grupos uniparamétricos, es (3)

{gt ∈ G : t ∈ R} −→ σt = Rgt ,

y una biyecci´ on entre los subgrupos uniparamétricos de G y DG , dada por (4)

{gt ∈ G : t ∈ R} −→ σt = Lgt .

Teorema 7.5 Sea F : G1 → G2 un morfismo de grupos de Lie, y F∗ : D ∈ DG1 −→ F∗ (D) ∈ DG2 , el correspondiente morfismo de ´ algebras de Lie. Si D ∈ DG1 tiene subgrupo uniparamétrico asociado gt , el de F∗ D es F (gt ). Demostraci´ on. Si σ(t) = gt , σ∗ (∂t) = D y γ = F ◦ σ es el subgrupo uniparamétrico de F∗ (D), pues γ∗ (∂t) = F∗ (D). Corolario 7.6 Las biyecciones (3) y (4) definen un isomorfismo de espacios vectoriales L : DG −→ DG , para el que L[D1 , D2 ] = [L(D2 ), L(D1 )].

34

Grupos de Lie

Demostraci´ on. Nuestra biyecci´ on en términos de grupos uniparamétricos es Rgt −→ Lgt , ahora bien si consideramos el nuevo grupo G˜ = (G, ∗), donde la nueva operaci´ on es x ∗ y = yx, que es diferenciable por ser composición de (x, y) −→ (x−1 , y −1 ) −→ x−1 y −1 −→ (x−1 y −1 )−1 = yx, tendremos que el difeomorfismo ˜ F : G −→ G,

F (x) = x−1 ,

es isomorfismo de grupos, por lo que se sigue de (6.2) que F∗ : DG −→ DG˜ = DG , es un morfismo de ´ algebras, y si D tiene subgrupo uniparamétrico gt , entonces F∗ D tiene F (gt ) = g−t , por tanto L(D) = −F∗ (D) y el resultado se sigue. Ejemplo 7.7 El Grupo lineal general Consideremos el grupo lineal general de orden n, G = Gln (R) = {A ∈ Mn (R) : det A 6= 0}, con el producto de matrices como operaci´ on en G. En el ejercicio (5.14) hemos demostrado que la composici´ on H(A) = DA Mn (R) → A

→

Te [Mn (R)] DG = Te (G) → P P ∂ aij ∂xij → aij Dij = DA e

es un isomorfismo de ´ algebras de Lie. Consideremos también H 0 = L ◦ G H : Mn (R) → D , para el isomorfismo vectorial L de (7.6), entonces se tiene: Proposici´ on 7.8 Sea D ∈ D(G) un campo tangente y A = (aij ) ∈ Mn (R), los siguientes apartados son equivalentes: 1) D = H(A), (D = H 0 (A)). 2) D ∈ DG (D ∈ DG ) y De =

X

aij

∂ . ∂xij


35

3) Dxij =

X

xik akj ,

(Dxij =

X

k

aik xkj ).

k

4) El grupo uniparamétrico de D es σt (B) = B etA ,

(σt (B) = etA B).

5) El subgrupo uniparamétrico correspondiente a D es gt = etA 6) La ecuaci´ on diferencial asociada a D es X0 (t) = X(t) · A,

(X0 = AX)

Demostraci´ on. (1) ⇔ (2) ⇔ (3) lo vimos en el ejercicio. (2) ⇐ (5) xij [σt (I)] − xij (I)] t tA e −I = xij (A) = aij . = l´ım xij t

De (xij ) = l´ım

(4)⇔ (5) Por (3). (2) ⇒ (5) Por la unicidad del campo invariante. En definitiva tenemos la composici´ on de aplicaciones Te (G) −→ De −→

Mn (R) −→ A −→

G eA

donde la primera es el isomorfismo can´ onico y la segunda la exponencial de matrices. En la siguiente lecci´ on veremos que en todo grupo de Lie hay una conexi´ on natural y por tanto una aplicación exponencial, que en el caso del grupo lineal es la composici´ on anterior (ver el ejemplo (8.2)). Esta es la raz´ on del nombre “aplicaci´ on exponencial .en las variedades diferenciables con conexi´ on. Con ayuda del siguiente resultado podremos describir expl´ıcitamente los subgrupos uniparamétricos de un subgrupo de un grupo de Lie en términos de los del grupo.

36

Grupos de Lie

Teorema 7.9 Sea H es un subgrupo de Lie inmerso de un grupo de Lie G. Una aplicaci´ on σ : R −→ H es un subgrupo uniparamétrico de H sii existe un subgrupo uniparamétrico γ : R −→ G, tal que γ = i◦σ : R −→ G. Demostraci´ on. ⇒ es trivial. La otra implicación también es trivial salvo la diferenciabilidad de σ, que es consecuencia de (1.11).

Ejercicio 7.10 Demostrar que σ : R → On es un subgrupo uniparamétrico si y s´ olo si σ(t) = etA , con A = −At . Y que el a ´lgebra de Lie de O(3) es R3 con el producto vectorial (x, y, z)(x0 , y 0 , z 0 ) = (yz 0 − zy 0 , zx0 − xz 0 , xy 0 − yx0 ). Ejercicio 7.11 Demostrar que σ : R → Sln (R) es un subgrupo uniparamétrico si y s´ olo si σ(t) = etA , con traz A = 0. Demostrar que el a ´lgebra de Lie de Sl(2, R) es R3 con el producto (x, y, z)(x0 , y 0 , z 0 ) = (yz 0 − zy 0 , 2(xy 0 − yx0 ), 2(zx0 − xz 0 )). Ejercicio 7.12 Demostrar que σ : R → Sp2n (R) (ver ejercicio (3.12)), es un subgrupo uniparamétrico sii σ(t) = etA , con At J + JA = 0. Demostrar que el a ´lgebra de Lie de Sp2n (R) es el espacio vectorial de las matrices del tipo A C

B −At

∈ M2n (R)

con A, B, C ∈ Mn (R), B y C simétricas; con el corchete de matrices (ver ejercicio (5.7)).

8.

La aplicaci´ on exponencial

Nota 8.1 Recordemos que una conexi´ on lineal en una variedad diferenciable V, se define como una aplicaci´ on ∇ : D(V) × D(V) −→ D(V),

(D1 , D2 )

D1∇ D2 ,

que satisface las siguientes propiedades: i) D∇ (f D1 + gD2 ) = (Df )D1 + f D∇ D1 + (Dg)D2 + gD∇ D2 , ii) (f D1 + gD2 )∇ D = f D1∇ D + gD2∇ D.


37

Ahora bien en todo grupo de Lie G podemos definir una conexi´ on (realmente dos), definiendo un traslado paralelo por la identificación natural que hay entre todos los espacios tangentes mediante el difeomorfismo traslaci´ on por la izquierda (derecha) ya que Lx∗ : Te (G) −→ Tx (G), es un isomorfismo. Por tanto dados x, y ∈ G la aplicación F = Lyx−1 es un difeomorfismo que lleva x en y, con el que definimos el trasladado paralelo de Dx a y como F∗ Dx ∈ Ty (G). Si esto lo hacemos para todo y, obtenemos un campo D ∈ DG y como todo campo invariante (por la izquierda) satisface esta propiedad tendremos que los campos D ∈ DG son los geodésicos para esta conexi´ on. La cual también podemos dar de la siguiente forma: Consideremos una base D1 , . . . , Dn del espacio vectorial DG , entonces como en cada punto son vectores independientes, pues lo son en e, odulo de campos, por tanto todo campo Ptambién es base del m´ es E = fi Di y definimos la conexi´ on de la forma X D∇ E = (Dfi )Di , para la cual son paralelos todos los campos de DG . Consideremos ahora la aplicaci´ on exponencial en el neutro e ∈ G exp : Te (G) −→ G, que define esta conexi´ on, que nos lleva cada De , al punto al que se llega por la geodésica que define De , en el instante 1, la cual sabemos por los cursos de geometr´ıa diferencial que es diferenciable y difeomorfismo local en el origen. Ahora bien De define un campo invariante D ∈ DG , cuyo grupo es σt = Rgt , con gt un subgrupo uniparamétrico y cuya curva integral σe (t) = gt pasando por e es geodésica, pues D∇ D = 0 y g1 = σe (1) = exp(De ). Ejemplo 8.2 En el caso particular G = Gln (R), tendremos que D se identifica con una matriz A, y su subgrupo uniparamétrico correspondiente es gt = etA ⇒ eA = g1 = exp(De ),

38

Grupos de Lie

y como De = H(A) se identifica de forma canónica con A, se tiene el diagrama conmutativo H

Mn (R) −→ Te (G) exp & . exp G donde la exp de la izquierda es la exponencial de matrices y la de la derecha la que define la conexi´ on. Proposici´ on 8.3 Si gt es el subgrupo uniparamétrico asociado a D ∈ DG , entonces para todo t ∈ R,

exp(tDe ) = gt , m

exp(mDe ) = (exp De ) ,

para todo m ∈ Z,

Demostraci´ on. Basta observar que γ(r) = gtr es el subgrupo uniparamétrico asociado a tD y exp(tDe ) = γ(1) = gt . Proposici´ on 8.4 Sea F : G1 → G2 un morfismo de grupos de Lie, entonces para e1 y e2 los neutros respectivos se tiene el siguiente diagrama conmutativo F∗ Te1 (G1 ) −−→ Te2 (G2 )  exp expy y G1

F

− →

G2

Demostraci´ on. Sea De1 ∈ Te1 (G1 ) y D el campo invariante que define, con subgrupo uniparamétrico asociado gt , entonces se tiene que exp(De1 ) = g1 . Por otra parte si Ee2 = F∗ (De1 ) y E es el campo invariante que define, entonces F∗ (D) = E y su subgrupo asociado es por (7.5) F (gt ), por lo tanto exp(Ee2 ) = F (g1 ). Corolario 8.5 Sean F, G : G1 → G2 dos morfismos de grupos de Lie tales que F∗ = G∗ en el neutro, entonces F = G en un entorno del neutro. Si adem´ as G1 es conexo, F = G en todo el grupo. Demostraci´ on. La primera parte se sigue del resultado anterior por ser exp un difeomorfismo local en el neutro y la segunda de (2.9).


39

Teorema 8.6 Sea G un grupo de Lie y DG su ´ algebra de Lie. Entonces: i) DG es abeliana sii para gt y hs subgrupos uniparamétricos de G, gt hs = hs gt . ii) Si G es abeliano, entonces DG es abeliana. iii) Si DG es abeliana, la componente conexa del neutro, Ge , es un grupo de Lie abeliano. Demostraci´ on. (i) Sean D1 , D2 ∈ DG , con subgrupos uniparamétricos gt y ht , entonces [D1 , D2 ] = 0 sii para Xt = Rgt , Yt = Rht , sus grupos uniparamétricos Xt ◦ Ys = Rhs gt = Rgt hs = Ys ◦ Xt

⇔

gt hs = hs gt .

(ii) Es obvio por (i). (iii) Consideremos ahora la aplicaci´ on exp : Te (G) → G,

exp(De ) = g1 ,

para gt el subgrupo uniparamétrico correspondiente a De , la cual es un difeomorfismo local en el cero, por tanto existe un entorno U ⊂ G del neutro tal que todo punto suyo es de la forma g1 , para gt un subgrupo uniparamétrico de G. Ahora si DG es abeliana y g, h ∈ U , entonces gh = hg, pues g = g1 , h = h1 , para gt y ht sendos subgrupos uniparamétricos y por (i) h1 g1 = g1 h1 . Se sigue de (2.9) que Ge es abeliano. Lema 8.7 Sea G un grupo de Lie, χ : G × G → G su producto, (a, b) ∈ G × G, D1a ∈ Ta (G), D2b ∈ Tb (G) y E(a,b) ∈ T(a,b) (G × G) tales que π1∗ (E(a,b) ) = D1a y π2∗ (E(a,b) ) = D2b , para πi las proyecciones, entonces χ∗ (E(a,b) ) = Rb∗ D1a + La∗ D2b . En particular si a = b = e, χ∗ (E(e,e) ) = D1e + D2e . Demostraci´ on. Se tiene que E(a,b) ) = rb∗ D1a + la∗ D2b , para rb : G −→ G × G,

rb (x) = (x, b)

⇒

χ ◦ rb = Rb ,

la : G −→ G × G,

la (x) = (a, x)

⇒

χ ◦ la = La ,

sin mas que aplicar πi∗ , por lo tanto χ∗ (E(a,b) ) = Rb∗ D1a + La∗ D2b .

40

Grupos de Lie

Corolario 8.8 Sean σ1 (t) = gt y σ2 (t) = ht subgrupos uniparamétricos de un grupo de Lie correspondientes a campos D1 , D2 ∈ DG , entonces σ(t) = ht gt es una curva diferenciable para la que σ(0) = e,

σ∗ (∂t)0 = D1e + D2e .

Si adem´ as hs gt = gt hs , para t, s ∈ R, entonces σ es subgrupo uniparamétrico y corresponde al campo D1 + D2 . Demostraci´ on. Para γ = (σ1 , σ2 ), σ es la composición γ

χ

R − → G×G − → t → − (ht , gt ) → −

G ht gt

y para E(e,e) = γ∗ (∂t) se tiene πi∗ (E(e,e) ) = Die y se sigue del Lema anterior que ∂ = χ∗ E(e,e) = D1e + D2e . σ∗ ∂t 0 Lo u ´ltimo es obvio pues σ es morfismo de grupos y D1 + D2 ∈ DG . Teorema 8.9 Sea G un grupo de Lie cuya ´ algebra es abeliana, entonces la aplicaci´ on exp : Te (G) → G es morfismo de grupos de Lie. Si adem´ as G es conexo entonces la aplicaci´ on es sobre. Demostraci´ on. Sean D1e , D2e ∈ Te (G), exp(D1e ) = g1 ,

exp(D2e ) = h1 ,

gt , ht los subgrupos uniparamétricos correspondientes y D1 , D2 ∈ DG los campos invariantes que definen. Entonces como el álgebra es abeliana tendremos, por (8.6), que hs gt = gt hs y por el corolario anterior σ(t) = gt ht es un subgrupo uniparamétrico correspondiente a D1 +D2 , por tanto exp(D1e + D2e ) = σ(1) = g1 h1 = exp(D1e ) exp(D2e ). Que es sobre se sigue aplicando que es morfismo de grupos, que es difeomorfismo local en el cero y (2.9). Ejercicio 8.10 Demostrar que exp : Te (S1 ) → S1 es ∂ exp t = eit . ∂y

Lecci´ on 9. El funtor de Lie

9.

41

El funtor de Lie

Hemos visto que cada grupo de Lie G define un álgebra de Lie DG y cada morfismo F de grupos de Lie define un morfismo F∗ de álgebras de Lie, esto permite definir un funtor entre ambas categor´ıas, que llamamos Funtor de Lie. Hemos visto en (8.4), que en general si conocemos F∗ , conocemos localmente F . Ahora veremos que en ciertas condiciones lo conocemos globalmente. Definici´ on. Diremos que una aplicaci´ on continua entre espacios topol´ ogicos F : X → Y es un revestimiento si todo y ∈ Y tiene un entorno abierto Vy tal que F −1 (Vy ) es homeomorfo a Vy × D con D discreto, haciendo conmutativo el diagrama F −1 (Vy ) ∼ Vy × D F & . π1 Vy (recordemos que D es discreto si todo subconjunto suyo (en particular los puntos) es abierto). Lo llamaremos revestimiento conexo si X es conexo. Definici´ on. Diremos que un espacio topol´ ogico conexo Y es simplemente conexo si todo revestimiento conexo de Y es homeomorfismo. Lema 9.1 Sea F : G1 → G2 un morfismo de grupos de Lie, con G2 conexo, y difeomorfismo local. Entonces F es revestimiento. Demostraci´ on. F es sobre por ser F (G1 ) subgrupo abierto y por (4.3) cerrado. Sea y ∈ G2 , entonces F −1 (y) es una subvariedad discreta, pues si x ∈ F −1 (y) y consideramos sendos entornos de x e y, Ux y Vy , en los que F es difeomorfismo, F (F −1 (y)∩Ux ) = y, por tanto F −1 (y)∩Ux = {x}. Sea D = F −1 (e2 ) y veamos que F −1 (Vy ) es homeomorfo a Vy × D, haciendo conmutativo el diagrama H

F −1 (Vy ) −→ Vy × D F & . π1 Vy para ello basta definir, para σ = F −1 : Vy → Ux , las funciones mutuamente inversas G(a, d) = σ(a)d y H(z) = (F (z), (σF (z))−1 z).

42

Grupos de Lie

Teorema 9.2 Sean G1 y G2 grupos de Lie, con G1 simplemente conexo y sea ϕ : DG1 → DG2 , un morfismo de ´ algebras de Lie, entonces existe un u ńico morfismo de grupos de Lie F : G1 → G2 , tal que F∗ = ϕ. Demostraci´ on. La unicidad es consecuencia del corolario (8.5). Veamos la existencia: Consideremos el grupo de Lie producto G = G1 × G2 y los morfismos inyectivos de ´ algebras de Lie D ∈ DG1 → D ∈ DG :

π1∗ D = D,

E ∈ DG2 → E ∈ DG :

π1∗ E = 0,

π2∗ D = 0, π2∗ E = E,

pues se tiene que L(x,y)∗ D = D, ya que π1∗ L(x,y)∗ D = Lx∗ π1∗ D = D, π2∗ L(x,y)∗ D = Ly∗ π2∗ D = 0, idem para E, y podemos considerar la sub´ algebra h ⊂ DG de igual dimensi´ on que DG1 , formada por los campos h = {D + ϕ(D) : D ∈ DG1 }, pues se tiene que para D1 , D2 ∈ DG1 [D1 + ϕ(D1 ), D2 + ϕ(D2 )] = [D1 , D2 ] + [ϕ(D1 ), ϕ(D2 )] = [D1 , D2 ] + ϕ([D1 , D2 ]) ∈ h, sin m´ as que ver sus componentes, es decir aplicando πi∗ . Ahora se tiene por (6.4) que existe un u ńico subgrupo de Lie inmerso conexo H ⊂ G, cuya ´ algebra de Lie es h y las proyecciones πi : H ⊂ G → G1 son morfismos de grupos de Lie y basta considerar el morfismo F = π2 ◦ π1−1 , para lo cual basta demostrar que π1 es isomorfismo: Observemos que π1∗ (D + ϕ(D))(x,y) = Dx y si Dx = 0, entonces D = 0 y π1∗ es inyectiva, por tanto isomorfismo pues ambos espacios tienen igual dimensi´ on. Por tanto π1 es difeomorfismo local y revestimiento por el Lema anterior y por ser G1 simplemente conexo es difeomorfismo global pues es homeomorfismo. Ahora se tiene que −1 F∗ (D) = π2∗ [π1∗ (D)] = π2∗ (D + ϕ(D)) = ϕ(D).

Corolario 9.3 Si G1 es simplemente conexo, entonces Hom(G1 , G2 ) = Hom(DG1 , DG2 ).

Lecci´ on 10. Subgrupos cerrados

43

Corolario 9.4 Dos grupos de Lie simplemente conexos, con ´ algebras de Lie isomorfas son isomorfos. Por u ´ltimo hay un resultado debido a Ado (ver Jacobson, p.199), cuya demostraci´ on no es f´ acil y omitimos que dice que “Toda ´ algebra de Lie es sub´ algebra de un Mn , para alg´ un n”. Como consecuencia de él y de (6.4), se tiene el siguiente resultado que tampoco demostramos. Teorema 9.5 Dada un a ´lgebra de Lie finito dimensional g, existe un grupo de Lie G (´ unico simplemente conexo), con ´ algebra de Lie DG = g.

10.

