PREFACIO Elementos Elemen tos de C´ alculo Diferencial Diferencial est´a dirigido dirigido fundamen fundamentaltalmente mente a los estudian estudiantes tes de Secundaria Secundaria,, aunque aunque tambi´ tambi´en, en, por su amplitud y profundidad acad´emicas, emicas, a los universitarios que necesiten una s´olida olida introducci´on o n al C´alculo alculo Diferencia Diferenciall e Integral Integral:: instrumento fundamental fu ndamental para todas to das las ciencias y la tecnolog tecno log´´ıa modmo dernas. Este libro posee varias caracter caracter´´ısticas ısticas que lo hacen especialespecialmente util u ´ til en lma ense˜nanza nanza y aprendiza apren dizaje je de los l os conceptos con ceptos y m´etodos etodo s del C´alculo: alculo:
• Contiene un repaso selectivo de la geometr´ geometr´ıa, el ´algebra, algebra, la
trigonomet trigonometrr´ıa, y las funciones funciones necesarias necesarias para el desarrollo desarrollo de los temas del C´alculo alculo.. Este Este recuen recuento to se hace hace por medio de recuadros intercalados debidamente a lo largo del texto y, tambi´en, en, cuando se requiere m´as as amplitud, con peque˜nas nas secciones introductorias introd uctorias especiales esp eciales (por (po r ejemplo: trigonom´ trigono m´etricas, etricas, exponenciales expon enciales y logar´ıtmicas). ıtmicas ).
on es intui intuitiv tivaa y no formal; formal; es decir: decir: no se fa• La aproximaci´on
vorece las definiciones y demostraciones formales, que son de inter´ inter´es es sobre todo para los matem´aticos aticos.. M´ as as bien se enfatiza la comprensi´on on de las ideas principales y se promueve un sentido pr´actico, actico, operatorio y visual de las matem´aticas. aticas. Se suele iniciar los temas con ejemplos y situaciones de los que arrancan las ideas matem´aticas, aticas, para luego ascender a los conceptos generales. Por eso mismo es que se da una gran relevancia a la representaci´on on gr´afica, afica, una gran utilizaci´ utilizaci´ on on de la geometr´ geo metr´ıa ıa anal ana l´ıtica, ıtic a, con el prop´ pro p´osito osito de que el estudiante pueda visualizar constantemente constantemente los conceptos y m´etodos etodos y, por ello mismo, facilitar su comprensi´on o n y domini dominio. o. No obstante, para quienes requieran o deseen un conocimiento de las definiciones y m´etodos etodos formales matem´ aticos, aticos, hemos incluido un cap´ cap´ıtulo espec´ıfico ıfico al final del Volumen II.
• Se pone un especial cuidado en los aspectos de c´alcul al culoo num´erico eri co y aproximativo, con el prop´osito osito de evidenciar esta dimensi´on on de las matem´aticas. aticas.
cercan´ıa entre el C´alculo alculo y otras ´areas areas del • Para hacer ver la cercan´
conocimien conocimiento, to, hemos incluido incluido un cap´ cap´ıtulo especial especial de aplicaciones de los l´ımites y la derivada derivada (Cap´ (Cap´ıtulo 8) tanto en las ciencias cien cias f´ısicas ısi cas,, qu´ qu´ımicas ımi cas,, biol´ bio l´ogicas, ogicas, econ´omicas, omicas, sociales, en la tecnolog tecnolog´´ıa, como en otras dimensiones dimensiones de las mismas
matem´aticas. aticas. Las aplicaciones se incluyen cuando su inclusi´on on tiene sentido te´orico orico y pedag´ogico ogico (no artificialmente), es decir: una vez que se posee el conocimiento de los conceptos y los m´etodos eto dos matem´ mat em´aticos aticos que se van a aplicar. El nivel de las aplicaciones es introductorio, y solo se busca que el estudiante aprecie el tipo de usos que tiene el C´alculo. alculo.
• Para favorecer un sentido de realidad y “terrenalidad” del
C´ alculo alculo y de las matem´aticas, aticas, hemos incluido notas y secciones hist´oricas oricas a lo largo de todos to dos los cap´ cap´ıtulos. La historia de las matem´aticas aticas permite comprender que sus resultados no son verdades infalibles o absolutas, sino construcciones realizadas por personas de carne y hueso y en sociedades particulares.
Cap´´ıtulo 9, “T “Temas emas adicionales: una introducci´ on”, on”, busca • El Cap
crear una ventana por la que el y la estudiante puedan mirar hacia otras partes del mundo de las matem´aticas, aticas, y formarse formarse una visi´on on con una perspectiva m´as as amplia. Por eso la aproximaci´on on que se le ha imprimido es apenas introductoria.
• Las secciones de ejercicios han sido divididas conforme a tipos
distintos de pr´actica actica y evaluaci´on: on: selec selecci´ ci´ on on unica, u ´ nica, falso falso y verdade verdadero, ro, desarrollo desarrollo.. Esto favorece favorece la comprensi´ comprensi´on o n de los conceptos (y no solo la mera aplicaci´on on de procedimientos y “recetas”), pero, adem´as, as, prepara a los estudiantes para las diferentes evaluaciones que tendr´an an que realizar (como en las prueba pruebass del Bachill Bachiller erato ato). ). Pa Para ra benefici beneficioo de la autoev autoevalu alu-aci´on on ofrecemos las respuestas de todos los ejercicios impares propuestos.
El primer volumen contiene un tratamiento completo del tema de los l os l´ımites, pero lo hace d´andole andole significado signifi cado al concepto c oncepto de l´ımite ımite dentro del C´alculo alculo Diferencial. Dif erencial. Es decir, los m´etodos etodo s infinitesimales infinites imales solo tienen significado en su utilizaci´on on tanto en las derivaci´on on como en la integraci´on; on; en s´ı mismos mis mos resulta resu ltan n abstra ab stractos ctos y vac´ vac´ıos. ıos . Por eso es o es que en el Cap Cap´´ıtulo 1 del Volumen I se introduce intuitivamente intuitivamente la deriv derivada, lo que conduce a la necesidad necesidad de los l´ımites ımites y luego, luego, en el ultimo u ´ ltimo cap´ cap´ıtulo de este volumen, volumen, se desarrolla desarrolla la derivada derivada plenamente usando los l´ımites. De esta manera el estudiante comprender´a mejor la utilidad de los m´etodos etodos infinitesimales. El segundo volumen desarrolla plenamente el C´alculo alculo en las funciones cio nes trigon tri gonom´ om´etricas etri cas,, expo ex ponen nencial ciales es y loga l ogarr´ıtmicas ıtmi cas (cap´ıtulos ıtul os 6 y 7). Hasta aqu´ aqu´ı llega el tronco del libro. libro. Los ultimo u ´lt imoss tres t res cap´ıtulos ıtu los de este volumen son complementarios y buscan fortalecer los resultados estudiados o abrir una perspectiva m´as as amplia del C´alculo. alculo. vi
Estos cap´ cap´ıtulos, ıtulos, al igual que todas las secciones secciones hist´ oricas oricas del libro, se prestan muy bien para trabajarlos en grupo o en proyectos especiales especiales para algunos educandos. educandos. Hemos escrito este libro con la conciencia de que las necesidades de los estudiantes o las instituciones educativas a lo largo del pa´ pa´ıs son diferentes. diferentes. Por eso se puede seguir seguir estrategias estrategias distintas distintas en la utilizaci´on on de este texto; proponemos tres opciones:
• Completa :
Vol´ umenes umenes I y II completos (excepto el Cap Cap´´ıtulo 10, que debe quedar solo para algunas personas interesadas especialmente).
• B´asica asica : Volumen I, y Secciones 8.2 y 8.3 del Volumen II. • Reducida : Cap Cap´´ıtulos 1, 2 y 3, Secciones 4.1, 4.2, y 5.1, y 5.2., del Volumen I.
Como complemento y apoyo adicionales, puede usarse nuestro libro Elementos de C´ alculo Diferencial: Diferencial: Historia y Ejercicios resuelresueltos, tos, publicado por la misma Editorial de la Universidad de Costa Rica, que contiene una amplia historia de los principales temas del C´alculo alculo Diferencial e Integral (dentro del contexto m´as amplio de la historia de la ciencia y el pensamiento) y, adem´as, la soluci´on on detallada de una parte de los ejercicios propuestos en el texto que usted tiene en sus manos. Por ultimo, u ´ ltimo, los autores deseamos expresar nuestro agradecimiento agradecimiento a la Editorial de la Universidad de Costa Rica por su apoyo en la publicaci´ on on de este libro libro de texto. texto. Esperam Esperamos os que Elementos de C´ alculo Diferencial pueda servir a los prop´ositos ositos de fortalecer la formaci´on on matem´atica atica nacional de cara a un nuevo milenio donde las matem´aticas, aticas, las ciencias, y la tecnolog´ tecnolog´ıa jugar´an an un papel decisivo para el progreso individual y colectivo.
Angel Ruiz Hugo Barrantes Escuela Escuela de Matem´ Matem´atica, atica, Universidad de Costa Rica, Ciudad Universitaria Rodrigo Facio, 11 de Octubre de 1996.
vii
CONTENIDO
VOLUMEN I PREFACIO
v
´ INTRODUCCION
ix
CAP´ ITUL ITULO O 1: LAS LAS RAZO RAZONE NES S DE CAMBI CAMBIO O Y LA DERIVADA
2
Se introduce de modo intuitivo el concepto de derivada como justificaci´on on de la necesidad del concepto de l´ımite. Esto se hace mediante el uso del concepto de velocidad instant´anea anea y de la pendiente de la recta recta tangent tangentee a una curva curva en un pun punto. to. En el aspecto aspecto hist´ hist´orico orico se presenta una breve rese˜na na sobre la vida y la obra de Galileo Galilei.
. . .. ... ........................................ ............................. . . . . s.....(5, 122. 122.5) ...... (5, ...... .... .. ..... . . . . . . .... . . . . . . . . . secantes . . . . ...... ...... ... . .%... .. ..... ........ . .. ....... .. .....I tangente . . . c . .. .. . . . . . . . .. .... .... ..... .... .. ....... ..... s ............ ...% . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . (4. (4.5, 99. 99.225) (4, (4, 78. 78.4) ........................ ..... ........... s............ ....... ..... .
L1
.
.
L2 L3
1.1 Razones de cambio
3
1.2 Ca Ca´´ıda libre y c´alculo de rectas tangentes
9
1.3 La derivada como raz´on on de cambio instant´aneo
16
1.4 Galileo, la ciencia moderna y las matem´aticas
22
1.5 Ejercicios del Ca Cap´ p´ıtul ıt uloo 1
23
CAP´ ITULO ITULO 2: 2: L´ IMITES
27
Se hace un tratamiento m´as as extensivo de los l´ımites, d´andole andole prioridad al aspecto gr´afico. afico. Se estudi estudian an las propie propiedad dades es de los l´ımites ımites y se calculan utilizando tanto esas propiedades como la transformaci´on on de expresiones algebraicas en otras equivalentes. En la parte hist´orica se proporciona una breve rese˜na na del desarro des arrollo llo de la Geometr Geom etr´´ıa Anal Ana l´ıtica ıtic a y su importancia en el desarrollo del C´alculo. alculo.
y T
.............
f tiende a 12
............. ............. c ............. ............. e .............
12 ............. ............. ............. ............. ............. ............. T
3
b 3i
Ex
2.1 Funciones y representaci´on on gr´afica
27
2.2 El pro ceso del l´ımite
32
2.3 C´alculo de l´ımites
39
2.4 Coordenadas y Geometr´a Anal´ıtica
51
2.5 Ejercicios del Ca Cap´ p´ıtul ıt uloo 2
54
x tiende a 3
CAP´ ITULO 3: L´ IMITES LATERALES Y CONTINUIDAD
61
En este cap´ cap´ıtulo se introduce el estudio de uno de los conceptos centrales del C´alcu a lculo lo:: la continuidad de las funciones; para ello se introduce en primera primera instancia el estudio estudio de los l´ımites ımites laterales. laterales. Se proporciona, adem´ as, as, alguna informaci´on on sobre uno de los creadores del C´alculo: alculo: Issac Newton. y
T
5 p
3.1 Los l´ımites laterales
61
3.2 Continuidad
65
3.3 Funciones discontinuas
70
c f tiende a 2 3.4 Newton, las matem´ f tiende a 5 aticas aticas y la revoluci´on o n cien cientt´ıfica ıfica 2 p p s p p p E 3.5 Ejercicios del Ca Cap´ p´ıtul ıt uloo 3 p x 123
74 77
CAP´ ITULO 4: L´ IMITES INFINITOS Y AL INFINITO
81
Se complementa complementa el estudio de los l´ımites introduciendo los conceptos de l´ımites infinitos infinit os y l´ımites al infinito infinit o y el concepto de recta as´ as´ıntota (horizontal y vertical) ligado con estos tipos de l´ımites. ımites. Adem´as, as, mediante el concepto de ´area area del rect´angulo, angulo, se hace una brev´ brev´ısima introducci´on on a una de las grandes ramas del C´alculo: alculo : la integraci´on. on.
y
T
1
Ex
4.1 L´ımites infinitos y as´ıntotas verticales
81
4.2 4.2 L´ımit ımites es al infin infinit itoo y as´ as´ınto ıntota tass hori horizo zon ntale taless
88
4.3 L´ımites al infinito infinit o y c´alculo alculo de ´areas
96
4.4 Ejercicios del Ca Cap´ p´ıtul ıt uloo 4 CAP´ ITULO 5: LA DERIVADA DERIVADA
100 105
En este cap´ cap´ıtulo regresamos al concepto de derivada, derivada, defini´endola endola a trav´es es de un l´ımite. Se estudian estudia n las reglas de derivaci´on on y se utilizan para calcular derivadas de diferentes funciones algebraicas. Utilizando el c´alculo alculo de derivadas se determinan velocidades y rectas tangentes y normales. normales. Se proporcionan proporcionan algunos datos hist´ oricos oricos sobre otro de los creadores del C´alculo: alculo: Gottfried Leibniz. y
T
5.1 La definici´on de derivada
(x, f ( f (x)) s (c, f (c)) s c
f (c) = lim
x→c
f ( f (x) x
−c
f ( f (x) x
x
E
f (c) − f ( −c
10 7
on f (c) 5.2 Reglas de derivaci´ − f (
117
5.3 Derivaci´on implı’cita
12 4
5.4 Leibniz y el C´alculo 5.5 Ejercicios del Cap´ tulo 5
1 27
x
129
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS IMPARES
135
´ INDICE
139
VOLUMEN II ´ CAP´ ITUL ITULO O 6: LA LAS S FUNC FUNCIO IONE NES S TRIG TRIGON ONOM OMETRICAS ´ 1 Y EL CALCULO
6.1 Repaso sobre funciones trigonom´etricas sen x 6.2 Un l´ımite especial: lim x→0
4 11
x
6.3 Derivadas de las funciones trigonom´ etricas
17
tulo 6 6.4 Ejercicios del Cap´
22
CAP´ ITULO ITULO 7: LAS FUNCIONES FUNCIONES LOGAR´ ITMICAS, ´ EXPONENCIALES Y EL CALCU25 LO
7.1 Repaso sobre las funciones logar´ıtmicas
26
7.2 Repaso sobre las funciones exponenciales
29
7.3 L´ımites especiales
30
7.4 Deriv Derivadas adas de de las las funci funcione oness logar logar´ ´ıtmicas ıtmicas y expone exponencia nciales les
33
7.5 La importancia de las notaciones
44
7.6 Ejercicios del Cap´ Ca p´ıtul ıt ulo o 7
46
CAP´ ITULO ITULO 8: ALGUNAS ALGUNAS APLICACI APLICACIONES ONES
49
8.1 8.1 Algu Alguna nass situ situac acio ione ness dond dondee se apli aplica can n los los l´ımit ımites es
50
8.2 Funciones discontinuas aplicadas
52
8.3 Velocidad y aceleraci´ on
54
8.4 La construcci´ on on de las gr´ aficas de las funciones
57
opital 63 8.5 Calcular l´ımites usando la derivada: La regla de L’H¨ 8.6 Euler y las matem´ aticas aplicadas
67
Ca p´ıtul ıt ulo o 8 8.7 Ejercicios del Cap´
69
xi
CAP´ ITUL ITULO O 9: TEMA TEMAS S AD ADIC ICIO IONA NALE LES: S: UNA UNA INTR INTROO´ 71 DUCCION
9.1 Series infinitas
72
9.2 La integraci´ on on y la antiderivaci´ on
75
9.3 Ecuaciones diferenciales
83
9.4 9.4 Funci uncion ones es de varia ariass varia ariabl bles es y deri deriv vadas adas parc parcia iale less
88
9.5 Ejercicios del Cap´ Ca p´ıtul ıt ulo o 9
92
´ CAP´ ITULO ITULO 10: DEFINICI DEFINICIONES ONES Y M ETODOS FOR97 MALES
10.1 El concepto de l´ımite
99
10.2 El concepto de continuidad
1 04
10.3 El concepto de derivada
1 06
10.4 Infinitesimales y an´ alisis no–standard
1 12
Ca p´ıtul ıt ulo o 10 10.5 Ejercicios del Cap´
113
RESPUESTAS A LOS EJERCICIOS IMPARES
115
´ INDICE
119
xii
´ INTRODUCCION El C´alculo alculo Diferencial e Integral constituye una de las grandes conqui conquista stass intel intelect ectual uales es de la humanida humanidad. d. Una vez que se conconstruy´o, o , la hist histor oria ia de las las mate matem´ m´ atic a ticas as ya no sera sera igua igual: l: la geometr´ om etr´ıa, ıa , el ´algebra alg ebra y la aritm´ ari tm´etica, etic a, la trigono trig onometr´ metr´ıa, ıa, se colocar´ colo car´ıan ıan en una nueva perspectiva te´orica. orica. Los nuevos conceptos concep tos y m´etodos etod os tendr´an an tambi´en en un impacto i mpacto extraordinario extraord inario en la descrip d escripci´ ci´on on y manipulaci´ on on de la realidad f´ısica. El objetivo ob jetivo de este libro es, precisamente, iniciar al lector en el estudio de los conceptos y m´etodos etodos del C´alculo alculo Diferencial, transmitir esa perspectiva radicalmente novedosa con relaci´on on a las matem´aticas aticas cl´asicas asicas (que ocupa la mayor´ mayor´ıa de las matem´aticas aticas preuniversitarias), y sugerir el significado de sus aplicaciones en nuestra relaci´on on con el mundo. Lo primero que debe quedar claro es que el C´alculo no significa un poco m´as a s de ´algebra algebra (unas nuevas f´ormulas), ormulas), o una consecuencia especial espe cial de la l a geometr´ g eometr´ıa ıa euclidiana euclidi ana o de d e la trigonometr trigono metr´´ıa usual; el C´alculo alculo cristaliza conceptos y m´etodos etodos cualitativamente cualitativamente diferentes, que la humanidad estuvo tratando de dominar por m´as a s de 20 siglos. Una larga lista de personas lidiaron con los m´etodos etodos “infinitesimales”, como Zen´on on de Elea, Elea, Eudoxo Eudoxo de Cnido, Cnido, Arqumedes ´ de Siracusa desde la Grecia Antigua. Pero se tuvo que esperar, sin embargo, hasta el siglo XVII para tener la madurez social, cient´ cient´ıfica y matem´atica atica que permitir´ p ermitir´ıa ıa construir construi r el C´alculo alculo que hoy aprendemos en los colegios y universidades.
Aplicaciones Sus aplicacion apl icaciones es son dif d if´´ıciles de d e cuantificar porque porqu e toda tod a la matem´ mat em´atica atica moderna, de una u otra forma, ha recibido su influencia; y las diferentes partes del edificio matem´atico atico interact´uan uan constantemente con las ciencias naturales y la tecnolog´ tecnolog´ıa moderna. Para Para dar una primera idea: mencionemo mencionemoss problemas sencillos sencillos que se resuelven f´acilmente acilmente con los m´etodos etodo s del d el C´alculo: alculo: Si una nave espacial pesa en la superficie del planeta Tierra
150 toneladas, ¿cu´anto ant o traba tra bajo jo (t´ermin erm inoo f´ısico ıs ico W = Fuerza Distancia recorrida) se requiere para elevarlo de la superficie de la Luna a una altura de 80 metros?
×
Para´ıso de Cartago quiere construir un corral Un finquero de Para´ en forma de rect´angulo angulo y dividirlo por una valla paralela a ix
Arqu´ Arqu´ımedes de Siracusa
Conceptos y m´etodos etodos cualitativamente diferentes
uno de los lados. Tiene 160 metros de valla. ¿Cu´ales son las dimensiones del corral de ´area area m´axima axima que puede construir? construir? Una erupci´ on on volc´anica anica hace que la ceniza caiga de manera
gradua graduall al suelo. suelo. A una distan distancia cia l del volc´an, an, la altura de Kl − la ceniza depositada es Be metros, con B y K constantes positivas. Determinar el volumen total de ceniza que cae dentro de una distancia a del volc´an. an. Se inyecta intramuscularmente intramuscula rmente una sustancia sustan cia farmac´ fa rmac´eutica eutica a
un paciente pa ciente.. Despu´ Desp u´es es de t horas la concentraci´on on del f´armaco armaco en la sangre viene dada por 4t2 t + 4t S = 60 + t3 ¿Cu´ando ando ser´a m´axima axima la concentraci´on? on? Tacos Costa Rica sabe que la demanda por mes de sus tacos
se describe por
40000 X 18000 Cu´ando ando el n´ umero umero de tacos X es 18 000 ¿cu´ ¿cu´ al al ser se r´ıa el aum a ument entoo de ingresos por cada taco?
−
y=
La Mutual San Juan tiene 60 condominios para alquilar en
Alajuela. Se sabe que cuando cuando el alquiler alquiler es de 60 000 colones colones todos todos se ocupan. ocupan. Pero Pero cada vez que la Mutual Mutual aument aumentaa en 8 000 colones el alquiler, alquiler, queda vac´ ac´ıo un condominio. condominio. Para Para cada uno de los condominios alquilados se gasta c| 9000 al mes en mante mantenim nimien iento. to. ¿Cu´ ¿Cu´al al ser´ ser´ıa el alquiler que se debe cobrar para que la Mutual obtenga el m´aximo aximo beneficio? ometros de altura, la presi´on ometros on de nuestra atm´osfera osfera es A h kil´
Cohete despegando
de 1000(0, 1000(0, 88)h milibares. Un cohete sube a 10 kil´ometros ometros por segundo de manera vertical. ¿Si la altura del cohete es 80 kil´ometros ome tros con qu´e rapid ra pidez ez cambia la presi´on on atmo at mosf´ sf´rica? ri ca? Los conceptos conceptos y m´etodos etodos del C´alculo alculo son parte del lenguaje actual actu al de d e la ingenie ing enierr´ıa, la biolog´ bio log´ıa, ıa, la f´ısica, ısic a, la farma f armacia cia,, la l a electr el ectr´onica, ´onica, Lenguaj enguajee de las ciencienla demograf´ demograf´ıa, la econom´ econom´ıa y, en general, de todas las areas a´reas del cias y la tecnolo tecnologg´ıa ıa conocimiento te´orico orico y aplicado. Pero ¿cu´al al fue el origen del C´alculo? alculo? modernas
x
Un poco de historia Los grandes creadores del C´alculo alculo diferencial diferencia l fueron fue ron el ingl´ i ngl´es es Isaac I saac Newton (1642–1727) y el alem´an an Gottfried Wilhelm Leibniz (1646– 1716). De manera diferente pero independientemente estos grandes intelectuales de los siglos XVII y XVIII sistematizaron y generalizaron alizaron ideas y procedimien procedimientos tos que hab hab´´ıan sido abordados abordados (de diferentes diferentes maneras) y con ´exito exito parcial desde la Antigedad. Antes de Newton y Leibniz fueron realizados diversos aportes de importancia asociados al nombre de grandes personalidades, como por ejemplo: ejemplo: Gilles Gilles de Roberval Roberval (1602–1675), (1602–1675), Johannes Johannes Kepler Kepler (1571– ´ 1630), RenDescartes (1596–1650), Pierre de Fermat (1601–1665), Galileo Galilei (1564–1642), Christiaan Huygens (1629–1695, amigo de Leibniz), John Wallis (1616–1703, amigo de Newton), Bonaventura Cavalieri Cavalieri (1598–1647, disc´ disc´ıpulo de Galileo), Evangelista Evangelista Torricelli (1608–1647, disc´ disc´ıpulo de Galileo), Isaac Barrow (1630–1677, maestro de Newton). Para tener la perspectiva cient´ cient´ıfica e hist´orica orica apropiada, debe decirse que una de las contribuciones previas decisivas para el trabajo ba jo de Newton y Leibniz fue la Geometr´ıa ıa Anal´ Anal´ıtica (la expresi´on de puntos geom´etricos etricos en coordenadas y el uso de m´etodos etodos algebraicos), creado independientemente por Descartes y Fermat. La construcci´on o n del C´alculo alculo fue parte importante de la Revoluci´on on Cient´ıfica ıfica que vivi´ vivi ´o la Europa del siglo XVII. Aparte de los nombres que hemos mencionado, los de William Harvey (1578–1657), Francis Bacon (1561–1626), Pierre Gassendi (1592– (1592–1655 1655), ), Robert Robert Boyle Boyle (1627– (1627– 1691), 1691), Robert Robert Hooke Hooke (1635– (1635– 1703) est´ n vinculados a grandes contribuciones en la anatom´ anatom´ıa, la f´ısica, ısi ca, la qu´ qu´ımica ımi ca y los nuevos m´etodos eto dos en el conoci con ocimie miento. nto. Debemos se˜ nalar que el nombre de Newton no solo se asocia nalar a la creaci´on o n del C´alculo, alculo, sino tambi´ tambi´ en en a lo que fue la principal principal expresi´on o n de la Revoluci´on on Cient´ Cient´ıfica del siglo XVII: la s´ıntesis de la astronom´ astronom´ıa y la mec´ anica anica que realiz´o en su obra Principios ´ticos matem ´ de la Filosof´ a Natural , pub public licada ada en 1687. Al mostrar mostrar matem´ aticamente aticamente que el sistema del mundo se sosten´ sosten´ıa por la Ley de la Gravitaci´on on Universal, sus textos se convirtieron en la “biblia” de la nuev nueva ciencia. ciencia. La f´ısica newtoniana newtoniana solo va a empezar empezar a ser “superada” por la f´ısica relativista relativista de Albert Einstein en los comienzos del siglo XX. Los nuevos nuevos m´etodos etodos enfatizaban la experiencia emp´ emp´ırica y la descripci´ on on matem´ matematica a´tica en nuestra relaci´on on con la realidad. La Revoluci´ on on Cient Cient´ıfica supuso una ruptura ruptura con las formas formas de pensar, estudiar y vincularse con la naturaleza que dominaron casi absolutamente en Europa entre los siglos V y XV d.C. Estas ruptura y salto en la historia del conocimiento estuvieron precedidos por las xi
Newton y Leibniz culminan una fase en la historia del C´ alculo
El C´ alculo en los fundamentos de la nueva soci socieedad dad y la nuev nueva a cultura
importantes transformaciones que se vivieron durante los siglos XV y XVI con el Renacimiento y la Reforma protestante. Los cambios intelec intelectuale tuales, s, culturales culturales,, pol´ pol´ıticos ıticos y sociales, sociales, que se dieron dieron en el Renacimiento y, al mismo tiempo, aquellos que se cristalizaron en la revoluci´on on cient´ıfica ıfica y matem´ mat em´atica, atica, constituyeron los fundamentos de la sociedad sociedad occident occidental al moderna. moderna. En esa medida medida el C´alculo alculo Diferencial e Integral est´a en el coraz´on on del tipo de conocimiento, cultura y de sociedad del que, esencialmente, somos parte.
Problemas de partida Cuatro tipos de problemas fueron los que de manera directa motivaron la creaci´on on del C´alculo: alculo: Uno de ellos fue la determinaci´ on de la velocidad y la acelon
eraci´on on de un cuerpo si se conoce la distancia en funci´on del tiempo.
y punto m´ aximo
T
r
Otro fue el c´ alculo alculo de longitudes, ´areas areas y vol´ umenes umenes determi-
f
nados por curvas o superficies.
E
x
El tercer problema era determinar cu´ando ando una funci´on on (que
descri describe be un fen´ fen´omeno omeno real) real) alcanz alcanzaba aba un valor alor m´ axim a ximoo o m´ınim ni mo.
recta tangente
y
T
z
El cuarto problema estaba asoci a sociado ado a la geometr´ıa, ıa, y era c´omo omo
calcular las rectas tangentes y normales a una curva en un punto. Newton y Leibniz demostraron que con m´etodos etodos infinitesimales se resolv´ resolv´ıan los cuatro tipos de problemas planteados. El C´alculo alculo infinitesimal fue ampliamente desarrollado durante el siglo XVIII en sus m´etodos etodos propiamen propiamente te matem´ matematicos a´ticos como, tambi´ tambi´ en, en, en sus aplicacione aplicacioness a las diferent diferentes es ciencias ciencias de la naturalez uraleza. a. Los nombres nombres de Leonha Leonhard rd Euler, Euler, los hermanos hermanos Jacques Jacques (1654–1705) y Jean Bernoulli (1667–1748) , Alexis Claude Clairaut (1713–1765), el mismo Leibniz y muchos otros, est´an an asociados a ese per´ıodo. ıod o. No podr po dr´´ıamos olvidarnos olvidar nos de mencionar mencion ar en el per´ıodo ıod o de fines de siglo XVIII y principios del XIX a los grandes matem´aticos france franceses ses Joseph Joseph L. Lagran Lagrange ge (1736–1 (1736–1813 813), ), Adrien Adrien M. Legend Legendre re (1752–1833) y Pierre Simon Laplace (1749–1827), Lazare Carnot (1753–1823), (1753– 1823), el Marqu´es es de Condorcet Condor cet (1743–1794) (1743– 1794) y Gaspard Gas pard Monge Mong e (1746–1818). El siglo XIX abrir´ abrir´ıa una nueva nueva etapa en la historia del C´alculo, alculo, enfatizando, si se quiere, la necesidad de dotarlo de un mayor rigor l´ogico ogico que el que hab´ hab´ıa exhibi exhibido do antes antes.. Los nombres nombres de Niels Niels H. Abel (1802– (1802–1829 1829), ), Bernha Bernhard rd Bolzan Bolzanoo (1781– (1781–1848 1848), ), August Augustin in xii
y = f ( f (x)
r P
' recta normal
E
x
Cauchy Cauchy (1789–1857), (1789–1857), Karl Weierstras eierstrasss (1815–1897) (1815–1897) se refieren refieren a algunos de los muchos matem´aticos aticos que realizaron sus trabajos en esta nueva fase.
En Costa Rica Para ara ir dand dandoo fin a esta esta intr introdu oducc cci´ i´ on, on, resulta resulta interes interesant antee mencionar que el C´alculo alculo diferencial e integral aparentemente se empez pe z´ıa ense˜ ens e˜nar n ar en Co Cost staa Rica Rica en 1864 1864.. Le corre correspo spond ndi´ i´ o el honor de su introducci´on on al ingeniero mexicano Angel Miguel Vel´azquez, azquez, quien hab´ hab´ıa sido contratado para la apertura de las carreras de Ingenier´ genier´ıa Civil, Arquitectura y Agrimensura de la Universidad de Santo Tom´as. as.
Las matem´ aticas aticas tienen un rostro humano Con la perspectiva hist´orica orica que hemos sugerido en los p´arrafos arrafos anteriores y que nos acompa˜nar´ nar´a siempre en este libro, buscamos compartir con el lector una visiø’n del C´alculo alculo y de las matem´aticas aticas en gener general al.. Un Unaa visi´ visi´on on que entiende los resultados matem´aticos aticos como construcciones intelectuales realizadas por hombres de carne y hueso, hueso , part pa rt´´ıcipes ıcip es de comunid co munidades ades cient´ c ient´ıficas ıfica s con los lo s vicios vici os y virtud vi rtudes es presentes en todo colectivo humano. Los resultados de las matem´aticas aticas deben verse como el producto del trabajo de muchas personas en diferentes momentos y no como conjuntos de verdades fuera del “mundanal ruido”, no “contaminadas” o producidas producidas exclusiv exclusivamen amente te por mentes mentes privilegiadas. privilegiadas. Las creaciones o descubrimientos matem´aticos aticos tienen una historia, a veces muy larga, antes de ser definitivamente definitivamente formuladas. Muchas veces nos presentan las matem´aticas aticas ya acabadas y libres del error, tratando de hacernos olvidar todos los andamios, todos los intentos, las pruebas fallidas, los errores, que antecedieron los resultados finales fina les.. Con la recurr recurrenc encia ia a la historia historia de las matem´ matem´ aticas aticas buscaremos mostrar, en alguna medida, el rostro humano que siempre ha tenido esta disciplina (al igual que las otras ciencias), que no siempre ha sido mostrado en la mayor´ mayor´ıa de textos de matem´aticas, aticas, pero que es fundamental para comprenderlas y aprenderlas de la mejor manera.
xiii
Es necesaria una perspectiva hist´ orica
Las matematicas: ´ parte arte del del “mun “munda dana nal l ruido”
2
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
CAP´ ITULO 1
LAS RAZONES DE CAMBIO Y LA DERIVADA
El verdadero viaje hacia el descubrimiento no consis consiste te en buscar buscar nuev nuevos os horizo horizont ntes es sino sino en tener nuevos ojos Marcel Proust
Muchos de los aspectos de nuestra vida diaria como los de las ciencias y las t´ecnicas ecnicas tienen que ver con el cambio de las cosas, y en especial con el cambio de una cosa con relaci´ on a otras. otras. La velocidad de un autom´ovil, ovil, por ejemplo, representa un cambio de su posici´on on con respecto al tiempo (que tambi´en en cambia). La raz´ on de cambio de la poblaci´on on o de la demanda de un producto industrial o de la inflaci´on on con relaci´on on al tiempo son otros ejemplos que nos reafirman que continuamente, a veces sin darnos cuenta, estamos usando razones de cambio. Las matem´aticas aticas y en particular la rama de ellas que se llama C´alculo alculo ofrecen la posibilidad de establecer modelos que permiten estudiar este tipo de fen´omen o menos os.. En est estee Cap´ıtul tu lo discutiremos alguno algunoss de estos estos proble problemas mas y verem veremos os c´ omo omo ellos ellos motiv motivaro aron n la definici´ on de ciertos conceptos matem´aticos, on aticos, que han resultado ser de mucha ucha impor importa tanc ncia ia tant tantoo en el desa desarr rroll olloo de la mate matem´ m´ atica atica misma como en sus aplicaciones. Se puede decir que el concepto central en el estudio del C´alculo es el concepto de variaci´ on o cambio cambio continuos continuos.. “No existe el movimiento” En el siglo V a.C., en la Grecia Antigua vivi´o un famoso fil´osofo osofo (disc´ (disc´ıpulo de otro fil´osofo: osofo: Parm´ Parm´enides) enides) llamado Zen´ on o n de Elea. Una de las cosas que se propuso fue demostrar que el movimiento
3
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
no era posible. Para ello formul´o una “parado ja” que ha despertado el inter´ inter´es es de los matem´aticos aticos y cient´ cient´ıficos de todos to dos los tiempos tiem pos.. Esta parado parad o ja la podemos reformular de la siguiente manera:
La paradoja de la Dicotom coto m´ıa de Zen´ Zen on ´
Un corredor debe alcanzar una tortuga que se encuentra parada a 1 km de distancia. Zen´on on dir´ dir´ıa: Para alcanzar a la tortuga el corredor deber´a recorrer una primera distancia d1 = la mitad de la distancia = 500 m. Tambi´ Tambi´en en deb de ber´ er a´ recorrer la distancia: d2 = la mitad de la mitad = 250 m. Y sucesivamente una tercera distancia: d3 = la mitad de la mitad de la mitad = 125 m. Una cuarta: d4 = 62, 62, 5 m. Una quinta: d5 = 31, 31, 25 m. Una sexta: d6 = 15, 15, 625 m. Podr´ Podr´ıamos resumir la situaci´ situaci on o´n anterior en una tabla Tabla 1.1 d1
d2
d3
d4
d5
d6
500 m
250 m
125 m
62 62,, 5 m
31 31,, 25 m
15 15,, 625 m
y pod p odrr´ıamos ıam os calcula calc ularr Tabla 1.2 d7
d8
d20
d50
d100
7, 8125 m
3, 90625 m
0, 00095367432 m
8, 8817842−13 m
7, 8886091−28 m
Como el proceso se puede repetir indefinidamente, el corredor deber´a recorrer un n´umero umero infinito de distancias en un tiempo finito. finito . Zen´on on dir´ dir´ıa: eso no es posible; p osible; entonces no hay movimiento. Aquiles y la tortuga
En realidad Zen´on on formul´o cuatro paradojas parecidas a la anterior. Otra de las m´as a s famosas se llama la de Aquiles y la tortuga . El gran escritor argentino Jorge Luis Borges la plante´o de la siguiente manera:
4
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
“Aquiles, s´ımbolo de rapidez, tiene que alcanzar la tortuga, s´ımbolo de morosidad. morosidad. Aquiles Aquiles corre corre diez veces m´as as ligero que la tortuga y le da diez metros de ventaja. Aquile Aquiless corre corre esos esos diez diez metros metros,, la tortug tortugaa corre corre uno uno;; Aquiles corre ese metro, la tortuga corre un dec´ dec´ımetro; Aquiles Aqui les corre c orre ese dec d ec´´ımetro, ımet ro, la tortu t ortuga ga corre c orre un cent ce nt´´ımetro; ımet ro; Aquiles corre ese cent´ cent´ımetro, la tortuga un mil´ mil´ımetro; Aquil Aqu iles es el e l mil mi l´ımetr ım etro, o, la tor t ortug tugaa un d´ecimo eci mo de d e mil mi l´ımetr ım etro, o, y as´ as´ı infinitamente, de modo que Aquiles puede correr para siempre sin alcanzarla. As´ As´ı la paradoja inmortal.” Jorge Luis Borges
“La perpetua carrera de Aquiles y la tortuga” 1930. ¿Qu´ e piensa usted? ¿Es el movimien movimiento to producto producto de nuestra nuestra imaginaci´on? on? Los m´etodos eto dos que condens con densar ar´´ıa el C´alculo alculo Diferencial e Integral en el siglo XVII responder responder´´ıan con toda precisi´ precisi´ on o n a este tipo de paradoja paradojas. s. Pero Pero para eso la hu human manida idad d tuvo tuvo que atrave atravesar sar un largo per p er´´ıodo desde el siglo V a. C.
1.1 1.1
RAZO RAZONE NES S DE CAMB CAMBIO IO ¿C´ omo se mide la variaci´ omo on? on?
Podemos distinguir algunas maneras de medir la variaci´on on o cambio, por ejemplo el cambio absoluto o incremento y el cambio relativo.
Ejem Ejempl plo o 1.
El C´ alculo responde a la paradoja de la Dicotom to m´ıa ıa de Zen´ Ze n´ on Se repasa en esta secci´on, on, en primer lugar, el concepto de variaci´ on de una cantidad. Luego se estudia el concepto de raz´ on de cambio, cambio, con especial peci al ´enfasis enfasis en el caso particular de la velocidad.
Varia ariaci ci´ on o ´n absoluta
Juan abri´o una cuenta de ahorros con c| 500, al cabo de dos meses Juan fue al Banco a averiguar su saldo. Le dijeron que ahora ten´ ten´ıa as; el cambio absoluto en la c| 520. Esto es, Juan tiene ahora c| 20 m´as; cuenta de ahorros de Juan fue de c| 20. Por otra parte, Juan tiene ahora un 4% m´as as de lo que ten´ıa ıa en un principio; el cambio relativo en su cuenta fue de 4%.
El cambio absoluto absoluto o incremen incremento to es una diferencia: diferencia: lo que tiene tiene
Incr Incremento ementoss
5
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
al final menos lo que ten´ ten´ıa al comienzo. comienzo. Si C f f es la cantidad final y C i es la cantidad inicial entonces el cambio absoluto se denota por ∆C y se calcula como ∆C = C f f
− C . i
∆C
En el caso de la cuenta de ahorros de Juan se tiene que C f f = 520, C i = 500 y entonces ∆C = C f f
20. − C = 520 − 500 = 20.
0
C i
Figura 1.1. Camb Cambio io
luto
i
El cambio relativo es un cociente: El cambio absoluto dividido entre lo que ten´ ten´ıa al comienzo, comienzo, es decir ∆C . C i En el caso de Juan: ∆C 20 = = 0, 04, 04, 500 C i que se escribe como 4%. Otra forma de medir la variaci´on on es comparando el incremento de una cantidad variable con relaci´on on al incremento de otra cantion on promedio o raz´ on on dad variable. Esto se conoce como variaci´ promedio de cambio de una cantidad con respecto a la otra.
Ejem Ejempl plo o 2.
Varia ariaci ci´ on o ´n promedio
Volvamos olvamos a la cuenta cuenta de ahorro ahorross de Juan. El incremen incremento to en la cantidad de dinero fue ∆C = c| 20. 20. Si consideramos el momento en que abri´o la cuenta de ahorros como el mes 0, entonces el momento en que hizo la consulta fue el mes 2. La variaci´on on absoluta en el tiempo fue ∆t = 2
− 0 = 2 meses Raz´ on promedio
(es decir, transcurrieron 2 meses). Podemos calcular el cociente
c| 20 ∆C = = c| 10/ 10/mes. mes. ∆t 2 meses Este resultado es un promedio y se puede interpretar diciendo que la cantidad de dinero en la cuenta de ahorros de Juan creci´o a una raz´on on promedio de c| 10 por mes.
C f f
abso abso--
6
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
En las aplicaciones a las ciencias muchas veces estamos interesados en c´omo omo se comporta una variable y cuando otra variable x se aproxima a un valor dado c, esto es, cuando x var´ var´ıa de maner ma neraa que sus valores son cada vez m´as as pr´oximos oximos a c. En estas circunstancias ambas variables tienen que estar relacionadas: y debe ser una funci´on on de x (vea el recuadro sobre funciones). Esto se presenta por ejemplo cuando tratamos con velocidades, aceleraciones, etc.
