Libro Tratamiento Digital Imagenes

Tratamiento digital de imágenes multiespectrales Jorge Lira Chávez

Universidad Nacional Autónoma de México

TRATAMIENTO DIGITAL DE IMÁGENES MULTIESPECTRALES

JORGE LIRA CHÁVEZ

Tratamiento digital de imágenes multiespectrales

Universidad Nacional Autónoma de México

Segunda edición, 2010

Se prohíbe la reproducción total o parcial de esta obra — incluido el diseño tipográfico y de portada —, sea cual fuere el medio, electrónico o mecánico, sin el consentimiento por escrito del editor.

2010, Instituto de Geofísica, UNAM Avenida Universidad 3000, Ciudad Universitaria, 04510 México, D. F. ISBN: 978-607-00-3403-9 Editado en México

A la memoria de mis padres

PROLOGO Las sondas espaciales enviadas a capturar datos de los cuerpos que conforman nuestro sistema solar marcan una pauta bien definida en el desarrollo del tratamiento digital de imágenes. La enorme cantidad de medidas hechas a distancias relativamente cercanas a la superficie de planetas y satélites mostraron el potencial de la adquisición de datos en forma de imágenes. Debido a esto, y hace ya más de veinte años, se decidió que éstas podrían ser procesadas digitalmente por computadora. Ahora existen cientos de miles de imágenes digitales del sistema solar que han revelado detalles insospechados y sorprendentes de la evolución del conjunto sol-planetas-satélites-asteroides. En la actualidad no es posible concebir las ciencias planetarias sin el procesamiento digital de imágenes, como tampoco es factible pensar en la meteorología o la percepción remota, aplicadas a la prospección geofísica, sin el concurso del análisis de imágenes. El análisis de imágenes se emplea en muchas áreas del conocimiento científico y su uso es en verdad creciente. En física, las imágenes del microscopio electrónico son estudiadas para obtener las propiedades de la superficie de un sólido. La morfología de fagocitos se determina en biomedicina al emplear imágenes del microscopio óptico. Las fisuras, defectos e inhomogeneidades de una cierta pieza manufacturada en una fábrica, pueden ser apreciados manejando convenientemente la neutrografía correspondiente a dicha pieza. Ahora, en medicina, es posible realzar en color y estudiar la textura de una radiografía digital con el objeto de apreciar con mayor facilidad tumores y otros problemas en el paciente. En el área de la percepción remota, las imágenes se satélite son empleadas como un apoyo valioso en la prospección del medio ambiente en áreas tan variadas como agricultura, silvicultura, urbanismo y pesquería, entre otras. Muchas aplicaciones más del tratamiento de imágenes existen en diversas áreas de la investigación experimental tales como: ingeniería de suelos, arqueología y astrofísica. No puede verse a la imagen digital como simplemente una colección de números dispuestos en forma matricial; esto sería empobrecer su enorme potencial. Una imagen no es nada más una colección bidimensional de datos, sino más bien la distribución espacial de la respuesta espectral de los elementos que componen la escena. Se entiende por respuesta espectral la variación de intensidad de energía radiante en función de su longitud de onda. Recordemos que aun la radiación corpuscular tiene una longitud de onda asociada. Las gráficas son una subclase de imágenes y pueden considerarse también como una distribución espacial del valor de una cierta propiedad de un sistema, que tiene o no un significado físico inmediato. Las imágenes poseen una propiedad de conjunto que se refiere a la interrelación espacial y espectral que existe entre la variedad de elementos que componen la escena, dicha interrelación depende del sistema físico u objeto matemático que estemos estudiando. En otras palabras, una imagen es una colección de objetos y regiones aunada a la interrelación que existe entre ellos. Esto implica un gran potencial de información que demanda de avanzadas técnicas matemáticas, físicas y computacionales para facilitar el camino del estudio relativo al comportamiento del sistema bajo consideración del cual la imagen es una caracterización. He dividido mi trabajo sobre el análisis de imágenes en dos grandes ramas: el procesamiento de imágenes y el reconocimiento de patrones en ellas. La primera se estudia en los capítulos IV, V y VI, la segunda en el capítulo VII. Los capítulos I, II y III sirven de introducción al tema y para introducir definiciones y formalizaciones. El

capítulo II contiene conceptos básicos de radiometría y el capítulo VIII presenta los elementos relativos a la generación y análisis de imágenes de radar. El tratamiento de imágenes se entiende aquí como un conjunto bien definido y clasificado de realces y operaciones, que dejan lista la imagen para una descripción matemática de las regiones que la componen, culminando en el proceso de reconocimiento y cuantificación de las mismas. Las regiones están formadas a su vez por patrones espaciales y espectrales, de tal forma que el reconocer éstos por medio de modelos matemáticos implica la descripción de aquellas regiones que forman la imagen. En otras palabras, reconocer un patrón requiere primero de su manifestación evidente por medio de un procesamiento bien definido a la imagen, seguido de una descripción cuantitativa de sus propiedades morfológicas y estadísticas. La simbología es propia de cada sección y no debe haber confusión, no obstante he seguido algunos lineamientos generales: los caracteres i, j, k, l, m, n, y sus respectivas mayúsculas denotan números enteros; letras como p, q, r, s, t denotan números reales; las negrillas (A, B, A, B) representan vectores u operadores matriciales; las itálicas (x, y, z) y los símbolos griegos (, , ) expresan coordenadas (Apendice A). En el libro se ha incluido, además, una serie de láminas a color y en niveles de gris con ejemplos de imágenes que representan secuencias de operaciones o resultados de las mismas. El material que se presenta aquí ha sido desarrollado durante los años que he impartido los cursos de Procesamiento Digital de Imágenes y de Reconocimiento de Patrones, de la Maestría en Computación del Instituto de Investigación en Matemáticas Aplicadas y Sistemas (IIMAS) y del Posgrado en Ingeniería Eléctrica de la Facultad de Ingeniería de la UNAM. El apoyo que recibí por parte de la coordinación de estas maestrías ha sido valioso y mis alumnos me han ayudado a depurar parte de lo que se discute aquí; por todo ello estoy agradecido. El Capítulo V, sobre de filtrajes, fue escrito durante mi año sabático en el Center for Reservoir Research de la Murray State University, institución a la que agradezco el apoyo recibido. Deseo reconocer, asimismo, las valiosas sugerencias y comentarios de mis colegas y estudiantes. El material de este libro puede ser empleado en cursos universitarios de licenciatura o maestría en áreas de la ingeniería, computación, física y matemáticas. En cursos cortos, como diplomados, podría utilizarse una selección de capítulos, tales como la introducción y las transformaciones reversibles, o bien la introducción, las transformaciones reversibles y el reconocimiento de patrones. A lo largo de la obra hago hincapié en aplicaciones del procesamiento de imágenes de satélite (percepción remota), pues ésta ha sido mi área principal de investigación; sin embargo, los conceptos y métodos desarrollados son de alcance general. El tratamiento digital de imágenes se emplea cada vez más en universidades, institutos de investigación, industrias, hospitales y tecnológicos, por lo que espero y deseo que esta obra sea de utilidad e interés para la comunidad dedicada al análisis de imágenes. Jorge Lira Chávez Instituto de Geofísica, UNAM Posgrado en Ingeniería Eléctrica-DEPFI, UNAM Posgrado en Computación-IIMAS, UNAM

Tratamiento Digital de Imágenes Multiespectrales Jorge Lira Chávez Indice General Prólogo I. Introducción I.1 Aspectos Generales I.2 Elementos de una Imagen Digital I.2.1 Pixel y bandas I.2.2 Modelo de imagen multiespectral I.2.3 Despliegue de imágenes I.2.4 Patrón y clase de patrones I.2.5 Ruido y artefactos I.2.6 Segmentación I.2.7 Relaciones de vecindad I.2.8 Textura I.2.9 Frecuencia espacial I.2.10 Factores de contraste I.2.11 Calidad de la imagen I.3 Elementos de Análisis I.4 Clase de Imágenes I.5 Consideraciones en Cuanto a Métodos Computacionales I.6 Ejercicios II. Radiación Electromagnética II.1 Radiometría II.1.1 Definiciones II.1.2 Paquete de ondas II.1.3 Efecto Doppler II.1.4 Cantidades relacionadas con la radiación II.2 Definiciones y Leyes Radiométricas II.2.1 Definiciones II.2.2 Ley de Snell II.2.3 Ley del coseno de la irradiancia II.2.4 Superficies lambertianas II.2.5 Modelos de dispersión II.2.6 Reflectancia difusa II.2.7 Ley de Planck II.2.8 Ley de Stefan-Boltzmann II.2.9 Ley de Wien II.2.10 Ley de radiación de Wien II.2.11 Ley de Rayleigh – Jeans II.2.12 Ley de Kirchhoff

Página 1 1 3 3 6 7 9 11 12 14 16 18 20 21 22 28 29 29 31 31 31 34 37 38 39 39 45 45 46 47 50 53 56 58 59 59 60

II.3 Interacción Radiación – Materia II.3.1 Interacción radiación – atmósfera II.3.1.1 Espesor óptico II.3.1.2 Dispersión y absorción II.3.1.3 Modelo de transferencia de radiación II.4 Ejercicios III. Caracterización Matemática de Imágenes III.1 Aspectos Generales III.2 Medida Sobre un Campo Instantáneo de Vista III.3 Teorema de Muestreo III.4 Operadores en Captura de una Escena III.5 Caracterización Estocástica de una Imagen Multiespectral III.6 Ejercicios IV. Transformaciones IV.1 Aspectos Generales IV.2 Transformaciones en el Espacio de Coordenadas IV.3 Modificaciones al Histograma IV.3.1 Elongación lineal IV.3.2 Elongaciones no lineales IV.3.3 Normalización por iluminación IV.3.4 Normalización del histograma IV.3.5 Especificación del histograma IV.4 Operadores Diferenciales IV.4.1 Gradiente y Laplaciano en imágenes monoespetrales IV.4.2 Gradiente y Laplaciano en imágenes multiespectrales IV.5 Transformadas Integrales IV.5.1 Transformada de Fourier IV.5.2 Transformada de Hartley IV.5.3 Transformada de Walsh IV.5.4 Transformada de Hadamard IV.5.5 Transformada Coseno IV.5.6 Transformada de Radón IV.5.6.1 Ejemplo numérico de la transformada de Radón IV.6 Descomposición en Componentes Principales IV.6.1 Ejemplo numérico de la descomposición en componentes principales IV.6.2 Variante de la descomposición en componentes principales IV.7 Análisis Canónico IV.7.1 Ejemplo numérico del análisis canónico IV.8 Indices Espectrales IV.9 Expansión Canónica IV.10 Transformaciones Geométricas IV.11 Transformaciones Quasi-lineales IV.12 Ejercicios Láminas V. Filtros V.1 Aspectos Generales V.2 Filtros en el Dominio de Frecuencias

60 61 61 63 67 69 71 71 81 85 97 108 128 130 130 132 136 137 140 142 143 148 150 151 159 161 163 171 172 172 174 175 180 185 194 197 198 203 205 215 216 225 231 234 273 273 276

V.2.1 Filtro ideal pasa bajas V.2.2 Filtro de Butterworth pasa bajas V.2.3 Filtro exponencial pasa bajas V.2.4 Filtro ideal pasa altas V.2.5 Filtro de Butterworth pasa altas V.2.6 Filtro exponencial pasa altas V.2.7 Filtros pasa banda V.2.8 Filtro de corte V.2.9 Filtro homomórfico V.3 Filtros en el Dominio de la Imagen V.3.1 Filtros pasa bajas, pasa banda y pasa altas V.3.2 Filtro de correlación espacial V.3.3 Filtro de media V.3.4 Filtro binomial V.3.5 Filtro gaussiano V.3.6 Filtro de mediana V.3.7 Filtro de k-próximos vecinos V.3.8 Filtro sigma V.3.9 Filtro de gradiente inverso V.3.10 Filtro de ventana rotatoria V.3.11 Filtro de Lee aditivo V.3.12 Filtro geométrico V.3.13 Filtros por templetes V.3.14 Generalización de filtros por ventanas V.4 Ejercicios VI. Restauraciones VI.1 Aspectos Generales VI.2 Técnicas Algebraicas de Restauración de Imágenes VI.3 Filtro Inverso VI.4 Filtro Inverso Constreñido VI.5 Filtro de Máxima Entropía VI.6 Filtro de Wiener VI.7 Normalización de la Densidad Espectral VI.8 Restauración Adaptativa VI.9 Restauración por Movimiento Uniforme del Sensor VI.10 Estimación de la Función de Modulación VI.11 Modelación de la Función de Modulación VI.12 Ejercicios VII. Reconocimiento de Patrones VII.1 Aspectos Generales VII.2 Técnicas de Segmentación VII.3 Descriptores Morfológicos VII.3.1 El área VII.3.2 El perímetro VII.3.3 La compacidad VII.3.4 La rugosidad del perímetro VII.3.5 La excentricidad VII.3.6 La forma

279 286 288 290 291 292 292 295 297 299 300 306 310 311 313 314 315 316 317 318 319 321 323 326 329 331 331 334 336 340 348 352 360 361 365 367 370 371 373 373 374 377 377 377 378 379 381 381

VII.3.7 La diversidad del paisaje VII.3.8 La textura monoespectral VII.3.9 La textura multiespectral VII.4 Morfología Matemática VII.4.1 Principios, criterios y propiedades básicas VII.4.2 Transformaciones morfológicas VII.4.2.1 Transformaciones morfológicas en 2D VII.4.2.2 Transformaciones morfológicas en 3D VII.4.3 Aplicaciones de la morfología matemática en 2D VII.5 Clasificación Espectral VII.5.1 Análisis de cúmulos VII.5.2 Clasificación supervisada VII.5.3 Descripción de indicadores espectrales VII.6 Clasificación Contextual VII.6.1 Clasificación por funciones de densidad VII.6.2 Crecimiento de regiones VII.7 Ejercicios VIII. Sistema Radar de Imágenes VIII.1 Formación y Naturaleza de una Imagen Radar VIII.1.1 Formación de una imagen radar VIII.1.2 Sistema de apertura sintética VIII.1.2.1 Geometría de formación de imagen VIII.1.2.2 Resolución en un radar de apertura sintética VIII.1.3 Elementos y aspectos geométricos VIII.1.3.1 Perspectiva VIII.1.3.2 Sombras y relieve VIII.1.3.3 Escorzo VIII.1.3.4 Inversión de relieve VIII.1.3.5 Rotación de la Tierra VIII.1.3.6 Desplazamiento de objetos en movimiento VIII.1.4 Aspectos físicos de la imagen radar VIII.1.4.1 Ecuación de radar VIII.1.4.2 Sección diferencial de dispersión VIII.1.5 Naturaleza y modelación del speckle VIII.1.5.1 Naturaleza del speckle VIII.1.5.2 Modelación del speckle VIII.2 Reducción del Speckle VIII.2.1 Métodos físicos VIII.2.1.1 Técnica multi-look VIII.2.2 Métodos digitales VIII.2.2.1 Filtro geométrico VIII.2.2.2 Filtro por planos de bits VIII.2.2.3 Filtro de Lee multiplicativo VIII.2.2.4 Filtro de Frost VIII.2.2.5 Filtro gamma VIII.3 Interferometría Radar VIII.3.1 Configuración de pares interferométricos VIII.4 Análisis de una Imagen Radar

382 382 387 390 392 399 399 422 430 446 447 460 465 472 472 476 480 484 484 484 490 497 500 502 502 503 504 505 506 507 508 508 510 514 514 515 520 520 522 523 524 524 525 526 527 528 528 533

VIII.4.1 Caracterización de texturas VIII.4.2 Segmentación y clasificación de texturas VIII.5 Aplicaciones con Imágenes Radar VIII.5.1 Sinergismo de imágenes radar y ópticas VIII.5.2 Contaminación por hidrocarburios VIII.5.3 Radar polarimétrico VIII.5.3.1 Descomposición coherente VIII.5.3.1.1 Descomposición de Pauli VIII.5.3.2 Descomposición incoherente VIII.5.3.2.1 Descomposición Entropía, Anisotropía, Alfa VIII.5.4 Modelo digital del terreno VIII.5.5 Desplazamiento de masas VIII.5.6 Segmentación de vegetación VIII.6 Ejercicios IX. Referencias X. Glosario Apendice A Apendice B Apendice C

534 534 536 536 539 541 542 543 543 543 545 549 551 552 553 568 585 587 597

Introducción

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I. INTRODUCCIÓN La finalidad en el análisis de imágenes es la cuantificación de las propiedades de los objetos presentes en éstas, para lo cual es necesario entender los elementos que las componen, su origen y su naturaleza. Los métodos de análisis están estrechamente relacionados con estos aspectos. La toma de decisiones en muchas áreas del conocimiento se basa en el resultado de este análisis.

I.1 Aspectos Generales Todo ser humano se encuentra rodeado de imágenes que percibe a través del sentido de la vista; la mayor cantidad de información la recibimos en forma de imágenes, de todo tipo, en todos colores y en blanco y negro. La radiación electromagnética que proviene de los objetos circundantes hiere la retina, que a su vez la transforma en pulsos eléctricos, formando la psicovisión la imagen correspondiente a la escena de interés. El subsistema de formación de imágenes (Lira, 2003) del ser humano es bastante limitado en cuanto al tipo y energía de la radiación perceptible. Su sensibilidad se restringe a una pequeña porción del espectro electromagnético; es incapaz de percibir imágenes de cualquier otro tipo de radiación. Como complemento a esta aparente limitación, el ser humano es capaz de analizar e interpretar en forma extremadamente rápida las imágenes que recibe. Muchas decisiones que una persona toma son inmediatas, sobre la marcha, y están fundamentadas en la información que extrae de las imágenes que recoge del mundo que le rodea. Los colores que percibimos son básicamente una relación establecida por la psicovisión (Del Priore, 1988) para cada longitud de onda o energía de la radiación electromagnética. El número de tonos en color perceptibles (64) es mucho mayor que el de grises (16); esta particularidad de la psicovisión le permite interpretar con facilidad una escena dada. En cuanto a la evaluación de texturas, la percepción humana es relativamente limitada: no puede distinguirlas si difieren más allá del segundo momento estadístico. Sin profundizar en los mecanismos de operación de la psicovisión, diremos que ésta es muy eficiente en tareas especializadas que permiten al ser humano tomar decisiones necesarias para su conducción en el mundo real. El desarrollo tecnológico de las últimas décadas ha permitido la generación de imágenes empleando radiación invisible a la visión humana. Imágenes acústicas, magnéticas, gravimétricas, de radar (lámina 10), neutrografías y micrografías, son ahora comunes en muy diversas aplicaciones. Las imágenes son adquiridas con gran eficiencia y a resoluciones muy altas: la tecnología ha permitido extender la psicovisión a nuevas regiones, como si nuestros ojos se hubiesen vuelto más poderosos. Esta facilidad para ver nuevos aspectos del mundo que nos rodea no va equiparado, sin embargo, de la capacidad para analizar ampliamente la información disponible. Las funciones cerebrales de extracción de objetos de una escena no están cabalmente comprendidas y por lo mismo no han podido ser reproducidas en sistemas automáticos de análisis digital. El objetivo no es copiar tales funciones cerebrales, sino entenderlas y superarlas en procesos automáticos eficientes. En ciertas tareas muy específicas, el análisis

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Tratamiento Digital de Imágenes Multiespectrales

automático equipara o supera la función cerebral correspondiente, tal es el caso de la detección de bordes en imágenes complejas; sin embargo, el análisis automático tiende a hacerse menos eficiente a medida que se le encargan más tareas y de mayor complejidad. En imágenes con poca definición, con ruido y con grandes contrastes, el ser humano es capaz de llenar líneas aparentemente faltantes, de extraer información embebida en el ruido y de precisar la presencia de un objeto aun si este se encuentra parcialmente sombreado o incompleto. Esto se realiza rápidamente aunque se desconozca la escena bajo estudio; el ser humano no requiere conocimiento previo de ésta, pero sí necesita de un amplio banco de datos (con base en la experiencia) sobre los objetos contenidos en la escena. En la actualidad es posible procesar digitalmente imágenes en el contexto de estos problemas, pero en un ámbito restringido y a un alto costo computacional. No obstante, el gran avance tecnológico y los progresos en computación, tanto actuales como previsibles, hacen pensar que en un tiempo razonable se tendrán sistemas digitales que emulen una buena porción de las funciones de la psicovisión y desempeñen otras más que ésta no puede realizar. En una función cerebral de gran rapidez, el ser humano percibe los objetos que lo rodean y en un proceso de abstracción simbólica, extrae sus propiedades básicas. La abstracción va unida a una relación lógica entre las propiedades y la función o naturaleza del objeto; entre más características se conozcan más se entiende la esencia del mismo. Este conocimiento adquirido se adiciona incesantemente al banco de datos que un ser humano tiene con relación a su entorno. La experiencia acumulada para entender los objetos circundantes constituye la base para el proceso de formación del modelo de cada objeto, el que a su vez es incluido en el enorme acervo que un ser humano es capaz de poseer. Con este conjunto de modelos el análisis de una escena es directo, no importando (hasta un cierto límite) las características de iluminación y la geometría particular de vista. Una gran cantidad de decisiones se toman como producto del análisis mencionado, coordinadas desde luego con la actividad psicomotora. En forma análoga a la agrupación de fonemas en palabras, frases e ideas, la psicovisión humana agrupa los puntos de una escena en regiones significativas y éstas en objetos que son reconocidos empleando el banco de modelos previamente creado. Una vez identificados y reconocidos los objetos de una escena, se dice entonces que ésta ha sido analizada. Es claro que no se puede reconocer objeto alguno a menos que sus características básicas sean conocidas para un sistema de reconocimiento de patrones. El conocimiento acerca de un objeto se adquiere únicamente a través de un proceso de formación de modelos, y la clasificación de un objeto presente en una imagen es la decisión por la cual se determina la categoría a la cual pertenece; el reconocimiento de un objeto implica su clasificación. En cualquier caso, un conocimiento de alto nivel es requerido para cualquier tipo de imagen con el propósito de establecer, con adecuada certidumbre, el significado de las varias componentes de la imagen, esto es, relacionándolas con estructuras conocidas en el dominio de modelos de objetos. Al reconocer los objetos de una escena, se le segmenta también, ya que la segmentación es el agrupamiento de puntos de ésta en regiones conectadas que poseen una correspondencia significativa con los objetos presentes en la escena; sin embargo, la segmentación no necesariamente conduce a un reconocimiento de patrones. Al transformar y operar sobre una imagen, el fin último es siempre el reconocimiento de los patrones que la componen, en el contexto de un problema, con el objetivo de auxiliar en el modelado del comportamiento del sistema físico que representa.

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Hasta aquí se han empleado formas intuitivas para describir los aspectos más importantes del análisis de una imagen; es necesario, por tanto, definir con mayor formalidad los elementos que la componen y los métodos de estudio existentes. Sin recurrir a detalles matemáticos, introduciremos estos aspectos en las siguientes dos secciones de este capítulo, donde comenzaremos por explicar la generación de una imagen empleando un esquema de carácter general. La caracterización matemática de una imagen multiespectral la dejaremos para el capítulo III.

I.2 Elementos de una Imagen Digital I.2.1 Pixel y bandas Con el apoyo de la figura I.1 identifiquemos ahora los elementos que componen una imagen digital. Supóngase primero que se tiene una fuente de radiación de tipo ondulatoria (electromagnética o acústica) o de tipo corpuscular (neutrones, electrones o positrones). La figura I.1 muestra a la fuente separada del sistema físico que se desea estudiar; sin embargo, para materiales radioactivos, ésta se encuentra embebida o dentro del objeto de interés. En arreglos experimentales donde se emplean rayos X o haces de neutrones, la radiación puede atravesar la escena bajo estudio; estas situaciones serían casos particulares del esquema mostrado en la figura I.1. La siguiente discusión se aplica a cualquiera de estos arreglos o a cualquier fuente de radiación.

Figura I.1. Generación de una imagen digital multiespectral a partir de una escena. La radiación emitida por la fuente se hace interaccionar con un elemento físico de la escena llamado campo instantáneo de vista (CIV). La manera particular en que se realiza la mecánica de esta interacción depende de la geometría y detalles técnicos del arreglo experimental empleado; no obstante, el presente enfoque es suficientemente

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general y la identificación de los elementos de la imagen no depende de estos detalles particulares. Por otro lado, la variedad de arreglos experimentales es muy grande (Slater, 1980) y no podrían estudiarse en el presente capítulo. El CIV es una subárea o subregión de una escena que se encuentra formando parte del sistema físico (figura I.1); el resultado de la interacción de la radiación con este elemento físico es también radiación, cuya energía o longitud de onda no necesariamente es igual a la que incide originalmente. De acuerdo con la geometría particular: fuente-CIV-detector, una parte de la radiación emitida, reflejada o transmitida por el CIV es captada, sobre un cierto ángulo sólido, por unidad de tiempo, en una dirección predeterminada, por un arreglo de sensores (detectores) que poseen un subsistema de enfoque y conducción de radiación. Este subsistema puede consistir de un arreglo de lentes (telescopio) y fibras de conducción de luz, cuando la radiación empleada es electromagnética para longitudes de onda de la región óptica del espectro correspondiente. Entonces, la radiación es conducida hasta un grupo de detectores, frente a los cuales se encuentra un conjunto de filtros o un espectroradiómetro, cuya función es seleccionar un conjunto de intervalos de energía {E1, E2, . . . E} o de longitudes de onda {1, 2, . . . }, para los que cada detector está óptimamente diseñado y calibrado. Es decir, el detector i-ésimo está adecuado para detectar la radiación en el intervalo Ei. Es posible tener uno o varios detectores para cada intervalo dependiendo de si se mide la radiación de un CIV o un grupo de ellos al mismo tiempo. Así, por ejemplo, si se tienen  intervalos de energía y se miden n CIV para cada uno de éstos, entonces se requieren de   n detectores para operar el sistema sensor. Para cada intervalo de energía, los detectores miden la cantidad de radiación por unidad de ángulo sólido, por unidad de tiempo; las unidades correspondientes en esta medida son típicamente mW/msterad/s. Los detectores generan un voltaje cuya intensidad es proporcional al resultado de haber integrado la radiación; los detalles y consecuencias de este proceso se proporcionan en la sección III.2. La señal de voltaje generada por los detectores, a medida que observan un CIV tras otro, se introduce a un convertidor análogo/digital, que la discretiza empleando una escala que usualmente va de 0 a 255, es decir, 256 posibles niveles, si bien otras escalas pueden ser empleadas también. La razón de utilizar 256 niveles es que este número es almacenable en un byte de 8 bits de una computadora digital. Por otro lado, esta resolución radiométrica es suficiente para la mayoría de las aplicaciones que existen empleando imágenes digitales. La generación de una imagen multi-espectral implica por tanto dos discretizaciones: una espacial y una radiométrica. El análisis cuantitativo de la digitización de una escena se estudia en el capítulo III. Los detectores están calibrados de tal manera que se genera un 255 para el CIV más brillante de la escena y un 0 para el más oscuro. La respuesta de un detector, en la mayoría de los casos, es lineal, según se representa en la gráfica de la figura I.2. Nótese que debido a la naturaleza de los detectores empleados (Slater, 1980), siempre hay una respuesta, aun para una radiación incidente nula, a esto se le conoce como polarización del detector. La ganancia por otro lado, es la relación constante entre la radiación incidente y la señal de salida producida por éste. Ambos parámetros se ajustan para que los sensores respondan a escenas más o menos brillantes (reflectoras o emisoras) de tal forma que se adecuen a diferentes condiciones de estudio; asímismo, se busca siempre que el intervalo de operación sea lo más lineal posible. En imágenes de satélite la diferencia en ganancia de los detectores del sistema sensor, produce un efecto conocido

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como bandeo y cuya corrección (Crippen, 1989) se realiza por medio de un filtraje (véase capítulo V) de fácil aplicación.

Figura I.2. Respuesta lineal de un sensor remoto frente a una cierta radiación incidente. Para cada intervalo de energía y para cada CIV, y como resultado del proceso de medida de la radiación proveniente de éste, se genera un número cuyo valor se guarda en algún medio de almacenamiento masivo (magnético u óptico), en una posición lógica que va de acuerdo con el lugar relativo que tiene el CIV correspondiente en la escena (figura I.1). Para cada CIV se producen por tanto,  números que conjuntamente describen su respuesta espectral, los que, arreglados en forma vectorial se escriben como pmn = {b1, b2, . . . b}mn

(I.1)

donde bi es el valor numérico (entero) obtenido para el intervalo de energía Ei. La colección de estos números, arreglados secuencialmente en cuanto a la energía o longitud de onda de la radiación empleada, forman lo que se conoce como pixel, el cual es un elemento lógico de la imagen digital. Los índices (m,n) representan las coordenadas (enteras) del pixel en su posición dentro de la imagen digital y bi  Ei  i

(I.2)

Ei+1  Ei, o i+1  i

(I.3)

de tal manera que

si bien un orden creciente puede ser empleado también. Así entonces, las carácterísticas

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espectrales de un CIV quedan representadas por el pixel correspondiente, estando implícitamente registrada la posición y tamaño relativo de éste en una relación unívoca CIV  pixel

(I.4)

El CIV es un elemento físico de la escena y el pixel es un elemento lógico de la imagen digital; éste último, como tal, no tiene dimensión asociada, por lo que la relación (I.4) es importante para determinar tamaños de los objetos de la imagen. En la relación (I.1) los índices (m,n) tienen los intervalos de variación 1≤m≤M y 1≤n≤N

(I.5)

donde M y N son enteros y representan el número de CIVs en los cuales se dividió la escena en las direcciones x, y respectivamente. Al terminar de medir todos los CIV pertinentes a una escena, se tiene una colección de matrices de números (figura I.1), una para cada intervalo de energía empleado. El tamaño de estas matrices es de M  N y cada una de ellas forma una imagen digital conocida como banda, ya que representa la distribución espacial de valores de radiación provenientes de la escena para una banda o intervalo de energía. El conjunto de estas bandas para una escena dada se conoce como imagen digital multiespectral (véanse las láminas 1 a 6), puesto que caracteriza la distribución espacial y espectral de la radiación proveniente de aquella. Hay que puntualizar que, debido a la dimensionalidad espectral de la imagen, se requiere de un espacio de  dimensiones para representar los pixels que la componen; es decir, la imagen multiespectral forma un campo vectorial donde los pixels que la componen son vectores de tantos elementos como bandas se hayan generado. El campo vectorial asociado a una imagen multiespectral se formaliza en el apartado I.2.2. Así entonces, el pixel es un elemento digital básico de una imagen multiespectral. I.2.2 Modelo de imagen multiespectral Para condensar las definiciones del apartado anterior, considérese ahora una lattice (véase sección III.3) rectangular discreta L  {1, . . . M}  {1, . . . N}. Centrado en cada nodo de L, se encuentra localizada una celda de resolución llamada campo instantáneo de vista (CIV). Por medio de un dispositivo llamado sensor multiespectral, se asocia a cada CIV un vector de  dimensiones pmn = {b1,b2, . . . b}mn. El vector pmn caracteriza las propiedades espectrales promedio del CIV de la escena. Este vector es llamado un elemento pictórico (pixel) de la imagen multiespectral. Sea ahora la imagen multiespectral g = {gi} formada por el grupo de pixels de acuerdo al siguiente conjunto gi = {bj(m,n)}i,  i, donde i  ℕ es el conjunto {1,2, . . . } que representa la colección de bandas de la imagen multiespectral. Los valores de los pixels pueden asumir valores enteros de acuerdo con el conjunto (Apendice A) gi  B  {bi│bi  ℕ, 0  bi  2k - 1},  i

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Donde k  ℕ y, 7  k  12 en imágenes multiespectrales. De aquí entonces una imagen digital multiespectral g es una función tal que, g: L  B. Sea ahora Xi el conjunto Xi ≡ {xi│xi ∈ ℕ, 0  xi  2k - 1},  i de tal manera que el producto cartesiano X = X1  X2  . . . X define el conjunto de las -tuplas ordenadas (x1,x2, . . . x). Sean (b1,b2, . . . b) los valores de los pixels a través de las bandas de la imagen; establecemos ahora la igualdad xi = bi,  i, por lo que (b1,b2, . . . b) es una -tupla en el sistema cartesiano de coordenadas. A cada -tupla (b1,b2, . . . b), se le asocia un vector u: u(x1,x2, . . . x)  (b1,b2, . . . b). Sea E un espacio discreto euclidiano -dimensional tal que, E ∈ ℕ. La dimensión de u está dada por le métrica euclidiana    u   x i2   i 1 



1/ 2

El conjunto de vectores {u(x1,x2, . . . x)} es el resultado de proyectar la imagen multiespectral a un campo vectorial. Hacemos notar que no toda -tupla (x1,x2, . . . x) del dominio D(X) ∈ E, tiene un vector asociado al campo vectorial, y una -tupla (x1,x2, . . . x) puede tener más de un vector asociado al campo vectorial. De aquí entonces, el campo vectorial asociado a la imagen multiespectralr está dado por el conjunto de vectores U = {u(x1,x2, . . . x)} en el dominio D(X) ∈ E. Por tanto, una imagen digital multiespectral puede ser modelada como un campo vectorial discreto de una dimensión igual al número de bandas de la imagen (figura I.3). Al espacio determinado por el dominio D(X) se le conoce también como el espacio de rasgos. I.2.3 Despliegue de imágenes Una vez que la escena ha sido discretizada, la imagen digital multi-espectral correspondiente queda almacenada en algún dispositivo magnético u óptico. Para poder visualizar la imagen digital es necesario contar con una tarjeta de video y un monitor de despliegue a color. Estos dispositivos deben ser capaces de leer (mediante un programa) el valor de un pixel y poner en la pantalla, en la posición adecuada, un punto en un tono de gris o de color de intensidad proporcional a tal valor. Como ya se apuntó arriba, un pixel es un vector de tantos elementos como bandas tenga la imagen, por lo cual es necesario seleccionar un conjunto de estas para el despliegue. Si el equipo (hardware) permite manejar los tres cañones del monitor (rojo, verde y azul) independientemente, entonces es posible desplegar tres bandas cualesquiera al mismo tiempo. El proceso de despliegue es como sigue: se lee el valor de uno o varios pixels en una o varias bandas y se envían al monitor de color en las mismas coordenadas relativas que ocupan en el archivo donde están almacenados. A cada pixel se le asigna una pequeña área en la pantalla y a cada valor un tono de color o de gris. Si se despliegan tres bandas, entonces

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se emplean tonos de rojo, verde y azul para los elementos seleccionados del pixel. Cuando todos o un subconjunto de pixels de la imagen es enviado a la pantalla, se tiene

Figura I.3. Campo vectorial de una imagen de dos bandas. una representación visual de la imagen donde es posible apreciar en diferentes tonos los patrones espaciales y espectrales de la misma. Esta representación visual puede tener tres modalidades

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1. Tonos de grises  Donde se despliega una sola banda (láminas 1 a 6), es decir un elemento de pixel. Generalmente se asigna un tono negro a un valor cero y uno claro al 255 y grises a valores intermedios. 2. Pseudocoloración  Donde se despliega una sola banda y los valores de los pixels se subdividen en intervalos, asignando a cada uno de éstos un conjunto de tonos de un cierto color. 3. Falso color  Donde se despliegan tres bandas (lámina 7) asignando a cada una de ellas tonos de los colores rojo, verde y azul. En cualquiera de las tres modalidades mencionadas, la asignación de tonos (gris o color) se hace por medio de una función que no necesariamente es lineal, conocida como función de color y representada generalmente por medio de una tabla. I.2.4 Patrón y clase de patrones Para identificar otros aspectos de la imagen es necesario introducir la siguiente definicion: Patrón: Arreglo de entes de la misma naturaleza En esta definición no se especifica qué tipo de arreglo o qué tipo de entes, únicamente se impone una restricción en cuanto a su naturaleza, es decir, no se pueden combinar entes de diferente tipo. Por ejemplo, el arreglo: ABC23 no es válido, pero las secuencias: acegh y 1257 sí lo son. En cuanto al arreglo, basta con intercambiar dos elementos para tener una situación diferente, así por ejemplo, la secuencia 2157 constituye otro patrón aun cuando se trate de los mismos números anteriormente considerados. Existen dos posibles clases de arreglos: de orden lógico y de orden físico; los ejemplos anteriores pertenecen a la primera clase. Un arreglo de orden físico se manifiesta siempre en una dimensión espacial, por lo que es necesario emplear entes con un cierto tamaño o área. En el caso específico de una imagen multiespectral, cada uno de los pixels que la forman es un patrón de orden lógico y como éstos representan la respuesta espectral de los CIV de la escena, decimos que un pixel es un patrón espectral de orden lógico. Una vez que se han medido las propiedades espectrales de un CIV para un conjunto de intervalos de energía, el patrón espectral (pixel) correspondiente queda unívocamente determinado. Sin embargo, ¿qué sucede cuando se desea considerar un patrón de orden físico en una imagen digital?, la situación es mucho más compleja que para patrones de orden lógico. En primer lugar es necesario apelar a la relación CIV pixel para poder asignarle un tamaño o área a éste. Hay que recordar que la imagen digital se encuentra alojada en un medio de almacenamiento masivo y que de por sí no tiene dimensión asociada para visualizarla. Para tener una representación pictórica de una imagen, ya sea en un monitor de despliegue o en una impresión de papel, es indispensable asociarle un cierto tamaño físico a los pixels; es decir, la imagen puede tener una representación lógica y una visual (física). Al hacer esto, es posible considerar arreglos de pixels con una estructura física que forman un patrón espacial de acuerdo con la definición ya planteada. En estos términos, a un pixel le asignamos un tamaño igual para todas las bandas y valores diferentes para cada una de ellas; la sucesión de éstos sigue siendo un patrón espectral de orden lógico. Para ilustrar esto, veamos la

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figura I.4, donde se encuentra esquematizada una imagen de cuatro bandas y donde se les ha asignado una cierta área cuadrada a los pixels; bajo esta asignación se dice que la imagen tiene una dimensión espacial.

Figura I.4. Imagen multiespectral de cuatro bandas. En esta dimensión espacial, la imagen presenta varios arreglos de pixels cuyos valores son distintos, si bien variando dentro de un cierto intervalo; éstos forman figuras irregulares llamadas cada una: patrón espacial. Tales patrones tienen una dimensión (profundidad) espectral, ya que se manifiestan a través de las cuatro bandas de la imagen. Cualquier arreglo (físico) de pixels forma un patrón espacial que puede estar compuesto desde por uno hasta por todos los pixels que constituyen la imagen, sin importar su valor o vecindad con otros. Así por ejemplo, todos los pixels cuyo valor sea, digamos, 50 en la banda dos  ya sea que formen el borde de un objeto o que estén contenidos en él  forman un patrón espacial. Como puede apreciarse, la variedad de patrones espaciales es muy grande, si bien la mayoría de ellos tal vez no tenga un significado real para la identificación de los objetos presentes en la imagen. Dentro de esta enorme variedad de patrones espaciales existen algunos de ellos que son de particular interés en el análisis de imágenes digitales. Para facilitar su identificación, introducimos ahora una nueva definición: Clase de patrones: Conjunto de patrones con características similares.

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Esta definición se aplica tanto a patrones espaciales como espectrales; objetos con una cierta forma o tamaño, o pixels con un mismo valor, son ejemplo de una clase de patrones, en donde por características similares se entienden aquellas propiedades morfológicas o espectrales que son comunes y de interés en un problema. Nótese que una clase de patrones es finalmente un patrón espacial, pero donde los pixels que lo componen están supeditados a cumplir con una o varias propiedades similares que son dadas de acuerdo con un objetivo particular; esto restringe el universo de patrones espaciales a uno manejable y que tiene relación directa a la escena que se intenta estudiar. La definición anterior se aplica también a patrones espectrales, en cuyo caso las características similares se refieren a la manera como responden espectralmente los CIV de la escena. Dentro de ciertos límites, cada objeto de la escena tiene una firma o respuesta espectral que lo distingue de los demás, de tal manera que agrupar pixels con base en esta propiedad nos permite, en principio, detectar objetos de la escena. Finalmente lo que importa en la definición de una clase de patrones, es el modelaje matemático que se haga para cuantificar las propiedades similares a que se refiere la definición mencionada. Por otro lado, toda vez que se agrupen pixels espectrales, se tiene un patrón espacial (figura I.4) y viceversa; la interrelación entre unos y otros es estrecha dada la naturaleza espacial y espectral de la imagen digital multiespectral. De acuerdo con lo arriba explicado podrían considerarse también las clases espectral y espacial, dependiendo de qué propiedades similares se hayan definido. Sin embargo, en un patrón espacial importan en primera instancia las relaciones contextuales que guarda cada pixel con sus vecinos y en segundo lugar el valor que tienen. Así, por ejemplo, un objeto puede contener pixels de diferente valor, pero estar éstos agrupados en un patrón o clase espacial de acuerdo con las características morfológicas de dicho objeto. Es posible también que un patrón espacial esté compuesto por pixels del mismo o parecido valor: así, por ejemplo, si los bordes del objeto están claramente determinados, entonces los pixels que lo componen tienen respuestas espectrales parecidas. En la clase espectral, las características similares están relacionadas únicamente con las propiedades espectrales de los pixels, mientras que en la clase espacial se refieren a las relaciones espaciales que guardan los valores de los pixels entre sí. Los diferentes objetos presentes en una imagen están caracterizados por patrones espaciales o espectrales; los objetos del mismo tipo forman una clase. I.2.5 Ruido y artefactos En el proceso de captura de una imagen, o en la aplicación de una transformación a ésta, es posible que se generen patrones ajenos a la escena respectiva; para describir este hecho se introduce la siguiente definición: Artefacto: Patrón espacial o espectral presente en la imagen, cuya ocurrencia es azarosa y ajena a la escena respectiva. Un artefacto es entonces un elemento que se introduce en la imagen digital, sin ninguna relación con los objetos del sistema físico que se desea estudiar. Un artefacto puede introducirse por algún mal funcionamiento del sistema sensor o por error o limitación de una transformación aplicada a la imagen. Para detectar un artefacto es necesario tener conocimiento de la escena caracterizada por la imagen. Un artefacto ocurre de manera

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más bien azarosa o aleatoria, a diferencia del ruido donde el mecanismo físico es relativamente bien conocido y generado por un proceso estocástico. Un mal funcionamiento del sensor o un error del programa de transformación son de difícil predicción y evaluación, no así el ruido que es predecible y modelable matemáticamente; por lo tanto no debe confundirse el ruido con un artefacto. No obstante, el ruido es un patrón espacial que tampoco tiene relación con la escena, si bien su comportamiento y propiedades estadísticas son obtenibles a partir de la imagen o del proceso de generación de ésta. El ruido es el resultado de un proceso estocástico con una función de probabilidad conocida y asociada al sistema que genera la imagen digital. La definición de ruido es la siguiente Ruido: Patrón espacial o espectral presente en la imagen, cuya ocurrencia está determinada por factores externos al proceso de captura de la imagen y que presenta propiedades estadísticas definidas. De aquí entonces que sólo en contadas ocasiones haya confusión entre ruido y artefacto. I.2.6 Segmentación Una imagen digital contiene una variedad de patrones relacionados directamente con los objetos de la escena y, de acuerdo con las definiciones arriba planteadas, habrá otros patrones que no tengan esta significado. Para estudiar con mayor facilidad aquellos patrones de interés, es necesario separarlos del resto de la imagen; este proceso puede ser real o virtual. Es real si los pixels que se refieren a un patrón son asignados a una imagen intermedia en donde éstos ocupan sus mismas posiciones relativas, siendo tantas imágenes (figura I.5) como patrones se deseen separar. Es virtual si los pixels del patrón únicamente se etiquetan como pertenecientes a una clase dada o si sus valores se cambian todos a uno predefinido, pero sin separarse de la imagen original (lámina 57). La separación de un patrón depende básicamente del modelo que se haya establecido para él. Con base en estos conceptos introduzcamos ahora la siguiente definición: Segmentación: Partición de una imagen en regiones que pueden o no tener un significado relativo a la escena respectiva. Es posible que la partición sea real o virtual y nótese que en cuanto a las regiones, no se requiere necesariamente que tengan una relación directa (significado) con los objetos de la escena. Esta amplitud en la definición de segmentación es con el fin de dejar abierta la posibilidad a transformaciones intermedias que conduzcan en última instancia a un análisis de la imagen. Por ejemplo, si en una banda dada de una imagen multiespectral los pixels cuyos valores están entre 37 y 46, son cambiados de valor, digamos a uno, el resultado es una región segmentada de la imagen. Si este intervalo de valores de radiancia caracteriza además la respuesta espectral de un objeto de la escena, entonces la región tiene una relación con la escena respectiva. Ejemplos de segmentación se proporcionan en las láminas 52, 53 y 57. Si lo que se segmenta es el contenido del ruido de una imagen, el resultado es una región que no tiene relación alguna con la escena; sin embargo, esto constituiría un paso previo a un análisis posterior de la imagen.

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Figura I.5. Segmentación de una imagen (a) en cuatro regiones: anticlinal (b), red de drenaje (c), bosque (d), embalse (e) y ciudad (f).

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En este último ejemplo la segmentación es más elaborada ya que el ruido está sobreimpuesto, aditiva o multiplicativamente a la imagen; la separación en este caso requiere por tanto de un modelo estadístico que permita estimar el valor de los pixels en ausencia de tal fenómeno degradante. La diferencia entre la imagen original con ruido y la estimación sin él daría la segmentación deseada. Las láminas 22 y 25 muestran la segmentación del ruido que inicialmente se encontraba distribuido en las bandas originales de las imágenes multiespectrales mostradas en las láminas 1 – 6; detalles del método de segmentación que separa el ruido se discute en la sección IV.6. Otro ejemplo de segmentación, es aquel donde la imagen se le segmenta en función de su contenido de frecuencias espaciales; detalles de esto se proporcionan en el capítulo V y en los párrafos subsecuentes. Las técnicas de segmentación más importantes se discuten en la sección VII.2. En el capítulo VIII se discute el ruido asociado a imágenes de radar. I.2.7 Relaciones de vecindad La estructura de una imagen digital hace que las direcciones en ésta estén discretizadas, es decir, únicamente ciertas de ellas son dadas de acuerdo con el arreglo matricial de los pixels. Para ilustrar esto refirámonos a la figura I.6, donde se ilustra una imagen binaria de 12  12 pixels; aquí se aprecia un contorno no cerrado determinado por aquellos pixels cuyo valor es uno.

Figura I.6. Cadena de Freeman del segmento definido por los unos a partir del remarcado en negrilla. En la parte derecha de la figura se observa un arreglo numerado de ocho direcciones: horizontal a la derecha (0) y a la izquierda (4), vertical hacia arriba (2) y hacia abajo (6) y las dos diagonales (1, 3, 5 y 7). Esta roseta de ocho principales direcciones se conoce como el código de Freeman, de tal manera que cualquier otra dirección intersecta parcialmente a una serie de pixels y no a lo largo de sus centros. Una dirección es

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principal únicamente si pasa por el centro de un conjunto de pixels alineados y contenidos en la imagen, cualquier otra situación diferente a ésta determina una dirección secundaria no especificada en el código Freeman. Sea ahora un pixel p con coordenadas (i,j), por lo que sus primeros próximos vecinos son aquellos con coordenadas: (i + 1,j), (i,j  1), (i  1,j), (i.j + 1), es decir los que se encuentran en las direcciones horizontales y verticales especificadas por las direcciones 0, 2, 4 y 6 del código de Freeman; denotemos a este grupo de pixels como N4(p). Los segundos próximos vecinos de p son aquellos localizados en las diagonales principales especificadas por las direcciones 1, 3, 5 y 7 del código de Freeman; las coordenadas de estos vecinos son: (i + 1,j  1), (i  1,j  1), (i  1,j + 1), (i + 1,j + 1); sea este grupo de pixels el denotado como ND(p). La unión de los grupos ND(p) y N4(p) forman los 8 primeros vecinos de p y son designados como N8(p); es decir N8(p) = ND(p) ∪ N4(p). Con base en estas definiciones se introduce ahora el concepto de conectividad que constituye una relación de vecindad espacial entre un pixel y sus próximos vecinos. Sea Ng el conjunto de valores posibles (256 en muchos casos) que puede asumir un pixel en una banda dada, entonces Conectividad - 4: Un pixel q con valores en Ng tiene conectividad 4 con p si q pertenece al grupo N4(p). Conectividad - 8: Un pixel q con valores en Ng tiene conectividad 8 con p si q pertenece al grupo N8(p). Como puede apreciarse de las definiciones anteriores, la conectividad es una relación de vecindad entre dos pixels; esta relación puede ser ampliada a grupos de pixels tal como se explica en los párrafos subsecuentes. Además de los aspectos de conectividad entre un pixel y sus vecinos es posible cuantificar la relación de vecindad de un grupo de pixels espacialmente arreglados marcando el contorno o borde un objeto. Así entonces, el contorno definido por los unos en la figura I.6, puede ser codificado empleando la roseta de ocho direcciones. Comenzando con cualquier extremo, digamos el superior, se anota la dirección en la cual se encuentra el siguiente pixel, escribiendo el número correspondiente de acuerdo con el código de Freeman; de esta manera se obtiene la sucesión de dígitos mostrada en la figura I.6. Esta sucesión, llamada cadena de Freeman, es un modelo de la conectividad de un grupo de pixels. Al codificar un contorno es necesario adoptar algunas convenciones tales como: dónde se comienza y en qué sentido se hace el seguimiento. Con base en las definiciones de vecindad, conectividad-4 y conectividad-8, es posible ahora introducir el concepto de sistemas de vecindad. Sea N = {r11, r12, . . rMN}  D el conjunto finito de nodos de una lattice (sección III.3), llamado también el conjunto de sitios de un dominio finito discreto D, donde este dominio es un subconjunto finito del espacio bidimensional discreto ℤ2: D  ℤ2. En una imagen digital, los nodos rij son vectores de posición que apuntan a los centros de los pixels. En terminos generales, el conjunto de sitios define una malla finita y discreta de nodos (lattice) de acuerdo con un cierto arreglo que puede ser rectangular o hexagonal (figura VII.28). Asóciese ahora a N una familia de sitios de vecindad denotada como V = {v11, v12, . . . vMN}, tal que vij  N, donde rij  vij y rlm  vst, si y sólo si rst  vlm. El conjunto V es llamado un sistema de vecindad para el conjunto de sitios N y los puntos vij son

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llamados vecinos de rij. La dupla de conjuntos [N,V] denota un conjunto N de sitios dotados de un sistema de vecindad V. Ahora bien, un subconjunto C  N, es llamado un clique si C es un elemento de N, o bien si cada par de elementos distintos de C son vecinos entre sí, de acuerdo con un esquema de conectividad. En conectividad-4, el sistema de vecindad podría estar definido de acuerdo con el grupo N4(p) y en conectividad-8 de acuerdo con el grupo N8(p), es decir, gráficamente  0  N 4 ( pij )   pi 1, j  0 

pi, j1 0 pi, j1

 pi 1, j1 0    pi 1, j  y N 8 ( pij )   pi 1, j  pi 1, j1 0  

pi, j1 0 pi, j1

pi 1, j1   pi 1, j  pi 1, j1 

En conectividad 4, los cliques serían por tanto C1 = {pi,j}, C2 = {pi-1,j pi,j} y C3 =  pi , j1    y el conjunto completo de cliques sería C = C1 ∪ C2 ∪ C3. Es necesario  pi , j  puntualizar que el vector de posición rij  N apunta al centro (nodo) del pixel pij y que en el caso de una imagen multiespectral, los pixels de ésta son vectores de tantos elementos como bandas tenga la imagen. En conectividad-8, además de C1, C2 y C3, los cliques serían  0 C4    pi 1, j  pi 1, j1 C7    pi 1, j

pi, j1   pi 1, j1  , C5   0   0

0   pi 1, j1  , C6   pi, j   pi 1, j

pi, j1  , 0 

0   pi 1, j1  , C8   0 pi, j  

pi, j1   0  , C9   pi, j   pi 1, j

pi, j1  , pi, j 

 pi 1, j1 C10    pi 1, j

pi, j1   pi, j 

Por tanto, el conjunto completo de cliques para conectividad 8 sería C = C1 ∪ C2 ∪ C3 ∪ . . . C10.

I.2.8 Textura Veamos ahora una representación diferente de una imagen digital a partir de la cual es posible deducir un par de conceptos adicionales a los ya planteados. Supongamos que en un espacio de tres dimensiones se grafica una banda cualquiera de una imagen multiespectral, colocando en el plano x-y la posición de cada pixel y en el eje z su valor, obteniendo de esta manera una superficie (figura I.7) con las siguientes características espaciales: suave donde los pixels cambian poco su valor y rugosa donde lo hacen rápidamente. Si en una zona de la imagen, para una dirección dada, cambian los valores de los pixels en forma relativamente rápida, la consecuencia en la superficie

Introducción

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mencionada es una sucesión de crestas y valles cuya amplitud y alternancia determinan la rugosidad del área. Es posible asociar rugosidades con texturas, si bien es necesario introducir la siguiente definición

Figura I.7. Superficie generada por los valores de los pixels de la banda de una imagen. Textura: Manifestación espacial organizada de un arreglo local de tonos (pixels) de la imagen. Esta es una generalización de la idea de textura que se tiene en cuanto al relieve de una superficie sólida. La textura es local, puede cambiar de un lugar a otro de la imagen y depende de la escala a la cual se le observe; también se manifiesta diferente de banda a banda de la imagen multiespectral. Aunque la textura es un concepto difícil de definir dada la subjetividad con la cual la psicovisión responde ante ésta, es posible establecer tres características básicas 1. Un cierto orden local se repite sobre una región que es relativamente grande comparada con el tamaño del orden. 2. El orden consiste en un cierto arreglo de partes elementales. 3. Las partes están compuestas de entidades aproximadamente uniformes, teniendo más o menos las mismas dimensiones dentro de la región de textura, las partes pueden ocurrir en cualquier dirección. La textura depende de la escala a la que se observe la escena y es posible que varias subtexturas compongan una de otra dimensión. La psicovisión humana no es muy eficiente para distinguir y clasificar texturas; aquellas que difieren más allá del tercer momento estadístico son confundidas por un ser

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humano. Para analizar texturas existen básicamente dos enfoques: el sintáctico (por primitivos) y el estadístico (global), más detalles de esto se dan en el capítulo VII. I.2.9 Frecuencia espacial Relacionado con el concepto de textura se encuentra el de Frecuencia Espacial; la apariencia visual de ambos conceptos se presenta como una alternancia de tonos (valores) de los pixels de la imagen; existe no obstante una diferencia que se discute a continuación. Para manejar con facilidad estas ideas, retomemos la representación de la banda de una imagen mostrada como una superficie en la figura I.7. En esta representación, cualquier línea o borde entre las clases de la imagen se traduce en una especie de escalón en la superficie; en resumidas cuentas, cualquier alternancia de valores en la imagen digital se refleja en la superficie en un cambio más o menos brusco. A partir de esta discusión cualitativa diremos lo siguiente: se tienen frecuencias espaciales bajas en aquellas regiones de la imagen donde se presente una tonalidad relativamente uniforme; se tienen frecuencias espaciales altas en aquellas zonas de la imagen que presentan tonalidades cambiantes. En una primera aproximación y bajo condiciones de simetría, es posible asociar frecuencias altas con texturas gruesas y frecuencias baja con texturas suaves. El concepto de frecuencia espacial se visualiza en forma cuantitativa empleando la definición de expansión en series de Fourier. Considérese un perfil de la imagen, digamos a lo largo de la dirección x, para una y constante; sea esta función g(x), entonces g( x ) 

a0  2

 a Cos(mx)  b Sen(mx) m

m

(I.6)

m

Donde las am y bm son constantes que se obtienen a partir de la función g(x) misma (Arfken y Weber, 1995), la que debe tener un número finito de discontinuidades y un número finito de valores extremos, condiciones que son satisfechas en una imagen digital. A partir de esta expresión, es posible deducir que si g(x) presenta variaciones suaves, entonces la sumatoria se restringe a valores pequeños de m; a medida que g(x) se hace más compleja, es necesario incrementar el valor de m para una representación fiel de esta función, y en el caso límite de un escalón, m tiene que ser infinito. De esta forma es posible afirmar que el contenido de frecuencias espaciales de g(x) crece a medida que sus cambios son más abruptos, es decir, es necesario incluir en el desarrollo dado por (I.6) a funciones de seno y coseno de frecuencias cada vez más altas. Otra manera de entender el concepto de frecuencia espacial es regresando a la figura I.7 donde, además de la superficie que representa la imagen, se muestra también un objeto sólido esférico llamado elemento estructural, el cual imaginemos, se desplaza por debajo de todos los puntos de la superficie. A medida que el elemento estructural se hace más pequeño, es posible acomodarlo en los resquicios de la superficie; en este caso se tienen frecuencias espaciales altas, si el elemento es grande para acomodarlo a los cambios graduales de la superficie, se tienen entonces frecuencias espaciales bajas. Aun cuando la expresión (I.6) describe un perfil a lo largo de la dirección x, el razonamiento anterior se aplica a perfiles en cualquier dirección. En cuanto a la superficie de la figura I.7, es posible esquematizar en primera aproximación lo siguiente

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19

textura gruesa  superficie accidentada  frecuencia espacial alta textura suave  superficie aplanada  frecuencia espacial baja Estas relaciones son aproximadas ya que para caracterizar adecuadamente la textura se requieren de modelos más elaborados (Peddle y Franklin, 1991; Hauta-Kasari et al., 1999; Lira y Rodriguez, 2006). Una manera de generalizar el concepto de frecuencia espacial es por medio de la transformada de Fourier, que en dos dimensiones se define como (Bracewell, 1990; Bracewell, 2000) F [f ]  F( v) 

1 (2) 2

 

  f (r) exp[2jr  v]dr

(I.7)

 

Donde f(r) es una banda de una imagen multiespectral, F(v) es la transformada de Fourier, r = (x,y), v = (s,t) y j es el número complejo (0,1). La función F(v) es en general compleja y de la misma dimensión espacial que f(r). Empleando la fórmula de De Moivre, la exponencial compleja puede ser reescrita como sigue exp[2jrv] = Cos[2rv]  jSen[2rv]

(I.8)

La definición (I.7) expresa por tanto que la tranformada de Fourier F es una expansión del campo bi-dimensional f empleando como base las funciones Seno y Coseno de frecuencia variable. Podría decirse por tanto, que la expresión (I.7) presenta características similares a la ecuación (I.6) en el sentido de frecuencia espacial arriba definido. De esta manera, la transformada de Fourier es una cuantificación bidimensional del contenido de frecuencias espaciales de la imagen. La transformada de Fourier es lineal e invertible por lo que F[f + g] = F[f] + F[g] y  

F 1 [F]  f (r ) 

  F(v) exp[2jr  v]dv

 

Lo cual es fácil de demostrar a partir de la definición (I.7). Debido a la linealidad de la transformada de Fourier, se satisfacen los siguientes dos teoremas     F    f (r )g(r  )d   F [f  g]  FG     

(I.9)

LLamado teorema de la convolución circular y donde  = (,). El otro teorema se escribe como F[f(r  )] = F(v)exp{2jv} y

I.10)

20


F{exp[2jrv0]f(r)} = F(v  v0) Llamado teorema de Shifting (de traslación). El teorema de la convolución está directamente relacionado con el proceso de generación de una imagen digital ya que caracteriza matemáticamente la acción de un instrumento de observación (sensor remoto) al medir el promedio ponderado (figuras I.1 y III.4) de una observable física sobre un intervalo de medida. Esta acción es precisamente la que se lleva a cabo al medir las propiedades espectrales promedio de un CIV (figura I.1) para generar un pixel. Mayores detalles de este proceso se estudian en la secciones III.2 y III.4. El teorema de Shifting nos dice que la transformada de Fourier es básicamente independiente del origen de coordenadas, puesto que un desplazamiento en el espacio de la imagen produce un cambio de fase en el espacio de Fourier. Inversamente, un desplazamiento de frecuencias en el espacio de Fourier produce un cambio de fase en el espacio de la imagen. La versión digital de la transformada de Fourier así como sus propiedades fundamentales se estudian en detalle en la sección IV.5.1. I.2.10 Factores de contraste Un aspecto que está relacionado con la apariencia visual de una imagen es el contraste de la misma. Esta cantidad es, en general, una función de las coordenadas (x,y) ya que las condiciones de iluminación de la escena respectiva pueden cambiar. Por otro lado, la psicovisión humana es sensible al contraste de la luminancia más que al valor absoluto de ésta; no obstante, en una imagen digital es necesario introducir una definición que sea independiente de este tipo de apreciaciones subjetivas. Como ya se apuntó arriba, el contraste es una propiedad local de la imagen, por lo que se define aquí como la relación de valor que tiene uno o varios pixels con los vecinos próximos; veamos varios modelos para cuantificar esta relación. Sea pc el valor del pixel central de una ventana de 3  3 pixels y sea p el promedio de sus pixels vecinos en concetividad-8, entonces un factor de contraste es el siguiente fc1 

pc  p pc  p

(I.11)

Ésta es una cantidad puntual, pero es posible generalizarla a una región si pc es el promedio de los pixels de una ventana de 3  3 y p es el promedio de las ventanas de 3

 3 que la rodean. El factor de contraste es una cantidad vectorial que varía de banda a banda. Con la misma forma de la relación (I.11) es posible evaluar el contraste de un objeto con su entorno; en este caso, pc sería el promedio de los valores de los pixels que componen el objeto y p sería el promedio de los pixels circundantes. Hay que hacer notar que en imágenes de satélite el contraste aparente se reduce debido a la interferencia atmosférica (Song et al., 2001; Lira y Oliver, 1983; Lira y Oliver, 1984). Otra definición del contraste es: en una ventana cuadrada, se encuentran los valores máximo y mínimo y se establece el cociente

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fc 2 

pmax  pmin pmax  pmin

21

(I.12)

Con base en la respuesta logarítmica del ojo humano (Pratt, 2001) se define el siguiente factor de contraste fc3 = alog{ p  pc  + 1}

(I.13)

donde a es una constante que se determina heurísticamente para ajustar la brillantez y contraste de la imagen resultante. Si la ventana es del mismo tamaño que la imagen, entonces se tiene una medida de su contraste global. El tamaño de la ventana se ajusta a la resolución o detalle deseado. Igualmente, es posible deslizar la ventana sobre todos los pixels de la imagen para obtener su distribución de contraste. En el capítulo IV se verá una colección de transformaciones para modificar el contraste de una imagen con propósitos de realce de una clase dada de patrones. Finalmente es necesario anotar que el contraste global de una imagen multiespectral cambia de banda a banda. I.2.11 Calidad de la imagen Una imagen digital es una representación de una escena bajo estudio; como tal, su estructura y aspecto visual son importantes en cuanto a las conclusiones que pudieran derivarse acerca del comportamiento de la escena. Por otro lado, la fidelidad con la que la imagen digital caracteriza la escena es un aspecto que es estudiado con detalle en la sección III.3 y constituye una premisa básica en el análisis cuantitativo de patrones. Sin embargo, existen limitaciones a dicha fidelidad, provenientes primordialmente del mecanismo de digitización impuesto por el instrumento sensor y por fenómenos de interferencia que introducen ruido y degradan las medidas que componen la imagen digital resultante. De acuerdo con esto, es necesario plantear con cierto detalle el concepto de calidad de la imagen de tal manera que permita cuantificar el resultado de una transformación aplicada a ésta o a su contenido de información con relación a la escena que representa (Janssen, 2001). La calidad de una imagen está relacionada básicamente con el número de pixels y el número de niveles de cuantización en los cuales se haya discretizado (espacial y radiométricamente) la escena correspondiente. La apariencia visual de la imagen mejora en función directa de estos dos parámetros hasta un cierto límite, más allá del cual no se aprecia ningún cambio, dada la limitación de la psicovisión humana (Barten, 1999; Malacara, 2002). Para una escena dada, de un cierto tamaño, el número de pixels determina en primera instancia el detalle más pequeño discernible en la imagen digital, siempre y cuando el número de niveles sea mínimo: típicamente 64 de ellos al menos. Si el número de niveles decrece, para un tamaño de imagen dado, los detalles se desvanecen gradualmente hasta el límite mínimo permisible de dos niveles, en esta situación únicamente se apreciarían ciertos contornos de las clases o patrones. La mayoría de los sistemas digitizadores operan en 256 (28) niveles y algunos de ellos lo hacen hasta en 4096 (212). En principio, muchas escenas naturales tienen detalles muy finos, es decir, su contenido de frecuencias espaciales es muy alto, de tal manera que el tamaño asociado a los pixels debe ser muy pequeño: del orden del detalle discernible, lo cual implica que la

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imagen digital debe contener un gran número de pixels; una discusión cuantitativa de esto se verá en el capítulo III, al tratar sobre el teorema de muestreo. En concreto, entre más pixels y niveles tenga una imagen digital para una escena dada, diremos que esperamos que su calidad sea mayor. Si bien estos dos factores son los más importantes en la definición de la calidad, no son los únicos. Por otro lado, como se apuntó arriba, no es necesario incrementar indefinidamente el número de pixels y niveles más allá de un cierto límite, además de que los requerimientos de almacenamiento y computación crecerían a órdenes inmanejables. Los otros factores de los cuales depende la calidad de una imagen son los siguientes: el contraste global, la definición de los bordes y el contenido de ruido. Si se desea una óptima calidad, es necesario que el contraste sea el máximo posible, la definición de los bordes sea precisa y el ruido sea mínimo. De acuerdo con la definición de contraste, su manifestación es local y por tanto su valor puede variar de un lugar a otro de la imagen, por lo que es necesario asegurarse de que sea máximo en cualquier lugar de ésta. En una representación visual de una imagen digital, la definición de los bordes se plasma como en un efecto de enfoque: cuando aquellos están indefinidos, la imagen se ve desenfocada y viceversa. Los sistemas sensores modernos generan muy poco ruido en la creación de una imagen digital; no obstante, en ciertas ocasiones algún medio externo puede introducir una señal que degrada el resultado de la digitización. Lo que finalmente es de importancia en esta situación es la relación de valor del ruido con respecto al del pixel en cualquier banda; en todo caso se pretende que el cociente ruido/pixel sea mínimo. La calidad de la imagen depende, de una manera compleja (Rosenfeld y Kak, 1982; Janssen, 2001), de todos los parámetros arriba discutidos y es una medida que debe determinarse tanto para la imagen original como para cualquier transformación de ésta.

I.3 Elementos de Análisis Al analizar una imagen digital se tiene como fin último la cuantificación de los patrones que la componen, si bien rara vez se requiere de un estudio exhaustivo de éstos; más bien en la mayoría de los casos únicamente es necesario cuantificar un subconjunto de ellos en el marco de un problema dado. Por cuantificar un patrón se entiende la evaluación de sus propiedades morfológicas, espectrales y estadísticas. Para entender esto es necesario primero introducir la siguiente definición Reconocimiento de Patrones: es la búsqueda de estructuras (clases) en la imagen, donde ésta se encuentra formada por todos los datos (pixels) generados por el sistema sensor. En esta definición identificamos tres elementos  Búsqueda: técnicas para procesamiento de datos; depende de éstos, de los modelos que se empleen para representarlos y de las estructuras que esperamos encontrar. La búsqueda se refiere a los métodos de análisis de imágenes.  Datos: salidas del sistema sensor; contienen información sobre el proceso que los generó. Los datos se refieren al conjunto de pixels que forman la imagen.  Estructura: es la manera en que dicha información puede ser organizada de tal manera que las relaciones entre las variables del proceso son identificadas. Las estructuras se

Introducción

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refieren a los patrones y las clases de éstos. Una imagen digital multiespectral contiene cierta riqueza de información sobre la escena observada; el objeto del reconocimiento de patrones consiste en sintetizar y presentar dicha información de una manera que sirva como alimento al modelaje de la escena y al comportamiento del sistema físico correspondiente. En cuanto a la información de la imagen, y en forma inversa a lo arriba explicado, es posible plantear el siguiente esquema los datos la contienen  Información la búsqueda la reconoce la estructura la representa 

En términos de las definiciones manejadas en este capítulo, podemos decir de modo más específico que el reconocimiento de patrones es el resultado de haber aplicado una o varias métricas a las propiedades que caracterizan los patrones o clases de patrones presentes en una imagen; es decir, el reconocimiento de patrones es básicamente un proceso de medida aplicado a la imagen. Las propiedades y las métricas deben ser previamente definidas por medio de modelos matemáticos pertinentes. Por ejemplo, supongamos que se desea medir el perímetro de un patrón espacial que tiene forma de polígono cerrado, para esto es necesario un modelo matemático de distancia entre pixels tal como la euclidiana de(r1,r2) = [(x1 - x2)2 + (y1 - y2)2]1/2

(I.14)

o bien el valor absoluto de la diferencia da(r1,r2) = x1 - x2 + y1 - y2

(I.15)

o el máximo del valor absoluto de la diferencia dab(r1,r2) = max[x1 - x2, y1 - y2]

(I.16)

donde r1 y r2 son dos pixels contiguos del perímetro y (x1, x2), (y1, y2) son sus respectivas coordenadas. En la figura I.8a se muestran las distancias, desde el pixel central hacia la periferia, calculadas con la expresión (I.15) y en la figura I.8b las distancias calculadas con la ecuación (I.16). A la distancia da(r1,r2) se le conoce también como d4(r1,r2) y a la distancia dab(r1,r2) se le conoce como d8(r1,r2). A la trayectoria que corresponde a la distancia más corta entre dos pixels se le llama una geodésica. Esta trayectoria depende del esquema de conectividad que se determine en una imagen tal como se aprecia en la figura I.8c; para la distancia euclidiana solo existe una geodésica, pero para conectividad 4 u 8 puede haber varias geodésicas. Es necesario definir una unidad de medida, que en este caso es una distancia patrón tal como el centímetro o el metro. La aplicación sucesiva de esta unidad, de acuerdo con uno de los modelos dados por (I.14) a (I.16) a cada uno de los pixels del perímetro, proporciona un número que representa la longitud total del borde del patrón espacial; este proceso se realiza sobre aquella banda donde se encuentre más evidente el

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polígono. Una vez medidas suficienes propiedades de este patrón, de tal manera que unívocamente se le distinga de otros, se dice entonces que se le ha reconocido, todo esto contando siempre con la premisa de que previamente se ha determinado lo que se entiende como polígono, es decir, no se puede reconocer lo que no se ha definido. El razonamiento anterior se aplica de modo similar a clases de polígonos. Con los modelos y las unidades de medida adecuadas pueden establecerse diversas propiedades de otros patrones.

Figura I.8. Función de distancia para conectividad 4 (a) y conectividad 8 (b). Geodésicas para distancia euclidiana, conectivdad 4 y conectividad 8. Las definiciones de distancias, tales como las expresadas en las ecuaciones (I.14), (I.15) y (I.16), convenie diseñarlas de tal manera que constituyan una métrica. Una métrica es una distancia que satisface las siguientes condiciones d(r1,r2)  0, d(r1,r2) = d(r2,r1), d(r1,r3)  d(r1,r2) + d(r2,r3),

positividad simetría desigualdad de Schwarz

(I.17)

Las distancias (I.14) a (I.16) satisfacen lo anterior y son por tanto métricas; lo mismo puede afirmarse de las expresiones (VII.159) a (VII.165).

Introducción

25

Es común que una imagen no presente el estado geométrico y radiométrico adecuado para una tarea de reconocimiento de patrones, en esta situación es pertinente aplicar a la imagen una transformación que ponga en evidencia uno o varios patrones. De esta manera introducimos ahora la definición de realce Realce: transformación sobre la imagen diseñada para incrementar la distancia entre un conjunto de patrones. La distancia está determinada por una métrica que resulta de un modelo matemático que caracteriza la tarea de realce; esta distancia es una medida de la separabilidad entre los patrones en el espacio de rasgos. Una vez aplicado el realce a una imagen es posible proceder a tareas de segmentación y reconocimiento de patrones. En una imagen puede estar presente una variedad de objetos (patrones espaciales) cuya estructura geométrica es necesario estudiar y cuantificar, de aquí entonces que sea conveniente el considerar la morfología de éstos. Desde el punto de vista etimológico la morfología es el estudio de la forma y la estructura de un objeto, incluyendo su textura. Se dice, por tanto, que la morfología es la descripción cuantitativa de la organización espacial de los objetos inmersos en la imagen. De aquí, las propiedades morfológicas de los patrones espaciales se dividen en dos grandes grupos  Regionales  área, centroide, compactación, excentricidad, forma, perímetro, rugosidad del perímetro y textura.  Globales  contraste, definición, textura, calidad. Las propiedades regionales se refieren a características locales y las globales a las de toda la imagen. La textura se encuentra en ambos grupos ya que es posible evaluarla tanto para un objeto como para toda la imagen. Si bien el contraste puede calcularse localmente, se ha clasificado como global, ya que en general es de interés el conocerlo en el total de la imagen. A las propiedades morfológicas arriba listadas, se les conoce también como descriptores y más detalles se verán a lo largo del libro, en particular en el capítulo VII. En cuanto a las propiedades estadísticas es necesario distinguir las relacionadas con los patrones mismos y con grupos de ellos. Para patrones espectrales (uno o varios pixels) es posible evaluar la media y la desviación estándar; para clases espectrales, las matrices de covarianza y correlación proporcionan detalles sobre su compacidad o dispersión espectral y sobre su redundancia a través de las bandas que componen una imagen multiespectral. La distancia de tales clases en un espacio espectral está cuantificada por la divergencia o la distancia de Jeffries-Matusita (Richards y Jia, 1999), las cuales miden la separación espectral que hay entre una colección de grupos de pixels con características similares entre ellos. Esta separación es necesaria para validar la calidad de una segmentación hecha con base en las propiedades espectrales de los patrones de la imagen. En la generalidad de los casos, los patrones o clases de interés no se encuentran en la imagen en el aspecto adecuado para su reconocimiento. En ocasiones los patrones están inmersos en ruido o su definición espacial no es clara; en otras, su aspecto geométrico no es el deseado. Es posible también que la imagen presente una degradación (como borrosidad) que haga confusa la presencia de un patrón o clase. En la mayoría de los

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casos es necesario realzar o poner en evidencia un patrón antes de proceder a su reconocimiento; en general puede resumirse este procedimiento en el siguiente esquema Imagen  Realce  Segmentación  Reconocimiento de Patrones. Se parte, por tanto, de una imagen y se le aplican todos los procesos de realce necesarios para poner en evidencia los patrones de interés, esto puede incluir restauraciones, cambios en el aspecto geométrico, pseudocoloración o filtros; en los capítulos IV a VIII se estudian todas estas técnicas y otras comúnmente empleadas. Una vez hecho el realce, se procede a separar o a segmentar los patrones para finalmente aplicarles las operaciones necesarias que conduzcan a la cuantificación de sus propiedades morfológicas, espectrales y estadísticas; los métodos más importantes para tal cuantificación se detallan en el capítulo VII. Una de las grandes áreas del reconocimiento de patrones es la que se refiere a la clasificación de los mismos; ésta se divide en dos grandes grupos: clasificación no supervisada y clasificación supervisada, si bien es necesario hacer una aclaración con respecto a esta terminología. La clasificación no supervisada es un término que ha sido tradicionalmente aplicado al análisis de cúmulos, que más bien es un método de segmentación; no obstante, esta segmentación seguida de una etiquetación (identificación) de cada cúmulo, de acuerdo con los objetos de la imagen, sí constituye una clasificación y ésta es la manera como se maneja en la práctica. Para ahondar en esto, consideremos ahora lo siguiente: Sea R = {p1, p2, . . . pMN} el conjunto de pixels de una imagen multiespectral cualquiera, donde MN es el número total de pixels que la conforman, entonces Análisis de cúmulos en R significa la determinación de un entero c (número de cúmulos), tal que 2 ≤ c ≤ MN, y la definición de una partición (segmentación) de R en c subconjuntos (cúmulos) de R mutuamente exclusivos y colectivamente exhaustivos. Se parte del supuesto de que los pixels de cada cúmulo son espectralmente más similares que aquellos de cúmulos diferentes; es necesario en consecuencia el proporcionar una medida de similitud antes de iniciar el análisis de cúmulos. El resultado de este proceso revela una cierta estructura en los pixels de la imagen, la que a su vez puede indicar una asociación entre éstos. Los pixels que presentan una asociación están relacionados presumiblemente con regiones de la escena que presentan propiedades espectrales parecidas. Si un determinado patrón o clase está asociado con un objeto cuyos pixels son cercanos en valor, entonces la identificación del cúmulo correspondiente es directa, es decir, este análisis es válido únicamente cuando se supone que los objetos de la escena están caracterizados por clases espectrales bien definidas. En otras palabras, al segmentar una imagen en cúmulos, se espera que la misma subestructura exista en el proceso que genera los pixels (la imagen). Asociada al análisis de cúmulos se encuentra el problema de determinar el número c, es decir, el número más apropiado de cúmulos en R, a esto se le conoce como el problema de la validez de cúmulos y está directamente relacionado con la complejidad o heterogeneidad de la imagen. Hay que hacer notar que el análisis de cúmulos está basado en la identificación de grupos de pixels con valores similares. Los pixels, como se definió con anterioridad,

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27

constituyen patrones espectrales; por este motivo al análisis de cúmulos se le conoce también como clasificación espectral no-supervisada. Otro ejemplo relevante en el ámbito del reconocimiento de patrones es lo que se conoce como clasificación espectral supervisada. Sea ahora S el espacio de datos a partir del cual R ha sido extraído, es decir, R  S, entonces Una Clasificación Supervisada para S es un dispositivo (operación) por medio del cual S mismo es particionado en c regiones de decisión. La representación explícita de estas regiones depende de la naturaleza de S, de la manera en que se formen y del modelo que se escoja para ello. El papel que juegan los datos del subespacio R en el diseño del clasificador depende también de estos factores. Los pixels contenidos en R son considerados como los datos (pixels) prototipo y se emplean para calibar al clasificador, es decir, para determinar el valor explícito de las regiones de decisión a partir de las cuales se segmentan y clasifican los pixels de la imagen. En algunas realizaciones particulares de este tipo de clasificación se define una colección de subespacios R1, R2, . . . Rc, uno para cada objeto o clase espectral en que se desee particionar la imagen. Se considera que las Ri contienen los pixels prototipo de cada clase y que son identificados explícitamente por algún mecanismo externo al clasificador. En la clasificación supervisada las clases espectrales se identifican de antemano, mientras que en la clasificación no supervisada se hace posteriormente. De acuerdo con el planteamiento hecho, las Ri pueden provenir de un análisis de cúmulos previo, seguida de una identificación de las clases con las que están relacionadas, para finalmente alimentar al clasificador supervisado. El análisis de cúmulos y la clasificación supervisada se revisan en detalle en el capítulo VII. En general, es posible afirmar que si la segmentación en cúmulos o la determinación de los pixels prototipo se basan únicamente en el valor de cada uno de éstos por separado, se tiene entonces una clasificación espectral puntual. Si el proceso incluye información espacial, se tiene un clasificador espectral contextual; un ejemplo de éste es el crecimiento de regiones (Wahl, 1987; Kai y Muller, 1991; Woodcock y Harward, 1992; Lira y Frulla, 1998; Fan et al., 2005), que se estudia en el capítulo VII, si bien hay otros métodos contextuales reportados en la literatura (Gong y Howarth, 1992; Arai, 1993; Kontoes y Rokos, 1996; Lira y Malleti, 2002) que incluyen propiedades espectrales y algunos aspectos espaciales de los pixels modelados, ya sea en forma determinista o probabilística por medio de conjuntos borrosos (Bezdek, 1987; Foody, 1996), siendo este esquema híbrido el que ha ocupado la atención de los investigadores en los últimos años y el que ha producido los mejores resultados en cuanto a segmentación espectral. Una compilación detallada de métodos de clasificación se proporciona en Lu y Weng (2007). Existe una clase de imágenes donde los patrones presentes muestran una estructura regular tal que un objeto puede representarse por un conjunto de elementos estructurales o primitivos. Al incorporar una sintaxis que define la organización de estos elementos es factible derivar una representación sintáctica (Gonzalez y Thomason, 1978; Jain, 1989) de los patrones. En la representación sintáctica se tiene una cadena de símbolos o primitivos arreglados de acuerdo con un modelo determinado por la sintaxis, de tal manera que sólo se permite una representación: un objeto o patrón específico. Cuando un patrón o clase de patrones se reconoce en función de la organización de los

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primitivos que lo componen se dice que se hace reconocimiento sintáctico de patrones. En una imagen de una escena real, y en particular las imágenes de satélite, rara vez se presenta la posibilidad de realizar una representación sintáctica de los patrones de interés, de aquí que este tema no sea más tratado en este libro. No obstante, el reconocimiento sintáctico es un área de interés en imágenes con estructuras regulares tales como subclases de neutrografías, radiografías y tomografías o en aquellas donde se presentan texturas homogéneas como las imágenes de huellas digitales.

I.4 Clase de imágenes Las imágenes digitales generadas por sensores remotos se dividen en cinco grupos de acuerdo al esquema de observación y al sensor empleado, a saber a) Ópticas – Llamadas de esta manera porque las bandas que las componen se encuentran en la región óptica del espectro electromagnético (apartado II.1.1, Cuadro I.1), estas imágenes son generalmente multi-espectrales. b) Radar – Producidas en la región de microondas del espectro electromagnético (cuadro I.1), estas imágenes son generalmente mono-espectrales, si bien el desarrollo tecnológico permite actualmente contar con imágenes en diferentes longitudes de onda y polarizaciones. c) Acústicas – Generadas empleando señales acústicas coherentes, llamadas también ecografías, estas imágenes son generalmente mono-espectrales. d) Micrografías – Obtenidas empleando un haz de electrones generado y controlado por un microscopio electrónico, estas imágenes son generalmente mono-espectrales. e) Tomografías – Obtenidas ya sea por medio de un haz de positrones o por medio de un tren de pulsos de radiación electromagnética controlados por un tomógrafo, estas imágenes son generalmente mono-espectrales. f) Radiografías – Generadas empleando rayos X, estas imágenes son generalmente mono-espectrales. Cuadro I.1.- Regiones del espectro electromagnético. Región Rayos X Ultravioleta Violeta Azul Verde Amarillo Anaranjado Rojo Visible Infrarrojo cercano Infrarrojo medio Infrarrojo lejano

 [0.001 – 1.00] nm [0.001 – 0.40] m [0.40 – 0.45] m [0.45 – 0.51] m [0.51 – 0.56] m [0.56 – 0.59] m [0.59 – 0.63] m [0.63 – 0.70] m [0.40 – 0.70] m [0.70 – 3.00] m [3.00 – 30.0] m [30.0 – 100.0] m

Región Microondas Banda Q Banda W Banda V Banda Ka Banda K Banda Ku Banda X Banda C Banda S Banda L Banda P

 [0.1 – 100.0] cm [0.10 – 0.27] cm [0.27 – 0.40] cm [0.40 – 0.75] cm [0.75 – 1.11] cm [1.11 – 1.67] cm [1.67 – 2.50] cm [2.50 – 3.75] cm [3.75 – 7.50] cm [7.50 – 15.0] cm [15.0 – 30.0] cm [30.0 – 100.0] cm

Introducción

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La clase (a) de imágenes es generada por medio de sistemas pasivos, las clases (b) a (f) de imágenes son producidas empleando sistemas activos (Lira, 2003). En los capítulos II y VIII se proporcionan detalles de las clases (a) y (b) respectivamente; de las clases restantes se dan únicamente algunos detalles generales. En el apendice B se proporcionan detalles de la dinámica orbital y los aspectos técnicos de los satélites que generan regularmente imágenes de las clases (a) y (b).

I.5 Consideraciones en Cuanto a Métodos Computacionales La dimensión espacial y espectral de las imágenes digitales puede variar ampliamente: desde imágenes monoespectrales de laboratorio de 256 x 256 pixels, hasta imágenes multiespectrales de satélite de 8000 x 8000 pixels con siete bandas. Algunas transformaciones de realce a la imagen, y en general los procesos de reconocimento de patrones, demandan de un cómputo intensivo: tanto en capacidad de almacenamiento como en rapidez de cálculo. Una imagen de satélite ocupa un espacio del orden de 450 MB y una clasificación espectral de la misma requiere, desde varias decenas de minutos, hasta varias horas en una PC de buena capacidad. De aquí la necesidad de contar con métodos eficientes de almacenamiento y procesamiento de imágenes; al respecto existe una gran variedad de métodos y procedimientos. En cuanto a compresión de imágenes para su almacenamiento y transmisión se encuentran publicadas en la literatura metodologías de carácter general (Rabbani y Jones, 1991) y de tipo específico tal como la compresión por fractales (Barnsley y Hurd, 1993). En cuanto a transformaciones a la imagen y técnicas de reconocimiento de patrones es posible encontrar rutinas de carácter general en lenguajes como Pascal (Press et al., 1992) o en C (Myler y Weeks, 1993; O’Gorman et al., 2008). En lenguaje código existen colecciones de algoritmos (Pavlidis, 1982; Jähne, 1993) que pueden ser implantados en el lenguaje de mayor conveniencia al usuario. Es posible encontrar paquetes o sistemas computacionales para analizar imágenes, de entre los cuales pueden mencionarse los más importantes: los paquetes comerciales (PCI, ENVI, IPLIB, MIPS, ITEX, Visilog, Image Pro, ERDAS, e IDRISI) cuyos precios van desde quinientos hasta varias decenas de miles de dólares y que trabajan en varias plataformas y medios computacionales. Algunos otros publicados en la literatura con diferentes capacidades y medios de operación (Bernstein y Ferneyhough, 1975; Wharton y Turner, 1981; Landy et al., 1984; Harrington et al., 1986; Bryant, 1990; Sader y Winne, 1991; Lira y Landgrave, 1992). Algunos de ellos están especializados hacia una tarea específica (Wharton y Turner, 1981; Bryant, 1990) y otros hacia un campo definido, como la Percepción Remota (Bernstein y Ferneyhough, 1975; Landy et al., 1984), un sistema experto (Schowengerdt y Wang, 1989), o para educación (Sader y Winne, 1991). Para imágenes de radar, se encuentran disponibles los paquetes de software libre: RAT, Idiot, PolSarPro y Nest.

I.6 Ejercicios 1. Con base en la figura 1.1 haga un diagrama de un sistema de captura de imágenes empleando un arreglo matricial de detectores para capturar 4 bandas

30

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.

13. 14.


simultáneamente. Defina los cuatro intervalos del espectro electromagnético, así como el tamaño del pixel, que mejor se acomoden para una aplicación específica tal como geología, silvicultura, urbanismo, aguas superficiales, o desertificación. La cuantización radiométrica se hace generalmente a 256 niveles, plantee en cuáles casos se requeriría de un número mayor de niveles. Explique cuáles son las tres características de un pixel. Si en una imagen de satélite un pixel representa la reflectividad promedio del CIV correspondiente, en una radiografía y en una tomografía computada ¿que representaría?. La definición de patrón proporcionada en este capítulo es de caracter general; dé una definición específica para imágenes digitales multiespectrales. En la figura I.4 defina un patrón espectral y uno espacial. En una malla digital defina el polígono de una figura irregular, escriba la cadena de Freeman para conectividad 4 y para conectividad 8. Proporcione un ejemplo donde dos texturas diferentes estén asociadas con la misma frecuencia espacial, apóyese para esto en la figura I.7. Generalice a dos dimensiones la expresión I.6 y derive conclusiones para una frecuencia espacial bi-dimensional. En la definición de reconocimiento de patrones la búsqueda de estructuras es uno de sus elementos, para una imagen multiespectral defina una estructura espectral y una espacial. Demuestre que son métricas las expresiones de distancia dadas por (I.14), (I.15) y (I.16). Una primera aproximación para medir la distancia entre clases espectrales sería calcular la diferencia de los promedios, 1 y 2 respectivamente, de los valores de los pixels que componen cada clase: 1 - 2. Defina una primera aproximación para evaluar la distancia entre dos clases de textura. Dé un ejemplo cualitativo de la generación de una imagen bajo condiciones de ruido y de borrosidad. Reescriba la definición de análisis de cúmulos para incluir el caso de pixels no clasificados que se encuentren en la frontera entre dos cúmulos en relación a un criterio de distancia.

Radiación Electromagnética

31

II. RADIACIÓN ELECTROMAGNÉTICA La radiación electromagnética es un fenómeno de transporte de energía que porta información del sistema que la genera o la reemite. La percepción remota hace uso de esta propiedad, utilizando la interacción de la radiación con la escena bajo observación para estudiar su comportamiento con diferentes condiciones, generando información conducente al modelado del medio ambiente.

II.1 Radiometría II.1.1 Definiciones La radiación es la propagación de energía, en una variedad de formas, a través del espacio. La radiometría es un sistema de conceptos, definiciones, modelos, instrumentos y sistema de unidades para describir y medir la radiación y su interacción con la materia. La fotometría es un sistema también, pero diseñado para la detección de la radiación por el ojo humano (McCluney, 1994), sin embargo en este capítulo haremos énfasis más bien en la radiometría. La radiometría puede ser empleada, tanto para cuantificar flujo de partículas, como para el estudio de radiación ondulatoria. La radiación electromagnética es un fenómeno ondulatorio de transporte de energía, formado por un campo magnético y uno eléctrico perpendiculares entre sí (figura II.1), cuya velocidad de desplazamiento en el vacío es de c = 299,792,458 m/s. La velocidad de la luz en el aire difiere poco de esta cantidad. La velocidad de la radiación electromagnética en medios como gases, líquidos o sólidos es diferente a la del vacío; el cociente de la velocidad en el vacío con respecto a la velocidad v en otro medio es llamado el índice de refracción n, es decir n = c/v. Al conjunto de los campos magnético y eléctrico se le llama campo de radiación. La radiación electromagnética, siendo un fenómeno ondulatorio, tiene asociada una longitud de onda  y una frecuencia , ambas relacionadas entre sí por la expresión  = c

(II.1)

La longitud de onda se mide en metros y la frecuencia en Hertz. Además, la velocidad de la luz en el vacío se expresa como c

1 00

(II.2)

Donde 0 es la permitividad eléctrica y 0 es la permeabilidad magnética (Rees, 2001). La permeabilidad magnética se define como la razón de la densidad de flujo magnético B, en una substancia, a la intensidad del campo externo H: 0 = B/H. La permeabilidad del espacio vacío es llamada la constante magnética. La permitividad eléctrica se define como la razón del desplazamiento eléctrico a la intensidad del campo eléctrico que lo produce.

32


Una onda electromagnética tiene asociada una energía dada por

E   h  h

c 

(II.3)

Donde h = 6.6256 x 10-34 joules, es la constante de Planck. La ecuación (II.3) nos indica que a medida que disminuye la longitud de onda aumenta la energía de la radiación. La radiación electromagnética es por tanto una onda formada por un campo eléctrico y uno magnético oscilando perpendicularmente entre sí. A la radiación electromagnética se le conoce también como señal electromagnética u onda electromagnética.

Figura II.1. Señal u onda electromagnética. Al conjunto de ondas electromagnéticas sobre todo el intervalo posible de longitudes de onda se le llama el espectro electromagnético. A la distribución de la radiación sobre el espectro electromagnético se le llama spectrum (Tabla I.1). A la radiación que consiste de una sola longitud de onda se le denomina radiación monocromática. Al intervalo que comprende las longitudes de onda de 0.4 m a 10.0 m se le conoce como la región óptica del espectro electromagnético. Al intervalo de longitudes de onda de la radiación perceptible por el ojo humano se le llama la región del visible. La sensibilidad del ojo humano a la radiación electromagnética varía de persona a persona, pero ciertamente el ojo humano no es sensible a longitudes de onda menores a 0.36m ni mayores a 0.83 m. De aquí entonces la región del visible se define nominalmente como el intervalo de longitudes de onda de 0.4 m a 0.7 m. Otras regiones se encuentran definidas en la tabla I.1. El Sol genera radiación en un intervalo amplio de


33

longitudes de onda, no obstante, al intervalo de 0.32 m a 3.5 m se le conoce nominalmente como espectro solar. Por otro lado, la radiación electromagnética exhibe su naturaleza corpuscular en forma de fotones cuando interacciona con la materia. Al fotón se le conoce también como un quantum cuya energía está dada por la ecuación (II.3). De acuerdo con esta misma ecuación, el fotón, si bien concebido como una partícula, tiene asociada una longitud de onda. La ecuación (II.3) nos muestra la dualidad partícula – onda de la radiación electromagnética. Es decir, la radiación electromagnética, dependiendo de su interacción con la materia, puede comportarse como una onda o como una partícula. De aquí que las definiciones de cantidades radiométricas puedan aplicarse también a un flujo de fotones (véase apartado II.2.1). La naturaleza ondulatoria de una onda electromagnética está convenientemente descrita por una expresión sinusoidal compleja. La magnitud de los campos eléctricos E y magnético B (Schanda, 1986), que componen la radiación electromagnética en la dirección z están dados por E = E0[Cos(t – kz) + jSen(t – kz)] = E0ej(t – kz) B = B0[Cos(t – kz) + jSen(t – kz)] = B0ej(t – kz)

(II.4)

Donde E0 y B0 son constantes, j   1 ,  = 2 y k = 2/, conocido como el número de onda, y donde se ha supuesto que la onda electromagnética se desplaza en la dirección z. De estas relaciones se tiene

 c k

(II.5)

Al cociente dado por (II.5) se le conoce como la velocidad de la fase de la onda electromagnética. En el vacío la velocidad de la fase es igual a c. La velocidad de la fase es la velocidad a la cual se desplazan las crestas y los valles de la onda electromagnética. Para describir la propagación de la radiación electromagnética en un medio homogéneo diferente al vacío es necesario introducir dos propiedades básicas de tal medio: la permitividad eléctrica relativa r. La permitividad eléctrica relativa, conocida también como la constante dieléctrica, es la razón de la permitividad eléctrica del medio , con respecto a la permitividad del vacío. La permeabilidad magnética relativa r, es la razón de la permeabilidad magnética del medio , con respecto a la permeabilidad del vacío, es decir r 

 0

y r 

 0

Si a la velocidad de la fase en el medio homogéneo se le llama v, el índice de refracción dado por el cociente c/v, se expresa como n   r  r . En el vacío,  = 0 y  = 0, por lo que n = 1. Para un medio diferente del vacío n  1. La velocidad de la fase en el medio homogéneo está dada por

34


v

c rr



c n

(II.6)

De lo anterior, se tiene que, en un medio homogéneo, la velocidad de la onda electromagnética se reduce por un factor de

 r  r . Por tanto, en un medio homogéneo,

la velocidad de la luz está determinada por su índice de refracción. Las expresiones (II.4) muestran que la radiación electromagnética se compone de una amplitud: (E0, B0) y una fase: (t – kz). Si la onda se propaga en una dirección diferente a la z, las expresiones anteriores se escriben en notación vectorial como E = E0ej(t – k  r)

(II.7)

B = B0ej(t – k  r)

(II.8)

Donde r es un vector de posición en cualquier dirección y a k se le conoce como el vector de onda. De estas últimas expresiones es claro que E  B y (E,B)  k. El hecho que E y B sean perpendiculares a la dirección de desplazamiento indica que la onda electromagnética es transversal. Es usual llamar a la dirección de oscilación del campo eléctrico, la dirección de polarización. Si la dirección del plano de E es constante se dice que se tiene una polarización plana, si E oscila alrededor de la dirección de propagación se dice que se tiene una polarización oscilante. Un caso particular de la polarización oscilante es cuando la dirección de E cambia a una velocidad angular constante, en cuyo caso se dice que se tiene una polarización circular. La dirección de propagación de una onda electromagnética está convenientemente descrita por el vector de Poynting definido como el producto vectorial de los vectores E y B P=EB

(II.9)

El vector de Poynting proporciona la razón a la cual la energía electromagnética pasa a través de un área unidad cuya normal es la dirección de P. La interacción de la radiación con la materia depende del estado de polarización de la señal electromagnética, este hecho puede ser usado con ventaja en imágenes radar para observar diferentes aspectos de la escena (véase radar polarimétrico, apartado VIII.5.3). Se dice no polarizada una señal electromagnética compuesta por ondas cuya dirección del campo eléctrico varía de manera aleatoria. Una señal electromagnética puede presentar un cierto grado de polarización dependiendo de la variación de la dirección del campo eléctrico. II.1.2 Paquete de ondas A un grupo de señales electromagnéticas comprendiendo un cierto intervalo de longitudes de onda  = [1, 2] y un cierto conjunto de fases se le llama paquete de ondas. A  se le conoce como el ancho de banda del paquete, pudiéndose expresar también como un intervalo de frecuencias:  = [1, 2]. Si el ancho de banda es cero, el paquete de ondas es monocromático; si está formado por una sola fase el paquete es monofásico. Una radiación coherente está formada por un paquete de ondas con la


35

misma longitud de onda y la misma fase. La radiación coherente está formada por tanto por un paquete monocromático y monofásico. En la práctica no es factible generar un paquete con un ancho de banda igual a cero, por lo que una radiación coherente comprende un conjunto de señales con longitudes de onda cercanas entre sí pero no iguales. El ancho de banda es por tanto el contenido de frecuencias de un paquete de ondas. Para estudiar con mayor detalle el contenido de frecuencias de un paquete de ondas supóngase ahora que se tiene un pulso de radiación con una duración en el tiempo de t (figura II.2a). Para una fase cero, este pulso se modela de acuerdo con la siguiente expresión

A( t )  A 0 Cos0 t ,  

t t t 2 2

(II.10)

Donde A0 es la amplitud máxima del pulso. La cantidad A(t) se refiere a un campo eléctrico o a uno magnético, por lo que las conclusiones que se deriven para este pulso son válidas para una señal electromagnética también. El espectro de frecuencias (figura II.2b) de este pulso está dado por la transformada de Fourier del mismo, es decir

ˆ ()  A A 0

 Sen(0  )t / 2 Sen(0  )t / 2  Cos[0 t ]e  jt dt  A 0   (II.11) 0   0    t / 2  

 t / 2



La ecuación (II.11) nos indica que el espectro de frecuencias está dado por la suma de dos funciones Sinc, una centrada en 0 y la otra en – 0. El primer cero de las funciones Sinc está dado cuando

  0 

2 1 , o equivalentemente,    0  t t

(II.12)

Por lo que la distancia entre ceros de las dos funciones Sinc es, B =  = 2/t. A B se le conoce como el ancho de banda del pulso. Es claro entonces que a medida que el pulso disminuye en duración el ancho de banda aumenta. Con este resultado podemos estudiar ahora el ancho de banda de un paquete de ondas. Supóngase que este paquete de ondas está determinado por una suma de contribuciones de onda dadas por la ecuación (II.10) cuya dirección de desplazamiento es z, entonces A ( z, t )   A ()Cos t  kz d

(II.13)

Si los límites de integración para esta suma de contribuciones se fijan en

0 

     0  2 2

Donde  = 2 es el ancho de banda del paquete, de aquí entonces se tiene el paquete de onda descrito por

36


   Sen  t  2  A(z, t )  A 0 Cos0 t  kz   t 2

(II.14)

Donde se ha hecho A0 = A(). Cuando   0, la ecuación (II.14) se reduce a la expresión (II.10), es decir un paquete de onda infinitamente estrecho o bien un pulso formado por una señal de una sola frecuencia. Si  se hace más grande, el paquete disminuye de intensidad y se hace más ancho. La transformada de Fourier de la ecuación (II.14) proporciona el espectro de frecuencias de un paquete de ondas.

Figura II.2. Pulso de radiación de ancho t (a) y su espectro de frecuencia (b). En el momento de su emisión, digamos por una antena, el paquete presenta una cierta coherencia, sin embargo los pulsos de onda que lo forman tienen una longitud de onda diferente, más diferente entre más grande sea . Debido a esta diferencia, ocurre una interferencia destructiva que eventualmente elimina la coherencia del paquete. Es decir, la coherencia se destruye después de un cierto tiempo de haber sido emitido el paquete de ondas, este tiempo es

t 0 

1 

(II.15)


37

Llamado tiempo de coherencia. De esta última expresión es claro que en el límite, cuando   0, el tiempo de coherencia es infinito y a medida que el ancho de banda aumenta el tiempo de coherencia tiende a cero. II.1.3 Efecto Doppler Si una fuente de radiación electromagnética se encuentra en movimiento relativo con respecto a un detector, la radiación detectada tendrá en general una frecuencia diferente a la emitida; a este fenómeno se le conoce como el efecto Doppler. El hecho de que la radiación electromagnética esté constituida por una onda transversal hace que exista simetría del efecto Doppler en cuanto al movimiento relativo del detector y la fuente. Es decir es lo mismo considerar que el detector está en reposo y que es la fuente la que se mueve o viceversa. Considerar el detector o la fuente en reposo significa fijar un sistema de coordenadas en la fuente o el detector. Sea  la frecuencia de la onda emitida por la fuente y sea  la frecuencia de la onda percibida por el detector. Supongamos que la fuente se aproxima al detector a una velocidad v en una dirección determinada por el ángulo  con respecto a la línea de vista, es decir que si v es el vector de velocidad y r es el vector de posición de la fuente al detector entonces v  r  v r Cos 

Donde v = v y r = r, son las magnitudes de los vectores de velocidad y de posición respectivamente (figura II.3).

Figura II.3. Velocidad relativa entre una fuente de radiación (f) y un detector (d). El cambio en frecuencia está dado por v2  c2  vCos  1 c 1

(II.16)

Donde c es la velocidad de la luz. Si la fuente y el detector se alejan entre sí, es decir si

38


dr se incrementa, entonces,   , o bien   . dt Si la fuente y el detector se acercan entre sí, es decir si

dr se decrementa, entonces,   , o bien   . dt Justo cuando dr/dt = 0 se tiene que  =  y  = . II.1.4 Cantidades relacionadas con la radiación Las cantidades radiométricas relacionadas a la radiación electromagnética requieren, como principio, del concepto de ángulo sólido cuya definición se introduce con base en la figura II.4. El concepto de ángulo sólido proviene de la definición de radián y es una generalización del concepto de ángulo en un plano. Un radián es el ángulo subtendido, desde el centro de un círculo, por un arco de longitud igual al radio del círculo.

Figura II.4. Proyección del ángulo sólido. Así entonces, en general, si el radio del círculo es , el ángulo subtendido por un arco de longitud R está dado por la siguiente expresión


O

39

R 

Por lo que si el arco es de longitud igual a un semi-círculo, es decir, R = , entonces O = . En otras palabras el ángulo subtendido por un semi-círculo es de  radianes, es decir, 180. En la expresión anterior, si R = , O es igual a un radián. Inversamente, un radián es igual a 57 17’ 45”, o bien un radián = 180/. Debido a la definición anterior, el radián no tiene unidades. Considérese ahora una esfera de radio  en cuya superficie se encuentra un círculo (figura II.4). El ángulo que define la apertura del cono que subtiende el círculo al centro de la esfera es llamado un ángulo sólido. Este ángulo sólido es una generalización a tres dimensiones de la noción de ángulo en un plano. Si el área de la superficie acotada por tal círculo es A, el ángulo sólido se define como



A 2

(II.17)

Si el área es A = 2, entonces  es un steradian (abreviado sr). El steradián es, por tanto, la unidad de ángulo sólido, en forma similar como un radián lo es para un ángulo en un plano. Por otro lado, el área de la esfera es de 42, por lo que el ángulo sólido subtendido por ésta es de 4 steradianes. Tómese ahora una superficie cualquiera cuya área es S y considérese un vector unitario nˆ normal a S. El ángulo sólido subtendido por S con respecto a un punto x que se encuentra a una distancia r es de 

Snˆ  r SCos  r2 (r  r )r

(II.18)

Donde r es el vector de posición del punto x a la superficie S y  es el ángulo que forman los vectores nˆ y r. Es claro que la ecuación (II.17) es un caso particular de la expresión (II.18).

II.2 Definiciones y Leyes Radiométricas II.2.1 Definiciones Con las nociones y conceptos arriba desarrollados se introducen ahora las definiciones que involucran la radiación electromagnética, las leyes y terminología empleadas en percepción remota (véase cuadro II.1; Wolfe, 1998 y McCluney, 1994). Energía radiante (Q) – La cantidad de energía, por unidad de tiempo, transportada por una onda electromagnética a través de un medio como el vacío. Esta energía puede incidir, pasar a través, o emerger de una superficie. La cantidad de energía está relacionada directamente con la descripción de la extensión espacial del campo de radiación. Densidad de energía radiante (W = Q/V ) – La cantidad de energía transportada, a través de un medio, por una onda electromagnética por unidad de volumen.

40


Flujo radiante ( = Q/t) – La razón o tasa a la cual la energía radiante pasa a través de un cierto lugar. Un sensor remoto integra el flujo radiante, por unidad de tiempo, por unidad de ángulo sólido, proveniente de un elemento de la superficie. Al flujo radiante se le llama también potencia radiante debido a que se mide en Watts. En fotometría, a  se le denomina flujo luminoso. Flujo fotónico (q = N/t) – La razón o tasa a la cual la energía cuantizada (fotones) pasa a través de un cierto lugar, donde N es el número de fotones. Un sensor remoto integra, por unidad de tiempo, el flujo fotónico proveniente de un elemento de superficie. Densidad de flujo radiante (E = M = /A) – Corresponde al flujo radiante por unidad de área que incide, atraviesa, o emerge de una superficie en un punto de ésta. La densidad de flujo incidente a una superficie es llamada irradiancia (E). La densidad de flujo emergiendo de una superficie se denomina exitancia o emitancia (M). Las cantidades E y M son físicamente equivalentes, la única diferencia es la dirección del flujo. En fotometría, a la irradiancia se le denomina iluminancia. Densidad de flujo fotónico (Ef = Mf = q/A) – El flujo fotónico por unidad de área incidiendo, pasando a través, o emergiendo de un punto de una superficie. La densidad de flujo fotónico incidente a una superficie es llamada irradiancia fotónica (Ef). Las cantidades Ef y Mf son físicamente equivalentes, la única diferencia es la dirección del flujo. La densidad de flujo fotónico emergiendo de una superficie se denomina exitancia o emitancia fotónica (Mf). Intensidad radiante (I = /) – El flujo radiante por unidad de ángulo sólido, incidiendo, pasando a través, o emergiendo de un punto en el espacio, o propagándose en una dirección específica. La intensidad radiante es función de la dirección, desde o hacia el punto para la cual es definida. En fotometría, a I se le denomina intensidad luminosa. Intensidad radiante fotónica (If = q/) – El flujo fotónico por unidad de ángulo sólido incidiendo, pasando a través, o emergiendo de un punto en el espacio. La intensidad radiante fotónica es función de la dirección, desde o hacia el punto para la cual es definida. Radiancia (L = 2/ACos) – El flujo radiante por unidad de ángulo sólido por unidad de área proyectada en una dirección dada, incidiendo, pasando a través, o emergiendo en una dirección específica de un punto de una superficie (figura II.5). Si en el punto considerado existe una fuente cuya radiancia no cambia como una función de la dirección de emisión, la fuente es llamada lambertiana. A la cantidad ACos se le llama el área proyectada. En fotometría, a L se le denomina luminancia. Radiancia fotónica (Lf = 2q/ACos) – El flujo radiante fotónico por unidad de ángulo sólido por unidad de área proyectada en una dirección dada, incidiendo, pasando a través, o emergiendo en una dirección específica de un punto de una superficie. A la cantidad ACos se le llama el área proyectada. Emisividad () – La razón de la exitancia radiante de un elemento de superficie de un radiador, con respecto a la de un cuerpo negro a la misma temperatura que el radiador (véase apartado II.2.7). Absortancia () – La razón del flujo radiante absorbido con respecto al flujo radiante incidente a una superficie. Reflectancia () – La razón del flujo radiante reflejado con respecto al flujo radiante incidente a una superficie.


41

Cuadro II.1. Cantidades radiométricas, unidades y símbolos. Cantidad Energía radiante

Símbolo Q

Densidad radiante

w

Flujo radiante



Flujo fotónico

q

Exitancia

M

Irradiancia

E

Irradiancia fotónica

Ef

Intensidad radiante Intensidad radiante fotónica

I If

Definición

Q V Q  t N q  t  M A  E A  q Ef  A  I  w

If 

 q 

 2 ACos  2 q

Unidades Joule

Abreviatura J

Joule/m3

J/m3

Watt

W

Fotones/s

s-1

Watt/m2

W/m2

Watt/m2

W/m2

Fotones/metro2

m-2

Watt/steradian

W/sr

Fotones/steradian

sr-1

Watt/steradianm2

W/srm2

Fotones/steradianm2

m-2sr-1

Radiancia

L

L

Radiancia fotónica

Lf

Lf 

Emisividad



Absortancia





a i

Sin unidades

Reflectancia





r i

Sin unidades

Transmitancia





 i

Sin unidades

Dispersión

d

d 

d i

Sin unidades

ACos M  Mb

Sin unidades

f

  d r

Albedo

A

A

i

Sin unidades

f

  d i

i

42


Donde Mb – Exitancia del cuerpo negro a la misma temperatura que el objeto observado. i – Flujo incidente. r – Flujo reflejado. a – Flujo absorbido.  – Flujo transmitido. d – Flujo dispersado.  - Angulo entre el nadir local y la dirección de vista.

Figura II.5. Flujo radiante en la dirección  emergiendo de una superficie. Transmitancia () – La razón del flujo radiante transmitido con respecto al flujo radiante incidente a una superficie. Dispersión (d) – Proceso por el cual la distribución de un haz de radiación es modificada al ser desviado, sobre un hemisferio, por una superficie o un medio. La dispersión depende de la longitud de onda; más detalles se verán en el apartado II.3.1.2. El coeficiente diferencial de dispersión 0 es la razón del flujo dispersado, en una cierta dirección, con respecto al flujo radiante incidente a una superficie o un medio. El coeficiente diferencial de dispersión depende de la geometría de incidencia del haz y de la dirección de observación de la radiación dispersada. Albedo (A) – La razón del flujo reflejado con respecto al que incide sobre una superficie, integrado sobre todas las longitudes de onda del espectro electromagnético, por unidad de ángulo sólido. El albedo está relacionado con la reflectancia de objetos o superficies. El albedo hemisférico es el valor promedio de A sobre el hemisferio de todas las posibles direcciones de incidencia. Todas las cantidades radiométricas arriba definidas dependen de la longitud de onda, para escribir explícitamente esta dependencia basta agregar la razón de cambio con


43

respecto a . Así por ejemplo la dependencia espectral del flujo radiante se escribiría como  2Q t

 

(II.19)

Esta dependencia denota el valor de la cantidad involucrada para una longitud de onda específica, tal como es el caso de radiación monocromática. Así entonces, supóngase que  es el intervalo de longitudes de onda [1, 2], por lo que el flujo espectral  estaría dado por

 Q  0 t 

   lim 

A  se le conoce como el flujo espectral radiante. La dependencia de la energía radiante con respecto a la longitud de onda estaría dada por

Q 

Q 

(II.20)

que significa la energía radiante por unidad de longitud de onda a la longitud de onda específica . A Q se le llama la energía espectral radiante. La derivada de la irradiancia con respecto a la longitud de onda E 

 2 A

(II.21)

es el flujo radiante por unidad de área por unidad de longitud de onda a la longitud de onda específica . A E se le llama la irradiancia espectral. La derivada de la intensidad radiante con respecto a la longitud de onda I 

 2 

(II.22)

es el flujo radiante por unidad de ángulo sólido por unidad de longitud de onda a la longitud de onda específica . A I se le llama la intensidad espectral radiante. La derivada de la radiancia con respecto a la longitud de onda L 

 2 ACos

(II.23)

es el flujo radiante por unidad de área, por unidad de ángulo sólido y por unidad de intervalo de longitud de onda, incidiendo, pasando a través, o emergiendo en una dirección específica de un punto de una superficie. A L se le llama radiancia espectral.

44


No obstante, para la emitancia, la absortancia y la reflectancia, la dependencia con respecto a la longitud de onda se escribiría en las cantidades involucradas, así por ejemplo, la absortancia espectral sería

 ( ) 

 a ()  i ( )

En donde en esta última expresión, a() significa la distribución de valores del flujo radiante sobre un intervalo de longitudes de onda, es decir a() es función de . La absortancia espectral seguiría siendo considerada sin unidades. Por otro lado, la absortancia, la reflectancia y la transmitancia satisfacen un principio de conservación de energía. El flujo de radiación incidente a un medio debe ser igual al reflejado, más el absorbido, más el transmitido (figura II.6), es decir i = a + r + t

Figura II.6. Reflección y refracción de la luz por un medio semi-opaco. Al dividir esta ecuación por el flujo incidente se tiene

1

 a (  )  r (  )  t ( )    i ( )  i ( )  i ( )

En términos de la absortancia, la reflectancia y la transmitancia, esta ecuación se reescribe como () + () + () = 1

(II.24)

La expresión anterior no es válida en general para medios metálicos o para medios ópticos activos tales como materiales fosforescentes o fluorescentes. Es necesario puntualizar que las cantidades (), () y () se definen en términos de cocientes de flujo radiante y no como derivadas con respecto a la longitud de onda, de aquí entonces,


45

la notación  no debe emplearse. Finalmente diremos que la absortancia, la reflectancia y la transmitancia se refieren a propiedades de una cierta cantidad de substancia bajo condiciones geométricas y de iluminación específicas, mientras que la absortividad, la reflectividad y la transmisividad se refieren a propiedades intrínsecas de la materia. II.2.2 Ley de Snell Cuando una onda electromagnética encuentra una frontera plana entre dos medios homogéneos, parte de la radiación se refleja y parte se refracta (figura II.6). La parte que se refleja (rayo reflejado) lo hace al mismo ángulo de incidencia  con respecto a la dirección normal de la frontera de los dos medios; la parte que se refracta (rayo refractado) lo hace a un cierto ángulo . La relación entre los ángulos  y  está dada por la siguiente expresión n1Sen = n2Sen

(II.25)

La relación anterior es conocida como la ley de Snell. Las cantidades n1 y n2 son los índices de refracción de los dos medios que forman la frontera. Los rayos incidente, reflejado y refractado se encuentran en un mismo plano. II.2.3 Ley del coseno de la irradiancia Considérese ahora la figura II.7 en donde P es una fuente puntual de energía radiante de intensidad I. En esta misma figura se aprecia un elemento de superficie de tamaño P de donde emerge un vector unitario nˆ . Sea r el vector que apunta del punto P al centro del elemento de superficie cuya área es dA; el ángulo que forman los vectores r y nˆ es . Al vector r se le conoce como el rayo central. De aquí entonces, el flujo radiante incidente sobre el elemento de superficie está dado por d = Id Donde d es el ángulo sólido subtendido por dA en el punto P. De acuerdo con la expresión (II.18) este ángulo sólido se escribe como

d 

dACos r2

Sin embargo, por definición, la densidad de flujo incidente a una superficie es la irradiancia, es decir

E De donde se tiene finalmente

d Id  dA dA

46


Figura II.7. Esquema de la ley de la irradiancia.

E

ICos r2

(II.26)

Es posible apreciar dos aspectos del comportamiento de la irradiancia a partir de esta última expresión. El primero es que la irradiancia sobre el elemento de superficie dA es proporcional al coseno del ángulo que forma el vector normal a la superficie y el rayo central r; a tal comportamiento se le conoce como la ley del coseno de la irradiancia. El segundo aspecto es que la irradiancia sobre el elemento de superficie dA es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia desde la fuente puntual; a tal comportamiento se le conoce como la ley del inverso del cuadrado. En la obtención de la ecuación (II.26) se ha supuesto que la fuente P sea puntual, en la realidad presenta un tamaño finito P. No obstante, si r ≫ P la ley del coseno es válida en muy buena aproximación. II.2.4 Superficies lambertianas La rugosidad del terreno de una escena dada puede variar desde muy suave hasta gruesa (figura II.8). Una superficie refleja y dispersa la radiación incidente de acuerdo con la rugosidad que presenta. Una superficie con una rugosidad tal que dispersa la radiación incidente en todas las direcciones es llamada una superficie perfectamente difusa o superficie lambertiana. Una superficie cuya radiancia sea independiente de la dirección es llamada un radiador lambertiano. En una superficie lambertiana la radiación incidente es dispersada con una intensidad constante para cualquier ángulo, es decir, la radiancia es constante para cualquier ángulo de reflexión. Sea  el ángulo de


47

reflexión con respecto a la normal a la superficie (figura II.8). Debido a que el área proyectada por la superficie varía como Cos, el flujo por unidad de ángulo sólido (intensidad radiante) de una superficie lambertiana varía como el coseno de , es decir I = I0Cos

(II.27)

La expresión (II.27) es conocida como la ley lambertiana del coseno. Supóngase un elemento lambertiano de área dA, la radiancia de esta superficie a lo largo de la normal es, por tanto, L = I0/dA (véase definición de radiancia cuadro II.1). A partir de aquí la radiancia a un ángulo de  está dada por I I Cos  0 dACos dACos

De aquí es claro que la radiancia a cualquier ángulo de reflexión  es igual a la que se observa a lo largo de la normal donde  = 0°, probándose con esto la ley lambertiana del coseno.

Figura II.8. Retrodispersión de la radiación en función de la rugosidad del terreno. En escenas naturales, la rugosidad más suave que puede ocurrir es la de un cuerpo de agua en reposo presentando reflexión especular. No obstante, en la mayoría de los casos los objetos de una escena presentan rugosidades tales que se comportan como superficies lambertianas para un intervalo restringido del ángulo de dispersión:  40    40. Algunos objetos tales como arena y nieve son lambertianos en un intervalo más amplio:  60    60. II.2.5 Modelos de dispersión La rugosidad de la superficie donde se refleja un haz de radiación incidente determina el tipo de reflexión. Así entonces, una superficie suave se comporta como un espejo produciendo dispersión especular o reflexión especular. En la reflexión especular la radiación incidente es dispersada en una sola dirección de tal manera que si la dirección incidente está determinada por los ángulo polar y azimutal i y i con respecto al nadir local, la dirección de reflexión está dada por los ángulos i y i -  (figura II.9a). A medida que la rugosidad de la superficie se incrementa, se produce el modelo de reflexión semi-especular donde la radiación es preferentemente reflejada en la dirección

48


dada por los mismos ángulos que en la reflexión especular (figura II.9b). La diferencia consiste en que parte de la radiación es reflejada a ángulos adyacentes a i y i - . En un modelo de dispersión lambertiana, la radiación es reflejada por igual en todas direcciones (figura II.9c). En función de la rugosidad del terreno, se pueden presentar los modelos de dispersión llamados de Minnaert y de Henyey-Greenstein (figuras 2.9d – f). Este último modelo presenta dos modalidades: dispersión hacia adelante y retrodispersión.

Figura II.9. Modelos de dispersión. En una reflexión no especular la dirección de reflexión no está dada por los ángulos i y i - , sino en general por ángulos r y r. El modelo de reflexión de Minnaert nos indica que la reflexión se expresa como RM = K(CosrCosr)-1

(II.28)

Donde K es una constante; para  = 1, el modelo de Minnaert se reduce al modelo lambertiano. Los modelos de dispersión lambertianos y Minnaert no tienen en cuenta que ciertas superficies rugosas pueden retrodispersar la radiación en la dirección de incidencia adicionalmente a la dispersión hacia adelante. El modelo de HenyeyGreenstein incorpora estos dos tipos de dispersión en la siguiente expresión R HG  K

1  2 Cos r Cos r 1 2 3/ 2 1  2Cos   

(II.29)


49

Donde el parámetro  es una medida de la anisotropía de la dispersión. Los intervalos de variación de  son los siguientes: 0    1 para dispersión hacia adelante y 1    0 para retrodispersión. El ángulo  es llamado el ángulo de dispersión de fase y está dado por Cos = CosiCosr + SeniSenrCos(r  i)

(II.30)

Con el objeto de comprender mejor estos modelos de dispersión es necesario elaborar una medida de la rugosidad de la superficie. Considérese una superficie con una cierta rugosidad, donde las variaciones en altura no exceden una cierta cantidad h (figura II.10).

Figura II.10. Criterio de rugosidad. Sobre esta superficie incide, a un ángulo , un rayo de radiación electromagnética que es reflejado de manera especular. Sobre un plano de referencia, determinado por la máxima altura de la rugosidad de un segmento de superficie, se tiene también la reflexión especular de un rayo de radiación (figura II.10). La diferencia en trayectoria, de estos dos rayos, después de la reflexión es 2hCos. Si se supone que los rayos tienen fase cero en su lugar de origen, después de la reflexión, la diferencia de fase está dada por (véase apartado VIII.3.1)

 

4hCos 

(II.31)

Donde  es la diferencia de fase de la radiación electromagnética y  su longitud de onda. A partir de la relación (II.31) es posible establecer una regla heurística para la rugosidad de la superficie. Así entonces se considera que una superficie es suave si   4/25. Este criterio nos indica que para que una superficie se considere suave debe presentar irregularidades menores a /25. Por tanto, en la región óptica, para  = 0.5 m, h debe ser menor a 20 nm, en cambio en la región de microondas, para  = 3 m, h debe ser menor a 12 cm. Por otro lado, la expresión (II.31) depende del ángulo de incidencia . Es claro que el criterio de rugosidad se satisface más rápidamente para

50


valores grandes de  y no para ángulos de incidencia cercanos a la normal de la superficie. De aquí entonces, una superficie que se presenta como rugosa en la dirección de la normal, puede verse suave bajo una dirección rasante. Una clasificación de rugosidades con base en la relación (II.31) se muestra en el cuadro VIII.1. II.2.6 Reflectancia difusa Toda superficie exhibe una propiedad intrínseca llamada reflectancia difusa, por la cual refleja una cierta fracción de la irradiancia incidente sobre ella. Para calcular la reflectancia difusa considérese la figura II.11, donde se encuentra un elemento lambertiano de superficie denominado dA. Sobre este elemento incide, abarcando un hemisferio, una irradiancia espectral E de tal manera que la fracción del flujo radiante reflejado por dA está dada por d2 = LddACos

(II.32)

Por otro lado, el ángulo sólido subtendido por un anillo de ancho rd en un hemisferio de radio r (figura II.11), se expresa en coordenadas polares como

d 

2rSenrd  2Send r2

(II.33)

Al substituir la ecuación (II.33) en (II.32) e integrar sobre , se tiene /2



d r  2 L  dACosSend  L  dA

(II.34)

0

La razón del flujo reflejado con respecto al incidente define la reflectancia difusa, es decir

() 

L d r   d i E

(II.35)

De la ecuación anterior, ()E = L, representa la densidad de flujo reflejado por la superficie sobre un hemisferio. Esta densidad es cuantitativamente equivalente a la emitancia M de una superficie emisora de radiación. De esta manera es posible afirmar que la razón d r  L   M  dA

(II.36)

es la emitancia de una superficie lambertiana. Es decir, para una superficie lambertiana, la exitancia radiante es isotrópica o independiente de la dirección. La ecuación (II.35) es


51

dependiente de la longitud de onda de la radiación por lo que a la cantidad () se le conoce como reflectancia espectral (véase cuadro II.1).

Figura II.11. Flujo radiante interceptado por un hemisferio. La reflectancia espectral () es una propiedad física, no intrínseca, de los objetos presentes en una superficie, mientras que la irradiancia E depende de la fuente de radiación y de la geometría de la escena irradiada. Si la cantidad () se integra sobre todas las longitudes de onda del espectro electromagnético, el resultado es el albedo del elemento de superficie considerado. Denotemos por L la integral de la radiancia L sobre todas las longitudes de onda y por E la integral de la irradiancia E sobre todas las longitudes de onda. La reflectancia  del elemento de superficie dA, se define como la razón del flujo total dispersado con respecto al flujo total incidente, es decir



L E

(II.37)

La ecuación (II.37) nos indica que la reflectancia se puede identificar con la definición del albedo hemisférico (véase apartado II.2.1). De las ecuaciones (II.32) a (II.37) se ha considerado la incidencia y la reflexión del flujo sobre un hemisferio, no obstante, es posible expresar la reflectancia diferencial como la misma razón dada en (II.35) pero a lo largo de direcciones de incidencia y reflexión específicas. Por otro lado, la radiancia de la superficie L es función de la reflectancia y de la irradiancia. La cantidad L es medida por el sensor remoto, por lo que al conocer las condiciones de irradiancia es factible estimar la reflectancia espectral. La cantidad () es empleada en percepción remota para caracterizar los objetos presentes en una escena, inversamente, si se conoce la reflectancia espectral es posible estimar los valores de irradiancia incidiendo sobre una superficie. La distribución de valores de la radiancia L

52


en función de la longitud de onda es conocida como la respuesta espectral. Sin embargo, si la medida de L se hace desde un sensor remoto montado en una plataforma satelital, es necesario entonces realizar una corrección por efectos atmosféricos para conocer el valor absoluto de la radiancia. Es necesario puntualizar que ni la reflectancia espectral ni la respuesta espectral constituyen propiedades intrínsecas de los objetos ya que dependen de factores de iluminación, geometría e interrelación entre los mismos. Lo que sí constituye una propiedad intrínseca es la reflectividad, la cual es la capacidad de un objeto de reflejar la radiación incidente. La misma diferencia física se tiene entre absortancia y absortividad, entre transmitancia y transmisividad. La respuesta espectral de los objetos de una escena determina la relación de las bandas del espectro eletromagnético en las cuales éstos son susceptibles de detección; el cuadro II.2 muestra esta relación. Cuadro II.2. Sensibilidad de algunas bandas de la región óptica en la detección de propiedades de objetos de una escena. Banda  (m) 0.45 – 0.52 0.52 – 0.59

Propiedad Sensible a la discriminación de cubiertas de bosques de coniferas y de caducifolios, a la sedimentación y a la diferenciación entre suelo y vegetación. Sensible a la respuesta de la vegetación sana, al vigor de la vegetación, a la discriminación entre suelo y roca y a la turbidez y batimetría en aguas someras.

0.62 – 0.68

Sensible a la absorción de clorofila, a la discriminación de especies de plantas y la diferenciación de suelos y contactos geológicos.

0.77 – 0.86

Sensible a la biomasa verde, al contenido de humedad en la vegetación, al contraste entre tierra y agua y a las topoformas y geomorfología del terreno.

Con base en la ecuación (II.35), es posible calcular la radiancia espectral recibida por un sensor remoto (Belward et al., 1990), los valores digitales de la imagen son convertidos de acuerdo con la siguiente expresión

L(i)  L min (i) 

L max (i)  L min (i) pi p max

(II.38)

Donde pi – valor de un pixel de la imagen en la i-ésima banda. pmax – máximo valor del intervalo de valores digitales en la imagen, 255 en muchos casos. Lmin(i) – radiancia espectral, medida en mWcm-2sr-1m-1, para pi = 0. Lmax(i) – radiancia espectral, medida en mWcm-2sr-1m-1, para pi = pmax. L(i) – radiancia espectral, medida en mWcm-2sr-1m-1, para la i-ésima banda. Los valores Lmin(i) y Lmax(i) son proporcionados por el fabricante o administrador del sensor remoto a bordo del satélite. Estos valores para los satélites comerciales más


53

importante tales como Spot, Landsat y Terra/Aster se encuentran disponibles en internet y en la literatura científica. II.2.7 Ley de Planck En una escena, todos los objetos a una cierta temperatura emiten radiación; entre más alta la temperatura, mayor la emisión. La energía calorífica presente en un objeto produce un constante movimiento de los átomos y moléculas que lo forman, esta agitación atómica y molecular genera radiación electromagnética en un cierto intervalo de longitudes de onda. Un cuerpo negro es un objeto que absorbe y emite radiación de una manera perfecta, es decir, proporciona, a una temperatura dada, la máxima exitancia radiante, hacia un hemisferio, en cualquier longitud de onda. Se sigue de aquí que un cuerpo negro es una fuente lambertiana de radiación. A un cuerpo negro se le conoce también como un radiador perfecto o un radiador de Planck. La ecuación de Planck, conocida también como ley de Planck, para la exitancia espectral de un cuerpo negro se escribe como

M 

2hc 2 5

1    e ch / kT  1  

(II.39)

Donde M – Exitancia espectral o brillantez espectral del cuerpo negro. h – Constante de Planck: 6.6256 x 10-34 joules.  – Longitud de onda: metros. k – Constante de Boltzmann: 1.38054 x 10-23 joule/K. c – Velocidad de la luz: 299,792,458 m/s. T – Temperatura: K. Las unidades de M son por tanto Wm-2m-1. El significado de estas unidades es el siguiente: El flujo radiante emitido por un cuerpo negro, cuya área es un metro cuadrado, se mide en watts, para un intervalo de longitud de onda de un micrómetro. En la figura II.12 se aprecia la gráfica de la exitancia de un cuerpo negro a una temperatura de 6,000 K. Sobre impuesta a esta gráfica, se observa la curva de la irradiancia solar fuera de la atmósfera, indicando con esto que la exitancia espectral del sol es aproximadamente igual a la de un cuerpo negro a 6,000 K. Un cuerpo negro es llamado también una fuente ideal de radiación, puesto que transforma la energía calorífica que recibe en energía radiante a la máxima tasa permitida por las leyes de la termodinámica (Elachi, 1987a). Es decir, un cuerpo negro transforma energía calorífica en radiante de la manera más eficiente posible. Un cuerpo negro puede modelarse también como un objeto ideal que permite que toda la radiación incidente sea transmitida y absorbida internamente, es decir, un cuerpo negro presenta reflectancia y transmitancia nulas. Este modelo es válido para toda longitud de onda y toda dirección incidente de la radiación. También, un cuerpo negro puede verse como un objeto que tiene una absortancia de 1.0, por lo que su reflectancia y su transmitancia serían cero para todas las longitudes de onda y todas la direcciones incidentes. De acuerdo con esta propiedad, un radiador perfecto a temperatura ambiente (300 K) aparecería totalmente obscuro al ojo humano ya que su emitancia sería en la región del infrarrojo térmico. A medida que la

54


temperatura de un cuerpo negro aumenta, la emitancia cubre un intervalo de longitudes de onda mayor, de tal manera que a 4,800 K emitiría radiación en la región del visible dejando de aparecer obscuro al ojo humano (figura II.13). Muy pocos objetos en la naturaleza se aproximan a un cuerpo negro, la gran mayoría reflejan la radiación en función de la longitud de onda por lo que son llamados cuerpos espectralmente selectivos.

Figura II.12. Exitancia de un cuerpo negro a una temperatura de 6,000 K. De acuerdo con la figura II.13 el intervalo de longitudes de onda en las cuales un cuerpo negro emite radiación es función de su temperatura. El punto máximo de la curva de la exitancia espectral se desplaza a longitudes de onda cortas a medida que la temperatura del cuerpo negro aumenta. Este desplazamiento conduce a que el color al cual aparece al ojo humano un cuerpo negro cambie en función de la temperatura. Este efecto es denominado color de temperatura. La temperatura a la cual un cuerpo negro genera radiación de un color igual al color de una fuente de radiación de interés, es llamada correlación del color de temperatura de la fuente. De manera similar, es posible definir la brillantez de temperatura de un cuerpo que emite radiación termal. Esta temperatura es la de un cuerpo negro equivalente que emitiría la misma radiancia a la longitud de onda considerada. Sea  la longitud de onda a la cual un cuerpo a temperatura T y emisividad  presenta una temperatura de brillantez de Tb, entonces empleando la ecuación de Planck, escribimos la siguiente igualdad




2hc 2 5

2 1   2hc  e ch / kT  1   5  

55

1    e ch / kT  1    b

Al despejar para Tb se tiene Tb 

hc 2  1  k ln 1  e ch / kT  1   

(II.40)

Figura II.13. Exitancia espectral de un cuerpo negro a varias temperaturas. Un cuerpo de agua pura se comporta aproximadamente como un cuerpo negro. En una imagen de satélite, los cuerpos de agua pura se observan negros debido a que absorben casi toda la radiación incidente, calentándose de esta manera y emitiendo radiación de acuerdo con la ecuación de Planck. Al integrar la ecuación de Planck se obtiene la exitancia total en función de la temperatura. Si en una imagen multiespectral de satélite, se tiene la presencia de un cuerpo de agua pura, es posible utilizar la integral de la ecuación de Planck para estimar la distribución de temperaturas superficiales de la escena. Para esto, es necesario convertir primeramente los valores digitales a valores absolutos de radiancia de acuerdo con la ecuación (II.38). Subsecuentemente, se integran estos valores sobre el cuerpo de agua para obtener finalmente la temperatura. En este cálculo es necesario realizar una corrección por factores atmosféricos para obtener el valor absoluto de la exitancia.

56


La ley de Planck puede expresarse en términos de la frecuencia en lugar de la longitud de onda, para esto recordemos que c = , de donde d  

c d 2

Sobre un intervalo infinitesimal d, la brillantez espectral es dM = Md y sobre un intervalo infinitesimal d, la brillantez espectral es dM = Md. Igualando estas dos expresiones y empleando la ecuación anterior se tiene que M 

2 M c

Donde se ha ignorado el signo menos de la ecuación anterior ya que únicamente indica que  y  se incrementan en direcciones opuestas. Empleando esta última ecuación y utilizando c = , se escribe M 

2h 3  1  c 2  e h / kT  1 

(II.41)

Que es la exitancia espectral en función de la frecuencia de la señal electromagnética. II.2.8 Ley de Stefan  Boltzmann Al integrar la ecuación de Planck con respecto a la longitud de onda, se tiene la siguiente expresión 

M

 0

2hc 2  1 2 5 k 4 4    d T 15c 2 h 3 5  e ch / kT  1 

(II.42)

Conocida como la ley de Stefan  Boltzmann que nos proporciona la exitancia total emitida hacia un hemisferio por un cuerpo negro de un metro cuadrado de superficie. La exitancia total M se expresa en Watts por metro cuadrado. La ley de Stefan-Boltzmann se expresa en ocasiones como M = T4 Donde  = 5.66962  10-8 Wm-2K-4 es llamada la constante de Stefan  Boltzmann. La ecuación (II.42) nos proporciona la potencia emitida por un cuerpo negro a la temperatura T integrada sobre todas las longitudes de onda. De aquí entonces, la ley de Stefan  Boltzmann nos permite estimar la temperatura de un cuerpo de agua pura en una imagen de satélite. Al integrar los valores de radiancia calculados por medio de la ecuación (II.38) se produce un valor para M y de la expresión (II.42) se obtiene la temperatura del cuerpo de agua. El comportamiento a la cuarta potencia de la


57

temperatura en la ecuación (II.42) permite medir variaciones pequeñas de temperatura de la escena, por ejemplo, un grado de variación implica una modificación de 1.3% en la exitancia, por lo que para una imagen de 256 niveles de gris correspondería un cambio de 3.3 niveles. Un cuerpo negro es una idealización de un radiador perfecto. En la naturaleza existen cuerpos que no son radiadores perfectos pero que se aproximan en alguna medida a un cuerpo negro. Los objetos presentes en la naturaleza se comportan como radiadores selectivos, es decir, la distribución espectral del flujo que emiten depende de la longitud de onda de la radiación, pero de una manera diferente al del cuerpo negro. Por otro lado, la emisividad de un cuerpo negro es uno, por lo que la emisividad espectral de un cuerpo cualquiera puede ser definida como  ( ) 

M ' M

(II.43)

Donde M ' es la exitancia radiante de un objeto bajo estudio y M es la exitancia radiante de un cuerpo negro a la misma temperatura que el objeto. Al generalizar estos conceptos se introduce la definición de un cuerpo gris cuya distribución espectral del flujo que emite es no selectiva, es decir, no depende de la longitud de onda. A un cuerpo gris se le llama también un radiador imperfecto ya que no absorbe toda la radiación incidente sobre él. A partir de aquí es común escribir una forma generalizada de la ley de Stefan  Boltzmann como

M = ()T4

(II.44)

Donde ()  Emisividad. () = 1, para un cuerpo negro. 0  ()  1, para un cuerpo gris. () = 0, para un reflector perfecto. () = f(), para otros cuerpos. En el cuadro II.3 se muestran valores de emisividad hemisférica para algunos materiales. La emisividad hemisférica se mide integrando el flujo radiante de una superficie en todas las direcciones de un hemisferio. Cuadro II.3. Emisividad hemisférica de algunos materiales. Material Asfalto negro Concreto Madera de pino Acero Metal galvanizado Aluminio Aluminio pulido

Emisividad: [4 – 16 m] 0.93 0.88 0.60 0.23 0.21 0.09 0.06

58


Se dice entonces que () es una medida de la cercanía de un objeto a un cuerpo negro. Existe también una diferencia entre emitancia y emisividad: la emitancia es el flujo radiante por unidad de área de una substancia, bajo condiciones geométricas y de iluminación específicas, mientras que la emisividad se refiere a la propiedad intrínseca de la materia de emitir flujo radiante. II.2.9 Ley de Wien La ecuación (II.39) puede ser derivada para obtener la longitud de onda a la cual ocurre la máxima exitancia, es decir, la derivada de M es cero para una cierta longitud de onda máxima max

dM  d 2hc 2  1   0 5 ch / kT   1  d d   e Es decir, ch  e ch /  kT  5 0  max kT  e ch /  kT  1  max

max

Reacomodando términos, se obtiene  ch  ch /  1  e  5 kT  max 

max kT

1

Esta es una ecuación trascendental, cuya solución numérica es ch  4.965  max kT

De donde se obtiene finalmente la llamada ley de Wien o ley de desplazamiento de Wien

 max 

2.879  10 3 mK T

(II.45)

La relación inversa entre T y  en la expresión (II.45) nos indica que a medida que la temperatura disminuye, la longitud de onda aumenta, es decir, max se desplaza. Esta ley nos permite calcular la longitud de onda a la cual el Sol emite la máxima potencia. Si se aproxima al Sol como un cuerpo negro a una temperatura de 5,800 K (véase figura II.12), entonces max = 0.496 m. También podemos calcular la longitud de onda a la cual un cuerpo de agua pura a temperatura ambiente (280 K) produce la máxima emitancia: max = 10.28 m, es decir el infrarrojo térmico.


59

II.2.10 Ley de radiación de Wien Para longitudes de onda cortas (frecuencias altas), el argumento de la exponencial en la ley de Planck es

ch h  1 o bien  1 kT kT De donde se obtiene una expresión aproximada a la ley de Planck. Considérese entonces la ecuación (II.41), por lo que para frecuencias altas, se tiene que 1  1   e h / kT  1   e h / kT  

De donde la aproximación a la ley de Planck se escribe como

M 

2h 3 h / kT 2hc ch / kT  3 e e  c2

(II.46)

A esta aproximación se le conoce como la ley de radiación de Wien. II.2.11 Ley de Rayleigh – Jeans Por otro lado, para longitudes de onda largas (frecuencias cortas), el argumento de la exponencial es

ch h  1 o bien  1 kT kT Por lo que al desarrollar en series de Fourier la exponencial involucrada en la ley de Planck (ecuación II.41), se tiene que 1   kT  e h / kT  1   h  

De aquí entonces se obtiene la siguiente expresión para la ley de Planck M 

2 2 kT 2kT  2 c2 

(II.47)

A esta aproximación se le conoce como la ley de Rayleigh – Jeans. Las leyes de radiación de Wien y de Rayleigh – Jeans complementan la ley de Planck para longitudes de onda corta y larga respectivamente (figura II.14) y son útiles para cálculos directos en estos intervalos de longitud de onda del espectro electromagnético.

60


Figura II.14. Comparación de las leyes de Planck, Wien y Rayleigh – Jeans. II.2.12 Ley de Kirchhoff Para medios opacos, parcialmente reflectivos, donde cualquier deficiencia en su reflectividad se compensa exactamente por su emitancia, se tiene que () = 1 - (), () = 0, de aquí entonces con base en la ecuación (II.24), se concluye que () = 1 () y () = (). Este resultado se conoce como la ley de Kirchhoff, que nos indica que, para cuerpos opacos, la reflectancia es igual a la emitancia. Es importante hacer notar que esta ley tiene una dependencia espectral, es decir puede ser válida para ciertas longitudes de onda. Así por ejemplo, la ley de Kirchhoff se cumple para agua pura observada en la región termal (del espectro electromagnético) donde es opaca.

II.3 Interacción Radiación – Materia La radiación electromagnética es generada por la transformación de energía cinética, química, nuclear o térmica. Una variedad de mecanismos de transformación conduce a la generación de las ondas electromagnéticas sobre diferentes regiones del espectro electromagnético. En general, entre más organizado es el mecanismo de transformación más estrecho es el ancho de banda, es decir, más coherente es la radiación producida. Las ondas en la región de radiofrecuencia son generalmente producidas por corrientes periódicas de cargas eléctricas en alambres, haces de electrones o superficies de antenas. Algo similar ocurre en la generación de ondas en la región de micro-ondas.


61

En la región de microondas, la radiación electromagnética es generada por medio de tubos electrónicos que emplean el movimiento de electrones de alta velocidad en estructuras especialmente diseñadas para producir un campo electromagnético variable, el que es entonces conducido por guías de onda hacia una estructura radiante (antena). En estas longitudes de onda, la radiación puede ser también generada a través de excitación molecular. Las ondas en el infrarrojo y el visible son producidas por excitación molecular, vibracional o de cambio de nivel de energía. La frecuencia emitida está relacionada con la diferencia de energía entre los dos niveles de las moléculas. En el estado gaseoso, las moléculas tienden a tener líneas de emisión estrechas y bien definidas, en cambio en la fase sólida, la estrecha relación de los átomos de las moléculas conduce a la generación de un gran número de frecuencias características. La energía calorífica es la energía cinética del movimiento aleatorio de las componentes de la materia, tales como electrones y moléculas. Este movimiento aleatorio genera excitación electrónica, vibracional y rotacional debido a las colisiones entre las componentes atmosféricas. Seguido a este movimiento, se produce emisión aleatoria de ondas electromagnéticas durante el decaimiento de la excitación. En términos generales la interacción radiación  materia depende de la longitud de onda de la radiación electromagnética y comprende cuatro mecanismos básicos: reflexión, absorción, transmisión y dispersión; estos mecanismos se estudian en las secciones subsecuentes. Tales mecanismos dependen de la longitud de onda (cuadro II.4). Para cada región del espectro electromagnético existe un mecanismo de interacción que puede comprender procesos sub-atómicos, atómicos y moleculares. II.3.1 Interacción radiación – atmósfera II.3.1.1 Espesor óptico Sea una capa delgada de la atmósfera de espesor D. Una onda incidente monocromática, de radiación electromagnética, es parcialmente dispersada y absorbida al propagarse a través de esta capa. La pérdida de intensidad de esta onda, al atravesar en la dirección z la capa, es por tanto dI =  Idz Donde I es la intensidad de la onda y  es el coeficiente total de extinción que incluye la absorción y dispersión de la onda por la capa atmosférica. Es decir,  es una medida de la pérdida de intensidad de la onda por los procesos de absorción y dispersión de la radiación electromagnética al interaccionar con los componentes atmosféricos. Al integrar la ecuación anterior, se tiene I(z) = I0e-z

(II.48)

Donde I0 es la intensidad inicial de la onda al momento de incidir en la capa atmosférica. Al atravesar la capa, la intensidad de la onda es, por tanto I(D) = I0e-D

62


Cuadro II.4. Principales mecanismos de interacción radiación-materia en las regiones del espectro electromagnético. Región

Mecanismo de interacción

Aplicaciones

Rayos 

Procesos atómicos

Levantamiento de materiales radioactivos.

Rayos X

Procesos atómicos

Levantamiento de materiales radioactivos.

Medida de H y He en la atmósfera. Composición química superficial, Procesos electrónicos y vibración Visible vegetación, propiedades molecular biológicas. Composición química superficial, Cercano Procesos electrónicos y vibración vegetación, propiedades infrarrojo molecular biológicas. Procesos moleculares de vibración Infrarrojo medio Composición química superficial. y de vibración-rotación Emisión termal, procesos Capacidad calorífica superficial, Infrarrojo térmico moleculares vibracionales y temperatura superficial. rotacionales Procesos moleculares Micro-ondas Propiedades físicas superficiales. rotacionales, emisión termal, dispersión, conducción Ultravioleta

Procesos electrónicos

Radio frecuencia

Dispersión, conducción, efectos ionosféricos

Propiedades físicas superficiales.

De aquí entonces se define el coeficiente de transmisión o transmitancia, dado por T = e-D

(II.49)

El cual caracteriza la capacidad de atenuación de la capa atmosférica. El término D es generalmente llamado el espesor óptico  de la capa. El espesor óptico total de la atmósfera es, por tanto 

()   (, z)dz

(II.50)

0

Donde  es la longitud de onda de la radiación electromagnética y z es la altura sobre la superficie terrestre. Es decir, el espesor óptico depende de la longitud de onda. Si el coeficiente de extinción es decreciente exponencialmente con la altitud, se tiene


63

 (,z) =  (,0)e-z/H Donde H es la escala de altura, es decir, el grosor de una capa homogénea, a la densidad del nivel del mar, conteniendo la masa atmosférica entera; para atmósfera seca: H = 8 km. A partir de la expresión anterior, el espesor óptico en función de la longitud de onda  y de la altura z, es entonces 

(, z)   (,0)e  / H d  H(,0)e z / h

(II.51)

0

Donde (,0) = H(,0). II.3.1.2 Dispersión y absorción La interacción de una onda electromagnética con la materia, en su estructura atómica y molecular, involucra una variedad de mecanismos que son principalmente dependientes de la frecuencia de la onda y de la estructura de los niveles de energía de la materia. A medida que la onda interacciona con un cierto material, sea gas, líquido o sólido, los electrones, moléculas y núcleos son puestos en movimiento de rotación, vibración o desplazamiento, lo que conduce a un intercambio de energía entre la onda y la materia. La interacción de la radiación electromagnética con la atmósfera terrestre está determinada por las características de la radiación, como son longitud de onda, amplitud, fase y polarización, y las características físicas de la atmósfera, tales como la presión, la temperatura, contenido de humedad y partículas en semi-suspensión por los constituyentes atmosféricos, tales como oxigeno, bióxido de carbono y nitrógeno. La interacción radiación – atmósfera presenta una complejidad en su modelación debido a la naturaleza tridimensional del medio de propagación y a la multiplicidad de los mecanismos de interacción: dispersión, absorción, emisión y refracción. En las regiones del visible y del cercano infrarrojo, el sol es la principal fuente de radiación. Por otro lado, la radiación termal infrarroja es generada principalmente por la superficie terrestre y por la atmósfera. Dependiendo de la temperatura de la Tierra y del albedo de la misma, la radiación termal es dominante en el intervalo de longitudes de onda entre 4 y 18 m. Sin embargo, en la región de microondas, la irradiancia solar es prácticamente nula. A medida que la radiación solar pasa a través de las capas atmosféricas, parte de la energía es absorbida, parte dispersada y parte transmitida. En la superficie terrestre, la irradiancia espectral total Eg contiene dos componentes (figura II.15): la radiación solar directa Es y la radiación solar difusa atmosférica Ed, es decir Eg = Es + Ed

(II.52)

Donde Es está dada por Es = ECosT = ECose-()/Cos

(II.53)

64


Figura II.15. Dispersión y absorción de la radiación a través de la atmósfera. Donde () – Espesor óptico de la atmósfera. E – Irradiancia espectral solar en la capa superior de la atmósfera.  - Angulo de elevación. La energía dispersada o reflejada por la superficie terrestre entra a la atmósfera y parte (figura II.15) es dispersada de regreso a la Tierra. En la capa superior de la atmósfera, la irradiancia espectral total Mt emitida hacia el espacio exterior está compuesta por la radiación ascendente Ma debida a la dispersión atmosférica y por la radiación ascendente Mg que ha interaccionado con la superficie, es decir Mt = Ma + Mg En la figura II.15 se muestra el esquema de las contribuciones Eg y Mt.