Subgrupos cerrados

En (4.4) demostramos que un subgrupo de un grupo de Lie si es subvariedad es cerrado. En esta lecci´ on veremos el rec´ıproco. Lema 10.1 Sea H un subgrupo cerrado del grupo de Lie G y γ : (−r, r) ⊂ R → Te (G), una curva diferenciable tal que γ(0) = 0 y exp[γ(t)] ∈ H, para t ∈ (−r, r), entonces exp[tγ 0 (0)] ∈ H para todo t ∈ R. Demostraci´ on. Como γ 0 (0) = l´ım nγ(1/n), para cada t ∈ R, la sucesi´ on mn ∈ Z tal que mn ≤ nt < mn +1, verifica tγ 0 (0) = l´ım mn γ(1/n), pues |tγ 0 (0) − mn γ(1/n)| ≤ |tγ 0 (0) − tnγ(1/n)| + |nt − mn ||γ(1/n)|, por tanto se sigue de (8.3) que exp[tγ 0 (0)] = l´ım exp[mn γ(1/n)] = l´ım[exp γ(1/n)]mn ∈ H, pues exp[γ(1/n)] ∈ H y es subgrupo cerrado. Lema 10.2 Sea H un subgrupo cerrado del grupo de Lie G, entonces S = {v ∈ Te (G) : exp[tv] ∈ H, es un subespacio vectorial.

para todo t ∈ R},

44

Grupos de Lie

Demostraci´ on. Si v ∈ S, entonces tv ∈ S obviamente. Sean v1 , v2 ∈ S, entonces por (8.3) σ1 (t) = exp(tv1 ) = gt ∈ H y σ2 (t) = exp(tv2 ) = ht ∈ H, son las curvas integrales pasando por e, de los campos D1 , D2 ∈ DG , que en el neutro definen v1 y v2 respectivamente. Consideremos la curva σ(t) = gt ht ∈ H, que por (8.8) verifica ∂ σ(0) = e, σ∗ = D1e + D2e = v1 + v2 . ∂t 0 Ahora si llamamos γ(t) ∈ Te (G) a la correspondiente curva pasada por la aplicaci´ on exponencial en el entorno donde es difeomorfismo, exp[γ(t)] = σ(t) ∈ H, por tanto γ 0 (0) = v1 +v2 y por el lema anterior exp[t(v1 +v2 )] ∈ H para todo t ∈ R, por tanto v1 + v2 ∈ S. En un grupo de Lie podemos definir, para cada subespacio vectorial S de Te (G), una aplicaci´ on diferenciable, ϕ : Te (G) −→ G, que también es difeomorfismo local en 0, del siguiente modo: Sea N ⊂ Te (G) un subespacio complementario de S, es decir tal que Te (G) = S ⊕N , por ejemplo consideramos una base v1 , . . . , vk de S, la extendemos a una v1 , . . . , vn de Te (G) y definimos N =< vk+1 , . . . , vn >. Ahora definimos para cada v ∈ Te (G), v = vS + vN ∈ S ⊕ N , la función ϕ(v) = exp(vN ) · exp(vS ). Proposici´ on 10.3 La aplicaci´ on ϕ : Te (G) −→ G es difeomorfismo local en el 0. Demostraci´ on. Consideremos el sistema de coordenadas lineales xi asociado a la base vi . Basta demostrar que ϕ∗ (∂xi )0 = vi , ahora bien (∂xi )0 = σ∗ (∂t)0 , para σ(t) = tvi , y como ϕ[σ(t)] = exp(tvi ) es por 8.3 la curva integral del campo Di ∈ DG que en el neutro vale vi , el resultado se sigue. Considerando entornos difeomorfos ϕ = U0 ⊂ Te (G) → Ue ⊂ G, podemos definir un sistema de coordenadas ui en el abierto Ue , tal que xi = ϕ∗ (ui ), que tiene la siguiente interesante propiedad: Denotemos h = {D ∈ g : De ∈ S},

Lecci´ on 10. Subgrupos cerrados

45

es decir la imagen de S por el isomorfismo canónico Te (G) → g, sean D1 , . . . , Dk ∈ g, la imagen de v1 , . . . , vk y consideremos la distribución correspondiente ∆x =< D1x , . . . , Dkx > . Proposici´ on 10.4 Si h es una sub´ algebra de g, la distribuci´ on ∆ es involutiva y ∂ ∂ ∆(Ue ) =< ,..., >. ∂u1 ∂uk Demostraci´ on. Basta demostrar que para P x = ϕ(v) ∈ Ue e i = 1, . . . , k, ∂uix ∈ ∆x . Para ello consideremos v = bi v i = s + n ∈ S ⊕ N —por tanto x = exp(n) · exp(s) = g · h— y la curva σ(t) = ϕ(v + tvi ) = ϕ(b1 v1 + . . . + (bi + t)vi + . . . + bn vn ) = exp(n) · exp(s + tvi ) = g · exp(s + tvi ), que pasa por x y tiene ∂uix = σ∗ (∂t)0 como vector tangente, pues [uj ◦ σ]0 (0) = δij . Ahora por (6.4) sabemos que la subvariedad integral m´ axima H, que contiene al neutro e es un subgrupo de Lie inmerso conexo de G y sus cosets zH, son variedades integrales de ∆, por lo que basta demostrar que σ∗ (∂t)0 ∈ Tx [xH] = ∆x . Primero observemos que ϕ(S) ⊂ H, pues si v =

Pk

i=1

ai vi ∈ S, entonces para todo t ∈ R ϕ(tv) = exp(tv) ∈ H,

pues por (8.3) es la curva integral, que pasa por e, del campo D = Pk en es completo y coincide i=1 ai Di ∈ ∆ y del campo D ∈ DH , que tambi´ con D en H (pues v ∈ S = ∆e = Te (H)). Por tanto ϕ(v) = exp(v) ∈ H. Por tanto como s ∈ S, h = exp(s) ∈ H y por ser subgrupo, xH = ghH = gH, por u ´ltimo s + tvi ∈ S

⇒

exp(s + tvi ) ∈ H

⇒

σ(t) = g · exp(s + tvi ) ∈ gH = xH ∂ σ∗ ∈ Tx [xH] = ∆x . ∂t 0

⇒

Por u ´ltimo se tiene el resultado con el que empezamos la lección.

46

Grupos de Lie

Teorema 10.5 Todo subgrupo cerrado H de un grupo de Lie G, es subvariedad. Demostraci´ on. Veamos que dado cualquier punto g ∈ H existe un entorno coordenado (Ug ; ui ), tal que H ∩ Ug = {x ∈ Ug : uk+1 = · · · = un = 0}. Para ello basta demostrarlo en el neutro e, pues haciendo la traslación Lg , como Lg (H) = H, lo tendremos para g. Consideremos el subespacio S de (10.2) y por (10.3) el difeomorfismo ϕ : U0 ⊂ Te (G) → Ue ⊂ G. Por la definici´ on de S, ϕ(S) ⊂ H y basta demostrar que existe un entorno de 0, U ⊂ U0 , para el que ϕ(S ∩ U ) = H ∩ ϕ(U ). Ahora la inclusi´ on ϕ(S ∩ U ) ⊂ H ∩ ϕ(U ) se tiene siempre, por tanto en caso contrario podremos encontrar una sucesión vn ∈ U0 , tal que vn → 0, gn = ϕ(vn ) → e en H y vn ∈ / S, pero entonces vn = xn + yn ∈ S ⊕ N , con yn ∈ N \{0}, yn → 0 y gn = ϕ(vn ) = exp(yn ) · exp(xn ) ∈ H, por tanto exp(yn ) ∈ H. Ahora yn /kyn k est´ a en un compacto y tiene una subsucesi´ on convergente (que llamamos igual) a un punto l´ımite y ∈ N , con kyk = 1 y llegamos a una contradicci´ on pues se tiene que y ∈ S ya que ty = l´ım tyn /kyn k y para la sucesi´ on mn ∈ Z, mn ≤ t/kyn k < mn +1, ty = l´ım mn yn , pues kty − mn yn k ≤ kty − tyn /kyn kk + kmn yn − tyn /kyn kk, y por (8.3), exp(ty) = l´ım exp(mn yn ) = l´ım[exp(yn )]mn ∈ H. Ejercicio 10.6 Demostrar que si F : G1 → G2 es un morfismo de grupos de Lie con G1 compacto, entonces F (G1 ) es un subgrupo de Lie.

11.

Grupos de Lie abelianos

En esta lecci´ on vamos a clasificar los grupos de Lie abelianos. Sea G un grupo de Lie abeliano, entonces hemos visto en (8.9) que la aplicación exp : E = Te (G) −→ G, es un morfismo de grupos de Lie (sobre, si el grupo es conexo) y difeomorfismo local en 0, por tanto en todo punto y se sigue como en (9.1) que el subgrupo cerrado H = ker exp = exp−1 (e) ⊂ E, es discreto (por (3.3) es un grupo de Lie de dimensión 0).

Lecci´ on 11. Grupos de Lie abelianos

47

Lema 11.1 Dado el difeomorfismo local y sobre π : Rn → Tn ,

π(x1 , . . . , xn ) = (e2πix1 , . . . , e2πixn ),

y un subgrupo H ⊂ Rn cerrado y discreto con Zn ⊂ H, se tiene que π(H) es finito. Demostraci´ on. H es uni´ on disjunta en z = (zi ) ∈ Zn de H ∩ [z, z + 1) = H ∩ [0, 1) + z, Qn

para [z, z + 1) = i=1 [zi , zi + 1), siendo π(H ∩ [z, z + 1)) = π(H ∩ [0, 1)), por tanto basta demostrar que H ∩ [0, 1) es finito. En caso contrario tendr´ıamos una sucesi´ on de puntos distintos xn ∈ H en el compacto [0, 1] por tanto con un punto l´ımite x, que estar´ıa en H por ser cerrado, pero todo entorno de x tendr´ıa puntos xn lo cual contradice que H sea discreto. El siguiente resultado que a continuaci´ on usaremos es una conocida caracterizaci´ on de Teor´ıa de Grupos y no lo demostramos. Teorema 11.2 Todo grupo abeliano finito generado es de la forma H ' Z ⊕ · · · ⊕ Z ⊕ Z/m1 ⊕ · · · ⊕ Z/ms . Teorema 11.3 Todo subgrupo cerrado y discreto H ⊂ E es H = Ze1 ⊕ · · · ⊕ Zer , con los ei ∈ H linealmente independientes en E. Demostraci´ on. Sea < H >=< v1 , . . . , vn >, con los vi ∈ H independientes y consideremos el isomorfismo < H >→ Rn , vi → ei y llamemos H también a su imagen. Entonces por ser subgrupo y los ei ∈ H tendremos que Zn ⊂ H y por el lema anterior tenemos que π(H) = {π(h1 ), · · · , π(hm )}, por tanto para todo h ∈ H existe un hi tal que π(h) = π(hi ), es decir h − hi ∈ Zn y tenemos que H es un subgrupo abeliano generado por h1 , . . . , hm , v1 , . . . , vn

48

Grupos de Lie

por tanto por el teorema anterior ser´ a de la forma Z ⊕ · · · ⊕ Z ⊕ Z/m1 Z ⊕ · · · ⊕ Z/ms Z, pero en este caso los términos del tipo Z/mi Z no aparecen pues sus elementos corresponder´ıan a z ∈ H, tales que mi z = 0, los cuales no existen, por tanto es de la forma Ze1 ⊕ · · · ⊕ Zer , y falta ver que los ei ∈< H > son independientes. En caso contrario como generan < H > podemos tomar una base de < H > entre ellos, e1 , . . . , en y el difeomorfismo local π : Re1 ⊕ · · · ⊕ Ren = Rn → Tn , para el que π(H) = {π(h1 ), . . . , π(hk )} es finito, pero H = Ze1 ⊕ · · · ⊕ Zen ⊕ Zen+1 ⊕ · · · ⊕ Zer , y π es inyectivo en Zen+1 ⊕· · ·⊕Zer , lo cual es absurdo pues este espacio es infinito, a menos que r = n.

11.1.

Grupos de Lie abelianos conexos. Clasificaci´ on

Como consecuencia de los resultados anteriores tenemos la siguiente clasificaci´ on. Teorema 11.4 Todo grupo de Lie abeliano y conexo es isomorfo a Tk × Rn−k . Demostraci´ on. Por el resultado anterior, H = ker exp = Ze1 ⊕ · · · ⊕ Zer con los ei independientes que extendemos a una base e1 , . . . , en ∈ Te (G). Ahora considerando las coordenadas asociadas a esta base tenemos que el siguiente diagrama, Te (G) ∼ x →   expy φ G ←− exp(x)

Rr × Rn−r (x1 , x2 ) ϕ y Tr × Rn−r (π(x1 ), x2 )

Lecci´ on 11. Grupos de Lie abelianos

49

P para x1 = (a1 , . . . , ar ) y x2 = (ar+1 , . . . , an ) si x = ai ei , define una u ńica φ para la que el diagrama es conmutativo, pues ϕ(x1 , x2 ) = ϕ(y1 , y2 )

⇔

x1 − y1 ∈ Zn , x2 = y2

⇔

x−y ∈H

⇔

exp(x) = exp(y),

que es isomorfismo de grupos y difeomorfismo pues cada flecha descendente es morfismo de grupos, sobre (exp por ser G conexo) y difeomorfismo local.

11.2.

Idem no conexos. Clasificaci´ on

Sea G un grupo de Lie abeliano no conexo y sea Ge su componente conexa que contiene al neutro, que por (2.7) es un grupo de Lie, por tanto isomorfo por el resultado anterior a Ge ' Tk × Rn−k . Ahora bien en (2.7) también vimos que era subgrupo normal2 , por tanto existe el grupo cociente H = G/Ge —que son las componentes conexas— y es grupo de Lie con la topolog´ıa discreta y la estructura diferenciable formada por todas las funciones en todos sus subconjuntos, para el que la proyecci´ on natural es morfismo de grupos de Lie (5)

π : G → G/Ge ,

pues es continua —ya que la imagen rec´ıproca de un abierto es la unión de algunas componentes conexas, que son abiertas—, es abierta obviamente y diferenciable pues dada cualquier función f en el cociente, π ∗ f es constante en cada componente conexa y por tanto diferenciable y tenemos la sucesi´ on exacta de grupos de Lie i

π

0 → Ge → − G− → G/Ge → 0, siendo Ge = Tk × Rn−k un Z–m´ odulo inyectivo. Definici´ on. Un A–m´ odulo M es inyectivo si dado cualquier morfismo inyectivo de A–m´ odulos i : M 0 → M 00 y un morfismo de A–módulos 2 Es decir que para todo g ∈ G, gHg −1 ⊂ H, en cuyo caso si H es normal, G/H tiene una estructura natural de grupo para la que π : G → G/H es morfismo de grupos.

50

Grupos de Lie

f : M 0 → M , existe otro h : M 00 → M que hace conmutativo el diagrama (ver Navarro, p.312). i

M0 → − M 00 f & .h M Ahora bien si consideramos un ideal a del anillo A y un x ∈ M la aplicaci´ on f : a → M , f (a) = ax es morfismo de A–módulos, pero adem´ as si M es inyectivo as´ı son todos, pues considerando la inclusi´ on i : a → A, para cada morfismo de A–m´ odulos f : a → M , existe un morfismo h : A → M haciendo el diagrama conmutativo, por tanto f (a) = h(a) = ah(1). Esta simple condici´ on necesaria es suficiente para que el módulo sea inyectivo, como se comprueba en la siguiente caracterización. Criterio del ideal 11.5 (Ver Navarro, p.312) Sea M un A–m´ odulo tal que para cada morfismo de A–m´ odulos f : a → M , existe un x ∈ M tal que f (a) = ax para todo a ∈ a, entonces M es inyectivo. Corolario 11.6 Ge es un Z–m´ odulo inyectivo. Demostraci´ on. Ge = Tk × Rn−k es un grupo divisible, es decir que 0 dado g ∈ Ge y m ∈ Z\{0} existe g ∈ Ge tal que, g 0 = mg. Por otra parte los grupos abelianos son m´ odulos sobre Z (por comodidad usamos notaci´ on aditiva) y los ideales de Z son mZ, para cada m ∈ N. Ahora veamos que se verifica el criterio del ideal. Sea f : mZ → Ge un morfismo de m´ odulos y g 0 = f (m), ahora como Ge es divisible existe g ∈ Ge tal que g 0 = mg, luego f (zm) = zf (m) = zg 0 = z(mg) = (zm)g. Teorema 11.7 Todo grupo de Lie abeliano es de la forma Tk × Rn−k × H, con H un grupo de Lie discreto. Demostraci´ on. Por el resultado anterior Ge es un Z–módulo inyectivo, entonces dada la identidad en Ge , existe un morfismo de grupos h

51

Lecci´ on 12. La acci´ on de un grupo

que hace conmutativo el diagrama i

Ge → − G id & .h Ge es decir que para g ∈ Ge , h(g) = g, lo cual unido a que tenemos la sucesi´ on exacta i → − π 0 → Ge ←G − → H = G/Ge → 0, nos permite definir σ : H → G,

σ[π(g)] = g − h(g),

que es un morfismo de grupos de Lie tal que π ◦ σ = id. En primer lugar est´ a definida en todo punto porque π es sobre y está bien definida pues si π(g1 ) = π(g2 ), entonces para g = g1 − g2 , π(g) = e, por tanto g ∈ Ge y h(g) = g, por tanto σ[π(g1 )] = g1 − h(g1 ) = g2 − h(g2 ) = σ[π(g2 )]. Por otro lado es morfismo de grupos pues lleva el neutro al neutro y σ[π(g1 ) + π(g2 )] = g1 − h(g1 ) + g2 − h(g2 ) = σ[π(g1 )] + σ[π(g2 )], por u ´ltimo es diferenciable porque H es discreto, pero entonces h(g) = g − σ[π(g)] también es diferenciable. Ahora podemos establecer el isomorfismo G ' Ge × H G g

F

− → → −

Ge × H (h(g), π(g))

G

G ←− g + σ(a0 ) ←− 0

Ge × H (g 0 , a0 )

pues F ◦ G = id y G ◦ F = id.

12.

La acci´ on de un grupo

Definici´ on. Diremos que un grupo de Lie G act´ ua (por la izquierda), sobre una variedad diferenciable X si existe una aplicación diferenciable θ : G × X −→ X , satisfaciendo las condiciones:

52

Grupos de Lie

i) Para el neutro e ∈ G y cualquier x ∈ X θ(e, x) = x. ii) Para cualesquiera a, b ∈ G y x ∈ X θ(a, θ(b, x)) = θ(ab, x). Llamaremos G–variedad a una variedad en la que act´ ua el grupo de Lie G. Nota 12.1 Por comodidad escribiremos habitualmente gx en lugar de θ(g, x) y para cada g ∈ G consideraremos los difeomorfismos θg : x ∈ X −→ gx ∈ X , en cuyos términos las condiciones de la definici´ on se expresan de la forma ex = x,

g(hx) = (gh)x;

θg ◦ θh = θgh .

θe = id,

Para cada x ∈ X también consideraremos las aplicaciones diferenciables θx : g ∈ G −→ gx ∈ X , Del modo obvio se define una acci´ on por la derecha. Definici´ on. Diremos que una aplicaci´ on φ : X → Y, entre G–variedades es G–diferenciable si es diferenciable y conmuta el diagrama θ

X  φ y

θ

Y

G× X  (id,φ)y

1 −→

G×Y

2 −→

(g,x)  y (g, φ(x))

−→ −→

gx   y gφ(x) = φ(gx)

y diremos que es un G–difeomorfismo si adem´ as es difeomorfismo. Definici´ on. Diremos que la acci´ on es fiel ´ o efectiva si es inyectiva la aplicaci´ on g ∈ G −→ θg ∈ Diff(X ), donde denotamos con Diff(X ) el grupo de los difeomorfismos de X en s´ı mismo, con la composici´ on. En cuyo caso se tiene que gx = x,

∀x ∈ X

⇔

g = e,

y podemos considerar que G es un subgrupo de Diff(X ).


53

Ejemplo 12.2 El producto en un grupo de Lie χ : G × G −→ G,

χ(g, h) = gh,

es una acci´ on. Ejemplo 12.3 Para F : G1 → G2 morfismo de grupos de Lie, θ : G1 × G2 −→ G2 ,

θ(x, y) = F (x)y,

es una acci´ on. Ejemplo 12.4 Sea H un subgrupo de Lie de un grupo de Lie G, entonces la restricci´ on de una acci´ on θ : G × X −→ X , a H × X , es una acci´ on. Ejemplo 12.5 La acci´ on natural de G = Gln (R) en Rn θ : Gln (R) × Rn −→ Rn ,

θ(A, x) = Ax.

Ejemplo 12.6 Consideremos el grupo de Lie G = Mov(Rn ) de los movimientos r´ıgidos en Rn , es decir de las transformaciones de la forma T : Rn −→ Rn ,

T (x) = Ax + a

para A ∈ On y a ∈ Rn , con la composici´ on. Observemos que como variedad diferenciable es On ×Rn , sin embargo como grupo no es el grupo producto, pues la operaci´ on de composici´ on en términos del producto es (A, a)(B, b) = (AB, Ab + a). La aplicaci´ on θ : G × Rn −→ Rn ,

θ(T, x) = T (x),

que en términos matriciales es θ : G × Rn −→ Rn , es una acci´ on.

θ((A, a), x) = Ax + a,

54

Grupos de Lie

Ejemplo 12.7 Consideremos la variedad diferenciable R(Rn ), de las referencias de Rn , formada por todas las bases {v1 , . . . , vn } de Rn , que podemos identificar, fijando una base como por ejemplo la {e1 , . . . , en }, con Gln (R) (mediante esta identificaci´ on consideramos su estructura diferenciable). Definimos la acci´ on natural de G = Gln (R) en R(Rn ) θ : G × R(Rn ) −→ R(Rn ),

θ(A, {v1 , . . . , vn }) = {Av1 , . . . , Avn },

que en términos de la identificaci´ on es θ : G × G −→ G,

θ(A, B) = AB.

Ejemplo 12.8 En Mn (R) tenemos la acci´ on natural θ : Gln (R) × Mn (R) −→ Mn (R),

θ(P, A) = PAP−1 .

Ejemplo 12.9 La conjugaci´ on en un grupo de Lie θ : G × G −→ G,

θ(g, h) = ghg −1

es una acci´ on, para la que θg = Lg ◦ Rg−1 : G → G es isomorfismo de grupos de Lie, por tanto θg∗ : DG → DG es isomorfismo de álgebras de Lie y β : G × DG → DG , β(g, D) = θg∗ D, es una acci´ on (veremos que es diferenciable en (12.11)), para la que si D ∈ DG tiene subgrupo uniparamétrico gt , βg D tiene ggt g −1 . Ejercicio 12.10 Demostrar que en el ejemplo (12.9), para G = Gln (R) se tiene que β es la acci´ on del ejemplo (12.8), donde consideramos el isomorfismo Mn (R) ∼ DG visto en el ejercicio (5.14).