´ EL CONCEPTO DE FUNCION
Recuerde que una funci´on on es una relaci´on on que asocia a cada elemento de un conjunto A (llamado dominio de la funci´on) o n) un unico u ´ nico elemento en un conjunto B (llamado codominio de la funci´on). on). Si la funci´ funci´ on on se denota por f entonces se escribe f : A B . Si x es un elemento de A, su elemento asociado y de B se llama la imagen de x, a su vez se suele decir que x es preimagen de y. Los dos elementos x e y son variables, es decir, pueden tomar diferentes valores; x se llama variable independiente porque puede tomar cualquier valor en A, por su parte, y se llama variable dependiente porque una vez que usted le da un valor a x, el valor de y es la imagen de x y no cualquier elemento de B .
−→
Por lo general, cuando se trata con funciones reales de variable real, esto es, funciones en las que tanto el dominio dominio como el codominio codominio son subconjuntos subconjuntos del conjunto conjunto de los n´ umeros reales R, es posible describir la relaci´ on on mediante una f´ ormula que permite encontrar la imagen de cada elemento particular del dominio. ormula Por ejemplo, si decimos, f : R
−→ R
con f ( f (x) = x2
− 2,
entonces lo que se est´a indicando es que tenemos una funci´on on f cuyo dominio es R, cuyo codominio es R y se dice adem´ as as que para cada valor x de R su imagen se calcula mediante la f´ormula ormula f ( f (x) = x2 2. As, si x = 2 entonces su imagen es
−
f (2) f (2) = 22 la imagen de x =
−5 es
− 2 = 4 − 2 = 2;
f ( f ( 5) = ( 5)2
−
− − 2 = 25 − 2 = 23. 23.
Recuadro 1.1: Funciones .
Ejem Ejempl plo o 3.
Varia ariaci ci´ on o ´n de una funci´ on on en un punto
x2 1 , ¿qu´e sucede con los valores valores de f ( f (x) si x est´a x 1 cada vez m´as as pr´oximo oximo a 1? Sea f ( f (x) =
− −
7
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
on que se puede hacer es que x = 1 Soluci´ on: La primera observaci´on no est´a en el dominio, pues si se sustituye x = 1 en la expresi´on on x2 x se obtiene obtiene
−1 −1
12 1 0 = , 1 1 0 lo que no est´a definido (es una forma indeterminada). Sin embargo, sigamos sigamos adelante adelante:: utilizamos utilizamos una calculadora calculadora para calcular calcular los valores de f ( cercano a 1. Tome en primer lugar x = 2 (2 est´a f (x) con x cercano alejado una unidad de 1, hacia la derecha); tenemos
− −
22 f (2) f (2) = 2
− 1 = 4 − 1 = 3, −1 1
tomemos ahora x = 0 (0 est´a alejado una unidad de 1, hacia la izquierda); tenemos f (0) f (0) =
(0)2 1 0 1 = = 1. 0 1 1
− −
− −
Hagamos lo mismo con x = 1, 5 (media unidad hacia la derecha de 1): (1, (1, 5)2 1 2, 25 1 1, 25 = = = 2, 5 f (1 f (1,, 5) = 1, 5 1 0, 5 0, 5 y con x = 0, 5 (media unidad a la izquierda de 1):
− −
f (0 f (0,, 5) =
−
(0, (0, 5)2 1 0, 25 1 = = 0, 5 1 0, 5
− −
−
−
−0, 75 = 1, 5. −0, 5
Podemoss contin Podemo continuar uar de esta esta manera manera.. En la siguient siguientee tabla tabla de valores alores aparecen aparecen los resultados resultados utilizando valores valores de x cada vez m´as as pr´oximos oximos a 1 tanto por la izquierda (menores que 1) como por la derecha (mayores que 1). Tabla 1.3 x se acerca a 1. por la izquierda izquierda
... ................ .... ... ... ....... ......... ................... .. .......
x se acerca a 1 por .
1
... ..... .. ... ..... ........... . . . .................. ..................
la derecha
x
0,9
0,99
0,999
1,001
1,01
1,1
f ( f (x)
1,9
1,99
1,999
2,001
2,01
2,1
f se acerca
...................... ........................ . . . . . . ............... ....
2
a 2 por la izquierda
.................... .................... .... ... ..... ... ......... ..... ...
f se acerca a 2
por la derecha
Aproximaci´ on tablas de valores
con
8
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
As´ As´ı, de la tabla 1.3 deducimos deducimos que lo que sucede con f ( f (x) es que sus valores se aproximan cada vez m´as as a 2 cuando los valores de x se aproximan a 1. Tome usted una calculadora y haga varios c´alculos alculos tomando cada vez valores m´as as pr´oximos oximos a 1, por ejemplo tome x = 1, 0001, luego x = 1, 000001 y x = 1, 0000001 ¿qu´e sucede? suc ede?,, ¿c´omo omo explicar´ıa ıa esta situaci´ situaci ´on? on?
Veamos ahora lo que sucede de manera gr´afica: afica:
f se acerca a 2
y
T
2
c T
x se acerca a 1
z 1W
Figura 1.2. f ( f (x) =
z 1'
e
2
U
) j
Ex
2
x
−1 −1
x
Como se ve, hay un “hueco” en el punto (1 , 2), pero la funci´on on cuando x se acerca a cerca a 1, 1 , ir´ıa ıa “naturalmente” “natura lmente” al valor y = 2.
La velocidad es una raz´ on on de cambio Sabemos que viajando via jando por p or carretera la distancia entre San Jos´e y Puntarenas es La rapidez es la magnitud de la velocidad. Cuando en el lenguaje corriente decimos que la velocidad de un ob jeto es de 10m/seg 10m/seg sin especificar la direcci´on, on, en realidad nos estamos refiriendo a la rapidez. de aproxim aproximada adamen mente te 120 km. Supo Suponga nga que
un amigo suyo viaj´o de San S an Jos´e a Puntarenas; Puntarenas ; sali´o de San Jos´e a las las 2 : 00 pm y lleg lleg´o´ a Puntarenas a las 4 : 00 pm. Su amigo recorri´ recorri´o 120 km en un lapso lapso de 2 horas. horas. La velocid velocidad ad promedio fue de
La velocidad es una una cantidad cantidad vectori vectorial, al, esto es, tiene magnitud y direcci´ on.
9
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
120 km = 60 km/h. 2 h velocidad promedio es el cociente: En general, la velocidad cociente: distancia distancia recorrida entre tiempo transcurrido:
velocidad promedio =
distancia recorrida . tiempo transcurrido
Se acostumbra a denotar la velocidad promedio como vprom , la distancia recorrida por ∆d ∆ d y el tiempo transcurrido por ∆t ∆ t, de modo que podemos escribir: vprom =
∆d ∆t D
Ejem Ejemplo plo 4.
100 km
Velocida elocidades des prom promedi edio o
La figura 1.3 representa las ciudades A, B , C , D y las correspondientes distancias entre ellas. Un viajero sali´o cierto cierto d´ıa ıa a la 1 : 00 pm de la ciudad ciudad A, lleg´o a la ciudad B a la 1 : 30pm y sigui´o hacia la ciudad C a la cual lleg´o a las 2 : 30 pm, sin deteners detenersee contin continu´ u´ o su camino y lleg´o a la ciudad D a las 4 : 30 pm (todo (to do el mismo d´ıa). ıa). a) ¿Cu´al al fue su velocidad promedio entre la ciudad A y la ciudad B? b) ¿Cu´al al fue su velocidad promedio entre la ciudad C y la ciudad D? c) ¿Cu´al al fue su velocidad promedio en todo el recorrido realizado? Soluci´ on a) La distancia distancia entr entree A y B es de 40km 40km y el tiempo que tard´o fue de 30 minutos, es decir 0, 0 , 5 horas. hora s. Aqu´ Aqu´ı la velocidad velo cidad promedio promedi o fue vprom =
40km 40km = 80km/h. 80km/h. 0, 5h
B
60 km
40 km
A
C
Figura 1.3. Camino recorri-
do
10
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
b) La velocidad velocidad promedio promedio entre C y D fue vprom =
100km 100km = 50km/h. 50km/h. 2h
c) La distancia total de A a D es 40km 40km + 60km 60km + 100km 100km = 200km, 200km, el tiempo transcurrido fue de 3 horas y media, es decir 3 , 5h, por lo tanto la velocidad promedio del recorrido entre A y D fue vprom =
200km 200km = 57, 57, 1428km/h. 1428km/h. 3, 5h
¿Es suficiente la velocidad promedio? Enfatizamos el t´ermino ermino velocidad promedio puesto que lo que se da es una medida promedio de la variaci´on. on. Sin embar embargo, go, por ejemplo, en el caso de su amigo que viaj´o a Puntarenas no sabemos con certez certezaa su velocid velocidad ad en cada cada momen momento. to. No podemos, con la informaci´ on on dada, saber cu´al al fue su velocidad al ser las 2 : 30 pm. En alg´ un momento posiblemente se detuvo, desde luego en ese moun mento su velocidad fue de 0 km/h; km/h; en otras ocasiones de seguro super´o los 60 km/h. km/h. El conductor de un autom´ovil ovil puede darse cuenta de la velocidad a la que va en alg´un un momento dado observando el veloc´ veloc´ımetro del carro (si tal instrume instrument ntoo se encuen encuentra tra en buen buen estado estado). ). Pero Pero nosotros, nosotros, con la informaci´ informaci´ on del tiempo transcurrido y la distancia on recorrida, solo podemos calcular un promedio y no podemos saber lo que sucedi´o en cada instante. Otro de los aspectos importantes de las ciencias es la predicci´on. Esto es, a partir de datos dados referidos a una situaci´on, on, poder predecir con un grado aceptable de aproximaci´on on algunas cosas que podr´ıan ıan suceder en esa situaci´on o n o en otra situaci´on on semejante. As´ As´ı, por ejemplo, para el movimiento movimiento de un objeto podr´ıa ıa resultar importante saber cu´al a l es su velocidad en alg´ un instante un instante preciso preciso dado y no la velocidad promedio en ese momento.
Velo elocidad cidad prome promedio dio y velocidad instant´ anea
11
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Calcular las velocidades y aceleraciones instant´aneas aneas fue uno de los problemas que cautiv´o la atenci´on on de los principales matem´aticos aticos del siglo XVII.
1.2
´ CULO CA´ IDA LIBRE Y CALCUL AL O DE RECTAS TANGENTES
Uno de los asuntos asuntos m´as as interesantes en la historia de las ciencias fue el de la ca´ ca´ıda libre de los cuerpos. La pregunta pregunta es: si se lanzan dos cuerpos de diferente peso desde lo alto de un edificio ¿cu´al al cae m´as a s r´apido? apido? Sup Sup´ o´ngase que el aire no produce resistencia ni ongase fricci´on on en ningun ningunoo de los dos cuerpos. cuerpos. An Antes tes de seguir seguir leyend leyendo: o: ¿c´omo omo contestar´ıa ıa usted esa pregunta? La respuesta respuesta correcta correcta fue dada por el gran cient cient´ıfico italiano italiano Galileo Galilei (1564–1642), quien descubri´o que en el vac´ vac´ıo (sin resistencia ni fricci´on on del aire) los cuerpos caen con la misma velocidad, caen al mismo tiempo. Es interesante se˜nalar nalar que Galileo descubri´o este principio observando que las velocidades con la que caen dos cuerpos difieren menos en el aire que en el agua. Algo as´ as´ı como que si disminuye la resistencia del medio, la diferencia entre las velocidades de dos cuerpos disminuye, llegando esta diferencia a ser nula en el vac´ vac´ıo. Galileo no solo descubri´o eso sino que describi´o el movimiento en ca´ıda ıda libr li bree matem´ aticamente: aticamente :
Aqu´ Aqu´ı se estudia, estudi a, en primera inst instan anci cia, a, el conc concep epto to de velocidad instant´ anea anea mediante ante el caso caso de un cuer cuerpo po en ca´ ca´ıda libre. Posterior Posterior-mente mente se estudi estudiaa la pendipendiente de una recta tangente a una curva en un punto dado.
Galileo Galileo descubri descubri´ ´ o la ley de los cuerpos en ca´ıda ıd a libre li bre
d = 4, 9t2 (si el cuerpo se deja caer). Suponga que usted se para en lo alto de un edificio y deja caer una piedra hacia el suelo (note que no la lanza, solo abre su mano para que caiga) y suponga que la ´unica unica fuerza que act´ua ua sobre la piedra piedra es la grave gravedad dad.. Sea t el tiempo (medido en segundos) que transcurre desde el momento en que usted deja caer la piedra y alg´ un instante determinado, y d la distancia (medida en metros) un recorrida recorrida por la piedra piedra hasta ese instante. instante. Como d depende de t, escribimos d(t) en vez de d. Como dijimos antes, Galileo descubri´o que se tiene la relaci´on on d(t) = 4, 9t2.
TorredePisa
12
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Por ejemplo, 1 seg despu´ desp u´es es de d e habe ha berr solta so ltado do la l a piedra pi edra,, ´esta esta ha recor r ecor-rido 4, 9(1)2 = 4, 9 m. d(1) = 4, A los 2 seg la distancia recorrida por la piedra habr´a sido 4, 9(2)2 = 4, 9 4 = 19, 19, 6 m. d(2) = 4,
·
En la tabla 1.4 se dan algunos tiempos y la correspondiente distancia recorrida. Tabla 1.4 t seg
1
1 ,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
5,5
6
d(t) m
4,9
11,025
19 , 6
30,625
44,1
60,025
78,4
99,225
122,5
148,225
176,4
¿Podemos predecir cu´al al ser´a la velocidad de la piedra exactamente 5 segundos despu´es es de haberla soltado? Aproximaci´ on on de la velocidad instant´ anea anea
Sabemos que esta velocidad instant´anea anea no se puede calcular como una velocidad promedio, pero vamos a ver c´omo omo a partir de ella encontramos la velocidad instant´anea. anea. Podemos suponer que la velocidad velocidad a los 5 segundos no andar´a • Podemos muy lejos de la velocidad promedio un poco antes de los 5 segundos; por ejemplo, en el ´ultimo ultimo segundo transcurrido antes de los 5 segundos.
En el segundo 4, la piedra ha recorrido 78, 78 , 4 metros (vea la tabla anterior). En el segundo 5, la piedra ha recorrido 122, 122 , 5 metros (vea la tabla anterior). La distancia recorrida en ese segundo fue 122 , 5 44, 44, 1 m
78, 4 m = − 78,
La velocidad promedio fue 44, 44, 1 m = 44, 44, 1 m/seg 1seg Esta es solamente una aproximaci´on on de la velocidad buscada.
Primera aproximaci´ on a la velocidad
13
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
• Podemos suponer que nos acercaremos mejor a la velocidad en el segundo 5 con la velocidad promedio en el intervalo que transcurre entre el tiempo 4, 4 , 9 seg y 5 seg. Calculemos: En t = 4, 9 seg tenemo tenemoss 9(4, 9)2 m = 117, 117, 649m d = 4, 9(4, La nueva velocidad promedio es 122, 122, 5 m 5seg
117, 649m 4, 851m − 117, 48, 51 m/seg − 4, 9seg = 0, 1seg = 48,
Segunda maci´ on
aproxi-
Esta es una nueva aproximaci´on on a la veloci velocidad dad en 5 seg. seg.
N´otese otese la considerable diferencia que existe entre ambas aproximaciones . Calculemos ahora la velocidad promedio en un intervalo a´u un n m´as as cercano a 5: entre 4 , 99 y 5.
´ GRAFICAS DE FUNCIONES
Dada Dada una funci´ funci´ on on real real de variabl ariablee real, real, genera generalme lment ntee podemos podemos hacer una represen representaci´ taci´ on o n gr´ afica que nos permita conocer mejor afica la funci´on. on. Existen t´ecnicas ecnicas en el C´alculo alculo que nos permiten dibu jar una funci´ on on con bastan bastante te detalle. detalle. Sin embarg embargo, o, para para cierta ciertass funciones “simples” podemos dibujar su gr´afica a fica a partir de unos cuantos puntos. Si tenemos la funci´on on f : A B , con y = f ( f (x), representamos en un sistema de ejes coordenados pares ordenados de n´umeros umeros reales (x, y), donde y es la imagen de x (siendo x elemento de A).
x -2 -1 0 1 2
−→
Por ejemplo, para representar la funci´on on f : R 2 2 x , consideramos una tabla de valores.
−
− −
−
−
Recuadro 1.2: Gr´ aficas .
− x2
y
T 2 p
−→ R tal que f ( f (x) =
De la tabla se obtienen varios pares ordenados de n´ umeros umeros reales que corresponden a puntos que van a estar en la gr´afica afica de la funci´ on. on. Estos Estos son son:: ( 2, 2), ( 1, 1), (0, (0, 2), (1, (1, 1), (2, (2, 2). De modo modo que que en el sistema de ejes dibujamos esos puntos y luego trazamos una curva curva que los contenga. contenga. El dibujo resultante resultante es un bosque b osquejo jo de la gr´ afica afica de la funci´ on on dada.
f (x) = 2 -2 1 2 1 -2
p
1
p
−2 −1 0
1
p
−2
2
p
Ex
14
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Si t = 4, 99 entonces tenemos 9(4, 99)2 m = 122, 122, 01049 01049 m d = 4, 9(4, La velocidad promedio es: 122, 122, 5 m 122, 122, 0104 010499 m 0.4895 489511 m = = 48, 48, 951 951m/ 951m/seg 5seg 4, 99seg 0, 01seg
− −
Tercera aproximaci´ on
• Si calculamos la velocidad promedio entre 4,4, 999 y 5seg obtendremos:
122, 122, 5 m 122, 122, 451m 0, 0489951 0489951 m = = 48, 48, 9951 9951m/ 9951m/seg 5seg 4, 999seg 0, 001 seg seg
− −
Cuarta aproximaci´ on
Calcule usted la velocidad promedio entre 4, 4 , 9999 y 5. Use la calculadora. Si seguimos el proceso con intervalos de tiempo cada vez m´as peque˜ nos nos aproximaremos m´as nos as a la velocidad instant´anea anea en 5 segundos, que se aproxima m´as a s y m´as a s a un n´umero umero fijo: 49
El l´ımite y la velocidad
Tenemos entonces una sucesi´on on de varias velocidades promedio: 488, 951 488, 9951 44, 44, 1 48, 48, 51 51 448, 951 448, que se aproximan al valor 49 49.. Este ultimo u ´ ltimo valor fijo decimos que es la velocidad instant´ anea de la piedra en el tiempo t = 5 seg. Este valor se llama el l´ımite de las velocidade velocidadess promedio. promedio. Se podr p odr´´ıa criticar con justicia que la escogencia de los tiempos tiemp os es muy arbitraria. arbitraria. Por eso veamos veamos ahora c´omo omo se gener g enerali alizar´ zar´ıa ıa este procedimiento para calcular velocidades instant´aneas: aneas:
La velocidad stant´ anea
in-
15
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Un m´ eto et o do m´ as as general
Consideremos la misma ecuaci´on on d = 4, 9t2 . Llamem Llamemos os D la distancia recorrida por la piedra en 5 seg, es decir 122, 5. D = 4, 9(5)2 = 122, Ahora vamos a designar con la letra T un intervalo de tiempo, de tal manera que (5+ T ) T ) es un tiempo que puede estar antes o despu´es es de 5 seg. Por ejemplo: si T = 0, 1 seg entonces
T es un intervalo cualquiera de tiempo
5 + T = 5 + 0, 0, 1 = 5, 1seg, 1seg, si T =
−0, 1 seg, entonces 5 + T = 5 + ( 0, 1) = 4, 4, 99seg. 99seg.
−
La distancia recorrida en (5 + T ) T ) seg es: DT = = =
4, 9(5 + T ) T )2 4, 9(52 + 2 5 T + T 2 ) 122, 5 + 49T 49T + 4, 4, 9T 2 .
· ·
La distancia que se recorre en el intervalo de T seg, es decir entre 5 y (5 + T ), T ), es: DT
2
2
(122, 5 + 49T 49T + 4, 4, 9T ) − 122, 122, 5 = 49T 49T + 4, 4, 9T . − D = (122,
Entonces la velocidad promedio entre 5 seg y (5 + T ) T ) seg es: V prom prom =
DT
2
49T + 4, 4, 9T − D = 49T
= 49 + 4, 4, 9T . T T Ahora obs´ervese: ervese: si T se hace muy peque˜no no entonces 4, 4, 9T tambi´ en en se hace muy peque˜no n o y si T se hace muy cercano de 0, 4, 9T tambi´ ta mbi´en en estar es tar´´a cercano a 0.
La velocidad promedio en t´ermino erm inoss de T
Por ejemplo: si T = 0, 0000000001 = 10−10 , tenemos que 4, 4 , 9T = 0, 00000000049, y entonces tenemos V prom 49, 00000000049 lo prom = 49, que es pr´acticamente acticamente 49 49. Podemos decir que las velocidades promedio se aproximan a 49 49. Esta es la velocidad instant´anea anea en t = 5. Note que en nuestro caso el valor instant´aneo aneo 49 se encontr´o poniendo T = 0 en la ecuaci´on on V prom T . Veremos luego prom = 49 + 4, 9T . que esta sustituci´on on no se puede hacer en todos los casos.
Figura 1.4. Secantes y tan-
gentes
16
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
El problema de las tangentes Retomemos la situaci´on on descrita en el ejemplo de la velocidad de la piedra pied ra en ca´ ca´ıda lib libre. re. All´ All´ı consideramos un desplazamiento que satisface la relaci´on on 2 funcional d(t) = 4, 9t , donde la variable ariable independien independiente te t representa el tiempo y la variable dependiente d representa la distancia recorrida. La tabla 1.5 nos permite hacer un bosquejo de la gr´afica de la funci´on. on.
Tabla 1.5: Valores de d(t) = 4, 9t2 t segundos
1
1 ,5
2
2,5
3
3 ,5
4
4,5
5
5 ,5
6
d(t) metros
4,9
11, 025
19,6
30,625
44,1
60,025
78,4
99,225
122,5
148,225
176,4
El prob proble lema ma de la veloci elocida dad d que que estu estudi diam amos os en esa esa ocasi ocasi´´on on puede verse, desde el punto de vista gr´afico, afico, como un problema de rectas tangentes.
17
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
´ DE LA RECTA LA ECUACION
Recuerde que la ecuaci´on on de una recta (no vertical) est´a dada por y = mx + b. El valor m se llama la pendiente de la recta y es una medida de la inclinaci´ on de la recta con respecto al on eje x; el valor b se llama y intersecci´ on y determina la ordenada del punto en que la recta corta al eje y.
−
y
T
Si los puntos (x (x1 , y1 ) y (x2 , y2 ) pertenecen a la recta entonces podemos calcular la pendiente mediante la f´ormula ormula y2 y1 m= x2 x1
: y = mx + b
− −
p s(x
1 , y1 )
b
y la intersecci´on on se puede calcular mediante b = y1
− mx1
o
b = y2
− mx2.
p q s(x
2 , y2 )
θ y2 m= x2
Por ejemplo si una recta contiene los puntos ( 1, 3) y (2, (2, 4), entonces
−
m=
4
−3 = 1 2 − (−1) 3
y
b=4
− y1 − x1
Ex
− 13 · 2 = 4 − 23 = 103 .
De manera que la ecuaci´on on de la recta es 1 10 y = x+ . 3 3
y
T
Recuadro 1.3: Rectas .
La figura 1.5 corresponde a la gr´afica afica de la funci´on on y = 4, 9x2 . Esta es la misma funci´on on que vimos antes solo que usando otros nombres para las variables. Considere las tres rectas que se dan en la figura 1.6.
19 19,, 6
p
4, 9
p
p
1
0
2
Figura 1.5. d(t) = 4, 9t2
E
x
18
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1 .
. .. .. .................. . ... .. .. ................... ......... .... . .... ........................... . . .. ....................... . . s ...... (5, (5, 122. 122.5) ... ... .. .. .. . . . . . .... . . .. .... .. .... .. ........ ....... . ... .. . . . secantes .. . ..... .. .. .......% . .... .. . ...... .... .. .... .. . . . . .. ........ . . .. .. . I . . .. . . . . .. .. .. . tangente . . .. .... . . .. . ... .. . . . ... c . .. .... ... .. . . . . .. .... .. .... .... .. . . . . .. .... ................ .............. .. .. ..... . ...... .. . . . . . . . . . % . . . s . . . . . . . . . . . (4. (4.5, 99. 99.225) .. ......... ........ .. . . .. . . . .. ......... ....... . (4, (4, 78. 78.4) ..... . . . . . . . . .............. s............... .... ....... . . .. .. .. L1
.. .. L2
Figura 1.6.
.. .. .. L3
Secantes y tangentes
Las rectas L1 y L2 son secantes y cortan a la gr´afica afica en dos puntos. Mientras que intuitivamente vemos que la recta L3 es una recta tangente y solo “toca” a la gr´afica en el punto (5, (5, 122, 122, 5). Podemos calcular las pendientes de las rectas L1 y L2 utilizando la f´ormula ormula que se da cuando se conocen dos puntos pertenecientes a la recta (vea el recuadro 1.3), as´ as´ı obtenemos que
• La recta L
pasa por los puntos (4, (4, 78, 78, 4) y (5, (5, 122, 122, 5), por lo tanto la pendiente de la recta L1 es 1
m1 =
y tangente
T
secante
E
Figura 1.7. Secantes y tan-
gentes
122, 122, 5 78, 78, 4 44, 1 = 44, 5 4
− −
Esta es la misma velocidad promedio en el intervalo de tiempo entre los 4 segundos y los 5 segundos.
• La recta L
pasa por los puntos (4, (4, 5, 99, 99, 225) y (5, (5, 122, 122, 5), por lo tanto la pendiente de la recta L2 es 2
m2 =
122, 122, 5 99, 99, 225 23, 23, 275 = = 46, 46, 55 5 4, 5 0, 5
− −
Esto equivale a la velocidad promedio de los 4, 4 , 5 seg a los 5 seg. un podemos calcular m´as as pendiente de rectas secantes tomando • A´un valores de x m´as as pr´oximos oximos a 5, por ejemplo la pendiente de la recta que pasa por (4, (4 , 9, 117, 117, 649) y (5, (5, 122, 122, 5) es m∗ =
122, 122, 5 5
− 117, 117, 649 4, 851 48, 51 − 4, 9 = 0, 1 = 48,
x
C´ alculo de pendientes de rectas secantes
19
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Estas pendientes p endientes en cada c ada caso cas o corresponden corresp onden tambi´ ta mbi´en en a velocivelo cidades promedio. De la secante a la tangente
y
T
tangente
Figura 1.8. Tangentes
z
E
x
tangente
Figura 1.9. Tangentes
Sin embargo, no podemos utilizar esa f´ormula ormula para calcular la pendiente m3 de L3 puesto que solo conocemos un punto de esa recta. ¿De qu´e manera podr´ıamos ıamos intentar intentar un c´alculo alculo de m3 , es decir, de la pendiente de la recta tangente a la gr´afica en el punto (5, (5, 122, 122, 5)? Si en lugar de la recta recta tangente tangente consideramo consideramoss una recta secante secante cuya “inclinaci´on” on” sea muy pr´oxima oxima a ella, la pendiente de esta secante ser´a una aproximaci´on on de la pendiente de la tangente. Una ∗ posibilidad es la m calculada antes, de modo que podr´ podr´ıamos decir que 48, 51 m3 = 48,
∼
Pero podemos obtener mejores aproximaciones considerando valores de x cada vez m´as as pr´oximos oximos a 5. En la tabla 1.6 se dan algunas algunas aproximaciones de la pendiente de la recta tangente. Tabla 1.6 ∆y ∆x
∼= m
x
y
∆x
∆y
4,99
122,01049
0,01
0,48951
48,951
4,999
122,4510049
0,001
0,0489951
48,9951
4,99 4,9999 99
122, 122,49 4951 5100 0004 0499
0,00 0,0001 01
0,00 0,0048 4899 9995 9511
48,9 48,999 9951 51
3
Si seguimos la tabla 1.6 podemos considerar como valor de la pendiente de la recta tangente m3 = 49.
Pendie Pendiente nte de la recta tangente
20
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
1.2.1 1.2.1
La deriv derivad ada a como como raz´ raz´ on de cambio instant´ on aneo aneo
El ejemp ejemplo lo de la veloci velocidad dad de la piedra piedra en ca´ ca´ıda libre libre y el de la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto dado se refieren a la misma situaci´on. on. En ambos casos tenemos en primer lugar una funci´on: on: d(t) = 4, 9t2
o
f ( f (x) = 4, 9x2
Tambi´en en en ambos amb os calcula calc ulamos mos promedios: promedios: d(t) t
− d(5) −5
o
f ( f (x) x
− f (5) f (5) −5
Se calcularon varios de esos promedios con los valores de t o de as pr´oximos oximos a 5. x (variable independiente) cada vez m´as En ambos casos los promedios obtenidos fueron cada vez m´as as cercanos al valor 49. Valor que se interpret´o as´ı: anea de la piedra 5 seg despu´ desp u´es es de hab haber er • La velocidad instant´anea sido soltada es de 49 m/seg. m/seg.
• La pendiente de la recta tangente a la curva dada por f ( f (x) = 4, 9x2 en el punto (5, (5 , 122, 122, 5) es 49. m = 49. Entonces la conclusi´on on es: calcular calcular la velocidad velocidad instant´ instant´anea anea se reduce a calcular la pendiente de la recta tangente a la funci´on que describe el movimiento. Observe que en realidad ambas son la misma funci´on, on, solo que usamos diferentes nombres para las variables y la utilizamos utilizamos para interpr interpretar etar diferente diferentess situaciones situaciones.. Pero, Pero, podemos aplicar el proceso descrito antes a cualquier funci´on y para cualquier valor dado de la variable independiente. Este proceso es uno de los conceptos centrales en la rama de las matem´ matem´ aticas aticas que se llama C´ alculo Diferencial y tiene m´ultiples ultiples aplicaciones aplica ciones en las l as ciencias y las l as t´ecnicas ecnicas debido a que q ue much´ much´ısimos de los conceptos en estas ´areas areas tienen que ver con razones de cambio. Por ejemplo:
Velocidad elocidad instant´ anea = pendien endiente te de la recta tangente
velocidad es la raz´on on de cambio de la distancia con respecto • La velocidad es al tiempo.
• La aceleraci´ on es la raz´on on de cambio de la velocidad con respecto al tiempo.
Razones de cambio instant´ aneas
21
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
on de cambio de la masa con respecto al • La densidad es densidad es la raz´on volumen.
• La pendiente es la raz´on on de cambio de la altura con respecto a la distancia horizontal.
on de cambio de la cantidad de carga • La corriente es la raz´on el´ectrica ectrica con respecto respe cto al tiempo. tiemp o.
on de cambio del costo de la pro• El costo marginal es la raz´on ducci´ on on con respecto al n´umero umero de unidades producidas.
De la lista anterior podemos deducir la gran cantidad de campos en que se aplica. La derivada
El concepto al que nos hemos estado refiriendo es el que se llama derivada de una funci´ on en un punto y se puede interpretar como una raz´on on de cambio instant´aneo. aneo. As´ As´ı, seg´un un lo indicado antes la derivada de f ( f (x) = 4, 9x2 en x = 5 es 49. Esto se denota simb´olicamente olicamente por f (5) = 49 En general: general: si la derivada derivada de una funci´ funci´on on y = f ( f (x) en x = c es r se escribe f (c) = r
y
T ©
y = mx + b con m = f (c)
(Se lee: “efe prima de c es igual a r”). De lo comentado anteriormente podemos decir que si la posici´on de un objeto, en el tiempo t, que se mueve en l´ınea recta est´a dada por d(t), entonces su velocidad en el instante t = c est´a dada por d (c). De modo an´alogo alogo la pendiente de la recta tangente a la gr´afica afica de la funci´on on y = f (x) en el punto (c, ( c, f (c)) es m = f (c). Aplicaremos el procedimiento descrito antes para calcular algunas derivadas.
f ( f (c)
p r s(c, f (c))
E x
c
p Figura 1.10. Pendiente de la
tangente: f (c) y
T
Ejemplo 5 (Derivada de una funci´ on lineal). Calcular la derivada
de f ( f (x) = 3x + 1 cuando x = 4. Es decir, calcular f (4). Soluci´ on Formamos el cociente
q
f ( f (x) f (4) f (4) = 13 x
f ( f (x) x
(3x (3x + 1) − 13 − f (4) f (4) = , −4 x−4
4
−4 x
f ( f (x)
f (4) − f (4)
E
Figura 1.11. f ( f (x) = 3x + 1
x
22
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
simplificando la fracci´on on tenemos que (3x (3x + 1) 13 3x 12 3(x 3(x 4) = = = 3. x 4 x 4 x 4 No es siquiera necesario calcular valores para este cociente porque siempre va a ser igual a 3, de manera que f (4) = 3. Observ Observee que la funci´on on dada corresponde a una recta y que el valor obtenido es precisamente la pendiente de esa recta.
−
−
− −
− −
Actividad: Sea f la funci´ on on del ejemplo anterior.
Primero: escoja un valor cualquiera de x (el que desee). Segundo: Segundo: obtenga obtenga la derivada derivada de f en ese valor (usando ( usando el m´etodo eto do que se mostr´o). o). Tercero ercero:: repita repita el procedi procedimie mient ntoo con otros valo alores res y obteng obtengaa la derivada. Cuarto: analice sus resultados. Quinto: ¿c´ omo explicar omo explica r´ıa sus resultados result ados en t´erminos ermino s gr´ aficos? aficos? Ejemplo 6 (Calcular la derivada). Sea f ( f (x) = x3
y
T
− 2,
f ( f (x)
calcular la derivada de f cuando x = 2. Esto es, calcular f (2). Soluci´ on Seg´ un lo que hemos dicho consideramos el cociente un (x3 2) 6 f ( f (x) f (2) f (2) x3 8 = = x 2 x 2 x 2 y luego calculamos los valores de este cociente para valores de x cada vez m´as as pr´oximos oximos a 2 usando valores mayores que 2 y valores menores que 2. Lo m´as as c´omodo omodo es construir una tabla (tenemos f (2) f (2) = 23 2 = 6):
− −
− − −
f ( f (x) f (2) f (2)
−
− −
−
f (2) f (2) = 6 2
y
E
x x
Figura 1.12. f ( f (x) = x3
x
−2
−2
Tabla 1.7 valores mayores que 2
valores menores que 2 f ( f (x) f (2) f (2) x 2
− −
x
f (x)
0,5
15,25
1,5
1,375
1,261
0,1
12,61
1,9
6,120601
0,120601
0,01
12,0601
6,012006
0,012006
0,001
12,006
x
f (x)
f ( f (x)
− f (2) f (2)
2 ,5
13,625
7,625
2 ,1
7,261
2,01 2,001
x
−2
−2
f ( f (x) f (2) f (2) x 2
-4,625
-0,5
9,25
4,859
-1,141
-0,1
11,41
1,99
5,880599
-0,119401
-0,01
11,9401
1,999
5,988006
-0,011994
-0,001
11,994002
De la tabla vemos que para valores de x cada vez m´as as cercanos a 2, tanto mayores como menores que 2, se tiene que el valor del cociente f (x) f (2) f (2) x 2
− −
f ( f (x)
− f (2) f (2)
x
− −
23
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
es cada vez m´as as cercano a 12. Podemos decir que f (2) = 12.
Nota: Los valores que aparecen en esta tabla se obtuvieron uti-
lizando lizando un sencilla sencilla calculadora calculadora cient cient´ıfica. Se conserv conservaron aron hasta seis decimales proporcionados por la calculadora para no alterar mucho mucho los resultados. resultados. La misma observaci´ observaci´ on on vale para todos los c´alculos alculos num´ num´ericos ericos que aparecen en este libro. Ejemplo 7 (Calcular la velocidad). Un insecto se mueve sobre una
recta de manera que a los t segundos se encuentra a una distancia metros del origen origen.. Determ Determina inarr su velocida velocidad d a los d(t) = t + 1 metros 3 seg. seg. Soluci´ on La velocidad a los 3 seg es d (3), de modo que conside-ramos el cociente d(t) d(3) t+1 2 = t 3 t 3 y elaboramos una tabla en la que se calcula este cociente para valores muy pr´oximos oximos a 3, tomando valores mayores que 3 y valores menores que 3.
d
T 2 d(t)
2 3
− d(t)
−t
√
√
− −
−
E t
3
Figura 1.13. d(t) =
t
√t + 1
−
Tabla 1.8 valores mayores que 3
valores menores que 3
−3
d(t) d(3) t 3
− −
t
d(t)
0,12132
0,5
0,24264
2,5
1,870828
2,024845
0,024845
0,1
0,248456
2,9
3,01
2,002498
0,002498
0,01
0,249843
3,001
2,00025
0,00025
0,001
0,249984
t
d(t)
3,5
2,12132
3,1
d(t)
− d(3)
t
−3
d(t) d(3) t 3
-0,129171
-0,5
0,258342
1,974841
-0,025158
-0,1
0,251582
2,99
1,997498
-0,002501
-0,01
0,250156
2,999
1,99975
-0,00025001
-0,001
0,25001
De la tabla anterior deducimos que la velocidad del insecto a los 3 seg seg es de 0, 0, 25 m/seg.
Ejemplo Ejemplo 8 (Calcular la recta tangente). Determinar la ecuaci´on on
de la recta tangente a la gr´afica afica de la funci´on on f ( f (x) = 4 x = 1. Soluci´ on Tenemos que f (1) f (1) = 4
−1
2
=4
2
−x
cuando
2
− d(3)
z y=
−2x + 5
t
− −
y
T
3
p
E 1
x
−1=3
y entonces el punto de tangencia es (1, (1 , 3). Para conocer la pendiente de la recta tangente calculamos el cociente f ( f (x) x
d(t)
2
− f (1) (4 − x ) − 3 1−x f (1) = = −1 x−1 x−1
f ( f (x) = 4 x2, tangente: y = 2x + 5
− −
Figura 1.14.
24
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
para valores de x cada vez m´as as pr´oximos oximos a 1, seg´ un un la tabla siguiente: Tabla 1.9 valores mayores que 2
valores menores que 2 f ( f (x) f (1) f (1) x 1
− −
x
f (x)
0,5
-2,5
0,5
3,75
0,75
-0,5
-1,5
-0,21
0,1
-2,1
0,9
3,19
0,19
-0,1
-1,9
2,9799
-0,0201
0,01
-2,01
0,99
3,0199
0,0199
-0,01
-1,99
2,997999
-0,002001
0,001
-2,001
0,999
3,001999
0,001199
-0,001
-1,999
x
f (x)
f ( f (x)
− f (1) f (1)
1 ,5
1,75
-1,25
1 ,1
2,79
1,01 1,001
x
−1
f ( f (x)
− f (1) f (1)
x
−1
f ( f (x) f (1) f (1) x 1
− −
De la tabla anterior podemos deducir que la pendiente de la recta tangente es m = 2. Ahora obtenemos el valor de b. Tenem enemos os que que b = y mx y sustituyendo los valores y = 3, x = 1, m = 2 entonces
−
−
b=3
−
− (−2)(1) 2)(1) = 3 + 2 = 5. 5.
De modo que la ecuaci´on on de la recta es y=
−2x + 5.5.
1.3
GALILEO, LA CIENCIA MOD´ ERNA Y LAS MATEMATICAS
Se supone supone que los result resultado adoss sobre sobre la ca´ ca´ıda libre libre obteni obtenidos dos por Galileo fueron inferidos (o demostrados) a partir de un experimento realizado en la torre inclinada de Pisa en Italia (dejando caer dos balas de ca˜n´ non o´n de diferente diferente peso). Algunos Algunos historiadores historiadores han expresado dudas sobre si en efecto se realiz´o el experimento o no. Lo importante para la ciencia y el conocimiento, sin embargo, no es eso, sino las ideas sobre la naturaleza de la ciencia que Galileo promovi´ o. o.
Se proporciona alguna informaci´ on o n sobre sobre la vid vida y la obra de Galileo Galilei y su relaci´ on o n con con las las cien cienci cias as y las matem´ aticas. aticas.
25
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Principio Princ ipioss metodol´ meto dol´ ogicos ogico s
Galileo estableci´o dos principios del m´etodo etodo de la ciencia madura: por un lado, que las leyes f´ f´ısicas (mec´anicas) anicas) se deben describir a trav´es
Galileo Galilei
de las las mate matem´ m´ aticas aticas (relac (relacion iones es cuant cuantita itativ tivas) as) y, por otro lado, que estas leyes se obtienen y confirman por medio de experimentos controlados. Experimentaci´ on y matem´ aticas son fundamentos de la nueva ciencia. Los planteamientos de Galileo fueron decisivos en la revoluci´on on intelectual intelect ual y cient´ cient´ıfica del de l siglo sigl o XVII. XVI I. No debe olvidarse tampoco que el trabajo de Galileo en la mec´anica anica y la din´amica amica fue un punto medular del que partir´ partir´ıa Newton un unas as d´ecada eca dass desp de spu´ u´es. es . Galileo Galilei naci´o en Pisa, Italia, donde primeramente estudi´ o medici medicina na en la Univers Universida idad d de Pisa. Aprend Aprendi´ i´o matem´ aticas con un ingeniero privado y a los 17 a˜nos aticas nos se pas´o de la medicina a las matem´aticas. aticas.