(II.54)


65

La atmósfera puede afectar las imágenes adquiridas desde una plataforma espacial en dos formas: dispersión y absorción de la radiación electromagnética. La dispersión ocurre cuando la radiación es reflejada o refractada por partículas en la atmósfera, que pueden ser desde moléculas del aire hasta partículas de polvo y pequeñas gotas de agua. En este mecanismo, la suposición usual es que la radiación dispersada no es atenuada sino que cambia de dirección. Este cambio es generalmente dependiente de la longitud de onda. La radiación que no es dispersada es absorbida por la atmósfera, también en función de la longitud de onda; de aquí, la atmósfera es calentada por la radiación absorbida. Las características meteorológicas de la atmósfera afectan fuertemente la relativa importancia de la dispersión y la absorción de la radiación. La dispersión en percepción remota modifica de manera selectiva (cuadro II.5) la respuesta espectral asociada a un CIV, además, CIVs aledaños contribuyen a valores espurios teniéndose en total una señal adicional que provoca un efecto de borrosidad en la imagen. La dispersión puede dividirse en tres categorías (cuadro II.5) dependiendo de la relación entre la longitud de onda () de la radiación y el tamaño () de las partículas presentes en la atmósfera. Los mecanismos de dispersión son los siguientes a) Rayleigh,  ≫ 

b) Mie,  ≃ 

c) No-selectiva,  ≪  La atmósfera se divide en tres componentes básicos i) La componente molecular o de Rayleigh. ii) La componente de dispersión de aerosoles o de Mie. ii) La componente de absorción. La dispersión de Rayleigh es la causante del tono azuloso del cielo y del tono rojizo en el amanecer y atardecer. El estudio de la dispersión atmosférica fue emprendido en el principio para explicar el azul del cielo. Lord Rayleigh hizo la contribución más importante en este campo al probar que las moléculas del aire son responsables por la dispersión de la radiación. Los cálculos de Rayleigh se aplican principalmente a partículas dispersoras pequeñas y homogéneas, cuyas propiedades eléctricas difieren del medio atmosférico comportándose prácticamente como dipolos eléctricos. Cuadro II.5. Principales procesos de dispersión de la radiación electromagnética por la atmósfera. Proceso de dispersión Rayleigh Mie No-selectiva

Dependencia con la longitud de onda -4 0 - -4 0

Diámetro () promedio de las partículas dispersoras   1    0.1  10    10 

Tipo de partículas Moléculas de aire Humo, neblina, bruma Polvo, nubes

La dispersión de la radiación por partículas relativamente grandes fue estudiada originalmente por Mie. Si la dimensión de las partículas es comparable con la longitud

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de onda de la radiación, el campo eléctrico no puede ser considerado como constante sobre éstas y el campo de radiación de las partículas no se supone más como dipolar sino que es necesario incorporar campos cuadrupolares y octopolares. La dispersión de Mie, puede o no ser fuertemente dependiente de la longitud de onda de acuerdo con las características de las partículas del aire. Finalmente, La dispersión no-selectiva ocurre cuando la atmósfera presenta una alta concentración de partículas de polvo y contaminantes. La absorción involucra transferencia de energía de la radiación incidente hacia el movimiento molecular de las componentes atmosféricas, es decir, las moléculas absorben energía ya sea por vibración de translación o de rotación. La absorción es un factor importante en la atenuación de la radiación solar por la atmósfera. El espectro de absorción (figura II.12) es extremadamente complicado. El nitrógeno y el oxigeno que constituyen el 99% del total de los gases atmosféricos contribuyen ligeramente al fenómeno de absorción, mientras que componentes variables tales como: vapor de agua, dióxido de carbono, ozono, óxidos de nitrógeno y combinaciones de hidrocarburos presentan un gran número de líneas y bandas de absorción en varias regiones del espectro electromagnético. La componente atmosférica que absorbe con mayor intensidad y en el mayor número de longitudes de onda es el vapor de agua. Posee un cierto número de bandas de absorción intensas en el cercano y el lejano infrarrojo, mientras que presenta bandas débiles, conocidas como bandas de lluvia, en el visible en la región de 0.572 a 0.703 m. El dióxido de carbono presenta varias bandas en el infrarrojo para el intervalo de 1.3 a 15.0 m. Se conoce también la presencia de absorción por CO2 en el lejano ultravioleta en la región de 0.1 a 0.2 m, sin embargo, la intensidad de la radiación solar en estas longitudes de onda es débil por lo que no es de importancia en percepción remota. Por otro lado, para longitudes de onda largas, la absorción por CO2 es importante en bandas cercanas a 4.3 y 14.7 m. El ozono es la tercera componente de absorción en importancia, presenta bandas en el visible y en el ultravioleta (figura II.12). En el visible el O3 genera bandas de absorción medianamente intensas, conocidas como bandas de Chappuis, en el intervalo de 0.44 a 0.75 m, mientras que en el ultravioleta genera bandas intensas de absorción en la región de 0.22 a 0.345 m. Existen otros gases atmosféricos cuyas bandas de absorción son débiles y muy estrechas, localizadas en general en el infrarrojo. Entre estos gases se encuentras los óxidos de nitrógeno y varias combinaciones de hidrocarburos. Los efectos de la dispersión y absorción de la radiación por la atmósfera en las imágenes de satélites son de índole radiométrica. Tales efectos se catalogan como errores radiométricos, cuyos orígenes se dividen en instrumentación Errores radiométricos  atmósfera

Los errores debidos a la instrumentación provienen de la diferencia en calibración que presentan los sensores que forman el sistema de adquisición de imágenes montado a bordo de un satélite; estos errores pueden ser fácilmente corregidos. Los errores que provienen de la interacción de la radiación con la atmósfera requieren de un modelo que


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se detallará en la sección subsiguiente. En aquellas situaciones del análisis de imágenes basadas en interpretaciones cuantitativas que requieran de valores absolutos de los pixels, las correcciones atmosféricas en detalle son necesarias. Por valores absolutos de los pixels se entiende la radiancia proveniente de la escena que es registrada por el conjunto de sensores remotos. Las correcciones atmosféricas son necesarias también cuando se requiere formar mosaicos de dos o más imágenes, o bien cuando se tiene un conjunto de imágenes que describen la evolución en el tiempo de una escena. Los efectos más importantes de la interferencia atmosférica en una imagen digital satelital son tres a) Reducción del contraste. b) Modificación de la respuesta espectral de los objetos de la escena. c) Borrosidad de bordes y líneas. En general estos efectos son dependientes de las coordenadas espaciales (x,y) y de la longitud de onda . II.3.1.3 Modelo de transferencia de radiación La absorción de la radiación por moléculas atmosféricas es un proceso selectivo que convierte en calor la energía incidente a la atmósfera. En particular, las moléculas de oxigeno, dióxido de carbono, ozono y agua, atenúan (figura II.12) fuertemente la radiación en ciertas bandas. Los sensores comúnmente empleados en Percepción Remota están diseñados para evitar estas porciones del espectro electromagnético, de tal manera que la dispersión de las partículas atmosféricas es el mecanismo dominante que conduce a los errores radiométricos en las imágenes satelitales. Para construir un modelo de transferencia de radiación en la atmósfera y calcular la radiancia disponible en el sensor se consideran los siguientes fenómenos que ocurren en la atmósfera Transmitancia – A causa de la dispersión y absorción, no toda la irradiancia solar disponible incide en la superficie terrestre. La cantidad de radiación que sí llega con relación a la disponible se define como la transmitancia; en ausencia de atmósfera esta cantidad es 1, es decir, 100%. Sea la transmitancia T, donde  es la dependencia con respecto al ángulo de elevación de la fuente. De una manera similar es necesario considerar la transmitancia T, de la Tierra al sensor, donde  es el ángulo de vista (figura II.16). Irradiancia del cielo – La radiación en su viaje a través de la atmósfera es dispersada, por lo que un pixel en particular es irradiado tanto por la energía en la trayectoria directa Sol-CIV como por la energía dispersada por los constituyentes atmosféricos. Debido a esta dispersión, la trayectoria de la radiación es indefinida. Por otro lado, un CIV observado puede recibir energía de aquellos que se encuentran en el entorno cercano. Además, la radiación reflejada por el conjunto de CIVs del entorno es dispersada por la atmósfera de tal forma que una fracción de la energía incide sobre el CIV observado. Esta contribución, debida a la dispersión atmosférica, es la irradiancia del cielo, denotada por Ed. Radiancia de trayectoria – Debido a la dispersión atmosférica, la radiación reflejada por CIVs adyacentes al observado puede alcanzar al sensor también. Además, una fracción de la radiación dispersada por la atmósfera puede llegar al sensor sin haber incidido en

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la superficie terrestre. La suma de estas dos componentes es referida como la radiación de la trayectoria, denotada por Lp.

Figura II.16. Radiancia de la superficie a un ángulo . Para construir ahora la ecuación de transferencia de radiación, se considera que si la irradiación espectral solar es E en la capa superior de la atmósfera, entonces la irradiancia espectral en la superficie terrestre es Eg = TECos + Ed

(II.55)

En general, para cualquier longitud de onda, y escribiendo la transmitancia T en términos del espesor óptico y la normalización por el ángulo de elevación se tiene Eg = ECose-()/Cos + Ed

(II.56)


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La radiancia debida a un CIV con reflectancia R es por tanto Ld = R[ECose-()/Cos + Ed]

(II.58)

Del CIV al sensor es necesario considerar la transmitancia T normalizada por el ángulo de observación, por lo que por arriba de la capa superior de la atmósfera, la radiancia total disponible en el sensor es en consecuencia Lt = Re-()/Cos[ECose-()/Cos + Ed] + Lp

(II.59)

Es esta cantidad la que debe relacionarse con el valor digital del pixel correspondiente al CIV observado. Un ejemplo de la corrección atmosférica empleando modelos de transferencia de radiación se discute en Richards y Jia (1999). También, Lira y Oliver (1983) discuten un modelo de corrección atmosférica empleando la ecuación de difusión, realzando el contraste y corrigiendo la respuesta espectral de los objetos espectrales de una imagen Landsat MSS.

II.4 Ejercicios 1. Con base en el vector de Poynting calcule la energía de una onda electromagnética que atraviesa un área unidad de un metro cuadrado para la región del visible. 2. De las imágenes listadas en la sección I.4 del capítulo I identifique cuáles se generan con radiación coherente y cuáles no. 3. Integre la ecuación (II.13) y obtenga la ecuación (II.14). 4. Obtenga la transformada de Fourier del paquete de ondas caracterizado por la ecuación (II.14) y analice el espectro de frecuencias resultante. 5. Demuestre la relación (II.16). 6. Discuta la geometría de observación en percepción remota identificando las cantidades radiométricas asociadas a la fuente de radiación, al CIV y al sensor remoto. 7. Con base en las definiciones del apartado II.2.1 determine la cantidad que es medida por un sensor remoto en un sistema de percepción remota de adquisición de imágenes. 8. Determine el ancho de banda necesario para que el tiempo de coherencia sea mucho mayor (> 10) que el tiempo de vuelo desde la antena a la escena. Para este cálculo considere los satélites Radarsat, TerraSar y ERS2. 9. Demuestre la relación (II.31). 10. Con base en el criterio   4/25 (véase ecuación II.31) haga una gráfica de la variación máxima de rugosidad h de una superficie suave, en función de la longitud de onda y para varios ángulos de incidencia , para la región óptica del espectro electromagnético. 11. Con base en el criterio expresado en la ecuación (II.31) defina una superficie intermedia cuando 4/25 ≤  < 4/4.4 y una superficie rugosa cuando 4/4.4 ≤ . Indique de qué magnitud serían las irregularidades de la superficie en cada caso y calcule h para una longitud de onda del visible y otra de microondas.

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12. Con base en la ecuación (II.38) calcule la radiancia espectral de la banda 1 mostrada en la figura I.4. 13. En una imagen de satélite identifique la respuesta espectral de un cuerpo de agua y de una nube, discuta la naturaleza de tal respuesta. 14. Identifique un cuerpo de agua sin contaminantes en una imagen de satélite y use la ley de Stefan-Boltzmann para calcular la distribución de temperatura de este cuerpo. 15. Con base en la ley de Planck, obtenga la máxima emitancia max del cuerpo de agua identificado en el ejercicio anterior.

Caracterización Matemática de Imágenes

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III. CARACTERIZACIÓN MATEMÁTICA DE IMÁGENES La cuantificación de la información digital multiespectral establece las bases para la modelación del sistema físico bajo estudio y deja el camino abierto a nuevas técnicas de análisis de imágenes digitales por medio de modelos matemáticos y algoritmos computacionales.

III.1 Aspectos Generales Frente a una pantalla de despliegue blanco y negro se encuentra un radiólogo estudiando una radiografía de un posible tumor cancerígeno; con base en la interpretación que él haga de esta información, se decidirá si se procede a una intervención quirúrgica o no; la decisión, sin embargo, se presenta difícil pues la radiografía tiene poco contraste y le falta definición. Un físico está analizando las primeras fotografías de un plasma generado por un reactor nuclear de fusión; el científico cree observar las inestabilidades predichas por la teoría de la fusión nuclear; desafortunadamente estos datos están contaminados por el ruido inherente al arreglo experimental y lo delicado de las medidas hechas, de aquí que se complique la interpretación que el físico desea hacer de tal reacción termonuclear. Un ingeniero del departamento de sanidad ambiental se encuentra observando las sutiles trazas de contaminación aparentemente presentes en una fotografía aérea de un río y se pregunta qué transformaciones deberá aplicar a sus datos para hacer evidente este problema y poder tomar a tiempo las decisiones correctas. En una pantalla de televisión a color de alta resolución se ven sorprendentes las primeras imágenes enviadas por el MarsOrbiter, en donde se aprecian por primera vez los acercamientos a mundos distantes de nuestro sistema solar; no obstante, las imágenes, son débiles, y los científicos que las estudian dudan de algunos detalles, pues bien saben que el medio interplanetario pudo haber distorsionado significativamente lo que están viendo en la pantalla. Un grupo de geólogos está tratando de dilucidar el patrón de lineamientos observables en una imagen producida por el barredor multiespectral del satélite Landsat-TM, ya que la evolución tectónica de la zona está ligada a los fracturamientos y fallamientos que constituyen los lineamientos, aunque si bien éstos se encuentran enmascarados en algunas partes del área cubierta por la imagen satelitaria. Un biomédico de un centro de salud comienza a comprender la evolución morfológica de un grupo de células infectadas, el patrón espacial que forman los pseudópodos de dichas células no se observa del todo bien a través del microscopio, por lo que el investigador biomédico requiere de más y mejores datos para eliminar las ambigüedades en su interpretación del fenómeno infeccioso (figura III.1). En todos los eventos arriba indicados, donde se describen diferentes situaciones en la investigación experimental, queda patente un problema común: a saber, la caracterización matemática de datos de naturaleza bi-dimensional y el análisis e interpretación de los mismos. Para detallar esta problemática, no olvidemos que en la generación y análisis de imágenes multiespectrales consideramos, de hecho, el diseño y realización de un experimento bajo condiciones controladas y que en este experimento

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estamos intentando medir un conjunto selecto de variables de estado que describen la situación en la que se encuentra el sistema físico que deseamos estudiar. Además, el intervalo de medidas para dichas variables se encuentra también preestablecido, de tal forma que los datos que esperamos como resultado de la ejecución del experimento se encuentran bien definidos, en principio, en forma de una imagen multiespectral. Ahora bien, tomemos el siguiente esquema metodológico en el estudio de un sistema físico

Figura III.1. Esquema del estudio e interpretación de un sistema físico por medio del análisis de datos bi-dimensionales multiespectrales. Apreciamos en este esquema, que en un proceso de retroalimentación, el comportamiento del sistema físico es estudiado a través del análisis de la imagen multiespectral resultante del experimento y que en este análisis, interpretado correctamente, se sientan las bases para generar un modelo del funcionamiento de dicho sistema. Dado que la comparación de este modelo o simplificación del mundo real es factible por métodos cuantitativos, podemos entonces determinar el grado de adecuación que debe tener el diseño de nuestro experimento para permitirnos entender la realidad de nuestro mundo físico. No ahondaremos más aquí en este punto, puesto que esto constituye una parte fundamental del método científico (Bunge, 1989) aplicado a las ciencias experimentales y está claro que el tratamiento de imágenes no escapa a este marco de referencia, que incluye la metodología de la generación de conocimiento nuevo. Si podemos decir, sin embargo, que el método científico establece claramente las bases para poder definir qué o cuál escena es necesaria capturar y registrar, también nos permite establecer las variables de estado y los intervalos de medida correspondientes. El tratamiento de imágenes implica generalmente una metodología de observación a distancia de sistemas físicos microscópicos o macroscópicos, por lo que es responsabilidad de cada investigador el definir su mundo real y las condiciones de investigación, así como las metas y objetivos correspondientes que se persiguen al establecer un experimento que concierne a esa realidad. De aquí que también nos ocupemos, en el tratamiento de imágenes, de la caracterización y análisis del dispositivo sensor, de las posibles fuentes de degradación y de la imagen multiespectral correspondiente. Aun cuando en la figura III.1 estos aspectos se encuentran dilucidados, resulta interesante anotar que la imagen multiespectral de una imagen dada representa no nada mas la distribución espacial de las propiedades físicas de la escena observadas a distancia, sino también, en forma implícita o explícita, la respuesta finita del dispositivo sensor y los mecanismos de interferencia, siempre presentes en la medida de las variables relativas a la escena. La imagen, por tanto, es una simplificación de la escena, limitada por el comportamiento del sensor y por los fenómenos de interferencia que


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degradan la información que deseamos obtener de la misma. Esta interferencia o degradación constituye un fenómeno físico bien definido que debe verse en realidad como un sistema interaccionando, a veces estrechamente, con el sistema que es de nuestro interés básico. En ciertas ocasiones la degradación que sufre la imagen resultante no es de consideración; en otras, es de tal magnitud que enmascara o distorsiona los datos producto del experimento a tal grado que la interpretación que se pretende hacer del sistema físico se torna muy difícil o imposible. La presencia de mecanismos de degradación en el proceso de captura de una imagen no constituye una limitación o un defecto de las situaciones experimentales existentes en el tratamiento de imágenes, más bien es un hecho inherente a las ciencias experimentales (Bunge, 1998) en cuanto a los métodos e instrumentos de observación y al comportamiento de la naturaleza misma. Es responsabilidad del investigador, sin embargo, el procurar evitar o minimizar cualquier tipo de degradación en el arreglo experimental correspondiente. De lo arriba expuesto debemos dejar por tanto claro que, al caracterizar matemáticamente una imagen multiespectral, hemos de plasmar también la respuesta finita del detector y las fuentes de degradación existentes. En consecuencia, la caracterización matemática de una imagen multiespectral es el primer paso hacia la interpretación y modelado del comportamiento de nuestro sistema físico. En la figura III.1 se presenta la compleja estructura del estudio de un sistema físico por medio del análisis de la imagen multiespectral correspondiente. En la Introducción analizamos en forma conceptual los elementos más importantes para el análisis de una imagen digital y establecimos las bases para afirmar que el análisis de una imagen se desglosa en dos grandes temas: el procesamiento de los datos multiespectrales y el reconocimiento de patrones, de tal forma que podemos establecer la siguiente suma simbólica Análisis de Imágenes =

Procesamiento Reconocimiento de + de Imágenes Patrones

(III.1)

Podemos a su vez decir que el procesamiento de imágenes es el conjunto de transformaciones al espacio donde se encuentran originalmente los datos multiespectrales, con el objeto de poner en evidencia o realzar un cierto conjunto de patrones espaciales o espectrales. Es posible definir con mayor formalidad este conjunto de transformaciones, para lo cual empleemos la figura III.2, donde se resume el siguiente razonamiento: los datos que componen la imagen multiespectral original son graficados en un espacio de tantas dimensiones como bandas tenga la imagen. En la figura III.2 se ha representado por simplicidad un espacio euclidiano de tan sólo tres dimensiones, pero es posible tener espacios n-dimensionales generados por sistemas de coordenadas no-euclidianos. Los dominios Di y Dj están constituidos por regiones conectadas simples y se ven también como hipervolúmenes en espacios ndimensionales. Los operadores {Oj}, siendo acotados y finitos, realizan un mapeo de los datos del espacio de entrada (,,) al espacio de salida (x,y,z), donde los datos se encuentran representados por las funciones gj, de tal manera que en este nuevo espacio cierta clase de patrones queda en evidencia o son realzados. Hay que puntualizar que la forma de los operadores {Oj} debe estar diseñada para realzar precisamente aquellos patrones que

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son de nuestro interés. Decimos aquí que el procesamiento digital de imágenes es aquel conjunto de técnicas matemáticas para el diseño y formulación de los operadores {Oj} necesarios en una o varias tareas específicas de realces de patrones, es decir que el procesamiento de imágenes tiene como finalidad última el realce de una o varias clases (Lira, 2003) de patrones, ya sean espectrales o espaciales. En otras palabras, el procesamiento se identifica aquí como transformación y realce a la imagen. Ahora podemos ver con mayor claridad que en la serie de ejemplos dados al principio de este capítulo, los problemas comunes (entre otros) a los que se enfrentan los diferentes investigadores son la caracterización de sus datos, el realce de sus patrones y el reconocimiento de los mismos.

Figura III.2. Mapeo de los datos originales caracterizados por las funciones fi, por medio de los operadores Oj, al espacio de salida donde los datos están caracterizados por las funciones gj. El procesamiento de imágenes, siendo un conjunto de técnicas matemáticas y computacionales, se divide en esta obra en tres capítulos que son desglosados en razón del tipo de mapeo que ejecutan los operadores {Oj}. A partir de la caracterización matemática de imágenes digitales multiespectrales, los tres grandes grupos se muestran en la figura III.3. Cada grupo se explica en función del tipo de transformación que experimenta la imagen. La segunda parte de la expresión III.1, es decir el reconocimiento de patrones, se detalla más adelante y en el capítulo VII se estudian los métodos más importantes Caracterización Matemática de Imágenes Multiespectrales  Procesamiento Digital de Imágenes    Realces Generales Realces Selectivos Realces de Fidelidad Figura III.3. Primeros pasos para el análisis general de datos bi-dimensionales multiespectrales.


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El primer paso, por tanto, en el estudio de datos bi-dimensionales, consiste en la caracterización matemática de los mismos, y una vez realizada esta etapa se procede a ejecutar las primeras tareas en el análisis que necesariamente están conectadas con el tipo de datos con que se cuenta. Sólo los datos de carácter más general son procesados en cualquiera de los tres tipos de realces mostrados en la figura III.3; esto deberá quedar claro al finalizar la discusión del presente capítulo. Los realces generales están constituidos por aquellos operadores que definen dos tipos de transformaciones: i) las unitarias o invertibles, es decir, los operadores correspondientes cumplen con un conjunto de condiciones de ortonormalidad (realces unitarios), o al menos existe la operación inversa (realces invertibles); esto será expuesto en el próximo capítulo. ii) las no reversibles, es decir, el operador inverso no existe y la imagen es realzada con énfasis en un cierto tipo de patrones, detalles de éstas se veran en los capítulos IV y V. En el caso de las transformaciones unitarias e invertibles es posible recuperar la imagen original a partir de la transformación inversa, nos referiremos a éstas simplemente como realces reversibles. Por su naturaleza, los realces reversibles no añaden ni quitan información al conjunto de los datos transformados, o en otras palabras, el mapeo que se esquematiza en la figura III.2 es realizable en ambas direcciones. Es factible también ver los realces unitarios (Arfken y Weber, 1995) como una multirotación y elongación de los ejes coordenados del espacio original. En ciertas ocasiones los realces unitarios se ven como transformaciones de tipo general para establecer criterios básicos para un tratamiento ulterior, por lo que puede decirse que, en este contexto, forman un grupo distintivo de tratamiento de imágenes. Aquí preferimos incluir a los realces unitarios como parte de las transformaciones reversibles en el tratamiento de imágenes. A diferencia de los realces reversibles, los selectivos sí suprimen información, ya que, como su nombre lo indica, el realce se realiza en forma selectiva, por lo que una cierta clase de patrones se pone en evidencia a costa de otra clase, o bien a costa del resto de la imagen. En otras palabras, ciertos patrones son realzados y otros son suprimidos o atenuados y como en este proceso una cierta cantidad de información es eliminada, resulta claro entonces que los realces selectivos no pueden ser reversibles y por tanto no son unitarios (Arfken y Weber, 1995). En esta clase de realces una parte de los datos es separada de la nube original, y bajo condiciones de linealidad, las partes separadas pueden reunirse para recobrar la imagen primitiva. Sin embargo, en esta discusión suponemos que una parte es eliminada de hecho, por lo que la nube original es disminuida y por tanto la transformación resulta irreversible. Los filtros de patrones espaciales y espectrales son los exponentes más claros de los realces selectivos. En este punto es necesario incluir un comentario adicional: ciertos filtrajes espaciales no suprimen exactamente un cierto contenido de frecuencias espaciales de la imagen, sino que más bien la atenúan; estrictamente hablando, este tipo de realces sí es reversible. Sin embargo, la atenuación puede llegar a ser tan fuerte que en la práctica se tiene un realce selectivo. Los filtros se estudian en los capítilos IV y V. Tal vez, a primera vista, podríamos decir que las reglas de segmentación expresadas básicamente como una separación de valores de los pixels originales pi, en dos o más grupos tales que caen dentro del grupo de realces selectivos, ya que el valor del pixel de salida pf está definido de acuerdo con las funciones Gi de los pixels de entrada y de acuerdo con un umbral Ti de decisión (relación III.2). Sin embargo, si los pixels de salida no son suprimidos sino lógicamente separados del resto, con la regla G-1 pueden ser eventualmente reunidos con el resto de los pixels originales; si este no es el caso

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entonces la operación no es reversible. Tampoco es reversible la operación si al menos una Gi = constante,  pi. En términos generales únicamente las transformaciones univaluadas son reversibles. G 1 ( p i ), si 0  G 1 ( p i )  T1  G 2 ( p i ), si T1  G 2 ( p i )  T2 . pf   . .  G n ( p i ), si Tn 1  G n ( p i )  Tn

(III.2)

No obstante, es necesario mencionar que las técnicas generales de segmentación caen más bien en el dominio del reconocimiento de patrones o están relacionadas con éste, lo que está fuera del contexto de la presente discusión. Por otro lado, algunas clasificaciones espectrales (reconocimiento de patrones espectrales) se ejecutan pixel por pixel (puntualmente), pero basadas en criterios de vecindad (campos de entrenamiento) y donde las Gi = ki, para ki constantes, a través de lo que se conoce como funciones discriminantes; en este caso se tiene una transformación irreversible. En este punto hay que mencionar que todas las operaciones de reconocimiento de patrones son para obtener una representación simbólica (Pavlidis, 1982) de los patrones que componen la imagen y como tales son irreversibles, sean transformaciones de vecindad o puntuales. En algunos casos es posible ver a una transformación puntual como un caso extremo de una de vecindad; debe evitarse cualquier confusión al respecto. En este orden de ideas, y restringuiéndonos al área de realces, es posible hacer la siguiente afirmación: todas las reglas de transformación puntuales univaluadas son reversibles, pero las regionales son irreversibles. Las transformaciones puntuales son de facto combinaciones lineales de los valores de los pixels en las diferentes bandas que componen la imagen de entrada, y las transformaciones regionales se refieren a operaciones sobre un cierto conjunto de pixels, normalmente conexos o vecinos, cuyo resultado produce un solo pixel a la salida; más de esto se verá en el capítulo V. A las transformaciones regionales se les llama también de vecindad. Por otro lado, podemos afirmar que los filtrajes pueden expresarse como transformaciones de vecindad (Mastin, 1985; capítulo V), las que generalmente se ejecutan banda por banda, aunque en ciertos casos es factible definirlas sobre hipervolúmenes establecidos en el espacio generado por la imagen multiespectral original. En los realces de fidelidad se agrega información a la imagen original por medio de un modelo preestablecido y al cual se desea que se aproxime lo más posible dicha imagen. En este proceso se supone necesariamente que, en la captura y registro de la escena, la imagen correspondiente ha sido degradada por un mecanismo físico que se conoce en principio y que se establece cuantitativamente como un modelo físicomatemático. Se define entonces una métrica en el espacio de la imagen modelo, y minimizando un error definido a través de criterios estadísticos o deterministas, se aproxima la imagen degradada a que se parezca lo más fielmente al modelo de imagen preestablecido y es precisamente este modelo el que agrega información a la imagen degradada. Al acercar nuestra imagen degradada al modelo ideal estamos otorgando una


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mayor calidad a la imagen transformada, pensamos implícitamente que la imagen resultante ha sido restaurada al estado en el cual estaría si no hubiese habido mecanismo de degradación, de aquí que a un realce de fidelidad se le llame también restauración de la imagen degradada. Es necesario dejar en claro que la imagen no degradada obviamente es desconocida pixel a pixel; lo que se conoce en todo caso son sus propiedades estadísticas promedio, y lo que es conocido con cierta precisión es el mecanismo de degradación plasmado en el mencionado modelo físicomatemático; esto se estudiará en detalle en el capítulo VI. Con lo anterior queremos expresar que en la restauración de imágenes, lo que hacemos es definir un ideal de imagen, al cual deseamos que se asemeje lo más posible la imagen degradada. A este modelo o ideal de imagen le concedemos un valor mayor de acuerdo con las condiciones de nuestro problema. La imagen restaurada es obtenida entonces a partir de la degradada, del modelo de degradación y de la regla de minimización de error. Qué tipo de información es útil para nosotros y cuál no lo es, está directamente relacionada con el valor que asignemos a la imagen resultante. El valor de la información está por tanto ligado a la calidad que pensamos tiene la imagen restaurada, porque las nociones de valor y calidad son subjetivas al analizador de imágenes. El modelo físico de degradación nos permite emular las medidas que hubiesen ocurrido en circunstancias ideales, de aquí la afirmación de que se agrega información a la imagen degradada. Al hacer cualquier tipo de realce sobre una imagen multiespectral, estamos transformando los datos originales de acuerdo con el esquema de la figura III.2 y los estamos enviando a un espacio, donde en su nueva representación, les asignamos un valor mayor. Aunque suene paradójico, esto es así aun en los realces selectivos donde se pierde información, puesto que a fin de cuentas estamos restringiendo voluntariamente nuestro universo de análisis a sólo una parte de los datos originales multiespectrales, a los que concedemos un mayor valor, y al resto de ellos les damos poco o nulo valor por no ser de nuestro interés para un problema determinado. En todos los casos de tratamiento de imágenes multiespectrales, se busca por tanto que los operadores {Oj} sean tales que, en el espacio de salida, la representación de los datos o parte de ellos tengan un valor mayor de acuerdo con un problema dado. Claro está que no es posible diseñar un conjunto de operadores de propósito específico si no se han caracterizado adecuadamente los datos multiespectrales (Labovitz y Masuoka, 1987; Ramstein y Raffy, 1989; Argialas y Harlow, 1990). A la luz de lo que se ha presentado hasta ahora, puede afirmarse que uno de los intereses básicos en el tratamiento de imágenes se encuentra en la transformación conveniente de los datos multiespectrales para relacionarlos a un marco de referencia adecuado para su análisis e interpretación. Un segundo interés se sitúa en la extracción particular de ciertos rasgos o características de una imagen, con el objeto de apoyar un análisis humano o automático de tales datos. En los casos mencionados hasta ahora, parte o toda la información inherente a la imagen es realzada, inhibida, minimizada o simplemente eliminada con el objeto primordial de poner en evidencia uno o varios rasgos de la imagen determinados de antemano. De hecho, el tratamiento de imágenes se convierte en un ayudante inteligente para la interpretación, ya sea cualitativa o cuantitativa de la información contenida en la imagen. Hay que decir que la interpretación cualitativa no necesariamente es subjetiva, sino que en todo caso es un proceso no referido a una escala o patrón de medida previamente definido. La interpretación cualitativa puede ser, por ejemplo, de tipo booleana, es decir, la decisión

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consiste en establecer la existencia o no de un patrón, o bien en la utilidad o no de una información dada. Si la interpretación es de tipo cuantitativa, entonces se refiere a la existencia de uno o varios estados espaciales (Lira, 2003) de la imagen o morfología de una cierta clase de patrones. En este último tipo de interpretación se trata de decidir, de acuerdo con una regla preestablecida, sobre la presencia o ausencia de un patrón o clase de patrones y estimar o evaluar los rasgos morfológicos de éstos por medio de un modelo matemático y una métrica. Los rasgos morfológicos de un patrón espacial o la manifestación espacial de un patrón espectral, se refieren a la forma, la textura, el tamaño, el perímetro, el centroide, el área, la excentricidad, la rugosidad, los factores de contraste o, a los parámetros geométricos de estructuras espaciales regulares. La decisión cuantitativa a la que nos referimos es parte del reconocimiento de patrones y se incluye en el segundo gran aspecto del análisis de imágenes (relación III.1) junto con el tratamiento de las mismas. En este trabajo los conceptos básicos del reconocimiento de patrones se dan en el capítulo I y los métodos más empleados se tratan en el capítulo VII. Al hacer referencia al análisis de imágenes, ahora lo vemos de otra manera, por lo que diremos que éste consiste en la cuantificación de las propiedades morfológicas y estadísticas de patrones, antecedida por una transformación geométrica a la imagen que los pone en evidencia. Entonces el procesamiento de imágenes es aquel conjunto de transformaciones geométricas diseñadas para realzar uno o varios patrones, mientras que el reconocimiento de los mismos sólo se hace a través de los modelos matemáticos que caracterizan sus diferentes aspectos morfológicos, espectrales y estadísticos. El reconocimiento de patrones sigue generalmente a la transformación geométrica, de tal forma que si a éste lo expresamos simbólicamente como Orp y al procesamiento de imágenes como Opi, tenemos entonces que el análisis de imágenes se expresa como Análisis de Imágenes = Orp{Opi(g)}

(III.3)

Es decir, el operador Opi realza los patrones de interés y opera sobre la imagen g antes que el operador Orp el cual cuantifica sus propiedades; a esta sucesión de operaciones se refiere la suma simbólica planteada con anterioridad (relación III.1) referente al análisis de imágenes. El primer problema, por tanto, dentro de la temática del análisis de imágenes, se refiere a la comprensión de la estructura del sistema físico (figura III.1) que se desea estudiar. Esta comprensión implica finalmente la elaboración de un modelo del sistema y que necesariamente trae consigo una simplificación o idealización de los parámetros o variables de estado que lo definen y, como ya se había mencionado anteriormente, el principio del estudio físico estriba en la caracterización matemática de la imagen multiespectral, conjuntamente con la respuesta finita del detector y los posibles mecanismos de degradación en la captura y registro de la escena de interés. Existen dos enfoques para la solución al problema de la caracterización matemática de imágenes multiespectrales: una descripción determinista y una estocástica. El tipo de descripción o enfoque que se siga depende básicamente de la complejidad de la imagen y del grado de simplificación empleado. En una descripción determinista se suponen conocidas o se conocen las relaciones de valor que generan cada pixel de la imagen y la relación con sus respectivos vecinos y, a partir de éstas, se define una función matemática z = g(x,y,), donde se incluyen entonces relaciones puntuales y regionales de


79

la imagen. El parámetro  (iota) representa las diferentes bandas de la imagen y z está definida para toda (x,y)  Dj (figura III.2). De hecho es posible decir que al caracterizar la imagen estamos describiendo la escena correspondiente, con lo que para representar matemáticamente al sistema físico debemos describir entonces todas las escenas relevantes a éste. La función g(x,y,) define la imagen relativa a una escena dada, es decir, la imagen es la representación matemática o modelo de una escena del sistema físico. En la práctica, sólo aquella subclase de imágenes llamadas gráficas (Foley et al., 1990) puede ser con toda certeza descrita en forma determinista; en casos sencillos de imágenes binarias o tipo mapas la descripción puede ser también la misma. En una descripción estocástica no se conocen o no se emplean las relaciones de valor que den una función única y definida entre los pixels de la imagen, sino que ésta se describe más bien a través de propiedades promedio, utilizando las funciones de densidad y distribución, las que obviamente son de tipo probabilístico. Debido a lo anterior, en una descripción estocástica se supone o se sabe que el valor resultante en el momento de realizar las medidas sobre los CIVs de la escena es indeterminado, regido por leyes probabilísticas únicamente. Debe quedar claro que lo que es de orden probabilístico es el resultado de la medida sobre un CIV de la escena, puesto que ésta, por su complejidad, no se conoce, y lo que sí es determinista es la respuesta del sensor, la cual es siempre la misma, o al menos se conoce la manera en que responde bajo diferentes condiciones. Además, en la descripción estocástica la variable z = g(x,y,) se define como una variable aleatoria. En el diseño y construcción de un sensor remoto la respuesta en diferentes situaciones es establecida y delimitada, de tal forma que es bien conocida la manera como reacciona el sensor cuando un cierto tipo de radiación predeterminada incide sobre él. En una gráfica, se conoce la función matemática que la caracteriza o la genera, por lo que se sabe con probabilidad igual a uno cual será el valor de un pixel dado, es decir se conoce la relación de valor que genera cada pixel de la gráfica. En referencia a la figura III.1 y a lo expuesto hasta ahora, es posible decir que la caracterización de los diferentes aspectos en la captura y registro de una imagen es como se muestra en el cuadro III.1. Cuadro III.1. Tipo de modelaje y caracterización de diferentes aspectos en la captura y registro de una imagen. Aspecto

Modelaje

Caracterización

sistema físico sensor remoto proceso de captura datos fenómeno físico

físico-matemático físico-matemático matemático matemático físico-matemático

determinista o estocástica determinista determinista determinista o estocástica determinista o estocástica

Una imagen multiespectral se obtiene siempre a través de un mecanismo de captura de datos de la escena; los posibles mecanismos son muchos, pero se dividen en dos grandes grupos: directos (de contacto) o indirectos (percepción remota), dependiendo del método de captura. Si en este proceso de captura el valor de z = g(x,y,) está bien determinado, el proceso es determinista, pero si se encuentra regido por leyes probabilísticas entonces el proceso es estocástico.

80


En cualquier caso, dicho proceso es visto como una operación realizada sobre la escena y de aquí que el sistema de captura sea entonces un operador que transforma la información del marco de referencia de la escena al de la imagen, o bien visto de otra forma, la escena se considera como una imagen continua que, transformada a una representación digital, queda registrada por el mecanismo de captura. Esta manera de ver la escena es muy importante ya que la transformación escena  imagen, es matemáticamente igual a la transformación imagen  imagen, si bien definidas en dominios diferentes. Por otro lado, es posible afirmar que una imagen multiespectral es siempre la representación espacial de la distribución de energía radiante proveniente de la escena para un conjunto de intervalos de energía, donde cada intervalo corresponde a una banda de la imagen multiespectral. Por energía radiante entendemos aquí radiación corpuscular u ondulatoria (acústica o electromagnética), es decir, nos referimos a cualquier fenómeno de transporte de energía. En su forma mas general, la función que caracteriza dicha distribución espacial de energía radiante depende de las coordenadas espaciales (x,y), del tiempo t y de un parámetro  (iota). En el caso de radiación ondulatoria,  representa un intervalo de longitud de onda  y, en el de radiación corspucular,  representa un intervalo de energía E del haz de partículas incidentes al sistema físico (véase capítulo II). El parámetro  indica, por tanto, una banda cualquiera de una imagen multiespectral. En sistemas modernos de tratamiento de imágenes con variadas aplicaciones, dicho parámetro puede representar bandas extras o virtuales, no originalmente capturadas por el sensor remoto, sino agregadas posteriormente a la imagen capturada. Así por ejemplo, en estas bandas virtuales es posible almacenar datos geoquímicos, magnéticos, gravimétricos o topográficos en el caso de aplicaciones geofísicas. Para aplicaciones biomédicas, en las bandas extras, es factible adicionar datos químicos, y para imágenes relacionadas con problemas industriales (radiografías y neutrografías), la distribución de temperaturas superficiales podría quedar agregada a la imagen original. Entonces escribiremos la función que representa una imagen multiespectral como 0  g min  g  ( kx, ly , , t )  g max

(III.4)

Los valores asociados a la función g son finitos y dependen de la escala utilizada para representarlos. Los valores de las coordenadas (x,y) también están acotados y su intervalo de validez depende del tamaño espacial asociado a la imagen y del sistema de coordenadas empleado. En cambio el parámetro  asume en principio cualquier valor a partir de cero. Las consideraciones para el tiempo t son algo diferentes: se supone aquí que t es el momento en el cual se captura la escena y, para que esta suposición sea válida, se necesita que el tiempo que lleva capturar dicha escena, sea mucho menor al tiempo que requiere el sistema físico para experimentar cualquier cambio. Con esta hipótesis estamos pensando, en la práctica, que la captura de una escena es instantánea, de otra forma tendríamos no-linealidades que no son convenientes en ningún sistema de captura de imágenes. Es necesario también suponer que el sistema de captura de imágenes es no destructivo, sobre todo cuando se requiere de varias observaciones sobre la escena para obtener una imagen multiespectral, tantas observaciones como bandas tenga la imagen. La función g puede ser vista como un campo escalar o vectorial. Si la imagen es multiespectral con relación al parámetro , es decir, si g está definida para un conjunto de valores de , el campo es vectorial. Pero si está definida para un sólo valor


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de , entonces el campo es escalar. La función g es real o compleja dependiendo de si se mide o no la fase y la amplitud de una señal ondulatoria o de un haz de iones polarizados (véase capítulo VIII); generalmente se mide únicamente la amplitud.

III.2 Medida Sobre un Campo Instantáneo de Vista En el proceso de muestreo para capturar y registrar una escena (Lira, 2003; véase la figura III.4), uno de los primeros problemas que llega en ocasiones a ser de importancia, es el provocado por la apertura finita s del detector de un sistema de captura de datos bidimensionales que, a través de un mecanismo de barrido (CIV a CIV, lineal o matricial) produce una imagen digital. El ángulo sólido definido por la apertura finita de este detector introduce una frecuencia de corte que debe ser tomada en cuenta cuando se establece la frecuencia de muestreo (sección III.3). Esto es importante ya que dicha frecuencia de corte es de facto el resultado de un filtraje pasa bajas, que en algunos casos es utilizado con ventaja para eliminar patrones o ruido de alta frecuencia que no son de interés para el observador. Hagamos este estudio en dos pasos; en primera instancia analicemos la frecuencia de corte introducida por la apertura finita del detector, cuando ésta no es muy pequeña comparada con el área S del CIV, para posteriormente obtener la frecuencia de corte producida por el valor finito de éste. Además de esto, tengamos en cuenta que el campo instantáneo de vista, el que está en relación directa con la resolución espacial del sistema de captura, depende de la geometría particular escena/detector. Por esto en algunas ocasiones al CIV se le llama también elemento de resolución. Sea s el área interna del detector sobre el cual incide (figura III.4) la radiación proveniente del campo instantáneo de vista y sea (u,v) el sistema de coordenadas cartesiana a las que s es referida. Al evolucionar el proceso de muestreo a lo largo de una línea de barrido, el detector capta sobre su cara interna una distribución de intensidad de radiación I(u,v,t). De esta manera y como una respuesta del mecanismo de detección, se establece a la salida del detector una distribución de valores (normalmente voltajes) de intensidad dependiente del tiempo, proporcionales a la cantidad de radiación que incide por unidad de tiempo, por unidad de ángulo sólido y que está dada por A( t ) 

 I(u, v, t )dudv

(III.5)

s

y que generalmente se mide en mW/msteradián/s. A medida que pasa el tiempo se produce una secuencia de valores Ai = A(ti), uno para cada CIV de la línea de barrido. La salida Ai del detector normalmente es discretizada por medio de un convertidor análogo/digital a una escala de valores discretos en un intervalo de 0 a 2k - 1, donde k se escoge comúnmente entre 5 y 12. Estos valores discretos son los que constituyen los pixels de la línea de barrido en cuestión. Cabe precisar que al considerar la línea de barrido se entiende que la escena y el detector se mueven relativamente sobre una dirección predefinida; sin embargo, la tecnología moderna permite contar con arreglos lineales o matriciales de detectores, con lo cual es posible capturar una escena línea por

82


línea o toda a la vez; no obstante, esto no modifica el análisis y las conclusiones a las que se llega en esta sección.

Figura III.4. Geometría de la relación del sensor remoto con la escena. Sea ahora y la ordenada al origen de la línea de barrido y x la abscisa al origen del CIV. Sea también (figura III.4) u paralelo a x y, [-q/2,q/2] el intervalo cerrado que cubre s sobre la dirección u. Entonces para un barrido lineal se tiene x = at, donde a es una constante. Algunos sistemas de captura (Landsat) tienen barridos no-lineales, ya que utilizan un espejo oscilatorio; para estos x = aSen(t), donde  es la frecuencia de oscilación. No restamos generalidad al presente desarrollo cuando empleamos un barrido lineal, puesto que el mismo razonamiento puede valer para otras relaciones entre x y t, siempre y cuando se tenga la función correspondiente. De aquí entonces es posible escribir la distribución de intensidades A(t) como una función de x A( x ) 

 I' ( x  u, v)dudv

(III.6)

s

donde I' es la distribución de intensidades para un barrido lineal. Es decir, se ha eliminado la dependencia en el tiempo para proceder a posicionarse en una x en la línea de barrido y sumar así sobre u para el área que cubre la cara interna del detector. Es importante puntualizar que se supone un barrido continuo sobre la escena, de tal manera


83

que un punto de ésta es visto por el sensor a lo largo de su apertura. Con el cambio de variable u' = u + x y escribiendo explícitamente los límites de integración para u' se tiene x  q/2

A( x ) 

  I' (u' , v )du' dv

(III.7)

x  q/2

ya que du' = du, puesto que x se fija cada vez que se suma sobre u. De tal forma que si se denomina Iv a la suma de intensidades sobre la dirección y, entonces la distribución A(x) se escribe como x q / 2

 I (u' )du'

A( x ) 

v

(III.8)

x q / 2

Hemos hecho esta simplificación pues suponemos que el barrido sobre x es independiente del barrido sobre y, además de que el ancho de la línea de barrido se considera ser mucho menor al tamaño de la imagen. Mas aún, la variación de A(x) sobre el eje y se genera implícitamente al ir barriendo línea por línea sobre x. La expresión (III.8) nos indica que el detector es una ventana que se mueve a lo largo del eje x y que A(x) es la distribución de promedios de intensidad de radiación sobre el mismo eje. El efecto que produce esta integración sobre x es el de un filtraje pasa bajas con una frecuencia de corte que está explícitamente relacionada con el intervalo [q/2,q/2], el que se encuentra definido por la apertura del detector. Sea ahora Î() 



e

 j

Iv( )d

(III.9)



la transformada de Fourier (ver ecuación I.7) de Iv, donde  es un índice mudo de suma. Escribamos también la transformada de Fourier de A(x) ˆ ( )  A

x q / 2





e  jx



 I ()ddx v

(III.10)

x q / 2

y con el cambio de variable ' =   x, válido únicamente para el barrido lineal, se tiene ˆ ( )  A

q / 2



e



 jx

I

v ( ' x )d' dx

q / 2

y reescribiendo esta última expresión, nos queda la siguiente ecuación

(III.11)

84


ˆ ( )  A

 q / 2 

 I

v ( ' x )e

 jx

dxd'

(III.12)

q / 2  

Como ahora Î() es la transformada de Fourier de Iv, entonces por el teorema de Shifting (expresión I.10 y sección IV.5.1), tenemos lo siguiente q / 2

ˆ ( )  A

 Î()e

j'

d'

(III.13)

q / 2

Lo que quiere decir que después de realizar esta última integral, la expresión para la transformada de Fourier de la distribución de intensidades queda finalmente como ˆ ()  2Î()Sen (q / 2) /   Î()qSinc(q / 2) A

(III.14)

Tanto Â() como Î() se encuentran en el espacio de frecuencias, lo que permite visualizar la frecuencia de corte del filtro pasa bajas introducido por la apertura finita del detector. En primer lugar se tiene la transformada de Fourier de Iv en el miembro derecho de la ecuación (III.14), enseguida se tiene la apertura del detector que se encuentra relacionada con la cantidad de energía que recibe el detector por unidad de tiempo, si q  0, la amplitud de Â() decrece a cero, en este caso es necesario, o aumentar el tiempo de residencia del detector sobre cada CIV, o aumentar su eficiencia (Slater, 1980). En cuanto a la respuesta en frecuencia de Â(), un análisis de la función Sinc(q/2), muestra que para   cs  = 2/q, la distribución Â() es atenuada y prácticamente reducida a un valor tal que puede considerarse como cero, ya que el segundo lóbulo de la función Sinc(q/2) es del orden de un vigésimo con respecto del primero. Esto indica entonces que, para una apertura finita y no despreciable con respecto al CIV, se introduce una frecuencia de corte que es inversamente proporcional al tamaño de la apertura del detector. De aquí que tengamos un primer principio de conservación que nos dice que la información en A(x) no puede exceder a la de la escena. Otro punto importante con relación a este análisis, en el proceso de transformar una escena a una imagen digital, es el saber con qué frecuencia, durante el barrido, la función A(x) es evaluada; esto será tratado en el teorema de muestreo. Es esencial conocer esta frecuencia de muestreo, puesto que ella determina directamente el intervalo de tiempo óptimo por el cual se divide el tiempo total de barrido. Claramente la frecuencia de muestreo no puede exceder a la frecuencia de corte  cs  obtenida anteriormente, y además, esta frecuencia de muestreo no debe ser tal que impida al detector permanecer el tiempo mínimo de residencia necesario en cada CIV de la escena. De otra manera la relación señal/ruido no sería la adecuada para el valor digitizado de A(x). En otras palabras, es posible decir que la frecuencia de corte, la de muestreo y la respuesta del detector son parámetros de suma importancia en todo diseño de un sistema de captura de imágenes.


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El segundo punto importante que vamos a estudiar con relación a la geometría: sensor/escena, es el que se refiere a la frecuencia de corte  civ c  introducida por el tamaño finito del CIV, donde en general  cs  >>  civ c  ya que casi siempre S >> s. El razonamiento es muy similar al arriba desarrollado, ya que el sensor mide las propiedades promedio de todos los objetos (Cracknell, 1998) que se encuentran en el CIV enfocado por el sensor. En otras palabras, el sensor integra toda la radiación, por unidad de tiempo, por unidad de ángulo sólido, que proviene del CIV en cuestión, siendo esta integración a la que nos referimos como las propiedades espectrales promedio. De esta forma se introduce una frecuencia de corte cada vez mayor a medida que se reduce el tamaño del CIV, puesto que lo ocuparían objetos de menor tamaño. Con este razonamiento es posible afirmar, sin necesidad de calcular explícitamente la integración de radiación sobre el CIV, que la frecuencia de corte está dada por  civ c  = 2/Q

(III.15)

donde Q es el lado de un CIV cuadrado, para los CIV rectangulares se tendrán frecuencias de corte diferentes para las direcciones x, y. Es claro que en el diseño de un sistema de captura de imágenes lo que importa es saber cuál es la frecuencia de corte menor: la del sensor o la del CIV. En la investigación experimental, es posible que lo que determine finalmente el tamaño del CIV y la apertura del detector sea el conjunto de restricciones de índole práctica como: la distancia del sensor a la escena, la respuesta del sensor, el movimiento relativo de éste con respecto a la escena y el volumen de datos razonablemente manejables por computadora. Sólo en contados casos se tiene suficiente libertad para decidir la frecuencia de corte que mejor convenga a los objetivos de un experimento dado. Hemos analizado hasta aquí los aspectos más importantes de la medición de las propiedades promedio de cada CIV de la escena, estudiemos ahora el conjunto de medidas necesarias para caracterizarla. Supongamos ahora que tenemos un sistema de barrido para discretizar toda la escena, veamos cuantos CIVs debemos medir, en qué tipo de arreglo espacial deben estar estos elementos sobre la escena y qué condiciones son necesarias que se cumplan para que el conjunto de medidas la represente adecuadamente.

III.3 Teorema de Muestreo Un segundo aspecto de gran importancia en la captura de una escena es como ya se había mencionado antes, el de la frecuencia de muestreo para discretizar la función de intensidades A(t). Esta frecuencia debe ser tal que permita la reconstrucción del detalle más fino de la escena en el contexto de un problema. Mas aún, es esencial hacer un muestreo de la función A(t) a la frecuencia óptima, ya que un sobremuestreo produciría un exceso de datos innecesarios que harían más costoso el trabajo computacional. Por otro lado, si el muestreo es subóptimo se pierden detalles de la escena que pueden ser importantes en la interpretación de un fenómeno dado. Es importante mencionar que ciertas aplicaciones del análisis de imágenes, como la prospección geofísica a partir de imágenes satelitarias, no requiere de la preservación de los detalles más finos de la

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escena, ya que éstos son innecesarios dada la escala regional requerida en este tipo de estudios. En otras aplicaciones como la Biomedicina se necesita de un gran detalle. La frecuencia de muestreo mencionada está determinada por el teorema de muestreo (Rosenfeld y Kak, 1982), que se enuncia como sigue Una función f(x,y) cuya transformada de Fourier es igual a cero para x   cx  y y   cy , está unívocamente determinada por los valores tomados en puntos uniformemente espaciados en el plano (x-y), siempre y cuando los espacios entre los 1 1 puntos satisfagan las siguientes condiciones: x ≤ y y  c . c 2 x 2 y En términos físicos, el periodo de muestreo debe ser igual o menor que la mitad del detalle mas fino dentro de la escena. Para clarificar esto un poco más, es necesario recordar el concepto de frecuencia espacial desarrollado en el capítulo I, en donde se explicó la idea de textura de una imagen digital. Así entonces, el periodo de muestreo sería igual a la mitad del periodo de las funciones seno y coseno que se requieren para ajustar la frecuencia espacial del detalle más fino de la escena. Por otro lado, la digitización espacial de la escena implica necesariamente su cuantización espectral, la que consiste en establecer un intervalo del espectro electromagnético o de energía, en el que se hacen las medidas correspondientes y en definir una escala de niveles discretos contra la que se comparan las intensidades A(t) de radiación provenientes de cada elemento o CIV de la escena. Al proceso de discretización espacial, es decir a la división de la escena en CIV regulares y no separados, le llamaremos digitización (o digitalización). Al proceso de discretización espectral (también se le llama discretización radiométrica) le llamaremos cuantización. Ambos son formalmente independientes, pero determinan conjuntamente la representación adecuada de la escena. Por tanto el proceso de discretizar una escena tiene como resultado la matriz f (2,1) ... f (M,1)   f (1,1)  f (1,2) f (2,2) ... f (M,2)    .  f(m, n )    .    .  f (1, N) f (2, N) ... f (M, N)

(III.16)

que representa aproximadamente la función de la escena f(x,y) para una banda  y para (m,n) enteros. Nótese que el tiempo no aparece explícitamente, puesto que suponemos que la captura de la escena es, para todo orden práctico, instantánea. Ahora bien, los elementos de la matriz (III.16) tienen las siguientes características: 1) el elemento f(m,n) de la imagen digital representa una subárea xy (CIV) de la escena o imagen continua; 2) existe una relación unívoca entre cada elemento de la imagen digital y cada CIV de la escena; 3) el valor del elemento f(m,n), referido a la escala de niveles discretos, es proporcional a las características espectrales promedio de la medida hecha sobre el CIV


87

correspondiente en la escena; 4) el número de elementos de la matriz (III.16) para una escena dada, es decir los valores M y N, junto con la escala de niveles discretos, definen la resolución de la imagen digital, o bien el grado de detalle discernible de la escena; 5) el número de elementos (M,N), la escala de cuantización, la relación señal/ruido, los factores de contraste (Wahl, 1987) y la agudeza de los bordes de las clases espectrales y espaciales, definen en conjunto y en una relación compleja (Gonzalez y Woods, 2002) lo que se conoce como calidad de la imagen digital (Janssen, 2001). Como en la noción de calidad intervienen los mecanismos de la psicovisión y la apreciación humana, se tiene, por tanto, que esta noción cae dentro del campo de la subjetividad. Es necesario por tanto asignar un elemento de valor al concepto de calidad. Así por ejemplo, una pintura de estilo subrrealista, con pocos elementos (M,N) y poca agudeza en los bordes, le asignaremos a pesar de todo, un alto grado de calidad debido a que le conferimos un gran valor; o bien, una fotografía borrosa de un automóvil en movimiento, sería probablemente elegida para una exposición de arte a pesar de no satisfacer los criterios de calidad arriba mencionados. En otras palabras, si bien la calidad de una imagen está en principio definida por dichos parámetros, el modelo que utilizamos para combinarlos y producir un índice cuantitativo de calidad, depende de la aplicación particular que deseamos darle a nuestra imagen digital y del elemento de valor asignado a la misma. En la lámina 8 se muestra el efecto visual de digitizar una escena con diferentes tamaños de pixel, mientras que en la lámina 9 se puede apreciar el efecto visual de emplear diferentes grados de cuantización. El proceso de muestreo espacial o digitización se visualiza con la ayuda de la sucesión de figuras III.5a a III.5k. Por simplicidad, y para entender primero en forma cualitativa este proceso, supongamos que hacemos un corte (transecto) a lo largo de una dirección paralela al eje x de la superficie que representa los valores de la escena, obteniendo de esta forma la función f(x) mostrada en la figura III.5a. En otras palabras, es como si esta f(x) fuese la sucesión de valores a lo largo de una línea de barrido. Como lo supone el teorema de muestreo, la escena está limitada en frecuencia, lo que quiere decir que la respectiva transformada de Fourier de f(x): F(), sería aproximadamente como se aprecia en la figura III.5b. Para obtener una versión muestreada de f(x), basta multiplicar los valores de una función de muestreo s(x) (figura III.5c) por los valores correspondientes de f(x). La función s(x) consiste de un tren de pulsos, infinitamente estrechos, de altura constante y con un espaciamiento x entre ellos. Esto, sin embargo, no es posible en la práctica, puesto que el CIV no puede hacerse infinitamente pequeño, ni la respuesta del sensor es infinitamente eficiente. La transformada de Fourier de s(x) (figura III.5d), es también un tren de pulsos, pero con una distancia entre ellos de 1/x en el espacio de frecuencias. Entonces el resultado de la multiplicación de s(x) con f(x) (figura III.5e), es una función discreta que representa a la función continua f(x). La posibilidad de recuperar íntegramente esta función continua a partir de la discreta s(x)f(x), depende de la capacidad para poder interpolar correctamente entre los valores discretos de s(x)f(x) y recuperar así la función continua f(x). Esta capacidad está dada unívocamente por la distancia x, o equivalentemente por la frecuencia de muestreo 1/x. La transformada de Fourier de la versión discreta de f(x), es la convolución F()S() (véase ecuación I.9 y figura III.5f), la que por su naturaleza (Bracewell, 2000) es en realidad una sucesión de copias de F(), que pueden estar o no traslapadas dependiendo de la relación que guarde la frecuencia de muestreo

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1/x con la frecuencia de corte cx . Es claro que si la frecuencia de muestreo es relativamente alta (figura III.5g), las copias de F() aparecerían separadas, sin traslape.

Figura III.5. Diagrama cualitativo de los diversos aspectos (a) – (k) que componen el teorema de muestreo.


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Es claro también que la condición de no traslape es justamente que x  1 / 2 cx . Es

90


decir, que para poder recobrar la función continua f(x) a partir de los valores muestreados, la frecuencia de muestreo debe ser mayor o igual que el doble de la máxima frecuencia espacial (detalle más fino) contenida en la escena a lo largo del eje x. Un razonamiento similar al anteriormente expuesto puede hacerse para los valores de la escena a lo largo del eje y, siempre y cuando el muestreo a lo largo de un eje sea independiente del muestreo sobre el otro. Si la anterior condición de muestreo se cumple, entonces con una función escalón de valor adecuado (figura III.5i), se eliminan todas las copias de F() menos una (figura 2.5k), lo que algebraicamente se escribe como G()[F()S()] = F()

(III.17)

de donde obviamente se obtiene la función continua f(x) al aplicar la transformada inversa de Fourier a F(). El razonamiento cualitativo, basado en las figuras III.5a a III.5k, se extiende fácilmente a dos dimensiones ya que en lugar de gráficas de curvas se tienen superficies. Existen sin embargo varias limitaciones de orden práctico al teorema de muestreo que deben ser tomadas en consideración en el diseño de un sistema de captura de información bidimensional. Las restricciones en la práctica se resumen como sigue: 1) la función de muestreo s(x) nunca es un tren de pulsos infinitamente estrechos, generalmente está formada por una serie de gaussianas cuya anchura depende de la respuesta del sensor remoto; 2) la función f(x) no está en general limitada en frecuencia, a menos que sea periódica; 3).- la función f(x) no se encuentra definida para -   x   . Todo esto hace que en realidad la frecuencia de muestreo tenga que ser un poco mayor a la indicada por el teorema de muestreo, tomando en cuenta que dicha frecuencia no puede ser mayor que la de corte impuesta por el tamaño finito del CIV y por la apertura del detector. Con el objeto de obtener una demostración matemática del teorema de muestreo, introduzcamos ahora la idea de lattices (figura III.6) de muestreo, ya que hasta ahora sólo hemos discutido del tema en forma cualitativa. Al suponer implícitamente una rejilla regular con base en la cual se realizan las medidas acerca de la escena, también hemos supuesto por comodidad que los CIV son regulares y cuadrados, contiguos y sin traslape. No siempre es este el caso puesto que existen ocasiones donde el muestreo es no homogéneo, los CIV son no rectangulares y existe un traslape entre ellos. En cualquier caso el arreglo que guardan los CIV es siempre isotrópico, pues de otra manera sería imposible reconstruir la función f(x,y) de la escena. En la mayoría de los sistemas de laboratorio, los CIV son cuadrados o rectangulares y justamente sin traslape. En sistemas de captura a bordo de vehículos orbitales se dan varios tipos de lattices. Por ejemplo en los satélites Landsat y Spot, los CIV van incrementado su tamaño a medida que se alejan del eje longitudinal de la escena, debido esto a la curvatura de la superficie terrestre y a que el ángulo de vista se mantiene constante. El barredor multiespectral del Skylab tenía un barrido de tipo cónico, de tal forma que los CIV estaban formados por sectores circulares que incrementaban su tamaño a medida que se alejaban del eje de barrido. En ningún caso se tienen redes irregulares de CIV. Las ideas anteriores quedan formalmente establecidas por la introducción de las lattices de muestreo, lo que además constituye una herramienta matemática muy útil para entender el teorema de muestreo bidimensional. Estas lattices se definen


91

(Rosenfeld y Kak, 1982) en el espacio de coordenadas y en el de frecuencias, y son además mutuamente recíprocas desde el punto de vista vectorial. Una lattice es una estructura lógica que define la posición y distribución de los CIV sobre la escena.

Figura III.6. Lattice de muestreo (a) generada por los vectores r1 y r2 y lattice recíproca (b) definida por los vectores 1 y 2. La lattice es una rejilla virtual que se sobreimpone a la escena y con la cual queda determinada la posición de un CIV con respecto a los demás; su tamaño se proporciona como un dato adicional. Esta lattice se genera por medio de una base vectorial bidimensional; sean por tanto r1 y r2 dos vectores en el espacio de coordenadas ortogonales x-y (figura III.6), a partir de los cuales se genera un espacio vectorial. Los sistemas de coordenadas mostrados en la figura III.6 no necesariamente tienen que ser ortogonales, pero es conveniente que así lo sean; no obstante, es factible que sean no euclidianos, es decir es posible tener sistemas de coordenadas oblicuos tal como los sistemas de coordenadas curvilineos (Boas, 1983). A los vectores (r1,r2) les llamaremos base vectorial y constituyen la estructura matemática con la cual generamos la lattice, de aquí que a ésta la visualicemos como un arreglo regular de puntos en el plano x-y. Estos puntos están definidos por los vectores de posición rmn dados por rmn = mr1 + nr2

(III.18)

con m,n = ±1, ±2, . . . ±M/2, ±N/2, para cuando el origen de coordenadas se coloca en el centro de la escena. En general los coeficientes (m,n) dependen de r1 y r2, es decir, m = m(r1,r2) y n = n(r1,r2); no obstante, aquí se suponen constantes por simplicidad en el razonamiento. En el presente trabajo suponemos que el origen de coordenadas se encuentra en la parte superior izquierda, por lo que m y n los tomamos como números naturales, es decir m, n = 1, 2, . . . M,N, respectivamente. La base vectorial (1,2) de la lattice recíproca en el espacio de frecuencias está unívocamente determinada por los vectores base originales cuando se supone un isomorfismo entre los dos espacios; la relación es la siguiente

92


0, i  j   ri   j      ij 1, i  j   

(III.19)

donde ij es la delta de Kronecker. El producto escalar de la relación (III.19) nos indica que los vectores originales son mutuamente perpendiculares a los recíprocos, es decir r1  2 y r2  1. Por otro lado, de la relación (III.19) es claro que 1 

1 1 y 2  r1 sen r2 sen

(III.20)

donde  es el ángulo que forman los vectores r1 y r2. La base vectorial recíproca, análogamente a la original, genera un arreglo periódico de puntos en el espacio de frecuencias, cuyas posiciones están determinadas por el vector mn, dado por mn = m1 + n2

(III.21)

La lattice del espacio de coordenadas constituye finalmente la manera como el detector mide las propiedades espectrales de la escena. En otras palabras, la lattice define la distribución de lugares (CIV) donde el sensor remoto mide, por unidad de ángulo sólido y por unidad de tiempo, la cantidad de energía proveniente de la escena. Sea ahora una función bidimensional continua f(x,y) que representa una escena cualquiera y sean f(i,j) las muestras correspondientes tomadas en las posiciones (i,j) de ésta, donde el número de muestras determina el tamaño (M,N) de la imagen digital correspondiente. Se supone, además, que las muestras son adquiridas para un valor determinado del parámetro  y que el tiempo de captura es muy pequeño comparado con cualquier cambio que la escena pudiese experimentar. Por comodidad, esas funciones serán escritas de ahora en adelante como f(r) y f(rij) respectivamente. Donde r es el vector de posición del punto (x,y) y rij indica que es el vector de posición para valores discretos del plano x-y. Una manera conveniente de saber si f(r) puede ser reconstruida a partir de las muestras f(rij) es interpolando en forma correcta entre ellas, suponiendo que disponemos de un número arbitrario de medidas sobre la escena. Mas aún, a partir de aquí se determina matemáticamente la condición de muestreo que fue visualizada (figura III.5) anteriormente en forma gráfica. Si f(r) es reconstruida a partir de f(rij) se está implicando que la imagen digital es una representación válida de la escena, derivando al mismo tiempo las condiciones de validez. Sea por tanto g(r) una función de interpolación, cuya convolución con f(rij) genera la función original que representa la escena f (r ) 

 f (r )g(r  r ) ij

i

ij

(III.22)

j

Es decir se intenta recobrar la función f(r), multiplicando el valor de las muestras por una función de peso adecuada y haciendo notar que todas las muestras contribuyen cada vez para generar un solo punto de la función f(r). Además de suponer que existe g(r),


93

consideramos también que existen las transformadas de Fourier de f y g. Otra manera de ver la relación (III.22) es determinando las condiciones bajo las cuales es posible expandir la función f(r) en series por medio de una relación lineal de sus muestras y con una función de peso g(r). Ahora bien, por la propiedad de Sifting (véase ecuación III.39) de la función  de Dirac, cuya versión vectorial es  

  f ()(  r )d  f (r )

 

se tiene  

f (rij )g(r  rij ) 

  f (r' )g(r  r' )(r'  r )dr' ij

(III.23)

 

Substituyendo ahora esta ecuación en la expresión (III.22), e invirtiendo el orden de las sumatorias y la operación de integración, y dado que f y g son funciones bien comportadas, la función original se expresa por tanto como  

  f (r' )g(r  r' ) (r'  r

f (r ) 

mn )dr '

m

 

(III.24)

n

La función  es periódica, con periodo Tx en la dirección x y con periodo Ty en la dirección y, lo que quiere decir que puede ser expandida en series de Fourier

 (r'  rmn )   a k a l exp[ m

n

k

l

2j(r ' kl ) ] Tx T y

(III.25)

donde los vectores r' y kl pertenecientes a los espacios de coordenadas y de frecuencias respectivamente, están dados por r' = x'r1 + y'r2 y kl = k1 + l2

(III.26)

Las variables (x',y') son continuas y las (k,l) discretas. Ahora bien, los coeficientes ak y al de la expansión (III.25) están dados por  T / 2  Ty / 2

a kl

1 x  Txy T / 2 x

(r '  rmn ) exp[   m n

 Ty / 2

 2j(r ' kl ) ]dr ' Txy

(III.27)

haciendo notar que akl = akal y Txy = TxTy, ya que hemos supuesto independencia del barrido de una dirección con respecto a la otra. Los términos con m, n  1 quedan fuera del intervalo de integración, por lo que únicamente aquellos con m, n = 0 de la suma

94


contribuyen a ésta, de tal forma que debido a la propiedad de Sifting llegamos al siguiente resultado akl = 1/Txy,  m, n

(III.28)

Substituimos ahora el resultado de (III.28) y la expresión (III.25) en (III.24) para tener una relación clara de la expansión lineal de f(r) en términos de g(r), así entonces f (r )   k

l

 





 2j(r ' kl )  g (r  r ' ) f ( ' ) exp r dr '    Txy   Txy 

(III.29)

Al analizar de cerca esta última relación podemos apreciar que se trata de la doble sumatoria de la convolución de las siguientes funciones  2j(r  )  g(r ) f (r ) exp   y Txy  Txy 

(III.30)

debido esto al teorema de la convolución, que dice que la transformada de Fourier de f(r) es igual al producto de las transformadas de las funciones involucradas en la convolución. Sin embargo, es necesario tomar en cuenta que la primera de las funciones involucradas en (III.30), contiene un cambio de fase dado por la exponencial, por lo que en el espacio de frecuencias esto equivale (teorema de shifting) a un corrimiento en la frecuencia. Entonces de acuerdo con las expresiones (III.29) y (III.30), tenemos que la transformada de Fourier de la función que representa a la escena es F( ) 

G( ) Txy

 F(   k

kl )

(III.31)

l

Es necesario estudiar ahora con detalle esta última ecuación; de ella obtendremos las conclusiones respectivas al proceso de muestreo. En primer lugar notemos que Txy representa un área en el espacio de coordenadas con un equivalente en el espacio de frecuencias, ya que se trata del periodo de muestreo en ambas direcciones: x, y. También hay que dejar claro que los puntos dados por kl forman la lattice recíproca de los puntos de muestreo que a su vez forman la lattice original. Refirámonos ahora a la figura III.7, en donde se aprecian varias copias de la transformada de Fourier de f(r) para un conjunto selecto de valores de k y l. Las copias no se encuentran traslapadas porque la frecuencia de muestreo excede al valor óptimo explicado en la figura III.5 y, dado que la f(r) se supone limitada en frecuencia, las mencionadas copias aparecen con simetría alrededor de los ejes x y y. En forma análoga al caso unidimensional, es necesario encontrar la frecuencia de muestreo para que las F( - kl) no se traslapen para diferentes valores de k y l; esto implica que es necesario escoger adecuadamente a 1 y a 2, los que finalmente determinan a r1 y a r2. Para la solución de exactamente no traslape, se escoge a G() de tal forma que cubra un área igual a la que ocupa F() y cuyo valor constante sea el de Txy. Para aquellas regiones no cubiertas por F() o sus


95

copias, G() puede tomar cualquier valor, por lo que esta función de interpolación no está unívocamente determinada. Sin embargo, esto lo tomamos con ventaja y seleccionamos a G() como un paralelepipedo (figura III.7) para que encierre justamente a F() y cuya altura sea precisamente Txy. Es muy importante anotar que esto es válido para campos aleatorios homogéneos y limitados en frecuencia, ya que de otra manera es necesario buscar una estrategia de minimización de error (Rosenfeld y Kak, 1982) para la reconstrucción de f(r), puesto que ninguna banda sería representativa del conjunto.

Figura III.7. Arreglo en la lattice recíproca de la transformada de Fourier F( - kl). En otras palabras, cuando una imagen multiespectral está caracterizada por un campo aleatorio homogéneo limitado en frecuencia, cualquier banda de la imagen es estadísticamente representativa (véase sección III.5) de la misma. Entonces en forma similar al caso unidimensional se tiene que G(), a la que se le conoce también como función filtro, está dada por T , para  x  cx y  y  cy G()   xy 0, de otra manera

(III.32)

con x = x1 y y = y2. Recordemos que el espaciamiento correspondiente de los puntos muestreados en el espacio de coordenadas se obtiene a partir de la relación entre

96


el periodo de muestras y la máxima frecuencia contenida en la escena, a la que se le conoce también como frecuencia de corte, por tanto Tx  x 

1 2 cx

, T y  y 

1 2 cy

(III.33)

donde r = mxr1 + nyr2, por lo que con esto queda bien definida la lattice de muestreo. Por simplicidad, el vector de posición de los puntos de la lattice de muestreo rmn se introdujo inicialmente con los índices enteros m y n. Aquí se redefine este vector para incluir el espaciamiento real entre muestras: x y y; al nuevo vector de posición se le llama simplemente r. Regresemos ahora a la relación (III.32) y escogamos de entre la infinidad de posibilidades, la más simple para G(), es decir aquella dada por un paralelepipedo (figura III.7) con lados 2cx y 2cy y altura Txy. Por lo que si tomamos la transformada de Fourier inversa de G(), obtenemos la siguiente expresión:  cy cx

g(r ) 

 

cy

Txy exp[2j(r  )]d  Tx

cx

Sen(2cy n ) Sen(2cx m ) Ty m n

(III.34)

De esta última relación es claro que si escogemos el periodo de muestreo tal que se 1 satisfaga precisamente la condición de no traslape, es decir si Tx  y si 2 cx 1 , la función de interpolación se escribe como Ty  2 cy g(r) = Sinc (2cx m) Sinc (2cy n )

(III.35)

que es justamente la transformada de Fourier del mencionado paralelepipedo. Es posible hacer este razonamiento a la inversa preguntándonos cuánto debe valer Txy para que g(r) sea una función Sinc bidimensional y de ahí obtener la condición de no traslape. En el mismo orden de ideas es fácil ver que si submuestreamos, es decir si Tx 

1 2 cx

y Ty 

1 2 cy

entonces no habrá manera de encontrar una G() que satisfaga la relación (III.32). Por otro lado, si obtenemos más muestras de las necesarias, la elección de G() puede seguir siendo la del paralelepipedo. Es necesario puntualizar que el desarrollo anterior para el teorema de muestreo bidimensional se refiere a una imagen de una sóla banda, o bien a imágenes multiespectrales descritas por campos aleatorios homogéneos (sección III.5) y limitados en frecuencia. Esto es así ya que las condiciones de muestreo no deben


97

depender de las propiedades estadísticas de cada banda de la imagen multiespectral lo que se logra suponiendo válidas las condiciones arriba mencionadas. Se han discutido hasta aquí una serie de aspectos cuantitativos relacionados a la caracterización matemática de una imagen y con la comprensión general de la misma. Se introdujeron condiciones locales de medida, es decir, se estudió el proceso de captura de información sobre cada CIV y posteriormente se vieron los aspectos regionales de captura de una escena al introducir el teorema de muestreo. Vamos ahora a resumir todos estos conceptos en un modelo matemático que describe la transformación de una escena a una imagen digital. A esta transformación la podemos entender también por medio de la definición de varios operadores de captura de información que se aplican bajo ciertas condiciones y limitaciones en el momento de estudiar una escena determinada. Es importante puntualizar que, dado que es factible interpretar una escena como una imagen continua, el modelo matemático que obtengamos es de validez general. Debido a esto, escribiremos este modelo en varias versiones aplicables a diferentes situaciones donde estén involucradas imágenes continuas y discretas.

III.4 Operadores en Captura de una Escena La captura de una escena en una imagen digital tiene básicamente su razón de ser en la necesidad de referir cierta información de una escena a un nuevo marco de referencia a partir del cual el tratamiento, extracción y modelado de patrones de ésta sea posible por métodos matemáticos, físicos y computacionales. El solo hecho de capturar una escena implica su simplificación, puesto que por ningún motivo se miden todas las propiedades de la misma. Además de esto, es factible describir al sistema de captura o instrumento sensor como un operador definido por su función de respuesta al impulso, de tal forma que el instrumento es un transformador de información que simplifica la escena y la presenta en un formato adecuado para su manejo, interpretación y modelado físico ulterior. En su expresión más general, esta transformación consiste en el mapeo (figura III.2) de un conjunto de funciones de entrada fi(x,y), i = 1, 2, … n, a un conjunto de funciones de salida gj(x,y), j = 1, 2, … m, definidas en las regiones Di y Dj respectivamente y suponiendo aquellas bien comportadas desde el punto de vista del cálculo diferencial e integral. Sea ahora un conjunto de operadores Oj, establecidos de acuerdo al instrumento y al proceso que se realiza para hacer tal mapeo. Entonces las funciones de salida se relacionan con las de entrada de la siguiente manera g1(x,y) = O1[f1(x,y), f2(x,y), . . . fn(x,y)] g2(x,y) = O2[f1(x,y), f2(x,y), . . . fn(x,y)] . . . gm(x,y) = Om[f1(x,y), f2(x,y), . . . fn(x,y)]

(III.36)

Una combinación lineal, una convolución y una composición multiespectral de funciones fi son algunos ejemplos representativos del proceso de creación de imágenes dado por (III.36). La modelación matemática de los operadores Oi es variada y toma muchas formas, así como su medición o estimación física; vamos a emprender aquí el

98


camino de su modelación matemática sin dejar de lado los aspectos físicos pertinentes. Una manera de establecer un modelo para Oi es a partir de operadores de singularidad dada la connotación física que éstos tienen. De entre todos estos operadores (Pratt, 2001; Boas, 1983; Arfken y Weber, 1995), tomemos por su simpleza y facilidad de manejo al operador delta de Dirac, junto con la interpretación que tiene de ser una gaussiana infinitamente estrecha. Además, la delta de Dirac está relacionada con el proceso de muestreo de una escena, ya que éste puede verse como una aplicación sucesiva del operador/instrumento a través de un método de medida caracterizado con base en dicha delta. Recordemos la importancia que tiene todo esto puesto que el muestreo de una escena es el principio de su análisis. Comencemos por revisar algunas de las propiedades de la delta de Dirac que están relacionadas con el presente análisis. La función delta de Dirac es un operador de singularidad (Pratt, 2001) utilizado en el muestreo de funciones continuas bidimensionales; en dos dimensiones se define como sigue: , cuando x   , y   (  x,   y )  ( x  , y  )   0, de otra manera

(III.37)

Como parte complementaria de la definición de la delta de Dirac consideremos la siguiente expresión  

  ( x, y )dxdy  1,    0

(III.38)

  

donde  es un límite de integración infinitamente pequeño pero mayor que cero. Existen otras definiciones más formales (Boas, 1983) que ésta, pero con las relaciones (III.37) y (III.38) es suficiente para nuestros propósitos. Lo que se expresa con (III.38) es precisamente a una gaussiana tridimensional infinitamente estrecha, pero cuyo volumen bajo su superficie es igual a uno. La siguiente transformada integral se conoce como la propiedad de Sifting (Bracewell, 2000)  

  f (, )(  x,   y )dd  f ( x, y )

(III.39)

 

Esta igualdad es esencial para entender el formalismo del proceso de captura de una escena, puesto que de todos los valores para los cuales está definida la función f, se selecciona uno de ellos: el que corresponde precisamente al punto (x,y) y esto constituye la esencia de la captura de información bidimensional. Otra manera de ver la relación (III.39), es pensar que es posible representar una función de entrada al sistema de imágenes (ecuación III.36) empleando una suma de funciones delta de Dirac con factores de peso f(,). Por otro lado, si el sistema de coordenadas al que se refiere la función delta es ortogonal y si no hay correlación observacional de un eje de observación con respecto al otro, se tiene que la delta de Dirac puede ser descompuesta de la siguiente manera


(x,y) = (x)(y)

99

(III.40)

donde las funciones delta uni-dimensionales satisfacen las versiones en una dimensión de las propiedades arriba mencionadas. De esta última relación es claro que cualquier propiedad que se cumpla en una dimensión también se satisface en dos dimensiones. Un caso particular del sistema de imágenes (ecuación III.36) arriba expresado, y de especial interés porque permite visualizar el proceso de captura de una escena, es aquel donde se tiene una relación unívoca entre las funciones de entrada y salida g(x,y) = O[f(x,y)]

(III.41)

donde además se cumple el principio de superposición, es decir el operador O es lineal aditivo (Pratt, 2001; Ahmed, 1999). Poca generalidad estamos perdiendo al tomar de aquí en adelante la relación dada por (III.41), ya que muchos de los sistemas que se presentan en la vida real son lineales aditivos, o bien los diseños experimentales se realizan para que cumplan esta propiedad. Cuando no se puede tener ni lo uno ni lo otro, entonces es factible en una buena cantidad de casos la aplicación de técnicas de cuasi linealización (Katsaggelos, 1991; véase sección IV.11) o linealización (Ahmed, 1999; véase el apartado V.2.9). Así en este contexto, esta última relación (III.41) en combinación con la propiedad de Sifting, produce la siguiente caracterización matemática para una imagen continua     g ( x, y )  O    f (, )(  x,   y )dd    

(III.42)

Esta expresión cuantifica el mapeo representado gráficamente por la figura III.2. La ecuación (III.42) nos dice que se selecciona un punto de la escena f por medio de la función  y se envía al espacio de la imagen g, todo esto modulado por el operador O. La función de entrada (escena) está referida al sistema de coordenadas (,) y la de salida al (x,y). Supóngase ahora que el operador de integración y el de transformación O pueden ser invertidos en el orden de aplicación; para que esto sea factible es necesario que O sea lineal y que el integrando sea bien comportado. Se tiene, por tanto,  

g ( x, y ) 

  O f (, )(  x,   y)dd

(III.43)

 

lo que quiere decir que la imagen g es formada por la suma de las contribuciones de todos los valores de la función f transformada por O. En forma ideal, cada punto de f debería de contribuir a sólo uno de g, pero en un sistema real cada punto de f y sus respectivos vecinos contribuyen a formar los puntos de g, de tal manera que el proceso de formación de una imagen es un proceso de vecindad y no uno puntual. El que esto sea así se debe no solamente a la respuesta finita del sistema de captura, sino también a los mecanismos de degradación que intervienen inevitablemente en el proceso de formación de una imagen. A estos dos aspectos se suma el hecho del tamaño finito del

100


CIV que, como vimos anteriormente, produce un efecto de filtro pasa bajas. Todo esto trae como consecuencia que la imagen pierda con respecto a la escena: 1).- contraste, 2).- definición y 3).- agudeza, es decir la imagen aparece como con un efecto de fuera de foco (compárense las láminas 1 y 50) con poca tonalidad. Es necesario decir, sin embargo, que muchos sistemas modernos son de gran eficiencia y que por tanto la imagen resultante es de gran calidad ya que los tres efectos mencionados son mínimos. Por otro lado, es fácil ver que el equivalente del modelo dado por (III.42) para el caso digital es  g ( k , l)  O  



 f (, )(k  m, l  n) m

(III.44)

n

con k, l, m y n enteros y (m,n) las coordenadas del centro del CIV. A partir de (III.42) y (III.44) es claro que podemos obtener los modelos finales para imágenes continuas y discretas respectivamente. Ahora bien, si O depende únicamente de las coordenadas (x,y), puede ser aplicado directamente a la delta de Dirac, por lo que la ecuación (III.43) se reescribe de tal forma que la imagen g está dada por g ( x, y ) 

 f (, )O[( x  , y  )]dd

(III.45)

La combinación de operadores O{} describe precisamente la forma como se realiza el mapeo del espacio de la escena (figura III.2) al espacio de la imagen, por esto a h(x,y;,)  O[(x - ,y - )] = O[( - x, - y)]

(III.46)

se le conoce como función de transferencia cuando se refiere en términos generales a la transformación de una imagen a otra; sea ésta continua o discreta. En el caso particular de un sistema de captura a través de un sensor remoto, a h se le conoce como función de respuesta al impulso o función de dispersión de punto. Veamos físicamente el porqué de estas últimas denominaciones para h. Con anterioridad se anotó que el proceso de formación de una imagen es de vecindad y no puntual, con esta premisa imaginemos que logramos enviar al sistema de captura caracterizado por h, un tren de pulsos de luz cuya intensidad es I y muy cortos en duración, tal que podamos considerarlos infinitamente estrechos. Si el detector fuese perfecto, produciría a la salida un tren de pulsos de voltaje también infinitamente estrechos. Como nunca es este el caso, el detector genera pulsos con una cierta anchura y cuya equivalencia en intensidad es menor a la de los pulsos de entrada; en otras palabras, el tren de entrada ha sido degradado por la eficiencia finita del detector. En la figura III.8 se esquematiza en una dimensión dicho proceso de degradación y cabe anotar que éste generalmente se modela con buenos resultados con una gaussiana cuya varianza es proporcional a la respuesta del detector: entre mejor ésta menor es la varianza. Pensemos ahora que cada punto (x,y) de la escena es un pulso cuya intensidad es f(x,y), a la salida de h, este punto está representado por una gaussiana tridimensional. Para un punto y su vecindad, las respectivas gaussianas se traslapan más o menos


101

dependiendo de h, por lo que el valor de un punto de la imagen es el resultado de la interacción (a través de h) de una colección de puntos de la escena. Entre más anchas sean las gaussianas más puntos de la escena contribuyen a uno de la imagen. En principio, las colas de las gaussianas son de infinita extensión, de tal forma que, estrictamente hablando, todos los puntos de la escena contribuyen a cada uno de la imagen; en realidad esto no es así, dada la escala finita de cuantización que se utiliza para registrar los valores de los pixels de la imagen, por lo que más allá de un cierto límite las colas no contribuyen a la formación de ésta.

Figura III.8. Tren de pulsos de radiación muy cortos en duración y respuesta del detector h representada por el tren de gaussianas. En ciertos modelos simplificados los mecanismos de degradación (Katsaggelos, 1991) se explican también como una superposición de gaussianas y de aquí que cuando existe interferencia en la generación de una imagen, la contribución a un punto de ésta proviene de una cierta vecindad. El razonamiento anterior es claramente aplicable a la formación de imágenes continuas para cuando el sistema de captura es óptico, ¿pero que sucede con imágenes digitales? Al hacerse la integración sobre un CIV, es claro que un pixel de la imagen digital proviene de un conjunto de puntos de una vecindad determinada por tal elemento. Los mecanismos de degradación, por otro lado, hacen que CIV vecinos contribuyan a la integración de aquel que se encuentra bajo medición. Todo lo anterior nos indica que en cualquier caso se tiene un proceso de vecindad, además de haber un mecanismo de correlación observacional; es decir, los elementos de la imagen digital están correlacionados por el método de medida, ineludiblemente impuesto por el sistema de captura. Además de esto, siempre hay una correlación entre valores de pixels vecinos debido a la variación natural de los valores de radiación que provienen de la escena; esperamos por tanto que los diferentes puntos de un mismo objeto presenten valores de radiancia similares. Es la correlación observacional (Barringer y Robinson, 1981) la que eventualmente hay que eliminar antes del análisis de la imagen digital correspondiente; esto es posible por medio de un método como la descomposición en componentes principales. Volvamos ahora al desarrollo del modelo para una imagen; la combinación de las expresiones (III.45) y (III.46) nos da el siguiente resultado

102

Tratamiento Digital de Imágenes Multiespectrales  

g( x , y ) 

  f (, )h( x, y; , )dd

(III.47)

 

para una imagen continua g(x,y). Para cuando el operador O no es lineal, se tiene entonces  

g( x , y ) 

  hx, y, , ; f (, )f (, )dd

(III.48)

 

es decir la función de transferencia h depende de los valores de la escena f. Un ejemplo típico de esto es la respuesta no lineal de un film fotográfico en los extremos de su intervalo dinámico. En sistemas lineales, la descripción de la función h en términos de las cuatro coordenadas (x,y;,) es la más general posible y le permite variar con respecto a la posición, tanto en el plano focal de la escena como en el plano focal de la imagen. Sin embargo, muchos sistemas de formación de imágenes digitales actúan uniformemente a través de los planos mencionados de tal manera que para este caso lineal se tiene una expresión de convolución entre h y f  

g( x , y ) 

  h( x  , y  )f (, )dd  h  f

(III.49)

 

Una manera física de ver esta última expresión es pensar que h es un filtro que deja pasar solamente un CIV de la escena a la vez. También podemos visualizar físicamente esta convolución imaginando que el sistema de captura analiza, en un proceso de barrido, elemento a elemento de la escena a través del plano -; veamos esquemáticamente esto por medio de la sucesión de las figuras III.9a a III.9e. En la primera de esta sucesión de figuras se aprecia la extensión física de una escena cualquiera f(,), y en la segunda se ha dibujado una función de transferencia h(,). A partir de aquí sigamos la representación geométrica de una convolución; así, en las figuras III.9c y III.9d se han representado h(,) y h(x,y) respectivamente, para finalmente concluir en la figura III.9e, donde se muestra en hachurado (sombreado), el traslape de h y f. Hay que recordar que tanto h como f son superficies y que en las figuras III.9a a III.9e sólo se ve una perspectiva superior de éstas. La zona sombreada de la figura III.9e representa el producto de h y f, que a su vez es una superficie. El volumen bajo esta superficie es precisamente la doble integral del producto de h y f; en otras palabras, este volumen es el valor de la convolución en (x,y). Como este último valor es el que se le asigna a la imagen en dicho punto, y recordando siempre el modelo digital dado por (III.44), concluimos que el sensor remoto del sistema de captura subtiende un CIV cuya extensión física sobre la escena es igual a ; la manera como este sensor responde a la radiación que proviene de este elemento está dada por h(k,l;m,n), donde (m,n) son las coordenadas de su centro. El volumen mencionado representa, por tanto, la cantidad de radiación proveniente de la escena y subtendida cada vez por el sensor sobre una subárea (CIV) de ésta. Al discretizar el tamaño de este


103

volumen, se tiene el valor del pixel correspondiente, de la forma como fue explicado en la sección III.2. Con las consideraciones arriba planteadas es muy fácil escribir la versión digital del modelo matemático de creación de una imagen M

N

 f (, )h( k, l; m, n)

g( k , l ) 

(III.50)

m 1 n 1

con (M,N) la dimensión de una imagen rectangular.

Figura III.9. Representación esquemática de la convolución de h y f para producir la imagen g. En las relaciones (III.49) y (III.50) se han plasmado las transformaciones: imagen continua  imagen continua, e imagen continua  imagen discreta, respectivamente. Para fines prácticos f(,) puede ser vista como una imagen continua y de esta forma se tiene el mismo tipo de modelo para la captura de una escena, como para la transformación de una imagen digital. Esto es posible porque no se ha hecho ninguna suposición explícita que diferencie una escena de una imagen continua. Nos falta escribir todavía la transformación imagen discreta  imagen discreta con base en las consideraciones hasta ahora hechas. Al suponer que f está definida únicamente para valores discretos de  y , y empleando coordenadas discretas (m,n) para el sistema original y (k,l) para el sistema transformado, tenemos rápidamente el modelo requerido

104

Tratamiento Digital de Imágenes Multiespectrales M

g( k , l ) 

N

 f ( m, n )h( k, l; m, n )

(III.51)

m  1 n 1

Donde hacemos notar que  = m y  = n, ya que m y n son discretos y por tanto m =  y n = , ambos iguales a uno. Además de esto cuando existe invarianza frente a translaciones esta última ecuación se escribe como

 f ( m, n )h( k  m, l  n )

g( k , l ) 

m

(III.52)

n

Cabe agregar ahora que la relación para la transformación imagen discreta  imagen continua, sólo puede darse a la luz del Teorema de Muestreo. En una especie de resumen veamos ahora el cuadro III.2 y la figura III.10, en donde podemos apreciar esquemáticamente los modelos y conceptos hasta aquí desarrollados. La figura III.10 está relacionada con la figura III.2, pero describe en forma más concisa la transformación de una imagen. En el cuadro III.2 se han escrito los principios de causalidad y conservación de energía y el teorema de Parseval para cada uno de los tres modelos establecidos. El primer principio nos dice que no hay energía radiante negativa y el segundo es de hecho una ley de conservación de la información. El teorema de Parseval nos muestra la equivalencia de la energía en los espacios de frecuencias y de la imagen. Esto último, siempre y cuando se cumplan las reglas del teorema de muestreo bajo condiciones reales de operación del sistema de captura. Nos falta agregar un aspecto de nomenclatura: diremos que cuando se captura una escena, el instrumento correspondiente se caracteriza por la función de respuesta al impulso, cuando en general se transforma a una imagen, a h se le conoce como función de transferencia, pero si la transformación se ejecuta en el dominio espacial, entonces a h se le llama el kernel de la transformación. De esta manera estamos nombrando a h de tres maneras diferentes dependiendo del contexto bajo el cual se transforma la imagen, aún cuando se utilice, como ya se describió arriba, el mismo tipo de modelo matemático de transformación de imágenes; es necesario dejar en claro que los modelos planteados son aplicables en el caso de generación de imágenes multiespectrales o bien para cuando se opera sobre ésta. Basta recordar que se había introducido en la sección III.1 un parámetro  para connotar el intervalo de energía, entonces una imagen digital multiespectral está descrita por g( k , l) 

 f ( m, n )h ( k  m, l  n ) 

m



(III.53)

n

donde  es finalmente un conjunto de intervalos de energía, no necesariamente contiguos ni traslapados. A cada imagen para un intervalo se le conoce como banda y al grupo de imágenes para un conjunto de intervalos se le llama imagen multiespectral. La digitización de una imagen continua o escena trae consigo la caracterización matemática de la misma en forma digital, puesto que el muestreo de la radiación proveniente de ésta necesariamente implica su discretización; es decir, que al hacer un muestreo ordenado de una escena se produce siempre una imagen digital. El muestreo,

Teorema de Parseval

Principio de conservación de energía radiante

Principio de causalidad

Tipo de modelo  Constricción f(,)  0,  (,) g(x,y)  0,  (x,y) h(x,y;,)  0,  (x,y;,)

Continuo  Continuo

f(,)  0,  (,) g(k,l)  0,  (x,y) h(k,l;m,n)  0, (x,y;,)

Continuo  Discreto

f(m,n)  0,  (m,n) g(k,l)  0,  (k,l) h(k,l;m,n)  0,  (k,l;m,n)

Discreto  Discreto

Cuadro III.2. Esquema de los modelos y constricciones relacionados con la generación y transformación de imágenes. Las integrales y las sumatorias tienen los intervalos apropiados de acuerdo con el tamaño de la imagen y r = (x,y),  = (x,y).

Caracterización Matemática de Imágenes 105

106


Figura III.10. Representación simbólica de los modelos de transformación de imagen.


107

por tanto, debe cumplir con ciertas reglas para asegurar no solamente la reconstrucción adecuada de la información correspondiente, sino también para minimizar la creación de artefactos inherentes a todo proceso de medida. La reconstrucción se refiere a las técnicas de filtraje adecuadas para eliminar los artefactos que de todas maneras se introduzcan y a la interpolación necesaria para obtener una imagen continua que represente a la escena con la mayor fidelidad posible. Luego entonces, el proceso de muestreo de la escena genera una función discreta que es necesario estudiar con detalle. Para esto diremos que una función discreta está definida únicamente para valores discretos de sus variables; además de esto, la función misma sólo puede asumir valores enteros también, por lo que la escribiremos como una secuencia de números enteros. El resultado es un conjunto ordenado de números que representan las muestras obtenidas, tanto espacial como radiométricamente, de una función analógica o continua. Cómo se obtienen estas muestras y cuál es su modelación matemática es justamente lo que se ha discutido hasta ahora. Diremos, por tanto, que una función discreta es un conjunto ordenado de enteros que representan los valores de una escena para lugares (CIV) específicos de ésta g = {g(n1,n2)}, n1 = 1, 2, ... M y n2 = 1, 2, ... N

(III.54)

donde los corchetes { } indican una secuencia ordenada de números enteros. Aquí recordemos que la discretización espacial sobre (x,y) que produce los valores enteros asociados a los pixels (n1,n2), se llama digitización (o digitalización). A la discretización sobre g que produce la mencionada secuencia se le llama cuantización. El conjunto de intervalos de energía  = {E1, E2, ... E} está definido por el diseño particular del sensor multiespectral y determina el número de bandas de la imagen. Los números (n1,n2) son considerados aquí como números naturales, pero pueden ser vistos como enteros, si el origen del sistema de coordenadas se fija en el centro de la imagen. En consecuencia los números (n1,n2) pertenecen al siguiente conjunto (n1,n2)  A  {( n1,n2) | ( n1,n2)  ℤ, 1  n1  M; 1  n2  N}

(III.55)

donde ℤ es el grupo de los enteros y si la imagen es cuadrada, entonces N = M. Por otro lado, el proceso de discretización de las intensidades de energía que provienen de la escena, requiere que cada nivel de los pixels esté restringido a números enteros de k bits y esto para propósitos de manipulación eficiente en computadora de la imagen digital. Así que finalmente los valores de los pixels de cada banda son miembros del siguiente conjunto g  B  {bibi  ℕ, 0  bi  2k - 1},  

(III.56)

donde ℕ es el semigrupo de los números naturales y 7  k  12. Claramente los números (n1,n2,bi) asumen únicamente valores discretos y en muchos casos: k = 7 u 8, lo que significa que el intervalo para los niveles de los pixels de la imagen multiespectral está restringido entre 0 y 127 o bien entre 0 y 255 respectivamente. Este es un intervalo conveniente porque cada pixel ocupa un byte de ocho bits de una computadora digital.

108


En este sentido, se dice que una imagen está cuantizada a k bits, o bien que presenta 2k niveles de gris. Hemos caracterizado hasta ahora los elementos básicos (pixels, bandas) de una imagen digital multiespectral utilizando modelos deterministas y hemos dejado de lado el aspecto estocástico de la misma, porque aún no la hemos visto en su conjunto. En la siguiente sección estudiaremos la naturaleza estadística de la generación y transformación de imágenes digitales, empleando propiedades promedio y generalizando el concepto de proceso estocástico.

III.5 Caracterización Estocástica de una Imagen Multiespectral Para distinguir claramente entre los elementos deterministas y estocásticos de una imagen digital, es conveniente establecer ahora una clasificación de cuatro clases de imágenes. Esta clasificación cualitativa tiene que ver con la representación visual de una imagen, pero también está relacionada con la manera en la que se le procesa y se la representa. La división entre clases no está perfectamente definida, sino más bien existe un cierto traslape entre ellas; aún así es suficientemente útil para nuestros propósitos. La primera clase es la más amplia y comprende a las imágenes más complejas: aquellas que tienen una gran variedad de tonos de gris o de colores y que contienen estructuras variadas. Aquí encontramos todas las imágenes de escenas comunes en la vida real: la foto de un paisaje, el retrato de una persona, una radiografía y una imagen de la superficie terrestre son ejemplos de esta primera clase. Cabe agregar que estamos considerando imágenes de escenas naturales, es decir de aquellas que ocurren normalmente en la naturaleza y no de escenas artificialmente creadas por el ser humano. En la segunda clase ubicamos aquellos procesos donde la generación de imágenes involucra un medio mecánico, tipográfico o electrónico, con estructuras relativamente simples y pocos tonos. Aquí se sitúan los mapas, las gráficas complejas y las pinturas representadas todas en forma digital. En este grupo de imágenes las clases se encuentran bien definidas y delineadas, indicadas por un sólo color. La frontera de las estructuras presentes está normalmente bien definida también. Como podrá apreciarse, la diferencia en complejidad entre la primera y la segunda categoría de imágenes es bastante grande; es raro encontrar un caso que se encuentre en la frontera de estas categorías. Algunas escenas naturales muy simples, como un patrón de dispersión de neutrones, podrían tener una representación digital que tal vez cayese en la segunda clase de imágenes. Sin embargo, si conocemos el origen de la imagen y aplicamos la regla de selección de la primera clase, en el sentido de que ésta no debe provenir de medios artificiales, desaparece entonces la ambigüedad. Si no conocemos el origen de la imagen en cuestión, la confusión puede prevalecer y una decisión arbitraria sería necesaria. La tercera categoría comprende imágenes más sencillas aún, pero no es muy diferente de la segunda categoría. Aquí se encuentran aquellas imágenes que están compuestas por contornos solamente formados por líneas de varios colores; es como si de un mapa hubiésemos dejado sólo la frontera entre regiones. De esta manera, si en la clase dos se plasma un mapa de los países de América, en la clase tres podría quedar la imagen de los contornos de las fronteras entre dichos países, cada frontera con un color diferente. En esta tercera categoría es posible también incluir cierto tipo de gráficas sencillas. En


109

la cuarta y última categoría se encuentran todas aquellas imágenes binarias, compuestas por puntos y polígonos de un color y un fondo uniforme de otro color. Un ejemplo bastante citado de esta clase de imágenes es donde se tienen contornos en blanco y negro únicamente. La imagen de una página de un libro constituye un ejemplo adecuado de esta última clase. Aquí caen las imágenes estructuralmente más sencillas que pueden ocurrir. De la clasificación arriba establecida se concluyen varias cosas. En primer lugar es factible afirmar que las gráficas forman una subclase de imágenes y que se operan como tales si es necesario, con la misma herramienta matemática que la empleada para las imágenes más complejas. Así por ejemplo, la gráfica de la distribución de intensidades del campo magnético terrestre puede ser filtrada y realzada con consecuencias muy interesantes desde el punto de vista geofísico. En segundo lugar, y en términos generales, las imágenes clase 2, 3 y 4, se describen por modelos deterministas debido a su relativa sencillez y a que en muchos casos son propiamente generadas por modelos matemáticos preestablecidos. En tercer lugar, las imágenes que requieren de una descripción estocástica son aquellas que se encuentran en la clase 1, son las más complejas y las que normalmente aparecen en la investigación experimental; dichas imágenes son por lo común de carácter multiespectral. En cuarto y último lugar, es claro que al operar una imagen de entrada, a través de las relaciones (III.47) o (III.51), se obtiene una salida de la misma clase que la de entrada, teniéndose además, del mismo tipo, la descripción respectiva: determinista o estocástica. Esto se debe a que el operador h es determinista. De aquí que las imágenes de clases 2, 3 y 4 no requieren de una mayor consideración de tipo estadístico, además de que existe una buena variedad de tratados sobre gráficas (Foley et al., 1990) que se abocan específicamente a estas clases de imágenes. Por otro lado, la clase 1 sí requiere de consideraciones estadísticas y para esto es necesario hacer una revisión de algunos conceptos relacionados con variables aleatorias y procesos estocáticos. Como no es el objeto de este trabajo el estudiar de por sí estos problemas, la revisión que se haga será en el contexto de las imágenes digitales multiespectrales. Supóngase ahora que se tiene un experimento de naturaleza estadística (Rosenfeld y Kak, 1982; Papoulis, 1991) es decir uno donde las respectivas salidas están regidas por leyes probabilísticas. Como un ejemplo de esto pensemos en seleccionar al azar una fotografía de entre un conjunto muy grande de ellas. Esto teniendo en mente que, para imágenes de 1024 x 1024, es factible eventualmente reproducir casi cualquier escena de la vida diaria, si contamos con un número suficientemente grande de pequeños cuadros de 256 posibles tonos de gris y armados como en un rompecabezas; para imágenes en color el número es tres veces más grande, pero por el momento el ejemplo con tonos de gris es adecuado. Es mucho más difícil entender experimentos de esta naturaleza para imágenes que para series de tiempo, puesto que se tiene una interpretación visual de las respectivas salidas y porque éstas son mucho más numerosas que en una dimensión. Por ejemplo, es más fácil entender que al rodar un dado se está ejecutando un experimento de naturaleza estadística y que al observar una de las caras del mismo, se está en realidad detectando una de las seis posibles salidas que existen con igual probabilidad cada una. En dos dimensiones es indispensable considerar a la imagen en su conjunto, lo que quiere decir que generar una imagen es equivalente a seleccionar una salida de entre 1024 x1024 muchas que existen en el experimento planteado: P256 , donde P significa permutaciones.

110


Sea ahora  el conjunto completo de posibles salidas del mencionado experimento, que como ya se explicó arriba, puede llegar a ser muy grande  = {1,2, ...n}

(III.57)

Para que  esté bien definido se requiere que las condiciones del experimento estén determinadas, es decir que se encuentre fijada la geometría sensor-objeto-fuente de radiación y que los intervalos de medida de las variables involucradas hayan sido convenientemente establecidos. Una salida i podría consistir por tanto en la selección de una imagen de entre un conjunto muy grande de ellas. Además de esto, es posible asignar una cierta probabilidad pi a cada salida i  , de tal forma que pi  0 y

p

i

1

(III.58)

i

lo que quiere decir que es imposible tener una salida con probabilidad negativa, ya que físicamente por el principio de causalidad no existen experimentos con pi  0. Tomemos ahora un subconjunto A de , es decir A  , entonces las salidas asociadas a A tienen también una probabilidad bien definida. A los subconjuntos Ai de  se les conoce como eventos, y en la práctica es necesario considerarlos junto con sus probabilidades asociadas. Puede ocurrir, en la realización de un experimento, que un evento sea igual a una salida o incluso a ; algunos ejemplos de esto podrían ser los siguientes: A1 = {1}, A2 = {2, 4, 6}, A3 = {1, 3, 5, ... n}

(III.59)

Este último análisis nos da pauta para ver la cuestión de la captura de una imagen de la siguiente manera: es posible visualizar las salidas i con cierta flexibilidad en el momento de discretizar una escena, de tal manera que la generación de un pixel a partir de la medida de la radiación sobre un CIV es considerada como la salida de un experimento que produce los elementos de una imagen digital. Así entonces, una imagen está constituida por un conjunto de salidas (pixels). Viendo las cosas de este modo, es posible afirmar que 1, 2, ... , representa el conjunto total de imágenes que son conformadas para una geometría y condiciones específicas de un experimento de naturaleza estadística; así entonces el universo total de salidas es el conjunto  = {1, 2, ... } El valor de  sólo puede ser determinado en función de las condiciones particulares de un experimento de generación de imágenes. Una imagen multiespectral producto de tal experimento está formada por un subconjunto de , no obstante, en este punto podríamos preguntarnos cuál es la estructura de cada i; para esto veamos el siguiente razonamiento. Sabemos que cuando se digitiza una escena con un barredor multiespectral para obtener una imagen, se produce un cierto conjunto de pixels que forman una línea de barrido, en este proceso se produce un subconjunto de i, digamos An, el cual está dado por


111

An = {1, 2, ... M}n En este contexto, una línea de barrido puede ser vista como un evento An con tantas salidas como pixels tenga la dimensión de la imagen en la dirección de barrido. Hay que hacer notar que este esquema es válido aun en otros mecanismos de digitización de imágenes tales como los que se tienen en arreglos matriciales de detectores. De esta manera hay tantos eventos An como líneas tenga la imagen y una banda de ésta está dada por tanto por el conjunto i = {A1, A2, ... AN}i que constituyen el número total de líneas de barrido. Por ejemplo, una imagen multiespectral de  bandas y dimensión espacial consistente en N líneas y M pixels, es el resultado de N eventos con M salidas cada uno, y cada superficie de una banda está representada por una i, por lo que se tienen  de éstas. Es necesario puntualizar que, de acuerdo con lo dicho en este contexto se tiene que   , ya que para una geometría dada es posible generar una gran cantidad de imágenes multiespectrales de una o varias escenas siempre y cuando éstas se ajusten a las condiciones del experimento. Entonces, en general,  es muy grande y  es una fracción de este número, asumiendo valores relativamente pequeños, ya que se refiere a una sóla imagen multiespectral de las muchas que pueden ser producidas. Con el esquema arriba planteado hemos generalizado las definiciones anteriormente expresadas (III.57 a III.59) ampliando nuestro criterio sin contradecir los conceptos estadísticos originales. Agreguemos ahora que un evento ocurre cuando cualesquiera de las salidas que lo componen ocurre. Ahora bien, supongamos que restringimos nuestro universo a una geometría de observación y condiciones dadas de una escena específica; un evento cierto es aquel que está compuesto por todas las salidas posibles que componen las bandas de una imagen multiespectral, en esta situación i sería un evento cierto. Además de lo anterior, los eventos cumplen con propiedades de la teoría de conjuntos, de esta manera A i es el complemento de Ai y representa la no ocurrencia de Ai, además

Ai - Aj, Ai ∪ Aj y Ai ∩ Aj son también eventos. Al evento  se le conoce como el evento

nulo y es por definición un conjunto vacío, entonces si Ai ∩ Aj =   Ai y Aj son mutuamente excluyentes. A cada evento A es posible asociarle una probabilidad P(A) de tal manera que P(A)  0 y P() = 1

(III.60)

Ahora bien si A1, A2, . . . AN, es una secuencia de eventos mutuamente excluyentes N

P ( A1  A2 , ... AN )   P ( Ai )

(III.61)

i

Si no hay correlación espacial (correlación observacional) en el proceso de medida, esta secuencia podría ser la sucesión de líneas de barrido durante la creación de la imagen. Si bien, es necesario hacer notar que en general existe una correlación observacional

112


(Barringer y Robinson, 1981) entre la medida hecha sobre un CIV y los adyacentes a éste. Por otro lado, si a cada salida j de un experimento se le asigna un número f(j), se tiene por tanto una función sobre el conjunto

An = {1, 2, ... M}n y que recibe el nombre de variable aleatoria. La relación f entre las salidas j y los números f(j) es de tipo determinista; es decir, una vez que ha ocurrido una salida j el valor que toma la variable aleatoria es una cantidad completamente determinada a través de la regla de asignación f. Lo que es aleatorio es la ocurrencia de la salida misma, que no es número sino un hecho que sucede. Es muy importante señalar que de acuerdo con lo discutido hasta ahora, la regla de asignación f(j) está determinada por el sensor remoto, j constituye el hecho de medir sobre un CIV determinado cierta cantidad de radiación y f(j) es el número que se le asigna al pixel correspondiente. Como ya se había apuntado en la sección III.2, en el momento de barrer una línea sobre la escena, se produce una serie de tiempo de los valores de radiancia provenientes de ésta; dicha serie constituye por tanto una variable aleatoria. Existe otro tipo de eventos que son interesantes para los propósitos de análisis de imágenes que nos hemos fijado. Así por ejemplo, el evento {f  z} representa el conjunto de todas las salidas j para las cuales f(j)  z, donde z es un número arbitrario pero fijo, de tal forma que para cada z, {f  z} es un evento. También, para dos números z1 y z2, {z1  f  z2} es un evento formado por todas aquellas salidas para las cuales f(j) se encuentra entre z1 y z2. Para finalizar con esta serie de ejemplos, es claro que el conjunto {f = z} es un caso particular de los eventos anteriores. De entre estos eventos tomemos por conveniencia el conjunto {f  z}; la razón de elegir a éste se verá en el desarrollo subsecuente. La probabilidad asociada a {f  z} es un número que depende de z, es decir es una función de z, sea esta función Pf(z), entonces Pf(z) = P(f  z) A Pf(z) se le conoce como función de distribución de probabilidades de la variable aleatoria f. Supóngase ahora que Pf(z) es derivable y que cumple con las siguientes propiedades:

1. Pf() = 0, Pf() = 1, esta última es el conjunto de todas las salidas y la primera se debe al principio de causalidad. 2. Pf(z1)  Pf(z2) para z1  z2, esto es así ya que {f  z1} es siempre un subconjunto de {f  z2} puesto que si v  w, entonces P(v)  P(w). 3. P(z1  f  z2) = Pf(z2)  Pf(z1), que se deduce fácilmente de lo anterior. Introducimos ahora la siguiente definición: a la derivada p f (z) 

dPf ( z ) dz

(III.62)


113

se le conoce como la función de densidad de probabilidad de la variable aleatoria f. Con la combinación de esta última definición y de la propiedad (c) se obtiene un resultado útil con una interpretación sencilla z2

z2

z1

z1



P (z1  f  z 2 )  Pf (z 2 )  Pf (z 1 )  p f (z)dz 



dPf (z) dz dz

(III.63)

con lo cual es claro que z

Pf ( z ) 

 p (z)dz f

(III.64)



Con este último resultado entendemos que la definición (III.62) es la más adecuada, ya que se trata de una probabilidad acumulativa, puesto que se emplean las salidas para las cuales f(j)  z; al incrementar el número z, se incluyen todas las salidas anteriores más las que se agregan en el incremento. En otras palabras, y a la luz de (III.64), se muestra que el área bajo la curva de la función de densidad es la probabilidad asociada al evento {f  z}. A partir de esta interpretación es posible ver que cuando el conjunto de muestras disponibles es representativo del universo completo de medidas, se tiene entonces que si z es suficientemente pequeña, se obtiene la siguiente aproximación P(z  f  z + z)  pf(z)z

(III.65)

De aquí que la función de densidad se escriba como

p f  lim  P [z  f  z  z] / z

(III.66)

z 0

Esta definición tiene un valor práctico, ya que permite visualizar un método aproximado para estimar la función de densidad tanto de una variable aleatoria continua como de una discreta; este método es el siguiente

1. Repítase el experimento un gran número  de veces. 2. Cuéntese el número de veces que la variable aleatoria asume valores entre z y z + z, con z mucho menor al intervalo de valores que toma la variable aleatoria; sea este número z 3. Es claro que la probabilidad de que la variable aleatoria tome valores entre z y z + z es de aproximadamente z/.  4. Por tanto p f ( z )  z z .  Este resultado refuerza la conveniencia de la definición adoptada para Pf(z), ya que del punto (4) se dice entonces que, para una banda de una imagen digital multiespectral, la función de densidad pf(z) está representada en buena aproximación, por el histograma

114


de valores de los pixels que la componen. Nótese que el área bajo la curva de la función de densidad entre z1 y z2 es igual a la probabilidad de que f tome un valor precisamente entre estos dos números. La evaluación, modelación o estimación de la función de densidad nos permite hacer una descripción del contraste global de la imagen por medio de sus características promedio, es decir de la imagen en su conjunto; otros detalles de esto se verán más adelante y en la sección IV.3. Dos de las propiedades promedio más interesantes y más empleadas son el valor medio y la desviación estándar. El valor medio o el valor esperado E{f} de una variable aleatoria f se define como 

 zp (z)dz

 f  E{f } 

f

(III.67)



Bajo ciertas condiciones (Papoulis, 1991) f, que se conoce también como el primer momento estadístico de la imagen, es igual o aproximadamente igual al siguiente promedio E{f } 

 z p (z )z i f

i

i

(III.68)

i

entonces utilizando las anteriores definiciones, se tiene E{f } 

 zP (z

 f  z i 1 )

(III.69)

O{z i  f  z i 1} 

(III.70)

i

i

expresión que puede ser reescrita como sigue  f  E{f } 

 zi i

donde O{zi  f zi+1} es el número de veces que la variable aleatoria f cae en el intervalo zi  f zi+1 y  es el número total de veces que se realiza el experimento. La expresión (III.70) es la definición que generalmente se adopta para el promedio. Nótese que la expresión anterior implica que se tiene un valor promedio para cada banda de la imagen multiespectral, de tal manera que el promedio o media es un vector de tantos elementos como bandas tenga la imagen. En la relación (III.70) se supone implícitamente que se cuenta con una muestra válida del universo de medidas. Para el caso de la imagen Aster mostrada en este libro (láminas 1 – 3), el vector de media es el siguiente:  = {132.58, 118.82, 105.69}. La segunda propiedad promedio utilizada en la descripción del conjunto de una imagen es la desviación estándar o segundo momento estadístico. Una manera interesante de introducir esta cantidad es a partir de la misma relación (III.67) que se empleó para el valor medio, puesto que es fácil demostrar (Papoulis, 1991) que si g = L[f] es una función de la variable aleatoria f, entonces g también es una variable aleatoria y se cumple la siguiente relación


115



E{g}  E{L[f ]} 

 L[f ]p (z)dz f

(III.71)



que es en realidad una generalización de la expresión (III.67) y donde L es un operador determinista. Sea ahora f el valor medio de f, entonces la varianza  f2 de f, se define como sigue 



 f2  E{(f   f ) 2 }  (z   f ) 2 p f (z)dz

(III.72)



A la raíz cuadrada de la varianza se le conoce como la desviación estándar y también existe una relación aproximada en forma análoga a como lo es para el valor medio. También es necesario puntualizar que la desviación estándar de una imagen es un vector de tantos elementos como bandas tenga ésta. Para el ejemplo de la imagen Aster (láminas 1 – 3), el vector de desviación estándar es  = {33.10, 37.92, 30.25}. Existen otros momentos estadísticos con interpretación simple y que se emplean en la descripción de imágenes; sin embargo, éstos se verán en detalle en los siguientes párrafos donde se generalizarán las ideas vertidas en la presente sección. Los momentos de alto orden no se tocarán puesto que están fuera de los objetivos de esta obra y prácticamente no se emplean en el análisis de imágenes. Para la varianza también existe una interpretación sencilla como lo es que representa una medida de la dispersión de los datos o una medida del contenido de la información de una banda de la imagen multiespectral. Al proporcionar la función de densidad de una imagen se está finalmente dando una descripción de conjunto de la misma, ya que no nada más se obtiene la probabilidad de ocurrencia de un cierto valor de un pixel a través del histograma respectivo, sino que también a partir de ella es posible obtener los momentos mencionados (Papoulis, 1991). La función de densidad es por tanto un modelo estocástico de la imagen y su modelación o estimación es importante en una variedad de procesos en el análisis de imágenes. Existe una gran variedad (Pratt, 2001) de formas para la función de densidad, algunas de ellas se listan a continuación ∙ La densidad chi-cuadrada con 2N grados de libertad p chi f 

f (k , l) N 1 2

N

 f2 N ( N)

 f (k, l)  exp   2 f2 

(III.73)

Donde (N) es la función gamma. ∙ La densidad Exponencial  p exp f

1 2 f2

 f (k, l)  exp   2 f2 

(III.74)

116


∙ La densidad Gaussiana

 p gau f

1

2 (k, l) 2 f

1/ 2

 f (k , l)   f (k, l)2  exp  2 f2 (k, l)  

(III.75)

∙ La densidad de Rayleigh p fray 

f (k, l)  f2

 f (k, l) 2  exp    f2 

(III.76)

∙ La densidad Log-Normal p log f 

2f (k, l)

1 2

 f2 (k, l)



1/ 2

 log{f (k , l)}   f (k, l)2  exp  2 f2 (k , l)  

(III.77)

∙ La densidad Uniforme p funi = 1/

(III.78)

En las expresiones para estas funciones de densidad, f(k,l) es el valor del pixel cuya posición es (k,l) para una banda dada y  es una constante por determinar a partir de las condiciones de la imagen. La figura III.11 muestra las funciones de densidad exponencial, Rayleigh, gaussiana y chi-cuadrada para uno, dos y cuatro grados de libertad. En general es posible afirmar que los histogramas de imágenes ópticas de satélite (Landsat o Spot) presentan histogramas modelables por funciones de densidad Gaussiana o de Rayleigh; algunos de estos histogramas son superposiciones multimodales (figura III.12a) de tales funciones. Las imágenes de radar (Seasat, ERS, Radarsat y TerraSar) tienen histogramas (lámina 10 y figura III.12b) que varían de acuerdo con el proceso de generación (Leberl, 1990) y que pueden ser de formas variadas como de Rayleigh, chi-cuadrada o exponencial. En imágenes reales es necesario evaluar la función de densidad para  > 0, ya que no existen valores de radiación negativos; en el caso que la imagen fuese compleja (amplitud y fase) como en una imagen de radar, sería necesario considerar las funciones de densidad de la parte real e imaginaria por separado. Para finalizar esta parte diremos que es importante hacer notar que, en la realización completa de un experimento se tienen los siguientes aspectos del mismo: 1) el fenómeno bajo estudio, 2) el proceso de captura de información (medidas de tal fenómeno), 3) los datos obtenidos, 4) el tratamiento de los datos y 5) el modelo del fenómeno físico involucrado. En cada aspecto es posible aplicar un modelado determinista o estocástico (cuadro III.1), dependiendo del conocimiento que se tenga del experimento, de la realización matemática y de consideraciones prácticas.


117

Figura III.11. Funciones de densidad Rayleigh, gaussiana y chi-cuadrada. Continuemos ahora con la generalización de las ideas y definiciones arriba vertidas en cuanto a un experimento de naturaleza estadística, con el objeto de poder describir en forma global a una imagen multiespectral. Sea por tanto una familia de funciones f(j) que depende del parámetro  y que se encuentra definida sobre el conjunto de todas las salidas i = {A1, A2, . . . AN}i de un experimento dado. El parámetro  es tal que   I, donde I es un intervalo del eje real o una región de un espacio multidimensional, el cual por simplicidad se asume Euclidiano. Es claro que a partir de estas definiciones, para un valor fijo de , se tiene una función bien definida sobre el conjunto de salidas i. Para cada valor de j, es decir para cada salida, f(j) es una función de  sobre un intervalo o una región de I, según sea el caso. Cuando I es unidimensional y además está constituido por una colección de puntos discretos: I = {1, 2, . . . r}, se tiene que la familia de funciones es simplemente un conjunto de variables aleatorias. Existen por tanto dos posibilidades, dependiendo de I, de visualizar a f(j)

1. f(j) es claramente una familia de variables aleatorias, cada miembro de ésta generado por un valor de . 2. f(j) puede ser también una familia de funciones de , cada miembro de ésta correspondiendo a una salida j. Cuando I es uni-dimensional, a la familia de funciones se le llama proceso estocástico. Cuando I es n-dimensional, a la familia de funciones f(j) se le llama campo aleatorio, el que puede ser real o complejo. Supóngase ahora que I es bidimensional, es decir sea I el plano x-y, de tal manera que  es un punto de este plano ya que   I. Por tanto,  se representa ya sea por sus coordenadas o por su vector de posición r. Por esto, el campo aleatorio f(j) será denotado de ahora en adelante como f(r,j), de aquí que para un valor de r, f(r,j) sea una variable aleatoria, mientras que para una salida j, f(r,j) sea una función sobre el plano x-y. De acuerdo con el planteamiento anterior, a  se le había denominado como el conjunto de salidas correspondiendo a una banda de una imagen multiespectral, de tal forma que denotaremos más bien a esta imagen como f(r,), donde  es el índice que representa las bandas que la componen. Esta representación se encuentra esquematizada en la figura III.13, donde se muestra una imagen multiespectral de  bandas y caracterizada por el campo aleatorio f(r,). En este caso,  corresponde a la selección de una banda  a partir de una colección de ellas. En la figura III.13 es posible apreciar que para un valor de r, es decir r  O A ,

118


f(r,) es una variable aleatoria,  . Por tanto, para r fija, la variable aleatoria correspondiente representa los valores de un pixel sobre todas las bandas de la imagen y a esto se le conoce como respuesta espectral o patrón espectral.

Figura III.12. Histograma multimodal (a) de una imagen Spot, e histograma de Rayleigh (b) de una imagen de radar del Seasat. En la figura I.4, f(r,) = {50,48,45,56}, con r = (1,8). Para una , f(r,) es una función bidimensional en el plano x-y, es decir una banda de la imagen multiespectral


119

(láminas 1 a 6). Hay que hacer notar que en este último caso, y dependiendo de como se considere a , f(r,) puede representar un pixel o una subimagen de la banda. En resumen: a) para  fija, f(r,) es una superficie que representa la variación de intensidad de la radiación medida en función de la posición (x,y) para un intervalo prefijado de energía y sobre el dominio D; a esto se le conoce como banda, b) para r fijo, f(r,) es una variable aleatoria que se conoce como respuesta espectral y representa la variación de intensidad de la radiación medida para un mismo CIV y para diferentes intervalos de energía.

Figura III.13. Imagen multiespectral de  bandas caracterizada por el campo aleatorio f(r,i). Como ya se mencionó con anterioridad, el campo f(r,) constituye una variable aleatoria para un valor específico de r; en general, esta variable no tiene las mismas propiedades estadísticas para todos los valores de r  D para los cuales está definida la imagen. En otras palabras, las funciones de distribución y densidad para la familia de variables aleatorias f(r,) dependen del valor de r, por tanto

120


Pf(z;r) = P{f(r,)  z}

(III.79)

es la función de distribución de la variable aleatoria f(r,) en el punto determinado por r  D del plano x-y. La función de densidad respectiva está dada entonces por p f ( z; r ) 

p f ( z; r ) z

(III.80)

Dada la forma en que hemos desarrollado estos últimos conceptos, es fácil ver que f(r, ) está definida para toda , por lo que de ahora en adelante se le denotará simplemente por f(r) o por f(x,y) para una imagen continua, o por f(k,l) para una imagen digital multiespectral. Entenderemos por tanto que f(r) representa una familia de funciones bi-dimensionales una para cada banda. Por otro lado, para los puntos r1 r2, … rMN  D que forman la imagen, se tienen MN variables aleatorias f(r1), f(r2), … f(rMN). De aquí es posible afirmar que una imagen digital de dimensión M x N está compuesta por M x N respuestas espectrales, todas ellas interrrelacionadas a través de la función de distribución conjunta Pf(z1, . . . zMN;r1, . . . rMN) = P{f(r1)  z1, . . . f(rMN)  zMN}  

(III.81)

y a través de la función de densidad conjunta p f ( z1 , ... z MN ; r1 , ... rMN ) 

Pf ( z1 , ... z MN ; r1 , ... rMN ) z1 ... z MN

(III.82)

las que pueden evaluarse a partir de la imagen misma (véase ecuación III.66) aunque a un costo computacional elevado. Cabe añadir que el estudio de estas funciones conjuntas es necesario en la descripción de la correlación espacial que existe entre diferentes objetos presentes en una imagen multiespectral, y que sirve también como base para la elaboración de modelos de textura. La modelación o estimación de (III.81) y de (III.82) nos proporciona una caracterización global de la distribución de valores de radiación de la escena, que en algunas situaciones simplificadas se interpreta como la textura. Así como el histograma es un modelo de la función de densidad de una banda de la imagen multiespectral, la matriz de co-ocurrencia (apartado VII.3.8) lo es para la función de densidad conjunta. La matriz de co-currencia es un modelo de textura que se aplica con buenos resultados en la segmentación textural de una imagen. Para resumir los conceptos anteriores considérese lo siguiente: Sea una imagen multiespectral g = {g(i,j)} definida sobre el dominio D = {(i,j)|1  i  M, 1  j  N}, con M pixels y N líneas. La imagen g es la realización de un campo bidimensional aleatorio Z = {Z(i,j)}, jerárquicamente definido en términos de un campo aleatorio subyaciente X = {X(i,j)}. El conjunto  = {1, 2, . . . } es llamado el grupo de bandas de la imagen. Para r = (i,j) fija, {z(i,j)} es una variable aleatoria llamada un pixel de la imagen. Para  fija, {z(i,j)} es un dominio del espacio euclidiano llamado banda de la imagen. De aquí entonces, un pixel es un vector de  dimensiones, representando las propiedades espectrales promedio de un campo instantáneo de vista


121

definido por el sistema sensor remoto. Un pixel es un patrón espectral de la imagen; existen MN patrones espectrales en la imagen g. El subconjunto {z(i,j)},  (i,j)  , donde   D, es definido como un patrón espacial de la imagen. El conjunto de subconjuntos {z(i,j)|(i,j)  },    D, llamado Pot(D), representa el grupo de posibles patrones espaciales en la imagen. Dado que el campo f(r,) es una variable aleatoria para una r específica, se tiene en general que la respectiva función de densidad depende del valor de r y por tanto el valor esperado de f debe también ser una función de r, entonces a 

 f (r )  E{f (r )} 

 zp (z; r )dz

(III.83)

f



se le llama la media del campo aleatorio en r y es a su vez una variable aleatoria con dependencia espacial en la imagen. Un momento estadístico de mucho interés para el análisis de imágenes multiespectrales es el que se refiere a la función de autocorrelación. La autocorrelación Rff(r1,r2) de un campo aleatorio f(r) está definida como el valor esperado del producto de las variables aleatorias f(r1) y f(r2) y se expresa como sigue:  

R ff (r1, r2 )  E{f (r1 )f (r2 )} 

  z z p (z , z ; r , r )dz dz 1 2 f

1

2

1

2

1

2

(III.84)

 

Más adelante veremos que así como existen expresiones aproximadas para los dos primeros momentos cuando I es un intervalo en el eje real, también bajo ciertas condiciones se puede encontrar una relación y Rff que facilite su evaluación para cuando I es un dominio del plano x-y. Por lo pronto podemos decir que a medida que r1 y r2 se alejan entre sí, f(r1) y f(r2) se hacen más distintas, pues con mayor probabilidad corresponden a objetos diferentes, mientras que para r1 y r2 cercanos, es posible que f(r1) y f(r2) correspondan a la respuesta espectral del mismo objeto. No obstante, para dos objetos radicalmente diferentes pero cercanos entre si, f(r1) y f(r2) serían muy distintos aun cuando r1 y r2 estuviesen relativamente cercanos. Una variación rápida o lenta de los valores de los pixels a lo largo de x, y o de cualquier otra dirección, es detectada por la función de autocorrelación, ya que ésta es función de los vectores r1 y r2; es por estas razones que a Rff se le utiliza como una primera aproximación para cuantificar la textura de una imagen digital. Otro momento estadístico empleado para describir a una imagen es la autocovarianza, que se define por medio de la siguiente relación Cff(r1,r2) = E{[f(r1) - f(r1)][f(r2) - f(r2)]}

(III.85)

La autocovarianza tiene una interpretación física similar a la autocorrelación, ya que Cff(r1,r2) = Rff(r1,r2) - f(r1) f(r2)

(III.86)

La autocovarianza y la autocorrelación están relacionadas a través de la media f, que

122


bajo ciertas condiciones se interpreta como el promedio. De aquí que cuando estas condiciones se satisfacen sea preferible utilizar la autocovarianza como un indicador de la textura, puesto que el promedio se ve así como la componente de frecuencia cero de la variación espacial de los tonos de la imagen. La autocovarianza representa en esta situación la variación de los valores de los pixels con una frecuencia diferente de cero. La correlación cruzada de dos campos aleatorios f y g está dada por  

R fg (r1, r2 )  E{f (r1 )g(r2 )} 

 z z p

1 2 fg ( z1 , z 2 ; r1 , r2 )dz1dz 2

(III.87)

 

donde pfg es la función de densidad conjunta de f(r1) y g(r2). La covarianza cruzada está definida por la siguiente relación Cfg(r1,r2) = E{[f(r1) - f(r1)][g(r2) - g(r2)]}

(III.88)

y que se reescribe en función de la correlación cruzada como Cfg(r1,r2) = Rfg(r1,r2) - f(r1)g(r2)

(III.89)

Tanto la correlación como la covarianza cruzadas son empleadas como modelos de similitud entre dos campos aleatorios, ya que si estos son iguales, los valores correspondientes de tales funciones son máximos y su valor decrece a medida que los campos sean diferentes hasta ser completamente decorrelacionados, en cuyo caso Cfg(r1,r2) = 0  E{f(r1)g(r2)} = E{f(r1)}E{g(r2)}

(III.90)

cuando f(r1) = g(r2) = 0. Es necesario tener gran cuidado en la normalización por posibles efectos originados por diferencias en geometría, escala y orientación que pudieran tener los campos f y g. Ahora bien, dos campos aleatorios f y g son ortogonales, si para cualquier r1 y r2 se tiene que Rfg = 0

(III.91)

que se refiere al caso extremo cuando los campos f y g están totalmente decorrelacionados. Es necesario hacer notar que lo expuesto hasta ahora es válido para campos aleatorios reales, puesto que la función de distribución se define en términos del número z, el que se supone real. También es factible medir la similitud entre dos funciones de densidad o histogramas por medio de la siguiente relación

D fd  1 

2 min[p i (r ), p j (r )] r

 p (r)  p (r) i

(III.92)

j

r

Donde pi y pj son dos histogramas cualesquiera. La expresión anterior puede ser


123

empleada para medir la similitud entre los histogramas de dos imágenes o entre los histogramas de dos clases de patrones. También es posible considerar histogramas multi-dimensionales de dos o más bandas. El intervalo de variación de Dfd es: 0  Dfd  1. Otra expresión que se emplea para medir la similitud de dos histogramas es  ij 

Cov[p i (r ), p j (r )] i  j

(III.93)

Donde Cov es la covarianza de los histogramas pi y pj y i y j son sus respectivas desviaciones estándar. Un caso particular e interesante es cuando un campo aleatorio es homogéneo o estacionario; esto es así al cumplirse dos condiciones: a) el valor esperado E{f(r)} es independiente de la posición r, por lo que f(r) =  = constante, y b) su función de autocorrelación es invariante frente a translaciones Rff(r1,r2) = Rff(r1 + r0,r2 + r0)

(III.94)

donde r0 es un vector cualquiera del plano x-y. Como esta última relación es válida para cualquier r1, r2, y r0, entonces haciendo r0 =  r2, la función de autocorrelación se reescribe de la siguiente manera Rff(r1,r2) = Rff(r1 - r2, 0) = Rff(r1 - r2)

(III.95)

que depende únicamente del vector diferencia r1 - r2 y que representa una condición de estacionalidad espacial (Barringer y Robinson, 1981). En imágenes de escenas de la vida real, generalmente sólo puede suponerse estacionalidad local, aun cuando en muchas ocasiones se hacen operaciones a la imagen como si ésta cumpliese las dos condiciones mencionadas (ecuaciones III.94 y III.95). Además de lo anterior, es posible afirmar que cuando un campo aleatorio es homogéneo, se tiene que Rff(r1 - r2) = Rff(r2 - r1)

(III.96)

Esto quiere decir que, si r1 = (x1,y1) y r2 = (x2,y2), entonces Rff(x1,y1;x2,y2) = Rff(x2 - x1,y2 - y1) = Rff(x1 - x2,y1 - y2)

(III.97)

y si se hace  = x2 - x1 y  = y2 - y1, la función de autocorrelación se escribe como sigue Rff(x1,y1;x2,y2) = Rff(,) = Rff(-,-)

(III.98)

Por otro lado como r0 es arbitrario, se escoge de manera conveniente, así que hacemos r0 = - r2 + r y entonces para dos campos aleatorios f y g conjuntamente homogéneos se tiene lo siguiente y

Rfg(r1,r2) = E{f(r1 + r0)g(r2 + r0)}

(III.99)

124


E{f(r1 + r0)g(r2 + r0)} = Rfg(r1 + r0,r2 + r0)

(III.100)

con lo que substituyendo el valor que escogimos para r0, tenemos Rfg(r1,r2) = Rfg(r1 - r2 + r,r) = E{f(r1 - r2 + r)g(r)}

(III.101)

Ahora bien, introduciendo las definiciones para  y , se tiene finalmente Rfg = E{f(x + ,y + )g(x,y)}

(III.102)

que representa la condición de estacionalidad conjunta y que también se expresa como una invarianza frente a translaciones. Es posible que existan campos aleatorios con un grado mayor de simetría, es decir que la autocorrelación sea invariante frente a rotaciones de tal forma que sólo dependa de la distancia Euclidiana r1  r2  r2  r1   2   2

(III.103)

Los campos aleatorios que cumplen con esta propiedad se llaman homogéneos e isotrópicos. Se puede afirmar en general que cuando una imagen contiene estructuras más simples, el campo aleatorio respectivo cumple con más propiedades de simetría. Las condiciones dadas por (III.94) y (III.95) establecen la estacionalidad en lo que se conoce como sentido amplio. Además, el concepto de campo aleatorio homogéneo es de hecho una generalización a espacios de dos o más dimensiones de los procesos estocásticos estacionarios. Otra manera de ver la estacionalidad espacial es cualitativamente imaginando que la función que genera los valores de los pixels es la misma para la extensión espacial cubierta por la escena correspondiente. Esto implica que las condiciones físicas bajo las cuales se adquirió la imagen son iguales, independientemente de la posición relativa que guardan los CIV de la escena. Por condiciones físicas entendemos la geometría particular del experimento, los requerimientos de homogeneidad de la fuente de radiación y la respuesta uniforme de los detectores del sistema de captura. Un aspecto relacionado con estos conceptos de simetría es el de la correlación observacional (Barringer y Robinson, 1981) relativa a CIV vecinos. Algunos sistemas de captura funcionan de tal manera que al realizar mediciones de una escena lo hacen sobre CIV traslapados. En otros casos los mecanismos de degradación son tales que ciertos fenómenos de dispersión (Lira y Oliver, 1984) hacen que el valor de medida sobre un CIV esté influido por sus vecinos más cercanos. En estos dos ejemplos se tiene el problema de la correlación observacional cuyo principal efecto es el de ocasionar una falta de estacionalidad espacial en el campo aleatorio resultante. En todo caso es necesario eliminar cualquier correlación observacional a través de métodos como la descomposición en componentes principales (sección IV.6) aplicada a cada banda de la imagen multiespectral. Otra propiedad promedio que se emplea en la descripción de una imagen digital es la que se refiere a la densidad espectral o espectro de potencia de un campo aleatorio homogéneo. Esta densidad se define como la transformada de Fourier de la función de autocorrelación


125

 

Sff ( x ,  y ) 

 R

ff

(, ) exp{2j(  x  y )}dd

(III.104)

 

o bien la densidad espectral cruzada de dos campos aleatorios se escribe en forma vectorial como  

Sfg ( ) 

 R

fg (r ) exp{2jr  }dr

(III.105)

- 

con r = (,) y  = (x,y), donde x, y son las frecuencias espaciales en las direcciones x, y respectivamente. Cabe anotar aquí que es muy fácil escribir la versión digital para la densidad espectral, esta es S ff (k , l) 

 1  km ln   R ff (m, n) exp 2j M  N  MN m n

(III.106)

donde 1/MN es el factor de normalización para una imagen rectangular de dimensión M  N y que en el caso digital se coloca en la transformación directa. A partir de la interpretación que se dió para la función de autocorrelación en términos de la textura, es posible ahora decir que la densidad espectral es la distribución de frecuencias de la variación espacial de los valores de los pixels que componen la imagen digital y nos proporciona la distribución de frecuencias espaciales de la misma. Las propiedades promedio que se han planteado en esta última sección se encuentran definidas finalmente a través de la función de densidad del campo aleatorio, la que es difícil o laboriosa de evaluar. Un principio que satisface una cierta clase de campos aleatorios permite la estimación directa de las propiedades promedio mencionadas. Este principio es el que se encuentra determinado por el teorema ergódico (Papoulis, 1991) y que se verá aquí en forma cualitativa, relacionado únicamente con los dos primeros momentos; aun así esto es suficiente para nuestros propósitos. En lo que sigue se supondrá que la discusión concierne solamente a campos aleatorios homogéneos. En las expresiones para los dos primeros momentos f(r) y Rff(r1,r2), se entiende que son relaciones para las propiedades estadísticas del campo aleatorio y son conocidas como promedios del conjunto ya que dan medidas del comportamiento global de la imagen. Veamos ahora con más detalle qué significa la expresión para la media f(r). Esta media significa que el experimento bajo desarrollo se repite un gran número de veces (los CIV medidos) y que para cada realización se observan las bandas , se realiza un muestreo sobre la función bidimensional correspondiente de entre la familia f(r,) en la posición r, y se promedian los valores así obtenidos. En otras palabras, la operación de promedio es



 f (r ,  k ) /  k

dada. Considérese por otro lado el promedio espacial expresado por

para una r

126


1  

V  lim 

 f ( x, y )dxdy ,  

(III.107)





donde  es una región conectada simple acotada en el plano x-y,  es el área de tal región y por lim    se entiende un proceso que tiende a cubrir el plano x-y entero, aunque si bien más allá del dominio de la imagen no hay contribución a la integral. La relación (III.107) representa una familia de ecuaciones, una para cada banda de la imagen multiespectral. Al substituir el campo aleatorio respectivo (imagen multiespectral) en (III.107) se produce un número para cada banda . La colección de estos números es una función sobre el conjunto de bandas, de aquí que V sea una variable aleatoria en general. Podemos ahora decir lo siguiente: 1) si la variable aleatoria V es tal que su valor es el mismo para todas las bandas , es decir si V es una constante, y 2) si esta constante es igual a la media  del campo aleatorio homogéneo, entonces éste es ergódico con respecto a la media. Esta propiedad de ergodicidad es muy importante en aplicaciones computacionales relacionadas con el análisis de imágenes, ya que si una colección de imágenes (bandas) forma un campo aleatorio que sea ergódico con respecto a la media, entonces el primer momento estadístico de este campo puede ser obtenido por un simple promedio espacial de los valores de los pixels de cualquiera de las bandas de la colección. Suposiciones análogas a las anteriores se hacen con relación a la autocorrelación, la que también es un promedio de conjunto del campo aleatorio en cuestión. La definición para este promedio es equivalente a repetir el experimento respectivo un gran número de veces y para cada realización, observar las bandas , muestrear la función bidimensional asociada a partir de la familia f(r,) para los puntos r1, r2, determinar el producto de estas dos muestras y promediar el resultado así obtenido. Sea ahora el siguiente promedio espacial para un campo aleatorio homogéneo 1  

R (, )  lim 

 f ( x, y )f ( x  , y  )dxdy ,  



(III.108)



donde  es una región conectada simple acotada en el plano x-y,  es el área cubierta por tal región y por lim    se entiende un proceso que tiende a cubrir el plano x-y entero. Es claro que la ecuación (III.108) arroja un número para cada banda , la colección de estos números para la imagen f(r,) respectiva, constituye una variable aleatoria. Ahora bien, si esta variable aleatoria es una constante para todo par (,) y si es igual a Rff(,), entonces el campo aleatorio es ergódico con respecto a la autocorrelación, por lo que la función Rff(,) se obtiene simplemente por el promedio dado por (III.108) para cualquier banda de la imagen multiespectral. Es importante mencionar que una imagen multiespectral de satélite no cumple en general con la ergodicidad. Un resultado interesante a partir de (III.108) y suponiendo válida la ergodicidad es el siguiente R ff (m, n )   f (, )f (m  , n  )  f (m, n ) o f (m, n ) 



(III.109)


127

habiendo ignorado el factor de normalización de (III.108) y empleando la notación de (IV.108). Ahora bien, debido a (III.106) se tiene Sff(k,l) = F{Rff(m,n)} = F{f(m,n) o f(m,n)} donde F representa el operador de la transformada de Fourier y el operador o representa la función de correlación. Por el Teorema de la Correlación (véase el apartado IV.5.1) referente a la transformada de Fourier, se obtiene que Sff ( k , l)  F( k , l) F * ( k , l)  F( k , l)

2

(III.110)

donde F es la transformada de Fourier de la imagen f para una banda dada de esta; esto permite obtener la densidad espectral en forma directa sin tener que evaluar la función de densidad (véase lámina 19). Además, debido a la ergodicidad, la densidad obtenida a partir de (III.110) es representativa de aquella que se obtendría a partir del conjunto de la imagen. A partir de (III.109) la expresión para la correlación cruzada de dos campos aleatorios f y g se escribe como R fg (m, n )   f (, )g (m  , n  )  f (m, n ) o g(m, n ) 

(III.111)



Al suponer válida la ergodicidad para una imagen multiespectral, la ecuación (III.111) nos permite evaluar también la función de correlación entre las bandas. Como hemos visto, el cálculo de las propiedades estadísticas de una imagen, como la media, la autocorrelación y la densidad espectral, se simplifica mucho si el proceso que generó el campo aleatorio correspondiente es ergódico. Es muy difícil demostrar que tal o cual proceso es ergódico con respecto a todos los momentos estadísticos, generalmente sólo es posible hacerlo para los dos primeros de ellos. Aun así, la ergodicidad para los dos primeros momentos es suficiente para muchas aplicaciones importantes del análisis de imágenes. En la práctica, la ergodicidad de un campo aleatorio se presupone con frecuencia y se realizan cálculos como si tal fuese el caso. Sin embargo, muchas imágenes no satisfacen el principio de ergodicidad por lo que se pueden introducir errores considerables al evaluar propiedades estadísticas y al realizar clasificaciones espectrales. Es responsabilidad del investigador el evaluar el error que se comete al suponer válida la ergodicidad así como el de explorar su aplicación en un campo aleatorio. Es posible añadir que un proceso ergódico es estacionario, pero uno estacionario no siempre es ergódico. También, un sistema ergódico es no destructivo aunque no necesariamente sea válido a la inversa, y un sistema con memoria nunca es ergódico. Un ejemplo de estos conceptos es la generación de imágenes de superficies de sólidos empleando un microscopio electrónico. El dispositivo electrónico del microscopio envía electrónes de energía controlada hacia la superficie de un sólido, interactuando con ésta y modificándola en este proceso. La detección de los electrónes retrodispersados permite la generación y registro de la imagen (micrografía) correspondiente a la superficie. La producción de micrografías es por tanto un sistema destructivo, con memoria y no ergódico.