Definici´ on. Llamamos representaci´ on adjunta de un grupo de Lie al morfismo de grupos de Lie (en términos del ejemplo anterior) Ad : G → Aut(DG ),

g → θg∗ ,

el cual define un morfismo de ´ algebras de Lie (ver (5.15)) ad = Ad∗ : DG → DAut(DG ) ≡ End(DG ).


55

Teorema 12.11 Las aplicaciones β y Ad son diferenciables. Demostraci´ on. Basta demostrar que Ad es diferenciable pues β es la composici´ on (Ad,id)

G × DG −−→ Aut(DG ) × DG → DG , donde la u ´ltima es el producto. Considerando un sistema de coordenadas (xi ) del grupo en el neutro y la base de DG definida por los campos invariantes Di que en el neutro definen las parciales, tendremos que X Ad(x)(Di ) = θx∗ (Di ) = fij (x)Dj , y basta demostrar que las fij son diferenciables. Ahora si consideramos los campos Di ∈ D(G × G), tales que π1∗ (Di ) = 0 y π2∗ (Di ) = Di , y la aplicaci´ on ϕ(y) = (x, y), tendremos: que ϕ∗ (Die ) = Di(x,e) , pues satisface las propiedades anteriores; que θx = θ ◦ ϕ y que fij (x) = θx∗ (Die )xj = θ∗ (ϕ∗ Die )xj = Di (xj ◦ θ)(x, e). Teorema 12.12 Para cada D ∈ DG , ad(D)(E) = DL E. Demostraci´ on. Sea E ∈ DG , entonces como ad(D)(E), DL E ∈ DG basta demostrar que coinciden en el neutro. Ahora tenemos el diagrama conmutativo visto en (8.4) DG  expy G

−−→

ad

DG 0 = End(D G)  exp y

Ad

G 0 = Aut(DG )

−−→

y para ad(D) ≡ A, ad(tD) ≡ tA y como A = (exp(tA))0 (0), tendremos que ad(D) = (exp(ad(tD))0 (0); y por otro lado si gt = exp(tD) es el subgrupo uniparamétrico de D, Rgt es su grupo uniparamétrico y como θgt = Rg−t ◦ Lgt , para θ(x, y) = xyx−1 se sigue que d d (Rg−t ∗ Egt )|t=0 = (Rg−t ∗ (Lgt Ee ))|t=0 dt dt d d = (θgt ∗ Ee )|t=0 = ((Ad(gt )E)e )|t=0 dt dt d d = ((Ad(exp(tD))E)e )|t=0 = (exp(ad(tD)E)e )|t=0 dt dt = (ad(D)E)e .

(DL E)e =

56

Grupos de Lie

Definici´ on. Sea G un grupo que act´ ua sobre una variedad diferenciable X . Llamaremos ´ orbita de un punto x ∈ X , al subconjunto de X θx (G) = Gx = {gx : g ∈ G}, en general para A ⊂ X denotaremos GA = {gx : g ∈ G, x ∈ A}. Diremos que un punto es fijo por la acci´ on si Gx = x y diremos que la acci´ on es transitiva si para alg´ un x ∈ X , Gx = X , es decir θx es sobre, en cuyo caso se demuestra f´ acilmente que la igualdad es cierta para cualquier x ∈ X . Diremos que es simplemente transitiva si dados x, y ∈ X existe un u ńico g ∈ G tal que y = gx, es decir todas las θx son biyectivas. Ejemplo 12.13 La acci´ on natural de Gln (R) en Rn del ejemplo (12.5), tiene al origen fijo y es transitiva en Rn \{0}, por lo tanto sus órbitas son triviales, {0} y Rn \{0}, sin embargo no lo son si consideramos la restricci´ on (ver el ejemplo 6), de esta acci´ on para distintos subgrupos de Gln (R). Por ejemplo si consideramos el subgrupo On , las órbitas son las esferas centradas en el origen, pues kAxk2 = xt At Ax = xt x = kxk2 . Ejemplo 12.14 La acci´ on definida en el ejemplo (12.7) es simplemente transitiva. Proposici´ on 12.15 Para cada x ∈ X las aplicaciones diferenciables θx : G → X son de rango constante y son proyecciones regulares si la acci´ on es transitiva. Demostraci´ on. Para ver que son de rango constante basta considerar el diagrama conmutativo θ

X  θ yg

θ

X

G   Lg y

x −→

G

x −→

ahora bien si la acci´ on es transitiva, cada θx es sobre y por (1.6) proyecci´ on regular. Definici´ on. Sea G un grupo que act´ ua sobre una variedad diferenciable X . Llamaremos grupo de isotrop´ıa de un punto x ∈ X , a los elementos


57

del grupo que lo dejan invariante Ix = {g ∈ G : gx = x} = θx−1 {x}. Diremos que G act´ ua libremente en X si el neutro es el u ńico elemento que deja fijo un punto, es decir que dados g ∈ G y x ∈ X , gx = x

⇒

g = e.

Teorema 12.16 Cada ´ orbita de una acci´ on de un grupo de Lie compacto es subvariedad y compacta. Demostraci´ on. Sea O una ´ orbita y x ∈ O, entonces O = θx (G) y como θx es de rango constante por (12.15), existe por (1.6) un abierto Ue ⊂ G entorno del neutro, tal que θx (Ue ) es una subvariedad de X . Veamos que hay un entorno abierto V de x tal que θx (G) ∩ V = θx (Ue ). Por un lado V c = C = θx ((Ue Ix )c ) es cerrado pues es compacto, ya que (Ue Ix )c es un cerrado del grupo que es compacto. Por otro lado es disjunto de θx (Ue ), pues si existen g ∈ Ue y h ∈ (Ue Ix )c , tales que gx = hx, entonces g −1 h ∈ Ix y h ∈ Ue Ix , y por otro lado θx (G) es la uni´ on disjunta de θx (Ue ) y C, pues dado y = gx ∈ θx (G), tal que y∈ / θx (Ue ), para todo h ∈ Ue , gx 6= hx, por tanto h−1 g ∈ / Ix , es decir g∈ / hIx y g ∈ (Ue Ix )c . Por tanto θx (G) ∩ V = θx (Ue ). Ejemplo 12.17 Tn es obviamente un grupo de Lie compacto y On tamP bién pues es el cerrado { Pzij zkj = δik } y acotado ya que por las ecua2 ciones anteriores, |zik | ≤ zij = 1. Proposici´ on 12.18 Sea G un grupo que act´ ua sobre una variedad diferenciable X , entonces para cada x ∈ X , Ix es un subgrupo cerrado, por tanto de Lie. Si adem´ as la acci´ on es transitiva, para cualesquiera x, y ∈ X , Ix e Iy son subgrupos conjugados.

12.1.

Grupos de Lie cl´ asicos conexos

El siguiente resultado es de gran utilidad en el estudio de los grupos de Lie conexos. Proposici´ on 12.19 Sea θ : G × X → X una acci´ on transitiva, con X conexo, entonces:

58

Grupos de Lie

1) θ : Ge × X → X también es una acci´ on transitiva. 2) Para todo x son isomorfos los grupos G/Ge ' Ix /Ix ∩ Ge . 3) Si alg´ un Ix es conexo entonces G es conexo. Demostraci´ on. (1) Por (12.15), cada θx : G → X es una proyección regular, por tanto abierta y para Gi las componentes conexas de G, que son abiertas, tendremos que θx (Gi ) son abiertos que coinciden con θx (Ge ) o son disjuntos con él, pues si existen g ∈ Gi y h ∈ Ge , tales que gx = hx, ´ entonces como Rg (Ge ) = Gi , tendremos que θx (Gi ) = θx (Ge g) = θx (Ge h) = θx (Ge ), y como X = θx (∪i Gi ) = ∪i θx (Gi ), por conexi´ on tendremos que X = θx (Ge ). (2) Consideremos el morfismo de grupos de Lie F composición de (ver (5), p´ ag.49) π Ix ,→ G − → G/Ge , el cual es sobre pues dado g ∈ G, existe h ∈ Ix tal que h ∈ gGe , y esto se sigue de (1) pues existe ge ∈ Ge tal que ge x = gx, por tanto h = ge−1 g ∈ Ix y h ∈ Ge g = gGe , pues Ge es normal. Ahora se tiene que Ix /Ix ∩ Ge = Ix / ker F ' Im(F ) = G/Ge . (3) Como Ge es abierto y cerrado en G, Ix ∩ Ge es abierto y cerrado en Ix que es conexo por tanto coinciden y por (2) Ge = G. Corolario 12.20 Son conexos los grupos de Lie Gl+ n = {A ∈ Mn (R) : det A > 0}, Sln = {A ∈ Gln (R) : det A = 1}, SOn = {A ∈ On : det A = 1}. + Demostraci´ on. Ve´ amoslo por inducci´ on: Para n = 1, Gl+ 1 = R , y Sl1 = SO1 = {1} son obviamente conexos, supongámoslo para n − 1 y ve´ amoslo para n, para ello consideramos la acción transitiva (para los dos primeros grupos)

G × Rn \{0} (A, x)

→ Rn \{0} Ax

Lecci´ on 13. El espacio topol´ ogico de ´ orbitas

59

y el punto x = en = (0, . . . , 0, 1), ahora para G = Sln Ix = {A = (aij ) : det A = 1, Aen = en } = An−1 0 ={ : det An−1 = 1, a ∈ Rn−1 } a 1 ' Rn−1 × Sln−1 . es conexo por inducci´ on, se sigue del resultado anterior que lo es Sln . Similarmente para G = Gl+ n Para SOn consideramos la acci´ on transitiva SOn ×Sn−1 (A, x)

→

Sn−1 Ax

y basta observar que Ix ' SOn−1 .

13. 13.1.

El espacio topol´ ogico de o ´rbitas Conjunto cociente

Sea ∼ una relaci´ on de equivalencia en un conjunto X y R = {(x, y) ∈ X × X : x ∼ y}. Definici´ on. Lamamos conjunto cociente de X por R a un conjunto Y, con una aplicaci´ on π : X → Y, tal que para cada conjunto T y Hom(Y, T ) el conjunto de las aplicaciones φ : Y → T , se tenga la biyecci´ on ( ) ψ: X → T Hom(Y, T ) −−→ x ∼ x0 ⇒ ψ(x) = ψ(x0 ) φ → φ◦π Es f´ acil demostrar que si existe tal conjunto verificando esa propiedad universal: 1.- π es constante en las clases de equivalencia, pues basta considerar la identidad en Y, a la que le corresponde una u ńica ψ que es π. 2.- La aplicaci´ on π es sobre, pues si Im π 6= Y, considerando T = Y tenemos dos aplicaciones, la identidad y φ que sea la identidad en Im π y constante en el complementario que corresponden a la misma ψ = π.

60

Grupos de Lie

3.- Es u ńico salvo biyecciones (obvio por las propiedades anteriores). También es f´ acil demostrar que existe, pues el conjunto X /R = {[x] : x ∈ X } de las clases de equivalencia con π(x) = [x] satisfacen la propiedad y se tiene que R = {(x, y) ∈ X × X : π(x) = π(y)}.

13.2.

Espacio topol´ ogico cociente.

Sea ahora ∼ una relaci´ on de equivalencia en un espacio topológico X y R = {(x, y) ∈ X × X : x ∼ y}. Definici´ on. Llamamos espacio topol´ ogico cociente, a un espacio topol´ ogico Y, con una aplicaci´ on continua π : X → Y, tal que para cada espacio topol´ ogico T y Hom(Y, T ) el conjunto de las aplicaciones continuas φ : Y → T , se tenga la biyecci´ on ( Hom(Y, T ) −−→ φ

→

ψ: X → T ,

continua

)

x ∼ x0 ⇒ ψ(x) = ψ(x0 ) φ◦π

Ejercicio 13.1 Demostrar que si existe tal espacio topol´ ogico Y, π es sobre, constante en las clases de equivalencia e Y es u ńico salvo homeomorfismos.

Definici´ on. Sea X un espacio topol´ ogico y ∼ una relación de equivalencia. Consideramos en el conjunto cociente X /R, la topolog´ıa cociente, es decir aquella para la cual A ⊂ X /R es abierto si π −1 (A) es un abierto de X . Ejercicio 13.2 Demostrar que el conjunto cociente con la topolog´ıa cociente satisface la propiedad universal y R = {(x, y) ∈ X × X : π(x) = π(y)}.

Lema 13.3 Si X /R es Hausdorff con la topolog´ıa cociente entonces R es un cerrado del espacio producto X × X . Si la proyecci´ on π : X → X /R es abierta, entonces también se tiene el rec´ıproco.

61


Demostraci´ on. Sea Φ = π × π, entonces X /R Hausdorff

⇔ ⇒

∆ = {([x], [x]) ∈ X /R × X /R} Φ

−1

(∆) = R

es cerrado

es cerrado,

y si π es abierta también lo es Φ = π × π que además es continua y sobre por tanto por (1.13) ∆ es cerrado (y X /R es Hausdorff), pues R = Φ−1 (∆) es cerrado.

13.3.

Cociente de una G–variedad por el grupo G

Si G es un grupo de Lie que act´ ua sobre una variedad diferenciable X θ : G × X −→ X , podemos definir la relaci´ on de equivalencia en X x∼y

⇔

∃g ∈ G : x = gy

⇔

Gx = Gy.

Definici´ on. El conjunto cociente X /R, que denotaremos X /G, es el conjunto de las ´ orbitas y dotado de la topolog´ıa cociente lo llamaremos espacio de ´ orbitas de la acci´ on. Proposici´ on 13.4 Si θ : G × X → X es una acci´ on conjuntista tal que cada θg es continua, entonces es abierta la proyecci´ on π : x ∈ X −→ [x] ∈ X /G. Demostraci´ on. Si cada θg es continua, automáticamente es homeomorfismo y para cada abierto U de X , π(U ) es abierto pues [ [ π −1 [π(U )] = Gx = {gx ∈ X : g ∈ G, x ∈ U } = θg (U ). x∈U

g∈G

Sin embargo este espacio topol´ ogico en general no es Hausdorff (en caso de que lo fuera las ´ orbitas ser´ıan cerrados pues π −1 ([x]) = Gx). Nota 13.5 Ídem si lo que tenemos es una acción por la derecha θ : X × G −→ X ,

62

Grupos de Lie

en cuyo caso definimos la relaci´ on de equivalencia en X x∼y

⇔

∃g ∈ G : x = yg

⇔

x ∈ yG,

y el conjunto cociente X /G correspondiente es el conjunto de las órbitas [x] = xG.

13.4.

Cociente de un grupo por un subgrupo

Consideremos ahora el caso particular de tener la acción trivial puramente conjuntista (por la derecha) en un grupo de Lie G de un subgrupo abstracto H ⊂ G, θ : G × H −→ G,

θ(g, h) = gh

en tal caso consideramos el espacio de ´ orbitas correspondiente G/H = {xH : x ∈ G}, para el que se tiene el siguiente resultado. Proposici´ on 13.6 La proyecci´ on π : G → G/H es abierta y son equivalentes las afirmaciones: 1) G/H es Hausdorff. 2) Los puntos de G/H son cerrados. 3) H es cerrado. 4) H es subgrupo de Lie. Demostraci´ on. De (13.4), se sigue que π es abierta pues θh = Rh . (1)⇒(2)⇒(3) Si G/H es Hausdorff, sus puntos son cerrados, por tanto también lo es H = π −1 ([e]). (3)⇒(4) lo vimos en (10.5) y (4)⇒(3) en (4.4). Por u ´ltimo (3)⇐(1) se sigue del lema (13.3), pues π es abierta y R cerrado ya que para F : (x, y) ∈ G × G −→ y −1 x ∈ G, si H es cerrado también lo es R = {(x, y) ∈ G × G : xH = yH} = F −1 (H).

63


Nota 13.7 Adem´ as también se tiene que la aplicación λ : G × G/H −→ G/H,

λ(x, yH) = xyH,

es una acci´ on continua por (1.13), ya que π es continua, abierta y sobre y es conmutativo el diagrama G× G  y

−→

G   y

G × G/H

−−→

λ

G/H

(x,y) −→  y (x, yH) −→

xy   y xyH

que verifica π ◦ Lx = λx ◦ π, y λ es transitiva pues para cualesquiera x, y ∈ G λxy−1 (yH) = xH. Pero en (15.5) demostraremos algo m´ as, veremos que G/H tiene una estructura natural de variedad diferenciable, (´ unica por satisfacer la propiedad universal), respecto de la que π y λ son diferenciables y que adem´ as es el modelo universal de las variedades sobre las que act´ ua transitivamente un grupo de Lie, variedades que reciben el nombre de espacios homogéneos. Por u ´ltimo tenemos el siguiente resultado. Proposici´ on 13.8 Sea θ : G × X → X una acci´ on transitiva conjuntista y x ∈ X , entonces hay una u ńica aplicaci´ on G G θx

π

−−→ G/Ix & .φ X

que hace conmutativo el diagrama. Adem´ as φ es biyectiva, continua si θx lo es y homeomorfismo si la acci´ on es diferenciable. Demostraci´ on. La existencia y unicidad de φ se sigue de la propiedad universal del conjunto cociente pues g ∼ g0

⇒

g ∈ g 0 Ix

⇒

θx (g) = θx (g 0 ),

64

Grupos de Lie

adem´ as φ es inyectiva y es sobre por ser la acci´ on transitiva. Es continua por la propiedad universal del espacio topol´ ogico cociente y porque θx lo es; y es abierta, pues si A ⊂ G/Ix es abierto, también lo es φ(A) = φ[π(π −1 (A))] = θx (π −1 (A)), por ser θx abierta, ya que por (12.15) es proyección regular.

14.

Variedad cociente categorial

Sea ∼ una relaci´ on de equivalencia en la variedad X y R = {(x, y) ∈ X × X : x ∼ y}. Un caso particular de relación de equivalencia que consideraremos es el definido por un grupo de Lie G que act´ ua por la izquierda en una variedad diferenciable X θ : G × X −→ X , en cuyo caso consideraremos la relaci´ on R = {(x, y) ∈ X × X : x ∈ Gy}, (si la acci´ on es por la derecha consideraremos R = {(x, y) : x ∈ yG}). Definici´ on. Llamaremos cociente categorial de X por R a cualquier variedad diferenciable Y con una aplicaci´ on diferenciable π : X → Y, tal que para cada variedad diferenciable T y Hom(Y, T ) el conjunto de las aplicaciones diferenciables φ : Y → T , se tenga la biyección ( Hom(Y, T ) −−→ φ

→

ψ : X →T ,

diferenciable

)

x ∼ x0 ⇒ ψ(x) = ψ(x0 ) φ◦π

Ejercicio 14.1 Demostrar que si existe tal variedad es u ńica salvo difeomorfismos, que π es sobre y constante en las clases de equivalencia.

Pero el cociente categorial no siempre existe y hay casos en los que existe y no es el espacio topol´ ogico cociente.

Lecci´ on 14. Variedad cociente categorial

65

Ejemplo 14.2 Consideremos en S1 ⊂ R2 la siguiente relación de equivalencia (x, y) ∼ (x0 , y 0 ) si x = x0 , en este caso no existe la variedad cociente, pues si existiese se verificar´ıa que (x, y) ∼ (x0 , y 0 )

⇔

π(x, y) = π(x0 , y 0 ),

pues considerando la aplicaci´ on diferenciable y constante en las clases de equivalencia π1 : S1 → R, π1 (x, y) = x, existe una u ńica φ diferenciable que hace conmutativo el diagrama π

S1 −−→ Y π1 & .φ R y se tiene que π(x, y) = π(x0 , y 0 )

⇒

φ(π(x, y)) = φ(π(x0 , y 0 ))

⇒

x = x0

⇒

(x, y) ∼ (x0 , y 0 )

⇔ 0

π(x, y) = π(x , y 0 ),

adem´ as como π es sobre se sigue de estas implicaciones que φ es inyectiva y como también es continua, Y es Hausdorff, por otra parte como π es sobre, continua y S1 compacto, Y es compacto. Ahora si consideramos el espacio topol´ ogico cociente S1 /R = [−1, 1] y la aplicación continua π, existe una u ńica aplicaci´ on continua φ que hace el diagrama conmutativo π

S1 −−→ [−1, 1] π & .φ Y y es sobre e inyectiva y como lleva compactos en compactos es cerrada (pues los cerrados en un compacto son compactos y los compactos en un Hausdorff son cerrados) y por tanto es abierta, por tanto homeomorfismo, pero el espacio topol´ ogico [−1, 1] no admite estructura diferenciable, pues si la tuviera ser´ıa de dimensi´ on 1, pues (−1, 1) es entorno del 0 difeomorfo a R —pues de ser difeomorfo a otro Rn en particular ser´ıa homeomorfo y no lo es porque al quitarle un punto siempre desconecta y Rn no—; pero el 1 no tiene ning´ un entorno difeomorfo a R, pues si a un entorno de R le quitamos un punto quedan dos componentes conexas, sin embargo a un entorno del 1 en [−1, 1] le quitamos el 1 y queda una u ńica componente conexa.

66

Grupos de Lie

Ejemplo 14.3 Consideremos en R2 la siguiente relación de equivalencia x ∼ x0 si existe t 6= 0 tal que x = tx0 . El espacio topológico cociente es P1 ∪ {0} siendo el {0} el u ńico punto cerrado, pues π −1 {0} = {0}, que es cerrado, pero π −1 (< u >) = {tu : t 6= 0} que no es cerrado, por tanto no puede ser la variedad cociente de existir, pues en las variedades los puntos son cerrados. Pero la variedad cociente existe y es un punto {p}, pues toda aplicaci´ on diferenciable ψ : R2 → T , constante en las clases de equivalencia es constante, ya que para todo x, {ψ(x)} es cerrado y por tanto ψ −1 [ψ(x)], que contiene a {tx : t 6= 0}, por tanto a su adherencia que es toda la recta, por tanto contiene al 0 y ψ(x) = ψ(0). Estos ejemplos nos inducen a afinar la definición.