La lucha por una nueva nueva cosmolog´ cosmolog´ıa
Galileo asumi´o la defensa de las ideas del astr´onomo onomo polaco Nicol´ Nicolas a´s Cop´ernico ernico (1473–1543), integrando en sus trabajos los resultados f´acticos acticos obtenidos por Tycho Brahe (1546–1601) y Johannes Kepler (1571– (1571–1630 1630). ). Este Este ultimo u ´ltimo hab hab´´ıa concluido que las orbitas o´rbitas de los planetas eran el´ el´ıpticas y no circulares, en desacuerdo con ideas que ven´ ven´ıan desde la Grecia antigua: que los c´ırculos eran las figuras perfectas perfect as que describ´ d escrib´ıan ıan la realidad. realida d. Para sus resultados Galileo us´o como base avances hechos por matem´aticos aticos renacentistas (Hier´onimo onimo Cardano, Nicolo Tartaglia y otros), pero su principal instrumento de batalla fue el telescopio (producto de la tradici´on on artesanal). A trav´ trav´es es del telescopio pudo descubrir importantes hechos que desestimaban el dominante geocentrismo (los planetas p lanetas giran alrededor alrededo r de la l a Tierra) Tierra ) y favorec´ıan ıan la la interpretaci´ on on heli he lioc´ oc´entr en trica ica de Cop´ Co p´ernico ernico (los planetas planeta s giran gi ran alrededor del Sol): que la Luna ten´ ten´ıa cr´ ateres ateres y monta˜nas, nas, que Venus muestra fases como la Luna, que Saturno parece estar dividido en tres partes, y que en torno a J´upiter upiter giran tres estrellas o lunas. Ya en 1610 Galileo public´o su libro Mensajero de las estrellas, estrellas, condensando condensando sus observ observaciones aciones revoluci revolucionaria onarias. s. Es, sin embargo, embargo, 22 a˜ nos nos despu´ desp u´es es en e n su s u libro l ibro Di´ alogo concerniente a los dos sistemas del mundo: el ptolomeico y el copernicano, copernicano, que atac´o frontalmente toda la cosmolog´ cosmolog´ıa aceptada y la filosof´ filosof´ıa del gran fil´ osofo osofo griego Arist´oteles oteles que hab´ıa ıa sido si do defendida defe ndida por los escol´ es col´asticos. asticos. El di´ alogo fue escrito en italiano para buscar una mayor audiencia para sus
La defens defensaa del hel helioiocentrismo
Galileo us´ o el telescopio
Un “juicio” “juicio” contra ontra el pensam pens amien iento to cient´ cie nt´ıfico ıfico
26
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
ideas. Galileo Galile o fue llevado a juicio en 1633 por p or la Inquisici´ Inqu isici´on. on. Fue condenado a arresto domiciliario durante el resto de su vida, y a renunciar p´ublicamente ublicamente al copernicanismo.
Sobre las matem´ aticas aticas
Un famoso p´arrafo arrafo escrito por Galileo es el siguiente: “La Filosof´ Filosof´ıa [la naturaleza] est´ a escrita en ese gran mundo que siempre est´a ante nuestra vista –y quiero decir el universo– pero no la podemos comprender si no aprendemos aprendemos primero primero el lenguaje lenguaje y los s´ımbolos ımbolos en los que est´a escrita. El libro est´a escrito en el lenguaje matem´atico, atico, y los s´ımbolos ımbolos son tri´ angulos, angulo s, c´ırculos y otras figuras geom´etricas, etricas, que sin su ayuda no es posip osible comprender una sola palabra de ´este; este; sin ellos uno vaga en vano a trav´ trav´es es de un oscuro laberinto”.
El lenguaje de la naturaleza
Con base en estas l´ıneas: ¿Podr´ ¿Podr´ıa usted se˜nalar nalar cu´al al pensaba Galileo que era la utilidad de las matem´aticas? aticas?
1.4 1.4
´ EJER EJERCI CICI CIOS OS DEL DEL CAP ITULO I
Completar En los ejercicios 1 a 5 complete correctamente la frase.
o una cuenta de ahorros 1. Un amigo suyo abri´
Mar´ıa pesaba p esaba 60 6 0 kg; luego de una dieta di eta su peso 2. Mar´
con c 2 00 000. 0. Al cabo cabo de tres tres me mese sess tie tiene cuenta, entonces la variaci´ variaci´ on on abc 2 300 en su cuenta, soluta de la cantidad de dinero en la cuenta fue de . c
fue de 58 kg. La variaci´on on absoluta en el peso de Mar´ıa fue de kg.
una cant cantid idad ad camb cambia ia de 200 unid unidad ades es a 3. Si una
una cant cantid idad ad aume aument ntaa en 375 unid unidad ades es 5. Si una
250 unidades entonces su variaci´on on relativa es %.
en un per´ per´ıodo de 3 horas, horas, enton entonces ces el cam cam-bio bio prom promed edio io por hora hora de esa esa cant cantid idad ad fue fue .
|
|
|
4. Si una cantidad inicial de 240 unidades au-
menta en un 30% entonces la cantidad final es .
27
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Selecci´ on on unica u ´ nica En los ejercicios 6 a 11 seleccione la opci´ on que completa o contesta correctamente el enunciado dado. 6. Si el cambio absoluto en una cantidad de X
unidades fue un crecimiento de 20 unidades entonces la nueva cantidad es (a) X
− 20
(b) X + X + 20
(c)
X 20
(d) 20X 20X
3X entonces el 7. Si una cantidad X cambia a 3X cambio relativo es (a) 30%
(b) 20%
(c) 200%
(d) 300%
8. Si C colones ganan intereses de manera que a
los 3 meses se convierten en C + 600 colones, entonces la raz´on on promedio a la que creci´o el dinero fue (a) (c)
+600 por me mess (b) (b) c| 200 por mes c| C +600 3 600 por me mess (d) (d) C + c| 600 C + 600 por mes
9. Una barra de metal a 65o C se coloca en una
habitaci´ on. on. Al cabo de 2 minutos minutos la tempertemperatura de la barra descendi´ o en un 10%. ¿Cu´al al es su nueva temperatura?
objetoo se muev ueve en l´ınea ınea rect rectaa de 10. Si un objet modo modo que: que: a los los dos dos min minutos utos de inici iniciad adoo el movimiento se encuentra a 10 metros del orig origeen, y a los los 4 min minutos utos de inic inicia iado do el movimiento se encuentra a 22 metros del origen; entonces su velocidad promedio es (a) 16 m/min (b) 5 13 m/min (c) 5. 5.5 m/min (d) 1. 1.8 m/min mueve en l´ınea recta de manera 11. Un objeto se mueve que a los t segundos de iniciado el movimiento se encuentra a s(t) = t2 + 1 metros del origen origen.. Si queremos estimar la velocidad instant´anea anea del objeto a los 2 segundos, entonces podemos utilizar valores de t cada vez m´ as as pr´oximos oximos a 2 para calcular el valor de la expresi´ on on siguiente: (a)
t2 + 6 t2 (b) t+2 t
− 56 −2
(c)
t2 t
−4 −2
(d)
t2 + 5 t+2
(a) 58. 58.5o C (b) 55o C (c) 71. 71.5o C (d) 75o C
Falso o verdadero En los ejercicios 12 a 18 diga si el enunciado dado es falso o verdadero (explique). ariacion o´n relativa de una cantidad es un 12. La variaci´ porcentaje.
15. Algunas rectas tangentes a una curva en un
punto pueden cortar a la recta en otro punto.
objetoo se muev ueve en l´ınea ınea rect rectaa de 13. Si un objet manera manera que la veloci velocidad dad promed promedio io entre entre el terc tercer er segu segund ndoo y el quin quinto to segu segund ndoo es de 20 m/seg entonces entonces necesariame necesariamente nte la velocivelocidad instant´ instant´ anea a nea del del objeto objeto en el cuar cuarto to sesegundo es de 20 m/seg. m/seg. Podemoss asegur asegurar ar que cuant cuantoo ma mayo yorr sea la 14. Podemo distancia distancia recorrida, recorrida, may mayor or ser´ a la velocid velocidad ad promedio.
afica afica de y = f ( f (x) 16. Si la recta tangente a la gr´ en el punto (c, (c, f (c)) es horizo horizont ntal al enton entonces ces f (c) = 0. entonces es podemos podemos asegur asegurar ar 17. Si f (c) = g (c) entonc que f ( f (c) = g (c). f (x) = 7x 18. Si f ( c
∈ R.
− 2 entonces f (c) = 7 para todo
28
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Problemas y preguntas de desarrollo r ecta de d e modo mo do que 19. Un ob jeto se mueve en l´ınea recta a los t segundos se encuentra a s(t) = t2 +2 +2tt+5 metros del origen. (a) Determine la velocidad promedio del ob jeto entre los 2 segundos y los 5 segundos. (b) Determine la velocidad promedio desde el instante en que inicia el movimiento (t (t = 0 seg) hasta el instante t = 5 seg.
21. De acuerdo con la figura 1.16, calcule c y f (c). y
T
.. ... .......... .. ............ . 7 , 5x − 12, 12, 5 ........ y = 7, 10 ................ . . .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . ..... ........... ..... Ex . .. .. .. ... c ... . .. . . ... . ... ... ........... .. .... ... . . •
y = f ( f (x)
(c) Utilizando el procedimiento estudiado en este cap´ cap´ıtulo d´e un estimado de la velocidad del objeto en el instante t = 5 seg.
Figura 1.16.
22. Use una tabla de valores para estimar f (2)
siendo f ( f (x) = x2
afica afica de una funci´on on 20. En la figura 1.15 se da la gr´ f y una una rect rectaa L tang tangen ente te a la gr´ grafica a´fica de la funci´ on o n en el punto (2, (2, 1); si se sabe que f (2) = 2, calcule la ecuaci´ on on de la recta L.
−
y
T
− x (utilice una calculadora).
23. Use una tabla de valores para encontrar la pen-
diente de la recta tangente a la curva y = x2 + x 1 en el punto (2, (2, 5). Elabore un dibujo de la situaci´ on. on.
−
s e mueve en l´ınea recta de modo mo do que 24. Un ob jeto se 1
q 2
Figura 1.15.
E
√
x
a los t segundos se encuentra a s(t) = t2 + 9 metros del origen. Usando una tabla de valores estime la velocidad instant´ anea anea del objeto a los 4 segundos.
CAP´ ITULO 2
L´ IMITES
La esencia de las matem´ aticas aticas es su libertad. Georg Cantor
Los dos conceptos centrales sobre los que se fundamenta el C´alculo alculo Diferencial e Integral son los de funci´ on y l´ımite. Si bien es posibl posiblee estudiarlos sin mucha referencia gr´afica, afica, la realidad es que se comprenden mejor si se posee a la par una visualizaci´ on on gr´ afica afica y geom´ ge om´etrica. etrica . De la la misma manera manera y como hemos po dido apreciar apreciar en el cap´ cap´ıtulo anterior, anterior, el concepto de derivada derivada (tambi´ ( tambi´ en en el de integral) admite un sentido eminentemente visual y su tratamiento gr´ afico afico es muy adecuad adecuado. o. En este libro daremos un especial ´enfasis enfasis a los aspectos geom´etricos etricos y gr´ aficos aficos presen presentes tes en los diferen diferentes tes asuntos asuntos que tratar trataremo emos. s. Por Por eso antes antes de entrar directamente al concepto de l´ımite vamos a repasar r´apidamente apidamente el tema de las funciones y la representaci´on on gr´ afica. afica.
2.1
´ FUNCIO FUNCIONES NES Y SU REPRES REPRESENT ENTA ACION ´ En esta secci´on on se repasa el GRAFICA
Como veremos al final de este Cap´ Cap´ıtulo en t´erminos erminos hist´ oricos, oricos, la representaci´ on on de curvas curvas geom´etricas etricas en coordenadas co ordenadas (en particular las l as rectangulares) tangulares) supuso supuso en el siglo XVII una aut´ entica entica revoluci´ revoluci´ on te´ orica, orica, fundamental para la creaci´ on on y progreso del C´alculo alculo.. Cada Cada punto punto de una curva se puede representar por n´umeros: umeros: las coordenadas coordenadas (x, (x, y), y la curva curva se podr´ podr´ıa describir describir por medio de una ecuaci´ ecuaci´ on. o n. De la mis misma ma manera, rec´ rec´ıprocamente, ıpro camente, una ecuaci´ ecuacion o´n nos dar´ıa ıa una curva geo geom´ m´etrica. etri ca.
concepto de funci´on. o n. Se da da ´enfasis enfasis a la obtenci´ obtenci on o´n de informaci´ on on cualitativ cualitativaa referreferente a una funci´on on a partir de su gr´afica. afica.
30
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1 coordenadas del punto P
El objetivo esencial de la geome geo metr´ tr´ıa anal´ an al´ıtica ıt ica es, precisamente, el de estudiar curvas curvas geom´etricas etricas de forma algebraica y ecuaciones algebraicas al gebraicas con su representaci´on on geom´ ge om´etri et rica ca.. Si se tiene la ecuaci´on on de una curva curva geom´etrica etrica es posible “traba jarla” algebraicamente y obtener resultados nuevos nuevos que por p or v´ıa meramente geo geom´ m´etrica etr ica no ser´ıan ıan posib po sibles les..
La gr´ afica afica de una funci´ on on
y
r T
c t sP ( P (x, y )
y
−r
O
x
−y −r
t s
Ex
r
P 1 (x,
#
−y )
coordenadas del punto P 1
Una funci´on on f ( f (x) = y o la ecuaci´ on on f ( f (x) y = 0 posee representaci´on on gr´afica afica en el plano plano coordenad coordenado. o. Por Por ejemplo, ejemplo, la Figura 2.3 nos da la gr´ afica afica de la funci´ on on y = f ( f (x) = 2x 2 x3 x
−
Figura 2.1. x2 + y 2 = r2 :
un c´ırcu ır culo lo
−
y la Figura 2.4 la de otra funci´on. on. Es importante se˜ nalar, sin embargo, que no toda ecuaci´ nalar, on on nos ofrece una funci´ funci´ on, on, ni toda curva curva geom geom´´etrica etrica represen representa ta la gr´ afica a fica de una funci´ on. on. Por ejemplo, la Figura 2.1 y la Figura 2.2 no representan funciones. Note que en las ultimas u ´ ltimas figuras mencionadas para casi todas las x en el eje de las abscisas se asigna dos y en el eje de las ordenadas (lo que “prohibe” la definici´on on de funci´on). on). De una ecuaci´on on o curva es posible en ocasiones obtener funciones. Por ejemplo, de x2 + y2 = r 2 (con r > 0)
Figura 2.2. Lemniscata:
3(x 3(x2 + y2 )2 = 100xy 100xy
podemos obtener dos funciones: y 2 = r2 x2 , sacando la ra´ ra´ız tenemos tenemo s
−
y= y=
√r2 − x2 −√r2 − x2
lo que gr´aficamente aficamente es: r =radio crculo ..... ....... y ..... .... T f ( f (x) = B. r
√r2 − x2
........y................. t . . . ...... . . . ... ..... ... .. E x .... x −r r O
Figura 2.3. La curva
y = 2x 2 x3 Dominio [ r, r], Ambito Ambito [ r, 0]
Dominio [ r, r], Ambito Ambito [0 [0, r]
−
Figura 2.5. Semicircunferencias
−
−
y
−r...
T
.rE x . . ... .. . .... . ....... y ... q.... ...................... √ −r 2 O
x
f ( f (x) =
−
r
− x2
y 4 T 3 2 1
−2 −−1 1
a
−x
Ex
1 2 3 4
Figura 2.4. Segm Segmen ento toss
recta
de
31
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Gr´ aficas aficas de funciones funcio nes sencillas senci llas Podemos representar gr´aficamente aficamente algunas de las funciones m´ as as sencillas: y
y
T y
y
T
T
T
k
con m < 0
con m > 0
E
E
x
(c, c)
t
y = mx + b
y = mx + b
t
c f ( f (x) = k
c
c
Ex
Ex
x f ( f (x) = x
Figura 2.6.
ambito: ´ambito:
Funciones lineales, dominio:
R,
Figura 2.7.
Funci´ on on constant constante, e, dominio: dominio: R, ambito: ´ambito: k
R
Figura 2.8.
Funci´ on on identidad identidad,, dominio: dominio: R, ambito: a´mbito: R
{}
y
f ( f (x) = ax2 + bx + c con a > 0
T
y
b2
− 4ac > 0
b
−
2a
x1
Figura 2.9.
x2
y
y
T
f ( f (x) = y b2
E
x
x1
ax2
+ bx + c con a < 0
b 2a
E
x2
Funciones cuadr´ aticas aticas o parab´olicas, olicas, dominio:
y
b 2a
−
R
y
T
3
s
s
2
s
s 1
−3 −2 −1 Figura 2.10.
3
s s 1
1 2
s
2
3
Ex
−3 −2 −1
s 1
E 2
3
4
− 4ac < 0
E
x
Considere ahora las siguientes dos gr´aficas aficas
T
f ( f (x) = ax2 + bx + c con a > 0 y b2
− 4ac > 0
−
T
x
x
32
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
¿Cu´ ales ales podr p odr´´ıan ser las ecuaciones de las funciones representadas por esas..gr´aficas? aficas?
Interpretaci´ on gr´ afica y
T y−intersecci´on on Q
y
s
Estudiar las caracter´ caracter´ısticas de una funci´ on o n a partir de su gr´afica afica es de mucha importancia para el C´ alculo. Vamos a hacer un ejemplo. alculo.
E
x
Ejemplo Ejemplo 1. 1. x intersecciones
−
Interpre Interpretando tando una gr´ afica afica
Considere la siguiente gr´ afica: afica:
Figura 2.11. Intersecciones
y
y = f ( f (x)
[a, + [= x
T
∞ { ∈ R/x ≥ a}
0
E
a
2
]a, + [= x
∞ { ∈ R/x > a}
0
L1
E
a
1 1
−5 −4 −3 −2 −1 creciente en el intervalo I f es estrictamente creciente si dados x1 y x2 en I : cuan cuando do x1 > x2 f ( f (x1 ) > f ( f (x2 ).
⇒
−4 Figura 2.14.
U
0
E
x
5
−3
y
T
4
L2
Gr´afica afica de y = f ( f (x)
f
E
x
A partir de ella determine la siguiente informaci´ on: on: a) El domi domini nio o y el ´ambito ambito de f . f .
Figura 2.12. f creciente
b) La imagen imagen de 4, y adem´ adem´ as as f ( f ( 2) y f (5). f (5).
−
f es estrictamente decreciente decreciente en el intervalo I si: cuando x1 > x2 f ( f (x1 ) < f ( f (x2 ).
⇒
y
T f
~ E
x
Figura 2.13. f decreciente
c) Los puntos puntos donde la curva curva corta a los ejes. d) Los intervalos intervalos donde f es creciente y donde es decreciente e) Las ecuaciones ecuaciones de las las rectas L1 y L2 que son tangentes a la curva en los puntos ( 2, 1) y (0, (0, 3).
−
−
33
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Soluci´ on: a) El domin dominio io es R y el ambito ´ambito es [ 4, + [.
− ∞
b) Tenemos enemos que f (4) f (4) = 0, f ( f ( 2) = 1, f (5) f (5) = 2.
− c) La gr´ grafica a´fica corta al eje x (x−intersecci´ on) on) en (4, (4, 0), (−1, 0), (−3, 0) y (−5, 0). Corta al eje y (y−intersecci´ on) on) en (0, (0, −3). d) Es creciente creciente en los interv intervalos alos [−4, −2], [1, [1, +∞[; es decreciente en ] − ∞, −4] y [−2, 1]. e) Note Note que la recta recta L1 pasa por el punto (−2, 1) y es paralela al eje x. Toda recta recta y = mx + b paralela al eje x tiene m = 0, por lo que es de la forma y = b. Entonces la ecuaci´ on on es y = 1 . Para poder calcular la ecuaci´on on de L2 se requiere m´as as informaci´ on on que no da la gr´afica. afica. Por ejemplo, si se tuviera la ecuaci´on o n de la funci´on on expl exp l´ıcit ıc itam ament entee y = f ( f (x), la pendiente de la recta tangente en el punto (0, (0, 3) se podr´ podr´ıa obtener obtener con los m´etodos eto dos del C´ alculo alculo Diferencial Diferencial (¿c´omo?). omo?).
−
Si se tiene la gr´afica afica es posible obtener informaci´ on on sobre una ecuaci´on on o una funci´on, on, pero no siempre es f´acil acil obtener la gr´afica. afica. Si se usa una tabla de valores debe obtenerse muchos puntos porque con pocos es posible equivocarse. y
[a, b] = x
{ ∈ R/a ≤ x ≤Eb}
a
b
]a, b[= x c
{ ∈ R/a < x < b} c
a
]
E
b
− ∞, a] = {x ∈ R/x ≤ a}
'
b
y
T
T t t t
t
E
t x
sugiere una recta
E
x
t t
t Figura 2.15.
t t t
Con pocos puntos se
Figura 2.16.
Con Con m´ as a s punt puntos os se puede apreciar mejor la gr´afica afica
Construir gr´aficas aficas de funciones a partir de su ecuaci´on on algebraica es precisamente una de las principales aplicaciones que posee el C´alculo alculo diferencial.
34
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Funciones
algebraicas
trascendentes
c sumas, restas productos, cocientes
c sen x
√x2 c+ 1 4 x + x2 − 1 √ c
ex
c log x
x+ 5 1 x x2 1
Figura 2.17.
2.2
−
−
Arbol de las funciones
EL PR PROCESO DE DEL L´ IMITE
Los cap´ıtulos ıtulos anteriores sirvieron para ilustrar i lustrar la importancia de este proceso en la matem´atica atica y sus aplicaciones a modelos que describen situaciones. Aqu´ Aqu´ı lo veremos con m´ as detalle y lo utilizaremos en funas ciones cualesquiera.
Mediante Mediante gr´ afico a ficoss y tabl tablas as de valores alores de las funcio funciones nes se introduce el concepto de l´ımite de una funci´on on en un punto. Tambi´en en se proporpropo rciona casos en los cuales el l´ımite ımi te no existe. exis te.
y T
Ejemplo 2.
Con la gr´ afica y una tabla de valores afica
¿Qu´e le sucede suce de a f ( f (x) =
x2
f tiende a 12
+ 3 cuando x se acerca a 3?
Soluci´ on: La figura 2.18 corresponde a la gr´ afica afica de esta funci´on. o n. En ella podemos ver que entre m´as as cerca se encuentren de 3 los valores de x, entonces los valores de f ( f (x) se encuentran m´as as cercanos a 12. La tabla 2.1 de valores refuerza esa percepci´on on gr´ afica afica Tabla 2.1
......................... ...... .... ............ . ..... . .. .. .................................... .................... . . . . .. ....... .....
3
2,5
2, 2,9
2,99
2,999
3,001
3,01
3,1
3,5
f ( f (x)
9,5
11,41 ,41
11,9 1,9401
11,99 9944001
12,00 0066001
12,06 06001
12,,61 12
15,25
12
... .................... ........ ............. .... ...................... .......................................... ......... ........ ... ...
............. c............. ............. ............. .............
............. ........ .....
12
............. ............. ............. ............. ............. .............
T
3
b 3i
Ex
x tiende a 3
Figura 2.18. f ( f (x) = x2 + 3
... ................... ....... ............. .... ....................... ........................................... ......... ........ ... ...
x
.......................... ..... .... ........... .. ....... .. ... ... .................................... ................... . . . . . .... ......
35
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Podemos ver que a medida que tomamos valores de x m´ as as pr´oximos oximos a 3, tanto para valores mayores que tres como para valores menores que 3, los valores de f ( f (x) se aproximan a 12.
Ejemplo 3.
x2 Si f ( f (x) = x
Con la gr´ afica y una tabla de valores afica
− 4 , ¿a qu´e valor se aproxima f ( f (x) si x se aproxima a 2? −2
Aqu´ı tenemo ten emoss la gr´afica afica de esa funci´on. on.
Soluci´ on:
y T
............. .............
f tiende a4
c ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... .. .. .. .. .. .. g .. .. .. .. .. .. .. 4 ............. ............. ............. T .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ..
b 2i
E
x
x tiende a 2
Figura 2.19.
f ( f (x) =
x
2
−4 −2
x
Podemos ver que, a´ un un cuando la gr´afica afica presenta una ruptura (hueco) en el punto (2, (2, 4), las im´ agenes agenes de valores de x muy cercanos a 2 son muy cercanas a 4. Tambi´ en en una tabla de valores utilizando valores de x pr´ oximos oximos a 2 tanto por la izquierda (menores que 2) como por la derecha (mayores que 2), nos convence de esa situaci´on. on. Tabla 2.2
.......................... ..... .... ........... .. ....... .. ... .... ...................................... .................. . . . . . .... .....
2
... ..................... ........ ............ .... ..................... .......................................... ........ ......... .... ...
x
1,5
1,9
1,99
1,999
2,001
2,01
2,1
2,5
f ( f (x)
3,5
3,9
3,99
3,999
4,001
4,01
4,1
4,5
.......................... ..... .... ........ .. .... ... .......................... ...................... ................ . . .... . . . . .. .....
4
... .................... ....... ............. .... ...................... .......................................... ........ ......... .... ...
As´ As´ı, de la tabla 2.2 deducimos que los valores de f ( f (x) se aproximan a 4 cuando los valores de x se aproximan a 2.
36
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Ejem Ejempl plo o 4. 4.
Por la dere derec cha y por por la la izq izqui uier erda da
Consideremos ahora la funci´ on on g(x) =
|x| .
Ty .................... .................... .................... .................... .................... 1 .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... 1 .................... .................... ........... .........
x
d
Ex
d−
Figura 2.20.
g (x) = | | x x
En su gr´afica a fica vemos que por la derecha de 0 las im´ agenes agenes son 1, mientras que por la izquierda de 0 las im´ agenes agenes son 1, la gr´ afica afica presenta un “salto” y entonces las im´agenes agenes no se acercan a un mismo valor. Podemos ver que el l´ımite no existe. Hagamos una tabla como las de los ejemplos anteriores para verlo de otra manera.
−
Tabla 2.3
.......................... ...... ............ .. ...... .... .. .... . ... ............................ ................... . ........... . . . ......
0
.... ..................... ....... ............ ..... ....................... .......................................... .......... ........ .. ..
x
-0,5
-0,1
-0,01
-0,001
0,001
0,01
0,1
0,5
g (x)
-1
-1 -1
-1
-1
1
1
1
1
.......................... ...... .... ....... . ... ... .................... ......... ................... ........ .................. . . .... ....
−1 | 1
.... ..................... ....... ............ .... ...................... ......................................... ......... ........ ... ...
Este caso difiere de los anteriores porque si tomamos valores de x por la izquierda de 0 entonces g (x) se hace 1, pero al tomar valores por la derecha de 0 entonces g (x) se hace 1. Esto es: la tendencia difiere seg´ un el lado en que tomemos los valores. un
−
Ejem Ejempl plo o 5.
Crec Crecim imie ien nto ilim ilimit itad ado o
1 Ahora hagamos lo mismo para f ( f (x) = , para valores de x cercanos a x 0.
37
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
En la figura 2.20 vemos que a medida que nos acercamos a 0 por la derecha, la gr´afica afica de la funci´on on “sube ilimitadamente” sin aproximarse a ning´ un un valor valor en particular. particular. Si vamos vamos por la izquierda izquierda de 0, la gr´ afica afica de la funci´on on “baja ilimitadamente” y tampoco se aproxima a ning´ un valor en particular. La tabla t abla tambi´en en indica i ndica esa tendencia. tendenci a. Tabla 2.4
.......................... ..... .... ........... .. ....... .. ... .... .................................... ................... . . . . . .... ......
0
.................... ... ....... ............. .... ...................... .......................................... ......... ........ ... ...
-0,5
-0,1
-0,01
-0,001
0,001
0,01
0,1
0,5
g (x)
-2
-10
-100
-1000
1000
100
10
2
?
y
T T
.................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .......... .......... ....................
Ex
c
x
.......................... ..... ..... ........ .. .... .. .......................... ..................... ................ . . .... . . . . .. .....
crece indefinidamente
decrece indefinidamente
Figura 2.21. f ( f (x) =
1 x
... .................... ....... ............. .... ...................... ......................................... . ........ ......... ... ..
Viendo la tabla 2.4 y pensando en valores de x a´ un un m´ as as pr´oximos oximos a 0 es f´acil acil convencerse que si vamos por el lado derecho los valores de f ( f (x) crecen ilimitadamente (se dice que crecen sin cota) y si vamos por el lado izquierdo los valores decrecen ilimitadamente (decrecen sin cota).
Comentario sobre los ejemplos anteriores
Estos cuatro ejemplos tienen cosas en com´ un y cosas en las cuales diun fieren:
•
En primer lugar, tienen en com´un un el hecho de que tenemos un valor dado de x (es decir un valor de x previamente fijado) digamos x = c y, luego, consideramos valores de x cada vez m´ as as pr´oximos oximos a c, tanto valores mayores que c (por la derecha) como valores menores que c (por la izquierda). Esta situaci´ on se expresa diciendo que x on tiende a c y simb´olicamente olicamente se indica por x
−→ c
En el ejemplo 2, x
−→ 3; en el ejemplo 3, x −→ 2; en los ejemplos 4 y 5, x −→ 0. •
En segundo lugar, en los ejemplos 2 y 3, a medida que nos aproximam imamos os al valo alorr dado dado de x, no impo import rtaa si lo hace hacemo moss por por la izquierda o por la derecha, los valores de f ( f (x) se van aproximando a un valor fijo L. Decimos en este caso que f ( f (x) tiende a L y escribimos f ( f (x) L
−→
La situaci´ situaci´ on on completa comple ta se expresa as´ as´ı:
La ide idea intu intuit itiv ivaa de l´ımite
38
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
“El l´ımite ım ite de f ( f (x) cuando x tiende a c es igual a L” Simb´olicamente olicamente se escribe escribe lim f ( f (x) = L
x
→c
Se tiene entonces que lim x2 + 3 = 12, 12,
x
→3
x2 x→2 x lim
− 4 = 4. −4 EL VALOR ABSOLUTO
Recuerde que el valor absoluto se define de la siguiente manera:
|x| = −xx
si x 0 si x < 0
≥
Lo anterior significa que si un n´ umero es positivo o cero entonces es igual a su valor absoluto y si el umero n´umero umero es negativo entonces su valor absoluto es su opuesto. Algunas propiedades
1) x 0 para todo x R 3) x + y x + y para todo x, y en R 5) x > k es equivalente a x > k o x < k
| |≥ ∈ | |≤| | | | ||
−
2) xy = x y para todo x, y en R 4) x < k es equivalente a k < x < k
| | | || | ||
−
Recuadro 2.1: Valor absoluto
.
•
En el ejemplo 4 tenemos una situaci´ on on diferen diferente. te. En este caso, caso, cuando x tiende a 0 por la derecha entonces g (x) tiende a 1, pero cuando x tiende a 0 por la izquierda se tiene que g (x) tiende a 1.
−
En estas circunstancias circunstancias se dice que el l´ımite de g (x) cuando x tiende a 0 no existe existe. Es decir
|x| lim →0 x
x
•
no existe.
Finalmente, en el cuarto ejemplo tampoco tamp oco existe el l´ımite de f ( f (x) cuando x tiende a 0, porque la tabla no presenta tendencia hacia ning´ un un valor valor fijo sino que las im´agenes agenes crecen o decrecen de crecen sin l´ımite a medida que aproximamos x a 0. Esto es: 1 x→0 x lim
no existe.
Un l´ımite que no existe
39
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
De acuerdo con lo anterior damos la siguiente definici´ on on intuitiva de l´ımite.
Definici´ on o n 2.1. 2.1.
El l´ımit ımite e
Decimos que el l´ımite de f ( f (x) cuando x tiende a c es igual a L si a medida que x se acerca a c, ya sea por la derecha como por la izquierda, entonces los valores de f ( f (x) se aproximan a L. Esto se escribe lim f ( f (x) = L. x
→c
La situaci´ on on anterior tambi´ en en se puede escribir como f ( f (x)
→L
cuando x
f tiende a L
→c
L
U
G h
Esto se puede ver gr´aficamente aficamente en la figuras 2.22 y 2.23.
zc' x tiende a c
Figura 2.22.
Ejempl Ejemplo o 6.
Existe Existenci ncia a de los l´ımite ımitess
La figura 2.24 representa una funci´on on y = f ( f (x).
y
T
4 3 2, 5
s c
1, 5
s
c s
s
s
1
c
E 4
− −
Figura 2.23. lim f ( f (x) = L
→
x
c
Figura 2.24.
3
1 2
y = f ( f (x)
4
6
8
x
40
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
A partir del dibujo tenemos lim f ( f (x) = 1,
lim f ( f (x) = 1, 5
x
→−4
x
→2
lim f ( f (x) = 1,
lim f ( f (x) = 2, 5
x
→1
Por otra parte:
• •
x
→6
lim f ( f (x) no existe existe porque porque cerca cerca de 3 la funci´ funci´ on on crece sin cota.
x
→−3
lim f ( f (x) no existe porque: si nos aproximamos a 3 por la derecha,
x
→4
los valores alores de f ( f (x) se apro aproxima ximan n a 4, y si lo hace hacemo moss por por la izquierda, los valores de f ( f (x) se acercan a 3.
Cuando tratamos t ratamos con los l´ımites debemos tener en consideraci´ on on una serie de situaciones: situaciones: 1. El l´ımite ımite de f ( f (x) cuando x c puede existir a´ un un cuando f ( f (c) no exista. Por ejemplo, recuerde que si
→
x2 f ( f (x) = x
−4 −2
entonces se tiene que x2 lim x→2 x
−4 =4 −2
y sin embargo f (2) f (2) no existe (porque en x = 2 el denominador se hace cero). 2. Por el contrario contrario,, puede ser que f ( f (c) exista y sin embargo lim f ( f (x) x→c no exista, tal es el caso si consideramos c = 4 en el gr´afico afico anterior. 3. Pued Puedee ser ser que que tant tantoo lim f ( f (x) como f ( f (c) existan pero no sean x→c iguales. En el gr´afico afico anterior se tiene, por ejemplo, f (2) f (2) = 2, 2, 5 y lim f ( f (x) = 1, 5.
x
→2
4. Finalment Finalmente, e, en muchas muchas ocasiones ocasiones existe existe el l´ımite de la funci´ funcion o´n cuando x c y este l´ımite es igual a f ( f (c). Por Por ejemplo ejemplo,, vimos vimos antes que lim (x2 + 3) = 12
→
x
→3
y tambi´ ta mbi´en, en , si f ( f (x) = x2 + 3 entonces f (3) f (3) = 12.
41
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
De todo esto lo que debe quedar quedar bien claro claro es: al calcular calcular lim f ( f (x) lo x
→c
que interesa es “lo que sucede con f ( f (x) para valores de x muy pr´ oximos a c y no lo que sucede en c mismo”. Es decir, no importa si f ( f (c) existe o no existe, y si existiera existi era no interesa qui´en en sea; se a; el l´ımite ımite no tiene t iene que q ue ver con f ( f (c) sino con los valores de f ( f (x) para x cercano a c.
2.3
´ CALCULO DE L´ IMITES
Hasta aqu´ aqu´ı hemos h emos calculado calcul ado l´ımites ımite s mediante m ediante la elaboraci´ elab oraci´ on on de una tabla o viendo gr´aficas aficas de funciones. funciones. En las tablas hemos escrito escrito valores valores de x suficientemente cercanos al valor x = c dado y hemos consignado las correspondientes im´agenes agenes obtenidas mediante el uso de una calculadora. A partir de estas im´agenes agenes hemos inferido el valor del l´ımite o hemos determinado que no existe. Esto est´ a bien para introducir el concepto y tratar de aclarar su significado. significado. En algunas ocasiones esto nos permite tambi´ en en tener una idea bastante acertada del l´ımite, sin embargo el uso gr´ aficas aficas o de tablas para calcula c alcularr l´ l´ımites ımite s no es todo to do lo eficiente que quisi´ qui si´eramos. eramos. B´ asicamente asicamente tenemos algunos problemas:
•
A veces no se conoce la gr´afica afica de una funci´on, on, o es muy dif d if´´ıcil de trazar.
•
Para algunas funciones en general es muy engorrosa la elaboraci´ on on de la tabla utilizando unicamente u ´ nicamente una sencilla calculadora.
•
No siempre el valor que uno puede inferir de la tabla es el correcto.
Como sucede muy a menudo en matem´ aticas, se puede tomar ataaticas, jos que nos permiten efectuar c´ alculos m´ as as r´apidos apidos y, a la vez, con la certeza de la l a validez de los resultados obtenidos. En el caso de los l´ımites ımites esto se logra con el uso adecuado de algunos teoremas que daremos a continuaci´ on on como propiedades de los l´ımites. Primeramente, Primera mente, comentaremo co mentaremoss dos l´ımites ımite s especiales. espec iales.
Dos l´ımites ımi tes especi esp eciale aless El l´ımite ımit e de una funci´ funcion o ´n constante
De la gr´afica afica 2.25 podemos ver que para cualquier valor de c tenemos que lim k = k x
→c
Los valo valorres de f ( f (x) que interesan
En esta secci´on on se establecen cen las las prop propie ieda dade dess de los los l´ımit ımites es y se dan dan alg algun unas as t´ecnicas ecnica s que permiten permi ten calcular muchos muchos l´ımites de funciones algebraicas, sin tener que recurrir ni a gr´aficas aficas ni a tablas.
Gr´ afic aficas y tabl tablas as no siempr siempree pueden pueden ayuayudar
y
T f ( f (x) = k k
t c
Ex
Figura 2.25. f ( f (x) = k
(constante)
42
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Ejemplo 7.
a) lim 2 = 2 x
→5
b) lim x
→−3
√
2=
√
2
c) lim 3, 5 = 3, 5
→ 12
x
El l´ımite de la funci´ funcion o ´n identidad
De la gr´ afica 2.26 podemos observar que para cualquier valor x = c se afica tiene que lim x = c x
→c
OPERACIONES OPERACIONES CON FUNCIONES FUNCIONES
Dadas dos funciones funciones f y g , en la parte com´ un de su dominio podemos definir: un
• • • •
La suma de f y g como (f (f + g )(x )(x) = f ( f (x) + g (x). La resta de f menos g como (f (f
− g)(x )(x) = f ( f (x) − g (x). El producto de f y g como (f (f · g )(x )(x) = f ( f (x) · g (x). El cociente de f sobre g como
f f ( f (x) (x) = (si g (x) = 0). g g (x)
Tambi´en en se define la composici´ del siguie siguient ntee modo: modo: supon suponga ga que que A, B y C son on on de funcio funcione ness del subconjuntos de R y sean f : A Byg:B C , a partir de ellas se define una nueva funci´on on que se llama la funci´ tal que que (g f )( f )(x x) = g (f ( f (x)). )). on on composici´ on on que va de A a C , se denota por g f y es tal
−→
−→
◦
◦
Esto significa que para encontrar la imagen de x bajo g f , f , primero se calcula la imagen de x bajo f y luego la imagen de f ( f (x) bajo g .
◦
Por ejemplo, si f ( f (x) = x + 2 y g (x) = x2 enton entonce cess (g f )( f )(x x) = g (f ( f (x)) = g (x + 2) = (x (x + 2)2 . Tamb Tambi´ i´en 2 2 se puede calcular (f (f g )(x )(x): (f g )(x )(x) = f ( f (g (x)) = f ( f (x ) = x + 2.
◦
◦
◦
Observe que ambos resultados difieren; debe tenerse mucho cuidado al calcular composiciones de funciones para no invertir el orden en que se aplican. Recuadro 2.2: Operaciones con funciones .
43
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
y
T
c
Ejemplo 8.
x
→5 x
→−3
c) lim x = x
→
1 2
c
−3
1 2
Ex
f ( f (x) = x
Figura 2.26. f ( f (x) = x (iden-
Propiedades Propi edades de los l´ımites ımite s Los l´ımites especiales comentados anteriormente junto con las propiedades generales general es de los l os l´ımites ımite s que vamos a dar aqu´ aqu´ı, nos permitir´ permi tir´ an an calcular una gran cantidad de l´ımites sin recurrir a tablas o a gr´ aficas. aficas.
tidad)
Operaciones Operaciones con l´ ımites ımites
Suponga que f y g son son fun funci cion ones es tale taless que que siguientes propiedades:
(c, c)
a) lim x = 5 b) lim x =
Teorema eorema 2.1.
t
lim f ( f (x) = L
x
→c
y
lim g (x) = M entonces se tienen las
x
→c
a) lim lim f ( f (x) + g (x) = L + M . M . “El l´ l´ımite de una suma de funciones es igual a la suma de los l´ l´ımites x
→c
de las funciones (cuando ´estos estos existen)” b) lim lim f ( f (x) x
→c
− g(x)
=L
− M . M .
“El l´ımite ımite de una resta de funciones es la resta de los l´ l´ımites de esas
funciones funcion es (cuando ´estos estos existen)” existe n)”
c) lim lim f ( f (x)g (x) = L M . M . “El l´ l´ımite de un producto de funciones funciones es el producto de los l´ l´ımites de x
→c
·
esas funciones funcion es (cuando (c uando ´estos estos existen)” existe n)” f ( f (x) L = , siempre que M = 0. “El l´ l´ımite de un cociente cociente de funciones funciones es el cociente cociente de los x→c g (x) M l´ımites ımite s de esas funciones funcione s (cuando ( cuando ´estos estos existen y el l´ımite en el e l denomina de nominador dor es diferente de 0)” 0 )”
d) lim lim
e) Si n es un n´umero umero entero entonces lim [f ( f (x)]n = Ln . Cuando n es negativo se debe tener que L = 0.
x
→c
“El l´ımite de una potencia p otencia de una funci´ on on es la potencia del l´ımite de esa funci´ funci´ on on (cuando (cu ando ´este est e existe y en caso de que el exponente sea negativo L = 0)”
√ n
f) Si n es un n´ umero natural entonces lim n f ( umero f (x) = L. En caso caso de que que n sea par debemos tener x→c L 0. “El l´ımite de la ra´ ra´ız n–´esima esima de una funci´ on on es la ra´ ra´ız n–´esima esima del l´ımite de la funci´ on on (cuando ´este este existe y cuando n es par si es mayor o igual que 0)”
≥
A continuaci´ on se da una serie de ejemplos que ilustran las propieon dades dades indicad indicadas. as. En todos los casos los c´ alculos alculos est´ an an basados en los l´ımites ımite s de la funci´on on constante y de la funci´on on identidad ya dados. Aplicaciones de las propiedades de los l´ımites
44
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Ejemplo 9.
a) lim lim (x + 15) = lim x + lim 15 = 3 + 15 = 18 x
→3
x
→3
x
→3
b) lim lim (x
x − lim 15 = 3 − 15 = −12 − 15) = xlim x→3 →3 lim lim 4x = lim 4 · lim x = 4 · 5 = 20 x→5 x→5 x→5 −3 x + 15 limx→3 (x + 15) 18 lim lim = = = x→3 x − 15 limx→3 (x − 15) −12 2 x
→3
c) d)
3
e) lim lim x = lim x x
→2
x
√
f) lim lim x = x→4 .
→2
3
= 23 = 8
lim x =
x
→4
√
4=2
Ejemplo 10.
Calcular lim (x2 + 2x 2x + 3). x
→2
Tenemos
Soluci´ on:
lim (x2 + 2x 2x + 3) =
x
→2
=
lim x2 + lim 2x + lim 3
x
→2
x
lim x
x 2
→2
2
→2
→2
+ lim 2 lim x + lim 3 x
→2
= 2 +2 2+3
·
x
· x→2
x
→2
= 4+4+3 = 11 .
Ejemplo 11.
x2 + 1 x→3 x + 2 lim
= = =
.