128


Para finalizar diremos que la ergodicidad implica cualitativamente lo siguiente: supongamos que por algún procedimiento es posible obtener o contar con  copias del sistema que deseamos estudiar, digamos  muestras o  preparaciones. Dejemos ahora evolucionar en el tiempo estas  copias y obtengamos imágenes en  tiempos diferentes. Así, por ejemplo, la primera copia la observamos en el tiempo t1, la segunda en el t2 y así sucesivamente. Ergodicidad quiere decir entonces que es lo mismo observar la evolución de dicho sistema en el tiempo, que la observación de sus  copias en diferentes tiempos o estados de evolución. De esta forma, a partir de la imagen de un bosque, digamos, es factible inferir el crecimiento de un pino estudiando varios de ellos en diferentes etapas de crecimiento. También, con la utilización de un modelo probabilístico (Lira et al., 1992), es factible observar el fenómeno de desertificación en sus diferentes etapas de evolución, empleando una sóla imagen de una zona que presente una variedad de grados de tal fenómeno (Lira, 2004). Para conocer si en una imagen se satisface la ergodicidad a segundo orden se lleva a cabo el siguiente procedimiento: se calculan la media y la varianza a partir de ventanas seleccionadas al azar en la imagen, si éstas muestran estar no correlacionadas se revela entonces la existencia de una estacionalidad de segundo orden, es decir, de ergodicidad de segundo orden (Seixas, 2000).

III.6 Ejercicios 1. Los métodos para generar imágenes digitales se dividen en: indirectos (a distancia) y directos. Una imagen de satélite es generada por un método indirecto, dé un ejemplo de una imagen producida por un método directo. 2. Siguiendo un lineamiento similar al mostrado en las ecuaciones (III.5) a (III.14) obtenga la expresión (III.15). 3. Rehaga el cálculo de las ecuaciones (III.5) a (III.14) pero empleando un barrido sinusoidal: x = aSen(t). 4. Al escribir la ecuación (III.8) se presupuso un barrido en x independiente de y; describa un sistema donde sí exista dependencia y reescriba en consecuencia dicha ecuación. 5. Una imagen del satélite Landsat TM tiene aproximadamente 7000  7000 pixels para una área cubierta de 185  185 km2, calcule en hertz la frecuencia de muestreo y el máximo contenido de frecuencia de tal imagen. 6. En la figura III.5b la transformada de Fourier se muestra acotada en frecuencia y simétrica, dé las razones de esto. 7. La ecuación (III.49) se obtuvo suponiendo un sistema lineal e invariante frente al tiempo, los sensores generadores de imágenes a bordo de satélites generalmente satisfacen estas suposiciones. Proporcione un ejemplo en detalle de un sistema que no sea lineal y de otro que no sea invariante frente al tiempo. 8. Pruebe la expresión (III.71). 9. La figura III.12a muestra un histograma bi-modal de una imagen pancromática Spot. Modele este histograma como una superposición de dos gaussianas; encuentre por ajuste de mínimos cuadrados la media y la desviación estándar de cada gausiana y de su combinación.


129

10. La figura III.12b muestra el histograma de una imagen de radar del Seasat. Verifique que se trata de una función de densidad de Rayleigh y estime los parámetros correspondientes. 11. En la figura I.4 identifique el campo aleatorio f(r,) correspondiente a la imagen digital multiespectral, determine el valor del parámetro , obtenga la variable aleatoria correspondiente para una r fija, identifique también una salida y un evento de este campo aleatorio. 12. Aplique la ecuación (III.83) al campo aleatorio descrito por una imagen Landsat de 7 bandas, obtenga la distribución espacial de la media y verifique si el campo es homogéneo ó no. Obtenga la descomposición en componentes principales de la misma imagen y repita el cálculo, observe si estas componentes forman un campo homogéneo, explique las diferencias con respecto a las bandas originales. 13. Demuestre la relación III.86. 14. Encuentre el intervalo de variación de la similitud de dos histogramas dada por las expresiones (III.92) y (III.93). 15. ¿Cuáles son las condiciones que deben cumplirse para que una imagen de satélite cumpla con el principio de estacionalidad? 16. Emplee la ecuación (III.109) y calcule la función de autocorrelación para una ventana de 3  3 para la primera banda mostrada en la figura I.4. 17. Emplee la ecuación (III.111) y calcule la función de correlación entre las bandas mostradas en la figura I.4. 18. Del cuadro III.2 demuestre el teorema de Parseval para los casos continuo y discreto. 19. Del cuadro III.2 demuestre que la integral de la función de transferencia es uno, tanto para el caso continuo como para el discreto. 20. Haga un bosquejo de un sistema generador de imágenes en donde se cumpla la ergodicidad y uno donde no se cumpla, justifique sus aseveraciones. 21. Al final del capítulo II se mostró un ejemplo de ergodicidad para observar la evolución en el tiempo de un bosque y para describir el proceso de desertificación, describa otro ejemplo empleando una imagen de satélite.

130


IV. TRANSFORMACIONES El realce global de la imagen multiespectral, banda por banda o en su conjunto, tiene como objeto principal el facilitar la apreciación general de la misma por medios visuales y digitales. Una imagen globalmente realzada puede ser empleada como tal para un reconocimiento visual de patrones, o bien, considerada como un paso previo para una segmentación, un reconocimiento de patrones y una evaluación morfológica de los mismos.

IV.1 Aspectos Generales En el capítulo anterior estudiamos los modelos de imagen multiespectral, los elementos que la componen, la interrelación que hay entre ellos y la estructura que forman. Muy vasto es el campo que se refiere a la estructura de una imagen y para analizarlo tendríamos que entrar plenamente en el terreno de la psicovisión, lo que está fuera del alcance de esta obra; amén de que mucho de esto se refiere al reconocimiento de patrones. Aun así sabemos ya qué es una imagen digital multiespectral y podemos proceder ahora a estudiar qué podemos hacer con ella, es decir, cómo la podemos transformar para extraer la información pertinente a nuestros objetivos. El primer gran grupo de transformaciones que es conveniente estudiar es aquel que se denomina transformaciones reversibles, que incluye las unitarias, y que por su misma naturaleza permiten recuperar, en principio, la imagen original. En las transformaciones reversibles existe siempre el operador inverso, que permite recobrar la imagen original a partir de la imagen transformada. Como ya se mencionó anteriormente, a estas transformaciones se les conoce también como realces generales o realces no-selectivos, puesto que no se realza una clase de patrones a costa de otra (aun cuando en algunos casos ciertos patrones se realcen más que otros). Algunos operadores, como los de tipo diferencial, tienden a realzar con mayor énfasis ciertos rasgos de la imagen, pero esto no es a costa de los otros rasgos o de la supresión de algún aspecto de la imagen. Por tanto, aun en estos casos, se tienen realces no selectivos, ya que no se está realzando selectivamente la imagen. En un realce general, al no segmentar la imagen, sino preservar todos los patrones que la componen, realzados en menor o mayor grado, se genera una imagen de mejor calidad para propósitos específicos. De esta manera se conserva toda la información de la imagen original y por esto se tiene una transformación reversible. Podemos decir, en otras palabras, que deseamos realces globales para hacer una apreciación general de la imagen en una primera etapa de análisis, lo que implica que los realces sean no selectivos. En este punto es conveniente reproducir la definión de realce introducida en el Capítulo I: Un realce es una transformación a la imagen cuyo objetivo es incrementar la distancia entre un grupo de patrones. La distancia se determina por medio de una métrica que resulta de un modelo matemático que caracteriza la tarea de realce. Esta distancia es una medida de la separabilidad entre los patrones en el espacio de rasgos. La principal ventaja de que una transformación sea reversible es que podemos establecer otra representación de la imagen con el objeto de visualizar ciertas

Transformaciones

131

características o estructuras de la misma. Una vez visualizadas estas estructuras, consideramos la imagen original (si así conviene) y establecemos útiles conclusiones. Una segunda ventaja de este tipo de realces generales es que son de rápida ejecución desde el punto de vista computacional. Además tienen pocos o ningún parámetro de entrada; todo esto las hace de fácil uso y sencilla implantación en computadora. Algunos de los realces generales se aplican banda por banda y otros a la imagen multi-espectral en su conjunto; las modificaciones al histograma o la transformada de Fourier son ejemplos de los primeros y la descomposición en componentes principales o la transformada de Kauth y Thomas son ejemplos de los segundos. Al realizar transformaciones banda por banda, tenemos la opción de variar el valor de los parámetros (si es que existen) involucrados realzando las bandas en diferente grado. Como cada banda representa diferentes aspectos de los patrones que la componen, al aplicar el realce en cuestión se enfatizan entonces diferentes rasgos de la imagen por separado. En transformaciones aplicadas a la imagen multiespectral como tal, el realce se lleva a cabo a partir de todas las características presentes en cada banda, de esta forma es posible que ciertas clases de cobertura queden evidenciadas como tales. Este es el caso de la descomposición en componentes principales y de la transformada de Kauth y Thomas. Para ciertos problemas los realces banda por banda son adecuados, para otros, los realces de conjunto son los mejores. Esto será discutido con mayor amplitud en las secciones correspondientes a cada transformación. Los realces generales no reversibles son aquellos donde se realza globalmente la imagen, con énfasis en una clase de patrones, pero en los cuales no existe el operador inverso; tal es el caso del análisis canónico. En esta transformación, es necesario instroducir información sobre dos o mas clases, generándose un imagen que formalmente tiene menos bandas que la original; detalles de esta transformación se verán más adelante. Existen varias formas de ver a una transformación reversible. La primera consiste en interpretarla como una descomposición de la imagen en un espectro generalizado bidimensional empleando una base de funciones ortonormales. Cada componente espectral en el dominio de la transformada corresponde a la cantidad de energía de la función espectral dentro de la imagen original. En este contexto, el concepto de frecuencia se generaliza para incluir transformaciones de funciones diferentes a las de coseno y seno. Este tipo de análisis espectral generalizado es útil en la investigación de sintetización de estructuras específicas para una clase dada de imágenes. Otra forma de visualizar la transformación de una imagen es considerarla como una rotación multidimensional de coordenadas, es decir como un cambio de la base que genera el espacio al cual se encuentra referido la imagen multiespectral. Una tercera manera de ver esto, es considerar a la transformación como un medio de sintetizar una imagen con una función matemática bidimensional para un dominio fijo de transformación de coordenadas. En esta interpretación, el operador de la transformación es llamado función base bidimensional y el coeficiente de la transformación es la amplitud de las funciones base requeridas para la síntesis de la imagen. Es necesario mencionar que, una de las principales propiedades de una transformación reversible, es que permite que se preserven las características geométricas de la imagen original. En algunas transformaciones con mayor grado de simetría (unitarias) se conserva, además de lo anterior, la métrica. Ahora podemos decir que, en términos generales, el principal objetivo de un realce es el de presentar una imagen multiespectral en un marco de referencia más adecuado para una aplicación

132


específica, lo que quiere decir que el tipo de realce está definido por el problema en cuestión. Así, una cierta técnica de realce puede ser adecuada para una radiografía, pero no para una imagen satelitaria. No existe una teoría general para el realce de imágenes, pero sí es posible afirmar que el diseño de un realce tiene como propósito fundamental el de poner en evidencia uno o varios patrones espaciales o espectrales. Es posible afirmar que la evaluación del éxito con el que un cierto realce ha evidenciado un determinado patrón es subjetivo. Para minimizar esta subjetividad, es necesario predefinir un marco de fidelidad al cual se refiera la imagen realzada; aun así no existen criterios generales para establecer marcos de fidelidad, sino que más bien éstos se diseñañ en función de una aplicación específica y del valor que se le asigne a la imagen realzada. Con estos conceptos decimos ahora que los realces se dividen en dos grandes categorías: aquellos que se basan en la expansión de funciones ortonormales como la transformada de Fourier, de Hadamard o de Haar (sección IV.5) y los que se refieren a la ejecución, en el espacio de coordenadas, de la manipulación directa de los pixels de la imagen, ya sea a través de ventanas o de los pixels de la imagen en su conjunto. Como ejemplos de realces llevados a cabo en el espacio de coordenadas, tenemos las elongaciones al histograma (sección IV.3) y los operadores diferenciales aproximados por diferencias finitas (sección IV.4). En resumen, es factible afirmar que los realces, análogamente a otras transformaciones a la imagen, se ejecutan en el espacio de coordenadas o en el de frecuencias generalizadas.

IV.2 Transformaciones en el Espacio de Coordenadas De acuerdo con lo expuesto en el capítulo III, el proceso de digitización y cuantización de una escena produce un arreglo de números en forma matricial. Sea [f(i,j)] la matriz que representa una banda cualquiera de una imagen digital multi-espectral  f (1,1) f (2,1)  f (1,2) f (2,2)   . f (i, j)   .   .  f (1, N ) f (2, N )

. .

. .

. .

f ( M ,1)  f ( M ,2)       f ( M , N )

(IV.1)

es decir que esta imagen tiene N líneas de M pixels cada una. Recordemos que cada elemento de esta matriz representa unívocamente las características promedio de la radiación proveniente de los CIV de la escena para un cierto intervalo de energía. Una transformación lineal discreta de la matriz [f(i,j)], de dimensión (M,N) es una matriz [F] de la misma dimensión y definida como el producto de tres matrices [F] = [P][f][Q]

(IV.2)

donde las matrices [P] y [Q] son no-singulares y de dimensiones (M,M) y (N,N) respectivamente. La transformación de la imagen [f(i,j)] queda determinada una vez que

Transformaciones

133

las matrices [P] y [Q] son definidas 1 . Se dice también que [f] y [F] son matrices equivalentes. Cómo establecer definiciones apropiadas para [P] y [Q] es un tema extenso que puede ser estudiado en la literatura (Arfken y Weber, 1995; Boas, 1983). Cabe ahora mencionar que el hecho que [P] y [Q] sean no singulares hace que la transformación arriba definida (ecuación IV.2) sea invertible y puede puntualizarse también que si no existen los inversos respectivos a [P] y [Q], es factible estimar sus pseudoinversos (Pratt, 2001). En otras palabras, aquellas transformaciones lineales y no invertibles implican entre otras cosas que las matrices [P] y [Q] son singulares, aunque si bien esto es una condición necesaria más no suficiente, puesto que [P] y [Q] pueden ser singulares, pero bajo ciertas restricciones es posible encontrar su pseudoinverso. En forma explícita, la transformación directa de [f(i,j)] se escribe como sigue M

F( k , l) 

N

 P( k, m )f ( m, n )Q( n, l)

(IV.3)

m 1 n 1

para k, l = 1, 2, … M, N, respectivamente. Si las matrices [P] y [Q] de la transformación son no singulares, entonces sus inversos están univocamente definidos. Sean ahora [P]-1 y [Q]-1 los inversos de [P] y [Q] respectivamente, entonces multiplicando a [F] en (IV.2) por la izquierda por [P]-1 y por la derecha por [Q]-1, se tiene [f] = [P]-1[F][Q]-1

(IV.4)

que es justamente la transformación inversa, es decir [f] es la transformación inversa de [F]. Una manera conveniente de escribir la forma explícita de la transformación directa es la que sigue M

F( k , l) 

N

 f ( m, n )P( k, m )Q( n, l)

(IV.5)

m 1 n 1

y a partir de aquí se define lo que se conoce como el kernel A de la transformación A(m,n;k,l) = P(k,m)Q(n,l)

(IV.6)

1 Presentamos aquí en forma resumida las propiedades matriciales empleadas en esta sección: a) Una matriz cuadrada posee inverso si su determinante es diferente de cero, tales matrices se llaman no singulares; b) Una matriz real y cuadrada [T], es simétrica si [T] = [T]t, donde [T]t es la transpuesta de [T]; c) La matriz [T] es ortogonal si [T]t[T] = [I], donde [I] es la matriz identidad, por lo que, para una matriz real y cuadrada que sea simétrica y ortogonal, se tiene que [T]-1 = [T]; d) Una matriz compleja cuadrada [C] es Hermitiana si [C]*t = [C], donde [C]* es el conjugado complejo de [C]; e) La matriz [C] es unitaria si [C]*t[C] = [I], de aquí que para una matriz cuadrada compleja que sea Hermitiana y unitaria se tiene que [C]-1 = [C]. Para matrices rectangulares existen propiedades similares (Ben-Israel y Greville, 2003).

134


Es decir que A = [A(m,n;k,l] es una matriz de dimensión (M,N) cuyo elemento (m,n) es precisamente P(k,m)Q(n,l). El kernel B de la transformación inversa se obtiene en forma similar. En una transformación unitaria, los kernels A y B cumplen con un conjunto de condiciones de ortonormalidad (ecuaciones IV.7).

 A( n , n

2 ; m 1 , m 2 ) A * ( j1 , j2 ; m 1 , m 2 )

 ( n 1  j1 , n 2  j2 )

 B( n , n

2 ; m 1 , m 2 ) B * ( j1 , j2 ; m 1 , m 2 )

 ( n 1  j1 , n 2  j2 )

1

m1 m 2

1

m1 m 2

(IV.7)

 A( n , n

2 ; m 1 , m 2 ) A * ( j1 , j2 ; k 1 , k 2 )

 ( m 1  k 1 , m 2  k 2 )

 B( n , n

2 ; m 1 , m 2 ) B * ( j1 , j2 ; k 1 , k 2 )

 ( m 1  k 1 , m 2  k 2 )

1

n1

n2

1

n1

n2

donde el símbolo * significa conjugado complejo y la  se refiere a la delta de Kronecker. En estas condiciones está claro que los kernels A y B deben incluir el factor de normalización correspondiente. De regreso a las relaciones (IV.5) y (IV.6) escribimos la transformación a una imagen como F( k , l) 

 f ( m, n )A( m, n; k, l) m

(IV.8)

n

que es finalmente un modelo matemático de transformación de imágenes, similar al desarrollado en el capítulo III (ecuación III.51), pero concebido en forma diferente. Se dice que el kernel es separable cuando A(m,n;k,l) =A1(m,k)A2(n,l). En el contexto actual, la relación (IV.8) puede verse de la siguiente manera F = A{f}

(IV.9)

Es decir que el kernel A es un operador actuando sobre la imagen de entrada f para producir la imagen de salida F. Aun cuando la relación (IV.8) es básicamente la misma que la (III.51), el contexto bajo el cual se aplican es diferente. La relación (III.51) es general y se entiende en su contexto amplio, no así la relación (IV.8) que normalmente se aplica cuando la transformación se hace en el espacio de la imagen. La costumbre ha hecho que el término kernel se refiera a operadores que actúan en el espacio de coordenadas. El operador kernel puede ser de respuesta finita, sobre una ventana, como en el caso de un operador diferencial aproximado por diferencias finitas, o puede ser de respuesta infinita (Lu, 1992) sobre todo el dominio de la imagen como en la transformada de Fourier. En algunos casos se confunde (erróneamente) al kernel con la ventana misma. La ventana es la región sobre la cual se aplica el kernel, es decir éste

Transformaciones

135

constituye la regla bajo la cual se combinan los valores de los pixels de la ventana para substituir a uno de ellos determinado de antemano. En forma simbólica esto se escribe como ( k ,l )  ps  K [ pij ] , (i,j;k,l)  Vmn

(IV.10)

donde (k,l) son las coordenadas del pixel predeterminado, pij son los pixels de entrada, ps es el pixel o valor de salida, K es kernel de la transformación y Vmn es la ventana de dimensión (m,n), que puede incluir desde un solo pixel hasta la imagen entera. Si K significa una operación de promedio sobre la ventana Vmn, entonces la transformación no es reversible. Por otro lado debemos decir que la ventana tiene que ser una región conectada simple, en principio de forma arbitraria, y que contiene un cierto número de pixels de la imagen original. Es posible también concebir hiperventanas definidas sobre la imagen multiespectral. Estos conceptos implican que los índices m y n de la relación (IV.8) no necesariamente asumen valores hasta la dimensión (M,N) de la imagen. Veamos ahora que, cuando consideramos un kernel, lo hacemos en un sentido operacional, mientras que cuando nos referimos a la función de respuesta al impulso, queremos dar una connotación más bien física a la transformación de una imagen. La suposición de una ventana finita, es decir, menor a la dimensión de la imagen, implica una aproximación a la transformación respectiva; esto le quita en términos estrictos pero reales, reversibilidad a la misma. Hay ocasiones en las que el kernel de la transformación no es evidente o no tiene forma explícita. En otras ocasiones se parte de una forma explícita y debido a ciertas aproximaciones introducidas por conveniencia, llega a perderse la evidencia del operador en la forma dada por la ecuación (IV.8). Es conveniente ahora ahondar en qué se quiere decir con realces en el espacio de coordenadas o en el de frecuencias. Un realce en el espacio de la imagen implica que la transformación realiza un mapeo del espacio de coordenas sobre sí mismo, en todo caso cambia la escala y la distribución de valores de los pixels de la imagen, pero la representación de la misma no cambia. En los realces que se refieren a espacios de frecuencias generalizadas, la representación de la imagen sí cambia. Cuando la transformación es reversible, se tiene la misma imagen, pero bajo diferente representación; cuando es irreversible, la imagen resultante es diferente tanto de fondo como de representación. En este caso la imagen es enviada (homeomorfismo) de un espacio a otro, dado que en éste se espera realzar o poner en evidencia ciertos aspectos que no pueden observarse directamente en el espacio original. Así por ejemplo, la transformada de Fourier de una imagen puede mostrar ciertas propiedades geométricas de la misma, tales como aspectos de simetría de su estructura que no son evidentes en la representación original. La distribución de frecuencias de los valores de los pixels de una imagen constituye un aspecto de su geometría, que no puede apreciarse en el dominio de ésta, sino únicamente por medio de la transformada de Fourier. Otros aspectos geométricos podrán visualizarse con diversas transformaciones de frecuencias generalizadas. Como puede verse, un realce general se lleva a cabo con el objeto de poner en evidencia ciertos patrones, o clase de patrones, o la morfología de estos, sin detrimento de otros, y esta operación se realiza, ya sea en el espacio de coordenadas o en el de frecuencias generalizadas.

136


IV.3 Modificaciones al Histograma Uno de los realces más sencillos que puede aplicarse a una imagen es el que se refiere a la modificación de su histograma o función de densidad. El principal efecto de esta transformación es el cambio del contraste de la imagen; debido a esto es necesario revisar primero qué se entiende por contraste en una imagen digital. En cualquier caso el contraste se refiere siempre a la relación de brillantez de un objeto con su entorno, es decir, que a través de un modelo se relaciona el valor de un pixel o una clase de pixels con los vecinos próximos. En una apreciación cualitativa por medios visuales, el contraste puede depender de las condiciones específicas de iluminación y de factores particulares en la respuesta del sistema opto-neuronal del ser humano. Al definir factores de contraste (capítulo I) en imágenes digitales, evitamos esta subjetividad de la apreciación visual, ya que estos factores dan como resultado una cantidad numérica que depende de los valores de los pixels en una vecindad predefinida. Al realizar una modificación al histograma, cambian los factores de contraste, y si esta modificación es en el sentido apropiado, decimos entonces que el contraste de una imagen digital ha mejorado. Veamos entonces con detalle las implicaciones concretas que tiene la modificación del histograma y cuáles son en consecuencia los criterios para establecer las transformaciones más adecuadas. Ya vimos en el capítulo III que el histograma, bajo ciertas condiciones estadísticas, es una buena aproximación de la función de densidad (ecuación III.66). Al modificar el histograma, modificamos la función de densidad y cambia en consecuencia la distribución de valores de los pixels de la imagen y esto implica necesariamente la variación de los factores de contraste de la imagen digital. Las modificaciones al histograma que se discuten a continuación son independientes de la posición de un pixel en la imagen , es decir se trata de transformaciones invariantes frente a transalaciones. Veamos entonces la metodología general para modificar el histograma de una imagen digital, para esto, sean o y r los niveles de los pixels de las imágenes original y realzada respectivamente, y supongamos que para cada pixel o en la imagen original creamos un pixel r en la imagen realzada de acuerdo con la siguiente regla r = T(o)

(IV.11)

Un ejemplo de cuya forma está dado en la figura IV.1. El efecto de esta transformación para el ejemplo de la figura IV.1, es el de producir una imagen de mayor contraste en la parte intermedia de los valores de los pixels y que hace más oscuros los niveles bajos y más claros los niveles altos. Los niveles que se encuentran por debajo del valor m son oscurecidos, mientras que aquellos que se encuentran arriba de m son abrillantados. Este tipo de realce, que implica necesariamente una modificación al histograma, se conoce como realce de contraste o elongación del histograma. Visto de otra manera es factible afirmar, que tanto los niveles bajos (oscuros), como los altos (claros), son comprimidos en un intervalo menor que el original. A medida que esta compresión se hace más acentuada el contraste aumenta, de tal forma que en el límite esta transformación (figura IV.1) produce una imagen binaria, por lo que se genera una segmentación de la imagen original; es decir que esta clase de segmentación es un caso particular de una elongación de contraste.

Transformaciones

137

IV.3.1 Elongación lineal Entre las técnicas de realce más socorridas por su fácil evaluación computacional y por los resultados visuales que proporcionan, son las referidas a las modificaciones lineales ó no-lineales del histograma de valores de una imagen digital; es decir, el histograma es elongado lineal o no-linealmente. En el caso de una imagen multiespectral, la elongación se realiza banda por banda y puede ser diferente para cada una de ellas, aunque podría pensarse en una multielongación lineal que tendría en conjunto los mismos resultados que por separado cada banda. El histograma representa, desde el punto de vista estadístico, una propiedad promedio de la imagen y como tal proporciona una descripción global del contraste y brillantez en la apariencia visual de la misma. De aquí que la modificación adecuada del histograma pueda cambiar dicha apariencia y mejorar el realce para un propósito específico.

Figura IV.1. Modificación de los valores originales o por la regla T para producir los valores de salida r. Regresemos ahora a nuestra representación matemática de la modificación al histograma o cambio del contraste. Para esto supongamos que el intervalo máximo permitido de valores, tanto para la imagen original como para la realzada, están determinados de acuerdo con u  o  w, vi  r  vf

(IV.12)

esto para todas las bandas de las respectivas imágenes multi-espectrales. En muchos casos, vi = 0 y vf = 2k – 1, con k = 7 u 8. Se supone además que la transformación inversa existe y se denota como sigue o = T-1(r)

(IV.13)

Si la transformación es lineal, la función T es univaluada y monotónica; si la transformación es no lineal, entonces puede ser multivaluada. Cabe aclarar que no estudiaremos cualquier relación no lineal, sino únicamente las trigonométricas, puesto que éstas tienen bien definido su inverso y además es posible seleccionar intervalos de éstas donde T sea univaluada. Por otro lado o y r son variables aleatorias discretas definidas en los intervalos [u,w] y [vi, vf] respectivamente, ya que representan los

138


valores de los pixels de la imagen. De esta forma, la distribución de valores de o y r puede ser caracterizada a través de las funciones de densidad po(o) y pr(r) respectivamente. Es a partir de estas funciones, como ya se mencionó, que se pueden obtener propiedades de conjunto de la imagen; en este caso concreto se obtienen conclusiones acerca de la distribución de valores de los pixels de la imagen. Por ejemplo, en la figura IV.2a se muestra el histograma de una imagen que no tiene predominancia de ningún tono; en tanto que en la figura IV.2b la imagen correspondiente a este histograma tiene pocos tonos oscuros y claros, con una predominancia en los tonos intermedios.

Figura IV.2. Histograma uniforme (a), histograma gaussiano (b). En otras palabras, a partir de un histograma se deduce si la imagen tiene poco contraste (histograma estrecho), buen contraste (figura IV.2a), si la imagen tiene predominancia de cierto conjunto de tonos y si la imagern presenta poca brillantez (oscura) o gran brillantez. Veamos ahora cómo podemos relacionar el histograma de la imagen original con aquel de la imagen realzada a través de la regla de transformación T. Para esto consideremos la figura IV.3, en donde se aprecia el histograma de la imagen original y por medio de la regla de transformación T se construye gráficamente el histograma de la imagen realzada. En este procedimiento, lo importante es la selección de la regla T para que se produzca el realce que convenga a una aplicación específica. Para expresar matemáticamente lo que se representa gráficamente en la figura IV.3, veamos que el área bajo la curva de los histogramas original y modificado debe ser la misma por las propiedades de conservación mostradas en el cuadro III.2, de tal forma que se tiene la siguiente relación po(o)o = pr(r)r

(IV.14)

por lo que en el límite, cuando o y r  0, se tiene p r ( r )  p o ( o)

do dr

(IV.15)

Transformaciones

139

Figura IV.3. La regla T transforma el histograma po(o) en el histograma pr(r). Ahora bien, recordando que r = T(o) y que o = T-1(r) y substituyendo esto en (IV.15), se llega finalmente a una relación conocida en cálculo diferencial p r ( r )  p o [T 1 ( r )]

d[ T 1 ( r )] dr

(IV.16)

y que constituye finalmente una expresión analítica para el histograma de la imagen realzada; es necesario enfatizar que se requiere que exista T-1 por lo que las elongaciones al histograma estudiadas aquí conforman transformaciones reversibles. Es posible que en algunos casos no sea factible obtener T-1 en forma analítica, pero sí en forma de tabla; de una u otra manera tenemos que suponer que existe este inverso. Otra forma conveniente de escribir la relación (IV.16) es la siguiente do   p r ( r )   p o ( o)  dr  o T1 ( r ) 

(IV.17)

Esta última expresión es una relación para transformar el histograma en general. Veamos ahora varios casos específicos de transformación anotando que el usuario puede fácilmente diseñar la propia. El primer caso, el más sencillo, es el que se refiere a

140


la elongación lineal del histograma o realce lineal de contraste como también le llaman algunos autores. En muchas situaciones, debido a la geometría particular: fuente-objetosensor y a la respuesta particular del sensor, no se explota todo el intervalo dinámico de valores disponibles, es decir los valores de los pixels no cubren enteramente el intervalo: 0 a 2k – 1 y esto hace que la imagen no tenga todo el contraste que podría tener, en estos casos es adecuado emplear una elongación lineal del histograma. Para este tipo de elongación la regla de transformación es la siguiente r = T(o) = ao + b

(IV.18)

La relación inversa se obtiene directamente o  T 1 ( r ) 

rb a

(IV.19)

De aquí que se tenga que dT 1 ( r ) 1  dr a

(IV.20)

Claramente, las constantes a y b se evalúan a partir del nuevo intervalo de (relación IV.12) valores que se desee ocupen los pixels de la imagen realzada. De aquí que los valores de los pixels de la imagen realzada se obtengan directamente a partir del nuevo histograma y de la imagen original. Otra manera de ver esta elongación lineal y probablemente más adecuada para efectos computacionales es la siguiente: supongamos que la imagen original ocupa el intervalo de valores [u,w] y que deseamos que la imagen realzada ocupe todo el intervalo permitido [vi,vf], entonces es fácil ver que por medio de una relación lineal como la (IV.18) se tiene r  T( o) 

vf  vi (o  u )  v i wu

(IV.21)

Lo que hace esta simple relación lineal es elongar y trasladar la escala de niveles de los pixels para ocupar totalmente el intervalo [vi,vf]. IV.3.2 Elongaciones no lineales Cuando se desea realzar el contraste de patrones oscuros o claros en una imagen, es conveniente emplear elongaciones logarítmicas y exponenciales respectivamente. Estas transformaciones, mostradas esquemáticamente en la figura IV.4, se expresan matemáticamente como sigue r = blog (ao) + c y la exponencial

(IV.22)

Transformaciones

r = beao + c

141

(IV.23)

Los parámetros a, b y c son empleados generalmente para ajustar la apariencia visual general de la imagen realzada; la constante a, proporciona el decaimiento de la exponencial o del logaritmo.

Figura IV.4. Funciones de elongación logarítmica (a) y exponencial (b). El proceso puede hacerse incluso interactivo, variando dichos parámetros y desplegando la imagen resultante hasta conseguir una tonalidad y contraste adecuados al fin perseguido. Es importante mencionar que después de una transformación logarítmica o exponencial, generalmente es necesario un reescalamiento lineal (ecuación IV.21) para ajustar los valores de la imagen realzada al intervalo permitido: [vi,vf], aunque si bien esto puede hacerse en un sólo paso escogiendo adecuadamente las constantes a, b y c (véase la ecuación IV.22) ya que en general sí r = bs(ao) + c donde s es una función monotónica de o, se tiene que r

vf  vi [ s(ao)  s(au )]  v i s(aw )  s(au )

Otras elongaciones al histograma empleadas a menudo se estudian a continuación. La elongación proporcional a la frecuencia de ocurrencia de los valores que componen los pixels de la imagen r = apo(o)o + b,  o y o  1

(IV.24)

que se emplea para elongar en grado mayor aquellas regiones del histograma donde los valores de los pixels ocurren con más frecuencia. La transformación de tipo sinusoidal se emplea únicamente en medio ciclo de la función Seno

142


r = aSen(bo) + c,

3   bo  2 2

(IV.25)

y se utiliza para realzar más los valores extremos de los pixels de la imagen. La transformación por medio de la función arco tangente r = aArctan(bo) + c, 

   bo  2 2

(IV.26)

es aplicada a imágenes para realzar la parte media (lámina 11) de sus respectivos histogramas. Nótese que en estos ejemplos no se utiliza explícitamente el histograma de la imagen original, sino que se emplean directamente los valores de sus pixels; las formas de las ecuaciones (IV.21-26) son convenientes para fines computacionales. Las constantes a, b y c, al igual que en los casos anteriores, se ajustan para una cierta brillantez deseada de la imagen resultante. La calidad del realce se evalúa siempre en términos de una aplicación específica y se hace por medio de la apreciación visual de la imagen, desplegada ésta en un monitor que generalmente es de alta resolución. En las transformaciones arriba discutidas, casi siempre se requiere de un reescalamineto lineal combinado con la transformación misma por medio de la evaluación correcta de las constantes a, b y c. IV.3.3 Normalización por iluminación La modificación al histograma no necesariamente tiene que ser directa, sino que a veces es el resultado de una operación o corrección a los valores de los pixels de la imagen. Existen situaciones en la investigación experimental en las que el sistema de captura de imágenes presenta inhomogeneidades espaciales en cuanto a su respuesta a la radiación incidente, o bien puede suceder que el haz incidente presente variaciones de flujo en su distribución espacial; veamos algunos ejemplos. En la creación de una neutrografía o una radiografía el haz de radiación empleado generalmente tiene simetría esférica, por lo que sí se toma una imagen sin objeto alguno, el resultado es una distribución que no es uniforme, teniendo valores más altos alrededor del eje del haz y más bajos a medida que se incrementa la distancia a éste. La modificación al histograma es una operación global a la imagen en donde no interviene la posición de un pixel con sus vecinos; en cambio, en una neutrografía (figura IV.19) la posición sí importa, ya que se tiene un tipo de dispersión debido al sistema de captura. En las imágenes de satélite también existe una inhomogeneidad provocada por la atmósfera y la distancia variable del sensor a los diferentes objetos de la escena (figuras IV.14 y IV.20). Sin embargo en este caso es imposible obtener una imagen sin objetos para evaluar la inhomogeneidad correspondiente, no obstante es factible colocar un objeto conocido en la escena y observar en la imagen correspondiente el efecto atmosférico. En cámaras fotográficas y en CCD de cámaras de televisión, se tienen también respuestas diferentes en diferentes puntos debido a las aberraciones ópticas propias de estos sistemas. En los casos en donde es factible obtener imágenes con y sin escena, se pueden emprender correcciones para ajustar la imagen por inhomogeneidades del haz, por respuesta variable del sensor o por una interferencia al sistema de captura; estas correcciones traen como

Transformaciones

143

consecuencia una modificación al histograma de la imagen original que es variante frente a translaciones. Aunque si bien en el caso de correcciones complejas, como las atmosféricas las modificaciones cubren otros aspectos de la imagen (Lira y Oliver, 1983). Para obtener una imagen que parezca como si hubiese sido obtenida en condiciones de uniformidad, se establece el siguiente modelo de corrección g(x,y) = i(x,y)f(x,y)

(IV.27)

que es válido en primera aproximación. En este modelo, f(x,y) es la imagen ideal que hubiera resultado si las condiciones de respuesta del sistema sensor hubiesen sido uniformes; g(x,y) es la imagen resultante en las condiciones reales de operación del sistema sensor, e i(x,y) representa la no uniformidad de tal sistema. Nos interesa determinar i(x,y) para hacer una estimación de f(x,y) suponiendo que la calibración, y en consecuencia la respuesta, no cambia en el tiempo de operación y obtención de las imágenes necesarias para la corrección. Para obtener la función i(x,y) se captura una imagen de una escena que tenga una tonalidad uniforme bien conocida. Para este caso, f(x,y) resulta en un campo escalar constante; llamémosle K. Sea gK(x,y) la imagen real de este campo uniforme, de tal forma que se tiene entonces i ( x, y ) 

g K ( x, y ) K

(IV.28)

por lo que sí suponemos estabilidad del sistema, o bien evaluamos i(x,y) a intervalos regulares de tiempo, podemos corregir la imagen por medio de la siguiente relación f(x,y) = g(x,y)/i(x,y) = Kg(x,y)/gK(x,y)

(IV.29)

de manera que f(x,y) es finalmente una estimación de la imagen corregida. Al igual que en casos anteriores, es posible que sea necesario hacer un reescalamiento de su histograma. Cuando en la expresión IV.27 se tiene una convolución entre la función de iluminación y la imagen no degradada, el modelo de corrección se obtiene en el espacio de frecuencias utilizando el teorema de la convolución (ecuación IV.98). IV.3.4 Normalización del histograma Una modificación al histograma que proporciona buenos resultados por su aplicabilidad general es la que se refiere a la normalización del histograma; en esta transformación se asigna un peso igual a todos los valores de los pixels de la imagen digital y el resultado es un histograma plano cuyas barras tienen todas el mismo valor. La imagen correspondiente a este histograma plano tiene en principio una relación de contraste igual para todas las tonalidades que la componen y de esta forma se tiene un realce general que se puede aplicar a una gran cantidad de clases de imágenes. Esta transformación, sin embargo, no debe aplicarse a imágenes muy homogéneas o a aquellas en las que dominen uno o varios patrones, ya que esto daría como resultado un histograma demasiado polarizado a uno o a varios niveles de pixels; en estos casos

144


particulares las imágenes realzadas presentan una tonalidad tenue y con poco contraste. En casos específicos y extremos es mejor diseñar una transformación adecuada a las necesidades de realce de cada caso. Para desarrollar la normalización al histograma, consideremos la integral de la función de densidad o



r  T( o)  p o ( )d

(IV.30)

0

que es desde luego la función de distribución (ecuación II.64) y como tal es una función que se incrementa monotónicamente. Evaluemos ahora la función de densidad, o histograma de la imagen realzada, por medio de la transformación dada por la relación (IV.30). Para esto empleamos la relación (IV.17), en donde tenemos por substitución  1  p r ( r )   p o (o) 1,  r  p o (o)  o  T 1 ( r ) 

(IV.31)

dr  p o (o) do

(IV.32)

ya que

debido a la transformación que fijamos por medio de la integral de la función de densidad (ecuación IV.30). La relación (IV.31) nos dice que el histograma de la imagen realzada tiene un histograma con una densidad uniforme (figura IV.2a), que en este caso está normalizada a uno. La normalización al histograma es una transformación, como quedó demostrado arriba, que no depende explícitamente de la regla inversa T-1, lo cual es una ventaja, pues implica un ahorro computacional, ya sea que T-1 se calculara analítica o numéricamente. Debido a la estructura de la transformación del histograma dada por la ecuación (IV.31), era fácil ver que una regla T obtenida a partir de la integral de la función de densidad produciría un histograma uniforme. Es interesante hacer notar esto, ya que primero concebimos la normalización al histograma como un realce que produciría buenos resultados en la mayoría de los casos y luego lo plasmamos matemáticamente visualizando una transformación que nos diera como derivada do/dr, precisamente el inverso del histograma original. En la operación computacional de transformación al histograma, es conveniente escribir la normalización dependiendo explícitamente de parámetros básicos, es decir: el número total MN de pixels de la imagen y el número de niveles L que tiene el intervalo dinámico de valores de los pixels; en otras palabras, L = vf - vi + 1. Entonces en el histograma normalizado cada una de las barras tiene MN/L pixels y al suponer que éstas tienen un ancho uniforme se tiene que p r (r )r 

y el ancho de cada barra está dado por

MN L

(IV.33)

Transformaciones

r 

L 1 L

145

(IV.34)

por lo que tenemos que el valor de la función de densidad relativa al histograma normalizado es p r (r ) 

MN L 1

(IV.35)

Ahora bien, de la relación (IV.15) y recordando que r = T(o), tenemos dr dT (o) L  1   p o (o ) do do MN

(IV.36)

por lo que de esta última relación obtenemos finalmente la regla de transformación para normalizar el histograma de la imagen original r  T ( o) 

L 1 o p o ( ) d  v i MN vi

(IV.37)

La versión digital de esta expresión, es por tanto

r  T (o ) 

L 1 o p o (i)  v i MN i  v



i

El hecho de contar con una relación que contenga explícitamente los parámetros L y MN del histograma, nos permite evaluar el histograma de salida con los valores reales que debe tener en la práctica. En otras palabras, (L - 1)/MN es un factor de escala que ajusta los niveles del histograma original para que el de salida tenga la densidad uniforme requerida: MN/L. En casos reales de imágenes digitales (lámina 12 y figura IV.5) es raro encontrar histogramas normalizados perfectamente uniformes; debido a la naturaleza discreta de los niveles de cuantización de los pixels, veremos siempre variaciones que se acentúan si la imagen es pequeña, es decir si MN y L no son números grandes; por otro lado, a medida que el número de niveles de cuantización aumenta el histograma resultante se hace cada vez más plano. La relación (IV.37) nos da las nuevas posiciones que ocupan las barras del histograma de la imagen de salida. Las barras del histograma original son desplazadas a nuevos lugares, dentro del intervalo dinámico permitido, en donde dos o más barras pueden sobreimponerse para generar un histograma lo más uniforme posible. De esta manera, reacomodando las barras originales, se logra que éstas formen un histograma aproximadamente plano. Entre más grande sea la imagen y más amplio el intervalo dinámico, más fácil es que el histograma de salida tenga una apariencia uniforme. Hay que hacer notar que nunca se fracciona una barra, sino que en todo caso las más pequeñas se agrupan para alcanzar, lo más cercanamente posible, la altura promedio del histograma. Como el número de barras es finito y la altura que pueden tener es discreta, un histograma perfectamente uniforme

146


nunca se logra. En la expresión (IV.37) la función T(o) genera una tabla de valores para o = vi, vi + 1, . . . vf. Los valores de pixel de la banda original se ingresan en esta tabla y a partir de ésta se obtiene el valor de pixel de la banda resultante. La función T(o) genera una tabla de valores para o = vi, vi + 1, . . . vf. Cada valor de pixel de la banda original o(k,l) = k se ingresa en la tabla y a partir de ésta se obtiene el valor resultante r(k,l) para la o correspondiente.

Figura IV.5. Histograma de una imagen de radar (a) e histograma normalizado (b).

Transformaciones

147

En la banda 1 de la figura I.3, po(48) = 2, po(49) = 6, po(50) = 9 y po(51) = 8, por tanto T(51) = 251.03125 + 48 = 73.78125. Entonces T(51) = 74 y todos los pixels de la imagen original con valores 51 se convierten en 74: o(k,l) = 51  r(k,l) = 74,  (k,l). Otra manera de ver la normalización del histograma, más adecuada para efectos computacionales, es la siguiente 1. Se calcula el valor promedio MN/L que deben tener las barras de salida. 2. Comenzando con las barras de la izquierda, se agrupan las necesarias hasta alcanzar el valor más cercano al promedio. 3. Las barras así agrupadas se asignan al primer nivel de cuantización de la imagen realzada. 4. Se repite el proceso hasta agotar las barras del histograma de la imagen original. Es claro que en esta normalización el número de barras del histograma de salida es menor al número original de barras. En otro algoritmo un poco más complejo (Pratt, 2001; Rosenfeld y Kak, 1982), es posible alcanzar un histograma plano o casi plano; la idea aquí es subdividir las barras originales de manera que todas alcancen la altura promedio. Este algoritmo, no obstante, puede producir artefactos en la imagen resultante. En este método no nada más hay agregación de barras vecinas, sino también fraccionamiento de las mismas para redistribuir sus pixels a vecinos cercanos. Aquí el histograma realzado tiene el mismo número de barras que el original. Este método se resume en la siguiente relación k h 1



h

pi 

i 1

 i 1

qi 

kh

p

i

(IV.38)

i 1

donde la imagen original está cuantizada a k niveles y el nivel hi tiene pi pixels y en la imagen de salida el nivel h i tiene qi pixels, de tal forma que k

k

i 1

i 1

 qi  MN  pi

(IV.39)

con MN el número total de pixels y qi = MN/k. El número posible de niveles hi de la imagen original es igual en principio al de h i de la imagen realzada. En algunos casos es necesario elongar el histograma normalizado para que ocupe todo el intervalo permitido. La relación (IV.38) debe entenderse entonces de la siguiente manera: si la igualdad de la izquierda se cumple, entonces simplemente las primeras kh - 1 barras son asignadas al primer nivel h i de la imagen realzada. Si se cumple la desigualdad, entonces suficientes pixels de la barra kh son transferidos a las primeras kh - 1 barras hasta tener la igualdad, los pixels sobrantes son retenidos para la siguiente barra de la imagen realzada. Es necesario hacer notar que h debe ser suficiente como para que la desigualdad de la derecha se tenga al mismo tiempo que la de la izquierda. Es posible que la relación (IV.38) se tenga para dos o más valores de kh, en cuyo caso es necesario dividir la barra original para asignar dos o más niveles (barras) de la imagen realzada. En resumen, cuando las barras originales son menores de MN/k, se agregan incluso en fracciones, cuando son mayores de MN/k, se subdividen en fracciones de así requerirse.

148


IV.3.5 Especificación del histograma Hasta ahora las modificaciones al histograma se han planteado como preconcebidas, es decir se presupone el tipo de transformación T que deseamos aplicar al histograma original. Esto, si bien es conveniente en casos específicos, complica un poco la tarea de modificar el histograma; es adecuado, por tanto, desarrollar una expresión que permita la inclusión de cualquier transformación, desde luego dentro de las limitaciones planteadas hasta ahora. A esta modificación de tipo general se le conoce como especificación del histograma y dados los avances tecnológicos, es factible de llevarse a cabo en forma interactiva por medio de un cursor y una pantalla de despliegue. Es la generalidad de la transformación la que precisamente permite la especificación interactiva, ya que la forma del histograma deseado es delineada por el cursor en la pantalla, de tal forma que el hardware del sistema de procesamiento de imágenes captura los valores que se refieren al histograma especificado, estos valores son entonces alimentados al software respectivo, que evalúa la transformación T necesaria. El resultado de la especificación se despliega en la pantalla y se analiza visualmente; de ser necesario puede repetirse el proceso de especificación. Para expresar matemáticamente la especificación del histograma, suponemos que el histograma original y especificado se representan por medio de las funciones de densidad po(o) y pr(r) respectivamente. De aquí que a partir de estas funciones sea posible producir sendos histogramas normalizados, uno a partir del histograma original u  T (o ) 

L 1 MN



o

p o ( )d  v i

(IV.40)

L 1 o p r ()d  v i MN v

(IV.41)

vi

y el otro a partir del histograma especificado v  G (o ) 

i

Las versiones digitales de (IV.40) y (IV.41) serían u  T (o ) 

L 1 o p o (i)  v i MN i  v i



v  G (o ) 

L 1 o p r (i)  v i MN i  v i



Claramente, las funciones de densidad pu(u) y pv(v) son idénticas pues representan ambos histogramas normalizados a densidad uniforme, ya que el resultado de (IV.40) y (IV.41) es independiente del integrando. Por tanto, la relación inversa r = G-1(v) daría los niveles buscados, aunque esto no es posible, puesto que la imagen buscada no se conoce. Sin embargo, recordemos que pu(u) = pv(v), de tal forma que en lugar de emplear los niveles uniformes v empleamos los u, por lo que la relación r = G-1(u) proporciona los niveles correspondientes a la función de densidad especificada. Es claro que es necesario suponer que G-1 existe y que puede ser obtenida sin mayor dificultad. El procedimiento de especificación del histograma se resume en los siguientes pasos: a) normalizar el histograma de la imagen original de acuerdo con lo arriba explicado; b) especificar la función de densidad (histograma) deseada y obtener la

Transformaciones

149

función de transformación G(r); c) obtener la transformación inversa y aplicar esta función a los niveles obtenidos en el paso (a), de tal manera que se valúen los niveles de salida dados por r = G-1(u). De esta forma, la imagen resultante está caracterizada por la función de densidad pr(r). En realidad el procedimiento de especificación del histograma puede resumirse en una sola relación matemática, ya que a partir de la relación inversa G-1 se tiene la siguiente expresión r = G-1(u)

(IV.42)

pero los niveles u se obtienen por medio de la transformación T, por lo que combinando este hecho con la relación (IV.42), se tiene finalmente r = G-1[T(o)]

(IV.43)

Es factible decir ahora que ésta es la expresión para la transformación general del histograma a partir de los niveles originales. De aquí es claro que la normalización del histograma es un caso particular de la expresión (IV.43) cuando la transformación inversa G-1 es la identidad: G-1[T(o)] = T(o). A fin de cuentas no se requiere normalizar explícitamente el histograma original, sino más bien evaluar la transformación T que es el histograma acumulativo (función de distribución) y la función G-1 que es el inverso del histograma acumulativo de la especificación respectiva. Lo que sí es indispensable es obtener G-1 ya sea analíticamente o en forma de tabla. Es necesario puntualizar que si bien la formulación que se ha hecho inicialmente para las modificaciones al histograma ha sido para variables continuas, la versión digital ha sido fácil de escribir. Por razones de tipo conceptual es, en ciertas ocasiones, conveniente obtener la versión continua primero para después pasar a la digital tal como se hizo en la normalización del histograma. Una de las aplicaciones más importantes de la especificación del histograma es la que se refiere a la composición de imágenes para formar un mosaico. Al unir dos imágenes para cubrir una cierta escena, es posible que aparezca una frontera entre ellas debido a diferencias de tonalidad y contraste que pueden provenir del hecho de haber sido obtenidas bajo condiciones diferentes de irradiación. En el caso de radiografías, el tiempo de exposición pudo haber sido diferente, o en el caso de imágenes de satélite que hayan sido tomadas en dos épocas del año, las condiciones de iluminación no son las mismas. Con el objeto de reducir las diferencias de tonalidad y evitar la formación de una frontera entre las imágenes consideradas para el mosaico es conveniente modificar el histograma de una de ellas para que se aproxime al de la otra. Es decir, el histograma de una de las imágenes se toma como modelo de especificación y a partir de aquí se sigue el método descrito anteriormente. Otra manera de proceder es definir un tercer histograma (arbitrario pero conveniente), tomarlo como el especificado y aproximar el histograma de cada una de las imágenes a este tercer modelo. Este método resulta tan efectivo que en muchas ocasiones prácticamente desaparece la frontera entre las imágenes del mosaico. En este caso de mosaicos, la especificación del histograma recibe el nombre de registración de histogramas. En imágenes de satélite suceden a veces variaciones en las condiciones atmosféricas y de iluminación de dos imágenes contiguas que se deseen unir para formar un mosaico. En esta situación la correlación de sus respectivos histogramas no es suficiente para eliminar la frontera que se forma en la

150


unión; es necesario proceder a una normalización por efectos atmosféricos y de iluminación, lo que requiere de un modelo de interacción atmósfera-radiación.

IV.4 Operadores Diferenciales Las modificaciones al histograma planteadas en la sección anterior son parte del tema relacionado con realces globales de una imagen, el resultado es una variación al contraste de la misma, pues de una manera u otra se modifica la distribución de valores de los pixels que la forman. Otra manera de incrementar el contraste en una imagen es a través de un operador diferencial bidimensional. La razón de esto se obtiene al considerar la frecuencia de variación de los valores de los pixels a medida que nos desplazamos espacialmente sobre la imagen digital correspondiente. Si al desplazarnos una cierta distancia encontramos una rápida variación asociamos entonces una frecuencia espacial alta, de lo contrario la frecuencia que asociamos es baja. En forma visual esto se traduce en que frecuencias altas están relacionadas con zonas de la imagen donde la tonalidad de la misma cambia rápidamente y las frecuencias bajas corresponden a zonas relativamente homogéneas donde la tonalidad es casi uniforme. Una imagen con frecuencia espacial cero está compuesta por un solo tono de color o gris. Podemos plantear ahora, en el contexto de series de Fourier, que una determinada frecuencia espacial está determinada matemáticamente por una función periódica como sen(nx) o cos(nx). Entonces, dado que la derivada de sen(nx) es ncos(nx), vemos que entre más alta sea la frecuencia espacial (n más grande), mayor es la amplitud de su derivada. En forma inversa, la integral de cos(nx) es sen(nx)/n, por lo que su amplitud es menor para frecuencias altas. En otras palabras, la derivada de una imagen digital genera un realce de las frecuencias espaciales contenidas en la misma, realce que es mayor entre más alta sea la frecuencia. La integral de una imagen, por otro lado, debilita el contraste al atenuar la amplitud de las variaciones espaciales; es mayor la atenuación entre más rápida sea esta variación. Un cambio brusco de tonalidad, como el que representa el borde de una clase espectral, un lineamiento, o la frontera de un patrón espacial, están caracterizados por frecuencias altas. De aquí que un operador diferencial resalte en general la imagen, pero lo hace con mayor énfasis con los bordes y las líneas de la misma. Podemos decir que el operador diferencial es de realce general, pero con una cierta tendencia bien definida. Hay que hacer notar que el ruido está caracterizado por frecuencias altas, por lo que sí se aplica un operador diferencial a una imagen con alto contenido de ruido, el resultado es de pobre calidad. A veces es necesario filtrar la imagen antes de aplicarle la operación de derivación. Debido al énfasis con que son realzados los bordes y líneas, a este tipo de operación se le conoce como realce de bordes o detector de bordes, aunque si bien la derivada es, estrictamente hablando, un realce general reversible. En algunas ocasiones, la derivada seguida de una segmentación adecuada, permite retener únicamente aquellos valores que corresponden a los bordes y líneas previamente realzados, con lo que finalmente se constituye un filtro pasa altas. En cuanto a la operación misma de derivación, sólo consideremos las primeras dos derivadas, ya que son las que tienen una interpretación directa y sencilla, además de que derivadas de orden mayor prácticamente convierten a la imagen en ruido.

Transformaciones

151

IV.4.1 Gradiente y Laplaciano en imágenes monoespectrales Las primeras dos derivadas asociadas a una imagen g se conocen como el Gradiente y el Laplaciano, y son un vector y un escalar respectivamente. Su forma es como sigue: para el Gradiente  g ˆ g j g  î x y

(IV.44)

donde î y ˆj son dos vectores unitarios en las direcciones x, y respectivamente y, para el Laplaciano, 2g 

 2g x 2



 2g y 2

(IV.45)

Las propiedades de estos dos operadores son ampliamente conocidas en cálculo diferencial e integral (Boas, 1983). Existen varias maneras de evaluar estas derivadas: a) por diferencias finitas, b) aproximando una superficie a los valores de los pixels de una ventana y obteniendo analíticamente la derivada de esta superficie, y c) a través de la transformada de Fourier, ya que  g ( x, y )  F   2j x G ( x ,  y )  x 

y

(IV.46)

 g( x, y )  F   2j y G ( x ,  y )  y  donde j es el número complejo (0,1) y G es la transformada de Fourier de la imagen de entrada g. Las expresiones (IV.46) se generalizan fácilmente para la derivada n-ésima en la siguiente ecuación   n g ( x, y )  n F   (2ji ) G ( x ,  y ) n  x i  

(IV.47)

donde xi es cualquiera de las coordenadas x o y. Demostraremos las relaciones (IV.46) empleando propiedades básicas del cálculo diferencial e integral, de la definición de derivada y de la transformada de Fourier, así entonces 



 g( x  x, y )  g( x, y )  F exp(2j x x )dx     exp(2j y y )dy  lim x  x    x 0 





152


 g( x , y ) exp(2j x x )dx  x0  x  

lim 



Debido a la propiedad de Shifting 

 1  g ( x, y )  exp(2j x x)G ( x , y)  G ( x , y) F    exp(2j y y )dy  lim   x x    x 0 



De donde se obtiene



1  g ( x, y )  F exp(2j x x)G ( x ,  y )  G ( x ,  y )    lim  x    x 0 x



y ya que e  1 +  cuando  << 1, tenemos finalmente  g ( x, y )  F   2j x G ( x ,  y )  x 

La respectiva derivada con respecto a y se obtiene en forma similar a lo arriba descrito para la derivada en x. La generalización de esto a la relación (IV.47) es evidente. Con estas expresiones es directo escribir las ecuaciones para las transformadas de Fourier del Gradiente y del Laplaciano; para el primero se tiene F [g ( x, y )]  2j[î x  ˆj y ]G ( x ,  y )

(IV.48)

F [ 2 g( x, y )]   (2) 2 ( 2x  2y )G ( x , y )

(IV.49)

y para el Laplaciano

A partir de estas expresiones es factible calcular el gradiente y el laplaciano sin recurrir a ninguna aproximación; las ecuaciones (IV48) y (IV.49) son estrictamente reversibles. De las tres maneras mencionadas para evaluar estos operadores, probablemente la más utilizada sea la de diferencias finitas, de la cual se verán varios enfoques más adelante. Como ya se mencionó arriba, los operadores diferenciales realzan con preferencia los bordes y las líneas de una imagen, los que pueden ocurrir en todas direcciones, de aquí que sea interesante discutir tanto las propiedades de invarianza frente a rotaciones como las de realce direccional del Gradiente y del Laplaciano. Como es bien sabido del cálculo diferencial, todo operador diferencial parcial  n / x k y n  k es un operador lineal y una combinación lineal de éstos es también un operador lineal, como lo son claramente el Gradiente y el Laplaciano. La primera y la segunda derivadas representan una medida de la pendiente y de la razón de cambio de ésta respectivamente, de aquí que podamos considerar a estos operadores como locales y por

Transformaciones

153

tanto invariantes frente a translaciones. Además de estos aspectos generales, sabemos que el Gradiente y el Laplaciano enfatizan las líneas y los bordes, los que pueden ocurrir en cualquier dirección en la imagen digital; es de interés, por tanto, determinar las combinaciones de derivación que generan operadores diferenciales invariantes frente a rotaciones. Esto no obsta para que en casos específicos sea necesario realzar bordes o líneas en direcciones preestablecidas. Para construir operadores diferenciales isotrópicos, empleemos las ecuaciones que definen la rotación de un sistema de coordenadas x = xCos  ySen,

y = xSen + yCos

(IV.50)

donde (x,y) y (x,y) representan los sistemas original y rotado respectivamente. Para visualizar las propiedades de invarianza de los operadores diferenciales, tomemos las primeras derivadas parciales de una imagen g(x,y) con respecto al sistema rotado (x’,y’). De aquí que empleando la regla de la cadena del cálculo diferencial, se tiene g g x g y g g    cos   sen x' x x' y x' x y

(IV.51)

g g x g y g g     sen  cos  y ' x y ' y y ' x y

(IV.52)

y

por lo que claramente se ve que las primeras derivadas parciales de g no son invariantes frente a rotaciones. Pero debido a la presencia de las funciones sen y cos en (IV.51) y (IV.52) es fácil ver que la suma de los cuadrados de las derivadas parciales de g sí tiene propiedades de invarianza 2

2

2

  g   g    g   g               x y ' '     x   y  

2

(IV.53)

Ahora bien, esta suma de cuadrados es precisamente igual a la magnitud del Gradiente de g. Entonces la cantidad |g| representa una imagen isotrópicamente realzada donde los bordes y las líneas han sido puestos en evidencia con mayor énfasis. Veamos ahora qué sucede con las derivadas de segundo orden; empleando la misma regla de la cadena, se tiene que  2g x '2

2

2



 2 g  x  g  2 x  2 g  y  g  2 y         x x '2 y 2  x'  y x '2 x 2  x' 

(IV.54)  2g x 2

cos 2  

y para la segunda derivada con respecto a y

 2g y 2

sen 2 

154


 2g y '2

2

2

g  2 y g  2 x  2 g  y   2 g  x          2  y y '2 x y '2 y 2  y '  x  y ' 

(IV.55) 2

 g x

2

sen 2  

2

 g y 2

cos 2 

Al sumar miembro a miembro las ecuaciones (IV.54) y (IV.55) se obtiene la siguiente relación de invarianza  2g x ' 2



 2g y ' 2



 2g x 2



 2g

(IV.56)

y 2

lo que quiere decir que el valor del Laplaciano es el mismo en el sistema original que en el rotado. Aun cuando no lo demostraremos formalmente, ya que está fuera del contexto de esta obra, podemos, con base en las relaciones (IV.53) y (IV.56), hacer las siguientes inferencias: 1) un operador diferencial lineal isotrópico involucra únicamente derivadas de orden par, y 2) en un operador diferencial isotrópico y arbitrario, las derivadas de orden non sólo ocurren elevadas a potencias pares. En la práctica, y debido a su fácil interpretación geométrica, solamente se emplean las derivadas de primer y segundo orden, combinadas en el Gradiente y el Laplaciano. Como ya se había mencionado arriba, es posible diseñar operadores diferenciales que realcen en direcciones preferenciales; este tipo de operadores son por tanto no isotrópicos. En el caso del Gradiente, al calcular su magnitud, y por ser un vector, estamos evaluando implícitamente la dirección de máximo cambio; esto es fácil de visualizar si derivamos a g/x' con respecto a  partir de la ecuación (IV.50) e igualamos a cero 

g g Sen  Cos  0 x y

(IV.57)

De aquí es fácil despejar para  con lo que se obtiene el ángulo que forman la dirección de máximo cambio con el eje x  g g     Arc tan /   y x 

(IV.58)

De esta última relación es factible obtener cos y sen para substituir su valor en la ecuación (IV.57), de tal forma que de relaciones trigonométricas simples se tiene 2

Cos  

g  g   g  /     x  x   y 

2

(IV.59)

Transformaciones

155

y además 2

Sen  

g  g   g  /     y  x   y 

2

(IV.60)

por lo que finalmente se obtiene 2

g g  g   g  Cos   Sen       y x  x   y 

2

(IV.61)

lo que claramente es la magnitud del Gradiente de g. La isotropía de |g| se puede interpretar de la siguiente manera: toda vez que se presente un borde o una línea, estaremos calculando su máximo cambio independientemente de la dirección que tengan. Por otro lado el Laplaciano es un escalar y se aplica directamente a la imagen. Después de haber discutido las propiedades de invarianza de |g| y de 2g y de haber planteado su evaluación respectiva por medio de las relaciones (IV.48) y (IV.49), veamos ahora las aproximaciones que existen para dichos operadores empleando el método de diferencias finitas. Una de las primeras aproximaciones que se emplea es la sustracción del valor de un pixel dado con respecto a sus vecinos próximos en las direcciones x,y, para esto se definen los siguientes operadores intermedios y

xg(i,j) = g(i,j) - g(i - 1,j)

(IV.62)

yg(i,j) = g(i,j) - g(i,j - 1)

(IV.63)

a partir de aquí la magnitud del Gradiente de g se obtiene rápidamente g 

 x g 2   y g 2

(IV.64)

Las diferencias arriba introducidas son empleadas para estimar el cambio en una cierta dirección  g(i,j) = xg(i,j)cos + yg(i,j)sen

(IV.65)

Es importante hacer notar que estas diferencias no proporcionan en realidad el valor de |g| en el pixel cuya posición es (i,j) sino más bien en la posición (i - 1/2, j - 1/2), por lo que un pequeño error se introduce aquí. Otras aproximaciones centradas en (i + 1/2, j + 1/2), o en (i + 1/2, j - 1/2), son empleadas también. Las diferencias de segundo orden se obtienen fácilmente con la aplicación secuencial de los operadores x y y definidos en (IV.62) y (IV.63), de tal forma que se tiene para la dirección x 2x g( i, j)   x g( i  1, j)   x g(i, j)  g(i  1, j)  g(i  1, j)  2g( i, j)

y en forma similar para la segunda derivada en la dirección y

(IV.66)

156


2y g( i, j)  g( i, j  1)  g( i, j  1)  2g(i, j)

(IV.67)

A partir de estas dos últimas relaciones se obtiene una expresión aproximada para el Laplaciano de g  2 g(i, j)  2x g(i, j)  2y g( i, j)  g(i  1, j)  g(i  1, j)  g(i, j  1)  g( i, j  1)  4g(i, j)

(IV.68)

La expresión (IV.68) es equivalente a la convolución, con la imagen, de la ventana de factores de peso 0

1

0

1

-4

1

0

1

0

Donde claramente se aprecia que los pixels en conectividad-4 intervienen en el cálculo del Laplaciano. Las expresiones aproximadas para el Gradiente y el Laplaciano de g están basadas en diferencias finitas simples e introducen por tanto un error en el valor real de estos operadores. Estas aproximaciones presentan varios problemas en el tratamiento práctico de imágenes digitales. En primer lugar las diferencias finitas son muy sensibles al ruido, el cual está caracterizado generalmente por frecuencias altas; debido a esto, las imágenes con regular contenido de ruido son de hecho degradadas si se les aplican los operadores mencionados. En segundo lugar, los operadores diferenciales así aproximados no son estrictamente isotrópicos, sino que líneas diagonales, puntos, esquinas y cambios abruptos de dirección de un borde son mayormente realzados que el resto de los bordes y líneas que ocurren en una imagen digital. En tercer lugar, y muy relacionado con lo anterior, las aproximaciones digitales introducidas no constituyen tampoco operadores reversibles, esto hablando en sentido estricto. Otra aproximación al Gradiente y al Laplaciano, que adolece de las tres limitaciones que se acaban de mencionar, aunque en menor grado, es la que se obtiene al ajustar una superficie a los valores de los pixels de una cierta vecindad. A partir de la expresión analítica para dicha superficie, se evalúa |g| y 2g para la posición de un pixel predeterminado. De hecho, para obtener un resultado razonable, es necesario ajustar un polinomio p(x,y) de grado m a los valores de los pixels en una vecindad (ventana) de n  n, con m = 2 y n = 3 por lo menos, aunque m = 1 y n = 2 también se emplean para estimar el Gradiente. En todo caso el número de coeficientes del polinomio debe ser menor a n2. De esta forma podemos decir que el Gradiente o el Laplaciano de dicha superficie es la estimación de los mismos en el centro de la ventana. Debe precisarse que si bien al aumentar el grado del polinomio y al emplear una ventana mayor es factible obtener mejores resultados, el cálculo de los coeficientes del polinomio involucrado se hace más complejo y elaborado. De esta manera y empleando técnicas

Transformaciones

157

bien conocidas del cálculo diferencial, es fácil ver que el mejor ajuste del plano z = ax + by + c, proporciona los siguientes operadores diferenciales, para una ventana de 2  2 a   2x 

g (i  1, j)  g(i  1, j  1)  g(i, j)  g(i, j  1) 2

(IV.69)

b  2y 

g (i, j  1)  g (i  1, j  1)  g (i, j)  g (i  1, j) 2

(IV.70)

y

a partir de los cuales se obtiene una expresión aproximada para la magnitud del Gradiente, ya que g 

 2 x g 2   2 y g 2

(IV.71)

El Laplaciano de g no puede obtenerse por medio del ajuste de un plano, puesto que las segundas derivadas darían un resultado nulo. Si se ajusta una superficie con un polinomio de segundo orden: z = ax2 + by2 + cx + dy + e, con una ventana de 3  3, el desarrollo algebraico es considerable, pero finalmente es posible demostrar que el Gradiente tiene componentes proporcionales a los siguientes valores y

3x  [g(i-1,j+1) + g(i-1,j) + g(i-1,j-1)] - [g(i+1,j+1) + g(i+1,j) + g(i+1,j-1)] (IV.72) 3y  [g(i-1,j+1) + g(i,j+1) + g(i+1,j+1)] - [g(i-1,j-1) + g(i,j-1) + g(i+1,j-1)] (IV.73)

Con el polinomio de segundo orden arriba anotado, sí es posible escribir una expresión para el Laplaciano (lámina 13), por lo que después de algunas manipulaciones algebraicas se demuestra lo siguiente 2g  [g(i - 1,j + 1) + g(i,j + 1) + g(i - 1,j) + g(i + 1,j) + g(i - 1,j - 1) + (IV.74) g(i,j - 1) + g(i + 1,j - 1) + g(i + 1,j + 1)] - 8g(i,j) La expresión (IV.74) es equivalente a la convolución, con la imagen, de la ventana de factores de peso 1

1

1

1

-8

1

1

1

1

Donde claramente se aprecia que los pixels en conectividad-8 intervienen en el cálculo del Laplaciano. Las componentes dadas por las expresiones (IV.72) y (IV.73) forman lo que se conoce como el Gradiente de Prewitt (lámina 14). De las últimas relaciones para |g| y

158


2g es posible apreciar, que al considerar una ventana de 3  3 cuyo centro es el pixel con coordenadas (i,j), se tiene entonces que las componentes del Gradiente son proporcionales a las diferencias de los pixels que se encuentran en los renglones y columnas extremos de la ventana. También vemos que en forma similar a la expresión (IV.68) el Laplaciano es proporcional a la suma de los pixels vecinos al del centro menos un múltiplo de éste. Es conveniente agregar también que en la práctica no es necesario, ni adecuado tal vez, emplear polinomios de orden mayor y ventanas más grandes, ya que podrían introducirse inestabilidades en el valor del ajuste al polinomio que incrementarían el ruido de la imagen al intervalo posible de valores que pueden asumir los pixels. Existen otras aproximaciones para operadores diferenciales de primero y segundo orden que son obtenidas a partir de consideraciones más bien intuitivas y de emplear otras métricas diferentes a las Euclidianas. Al igual que en los desarrollos anteriores, se utiliza una ventana de 3  3 cuyo pixel central es el de coordenadas (i,j). Una alternativa a los operadores introducidos en las relaciones (IV.62) y (IV.63) es la que se conoce como Gradiente de Roberts; en éste, en lugar de medir diferencias a lo largo de las direcciones x,y, se miden a lo largo de las diagonales, por lo que se tiene la siguiente aproximación gR = {[g(i,j) - g(i + 1,j + 1)]2 + [g(i,j + 1) - g(i + 1,j)]2}1/2

(IV.75)

Otras relaciones que no son precisamente aproximaciones a la magnitud Euclidiana del Gradiente, pero que tienen una estructura similar, ya que representan una medida del cambio radiométrico en una imagen digital, son las que siguen y a las cuales se les denomina pseudogradiente o bien

gp = |g(i,j) - g(i - 1,j)| + |g(i,j) - g(i,j - 1)|

(IV.76)

gp’ = max[|g(i,j) - g(i - 1,j)|, |g(i,j) - g(i,j - 1)|]

(IV.77)

De estos tres últimos, el que mejor parece responder (lámina 15) a la detección de bordes y líneas es el dado por la expresión (IV.76). Cabe mencionar que estas dos últimas relaciones no son del todo invariantes frente a rotaciones. Es importante puntualizar que lo que es lineal e isotrópico es el operador diferencial que se forma de acuerdo con las dos reglas arriba planteadas en las expresiones (IV.54) y (IV.55); esto desde luego no demerita el valor que como detectores de bordes tienen las aproximaciones aquí discutidas. El operador de Roberts lo escriben algunos autores como una relación de valores absolutos de diferencias cruzadas gR’ = max[|g(i,j) - g(i + 1,j + 1)|, |g(i,j + 1) - g(i + 1,j)|]

(IV.78)

Como ya se había mencionado, los operadores diferenciales resaltan también el ruido, sobre todo si éste es de alta frecuencia, de tal forma que si la razón señal/ruido no es adecuada, entonces la imagen transformada puede resultar finalmente degradada. De aquí que sea conveniente en ciertos casos aplicar operadores formados más bien por diferencias de promedios; de entre estos el más conocido es probablemente el de Sobel

Transformaciones

159

gS = |[g(i-1,j+1) + 2g(i,j+1) + g(i+1,j+1)] - [g(i-1,j-1) + 2g(i,j-1) + g(i+1,j-1)]| + |[g(i-1,j+1) + 2g(i-1,j) + g(i-1,j-1)] - [g(i+1,j+1) + 2g(i+1,j) + g(i+1,j-1)]| (IV.79) Sin embargo, operadores diferenciales de este tipo producen un ensanchamiento de los bordes realzados, lo que para algunas aplicaciones, como el seguimiento de líneas, resulta inadecuado. Por otro lado, debido a los promedios introducidos, se realiza una operación de filtraje, que suaviza el ruido, pero que hace en principio irreversible la operación de diferenciación. Otro operador diferencial que detecta los bordes presentándolos como en un efecto de relieve-sombreado (lámina 16) es el operador de Kirsch. En una ventana de 3  3 se consideran aquellos pixels que tienen conectividad-8 con respecto al central. Partiendo ahora desde el pixel localizado en la posición 3 del código de Freeman y haciendo un recorrido en sentido dextrógiro, a los pixels de la periferia de esta ventana se les denota como: A0, A1, A2, ... A7. De aquí entonces se define el gradiente de Kirsch gK = max [|5Si - 3Ti|], i = 0, 1, . . . 7

(IV.80)

Donde Si = mod 8 [Ai + Ai+1 + Ai+2] y Ti = mod 8 [Ai+3 +Ai+4 + Ai+5 + Ai+6 + Ai+7], es i

i

decir el subíndice i se evalúa en módulo 8. Debido a la naturaleza del operador de Kirsch a éste se le como una transformación de diferencias multidireccionales para la detección de bordes. Las diferencias direccionales del gradiente de Kirsch son aquellas establecidas por el código de Freeman. Existen otros operadores (capítulo V) para detectar bordes y líneas, pero no son de naturaleza diferencial, aunque al igual que los anteriormente descritos, estos pueden ser establecidos como una operación de convolución entre una ventana con factores de peso y la imagen de entrada. Una revisión de las propiedades más importantes de los detectores de bordes por medio de operadores diferenciales se proporciona en Bowyer et al. (2001). También hay variantes de estos detectores en donde se introducen relaciones no lineales; este tipo de operadores serán revisados en el capítulo IV además de aquellos que se definen a través de la transformada de Fourier. El operador diferencial de divergencia será estudiado en el capítulo VII debido a que: i) no es reversible y ii) es empleado para obtener texturas a partir de una imagen multiespectral. IV.4.2 Gradiente y Laplaciano en imágenes multiespectrales Una vez que la imagen ha sido modelada como un campo vectorial (véase apartado I.2.2) podemos proceder a definir operadores que realcen los bordes inmersos en imágenes multiespectrales. Sea vc una ventana que se desplaza sistemáticamente, pixel a pixel, por toda la imagen; la dimensión de esta ventana es de 3  3 pixels. Sea pc el vector que representa el pixel central de esta ventana y sean p1, p2, . . . p8 los vecinos de pc bajo conectividad-8. Se calcula el vector diferencia del pixel central con todos sus vecinos en la ventana pi = pc - pi,  i  vc

(IV.81)

160


El vector de la ventana que produce la máxima diferencia se escribe como una imagen multiespectral llamada f pi  f: max(pc – pi),  i  vc

(IV.82)

El vector diferencia se calcula empleando la distancia euclidiana o alguna otra métrica conveniente (véanse expresiones VII.159 – VII.165) La imagen f contiene la información de bordes a través de las bandas de la imagen original g. Con el objeto de acumular toda la información de los bordes, se aplica la descomposición en componentes principales a f (véase sección IV.6), de aquí entonces, la primera componente porta la mayor cantidad de información de los bordes de la imagen original. A la imagen f se le denomina el gradiente vectorial de g. La lámina 17 muestra los bordes de la imagen multiespectral (véanse láminas 1 – 3) obtenidos con el gradiente vectorial. El laplaciano multiespectral se obtiene generalizando la ecuación (IV.49) a un espacio vectorial. A la ecuación (IV.49) se le denomina el laplaciano escalar. Para obtener el laplaciano multiespectral se escribe primero la transformada de Fourier en dimensiones. Sea g(r)  ℝn, una función vectorialmente valuada que describe una imagen multiespectral formada por -bandas. El vector g(r) = {g1(x,y), g2(x,y), . . . g(x,y)} representa los valores del pixel a través de las bandas. La función g(r) es un campo vectorial que modela una imagen multiespectral de acuerdo con los lineamientos del apartado I.2.2 La transformada de Fourier de g(r) se define como (Bracewell, 2003; Ebling y Scheuermann, 2005) 

G ()  F [g(r )] 



 

... g(r ) exp{2jr  }dr

-

-

En ℝn, las coordenadas en el dominio de Fourier  = (1,2) y el dominio espacial r = (x,y), cubren el mismo intervalo, 1  (x, 1)  M y 1  (y, 2)  N, pero su significado es diferente: (x,y) representa coordenadas espaciales, mientras que (1,2) representa frecuencias espaciales. En el espacio discreto de coordenadas ℤ, en el dominio de Fourier k = (k1,k2), y en el dominio espacial q = (m,n), cubren el mismo intervalo, 1  (m, k1)  M y 1  (n, k2)  N. Si g(q)  ℤ, donde (m,n; k1,k2)  ℤ, entonces la versión discreta de la ecuación anterior es G (k )  F [g(q)] 

 ...  g(q) exp{2jq  k}

(IV.83)

Donde g(q) = {g1(m,n), g2(m,n), . . . g(m,n)} y G(k) = {G1(k1,k2), G2(k1,k2), . . . G(k1,k2)}. El laplaciano en ℤ del campo vectorial g(r) es por tanto 2

F [ 2 g(q)]   (2) 2 k G (k )

(IV.84)

Transformaciones

161

Donde G(k) = F[g(r)]. La ecuación (IV.84) es la que se aplica a una imagen multiespectral para producir el contenido de bordes inmersos a través de las bandas. Nótese que la ecuación (IV.49) es un caso particular de la ecuación (IV.84). A la ecuación (IV.84) se le llama el laplaciano vectorial. La lámina 18 muestra los bordes de la imagen obtenidos aplicando la expresión (IV.84).

IV.5 Transformadas Integrales Un grupo de transformaciones de amplio uso y potencial de análisis es el que se refiere a la descomposición de la imagen mediante el empleo de funciones base ortonormales. Estas funciones generan un espacio vectorial abstracto que puede considerarse como una representación generalizada de frecuencias donde se encuentra una descripción de la imagen. En este sentido, la imagen es transformada para evaluar y cuantificar aspectos de la misma que no son evidentes en su representación original. El concepto de frecuencia espacial vertido en el capítulo introductorio sirve como base para comprender la idea de la descomposición de la imagen en sus componentes de frecuencias. No obstante este concepto es ampliado para llegar a la noción de esquema del espacio de frecuencias en general; las transformaciones que se detallan en las siguientes secciones son ejemplos de tal esquema. La descomposición de una imagen a un espacio de frecuencias generalizadas se modela matemáticamente empleando una transformada integral. Las transformadas integrales tienen su origen en la transformada de Fourier y la de Laplace, siguiendo después otras como las de Hilbert, Hankel, Hartley, Mellin, Abel, Radón y Ondeletas (Wavelets) entre otras. Con el advenimiento de las computadoras digitales todas las transformaciones integrales y sus variadas aplicaciones tienen ahora una versión digital. Las transformadas integrales, originalmente empleadas con propósitos analíticos, presentan aplicaciones directas en reconocimiento de patrones, análisis de tomografías, análisis espectral, filtraje, restauración, compresión y codificación de imágenes. La transformación a una función f(x,y) se expresa de la siguiente manera F(s,t) = T{f(x,y)}

(IV.85)

donde T es una operación explícita y F(s,t) es una función llamada la transformada de f(x,y). Las características de esta operación de transformación son las siguientes: la forma funcional de F se obtiene de la forma de f y de la operación T y no del valor de las variables independientes x,y. Cualquier valor particular de la función transformada F(s,t) depende del intervalo completo de las variables x,y o de un subintervalo de éstas. Las variables de transformación s,t no necesariamente tienen una identidad diferente a las variables x,y; si tienen la misma identidad (transformación de Hilbert) la transformación se realiza sobre el mismo espacio donde se encuentra definida la función original, si la identidad es diferente (transformada de Fourier) la función F es referida a un nuevo espacio (figura III.2). La estructura del espacio donde se encuentra F está determinada directamente por la naturaleza de la operación T. La transformación inversa se escribe de la siguiente manera f(x,y) = T–1{F(s,t)}

(IV.86)

162


donde T–1 es el inverso de T. El tipo más común de transformación es aquella que satisface condiciones de linealidad. Una transformación es lineal si satisface la regla de superposición aditiva, es decir si f1(x,y) y f2(x,y) son dos funciones, entonces se cumple que T[f1(x,y) + f2(x,y)] = T[f1(x,y)] + T[f2(x,y)] y si k es una constante cualquiera se tiene que T[kf(x,y)] = kT[f(x,y)] Si bien esta última condición es una generalización de la primera. Si el operador T representa una operación de integración ponderada, a la transformación se le conoce como una transformada integral, escrita como sigue F( s, t ) 

  f ( x, y )A( x, y; s, t )dxdy

(IV.87)

Donde la función A(x,y;s,t) es llamada el kernel de la transformación, f(x,y) es una función bidimensional y F(s,t) es la función transformada. La expresión (IV.87) es una ecuación de Fredholm del primer tipo. Con el advenimiento de la computadora digital se han elaborado versiones digitales de las transformaciones integrales de tal manera que son aplicables directamente a señales e imágenes digitales. Así entonces, la versión discreta de (IV.87) podría escribirse de la siguiente manera F( l, m ) 

 f (i, j)A(i, j; l, m ) i

j

que es precisamente el modelo de transformación de imagen dado por la ecuación (III.51). Es importante puntualizar que la versión discreta no es una aproximación a la expresión analítica continua sino una transformación precisa y completa. En ocasiones el término discreto se emplea en contraposición a continuo, y significa que las variables independientes únicamente puede asumir valores enteros. Para denotar este hecho es común emplear los símbolos i, j, k, l, m, n. Es posible también que la función misma f(i,j) asuma valores discretos (enteros también) como es el caso de una imagen digital. No obstante, en términos generales no existe restricción para f(i,j) y F(l,m), pudiendo éstas asumir valores enteros, reales o complejos de acuerdo con las condiciones físicas en las que son generadas. El intervalo de valores para las variables independientes depende de la representatividad que tengan frente a las condiciones físicas que caracterizan, pudiendo provenir de un fenómeno de naturaleza discreta o del resultado del muestreo (teorema de muestreo) de una variable continua. Cuando una transformación es lineal y el kernel respectivo es exactamente invertible y satisface ciertas propiedades de ortonormalidad (expresión IV.7) se tiene una transformación llamada unitaria. A continuación se presentan las transformadas integrales más importantes que se aplican a una imagen.

Transformaciones

163

IV.5.1 Transformada de Fourier Uno de los exponentes más importantes de las transformaciones que pueden hacerse a una imagen es la de Fourier; sus propiedades y aplicaciones han resultado muy interesantes en el estudio de estructuras bidimensionales y en el desarrollo de filtrajes digitales. Otras propiedades importantes serán también revisadas en esta sección proporcionando una visión general de esta transformación, ya que probablemente se le ha dado un énfasis demasiado grande al diseño de filtros por medio del espectro de frecuencias que genera la transformada de Fourier, dejando de lado otros aspectos que son muy interesantes. Otras transformaciones de naturaleza similar son estudiadas también en las secciones subsecuentes. La transformada de Fourier es una transformación lineal, invertible y con kernel separable, por lo que puede ser utilizada la relación (IV.6) para introducir una definición adecuada. De esta forma el kernel de la transformación directa es el siguiente A(n 1 , n 2 ; k 1 , k 2 ) 

 k n  1 k n exp  2j 1 1  2 2  MN N   M 

(IV.88)

para una imagen rectangular de dimensión MN. La cantidad j es el número complejo (0,1). El kernel de la transformación inversa es simplemente el conjugado complejo de A. Es fácil comprobar que los kernels directo e inverso de la transformada de Fourier satisfacen las relaciones (IV.7). La ecuación (IV.88) significa que la transformada de Fourier discreta es la transformación Z F( z1 , z 2 ) 

 f ( n , n 1

n1

 n1  n 2 2 ) Z1 Z 2

(IV.89)

n2

sobre los círculos unitarios dados por las siguientes expresiones  2jk 1   2jk 2  j 2 Z1  e j1  exp   exp   y Z2  e  M    N 

(IV.90)

y son precisamente las propiedades de simetría de estas n-raíces de la unidad las que hacen posible la elaboración de algoritmos computacionales de muy rápida ejecución. Si nos referimos a la relación (IV.2), vemos que para la transformada de Fourier, las matrices [P] y [Q] son tales que [P] = []MM y [Q] = []NN

(IV.91)

Donde en general los elementos (m,n) de la matriz F están dados por  1  m n  exp  2j   , con m, n = 1, 2, . . . M, N MN  M N  

Para una imagen rectangular de dimensión M  N.

(IV.92)

164


1 1 La transformada inversa está definida por las matrices inversas [ ]MM y []NN cuyos elementos (m,n) en general son

  m n  exp  2j   , con m, n = 1, 2, . . . M, N  M N  

(IV.93)

y nótese que el factor de normalización 1/MN se ha puesto en la transformación directa. Con esta forma de definir el kernel de la transformada de Fourier, es claro que 1 1 [ ] MM [ ] MM  [] NN [] NN  [I]

(IV.94)

donde [I] es la matriz identidad, ya que las exponenciales involucradas cumplen con la siguiente propiedad  N , para k  n

 exp 2j N  exp2j N   0, para k  n km

nm

(IV.95)

m

La forma discreta de las exponenciales en la definición de los kernels A y B implica que estas funciones son periódicas kn  nN kN     exp2jn exp2j   exp2jk  N N N      

(IV.96)

ya que es posible escribir esta función exponencial como una combinación compleja de funciones seno y coseno las que cumplen con propiedades de periodicidad. Esto quiere decir que la secuencia o imagen de entrada, {f(n1,n2)} y la secuencia o imagen de salida, {F(k1,k2)} son secuencias periódicas, ya que la transformada discreta de Fourier (TDF) se define como F(k 1 , k 2 ) 

1 MN

M

N

 f (n , n 1

n1

n2



k n  k n 2j 1 1  2 2  M N   

2 ) exp  

(IV.97)

para una imagen rectangular de dimensión MN. Es decir la TDF de una imagen es esencialmente una representación en series de Fourier de un campo escalar bidimensional; para que esto sea válido el campo debe ser periódico. La TDF bidimensional posee una serie de propiedades de simetría muy interesantes para el análisis de imágenes, las presentaremos aquí sin demostración matemática ya que existen tratados especializados para esto (Bracewell, 2000). Las propiedades de uso probablemente más extendido son las siguientes Estructura de una imagen

Debido a que la TDF de una imagen es finalmente una representación en series de

Transformaciones

165

Fourier de la misma, es fácil entender que esta transformada proporciona la distribución de frecuencias de las variaciones de los valores de los pixels que componen la imagen. En otras palabras, la TDF es una descomposición del campo bidimensional en un espacio de frecuencias empleando como funciones base al seno y al coseno. Las frecuencias a las que nos referimos representan entonces la rapidez con la que cambian los valores de los pixels en ambas direcciones del espacio de la imagen; de aquí que la TDF permita la evaluación del espectro de frecuencias espaciales (lámina 19) de la misma. Este espectro de frecuencias o distribución de variaciones de los valores de la imagen es en realidad una medida de su complejidad geométrica. La TDF es por tanto un indicador de la estructura de una imagen en el sentido expuesto en la parte introductoria de este trabajo. Así pues, la distribución de frecuencias puede ser empleada para dilucidar ciertas propiedades geométricas de una imagen; por ejemplo, las líneas de drenaje (lámina 20) obtenidas a partir de una imagen de satélite tienen un espectro de frecuencias (lámina 21) característico de la clase a la que pertenecen. En otras palabras, dos patrones de drenaje muestran espectros similares si pertenecen a la misma clase de drenajes, aun cuando sean aparentemente diferentes por variaciones en su orientación y extensión. De aquí que la TDF ponga de manifiesto o realce ciertas propiedades geométricas de periodicidad de los valores de una imagen que no están evidentes en el espacio original de coordenadas. En resumen, imágenes con propiedades globales de periodicidad similares tienen espectros de frecuencias parecidos. Además de esto, es más fácil comparar entre sí los espectros de frecuencias que tratar de visualizar similitudes geométricas en las imágenes originales. Tal comparación puede llevarse a cabo por medio de la ecuación (III.92). La TDF es por tanto una representación de la imagen digital en un espacio donde se encuentran realzadas las características espaciales de la misma; por esto, la TDF puede pensarse como un realce global al campo bidimensional de entrada. Teorema de shifting (de traslación)

Si la imagen o secuencia {X(k1, k2)}, k1, k2 = 1, 2, . . . M, N, es la TDF de la secuencia {x(n1, n2)}, n1, n2 = 1, 2, . . . M, N, entonces la secuencia {x(n1 - m1,n2 - m2)} tiene la siguiente TDF  k m k m exp  2j 1 1  2 2 N  M 

  X(k 1 , k 2 ) 

lo que quiere decir que un cambio de posición en el espacio de coordenadas implica un cambio de fase en el espacio de frecuencias y viceversa, un corrimiento en frecuencia trae un cambio de fase en el dominio de la imagen, por tanto la secuencia {X(k1 - k0,k2 k0)} corresponde a la TDF de  k n k n  exp 2j 0 1  0 2  x (n 1 , n 2 ) M N   

Donde k0 es un desplazamiento arbitrario en frecuencia.

166


Teorema de convolución circular

A este teorema se le llama circular por la propiedad de periodicidad arriba expuesta y para diferenciarlo del teorema lineal en donde no se suponen secuencias periódicas. Este teorema dice lo siguiente: si las secuencias {X1(k1,k2)}, {X2(k1,k2)}, k1, k2 = 1, 2, . . . M, N son respectivamente las TDF de las secuencias {x1(n1,n2)}, {x2(n1,n2)}, n1, n2 = 1, 2, . . . M, N entonces la TDF obtenida del siguiente producto X3(k1,k2) = X1(k1,k2)X2(k1,k2),  k1, k2 corresponde a la secuencia {x3(n1,n2)} que está dada por

 x ( m , m

x 3 ( n1 , n 2 ) 

1

1

2 )x 2 ( n 1

 m1 , n 2  m 2 ) 

m1 m 2

 x ( n 1

(IV.98) 1

 m 1 , n 2  m 2 )x 2 ( m 1 , m 2 )  x 1  x 2

m1 m 2

Este teorema es análogo al correspondiente para funciones continuas; sin embargo dada la naturaleza periódica de las secuencias {x1(n1,n2)} y {x2(n1,n2)}, cuando una secuencia es desplazada más allá del último punto de la otra secuencia (al realizar la convolución), no encuentra valores cero como debiera, sino la repetición periódica de la secuencia en cuestión. Entonces para forzar a la convolución discreta para que tenga los mismos valores numéricos que la convolución lineal de dos secuencias finitas, es necesario construir dos secuencias artificiales que presenten valores cero en los extremos. Cantidades escalares relacionadas con la TDF

La transformada de Fourier de una función real es generalmente compleja, es decir F(k1,k2) = R(k1,k2) + jI(k1,k2) donde R es la parte real e I la imaginaria, a partir de aquí se definen las siguientes cantidades El espectro de Fourier o de frecuencias

F(k1,k2) = [R2(k1,k2) + I2(k1,k2)]1/2 La fase

(IV.99)

Transformaciones

(k1,k2) = Arctan[I(k1,k2)/R(k1,k2)]

167

(IV.100)

El espectro de energía o de potencia

E(k1,k2) = R2(k1,k2) + I2(k1,k2) = F(k1,k2)2

(IV.101)

que también se conoce como densidad espectral (véase ecuación III.110). Estas tres cantidades son las que cuantitativamente nos dan una visión general de la estructura de una imagen en el sentido arriba expuesto. A diferencia del caso continuo, no es necesario preocuparse acerca de la existencia de la TDF, ya que F(k1,k2) existe siempre en el caso discreto puesto que la imagen de entrada siempre está acotada. Además, es importante hacer notar que la TDF no es una aproximación del caso continuo, sino que es una transformación completa. La gran mayoría de los espectros de frecuencias de imágenes decaen rápidamente como una función de la frecuencia y de aquí que los términos de frecuencia alta tengan la tendencia a verse oscurecidos cuando son desplegados para su inspección visual; es decir, el lóbulo central es mucho mayor que los lóbulos de segundo, tercer y orden mayor, por lo que en un sistema de despliegue que tenga disponible 256 niveles de gris (o de color), al lóbulo central le correspondería el tono relativo al 256 y los lóbulos de segundo y tercer orden tendrán tonos muy oscuros cercanos al cero. Debido a esto se emplea una técnica adecuada que compensa los efectos de despliegue causados por esta particularidad del espectro de Fourier, esta técnica consiste en utilizar la función D(k1,k2) = log[1 + ∣F(k1,k2)∣]

(IV.102)

en lugar de ∣F(k1,k2)∣. Desde luego los valores de D(k1,k2) deben estar normalizados a la escala de despliegue disponible (lámina 19). El uso de la función D(k1,k2) preserva los valores cero en el plano de las frecuencias ya que D(k1,k2) = 0 cuando |F(k1,k2)| = 0. También hay que hacer notar que D(k1,k2) es una función no negativa y que se emplea únicamente para efectos de despliegue de la TDF. Cabe también mencionar que para estos efectos y para algunos cálculos, los cuadrantes de la TDF son reordenados para que el lóbulo de orden cero aparezca en el centro de la imagen resultante. Estos cuadrantes pueden ser reordenados automáticamente multiplicando a la imagen original por el factor (-1)m+n antes de ejecutar la TDF. Ya que debido a la siguiente identidad exp[j(m + n)] = (-1)m+n la TDF se reescribe como sigue F(k 1 

 M N 1  k m k n  ,k2  )  f (m, n )(1) m  n exp  2j 1  2  (IV.103)  2 2 MN m n N   M 

Separabilidad

En la definición de la TDF se anotó que ésta es una transformación con el kernel separable, lo que quiere decir que la principal ventaja de la propiedad de separabilidad

168


es que la TDF puede obtenerse por dos aplicaciones sucesivas de la transformada unidimensional, es decir F(k 1 , k 2 ) 

1 M

 F(n , k 1

n1



2 ) exp  



2j

k 1n 1  M 

(IV.104)

Donde F(n 1 , k 2 ) 

1 N

 f (n , n 1

n2



2 ) exp  



2j

k 2n 2  N 

Sin embargo, implantar la TDF de esta manera implica, en la práctica, el uso de muchas operaciones de entrada/salida de la unidad de almacenamiento donde resida la imagen original; de contarse con suficiente memoria central o con un procesador de arreglos, es mucho mejor emplear la versión bidimensional de la TDF. Para hacer aun más eficiente la evaluación de la TDF, se toman imágenes con dimensión de orden N = 2m con m entero, con lo que se aprovechan las propiedades de simetría de las raíces de la unidad, obteniéndose de esta manera lo que se conoce como transformada rápida de Fourier. Es posible prealmacenar las raíces o valores del kernel en cuestión en tablas para una serie de valores de m y, si la imagen no es cuadrada de orden 2m, se pueden emplear algoritmos de rápida ejecución para imágenes rectangulares. Periodicidad y conjugado complejo

La TDF y su inverso son periódicos con periodo M y N, es decir, con base en el teorema de la convolución circular, se tiene F(k1 + mM,k2 + nN) = F(k1,k2)

(IV.105)

donde m y n son enteros y MN la dimensión de la imagen. Por otra parte o bien

F(k1,k2) = F*(-k1,-k2)

(IV.106)

F(k1,k2) = F(-k1,-k2)

Dado que la TDF es en general compleja, el dominio de frecuencias tiene por tanto N + M componentes, incluyendo la parte real y la imaginaria, por esto tal vez podría pensarse que esta transformación produce un incremento en la dimensionalidad de la imagen. No es este el caso, ya que debido a la propiedad (IV.106) la casi mitad de los términos de la TDF son redundantes, por lo que la dimensionalidad se conserva. Rotación

Si g(n1,n2) es rotada por un ángulo , entonces la respectiva TDF es rotada también por el mismo ángulo. En forma análoga, la rotación de F(k1,k2) trae consigo la rotación de g(n1,n2) por el mismo ángulo. Sin embargo, es necesario tomar en cuenta que al rotar

Transformaciones

169

una imagen, los lugares asociados a los pixels rotados no necesariamente coinciden con los lugares de la malla o lattice empleados en la imagen original, de tal manera que es necesario realizar una interpolación como la convolución cúbica (véase sección IV.10). Los valores del pixel original más cercano al rotado, así como los próximos vecinos de aquél, contribuyen al valor correspondiente del pixel de la imagen rotada. Además es necesario tomar en cuenta que la imagen rotada y la original son así siempre referidas a la misma lattice. Distributividad y Escalamiento

Dado que la transformada de Fourier es una transformación lineal, se tiene F[f1(n1,n2) + f2(n1,n2)] = F[f1(n1,n2)] + F[f2(n1,n2)]

(IV.107)

F[f1(n1,n2)f2(n1,n2)]  F[f1(n1,n2)]F[f2(n1,n2)]

(IV.108)

y en general

Además de esto, si a y b son escalares f (an1 , bn 2 ) 

1 ab

k k  F 1 , 2   a b 

(IV.109)

y af(n1,n2)  aF(k1,k2)

(IV.110)

Estas relaciones se siguen claramente de la definición misma de la transformada de Fourier. Dado que las variables n1, n2, k1, k2 y los valores que puede asumir la imagen son discretos, es necesario realizar una interpolación en forma similar al caso de la rotación. De lo anterior se concluye claramente que la transformada de Fourier es invariante frente a traslaciones, rotaciones y cambios de escala. Valor promedio o componente de frecuencia cero

Si tenemos el siguiente valor promedio de una imagen f

1 MN

M

N

n1

n2

 f (n , n 1

2)

y si además consideramos la componente de frecuencia cero de la transformada de Fourier de la misma imagen F(0,0) 

1 MN

M

N

n1

n2

 f (n , n 1

2)

170


entonces se tiene que f  F(0,0)

(IV.111)

En analogía con la teoría electromagnética, a F(0,0) se le conoce también como la componente DC de la imagen y en muchas ocasiones es restada al espectro de Fourier para facilitar su análisis. Gradiente y laplaciano

Ya se anotaron arriba las relaciones para obtener el Gradiente y el Laplaciano por medio de la transformada de Fourier, también se incluyeron las respectivas demostraciones (véanse ecuaciones IV.48, IV.49 y IV.84). Estas relaciones son muy importantes para evaluar dichos operadores diferenciales los que son ampliamente utilizados para resaltar las líneas y los bordes de una imagen. Convolución y correlación

Para sistemas lineales, invariantes frente a traslaciones se tiene, que si f y g son dos imágenes cualesquiera, y si F y G son sus respectivas transformadas de Fourier, entonces f  g  FG y fg  F  G y además f o g  FG* y fg*  F o G donde f * g es la convolución circular de f y g como ya se anotó arriba y donde f (n 1 , n 2 ) o g(n 1 , n 2 )   f (, )g(  n 1 ,   n 2 ) 

(IV.112)



es la correlación entre f y g. La validez del teorema de la convolución es la que permite la ejecución rápida de filtrajes en el dominio de frecuencias y facilita también la comparación entre dos imágenes o entre dos patrones, así como la estimación de la textura a través de la función de autocorrelación. Cabe mencionar también que la convolución de una imagen con un templete se constituye, bajo ciertas condiciones, en un filtraje lineal a la imagen. Es posible generalizar esta técnica para una clase de filtros no lineales y detectores de líneas y ramificaciones. El tema de los filtrajes será desarrollado en el próximo capítulo. Existen otras transformaciones similares en naturaleza a la de Fourier (véanse las figuras IV.6a a IV.6f). Las transformadas de Walsh, Hadamard, coseno, Haar y Slant, son también unitarias y por tanto de kernel separable. Constituyen asimismo una descomposición de la imagen original en funciones base (figura IV.6) de un espacio generalizado de frecuencias; son diferentes a la de Fourier en el sentido de que fueron concebidas en primera instancia (con excepción de la de coseno) en forma digital, mientras que la de Fourier fue definida primeramente para señales analógicas. También

Transformaciones

171

su evaluación es más rápida que la de Fourier y por lo mismo son empleadas para la compresión de imágenes que requieren de ser almacenadas o transmitidas. IV.5.2 Transformada de Hartley La transformada de Hartley tiene una estructura parecida a la de Fourier, su definición es como sigue H(k 1 , k 2 ) 

 k n k n 1 f (n 1 , n 2 )cas2 1 1  2 2  MN n n N   M 1

2

  

(IV.113)

y la transformada inversa es  k n k n  f (n 1 , n 2 )   H(k 1 , k 2 )cas2 1 1  2 2  M    N k1 k 2

(IV.114)

donde la función cas se define como: cas = cos + sen. Es fácil demostrar que la función cas satisface las condiciones de ortonormalidad expresadas en (IV.7), por lo que la transformada de Hartley es unitaria. La transformada de Hartley posee propiedades equivalentes a la de Fourier y su empleo es en algunos casos computacionalmente conveniente. La transformada de Hartley contiene toda la información de la transformada de Fourier por lo que es factible pasar de una a la otra. Es fácil demostrar que  (k1,k2) y

H(k1,k2) = Re[F(k1,k2)] – Im[F(k1,k2)]

(IV.115)

2F(k1,k2) = H(k1,k2) + H(M–k1,N–k2) + j{H(M–k1,N–k2) – H(k1,k2)} (IV.116) Para una imagen real la transformada de Fourier es redundante en el sentido que la mitad de sus elementos pueden ser obtenidos a partir del resto empleando relaciones de simetría. Para una imagen real la transformada de Fourier es compleja, no así la de Hartley, que es real y no es redundante. Las cantidades escalares relacionadas a la transformada de Fourier se obtienen también a partir de la de Hartley, así entonces el espectro de potencia está dado por y

E(k1,k2) = [H(k1,k2)]2 + [H(M – k1,N – k2)]2 ,  (k1,k2)

(IV.117)

 H(M  k 1 , N  k 2 )    arctan   ,  (k1,k2) 4 H(k 1 , k 2 )  

(IV.118)

(k 1 , k 2 ) 

De las relaciones anteriores es posible apreciar que la transformada de Hartley es computacionalmente más económica que la de Fourier, por lo que todas las cantidades y procesos asociados a ésta pueden ser realizados a partir de un algoritmo de transformada de Hartley.

172


IV.5.3 Transformada de Walsh La transformada de Walsh para una imagen digital g se define como sigue W ( k , l) 

p 1

q 1

1 M N b ( m ) b p 1 i ( k ) b (n )b (l) g (m, n ) (1) i (1) i q 1 i   N m 1 n 1 i 0 i 0

(IV.119)

donde se supone que el tamaño de la imagen es de orden: M = 2p y N = 2q, con p, q enteros y donde bi(m) es el i-ésimo bit de la representación binaria de m. Por ejemplo, si m = 6 (110 en binario), entonces b0(m) = 0, b1(m) = 1 y b2(m) = 1. Desde luego para bp1-i(l) es necesario calcular el subíndice p-1-i y después evaluar la representación binaria correspondiente. El término 1/N es un factor de normalización asociado al kernel de la transformación directa. La transformación inversa tiene el mismo kernel salvo por el factor de normalización, que en este caso es 1/M. Nótese que si la imagen es cuadrada, entonces M = N y los kernels de las transformaciones directa e inversa son idénticas. Hay que hacer notar también que, a diferencia de la transformada de Fourier, la de Walsh es real, por lo que requiere menos memoria digital y es más rápida. IV.5.4 Transformada de Hadamard La transformada de Hadamard es muy parecida (figura IV.6) a la de Walsh. Cuando las imágenes procesadas son cuadradas y de orden 2p, las transformaciones de Hadamard y Walsh tienen las mismas funciones base aunque en diferente orden. Es por esto que en la literatura, se habla frecuentemente de la transformada Walsh-Hadamard. La transformada de Hadamard se define de la siguiente manera p 1

q 1

 bi ( m ) b i ( k )  bi ( n ) bi ( l ) 1 H( k , l)  g( m, n )( 1) i 1 ( 1) i 1 N m 1 n 1 M

N



(IV.120)

donde p, q y bi(m) son definidas de la misma manera que en la transformada de Walsh. Nótese que se tiene también un factor de normalización 1/N. En forma análoga a la transformada de Fourier, es conveniente expresar la de Hadamard de tal manera que los argumentos del kernel correspondiente se incrementen a la par que la frecuencia de las funciones base asociadas (figura IV.6). Por este razonamiento, la de Hadamard se convierte en una transformada a través de la cual descomponemos en frecuencias a la imagen original. Este ordenamiento particular se logra reescribiendo la transformada de Hadamard de la siguiente manera p 1

q 1

 b i ( m )si ( k )  bi ( n )si ( l ) 1 H( k , l)  g( m, n )( 1) i 1 ( 1) i 1 N m 1 n 1 M

N



(IV.121)

donde s0(u) = bn-1(u), s1(u) = bn-1(u) + bn-2(u) y sn-1(u) = b1(u) + b0(u). Con lo cual vemos que la transformada ordenada de Hadamard es igual a la ordenada de Walsh para N = 2p

Transformaciones

173

Figura IV.6. Funciones base de las transformadas de Fourier (a,b), Hadamard y Walsh (c), Coseno (d), Haar (e) y Slant (f).

174


y M = 2q. La transformada inversa tiene el mismo kernel salvo por el factor de normalización. De las expresiones para las transformadas de Walsh y de Hadamard es claro que el mismo algoritmo es útil para calcular los kernels directo e inverso. Dado que es posible visualizar a la transformada ordenada de Hadamard como una descomposición en frecuencias de la imagen original, es factible pensar que proporciona información acerca de la estructura de la imagen en forma análoga a como lo hace la transformada de Fourier; lo mismo se puede decir de la de Walsh. Como tales, estas transformaciones pueden ser empleadas de manera similar que la transformada de Fourier. IV.5.5 Trasformada coseno Otra transformada de uso generalizado, en particular para la compresión de imágenes, es la transformada coseno, a partir de la cual y bajo ciertas restricciones (ergodicidad) es posible evaluar la descomposición en componentes principales que se verá en la sección IV.6. La transformada coseno es a final de cuentas una modificación de la versión discreta de la de Fourier. Esta, desarrollada a partir de funciones base compuestas por funciones trigonométricas coseno de fase cero y de naturaleza real y discreta, se define como sigue C(i, j)   g(m, n )[cos(2m  1)i][cos(2n  1) j] m

(IV.122)

n

El kernel de esta transformación consiste básicamente de funciones coseno muestreadas. La transformada inversa es igual a la directa excepto por un factor constante y uno de normalización g( m , n ) 

1 C(0,0)  MN

(IV.123) 1 4(MN) 3

 C(i, j)[cos(2m  1)i][cos(2n  1) j] i

j

donde el factor de normalización se ha colocado aquí en la transformada inversa y donde el factor constante M

C(0,0) 

N

 g( m, n ) m 1 n 1

nos dice que el primer término de (IV.123) es el valor promedio de la imagen de entrada. Las transformaciones de Haar y Slant son muy similares a las ya descritas en esta sección, por lo que no se estudiarán explícitamente; sin embargo, a manera de ilustración, se muestran sus respectivas funciones base en la figura IV.6. Existen otras transformaciones (Bracewell, 1990) que emplean funciones base definidas en espacios

Transformaciones

175

vectoriales: Laplace, Mellin, Hilbert, Abel y Hankel, si bien algunas de ellas están definidas para una dimensión su generalización a imágenes es relativamente fácil. IV.5.6 Transformada de Radón Existen arreglos experimentales de generación de imágenes (figura IV.7) donde un objeto es proyectado sobre un sensor (o conjunto de ellos) a través de un haz de radiación, tal como en la generación de una radiografía, una neutrografía, una tomografía o una imagen de radar. En esta situación, cada imagen es una proyección de una sección del objeto a lo largo de una dirección preestablecida. Al variar la dirección de proyección es factible obtener una colección de vistas del mismo objeto, y a partir de las imágenes generadas de esta manera es posible la reconstrucción tridimensional de una sección de éste. A este método de producción de imágenes de un mismo objeto se le llama tomografía computada. Al proceso completo se le conoce como reconstrucción de imágenes. Este método de reconstrucción es empleado en aplicaciones médicas para formar el modelo tridimensional de órganos sin intervención destructiva. Otras aplicaciones se dan, por ejemplo, en tomografía acústica del océano, en tomografía acústica de fetos en mujeres embarazadas, en reconstrucción tridimensional de ondas sísmicas, en la producción de un modelo del subsuelo para la prospección de hidrocarburos y en la generación de un modelo digital del terreno empleando señales de radar. Cuando la radiación atraviesa el objeto, los pixels de la imagen respectiva portan información sobre las características de transmisividad de la materia que lo compone. Previamente a su incidencia en el detector, la radiación interacciona con una serie de componentes del objeto por lo que la resolución en la imagen relativa es disminuida. Sin embargo, al realizar la reconstrucción a partir de varias proyecciones la resolución es incrementada, ya que se introduce información del objeto desde varias vistas del mismo; a este proceso se le conoce como tomografía de transmisión. La tomografía de reflexión consiste en la generación de una imagen por medio de la proyección de la reflectividad del objeto. En la tomografía de retrodispersión la imagen es producida a partir de la sección retrodispersada del haz incidente de radiación; el valor de esta sección depende del tipo de interacción radiación-materia. En la tomografía de emisión se detecta la radiación corpuscular emitida por ciertos isótopos radioactivos, cuya tendencia a fijarse en tejidos específicos del cuerpo humano permite la generación de imágenes de glandulas y tumores. La tomografía de reflexión (o de retrodispersión) permite, a partir de dos vistas desde ángulos diferentes, la reconstrucción de una porción del relieve de la superficie del objeto; la porción reconstruida es función directa de la geometría de vista en la generación de las imágenes. Las imágenes de satélite son un ejemplo de tomografía de reflexión, mientras que las imágenes de radar lo son de la tomografía de retrodispersión. Sea ahora un arreglo experimental (figura IV.7) donde se tiene una fuente de radiación que produce un haz de rayos paralelos e incidiendo sobre un objeto de interés. La radiación interacciona al través de una sección o columna del objeto, portando información de las propiedades de ésta. La fracción de radiación que emerge de la sección mencionada es medida por un detector cuya salida es registrada por un sistema de formación de imagen. Sea también f(x,y) el coeficiente de absorción del objeto en el punto (x,y) para un valor dado de z, donde las coordenadas (x,y,z) son referidas a un

176


sistema cartesiano tridimensional. Supóngase que la iluminación se realiza empleando un haz de radiación infinitamente estrecho, en una dirección determinada por el ángulo  con respecto al eje x (figura IV.7). Esta dirección es definida por una línea recta perpendicular a un vector de posición r con magnitud r e inclinación ; a dicha línea se le conoce como un rayo. De aquí entonces que la fracción de intensidad de radiación que incide en el detector esté dada por   I  I 0 exp f ( x, y )d      



(IV.124)

donde  es la trayectoria del haz,  es la distancia que recorre la radiación a través del objeto e I0 es la intensidad del haz incidente.

Figura IV.7. Geometría de proyección de un objeto f(x,y) a la imagen g(r, ). En arreglos experimentales reales el haz incidente no es infinitamente estrecho sino que presenta una distribución de intensidad espacial. En muchas ocasiones, no obstante, es factible modelar tal distribución por medio de una función gaussiana. Supóngase que el haz incidente I0 está compuesto por radiación electromagnética formando una onda plana, es decir I0 está formado por rayos paralelos. Sea [qˆ , rˆ, sˆ] la base vectorial que genera el sistema cartesiano de ejes rotados (figura IV.7), donde el eje q es paralelo al

Transformaciones

177

eje z y los ejes r, s forman un ángulo  con respecto a los ejes x, y respectivamente. Para esta onda plana, los campos eléctrico y magnético deben ser perpendiculaes a la dirección de propagación. La dirección de propagación del haz está determinada por sˆ , por lo que si se supone que el campo eléctrico apunta en la dirección rˆ , entonces el campo magnético lo hace en la dirección qˆ . Las expresiones para estos campos están dados (Jackson, 2007) entonces por E( r , )  E r e j2 c /   ks  B( r , )  B e j2 c /   ks  q

donde c es la velocidad de la luz,  es el tiempo y  es la longitud de onda de la radiación. Los vectores Er y Bq son las amplitudes de los campos eléctrico y magnético y pueden depender del tiempo y del espacio en función de las propiedades del medio donde se propaga la onda plana. Las amplitudes Er y Bq pueden ser entonces modeladas por gaussianas. El vector k = ksˆ , es llamado el número de onda, cuya magnitud está dada por k

     c

en donde  es la permeabilidad y  es la permitividad del medio. La cantidad  es conocida como la velocidad de fase de la onda y no necesariamente es igual a c. A la expresión (IV.124) se le conoce como la integral a lo largo de un rayo y a la colección de integrales para un conjunto de rayos se le denomina una proyección. Es necesario puntualizar que los rayos pueden ser paralelos o radiales, si son paralelos se genera una proyección paralela, si son radiales se tiene una proyección radial. En una tomografía de transmisión, tal como en una radiografía, la función f(x,y) representa el coeficiente de absorción del material que atraviesa la radiación. En este caso,  es el espesor del tejido atravesado por los rayos X. En una tomografía de retrodispersión, la función f(x,y) representa la sección de retrodispersión del material con el que interacciona la radiación incidente. En la generación de una imagen de radar dicha sección depende de la longitud de onda, de la rugosidad y pendiente del terreno y de la constante dieléctrica volumétrica del material que compone la superficie y la subsuperficie del terreno. En esta situación, la cantidad  es la sección longitudinal del campo instantáneo de vista (civ) iluminado por el haz incidente. En la producción de una imagen de satélite en la región óptica del espectro electromagnético, f(x,y) es la reflectividad de la superficie terrestre y  es la sección transversal del CIV iluminado. De la expresión (IV.124) se obtiene entonces el valor del pixel en el detector ln(

I0 )  g (r , )   f ( x, y )d , – r  , 0     I 

(IV.125)

donde (r,) definen la dirección (figura IV.7) del haz relativo al objeto. De la anterior ecuación es claro que g(r,) caracteriza una proyección de f(x,y) para la dirección . El

178


problema de reconstrucción consiste por tanto en la estimación de f(x,y) a partir de g(r,) para una colección de valores de r y . La transformada de Radón g(r,) de una función f(x,y) se define como la integral de ésta a lo largo de un rayo inclinado un ángulo  con respecto al eje x, y a una distancia r del origen, es decir  

R [f ( x, y )]  g (r , ) 

  f ( x, y)( x cos   ysen  r )dxdy

(IV.126)

 

donde el símbolo R representa el operador de transformada de Radón, llamado también el operador de proyección y  es la delta de Kronecker. Es decir la transformada de Radón de un objeto f(x,y) es la suma de las contribuciones de éste a lo largo de un rayo o línea de vista. Ahora bien, el sistema de coordenadas rotado (r,s) tiene la siguiente relación con el original (x,y) r = xcos + ysen, s = – xsen + ycos

o bien

x = rcos – ssen, y = rsen + scos

(IV.127)

Con este cambio de variable y utilizando la propiedad de Sifting, la ecuación (IV.126) se escribe de la siguiente manera 

g (r , ) 

 f (r cos   ssen, rsen  s cos )ds ,

–   r  , 0     (IV.128)



La transformada de Radón realiza un mapeo del sistema de coordenada (x,y) al (s,) de tal manera que cada punto en el espacio (s,) corresponde a una línea en el espacio (x,y). De aquí que el punto P cuyas coordenadas son (s,) sea la transformada de Hough (Illingworth y Kittler, 1988) de la línea perpendicular a la dirección y que pasa por P (figura IV.7). El cuadro IV.1 resume la propiedades básicas de la transformada de Radón. En el cuadro IV.1, (,) son las coordenadas polares de (x,y), es decir x = Cos, y = Sen. El cuadro muestra, además, que a) la transformada de Radón es lineal; b) las proyecciones g(r,) son limitadas espacialmente en r si el objeto f(x,y) está espacialmente limitado en (x,y); c) las proyecciones g(r,) son periódicas con periodo 2; d) un desplazamiento de f(x,y) causa un corrimiento de g(r,) por una distancia igual a la proyección del vector de traslación (x0,y0) sobre la línea r = xCos + ySen; e) una rotación del objeto f(x,y) por un ángulo 0 causa una traslación por 0 en la variable  de la transformada; f) un escalamiento en las coordenadas (x,y) de f(x,y) resulta en un escalamiento en r conjuntamente con uno de g(r,);

Transformaciones

179

g) la masa total M, o la cantidad física que represente f(x,y), es preservada para toda .

Cuadro IV.1. Propiedades básicas de la transformada de Radón. Expresión polar: Linealidad: Acotamiento: Simetría: Periodicidad: Traslación: Rotación: Escalamiento:

Función f(x,y) = fp(,) af1(x,y) + bf2(x,y) f(x,y) = 0, para |x|  /2, |y|  /2 f(x,y) f(x,y) f(x – x0,y – y0) fp(, + 0) f(ax,ay)

Conservación:

M

 f ( x, y)dxdy

Transformada de Radón g(r,) ag1(r,) + bg2(r,) g(r,) = 0, para |r|   2 /2 g(r,) = g(-r,  ) g(r,) = g(r,  + 2k), k entero g(r – x0cos - y0sen,) g(r, + 0) g(ar,)/a



M  g(r , )ds

El problema de la reconstrucción de un objeto a partir de sus proyecciones es equivalente a encontrar la transformada inversa de Radón. En coordenadas polares, dada g(r,) = R[f(x,y)], -  r  , 0    , la transformada inversa de Radón se escribe por la siguiente expresión f ( x, y ) 

 

1 2

2

 g( r ,  ) /  r

  xCos  ySen  r drd

(IV.129)

0 

Para demostrar esta relación inversa considérese la transformada inversa de Fourier f ( x, y ) 

 F(, ) exp2j(x  y )dd

cuya expresión en coordenadas polares se escribe de la siguiente manera 2 

f ( x, y ) 

  F (, ) exp2j( xCos  ySen)dd p

0 0

donde Fp(,) es la transformada de Fourier de f(x,y) escrita en coordenadas polares. Al permitir que  asuma valores negativos, la ecuación anterior se reescribe como sigue  

f ( x, y ) 

  F (, ) exp2j( xCos  ySen)  dd p

(IV.130)

0 

Por otro lado, empleando las expresiones (IV.127) y (IV.128) se escribe la relación siguiente

180

Tratamiento Digital de Imágenes Multiespectrales +

G (, ) 

 g(r, )e

   2 jr

dr 

-

  f ( x, y ) e

 2 j(xCos ySen)

dxdy = F(Cos, Sen)

  

donde Fp(,) = F(Cos,Sen). Al substituir esta última ecuación en (IV.130) se tiene  

f ( x, y ) 

  G(, ) exp2j( xCos  ySen)  dd

(IV.131)

0 

Ahora bien, al introducir la definición +

gˆ( r , ) 

  G(, )e

2 jr

d

-

La ecuación (IV.131) se reescribe como 



f ( x, y )  gˆ( xCos  ySen, )d

(IV.132)

0

La cantidad G(,) puede expresarse como G(,)sgn(), donde sgn() es una función de signo que permite eliminar el valor absoluto de . De acuerdo al teorema de la convolución es factible escribir gˆ ( r , )  F 1 [G (, )]  F 1 [Sgn ()] 

1 g (r , )  1 1   rj 2 2 2j r



g(, ) 1 d  r   



Al substituir este último resultado en (IV.132) se obtiene la transformada inversa de Radón (IV.129). IV.5.6.1 Ejemplo numérico de la transformada de Radón El ejemplo subsecuente está basado en una reconstrucción simple de una imagen digital. En la reconstrucción simple, las proyecciones medidas de un objeto se retroproyectan para reconstruir el mismo. Considérese el siguiente objeto 1

8

7

6

6

7

2

3

3

5

4

4

2

3

5

3

Transformaciones

181

Supondremos que las proyecciones de este objeto son lineales, es decir los valores de las celdillas se sobreponen linealmente. Al sumar los valores de las celdillas en las direcciones 0, 5, 6 y 7 del código de Freeman, las proyecciones serían Dirección 0 ⇒

Dirección 7 ⇘

22 18 16 13

2

6

16 15 14 10

Dirección 6 ⇓ 12

23

18

6

Dirección 5 ⇙ 16

1

14

17

15

10

9

3

Las direcciones 1, 2, 3 y 4 no se consideran ya que, debido a la suposición de sobreposición lineal en este ejemplo, son simétricas a las direcciones 5, 6, 7 y 0 respectivamente. Para estimar las retroproyecciones supondremos, en primera aproximación, que las proyecciones provienen de contribuciones iguales por parte de cada celdilla del objeto considerado. En la retroproyección de la dirección 0 se toman los valores obtenidos en esta dirección y se proyectan en la dirección contraria es decir en la dirección 4; así entonces  Retroproyección de la dirección 0 ⇐

5.50 5.50 5.50 5.50 4.50 4.50 4.50 4.50

22 18

⇐

4.00 4.00 4.00 4.00

16

3.25 3.25 3.25 3.25

13

En la retroproyección de la dirección 7 se toman los valores obtenidos en esta dirección y se proyectan en la dirección contraria es decir en la dirección 3; así entonces  Retroproyección de la dirección 7 ⇖

3.75 4.67 5.00 6.00 5.33 3.75 4.67 5.00 3.00 5.33 3.75 4.67 2.00 3.00 5.33 3.75 ⇖

2

6

16

15

14

10

6

182


En la retroproyección de la dirección 6 se toman los valores obtenidos en esta dirección y se proyectan en la dirección contraria es decir en la dirección 2; así entonces  Retroproyección de la dirección 6 ⇑

3.00 5.75 4.50 4.00 3.00 5.75 4.50 4.00 3.00 5.75 4.50 4.00 3.00 5.75 4.50 4.00 ⇑

12

23

18

16

En la retroproyección de la dirección 5 se toman los valores obtenidos en esta dirección y se proyectan en la dirección contraria es decir en la dirección 1; así entonces  Retroproyección de la dirección 5 ⇗

1.00 7.00 5.67 3.75 7.00 5.67 3.75 3.33 5.67 3.75 3.33 4.50 3.75 3.33 4.50 3.00 ⇗

1

14

17

15

10

9

3

Ahora se suman, celdilla a celdilla, las 4 retroproyecciones, para obtener 13.25 22.92 20.67 19.25 19.83 19.67 17.42 16.83 15.67 18.83 15.58 17.17 12.00 15.53 17.58 14.00 Sin embargo, la imagen original se encuentra cuantizada a un intervalo de valores entre 1 y 8, por lo que es necesario aplicar una elongación al histograma para generar una imagen en tal intervalo. Entonces al reescalar el resultado por la modificación al histograma se tiene el siguiente resultado

Transformaciones

1.8

8.00

6.56

5.65

6.02

5.92

4.47

4.09

3.35

5.38

3.29

4.31

1.0

3.26

4.58

2.28

183

Redondeado al entero más próximo, la reconstrucción es 2

8

7

6

6

6

4

4

3

5

3

4

1

3

4

2

La diferencia absoluta entre esta reconstrucción y la imagen original es 1

0

0

0

0

1

2

1

0

0

1

0

0

0

1

1

La reconstrucción puede mejorarse al agregar más direcciones de proyección. Otra manera de mejorar la reconstrucción del objeto es empleando un método iterativo. Este método iterativo consiste en utilizar las retroproyecciones como estimaciones del objeto para una proyección dada. El procedimiento se inicia proyectando la primera retroproyección (dirección 0 ⇐) en la dirección 7, es decir 5.50

5.50

5.50

5.50

4.50

4.50

4.50

4.50

4.00

4.00

4.00

4.00

3.25

3.25

3.25

3.25 ⇘

3.25

7.25 11.75 17.25 14.00 10.00 5.50

Se calcula ahora la diferencia entre esta proyección y aquella generada originalmente en la dirección 7

184


2.00

6.00 16.00 15.00 14.00 10.00 6.00

3.25

7.25 11.75 17.25 14.00 10.00 5.50

-1.25 -1.25 4.25 -2.25 0.00

0.00

0.50

Esta diferencia se emplea para producir una retroproyección en la dirección 3 y se suma, celdilla a celdilla, con la primera retroproyección en la dirección 0 -0.56 0.00 0.00 0.50 1.42 -0.56 0.00 0.00

5.50 5.50 5.50 5.50 +

4.94 5.50 5.50 6.00

4.50 4.50 4.50 4.50

=

5.92 3.94 4.50 4.50

-0.62 1.42 -0.56 0.00

4.00 4.00 4.00 4.00

3.38 5.42 3.44 4.00

-1.25 -0.62 1.42 -0.56

3.25 3.25 3.25 3.25

2.00 2.63 4.67 2.69

Este resultado se proyecta ahora en la dirección 6 y se obtiene la diferencia con respecto a la proyección original en la misma dirección, es decir 12.00 23.00 18.00 16.00 16.24 17.49 18.11 17.19 -4.24 5.51 -0.11 -1-19 Esta diferencia se retroproyecta en la dirección 2 y se suma con el resultado anterior -1.06 1.38 -0.03 -0.30 -1.06 1.38 -0.03 -0.30

4.94 5.50 5.50 6.00 +

5.92 3.94 4.50 4.50

3.88 6.88 5.47 5.70 =

4.86 5.32 4.47 4.20

-1.06 1.38 -0.03 -0.30

3.38 5.42 3.44 4.00

2.32 6.80 3.41 3.70

-1.06 1.38 -0.03 -0.30

2.00 2.63 4.67 2.69

0.94 4.01 4.64 2.39

Este último resultado se proyecta en la direccion 5 3.88

6.88

5.47

5.70

4.86

5.32

4.47

4.20

2.32

6.80

3.41

3.70

0.94

4.01

4.64

2.39

3.88 11.74 13.11 17.91 11.62 8.34

2.39

⇙

Transformaciones

185

Se calcula ahora la direferencia entre esta proyección y aquella generada originalmente en la dirección 5 1.00 14.00 17.00 15.00 10.00 9.00

3.00

3.88 11.74 13.11 17.91 11.62 8.34

2.39

-2.88 2.26

0.61

3.89 -2.91 -1.62 0.66

Esta diferencia se retroproyecta en la dirección 1 y se suma, celdilla a celdilla, con el resultado anterior -2.88 1.13 1.30 -0.73

3.88 6.88 5.47 5.70

1.00 8.01 6.77 4.97

1.13 1.30 -0.73 -0.54

4.86 5.32 4.47 4.20

5.99 6.62 3.74 3.66

1.30 -0.73 -0.54 0.33

2.32 6.80 3.41 3.70

3.62 6.07 2.87 4.03

-0.73 -0.54 0.33 0.61

0.94 4.01 4.64 2.39

0.21 3.47 4.97 3.00

Al terminar esta etapa se dice que se ha completado una iteración del algoritmo. Para iniciar la segunda iteración, se emplea este resultado como la etapa inicial del procedimiento arriba explicado. Al incorporar más iteraciones, la estimación del objeto mejora rápidamente, lográndose buenos resultados a partir de tres iteraciones.

IV.6 Descomposición en Componentes Principales (DCP) Las transformaciones a la imagen que hemos visto hasta ahora son aplicables a imágenes monoespectrales o a cada banda por separado de una imagen multiespectral. La descomposición en componentes principales es una transformación al conjunto de datos que se aplica simultáneamente a todas las bandas que componen la imagen y a la salida se obtiene entonces una imagen multiespectral también. Esta transformación se conoce por algunos autores como Karhunen-Loeve (KL), Hotelling o transformación de eigenvector. En el presente trabajo se prefiere la denominación que sirve de encabezado a esta sección debido a su interpretación geométrica, ya que la imagen de salida se encuentra referida a un espacio generado por vectores base cuyas direcciones son precisamente las de las componentes principales de la imagen original. Esta transformación es unitaria y se considera por tanto como un realce global a la imagen, tal y como se verá en el desarrollo subsecuente. Tiene la gran ventaja que, al igual que la transformada de Fourier, de no requerir parámetros de entrada, sino que hace uso únicamente de las propiedades estadísticas del conjunto de la imagen multiespectral. Además, cada banda de salida puede tener una interpretación física, ya que los eigenvectores y eigenvalores asociados la tienen en principio. Otras propiedades se discutirán a través del desarrollo matemático que involucra esta transformación. Veamos ahora una definición formal, suponiendo que la imagen de entrada es un campo aleatorio, resultado de un proceso estocástico generalizado de la manera como se discutió en el capítulo precedente. Después de esta definición haremos una

186


reconsideración de la transformada aportando elementos físicos y geométricos. Consideremos la clase de imágenes formada por  bandas donde cada banda fi(r) representa una imagen digital resultado de la realización de un proceso estocástico. Sea f(r) la imagen multiespectral compuesta por las  bandas, entonces deseamos encontrar una transformación de tipo vectorial que se forme como sigue g(s) = A[f(r)]

(IV.133)

El sentido vectorial de (IV.133) consiste en que el operador A actúa sobre los valores del campo que forman los pixels de la imagen multiespectral de entrada para producir el campo vectorial g de la misma dimensión que el original. La transformación (IV.133) está sujeta a la restricción que la matriz de covarianza Kg de la imagen g es diagonal. En el espacio de salida la matriz de covarianza es por definición Kg = E{[g(s) - g(s)][g(s) - g(s)]t}

(IV.134)

La razón de ser de esta restricción sobre Kg consiste en lo siguiente: en general existe una correlación entre las bandas de una imagen multiespectral, en particular cuando éstas son contiguas, ya que una banda es adquirida para un cierto intervalo de energías; es de esperarse entonces que para intervalos cercanos o próximos la información correspondiente sea similar. En otras palabras, entre bandas contiguas existe una redundancia de información, que se traduce en que la matriz de covarianza de la imagen original tiene elementos diferentes de cero fuera de la diagonal. Para ejemplificar este hecho, a continuación (cuadro IV.2) se muestra la matriz de covarianza de las tres primeras bandas de una imagen multiespectral (láminas 1 a 3) Aster. Cuadro IV.2. Matriz de covarianza de las tres primeras bandas de una imagen Aster. banda 1 banda 2 banda 3

banda 1 1035.498 1138.947 612.532

banda 2 1138.947 1431.194 737.745

banda 3 612.532 737.745 883.391

Imponer una matriz de covarianza diagonal para la imagen de salida implica que se elimina dicha redundancia de información o correlación entre bandas, lo que trae consigo una reducción en la dimensionalidad de la imagen multiespectral. La matriz A de la relación (IV.133) es una matriz unitaria, cuyos renglones están compuestos por los eigenvectores de la matriz de covarianza Kf de las bandas originales. La matriz A realiza una diagonalización de la matriz Kf de tal manera que la matriz de covarianza de la imagen transformada Kg = AKfAt = 

(IV.135)

es una matriz diagonal cuyos elementos son los eigenvalores de Kf arreglados en forma decreciente. A la relación (IV.135) se le conoce como una transformación de similaridad (Arfken y Weber, 1995) y A es un operador hermitiano y real. La DCP

Transformaciones

187

produce un conjunto de bandas decorrelacionadas que forman una imagen con dimensionalidad menor a la original. Este proceso requiere, desde luego, del conocimiento de la matriz de covarianza definida por las bandas de la imagen multiespectral original. Dicha matriz debe ser modelada, estimada o medida según sea el caso; en este trabajo veremos un ejemplo de modelación. En forma explícita la DCP se escribe como g i (k, l) 



 f (k, l)A (i, j) ,  i = 1, 2, . . .  j

(IV.136)

j1

El kernel A satisface la siguiente ecuación de eigenvalores y eigenvectores  i A (i, j) 



K

f

(i, k )A (i, k ) ,  i, j = 1, 2, . . . 

(IV.137)

k 1

donde i representa los eigenvalores de la función de covarianza y A(i,k) las componentes de los eigenvectores de la misma. En otras palabras, el kernel A satisface la relación matricial AKf = A

(IV.138)

Donde  = [(i,j)] es la matriz de eigenvalores. Es importante hacer notar que la matriz Kf es real simétrica y por tanto diagonalizable (Lebedev y Cloud, 2003) con eigenvalores reales. Es decir que los eigenvalores i deben cumplir con la ecuación secular Kf - iI = 0

(IV.139)

donde I es la matriz identidad. Los eigenvectores correspondientes a la ecuación (IV.137) satisfacen por tanto la relación K f eˆ i   i eˆ i ,  i = 1, 2, . . . 

(IV.140)

estos eigenvectores forman una base ortonormal: eˆ i  eˆ j   ij . Cabe agregar que se cumplen las siguientes relaciones y además

(i,j) = iij

(IV.141)

A (i, j)  (e i ) j

(IV.142)

donde ij es la delta de Kronecker. A los eigenvectores se les llama componentes principales y como los eigenvalores están arreglados de manera decreciente, entonces el contenido de información de la imagen es redistribuido entre estas componentes (o

188


direcciones principales), de manera que la mayor información está concentrada en las primeras componentes (láminas 22 y 23, láminas 25 y 26) o bandas de la imagen de salida, mientras que en las restantes (láminas 24 y 27) se tiene muy poca información y prácticamente todo el ruido contenido en la imagen original. El cuadro IV.3 muestra los eigenvectores de la matriz de covarianza de la imagen multiespectral (láminas 1 - 3) Aster de tres bandas y en el cuadro IV.4 aparecen los eigenvalores y el porcentaje de información relativos a la misma imagen Cuadro IV.3. Eigenvectores de la matriz de covarianza de las tres primeras bandas de una imagen multiespectral Aster. eˆ 1 eˆ 2 eˆ 3

0.57821 -0.29402 0.76107

0.68882 -0.32401 -0.64849

0.43726 0.89921 0.01518

Cuadro IV.4. Eigenvalores y porcentaje de información de las tres primeras componentes principales de una imagen Aster. q %  q2

CP1 2855.555

CP2 417.280

CP3 77.248

85.24

12.45

2.31

Como se aprecia en el cuadro IV.4, las primeras dos componentes acumulan el 97.69% de la información de la imagen multiespectral. Veamos ahora en forma gráfica cómo podemos visualizar la descomposición en componentes principales. Supongamos que tenemos una imagen de tres bandas por lo que en un espacio tridimensional (figura IV.8) se puede representar el total de datos en forma de nube. Esto se logra al graficar el valor que tiene cada pixel en las tres bandas en este espacio tridimensional, el cual está construido por tres ejes normales entre si y cuyas respectivas escalas son iguales a los intervalos dinámicos que pueden tener los pixels en cada banda. Así, un pixel cuyo valor en las tres bandas sea digamos (63, 65, 72) tiene justamente las coordenadas (63, 65, 72) del mencionado espacio; estas consideraciones son fácilmente generalizadas a imágenes de  bandas. El conjunto de datos graficados de esta manera forma lo que se conoce como una nube de datos y que se muestra esquemáticamente en la figura IV.8 (véase también figura III.2). Los datos así representados son referidos a un espacio de tantas dimensiones como bandas tenga la imagen; en el presente ejemplo, en el eje x están los valores de la banda 1, en el y los de la banda 2 y en el eje z los de la banda 3. Si la correlación entre bandas es alta, podemos esperar que la nube de datos presente una elongación que denote dicha correlación. En la figura IV.8 se puede apreciar que entre la banda 1 y la 2 existe una alta redundancia de información. Por esto es fácil ver que si los ejes originales (b1, b2, b3) son rotados, con la inclusión de una translación del origen, de tal manera que el eje b1 se coloque a lo largo de la máxima elongación de la nube de datos, el b2 a lo largo de la siguiente elongación en importancia y así sucesivamente, tendremos entonces un nuevo sistema de coordenadas ( b1' , b '2 , b '3 ). Sobre el eje b1' queda definida la dirección

Transformaciones

189

de mayor elongación de los datos y que puede ser obtenida, por ejemplo, por mínimos cuadrados.

Figura IV.8. Rotación de ejes en la descomposición en componentes principales, el vector de posición r coincide tanto para el sistema original como para el rotado. En un sistema de tres dimensiones, como el empleado en este ejemplo, sólo podremos reorientar secuencialmente al eje b2 ya que el b3 quedará automáticamente reorientado ya que hemos supuesto un sistema ortonormal; aun así el ejemplo es suficiente para nuestros propósitos. Las ecuaciones que describen esta multirotación de ejes son las siguientes 

a

b 'i 

ij b j

,i

(IV.143)

j1

donde b 'i son las direcciones del nuevo espacio y representan los valores de los pixels de la imagen de salida para cada banda de ésta, bj son los valores de entrada y aij son los coeficientes de la transformación. Esta última relación nos dice básicamente que la descomposición en componentes principales es una transformación reversible, que se forma por medio de una combinación lineal de las bandas originales tomando el valor de cada pixel como entrada al proceso. Los coeficientes aij se determinan, de acuerdo con esta discusión, por el grado de rotación aplicado a los ejes del espacio original. Por medio de esta transformación puede verse fácilmente (figura IV.8) que el intervalo dinámico de valores para el nuevo eje b1' es mucho mayor que el original, que el

190


intervalo para b '2 es mayor que el b2 y que el que se refiere al b '3 es mucho menor que el b3. En otras palabras, la mayor parte de la información ha sido puesta sobre el nuevo eje b1' (banda de salida b1' ), una fracción de esta sobre el b '2 y casi nada o puro ruido sobre el b '3 . Es claro, en este ejemplo, que si la correlación entre bandas es muy alta, la dimensionalidad de la imagen de salida puede reducirse a casi uno. Para las imágenes Aster de catorce bandas la correlación puede sobrepasar el 90%. Para estas imágenes, después de aplicar la descomposición en componentes principales, la dimensionalidad se reduce a aproximadamente 3.5. A esto se le conoce como la dimensionalidad intrínseca de la imagen multiespectral. Cuadro IV.5. Matriz de correlación de las tres primeras bandas de una imagen multiespectral Aster. banda 1 banda 2 banda 3

banda 1 1.00000 0.93558 0.64044

banda 2 0.93558 1.00000 0.65612

banda 3 0.64044 0.65612 1.00000

Para los Landsat TM 4, 5 y 7 de siete bandas, la dimensionalidad intrínseca es de aproximadamente 3. Finalmente, cabe anotar aquí que las nuevas direcciones son conocidas como ejes o componentes principales y por esto el nombre de esta transformación. Hasta ahora hemos introducido la DCP a través de una definición formal, matemáticamente hablando, y hemos discutido conceptualmente las consecuencias que trae consigo empleando un esquema gráfico (figura IV.8). También se mencionaron algunos aspectos físicos, como es el hecho de la redundancia en información de bandas contiguas de la imagen multiespectral. Esto proviene de la consideración que pensamos que, en general, el comportamiento esperado de un sistema bajo estudio debe ser muy similar cuando se observa en intervalos de energía contiguos. Para fines computacionales y para profundizar aun más en esta transformación, revisemos con mayor detalle la definición hasta ahora formulada. En primer lugar, es necesario entender qué se quiere decir con la transformación de tipo vectorial de la relación (IV.133). En esta operación la matriz A actúa sobre cada pixel de la imagen de entrada, tomando a éste como un vector columna con tantos elementos como bandas tenga la imagen original. El valor de un pixel de entrada es entonces f(r), cuya localización relativa en la imagen está definido por su vector de posición r; f es por tanto una función multivaluada para todas las bandas de la imagen multiespectral. De esta manera, el operador A transforma cada pixel de entrada para producir los pixels de salida que forman a su vez la imagen resultante g(s), cuya dimensión es, estrictamente hablando, igual a f(r), pero con bandas decorrelacionadas, por lo que la dimensión intrínseca de g(s) es menor a la dimensión física de f(r). Entendido esto, veamos con detalle cómo se realiza el cálculo y bajo qué condiciones se evalúa la DCP. Sabemos que cuando se tiene un campo aleatorio homogéneo, y bajo ciertas condiciones estadísticas (ergocidad), la media o primer momento de la imagen multiespectral correspondiente se puede estimar con la siguiente relación

Transformaciones

 f  E[f (r )] 

1 N

191

MN

f

i

(IV.144)

i 1

donde E denota valor esperado, fi es el vector que representa los valores que componen al pixel i-ésimo de la imagen original a través de las bandas que la componen y MN es el número total de pixels de la imagen; nótese que en este orden de ideas f también es un vector. A partir de la relación (IV.144) es fácil obtener la matriz de covarianza de la imagen original

Kf = E[(fi - f)(fi - f)t]

(IV.145)

donde t denota transpuesta de la matriz columna (fi - f). Con base en las mismas suposiciones que se hacen para la media, es factible encontrar una expresión aproximada para la matriz de covarianza Kf 

1 MN  1

N

 (f

i

  f )(f i   f ) t

(IV.146)

i 1

Es claro que la matriz de covarianza es de dimensión igual al número de bandas de la imagen de entrada y además es una matriz simétrica, ya que la correlación de la banda p con la q, con p  q, es igual a la correlación de la banda q con la p. La correlación de una banda con ella misma es desde luego igual a uno. Además, los elementos de la matriz de correlación [Rf] = [ij] se calculan a partir de los elementos de la matriz de covarianza por la siguiente relación  ij 

 ij  ii  jj

(IV.147)

Donde los índices i y j van de 1 al número de bandas de la imagen multiespectral y ij son los elementos de la matriz de covarianza Kf. La relación (IV.147) es válida tanto para la imagen original como para la imagen resultante. En la práctica no es necesario calcular la matriz de correlación para realizar la DCP; esta matriz se obtiene en este caso para estimar la redundancia en información que existe en la imagen original. Ahora bien, la media de la imagen de salida está dada por g = E[g(s)] = E[Af(r)] = AE[f(r)] = Af

(IV.148)

esto es posible ya que A es una matriz con elementos constantes y definidos para una f(r) dada, como ya se había planteado en la definición de la DCP. Con este mismo razonamiento puede verse que la matriz de covarianza de la imagen de salida se expresa como

Kg = E[(Afi - Af)(Afi - Af)t]

(IV.149)

192


dado que [Af i ] t  f it A t , esta última expresión se puede reescribir de la siguiente manera

Kg = AE[(fi - f)(fi - f)t]At

(IV.150)

pero la cantidad entre paréntesis cuadrados es precisamente la matriz de covarianza Kf, por tanto

Kg = AKfAt = 

(IV.151)

que es precisamente la parte básica de la definición de la DCP. En esta definición se está precisamente requiriendo que Kg sea una matriz diagonal para que las bandas de la imagen g estén decorrelacionadas. Para que esto sea posible, se sabe, del cálculo matricial (Arfken y Weber, 1995), que A debe ser precisamente la matriz transpuesta de los eigenvectores de Kf siempre y cuando A sea una matriz ortogonal, es decir, se debe cumplir que AtA = I o bien A-1 = At, donde I es la matriz identidad y A-1 es el inverso de A. Este inverso existe generalmente para una imagen multiespectral porque Kf es cuadrada, simétrica, real y cuyo determinante es normalmente diferente de cero. Como resultado de estos aspectos, Kg puede identificarse como la matriz diagonal de los eigenvalores de Kf, por tanto  1 0   Kg         0

0 2

.

.

.

.

.

.

. . .