15.

Variedad cociente geom´ etrico

Definici´ on. Llamaremos cociente geométrico de X por R a cualquier variedad diferenciable Y con una proyecci´ on regular sobre, π : X → Y, cuyas fibras sean las clases de equivalencia de R (en particular son subvariedades cerradas de X ). En el siguiente resultado demostramos que el cociente geométrico también es u ńico de existir, pues coincide con el categorial. Teorema 15.1 Si π : X → Y es el cociente geométrico de X por R entonces: 1. Es la variedad cociente categorial. 2. Es el espacio topol´ ogico cociente X /R. 3. El anillo de funciones de cada abierto U ⊂ Y es C ∞ (U ) = {f ∈ C(U ) : f ◦ π ∈ C ∞ [π −1 (U )]}. 4. X /R es Hausdorff si y s´ olo si R es cerrado. Demostraci´ on. Sea ψ : X → T , constante en las clases de equivalencia de R, entonces existe una u ńica φ : Y → T , tal que ψ = φ ◦ π, pues π es sobre y sus fibras son las clases de equivalencia. Se sigue que como conjunto es el conjunto cociente. Ahora de (1.13) se sigue que si ψ es continua φ es continua, por tanto como espacio topológico es el

Lecci´ on 15. Variedad cociente geom´ etrico

67

cociente topol´ ogico y si ψ es diferenciable φ es diferenciable, por tanto como variedad es el cociente categorial. (3) Se sigue de (1.14) y (4) de (13.3), pues π es abierta. Definici´ on. Sean X , Y y Z espacios topol´ ogicos y π : X → Y y φ : Z → Y continuas. Llamamos producto fibrado de X y Z sobre Y, al subespacio topol´ ogico X ×Y Z = {(x, z) ∈ X × Z : π(x) = φ(z)}, el cual tiene la propiedad universal HomY (T , X ×Y Z) = HomY (T , X ) × HomY (T , Z). Lema 15.2 Si π : X → Y es una proyecci´ on regular, entonces para toda aplicaci´ on diferenciable φ : Z → Y, X ×Y Z es una subvariedad de X ×Z y π2 : X ×Y Z → Z es proyecci´ on regular. Demostraci´ on. Sea (x, z) un punto del producto fibrado, sea y = π(x) = φ(z) y consideremos entornos coordenados Vx de x, con coordenadas (x1 , . . . , xn ) y Vy de y, con coordenadas (y1 , . . . , ym ), tales que para i = 1, . . . , m, xi = π ∗ (yi ). Consideremos un entorno coordenado de z, Vz , con coordenadas (z1 , . . . , zk ), tal que φ(Vz ) ⊂ Vy y en él yi ◦ φ = φi (z1 , . . . , zk ), entonces X ×Y Z ∩ (Vx × Vz ) = {(x0 , z 0 ) : xi = φi (z1 , . . . , zk )}. Adem´ as π2 es proyecci´ on regular pues admite secciones locales, pues si σ : Uy → X lo es de π y σ(y) = x, σ 0 = (σ ◦ φ) × Id : φ−1 (Uy ) → X ×Y Z, lo es de π2 y σ 0 (z) = (x, z). Veamos ahora una caracterizaci´ on de la existencia del cociente. Teorema de Godement 15.3 Existe cociente geométrico de X por R sii R es subvariedad de X × X y π2 : R ⊂ X × X → X es proyecci´ on regular (y por tanto3 π1 ). 3 Pues basta considerar el difeomorfismo φ : X × X → X × X , φ(x, y) = (y, x), para el que φ(R) = R y π1 = π2 ◦ φ.

68

Grupos de Lie

Demostraci´ on. “⇒”Si π : X → X /R es proyección regular, entonces por (15.2) R = {(x, z) : π(x) = π(z)} = X ×X /R X , es subvariedad de X ×X y ambas proyecciones πi : R → X son proyección regular. “⇐”De existir el cociente geométrico se sigue de (15.1) que es el espacio topol´ ogico cociente X /R con la estructura diferenciable en cada abierto U ⊂ X /R C ∞ (U ) = {f ∈ C(U ) : f ◦ π ∈ C ∞ [π −1 (U )]}. Basta entonces ver que realmente es variedad diferenciable y que la proyecci´ on π es regular. (1) π es abierta, pues si U ⊂ X es abierto, entonces también lo es π(U ), pues π −1 [π(U )] = {x : ∃y ∈ U, π(x) = π(y)} = {x : ∃y ∈ U, (x, y) ∈ R} = {x : ∃r ∈ R, π1 (r) = x, π2 (r) ∈ U } = π1 [π2−1 (U )], y π1 es abierta pues es proyecci´ on regular. Ahora observemos que si existe el cociente geométrico, entonces para cada abierto saturado V ⊂ X, es decir formado por clases de equivalencia y por tanto tal que V = π −1 [π(V )], se tiene que V /R es un abierto de X /R y si en él consideramos la estructura diferenciable heredada, es decir C ∞ (U ) = {f ∈ C(U ) : f ◦ π ∈ C ∞ [π −1 (U )]}, para cada abierto U de V /R, entonces π : V → V /R es el cociente geométrico de V por R. Basta entonces demostrar que para cada x0 ∈ X hay un abierto saturado V , con x0 ∈ V tal que con los anillos C ∞ (U ), V /R es variedad diferenciable y π : V → V /R proyecci´ on regular, pues con tales V /R recubrimos X /R. (2) Ve´ amoslo primero sin exigir que V sea saturado: En primer lugar se sigue de (1.14) que cada clase de equivalencia x0 = π −1 [π(x0 )] es una subvariedad de X , pues x0 × {x0 } = π2−1 (x0 ),


69

es una subvariedad de R, ya que π2 es una proyección regular, que lo es de ⊂ X × X y que est´ a en X × {x0 }, por tanto es subvariedad suya. Consideremos ahora una subvariedad W transversal a x0 en x0 , por tanto Tx0 (X ) = Tx0 (x0 ) ⊕ Tx0 (W ), y consideremos por π2 : R → X , RW = π2−1 (W ) = R ∩ (X × W ) ⊃ x0 × {x0 }, que por (1.14) es una subvariedad de R, que a su vez es subvariedad de X × X , por tanto RW es subvariedad de X × X y de X × W . Además π2 : RW → W es proyecci´ on regular pues la composición π

2 W −→ RW −→ W,

x → (x, x) → x.

es la identidad, por tanto la fibra de x0 , x0 × {x0 }, es subvariedad y por (1.6) se tiene que dim T(x0 ,x0 ) (RW ) = dim T(x0 ,x0 ) (x0 × {x0 }) + dim Tx0 (W ) = dim Tx0 (x0 ) + dim Tx0 (W ) = dim Tx0 (X ), lo cual implica que π1 : RW → X es difeomorfismo local en (x0 , x0 ), pues tienen igual dimensi´ on y π1∗ es sobre pues en su imagen está Tx0 (W ), ya que la composici´ on ∆

π

1 W −→ RW −→ X,

x → (x, x) → x,

es la identidad y también est´ a Tx0 (x0 ) pues la composición Id×{x0 }

π

1 x0 −−−−−→ RW −→ X,

x → (x, x0 ) → x,

también es la identidad, por tanto est´ a su suma directa y π1∗ es sobre y as´ı π1 : RW → X es difeomorfismo local en (x0 , x0 ). Ahora se sigue que existe un entorno abierto de (x0 , x0 ) en RW = R ∩ (X × W ), que podemos tomar de la forma R ∩ (U × W0 ), con W0 entorno de x0 en W , difeomorfo por π1 a un entorno abierto V de x0 en X . De esta forma podemos considerar R ∩ (U × W0 ) π2

π

1 −→ V & .τ W0

70

Grupos de Lie

siendo τ : V → W0 la segunda componente de su inversa, es decir τ (x) = y, donde y es el u ńico punto de W0 equivalente a x. Ahora cambiamos W0 por W 0 = W0 ∩ V y V por V 0 = τ −1 (W 0 ), de tal modo que π1 : R ∩ (V 0 × W 0 ) −→ V 0 , es difeomorfismo y la segunda componente de su inversa τ : V 0 −→ W 0 ,

x → τ (x) = y,

donde y es el u ńico punto de W 0 equivalente a x, es una proyección regular, pues τ ◦ π1 = π2 , y si cambiamos W 0 por su abierto τ (V 0 ) (que seguimos llamando W 0 ), tendremos que τ : V 0 → W 0 es proyección regular sobre; y como adem´ as las fibras de τ son las clases de equivalencia de la relaci´ on R = R ∩ (V 0 × V 0 ), inducida por R en V 0 , tendremos que τ : V 0 → W 0 es el cociente geométrico de V 0 por la relación que R induce en V 0 . (3) Ve´ amoslo ahora con V saturado: Consideremos el abierto V 0 encontrado en (2) y sea π : V = π −1 [π(V 0 )] −→ π(V ) = V /R, considerando la estructura diferenciable en V /R dada por la biyección V /R ∼ W 0 ,

[x] → τ (x),

ahora π : V → V /R es proyecci´ on regular pues se tiene el diagrama conmutativo π2−1 (V0 ) ⊂ R  π2 y V0

π

1 −−→ π −1 [π(V0 )] = V π y

τ

−−→

W 0 = V /R.

En el caso particular de que la relaci´ on de equivalencia esté definida por la acci´ on de un grupo, podemos quitar la hipótesis de que π2 sea proyecci´ on regular en R y decir algo m´ as. Corolario 15.4 Sea θ : G × X → X una acci´ on en una variedad X y R = {(x, y) : Gx = Gy}. Entonces existe el cociente geométrico X /G = X /R sii R es una subvariedad de X ×X . Adem´ as en tal caso la aplicaci´ on Φ : G × X → R, es proyecci´ on regular.

Φ(g, x) = (gx, x),

71


Demostraci´ on. Si R es subvariedad Φ es diferenciable por (1.10), p´ ag.10, y π2 : R → X es proyecci´ on regular, pues lo es la composición π

Φ

2 G×X − → R −→ X,

(g, y) → (gy, y) → y,

por tanto por el teorema anterior existe el cociente geométrico. Además: cada ´ orbita Gx = π −1 [π(x)] es una subvariedad de X por ser π : X → X /G proyecci´ on regular; θx : G → Gx es proyección regular por (12.15); y por ser π2 : R → X proyecci´ on regular, cada fibra Gx × {x} = π2−1 {x} es, por (1.6), p´ ag.8, subvariedad de R de dimensión dim R − dim X = dim ker π2∗ , para la que π2∗ Dr = 0

⇔

Dr ∈ Tr (Gx × {x}),

pues Tr (Gx × {x}) ⊂ ker π2∗ y tienen igual dimensión. Ahora Φ es sobre y para ver que es proyección regular consideremos un punto p = (g, x) ∈ G × X , r = Φ(p) y el diagrama conmutativo (θx ,id)

G × {x} −−→ Gx  × {x}   y y G×X

Φ

−−→

π

2 R −→ X

(h,x) −→  y (h, x) −→

(hx,  x)  y (hx, x) −→ x

y se sigue de la equivalencia anterior y este diagrama que dado Dr ∈ Tr (R), con π2∗ Dr = 0, existe Tp , con Φ∗ Tp = Dr ; y en general se sigue para un Dr0 —considerando que existe Tp0 tal que ϕ∗ Tp0 = π2∗ Dr0 , por ser ϕ = π2 ◦ Φ proyecci´ on regular—, pues Dr = Dr0 − Φ∗ Tp0 está en las hip´ otesis anteriores y Dr0 = Φ∗ (Tp + Tp0 ). Corolario 15.5 Si H es un subgrupo de Lie de un grupo de Lie G, entonces existe el cociente geométrico G/H y es Hausdorff, de la acci´ on natural por la derecha de H en G y λ : G × G/H −→ G/H,

λ(x, yH) = (xy)H,

es una acci´ on diferenciable y π es morfismo de G–variedades. Si adem´ as H es normal en G, entonces G/H es grupo de Lie. Demostraci´ on. Observemos que R = {(x, y) ∈ G × G : y ∈ xH} es la imagen de la subvariedad G × H, por el difeomorfismo G × G −→ G × G,

(a, b) → (a, ab),

72

Grupos de Lie

por tanto es subvariedad y por el corolario anterior existe el cociente y es Hausdorff por (13.6). Que λ es diferenciable se sigue del diagrama de (13.7) y ser π : G → G/H proyecci´ on regular, además π(gh) = gπ(h). Por u ´ltimo se demuestra f´ acilmente que las operaciones del grupo cociente son diferenciables. Corolario 15.6 Sea θ : G × X → X una acci´ on en una variedad X , entonces para todo x ∈ X existe el cociente geométrico G/Ix , es Hausdorff y la ´ orbita Gx es subvariedad inmersa. Adem´ as en cualquiera de los siguientes casos: 1) Si existe el cociente geométrico X /G. 2) Si G es un grupo compacto. 3) Si G/Ix es compacto. 4) Si Gx, con la topolog´ıa heredada, es una subvariedad topol´ ogica. se tiene que Gx es una subvariedad de X (compacta en los casos (2) y (3)) y la aplicaci´ on entre G–variedades G/Ix −→ Gx,

[g] → gx,

es un G–difeomorfismo. Demostraci´ on. Por (12.18) Ix = θx−1 (x) es un subgrupo de Lie y por el resultado anterior existe el cociente geométrico G/Ix (y es Hausdorff), de la acci´ on natural de Ix en G por la derecha. Además Gx es subvariedad inmersa pues se tienen los diagramas conmutativos G θx

π

−−→ G/Ix & .φ &ψ i Gx −−→ X

G θx

π

−−→ G/Ix & .ψ X

siendo φ biyectiva y continua por (13.8), considerando en la órbita la topolog´ıa heredada, pues θx es continua; y ψ es de rango constante (se demuestra como en (12.15)) e inyectiva, por tanto inmersión local por (1.6). (1) Si existe el cociente geométrico, Gx es una subvariedad de X por ser π : X → X /G proyecci´ on regular y ser Gx = π −1 [π(x)]. (2) Si G es compacto, por (12.16) de la p´ ag.57, Gx es subvariedad y es compacta pues θx (G) = Gx. (3) Si G/Ix es compacta, φ lleva cerrados en cerrados y por tanto es homeomorfismo.

73


(4) Como ψ es inmersi´ on local, todo punto de G/Ix tiene un entorno U tal que ψ(U ) = φ(U ) ⊂ Gx es subvariedad de X , por tanto subvariedad topol´ ogica de Gx y dim G/Ix = dim U = dim H(U ) ≤ dim Gx. Ahora si dim G/Ix < dim Gx, por ser G/Ix variedad podemos recubrirla con una colecci´ on numerable de compactos Bn y cada Kn = φ(Bn ) es compacto y φ : Bn → Kn es homeomorfismo, además Kn es un re◦

cubrimiento numerable de compactos de Gx y si alguno tiene Kn 6= ∅, entonces ◦

dim Gx = dim Kn ≤ dim Kn = dim Bn ≤ dim G/Ix < dim Gx, ◦

por tanto Kn = ∅ para todo n, lo cual es absurdo por el Teorema de Baire4 . Se sigue que dim G/Ix = dim Gx y por el Teorema de invarianza de dominios5 φ es abierta, por tanto homeomorfismo y en definitiva Gx es subvariedad (difeomorfa a G/Ix ) y θ : G × Gx → Gx, es una acción transitiva. Por u ´ltimo φ(g[h]) = gφ([h]). Corolario 15.7 Sea θ : G × X → X una acci´ on en una variedad X . Si cada punto x ∈ X tiene un entorno abierto Ux tal que Ux ∩ gUx = ∅, para g 6= e, entonces existe el cociente geométrico X /G. Adem´ as G es discreto. Demostraci´ on. Para cada g ∈ G, Γg = {(x, gx) : x ∈ X } es una subvariedad cerrada, pues es la imagen de ∆ por el difeomorfismo X × X −→ X × X ,

(x, y) → (x, gy).

Adem´ as R = ∪g∈G Γg y es subvariedad pues para cada (x, gx) ∈ R, el abierto Ux × (gUx ) corta a R s´ olo en puntos de Γg . Por u ´ltimo G es discreto pues para θx : G → X , θx−1 (gUx ) es un entorno de g que no contiene ning´ un otro elemento del grupo. Corolario 15.8 Sea G un grupo de Lie finito que act´ ua por la izquierda, sin isotrop´ıa, en una variedad Hausdorff X , entonces existe el cociente geométrico X /G y es Hausdorff. 4 Si U es una sucesi´ on de abiertos densos de un espacio Hausdorff localmente n compacto, ∩Un es densa. 5 Si F : U → Rm , con U ⊂ Rm abierto es continua e inyectiva, entonces es abierta.

74

Grupos de Lie

Demostraci´ on. Por no tener isotrop´ıa, dados g ∈ G\{e} y x ∈ X , x 6= gx y por ser X Hausdorff, tienen entornos abiertos disjuntos, Vx de x y Vgx de gx. Ahora el entorno abierto de x Vx ∩ [∩g∈G g −1 Vgx ] = Ux , es tal que Ux ∩ gUx = ∅ y el resultado se sigue del corolario anterior. Ahora como X es Hausdorff, ∆ es cerrado y por tanto los Γg y por tanto R que es su uni´ on finita, por lo que el cociente es Hausdorff. Corolario 15.9 Sea X una variedad Hausdorff y n ∈ N. El conjunto de los subconjuntos de X de cardinal n tiene una estructura natural de variedad diferenciable Hausdorff. Demostraci´ on. Consideremos los abiertos (por ser X Hausdorff) Xij = {(x1 , . . . , xn ) ∈ X n : xi 6= xj }, entonces para Sn el grupo de permutaciones de n elementos, nuestra variedad es ∩1≤i
⇔

∃t : x0 = τt (x).

Definici´ on. Si existe el cociente geométrico X /RD , lo llamaremos variedad de soluciones de D. Nota 15.11 En general no existe, pues basta considerar en el toro T2 = S1 × S1 , y en las coordenadas (θ, θ0 ) el campo D = ∂θ + α∂θ0 , con α ∈ R\Q, cuyas trayectorias son densas (ver (4.2), pág.22) en el toro y no cerradas y si existiese el cociente cada punto suyo [x] ser´ıa cerrado y por tanto cada ´ orbita π −1 ([x]). Lema 15.12 Sea θ : G×X → X una acci´ on en una variedad X . Si existe un recubrimiento abierto X = ∪Ur donde cada Ur es G–invariante, es decir θg (Ur ) = Ur , para todo g y existen los cocientes Ur /G, entonces existe el cociente geométrico X /G


75

Demostraci´ on. Basta demostrar que es subvariedad R = {(x, y) ∈ X 2 : Gx = Gy}, ahora bien sabemos que lo son Rr = {(x, y) ∈ Ur2 : Gx = Gy}, y se tiene que R ∩ Ur2 = Rr . Teorema 15.13 Sea D ∈ D(X ) y h ∈ C ∞ (X ), tales que Dh > 0, entonces existe el cociente geométrico X /RD . Demostraci´ on. Podemos considerar D completo multiplicándolo por una funci´ on no nula adecuada, en cuyo caso las trayectorias no se modifican. Sea τ : R × X → X su grupo uniparamétrico, el cual es una acci´ on que define la relaci´ on de equivalencia, por tanto nos preguntamos por la existencia del cociente por el grupo real aditivo X /R. Para cada r ∈ Im h ⊂ R, consideremos la hipersuperficie Hr = {h = r} (pues dh 6= 0, ya que dh(D) = Dh > 0) y veamos que ϕ : R×Hr → X , ϕ(t, x) = τ (t, x) es inyectiva y difeomorfismo local: ϕ(t, x) = ϕ(t0 , x0 )

⇒

σx (t − t0 ) = τt−t0 (x) = x0

⇒

σx (t − t0 ) = x0 ,

σx (0) = x

0

⇒

h[σx (t − t )] = h(x0 ) = r = h(x) = h[σx (0)]

⇒

t = t0

⇒

x = x0 ,

pues si σ es una curva integral de D entonces f = h ◦ σ es creciente, ya que 0 < Dh = σ∗ (∂t )h = f 0 . Ahora como ϕ es de rango constante, pues se tiene el diagrama conmutativo ϕ

R ×Hr  y

−−→

R × Hr

−−→

ϕ

X   y X

(t,x) −→  y (t + t0 , x) −→

τ (t,  x)  y τ (t + t0 , x)

para ver que es difeomorfismo local, basta ver que ϕ∗ es isomorfismo en los puntos de la forma (0, x). Consideremos un entorno coordenado de x ∈ Hr en X , con coordenadas x1 = h, x2 , . . . , xn , tales que Dx2 = · · · = Dxn = 0, por tanto las xi son coordenadas en Hr y como ϕ(0, z) = z ϕ∗ (∂t)(0,x) = Dx = (Dx x1 )(∂x1 )x ,

ϕ∗ (∂xi )(0,x) = (∂xi )x .