[limx→3 x]2 + limx→3 1 limx→3 x + limx→3 2 32 + 1 3+2 10 =2 5
45
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Ejemplo 12.
√x + 4 − 1 lim √ x→5 x2 + 2 + 1 3
= = = =
.
√ √
limx→5 ( x + 4 1) limx→5 ( 3 x2 + 2 + 1) limx→5 x + limx→5 4 1 3 limx→5 x2 + limx→5 2 + 1 5+4 1 3 25 + 2 + 1 9 1 3 1 2 1 = = = 3 3+1 4 2 27 + 1
√ √ √ − √ √ − − √
−
−
Si usted observa detenidamente estos ultimos u ´ ltimos cuatro ejemplos se dar´ a cuenta que basta evaluar la funci´ on en el valor hacia el que tiende x. Esto on es cierto en muchos casos, como sucede en los siguientes:
Ejemplo 13.
x2 + 1 22 + 1 5 = = x→2 x + 2 2+2 4
a) lim lim
x 4 3 4 1 = = x→3 x + 5 3+5 8
− − − √5 + x + 1 5 + (−2) + 1 √3 + 1 √ li m = = = 3+1 x→−2 x2 − 3 (−2)2 − 3 4−3
b) lim lim c) .
Pero la evaluaci´ on on directa no siempre siempre funciona. funciona. Considerem Consideremos os nuevamente x2 4 lim . x→1 x 2 Si intentamos evaluar en 2 obtenemos
− −
22 2
−4 = 0 −2 0
y esta es una expresi´on on indefinida.
46
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
y T
L´ımites ımite s determinado deter minadoss o indetermina indet erminados dos Decimos Deci mos que el l´ımite ımi te es e s determinado si al evaluar la funci´on on en el valor hacia el que x tiende tiende se obtiene obtiene el valor del l´ımite. En caso contrario contrario se dice que es indeterminado. Existen Existen varias formas indeterminadas indeterminadas;; la que acabamos de ver se llama la forma indeterminada 00 . Cuando Cuando al al intentar calcular un l´ımite ımite se obtiene o btiene una forma indeterminada i ndeterminada debemos echar mano de otros aspectos de la funci´on on para encontrar el l´ımite propuesto. Volvamos a x2 4 lim . x→2 x 2 Lo que sucede aqu´ aqu´ı es que
− −
lim (x
x
→2
f tiende a 4
............. .............
c ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . . . . . .g ....... 4 ............. ............. T ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
b 2i
E
x
x tiende a 2
Figura 2.27. f ( f (x) =
2
x
−4 −2
x
− 2) = 0
y entonces entonces la propiedad propiedad del l´ımite de un cociente cociente no se puede puede aplicar aplicar porque el l´ımite ımite del denominador es igual a 0. Sin embargo, en el ejemplo 3 hab´ hab´ıamos dicho, mediante el uso de una tabla, que x2 x→2 x lim
− 4 = 4. −2
¿Ser´ a que la tabla nos enga˜ n´ no´ o habr´ a una manera de verificar que este valor es correcto? La respue respuesta sta a esta esta pregun pregunta ta est´ esta´ fundam fundamen entad tadaa en la siguien siguiente te propiedad
Teorema eorema 2.2.
Dos l´ ımites ımites coinciden coinciden si ...
Si f y g son dos funciones definidas en un intervalo abierto que contiene a todo x del intervalo con x = c entonces
lim f ( f (x) = lim g (x).
x
→c
x
→c
En otras palabras, lo que est´a diciendo el teorema es que no importa lo que pase en c, si las funciones coinciden para valores cercanos a c los l´ımites indicados son iguales. En el siguiente dibujo se dan tres funciones que coinciden excepto en c. Se ve en ellas que los l´ımites cuando x c tienen que ser iguales.
→
c
y si f ( f (x) = g (x) par para
47
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
y y = f ( f (x)
y y = g (x)
T
t d
P L
→
Figura 2.28.
Ex
c
g(c) = L,
lim f ( f (x) = L
→
x
Ex
h(c) no existe, existe,
lim g (x) = L
c
d
L
c
f ( f (c) = P, x
T
t
L
Ex
c
y y = h(x)
T
lim h(x) = L
→
c
x
c
f , f , g y h difieren en c pero tienen el mismo mi smo l´ımite ımite en c
´ Y SIMPLIFICACION ´ FACTORIZACION
Factorizar es expresar un polinomio como producto de otros polinomios.
Por ejemplo, si usted realiza el producto (x (x 2)(x 2)(x + 3) obtiene como resultado x2 + x 6, en otras palabras: x2 + x 6 = (x 2)(x 2)(x + 3) de man maner eraa que que (x (x 2)(x 2)(x + 3) es una factori factorizac zaci´ i´ on on de x2 + x 6, se dice que (x (x 2) y (x (x + 3) son factores de x2 + x 6.
−
−
−
−
−
−
−
−
Simplificar un cociente de polinomios consiste en factorizar el numerador y el denominador y “tachar”
los factores que sean id´enticos enticos “arriba” y “aba jo” en la fracci´ on. on. 2 2 Por ejemplo, x + x 6 = (x 2)(x 2)(x + 3) y x 4 = (x ( x 2)(x 2)(x + 2), entonces
−
−
−
x2 + x 6 (x = x2 4 (x
−
−
−
− 2)(x 2)(x + 3) x+3 = 2)(x + 2) x+2 − 2)(x
La ultima u ´ltima fracci´ on on es simplificaci´ on de la primera (se tach´ on o el factor en com´ un un x 2). Existen muchos m´etodos etodos de factorizar polinomios; un repaso de ellos puede serle muy util u ´ til en el c´alculo alculo de lmites.
−
Las siguientes f´ormulas ormulas de factorizaci´ on on le pueden ayudar. x2 + 2xy 2xy + y 2 = (x + y )(x )(x + y) 2 2 x y = (x + y )(x )(x y) 3 3 x + y = (x + y )(x )(x2 xy + y2 )
−
− −
x2 2xy + y2 = (x y )(x )(x y) 3 3 2 x y = (x y )(x )(x + xy + y2 ) x2 + (a (a + b)x + ab = (x + a)(x )(x + b)
− −
−
Recuadro 2.3: Factorizaci´ on on . Lo que todo to do esto significa es: si se logra transformar transformar adecuadame adecuadamente nte la funci´on on dada en otra que sea equivalente a ella (salvo en el valor c
−
−
48
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
dado) y si la funci´on on nueva tiene ti ene un l´ımite determinado, determi nado, entonces: ´este este es tambi´ tamb i´en en el l´ımite ımi te de la funci´ func i´ on on original. original. Regresando una vez m´as as a x2 lim x→2 x sabemos que
x2 x
siempre que x = 2.
− 4, −2
− 4 = (x − 2)(x 2)(x + 2) = x+2 x−2 −2
De esta manera, seg´ un un el teorema: x2 x→2 x lim
− 4 = lim (x + 2) = 2 + 2 = 4 − 2 x→2
tal como lo indicaba la tabla.
C´ alcu al culo lo de l´ımit ım ite es: m´ etodo odos A partir del ejemplo anterior vemos que con el objeto de realizar estas transformaciones se utiliza los conocimientos del ´algebra algebra b´ asica asica tales como operaciones con fracciones racionales, factorizaci´ on on de polinomios, racionalizaci´ on on y simplificaci´ on de expresiones algebraicas en general. on A continuaci´ on se presenta varios ejemplos que ilustran estos proon cedimientos. En todos to dos los casos se trata t rata de l´ımites indeterminados de la 0 forma 0 . Cuando est´e calculando l´ımites haga siempre en primer lugar la evaluaci´ on on porque si el l´ımite no es indetermina indeterminado do no es necesario necesario realizar las transformaciones por m´ as as “extra˜ na” na” que sea la funci´on. on.
Prim Pr imer er m´ eto et o do: do : factorizar y simplificar
Ejemplo 14.
x2
−9 x→3 x2 − x − 6 lim
.
(x 3)(x 3)(x + 3) x→3 (x 3)(x 3)(x + 2) x+3 = l im x→3 x + 2 3+3 6 = = 3+2 5 =
l im
− −
L´ımites indeterminaindetermin ados. Evaluar primero
49
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Ejemplo 15.
x3 x→1 x2 lim
−1 −1
.
Ejemplo 16.
.
=
li m
(x
x
→1
1)(x2 + x + 1) − 1)(x (x − 1)(x 1)(x + 1)
x2 + x + 1 = li m x→1 x+1 3 = 2
x2 − 3x + 2 − lim = x→2 x2 − 5x + 6 (x − 2)(x 2)(x2 + x − 1) lim = x→2 (x − 3)(x 3)(x − 2) x2 + x − 1 5 lim = x→2 −1 = −5 x−3
x3
´ RACIONALIZACION
En una fracci´on on algebraica que contenga radicales, racionalizar es eliminar el radical del denominador o del numerado numerador. r. Normalmen Normalmente te el radical radical no desaparece desaparece del todo de la expresi´ expresion o´n sino que “cambia de lugar”. Ejemplo: Racionalizar el denominador en
√x + x2 + √x . Se trata de que el denominador denominador no contenga contenga races. El m´etodo etodo es multiplicar multiplicar el numerador numerador y el denominador por una expresi´on on que permita permita que en el denomina denominador dor no queden queden las races. races. Es de gran gran ayuda ayuda recordar las f´ormulas ormulas de factorizaci´ on on (vea el recuadro recuadro sobre ese tema). En este caso, con el fin de utilizar utilizar la f´ ormula de diferencia de cuadrados procedemos as: ormula
√ −√ √ √ √ √ √ − √x) √ √ √ √ x(√x + 2 − √x) x( x + 2 − x) x( x + 2 − x) √x + 2 2 − √x 2 = x + 2 − x = 2 x x+2+
=
x( x + 2 x) = x ( x + 2 + x)( x + 2
De modo parecido se procede si hay que racionalizar el numerador, pero en ese caso eliminando las races del numerador. Recuadro 2.4: Racionalizaci´ on on .
50
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
simplificar Segu Se gund ndo o m´ eto et o do: do : racionalizar y simplificar
Ejemplo 17.
√x − 2 Calcular lim . x→4 x − 4
Soluci´ on: En los casos anteriores utilizamos factorizaci´on on y simplificaci´ on para obtener una nueva funci´on. on on. Aqu´ Aqu´ı lo l o m´as as conveniente es racionalizar el denominador; para ello multiplicamos tanto el numerador como el denominador de la fracci´ on on por x + 2.
√
√x − 2 lim x→4 x − 4
√ − √ − √ −√ − √
( x 2)( x + 2) = l im x→4 (x 4)( x + 2) x 4 = l im x→4 (x 4)( x + 2) 1 = l im x→4 x+2 1 1 = = 4 4+2
√
.
Ejemplo 18.
√6 + x − x lim x→3 3−x
= = = = =
.
√
−√ √
( 6 + x x)( 6 + x + x) l im x→3 (3 x)( 6 + x + x) 6 + x x2 l im x→3 (3 x)( 6 + x + x) (3 x)(2 + x) l im x→3 (3 x)( 6 + x + x) 2+x l im x→3 6+x+x 2+3 5 = 6 6+3+3
−
− √ − −√ −
√
√
51
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Ejemplo 19.
Calcular Calcular lim x
→−1
√x + 5 − 2 x+1
Aqu´ Aqu´ı raciona r acionalizam lizamos os el denomin d enominador: ador:
Soluci´ on:
lim
x
→−1
√x + 5 − 2 x+1
= = = = =
.
√
−√ √
( x + 5 2)( x + 5 + 2) l im x→−1 (x + 1)( x + 5 + 2) x+5 4 l im x→−1 (x + 1)( x + 5 + 2) x+1 l im x→−1 (x + 1)( x + 5 + 2) 1 l im x→−1 x+5+2 1 1 = 4 1+5+2
√− √
√
√−
on de los anteriores Terce er cer r m´ eto et o do: do : combinaci´
Ejemplo 20.
x2 + x lim x→−2 6+x
√
−2 −2
= = = = =
.
Ejemplo 21.
=
√ √ √ √− √
(x2 + x 2)( 6 + x + 2) li m x→−2 ( 6 + x 2)( 6 + x + 2) (x2 + x 2)( 6 + x + 2) li m x→−2 6+x 4 (x2 + x 2)( 6 + x + 2) li m x→−2 x+2 (x + 2)(x 2)(x 1)( 6 + x + 2) li m x→−2 x+2 lim (x 1)( 6 + x + 2) x
→−2
−12
√ −− − − − − √
52
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
− √x −1
1 lim 2 x→1 x
√x)(1 + √x) − √ li m x→1 (x − 1)(x 1)(x + 1)(1 + x) 1−x √ li m x→1 (x − 1)(x 1)(x + 1)(1 + x) −(x − 1) √ li m x→1 (x − 1)(x 1)(x + 1)(1 + x) −1 √ li m x→1 (x + 1)(1 + x) − 14 (1
= = = = =
.
Ejemplo 22.
√x + 4 − 1 Calcular Calcular lim √ x→−3 2x + 7 − 1
Soluci´ on: En este caso procedemos por “doble racionalizaci´on”, on”, del siguiente modo:
√x + 4 − 1 lim √ x→−3 2x + 7 − 1
= = = = = =
√ √
− √√ −√ − √ −√ √ √ √
√ √
( x + 4 1)( x + 4 + 1)( 2x + 7 + 1) l im x→−3 ( 2x + 7 1)( 2x + 7 + 1)( x + 4 + 1) (x + 4 1)( 2x + 7 + 1) l im x→−3 (2x (2x + 7 1)( x + 4 + 1) (x + 3)( 2x + 7 + 1) l im x→−3 (2x (2x + 6)( x + 4 + 1) (x + 3)( 2x + 7 + 1) l im x→−3 2(x 2(x + 3)( x + 4 + 1) 2x + 7 + 1 l im x→−3 2( x + 4 + 1) 1 2
√ √
Ejemplo 23.
Calcular lim x
→0
Soluci´ on:
1 x+2
− x1
x
Transformamos la funci´ on utilizando las operaciones con on
Doble racionalizaci´ on
53
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
expresiones algebraicas. lim
1 x+2
− x1
x
x
→0
=
li m
x
=
→0
li m
x
=
→0
li m
x
= =
−
x
−2
x(x+2)
x
−2x
→0 x(x + 2)
li m
x
x (x+2) x(x+2)
−2
→0 x + 2
−1
Ejemplo 24.
Calcular lim h
→0
√x + h − √x h
Soluci´ on: Observe que en este caso aparecen dos variables: x y h. Para efectos del c´alculo alcul o del l´ımite es h la que hacemos variar hacia 0 (pues dice h 0), la x se trata como si fuera constante. Tenemos entonces:
→
lim
h
→0
√x + h − √x h
= = = = = =
√
−√√ √ √ −√
( x+h x)( x + h + l im h→0 h( x + h + x) (x + h) x l im h→0 h( x + h + x) h l im h→0 h( x + h + x) 1 l im h→0 x+h+ x 1 x+0+ x 1 2 x
√ √
√
√
√
√x)
√
√
√
2.4
COORD COORDENA ENAD DAS Y GEOMET GEOMETR R´ IA ANAL´ ITICA
Pareciera lo m´ as natural el realizar la representaci´ as on on de curvas o funciones en coordenadas rectangulare rectangulares. s. Sin embargo, embargo, la humanidad humanidad tuvo
Aqu´ Aqu´ı se esboza esboz a brevemente el desa desarr rroll olloo hist hist´ oric o´ricoo de la Geometr´ Geometr´ıa Anal´ Anal´ıtica y se propo proporc rcion ionaa alg algun unaa ininformaci´ on on referente a Ren´e Descartes.
54
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
que atravesar un largo trayecto para esta construcci´on on matem´ atica atica que ser´ ser´ıa decisiva en el desarrollo del C´ alculo alculo y las matem´ aticas aticas modernas. modernas.
En la Antig Ant ig´ ´ıeda ıe dad d En la Grecia Grecia Antigua, Antigua, por diversas diversas razones, la aritm´ aritm´etica etica y el algebra a´lgebra se vieron subordinadas subordinadas a la geometr geometr´ıa. Los n´ umeros umeros y las relaciones num´ ericas ericas se estudiaban a partir de sus representaciones representaciones geom´etricas etricas (como por ejemplo, segmentos, areas a´reas o vol´ umenes), y las construcciones umenes), con regla y comp´ as as eran centrales. centrales. Por ejemplo, hoy en d´ıa nosotros nosotros expresamos expresamos la relaci´ relacion o´n algebraica (distributividad):
Representaci´ on geom geom´´etric etricaa en clides
Eu-
a(b + c + d) = ab + ac + ad. En la Antig´ Antig´ıedad, el famoso matem´ atico Euclides, en su libro Los Eleatico mentos (Libro II), escribi´o el equivalente de esa expresi´on on algebraica en t´ermi er mino noss geom ge om´´etri et rico cos: s: “Si tenemos tenemos dos l´ıneas rectas y cortamos cortamos una de ellas en un n´ umero cualquiera de segmentos, entonces el ret´angulo umero angulo contenido por las dos l´ıneas rectas es igual a los lo s rect´ angulos angulos contenidos por la l´ınea ınea recta que no fue cortada y cada uno de los segmentos anteriores.”
largo DC largo DE
D
E
G
C
Este teorema teorem a quer´ quer´ıa decir que:
ancho
AD
AD((DE + AD DE + EG + GC ) = AD DE + AD EG + AD GC
·
·
·
Con la ca´ ca´ıda definitiva de las civilizaciones griega y romana, siglo sig lo V d. C., lo que hoy hoy conocemos conocemos como Europa Europa (salvo (salvo Italia Italia y Grecia Grecia), ), se convirti´ o en una colecci´on on de pueblos aislados y de poco nivel cultural y educativo, bajo la influencia central de la Iglesia Cat´ olica. olica. Una buena parte de los textos griegos fueron rescatados, preservados, traducidos y ampliados ampli ados por p or los musulmanes musulmane s (despu´es es del siglo s iglo VII V II d. C.). La mayor´ mayor´ıa de estos textos ser´ ser´ıan conocidos por lo europeos hasta despu´ es es del siglo XII d. C., y esto contituy´ contituy´ o un factor importante del Renacimiento (siglos XV y XVI) y, tambi´ en, en, de la Revoluci´ on on Cient´ Cient´ıfica que se dar´ dar´ıa en el siglo XVII.
A
F
H
B
Figura 2.29.
Los textos textos grie griegos en el Renacimiento
En el nuevo momento hist´ orico orico Nuevos avances significativos en las ciencias y las matem´ atic at icas as despu´ des pu´es es de los griegos tuvieron que esperar m´as as de 15 siglos. Aunque hubo predecesores importantes como, por ejemplo, Nicole Oresme (circa (circa 1323– 1323–1382) 1382) y Fran´ ran´ıois Vi´ Vi´ıte (1540–1603 (1540 –1603), ), el resultado resulta do decisivo para pa ra “libera “li berar” r” a la aritm´etica etica y el algebra a´lgebra de su subordinaci´on on a la geometr geomet r´ıa, fue construi c onstruido do por p or los l os franceses f ranceses Ren´e Descartes Des cartes (1596–1650 (1596 –1650)) y Pierre Pierre de Fermat Fermat (1601–1665) (independiente (independientemen mente). te). Se trataba de la
Desc Descart artes es y Fermat: ermat: la construc construcci´ ci´ on de la geome geo metr´ tr´ıa anal´ an al´ıtica ıt ica
55
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
representaci´ on on de curvas curvas geom´etricas etricas en sistemas de coordenadas y, lo m´ as importante, el tratamiento del algebra as a´lgebr a y la l a aritm´ ari tm´etica etica sin tanta t anta liml imitaci´ on on con relaci´ on on a la representaci´on on geom´ geo m´etrica etrica antigua. Si las la s curvas de esta manera pod´ıan ıan describirse con ecuaciones algebraicas, tambi´ en en nuevas nuevas ecuaciones algebraicas permit´ permit´ıan definir nuevas nuevas curvas curvas que los griegos griegos antiguos antiguos no pod´ pod´ıan conocer (pues estaban estaban “amarrados” “amarrados” a las contrucciones geom´etricas etricas con regla y comp´ as). as). A los nuevos nuevos m´etodos etodos se les le s llam ll amar´ ar´ıa ıa Geom Ge omet etrr´ıa Anal Ana l´ıtic ıt ica. a. La nueva nueva geometr´ geometr´ıa permiti´ o considerar un sinn´umero umero de nuevos nuevos problemas matem´ aticos aticos y f´ısicos y, de la misma manera, pon´ pon´ıa en evidencia que el ´algebra algebra y la aritm´etica etica constitu consti tu´´ıan campos camp os te´ oricos oricos independientes pendi entes de la ggeometr´ eometr´ıa. ıa. Podr´ıa ıa decirse dec irse que los siguientes s iguientes siglos de la historia de las matem´ aticas ati cas ver´ ver´ıan un cambio cambi o de ´enfasis enfa sis de la geo geomet metrr´ıa hacia el algebra. a´lgebra.
Descartes y Fermat Debe se˜ nalarse que la construcci´on nalarse on de la geometr geomet r´ıa anal´ıtica ıtica fue completamente imprescindible para la creaci´ on on del C´ alculo alculo Diferencial e Integral. tegral. Cabe mencionar mencionar algunos detalles detalles interesan interesantes: tes: Por un lado, que el uso m´as as sistem´ atico de las coordenadas recatico tangulares tangulares “cartesianas “cartesianas”” fue realizado realizado m´ a s bien por Fermat que por as Descartes (quien us´o en general coordenadas oblicuas). En segundo lugar, la obra de Descartes en la que aparece la geometr´ıa ıa anal´ıtica ıtica fue publicada publica da en 1637 como un ap´endice endice del famoso libro El discur dis curso so del M´etodo etodo e intitulado: La G´eom´etrie. La obra de Fer- Un fun fundame damen nto mat ser´ ser´ıa publicada hasta 1679 (p´ ostumamente en la obra Varia opera C´ ostumamente alculo mathematica ). ). Sin embargo se ha demostrado que Fermat hab´ıa ıa descubierto el nuevo m´etodo eto do antes ante s que apareciera apareci era La G´eom´etrie de Descartes. En tercer lugar: lugar : los nuevos m´etodos eto dos algebraicos, algebr aicos, tanto para Descartes Desca rtes como para Fermat se enfocaron hacia la soluci´on on de probl pr oblema emass geom´ geo m´etricos. etri cos. Sin embargo, emba rgo, Descartes Descarte s ten´ıa ıa mejor me jor comprensi´ co mprensi´on on que Fermat en cuanto a que se trataba t rataba de una metodolog´ meto dolog´ıa ıa radicalmente radical mente nueva que qu e romp rom p´ıa con c on la tradici´ on on antigua. La geometr´ geometr´ıa anal´ anal´ıtica fue necesaria para la creaci´ on o n del C´ alculo, alculo, pero, tambi´en, en, se entendi´o mejor la importanci imp ortanciaa de la geometr geomet r´ıa anal´ııtica cuando el C´ alculo alculo se desarroll´ o. o.
• •
del del
•
Descartes Descart es y las matem´ aticas aticas Ren´ e Descartes al igual que matem´ atico atico fue un gran fil´osofo, osofo, f´ısico, y tambi´ tambi´ en en soldado. soldado. Fue abanderado abanderado del mecanicismo mecanicismo (la realidad realidad se describe con las leyes de la mec´anica) anica) y trat´ o de dar un nuevo nuevo m´etodo etodo para obtener conocimiento verdadero basado en las matem´ aticas aticas y sus m´etodos. eto dos. El siguiente siguie nte p´arrafo arrafo fue escrito por ´el: el: “...Todas las ciencias que tienen como finalidad investigaciones acerca del orden y la medida est´ an an relacionadas con
La mate matem´ m´ atic aticaa uniuniversal
56
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
las matem´ aticas. aticas. Es de poca trascendenc trascendencia ia si esta medida se mira en n´ umeros, formas, estrellas, sonidos, o en cualquier umeros, otro otro objeto. objeto. En acuerdo acuerdo con eso, debe existi existirr una ciencia ciencia general que debe explicar todo lo que puede ser conocido acerca del orden y la medida, considerados independientemente mente de cualquier cualquier aplicaci´ aplicaci´ on a un sujeto particular, y eso, on de hecho, esta ciencia tiene su propio nombre, consagrado por un largo uso, ... las matem´ aticas. Y una prueba que soaticas. brepasa en facilidad e importancia las ciencias que dependen de ella es que integra al mismo tiempo todos los objetos a los cuales ´estas estas se dedican y a muchas muchas otras m´as as a la par...” ¿Podr´ıa ıa usted se˜nalar nalar cu´ales ales son las ideas principales del p´ arrafo arrafo anterior?
57
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
2.5 2.5
EJER EJERCI CICI CIOS OS DEL DEL CAPITULO 2
Interpretaci´ on gr´ afica ales de las siguientes gr´aficas ales aficas representan funciones? 1. ¿Cu´ y
y
y
y
T
T
T
T
Ex
Ex
(a)
(b)
Figura 2.30. y
T (e)
. ..................... ... .... .. .. . ... ... ....... .... ... ... .. .. .. .. ............. .... ... .... .... .........................
Ex (c)
(d)
Figura 2.31.
Figura 2.32.
Figura 2.33.
y
y
y
T
T
T
Ex
Ex
(f) (f )
Ex (g)
Figura 2.35.
Figura 2.34.
Ex
Ex (h)
Figura 2.36.
Figura 2.37.
f ( f (x) = ax2 + bx + c. En cada cada caso caso indi indiqu quee si el 4ac es positivo, negativo o cero.
siguientes gr´ aficas aficas represen representan tan par´ abolas abolas 2. Las siguientes discriminante ∆ = b2 y
−
T Ex (a)
y
y
y
T
T
T
Ex (b)
Figura 2.38.
Ex (c)
Figura 2.39.
Ex (d)
Figura 2.40.
Figura 2.41.
58
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
y. 5 T
afica afica de una funci´on on que contenga 3. Dibuje la gr´
2, 5
los siguie siguient ntes es puntos puntos (0, (0, 4), 4), (2, (2, 0), ( 2, 1) y (3, (3, 2).
−
−
−5 −3
1 3 1, 5
figuraa 2.4 2.422 repr repres esen enta ta la gr´ grafica a´fica de una una 4. La figur
− −4
funci´ on on f , f , determine f (0), f (0), f (3), f (3), f ( f ( 3), la imagen de 5 y la imagen de 1.
−
−
Ex
Figura 2.42.
Las gr´ aficas aficas en los ejer ejercicios cicios 5 a 9 represe epresenta ntan n funcio funciones nes.. En cada caso prop propor orcio cione ne la siguie siguiente nte informaci´ on: 1. Domini Dominio o y ´ ambito de la funci´ on. 2. Los puntos de interse intersecc cci´ i´ on con los ejes. 3. Los intervalos intervalos donde la funci´ on es creciente y los intervalos donde es decreciente.
y
y
T
5.
.. .. ... ...... .. ..... ....... 4 .... ..... ................... . . ... . .... .. ... E x ... ..... ... . . . ... ...2 .. 1 2 4. .... ... ... 2 ................. 3
−
−
− −
Figura 2.43.
8.
T
4 3
6.
−5
............................... . .. .. .................................. . ... ... . . . . .... ..... ..... ..... . . . .... .... . ... . . ....
.. ... ... . . ... .....3 ..... ... ... . ... .... ..... .... ... ..... ...................... .......
Ex
7.
4 5
−
y .. . ..... T ... ... ... ..... ... . ... .. ... .... ... .. ... ........... 2 . . ......... ... .. .. .............. ... .. . ............. ......... ... Ex ... . 4 .2
− −... .. ... . .. ..
−4
Figura 2.44.
Figura 2.45.
y
y
... T ..... . . . . .... ....... ........................... ...... ...... 2...... ...... ...... ......
... . T .. ... ... ..... .. .. .. .. ... .... .. 5 3 3 5 .. ... . .. ... ... .. ...... .. . ... .. ... .. . . . .. .. .. ... .. .. ... .. .. .. .. .... ... ... .. .. . . ... ... ... ... ... ... ... .... ... .... ... ... .... .. ... ..... ... ...... .................. ...................................... .... 5
E .......... x ...... . . . ..... ... . . .. ... .... Figura 2.46.
9.
− −
−
Figura 2.47.
E
x
59
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Falso o verdadero En los ejercicios 10 a 16 diga si la afirmaci´ on dada es falsa o verdadera (explique).
on o n tal que lim f ( f (x) = 7 enen10. Si f es una funci´ x
→3
tonces podemos asegurar que f (3) f (3) = 7.
f ( f (x) 3 = , entonces podemos asegurar x→−1 g (x) 5 que que lim lim g (x) = 0.
lim 14. Si lim
x
f (5) no est´ a definido entonces lim f ( f (x) no 11. Si f (5) x
→5
existe.
→−1
lim f ( f (x) = 0 y l i m g (x) = 0 ento entonc nces es 15. Si lim
x
→c
x
→c
lim [f ( f (x)g (x)] existe y es diferente de 0.
x
on on polinomial p se tiene 12. Para cualquier funci´ que lim p( p(x) = p(4).
→c
f (x) = lim g (x) entonces podemos ase16. Si lim f ( x
→8
x
→4
x
→8
gurar que f (8) f (8) = g(8).
13. Si
f y g son funciones tal tales que lim [f ( f (x) + g (x)] exis existe te ento entonc nces es podem podemos os
x
→c
asegurar que lim f ( f (x) y lim g (x) existen. x
→c
x
→c
on o n tal que lim f ( f (x) = 8. Con Con 17. Sea f una funci´
figuraa 2.4 2.488 repr repres esen enta ta la gr´ grafica a´fica de una una 18. La figur
base en esto diga cu´ales ales de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cu´ales ales son falsas falsas (¿po (¿ porr qu´e?). e? ).
funci´ on on f . f . Para Para cada cada una una de las sigui siguien ente tess afirmaciones diga si es falsa o verdadera (explique).
x
→3
(a) Necesariamente f (3) f (3) = 8. (b) Para valor lores de x “suficientemente pr´ oximos” a 3, los valores de f ( oximos” f (x) son suficientemente pr´oximos oximos a 8. (c) Necesariamente existe un valor c muy cercano a 3 tal que f ( f (c) = 8. (d) Necesariamente, a partir de un cierto valor de x cercano a 3 los valores de f ( f (x) son iguales a 8.
1. f (0) f (0) = 2 2. f ( f ( 2) f ( f (x) para todo x en el dominio dominio de la funci´on. on.
− ≤
3. f (2) f (2) > f ( f ( 12 ) 4. Si b < a < 2 entonces f ( f (a) > f ( f (b).
−
5. Existe Existe c tal tal que f ( f (c) f ( f (x) para para todo x en el dominio dominio de f . f .
≥
y
T
−2
1
Figura 2.48.
3
Ex
60
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Selecci´ on on unica u ´ nica En los ejercicios 19 a 27 escoja la opci´ on que conteste o complete correctamente el enunciado propuesto. f (x) = 2 y lim g (x) = 0 entonces pode19. Si lim f ( x
x→3 →3 mos asegurar que
f ( f (x) no exis existe te.. x→3 g (x)
f ( f (x) =2 x→3 g (x)
(b) (b) lim lim
g (x) (c) lim no exis existe te.. x→3 f ( f (x)
g (x) (d) (d) lim lim =0 x→3 f ( f (x)
lim f ( f (x) = 3 enton entonces ces lim (f 2 (x) 20. Si lim x
→−2
x
→−2
igual a
(b) 5 (c) 8
(a) 1 (b)
1 3
− x→3 x − 3
ımi te lim 22. El l´ımite
(a) (a) 0 (b) (b) 1/3 (c)
(c) (c) 0
(a) 3 (b)
− x2) es
− | − |
−3
(c) (c) 2
2xh + h2 x2 + 2xh es igual a h→0 x+h (a) x (b) h (c) (c) 0 (d) (d) No No eexi xist stee
(d) 0
on on cuyo l´ımite ımite no existe cuando x 26. Una funci´ 2 es la siguiente: (a) f ( f (x) =
x 2 x+2
es igual a
(b) f ( f (x) =
−1/9
(c) f ( f (x) =
x2 +x 6 x 2 2x x+2 x 2 x2 4x+4
(d) (d) No exis existe te
−
−
−
− −
Para cierta funci´ on on f se obtuvieron las siguientes tablas de valores: 27. Para .......................... ...... .... ........... .. ....... . ... ........................... .................... . ... .............. . ... .....
0,8 3
0,88 3
0,888 3
... ...
0,9 2
0,99 2
0,999 2
... ...
1
0,8. . . 8 3
.......................... ...... .... .......... .. ...... .... ........................... ...................... . .. ............... . . . . . ......
x f ( f (x)
(d) (d) No exis existe te
ımi te lim 25. El l´ımite
(d) f ( f (x) =
x f ( f (x)
(d) (d) No exis existe te
x2 + x 2 es igual a x→1 x 1
|x| − x es x→1 x − 1 (b) 1 (c) −1 (d) 0 1 x
−1
ımi te lim 24. El l´ımite
21. El valor de lim
(a) 2
→−1 x + 1
x
(a) lim
(a) 13
|x + 1| es igual a
l´ımite lim 23. El l´
0,9. . . 9 2
.. ..................... ........ ............ .... ..................... ......................................... ........ ......... ... ....
1,0. . . 02 02 3 1
... ...
1,002 3
1,02 3
1,2 3
1,001 2
1,01 2
1,1 2
... ......................... ........ ............ ..................... ........................................ ........ ......... ... ...
1,0. . . 01 01 2
... ...
De acuerdo con esto, sobre lim f ( f (x) podemos decir que x
→1
(a) es igu igual al a 2 (b) (b) es igual igual a 3 (c) es igual a alg´ un un n´ umero umero en el intervalo ]2, ]2, 3[ (d) (d) no exis existe te
→
61
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Problemas y preguntas de desarrollo figuraa 2.49 2.49 repr repres esen enta ta la 29. La figur figuraa 2.5 2.500 repr repres esen enta ta la 30. La figur figuraa 2.51 2.51 repr repres esen enta ta la 28. La figur gr´ afica afica de una funci´on on f . f . Con base base en ella ella d´ e el valor alor de cada l´ımite o establez es tablezca ca que el el l´ımite ımi te no existe. exi ste.
gr´ afica afica de una funci´on on g. Con base base en ella ella d´ e el valor alor de cada l´ımite o estable e stablezca zca que el l´ımite ımi te no existe. exis te.
gr´ afica afica de una funci´on on h. En cada cada caso caso determ determine ine el valo alorr de cada l´ımite o establezca establezca que el l´ımite no existe. existe .
(a) (a) lim lim f ( f (x)
(a) (a) lim lim g (x) (b) lim g (x)
(a) (a) lim lim h(x)
(d) lim f ( f (x)
(c) lim g (x) (d) lim g (x)
(c) lim h(x)
y
(e) lim g (x)
→−4
(b) lim f ( f (x)
x
(c) lim f ( f (x) x
→1
x
→0
x
→−8
x
8 6 4 2 1
−4
→4
T r b 1
x
x
→0
x
→8
→−6
→4
→−3
→2
E
(d) lim h(x) x
→3
T 4
T b
−3
x
4
E
−8 −6
→0
y
y 20 15
x
x
x
r b
(b) lim h(x)
x
4
E
2 3
x
x
8
−4
Figura 2.49.
Figura 2.51. Figura 2.50.
on on f ( f (x) = 31. Considere la funci´
3x
− 1.
Util Utilic icee x una calcul calculado adora ra para para com comple pletar tar la siguie siguient ntee tabla: x 0.1 0.01 0.001 -0.001 -0.01 -0.1 f ( f (x)
32. Completando una tabla como la del ejemplo
3x 1 anterior estime el valor de lim x en caso x→0 2 1 de que exista. exista. ¿Puede ¿Puede dar un valor valor exacto exacto o solamente una aproximaci´ on? on?
De acuerdo con los resultados obtenidos, ¿es 3x 1 posible que exista lim ? x→0 x
−
Imagenconstruidautilizandounfractal
− −
62
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
En los ejercicio ejercicioss 33 a 36 calcule calcule el l´ımite ımite indicado utilizando el teorema teorema 2.1 y los l´ımites de la funci´ on identidad y la funci´ on constante, justifique cada paso.
56.
57.
(3x + 4) 33. lim (3x
35. lim
x
→2
s
→−1
3x 1 x→0 x2 + 2
−
34. lim
− s2
s+2
36. lim (x3 + x + 4)
→ 12
x
En los ejercicios 37 a 39 encuentre los l´ımites que se piden suponiendo que
√2 + x − 2 lim √ x→2 7+x−3 1 y
− 12 lim y →2 y − 2
1 1 + h− 1 58. lim h→0 h
x2 59. lim x→1 x
−1 | − 1| √ √2x + 2h 2h − 2x
60. lim
h
h
lim f ( f (x) = 4
x
→c
f (x) + 4g 4 g (x) 37. lim 3f ( x
→c
38. lim
f (x) + →c 2f (
x
y
lim g (x) =
x
→c
−2
62.
−
x2 x→7 x
− 49 −7 x2 − 2x − 3 lim x→3 x−3
t3 + 27 42. lim t→−3 t + 3
64.
48. lim
49. lim h
→0
52.
46. 47.
(x
+ h)3
65.
2
h
−
x3
s−9 √ s→9 s−3 √x + 5 − 3 lim x→4 x−4 2s − 4 lim √ s→2 s+2−2 √1 + t − √1 − t
50. lim
44. 45.
√x + 3 calcule lim f ( f (x) − f (2) f (2) x→2 x−2 g (x) − g(1) Dada g (x) = x2 + 3x 3x calcule lim x→1 x−1 h(x) − h(3) Dada h(x) = x1 calcule lim x→3 x−3
afica afica de la funci´on on f definida por 66. Bosqueje la gr´
2
→2 x − 2
51.
− x2 − 2x lim 2 x→2 x − 4 x3 − 2x + 1 lim 2 x→1 x + 3x 3x − 4 x2 − 5x + 10 lim x→5 25 − x2 x3 − 3x + 2 lim 4 x→1 x − 4x + 3
√x2 + 1 lim t→x t − x
x
t2 + 2t 2t 24 43. lim t→4 t 4
−
→−1 t + 1
f (x) = 63. Dada f (
En los ejercicios 40 a 62 calcule el l´ımite que se pide o determine que no existe.
41.
61. lim
g 2 (x)
40. lim
√t + 1 3
t
2g (x) + f ( f (x) x→c f ( f (x) g (x)
39. lim
→0
53. lim t
→0
54.
55.
t
√ 2− x−3 lim x→7 x2 − 49 √ 3− 5+r √ lim r→4 1 − 5 − r
f ( f (x) =
2 x 10
−x −2 − x2
si x < 2 si 2 < x < 3 si x 3
≥
y luego encuentre los siguientes l´ımites ımites o establezca que no existen: (a) lim f ( f (x)
(b) lim f ( f (x)
(c) lim f ( f (x)
(d) lim f ( f (x)
x
→2
x
→1
x
→3
x
→5
afica afica de una funci´on on f que sat67. Dibuje la gr´ isfaga simult´ aneamente todas las condiciones aneamente siguientes: (a) Su dominio sea [ 2, 2] 0, f (2) f (2) = 3, f ( f ( 1) = 1
− − {1} − −
(b) f ( f ( 2) =
(c) lim f ( f (x) = 0 (d) (d) lim lim f ( f (x) = 2 x
→0
x
→1
−
63
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
afica afica de una funci´on on g que sat68. Dibuje la gr´ isfaga simult´ aneamente todas las condiciones aneamente siguientes: (a) Su dominio sea R en todo su dominio
− {−2, 3}
(b) Creciente
(c) (c) lim lim f ( f (x) no no eexi xist stee (d) (d) lim f ( f (x) no existe x
→−2
x
→3
Escribaa un ejempl ejemploo de dos funcion funciones es f y g 69. Escrib tales que que lim [f ( f (x) + g (x)] existe y sin embargo x
→2
lim f ( f (x) no exis existe te o lim g (x) no existe.
x
→2
x
→2
on on g tal que g (x) = 0 para 72. Se tiene una funci´ todo x
g (x) = 1: ∈ R y xlim →0
a) Deter etermi min ne una lim [g (x) f ( f (x)] = 1.
f tal
que
b) Deter etermi min ne una una func funci´ i´ on on lim [g (x) h(x)] = 3.
h
tal
que
c) Deter termine una funci´ on on lim [g (x) p( p(x)] no exista.
p
tal
que
x
x
x
→0
·
→0
·
→0
·
·
x
→c
Considere ere la ecuaci ecuaci´ on o´n ax2 + bx + c = 0. 71. Consid Suponga que se mantienen constantes los coeficientes b y c (siendo b > 0). Si hacemos hacemos que el coeficiente a se aproxime a 0, 0 , ¿qu´e suceder´ s uceder´a con las ra´ ra´ıces de la l a ecuaci´ ec uaci´on? on?
−
on f del siguiente modo: 73. Se define una funci´on
funciones nes tales tales que 70. Suponga que f y g son funcio lim f ( f (x) = 0 y lim [f ( f (x) g (x)] = 1. Expliq Explique ue x→c x→c por qu´ e, e, bajo esa condiciones condiciones,, se puede concluir que lim g (x) no existe.
func funci´ i´ on on
f ( f (x) =
1 si x es n´ umero umero entero 2 si x no es n´ umero umero entero
a) Dibuje la gr´afica afica de f . f . b) ¿Existe lim f ( f (x)? x
→2
c) ¿Exi ¿Exist stee lim f ( f (x)? x
→3/2
d) ¿Par ¿Paraa que que valor alores es de c existe existe lim f ( f (x)?, x→c ¿cu´al al es el valor del l´ımite en los casos en que existe?
CAP´ ITULO 3
L´ IMITES LATERALES Y CONTINUIDAD
¿C´omo omo es posible que las matem´ aticas, aticas, un producto del pensamiento humano que es independiente diente de la experiencia, experiencia, se a juste tan excelenteexcelentemente a los l os ob jetos de la realidad f´ısica? ¿Puede la raz´ on humana sin la experiencia descubrir a on trav´ es es del puro pensamiento propiedades de las cosas reales? Mientras las proposiciones de las matem´ aticas aticas se refieren a la realidad, no son seguras; y si son seguras, no se refieren a la realidad. Albert Einstein Einstein . En este est e cap´ıtulo ıtulo vamos a estudiar es tudiar el concepto con cepto de continuidad , uno de los centrales en el an´alisis alisis de las funciones. Vamos a comenzar entonces con los l´ımites ımite s laterales. latera les.