0

0 0         

(IV.152)

donde i son los eigenvalores mencionados de una imagen multiespectral de  bandas. Hasta ahora la DCP requiere, desde el punto de vista computacional, de la evaluación de la media de la imagen de entrada (ecuación IV.144), de la matriz de covarianza (ecuación IV.146) y de su respectiva diagonalización (ecuación IV.151). La diagonalización de Kf implica la solución de la ecuación de eigenvectores y eigenvalores (ecuación IV.137) por medio de la ecuación secular o característica (ecuación IV.139). Aun cuando no se declara explícitamente, es conveniente verificar que exista A-1 ya que es un requisito para que la DCP no puede llevarse a cabo. Una vez obtenidos los eigenvectores, se construye la matriz A y de aquí se puede realizar la transformación empleando la relación (IV.133), por lo que finalmente lo único que se requiere explícitamente son lo eigenvectores asociados a la matriz Kf, lo demás son pasos intermedios o de referencia. Además de lo anterior, se puede pensar en lo siguiente: como la DCP es ortogonal, entonces Traza[Kf] = Traza[Kg] = Traza[]

(IV.153)

Transformaciones

193

Es decir

   ii

i

i

(IV.154)

i

De aquí se puede calcular el porcentaje de la varianza 2 de las bandas resultantes de la DCP. Para esto basta dividir cada eigenvalor por el valor de la traza, esto es % q2 

q Traza

(IV.155)

de tal forma que la varianza es un vector de tantos elementos como bandas tenga la imagen multiespectral. De acuerdo con lo mencionado anteriormente, la correlación entre bandas puede ser muy alta, por lo que los primeros elementos del vector q representan el mayor porcentaje de la información contenida en la imagen (láminas 22 – 23 y 25 - 26); en contrapartida, los últimos elementos de q representan el menor porcentaje de información, es decir prácticamente el ruido de la imagen (láminas 24 y 27); en otras palabras, la DCP también separa la información del ruido de la imagen (Gonzalez y Woods, 2002). Se denomina descomposición en componentes principales no-estándar a la transformación que se contruye a partir de los egienvectores de la matriz de covarianza de la imagen de entrada. Se denomina descomposición en componentes principales estándar a la transformación que se construye a partir de los eigenvectores de la matriz de correlación de la imagen de entrada. Al llevar a cabo la descomposición en componentes principales, es muy posible que la imagen de salida contenga valores negativos que no es conveniente manejar ni para efectos de despliegue ni para transformaciones ulteriores. Debido a esto es necesario realizar un reescalamiento del intervalo dinámico de valores combinado posiblemente con una normalización del histograma para darle a la imagen de salida el mejor contraste posible, aprovechando con esto al máximo las características de realce global que tiene esta transformación. Es necesario puntualizar que tal reescalamiento debe hacerse banda por banda y según el porcentaje de varianza tal como descrito en la ecuación IV.155. Es claro, por otro lado, que al aplicar una normalización al histograma y un reescalamiento no violamos la reversibilidad de la DCP, ya que aquellas operaciones son también reversibles. Además de lo anterior podemos decir que la DCP presenta las siguientes características: a) emplea todos los datos de entrada, b) no requiere de parámetros de entrada, c) las tres primeras bandas pueden ser empleadas para efectos de despliegue a color (lámina 28), d) el algoritmo correspondiente es de fácil implantación y de rápida ejecución, e) la normalización mencionada puede llevarse a cabo en paralelo a la transformación en un mismo algoritmo, f) en el caso de imágenes Landsat, la primera banda de salida es proporcional al albedo y la segunda a la primera de la transformación Kauth-Thomas, g) puede emplearse la primera o la segunda banda como representativa para realizar alguna otra operación como filtraje o realce de bordes y, h) para efectos de clasificación espectral, pueden utilizarse únicamente aquellas bandas que representen la dimensionalidad intrínseca de la imagen multiespectral. En el caso específico de imágenes Landsat y Aster, otras aplicaciones se dan en las áreas de geología, uso del

194


suelo e hidrología. Puede mencionarse también que la descomposición en componentes principales se emplea para compresión de imágenes en procesos de almacenamiento y envío de éstas. Dado que esta transformación reduce la dimensionalidad física de la imagen multiespectral, la representación de ésta puede hacerse empleando no todos los eigenvectores de la matriz A, sino únicamente aquellos que corresponden a los mayores eigenvalores, es decir aquellos para los cuales el porcentaje de varianza sea digamos de al menos 95%. En muchas ocasiones puede suceder que la correlación entre bandas de una imagen multi-espectral sea tan grande que la primera banda de la imagen de salida tenga 95% o más de la información total. Debido a esto es entonces posible afirmar que esta primera banda contiene los rasgos más relevantes de los patrones presentes en la imagen; por este motivo, la descomposición en componentes principales puede verse como una preclasificación espectral de la imagen original, y por esto también se dice que esta transformación constituye un realce global a la imagen. Por último mencionaremos que una aplicación muy interesante de esta transformación, se encuentra en el análisis multiespectral de imágenes digitales para efectos de evaluación de cambios espaciales ocurridos en el tiempo de una o varias clases de patrones. Debidamente normalizadas por efectos de degradación, ruido y deriva en respuesta de los sensores respectivos, o algún otro mecanismo de interferencia, las imágenes que contienen el cambio mencionado son registradas unas con otras en un sistema de coordenadas común. Una vez realizado esto se crea una imagen multibanda y multitemporal, donde las bandas respectivas están compuestas por las imágenes adquiridas en diferentes tiempos de la escena que se desea estudiar. A partir de esto puede plantearse la siguiente hipótesis: existe una alta correlación entre bandas de la imagen multi-temporal para aquellas regiones donde no haya habido cambio significativo y una correlación baja para las zonas donde las clases de patrones hayan cambiado sustancialmente. Entonces dada la naturaleza de la DCP, se tiene que el mayor porcentaje (ecuación IV.155) de la varianza en una imagen multitemporal está asociado con las clases de patrones que presenten poco o ningún cambio, por lo que aquellas regiones de cambio localizado quedan diferenciadas o realzadas en las primeras componentes de la DCP de la mencionada imagen multitemporal. Cabe mencionar también que las bandas de entrada que componen a esta imagen pueden a su vez ser las primeras componentes de imágenes multiespectrales transformadas por descomposición en componentes principales también. IV.6.1 Ejemplo numérico de la descomposición en componentes principales A continuación se presenta un ejemplo numérico de la descomposición en componentes principales empleando una porción de 4  4 pixels de las dos primeras bandas de una imagen multiespectral Landsat TM. En el cálculo que a continuación se detalla se ilustra la naturaleza vectorial de tal descomposición y sirve también para comprender la mecánica de otras transformaciones tales como el análisis canónico (sección IV.7) y la transformación Kauth-Thomas (sección IV.8). Los pixels aparecen en el siguiente cuadro tabla en el mismo orden que lo hacen en la imagen y se escriben como vectores columna con los valores en los renglones que tienen en la primera y segunda banda respectivamente. Sean fi los 16 pixels mencionados

Transformaciones

27 31 29 32 35 37 42 40

37 37 34 35 34 33 33 36

39 39 45 43 51 47 53 45

195

39 36 37 37 57 51 54 48

El vector de media se obtiene sumando los valores de los pixels en cada banda y dividiendo entre el número de ellos (16), por tanto 40.37 f    39.18 

Este resultado también se escribe como un vector columna. Para calcular la matriz de covarianza, cuyos eigenvectores se requieren para la transformación, se emplea la expresión (IV.146). En las siguientes dos tablas se listan los valores de (fi - f) y (fi f)t, donde fi son los pixels listados en la primera tabla, así entonces (fi - f) es -13.37 -8.18 -11.37 -7.18 -5.37 -2.18 1.63 0.82

-3.37 -2.18 -6.37 -4.18 -6.37 -6.18 -7.37 -3.18

-1.37 -0.18 4.63 3.82 10.62 7.82 12.63 5.82

-1.37 -3.18 -3.37 -2.18 16.63 11.82 13.63 8.82

y (fi - f)t es, por tanto, -13.37 -11.37 -5.37 1.63

-8.18 -7.18 -2.18 0.82

-3.37 -6.37 -6.37 -7.37

-2.18 -4.18 -6.18 -3.18

-1.37 4.63 10.62 12.63

-0.18 3.82 7.82 5.82

-1.37 -3.37 16.63 13.63

-3.18 -2.18 11.82 8.82

La matriz de covarianza se obtiene multiplicando cada vector columna (fi - f) por su respectiva transpuesta (fi - f)t, obteniéndose así 16 matrices de 2  2, las cuales se promedian de acuerdo con la ecuación (IV.146) dando como resultado lo siguiente 84.12 53.69 Kf    53.69 35.76

La matriz de correlación se obtiene empleando la relación (IV.147)

196


1.00 0.98 Rf    0.98 1.00 

Es decir, la correlación entre la banda 1 y la 2 es de 98%. Los eigenvalores de la matriz de covarianza se obtienen a partir de la ecuación secular (IV.139) cuyo valor explícito en este ejemplo es 84.12   53.69 0 53.69 35.76  

De aquí se produce la siguiente ecuación de segundo grado para los eigenvalores  2 - 119.88 + 125.51 = 0 de donde se obtienen los dos eigenvalores: 1 = 118.82, 2 = 1.06. El contenido de información en cada componente principal es por tanto %12  0.99 y % 22  0.01

es decir la primera componente acumula el 99% de la información originalmente distribuida en las dos bandas de entrada. Los eigenvectores se calculan a partir de la ecuación (IV.140); substituyendo el primer eingenvalor 53.69 84.12  118.82   e11  0  53.69 35.76  118.82 e12  

de donde se obtienen las ecuaciones -34.7e11 + 53.69e12 = 0 y 53.69e11 - 83.06e12 = 0 Por lo que se concluye que e11 = 1.55e12. Por otro lado, los eigenvectores son unitarios, es decir eˆ i

2

 e i21  e 2i 2  1 , por lo que al repetir el cálculo anterior para el segundo

eigenvalor y emplear las ecuaciones resultantes se obtienen los dos eigenvectores 0.84  0.54 eˆ 1   , eˆ 2     0.54  0.84

De acuerdo con la definición (ecuación IV.133) el valor del primer pixel de salida es en consecuencia 39.42  0.84 0.54 27 40.62   0.54 0.84  31     

Transformaciones

197

La figura IV.9 muestra la nube de datos en el espacio de coordenadas original (banda 1 vs. banda 2) y los ejes rotados (x1, x2) de acuerdo con los eigenvectores arriba anotados.

Figura IV.9. Rotación de ejes de la descomposición en componentes principales de una imagen de dos bandas. Al terminar de procesar vectorialmente todos los pixels de la imagen de entrada de acuerdo a la operación anterior, se tienen todas las bandas producto de la descomposición en componentes principales. En términos generales, se recomienda elongar el histograma de las bandas de salida en función de su contenido de información. IV.6.2 Variante de la descomposición en componentes principales La descomposición en componentes principales tal como es definida en la ecuación (IV.133) emplea todos los pixels de la imagen original f(r) para generar el kernel de la transformación a partir de la matriz de covarianza Kf. La DCP produce entonces un realce general, colocando la información relevante en las primeras bandas de la imagen resultante g(r) y separando el ruido contenido originalmente en f(r). Es posible generar un realce selectivo de una clase espectral específicamente definida empleando una variante de la DCP (Lira, 2006). Sea esta clase espectral  cuya definición se realiza de la siguiente manera: En un monitor se despliega la imagen de interés, con el cursor se dibuja un polígono cerrado que engloba un grupo de pixels estadísticamente representativos de la clase . El valor de estos pixels en todas las bandas de la imagen original es leido y almacenado en un archivo, a partir de aquí se calcula la matriz de covarianza de ; sea esta matriz K f . Se obtienen los eigenvectores de K f y se construye el kernel de la transformación A con tales eigenvectores. La DCP empleando el kernel construido específicamente para la clase  es entonces

198


g(r) = Af(r) Es decir, en esta variante de la DCP el kernel de la transformación es calculado empleando únicamente los pixels representativos de una cierta clase, para posteriormente aplicar este kernel a toda la imagen, el resultado es una imagen multiespectral donde en las primeras bandas la clase seleccionada es realzada. La lámina 29 muestra la primera componente principal de una imagen Ikonos del noreste de la Ciudad de México; en esta imagen se aprecia un cuerpo de agua de forma rectangular. En la lámina 30 se observa la primera componente de la variante de la descomposición en componentes principales aplicada a los pixels del cuerpo de agua; es claro el realce del patrón de sedimentos que no es observable en la lámina 29.

IV.7 Análisis Canónico La DCP es una transformación de similaridad (Arfken y Weber, 1995), ya que lleva a cabo un cambio de base vectorial que genera un nuevo espacio donde se tiene una nueva representación del operador de covarianza

Kg = AKfAt y en donde, en esta nueva representación, el operador de covarianza es diagonal con las consecuencias ya anotadas. También sabemos que el operador Kf es hermitiano (real y simétrico), que puede ser diagonalizable por el operador unitario ortogogonal A y, como el espacio donde está definido Kf es finito (de dimensión igual al número de bandas), entonces se tiene que sus eigenvectores eˆ q son linealmente independientes, es decir ortogonales y normalizables a la unidad, por lo que generan el espacio correspondiente a la DCP. Entonces, en esta transformación se cambia la representación del operador Kf a una nueva, dada por Kg por medio de la relación arriba anotada, haciendo resaltar que los vectores que producen la nube de datos de la imagen no se modifican (figura IV.8) en su forma intrínseca. En contrapartida, en una transformación canónica, sí cambia la representación del operador Kf y es diferente la representación de estos vectores (figura IV.10). El análisis canónico es una variante de la DCP, pero con un carácter más específico, pues incluye información acerca del comportamiento estadístico de las clases de patrones de la imagen multiespectral y por lo mismo se requiere de información previa acerca de la misma. En el análisis canónico se tiene una transformación no reversible (aun si se conserva la información de las clases), y no unitaria, en donde se reduce estrictamente (no intrínsecamente como en la DCP) la dimensionalidad del espacio donde se encuentran representados los datos de la imagen. En esta transformación se genera un nuevo espacio donde las clases de las cuales se proporciona información tienen máxima separabilidad. Se puede emplear también el análisis canónico para separar una clase dada del resto de la imagen, que a su vez se ve como la clase restante. Por ejemplo, en la figura IV.10 es fácil apreciar el esquema de tres clases de una imagen de solo dos bandas. Las clases a, b y c no son enteramente separables sobre ninguna de las dos bandas originales b1 ó

Transformaciones

199

Figura IV.10. Nube de datos de una imagen de dos bandas mostrando tres clases separables completamente en el eje b1' . b2; se requieren ambas para producir una eventual separación. Ahora bien, si se escoge una nueva banda dada por el eje b1' con tal dirección que la máxima separación entre las clases a, b y c se proyecte sobre este nuevo eje, se tiene un método donde se proyectan y separan las clases. Cabe mencionar que existen muchas ocasiones en que esta separabilidad no se alcanza sobre la primera componente de la transformación, pues la dispersión de las clases y su posición respectiva en el espacio de muestras puede ser tal que aun persista un traslape entre ellas. Cuando el número de clases consideradas aumenta, la separabilidad completa llega a ser imposible. En cambio, el análisis canónico funciona muy bien cuando se desea separar espectralmente dos clases definidas en una imagen. En el marco de lo planteado hasta ahora, una transformación canónica se define como sigue

200


g(s) = Dtf(r)

(IV.156)

donde la connotación vectorial es similar a la que se apuntó para la relación (IV.133). La matriz D realiza la siguiente operación I  K pg  D t K pf D

(IV.157)

donde I es la matriz identidad y como consecuencia de (IV.157) se tiene K eg  D t K ef D

(IV.158)

en donde K pf es la matriz de covarianza promedio de la covarianza de cada clase, es decir K pf 

1 Nc

K

f j

(IV.159)

j

donde Nc es el número total de clases consideradas y K fj es la matriz de covarianza de cada clase dada. La matriz K ef representa la covarianza entre las clases, es decir, es una medida de la separación que existe entre ellas. Hay que remarcar que esta formulación del análisis canónico es análoga a la que se hizo para la DCP y como tal es posible llevar a cabo los pasos que se hicieron para tal transformación introduciendo desde luego las condiciones específicas planteadas para el análisis canónico. Para la DCP, es fácil determinar la estructura de la matriz A, ya que ésta lleva a cabo una diagonalización de la matriz de covarianza original. No es tan evidente determinar la estructura de la matriz D, puesto que ésta no diagonaliza la matriz de covarianza de entrada, sino que la convierte en una matriz unidad. Para obtener a D es necesario hacer consideraciones explícitas sobre el comportamiento estadístico de las clases que se desean separar; para esto regresemos a la figura IV.10. La idea básica de esta transformación consiste en definir un nuevo sistema de coordenadas sobre el primer eje en el cual se cumplan dos condiciones: la mínima dispersión de las clases consideradas y la máxima separación entre ellas; es decir, se propone maximizar las distancias d1, d2 y minimizar x1, x2 y x3 del ejemplo planteado. Al imponer la condición de mínima dispersión de clases se requiere que físicamente éstas sean esféricas, lo que está expresado en la relación (IV.157). Una manera de satisfacer estas dos condiciones es mediante las matrices de covarianza de cada clase y la matriz de covarianza de las clases como un todo. La primera matriz es una medida de la dispersión de los datos para cada grupo o clase considerada y la segunda es relativa a la distancia que existe entre los grupos de datos. En términos cuantitativos esto se puede escribir como sigue 

 2e  2p



d t K ef d d t K pf d

 máximo

(IV.160)

Transformaciones

201

donde d es el vector que define el eje del nuevo espacio ( b1' en la figura IV.10) para el cual se tiene la máxima separación entre clases y la mínima dispersión de las mismas. Las cantidades  2p y  2e son las varianzas, sobre este nuevo eje, de las clases y de la separación entre ellas respectivamente. De esta forma, en esta transformación canónica, se tiene la máxima separación en el primer eje ( b1' ), la siguiente separación en importancia en el segundo eje ( b '2 ) y así sucesivamente. En este orden de ideas, d es cualquiera de los eigenvectores que definen las direcciones de los nuevos ejes y  es, por tanto, el eigenvalor correspondiente. La maximización de lo expresado en (IV.160) se realiza por métodos tradicionales del cálculo diferencial, es decir se establece la siguiente condición  0 d

(IV.161)

   d t K ef d   d d  d t K pf d   

(IV.162)

Entonces a partir de (IV.160), se tiene

Pero del cálculo matricial se tiene la siguiente identidad





 t f d K e d  2 K ef d d

(IV.163)

De tal forma que aplicando esta relación a la ecuación (IV.162) y siguiendo las reglas conocidas de diferenciación, se tiene   2 K ef d(d t K pf d ) 1  2 K pf d(d t K ef d )(d t K pf d ) 2  0 d

(IV.164)

Si suponemos que d t K pf d es diferente de cero, al multiplicar por este factor la ecuación (IV.164), se tiene la siguiente simplificación K ef d  K pf d(d t K ef d )(d t K pf d ) 1  0

(IV.165)

lo que, al emplear la condición (IV.160), se reduce a ( K ef  K pf )d  0

(IV.166)

que es una ecuación de eigenvalores y eigenvectores similar a la (IV.140) y que se conoce como ecuación generalizada de eigenvalores y eigenvectores. En realidad se tiene una ecuación de estas para cada eigenvector del nuevo espacio, de tal manera que

202


se pueden resumir en forma matricial todas estas ecuaciones. Al llamar a D la matriz cuyas columnas son los eigenvectores d, se tiene

K

f e



 K pf D  0

(IV.167)

donde  es una matriz diagonal cuyos elementos son los eigenvalores respectivos de la transformación. Ahora bien, la ecuación (IV.167) se puede reescribir de la siguiente manera [( K pf )-1 K ef  I ]D  0

lo que quiere decir que se desean encontrar los eigenvectores y eigenvalores de ( K pf ) -1 K ef , ya que esta cantidad es la que se quiere maximizar. Es importante hacer notar aquí que al menos uno de los eigenvalores de la ecuación (IV.167) es cero. Esto puede apreciarse cualitativamente en la figura IV.10, ya que al buscar la máxima separación de las clases, éstas se proyectan implícitamente sobre un sólo eje ( b1' en este ejemplo). De esta manera, al considerar una imagen de  bandas, puede entenderse que la dimensionalidad del espacio respectivo se reduce en al menos uno. Cuantitativamente, esto se debe a que el término independiente de la ecuación de eigenvalores (IV.167) se anula, dando así lugar a una ecuación homogénea en , lo que implícitamente reduce su grado en al menos uno. La razón por la cual el determinante de K ef es cero, es decir es singular, proviene de la manera como se ve a las clases de la imagen digital, ya que K ef está dada por la siguiente expresión K ef E{( i  0 )( i  0 ) t }

(IV.168)

donde i es el vector que define la media de la clase i-ésima, 0 es el vector del centroide de las clases consideradas (media global) y E es el operador de valor esperado. La expresión (IV.168) implica un corrimiento del sistema de coordenadas hasta que el origen de éste coincide con el centroide de las clases de la imagen y de aquí la particular propiedad de K ef arriba mencionada. En terminos generales el número de bandas de la imagen resultante de aplicar el análisis canónico es igual a min[, Nc – 1] (Richards y Jia, 1999). Para fines computacionales, la matriz de covarianza Kj de cada clase se evalúa a partir de la relación (IV.146). Ahora bien, si Nj, es la población de la clase j-ésima, se tiene entonces que K pf

Donde

1  Sn

 N c   ( N j 1) K j   j1 



(IV.169)

Transformaciones

Sn 

203

Nc

N

(IV.170)

i

i 1

es la población total de las clases consideradas y Nc es el número de éstas. Por otro lado, aun cuando se tiene a la ecuación (IV.168) como referencia, conviene escribir explícitamente la expresión correspondiente para K ef K ef 

1 Nc 1

Nc

 (

i

  0 )( i   0 ) t

(IV.171)

i 1

Donde el centroide 0 se calcula a partir de la siguiente relación 0 

1 Sn

Nc

N  i

(IV.172)

i

i 1

recordando que i se obtiene de la expresión (IV.144). Con esto queda completo el esquema para ejecutar la transformación canónica aquí planteada. Hacemos énfasis, en que es necesario conocer las clases involucradas, es decir, es requisito indispensable contar con los valores y número de los pixels que las componen. Esto se obtiene claramente a partir de la imagen original y de regiones rodalizadas de ésta donde se piense que existe las clases de interés. Este trabajo puede hacerse también a partir del análisis de cúmulos de la imagen multiespectral. Es necesario mencionar también que los eigenvectores d de esta transformación no son en general ortonormales, pero pueden hacerse así empleando el método de Gram-Schmidt (Arfken y Weber, 1995).

IV.7.1 Ejemplo numérico de análisis canónico Considérense dos clases, a y b, en una imagen de dos bandas; sean los pixels de la clase a los siguientes a 3 3

3 5

4 3

4 4

4 5

4 7

5 3

5 4

5 5

5 6

5 7

6 2

6 3

6 4

6 5

6 6

6 7

7 2

7 3

7 4

7 5

7 6

8 2

8 3

8 4

8 5

Para la clase b los pixels son

204


b 8 8

9 7

9 8

9 9

10 3

10 5

10 6

10 7

10 8

10 9

11 3

11 4

11 5

11 6

11 7

11 8

11 9

11 10

12 4

12 5

12 6

12 7

12 8

13 2

13 3

13 4

13 5

13 6

13 7

13 8

14 3

14 4

14 5

La clase a tiene 26 pixels y la b 33. Las matrices de covarianza son por tanto las siguientes  2.3446  0.5169 Ka   2.3954   0.5169

y

 2.5587  1.6373 Kb     1.6373 4.5303 

De acuerdo con la ecuación (IV.169) la matriz de covarianza promedio es  2.3813  1.1071 Kp     1.1071 3.4721  Los vectores de media de las clases anteriores y el centroide de las mismas son 5.7692 μa    4.3462

11.3939 μb     6.0303

8.9153 μ0    5.2881

La matriz de covarianza entre clases es por tanto  16.0413 Ke    4.8031

4.8031  1.4381

Escribiendo ahora de manera explícita la ecuación de eigenvalores 16.0413    2.3813

4.8031    1.1071

4.8031    1.1071

1.4381    3.4721

0

Esta ecuación produce un solo eigenvalor:  = 9.9053, lo que implica que la imagen de salida tiene una sola banda. Este eigenvalor se substituye en la ecuación (IV.166)  16.0413  9.9053  2.3813  4.8031  9.9053  1.1071 

4.8031  9.9053  1.1071   d 1   0 1.4381  9.9053  3.4721 d 2 

De donde se tiene que d1 = 2.0897d2. Empleando ahora la condición (IV.157)

Transformaciones

d 1

205

 2.3813  1.1071  d 1  d 2     1  1.1071 3.4721  d 2 

Se tiene que 2.3813  d 12  2.2142  d 1d 2  3.4721  d 22  1 . Finalmente 0.6873 d  0.3289

El vector d define la dirección de la única banda resultante del análisis canónico para las dos clases arriba definidas (figura IV.11).

Figura IV.11. Análisis canónico de las clases espectrales a y b.

IV.8 Indices Espectrales Ciertas combinaciones lineales y no-lineales de m bandas forman índices espectrales físicamente significativos en el espacio espectral definido por las  bandas de una imagen multi-espectral (Jackson, 1983). Estos índices proporcionan información sobre el comportamiento del suelo, la vegetación y el agua de una escena de la superficie terrestre. Los índices espectrales están determinados por una base vectorial que genera

206


un espacio donde se encuentran referidas las bandas de una nueva imagen multiespectral; estas bandas describen la variación espacial de cada uno de los índices. Las bandas de la nueva imagen son el resultado de combinaciones lineales o no-lineales de las bandas originales; es claro por tanto, que cuando los índices son ortonormales su número no puede exceder al número de bandas de la imagen original, es decir m  . Por otro lado, la DCP y su variante pueden ser empleadas para la generación de índices cuando éstos son el resultado de combinaciones lineales de bandas. En principio el número de índices ortonormales que pueden ser generados a partir de una imagen multiespectral es igual al número de bandas de la imagen, sin embargo, el contenido de información de los índices no es igual. En la DCP demostramos que, debido a la correlación entre bandas, una imagen multi-espectral presenta una dimensionalidad intrínseca, de tal forma que el número de índices ortonormales con información relevante no puede exceder a esta dimensionalidad. Cuando los índices son generados por medio de una base vectorial ortonormal, las bandas que representan los índices pueden a su vez ser empleadas para conformar una expansión canónica de la imagen original. Otras expansiones de la imagen son factibles aun cuando dicha base vectorial no sea ortonormal. Comenzaremos por revisar el comportamiento de índices definidos en un espacio bidimensional (Perry y Lautenschlager, 1984; Gilabert et al., 2002), para terminar con índices definidos en el espacio determinado por las -bandas de la imagen multiespectral. Al realizar una gráfica (figura IV.12) de la banda del rojo (banda 3 de Landsat TM) contra el infrarrojo cercano (banda 4 del Landsat TM) (cuadro I.1 y cuadro B.2), se aprecia que la base de la gráfica forma una línea llamada línea de suelos. En la figura IV.12 el punto (a) representa un suelo relativamente húmedo, mientras que el punto (b) representa un suelo relativamente seco. Los puntos (c) y (d) representan suelos parcialmente cubiertos por vegetación bajo condiciones de humedad diferentes y el punto (e) representa un suelo totalmente cubierto por vegetación. La distancia de los puntos (c), (d) y (e) en dirección perpendicular a la línea de suelos es proporcional al vigor de la vegetación bajo diferentes condiciones de humedad del suelo. El vigor de la vegetación no debe interpretarse como cantidad de biomasa, sino más bien como una medida del contenido de humedad de la vegetación, es decir de su verdor. La distancia del punto determinado por la abscisa al origen a un punto en la línea de suelos es llamada índice de línea de suelos (SLI en inglés). A partir de lo anterior se define el Índice de Vegetación Perpendicular (En inglés: Perpendicular Vegetation Index). Para Landsat TM PVI 

1

a2 1

TM 4  a  TM3  b

(IV.173)

Donde a es la pendiente de la línea de suelos y b su ordenada al origen. El PVI es un índice bi-dimensional ya que es extraído a partir de dos bandas: la del rojo y la del infrarrojo cercano y es una medida de la distancia de un punto, parcial o totalmente cubierto por vegetación, a la línea de suelos. En la literatura científica se han definido otros índices espectrales que a continuación se discuten (Perry y Lautenschlager, 1984; Gilabert et al., 2002). Probablemente el índice más empleado para evaluar el estado de la vegetación sea el índice diferencia

Transformaciones

207

normalizado de vegetación (En inglés: Normalized Difference Vegetation Index), que se define como sigue

NDVI 

IFC  R IFC  R

Donde IFC se refiere a la banda del infrarrojo cercano y R a la banda del rojo, específicamente para Landsat TM

NDVI 

TM 4  TM3 TM 4  TM3

(IV.174)

Donde TMi es la i-ésima banda del Landsat. El NDVI mide el vigor de la vegetación en cuanto a humedad y verdor, es aplicable a zonas donde la vegetación cubre enteramente el suelo; la lámina 31 muestra el índice de vegetación de una imagen Landsat de la ciudad de México.

Figura IV.12. Línea de suelos descrita por las bandas 3 y 4 del Landsat. Una variante del NDVI lo constituye el calculado con las bandas Landsat TM 4 y 7, este índice bidimensional proporciona un mayor rango dinámico y se le denomina NDVI74 (Jackson, 1983). Es decir estas bandas contribuyen más a la discriminación de vegetación. Tal rango dinámico es el mejor comparado con cualquier otra combinación de otro sensor multi-espectral. Por otro lado, la banda 7 del infrarrojo medio es sensible

208


al contenido de humedad de las hojas de las plantas. Estos hechos apuntan a que el NDVI74 proporciona una medida del vigor de la vegetación y su contenido de humedad. Cuando la vegetación no cubre enteramente el suelo es necesario hacer un ajuste al índice de vegetación para tomar en cuenta la contribución de la reflectividad del suelo, para esto se emplea el índice transformado de vegetación ajustado al suelo (En inglés: Transformed Soil Adjusted Vegetation Index), que se define como sigue

TSAVI 

aIFC  a  R  b a  IFC  R  a  b

Para Landsat TM

TSAVI 

aTM 4  a  TM3  b a  TM 4  TM3  a  b

(IV.175)

Donde a es la pendiente de la línea de suelos y b es la ordenada al origen de la misma. La pendiente de la línea de suelos se obtiene graficando la banda del infrarrojo cercano contra la banda del rojo; a partir de esta gráfica se obtiene la ecuación de la línea de suelos por un ajuste de mínimos cuadrados, esta ecuación define la pendiente y la ordenada al origen. La lámina 32 muestra el índice TSAVI de una imagen Landsat del norte de México. Otro índice que toma en cuenta la contribución del suelo a la respuesta espectral es el índice modificado de vegetación ajustado al suelo (En inglés: Modified Soil Adjusted Vegetation Index) definido de acuerdo con la expresión MSAVI 

2  IFC  1  (2  IFC  1) 2  8(IFC  R ) 2

(IV.176)

Para Landsat TM MSAVI 

2  TM 4  1  (2  TM 4  1) 2  8(TM 4  TM 3) 2

Un índice para medir el vigor de la vegetación es el llamado índice de vegetación (En inglés: Vegetation Index)

VI 

IFL  IFC IFL  IFC

Donde IFL es la banda del infrarrojo lejano; para Landsat TM

VI 

TM 7  TM 4 TM 7  TM 4

(IV.177)

De acuerdo con la expresión (IV.177) es claro que NDVI74 = VI. Una transformación

Transformaciones

209

para delinear el perímetro de cuerpos de agua superficiales es el índice diferencia normalizado de agua (En inglés: Normalized Difference Water Index) que se define de la siguiente manera (McFeeters, 1996)

NDWI 

G  IFC G  IFC

Donde G es la banda del verde e IFC es la banda del infrarrojo cercano; para Landsat TM

NDWI 

TM 2  TM 4 TM 2  TM 4

(IV.178)

La lámina 33 muestra los cuerpos de agua superficiales de una imagen Aster que cubre un área llamada los pantanos de Centla en el sureste mexicano. Estos cuerpos de agua han sido delimitados empleando el índice NDWI. Con el objeto de delinear el complejo de construcciones de una ciudad se considera el índice diferencia normalizado de área urbana (En inglés: Normalized Difference Built-up Index) descrito para imágenes Landsat TM como (Zha et al., 2003)

NDBI 

TM5  TM 4 TM5  TM 4

(IV.179)

El NDBI se emplea conjuntamente con el NDVI de acuerdo con el siguiente criterio Si NDVI > 0  NDVI = 255. Si NDVI  0  NDVI = 0 Si NDBI < 0  NDBI = 0. Si NDBI > 0  NDBI = 255 Una vez binarizados los índices NDVI y NDBI se realiza la siguiente diferencia Si NDBI – NDVI = 255  Área urbana. Si NDBI – NDVI  0  Resto de la imagen. Finalmente la diferencia NDBI – NDVI se binariza para producir un mapa de bits con NDBI = 1, ciudad y NDBI = 0, resto de la imagen. Otro índice espectral que es un ejemplo relevante de una transformación canónica aplicada específicamente a imágenes multiespectrales de la serie Landsat, diseñada para la evaluación de cobertura vegetal agrícola, es la que se conoce como Transformación Kauth-Thomas (KT), diseñada por estos investigadores (Kauth y Thomas, 1976) para los primeros Landsat y extendida posteriormente al TM de los últimos satélites de esta serie (Crist, 1984). Para estudiar la naturaleza y aplicaciones de esta transformación, daremos primero una descripción gráfica de la misma y en una segunda parte presentaremos la formalización y generalización matemática correspondiente. Con el objeto de ilustrar el diseño de la transformación KT, refirámonos a la figura IV.13, en donde se muestra esquemáticamente la nube de datos que se relaciona con un cultivo agrícola con plantas de diferentes etapas de crecimiento. Para poder mostrar correctamente la evolución en el tiempo de un tipo de cultivo a partir de una sóla imagen, es necesario suponer válido el teorema ergódico para la imagen multiespectral

210


correspondiente. En la figura IV.13a se da la gráfica, en el espacio generado por las tres primeras bandas (b1, b2, b3) de una imagen Landsat MSS, de una subregión de ésta donde se sabe que existe un cultivo determinado. En la observación del desarrollo de un cultivo podemos pensar en el siguiente proceso: en primer lugar a través de extensivas medidas sobre muestras de suelos (Condit, 1970), ha quedado demostrado que los respectivos datos de reflectancia se encuentran aproximadamente sobre una línea recta cuando son graficados en un espacio formado por las bandas 2 y 3 del MSS de la serie Landsat (figura IV.13b), sobre esta línea, los suelos oscuros quedan hacia el origen de coordenadas y los suelos brillantes sobre el otro extremo de la línea; los diferentes tipos de suelos aparecen sobre puntos intermedios. Al observar la evolución espectral de un determinado cultivo, se tiene en primera instancia la mencionada línea de suelos al momento en el que las plantas respectivas apenas comienzan a emerger sobre la superficie de la tierra.

Figura IV.13. Descripción esquemática del proceso de crecimiento y madurez de un cultivo a partir de datos Landsat MSS. A medida que las plantas crecen, la respuesta espectral de éstas se combina proporcionalmente con la del suelo donde se encuentran plantadas; la sombra que éstas proyectan sobre el suelo y su propia respuesta dominan gradualmente sobre la de éste, de tal manera que lo que antes era suelo brillante aparece ahora como una mezcla más oscura (figuras IV.13a y IV.13b). Para los suelos oscuros la situación se mantiene aproximadamente estable por un tiempo en cuanto a la mezcla de respuestas: sueloplantas-sombras. Cuando las plantas emergen decididamente sobre la superficie terrestre, su respuesta espectral empieza a dominar sobre los otros factores (suelo y

Transformaciones

211

sombras) puesto que su área foliar cubre paulatinamente al CIV correspondiente; de esta manera las respuestas combinadas de plantas sobre suelos oscuros y brillantes se aproximan a una sola en el punto de madurez del cultivo (figuras IV.13a y IV.13b). De aquí que la evolución arriba mencionada describa una gráfica que se asemeja a la de un penacho. Después de alcanzar la madurez, las plantas entran en la etapa de senescencia y empiezan a tornarse amarillas, describiendo su respuesta espectral, una trayectoria curva hacia la línea de suelos; esta trayectoria tiene una cierta dispersión (figura IV.13a) dependiendo de ciertas diferencias que pudieran tener las plantas del cultivo, o bien si existen varios cultivos semejantes en la misma área de plantación. La variación en respuesta, producto de la senescencia, agrega a la forma del penacho una especia de cola o borla y de aquí el nombre que a veces se le impone a la transformación KT: gorro de borla. Si bien el proceso de emergencia y madurez del cultivo describe la forma de una especie de triángulo aplanado, básicamente sobre el plano de las bandas b2 - b3, la etapa de senescencia se sale de esta plano (figura IV.13c) por lo que se requiere finalmente de un espacio tridimensional formado por las bandas b1 - b2 - b3; esto quiere decir que la transformación KT genera un nuevo espacio de tres bandas que es suficiente para realzar y describir convenientemente el proceso evolutivo de un cultivo determinado. Cabe aclarar que lo que se ha denominado plano de los suelos (figuras IV.13a y IV.13c) en realidad es una nube de datos formando un elipsoide muy aplanado y bastante elongado. Dado que en general puede afirmarse que cualquier especie vegetal tiene un ciclo de emergencia, madurez y senescencia similar al arriba descrito, es posible afirmar que la transformación KT es en realidad un realce para cualquier cobertura vegetal. Es importante puntualizar, sin embargo, que esta transformación requiere de datos de entrada obtenidos de aquella subregión que contenga la comunidad vegetal de interés, por lo que el realce es enfático con respecto a la comunidad estudiada, si bien la generalización a Landsat TM por Crist (1984) es automática y se aplica a cualquier comunidad vegetal. Los detalles físicos sobre el proceso evolutivo mencionado pueden encontrarse directamente en el artículo original de Kauth y Thomas (1976). Debido a la estructura de la transformación KT, al igual que la DCP y el análisis canónico, éstas pueden verse como una preclasificación de una o varias clases de objetos o rasgos de la escena, de aquí que estas transformaciones se empleen a veces como datos de entrada para un clasificador espectral convencional, con reducción en costo de computación ya que la dimensionalidad de la imagen original siempre se reduce. Sin embargo, para clasificaciones absolutas o para comparaciones ya sea multitemporal o multiespacial, es necesario incluir varios aspectos externos a la evaluación de la cobertura vegetal (Johnson y Kasischke, 1998; Coppin et al., 2004). Estos aspectos externos son básicamente de dos tipos: condiciones atmosféricas y geometría de iluminación. En cuanto al primer efecto, es claro que componentes atmosféricas tales como neblina, bruma, aerosoles, nubes, vapor de agua en combinación con la distribución del albedo en la zona de interés, afectan sensiblemente la medida de radiancia hecha por el sensor satelitario y en consecuencia la respuesta espectral observada no corresponde directamente a los objetos estudiados, además de que puede variar de lugar a lugar y de un tiempo a otro. Como ya se mencionó con anterioridad, las sombras que proyectan las plantas en su etapa de crecimiento y maduración, ejercen una influencia en la variación de la respuesta espectral observada. Además de esto, a medida que cambian los ángulos de vista e iluminación, la cantidad

212


de sombra que proyecta el cultivo cambia también; de aquí que la reflectancia total pueda ser más clara u oscura de lo que en realidad es. Por esto la geometría de iluminación es un factor importante en la observación de cultivos por medio de la transformada KT. Debido a estos dos tipos de factores externos, es importante llevar a cabo normalizaciones por efectos atmosféricos (Lira y Oliver, 1983) y por cambios en iluminación antes de aplicar la transformación KT, esto, como ya se mencionó, en el caso de que se deseen medidas absolutas de cobertura vegetal. Veamos ahora los aspectos computacionales de esta transformación; ésta se hace de la siguiente manera g(u) = Rtf(r) + r0

(IV.180)

donde la notación vectorial tiene el sentido explicado anteriormente, f(r) es la imagen multiespectral de entrada, g(u) la de salida, Rt es la transpuesta de la matriz de transformación y r0 es un vector arbitrario para evitar valores negativos en la imagen de salida, aunque si bien este vector puede evitar valores menores de cero, también puede ocasionar algunos puntos de saturación en la imagen de salida, por lo que es más recomendable realizar un reescalamiento lineal del histograma de g(u). La matriz R es unitaria y se construye de la siguiente manera a) El primer vector columna R1 de R se escoge de tal manera que su dirección está a lo largo del eje mayor del elipsoide que forma la nube de datos de los suelos de la subregión o subregiones seleccionadas, recordando que estos datos se obtienen a partir de la imagen misma. En la práctica R1 se obtiene de la descomposición en componentes principales aplicada al elipsoide de datos y escogiendo su dirección en coincidencia con la de la componente principal. b) El segundo vector columna R2 de R se escoge perpendicular a R1 y apuntando en la dirección principal de maduración del grupo vegetal seleccionado. Esto se hace a partir de proyecciones de la nube de datos como la que se presenta en la figura IV.13b, en donde se aprecia dicha dirección; la descomposición en componentes principales también interviene aquí. c) El tercer vector columna R3 de R se escoge, perpendicular a R1 y R2 y apuntando en la dirección de senescencia (figura IV.13c) de la comunidad vegetal de interés. Nótese que en las subregiones seleccionadas de la imagen para servir como datos de entrada debe haber plantas en todas etapas de su evolución y una variedad suficiente de suelos, de otra manera los vectores R1, R2 y R3 no pueden ser estimados con precisión. d) El cuarto vector columna R4 de R, se escoge obviamente perpendicular a los tres anteriores. Una vez evaluados estos cuatro vectores, para imágenes de cuatro bandas del MSS de Landsat, se aplica el método de ortonormalización de Gram-Schmidt con el objeto de conformar a R como una matriz unitaria y ortogonal. De acuerdo con lo que se dijo anteriormente, esta transformación fue extendida a imágenes de siete bandas del TM de Landsat (Crist, 1984; Crist y Cicone, 1984), pero la idea es básicamente la misma que la aquí se expuso. Los vectores R1, R2, R3 y R4 generan un nuevo espacio de dimensionalidad igual a tres, ya que en la cuarta banda de salida prácticamente no hay información acerca de la cobertura vegetal en general. A la primera banda de la transformación KT, definida por R1, se le llama brillantez y es proporcional al albedo. A la segunda banda, dada por R2, se le llama verdor (greeness) y da una medida del vigor

Transformaciones

213

de la vegetación. A la tercera banda, dada por R3, se le llama amarillez (yellowness) y da una medida de la senescencia del cultivo. A la cuarta banda, dada por R4, se le llama ausencia (non such) porque carece de información relevante acerca del cultivo. Entonces, el espacio generado por los primeros tres vectores puede ser empleado como un medio para evaluar el estado de uno o varios cultivos o para estudiar la cobertura vegetal de una región dada. Para Landsat TM, la transformación Kauth-Thomas produce una imagen multiespectral donde únicamente las tres primeras bandas contienen información significativa, confirmando con esto el resultado de la descomposición en componentes principales en el sentido de que la dimensionalidad intrínseca de las imágenes Landsat TM es de tres. Para este tipo de imágenes (Crist y Cicone, 1984), las primeras tres bandas de la transformación Kauth-Thomas reciben los nombres de: brillantez, verdor y humedad. El proceso de generación de las bandas producto de la transformación KauthThomas, anteriormente descrito, puede ser generalizado y descrito en términos más formales. Ha sido demostrado (Jackson, 1983) que ciertas combinaciones lineales de bandas de una imagen multiespectral forman índices significativos para cuantificar propiedades de tipos de cobertura espectral. La transformación Kauth-Thomas es un ejemplo de tales índices. La clase de índices espectrales está compuesta por combinaciones lineales de  bandas espectrales; en general, si todos los índices son ortogonales,   , donde  es el número de bandas de la imagen original. Para una clase espectral dada, tal como la vegetación, un conjunto ortogonal de vectores diferentes de cero puede ser obtenido por medio del método de Gram-Schmidt (Friedberg et al., 1989). Tal conjunto de vectores generan un espacio vectorial donde los aspectos relevantes de la clase espectral seleccionada son realzados. De acuerdo con este método, el conjunto ortogonal de vectores, S = {x1, x2, . . . , xk} es calculado por medio de la siguiente ecuación i 1

xi  yi 

 j1

y i , x j 

xj

2

xj , 2  i  

(IV.181)

El conjunto de vectores S = {y1, y2, . . . , yk} se obtiene a partir de la clase espectral bajo estudio. En el caso de la vegetación, el vector yi es calculado por medio de la diferencia entre un pixel de vegetación y cualquier punto de la línea de suelos (figura IV.12). Si el pixel de vegetación se refiere a vegetación verde, el vector xi define el índice o banda verdor de la transformación Kauth-Thomas. De aquí entonces, el espacio generado por el conjunto vectorial S produce una nueva representación de la imagen en términos de bandas ortogonales, cada una de las cuales contiene información sobre algúna característica espectral de la clase selecionada. La generalización a -dimensiones del PVI lo constituye la transformación Kauth y Thomas (KT) cuya formulación requiere de la generación de una base vectorial ortonormal. Al igual que en el PVI, la transformación KT requiere de la línea de suelos cuya ecuación se deriva a partir de la estructura de la imagen en el espacio dimensional (Jackson, 1983). Para obtener la dirección de la línea de suelos, considérense dos pixels en la imagen donde se sabe con certeza que existe suelo seco y húmedo cuyos valores difieren considerablemente, sean estos pixels

214


ps  {s 1 , s 2 , . . . s  } y p h  {h 1 , h 2 , . . . h  }

Sea ahora bˆ  (b 1 , b 2 , ... b  ) el vector unitario producto de la diferencia normalizada

entre ps y ph, es decir bˆ 

ps  p h

b  b 22  . . . b 2 2 1

(IV.182)

Donde bi = (si – hi). El vector unitario bˆ es por tanto un vector que determina la dirección de la línea de suelos (figura IV.12). A partir de esta última ecuación se define el primer índice de la transformación KT en el espacio -dimensional, llamado brillantez B r (k , l )  bˆ  p(k , l ) ,  (k,l)

(IV.183)

Donde p(k,l) = {p1, p2, . . . p} es un pixel de la imagen original en la coordenada (k,l). El índice de brillantez Br es una banda de una nueva imagen multi-espectral cuyo número de bandas es igual al de la original. Para calcular el segundo índice de la transformación KT, llamado verdor, considérese un pixel que represente vegetación desarrollada cubriendo el suelo (figura IV.12), sea este pixel pv = {v1,v2, . . . v}; se obtiene entonces el vector diferencia g  p v  p s  c 1bˆ

Donde c 1  ( p v  p s )  bˆ

En las ecuaciones anteriores se puede emplear cualquier pixel de la línea de suelos. A partir de estas dos últimas expresiones se forma el vector unitario vˆ 

g g  g  . . . g 2 2 1

2 2

(IV.184)

Por construcción, los vectores bˆ y vˆ son ortonormales, es decir bˆ  vˆ  0 . El índice verdor es entonces igual a Vr (k , l )  vˆ  p(k , l ) ,  (k,l)

(IV.185)

El cálculo del tercer índice de la transformación KT, llamado amarillez, requiere de un pixel que represente vegetación en senescencia (amarilla), sea este pixel pa = {a1, a2, . . . a}. Se forma ahora el siguiente vector y  p a  p s  (c 2 bˆ  c 3 vˆ )

Transformaciones

215

Donde c 2  ( p a  p s )  bˆ y c 3  ( pa  ps )  vˆ

A partir de estas tres últimas expresiones se forma el vector unitario aˆ 

y y  y  . . . y 2 2 1

2 2

Por construcción, los vectores aˆ y vˆ son ortonormales, es decir aˆ  vˆ  0 y los vectores aˆ y bˆ son ortonormales, por lo que aˆ  bˆ  0 . El índice amarillez es igual entonces a A r (k , l )  aˆ  p(k , l ) ,  (k,l)

(IV.186)

Las bandas Br, Vr y Ar, representan la variación espacial de los índices, brillantez, verdor y amarillez respectivamente y forman una imagen multi-espectral que acumula la información relevante de suelos y vegetación de la imagen original. Los vectores ( bˆ , vˆ , aˆ ) forman una base vectorial ortonormal a partir de la cual se genera el espacio donde es referida la imagen formada por las bandas (Br, Vr y Ar) que conjuntamente forman la transformación KT. Debido a que la dimensionalidad intrínseca de una imagen Landsat TM es de tres, las bandas (Br, Vr y Ar) acumulan toda la información relevante de la imagen original. Además, las bandas (Br, Vr y Ar) pueden ser empleadas en la ecuación (IV.187) para formar una expansión canónica de la imagen original. Es importante mencionar que la primera componente principal de una imagen multiespectral es un índice espectral proporcional al albedo y la segunda componente es un índice espectral proporcional al vigor de la vegetación; así entonces, la primera componente es proporcional a la banda brillantez y la segunda componente lo es a la banda verdor. Supongamos que se tiene una imagen de cuatro bandas cuyos pixels han sido transformado a valores de radiancia absolutos (Jackson, 1983), de tal manera que se tienen los vectores: ps = {15.10, 20.32, 28.73, 32.45} y ph = {7.59, 11.79, 15.52, 17.65}, de aquí se obtiene bˆ  {0.3285, 0.3731, 0.5779, 0.6473} . Consideremos ahora un pixel de vegetación expresado por: pv = {3.45, 2.80, 28.51, 43.82}; el vector verdor es por tanto vˆ  {0.4480,  0.6896, 0.0670, 0.5650} . Finalmente sea el pixel marcando la senescencia de la vegetación: pa = {11.58, 17.59, 25.71, 31.36} , de tal manera que aˆ  {0.6130, 0.6118,  0.3928, 0.3089} . De aquí es claro que los vectores bˆ , gˆ y aˆ son ortonormales.

IV.9 Expansión Canónica La descomposición en componentes principales, el análisis canónico y la transformación Kauth-Thomas son ejemplos de expansiones canónicas (Dougherty,

216


1999) de una imagen multiespectral. Una representación (expansión) canónica de una imagen multiespectral está dada por la siguiente ecuación g i ( k , l)   gi 

m

a

ij X j ( k , l ) ,

 i = 1, 2, . . . 

(IV.187)

j 1

Donde g = { 1g ,  g2 , . . .  g } es el vector que representa la media de la imagen multiespectral g = {g1, g2, . . . g} compuesta por  bands. Las funciones bidimensionales X1, X2, . . . Xm, son variables aleatorias decorrelacionadas con media cero. Las Xj son llamadas bandas generalizadas en términos de las cuales la imagen g es representada. Los coeficientes aij son funciones deterministas y (k,l) son las coordenadas de un pixel en la imagen. Por otro lado, el análisis canónico y la descomposición en componentes principales son transformaciones vectorials aplicadas al conjunto de bandas de la imagen multiespectral. En forma simbólica, cualquiera de estas transformaciones se escribe como g = K{f}

(IV.188)

Donde K es el kernel de la transformación, sea A para la descomposición en componentes principales o D para el análisis canónico. La ecuación (IV.187) significa que cada banda de salida que compone la imagen g es producida por una combinación lineal de las bandas que forman la imagen de entrada f. Este es el resultado de la multiplicación matricial de K sobre los pixels de f para generar los pixels de salida en g. La imagen de salida g está compuesta por tanto por bandas ortonormales. Tales bandas, llamadas también bandas generalizadas, pueden ser empleadas para conformar una representación canónica de acuerdo con la ecuación (IV.187). Las tres primeras componentes principales, o bien las bandas llamadas brillantez (lámina 34), verdor (lámina 35) y humedad (lámina 36) de la transformación Kauth-Thomas podrían ser X1, X2 y X3 en la expresión (IV.187). La lámina 37 muestra una composición falso color de las tres primeras bandas de la transformación Kauth-Thomas. Es necesario puntualizar que, debido a que la dimensionalidad intrínseca de las imágenes Landsat TM es de tres, el número de componentes ortonormales en (IV.187) no puede exceder de este número.

IV.10 Transformaciones Geométricas En el capítulo anterior se discutió la digitización de una escena empleando un formalismo vectorial conocido como lattice de muestreo. La imagen resultante queda por tanto implícitamente referida al sistema de coordenadas definido por la lattice empleada. Existen sin embargo factores externos al proceso de muestreo que pueden hacer que el sistema de coordenadas al cual realmente se refiere la imagen no sea precisamente el de la lattice. Algunos de estos factores son los siguientes: a) la escena no es un plano, sino más bien una superficie cualquiera, b) la escena es un plano, pero el sensor la barre en incrementos angulares constantes (figura IV.14), por lo que los CIV extremos son más grandes que los del centro, c) existe un movimiento relativo de la

Transformaciones

217

escena en la dirección de barrido del sensor, d) la plataforma del sensor no es perfectamente paralela a la escena, e) existen aberraciones de consideración en el subsistema óptico del sensor, f) el CIV no es cuadrado, sino que tiene alguna otra forma: rectangular, cónica o romboide, g) existe algún efecto de dispersión no lineal que distorsiona la imagen y, h) en general cualquier interferencia en el sensor y la escena o alguna no linealidad en el funcionamiento de aquél. Además de la posible corrección de estos efectos, es factible que se requiera proyectar la imagen en algún otro sistema de coordenadas donde resulte más conveniente su análisis. Debido a lo anterior, es necesario establecer un procedimiento para transformar el sistema de coordenadas al cual se refiere originalmente la imagen; a este tipo de transformaciones se les conoce como geométricas porque precisamente cambian la geometría de la imagen.

Figura IV.14. Barrido de una escena en incrementos angulares iguales: el CIV del centro es más pequeño que el del extremo. Algunas de estas transformaciones pueden realizarse modificando la geometría de captura de la escena o introduciendo un hardware especializado en el subsistema de formación y registro de la imagen. Sin embargo, la mayoría, deben hacerse con posterioridad por medio de un modelo matemático bien definido, o empleando polinomios de un cierto grado en combinación con lo que se conoce como puntos de control. Es necesario aclarar que en la literatura se menciona en ocasiones a correcciones geométricas que compensan uno o varios de los factores mencionados. Para considerar correcciones es necesario suponer que el sistema de coordenadas al cual se quiere mapear la imagen, es precisamente el correcto. Esto sólo puede hacerse si se introducen elementos de valor en estas transformaciones, es decir, se tiene que suponer un sistema de coordenadas correcto, porque de hecho es en éste donde asignamos un mayor valor o utilidad a la información contenida en la imagen, o bien se debe pensar que en el nuevo sistema de coordenadas la imagen tiene un aspecto mejor para

218


propósitos de inspección visual. Con esto en realidad se admite que la imagen como un todo o ciertas clases de ésta, se encuentran realzadas en el nuevo sistema de coordenadas. En ciertas ocasiones se tienen sistemas de coordenadas universalmente aceptados, por lo que es conveniente referir la imagen a uno de éstos, ya que a partir de aquí se pueden hacer mediciones o comparaciones cuantitativas de varios aspectos geométricos de la imagen. Por último, cualquier transformación geométrica debe hacerse banda por banda de la imagen multiespectral de entrada. Una transformación geométrica se expresa matemáticamente de la siguiente manera w = T(r)

(IV.189)

donde w = (u,v) es el vector de posición de los pixels de la imagen en el sistema de coordenadas original, r = (j,k) es el vector de posición de los pixels de la imagen resultante y T es la matriz o modelo matemático de la transformación geométrica. Nótese que la ecuación (IV.189) tiene las coordenadas de salida como variables independientes, la razón de esta manera particular de expresar la transformación geométrica se explicará más adelante (Richards y Jia, 1999). En ocasiones es conveniente escribir la versión escalar de la ecuación (IV.189) u = Tu(j,k) (IV.190) v = Tv(j,k) Existen situaciones en las que el modelo exacto de la transformación geométrica no se conoce y entonces es adecuado emplear la versión escalar aproximando los operadores Tu y Tv por un polinomio que generalmente se trunca para incluir sólo los primeros términos generalmente hasta de orden dos. De esta manera se genera una aproximación para u y v en función de j y k

Tu = uˆ  a 0  a 1 j  a 2 k  a 3 j2  a 4 jk  a 5 k 2 (IV.191)

Tv = vˆ  b 0  b1 j  b 2 k  b 3 j2  b 4 jk  b 5 k 2 donde las ai y bi son constantes por determinar en cada caso de transformación geométrica. Estas constantes se determinan a partir de puntos de control, escogidos éstos de tal manera que se minimice el error entre el valor verdadero u observado (u,v) y el estimado ( uˆ , vˆ ). Dependiendo de la transformación deseada, es posible introducir polinomios de orden mayor, si bien esto complica el proceso computacional. Los puntos de control son puntos observados o identificados sobre la imagen original y que se sabe por algún método, que corresponden a puntos en el espacio de salida y cuyas coordenadas en este nuevo sistema son bien conocidas. Los puntos de control, se escogen lo más uniformemente distribuidos sobre la imagen para minimizar el error mencionado entre estos puntos y la estimación polinomial. Si se tienen m puntos de control la correspondencia en el espacio de la imagen (figura IV.15) se expresa en forma vectorial como sigue

Transformaciones

ut = [u1, u2, . . . um]

219

(IV.192)

vt = [v1, v2, . . . vm]

Nótese que hay una correspondencia directa entre los puntos de control (jj, kj) y estos que son los observados, es decir, los puntos de control se identifican (figuras IV.15 y IV.16) en la imagen original y en la rejilla de referencia. De manera similar se pueden escribir las constantes involucradas en la aproximación polinomial

Figura IV.15. Transformación geométrica de una imagen (a) por medio de puntos de control sobre una rejilla de referencia (b). at = [a0, a1, . . . a5]

y

IV.193)

bt = [b0, b1, . . . b5]

Al emplear esta notación, el error medio al cuadrado tiene la siguiente forma   (uˆ  Ma) t (uˆ  Ma)  ( vˆ  Mb) t ( vˆ  Mb)

(IV.194)

suponiendo claro está que el error sobre una dirección del espacio de coordenadas es independiente de la otra. La matriz M está definida a continuación 1  1  M    1

j1

k1

j12

j1 k 1

j2

k2

j 22

j2 k 2

j 2m

jm k m

. . . jm

km

k 12   k 22       k 2m 

220


Es decir, la matriz M se construye a partir de los puntos de control (jj,kj) identificados en la rejilla de referencia (figuras IV.15 y IV.16). Además de esto, es bien conocido de la teoría de operadores lineales (Pratt, 2001) que el error mencionado es mínimo sí a = M-1u (IV.195) b = M-1 v donde M-1 es el inverso generalizado (Ben-Israel y Greville, 2003) de M. Por otro lado, también es fácil ver (Pratt, 2001) que si el número de puntos de control es mayor al número de coeficientes del polinomio empleado, entonces

M-1 = (MtM)-1Mt

(IV.196)

siempre y cuando dichos puntos de control sean linealmente independientes. Los puntos de control (ecuación IV.192) se introducen en la aproximación polinomial (ecuación IV.191) para obtener los coeficientes (ai,bi); si el número de puntos de control es mayor al número de coeficientes, se tiene un sistema de ecuaciones sobredeterminado y los coeficientes se pueden calcular óptimamente por algún método de mínimos cuadrados. Para un conjunto dado de puntos de control se puede evaluar el error correspondiente (ecuación IV.195) y compararlo con el tamaño asociado a la mínima celda de la rejilla de referencia (figura IV.15); si el error es razonable para un problema dado, entonces se continúa con el proceso. En la aplicación de una transformación geométrica generalmente se tiene disponible un número finito de puntos de control, de tal manera que no es posible encontrar siempre un subconjunto de éstos que minimice el error estimado. Lo que sí se alcanza casi siempre es el determinar un conjunto de puntos de control más o menos uniformemente distribuidos (Orti,1981) sobre la rejilla de referencia que aseguren un nivel razonable de error. De aquí que no se recomiende nunca el escoger puntos de control que estén preferentemente localizados en una región, o en general que no tengan una distribución homogénea e isotrópica sobre la rejilla mencionada. Al determinar los coeficientes (ai,bi), la aproximación polinomial queda entonces determinada para emplearse en la transformación geométrica deseada. Para esto es necesario realizar un remuestreo del espacio de la imagen original al de la imagen corregida; el procedimiento es como sigue: la rejilla de referencia debe tener un tamaño de celdilla igual al tamaño asociado a los pixels de la imagen original; esta rejilla está referida a un sistema de coordenadas prefijado, si el tamaño de los pixels originales varía, la celdilla será asociada con el mayor de éstos. Se comienza entonces con la celdilla del espacio de salida, cuyas coordenadas en la lattice original son u = 1 y v = 1, es decir, aquellos valores de j y k para los cuales se tengan precisamente las coordenadas del origen de la imagen de la cual se parte. Tomando como referencia a este punto inicial (ji,ki), y de acuerdo con la rejilla de referencia predefinida, se incrementan secuencialmente j y k, se evalúan las uˆ y vˆ correspondientes, las que no necesariamente se relacionan a una posición exacta (figura IV.16) de un punto de la lattice original, por lo que es necesario realizar una interpolación a partir de los valores de los pixels vecinos. Cuando para un grupo de valores j y k se tenga que las uˆ y vˆ

Transformaciones

221

correspondientes exceden completamente los límites de la imagen original, entonces se asigna un valor cero al pixel de salida y se ajustan los valores de j y k para continuar con la siguiente línea o columna de la rejilla de referencia según se haya determinado en el proceso de remuestreo. Es claro que de esta manera los límites de la imagen de salida son en general no paralelos a los ejes del sistema de coordenadas de la rejilla de referencia; por este motivo es necesario rellenar con ceros hasta tener límites paralelos, operación que de todas maneras es necesaria, ya que computacionalmente es más fácil manejar archivos de forma asociada rectangular y así, visualmente, la imagen de salida resalta mejor en una pantalla de despliegue.

Figura IV.16. En una transformación geométrica un pixel de salida no necesariamente corresponde con uno de la lattice original. La construcción, en la rejilla ideal, de la imagen transformada, implica evaluar las coordenadas uˆ y vˆ del pixel que corresponde a un par (j,k) dado, sin embargo, las posiciones estimadas ( uˆ y vˆ ), a partir de la aproximación polinomial, no necesariamente coinciden con las posiciones de los pixels de la imagen original (figura IV.16). Debido a esto es necesario realizar una interpolación para calcular el valor del pixel de salida: aquel con coordenadas ( uˆ y vˆ ). La evaluación de este valor puede ser tan sencilla como asignarle el que tiene el pixel más cercano en la imagen original. Se puede también llevar a cabo una interpolación lineal a partir de los pixels más cercanos (conectividad 4 u 8) al pixel de salida, o bien lo que se conoce como convolución cúbica. Podemos decir ahora que una transformación geométrica se compone de dos operaciones básicas: a) una transformación espacial que define la reubicación de los pixels de la imagen original y b) una interpolación que involucra los valores de los pixels originales con el objeto de generar los valores de los pixels de salida a una rejilla discreta de la imagen resultante; la primera operación ha sido ya discutida en esta sección. En cuanto a la interpolación se puede escribir en general como sigue

222


g (i, j) 

 f (uˆ, vˆ)R ( j  uˆ, k  vˆ),(uˆ, vˆ)  V uˆ

uˆvˆ

(IV.197)

vˆ

donde R es la función de interpolación y Vuˆvˆ es una subregión finita de la imagen original, es decir para evaluar el valor de un pixel de salida, se toman únicamente los pixels de una vecindad finita que contenga al pixel de coordenadas ( uˆ , vˆ ). Los procesos de interpolación que merecen una discusión en detalle son los lineales y de convolución cúbica; el del más próximo vecino es tan sencillo que no requiere de explicación adicional, además de que en ciertas ocasiones introduce artefactos por lo que no es recomendable su empleo. En cuanto a la interpolación lineal, que en procesamiento de imágenes es más bien una interpolación bilineal, fijémonos (figura IV.17) en una vecindad de forma cuadrada alrededor del pixel cuya posición ( uˆ , vˆ ) ha sido estimada.

Figura IV.17. Interpolación bilineal para calcular el valor del pixel en la posición estimada (uˆ, vˆ) . Entonces a partir de los pixels más cercanos se obtienen los siguientes interpolantes (u,v) = uf(u + 1,v) + (1 - u)f(u,v) (IV.198) (u,v + 1) = uf(u + 1,v + 1) + (1 - u)f(u,v + 1) donde se ha supuesto que de pixel a pixel, en la imagen original, hay una distancia de uno; nótese además que las posiciones uˆ , vˆ se miden a partir de u, v y son respectivamente u y v. El paso final ahora es interpolar linealmente entre (u,v) y (u,v + 1) para obtener

Transformaciones

g(j,k) = (u,v) = (1 - v) (u,v) + v(u,v + 1)

223

(IV.199)

es decir, g(j,k) es el valor interpolado del pixel de salida cuya posición es (j,k) en la lattice ideal. En la convolución cúbica se emplea una vecindad mayor que en la interpolación lineal, en la que sólo se utilizan los cuatro pixels más próximos (conectividad-4). Consideremos ahora los 16 vecinos más cercanos a ( uˆ , vˆ ), entonces sobre las cuatro líneas (figura IV.18) de cuatro pixels que se encuentran en esta vecindad, se obtienen cuatro interpolantes empleando polinomios cúbicos, cuyo resultado son cuatro valores intermedios para las posiciones marcadas con x en la figura IV.18.

Figura IV.18. Interpolación por convolución cúbica, primero sobre las cuatro filas de pixels vecinos al estimado y después sobre la línea marcada con cruces. Sobre estas cuatro posiciones intermedias se aplica de nuevo una interpolación cúbica para obtener finalmente el valor del pixel correspondiente a la posición ( uˆ , vˆ ). El álgebra involucrada en estas interpolaciones es bastante elaborada (Kardoulas et al., 1996; Shi y Reichenbach, 2006) por lo que sólo se presentan los resultados aquí. El interpolante para la primera línea, suponiendo que el pixel de la izquierda superior (figura IV.18) es precisamente el f(u,v), está dado por (u,v) = u{u(u[f(u + 3,v) - f(u + 2,v) + f(u + 1,v) - f(u,v)] + [f(u + 2,v) -

224


f(u + 3,v) - 2f(u + 1,v) + 2f(u,v)]) + [f(u + 2,v) - f(u,v)]} + f(u + 1,v) (IV.200) Los otros tres interpolantes (u,v + 1), (u,v + 2) y  (u,v + 3) se obtienen directamente a partir de (IV.200) variando simplemente el índice v para las tres líneas respectivas, es decir hay que substituir en lugar de v los valores v + 1, v + 2, v + 3. Con estos interpolantes se produce finalmente el valor del pixel de salida correspondiente a la posición estimada ( uˆ , vˆ ) g(j,k) = (u,v’) = v{v(v[(u,v + 3) - (u,v + 2) + (u,v + 1) - (u,v)] + [(u,v + 2) - (u,v + 3) - 2(u,v + 1) + 2(u,v)]) + [(u,v + 2) - (u,v)]} + (u,v + 1)

(IV.201)

Tanto la interpolación bilineal como la convolución cúbica son, a fin de cuentas, promedios ponderados sobre una ventana finita; esto introduce un filtro de pasa bajas (apartado V.3.1) que puede degradar la imagen resultante haciéndola aparecer como en un efecto de fuera de foco y que le resta detalle. Es conveniente entonces aplicar una restauración (Lira y Oliver, 1983, véase también el capítulo VI) para recobrar la apariencia de nitidez de la imagen original. La aproximación polinomial introducida en esta sección incluye polinomios de orden dos únicamente, ya que la experiencia ha demostrado que este es un punto medio entre la precisión requerida y el costo computacional. Un polinomio de grado uno es en realidad una transformación lineal, insuficiente para introducir las modificaciones espaciales que generalmente requiere una transformación geométrica. Un polinomio de orden tres o más puede ser útil para tomar en cuenta modificaciones menores, como las pequeñas desviaciones a la geometría ideal del sensor con respecto a la escena. Se debe tener un buen cuidado sin embargo, pues si no se introducen suficientes puntos de control, un polinomio de orden tres o mayor generalmente introduce inestabilidades en el proceso de transformación geométrica que necesariamente acarrean deformaciones indeseables en la imagen de salida. Con el objeto de ver con mayor detalle estos aspectos acerca de la transformación polinomial, escribamos nuevamente las ecuaciones (IV.191)

Tu = uˆ  a 0  a 1 j  a 2 k  a 3 j2  a 4 jk  a 5 k 2 Tv = vˆ  b 0  b1 j  b 2 k  b 3 j2  b 4 jk  b 5 k 2 Desde el punto de vista físico, el primer par de elementos de la derecha, es decir (a0,b0), representa un desplazamiento de la imagen transformada con respecto a la original, los términos segundo y tercero indican cambios de escala, los términos tercero, cuarto y quinto son rotación y redistribución espacial de la imagen transformada con relación a la original. Esto es como si la imagen estuviese impresa en una tela de hule y la estirásemos o la comprimiésemos hasta lograr la representación deseada. Si se introducen en el polinomio factores de orden tres, entonces se estarán tomando en cuenta redistribuciones espaciales con más detalle para efectos menores de la geometría

Transformaciones

225

involucrada en la producción de la imagen. En resumidas cuentas, desplazamiento, cambio de escala, rotación y redistribución espacial de los pixels de la imagen, son los factores necesarios en cualquier transformación geométrica. En el caso de imágenes de satélite (Landsat o de radar), cuando los puntos de control se obtienen de un mapa para una proyección cartográfica dada, la transformación geométrica toma el nombre particular de geocodificación, de tal manera que cada pixel de la imagen se expresa en términos de coordenadas geográficas. Si se tiene una distribución bidimensional de datos, obtenidos por un sensor cualquiera, y se relacionan a un mapa cualquiera por el método discutido aquí, entonces el proceso se conoce como georreferenciación; así, un levantamiento gravimétrico o magnetométrico puede adquirir validez cartográfica, lo que es muy útil para integrar datos geofísicos e imágenes de satélite a un sistema de información geográfica. El término registración se utiliza cuando dos imágenes de la misma escena, pero adquiridas en condiciones diferentes, se relacionan al mismo sistema de coordenadas. En la registración, las imágenes sujetas a transformación pueden geocodificarse todas a un mismo mapa con los mismos puntos de control, o bien se derivan puntos de control a partir de una de ellas y se transforman el resto de las imágenes con base en estos puntos. La registración permite, por tanto, la comparación directa de imágenes de la misma escena que hayan sido generadas bajo diferentes condiciones de vista de ésta.

IV.11 Transformaciones Quasi-lineales Se han discutido hasta ahora una serie de transformaciones reversibles con diversos grados de simetría, teniendo las unitarias el mayor grado, hasta las de menor grado como las modificaciones trigonométricas al histograma. Algunas de las transformaciones requieren parámetros de entrada, otras no, pero todas con el objetivo común de mejorar la apariencia general de la imagen y sin discriminar a priori un cierto contenido de patrones. Esto es así aun en el caso de los operadores diferenciales, en donde los patrones espaciales de alta frecuencia son enfatizados en mayor medida que los demás. El mejoramiento de una imagen está siempre enmarcado en el contexto de un problema y tiene que ver directamente con juicios subjetivos de valor y calidad que el investigador asigne a su imagen transformada. La gran mayoría de las transformaciones estudiadas son lineales lo que implica que son reversibles; las operaciones trigonométricas son no lineales, aunque por su naturaleza son también reversibles. No existe un formalismo general para transformaciones no lineales como lo hay para las que sí lo son; no obstante, en ciertas ocasiones algunos problemas no lineales pueden cuasi linealizarse. En el análisis de imágenes podemos encontrar una clase de problemas no lineales que representan situaciones experimentales de una importancia que vale la pena considerar atentamente. Dos enfoques a esto son posibles: uno es la extensión de lo que se conoce como linealidad y el otro es la expansión en series de operadores lineales de lo que originalmente es una transformación no lineal. Los términos linealidad y superposición se aplican comúnmente sólo a sistemas lineales aditivos; sin embargo, estos conceptos pueden tener una connotación más amplia. Algunos autores (Ahmed, 1999) introdujeron el concepto de superposición generalizada, como una manera de extender la noción de linealidad aditiva a clases más generales de sistemas de los que hasta ahora se han estudiado. Para introducir esta

226


generalización, tomemos dos imágenes f1 y f2, combinadas de acuerdo con un operador o que por el momento se pensará como indefinido, esta combinación se supone que produce una imagen de salida g g(x,y) = f1(x,y) o f2(x,y),  (x,y)

(IV.202)

Por lo que, O[·] es una operación lineal general si posee las siguientes propiedades

O{f1(x,y) o f2(x,y)} = O{f1(x,y)} o O{f2(x,y)},  (x,y)

(IV.203)

O{k: f(x,y)} = K: O{f(x,y)},  (x,y)

(IV.204)

y

donde f es una imagen cualquiera, K es una constante y los dos puntos denotan una operación de producto. Es decir que la operación O[·] linealiza la combinación entre las dos imágenes f1 y f2. Es claro que esta operación debe de estar diseñada de tal manera que produzca el resultado de las dos últimas relaciones. También ha sido demostrado (Ahmed, 1999) que si el operador O representa adición en un espacio vectorial y si los dos puntos denotan multiplicación escalar, entonces el operador O[·] puede ser descompuesto en una cascada de operaciones que colectivamente son llamadas filtro homomórfico. En este caso las ecuaciones (IV.203) y (IV.204) asumen la siguiente forma

O{f1(x,y) o f2(x,y)} = O{f1(x,y)} + O{f2(x,y)},  (x,y)

(IV.205)

O{k: f(x,y)} = K: O{f(x,y)},  (x,y)

(IV.206)

y

De la ecuación (IV.205) se aprecia que en la primera etapa de dicha cascada el operador O es convertido en adición algebraica. En la segunda etapa se tiene que el sistema original f1 o f2 ha sido transformado en un sistema lineal aditivo ordinario. En la tercera y última etapa de la cascada se aplica el inverso de O para obtener

O-1{O[g(x,y)]} = g(x,y),  (x,y)

(IV.207)

Claramente debe suponerse que existe el inverso de O y que O-1O = I, donde I es la operación identidad. Ahora bien, un sistema generalizado se representa de manera esquemática como sigue fe(x,y)  O[]  fs(x,y) donde fe representa la imagen o las imágenes de entrada al sistema, que después de ser transformadas producen la imagen o las imágenes de salida fs. El filtro homomórfico de dicho sistema generalizado también se visualiza en forma de diagrama de bloques fe(x,y)  O[]  sistema lineal aditivo  O-1[]  fs(x,y)

Transformaciones

227

El filtro homomórfico convierte entonces al sistema generalizado en uno lineal aditivo. En esta etapa se realizan las operaciones sobre las imágenes involucradas de acuerdo con el formalismo desarrollado en el presente trabajo y posteriormente se regresa a la representación generalizada por medio del inverso O-1, para finalmente obtener las imágenes de salida. El filtro homomórfico es por tanto una herramienta para enviar un sistema generalizado a un espacio donde se puede aplicar la teoría general establecida para sistemas lineales aditivos. Por esto, un filtro homomórfico linealiza todos aquellos sistemas que en realidad son cuasi lineales. Es claro que no siempre es posible esta linealización, ya que no siempre es factible encontrar a O para que realice esta tarea, o bien el inverso respectivo no existe, a menos que se trabaje con un pseudoinverso de O (Pratt, 2001). Uno de los ejemplos más típicos y más socorridos del filtraje homomórfico es aquel que se aplica a los sistemas multiplicativos. Supongamos entonces que la imagen g(x,y) es generada por la multiplicación escalar (pixel a pixel) de las imágenes de entrada f1(x,y) y f2(x,y), por lo que se tiene g(x,y) = f1(x,y) o f2(x,y) = f1(x,y)f2(x,y),  (x,y)

(IV.208)

En este caso particular es fácil ver que si tomamos O[·] = log[·] resulta en la aplicación del logaritmo a ambos lados de esta ecuación, por lo que se produce un sistema lineal aditivo log[g(x,y)] = log[f1(x,y)] + log[f2(x,y)],  (x,y)

(IV.209)

Es decir, en esta etapa los logaritmos de las imágenes de entrada son combinados aditivamente y cualquier operación al sistema debe hacerse sobre esta base. Después de haber ejecutado cualquier operación lineal sobre estos campos (imágenes), se requiere de una exponenciación para regresar la salida correspondiente al espacio de la imagen original g(x,y). En un diagrama de bloques, estos aspectos se representan como sigue fe(x,y)  log[]  sistema lineal aditivo  exp[]  fs(x,y) donde en este caso, fe es la forma esquemática de las imágenes de entrada, y la imagen de salida fs es la que resulte de todo el proceso que se aplique al sistema lineal aditivo. En cuanto a la operación del producto escalar para sistemas multiplicativos, se tiene g(x,y) = K: f(x,y) = [f(x,y)]K,  (x,y)

(IV.210)

donde f es una imagen de entrada cualquiera y K una constante real. Al aplicar el logaritmo a ambos lados de (IV.210) se llega a log[g(x,y)] = Klog[f(x,y)],  (x,y)

(IV.211)

La aplicación del filtraje homomórfico a sistemas multiplicativos es de particular importancia en las técnicas de restauración espacial de imágenes. Este tipo de restauración ha tenido gran éxito para corregir imágenes que han sido adquiridas en condiciones de iluminación dispareja (la Brecque, 1988); los detalles de esto se verán en

228


el capítulo VI, sobre restauración de imágenes, y se discutirán con amplitud dada la importancia que tienen en la comprensión de los mecanismos de la psicovisión humana. Desde el punto de vista físico, un sistema lineal se caracteriza con base en un operador que representa la respuesta del sistema a la función de impulso, de tal manera que la imagen de salida es la superposición de los impulsos de entrada que pasan a través del sistema, el cual les asigna un factor de peso que es independiente del objeto. En otras palabras, si un impulso o fuente puntual de luz (de intensidad normalizada) es colocado (figuras IV.19 y IV.20) en el plano - en la posición (0,0), entonces podemos esperar que el plano imagen x-y responda con una función g(x,y) igual a h(x,y;0,0). Nótese que g(x,y) no es ya una función puntual, sino que en principio cubre todo el dominio de la imagen, en todo caso teniendo un máximo para un cierto punto (x0,y0). Si la fuente puntual de luz es ponderada por el valor de la imagen de entrada en (0,0), se espera entonces que la salida se comporte de la siguiente manera f(0,0)h(x,y; 0,0) Por lo que en el límite de un número infinito de fuentes puntuales iluminando la escena (o imagen de entrada), se tiene  

g( x , y ) 

  f (, )h( x, y; , )dd

 

que es la relación (III.47) del capítulo anterior, cuya versión digital es la ecuación (III.51) y retomada aquí a partir de consideraciones puramente físicas. Esto se hace aquí para complementar la idea que se tiene de un sistema lineal de transformación de imágenes.

Figura IV.19. Modelo de formación de imagen de una radiografía o de una neutrografía. Veamos ahora la idea física de no linealidad: la función de respuesta al impulso o

Transformaciones

229

función de transferencia depende de la imagen de entrada, de tal manera que, análogamente al caso lineal, supongamos que se coloca en el plano - de la imagen de entrada, en el punto (0,0) una fuente puntual de luz, por lo que se espera que en el plano x-y de la salida se tenga una respuesta cuya magnitud es h[x,y,0,0;f(0,0)] donde f(,) es la imagen de entrada. Ahora bien, si esta respuesta es ponderada por el valor de ésta en (0,0), entonces puede esperarse que la salida en el plano imagen sea como sigue f(0,0)h[x,y,0,0;f(0,0)]

Figura IV.20. Modelo de formación de imagen a través de la atmósfera y empleando un sensor satelitario. Se aprecia, de esto último, que en el plano imagen se tiene toda una distribución de intensidades caracterizada básicamente por la función h; como el sistema es no lineal,

230


esta distribución cambia para cada fuente puntual de luz, a diferencia del caso lineal en donde la distribución es la misma modificando solamente su valor máximo al ser ponderada por la imagen de entrada en cada punto de ésta. En otras palabras, en el caso no lineal la función de respuesta h está ya de por sí modulada por la entrada. Imaginemos ahora que recorremos la fuente puntual de intensidad normalizada sobre el plano x-y a manera de exploración por la imagen de entrada, de aquí que la salida sea simplemente la superposición de todas las distribuciones individuales de cada punto explorado por la fuente de luz, lo que resulta entonces en la formación de la imagen de salida de acuerdo con la siguiente ecuación  

g( x , y ) 

  f (, )h[ x, y, , ; f (, )]dd

 

que es finalmente la ecuación (III.48) y cuya versión digital es la ecuación (V.92). De nueva cuenta y de manera similar al caso lineal, esto complementa físicamente la idea que se tenía hasta ahora de sistemas no lineales. En muchos sistemas de formación de imágenes en donde el espesor de la escena es de interés, se tienen funciones de transferencia que dependen de ésta, siendo este el caso para radiografías y neutrografías. En otras situaciones experimentales puede ocurrir que haya otros objetos diferentes a la escena, con espesores y densidades variables interaccionando con ésta y que produzcan también funciones de transferencia nolineales. Un ejemplo de esto último es la interferencia atmosférica en la captura de imágenes de satélite. A veces a primera vista, algunos de estos sistemas pueden aparecer como lineales cuando en realidad no lo son, estableciéndose estrictamente como sistemas descritos por la ecuación de arriba; aunque si bien pueden no apartarse mucho de un comportamiento lineal. En otras palabras, en estos sistemas el fenómeno portador de información (ondas electromagnéticas, acústicas o haces corpusculares) pasa a través del objeto (escena) de interés, o bien cuando el fenómeno de transporte atraviesa un medio de interferencia una vez habiendo interaccionado con el objeto (véase apartado IV.5.6). Ejemplos de éstos son los mecanismos de formación de radiografías y la captura de imágenes a través de la atmósfera (figuras IV.18 y IV.19). En el caso de radiografías biomédicas, la dependencia de la función de transferencia con respecto a la escena es de bajo orden, ya que la energía de los rayos X empleados es de baja intensidad; en otras palabras, este sistema es no lineal, pero sin apartarse mucho de la linealidad. En sistemas de rayos X de alta energía como los empleados en la industria, donde los objetos de interés son mucho más densos que en biomedicina, el fenómeno de dispersión de Mie (Zdunkowski et al., 2007) puede ser de primer orden. En imágenes obtenidas por satélites orbitales, la dependencia de la función de transferencia con respecto a la escena puede ser de primer o segundo orden (Lira y Oliver, 1983) dependiendo de la longitud de onda de la radiación electromagnética, de la distribución de diámetros de las componentes atmosféricas y de las partículas en semi-suspensión (contaminantes) que se encuentren en la atmósfera al momento de la captura de la imagen. Un posible camino de solución para sistema no lineales de segundo orden, es decir que no se aparten demasiado de la linealidad, es el de expander en series de Taylor la función de transferencia alrededor de f(,) = a, donde a es un parámetro deducible

Transformaciones

231

del sistema físico particular que se está estudiando, por tanto 

h[ x, y , , ; f ( , )] 



f (, )  a

n

 n f (, )

n!

n 0

 n h[ x, y, , ; f (, )]

(IV.212) f ( ,) a

Como un ejemplo de este proceso de cuasi linealización, supóngase que la función de transferencia puede ser modelada como circularmente simétrica (gaussiana) con una varianza proporcional a f 2(,), es decir h[ x, y , , ; f ( , )] 

 (  x ) 2  (   y ) 2  1 exp  2f (, ) f 2 ( , )  

(IV.213)

En función del problema particular, otros modelos para la función de transferencia pueden ser escogidos. Entonces la primera derivada para h es   (  x ) 2  (   y ) 2   h 1 2 2 2 x y  2 [(   )  (   ) ]  f (  ,  ) exp    (IV.214)  f 2f 4 ( , )  f 2 ( , )    Por lo que si se utilizan los dos primeros términos de la expansión de Taylor, se genera la siguiente expresión aproximada para la función de transferencia h[ x, y, , ; f (, )] 

1 a

4

a

3

 a[(  x) 2  (  y ) 2 ] 

  (   x ) 2  (  y ) 2  a 2   f (, ) (  x) 2  (  y ) 2     exp  2   f 2 (, )   

(IV.215)

Esta última expresión consiste por tanto de un término constante y uno lineal en f, suponiendo varianza constante y proporcional a f 2. También depende del parámetro a que debe ser encontrado de las condiciones experimentales y por medio del modelado de la interacción del fenómeno portador de información con el medio degradante: la escena o un medio de interferencia (figuras IV.18 y IV.19). A medida que se agregan más términos a la relación (IV.214), se entiende que la función de transferencia se aparta más de la linealidad. Al proceso arriba descrito se le conoce como cuasi linealización.

IV.12 Ejercicios 1. A partir de la ecuación (IV.18) demuestre la expresión (IV.21). 2. Emplee la figura I.4 y defina una clase espectral y una espacial.

232


3. Emplee la figura I.4 y defina una segmentación con base en criterios espaciales, espectrales y contextuales. 4. En las ecuaciones (IV.22) y (IV.23) encuentre las constantes involucradas en función de los intervalos [u,w] y [vi,vf]. Maneje la constante a como un parámetro y explique su comportamiento en cuanto al realce de contraste introducido en la imagen. 5. En las ecuaciones (IV.24) a (IV.26) encuentre las constantes involucradas en función de los intervalos [u,w] y [vi,vf]. Maneje la constante b como un parámetro y explique su comportamiento en cuanto al realce de contraste introducido en la imagen. 6. Demuestre la relación general de elongación al histograma cuando s(ao) es una función monotónica de los valores originales o. 7. Suponga que en lugar del modelo multiplicativo de iluminación dado por la ecuación (IV.27) se tiene una convolución entre i(x,y) y f(x,y). Utilice el teorema de la convolución para hacer una corrección por iluminación siguiendo los lineamientos planteados en las ecuaciones (IV.28) y (IV.29). 8. En la figura IV.5 se muestra la normalización al histograma empleando la versión digital de la ecuación (IV.37), explique porqué el histograma resultante no es completamente uniforme. 9. Obtenga la forma matemática de la transformación inversa a la normalización del histograma. 10. Emplee la banda 1 de la figura I.4, calcule su histograma y utilizando la ecuación k

(IV.37) obtenga una tabla con las siguientes columnas: h(k),

 h (n ) ,

T(k) y

n  vi

obtenga la imagen resultante con el histograma normalizado. 11. Siga los lineamientos expresados en las ecuaciones (IV.38) y (IV.39) para la normalización al histograma y haga en detalle el algoritmo correspondiente. 12. Demuestre la relación (IV.47). 13. En el desarrollo de las ecuaciones (IV.50) a (IV.53) se demostró que las primeras derivadas parciales de la imagen g no son invariantes frente a rotaciones. Pruebe que la combinación de estas derivadas parciales en el operador gradiente sí es invariante frente a rotaciones. 14. A partir del ajuste por mínimos cuadrados de una superficie z = ax2 + by2 +cx +dy + e a los valores de los pixels en una ventana de 3  3, encuentre las expresiones (IV.72), (IV.73) y (IV.74). 15. Demuestre que los kernels de la transformación directa e inversa de la transformada de Fourier cumplen con las condiciones de ortonormalidad descritas en las ecuaciones (IV.7). 16. A partir de la definición de la transformada de Fourier demuestre el teorema de shifting (de traslación). 17. A partir de la definición de transformada de Fourier demuestre el teorema de la convolución circular. 18. Pruebe las propiedades de periodicidad y conjugado complejo de la transformada de Fourier. 19. Pruebe las propiedades de distributividad y escalamiento de la transformada de Fourier. 20. Demuestre las propiedades de la transformada de Radón listadas en el cuadro IV.1.

Transformaciones

233

21. Siguiendo los lineamientos del ejemplo numérico de la descomposición en componentes principales, aplique un análisis canónico a los dos cúmulos definidos en el ejemplo de la figura VII.33. 22. ¿Que relación matemática tiene la descomposición en componentes principales con el análisis canónico?. 23. Debido a que la matriz K pf es simétrica, demuestre que, ( K pf )-1 K pf   y

debido a que la matriz K ef es simétrica también encuentre la expresión [( K pf )-1 K ef  I ]D  0 a partir de la ecuación (IV.167).

24. ¿Que relación tiene la transformación Kauth-Thomas con el análisis canónico?. 25. Emplee la expresión (IV.181) y formalice matemáticamente la descripción cualitativa hecha para la transformación Kauth y Thomas. 26. Determine las condiciones que deben cumplir los vectores ps, ph y pv y pa para que los vectores bˆ y vˆ sean ortonormales (véase sección IV.8). 27. Encuentre las ecuaciones (IV.163) y (IV.165). 28. Empleando un ajuste por mínimos cuadrados en la ventana de 4  4 mostrada en la figura IV.18, encuentre el interpolante dado por la ecuación (IV.199) y la expresión del valor final del pixel de la ecuación (IV.200).

234


LAMINAS

Lámina 1. Banda 1 de una imagen Aster de parte de la Ciudad de México.


Láminas

235


Lámina 4. Banda 1 de una imagen Ikonos de parte de la Ciudad de México.

236




Láminas

237

Lámina 7. Composición falso color de las tres primeras bandas de la imagen Aster.

Lámina 8. Efecto de digitizar a un número cada vez menor de pixels.

238


Lámina 9. Efecto de cuantizar a un número cada vez menor de niveles de gris.

Lámina 10. Imagen de radar Seasat cubriendo una zona del norte de México.

Láminas

239

Lámina 11. Elongación Arco Tangente aplicada al histograma de una imagen de radar Seasat.

Lámina 12. Normalización al histograma de una imagen de radar Seasat.

240


Lámina 13. Laplaciano aplicado a una imagen de la Ciudad de México.

Lámina 14. Gradiente de Prewitt aplicado a una imagen de la Ciudad de México.

Láminas

Lámina 15. Gradiente aplicado a una imagen de la Ciudad de México.

Lámina 16. Operador de Kirsch aplicado a una imagen de la Ciudad de México.

241

242


Lámina 17. Gradiente vectorial de una imagen Aster de la Ciudad de México.

Lámina 18. Laplaciano vectorial de una imagen Aster de la Ciudad de México.

Láminas

243

Lámina 19. Espectro de Fourier aplicado a una imagen de radar Seasat.

Lámina 20. Drenaje: Dendrítico (a), Trellis (b), Radial (c) y Rectangular (d).

244


Lámina 21. Espetro de Fourier de los drenajes: Dendrítico (a), Trellis (b), Radial (c) y Rectangular (d).

Lámina 22. Primera componente principal de la imagen Aster.

Láminas

Lámina 23. Segunda componente principal de la imagen Aster.

Lámina 24. Tercera componente principal de la imagen Aster.

245

246


Lámina 25. Primera componente principal de la imagen Ikonos.

Lámina 26. Segunda componente principal de la imagen Ikonos.

Láminas

Lámina 27. Tercera componente principal de la imagen Ikonos.

Lámina 28. Composición falso color de las tres primeras componentes principales de la imagen Aster.

247

248


Lámina 29. Primera componente principal de una imagen Ikonos del noreste de la Ciudad de México donde se aprecia un cuerpo de agua rectangular.

Lámina 30. Variante de la descomposición en componentes principales aplicada al cuerpo de agua; el realce del patrón de sedimentos es evidente.

Láminas

Lámina 31. Indice NDVI de la Ciudad de México.

Lámina 32. Indice TSAVI de una zona del norte de México.

249

250


Lámina 33. Indice NDWI del área de los pantanos de Centla.

Lámina 34. Banda brillantez de la transformación Kauth – Thomas.

Láminas

Lámina 35. Banda verdor de la transformación Kauth – Thomas.

Lámina 36. Banda humedad de la transformación Kauth – Thomas.

251

252


Lámina 37. Composición falso color de las bandas brillantez, verdor y humedad de la transformación Kauth – Thomas.

Lámina 38. Filtro ideal pasa bajas aplicado a una imagen de radar Seasat.

Láminas

253

Lámina 39. Filtro de Butterworth pasa bajas aplicado a una imagen de radar Seasat.

Lámina 40. Filtro exponencial pasa altas aplicado a una imagen de radar Seasat.

254


Lámina 41. Filtro de mediana aplicado a una imagen de radar Seasat.

Lámina 42. Filtro de k-próximos vecinos aplicado a una imagen de radar Seasat.

Láminas

255

Lámina 43. Filtro sigma aplicado a una imagen de radar Seasat.

Lámina 44. Filtro de Lee multiplicativo aplicado a una imagen de radar Seasat.

256


Lámina 45. Filtro geométrico aplicado a una imagen de radar Seasat.

Lámina 46. Imagen del aeropuerto de la Ciudad de México (a), borrosidad por medio de una gaussiana (b) y restauración por el filtro de máxima entropía (c).

Láminas

257

Lámina 47. Imagen de la lámina 12 degradada por la convolución de una gaussiana.

Lámina 48. Restauración de la lámina 47 por medio del filtro de Wiener.

258


Lámina 49. Movimiento sensor-escena.

Lámina 50. Restauración por dispersión atmosférica aplicada a la banda 1 de una imagen de la Ciudad de México.

Láminas

259

Lámina 51. Banda 4 de una imagen Landsat TM cubriendo el Lago de Chapala.

Lámina 52. Bitmap del Lago de Chapala.

260


Lámina 53. Mapa temático de texturas obtenido por medio de la matriz de coocurrencia y un análisis de cúmulos aplicados a una imagen de radar Seasat.

(a)

Láminas

261

(b) Lámina 54. Composición falso color de la tres primeras bandas de una imagen Terra/Aster de la Ciudad de México (a), Mapa de texturas de la Ciudad de México obtenido por medio del operador de divergencia (b).

Lámina 55. Segmentación espectral de una imagen Aster generada por medio del algoritmo ISODATA.

262


Lámina 56. Segmentación espectral de una imagen Aster generada por medio del algoritmo de lógica borrosa.

Lámina 57. Campos de entrenamiento en una imagen Aster generados por medio de crecimiento de regiones.

Láminas

(a)

(b)

(c)

Lámina 58. Clasificación contextual con bajo nivel de ruido.

(a)

(b)

(c)

Lámina 59. Clasificación contextual con alto nivel de ruido.

Lámina 60. Clasificación contextual de una imagen Spot.

263

264


Lámina 61. Sombras y escorzo en una imagen radar en pendientes escarpadas del terreno.

Lámina 62. Imágenes radar con 1 look (a), 2 looks (b), 4 looks (c) y 8 looks (d).

Láminas

265

Lámina 63. Técnica multi-look de imágenes de, Abril de 2004 (a), Noviembre de 2004 (b) y Diciembre de 2004 (c); el promedio se muestra en (d).

Lámina 64. Composición falso color de tres imágenes de la misma escena adquiridas en tiempos diferentes: [R,G,B] = [Abril 19, Noviembre 21, Diciembre 15] del año 2003.

266


Lámina 65. Imagen de radar aerotransportado filtrada con el filtro geométrico aplicando una iteración (a), filtrada con el filtro de Lee multiplicativo (b), filtrada con el filtro de Frost (c) y filtrada con el filtro Gamma (d).

Lámina 66. Diferencia entre la imagen original y, el filtro geométrico (a), el filtro de Lee multiplicativo (b), el filtro de Frost (c) y el filtro Gamma (d).

Láminas

267

Lámina 67. Interferograma (a), fase (b), coherencia (c) y combinación falso color: [H,I,S] = [fase, interferograma, coherencia] (d).

Lámina 68. Mapa de texturas a partir del descriptor entropía de la matriz de coocurrencia.

268


Lámina 69. Falso color de la combinación [HIS] = [CP1,CP2,Textura] de una zona del norte de México.

Lámina 70. Sinergismo de una imagen óptica y una de radar mostrando la red de drenaje cubierta por la arena en el desierto del Sahara.

Láminas

269

Lámina 71. Segmentación de un derrame de hidrocarburos en el mar.

Lámina 72. Magnitud del interferograma del monte Etna (a), la fase enrollada (b), la fase desenrollada (c) y el modelo digital de elevaciones (d).

270


Lámina 73. Perspectiva del modelo digital de elevaciones del monte Etna.

Lámina 74. Modelo digital de elevaciones de la península de Yucatán.

Láminas

271

Lámina 75. Compuesto falso color del par interferométrico del monte Pinatubo de acuerdo con: [R,G,B] = [Banda L-HH, Banda L-HV, Banda C-HV].

Lámina 76. Perspectiva del volcán Pinatubo, en tonos claros se resalta el efecto de los lahares en la topografía del lugar.

272


Lámina 77. Radar polarimétrico para la segmentación de vegetación.

Filtros

273

V. FILTROS La selección de uno o varios patrones espaciales en función de ciertas de sus propiedades morfológicas en una imagen digital, da como resultado un proceso que se conoce como filtro.La elección discriminante de estos patrones conduce a una segmentación de la imagen que facilita la medida en detalle de sus manifestaciones espaciales asociadas. En un filtro siempre se suprimen o atenúan aquellos patrones que no son de interés o valor para el investigador.

V.1 Aspectos Generales Un realce selectivo siempre trae consigo la supresión de una o varias clases de patrones de la imagen digital, ya que el propósito fundamental es el de aislar aquellos rasgos de la imagen que merecen evaluación de acuerdo con un criterio preestablecido; una vez realizado este aislamiento se procede entonces con una tarea de reconocimiento de patrones. En esta situación, aun cuando estrictamente siempre se pierde información de la imagen original, el resultado es una imagen que contiene aislados, en principio, los patrones de interés, por lo que éstos pueden ser evaluados sin la intervención del resto. Esta facilidad para realizar un análisis detallado es lo que fundamenta el hecho de asignar un valor mayor a la imagen filtrada que a la original; esto es válido únicamente en el contexto de un problema dado. La imagen filtrada tiene menos información que la original, a partir de aquella exclusivamente es imposible recuperar ésta. De esta manera la imagen filtrada tiene un mayor valor porque es más útil para un propósito específico de medida sobre los patrones seleccionados. No debemos confundir ciertos tipos de degradación con filtrajes: en ciertos casos de filtraje moderado la imagen resultante puede aparecer como degradada y como tal puede ser restaurada; el resultado es una imagen que parece de buena calidad, pero que no tiene el espectro de frecuencias completo de la imagen original. Por ejemplo, la captura de una escena con una cámara fotográfica con un desenfoque moderado, es un caso de degradación donde la imagen parece como filtrada por un filtro pasa bajas. Otros casos de degradación que se ven aproximadamente como filtrados por un filtro pasa bajas, son aquellos relacionados con imágenes de satélite debido al efecto de dispersión atmosférica y también cuando existe un movimiento relativo del sensor con la escena el cual es factible de interpretar a través de un filtro pasa bajas unidireccional. ¿Cuál es entonces, físicamente, la diferencia entre degradación y filtraje pasa bajas? En ambos casos se pierde información; en la degradación se sabe (a través de un modelo) físicamente cómo y porqué, en el filtraje sólo se conoce el contenido de frecuencias eliminado. En el filtraje, aunque se sepa qué frecuencias fueron eliminadas, no se puede recuperar la información respectiva porque no se tiene un modelo de la imagen para agregar de nuevo estas frecuencias, mientras que en el caso de la degradación se tiene un modelo (o se supone que se tiene) de cómo ciertas frecuencias fueron moduladas a otro ancho de banda; esta diferencia se esquematiza en una dimensión en la figura V.1. Existen casos más complejos de degradación que el ejemplificado en esta figura, en donde puede haber modulación de la amplitud y la frecuencia al mismo tiempo; es el

274


modelo de esta modulación lo que permite recuperar en principio la imagen original.

Figura V.1. Perfil del reglón 260 de: imagen Seasat original (a), filtro geométrico (b) e imagen degradada (c).

Filtros

275

Como se aprecia en la figura V.1, en el filtraje, ciertos detalles de la señal original han sido simplemente eliminados. En la degradación, como una consecuencia de lo arriba expuesto, se produce una redistribución espacial de valores de los pixels, es decir, las medidas en cada lugar de la escena no son lo que deberían de ser y por esto hay pérdida de información. Por otro lado, aun cuando no se va a tratar en detalle aquí, es posible afirmar que ciertas transformaciones morfológicas (Ríos, 1989; Serra, 1982; Lira et al., 1984; véase además el capítulo VII) se comportan como un filtro también. Imágenes con ruido aditivo o multiplicativo o alguna clase de señal de interferencia son ejemplos de degradación en donde la amplitud (figura V.1) de la señal de la imagen ha sido modulada selectiva o estocásticamente; la verdadera señal de la imagen o la verdadera información ha sido oscurecida en consecuencia en aquellos lugares donde aparece el ruido. Aquí es importante recordar el valor que asignamos a una información determinada, es decir, en el caso de ruido, los valores de radiancia provenientes de la escena han sido distorsionados (u oscurecidos) y físicamente se tiene menos información, por lo que asignamos también menos valor a una imagen en estas condiciones. Desde el punto de vista de la teoría de la información, una imagen con ruido tendría más información que una que no lo tiene ya que se requerirían mas bits para codificarla; sin embargo, el enfoque aquí es netamente físico y de acuerdo con el contexto arriba indicado. En cambio, físicamente, en un filtro ciertas medidas hechas sobre la escena se eliminan de la imagen original. En todo caso las degradaciones se estudiarán con detalle en el próximo capítulo. El filtraje de una imagen digital ha encontrado muchas aplicaciones en diferentes disciplinas de la investigación experimental, donde se emplean datos bidimensionales para extraer información acerca del comportamiento de un sistema físico. Se han estudiado hasta ahora muchos tipos de filtros que operan, ya sea en el dominio de la imagen o en el de frecuencias y que son empleados en varias áreas del análisis de imágenes tales como: remoción de ruido, desarrollo de técnicas de suavizamiento, restauración de imágenes degradadas por un medio de interferencia, supresión de patrones selectos y, en general, eliminación de cierto contenido de frecuencias en la imagen, todo esto con el propósito del realce selectivo de una o varias clases de patrones espaciales. El filtraje de imágenes multiespectrales de satélite es empleado en la evaluación de rasgos morfológicos en conexión con modelaje tectónico y la exploración de recursos naturales. El filtraje de imágenes de satélite ha llegado a ser una verdadera herramienta para los geólogos y los geofísicos que trabajan en proyectos de extensión regional y aun continental. En el caso de la percepción remota, el filtraje se aplica banda por banda o después de un realce general de los datos multiespectrales originales. Los realces generales más utilizados son aquellos que se obtienen a partir de transformaciones lineales como la descomposición en componentes principales o la transformación Kauth y Thomas. Los filtros espaciales y los filtros de correlación espacial tienen aplicación en la exploración de los recursos naturales con técnicas de percepción remota en muchos aspectos del modelaje del medio ambiente: para la obtención del patrón de textura de la red de drenaje, para la determinación de lineamientos aun de extensión continental, para el realce de trazas de contaminantes en cuerpos de agua, para la evaluación de patrones de corrientes en zonas costeras, para poner en evidencia anomalías geomorfológicas incluyendo las gravimétricas y magnéticas, para establecer la red de comunicaciones y la densidad de edificios en un desarrollo urbano y para la evaluación del patrón de distribución de una variedad de cultivos (Benediktsson et al., 2003; Galvao et al., 1995).

276


Existen otras muchas aplicaciones de los filtrajes en la ciencia y en la tecnología; por ejemplo, en medicina, para diferenciar tejidos en una radiografía; en física, para realzar el patrón de la lattice de átomos en una imagen de microscopio electrónico; en astronomía, para visualizar la estructura de una galaxia vista por medio de un telescopio; en la industria, para resaltar las fisuras de una cierta estructura metálica a partir de una neutrografía, y en Ingeniería para delimitar la porosidad de un material en una imagen de microscopio electrónico. Por definición, el filtraje de una imagen es la única transformación donde en diversos niveles se pierde información. Debido a la interdependencia de los valores de los procesos que generan cada pixel de la imagen digital, el filtraje ideal no puede ser alcanzado nunca, y además de esto la complejidad matemática con relación a la eficiencia computacional hace imperativo, en una variedad de casos, el buscar operaciones de filtraje más bien simples y de rápida ejecución. Esto combinado con el hecho de que en general una imagen digital multiespectral no satisface la propiedad de estacionalidad espacial (Barringer y Robinson, 1981; Ramstein y Raffy, 1989), ni tampoco se modela en general como un campo aleatorio homogéneo, de tal forma que no existe un filtro que suprima exactamente una clase dada de patrones. En lugar de buscar una situación ideal de filtraje, muchos autores (Huang, 1981; Lu, 1992) han desarrollado simplificaciones y aproximaciones para filtrar una imagen tanto en el dominio de frecuencias como en el de la imagen misma; el objetivo de esto es la supresión eficiente de una clase de patrones. Además de esto, no hay y tal vez no puede haber una conceptualización que proporcione una formulación general para obtener un conjunto de criterios que permitan la definición de una función de transferencia junto con los parámetros relacionados cuando se presenta un problema de filtrado.

V.2 Filtros en el Dominio de Frecuencias El filtraje a una imagen digital es aplicable ya sea en el dominio de ésta o en el dominio de las frecuencias por medio de la transformada de Fourier; para que esto último sea posible se requiere que el filtro en cuestión pertenezca a un sistema lineal invariante frente a traslaciones. Para esto nos basaremos en el formalismo desarrollado en el capítulo III, en especial la sección III.4 de éste. Supongamos entonces que tenemos un sistema lineal invariante frente a traslaciones y frente al tiempo, el cual en su forma más general se describe por la siguiente ecuación

 b( n , n 1

n1

2 )y( m 1

 n1 , m 2  n 2 ) 

n2

 a ( n , n 1

n1

2 )x ( m 1

 n 1 , m 2  n 2 ) (V.1)

n2

la que en términos matriciales equivale a By = Ax

(V.2)

donde A es la matriz de coeficientes a y B es la matriz de coeficientes b, x y y son vectorizadas, las imágenes de entrada y salida respectivamente; sin embargo, para efectos de cálculo es más conveniente la relación (V.1), por lo que la (V.2) se empleará únicamente para propósitos de ilustración. La ecuación (V.1) es una ecuación de

Filtros

277

diferencias que representa, en el dominio discreto, lo que una ecuación diferencial lo hace en el dominio continuo, requiere además de condiciones iniciales y a la frontera para tener una solución única. Ahora bien, si b(0,0) = 1 y b(n1,n2) = 0,  n1 o n2  0, la relación (V.1) se reduce a y( m 1 , m 2 ) 

 a( n , n 1

n1

2 )x ( m 1

 n1 , m 2  n 2 )

(V.3)

n2

que es similar a la ecuación (III.52), pero obtenida con diferentes bases. Por otro lado, a los sistemas descritos por (V.1) se les conoce como filtros de respuesta infinita al impulso (FRI) y a los descritos por (V.3) se les llama filtros de respuesta finita (FRF) al impulso; lo finito y lo infinito se refiere a la extensión espacial de la respuesta del filtro cuando es activado por un impulso  infinitamente estrecho (o de anchura unitaria). La matriz A en (V.3) es la función de respuesta al impulso del filtro. A partir de la relación (V.1) se definen varias subclases de filtros. La subclase más sencilla es la descrita por la relación (V.3), en donde se tiene lo que se conoce como filtro no recursivo causal. Aquí, la respuesta del filtro es finita y se restringe espacialmente al dominio de la imagen y en ciertas aproximaciones (véase la sección V.3) únicamente a una subregión de ésta. Se llama filtro causal porque la imagen filtrada {y(n1,n2)} no está definida para argumentos negativos de ésta, como tampoco lo está la imagen de entrada {x(n1,n2)}. En estos términos, la causalidad no es desde el punto de vista de la física, en donde el principio de causalidad establece que la causa precede al efecto; un filtro es causal o no causal únicamente en el sentido espacial. Cuando se tiene que la imagen de entrada {x(n1,n2)} = 0, para n1, n2 < 0 y la imagen filtrada y(n1,n2) = 0, para n1 o n2 < 0, y además b(0,0) = 1, la relación general (V.1) se reduce a la siguiente expresión y( m 1 , m 2 ) 

 a( n , n 1

n1

 b( n , n 1

n1

2 )x ( m 1

 n 1 , m 2  n 2 )

n2

2 ) y( m 1

 n1 , m 2  n 2 )

(V.4)

n2

con lo que se tiene un filtro conocido como recursivo causal, referido al primer cuadrante: x(n1,n2)  0, para n1, n2  0. Esta referencia proviene claramente de las condiciones iniciales arriba impuestas. En forma similar se pueden establecer condiciones para los cuadrantes 2°, 3° y 4°, aunque si bien los filtros resultantes son evidentemente no causales. En la expresión (V.4), el segundo término del miembro de la derecha determina la recursividad del filtro, por lo que es suficiente el definir condiciones para la matriz de coeficientes b(n1,n2), así entonces si b(n1,n2)  0, para n1  0 y n2  0, el filtro es recursivo, no causal, referido al 2° cuadrante; si b(n1,n2)  0, para n1  0 y n2  0, el filtro es recursivo, no causal, del 3er cuadrante; y si b(n1,n2)  0, para n1  0 y n2  0, el filtro es recursivo, no causal del 4° cuadrante, teniéndose además para todos estos filtros que b(0,0) = 1. Nótese que los cuadrantes se toman en el sentido de las manecillas del reloj (dextrógiro). Al dar las condiciones iniciales para la ecuación (V.4), se tiene definido el filtraje ya que cada pixel de salida se obtiene a partir de éstas

278


y a partir de los pixels previamente calculados; cuando el kernel es separable, el filtraje es independiente de si primero se hace sobre los renglones y después sobre las columnas o viceversa. El diseño de filtros recursivos, tanto en forma conceptual como por medio de programas computacionales, está discutido ampliamente en la literatura (Lu, 1992). Para un sistema lineal invariante frente a traslaciones se tiene que el teorema de la convolución es válido, por lo que si se conocen en forma explícita las condiciones iniciales y las matrices de los coeficientes a(n1,n2) y b(n1,n2), el filtraje, ya sea recursivo, no recursivo, causal o no causal, puede realizarse en el dominio de las frecuencias por medio de la transformada de Fourier. Una subclase muy importante de esta familia de filtrajes es la descrita por la relación (V.3), pues tiene las propiedades suficientes para atacar una amplia gama de problemas en filtros espaciales. Estos filtros de respuesta finita (FRF), a diferencia de los otros filtros (FRI), tienen un comportamiento unívoco, directo y causal, esquematizado en el siguiente diagrama Una imagen de entrada  FRF  una imagen de salida Este esquema de operación es suficiente para resolver muchos problemas en filtrado de imágenes digitales, además de presentar una forma adecuada para implantación en computadora. Hay que puntualizar que estos problemas deben ser de naturaleza estática o estacionaria, puesto que para sistemas dinámicos es más conveniente el empleo de filtros tipo FRI. Por otro lado, a la región para la cual la función de respuesta al impulso es diferente de cero, se le llama región de soporte (R), por lo que se tiene lo siguiente h(m,n)  0,  (m,n)  R

(V.5)

Esta región (R) en un filtro tipo FRF está contenida en un área finita, que en muchas ocasiones es menor al área asociada a la imagen digital. Los filtros FRI tienen una región de soporte de extensión infinita. A los filtros FRF se les llama de cero fase si h(-m,-n) = h* (m,n)

(V.6)

Los filtros que se estudian en este capítulo cumplen con la relación (V.6), además de suponer que la función h es real. Los filtros tipo FRF son siempre estables, es decir la función de transferencia es finita

 h(i, j)   i

(V.7)

j

lo que los hace de uso relativamente simple, ya que los filtros FRI no siempre son estables y es necesario aplicar procedimientos de estabilización (Lu, 1992; Huang, 1981) que eventualmente complican su diseño. Regresemos ahora a la expresión para un filtro causal no recursivo, la que se escribe también como una relación de convolución entre la imagen de entrada f y la función de transferencia h, para generar la imagen de salida g g=hf

(V.8)

Filtros

279

que finalmente es la misma expresión para cualquier sistema lineal invariante frente a traslaciones tal y como se hizo en el capítulo III. A la función h se le conoce también como la función filtro o la función de interacción; más adelante se desarrollará el concepto de estas denominaciones. En estas condiciones es válido el teorema de la convolución (ecuación IV.98), por lo que (V.8) se puede escribir como sigue G = HF

(V.9)

donde G, H y F son las transformadas de Fourier de g, h y f respectivamente. La relación (V.9) expresa en realidad el hecho de que, con un algoritmo de transformada de Fourier suficientemente rápido, cualquier operación lineal a la imagen f se puede ejecutar en el dominio de las frecuencias. Sin embargo, de todas las operaciones posibles probablemente la subclase más adecuada para emplear la ecuación (V.9) sea la que se refiere a filtrajes. Esto se debe al hecho de que en este tipo de operaciones la función h genera precisamente una selección de frecuencias espaciales asociadas a la imagen f y, en cualquier caso, el contenido de frecuencias de la imagen de salida g siempre será menor al de f. Como el propósito de la función h es la de extraer (o dejar pasar) cierto contenido predefinido de frecuencias de f, la forma analítica que adopta en el espacio de frecuencias es generalmente más sencilla que la que tiene en el espacio de la imagen; esta es una segunda razón para emplear la expresión (V.9). Una tercera razón es que, por la connotación que tiene h, es más fácil concebir en el dominio de las frecuencias un diseño para ésta que hacerlo en el espacio de la imagen. A pesar de estas ventajas, que a primera vista podrían aparecer como concluyentes, bajo ciertas condiciones en donde la región de soporte R se restringe (o se tiene que restringir) a una subregión de la imagen original, el filtraje se hace con mayor eficiencia en el espacio de la imagen por medio de un kernel; esto se tratará con mayor detalle en la sección V.3. Cuando la región R donde está definida h es igual a, o del mismo orden que la que se asocia a la imagen, entonces el filtraje se ejecuta en el dominio de las frecuencias con las tres ventajas ya anotadas. Estudiemos ahora con más detalle cuáles son los métodos de diseño y cuáles son los filtros más empleados en el dominio de las frecuencias. Para esto revisaremos cada una de las formas asociadas a la función H. Cabe aclarar aquí que algunos autores prefieren llamar a H la función de transferencia y no a h, a la que se conoce en este contexto como la función filtro. La forma más sencilla de H, tanto desde el punto de vista conceptual como del analítico, es la que está asociada a lo que se conoce como filtro ideal. Por varias razones que se explicarán más adelante, este filtro no se emplea (o no debe emplearse) en la práctica, pero para ilustrar la metodología del filtraje se expone aquí. V.2.1 Filtro ideal pasa bajas Este filtro se llama así porque la idea original detrás de su diseño consiste en concebir una función de transferencia que idealmente elimine un cierto contenido de frecuencias de la imagen original. Por idealmente se entiende que a partir de una cierta frecuencia predeterminada, llamada frecuencia de corte, todas las frecuencias espaciales de la imagen son suprimidas. Por tanto, la manera más directa y sencilla de expresar

280


analíticamente estas ideas es definir la función de transferencia en el espacio de frecuencias de la manera siguiente 1 si ( 1 , 2 )  0 H id pb ( 1 , 2 )   0 si ( 1 , 2 )  0

(V.10)

donde 0 es una cantidad no negativa directamente relacionada a la frecuencia de corte. La cantidad (1,2) es una distancia, en el espacio de frecuencias, que se mide desde el origen de este espacio hasta el punto cuyas coordenadas son (1,2). La forma de esta función se aprecia en la figura V.2a donde es evidente la simetría circular (de acuerdo con la definición) de H id pb y de aquí la razón para escoger a 0 como una distancia radial, por tanto



(1 , 2 )  12  22



1/ 2

(V.11)

Cabe agregar que las definiciones para  y 0 son adecuadas para realizar el filtraje en computadora en forma interactiva. En la expresión (V.11) está implícita la simetría de este filtro que permite definir una sola frecuencia de corte 0 para ambos ejes (1,2) del espacio de frecuencias. Es factible establecer diferentes frecuencias de corte, lo que reduce el grado de simetría de H id pb ; en este caso la función filtro tendría la forma de un paralelepipedo y su definición analítica sería un poco más compleja. En general se tienen funciones de transferencia con simetría circular y una sóla frecuencia de corte para ambas direcciones 1 y 2; nótese que lo primero no necesariamente implica lo segundo. La relación (V.10) nos dice que todas aquellas frecuencias espaciales asociadas a la imagen original que sean inferiores a una cierta frecuencia de corte quedan intactas; las frecuencias mayores a las frecuencias de corte simplemente se eliminan. Es decir, aparentemente existe una separación clara y única del contenido de frecuencias de la imagen original y por esto se le llama filtro ideal a este proceso. Sin embargo, este filtro ideal no lo es más que de nombre, porque en realidad el hecho de que existan dos puntos de inflexión para los cuales no existe la derivada de H id pb , hace que se introduzcan artefactos (lámina 38) en la imagen filtrada. Estos puntos de inflexión se ven claramente en la figura V.2b donde se aprecia un transecto de la función H id pb realizado a lo largo del eje 1. Los artefactos que se introducen en este filtro son patrones espaciales, en forma de cuadrícula normalmente, que no son propios de la imagen, sino que se agregan a ésta en el proceso de filtraje. Toda vez que la función H id pb tenga puntos de inflexión con derivada no definida, se introducen artefactos en la imagen filtrada. De aquí que el empleo de funciones de transferencia con perfiles continuos y suaves, donde la derivada está siempre definida implique que nunca puede tenerse una segmentación perfecta de frecuencias sino mas bien una atenuación gradual de éstas. El filtro ideal, por su sencillez analítica, nos permite visualizar varios aspectos de la naturaleza y mecanismos del filtraje de imágenes digitales. De la relación (V.9) es fácil ver que F = G/H, pero de acuerdo con la forma analítica (ecuación V.10) del filtro ideal,

Filtros

281

la imagen filtrada en el espacio de frecuencias es igual a cero para frecuencias mayores de 0, de tal forma que el cociente G/H no está definido para el siguiente intervalo de frecuencias: m 1,2> 0, donde m es el máximo contenido de frecuencias de la imagen original.

Figura V.2. Función de filtraje H (a), corte de ésta (b) a lo largo de x, función de transferencia con kernel no-separable (c) y aproximación de H (d). Como se aprecia, la relación (V.9) es invertible únicamente bajo ciertas condiciones, en términos estrictos sólo cuando el cociente G/H tiene una cantidad numerable de polos (Rosenfeld, Kak, 1982) y cuando G está definida para todo el espectro de frecuencias de la imagen original. Es fácil ver que si G es cero para cierto intervalo de frecuencias, la imagen original no puede recuperarse; toda vez que un intervalo de frecuencias sea eliminado, se tendrá una operación no reversible a la que llamaremos filtro en el contexto hasta ahora planteado. Si G tiene todo el contenido pertinente de frecuencias,

282


pero éstas se encuentran moduladas por un fenómeno físico, se tiene entonces una degradación y si además existe o se modela H-1, el proceso es invertible en principio; esto se analizará en detalle en el capítulo VI. El filtro ideal puede llevarse a cabo también en el espacio de la imagen por medio de la relación (V.8), lo que implica hacer una operación de convolución muy costosa desde el punto de vista computacional. La función de transferencia del filtro ideal en el espacio de la imagen es una función Bessel normalizada de primer orden, cuya forma se aprecia en la figura V.2c. Hay que hacer anotar que si H id pb se define como un paralelepipedo (Kernel separable), entonces h es una doble función sinc con parámetros que involucran la frecuencia de corte (véase apartado V.3.1). En cualquier caso, la función h requiere de un número infinito de coeficientes (Lu, 1992) de Fourier para su representación exacta; esto se debe a que H id pb tiene dos puntos de inflexión donde la frecuencia asociada es infinita. Al cortar la serie de coeficientes a un número finito, manejable en computadora, se tiene una representación aproximada de H id pb , que introduce un error en el proceso de filtraje. Con un número finito de coeficientes la banda de transición de frecuencias de H id pb , que originalmente es infinitamente estrecha, se amplía (figura V.2d) y aparece un rizo cuya amplitud y frecuencia depende del número de coeficientes considerados. Si el número de coeficientes se limita por medio de un templete en el dominio espacial, se obtiene una aproximación al filtraje cuyo comportamiento computacional es bastante eficiente; esto se verá en detalle en el apartado V.3.1. En el dominio de las frecuencias es posible llevar a cabo el filtraje en forma interactiva. Al reordenar los cuadrantes de la transformada de Fourier, se obtiene el espectro de frecuencias de tal forma que el lóbulo central (frecuencias bajas) queda localizado en el centro del sistema de coordenadas que genera el espacio de frecuencias. Las frecuencias altas o lóbulos de orden mayor están localizadas a diferentes distancias y posiciones con respecto al origen de dicho sistema; a mayor la distancia, mayor la frecuencia (lámina 19). Al desplegar en una pantalla de alta resolución el espectro de frecuencias arreglado de esta manera, se tiene una apreciación global del contenido de éstas en la imagen digital. Entonces, con un sistema computacional adecuado se marca en la pantalla, con la ayuda de un cursor, la región de frecuencias que se desea eliminar de la imagen original. Esto se hace delineando una zona donde se encuentre el contenido de frecuencias de interés; la zona generalmente tiene algún tipo de simetría: un círculo, una elipse o un rectángulo centrados en el origen (figura V.3) del espacio de coordenadas. El borde de esta zona se define por las frecuencias de corte en las direcciones 1 y 2 y constituye precisamente el lugar donde se desea hacer la segmentación de frecuencias de la imagen original. Con una región conectada simple de cierta simetría, centrada en el origen del espacio de frecuencias, se tiene un filtro pasa bajas si se preservan las frecuencias dentro de la región; se tiene un filtro pasa altas si se preservan las frecuencias fuera de ésta. Si tal región es una banda simétrica centrada en el origen (figura V.3), se tiene un filtro pasa banda si se dejan intactas las frecuencias dentro de ésta; si en lugar de preservarse se rechazan (se eliminan), entonces se tiene un filtro elimina banda. La región de soporte del filtraje debe barrer 2 sobre el plano de frecuencias y debe tener cierto grado de simetría; poco sentido tiene un filtro que no

Filtros

283

cumple estas condiciones a menos que se desee algo muy específico en filtraje tal como eliminar un lóbulo determinado. Algunos otros aspectos de esto se verán al final de este apartado. Cuando la imagen original contiene estructuras espaciales con algún grado de isotropía y homogeneidad, en el espacio de frecuencias aparecen lóbulos bien definidos cuyas posiciones relativas son indicadoras de algunas propiedades geométricas de tales estructuras. De esta manera al eliminar las frecuencias asociadas a estos lóbulos y sus vecindades cercanas, se suprimen los rasgos relativos a las estructuras. En este caso la región del filtraje está compuesta por una serie de subregiones, englobando cada una a toda vecindad que contenga los lóbulos a ser filtrados; por tanto la región del filtraje es no conectada simple y se tiene un filtro de aplicación específica.

Figura V.3. Espacio de frecuencias y zonas de filtraje pasa baja, pasa banda y pasa alta. Arriba se mencionó que la indefinición de la derivada en los puntos de inflexión del filtro ideal introduce artefactos en la imagen filtrada; veamos con mayor detalle esto. Al ejecutar el filtro ideal aún en el espacio de frecuencias, implícitamente (o equivalentemente) se realiza una operación de convolución en el espacio de la imagen. Ahora bien, en el espacio de la imagen la función de transferencia del filtro ideal se expresa como sigue 0

h pb (k , l) 

0

 H

0  0

  id pb (1 ,  2 ) exp 2j 

k1 l 2   d1d 2 N   M

(V.12)

284


para una imagen rectangular de dimensión MN. Al aplicar la definición para H id pb y al realizar la integración se tiene h pb ( k , l) 

20 J 1{0 [ k 2  l 2 ]1 / 2 } [ k 2  l 2 ]1 / 2

(V.13)

donde 0 es la frecuencia de corte a lo largo de las dos direcciones 1 y 2 del espacio de frecuencias y J1 es la función Bessel de primer orden (Arfken y Weber, 1995). De la relación (V.13) se sigue entonces que la imagen filtrada g está dada por N

g( m , n ) 

M

 k

l

f ( m  k , n  l)

20 J 1{0 [ k 2  l 2 ]1 / 2 } [ k 2  l 2 ]1 / 2

(V.14)

La segunda parte del miembro de la derecha de esta ecuación (V.14) es una función Bessel normalizada, bidimensional, de primer orden, expresándose como parámetro la frecuencia de corte 0. En la figura V.4 se muestra un corte esquemático de esta función para dos valores de la frecuencia de corte, también se incluye como referencia la forma ideal del filtro en el espacio de frecuencias. De la relación (V.14) se ve claramente que sólo un número limitado de coeficientes de la función de transferencia h es tomado en cuenta; este hecho hace que la forma de H id pb sea en realidad la que se muestra en la figura V.2d (Haprox). Aun si el número de coeficientes fuese infinito, la representación de H id pb no sería exacta ya que el último lóbulo del rizo sobrepuesto a esta función se mantiene en amplitud y sólo se desplaza a medida que el número de coeficientes se incrementa; a esto se le conoce como el fenómeno de Gibbs (Arfken y Weber, 1995) y es una peculiaridad de la representación de Fourier de toda función que presente un número finito de discontinuidades (indefinición de la derivada). Debido al fenómeno de Gibbs, la representación de Fourier (series de Fourier) puede llegar a ser poco confiable para trabajo numérico como es el análisis de imágenes. En resumidas cuentas, en la vecindad de 0 existe una sobreseñal que persiste aun incrementando el número de coeficientes de la función J1 y que no muestra signos de disminuir y en donde se tiene Hpb(0,0) = [H(0,0)+ + H(0,0)-]/2

(V.15)

donde H- y H+ son los valores (figura V.2d) que toma H a la derecha y a la izquierda de 0. La función dada por la expresión (V.13) se aprecia en la figura V.4 y aquí podemos observar que la función de transferencia hpb tiene un lóbulo central y una serie, en principio infinita, de lóbulos secundarios, positivos y negativos cuya amplitud disminuye rápidamente; el segundo lóbulo (negativo) tiene una amplitud de aproximadamente 1/20 con respecto al central. Dicha función es oscilante, pero con un periodo no constante y su amplitud decrece asintóticamente como [k2 + l2]-1. Analicemos ahora qué sucede al realizar la operación de convolución descrita por la ecuación (V.14). Supongamos que cada pixel de la imagen original es un pulso de amplitud igual a su valor y de anchura unitaria. La convolución de hpb con cada pixel es

Filtros

285

simplemente una serie de copias de hpb con amplitud proporcional a la frecuencia de corte (figura V.4) y al valor de los pixels, la superposición de todas estas copias nos da la imagen filtrada. Ahora bien, cada copia tiene un segundo lóbulo negativo (despreciando el resto cuya amplitud es muy pequeña) que al interaccionar en forma coherente con los lóbulos negativos de las copias vecinas genera un patrón de textura (artefactos) de forma reticular cuya dimensión es proporcional a la distancia entre el primer y segundo lóbulo de la función de transferencia, y como esta distancia es directamente proporcional a la frecuencia de corte, la textura mencionada varía según 0.

Figura V.4. Función Bessel normalizada para dos frecuencias de corte. Por lo arriba expuesto no es aconsejable la aplicación del llamado filtro ideal, ya que los mencionados artefactos (lámina 38) conducen necesariamente a conclusiones erróneas en el análisis de imágenes digitales. Aun así el estudio de este filtro nos ha permitido entender aspectos importantes en el proceso de filtraje de una imagen digital. En términos generales, es posible asegurar que si la transformada de Fourier de la función de transferencia muestra un número finito de discontinuidades o inflexiones con derivada no definida, entonces se presenta el problema de los artefactos arriba mencionados. Es necesario por tanto diseñar funciones de transferencia donde la frecuencia de corte se dé en una banda de frecuencias y no en una discontinuidad simplemente. Más aun, en esta banda, el cambio de amplitud de H debe ser suave y gradual. De aquí que sea requisito indispensable el hacer un balance entre la segmentación de frecuencias de la imagen original y la generación de artefactos en la imagen filtrada. Debido al estudio que hemos hecho del filtro ideal y su comportamiento respectivo, es factible diseñar nuevos filtros tomando como base lo aprendido hasta aquí. La idea es

286


entonces diseñar la forma analítica de H de tal manera que no tenga discontinuidades ni inflexiones y que el cambio, en una banda de transición, del valor máximo de H al valor mínimo sea lo más rápido posible. Con esto se trata de evitar que la función de transferencia presente oscilaciones con lóbulos positivos y negativos y más bien buscando que tenga un lóbulo central con decaimiento asintótico hacia el valor cero. Una vez definida la forma analítica de H, se muestrea ésta en la región de soporte para obtener los valores digitales, que a su vez son multiplicados por la transformada de Fourier de la imagen original en este proceso de filtraje. Nótese que el diseño del filtro se hace en primera instancia en el espacio de frecuencias, se analiza la forma respectiva de H en el espacio de la imagen y si se tienen las condiciones mínimas preestablecidas, de acuerdo con lo arriba expuesto, se procede entonces al filtraje en el dominio de frecuencias, para finalmente obtener la imagen filtrada después de aplicar la transformada inversa de Fourier. Estudiemos ahora en detalle una serie de formas selectas para H. V.2.2 Filtro de Butterworth pasa bajas Una manera relativamente fácil de construir una función de transferencia con cambio gradual en el espacio de frecuencias es emplear funciones exponenciales. La forma más sencilla para una variación exponencial es del tipo 1/(1 + xn) que adaptada al filtraje produce lo que se conoce como filtro de Butterworth H but pb (1 ,  2 ) 

1 , 1 , 2   m 1  [(1 ,  2 ) /  0 ] 2 n

(V.16)

donde m es el máximo contenido de frecuencias de la imagen y el exponente 2n es el orden del filtro que en este caso siempre es par, aunque también es posible incluir un orden impar. La variable  está definida por la relación (V.11) y 0 es una frecuencia de referencia que puede ser tomada como la frecuencia de corte siempre y cuando se hagan ciertas consideraciones; éstas son de carácter heurístico, ya que en la práctica se sabe que para una cierta atenuación de las frecuencias de la imagen original es factible pensar en una frecuencia de corte. Así, si se adopta la convención (con base en la experiencia) que para un valor de H but pb igual al 50% de su máximo valor se tiene una atenuación en frecuencias tal que se puede pensar en un filtraje, se sigue claramente de la relación (V.16) que la atenuación a un 50% (figura V.5) es cuando  = 0. Otro criterio que generalmente se emplea es el determinar la frecuencia de corte cuando H but pb tiene 1 / 2 de su máximo valor, con lo cual la relación (V.16) se reescribe como sigue H but pb (1 ,  2 ) 

1 , 1 ,  2   m 1  0.414[(1 ,  2 ) /  0 ]2 n

(V.17)

y de aquí es evidente que para  = 0, H but pb  1 / 2 , habiendo desde luego

Filtros

287

normalizado el máximo valor de H but pb a uno. Nótese que en general aquellos filtros con H asintótica no tienen frecuencia de corte absolutamente definida, más bien presentan una banda de transición donde las frecuencias de la imagen original son atenuadas gradualmente. Estos filtros son estrictamente reversibles, pero debido a esta atenuación, que en algunos es muy importante, se tomarán en la práctica como irreversibles.

Figura V.5. Banda de transición para la función de filtraje de Butterworth. El cociente (1,2)/0 es menor que uno cuando  < 0, igual a uno cuando  = 0 y mayor que uno cuando  > 0. Debido a esto, para una 0 dada, se tiene que H but pb 1 , 2  0, cuando n  , para frecuencias

 1, cuando n  , para frecuencias menores que la frecuencia de corte; H but pb  cuando n  , en la frecuencia de corte y, H but pb

mayores que la frecuencia de corte. En otras palabras, el filtro de Butterworth tiende al filtro ideal de acuerdo con los lineamientos arriba planteados. El orden n del filtro (lámina 39) es, físicamente, un factor de convergencia hacia valores cercanos al cero. A medida que se incrementa n, la banda de transición se reduce y el valor máximo de H but pb pasa a cero más rápidamente; esto se aprecia en la figura V.6 donde se ha graficado la función H para el filtro de Butterworth tomando a n como un parámetro con un conjunto selecto de valores. A medida que n se incrementa y tiende a infinito, la aparición de artefactos en la imagen filtrada es cada vez más acentuada, por lo que es necesario hacer un compromiso entre el buen comportamiento del filtro y la segmentación de frecuencias deseada. Esto se hace normalmente en forma heurística y depende de la estructura y contenido de frecuencias de la imagen original, procedimiento que debe hacerse con cuidado ya que en algunas ocasiones es muy difícil determinar si hay o no artefactos en la imagen filtrada.

288


V.2.3 Filtro exponencial pasa bajas Otra forma sencilla para un filtro pasa bajas es aquella que se obtiene por medio de la función exponencial; su expresión analítica en el espacio de frecuencias es como sigue   ( ,  )  1 2    H exp pb (1 ,  2 )  exp    0    

2n

 , 1 ,  2   m  

(V.18)

donde n es nuevamente el orden del filtro y determina también la banda de transición del mismo; al igual que en el filtro anterior n es un número natural.

Figura V.6. Función de filtraje de Butterworth para varios valores del parámetro n. Analicemos nuevamente la naturaleza analítica del orden del filtro, en forma parecida a como lo hicimos para el filtro de Butterworth. Cuando   0 y n  , se exp tiene que H exp pb  1; cuando  = 0 y n  , se tiene que H pb  0 y, cuando   0 y n  , se tiene que H exp pb  . Esto quiere decir que el filtro exponencial tiende al filtro ideal en las condiciones arriba anotadas, si bien el grado de convergencia es mayor en este caso que en el del filtro de Butterworth. La frecuencia de corte se establece en forma similar al filtro anterior; la idea en general es definir el lugar de frecuencia de corte para puntos en los cuales H exp pb sea igual a una cierta fracción de su valor máximo. Veamos ahora qué sucede en el caso del filtro exponencial, si hacemos  = 0, tenemos los siguientes valores para éste 1 1  exp(1) n1 y  exp(1) n2 H' H' '

(V.19)

Filtros

289

para dos valores n1 y n2 del orden del filtro, de la relación (V.19) es evidente que H' = H'',  n1, n2. De la relación (V.19) se sigue también que, en la frecuencia de corte H exp pb = 36.8% de su valor máximo para cualquier orden del filtro. Para una fracción del 50% de su valor máximo, la relación (V.18) debe modificarse por un cierto factor en forma análoga a como se hizo en el filtro de Butterworth. En cuanto a comportamiento y eficiencia computacional, es factible afirmar que el filtro exponencial es superior al de Butterworth. Existen otras expresiones para la función H, varias de ellas basadas en funciones trigonométricas (Lu, 1992; Pratt, 2001); el comportamiento de estos filtros es similar a los aquí descritos de forma exponencial. El empleo de uno u otro depende en general de la clase de imagen y de la frecuencia de corte deseada, la decisión se basa únicamente en la experiencia y en la apreciación visual y estadística del resultado. Es necesario mencionar también que la función H puede construirse numéricamente por medio de una tabla, con lo cual es posible introducir un filtro de comportamiento muy específico; la desventaja de no tener la forma analítica del filtro es que no se puede manejar (variar) con facilidad ni la frecuencia de corte ni el orden de convergencia. Cuando se cuenta con la expresión analítica para el filtraje es necesario de todas maneras construir una tabla a partir de aquella, la tabla debe de estar hecha de tal manera que haya un valor definido (aún cero) de H para cada valor de F en el dominio de frecuencias. Con esto se procede entonces a realizar la multiplicación numérica de H y F para después regresar, por medio de la transformada inversa de Fourier, al espacio de coordenadas donde se obtiene la imagen filtrada. La región de soporte donde se encuentra definida la función H del filtro siempre es finita (filtros causales); de hecho, nunca excede los límites de la imagen original. A esta función definida en esta región se le conoce como ventana del filtro. Muchas ventanas para filtraje están diseñadas empleando funciones trascendentales (exponenciales y trigonométricas) y algunos polinomios, con el objeto de obtener un comportamiento suave con relación a la frecuencia, evitando con esto los problemas inherentes al filtrado ideal. El propósito fundamental del diseño particular de estas ventanas es el de acelerar la convergencia de las series de Fourier, que en el caso del filtro ideal es muy lenta; aun así el número de términos es siempre infinito en principio y la serie debe cortarse en algún punto. La única manera de tener una serie de Fourier finita que represente exactamente la función H del filtro, es diseñar a ésta con un número finito de armónicas. A primera vista esto podría ser el caso de una función trigonométrica, pero el hecho de que ésta tenga que terminar (figura V.7) en una discontinuidad al final de la región de soporte (ventana), hace que se tengan problemas similares a los ya discutidos con respecto al filtro ideal. La realidad es que todas estas funciones de filtraje son no limitadas en frecuencia, con menor o mayor grado, pero todas tienen en principio un contenido infinito de frecuencias, lo cual genera una serie infinita de lóbulos en la función de transferencia h. Por otro lado, la importancia de los lóbulos de orden dos y mayor es pequeña comparada con el lóbulo central, esto aunado al manejo de una escala de cuantización discreta y finita (256 niveles a lo más), hace que la contribución de los lóbulos secundarios sea despreciable, no generándose por tanto artefacto alguno en la imagen filtrada. La forma y el estudio de funciones de filtraje está discutido en la literatura (Lu, 1992; Bracewell, 2000), incluyendo su diseño por computadora (Simpson et al., 1998).

290


V.2.4 Filtro ideal pasa altas Las ventanas que se han mostrado hasta ahora (Ideal, Butterworth, Exponencial) se refieren a lo que se conoce como filtros pasa bajas, es decir filtros que atenúan las frecuencias altas y dejan sin gran modificación las frecuencias bajas. Estos filtros se aplican generalmente para remover ruido de alta frecuencia o para suavizar los bordes que se generan en imágenes cuantizadas con pocos niveles (menor a 32). Los filtros pasa altas se emplean cuando hay necesidad de realzar bordes, líneas o cualquier rasgo de la imagen asociado con altas frecuencias espaciales. Al igual que en los casos anteriores, sólo se estudiarán filtros de respuesta finita de fase cero. El filtro ideal pasa altas es aquel cuya función de transferencia en el espacio de frecuencias es como sigue 0 si (1 ,  2 )   0 H id pa (1 ,  2 )   1 si (1 ,  2 )   0

(V.20)

Como puede verse, los filtros ideales pasa bajas y pasa altas se complementan perfectamente, con la misma frecuencia de corte, sobre todo el espectro de frecuencias de la imagen original. Este filtro pasa altas presenta los mismos problemas que los discutidos con anterioridad relacionados al filtro ideal pasa bajas.

Figura V.7. Función de filtraje cosenoidal. En este punto cabe anotar que los filtros aquí analizados presentan funciones de transferencia (kernel) no separable debido a la manera como se ha definido (1,2) que es adecuada para efectos computacionales en forma interactiva. Con kernel separable, también es factible trabajar interactivamente complicando un poco el algoritmo computacional respectivo en cuanto a la interfase gráfica se refiere. Además, es posible con kernels separables, el obtener funciones H limitadas en frecuencias (una gaussiana por ejemplo) que no presenten lóbulos laterales en el espacio de coordenadas. Para que el kernel sea separable es necesario introducir dos frecuencias de corte: una para cada dirección del espacio de frecuencias. Por ejemplo, un filtro de Butterworth pasa bajas con dos frecuencias de corte explícitas pero con kernel no separable es

Filtros

H but pb (1 ,  2 ) 

291

1

2 1/ 2 1  [     20 ] / 10  20  2 1

2 10

2 2

2n

donde 10, 20 son las frecuencias de corte en las dos direcciones del espacio de frecuencias; cuando 10 = 20 = 0, esta expresión se reduce a la ecuación (V.16). Para kernel separable y dos frecuencias de corte explícitas la expresión es H but pb (1 ,  2 ) 

1 1  2n 1  [1 / 10 ] 1  [ 2 /  20 ] 2 n

Es fácil escribir expresiones similares para los otros filtros a partir del ejemplo anterior. V.2.5 Filtro de Butterworth pasa altas Para modificar la función H del filtro de Butterworth con el objeto de mantener inalterables las frecuencias altas, basta invertir el cociente /0 en la relación (V.16); el resultado es como sigue H but pa (1 ,  2 ) 

1 , 1 ,  2   m 1  [ 0 / (1 ,  2 )] 2 n

(V.21)

De esta ecuación se ve rápidamente que la función H but pa comienza en cero para  = 0 y alcanza la mitad de su valor máximo cuando  = 0, también es directo el demostrar que cuando n  , este filtro tiende al ideal pasa altas. Además de esto, la relación (V.21) se puede modificar para que la función H but pa alcance una cierta fracción predeterminada (figura V.8) justamente en la frecuencia de corte.

Figura V.8. Función filtro Butterworth pasa altas. Hay que hacer notar que el valor de esta función filtro comienza a ser diferente de cero inmediatamente después del origen; por lo que para hacer más versátil este filtraje,

292


es necesario introducir un parámetro extra que permita un corrimiento radial i en el espacio de frecuencias. Una modificación adecuada (figura V.8) es la siguiente but H pa (1 ,  2 ) 



1

1   0 / (1 ,  2 )  i



2n

, 1 ,  2   m

(V.22)

con la condición de que  y 0  i, donde i es un parámetro no negativo que funciona como una frecuencia fija y predeterminada. V.2.6 Filtro exponencial pasa altas El filtro exponencial tiene una estructura matemática muy sencilla y es de fácil implantación en computadora. Por otro lado, el comportamiento de este filtraje es correcto ya que no se presentan (lámina 40) artefactos en la imagen filtrada; además de esto, si  se define convenientemente, la función filtro se hace separable simplificando aun más su operación. El filtro exponencial pasa altas se define de la siguiente manera 2n     0    , 1 ,  2   m H exp (  ,  )  exp  pa 1 2   (1 ,  2 )  

(V.23)

exp con lo cual se tiene que si   0, entonces H exp pa  0, y si   , entonces H pa 

1. Al igual que en el filtro pasa bajas, la función H exp pa alcanza un 36.8% de su máximo valor justamente en la frecuencia de corte 0. Con el objeto que la función de filtraje comience a ser diferente de cero en un lugar que no sea precisamente después del origen, se introduce un parámetro en la relación (V.23) y se tiene H

exp pa

2n     0  , 1 ,  2   m (1 ,  2 )  exp     (1 ,  2  i )  

(V.24)

donde i es una frecuencia fija y predeterminada y además  y 0  i. Hay que hacer notar que, con esta elaboración matemática, las funciones del filtraje de Butterworth y exponencial no se invierten simétricamente tomando como eje de simetría la línea que pasa por la frecuencia de corte; es decir estos filtros pasa altas y pasa bajas no son simétricos con respecto a 0. Esto puede llegar a ser una inconveniencia si se desean aplicar filtros pasa banda en donde se requiera simetría de la función de filtraje; para esto habría necesidad de diseñar otras funciones de filtraje H. V.2.7 Filtros pasa banda Los filtros pasa banda se construyen a partir de una combinación de filtros pasa bajas y

Filtros

293

pasa altas; el caso más sencillo es el que se refiere al filtro ideal, en cuyo caso se requiere preservar una banda de frecuencias b - a, con b  a, la función del filtro se escribe como sigue

H id pbn ( 1 , 2 )

0 para (1 , 2 )  a   1 para a   (1 , 2 )  b 0 para ( ,  )   1 2 b 

(V.25)

donde a y b son dos parámetros no negativos que pueden verse como una combinación (figura V.9) de frecuencias de corte de un filtro pasa altas y uno pasa bajas respectivamente. La construcción de un filtro pasa bandas empleando funciones de Butterworth es un poco más complicada si se desea una función simétrica de filtraje. Para esto es necesario invertir y desplazar la función original de Butterworth para filtraje pasa bajas, donde por cierto esta manipulación es de utilidad en el diseño de filtros pasa altas. Entonces, un filtro pasa banda de Butterworth se define como sigue but but H but pbn ( 1 , 2 )  1  H pb ( 1 , 2 )  H pa ( 1 , 2 )

(V.26)

but en donde en este caso H but pa y H pb tienen la siguiente forma

H but (1 ,  2 ) 



1

1  0 / (1 ,  2 )  i



2n

, , 0   m

(V.27)

donde 0 puede valer a u b según sea el caso, es decir, es necesario trasladar las but gráficas de H but pa y H pb para formar una banda de frecuencias.

Figura V.9. Función filtro ideal pasa banda. También es necesario arreglar el cociente del denominador según se trate de un filtro pasa bajas o pasa altas. Esta situación se muestra esquemáticamente en la figura V.10,

294


donde a y b son las frecuencias de corte del filtro pasa bandas. En la práctica el intervalo de valores para  se restringe entre 0 y i para H but pb y entre i y m para H but pa . En la figura V.10 se ha mostrado un diseño simétrico, sin embargo los

parámetros a, b, n y i de hecho varían para acomodarse a una situación específica de filtraje.

Figura V.10. Funciones Butterworth conformando un filtro pasa banda. Para construir un filtro pasa banda empleando funciones exponenciales, se sigue la misma metodología arriba descrita, por lo que es factible escribir directamente la función de filtraje exp exp H exp pbn ( 1 , 2 )  1  H pb ( 1 , 2 )  H pa ( 1 , 2 )

(V.28)

exp donde H exp pa y H pb tienen la siguiente forma:

H

exp

  0 (1 ,  2 )  exp      (1 ,  2 )  i 

   

2n

 , , 1   m  

(V.29)

En las expresiones (V.28) y (V.29) el manejo de los parámetros involucrados es similar al descrito para el caso anterior y la relación gráfica también es parecida. De hecho es difícil distinguir visualmente un filtraje de Butterworth de uno exponencial cuando se emplea el mismo orden (n) del filtro. Los filtros pasa banda anteriormente descritos se conocen como isotrópicos ya que la función de transferencia respectiva presenta simetría circular. Estos filtros son adecuados para seleccionar una banda de frecuencias espaciales independiente de la orientación de los rasgos que representan. Es importante también diseñar filtros anisotrópicos que permitan la selección de frecuencias para diferentes orientaciones. Hay que mencionar también que esta anisotropía puede ser implantada por templetes

Filtros

295

(apartado V.3.13). En el espacio de Fourier existe simetría axial por lo que un filtro anisotrópico está plasmado como una región y su simétrica alrededor del origen de este espacio, de tal forma que definen aquellas frecuencias que se dejan pasar. Estas regiones pueden tener simetría axial o circular dependiendo de su expresión analítica. Una definición de un filtro anisotrópico, con decaimiento exponencial y frecuencia de corte 0 es H an (1 ,  2 )  A ( 0 , ) exp[(1sen   2 cos ) 2 ] 

exp[(

1



cos    2 sen 0 ) 2 ]  exp[(1 cos    2 sen   0 ) 2 ]

donde  es la orientación de la región mencionada en el espacio de Fourier y A(0,) es la ganancia (amplitud) del filtro y que generalmente es igual a uno. V.2.8 Filtro de corte Los filtros que se han estudiado hasta ahora son lineales e invariantes frente a traslaciones. Un filtro que no es lineal, pero sí es de respuesta finita, es el llamado filtro morfológico. En este filtro se mantiene la metodología básica de los casos anteriores en cuanto a ejecutar el filtraje en el dominio de las frecuencias y en cuanto a eliminar parte de éstas. En el presente caso se supone que la imagen original se encuentra contaminada por ruido de tipo gaussiano, esto aunado al hecho de que en general los valores de amplitud de la imagen son bajos para frecuencias altas, nos conduce a pensar que eliminando el valor promedio de los valores de frecuencia asociados al ruido permitiría reducir el ruido de la imagen sin distorsionarla significativamente. En la figura V.11 se muestra gráficamente el proceso de este filtro de corte; aquí se aprecia (figura V.11a) el valor absoluto |F| de la transformada de Fourier de la imagen original y el valor promedio R del ruido que se manifiesta básicamente a altas frecuencias. Entonces de acuerdo con las suposiciones arriba planteadas, al valor de |F| se le resta R para todo el intervalo de frecuencias de la imagen original. Ahora bien, con el objeto de que no haya inversión de fase (valores negativos de |F|) y el proceso se mantenga como un filtro de cero fase, se introduce la siguiente definición





 F 2  kR 2 1 / 2 , para F  kR Fm   0, de otra manera

(V.30)

de tal forma que el espectro de Fourier de la imagen filtrada queda como el mostrado en la figura V.11a. El factor k es un número real positivo, generalmente mayor que uno, empleado para optimizar el filtro. Como se ve, en este tipo de filtraje todo el fondo del espectro, definido por R , es eliminado y la amplitud de |F| disminuye en consecuencia; en este proceso parte de la información relevante se pierde también. La imagen filtrada es por tanto la transformada inversa de Fourier de |Fm|. En este filtraje es necesario hacer una estimación de R y de k antes de realizar la operación misma del filtro; esto tiene que hacerse a partir del espectro |F|. En términos computacionales, hay que hacer

296


notar que la eliminación del fondo del espectro de Fourier, determinado por kR se aplicaría por separado a la parte real y a la imaginaria de tal espectro.