Por lo tanto existe un abierto Ur de X tal que ϕ : R × Hr → Ur ⊂ X ,

76

Grupos de Lie

es difeomorfismo; adem´ as ϕ∗ ∂t = D, ϕ(0, z) = z, para todo z ∈ Hr , por tanto Hr ⊂ Ur y como X = ∪Hr , tenemos también que X = ∪Ur . Pero adem´ as existe el cociente geométrico πr = π2 ◦ ϕ−1 : Ur → Ur /RD = (R × Hr )/R = Hr , y por el Lema se tiene el resultado. En el resultado anterior hemos demostrado que existe el cociente π : X → X /R = X , pero adem´ as tenemos el recubrimiento de abiertos X = ∪Ur y el correspondiente X = ∪Ur , para Ur = π(Ur ) ≡ Hr . Con estos abiertos se puede ver f´ acilmente que el cociente no tiene por qué ser Hausdorff, por ejemplo consideremos en R2 \{0} el campo D = ∂x , en cuyo caso las trayectorias son las rectas y = cte 6= 0 y las dos semirrectas {y = 0, x < 0}, {y = 0, x > 0}. Ahora como existe una funci´ on h = x tal que Dh > 0, existe el cociente que como conjunto es R, pero con dos or´ıgenes y esta recubierto por dos abiertos R = U−1 = π(H−1 ) que es entorno de uno y R = U1 = π(H1 ) que es entorno del otro. Variedad de soluciones de un sistema mec´ anico. Consideremos R3 con su métrica eucl´ıdea y sus coordenadas xi y en el fibrado tangente las correspondientes (xi , zi ). Consideremos en el fibrado tangente la 1– forma can´ onica de Liouville e D ) = π∗ (D e D ) · Dp , θ(D p p P que en coordenadas es θ = zi dxi y la 2–forma dθ. Definici´ on. Llamamos espacio de fases de r part´ıculas moviéndose en R3 , con masas mi a R × T (R3 ) × · · · × T (R3 ). P con la 2–forma ω2 = mi dθi . Definici´ on. Consideremos el caso de una u ńica part´ıcula de masa m. En cuyo caso consideramos la 2–forma ω2 = mdθ. Diremos que se mueve debido a un campo de fuerzas F ∈ D(R × R3 ), con F t = 0, siguiendo la Ley de Newton si su trayectoria es σ(t) = (xi (t)), tal que mσ 00 (t) = F , es decir su subida (t, σ(t), σ 0 (t)) es tangente al campo de R × T (R3 ) Z=

X X Fi (t, x) ∂ ∂ ∂ + zi + . ∂t ∂xi m ∂zi


77

Observemos que por el resultado anterior, como Zt = 1 > 0, este campo tiene variedad de soluciones X = R × T (R3 )/RZ , y que cada T (R3 ) ≡ Hr = {t = r} se identifica con un abierto Ur que recubren el cociente X . Adem´ as cada uno de estos abiertos Ur tiene una estructura simpléP tica ω2r v´ıa su identificaci´ on con T (R3 ) considerando la 2–forma ω2 = m dzi ∧ dxi . A continuaci´ on caracterizaremos el hecho de que estas estructuras simpléticas repeguen, de forma que definan una estructura simplética en X . Definici´ on. Llamamos 2–forma de Poincaré–Cartan a la u ńica 2–forma Ω2 , en X = R × T (R3 ), que cumple: 1) Ω2|t=t0 = ω2 . 2) iZ Ω2 = 0. Observemos que de existir es u ńica pues para vectores D1 , D2 del fibrado, Ω2 (D1 , D2 ) = ω2 (D1 , D2 ) y Ω2 (Z, D) = 0. Existe y en coordenadas es X X X Ω2 = m dzi ∧ dxi + Fi dxi ∧ dt − m zi dzi ∧ dt, adem´ as rad Ω2 =< Z >. Y en el caso particular de que F sea conservativa (enPcada instante) y derive de un potencial u(x, t), F = − grad u = − uxi ∂xi , entonces Ω2 = m para E = (1/2)m caracterizaci´ on.

P

X

dzi ∧ dxi + dt ∧ dE,

zi2 +u la energ´ıa. En este sentido se tiene la siguiente

Teorema 15.14 Son equivalentes: 1) F es conservativa en cada instante. 2) Z L Ω2 = 0. 3) dΩ2 = 0. 4) Existe una estructura simplética ω2 , en el cociente X , que para la proyecci´ on π : X → X , π ∗ (ω2 ) = Ω2 . 5) Existe una estructura simplética ω2 , en el cociente X , que en cada abierto Ur es ω2r .

78

Grupos de Lie

Demostraci´ on. Se sigue de la expresi´ on local de Ω2 que X X dΩ2 = dFi ∧ dxi ∧ dt = d( Fi dxi ) ∧ dt. P y si F es conservativa Fi dxi = du − ut dt y tenemos (1)⇒(3) y si dΩ2 = 0, tendremos que Fixj = Fjxi lo cual implica que existe u(x, t) diferenciable tal que Fi = uxi , tal funci´ on es Z x1 u(x, t) = F1 (s, x20 , . . . , xn0 , t) ds+ x Z x102 + F2 (x1 , s, x30 , . . . , xn0 , t) ds + · · · + x Z x20n + Fn (x1 , . . . , s, t) ds, xn0

por tanto F es conservativa en cada instante y tenemos (3)⇒(1). Como iZ Ω2 = 0, se tiene que Z L Ω2 = iZ dΩ2 y se tiene (3)⇒(2). (2)⇒(3) Se sigue de la igualdad anterior y de que dΩ2 (Z, −, −) = 0,

dΩ2 (D1 , D2 , D3 ) = dω2 (D1 , D2 , D3 ) = 0

para Di verticales para la proyecci´ on. (4)⇒(3) Es Obvio. (2)⇒(4) Como Z L Ω2 = 0 y iZ Ω2 = 0, se demuestra fácilmente en coordenadas que existe una u ńica 2–forma ω2 , tal que π ∗ (ω2 ) = Ω2 , la cual es cerrada ya que dados x, y = π(x), dy ω2 (D1 , D2 , D3 ) = dy ω2 (π∗ E1 , π∗ E2 , π∗ E3 ) = dx Ω2 (E1 , E2 , E3 ) = 0, pues por (3) lo es Ω2 ; y no tiene radical por ser rad Ω2 =< Z >. (5)⇒(4) Las propiedades que caracterizan a Ω2 son: Ω2|t=t0 = ω2 y iZ Ω2 = 0 y ambas las satisface π ∗ (ω2 ); la segunda obviamente y la primera por el diagrama conmutativo Hr ≡T R3  'y Ur

i

−−→

X  π y

i

−−→ X

(4)⇒(5) Se sigue del diagrama conmutativo anterior. Definici´ on. Llamaremos simetr´ıa infinitesimal del sistema mecánico, a todo campo D ∈ D(R × T R3 ), tal que DL Ω2 = 0.

Lecci´ on 16. Espacios Homog´ eneos

79

Si D es una simetr´ıa infinitesimal y F es conservativa en cada instante DL Ω2 = dΩ2 = 0

⇒

d(iD Ω2 ) = DL Ω2 − iD dΩ2 = 0,

y por el Lema de Poincare, iD Ω2 = dh y a h se la llama invariante N¨ oether de D, que es una integral primera de Z, pues Zh = dh(Z) = Ω2 (D, Z) = 0, adem´ as h = ϕ∗ h, pues h es constante en las o´rbitas de Z. Ahora en el caso particular de que F no dependa de t, ni el potencial u ni la energ´ıa E dependen de t y se sigue de la expresi´ on en coordenadas de Ω2 , que ∂t es una simetr´ıa infinitesimal cuyo invariante Nöether es la energ´ıa E, que al ser integral primera de Z define una función en el cociente E y como X X Fi (x) ∂ ∂ ∂ Z− = zi + , ∂t ∂xi m ∂zi es un campo que Z deja invariante, se proyecta en un campo Z, para el que iZ ω2 = −dE.

16.

Espacios Homog´ eneos

Definici´ on. Una variedad X se llama espacio homogéneo de un grupo de Lie G si hay una acci´ on transitiva de G en X . Ejemplo 16.1 Rn − {0} es un espacio homogéneo de Gln (R) Ejemplo 16.2 Sn−1 es un espacio homogéneo de On . Corolario 16.3 Si una acci´ on θ : G × X → X es transitiva, el homeomorfismo de (13.8) φ : G/Ix −→ X , es un G–difeomorfismo. Demostraci´ on. Es consecuencia de (15.6).

80

Grupos de Lie

Nota 16.4 De este resultado se sigue que si tenemos una acción transitiva (conjuntista) de un grupo de Lie G en un conjunto X θ : G × X −→ X , y existe una estructura diferenciable en X , para la que θ sea diferenciable esta es u ńica. Adem´ as si el grupo de isotrop´ıa Ix de alg´ un x ∈ X es cerrado, entonces tal estructura diferenciable en X es la de G/Ix . Esto nos permite construir variedades diferenciables como ponen de manifiesto los siguientes ejemplos. Ejemplo 16.5 El espacio proyectivo. Consideremos el conjunto Pn (R) de las rectas [x] pasando por el origen de Rn+1 , en el que act´ ua transitivamente el grupo G = Sl(n + 1, R) (A, [x]) −→ [Ax], la cual hace conmutativo el diagrama G × Rn+1  \{0}  y G × Pn (R)

−→ −→

Rn+1\{0}  y Pn (R)

(A, x) −→  y (A, [x]) −→

Ax   y [Ax]

El subgrupo de isotrop´ıa Ir ⊂ Sl(n + 1, R), del punto r = [e1 ] ∈ Pn (R) es {A ∈ Sl(n + 1, R) : x21 = · · · = xn+1,1 = 0} = = {A ∈ Mn+1 (R) : det A = 1, x21 = · · · = xn+1,1 = 0}, una subvariedad cerrada, por tanto subgrupo de Lie. Se sigue que la estructura diferenciable del espacio proyectivo es la de Sl(n + 1, R)/Ir . Ejemplo 16.6 Las variedades de Grassman. Consideremos el espacio G(k, n) de los subespacios de dimensi´ on k de Rn al que vamos a dotar de una estructura diferenciable de una forma natural. Consideremos la acci´ on natural de Gln (R) en Rn , la cual es transitiva en Rn −{0} e induce una acci´ on transitiva Gln (R) × G(k, n) −→ G(k, n),

Lecci´ on 16. Espacios Homog´ eneos

81

ahora bien el subgrupo de isotrop´ıa H del elemento de G(k, n) que corresponde al subespacio k dimensional generado por e1 , . . . , ek {(x1 , . . . , xk , 0, . . . , 0) ∈ Rn }, est´ a formado por las matrices

A B , 0 C

donde A ∈ Gl(k, R), C ∈ Gl(n−k, R) y B es arbitraria, y es un subgrupo de Lie cerrado, por lo tanto Gln (R)/H, tiene una estructura natural de variedad diferenciable que podemos trasladar a G(k, n), pues son biyectivos. Se llaman variedades de Grassman a los G(k, n) con esa estructura diferenciable (para otra descripci´ on ver el Warner, p.129). Ejemplo 16.7 Consideremos el grupo de Lie SO(n + 1, R) = {A ∈ Gl(n + 1, R) : det A = 1, At A = I}, actuando sobre Sn = {x ∈ Rn+1 : kxk = 1}, mediante θ : SO(n + 1, R) × Sn −→ Sn ,

θ(A, x) = Ax,

la cual es transitiva y el subgrupo de isotrop´ıa de en+1 es isomorfo a SOn (R), por tanto Sn ∼ SO(n + 1, R)/ SOn (R). Ejemplo 16.8 Sea X = {A ∈ Gl2n (R) : A2 = −I} y consideremos la acci´ on θ : Gl2n (R) × X −→ X , θ(A, B) = ABA−1 , la cual es transitiva y el grupo  0 1   J =  ...  0 0

de isotrop´ıa de −1 0 .. .

··· ··· .. .

0 0 .. .

0 0

··· ···

0 1

0 0 .. .



     −1 0

que corresponde a multiplicar por i en Cn (= R2n ), es Gln (C) y X ∼ Gl2n (R)/Gln (C).

82

17.

Grupos de Lie

El fibrado normal

A lo largo de esta lecci´ on consideraremos (X , T2 ) una variedad Riemanniana Hausdorff e Y una subvariedad suya. Definici´ on. Llamaremos Fibrado normal a Y, a la subvariedad diferenciable n–dimensional del fibrado tangente [ NY|X = {Dy ∈ T (X ) : y ∈ Y, Dy ⊥ Ty (Y)} = Ty (Y)⊥ , y∈Y

con la aplicaci´ on diferenciable π : NY|X −→ Y,

Dy −→ y,

para la cual consideramos la secci´ on 0 s0 : Y −→ NY|X ,

y −→ 0y ,

y la subvariedad del fibrado normal Yb = s0 (Y) difeomorfa a Y. Veamos que realmente NY|X es una subvariedad diferenciable del fibrado tangente T (X ), para ello consideremos un Dy ∈ NY|X ⊂ T (X ) y sea y = π(Dy ). Consideremos un entorno coordenado Vy ⊂ X , con coordenadas (xi ), tal que Y ∩ Vy = {xm+1 = 0, . . . , xn = 0}, por tanto (x1 , . . . , xm ) son coordenadas en ese abierto de Y y en sus puntos las ∂x1 , . . . , ∂xm son tangentes a Y. Consideremos ahora el proceso de Gramm–Schdmitz para construir a partir de la base de campos ∂ ∂ ,..., ∈ D(Vy ), ∂x1 ∂xn una base D1 , . . . , Dn ortonormal —es decir T2 (Di , Dj ) = δij — y tal que cada < D1 . . . , Di >=<

∂ ∂ ,..., >, ∂x1 ∂xi

Di =

i X j=1

fij

∂ , ∂xj

por tanto para cada p ∈ Y ∩ Vy , D1p , . . . , Dmp ∈ Tp (Y),

Dm+1p , . . . , Dnp ∈ Tp (Y)⊥ ,

y ambas son bases de dichos espacios.

83

Lecci´ on 17. El fibrado normal

Consideremos ahora el sistema de coordenadas (xi , zi ) en el abierto coordenado Wy = π −1 (Vy ) de T (X ), para zi (D) = Dxi , para cada D ∈ Wy y consideremos las nuevas funciones en ese abierto, para i = 1, . . . , n,   n i X X wi (D) = T2 (D, Di ) ⇒ wi = zk  fij gkj  , k=1

j=1

en cuyos términos tenemos que (xi , wi ) son también sistema de coordenadas en Wy y se tiene que NY|X ∩ Wy = {xm+1 = 0, . . . , xn = 0, w1 = 0, . . . , wm = 0}, por tanto es subvariedad y dicho abierto tiene coordenadas (x1 , . . . , xm , wm+1 , . . . , wn ), en cuyos términos se tiene que Yb ∩ NY|X ∩ Wy = {wm+1 = 0, · · · , wn = 0}.

17.1.

El Teorema del entorno tubular.

Consideremos ahora el campo geodésico, Z ∈ D[T (X )] y su grupo uniparamétrico τ : WZ ⊂ R × T (X ) −→ T (X ), para el que se tiene que τ (tr, Dp ) = τ (t, rDp ) y gDp (t) = π[τ (t, Dp )], es la geodésica que pasa por p = π(Dp ) en t = 0 y en él tiene vector tangente Dp . Recordemos que exp(Dp ) = g(1, Dp ) si (1, Dp ) ∈ WZ . Consideremos ahora el conjunto abierto A = {Dp ∈ T (X ) : (1, Dp ) ∈ WZ }, y la aplicaci´ on diferenciable φ, definida en el abierto del fibrado normal N = A ∩ NY|X y composici´ on de N Dy

,→ →

A Dy

,→ →

τ

WZ − → (1, Dy ) −→

π

T (X ) − → τ (1, Dy ) −→

X π[τ (1, Dy )],

por tanto φ(Dy ) = exp(Dy ), aunque preferimos cambiarle el nombre, para que no haya equ´ıvocos en su dominio.

84

Grupos de Lie

Teorema 17.1 La aplicaci´ on φ : N → X es difeomorfismo local en los b puntos de la subvariedad Y. Demostraci´ on. NY|X y X tienen la misma dimensión n, veamos b Sea s0 (y) = 0y ∈ Y, b que φ∗ lleva base en base en los puntos de Y. y consideremos un entorno coordenado suyo Wy ; (xi , wi ) en el fibrado tangente, para el que NY|X ∩ Wy = {xm+1 = 0, . . . , xn = 0, w1 = 0, . . . , wm = 0}, es subvariedad con coordenadas (x1 , . . . , xm , wm+1 , . . . , wn ), en estos términos se tiene que (para xi (0y ) = yi y wi (0y ) = 0) xj [φ(y1 , . . . , yi + , . . . , ym , 0, . . . , 0)] − xj [y] ∂ xj = l´ım φ∗ →0 ∂xi 0y = δij = φ∗

∂ ∂wi

xj = l´ım 0y

→0

= l´ım

→0

∂ xj , ∂xi y

xj [φ(y1 , . . . , ym , 0, . . . , , . . . , 0))] − xj [y] xj [φ(Diy )] − xj [y]

= (xj ◦ gDiy )0 (0) = gDiy ∗

∂ ∂t

xj = Diy xj , 0

pues φ(0p ) = p y φ(Diy ) = πτ (1, Diy ) = πτ (, Diy ) = gDiy (). Veremos a continuaci´ on que si Y es compacta entonces podemos reb tal que φ : N → φ(N ) sea difeoducir el abierto N , conteniendo a Y, morfismo. Pero antes necesitamos un resultado previo. Lema 17.2 Si X1 , X2 son espacios topol´ ogicos, K1 ⊂ X1 y K2 ⊂ X2 son compactos y W es un abierto de X1 × X2 tal que K1 × K2 ⊂ W , entonces existen abiertos U1 ⊂ X1 y U2 ⊂ X2 , tales que K1 × K2 ⊂ U1 × U2 ⊂ W . Demostraci´ on. Sea x ∈ X1 , entonces {x} × K2 es compacto por ser imagen continua de K2 por y ∈ X2 → (x, y) ∈ X1 × X2 , y si elegimos para cada punto suyo (x, y) un entorno abierto Ux × Vy ⊂ W , podremos extraer de estos un subrecubrimiento finito y considerar U x = ∩Ux — que es entorno abierto de x— y V x = ∪Vy —que es un entorno abierto

Lecci´ on 17. El fibrado normal

85

de K2 —, por tanto {x} × K2 ⊂ U x × V x ⊂ W . Ahora como los U x , para x ∈ K1 , recubren a K1 , podremos extraer un subrecubrimiento finito y para estos considerar U1 = ∪U x y U2 = ∩V x . Teorema 17.3 Si Y es compacta entonces existe un abierto U ⊂ N , tal que Yb ⊂ U y un abierto V ⊂ X , tal que Y ⊂ V , tales que φ : U −→ V, es difeomorfismo. Demostraci´ on. Si en un punto φ es difeomorfismo local, lo es en un entorno del punto, por tanto podemos considerar el abierto A ⊂ N , en b Ahora basta el que φ es difeomorfismo local, el cual es un entorno de Y. encontrar un abierto U , en el que φ sea inyectiva y tal que Yb ⊂ U ⊂ A, pues en tal caso φ(U ) ⊂ X es abierto y φ : U → φ(U ) es difeomorfismo. En primer lugar el conjunto W = {(x, y) ∈ A × A : x = y

o φ(x) 6= φ(y)}, ´

es abierto, pues si (x, y) ∈ W , siendo x = y, entonces como φ es difeomorfismo local en x, existe un abierto Ux ⊂ A entorno de x, en el que φ es inyectiva y por tanto Ux × Ux ⊂ W , y si x 6= y, entonces φ(x) 6= φ(y) y existen entornos disjuntos suyos en X , cuyas contraimágenes, Ux y Uy verifican Ux × Uy ⊂ W . Por otro lado Yb × Yb ⊂ W y aplicando el Lema anterior tendremos que existe un abierto U ⊂ A, tal que Yb × Yb ⊂ U × U ⊂ W ⊂ A × A, y en definitiva Yb ⊂ U ⊂ A y en él φ es inyectiva. Teorema del entorno tubular 17.4 Si Y es compacta existe un > 0, y un abierto X de X , que contiene a Y, tales que φ : N = {Dy ∈ NY|X : T2 (Dy , Dy ) < } −→ X , es difeomorfismo. Demostraci´ on. Para cada 0y ∈ Yb consideremos un abierto coordenado Uy ⊂ NY|X , entorno de 0y , con el difeomorfismo correspondiente

86

Grupos de Lie

definido al comienzo de la lecci´ on, F = (x1 , . . . , xm , wm+1 , . . . , wn ), F

Uy − → V n ⊂ Rn ,

0y → F (0y ) = (y1 , . . . , ym , 0, . . . , 0).

Adem´ as podemos suponer que Uy est´ a en el abierto U del resultado anterior —pues basta considerar U ∩ Uy — y podemos encontrar un abierto Vm ⊂ Rm , entorno de (y1 , . . . , ym ) y un y > 0, tales que X F (Uy ) = Vm × {(wm+1 , . . . , wn ) : wi2 < y }, y sus elementos D con coordenadas (xi , wi ) satisfacen n X X X T2 (D, D) = T2 ( wi Di , wi Di ) = wi2 < y . i=m+1

Ahora recubriendo el compacto Yb por estos abiertos podemos extraer un subrecubrimiento finito Uyj y para = m´ın{j }, tendremos que N = {Dy ∈ NY|X : T2 (Dy , Dy ) < } ⊂ ∪j Uyj , es un abierto de U que contiene a Yb y el resultado se sigue del teorema anterior.