3.1
LOS L´ IMITES LATERALES
En el Cap´ Ca p´ıtul ıt ulo o 1 estudiamos lim
|x| .
→0 x
x
En esa ocasi´on, on, mediante una tabla vimos que el l´ımite ımite no existe, pues si tomamos valores de x cada vez m´as as pr´oximos oximos a 0 pero mayores que 0 se obtiene como resultado 1, 1, mientras que si lo hacemos por la izquierda se obtiene como resultado 1. Sin embar embargo, go, podemos podemos hablar hablar de una manera m´ as as restringida de restringida de l´ımite ımit e por la izquie izq uierda rda y y l´ımite ımit e por la derecha .
−
Estudiamos en esta secci´on on los conceptos de l´ımite por la derec derecha ha y l´ımite ımite por la izquierda y su relaci´on o n con el concepto concept o de l´ımite.
66
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Ty g tiende a 1
e
x tiende a 0
.................... .................... .................... .................... .................... 1 .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... .................... 1 .................... .................... ....................
E
s
x
x tiende a 0
e− #
g tiende a
Figura 3.1.
−1
g(x) = | | x x
En el caso que nos ocupa decimos que el l´ımite ımite por p or la derecha es 1 y que el l´ımite por la izquierda es 1.
−
Definici´ on on 3.1. 3.1.
L´ ımites ımites latera laterales les
Decimos que el l´ımite f (x) cuando x tiende a c es L, si a medida que tomamos valores ımit e por la derecha dere cha de f ( de x, cada vez m´as as pr´oximos oximos a c, pero mayores que c, entonces f ( f (x) se aproxima a L. Simb´ olicamente olicamente lim f ( f (x) = L
→c+
x
Decimos que el l´ımite f (x) cuando x tiende a c es M , M , si a medida que tomamos valımit e por p or la izquierd izqu ierda a de f ( ores de x, cada vez m´ as as pr´oximos oximos a c, pero menores que c, entonces f ( f (x) se aproxima a M . M . Simb´ olicamente olicamente lim f ( f (x) = M
x
→c
y
−
T f tiende a L
L
f)
M
f
!
c f tiende a M
Figura 3.2.
L´ımites ımit es lateral lat erales es
E
x
67
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Funciones definidas “por partes”
Ejemplo 25.
Considere una funci´on on definida “por partes” como sigue: f ( f (x) =
4+x x2 + 1
si si
x<1 x 1
≥
El significado de esto es el siguiente: si queremos calcular la imagen de alg´ un un n´ umero menor que 1 usamos la primera f´ormula. umero ormula. Por ejemplo,
y
T
f (0 f (0,, 5) = 4 + 0, 0, 5 = 4, 5, f (0) f (0) = 4 + 0 = 4, 4, f ( f ( 3) = 4 + ( 3) = 1, 1,
−
etc.
−
Mientras que si queremos determinar la imagen de 1 o de valores mayores que 1 entonces usamos la segunda f´ormula; ormula; as´ as´ı, por ejemplo: ejemplo :
5 f tiende a 5
f (1) f (1) = 12 + 1 = 2, 2, 2
f (1 f (1,, 5) = (1, (1, 5) + 1 = 2, 2, 25 + 1 = 3, 3, 25 25,, f (2) f (2) = 22 + 1 = 5, 5,
p e f tiende a 2
p 2 p u p p p p E 1 2 3
etc.
Figura 3.3. y = f ( f (x)
Queremos Queremo s ver qu´e pasa pa sa cerca de 1. Si tomamos tomamos valores alores de x por la izquierda de 1 usamos para las im´ agenes agenes la forma x + 4 y, entonces, el l´ımite por la izquierda de f ( f (x) cuando x tiende a 1 es lim f ( f (x) = lim lim (x + 4) = 5. 5.
x
→1
−
x
→1
−
Mientras tanto, si tomamos valores de x por la derecha de 1 usamos la forma x2 + 1. Por lo tanto lim f ( f (x) = lim lim (x2 + 1) = 2. 2.
→1+
x
→1+
x
Observe en este ejemplo e jemplo anterior que el l´ımite de f ( cuando x f (x) cuando no existe (la figura 3.3 representa la gr´afica afica de esa funci´on). on).
→1
En realidad, realidad, para que un l´ımite exista debe existir existir tanto por la derecha como por la izquierda y ambos deben ser iguales.
Cal cularr los l´ımites Calcula ımit es separadamente
x
68
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
En funciones definidas “por partes”, como la anterior, si se quiere verificar verificar la existencia existencia del l´ımite en el punto punto o puntos puntos donde se parte, parte, deben calcularse separadamente los dos l´ımites laterales y corroborarse corrob orarse si son iguales o no.
Ejemplo 26.
y
p
T
Considere la funci´on on f ( f (x) =
3x 2 4x + 2
si si
−
10
r
4
c
x<2 x 2
≥
Determinar si existe el lim f ( f (x). x
→2
Soluci´ on:
E
x
E
x
2
Tenemos lim f ( f (x) = lim (3x (3x
x
→2
x
→2
−
−
− 2) = 4,4, Figura 3.4. y = f ( f (x)
lim f ( f (x) = lim lim (4x (4x + 2) = 10. 10.
x
2+
x
→
2+
→
Concluimos que lim f ( f (x) no existe. x
→2
Ejemplo 27.
Dada la funci´ on on g (x) =
−
x+5 +3
si si
x2
........... .. ........... .. ........... .. . ............ ........... .. ........... .. ........... .. ........... .. ........... .. ........... .. ........... ..
x x>
≤ −2 −2
r
y T 7
Determ Determina inarr si existe existe el lim g (x). x
→−2
Soluci´ on:
−2
Tenemos lim f ( f (x) = lim ( x + 5) = 7, 7,
x
→−2
−
Conclu Concluimo imoss que que lim f ( f (x) = 7. x
→−2
−
−
Figura 3.5. y = g (x)
lim f ( f (x) = lim (x2 + 3) = 7. 7.
→−2+
x
x
→−2
→−2+
x
69
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
3.2 3.2
CONT CONTIN INUI UID DAD
Al final de la Secci´ on 2.2 , se hicieron algunas observaciones sobre las posibles relaciones entre la existencia de lim f ( f (x) y el valor f ( f (c).
En esta secci´on on se establece el concepto concepto de continu continuidad idad en cone conexi xi´o´n con el concepto de l´ımite. ımite . Se estudian est udian propiedades de las funciones continuas.
x
→c
Retomemos esas observaciones y veamos su significado gr´afico. afico. y
T .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..........
L p
1. En esta esta gr´ grafica a´fica se tiene que:
c
lim f ( f (x) s´ı exist exi stee
• •
Ex
pc
x
→c
f ( f (c) no existe Figura 3.6.
y
y
T f ( f (c) p
T
.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..........
p s p c pc
P
Ex
Figura 3.7.
2. En estas estas gr´ graficas a´ficas se tiene que:
r
f (c)
• •
Ex
c
→c
f ( f (c) s´ı exist exi stee
Figura 3.8. y
T.......... s .......... .......... f ( f (c) .......... .......... 3. En esta esta gr´ grafica a´fica se tiene que:
• • •
lim f ( f (x) no existe
x
L
.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..........
c
lim f ( f (x) s´ı exist exi stee
x
→c
c
exis te, pero per o f ( f (c) s´ı existe, lim f ( f (x) = f ( f (c)
x
→c
Figura 3.9.
f ( f (c) L
Ex
tC
f ( f (c) = L
d Af tiende a L
Bc x tiende a c
70
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1 y
T d af tiende a f ( f (c)
f ( f (c)
4. En esta esta gr´ grafica a´fica se tiene que:
• • •
f ( f (c)
lim f ( f (x) s´ı exist exi stee
.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... ..........
x
→c
q s c
f ( f (c) s´ı existe y adem´as as
Ex
Ic x tiende a c
lim f ( f (x) = f ( f (c)
x
→c
Figura 3.10.
Un vistazo a las figuras anteriores nos permite darnos cuenta que, salvo en la ultima, u ´ltima, en todas las dem´ as as la gr´ afica afica de la funci´on on presenta alg´ un tipo de ruptura de la curva sobre el valor de x = c. En otras palun abras solamente la gr´ afica afica del ultimo u ´ltim o caso podr po dr´´ıa ser dibujada dibujad a “sin “si n levantar el l´ apiz apiz del papel”. Esta ultima u ´ltima es la que intuitivamente intu itivamente llamar´ l lamar´ıamos ıamos una funci´ on on de continuidad est´a on on continua. Precisamente la definici´ basada en la situaci´ on que se presenta en este ´ultimo on ultimo caso.
Definici´ on o n 3.2. 3.2.
Funci´ on continua: “sin levantar el l´ apiz”
Con Contin tinuida uidad d
Suponga que f es una funci´on on que est´a definida en alg´ un intervalo abierto que contenga a c. Decimos un Decimos que la funci´on on f es continua en x = c si se tienen las siguientes condiciones: 1. Existe Existe f ( f (c), esto es: c est´ a en el dominio de f . f . 2. Tambi´en en existe exi ste lim f ( f (x). x
→c
3. Adem´ Adem´ as as lim f ( f (x) = f ( f (c). x
→c
Si f no es continua en c se dice que es discontinua en c.
y
T y = f ( f (x)
Ejem Ejempl plo o 28. 28.
Disc Discus usi´ i´ on sobre la continuidad de on algunas funciones
1. Si tenemos tenemos una funci´ funci´ on on constante f ( f (x) = k, sabemos que para cualquier c se tiene tiene lim f ( f (x) = k y adem´as as f ( f (c) = k. Esto Esto nos nos x→c dice que es un funci´on on continua. 2. La func funci´ i´ on on identidad f ( f (x) = x tambi´ tamb i´en en es continua conti nua pues p ues f ( f (c) = c y lim x = c. x
→c
3. La funci funci´ on o´n f ( f (x) =
x2 x
− 1 es −1
q s
f (c)
c
Ex
lim f ( f (x) = f ( f (c)
x→c
Figura 3.11. f continua en c
71
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
(a) discontinu discontinua a en 1 porque f (1) f (1) no existe, pero (b) continua continua en en todos los dem´ as as puntos. Por ejemplo f (2) f (2) = 3 y x2 x→2 x lim
− 1 = 22 − 1 = 3 = 3 −1 2−1 1
En realidad, real idad, si al calcular calcul ar un l´ımite ımite cuando x c ´este est e se obtien obt ienee por p or simple evaluaci´ on on (es decir: no es un l´ımite ımite indeterminado), entonces la la funci´ on on es continua en c.
→
Teorem eorema a 3.1. 3.1.
Operaci Operacion ones es con funcio funciones nes contin continuas uas
Si f y g son funciones continuas en x = c entonces tambi´en en son continuas en c la suma f + f + g, la diferencia diferencia f g , el producto f g y, si g (c) = 0, el cociente f /g. /g. Por otra parte, si g es continua en c y f es continua en g (c) entonces la composici´ on on f g es continua en c.
−
·
◦
De acuerdo con este teorema y los puntos 1 y 2 del ejemplo anterior se tiene que la may mayor or´´ıa de las funciones funciones que manejamos manejamos en este nivel son contin continuas uas en todos los puntos puntos o casi casi en todos todos los puntos puntos.. Pues, Pues, efectivamente, estas funciones se obtienen mediante la combinaci´on o n de las operaciones indicadas en el teorema a partir de la funci´ on on identidad y de las funciones constantes.
Fun unci cion ones es con contin tinuas uas Las siguientes funciones
Ejem Ejempl plo o 5.
son continuas en todos los puntos de 1. f ( f (x) = 3x 3 x2 + 5x 5x 2. g (x) = 3. h(x) =
Ejempl Ejemplo o 6.
A parti artirr de la lass funfuncion cionees const onstan antte e identidad
√x2 + 1
R:
−1
2x2 + 4 5x 3 x2 + 2
−
Funcion unciones es contin continuas uas y discon discontin tinuas uas
x 3 es discontinua en x = 3 y en x = 3 x2 9 pues no existen ni f (3) f (3) ni f ( f ( 3) (en estos casos el denominador se anula). En todos los dem´ as as valores en R la funci´ on on es continua.
1. La funci´ funci´ on on f ( f (x) =
− −
−
−
Figura 3.12. f ( f (x) =
−3 −9
x
2
x
72
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
2. La funci funci´ on o´n f ( f (x) =
√x − 1 es continua para todo valor x ≥ 1.
Continuidad en un intervalo En general, decimos que una funci´on on es continua en R si es continua para todo x en R. Tambi´ ambi´en en decimos decimos que es continu continuaa en un interv intervalo alo abierto I si es continua para toda x en I . Nota: En el punto 2 del ejemplo anterior se tiene que el dominio
de la funci´ on on es el intervalo [1, [1, + [. En ese caso no tiene sentido habl hablar ar de lim f ( f (x) pues la funci´on on no est´a definida para valores
∞
x
→1
−
menore menoress que 1. Pero Pero en estas estas circunst circunstanc ancias ias diremos diremos que f es continua en [1, [1, + [ porque es continua en ]1, ]1 , + [ y adem´as as
∞
∞
lim f ( f (x) = f (1) f (1)..
→1+
x
Ejem Ejempl plo o 7.
Con Contin tinuida uidad d de un una a func funci´ i´ on on racional
Determinar en qu´ e conjunto es continua la siguiente funci´on: on: f ( f (x) =
x+5 x 3
x
+5
−3
x
−
Soluci´ on: El dominio de esta funci´ on on es R en todo su dominio.
Ejem Ejempl plo o 8.
Figura 3.13. f ( f (x) =
−{ 3} y la funci´on on es continua
Con Contin tinuida uidad d de un una a func funci´ i´ on on con una ra´ ra´ız en el denominador
Determinar d´onde onde es continua la funci´on on g (x) =
√1 x− x2
Soluci´ on: Esta es una funci´on on continua en todo su dominio, es decir en ] 1, 1[.
−
a Figura 3.14. g (x) =
x
√1−
2
x
73
Ejem Ejempl plo o 9. 9.
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Con Contin tinuida uidad d de un una a func funci´ i´ on definida por partes on
Determinar d´onde onde es continua la funci´on on h(x) =
2x + 1 x2 + 1 x 3
si x < 0 si 0 x si x > 2
≤ ≤2
−
y 5 T
Soluci´ on: Aqu´ Aqu´ı tenemos una funci´on on definida definida por partes partes.. Dentro Dentro de cada parte la funci´on on es continua, pero podr´ podr´ıa haber problemas con los l´ımites ımite s en los puntos de divisi´ di visi´on o n 0 y 2. Tenemos lim h(x) = lim lim (2x (2x + 1) = 1, 1, x
→0
x
→0
−
x
x
→
→
h(0) = 02 + 1 = 1, 1, por lo tanto la funci´ on on es continua en 0. Por otro lado, lim h(x) = lim (x2 + 1) = 5, 5,
→2
x
−
→0
−
lim h(x) = lim lim (x
→2+
→2+
x
x
− 3) = −1.
Esto dice que lim h(x)
x
→2
no existe y por lo tanto h no es continua en 2. Resumiendo la informaci´ on on decimos que h es continua en
Ejemplo Ejemplo 10.
R
− {2}.
Buscar Buscar la contin continuidad uidad si hay hay un par´ par´ ametro ametro
Encontrar un valor de d para el cual la siguiente funci´on on sea continua en todo R. dx2 3 si x 2 f ( f (x) = dx + 2 si x > 2
−
≤
Soluci´ on: Dentro de cada parte la funci´on o n es contin continua ua.. Para ara que que adem´ as sea continua en 2, debemos tener que as f (2 f (2)) = lim lim f ( f (x) = lim lim f ( f (x). x
→2
−
−1
a2
Figura 3.15. y = h(x)
0+
y adem´ as as
x
a 1 q
−
lim h(x) = lim lim (x2 + 1) = 1, 1, 0+
q
x
→2+
E
x
74
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Es decir, 4d
− 3 = 2d + 2.2.
Resolviendo esta ecuaci´on on resulta 4d
− 2d =
2+3
2d =
5 5 2
d= Entonces si d =
3.3 3.3
5 2
se tiene que f es continua en todo
R.
FUNC FU NCIO IONE NES S DISC DISCON ONTI TINU NUAS AS
Hemos visto anteriormente que las funciones pueden tener discontinuidades en algunos puntos. B´asicamente asicamente la dicontinuidad en alg´ un un punto x = c se presenta por alguna de las razones siguientes: A. El l´ımite ımite lim f ( f (x) no existe. x
→c
B. El l´ımite ımite lim f ( f (x) s´ı existe exi ste pero pe ro f ( f (c) no existe. x
→c
C. El l´ımite ımite lim f ( f (x) s´ı exis ex iste te,, f ( f (c) tambi´en en existe, existe , pero x
→c
lim f ( f (x) = f ( f (c).
x
→c
D. Ni f ( f (c) ni lim f ( f (x) existen. x
→c
Ejempl Ejemplo o 11.
Discon Discontin tinuid uidade adess de de dife diferen rentes tes tipos tipos
En la figura 3.16 se presenta una funci´on on f : f : y
T u
u
e e
e a
Figura 3.16.
E b
c
x
d
Diferentes tipos de discontinuidad
Clasificamos en esta secci´on on cier cierto toss tipo tiposs de disc discon on-tinui tinuida dade dess que que se pued pueden en presentar.
75
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Podemos ver que la funci´on on presenta cuatro puntos de discontinuidad. En x = a se tiene que f ( f (a) existe pero lim f ( f (x) no existe. x
→a
En x = b se tiene que f ( f (b) no existe y lim f ( f (x) tampoco existe. x
→b
En x = c se tiene que f ( f (c) no existe pero lim f ( f (x) si existe. x
→c
En x = d se tiene que f ( f (a) existe, lim f ( f (x) tambi´en en existe, pero x
→d
lim f ( f (x) = f ( f (d)
x
→d
Observando bien la gr´afica, afica, podemos ver que las discontinuidades son de diferen diferente te tipo. En c y en d la gr´ afica solo representa una “leve” afica ruptura, ruptura, solo se interrumpe interrumpe en un punto. Mientras Mientras que en a la gr´ afica afica “salta” de un lugar a otro y en b la gr´ afica “baja” indefinidamente. En afica los puntos en los que la gr´afica afica solo se interrumpe en un punto sucede que el l´ımite existe, mientras que en las otras o tras circunst c ircunstancias ancias el l´ımite ımite no existe. Con base en esto damos la definici´on on siguiente.
Definici´ on o n 3.3. 3.3.
Tipos Tipos de disc discon onti tin nuida uidad d
Sea f discontinua en x = c, decimos que (a) la discontinuidad es evitable si lim f ( f (x) existe. x
→c
(b) la discontinuidad es inevitable si lim f ( f (x) no existe. x
→c
En este caso, si
lim f ( f (x)
→c+
x
y
lim f ( f (x)
x
→c
−
existen pero son diferentes, se dice que la discontinuidad es de salto.
Ejempl Ejemplo o 12.
Clasifi Clasifican cando do discon discontin tinuid uidade adess
Para la funci´on on cuya gr´afica a fica se da en la figura 3.16 (ejemplo 11), las discontinuidades discontinuidades en x = c y en x = d son evitables. Las discontinuidades en a y b son inevitables. inevitables. Por otra parte, la discontinu discontinuidad idad en a es una discontinuidad de salto.
Los nombres que se dieron en la definici´on on anterior son bastante claros en cuanto a su significado. significado. Si se tiene una discontinu discontinuidad idad evitable en x = c bastar´ bas tar´ıa ıa redefini rede finirr f ( f (c) = lim f ( f (x) x
→c
76
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
para obtener una nueva nueva funci´ funcion ´on que s´ı es continua en x = c (as´ (a s´ı se evitar´ıa ıa la discontinuidad). disconti nuidad). Esto no se puede hacer en el caso de discontinuidades inevitables.
Ejemplo Ejemplo 13.
Caculando Caculando disconti discontinu nuidad idades es evitables evitables e inevitainevitables
Determinar cu´ales ales son los puntos de discontinuidad de la funci´on on f ( f (x) =
3x + 1 x2 + 3 4x + 1
si x < 1 si 1 < x si 3 < x
≤3
y 15 T 12 4
Indicar cu´ales ales son evitables y cu´ales ales son inevitables. inevitables.
b b b 1
Soluci´ on: La funci´on on est´ a definida en R 1, 3 tiene entonces dos puntos de discontinuidad: en x = 1 y en x = 3 Tenemos que
−{ }
lim f ( f (x) = 4
x
→1
−
y
lim f ( f (x) = 4
→1+
x
por lo tanto lim f ( f (x) = 4
x
→1
y entonces en x = 1 hay una discontinuidad evitable. Por otra parte lim f ( f (x) = 12
x
→3
−
y
lim f ( f (x) = 13
→3+
x
por lo tanto lim f ( f (x)
x
→3
no exis existe te
por lo que en x = 3 hay una discontinuidad inevitable y es de salto (porque existen los dos l´ımites laterales).
Ejem Ejempl plo o 14. 14.
Rede Re defin finie iend ndo o un una a func funci´ i´ on on
Determine los puntos de discontinuidad de la funci´ on on x2 f ( f (x) = x
−1 −1
y redefina la funci´on on para que sea continua en Soluci´ on:
R.
Figura 3.17.
3
Ex
77
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
La funci´on on es discontinua en x = 1 y adem´as as x2 lim x→1 x
1)(x + 1) − 1 = lim (x − 1)(x x+1=2 →1 − 1 x→1 x − 1 = xlim
La discontinuidad es evitable y si escribimos f ( f (x) =
x2 x
−1 −1 2
si x = 1
si x = 1
obtenemos una funci´on on id´entica entica a la funci´ on on dada (salvo en x = 1) y adem´ as as continua en x = 1.
78
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
3.4 3.4
´ NEWT NEWTON ON,, LAS LAS MATE MATEM MATICAS ´ CIENTFICA Y LA REVOLUCION
Con resultados en la mec´ anica anica y din´amica amica como los obtenidos por Galileo, y en la astronoma por Brahe y, especialmente, Kepler, los cientficos del siglo XVII tenan a su disposici´ on un mapa de gran riqueza intelectual. on En ese mapa se a˜ nada nada la visi´ on on metodol´ ogica de Galileo sobre las ciencias ogica y, tambi´ tamb i´en, en, la revoluci revol uci´ o´n realizada por la geometra analtica de Descartes on y Fermat. Fermat. Los m´etodos eto dos infinitesima infini tesimales, les, los l os del C´ alculo Diferencial e Intealculo gral, estaban a la orden del da. Muchos grandes cientficos y matem´ aticos aticos incursionaron en ese mapa intelectual, dando aportes de diferentes formas, pero solo una persona fue capaz de integrar en una sola unidad te´ orica orica astronoma, mec´ anica, anica, din´ amica amica y c´ alculo diferencial e integral: alculo puede deci decirr que que su trabajo trabajo cons consti titu tuy´ y´ o la c´ uspide uspide de la Newton . Se puede Revoluci´ on Cientfica del siglo XVII, y que abri´ on o una nueva fase en la historia del conocimiento.
Isaac Newton Isaac Newton naci´ o el 25 de diciembre de 1642, precisamente el a˜ no no que muri´o el gran gran Galile Galileo. o. El padre padre del peque˜ peque˜ no y enfermizo enfermizo Isaac haba muerto muerto antes antes que ´este este naciera, naciera, lo que haba sucedido sucedido prematurame prematuramente. nte. Fue cuidado por su abuela y, gracias a un to por parte de madre que haba estudiado en Cambridge y supo apreciar el talento del joven Newton, su madre lo matricul´ matricul´ o en esta prestigiosa universidad inglesa en 1661. Isaac no iba a estudiar matem´aticas aticas precisamente, porque en realidad no haba realizado ning´ un estudio en las mismas. De un hecho, al hacer sus ex´amenes amenes de ingreso recibi´ o una calificaci´ on de insuficiente en Geometra euclideana. on Estando en el Trinity College de la Universidad de Cambridge pareci´ o que al principio estudiara Qumica y, luego, incluso pens´o en pasarse de la ciencia al derecho. Podra decirse que las dos fuentes principales de su formaci´on on fueron sus estudios propios e independientes y, por otro lado, las lecciones de su profesor Isaac Barrow. Newton estudi´ o las obras de Euclides, Kepler, Vite, Descartes, Cop´ ernico, ernico, Galileo, Wallis y el mismo Barrow. Por iniciativa iniciativa de Barrow, Barrow, quien reconoci´ o el genio de Newton, le dieron a Newton la c´atedra atedra lucasiana de Cambridge en 1669. Estuvo en esta universidad hasta 1696.
Aqu se hace una breve rese˜ na sobre la vida y obra obra de Isaa Isaacc Ne Newt wton on en conexi´ on on con su aporte a la Fsica y a las Matem´aticas. aticas.
Una sntesis de astronoma, tronoma, mec´ mec´ anic anica y matem´ aticas
79
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
C´ alcu al culo lo y Mec´ Me c´ anic an ica a Cele Ce lest ste e Con la creaci´ on on del C´ alculo alculo Diferencial Diferencial e Integral Integral complet´ complet´ o los trabajos que desde Eudoxo y Arqumedes en la antigedad hasta Kepler, Galileo, Descartes, Fermat, Barrow y otros se venan realizando para dominar los m´etodos etodos infinitesimales, referidos a los procesos continuos e infinitos. Sin duda, el C´alculo alculo (cuya notaci´ on o n m´ as apropiada fue creada por el as alem´ an an Leibniz) represent´o el resultado matem´ atico atico m´ as as importante del siglo XVII, y probablemente junto con la geometra euclideana la creaci´on on matem´ atica de mayor influencia en el desarrollo de esta ciencia. Ya solo atica esto hubiera sido suficiente para inmortalizar a Newton, pero realiz´o otra haza˜ na na intelectual: la mec´ anica celeste. Fue la sntesis, fundici´on anica on y generalizaci´ on on te´ oricas oricas de los l os resultados de Cop´ernico, ernico, Kepler y Galileo. Con esta descripci´on on matem´ a tica de las leyes de la fsica se comatica pletaba una verdadera revoluci´on on intelectual, que rompa con los esquemas dogm´ aticos, aticos, cerrados, cerrados, acientficos acientficos que dominaron dominaron en la ´epoca epoca medieval.
El C´ alculo
La nueva fsica
Los Principia La obra que condens´o sus extraordinarias contribuciones a la mec´anica anica fue el famoso Principios matem´ aticos de la filosofa natural , de 1687. En este libro Newton dedujo con gran rigor matem´atico atico las leyes de Kepler sobre el movimiento planetario, las cuales haban sido establecidas de manera emprica. Newton demostr´ o que estas leyes se deducan de la ley gravitacional de los cuadrados inversos: F ∝
M M 1 . d2
[La fuerza de atrac atracci´ ci´ on entre entre dos cuerpos cuerpos celeste celestess es prop propor orcional cional a las masa masa de ambos ambos e invers inversame amente nte prop propor orcio cional nal al cuadr cuadrado ado de la distancia entre ellos.] ellos.] Explic´o el movimiento de los cuerpos celestes y el de las mareas. Grandes ideas en Tambi´en en establ est ableci eci´ o´ los fundamentos de la teora del movimiento de la poco tiempo Luna. El descubrimiento–contrucci´ descubrimiento–contrucci´ on o n del C´ alculo alculo lo realiz´ o entre 1665 y 1666, mientras estaba en su lugar de nacimiento, Woolsthorpe, en el campo, para escapar de la peste que afectaba Cambridge y todo Londres. Fue en esos dos a˜nos nos que Newton elabor´o las principales ideas de sus m´ as as grandes aportes a la fsica y a las matem´aticas: aticas:
• • • •
acerca de la gravitaci´ on on universal, las leyes de la composici´ on de la luz y la naturaleza de los colores, on el teorema binomial, y el C´alculo. alculo.
80
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Newton llam´ o a su C´alculo alculo con el nombre de “teora de las fluxiones”. Sus nuevos m´etodos etod os infinitesima infini tesimales les fueron fuero n usados plename p lenamente nte en la derivaci´ der ivaci´ on on matem´ atica atica de las leyes leyes fsicas. fsicas. El C´ alculo estaba presente en la sntesis alculo de la astronoma y mec´ anica anica que se dio con los Principia de Newton.
Con honores Newton muri´ o en 1727 con todo tipo de honores. Haba sido presidente de la Royal Society desde 1703, y hecho caballero en 1705. Fue enterrado en la abada de Westminster. Fue tanta la pompa que hubo en el entierro de Newton que el gran Voltaire, oltaire, que haba asistido, dijo: “He visto a un profesor de matem´aticas, aticas, solo porque era grande en su profesi´on, on, enterrado como un rey que ha hecho el bien de sus s´ubditos”. ubditos”. El impacto de la obra de Newton en la historia europea trascendi´o el plano matem´ atico. atico. Su descripci´ descripci´ on on matem´ atica de la realidad estableca atica un sistema del mundo que se contrapona a la visi´ on on dominante en la Edad Media. Tan claro fue eso que el mismo Voltaire fue quien introdujo en Francia los Principia de Newton (en franc´ es) es) para contribuir a las ideas de la Ilustraci´on, on, que, como se sabe, fue uno de los factores m´as as importantes en la Revoluci´ on on Francesa.
Volt oltair airee y la influen influen-cia de Newton
81
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
´ EJER EJERCI CICI CIOS OS DEL DEL CAP ITULO 3
3.5 3.5
Interpretaci´ on gr´ afica figuraa 3.1 3.188 repr repres esen enta ta la 2. La figur figuraa 3.19 3.19 repr repres esen enta ta la 3. La figur figuraa 3.20 3.20 repr repres esen enta ta la 1. La figur gr´ afica afica de una funci´on on f ; f ; con base base en ella ella dete determ rmin inee cada cada uno de los l os siguientes siguie ntes l´ımites ımite s o establezca que no existe: (a) lim f ( f (x) x
→−2 (b) lim f ( f (x) x→−2+ (c) (c) lim lim f ( f (x) (d) lim f ( f (x) x→−2 x→3 (e) (e) lim lim f ( f (x) (f) (f) lim lim f ( f (x) x→3 x→3+ −
−
y
T
gr´afica a fica de una una func funci´ i´ on on h; con base base en ella ella dete determ rmin inee cada cada l´ımite o establezca establezca que no existe: (a) lim h(x) x
→−2 (b) lim h(x) x→−2+ (c) (c) lim lim h(x) (d) lim h(x) x→−2 x→3 (e) (e) lim lim h(x) (f) (f) lim lim h(x) x→3 x→3+
2
−2
3
→−2 (b) lim h(x) x→−2+ (c) (c) lim lim h(x) (d) lim h(x) x→−2 x→2+ (e) (e) lim lim h(x) (f) lim h(x) x→2 x→2
−
−
−
y
y
T
T c
2
s
x
−
c
6
gr´ afica a fica de una funci´on on h; con base base en ella ella dete determ rmin inee cada cada l´ımite o establezca establezca que no existe: (a) lim h(x)
Ex
2 3
Ex
c −4
s
1
−2
−3
Figura 3.18.
Figura 3.19.
Ex
2
c
Figura 3.20.
En los ejercicios 4 a 7 se da la gr´ afica de una funci´ on. En cada cada caso caso diga diga cu´ ales son los puntos de discontinuidad de la funci´ on. Indiqu Indiquee en cada caso caso si la disc discontinu ontinuida idad d es evitab evitable le o inevit inevitabl ablee (en este caso diga si son o no de salto) 4.
5.
6.
y
s3 T c2 4
c
1
−4−3−2−1 Figura 3.21.
7.
y
1 2 3
y
T Ex
−−32 −1 Figura 3.22.
12 3
s c
Ex
y
4 T s 3 2 c
−3−2−1 Figura 3.23.
1 2 3
c s
Ex
4 T 3 2 1
−6 −4 −2 Figura 3.24.
c
s c
2 4 6
Ex
82
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Falso o Verdadero Suponga ga que que g es una func unci´ on tal que 8. Supon
En los ejercicios 9 a 13 diga si la afirmaci´ on dada es falsa o verdadera (explique).
lim g (x) = 5. En cada cada caso caso diga diga si la afirafir-
→2+
x
maci´ on es verdadera o falsa (explique). on
9. Si
lim f ( f (x) = lim f ( f (x) enton entonces ces se puede puede
x
→3+
x
→3
−
asegurar que f es continua en 3. 1. Necesa Necesaria riamen mente te lim g (x) = 5 x
→2
−
10. Siempre que f y g sean continuas en c se tiene
que
2. Necesariam Necesariament entee lim g (x) = 5 x
→2
f es continua en c. g
3. Necesariam Necesariament entee existe un n´ umero umero c > 2, muy cercano a 2 tal que g (c) = 5.
contin inua ua en 5 y lim f ( f (x) = 4 entonces 11. Si f es cont
4. A medida que que tomamos valores valores de x muy pr´ o ximos a 2, pero mayores que 2, los oximos valores de f ( f (x) se aproximan a 5.
12. La suma de dos funciones continuas en x = 5
→5+ podemos asegurar que lim f ( f (x) = 4. x→5 x
es continua en x = 5. on on continua en 2 y f (2) f (2) = 4 13. Si f es una funci´ entonces
Selecci´ on on unica u ´nica
f ( f (x) es continua en 2.
En los ejercicios 14 a 23 escoja la opci´ on que complete o conteste correctamente el enunciado propuesto.
on on que tiene exacta14. La siguiente es una funci´
on on 16. Los puntos de discontinuidad de la funci´
mente dos puntos de discontinuidad: x2
−1
x+1 (a) f ( f (x) = 2 (b) f ( f (x) = 2 x +1 x 1 x 1 x2 (c) f ( f (x) = 2 (d) f ( f (x) = 3 x + 2x 2x + 1 x
−
−
f ( f (x) =
−1 −1
antos antos valores alores de x es discon discontin tinua ua la 15. ¿En cu´ 1 ? 3 x +8 (b) 2 (c) 1 (d) 0
funci´ on on f ( f (x) = (a) 3
son
x + 4 si x 0 x2 si 0 < x < 3 2x + 3 si x 3
≤ ≥
(a) (a) 0 y 3 (b) (b) Sol Solo o el el 3 (c) (c) Sol Solo o el el 0 (d) Ninguno. Ninguno. e valor o valores de k la funci´on on 17. ¿Para qu´ f ( f (x) =
x2 + 4 si x k 2x3 + 3 si x > k
es continua en todo
≤
R?
(a) Solo para k = 1 (b) (b) Para ara k = 1 o k = 2 (c) Para cualquier valor de k (d) Para ning´ un un valor de k.
83
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
on para la cual se cumple que: on 18. Sea f una funci´ lim f ( f (x) =
x
→2
−
funci´ on tal que f ( f (4) = 2 y 21. Sea f una funci´
f (x) = −1 y f (2) f (2) = 1. −1, xl→im2 f (
lim f ( f (x) = 3. 3. Entonces, Entonces, podemos afirmar lo
+
x
→4
−
Considere las siguientes proposiciones:
siguiente:
I. lim f ( f (x) no existe,
(a) f es continua en x = 4 (b) lim f ( f (x) = 2
x
→2
→4+
x
II. f es continua en x = 2,
(c) lim f ( f (x) = 3 x=4
De las ante anteri rior ores es propo proposi sici cion ones es,, son son vererdaderas:
on on definida por f ( f (x) = 22. Sea f una funci´
(a) Todas (b) I y III (c) Solo Solo II (d) Ningun Ninguna. a.
Podemos afirmar lo siguiente:
tien tienee que que lim lim f ( f (x) = w y lim f ( f (x) = x
→
x
→2
−
entonces podemos asegurar que
2x 1 . 3x + 2
(a) f est´a definida y es continua en todo
una func funci´ i´ on continua en 2 y se 19. Si f es una 2+
(d) f es discontinu discontinuaa en
→4+
x
III. 2 no pertenece al dominio de f . f .
−
R
(b) f est´a definida y es continua en R
−{−2/3} (c) f est´a definida y es continua en R − {1/2}
−w
(d) f est´ a definida y es continua en R 2/3, 1/2
(a) w = 1 (b) w puede ser cualquier n´umero umero real real (c) (c) w = 2 (d) w = 0
− {−
}
afica afica de una 23. Si la figura 3.25 representa la gr´ on on continua en todo 20. Sea f una funci´
funci´ on on f , f , ¿en cu´ales ales puntos f est´ a definida y no es continua?
y sea g una funci´ funci´on o n que que satisf satisfac ace: e: lim g (x) = 2 y R
(a)
−1, 1,1, 2 y 3 (b) (b) −1 y 3 (c) −1, y 2 (d) −1, 2 y 3
x
→1
g (1) (1) = 0; podemo podemoss afirm afirmar ar que que el l´ımite ımite lim f ( f (g (x)) es igual a: x
→1
y
(a) f ( f (0)
(b) f ( f (1)
T
(c) f (2) f (2) (d) (d) No exis existe te..
e
u
u
e
−1
1
2
3
Figura 3.25.
Problemas y preguntas de desarrollo En los ejercicios 24 a 31 calcule el l´ımite que se indica o establezca que no existe. 24. lim
→6+
x
25. lim x
→6
−
26. lim
→2+
x
27. lim x
→2
−
− − 3
3
x3
x3
t2
29. lim
(t 2)2 t 2
t
√x − 6 √x − 6
t
8 8
− − −− −−
28. lim (
→5+ →2+
30. lim t
→2
−
31. lim y
→6+
25 + 3)
(t 2)2 t 2 y2 36 t+6
Ex
84
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
En los ejercicios 32 a 39 pruebe que la funci´ on f dada es continua en el valor c indicado. f (x) = 32. f ( f (x) = 33. f ( 34.
x2
− 3x + 1, x
−1 √ f ( f (t) = t − 2,
f (x) = 35. f (
c=3 f (x) = 37. f (
, c=2
x2
f (x) = 36. f (
c=3
f (x) = 38. f (
2x + 1 si x 2 , c=2 x2 + 1 si x < 2
≤
En los ejer ejercicios cicios 39 a 52 determ determine ine en qu´ qu´e interv intervalo aloss es continu ontinua a la funci´ funci´ on dada dada.. En los puntos puntos de disc discontinu ontinuida idad d diga diga si ´esta esta es evit evitab able le o inev inevit itab able le.. Par Para las las disc discon on-tinuidades tinuidades evitables evitables redefina redefina la funci´ funcion ´ para para obtener una funci´ on continua en el punto correspondiente.
f (x) = 49. f ( f (x) = 50. f (
x3
3 si x > 1 , c =1 2x si x 1
≤
3x + 1 si x 3 x si x <
≥ −1 −1
, c=
−1
2x + 3 si x > 2 , c=3 x2 + 1 si x < 2
− −
2x + 4 si x < 1 3 + x si 1 x
− − ≤
2x + 3 si x > 2 x2 + 3 si x < 2 2x
f (x) = 51. f ( 39. g (x) = x4 + x2
− − − −
−x−1
1 si x < 0 si 0 x < 1 x−1 2x + 1 si 1 x 1
≤ ≤
2x
− − ≤ ≤
si x < 2 si 2 x < 2 y x = 1 − 3x + 1 si 2 x
x+2 f (x) = 2 40. f ( x 3x + 2
f (x) = 52. f (
41.
funcion o´n 53. Determine un valor de c para el cual la funci´
42.
− x−2 g (x) = √ x2 − 4 x2 − 16 q (x) = x−4
43. h(x) = 44. 45.
x2
f ( f (x) =
x +2
f (x) = 47. f (
−
g (x) =
−
≤
R.
2cx + 1 si x 1 c2 x 2 si x > 1
sea continua en todo
2x + 4 si x > 2 x2 + 1 si x 2
≤
x3
f (x) = 48. f (
cx2 3 si x 2 cx + 2 si x > 2
funci´ on on
3 3x2 + 2x 2x
− −
Determine ine los valo alores res de c para para los los que que la 54. Determ
x+2
x3
sea continua en todo
√10 − x f ( f (x) = x−5 |x + 2 | f ( f (x) =
f (x) = 46. f (
x+1 x 1
3 si x < 1 2x si 1 x x + 3 si 3 < x
≤ ≤3
−
R.
≤
CAP´ ITULO 4
L´ IMITES INFINITOS Y AL INFINITO
Un matem´ atico atico que no tenga tambi´ tambi´ en en algo de poeta nunca ser´a un matem´ atico atico completo. completo. Karl Weierstrass
Trataremos en este cap´ cap´ıtulo con dos tipos diferentes de l´ımites. En primer lugar, veremos los l´ımites infinitos y, posteriormente, veremos qu´ e sucede con las funciones cuando la variable independiente tiende a infinito.
4.1
L´ IMITES INFINITOS Y AS´ INTOTAS VERTICALES
Consideremos Consid eremos el siguiente siguie nte l´ımite ımite
lim
1 . x
→0 |
x
|
Como podemos ver de la gr´ afica, afica, si hacemos variar x tendiendo a 0 (por la derecha y por la izquierda), la gr´afica afica “sube” ilimitadamente.
A trav´ t rav´es es de gr´ gr aficos ´aficos y tablas de valor alores es se estu estudi diaa en esta secci´ on o n el caso de funcione cioness que que crec crecen en o decr decreecen ilimitadamen ilimitadamente te cuando cuando los los valor alores es de la varia ariabl blee independiente se aproximan a un valor alor dado dado,, esto esto es: es: l´ımites ımites infinitos. infinitos. Se relarelaciona ciona esta esta situac situaci´ i´ on o n con el aspecto aspecto gr´ afico a fico de las funciones: las as´ as´ıntotas verticales.
86
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
y
T
Ex
Figura 4.1. f ( f (x) =
1
|| x
Construyamos, adem´ as, una tabla con valores de x cercanos a 0. as, Tabla 4.1
.......................... ...... .... ........... . ...... .. ... .. ..................................... ..................... . . . . ..... ......
0
... ................... ....... ............. .... ...................... ......................................... ........ ......... ... ...
x
-0,5
-0,1
-0,01
-0,001
0,001
0,01
0 ,1
0,5
1
2
10
100
1000
1000
100
10
2
|x|
......................... ..... .... .......... ....... ... ............................ ...................... ................. . ... . . ... ......
?
... ..................... ........ ........... .... ..................... .......................................... ........ ........ .... ...
De acuerdo con la gr´afica afica y con la tabla 4.1, decimos decimos que el l´ımite propuesto no existe porque a medida que nos aproximamos a cero tanto por la derecha como por la izquierda tenemos que los valores de la funci´on on crecen ilimitadamente.