Figura V.11. Filtro de corte (a) y filtro morfológico (b). La mayor desventaja de este filtro es que al hacer un corte parejo del espectro |F| a partir del valor R , una parte importante de la imagen puede quedar eliminada, introduciéndose con esto una degradación en los bordes de la misma. Una variante de este filtro que disminuye esta desventaja es aquel en donde el corte del ruido no se hace de manera uniforme, sino más bien morfológicamente; para entender esta variante, veamos la figura V.11b. Aquí se aprecia lo que se ha denominado como elemento estructural, el cual se hace interaccionar con la superficie descrita por |F|. El elemento estructural, en el presente caso, se ha definido como una esfera, aun cuando otras formas son factibles (Ríos, 1989) para otro tipo de problemas. Sea B el conjunto de puntos que definen el elemento estructural y X el conjunto de puntos que definen el volumen determinado por la superficie |F|. Se establece entonces la siguiente operación entre B y X Y = ∪{B + x(B + x)  X}

(V.31)

que genera el nuevo conjunto Y. La relación (V.31) se lee como sigue: se determina la unión de todas las traslaciones del elemento estructural B por el vector x que se encuentren contenidas en el conjunto X; de esta manera se entiende que el elemento B recorre toda la región en la cual está definido X. En este proceso, que se conoce como apertura (Serra, 1982; véase además el capítulo VII), se crea una nueva superficie Y, a la cual se le aplica la transformada inversa de Fourier para obtener la imagen filtrada. Desde el punto de vista geométrico, la expresión (V.31) equivale a mover la esfera por todos aquellos lugares por donde justamente quede debajo de la superficie X; el lugar geométrico que describe el punto superior de la esfera en este movimiento es

Filtros

297

precisamente la superficie Y. En este tipo de filtraje es factible emplear otras formas para el elemento estructural en problemas específicos de filtraje. Desde el punto de vista computacional, la relación (V.31) también equivale a un AND lógico entre los valores de la superficie X y los valores de la mitad superior de la esfera; si el AND se satisface, el nuevo valor de X es el mismo y pasa a ser un punto de Y, si no se satisface, entonces el nuevo valor de X es el correspondiente al del punto superior de la esfera y pasa a su vez a ser un punto de Y. Como se aprecia, este es un procedimiento muy rápido desde el punto de vista computacional. Es importante aclarar que la relación (V.31) para este filtro de corte morfológico se aplica únicamente a partir de la frecuencia c (figura V.11), aunque si bien se generaliza para todo el espectro de frecuencias cuando el problema así lo requiere. V.2.9 Filtro homomórfico En la sección IV.11 sobre transformaciones cuasi lineales se vio el esquema general del filtro homomórfico, estudiemos ahora un ejemplo concreto (Gonzalez y Woods, 2002) con relación al filtraje de una imagen digital. Supóngase que se tiene una imagen que es el resultado de una operación del tipo dado por la relación (IV.27) f(k,l) = r(k,l)i(k,l)

(V.32)

en donde r es la distribución de reflectancias de la escena e i es la función de iluminación aplicada a la misma. Este modelo de imagen es muy útil ya sea para corregir por efectos inhomogéneos de iluminación o para evaluar reflectancias absolutas de la escena. Aplicando la metodología del filtraje homomórfico se toma el logaritmo natural en ambos lados de la ecuación (V.32) y se obtiene log{f(k,l)} = log{r(k,l)} + log{i(k,l)},  (k,l)

(V.33)

con lo cual se separan las componentes de reflectancia e iluminación de la imagen, las que una vez separadas quedan listas para un posible trabajo de modelación de acuerdo con la teoría de la psicovisión (Lewis y Del Proire, 1987; La Brecque, 1988). Un enfoque más sencillo para obtener una estimación de la reflectancia y la iluminación es pensar las cosas de la siguiente manera: podemos suponer que la iluminación no cambia abruptamente de una región a otra de la escena original de tal forma que en la imagen, la iluminación estaría caracterizada por frecuencias bajas y sería principalmente responsable del intervalo dinámico de los valores de la imagen digital. En cuanto a la reflectancia, es razonable esperar que en la imagen se tengan una cierta variedad de objetos con diferentes propiedades ópticas, por lo que las reflectancias generarían la mayor parte de las frecuencias altas de la imagen y además de esto estarían relacionadas directamente con el contraste aparente de ésta. Estos aspectos físicos de la reflectancia y la iluminación son los que permiten diseñar una función de filtraje que reduzca el intervalo dinámico y realce el contraste de la imagen. Empleando el esquema del filtraje homomórfico no lineal, es claro que este modelo funciona mejor para imágenes que presentan contrastes drásticos. Tomemos ahora la transformada discreta de Fourier en ambos lados de la ecuación

298


(V.33), por lo que se tiene lo siguiente F(m,n) = R(m,n) + I(m,n)

(V.34)

donde F(m,n) = F{log[f(k,l)]}, R(m,n) = F{log[r(k,l)]}, e I(m,n) = F{log[i(k,l)]}. Con esta nueva ecuación es factible aplicar una función de filtraje con las consecuencias arriba anotadas; una función de filtraje que se utiliza comúnmente en este caso es la que sigue  2 , para m, n  0   m 2  n 2  Hh     [    ] exp , de otra manera  1 1 2    32  

(V.35)

En la figura V.12 se muestra un corte de esta función de filtraje, en donde se aprecia que de las frecuencias bajas a las altas se introduce una atenuación gradual que trae como consecuencia una reducción en el intervalo dinámico de valores en beneficio de un realce en el contraste de la imagen digital, ya que después de un cierto valor de (m,n) las frecuencias altas son amplificadas.

Figura V.12. Función filtro para filtraje homomórfico. Para completar la cascada de operaciones del filtro homomórfico (sección IV.11), es necesario aplicar la transformada de Fourier inversa de la imagen filtrada y después el antilogaritmo del resultado, esto se escribe como sigue fh(k,l) = exp{F -1[F(m,n)Hh(m,n)]}

(V.36)

donde fh es el resultado final del filtraje. Es necesario agregar que los valores adecuados de los parámetros (1, 2, 3) involucrados en este filtro deben encontrarse en forma

Filtros

299

heurística si bien con la restricción de que 1 > 1, 2  1 y 3  10. Los diversos filtrajes que se han estudiado en esta sección pueden ser utilizados con ventaja en ciertos realces de imágenes digitales. Por ejemplo, algunos aspectos sutiles de una imagen caracterizados por frecuencias altas se filtran primero con alguno de los métodos explicados y el resultado se adiciona o se multiplica con la imagen original, terminando el proceso con una elongación o normalización al histograma. También es posible segmentar la imagen original en tres regiones de frecuencias por medio de filtros pasa baja, pasa banda y pasa alta; las tres imágenes resultantes se combinan entonces empleando funciones de pseudocoloración con lo que se obtiene un realce general de la imagen original.

V.3 Filtros en el Dominio de la Imagen Han sido invertidos muchos esfuerzos (Mastin, 1985; Bowyer et al., 2001) en la evaluación de las funciones de filtraje que trabajan en el dominio espacial, esto es, sin recurrir al dominio de las frecuencias por medio de la transformada de Fourier. El filtraje espacial se realiza definiendo, en primera instancia, una operación sobre los pixels contenidos en una subregión o ventana de la imagen, el resultado numérico de la operación substituye el valor de un pixel preestablecido de la ventana, es decir ( k ,l )

 ps  K [ pij ] , (i,j;k,l)  Vmn

(V.37)

donde Vmn es una subregión de la imagen, normalmente rectangular, de dimensión m  n pixels, K es el kernel u operación aplicada a los pixels pij de la ventana Vmn, y (k,l) es la posición del pixel predeterminado cuyo valor va a ser substituido. En esta sección demostraremos que la operación dada en la relación (V.37) constituye verdaderamente un filtraje cuando se hace bajo ciertas condiciones. Este filtraje espacial está siendo cada vez más empleado por analistas de imágenes debido a su simplicidad computacional y matemática y debido a que los kernels involucrados pueden concebirse intuitivamente en sus orígenes (Bowyer et al., 2001). Por las anteriores premisas, algunos de los algoritmos diseñados para tal filtraje son de naturaleza iterativa, proporcionando la capacidad para optimizar los parámetros involucrados en una aplicación dada (Mastin, 1985; Bowyer et al., 2001). En muchas ocasiones, no solamente el diseño, sino también la evaluación de la función de filtraje se hace de manera más bien heurística, primeramente porque no se han hecho una serie de suposiciones acerca de la función que define en principio el filtro y segundo porque no existe un criterio cuantitativo que defina la calidad del producto relativo a una aplicación. En lo que sigue veremos como una operación dada por la relación (V.37) se comporta como un filtraje y veremos dos métodos de diseño de los kernels involucrados. El filtraje en el dominio espacial tiene antecedentes en los trabajos de Lipkin y Rosenfeld (1970) y Russ (2002), llegando en la actualidad a metodologías más generales (apartado V.3.14; Gonzalez y Woods, 2002). Idealmente, el filtraje de una imagen tiene como objetivo primordial el suprimir ciertos patrones espaciales sin degradar la imagen. Específicamente en el caso de ruido, el proposito es eliminar éste sin perder los detalles de bordes y textura de la imagen; este filtraje se puede realizar

300


por dos vías: 1) promediando varias imágenes de la misma escena suponiendo que éstas son estadísticamente independientes y 2) aplicando una operación a una imagen por medio de la expresión (V.37). Comencemos el desarrollo de filtraje en el dominio espacial a partir del modelo básico de transformación lineal de imágenes, para lo cual tomaremos una banda f de una imagen multiespectral cualquiera, supondremos, como en varias transformaciones anteriores, que es válido el teorema básico de la convolución. Esto quiere decir que si {h(m,n)} es la función de transferencia del filtro, entonces la secuencia de salida {y(k,l)} o imagen filtrada se expresa como sigue y  ( k, l) 

 h( m, n )f m

 (k

 m, l  n )  h  f 

(V.38)

n

donde la imagen filtrada y se ve también como el resultado de la interacción de cada pixel de la imagen original con sus vecinos empleando la regla h; es por esta razón que a h se le conoce también como función de interacción. Esta manera geométrica de ver las cosas proviene del hecho de que h es una función de respuesta finita al impulso, es decir su extensión espacial está, a lo más, definida sobre el dominio de la imagen original. Sucede en muchas ocasiones que el valor de h decae considerablemente alrededor de su valor máximo, lo que implica que se le puede tomar como expresada únicamente sobre una vecindad finita y de extensión menor al dominio de la imagen. De esta manera la operación dada por (V.38) es una operación de vecindad y no una operación regional. De cualquier manera, dependiendo de las características de h, dicha vecindad es de tamaño variable: desde un pixel, donde simplemente no hay filtraje, hasta el tamaño de la imagen misma, en donde la relación (V.38) implica que la interacción mencionada se hace con todos los pixels de ésta. V.3.1 Filtros pasa bajas, pasa banda y pasa altas Para un filtraje ideal pasa bajas la transformada de Fourier de la función de transferencia h satisface las condiciones dadas en la relación (V.10), aunque, si bien por razones del desarrollo subsecuente tomaremos una función de filtraje similar pero con kernel separable y dada por la siguiente expresión 1, para 1   , 2   H pb ( 1 , 2 )   0, de otra manera

(V.39)

donde  y  son las frecuencias de corte en las direcciones 1 y 2 respectivamente del espacio de frecuencias. La representación geométrica de la expresión (V.39) es similar a la de la figura V.2b, haciendo notar que se está empleando un kernel separable (Hpb en forma de paralelepipedo) en (V.39). Como ya se mencionó en el apartado V.2.1, la representación de Fourier de la función de transferencia hpb de este filtro ideal, comprende un número infinito de términos. Para cortar esta serie a una cantidad manejable en computadora, se introduce una truncación de la función hpb por medio de la multiplicación de lo que se conoce como función ventana y que está dada por

Filtros

1  , para  a  n 1  a y  b  n 2  b  2 w (n 1 , n 2 )   (2a  1) (2b  1) 2 0, de otra manera 

301

(V.40)

Esta es una definición arbitraria y tal vez un poco extraña, pero es una definición conveniente como ya se verá más adelante. Los parámetros a y b, enteros positivos, proporcionan el tamaño de la ventana en las direcciones n1 y n2 respectivamente en el espacio de la imagen. Con la función ventana se genera una nueva función de transferencia truncada en el sentido espacial hw(n1,n2) = hpb(n1,n2)w(n1,n2)

(V.41)

La función de la ventana w es el de suavizar el efecto de truncación impuesto sobre la función de transferencia. Es factible emplear funciones ventana de formas más complejas para hacer más eficiente la truncación (Lu, 1992), si bien aquí se utiliza una definición sencilla con propósitos de estudio del método mismo. Analicemos ahora en detalle cómo opera la ventana w, tanto en el dominio de la imagen como en el dominio de las frecuencias, ya que esta ventana trae una modificación muy interesante a la función de filtraje Hpb. Dado que se ha construido un kernel separable asociado a Hpb, la función de transferencia hpb está dada por una doble función Sinc h pb (n 1 , n 2 ) 

sen (  n 1 ) sen (  n 2 ) n 1 n 2

(V.42)

Como se ve, esta función también es separable y satisface los criterios de estabilidad y causalidad. Ahora bien, al introducir una ventana sobre esta función de transferencia, se corta, a partir de un cierto punto, la serie infinita de lóbulos que tiene esta función; de hecho es factible escoger el tamaño de la ventana para que justamente englobe al lóbulo central de hpb. Tanto la ventana como la función sinc están centradas en el origen (figura V.2c), las consecuencias de esto son como sigue: la función hpb tiene su primer cero en /2n1 y /2n2, por lo que si se escoge el tamaño de la ventana para que precisamente contenga al primer lóbulo de la doble función sinc, dada por (V.42), entonces el primer cero queda obviamente en /2a y /2b. Por otro lado, si se adopta la convención que los lóbulos de segundo y orden mayor son de mucho menor importancia que el primero, entonces al escoger la ventana como se mencionó arriba, se trunca la función sinc y se establecen las frecuencias de corte del filtro  pb 

    y  pb 2a 2b

(V.43)

lo que genera un resultado interesante y lógico, ya que es posible calcular la frecuencia de corte a partir del tamaño de la ventana. Además cuando, a, b  0,  y   ; es decir, si el tamaño de la ventana es de un solo pixel no hay filtraje de ninguna especie, y si a, b   (tamaño de la imagen),  y   0, lo que implica que se tiene el valor

302


promedio de la imagen. Todo esto quiere decir que la función de transferencia está restringida a una función sinc que únicamente contiene el lóbulo central h w (n 1 , n 2 )  w (n 1 , n 2 )

 sen ( pb n 1 ) sen ( pb n2)

n 1

n 2

, n1  a y n 2  b

(V.44)

y en el dominio de las frecuencias la función respectiva del filtraje se escribe como sigue Hw = Hpb  W

(V.45)

donde W es la transformada de Fourier de la función ventana w. En la figura V.2c se aprecia el primer lóbulo dado por la relación (V.42) y en la figura V.2d, se muestra la función del filtraje original Hpb y sobrepuesta a ésta se encuentra una representación de Hw, la que es en realidad una aproximación de Hpb. La aproximación introducida por medio de una función ventana en el dominio de la imagen, trajo consigo una simplificación a la generación de la imagen filtrada por medio de una limitación a la serie de Fourier que representa la función de transferencia hpb. Además de esto se han suavizado las inflexiones abruptas que presenta la función de filtraje original Hpb. Con esto se disminuyen los artefactos que se introducen por la interacción coherente de los lóbulos negativos de hpb. Sin embargo, por otro lado, Hw presenta oscilaciones que no son convenientes para filtrar una imagen digital. Las oscilaciones provienen del hecho de que existe un cambio abrupto en el valor de hw en el punto donde su magnitud decrece a cero, esto es, en pb y pb . Con estos aspectos considerados continuemos el desarrollo matemático con el objeto de formular otra aproximación que mejore el comportamiento de la función Hw. El uso de la función ventana en el proceso de filtraje produce la siguiente ecuación para la imagen filtrada y  ( k , l) 

 f m



(k  m, l  n )h pb (m, n ) w (m, n )

(V.46)

n

Al aplicar la transformada de Fourier en ambos lados de la ecuación de arriba, y con el empleo del teorema de la convolución, la introducción de las propiedades definidas para la función de transferencia Hpb y también para la función ventana w, se obtiene después de algunas manipulaciones algebraicas, una ecuación simplificada para la imagen filtrada y  ( k , l) 

1

A

2

a

b

 f B MN 2

m a n  b

N

 (k

 m, l  n )

M



 n 1m

 exp2j M n1

n2



n 2 n   (V.47) N  

con j el número complejo (0,1), donde MN es el tamaño de una imagen rectangular y la exponencial representa una fase no óptica. Como se aprecia en la relación (V.47), las sumas sobre los índices m y n están restringidas al tamaño de la ventana: (2a + 1)(2b + 1), el cual, por simplicidad de este cálculo, se hace ahora igual a AB. En muchos casos

Filtros

303

se escoge a = b, lo que quiere decir que se tiene la misma frecuencia de corte para ambas direcciones del dominio espacial de la imagen. Desde el punto de vista físico, la imagen filtrada y debe tener únicamente valores positivos y enteros, ya que al generar una imagen digital se mide únicamente el valor absoluto de la radiación que proviene de la escena; en casos muy contados (algunas imágenes de radar por ejemplo) se mide también la fase involucrada. Sin embargo, en el miembro derecho de la ecuación (V.47) se tiene una fase no óptica, ya que la exponencial tiene un argumento complejo, que no tiene significado físico de acuerdo con lo explicado aquí. Debido a lo anterior, es necesario hacer una evaluación del término exponencial de la relación (V.47). Para esto se toman los valores absolutos en ambos lados de (V.47) para obtener lo siguiente 1

y  ( k , l) 

A

2

 f B MN 2

m

 (k

 m, l  n )

n



 n 1m

 exp2j M n1

n2



n 2 n   (V.48) N  

Para desarrollar esta última ecuación, con el objeto de obtener una expresión apropiada computacionalmente, se reordenan los términos y sumatorias con lo que se tiene y  ( k , l) 

1

2

A

 f B MN 2

m

n

n1

 (k

n2

  n m n n   m, l  n ) exp2j 1  2   (V.49) N    M

En este momento es necesario introducir una nueva aproximación para calcular las exponenciales de la ecuación de arriba, para esto se aplica la desigualdad de Schwarz y se tiene lo siguiente y  ( k , l) 

1

A

2

 f B MN 2

m

n

n1

n2

 (k

  n m n n   m, l  n ) exp2j 1  2   (V.50) N    M

Es bien sabido que el valor absoluto de una exponencial es siempre igual a uno, independientemente del argumento que contenga; por tal motivo, en la expresión de arriba, basta contar el número de unos que se tienen involucrados; como las sumatorias corren de 1 a M para n1 y de 1 a N para n2 y de -a  a y -b  b para los índices m y n respectivamente, el número de unos es precisamente (2a + 1)(2b + 1)MN, por lo que (V.50) se reduce a a

y  ( k, l) 

1 (2a  1)(2 b  1) m a

b

 f

 (k

 m, l  n )

(V.51)

n  b

si bien el valor absoluto puede descartarse, ya que los valores de los pixels son siempre positivos. Este último resultado representa un hecho importante, ya que a partir de la relación básica para la transformación de una imagen empleando la validez del teorema de la convolución e introduciendo las propiedades básicas de un filtro ideal pasa bajas,

304


se llega a la conclusión de que éste puede expresarse aproximadamente como el promedio de los valores de los pixels contenidos en una ventana espacial de tamaño (2a + 1)(2b + 1). En otras palabras es factible escribir la expresión (V.51) simplemente como a

y  ( k, l) 

1 (2a  1)(2 b  1) m  a

b

 f

 (k

 m, l  n )

n  b

Además de lo anterior, existe una clara relación entre el tamaño de la ventana y la frecuencia de corte. El desarrollo anterior amerita varias explicaciones: en primer lugar, las oscilaciones que presenta Hw son debidas explícitamente al término exponencial de la ecuación (V.47); al evaluar el valor absoluto de éste, se introduce una especie de promedio de tales oscilaciones, lo que mejora el comportamiento de la función de filtraje Hw. Además, la función ventana w introduce un corte en la representación en series de Fourier de la función de transferencia hpb; el error producido por este corte no sobrepasa (Lu, 1992) el 9%. En el razonamiento de arriba se eligió una ventana rectangular en forma de paralelepipedo con valor constante; sin embargo, pueden elegirse otras formas que conducen a otros filtrajes, como se verá más adelante al generalizar la relación (V.51). Por otro lado, la doble sumatoria de la expresión (V.51) genera una serie que converge rápidamente, lo que implica que el filtro involucrado es estable. La frecuencia de corte sólo se establece en pasos discretos como lo expresan las ecuaciones (V.43), y para evitar errores innecesarios es conveniente escoger ventanas de tamaño impar con el objeto de que el valor a ser substituido sea el del pixel central. De esta manera, la expresión (V.51) es finalmente un caso específico de la (V.37). Con los resultados anteriores es relativamente fácil obtener las expresiones aproximadas para los filtros pasa altas y pasa bandas siguiendo, evidentemente, un procedimiento similar al ya presentado. La función de filtraje de un filtro ideal pasa altas se define de la siguiente manera 1, para 1   y 2   H pa ( 1 , 2 )   0, de otra manera

(V.52)

De acuerdo con lo anterior, es claro que los filtros pasa alta y pasa bajas se complementan precisamente, por lo que satisfacen lo siguiente Hpb(1,2) + Hpa(1,2) = 1,  (1,2)

(V.53)

Al emplear la definición (V.52) junto con los resultados ya anotados para el filtro pasa bajas y después de una serie de manipulaciones algebraicas, se llega a una relación aproximada para el filtro pasa altas a

g  ( k , l)  f  ( k , l) 

1 ( 2a  1)(2 b  1) m   a

b

 f n b

 (k

 m, l  n )

(V.54)

Filtros

305

Donde g es la imagen filtrada. Siguiendo un razonamiento similar al caso anterior, se ve claramente que las frecuencias de corte en las direcciones del espacio de frecuencias son las que siguen  pa 

    y  pa 2a 2b

(V.55)

que, debido a la complementariedad mencionada (ecuación V.53), tienen que ser igual a la frecuencia de corte del filtro pasa bajas. No debe haber confusión por esto sin embargo: las frecuencias de corte son las mismas para ambos filtros, no así la expresión para evaluarlos. Para calcular las expresiones necesarias relativas al filtro pasa bandas, basta con extender la metodología desarrollada hasta ahora. Al tomar un filtro pasa bandas, las funciones de filtraje de éste, del pasa altas y del pasa bajas cumplen con lo siguiente Hpb(1,2) + Hpbn(1,2) + Hpa(1,2) = 1,  (1, 2)

(V.56)

en donde se satisfacen las siguientes condiciones para las funciones de filtraje: para el filtraje pasa bajas 1, para 1   y 2   H pb ( 1 , 2 )   0, de otra manera

para el filtraje pasa bandas 1, para   1   ' y   2   ' H pbn (1 , 2 )   0, de otra manera

(V.57)

y para el filtraje pasa altas x 1, para  '  1  m y  '  2  my H pa ( 1 , 2 )   0, de otra manera

donde im es el máximo contenido de frecuencias de las variaciones espaciales de los valores de los pixels en la imagen digital en las direcciones x, y. Al aplicar entonces las técnicas desarrolladas en esta sección, se tiene que la expresión para una imagen filtrada con una función de filtraje pasa bandas, es la siguiente x  ( k, l) 

1 A 2 B2

a2

b2

 

a

f  ( k  p, l  q ) 

p  a 2 q   b2

1 1 A 1 B1 m a

b1

 f 1

 (k

 m , l  n ) (V.58)

n   b1

En este caso se tienen dos conjuntos de frecuencias de corte :  ,  ' y  ,  ' ,

306


dos ventanas [a1,b1] y [a2,b2] donde la primera contiene a la segunda y Ai = 2ai + 1, Bi = 2bi + 1; la relación entre estos parámetros es la siguiente  pbn 

y 

 pbn

  ' ,  pbn  2a 1 2a 2

  ' ,  pbn   2b 1 2b 2

(V.59)

' '  pbn y pbn  pbn , lo que implica que a2 < a1 y b2 < b1. Hay y por definición pbn

que hacer notar que los tres filtros estudiados hasta ahora están basados en el promedio dado por la relación (V.51) por lo que fácilmente se evalúan con el mismo algoritmo computacional. V.3.2 Filtro de correlación espacial Otro filtro que opera en el dominio espacial y que es conveniente estudiar es el que se conoce como filtro de correlación espacial y que requiere de algunas hipótesis acerca de la simetría de los patrones espaciales de la imagen digital. Este filtro es una transformación de filtraje de tipo adaptable que toma como base de operación la suposición de que si se observa el perfil de niveles de los pixels, de un borde o de una línea de la imagen, a lo largo de la dirección x o y, la gráfica resultante debe mostrar una función par o una función non. Esto implica que los patrones espaciales en la imagen digital deben tener simetría axial o circular, situación que podría considerarse como una restricción demasiado fuerte; sin embargo, como el filtraje se lleva a cabo por medio de una ventana espacial, opera en realidad como una transformación local, por tanto casi cualquier discontinuidad de cierto nivel en el perfil de una imagen, con una anchura menor al tamaño de la ventana, es vista por el filtro como una función par o non dependiendo del perfil particular. El filtro de correlación espacial aplicado a una imagen descrita por la secuencia {r(k,l)} cuya transformada de Fourier es R(1,2), se define como un filtro que tiene una función de transferencia hce(k,l) y una función de filtraje dadas por las siguientes relaciones hce(k,l) = Kr(k - d1,l - d2)

y H ce (1 ,  2 )  K

 r (k  d , l  d 

k

l

1

2

 l    k ) exp 2j 1  2   M N   

(V.60) (V.61)

donde K es una constante real, d1, d2 son traslaciones espaciales equivalentes a un retardo en el tiempo y todos ellos son parámetros fijos y dados en un filtraje específico. Sin embargo, de acuerdo con la propiedad de shifting, la función de filtraje se reescribe como

Filtros

  d   d H ce (1 ,  2 )  K exp 2j 1 1  2 2  R (1 ,  2 ),   N   M 

307

(V.62)

Esta ecuación claramente establece que la función de filtraje es en realidad la transformada de Fourier de la imagen a la cual está correlacionada. También nos dice que están involucrados factores de amplitud y de fase dados por K y por (1d1 + 2d2) respectivamente; de cualquier manera estos factores no influyen en la naturaleza de la función de filtraje Hce. La posibilidad de expresar dicha función de esta manera representa un resultado interesante, dado que un filtro de correlación espacial aplicado a una imagen {r(k,l)} contaminada por ruido aditivo genera una imagen de salida que tiene una razón máxima (Lu, 1992) de la amplitud pico de r con respecto al ruido r.m.s. De aquí que un filtro de correlación espacial tenga aplicaciones importantes en subáreas del análisis digital de imágenes en donde se desean realzar patrones espaciales inmersos en ruido. Recordemos ahora que para un sistema lineal invariante frente a traslaciones, se tiene la validez de teorema de convolución, por lo que, para el caso particular de un filtro de correlación espacial, la imagen filtrada está dada por u  ( k , l) 

1 N g ( 2a  1)(2 b  1) d

a

b

  r (k  d , l  d 

1

2 )r ( k

 d 1 , l  d 2 ) (V.63)

1 a d 2  b

para dos desplazamientos diferentes d1, d2 en las direcciones x, y respectivamente. Esta última ecuación nos dice que el filtraje es equivalente a realizar la suma ponderada de todos los pixels que se encuentran en la ventana [2a+1,2b+1], donde los factores de peso están dados directamente por la misma imagen de entrada. El factor de normalización es 1/Ng(2a+1)(2b+1), donde Ng es el máximo valor de los pixels de la ventana, aunque si bien también puede emplearse el máximo valor de la imagen, el empleo de una u otra convención depende del contraste deseado en la imagen filtrada. Para analizar la naturaleza del promedio de los términos producto dado por (V.63), recordemos que se supuso que un perfil de la imagen original podría verse como una función non o par; de esta manera consideremos a la imagen de entrada como conjugada simétrica re ( k , l )  re ( k , l )

(V.64)

ro ( k , l)   ro (  k.  l)

(V.65)

o como conjugada antisimétrica

Por otro lado es bien sabido (Arfken y Weber, 1995) que cualquier imagen puede expresarse como la suma de una parte conjugada simétrica con una conjugada antisimétrica r ( k , l )  re ( k , l )  ro ( k , l )

(V.66)

308


Donde re (k , l) 

[r (k , l)  r (k ,l)] 2

y ro (k, l) 

[r (k, l)  r (k,l)] 2

(V.67)

De aquí que cuando se substituyen estas dos últimas expresiones en la ecuación (V.63), se obtenga lo siguiente u  ( k , l)  K

[ r

e  (k

d1

 d 1 , l  d 2 )  ro ( k  d 1 , l  d 2 )] 

d2

[ re ( k  d 1 , l  d 2 )  ro ( k  d 1 , l  d 2 )]

(V.68)

Además de lo anterior debemos tener en cuenta que, para sistemas lineales invariantes frente a traslaciones, la transformada de Fourier de la función de correlación cruzada de dos imágenes está dada por la transformada de Fourier de una imagen multiplicada por el conjugado complejo de la transformada de Fourier de la otra imagen F {C r r

e o

}  R e R o

(V.69)

La transformada de Fourier de la función de autocorrelación de una imagen es igual al cuadrado del valor absoluto de la transformada de Fourier de tal imagen

 

F Ar  Ri

2

i

(V.70)

la cual, para funciones deterministas, es llamada el espectro de potencia S ri . En las dos últimas relaciones C r e r o significa correlación cruzada y A ri autocorrelación. Ahora bien, la correlación cruzada de re y ro es igual a cero ya que son ortogonales porque así fueron construidas; entonces al aplicar los resultados de las ecuaciones (V.69) y (V.70) el espectro de potencia de la imagen filtrada se escribe como sigue 2

U  (1 , 2 )  S r e (1 , 2 )  S r o (1 , 2 )

(V.71)

lo que quiere decir que, dependiendo de si la imagen de entrada es par o non, a lo largo de la dirección x o y, el espectro de potencia de la imagen es S r e o S r o en el punto donde cruza el eje de simetría del patrón espacial, presenta un máximo o un mínimo en ese punto. En algunos casos el tamaño de la ventana es menor al tamaño del patrón espacial presente en una imagen digital; para estos, el espectro de potencia representa un realce de las fronteras de tal patrón. En otros casos, cuando el tamaño de la ventana es comparable al tamaño del patrón, el espectro de potencia (ecuación V.71) quiere decir que no solamente la frontera es realzada, sino que también se genera un máximo o un mínimo en el eje de simetría del patrón considerado. En este último caso, todos aquellos patrones espaciales con un cierto grado de simetría son verdaderamente delineados con

Filtros

309

respecto al resto de la imagen digital. Todos estos razonamientos constituyen el factor primordial para nombrar a esta operación como filtraje de correlación espacial. Conviene aclarar algo más sobre el comportamiento computacional de los filtros para proceder después a estudiar el filtraje por medio de ventanas desde un punto de vista más amplio. El filtraje de una imagen es una transformación que se desarrolla de dos maneras equivalentes: empleando métodos en el espacio de frecuencias o por medio de operaciones en el dominio espacial. Las técnicas de procesamiento en la primera categoría están basadas en las manipulaciones que se le hacen a la imagen con la transformada de Fourier. Por otro lado, el dominio espacial es referido al plano de la imagen por sí misma y las aproximaciones en esta categoría están relacionadas directamente al manejo de los pixels de la imagen. Como ya se mencionó anteriormente, el fundamento de las técnicas en el dominio de frecuencias se basa en la validez del teorema de la convolución; así, una imagen filtrada se expresa como la convolución de la imagen original con el operador que caracteriza la función de transferencia o, equivalentemente, referida al dominio de frecuencias la imagen filtrada está dada por y  (k, l)  F 1 F (1 ,  2 )H(1 ,  2 )

(V.72)

Esta relación cubre los filtros pasa bajas, pasa bandas y pasa altas; para el caso explícito del filtro de correlación espacial, la expresión respectiva es como sigue    d    d u  (k , l)  F 1 KR 2 (1 ,  2 ) exp 2j 1 1  2 2   N    M  

(V.73)

Para filtrar una imagen se requiere por tanto conocer la respuesta en frecuencia de la función de filtraje H. Si este es el caso, se puede entonces obtener una representación discreta de H por muestreo (Ekstrom, 1984) de su versión analítica sobre un arreglo de M x N elementos, donde cada elemento es una cantidad discreta. Cuando la respuesta en frecuencia no es conocida (o no se maneja) explícitamente, es decir cuando la forma de h no se conoce analíticamente, los valores de los pixels constituyen los únicos datos disponibles para generar cualquier tipo de filtraje. En tales circunstancias, las técnicas en el dominio espacial son verdaderamente una herramienta poderosa que permite, en una forma relativamente simple y razonable, el aplicar una variedad de filtros sin tener que ir al dominio de las frecuencias. Como ya se anotó en la relación (V.37), la técnica en el dominio espacial consiste básicamente en definir un kernel sobre un conjunto de pixels que pertenecen a una subregión conectada simple; el resultado de la operación substituye el valor de un miembro predeterminado del conjunto de pixels de la subregión. Muchos filtros han sido diseñados directamente en el dominio espacial (Mastin, 1985) y para los cuales no se tiene la contraparte en el dominio de las frecuencias; sin embargo, en varias ocasiones interesantes se cuenta con suficiente información para aplicar el filtraje en ambos dominios, o bien el kernel del dominio espacial puede ser obtenido a partir de la función de transferencia del filtro original. Estos hechos nos conducen hacia una dirección donde es necesario establecer la siguiente declaración: Aun cuando la mayoría de los algoritmos para procesamiento de imágenes, específicamente los de filtraje, tienen características de simplicidad desde el punto de

310


vista matemático y computacional, en varios casos se requiere de una larga secuencia de pasos sencillos que deben ser ejecutados para obtener un sólo pixel de salida; en esta etapa, dicha secuencia debe ser repetida muchas veces para procesar la imagen completa. Además de esto, algunos de los algoritmos son de naturaleza iterativa con la intención de optimizar los parámetros involucrados en el proceso de filtraje. Es aquí donde la decisión de aplicar la transformación de filtraje en uno u otro dominio, redunda ya sea en forma positiva o negativa en el balance costo/comportamiento como una función de una aplicación dada. Se requiere entonces definir un conjunto de criterios cuantitativos que permitan la elección de la mejor alternativa de acuerdo con las características de las demandas de información y al tiempo de procesamiento computacional. Desde el punto de vista computacional, un buen criterio para la comparación de algoritmos es la estimación del número de operaciones requeridas por cada algoritmo, suponiendo que aquellas y el sistema computacional operan bajo condiciones óptimas. Al estimar el número de operaciones, se observa en general que para imágenes de regular tamaño (256 o 512 pixels por lado), y suponiendo un kernel separable con un algoritmo recursivo, las técnicas en el dominio espacial tienen un mejor comportamiento (ventanas 3  3, 5  5 y 7  7) que aquellas que trabajan en el dominio de las frecuencias; la única excepción a esta regla es para el filtraje de correlación espacial. Para ventanas de 7  7 el tiempo de computación es comparable en ambos dominios siendo un poco favorable al de las frecuencias. Cuando se toman ventanas de 9  9, 11  11 y mayores, el dominio de las frecuencias es decididamente la mejor opción. Al procesar imágenes de mayor tamaño, 1024  1024 o mayores, es preferible hacer el filtraje vía la transformada de Fourier; más detalles de esta comparación se encuentran en Richards y Jia (1999). Es necesario puntualizar que la comparación arriba mencionada es válida cuando se tiene un algoritmo de transformada de Fourier operando directamente en la memoria de la computadora. Hasta ahora hemos desarrollado expresiones generales para filtrajes de imágenes digitales, y en cuanto a filtros en el dominio espacial, éstos han sido estudiados a partir del teorema general de la convolución, es decir, a partir de los primeros principios de sistemas lineales invariantes frente a traslaciones. Al tener la función filtro: el kernel o la función de transferencia, es factible decidir el mejor dominio en el cual aplicar el filtraje y además de esto, se puede manejar explícitamente la frecuencia de corte en función del tamaño de la ventana. Una modificación adecuada a la función ventana w con el objeto de introducir factores de peso para los pixels pertenecientes a ésta, permite el estudio de filtros lineales, semilineales y no lineales (Mastin, 1985) tales como el filtro de media, el del promedio de los k-próximos vecinos, el de gradiente inverso, el de sigma y el de mediana, todos ellos trabajando en el dominio espacial y con una estructura análoga a los ya estudiados. Hagamos ahora una revisión de dichos filtros. V.3.3 Filtro de media En este filtro se evalúa el promedio de valores de los pixels de una cierta ventana; el resultado substituye el valor del pixel central de ésta. Para una ventana de imagen de dimensión 3  3

Filtros

311

23 28 27 20 29 25 20 24 28

El resultado del filtro sería 25. Para ventanas de tamaño par es necesario introducir un corrimiento de 1/4 de pixel en ambas direcciones x, y, lo cual significa un pequeño error en el resultado de la imagen filtrada; casi siempre se emplean ventanas impares. En un algoritmo recursivo no es necesario calcular el promedio de toda la ventana cada vez que ésta se desliza un pixel, sino que simplemente se actualiza en cada desplazamiento horizontal o vertical. El filtro de media es muy útil para ejecutar el filtraje pasa altas, pasa bajas o pasa bandas de acuerdo con los lineamientos de la sección anterior, donde incluso se da la relación entre la frecuencia de corte y el tamaño de la ventana (ver ecuaciones V.51, V.54 y V.58). Para finalizar diremos que este es un filtro lineal. V.3.4 Filtro binomial El filtro de media está definido por medio de un kernel cuyos factores de peso son iguales sobre una ventana cuadrada de tamaño impar. Es decir, en el espacio de la imagen el filtro de media es una operación de convolución realizada sobre la imagen empleando la ventana 1,  a  n 1  a y  b  n 2  b w ( n1 , n 2 )   0, de otra manera

Por lo que es posible demostrar (sección V.3.1) que el resultado del filtraje de la imagen f se expresa aproximadamente como g(k,l) = f(n1,n2)  w(n1,n2) =

1 (2a  1)(2b  1) n w n

 f 1

 (k

 n1 , l  n 2 )

2 w

Es decir para cada posición (k,l), la convolución se reduce a un promedio de los valores de los pixels de f contenidos en la ventana w. La función de transferencia asociada a esta ventana está expresada por una doble función sinc W ( x ,  y ) 

sen (a x ) sen (b y )  x  y

Al igual que en la ecuación (V.42) las frecuencias x, y y están expresadas en radianes. Tal como se discutió en la sección V.2.1, las oscilaciones positivas y negativas de los lóbulos de la función sinc introducen artefactos en la imagen filtrada; el efecto es sin embargo muy pequeño pudiendo apreciarse en imágenes con patrones regulares de textura. Para evitar los artefactos introducidos por la interacción coherente de los

312


diversos lóbulos de la función sinc es necesario construir una función de transferencia que decaiga a cero suavemente. Para satisfacer esta condición es necesario, en primera instancia, que los factores de peso del templete correspondiente decaigan gradualmente a cero hacia la periferia de la ventana. En segunda instancia la función filtro debe presentar únicamente un lóbulo central. En el filtro binomial, la construcción de esta función se realiza a partir del siguiente primitivo: h 1x  [1 1] / 2 , con el que se genera una secuencia de filtros unidimensionales de acuerdo con la siguiente convolución h ax  h 1x  h 1x  ... h 1x , donde el tamaño de la ventana es a + 1. Con este diseño se obtiene la siguiente secuencia de templetes h 2x 

1 1 1 1 [1 2 1], h 3x  [1 3 3 1], h 4x  [1 4 6 4 1], h 5x  [1 5 10 10 5 1] 4 8 16 32

que constituyen funciones filtro unidimensionales en la dirección x y que satisfacen las condiciones arriba planteadas. Las funciones filtro unidimensionales en la dirección y son iguales a las transpuestas de las anteriormente planteadas para la dirección x. La construcción de un filtro bidimensional se realiza a partir de la convolución de dos filtros de la misma dimensión pero en direcciones perpendiculares, es decir h axy  h ax  h ay . Al restringir los templetes a que ocupen ventanas de tamaño impar se obtiene la siguiente secuencia de funciones filtro, para ventanas de 3  3, 5  5 y 7  7

h 2xy 

h 4xy

h 6xy

1 2 1 1  1 1 1  [1 2 1]  2  2 4 2 4 4 16  1 2 1 1 

1 4 6 4 1 1  4 16 24 16 4 4   1  1 1   6 24 36 24 6  [1 4 6 4 1]  6   16 16   256   4 16 24 16 4 4  1 4 6 4 1 1 

6 15 20 15 6 1  1 1  6  6 36 90 120 90 36 6      15  15 90 225 300 225 90 15  1  1 1     [1 6 15 20 15 6 1]  20  20 120 300 400 300 120 20 4096  64 64 15  15 90 225 300 225 90 15       6  6 36 90 120 90 36 6   1 1 6 15 20 15 6 1    

Filtros

313

Debido a que el kernel de un filtro binomial es separable, es mas económico realizar la operación de filtraje secuencialmente sobre cada dirección, que realizarlo de manera bidimensional directamente. Para una ventana de imagen de 3  3 23 28 27 20 29 25 20 24 28

El resultado del filtro sería 25. La función de transferencia es la transformada de Fourier de la función filtro cuya expresión matemática en una dimensión es h ax 

1 2

2a

2a! , r  a ,  a  1, ... a (a  r )!(a  r )!

(V.74)

donde a define el tamaño de la ventana, es decir el número total de elementos de ésta es de 2a + 1. Debido a que la función filtro h ax es generada por una sucesión de convoluciones del primitivo h 1x  [1 1] / 2 , en el espacio de frecuencias la función de transferencia está dada por un número a de multiplicaciones de H ax  F {h ax } . La función filtro es un escalón normalizado por el factor 1/22a, por lo que su transformada de Fourier produce H 2x a ( x ) 

1  sen (a x )    2 2 a   x 

2a

Entonces, en dos dimensiones para una ventana rectangular se tiene H

2 ab xy

( x ,  y ) 

1 2 2(a  b)

 sen (a x )      x 

2a

 sen (b y )      y 

2b

(V.75)

donde el tamaño de la ventana es 2a + 1 en la dirección x, y 2b + 1 en la dirección y, con a y b enteros positivos. En muchas ocasiones la ventana es cuadrada de tamaño impar, es decir a = b. El comportamiento de esta función de transferencia es mejor que el del filtro de media ya que los lóbulos secundarios son muy pequeños haciendo despreciable el fenómeno de interacción coherente. V.3.5 Filtro gaussiano El filtro gaussiano se define con base en la expresión para una gaussiana donde la variación de factores de peso es directamente proporcional a la desviación estándar  de tal gaussiana expresada por

314


G ( x, y ) 

1 2

e



x2  y2 2 2

(V.76)

A partir de la expresión (V.76) se obtiene una ventana de factores de peso cuya convolución con la imgen produce el filtro gaussiano; para una dimensión de 3  3, despreciando el factor de normalización de la gaussiana, se tiene 1 1 1 1  1 2 1 10  1 1 1

Por lo que si la ventana de una imagen tiene los valores 23 28 27 20 29 25 20 24 28

El filtro gaussiano produciría un valor de 25. V.3.6 Filtro de mediana En este filtro (Huang, 1981, Vol. 43) se obtiene la mediana de los valores de los pixels de la ventana y se substituye el pixel central por el resultado. Así por ejemplo, si se considera la siguiente ventana 18 15 10 9 11

11 12 14

9

la mediana es 11.0, mientras que el promedio es 12.1; en algunas ventanas, debido al redondeo introducido en cálculos digitales, ambos filtros (mediana y de media) pueden coincidir. Sin embargo, el tiempo de ejecución es muy diferente ya que si bien en ambos es factible emplear un algoritmo recursivo (Rosenfeld y Kak, 1982, Vol. 2), en el de mediana siempre se requiere ordenar los valores de la ventana cada vez que ésta se desplaza. La desventaja principal del filtro de mediana es la borrosidad que introduce en líneas delgadas y esquinas; para evitar esto se introduce una variante que consiste en obtener la mediana sobre una ventana de forma de cruz 15 9 11 12 14

Filtros

315

Con esta ventana el resultado del ejemplo anterior sería 12. El filtro de mediana tiene un comportamiento apropiado en la eliminación de ruido, especialmente cuando éste se presenta en forma de moteado en la imagen digital. En general en este filtro, si el número de elementos de la ventana es q (q = 9 en el ejemplo de arriba), entonces la mediana está dada por el elemento cuya posición relativa es la (q + 1)/2, por lo cual todos aquellos patrones (lineales o puntos) que tengan una dimensión menor de (q - 1)/2 pixels serán eliminados de la imagen. Sin embargo, este filtro muestra tener buenas propiedades para preservar (lámina 41) los bordes y las líneas de cualquier clase de imagen digital, lo que no es el caso del filtro de media en donde los bordes se hacen borrosos después del filtrado. Claramente, las propiedades arriba mencionadas dependen directamente del tamaño de la ventana. Mayores detalles acerca de las propiedades estadísticas y deterministas del filtro de mediana se encuentran en Huang (1981, Vol. 43), en donde entre otras cosas se establece su naturaleza no lineal. Una generalización del filtro de mediana es el filtro de rango, en este filtro se selecciona el i-ésimo pixel de la secuencia ordenada de valores de una ventana de dimensión m  n, donde 1  i  mn. En el ejemplo anterior si i = 3, el filtro de rango tendría un valor de 11. V.3.7 Filtro de k-próximos vecinos En un intento por evitar la borrosidad introducida por filtros como el de media, el binomial y el gaussiano, se propone el promedio solamente sobre aquellos pixels que satisfacen un cierto criterio; a partir de esta idea se produce el filtro de k-vecinos. El filtro de k-próximos vecinos se clasifica como semilineal, ya que si K es el operador correspondiente y f y g son dos imágenes cualesquiera, se tiene  K {f }  K {g}

K(f+g}

ó

(V.77)

 K {f }  K (g}

La igualdad o desigualdad se presenta de acuerdo al arreglo de pixels de la ventana. La operación K se define como sigue: el pixel central de la ventana correspondiente se reemplaza por el promedio de aquellos k primeros pixels vecinos cuyos valores son los más cercanos con respecto al central. Así por ejemplo, si se tiene la ventana 23 28 27 20 29 25 20 24 28

y si k = 6, entonces el promedio se realiza con los pixels: 23, 24, 25, 27, 28, 28, por lo que el pixel central (29) se reemplaza por el valor 26, después de haber redondeado al entero más próximo. El parámetro k no es mayor al número de pixels de la ventana: k  (2a + 1)(2b + 1) – 1, ya que el pixel central de ésta no es considerado en el promedio. Con el objeto de comprender la naturaleza semilineal de este filtro expresada en la

316


relación (V.77), supóngase que a partir de dos imágenes se extraen las siguientes ventanas 1 2 2 4 5 5 0 1 1 1 0 0 f1 = 1 3 1 , g1 = 3 6 2 , f2 = 0 1 1 , g2 = 1 1 0 2 1 2 4 5 5 0 0 0 1 1 1

Es claro que, con k = 3, K{f1 + g1} = K{f1} + K{g1}, pero K{f2 + g2}  K{f2} + K{g2}, de aquí la naturaleza semilineal de este filtro. En cuanto a las propiedades básicas de este filtro, es claro que si una ventana dada engloba pixels de la misma clase, el filtro de k-vecinos tiene un comportamiento óptimo con un promedio y una varianza asociada a la de dicha clase. Si la ventana se desplaza a otras regiones de la imagen donde se encuentren otras clases, entonces dichos momentos estadísticos tienden a los de la mezcla de éstas. Si el tamaño de la ventana y el número k son tales que se refieren al ancho de la transición de una clase a otra, es de esperarse entonces que el valor de la operación esté comprendido en dicha transición y que la varianza asociada sea también del orden de aquella. Debido a esto, el filtro de kvecinos tiene un buen comportamiento en la preservación (lámina 42) de bordes en el proceso de eliminación de ruido (moteado) de imágenes digitales. Este filtro depende evidentemente del tamaño de la ventana y de k; debido a esto y a lo arriba anotado, es factible diseñar algoritmos iterativos cuyos resultados muestran hasta ahora que una o dos iteraciones donde se incremente el tamaño de la ventana y se reduzca k, parecen indicar un comportamiento óptimo del filtro. De acuerdo con la experiencia, los valores más convenientes son: ventanas de 3  3 a 5  5 y k = 6 - 11. V.3.8 Filtro sigma El filtro sigma se clasifica también como semilineal, en donde el pixel central se substituye por el valor promedio de aquellos pixels que se encuentren dentro de dos desviaciones estándar del pixel central. Esto quiere decir que es necesario construir la distribución de valores de los pixels de la ventana y a partir de aquí evaluar la desviación estándar de éstos. Entonces si el valor del pixel central es pc y la desviación estándar es , el promedio se realiza de la siguiente manera ps 

1 Op

p i

i

(V.78)

S

donde S es el conjunto cerrado S  {pi|pi, pc  ℕ, pc  2  pi  pc + 2}

(V.79)

y O es el orden este conjunto; el resultado de la operación (V.78) es ps el cual substituye al pixel central pc. El pixel central no es considerado en la operación de promedio. Una posible variante de este filtro es que, en lugar de dos desviaciones estándar, se

Filtros

317

emplee un cierto múltiplo t donde t es un número real no negativo. En algunos casos se aplica también un umbral a la distribución de valores de la ventana con el objeto de eliminar ruido de bajo nivel. En forma similar al filtro de k-vecinos, también es posible emplear algoritmos iterativos, incrementando el tamaño de la ventana (digamos a partir de 3  3 pixels) y reduciendo el intervalo asociado al conjunto S; una o dos iteraciones son en general suficientes. El filtro sigma muestra tener un buen comportamiento (lámina 43) para eliminar ruido gaussiano que no está correlacionado con la imagen original, si bien la estimación de  puede ser pobre para ventanas menores de 7  7. Estudiemos ahora un ejemplo de como trabaja este filtro; supóngase que se tiene la siguiente ventana 74 70 69 73 82 80 79 81 82

El valor de la desviación estándar es 4.89 por lo que de acuerdo con la definición del filtro sigma los valores 70 y 69 no se consideran para el promedio ps que, para los pixels restantes es, ps = 78, el cual substituye al pixel central 82. V.3.9 Filtro de gradiente inverso En este filtro semilineal se supone que la variación de los valores de los pixels de una clase es relativamente pequeña comparada con la variación entre clases vecinas. De esta manera, el valor absoluto del gradiente es pequeño dentro de cada clase y grande en la frontera entre ellas; con esta base se construye entonces un algoritmo que elimina el ruido preservando lo más posible los bordes y las líneas de una imagen. Como este filtro se basa en el inverso del valor absoluto del gradiente, aquellas regiones de la imagen relativamente planas contribuyen más a los factores de peso involucrados en el filtro respectivo; en zonas de cambios abruptos los factores de peso son cercanos a cero, con lo que prácticamente no hay filtraje. Recordemos que, de acuerdo con lo expuesto en la sección V.3, cuando dichos factores son cercanos a uno se tiene un filtraje pasa bajas y cuando son cercanos a cero, el pixel central de la ventana tiende a conservarse. Veamos ahora cómo se define cuantitativamente el filtro de gradiente inverso. Primero, tómese una ventana de 3  3 cuyo pixel central tiene las coordenadas (i,j), después, defínase en esta ventana la siguiente métrica para el gradiente inverso  1 (i, j; k , l) 

1 p( i  k , j  1)  p(i, j)

(V.80)

donde los índices (k,l) toman los valores -1, 0, 1, pero no cero al mismo tiempo. Ahora bien, es necesario imponer ciertas restricciones a la definición (V.80). En primer lugar, si se tiene que p(i + k,j + l) = p(i,j), -1 sería infinito, en cuyo caso se le redefine como 2 únicamente, de tal forma que el intervalo que realmente puede tener -1 es [2,0) y nótese que éste es cerrado por la izquierda y abierto por la derecha. La segunda restricción que hay que imponer en la definición (V.80) es que es necesario realizar una

318


normalización en el proceso de filtraje para que los valores de salida estén en el mismo intervalo de la imagen original. Los pixels de la imagen filtrada están dados por 1

p gi 

1

  w(i  k, j  1) p(i  k, j  1)

(V.81)

k  1 l  1

donde w es una matriz de factores de peso normalizados que está relacionada con el gradiente inverso de la siguiente manera w ( i  k , j  1) 

1  v (i, j; k, l)1  1 (i, j; k, l), k, l  1, 0, 1 2

(V.82)

donde [v(i,j;k,l)]-1 es el inverso de la suma de los valores de -1 menos el central de la ventana v. Es decir v comprende todos los pixels de la ventana con excepción del central p(i,j). Además, se define w(i,j) = 1/2 y el factor extra 1/2 que se antepone al miembro de la derecha de la ecuación (V.82) es para propósitos de normalización como ya se mencionó arriba. Veamos un ejemplo, supongamos que se tiene la ventana 67 69 72 71 63 68 70 69 65

Entonces el gradiente inverso aquí definido es 1/ 4 1/ 6 1/ 9 

1

 1/ 8 4 / 2 1/ 5

1/ 7 1/ 6 1/ 2

El inverso de la suma de los valores sobre v es [v(i,j;k,l)]-1 = 0.60157 y finalmente el valor del pixel de salida es pgi = 65, que substituye al central 63. El filtro de gradiente inverso muestra un buen comportamiento en la preservación de bordes para eliminar ruido, especialmente el aditivo; este filtro trabaja eficientemente cuando existe un buen contraste en los bordes de la imagen. V.3.10 Filtro de ventana rotatoria Una manera de evitar la borrosidad de bordes, líneas y esquinas introducida por filtros como el de media y sigma es emplear una vecindad que rota alrededor del pixel bajo prueba de filtraje. Sea una ventana cuadrada impar w y sea una ventana u de forma variable pero de área constante, tal que u  w. La ventana u se considera rotatoria

Filtros

319

alrededor del pixel central de la ventana w de acuerdo con las ocho direcciones del código de Freeman. Se calcula el promedio de los pixels en cada posición de la ventana rotatoria y se asigna el pixel en la imagen filtrada como aquel del mínimo promedio. En el siguiente ejemplo se ilustra este proceso donde w = 5  5 pixels 53

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71

76

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114 103 110 98

95

114 103 110 98

95

114 103 110 98

95

71

87

71

87

71

87

67

70

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Dirección 0

67

70

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Dirección 1

67

70

72

Dirección 2

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114 103 110 98

95

114 103 110 98

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114 103 110 98

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71

87

71

87

67

70

72

Dirección 3

67

70

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Dirección 4

67

70

72

Dirección 5

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55

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50

49

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55

49

50

49

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49

50

49

51

55

50

48

50

51

55

50

48

50

51

55

50

48

50

71

76

75

56

48

71

76

75

56

48

71

76

75

56

48

114 103 110 98

95

114 103 110 98

95

114 103 110 98

95

71

87

71

87

71

87

67

70

72

Dirección 6

67

70

72

Dirección 7

67

70

72

Centro

La novena posición se presenta cuando las ventanas son concentricas e impares; en la posición del centro, la ventana u es de área diferente a las 8 direcciones previas. Los promedios en las nueve posiciones de la ventana u son: {67.14, 54.00, 54.57, 59.28, 77.85, 88.00, 85.00, 84.71, 74.55}, por lo que el valor del pixel en la imagen filtrada es 54. Para guardar las simetría en la ventana rotatoria es usual elegir a w como impar y cuadrada, tal como se muestra en el ejemplo anterior. V.3.11 Filtro de Lee aditivo El filtro semilineal concebido por Lee (1980) y después mejorado por él mismo (Lee, 1981) supone un ruido blanco aditivamente sobrepuesto a la imagen, con media  igual

320


a cero y una cierta varianza  2 . Por tal motivo la imagen resultante x se escribe x(i,j) = s (i,j) +  (i,j), (i,j)

(V.83)

Donde s(i,j) es la imagen original y (i,j) es el ruido aditivo. El diseño de este filtro es interesante ya que, además de lo anterior, se supone que la media y la varianza de la imagen original pueden obtenerse a partir de la media y la varianza locales de la imagen degradada, es decir que no se requiere de conocimiento a priori acerca del ruido, a diferencia de otros algoritmos donde se supone un modelo de autocorrelación para estimar la media y la varianza de la imagen original. La aproximación mencionada para este filtro se escribe como sigue x   s

y

(V.84)   E{(s  s ) }     ,(i, j) 2 s

2

2 x

2 

En otras palabras, la media de la imagen original coincide con la de la degradada, y la varianza de la imagen original puede obtenerse a partir de la imagen degradada y de la estimación global de la varianza del ruido. Debido a que  2x   s2   2 , la varianza de la imagen original se estima a partir de la degradada con el siguiente esquema  2   2 , si  2x   2  s2   x 0, de otra manera

En la operación de este filtro se construye una ventana sobre la cual se evalúa cada vez la media y la varianza locales. Además de esto, y antes de iniciar el algoritmo, es necesario realizar una estimación de la varianza asociada al ruido global de la imagen, lo que se lleva a cabo generalmente en forma interactiva seleccionando una región homogenea de la imagen donde se vislumbre claramente el ruido. Para ello se emplea el método descrito en el apartado VII.5.2 (véase figura VIII.25). Con estos datos se calcula lo que se conoce como factor de ganancia k (i, j) 

 s2 (i, j) , (i, j)  s2 (i, j)   2

(V.85)

que a su vez se aplica finalmente en el siguiente modelo de corrección de la imagen degradada s la (i, j)  s  (i, j)  k  (i, j)[ x  (i, j)  s  (i, j)], (i, j)

(V.86)

Mas detalles de estos cálculos se proporcionan en la sección V.8. Es fácil demostrar (Lee, 1980) que esta estimación para la imagen corregida proviene de la aplicación de la técnica de mínimos cuadrados (minimizando un error al cuadrado) dadas las condiciones (V.84), en combinación con el factor de ganancia (V.85). Es necesario

Filtros

321

hacer varios comentarios relacionados con este filtraje. Ciertas imágenes con pulsos aislados de ruido pueden presentar problemas en el cálculo del factor de ganancia, ya que si existe una región totalmente plana entre pulsos, tanto la varianza de la imagen  s2 como la del ruido  2 son cero, generando una indeterminación en la ecuación (V.85); no obstante, es muy fácil modificar el algoritmo para tomar en cuenta esto y, digamos, adoptar la convención de que k sea igual a uno si se da esta situación, lo que además daría un resultado lógico de acuerdo con la expresión (V.86). Claro está que éste es un ejemplo extremo ya que este filtro está diseñado para ruido aditivo homogéneamente distribuido en la imagen. Un criterio para estimar  2 (Mastin, 1985) es tomar el promedio de las varianzas más bajas (digamos el 10% más bajo) en una serie de ventanas cubriendo una región plana de la imagen degradada, donde se encuentre una representación típica del ruido que se desea filtrar. Esto asegura que tanto  s2 como  2 sean positivas (véase V.84) y que k tenga una variación entre 0 y 1. Para una zona de la imagen, homogénea de bajo contraste,  s2 es pequeña y por tanto s la   s , que quiere decir que simplemente se tiene un filtraje pasa bajas de acuerdo con lo explicado en el apartado V.3.1. Si la ventana se localiza sobre una región de alto contraste o un borde, entonces  s2 >>  2 y por tanto s la  x  , es decir, no se realiza filtrado alguno, lo que quiere decir que los bordes se preservan. Entre la familia de filtros no ineales existen dos que son interesantes de mencionar mencionar por su relativa sencillez operacional y por el buen comportamiento que presentan frente al filtraje de ruido gaussiano o blanco. Se trata del filtro de Lee multiplicativo (lámina 44) y el de Wallis modificado (Mastin, 1985). El primero, como su nombre lo indica, está diseñado para filtrar ruido multiplicativo, el cual puede ser tratado también como si fuese aditivo por medio de un filtro homomórfico. Cuando la estimación del ruido multiplicativo es buena, el comportamiento de estos filtros parece ser el mejor con respecto a todos los discutidos en esta sección. V.3.12 Filtro geométrico Un filtro que funciona bien para imágenes contaminadas con ruido multiplicativo tales como imágenes de radar, tomografías computadas y radiografías con rayos X de alta energía es el llamado filtro geométrico (Crimmins, 1985; Pastrana, 1996). Este filtro, si bien opera por ventanas, tiene una naturaleza diferente a los anteriormente discutidos y no puede ser modelado como una convolución de una función filtro con la imagen. En este filtro la ventana no se desliza sobre la imagen sino sobre los perfiles de renglones, columnas y diagonales de la misma; en cada posición de la ventana se aplica una operación morfológica de intersecta o no intersecta (capítulo VII) empleando factores de peso adecuados para la reducción del ruido multiplicativo presente en la imagen. El procedimiento en detalle de este filtro es el siguiente: Un perfil dado de la imagen contaminada por ruido (figuras V.1a y VI.13a) se binariza haciendo unos debajo de la curva y ceros por encima de ésta; al conjunto de unos se le llama la umbra del perfil (figura VI.13b), los ceros forman el complemento de ésta (figura V.13c). Se consideran ahora las siguientes cuatro ventanas, llamadas también máscaras

322


1 1 1

0 1

1 1

0 1

1

1

0 1

1 1

0 1

1 1 1

de tal manera que cada una de ellas es deslizada sobre todos los pixels de la frontera superior de la umbra, en cada posición se realiza una operación de intersecta o no intersecta, por lo que si el patrón de unos de las máscaras coincide con el del perfil de la umbra, el pixel en correspondencia (en el complemento de la umbra) con el central de éstas es cambiado de cero a uno. En las posiciones donde no están definidos los factores de peso de las máscaras simplemente no se hace comparación con los de la umbra.

Figura V.13. (a) Perfil, (b) Umbra, (c) Complemento de la umbra. De acuerdo con la operación morfológica arriba descrita, las cuatro máscaras se aplican entonces secuencialmente a los perfiles de los renglones, columnas diagonales y contradiagonales (de acuerdo al código de Freeman) que forman la imagen. El procedimiento computacional consiste en aplicar una máscara tras otra a los perfiles mencionados, no importando el orden de aplicación. Al terminar esta parte del algoritmo se consideran ahora las siguientes cuatro máscaras 1 1 1

1 0

1 1

1 0

1

1

1 0

1 1

1 0

1 1 1

que se aplican ahora en el mismo esquema del procedimiento morfológico anterior, pero operando sobre el complemento de la umbra de los perfiles generados en la primera parte del algoritmo. Estas dos partes forman lo que se conoce como una iteración del algoritmo. El filtro morfológico muestra un buen comportamiento en la reducción del ruido multiplicativo (lámina 45 y figura V.1b) preservando correctamente los bordes, líneas y detalles texturales. No obstante, es necesario puntualizar que, debido al tamaño de las máscaras empleadas, aquellos detalles formados por tres o menos pixels son borrados de la imagen después de un cierto número de iteraciones. Con el objeto de lograr tanto una reducción significativa del ruido como una preservación adecuada de tales detalles, es necesario introducir factores cuantitativos de evaluación de ruido y calidad de la imagen calculados en cada iteración del algoritmo (Pastrana, 1996). Estos

Filtros

323

factores pueden ser los siguientes: contraste local y global, relación señal-ruido local y global, preservación de bordes y líneas y preservación de la textura. V.3.13 Filtros por templetes Dado que los filtros lineales y semilineales se establecen matemáticamente como la convolución de una cierta ventana con la imagen que se desea filtrar, es factible por tanto definir en forma intuitiva una serie de kernels para realizar filtrajes de patrones espaciales muy específicos. En la operación de un filtro, se genera la convolución de una función de factores de peso, definidos en una ventana, con los valores de los pixels de la imagen. Este proceso consiste en calcular la suma de los productos de los valores de los pixels con aquellos en correspondencia con los factores de peso de la ventana. La ventana se desliza por todos los nodos que componen la lattice de la imagen. En cada posición de la ventana se realiza el cálculo menciondo. Los factores de peso se producen a partir del kernel que define el filtro y pueden ser constantes o pueden depender de los valores de los pixels. Si son constantes se trata de un filtro lineal, si no lo son el filtro es no lineal. Para una posición de la ventana de pesos, el valor de la convolución sería el siguiente p1 p4 p7

p2 p5 p8

p3 p6 p9

w1  w4 w7

w2 w5 w8

w3 w6 w9

p1 w 1   p4 w 4  p7 w 7 

p2 w 2  p5 w 5  p8 w 8 

p3 w 3  p6 w 6  p9 w 9

En este rubro particular del filtraje de imágenes, a los kernels se les conoce más bien como templetes. Debido a que al filtrar un patrón muy específico se le está en principio detectando, a este proceso se le conoce también como detección de patrones por templetes. Así entonces, el templete contiene la información o la forma idealizada del patrón que se desea filtrar (detectar). Por ejemplo, un templete para filtrar un borde vertical podría ser el siguiente 1 0 1 1 0 1 1 0 1

donde se aprecia que la suma de los valores de los elementos del templete es igual a cero y que es, por cierto, una condición primigenia en la definición de éstos. Nótese también que al hacer una sección transversal de este templete a lo largo de una línea horizontal se obtiene un escalón ideal, normalizado, con una altura igual a dos; este escalón representa por tanto un borde perfecto que se compara sucesivamente con los bordes reales de la imagen digital. Dado que los bordes de la imagen no ocurren en forma perfecta, tal comparación no es del todo exitosa en lo que requiere un buen filtraje: otros patrones pasan también a la imagen filtrada en cantidades que a veces son inconvenientes. En imágenes relativamente sencillas, sin embargo, este proceso de filtraje genera buenos resultados para casos muy particulares de patrones espaciales. Esto es claro a partir del hecho de que se requiere de un templete para cada patrón que

324


se desee filtrar, lo cual es obviamente una desventaja en imágenes complejas donde se requieren filtrajes elaborados de muchos tipos de patrones. Así, por ejemplo, si se desean detectar (filtrar) los bordes de una imagen en cualquier dirección en que éstos se presenten, se necesita de la aplicación de los siguientes templetes (además del arriba definido) en forma sucesiva a la imagen digital 1 1 1 0 0 0 1 1 1

0 1 1 0 1 1

1 1 0

1 1 0 1 0 1 0 1 1

1 1 1

0 1 0 1 0 1

Con estos cuatro templetes es factible detectar bordes en direcciones a 0°, 45°, 90° y 135°, para direcciones intermedias habría que definir más templetes, evidentemente sobre una ventana mayor: más grande la ventana entre más direcciones se deseen. Por ejemplo, Nevatia y Babu (1980) discuten la detección de rasgos lineales empleando templetes de 5  5. Claramente el costo computacional es muy grande si se requiere del filtraje de bordes en muchas direcciones. Como la suma de los factores de peso del templete es siempre igual a cero, resulta que su aplicación sobre una región plana produce también un resultado nulo; valores diferentes de cero indican, en diferente grado, por tanto, la presencia de un borde o de algún otro patrón definido por el templete. Sin embargo, los patrones de la imagen diferentes al dado por el templete, producen una respuesta diferente de cero de mayor o menor grado dependiendo de su similitud con aquel que se desea filtrar. Debido a esto es necesario introducir un cierto criterio de umbral por encima del cual se establece la existencia del patrón dado por el templete; aun así este tipo de filtraje no deja de presentar ambigüedades. Técnicas mas elaboradas para detectar bordes se encuentran en Sonka et al. (1999). Las limitaciones arriba discutidas imponen la necesidad de modificar el simple criterio de filtraje, consistente en aplicar la convolución de un templete con la imagen seguido probablemente de una segmentación por umbral. Al tratar de mejorar el comportamiento del filtraje por templetes es necesario introducir, además de aspectos intuitivos, ciertos criterios lógicos en la operación del filtro. Al complicar el filtraje con reglas más elaboradas que las hasta ahora planteadas, necesariamente se llega a operaciones semilineales y no lineales, las que, como veremos más adelante, pueden englobarse en una sola expresión general empleando como base el resultado dado por la relación (V.51). Debido a que esta expresión es finalmente la convolución de la imagen con un templete cuyos factores de peso son todos uno, su generalización implica escribir una función de ponderación con factores diferentes de uno; esto se verá con detalle en el apartado V.3.14. Introduzcamos ahora una ventana de 3  3 con el objeto de estudiar este nuevo tipo de filtraje; sean los elementos de esta ventana v los siguientes a1 a2 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

es decir los valores de los pixels de la imagen dentro de esta ventana son precisamente a1, a2, ... c3. Una primera diferencia, por tanto, con respecto al filtraje lineal es que no se

Filtros

325

consideran factores de peso (en esta etapa), sino simplemente relaciones lógicas y aritméticas entre los valores de los pixels de la ventana. Con esta base, se tiene un filtro semilineal, para detectar líneas verticales más claras que el resto de la imagen, cuando

a y c   b i

i

i

i

i

(V.87)

i

donde la desigualdad se entiende sobre un cierto umbral preespecificado. Si lo anterior se satisface, se dice entonces que b2 pertenece a la línea filtrada. La desigualdad (V.87) se invierte para líneas oscuras o se modifica fácilmente para filtrar líneas en otras direcciones. Una desventaja clara es que, como vemos, se requiere de un conjunto de desigualdades para cada caso específico de filtraje. Es necesario agregar que el umbral mencionado constituye finalmente un criterio para determinar la existencia o no de una línea, lo que quiere decir que, con la expresión (V.87) y el templete mencionado, se filtra un patrón con base en un cierto arreglo espacial de pixels en combinación con una regla basada en un umbral radiométrico. Con ventanas más grandes este filtro se generaliza para incluir otras formas sencillas de patrones espaciales. No obstante, existen métodos de filtraje avanzados para detectar líneas en imágenes digitales (Baumgartner et al., 1999). Una restricción adicional al filtro anterior que mejora su comportamiento es la que se denota con las siguientes desigualdades a2 < b2 y c2 < b2

(V.88)

cuya modificación, para incluir diferentes líneas o bordes, es obvia. Algunos criterios cuantitativos para la selección de umbrales en este tipo de filtraje se encuentran en el trabajo de Gurney (1980). Dentro del mismo contexto anterior se define un filtro no lineal, estableciendo que b2 pertenece a la línea filtrada si se cumple que ai y ci < bi,  i  v

(V.89)

Al igual que en los casos anteriores, la expresión (V.89) se puede modificar para incluir otras líneas, bordes o patrones sencillos. Otro filtro no lineal, con mejor comportamiento que el anterior, es aquel que especifica que si bi 

a i  ci ,iv 2

(V.90)

entonces b2 pertenece a la línea filtrada. Nótese que los criterios de decisión de estos filtrajes son siempre relativos al pixel central de la ventana v, que es un aspecto básico del método de operación para el filtraje en el dominio de la imagen. Con las bases anteriores es factible plantear una generalización para incluir todos los filtrajes del dominio espacial en un sólo modelo. En primer lugar, estos últimos filtros pueden verse como una convolución, de un cierto templete (algunos con factores de peso igual a uno) con la imagen original, pero sujeta a varias restricciones. En los primeros ejemplos, es el templete el que se diseña para contener la información relativa al patrón que se desea filtrar. En general lo que hacemos es: a) construir un templete

326


con ciertos factores de peso que contienen información sobre el patrón de interés, b) evaluar la convolución respectiva con la imagen digital y c) aplicar finalmente restricciones al resultado para decidir si se tiene o no el patrón; esta generalización incluye todos los ejemplos anteriores. Tomemos el caso del filtro nolineal dado por la expresión (V.89) y supongamos que se desea filtrar un borde vertical, entonces el templete respectivo y la ventana v de la imagen están relacionados a través de la convolución como sigue 1 0 1 a1 1 0 1  a 2 1 0 1 a3

b1 b2 b3

c1 c2 c3

 ( c1  c 2  c 3 )  ( a 1  a 2  a 3 )

por lo cual decimos que el pixel central b2 es substituido por el resultado de la convolución, como un producto del filtraje, siempre y cuando se cumpla que ai y bi < ci,  i  v, por un cierto umbral preespecificado. De esta manera se plantea el filtraje con base en una convolución (operación lineal), pero adicionando criterios de naturaleza no lineal que finalmente determinan si se ha filtrado o no el patrón de interés; claramente estos criterios pueden ser semilineales y lineales también. Con base en estos resultados es posible definir un par de modelos que describen el proceso de filtraje en el dominio de la imagen. Comencemos con los filtros lineales y semilineales. V.3.14 Generalización de filtros por ventanas Una modificación a la función ventana w (véase la relación V.40), hecha con el objeto de introducir factores de peso para los pixels de ésta, conduce a la generación de filtros como el de media, el de mediana, el de k-próximos vecinos, el de gradiente inverso, el de sigma y el de correlación espacial, todos los cuales operan en el dominio espacial y tienen una estructura similar. Un formalismo completo de filtros espaciales facilita la estimación cuantitativa y global de los mecanismos de supresión de patrones espaciales. El formalismo aquí explicado permite cambiar la expresión para la ventana w, de tal manera que sea posible definir diferentes kernels en el diseño de filtros para problemas específicos. Además de esto, los filtros de respuesta finita con diferentes factores de peso se asocian a los pixels de la ventana con el objeto de presentar patrones dados. En este caso, el filtro recibe también el nombre de correlación por templete, ya que está basado precisamente en la correlación y no en la convolución, si bien estas operaciones son similares; cuando el templete en cuestión presenta simetría axial, la correlación por templete se escribe como una convolución. En cualquier caso se tiene un promedio ponderado sobre la ventana que está de acuerdo con el kernel definido. Tomemos ahora la expresión (V.51) y generalizémosla para incluir filtros lineales y semilineales, para filtros lineales se tiene el siguiente resultado g  ( k , l)  K

 P( m, n )f

 (k

 m, l  n )  

(V.91)

m v n v

La función P(m,n) representa la caracterización matemática de los diferentes tipos

Filtros

327

de filtrajes mencionados y se traduce en factores de peso para la imagen de entrada {f(k,l)}. Por ejemplo, para el caso del filtro sigma, P(m,n) es una función gaussiana normalizada con parámetros definidos por la distribución particular de los pixels de la ventana. Más aun, P(m,n) está acotada para valores que caen dentro de dos desviaciones estándar con respecto al pixel central de la ventana. Aunque si bien es importante hacer notar que en el presente trabajo el filtro sigma se definió simplemente con P(m,n) = 1 dentro de dos desviaciones estándar. Para el filtro de media, P(m,n) = 1 para todos los pixels de la ventana. Para el filtro de correlación espacial, P(m,n) = f(k + m,l + n),  (k,l,m,n)  v. Formas adecuadas de P(m,n) para los otros filtros se definen fácilmente, sin olvidar que es necesario la evaluación de la constante K para cada caso. El filtro de correlación espacial es un poco diferente a los demás ya que genera la máxima razón de la señal de la imagen con respecto al ruido r.m.s.; esto quiere decir que el ruido aditivo es aplanado y que los bordes y las líneas con algún tipo de simetría son realzados. Este filtro es particularmente útil para la delineación de lineamientos y para filtrar la textura de la red hidrológica a partir de una imagen de satélite. Para complementar esta formulación de filtros espaciales, extendamos ahora la expresión (V.91) para incluir sistemas de filtraje no lineales, esto se consigue rápidamente permitiendo que la función de peso P(m,n) dependa de la imagen misma. De tal forma que para filtros no lineales como el de mediana se tiene la siguiente relación g  ( k , l)  K

 P[ m, n; f

 ( m , n )]f  ( k

 m, l  n ),  

(V.92)

m v n v

que se emplea también en los filtros por templetes recién estudiados en esta sección. Para ilustrar la función de factores de peso en el caso del filtro de mediana, considérese la siguiente ventana 3

1

9

5

6

8

7

2

4

Si suponemos que el pixel del centro de esta ventana tiene coordenadas (0,0) entonces Mediana[f(m,n), (m,n)  v] = f(-1,0). De aquí entonces P[-1,0;f(-1,0)] = 1 con el resto de los factores de peso igual a cero, por lo que la función P[m,n;f(m,n)] sería 0

0

0

1

0

0

0

0

0

Finalmente, diremos que en las dos últimas expresiones se ha eliminado el valor

328


absoluto empleado en (V.51) y se ha utilizado una igualdad; esta forma para (V.91) y (V.92) es más adecuada a la realidad computacional de los filtros por templetes y está relacionada con los comentarios hechos en el desarrollo de (V.51) Estudiemos ahora otro método para el diseño de templetes (Gonzalez y Woods, 2002), complementario al ya estudiado, con un enfoque más cuantitativo, válido en principio para sistemas lineales, pero que con restricciones adicionales eventualmente se extiende al diseño de filtros semilineales y no lineales de manera similar a lo arriba expuesto. Dado que este método está concebido primeramente para filtrajes lineales, se supone entonces la validez del teorema de la convolución, el cual simbólicamente se expresa como sigue N

g  (l, m) 

M

 h(l  i, m  j)f

 (i,

j)  G (k 1 , k 2 )  H(k 1 , k 2 )F(k 1 , k 2 )

i 1 j1

para una imagen rectangular de dimensión MN y donde además G = F{g}, H = F{h} y F = F{f} En los filtros de respuesta finita sabemos que la extensión espacial de h se ha restringido a lo más al dominio de la imagen. Si h es una secuencia ordenada con valores definidos para tal dominio, el filtraje se realiza con ventaja a través de la transformada de Fourier; si h no se conoce más que para una subregión de aquel, o se desea restringir su validez a ésta, entonces es conveniente ejecutar el filtraje por el método de ventanas. Como ya se planteó con anterioridad, sucede que en algunos casos los valores de h son muy pequeños fuera de una cierta subregión de la imagen, o bien se define su valor (sobre una ventana) en función de criterios heurísticos enfocados a la solución de una clase dada de filtraje. En el primer caso de esta dicotomía es factible emplear la técnica de mínimos cuadrados a partir de una forma conocida de h (o de H) para llegar a la evaluación de los mejores factores de peso que definan un kernel cuyo comportamiento sea lo más parecido a h. En este orden de ideas, se comienza por diseñar una forma deseada para la función de transferencia h, ya sea directamente en el dominio espacial o en el de frecuencias, de acuerdo con un problema particular; por otro lado, se establece una función aproximada a h, definida únicamente en una ventana de dimensión n  n. Sea esta aproximación hˆ y, dado que por definición su valor es cero fuera de esta ventana, su transformada de Fourier respectiva es la siguiente ˆ (k , k )  1 H 1 2 MN

n

n



 k 1l

 hˆ(l, m) exp 2j M  l 1 m 1

k 2 m   N  

(V.93)

es decir, la doble sumatoria se restringe a la ventana puesto que la contribución de hˆ al resto de la suma es cero; y k1, k2 = 1, 2,...M, N. la métrica que se desea minimizar es e2 

M

N

  Hˆ(k , k 1

k1 1 k 2 1

2)

 H(k 1 , k 2 )

2

(V.94)

Filtros

329

ˆ sea lo más parecido a H. Ahora bien, esta última ya que se pretende hacer que H expresión no es muy adecuada para evaluar la minimización requerida, por lo que ˆ y hˆ están pasaremos a una notación matricial. De la ecuación (V.93), es claro que H relacionadas por medio de un par de Fourier que matricialmente se escribe como ˆ  C hˆC H 1 2

(V.95)

donde la matriz C1 está compuesta por los elementos de la primera parte de la exponencial de la ecuación (V.93) incluyendo el factor de normalización 1/N. La matriz C2 está compuesta por los elementos de la segunda parte de la exponencial junto con el factor de normalización 1/M. De esta manera C1 es una matriz de N  n elementos, C2 ˆ es finalmente una matriz de N  es de n  N y hˆ es de n  n, por lo que resulta que H M elementos. Con este resultado, la métrica que se desea minimizar tiene la siguiente forma matricial ˆ  H) (H ˆ  H )  C hˆC  H e2  (H 1 2

2

(V.96)

donde + significa la transpuesta del conjugado complejo de la matriz diferencia ˆ  H ) y, la doble barra || denota el valor del determinante respectivo a la matriz (H resultante. Al tomar la derivada parcial de e2 con respecto a hˆ , igualar a cero y despejar ésta, se obtiene hˆ  C11HC 21

(V.97)

Con esta última ecuación, se tiene la siguiente metodología para estimar una función de filtraje dada una ventana: a) se proporciona en forma analítica o en tabla la función H que se desea aproximar, b) se calculan los coeficientes de las matrices C1 y C2 con relación al tamaño de la ventana y c) se obtiene la aproximación de hˆ en concordancia con la expresión (V.96). Los métodos plasmados en las expresiones (V.92) a (V.97) son complementarios en cuanto al diseño y realización de filtros por templetes operando en el dominio de la imagen. El modelo dado por la ecuación (V.97) se emplea para obtener una aproximación de la función de filtraje sobre una ventana dada, y en la expresión (V.92) se plasman los factores de peso correspondientes a través del desarrollo ya mostrado.

V.4 Ejercicios 1. Proporcione las diferencias que existen entre una degradación y un filtraje a una imagen. 2. Obtenga, integrando la función de transferencia, la función filtro para el filtro ideal con kernel separable.

330


3. Proporcione las funciones de transferencia, con kernel separable, para los filtros ideal, de Butterworth y exponencial, tanto en pasa bajas como en pasa altas. 4. En la figuras V.2 y V.3 se proporciona una gráfica de las funciones de transferencia para kernel no-separable, haga la gráfica para kernel separable (ecuación V.39) y haga una comparación. 5. Aplique la metodología del filtro homomórfico a una imagen generada como el resultado de la convolución de la función de reflectancia con la función de iluminación. 6. Realice todo el detalle matemático para obtener la expresión (V.51) a partir de (V.46). 7. A partir de las expresiones (V.52) y (V.53) obtenga la relación (V.54) de filtraje pasa altas. 8. A partir de las expresiones (V.56) y (V.57) obtenga la relación (V.58) de filtraje pasa bandas. 9. Aplique el filtro de correlación espacial a la primera banda mostrada en la figura I.4, utilice ventas de 3  3 y 5  5 y estudie el comportamiento del filtro en la detección de bordes. 10. Obtenga la expresión (V.71). 11. Obtenga la transformada de Fourier del filtro de correlación espacial dado por la ecuación (V.63) y analice su comportamiento en frecuencias. 12. Obtenga los factores de peso del filtro gaussiano para ventanas de 5  5 y 7  7. 13. Defina formalmente la mediana de los pixels contenidos en una ventana de dimensión n  n. 14. Demuestre que los filtros de k-próximos vecinos y sigma son semilineales. 15. Seleccione una zona homogénea de alguna de las bandas mostradas en la figura I.4 y calcule el factor de ganancia dado por la ecuación V.85 del filtro de Lee aditivo; utilice ventanas de 3  3 y 5  5. Proporcione también el factor de peso K correspondiente. 16. Replantee las expresiones (V.87) a (V.90) para detectar un borde en cualquier dirección. 17. Para la ecuación (V.91) escriba la expresión matemática de la función de peso P(m,n) para los filtros de: media, k-próximos vecinos, gaussiano y sigma. Proporcione también el factor de peso K correspondiente. 18. Para le acuación (V.92) escriba la expresión matemática de la función de peso P(m,n;f(m,n)) para el filtro de mediana, proporcione también el factor de peso K correspondiente. 19. Escriba explícitamente las expresiones para C1 y C2 de la ecuación (V.95). 20. Suponga una función filtro h de forma gaussiana bidimensional y acotada en una ventana de n  n, lleve a cabo el cálculo descrito en las ecuaciones (V.93) a (V.97). 21. Rehaga el cálculo de la ecuaciones V.92 a V.97 para filtros no-lineales.

Restauraciones

331

VI. RESTAURACIONES La restauración de una imagen es un proceso que se relaciona con el valor que se le otorga a la información contenida en aquella. Aquí se incorpora información a la imagen juzgando que ésta no tiene la calidad deseada en una aplicación de la investigación experimental. En una restauración, la imagen es preparada para mejorar su apariencia visual y forma digital y con una calibración radiométrica adecuada, extraer detalles aparentemente invisibles en la imagen original.

VI.1 Aspectos Generales Cualquier imagen registrada a través de un dispositivo de medida ha sido siempre formada en la presencia de fuentes de degradación. En la mayoría de las ocasiones, sin embargo, la degradación es tan pequeña que resulta despreciable. ¿Qué es una degradación?, podríamos preguntarnos en este punto, y para responder es necesario entrar en la esfera lo subjetivo. Una imagen se encuentra degradada cuando no satisface la idea preconcebida de imagen ideal que se hace con relación a la transformación general escena  imagen. Una degradación impone un cierto orden a la información de la imagen, orden que no es adecuado para interpretación visual o para un análisis digital ulterior. En la degradación se produce siempre un fenómeno físico de interferencia al proceso de generación de una imagen a partir de una escena; al modelar determinista o estocásticamente dicho fenómeno, se le imprime un carácter objetivo a la degradación, quedando siempre, no obstante, la utilidad o valor subjetivo que se le asigna a la imagen restaurada. El valor subjetivo está plasmado en el ideal de imagen a la cual se desea que tienda la imagen degradada; sin embargo, este ideal es en realidad un modelo preconcebido del mecanismo de generación y registro de imágenes en el que se suponen condiciones óptimas de no interferencia externa, de eficiencia de los sensores y del comportamiento de la escena misma. Debido a que en ciertas ocasiones estas condiciones no se satisfacen ni aun aproximadamente, la imagen resultante presenta un aspecto que no está de acuerdo con el ideal preconcebido, teniéndose entonces un efecto de degradación. En este caso la información capturada no se ajusta al esquema de referencia adecuado (está modificada) y ocurre también pérdida de información con respecto a la que se tendría de haber existido las condiciones óptimas mencionadas. Es necesario mencionar también que las degradaciones se presentan básicamente en la captura de una escena; en la transformación imagen  imagen rara vez se tienen estos problemas. En esta última, siempre se conoce la función de transferencia h (implícita o explícitamente); en cambio, en la transformación escena  imagen es necesario modelar, estimar o medir la función de respuesta al impulso, agregándose a esto el hecho de que casi siempre se tiene ruido aditivo o multiplicativo. Veamos ahora un resumen esquemático de las ideas anteriores en la figura VI.1. En esta figura, la presencia explícita de la fuente de degradación indica que ésta proviene de un fenómeno físico bien definido (determinista), a diferencia del ruido que es causado más bien por fluctuaciones estadísticas (estocástico) del dispositivo sensor y cuya respuesta finita puede introducir también cierta degradación; aunque si bien el

332


fenómeno físico puede ser también modelado estocásticamente. Ahora bien, con el objeto de entender mejor qué es una degradación y cómo eliminarla, es necesario hacer tanto una clasificación de ésta como diseñar un modelo matemático que permita establecer las bases cuantitativas de la restauración de la imagen degradada.

Figura VI.1. Esquema de generación de una imagen multiespectral en presencia de fuentes de degradación. Los tipos de degradación, que se establecen de acuerdo con el efecto que producen en la imagen resultante son los siguientes 1. Puntuales: afectan únicamente los valores de los pixels en forma individual; ejemplos de éstas son: iluminación inhomogénea, pixels o líneas faltantes. Estas degradaciones son, físicamente, las más sencillas, aunque no siempre las más fáciles de corregir. 2. Espaciales: modifican los valores de los pixels como un todo introduciendo cambios efectivos en la apariencia real de las clases presentes en la imagen; ejemplos de éstas son: aberraciones del sistema sensor, movimiento relativo sensor/escena, distorsiones geométricas, turbulencia y dispersión atmosférica, ruido aditivo y multiplicativo. El mecanismo de formación de la imagen también influye, tal y como es el caso en imágenes generadas por rayos X. Estas degradaciones son físicamente las más complejas. 3. Cromáticas: se les llama también espectrales, se refieren únicamente a imágenes multiespectrales e involucran una modificación a la respuesta espectral real de los objetos de la escena; ejemplos de estas son: filtros no calibrados en el sistema sensor, no linealidad en la respuesta del sensor, aberraciones cromáticas de la óptica del mismo e interferencia atmosférica. Las aberraciones cromáticas son medianamente complejas. 4. Temporales: se aplican a imágenes multi-temporales e implican una variación en el tiempo de la función de valor que genera los pixels de una serie de imágenes relativas a una misma escena en condiciones geométricas y de iluminación constantes; ejemplos de éstas son: variación en la respuesta del sensor (fuera de calibración), evolución o degradación de la escena por el mismo mecanismo de iluminación, como es el caso de las micrografías generadas por microscopio electrónico, y fluctuaciones estadísticas de la escena y en la iluminación de la misma. 5. Mixtas: son una composición de las anteriormente descritas; ejemplos de estas son: efectos atmosféricos, dispersión de rayos X de alta energía e imágenes generadas por neutrones (neutrografías). Es necesario agregar que en esta clase de degradaciones, casi siempre domina una de las primeras cuatro clases de degradación, presentando las otras menor importancia. Para complementar el esquema de clasificación anterior, es necesario escribir un modelo cuantitativo de la degradación de una imagen lo que puede lograrse

Restauraciones

333

generalizando el modelo de transformación de imágenes (ecuación III.47) e integrando a éste los conceptos arriba vertidos. Existen básicamente dos métodos para modelar la degradación de una imagen: los que suponen conocimiento previo de las posibles fuentes de degradación y los que se basan en medidas hechas con posterioridad sobre la imagen resultante para estimar el grado de degradación de ésta. Estos dos enfoques difieren únicamente en cuanto a las fuentes de información relativas a la degradación, aunque si bien es conveniente anotar que en cualquier caso el modelaje puede ser determinista o estocástico. En términos generales, un modelo de degradación que incluya efectos puntuales, espaciales, cromáticos y temporales, se escribe como sigue g(x,y,t) = Op{x,y,t,;Oe[x,y,t, ;f(x,y,t)]}

(VI.1)

Donde (x,y) son las coordenadas espaciales, t el tiempo,  una banda dada, g y f la escena y la imagen degradada respectivamente y Op, Oe, los operadores que caracterizan las degradaciones puntuales y espaciales respectivamente. El hecho de que Op y Oe dependan explícitamente de t y  hace que este modelo incluya degradaciones temporales y espectrales. Con el objeto de hacer matemáticamente tratable el modelo general expresado por la ecuación (VI.1), es necesario introducir algunas suposiciones razonables que representen adecuadamente una serie de degradaciones que comúnmente ocurren en el análisis de imágenes. En esta situación, si la degradación espacial de la imagen es lineal, se expresa entonces como un operador de superposición (transformada integral), por lo que, para un sistema sin memoria donde las degradaciones puntuales y espaciales sean separables, se tiene que la imagen degrada se escribe como sigue:     g  ( x, y , t )  Op  x, y, t, ;   f  (, , t )h ( x, y, , , t , )dd    

(VI.2)

Con este modelo se cubre un amplio espectro de posibles degradaciones. A partir de aquí es factible desarrollar una serie de representaciones (Katsaggelos, 1991) para condiciones típicas en el análisis de imágenes digitales. Además de esto, es indispensable introducir simplificaciones necesarias para poder invertir la relación (VI.2), es decir para obtener una estimación de f. En general, la función de respuesta al impulso h depende de las cuatro variables espaciales (x,y;,) y de la longitud de onda de la radiación empleada; si es así, se tiene entonces una degradación lineal dependiente de translaciones. En una degradación lineal invariante frente a translaciones el modelo respectivo se escribe de la siguiente manera:     g  ( x, y, t )  Op  x, y , t, ;   f  (, , t )h ( x - , y - ; t , )dd    

(VI.3)

Los sistemas de generación de imágenes multiespectrales contemplan generalmente un número discreto y reducido de bandas para valores no traslapados de energías de la radiación empleada. Debido a esto, la eventual restauración de una imagen degradada puede realizarse banda por banda manejando a  como un parámetro, por tal motivo es

334


necesario escribir explícitamente esta variable en el modelo dado por la ecuación (VI.2) o la (VI.3). Un razonamiento similar se aplica a la dependencia con respecto al tiempo ya que generalmente las degradaciones temporales suceden gradualmente. En este orden de ideas, la restauración de una imagen multiespectral se hace en cada tiempo de observación de la escena y por tanto es posible eliminar esta dependencia del modelo de degradación; esto es válido únicamente para sistemas ergódicos, es decir, sin memoria. Otra situación es cuando la escena experimenta cambios en un tiempo que es menor o del orden del tiempo de captura y registro de la imagen digital. En este caso se tiene un sistema variante frente al tiempo cuyo tratamiento está fuera del enfoque del presente capítulo; más bien el arreglo experimental debe ser tal que el sistema sensor sea lo más invariante posible con respecto al tiempo. En cuanto a las degradaciones puntuales, es factible afirmar que muchas de éstas se modelan con posterioridad tomando medidas de la misma imagen; otras, se incluyen en inhomogeneidades de la fuente de iluminación y por tanto se integran a la función h. Por las razones arriba expuestas, es factible concebir un proceso cuasi estacionario donde el modelo de degradación, suponiendo ruido aditivo, se escribe de la siguiente manera    g  ( x, y )  Op    f  (, )h  ( x - , y - )dd    ( x, y )     

(VI.4)

en donde (x,y) es la función que caracteriza al ruido. Finalmente la expresión (VI.4) representa un modelo de degradación espacial con posible extensión a degradaciones temporales y espectrales. En el último modelo no se considera ruido multiplicativo, porque este caso se reduce al del modelo anterior por medio de un filtro homomórfico. Veamos ahora una serie de técnicas algebraicas de restauración de imágenes digitales.

VI.2 Técnicas Algebraicas de Restauración de Imágenes En el contexto arriba planteado comencemos entonces con un modelo simplificado, pero representativo, de la degradación, donde después de haber corregido por degradaciones puntuales, se tiene  

g( x , y ) 

  f (, )h( x - , y - )dd  ( x, y ),  

(VI.5)

  

cuya versión digital es similar a ésta, substituyendo solamente las integrales por sumatorias con el intervalo de suma pertinente, es decir g( k , l ) 

 f (i, j)h( k  i, l  j)  ( k, l),   i

j

En el espacio de frecuencias este modelo se escribe como sigue G(1,2) = F(1,2)H(1,2) + N(1,2)

(VI.6)

Restauraciones

335

donde G, F, H y N son las transformadas de Fourier de la imagen degradada g, la imagen o escena original f, la función de respuesta al impulso h y el ruido aditivo . Aquí, nuevamente dependiendo del contexto, se tiene un nombre particular para H: cuando se trata de sistemas de adquisición de imágenes, de sistemas de transmisión de imágenes o en percepción visual humana, se le denomina entonces como función de transferencia de modulación. La función h, estando asociada al sistema de generación de la imagen digital, se modela en una variedad de casos por medio de una función rectangular o circular (Arfken y Weber, 1995), o bien, en el caso de interferencia coherente de la radiación empleada (rayos X o neutrones) dicha función tiene un lóbulo central principal y una serie de lóbulos secundarios de orden mayor. En cualquier caso la transformada de Fourier respectiva (H) tiene en general un lóbulo central de orden cero y varios (en el intervalo de frecuencias de la imagen) de orden mayor con un cierto número finito de ceros. Este hecho, cuyo origen es básicamente físico, introduce una complicación adicional (además del aspecto matemático) en la elaboración de modelos de restauración y hace que una restauración exacta sea imposible. En la sucesión de figuras VI.2a - VI.2c se muestra esquemáticamente el proceso arriba explicado.

Figura VI.2. Esquema de los espectros de Fourier de la imagen con ruido (a), la imagen original sin ruido (b) y la función de transferencia (c). En estas figuras se aprecia básicamente la estructura de la ecuación (VI.6), suponiendo

336


que la escena f esté limitada en frecuencia y que el ruido  sea de tipo gaussiano, se sigue por tanto que la densidad espectral |N|2 tiene un valor constante y, si el ruido no está correlacionado con la escena, entonces su efecto sobre el espectro |G|2 es simplemente un corrimiento de éste sobre el eje vertical (figura VI.2a). Independientemente del camino que se siga para obtener una estimación de la imagen original f, es necesario contar con una evaluación de la función de transferencia h y del ruido . Los valores para h y , en función de las coordenadas (x,y), se introducen en la ecuación (VI.6) y empleando ciertas aproximaciones y restricciones es factible realizar la restauración de la imagen degradada. Ahora bien, la obtención de h y , particularmente la primera, es de gran importancia para el buen resultado de la restauración. Existen tres caminos para esto: la modelación, la estimación y la medida de h y . En la modelación, es necesario conocer el fenómeno físico causante de la degradación, donde muy posiblemente el valor de los parámetros involucrados es obtenido a partir de la misma imagen degradada. En la estimación se emplean rasgos bien claros de ésta, como líneas, bordes u objetos de conocida procedencia; de la comparación del ideal de estos patrones con su aspecto actual en la imagen, se construye una representación de h. En la medida, se emplea una imagen o escena patrón (de referencia) con estructura bien conocida a partir de la cual se genera la imagen degradada correspondiente; de la relación que guardan estas imágenes de entrada y de salida es factible obtener una estimación para h. Enfoques similares se siguen para obtener una evaluación del ruido . La selección de uno u otro enfoque depende del conocimiento que se tenga del sistema generador de imágenes, del fenómeno de degradación, de la escena y de las condiciones de repetitividad del experimento respectivo. En algunas situaciones el ruido depende en forma conocida de los valores de intensidad de la escena f, como es el caso en ciertos intervalos de respuesta de emulsiones fotográficas, en imágenes de rayos X o de neutrones de alta energía; en otros casos se tiene un sistema no lineal que debe ser tratado sobre una base individual con técnicas como la descrita en la sección IV.11.

VI.3 Filtro Inverso Estudiemos ahora la ecuación (VI.6), a partir de la cual es factible obtener un primer modelo de restauración. Básicamente lo que intentamos es obtener una estimación Fˆ de F, que se aproxime lo más posible a la imagen que se hubiese obtenido en ausencia de fuentes de degradación. A partir de Fˆ , y aplicando la transformada inversa de Fourier, se obtiene la imagen restaurada. Matemáticamente esta idea se escribe como A

B

 m 1 n 1

A g( m , n )    k 1

2

 fˆ ( k , l) h ( m  k , n  l)  ( k , l)  mínimo l 1  B



(VI.7)

para una imagen de dimensión A  B. Ahora bien, esta última expresión quiere decir lo siguiente: se desea encontrar una imagen fˆ tal que, convolucionada con la función h que representa la degradación, y sumado esto al ruido , se obtenga lo más

Restauraciones

337

cercanamente posible la imagen degradada g. Es decir, a través de la estimación fˆ se simula el proceso de degradación, suponiendo, claro está, un conocimiento suficiente de h y ; ¿qué quiere decir un conocimiento suficiente?, se verá más adelante en la sucesión de modelos de restauración que vamos a estudiar. En la expresión (VI.7) la estimación de la imagen no degradada se degrada analíticamente empleando la función de modulación h y el conocimiento que se tenga del ruido. Si los modelos para estas dos funciones son adecuados, deberemos obtener una imagen muy parecida a la generada físicamente en el proceso de degradación correspondiente. Los modelos para h y  y los criterios para minimizar la expresión (VI.7) son los que determinan finalmente el método y la calidad de la restauración. El tipo de degradación, su relación con el ruido y el modelo que pueda hacerse de estos factores conducen a la modelación de la función de modulación h y del ruido . La minimización de la expresión (VI.7) se hace fácilmente en el dominio de las frecuencias empleando el teorema de Parseval (cuadro III.2) y, viendo a la expresión que se encuentra dentro de las barras de valor absoluto como una sóla función, se tiene

 m

n

 g( m , n )   

 k

l

2

 fˆ ( k , l) h ( m  k , n  l)  ( m , n )  

(VI.8)

1 AB





 F {g(m, n )}  F  fˆ (k, l)h(m  k, n  l)  (m, n ) m

n

k

2

l

y como la segunda parte del miembro de la derecha es la transformada de Fourier de la convolución entre fˆ y h, se tiene, en el dominio de las frecuencias

 G( k , k 1

k1

2)

Fˆ(k , k 1

2 )H( k 1 , k 2 ) 



2

N ( k 1 , k 2 )  mínimo

(VI.9)

k2

después de haber ignorado el factor 1/AB. De esta última expresión es claro que la minimización se obtiene cuando G( k 1 , k 2 ) N ( k 1 , k 2 ) Fˆ( k 1 , k 2 )   H( k 1 , k 2 ) H( k 1 , k 2 )

(VI.10)

la que pudo haberse obtenido directamente de la ecuación (VI.6); sin embargo, el mecanismo seguido hasta ahora es más físico y satisface los criterios matemáticos de restauración hasta ahora impuestos. En este primer modelo de restauración, conocido como filtro inverso (ecuación VI.10), se ha supuesto un sistema estacionario invariante frente a translaciones y un ruido sin correlación con la imagen original f; este ruido casi siempre se supone de tipo gaussiano. Sin embargo, este modelo, fácil de obtener, adolece de varias limitaciones que se discutirán con la ayuda de las figuras VI.3a y VI.3b.

338


Figura VI.3. Diagrama de la función de transferencia y su inverso (a) y espectros de Fourier de la imagen original y estimada (b) empleando el filtro inverso. Como ya se anotó con anterioridad, en general existen lugares o regiones donde H = 0 (figura VI.3a), además, por la relación (VI.10) vemos que en ausencia de ruido la transformada G de la imagen degradada es cero en aquellas regiones donde también H = 0; de esta forma se producen cocientes indeterminados y no es posible recobrar la imagen original f. Sin embargo, si H tiene una cantidad numerable de ceros, la restauración es factible. Esto es debido a que la transformada inversa de Fourier de G/H es básicamente un proceso de integración que puede realizarse evitando los polos de H por medio de vecindades (Buck, 2003) cuidadosamente seleccionadas alrededor de éstos. En la presencia de ruido, los ceros de G y H no coinciden (ecuación VI.6), por lo que en las vecindades de los ceros de H, el cociente G/H toma valores muy grandes. Además, en estas vecindades, H tiene valores muy pequeños con respecto a N por lo que el cociente N/H asume valores mucho mayores a F (figura VI.3b); la transformada inversa de F está fuertemente influenciada por tales valores y la restauración de g no es posible. En cualquier caso (ausencia o presencia de ruido) es indispensable tener un buen conocimiento de la función de modulación h para asegurar una buena restauración. No obstante, en la ecuación (VI.10), es poco realista suponer que el ruido es nulo; éste siempre está presente en cualquier sistema de captura de imágenes (Slater, 1980). El hecho de no haber impuesto restricciones al proceso de minimización en la expresión (VI.7) hace que el filtro inverso tenga un comportamiento dominado por el ruido y que la restauración, en consecuencia, tenga artefactos demasiado evidentes. Es posible expresar formalmente que el objetivo de la restauración es la obtención de la mejor estimación posible de la imagen original f. Esto trae como consecuencia la mejor estimación de la función de modulación h. Los primeros intentos de restauración de imágenes estuvieron basados en el filtro inverso, donde dicha función de modulación

Restauraciones

339

es invertida para generar una imagen restaurada. Sin embargo, para restaurar una imagen en la presencia de ruido se necesita conocer, aparte de h, las propiedades estadísticas de aquél y su correlación con la imagen. En el filtro inverso se supone que no hay correlación del ruido con la imagen degradada y también se supone conocido su espectro de frecuencias N, ignorando al mismo tiempo su proceso de formación. La primera suposición es válida siempre y cuando el ancho de banda del ruido sea mucho mayor que el de la imagen; el espectro de potencia es fácil de evaluar si el ruido es blanco de tipo gaussiano. Es decir, para el ruido únicamente se conocen (o se suponen) sus propiedades promedio. Debido a esto y a la naturaleza de la relación (VI.7), en donde sólo se consideran diferencias promedio, se tiene que las fluctuaciones aleatorias del ruido son ignoradas para el modelo de restauración. Por este motivo, la restauración dada por (VI.10) funciona sin ninguna restricción, aunado esto al hecho de que la función H presenta en general una serie de polos que complican el proceso de restauración. Es extremadamente raro el contar con una descripción determinista del ruido ; en general se pueden emplear únicamente sus propiedades promedio. En el filtro inverso con restricciones se utiliza la primera de éstas: la media o promedio . Al imponer otras exigencias acerca del comportamiento del ruido se incluyen de hecho, implícita o explícitamente, más detalles relativos a su manifestación. Una manera de mejorar el funcionamiento del filtro inverso es limitando los valores de los cocientes G/H y N/H; el límite es arbitrario y está dado por métodos heurísticos, aunque también es factible determinar ciertos criterios generales. Para esto basémonos en la figura VI.4 en donde se han sobrepuesto los espectros de potencia de la imagen original, de la función de modulación y del ruido. A frecuencias bajas existe muy poco contenido de ruido, su valor aumenta a frecuencias intermedias y altas y puede decaer un poco hacia el máximo contenido de frecuencias de la imagen. El espectro de la función de modulación tiene un máximo en frecuencia cero y después decae, presentando en muchas ocasiones una sucesión de ceros en ciertos valores de frecuencia. Dependiendo del sistema de captura, H decae más o menos rápido presentando siempre un número finito de ceros en el ancho de banda de la imagen, el cual está siempre acotado debido al número finito de pixels y de niveles de cuantización asociados a la imagen. La distribución de frecuencias de la imagen misma muestra un máximo a frecuencias cero y después decae suavemente hasta un valor cero. A partir de este comportamiento general de la imagen degradada se infiere que, contando con una estimación de H y N, es factible introducir un factor limitante para los cocientes G/H y N/H para una cierta frecuencia a partir de la cual éstos excedan un valor predeterminado. Debido a que en muchos casos no es posible estimar la forma de H y N, es necesario proceder de manera heurística: se fija un factor limitante evaluado a partir del conocimiento que se tenga de la imagen degradada, se estudian visualmente los resultados de la restauración y se cambia sistemáticamente dicho factor hasta obtener el mejor de aquellos. Otra manera de proceder es la siguiente: si es posible estimar la forma actual de H y modelar su comportamiento ideal, entonces se multiplica a ésta por una función L para que asuma tal comportamiento. En principio, lo más adecuado es introducir un factor limitante en combinación con una función adicional de acuerdo con lo arriba explicado. Explícitamente esto se escribe de la siguiente manera G N Fˆ  HLF  HL    LG  LN H H

(VI.11)

340


Figura VI.4. Esquema de los espectros de Fourier de la imagen (F), la función de transferencia (H) y el ruido (N). donde F es la transformada de Fourier de la imagen original representada a partir de la expresión (VI.6) y HL es la función de modulación del sistema de captura ideal de acuerdo con lo arriba explicado. Entonces en la relación (VI.11) la nueva función HL está acotada a un cierto valor y se supone que representa con mayor fidelidad al sistema de captura en ausencia de degradación. A la expresión (VI.11) se le llama filtro inverso modificado.

VI.4 Filtro Inverso Constreñido Aún con la función limitante L, el filtro inverso presenta un comportamiento más bien mediocre. Para mejorar verdaderamente el funcionamiento de este filtro es necesario modificar su diseño básico a partir de primeros principios y no imponer restricciones a posteriori como se hizo en el filtro inverso modificado. Para reestructurar estas ideas es necesario considerar en nuestro estudio lo que se conoce como constricciones, que son finalmente una serie de condiciones con fundamento físico. Estas constricciones se manejan empleando el cálculo de variaciones (Arfken y Weber, 1995) y específicamente el método de multiplicadores de Lagrange (Boas, 1983). El cálculo variacional tiene su fundamento en principios de conservación de energía bien establecidos en la física contemporánea. Veamos una revisión de estos métodos antes de regresar al filtraje de restauraciones. Una gran cantidad de procesos físicos están descritos por transformaciones integrales (Arfken y Weber, 1995) cuyo comportamiento está sujeto a una serie de constricciones (restricciones) de carácter físico también. La forma (Morel y Solimini, 1995) de estas constricciones depende de la naturaleza del proceso mismo. Dado que los procesos físicos se llevan a cabo sobre la base de una extremal (máximo o mínimo), es

Restauraciones

341

de interés entonces el maximizar o minimizar la siguiente integral x2



I  K( y, y ' , x )dx

(VI.12)

x1

Aunque, debido al principio de conservación de energía, la mayoría de los casos de interés físico requieren que (VI.12) sea un mínimo. El método para obtener la extremal mencionada consiste básicamente en variar la trayectoria de integración de x1 a x2; esto implica que la función y = y(x) es desconocida, haciendo notar además que su derivada y' es tratada como una variable independiente. Lo que se desea entonces es encontrar la curva y = y(x) que pase a través de x1 y x2 tal que la integral I asuma una extremal. Esto suponiendo que se tiene la forma de la función K. El procedimiento para hacer esto es como sigue: sea y = y(x) la trayectoria desconocida, llamada la extremal, y que determina que la expresión (VI.12) sea un máximo o un mínimo; su forma analítica se obtiene comparando trayectorias vecinas dadas sobre un intervalo infinitesimal de x. Sea (x) una función arbitraria de x que define la variación arriba mencionada y sea  un parámetro que cuantifica la magnitud de la variación. Como este método requiere de técnicas del cálculo diferencial, supondremos también que existen las primeras y segundas derivadas de (x). Algebraicamente los conceptos arriba vertidos se resumen como sigue y(x) = y(x) + (x)

(VI.13)

es decir se construye una nueva función y(x) que representa todas las curvas variadas alrededor de la extremal y(x). Además de (VI.13) se tienen las siguientes condiciones a la frontera (x1) = (x2) = 0

(VI.14)

Con estas premisas es claro que las curvas variadas y(x) difieren de la extremal y(x) únicamente por una infinitesimal. De aquí que, con estas definiciones, nuestro objetivo consista en hacer I mínimo (o máximo) cuando  = 0; esto implica encontrar la extremal y = y(x). Al encontrar la extremal se dice que la integral (VI.12) se hace estacional. Reescribimos por tanto la ecuación (VI.12) de la siguiente manera x2

I(  ) 

 K( y, y' , x)dx

(VI.15)

x1

y queremos hacer dI()/d = 0 con el objeto de encontrar la extremal mencionada; se tiene por tanto dI  d

x2

 K dy

K dy' 

  y d  y' d dx

x1

(VI.16)

342


Empleando la definición y(x) = y(x) + (x), se tiene x2

 K  K dI   ( x )  ' ( x )dx  y' d  y  x



(VI.17)

1

y, dado que y = y, cuando  = 0, entonces dI d

x2

  0

 K

K



  y ( x )  y' ' ( x)dx

(VI.18)

x1

Se supuso que existen las primeras y segundas derivadas de la extremal, de aquí que, al integrar por partes el segundo integrando, se llegue a lo siguiente x2



x1

K K ' ( x )dx  ( x ) y ' y '

x2

x2

 x1

d K

 dx y' ( x)dx

(VI.19)

x1

La primera parte del miembro de la derecha de (VI.19) es cero por la condición (VI.14); la expresión (VI.18) se reduce por tanto a x2

 K d  K  dI     ( x )dx  0 d   0  y dx  y '  x



(VI.20)

1

y debido a que (x) es arbitraria, se tiene finalmente

d K K  0 dx y ' y

(VI.21)

conocida como la ecuación de Euler-Lagrange. En resumidas cuentas, nuestro problema variacional se resuelve estableciendo la integral (VI.12) para el proceso que deseamos estudiar, se substituye la respectiva K en la ecuación de Euler-Lagrange y se resuelve ésta para encontrar la extremal deseada. Ahora bien, una clase de problemas que es de importancia en casos variacionales, es aquella donde se desea hacer estacional (Boas, 1983) la integral (VI.12), pero sujeta a condiciones (constricciones). Es decir, el problema consiste en encontrar la extremal que minimice la integral mencionada pero sujeta a la condición de que x2

J

 L( y, x)dx

x1

(VI.22)

Restauraciones

343

sea constante. Nótese que la trayectoria de integración debe ser la misma que hace estacional a (VI.12). Siguiendo el mismo desarrollo anterior, es muy sencillo demostrar que K + L satisface la ecuación de Euler-Lagrange, donde  es una constante conocida como el multiplicador de Lagrange. En otras palabras, se debe tener que x2



M  ( K  L)dx

(VI.23)

x1

sea estacional; esto es de esperarse ya que (VI.23) no es más que una combinación lineal de (VI.12) y (VI.22). Lo anteriormente expuesto es fácilmente generalizable (Arfken y Weber, 1995; Boas, 1983) para un conjunto de variables independientes y un conjunto de constricciones x

2 y d   K( y i , i , x j )  d  x j x1



 k



0

k L k ( y i , x j ) dx j



(VI.24)

 0

donde xj son las variables independientes, yi las variables dependientes y k los multiplicadores de Lagrange. Si al integrando de (VI.24) se le llama M, se tiene entonces la siguiente ecuación generalizada de Euler-Lagrange M  y i



 x j

j

M 0  ( y i / x j )

(VI.25)

En problemas con carácter físico, las variables (coordenadas) x,y,z, están sujetas a constricciones de tal manera que no son totalmente independientes. Con esta breve descripción del formalismo variacional, continuemos ahora con el estudio del filtro inverso sujeto a constricciones. Debemos puntualizar, que aun con restricciones, el proceso de minimización antes mencionado no puede hacerse con detalle; siempre es con base en las propiedades promedio de la imagen, de la escena y del ruido. Antes que nada es necesario identificar las constricciones que razonablemente son factibles de imponer al filtro inverso. Debemos anotar que en problemas de restauración, contaminados por ruido y con un comportamiento más bien limitado de H, se tiene, estrictamente considerando, un número infinito de posibles soluciones. Para seleccionar una solución de entre esta familia infinita es necesario recurrir a los métodos de optimización (cálculo variacional) y dirigir la solución (Morel y Solimini, 1995) hacia un aspecto particular de la optimización determinado por el conjunto de restricciones que se impongan. En restauración, al igual que en muchos otros problemas en análisis de imágenes, se tienen dos enfoques: el determinista y el estocástico. El filtro inverso es un ejemplo claro del primer enfoque, el cual parecería adecuado dada su simpleza analítica; sin embargo, por la naturaleza estocástica de la imagen y las limitaciones físicas en su proceso de generación se producen los artefactos ya analizados. Por otro lado, en un enfoque netamente estocástico, no se podría tomar en cuenta la parte determinista de la función de modulación. Un tercer enfoque

344


conveniente parece ser, por tanto, la combinación de las anteriores en una vía híbrida de acuerdo con el siguiente esquema Determinista  minimizar: relación funcional de mínimos cuadrados Estocástica  sujeta a: una o varias relaciones que involucran propiedades estadísticas del conjunto de la imagen y del ruido La vía híbrida se encuentra plasmada matemáticamente por la ecuación de EulerLagrange, tal como se verá en los ejemplos que subsecuentemente se estudian. Así entonces, la relación funcional de mínimos cuadrados se encuentra ya planteada por medio de la expresión (VI.9). En cuanto a las propiedades estadísticas, listemos varias de ellas. El principio de conservación de energía, es escrito en este contexto de la siguiente manera: Eg = Energía{g(r)}, donde la cantidad Eg tiene un cierto valor constante. Otro principio de conservación, para el caso de un sistema lineal donde el ruido no esté correlacionado con la imagen original, se escribe como sigue Eg = Ef + E

(VI.26)

También es factible tomar en cuenta la energía total del ruido E 

1 AB

A

B

 N( k, l)

2

(VI.27)

k 1 l 1

donde A y B son las dimensiones de la imagen en las direcciones x y y respectivamente; esta última expresión proviene del siguiente razonamiento: al suponer que los valores de los pixels son proporcionales a la cantidad de energía que recibe el detector, por unidad de tiempo, por unidad de ángulo sólido, se tiene que la energía total asociada al ruido es E 

 ( k, l)   ( k, l) ( k, l) 2

k

l



k

(VI.28)

l

Al suponer ergodicidad en el proceso y tomando en cuenta el teorema de Parseval, se tiene la ecuación (VI.27). La razón de tomar la suma del producto del ruido  por su conjugado complejo, es que en general ésta es una función compleja (amplitud y fase) relativa a la energía radiante. En forma similar escribimos Eg 

1 AB

 G( k, l) k

l

2

y Ef 

1 AB

 F( k, l) k

2

(VI.29)

l

De acuerdo con estas expresiones se ve claro porqué la relación (IV.101) se ha denominado espectro de energía (o de potencia). En otras palabras, el promedio del espectro de energía es igual a la energía total. Con el análisis de estas ideas, planteemos ahora el filtro inverso sujeto a constricciones

Restauraciones

1 minimizar: AB

  

 C( k, l)Fˆ( k, l)    2

k

l

m

n

i

j

 fˆ ( i, j)c( m  i, n  j) 

345 2

(VI.30) 1 sujeto a: AB

 G( k, l)  Fˆ( k, l)H( k, l) k

2

 E

l

donde c es un operador lineal que se incluye como parámetro en el modelo final de restauración. Un ejemplo de este operador podría ser el siguiente: se desean minimizar las fluctuaciones de alta frecuencia asociadas normalmente al ruido, el operador gradiente resalta tales fluctuaciones; por tanto, podríamos imponer la minimización del gradiente de la estimación fˆ . Recordemos, sin embargo, que los bordes y las líneas también están caracterizadas por frecuencias altas, de tal forma que la selección de c como el gradiente no necesariamente es la mejor. Hagamos por tanto el cálculo del modelo de restauración sin hacer suposición explícita sobre c, dejando abierta la posibilidad de otras opciones que puedan ser estudiadas heurísticamente de acuerdo con la apreciación visual de los resultados de la restauración. Ahora bien, la primera expresión de (VI.30) es el equivalente digital de la integral (VI.12) y la segunda es el equivalente de la integral (VI.22). De aquí que, de acuerdo con la relación (VI.23), debemos hacer estacional (minimizar) lo siguiente

 E ( k, l)    C( k, l)Fˆ( k, l) 1

k

l

k

l

2

2   G( k , l)  Fˆ( k , l) H( k , l)   mínimo (VI.31) 

después de haber ignorado el término 1/AB. Es necesario ahora aplicar la ecuación de Euler-Lagrange al sumando (E1) que se encuentra entre las llaves en la expresión (VI.31). Pero antes debemos notar lo siguiente: la expresión (VI.31) involucra operaciones entre los elementos de las matrices C, Fˆ , G y H; estos elementos son en general complejos y sus derivadas deben manejarse (Brown y Churchill, 2003) como tales. Notemos también que E1 0 ˆ F' ( k , l)

debido a que la expresión (VI.31) no contiene explícitamente a la derivada Fˆ' . Aquí es necesario puntualizar que, en este ejemplo de estudio, la expresión (VI.31) no depende explícitamente de Fˆ' por lo que podría pensarse que una minimización con las herramientas tradicionales del cálculo diferencial sería suficiente; pero no es así. En general los modelos de restauración de imágenes, en el contexto aquí planteado, dependen tanto de la aproximación Fˆ como de su derivada, por lo que es necesario emplear las herramientas del cálculo variacional (Jähne, 1993). Nos queda, por tanto, la evaluación de

346

Tratamiento Digital de Imágenes Multiespectrales 2 2 E 1     C( k , l)Fˆ( k , l)   G( k , l)  Fˆ( k , l) H( k , l)  ˆ ˆ  F( k , l) F( k , l) 

(VI.32)

La cual debe ser igualada a cero para encontrar la extremal Fˆ . Para hacer este cálculo correctamente, desarrollemos los valores absolutos de la siguiente manera  Fˆ( k , l)

C( k, l)Fˆ( k, l)C ( k, l)Fˆ ( k, l)  G( k, l)  Fˆ( k, l)H( k, l) 



G(k, l)  Fˆ(k, l)H(k, l)   0 

(VI.33)

donde * denota conjugado complejo. Empleando las reglas de derivación para funciones de variable compleja (Brown y Churchill, 2003; Buck, 2003) se obtiene C( k , l)C  ( k , l) Fˆ ( k , l)  C( k , l)Fˆ ( k , l)C  ( k , l)  [ 2G  ( k , l) H( k , l)  2 Fˆ ( k , l)H( k , l) H  ( k , l)]  0

(VI.34)

Ahora bien, recordando que estamos manejando elementos de matrices y no las matrices mismas, reagrupamos de la siguiente manera 2 2 C( k , l) Fˆ ( k , l)  G  ( k , l) H( k , l)  Fˆ ( k , l) H( k , l)  0

(VI.35)

Aplicando el conjugado complejo a (VI.35), reagrupando términos y despejando para Fˆ( k , l) , se tiene finalmente Fˆ( k , l) 

G( k , l) H  ( k , l) 2

C( k , l )   H ( k , l )

(VI.36)

2

Esta última ecuación depende del parámetro  (multiplicador de Lagrange) cuyo valor se encuentra utilizando la restricción que involucra la energía total del ruido (ecuación VI.30). Al substituir (VI.36) en la segunda parte de (VI.30), se tiene la siguiente expresión para la energía del ruido 1 AB

 k

l

2

G (k , l) C(k , l)

C(k, l)

2

4

  H ( k , l)



2 2

 E

(VI.37)

la cual en general no es factible de resolver analíticamente para ; por este motivo es necesario emplear algún método iterativo de rápida convergencia, tal como el de

Restauraciones

347

Newton-Raphson (Sauer, 2005). Analicemos con cierto detalle los resultados de este filtro de restauración. Al dividir y multiplicar por H(k,l) la expresión (VI.36), es posible escribir el cociente de la imagen estimada con respecto a la degradada como 2  H ( k , l) Fˆ(k , l)  G (k , l) H(k , l)[ C(k , l) 2   H(k, l) 2 ]

(VI.38)

Apreciamos en esta última ecuación que el cociente Fˆ / G , que es visto como la función de transferencia de este modelo de restauración, es en realidad una cascada de un simple filtro inverso seguido de un factor de normalización que depende de H, C y . El operador C es un parámetro que debe ser modelado para medir la rugosidad del ruido de la imagen degradada con el objeto de suavizar la estimación fˆ , es decir para evitar que el ruido domine el proceso de restauración. Cuando   , E  0 y Fˆ / G  1/H; en otras palabras, cuando el ruido tiende a cero se tiene el filtro inverso. Es claro por tanto que el ancho de banda del filtro depende de . En Katsaggelos (1991) se estudian varias formas del operador C. El factor  H( k, l) 2

2

C( k , l )   H ( k , l )

2

sirve, por tanto, para controlar las contribuciones indeseables del ruido y para normalizar el comportamiento de H. La estimación de la energía total del ruido sólo puede provenir de dos fuentes: de la imagen degradada y del conocimiento del proceso de degradación. En general, es posible localizar alguna zona relativamente homogénea de la imagen degradada, a partir de la cual sea factible evaluar la contribución del ruido y en consecuencia su energía total. Si H = 1, no hay distorsión en la imagen degradada por efecto de esta función de modulación; el ruido es tomado en cuenta únicamente por medio del operador C, el cual, como se dijo anteriormente, proporciona una medida de la textura de alta frecuencia de la degradación. En muchos casos de degradación H se presenta como un filtro pasa bajas ligado con una C con características de pasa altas. Así por ejemplo, cuando el ruido es de tipo moteado, es posible aproximar a c como un pulso: c(m,n)  (m,n) por lo que su transformada de Fourier es C(k,l) = 1,  (k,l), de aquí que 2  H( k, l) Fˆ( k , l)  ,  ( k, l) G( k , l ) H ( k , l ) 1   H ( k , l ) 2

[

]

(VI.39)

con lo cual se ilustra claramente la dependencia del ancho de banda con respecto a  y se muestran las propiedades del filtro con respecto a H. Es importante mencionar que el buen comportamiento de este filtro depende significativamente del modelo que se adopte para C y H.

348


VI.5 Filtro de Máxima Entropía Con anterioridad se mencionó la enorme cantidad de imágenes que pueden ser formadas combinando, en una especie de mosaico, un número suficientemente grande de pequeños bloques con diferentes tonos de gris. Si se utilizan 256 niveles de gris para imágenes de 1024 x 1024, el número de posibles combinaciones es 2561024x1024 = 

(VI.40)

Es decir, existen  patrones espaciales posibles, de los cuales la vasta mayoría carecen de sentido de acuerdo con nuestra experiencia común y corriente. Pocas de estas posibles imágenes tienen una estructura significativa con relación al mundo físico, únicamente un número relativamente pequeño de las imágenes presentaría un contenido de información relevante, además, algunas imágenes parecerían tener más información que otras. De aquí que una manera de estimar la calidad de una imagen sea por medio del contenido de información de la misma. Ahora bien, en teoría de la información (Abril, 2004) la entropía se emplea para medir dicho contenido haciendo un símil con el significado físico que tiene. Revisemos este concepto brevemente. En física se sabe bien que un sistema cerrado y gobernado por leyes naturales tiende al desorden: a la degradación o pérdida de valor. En este contexto, se considera la noción de valor que los humanos suelen atribuir a ciertas cosas. En la presente discusión se le asigna valor a lo improbable, a lo que es escaso o raro de ocurrir. Así por ejemplo, al morir una persona, su cuerpo tiende a la degradación, terminando las moléculas que lo componen en un desorden mucho más probable que el orden que tenían antes de la muerte. Al cesar el suministro de energía que mantenía estas moléculas en un alto grado de orden, éstas tenderán rápidamente a la degradación. La entropía es una medida del grado de desorden (u orden) que cualquier sistema cerrado tiende a incrementar. Sistemas con un alto orden son muy poco probables y les asignamos un gran valor; a estos sistemas se les asocia una entropía pequeña. Dejando un sistema a su evolución natural, el grado de orden que presenta decrece, a la par que su valor disminuye también y su entropía en consecuencia aumenta. Estos conceptos se resumen en el siguiente esquema

orden  mucha información  entropía pequeña  gran valor desorden  poca información  entropía grande  poco valor Sería conveniente, sin embargo, el contar con una cantidad que fuese a la par del contenido de información; esto se hace introduciendo la anentropía como el negativo de la entropía. Así, si la entropía la denotamos con S, la anentropía es N =  S. Por tanto, al aumentar el contenido de información, aumenta la anentropía. Al regresar al ejemplo del principio de esta sección, entendemos que la mayoría de las  imágenes presentan un gran desorden o poca información y anentropía pequeña. Algunas imágenes del conjunto  muestran alto orden de acuerdo con nuestra experiencia del mundo físico, por lo que les asignamos un alto contenido de información y una anentropía grande. De esta manera hemos cuantificado, aunque en un sentido restringido pero útil, el concepto cualitativo de información y la idea de valor. La mencionada restricción no es una desventaja, ya que es suficiente para los propósitos

Restauraciones

349

de restauración de imágenes degradadas. Es necesario ahora introducir una definición matemática de la entropía y en consecuencia de la anentropía también. Sea P(fi), i = 1, 2, . . . 

la probabilidad de que ocurra cada estado espacial o estructura espacial de la imagen; en la práctica es muy difícil modelar esta función de probabilidad. Entonces tomemos la información promedio (Abril, 2004) que en bits está dada por 

S (f )   P (f i ) log 2 {P (f i )}, 0  P (f i )  1

(VI.41)

i =1

para el número total de posibles imágenes . Para clarificar esta última ecuación, establecemos el siguiente intervalo de valores: 0  S(f)  log2(), para P(fi) = 1, P(fj) = 0, j  i y P(fi) = P(fj),  (i,j) respectivamente. Cuando S(f)  0 se tiene mayor información y cuando S(f)  log2() se tiene menor información. La expresión (VI.41) nos indica que se necesita un número mínimo de bits para codificar una cierta cantidad de información. Debe quedar claro que fi es uno entre el número total de posibles estados discretos y que se debe básicamente a la naturaleza discreta de la imagen, ya que ésta se encuentra discretizada tanto espacial como radiométricamente. Supongamos que se ha construido artificialmente una estructura excepcional para un sistema cerrado, éste decaerá, naturalmente, de tal estructura inestable, a estados más probables, incrementándose la probabilidad y la entropía, pero disminuyendo la información y la anentropía. Con este ejemplo ideal en mente es factible ahora hacer un símil con el proceso físico de degradación. Pensemos que se tiene una imagen adquirida con un sensor perfecto y con ausencia total de ruido o interferencia; esta imagen tiene por tanto máxima información acerca de la escena correspondiente. En un cierto tiempo cambiamos el detector perfecto por uno de respuesta normal y comenzamos a introducir ruido. La imagen ideal (sistema cerrado) se empieza a degradar a estados más probables disminuyendo la información acerca de la escena; si el proceso de degradación se continúa, la imagen terminará careciendo de significado real. Al intentar restaurar la imagen en estos términos, es necesario por tanto maximizar la posible información contenida en la misma, por lo que se tendrá el filtro de máxima anentropía. Es importante anotar que en la literatura (Wahl, 1987; Ekstrom, 1984; Lim, 1989) se trata el filtro de máxima entropía cuando en realidad se maximiza la información. Desde el punto de vista conceptual ambos filtros son equivalentes, ya que o se minimiza la entropía o se maximiza la anentropía, es decir se minimiza el desorden o se maximiza el orden. En cualquier de estos dos enfoques se establece una equivalencia entre probabilidad de existencia de un estado de la imagen y su contenido de información. En este tipo de restauración es posible decir que cualquier elemento de información aumenta la anentropía del sistema; tal elemento proviene del modelo de restauración que contiene información física del proceso de degradación. Cuando se registra una

350


imagen (se captura una escena) se reduce el número  de posibles estados ya que uno de estos es seleccionado. Al degradarse la imagen, más de éstos son posibles; al maximizar la información, se intenta accesar aquel estado donde la imagen no está degradada y este es precisamente el estimado fˆ a partir de g. De esta manera se plantea encontrar una estimación fˆ para la cual la información sea, en promedio, máxima. Dado que la función P(fi) es muy difícil de modelar, se emplea en consecuencia la información contenida en una imagen específica: la estimación fˆ . Para plantear matemáticamente el presente filtro de restauración, utilizamos nuevamente el esquema híbrido anteriormente descrito; entonces se requiere N (fˆ )  

A

B

 fˆ ( m, n ) ln{fˆ ( m, n )}  máximo para 1  fˆ  2

k

(VI.42)

m 1 n 1

donde se tiene el siguiente intervalo  AB2 k ln(2 k )  N (fˆ )  0, para fˆ  1, y fˆ  2 k ,  (m, n ) respectivamente

Hay que hacer notar el diferente intervalo de valores para fˆ con respecto al intervalo dado para P(fi), por lo que, cuando N (fˆ )  0, la información aumenta y, para N (fˆ )  AB2kln2k, la información decrece; en otras palabras, en (VI.42) se maximiza la información. Nótese también que fˆ es siempre mayor o igual que cero por lo que su logaritmo es siempre positivo, con la sóla excepción del logaritmo de cero; esta es la razón por la cual a la ecuación (VI.42) se le ha cambiado el signo. Ahora bien, el modelo de información (VI.42) se sujeta a la siguiente condición

 m

n

 g( i, j)  

2

 i

j

 fˆ ( i, j) h ( m  i, n  j)  E  

(VI.43)

De aquí que sea necesario hacer estacional la siguiente expresión 

 fˆ ( m, n ) ln{fˆ ( m, n )}  fˆ (i, j)h( m  i, n  j)  g( m, n )

2

m

n

m

n

i

(VI.44)

j

la que ahora hay que minimizar, ya que el signo ha sido cambiado. Antes de proceder con el cálculo para encontrar la extremal fˆ , es necesario puntualizar que en la expresión

(VI.42) no se hace la suma hasta el número , ya que únicamente es de interés el valor de la información contenida en la imagen particular fˆ . En forma similar al filtro anterior, sería conveniente pasar al dominio de las frecuencias por medio de los teoremas de la convolución y de Parseval; sin embargo, este último teorema requiere del módulo de la función al cuadrado que no se tiene en el

Restauraciones

351

primer término de (VI.42). Por este motivo aplicaremos las ecuaciones de EulerLagrange en el dominio de la imagen. Notemos primero que, para el sumando   fˆ ' ( m , n )

 0,  ( m, n )

por lo que únicamente es necesario evaluar la derivada de (VI.44) con respecto a fˆ e igualarla a cero  fˆ (m, n )



 ˆ f (m, n ) ln[fˆ (m, n )]   fˆ (m, n )  

 [fˆ (i, j)h(m  i, n  j)  g(m, n)] i

j

2

 0 

donde se han ignorado las sumas sobre m y n, debido a que son comunes a todos los términos y a que la ecuación es igualada a cero, por tanto   1  ln[fˆ (m, n )]  2 ˆ f (m, n )

 [fˆ (i, j)h(m  i, n  j)  g(m, n)]  i

j

 h( m  i, n  j)  0,  ( m, n ) i

(VI.45)

j

Al despejar para ln fˆ y tomar el antilogaritmo en ambos lados, se tiene  fˆ (m, n )  exp 1  2 

 [fˆ (i, j)h(m  i, n  j)  g(m, n )]  i

j



 h( m  i, n  j) i

j

(VI.46)



la cual es una ecuación trascendental en fˆ , y tiene que ser resuelta por métodos iterativos. Hay que puntualizar que, al igual que la ecuación (VI.38), esta última produce resultados positivos que están de acuerdo con la suposición de que sólo se mide la amplitud de la radiación proveniente de la escena. Como se puede apreciar, en este modelo de restauración (ecuación VI.46) se tiene un fundamento físico que se basa en el concepto termodinámico de la entropía y utiliza la propiedad promedio dada por la expresión (VI.42), circunstancia que lo distingue del modelo de la sección anterior (ecuación VI.30), donde se minimiza una medida de la rugosidad del ruido asociado a la imagen. En la ecuación (VI.41), la entropía nos proporciona una medida de la información para un proceso estocástico fi caracterizado por la función de probabilidad P(fi). A diferencia de esto, en la expresión (VI.42) se tiene una función determinista fˆ no

352


negativa, para la cual se expresa un contenido promedio de información. Agregaremos también que el concepto de entropía con relación a la información de una imagen es empleado también (Rosenfeld y Kak, 1982; Gonzalez y Woods, 2002) para efectos de compresión, es decir, para almacenar o codificar la imagen en un número mínimo de bits. En la ecuación (VI.46) el multiplicador de Lagrange  está actuando como un parámetro y puede ser tratado como tal en la solución iterativa para fˆ . Una manera de evitar esta arbitrariedad relativa que implica obtener el valor de  en forma heurística, es la de agregar condiciones a la solución (VI.46). En primer lugar es claro que es factible suponer lo siguiente

 f ( m, n )  f   fˆ ( m, n ) s

m

n

m

n

Además de esto, debido al proceso mismo de degradación, se puede plantear también que la estimación fˆ debe satisfacer

 h( m  i, n  j)fˆ (i, j)  (i, j)  g( m, n ) i

j

que es el modelo lineal de degradación anteriormente discutido. Ahora bien, estas dos últimas restricciones complican el cálculo de fˆ , pero proporcionan un criterio lógico para la estimación de . Hay que hacer notar que los modelos de restauración anteriormente estudiados son aplicables banda por banda de una imagen multiespectral. La lámina 46a muestra la porción del aeropuerto que se observa en la lámina 22. Esta porción ha sido degrada aplicando una convolucion con una gaussiana de una desviación estándar de 1.0 (lámina 46b) y ha sido restaurada con el filtro de máxima entropía utilizando 20 iteraciones (lámina 46c).

VI.6 Filtro de Wiener En el filtro inverso constreñido se minimizó una medida de la rugosidad de la imagen degradada sujeta a una condición de mínimos cuadrados expresada como una simple métrica Euclidiana. El resultado depende, entre otras cosas, de la modelación que del operador C se haga. Otra manera de establecer una restauración es la de minimizar una distancia, desde el punto de vista estadístico, entre la imagen original f (desconocida) sin degradar y la imagen estimada fˆ . En los métodos de restauración anteriores, el criterio básico tiene un fundamento físico que consiste en cuantificar una cierta propiedad de la imagen: rugosidad o información. En el presente método se trata de plasmar, de cierta manera, lo que haría un observador para evaluar la calidad de la restauración: encontrar una imagen restaurada que globalmente se acerque lo más posible a la imagen original. Si bien este es el objetivo general de la restauración, en este caso se trata de particularizar explícitamente el grado de fidelidad con que la estimación fˆ se parece a la original f. Tal acercamiento es imposible de hacer sobre una base de pixel a pixel ya que esto implicaría un conocimiento a detalle de la imagen

Restauraciones

353

original, información que obviamente no se tiene. De aquí que sea necesario definir un criterio de minimización global que puede escribirse de la siguiente manera e 2  E{[f ( r )  fˆ ( r )]2 }

(VI.47)

Es decir se plantea minimizar el valor esperado de la diferencia al cuadrado entre fˆ y f, la razón por la cual a este filtro se le conoce como filtraje de mínimos cuadrados. Debido a que la relación (VI.47) expresa una propiedad de conjunto de los campos aleatorios fˆ y f, a este filtro se le conoce también como restauración estocástica de imágenes. Clarifiquemos además que en este filtro se establece un criterio de mínimos cuadrados, a diferencia de los filtros anteriores, en los que éste se emplea más bien como una restricción. Además de la minimización de (VI.47) es necesario, al igual que en los métodos anteriores, el imponer una restricción al proceso de restauración; de no hacerse así, la solución que se obtiene a partir de (VI.47) es no-lineal en general (Papoulis, 1991). Debido a esto, es importante asegurar que la estimación fˆ guarde una relación lineal con la imagen degradada g, por tanto fˆ ( x, y ) 

  l ( x, y; x' , y' )g( x' , y' )dx' dy'

(VI.48)

En otras palabras fˆ es una combinación lineal de g con factores de peso l. Es indispensable hacer una suposición adicional para poder trabajar explícitamente con el operador lineal l. Supongamos por tanto que tenemos un campo aleatorio homogéneo, por lo que se cumple la invarianza frente a translaciones. Empleando la métrica (VI.47) y la constricción (VI.48) el problema básicamente consiste en encontrar el operador l mediante el cual se obtiene la estimación fˆ de la imagen restaurada. Nótese además que, si bien tenemos el esquema híbrido presentado al principio, no se tiene la restricción (VI.48) en la forma adecuada para aplicar el método de optimización relativo a los multiplicadores de Lagrange. Debido a lo anterior, se tiene por tanto que fˆ ( x, y ) 

  l ( x  x ' , y  y ' ) g ( x ' , y ' ) dx ' dy '

(VI.49)

que es finalmente una convolución entre l y g. Anotemos ahora que el hecho de emplear un dominio continuo para estudiar esta restauración obedece a la simplificación del cálculo; al final pasaremos al dominio discreto. Es necesario ahora substituir la condición (VI.49) en la relación que se desea minimizar, con lo que se escoge un caso particular de mínimos cuadrados e 2  E ([f ( x, y) 

 l ( x  x' , y  y' )g( x' , y' )dx' dy']

2

)  mínimo

(VI.50)

De esta manera se elimina la arbitrariedad de (VI.47) y se forza a tener una solución lineal. Al encontrar la función l se resuelve el problema de restauración debido a la restricción (VI.48); para esto aplicaremos el principio de ortogonalidad

354


E[[f ( x, y ) 

 l ( x  , y  )g(, )dd]g( x' , y' )]  0,  ( x, y, x' , y' )

(VI.51)

que nos dice (Papoulis, 1991) que la función l, que minimiza el error e2, es tal que f lg es ortogonal a g. Esto se visualiza geométricamente si se consideran a las variables aleatorias f y g como miembros de un espacio vectorial abstracto y a l como una constante en este espacio, de tal forma que el producto escalar de cualquiera de estos vectores es tomado como el segundo momento estadístico. En este orden de ideas, la expresión (VI.50) es la norma al cuadrado del vector diferencia entre paréntesis. Así entonces, el siguiente esquema nos ayuda a entender cualitativamente esto

f

f - l* g

l* g

Es claro que la norma al cuadrado E{[f - lg]2} es mínima si f - lg es perpendicular (ortogonal) a g, expresado en la ecuación (VI.51). De aquí, y con base en el teorema de Pitágoras, E{[f  l  g ] 2 }  E{f 2 }  E{[l  g ] 2 }

Es necesario, por tanto, encontrar el factor constante l tal que se cumpla la condición de ortogonalidad. De lo anterior se deduce fácilmente que es posible reescribir a (VI.51) como sigue

  l ( x  , y  )E[g(, )g( x' , y' )]dd  E[f ( x, y)g( x' , y' )]

(VI.52)

Recordemos aquí la definición de autocorrelación y correlación cruzada (ecuaciones III.84 y III.87) e identifiquémoslas en la ecuación (VI.52), por tanto

  l ( x  , y  )R

gg

(, ; x' , y ' )dd  R fg ( x, y; x' , y ' )

pero como se ha supuesto invarianza frente a traslaciones

  l ( x  , y  )R

gg

(  x' ,   y ' )dd  R fg ( x  x' , y - y ' )

(VI.53)

Con los cambios de variable:  - x’ = ,  - y’ = , x - x’ = u, y - y’ = v, se obtiene

Restauraciones

  l (u  , v  )R

gg

(, )dd  R fg (u, v)

355

(VI.54)

En el miembro izquierdo de (VI.54) se tiene la convolución entre l y Rgg, por lo que al tomar la transformada de Fourier en ambos lados de la ecuación L(i,j)Sgg(i,j) = Sfg(i,j),  (i,j)

(VI.55)

donde Sgg es la densidad espectral de la imagen degradada y Sfg es la densidad conjunta de la imagen original con la degradada. Los índices (i,j), enteros, denotan que la ecuación (VI.55) es válida en el dominio discreto. La densidad conjunta Sfg es generalmente muy difícil de estimar; sin embargo, para sistemas lineales, el ruido es en muchas ocasiones decorrelacionado de la imagen y si además se supone ruido con (r) = E{(r)} = , es factible entonces desarrollar una fórmula más manejable que la (VI.55). Por lo anterior E{f(r)(r)} = E{f(r)}E{(r)} = 0

(VI.56)

Rfg = E{fg} = E{f[h  f + ]} = E{fh  f} + E{f}

(VI.57)

y para este caso

Haciendo uso de las suposiciones anteriores, y sabiendo que los operadores de integración para la convolución y el valor esperado son intercambiables, se reescribe (VI.57) de la siguiente manera R fg ( x  x' , y  y ' ) 

  h( x', y')E{f ( x, y )f (, )}dd

(VI.58)

Donde, a diferencia de (VI.54), se ha empleado la función de modulación h con el objeto de complementar nuestro cálculo. Sin embargo, el valor esperado del miembro de la derecha de (VI.58) es la función de autocorrelación de f, por lo que se tiene R fg (u, v ) 

  h (  u,   v )R

ff

(, )dd

(VI.59)

habiendo hecho  = x - ,  = y - , u = x – x’, v = y - y’. A diferencia de la ecuación (VI.54), en el miembro de la derecha de (VI.59) no se tiene una convolución, sino más bien una correlación (ver ecuación IV.112), de tal forma que al aplicar la transformada de Fourier en ambos lados de (VI.59) se obtiene Sfg(i,j) = H*(i,j)Sff(i,j),  (i,j)

(VI.60)

Nótese que, de la ecuación (VI.55), se tiene ahora una relación explícita para la densidad conjunta Sfg en términos de la función de modulación y la densidad espectral de f, la que es relativamente fácil de modelar. Es conveniente, ahora, buscar una relación para la densidad espectral de g para que, conjuntamente con (VI.60) se

356


substituya en (VI.55), obteniéndose de esta manera una expresión más fácilmente computable para el operador L. Haremos uso, por tanto, del modelo lineal de degradación, que incluye la función de modulación, la imagen original y el ruido: g = h  f + . De aquí, y recordando la suposición (VI.56), escribimos g( x  , y  ) 

  f ( x    , y    )h(,)dd  ( x  , y  )

(VI.61)

Tomando ahora el valor esperado de g(x,y)g(x + ,y + ) después de haber multiplicado ambos lados de (VI.61) por g(x,y) E{g( x, y )g( x  , y  )} 

 h(, )E{g( x, y )f ( x    , y    )}dd 

E{( x  , y  )g( x, y )}

(VI.62)

Pero sabemos que (ecuación VI.56) E{(x + ,y + )g(x,y)} = E{(x + ,y + )(x,y)} = R(,)

(VI.63)

Por lo que (VI.62) se reduce a R gg ( , ) 

 h(,)R

fg (   ,   )dd  R  ( , )

(VI.64)

Con el objeto de evitar la densidad conjunta de f con g se requiere de una relación de Rfg en términos de Rff; para tal efecto se forma el siguiente producto g( x, y )f ( x  , y  ) 

  h(,)f ( x  , y  )f ( x  , y  )dd  (x,y)f(x + ,y + )

(VI.65)

Al tomar el valor esperado en ambos lados de esta última ecuación, se tiene R fg (, ) 

 h(,)R

ff

(   ,   )dd

(VI.66)

Hay que puntualizar que, en la manipulación y estudio del presente filtro de restauración, se han supuesto campos aleatorios homogéneos estacionarios. La parte derecha de la ecuación (VI.64) es claramente una convolución entre h y Rff adicionada a R. En cuanto al miembro de la derecha de (VI.66) una rápida inspección indica que se tiene una convolución entre h(-,-) y la función de autocorrelación Rff; resumamos esto en las siguientes ecuaciones

R gg ( , )  h (, )  R fg (, )  R  ( , ),  (, )

Restauraciones

357

y R fg ( , )  h ( , )  R ff ( , ),  (, )

Al substituir (VI.66) en (VI.64) se obtiene una expresión para la autocorrelación de Rgg R gg ( , )  R ff (, )  h (, )  h ( ,)  R  ( , ),  (, )

(VI.67)

Finalmente, al tomar la transformada de Fourier de esta última ecuación y teniendo presente que F{h(-,-)} = H*(i,j), es posible escribir una relación adecuada a nuestros propósitos para la densidad espectral de g 2

Sgg ( i, j)  H ( i, j) Sff (i, j)  S (i, j),  (i, j)

(VI.68)

Esta última ecuación y la (VI.60) se substituyen en (VI.55) para dar 2

H( i, j) Sff (i, j) 1 L w (i, j)  ,  ( i, j) H(i, j) H( i, j) 2 Sff ( i, j)  S  ( i, j)

(VI.69)

que nos proporciona el operador Lw en términos de la función de modulación y las densidades espectrales de la imagen original y el ruido. Veamos porqué esta ecuación es computacionalmente más adecuada que la (VI.55). La ecuación (VI.69) muestra un comportamiento interesante que demuestra cómo las suposiciones hechas trabajan en favor de la restauración. Para ver con evidencia las propiedades de este filtro, reescribimos (VI.69) de la siguiente manera L w (i, j) 

H * ( i, j) 2

H ( i, j)  S  ( i, j) / Sff (i, j)

Entonces, en regiones de la imagen donde la densidad espectral de ésta es muy pequeña o cero, teniéndose únicamente ruido, se ve claramente que S    y Lw  0 S ff

es decir, el filtro de Wiener no está dominado en ningún caso por el ruido como ocurre con el filtro inverso. En zonas de la imagen carentes de ruido S  1  0 y Lw  S ff H (i, j)

En otras palabras, en áreas sin degradación por ruido se tiene simplemente el filtro inverso. En el caso en que H(i,j) = 0 para alguna (i,j) no existe división por cero como en el filtro inverso, sino que Lw(i,j) = 0, previniéndose de esta manera un

358


comportamiento sin control. Como es posible apreciar, el filtro de Wiener muestra tener una estructura que autocontrola los valores de Lw dentro de límites adecuados para casos extremos. El operador Lw, dado por (VI.69), es substituido en (VI.49) para generar la estimación fˆ . Como se puede apreciar, el operador Lw se encuentra constituido por una cascada de un filtro inverso seguido de un cierto factor de normalización que depende de la función de modulación y de las densidades espectrales de f y . En la ausencia de ruido, esta restauración se reduce al filtro inverso, lo cual implica un comportamiento limitado bajo estas condiciones. Como se había mencionado arriba, es muy difícil conocer las estadísticas conjuntas de f y g, ya que f no se conoce en detalle; sin embargo, su densidad espectral puede ser evaluada. Sabemos que para campos aleatorios homogéneos la densidad espectral es la transformada de Fourier de la función de autocorrelación, por lo que al modelar ésta estamos estimando aquélla; así entonces R ff ( x, y )  

x2  y2

, S ff (k , l)  F {R ff ( x, y )}

(VI.70)

donde el parámetro  se estima heurísticamente a partir de la imagen degradada; otros métodos de estimación se discuten en Lim (1989). El intervalo de validez de  es: 0 <  < 1 y la forma de este modelo es una consecuencia de las propiedades de simetría discutidas en la sección III.5. En algunas ocasiones es factible encontrar zonas no degradadas en g; a partir de ellas es relativamente fácil asignar un valor al parámetro . También a partir de regiones homogéneas se puede obtener una aproximación para S y en ocasiones con un mínimo de conocimiento del proceso de degradación se supone que S = constante; a partir de esta suposición y con la ayuda del filtro homomórfico (sección V.2.9), es posible estimar el cuadrado del espectro de la imagen original |F|2, el cual, bajo condiciones de estacionalidad y ergodicidad, es igual a la densidad espectral Sff. Existen algunas variaciones al filtro de Wiener que son importantes de mencionar. En la primera de estas, notemos la similitud de forma que tienen las ecuaciones (VI.38) y (VI.69), la cual sugiere una expresión explícita para el operador C de (VI.38) en términos de las densidades espectrales de la imagen original y el ruido; entonces se hace C(i,j)2 = S(i,j)/Sff(i,j), lo que al substituirse en (VI.38) da como resultado 2

L pw ( i, j) 

 H (i, j) Sff (i, j) H (i, j)[ H (i, j) Sff ( i, j)  S  ( i, j)] 2

,  ( i, j)

(VI.71)

A esta última expresión se le conoce como filtro paramétrico de Wiener debido a que el multiplicador de Lagrange  es manejado como parámetro. Con  = 1 este filtro se reduce al de Wiener; de otra manera,  debe obtenerse en forma heurística. Es claro además que el operador C está expresando aquí como una medida de la relación señal/ruido; si el ruido tiende a cero, también lo hace C. Otra generalización del filtro de Wiener es aquella donde se introducen dos parámetros de la siguiente manera

Restauraciones

359



2   H ( i, j) Sff (i, j) L wp ( i, j)    ,  ( i, j) 2  H ( i, j)[ H ( i, j) Sff (i, j)  S  (i, j)] 

(VI.72)

La desventaja de esta última forma es que el valor óptimo de los parámetros  y  deben obtenerse por prueba y error, complicándose con esto la evaluación de Lwp. Sin embargo, partiendo de la base del filtro de Wiener original, se comienza por explorar valores de  y  alrededor de uno, afinándolos para una serie de clases de imágenes con características similares de degradación; este proceso, no obstante, es de tipo heurístico y hasta cierto punto subjetivo, ya que la apreciación de la restauración debe hacerse con base en un modelo del comportamiento de la psicovisión. También es factible evaluar la restauración construyendo una imagen patrón a la cual se le aplica una degradación conocida. En la lámina 47 se aprecia la imagen de la lámina 12 degradada con un proceso de convolución por el movimiento lineal del sensor por 31 pixels, a un ángulo de 11° con respcto a la dirección horizontal y en sentido siniestrógiro. En la lámina 48 se muestra la restauración alcanzada por el filtro de Wiener donde es claro que el ruido multiplicativo (speckle) ha sido reducido y la borrosidad ha sido eliminada. Todos los métodos de restauración estudiados aquí tienen características de filtro pasa bajas con excepción del de máxima entropía; esto quiere decir básicamente que el de máxima entropía debe emplearse para restaurar imágenes borrosas, mientras que los otros se utilizan para eliminar ruido. El filtro paramétrico de Wiener (ecuación VI.72) con valores adecuados de los parámetros  y , puede aplicarse a la restauración de imágenes borrosas y con ruido. La restauración es siempre un proceso interactivo, ya que todos los métodos requieren de un cierto conocimiento acerca de la imagen degradada o de la degradación misma. Tal conocimiento es incluido en el método de restauración seleccionado; si hay parámetros involucrados, su valor es modificado hasta obtener un resultado satisfactorio. Para que este proceso interactivo sea racional y eficiente es indispensable conocer físicamente las causas de la degradación a la imagen. Algo de arte hay en el proceso de restauración, se comienza con algo sencillo: digamos el filtro inverso constringido, y se refina subsecuentemente la forma de la función de modulación, del ruido y de los demás aspectos involucrados en la degradación. La restauración completa de una imagen nunca se alcanza, pero es factible obtener un resultado a partir del cual se puedan obtener conclusiones cuantitativas. En casos severos de degradación es muy posible que los resultados estén lejos de ser satisfactorios. Podría parecer que una restauración con características de filtro pasa bajas está quitando información a la imagen en lugar de añadirle, como se había anotado en el capítulo V. Sin embargo, un proceso de este tipo permite eliminar ruido caracterizado por altas frecuencias, revelando información que se encontraba enmascarada antes de la restauración. En este contexto, algunos filtros pasa bajas estudiados en el capítulo V pueden ser vistos también como métodos de restauración; la frontera entre filtrajes y restauraciones no está perfectamente bien definida. Los conceptos de información y valor asignados a una imagen deben manejarse siempre dentro del contexto de un problema.