18.

La acci´ on en el fibrado normal

Consideremos la acci´ on en una variedad diferenciable X θ : G × X −→ X , con G un grupo de Lie compacto. Entonces por (??), (pág.??) la órbita Y = Gx es una subvariedad compacta de X en la que act´ ua el grupo por la acci´ on G × Y −→ Y, (g, hx) −→ (gh)x. El grupo también act´ ua en el fibrado tangente por θ : G × T (X ) −→ T (X ),

(g, Dx ) −→ θg∗ Dx ,

es f´ acil ver que la aplicaci´ on es diferenciable y acción y que π : T (X ) → X es G–morfismo. A menudo escribiremos por comodidad gDx en lugar de θg∗ Dx

Lecci´ on 18. La acci´ on en el fibrado normal

87

A continuaci´ on veremos c´ omo podemos construir una métrica Riemanniana T2 en la variedad de tal forma que los difeomorfismos θg : X −→ X ,

x −→ gx,

para g ∈ G, sean isometr´ıas. Para ello tenemos que considerar —si m = dim G—, una m–forma invariante en G que construimos a continuación.

18.1.

La medida de Haar.

Consideremos una base Die ∈ Te (G), i = 1, . . . , m, y su extensión a la correspondiente base de campos invariantes por la derecha D1 , . . . , Dm ∈ DG , consideremos ahora su base dual ω1 , . . . , ωm ∈ Ω, las cuales también son invariantes por la derecha, pues para i = 1, . . . , m y g ∈ G, Rg∗ ωi (Dj ) = ωi (Rg∗ Dj ) = ωi (Dj ) = δij , por tanto Rg∗ ωi = ωi . Consideremos ahora la m–forma que llamaremos de Haar Λ = ω1 ∧ · · · ∧ ωm , la cual es no nula (por tanto todo grupo de Lie es orientable) e invariante por la derecha, pues para toda g ∈ G, Rg∗ Λ = (Rg∗ ω1 ) ∧ · · · ∧ (Rg∗ ωm ) = Λ.

18.2.

Construcci´ on de una m´ etrica Riemanniana invariante.

Consideraremos en X una métrica cualquiera T 2 , entonces para cada x ∈ X y Dx , Ex ∈ Tx (X ), la funci´ on f (g) = (T 2 )gx (gDx , gEx ), es diferenciable, pues es la composici´ on G −→ T (X ) ×X T (X ) −→ R,

g → (gDx , gEx ) → (gDx )(gEx ),

observemos que si en T (X ) consideramos coordenadas (xi , zi ) y las subimos a T (X ) × T (X ), (xi , zi ; x0i , zi0 ), entonces localmente T (X ) ×X T (X ) es xi = x0i y tiene (xi , zi , zi0 ), en cuyos términos la segunda apliP coordenadas caci´ on es zi zj0 gij , para gij = ∂xi · ∂xj . Ahora, componiéndo f con un difeomorfismo Rh : G → G, para h ∈ G, obtenemos una función del mismo tipo, para el punto hx ∈ X y los vectores Rh∗ Dx , Rh∗ Ex ∈ Thx (X ).

88

Grupos de Lie

Ahora basta definir la nueva métrica Z Z T2 (Dx , Ex ) = f Λ = (T 2 )gx (gDx , gEx )Λ, G

G

la cual es invariante pues para cualquier h ∈ G θh∗ T2 (Dx , Ex ) = T2 (hDx , hEx ) Z = (T 2 )ghx [(gh)Dx , (gh)Ex ]Λ ZG Z Z ∗ ∗ = (Rh f )Λ = Rh (f Λ) = fΛ G

G

G

= T2 (Dx , Ex ).

18.3.

La acci´ on sobre el Fibrado normal.

Ahora considerando esta métrica Riemanniana tenemos que el grupo también act´ ua en el fibrado normal por la acción θ : G × NY|X −→ NY|X ,

(g, Dy ) −→ gDy ,

que est´ a bien definida por ser la métrica invariante, pues para cada g ∈ G, θg : X → X es una isometr´ıa que lleva la subvariedad Y = Gx en Y, por tanto θg∗ [Ty (Y)] = Tgy (Y), de donde Dy ∈ Ty (Y)⊥

⇒

gDy ∈ Tgy (Y)⊥

⇒

gDy ∈ NY|X ,

adem´ as trivialmente es acci´ on y es diferenciable por (1.10), pág.10, y por ser diferenciable la acci´ on en el fibrado tangente. En estos términos tenemos el siguiente resultado. Teorema 18.1 N y X son G–variedades y el difeomorfismo del teorema del entorno tubular, φ : N → X , es un G–difeomorfismo. Demostraci´ on. Se tiene que conmuta el diagrama G ×N  y

− →

θ

N   y

G × X

− →

θ

X

(g, Dy )  y (g, φ(Dy ))

−→ −→

gD y  y g[φ(Dy )] = φ(gDy )

lo cual es consecuencia de que las θg : X → X son isometr´ıas y por tanto llevan geodésicas en geodésicas, ahora bien si denotamos con GDy la

Lecci´ on 19. El espacio de ´ orbitas

89

geodésica que pasa por y y en él tiene vector tangente Dy , tendremos que θg [GDy ] es la geodésica que pasa por gy y en él tiene vector tangente gDy , es decir θg [GDy ] = GgDy , ahora bien como φ(Dy ) = GDy (1), se sigue que θg [φ(Dy )] = θg [GDy (1)] = GgDy (1) = φ(gDy ), y el diagrama es conmutativo.

19.

El espacio de o ´rbitas

Consideremos la acci´ on en una variedad diferenciable X θ : G × X −→ X , con G un grupo de Lie compacto. Entonces hemos visto en (15.6) (pág.72) que cada ´ orbita Gx es una subvariedad compacta, para la que se tiene el difeomorfismo G/Ix −→ Gx, [g] −→ gx. En general el espacio de ´ orbitas X /G, con la topolog´ıa cociente no es una variedad diferenciable, sin embargo en esta lección veremos que podemos hacer una partici´ on de este espacio en distintas familias de órbitas, que llamaremos estratos de modo que cada estrato sea una variedad diferenciable.

19.1.

Tipo de isotrop´ıa.

Observemos que dos puntos de una misma órbita Gx tienen grupos de isotrop´ıa conjugados, pues Igx = {h ∈ G : h(gx) = gx} = {h ∈ G : g −1 hgx = x} = gIx g −1 , y que si dos puntos x, z ∈ X tienen grupos de isotrop´ıa conjugados entonces sus o ´rbitas son difeomorfas, pues Ix = gIz g −1 = Igz

⇒

Gx ∼ G/Ix = G/Igz ∼ Gz.

Definici´ on. Llamamos tipo de isotrop´ıa de un punto x ∈ X , al par de n´ umeros naturales (con el segundo estrictamente positivo) τ : X → T = N × N+ , τ (x) = (dim Ix , n´ umero de componentes conexas de Ix ).

90

Grupos de Lie

Observemos que el n´ umero de componentes conexas es finito pues son abiertos del grupo de Lie compacto Ix . Seg´ un hemos dicho dos puntos de una misma órbita Gx tienen subgrupos de isotrop´ıa conjugados, en particular difeomorfos y por tanto son del mismo tipo de isotrop´ıa, por tanto son las órbitas más que los puntos las que tienen tipo de isotrop´ıa. Lema 19.1 Si φ : X1 → X2 es un G–difeomorfismo, entre G–variedades, entonces para todo x ∈ X1 , Ix = Iφ(x) . Demostraci´ on. Es obvio pues φ(gx) = gφ(x). Lema 19.2 Sean x ∈ X y Dx ∈ Tx (X ), entonces τ (Dx ) = τ (x)

⇔

IDx = Ix

⇔

Ix ⊂ IDx .

Demostraci´ on. La segunda equivalencia es trivial pues siempre se tiene IDx = {g ∈ G : gDx = Dx } ⊂ Ix , en cuanto a la primera, “⇐.es por definici´ on y “⇒”se sigue de la inclusión anterior y por tanto como τ (Dx ) = τ (x) ambos tienen igual dimensión y el subgrupo IDx es un abierto del grupo Ix y por (4.3) es cerrado, por tanto est´ a formado por unas cuantas componentes conexas de él, pero tienen igual n´ umero de componentes conexas, por tanto son iguales. Teorema 19.3 Sea t ∈ T , entonces el conjunto X t = τ −1 (t), de los puntos que tienen tipo t es una subvariedad (formada por o ´rbitas). Demostraci´ on. Sea x ∈ X t , queremos encontrar un entorno suyo que se corte con X t en una subvariedad. Consideremos el G–difeomorfismo de (18.1), φ : N → X , para la ´ orbita Y = Gx, tal que φ(0x ) = x. Como por (19.1) el tipo es invariante por φ, basta demostrar que existe un entorno de v = 0x , que se corta con {Dy ∈ N : τ (Dy ) = t}, en una subvariedad del fibrado normal ´ o m´ as generalmente con N t = {Dy ∈ NY|X : τ (Dy ) = t}.

91


Consideremos el subespacio vectorial (por la segunda igualdad) Nxt = {Dx ∈ Tx (Y)⊥ : τ (Dx ) = t = τ (x)}, = {Dx ∈ Tx (Y)⊥ : ∀g ∈ Ix , gDx = Dx },

(por (19.2))

una secci´ on local σ : Vy → G, de la proyecci´ on regular θx : G → Y, con Vy entorno abierto de un y ∈ Y (ahora s´ olo necesitamos el caso y = x, pero en el siguiente corolario necesitaremos lo que viene a continuación para todo y); y la composici´ on θ

Vy × Tx (Y)⊥ ,→ G × NY|X − → NY|X , cuya imagen es el abierto del fibrado π −1 (Vy ) y sobre él es un difeomorfismo Vy × Tx (Y)⊥ −→ π −1 (Vy ), (z, Dx ) → σ(z)Dx , pues tiene inversa diferenciable ya que su primera componente es π y la segunda es, para τ = σ ◦ π, la composici´ on (τ,id)

π −1 (Vy ) −−−→ Dp → −

G × π −1 (Vy ) → − (σ(p) = g, Dp ) → −

G × NY|X (g −1 , Dp )

θ

− → → −

NY|X g −1 Dp

siendo g −1 Dp ∈ Tx (Y)⊥ , pues p = θx σ(p) = gx, es decir g −1 p = x. Ahora como Vy × Nxt es una subvariedad de Vy × Tx (Y)⊥ el resultado se sigue, pues su imagen es N t ∩ π −1 (Vy ). Corolario 19.4 La aplicaci´ on Y × Nxt −→ N t ,

(gx, Dx ) → gDx ,

es un difeomorfismo. Demostraci´ on. Primero hay que ver que está bien definida, es decir que si gx = hx (es decir h−1 g ∈ Ix ), entonces gDx = hDx (es decir h−1 g ∈ IDx ), lo cual se sigue de (19.2), pues τ (Dx ) = t = τ (x), por tanto IDx = Ix . Por otro lado tiene inversa y por u ´ltimo en el resultado anterior hemos visto que localmente es difeomorfismo, por tanto lo es globalmente.

92

Grupos de Lie

19.2.

Variedad cociente.

Consideremos las siguientes acciones G × (Y × Nxt ) −→ Y × Nxt , t

t

G × N −→ N ,

(g, (y, Dx )) → (gy, Dx ), (g, Dy )) → gDy ,

en estos términos se tiene. Teorema 19.5 El difeomorfismo Y × Nxt → N t del resultado anterior es un G–difeomorfismo. Demostraci´ on. Es obvio. Lema 19.6 Sean X1 y X2 G–variedades y φ : X1 −→ X2 un G–difeomorfismo, entonces existe una de las variedades diferenciables cociente Xi /G si y s´ olo si existe la otra y son difeomorfas. Demostraci´ on. Es obvio. Teorema 19.7 Existe el cociente geométrico X t /G. Demostraci´ on. Por el corolario (15.4) del teorema de Godement basta ver que la relaci´ on de equivalencia Rt = R ∩ (X t × X t ) es una t subvariedad de X × X t . Sea (x, y) ∈ Rt y X el entorno del teorema del entorno tubular para la ´ orbita Y = Gx, que contiene a x e y. Ahora por una parte existe el cociente geométrico (Y × Nxt )/G y es π : Y × Nxt −→ Nxt ,

π(y, Dx ) = Dx ,

pues π es proyecci´ on regular y cada fibra π −1 (Dx ) es una órbita, la de (x, Dx ), ya que G · (x, Dx ) = {(gx, Dx ) : g ∈ G} = Y × {Dx } = π −1 (Dx ). Por otra parte, como consecuencia de los resultados anteriores también existe el cociente geométrico N t /G, por tanto el de (X t ∩ X )/G = (N t ∩ N )/G, y por Godement Rt ∩ (X × X ) = R ∩ [(X t ∩ X ) × (X t ∩ X )] es una subvariedad de X t × X t .


93

Lema 19.8 Sea π : U → V una proyecci´ on regular cerrada y con fibras compactas (i.e. propia) entonces para todo y ∈ V existe un abierto entorno de y cuyos puntos tienen fibras difeomorfas. En particular si V es conexo sus fibras son difeomorfas. Demostraci´ on. Consideremos en U una métrica Riemanniana, entonces todo campo tangente D ∈ D(V) (con grupo uniparamétrico σ : W → ˜ ∈ D(U) (con grupo σ ˜ → U), V) tiene una u ńica subida can´ onica D ˜: W ˜ = D y para cada x ∈ U, y = π(x) y Fy = π −1 (y), tal que π∗ D ˜ x ∈ Tx (Fy )⊥ . D Ahora para cada x ∈ Fy , existe un entorno abierto de (0, x), (−x , x )× ˜ y como los Ux son un recubrimiento abierto del compacto Fy , Ux ⊂ W podemos tomar un subrecubrimiento finito y definir su unión U y considerar el m´ınimo de los x correspondientes. Ahora como Fy ⊂ U , π(U c ) es un cerrado que no contiene a y, por tanto existe un entorno abierto de y, Vy disjunto de π(U c ) y por tanto π −1 (Vy ) ⊂ U y ˜ (−, ) × π −1 (Vy ) ⊂ W, lo cual implica que para todo t ∈ (−, ), ˜ π −1 (Vy ) ⊂ Ut = {p ∈ U : (t, p) ∈ W}, ˜ = D, por otra parte como π∗ D π◦σ ˜t = σt ◦ π, en el abierto Ut , por tanto por un lado π◦σ ˜x = σy : (−, ) → V, y podemos encoger si es necesario el para que σy (−, ) ⊂ Vy ; y por otro lado si x ∈ Fy , σ ˜t (x) ∈ Fσt (y) , es decir σ ˜t (Fy ) ⊂ Fσt (y) , y para t ∈ (−, ), se da la igualdad pues σ ˜t : Ut → U−t es un difeomorfismo y Fσt (y) ⊂ π −1 (Vy ) ⊂ U−t y aplicando σ−t Fy ⊂ σ ˜−t (Fσt (y) ) ⊂ Fy , por tanto las fibras Fσy (t) son difeomorfas para t ∈ (−, ) y por conexión para todo t en el dominio de σy . Ahora como lo anterior es cierto para

94

Grupos de Lie

todo campo, basta tomar un entorno coordenado de y y los campos traslaci´ on, tendr´ıamos que las fibras del entorno son difeomorfas. Ahora si V es conexo basta considerar los puntos con fibras difeomorfas a Fy , que forman un abierto y su complementario también, por tanto es vac´ıo.

Teorema 19.9 Sea Z ⊂ X una subvariedad G–invariante, para la que existe cociente conexo Z/G, entonces existe un t ∈ T tal que Z ⊂ X t . Demostraci´ on. Basta demostrar que para z ∈ Z, los Iz son difeomorfos. Ahora por (15.4) φ : G × Z → RZ = R ∩ (Z × Z),

φ(g, x) = (gx, x),

es proyecci´ on regular, adem´ as es propia pues sus fibras son compactas, es m´ as para cada compacto K ⊂ RZ , φ−1 (K) es compacto pues es un cerrado del compacto G × π2 (K); y φ es cerrada, pues si C ⊂ G × Z es cerrado y x ∈ φ(C), tomando un compacto Kx entorno de x, tendr´ıamos que Kx ∩ φ(C) 6= ∅ y φ−1 (Kx ) es compacto, por tanto también es compacto y por tanto cerrado la imagen del compacto φ[φ−1 (Kx ) ∩ C] = Kx ∩ φ(C) = V c , y V es un abierto tal que V ∩Kx ∩φ(C) = ∅, por tanto x ∈ / V y x ∈ φ(C), por tanto φ(C) es cerrado. Se sigue del lema anterior que dado z ∈ Z existe un entorno de (z, z) ∈ RZ , cuyos puntos tienen fibras difeomorfas, por tanto existe un entorno de z, Uz ⊂ Z tal que para z 0 ∈ Uz , Iz0 × {z 0 } = φ−1 (z 0 , z 0 ) son difeomorfas. Por tanto el conjunto de los z 0 ∈ Z con grupo de isotrop´ıa difeomorfo a Iz es un abierto U y su complementario también y ambos se proyectan por π en sendos abiertos disjuntos, por tanto π(U ) es el total y todos los puntos de z tienen grupos de isotrop´ıa difeomorfos y por tanto el mismo tipo.

19.3.

El espacio topol´ ogico de tipos de isotrop´ıa.

En el espacio de tipos T = N×N+ hay una topolog´ıa natural respecto de la que τ es continua. Seguimos considerando un grupo de Lie compacto G que act´ ua, θ : G × X → X , en la variedad X . Definici´ on. En T consideramos el orden entre tipos (m, n) < (m0 , n0 )

⇔

m < m0

o m = m0 , n < n0 , ´

95


y la topolog´ıa en el espacio de tipos T , tal que A ⊂ T es abierto si verifica (m, n) ∈ A

⇒

∀(a, b) < (m, n),

(a, b) ∈ A.

Teorema de continuidad 19.10 Con la topolog´ıa anterior, la aplicaci´ on τ : X → T , es continua. Demostraci´ on. Consideremos un x ∈ X , la órbita de ese punto Y = Gx y el G–difeomorfismo φ : N → X de (18.1). Entonces X es un entorno abierto de x y si z ∈ X , con z = φ(Dy ) e y = hx ∈ Y, Iz = IDy ⊂ Iy = Ihx ∼ Ix , lo cual implica que τ (z) ≤ τ (x). Se sigue que si V ⊂ T es abierto —por tanto de la forma {s ∈ T : s < t}—, τ −1 (V ) también lo es, pues si x ∈ τ −1 (V ), X ⊂ τ −1 (V ). Teorema 19.11 Se tienen las propiedades siguientes: 1) Todo x ∈ X tiene un entorno Ux que tiene un n´ umero finito de tipos de isotrop´ıa (τ (Ux ) es finito), por tanto si X es compacto, hay un n´ umero finito de tipos. 2) Si X = E es un espacio vectorial y para cada g ∈ G, θg : E → E es lineal, entonces hay un n´ umero finito de tipos de isotrop´ıa. Demostraci´ on. Haremos la demostraci´ on de los dos apartados a la vez por inducci´ on en n = dim X . Para n = 0 es obvio, pues en (2) E = {0} y en (1) cada punto tiene un entorno en el que sólo está él. Supongamos que ambos resultados son ciertos para n − 1 y veamos primero que (2) es v´ alido para n. Consideremos un producto escalar en E, G–invariante (su construcci´ on es como la de la lección (18.2), partiendo de un producto escalar cualquiera en E), por tanto con las θg isomorfismos isométricos y la acci´ on se restringe a la esfera unidad S, θ : G × S → S, que es una variedad n − 1 dimensional y por inducción tiene un n´ umero finito de tipos. Ahora bien por linealidad de las θg , para cada e ∈ S, Ie = Iλe , para todo λ ∈ R\{0}, de donde que τ (E\{0}) es finito y por tanto τ (E). Veamos ahora que (1) también se tiene. Sea x ∈ X y consideremos el G–difeomorfismo φ : N → X , de (18.1), para la orbita de x. Entonces basta ver que N tiene un n´ ´ umero finito de tipos, para lo cual basta ver que todo el fibrado normal, en el que el grupo act´ ua por la acci´ on θ : G × NY|X −→ NY|X ,

(g, Dy ) −→ gDy ,

96

Grupos de Lie

tiene un n´ umero finito de tipos. Ahora bien dado Dy ∈ NY|X existe g ∈ G, tal que gDy ∈ Tx (Y)⊥ = E y τ (Dy ) = τ (gDy ), por tanto basta demostrar que τ (E) es finito y aunque G no act´ ue en E, Ix s´ı además linealmente y para cada Dx ∈ E, IDx = {g ∈ G : gDx = Dx } = {g ∈ Ix : gDx = Dx }, y se sigue de (2) que τ (E) es finito. Teorema 19.12 Existe t = m´ın τ (X ) y X t es abierto, adem´ as es denso si X es conexo. Demostraci´ on. Consideremos el m = m´ın{dim Ix ∈ N : x ∈ X }, ahora para cada x con dim Ix = m, sea n(x) el n´ umero de componentes conexas de Ix y sea n = m´ın{n(x)}, entonces t = (m, n) ≤ τ (x) para todo x. Ahora X t es abierto, pues dado x ∈ X t , en el teorema de continuidad hemos visto que X es un entorno abierto de x, en el que t ≤ τ (X ) ≤ τ (x) = t, por tanto X ⊂ X t . Ahora veamos por inducci´ on en la dim X = n, que es denso. Para n = 0, es obvio pues es un punto por ser conexo. Supongamos que es cierto para n − 1 y ve´ amoslo para n. Veamos primero que para cada x hay un entorno abierto Ux y un ◦

u ńico tipo r, tal que Ux ∩ X r es denso en Ux . Para ello consideremos para Y = Gx, la subvariedad de dimensi´ on n − 1, S = {Dy ∈ NY|X : kDy k = /2} y como es conexa (salvo para dim Tx (Y)⊥ = 1, que tiene dos componentes conexas, pero para cada vector Dy de una, su opuesto −Dy —que tiene el mismo tipo—, est´ a en la otra), podemos aplicar la hip´ otesis y S tiene un estrato m´ınimo S r que es abierto denso en S, por tanto también lo es el abierto {λDy : λ 6= 0, Dy ∈ S} ⊂ N r en NY|X y ◦

N ∩ N r es denso en N y en definitiva pasando por el difeomorfismo φ, ◦

X ∩ X r es denso en el abierto Ux = X . Adem´ as el r es u ńico, pues si hay otro entorno abierto Vx y un tipo ◦

s, tales que Vx ∩ X s es denso en Vx , entonces como Ux es un entorno de ◦

x ∈ Vx , corta al abierto Vx ∩ X s y tomando un punto z de la intersección ◦

◦

y un entorno de él Vz ⊂ X s , debe cortar a Ux ∩ X r ), lo cual es absurdo porque habr´ıa un punto con dos tipos. De modo análogo se tiene que cada ◦

◦

punto x es adherente a un u ńico X r , pues si lo fuera a otro, x ∈ X s , ◦

tendr´ıamos que Ux ∩ X s 6= ∅ y para un punto z de este abierto y un

97

Lecci´ on 20. Ejemplos de espacios de o ´rbitas ◦

◦

entorno abierto suyo Uz ⊂ Ux ∩ X s , tendr´ıamos que como Ux ∩ X r es denso en Ux y z ∈ Ux , tiene que tener alg´ un punto de Uz , lo cual es ◦

absurdo pues ese punto tendr´ıa dos tipos. Por tanto las adherencias X s son disjuntas y abiertas por lo demostrado al principio. Por tanto como X t es abierto, tendremos por conexi´ on que X t = X .