Crecimiento ilimitado
L´ımit ım ites es infin in finit itos os En la situaci´ on on expuesta anteriormente dijimos que el l´ımite no existe, pero esa situaci´on on especial en la que f ( f (x) crece ilimitadamente se expresa diciendo que f ( f (x) tiende a infinito. Escribimos lim
x
→0 |
1 = x
| ∞
Una definici´ definici´ on informal de esta situaci´on on on ser´ ser´ıa la siguiente: siguie nte:
Definici´ on on 4.1. 4.1.
L´ ımites ımites infinit infinitos os
Decimos que f ( f (x) tiende f (x) tan grande como se tiende a infinito infinito cuando x tiende a c si se puede hacer f ( quiera al escoger x suficientemente cercano a c. Se esc escribe ribe lim lim f ( f (x) = x
(Esto se lee: el l´ımite de f ( f (x) cuando x tiende a c es infinito).
→c
∞
88
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
As´ınto nt otas Las gr´aficas aficas de las situaciones dadas anteriormente tienen cierta caracter´ıstica ıst ica en com com´ u´n: en los tres casos hay una recta vertical a la cual la un: funci´ on “se va pegando”. Estas rectas se llaman as´ınto on ıntota tas. s. As´ı, ı, la funci´ func i´on on 1 f ( f (x) = x
y
~
T
a
||
Ex
tiene una as´ en en la funci´ func i´ on on ıntota ınt ota vertic vert ical al que es el eje y. Tambi´ f ( f (x) =
−1 x2
Figura 4.4. As´ıntotas ıntot as vertiverti -
tiene al eje y como as´ as´ıntota vertical. Mientras tanto la funci´ on on f ( f (x) =
cales
1 x
−1
tiene a la recta x = 1 como as´ as´ıntota vertical. En general, podemos dar la siguiente definici´ on: on:
Definici´ on on 4.2. 4.2.
As´ As ´ ıntot ıntota a verti vertical cal
La recta x = c es una as´ f (x) si se cumple al menos una de las siguientes posibilidades: ıntota ınto ta verti ver tica call de f ( lim f ( f (x) =
→c+
x
∞,
lim f ( f (x) =
→c+
x
−∞,
lim f ( f (x) =
x
→c
−
∞,
lim f ( f (x) =
→c+
x
∞.
Los dos teoremas siguientes son muy ´utiles utiles en el c´alculo alc ulo de l´ımites ımi tes infinitos.
El l´ ımite ımite lim
Teorem eorema a 4.1. 4.1.
1
→c (x − c)n
x
1. Si n es un n´ umero umero enter entero o positiv positivo o par, par, entonc entonces es 2. Si n es un enter entero o positiv positivo o impar impar enton entonces ces
Ejem Ejempl plo o 17. 17.
lim
Apli Ap lica caci ci´ ´ on on del teorema 4.1
De acuerdo con el teorema anterior tenemos que 1. lim lim
1
→3 (x − 3)2
x
=
→c (x − c)n = ∞
x
1
→c+ (x −
x
umero par). ∞ (pues 2 es un n´umero
1
lim
c)n
=
∞
y
li m
1
→c (x − c)n
x
−
=
−∞
89
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
2. 3.
li m
1 = (x + 4)3
∞ (pues 3 es impar).
li m
1 = (x + 4)3
−∞ (pues 3 es impar).
→−4+
x
x
→−4
4. lim
−
1
→8 x − 8
x
−
=
(aqu´ı tenemos tenemos que el exponente exponente del denomidenomi−∞ (aqu´
nador es 1, que es impar).
Figura 4.5. f ( f (x) =
Teorema eorema 4.2.
Operaciones Operaciones con l´ ımites ımites infinitos infinitos
Suponga que lim f ( f (x) = x
→c
1. lim [g (x) + f ( f (x)] = x
→c
3. Si L < 0, ento entonc nces es
un n´ umero umero L) entonces: ∞ y que xlim →c g(x) = L (alg´un
∞.
2. Si L > 0, enton entonce cess
lim lim [g (x)f ( f (x)] =
x
→c
−∞
y
→
x
→c
f ( f (x) = x→c g (x) l im
Teoremas an´ alogos se pueden dar para el caso de alogos para cuando x c+ y x c− .
→
lim[g (x)f ( f (x)] =
−∞.
−∞ y tambi ta mbi´´en en
∞
y
f ( f (x) = x→c g (x) l im
g (x) = 0. x→c f ( f (x)
4. lim
∞.
1 (x+4)3
90
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Ejempl Ejemplo o 18.
Aplic Ap licaci acione oness del teorem teorema a 4.2
Calcular Calcul ar los siguientes siguie ntes l´ımites. ımite s. 3x 1. lim x→2 (x 2)2 x+2 3 . li m 9 x→−3 x2 x 6 5 . li m 2 5x x→5+ x
→1+ x2 − 1
−
x
4. lim
− − −
−
2x
2. lim x
→−1
3 + 5x 5x (x + 1)2
Soluci´ on: 1. Observe Observe que podemos escribir escribir 3x 1 = 3 x (x 2)2 (x 2)2
· −
−
y tenemos
Figura 4.6. f ( f (x) =
lim 3x = 6,
1
lim
→2 (x − 2)2
x
→2
x
=
∞
Entonces, por el punto 2 del teorema se tiene que 3x lim = x→2 (x 2)2
∞
−
2. En este este caso: caso: 2x x2
−1
y tenemos
lim
→1+
x
=
2x (x + 1)(x 1)(x
− 1)
2x = 1, x+1
=
2x 1 x+1 x 1
· −
1
lim
x
→1+ x − 1
=
∞
Por lo tanto (punto 2 del teorema): lim
→1+
x
2x x2
−1 =∞
3. Procedemos Procedemos de modo parecido parecido en este caso: caso: x+2 x+2 x+2 1 = = 2 x 9 (x 3)(x 3)(x + 3) x 3 x+3 y como x+2 1 1 lim = , lim = 3 6 x→−3 x x→−3 x + 3
−
−
− ·
−
−
−
entonces x
lim
→−3
−
x+2 = x2 9
−
−∞
−∞
3x (x 2)2
−
91
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
4. Tenemos enemos que 3 = x→−1 (x + 1)2 lim
∞
y
lim 5x =
x
→−1
−5
entonces, por el punto 1 del teorema, lim
x
→−1
3 + 5x 5x = (x + 1)2
∞
5. Descomponemo Descomponemoss la funci´ on de la siguiente manera on x x2 Ahora, lim
x
−6 = x−6 = x−6 · 1 . − 5x x(x − 5) x x − 5 x
− 6 = −1 ,
→5+ x
5
lim
1
→5+ x − 5
x
=
∞
y entonces, por el punto 3 del teorema: lim
→5+
x
x x2
− 6 = −∞ − 5x
92
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Ejemplo Ejemplo 19.
As´ As ´ ıntotas ıntotas vertical verticales es
3x + 1 + 3x 3x 2
Determinar Determi nar las as´ as´ıntotas verticales vertical es de f ( f (x) = Soluci´ on:
2x2
−
Podemos escribir 3x + 1 3x + 1 f ( f (x) = 2 = 2x + 3x 3x 2 (2x (2x 1)(x 1)(x + 2)
−
−
Vemos que el denominador se hace 0 cuando x = 2 o x = 12 de manera que hay dos posibles as´ as´ıntotas verticales: x = 2 y x = 12 . Calculamos 3x + 1 lim = , (2x 1)(x 1)(x + 2) x→−2+ (2x
− −
x
lim
→( 12 )+
−
∞
−
∞
3x + 1 = (2x (2x 1)(x 1)(x + 2)
y por lo tanto ambas rectas son as´ as´ıntotas verticales.
Ejempl Ejemplo o 20.
Un cero del denomin denominado ador r que no es as´ as´ ıntot ıntota a vertical
Determinar Determi nar las as´ as´ıntotas verticales vertical es de f ( f (x) = Soluci´ on:
3x+1 2x2 +3x +3x 2
−
Figura 4.7.
x2 x2
f ( f (x) =
−9
− 5x + 6
Tenemos x2
f ( f (x) =
x2
−
x2 9 = . 5x + 6 (x 3)(x 3)(x 2)
−9
−
−
−
Por lo tanto hay dos posibles as´ as´ıntotas verticales: x = 3 y x = 2. 2. Ahora calculamos lim
x
→2+
x2 9 = (x 3)(x 3)(x 2)
−
x2 9 (x lim = lim x→3 (x 3)(x 3)(x 2) x→3 (x
−
no
−
−
−
−
∞
− 3)(x 3)(x + 3) x+3 = lim =6 3)(x − 2) x→3 x − 2 − 3)(x
Lo anterior dice que la recta x = 2 es as´ as´ıntota vertical, pero x = 3 es as´ as´ıntota vertical porque porqu e el e l l´ımite considerado conside rado no es ni ni . .
∞ −∞
f ( f (x) = Figura 4.8.
x2 9 x2 5x+6
−
−
93
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
4.2
L´ IMITES AL INFINITO Y AS´ INTOTAS HORIZONTALES “S´ “S´ı existe el movimiento”
Retomemos en este cap´ cap´ıtulo la paradoja de la l a Dico Di coto tom´ m´ıa ıa de Zen´on on que mencionamos en el cap´ıtulo ıtulo primero. Podemos representar la situaci´ on on de la siguiente manera:
Aqu´ Aqu´ı se estudia el comportamie tamien nto de las func funcio ione ness cuan cuando do la varia ariabl blee inde inde-pendiente tiende a infinito. Se anal analiz izaa el conc concep epto to de as´ıntota ınto ta vertical verti cal.. S 3 S 2 S 1
El corredor debe recorrer
500
750
875
d1 = 500 y debe recorrer
Figura 4.9.
d1 + d2 = 500 + 250, 250, y as´ı sucesivame suce sivamente. nte. Escribamos S 1 S 2 S 3 S 4
= = = =
d1 d1 + d2 d1 + d2 + d3 d1 + d2 + d3 + d4
= = = =
50 0 75 0 87 5 937, 5
y podemos seguir S 20 = d1 + d2 + + d20 = 999, 99905 20 S 50 = d1 + d2 + + d50 = 1 00000 8, 8817842−13 50 S 100 d100 = 1 00000 7, 8886091−28 100 = d1 + d2 + d3 +
··· ···
···
− −
Llamamos al conjunto de los n´ umeros umeros S 1 , S 2 , S 3 , . . . , S n , . . . una (S n )n∈N . sucesi´ on on de sumas , y la denotamos (S Notamos que al crecer n, el valor S n se acerca cada vez m´as as al valor 1000. Expresamos modernamente lo anterior diciendo lim S n = 1 00 0000. +∞ →
n
Entonces, Entonces, la suma infinita de cantidades cantidades que consider´ o Zen´ on on no nos da un valor infinit infinito. o. Nos da la distan distancia cia 1 000 000..
Una suma infinita que da un n´ umero finito y
L´ımites ımi tes al infinit infi nito o En lo que sigue vamos a estudiar estudiar los l´ımites infinitos para diversas diversas funciones. Aqu´ Aqu´ı considerare consideraremos mos un problema problema diferente diferente al considerad consideradoo en cap´ıtulos anteriores. En ellos nos hemos preguntado qu´e pasa con f ( f (x)
T
2
Ex
2
Figura 4.10. f ( f (x) =
2x+5 2
94
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
cuando x se aproxima a un valor determinado c. Aqu´ı nos pregunta pre guntaremo remoss qu´e pasa pas a con f ( f (x) cuando x crece ilimitadamente (x (x crece sin cota) o cuando decrece ilimitadamente (decrece sin cota). Estos son los l´ımites ımites al infinito. infinito.
Crecim Crecimien iento to ilimi ilimitad tado o de x
Ejempl Ejemplo o 21.
2x + 5 , nos preguntamos: x 2 a) ¿Qu´e sucede suc ede con f ( f (x) si hacemos crecer a x ilimitadamente? b) ¿Qu´e sucede con f ( f (x) si hacemos decrecer a x ilimitadamente? (esto es, si tomamos valores negativos de x cada vez “m´ as as abajo”)
Sea f ( f (x) =
−
Soluci´ on: La gr´ afica afica de la funci´on on indica que a medida que x crece o decrece ilimitadamente, los valores de f ( f (x) se acercan arbitrariamente a 2.
LAS SUCESIONES SUCESIONES
Una sucesi´on on infinita se puede definir como una funci´on on con dominio igual a N. Por ejemplo, consideremos 1 1 1 1 (an )n∈N definida por an = . Es Es decir: 1, , , , , . n 2 3 n 1 R Podemos Podemos poner f : N es decir, f ( f (n) = . n n n1 1 1 1 1 1 Otro Otro ejemplo: ejemplo: si bn = 2 obte obtene nemo moss 1, , , , , 2, . Aqu´ı la funci´ func i´on on est´ a definida por n 4 4 16 n 1 g (n) = 2 . n 1 Se dice que (a (an )n∈N es convergente si existe L R tal que lim lim = L. Por Por ejemp ejemplo, lo, lim = 0. 0. n→∞ n→∞ n 1 Si la sucesi´on on no es convergente se llama divergente. divergente . ¿Si bn = 2 , es (b (bn )n∈N convergente o divergente? n Recuadro 4.1: Sucesiones .
···
···
−→
···
∈
···
95
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
a) Construya Construyamos mos una tabla de valores que nos refuerza refuerza lo que vemos vemos en la gr´afica: afica: Tabla 4.4
.......................... ..... ............ .. ....... .... . ... .. ... .......................... ................... ............. .. . . . .....
∞
x
10
100
1000
10000
100000
f ( f (x)
3,125
2,09 0911836
2,009 090018
2,0009
2,00 000009
.......................... ...... .... ........... . ...... ... ............................ ...................... ........... . ...... .....
Crecimiento sin cota
2
Con la tabla 4.4 comprobamos que a medida que los valores de x crecen sin cota, los valores de f ( f (x) se aproximan a 2. La expresi´on on “x crece sin cota” se simboliza con x y se dice que x tiende situaci ci´ on o´n anterior se escribe tiende a infinito infinito. Toda la situa simb´olicamente olicamente como
→∞
2x + 5 = 2. 2. x→∞ x 2 lim
−
f (x) para valores m´as as grandes ob Actividad: Si usted calcula f ( servar´a que a partir de un cierto momento los valores que da la calculadora se estacionan en 2 (h´agalo). agalo). ¿Signi ¿Significa fica esto esto que las im´ agenes agenes son exactamente 2?, explique por qu´ e se da esa situaci´ on on con la calculadora. b) Para comprobar la respuesta tambi´en en construiremos una tabla de valores. Tabla 4.5
........................... ...... ........... .. ....... .... .. ... ................................ ................... ........... . . ..... .
−∞
x
-10
-100
-1000
-10000
-100000
f ( f (x)
1,2 1,25
1,9 1,91176 7644
1,99 ,991017
1,99 ,9991
1,99 ,99991
........................... ..... ... . . .... . ....................... ........... .................... ............................ . . .... .....
2
Nuevamente, a partir de la tabla 4.5 vemos que a medida que los valores de x decrecen sin cota, los valores de f ( f (x) se aproximan a 2. La expresi´on on “x decrece sin cota” se simboliza con x y se dice que x tiende situa uaci ci´ on o´n anterior se tiende a menos menos infinit infinito o . La sit escribe simb´olicamente olicamente como
→ −∞
2x + 5 = 2. x→−∞ x 2 lim
−
Decrecimi cimien ento to cota
sin
96
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
.
Podemos dar una definici´on on informal para estas situaciones. Definici´ on on 4.3. 4.3.
L´ ımites ımites al infinit infinito o
a) Decimos que el l´ımite cuando x tiende a infinito de f ( f (x) es igual a L si a medida que hacemos crecer x ilimitadamente entonces los valores de f ( f (x) se aproximan a L. Simb´ olicamente olicamente lim f ( f (x) = L
x
→∞
(Esto se lee: el l´ımite de f ( f (x) cuando x tiende a infinito es L). b) Decimos que qu e el l´ l´ımite cuando c uando x tiende a menos infinito de f ( f (x) es igual a M si a medida que hacemos decrecer x ilimitadamente entonces los valores de f ( f (x) se aproximan a M . M . Simb´ olicamente olicamente lim f ( f (x) = M →−∞
x
(Esto se lee: el l´ımite de f ( f (x) cuando x tiende a menos infinito es M ). M ).
As´ As´ıntota ınto tass hor h oriz izont ontal ales es y
T
La figura 4.11 representa la gr´ afica afica de f ( f (x) =
2x + 5 x 2
−
2
Note que en el dibujo, adem´as as de d e la as´ıntota ınto ta verti ve rtical cal x = 2, se observa otra recta a la cual la gr´ afica afica de la funci´on on se “va pegando”: p egando”: ´esta esta es la recta horizontal y = 2. Estas rectas se llaman as´ as´ıntotas ıntota s horizonta hori zontales les f (x) y est´an an estrechamente es trechamente relacionadas relacio nadas con los l os l´ımite ımite de la gr´ gr´ afica afi ca de f ( al infinito. De hecho, podemos dar la siguiente definici´on: on:
Figura 4.11. f ( f (x) =
Definici´ on on 4.4.
As´ As ´ ıntota ıntota horizon horizontal tal
Decimos que la recta y = k es una as´ as´ıntota horizontal de la gr´ afica afica de f si se cumple que lim f ( f (x) = k
x
→∞
o que
x
lim f ( f (x) = k →−∞
Ex
2
2x+5 x 2
−
97
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Ejemplo Ejemplo 22.
Dos as´ as´ıntotas ıntotas horizon horizontales tales
En la figura 4.12 se representa la gr´ afica afica de una funci´on on f . f . y
T
4
Ex
−3
Figura 4.12.
As´ıntotas ıntot as horizonta hori zontales les
Ah´ı vemos vem os que q ue hay dos as´ıntotas ınto tas horizonta hori zontales les que son s on y = Tenem enemos os lim lim f ( f (x) = 4 y lim f ( f (x) = 3. x
→−∞
x
−
→∞
−3, y = 4.
El siguiente teorema nos sirve para calcular l´ımites al infinito.
Teorema eorema 4.3. 4.3.
Propieda Propiedades des de los los l´ ımites ımites a all infinito infinito
1. Si k es una consta constant ntee enton entonces ces
lim k = k
y
x
→∞
2. Si n es un n´ umero umero natural natural par enton entonces ces
li m k = k →−∞
x
lim xn =
x
3. Si n es un n´ umero umero natural natural impar impar enton entonces ces
→∞
∞
y
lim xn = ∞ →−∞
x
lim xn =
∞ y →∞ √x = ∞ 4. Si m es un n´ umero umero natura naturall par enton entonces ces lim x→∞ √x = ∞ y 5. Si m es un n´ umero umero natura naturall impar impar enton entonces ces lim x→∞ x
x
lim xn =
→−∞
−∞
m
m
x
li m
→−∞
√x = −∞
m
6. Si k es un numer u ´ meroo raci racion onal al posi positi tiv vo y r es un numer u ´ meroo real real arbi arbitr trar ario io enton entonce cess r r lim =0 y l im = 0 siempr siempree que que xk est´ est ´e defini defi nido do.. x→∞ xk x→−∞ xk Adem´ as, as, son v´alidas alidas las propiedades dadas en los teoremas 2.1 y 4.2 si en vez de x c escribimos x o escribimos escribimos x .
→
→∞
→ −∞
98
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Aplicaciones del Teorema 4.3
Ejemplo 23.
• • • • • •
lim −432 = −432, por el punto 1 del teorema anterior tomando →−∞
x
k=
−432.
lim x2 =
lim x2 = ∞, por el punto 2 del teorema, tomando ∞ y x→−∞
x
→∞
n = 2 (par). lim x5 =
∞ y x→−∞ lim x5 = −∞, por el punto 3 del teorema, tomando
x
→∞
n = 5 (impar).
√x = ∞, por el punto 4 del teorema, tomando m = 2 (par). x→∞ √ √x = −∞, por el pun lim x = ∞ y lim punto 5 del del teor teorem ema, a, lim
3
3
x
x
→∞
→−∞
tomando m = 3 (impar).
42 42 = 0 y lim 4 = 0, por el punto 6 del teorema, tomando 4 x→∞ x x→−∞ x r = 42 y k = 4. 4. lim
Ejemplo Ejemplo 24.
•
Un m´ etodo para calcular ciertos etodo ciertos l´ l´ımites ımites al infinito
Calcul Calcular ar lim x
→∞
1 + 12 x3
Tenemos
Soluci´ on: lim
x
→∞
•
1 1 + 12 = lim + lim 12 = 0 + 12 = 12 x→∞ x3 x→∞ x3
Calc Calcul ular ar lim ( 3x2 x
→−∞
−
− 5x + 6).
Soluci´ on: Usualme Usualment nte, e, con el fin de utiliza utilizarr las propie propiedad dades es anteriores, se procede en estos casos del siguiente modo: 2
lim (−3x →−∞
x
2
lim lim −3x − 5x + 6) = x→−∞
5 1+ 3x
−
2 x2
99
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Observe que lo que se hizo fue factorizar la expresi´on on “sacando” el t´ermino ermino de mayor expone e xponente, nte, por p or esta es ta raz´ ra z´ on on dentro dentr o del d el par´entesis entes is quedan fracciones en las que aparece la variable en el denominador. El objetivo que se persigue persigue con esto es muy claro: estas fracciones fracciones que acabamos de mencionar mencionar tienden a 0 y, por lo tanto, tanto, el l´ımite solo va a depender del t´ermino ermino de mayor exponente. Entonces,
→0
−
3x2 − x→−∞ lim
1+
5 3x
2 x2
3x2 = −∞ − x→−∞
= li m
(¿po (¿ porr qu´e?) e? )
→1
El procedimiento que acabamos de utilizar en el ejemplo anterior se usa en el c´alculo alculo de muchos muchos de los l´ımites al infinito.
•
x2 + 5x 5x + 4 Calcul Calcular ar lim 2 x→∞ 3x 2x + 1
−
Procedemos del siguiente modo:
Soluci´ on:
→1 →0
x2 + 5x 5x + 4 = lim x→∞ 3x2 2x + 1 x→∞ lim
−
−
x2 1 + 3x2 1
5 4 + 2 x x 2 1 + 2 3x 3x
x2 1 = x→∞ 3x2 3
= lim
→0
→1
Se fact factor oriz izaa apr apropi opi-adamente
100
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
L´ ımites al infinito de funciones polinomiales polinomi ales
El procedimiento pro cedimiento usado es bastante general y podemos deducir de ´el el las dos reglas siguientes. Regla 1: Si tenemos un polinomio p(x) = an xn + an−1 xn−1 +
lim (an xn + an−1 xn−1 +
x
→∞
· · · + a1x + a0 (con an = 0) entonces
· · · + a1x + a0) = xlim lim an xn →∞
y tam ambi bi´´en en lim (an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 ) = lim an xn x→−∞ →−∞ 0) y Regla 2: Si tenemos dos polinomios p(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 (con an = m m 1 − 0) entonces q (x) = bm x + bm−1 x + · · · + b1 x + b0 (con bm = x
an xn + an−1 xn−1 + x→∞ bm xm + bm−1 xm−1 +
· · · + a1x + a0 = lim anxn · · · + b1x + b0 x→∞ bmxm
lim
y adem´ as as
an xn + an−1 xn−1 + x→−∞ bm xm + bm−1 xm−1 +
· · · + a1x + a0 = lim anxn · · · + b1x + b0 x→−∞ bmxm
lim
Simplemente lo que dicen las dos reglas anteriores es que al calcular los l´ımites al infinito de un polinomio basta considerar solo el t´ermino ermino de mayor grado. Del mismo modo, al calcular calcular los l´ımites al infinito infinito de un cociente de polinomios basta considerar solamente el cociente de los t´erminos erminos de mayor grado de ambos polinomios.
Ejemplo 25.
C´ alculo alculo de as´ as´ ıntotas horizontales horizontales
Determinar las as´ as´ıntotas horizontales de las siguientes funciones a) f ( f (x) = 2x 2 x3
− 4x + 1
x3 + 4x 4x + 1 c) h(x) = 5 x x+1
b) g (x) =
2x3 x2
− 4x + 1 −x+1
−
Soluci´ on: a)
3
− 4x + 1) = x→−∞ lim lim 2x3 = −∞ (seg´ un un la regla 1). Por Por otra part partee lim (2x (2x3 − 4x + 1) = lim 2x3 = ∞ x→∞ x→∞ lim (2x (2x →−∞
x
De modo que f no tiene as´ as´ıntotas horizontales. horizo ntales.
De hecho ninguna funci´on on polinomia pol inomiall tiene as´ as´ıntotas horizontales. horizonta les. ¿Podr´ıa ıa usted explicar explic ar por qu´e? e? Nota:
101
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
2x3 b) lim x→∞ x2
− 4x + 1 = lim 2x3 = lim 2x = ∞ (seg´un un la regla 2). − x + 1 x→∞ x2 x→∞ 2x3 − 4x + 1 2x3 lim = l i m = lim 2x = −∞. x→−∞ x2 − x + 1 x→−∞ x2 x→−∞
Tampoco esta funci´ funcion o´n tiene as´ as´ıntotas horizontales. horizo ntales. x3 + 4x 4x + 1 x3 1 c) lim = lim 5 = lim 2 = 0 (seg´ (seg´ un un la regla 2). 5 x→−∞ x x→−∞ x x→−∞ x x+1
−
x3 + 4x 4x + 1 x3 1 = lim = lim =0 x→∞ x5 x→∞ x5 x→∞ x2 x+1 lim
−
Por lo tanto h tiene una as´ as´ıntota horizontal horizonta l y = 0.
4.3
´ L´ IMITES AL INFINITO Y CALCULO ´ DE AREAS
El c´ alculo alculo de longitudes, areas a´reas y vol´ umenes fue uno de los grandes umenes asuntos que motivaron la creaci´on on del C´alculo alculo Diferencial e Integral en el siglo XVII. De hecho, se puede decir que era una preocupaci´on on m´ as as extendida extendi da entre e ntre los lo s cient ci ent´´ıficos y matem´ ma tem´ aticos aticos de la ´epoca epoca que el c´ alculo alculo de las rectas tangentes tangentes a una curva. curva. Debe decirse, decirse, adem´ as, as, que mientras este ultimo u ´ ltimo asunto se plante´ o en el siglo XVII, el c´ alculo alculo de ´areas areas de figuras curvil´ curvil´ıneas a trav´ es es de diferentes procedimientos fue un asunto de inter´es es desde 20 siglos siglo s antes. Los intentos previos a Newton y Leibniz acudieron acudieron a procedimien procedimientos tos parecidos parecidos al “m´ etodo etodo de exhausci´ exhausci´ on” que cre´ cre´o Eudoxo (circa (circa 40 408– 8–35 3555 a. C.) C.) y que util utiliz iz´ o´ extensamen extensamente te Arqu´ Arqu´ımedes de Siracusa Siracu sa (circa 287– 287–212 212 a. C.), dos de los m´ as grandes matem´ aticos atico s de la Antig Anti g´ıedad. Estos m´etodos eto dos hacen h acen referencia referenci a a lo que qu e se llama integraci´ on y que en este libro no pretendemos desarrollar. Sin embargo, resulta de gran inter´ es es familiarizarnos familia rizarnos con el tipo tip o de problema y la forma de enfrentarlo que desarrollaron los matem´aticos aticos antes de Newton. Esto nos permitir´ a estudiar mejor el significado de los m´etodos etodos infinitesimales.
C´ alcu alculo lo del de l ´ area ar ea ba jo la curva cu rva y = x2 entre 0 y 4 Considere la curva dada por y = x2 entre los puntos x = 0 y x = 4.
En esta esta secci ecci´ o´n se hace una breve introducci´on on de la relaci´ on on que existe entre el concepto concept o de l´ımite al infinito infinit o y el c´alculo alculo de areas ´areas de regiones planas. planas. Este aspecto aspecto es la base del c´ alculo alculo inteintegral.
102
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
y
T y = x2
E
x
4
Figura 4.13.
El area a´rea se puede aproximar con el ´area area de 4 rect´angulos angulos definidos definidos espec´ esp ec´ıficame ıfic amente nte seg´ segun u ´n la figura 4.14: y = x2
y f (4) f (4) T f (3) f (3) f (2) f (2) f (1) f (1) 1 1
s
2 1
3 1
4
E
x
1
base del rect´angulo angulo
Figura 4.14.
y donde se tiene: f (1) f (1) = 12 f (2) f (2) = 22 f (3) f (3) = 32 f (4) f (4) = 42
=1 =4 =9 = 16
El area a´rea de cada rect´angulo angulo es ancho largo. largo. El ancho es siempre 1 y el largo se obtiene al evaluar la funci´on on f ( f (x) = x2 en el valor final de cada segmento definido por la divisi´ on on del intervalo [0, [0, 4].
×
y
y = x2
T
f (3) f (3) largo f (3) f (3)
E 1
2
3
ancho = 1
4
x
103
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Figura 4.15.
La suma de las areas a´reas de los 4 rect´angulos angulos da una aproximaci´ on: on:
∼ · · · · = 1 · (1)2 + 1 · (2)2 + 1 · (3)2 + 1 · (4)2 = 1 · (12 + 22 + 32 + 42 ) = 1 · (1 + 4 + 9 + 16)
Area = 1 f (1) f (1) + 1 f (2) f (2) + 1 f (3) f (3) + 1 f (4) f (4)
Una primer primeraa apr aproxi oxi-maci´ on
= 30 Obs´ervese erves e que esta e sta aproxi a proximac maci´ i´on on es e s muy “gruesa” “gruesa ” y que se mejorar´ıa ıa mucho si se tiene rectangulitos m´as as delgados, es decir aumentando el n´umero umero de los rectangulitos como en la siguiente figura: y
y = x2
T
E 1 2
1 1 2
3 2
2
5 2
3
7 2
4
x
Figura 4.16.
Aqu´ Aqu´ı el ancho de los 8 rectangulitos es maci´ on on se obtiene por:
1 2
= 0, 5 y la nueva aproxi-
∼ 12 · f ( f ( 12 ) + 12 · f (1) f (1) + 12 · f ( f ( 32 ) + 12 · f (2) f (2) + 12 · f ( f ( 52 ) + 12 · f (3) f (3) + 12 · f ( f ( 72 ) + 12 · f (4) f (4) = 12 · ( 12 )2 + 12 · ( 22 )2 + 12 · ( 32 )2 + 12 · ( 42 )2 + 12 · ( 52 )2 + 12 · ( 62 )2 + 12 · ( 72 )2 + 12 · ( 82 )2
Area =
2 2
4 2
[Note que 1 = , 2 = , 3 = =
1 (1 + 22 23
6 8 y 4= ] 2 2
+ 3 2 + 4 2 + 52 + 6 2 + 7 2 + 82 )
[sacando sacando a factor factor
1 23 ]
= 18 (1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64)
Una segun segunda da apr aproxi oxi-maci´ on
= 25 25,5 ,5 En forma forma genera general: l: podemos podemos consid considera erarr ahora ahora n rect´ angulos angulos que parten el intervalo [0, [0, 4]. La longitud del ancho es ahora
4 n
y la partici´ on se ver´ ve r´ıa as´ı:
Se parte arte el inte interv rval aloo [0, [0, 4] en n partes
104
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
0
4
2
n
×4
n
3
×4
(n
n
− 1) × 4
n
4
Note que podemos llamar 4 4 4 4 , x2 = 2 , x3 = 3 , . . . , xn−1 = (n 1) , n n n n y que 0 < x1 < x2 < x3 < < xn−1 < xn = 4. 4. x1 =
·
·
xn = n
− ·
· n4 = 4
···
∼ n4 · f ( f ( n4 ) + n4 · f (2 f (2 · n4 ) + n4 · f (3 f (3 · n4 ) + · · · + n4 · f (( f ((n n − 1) · n4 ) + n4 · f ( f (n · n4 ) = n4 · ( n4 )2 + n4 · 22 · ( n4 )2 + n4 · 32 · ( n4 )2 + · · · + n4 · (n − 1)2 · ( n4 )2 + n4 · n2 · ( n4 )2 3 = n4 (1 + 22 + 32 + · · · + (n (n − 1)2 + n2 ) [ecu [ecuac aci´ i´ on on 4.3.1]
Area =
[sacando sacando a factor factor
Se puede demostrar que 1 + 2 2 + 32 +
4 3
n
]
3
2n · · · + (n (n − 1)2 + n2 =
+ 3n 3 n2 + n 6
[Resul [Resultado tado obteni obtenido do por los matem´ matem´ aticos aticos franceses Blaise Pascal Pascal (1623–1662) y Pierre de Fermat]. Entonces, sustituyendo en la ecuaci´ on on 4.3.1:
∼
4 3 2n3 + 3n 3n2 + n 2n3 + 3n 3n2 + n Area = 43 6 n n3 6 Por lo tanto: 1 1 1 Area = 43 + + 2 3 2n 6n
∼ =
·
Al aumentar el n´ umero umero de rect´angulos angulos n, la aproximaci´ on on se mejora. Si n obtendr´ obt endr´ıamos ıam os el area a´rea exactamente. exactamente. Es decir:
→∞
1 1 1 43 Area Area = lim 4 + + 2 = = 21,33 21,3333 n→∞ 3 2n 6n 3 3
↓0
↓0
El ´ area area bajo ba jo la curva y = x2 en el intervalo [0, a] Si en lugar de x = 4, tomamos un valor m´ as as general x = a (a > 0), y reprod repr oducie uciendo ndo el m´etodo, eto do, tendr tend r´ıam ıamos: os: Area Area = lim lim a3 n
→∞
1 1 1 a3 + + 2 = 3 2n 6n 3
El ´ area es e s un l´ımite ımit e al infinito
105
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1 y
T
Lo que obtendr´ obtendr´ıamos se expresa modernamente como
a
Area Area =
y = x2
x2 dx =
0
a3 3 a
Este resultado resulta do lo conoc cono c´ıa Arqu´ Arqu´ımedes a trav´es es del uso del m´etodo etod o de exhausci´ on. on. El area a´rea bajo la curva f ( f (x) = x2 en el intervalo [0, [0, a] viene dada por
a
0
a3 x dx = 3 2
a3 [Se dice: la integral definida de x2 entre 0 y a es ]. Este resultado 3 y el m´etodo etodo de obtenerlo eran conocidos cono cidos por p or varios matem´ aticos aticos antes de Newton y Leibniz.
E
Figura 4.17. Area =
a
0
x2 dx
El area ´ es una integral definida El s´ımbolo ımbo lo
(una
S ala alarrgad gada), a), de integral, gral, fue fue intr introoduci ducido do por Leibniz en 1675.
x
106
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
´ EJER EJERCI CICI CIOS OS DEL DEL CAP ITULO 4
4.4 4.4
Interpretaci´ on gr´ afica y
T
afica afica de una funci´on on f . f . De 1. La figura 4.18 representa la gr´ acuerdo con ella determine: (a) lim f ( f (x) (b) lim f ( f (x)
→−2+
x
x
E
→−2
(c) (c) lim lim f ( f (x)
−
−2
(d) lim f ( f (x)
x→0 →0+ (e) lim lim f ( f (x) (f ) lim f ( f (x) x→+∞ x→−∞ x
x
−
(g) Las as´ as´ıntotas verticales y horizontales de f . f . Figura 4.18.
figuraa 4.19 4.19 repr repres esen enta ta la 3. La figur figuraa 4.20 4.20 repr repres esen enta ta la 4. La figur figuraa 4.21 4.21 repr repres esen enta ta la 2. La figur gr´ afica afica de una funci´on on g. De acuerdo con ella determine: (a) (a) lim lim g (x)
→2+ (b) (b) lim lim g (x) x→2 (c) lim lim g (x) (d) lim g (x) x→+∞ x→−∞ x
−
(e) Las as´ as´ıntotas ıntotas verticale verticaless y horizontales de g . y
gr´ afica afica de una funci´on on f . f . De acuerdo con ella determine: (a) (a) lim lim f ( f (x)
→3+ (b) (b) lim lim f ( f (x) x→3 x
→0+
(b) (b) lim lim h(x)
(d)
x
→0
lim f ( f (x)
x
x
→+∞
lim f ( f (x)
→−3 (e) lim f ( f (x) (f ) lim f ( f (x) x→+∞ x→−∞ −
(g) Las as´ as´ıntotas verticales y horizontales de f . f .
T
−
(c) lim lim h(x)
→−3+
x
(a) (a) lim lim h(x) x
−
(c)
gr´ afica afica de una funci´on on h. De acuerdo con ella determine:
(d) lim h(x) x
→−∞
(e) Las as´ as´ıntotas ıntotas verticale verticaless y horizontales de h. y
T
y 1
E 2
3
T
x
E E
−3
3
x
−2
Figura 4.19. Figura 4.21. Figura 4.20.
x
107
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
En los ejercicios 5 a 8 la figura dada representa un funci´ on f . f . En cada caso caso determine lo siguiente: (a) (a) lim lim f ( f (x)
(b) lim f ( f (x)
(d) (d) lim lim f ( f (x)
(e) lim f ( f (x) (f) lim f ( f (x)
→2+
x
x
→2
→0+
x
−
x
x
→2
x
→0
(g) (g) lim lim f ( f (x)
(c) lim f ( f (x)
−
→0
(h) lim f ( f (x) (i) Las as´ as´ıntotas verticales verticales y horizontales de f . f .
x
→+∞
x
→−∞
5.
6.
7.
y
y
T
T
y
T 3
2
E 2
E
x
Figura 4.22.
2
E
x
2
Figura 4.23.
x
Figura 4.24.
8. y
T 2q
E 2
x
q −2 Figura 4.25.
Falso o Verdadero En los ejercicios 9 a 15 diga si la afirmaci´ on dada es verdadera o falsa (explique). f (x) = + 9. Si lim f ( x
→2
∞ entonces podemos asegurar
que si a < b < 2 entonces f ( f (a) < f ( f (b). f (x) = 10. Si lim f ( x
→c
11. Si
x
−∞ entonces xlim f (x) = ∞. →c −f (
lim f ( f (x) = 8 entonces existe un valor M
→+∞
tal que para todo x > M se tiene que f ( f (x)
≤ 8.
12. Si f es discontinua en 5 entonces la recta x = 5
es una as´ as´ıntota vertical de f . f .
as´ıntota vertical de f ( f (x) en13. Si x = 3 es una as´ tonces f (3) f (3) no existe. as´ıntota ıntota horizonta horizontall de f ( f (x) 14. Si y = 5 es una as´ puede existir alg´ un un valor c tal que f ( f (c) = 5. 15. Si
f ( f (x) = +∞ entonces debe existir un +∞ →lim
x
intervalo ]M, ]M, + [ en el cual la funci´on on es creciente.
∞
108
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Selecci´ on on unica u ´nica En los ejercicios 16 a 22 escoja la opci´ on que responda o complete correctamente la proposici´ on. x es x→−4+ x + 4 4 (b) 1/2 (c)
alor de 16. El valor (a)
−
20. Si lim g (x) =
lim
−
x
→3 que
(d) +
−∞
∞
x2 81 valorr de de lim es 17. El valo x 9 x→9 (a) 18 (b) 18 (c) + (d) −
−
− −
∞
(a) g(3) (3) no no eexi xist stee (b) (b) x = 3 es as´ as´ıntota vertical de g (c) y = 3 es as´ as´ıntota vertical de g (d) (d) lim lim g (x) = + x
−∞
x es la recta xm (a) y = 0 (b) y = m n (c) y = 1 tiene as´ as´ıntotas horizontales. horizo ntales. f ( f (x) =
x2 1 ? x3 x2 4x + 4 (b) 1 (c) 2 (d) 3
(a) 0
− − −
al a l es es el valor alor de de 19. ¿Cu´ (a) 1
(b)
−1
x
(c) 0
−
lim x−1/3 ?
→+∞
∞
→−3
as´ıntota horizontal horizo ntal de 21. Si m > nnentonces una as´
antas antas as´ as´ıntotas verticales tiene la gr´ afica afica 18. ¿Cu´ de f ( f (x) =
−∞ entonces podemos asegurar
al a l es es el el val valor or de de 22. ¿Cu´
(d) +
∞
(a) (a) 0
(b)
−4
√x2 + 4x 4x
lim ? →−∞ 4x + 1
x
(c) 1/4
(d)
−1/4
Preguntas y problemas de desarrollo En los ejercicios ejercicios 23 a 34 encuentre el l´ımite pedido. pedido. 2
23. lim
→2 |x − 2|
x
24. lim
−3
→0 x4
x
t+8 25. lim 8 t→8+ t t+8 26. lim 8 t→8 t
−
−
−
27. lim h
→
3 h2
28. lim
2h 6h + 9
x2 31. lim x→−1+ x2
x2
x3 + 5 32. lim x→0 6x4
−
→5 x2 − 25
x
−
t2 + 2t 2t 8 29. lim 2 t 4 t→2+
−
30.
x
lim
→−1
−
− x2 − 3x + 2 x2 − x − 2
33. lim
→1+
x
34. lim x
→1
−
− 3x + 2 −x−2
|x − 1| + 2 x−1 |x − 1| + 2 x−1
(d) No
109
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
En los ejercicio ejercicioss 35 a 47 encuentr encuentree el l´ımite pedido. 35. 36. 37. 38.
(x2 + 2x 2x − 1) +∞ →lim
x
x
lim (x2 + 2x 2x
→−∞
− 1)
lim ( 3x5 + 2x 2x)
− x→+∞
lim (−3x5 + 2x 2x) →−∞
56 56tt + 11 40. lim t→+∞ t2 81
43.
44.
45. 46.
47.
x2
12 +x+1
2x3 + 5 52. x3 x
−
x2 53. 3 x + 2x 2x2
− x4 − 2x lim 3 x→−∞ x − 25 t2 + 2t 2t − 8 lim t→+∞ t4 − 4 −x3 − 3x lim 2 x→−∞ x − x − 2 x2 − 6x + 2 lim x→−∞ x3 − x − 2 +∞ →lim
x
−4 − 5x − 6
afica afica de una funci´on on f que cumpla 54. Dibuje la gr´ simult´ aneamente las siguientes condiciones: aneamente
−
42.
51.