360


VI.7 Normalización de la Densidad Espectral El filtro de Wiener se basa en la minimización del error al cuadrado entre la imagen original y la estimada, aunado esto a la restricción de una relación lineal entre éstas. Otra manera de realizar un acercamiento promedio es considerando la densidad espectral que proporciona una medida global de la distribución de frecuencias espaciales de la imagen. Supóngase que se impone la siguiente condición Sfˆfˆ ( i, j)  Sff (i, j), (i, j)

(VI.73)

Sabemos además que para procesos estacionarios se cumple la ecuación (VI.68), por lo que, al agregar la restricción de una relación lineal entre fˆ y g en forma similar al desarrollo hecho para el filtro de Wiener, se tiene, en el espacio de frecuencias 2

Sfˆfˆ (i, j)  L n ( i, j) S gg (i, j),  ( i, j)

(VI.74)

y al substituir para la densidad espectral de g por medio de (VI.68), se obtiene Sfˆfˆ (i, j)  L n (i, j)

2

[ H(i, j) 2 Sff (i, j)  S (i, j)],  (i, j)

(VI.75)

de tal manera que al utilizar la condición (VI.73) es posible escribir una expresión para el operador Ln   1  L n ( i, j)   2  H ( i, j)  S  ( i, j) / Sff ( i, j) 

1/ 2

(VI.76)

Este filtro tiene una estructura parecida al de Wiener, pero su comportamiento tiene rasgos distintivos. En los polos de H no hay división por cero debido al factor S/Sff. En aquellas regiones del espectro donde Sff  0, Ln  0 también, evitándose con esto el dominio del filtro por parte del ruido caracterizado por S. Una diferencia interesante entre este filtro y el de Wiener es que si, para alguna (k,l), H(k,l) = 0, entonces   1 L n ( i, j)     S  (i, j) / Sff (i, j) 

1/ 2

En el de Wiener en cambio, Lw = 0, si H = 0. Esto implica que la variación, en el espectro de frecuencias, del filtro de Wiener es mayor que el de la normalización de la densidad espectral. En otras palabras, Ln muestra un comportamiento más suave que Lw; en el dominio de la imagen las respectivas funciones de transferencia F-1[Ln] y F-1[Lw] tienen una comparación similar. Es decir, las variaciones mayores de Lw se traducen en una función con más lóbulos en el espacio de la imagen. La consecuencia de esto es que una imagen restaurada con el filtro de Wiener presenta una estructura más fina que si ha

Restauraciones

361

sido restaurada con el filtro Ln. Con este razonamiento parecería que el filtro de Wiener permite ver detalles más pequeños en la imagen restaurada; sin embargo, esto puede ser interpretado por la psicovisión humana como simples artefactos. Por esta razón el filtro de Wiener no siempre es mejor que el de normalización de la densidad espectral; la elección de uno u otro depende de la razón señal/ruido. Así como en los modelos de restauración donde se elimina ruido se tiene una similitud con algunos procesos de filtraje estudiados en el capítulo anterior, la normalización por efecto de iluminación (apartado IV.3.3) también se considera en ciertos casos como una restauración a la imagen. Tal vez abusando un poco de lo que se entiende por restauración, a las transformaciones geométricas se les ve como tales, ya que la información tiene un valor muy específico cuando es referida a un marco de referencia particular. Algo parecido sucede también con variantes de los filtros de corte presentados en el apartado V.2.8, a los cuales se les ve como un método de substracción de la densidad espectral (Lim, 1989) para efectos de minimización de ruido. Sucede a veces que lo que en un contexto es un filtro, en otro es una restauración; siempre están presentes elementos de subjetividad y condiciones de valor que se delimitan únicamente a la luz de un problema específico. Por ejemplo, al eliminar ruido, la imagen tiene más calidad y, por tanto, más información en un marco determinado. Recordemos que en esta obra se considera que la información está directamente relacionada con el tipo y número de medidas que la imagen representa de la escena y no con el número de bits requerido para almacenarla.

VI.8 Restauración Adaptativa En el capítulo de filtrajes, en la sección V.3, se estudiaron una variedad de filtros empleando ventanas en el dominio de la imagen. De entre esta colección de filtros existen algunos que llevan el nombre de adaptativos (Mastin, 1985); tal es el caso del de k-vecinos, de media, el de mediana, el de sigma, el de gradiente inverso y el de Lee aditivo. La razón de este nombre es que el filtraje se adapta a los valores específicos de la ventana, de tal forma que el pixel de salida es una función de las condiciones de su vecindad inmediata. Las características de la información y el ruido cambian de una a otra parte de la imagen, por lo que en cada pixel el resultado de filtraje está en función de los rasgos locales de la imagen. Así por ejemplo, si la ventana se encuentra sobre una región relativamente uniforme, con poco ruido, es factible pensar que el pixel central pertenece a la clase de la región y el resultado del filtraje es, por tanto, un valor muy cercano a los miembros de la clase. Si hay ruido presente, se espera que la salida del filtro sea un promedio ponderado sobre los pixels de la ventana o sobre una fracción selecta de éstos. El kernel asociado al proceso de filtraje no cambia, sino que se adapta a las condiciones particulares de la ventana, como puede comprobarse mediante una rápida inspección a los filtros presentados en la sección V.3. El problema de la restauración se analisa básicamente por medio de dos grandes grupos metodológicos: los espacialmente dependientes y los espacialmente independientes. En el primer grupo, los coeficientes de la función de modulación h(n1,n2) cambian con relación a (n1,n2); en el segundo grupo los coeficientes son constantes. Así por ejemplo, si en una imagen se tiene una zona sin muchos rasgos, una cantidad regular de ruido se distinguiría con relativa facilidad, por lo que la restauración

362


requeriría de un filtraje pasa bajas con una cierta frecuencia de corte que no afectaría mayormente a la imagen, ya que el área restaurada contiene poco detalle. En regiones de la imagen con gran detalle es imperativo reducir el grado de filtraje pasa bajas (incrementar la frecuencia de corte) con el objeto de preservar los bordes, líneas y variaciones finas. En las secciones anteriores presentamos una serie de métodos espacialmente invariantes; estudiaremos ahora en esta sección una técnica espacialemente variante basada en el filtro de Wiener. La restauración de Wiener está expresada por la ecuación (VI.69) y requiere, entre otras cosas, que tanto la imagen f como el ruido , sean el resultado de un proceso aleatorio estacionario, con media cero E{(r)} = 0 y linealmente independientes entre sí (ecuación VI.56), lo que trae como consecuencia que las respectivas densidades espectrales sean independientes entre si también. Si f y  son diferentes de cero, pero aun decorrelacionadas entre sí, se substrae entonces a la imagen degradada la media , procediéndose de aquí a la restauración de Wiener. En muchas situaciones experimentales, tanto f como  son resultado de procesos aleatorios gaussianos, en cuyo caso el razonamiento anterior también se aplica. La restauración por filtraje de Wiener fue concebida originalmente como invariante en el espacio, es decir, se supuso que las características de la imagen y el ruido son básicamente las mismas independientemente de las coordenadas espaciales. Para desarrollar una restauración adaptativa con base en el filtro de Wiener, es necesario ahora replantear los coeficientes involucrados como dependientes de las coordenadas espaciales. Entonces, para un proceso real, la función de autocorrelación del ruido es ahora R  (r1 , r2 )  E{(r1 )(r2 )}   2 ( n 1 , n 2 )

(VI.77)

Más adelante se verá que, con las restricciones impuestas,  2 es la varianza del ruido. Por otro lado, al cumplirse la invarianza frente a translaciones, se tiene R(r1,r2) = R(r1 - r2) = R()

(VI.78)

Por tanto para campos aleatorios homogéneos R() = E{(r + )(r)}

(VI.79)

Sabemos además que la densidad espectral y la autocorrelación forman un par de Fourier  

R  ( ) 

 S

 ( ) exp{2j(    )}d

(VI.80)

 

y de esta última expresión y de (VI.79) se tiene que a  

R  ( 0) 

 S

 

 ( )d

 E{[ (r )] 2 }

(VI.81)

Restauraciones

363

se le conoce como la densidad espectral promedio del campo . Ahora bien, si E{(r)} =  = 0, entonces E{( - )2} = E{[(r)]2} =  2 . Con este resultado, para generalizar la ecuación (VI.81), comencemos por considerar la siguiente expresión R  ( )  E{(r   )(r )}   2 ( )

(VI.82)

Donde la función () se define como sigue 1 si   0 (  )   0 de otra manera

(VI.83)

La expresión (VI.82) nos dice que tenemos una serie bidimensional de pulsos de ruido cuya altura es  2 . A la ecuación (VI.82) se le conoce como la función de autocorrelación de un proceso de ruido blanco estacionario. Aparentemente se tiene una contradicción al establecer estas relaciones para un proceso estacionario cuando se busca un filtro adaptativo. La realidad es que para incluir el filtro espacialmente dependiente, supondremos que estas condiciones de estacionalidad se cumplen localmente en una ventana finita y que cambian de lugar a lugar al desplazarse la ventana sobre la imagen. Con el resultado de la ecuación (VI.82), y sabiendo que la densidad espectral es igual a la transformada de Fourier de la función de autocorrelación S  ()   2

(VI.84)

donde se entiende que  2 es el valor local de la densidad espectral, es decir, ésta es igual a la varianza del ruido evaluada en una ventana de la imagen. Así, se tiene una estimación del valor de S a partir de las condiciones locales extraídas directamente del dominio de la imagen. Estamos ahora preparados para emplear la restauración de Wiener; para esto es necesario dar un valor a Sff y hacer algunas suposiciones de carácter general. Supondremos primeramente que los campos f y g son de media f = g = 0; si no es así, simplemente restamos a estas imágenes sus respectivos promedios, esto se aplicará más adelante en la ecuación (VI.87). Ahora bien, al seguir el razonamiento de la ecuación (VI.77) a la (VI.83), se tiene Rff() = E{f(r + )f(r)} De aquí que Rff(0) = E{[f(r)]2} Por otro lado  f2  E{(f   f ) 2 }  E{[f (r )] 2 }

Entonces, claramente se escribe la siguiente expresión

364


R ff ( )  E{f (r   )f (r )}   f2 ( )

(VI.85)

Por lo que finalmente obtenemos la ecuación S ff ()   f2

(VI.86)

Una segunda hipótesis que debemos plantear es suponer que la imagen está únicamente degradada por ruido aditivo, cuyas características, representadas por  2 , cambian de lugar a lugar en la imagen; de esta manera H(i,j) = 1,  (i,j). Al introducir estos resultados en la expresión para el filtraje de Wiener se obtiene L a (i, j) 

 ff2 (i, j)  ff2 (i, j)   2 (i, j)

(VI.87)

Por otro lado sabemos que fˆ  l  g , o bien Fˆ  LG , entonces al aplicar la transformada de Fourier inversa a (VI.87) se llega a l a (m, n ) 

 ff2 (m, n ) (m, n ),  (m, n )  ff2 (m, n )   2 (m, n )

(VI.88)

donde la (m,n) tiene una definición similar a la de () en la expresión (VI.83). Con estos últimos resultados es posible escribir una ecuación para la imagen restaurada fˆ (m, n )   f (m, n )  [g(m, n )   g (m, n )] 

 ff2 (m, n ) (m, n ) (VI.89)  ff2 (m, n )   2 (m, n )

Sin embargo, la operación de convolución con la (m,n) se traduce en una simple multiplicación por lo que finalmente fˆ (m, n )   f (m, n )  [g(m, n )   g (m, n )]

 ff2 (m, n )  ff2 (m, n )   2 (m, n )

(VI.90)

Cabe anotar que en la práctica el valor de  ff2 ( i, j) no se actualiza cada vez sobre la ventana, sino que más bien se evalúa una vez para una región homogénea de la imagen. La ecuación (VI.90) representa el filtro de Lee aditivo planteado anteriormente en el capítulo V en la ecuación (V.83). Algunas sugerencias para la operación de este filtro se encuentran en el apartado V.3.11. Al actualizar los valores de las varianzas y medias en la ecuación (VI.90), de acuerdo con lo explicado, se logra filtrar más o menos, dependiendo de las condiciones de la imagen degradada; es decir, la frecuencia de corte cambia de un lugar a otro de ésta. La desventaja de esta restauración es que depende de la estimación que se haga para las condiciones de la imagen y del ruido; en algunos casos se podrían hacer variaciones heurísticas hasta alcanzar un resultado óptimo.

Restauraciones

365

VI.9 Restauración por Movimiento Uniforme del Sensor Cuando la respuesta del sensor es suficientemente rápida, es factible establecer sistemas de captura de imágenes en las cuales exista una cierta velocidad relativa entre el sensor y la escena. Este es el caso de un microdensitómetro con platina móvil y de los satélites con sensores que capturan imágenes de la superficie terrestre. En otros casos, algunos objetos de la escena se mueven con respecto al sensor y si la respuesta del sistema de captura no es suficientemente rápida se genera un sistema variante frente al tiempo. Cuando los movimientos que ocurren exceden la capacidad de respuesta del sensor, se tienen imágenes (lámina 49) que pueden corregirse únicamente si se conoce la manera en que se presentan; si no es así, se tiene una degradación imposible de tratar. Una clase importante, de entre esta variedad de soluciones, es aquella referida al movimiento lineal del sensor con respecto a la escena. Entonces, una imagen g degradada por movimiento en ambas direcciones x, y, es el resultado de un proceso descrito por 

g( x, y )    h ( x, y; , )f (, )dd   f [ x   0 ( t ), y  0 ( t )]dt

(VI.91)

0

donde  es el tiempo total que dura el desplazamiento entre el sensor y la escena. El par de funciones [0(t),0(t)] forman el vector de desplazamiento (figura VI.5) que describe el movimiento relativo en las direcciones x,y respectivamente. Si bien restringiremos nuestra discusión para desplazamiento lineal, la ecuación (VI.91) es verdaderamente de carácter más general. El hecho de exceder la capacidad del sensor provoca que un punto de la escena, que debería de corresponder a sólo uno de la imagen, aparece en realidad distribuido sobre varios pixels, tantos como haya sido la magnitud del desplazamiento relativo entre escena y sensor; esto suponiendo que el obturador del sistema optoelectrónico del digitizador permanece abierto durante todo el movimiento. De aquí que un pequeño objeto circular de intensidad uniforme en la escena se traduzca en una línea en la imagen digital; de la longitud de esta línea es posible deducir el valor de los parámetros involucrados en el modelo de restauración. Si se conoce la magnitud del desplazamiento, la calibración del modelo es directa. Como consecuencia de lo anterior, e invirtiendo de cierta manera el razonamiento, un pixel de la imagen degradada es el resultado de la contribución de todos aquellos puntos de la escena que son integrados por el sensor durante el movimiento relativo; por este hecho, una serie de puntos de la escena son vistos por el sistema digitizador, el cual integra la radiación correspondiente y genera un solo pixel a la salida. Es razonable, por tanto, establecer la ecuación (VI.91), en donde se integra sobre el tiempo de desplazamiento para producir un pixel en cada posición (x,y). Para confirmar el desarrollo matemático de este modelo, tomemos ahora la transformada de Fourier de (VI.91) G(1 , 2 ) 

  f [ x   0 ( t ), y  0 ( t )]dt  exp{2j[ x1  y2 ]}dxdy (VI.92)     0 

   

  



y al intercambiar el orden de las integrales

366

Tratamiento Digital de Imágenes Multiespectrales 

 

   f [ x   ( t), y   ( t )] exp{2j[ x

G(1 , 2 )  dt 0

0

0

1

 y2 ]}dxdy

(VI.93)

 

Figura VI.5. Desplazamiento relativo entre la escena referida al sistema de coordenadas (,) y la imagen resultante referida al sistema de coordenadas (x,y). La forma de (VI.93) es apropiada para aplicar el teorema de shifting, donde 0(t) y 0(t) determinan el desplazamiento respectivo, por tanto 



G(1 , 2 )  F(1 , 2 ) exp{2j[1 0 ( t )  2 0 ( t )]}dt

(VI.94)

0

En el caso particular de movimiento lineal, sería necesario despejar para F en (VI.94), substituir la forma explícita de 0 y 0 y, si es posible, resolver analíticamente la integral involucrada para posteriormente aplicar la transformada de Fourier inversa, encontrando así la imagen original f. De la expresión (VI.94), debemos introducir una forma analítica para 0 y 0, partiendo de las suposiciones hechas escribimos 0(t) = at, 0(t) = bt

(VI.95)

donde a y b son constantes reales positivas tales que, durante el tiempo total de generación de la imagen digital, se tiene que, a y b representan fracciones de la imagen en las direcciones x, y respectivamente. Al substituir (VI.95) en (VI.94) y al realizar la integral, se tiene H( 1 , 2 ) 





1 1  e 2 j( 1a 2 b )  ,  ( 1 , 2 ) 2j(1a  2 b)

(VI.96)

Restauraciones

367

Para analizar el comportamiento de esta función de modulación se obtiene el módulo de H 2

H  HH 

2 2 1  cos2[1a  2 b] 4 (1a   2 b) 2  2 2

(VI.97)

Es claro que cuando 1 

n n y 2  , con n entero positivo 2a 2 b

entonces cos[2(1a + 2b)] = ± 1, dependiendo de si n es par o impar, por lo que una gráfica aproximada de |H|2 es la mostrada en la figura VI.6. La expresión para |H| satisface las condiciones (Rosenfeld y Kak, 1982) para que exista la transformada de Fourier inversa. Sin embargo, los ceros de H generan valores infinitos en el cociente G/H, de tal forma que F resulta indeterminada; es necesario por tanto limitar dicho cociente de manera similar a como se hizo en el filtro inverso, aun así la recuperación precisa de la imagen original es imposible.

VI.10 Estimación de la Función de Modulación Existen casos en la generación de imágenes, en los que la degradación es de naturaleza desconocida, o bien es de complejidad tal que un tratamiento analítico para la función de modulación resulta imposible o impráctico. En tales situaciones la única alternativa es medir o estimar dicha función a partir de la imagen degradada. En algunas situaciones la evaluación analítica es posible, pero el camino de la medida es más fácil. La medida de la función de modulación siempre es un proceso interactivo para todo fin práctico y requiere de una serie de suposiciones en cuanto al mecanismo de degradación impuesto a la imagen. Por ejemplo, si se sabe de cierta manera que una parte de la imagen degradada corresponde a un punto, línea o borde de la escena, es factible entonces evaluar la forma de h, claro está que en general se requiere de varias medidas: entre más de ellas, mejor la evaluación. También se necesita de varias medidas cuando la función de modulación no presenta simetría circular, y si no hay invarianza frente a translaciones serían necesarias aún más, haciendo al método probablemente impráctico. En la figura VI.7 se muestran algunos esquemas de estos ejemplos. Para reconstruir la forma de h a partir de la imagen degradada es necesario obtener varios perfiles del objeto degradado e interpolar convenientemente hasta conseguir una expresión analítica de la función de modulación. Si el objeto presenta simetría circular (figura VI.7a) sería necesario un solo perfil; en la mayoría de los casos se tiene algún grado de simetría. De no ser así (figuras VI.7b y VI.7c) varias medidas de perfiles en diferentes orientaciones serían necesarias. Si la escena original contiene una o varias líneas relativamente delgadas, entonces es factible determinar la función de modulación h a partir de las imágenes de dichas líneas. Para esto, supongamos que existe una línea ideal (línea fuente) en la escena, paralela al eje x y con simetría axial; de esta manera es posible modelar la línea fuente empleando

368


una delta de Dirac. Así entonces, si a la imagen de tal línea se le llama gl(y), se tiene que g l ( y )  h  f  h  ( y ) 

 h( x  x' , y  y' )( y' )dy'

(VI.98)

suponiendo ruido despreciable e invarianza frente a translaciones. De la ecuación (VI.98) es claro que por la propiedad de Sifting



g l ( y )  h ( x  x' , y )dx'

(VI.99)

y con el cambio de variable  = x - x’, se tiene



g l ( y )  h (, y )d

(VI.100)

En otras palabras, la imagen gl(y) de una línea fuente es constante en la dirección de la línea, es decir, a lo largo de x, y su comportamiento en la dirección perpendicular está dado por la integral de h sobre la línea. Si existen líneas delgadas en diferentes direcciones, este cálculo podría hacerse para cada una de éstas y estimar h en función de un promedio sobre todas las direcciones disponibles. En muchas ocasiones, la función de modulación es tal que si la línea-fuente tiene un perfil cuadrado, la línea-imagen presenta un perfil cuadrado pero con los bordes redondeados.

Figura VI.6. Corte, a lo largo del eje 1, del valor absoluto de la función de transferencia para el movimiento relativo uniforme entre escena e imagen. Veamos ahora el comportamiento de la línea en el espacio de frecuencias. La transformada de Fourier de la imagen de la línea se escribe como sigue



G l (  y )  g l ( y )e

2 j y y

dy

(VI.101)

Restauraciones

369

Figura VI.7. Ejemplos de patrones de forma ideal y su posible degradación en la imagen. Por otro lado, la transformada de Fourier de la función de modulación es la siguiente H( x ,  y ) 

 h( x, y ) exp{2j( x   x

}dxdy

y y)

(VI.102)

de tal manera que, de acuerdo con (VI.100) y a (VI.102) se tiene H(0,  y )  G l (  y ) 

 h( x, y )e

2 j y y

dy

(VI.103)

Esto quiere decir que la transformada de Fourier de la imagen de una línea paralela a x es una función orientada a lo largo de la dirección y. Si se tienen líneas en varias direcciones, la forma de H(x,y) puede ser estimada. En ocasiones, h(x,y) está representada por una apertura cuadrada (la del sensor), en cuyo caso H(x,y) sería una función Sinc bidimensional. Es importante mencionar que tal estimación está limitada por la resolución espacial y radiométrica de la imagen. La situación que presenta un punto en la escena es sencilla, ya que la imagen de éste es simplemente la función de modulación h. Así entonces, en ausencia de ruido g  h f 

 h(, )( x  , y  )dd  h

p ( x, y )

y en ciertas situaciones la función h está dada por una gaussiana bi-dimensional h p ( m, n ) 

 [f (m, n )   f (m, n )] 2  1 exp  2 (m, n ) 2 f2 (m, n )   2 f

(VI.104)

cuya media f y varianza  f2 pueden ser obtenidas a partir de la imagen del punto. También podemos valernos de la existencia de bordes bien definidos (frontera entre objetos) en la escena que pueden ser empleados para estimar h. Demostraremos ahora que la derivada de la imagen de un borde es igual a la imagen de una línea-fuente paralela a dicho borde, a partir de lo cual es factible estimar la función de modulación.

370


Supongamos la existencia en la escena de un borde ideal, paralelo al eje x, denotado por b(y) y definido de la siguiente manera 1 para y  0 b( y )   0 para y  0

(VI.105)

el cual finalmente se modela como una función escalón. Recordemos además que la derivada de una función escalón, es en el límite, una función delta de Dirac. Sea ahora gb(y) la imagen del borde; suponiendo ruido despreciable se tiene que g b ( y) 

 h( x  x' , y  y' )b( y )dx' dy'   h( x' , y' )b( y  y' )dx' dy'

(VI.106)

Obtengamos ahora la derivada parcial con respecto a y de esta expresión e intercambiando el orden de aplicación de la integral y la derivada g b ( y )  y

 h( x' , y' )

b( y  y ' ) dx' dy '  y

 h( x' , y' )( y  y' )dx' dy'

(VI.107)

por lo que se tiene que g b ( y )  h ( x' , y )dx' y



y finalmente, de acuerdo con la ecuación (VI.100), se obtiene gl ( y) 

g b ( y ) y

(VI.108)

En otras palabras, la imagen de una línea es la derivada de la imagen de un borde paralelo a tal línea. De estos desarrollos podemos concluir entonces que si una imagen contiene una variedad de líneas y bordes en varias orientaciones, es posible obtener una estimación de la función de modulación a partir de éstos. Es necesario puntualizar que en presencia de ruido la calidad de la estimación es menor.

VI.11 Modelación de la Función de Modulación Existen procesos de degradación que pueden ser modelados como una dispersión difusiva caracterizada por la ecuación de difusión en dos dimensiones. Este tipo de degradación trae consigo tres efectos sobre la imagen multiespectral: a) una disminución del contraste, b) un efecto de borrosidad y c) una modificación de la firma espectral de los objetos de la escena cuando la degradación tiene dependencia espectral. Para modelar esta situación supongamos que en el tiempo t0 = 0, se inicia un proceso de degradación difusiva que se continúa en el tiempo produciendo en la imagen los efectos

Restauraciones

371

mencionados. El modelo que describe este proceso de degradación se conoce como la ecuación de difusión  g (r , t )  D( ) 2 g(r , t ) t

(VI.109)

donde D() es el coeficiente de difusión que en términos generales tiene una dependencia espectral; g(r,t) es la imagen degradada en un cierto tiempo t, y r = (x,y). La solución de esta ecuación es la siguiente g (r , t ) 

1 4 D 2 (  )t



 (r  r ' ) 2  g 0 (r ' , t 0 ) exp dr '  4 D(  )t 

(VI.110)

donde g0 es la condición inicial, es decir el tiempo para el cual la imagen está sin degradar. La cantidad g0 puede considerarse también como la escena original. La expresión (VI.110) indica que un punto de la escena se difunde en una cierta región de la imagen con una distribución gaussiana y varianza proporcional a D()t. Se desea, por tanto, obtener una estimación de g0(r,t0) a partir de g(r,t) y de D() empleando la ecuación de difusión ya mencionada. Para esto, se hace una expansión en series de Taylor de g0(r,t0), es decir g 0 (r , t 0 )  g (r , t )  t

g(r , t ) t 2  2 g(r , t )    t 2 t 2

(VI.111)

Si los términos de orden dos y mayores son despreciados y al emplear la ecuación de difusión, se tiene la siguiente expresión g0(r,t0) = g(r,t)  tD()2g(r,t)

(VI.112)

Este es el modelo de restauración que indica que a la imagen degradada se le resta una fracción del Laplaciano de la misma. La cantidad tD() se determina de las condiciones de degradación de cada banda de la imagen multiespectral. Así por ejemplo, si a primer orden la degradación producida en imágenes de satélite por la interferencia atmosférica se modela como una dispersión difusiva (Lira y Oliver, 1984), es factible escribir a tD() en términos de la longitud de onda asociada a cada banda para realizar la restauración correspondiente (véase lámina 50 y compárese con lámina 20).

VI.12 Ejercicios 1. Proporcione dos ejemplos de sistemas generadores de imágenes donde exista un medio de interferencia externo que produzca degradación en la imagen generada; explique en cada caso el tipo de degradación resultante.

372


2. Proporcione dos ejemplos de sistemas generadores de imágenes donde exista un medio de interferencia interno que produzca degradación en la imagen generada; explique en cada caso el tipo de degradación resultante. 3. Indique para qué tipo de degradaciones se aplicarían los filtros de máxima entropía, deconvolución constringida y de Wiener. 4. En la ecuación (VI.38) proporcione un modelo para el operador C cuando el ruido es blanco. 5. Exprese la forma matemática de la función de transferencia H que resultaría de una degradación provocada por el desenfoque del subsistema óptico de un sistema generador de imagen. 6. Exprese la forma matemática de la función de transferencia H que resultaría de una degradación provocada por la interacción de los rayos X de un sistema generador de radiografías. 7. ¿Qué tipo de restauración aplicaría a una radiografía obtenida con rayos X de baja energía?, justifique su respuesta. 8. Aplique la transformada de Fourier inversa a la ecuación (VI.96) y obtenga la función filtro h respectiva. 9. Siguiendo los lineamientos de la sección VI.10 obtenga la función de modulación para un cuadrado ideal en la imagen fuente. 10. Suponga que existe un escalón ideal en la imagen fuente, modele la degradación como el resultado de la convolución de la función escalón con una gausiana y encuentre la función de modulación en función de los parámetros de este proceso, es decir, en función de la altura del escalón, la media y la desviación estándar de la gaussiana. 11. Suponga que se tiene un proceso de degradación que presenta una función de modulación de tipo gaussiana, en la ecuación (VI.112) escriba tD() en términos de los parámetros de la gausiana, suponiendo que ésta tiene una dependencia con respecto a la longitud de onda relacionada con las bandas de una imagen multiespectral.

Reconocimiento de Patrones

373

VII. RECONOCIMIENTO DE PATRONES El fin último al analizar una imagen digital es el de cuantificar las propiedades morfológicas, espectrales y temporales de los patrones que se encuentran presentes en ésta. El resultado de la cuantificación refleja el contenido de información relativa a la escena o sistema físico bajo estudio y permite modelar su comportamiento.

VII.1 Aspectos Generales El proceso de reconocer un objeto es algo que los seres humanos realizan constantemente sin esfuerzo aparente y bajo diversas circunstancias; sin embargo, podríamos preguntarnos en primera instancia, ¿qué significa reconocer un objeto? Para reconocer un objeto es necesario contar con los siguientes elementos: a) las propiedades fundamentales que lo distinguen, b) una etiqueta o nombre asociado y c) la identificación de sus funciones o propósito; si bien este último punto no es estrictamente necesario. Dichas propiedades deben estar almacenadas en una base de datos donde puedan ser consultadas con facilidad; además, es necesario tener un modelo matemático para cada una de ellas. A partir de los modelos matemáticos se construyen los algoritmos necesarios con los cuales se inicia una búsqueda en la imagen para identificar él o los grupos de pixels que satisfagan las propiedades seleccionadas. Si el resultado de la búsqueda es positivo, al patrón detectado de esta manera se le etiqueta o se le asocia como perteneciente al objeto cuyas propiedades fueron previamente identificadas. Este mismo razonamiento se aplica para el reconocimiento de una clase de patrones, sean éstos espaciales o espectrales. Si retomamos la definición del reconocimiento de patrones, asentada en el capítulo I, vemos que es posible identificar en lo anterior, los tres elementos que la componen: la búsqueda, plasmada en los modelos y los algoritmos; los datos, identificados con los pixels de la imagen, y las estructuras, que son los objetos o clases que se desean buscar. En este contexto, la psicovisión humana funciona de una manera similar al reconocer objetos del mundo circundante. El reconocimiento de patrones espaciales o espectrales presenta dificultades muy diferentes debido a la distinta naturaleza de éstos. Los patrones espectrales están determinados unívocamente y sin ambigüedad; por ejemplo, si en una imagen de siete bandas un determinado pixel está dado por la secuencia {24, 27, 31, 30, 28, 23, 20}, cualquier cambio a ésta, aun pequeño, se traduciría en principio en otro patrón espectral. Al establecer previamente un umbral más allá del cual los patrones fueran diferentes, todavía sería fácil distinguir la diferencia entre ellos. La situación no es tan sencilla para patrones espaciales, debido a que la psicovisión tiende a resaltar o a reconstruir lo que está inmerso en ruido, lo que está incompleto o lo que aparece deforme. ¿Hasta donde tolera la psicovisión este tipo de particularidades en un patrón espacial? La respuesta no es clara, y construir un algoritmo que las tenga en cuenta tampoco es sencillo. En otras palabras, la concepción, manejo e identificación de un patrón espacial tiene un grado de subjetividad que no está presente en un patrón espectral. Debido a esta diferencia, el reconocimiento de patrones espaciales presenta un grado de dificultad mayor con

374


respecto al de patrones espectrales. La psicovisión humana reconoce objetos con base en las propiedades morfológicas y espectrales de éstos, es decir, sigue una vía híbrida. En una buena proporción de casos la identificación del objeto se hace en función de su morfología, complementada con información de tipo espectral; en otros casos, el tono o color prevalece sobre el aspecto físico. Esta solución híbrida es la que claramente proporciona mejores resultados y es la que ha ocupado un parte importante de la investigación en la última década. Antes de proceder a una operación de reconocimiento de patrones es necesario haber modelado matemáticamente las propiedades morfológicas y espectrales del objeto que se desea identificar. Un modelo matemático es un ente que proporciona un vehículo para la organización, reconocimiento y representación de la información pertinente a un patrón o clase de éstos. A partir del modelo se construye el algoritmo computacional que sirve para ejecutar la tarea de reconocimiento en el análisis de una imagen digital. Los modelos matemáticos mencionados deben considerar aspectos tales como linealidad, invarianza frente a traslaciones e invarianza frente al tiempo; de no ser así, el proceso podría resultar muy complicado. Para reconocer un objeto es necesario, entonces, llevar a cabo los siguientes pasos: a) abstracción de sus propiedades fundamentales, b) modelación matemática de estas propiedades y c) medida de las mismas de acuerdo con una métrica. El resultado de este proceso es una cierta información que posteriormente alimenta al modelo del comportamiento de la escena cuyos objetos se desea reconocer. Una vez medidas las propiedades de suficientes objetos o patrones de una clase, se tienen los elementos necesarios para estimar sus características estadísticas, tales como media, matriz de covarianza y matriz de correlación; también es factible obtener la distancia espectral entre clases y la correlación de las mismas a través de las bandas que componen la imagen. En las secciones subsiguientes se exponen los métodos más importantes para el reconocimiento de patrones espectrales y espaciales. Se detallan los descriptores de estos patrones y se proporcionan criterios para evaluar la calidad de su reconocimiento. Al final de este capítulo se presentan las técnicas más empleadas de reconocimiento de patrones siguiendo una vía híbrida, es decir utilizando propiedades tanto espectrales como espaciales (Arai, 1993).

VII.2 Técnicas de Segmentación En el capítulo I se introdujo una definición de segmentación que conviene retomar y revisar en un marco conceptual más amplio que el originalmente planteado. Se definió la segmentación como la partición de una imagen en regiones que pueden o no tener un significado relativo a la escena respectiva y se hicieron también algunas observaciones generales al respecto. La partición de la imagen debe verse de una manera amplia y general. Este proceso puede llevarse a cabo con base en una serie de modelos y criterios: por regiones, por bordes o líneas, por propiedades espectrales, por propiedades espaciales, o por una combinación de estas dos últimas (Zhang, 1996). En ocasiones, un cierto objeto de la escena está plasmado en la imagen como una región de ésta; en otras, el contraste de un objeto con su entorno define el borde o la frontera del mismo. En situaciones relativamente simples un objeto está caracterizado principalmente por sus propiedades espectrales; en este caso la segmentación se realiza


375

empleando un modelo de la respuesta espectral de los pixels involucrados. También es factible que un objeto esté caracterizado por propiedades espaciales tales como textura o forma. En principio, el comportamiento real de un objeto está directamente relacionado con sus propiedades espectrales y espaciales, dominando en algunos casos una u otra de éstas. La segmentación más general es, por tanto, híbrida y basada en modelos de tipo contextual, es decir, un pixel se segmenta en función de su respuesta espectral y del entorno espacial en el que se encuentra; a esto se le conoce como segmentación contextual. Dependiendo de la complejidad del problema, uno u otro modelo es aplicable. A lo largo de los diferentes capítulos se estudian modelos de borde, de regiones y de características espectrales y espaciales. Veamos ahora una definición formal y cuantitativa de segmentación. La segmentación (Fu y Mui, 1981) de una imagen digital {g(m,n)}, m, n = 1, 2, ... M, N, es la división de g en subáreas g1, g2, ... gk, disjuntas y no vacías que satisfacen un cierto criterio de uniformidad E, de acuerdo con las siguientes condiciones k

1.

g

i

g.

i 1

2. gi es una región conectada simple  i, bajo una cierta conectividad: 4 u 8. 3. El criterio de uniformidad E se satisface para toda región: E(gi) = verdadero,  i. 4. El criterio de uniformidad E no se satisface para la unión de dos regiones gi, gj adyacentes entre sí: E(gi U gj) = falso, con i  j. Las regiones gi son, por tanto, excluyentes y colectivamente exhaustivas en relación con la imagen g. Es necesario puntualizar que una clase (espectral o textural) puede estar plasmada en varias regiones disjuntas entre sí. En principio, una región puede consistir desde un pixel hasta la imagen entera. El criterio de uniformidad E representa los modelos arriba mencionados y puede ser aplicado pixel a pixel o sobre una subregión (ventana) de la imagen; en el primer caso se trata de una segmentación puntual y en el segundo de una segmentación contextual. La segmentación del ruido tiene una particularidad especial: el ruido en ocasiones se sobrepone aditivamente a la imagen, en otras lo hace multiplicativamente o a través de una convolución. En este sentido, la segmentación del ruido trae consigo una modificación espectral y espacial a la imagen segmentada. Las regiones gi pueden o no tener una relación directa con algún aspecto de la escena; existe una relación cuando una región representa las propiedades espectrales y espaciales de un cierto objeto; no existe relación, en cambio, en el caso de segmentación del ruido. No obstante, en cualquier situación, una región representa siempre una propiedad del sistema que genera la imagen. La segmentación es un paso crítico en el proceso de reconocimiento de patrones. Una equivocación en la segmentación trae consigo errores en tareas de clasificación espectral y en la extracción de rasgos morfológicos incluyendo evaluación de texturas. Un ejemplo típico de segmentación puntual lo constituye el análisis de cúmulos (apartado VII.5.1) y un ejemplo de segmentación contextual es el crecimiento de regiones (apartado VII.6.2). Una segmentación de objetos espectrales específicos, tales como cuerpos de agua, campos agrícolas o suelos reflectivos puede ser lograda empleando una variante de la descomposición en componentes principales (apartado IV.6.2). Una vez segmentadas estas clases de la imagen multiespectral, el estudio de las mismas puede incluir el cálculo de los valores ópticos de reflectancia tales como concentración de clorofila, reflectividad absoluta, turbidez, o vigor y humedad de la vegetación. Para producir

376


medidas confiables de tales variables se requiere de una segmentación precisa  del resto de la imagen  de las clases espectrales. La variante propuesta de la descomposición en componentes principales es una herramienta importante para lograr segmentaciones a detalle de clases espectrales. Esta variante requiere de información acerca de las clases espectrales que se desean separar en el espacio de rasgos (véase apartado I.2.2). La información es ingresada por medio de un polígono que encierra un conjunto de pixels representativos de la clase espectral que se desea segmentar. Se calcula entonces la matriz de covarianza de los pixels encerrados por el polígono y se utilizan las ecuaciones de eigenvalores y eigenvectores (ecuaciones IV.137 y IV.140) para generar un conjunto de bandas decorrelacionadas. Las primeras de estas bandas son empleadas como entrada a un algoritmo de análisis de cúmulos cuya fusión produce un mapa de bits lógico donde el estado “ON” representa los pixels de la clase y el estado “OFF” representa los pixels del resto de la imagen. A su vez, el mapa de bits puede ser empleado para concentrar los esfuerzos de análisis únicamente sobre el objeto espectral segmentado; veamos el detalle del procedimiento para preparar el mapa de bits. 1) Se selecciona una clase espectral por medio de la inspección visual de la imagen. Una clase espectral puede estar formada por: cuerpos de agua, campos agrícolas, o suelos expuestos. En esta selección, no se consideran clases espectrales mixtas tales como una ciudad. 2) Con el apoyo de un cursor, se delinea sobre la imagen, un polígono que contenga un conjunto de pixels representativos de la clase. A este polígono se le denomina campo de entrenamiento. El conjunto de pixels debe ser estadísticamente representativo de la clase espectral; esto se alcanza seleccionando un número de pixels igual a 100, donde  es el número de bandas de la imagen multiespectral. El número 100 es considerado una muestra estadísticamente válida del objeto espectral (Lillesand y Kiefer, 2000). Para dibujar el polígono, se puede emplear un compuesto falso color de tres bandas de la imagen o de las tres primeras componentes principales de la misma. 3) Se aplican las ecuaciones IV.137 y IV.140 al conjunto de pixels del polígono; si se consideran varias clases se generan segmentaciones separadas que posteriormente son unidas con un “AND” lógico. Sea este conjunto de polígonos el designado por t. Para una imagen Landsat TM o una Terra/Aster se retienen únicamente las tres primeras bandas de la transformación dada por (IV.133). Sean estas bandas de salida las CP1t y CP2t y CP3t . 4) El conjunto de bandas CPit ,  i  3 se ingresan a un procedimiento de análisis de cúmulos. Se realiza un análisis de cúmulos para cada miembro de t. 5) Los cúmulos resultantes se unen sucesivamente hasta lograr una imagen de dos cúmulos; uno de los cúmulos representa la clase espectral y el otro cúmulo representa el resto de la imagen. La imagen de dos cúmulos es llamada el mapa de bits. Este mapa de bits es una imagen binaria donde los unos designan la localización de la clase espectral, mientras que los ceros designan al resto de la imagen. Desde el punto de vista computacional, este mapa de bits puede ser visto como una entidad lógica donde los unos representan el estado lógico “ON”, y los ceros definen el estado lógico “OFF”. El mapa de bits es, por tanto, la base lógica de la segmentación. Este mapa de bits puede ser empleado para concentrar cualquier esfuerzo de análisis que involucre


377

únicamente el área cubierta por la clase espectral. Tales esfuerzos pueden incluir, realces generales, clasificación espectral, evaluación de texturas, cálculo de índices de vegetación, estimación del albedo, o morfología de la clase segmentada. Adicionalmente a esto, las bandas originales de la imagen pueden ser multiplicadas por el mapa de bits para generar una nueva imagen multiespectral donde los valores diferentes de cero corresponden a los pixels originales del objeto segmentado. La lámina 51 muestra la banda 4 de una imagen Landsat TM que cubre el lago de Chapala; en la lámina 52 se aprecia la segmentación de este cuerpo de agua empleando el procedimiento arriba descrito (Lira, 2006).

VII.3 Descriptores Morfológicos Los descriptores morfológicos más importantes de un patrón espacial previamente segmentado son: área, perímetro, compacidad, rugosidad del perímetro, excentricidad, forma y textura. En ocasiones, algunos de estos rasgos de fácil evaluación son suficientes para describir el estado morfológico de un objeto; dichos rasgos pueden ser, por ejemplo, el área y el perímetro aplicados a la descripción de parcelas cultivadas observadas por medio de una imagen de satélite. En otras situaciones, la forma y la textura serían necesarias para caracterizar tumores detectados a través de una tomografía computada. Veamos ahora en detalle una definición de cada uno de los descriptores arriba mencionados. VII.3.1 El área El área de un objeto es simplemente el número de pixels (bajo una cierta conectividad) que lo forman multiplicado por la escala a la cual se le observa, es decir, el tamaño asociado al pixel. En la figura VII.1 el objeto mostrado tiene un área de 24, considerando una escala de 1. Es importante anotar que en conectividad 8 se pueden presentar ambigüedades que hacen que la evaluación del área presente inconsistencias en el estudio de patrones. VII.3.2 El perímetro La evaluación del perímetro requiere primero establecer la conectividad que guardan los pixels que lo componen. En conectividad 4 se cuenta el número de lados que tienen los pixels del borde del objeto, mientras que en conectividad 8 se calcula la distancia entre los centros de tales pixels. En esta mecánica de evaluación surgiría una inconsistencia para un objeto formado por un sólo pixel: tendría un perímetro de 4 en conectividad 4 y de cero en conectividad 8; por tal motivo, es necesario adoptar la convención que para un único pixel el perímetro es de 2 bajo conectividad 8. Los resultados de estos cálculos deben ser también multiplicados por la escala de observación. En la figura VII.1 el objeto mostrado tiene un perímetro de 32 bajo

conectividad 4, pero un perímetro de 4 + 12 2 = 20.97 bajo conectividad 8.

378


VII.3.3 La compacidad La compacidad o compactación se evalúa a partir de los descriptores anteriores; así c

P2 4A

(VII.1)

es la compacidad de un objeto con perímetro P y área A. El factor de esta fórmula sin dimensiones se acerca a uno a medida que el objeto se aproxima a un círculo y es mayor para objetos elongados. Algunos intentos se hicieron en un principio para utilizar esta expresión como un descriptor de la forma; sin embargo se producen ambigüedades para objetos con geometría no regular, ya que dos objetos pueden tener la misma compacidad, pero formas diferentes. Con esta definición, la compacidad del objeto mostrado en la figura VII.1 sería de 3.39 bajo conectividad 4. Como la ecuación (VII.1) es adimensional es, por tanto, invariante frente a cambios de escala y frente a rotaciones.

Figura VII.1. Imagen que muestra en grises los pixels de un objeto segmentado. Otra expresión, probablemente más adecuada que la anterior para medir la compacidad es la que se basa en una transformación de distancia (Danielsson, 1980; Wahl, 1983). Esta transformación se define como sigue: sea D una función de distancia que asocia, a cada pixel p de un objeto binario (patrón espacial) X, una distancia al pixel q más cercana del complemento de X, es decir D(X)(p) = min[d(p,q) ∣ Xc(q)]

La distancia d(p,q) puede ser calculada con una de las expresiones (VII.159-165). Con base en la anterior definición se introduce la compacidad para una malla digital cd 

0.6122  A  1   No

d i

min rr

  

2

(VII.2)


379

Donde A es el área del objeto, d min es la distancia euclidiana mínima de borde a borde rr del objeto X de una línea que pasa por el pixel i-ésimo de éste (figura VII.2) y No es el número de pixels que lo forman. En la figura VII.3, donde se muestran las distancias max mínima y máxima: d min , la compacidad con la fórmula (VII.2) es de 1.63. rr , d rr

Figura VII.2. Distancia d irr del pixel (i,j) a la frontera del objeto en conectividad 4. Hay una diferencia básica entre las expresiones (VII.1) y (VII.2); la primera de éstas está concebida para un espacio continuo y arroja un valor de uno para un círculo, que es la figura más compacta que puede haber; sin embargo, en un espacio discreto nunca se tiene un círculo, sino aproximaciones de éste. La segunda expresión para la compacidad está diseñada, en cambio, para un espacio discreto, por lo que su comportamiento es mas adecuado para analizar patrones espaciales en imágenes digitales; no obstante, la expresión (VII.2) produce valores mayores que uno para círculos por lo que se puede emplear la siguiente modificación c 'd 



A d rr2

(VII.3)



Donde d rr  d rrmax  d rrmin / 2 y d rrmax , d rrmin , son los promedios de las distancias máximas y mínimas de borde a borde del objeto de una línea que pasa por el pixel iésimo. Con esta fórmula, utilizando las distancias mostradas en la figura VII.3 se obtiene un valor de 1.41, y para un círculo inscrito en una malla de 6 x 6 se tendría un valor de 1.10 en conectividad 4. VII.3.4 La rugosidad del perímetro La rugosidad del perímetro se calcula a través de la distribución de curvaturas de la frontera de un objeto y se emplea para caracterizar un aspecto geométrico de la forma del mismo. La curvatura de la frontera o borde de un objeto, en el pixel i-ésimo pi del perímetro, se define como el cambio angular - de acuerdo con el código de Freeman y a una convención de ángulo - dado entre los vectores definidos por los pares de pixels (pi-

380


1, pi) y (pi, pi+1). Una definición más general sería la de calcular el ángulo que forman los vectores que se ajustan por mínimos cuadrados a dos grupos de k pixels vecinos a pi: {pi-k} y {pi+k}, con k generalmente variando entre 1 y 3. Al evaluar el ángulo de esta manera se dice que se tiene la curvatura k en el pixel pi. Al obtener la curvatura en todos los pixels que forman el perímetro se obtiene la distribución de curvaturas k, a la cual se le asocia una media y una desviación estándar o algún otro descriptor tal como se verá más adelante. Estos resultados se emplean a su vez para construir un histograma de curvaturas que proporciona una medida de la estructura de la forma del objeto o rugosidad del perímetro del mismo. Así por ejemplo, un círculo sin rugosidad en su perímetro tendría asociado un histograma de curvaturas formado por una sola barra con una desviación estándar igual a cero.

Figura VII.3. Transformación de distancia mínima d min y máxima d max en rr rr conectividad 4. Una variante de esta evaluación es obtener la distribución de tangentes a cada pixel del perímetro del objeto; esto proporciona una información equivalente a la arriba explicada. Para describir la rugosidad del perímetro se puede emplear alguno de los descriptores dados por las ecuaciones VII.10 a VII.25. El valor de las barras del histograma de rugosidades se normaliza por la suma de los valores de la barras para producir cada elemento c(i) de los descriptores. Por ejemplo, en la figura VII.1, al adoptar la convención de ángulo diestrógiro se tiene la siguiente distribución de ángulos  c(i)

0° 3/16

45° 3/16

90° 2/16

135° 0

180° 0

225° 2/16

270° 3/16

315° 3/16

Por tanto, el valor de la entropía de la rugosidad del perímetro sería E 

 c(i) log[c(i)]  0.8839 i

Donde los elementos c(i) con valor cero han sido ignorados. Para un círculo la entropía de la rugosidad del perímetro sería cero. Un círculo presenta la rugosidad más suave que puede existir y su entropía es cero; de aquí entonces, a medida que la rugosidad aumenta el valor de entropía lo hace también.


381

VII.3.5 La excentricidad La excentricidad es una medida de la elongación de un objeto; un círculo, por ejemplo, tiene una excentricidad igual a uno. La operación para obtener este descriptor está basada en transformaciones de distancia (Wahl, 1983) de borde a borde del objeto. Sobre cada una de las 8 posibles direcciones determinadas por el código de Freeman, se obtiene la longitud euclidiana drr(i,j) de la línea recta que pasa por cada pixel p(i,j) del objeto y que va de borde a borde del mismo. En cada pixel del objeto se anota entonces la longitud máxima d max y la mínima d min rr rr ; a partir de aquí se define la excentricidad promedio 

max[d max rr ] max[d min rr ]

(VII.4)

que proporciona una medida de cuánto se aparta la forma de un objeto con respecto a un min círculo y donde max[ d max rr ] es el máximo valor de las distancias máximas y max[ d rr ] es el máximo de las distancias mínimas. En la figura VII.3 se muestra el resultado de la transformación de distancias (bajo conectividad 4) para la expresión (VII.4), que arroja un valor de excentricidad igual a 1.4. Esta fórmula para la excentricidad también está concebida para un espacio digital por lo que proporciona resultados adecuados en la caracterización morfológica de patrones espaciales. VII.3.6 La forma La estimación de la forma de un objeto es una generalización de la idea que se tiene a través de la psicovisión para figuras geométricas regulares tales como un círculo, un cuadrado o un triángulo. Cuando se trata de figuras irregulares, la psicovisión humana no puede distinguir entre dos formas que difieran relativamente poco entre sí; más aun, al no poder cuantificarlas, su evaluación no pasa de ser subjetiva en el mejor de los casos. El modelo que hasta ahora ha proporcionado consistentemente los mejores resultados para cuantificar la forma de cualquier objeto es la dimensión fractal. Consideremos primeramente lo siguiente: supongamos que un pixel, como elemento lógico de la imagen digital y aparte de factores de escala, tiene asociada un área unitaria, cuya unidad mínima de perímetro es uno de sus lados, implicando con esto que se tiene un esquema de conectividad 4. Una modificación a la expresión de dimensión fractal (Olsen et al., 1993), adecuada a la estructura de la malla digital a la cual se refiere una imagen, es la siguiente D2

lnP / 4  lnA 

(VII.5)

Donde A es el área y P el perímetro del objeto. La dimensión fractal tiene dimensiones de 1/m por lo que depende de la escala a la cual se observa el objeto bajo estudio. Si el objeto de interés contiene un solo pixel, la ecuación de arriba queda indefinida.

382


Tomando en cuenta que un pixel es el objeto espacial más simple que puede haber en una imagen, se asume por definición que la dimensión fractal asociada a este caso es de uno. Bajo conectividad 4, el objeto de la figura VII.1 tiene un perímetro de 32 y un área de 24, por tanto su dimensión fractal es de 1.31. Cabe mencionar que la dimensión fractal es muy sensible para distinguir formas irregulares y complejas que difieran poco entre sí. VII.3.7 La diversidad del paisaje Un descriptor morfológico de carácter global basado en la dimensión fractal arriba descrita, es el que se conoce como diversidad o estructura del paisaje. Supóngase que una imagen ha sido segmentada en una colección de regiones {R1, R2,...Rc}, donde cada una define una clase. Si Pi y Ai son el perímetro y el área de la región Ri, si Ni es el número de regiones adyacentes a Ri y si Nc es el número total de regiones, entonces se define un parámetro de estructura expresado como E is  2

 

ln Pmi ln A i 

(VII.6)

Donde Pmi es un perímetro modificado dado por  2 N ( A  1)  Pmi  Pi   i i   Nc 1 

(VII.7)

La diversidad del paisaje se expresa como el promedio de los parámetros de estructura de las regiones involucradas en la segmentación Es 

1 Nc

 E is

(VII.8)

i

y representa la complejidad de una segmentación dada, llamada también diversidad o estructura del paisaje ya que representa una medida de la heterogeneidad del mismo. VII.3.8 La textura mono-espectral La textura involucra también una idea subjetiva de la psicovisión humana; para cuantificarla se requiere de un modelo matemático que exprese la relación espacial que existe entre pixels vecinos. A continuación se presentan dos métodos para evaluar la textura, el primero de ellos está basado en la matriz de co-ocurrencia y se aplica a cada banda por separado, el segundo métodos está basado en el operador vectorial de divergencia y se aplica al conjunto de bandas de una imagen multiespectral. Así como el histograma es una aproximación a la función de densidad que proporciona una medida de la probabilidad con la ocurre un pixel en la imagen, la


383

función de densidad conjunta expresa la probabilidad de que ocurran pares de pixels en direcciones pre-especificadas. La función de densidad mide el contraste global de una imagen y la función de densidad conjunta establece la heterogeneidad espacial de los pixels en una vecindad dada. Una aproximación a la función de densidad conjunta es la que se obtiene por medio de la matriz de co-ocurrencia, cuya definición es como sigue: Sea  un conjunto convexo y compacto establecido en el espacio de la imagen como una ventana rectangular de tamaño impar y sea  un operador vectorial de posición relacionando la localización espacial relativa de un par de pixels de la ventana. La matriz de co-ocurrencia C es la probabilidad estimada de encontrar un par de valores de pixels (p,q) en la posición relativa dada por ; así entonces, los elementos de esta matriz están dados por c(p, q, , ) 

O{r r, r    (), f (r )   , f (r   )   } p

O{r r    }

q

(VII.9)

Donde f(r) es la imagen, () es una isometría de traslación sobre la ventana , O es el orden del conjunto y r = (i,j) es el vector de posición de un pixel de la imagen. La dimensión de la matriz de co-ocurrencia es igual al intervalo permitido de valores de los pixels: 256 en muchos casos. La ventana se desliza sobre todos los pixels de la imagen y en cada posición se calcula la matriz de co-ocurrencia (figura VII.4). Debido a que la función de correlación decae rápidamente (Li, 1988) para pixels vecinos, es generalmente suficiente tomar la magnitud de  como para considerar únicamente pixels próximos bajo conectividad 8. Las posibles direcciones de  son las definidas por el código de Freeman. La matriz de co-ocurrencia es una medida de la probabilidad de ocurrencia de un par de pixels en la posición relativa dada por ; de esta manera se establece la estructura espacial de los pixels de la ventana. Así por ejemplo, la matriz de co-ocurrencia consta de un sólo elemento distinto de cero cuando la textura de la ventana es completamente uniforme, es decir todos los pixels tienen el mismo valor. A medida que la textura se hace heterogénea, aparecen más elementos diferentes de cero en la matriz. El número y distribución de elementos es un reflejo del tipo de textura. Con el objeto de ilustrar la generación de la matriz de co-ocurrencia supóngase que se tiene una ventana de 5  5 pixels con valores variando entre 1 y 5. Supóngase también que  = 1 y que la dirección de este vector corresponde al cero del código de Freeman. Debido a que los pixels de la ventana pueden asumir valores entre 1 y 5, la dimensión de la matriz de co-ocurrencia es de 5  5. Entonces, al desplazar  sobre la ventana mencionada, de tal manera que se encuentre enteramente contenido en ésta, se tiene lo siguiente 1 3 4 4 1

4 3 3 5 5

5 2 1 4 2 Imagen

5 4 3 4 3

4 2 1 5 3

0 0 1/20 1/20 1/20 0 0 1/20 1/20 0 2/20 1/20 2/20 0 0 0 1/20 1/20 1/20 3/20 0 1/20 0 2/20 1/20 Matriz de co-ocurrencia

Los valores de pixels se encuentran en el arreglo de la izquierda y en el de la

384


derecha se muestra la matriz de co-ocurrencia resultante. Tal como se aprecia, el par de pixels [3,3] ocurre dos veces en la dirección y espaciamiento establecido por la  adoptada; el par [5,4] ocurre tres veces y el par [1,1] no ocurre en la ventana considerada. El número total de pares es de 20. Al asumir otras direcciones de  se acumularían los pares en las localidades adecuadas de la matriz de co-ocurrencia y el total de éstos se incrementaría también. La matriz de co-ocurrencia es simétrica para direcciones contrarias del código de Freeman, por lo que es común realizar el cálculo únicamente para las primeras cuatro direcciones de éste. Para cuantificar la textura en una imagen (lámina 53) es necesario evaluar la matriz de co-ocurrencia en cuatro direcciones no contrarias del código de Freeman, ya que la textura puede ocurrir en cualquier dirección. La dimensión de  depende de la correlación (Lira y Frulla, 1998) de un pixel con sus vecinos, en muchas ocasiones se considera que 1   

2.

Figura VII.4. Operador vectorial de posición para el cálculo de la matriz de coocurrencia. Para caracterizar el contenido de información textural de la matriz de co-ocurrencia se emplean lo que se conoce como descriptores (Wagner, 2004). Sean {c(i,j)} los elementos de la matriz de co-ocurrencia C y sea Ng el número de niveles de cuantización en la imagen, se define

Reconocimiento de Patrones Ng

c x (i)   c(i, j) , c y ( j)  j1

c x  y (k ) 

Ng

385

Ng

 c(i, j) i 1

Ng

  c(i, j) ,

con k = 2, 3, . . . 2Ng

i 1 j1 i  j k

c x  y (k ) 

Ng

Ng

  c(i, j) ,

con k = 0, 1, . . . Ng – 1

i 1 j1 i j k

 Segundo momento angular Ng Ng

M a   [c(i, j)]2

(VII.10)

i 1 j1

 Contraste

C

Ng 1



n 0

  Ng Ng    n2  c(i, j) i1 j1   i j n 

(VII.11)

 ijc(i. j)   x  y

(VII.12)



 Correlación Cr 

1  x y

i

j

En donde x, y, x, y, son los promedios y desviaciones estándar de los renglones y columnas de la matriz de co-ocurrencia C respectivamente.

 Suma de cuadrados: Varianza Ng Ng

V  [i  ]2 c(i, j)

(VII.13)

i 1 j1

Donde  es la media de los elementos de C.

 Producto del momento: Covarianza Ng Ng

C v  [i  ][ j  ]c(i, j) i 1 j1

(VII.14)

386


 Diferencia de momento Ng Ng

D m  [i  j]2 c(i, j)

(VII.15)

i 1 j1

 Diferencia inversa de momento Ng Ng

c(i, j) 2 j1 1  (i  j)

D1 / m   i 1

(VII.16)

 Homogeneidad c(i, j) 1 i  j

(VII.17)

 ic x y (i)

(VII.18)

H   i

j

 Suma de promedio

P

2 Ng i2

 Suma de varianza 

2 Ng

 [i  P]2 c x y (i)

(VII.19)

i2

 Suma de entropía 2 Ng

E n   c x  y (i) log[c x  y (i)]

(VII.20)

i2

 Entropía Ng Ng

E n   c(i, j) log[c(i, j)]

(VII.21)

i 1 j1

 Diferencia de varianza d = var{cx-y}  Diferencia de entropía

(VII.22)


387

N g 1

E d    c x  y (i) log[c x  y (i)]

(VII.23)

i0

 Coeficiente de correlación máxima C m  Segundo eigenvalor de Q

Q(i, j) 

Ng

(VII.24)

c(i, k )c( j, k )

 c x (i)c y (k) k 1

 Probabilidad máxima Pm  max [c(i, j)]

(VII.25)

i, j

Donde c(i,j) son los elementos de la matriz de co-ocurrencia para una  y  dadas. En el ejemplo arriba ilustrado, el valor de probabilidad máxima es, Pm = 3/20 y el de entropía es, E n = 1.13915. En algunas ocasiones no basta con uno solo de estos descriptores para cuantificar el contenido textural de una imagen; de aquí que en estas situaciones se construya un vector de descriptores que conjuntamente pueden medir tal contenido. A partir de este vector se genera una imagen multiespectral sintética, donde cada banda representa el valor espacial de cada descriptor. En esta imagen sintética es posible que haya redundancia entre bandas, pero puede ser eliminada empleando la descomposición en componentes principales. Una vez hecho lo anterior es factible aplicar un análisis de cúmulos a las primeras componentes obteniendo con esto un mapa de texturas (lámina 53). VII.3.9 La textura multi-espectral La textura multiespectral, a partir de imágenes multiespectrales, puede ser generada empleando el operador de divergencia. La imagen multiespectral se modela como un campo vectorial U (véase apartado I.2.2); sobre este campo, se aplica el operador de divergencia para generar un mapa de textura donde los niveles de gris representan la rugosidad de la textura. A continuación se presenta un resumen de los modelos más importantes para segmentar textura a partir de imágenes multiespectrales; en párrafos subsecuentes se presenta el operador divergencia y se demuestra que el flujo asociado al campo vectorial está directamente relacionado con la rugosidad de la textura de la imagen multiespectral. La textura extraída a partir de imágenes multiespectrales ha recibido atención en la literatura científica (Shafarenko et al., 1997; Paschos, 2000; Tseng y Lai, 1999; Deng y Manjunath, 2001; Chen y Chen, 2002). Algunos modelos de textura han sido obtenidos por medio de operadores que trabajan directamente en el espacio de la imagen. Así, se

388


han reportado en la literatura extensiones a imágenes multiespectrales de modelos autorregresivos y de campos aleatorios de Markov (Bennett y Khotanzad, 1998). La textura llamada de color (imágenes RGB) ha sido modelada utilizando funciones de correlación espacial dentro y entre bandas de una imagen multiespectral (Wang y Healey, 1998). Con este modelo, se obtuvo el reconocimiento de la textura de color con independencia de la rotación, la escala y la iluminación. Basado en la matriz de coocurrencia, Rosenfeld et al., (1982) utilizó la distribución de valores absolutos de diferencias de pares de pixels en imágenes de dos bandas. Con esta distribución se obtuvieron resultados con varios valores de  and  y tres descriptores de textura. Cumani (1991) propuso una extensión a imágenes multiespectrales de detectores de bordes originalmente diseñada para imágenes mono-banda. Estos detectores de bordes están basados en una medida de la dirección local de contraste en imágenes multiespectrales. A partir de aquí, la densidad de bordes puede ser empleada como una medida de la textura. Empleando la matriz de co-occurrencia espectral, se obtuvo una segmentación de la textura de color de muestras de tela (Chang y Wang, 1996). HautaKasari et al., (1999) llevan a cabo la cuantización del dominio espectral de un conjunto de imágenes multiespectrales empleando el mapa auto-organizado (Kohonen, 2000). La matriz espectral de co-occurrencia se aplica entonces a este mapa. La matriz espectral de co-occurrencia representa los pares cuantizados de espectra y porta información de la dependencia espacial de las clases espectrales en la imagen. A partir de esta matriz se obtiene un conjunto de rasgos de textura. De aquí, el valor de los rasgos de textura se ingresa a un procedimiento de análisis de cúmulos para generar clases de textura y un mapa temático de texturas. La transformación de la imagen a otro espacio diferente del dominio espacial ha sido empleado para extraer textura de color. Así, Tan y Kittler (1994) usaron el histograma de color y una transformación lineal local para analizar textura de color. Los espacios de color son empleados por Paschos (1998; 2000) para análisis de texturas de color y para reconocimiento de texturas. Las técnicas multi-escala, desarrolladas por medio de la transformada de ondeletas, fueron extendidas a imágenes de color (RGB) introduciendo firmas de ondeletas de energía-correlación (Van de Wouwer et al., 1999). Estas firmas fueron entonces usadas para caracterizar textura de color en un conjunto de imágenes de color. A continuación se presenta el operador de divergencia y la cuantificación que provee del flujo del campo vectorial asociado a la imagen multiespectral. Se demuestra además que las variaciones de tal flujo están directamente relacionadas con la textura multiespectral de la imagen. En este método, a diferencia de los anteriormente descritos, no se manejan parámetros. El operador divergencia (Arfken y Weber, 1995) de un campo vectorial dimensional U se define como 

U   i 1

u xi xi

(VII.26)

Donde xi es la i-ésima coordenada de un sistema cartesiano de coordenadas de un espacio euclidiano, y uxi es la componente del campo vectorial U = u(x1,x2, . . . x) a lo largo de la dirección definida por xi. Las derivadas involucradas en la ecuación (VII.26)


389

no pueden ser obtenidas de forma analítica; de aquí entonces es necesario introducir una aproximación por diferencias finitas. El operador divergencia mide el flujo de un campo vectorial. El flujo está definido como la densidad de líneas de campo que atraviesan una área unitaria a. Sea nˆ un vector unitario, normal al área a, entonces, para una superficie cerrada S el flujo es    U  nˆ a

(VII.27)

s

Considérese ahora un hipercubo de tamaño x1x2x3 . . . x, donde xi es el lado a lo largo de la dirección determinada por la coordenada xi. Como una primera aproximación, el flujo a través de los lados del hipercubo se expresa como xi = [uxi(x1, ... xi + xi,xi+1, ... x) – uxi(x1, ... x)]x1 ... xi-1xi+1 ... x,  xi (VII.28) Sumando todas las contribuciones de flujo xi,  xi, y tomando el límite cuando xi  0, tenemos 



u xi

 x i 1

(VII.29)

i

Por tanto, la divergencia es una medida del flujo del campo vectorial. La divergencia puede ser calculada por medio de la aproximación por diferencias finitas dada por la expresión (VII.28) ya que la ecuación (VII.26) no puede ser calculada analíticamente. De acuerdo con la ecuación (VII.27), el flujo puede ser negativo, cero o positivo. Una cantidad nula indica que el flujo neto que atraviesa el hipercubo es cero. Una región suave de textura está formada por pixels de valor similar. En al representación del campo vectorial de la imagen multiespectral, estos pixels forman un cúmulo en una región relativamente pequeña con homogeneidad uniforme. No se detecta un flujo neto toda vez que el centro del hipercubo coincide con uno de los pixels del cúmulo. Una cantidad positiva o negativa significa que un flujo neto atraviesa el hipercubo. Existe un flujo neto cuando la textura cambia de suave a rugosa: flujo positivo; o de rugosa a suave: flujo negativo. Para resumir esto, supongamos que U = V donde  es la densidad de líneas de flujo del campo vectorial U. Para un volumen unitario, es decir el hipercubo, la ecuación de continuidad  n    (V )  0 x1x 2 ... x n

establece que el flujo neto emergiendo del volumen implica un decremento en la densidad dentro del mismo. La densidad  es un parámetro de rugosidad que caracteriza la rugosidad de la imagen de textura. Cambios grandes de  están asociados con texturas rugosas; cambios pequeños de  están asociados con texturas suaves. Por tanto, en la imagen de texturas: nivel de gris ∼ . Esto significa que, en la imagen de texturas, las

390


texturas suaves son vistas como tonos obscuros de gris, y texturas rugosas son desplegadas con tonos claros de gris. Las texturas de rugosidad intermedia son descritas con diferentes tonos de gris. Una manera complementaria de analizar la ecuación de continuidad es la siguiente: De acuerdo con la ecuación (VII.26) la divergencia es la suma de los gradientes en direcciones ortogonales del campo vectorial. Por otro lado, ha sido reportado en la literatura (Pietikäinen y Rosenfeld, 1982; Ojala et al., 1992) que los modelos basados en bordes producidos por operados de gradiente pueden ser usados como una medida de la textura en una imagen. De acuerdo con esto, el operador de divergencia es una cuantificación de la densidad de bordes en el espacio de rasgos multiespectral definido por la imagen. Por tanto, el operador divergencia produce la textura asociada con el campo vectorial de la imagen multiespectral. En áreas de textura suave, la densidad de bordes es baja; de aquí entonces, la divergencia produce valores cercanos a cero. A medida que la textura se hace rugosa, tanto la densidad de los bordes como el valor de la divergencia se incrementan. En la lámina 54a se aprecia la imagen de la ciudad de México generada por el satélite Terra/Aster y en la lámina 54b el mapa de texturas producido al aplicar el operador de divergencia a las tres primeras componentes principales de ésta.

VII.4 Morfología Matemática El término morfología originalmente proviene del estudio de las formas y en el contexto de la morfología matemática quiere decir el estudio de la topología o estructura de los objetos (patrones espaciales) a partir de sus imágenes. La morfología matemática se refiere a ciertas operaciones donde, para estudiar la forma y estructura de un objeto, éste se hace interaccionar con un elemento estructural, el cual es definido de acuerdo con el tipo de información que se desea obtener. Un elemento estructural es un conjunto empleado para sondear la imagen bajo estudio. Cuando la imagen es binaria, el elemento estructural es un conjunto definido en un plano, cuando la imagen es de niveles de gris, el elemento estructural es un conjunto tridimensional. El elemento estructural debe tener la misma dimensión y escala que la imagen bajo estudio. Todo elemento estructural tiene asociado un origen que es un punto de referencia empleado en la operación con la imagen. Dos de los más importantes investigadores de la morfología matemática (Serra, 1982; Serra, 1988; Gacsi, 2003) han hecho notar que la noción de estructura geométrica (y de textura también) no es puramente objetiva, es decir, no se encuentra totalmente en el fenómeno (objeto) ni en el observador, sino en alguna parte entre los dos. Al introducir el concepto de elemento estructural, estos autores reducen dicha subjetividad, ya que este elemento, escogido por el investigador, interacciona con el objeto de una manera preestablecida modificando su forma y estructura de tal manera que sea más asequible que en su estado original. Así entonces es necesario definir un contexto para los conceptos de objeto y elemento estructural. Sea E un espacio euclidiano donde se supone que ocurre una serie de fenómenos que presentan una cierta estructura espacial (escena), de la gran variedad de métodos que existen para describirlos se tiene uno que consiste en considerarlos como objetos, es decir como subconjuntos del espacio E; de este punto de vista se deriva un método


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llamado morfología matemática. Desde el punto de vista etimológico podría pensarse a la morfología matemática como el tratado de la forma y la estructura; en el contexto del análisis digital de imágenes se agregarían tópicos como el estudio de patrones espaciales incluyendo la textura. De estas consideraciones podría decirse también que la morfología matemática es un cuerpo de modelos, métodos y procedimientos para describir cuantitativamente la organización espacial de aquellos objetos inmersos en el espacio de la imagen. Por otro lado, puede decirse que el conjunto de relaciones existentes entre las diversas partes de un objeto define su estructura u organización espacial, de aquí que con las herramientas de la morfología matemática se estudie experimentalmente la estructura de un objeto, probando cada una de las posibles relaciones espaciales y examinando si éstas se satisfacen o no. A partir de estas pruebas se genera un cierto conocimiento que depende esencialmente del conjunto de relaciones consideradas como posibles, de lo cual se determina el valor relativo asignado al concepto de estructura. Es posible encontrar, en una serie de situaciones, un medio de estudio donde se halle presente un conjunto de patrones espaciales cuyo aspecto es poco evidente o aún desconocido al investigador: una muestra mineral o una imagen de satélite por ejemplo. Una falta de significado aparente conduciría a la necesidad de probar sistemáticamente todas las relaciones morfológicas conocidas, comenzando por las más simples que pudieran imaginarse y terminando con las más complejas; de aquí que sea necesario estructurar matemáticamente la idea de objeto y elemento estructural de acuerdo con el esquema que a continuación se describe. Un aspecto básico de la morfología matemática radica en considerar que tanto los objetos bajo estudio como el elemento estructural son conjuntos (Comer y Delp, 1999) de un cierto espacio E. Así entonces, estos objetos o patrones inmersos en este espacio son los conjuntos tales que X  E, y al conjunto de todos los subconjuntos de E se le llama el conjunto potencia de E, denotado como Pot(E). Como tal, en Pot(E) se satisfacen una serie de operaciones (Barrera et al., 1998) para las cuales se cumplen las siguientes propiedades 1. Las operaciones de unión e intersección son conmutativas y se distribuyen la una sobre la otra. 2. Existen los elementos identidad: el conjunto vacío ∅ para la operación de intersección y el conjunto universal  para la operación de unión. 3. Para todo conjunto X, existe Xc, llamado el complemento, tal que es inverso respecto a las siguientes operaciones: X ∪ Xc =  y X ∩ Xc = ∅. 4. La relación de orden inducida A  B es tal que Pot(E) forma una retícula completa (Bartle y Sherhert, 1999), es decir, cualquier familia Xi  Pot(E) no vacía tiene una mínima cota superior: un supremo (∪Xi), y una máxima cota inferior: un ínfimo (∩Xi), que pertenecen a Pot(E). Esta estructura algebraica sirve de base para definir los elementos básicos de la morfología matemática. En años recientes, ciertas investigaciones de la psicología moderna (Lewis y Del Proire, 1987) indican que la psicovisión humana tiende a percibir primero el total de la configuración de objetos de una escena dada, para después concentrarse en sus elementos por separado; a partir de este hecho se formalizan los siguientes aspectos de la morfología matemática. En primera instancia, se tiene el concepto de elemento

392


estructural que se define como sigue: con cada punto x del espacio de trabajo E se asocia un conjunto B(x) el cual con extensión y forma adecuada se hace interaccionar con el objeto bajo estudio; además de esto se tienen las siguientes consideraciones a) Antes de proceder al análisis de un cierto objeto X es necesario suponer que es distinguible de su entorno Xc. b) El elemento estructural se concibe como la zona elemental de la percepción visual. c) En cuanto al acto elemental de percepción, se coloca el conjunto B (elemento estructural) en cada punto x del espacio donde X está distribuido y se inquiere por la interacción entre X y B; en este proceso existen dos posibilidades: 1) El elemento B intersecta a X, es decir B ∩ X  ∅, de aquí o bien B  X, o bien B intersecta a X pero no está totalmente incluido en él. 2) El elemento B no intersecta a X, es decir B ∩ X= ∅. Es necesario puntualizar que, en general, el espacio E se supone como ℝn o bien como ℤn, ya que en el primero de los casos cuando n = 3 se tiene el mundo físico tridimensional y en el segundo caso es posible concebir una malla o red discreta acorde con la naturaleza digital de las imágenes.

Tanto la imagen como el elemento estructural son modelados como conjuntos en ℤn por lo que es interesante identificar algunas propiedades de estos conjuntos. Considérese la figura VII.1 donde se aprecia una imagen binarizada X determinada por un conjunto de pixels. Introducimos ahora la siguiente definición: Un conjunto euclidiano es convexo si y solo si contiene todos los segmentos de línea que unen cualquiera de sus puntos (pixels). Además, la intersección de una colección arbitraria de conjuntos convexos es un conjunto convexo también. De acuerdo con esta definición, la figura VII.1 no es un conjunto convexo ya que los dos pixels superiores están unidos por una línea que tiene una parte en el complemento de X . El conjunto convexo más pequeño que puede contener a cualquier conjunto es llamado una vaina convexa. La parte de la derecha de la figura VII.1 muestra la vaina convexa del conjunto X. Debido a la naturaleza digital de la imagen X es posible que al unir dos pixels cualesquiera parte de la línea se encuentre en Xc. No obstante, esta línea debe cruzar una zona que sea siempre menor a la mitad de cualquier pixel de Xc. En la figura VII.1 se muestra cómo una línea que une dos pixels de la vaina convexa cruza una parte del pixel de Xc marcado con un punto. A partir de lo anterior se define el índice de concavidad como el cociente entre el área del conjunto original X y el área de la vaina; en la figura VII.1 este índice es: 0.857 bajo conectividad 4. La vaina convexa puede ser obtenida empleando la operación de cerradura (véase ecuación VII.90). VII.4.1 Principios, criterios y propiedades básicas Una de las propiedades más básicas en morfología matemática es aquella que se refiere a la dualidad con respecto a la complementación. Como ya se apuntó arriba, la formulación de la morfología euclidiana se basa en conjuntos embebidos en el espacio de trabajo E, de tal manera que si Xc es el complemento del conjunto X, sucede entonces que al definir o aplicar una cierta transformación morfológica , se induce otra, denotada por o y conocida como la transformación dual de , que satisface la


393

siguiente relación o(X) = [(Xc)]c

(VII.30)

Para visualizar esta propiedad refirámonos a la figura VII.5, donde se aprecia que toda vez que  transforma a X en el conjunto (X), el complemento Xc se altera simultáneamente para convertirse en [(X)]c. Con este concepto cualitativo es posible afirmar que las transformaciones morfológicas se generan por pares, por lo cual se sabe con certeza que a toda transformación morfológica le corresponde siempre una dual. Una transformación  es autodual con respecto a la complementación si su transformación dual es  misma. Como ya se estudió en el capítulo IV, en el procesamiento clásico de imágenes digitales existe un grupo de transformaciones que son reversibles, a diferencia de lo que sucede en morfología matemática, donde en general las operaciones son no reversibles. La razón de esto consiste en que en morfología matemática se considera que las imágenes de los fenómenos bajo estudio son demasiado complejas para su análisis directo y que, por lo tanto, requieren de un cierto grado de simplificación; este proceso es en general no reversible. En morfología matemática se parte de una imagen con un cierto grado de complejidad, se define un objetivo de análisis y a partir de aquí se diseña un grupo de transformaciones que, aplicadas sucesivamente, simplifican la imagen y extraen la información necesaria relativa a un fenómeno dado.

Figura VII.5. Transformación morfológica y su dual, sobre el objeto X y sobre Xc. Para complementar estos principios y criterios básicos es necesario introducir una serie de propiedades que, para aplicaciones específicas, se imponen a una transformación morfológica: sea entonces  una operación morfológica, la cual puede presentar las siguientes propiedades a) Creciente. La operación  es creciente si preserva la relación de orden; es decir, si X, Y  Pot(E), entonces X  Y  (X)  (Y)

(VII.31)

b) Antiextensiva. La operación  es antiextensiva si (X) está contenida en X X  Pot(E)  (X)  X

(VII.32)

394


c) Idempotente. La operación  es idempotente cuando (X) permanece invariante al aplicar de nueva cuenta la transformación X  Pot(E)  [(X)] = (X)

(VII.33)

d) Homotópica. Una transformación  es homotópica cuando preserva el árbol de homotopía (Schwarz, 1994). Esta propiedad se puede formular de la siguiente manera: Si A y B son dos objetos en una imagen binaria, se dice que A y B son homotópicos si A puede ser deformado continuamente hasta obtener B y viceversa, preservando conectividad y los agujeros dentro de estos objetos (figura VII.6). e) Complementaridad. Dos operadores  y  son complementarios si y solo si aplicar  a X es equivalente a aplicar  al complemento Xc  y  son complementarios  (X) = (Xc)

(VII.34)

Figura VII.6. El objeto A es homotópico al objeto B, el cual es homotópico a C. Para la transformación dual o de , los postulados mencionados se manifiestan como: la antiextensividad se convierte en extensividad y la idempotencia, lo creciente y la homotopía se conservan. La extensividad se expresa de la siguiente manera X  Pot(E)  (X)  X El proceso de identificar o reconocer un objeto se realiza en dos etapas: transformación geométrica y medición; la primera se refiere al realce de las características geométricas del objeto por medio de una transformación a la imagen, la segunda concierne a la cuantificación de las propiedades básicas del mismo. La psicovisión humana adecúa sus esquemas para remodelar los estímulos provenientes del mundo circundante, de tal forma que la identificación de los objetos la realiza también en las etapas mencionadas. Estudios recientes muestran que la visión humana contiene un mecanismo para enfatizar los bordes de objetos y que puede fijar su atención


395

únicamente en aquellos que le son de interés, para después proceder a cuantificar (cualitativamente) las propiedades básicas que previamente ha abstraído en un proceso de aprendizaje. Ahora bien, la morfología matemática se basa en estos hechos fundamentales y se apoya en cuatro principios que condensan esta experiencia. Recordemos que el ámbito de trabajo se encuentra definido en un espacio Euclidiano ℝn, el cual para los propósitos de la morfología matemática presenta propiedades (Barrera et al., 1998) tales como: a) no se modifican sus elementos bajo traslación, escalamiento o reflexión por el origen, b) es un espacio métrico completo y c) tiene la estructura algebraica de un espacio vectorial sobre el campo de los reales. Antes de discutir los cuatro principios de la morfología matemática es necesario introducir tres conjuntos (figura VII.7) de connotación particular y utilidad en las transformaciones morfológicas que después se definen.

Figura VII.7. Conjuntos de interés en morfología matemática: (a) conjunto trasladado por el vector h, (b) conjunto homotético por el escalar , y (c) conjunto simétrico. El conjunto X trasladado por el vector h  ℝn, se define como Xh = {x(x - h)  X}

(VII.35)

396


El conjunto X homotético por el escalar   ℝ, se define como X = {x(x)  X}

(VII.36)

El conjunto X simétrico por el origen, se define como -X = { x - x  X}

(VII.37)

No debe haber confusión en cuanto a la notación para los conjuntos trasladados y homotéticos ya que el subíndice en el primer caso es un vector (de traslación) y en el segundo caso se trata de un escalar (factor de escala). Los cuatro principios que se enuncian a continuación son fruto también de la experiencia y de las restricciones que se deben imponer para dotar de autoconsistencia a las transformaciones morfológicas provienen del marco lógico propio del tratamiento digital de imágenes. - Primer principio: Compatibilidad bajo traslaciones Se dice que  es invariante bajo traslaciones, si y sólo si (Xh) = [(X)]h

(VII.38)

Ahora bien, si la transformación  depende del origen de coordenadas {o}, se representa entonces como o, de tal forma que esta transformación es la aplicación a cada punto x del espacio E (o a un subconjunto de éste), de una operación que es función de las coordenadas x. Denótese ahora por -h la transformación que aplica al punto x - h el criterio originalmente realizado sobre el punto x; de aquí entonces que la transformación  es compatible bajo traslaciones cuando o(Xh) = [-h(X)]h

(VII.39)

Para ilustrar la diferencia entre compatibilidad e invarianza frente a traslaciones, véase la figura VII.8, en donde se muestra esquemáticamente la siguiente operación h = X ∩ Zh

(VII.40)

Esta expresión se puede interpretar como una ventana de medición Z que es transladada para realizar una cierta observación sobre una parte del objeto X; una demostración de (VII.39) para esta operación en particular es como sigue o(Xh) = Xh ∩ Z0 = [X ∩ Z-h]h = [-h(X)]h

(VII.41)

Esta última expresión nos dice (figura VII.8) que es lo mismo trasladar el objeto X por el vector h y realizar la medición con la ventana Z sin trasladar, que trasladar la ventana Z por el vector -h, realizar la medición y trasladar de regreso el resultado por el vector h. No obstante, esta transformación no es invariante frente a traslaciones, ya que o(Xh) = Xh ∩ Z  [X ∩ Z]h = [o(X)]h

(VII.42)


397

Figura VII.8. Compatibilidad bajo traslaciones de los objetos X y Z. En la experimentación, la compatibilidad bajo traslaciones es suficiente. Como puede apreciarse, la compatibilidad bajo traslaciones es de carácter más general que la invarianza frente a traslaciones y va de acuerdo con la experiencia en cuanto a la medición de propiedades de un objeto dado. - Segundo principio: Compatibilidad bajo cambio de escala Una transformación  es invariante bajo cambios de escala si (X) = [(X)]

(VII.43)

Donde  > 0 es el factor de escala de acuerdo con la expresión (VII.36). Es decir, esta expresión implica que la transformación  es invariante bajo homotecia y significa que es lo mismo aplicar la transformación al conjunto X escalado por el factor , que aplicar primero la transformación y después escalar. Ahora bien, una transformación  es compatible bajo cambios de escala si (X) = [1(X1/)]

(VII.44)

donde  representa el elemento -ésimo de una familia de transformaciones,  es un factor de escala y 1 es aquel elemento de la familia cuando  = 1. Esta expresión significa que es equivalente aplicar la transformación  al objeto X, previamente escalado por el factor 1/, para después regresar el resultado a la escala original. Tal condición es necesaria cuando muestras del mismo objeto son analizadas a diferentes escalas por varios investigadores: el resultado debe ser compatible con las escalas empleadas. Por ejemplo, la medida del área de un objeto no es invariante frente a cambios de escala, pero sí es compatible frente a éstos. - Tercer principio: El conocimiento local En algunas ocasiones, la ventana de observación (o de medición) es tal que no es posible estudiar todo un objeto X a la vez, sino únicamente una parte de él. También sucede que a veces sólo es posible obtener muestras del objeto bajo estudio: al hacer

398


observaciones de parte de la atmósfera, del mar o de la superficie terrestre o al obtener imágenes de parte de un cultivo de células a través del campo de un microscopio. En otras ocasiones es necesario llevar a cabo una sucesión de medidas para obtener conclusiones estadísticas acerca de un experimento determinado, por ejemplo al medir la distribución de tamaños de una colección de campos de cultivo en una imagen de satélite. Es posible que el objeto bajo estudio X no quepa físicamente en el campo de observación Z, aun cuando sería deseable el contar con una transformación morfológica tal que, aplicada a la parte de X incluida en Z, sea igual a la intersección de Z con la transformación aplicada al objeto completo X. Éste sería el caso de una imagen de satélite que no cubriese totalmente una cierta área agrícola, pero que los campos de cultivo cubiertos en la imagen fuesen suficientes para obtener una distribución representativa de sus tamaños. A partir de estos conceptos se introduce la siguiente definición: Una transformación  satisface el principio de conocimiento local si, para cualquier conjunto acotado V en el cual se desea conocer (X), es posible encontrar un conjunto acotado Z en el cual el conocimiento de X es suficiente para realizar localmente (es decir dentro de V) la transformación; simbólicamente,  V acotado,  Z acotado tal que (X ∩ Z) ∩ V = (X) ∩ V

(VII.45)

En esta expresión, V es una ventana de medición u observación y Z es el campo de trabajo. En el ejemplo de la imagen de áreas agrícolas, Z sería la imagen de los campos de cultivo y V sería la ventana con la cual se mide el tamaño de cada uno de ellos. - Cuarto principio: Semicontinuidad Este principio se refiere básicamente a la estabilidad necesaria en la aplicación sucesiva de transformaciones morfológicas a un cierto objeto X. En ocasiones es necesario aplicar una sucesión de operaciones a un cierto conjunto X; en este proceso se requiere imponer una condición de estabilidad, es decir, que dicho proceso converja a un determinado límite. El cuarto principio se enuncia de la siguiente manera: Para cualquier sucesión decreciente de conjuntos cerrados que tiendan a un límite  y toda transformación creciente , debe corresponder una sucesión que tienda a la transformación de ; simbólicamente ( lim  i )  lim (  i )  i 

(VII.46)

i

Por transformación creciente se entiende que si A  B, entonces (A)  (B). La definición anterior concierne a una sucesión decreciente de conjuntos; sin embargo, el complemento de éstos es creciente y por tanto la definición es igualmente válida para dichos complementos. Los primeros dos principios son específicos y se incorporan por una elección metodológica basada en la experiencia (heurística); los dos últimos principios corresponden a restricciones generales operacionales que especifican una condición de estabilidad en una transformación morfológica dada. En la realización de un experimento para resolver un problema específico se utiliza un conjunto de conocimientos y se generan otros a partir del experimento mismo; de aquí es factible


399

distinguir diversos grados de generalidad: aquellos conocimientos que presentan una gran amplitud se emplean para resolver toda una clase de problemas y no uno en particular. Sin embargo, para resolver un problema específico, es necesaria información adicional, además de la de carácter general, para seleccionar de entre un número de posibles soluciones aquella que sea óptima para dicho problema. A partir de aquí es posible afirmar que los principios son aquellas restricciones que un experimento nunca puede directamente sobrepasar y los criterios son las restricciones para un caso particular, los cuales son designados como adicionales a los principios. Si no se impusieran estas restricciones adicionales habría muchas transformaciones potenciales para resolver un problema, ya que los principios forman un cuerpo de conocimientos generales que permiten seleccionar las características básicas de las transformaciones morfológicas necesarias en dicho problema. Finalmente, para aplicar los principios y los criterios en la solución de un problema se requiere de un conjunto de instrucciones llamado algoritmo, puntualizando que pueden existir varios de éstos al aplicar un criterio dado y para resolver un problema. VII.4.2 Transformaciones morfológicas VII.4.2.1 Transformaciones morfológicas en 2D El procesamiento morfológico de imágenes constituye una clase de transformaciones en la cual la forma y estructura de los objetos (patrones espaciales) es modificada para dilucidar su naturaleza morfológica (Barrera et al., 1998). En toda la discusión que sigue, las definiciones se aplican a imágenes binarias (dos valores) en donde los objetos de interés han sido previamente segmentados. Antes de continuar es necesario considerar el problema de la conectividad que se presenta en imágenes binarias; para esto refirámonos a la figura VII.9a, aquí los pixels negros tienen conectividad 4 y dividen a la imagen en tres regiones; en la figura VII.9b, en cambio, los pixels negros tienen conectividad 8, pero los pixels blancos también, presentándose por tanto una ambigüedad. Es decir, en la figura VII.9b, bajo conectividad 8, los pixels negros dividen a la imagen en tres regiones; sin embargo, bajo esta misma conectividad los pixels blancos se encuentran conectados lo que impediría una segmentación en tres regiones. Un recurso para evitar esta ambigüedad sería suponer conectividad 8 para los pixels negros y conectividad 4 para los blancos; sin embargo, esto traería complicaciones innecesarias; otra posibilidad sería considerar objetos únicamente que tuviesen conectividad 4. Bajo cualquiera de estos esquemas, se dice que un objeto está mínimamente conectado si la eliminación de cualquiera de los pixels que lo componen resulta en una pérdida de conectividad para los pixels restantes. Además, se dice que un pixel es crítico si al eliminarlo se pierde la conectividad del objeto correspondiente. En las transformaciones que se estudian aquí se supondrá al menos conectividad mínima. También es necesario recordar que estas definiciones de conectividad están basadas en un modelo de imagen discreta donde la escena correspondiente ha sido discretizada empleando una lattice regular y cuadrada. Dos de las transformaciones básicas en la morfología matemática son la dilatación y la erosión. En la primera de éstas, un objeto crece uniformemente en su extensión espacial, mientras que en la segunda el objeto reduce su extensión espacial uniformemente. Estas dos operaciones básicas, y otras más, están basadas en

400


transformaciones de tipo intersecta o no intersecta (hit or miss) cuya definición es como sigue: Se considera un templete de tamaño impar, el cual recorre todas las posiciones definidas por los pixels de la imagen; si el patrón binario del templete coincide (hit) con el estado (0 ó 1) de los pixels de la imagen cubiertos por éste, entonces en la imagen de salida el pixel en correspondencia espacial con el centro del templete se pone en un estado binario predeterminado; por el contrario, si el templete no coincide (miss) con el estado de los pixels de la imagen, el pixel de salida se fija en el estado binario opuesto al predeterminado.

Figura VII.9. Bajo conectividad 4, (a) se encuentra dividida en tres regiones, no así en (b), donde se presentan ambigüedades. En cuanto al estado binario cabe el siguiente comentario: lo que se requiere fundamentalmente es que la imagen se encuentre segmentada y binarizada a dos valores, sin importar cuáles sean estos, siempre que se encuentren en el intervalo de 0 a 255. Por ejemplo, los objetos de interés podrían tener asignado un valor de 173 y el resto de la imagen digamos un 17, entonces en la operación intersecta o no intersecta los estados posibles serían el 17 y el 173; no obstante, en muchos algoritmos es conveniente utilizar los estados binarios 0 y 1. Por ejemplo, en la figura VII.10, el templete definido se puede emplear para remover ruido de moteado aislado, ya que si el templete coincide con los pixels de la imagen, el pixel de salida se pone igual a cero, de otra manera su valor se fija igual al del central de la ventana. El ruido de moteado generalmente aparece como puntos aislados, es decir, un uno rodeado de ceros, de aquí que al modelar este hecho a través del templete se tenga un filtro para tal tipo de ruido. Es importante añadir que existen muchas transformaciones intersecta o no intersecta que se definen (Pratt, 2001) en términos de operaciones lógicas AND y OR, pudiéndose diseñar en consecuencia algoritmos de muy rápida ejecución. Supóngase ahora que el objeto X y el elemento estructural B están representados como conjuntos en un espacio euclidiano bidimensional y sea Bx la traslación de B de tal manera que su origen se encuentra localizado en x, entonces la erosión de X por B se define como el conjunto de puntos (pixels) x tales que Bx está contenido en X; simbólicamente B = X ⊝ B = {x | Bx  X} = {x | B + x  X}

(VII.47)


401

La erosión suave de X por B se define como el conjunto de puntos (pixels) x tales que Bx está contenido en X, simbólicamente X ⊝ B = {x | Sx  X} = {x | S + x  X}, S  Bx 0

0

0

0

1

0

0

0

0

Figura VII.10. Templete para remover ruido de moteado en una operación de intersecta o no intersecta. Es decir, en la erosión suave se requiere que solo una parte del elemento estructural esté contenida en el objeto X. A la expresión (VII.47) se le conoce también como la erosión dura de X por B. En forma similar, la dilatación de X por B se define como el conjunto de puntos x tales que B intersecta a X; simbólicamente B = X  B = {x | Bx ∩ X  ∅}

(VII.48)

La dilatación suave de X por B se define como el conjunto de puntos x tales que B intersecta a X, simbólicamente

X  B = {x | Bx ∩ X = S}, S  Bx Es decir, en la dilatación suave se requiere que una parte del elemento estructural intersecte al objeto X y no un solo pixel tal como lo establece la definición de dilatación. A la expresión (VII.48) se le conoce también como la dilatación dura de X por B. Ejemplos de la erosión y dilatación duras se proporcionan en la figura VII.11. Nótese que el origen de B es más bien un punto (pixel) de referencia. En ambas operaciones el elemento estructural B funge como una sonda que examina la forma y el tamaño del objeto X modificándola de acuerdo con la estructura de B y con la transformación definida. No obstante, un inconveniente en el esquema de estas definiciones es que su funcionamiento depende tanto de la forma de B como de su representación en el sistema de coordenadas empleado, es decir depende del lugar donde se coloque el origen del elemento estructural B, si bien existen algunas propiedades de invarianza frente a traslaciones; en secciones posteriores se estudiarán dos transformaciones (apertura y cerradura) que no presentan esta particularidad. Propiedades básicas de la dilatación y la erosión

Las operaciones de erosión y dilatación satisfacen una serie de propiedades: sean B y B' dos elementos estructurales y sean X y X' dos objetos, entonces se tiene que la erosión y

402


la dilatación cumplen con lo siguiente

1)

Son invariantes frente a traslaciones: una traslación del objeto X causa un desplazamiento igual en el resultado.

2)

No son inversas una con respecto a la otra.

Figura VII.11. Erosión y dilatación del objeto X por los elementos estructurales B1 y B2 respectivamente; el origen de éstos se denota con un círculo.

3)

Distributividad

y

X  (B ∪ B') = (X  B) ∪ (X  B')

(VII.49)

X ⊝ (B ∪ B') = (X ⊝ B) ∩ (X ⊝ B')

4)

Conocimento local (X ∩ Z) ⊝ B = (X ⊝ B) ∩ (Z ⊝ B)

(VII.50)


5)

403

Iteración

y

(X ⊝ B) ⊝ B' = X ⊝ [B  (-B')]

(VII.51)

(X  B)  B' = X  [B  (-B')]

6)

Creciente

Si X  X' 

X ⊝ B  X' ⊝ B X  B  X'  B

, B

Si B  B'  X ⊝ B  X ⊝ B',  X

7)

(VII.52)

(VII.53)

Antiextensiva Si el origen {o}  B  X ⊝ B  X

8)

Dualidad Si Xc es el complemento de X, entonces

y

Xc  B = (X ⊝ B)c X  B = (X ⊝ B) c

(VII.54)

c

Demostración de las principales propiedades de la dilatación y la erosión

Veamos ahora la demostración (Ríos, 1989) de algunas de estas propiedades y otros aspectos más de la erosión y la dilatación. Para demostrar la propiedad creciente, sea x  X ⊝ B  x + b  X,  b  B; sin embargo, por hipótesis {o}  B por lo que b = {o}  x + {o} = x  X. Por otro lado, si el origen {o} no está contenido en B, es posible entonces que X ⊝ B  X. En cuanto a la invarianza frente a traslaciones, es conveniente demostrar las dos siguientes relaciones

y

Xh ⊝ B = (X ⊝ B)h

(VII.55)

X ⊝ Bh = (X ⊝ B)-h En donde el subíndice h indica que el conjunto correspondiente ha sido transladado por el vector h. Sea entonces y  Xh ⊝ B  y + b  Xh,  b  B, lo que implica que (y + b)

- h  X,  b  B  (y - h) + b  X,  b  B, que quiere decir que y - h  X ⊝ B  y

404


 (X ⊝ B)h. La segunda parte de (VII.55) se demuestra como sigue: sea y  X ⊝ Bh  y + b  X,  b  Bh  y + (b + h)  X,  b  B  (y + h) + b  X,  b  B  y + h  X ⊝ B  y  (X ⊝ B)-h. Todas las implicaciones se pueden revertir, por lo que se tiene una condición necesaria y suficiente. Estas demostraciones apoyan también la noción de compatibilidad bajo traslaciones de la erosión. Por otro lado, a partir de aquí, es claro que la erosión de X por B no depende (en cuanto a la estructura del resultado) esencialmente de la posición de X ni del origen de B. La dilatación cumple igualmente con propiedades de invarianza frente a traslaciones. La siguiente demostración es con respecto a una de las propiedades incrementa de la erosión, es decir, si X  Y  X ⊝ B  Y ⊝ B. Sea z  X ⊝ B  z + b  X,  b  B. Por hipótesis X  Y, por lo cual z + b  X,  b  B  z + b  Y,  b  B  z  Y ⊝ B. En esta demostración también se pueden invertir el orden de las implicaciones teniéndose una condición necesaria y suficiente. Otra de las propiedades incrementa de la erosión se refiere a dos elementos estructurales, es decir, si B  B'  X ⊝ B  X ⊝ B'. Sea w  X ⊝ B'  w + b  X, 

b  B'; sin embargo, por hipótesis B  B', por lo que w + b  X,  b  B  w  X ⊝ B. En esta demostración también es válido invertir el orden de las implicaciones para una condición necesaria y suficiente. La propiedad de conocimiento local, cuya representación simbólica se escribe en la siguiente expresión (X ∩ Z) ⊝ B = (X ⊝ B) ∩ (Z ⊝ B) se demuestra como sigue: Sea u  (X ∩ Z) ⊝ B  u + b  X ∩ Z,  b  B  u + b 

X y u + b  Z,  b  B  u  (X ⊝ B) ∩ (Z ⊝ B). Si un objeto dado W se puede

construir como la intersección (X ∩ Z) de otros dos, la expresión anterior ofrece una alternativa de cálculo para la operación de erosión. Para la distributividad de la erosión y su relación con la intersección se tiene: X ⊝

(B ∪ B') = (X ⊝ B) ∩ (X ⊝ B'). Sea z  X ⊝ (B ∪ B')  z + y  X,  y  B ∪ B'  z

+ b  X,  b  B, además z + b'  X,  b'  B'  z  (X ⊝ B) ∩ (X ⊝ B'). En forma similar a la propiedad anterior, esta expresión ofrece una alternativa de cálculo cuando el elemento estructural se puede expresar como la unión de otros dos, y también es de utilidad en demostración de otras relaciones. Las otras propiedades listadas se demuestran empleando lineamientos similares a los arriba expuestos. Dilatación y Erosión condicional

Una aplicación sucesiva de dilataciones trae como consecuencia que un objeto X crezca sin límite. Este crecimiento puede ser limitado imponiendo una condición, a esta transformación se le llama dilatación condicional. La dilatación condicional de la imagen X por el elemento estructural B relativa a la imagen Y se define como X Y B = (X  B) ∩ Y

(VII.56)


405

La dilatación condicional puede ser aplicada iterativamente para una reconstrucción morfológica (X Y B)n = (((X Y B) Y B) Y . . . Y B)

(VII.57)

Cuya notación compacta es Y ∆B X = (X Y B)n

(VII.58)

Esta expresión se entiende también como la dilatación condicional de orden n. La erosión condicional se define como X ⊝Y B = (X ⊝ B) ∪ Y

(VII.59)

Donde X ⊆ Y tanto para la dilatación como para la erosión condicional. La sub-reconstrucción morfológica es por tanto (X ⊝Y B)n = Y B X = (((X ⊝Y B) ⊝Y B) ⊝Y . . . ⊝Y B)

(VII.60)

Dilatación geodésica

La dilatación geodésica involucra dos imágenes: una imagen patrón Y y una imagen máscara X. Ambas imágenes se encuentran definidas en el mismo dominio: (X, Y)  D y se satisface la condición: Y ⊆ X. Para esta transformación se emplea un elemento estructural isotrópico elemental B consistente de un pixel y sus vecinos ya sea en conectividad 4 u 8; el origen se encuentra en el centro de tal elemento 1 Conectividad4: B  1 1 1 1

1 1 1 Conectividad8: B  1 1 1 1 1 1

La dilatación geodésica de orden 1 de la imagen patrón con respecto a la imagen máscara se define como (figura VII.12)  (X1) (Y )   (1) (Y )  X = (Y  B) ∩ X

Donde (1)(Y) es la dilatación elemental de Y por el elemento estructural B. La dilatación geodésica satisface las siguientes condiciones (1)(Y)  Y  (Y) ∩ X  Y ∩ X  (X1) (Y )  Y (1)

 (X1) (Y )  X

(VII.61)

406


La dilatación geodésica de orden n se obtiene aplicando n–sucesivas dilataciónes geodésicas de Y con respecto a X  (Xn ) (Y )   (X1) [ (Xn 1) (Y )]

(VII.62)

Donde  (X0 ) (Y)  Y. Es necesario hacer notar que la dilatación geodésica de orden n es menor o igual que la dilatación condicional de orden n  (Xn ) (Y) ⊆ Y ∆B X = (X Y B)n

(VII.63)

VII.12. Dilatación geodésica de la imagen patrón Y con respecto a la máscara X. Erosión geodésica

La erosión geodésica es la transformación dual de la dilatación geodésica (figura VII.13)  (X1)  [ (1) (Y c )  X c ]c  [( (1) (Y )) c  X c ]   (1) (Y )  X

(VII.64)


407

VII.13. Erosión geodésica de la imagen patrón Y con respecto a la máscara X. Esta expresión se puede escribir como  (X1)  (Y ⊝ B) ∪ X

(VII.65)

Debido a la dualidad entre la erosión geodésica y la dilatación geodésica, la erosión geodésica es anti-extensiva e incrementa. La erosión geodésica de orden n se obtiene aplicando n–sucesivas erosiones geodésicas de Y con respecto a X  (Xn ) (Y )   (X1) [ (Xn1) (Y )]

(VII.66)

Donde  (X0 ) (Y )  Y. Reconstrucción por dilatación

La dilatación geodésica es estable y convergente después de un cierto número de iteraciones. La reconstrucción por dilatación de una imagen máscara X a partir de una

408


imagen patrón Y se define como la dilatación geodésica de Y con respecto a X, iterada hasta alcanzar estabilidad, se denota como R X (Y )   (Xi ) (Y )

(VII.67)

Donde i es tal que  (Xi ) (Y )   (Xi1) (Y ). Reconstrucción por erosión

La erosión geodésica es estable y convergente después de un cierto número de iteraciones. La reconstrucción por erosión de una imagen máscara X a patir de una imagen patrón Y se define como la erosión geodésica de Y con respecto a X, iterada hasta alcanzar estabilidad, se denota como R X (Y)   (Xi ) (Y)

(VII.68)

Donde i es tal que  (Xi ) (Y)   (Xi1) (Y). Transformación intersecta o no intersecta

Sea B un elemento estructural, que a su vez está formado por dos conjuntos B1 y B2, supóngase además que el origen de referencia de B se encuentra localizado en el punto x, denotando este hecho con la siguiente notación: (B1x , B 2x ) , es decir, se tienen dos conjuntos cuyo origen está en x y que unidos forman el elemento estructural B. El mismo origen x es compartido por los conjuntos (B1x , B 2x ) . Se dice entonces que un punto x pertenece a la transformación intersecta o no intersecta X ⊛ B de X si y sólo si B1x está incluido en X y B 2x está incluido en el complemento Xc de X; simbólicamente X ⊛ B  {x B1x  X; B 2x  X c }

(VII.69)

Una ilustración de esta transformación se muestra en la figura VII.14. Otra manera de definir esta transformación, es la siguiente X ⊛ (B1x , B 2x ) = X ⊝ B1x - X  B 2x

(VII.70)

Es decir, la transformación intersecta o no intersecta de X por B1x y B 2x es el conjunto diferencia de la erosión de X por B1x menos la dilatación de X por B 2x . Es fácil ver que la erosión y la dilatación son dos casos particulares de esta transformación; tómese por ejemplo a B 2x como el conjunto vacío, de tal manera que la condición B 2x  Xc siempre se satisface, por lo que el conjunto erosionado Y es el conjunto de todos los puntos x


409

tales que Bx está incluido en x: Y = {x | Bx  X}, con Bx = B1x , que es la definición de la erosión; un razonamiento similar se aplica para el caso de la dilatación.

Figura VII.14. Transformación intersecta o no intersecta. A partir de la operación intersecta o no intersecta es posible introducir la operación de adelgazamiento, escrita como X ⊙ B = X/X ⊛ B = X – X ⊛ B Para adelgazamientos simétricos es necesario emplear una secuencia de elementos estructurales B = {Bi, 1  i  q}, de tal manera que Bi sea la rotación de Bi-1 de acuerdo con el código de Freeman y a un esquema de conectividad. La base de elementos estructurales B se aplica en cascada, es decir X ⊙ B = {([X ⊙ B1] ⊙ B2) . . . ⊙ Bq} En conectividad 4 una base podría ser la siguiente 0 0 0 B1 = 1 1 1 1

0 1 B2 = 0 1 1 0 1

1 1 1 B3 = 1 0 0 0

1 0 B4 = 1 1 0 1 0

Donde el origen del elemento estructural está señalado en negrilla. Operadores de Minkowski

Existen otras maneras de definir la erosión, aparte de la ya introducida en este capítulo; de particular importancia en cuanto a los operadores de Minkowski es la siguiente X ⊝ B = ∩{X  b | b  B}

(VII.71)

410


Ahora bien, la definición clásica de la resta de Minkowski es en términos de la intersección de los transladados de X mediante elementos de B, simbólicamente X⊖B

X

= ∩{X + b | b  B}

b

(VII.72)

bB

De aquí es fácil ver que la relación entre la erosión y la resta de Minkowski es X ⊝ B = X ⊖ (B)

(VII.73)

Donde B = { b | b  B} y puntualizando la diferencia en notación para la operación de erosión (⊝) y la resta de Minkowski (⊖). La suma de Minkowski de X más B se define como el conjunto de todas las sumas de vectores x + b, con x  X y b  B, o equivalentemente como la unión de los conjuntos x + b de un solo elemento, con x  X y b  B, es decir X ⊕ B  {x + b  x  X, b  B} =

{x  b b  B}

(VII.74)

xX

Véase aquí también la diferencia en notación para la suma de Minkowski (⊕) y la dilatación (). La suma y la resta de Minkowski se ilustran en la figura VII.15. Principales propiedades de la suma y resta de Minkowski

A continuación se estudia una serie de relaciones interesantes para la suma y la resta de Minkowski. Así entonces, la dilatación por el conjunto simétrico B de B, es el lugar geométrico de los centros de Bx tales que intersectan al conjunto X X  (B) = {x  Bx ∩ X  ∅} Pero debido a la dualidad erosión/dilatación sabemos que X  (B) = [Xc ⊝ (B)]c, por lo que tenemos X  (B) =

X

b

= ∪{x + b  b  -B}

(VII.75)

b B

ya que X⊝B=

X

b

= ∩{x  b  b  B}

bB

De aquí se concluye que la relación entre la suma de Minkowski y la dilatación es X  B = X ⊕ (B)

(VII.76)


411

Lo cual implica que en general X ⊕ B  X ⊕ (B), teniéndose la única excepción cuando el elemento estructural es igual a su simétrico.

Figura VII.15. Suma y resta de Minkowski, nótese la extensividad de la suma. La resta y la suma de Minkowski cumplen con la siguiente relación de dualidad Xc ⊕ B = (X ⊖ B)c

(VII.77)

Con anterioridad se planteó la dualidad entre las operaciones  y o, es decir o(X) = [(Xc)]c, lo que implica que o(Xc) = (X)c. Si ahora se define, o = ⊕ y  = ⊖, se tiene por consiguiente que c

  (X ⊖ B) =  {x  b b  B}   xX    c



{x  b b  B}  {x  b b  B} = X c

xX

xX

c

Con lo que queda demostrada la relación (VII.77). Demostraremos ahora que la suma de Minkowski es conmutativa

c

⊕B

412


X⊕B=B⊕X

(VII.78)

Por definición se tiene X ⊕ B = {x + b | x  X, b  B} = {b + x | b  B, x  X} = B ⊕ X La suma de Minkowski satisface la siguiente propiedad de asociatividad X ⊕ (B ⊕ C) = (X ⊕ B) ⊕ C

(VII.79)

Sea z  X ⊕ (B ⊕ C)   x  X, b  B y c  C, tal que z = x + (b + c) = (x + b) + c 

z  (X ⊕ B) ⊕ C. La suma y la resta de Minkowski del objeto X más (o menos) el elemento estructural B son invariantes frente a traslaciones

y

Xh ⊕ B = [X ⊕ B]h

(VII.80)

Xh ⊖ B = [X ⊖ B]h La demostración de estas propiedades es similar a la que se hizo para la invarianza de la erosión frente a traslaciones, recordando que esta propiedad implica la compatibilidad frente a traslaciones. Otra relación similar a la que satisfacen la erosión y la dilatación es: cuando el origen pertenece al elemento estructural la suma de Minkowski es extensiva; simbólicamente si {o}  B  X  (X ⊕ B)

(VII.81)

Sea x  X, dado que x = x + {o}  x  X ⊕ B, ya que x  X y {o}  B. Si el origen no

pertenece al elemento estructural, es posible que X no esté contenido en X ⊕ B. En la figura VII.16 se ejemplifica la suma de Minkowski con un elemento estructural que no contiene al origen. Por otro lado, si el origen pertenece al elemento estructural la resta

de Minkowski es antiextensiva: si {o}  B  X  (X ⊖ B). La suma de Minkowski constituye un operador creciente para un elemento estructural dado XYX⊕BY⊕B

(VII.82)

Sea w  X ⊕ B   x  X, b  B, tal que w = x + b, pero por hipótesis X  Y, y como x  X  x  Y, debido a esto se cumple que w = x + b, con x  Y, b  B, tal que w  Y ⊕ B. La resta de Minkowski también es un operador creciente: X  Y  X ⊖ B  Y ⊖ B.


413

Figura VII.16. El origen no pertenece al elemento estructural y la suma de Minkowski no es extensiva por tanto. La suma de Minkowski no es distributiva con respecto a la intersección, pero sí cumple con una relación de contención de la siguiente manera (X ∩ Y) ⊕ B  (X ⊕ B) ∩ (Y ⊕ B)

y

(VII.83)

X ⊕ (Y ∩ B)  (X ⊕ Y) ∩ (X ⊕ B) A las relaciones dadas en (VII.83) se les conoce como la semi-distributividad de la suma de Minkowski sobre la intersección. Veamos ahora una demostración de (VII.83). Sea x  (X ∩ Y) ⊕ B   x  X, y  Y y b  B,  x = y + b  x  X ⊕ B,

análogamente se tiene que x = y + b con y  Y, b  B  x  Y ⊕ B, y dado que x  X

⊕ B y y  Y ⊕ B  x  (X ⊕ B) ∩ (Y ⊕ B). Debido que la suma de Minkowski es conmutativa, la demostración de la segunda expresión de (VII.83) se obtiene a partir de la primera. La suma de Minkowski satisface la propiedad de la distributividad sobre la unión, es decir

(X ∪ Y) ⊕ B = (X ⊕ B) ∪ (Y ⊕ B)

(VII.84)

Sea z  X ∪ Y, x  X, y  Y y b  B, por lo que, debido a la definición de suma de Minkowski, se tiene (X ∪ Y) ⊕ B =

    ( z  b )   ( x  b )   ( y  b ) = (X ⊕ B) ∪ (Y ⊕ B)  xX   yY  zX Y    







Con lo cual queda demostrada la expresión (VII.84). La erosión y la suma de Minkowski presentan la siguiente relación

414


X ⊝ (B ⊕ C) = (X ⊝ B) ⊝ C

(VII.85)

Sea x  (X ⊝ B) ⊝ C  x + c  X ⊝ B,  c  C  (x + c) + b  X,  c  C y  b 

B  x + z  X,  z  B ⊕ C, tal que z = b + c  x  X ⊝ (B ⊕ C). El orden de aplicación de las erosiones es irrelevante debido a que la suma de Minkowski es conmutativa, es decir, el elemento B puede ser intercambiado por el C. La aplicación de la suma de Minkowski a un objeto conlleva su expansión espacial y la erosión su contracción; debido a esto es interesante el explorar si existe una compensación espacial en cuanto a la aplicación conjunta de estas dos operaciones. De aquí resulta la siguiente proposición: El objeto resultado de erosionar y luego expandir es menor o igual al conjunto producto de expandir y luego erosionar, es decir X ⊕ (Y ⊝ B)  (X ⊕ Y) ⊝ B

(VII.86)

Sea u  X ⊕ (Y ⊝ B)   u = x + y, con x  X y y  Y ⊝ B. Ahora bien, si y  Y ⊝ B  y + b  Y,  b  B, se tiene que (y + b) + x  X ⊕ Y,  b  B  (x + y) + b = u + b

 X ⊕ Y,  b  B  u  (X ⊕ Y) ⊝ B. Un ejemplo ilustrativo se aprecia en la figura

VII.17. De esta última relación es fácil concluir que en general (B ⊝ C) ⊕ C  B. En cuanto a erosión y suma de Minkowski por el elemento estructural B, se tiene la siguiente expresión si X  Y ⊝ B  X ⊕ B  Y

(VII.87)

Para demostrar (VII.87) supóngase que X  Y ⊝ B y sea z  X ⊕ B  z = x + b para alguna x  X y alguna b  B. Sin embargo, por hipótesis x + b  Y,  b  B. En sentido inverso, tómese ahora como hipótesis que X ⊕ B  Y y sea x  X, pero x + b  B,  b  B  x  Y ⊝ B. Para finalizar esta sección se demuestra a continuación que la suma y la resta de Minkowski cumplen con la siguiente relación sobre conocimiento local: Sea X el objeto bajo estudio y Z el espacio de trabajo, entonces [((X ∩ Z) ∪ Zc) ⊕ B] ∩ (Z ⊝ B) = (X ⊕ B) ∩ (Z ⊝ B)

(VII.88)

Dado que Z es el espacio de trabajo, se tiene que Z ∪ Zc = , de donde se sigue que (X

∩ Z) ∪ Zc = (X ∪ Zc) ∩ (Z ∪ Zc) = (X ∪ Zc) ∩  = X ∪ Zc. Ahora bien, por la

propiedad de distributividad de la suma de Minkowski, se cumple que (X ∪ Zc) ⊕ B =

(X ⊕ B) ∪ (Zc ⊕ B). Combinando estos dos resultados es posible escribir lo siguiente:

[((X ∩ Z) ∪ Zc) ⊕ B] ∩ (Z ⊝ B) = [(X ∪ Zc) ⊕ B] ∩ (Z ⊝ B) y también [(X ∪ Zc) ⊕

B] ∩ (Z ⊝ B) = [(X ⊕ B) ∪ (Zc ⊕ B)] ∩ (Z ⊝ B). Empleando ahora la propiedad distributiva de la intersección sobre la unión, se escribe [(X ⊕ B) ∪ (Zc ⊕ B)] ∩ (Z ⊝


415

B) = [(X ⊕ B) ∩ (Z ⊝ B)] ∪ [(Zc ⊕ B) ∩ (Z ⊝ B)]. Por otro lado, para cualquier conjunto A se cumple que A ∩ Ac = ∅, por lo que el miembro derecho de la ecuación

anterior se simplifica de la siguiente manera: [(X ⊕ B) ∩ (Z ⊝ B)] ∪ [(Zc ⊕ B) ∩ (Z ⊝

B)] = (X ⊕ B) ∩ (Z ⊝ B), concluyéndose así la demostración de (VII.88).

Figura VII.17. El conjunto resultado de erosionar y expandir es menor o igual al conjunto producto de expandir y luego erosionar. Transformaciones de apertura y cerradura

Hasta ahora se han definido transformaciones con base en la interacción de un elemento estructural con un objeto definido, donde la forma, el tamaño y la posición del origen para el elemento son importantes en el resultado; del tipo de interacción resulta un conjunto de propiedades, algunas de las cuales se han demostrado en las secciones anteriores de este capítulo. Ciertas combinaciones de las transformaciones mencionadas presentan propiedades útiles en aplicaciones de la morfología matemática; debido a esto se les asignan nombres particulares. Así entonces, a una erosión seguida de una suma de Minkowski se le llama apertura y a una dilatación seguida de una resta de Minkowski se le denomina cerradura; las definiciones formales son las siguientes: La apertura de X, respecto al elemento estructural B, es el conjunto

416


X ◦ B = XB = (X ⊝ B) ⊕ B

(VII.89)

La cerradura de X, respecto al elemento estructural B, es el conjunto X • B = XB = (X  B) ⊖ B

(VII.90)

Ejemplos de estas dos transformaciones se presentan en las figuras VII.18 y VII.19. Algunas de las propiedades más importantes se demuestran a continuación. A partir de estas figuras se desprende la siguiente interpretación geométrica: en la apertura se marcan aquellos pixels donde el elemento estructural esté enteramente contenido en el objeto X; el resto de los pixels de X son eliminados. Es decir, la apertura es la unión de todos los pixels donde el elemento estructural está contenido dentro del objeto; mientras que las estructuras del objeto que no cubren el elemento estructural son removidas. La cerradura tiene el efecto opuesto a la apertura ya que adiciona los pixels del complemento de X que no pueden ser cubiertos por los trasladados del elemento estructural cuando éste ocupa enteramente el complemento. Por tanto, la apertura de una imagen es equivalente al complemento de la cerradura del complemento de X. Principales propiedades de la apertura y la cerradura

Las operaciones de apertura y cerradura se relacionan dualmente, es decir (Xc)B = (XB)c y (XB)c = (Xc)B

(VII.91)

Por definición de apertura (Xc)B = (Xc ⊝ B) ⊕ B; sin embargo, la erosión y la dilatación

son operaciones duales, por lo que (Xc ⊝ B) ⊕ B = (X  B)c ⊕ B y también existe

dualidad entre la suma y la resta de Minkowski, de tal forma que (X  B)c ⊕ B = [(X 

B) ⊖ B]c y finalmente por definición de cerradura [(X  B) ⊖ B]c = (XB)c; estas propiedades se aprecian en las figuras VII.18 y VII.19 Las transformaciones de apertura y cerradura tienen connotaciones geométricas que son la base para su uso como descriptores de tamaño y forma, por lo que su definición se replantea de la siguiente manera: La apertura del conjunto X por el elemento estructural B es la unión de todas las traslaciones del elemento estructural B que están contenidas en X; es decir X ◦ B = XB = ∪{B + x | (B + x)  X}

(VII.92)

Veamos ahora que esta definición es equivalente con la dada por (VII.89). Por definición de apertura se tiene que si w  XB  w  (X ⊝ B) ⊕ B, además, de acuerdo

con la expresión para la suma de Minkowski, si w  (X ⊝ B) ⊕ B  w = x + b, con x 

X ⊝ B y b  B, lo que implica también que w  {b | b  x  B} = Bx. Por otra parte, el

que x  X ⊝ B equivale a que Bx  X, lo que prueba finalmente la proposición de arriba.


417

Figura VII.18. Apertura del objeto X, perdiéndose la conectividad en varios lugares.

Figura VII.19. Cerradura del objeto X, nótese el rellenado de ciertos huecos. Con respecto a la cerradura tenemos dos posibles interpretaciones geométricas, la primera de las cuales consiste en lo siguiente: La cerradura del conjunto X por el elemento estructural B, es la intersección de todas las traslaciones de la dilatación de X por B mediante elementos de B X • B = XB =

 X  B

(VII.93)

b

bB

Por definición de cerradura XB = (X  B) ⊖ B, y de acuerdo con la resta de Minkowski (ecuación VII.72) se sigue que (X  B) ⊖ B =

 X  B

b

bB

La segunda interpretación geométrica es como sigue: La cerradura del conjunto X por el elemento estructural B es la intersección de los complementos de los transladados de B

418


que contienen a X XB = ∩{(B + x)c | (B + x)c  X}

(VII.94)

Debido a la dualidad entre la apertura y la cerradura (XB)c = (Xc)B  XB = [(Xc)B]c; sin embargo, con base en la interpretación geométrica de la apertura se tiene [(Xc)B]c = [∪{B + x | (B + x)  Xc}]c = [∪{B + x | (B + x) ∩ X = ∅}]c y aplicando la igualdad (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc, se tiene finalmente que ∪{B + x | (B + x) ∩ X = ∅}c = ∩{(B + x)c | (B + x)c  X}

La apertura es una transformación morfológica creciente, simbólicamente si X  Y  XB  YB

(VII.95)

Ya se demostró con anterioridad que tanto la erosión como la suma de Minkowski son crecientes, por lo tanto si X ⊝ B  Y ⊝ B  (X ⊝ B) ⊕ B  (Y ⊝ B) ⊕ B por lo que al aplicar la definición de apertura se tiene la expresión (VII.95). La cerradura también es una transformación creciente, es decir si X  Y  XB  YB

(VII.96)

Sabemos que para dos conjuntos cualesquiera A, B, si A  B  Ac  Bc y como la apertura es una transformación creciente, es decir, si X  Y  Xc  Yc  (Xc)B  (Yc)B  [(Xc)B]c  [(Yc)B]c; pero debido a la dualidad entre apertura y cerradura, (Xc)B = (XB)c, de donde se tiene finalmente que [(XB)c]c  [(YB)c]c  XB  YB La apertura es una transformación antiextensiva, es decir XB  X

(VII.97)

Sabemos que si Ai  B,  i  I, donde I es un conjunto de índices cualesquiera, entonces ∪Ai  B, de aquí que, debido a la interpretación geométrica de la apertura XB

= ∪{B + x | (B + x)  X}, se concluye que XB  X. La cerradura es una transformación extensiva XB  X

(VII.98)


419

La antiextensividad de la apertura implica que (Xc)B  Xc; sin embargo, al tomar complementos en esta expresión, se tiene que [(Xc)B]c  X, por otro lado, la cerradura y la apertura son operaciones duales (XB)c = (Xc)B, por tanto [(Xc)B]c = [(XB)c]c = XB, con lo que se sigue la expresión VII.98. En las figuras VII.20 y VII.21 se ilustran la antiextensividad de la apertura y la extensividad de la cerradura respectivamente.

Figura VII.20. Antiextensividad de la apertura. La apertura es una transformación idempotente (XB)B = XB

(VII.99)

Por un lado, la antiextensividad de la apertura implica que (XB)B  XB; ahora bien estas dos aperturas se escriben por definición como (XB)B = (XB ⊝ B) ⊕ B = {[(X ⊝ B) ⊕ B] ⊝ B} ⊕ B Aplicando ahora la definición de cerradura, la relación entre la dilatación y la suma de Minkowski y la relación entre la erosión y la resta de Minkowski, es posible escribir lo siguiente [(X ⊝ B) ⊕ B] ⊝ B = [(X ⊝ B)  (-B)] ⊝ B = [(X ⊝ B)  (-B)] ⊖ (-B) = (X ⊝ B)-B Ahora bien, debido a la extensividad de la cerradura (X ⊝ B)-B  X ⊝ B y a la

propiedad creciente de la suma de Minkowski [(X ⊝ B)-B] ⊕ B  (X ⊝ B) ⊕ B,

recordando ahora que X ⊝ B = X ⊖ (-B) y que X  B = X ⊕ (-B) y aplicando la

definición de apertura se tiene (X ⊝ B)-B ⊕ B = (XB)B  XB, concluyéndose de esta manera la demostración planteada. La cerradura es una transformación idempotente (XB)B = XB

(VII.100)

420


Debido a la dualidad entre la cerradura y la apertura se tiene (XB)B = {[(XB)c]B}c = ([{[(Xc)B]c}c]B)c = {[(Xc)B]B}c Aplicando la relación (VII.96) se escribe {[(Xc)B]B}c = [(Xc)B]c, y debido a la dualidad entre la apertura y la cerradura [(Xc)B]c = XB, concluyendo con esto la demostración de (VII.100).

Figura VII.21. Extensividad de la cerradura. La apertura y la cerradura son invariantes frente a traslaciones

y

Xh ◦ B = (X ◦ B)h

(VII.101)

Xh • B = (X • B)h Por definición de apertura se tiene que Xh ◦ B = (Xh ⊝ B) ⊕ B, pero la erosión y la dilatación son invariantes frente a traslaciones, por tanto (Xh ⊝ B) ⊕ B = (X ⊝ B)h ⊕ B y recordando que X ⊝ B = X ⊖ (-B) y X  B = X ⊕ (-B), se tiene (X ⊝ B)h  (-B) = [(X ⊝ B)  (-B)]h = [(X ⊝ B) ⊕ B]h La demostración de la invarianza frente a traslaciones de la cerradura es similar a lo arriba planteado. En cuanto a las transformaciones de apertura y cerradura existen dos propiedades que puede satisfacer un objeto X en determinadas circunstancias, éstas se introducen a través de las definiciones y proposiciones siguientes  Un conjunto X es abierto morfológicamente respecto al elemento estructural B si y sólo si es igual a su apertura, es decir


421

X es abierto respecto a B  X = XB  Un conjunto X es cerrado morfológicamente respecto al elemento estructural B si y sólo si es igual a su cerradura, es decir X es cerrado respecto a B  X = XB Con relación con estas dos definiciones es posible plantear las siguientes proposiciones: 1) La familia de conjuntos abiertos respecto al elemento estructural B es C ⊕ B,  C

 Pot(ℝn), en otras palabras, si D es abierto respecto a B   C, tal que D = C ⊕ B.

Como hipótesis se tiene que (C ⊕ B)B = C ⊕ B, entonces por definición de apertura

(C ⊕ B)B = [(C ⊕ B) ⊝ B] ⊕ B = {[C  (B)] ⊝ B} ⊕ B = {[C  (B)] ⊖ (-B)} ⊕ B lo que implica finalmente que (C ⊕ B)B = (C-B) ⊕ B  C ⊕ B En donde se han empleado las propiedades ya establecidas y la contención se deriva del hecho que la cerradura es extensiva y la suma de Minkowski es creciente. Por otro lado, la apertura es antiextensiva (C ⊕ B)B  C ⊕ B, por lo que finalmente (C ⊕ B)B = C ⊕ B. Como un corolario de lo anterior, es fácil ver que el elemento estructural B es abierto respecto a si mismo, es decir BB = B: Dado que {o} ⊕ B = B, ahora bien si C = {o} y de la proposición anterior se cumple que (C ⊕ B)B = ({o} ⊕ B)B = BB = {o} ⊕ B = B.

2) La familia de conjuntos cerrados respecto al elemento estructural B es C ⊖ B, 

C  Pot(ℝn), en otras palabras, si D es cerrado respecto a B   C, tal que D = C ⊖ B.

Por hipótesis (C ⊖ B)B = C ⊖ B, entonces por definición de cerradura

(C ⊖ B)B = [(C ⊖ B)  B] ⊖ B = {[C ⊝ (B)]  B} ⊖ B = {[C ⊝ (B)] ⊕ (B)} ⊖ B lo que implica finalmente que (C ⊖ B)B = (CB) ⊖ B  C ⊖ B En donde se han empleado las propiedades ya estudiadas y la contención se deriva del hecho que la apertura es antiextensiva y la resta de Minkowski es creciente. Por otro lado, la cerradura es extensiva, es decir (C ⊖ B)B  C ⊖ B, por lo que finalmente se

tiene que (C ⊖ B)B = C ⊖ B. Finalizaremos este grupo de demostraciones con dos proposiciones, relacionadas con lo anterior, que son de utilidad en demostraciones y desarrollos subsecuentes. Si C es abierto respecto a B (CB = C), entonces las aperturas XB y XC y las cerraduras XB y XC para cualquier conjunto X  Pot(ℝn), satisfacen lo siguiente

422


XC  XB  X  X B  XC

(VII.102)

También se satisface que (XB)C = XC y si B es abierto respecto a C, se tiene (XB)C = XB Por otro lado si C es cerrado con respecto a B (CB = C), las contenciones arriba anotadas se mantienen y además (XB)C = XC, y si B es cerrado respecto a C, se tiene (XB)C = XB. La demostración de (VII.102) es como sigue: la contención XB  X se debe a la antiextensividad de la apertura y la contención X  XB a la extensividad de la cerradura. Por otro lado XC  X, por lo que (XC)B  XB, de tal manera que al desarrollar la parte izquierda de esta última contención se obtiene que (XC)B = (X ⊝ C) ⊕ C ⊝ B ⊕ B = (X ⊝ C) ⊕ CB. Pero por hipótesis CB = C, de donde finalmente (XC)B = XC, es decir XC  XB. La contención de la parte derecha de (VII.102) se obtiene de manera similar. Reconstrucción por apertura

La reconstrucción por apertura de dimensión n de una imagen X se define como la reconstrucción de X de la erosión de dimensión n de Y  (Rn ) (X )  R X [ ( n ) (X )]

(VII.103)

A diferencia de la apertura mofológica, la reconstrucción por apertura preserva le forma de aquellas componentes que no son removidas por la erosión. Todos los rasgos que no contienen el elemento estructural son removidos. Reconstrucción por cerradura

La reconstrucción por cerradura de dimensión n de una imagen X se define como la reconstrucción de X de la dilatación de dimensión n de Y  (Rn ) (X )  R X [ ( n ) (X )]

(VII.104)

La reconstrucción por cerradura tiende a llenar huecos y valles de la imagen X. VII.4.2.2 Transformaciones morfológicas en 3D Las operaciones morfológicas de erosión, dilatación, apertura y cerradura han sido generalizadas a tres dimensiones (Sternberg, 1986; Dougherty y Astola, 1994; Comer y Delp, 1999; Soille, 2004). En las siguientes definiciones se supone que la imagen


423

considerada es la banda de una imagen multiespectral; a esta banda se le llama también imagen de niveles de gris. Sea f(x,y) = f(r) la banda de una imagen y sea B un elemento estructural en tres dimensiones; consideramos a esta imagen como una superficie. Para el elemento B se pueden emplear varias formas tales como, una esfera, un cubo, o un cilindro; el tamaño de estas formas puede variar de acuerdo con la aplicación. Con base en la figura I.7 es posible concebir cualitativamente las operaciones morfológicas en tres dimensiones. Al graficar, en un sistema de ejes coordenados de tres dimensiones, la posición de cada pixel contra su valor en la imagen de niveles de gris, se obtiene una superficie como lo muestra la figura I.7; a esta superficie se le llama la imagen-superficie. En este mismo espacio de ejes coordenados se considera un objeto tridimensional llamado elemento estructural (figura I.7) el cual interacciona con dicha superficie de acuerdo con una serie de operaciones que se definen más adelante. El volumen bajo la imagen-superficie se conoce como la umbra. Si f(x,y) es la función de la imagen de niveles de gris, entonces un punto con coordenadas (x,y,z) pertenece a la umbra si y solo si z  f(x,y). Con base en lo anterior se tienen las siguientes definiciones  La erosión de la imagen f por el elemento estructural B se define como (f ⊝ B)(x,y) = min[f(u,v) – B(u – x,v – y): (x,y,u,v)  ℤ2; (u – x,v – y)  B] (VII.105) Donde (x,y,u,v) son las coordenadas espaciales en la imagen. En la erosión, la umbra de la imagen f se reduce por el elemento estructural B. La erosión dada por (VII.105) se denota también como B(f).  La dilatación de la imagen f por el elemento estructural B se define como (f  B)(x,y) = max[f(u,v) + B(u – x,v – y): (x,y,u,v)  ℤ2; (u – x,v – y)  B] (VII.106) En la dilatación, el elemento estructural B agranda la umbra de la imagen f. La dilatación expresada por (VII.106) se denota también como B(f).  La apertura de la imagen f por el elemento estructural B se define en los mismos términos que la apertura en dos dimensiones (véase ecuación VII.89), es decir B = fB = (f ◦ B)(x,y) = {[(f ⊝ B] ⊕ B}(x,y)

(VII.107)

En la apertura, las regiones obscuras son realzadas mientras que las brillantes son atenuadas. Esta operación se emplea para suavizar contornos, ensanchar valles y eliminar rasgos de la imagen-superficie.  La cerradura de la imagen f por el elemento estructural B se define en los mismos términos que la cerradura en dos dimensiones (véase ecuación VII.90), es decir B = fB = (f ∙ B)(x,y) = {[f  B] ⊖ B}(x,y)

(VII.108)

En la cerradura, las regiones brillantes son realzadas mientras que las obscuras son atenuadas. Esta operación es empleada para suavizar contornos, unir regiones y rellenar valles de la imagen-superficie. Nótese que, en las operaciones anteriores, la umbra se modifica pero no desaparece.

424


Propiedades básicas de la erosión y la dilatación

La erosión y la dilatación presentan una serie de propiedades similares a las que se tienen en dos dimensiones; el método de demostración de estas propiedades es similar al empleado en morfología en 2D. A continuación se listan las propiedades más importantes. La dilatación es conmutativa (f  B) (x,y) = (B  f) (x,y)

(VII.109)

[(f  B)  C](x,y) = [f  (B  C)](x,y)

(VII.110)

La dilatación es asociativa

Tanto la erosión como la dilatación son invariantes frente a traslaciones. Sea ahora h un vector por el cual transladamos, ya sea la imagen f ó el resultado de la erosión ó la dilatación. La propiedad de invarianza frente traslaciones para la erosión y la dilatación establece que

y

(fh ⊝ B)(x,y) = (f ⊝ B)h(x,y)

(VII.111)

(fh  B)(x,y) = (f  B)h(x,y)

(VII.112)

Por otro lado, la traslación del elemento estructural B por el vector h se relaciona con las siguientes propiedades de invarianza

y

(f ⊝ Bh)(x,y) = (f ⊝ B)-h(x,y)

(VII.113)

(f  Bh)(x,y) = (f  B)h(x,y)

(VII.114)

Otras propiedades de la erosión y dilatación son {f  max[B, C]}(x,y) = max[(f  B)(x,y), (f  C)(x,y)]

(VII.115)

{min[f, B] ⊝ C}(x,y) = min[(f ⊝ C)(x,y), (B ⊝ C)(x,y)]

(VII.116)

{f ⊝ max[B, C]}(x,y) = min[(f ⊝ B)(x,y), (f ⊝ C)(x,y)]

(VII.117)

La erosión y la dilatación satisfacen la propiedad creciente, es decir si B  C entonces se satisfacen las siguientes contenciones

y

(f ⊝ B)(x,y)  (C ⊝ B)(x,y)

(VII.118)

(f  B)(x,y)  (C  B)(x,y)

(VII.119)


425

Otra propiedad es la distributividad entre la erosión y la dilatación (véase ecuación VII.51)

y

[(f ⊝ B) ⊝ C](x,y) = {f ⊝ [B  (- C)]}(x,y)

(VII.120)

[(f  B)  C](x,y) = {f  [B  (-C)]}(x,y) Propiedades básicas de la apertura y la cerradura

La apertura es antiextensiva y creciente, es decir, si dos imágenes satisfacen: f  g, entonces fB  f , antiextensiva

(VII.121)

fB  gB, creciente

(VII.122)

La cerradura es extensiva y creciente, es decir fB  f, extensiva

(VII.123)

fB  gB, creciente

(VII.124)

La relación entre las operaciones de erosión, dilatación, apertura y cerradura está dada por la siguiente expresión (f ⊝ B)(x,y)  (f ◦ B)(x,y)  f  (f ∙ B)(x,y)  (f  B)(x,y)

(VII.125)

Es decir, la erosión de una imagen es espacialmente menor a la apertura y la que a su vez es menor a la imagen original. Por otro lado, la dilatación es espacialmente mayor que la cerradura la que a su vez es mayor que la imagen original. Las propiedades de extensividad y antiextensividad de los operadores morfológicos se escriben como (f ⊝ B)(x,y)  (f ◦ B)(x,y)  f  (f ∙ B)(x,y)  (f  B)(x,y)

(VII.126)

Gradientes morfológicos

Con base en las transformaciones morfológicas básicas en 3D es posible definir nuevas operaciones. Las operaciones de dilatación y erosión pueden combinarse para producir el llamado gradiente morfológico. Este gradiente se emplea para realzar bordes y fronteras de patrones espaciales donde el cambio de valores de pixels es significativo. El gradiente morfológico presenta tres modalidades - Gradiente de Beucher – Se define como la diferencia entre la dilatación y la erosión. - Gradiente medio por erosión o gradiente normal – Se define como la diferencia entre la imagen original y su erosión.