20.

Ejemplos de espacios de o ´rbitas

Ejemplo 1.- Cociente de la variedad de cu´ adricas de A1 , por el grupo de las traslaciones. 1. La variedad de cu´ adricas. Una cu´ adrica de la recta af´ın consiste en un par de puntos definidos, en coordenadas cartesianas, por las ra´ıces de una ecuaci´ on cuadr´ atica ax2 +2bx+c = 0, por tanto pueden ser distintos o dobles y reales, imaginarios o del infinito. Por tanto la variedad de cu´ adricas es un plano proyectivo P2 , formado por las rectas [a, b, c]. 2. La acci´ on. El grupo G de las traslaciones de la recta af´ın, isomorfo a (R, +), opera de modo natural sobre la variedad de cuádricas P2 , pues para cada punto x (real ´ o imaginario) y cada traslación t tenemos el nuevo punto x + t —que es el mismo si x es el del infinito—, del siguiente modo t[a, b, c] = [a, b − ta, c − 2bt + at2 ], esto se comprueba f´ acilmente considerando que la traslación por t de la cu´ adrica ax2 + 2bx + c = 0 es a(x − t)2 + 2b(x − t) + c = 0. Es fácil probar que es una acci´ on. Veremos a continuaci´ on que aunque el grupo no es compacto, esencialmente los teoremas estudiados siguen siendo válidos. 3. Las ´ orbitas. La partici´ on en las subvariedades A = {a 6= 0} (en el que ambas ra´ıces son finitas), B = {a = 0, b 6= 0} (en el que una es el infinito y la otra −c/2b), y C = {p∞ = [0, 0, c]} (en el que ambas son el infinito), son G–invariantes. C est´ a formado por un u ńico punto p∞ , por tanto tiene cociente al igual que B que es una recta (sin el punto p∞ ), y el cociente también es un punto y en el abierto denso A podemos definir la funci´ on δ : A → R,

δ([a, b, c]) =

b2 − ac , a2

que es positiva si las ra´ıces que define son reales, en cuyo caso es el cuadra-

Figura 1: Los estratos A, B y C en el plano c = 1.

98

Grupos de Lie

do de la distancia entre las ra´ıces. Esta funci´ on satisface que dos cuádricas p = [a, b, c] y p0 = [a0 , b0 , c0 ] est´ an en la misma órbita si y sólo si δ(p) = δ(p0 ), pues para t = b/a − b0 /a0 , se tiene que b b2 − ac b02 − a0 c0 c0 c = ⇔ = − 2 t + t2 , a2 a02 a0 a a por tanto las ´ orbitas son las c´ onicas de P2 (sin el punto p∞ ) b2 − ac = λa2 ,

λ ∈ R,

y existe el cociente δ : A → A/G = R, pues por una parte δ es proyección regular, ya que en coordenadas (b, c) (en a = 1), δ(b, c) = b2 − c y δ∗ (∂c ) = −∂x y por otra las fibras son las ´ orbitas. 4. El espacio cociente. Existe cociente en cada una de las tres subvariedades A, B y C y son los estratos, en el sentido de que toda subvariedad conexa Z de P2 , que sea G–estable y su cociente Z/G admita estructura de variedad diferenciable de modo que π : Z → Z/G sea proyecci´ on regular, est´ a incluida en alguno de los tres. Observemos en primer lugar que si p∞ ∈ Z, entonces Z = {p∞ }, pues si hay un p ∈ A ∪ B en Z, la ´ orbita de p ser´ıa cerrado —por ser la contraimagen π −1 (π(p)) de un punto de una variedad, por tanto cerrado— y no lo es pues p∞ est´ a en su adherencia y no en la órbita. Ahora si p∞ ∈ / Z, entonces Z ⊂ A ∪ B = P2 − p∞ y el cociente es un subespacio topol´ ogico del espacio topol´ ogico cociente (P2 − p∞ )/G, que es ( 2 b −ac a2 , si a 6= 0, π : P2 − p∞ → (−∞, ∞], [a, b, c] → ∞, si a = 0, pues π es continua —π −1 (λ, ∞] = {b2 − ac > λa2 }—, es sobre y abierta —pues si U ⊂ P2 − p∞ es abierto, π(U ∩ A) = δ(U ∩ A) es abierto y si p ∈ U ∩ B hay un entorno conexo de p, V ⊂ U , que corta a A y π(V ) es un conexo de (−∞, ∞], que contiene puntos finitos y a ∞, por tanto un intervalo entorno de ∞—; ahora se sigue de (1.13) que la topolog´ıa es la cociente; y no es variedad topol´ ogica (a pesar de que los puntos de P2 − p∞ tienen el mismo tipo de isotrop´ıa). Se sigue que si ∞ ∈ π(Z), entonces Z = B y si no π(Z) ⊂ (−∞, ∞) y Z ⊂ A. 5. Campo tangente asociado a la acci´ on. La acción puede interpretarse como un grupo uniparamétrico (que en c = 1 es) b − at a , , τ (t, a, b) = 1 − 2bt + at2 1 − 2bt + at2

Lecci´ on 20. Ejemplos de espacios de o ´rbitas

99

cuyo campo tangente asociado 2xy

∂ ∂ + (2y 2 − x) , ∂x ∂y

tiene a p∞ = (0, 0) como u ńica singularidad y su linealización en este punto es el campo −x∂y , cuya matriz asociada es singular (lo que explica el car´ acter at´ıpico de las trayectorias del campo en la vecindad de p∞ ). Ejemplo 2.- Clasificaci´ on eucl´ıdea de los tri´ angulos 1. La variedad de tri´ angulos. Un tri´ angulo es una terna de puntos no ordenada ni alineada de R2 . La variedad de ternas ordenadas es R2 × R2 × R2 . La variedad de ternas ordenadas no alienadas es el abierto U de R2 × R2 × R2 formada por los puntos (a1 , a2 , a3 ) que, para ai = (xi , yi ) verifican   x1 x2 x3 det  y1 y2 y3  6= 0. 1 1 1 Tomando cociente por el grupo de las permutaciones S3 (que es finito luego compacto) se obtiene por (15.8) la variedad diferenciable (Hausdorff) de los tri´ angulos T := U/S3 , y una proyección regular U → T (que de hecho es un revestimiento), cuyas fibras tienen 6 elementos. 2. Las funciones longitud de un lado. Para cada triángulo t ∈ T , consideremos las longitudes d1 (t) ≥ d2 (t) ≥ d3 (t) de sus tres lados, ordenadas de mayor a menor, las cuales verifican: – La funci´ on di : T → R es continua (i = 1, 2, 3). – La funci´ on d1 : T → R es diferenciable en el abierto de T tal que d1 (t) 6= d2 (t). – La funci´ on d2 : T → R es diferenciable en todo t ∈ T escaleno. – La funci´ on d3 : T → R es diferenciable en todo t ∈ T tal que d3 (t) 6= d2 (t). Para probar lo anterior, consideramos las funciones fij : U → R, fij (a1 , a2 , a3 ) = d(ai , aj ) =

q

(xi − xj )2 + (yi − yj )2 ,

para d(ai , aj ) la distancia entre los puntos ai y aj , las cuales son diferenciables en todo U . Ahora como el supremo, el ´ınfimo y la suma de

100

Grupos de Lie

funciones continuas son continuas, lo son las funciones d1 = sup{f12 , f13 , f23 } : U → R, d3 = inf {f12 , f13 , f23 } : U → R, d2 = f12 + f13 + f23 − d1 − d3 : U → R, y son diferenciables en las regiones dadas, porque localmente coinciden con una de las funciones fij y como son constantes en las clases de equivalencia factorizan a través del cociente U → U/S3 = T . 3. El grupo de los movimientos del plano. Sea G el grupo de los movimientos r´ıgidos (ver (12.6)) del plano eucl´ıdeo, es decir biyecciones que conservan la distancia F : R2 → R2 ,

F (x) = Ax + b,

con A ∈ O2 y b ∈ R2 , el cual es un subgrupo de Lie cerrado del grupo de las afinidades del plano. Podemos definir en la variedad de tri´ angulos T la acción natural G×T →T,

(F, {a1 , a2 , a3 }] → {F (a1 ), F (a2 ), F (a3 )}.

4. Construcci´ on del espacio cociente. Consideremos la aplicación continua ϕ = (d1 , d2 , d3 ) : T → R3 , entonces Z := Im ϕ = {(x, y, z) : y + z > x ≥ y ≥ z ≥ 0}, es el espacio topol´ ogico cociente T /G = Z, pues dos tri´ angulos tienen lados correspondientes de igual longitud si y s´ olo si existe un movimiento que transforma uno en otro (es decir est´ an en la misma ´ orbita) y podemos construir una secci´ on continua a la aplicaci´ on ϕ : T → Z, de la siguiente manera dadas las tres distancias Figura 2: El conjunto Z d1 , d2 , d3 , consideramos el tri´ angulo con vértices a = (0, 0), b = (0, d1 ) y c el u ńico con ordenada positiva que satisface d(a, c) = d3 y d(b, c) = d2 . Sin embargo no es variedad topol´ ogica, por tanto no hay cociente geométrico en todos los triángulos. Debemos por tanto estratificar, pero como el grupo de los movimientos no es compacto, simplificamos el problema considerando el subconjunto T0 de T de los tri´ angulos cuyo baricentro es el origen, el cual


101

es una subvariedad cerrada de T , para la que existe un difeomorfismo can´ onico T = T0 × R2 , que lleva cada tri´ angulo t con baricentro b(t) a (t − b(t), b(t)) y para H el subgrupo de G de las traslaciones existe el cociente T /H = T0 y es π1 : T = T0 × R2 → T0 . Ahora se verifica que una subvariedad Y de T es G–estable si y sólo ¯ con Y¯ subvariedad de T0 O2 –estable, pues por una parte si Y = π1−1 (Y), como tenemos la proyecci´ on φ : G → O2 , (A, b) → A y el correspondiente diagrama conmutativo G× T  (φ,π1 )y O2 × T0

− →

T π y 1 T0

→ −

(T,  t)  y (A, t − b(t))

−→ −→

T (t)  y A(t − b(t)),

pues A(t − b(t)) = A(t) − A(b(t)) = A(t) + b − A(b(t)) − b = T (t) − T [b(t)] = T (t) − b[T (t)], se tiene la implicaci´ on “ ⇐ ” y para ver “ ⇒ ” sea Y¯ = π1 (Y), que por el diagrama es O2 –estable y para ver que es ¯ y para ver subvariedad basta demostrar por (1.14) que Y = π1−1 (Y) esto sea t un tri´ angulo tal que π1 (t) = π1 (t0 ), con t0 ∈ Y, por tanto t0 − b(t0 ) = t − b(t) y t es una traslaci´ on de t0 y como Y es invariante por traslaciones, t ∈ Y. ¯ 2 , que hace conmutativo Adem´ as hay un homeomorfismo Y/G = Y/O el diagrama Y   π1 y Y¯

π

− → π ¯

− →

Y/G   y ¯ Y/O2

t −→   y t − b(t) −→

[t]   y [t − b(t)],

que est´ a bien definido es sobre y es continua por la propiedad universal del cociente y ser π ¯ ◦π1 continua y constante en las clases de equivalencia, ya que para T = (A, b), π ¯ (π1 [T (t)]) = π ¯ [T (t) − b(T (t))] = π ¯ [A(t) + b − b(A(t) + b)] =π ¯ [A(t) − b(A(t))] = π ¯ [π(t)], y es inyectiva pues si [t − b(t)] = [t0 − b(t0 )]

⇒

∃A ∈ O2 : t − b(t) = A(t0 − b(t0 )) = A(t0 ) − A(b(t0 ))

⇒

t = T (t0 )

⇒

[t] = [t0 ],

102

Grupos de Lie

para T = (A, b(t)−A(b(t0 ))) y también es abierta. Se sigue que Y → Y/G ¯ 2 es una proyección es una proyecci´ on regular si y s´ olo si Y¯ → Y/O regular. Por tanto la cuesti´ on se reduce a estratificar T0 respecto de la acción del grupo compacto O2 y esto nos lo da la teor´ıa estudiada. Veamos los tipos de isotrop´ıa de cada tri´ angulo t con baricentro en el origen. Si el tri´ angulo es equil´ atero, It tiene 6 elementos: la identidad, los giros de 120 y 240 grados y las tres simetr´ıas respecto de las tres alturas; si es is´ osceles tiene 2 elementos: la identidad y la simetr´ıa estándar y si es escaleno s´ olo la identidad. Por tanto hay tres estratos, de los cuales el segundo tiene dos componentes conexas seg´ un sea la base menor o mayor que los lados iguales. Se sigue que T descompone de modo u ńico en unión disjunta de las siguientes cuatro subvariedades a las que llamamos estratos y en las que hay cociente: — El estrato abierto Tes de los tri´ angulos escalenos. — El estrato Tis− de los tri´ angulos is´ osceles cuyo lado desigual es de menor longitud que la de los otros dos lados. — El estrato Tis+ de los tri´ angulos is´ osceles cuyo lado desigual es de mayor longitud que la de los otros dos lados. — El estrato cerrado Teq de los tri´ angulos equiláteros; y los cocientes de estos estratos son (d1 , d2 , d3 ) : Tes −→ {0 < z < y < x < y + z} ⊂ R3 , (d1 , d3 ) : Tis− −→ {0 < y < x} ⊂ R2 , (d1 , d3 ) : Tis+ −→ {0 < y < x} ⊂ R2 d1 : Teq −→ R+ . pues son proyecciones regulares y sus fibras son las clases de equivalencia y verifican que toda subvariedad conexa Y de T , que sea G–estable y su cociente Y/G admita estructura de variedad diferenciable de modo que Y → Y/G sea proyecci´ on regular, est´ a incluida en alg´ un estrato.


103

Ejercicios resueltos Ejercicio 1.9.- Sea ∆ una distribuci´ on involutiva en X y V un abierto coordenado como en el teorema de Frobenius. Demostrar que si H ⊂ V es una variedad integral (conexa), entonces est´ a en una franja, es decir existen ar+1 , . . . , an ∈ R, tales que H ⊂ {x ∈ V : ur+1 = ar+1 , . . . , un = an }. Demostraci´ on. Basta demostrar que xi = i∗ ui son constantes en H. Sea Dx ∈ Tx (H), entonces i∗ Dx ∈ ∆x =<

∂ ∂ ,..., > ∂u1 x ∂ur x

⇒

Dx xi = i∗ Dx ui = 0.

Ejercicio 2.5.- Demostrar que C∗ = C − {0} con el producto como operaci´ on es un grupo de Lie. Indicaci´ on. Probar que con el sistema de coordenadas dado por la identificaci´ on natural de C∗ con R2 −{0}, x+iy = (x, y), se tiene que las operaciones del grupo son (x1 , y1 ) · (x2 , y2 ) = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ), −y x , . (x, y)−1 = x2 + y 2 x2 + y 2 Ejercicio 2.6.- El cuerpo de los cuaterniones es el primer ejemplo (hist´ oricamente) de un cuerpo no conmutativo y consiste en un espacio vectorial real de dimensi´ on 4, con una base (1, i, j, k), cuyos elementos son de la forma a + bi + cj + dk, (a, b, c, d ∈ R), que se suman componente a componente y su producto satisface i2 = j 2 = k2 = −1, ij = −ji = k, jk = −kj = i y ki = −ik = j. Demostrar que los cuaterniones no nulos H4 , con el producto anterior y la estructura de variedad diferenciable dada por su biyecci´ on con R4 \{0}, es un grupo de Lie. (Ind.-) El producto y el paso al inverso son diferenciables pues (y1 + y2 i + y3 j + y4 k)(x1 + x2 i + x3 j + x4 k) = = y1 x1 − y2 x2 − y3 x3 − y4 x4 + + (y1 x2 + y2 x1 + y3 x4 − y4 x3 )i+ + (y1 x3 − y2 x4 + y3 x1 + y4 x2 )j+ + (y1 x4 + y2 x3 − y3 x2 + y4 x1 )k.

104

Grupos de Lie

(x1 + x2 i + x3 j + x4 k)−1 =

x1 − x2 i − x3 j − x4 k . x21 + x22 + x23 + x24

Observemos que también podemos identificar H4 con las matrices complejas no nulas de orden 2 del tipo a + bi −c − di c − di a − bi con el producto de matrices y esta aplicaci´ on es morfismo de grupos, por tanto el inverso es la matriz inversa. Ejercicio 3.7.- Demostrar que el grupo de las afinidades de un espacio af´ın n–dimensional An , sobre R, es un grupo de Lie. Demostraci´ on. Un espacio af´ın An sobre R es un conjunto sobre el que opera un R–espacio vectorial E n–dimensional, mediante una aplicaci´ on χ : An × E → An , χ(p, v) = p + v, tal que: (1) (p + v) + v 0 = p + (v + v 0 ), (2) p + v = p sii v = 0 y (3) dados dos puntos x, y ∈ An existe un u ńico v ∈ E tal que y = x + v. Una afinidad es una aplicaci´ on ϕ : An → An , para la que existe un isomorfismo φ : E → E, tal que si y = x + v, ϕ(y) = ϕ(x) + φ(v). Fijando un punto p ∈ An y una base v1 , . . . , vn del espacio vectorial asociado al espacio af´ın, podemos considerar coordenadas xi en el espacio af´ın, de tal modo que una afinidad ϕ : An → An en términos de coordenadas se expresa de la forma ϕ(x) = Ax + b, con A ∈ Gln (R) y b ∈ Rn . Adem´ as el espacio af´ın podemos considerarlo como un hiperplano xn+1 = 1 de un Rn+1 , en cuyo caso las afinidades son {A ∈ Gl(n + 1, R) : xn+1,j = 0, xn+1,n+1 = 1}.