− 3x + 2 −x−2
x
5t + 8 39. lim t→−∞ 2t 8
41.
x2 50. x2
x3 + 5 4x3 2
−
3x + 2 √ . x→+∞ x2 − 1 √4x + 5 lim x→+∞ 4x − 2 lim
(a) (a) lim lim f ( f (x) = x
→0
−
−∞
(c) lim lim f ( f (x) = 0 x
→−∞
(b) (b) lim lim f ( f (x) = +
→0+
x
∞
(d) lim f ( f (x) = 0 x
→+∞
afica afica de una funci´on on f que cumpla 55. Dibuje la gr´ simult´ aneamente las siguientes condiciones: aneamente (a) (a) lim lim f ( f (x) = + x
(c) (d)
→0
−
li m
x
→−2
−
l im
→−2+
x
∞ (b) (b) lim lim x→0 f ( f (x) = + ∞ f ( f (x) = −∞
(e) lim lim f ( f (x) = 1 x
→−∞
+
f ( f (x) =
−∞
(f ) lim f ( f (x) = 0 x
→+∞
on on f ( f (x) = 16 56. Considere la funci´
− x2 definida
sobre el intervalo [0, [0, 4]. Dibuje el ´area area bajo esa curva. D´e una aproximaci´ aproxima ci´on on del ´area: area:
(a) (a) utili utiliza zand ndoo 4 rect rect´ angu a´ngulo loss de igua iguall base base (dibuje la situaci´on). on). (b) (b) utili utiliza zand ndoo 8 rect rect´ angu a´ngulo loss de igual igual base base (dibuje la situaci´on). on). area considerada en el ejemplo anarea 57. Exprese el ´
En los ejer ejerci cici cios os 48 a 53 dete determ rmiine las las as´ as´ınto ıntota tass hori horizo zont ntal ales es y vert vertic ical ales es de la funci´ on dada. 3x + 2 48. 2x 1 49.
− −4 2 x −9
terior como un l´ımite y calc´ ulelo. ulelo. area area bajo la curva y = x2 + 2 sobre sobre 58. Exprese el ´ el intervalo [0, [0, 2] como un l´ımite y calc´ ulelo. Dibuje la situaci´ on. on.
110
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
f (x) = 59. Considere f (
√x2 + 2x 2x + 8 − x.
(a) Complete la siguiente tabla:
x 10 50 100 1000 f ( f (x)
o casiones, es, cuando cuando x tiende a in62. En algunas ocasion finito, los valores de una funci´on on f ( f (x) se aproximan a los valores valores de una recta oblicua. Esta recta se llama as´ıntota ınto ta oblicua obl icua de la funci´on; on; tal es el caso de la recta L en el gr´afico afico dado en lo figura 4.27 y
(b) Tomando como base los resultados dos obte obteni nido doss en (a) (a) d´ e un esti estima mado do de lim ( x2 + 2x 2x + 8 x). x
→∞
L
−
(c) El resultado en (b) se puede obtener algebraicamente. H´ agalo. agalo. Sugerencia:
x2 + 2x 2x + 8
−x=
√ 2x + 8 − x)(√x2 + 2x ( x2 + 2x 2x + 8 + x) √x2 + 2x 2x + 8 + x 60. Para n entero positivo se define
1 1 f ( f (n) = + + n n+1
···
1 + 2n
1 1 1 1 1 + + + + 4 5 6 7 8
≈ 0, 884523809
(a) Calcule f ( f (n) para n = 1, n = 2, n = 3, n = 6, n = 7, n = 8, n = 9, n = 10. 10. Use Use calculadora. (b) D´e un estimado para lim f ( f (n). n
→∞
61. Se considera un segmento AB como el de la
figura 4.26 cuya cuya longitud es 12. Se parte el segmento en n partes iguales y sobre cada parte se construye un tri´angulo angulo is´ osceles osceles cuyos ´angulos angulos o en la base miden 45 . Calcul Calculee la longitud longitud de la l´ınea quebrada (la l´ınea de puntitos en el dibujo) cuando n = 2, cuando n = 4 y cuando n = 6. ¿Cu´ ¿Cu´ al al es el l´ımite de la longitud de la l´ınea ıne a quebr q uebrada ada cuando cuan do n tiende a infinito? 45o
A' Figura 4.26.
E
12
EB
x
Figura 4.27.
Para que f tenga una as´ as´ıntota oblicua oblicu a en , una condici´ on necesaria (aunque no suficiente) on es que que lim f ( f (x) sea o . Si la ecuac ecuaci´ i´ on on x→∞ de la as´ as´ıntota oblicua es y = mx + b entonces tenemos
∞
∞ −∞
f ( f (x) x→∞ x
m = lim
y
b = lim (f ( f (x) x
→∞
− mx) mx)
Lo mismo vale si en lugar de escribimos . Utilizando Utilizando esto calcule calcule una as´ as´ıntota ıntota oblicua oblicua x3 + 1 para la funci´ on on f ( f (x) = 2 . x +1
−∞
Por ejemplo: f (4) f (4) =
T
∞
CAP´ ITULO 5
LA DERIVADA
Esta ciencia (matem´ (matematicas) a´ticas) no tiene como unico u ´nico objetiv objetivoo cont contem empl plar ar eter eterna name men nte su prop propio io ombligo; ella toca la naturaleza y alg´ un un d´ıa ıa har´ ha r´a contac contacto to con ella. En ese d´ d´ıa ser´ sera´ necesario necesario descartar las definiciones puramente verbales y no ser nunca m´as as la v´ıctima ıct ima de palabra pal abrass vac´ vac´ıas. ıas . Henri He nri Poinca Poi ncar´ r´e
. En los cap´ cap´ıtulos anteriores hemos introducido de manera intuitiv i ntuitivaa la noci´ on on de derivada y, luego, hemos estudiado el concepto de l´ımite y sus propiedades. Esto nos va a permitir establecer en lo que sigue la definici´on o n de la derivada con un mayor grado de precisi´on on matem´ atica. atica. Aunque esta precisi´ on on se empezar´ empezar´ıa a desarrollar con los matem´ aticos aticos del siglo XIX, la realidad es que, en sus aspectos esenciales, los resultados que vamos a estudiar a continuaci´ on on (y los que cubrir´ıan ıan b´asicamente asicamente los cursos universitarios de pregrado en c´alculo alculo diferencial e integral) fueron obtenidos en los dos siglos anteriores. Los padres del C´ alculo, Newton y Leibniz, y alculo, los grandes matem´ aticos aticos que les siguieron siguieron como los hermanos Bernoulli, Bernoulli, Euler, D’Alembert y otros, desarrollaron ampliamente el nuevo campo matem´ atico atico y sus aplicaciones a las ciencias f´ısicas sin las precisiones y el rigor que solo se lograr´ıa ıa en el siglo XIX. En el Cap´ Ca p´ıtul ıt ulo o 1 vimos que el c´alculo alculo de la velocidad instant´ anea anea en un momento era equivalente al del valor de la pendiente de la recta tangente a la funci´on on que describe el movimiento considerado. 3 Si f ( f (x) = x , la derivada en el punto (2, (2, 8) es la pendiente de la recta tangente en ese punto:
112
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1 y
T
y = x3
t
8
E 2
y = 12x 12 x
Figura 5.1.
x
− 24
y = 12 12x x
− 24 es tangente a la curva en (2 , 8)
Construyamos una secante que pase por los puntos (2, (2 , 8) y (x, (x, f (x)) un punto cualquiera. La siguiente figura nos representa la situaci´on: on: tangente: pendiente f (2)
y
T
©
v
8
f ( f (x)
X
x
E 2
secante: pendiente
Figura 5.2.
x
f (x)−f (2) x−2
Secante y tangente
Consideremos la raz´ on on f ( f (x) f (2) f (2) x3 8 = , x 2 x 2 que sabemos es la pendiente de la recta secante. Si construimos nuevas secantes con x m´ as cerca de 2, obtenemos una colecci´ as on on de rectas secantes que se acercan cada vez m´as as a la recta tangente.
− −
− −
113
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
y
T y
T
8
2
Ex
8 y
T 2
Ex
Rectas secantes
8
recta tangente E
Figura 5.3.
2
Ex
Las secantes se aproximan a la tangente
Lo que hemos realizado lo podemos escribir por medio del concepto de l´ımite ımite que hemos desarrollado en la siguiente manera:
pendiente de la recta tangente en (2, (2, f (2)) (2))
y
f ( f (x) x→2 x lim
5.1
f ( f (x) x→2 x
= lim
− f (2) f (2) = f (2) −2
− f (2) f (2) x3 − 8 (x − 2)(x 2)(x2 + 2x 2x + 4) = lim = lim = 12 1 2. x→2 x − 2 x→2 x−2 −2
´ DE DERIVADA LA DEFIN EFINIC ICIION
Procede Procedemos mos ahora ahora a precis precisar ar la definic definici´ i´ o n general de la derivada en on t´ermino erm inoss del concept conc eptoo de l´ımite: ımi te: Definici´ on o n 5.1. 5.1.
En esta esta secci´ secci´ on o n se da una definici´ on o n de deri deriv vada, ada, se calc calcul ulan an deri deriv vadas adas utiutilizan lizando do la defin definic ici´ i´ on y se estu estudi diaa la rela relaci ci´ on o´n entr entree la deri deriv vabili abilida dad d y la concontinuidad de las funciones.
La de deri riv vada ada en un pu pun nto
Sea f una funci´on on y sea c un n´ umero umero en el dominio de f , f , se llama derivada de f en x = c al l´ımit ım itee f ( f (x) x→c x lim
f (c) − f ( −c ,
si este l´ımite ımite existe. Si el l´ımite no existe se dice que la funci´ on on no es derivable en x = c.
114
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Como ya sabemos, la derivada de f en x = c se denota por f (c). Esto es, f ( f (x) f ( f (c) f (c) = lim . x→c x c
− −
y
T (x, f (x)) u f ( f (x)
(c, f ( f (c)) u x c
−c
f (c) − f (
E x
x
Figura 5.4.
y
T Ejemplo Ejemplo 26.
C´ alculo alculo de la la deriv derivada ada de de una funci´ funci´ on on lineal 2
Sea f ( f (x) =
−4x + 5; determinar f (2).
Soluci´ on:
De acuerdo con la definici´on on tenemos: f (2) = = = = = =
Ex
f ( f (x) f (2) f (2) x→2 x 2 4x + 5 ( 3) li m x→2 x 2 4x + 8 li m x→2 x 2 4(x 4(x 2) li m x→2 x 2 lim ( 4) l im
− −
− −− − − − − − − − x→2 −4
Figura 5.5. f ( f (x) =
on del ejemplo anterior calcule f ( 3) on Actividad: Para la misma funci´
−
y f (0). (0). ¿C´ ¿Como o´mo explicar´ explicar´ıa usted los resultados obtenidos, o btenidos, desde el
punto de vista gr´afico? afico?
−4x + 5
115
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Ejemplo Ejemplo 27.
C´ alculo alculo de la pendien pendiente te de una una recta recta tangen tangente te y
Considere la funci´on on f ( f (x) = 2x2 x + 1. 1. Determine Determine la pendiente de la recta tangente a la gr´afica afica de esta funci´ on on en el punto ( 1, 4).
−
T
−
Soluci´ on: Seg´ un un dijimos en el Cap´ Ca p´ıtul ıt ulo o 1, la derivada de una funci´ on on en un punto se puede interpretar como la pendiente de la recta tangente a la gr´ afica afica de la funci´on on en ese punto. En este caso particular entonces la pendiente que buscamos viene dada por f ( 1): f ( 1) =
−
=
− f ( f (x) − f ( f (−1) li m x→−1 x − (−1) 2x2 − x + 1 − 4 li m x
2x2
4
E
−1
x+1 x 3 = li m x→−1 x+1 (x + 1)(2x 1)(2x 3) = li m x→−1 x+1 = lim (2x (2x 3)
→−1
r
x
Figura 5.6. Pendiente de la
− −
tangente:
−5
−
−
x
=
→−1
−5
De manera que la pendiente de la recta tangente en el punto ( 1, 4) es 5.
−
−
y
Ejemplo Ejemplo 28.
C´ alculo alculo de la la deriv derivada ada en en un pun punto to
Calcular f ( 2) siendo f ( f (x) =
−
Soluci´ on:
T
x+1 . x 1
−
1
Tenemos que
1
f (2) = = =
− f (2) f (2) −2 x+1 −3 lim x−1 x→2 x − 2
f ( f (x) x→2 x li m
l im
x
→2
x+1 3(x 3(x 1) x 1
− − −
x
−2
−2x+4 = lim x−1 x→2 x − 2 2(x−2) −2(x = lim x−1 x→2 x − 2 = = =
Ex
−2(x 2(x − 2) x→2 (x − 1)(x 1)(x − 2) −2 l im x→2 x − 1 −2 l im
Figura 5.7. f ( f (x) =
+1 1
x x
−
116
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
La definici´on on anterior representa tambi´en en un m´etodo etod o para calcular calcul ar deriv derivada adas. s. Sin embargo embargo,, com comoo usted usted puede puede ver, ver, resulta resulta bastant bastantee tedioso. Por ejemplo, si para la misma funci´ on anterior usted tuviera que on calcular la derivada en 3, en 5, en 7, entonces tendr´ tendr´ıa que calcular tres tre s l´ımites ımi tes an´alogos alogos al anterior. No obstante, para esta funci´ on on y para pr´ acticamente todas, existe la posibilidad de eludir tantos c´ acticamente alculos alculos y calcular un solo l´ımite ımite que nos de la derivada derivada en todos los puntos puntos donde ´esta es ta exist exi sta. a.
−
La derivada como una funci´ on on Comenzaremos escribiendo la definici´on on de derivada en una forma equivalente pero m´ as as c´omoda omoda para los efectos que nos proponemos. Recuerde que f ( f (x) x→c x
f (c) = lim
− f ( f (c) −c .
Ahora, si en lugar de x escribimos c + h, es decir x = c + h entonces cuando x c se tiene que h 0 y la derivada se puede escribir ahora como
→
→
f ( f (c + h) h→0 h
f (c) = lim
f (c) − f ( .
y
T (c + h, f ( f (c + h)) t f ( f (c + h)
(c, f (c)) t h c
E
f (c) − f (
x
c+h
Figura 5.8.
Se puede utilizar uti lizar alternativamente alternativamente cualquiera de los l os dos l´ımites para calcular derivadas. Observe Observe que esta segunda segunda forma no hace referenci referenciaa expl´ expl´ıcita a la variable independiente x de la funci´on. o n. Esto Esto hace hace m´ as a s f´ acil acil escribir la siguiente definici´on: on:
117
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Definici´ on o n 5.2. 5.2.
La de deri riv vada ada como como func funci´ i´ on on
Sea f una funci´on on y suponga que la derivada de f existe para todo x en un cierto dominio. Si a cada x le asociamos la derivada f (x) se obtiene una nueva funci´on on f que se llama funci´ on on derivada de f y tenemos f ( f (x + h) f ( f (x) f (x) = lim . h→0 h
−
y
T
f ( f (x + h)
T f ( f (x + h) − f ( f (x) ' h E c
f ( f (x)
E
x
x+h
x
Figura 5.9.
on anterior es una “forma alternativa de la derivada”. on Nota: La expresi´
Ejemplo Ejemplo 29.
C´ alculo alculo de la derivada derivada
Calcular f (x) siendo f ( f (x) = x2 + x Soluci´ on:
− 1.
Tenemos
f (x) = = = = = =
f ( f (x + h) f ( f (x) h→0 h 2 (x + h) + (x (x + h) 1 l im h→0 h 2 2 x + 2xh 2xh + h + x + h l im h→0 h 2 2xh + h + h l im h→0 h h(2x (2x + h + 1) l im h→0 h lim (2x (2x + h + 1) l im
−
− − (x2 + x − 1) − 1 − x2 − x + 1
y
h
→0
T
= 2x + 1 y = f ( f (x)
Esto es, f (x) = 2x + 1.
Ex
y = f (x)
Figura 5.10. f ( f (x) = x2 + x 1
−
y f (x) = 2x +1
118
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Ejemplo Ejemplo 30.
C´ alculo alculo de la la deriv derivada ada en en un pun punto to
Tomemos nuevamente la funci´ on on f ( f (x) = derivada. Tenemos f (x) = = = = = = = =
f ( f (x + h) h→0 h l im
l im
→0
x+h+1 x+h 1
−
h
l im
x+1 y calculemos su funci´on on x 1
−
f (x) − f (
− xx−+11
h
(x 1)(x 1)(x+h+1) (x+1)(x +1)(x+h 1) (x+h 1)(x 1)(x 1)
−
− − −
−
h (x 1)(x 1)(x + h + 1) (x + 1)(x 1)(x + h 1) l im h→0 h(x + h 1)(x 1)(x 1) x2 + xh + x x h 1 x2 xh + x x l im h→0 1)(x 1) h(x + h 1)(x 2h l im h→0 h(x + h 1)(x 1)(x 1) 2 l im h→0 (x + h 1)(x 1)(x 1) 2 (x 1)2 h
→0
−
− −
Es decir f (x) =
− − − − − − − − − − −h+1 − −
− − − − − −
−2 . (x − 1)2
Por ejemplo, si x = 2 tenemos f (2) = Por otra parte,
−2 = −2. (2 − 1)2
−2 = −1 , (3 − 1)2 2 −2 = −1 , f (5) = (5 − 1)2 8 f (3) =
etc. etc. No hay hay que calcular calcular el l´ımite ımite cada cada vez, vez, solo solo basta basta evalu evaluar ar en la funci´ on on derivada.
Ejem Ejempl plo o 31. 31.
Deri Deriv vada ada 0: recta tangent tangente e paralela al eje x
Determinar en qu´ e puntos la recta tangente a la gr´ afica afica de f ( f (x) = 2x3 + 3x2 12 12x x es paralela al eje x.
−
119
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Soluci´ on: Una recta paralela al eje x tiene necesariamente una pendiente ente igual a 0. De modo mo do que debemos ver en qu´ e puntos puntos la derivada derivada de la funci´ on on es 0: f ( f (x + h) f ( f (x) h→0 h 2(x 2(x + h)3 + 3(x 3(x + h)2 = li m
f (x) =
−
l im
h 2(x 2(x3 + 3x 3x2 h + 3xh 3xh2 + h3 ) + 3(x 3(x2 + 2xh 2xh + h2 ) li m h→0 h 2 2 3 2 6x h + 6xh 6xh + 2h 2h + 6xh 6xh + 3h 3h 12 12h h li m h→0 h 2 2 h(6x (6x + 6xh 6xh + 2h 2h + 6x 6x + 3h 3h 12) li m h→0 h 2 lim (6x (6x + 6x 6x 12 + 6xh 6xh + 2h 2h2 + 3h 3 h) h
→0
= = = =
12(x + h) − (2x (2x3 + 3x 3x2 − 12 12x x) − 12(x 12x x − 12 12h h − 2x3 − 3x2 + 12x 12x − 12
−
−
→0
−
h
= 6x2 + 6x 6x
− 12
Tenemos entonces que f (x) = 6x 6 x2 + 6x 6x
12.. − 12
Para ver cu´ando ando f (x) = 0 debemos resolver la ecuaci´on on 6x2 + 6x 6x
− 12 = 0 : 6x2 + 6x 6x − 12 = 0 =⇒ 6(x 6(x2 + x − 2) = 0 =⇒ 6(x 6(x − 1)(x 1)(x + 2) = 0, 0, se deduce que x = 1, x = −2. En conclusi´on, on, hay dos puntos en que la tangente es horizontal (paralela al eje x): (1, (1, f (1)) (1)) = (1, (1, 7) y ( 2, f ( 2)) = ( 2, 20). 20).
−
−
−
−
Como dijimos en la definici´ definici´ on on de derivada, el l´ımite ımite que la determina determi na no siempre existe. El siguiente ejemplo ilustra esta situaci´on. on.
Ejem Ejempl plo o 32. 32.
No siem siempr pre e exis existe te la la deri deriv vada ada
Demostrar que la funci´on on dada por f ( f (x) = x no es derivable en x = 0.
||
Soluci´ on:
Intentemos calcular lim
h
→0
|0 + h| − |0| . h
3x2 f ( f (x) = 2x3 + 3x Figura 5.11.
− 12x 12x
120
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Tenemos lim
→0+
h
lim
h
→0
−
|0 + h| − |0| = h
|0 + h| − |0| = h
lim lim
y
T
|h| = 1,
→0+ h
h
li m
|h| = −1.
→0 h
h
−
Lo anterior significa que
|0 + h| − |0| lim
h
→0
h
............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. ............. .............
u
no existe. existe.
y por lo tanto f (0) no existe, es decir, f no es derivable en 0.
La figura 5.12 representa la gr´ afica afica de f ( f (x) = x . Como podemos ver, esa gr´ afica tiene un “pico” en el punto de abscisa 0. afica Los puntos donde la gr´ afica afica de una funci´on on tiene “picos” corresponden a valores de la abscisa en los cuales la derivada no existe.
||
Ex “pico”: no hay derivada
Figura 5.12. f ( f (x) = x
||
121
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Ejempl Ejemplo o 33.
Deriv Derivada ada infinit infinita: a: tangen tangente te verti vertical cal
Consideremos ahora la funci´ on on f ( f (x) = Tendr´ Tendr´ıam ıamos os lo siguient sig uiente: e: f (0) = = =
= =
√x. 3
Intente Intentemos mos calcular calcular f (0).
f (0 f (0 + h) f (0) f (0) h→0 h 3 0+h 3 0 l im h→0 h 3 h l im h→0 h y, racionalizando: 1 l im 3 h→0 h2 + l im
√
− −√
√ √
∞
Podemo Podemoss decir decir que la deriv derivada ada de f cuando x = 0 es “infin “infinit ita” a” y gr´aficamente aficamente esto significa que la recta tangente a la curva en el punto (0, (0, 0) es vertical.
Figura 5.13. f ( f (x) =
√x 3
Por otra parte, una condici´ on necesaria para que una funci´on on o n sea deriv derivabl ablee en un punto punto es que sea contin continua ua en ese punto. punto. Tal com comoo lo enuncia el siguiente teorema.
Teorem eorema a 5.1. 5.1.
Deriv Derivabi abilid lidad ad y contin continuid uidad ad
Si f es derivable en c entonces f es continua en c.
y
T Ejem Ejempl plo o 34. 34.
Una Una func funci´ i´ on que no es derivable en 5 puntos on
La funci´on on representada en la figura 5.14 tiene varios puntos en los cuales no es derivable:
• • • • •
No es derivable cuando x =
p orque ah´ ah´ı presenta p resenta un “pico”. “ pico”. −3 porque No es derivable cuando x = −1 porque ah´ ah´ı es discontinua. disconti nua. No es derivable cuando x = 1 porque ah´ ah´ı presenta un “pico”. No es derivable cuando x = 2 porque porqu e ah a h´ı es discontinua. discontinua . No es derivable cuando x = 3 porque porqu e ah a h´ı es discontinua. discontinua .
r b
−3 −1
b
r b
Ex
1 2 3
Figura 5.14. Punt Puntos os
dond dondee no hay derivada
122
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
El teorem teoremaa anter anterior ior dice dice que en los los punt puntos os dond dondee la func funci´ i´ on es discontinua no puede ser derivable, derivable, pero, mucho cuidado, no dice que si la funci´on on es continu continua a tiene que ser derivable. derivable. Retomando Retomando el caso de la funci´on on f ( f (x) = x vemos que es siempre continua y sin embargo no es derivable en x = 0.
||
Notaciones para la derivada:
Si y = f ( f (x) es una funci´on, on, entonces, adem´ as as de la notaci´ on on f (x) para su derivada, derivada, se utilizan tambi´ en en las siguientes y,
dy , dx
df , dx
[f ( f (x)] ,
Dx y,
Dx f ( f (x).
El concep con cepto to de l´ımite ımi te En este libro hemos introducido el concepto concept o de l´ımite ımit e y, a partir del mismo, estudiado, por ejemplo, la noci´ on on de continuidad continuidad.. El concepto concepto ha sido usado para definir propiamente la derivada , tambi´ t ambi´en en se s e usa u sa para par a definir la integral . Es una noci´on on de importancia medular. Lo interesante es que la formulaci´on on de continuidad, derivada e integral tanto de Newton y Leibniz como de la mayor´ mayor´ıa de los matem´ aticos aticos del siglo XVIII, no usaba la noci´ on on de l´ımite como la hemos estudiado aqu´ aqu´ı. Tanto en Newton como Leibniz hay referencia a la l a idea que terminar na r´ıa conde co ndens´ ns´andose andose en el concepto de l´ımite. ımite. Pero la forma definitiva como se generalizar´ generalizar´ıa en la comunidad matem´ atica atica es bien posterior a ellos. En torno torno a la intr introdu oducc cci´ i´ on o n de este este conc concep epto to como como cen central tral en el C´ alculo alculo o An´ alisis alisis se suele mencionar al franc´ es es Jean D’Alembert (1717– 1783) quien usaba expl´ expl´ıcitamente la palabra l´ımite. Por ejemplo dec´ dec´ıa: “La teor´ıa ıa de los l´ımites ımite s est´ a en la base de la verdadera Metaf Meta f´ısica ısi ca del c´ alculo alculo diferencial.” No ser´ıa, ıa, sin embargo, hasta el traba jo del gran matem´ atic at icoo franc´ fra nc´es es Augustin Augusti n Louis Loui s Cauchy Cau chy (1789–1857 (1789 –1857)) que se le dar´ dar´ıa la l a forma for ma casi ca si id´entica entica que hoy conocemos del C´alculo alculo infinitesimal elemental y, en particular, al concepto concepto de l´ımite. En el trabajo de Cauchy Cauchy (publicado (publicado en libros de 1821, 1823 y 1829) los conceptos de funci´ on y de l´ımite de una funci´on on son los fundamentales. Debe decirse, sin embargo, que otro gran matem´ atico atico de Bohemia (hoy (hoy parte parte de la Rep´ Rep´ ublica ublica Checa), Bernhard Bernhard Bolzano (1781–1848), (1781–1848), hab´ hab´ıa construido en la misma ´epoca epoca e independientemente definiciones de l´ımite, derivada, derivada, continuidad y convergencia convergencia muy similares a las de
Disc Discon onti tinu nuid idad ad imimplica no derivabilidad
123
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Cauchy. Su obra, desafortunadamente, no tuvo mucha acogida entre los matem´ aticos atico s de su ´epoca epo ca y, m´ as bien, fue ignorada por 50 a˜ as nos. nos. Es interesante se˜nalar nalar que Bolzano fue de los primeros en resaltar la diferencia entre derivabilidad y continuidad. En 1834 hab´ hab´ıa escrito un librito Funktionenlehre, Funktionenlehre, en el que mencion´o un ejemplo de una funci´on on continua que no tiene derivada finita en ning´ Ese libro libro no un un punto punto. Ese se complet´ o ni se public´o y no tuvo (ni hubiera tenido probablemente) ning´ un impacto en la comunidad matem´ un atica atica de su ´epoca. epo ca. Quien s´ı tuvo ´exito exito en establecer establ ecer definitivamente definiti vamente la l a distinci´ distin ci´ on on entre continuidad y derivabilidad fue el matem´ atico atico alem´ an an Bernhard Riemann (1826–1866) con un art´ art´ıculo que escribi´ o en 1854. El art´ıculo ıculo se public´ o hasta 1868, cuando empez´ o a tener m´as as influencia. influenc ia. Tambi´en en el matem´ atico atico suizo Charles Coll´erier erier (1818–1889) (1818– 1889) y el alem´ an Karl Weierstrass (1815–1897) ofrecieron en la l a ´epoca epoca ejemplos de funciones continuas pero nunca diferenciables. Como se puede apreciar, apreciar, desde desde la formulaci´ formulaci´ on on realiz realizada ada por NewNewton, hasta el uso del concepto de l´ımite y la distinci´ on on entre derivabilidad derivabilidad y continuidad pas´ o mucho tiempo. Muchas Muchas veces veces se pierde pierde este sentido sentido hist´orico orico cuando se estudia el tema en nuestros libros de texto, los que pasan de los l´ımites a la continuidad y derivabilidad derivabilidad en pocos d´ıas.
5.2 5.2
´ REGL REGLAS AS DE DERI DERIV VACION
A´un un cuando se puede puede calcular calcular un solo l´ımite ımite que nos da la funci´ funcion o´n derivada de una funci´on on dada, los c´alculos alculos tal como usted lo ha visto suelen ser muy engorrosos. engorro sos. Pero aqu´ı, ı, tambi´en, en, podemos po demos tomar caminos camino s m´ as as cortos que nos permiten calcular derivadas derivadas con un m´ınimo de esfuerzo. fuerzo. Para ello veremos primero primero algunas algunas derivadas derivadas especiales y luego un teorema que da una lista de propiedades de la derivada.
En esta esta secc secci´ i´ on se estutudian dian las prop propie ieda dade dess de la derivada y se utilizan para calcul calcular ar deriv derivada adass de funfunciones complicadas.
124
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Algunas derivadas especiales 1. Si f ( f (x) = k (constante), entonces f (x) = 0. 2. Si f ( f (x) = x entonces f (x) = 1. 3. Si f ( f (x) = xn (para n un n´ umero umero real), entonces f (x) = nxn−1 .
Ejem Ejempl plo o 35. 35.
Apli Ap lica caci ci´ ´ on de derivadas especiales on
Seg´ un el punto 3 anterior tenemos: un
• • •
Si g (x) = x21 entonces g (x) = 21x 21x21−1 = 21 21x x20 . 4
4
1
Si h(x) = x 3 entonces h (x) = 43 x 3 −1 = 43 x 3 . Sea r(x) =
√x. Como √x = x √
1 2
1
entonces 1
1
r (x) = ( x) = (x 2 ) = 12 x 2 −1 = 12 x− 2 =
•
Sea f ( f (x) =
1 . Como x
f (x) =
1 x
1 x
1 √ . 2 x
= x−1 entonces
= (x−1 ) =
−1x−1−1 = −x−2 = −x21 .
El siguiente teorema nos da propiedades generales de las derivadas.
125
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Teorem eorema a 5.2. 5.2.
Propie Propiedad dades es de las deriv derivada adass
Sean f y g funciones derivables en un dominio com´un, un, entonces: 1. [kf ( kf (x)] = kf (x) para cualquier constante k (la derivada de una constante por una funci´on on es igual a la constante por la derivada de la funci´on) on) 2. [f ( f (x) + g (x)] = f (x) + g (x) (la derivada de una suma de funciones es igual a la suma de las derivadas de las funciones). 3. [f ( f (x) g (x)] = f (x) g (x) (la derivada de una diferencia de funciones es igual a la diferencia de las derivadas de las funciones).
−
−
4. [f ( f (x) g (x)] = f (x) g (x) + f ( f (x) g (x) (la derivada de un producto de funciones es igual a la derivada de la primera por la segunda sin derivar m´as as la primera sin derivar por la derivada de la segunda)
·
·
·
f ( f (x) f (x) g (x) f ( f (x) g (x) 5. = (la derivada de un cociente es igual a la derivada del numerg (x) [g (x)]2 ador por el denominador sin derivar menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador, todo sobre el cuadrado del denominador). 6.
·
n
f ( f (x)
= n f ( f (x)
−
·
n 1
− · f (x), para n un n´umero umero real.
Utilizando las propiedades dadas en este teorema y las derivadas especiales anteriormente dichas podemos calcular una cantidad enorme de derivadas, tal como lo ilustran los siguientes ejemplos.
C´ alculo alculo de derivadas derivadas usando el teorema 5.2
Ejemplo 36.
Calcule las derivadas de las siguientes funciones: 1. f ( f (x) = 8x 8 x4 2. g (x) = x5 + x3 3. h(x) = x6 4.
− 123 √ p(x) = (x−4 ) x
5. r(x) =
x3 x2 + 1
6. s(x) = (x5 + 4x 4x)15
126
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Soluci´ on: En lo que sigue verifique usted qu´e propiedades se usan en cada caso: 1. f (x) = (8x (8x4 ) = 8(x 8(x4 ) = 8 4x3 = 32 32x x3
·
2. g (x) = (x5 + x3 ) = (x ( x5 ) + (x (x3 ) = 5x4 + 3x 3x2 3. h (x) = (x6 4.
5.
− 123) = (x6) − (123) = 6x 6 x5 − 0 = 6x5 √ √ (x−4)(√x) = p (x) = [(x [(x−4 ) x] = (x−4 ) x + (x −4x−5√x + x−4 · 2√1 x (x3 ) (x2 + 1) − x3 (x2 + 1) x3 r (x) = = =
x2 + 1
=
(x2 + 1)2
3x2 (x2 + 1) x3 (2x (2x) 3x4 + 3x 3x2 2x4 x4 + 3x 3x2 = = (x2 + 1)2 (x2 + 1)2 (x2 + 1)2
−
−
6. s (x) = [(x [(x5 + 4x 4x)15 ] = 14(x 14(x5 + 4x 4x)14 (x5 + 4x 4x) = 14(x 14(x5 + 4x 4x)14 (5x (5x4 + 4)
·
·
Ejemplo 37.
Calcular la derivada de las siguientes funciones 1. q (x) = 2x5 + 4x 4x3 + 2x 2x. 2. f ( f (x) = (x ( x5 3. g (t) = 4.
− 2x3)(x )(x14 + 15x 15x2 + 6x 6x)
t+1 t2 3t + 1
− √ h(t) = t3 + 5t 5t − 4 3
Soluci´ on: 1. q (x) = (2x (2x5 + 4x 4x3 + 2x 2x) = 10 10x x4 + 12x 12x2 + 2. 2. f (x) = [(x [(x5
3.
− 2x3)(x )(x14 + 15x 15x2 + 6x 6x)] = (5x (5x4 − 6x2 )(x )(x14 + 15x 15x2 + 6x 6x) + (x ( x5 − 2x3 )(14x )(14x13 + 30x 30x + 6) 1(t 1(t2 − 3t + 1) − (t + 1)(2t 1)(2t − 3) t+1 g (t) = 2 = . t − 3t + 1 (t2 − 3t + 1)2
Note que aqu´ aqu´ı se utiliz´ utili z´ o la letra t como variable independiente.
127
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
√ 5t − 4] = (t3 + 5t 4. h (t) = [ 3 t3 + 5t 5t − 4)1/3 = 1 3 (t + 5t 5t − 4)−2/3 · (3t (3t2 + 5)
3
Ejemplo 38.
Calcule la derivada de f ( f (x) = Soluci´ on: f (x) =
=
(x2 + 5x 5x)3 + 2x 2x 2x + 1
Tenemos
(x2 + 5x 5x)3 + 2x 2x 2x + 1
(x2 + 5x 5x)3 + (2x (2x) (2x (2x + 1)
−
(2x (2x + 1)2
3(x 3(x2 + 5x 5x)2 (2x (2x + 5) + 2 (2x (2x + 1)
=
(x2 + 5x 5x)3 + 2x 2x (2x (2x + 1)
(2x (2x + 1)2
−
(x2 + 5x 5x)3 + 2x 2x (2)
Derivadas de orden superior Dada una funci´on, on, una vez que se calcula la primera derivada, es posible a su vez calcular la derivada derivada de esta derivada y as´ as´ı sucesivamente. Estas se llaman derivadas de orden superior . As´ı
•
La derivada de la primera derivada derivada de f se llama segunda derivada de f y se denota por f . Esto es f (x) = [f (x)] .
•
A su vez, la derivada de la segunda derivada de f se llama tercera derivada de f y se denota por f . Esto es f (x) = [f (x)] .
•
Y as´ı sucesivamente. suce sivamente. En general gen eral la n ´ esima esi ma derivad der ivada a de f es la derivada de la (n (n 1) ´esima esi ma derivada deri vada de f y se denota por f (n) . As´ı f (n) (x) = [f (n−1) (x)] .
− −
−
128
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Ejemplo Ejemplo 39.
C´ alculo alculo de la segund segunda a deriv derivada ada
Calcular la segunda derivada de f ( f (x) = x3 + 4x 4x2 Soluci´ on: Tenemos f (x) = (x3 + 4x 4x2 f (x) = (3x (3x2 + 8x 8x) = 6x + 8.
− 1.
8x y por lo tanto − 1) = 3x2 + 8x Figura 5.15. Aqu´ ı aparecen
f , f , f y f
Ejemplo Ejemplo 40.
C´ alculo alculo de la cuarta cuarta deriv derivada
Calcular la cuarta derivada de f ( f (x) = x6 Soluci´ on:
− x5 + x3.
Tenemos sucesivamente f (x) = 6x5 f (x) = f (x) = f (4) (x) =
− 5x4 + 3x 3x2 , 30x4 − 20 20x x3 + 6x, 6x, 120x3 − 60 60x x2 + 6, 6, 360x2 − 120 120x x
Algunos ejemplos de aplicaciones Vimos en el primer cap´ıtulo ıtulo que se puede interpretar la l a derivada derivada como una velocidad instant´ anea o anea o gr´ aficamente aficamente como la pendiente de una recta tangente. tangente. Los siguientes ejemplos se refieren a esas interpretaciones.
129
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Ejemplo Ejemplo 41.
C´ alculo alculo de la velocidad velocidad
Suponga que un ob jeto se mueve mueve en l´ınea recta de modo que en cada instante t su distancia al origen es d(t) = 2t3 + t2 + 1 metros. Determinar su velocidad en cada instante t, ¿cu´ al al es su velocidad a los 4 seg?, ¿y a los 6 seg? Soluci´ on: Sabemos que la velocidad v (t) est´ a dada por la derivada d (t), de manera que v (t) = d (t) = 6t2 + 2t 2t m/seg, seg,
d(t) = 2t3 + t2 + 1 Figura 5.16.
en cada instante t. La velocidad a los 4 seg ser´ ser´ıa v (4) = d (4) = 6(4)2 + 2(4) 2(4) = 104 m/seg y a los 6 segundos segundo s ser´ ser´ıa v (6) = d (6) = 6(6)2 + 2(6) 2(6) = 228 m/seg
y=
Ejemplo Ejemplo 42.
y −2x + 5 T
C´ alculo alculo de de la la recta recta tangen tangente te
3
r
Determinar Determinar la ecuaci´ ecuaci´ on de la recta tangente a la curva dada por on g (x) = 4
− x2
1
E
x
en el punto (1, (1, 3). Soluci´ on: Observe que el punto (1, (1, 3) pertenece a la curva pues si x = 1 2 entonces g(1) = 4 1 = 3. Sabemos entonces que la pendiente m de la recta tangente es la derivada de g evaluada en 1. Tenemos g (x) = 2x y por lo tanto m = g (1) = 2(1) = 2.
−
−
−
La intersecci´on on b se calcula calcula mediante mediante b=3
−
− x2
Figura 5.17. g y su tangente
en (1, (1, 3)
2)(1) = 3 + 2 = 5. 5. − (−2)(1)
De manera que la ecuaci´on on de la recta es y=
g (x) = 4
−2x + 5
130
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Ejempl Ejemplo o 43.
C´ alculo alculo de la recta recta norma normall
Para la misma funci´ on del ejemplo anterior determinar la recta normal on a la curva en el punto (1, (1, 3) Soluci´ on:
Primero dos cosas:
•
La recta normal a la curva en un punto es la recta que es perpendicular a la tangente en ese punto.
•
Si dos rectas (que no son ni horizontales ni verticales) son perpendiculares entonces el producto de sus pendiente es 1. Esto es, si la pendiente de una es m, la de la otra es −m1 .
y=
−
Seg´ un esto, como en el ejercicio anterior calculamos que la pendiente un de la tangente es m = 2, entonces la pendiente de la normal es
−
y −2x + 5 T 3
−1 = −1 = 1 , m −2 2 g (x) = 4
− 12 · 1 = 3 − 12 = 52
− x2
Figura 5.18. g , la tang tangen ente te
y la normal en (1, (1, 3)
y por lo tanto la ecuaci´ on on de la recta normal es y = 12 x +
E
5 2
5.3 5.3
´ IMPL´ DERI DERIV VACION ICITA
No todas las curvas se pueden describir como una sola funci´on. Por ejemplo, la curva que se presenta en la figura 5.20 es una circunferencia y no representa una funci´on. on. Sin embargo, usted puede ver que la semicircunferencia superior s´ı representa una funci´on on y la semicircunferencia inferior tambi´ en en representa una funci´on. on. Podemos Podemos obtener dos funciones diferente diferentess a partir de esta circunferencia. Estas se llaman funcione func ioness impl´ ıcitas ıcit as . La circunferencia representada en el dibujo tiene centro en (0, (0 , 0), y radio 4 su ecuaci´on on es entonces x2 + y 2 = 16 16..
x
tangente
y la intersecci´on on ser´ se r´ıa ıa b=3
1 5 x+ 2 2
r 1
normal
y=
Aqu´ı se estu e studia dia la deri d erivaci´ vaci´on on impl impl´ıcita, ıcita, que sirve sirve para para determ determina inarr la deriv derivada ada de func funcio ione ness dada dadass en form formaa impl impl´ıcit ıcitaa me medi dian ante te una una ecuaci´on o n que que la rela relaci cion onaa con la variabl ariablee indepen independidiente.
131
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Esto quiere decir que un punto (x, (x, y) est´a en la circunferencia si y solo si satisface la ecuaci´ on. on. Por Por ejemplo ejemplo (0, (0, 4) pertenece a la circunferencia porque 02 + ( 4)2 = 0 + 16 = 16;
−
− √ tambi ta mbi´´en en (3, (3, 7) pertenece a la circunferencia porque √ 32 + ( 7)2 = 9 + 7 = 16, 16, √ etc. Por otra parte, el punto (−2, 11) no pertenece a la circunferencia porque √ (−2)2 + ( 11)2 = 4 + 11 = 15 = 16.. 16
Dijimos, viendo el dibujo, que de esta circunferencia podemos obtener dos funciones. funciones. Efectiv Efectivamen amente te estas funciones funciones se pueden pueden obtener obtener despe jando y de la ecuaci´on: on: 2
2
x + y = 16 =
⇒y
2
= 16
2
− x =⇒ y =
y tenemos las funciones f ( f (x) = g (x) =
− − −
x2
16
16
x2
± − 16
x2 Figura 5.19. Circunferencia
de centro (0, (0 , 0) y radio 4
que define la semicircunferencia superior, que define la semicircunferencia inferior.