426


-

Gradiente medio por dilatación o gradiente externo – Se define como la diferencia entre la dilatación y la imagen original. Los gradientes morfológicos requieren que el elemento estructural B sea simétrico y que contenga el origen. El gradiente de Beucher proporciona la máxima variación de las intensidades de los valores de los píxeles dentro de la vecindad definida por el elemento estructural; la definición simbólica es B = B(f) - B(f) = (f  B)(x,y) - (f ⊝ B)(x,y)

(VII.127)

El gradiente normal se emplea para la detección de límites internos y externos de los bordes; la definición simbólica es  B = f - B(f) = f - (f ⊝ B)(x,y)

(VII.128)

Este gradiente realza los límites internos de los objetos brillantes con respecto a un fondo obscuro, o bien los objetos obscuros con respecto a un fondo brillante. El gradiente externo genera también los bordes de los objetos; la definición simbólica es  B = B(f) – f = (f  B)(x,y) – f

(VII.129)

Los gradientes internos y externos se complementan entre sí en la detección de bordes. Transformaciones top-hat

Las transformaciones de apertura y cerradura se emplean para eliminar estructuras no deseadas del objeto X y del complemento del mismo. Las operaciones top-hat están diseñadas para recobrar dichas estructuras. En ocasiones es difícil definir qué es una estructura no deseada o irrelevante; es más fácil determinar los objetos que sí lo son. Al eliminar los objetos con un significado en una imagen, a través de una diferencia aritmética, se obtienen las estructuras irrelevantes. Existen dos operaciones del tipo tophat la llamada llamada top-hat blanco y la llamada top-hat negro, la primera se define como la diferencia entre la imagen original y su apertura, es decir THb= f – (f ◦ B)(x,y) = f – {[(f ⊝ B] ⊕ B}(x,y)

(VII.130)

Esta operación no es creciente pero es una transformación idempotente. La otra operación es llamada top-hat negro, se define como la diferencia entre la cerradura y la imagen original THn = (f ∙ B)(x,y) – f = {[f  B] ⊖ B}(x,y) – f

(VII.131)

Las operaciones top-hat blanco y top-hat negro son duales entre sí. El top-hat autocomplementario se define como la diferencia aritmética entre la cerradura y la apertura de la imagen f


 = B – B = (f ∙ B)(x,y) – (f ◦ B)(x,y)

427

(VII.132)

La forma y el tamaño del elemento estructural en las transformaciones top-hat está determinado por la morfología de las estructuras que se desean extraer. Una operación de realce basada en transformaciones top-hat se define de la siguiente manera TH = 3f - B - B

(VII.133)

En esta transformación es necesario reescalar los valores de la imagen por medio de una elongación lineal al histograma. Dilatación y erosión condicional

Una aplicación sucesiva de dilataciones trae como consecuencia que la umbra crezca sin límite. Este crecimiento puede ser limitado imponiendo una condición, a esta transformación se le llama dilatación condicional. La dilatación condicional de la imagen X por el elemento estructural B relativa a la imagen Y se define como X Y B = (X  B) ∧ Y

(VII.134)

Donde X ≤ Y significa que la imagen-superficie de X está por debajo de la imagensuperficie de Y y f ∧ g = min{f, g}. La dilatación condicional puede ser aplicada iterativamente para una reconstrucción morfológica (X Y B)n = (((X Y B) Y B) Y . . . Y B)

(VII.135)

Cuya notación compacta es Y ∆B X = (X Y B)n

(VII.136)

La erosión condicional se define como X ⊝Y B = (X ⊝ B) ∨ Y

(VII.137)

Donde X ≥ Y significa que la imagen-superficie de X está por encima de la imagensuperficie de Y y f ∨ g = max{f, g}. La sub-reconstrucción morfológica es una sucesión de n-iteraciones de la erosión condicional (X ⊝Y B)n = Y B X = (((X ⊝Y B) ⊝Y B) ⊝Y . . . ⊝Y B)

(VII.138)

Dilatación geodésica

La dilatación geodésica involucra dos imágenes: una imagen – patrón Y y una imagen

428


– máscara X. Ambas imágenes se definen en el mismo dominio: (X, Y)  D y se satsiface la condición Y ≤ X. La dilatación geodésica de primer orden (1) de la imagen – patrón con respecto a la imagen – máscara se define como  (X1) (Y)   (1) (Y) ∧ X = (Y  B) ∧ X

(VII.139)

Donde (1)(Y) es la dilatación de Y por el elemento estructural B. La dilatación geodésica satsiface las siguientes condiciones (1)(Y) ≥ Y (1)(Y) ∧ X ≥ Y ∧ X

(VII.140)

 (X1) (Y)  Y  (X1) (Y )  X

La dilatación geodésica de orden–n se obtiene por la aplicación de n–sucesivas dilataciones geodésicas de Y con respecto a X  (Xn ) (Y )   (X1) [ (Xn 1) (Y )]

(VII.141)

Donde  (X0 ) (Y)  Y. La dilatación geodésica de orden–n se encuentra debajo de la dilatación condicional de orden–n  (Xn ) (Y) ≤ Y ∆B X = (X Y B)n

(VII.142)

Erosión geodésica

La erosión geodésica es la transformación dual de la dilatación geodésica  (X1) = [(1)(Yc) ∧ Xc]c = [( (1)(Y))c ∧ Xc] = (1)(Y) ∨ X

(VII.143)

La expresión anterior puede ser re-escrita como  (X1)  (Y ⊝ B) ∨ X

La erosión geodésica de orden–n se obtiene por la aplicación de n–sucesivas erosiones geodésicas de Y con respecto a X  (Xn ) (Y)   (X1) [ (Xn1) (Y)]

Donde  (X0 ) (Y)  Y.

(VII.144)


429

Reconstrucción por dilatación

La dilatación geodésica es estable y convergente después de un cierto número de iteraciones. La reconstrucción por dilatación de una imagen – máscara X de una imagen – patrón Y se define como la dilatación geodésica de Y con respecto a X, iterada hasta alcanzar estabilidad R X (Y )   (Xi ) (Y )

(VII.145)

Donde i es tal que  (Xi ) (Y)   (Xi1) (Y). Reconstrucción por erosión

La erosión geodésica es estable y convergente después de un cierto número de iteraciones. La reconstrucción por erosión de una imagen – máscara X de una imagen – patrón Y se define como la erosion geodésica de Y con respecto a X, iterada hasta alcanzar estabilidad R X (Y)   (Xi ) (Y)

(VII.146)

Donde i es tal que  (Xi ) (Y)   (Xi1) (Y). Reconstrucción por apertura

La reconstrucción por apertura de dimensión–n de una imagen X se define como la reconstrucción de X por la erosión de dimensión–n de Y  (Rn ) (X)  R X [ ( n ) (X)]

(VII.147)

La reconstrucción por apertura preserva la forma de aquellas componentes que no son removidas por la erosión. Todos los rasgos de la imagen que no contienen al elemento estrctural son removidos. Reconstrucción por cerradura

La reconstrucción por cerradura de dimensión–n de una imagen X se define como la reconstrucción de X de la dilación de dimensión–n de Y  (Rn ) (X)  R X [ ( n ) (X)]

(VII.148)

La reconstrucción por cerradura tiene la tendencia a llenar vacios y valles de la imagen X. Tanto la reconstrucción por apertura como por cerradura se emplean en filtros en el espacio de Fourier (véase apartado V.2.8) o bien en el espacio de la imagen para seleccionar ciertos patrones determinados por la imagen patrón Y.

430


VII.4.3 Aplicaciones de la morfología matemática en 2D Las transformaciones morfológicas en 2D, en conjunción con sus respectivas propiedades, tienen aplicaciones variadas (Serra, 1988; Skolnic, 1986; Moran, 1990; Gosh, 1990; Costa y Cesar, 2001; Soille, 2004) en la cuantificación de la forma, tamaño y representación de objetos. La mayoría de las aplicaciones existentes son para imágenes binarias, si bien la familia de transformaciones para imágenes de niveles de gris (Sternberg, 1986; Dougherty y Astola, 1994; Comer y Delp, 1999) es creciente e importante también. En las siguientes secciones se estudian tres aplicaciones de la morfología matemática de entre una gran variedad de ellas que sería imposible presentar en este capítulo. Filtros morfológicos

Los filtros morfológicos alteran la naturaleza geométrica de un objeto (Barrera et al., 1998) preservando o eliminando ciertos aspectos espaciales del mismo. En un filtro geométrico el elemento estructural se concibe como una sonda que altera o cuantifica la estructura del objeto para un análisis posterior. En principio todos los operadores ya estudiados pueden ser empleados como filtros morfológicos, si bien en ciertas ocasiones es conveniente que cumplan las propiedades de creciente e idempotencia, esto se debe básicamente a que varias de las operaciones morfológicas tienden a simplificar y a reducir los objetos sobre los cuales se aplican; las condiciones mencionadas detendrían este proceso. Los filtros morfológicos pueden emplearse para modificar selectivamente el contraste de una imagen, para preservar rasgos con valores altos del gradiente homogeneizando el resto, y también para eliminar rasgos específicos y preservar otros. La base geométrica de estos filtros y de otras operaciones morfológicas consiste en diseñar un elemento estructural y cuantificar la manera en la cual ajusta o no ajusta dentro del objeto, para así obtener información estructural del mismo. Esta información se deriva a partir del diseño, tanto del tamaño como de la forma del elemento estructural, lo que a su vez incide en el tipo de análisis del objeto mismo. Algunos ejemplos de filtrajes son los siguientes: Las operaciones de intersecta o no intersecta involucran un templete, de tamaño impar generalmente, cuyos factores de peso (figura VII.10) se prueban contra los valores de la imagen; si coinciden entre si (intersecta), el pixel de la imagen correspondiente al centro del templete cambia su estado de 0 a 1 o viceversa (estado predeterminado); si no coinciden (no intersecta), el pixel de salida se fija en el estado opuesto al predeterminado. Con templetes adecuadamente diseñados es posible filtrar ruido de tipo moteado no nada más en imágenes binarias, sino también en aquellas de niveles de gris (Crimmins, 1985); en otras situaciones es factible filtrar patrones espaciales de forma o estructura específica. Además, las operaciones de erosión y dilatación, siendo duales entre sí, filtran el objeto y su complemento respectivamente. En este contexto es posible afirmar que la erosión representa un filtraje al interior y la dilatación un filtraje al exterior; algo similar se puede decir de otras operaciones duales, como la apertura y la cerradura. Para plantear las bases de un filtro considérese que, en forma genérica, un operador de filtraje  recibe como entrada una imagen binaria o de grises y produce a la salida una imagen binaria o de grises también. Así por ejemplo, si  es la erosión del objeto X por el elemento estructural B, entonces (X) = X ⊝ B. Ahora bien, ¿qué propiedades


431

generales podríamos imponer en operaciones de filtraje morfológico? Las bases de este requerimiento son las que siguen. Primeramente, se dice que un filtro  es invariante frente a traslaciones si (X + x) = (X) + x, es decir, trasladar el objeto X y luego filtrarlo es lo mismo que filtrarlo y después trasladarlo; recordemos aquí que tanto la erosión como la dilatación son invariantes frente a traslaciones. Esta invarianza se entiende aplicada al objeto X; sin embargo, para ciertas transformaciones es posible que la invarianza se refiera más bien al elemento estructural: por ejemplo, dado que la dilatación es conmutativa se tiene que X  (B + x) = (X  B) + x, de tal manera que la dilatación es invariante frente a traslaciones relativas al elemento estructural; de modo similar, en el caso de la erosión, X ⊝ (B + x) = (X ⊝ B) - x. Se dice también que un filtro es monotónicamente creciente si X  Y  (X)  (Y), esta es una propiedad necesaria para asegurar estabilidad en el filtraje de varios objetos pertenecientes a una imagen. En forma análoga a la dualidad que existe entre la erosión y la dilatación o entre la apertura y la cerradura, el filtro dual de un filtro  se define como *(X) = (Xc)c, de aquí se deriva una propiedad general del filtraje: el dual del dual es el filtro original, es decir **(X) = (X). Además de estas propiedades, y de manera similar a los aspectos estudiados para las operaciones morfológicas, es factible plantear lo siguiente: Un filtro  es antiextensivo si (X)  X, es extensivo si (X)  X, e idempotente si [(X)] = (X). La apertura y la cerradura también presentan una característica importante en los filtros morfológicos. Desde el punto de vista geométrico, la apertura de X es la unión de todos los trasladados del elemento estructural B que pueden ser acomodados en X; una ilustración de esto se muestra en la figura VII.22. Por otro lado, como las operaciones de apertura y cerradura son duales entre sí, puede decirse que la apertura filtra en el interior del objeto y la cerradura en el exterior de éste. Una ilustración de las propiedades de la apertura como filtro morfológico se muestra en la figura VII.23, donde se observa un objeto X contaminado por ruido moteado. La apertura y la cerradura funcionan como filtros, ya que el elemento estructural puede verse como un primitivo de forma que deja pasar únicamente aquellas porciones de la imagen (u objeto) que son parte de algún trasladado de B que ajuste dentro de la imagen, si ésta se expresa como la unión de tales trasladados, la apertura la deja pasar toda, de otra manera elimina parte de la imagen suavizando el contorno (figura VII.23) de algunos objetos y eliminando otros (ruido de fondo), de tal manera que la imagen filtrada se encuentra, espacialmente, entre la no degradada y aquella contaminada por el ruido. En otras palabras, si Y es la imagen no degradada y Z la imagen con ruido, se requiere por tanto de un elemento estructural B que deje pasar poco ruido y tal que Z ◦ B sea lo más cercano posible a Y. Dos ejemplos de filtros morfológicos, diseñados para imágenes de niveles de gris, se encuentran detallados en los apartados V.2.8 y V.3.12. En la segunda parte del apartado V.2.8 se define un filtro basado en la operación de apertura (véase reconstrucción por apertura) aplicada a la superficie compleja generada por la transformada de Fourier. La transformada de Fourier de una imagen es una cantidad compleja que puede verse como la composición de una imagen real y una imaginaria. Tanto la parte real como la imaginaria son superficies tridimensionales que portan información sobre la amplitud y la fase de la distribución de frecuencias espaciales de la imagen original. Al modificar estas superficies con la operación de apertura se eliminan o preservan frecuencias

432


espaciales de manera selectiva. De la forma y el tamaño del elemento estructural es posible definir filtros isotrópicos o anisotrópicos.

Figura VII.22. Filtraje espacial del objeto X por la apertura con el elemento B.

Figura VII.23. Filtraje de ruido por la apertura del objeto X por el elemento B. El filtro geométrico explicado en el apartado V.3.12 está basado en una operación intersecta o no intersecta aplicada a los perfiles de la imagen. Produce buenos resultados en imágenes con ruido de tipo speckle, tanto aditivo como multiplicativo. La desventaja del filtro geométrico es que tiende a suavizar la textura fina de la imagen; sin embargo, para tareas de segmentación y clasificación de texturas en imágenes de radar, el filtro geométrico constituye un paso previo (Lira y Frulla, 1998) adecuado en la tarea completa de análisis, es decir, minimización de ruido, realce, segmentación, clasificación y reconocimiento de patrones. El filtraje por aperturas y cerraduras sucesivas y alternadas es factible también. Supóngase que se tiene una imagen corrupta por ruido tanto en los objetos mismos como en el complemento (fondo) de éstos (figura VII.24). Una posibilidad de filtraje sería aplicar una apertura para eliminar el ruido de fondo y subsecuentemente una cerradura para borrar el ruido de los objetos, esto es, entendiendo que la apertura elimina pequeños detalles y la cerradura llena huecos. Los pequeños detalles podrían ser ruido moteado conformado por pixels relativamente aislados de valor uno y los huecos


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serían grupos de pixels con valor cero; esto para una imagen binaria. El ruido inmerso en los objetos es parte del complemento del fondo y un elemento estructural suficientemente grande para eliminarlo no ajustaría dentro de los huecos presentes en los objetos (figura VII.24), de aquí la necesidad de aplicar subsecuentemente una cerradura con un elemento estructural de tamaño y forma adecuados. Una dificultad que presenta este filtro de apertura y cerradura es que podría ser imposible hallar un elemento estructural de tamaño adecuado para ambas transformaciones, es decir, uno suficientemente grande como para eliminar las componentes del ruido de fondo, pero no demasiado grande para ajustar entre los espacios dejados por los huecos y no destruir la imagen misma durante la apertura; la solución a esta dicotomía se sugiere a partir de la figura VII.24. Una posible solución a esta dificultad es emplear lo que se conoce como un filtro secuencial alternativo (Dougherty, 1994), que consiste en una secuencia de filtros de apertura y cerradura aplicados iterativamente, comenzando con un elemento estructural pequeño y procediendo subsecuentemente con elementos de tamaño cada vez mayor. Así entonces, los elementos estructurales pequeños eliminan el ruido moteado, tanto en la imagen como en el fondo, mientras que los elementos más grandes permiten filtrar (suavizar) la imagen misma (figura VII.23).

Figura VII.24. La apertura elimina pequeños detalles en el fondo de la imagen y la cerradura llena huecos en el objeto y suaviza deformaciones del mismo. Una variante de solución del problema anterior lo conforma un filtro compuesto por una sucesión de aperturas. Sabemos que una operación de apertura deja pasar únicamente aquellas porciones de la imagen que se ajustan a la forma del elemento estructural. La solución de algunos problemas de reconocimiento de patrones requiere dejar pasar ciertas porciones de la imagen que conformen con un grupo de primitivos de forma, cada uno de estos caracterizado por un elemento estructural; esto se lleva a cabo a través de un filtro compuesto por un cierto número de aperturas en paralelo, una para cada primitivo de forma. De aquí que la salida o resultado del filtro sea por tanto la unión de las aperturas individuales. Con base en este análisis se introduce ahora la siguiente definición: Un filtro  es llamado de  - apertura si existe alguna clase B de elementos estructurales tales que

434


(X)  ∪{X ◦ BB  B}

(VII.149)

A B se le conoce como una base para . En forma análoga, como la cerradura es dual de la apertura se tiene que un filtro es llamado de  - cerradura si existe alguna clase B de elementos estructurales tales que (X)  ∪{X • BB  B}

(VII.150)

Una base no es única en el sentido que diferentes combinaciones de primitivos de forma pueden producir el mismo filtrado. El diseño de un filtro de  - apertura (o  - cerradura) requiere por tanto de encontrar la base apropiada; para esto existen métodos de descomposición de elementos estructurales (Zhuang y Haralick, 1986). En el diseño de un filtro es deseable, por tanto, contar con un conjunto de elementos estructurales tales que dejen pasar sin cambio aquellas partes de la imagen no contaminadas mientras que remueva el ruido y suavice las partes corruptas. En una variedad de aplicaciones es necesario contar con una clase invariante para el filtro , lo que se denota como Inv[] = {X(X) = X}. La caracterización de las clases invariantes de filtros de  - apertura es directa: éstas consisten de todas las imágenes que se forman como las uniones de los trasladados de los primitivos base, es decir, aquellos formados por el conjunto {Bh  B}. Esto es claro a partir de las definiciones VII.92 y VII.149. En este sentido, y de acuerdo con la definición VII.92, los invariantes de una única apertura son todas aquellas imágenes que son uniones de los transladados del elemento estructural, es decir, en este único caso, los primitivos estarían constituidos por los transladados de B: {Bh  B}, por tanto, la unión de todas las aperturas forma una clase invariante para el filtro . ¿Porqué se desea una clase invariante para el filtro ? La base de este requerimiento ya se planteó en las figuras VII.23 y VII.24: es deseable en principio contar con un filtro que deje pasar sin cambio alguno aquellas partes de la imagen que se consideren no contaminadas, es decir, si A es un objeto no corrupto de la imagen se tendría (A) = A, por lo que en el caso de la apertura AB = A, de tal manera que la unión de todas las aperturas en estas condiciones constituiría un filtro invariante de  - apertura. Por otro lado, la remoción del ruido en objetos contaminados por éste sería también un requerimiento del filtraje. En otras palabras, para ciertas regiones de la imagen se necesitaría de una clase invariante del filtro y para otras regiones no. En las secciones anteriores quedó establecido que la apertura satisface cuatro propiedades básicas del filtrado: antiextensividad, invarianza frente a traslaciones, idempotencia y monotónicamente creciente. Dado que un filtro de  - apertura está formado por unión de aperturas, es fácil demostrar que satisface las propiedades mencionadas; el inverso de esto es cierto también, por lo que se dice que un filtro cumple con tales propiedades si y sólo si es de  - apertura. Como una consecuencia de lo anterior, y dadas las propiedades que guardan entre sí la apertura y la cerradura, un filtro es de  - cerradura si y sólo si es invariante frente a traslaciones, monotónicamente creciente, extensivo e idempotente. Granulometría o distribución de tamaños

La granulometría de la imagen de una colección de objetos es un ejemplo de


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segmentación empleando transformaciones morfológicas. Existe una clase de problemas en análisis de imágenes en los que se requiere obtener la distribución de tamaños (o de formas) para una familia de objetos, o bien la estimación del número de ellos para un tamaño determinado; a este proceso se le conoce como granulometría. La segmentación de una imagen puede llevarse a cabo empleando propiedades espectrales de los pixels tal como su distribución de valores (clasificación espectral) o utilizando aspectos espaciales tales como la textura, el tamaño o la forma de objetos determinados (nótese que una colección de éstos determina una textura también). No obstante, en algunas ocasiones no es conveniente o no es necesario el incluir los aspectos texturales para realizar una granulometría, en cuyo caso se busca extraer las partículas de interés particionando la imagen en tantas regiones conectadas como objetos haya, incluyendo las regiones del fondo (no objetos). Las aplicaciones de la granulometría son diversas: Distribución de formas de una clase de cuerpos de agua superficiales (Lira, 2006), determinación de células de un cierto tipo para un cultivo determinado, distribución de granos de arena en una muestra de suelos, forma de los poros en un metal con defectos, o las variaciones espaciales en la densidad de estrellas en algún cúmulo de una galaxia. Básicamente, la granulometría es empleada para caracterizar el tamaño y la forma de objetos granulares en imágenes; por objetos granulares se entiende aquí aquellos que se encuentran representados espacialmente por regiones conectadas simples en imágenes binarizadas. No obstante, la granulometría puede extenderse a la caracterización de texturas de patrones de diversas formas. Para llevar a cabo mecánicamente la granulometría de un conjunto de granos de arena se emplea un conjunto de cribas, cada una con agujeros de cierto tamaño y forma; los granos se vierten entonces en la criba que tenga los agujeros más pequeños, pasando aquellos que se ajusten al tamaño y forma de la criba; el proceso se repite con las cribas restantes, obteniéndose de esta manera una distribución de tamaños y formas de los granos. En este modelo de cribado se supone implícitamente que existe separabilidad de las partículas, lo que no es necesariamente el caso en una imagen donde los objetos pueden aparecer traslapados, en cuyo caso su separación es factible hasta cierto límite empleando transformaciones morfológicas. Con base en la anterior discusión cualitativa, se establece ahora un formalismo para la granulometría: considérese un proceso aleatorio euclidiano de formación de la imagen X, cuyas realizaciones son uniones disjuntas de n múltiplos escalares de un primitivo compacto y convexo B, por lo que X = (r1B + x1) ∪ (r2B + x2) . . . ∪ (rnB + xn) Donde riB + xi es el trasladado de riB por el vector xi. La imagen X es el resultado de un proceso aleatorio, en el sentido de que tanto la localización xi como el tamaño ri de las partículas es aleatorio. El proceso de imagen así descrito es homogéneo puesto que sus descriptores estadísticos (media, varianza) son invariantes frente a traslaciones. En cuanto a un proceso de textura, puede decirse que está representado por una realización global, ya que las partículas aleatoriamente distribuidas ocupan la imagen entera (figura VII.25). Ahora bien, una manera básica de medir el tamaño de una partícula u objeto es establecer la razón de homotecia entre ésta y un elemento estructural de tamaño y forma conocidos; en este sentido se tiene la siguiente proposición

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Un conjunto compacto B es convexo si y sólo si para r > s > 0 se tiene que rB es sBabierto (abierto con respecto a sB), lo que significa que rB ◦ sB = rB y recordando que rB = {rb | b  B} es el homotético o el múltiplo escalar del conjunto B por el número real r.

Figura VII.25. Para cada tamaño del elemento estructural se filtra un cierto número de partículas. Dado que rB es homotético de sB por el escalar r/s, es fácil visualizar (figura VII.26) que el elemento estructural sB ajusta siempre dentro de los puntos de rB, por lo que éste permanece sin cambios bajo la apertura por sB. Recordemos ahora que si el conjunto C es abierto respecto a B (B-abierto), entonces para cualquier objeto X se cumple que X ◦

C  X ◦ B; de aquí se sigue que si B es convexo, entonces r > s > 0 implica que X ◦ rB

 X ◦ sB. Ahora bien, en cuanto a la granulometría, el elemento estructural rB filtra más partículas que el sB; además, dado que rB es abierto con respecto a sB se tiene también que (X ◦ rB) ◦ sB = (X ◦ sB) ◦ rB = X ◦ rB

(VII.151)


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De tal forma que aplicando la apertura iterativamente por rB y sB en cualquier orden equivale a la apertura únicamente por rB. Lo anterior se ilustra en la figura VII.25. Con estos resultados es posible ahora introducir la siguiente definición Granulometría - Si se considera a t > 0 como un parámetro, la familia {X ◦ tB} de imágenes por apertura del elemento tB, con B convexo, es llamada una granulometría.

¿Qué significa esta definición? Los diferentes valores que asume el parámetro t generan un conjunto de aperturas, las cuales a su vez producen una serie de imágenes conteniendo objetos de diferente tamaño y forma de acuerdo con el elemento estructural B. A partir de estas imágenes, es posible obtener la distribución de tamaños para una forma dada; si se cambia el tamaño y la forma del elemento B, otras formas podrían distinguirse.

Figura VII.26. La apertura rB por sB es el mismo conjunto rB, ya que sB ajusta dentro de rB puesto que la curvatura de sB es siempre menor que la de rB. Sea ahora (0) el área de la imagen original X y sea (t) el área de X ◦ tB. Debido a que el área cubierta por los objetos disminuye al aplicar aperturas con valores de t crecientes, a (t) se le puede considerar como una función decreciente de t, conocida como la distribución de tamaños, suponiendo que (t) = 0 para t suficientemente grande ya que X está acotada. A partir de aquí es posible definir la distribución normalizada de tamaños como ( t )  1 

( t ) (0)

(VII.152)

De acuerdo con esta expresión es fácil concluir que 0  (t)  1. Dado que (t) representa la distribución acumulativa de tamaños de un grupo de objetos, es posible afirmar que (t) es una función de distribución de probabilidades conocida como la distribución granulométrica de tamaños de X con respecto al elemento generador B. De acuerdo con esto, la derivada de (t) ( t ) 

d( t ) dt

(VII.153)

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es la función de densidad, a la cual se le llama también el espectro de patrones de la imagen X respecto al elemento generador B. Dado que (t) es una función de densidad, es también función generadora de momentos estadísticos, los cuales son empleados como firmas o rasgos de la imagen (características de la imagen). En la discusión anterior no se ha impuesto ninguna restricción al parámetro t ni al elemento estructural B para ser aplicados en una malla discreta, de tal forma que para adaptar el anterior modelo de granulometría a imágenes digitales es necesario considerar una secuencia B1, B2, ... Bk de elementos estructurales de tamaño creciente, donde Bk+1 es Bk - abierto (Bk+1 ◦ Bk = Bk+1). De acuerdo con esto, y recordando la expresión VII.149, si X es una imagen, entonces X ◦ Bk+1  X ◦ Bk, de tal manera que al aplicar la apertura a X y empleando la secuencia de elementos estructurales mencionada, se genera una serie de imágenes, cada una conteniendo a la otra, es decir X ◦ B1  X ◦ B2  . . . X ◦ Bk

(VII.154)

La operación X ◦ Bi filtra la imagen original X y genera otra donde se encuentran los objetos del tamaño y forma definidos por el elemento Bi. De esta manera, para cada k se tiene una (k) que representa el número de pixels de los objetos presentes en X ◦ Bk, por tanto y de acuerdo con (VII.154) es posible concluir que (k) es una función decreciente de k. Una manera de estimar (k) es dividir el número de pixels con valor uno (en una imagen binaria) entre el número de pixels que forman el elemento estructural Bk; esto proporcionaría un valor promedio de dicha función. Otra manera consistiría en contar el número de grupos de pixels con valor uno que guarden una cierta conectividad (4 u 8) para un Bi dada; esto proporcionaría el número de objetos del tamaño determinado por el elemento estructural. Ahora bien, si se construye la secuencia de elementos estructurales de tal manera que B1 consta de un sólo pixel, que X es finita (acotada), que (1) representa el número total de pixels diferente de cero en X y que (k) = 0 para k suficientemente grande, entonces se concluye que para el caso discreto la función normalizada de tamaños es ( k )  1 

( k ) (1)

(VII.155)

y su derivada discreta se puede aproximar como (k) = (k+1) - (k)

(VII.156)

la cual es por tanto una función de densidad discreta. Existen métodos (Zhuang y Haralick, 1986) para generar la secuencia de elementos estructurales, ésta puede crearse heurísticamente o bien empleando el siguiente método, bajo el supuesto que Bk+1 sea Bk - abierto: escójase un primitivo B (figura VII.27) y sea B1 el primer elemento de la secuencia compuesto por un solo pixel, entonces B es el elemento estructural a partir del cual se construye la siguiente secuencia: B2 = B, B3 = B2  B = B  B, . . . , Bk+1 = Bk  B. Debido a esta construcción, y recordando que la dilatación de dos conjuntos es


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abierta con respecto a ambos, se tiene que si B  ∅  Bk+1  Bk, por lo tanto X Bk 1  X Bk y se asegura entonces que Bk+1 es Bk - abierto, es decir, Bk+1 = Bk+1 ◦ Bk. En la

figura VII.28 se ilustra un ejemplo de granulometría donde se proporcionan las gráficas de (k), (k) y (k) relativas al ejemplo mostrado en la figura VII.25.

Figura VII.27. Construcción de una secuencia de primitivos. El formalismo arriba planteado para granulometría puede ser empleado también en la segmentación de regiones texturales cuando éstas se encuentran formadas por objetos de la misma clase (figura VII.29, Lámina 53), es decir, de forma y tamaño parecidos dentro de un intervalo prefijado, tomándose esto como una sola región textural. De esta manera, es posible plantear un proceso de textura más general con base en granulometrías locales, a partir de las cuales es posible segmentar la imagen en subregiones texturales de acuerdo con un modelo de textura; para precisar esto, considérese primeramente el siguiente esquema de formación textural de imagen: Sea z = {z(i,j)}, definida sobre el dominio L = {(i,j)| 1  i  M, 1  j  N}, una imagen textural específica. Se supone que z es una realización de un campo aleatorio bidimensional Z = {Z(i,j)}, definido jerárquicamente en términos de un campo aleatorio subyacente X = {X(i,j)} que representa la partición del dominio L en regiones de distintos tipos. Cada variable aleatoria X(i,j) toma valores en el conjunto de etiquetas  = {1, 2, . . . k, . . . K}, donde x(i,j) = k indica que la coordenada (i,j) de un pixel pertenece a la región del tipo k. En cada región de tipo k se supone la presencia de una muestra de una textura particular tk que corresponde a la realización de un campo aleatorio discreto y homogéneo Tk con valores en  = {1, 2, . . . L}. El campo aleatorio que representa las imágenes texturales se expresa entonces como: Para cada k  , Z(i,j) = Tk(i,j),  (i,j), tal que x(i,j) = k

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Figura VII.28. Distribución de tamaños (k), distribución normalizada de tamaños (k) y espectro de patrones (k) para el ejemplo de la figura VII.25. Y el problema de la segmentación de texturas se formula de la siguiente manera: Dado un conjunto de observaciones z = {z(i,j)} que corresponden a una imagen textural particular, se estima la partición o segmentación xˆ  {xˆ (i, j)} que mejor corresponde a las observaciones de acuerdo con un criterio estadístico específico. Un posible enfoque para resolver este problema es el de asociar un descriptor de rasgos (texturas) a cada pixel y clasificar éste en una de las subregiones de acuerdo con el valor del descriptor observado (lámina 53). Esta clasificación está basada en un modelo de texturas, y dado que ésta es una manifestación espacial, el descriptor de rasgos en el pixel, cuyo vector de posición es x, debe ser una función de una vecindad que lo contenga. Ahora bien, ya con anterioridad se determinó que en la granulometría


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global, a la imagen completa se le aplica una serie de aperturas sucesivas y en cada paso se obtiene una contabilidad de pixels de la imagen (figura VII.28); sin embargo, para estimar el valor de textura local de la imagen en un pixel dado x es necesario evaluar dicha contabilidad en una ventana Wx que lo contenga. Con base en las anteriores premisas se introduce la siguiente definición Granulometría Local  Considérese una granulometría {Z ◦ Bx}, para la imagen Z, de acuerdo con el esquema de imagen arriba descrito, y sea W una ventana centrada en el origen, entonces la distribución local de tamaños x(k) en la posición x generada por la

granulometría se obtiene por la contabilidad del número de pixels de Z ◦ Bk en la ventana trasladada Wx = W + x para cada k. De acuerdo con las definiciones ya planteadas, la normalización por x(k) proporciona la distribución granulométrica local x(k) y su derivada produce la densidad local del espectro de patrones x(k).

Figura VII.29. Segmentación de cuatro regiones de textura definidas por objetos de diferentes morfologías. Cada espectro de patrones local posee momentos, de tal manera que si una subregión dada de la imagen presenta una textura homogénea, es de esperarse que sus momentos estadísticos permanezcan relativamente invariantes a través del dominio que define la subregión; así entonces las subregiones con diferentes texturas pueden ser diferenciadas con base en los momentos de los espectros de patrones locales. Existe una particularidad importante en este proceso de segmentación de texturas, y es que los modelos de granulometría hasta ahora discutidos presuponen que no hay traslape entre las partículas u objetos; en la práctica no siempre sucede así. Los errores de segmentación causados por el traslape real pueden ser mitigados aplicando una apertura a la imagen seguida de una cerradura empleando un elemento estructural relativamente pequeño. En general, para una segmentación granulométrica local se requieren más rasgos que la sola media del espectro de patrones; la varianza y otros momentos de orden mayor podrían ser requeridos. La elección de la secuencia de elementos estructurales puede ser

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importante también, ya que una segmentación adecuada necesita de un cierto número de distribuciones de tamaño locales generadas por varias secuencias de elementos estructurales, tal como sería el caso mostrado en la figura VII.29. Esqueleto o Eje Medio

El esqueleto de un objeto X es un gráfico que describe aspectos de su estructura geométrica y a partir del cual es posible, en principio, recuperar su forma, si bien en ciertas ocasiones se generan ambigüedades y en otras la forma no se recupera exactamente debido a la naturaleza digital de la imagen. No obstante, para la descripción geométrica de un objeto no es indispensable que el esqueleto se genere como resultado de una transformación reversible. Basado en la morfología matemática, uno de los métodos para obtener el esqueleto o eje medio es empleando un disco cuya definición es como sigue: En ℝ2, empleando la distancia euclidiana, un disco es un

círculo estándar incluyendo su centro; mientras que en el plano discreto ℤ2 los discos son hexágonos si se emplea una rejilla hexagonal (conectividad 6) o alguna otra forma poligonal (figura VII.30) si se utiliza una rejilla cuadrada.

Figura VII.30. Ejemplos de discos en conectividad 4, 6 y 8 respectivamente. Para introducir la transformación de esqueleto se requiere ahora del concepto de disco maximal Disco Maximal: Un disco D, incluido en X, se dice maximal si y sólo si no existe un disco que esté incluido en X y que contenga a D, es decir

 disco D' si D  D'  X  D' = D Algunos ejemplos de este concepto se ilustran en la figura VII.31. A partir de aquí es factible ahora definir el esqueleto o eje medio por discos maximales Esqueleto o Eje Medio: El esqueleto S(X) de un objeto X  ℤ2 es el conjunto de los centros de los discos maximales, es decir

S(X)  {p  X |    0, D(p,) es un disco maximal de X}


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Donde  es el radio del disco D. En la figura VII.32 se muestran algunos ejemplos de esqueletos. Debido a que el esqueleto proporciona la caracterización de un conjunto u objeto X, en términos de líneas centrales, es que recibe también el nombre de Eje Medio. En el espacio continuo ℝ2 se presentan algunas ambigüedades tal como ya se mencionó; por ejemplo, el esqueleto de dos círculos que se tocan tangencialmente en un punto está constituido por los centros de los círculos en lugar de una línea recta que los uniese; si los círculos se traslapan, el esqueleto es una línea recta (figura VII.33) que une sus centros. En otros casos la homotopía o la conectividad del conjunto original no se conserva, también puede suceder que el esqueleto resultante no tenga conectividad mínima. En otras situaciones el esqueleto puede estar formado por líneas de más de un pixel de grosor (figura VII.34), en cuyo caso es necesario aplicar algoritmos de adelgazamiento también con base en operaciones morfológicas (Soille, 2004).

Figura VII.31. Ejemplos de discos maximales para definir el esqueleto de un objeto. Es posible definir el esqueleto en términos de operaciones morfológicas, para esto considérese ahora el espacio discreto ℤ2 y sea nB un disco de radio n tal que nB = B  B  B . . .  B, es decir, el conjunto nB está formado por n-dilataciones del elemento B (figura VII.25). Es posible demostrar (Serra, 1988) que el esqueleto por discos maximales se puede obtener empleando la siguiente expresión S(X) =

 {[X ⊝ nB] ∩ [(X ⊝ nB) ◦ B] } c

(VII.157)

n

En donde n = {1, 2, . . . j}, siendo j el máximo radio para el cual X ⊝ nB  ∅, es decir, j es el radio más allá del cual se produce una imagen vacía. Desde el punto de vista conceptual es posible visualizar la manera como trabaja la expresión (VII.157), el término [X ⊝ nB] ∩ [(X ⊝ nB) ◦ B] permite seleccionar aquellos puntos del esqueleto

que son centros de discos maximales de radio n. Esto se debe a que la erosión X ⊝ nB está formada por los puntos de X en donde es posible colocar un círculo nB  X. En otras palabras, únicamente algunos de los elementos de esta erosión forman parte del

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esqueleto. Por otra parte, el conjunto (X ⊝ nB) ◦ B es antiextensivo, por lo que (X ⊝

nB) ◦ B  X ⊝ nB, de tal manera que al tomar el complemento de esta apertura e intersectar, se obtienen solamente aquellos puntos donde es posible colocar un disco nB maximal; en la figura VII.34 se ilustra paso a paso la obtención del esqueleto de un

conjunto X  ℤ2 en una rejilla rectangular. Es necesario puntualizar que el elemento estructural involucrado en la expresión (VII.157) debe contener el origen.

Figura VII.32. Esqueleto de algunos objetos mostrando un conjunto selecto de discos maximales.

Figura VII.33. Esqueleto del objeto X y su función de colapso x(p) asociada. Para recuperar el objeto original a partir de su esqueleto es necesario recordar que a cada pixel p del esqueleto se le asocia un disco maximal, de tal forma que si x(p) es el radio de éste, entonces con base en el conjunto de discos maximales se introduce la siguiente definición de función de colapso


Figura VII.34. Esqueleto S(X) del objeto X empleando como base el elemento estructural B2 y la secuencia de elementos arriba mostrada.

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Función de Colapso: La función de colapso asocia en cada pixel p  S(X) el radio x(p) del disco maximal correspondiente.

Es claro que la función de colapso debe ser generada en paralelo al proceso de esqueletonización de un objeto dado. La función de colapso es en principio suficiente (salvo las excepciones mencionadas) para reconstruir completamente el conjunto original (figura VII.33), por lo que a partir de aquí es posible afirmar lo siguiente: Un conjunto X es igual a la unión de sus discos maximales, es decir X=

{ p   x ( p)D}

(VII.158)

pS ( X )

VII.5 Clasificación espectral Una imagen multiespectral es una representación numérica de la distribución espacial de la respuesta espectral de los objetos que se encuentran en la escena de acuerdo con el CIV empleado para digitizarla. En una clasificación espectral se parte del supuesto de que diferentes objetos están caracterizados por respuestas espectrales diferentes y que una clase de objetos tiene asociada una respuesta promedio llamada firma espectral. Con base en estas suposiciones es factible, con ciertas limitaciones, generar una segmentación de la imagen donde cada región represente una clase espectral formada por objetos de propiedades espectrales similares. La clasificación espectral puede llevarse a cabo de manera puntual, es decir, clasificar un pixel en función únicamente de sus propiedades espectrales; o bien de manera contextual, donde un pixel se clasifica de acuerdo con el contexto espectral en el que se encuentra. También es factible realizar la clasificación bajo un esquema booleano: un pixel  una clase, o empleando lógica borrosa a través de una función de membresía que determina la probabilidad de pertenencia de un pixel a una o varias clases. De acuerdo con los conceptos arriba discutidos definiremos a un clasificador como el procedimiento por el cual un pixel es asignado a una de un conjunto de clases predefinidas. A continuación estudiaremos varios métodos de clasificación espectral, clasificadores llamados no supervisados y supervisados y clasificadores puntuales y contextuales; comenzaremos con los clasificadores puntuales no supervisados. En cuanto al procedimiento, una clasificación se divide en dos grandes grupos: supervisada y no supervisada. En el primero, el espacio de rasgos es dividido en regiones empleando pixels prototipo que definen clases de cobertura determinadas de antemano. En el segundo grupo, el espacio es dividido también pero la asignación de cada región con una clase de cobertura se lleva a cabo en una última etapa. En cuanto al método, una clasificación se divide en puntual y contextual (Lira y Maletti, 2002). En el primero, un pixel es clasificado en una de varias clases en función de su valor únicamente. En el segundo, un pixel es clasificado en función de su valor y de la relación espacial de un grupo de pixels considerados en una vecindad. En cuanto a la lógica, una clasificación se divide en booleana y borrosa (Whitesitt, 1995; Tanaka y Niimura, 1996). En una clasificación boolena un pixel pertenece a una clase con probabilidad 0 ó 1, y en la lógica borrosa, un pixel puede pertenecer a una clase con una cierta probabilidad en un intervalo de valores entre 0 y 1; tal probabilidad se define de


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acuerdo con una función de pertenencia. En el siguiente cuadro se resumen las anteriores divisiones Clasificación Procedimiento Supervisada No supervisada Método Puntual Contextual Puntual Contextual Lógica Booleana Borrosa Booleana Borrosa Booleana Borrosa Booleana Borrosa

En los apartados VII.5.1 y VII.5.2 se estudian métodos de clasificación puntual y en la sección VII.6 se analizan procedimientos de clasificación contextual empleando funciones de densidad y se estudia un algoritmo de crecimiento de regiones para clasificación, tanto espectral como textural. VII.5.1 Análisis de cúmulos De acuerdo con la definición de análisis de cúmulos proporcionada en el capítulo I, ésta es una operación de segmentación de la imagen que, seguida de un proceso de etiquetación de cada cúmulo, produce una clasificación de los pixels basada en las propiedades espectrales de los mismos. Al total de esta transformación se le conoce como clasificación no supervisada puntual o clasificación espectral no supervisada. ¿Cuál es el origen de estos nombres para este procedimiento? En primer lugar el término no supervisado se relaciona con el hecho de que el algoritmo correspondiente no requiere de información espectral acerca de las clases en las cuales se desea segmentar la imagen, únicamente se necesita del valor de algunos parámetros como se explicará adelante. Los términos espectral y puntual se refieren a que el procedimiento de clasificación trabaja únicamente sobre la base de las propiedades espectrales de los pixels sin tomar en cuenta el contexto en el que se encuentran. No obstante, es importante puntualizar que en los últimos años se han desarrollado analizadores de cúmulos que se basan en propiedades espaciales y espectrales llamados clasificadores contextuales no supervisados (Arai, 1993; Harris, 1985; Gong y Howarth, 1992; Janssen et al., 1990; Mller-Jensen, 1990). En el análisis de cúmulos se tiene como objetivo principal encontrar grupos formados por pixels espectralmente similares entre sí. Con esta premisa se afirma en ocasiones que el análisis de cúmulos tiende a dilucidar la naturaleza espectral de una imagen. Sin embargo, esta es una afirmación muy fuerte, ya que no es posible establecer de antemano cuáles son las clases espectrales que componen la imagen. Por otro lado, los objetos presentes en la imagen no son espectralmente puros en general, por lo que el número de cúmulos en los cuales se particione el espacio multiespectral no se puede definir con precisión. El número de cúmulos es uno de los parámetros de entrada a un clasificador no supervisado y determina las clases espectrales que se definen en una segmentación; sin embargo, para que esto sea posible es necesario estudiar y conocer la imagen por medios complementarios, tales como el mecanismo con el que ésta se formó, e información de la escena correspondiente. El número de cúmulos en una clasificación no supervisada es un parámetro de entrada cuyo valor es arbitrario, pudiendo segmentarse la imagen desde dos cúmulos hasta el número máximo de niveles posibles (256 en muchos casos); no obstante, existe una cantidad óptima de cúmulos para un problema específico. Del conocimiento de la escena, de un análisis estadístico de la

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imagen y tomando en cuenta el contexto del problema es posible estimar una valor adecuado para el número de cúmulos que produzca una segmentación de las clases buscadas. Veamos ahora en detalle tres algoritmos de clasificación no supervisada con el objeto de ilustrar cuantitativamente los conceptos arriba vertidos. El primero de estos algoritmos se conoce como el de k-medias o medias migrantes. Primeramente recordemos el concepto de nube de datos: una imagen multiespectral de  bandas se encuentra referida a un espacio -dimensional cuyos ejes tienen un intervalo de valores iguales al de los pixels de las bandas de la imagen (0 a 255). Este es un espacio vectorial donde los pixels graficados son los vectores de posición de una colección de puntos que en conjunto forman una nube de datos; así entonces, los valores que tiene un pixel en cada banda se convierten en sus coordenadas en dicho espacio vectorial. Es de esperarse que los pixels asociados a una clase espectral tengan propiedades espectrales similares y por tanto tiendan a encontrarse en una misma región de la nube de datos, es decir, tengan la tendencia a formar un cúmulo en el espacio multiespectral; de esta manera es posible establecer la relación clase espectral  cúmulo. La relación objeto  clase espectral  cúmulo, sólo puede darse cuando el objeto está caracterizado por pixels espectralmente similares. Para objetos espectralmente complejos como una ciudad, tal asociación no es factible; sin embargo, es posible separar sus componentes espectrales y tratarlas como clases diferentes para ser editadas posteriormente como una única clase. Todos los algoritmos de análisis de cúmulos están diseñados para particionar la nube de datos en hiperregiones del espacio -dimensional, delimitándose, en cada una de éstas, un grupo de pixels que puede ser tratado como una clase, de acuerdo con lo arriba explicado. Una imagen de regular tamaño, digamos 1000 x 1000 pixels y tres bandas está representada por una nube de datos de un millón de puntos (pixels) en un espacio tridimensional; al observar la gráfica correspondiente difícilmente podría apreciarse una estructura de cúmulos, si bien sería posible visualizar cambios en la densidad de puntos de la nube. Para delimitar grupos o cúmulos de pixels es necesario medir la distancia que hay entre ellos en el espacio espectral, para esto se requiere de una métrica tal como la euclidiana 1/ 2

   d ec (r1 , r2 )   ( xi1  xi2 ) 2   i 1 



(VII.159)

Donde r1 y r2 son dos pixels cualesquiera de la nube, xi1 y xi2 son sus respectivas coordenadas en el espacio -dimensional y  es el número de bandas de la imagen multiespectral. Otras métricas empleadas se listan a continuación  Valor absoluto d ab (r1 , r2 ) 



x

1 i

 xi2

(VII.160)

i 1

 Producto escalar des(r1, r2) = r1, r2 = r1t r2 = |r1| |r2|cos(r1,r2)

(VII.161)


449

 Regla de similitud d si (r1 , r2 ) 

 r1 , r2   r1 , r1    r2 , r2    r1 , r2 

(VII.162)

 Correlación normalizada d cn (r1 , r2 ) 

 r1 , r2  [ r1 , r1  r2 , r2 ]1 / 2

(VII.163)

 Regla de Minkowski 1/ p

p   d M (r1 , r2 )   xi1  xi2   i 1 



(VII.164)

 Regla de Chebychev Cuando p   en la regla de Minkowski, se tiene



1 2 d  (r1 , r2 )  Max  xi  xi i 1, 2,...n



(VII.165)

A esta métrica se le conoce también como la métrica L. A la métrica euclidiana se le conoce también como la métrica L2. De acuerdo con cualquiera de estas métricas, los pixels más próximos o cercanos entre si se agrupan en cúmulos. Hay que hacer notar que la formación de cúmulos no implica el reacomodo o el desplazamiento de los pixels involucrados; éstos permanecen en sus posiciones en el espacio -dimensional cuya partición en regiones es únicamente virtual. En otras palabras, el espacio -dimensional se particiona virtualmente y en cada hiperregión resultante se considera un cúmulo o grupo de pixels. La partición se realiza de acuerdo con una métrica y la calidad del resultado debe evaluarse con base en criterios de separabilidad de clases, los cuales se detallarán en la sección de descriptores espectrales. Algoritmo de k - medias

Veamos ahora un primer algoritmo de agrupamiento llamado de k-medias o algoritmo de agrupamiento de optimización iterativa, la razón de estos nombres quedará claro en la explicación subsecuente; para ilustrar el proceso nos referiremos a la figura VII.35. Consideremos una imagen de dos bandas con 16 pixels (figura VII.35a). Los pasos de que consta el algoritmo de k-medias son los siguientes 1. Se definen k centroides en el espacio multiespectral (figura VII.35b) que sirven como los puntos de referencia de los protocúmulos iniciales, sean estos centroides los siguientes

450


Figura VII.35. Anáisis de cúmulos de una imagen de dos bandas; los centroides de los cúmulos están señalados con una cruz.


451

ˆ i (0) , i = 1, 2, . . . k m ˆ i (0) es arbitraria, con la condición mínima de que no haya La selección de las m dos iguales. No obstante, es importante espaciar uniformemente los centroides en el espacio multiespectral y asegurarse que cada uno de ellos tenga inicialmente asociados al menos dos pixels; de esta manera se evita un comportamiento anómalo y se obtiene la convergencia del algoritmo. El número k de cúmulos buscados debe estar definido de antemano. 2. La posición en el espacio multiespectral de los pixels de la imagen se examina asignándose cada uno de éstos al centroide más cercano (figura VII.35c). Es decir, si Rc denota la región del c-ésimo cúmulo para una iteración dada, entonces en la nésima iteración se toma cada pixel ri y se asocia con el cúmulo cuyo centro es más cercano a él, esto es ri  R c : d[ri , m c ( n )] 

min  [d (ri , m j ( n ))]

(VII.166)

j1,2,...c...k

Donde d[ri,mj(n)] es la métrica empleada. De esta manera, se tiene inicialmente un número de protocúmulos igual al de los centroides definidos. En esta etapa los protocúmulos no tienen representatividad en cuanto a clases se refiere y de ahí el nombre que reciben. La distancia de los pixels a los centroides se evalúa de acuerdo con una de las métricas arriba definidas. 3. En la siguiente iteración, se calculan los centros, mi(1), i = 1, 2, ... k, de los protocúmulos establecidos (figura VII.35d) de acuerdo con el paso 2. Cuando se emplea la métrica euclidiana, los centros de los cúmulos están dados por las medias, si se utiliza otra métrica, entonces están determinados por aquellos puntos que minimizan la distancia a los elementos de cada cúmulo, es decir mc ( n ) :

 d[r , m ( n )]  min  d(r , r ) i

c

i

j

(VII.167)

ri ,rjR c

Estas medias se convierten entonces en los nuevos centroides para la siguiente iteración del algoritmo. 4. Si las medias calculadas coinciden con los centroides del paso anterior, el algoritmo termina. Si no es así, se examina nuevamente la posición de los pixels con respecto a las medias calculadas y se asignan a éstas de acuerdo con su distancia a estos nuevos centroides. Así entonces, los protocúmulos se convierten en los cúmulos de la primera iteración. Como puede apreciarse en la figura VII.35, de una iteración a otra existe un desplazamiento de los centroides y también un cambio de membresía de una serie de pixels de un cúmulo a otro. Estos cambios se cuantifican para establecer la terminación del algoritmo tal como se explica más adelante. 5. El proceso se continúa (figura VII.35e), evaluándose las medias, comparándose la distancia de los pixels a éstas y haciéndose la asignación correspondiente. Las iteraciones del algoritmo se realizan hasta que los centroides de una iteración coinciden (figura VII.35f) con las medias de la siguiente. Debido a que las medias se

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desplazan de una posición a otra en el desarrollo del procedimiento, este algoritmo recibe también el nombre de medias migrantes. Este procedimiento de análisis de cúmulos es convergente siempre y cuando los centroides iniciales sean adecuadamente seleccionados. Sin embargo, la convergencia es rápida para casos sencillos donde la imagen tiene clases espectrales bien diferenciadas, de lo contrario el número de iteraciones puede sobrepasar las cien; el costo computacional, por tanto, es en ocasiones muy alto. De aquí que se introduzcan criterios para la terminación anticipada del algoritmo: cuando el desplazamiento de las medias sea menor de una cierta distancia preespecificada, o bien cuando el cambio de membresía de los pixels de un cúmulo a cualquier otro sea menor a una fracción predeterminada. Se ha observado experimentalmente que los cúmulos de una segmentación dada se definen, en su mayor parte, en las primeras iteraciones y a partir de un cierto punto los cambios de membresía y los desplazamientos de las medias son marginales. En una buena fracción de las iteraciones, el algoritmo realiza ajustes relativamente pequeños. Con base en estos resultados experimentales es posible introducir los criterios mencionados para interrumpir el análisis de cúmulos sin incurrir en un error notable. En la práctica, la operación del algoritmo puede ser como sigue: el programa pediría el nombre de las bandas de entrada y el de la imagen resultante, también solicitaría el número de cúmulos, el número de iteraciones y posiblemente el porcentaje permitido de cambios de membresía, más abajo del cual el proceso terminaría. Una vez que el hiperespacio de muestras ha sido particionado, de acuerdo con lo arriba explicado, es necesario generar una imagen donde cada cúmulo represente una clase espectral. Esto se realiza de la siguiente manera: al terminar el proceso de partición del hiperespacio, la posición de los centroides o medias de los cúmulos finales es conocida, de aquí que, en una última etapa, cada pixel de la imagen sea etiquetado o explícitamente asociado con el centroide cuya distancia a éste sea mínima. A partir de aquí, se genera una imagen de salida, de una sola banda, donde los pixels con la misma etiqueta tienen el mismo valor, lo que traducido a su representación visual (despliegue) se convierte en un mismo color para pixels asociados a un mismo cúmulo. Hay que hacer notar que la etiquetación y generación de la imagen de salida puede llevarse a cabo en un sólo paso. Al realizar la relación cúmulo  clase espectral, la imagen de salida mencionada se convierte en lo que se conoce como mapa temático (lámina 53) dado que cada cúmulo representa un tema o clase espectral en la escena correspondiente. El mapa temático muestra, por tanto, la localización y extensión espacial de las clases espectrales definidas; a partir de aquí es posible obtener su respectiva morfología: área, perímetro, forma, centroide e interrelación espacial entre las mismas. El trabajo de análisis de cúmulos puede hacerse más eficiente cuando se aplica una transformación a la imagen multiespectral en combinación con una selección de las mejores bandas. Es posible emplear las primeras bandas resultado de la descomposición en componentes principales o del análisis canónico (secciones IV.6 y IV.7) como entrada al algoritmo de análisis de cúmulos, mejorando así la separación espectral de los mismos y disminuyendo el costo computacional. De hecho, resultados experimentales muestran un notable cambio con relación a la definición de clases si se utilizan bandas de tales transformaciones, con respecto a lo que se obtiene con las originales. Cabe recordar que las mejores bandas de las transformaciones arriba mencionadas se forman


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a partir de los eigenvalores y del contenido de información asociado a cada una de ellas, todo esto en combinación con una apreciación visual de las mismas. Algoritmo ISODATA

Veamos ahora un segundo ejemplo para análisis de cúmulos llamado algoritmo ISODATA (en inglés: iterative self-organizing data analysis techniques) el cual es una variante del algoritmo de k - medias o medias migrantes. Una extensa experimentación con el algoritmo de k - medias ha mostrado que es conveniente introducir una serie de parámetros para mejorar su operación. Básicamente son dos aspectos los que se han incorporado al nuevo algoritmo: la posibilidad de partir un cúmulo que presente una dispersión demasiado grande y la facilidad de unir o eliminar cúmulos con una población demasiado pequeña. Para realizar esta modificación es necesario introducir una serie de parámetros que controlan la partición o unión de cúmulos, así como la terminación del algoritmo. Los parámetros que maneja el análisis de cúmulos ISODATA se explican a continuación 1. Número de centroides iniciales (k). Al igual que en el algoritmo de k - medias, esta cantidad determina el número de cúmulos iniciales; sin embargo, puede variar durante el proceso de análisis, al final del cual es posible tener un número de cúmulos diferente al inicialmente determinado. 2. Mínimo número de muestras (pixels) en un cúmulo (). Los cúmulos con un número de pixels menor a  se unen con otros o desaparecen. 3. Máxima desviación estándar permitida en un cúmulo (m). Aquellos cúmulos cuya desviación estándar excede a m son partidos en dos de acuerdo con una regla predeterminada. 4. Mínima distancia requerida entre cúmulos (). Los cúmulos cuya distancia entre sus centros sea menor a  se combinan en uno sólo; esta combinación se hace por pares de acuerdo con una regla predeterminada. 5. Máximo número de pares de cúmulos que pueden ser fusionados (L). Los cúmulos cercanos entre sí (parámetro 4) se fusionan por pares sin llegar a exceder a L, el número de fusionamientos. 6. Número de iteraciones permitidas (I). Cada iteración está constituida por un conjunto de operaciones que involucran básicamente la partición del espacio multiespectral en una cierta cantidad de hiperrregiones cuya forma y número se ajustan en cada iteración; el parámetro I determina cuantas veces se realizan las operaciones mencionadas. Los procedimientos de aglutinación y partición se llevan a cabo en cada iteración del algoritmo. Al igual que en el procedimiento de k - medias, se supone un número conocido de cúmulos, si bien en el algoritmo ISODATA la cantidad inicial de cúmulos puede variar, por lo que en algunas implantaciones se fijan límites mínimo y máximo. Suponer un número de cúmulos implica que se conoce o al menos se tiene una estimación de la estructura espectral de la imagen. De las definiciones anteriores cabe concluir que el algoritmo de k - medias es divisivo, es decir se inicia tomando como un todo a la nube espectral de datos y se particiona secuencialmente hasta un límite preestablecido de acuerdo con las reglas ya explicadas. El algoritmo ISODATA, en cambio, es aglomerativo y divisivo ya que en cada iteración divide al espacio multiespectral en cúmulos; sin embargo, éstos pueden ser eventualmente

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aglutinados en una serie de operaciones de división y aglutinamiento hasta un límite prefijado de acuerdo con lo anteriormente explicado. Los pasos básicos (Bow, 1992) del algoritmo ISODATA son los siguientes 7. Se definen k centroides en el espacio multiespectral de la imagen digital, siendo conveniente que su distribución sea lo más homogénea posible dentro de los límites espaciales determinados por la nube de datos. En general, las condiciones de inicialización son las mismas que en el caso del algoritmo de k - medias. 8. Se asignan los pixels a los centroides más cercanos en forma similar (ecuación VII.166) al algoritmo de k - medias. 9. Se calculan los centros de los protocúmulos Sj, formados de acuerdo con los pasos 1 y 2, y se utiliza una de las métricas (ecuaciones VII.159 - VII.165) anteriormente definidas; si la métrica empleada es la euclidiana, entonces los centros de los cúmulos coinciden con las medias de éstos, en este caso, sean zj los nuevos centroides. 10. Se examina la población Nj del j-ésimo cúmulo Sj y se descartan aquellos cuya población sea menor a , es decir, si para alguna j, Nj < , se descarta Sj y se reduce el número de cúmulos Nc en uno. 11. Se calcula la distancia promedio d j de los pixels de cada cúmulo Sj a sus respectivos centros y también se obtiene el promedio de estas distancias. La cantidad d j se calcula utilizando alguna de las métricas mencionadas y el promedio se evalúa de acuerdo con la expresión d

1 Nc

Nc

N d

(VII.168)

j j

j1

Donde Nc es el número de cúmulos presentes en la iteración. 12. Se obtiene el vector de desviación estándar j = (1j, 2j, . . . j) para cada cúmulo Si de acuerdo con la siguiente relación:  1  ij    N j

1/ 2

 ( xik  z ij )   xS j



2

(VII.169)

Donde  es el número de bandas o la dimensionalidad del espacio multiespectral, xik es la i-ésima componente del k-ésimo pixel del cúmulo Sj, zij es la i-ésima componente del centroide zj y Nj es la población de Sj. A partir de aquí se obtiene la máxima componente  mj de j. 13. Si para alguna  mj , j = 1, 2, . . . Nc, se tiene que  mj  m, d j  d y Nj  2 + 1, se

divide entonces a zj en dos nuevos centros z j y z j , se elimina a zj y se incrementa a Nc en uno. Las coordenadas de los nuevos centros se obtienen sumándole y restándole a la componente de zj que corresponda con aquella de máximo valor de j, es decir si kj =  mj , entonces


z j = (z1j, z2j, . . . zkj  jkj, . . . znj)

455

(VII.170)

Donde j es un escalar en el intervalo [0, 1] y que se optimiza de manera heurística. Si en esta etapa ocurrió la división de algún cúmulo, se regresa entonces al paso 2. 14. Se calcula la distancia dij entre todos los pares de centros de cúmulos dij = ||zi - zj ||, i = 1, 2, . . . Nc - 1, j = i + 1, i + 2, . . . Nc

(VII.171)

Donde las barras paralelas indican la norma del vector diferencia de acuerdo con una de las métricas ya planteadas. Se arreglan estas distancias en orden ascendente y se identifican aquellas primeras cuyo valor sea menor a . 15. Para cada par de centros zi y zj existe asociada una distancia dij; si esta es menor a , se procede a la aglutinación de los cúmulos Si y Sj empleando la siguiente regla z ij 

1 [ N i zi  N j z j ] Ni  N j

(VII.172)

16. Es decir, el nuevo centro es calculado como un promedio ponderado de los centros de los cúmulos aglutinados. Es necesario puntualizar que al ocurrir un aglutinamiento, es importante reordenar los índices asociados a los cúmulos, es decir, se requiere regresar al paso número 2 de este algoritmo, donde zij se insertaría en la secuencia de centros z1, z2, . . . zk; por otro lado, la población Sij de los cúmulos aglutinados también se incluiría en la secuencia S1, S2, . . . Sk. 17. Se verifica si el número de iteraciones excede al prefijado, en caso afirmativo, el algoritmo termina, en caso negativo, se regresa al paso 2. En algunas implantaciones del procedimiento ISODATA se introducen dos parámetros extras para controlar el mínimo y el máximo número de cúmulos permisibles en cada iteración; estos parámetros serían utilizados en aquellos pasos donde se hacen divisiones y aglutinamientos de cúmulos con el fin de asegurar estabilidad en el algoritmo. La lámina 55 muestra una segmentación con el algoritmo ISODATA empleando seis cúmulos y una imagen Spot del estado de San Luis Potosí. En los clasificadores puntuales discutidos hasta ahora se ha hecho implícitamente una serie de suposiciones de tipo booleano en cuanto al comportamiento espectral de los pixels y las clases presentes en la imagen, si bien algunos problemas relacionados con esto fueron ya discutidos en la introducción de la presente sección. Las hipótesis que se manejan en estos algoritmos de clasificación se pueden resumir en las siguientes tres declaraciones: a) todos los pixels de la imagen representan una caracterización espectral pura de alguna clase presente en la escena, b) cualquier pixel está restringido a pertenecer a una clase solamente y c) las clases espectrales generan una firma o respuesta única. Es muy posible que al menos una parte de los pixels de la imagen no satisfagan estas suposiciones. Este enfoque booleano para la clasificación se formaliza por medio de un modelo estadístico (véase la clasificación textural por granulometría) en donde se presupone que la imagen a ser segmentada z = {z(i,j)}, definida sobre el dominio L = {(i,j)| 1  i  M, 1  j  N}, es una realización de un campo aleatorio bidimensional Z = {Z(i,j)}, definido jerárquicamente en términos de un campo aleatorio

456


subyacente X = {X(i,j)} que representa la partición del dominio L en regiones espectrales de distintos tipos. Cada variable aleatoria X(i,j) toma valores en el conjunto de etiquetas  = {1, 2, ... k, ... K}, donde x(i,j) = k indica que un pixel con coordenadas (i,j) pertenece a la región espectral del tipo k. En cada una de estas regiones se supone la presencia de una muestra de clase espectral particular ek que corresponde a la realización de un campo aleatorio discreto y homogéneo Ek con valores en  = {1, 2, . . . L}; el campo aleatorio que representa a la imagen segmentada espectralmente se expresa como: Para cada k  , Z (i,j) = Ek(i,j),  (i,j), tal que x(i,j) = k Entonces el problema general de la segmentación espectral se establece de la siguiente manera: Dado un conjunto de observaciones z = {z(i,j)} que corresponden a una imagen espectral dada, se estima la segmentación xˆ  {xˆ (i, j)} que mejor representa las observaciones espectrales hechas de acuerdo con un criterio estadístico específico basado en las tres hipótesis arriba mencionadas. En esta segmentación cada pixel es asignado a una clase espectral nada más y de aquí el carácter booleano de la clasificación. Implícitamente, en el proceso de asignación, se encuentran las suposiciones de que tanto los pixels como las clases son espectralmente puras, no obstante, en la práctica la situación es diferente, en particular para imágenes satelitales. Es relativamente frecuente que un CIV contenga varios objetos (suelo y vegetación, por ejemplo), de tal manera que el valor del pixel correspondiente es un promedio ponderado de las respuestas espectrales de éstos. En este ejemplo podría decirse que el pixel pertenece en parte a la clase suelo y en parte a la clase vegetación; la proporción de pertenencia dependería del área cubierta por cada clase con relación a sus respuestas espectrales. De esta manera se diría que tanto el pixel como la clase que representa son mixtos. Desatender esta realidad en un procedimiento que supone pureza espectral conduce a una pérdida de información que puede ocasionar errores en el mapa temático resultante a la clasificación. No obstante, en situaciones donde la escena contiene objetos espectralmente bien diferenciados, los clasificadores arriba estudiados arrojan resultados satisfactorios (Won y Derin, 1992; Rosenfield y Fitzpatrick-Lins, 1986; Rosenfield, 1986; Congalton y Green, 1993; Foody, 1992; Thomas et al., 1987; Hay, 1988; Lira et al., 1997). Existen, reportados en la literatura, una variedad de algoritmos para clasificación no supervisada, algunos de ellos con un costo computacional relativamente bajo, aunque con un error de clasificación relativamente alto. Algunos investigadores han hecho una comparación (Cobb et al., 1989) del comportamiento de los algoritmos más empleados en aplicaciones que utilizan imágenes multiespectrales; sus conclusiones apuntan a designar a los dos procedimientos aquí estudiados como de lo mejor en análisis espectral de imágenes digitales. Algoritmo con lógica borrosa de C - medias

Para tomar en cuenta la realidad física que prevalece en una escena, se han desarrollado clasificadores basados en la teoría de conjuntos borrosos. En una escena, los objetos espectralmente detectables se muestran con fronteras o límites que no tienen una definición clara; es decir, físicamente existe una cierta región de transición en donde una clase se convierte gradualmente en otra. Así por ejemplo, la densidad de una ciudad disminuye gradualmente hacia su periferia hasta convertirse en campo abierto en donde


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se pueden encontrar otras clases tales como cultivos, bosque o pastos silvestres. En la región de transición, por tanto, los pixels respectivos tienen información de dos o más clases. Es posible también que una cierta clase espectral sea el resultado de la composición de dos o más objetos, como en el caso de vegetación escasa que no cubre enteramente al suelo. Así entonces, un pixel mixto o heterogéneo representa dos o más objetos espectrales y un pixel homogéneo caracteriza a uno sólo. Con base en esta realidad espectral de la escena, se han desarrollado una serie de clasificadores, tanto supervisados como no supervisados, fundamentados en la teoría de conjuntos borrosos (Caillol et al., 1993; Wang, 1990a; Fisher y Pathirana, 1990; Wang, 1990b), en donde a los pixels de la imagen se les asocia una función de membresía que determina su grado de pertenencia a una clase dada. El grado de pertenencia es un número real en el intervalo [0, 1], de tal manera que en la región de transición un pixel tendría dos valores asociados, digamos uno para la ciudad y uno para el campo; en este caso, tratándose de dos objetos únicamente, la suma de estos valores sería uno. En cambio, en los clasificadores arriba estudiados, la función de membresía asume únicamente dos valores: 0 ó 1; la frontera de los objetos espectrales no es borrosa, sino que se supone que está bien definida y las clases espectrales así determinadas están caracterizadas por un sólo atributo espectral sin variación interna ni mezcla. En estos clasificadores tradicionales se aplica, por tanto, la teoría booleana clásica de conjuntos, en donde se considera que la información está representada sobre la base de un pixel  una clase, una vez que un pixel es asociado a una clase se genera una contribución completa a las estadísticas de ésta, tales como población, media y matriz de covarianza; en este sentido, la mezcla de clases espectrales y condiciones intermedias no pueden ser tomadas en cuenta. Los clasificadores espectrales basados en la teoría de conjuntos borrosos proporcionan una mejoría notable en la precisión de la clasificación espectral. En otro tipo de clasificación espectral-contextual, es factible modelar el comportamiento de un cierto fenómeno terrestre por medio de una combinación probabilística de los elementos que lo determinan; así por ejemplo, el proceso de desertificación está en función del cambio de textura, vigor de la vegetación y albedo del terreno (Lira 2004), ó bien, la productividad primaria de un cuerpo de agua se modela (Lira et al., 1992) a través de la distribución espacial de la turbidez, la temperatura y la concentración de la clorofila-a. También, la vegetación puede ser caracterizada por medio de una expansión canónica con base en bandas generalizadas ortogonales que representan la respuesta espectral de la cobertura vegetal (Lira y García, 2003). Tales bandas son a su vez alimentadas a un clasificador de carácter contextual para producir un mapa temático de la vegetación. En un clasificador basado en lógica borrosa los pixels pertenecen a una clase a través de una función de membresía que puede asumir valores entre 0 y 1. En esta lógica se consideran los siguientes axiomas. Sea X un conjunto de pixels denotados como x, entonces X = {x}, por lo que 1. Un conjunto borroso A en X está caracterizado por una función de membresía mA(x) que translada cada punto en X a un intervalo real [0.0, 1.0]. A medida que mA(x) se aproxima a 1.0, el grado de membresía de x en A se incrementa. 2. A es vacío si y solo si mA(x) = 0.0,  x. 3. A = B si mA(x) = mB(x),  x. 4. mA’(x) = 1 – mA(x),  x, es el complemento de A. 5. mC(x) = max[mA(x), mB(x)] es la unión de A y B.

458


6. mC(x) = min[mA(x), mB(x)] es la intersección de A y B. El algoritmo de C-medias (FCM) es un método de agrupamiento de datos (pixels) en cúmulos en el cual la nube de datos en el espacio espectral es agrupada en C cúmulos, donde cada pixel pertenece a cada cúmulo con un cierto grado de mebresía. Así entonces, un pixel que se encuentre cerca del centro de un cúmulo presenta un alto grado de membresía o pertenencia a tal cúmulo, mientras que un pixel alejado del centro tiene un bajo grado de membresía. El algoritmo FCM inicia con una estimación de los centros de C cúmulos. Esta primera estimación es probablemente incorrecta. A continuación, se le asigna a cada pixel un grado de membresía a cada cúmulo. Por medio de la actualización iterativa de los centros de los cúmulos y de los grados de memebresía de cada pixel, el algoritmo FCM desplaza los centros de los cúmos a su localización correcta dentro de la nube de datos en el espacio espectral. Esta iteración está basada en la minimización de una función objetiva que representa la distancia de cada pixel a los centros de los cúmulos ponderada por el grado de membresía de tal pixel. En la figura VII.36 se muestran algunas funciones de membresía. Veamos en detalle el algoritmo de un analizador de cúmulos empleando lógica borrosa. El algoritmo basado en lógica borrosa, llamado también de C-medias, es al igual que los algoritmos anteriores, un procedimiento para particionar el espacio de rasgos definido por la imagen multiespectral en dos o más cúmulos. El fundamento de este algoritmo se encuentra en la minimización de la siguiente función objetiva Im 

C

MN

 u i 1

m ij

pi  c j

2

(VII.173)

j1

Donde m es cualquier número real mayor que 1, uij es el grado de membresía del pixel pi en el j-ésimo cúmulo, cj es el vector que define el centro de este cúmulo, las líneas paralelas indican cualquier norma que mida la similaridad entre los datos medidos (pixels) y los centros de los cúmulos (véanse ecuaciones VII.159 – 165). El número de cúmulos es C y el número de pixels en la imagen es MN para una imagen de M-pixels  N-líneas. Si la métrica empleada es la euclidiana, entones cj es el vector de media. El algoritmo de lógica borrosa de C-medias opera por medio de la optimización iterativa de la función objetiva, y por la actualización de la membresía uij y los centros de los cúmulos cj de acuerdo con la siguiente ecuación u ij 

1  pi  c j  k 1  p i  c k  C



2

(VII.174)

 m 1  

Donde MN

cj 

u

m ij

pi

i 1 MN

u i 1

(VII.175) m ij


459

Figura VII.36. Ejemplos de funciones de memebresía normalizadas. El procedimiento de optimización iterativa se detiene cuando se satisface la siguiente condición max ij u ijk 1  u ijk  

(VII.176)

Donde, 0    1, es un umbral de terminación y k indica la k-ésima iteración El algoritmo de lógica borrosa de C-medias puede ser resumido de acuerdo con los siguientes pasos 1.- Se inicializa la matriz U = [uij], sea esta inicialización U(0). 2.- En la k-ésima iteración, se calculan los vectores de los centros C(k) = cj con U(k).

460


3.- Se actualizan las matrices U(k), U(k+1) empleando la ecuación (VII.174). 4.- Si max ij u ijk 1  u ijk   , entonces el algoritmo termina, de otra manera se retorna al paso 2. La lámina 28 muestra la composición falso color de las tres primeras componentes principales de una imagen de la Ciudad de México; estas bandas se ingresaron al algoritmo de lógica borrosa definiendo 6 cúmulos y el resultado se muestra en la lámina 56. Al comparar las láminas 55 y 56 es posible apreciar que los algoritmos de ISODATA y lógica borrosa producen resultados similares. VII.5.2 Clasificación supervisada La clasificación supervisada es similar al análisis de cúmulos en el sentido de que el espacio de muestras (rasgos) se particiona en hiperregiones espectrales; la diferencia básica consiste en que la relación clase espectral  hiperregión se establece de antemano empleando pixels prototipo de cada clase definida. A continuación se presenta un clasificador basado en la regla de Bayes y empleando el principio de máxima verosimilitud. La base estadística de este clasificador es la siguiente: supongamos que se tiene identificado un objeto espectral; al graficar los valores de los pixels que lo componen, en las diferentes bandas de la imagen multiespectral respectiva se obtienen histogramas cuya forma es generalmente gaussiana o de Rayleigh (figura III.12); si el objeto observado no es espectralmente puro, puede presentarse una forma multimodal. Aun en un objeto caracterizado por una sola clase espectral existen variaciones estadísticas en la respuesta espectral de un punto a otro, debidas principalmente a cambios físicos en el objeto y a fluctuaciones en iluminación y geometría de observación. En esta situación los pixels pertenecientes a un objeto no pueden presentar, por tanto, el mismo valor y la consecuencia de esto es una distribución de valores cuya función de densidad asociada tiene las características ya anotadas. Específicamente, en el clasificador que adelante se detalla, se supone, aunque no siempre sea así, que la función de densidad es normal (gaussiana), cuyos parámetros asociados: media y desviación estándar se obtienen a partir de los pixels prototipo de las clases espectrales predeterminadas. El nombre de clasificación supervisada proviene del hecho de que: a) la etiquetación de las clases espectrales se hace de antemano, b) los parámetros del clasificador se determinan a partir de la función de densidad de cada clase definida y c) el proceso de clasificación se lleva a cabo de manera supervisada con base en dichos parámetros. En la clasificación supervisada, los pixels de la imagen multiespectral son asignados a clases espectrales de las cuales se tiene conocimiento previo a partir de la inspección de la imagen y de otras fuentes de información. Las etapas de esta clasificación son las siguientes 1. Decidir el conjunto de clases en las cuales se propone segmentar la imagen. 2. Escoger, en forma interactiva, los pixels representativos o prototipos de cada clase. 3. Utilizar los datos prototipo para estimar los parámetros del clasificador. 4. Emplear el clasificador calibrado, de acuerdo con el paso anterior, para etiquetar cada pixel de la imagen en una de las clases definidas. 5. Generar un mapa temático.


461

Analicemos en detalle cada una de estas etapas. La decisión relativa al conjunto de clases en las que se desea segmentar la imagen depende del conocimiento que se tenga de ésta y de las condiciones establecidas por un problema dado. El conjunto de clases está en relación directa con la estructura espectral de la imagen, la que a su vez es una representación numérica de la variación espectral de la escena. En función del conocimiento que se tenga de la escena, se despliega en un monitor a color una combinación de tres bandas (pueden ser las tres primeras componentes principales) de la imagen respectiva; sobre ésta se identifican aquellas zonas donde se encuentran pixels representativos de cada clase que se desea reconocer, estos pixels son a su vez encerrados en un polígono empleando el cursor de la computadora (lámina 57); puede haber varios polígonos asociados a una sola clase. Con un programa adecuado, los valores de los pixels de cada clase son almacenados en un archivo. Una vez que los pixels prototipo de cada clase han sido identificados, se obtienen los parámetros asociados a las funciones de densidad respectivas; en esta etapa se dice que el clasificador ha sido calibrado. Con el clasificador calibrado se procede a clasificar la imagen multiespectral, es decir, cada pixel de ésta es asignado a una de las clases definidas con base en el valor de los pixels y de las funciones de densidad. Finalmente se genera un mapa temático de clasificación, es decir, se produce una imagen digital de una sola banda donde los pixels asignados a una clase tienen el mismo valor y se les relaciona con un color, mediante una tabla, para efectos de despliegue visual de tal mapa. Veamos ahora los detalles matemáticos de esta clasificación supervisada. Sean las clases espectrales predefinidas las siguientes i, i = 1, 2, . . . m

(VII.177)

Para clasificar un pixel r en una de las clases es necesario conocer la siguiente probabilidad condicional p(i | r), i = 1, 2, . . . m

(VII.178)

que es la probabilidad (verosimilitud) de que la clase i sea la correcta dado un pixel en la posición r. Nótese que r es el vector de posición del pixel en el espacio multiespectral de muestras. La clasificación se realizaría de acuerdo con el siguiente principio de máxima verosimilitud r  i, si p(i | r)  p(j | r),  i  j

(VII.179)

Es decir, r pertenece a la clase i, si la probabilidad p(i | r) es la mayor respecto a las probabilidades asociadas a las otras clases. El procedimiento del clasificador se terminaría aquí si se conociesen las p(i | r); sin embargo, no es así. La cantidad p(i | r) es la probabilidad condicional de tener la clase i dado el valor de pixel r. Para cada pixel sería necesario conocer la probabilidad de que pertenezca a cada una de las clases definidas y se asignaría a la clase para la cual la probabilidad fuese la más alta; sin embargo, no es posible inferir estas probabilidades a partir de los datos prototipo. Lo que si es factible conocer es la probabilidad de encontrar un pixel de la clase i en la posición r: p(r | i). La forma p(r | i), es la probabilidad condicional de que el valor del pixel en la posición r pertenezca a la clase i. ¿Cómo se infiere la probabilidad

462


condicional p(r | i) a partir de los datos prototipo? La respuesta está en las variaciones estadísticas presentes en los valores de los pixels de una muestra de la clase i. Como ya se mencionó, al capturar una muestra representativa de una cierta clase se obtiene un conjunto de pixels llamados prototipo cuyos valores presentan fluctuaciones estadísticas debido al proceso estocástico que los generó. Para ilustrar esto, supongamos que se tiene una imagen multiespectral de dos bandas, el espacio de muestras es entonces de dos dimensiones, por lo que al graficar en forma de histograma los valores de los pixels prototipo (figura VII.37) se obtiene la distribución tridimensional que muestra la frecuencia de ocurrencia de tales valores. En la figura VII.37 aparecen graficadas dos distribuciones de dos clases hipotéticas esquematizadas en forma de gaussianas bidimensionales; en un espacio de tres dimensiones se tendrían elipsoides de densidad variante y para imágenes de cuatro o más bandas se tendrían hiperelipsoides.

Figura VII.37. Pixels prototipo de dos clases en una imagen de dos bandas. En el espacio de muestras, el lugar de cada pixel está determinado por el vector de posición r, de manera que para cada cúmulo asociado a una clase espectral existe un conjunto de vectores de posición que proporcionan la localización de los pixels de dicha clase. Así entonces, las distribuciones de frecuencias mostradas en la figura VII.37 representan la probabilidad condicional p(r | i), ya que la clase i está determinada por los pixels prototipo de ésta, la distribución es función del vector de posición r y la frecuencia de ocurrencia es directamente proporcional a la probabilidad mencionada. Ahora bien, suponer una distribución normal (gaussiana) para la probabilidad condicional p(r | i) permite escribir un modelo matemático que depende únicamente de la media i y de la matriz de covarianza Ki de la clase i, donde estos parámetros se obtienen a partir de los pixels prototipo empleando las ecuaciones IV.144 y IV.146.


463

Otros modelos tales como la distribución de Rayleigh (ecuación III.76) pueden ser empleados igualmente. Entonces, en un espacio -dimensional la función de densidad p(r | i) se escribe como p (r  i ) 

1 ( 2 )

/2

Ki

1 / 2

 1  exp (r   i ) t K i-1 (r   i ) 2  

(VII.180)

Donde i es el vector de media de los pixels prototipo de la clase i y Ki es su matriz de covarianza;  es el número de bandas o la dimensionalidad del espacio de muestras. Las cantidades i y Ki son, por tanto, los parámetros del clasificador y determinarlos, a partir de los pixels prototipo, implica la calibración del mismo. El proceso de clasificación planteado en la expresión (VII.179) necesita del conocimiento de las probabilidades condicionales p(i | r); sin embargo, lo que puede conocerse son las p(r | i); ¿qué relación podría establecerse entre las dos? Para responder a esta pregunta es necesario primero considerar una función de costo para las m clases: e(i | j), (i,j) = 1, 2, . . . m, que significa el costo (en precisión) que involucra el clasificar erróneamente un pixel en la clase i cuando en realidad pertenece a la j. Se desea, por tanto, minimizar la función de error e(i | j) para el proceso completo de clasificación; a este enfoque se le conoce como la optimización de Bayes. En un clasificador de máxima verosimilitud de tipo booleano se emplean (Richards y Jia, 1999) las siguientes funciones de error: e(i | j) = 0, con i = j y e(i | j) = 1 con i  j, es decir no hay un costo asociado cuando se tiene una clasificación correcta, y cuando ésta es incorrecta, el costo es unitario. Ahora bien, para un pixel en r, el costo promedio involucrado en la decisión de si r pertenece a la clase i, está dado por Lr (i) 

 e(i j) p( r ) j

j

Considérese, por otro lado, la regla de Bayes (Carlin et al., 2000) p( i r ) 

p (r i ) p (i ) p(r )

(VII.181)

Donde p(i) es la probabilidad de que ocurra la clase i. Esta probabilidad está directamente relacionada con el área que ocupa en la imagen la clase i; así por ejemplo, si ésta cubre un 27% del área total, entonces p(i) = 0.27. La cantidad p(r) es la probabilidad de encontrar un pixel de cualquier clase en la localidad r, es decir m

p (r ) 

 p (r  ) p (  ) i

i

(VII.182)

i 1

de tal manera que cuando la imagen es particionada completamente en un cierto conjunto de clases, entonces p(r) = 1. Por otro lado, debido a que p(r) no depende explícitamente de i puede ser eliminado del planteamiento final del clasificador.

464


Ahora bien, al substituir la regla de Bayes y la función de costo en la expresión para el costo promedio, y después de algunas manipulaciones algebraicas (Richards y Jia, 1999) para minimizar el costo involucrado en la clasificación, se obtiene la siguiente función discriminante: gi(r) = p(r | i)p(i). Esto implica que la formulación original del clasificador (expresión VII.179) puede ser replanteada empleando la regla de Bayes r  i, si p(r  i)p(i)  p(r  j)p(j),  i  j

(VII.183)

Es común llamar (Richards y Jia, 1999) a esta regla la decisión incondicional de máxima verosimilitud. En esta expresión las funciones p(r | i), i = 1, 2, ... m, se obtienen a partir de los datos prototipo. Las funciones p(i) se pueden estimar por medio de una inspección visual de la imagen o a través de un análisis de cúmulos de la misma. Otro enfoque es el hacer p(i) = 1/m,  i, es decir todas las clases ocurriendo con la misma probabilidad. Debido a que las funciones de densidad p(r | i) están expresadas básicamente como exponenciales, es conveniente por tanto aplicar logaritmos en ambos lados de (VII.183) de tal manera que el clasificador se plantea ahora como r  i, si gi(r)  gj(r),  i  j

(VII.184)

Donde ahora gi(r) = ln{p(r | i)p(i)}; a las gi(r) se les conoce como funciones discriminantes. Se supuso anteriormente que las funciones de densidad de las diferentes clases son de tipo gaussiano (ecuación VII.180), de tal manera que la función discriminante para la clase i se expresa como g i (r )  ln[ p(i )] 

 

1 1 ln K i  (r   i ) t K i1 (r   i ) 2 2

(VII.185)

en donde se han ignorado factores constantes. En el caso de que se suponga que las funciones p(i) son iguales, entonces el primer término de (VII.185) puede ser igualmente descartado. Al igual que en el análisis de cúmulos, en la clasificación supervisada también se particiona el espacio de muestras en regiones espectrales que corresponden a clases espectrales definidas por los pixels prototipo; en este sentido se tiene, por tanto, una segmentación espectral. La expresión (VII.184) implica la existencia de hipersuperficies, que virtualmente generan la partición arriba mencionada. Estas hipersuperficies están definidas por los lugares geométricos de equiprobabilidad, es decir: gi(r) - gj(r) = 0, las que se conocen como funciones o superficies de decisión. Debido a la similitud de la partición del espacio de muestras en los clasificadores no supervisado y supervisado, es factible incorporar el análisis de cúmulos al proceso de clasificación como un método automatizado para definir los pixels prototipo de las clases de interés. En este esquema híbrido se define primeramente el número de clases espectrales, a continuación, empleando un análisis de cúmulos, se particiona el espacio de muestras en tantas regiones como clases se deseen; de aquí se obtienen los cúmulos respectivos cuyas propiedades estadísticas determinan entonces la media y la matriz de covarianza de cada clase, estos parámetros son introducidos finalmente al clasificador supervisado. No obstante que este método puede ser de utilidad para estudiar


465

espectralmente una imagen, su costo computacional es relativamente alto. Para ilustrar el proceso de clasificación tomemos el siguiente pixel 9  p  4

Empleando la función de decisión (ecuación VII.185) veamos a cual de las dos clases consideradas en el ejemplo de análisis canónico (apartado IV.7.1) se clasifica tal pixel. Para este ejemplo ignoremos el término ln[p(i)], así entonces, substituyendo los resultados para el vector de media y la matriz de covarianza encontrados en el apartado IV.7.1, tenemos para la clase a 1  2.3446 - 0.5169  g a (9,4)   ln   2  - 0.5169 2.3954  t

1 9  5.7692  0.44478 0.0966 9 5.7692                2 4 4.3462   0.0966 0.4383 4 4.3462 

De aquí, ga(9,4) = -6.1875. Para la clase b g b (9,4)  

1 9  11.3939        2 4  6.0303  

t

1  2.5587 - 1.6373  ln   2  - 1.6373 4.5303 

0.5084 0.1837  9 11.3939  0.1837 0.2871 4   6.0303         

De aquí, gb(9,4) = -8.0706, por lo que el pixel se clasifica en la clase a. VII.5.3 Descripción de indicadores espectrales El resultado de una clasificación espectral, ya sea supervisada o no supervisada, arroja como producto un mapa temático donde se encuentra plasmada la segmentación espectral correspondiente. De esta manera, la imagen multiespectral es particionada en regiones de uniformidad espectral de acuerdo con un modelo previamente definido. Una manera de cuantificar la calidad de esta partición es medir la distancia espectral entre las regiones empleando una métrica que se establece a partir del mismo modelo de comportamiento espectral de las clases involucradas en la segmentación. Un modelo de segmentación espectral es mejor entre mayor separabilidad espectral genere. Inversamente, los parámetros involucrados en la segmentación pueden ser optimizados en función de tal separabilidad. Por otro lado, la separabilidad está relacionada con otros factores relativos a la imagen: la relación señal/ruido, la correlación que presentan entre sí las bandas, la resolución espacial y radiométrica y la definición o agudeza de los bordes. La correlación entre bandas y el contenido de ruido pueden ser prácticamente eliminados empleando el análisis canónico y la descomposición en componentes

466


principales, mejorando de esta manera la separabilidad espectral. El contenido de ruido en imágenes biomédicas y de radar debe ser eliminado por otros métodos como el filtro geométrico (Crimmins, 1985). Veamos a continuación dos grupos de indicadores: los que se emplean en una clasificación no supervisada y los que se aplican a una clasificación supervisada. Indicadores para clasificación no supervisada

Supongamos ahora una distribución normal (gaussiana) para los valores de los pixels de cada clase i que compone la segmentación espectral. Para definir una distancia espectral consideremos primero un par de clases i y j cuya sección en una dimensión estaría esquematizada en la figura (VII.38). La media y la desviación estándar de estas distribuciones serían i, j, i, j, respectivamente. La separabilidad de estas clases no depende únicamente de la distancia entre las medias, sino también de las desviaciones estándar. Para una distancia │j - i│ dada, las clases pueden estar separadas para i, j suficientemente pequeñas; e inversamente, para i y j suficientemente grandes, las clases pueden traslaparse aun para una diferencia │j - i│ grande. En un punto dado del eje r, el valor (figura VII.38) de las distribuciones de probabilidad es p(r│i) y p(r│j) para las clases i, j respectivamente. Una cantidad que está relacionada con la separabilidad espectral es L ij (r ) 

p(r i ) p(r  j )

(VII.186)

Donde implícitamente se considera la media y la desviación estándar de las distribuciones. Mas aun, las probabilidades condicionales p(r│i) y p(r│j) son conocidas a partir de la segmentación misma. Para una r dada, la cantidad Lij(r) puede tender a cero o a infinito si la separabilidad de las clases aumenta. Para todos los puntos del eje r se tiene una colección de cocientes Lij(r), por lo que un promedio ponderado de éstos proporciona una medida global de la separabilidad espectral de las clases involucradas. Sea ahora el siguiente promedio



E{L'ij (r ) i }  L'ij (r ) p(r i )dr

(VII.187)

 p (r  )  i L'ij (r )  ln    ln[ p(r i )]  ln[ p (r  j )]  p (r  j ) 

(VII.188)

Donde

A partir de aquí se define la divergencia de un par de clases d ij  E [ L'ij (r ) i ]  E [ L' ji (r )  j ]

Substituyendo de (VII.188), se tiene

(VII.189)


467

Figura VII.38. Distribuciones gaussianas de los pixels prototipo de dos clases.   p (r  )    p (r  j )   i  p(r  j )dr   p(r i )  ln  d ij  ln   p (r i )    p(r  j )    





 p (r  )  i  dr  p (r  j )   

[ p(r i )  p(r  j )] ln 

(VII.190)

La definición (VII.189) tiene simetría, por lo que dij = dji; en otras palabras, la matriz de valores de divergencia es simétrica. También, los elementos de la diagonal de esta matriz son nulos puesto que dij = 0,  i = j, es decir la distancia espectral entre una distribución y ella misma es nula. Al aplicar la descomposición en componentes principales a una imagen multiespectral, se genera un conjunto de bandas estadísticamente decorrelacionadas; en este sentido, si se tiene el llamado vector de rasgos: r = (x1, x2, . . . x), donde  es el número de bandas y xi son las bandas decorrelacionadas, entonces la probabilidad condicional p(r│i) estaría dada por 

p(r i ) 

 p( x



i ),  i

(VII.191)

1

Lo que, substituido en la definición de divergencia, conduce a concluir que 

d ij (r ) 

d 1

ij ( x  )

(VII.192)

468


Por otro lado, la divergencia es una cantidad no negativa, de donde se sigue que dij(x1, x2, . . . xk, xk+1)  dij(x1, x2, . . . xk)

(VII.193)

De aquí se infiere que, para imágenes multiespectrales con bandas decorrelacionadas, la divergencia siempre se incrementa al incorporar una banda más en el proceso de segmentación. Si bien es necesario puntualizar que tal incremento, después de un cierto número de bandas, puede ser muy pequeño, por lo que es importante evaluar el costo computacional de agregar una banda más con respecto al aumento en separabilidad espectral. Además, las últimas componentes principales contienen casi todo el ruido de la imagen multi-espectral. En las definiciones y conclusiones anteriores, la divergencia presenta un esquema de autoconsistencia en cuanto a simetría y comportamiento en aspectos específicos; sin embargo, para distribuciones gaussianas el desarrollo en detalle de la divergencia no es satisfactorio. Una distribución gaussiana está caracterizada por la ecuación (VII.180), la que, al ser substituida en la expresión (VII.190), proporciona el siguiente valor para la divergencia d ij 

1 1 Tr{[ K i  K j ][ K i1  K j1 ]}  Tr{[ K i1  K j1 ][ i   j ][ i   j ] t } (VII.194) 2 2

Donde Tr es la traza de la matriz correspondiente, Ki y Kj son las matrices de covarianza de las clases i y j respectivamente. Al realizarse el cálculo para todos los pares de clases, se obtiene una matriz, conocida como la matriz de divergencia con las propiedades de simetría ya anotadas. Al efectuar clasificaciones espectrales empleando imágenes sintéticas, con un conjunto de clases con distribuciones normales y aumentando gradualmente la distancia espectral entre ellas, se obtiene una serie de resultados experimentales que muestran que la probabilidad de clasificar correctamente un pixel aumenta de manera exponencial al incrementar la distancia espectral entre clases (figura VII.39). La divergencia, sin embargo, muestra más bien un comportamiento de tipo logarítmico. Para subsanar esta contradicción es necesario modificar la divergencia para que tenga un comportamiento exponencial asimptótico; a tal modificación se le conoce como la divergencia transformada, cuya forma es la siguiente d Tij  2[1  e

 d ij / 8

]

(VII.195)

y cuyo comportamiento es mas acorde con los resultados experimentales. Hay que hacer notar que el intervalo de validez de esta nueva expresión es entre cero y dos, siendo este último valor para la máxima separabilidad. Aun con esta modificación la divergencia no caracteriza correctamente los resultados experimentales en cuanto a separabilidad de clases. Para obtener una mejor caracterización de la separabilidad experimental de clases es necesario introducir una definición mas adecuada a este fin. Para esto se define la distancia de Jeffries-Matusita (JM), también llamada de Bhattacharrya, para un par de distribuciones de valores de pixels de dos clases espectrales


J ij   p(r i )  



469

2

p(r  j )  dr 

(VII.196)

Ésta es una expresión que cuantifica la suma de las distancias al cuadrado entre pares de valores de las distribuciones de probabilidad para el par de clases i, j. De acuerdo con esta definición, es posible afirmar que básicamente la divergencia es una suma de cocientes mientras que la distancia JM es una suma de distancias al cuadrado. Los cocientes tienen la particularidad de presentar valores muy altos cuando el denominador es muy pequeño, de aquí el comportamiento incorrecto de la divergencia en la caracterización de los resultados experimentales. Al substituir en (VII.196) la expresión para una distribución normal se obtiene el siguiente resultado



J ij  2 1  e  



(VII.197)

Donde  es  Ki  K j    2  Ki  K j  1 1     ( i   j ) t  (   ) ln   i j   K 1/ 2 K 1/ 2  8 2 2   j  i    1

(VII.198)

Figura VII.39. Comportamiento cualitativo de la separabilidad espectral, tanto experimental como del cálculo de la divergencia. La gráfica de la ecuación (VII.197) es cercana al comportamiento exponencial de los resultados experimentales. Nótese también que el intervalo de variación de la distancia JM es [0,2]. Hay que hacer notar que las medias y las matrices de covarianza involucradas en las expresiones (VII.194) y (VII.198) son obtenidas, en general, en los procedimientos de clasificación espectral, de tal manera que los valores respectivos se encuentran disponibles para calcular las matrices de divergencia y JM al final del procedimiento de clasificación.

470


Indicadores para clasificación supervisada

Otro indicador de clasificación espectral es la llamada matriz de confusión (cuadro VII.1). Esta matriz es de una dimensión igual al número de clases de una clasificación dada. Para i  j, el elemento cij de esta matriz indica la proporción de pixels de la clase i que fueron asignados erróneamente a la clase j. Para i = j, el elemento de la matriz muestra la proporción de pixels clasificados en la clase i con respecto al número de pixels definidos para dicha clase. La suma de los elementos a lo largo de cada renglón produce el número total de pixels de cada clase. La matriz de confusión se obtiene a partir de la distribución de clasificación de los pixels comprendidos en los polígonos usados para definir los pixels prototipo de cada clase. Cuadro VII.1 Matriz de confusión para m clases c11 c21 . . . cm1 c+1

c12 c22

... ...

c+2

cim c2m . . . cmm c+m

c1+ c2+ . . . cm+ N

Donde m

m

j1

i 1

c i    c ij y c  i   c ij

En una clasificación perfecta, únicamente los elementos de la diagonal serían diferentes de cero e iguales al número de pixels de las clases. La proporción mencionada puede ser expresada como frecuencia de ocurrencia o probabilidad de ocurrencia. En el siguiente ejemplo (cuadro VII.2) se muestra la matriz de confusión para una clasificación en seis clases de una imagen sintética, cada elemento de esta matriz muestra los valores de frecuencia de ocurrencia. En una clasificación real, una cierta proporción de pixels son asignados a clases equivocadas. Así por ejemplo, el elemento c12 de la matriz de confusión (cuadro VII.2) muestra que 126 pixels de la clase 1 fueron erróneamente asignados a la clase 2. También, el elemento c22 es igual al número de pixels de la clase 2, señalando así que, con respecto a esta clase, la clasificación ha sido perfecta. A partir de la matriz de confusión (cuadro VII.1) es posible evaluar el coeficiente kapa ˆ , el cual es un indicador global de la calidad de la clasificación. El intervalo de variación de este coeficiente es: –1  ˆ  1, donde una clasificación perfecta daría un valor de uno y una totalmente errónea produciría –1. La definición de ˆ es como sigue ˆ 

d q N q

(VII.199)

Donde d es la suma de los elementos de la diagonal en la matriz de confusión, N es la suma de todos los elementos de la matriz y q está dado por




m

q



m

m

  c   c i 1

ij

 j1

  j1 N

ji

471

  

con m igual al número de clases. En el ejemplo del cuadro VII.2, d = 46,126, N = 47,176, m = 6 y q = 7,863.061, por tanto ˆ = 0.973. Cuadro VII.2. Matriz de confusión de una clasificación en seis clases de una imagen sintética. clase 1 clase 2 clase 3 clase 4 clase 5 clase 6

clase 1 7625 0 0 443 0 62

clase 2 126 7812 2 63 7 0

clase 3 0 0 7854 0 23 0

clase 4 61 0 0 7558 55 0

clase 5 0 0 208 0 7727 0

clase 6 0 0 0 0 0 7550

Una variante del coeficiente kapa es la siguiente m

 hat 

m

N  c ii  [c i  c i ] i 1

i 1

m

N   [c i  c  i ] 2

(VII.200)

i 1

La precisión del usuario para la clase k-ésima se define como PU k 

c kk c c kk  m kk  m c k  c kj c kk   c kj j1

(VII.201)

j k

La precisión de la producción se define como PPk 

c kk c c kk  m kk  m c k  c ik c kk   c ik i 1

(VII.202)

ik

Además, el error relativo de área se define como m

ERA k 

c j k

kj



m

c ik

c kk

ik

 100

(VII.203)

472


Con base en las expresiones (VII.201) y (VII.202) se reescribe el error relativo de área de la siguiente manera  1 1  ERA k      100  PU k PPk 

(VII.204)

Una manera de obtener la matriz de confusión es a través de los pixels prototipo definidos para una clasificación supervisada. Una vez realizada la clasificación, se compara el mapa temático resultante con los polígonos que comprenden los pixels prototipo de cada clase. En el área cubierta por cada polígono, se obtiene el número de pixels asignados a la clase que éste representa, así como el número de pixels clasificados en otras clases presentes en tal área. La acumulación de estos números para todos los polígonos definidos en una clasificación produce los elementos de la matriz de confusión.

VII.6 Clasificación Contextual VII.6.1 Clasificación por funciones de densidad En los apartados VII.5.1, VII.5.2 se han estudiado varios clasificadores puntuales, es decir clasificadores que clasifican un pixel en una clase tomando en cuenta únicamente su valor e ignorando el contexto en el cual se encuentra. En esta sección presentaremos un clasificador contextual supervisado que sí toma en cuenta el contexto en el cual se encuentra un pixel (Lira y Maletti, 2002; Lu y Weng, 2007). Este clasificador, siendo supervisado, requiere de la definición de un conjunto de clases a través de pixels prototipo. Los pixels prototipo se determinan de manera similar al clasificador supervisado estudiado en el apartado VII.5.2. El clasificador contextual que se presenta en esta sección funciona de la siguiente manera: se considera una ventana cuadrada, impar que se desplaza por todos los pixels de la imagen. A partir de los pixels contenidos en cada posición de la ventana se estima la función de densidad. En un primer paso, esta función es comparada con la función de densidad de las clases que son determinadas por los pixels prototipo definidos de acuerdo con el procedimiento explicado en el párrafo anterior. Un pixel se clasifica en aquella clase para la cual la comparación es la más favorable (Lira y Maletti, 2002). Sin embargo, una ventana puede incluir pixels de dos o más clases, en esta situación, la función de densidad es el resultado de una combinación ponderada de varias clases. En un segundo paso, los pixels centrados en ventanas localizadas en más de una clase son denominados pixels-borde; para evitar clasificaciones erróneas, los pixels-borde deben ser tratados y etiquetados aparte y clasificados a la clase más cercana. Una vez clasificados, los pixels-borde son codificados con el resto de los pixels clasificados en el primer paso para formar una clasificación final de la imagen. Para identificar los pixelsborde se lleva a cabo el siguiente procedimiento: Se obtiene la función de densidad para todos los pares de clase; a continuación, la ventana se desplaza sobre cada pixel de la imagen, en cada posición de ésta se obtiene la función de densidad y se compara con la función de densidad de las clases definidas y con la función de densidad de los pares de clases. El resultado de esta comparación conduce a la identificación y clasificación de los pixels-borde.


473

Los detalles del algoritmo para aplicar el clasificador contextual son los siguientes 1. Sea g(r) la imagen a ser clasificada, donde r = (k,l) es un vector que define la posición de cada pixel y (k,l) son sus coordenadas en la imagen. Las bandas seleccionadas en la clasificación se cargan en la memoria de la computadora; generalmente se emplean las primeras componentes principales. 2. Sea   {a,b, . . . u} el conjunto de las clases espectrales definidas. 3. A partir de los pixels prototipo se obtiene la función de densidad normalizada para todas las clases Dv j (s) ,  j  , es decir

 D (s)  1 j

v

(VII.205)

s

Donde s es un vector de una dimensión igual al número de bandas y v es la ventana empleada en la clasificación. 4. Se construye la matriz de funciones de densidad normalizadas de los pares de clases; estas funciones se obtienen promediando por pares las funciones de las clases en el punto (ii). Sean Dts (s) los elementos de tal matriz para un par cualesquiera de clases t y s,  t  s. La función Dts (s) es llamada la función de densidad de un borde formado por un par de clases distintas. 5. Para cada pixel p(k,l) a ser clasificado y centrado en la ventana v, se genera la función de densidad normalizada Dvkl (s) . 6. Un pixel p(k,l) es clasificado de acuerdo con el siguiente procedimiento a) Se calcula la distancia entre la función de densidad asociada al pixel a ser clasificado Dvkl (s) y la función de densidad de las clases definidas Dv j (s) d klj 

D

kl v

(s)  Dv j (s) ,  k, l  g,  j  

(VII.206)

s

b) Se calcula la distancia entre la función de densidad asociada al pixel a ser clasificado Dvkl (s) y la función de densidad asociada a los pares de clases Dts (s) d tskl 

D

kl v

(s)  Dts (s) ,  k, l  g,  (t,s)  , t  s

(VII.207)

s

c) Las distancias d klj y d tskl son ordenadas por valor, sea  = { d klj , d tskl }v ,  j  ,  (t,s)  , t  s, el conjunto ordenado de tales distancias. d) Si min{ d klj , d tskl }v' es la distancia a un borde, entonces p(k,l)  borde. e) Si min{ d klj , d tskl }v es la distancia a la clase t, entonces p(k,l)  clase t. f) Si p(k,l)  borde, la función de densidad promedio es considerada; sea este borde el formado por las clases q y r, se calcula entonces la distancia d lkl 

D

kl v

s

(s)  Dvqr (s) ,  k, l  g, (q,r)  

(VII.208)

474


Entonces p(k,l) es clasificado como clase-borde q si d qkl  min{d qrkl } y este pixel es asignado por tanto, en un proceso posterior de codificación, a la clase q. Este algoritmo genera dos segmentaciones de la imagen, una en clases y otra en bordes; la codificación de los pixels de las clases y los pixels de los bordes producen una clasificación final de la imagen. Para mostrar los resultados que proporciona este clasificador considérense dos tipos de imágenes descritas a continuación a) Dos imágenes sintéticas (láminas VII.58a y VII.59a) con parámetros estadísticos conocidos para cada clase; estas imágenes son mono-banda y contienen seis clases, apenas discernibles. Las estadísticas básica de estas imágenes son: (1) La separación entre clases en ambas imágenes es de cinco niveles de gris entre las medias, (2) En la primera imagen sintética (lámina VII.58a) la varianza de las clases es de 11.26, mientras que en la segunda imagen sintética (lámina VII.59a) es de 24.92. La dimensión de estas imágenes es de 192  256 pixels. La función de densidad de las clases en ambas imágenes es de tipo gaussiana, el contenido de ruido es de: snr = 7.9586 db y snr = 0.3719 db respectivamente, es decir en la primera imagen el contenido de ruido es relativamente bajo y en la segunda relativamente alto. Las láminas VII.58b y VII.59b muestran los bordes calculados con el algoritmo y en las láminas VII.58c y VII.59c aparece la segmentación final después de haber codificado los pixels de las clases con los pixels de los bordes. La clasificación se llevó a cabo con una ventana de 7  7 para la primera imagen sintética y de 5  5 para la segunda imagen sintética. La naturaleza sintética de estas imágenes permite una cuantificación de la precisión en la clasificación debido a que la región ocupada por cada clase es bien conocida. A partir de las matrices de confusión se calcula el coeficiente kapa, para la lámina VII.58,  = 0.8586 y para la lámina VII.59,  = 0.7937. b) Una imagen multi-espectral del satélite Spot cubriendo una región del estado de San Luís Potosí, México; las dimensiones de esta imagen son de 512  512 pixels. Se aplica la descomposición en componentes principales y se retienen únicamente las dos primeras componentes para la clasificación. Por medio de una inspección visual de esta imagen, y con el apoyo de datos de campo, se definieron seis clases a través de pixels prototipo determinados por medio de campos de entrenamiento. La lámina VII.57 muestra estos campos de entrenamiento sobre una composición falso color definida como, [RGB] = [Banda 1, Banda 2, Banda 3]. Desde la esquina superior izquierda y en sentido diestrógiro, las clases definidas son: sombras, suelo/hierba, matorral microphylum, roble/pino, lecho de río/hierba, y matorral/roble submontano. La clasificación se llevó a cabo con una ventana de 5  5 pixels. El resultado de la clasificación, una vez que los pixels de las clases y de los bordes son codificados, se muestra en la lámina VII.60. El coeficiente kapa se calcula a partir de la matriz de confusión (cuadro VII.3) que resulta del proceso de clasificación contextual con base en los campos de entrenamiento. Para esto, se obtienen los pixels que fueron correcta y erróneamente clasificados para cada campo. A partir de la matriz de confusión se calcula el coeficiente kapa, cuyo valor es: 0.98823. Esta clasificación puede ser comparada con la que se obtiene por medio de la clasificación no-supervisada y supervisada. En términos generales, la clasificación contextual genera mejores resultados que la clasificación puntual. Veamos un ejemplo numérico empleando el algoritmo de clasificación contextual arriba descrito. Supongamos que se tiene una imagen de una banda donde se han definido dos clases cuyas funciones de densidad 1 y 2 se muestran en la figura VII.40.


475

Figura VII.40. Funciones de densidad unidimensionales. Cuadro VII.3.- Matriz de confusión de la clasificación de la lámina VII.60. Clase 1 2 3 4 5 6 Total

1 730 0 0 0 0 0 730

2 0 199 0 0 0 0 199

3 0 6 918 13 0 0 937

4 0 0 0 772 0 0 772

5 18 0 0 0 122 1 141

6 15 0 0 0 0 3475 3490

ci+ 763 205 918 785 122 3476 6269

Supongamos también que se tiene una ventana móvil (v) en una de cuyas posiciones presenta la función de densidad mostrada en la figura VII.40; en la siguiente tabla se proporcionan los valores de frecuencia (f) de las funciones de densidad de las clases definidas y de la ventana F

1 2 V

1

2 2

3 4

4 5 1

5 5 2

6 4 1 5

7 2 2 3

8

9

10

11

12

13

4 2

4

4

3

2

1

14

Calculemos ahora la distancia de la función de densidad de la ventana a cada una de

476


las funciones de densidad de las clases, para esto empleemos la siguiente fórmula de distancia

2 D fg  1 

 min[f (r), g(r)]  f (r)  g(r) r

(VII.209)

r

Donde f(r) y g(r) son las funciones de densidad cuya distancia está dada por la cantidad DVD. De acuerdo con esta fórmula, las distancias son v – 1: 0.5143 y v – 2: 0.7059 De aquí entonces el pixel centrado en la ventana es clasificado en la clase 1. Nótese que en la fórmula (VII.209) no se requiere que las funciones de densidad estén normalizadas a uno tal como lo expresa la ecuación (VII.205). VII.6.2 Crecimiento de regiones El crecimiento de regiones es un proceso de segmentación contextual tendiente a separar objetos específicos de la imagen (Fan et al., 2005). En este método, a partir de pixels iniciales adecuadamente escogidos, típicamente un pixel pj por cada patrón (objeto) gi de la imagen, se comienza un proceso iterativo que asigna, paso a paso, pixels vecinos a pj con propiedades similares a éste de acuerdo con un criterio de uniformidad seleccionado; este proceso se continúa hasta que tal criterio no se satisface más. Entonces, en cada zona homogénea de cada objeto de interés se selecciona un pixel representativo a partir del cual se inicia el procedimiento de crecimiento de regiones; la selección de estos pixels es de gran importancia para el éxito de la segmentación. En el método de crecimiento de regiones se comienza entonces con pixels sembrados a partir de los cuales se agregan otros pixels vecinos que tengan propiedades similares de acuerdo con un predicado de uniformidad preseleccionado. En este sentido se comienza con subregiones de un solo pixel, a estas se les agregan otros en relación con lo arriba expuesto, de tal manera que tales subregiones crecen espacialmente hasta que el criterio de uniformidad deja de satisfacerse. Debido a este proceso de agregación, este método se le conoce como crecimiento de regiones. En general no todos los pixels de la imagen son asignados a las regiones crecidas quedando un remanente que a su vez se considera como una región, de tal manera que la condición (a) de la definición de segmentación (sección VII.2) siempre se satisface. Veamos ahora en detalle los pasos del crecimiento de regiones suponiendo cualquier criterio de uniformidad. Los pasos que a continuación se describen se aplicarían a cada subregión considerada. Sea una imagen g y un pixel pij0  g y sea R0 = { pij0 } la subregión inicial, a pij0 se le conoce como el pixel sembrado relativo a la subregión R0. Definimos ahora a R '0 como el conjunto de todos aquellos pixels que no están en R0, pero que tienen al menos un vecino con R0 bajo cierta conectividad. Sea E(R0)v el valor del criterio de uniformidad aplicado a una vecindad v de R0. Se define ahora a R1 como aquella región


477

formada conjuntamente por R0 y por todos los pixels p1kl  R 10 para los cuales el valor del predicado de uniformidad E( p1kl )v, evaluado sobre una vecindad v de p1kl , difiere de E( pij0 )v en a lo más una cierta cantidad  llamada umbral, es decir R1 es el siguiente

conjunto

 

R 1  { p1kl : E p1kl

v

 

 E pij0

v

 }

(VII.210)

El número real  es referido como el parámetro de uniformidad y es empleado para cuantificar la variación de los valores de las propiedades (espaciales y espectrales) caracterizadas por el criterio de uniformidad E. Una vez que R1 ha sido determinada, se repite básicamente el paso anterior: R 1' es ahora la colección de todos los pixels fuera de R1, pero con al menos un vecino con R1. Entonces en general la región Rm estaría dada por

 

R m  { p klm : E p klm

v

 

 E pij0

v

 }

(VII.211)

Nótese que el criterio de uniformidad se prueba con respecto a la vecindad original de R0. El proceso se continúa inductivamente hasta que el nuevo conjunto sea igual al anterior: Rk+1 = Rk; en esta etapa el algoritmo termina. Lo anteriormente descrito es fácilmente generalizable para q regiones iniciales: R q0 . Es así entonces que un pixel pkl es agregado a la clase t si el predicado de uniformidad se satisface para una vecindad de éste, es decir pkl  clase t: E ( p kl ) tv  E ( pij0 ) tv  

donde E ( pij0 ) tv es el predicado de uniformidad aplicado a la vecindad v del pixel pij0 originalmente sembrado para la clase t. Con la formulación anterior del crecimiento de regiones, es factible ahora plantear dos ejemplos, uno relativo a la uniformidad espectral y el otro a la uniformidad textural, basado éste en la matriz de co-ocurrencia (apartado VII.3.8). Comencemos por definir el criterio de uniformidad espectral. Sea  v0 el vector de la media de los pixels pij0 contenidos en la vecindad v, es decir  v0 

 

1  pij0  E pij0 n  m i, jv

v

(VII.212)

Donde n  m es la dimensión de la vecindad v que en ocasiones se supone cuadrada, y el promedio se realiza sobre todas las bandas de la imagen multiespectral, de tal manera que el vector  0 es de la misma dimensionalidad que la imagen. Entonces, la región Rm estaría formada por el siguiente conjunto

478


R m  { p klm :  vm   0v  }

(VII.213)

Donde, en este caso, el parámetro  es una medida de la uniformidad espectral de la región Rm y en lugar del valor absoluto de la diferencia de los vectores puede emplearse una de las métricas ya definidas anteriormente (ecuaciones VII.159 a VII.165). El algoritmo de crecimiento de regiones emplea básicamente dos parámetros: el tamaño de la vecindad v y el de uniformidad . El tamaño de v puede fijarse para optimizar la segmentación y el valor de  puede determinarse para detectar un cambio significativo en la uniformidad, estableciendo con esto la frontera del objeto de interés. El tamaño de la vecindad o ventana v debe darse de tal manera que asegure la máxima separabilidad o distancia (espectral o textural) entre las clases iniciales determinadas por los pixels sembrados. Para optimizar el tamaño de la ventana, es necesario introducir una medida espectral conjunta entre las clases iniciales. Sean dos clases espectrales a y b para las cuales se asocia una ventana de tamaño n  n a los respectivos pixels sembrados, entonces la medida espectral conjunta se define como S nab   an   bn

(VII.214)

Donde  an y  bn son las medias de los valores de los pixels presentes en las ventanas de las clases a y b respectivamente. Si las dos clases son espectralmente iguales, S nab es cero, alcanzando esta cantidad un máximo de 255 cuando las clases presentan la mayor disimilaridad posible. A partir de esta última expresión es factible obtener una matriz de medidas espectrales conjuntas para pares de clases. Por otro lado, el tamaño óptimo de ventana se estima cuando el siguiente valor promedio 2 Sn  N c ( N c  1)

N c 1 N c

 S

ab n

(VII.215)

a 1 b  a 1

es máximo, donde Nc es el número de clases consideradas. Hay que hacer notar que S nab = S nba , si a  b y S nab = 0, si a = b. Es necesario mencionar que una clase espectral puede estar presente en varias regiones disjuntas. El otro parámetro que es necesario estimar es el que se refiere a la uniformidad espectral . El cálculo de  está determinado por la medida espectral arriba definida y la distribución de valores espectrales asociados a los pixels que componen la ventana inicial. Para esto consideremos el grupo de n  n ventanas centradas en los pixels que componen la ventana inicial de cada clase. Sobre cada una de estas ventanas se obtiene el valor de media m in de los pixels que las componen, generándose una distribución de valores de media establecida por el siguiente conjunto M n  {m 1n , m 2n , . . . m nxn n }

(VII.216)

Donde  representa el conjunto de clases espectrales consideradas. Cada uno de estos


479

conjuntos tiene a su vez asociada una media  n y una desviación estándar  n . Se supone que las ventanas iniciales representan una muestra estadísticamente válida de las propiedades consideradas en cuanto a los objetos de interés. A partir de aquí se define la distancia promedio entre dos distribuciones espectrales; para las clases a y b se tiene d

ab

a b 1 nn M n (i)  M n (i)   a  b n  n i 1 n n

(VII.217)

Donde M an (i )  m in para la clase a. La expresión (VII.217) mide la similaridad o disimilaridad promedio entre dos objetos espectrales. Una vez que se determina el tamaño óptimo de ventana, se calcula la media y la desviación estándar de cada clase considerada, de aquí entonces se dice que un pixel es agregado a una región si su valor espectral asociado, evaluado sobre una vecindad v, no difiere de esta media por un cierto porcentaje. Por tanto, el umbral óptimo se fija de la siguiente manera    2  n

(VII.218)

Esta expresión determina la existencia de un borde espectral para una clase dada e indica el porcentaje de variación con respecto a la media. El borde espectral significa la frontera donde las propiedades espectrales cambian (lámina 57) significativamente, es decir, el lugar geométrico que define el objeto espectral de interés. El otro ejemplo que nos propusimos estudiar es el que se refiere a la segmentación de objetos empleando la matriz de co-ocurrencia para cuantificar las propiedades texturales de éstos (Lira y Frulla, 1998; Lira y Maletti, 1998). La formulación es análoga a la que se hizo en el ejemplo anterior. Considérense entonces dos objetos texturales t y s, para las cuales se asocian ventanas de dimensión n  n centradas en los respectivos pixels sembrados. En forma similar a la matriz de co-ocurrencia, se construye ahora una co-ocurrencia conjunta para pares de pixels (sp , tq ) que ocurren en las mismas posiciones relativas de cada ventana. De esta manera, si dos texturas igualmente suaves o rugosas están presentes en estas dos ventanas, la matriz resultante está compuesta por únicamente un elemento diferente de cero, y la entropía conjunta E nst  

 c p

st pq

st log[c pq ]

(VII.219)

q

es cero, es decir, la distancia textural entre las clases t y s es nula y alcanza un cierto máximo cuando estas clases son totalmente diferentes. El tamaño óptimo de ventana es aquel cuando el valor promedio En 

2 N c ( N c  1)

N c 1 N c

 E s 1 t  s 1

st n

(VII.220)

480


es máximo y donde E nst  E nts , con t  s y E nst = 0, con t = s. La determinación del umbral óptimo está basada en la distancia textural expresada por (VII.219) y en la distribución de valores de textura asociados a los pixels que componen la ventana inicial de cada clase textural. Tómese, por tanto, el grupo de n  n ventanas centradas en los pixels que componen las ventanas iniciales, entonces, para cada una de éstas se obtiene un conjunto de n  n valores de entropía E n  {E n1 , E n2 , . . . E nnxn }

(VII.221)

Donde  representa el conjunto de clases de textura definidas a través de los pixels sembrados. Cada distribución de entropías E n tiene asociada una media  n y una desviación estándar  n . La distancia promedio entre dos de estas distribuciones de entropía se define como d st 

1 nxn

nxn

 i 1

E ns (i )  E nt ( i )  sn   tn

(VII.222)

Donde E ns (i)  E ni para la clase s. Una vez establecida la ventana óptima se calcula la media y la desviación estándar de cada clase. Esta última expresión mide por tanto la similaridad o disimilaridad promedio entre dos objetos texturales. De aquí entonces que un pixel es agregado a una región si su valor de entropía asociado Ep no difiere de dicha media por un cierto porcentaje. Entonces el umbral óptimo se fija de acuerdo al siguiente criterio    2 n

(VII.223)

Este umbral mide la existencia de un borde textural para una clase dada, e indica el porcentaje de variación con respecto a la media. En otras palabras, mientras el porcentaje de variación de valores de entropía no exceda la cantidad determinada por (VII.223) se considera que se trata del mismo objeto textural, encontrándose la frontera del mismo cuando esta expresión se satisface.

VII.7 Ejercicios 1. La definición de segmentación proporcionada en la sección VII.2 es de tipo booleana, lo que significa que la membresía de un pixel a una región tiene probabilidad uno. Generalice esta definición con base en la lógica borrosa, es decir, suponga que la pertenencia de un pixel a una región puede tener probabilidad entre cero y uno. 2. Utilice la parte izquierda de la figura VII.14 y calcule el área, el perímetro, la compacidad, la excentricidad y la forma; realice este cálculo para conectividad 4 y 8.


481

3. Utilice la parte izquierda de la figura VII.14 y obtenga la rugosidad del perímetro para conectividad 4 y para conectividad 8. Elabore un modelo, tal como /, para cuantificar tal rugosidad a partir de los histogramas generados. 4. Utilice la figura VII.9b y calcule la entropía (ecuación VII.21) de la rugosidad del perímetro bajo conectividad 8. ¿Qué sucede bajo conectividad 4? 5. Utilice la cadena de unos de la figura I.6 y calcule el contraste (ecuación VII.11) de la rugosidad del perímetro bajo conectividad 8. 6. Elabore un ejemplo donde dos objetos presenten la misma entropía (ecuación VII.21) de la rugosidad del perímetro pero formas diferentes (ecuación VII.5). 7. En una malla de 16 x 16 dibuje el círculo máximo que pueda ser inscrito digitalmente, calcule la compacidad empleando las ecuaciones (VII.1) y (VII.2) utilizando conectividad 4 y 8; compare resultados y estudie las características de éstos. 8. Emplee la banda 1 mostrada en la figura I.4 y calcule la matriz de co-ocurrencia sobre una ventana de 5  5, para las cuatro primeras direcciones del código de Freeman y para una dimensión de  tal que se empleen los primeros vecinos en conectividad 8. 9. Estudie las propiedades de simetría de la matriz de co-ocurrencia evaluada en el ejercicio anterior y calcule los descriptores: contraste, probabilidad máxima, entropía y homogeneidad. 10. Obtenga la vaina convexa y el índice de compacidad, bajo conectividad 8, de las imágenes mostradas en la figura VII.11. 11. Empleando la cerradura, con un elemento estructural adecuado, obtenga la vaina convexa de la imagen X de la figura VII.1. 12. En la figura VII.8 se muestra un ejemplo de la compatibilidad bajo traslaciones; diseñe un ejemplo para la compatibilidad bajo cambios de escala. 13. En la figura VII.8 se muestra un ejemplo de la compatibilidad bajo traslaciones; diseñe un ejemplo para la compatibilidad bajo rotaciones. 14. Demuestre que la dilatación es invariante frente a traslaciones. 15. Demuestre que  (X/  B) = X  B, donde  es un parámetro de escala. 16. Demuestre la propiedad de iteración de la erosión y la dilatación en la expresión (VII.51). 17. Demuestre que la dilatación es un caso particular de la transformación intersecta o no intersecta. 18. Demuestre la equivalencia entre las expresiones (VII.47) y (VII.71). 19. Demuestre que la suma y la resta de Minkowski son invariantes frente a traslaciones. 20. A partir del ejemplo mostrado en la figura VII.11 compruebe gráficamente la invarianza frente a traslaciones expresada en las ecuaciones (VII.55). 21. Considere el objeto X de la figura VII.11 y obtenga gráficamente su perímetro X empleando la relación morfológica: X = X/X ⊝ P = X  X ⊝ P, donde P es el siguiente elemento estructural 1 1 1 P 1 1 1 1 1 1

482


suponiendo que el origen de P está en el pixel remarcado en negrilla (centro). 22. Rehaga el ejercicio 21 pero utilizando el elemento estructural 1 P1 1 1 1

Compare los resultados obtenidos. 23. Adelgace simétricamente el objeto de la figura VII.11 empleando la transformación X ⊙ B = X/X ⊛ B = X – X ⊛ B, utilizando una base B = {Bi, 1  i  q} bajo un esquema de conectividad 8. 24. Utilice el objeto X y el elemento estructural B1 de la figura VII.11 y muestre gráficamente que tanto la apertura como la cerradura son transformaciones idempotentes. 25. Demuestre que la cerradura es invariante frente a traslaciones. 26. Demuestre las relaciones: X ◦ B = (Xc • B)c y X • B = (Xc ◦ B)c. 27. Estudie los filtros de corte morfológico y geométrico (apartados V.2.8 y V.3.12) y determine si son invariantes frente a cambios de escala, crecientes o no crecientes, extensivos o no extensivos, idempotentes y convergentes; explique y dé razones. 28. Con base en la figura VII.24, diseñe un filtro secuencial alternativo para filtrar los huecos del objeto X y eliminar el ruido del fondo. 29. Construya la función de colapso del ejemplo mostrado en la figura VII.34 y reconstruya el objeto X empleando los discos maximales correspondientes; compare la reconstrucción con el objeto original. 30. El algoritmo de k-medias mostrado en el apartado VII.5.1 es de carácter booleano, es decir, la probabilidad de pertenencia de un pixel a un cúmulo es 0 ó 1. Defina una función de membresía tal que la probabilidad de pertenencia pueda asumir valores entre 0 y 1 y reformule el algoritmo de k-medias en estas condiciones. En esta situación, un pixel podría pertenecer a dos cúmulos con dos probabilidades diferentes, digamos 0.3 y 0.7, de acuerdo con un criterio determinado por la función de membresía. Tal criterio podría ser la razón de distancias de dicho pixel a los centroides de los dos cúmulos. 31. En las ecuaciones VII.159 a VII.165 determine el intervalo de variación para cada una de las métricas. 32. Calcule hat para la matriz de confusión mostrada en el cuadro VII.2. 33. Calcule la precisión del usuario y la precisión de la producción para una clase de la matriz de confusión del cuadro VII.2. 34. Calcule el error relativo de área para la matriz de confusión mostrada en el cuadro VII.2. 35. Rehaga el ejemplo de la figura VII.35 empleando el criterio de distancia dado por la ecuación (VII.160). 36. Rehaga el ejemplo de la figura VII.35 sembrando los dos centroides en otros lugares y analice la convergencia del algoritmo con respecto al ejemplo original. 37. Detalle las diferencias entre el algoritmo de k-medias y el de C-medias. 38. Integre la ecuación (VII.190) utilizando la función de densidad (VII.180) y obtenga la divergencia dada por (VII.194).


483

39. Integre la ecuación (VII.196) utilizando la función de densidad (VII.180) y obtenga la distancia de Jeffries-Matusita dada por (VII.197). 40. En el crecimiento de regiones, uno de los criterios para determinar el umbral y la ventana óptimos es por medio de la entropía conjunta dada por la ecuación (VII.219). Con los mismos lineamientos defina un criterio de correlación cruzada y encuentre, en función de éste, el umbral y la ventana óptimos correspondientes.

484


VIII. SISTEMA RADAR DE IMÁGENES Los sistemas activos controlan su propia fuente de iluminación permitiendo la adquisición de imágenes a cualquier hora, la longitud de onda empleada en la región de microondas hace factible el estudio de la superficie terrestre en cualquier condición atmosférica.

VIII.1 Formación y Naturaleza de una Imagen Radar VIII.1.1 Formación de una imagen radar Un sistema de formación de imagen empleando radiación coherente en la región de microondas es conocido como un sistema radar de imágenes. La región de microondas del espectro electromagnético se encuentra en las longitudes de onda desde algunos milímetros hasta algunas decenas de centímetros (cuadro I.1). Esta región está subdividida en bandas que son empleadas por los sistemas radar para generar imágenes de la superficie terrestre. Un dispositivo de generación y registro de imágenes radar (Henderson y Lewis, 1998) es llamado activo debido a que genera de manera controlada la radiación necesaria para iluminar la escena de interés. Tal radiación es coherente, ya que los paquetes de onda que forman el haz de iluminación tienen la misma longitud de onda y la misma fase. La coherencia de la radiación produce, sin embargo, un ruido llamado speckle, inherente a la formación de la imagen de radar, que puede ser reducido únicamente por el promedio de varias imágenes de la misma escena o por medios digitales aplicados a-posteriori. Debido a la geometría particular de formación de imagen, el sistema de radar es capaz de detectar la riqueza textural de la escena de interés. Las longitudes de onda empleadas en sistemas radar son tales, que la interacción de la radiación electromagnética con los componentes atmosféricos es de una magnitud muy pequeña (figuras VIII.1 y VIII.2), permitiendo la adquisición de imágenes en prácticamente cualquier condición climática. El uso de radiación coherente en sistemas radar hace posible el empleo de varios esquemas de polarización en la generación de imágenes. Si la transmisión de la radiación se hace bajo polarización horizontal y la medida de los pulsos retrodispersados en polarización vertical, se dice entonces que se tiene un esquema HV. Otros esquemas tales como HH, VV o VH son posibles también. En la actualidad existen sistemas radar de tipo orbital (cuadro B.3) que producen imágenes radar de la superficie terrestre sobre una base regular. En misiones específicas en geometrías de adquisición particulares, los sistemas radares aerotransportados se emplean también. Existen porciones o franjas en la región radar (figura VIII.2, Cuadro B.3) que son empleadas por la mayoría de los sistemas de formación de imágenes, estas son las bandas C, L y X, otras bandas tales como K, P y Q son utilizadas también. Una imagen radar se forma básicamente a través de la medida de los pulsos retrodispersados provenientes de la escena de interés, la cual es iluminada por un haz de radiación coherente en alguna de las bandas anteriormente mencionadas. El haz está formado por un tren de pulsos de corta duración  en el tiempo y con una frecuencia de repetición muy alta. Los pulsos son generados por una antena, cuya función cambia alternadamente entre emisora y receptora a una frecuencia igual a la de repetición de los

Sistema Radar de Imágenes

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pulsos emitidos por ésta.

Figura VIII.1. Transmisividad de las nubes en función de la longitud de onda.

Figura VIII.2.- Bandas en la región radar del espectro electromagnético. En el modo emisor la antena emite pulsos, en el modo receptor mide los pulsos

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retrodispersados por los elementos de la escena de interés. A un radar que opera con una sola antena para transmitir y recibir pulsos se le conoce como sistema radar monostático. A un radar que opera con dos antenas, una para emitir los pulsos y una para recibir los pulsos retrodispersados se le llama sistema radar bistático. La antena, montada en una plataforma aerotransportada o satelital, produce el haz de radiación en una dirección aproximadamente perpendicular (figura VIII.3) a la trayectoria de desplazamiento de la plataforma. Al ángulo  que forma el haz de radiación con la trayectoria de desplazamiento se le llama ángulo de squint. El haz está formado por rayos radiales, cuyo origen es la antena, de tal manera que la longitud transversal Ry de la zona iluminada en el terreno aumenta directamente (figura VIII.3) con la distancia R de la antena al terreno, a esta distancia se le conoce como el rango. Para una geometría dada (figura VIII.3) del sistema radar, el rango es variable en magnitud y dirección, de aquí que se le conciba como un vector: R y cuya magnitud se denota de acuerdo con: │R│ = R.

Figura VIII.3. Geometría de observación del sistema radar. La dirección de desplazamiento de la antena es conocida como la dirección de azimut y la dirección perpendicular a ésta como la dirección de rango (figura VIII.3). A la proyección en el terreno de la dirección de desplazamiento se le llama traza de vuelo. La línea de la antena al centro de la Tierra se le denomina nadir local y a la intersección de esta línea con la escena se le llama punto nadir. La altura de la antena sobre el


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terreno es h, el ancho del haz en la dirección de azimut es  y en la dirección de rango es . La inclinación hacia el terreno del haz se conoce como el ángulo de depresión . La antena ilumina la escena de manera lateral en dirección aproximadamente perpendicular a la dirección de desplazamiento, debido a esto, a tal dispositivo se le conoce como radar de vista lateral. El desplazamiento de la plataforma, a una velocidad aproximadamente constante, permite barrer la escena a intervalos regulares empleando haces de una cierta apertura . Tal barrido se realiza lateralmente al nadir local de la antena, teniendo una proyección en el terreno dada por (figura VIII.3)

S

h Sen  Sen (  ) Cos 1  Sen

(VIII.1)

Donde  es el ángulo llamado de depresión (figura VIII.4).

Figura VIII.4. Resolución Rx en la dirección radial. Los pulsos retrodispersados por el terreno a lo largo de un barrido, son registrados en

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un medio magnético, y procesados posteriormente, formando una línea de pixels de la imagen de radar. Debido a la anchura finita del haz, se produce un cierto traslape entre barridos adyacentes. En este esquema de generación de imagen, la resolución de ésta varía en función directa de la distancia de la plataforma al terreno y del tamaño de la antena radar. A un sistema operando con tales características se le llama Radar de Apertura Real (RAR). La resolución en la dirección radial (x) y azimutal (y) para un sistema RAR se obtiene de acuerdo a los cálculos subsecuentes. Para una antena circular, la anchura del haz  en la dirección y está dada por,  = /D, donde  es la longitud de onda de la radiación generada por la antena y D es el diámetro de ésta. El ancho del haz  se expresa en radianes. Entonces en la dirección y la resolución Ry (figura VIII.5) está dada por Ry = R, donde R es la distancia de la antena a un punto en el terreno. Substituyendo ahora en la expresión para  se tiene finalmente que

R y 

R h  D DSen

(VIII.2)

Por tanto, la resolución en la dirección y es directamente proporcional a la longitud de onda y a la distancia de la antena al terreno e inversamente proporcional al tamaño de la antena.

Figura VIII.5. Resolución Ry en dirección de azimut para un radar de apertura real. Por otro lado, para una antena rectangular, de longitud l y anchura d el patrón de antena (Elachi, 1987a) es función de los ángulos r y a de acuerdo con la expresión d  l  Wp  Sinc 2   r Sinc 2   a      

(VIII.3)

Donde r y a son los ángulos que forma un vector normal a la antena con respecto a la direcciones radial y azimutal del patrón del haz de radiación emitido por la antena. La ecuación anterior indica que la mayor intensidad de la radiación es en la dirección normal a la antena y que disminuye de acuerdo con la función Sinc a medida que aumentan los ángulos r y a (figura VIII.6). El patrón de radiación de la antena a la mitad de la potencia se considera constante, por tanto, a partir de la ecuación (VIII.3) se escribe


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Figura VIII.6. Patrón de radiación de una antena rectangular. d  Sinc 2   r   0.5  

y

l  Sinc 2   a   0.5  

Estas dos ecuaciones trascendentales se resuelven numéricamente para producir

d  r   0.443 

y

l  a   0.443 

De aquí entonces se obtienen los ángulos que determinan el ancho del haz en las direcciones azimutal y de rango (figura VIII.3)

  0.886

 l

y

  0.886

 d

(VIII.4)

En (VIII.4) se considera una buena aproximación (Elachi, 1987a) el escribir simplemente  = /l y  = /d. El ancho del haz se considera por tanto igual al intervalo de ángulos para los cuales la potencia de radiación es al menos de la mitad de la máxima intensidad. Por ejemplo, los satélites ERS 1 y 2 portan una antena con dimensiones: d = 1.0 m y l = 10.0 m, por tanto  = 0.287 y  = 2.870, ya que  =

490


0.0566 m. Debido a que el ángulo azimutal es muy pequeño es posible hacer la aproximación   Z/R, donde R es el rango de la antena al terreno y Z es la proyección del haz en el terreno en la dirección de azimut; de aquí entonces

 Z  0.886 R l

(VIII.5)

Es común escribir esta última ecuación simplemente como Z = R/l. El resultado de la ecuación (VIII.2) nos indica que para incrementar la resolución, es decir, para disminuir Ry, es necesario, o reducir la longitud de onda, o aumentar el tamaño de la antena, o ambos. Sin embargo, existen limitantes físicas que impiden aumentar el tamaño de la antena más allá de un cierto límite y por otro lado, la longitud de onda no se puede reducir fuera del intervalo de microondas. Por ejemplo, si se tiene una antena circular de tamaño d = 5 m, operando en la banda X, es decir,  = 3 cm y si R = 10 km, entonces Ry = 60 m. Esta es una resolución pobre aun para un rango R relativamente pequeño. Si la plataforma es satelital, R es del orden de 700 km y la resolución es, por tanto, muy baja. Además, un grupo de objetos que podrían resolverse para rango pequeño se confunde para un rango mayor (figura VIII.5). En la dirección x la resolución (figura VIII.4) está relacionada al tiempo de recorrido de un pulso de radiación desde que es emitido por la antena hasta la detección, por ésta, del pulso retrodispersado. Entonces, el tiempo total de recorrido es t = 2R/c, donde c es la velocidad de la luz. Por otro lado t +  = 2(R + RCos)/c, donde  es el ancho del pulso. Se tiene por tanto que  = 2RCos/c. De aquí entonces, si definimos Rx = R, se tiene que finalmente la resolución en x está dada por la siguiente expresión

R x 

c 2Cos

(VIII.6)

Es decir, la resolución en la dirección x es directamente proporcional al ancho del pulso . Para aumentar la resolución en la dirección x es necesario reducir el ancho del pulso , sin embargo, W  1, donde W es el ancho de banda del emisor de la antena radar. Parecería ser que empleando pulsos más cortos y aumentando el ancho de banda se incrementaría la resolución en la dirección de rango. Sin embargo, para obtener una alta relación señal-ruido es necesario emplear pulsos de gran potencia ya que la señal retrodispersada es del orden de 10-11 menos intensa que la señal transmitida. De aquí entonces, pulsos cortos y gran potencia de señal entran en conflicto; estas dos condiciones no se pueden satisfacer simultáneamente. Por otro lado, existen limitaciones físicas que imponen un límite al valor de W por lo que  no se puede reducir más allá de un cierto límite. Además, la longitud de onda empleada determina también una cota para el ancho del pulso. No obstante, la resolución en la dirección x no depende del rango R por lo que puede ser constante para una geometría dada del sistema radar. VIII.1.2 Sistema de apertura sintética El radar de apertura real tiene limitaciones en cuanto a la resolución que puede ser


491

alcanzada; para producir imágenes de alta calidad es necesario reconsiderar el diseño de operación del sistema radar. En un radar de apertura real la resolución en la dirección x es función del ancho del pulso , siendo constante en la imagen para el intervalo de valores de x. Sin embargo, en la dirección y depende del rango y del tamaño de la antena. Para evitar esta dependencia es necesario expresar la resolución en y en términos tales que resulte constante también. A partir de esta premisa surge un nuevo diseño de sistema radar llamado Radar de Apertura Sintética (SAR). En este diseño, con base en el desplazamiento relativo (figura VIII.7) entre la antena y un punto dado en la escena, se mide la variación de rango y el corrimiento doppler para un intervalo acotado de la dirección y. Durante un cierto intervalo de tiempo T y debido al ancho finito del haz y al movimiento relativo entre la escena y la antena, se produce una variación del rango y del corrimiento doppler para cada punto de la escena observado (figura VIII.7) a lo largo de la dirección y. Esta historia de rangos y corrimientos doppler es medida y registrada por el sistema radar durante el proceso de generación de una imagen. Veamos en detalle la medida de tal historia.

Figura VIII.7. Desplazamiento relativo entre la antena y un punto en la escena. Supóngase que la antena emite una señal electromagnética ondulatoria, de fase cero, cuya amplitud está dada por la siguiente expresión Ai = A0Sen(2it) = A0Sen(it), - /2  t  /2

(VIII.7)

Donde A0 es una amplitud de referencia. Al retornar a la antena después de un tiempo t + t, el pulso retrodispersado es también una señal ondulatoria pero con una frecuencia y una fase diferentes (figura VIII.8), por lo que

492


Figura VIII.8. Cambio en frecuencia de una señal ondulatoria debido al efecto Doppler. Ar = ArSen[2r(t + t) + r]

(VIII.8)

Donde Ar y r son la amplitud y la fase de la señal retrodispersada respectivamente. Por otro lado, si la velocidad de desplazamiento de la antena (figura VIII.9) es a lo largo del eje y, el rango entre la antena y un punto de la escena se expresa como

R  R 

dR t dt

(VIII.9)

Donde dR/dt es la razón de cambio del rango R debido al desplazamiento de la antena. Para simplificar el cálculo, el origen de R se ha hecho coincidir con el punto observado; en los siguientes párrafos R se tomará en la dirección inversa. A medida que la antena se desplaza a lo largo de y el rango R varía en dirección y magnitud (figura VIII.9) con relación a un punto observado de la escena. Este rango se mide entonces para un intervalo de valores R, constituyéndose esta medida en la historia de rangos.

Figura VIII.9. Vector de desplazamiento de la antena en la dirección de azimut. El cálculo de las historias de rango y corrimiento doppler es el siguiente. Entre la antena y un punto observado en la escena existe un movimiento relativo por lo que el rango es una variable dada por la ecuación (VIII.9). El tiempo total de recorrido de un pulso desde su inicio en la antena hasta su detección después de interaccionar con la


493

escena es t = 2R/c; a t se le conoce como tiempo de vuelo. Después del tiempo t, la señal inicial Ai ha sido retrodispersada y su amplitud se ha modificado de A0 en Ar. Por tanto, haciendo el cambio, t  t + t, en la ecuación (VIII.7) y denotando la señal retrodispersada como Ar, se tiene la siguiente expresión  4 i dR R  4 i R  A r  A r Sen  t  2 i     c dt R  c  

(VIII.10)

Donde [dR/dt]  R/R es la razón de cambio del rango a lo largo de R. Al inspeccionar la ecuación (VIII.10), es posible identificar en ésta un cambio de frecuencia y un cambio de fase relacionados al pulso retrodispersado. El factor que multiplica al tiempo en (VIII.10) está asociado con el cambio de frecuencia, es decir 2 r  2 i 

4 i dR Sen c dt

(VIII.11)

Y el factor independiente en (VIII.10) es la fase del pulso retrodispersado

 r 

4R 

(VIII.12)

Al pasar la antena el punto donde R = R0, la ecuación (VIII.9) se escribe de la siguiente manera

R  R 

dR t dt

Sin embargo, el ángulo  cambia de signo (figura VIII.9) por lo que la expresión (VIII.9) se mantiene. De aquí entonces, el cambio en frecuencia está dado por

   r   i 

2 dR 2 dR R  Sen    dt  dt R

(VIII.13)

Donde  es la longitud de onda de operación del radar. El cambio de fase está expresado por (VIII.12) ya que se supuso, en la ecuación (VIII.7), que la señal original tiene fase cero. La cantidad [dR/dt]Sen es la velocidad relativa, sobre la dirección R, entre la antena y el punto observado. Tal cantidad disminuye al aproximarse la antena al punto de mínima distancia: R  R0, llega a cero cuando R = R0 y se incrementa subsecuentemente. Esto quiere decir que tanto la fase como la frecuencia disminuyen cuando R  R0, se hacen cero cuando R = R0 y se vuelven negativas cuando R0  R. Cuando la antena se desplaza a una velocidad constante, el rango R disminuye gradualmente en magnitud y se aproxima en dirección a R0. Por tanto, para un punto observado, cuando   0, Sen  0, el cambio en frecuencia es   0 y tiende a cero. En el rango mínimo, justo en R0,  = 0, Sen = 0, dR/dt = 0, por lo que  = 0. Finalmente, cuando la antena se aleja (figura VIII.9) del punto observado, -  - /2,

494


Sen(-)  -1, por lo que el cambio en frecuencia es   0. A su vez, el cambio de fase varía de un cierto valor a un mínimo en R0 y aumenta subsecuentemente. Si un punto determinado en la escena es observado (figura VIII.9) desde un rango Ri hasta uno Rf, la historia de rangos es entonces la medida de R en el intervalo R = Rf – Ri. Es decir, en un sistema de apertura sintética se registran y preservan: el rango, la amplitud, la fase y el corrimiento doppler dadas por las expresiones (VIII.10), (VIII.12) y (VIII.13) de la señal retrodispersada en un cierto intervalo; a tal sistema se le conoce como radar coherente. Supóngase ahora que la velocidad de la antena es va a lo largo de la dirección azimutal y que, a partir de un punto de referencia, la distancia recorrida por la antena es s, por lo que

dR dR ds dR   va ds dt dt ds

(VIII.14)

Donde 2

2

dR dx ˆ dy ˆ dz ˆ dR  dx   dy   dz          i j k  ds ds ds ds ds  ds   ds   ds 

2

=1

Ya que ds2 = dx2 + dy2 +dz2 y donde (î , ˆj, kˆ ) son vectores unitarios en las direcciones (x,y,z) respectivamente. De aquí entonces el cambio en frecuencia debido al corrimiento doppler se escribe como

  

2 dR R 2 va   v a Sen , - /2    /2  ds R 

(VIII.15)

En la ecuación anterior el máximo valor de  es el ancho del haz en la dirección azimutal generado por la antena del sistema radar (véanse Figuras VIII.7 y VIII.9). Si bien en principio el intervalo posible para  es de - /2    /2, en la práctica el valor de  es muy pequeño (véase Ecuación VIII.4), por lo que Sen  . De aquí entonces la ecuación (VIII.15) se puede escribir como  

v 2 va   a  l

Donde l es el ancho físico de la antena. La gráfica de  en función de va se muestra en la figura VIII.7. La ecuación (VIII.15) nos proporciona por tanto la historia de corrimientos doppler. Para obtener la fase en función de la velocidad de la antena sabiendo que  = 2, a partir de la ecuación (VIII.15) se escribe  

4v a2 t 4 v a RSen   R R

(VIII.16)


495

Donde RSen = vat es el desplazamiento de la antena a lo largo de la dirección de vuelo. La integral sobre el tiempo de (VIII.16) produce la fase buscada t



 0

4v a2 t 2v a2 t 2 dt  R R

(VIII.17)

Por otro lado, la frecuencia es la razón de cambio de la fase con respecto al tiempo, por tanto 2v 2 t d 22v a2 t   a dt R R

(VIII.18)

Supongamos ahora que el tiempo total de observación de un punto de la escena es T; el cambio total de frecuencia durante este tiempo sería entonces  dop 

2v a2 T R

Por otro lado (Ecuación VIII.4 y Figura VIII.3), se tiene que  = /l = L/R, donde l es la longitud física de la antena y además L = vaT, donde L se denomina la longitud sintética de la antena. Combinando estas tres últimas expresiones el cambio total de frecuencia se escribe como  dop  2

v a  

(VIII.19)

A dop se le conoce como el ancho de banda doppler. Los sistemas radar de apertura sintética emplean un tren de pulsos en lugar de una señal continua. De aquí entonces, la frecuencia de repetición de pulsos FRP debe ser suficientemente alta para asegurar que el espectro doppler sea muestreado correctamente, por tanto, de acuerdo con el criterio de Nyquist (véase sección II.3), se tiene que FRP  2dop. Además del criterio de Nyquist, la frecuencia de repetición de pulsos tiene otra limitante impuesta por la geometría de observación del sistema radar. En la operación de un sistema radar, la antena genera un haz de pulsos con una cierta apertura en la dirección radial (figura VIII.10). Esta apertura del haz produce una proyección en el terreno con una anchura igual a w en la dirección de rango. Sobre el lado del haz más cercano a la dirección del nadir local el ángulo de incidencia es 1 y sobre el lado más alejado el ángulo es 2 (figura VIII.10). De aquí entonces, el tiempo de vuelo de un pulso sobre las direcciones de estos dos lados es de

1 

2h 2h Sec1 y  2  Sec 2 c c

Para evitar ambigüedad en la observación de los dos puntos correspondientes a los ángulos 1 y 2 es necesario que el intervalo de tiempo entre pulsos sucesivos sea mayor

496


a  = 2  1. De aquí entonces la frecuencia de repetición de pulsos FRP debe satisfacer la siguiente relación  FRP 

1 c   2hSec 2  Sec1 

(VIII.20)

Esta frecuencia de repetición debe ser igual o mayor que 2dop. Por otro lado, una frecuencia de repetición demasiado baja degradaría la resolución en azimut.