Ejercicio 3.8.- Demostrar que el grupo de las proyectividades de un espacio proyectivo n–dimensional es un grupo de Lie. Demostraci´ on. El espacio proyectivo Pn (R) son las rectas pasando por el origen de Rn+1 , con la estructura de variedad diferenciable para la que es proyecci´ on regular la aplicaci´ on Rn+1 − {0} x

→ →

Pn (R)

Ahora todo automorfismo lineal T : Rn+1 → Rn+1 lleva rectas en rectas y por tanto define una aplicaci´ on T˜ : Pn (R) → Pn (R), para la que es conmutativo el diagrama T

Rn+1 − {0} ↓

− →

Pn

− →

T˜

Rn+1 − {0} ↓ Pn


105

El grupo de las proyectividades de Pn es PGl(Pn ) = {T : T ∈ Gln+1 }, con la composici´ on, por tanto tenemos una aplicaci´ on Gln+1 T

→ →

PGl(Pn ) T

que es homomorfismo de grupos por el diagrama anterior y para la que ⇔

T1 = T2

∃λ 6= 0, T1 = λT2

⇔

< T1 >=< T2 >,

siendo todas las implicaciones obvias salvo la primera “⇒” T1 = T2

⇒

< T1 (x) >=< T2 (x) >

⇒

T1 (x) = λ(x)T2 (x),

y λ(x) es constante pues tomando x e y independientes, también lo son T2 (x) y T2 (y) y λ(x + y)T2 (x) + λ(x + y)T2 (y) = λ(x + y)T2 (x + y) = T1 (x + y) = T1 (x) + T1 (y) = λ(x)T2 (x) + λ(y)T2 (y). Si ahora consideramos el espacio vectorial de las matrices Mn+1 y su espacio proyectivo correspondiente m = (n + 1)2 − 1 dimensional, tendremos la nueva proyecci´ on regular π : Mn+1 \{0} → Pm (Mn+1 ), y como Gln+1 es un subespacio abierto de Mn+1 \{0}, su proyecci´ on por π es un abierto A ⊂ Pm (Mn+1 ) —pues para el espacio proyectivo, A ⊂ Pm (Mn+1 ) es abierto si π −1 (A) es abierto, que en nuestro caso es Gln+1 —, y A se identifica con PGl(Pn ) por la biyecci´ on φ(< T >) = T˜, que est´ a bien definida y es inyectiva por las equivalencias anteriores, y obviamente es sobre. Con esta identificaci´ on tiene estructura de variedad diferenciable y π : Gln+1 → A ' PGl(Pn ), es proyecci´ on regular y es homomorfismo de grupos. Ahora que la operaci´ on (T, Q) → T Q−1 sea diferenciable se sigue de la existencia de secciones locales y el diagrama conmutativo Gln+1 ×  Gln+1  (π,π)y PGl(Pn ) × PGl(Pn )

µ

− → − →

Gl n+1 π y PGl(Pn )

Ejercicio 3.9.- Demostrar que S3 = {x ∈ R4 : kxk2 = 1}, con el producto del grupo H4 (de los cuaterniones no nulos) es grupo de Lie.

106

Grupos de Lie

Ind.- Podemos definir el conjugado de un cuaterni´ on z = x1 + x2 i + x3 j + x4 k ∈ H4 como z = x1 − x2 i − x3 j − x4 k, que corresponde en términos de matrices (ver el ejercicio (2.6)) a la matriz conjugada, y tiene la propiedad z1 z2 = z2 · z1 , pues x + y = x + y y como consecuencia es bilineal la aplicaci´ on Φ(z1 , z2 ) = z1 · z2 − z2 · z1 , y adem´ as se anula en los p √ vectores de la base. Ahora se tiene que para kzk2 = x21 + x22 + x23 + x24 = zz, si z ∈ S3 , z −1 = z ∈ S3 y si z1 , z2 ∈ S3 , entonces z1 z2 ∈ S3 , pues z1 z2 z1 z2 = z1 z2 z2 · z1 = 1, y S3 es subgrupo y subvariedad de H4 por tanto grupo de Lie. Ejercicio 3.10.- Demostrar que el grupo ortogonal On (R) = {A ∈ Gln (R) : At A = I} es un grupo de Lie. Soluci´ on. Consideremos la aplicaci´ on diferenciable F : X ∈ Gln (R) −→ Xt X ∈ Gln (R), entonces para cualesquiera A, X ∈ Gln (R) F ◦ RA (X) = F (XA) = At Xt XA = RA ◦ LAt ◦ F (X),

⇒

F ◦ RA = RA ◦ LAt ◦ F,

por lo tanto el rango de F∗ en I y en A coinciden, por tanto es constante. Como On es subgrupo se sigue de (3.2) que es grupo de Lie. Ejercicio 3.11.- Demostrar que el grupo ortogonal de signatura m, k Om,k (R) = {A ∈ Glm+k (R) : At EA = E} es un grupo de Lie, para In la identidad de Rn y Im 0 E= . 0 −Ik Soluci´ on. Consideremos la aplicaci´ on diferenciable F : X ∈ Glm+k (R) −→ Xt EX ∈ Glm+k (R),


107

entonces para cualquier B ∈ Glm+k (R) F ◦ RB = RB ◦ LBt ◦ F, por lo tanto el rango de F∗ en I y en B coinciden, por tanto es constante. Como Spm,k (n, R) = F −1 (E) es subgrupo se sigue de (3.2) que es grupo de Lie. Ejercicio 3.12.- Demostrar que el grupo simplético Sp2n (R) = {A ∈ Gl2n (R) : At JA = J} es un grupo de Lie, para J=

0 I

−I 0

.

Soluci´ on. Consideremos la variedad diferenciable V2n de las matrices reales de orden 2n hemisimétricas, es decir tales que At = −A, y la aplicaci´ on diferenciable F : X ∈ Gln (R) −→ Xt JX ∈ V2n , entonces para cualquier B ∈ Gln (R) F ◦ RB = RB ◦ LBt ◦ F, por lo tanto el rango de F∗ en I y en B coinciden, por tanto es constante. Como Sp2n (R) = F −1 (J) es subgrupo se sigue de (3.2) que es grupo de Lie. Ejercicio 3.13.- Demostrar que el grupo lineal especial Sln (R) = {A ∈ Gln (R) : det A = 1} es un grupo de Lie. Soluci´ on. Que es grupo de Lie se sigue de (3.3), pues la aplicaci´ on determinante F : Gln (R) −→ R∗ , F (A) = det A, es un morfismo de grupos, ya que det I = 1 y det(A · B) = det A · det B.

Ejercicio 3.14.- Demostrar que el grupo lineal especial ortogonal SOn (R) = {A ∈ On : det A = 1} es un grupo de Lie, que es (On )e .

108

Grupos de Lie

Soluci´ on. Para ver que es (On )e basta demostrar que es conexo pues es abierto y cerrado. Y es conexo porque todo elemento puede unirse por una curva continua a la matriz identidad. Ejercicio 5.13.- Demostrar que el a ´lgebra de Lie del grupo de los cuaterniones no nulos est´ a generada por los campos ∂ ∂ ∂ ∂ + x2 + x3 + x4 , ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x4 ∂ ∂ ∂ ∂ D2 = −x2 + x1 + x4 − x3 , ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x4 ∂ ∂ ∂ ∂ − x4 + x1 + x2 , D3 = −x3 ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x4 ∂ ∂ ∂ ∂ D4 = −x4 + x3 − x2 + x1 , ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂x4 D1 = x1

para los que [D1 , Di ] = 0, [D2 , D3 ] = 2D4 , [D3 , D4 ] = 2D2 y [D4 , D2 ] = 2D3 . (Ind.-) Tomemos la base del tangente Die = ∂xi y como Diy = Ly∗ Die , basta calcular Diy xj = ∂(xj ◦ Ly )/∂xi . El resultado se sigue del ejercicio (2.6). Ejercicio 5.14.- Demostrar que el a ´lgebra de Lie de Gln (R) es Mn (R) con el corchete de matrices. Demostraci´ on. Consideremos en las matrices el sistema de coordenadas habitual xij (A) = aij , para A = (aij ), es decir la base dual de la base de matrices eij que tienen todas las componentes nulas salvo la de lugar ij, que vale 1. Sean Dij ∈ DG los campos correspondientes a las (∂xij )e ∈ Te (G), por el isomorfismo Te (G) → DG , donde e = I es la matriz identidad. Ahora bien como por otra parte G ⊂ Mn (R) es un abierto, se tienen la composici´ on H de isomorfismos Mn (R)

→

A

→

Te [Mn (R)] = Te (G) P aij ∂x∂ij

→ →

DG P

aij Dij = DA

e

Calculemos Dij y veamos que elPisomorfismo lineal H : Mn (R) → DG es de a ´lgebras de Lie. Como xkr LA = s aks xsr , tendremos que Dij xkr (A) =

∂ (xkr LA )(e) = aki δjr ∂xij

⇒

Dij xkr = xki δjr ⇒ X ∂ Dij = xki δjr ⇒ ∂xkr kr X XX ∂ DA = aij Dij = ( xki air ) ∂x kr ij i kr


109

Veamos ahora que [DA , DB ] = D[A,B] [DA , DB ]xkr = DA (DB xkr ) − DB (DA xkr ) X X = DA ( xki bir ) − DB ( xki air ) i

i

=

XX XX ( xks asi )bir − ( xks bsi )air

=

X

=

X

s

i

i

s

X xks ( (asi bir − bsi air ))

s

i

xks ([A, B])sr = D[A,B] xkr .

s

Ejercicio 6.7.- En los términos del ejercicio (5.13), demostrar que el espacio vectorial generado por los campos D2 , D3 , D4 , es una sub´ algebra del a ´lgebra de Lie del grupo de los cuaterniones H4 . Demostrar usando los resultados de esta lecci´ on que S3 es un grupo de Lie y que su a ´lgebra de Lie es R3 con el producto vectorial. Demostraci´ on. Se sigue de las propiedades de estos campos, vistas en el ejercicio (5.13) que es isomorfo a R3 con el producto vectorial, considerando la base e1 = D2 /2, e2 = D3 /2 y e3 = DP on ∆ =< 4 /2. Ahora la distribuci´ D2 , D3 , D4 > tiene por 1–forma incidente xi dxi , por tanto las esferas son las subvariedades tangentes y por la demostraci´ on de (6.4), la variedad integral m´ axima pasando por e = (1, 0, 0, 0) es subgrupo, pero S3 es subvariedad, por tanto subgrupo de Lie. Ejercicio 7.10.- Demostrar que σ : R → On es un subgrupo uniparamétrico si y s´ olo si σ(t) = etA , con A = −At . Y que el a ´lgebra de Lie de O3 es R3 con el producto vectorial (x, y, z)(x0 , y 0 , z 0 ) = (yz 0 − zy 0 , zx0 − xz 0 , xy 0 − yx0 ).

Demostraci´ on. Ind. Aplicar (7.9) y (7.8). Ejercicio 5.7.- Demostrar que σ : R → Sp2n (R) (ver ejercicio (3.12)), es un subgrupo uniparamétrico sii σ(t) = etA , con At J + JA = 0. Demostrar que el a ´lgebra de Lie de Sp2n (R) es el espacio vectorial de las matrices de M2n (R) del tipo A B t C −A con A, B, C ∈ Mn (R), B y C simétricas; con el corchete de matrices. Demostraci´ on. Para todo r ∈ R, σ(r) ∈ Sp2n (R)

⇔

t

erA J = J e−rA

⇔

At J + JA = 0,

110

Grupos de Lie

pues ⇒ se sigue derivando en r = 0 y ⇐ de la expresi´ on en serie de la exponencial, pues se sigue por inducci´ on que para todo n, (At )n J = J(−A)n . Ahora es f´ acil ver que las matrices A que satisfacen At J = −JA, son las del ununciado. Ejercicio 14.1.- Demostrar que si existe tal variedad es u ńica salvo difeomorfismos, que π es sobre y constante en las clases de equivalencia. Ind. Si no fuese sobre existir´ıa un p ∈ Y, tal que Im π ⊂ U = Y − {p} y como los puntos son cerrados en las variedades, U es abierto y F = π : X → U diferenciable y constante en las clases de equivalencia, por tanto existe G : Y → U diferenciable, tal que F = G ◦ π y para T = Y tendr´ıamos dos aplicaciones diferenciables distintas id, G : Y → T , que corresponden a la misma F = π: X → T .


111

Bibliograf´ıa y comentarios La realizaci´ on de estos apuntes ha sido posible gracias a las constantes ense˜ nanzas, explicaciones y ayuda de mis compa˜ neros Juan Antonio Navarro y Juan Sancho de Salas que me introdujeron en el maravilloso mundo de los grupos de Lie (amén de otras teor´ıas). De ellos recib´ı todos los resultados fundamentales y los ejemplos más importantes de estas notas, fundamentalmente los relativos al espacio cociente. A ellos mi m´ as profundo agradecimiento. Muy en segundo lugar hemos utilizado los siguientes libros en la confecci´ on de estos apuntes: Boothby, W,M.: “An introduction to differentiable manifolds and Riemannian geometry”. Ac Press, 1975. Bourbaki, N.: “Groupes et Alg` ebres de Lie”. Masson, Paris 1982. Brickell, F. and Clark,R.S.: “Differentiable manifolds”. Van Nostrand Reinhold, 1970. Bryant, R.L.: “An introduction to Lie groups and symplectic geometry”, p´ ag. 1–180 del libro “Geometry and Quantum Field Theory”, Daniel S. Freed and Karen K. Uhlenbeck Editors, IAS Park City Mahematical Series, Volume 1, 1995. Helgason, S.: “Differential geometry, Lie groups and Symmetric Spaces”. Ac.Press., 1978. Jacobson, N.: “Lie algebras”. New York. John Wiley, 1962. ´ ´ ´lez, J.A.: “Algebra Navarro Gonza conmutativa b´ asica”. Manuales Unex, NY19, 1996. Olver, P.J.: “Equivalence, Invariants and Symmetry”. Cambridge Univ. Press, 1995. Onishchik, A.L. and Vinberg, E.B.: “Lie Groups and Lie Algebras I (Foundations of Lie Theory)”. Encyclopaedia of Math. Sciences, Vol.20. Springer–Verlag, 1993. Spivak, M.: “A comprehensive Introduction to Differential Geometry”. 5 Vol. Publish or Perish, 1975. Varadarajan, V.S.: “Lie groups, Lie algebras, and Their representations”. Springer– Verlag, 1984. Warner, Frank W.: “Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups”. Scott, Foresman and Company, 1971.

Los grupos de Lie fueron intensamente estudiados por el noruego Sophus Lie (1842–1899). Su interés por los grupos nace de las conversaciones que mantuvo en Paris con Camille Jordan (1832–1922) y Oscar Klein (1849–1925). Jordan estaba convencido de que la teor´ıa

112

Grupos de Lie

de grupos estaba destinada a jugar un papel fundamental en el desarrollo futuro de las matem´ aticas y comparti´ o esta convicción con Lie y Klein. Jordan estableci´ o una clara distinci´ on entre los grupos continuos (como el de los giros del plano) y los discretos (como el de las simetr´ıas de un cuadrado), grupos estos que algunos autores llaman cristalográficos, pues los grupos de simetr´ıa de los cristales son de este tipo. Por su parte los grupos continuos son conocidos como grupos de Lie —aunque Lie los consideraba como variedades diferenciables y el primero en considerarlos como variedades topol´ ogicas fue L.E.J.Brouwer, en un trabajo de 1909—. Remitimos al lector al trabajo de Cartan, E.: “La th´ eorie des groupes finis et continus et l’Analysis Situs”. Mem. Sc. Math. 42. 1930.: “La th´ eorie des groupes finis et continus et l’Analysis Situs ”: Mem. Sc. Math. 42. 1930.

donde se caracterizan los subgrupos de Lie de un grupo de Lie como los subgrupos cerrados y en general al lector interesado en los grupos topol´ ogicos al libro Pontriaguin, L.S.: “Grupos continuos”: Ed. Mir, Mosc´ u, 1978.

En la p.326 de este libro se encuentra el resultado fundamental de que un grupo tiene una u ńica estructura diferenciable que lo haga de Lie, del que se sigue que con las estructuras ex´ oticas, R4 no tiene estructura de grupo de Lie. El principal estimulo de Lie en la creaci´ on de esta teor´ıa fue su deseo de desarrollar un método que resolviera ecuaciones diferenciales por cuadraturas —es decir en términos de funciones elementales e integrales—, an´ alogo a la Teor´ıa de Galois, que resolv´ıa ecuaciones algebraicas por radicales. Sin embargo aunque Lie asoci´ o a cada ecuación diferencial su grupo uniparamétrico, su método —que le permit´ıa resolver una ecuación diferencial por cuadraturas—, part´ıa de un grupo, para el que encontraba todas las ecuaciones diferenciables que “se resolv´ıan con el grupo”, al contrario de lo que se hace en Teor´ıa de Galois donde se parte de la ecuaci´ on algebraica y a ella se le asocia un grupo. No obstante hay una Teor´ıa de Galois, que se conoce como Teor´ıa de Picard–Vessiot, para las ecuaciones diferenciales lineales de orden n complejas con coeficientes funciones meromorfas. A estas ecuaciones se las asocia un grupo y se demuestra que la ecuación diferencial tiene soluci´ on que se puede obtener por cuadraturas si y sólo si el grupo es resoluble. Remitimos al lector interesado a la p.181 del libro


113

Shafarevich, I.R.: “Algebra I ”. Springer–Verlag, 1986.

en el que también se pueden encontrar resultados relativos a los grupos de los cristales. Lie public´ o su teor´ıa fundamentalmente en los dos art´ıculos (“Teor´ıa de grupos de transformaciones.e‘‘Investigaciones generales sobre ecuaciones diferenciales que determinan un grupo finito continuo”, ver Rosenfeld, p.348) Lie, S.: “Theorie der transformationsgruppen”. Leipzig, 1886. Lie, S.: “Allgemeine untersuchungen uber differentialgleichungen die eine continuierliche endliche gruppe gestalten”. Leipzig, 1885.

Uno de los principales resultados en los estudios de Lie consiste en asignar a cada grupo de Lie (por tanto de naturaleza continuo— diferenciable), un objeto de naturaleza algebraica más sencillo: su álgebra de Lie. Lie trabaj´ o también en la construcción rec´ıproca que permite asignar a cada ´ algebra de Lie un grupo de Lie y estudió con detalle la relaci´ on entre ambos conceptos, lo que le permitió trasladar a la teor´ıa de ´ algebras de Lie todas las nociones espec´ıficas de la teor´ıa de grupos.

——–

Fin

——–

114

Grupos de Lie

Índice alfab´ etico D∇ E, 37 F lleva D en E, 25 F∗ D = E, 25 La , 16 Ra , 16 Diff(X ), 52 Gln (R), 17 Mov(Rn ), 53 PGl(Pn ), 105 SOn (R), 21, 107 Sln (R), 21, 107 Sp2n (R), 20, 107 Spm,k (n, R), 20 θg , 52 θx , 52 DG , 26 DG , 26 G–variedad, 52 Ge , 17 Mn (R), 17 On , 20, 106 Om,k (R), 106 S1 , 20 S3 , 20, 105 g, 30 An , 20, 104 C∗ , 17, 103 H4 , 17, 103 Pn (R), 104 R∗ , 17 Tn , 20 Aut(E), 27 End(E), 27

diferencial, 7 distribuci´ on, 8 involutiva, 9 2–forma de Poincar´ e–Cartan, 77

acci´ on de un grupo sobre una variedad, 51 acci´ on fiel, 52 Ad, 55

energ´ıa, 77 entorno coordenado, 5 espacio cotangente, 6

ad, 54 ´ algebra de Lie, 24 abeliana, 24, 39 de Sl(2, R), 36 de Sp2n (R), 36, 109 de O(3), 36 de O3 , 109 de un grupo de Lie, 26 aplicaci´ on G–diferenciable, 52 aplicaci´ on diferenciable, 6 aplicaci´ on exponencial, 37 aplicaci´ on lineal tangente, 7 campo tangente, 6 invariante por la izquierda (derecha), 26 clasificaci´ on grupos de Lie abelianos, 46 cociente categorial, 64 cociente geom´ etrico, 66 conexi´ on lineal, 36 conexi´ on natural de un grupo de Lie, 37 conjunto cociente, 59 corchete de Lie, 6, 24 cosets, 30 cuaterniones, 17, 103

115

116

´ ´ INDICE ALFABETICO

tangente, 6 espacio de ´ orbitas, 61 espacio de fases de r part´ıculas, 76 espacio homog´ eneo, 79 espacio proyectivo, Pn (R), 104 espacio topol´ ogico cociente, 60 simplemente conexo, 41 estructura diferenciable, 5 fibrado normal, 82 franjas del entorno, 9 funciones diferenciables, 5 germen de una funci´ on, 6 grupo de difeomorfismos, Diff(X ), 52 grupo de Lie, 16 Mov(Rn ), de los movimientos r´ıgidos en Rn , 53 Spm,k (n, R), 20 Om,k (R), 106 de automorfismos, Aut(E), 27 de las afinidades, An , 20, 104 de las proyectividades, PGl(Pn ), 105 el toro Tn , 20 la circunferencia S1 , 20 la esfera S3 , 20, 105 lineal especial ortogonal, SOn (R), 21, 107 lineal especial, Sln (R), 21, 107 lineal general, Gln (R), 17, 28, 34 ortogonal de signatura m, k; Om,k , 20, 106 ortogonal, On , 20, 106 simpl´ etico, Sp2n (R), 20, 107 grupos de isotrop´ıa, 56 identidad de Jacobi, 24 inmersi´ on local, 7 Ley de Newton, 76 m´ odulo inyectivo, 49 morfismo de grupos de Lie, 16 ´ orbita de un punto, 56 orden entre tipos, 94

potencial, 77 producto fibrado, 67 proyecci´ on regular, 14 rango de F diferenciable, 7 de una distribuci´ on, 9 representaci´ on adjunta, 54 revestimiento, 41 conexo, 41 sub´ algebra de Lie, 28 subgrupo de Lie, 19 inmerso, 21, 22 regular, 19 subgrupo uniparam´ etrico de un grupo de Lie, 32 subvariedad, 7 inmersa, 7 Teorema de caracterizaci´ on de subvariedades, 7 de Frobenius, 9 del rango, 8 tipo de isotrop´ıa, 89 topolog´ıa cociente, 60 en el espacio de tipos, 95 traslaciones en un grupo, 16 1–formas, 7 variedad de tri´ angulos, 99 variedad diferenciable, 5 variedad integral de una distribuci´ on, 9 m´ axima de una distribuci´ on, 10 variedad tangente, 9

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