Sin embargo, no siempre es factible despejar funciones a partir de una ecuaci´ on dada, aunque sepamos que hay dos o m´as on as funciones funcion es impl´ıcitas ıcita s definid definidas. as. Y, a´ un un as a s´ı, podr po dr´´ıamos estar interesados interesado s en, en , por ejemplo, ejemplo , determinar la ecuaci´ on de la recta tangente a la curva en algunos de sus on puntos. Resulta que es posible derivar una funci´on on impl imp l´ıcita ıci ta a´ un un cuando no podamos despejarla de la ecuaci´ on on que la define. define. Basta Basta sencil sencillame lament ntee con derivar ambos miembros de la ecuaci´ on que la define, teniendo en on cuenta, eso si, que una de las variables es funci´on on de la otra. El siguiente ejemplo ilustra ilustr a el m´etodo etod o llamado ll amado derivaci´ on on impl´ im pl´ ıcit ıc ita a.
Ejempl Ejemplo o 44.
y
T . .................. . . . . . . . . . . . ..... r.. ....... y . . . ..... . . . .. ... . ... . ... ... . ... ... . Ex ... x ..4 O . ... . ... .. . ... .. .... . . . ...... ..... ......... ...............................
C´ alculo alculo de la deriv derivada ada en un punto punto de la circunferencia
Funciones dadas expl´ ex pl´ıcita ıci tamen mente te
y
√ Tf ( f (x) = r2 − x2 r .............. .......... y ............... r.. . . . . ..... .... ... .. .. ... .. ... .. ... .. . Ex . x −r r
O
Considere que y es una funci´on on de x definida por la siguiente ecuaci´on: on: x2 + y 2 = 16 16..
Figura
√
Determinar y y encontrar su valor en el punto (3, (3, 7).
Semicircunferencia superior
5.20.
132
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Soluci´ on: Vamos a derivar a ambos lados de la ecuaci´on, on, pero teniendo teniendo el cuidado de recordar que y es funci´on on de x: x2 + y2 = 16
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
(x2 + y 2 ) = (16)
(vamos a derivar ambos miembros)
2x + 2y 2y y = 0
·
(aplicamos aplicamos la regla [f (x)] 2y y = 2x 2x y = 2y x y = y
·
− −
n
−
√
= n[f (x)] −1 f (x)) n
·
y
T
Ahora, en el punto (3, (3, 7) tenemos x = 3, y = tiene 3 y = . 7
√7, por lo tanto aqu´ aqu´ı se se
√−
..r E x . . ... . ... .. . .... ... ..... . . . r. ....... y ....................................... √ −r
−r.....
x
O
f ( f (x) =
−
r2
− x2
Figura 5.21. Semicircunferencia
inferior
Una comprobaci´ on: on:
√ −
Consideremos ahora y = 16 x2 (la semicircunferencia superior); tenemos: 1 x y = ( 2x) = . 2 16 x2 16 x2 Como y =
√ − ·−
√16 − x2, enton e ntonces ces tendr tend r´ıam ıamos os y =
√ −−
−x y
que coincide coincide con el resultado resultado anteriorm anteriormente ente obtenido.
Actividad: Calcule y para y =
−√16 − x2.
mismo resultado que en el ejemplo anterior.
Debe Debe obte obtene nerr el
133
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Ejemplo Ejemplo 45.
C´ alculo alculo de las las rectas rectas tangen tangente te y normal normal en en una hip´ hi p´ erb er bola ol a
Determine la ecuaci´on on de la recta tangente y de la recta normal a la curva x2
− y2 = 9
en el punto (5, (5, 4). Esta curva se llama hip´ ip´erbo er bola la .. Soluci´ on:
Por derivaci´on on impl´ im pl´ıcit ıc ita: a: 2
x
−y
2
=9
y
T
2
2
(x − y ) = (9) 2x − 2y · y = 0 x y =
⇒ ⇒ ⇒
normal
y
5
La pendiente m de la recta tangente es y evaluada en x = 5, y = 4, entonces 5 m= 4 y 5 25 9 b=4 5=4 = . 4 4 4 La ecuaci´on on de la recta tangente es
− ·
−
−
5 y= x 4
− 94 .
Ahora, la pendiente m0 de la normal es m0 = m0 =
−1 , es decir m
−1 = −4 5 4
5
y la intersecci´on on ser´ se r´ıa ıa b0 = 4
− ( −54 )(5) = 4 + 4 = 8.8.
De manera que la ecuaci´on on de la normal es y=
r
4
− 45 x + 8
tangente
Figura 5.22. Hip´ Hi p´erb er bola ol a
x2
− y2 = 9
Ex
134
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Ejemplo Ejemplo 46.
C´ alculo alculo de la la deriv derivada ada en en una ecuaci´ ecuaci´ on on
Determinar y si y est´a dada impl´ impl´ıcitamente por la ecuaci´ on on 2xy2 + y 3 = x3 + 2. 2. Soluci´ on: Procedemos por derivaci´on on impl´ıcita ıcita derivando ambos miembros de la ecuaci´on: on: 2xy2 + y3 = x3 + 2
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
(2xy (2xy2 + y 3 ) = (x3 + 2) (2xy (2xy2 ) + (y (y 3 ) = (x3 ) + (2) (2x (2x) y2 + (2x (2x)(y )(y2 ) + 3y 3y2 y = 3x2
·
2y2 + (2x (2x)(2y )(2y y ) + 3y 3 y2 y = 3x2
·
·
2y2 + (4xy (4xy + 3y 3y 2 )y = 3x2 (4xy (4xy + 3y 3y2 )y = 3x2 3x2 2y2 y = 4xy + 3y 3y 2
−
− 2y 2
5.4
´ LEIBNIZ Y EL CALCULO
La Europa del siglo XVII estaba “madura” para un salto cualitativo en el tratamient tratamientoo de los m´ etodos etodos infinitesimales. infinitesimales. Y una prueba de ello es que tantos matem´aticos aticos de primer orden le hubieran entrado a esta tem´ atica atica en relativamen relativamente te tan poco tiempo. Ya hemos mencionado al gran Newton, ahora vamos a se˜ nalar el trabajo de Leibniz, un hombre nalar de muy diferentes aficiones intelectuales que fue, sin duda, una de las grandes mentes universales de la humanidad. Gottfried Gottfried Wilhelm Wilhelm Leibniz Leibniz (1646–1716) (1646–1716) naci´ o en Leipzig, Alemania, y vivi´o casi siempre alrededor de la ciudad de Hanover, donde sirvi´o a los duques de la ciudad. Junto con Newton se considera creador del C´alculo alculo Diferencial e Integral. Newton construy´o el C´ alculo entre 1665 y 1666, mientras Leibniz alculo lo hizo entre 1773 y 1776. Pero Pero fue Leibniz Leibniz quien public´ o primero sus resultados (entre 1684 y 1686) y luego lo hizo Newton (entre 1704 y 1736). Ambos hicieron sus contribuciones de manera independiente y con caracter´ısticas ıstic as propias, propia s, sin embargo durante d´ecadas ecadas se dio una pol´emica emica muy famosa sobre qui´en en lo hab´ hab´ıa encontrado primero. primero . Leibniz entr´o a la Universidad de Leipzig a los 15 a˜nos nos en donde estudi´ o derecho, dere cho, teolog´ teo log´ıa, ıa, filosof´ filo sof´ıa ıa y mate m atem´ m´ aticas. Aunque a los 20 a˜ aticas. nos nos
Se presenta una breve rese˜ na n a sobre la vida y obra de uno de los creadores del C´ alculo: Gottfried Leibniz. alculo:
Hubo Hu bo pol´emica em ica entre ent re Newton y Leibniz
135
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
ten´ıa ıa la prepara prep araci´ ci´on on para que le dieran el t´ıtulo de doctor en derecho no se lo dieron por su juventud (aunque algunos piensan que fue por envidia y temor ante un joven joven tan brillante) brillante).. Logr´ o conseguir su t´ıtulo en otra universidad universida d (Nuremberg ( Nuremberg)) y all´ı rechaz´ re chaz´o incluso un puesto de profesor de leyes, para dedicarse a la diplomacia por m´ as a s de 40 a˜ nos. nos. Leibniz Leibniz mismo dijo que hasta 1672 casi no sab´ sab´ıa nada de matem´ aticas ticas.. En ese ese a˜ no no fue que conoci´o al matem´ atico atico holand´es es Christiaan Christi aan Huygens que lo puso en contacto con obras matem´ aticas aticas importantes de Descartes y Pascal.
Una mente universal
Adem´ as as de diplom´ atico, atico, Leibniz fue fil´ osofo, osofo, abogado, historiador, fil´ ologo ologo y hasta un pionero de la geolog´ıa. ıa. Sus trabajos traba jos en matem´ aticas aticas y filosof´ filosof´ıa son de lo mejor que el mundo mundo ha producido. Podr´ Podr´ıa decirse que mientras que el enfoque enfo que de Newton en el C´alculo alculo fue f´ısico, co , el de Leibniz fue esencialmente geom geom´ ´etri et rico co e incluso incluso algebraico. algebraico. La obra que recoge su m´ etodo etodo fue un art´ıculo ıculo que apareci´ apareci o´ en 1684 en una revista llamada Acta eruditorum , que ´el el hab´ıa ıa fundado fund ado hac´ıa ıa un par de a˜ nos. nos. dy El art ar t´ıcul ıc uloo conte co nten n´ıa los lo s s´ımbol ımb olos os dx, dx, dy y , as´ as´ı como las dx reglas de la derivaci´ on on como d(uv) uv) = u dv + v du. du. Lo Loss mism mismos os nom ombr bres es de c´ alcu a lculo lo dife difere renc ncia iall e inte integr gral al provienen provienen de calculus differentialis differentialis y calculus integralis integralis (en lat´ın) ın) que us´o Leibniz. Gottfried Leibniz El uso u so de los s´ımbolos ımbol os “=” “ =” y “ ” para denotar igualdad y multiplicaci´ on on tambi´ tambi´ en en fueron fueron resultado resultado de la influencia influencia de este gran hombre. hombre. Los t´ermino erm inoss “funci´ “fu nci´on” on” y “co “coordenada ordenadas” s” tambi´en. en.
×
Newton y Leibniz
Tanto Newton como Leibniz comprendieron la esencia y el significado te´ oricos oricos del nuevo nuevo m´etodo. etodo. Ambos se dieron dieron cuenta cuenta y generalizar generalizaron on la idea de que la derivaci´on on y la integraci´on on eran procesos inversos inversos.. Pero Pero el estilo de ambos era diferen diferente. te. Newton Newton era m´ as as emp´ emp´ırico y buscaba la aplicaci´ on, Leibniz era especulativo y buscaba la generalizaci´ on, on. on. Por ejemplo, Leibniz precis´o muy bien las f´ormulas ormulas de la derivaci´ on, on, buscando un m´etodo etodo general. Newton nunca las precis´ o, o, las us´ o en medio de su visi´on on aplicada. El impacto extraordinari extraordinario o que tuvieron tuvieron las aplicaciones del C´alculo alculo en la l a f´ısica, precisamente, hizo que durante el siglo
La derivaci´ derivaci´ on e integraci´ on son son pro procesos esos inversos
136
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
XVIII el ´enfasis enfasis que tuvo la construcci´ on on matem´ atica atica fuera de aplicaciones. El impacto impacto de los trabajos de Leibniz Leibniz en la comunidad comunidad cient´ cient´ıfica y matem´ atica atica de la ´epoca epoca fue grande grande.. Por Por ejempl ejemplo, o, a partir partir de los mismos y en relativamente poco tiempo, los hermanos suizos Bernoulli desarrollaron enormemente los l os resultados de lo que hoy ser´ ser´ıa el c´ alculo alculo universitario de pregrado. A pesar de que la notaci´on on y formulaci´ on on de Leibniz eran m´as as utiles, u ´tiles, los matem´ aticos aticos ingleses se negaron a usarlas durante d´ecadas, ecadas, debido a la disputa entre Newton y Leibniz sobre la “paternidad” del C´alculo. alculo. Con esto se hizo un flaco favor a las matem´ aticas aticas en Inglaterra. Inglaterra. A diferencia de Newton, Leibniz muri´o sin honores, fue enterrado con solo la presencia de su secretario y los sepultureros.
FormasdepoliedrosenestudiosdeperspectivaporPaoloUcello, pintoritalianodelRenacimiento
137
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
5.5 5.5
´ EJER EJERCI CICI CIOS OS DEL DEL CAP ITULO 5
Interpretaci´ on gr´ afic afi ca En los ejercicios 1 a 4 la figura dada representa una funci´ on f . f . En cada caso determine: (a) los valores de x para los cuales f (x) = 0, 0, (b) los valores de x para los cuales la funci´ on no es derivable.
1.
2.
3.
4.
y
y
y
T
T
T
E
E
x
−4 −3 −2 −1
1 2 3
Figura 5.23.
T d
d
−4 −3 −2 −1
y
1 2 3 4
Figura 5.24.
t
E
x
−4 −3 −2 −1
E
x
1 2 3 4
Figura 5.25.
−4 −3 −2 −1
x
1 2 3 4
Figura 5.26.
Falso o Verdadero En los ejercicios 5 a 10 diga si la afirmaci´ on es falsa o verdadera (explique). on on continua en x = 4 entonces 5. Si f es una funci´ podemos asegurar que existe f (4).
un u n la figur figuraa 5.27 5.27 podem podemos os afirm afirmar ar que que 10. Seg´ f (2) > f ( f ( 2).
−
funciones nes deriv derivabl ables es tales tales que 6. Si f y g son funcio
T
f ( f (x) > g(x) para todo x entonces f (x) > g (x) para todo x.
E
f (x)g (x) 7. Si f (c) = 0 , g (c) = 0 y h(x) = f ( entonces h (c) = 0.
−4 −3 −2 −1
f (x)h(x)g (x), entonc entonces es p (x) = 8. Si p(x) = f ( f (x)h(x) + h (x)g (x) + g (x)f ( f (x).
afica afica de una 9. Si la figura 5.27 representa la gr´ funci´ on on f enton entonces ces podemos podemos asegur asegurar ar que f (1) = f (2).
y
Figura 5.27.
1 2 3 4
x
138
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Selecci´ on on unica u ´nica En los ejercicios 11 a 20 escoja la opci´ on que responda o complete correctamente la proposici´ on dada. f (x) = 11. Si f (
√2x + 3 entonces f (3) es igual al
siguie sig uiente nte l´ımite ımi te (a) lim h
→0
(c) lim
√9 + h − 3
(b) lim
h
l im
√9 + 2h 2h − 3 h
√2 · 3 + 3 + hh→−03
(d)
h
√9 +h→h0+ 3 h
h
→0
funciones nes deriv derivable abless tales tales que 17. Sean f y g funcio
· ·
f [g (x)]2
es der derivab ivable le..
f [g (x)]2 es igual a (a) 2f 2f [g (x)]2
g (x) g (x)
(b) 2f 2f [g (x)]2
g (x)
·
on on 12. En x = 0 la funci´ f ( f (x) =
≥
(a) deriv derivabl ablee y contin continua ua (b) deriv derivable able y no no contin continua ua (c) contin continua ua y no deriv derivable able (d) no continua y no derivable funciones nes tales tales que f (2) f (2) = 3, 13. Si f y g son funcio f (2) = −1, g(2) = 2 y g (2) = 4 entonces (f · g ) (2) es igual a
−4
(b) 5
(c) 10
(d) 2
14. Para las mismas funciones del ejercicio ante-
rior se tiene que (f ( f /g) /g) (2) es igual a (a)
−1/4
(b)
−7/8
(c) 5/8 (d)
(d) 2f (x) g (x)
·
una func funci´ i´ on on deriv derivabl ablee en x = 3 y 18. Si f es una
x2 si x < 0 x si x 0
es
(a)
·
(c) 2f 2f [[g (x)] g (x)
La der derivad ivadaa de
f (3) = 2, entonces podemos afirmar que: f ( f (r) 9 (a) lim =2 r→3 r 3 (b) lim f ( f (x) = 2
− − x→3 f ( f (r) − f (2) f (2) (c) lim =3 r →2 r−2
→3
Considere las siguientes afirmaciones: I. f no es derivable en x = 1. II. f es derivable en x = 2. III. f es derivable en x = 0. 0. De estas afirmaciones son verdaderas: (a) Solo Solo I (b) (b) Toda Todass (c) (c) Solo Solo I y III (d) (d) Solo Solo III y
y
T 2
f ( x) 15. Sean f y g funciones tales que g (x) = f (
−
(a) g (x) = f (x) (b) g (x) = −f (x) (c) g (−x) = −f (x) (d) g (−x) = f (x)
x
on on f . f . 19. La figura 5.28 corresponde a una funci´
−7/2
para todo x, entonces
(d) li lim f ( f (x) = f (3) f (3)
r
1 r
−1
T f (2) f (2) q
b 1
Figura 5.28.
2
y = 3x 3x
2
Ex
−4
Ex
Figura 5.29.
16. ¿En que valores de x no es derivable la sigu-
iente funci´on? on? f ( f (x) =
(a) Solo en
un la figura 5.29, la recta de ecuaci´on un on y = 20. Seg´
|
3 x si x 1 2 x +x si 0 x < 1 x+1 1 si x < 0
−1 y 1 (c) Solo en −1 y 0
− |−
(b) En
≥ ≤
3x 4 es tangente a la gr´ afica afica de f en el punto (2, (2, f (2)). (2)). Seg´ un esto, podemos afirmar que: un
−
(a) f (2) = 3 y f (2) f (2) = (b) f (2) =
−1, 1 y 0
(d) (d) Sol Soloo een n1y0
−4
f (2) = 3 −4 y f (2)
(c) f (2) = 3 y f (2) f (2) = 2
(d) f (2) = 2 y f (2) f (2) = 3
139
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Problemas y preguntas de desarrollo Para cierta funci´ on on diferenciab diferenciable le f sabemos 21. Para
representa ta la 34. En cada una de ´ıstas figuras se represen
que f (1 f (1,, 03) = 3, 3, 85 y f (1 f (1,, 05) = 3, 3, 82 82.. D´e un valor estimado razonable de f (1, (1, 03); justifique su respuesta. respuesta.
gr´ıfica ıfi ca de una un a func fu nci´ i´ın ın f . f . Utilice Utilice en cada caso la informaci´ informaci´ın dada en el dibujo para calcular de modo aproximado el valor de f (1) (sugerencia: calcule la pendiente de la recta dada en el dibujo).
on on diferenciable f se sabe que 22. Para cierta funci´ f (5) f (5) = 3, y f (5) = 0, 0, 3. D´e un valor estimad es timadoo razonable razonable de f (5 f (5,, 04); justifique justifique su respuesta. respuesta. En los ejercicio ejercicioss 23 a 28 utilice utilice la definici´ definici´ on on de derivada o su forma alternativa para calcular la derivada de la funci´ on en el punto x indicado en cada caso.
2 T 1, 75 1, 5 1, 25 1 0, 75 0, 5 0, 25
(a)
q 0, 5
f (x) = x2 23. f ( f (x) = 24. f ( f (x) = 25. f ( 26. 27.
− x + 1,
√x + 3,
x =2
x
f (x) = x2 + 1 29. f ( f (x) = 30. f (
√x − 5
2 f (x) = 31. f ( x+3 f (x) = x3 32. f ( f (x) = 33. f (
2 T 1, 75 1, 5 1, 25 1 0, 75 0, 5 0, 25
3
3x f (x) = 2 , x=1 28. f ( x +1 En los ejercicios 29 a 33 utilice la definici´ on de derivada o su forma alternativa para calcular la funci´ on derivada de la funci´ on dada en cada caso.
−1
1 x2 +1
1, 5
2
1, 5
2
E
Figura 5.30.
x=1
− 2 , x = −1 f ( f (x) = x3 − x2 + 1, x = 0 √ f ( f (x) = 2x + 5, x = 2
1
(b)
r
0, 5
1
E
Figura 5.31.
gr´ıfica de 35. En cada ´ısta figura se representa la gr´ una funci´ fun ci´ın ın g . Utilice la informaci´ informaci´ın dada en el dibujo para calcular de modo aproximado el valor de f (2).
2 1, 75 1, 5 1, 25
T
q
1 0, 75 0, 5 0, 25
E 0, 5
Figura 5.32.
1
1, 5
2
140
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
En los ejercicios 36 a 60 calcule la derivada de la funci´ on dada utilizando las propiedades de la derivada (no use la definici´ on).
− 3√t √ √ h(x) = 3 x + 5 x
36. g (t) = t4 37.
f (t) = 39. f ( 40. g (x) =
41. 42.
t + t1/2
−
t+2 t 3
(x2 + 3x 3x)(x )(x2 + 4) 57. h(x) = 2x + 1
− t2 − 3
(x3
− 3√x)(2x )(2x2 + 4x 4x)
t2 + 3t 3t
58. h(x) =
2x3 + x2 + 1 2x2 + 1
f (x) = 2x + 5 2x3 + x2 59. f (
x+5
√
√t + 2 f ( f (t) = 2 t −3 h(x) = (x5 − 2x)(x )(x3 + x2 − x) )(3x2 + x1/2 − 3x) − 2x2)(3x 1√ 1√ g (x) = ( x + 3x 3x−2 )( x + x)
5(3r + 1)3 + 2(r 2(r 2 60. h(r ) = 5(3r
− 3r)−3
En los ejercicios 61 a 65 calcule la primera, segunda, tercera y cuarta derivadas de la funci´ on dada en cada caso. f (x) = x3 61. f (
− 2x + 5
4
2
45. h(x) = (4
f (x) = 46. f (
3
−
√ 5
2x)(x )(x−3 + x2
2 x+ x
√
√
−
(3x + 15)10 48. g (x) = (3x f (t) = 49. f (
− 2x
√
63. h(x) = 2 x
√
65. g (r) = 3r −5/2 + 2 3 r
Las ecuaciones dadas en los ejercicios 66 a 70 definen y como como funci´ on impl´ıcita ıcita de x. En dy cada caso determine dx .
√3t + 1
√ g (x) = 3 x2 + x + 1
f (x) = 51. f (
− x)
62. g (x) = x5 + x4
3t−5 64. g (t) = t−4 + 3t
2 3x+x 1 47. g (x) = 2x2 + x
50.
4
t
−
15x)−8 56. h(x) = ( 2x3 + 15x
43. h(x) = (x−3 44.
x2 + x 1 x2 x + 1
− √ ( ) = 5 −5 +
55. h t
3
f (t) = 38. f (
54. h(x) =
3y 2 = 5 66. x2 + 3y
3
67. xy
√2x + 1 3x + 2
√ x + x2 + 1
− x2 + y3 = 0
3xy2 = 1 68. 2x2 y + 3xy
3
52. g (x) =
f (x) = 53. f (
x2 + 2
x3 2x x4 + 3x 3x2
−
69. x3 y 2 + xy = 2y 5
70. (x2 + y 2 )2 = x4 + y 5
141
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
mueve en l´ınea recta de man71. Un objeto se mueve era que a los t segundos se encuentra a s(t) = 3t2 + 2t 2 t + 5 metros del origen origen.. Determ Determine ine su velocidad a los 3 segundos.
on on y = 94 x 82. La recta de ecuaci´
− 3 es tange tangent ntee a √ la curva f ( f (x) = 2x + x. Determine el punto de tangencia (esto es, de acuerdo con la figura 5.33, se trata de calcular (a, (a, f ( f (a))). y
T
mueve en l´ınea recta de manera 72. Un objeto se mueve que a los t segund segundos os se encuen encuentra tra a d(t) = 2 t + 4 metros metros del origen origen.. Determ Determine ine su vevelocidad a los 4 segundos.
√
f ( f (a)
r
E
a
x
on de la recta tangente a on 73. Determine la ecuaci´ la curva y = x3
(1, 1). − x2 + 1 en el punto (1,
Figura 5.33.
on de la recta tangente a on 74. Determine la ecuaci´ la curva y =
1
x2 +1
en el punto (2, (2, 15 ).
on de la recta tangente a la on 75. Calcule la ecuaci´ curva y = 3x2 + x
− 4 en el punto (−1, −2).
83. Determine los puntos de la curva y = x2 + 1
para para los los cuale cualess las rect rectas as tang tangen ente tess pasa pasan n por el orig origen en (en (en la figur figuraa 5.3 5.34, 4, dete determ rmin inar ar (a, f ( f (a)) y (b, (b, f ( f (b))). y
T
on de la recta tangente y on 76. Determine la ecuaci´ la de la recta normal a la curva y = x3 + 2x 1 en el punto (1, (1, 2).
−
s
s
p
Ex
a
b
on de la recta tangente y on 77. Determine la ecuaci´ la recta normal a la curva 4x 4x2 + 9y 9 y2 = 36 en √ el punto (1, (1, 4 3 2 ) on de la recta tangente y on 78. Determine la ecuaci´ la recta normal a la curva en el punto (2, (2, 1).
x3 y 3
−
4xy + y 4
=1
Determi ne en qu´e puntos la curva y = 2x3 79. Determine 3x2
12x x + 6 tiene tangente horizontal. − 12
Figura 5.34.
84. Pruebe que no existe ninguna recta tangente
a f ( f (x) = x3 + 2x 2 x2 cuya pendiente sea igual a 2.
− −
afica afica de f ( f (x) = 80. Una recta L1 es tangente a la gr´ x3 + x2 x en el punto (1, (1, 1). Otra recta L2 es tangente a la misma curva en el punto (c, (c, f (c)). ¿Cu´ al al debe ser el valor de c para que las rectas L1 y L2 sean paralelas?
−
85. Una recta L1 es tangente a la curva y = x2 en
el punto (1, (1, 1). Otra recta L2 es tangente a la misma curva en el punto (c, (c, c2 ). ¿Cu´ ¿Cu´ al al debe ser el valor de c para que las rectas L1 y L2 sean perpendiculares? y
T
L2
abola abola y = 2x2 + 81. Existen dos puntos de la par´ x 1 para los cuales se tiene que la pendiente de la recta tangente es igual a la ordenada del punto. ¿Cu´ ales ales son esos puntos?
−
Figura 5.35.
L1
Ex
142
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
y
T 86. La curva de la figura 5.36 corresponde a la
1 funci´ on on f ( f (x) = . La recta L es tangente a la x curva en el punto P . P . Pruebe Pruebe que no importa importa cu´ al al sea el punto P siempre se tiene que el ´area area del tri´ angulo angulo AOB es igual a 2.
A
sP
E O
Figura 5.36.
Imagenconstruidautilizandounfractal
B
x
Respuestas a los ejercicios impares dominio: 7. (a) dominio:
Cap´ıtulo 1 1. 300
3. 25%
5. 125
7. c
9. a
11. c
13. F
15. V
17. F
19. (a) 9 m/seg, (b) 7 m/seg, (c)
12 m/seg 7, 5 21. c = 3, f (c) = 7, pendiente te = 5 23. pendien
− {−2}, ambito: a´mbito: [0, [0, +∞[, (b) corta a eje y en (0, (0, 2), corta a eje x en (−4, 0), 0), (c) (c) crecreciente en [−4, −2], decrecien decreciente te en [−∞, −4] y [−2, +∞[. ambito: [−5, +∞[, 9. (a) dominio: R, ´ambito: (b) corta a eje y en (0, (0, 0), corta a eje x en (−6, 0), (0, (0, 0) y (6, (6, 0), (c) creciente en [−3, 0] y en [3, [3, +∞[, decreciente en [−∞, −3] y [0, [0, 3]. R
11. F 13. F
15. V
y
T q
17. (a) F, (b) V, (c) F, (d) F
5
19. d 2 m =5
E
x
21. d 23. d 25. a 27. d
Cap´ıtulo 2
29. (a) 0, (b) 15, (c) 15, (d) 15, (e)
20 1. Son funciones: a, d, f, g 3.
( 2, 1)
− q
31.
y
T (0, 4) q(0, (2, 0) r(2, E x (3, (3 q , −2)
5. (a) dominio: [ 4, +
− ∞[, ambito: a´mbito: [−3, +∞[, (b) corta a eje y en (0, (0, 0), corta a eje x en (0, (0, 0) y (−4, 0), (c) crecie crecient ntee en [−2, 2] y en [4, [4, +∞[, decreciente en [−4, −2] y [2, [2, 4].
x f ( f (x) x f ( f (x)
0.1 1,16 1,1612 1233 -0.001 1,09 1,0980 8000
0.01 1,10 1,1046 4666 -0.01 1,09 1,0925 2599
0.001 1,09 1,0992 9211 -0.1 1,04 1,0404 0411
La tabla ta bla indica que s´ı es posible posi ble la existencia existe ncia de un l´ımite. ımite . 33. 10 35. 2 37. 4 39. 0
144
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
41. 4 43. 10 45. 47.
Cap´ıtulo 3
1 5 1 2
1. (a)
6, (e) 6, (f) 6
49. 3x2 51.
3. (a) 0, (b) no existe, (c) no ex-
1 6
iste, (d) 0, (e) 0, (f) 0
53. 1 55. 57.
−1 3 −1
5. x =
−2, x = 2 7. x = −6, x = 4, x = 6
4
59. No existe 61. 63. 65.
−4, (b) 2, (c) no existe, (d)
9. F
1 3
11. V 1
√ −
13. V
2 5 2 27
15. c
67. Una posible: y 3 T 2 b
q
− r2 −1 r q −11
2
17. a 19. d 21. d
E
f (x) = 69. Por ejemplo: f ( g (x) =
−1 x−2
23. b
x
25. No existe 1
x 2
−
y
27. 0 29. 1
71. Cuando a se aproxima a 0 una 31. 0 de las ra´ ra´ıces se aproxima aproxima a −bc y 33. f (3 f (3)) = 1 y lim lim f ( f (x) = 1 x
→2
la otra crece “ilimitadamente” (si f (2) = 5 y lim f ( f (x) = lim f ( f (x) = 5 a > 0) o decrece “ilimitadamente” 35. f (2) x→2+ x→2 (si a < 0). f ( 1) = 4 = lim f ( f (x) = 37. f ( x→−1+ 73. (a) y lim f ( f (x) x→−1 b b b b 2 b T b b b b r r r r r r r r r 39. R 1 Ex , 2[ ]2, ]2, + [ 41. ] −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 −
−
−
−∞ − ∪
(b) s´ı exist e xistee (es ( es 2), (c) s´ı existe exis te 43. (es 2), (d) existe para todo c R y 45. siempre es 2.
R
49.
R
51.
R
∈
− {−2} 47. R − {2} R
− {1}
53. c =
−5 2
∞
145
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
ıntotas ınto tas vertical verti cales: es: x = 3, 49. As´
Cap´ıtulo 4 1. (a)
x=
−∞, (b) −∞, (c) +∞, (d)
a s´ıntota ınto ta horizont hori zontal: al: y = 0 −3; as
As´ıntota ınto ta vertical verti cal:: no hay; as´ıntota ınto ta 51. As´
horizontal: y = 0 + , (e) 0, As´ıntotas ınto tas vertical verti cales: es: x = 1, (f) 0, (g) as´ as´ıntotas ıntotas verticales verticales:: 53. As´ x = 3; as a s´ıntota ınto ta horizont hori zontal: al: y = 0 x = 2, x = 0; as´ıntota ınto ta horizonta hori zontal: l: y = 0 55.
∞
−
−
−
3. (a) +
∞, (b) −∞, (c) +∞, (d) +∞, (e) −∞, (f) −∞, (g) ( g) as´ıntot ınt otas as verticales: x = −3, x = 3; 3 ; as´ıntot ınt otaa
y
T 1
horizontal: no hay
5. (a) 2, (b) 2, (c) 2, (d) 0, (e) 0,
(f) 0, (g) + , (h) , (i) no hay
∞ −∞
7. (a) 3, (b) 3, (c) 3, (d)
E
−2
x
128
, (e) 57. A = 3 59. (a)
−∞
−∞, (f) −∞, (g) +∞, (h) +∞, (i) as´ıntota ınto ta
vertical: x = 0; as´ as´ıntota horizontal: horizonta l: no hay
x 10 50 100 10 00 f ( f (x) 1, 3137 3700 1, 06 068858 1, 03464 1, 00349
9. F
(b) 1, (c) 1
11. F
√
61. 12 2
13. F 15. F 17. a
Cap´ıtulo 5
19. c 21. a 23. +
∞ 25. +∞ 27. +∞ 29.
3 2
31. +
∞ 33. −∞ 35. +∞ 37. −∞ 39.
5 2
−∞ 43. +∞ 41.
45.
1 2
47. 0
1. (a) x =
−2, (b) x = 0,0 , x = 2 3. (a) x = −3, (b) x = −2, x = 2 5. F
7. V 9. V 11. b 13. c 15. c 17. a 19. c 21.
−3 2
23. 1 25. 27.
−1 3 1 3
146
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
29. 2x 31.
69.
−2
(x + 3)2 2x 33. 2 (x + 1)2
−3x2y2 − y 2x3 y + x − 2
71. v = 20 m/seg
−
35. f (2)
y =
73. y = x 75. y =
≈ 1, 2
−5x − 7
√
2 − x+ 6 √2 3 5 −2/3 √ 37. √ + x 3 2 , recta normal: y = 3 2 x +3 − 2 x 3 √2 5 3 −t4 − t3 + 9t 9t2 + 9t 9t 39. (2, 26) 79. (−1, 13) y (2, (t2 + 3t 3t)2 √ (2, 9) 81. (− 12 , −1) y (2, 3t2 − 8t t − 3 − √ 41. (1, 2) y (−1, 2) 83. (1, 2 t(t2 − 3)2 1 +6x x−3 −24 24x x3 − 85. c = − 4 43. −3x−2 − 52 x−7/2 +6
77. Recta tangente: y =
5x3/2 + 18x 18x2
− 25 (2x (2x)−4/5 (x−3 + x2 − x)+ √ (−3x−4 +2 +2x x−1)(4− 2x) −20 20x x4/3 − 4x1/3 − 6x2 + 12x 12x − 3 47. 45.
5
(2x (2x2 + x)2
49. 51. 53. 55.
3 √ 2 3t + 1 −4x √− 1
(3x (3x + 2)2 (x3
2x + 1
9x4 + 6x 6x2 ) − 2x)4(−x6 + 9x (x4 + 3x 3x2 )6
25tt−6 + 14 t−3/4 + 12 t−1/2 −25
6x4 + 16x 16x3 + 17x 17x2 + 8x 8x + 12 57. (2x (2x + 1)2 5(3x 5(3x2 + x) 59. 2 + 2x3 + x2 61. f (x) = 3x2 2, f (x) = 6x, f (x) = 6, f IV (x) = 0 1 1 3 , h (x) = , h (x) = , 63. h (x) = x 2 x3 4 x5 15 hIV (x) = 8 x7 65. g (r ) = −215 r−7/2 + 23 r−2/3 , −9/2 4 r−5/3, g (r) = 105 4 r 9 11/2 + 20 r−8/3 , −11/ g (r) = −945 r 8 27 10395 −13/ 160 −11/ IV 13 / 2 11/3 g (r) = 16 r 81 r 2x y 67. y = x + 3y 3y
√
−
√−
√ −√
−
−
−
√
INDICE Conc Concep epto toss y resu resulltados
Aceleraci´ on, on, 5, 18 ´ Ambito, Ambito, 32 ´ Arbol de funciones, 34 ´ Area, 102 – c´ alculo alculo de, 102 – bajo la curva, 102, 105 As´ıntot ınt ota, a, 88 – horizontal, 96 – obl´ıcua, ıcu a, 104 – vertical, 88 Cambio, 1 – absoluto, 3 – continuo, 1 – raz´ on on de, 3 – relativo, 3, 4 Ca´ıda ıda libre, lib re, 10 Continuidad, 70 – cuando hay un par´ametro, ametro, 74 – de la funci´ on on constante, 70 – de la funci´ on on identidad, 70 – de una funci´on on definida por partes, 73 – en un intervalo, 72 – en un punto, 70 Corriente, 19 Costo marginal, 19 Crecimien Crecimiento to ilimitado, 37, 86, 94 Decrecimiento sin cota, 95 Densidad, Densidad, 18 Derivaci´on on impl imp l´ıcita, ıci ta, 131 Derivada, 19
– de una funci´on on en un punto, 19, 114 – de la funci´on on identidad, identidad, 124 – de la funci´on on constante constante,, 124 – infinita, 121 – de la funci´on on lineal, 19, 114 n – de x , 124 – de orden superior, 127 – notaciones para la, 122 – pun puntos dond dondee no exis existe te,, 120 Discontinuidad, 70 – en un punto, 70 – evitable, 76 – inevitable, 76 – de salto, 76 Dominio, 32 Funci´on on – estrictamente creciente, 32 – estrictamente decreciente, 32 – identidad, 31, 44 – constante, 31, 42 – continua, 70, 71, 72 – cuadr´ atica atica o parab´ olica, olica, 31 – derivada, 117 – gr´ afica afica de una, 30 – impl imp l´ıcita, ıci ta, 131 – lineales, 31 – definida por partes, 67 Geocentrismo, 24 Helioc´ Heli oc´entrica, entri ca, 24 Hip´ Hip ´erbol erb ola, a, 133 13 3 Incremento, 4 Integral, 105 – definida, 105 Interpretaci´ on on gr´ afica, afica, 32 Intervalo ]a, ]a, b[, 33
148
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Intervalo [a, [a, b], 33 Intervalo ]a, ]a, + [, 32 Intervalo [a, [a, + [, 32 Intervalo ] , a], 33 L´ımite, 13, 38, 39 – por la izquierda, 66 – por la derecha, 66 – al infinito, 94, 96 – al infinito de funciones polinomiales, nomiales, 100 – infinito, 86 – de una funci´on on constante, 42 – determinado, 47 – de la funci´ on on identidad, 43 – indeterminado, 47, 49 – lateral, 65 – no existe, 39, 41, 67, 86 – al infinito de un cociente de polinomios, 100 M´etodos eto dos para calcul cal cular ar l´ımites, ımi tes, 49 – factorizar y simplificar, 49 – racionalizar y simplificar, 51 – combinaci´ on on de, 52 Movimiento, 93 n–´esima esi ma derivada, deri vada, 128 No derivable, 114 Notaciones para la derivada, 122 Paradoja Parado ja de la Dicotom´ Di cotom´ıa, ıa, 2, 93 93 Paradoja de Aquiles y la tortuga, 3 Pendiente, 18, 113 – de la recta tangente, 17, 18, 19, 111 – problema de la, 15 Propiedades Propie dades de los l´ımites, ımite s, 44 44 Promedio, Promedio, 18 Rapidez, 8 Raz´on on promedio, 4 Recta – tangente, 16, 32 – tangente vertical, 121 – normal, 130 – secante, 16 – perpendicular, 130 Segunda derivada, 127
∞ ∞ −∞
Semicircunferencias, 30 Teorema eorema 2.1: Operaciones Operaciones con l´ımit ım ites es,, 44 Teorema 2.2: Dos l´ımites ımite s coincoi nciden si ..., 47 Teorema eorema 3.1: Operaciones Operaciones con funciones continuas, 71 Teorema 4.1: 4 .1: El l´ımite ımi te limx→c 89
(x
Teorema eorema 4.2: Operaciones Operaciones con l´ımites ımi tes infinito infin itos, s, 89 Teorema eorema 4.3: Propie Propiedad dades es de los l´ımites ımite s al infinito, infinit o, 97 Teorema eorema 5.1 5.1:: Deriv Derivabi abilid lidad ad y continuidad, 121 Teorema eorema 5.2: Propie Propiedad dades es de las derivadas, 125 Tercera derivada, 128 Tiende a, 37, 38 – infinito, 86, 95 – menos infinito, 87, 95 – por la derecha, 39 – por la izquierda, 39 Tipos de discontinuidad, 75 Variaci´ on, on, 1 – promedio, 4 – en un punto, 6 Velocidad, 1, 5, 8, 18, 19 – promedio, 8, 9 – instant´ anea, anea, 11, 13
Recuadros
Recuadro 1.1: Funciones, 5 Recuadro 1.2: G´ aficas, aficas, 12 Recuadro 1.3: Rectas, 15 Recuadro Recuadro 2.1: Valor absoluto, absoluto, 38 Recuadro Recuadro 2.2: Operaciones Operaciones con funciones, 43 Recuadro 2.3: Factorizaci´ on, on, 48 Recuadro Recuadro 2.4: Racionalizac Racionalizaci´ i´ on, on, 50
1
− c)n ,
149
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Recuadro Recuadro 4.1: Las sucesiones sucesiones,, 94
Einstein, Albert, xiii, 65 Euclides, 55, 78 Eudoxo, xi, 79, 101 Euler, Leonhard, xiv, 111
Nombres
Abel, Niels, xiv Arist´oteles, oteles, 24 Arqu´ Arqu´ımedes de Siracusa, Siracusa , xi, 79, 101, 105 Bacon, Francis, xiii Barrow, Isaac, xiii, 78 Bernoulli, Bernoulli, Jacques, Jacques, xiv Bernoulli, Jean, xiv, 111 Bolzano, Bernhard, xiv, 123 Borges, Jorge Luis, 3 Boyle, Robert, xiii Brahe, Tycho 24 Cantor, George, 29 Cauchy, Cauchy, Augustin Louis, xiv, 122 Cardano, Hier´ onimo, onimo, 24 Carnot, Lazare, xiv Cavalieri, Bonaventura, xiii Clairaut, Alexis, xiv Coll´erier, erier, Charles, Charle s, 123 Condorcet, Condor cet, Marqu´es es de, xiv Cop´ernico, erni co, Nicol´ Nico l´as, as, 24, 78 D’Alambert, Jean, 111, 122 De Roberval, Gilles, xiii Descartes, Descart es, Ren´ R en´e, e, xiii, xi ii, 56, 78, 135
.
Fermat, Pierre de, xiii, 56, 104 Galileo Galilei, xiii, 10, 23, 78 Gassandi, Pierre, xiii Harvey, William, xiii Hooke, Robert, xiii Huygens, Huygens, Christiaan, xiii, 135 Kepler, Johannes, xiii, 24, 78 Lagrange, Lagrange, Joseph, Joseph, xiv Laplace, Pierre Simon de, xiv
150
Elementos Element os de c´alculo, alculo, volumen 1
Legendre, Adrien, xiv Leibniz, Leibniz, Gottfried, xiii, xiv, 79, 101, 111, 122, 134, 136 Monge, Gaspard, xiv Newton, Isaac, xiii, 24, 78, 101, 122, 134, 136 Pascal, Blaise, 104, 135 Poincar´ Poin car´e, e, Henri, Henr i, 111 Proust, Marcel, 1 Oresme, Nicole, 56 Riemann, Riemann, Bernhard, Bernhard, 123 Tartaglia, Nicolo 24 Torricelli, Evangelista, xiii Vite, Francois, 56, 78 Voltaire, 80 Wallis, xiii, 78 Weierstrass, Karl, xiv, 85, 123 Zen´ on on de Elea, xi, 1, 93