Figura VIII.10. Proyección del haz sobre la dirección radial. La resolución en azimut está dada por (véase ecuación VIII.27) R y 

va  dop

Por lo que para no tener degradación en la resolución azimutal se debe satisfacer que  FRP 

va R y

Combinando las desigualdades (VIII.20) y (VIII.21), se tiene que

(VIII.21)


Sec

 Sec1  c  R y 2hv a 2

497

(VIII.22)

Por otro lado Sec 2  Sec1 

R 2  R1 h

Sin embargo, debido a que h >> w, es posible escribir la siguiente expresión Cos(90   2 )  Sen 2 

R 2  R1 w

Substituyendo esa última relación para w se tiene finalmente que

w c  R y 2v a Sen 2

(VIII.23)

Esta desigualdad impone un límite al ancho de barrido w. Es necesario hacer notar que el ancho de barrido es precisamente igual a la proyección del haz sobre el terreno. VIII.1.2.1 Geometría de formación de imagen La localización en el terreno de un campo instantáneo de vista (CIV) está determinada en una imagen radar por la medida simultánea de rango y del corrimiento doppler. De la antena al terreno existe una colección de puntos con el mismo rango (círculos) pero diferente corrimiento doppler, similarmente, existe una colección de puntos con el mismo corrimiento doppler pero diferente rango. Para localizar un CIV unívocamente, es necesario encontrar la intersección de las líneas de puntos de mismo rango (equidistancia) con aquellas líneas de mismo corrimiento doppler (isodoppler). Para obtener la ecuación de una línea isodoppler es necesario considerar en primera instancia que R  xî  yˆj  hkˆ  R  x 2  y 2  h 2 , donde (x,y) son las coordenadas de un

punto observado sobre el terreno y h es la altura de la antena. En esta geometría, el origen de coordenadas se encuentra en la antena y R es por tanto el vector de posición del punto observado. Por otro lado, Sen =y/R (figura VIII.9), por lo que a partir de la ecuación (VIII.16) y sabiendo que  = 2, se escribe 2

 y2        x2  y2  h2  2v a 

La ecuación (VIII.15) nos indica que el máximo cambio de frecuencia se tiene con Sen = 1, es decir, cuando el objeto observado se encuentra en la línea de vuelo de la antena. Llamémosle a este cambio de frecuencia 0, por lo que

498


x 2 y 2   02   2     1 h 2 h 2   2 

(VIII.24)

La cantidad 0 es siempre mayor que cero, por lo que (VIII.24) representa la ecuación de una hipérbola con foco en el eje y (figura VIII.11) y donde h = semieje menor y

h  02   2

= semieje mayor

El sistema de coordenadas al que se refiere una imagen radar es, por tanto, un sistema oblicuo formado por círculos e hipérbolas (figura VIII.12). El lugar geométrico donde se intersecan círculos e hipérbolas es el conjunto de los nodos donde se encuentran los centros de los campos instantáneos de vista de la escena observada. El valor de los pixels de la imagen radar es el valor de la señal registrada por la antena. Esta señal es a su vez proporcional a la sección diferencial de dispersión promedio de cada CIV.

Figura VIII.11. Líneas de equidistancia e isodoppler. En un sistema radar de apertura sintética, la información del corrimiento doppler del pulso retrodispersado es utilizada simultáneamente con el cambio en el rango para generar la imagen de radar de la escena. Este sistema opera de manera lateral, es decir, la antena apunta a un costado (figura VIII.3) de la plataforma y con un ángulo de squint cercano a los 90 con respecto a la dirección azimutal. La antena produce un tren de pulsos de energía electromagnética coherente hacia la superficie de la escena. Los pulsos


499

son de duración pequeña y son emitidos a una frecuencia de repetición alta. Los puntos equidistantes a la antena se encuentran localizados sobre esferas sucesivas concéntricas. Si la superficie de la escena es un plano, la intersección de estas esferas con el terreno genera un conjunto de círculos concéntricos al punto nadir. Los puntos sobre un círculo tienen un rango definido, pero características doppler diferentes. Los puntos distribuidos sobre conos coaxiales a la dirección azimutal y con la plataforma como vértice presentan corrimientos doppler iguales pero rangos diferentes. La intersección de los conos con la superficie produce una familia de hipérbolas que definen lugares donde el corrimiento doppler es igual. La familia de círculos e hipérbolas definen en conjunto un sistema de coordenadas oblicuo (figura VIII.11 y figura VIII.12) cuyos nodos pueden ser unívocamente identificados al medir simultáneamente los rangos y los corrimientos doppler.

Figura VIII.12. Sistema de coordenadas de un sistema radar. Centrado en cada nodo se considera un campo instantáneo de vista (CIV), la energía retrodispersada hacia la antena por los CIV es proporcional al valor de los pixels en la imagen radar. En un sistema de radar de apertura sintética la resolución depende, por tanto, de la capacidad del sistema para medir el tiempo de vuelo t y el cambio de frecuencia  debido al corrimiento doppler. En principio, el límite para medir estas dos cantidades es el impuesto por la longitud de onda empleada.

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VIII.1.2.2 Resolución en un radar de apertura sintética La resolución que se alcanza en un sistema radar de apertura sintética es mayor al de un radar de apertura real. Para calcular la resolución de un radar de apertura sintética empleamos los resultados de corrimiento doppler y cambio de fase dados en las ecuaciones (VIII.15) y (VIII.16). Supongamos que se tienen dos puntos muy cercanos entre sí, cuyos vectores de rango son Rs y Rt (figura VIII.13) de tal manera que su separación en el terreno es Ry. Los corrimientos doppler para estos dos puntos están dados por

 s 

2 v a Sen 

 t 

2 v a Sen (  ) 

La diferencia en corrimiento doppler es, por tanto  st 

2v 2 v a Sen  Sen (  )  a Cos  

Donde Sen   y Cos  1. Sabemos también que el ángulo entre Rs y Rt es:  = Ry/RCos, donde R es el rango promedio de Rs y Rt. Además, la longitud sintética de la antena es: L = vaT, donde T es el tiempo de observación para cualquier punto de la escena. Por otro lado, st = 1/T, por lo que se tiene finalmente

R y 

R 2L

(VIII.25)

La resolución azimutal es, por tanto, directamente proporcional al rango e inversamente proporcional a la longitud sintética de la antena. Por otro lado, la anchura del haz en la dirección azimutal del arreglo sintético está dada por (Ecuación VIII.4 y Figura VIII.3),  = /l = L/R, donde l es la longitud física de la antena. De aquí entonces se escribe la resolución azimutal como

R y 

l 2

(VIII.26)

Empleando la ecuación (VIII.19) para el ancho de banda doppler se puede escribir la resolución azimutal como R y 

va  dop

(VIII.27)

De los resultados anteriores se concluye por tanto que, en un radar de apertura sintética, la resolución azimutal es independiente del rango y es directamente proporcional al tamaño físico de la antena. Es posible también afirmar que para incrementar la resolución azimutal sería necesario, realizar una de las dos posibilidades siguientes, o


501

ambas concurrentemente: i) disminuir la longitud de onda, ii) incrementar la apertura del haz. La segunda de estas dos posibilidades implica reducir el tamaño físico de la antena. La resolución en la dirección x es la misma (Ecuación VIII.6) que la de un radar de apertura real. La longitud del arreglo sintético es directamente proporcional al rango por lo que, si este aumenta, lo hace también la longitud sintética en la misma proporción. Esto se debe a que al aumentar el rango, mayor es la proyección del haz sintético sobre el terreno ya que la historia de rangos se mide sobre un mismo intervalo de ángulo. Este hecho puede deducirse de la figura VIII.7. Algebraicamente, el cociente de la ecuación (VIII.25) es constante puesto que al aumentar el rango la longitud sintética lo hace en la misma proporción. Por otro lado, de la ecuación (VIII.4), entre menor es la longitud física de la antena mayor es la apertura del haz resultando en una antena sintética de mayor longitud y una mejor resolución. A un sistema con estas características se le llama Radar de Apertura Sintética Enfocado.

Figura VIII.13. Esquema de resolución de un sistema radar de apertura sintética. En la generación de los datos para conformar una imagen de radar de una escena, tanto el rango como el corrimiento doppler se encuentran almacenados en sendos vectores que describen la variación de rango y frecuencia doppler durante la observación de un área en la escena a lo largo de la proyección del haz sobre el terreno. El proceso llamado enfocamiento consiste en emplear los valores de estos vectores para generar un solo pixel relativo al área observada. Tal proceso es llevado a cabo por

502


medio de un algoritmo que involucra una gran cantidad de operaciones en una tarea compleja (Henderson y Lewis, 1998; Holcomb, 1998). VIII.1.3 Elementos y aspectos geométricos El radar, siendo un sistema activo, controla su propia fuente de radiación con la que genera un tren de pulsos que interaccionan con los elementos de la escena. Para formar la imagen, el sistema radar mide las historias de rangos y de corrimiento doppler, a partir de las cuales se construye un sistema de coordenadas oblicuo en cuyos nodos se posicionan los pixels de la imagen. Esta manera de generar imágenes produce una serie de distorsiones y particularidades geométricas que requieren de estudio y corrección. VIII.1.3.1 Perspectiva Un sistema de imágenes radar mide, para un conjunto de CIVs de la escena, la historia de rangos y la de corrimiento doppler. El rango es precisamente la distancia de la antena al CIV. La colocación de un pixel de la imagen radar es relativa al rango de la antena al CIV correspondiente, esta relación trae como consecuencia una serie de particularidades geométricas que es necesario discutir en detalle. Un punto a una distancia x del origen y cuya altura sobre el datum es h0, es desplazado (figura VIII.14) hacia el origen en la imagen radar por una magnitud dada por

Figura VIII.14. Desplazamiento hacia el origen en la imagen radar.


x r  R 2  (h  h 0 ) 2  R 2  h 2

503

(VIII.28)

Sin embargo, en la imagen de una cámara fotográfica el mismo punto se muestra alejado del origen por una distancia x c 

h 0 Cos Sen

(VIII.29)

Donde  es el ángulo de depresión apuntando a la cima del rasgo h0, h es la altura de la antena sobre el datum y R es el rango de la antena al punto observado. Al considerar un perfil del terreno el desplazamiento (figura VIII.15) de los puntos que lo conforman es variado dependiendo de la pendiente de la escena y del ángulo de depresión.

Figura VIII.15. Desplazamiento de los puntos de un perfil del terreno. En la localización de los puntos de la escena sobre la imagen radar existen dos posibles representaciones, una llamada representación en el rango de inclinación y la otra representación en el rango sobre el terreno. En la primera de éstas, los puntos de la escena son colocados de acuerdo con la proyección de los rangos (figura VIII.15) sobre una línea paralela al datum. En la segunda de éstas, los puntos son colocados de acuerdo con la intersección de los rangos con el datum. Para un ángulo de depresión grande el desplazamiento de los puntos es considerable. Con el apoyo de un modelo digital de elevaciones la imagen radar puede ser corregida por el efecto de perspectiva. VIII.1.3.2 Sombras y relieve Un ángulo de depresión pequeño en combinación con una pendiente abrupta del terreno

504


puede provocar una sombra (lámina 61 y figura VIII.16) en la imagen radar. Así entonces, las sombras tienden a mostrarse en puntos de la escena alejados del nadir local, es decir, para rangos grandes. Esto trae como consecuencia que las escenas montañosas deban ser observadas por el sistema radar empleando ángulos de depresión grandes. Las escenas con terrenos suaves pueden ser observadas con ángulos de depresión menores. El efecto combinado del desplazamiento de los CIVs de la escena junto con las sombras y penumbras produce un realce del relieve del terreno evidente en la imagen radar (lámina 61). El resultado de tal realce es que las imágenes radar son empleadas para evaluar la textura asociada al relieve de la escena. La pendiente del terreno es otro factor geométrico que influye en la magnitud de la señal retrodispersada. El máximo retorno posible de la señal retrodispersada se tiene cuando el ángulo de incidencia (figura VIII.17) es cero y la reflexión es de tipo especular. Si la reflexión es intermedia o isótropa el retorno es menor pero sigue siendo importante. A medida que el ángulo de incidencia se hace diferente de cero y se presentan rugosidades suaves en el terreno, el retorno se hace débil, pudiendo llegar a cero para una reflexión especular.

Figura VIII.16. Sombra en una imagen radar en función del ángulo de depresión. VIII.1.3.3 Escorzo El sistema radar mide el rango de la antena a la superficie del terreno de tal manera que los objetos que se encuentran en la escena aparecen desplazados de su localización real (figuras VIII.14 y VIII.15). Esta característica en la operación del radar genera una distorsión geométrica en la imagen que puede ser importante para superficies con alta rugosidad. Así entonces, un objeto que presente simetría en una dirección paralela a la dirección de vuelo, aparece comprimido del lado más cercano a la antena y elongado del lado más lejano (figura VIII.15). Es decir un objeto simétrico se muestra asimétrico en la


505

imagen radar. El efecto de compresión es llamado escorzo, que se define formalmente como la representación de los objetos, acortándolos según las reglas de la perspectiva, que se extienden en sentido perpendicular u oblicuo al plano en que se manifiestan. Las reglas de la perspectiva están determinadas por la forma de operación del radar y el plano de manifestación está definido por el datum de referencia. En la parte izquierda de la Lámina 61 se aprecia el efecto de escorzo de una montaña. El escorzo se presenta en objetos simétricos y no simétricos y es más pronunciado para rugosidades altas y para ángulos de depresión grandes. VIII.1.3.4 Inversión de relieve Un efecto en la imagen de radar que está directamente relacionado con la rugosidad del terreno y con el ángulo de depresión es el llamado disposición de traslape o inversión de relieve. Debido a que el sistema radar mide el rango de la antena al terreno, es factible que la cima de una montaña tenga un rango menor (figura VIII.18) que el pie de la misma. Esta situación ocurre preferentemente para ángulos de depresión grandes. En la representación del rango de inclinación, ó en la del rango sobre el terreno, la cima de la montaña aparece traslapada sobre el pie de la misma, a este efecto se le llama inversión de relieve.

Figura VIII.17. Señal retrodispersada en función del ángulo de incidencia. Cuando el rango de la cima es igual al del pie de la montaña los pixels correspondientes aparecen en la imagen en la misma posición. Cuando el lado de una montaña es aproximadamente perpendicular al haz de radar y con un ángulo de incidencia cercano a cero su apariencia en la imagen es comprimida (lámina 61) con respecto al otro lado. Esta distorsión geométrica puede ser corregida empleando un modelo digital de elevaciones del área que cubre la imagen radar. Tal compresión es más pronunciada para ángulos de depresión grandes y relieves del terreno prominentes, llegando en ocasiones hasta el extremo de producirse la inversión arriba mencionada.

506


Figura VIII.18. Escorzo e inversión de relieve en función del ángulo de depresión. VIII.1.3.5 Rotación de la Tierra La velocidad relativa entre la antena radar y el desplazamiento de la escena por la rotación de la Tierra introduce un corrimiento doppler adicional al expresado por la ecuación (VIII.15). El plano de la órbita de un satélite radar se encuentra fijo en el espacio, sin embargo, los objetos que se encuentran en la escena se mueven a una velocidad que depende de la latitud (figura VIII.19). Este movimiento introduce un corrimiento doppler adicional que debe ser compensado durante el procesamiento de la señal retrodispersada. A una latitud determinada por el ángulo  la velocidad tangencial en la superficie terrestre está dada por vt = RT   = RTSen Donde RT es el radio de la Tierra y  es la velocidad angular ecuatorial de la misma. En el ecuador,  es 90 y, por tanto, Sen = 1  vt = RT, en los polos vt = 0. Además, el signo de vt cambia de un hemisferio a otro. Esto implica que el sistema radar requiere de un ajuste por corrimiento doppler, desde cero en los polos hasta un máximo en el ecuador. Supongamos que la órbita de la plataforma del sistema radar es polar. Utilizando el resultado expresado en la ecuación (VIII.15) se tiene que  T 

2v t 2 Sen  R T SenSen  


507

El ángulo entre el nadir de la trayectoria de la plataforma orbital y la línea de latitud es . La línea de latitud se encuentra en la misma dirección (figura VIII.19) de la velocidad tangencial vt. En el ecuador,  = , de tal manera que este ángulo determina la inclinación de la órbita. En satélites con órbita polar   81. Cuando la órbita presenta una inclinación de  grados con respecto al ecuador, la ecuación anterior se escribe

 T 

2 R T SenSenCos 

(VIII.30)

Este corrimiento doppler es adicional al expresado por (VIII.15). El corrimiento doppler adicional introducido por la rotación de la Tierra puede ser compensado de tres maneras i) Rotando la antena, un cierto ángulo alrededor del nadir, en función de la latitud, ii) Ajustando la frecuencia, en función de la latitud, del receptor del sistema radar con respecto a la frecuencia transmitida y iii) Substrayendo el corrimiento doppler durante el procesamiento de la señal radar en la generación de la imagen respectiva. Al rotar un cierto ángulo la antena alrededor del nadir en función de la latitud resulta entonces que el ángulo de squint  (figura VIII.3) es variable.

Figura VIII.19. Velocidad de desplazamiento de objetos en función de la latitud. VIII.1.3.6 Desplazamiento de objetos en movimiento En el cálculo del corrimiento doppler (Ecuación VIII.15) se ha supuesto que los objetos

508


de la escena observada por el sistema radar se encuentran en reposo. No obstante, no siempre es así, objetos tales como automóviles, ferrocarriles y barcos pueden estar en movimiento en el tiempo de adquisición de la imagen radar, introduciendo un corrimiento doppler adicional. Este corrimiento doppler trae como consecuencia que los objetos en movimiento aparezcan desplazados en la imagen. El desplazamiento depende de la velocidad y dirección de movimiento. Sea R el vector de posición del objeto en movimiento, si la altura del sistema radar es h, se tiene que R  xî  yˆj  hkˆ

Por otro lado, la velocidad del objeto en movimiento con respecto a la antena radar está dada por V  uCosî  (uSen  - v a )ˆj

(VIII.31)

Donde u es la magnitud de la velocidad del objeto, va es la magnitud de la velocidad de la antena radar y  es el ángulo que forma el vector V con la dirección radial x. De acuerdo con lo expuesto en el apartado VIII.1.2 el corrimiento doppler es cero cuando estos dos vectores son perpendiculares entre si, es decir cuando su producto escalar es cero: V  R = 0. Haciendo este producto y despejando para y, se obtiene el desplazamiento y

uxCos v a  uSen

(VIII.32)

La ecuación (VIII.32) nos muestra el desplazamiento asignado en azimut, en la imagen radar, al objeto en movimiento. Cuando el objeto se desplaza en dirección paralela al movimiento de la antena, es decir paralelo a la dirección de azimut, Cos = 0 y por tanto el desplazamiento es cero. Si el objeto se mueve perpendicularmente a la dirección de azimut y hacia la antena de radar, Cos = 1 y el desplazamiento es máximo. Si el objeto se mueve perpendicularmente a la dirección de azimut y alejándose de la antena de radar, Cos =  1 y el desplazamiento es máximo también pero en dirección opuesta. Nótese también que el desplazamiento en azimut dado por la ecuación (VIII.32) es directamente proporcional a la posición en x del objeto en movimiento y no depende de la altura de la antena radar. Supóngase que en una escena se tiene un barco moviéndose a una velocidad de 40 km/h en dirección perpendicular al azimut, es decir Cos = 1, en una posición x = 300 km y que la velocidad de la antena es de va = 25,200 km/h; substituyendo en la ecuación (VIII.32) tenemos que y = 476.2 m. VIII.1.4 Aspectos físicos de la imagen radar VIII.1.4.1 Ecuación de radar La potencia a la cual se transmiten los pulsos que forman el haz de radiación del radar, junto con las características del terreno, determinan la intensidad de la señal retrodispersada. Supongamos que la potencia a la cual transmite el sistema radar es Pt y


509

que la ganancia de la antena del sistema radar es Gt. Sabemos que la intensidad de la radiación disminuye de manera inversamente proporcional a la distancia del emisor, por lo que la potencia incidente a la escena es SCIV  Pt G t

1 4R 2

Donde R es la distancia de la antena al CIV de la escena. Si el área efectiva de un CIV de la escena es ACIV, entonces la potencia incidente a este es PCIV = SCIVACIV. El área efectiva del CIV no es la proyección de este en la dirección incidente del tren de pulsos, sino aquella área donde el haz es totalmente absorbido debido a su interacción con los elementos que forman el CIV. Una fracción de la radiación incidente al CIV es absorbida (a) y una fracción reemitida (r) de tal manera que la suma de estas dos fracciones es igual a uno. La potencia que es reemitida por el CIV en todas direcciones es, por tanto, Pre = PCIV(1  r) = SCIVACIV(1  r). Sin embargo, la radiación reemitida por el CIV presenta un patrón de distribución que depende de la geometría y las propiedades físicas de los elementos dispersores que forman el CIV. Si a la fracción de radiación, a partir de este patrón, con dirección incidente al receptor del sistema radar se le llama GCIV, entonces la potencia reemitida hacia la antena radar es Pr = PCIVGCIV(1  r) = SCIVGCIVACIV(1  r). A la cantidad GCIV se le llama la ganancia del CIV. Ahora bien, debido a que la cantidad GCIVACIV(1  r) representa la fracción de radiación reemitida en dirección al receptor del sistema radar, se introduce la definición 0 = GCIVACIV(1  r)

(VIII.33)

Llamada sección diferencial de dispersión. Del CIV al receptor radar hay otra disminución de intensidad de radiación inversamente proporcional a la distancia. La radiación que es recibida por el receptor del sistema radar es, por tanto

Pr 

Pt G t A pr  0 (4) 2 R 4

Donde A pr es la apertura efectiva del receptor del sistema radar. Sin embargo, la apertura efectiva del receptor está relacionada con la ganancia de la antena y recordando que en un sistema radar monostático el receptor y la antena son el mismo dispositivo, se tiene que A pr 

2 G t 4

De aquí entonces la potencia de la señal recibida (Ulaby et al., 1982) por la antena radar se escribe finalmente como

Pr 

Pt G 2t 2  0 (4) 3 R 4

(VIII.34)

510


Donde  es la longitud de onda de operación del radar. A la ecuación (VIII.34) se le conoce como la ecuación de radar de apertura real. La ecuación de radar es una relación fundamental entre las características del sistema radar, la escena y los pulsos retrodispersados. En ocasiones, la potencia de la señal recibida se escribe en función de la potencia transmitida promedio dada por P = Ptfp, donde fp es la frecuencia de repetición de los pulsos transmitidos y Pt es la potencia de emisión de éstos. También, la potencia de la señal recibida se expresa en función de la relación señal/ruido Sn, así entonces, Pr = kT0WNrSn, donde k es la constante de Boltzmann, T0 es la temperatura de referencia, W es el ancho de banda y Nr es el nivel de ruido del receptor radar. VIII.1.4.2 Sección diferencial de dispersión La intensidad del pulso retrodispersado por cada CIV depende de la sección diferencial de dispersión, por unidad de ángulo sólido, por unidad de tiempo. Esta sección depende a su vez de una serie de factores, es decir o = f(,,P,,,1,2,K)

(VIII.35)

Los parámetros de los cuales depende la sección diferencial o se dividen en dos grupos - Los parámetros llamados del radar  - longitud de onda de operación del radar.  - ángulo de depresión de la señal de radar. P – polarización de la onda incidente. - Los parámetros llamados del terreno  - ángulo de pendiente del terreno.  - constante dieléctrica volumétrica. 1 - rugosidad de la superficie sobre una escala mayor que /10 de la frontera aire/superficie. 2 – sub-superficie de una segunda capa donde la señal puede penetrar la primera capa en un grado significativo. K – coeficiente complejo de dispersión volumétrica en un medio inhomogéneo. Estos parámetros están relacionados con aspectos físicos del terreno de la siguiente manera Longitud de onda Las variaciones de la señal retrodispersada atribuibles a  están directamente relacionadas con la rugosidad de la superficie y con la constante dieléctrica. En general, entre más rugosa sea la superficie, más difusa (figura VIII.20) es la retrodispersión. Por otro lado, la constante dieléctrica volumétrica depende fuertemente del contenido de humedad del terreno. A su vez, el contenido de humedad determina la penetración (figura VIII.21), en función de la longitud de onda, de la señal de radar incidiendo en el terreno. Angulo de incidencia La magnitud de la señal retrodispersada generalmente se incrementa cuando el ángulo de incidencia disminuye (figura VIII.17). Cuando la superficie del terreno es muy rugosa, con respecto a la longitud de onda, la sección diferencial de dispersión se hace aproximadamente independiente del ángulo de incidencia (figura VIII.20). Cuando


511

el ángulo de incidencia es pequeño, el número de objetos con distancias aproximadamente iguales hacia la antena se incrementa, de tal manera que la densidad de señales retrodispersadas aumenta. Por otro lado, la retrodispersión de una señal es más intensa cuando el ángulo de incidencia es cero o cercano a cero. Estos dos efectos combinados hacen que las zonas de la escena donde la pendiente del terreno y el ángulo de depresión son tales, que el ángulo de incidencia es pequeño, aparezcan brillantes en la imagen radar (lámina 61).

Figura VIII.20. Retrodispersión de la señal en función de la rugosidad del terreno. Polarización Los sistemas radar transmiten comúnmente ondas planas polarizadas ya sea horizontal o verticalmente. La onda electromagnética es depolarizada en varios grados cuando interacciona con la superficie terrestre. Al medir la señal retrodispersada, la antena radar registra aquella porción de la energía electromagnética que presenta una cierta polarización. De esta manera es factible generar imágenes de radar con diferentes esquemas de polarización. Si la señal emitida tiene una polarización horizontal (H) y se mide la fracción de la polarización vertical (V) de la onda retrodispersada, se dice entonces que el esquema es: HV. Los esquemas HH, VV y VH son también factibles. El contraste y detalles discernibles en la imagen radar dependen del esquema de polarización. Angulo de pendiente La distorsión geométrica en la imagen de radar depende, entre otros factores, del ángulo de pendiente del terreno (figuras VIII.15 y VIII.17). El ángulo de incidencia es función del ángulo de depresión y del ángulo de pendiente. La rugosidad de la superficie y la constante dieléctrica dependen también del ángulo de pendiente. Constante dieléctrica Las propiedades dieléctricas del terreno, expresadas en la constante dieléctrica, afectan críticamente la señal retrodispersada ya que inciden directamente en la absorción y propagación de las ondas electromagnéticas. La parte real de la constante dieléctrica es la permitividad del medio y la parte imaginaria se expresa como la conductividad del medio. El valor de la constante dieléctrica depende del contenido de agua de la superficie: la penetración (figura VIII.21) de la señal electromagnética es mayor y la reflexión de la misma es menor para un bajo contenido de humedad. Inversamente, la penetración es menor y la reflexión es mayor cuando la humedad es alta. En cuanto a la conductividad, la penetración es mayor para grandes longitudes de onda. Rugosidad de la superficie La rugosidad de la superficie es el factor dominante que determina la amplitud de la señal retrodispersada. Dependiendo de la rugosidad, se puede tener reflexión especular,

512


intermedia o isótropa (figura VIII.20). La rugosidad es relativa a la longitud de onda y al ángulo de incidencia, afectando también la magnitud y presencia del ruido coherente (speckle).

Figura VIII.21. Penetración de la señal radar en función de la longitud de onda y la humedad del terreno. La textura, determinada por la rugosidad de la superficie del terreno, es uno de los factores básicos que definen la intensidad de los pulsos retrodispersados. La rugosidad del terreno siempre se determina con relación con la longitud de onda de la señal electromagnética empleada por el sistema radar (véase apartado II.2.5). Para estimar la rugosidad del terreno se emplea una regla heurística llamada el Criterio de Rayleigh cuya expresión es h 

 h 0Sen

(VIII.36)


513

Donde ho es una constante sin dimensión,  es el ángulo de depresión y  es la longitud de onda de la señal electromagnética. La cantidad h es una medida de la rugosidad del terreno. Una división heurística de la relación (VIII.36) determina el grado de rugosidad, así entonces, una superficie se considera suave si h  /25Sen, una superficie es rugosa sí h  /4.4Sen. De aquí se tiene que, una superficie presenta rugosidad intermedia sí /25Sen  h  /4.4Sen; un resumen de esta división se presenta en la cuadro VIII.1. Con base en esta clasificación es factible relacionar la rugosidad con el tipo de reflexión de la señal radar (figura VIII.20). Una superficie con rugosidad suave produce reflexión especular sin retrodispersión a la antena, una rugosidad intermedia produce retrodispersión moderada, una superficie rugosa produce retrodispersión difusa o isótropa (cuadro VIII.1). Por otro lado, debido a su alta conductividad, los objetos metálicos presentes en la escena, tales como barcos, plataformas marinas, líneas de alta tensión, o líneas de ferrocarril, producen señales retrodispersadas de alta intensidad. Cuadro VIII.1. Retrodispersión de la señal de radar con relación a la rugosidad. Modelo de rugosidad

h 

 25Sen

   h  25Sen 4.4Sen h 

 4.4Sen

Relieve

Retrodispersión

Suave

Especular

Intermedio

Intermedia

Rugoso

Isótropa

En situaciones donde se reúnen tres superficies aproximadamente planas y perpendiculares entre sí, se produce una retrodispersión intensa también. Tal formación geométrica de tres superficies, conocida como trihedro o reflector de esquina, produce una retrodispersión en dirección contraria a la dirección incidente independientemente del ángulo de depresión. En ciudades, es común encontrar trihedros formados por las superficies de los edificios, en escenas naturales tales reflectores ocurren con menos frecuencia. Rugosidad sub-superficial El efecto de la rugosidad sub-superficial es importante en los casos de nieve y arenas limpias y secas. En ambos casos, el contenido de humedad es muy bajo y en consecuencia la penetración de la señal electromagnética es alta. En la frontera donde termina la nieve o la arena, la constante dieléctrica cambia y se produce alta reflexión y baja penetración. Esto permite generar una imagen de la interfase nieve/suelo ó arena/suelo (véase lámina 70). Dispersión volumétrica En ciertas clases de objetos (bosques o cultivos) la señal retrodispersada es el resultado de la contribución de la reflexión multi-trayectoria (volumétrica) proveniente

514


de diferentes partes del objeto. En consecuencia, es factible que la señal retrodispersada presente varios grados de polarización (figura VIII.22), por lo que aquellos sistemas radar que operan en varios esquemas de polarización resultan de utilidad en la discriminación de tales objetos. La dispersión volumétrica en zonas de follaje denso genera un fenómeno de apariencia similar al speckle que se conoce como clutter (Frery et al., 1997; Raney, 1998) que puede ser filtrado digitalmente y reducido por técnicas multi-look (véase apartado VIII.2.1.1)

Figura VIII.22. Modos de polarización de la señal retrodispersada. VIII.1.5 Naturaleza y modelación del speckle VIII.1.5.1 Naturaleza del speckle La interacción coherente de los paquetes de onda retrodispersados por los diferentes objetos de un elemento de resolución (CIV) produce un fenómeno con apariencia de ruido sobrepuesto de manera multiplicativa a la imagen de radar cuyo aspecto visual es similar al de granuloso en una fotografía. Los pulsos retrodispersados por los objetos del CIV, comparables en tamaño a la longitud de onda incidente, interaccionan coherentemente produciendo variaciones de valor de un CIV a otro en zonas homogéneas. Así entonces, los pulsos de radar iluminan una cierta área o CIV en donde se encuentran muchos elementos dispersores. Los pulsos retrodispersados son, por


515

tanto, el resultado de la adición coherente de los ecos de muchos elementos. Tal adición consiste de la suma vectorial de las señales retrodispersadas por los elementos, donde cada señal presenta una amplitud Ai y una fase i. El pulso retrodispersado está determinado por la siguiente suma

A   A i e j

i

i

Por otro lado, de la ecuación VIII.12, la fase es función de la distancia de la antena al punto dispersor. Además, en la generación de la historia de rangos y corrimientos doppler, un mismo CIV es observado a lo largo de un cierto desplazamiento de la antena. La señal retrodispersada a lo largo de tal historia consiste, por tanto, de una serie de pulsos de amplitud y fase cambiantes a medida que varía la distancia de la antena a un CIV observado. A este fenómeno se le llama desvanecimiento. Aun cuando dos CIV contiguos tuviesen globalmente la misma sección de dispersión, la variación aleatoria de los puntos dispersores de un lugar a otro produciría dos valores de amplitud y fase diferentes. Así entonces, una zona homogénea de una escena con una sección de dispersión constante estaría representada en la imagen por una colección de pixels de valores diferentes. Esta conclusión se desprende de la suma vectorial arriba expresada, ya que la señal observada está afectada por el fenómeno de interferencia debido a las diferentes fases de las señales provenientes de cada elemento dispersor. La principal fuente de las variaciones de los valores de los pixels, con apariencia de ruido en la imagen, es la distribución de los términos de fase i. Recordemos que la fase es función del rango, de tal manera que en un CIV los elementos dispersores presentan un rango diferente. De aquí entonces, los elementos dispersores contribuyen con fases diferentes a la señal retrodispersada, aun cuando tengan la misma sección diferencial o. Este fenómeno, llamado ruido coherente o speckle, es inherente a la formación de la imagen radar y no puede ser evitado durante el proceso de formación de la misma. Es necesario puntualizar que en la literatura científica al speckle se le denomina como ruido. Sin embargo, el speckle es más bien el resultado de un fenómeno físico producido por la interacción coherente de la radiación empleada para iluminar la escena de interés. La apariencia del speckle en la imagen es la de un ruido que puede ser modelado como multiplicativo tal como se explica en el apartado VIII.1.5.2. Las imágenes radar muestran una gran riqueza de textura y a menudo su análisis depende de ésta. En imágenes ópticas, la textura es un modelo de la rugosidad de la escena. En imágenes radar, sin embargo, el speckle introduce un elemento de textura en la imagen que no tiene relación con la escena. La ocurrencia del speckle está determinada por la operación del sistema radar debido al empleo de radiación coherente en la observación de la escena. El speckle está presente en todo sistema de generación de imagen que emplee radiación coherente. De aquí entonces es factible afirmar que el speckle es formado por el procedimiento de generación de imagen empleado por el sistema radar y no por la escena. VIII.1.5.2 Modelación del speckle Supongamos ahora que se tiene un gran número Ns de dispersores en un un CIV de la

516


escena, cada uno de estos produciendo una retrodispersión con amplitud Ai y fase i, por lo que la amplitud del pulso retrodispersado es la suma coherente (Oliver y Quegan, 1998) dada por Ns

A  A 0 e j   A i e j

(VIII.37)

i

i 1

La suma expresada en la ecuación (VIII.37) puede interpretarse como una suma vectorial de vectores con magnitud Ai y dirección polar i referidos a un sistema de coordenadas polares. El vector resultante de esta suma sería un vector con magnitud A0 y dirección polar . Existen dos modos de detección en un sistema radar, uno, llamado detección lineal donde se mide A (amplitud), el otro, llamado detección cuadrática donde se mide A2 (intensidad). Se dice también, que en el modo de detección cuadrática, se mide la potencia. En el modo de detección lineal, para un look y al suponer que Ai y i son variables aleatorias independientes se tiene que la amplitud A presenta una distribución (Mascarenhas, 1997) de probabilidad de Rayleigh pR (A) 

Ai exp{A i2 / 2 02 }  02

(VIII.38)

A la expresión (VIII.38) se le conoce también como la función de densidad. La cantidad 0 es la sección diferencial de dispersión, llamada también varianza de la señal radar. Por otro lado, la fase presenta una distribución uniforme pR() = 1/2

(VIII.39)

La distribución dada por (VIII.39) se satisface únicamente si la dimensión del CIV (DCIV) es un múltiplo de la longitud de onda empleada en la generación de la imagen de tal manera que: DCIV = k, donde k  10. Esta condición se cumple para todas las imágenes generadas por los satélites ERS, Radarsat, Seasat y TerraSar. La ecuación (VIII.39) implica que la dirección de la fase i es completamente aleatoria. La ecuación (VIII.38) muestra que cuando se mide la amplitud de los pulsos retrodispersados la distribución de los valores de pixel es de Rayleigh. La media de la distribución de Rayleigh (ecuación VIII.36) está dada por 

 R   zpR ( z)dz  

 0 2

Además, la varianza de esta distribución se escribe como 



 2R  ( z   R ) 2 pR ( z)dz  

4 2 0 2

El cociente de la media entre la varianza proporciona una medida de la relación


517

señal/ruido en la imagen radar  2R   3.6598  R  0.5227  2R R En el modo de detección cuadrática este cociente es uno tal como se ve más adelante en la ecuación (VIII.42). Recordemos que el valor de este cociente, para cualquiera de los dos modos de detección, se produce para un look, es decir, para N = 1. En cualquier caso es claro que  = k, donde k es una constante, implicando esto que el speckle es un ruido dependiente de la señal radar de carácter multiplicativo. La relación anterior expresada en decibeles es  2  10 log  R2   5.6346 dB  R 

(VIII.40)

El resultado dado por (VIII.40) implica que, para una observación de la escena (un look), la relación señal/ruido no puede ser mejor que 5.6346 decibeles, a menos que se promedien varias muestras independientes. En otras palabras, para mejorar la relación señal/ruido es necesario realizar el promedio de varias vistas de la escena. El cálculo anterior se refiere a la medida, por la antena radar, de la amplitud de los pulsos retrodispersados. Si se mide la potencia (modo de detección cuadrática) de los pulsos retrodispersados la distribución resultante es una función Chi-cuadrada con 2N grados de libertad p2 N (P) 

 P  P N 1 exp 2  2N 2  0 ( N )  2 0  N

(VIII.41)

Donde (N) es la función gamma. La distribución Chi-cuadrada, para un look, es decir, cuando N = 1, se reduce a una simple distribución exponencial pe (P) 

 P  1 exp 2  2 2 0  2 0 

De la ecuación (VIII.41) se obtiene fácilmente la media 



 chi  zp2 N (z)dz  2 N 02 

Y la varianza 



2  chi  (z   chi ) 2 pchi (z)dz  4 N 04 

518


Por lo que el factor señal/ruido es 2  chi  1  N  chi  2  chi  chi N

(VIII.42)

En la figura VIII.23 se muestra una comparación de las funciones de densidad Chicuadrada, Rayleigh y Gaussiana. En el modo lineal de detección se mide la amplitud A, al resultado se le llama imagen de amplitud. En el modo cuadrático de detección se mide la intensidad o potencia A2, al resultado se le llama imagen de intensidad. De la ecuación (VIII.37) es claro que la imagen radar es una cantidad compleja: A0ej = A0Cos + jA0Sen, a la parte real se le conoce como la componente de fase y a la parte compleja se le conoce como la componente de cuadratura. La distribución de probabilidades de ambas componentes es modelada por una función de densidad gaussiana pg ( zi ) 

1

2 

2 1/ 2 0

 z2  exp i 2   2 0 

Donde z1 = A0Cos y z2 = A0Sen. Al cociente dado por (VIII.42), evaluado en una región homogénea de la imagen, se le conoce como el número equivalente de looks. A N se le conoce como el número de looks. Para que esta definición sea válida, tal cociente debe ser evaluado a partir de datos de intensidad. Si la imagen es de amplitud el número equivalente de looks es  0.5227   N

Es claro que al aumentar el número de looks el cociente (VIII.42) se incrementa, lo que implica que para una zona homogénea, la varianza disminuye y la relación señal/ruido mejora. Al aumentar el cociente (VIII.42) es factible obtener mejores estimaciones de la sección de dispersión para tal zona. Al aumentar el número de looks se modifica el histograma, desde una función Rayleigh, hasta una gaussiana (figura VIII.24).

Figura VIII.23. Funciones de densidad Chi-cuadrada, Rayleigh y Gaussiana.


519

Figura VIII.24. Histograma de imágenes de un look hasta ocho looks. Es factible realizar una estimación del valor de la desviación estándar del speckle empleando el siguiente procedimiento. En una zona homogénea de la imagen se selecciona un conjunto de ventanas, en cada una de ellas se calcula la media  y la desviación estándar . El conjunto de valores de  y  se grafican en un sistema bidimensional de ejes cartesianos y se ajusta una línea recta por mínimos cuadrados. La pendiente de esta línea recta es una estimación de la desviación estándar del speckle. La figura VIII.25 muestra tal gráfica para una imagen de amplitud del Seasat; a partir de la pendiente de la línea recta se obtiene speckle = 0.27. Otros métodos automáticos y manuales para estimación de la desviación del speckle han sido publicados en la literatura (Frulla et al., 2000). Las expresiones (VIII.37) a (VIII.42) resultan de suponer que el speckle es el resultado de un proceso aleatorio donde están involucrados muchos dispersores en un CIV. El speckle aparece como un fenómeno de modulación multiplicativa de la reflectividad de la escena caracterizada por la sección diferencial de dispersión 0. Es decir, el speckle se sobrepone de manera multiplicativa a los valores de la imagen. El modelo multiplicativo es válido únicamente cuando se presenta un speckle totalmente desarrollado. Para que el speckle sea totalmente desarrollado se requiere de las siguientes condiciones i) Existe una gran cantidad de dispersores en cada CIV. ii) Ninguno de los dispersores domina la señal retrodispersada. iii) Los dispersores son estadísticamente independientes. iv) La fase proveniente de cada dispersor está uniformemente distribuida. En ciudades, las condiciones (i) – (iv) no se cumplen cabalmente por lo que se dice que el speckle es semi-desarrollado. El speckle no es desarrollado cuando un dispersor dominante se encuentra en un fondo de dispersores aleatorios difusos en un mismo CIV. Esta situación se presenta cuando en el CIV existe un trihedro ya sea natural o artificialmente colocado para propósitos de calibración de la imagen o bien cuando

520


existe un objeto metálico como un barco o un automóvil. Es común que reflectores tipo trihedro ocurran en ciudades debido a las paredes de los edificios.

Figura VIII.25. Cálculo de la desviación estándar del speckle.

VIII.2 Reducción del Speckle La reducción del speckle se alcanza por cualquiera de dos métodos: a) promediando varias vistas o imágenes de la misma escena, b) aplicando un filtraje digital a la imagen radar. El primero se considera como un método de naturaleza física, el segundo es de tipo digital. VIII.2.1 Métodos físicos En la imagen, las variaciones de valor de los pixels de una zona homogénea son aleatorias debido al speckle, por lo que para caracterizar la sección de dispersión de ésta, sería necesario realizar un promedio de varias observaciones de la misma escena. Esto significa que, dadas N observaciones independientes, el promedio en intensidad preserva el valor medio de la sección de dispersión 0 y reduce la varianza de las medidas por un factor de N para convertirse en 0/N. A esta operación se le llama promedio incoherente debido a que se pierde toda la información de la fase. El


521

promedio en intensidad produce los mejores resultados en cuanto a la reducción del speckle comparado con el promedio en amplitud, en log-amplitud, o el promedio de la parte compleja. En la práctica no es factible realizar varias observaciones de la misma escena al mismo tiempo ya que la plataforma del sistema radar se desplaza a una velocidad constante. En el dominio de frecuencias, el partir el dominio de la imagen radar en N bandas espectrales conduce a la generación de N looks. No obstante, para realizar esta partición se requiere que el ancho de banda de cada look sea reducido a 1/N del ancho original. El promedio, en intensidad, de N de estos looks se conoce como técnica multi-look; a la imagen resultante se le llama de N looks. Por tanto, la resolución espacial de cada look es reducida como lo es de la imagen promedio de N looks. En la lámina 62 se muestra un mosaico de cuatro imágenes cubriendo la misma zona. Las imágenes de radar de este mosaico tienen 1 look (lámina 62a), 2 looks (lámina 62b), 4 looks (lámina 62c) y 8 looks (lámina 62d), nótese la reducción del speckle. Existe una equivalencia analítica entre el procesamiento multi-look llevado a cabo al partir el dominio de frecuencia y el promedio espacial de un conjunto de pixels; es fácil demostrar que ambos procesos se pueden definir como un filtro lineal. El promedio espacial debe llevarse a cabo a partir de los datos radar de una misma observación. Para llevar este promedio a un cierto tamaño de pixel, es necesario partir de una imagen cuya resolución espacial sea mayor. Si de esta imagen se promedian Nr pixels en la dirección de rango y Na pixels en la dirección de azimut se produce un pixel de tamaño mayor, proporcional al promedio N = NaNr

(VIII.43)

A la cantidad N se le llama el número de looks. La imagen original generada por el sistema radar, a partir de la cual se realiza el promedio (VIII.43), es una imagen de un look. Así entonces, si la imagen original tiene un pixel de 2 m en la dirección azimutal y de 3 m en la dirección de rango y Na = 2, Nr = 3, se produce, por tanto, una imagen de 6 looks con un pixel de 4 x 9 m2. En una zona homogénea de la imagen, las fluctuaciones de valor asociadas al speckle son aleatorias, por lo que un promedio como el descrito arriba tiende a reducir este ruido. No obstante, la reducción del ruido trae consigo una reducción en la resolución espacial de la imagen. La reducción del ruido en función del número de looks, para imágenes de potencia va de acuerdo a la expresión (VIII.42). La estrategia en la generación de imágenes radar consiste, por tanto, en definir la resolución espacial y el nivel de ruido tolerable en una aplicación específica. A partir de aquí, se calcula el número de looks y el tamaño de pixel necesarios para satisfacer estos requerimientos. Se genera entonces una imagen con un pixel suficientemente pequeño, a partir de la cual utilizando el promedio (VIII.43), se obtenga el tamaño de pixel y el número de looks deseados. El promedio de pixels de una vecindad para aumentar el número de looks se realiza por medio de una operación de convolución de la imagen con una función de factores de peso acotada a un dominio finito: g = f  h axy,b , donde f es la imagen original de un look, g es la imagen promedio de N looks y h axy,b es la función de factores de peso. La función h axy,b se desplaza, pixel a pixel sobre la imagen original, en cada posición se realiza la suma de la multiplicación de los factores de peso con los pixels correspondientes en la

522


ventana, es decir g ( k , l) 

a b 1 f (k  m, l  n )h axy,b (m, n ) (2a  1)(2b  1) m   a n   b



(VIII.44)

Donde (k,l) son las coordenadas de pixel y (2a + 1)(2b + 1) son las dimensiones de h axy,b en cuyo centro se coloca el origen de un sistema de coordenadas que se desplaza a la par de la ventana. De acuerdo con la notación anterior, Nr = 2a + 1 y Na = 2b + 1. Para evitar artefactos en la imagen de N looks es conveniente definir a h axy,b como una función binomial de factores de peso dada por h axy,b  h ax  h by . La forma explícita de esta función de factores de peso y los detalles del llamado filtro binomial se proporcionan en el apartado V.3.4. La operación de promedio aumenta la relación señal/ruido pero disminuye la resolución espacial de la imagen. Sin embargo, el incremento en la relación señal/ruido no va de acuerdo a N tal como lo expresa la ecuación (VIII.42). En la imagen original de un look existe una cierta correlación entre pixels vecinos. Debido entonces a que los pixels que se utilizan para el promedio ponderado (ecuación VIII.43) no son estadísticamente independientes, el número equivalente de looks no se incrementa en proporción al número de pixels promediados. Por otro lado la correlación de pixels vecinos disminuye como resultado del promedio ponderado, generando una degradación en la imagen resultante. VIII.2.1.1 Técnica multi-look El promedio de varias imágenes de la misma escena al mismo tiempo solo sería posible si no hubiese movimiento relativo entre el sistema radar y la escena. Además, al no haber movimiento relativo entre escena y el sistema radar no se podría emplear el efecto doppler para producir una imagen de apertura sintética. Por otro lado, empleando un sistema satelital cuya órbita es estable podría obtenerse una secuencia de imágenes en intervalos dados por el periodo de cobertura (cuadro B.3) de tal manera que se obtendría una sucesión de imágenes de la misma escena en tiempos diferentes. Las sutiles variaciones de la órbita producen, no obstante, cambios en la geometría de iluminación, por lo que para hacer el promedio de varias imágenes en diferentes tiempos se requiere de una co-registración de las mismas. Además, los cambios que experimenta la escena en el lapso total de adquisición de la secuencia de imágenes conducen a que el speckle sea estadísticamente independiente entre éstas. El promedio de varias imágenes en tiempos diferentes es una aplicación de la técnica multi-look que reduce las variaciones aleatorias que experimenta la escena, mientras que refuerza los aspectos que no presentan cambio en la misma. Tanto el speckle como el clutter muestran variaciones aleatorias debido a los cambios de la escena misma y a los cambios en la geometría de iluminación del sistema radar. De aquí entonces, el promedio de una secuencia de imágenes en tiempos diferentes conduce a la reducción del speckle y del clutter y a un incremento en el número equivalente de looks. La lámina 63 muestra un mosaico de tres imágenes adquiridas en tiempos diferentes y el resultado del promedio. En esta lámina se observa claramente la reducción del speckle y del


523

clutter y el énfasis de aquellos rasgos del terreno que no experimentaron cambio en el lapso de adquisición de las imágenes. Las características de las imágenes consideradas para el promedio se muestran en la cuadro VIII.2 Cuadro VIII.2. Características de las imágenes empleadas en técnica multi-look. Parámetro

Valor

Coordenadas geográficas, a partir de la esquina nordeste y en el sentido diestrógiro

[18º 49’ 35.95” N, 88º 51’ 42.39” W], [18º 44’ 55.75” N, 88º 26’ 51.58” W], [18º 14’ 35.52” N, 88º 33’ 12.18” W], [18º 19’ 16.51” N, 88º 57’ 58.36” W].

Plataforma

Radarsat

Modo del haz

Fino 1

Tamaño de la imagen

9126 líneas  7121 pixels

Cuantización

16 bits por pixel

Proyección geográfica

UTM, modelo elipsoidal

Orientación

11.17° con respecto al norte

Tamaño del pixel

6.25 x 6.25 m2

Fechas de adquisición

Abril 19, 2003; Noviembre 21, 2003; Diciembre 15, 2003

Modo de adquisición

Amplitud

Esquema de polarización

HH

Número de looks

1

Orbita

38915 descendiente

La técnica multi-look puede ser empleada también para observar los cambios que ha experimentado la escena en un lapso determinado. Estos cambios se manifiestan en una composición falso color de tres imágenes adquiridas en tiempos diferentes de la misma escena; la Lámina 64 muestra una sub-escena de 1,000  1,000 pixels de las imágenes detalladas en la cuadro VIII.2 en la composición: [R,G,B] = [Abril 19, Noviembre 21, Diciembre 15]. Los cambios se aprecian en tonos verdes, azules y rojos y se refieren básicamente a campos de cultivo localizados en la parte superior derecha del compuesto RGB. VIII.2.2 Métodos digitales Tal como se apuntó en la sección VIII.1.5.2, el speckle es un ruido multiplicativo ya que  = k, donde  y  son la media y la desviación estándar evaluadas sobre una región homogénea de la imagen y k es una constante de proporcionalidad. Esta relación

524


significa que entre mayor sea el valor de un pixel en la imagen mayor es la magnitud del speckle. En forma simplificada, el modelo multiplicativo de generación de una imagen radar se escribe entonces como z(k,l) = x(k,l)(k,l), k,l = 1, 2, . . . M, N

(VIII.46)

Donde (k,l) son las coordenadas de los pixels de la imagen, {x(k,l)} sería la función de retrodispersión del radar y {(k,l)} la función que denota el speckle. Para reducir el speckle se requiere, por tanto, de filtros diseñados con base en el modelo multiplicativo (Bustos, 1997; Lee et al., 1994; Xiao et al, 2003) dado por la relación (VIII.46). A continuación revisamos algunos de los filtros más importantes para reducción del speckle. VIII.2.2.1 Filtro geométrico El filtro geométrico está basado en la operación intersecta o no-intersecta (hit or miss) de la morfología matemática (Lira, 2002). Este filtro no presupone distribución alguna para los valores de los pixels de la imagen. El filtro geométrico se define de la siguiente manera: Se considera una ventana cuadrada de tamaño impar. En esta ventana se coloca un arreglo binario de factores de peso. A la ventana con los factores de peso se le llama templete. Los detalles del filtro geométrico se proporcionan en el apartado V.3.12. En general una o dos iteraciones del filtro geométrico son suficientes para reducir el speckle a un nivel tolerable. La lámina 65a muestra la imagen de radar aerotransportado (lámina 62a) filtrada con el filtro geométrico aplicando una iteración. La lámina 66a muestra la diferencia entre la imagen original (lámina 62a) y el filtro geométrico. A partir de esta diferencia es factible apreciar que el filtro geométrico elimina únicamente el ruido sin afectar significativamente el contenido de información de la imagen. VIII.2.2.2 Filtro por planos de bits Este filtro no presupone distribución alguna para los valores de los pixels de la imagen. Las imágenes de radar se cuantizan a 8 o 16 bits, es decir, cada pixel ocupa uno o dos bytes. Recordemos que las imágenes de radar son complejas: una componente de fase y una de cuadratura, cada una de estas componentes ocuparía 8 o 16 bits. En ocasiones, aquellas imágenes que se cuantizan a 16 bits se comprimen a 8 bits para su procesamiento. En este proceso de compresión no se pierde información significativa. Supongamos que se tiene una clase de imágenes cuantizada a 8 bits, de tal manera que cada pixel ocupa un byte cuya representación en bits es pij = [b7,b6, . . . b0]ij. Para imágenes cuantizadas a 16 bits el razonamiento que sigue es similar. El bit más significativo es el b7 y el menos significativo el b0. En esta representación la imagen se descompone en 8 imágenes binarias, donde la mayor cantidad de información se encuentra en aquella del bit más significativo. El procedimiento de filtraje por descomposición en planos de bits (Bezerra Candejas y Frery, 1997) está basado en una combinación de operaciones morfológicas llamadas apertura y cerradura que han sido estudiadas con detalle en el apartado VII.4.2.1.


525

La apertura y la cerradura son filtros espaciales para eliminar detalles espurios de la imagen. Para realizar el filtraje del speckle el elemento estructural que se emplea es 1 1 1 B 1 1 1 1 1 1

Las operaciones de apertura y cerradura se aplican en cascada a los planos de bits comenzando por el menos significativo donde reside básicamente el speckle. Sea g = [g7,g6, . . . g0] la descomposición en planos de bits de la imagen g. El filtraje se aplica de la siguiente manera fi = XB{XB[gi]}, donde fi es el i-ésimo plano de bits filtrado. Al completar el filtraje se codifican los planos filtrados con aquellos no-filtrados, es decir, si se filtraron los tres planos menos significativos en cuanto a información, la codificación sería f = [g7,g6,g5,g4,g3,f2,f1,f0] Para generar la imagen filtrada f. VIII.2.2.3 Filtro de Lee multiplicativo

x se escribe como En el filtro de Lee multiplicativo (Lee, 1981) la imagen filtrada ~ ~ x (k , l )  z(k , l )K (k , l )   z (k , l )[1  K (k , l )]

(VIII.47)

Donde K es el llamado factor de ganancia, z es la imagen degradada con ruido, z es la media, en una ventana, de la imagen degradada. El factor de ganancia está dado por K (k , l )  1 

 2z (k , l ) 2  2  2z (k , l )

(VIII.48)

El filtro opera de la siguiente manera: se considera una ventana de tamaño impar vmn que se desplaza sobre todos los pixels de la imagen z, en cada posición de la ventana se calcula la media z de z a partir de los pixels p(k,l)  vmn, es decir  z (k , l ) 

1 j( n 1) / 2 i ( m 1) / 2 p(k  i, l  j) mn j  ( n 1) / 2 i   ( m 1) / 2





(VIII.49)

La varianza del ruido  2 se obtiene graficando, sobre ventanas con textura suave, la media versus la desviación estándar. La pendiente de la línea que se ajusta por mínimos cuadrados a tal gráfica es la estimación de  2 (figura VIII.25). La varianza  2z se obtiene a partir de los pixels p(i,j)  vmn y de la media z de acuerdo con la expresión

526


 2z (k , l ) 

1 j( n 1) / 2 i( m1) / 2  z (k , l )  p(i, j)2 mn j  ( n 1) / 2 i  ( m1) / 2

 

(VIII.50)

Entonces en cada posición de la ventana vmn se actualizan los valores de z y de  2z , para calcular el factor de ganancia K que substituido en (VIII.47) permite evaluar los x . El resultado de aplicar el modelo de valores de los pixels de la imagen filtrada ~ restauración (VIII.47) se escribe en un archivo de salida en una localidad en correspondencia con el pixel central de la ventana móvil. La lámina 65b muestra la imagen de radar aerotransportado (lámina 62a) filtrada con el filtro de Lee multiplicativo, con una ventana de 3 x 3,  2 = 0.25 y una iteración. La lámina 66b muestra la diferencia entre la imagen original (lámina 62a) y el filtro de Lee multiplicativo. A partir de esta diferencia es factible apreciar que el filtro de Lee multiplicativo elimina parte del ruido afectando un segmento del contenido de información de la imagen. VIII.2.2.4 Filtro de Frost El filtro de Frost (Frost et al., 1982) considera un modelo de restauración circularmente simétrico con base en una gaussiana. El filtro se realiza ejecutando un promedio ponderado, empleando aquellos pixels para los cuales p(k,l)  v, de acuerdo con la expresión 1 ~ x (k , l )  W



p ( k  i , l  j )v 

 2  p (k  i, l  j) exp  Q 2 z   z (rij )  

(VIII.51)

La exponencial involucrada en la ecuación (VIII.51) es una función de amortiguamiento que confiere mayor peso a los pixels más cercanos al del centro (k,l) de una ventana v circularmente simétrica de radio . La cantidad W es una función de factores de peso dada por W



p ( k  i , l  j )v 

 2  exp  Q 2 z   z (rij )  

(VIII.52)

Donde rij  (k  i) 2  (l  j) 2 para un espacio Euclidiano, si bien podría emplearse la distancia de Manhattan expresada por rij = ∣k – i∣ + ∣l – j∣. La cantidad Q se conoce como el factor de amortiguamiento. Las cantidades  2z y  2z (r ) son la varianza y la media de los pixels que se encuentran en la ventana v. El resultado de aplicar el modelo de restauración (VIII.51) se escribe en un archivo de salida en una localidad en correspondencia con el pixel central de la ventana móvil. La lámina 65c muestra la imagen de radar aerotransportado (lámina 62a) filtrada con el filtro de Frost, con una ventana de 3 x 3, factor de amortiguamiento Q = 1 y una


527

iteración. La lámina 66c muestra la diferencia entre la imagen original (lámina 62a) y el filtro de Frost. A partir de esta diferencia es factible apreciar que el filtro de Frost elimina parte del ruido afectando un segmento del contenido de información de la imagen. Si bien la afectación es menor que la introducida por el filtro de Lee multiplicativo y mayor que la del filtro geométrico. VIII.2.2.5 Filtro gamma En este filtro se supone una distribución Chi-cuadrada (ecuación VIII.41) para los valores de los pixels de la imagen. En el filtro gamma (Lopes et al., 1993), se considera una ventana de tamaño impar vmn que se desplaza sobre todos los pixels de la imagen z, en cada posición de la ventana se calcula la media z de los pixels p(k,l)  vmn. A partir de aquí, los pixels de la imagen filtrada están dados por el siguiente modelo de filtraje  z  z , z    ~ x  K  N L    p(k , l ),  



1 NL

 1 z  z  z

K  N

 1  2z  4KN L p(k , l ) z 2K 2

L



1/ 2

,

1 NL



z  z

2 NL

(VIII.53)

2 NL

Donde

K

NL 1 2 N L 2z  1 z

NL – Número de looks. z – Media de la población de la ventana (ecuación VIII.49). z – Desviación estándar de la población de la ventana (ecuación VIII.50). El resultado de aplicar el modelo de restauración (VIII.53) se escribe en un archivo de salida en una localidad en correspondencia con el pixel central de la ventana móvil. La lámina 65d muestra la imagen de radar aerotransportado (lámina 62a) filtrada con el filtro Gamma, con una ventana de 3 x 3, una iteración y 2 looks. La lámina 66d muestra la diferencia entre la imagen original (lámina 62a) y el filtro Gamma. A partir de esta diferencia es factible apreciar que el filtro Gamma elimina parte del ruido afectando un segmento del contenido de información de la imagen. Si bien la afectación es mayor que la introducida por el filtro de Lee multiplicativo y de Frost. De los filtros estudiados en la sección VIII.2.2, el filtro geométrico es claramente superior debido a que reduce únicamente el speckle sin eliminar información relevante de la imagen original. Los otros filtros eliminan en menor o mayor grado información de la imagen original reduciendo al tiempo una porción del speckle. Algunas técnicas para

528


cuantificar la reducción del speckle han sido publicadas en la literatura (EscalanteRamirez y Lira, 1996).

VIII.3 Interferometría Radar La suma vectorial expresada en la ecuación (VIII.37) es el resultado de la suma coherente de las contribuciones de un conjunto de dispersores en el CIV. Un cambio en la disposición geométrica o en las propiedades físicas de los dispersores trae como consecuencia un cambio de fase. La amplitud varía también, pero el cambio de fase proporciona la información necesaria y suficiente empleada en los métodos de interferometría. Así entonces, los desplazamientos de masas del terreno debido a sismos, vulcanismo, inundaciones, incendios y deslaves producen un reacomodo en la disposición geométrica de los dispersores. Además, las propiedades físicas del terreno tales como rugosidad y contenido de humedad varían como resultado de la interacción de la atmósfera con la superficie terrestre. Por otro lado, los datos de interferometría permiten la observación geodésica de gran precisión. Supongamos ahora que se adquieren dos imágenes radar de la misma zona pero en tiempos diferentes. Si en el lapso que existe entre las dos adquisiciones los dispersores de cada CIV no modifican su geometría y sus propiedades físicas permanecen inalterables, entonces la fase expresada en la ecuación (VIII.37) tampoco cambia. Si esta es la situación se dice que las dos imágenes son coherentes. Por el contrario, si se produce algún cambio ya sea físico o geométrico de los dispersores se genera una variación en la fase y se dice que se pierde la coherencia. El grado de variación de la fase determina la magnitud de la pérdida de coherencia. Si en un área ocurre una descarga de lluvia, las propiedades físicas del terreno se modifican y aun cuando la geometría de los dispersores permanezca inalterable se presenta una pérdida de coherencia. Por otro lado, en un desplazamiento de masas del terreno la geometría es transformada generándose pérdida de coherencia también. A las dos imágenes radar obtenidas en estas condiciones se les conoce como par interferométrico. La interferometría radar se basa precisamente en la variación de la fase producida por una modificación de las propiedades del terreno empleando dicho par (Hanssen, 2001). Otra condición para generar un par interferométrico es adquirir dos imágenes radar de la misma zona, en el mismo tiempo, pero desde distancias diferentes. El adquirir el par al mismo tiempo asegura que no haya cambios en los elementos dispersores de los CIV, por lo que la variación en la fase proviene únicamente de la diferencia en distancia desde la cual se producen las imágenes. En esta circunstancia, el cambio de fase puede ser aprovechado para determinar cambios de elevación de la escena generando con esto lo que se conoce como modelo digital de elevaciones o modelo digital del terreno. VIII.3.1 Configuración de pares interferométricos La configuración de pares interferométricos presenta tres alternativas (figura VIII.26). La primera de ellas tiene una geometría similar a la empleada en los pares estereoscópicos fotográficos, es decir, se observa la escena desde dos posiciones simétricas alrededor de un nadir local. En la segunda configuración, la escena se


529

observa sobre el mismo nadir local desde dos alturas diferentes. En la tercera configuración, la escena se observa desde la misma altura en dos posiciones laterales diferentes. Las configuraciones primera y tercera son adecuadas para emplearse en sistemas satelitales y aerotransportadas. La segunda configuración puede utilizarse únicamente en sistemas aerotransportados. Es factible el uso de cualquier configuración para generar imágenes al mismo tiempo para modelos de elevación, o en tiempos diferentes para medir cambios físicos en la escena. No obstante, es necesario puntualizar que la observación de la escena en dos tiempos diferentes por medio de una plataforma aerotransportada es difícil ya que las aeronaves no tienen una trayectoria completamente regular. Por otro lado, los satélites sí tienen órbitas regulares y repetitivas por lo que son adecuados para este tipo de observaciones. La tercera configuración puede establecerse con dos antenas montadas en la misma plataforma con lo que se genera un par interferométrico al mismo tiempo. En resumidas cuentas, para producir modelos digitales de elevación se requiere de imágenes generadas al mismo tiempo, para medir cambios en la escena se necesita de imágenes en tiempos diferentes.

Figura VIII.26. Esquema de configuración de pares interferométricos. Supongamos ahora que se tiene un sistema radar montado en una plataforma que cuenta con dos antenas separadas una cierta distancia, tal como se muestra en la tercera configuración de la figura VIII.26. A la línea que determina la dirección de separación de las dos antenas recibe el nombre de línea de base. La operación de un sistema así tiene dos modalidades

530


i) ii)

O1= 1: La antena 1 transmite y recibe pulsos, la antena 2 recibe únicamente. O2 = 2: Las antenas 1 y 2 transmiten y reciben pulsos. Esta segunda modalidad aumenta la distancia funcional entre antenas al doble. A cualquiera de estas modalidades de operación se le llama radar interferométrico bistático. Haciendo referencia a la tercera configuración de la figura VIII.26 (figura VIII.27), aduciendo a las dos modalidades de operación para las antenas 1 y 2, y con base en la ecuación (VIII.12) (véase la sección VIII.5.3), la diferencia de fase es

  O i R

2 

(VIII.54)

Figura VIII.27. Detalle del esquema de la configuración de un par interferométrico. Donde R = R1 – R2 y a  se le conoce como la fase interferométrica (Ghiglia y Pritt, 1998). La ecuación (VIII.54) nos indica la diferencia de fase de dos imágenes radar obtenidas desde dos posiciones. A estas imágenes se les conoce como par interferométrico. Tal diferencia de fase es utilizada para proporcionar información sobre el relieve topográfico de la escena, así como detalles sobre cambios al mismo con una precisión de algunos centímetros. Al calcular la diferencia de fase de las dos imágenes que forman el par interferométrico se obtiene lo que se conoce como el interferograma. Las imágenes que forman el par interferométrico deben estar corregistradas a un error


531

r.m.s. menor a un pixel. Para generar la imagen de fase, se multiplica una imagen por el conjugado complejo de la otra, es decir, si f1  A1e j1

y

f 2  A 2 e j 2

son las dos imágenes que forman el par interferométrico, entonces la multiplicación compleja es f1f 2  A1A 2 e j[ 1 2 ]  Ae j

(VIII.55)

Donde las cantidades Ai y i dependen de las coordenadas espaciales x, y. Las imágenes f1 y f2 son cantidades complejas formadas por una amplitud Ai y una fase i; a la cantidad A i e j se le conoce también como fasor. A la imagen resultado del producto i

f 1 f 2 se le llama interferograma y a la magnitud  f 1 f 2 = A, se le conoce como la magnitud del interferograma (lámina 67a). A la imagen (x,y) se le llama la fase del interferograma (lámina 67b) y tiene un intervalo de valores de [,]. La correlación compleja normalizada entre las imágenes que forman el par interferométrico está dada por C f f (k , l )   1 2

c1c 2  c1c1  c 2 c 2 

(VIII.56)

Donde

c i c j  

v  ( n 1) / 2 u  ( m 1) / 2





pi (k  u, l  v) p j (k  u, l  v)

v   ( n 1) / 2 u   ( m 1) / 2

Las cantidades p1 y p2 son los valores complejos de los pixels de las imágenes f1 y f2 respectivamente. La suma del producto es evaluada sobre una ventana móvil de tamaño m x n, con p1, p2  vmn. A la correlación Cf1f2 se le conoce como la imagen de coherencia (lámina 67c) y tiene un intervalo de valores de [0,1]. A la medida de la fase por medio de la multiplicación coherente del par interferométrico se le conoce como interferometría multiplicativa. A la suma incoherente de las amplitudes del par interferométrico se le llama interferometría aditiva. Un intervalo de valores de la coherencia de [0.3 – 0.5] es aceptable, un intervalo de [0.5 – 0.7] es bueno y un intervalo de [0.7 – 1.0] excelente. En cuanto a clases de información en el terrenos se considera lo siguiente: coherencia muy baja  usualmente agua; coherencia moderada  frecuentemente vegetación en crecimiento o en movimiento; coherencia alta  desierto, ciudad, u otras características estables de la escena. La respuesta de la escena a la radiación electromagnética en la región óptica está directamente relacionada con la reflectividad del terreno. En cambio, la respuesta en la región de microondas es muy compleja tal como se detalla en el apartado VIII.1.4.2. En este sentido, las imágenes ópticas y de radar son complementarias. De aplicación

532


particularmente interesante de las imágenes de radar, se encuentran los pares interferométricos a partir de los cuales pueden ser obtenidos rasgos del terreno. Empleando un par interferométrico, es factible producir imágenes de coherencia, de fase, del cociente de la parte real o imaginaria, del interferograma y la variación temporal de las imágenes de intensidad o de amplitud. Estas imágenes pueden ser empleadas para discriminar objetos producidos por actividad antropogénica (ciudades) de objetos naturales (vegetación) (Bruzzone et al., 2004). En interferometría de repetidas observaciones, la escena puede mostrar cambios en el lapso entre la adquisición de las imágenes que forman el par. Los rasgos de la escena producidos artificialmente como ciudades, no experimentan cambio significativo durante la adquisición del par, mientras que rasgos naturales como la vegetación pueden experimentar suficiente cambio. La invarianza o el cambio de tales rasgos se muestra en las imágenes producidas a partir del par interferométrico. Las áreas urbanas están caracterizadas en general por alta coherencia y alta intensidad de la señal retrodispersada. Los diferentes usos del suelo presentan baja o media intensidad en la señal retrodispersada (Strozzi y Wegmuller, 1998). Las zonas urbanas muestran alta coherencia a través del tiempo debido a su estabilidad física y geométrica, mientras que la vegetación o los suelos experimentan cambios debido al crecimiento, a la variación en la humedad y al desplazamiento de los dispersores presentes en el CIV. En una imagen de coherencia las regiones brillantes indican alta coherencia, es decir, sin cambio en el terreno, mientras que las zonas obscuras representan baja coherencia, es decir, cambio en el terreno. En la lámina 67d se muestra una combinación falso color de acuerdo con la combinación: [R,G,B] = [interferograma, fase, coherencia]. Para formar la lámina 67 se partió de un par interferométrico cuyas características se presentan en el cuadro VIII.3. Cuadro VIII.3. Principales datos del par interferométrico. Sensor

Imagen 1

Imagen 2

Lugar

Pixel

Tamaño 2

Envisat Noviembre 7, 2002 Enero 16, 2003 Nevada 14  14 m

14.0  14.0 km2

En interferometría de una sola observación, es decir, sin cambio en el terreno, la coherencia puede perderse debido a 1) El contenido de speckle, 2) La topografía del terreno tal como pendientes pronunciadas, zonas de sombra y cuerpos de reflexión especular donde la señal retrodispersada es pequeña, 3) Movimientos de objetos del terreno, tales como flujos de agua (ríos, avenidas), desplazamiento de hielo y cambio en la vegetación, 4) Errores en la trayectoria de la plataforma radar 5) Ambigüedad en el desarrollo de la fase y, 6) Registración incorrecta del par interferométrico. En esta modalidad, la línea de base es llamada línea de base espacial. En interferometría de repetidas observaciones, es decir, con imágenes adquiridas en tiempos diferentes, la coherencia se pierde, además de los puntos anteriores, debido a i) Variación de las propiedades ópticas de la atmósfera, ii) Desplazamiento de masas del terreno,


533

iii) Cambios de elevación del terreno, iv) Modificación del aspecto y estructura de los objetos del terreno. En esta modalidad, la línea de base es llamada línea de base temporal. La influencia atmosférica es la principal limitante en la interferometría de repetidas observaciones. Veamos ahora la relación del cambio de fase de un par interferométrico en relación con las variaciones de la topografía del terreno. De la ecuación (VIII.54), para la primera modalidad de operación del sistema interferométrico, se tiene

R  

 2

(VIII.57)

En la segunda modalidad, debido a que la línea de base es del doble, la ecuación anterior presentaría un 4 en el denominador. De aquí entonces, la altura de un punto en el terreno, en función de una cierta localización en rango y (figura VIII.27), se escribe como z(y) = h(y) – R1Sen

(VIII.58)

Para calcular la altura local z(y), con respecto a un nivel de referencia (datum), es necesario conocer R1 con precisión. El rango R1 se obtiene a partir del interferograma, de la línea de base B y del ángulo de depresión . De la figura VIII.27 es claro que

Cos 

R

 1  R2 2R 1 B

Al emplear esta expresión en la ecuación (VIII.58), se escribe  R  z ( y)  h ( y)  R 12     2B 

2

Donde R = R1 – R2. Substituyendo ahora de la ecuación (VIII.57) el valor para R, se tiene finalmente    z( y)  h ( y)  R     4B 

2

2 1

(VIII.59)

Que relaciona el cambio de altura con el cambio de fase (véase apartado VIII.5.4).

VIII.4 Análisis de una Imagen Radar El análisis de una imagen de radar tiene como fin el caracterizar los patrones espaciales u objetos presentes en la misma. Esta caracterización se realiza empleando los métodos de reconocimiento de patrones espectrales y espaciales presentes en la imagen radar.

534


Tales métodos son de la misma naturaleza que aquellos utilizados en imágenes ópticas multi-espectrales. La diferencia estriba en el contenido de información de la imagen radar. Las imágenes multi-espectrales presentan una riqueza espectral y un nivel de ruido relativamente bajo. Las imágenes radar, en cambio, se encuentran contaminadas por el speckle y muestran un contenido textural importante. Podría decirse que las imágenes multi-espectrales y radar son complementarias entre sí por lo que algunas técnicas de análisis incluyen el empleo combinado de ambas. VIII.4.1 Caracterización de texturas La textura se define como la manifestación espacial organizada de un arreglo local de pixels de la imagen (apartado I.2.8). En esta definición se distinguen varios elementos. En primer lugar, la textura es un fenómeno espacial; la textura de un solo pixel no existe. En segundo lugar, la textura es local, puede cambiar de un lugar a otro en la imagen. En tercer lugar, depende de la relación de valor de los pixels en una vecindad. La textura no es función del valor absoluto de los pixels sino de su relación relativa. Finalmente, la textura depende de la escala a la cual se le observe; en imágenes multiespectrales se manifiesta diferente de banda a banda. Aunque la textura es un concepto difícil de definir dada la subjetividad con la cual la psicovisión responde ante ella, es posible establecer tres características básicas discutidas en el apartado I.2.8. Debido a que la textura depende de la escala de observación, es posible que varias sub-texturas compongan una de otra dimensión. En la definición anterior, la textura involucra una idea subjetiva de la psicovisión humana; para cuantificarla se requiere de un modelo matemático que exprese la relación espacial que existe entre los pixels localizados en una vecindad. Para cuantificar la textura es necesario considerar lo siguiente: así como el histograma es una aproximación a la función de densidad que proporciona una medida de la probabilidad con la ocurre un pixel en la imagen, la función de densidad conjunta expresa la probabilidad de que ocurran pares de pixels en direcciones pre-especificadas. La función de densidad mide el contraste global de una imagen y la función de densidad conjunta cuantifica la heterogeneidad espacial de los pixels en una vecindad dada. La función de densidad conjunta se caracteriza convenientemente por medio de la matriz de co-ocurrencia y el contenido de información de ésta a través de los llamados descriptores (apartado VII.3.8). La matriz de co-ocurrencia se aplica entonces a la imagen de radar previamente filtrada para disminuir el speckle. En este proceso se aplican uno o varios descriptores generándose un conjunto de imágenes sintéticas que representan el contenido textural de la imagen radar. Estas imágenes se encuentran correlacionadas por lo que la descomposición en componentes principales colocaría en una sola imagen sintética la mayor parte del contenido textural. VIII.4.2 Segmentación y clasificación de texturas La riqueza textural presente en una imagen radar permite realizar análisis de texturas de la escena correspondiente. Tal análisis exhibe dos alternativas: a) La generación de un mapa de texturas de toda la imagen mostrando los diferentes niveles de rugosidad del terreno y b) La detección de objetos texturales específicos relacionados con regiones de


535

rugosidad del terreno. La producción de un mapa de texturas se realiza con base en la matriz de co-ocurrencia explicada en el apartado VII.3.8. La detección de objetos texturales se hace por medio de un algoritmo de crecimiento de regiones (Lira y Frulla, 1998) el cual, a partir de un pixel sembrado llamado semilla, agrupa pixels a ésta empleando un criterio de homogeneidad textural evaluado sobre una vecindad de cada pixel probado para agrupamiento. El mapa de texturas se prepara de la siguiente manera: se toma una imagen radar, se le aplica el filtro geométrico y se obtiene una imagen con reducción del speckle a partir de la cual se genera la matriz de co-ocurrencia de acuerdo con el siguiente procedimiento a) Se considera una ventana Vmn que se desplaza sobre todos los pixels de la imagen filtrada. La ventana debe estar enteramente contenida en la imagen, es decir, los bordes de la imagen no se procesan. Estos bordes son de dimensión (Vmn – 1)/2 para ventana impar y Vmn/2 para ventana par. b) En cada localización de la ventana, se obtiene la matriz de co-ocurrencia para uno o varios operadores vectoriales de posición . Se aplican uno o varios descriptores (véase apartado VII.3.8), formándose una imagen multi-espectral sintética de tantas bandas como descriptores se hayan calculado. c) A la imagen multi-espectral resultante del paso (b) se le aplica la descomposición en componentes principales. La primera componente se introduce en un analizador de cúmulos produciéndose un mapa al determinar la relación cúmulo  textura. El número de cúmulos determina el número de niveles de textura distinguibles en el mapa. A la imagen de la lámina 61 se le aplicó la matriz de co-ocurrencia empleando los siguientes descriptores: entropía, contraste inverso, homogeneidad y probabilidad máxima; se aplicó la descomposición en componentes principales y la matriz de correlación resultante se muestra en la cuadro VIII.4 Cuadro VIII.4. Matriz de correlación de varios descriptores de textura. Descriptor

Entropía

Entropía

1.0000

Contraste Inverso 0.8380

Contraste Inverso

0.8380

Homogeneidad Probabilidad Máxima

0.8636

Probabilidad Máxima 0.8686

1.0000

0.9162

0.8961

0.8636

0.9162

1.0000

0.9692

0.8686

0.8961

0.9692

1.0000

Homogeneidad

La primera componente principal acumula el 92 % de la información por lo que resume el proceso de extracción de texturas por medio de la matriz de co-ocurrencia. Se produjo entonces el mapa de texturas por medio de un análisis de cúmulos con el algoritmo de lógica difusa (apartado VII.5.1), con 6 cúmulos. El mapa resultante se muestra en la lámina 68 donde se aprecian los 6 niveles de rugosidad-textura de la imagen. Nótese que la lámina 68 es de dimensión menor a la lámina 61 debido a la condición (a). Para segmentar objetos texturales específicos se emplea un algoritmo de crecimiento de regiones (Lira y Frulla, 1998; sección VII.6). Este algoritmo se realiza con los

536


siguientes pasos a) Se siembran pixels en lugares señalando cada objeto textural. Cada pixel, llamado semilla, se coloca en un sitio que sea representativo de la textura que caracteriza un objeto. La colocación de estas semillas es por apreciación visual de la imagen o bien utilizando el mapa de texturas arriba explicado. b) Se ejecuta el crecimiento de regiones con los siguientes parámetros  Criterio de uniformidad E: Descriptor entropía aplicado a la matriz de co-ocurrencia.    2 . En las cuatro primeras direcciones del código de Freeman.  Vmn = 43 x 43 pixels. Esta ventana debe estar enteramente contenida en la imagen.  : 75% de la entropía evaluada en la ventana de cada semilla. c) Se sobreponen las regiones crecidas a la imagen original. d) Se identifica cada región con un objeto textural y se obtienen los parámetros básicos de su morfología. Este algoritmo de crecimiento de regiones se aplicó a una imagen de radar del norte de México; los bordes de las regiones crecidas se observan en la lámina 57. Como es posible apreciar de la lámina 57 las tres regiones resultado del crecimiento de regiones muestran tres objetos texturales con texturas suave, regular y rugosa.

VIII.5 Aplicaciones con Imágenes Radar Las aplicaciones con imágenes radar son variadas (Henderson y Lewis, 1998), la disponibilidad de imágenes y pares interferométricos permite emprender el modelado del medio ambiente en diversas situaciones y condiciones. La combinación de imágenes radar con ópticas expande las posibilidades de caracterización e investigación de diversos problemas del medio ambiente. Estas imágenes han ampliado las escalas espaciales sobre las cuales es factible realizar medidas de la dinámica terrestre. Sobre una base regular se realiza la elaboración de modelos digitales de elevación y la estimación del desplazamiento de masas del terreno. VIII.5.1 Sinergismo de imágenes radar y ópticas Las imágenes ópticas y de radar caracterizan propiedades de la escena en diferentes regiones del espectro electromagnético. En la región óptica, la respuesta de la escena es básicamente debida a la reflectividad del terreno. En la región de radar la respuesta es más compleja dependiendo de factores físicos y geométricos del terreno como los discutidos en la sección VIII.1.4. Las propiedades de ambas regiones son complementarias y conjuntamente proporcionan información valiosa para evaluar el comportamiento de la escena. La combinación de imágenes radar y ópticas presenta dos posibilidades 1) La formación de compuestos falso color (cuadro VIII.5) con el objeto de realzar visualmente los rasgos del terreno presentes en las imágenes y, 2) La inclusión de ambas imágenes en procesos de análisis digital. En ambos casos es necesario puntualizar lo siguiente i) Las imágenes no tienen en general el mismo tamaño de pixel, ii) No presentan ni el mismo tipo, ni el mismo nivel de ruido,


537

iii) No están co-registradas y, iv) No tienen en general el mismo nivel de cuantización. De aquí entonces es necesario estandarizar las imágenes al mismo formato, referirlas a un sistema de coordenadas común, filtrar el ruido y normalizarlas radiométrica y geométricamente. La combinación de imágenes radar y ópticas para fines de realce visual se lleva a cabo por medio de combinación de bandas y de transformaciones al espacio de color; las representaciones RGB e IHS pueden considerarse. En tal combinación es factible considerar Imágenes multiespectrales de los satélites Landsat, Spot, Aster e Ikonos; específicamente, al suponer la disponibilidad de imágenes Landsat y SAR, la combinación de bandas puede presentar las modalidades mostradas en la cuadro VIII.5. Cuadro VIII.5. Combinación de bandas para realce visual. Canal

Bandas

Bandas

Bandas

Bandas

Rojo

SAR

SAR

SAR

SAR

Verde

TM4

PC1

TM1

PC1

Azul

TM7

PC2

NDVI

NDVI

Donde SAR es la imagen radar de apertura sintética, TMi es la i-ésima banda de la imagen Landsat, PCi es la i-ésima componente principal de las bandas TM y NDVI es el índice normalizado de vegetación. Otras combinaciones son posibles dependiendo de la aplicación. La formación de compuestos falso color se realiza también aplicando transformaciones al espacio de color formado por los colores primarios rojo, verde y azul. El principio de esta transformación está basado en el funcionamiento de la psicovisión humana. Los colores rojo, verde y azul son percibidos por la psicovisión como componentes primarias a partir de las cuales es factible representar cualquier tono o matiz de un color. En el funcionamiento de la psicovisión, los colores son percibidos por su intensidad, su matiz y su saturación. La intensidad se refiere al grado de brillantez de un color, el matiz a la gradación de los posibles tonos de color y la saturación a la proporción del blanco contenido en el color. Debido a esto, la representación de colores primarios es transformada a la percibida por la psicovisión; a esto se le conoce como una transformación del espacio de color. Estas representaciones son equivalentes, por lo que es factible obtener una a partir de la otra. Supóngase ahora que tres bandas cualesquiera son desplegadas en un monitor a color empleando los tres colores primarios: [R,G,B] = [Bi,Bj,Bk], donde se ha utilizado la notación en inglés para los colores ya que ésta es ampliamente utilizada en la literatura. A tal despliegue se le conoce como la representación RGB de tres bandas. La transformación [R,G,B] = [H,I,S] es la transformación al espacio de color ya mencionada. En cualquier representación es conveniente emplear bandas no-correlacionadas. Para integrar una imagen radar en esta representación, se realiza la composición [R,G,B] = [Bi,Bj,Bk], donde las bandas empleadas provienen de una imagen óptica. Se aplica ahora la transformación [R,G,B] = [H,I,S], se substituye la componente I por la imagen radar: [H,SAR,S] y se obtiene la transformación inversa, [H,SAR,S] = [R,G,B]. Las componentes RGB contienen ahora información compuesta de las bandas ópticas y de la imagen radar.

538


Para un análisis digital es necesario considerar a la imagen radar como portadora de un cierto tipo de información. Por ejemplo, la imagen radar, debido a su estructura geométrica (sección VIII.1.3) contiene una cantidad considerable de información textural. La textura es un elemento de análisis que puede ser empleado, en combinación con información espectral, en procesos de clasificación de clases de cobertura del terreno. Por otro lado, las imágenes ópticas contienen información espectral complementaria a la información textural sobre la escena. De esta manera es factible construir un clasificador contextual que incorpore información espectral y espacial de la escena. Así entonces, utilizando la notación de la cuadro VIII.5, las bandas SAR, CP1 y CP2, podrían introducirse en un clasificador para generar un mapa temático de una zona de interés. En este caso la imagen SAR porta la información textural y las CP1 y CP2 la información espectral. Otras combinaciones interesantes pueden ser empleadas para producir mapas temáticos. Así entonces, la imagen SAR contiene información textural, el NDVI información sobre el verdor y humedad de la vegetación y la CP1 información sobre el albedo. Estas tres bandas combinadas pueden representar el estado de la vegetación de una zona con densidad de vegetación media o alta. En la lámina 69 se aprecia en falso color la combinación [HIS] = [CP1,CP2,Textura] de una zona del norte de México donde se ve el anticlinal de Obayos. Las componentes principales CP1 y CP2 se obtuvieron de una imagen Landsat TM, la componente de textura se generó (véase sección VIII.4.2) a partir de una imagen Seasat. Ambas imágenes se coregistraron y redimensionaron al mismo tamaño de pixel: 28.5  28.5 m2. Las características generales de estas imágenes se proporcionan en la cuadro VIII.6. Cuadro VIII.6. Detalles de las imágenes de las cuales se obtiene la lámina 69. Trayectoria

Imagen

Zona

Fecha

xi,yi

Pixels

Líneas

29/41

Landsat TM

Obayos

03/02/96

1791,1

1459

2727

738/GDS

Seasat

Obayos

03/13/96

1022,2667

1459

2727

Para densidades bajas (zona semi-árida) el índice TSAVI substituye al NDVI. En otro esquema posible, es factible suponer que la imagen SAR caracteriza la humedad del terreno (Soares y Rennó, 1997) cuando la escena presenta una textura suave, es decir, un relieve plano. El albedo, representado por CP1 y la respuesta de minerales representada por el cociente TM7/TM5, sería combinado con la banda de humedad para estudios geológicos o geofísicos. En esta combinación podrían agregarse bandas caracterizando los campos magnético y gravimétrico de la Tierra. Un sinergismo interesante de imágenes radar con imágenes ópticas es la que se genera en zonas de muy baja humedad tal como en desiertos. En desiertos el contenido de humedad del suelo es muy bajo por lo que el valor de la constante dieléctrica es pequeño; en estas condiciones, tal como lo muestra la figura VIII.21, la penetración de la señal radar puede alcanzar varias decenas de metros. Esta penetración puede ser utilizada con ventaja en zonas desérticas donde una capa de arena cubre un material de diferente constante dieléctrica. En esta condición y de acuerdo con la definición (VIII.35), se tiene una sub-superficie 2 de una segunda capa donde la señal radar puede penetrar la primera capa (arena) en un grado significativo y presentar una reflexión importante en 2. Esta particularidad de la señal radar ha permitido realizar


539

descubrimientos interesantes en zonas desérticas, siendo el Sahara un ejemplo remarcable. Así, la Lámina 70 muestra una composición falso color de una imagen óptica sobrepuesta a una imagen de radar; ambas imágenes han sido co-registradas al mismo tamaño de pixel y al mismo sistema de coordenadas geográficas. En la porción que cubre la imagen óptica solo se aprecia la arena del desierto sin rasgos importantes, mientras que en la franja cubierta por la imagen radar se observan rasgos que indican una red de drenaje. Este sinergismo de imágenes ópticas y radar en un área desértica ha permitido corroborar un hecho presumido por paleontólogos: que el desierto del Sahara presentaba condiciones de humedad considerable en épocas remotas. Las condiciones de humedad, con un régimen de lluvias regular, generaron un patrón de drenaje en el Sahara que fue cubierto gradualmente por la arena a medida que las condiciones climáticas cambiaron. Este patrón de drenaje ha sido preservado de fuerzas de erosión por la arena misma, por lo que la señal radar, al penetrar la capa formada por la arena, ha sido reflejada en la segunda capa 2 donde se encuentra el drenaje permitiendo su observación precisa. A partir de los ejemplos anteriores podría inferirse la siguiente metodología 1) Se identifica un problema y una zona de estudio, tal como la caracterización de la vegetación en un área boscosa, el proceso de desertificación en un área semi-árida, la textura y morfología de una ciudad. 2) Se identifican las variables que determinan el estado del proceso sujeto del problema. 3) Se miden tales variables empleando combinaciones o transformaciones a las bandas de las imágenes óptica y radar. 4) Se combinan estas variables, ya sea por medio de un modelo o empleando un clasificador para generar un mapa temático del estado del proceso en un tiempo determinado. 5) Se consideran conjuntamente las imágenes ópticas y radar ya sea en un modelo de sinergismo o de fusión de imágenes. 6) Se genera un mapa temático de la caracterización del problema identificado. Es claro que, al menos una de estas variables, debe provenir de la imagen radar. En resumen, al uso conjunto de imágenes ópticas y radar se le conoce como sinergismo, mientras que a la combinación de imágenes ópticas con radar en una misma imagen o en varias se le llama fusión. VIII.5.2 Contaminación por hidrocarburos Una de las aplicaciones de las imágenes radar es la evaluación de contaminación en el mar por hidrocarburos. La presencia de hidrocarburos en la superficie del mar provoca un cambio de textura en el relieve del agua. Los hidrocarburos en el mar pueden ocurrir ya sea por fugas desde un yacimiento a través de un fracturamiento, o por derrames desde pozos marinos y barcos. La apariencia de los derrames en una imagen radar es de filamentos de diferentes longitudes y orientaciones determinadas por los patrones de viento y corrientes marinas (lámina 71a). Estos filamentos evolucionan, con la fuerza de los vientos y las corrientes, a formas irregulares de variadas extensiones. La apariencia de los derrames es un indicador de su edad: los filamentos son de reciente creación, las formas irregulares son más antiguas en variadas edades. En ocasiones, ciertas formas

540


están interconectadas por filamentos de diversas longitudes. Tanto los filamentos como las formas irregulares aparecen en la imagen en tonos oscuros. Las plataformas marinas y los barcos, siendo de metal, presentan una constante dieléctrica alta, por lo que aparecen en la imagen como puntos brillantes. Con el tiempo, los derrames de hidrocarburos tienden a dispersarse hasta formar una capa de una molécula de espesor. Cuando la contaminación se produce cerca de la costa, el hidrocarburo tiende a esparcirse por el oleaje hasta formar una mancha irregular sin filamentos, esto es particularmente notable en bahías. Debido a que los derrames aparecen en la imagen con tonos oscuros su confusión con sombras puede ser importante. De aquí que la segmentación de las zonas contaminadas se haga con base en el análisis de texturas de la imagen radar. El aceite, llamado también hidrocarburo y petróleo, es una mezcla de compuestos de carbono e hidrógeno. El estado del aceite puede variar desde gases hasta alquitrán y cera. Los elementos más comunes del aceite: oxígeno, nitrógeno y sulfuro, varían en peso molecular, volatilidad, solubilidad, persistencia y toxicidad, forman compuestos con estas características. Tal variación genera diferentes propiedades físicas y químicas del aceite que son determinantes en su comportamiento en la ocasión de un derrame. Otros factores que afectan el comportamiento de un derrame en el medio marino, o el costero, son las condiciones climáticas, localización, medio ambiente y cantidad del aceite. En la ocurrencia de un derrame de hidrocarburos es posible que se produzcan una serie de cambios determinados por los factores arriba mencionados, estos cambios son los siguientes Biodegradación En el medio marino, muchas de las bacterias, hongos y levaduras se alimentan de los compuestos que forman el aceite. Estos microorganismos son capaces de metabolizar, parcial o totalmente, los hidrocarburos en agua y bióxido de carbono. La rapidez de la metabolización depende básicamente de las condiciones de temperatura y de la mezcla: agua marina-aceite. Desplazamiento El aceite se desplaza compelido por las corrientes marinas, los vientos y las mareas. Estas fuerzas del medio ambiente, junto con la estructura molecular del aceite, le imprimen forma y extensión a un derrame. Disolución Una pequeña fracción del aceite decae en compuestos que son solubles al agua. Tales compuestos son entonces absorbidos por el medio marino. Disgregación El aceite tiende a flotar sobre la superficie del mar debido a que es menos denso que el agua marina. Esta propiedad aunada a los vientos y corrientes hace que el aceite se disgregue hasta formar una capa molecular. La disgregación decae exponencialmente con el tiempo. Dispersión La acción del viento y las corrientes marinas hacen que el derrame de aceite se expanda y cambie de forma dispersándose en diferentes formas y tamaños sobre la superficie del mar. Emulsificación La diferente densidad del aceite con respecto al agua marina y la acción del viento producen emulsiones que pueden ser de dos tipos: aceite suspendido en agua y agua suspendida en aceite. Tal emulsificación ocurre para ciertos tipos de compuestos de


541

aceite. La emulsión de agua en aceite es muy estable persistiendo hasta por varios años con relación de 50-80 % de agua. Evaporación Los compuestos de aceite más ligeros se evaporan a la atmósfera más rápido que los compuestos pesados. El proceso de evaporación es uno de los aspectos más importantes del intemperismo. Intemperismo El proceso de cambio de las propiedades físicas y químicas del aceite provocado por agentes físicos, químicos y biológicos se conoce como intemperismo. Entre más ligero es el aceite más rápido es el proceso de intemperismo. Oxidación La oxidación se produce cuando el aceite se combina químicamente con el oxigeno. La oxidación del aceite es un proceso relativamente lento. Sedimentación El campo gravitatorio terrestre ejerce una fuerza sobre el aceite que hace que parte de éste se deposite en el fondo del mar. Los factores arriba explicados se relacionan directamente con la detección y cuantificación de contaminación provocada por hidrocarburos son importantes ya que afecta la vida marina. Los hidrocarburos afectan a: las aves, peces, moluscos, mamíferos marinos y plantas, tanto marinas como costeras. En la ocurrencia de un derrame, el monitoreo de la localización y extensión del desastre se realiza segmentando la textura generada (lámina 71b) por la capa de aceite sobre el mar. La imagen mostrada en la lámina 71 cubre una zona de perforación marina en el mar arábigo (cuadro VIII.7) donde se aprecian los patrones de contaminación generados por los hidrocarburos derramados debido a las actividades de exploración y explotación. Cuadro VIII.7. Imagen radar con patrones de contaminación por hidrocarburos. Sensor

Fecha

SIR-C Octubre 9, 1994

Polarización VV

Lugar

Pixel (m2)

Tamaño imagen

Mar Arábigo 12.1  12.4 19.9  44.9 km2

La segmentación por texturas permite calcular el área ocupada por los hidrocarburos derramados: 618,557 pixels  92.808 km2. El volumen aproximado se calcula al medir el espesor promedio del derrame cuyo valor debe obtenerse directamente en campo. VIII.5.3 Radar polarimétrico En ocasiones es factible contar con imágenes radar, de la misma escena, bajo diferentes esquemas de polarización. Si los esquemas de polarización disponibles son HH, HV, VH y VV (cuadro B.3), es posible formar con estas imágenes la combinación [R,G,B] = [HH,HV,VV]. Por otro lado, los esquemas de polarización permiten observar características diferentes de la escena, es decir aspectos que pudieran no ser visibles en el esquema HH podrían distinguirse en el esquema VV. De esta manera, la consideración de los cuatro esquemas de polarización en una imagen multi-espectral de cuatro bandas conduce a incrementar el potencial de separabilidad en un clasificador. Al

542


uso conjunto, ya sea para despliegue RGB o para análisis digital, de varios esquemas de polarización de una misma escena se le conoce como radar polarimétrico (véase apartado VIII.5.6; Lee y Pottier, 2009). También, el radar polarimétrico puede ser combinado con imágenes ópticas tanto en análisis digital como en despliegue falso color. En el radar polarimétrico, se tienen cuatro secciones de retrodispersión llamadas HH, HV, VH, VV, que forman la matriz de dispersión  S   HH   VH

 HV    VV 

(VIII.60)

A S se le conoce como la matriz de Sinclair. Las secciones de retrodispersión representan las bandas de una imagen multi-espectral de radar adquiridas en los cuatro esquemas de polarización arriba mencionados. Una imagen polarimétrica forma por tanto una imagen multi-espectral de cuatro bandas donde un pixel está compuesto por un vector de cuatro elementos; cada elemento contiene la información de la sección de retrodispersión para cada esquema de polarización. En muchas ocasiones HV = VH. VIII.5.3.1 Descomposición coherente La descomposición coherente presenta una representación similar a la expansión canónica S

c S i

i

(VIII.61)

i

Donde S es la matriz de dispersión, ci son llamados coeficientes y Si son bandas que representan la respuesta de objetos (dispersores) de la escena; a las Si se les denomina objetos canónicos u objetos simples o bien objetos puros. La descomposición dada por (VIII.63) representa una de un conjunto infinito de representaciones de la matriz S. No obstante, algunas de tales descomposiciones son convenientes para analizar la información que contiene la matriz de dispersión. Una restricción que generalmente se impone es que las matrices Si sean ortogonales, es decir la correlación entre las bandas resultantes de la descomposición debe ser cero. Se trata por tanto de una restricción similar a la descomposición en componentes principales En situaciones reales de escenas de la superficie terrestre, la matriz de dispersión corresponde a objetos complejos coherentes llamados objetos (dispersores) distribuidos. Un ejemplo de objetos simples serían los edificios de un área urbana cuya respuesta domina el valor de la señal retrodispersada. Ejemplos de objetos complejos coherentes serían la vegetación, el suelo y el agua. Una descomposición coherente se aplica a objetos puros y una descomposición incoherente se utiliza para estudiar objetos distribuidos. A continuación estudiaremos la descomposición de la matriz de dispersión empleando el esquema de representación construido a partir de una base definida en términos de las matrices de Pauli.


543

VIII.5.3.1.1 Descomposición de Pauli Considérese la base de Pauli formada por las siguientes matrices Sa 

1 1 0 1 1 0  1 0 1 1  0 1   Sb    Sc    Sa    (VIII.62) 0 1 0  1 1 0 2 2 2 2 1 0    

Al emplear la base {Sa, Sb, Sc}, la matriz de dispersión puede ser expandida de la siguiente manera  S   HH   VH

 HV    Sa  Sb  Sc  VV 

(VIII.63)

Donde 

 HH   VV 2



 HH   VV 2

  2 HV

(VIII.64)

En consecuencia, la expresión (VIII.63) es un caso particular de la descomposición coherente dada por (VIII.61). Para efectos visuales de despliegue es posible considerar la composición falso color: [R,G,B] = [2,2,2]. También, para propósitos de clasificación se pueden emplear las bandas formadas por las intensidades 2, 2 y 2. La matrices Sa y Sb están asociadas con retrodispersiones generadas por los elementos de áreas urbanas. La matriz Sc está asociada con la dispersión volumétrica producida por el dosel de la vegetación (Lee y Pottier, 2009). VIII.5.3.2 Descomposición incoherente VIII.5.3.2.1 Descomposición Entropía, Anisotropía, Alfa La descomposición [Entropía, Anisotropía, Alfa] = H/A/  es un ejemplo de una descomposición incoherente. La matriz de dispersión S solo puede caracterizar la respuesta de los llamados dispersores puros o dispersores coherentes. Para caracterizar los dispersores distribuidos es necesario considerar la matriz de coherencia T3 a partir de la cual se propone la descomposición T3 

q T i

i

(VIII.65)

i

Donde qi son coeficientes y Ti es una base para representar objetos distribuidos. La ecuación (VIII.65) es similar a una expansión canónica. Para construir la matriz de coherencia refirámonos como referencia a la expresión (VIII.56), por lo que para una imagen polarimétrica se tiene (Holcomb, 1998)

544


  HH 2  T3   2 HH  HV     HH VV

2 HH  HV 2  HV

2

2  VV  HV

 HH  VV   2 HV  VV  2   VV 

(VIII.66)

La matriz T3 puede descomponerse de la siguiente manera T3  U 3 U 31 Donde  es una matriz de dimensión 3  3 con elementos reales no negativos y U3 = [u1, u2, u3] es una matriz unitaria tal que u son vectores unitarios y ortogonales. Los vectores u son los eigenvectores de la matriz T3. La matriz  es la matriz de eigenvalores de T3  1  0  0

0 2 0

0  0  3 

Con base en estos eigenvalores se definen las cantidades  Entropía i k

3

H   p i log[p i ] , p i  i 1



(VIII.67)

k

 Anisotropía A

2  3 2  3

(VIII.68)

Los eigenvectores u se pueden escribir de manera paramétrica ui = [Cosieji, SeniCosij(i+i), SeniSeniej(i+i)]

Los parámetros (i, i, i, i) no son linealmente independientes y las fases i corresponden a fases absolutas de los dispersores. A partir de lo anterior se define el parámetro alfa  Alfa 3

   pii i 1

(VIII.69)


545

De aquí se obtiene la descomposición H/A/  . A través de esta descomposición es factible identificar en una imagen polarimétrica los siguientes dispersores: Dispersión volumétrica proveniente del dosel de la vegetación, retrodispersión doble asociada a áreas urbanas y dispersión especular ocasionada por cuerpos de agua (Lee y Pottier, 2009). La descomposición H/A/  genera un nuevo espacio de rasgos donde es factible producir una segmentación a través de un análisis de cúmulos. Consideremos primero el plano H  dividido en ocho zonas básicas de diferente comportamiento de dispersión de la escena. En estas zonas es posible discriminar reflexión superficial, dispersión volumétrica y doble relexión superficial a lo largo del eje  . Así entonces, los campos agrícolas y el suelo desnudo están caracterizados por dispersión superficial. La dispersión de áreas forestales está caracterizada por dispersión volumétrica mientras que las áreas urbanas lo son por doble reflexión superficial. VIII.5.4 Modelo digital del terreno La elaboración de modelos digitales del terreno a partir de pares interferométricos es una tarea rutinaria con base en la tecnología radar actual. Satélites como ERS, Radarsat y TerraSar generan pares interferométricos de gran precisión sobre una base repetitiva; a partir de estos pares es factible producir el modelo digital del terreno de todo el planeta. En la producción de pares interferométricos se tienen dos posibles modos de operación: interferometría de una sola observación e interferometría de repetidas observaciones, con las restricciones y limitaciones discutidas en la sección VIII.3.1. La interferometría de una sola observación, en la configuración mostrada en la figura VIII.26c, es la más recomendable para la producción de modelos digitales del terreno. Un radar de apertura sintética no puede distinguir dos objetos al mismo rango pero sí a dos ángulos de depresión diferentes (figura VIII.18). Sin embargo, empleando dos imágenes radar adquiridas, ya sea por dos antenas o por una antena en repetidas observaciones, es posible obtener medidas simultáneas de rango y ángulo para los puntos de la escena. Esto conduce por tanto a la evaluación de la topografía de la escena. La hipótesis en la que se basa la generación del modelo digital del terreno tiene su fundamento en el razonamiento expuesto en los siguientes párrafos. La medida de la fase para un elemento de resolución (CIV) de la escena es la suma de dos contribuciones: a) la fase proporcional a la distancia entre la antena radar y el CIV y b) la fase resultante de las características de dispersión de los elementos dispersores presentes en el CIV. En un esquema de radar interferométrico bistático, con el modelo de interferometría de una sola observación, la diferencia de fase la determina la diferencia del rango entre las dos antenas y el CIV. Por otro lado, la contribución a la fase debida a los dispersores del CIV resulta ser una cantidad determinista. Esto quiere decir que bajo las mismas condiciones de medida los elementos dispersores producen una fase igual. En el esquema bistático, las geometrías de observación de las dos antenas con respecto al CIV son prácticamente iguales. De aquí entonces es posible suponer que la contribución a la fase de los elementos dispersores del CIV con respecto a cada antena es la misma. Por tanto, la fase para un elemento de resolución (CIV) proviene únicamente de la diferencia del rango entre las dos antenas. Con base en este razonamiento, supongamos que los valores de fase observados para un elemento de resolución de la escena son

546


1  O i

2R 1   d ,1 

2  Oi

y

2R 2   d,2 

Donde d,i es la contribución a la fase debido a las características de dispersión del elemento de resolución al ser observado desde las dos antenas (figura VIII.27). Si las características de dispersión son iguales para todo elemento de resolución, d,1 = d,2 y por tanto la diferencia de fase está dada por

1   2    O i

2R 

(VIII.70)

Donde R = R1 – R2 y Oi es el parámetro determinado por el modo de operación del sistema radar que genera el par interferométrico. En la práctica, este método de medida impone una alta precisión en la definición de la geometría de la línea de base de las dos antenas que forman el esquema bistático. En el radar bistático de repetidas observaciones, la diferencia en el tiempo en la generación del par interferométrico puede resultar en un cambio de fase debida a los elementos dispersores. En el lapso entre una adquisición y la siguiente, las características de los elementos que forman el CIV pueden cambiar debido a causas naturales o como resultado de actividades antropogénicas. Para estudiar la elaboración de un modelo digital del terreno es necesario reescribir la altura z(y) en función del rango R, el ángulo de depresión , la longitud de onda  y el cambio de fase , para esto retomemos la figura VIII.26c detallada en la figura VIII.27. En esta figura, la línea de base B se muestra en dos componentes tales que Br ∥

R1 y Bn ⊥ R1. Además, la distancia entre los puntos (a) y (b) se ha descompuesto en dos

segmentos tales que zr ∥ R1 y zn ⊥ R1. De aquí entonces, la relación vectorial de los lados del triángulo formado por R1, R2 y B debido a la ley de los cosenos es R1  R1 = R2  R2 + B  B + 2R1  B

Por lo que R 12  R 22  B 2  2R 1 BCos

De aquí

Cos 

R

1

 R 2 R 1  R 2  B  2R 1 B 2R 1

Sin embargo, debido a que B ≪ R1 y que R1 ≈ R2, se tiene

Cos 

R

 1  R2 2R 1 B

(VIII.71)


547

Además, de la figura VIII.27, es claro que la altura del terreno sobre el datum es z  h  R 1Sen  h  R 1 1  Cos 2 Con base en la ecuación (VIII.70) (véase figura VIII.27) se escribe que Cos 

 2O i B

(VIII.72)

El cambio de la fase  cuando el rango R cambia de un punto (a) a un punto (b), está dado por

    R  R Con base en la ecuación (VIII.72) y sabiendo que en general R = 2RBCos, es factible escribir que OB   2 i Cos R R

(VIII.73)

El factor 2 nos indica que la fase experimenta un cambio cíclico de 360 a medida que se modifica el rango debido a la topografía del terreno. El grado en el que cambia la altura con cada ciclo de la fase es la sensibilidad del interferograma. La ecuación (VIII.73) ha sido deducida suponiendo que el cambio de fase se debe únicamente a las variaciones de la topografía del terreno. La cantidad R indica la variación en altura de la topografía a medida que el cambio de fase  cambia de un ciclo a otro. La cantidad /R tiene, por tanto, unidades de:  ciclo/m, donde el signo menos se debe a que un incremento de fase de un ciclo implica un decremento en altura de la topografía del terreno. La resolución de /R es directamente proporcional a la línea de base B y a la precisión con que se mida el ángulo de depresión  y es inversamente proporcional a la longitud de onda . De aquí entonces, entre mayor sea B y menor sea , la resolución de /R es mejor. La ecuación (VIII.73) expresa un cambio diferencial de fase con respecto a la topografía, para producir alturas absolutas es necesario el uso de puntos de control. Estos puntos se generan en el par interferométrico por medio de trihedros cuya localización (x,y,z) en el terreno es conocida. De manera implícita se ha supuesto en la ecuación (VIII.73) que el cambio de fase  puede ser generado a partir de las franjas observadas en el interferograma. Sin embargo, a partir del interferograma es posible obtener únicamente la cantidad compleja exp[j], es decir, el valor principal de  limitado entre los valores   y + . En otras palabras, la fase sola puede ser detectada en el intervalo   y + , sin embargo, el corrimiento en fase es en realidad mayor. Se dice entonces que el interferograma representa la fase enrollada, es decir, el valor principal de  en el intervalo   y + . El desarrollo de la fase es, por tanto, el proceso por el cual se reconstruye la fase original a partir de la representación enrollada.

548


Tal proceso consiste básicamente de adicionar o substraer múltiplos de 2 en lugares apropiados del interferograma para hacerlo aparecer tan suave como sea posible (figura VIII.28). Para convertir la fase interferométrica en elevaciones del terreno, es necesario realizar el desarrollo de la fase. Es relativamente fácil realizar el desarrollo de la fase en zonas de alta coherencia, por el contrario, en lugares con traslape y escorzo la extracción de la topografía es deficiente o imposible.

Figura VIII.28. Reconstrucción de un modelo digital del terreno a partir del interferograma. El método arriba expuesto ha sido aplicado en la generación del modelo digital del terreno del volcán Etna, localizado en Sicilia, Italia. Las imágenes necesarias fueron adquiridas en Octubre de 1994. El modo de adquisición del par interferométrico es el de repetidas observaciones, cuyas características principales se resumen en la cuadro VIII.8. En la lámina 72a se aprecia la magnitud del interferograma relativo al monte Etna. La lámina 72b es la fase enrollada y la lámina 72c la fase desenrollada. Finalmente, en la lámina 72d se muestra el modelo digital de elevaciones, donde los tonos claros representan alturas mayores que los tonos obscuros. Al modelo digital del terreno se le conoce también como modelo numérico de elevaciones, modelo digital de elevaciones o modelo numérico del terreno. La lámina 73 es una perspectiva del modelo digital de elevaciones donde se aprecia la topografía del monte Etna. En la lámina 74 se muestra


549

el modelo digital de elevaciones de la península de Yucatán, este modelo ha sido generado a partir de pares interferométricos generados por el satélite Radarsat. La península de Yucatán es un área con una nubosidad considerable en todas las estaciones del año por lo que el radar es la solución adecuada para la producción de un modelo digital de elevaciones. En la actualidad se puede generar el modelo digital de elevaciones de cualquier parte del planeta con una resolución de 10 metros en las direcciones x, y, z a un costo reducido por kilómetro cuadrado. Con el lanzamiento del Radarsat 2, con una resolución espacial desde 3  3 m2, y el lanzamiento del TerraSar, con resolución espacial desde 1  0.65 m2, el detalle de los modelos de elevaciones se incrementará notablemente. Cuadro VIII.8. Características del par interferométrico del volcán Etna. Banda Polarización looks X

VV

4

Modo

Lugar

Pixel (m2)

Tamaño (pixels)

Repetición

Italia

6.7  18.2

1,024  1,016

VIII.5.5 Desplazamiento de masas Las primeras aplicaciones de la interferometría radar se concentraron en la estimación de la topografía de la escena por medio de la generación de modelos numéricos del terreno. No obstante, con el avance tecnológico, la interferometría de repetidas observaciones mostró una aplicación interesante: la medida de las deformaciones del terreno o el desplazamiento de masas. El problema inherente a esta aplicación es que, la señal radar que porta la información sobre la deformación del terreno, se encuentra siempre mezclada con la información sobre la topografía. La solución a este problema se encuentra en la interferometría diferencial donde el interferograma de la topografía (modelo del terreno) se resta al interferograma de la deformación, produciendo con esto un interferograma diferencial. A continuación se analizan los detalles de esta metodología. La interferometría diferencial se emplea también para estimar el cambio de una serie de modelos digitales de elevación generados a través del tiempo. Cuando una escena experimenta cambios debido a fenómenos tales como vulcanismo, sismos, desplazamientos de masas provocados por huracanes o inundaciones, el modelo digital de elevaciones de tal escena se modifica. La interferometría diferencial permite calcular tales modificaciones. La evaluación del desplazamiento de masas puede realizarse de dos maneras: a) por medio de la adquisición de un par interferométrico en el modo de operación de repetidas observaciones y, b) a partir de la diferencia de los modelos digitales de elevaciones generados antes y después del desplazamiento. Ambas opciones funcionan bajo restricciones y condiciones que a continuación se estudian. La estabilidad de la órbita de un satélite radar proporciona la mejor opción para el modo de operación de repetidas observaciones. No obstante, el periodo de cobertura del satélite impone un lapso fijo entre observaciones, restringiendo con esto el tipo y la magnitud del desplazamiento de masas que puede ser observado. Si las posiciones del satélite en la primera y segunda observación coinciden, la diferencia de fase es simplemente

550


  2

2R 

(VIII.74)

Donde R es el cambio en el rango debido a un desplazamiento del terreno ocurrido entre la primera y la segunda observación. Recordemos, sin embargo, que en la imagen de coherencia dada por la ecuación (VIII.56), las zonas brillantes (alta coherencia) representan terreno sin cambio, mientras que las zonas obscuras (baja coherencia) indican cambio en el mismo. Esto quiere decir que si la coherencia es muy baja los cambios en el terreno no pueden ser cuantificados; en otras palabras, la ecuación (VIII.74) nos permite evaluar modificaciones del terreno hasta un cierto límite. No obstante, la ecuación (VIII.74) implica que el cambio R que se puede medir es el de rango, es decir, en la dirección determinada por la antena y el campo instantáneo de vista. Esta dirección tiene componentes vertical y horizontal que no pueden ser resueltas a partir de R. Para calcular estas componentes sin ambigüedades es necesario incorporar más información al proceso de medida de la topografía del terreno y los cambios que éste experimenta. Por cada ciclo de 2 se tiene una franja en el interferograma (lámina 72b, Figura VIII.28) que representa un cierto cambio de elevación del terreno. En la ecuación (VIII.74) un ciclo, /2 = 1, implica que R = /2, por lo que la capacidad del interferograma para medir cambios del terreno, en el modo de observaciones repetidas, es de la mitad de la longitud de onda empleada. Cuando en una zona se conoce el modelo digital de elevaciones previo a un evento de desplazamiento de masas la evaluación del cambio del terreno es directa. Así entonces, la contribución a la fase debida a la topografía del modelo de elevaciones es restada de la fase por el movimiento del terreno, dejando únicamente la fase debida al desplazamiento de masas. En otro esquema de análisis, la resta de modelos digitales de elevaciones de la misma zona elaborados con una cierta diferencia en tiempo, permite el cálculo del desplazamiento de masas. Es necesario, sin embargo, que tales modelos se encuentren a la misma escala y registrados uno con el otro. El método de repetidas observaciones es de fácil aplicación empleando plataformas satelitales, si bien el periodo de cobertura de la órbita (cuadro B.3) impone restricciones a la resolución temporal. Es claro que la resolución temporal es igual al periodo de cobertura por lo que no pueden ser observados aquellos eventos cuya duración esté totalmente contenida en el periodo. El sistema radar de apertura sintética llamado SIR-C/X-SAR, a bordo del transbordador espacial Endeavour, emplea tres longitudes de onda para generar imágenes radar: 24 cm – Banda L, 6 cm – Banda C y 3 cm – Banda X. Este sistema es capaz de operar en varios esquemas de polarización. Con el objeto de supervisar la evolución de las erupciones del volcán Pinatubo, localizado al norte de Filipinas, el SIR-C/X-SAR ha adquirido una serie de imágenes radar que muestran el desplazamiento de masas provocado por la actividad del Pinatubo. En la lámina 75 se observa un par interferométrico cuyas características principales se muestran en la cuadro VIII.9. Las imágenes mostradas en esta lámina son compuestos falso color realizados de acuerdo con: [R,G,B] = [Banda L-HH, Banda L-HV, Banda C-HV]. En la lámina 75, la imagen 1 se encuentra a la izquierda y la imagen 2 a la derecha. En esta lámina, es posible observar el cráter principal del monte Pinatubo y la distribución de cenizas de la erupción de 1991 aparece en tonos de rojo. A partir de la cima del volcán, se observan en tonos obscuros los flujos de lodo que se producen


551

después de una lluvia intensa. Cerca de tres semanas antes de la adquisición de la imagen 2 (cuadro VIII.9), se produjo un flujo de lodo (lahar) de considerable magnitud que modificó notablemente el paisaje. Este cambio es visible en tonos obscuros en una zona localizada en la parte centro-derecha de la imagen 2. Debido a que las imágenes 1 y 2 fueron adquiridas bajo la misma geometría de vista, el área afectada por el desplazamiento de masas provocado por los lahares es fácilmente cuantificable. En la lámina 76 se aprecia una perspectiva del volcán Pinatubo donde en tonos claros se resalta el efecto de los lahares en la topografía del lugar. Cuadro VIII.9. Características del par interferométrico del volcán Pinatubo. Sensor SIR-C/X

Imagen 1 Imagen 2 Abril 14, Octubre 5, 1994 1994

Lugar Pinatubo, Filipinas

Pixel (m2)

Tamaño

30 x 30

40.2 x 64.4 km2

VIII.5.6 Segmentación de vegetación La segmentación de clases de vegetación puede ser realizada empleando radar polarimétrico. El uso combinado de imágenes radar en las bandas X y P conduce a la regionalización de clases vegetales debido a que la respuesta de estas bandas frente a la vegetación es muy diferente. La respuesta de la banda P a ciertos objetos de la escena se resume como sigue Reflexión especular (cuerpos de agua):  0 Reflexión quasi-especular (pastos):  0 Reflexión semi-especular (arbustos  10 cm): 10x Reflexión semi-especular (cultivos):  1x Retrodispersión (árboles > 50 cm, edificios): 10,000x Es decir, la respuesta de la banda P frente a vegetación de un cierto vigor es 10,000 veces más intensa que la que se genera para pastos y cultivos. En la banda X esta diferencia es mucho menor, de aquí que la combinación de las bandas X y P permita la segmentación de clases de vegetación. Un ejemplo de esta segmentación se obtiene por medio del siguiente algoritmo 1. Se aplica la descomposición en componentes principales a las imágenes a las bandas PHH, PVV, PHV y XHH. 2. Aplicar el operador divergencia a las bandas mencionadas en el punto anterior. 3. Aplicar un análisis de cúmulos al conjunto formado por las dos primeras componentes principales y la banda resultado del operador divergencia. 4. Formar un mapa temático donde se distingue la vegetación de cierto vigor de acuerdo con la respuesta de la vegetación en las bandas P y X. Un ejemplo de la combinación falso color que se alcanza con el algoritmo anterior se muestra en la lámina 77. En esta lámina se puede apreciar, en tonos de verde, y amarillo, la segmentación de la vegetación de un cierto vigor; los árboles y los arbustos de una cierta altura y biomasa se muestran en estos colores. Los pastos y la vegetación de poco vigor y biomasa aparecen en diferentes tonos de rojo y morado.

552


VIII.6 Ejercicios 1. Desarrolle el ancho de banda de un pulso a través de la transformada de Fourier y explique los resultados. 2. Explique cómo se forma una imagen de radar en un radar de apertura sintética. 3. Desarrolle y explique las resoluciones en rango y en azimut de un radar de apertura sintética. 4. Desarrolle y explique la geometría de formación de una imagen de radar. 5. Explique las diferentes condiciones de adquisición entre una imagen óptica y una de radar. 6. En la imagen adjunta identifique: Escorzo, inversión de relieve y Speckle. 7. Explique porqué los objetos en movimiento se ven desplazados en una imagen de radar. 8. Explique la ecuación de radar. 9. Explique de qué parámetros depende la sección diferencial de dispersión, proporcione detalles de cada parámetro. 10. Explique en qué consiste el speckle. 11. Explique en qué consiste el clutter. 12. Desarrolle para el modo de amplitud la función de densidad del speckle, a partir de aquí calcule la media, la varianza y la relación entre estas dos cantidades. 13. Desarrolle para el modo de intensidad la función de densidad del speckle, a partir de aquí calcule la media, la varianza y la relación entre estas dos cantidades. 14. Explique en qué consiste el número equivalente de looks, cómo se obtiene a partir de una imagen y qué sucede cuándo este número aumenta. 15. Explique los métodos físicos de reducción del speckle y explique la técnica multilook. 16. Elabore un algoritmo para separar una imagen de radar en planos de bits, inspeccione el contenido de ruido en cada plano. 17. Explique en qué consiste el Filtro Geométrico. 18. Explique cómo se genera un par interferométrico, cuáles son las configuraciones más empleadas para producir este par. 19. Explique la diferencia entre la interferometría de una sola observación y la de repetidas observaciones, qué aplicaciones tiene cada una. 20. ¿Cómo se genera un modelo de texturas para una imagen de radar?

Referencias

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X. GLOSARIO A Absorbtividad – Razón de la radiación absorbida por una superficie con respecto a la que incide sobre ésta. Absorción – Reducción de la intensidad de energía radiante al propagarse a través de un medio. La magnitud de la reducción depende de las propiedades dieléctricas del medio. Absorción atmosférica – Proceso por el cual una fracción de la energía radiante es transferida a los constituyentes de la atmósfera. Admitancia – Propiedad que permite el flujo de una corriente eléctrica bajo la acción de una diferencia de potencial. Es el recíproco de la impedancia. Agudeza – Medida de la nitidez de los bordes presentes en una imagen. Albedo – Razón de la radiación reflejada por un objeto en relación a la que incide sobre él. Albedo espectral – Razón de la radiación reflejada por un objeto en relación a la que incide sobre él, para una banda del espectro electromagnético. Algoritmo – Conjunto de instrucciones para llevar a cabo una tarea. Altímetro – Instrumento para medir la distancia de una plataforma orbital a la superficie de la Tierra en la dirección del nadir local. Ampere – Razón del flujo de un Coulomb de carga por segundo. Amplitud – Máximo valor de una cantidad que varía periodicamente durante un ciclo. La amplitud puede implicar una señal compleja, en cuyo caso incluye su magnitud y su fase. Ancho de banda – Intervalo de longitudes de onda comprendidas en una banda espectral. Ancho de haz – Amplitud del patrón de radiación de una antena, medido como el ángulo subtendido por el lugar donde la potencia del lóbulo principal de tal patrón es la mitad de la potencia máxima. Anemómetro – Instrumento para medir la velocidad del viento. Angulo de incidencia – Angulo que forma un rayo de luz con la normal a la superficie sobre la cual incide. Angulo de reflexión – Angulo que forma un rayo de luz con la normal a la superficie de la cual es reflejado. Angulo sólido – Angulo subtendido por un cono, se mide en steradián. Angulo zenith – Angulo formado entre la dirección de interés y el zenith. Anisotropía – Característica de un medio para el cual una propiedad física varía en valor en función de la dirección a lo largo de la cual es medida. Antena – Dispositivo para radiar o recibir ondas electromagnéticas. Antropogénico – Relativo a la génesis y evolución de un fenómeno por causas de la actividad del hombre. Apertura real – Tipo de sistema radar en el cual la resolución azimutal es función de la anchura del haz. Apoyo de campo – Información adquirida por estudios de campo con el propósito de calibración o verificación de datos de percepción remota. Arbol de decisión – Despliegue gráfico del proceso de decisión subyaciente involucrado en una clasificación.

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Arreglo de antenas – Conjunto de antenas de tal manera espaciadas y en fase, que sus contribuciones individuales interaccionan coherentemente por lo que se adicionan en una dirección preferente y se cancelan en otras direcciones. Arreglo de sensores – Dispositivo para generar imágenes empleando un conjunto de detectores localizados en el plano focal de un sistema óptico. Artefacto – Patrón espacial o espectral presente en una imagen, cuya ocurrencia es azarosa y ajena a la escena respectiva. Aspecto – Descripción de la orientación geométrica de un objeto en la escena con respecto a la dirección del frente de ondas de la radiación incidente. Atenuación – Decremento en la intensidad de una señal. Atenuación atmosférica – Proceso por el cual una fracción de la energía radiante es absorbida o dispersada al atravezar la atmósfera. Atributo – Propiedad de un objeto AVHRR – Radiómetro avanzado de muy alta resolución. (En inglés: Advanced very high resolution radiometer). Azimut – Dirección paralela a la trayectoria del sensor remoto en el proceso de captura de una escena. Angulo que forma, con el meridiano, el círculo vertical que pasa por un punto del globo terráqueo. B Banda térmica – Intervalo de longitudes de onda en el infrarrojo medio: 8.0 m - 13.0 m. Bandeo – Apariencia de franjas en la imagen causado por la variación en la respuesta espectral de los detectores de un sistema sensor. Barredor – Dispositivo que examina un área, punto por punto, de una manera contínua y sistemática, repetidamente, desplazándose al través hasta que el área es enteramente cubierta. Brillantez – Atributo de la percepción visual por el cual una cierta área parece emitir más o menos luz. Brillantez de temperatura – Temperatura de un cuerpo negro equivalente que daría lugar a la misma radiancia de un cuerpo a la longitud de onda considerada. C Calibración – Proceso por el cual se relacionan los valores de los pixels de la imagen con una cantidad física de la escena, tal como: reflectividad, temperatura, albedo, rugosidad, localización geográfica, o humedad. Campo instantáneo de vista – Area observada por un sensor remoto en el proceso de digitización de una escena. Campo de entrenamiento – Datos espectrales o espaciales de un rasgo identificado en una imagen utilizados para determinar las características de una clase espectral o textural. A los datos definidos por el campo de entrenamiento se les llama pixels prototipo. Campo eléctrico – Condición en una región del espacio donde es ejercida una fuerza sobre cualquier carga eléctrica presente. Celda fotovoltáica – Elemento semi-conductor que absorbe una banda del espectro

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electromagnético y emite electricidad. Celda de resolución – Area elemental considerada en una imagen para efectos de reconocimiento de patrones. Celda solar – Celda fotovoltáica empleada para convertir energía solar en electricidad. Celsius – Escala métrica de temperatura para la cual 0 C es la temperatura en la que el agua se congela y 100 C la temperatura en la que hierve el agua bajo una presión de 1000 mbars. La relación entre Celsius y Farenheit es C = 9(F – 32)/5. Cero absoluto – La temperatura más baja posible para cualquier substancia, equivalente a – 273.15 C. CIV - Campo instantáneo de vista. Clasificación – Proceso por el cual un conjunto de datos o pixels en una imagen son identificados y etiquetados como pertenecientes a una de un conjunto de categorías (clases) de acuerdo a un criterio y una regla de decisión. Clasificación contextual – Clasificación empleando tanto información espectral como del contexto espacial del pixel. Clasificación de patrones – Proceso por el cual cada patrón de una imagen es asignado a una o varias categorías (clases) de un conjunto de ellas. Si la clasificación es booleana se asigna un pixel y sólo uno a una categoría. Si la clasificación es borrosa (fuzzy) un pixel es asignado a varias categorías de acuerdo a una función de probabilidad relacionada con cada categoría. Coherente – Propiedad de un conjunto de señales ondulatorias tal que la fase de éstas está determinada. Color – Impresión en la retina, asociada por la psicovision, de la radiación electromagnética de una cierta longitud de onda en el visible. Color de temperatura – Color al cual aparece al ojo humano un cuerpo negro en función de la temperatura. Compuesto falso color – Combinación de tres bandas de una imagen empleando tres funciones o tablas de color. Condición forzante – Situación por el cual un sistema físico es constringido a uno de sus posibles estados. Conductividad – Razón de la densidad de corriente en un conductor al campo eléctrico que causa el flujo de corriente. Constante solar – Cantidad de flujo solar que pasa por la órbita terrestre promedio. El valor aceptado es de 1367 W/m2. Contraste – Razón de la transmitancia de un objeto en relación a la transmitancia del entorno del objeto. En una imagen es la razón del valor digital promedio del objeto en relación al valor digital promedio del entorno. Convertidor análogo/digital – Dispositivo para cuantizar una señal continua a una señal discreta. Corrimiento doppler – El cambio aparente en frecuencia de ondas sonoras o electromagnéticas, variando de acuerdo a la velocidad relativa de la fuente y el observador. Coulomb – Equivale a 6.241,509,629,152,65  1018 cargas elementales. Criterio de Rayleigh – Regla heurística que determina la rugosidad de la superficie del terreno en función de la longitud de onda de la señal radar y del ángulo de depresión. Cuantización – Discretización de la magnitud de una señal continua, en un tiempo dado, a un valor entero comprendido en una escala de 0 a 2m - 1.

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Cuerpo negro – Material ideal, perfectamente opaco, que absorbe toda la radiación incidente a él en todas las longitudes de onda, sin reflejar nada. Un cuerpo negro es también un emisor perfecto, reemitiendo la radiación que absorbe de acuerdo a la ley de Planck. Cúmulo – Grupo homogéneo de pixels. La homogeneidad se determina de acuerdo a un modelo de distancia o similaridad entre pixels. D Datos ancilares – Datos accesorios y complementarios a los producidos por percepción remota. Datos raster – Conjunto de datos arreglados de manera matricial de tal manera que cada elemento de la matriz puede ser direccionado por sus coordenadas y relacionado con uno o más atributos. Datum – Representación matemática del tamaño y forma de la Tierra. Se describe por una serie de parámetros, dos de los cuales especifican la geometría de un esferiode de referencia. La superficie de este esferoide aproxima la superficie del nivel del mar. El sistema de coordenadas geográficas asociado al esferoide permite describir puntos en términos de latitud, longitud y altura. Datum local – Es el datum que mejor se aproxima al tamaño y forma de una parte regional de la superficie de la Tierra. Densidad óptica – El logaritmo con base 10 del inverso de la transmitancia. Densitometría – La ciencia y la técnica de la medida de densidades ópticas. Densitómetro – Fotómetro diseñado para medir la densidad óptica de un material. Detector – Dispositivo que genera una señal eléctrica proporcional a la intensidad, por unidad de tiempo, por unidad de ángulo sólido, por intervalo de energía de la radiación incidente. Dieléctrico – Substancia, sólido, líquido o gas que puede sostener un campo eléctrico. Digitización – Proceso de discretización espacial de una escena. El término digitalización es igualmente empleado. Dipolo eléctrico – Sistema con un momento eléctrico definido, matemáticamente equivalente a dos cargas iguales, de signo opuesto, a una distancia pequeña entre ellas. Dispersión – Proceso por el cual un paquete de ondas o un haz de partículas es difundido o deflectado por colisión con los elementos del medio que atraviesa. Dispersión atmosférica – Proceso por el cual una fracción de la energía radiante es dispersada al atravezar la atmósfera. Dispersión de Bragg – Retrodispersión producida por la interacción coherente de un conjunto de señales reflejadas por una superficie cuya rugosidad es la mitad de la longitud de onda de la radiación proyectada sobre tal superficie. Dispersión de Mie – Dispersión de la radiación solar por partículas en la atmósfera cuyo tamaño es comparable a la longitud de onda de la radiación. Dispersión de Rayleigh – Dispersión de la radiación solar por partículas en la atmósfera cuyo tamaño es mucho menor que la longitud de onda de la radiación. Dispersómetro – Dispositivo radar empleado para medir la variación del coeficiente de dispersión del radar. Disposición de traslape – Forma extrema de desplazamiento o escorzo en la cual la cima de una geoforma de la escena es más cercana al sistema radar que su base. Se le denomina también como inversión de relieve. (En inglés: layover).

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DVI – Indice de Vegetación Diferencia (En inglés: Difference Vegetation Index). Para LANDSAT TM DVI = TM4 – TM3 E Ecuación de radar – Expresión matemática que describe la señal promedio recibida por la antena de un sistema radar en función de la potencia transmitida, la ganancia de la antena, el nivel de ruido, la distancia de la antena a la escena, la longitud de onda y la sección diferencial de dispersión. Efecto cardinal – Tendencia del radar de producir pulsos retrodispersados intensos generados por un patrón de calles de una ciudad o de otros rasgos perpendiculares a la dirección del haz incidente. Efecto doppler – El cambio aparente en frecuencia de una señal ondulatoria debido al movimiento relativo entre la fuente de radiación y el observador. Efecto fotoeléctrico – Liberación de electrónes de una substancia expuesta a radiación electromagnética. Efemérides – Lista de parámetros que describen la trayectoria orbital de un sensor satelital. Se utiliza para identificar la localización del sensor y su orbita en cualquier momento. Elemento de resolución – Area asociada a un pixel en una imagen. Emisividad – La razón de la radiación emitida por una superficie con respecto a la emitida por un cuerpo negro a la misma temperatura. Emisión atmosférica – Energía radiante emitida por la atmósfera. Emitancia – Potencia radiada por unidad de área de una superficie radiante. Energía – Capacidad para realizar trabajo. Energía radiante – Fenómeno de transporte de energía a través de un medio de propagación. Entropía – En termodinámica, cantidad que mide la extensión en la cual la energía de un sistema está disponible para su conversión a trabajo. En teoría de la información, cantidad que mide el orden o desorden de un sistema cerrado. ERS – Satélite europeo de percepción remota (European Remote Sensing Satellite). Escena – Superficie embebida en el paisaje que comprende un conjunto de objetos en la superficie terrestre en un área determinada. Escorzo – Distorsión espacial, en una imagen radar, tal que los aspectos de pendiente del terreno orientados hacia la dirección de incidencia de una señal de radar son registrados como comprimidos en relación a su apariencia en el terreno. (En inglés: foreshortening). Espacial – Perteneciente al espacio, o perteneciente a la distancia, tal como la variación espacial o la variación con respecto a la distancia. Espacio de rasgos – Conjunto de todos los posibles rasgos para una clase de imágenes. Espectro electromagnético – El intervalo total de longitudes de onda de la radiación electromagnética, extendiéndose desde las ondas de radio hasta los rayos cósmicos. Espectro solar – Distribución espectral de la radiación electromagnética emitida por el sol. Espectrofotometría – La ciencia y la técnica relativas al empleo de espectrofotómetros. Espectrofotómetro – Dispositivo para medir la energía radiante en función de la longitud de onda.

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Espectrometría – La ciencia y la técnica relativas al empleo de espectrómetros. Espectrómetro – Dispositivo para medir intensidad radiante o para determinar el espectro de longitudes de onda de un flujo de radiación. Espectro-radiometría – La ciencia y la técnica relativas al empleo de espectroradiómetros. Espectro-radiómetro – Dispositivo capaz de separar un flujo de energía radiante en bandas espectrales o de energía. Especular – Reflección coherente por parte de una superficie suave, en un plano perpendicular a ésta y a un ángulo opuesto al incidente. Estación espacial – Instalación autónoma, en órbita espacial permanente, diseñada para conducir investigación científica y tecnológica. Estadísticas – Conjunto de números o funciones que describen las propieddes promedio de un proceso aleatorio. Estereoscopio – Instrumento binocular para la observación de pares estereoscópicos, de tal manera que cada ojo puede observar una de las imágenes generando en la psicovisión una sensación de profundidad. Evapotranspiración – Emisión a la atmósfera de vapor de agua por parte de la vegetación. F Farenheit – Escala inglesa de temperatura para la cual 32 F es la temperatura en la que el agua se congela y 212 F la temperatura en la que hierve el agua bajo una presión de 1000 mbars. La relación entre Farenheit y Celsius es F = 9C/5 + 32. Fase interferométrica – Diferencia de fase de un par interferométrico. Firma espectral – Patrón de la distribución de longitudes de onda de la radiación reflejada o emitida por un objeto de la escena. Flourescencia – Emisión de radiación electromagnética causada por el flujo de alguna forma de energía hacia el cuerpo emisor. Flujo – Razón de transmisión de energía radiante a través de una superficie por unidad de área. fm – fentómetro = 10-15 metros. Fotodetector – Dispositivo capaz de detectar un flujo de fotones con una distribución de longitudes de onda. Fotoeléctrico – Perteneciente a la conversión de la energía radiante en electricidad. Fotografía - Registro pictórico de una imagen formada por un sensor. Fotometría – La ciencia y la técnica que involucra el uso de fotómetros. Fotómetro – Dispositivo para medir la intensidad de la radiación electromagnética en un intervalo selecto del espectro electromagnético. Fotón – Partícula fundamental o quantum de la radiación electromagnética. Frecuencia – Razón de oscilación de una señal ondulatoria, se mide en Hertz. Se dice también de la razón de repetición de un fenómeno periódico. Frecuencia angular – Frecuencia expresada en radianes por segundo. Frente de onda – Superficie tri-dimensional para la cual el conjunto de ondas de un campo de energía tienen la misma fase. Fusión de datos – Es un marco formal de referencia en el cual se expresan los métodos y técnicas que permiten la alianza de datos originados de diferentes fuentes, con el objeto

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de obtener información de gran calidad. Los datos de diferentes fuentes pueden ser imágenes ópticas, de radar, mapas y cartas. G Geobotánico – Relación de la botánica con la geología. Geocodificación – Proceso por el cual una imagen es referida a un sistema de coordenadas geográficas. Geoformas – Formas de la superficie del terreno. Geohidrología - Relación de la hidrología con la geología. Geoide – Superficie equipotencial del campo gravimétrico terrestre que se aproxima al nivel medio de un océano hipotético en reposo extendiéndose continuamente al través de los continentes. Geomática – Campo de actividades científicas y técnicas que integran todos los procesos para adquirir y tratar datos espacialmente referenciados a un sistema cartográfico. Geoquímico – Química de los diferentes aspectos geológicos. Geosíncrono – Que tiene sincronía con respecto a la rotación angular de la Tierra. Un satélite geosíncrono aparece con una posición aparentemente fija en el firmamento. GPS – Sistema de posicionamiento global (Global Positioning System). Sistema formado por un conjunto de satélites para proporcionar la posición precisa de un punto en la superficie terrestre. Gravimétrico – Relativo a la medida del campo gravitacional. H Heliosincrónico – Satélite terrestre para el cual el plano de la órbita es casi polar y la altitud es tal que sobrevuela un lugar de la Tierra a la misma hora en períodos constantes. Hertz – Unidad estándar para la frecuencia, equivalente a un ciclo por segundo. Hidrotermal – De las aguas termales. Hidrotérmica – Unidad dedicada a la explotación energética de las aguas termales. Histograma – Gráfica que muestra el valor de ocurrencia de cada valor de pixel para una banda de una imagen multiespectral. I Iceberg – Hielo marino originado en las capas polares. Iluminación – Flujo de radiación electromagnética que una superficie recive por unidad de área. Imagen de amplitud – En el modo lineal de detección de un sistema radar se mide la amplitud de la señal retrodispersada, al resultado se le llama imagen de amplitud. Imagen digital – Representación numérica de la variación espacial de la intensidad de energía radiante proveniente de una escena. Tal variación se mide generalmente para un conjunto de energías de la radiación resultando en una imagen digital multiespectral. Imagen digital multiespectral – Conjunto de imágenes digitales relativas a la misma escena, adquiridas bajo las mismas condiciones, para un grupo de bandas del espectro electromagnético.

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Imagen de intensidad – En el modo cuadrático de detección de un sistema radar se mide la intensidad o potencia de la señal retrodispersada, al resultado se le llama imagen de intensidad. Imagen multi-banda – Conjunto de imágenes relativas a una misma escena, adquiridas bajo condiciones diferentes, tales como diferentes tiempos, diferentes sensores o diferentes ángulos de vista. Tal conjunto de imágenes puede ser también el resultado de transformaciones aplicadas a una o más imágenes multi-espectrales. Incoherente – Propiedad de un conjunto de señales ondulatorias tal que las fases de éstas no están estadísticamente correlacionadas o sistemáticamente relacionadas. Indice de vegetación – Transformación aplicada a las bandas de una imagen multiespectral con el objeto de generar una variable con propósitos de predicción y evaluación de las características de la vegetación tales como área foliar, biomasa total y vigor general de las plantas. Indice de obscurecimiento – Indice diferencia normalizado de vegetación para el infrarrojo (En ingles: Darkening Index). Para Landsat TM

NDVI 

TM5  TM 7 TM5  TM7

Intensidad radiante – Potencia radiada o reflejada por un objeto puntual medida por steradián. Interferometría – La ciencia y la técnica involucrada en el uso de los interferómetros. Interferómetro – Dispositivo para producir y medir la interferencia de dos o más trenes de ondas coherentes provenientes de la misma fuente. Irradiancia – Densidad del flujo radiante incidente sobre una superficie. Irradiancia espectral – Densidad del flujo radiante incidente sobre una superficie por unidad de longitud de onda. J JERS – Satélite de radar operando en la banda L. Este satélite también genera imágenes multiespectrales en la región óptica del espectro electromagnético. Joule – Unidad métrica de energía igual a un Newton/metro, o igual a un Kgm2/s. K Kelvin – Escala métrica de temperatura basada en el mínimo teórico de temperatura. La relación entre Kelvin y Celsius es K = C + 273.16. km – kilómetro = 103 metros. L Landsat – Satélite de la tierra (Land Satellite). Primer satélite de percepción remota. Latitud – Distancia angular desde el ecuador hasta una localidad. Ley de Planck – Un cuerpo negro radia uniformemente en todas las direcciones de tal manera que su brillantez espectral Bf está dada por

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M 

2hc 2  1  5 ch / kT   e  1

Donde M – Exitancia espectral o brillantez espectral del cuerpo negro. h – Constante de Planck: 6.6256 x 10-34 joules.  – Longitud de onda: metros. k – Constante de Boltzmann: 1.38054 x 10-23 joule/K. c – Velocidad de la luz: 2.997925 x 108 m/s. T – Temperatura: K. La frecuencia  está relacionada con la longitud de onda por la expresión:  = c/. Línea de suelos – Reflectancia del suelo caracterizada por una línea obtenida por regresión lineal en el espacio espectral formado por las bandas TM3 y TM4 del satélite LANDSAT TM. Longitud – Distancia angular este-oeste de una localidad a partir del meridiano primigenio. El meridiano primigenio es la localización del observatorio de Greenwich y de todos los puntos al sur y norte de éste. Longitud de onda – Distancia mínima entre dos eventos de un rasgo recurrente de una secuencia periódica, tal como la cresta de una onda. Longitud de onda de De Broglie – Longitud de onda asociada a una partícula en virtud de su movimiento:  = h/p, donde h es la constante de Planck y p es el momento relativísta de la partícula. Luminancia – El atributo cuantitativo de la luz que se correlaciona con la sensación de brillantez. Luminiscencia – Emisión de la luz que no puede atribuirse solamente a la temperatura del cuerpo emisor, sino que resulta de causas tales como reacciones químicas a temperaturas ordinarias, bombardeo de electrónes, radiación electromagnética y campos eléctricos. Luz – Radiación electromagnética en el intervalo de longitudes de onda: 0.4 m 0.7m, llamado también región del visible. Luz del cielo – Luz difusa proveniente del cielo, dispersada por las moléculas del aire. Luz solar – Luz proveniente directamente del sol. M Mapa – Representación de rasgos físicos y culturales de una región de la superficie terrestre. Mapa base – Información fundamental de un mapa empleada como marco de referencia sobre el cual se adicionan o sobreimponen datos de otras fuentes de información. Mapeador temático – Se dice del conjunto de sensores remotos a bordo de los satélites Landsat TM 4, 5 y 7. Matriz de confusión – Arreglo matricial de probabilidades, cuyos renglones y columnas indican la probabilidad de identificación correcta para cada categoría (clase) definida en una clasificación. Matriz de dispersión – Arreglo de cuatro números complejos que describen el cambio en el estado de polarización de una onda incidente sobre un objeto de la escena en relación

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al estado de polarización de la onda retrodispersada. Medida – Resultado arrojado por un sensor en la observación de una escena. Microdensitómetro – Dispositivo para medir la densidad o transmitancia óptica de un área de un objeto translúcido. mm – milimetro = 10-3 metros. m – micrómetro = 10-6 metros. Modelo – Arquetipo de un sistema con fines de representación, reproducción, simplificación, análisis y comprensión del mismo. MDE – Modelo Digital de Elevaciones. Represenatación cartográfica de la elevación del terreno a intervalos espaciales regulares en las direcciones x, y, usando valores z referenciados a un datum común (En inglés: Digital Elevation Model). EL MDE no incluye las elevaciones de la vegetación y las edificaciones. Es común utilizar el término equivalente: Modelo Digital del Terreno (MDT). MDS – Modelo Digital de Superficie. Representación cartográfica de un MDE pero incluyendo vegetación y edificaciones. Multi-espectral – Que comprende un conjunto de bandas espectrales. N Nadir – Dirección, desde un punto de referencia, hacia el centro de la Tierra. NDBI – Indice diferencia normalizado de área urbana (En inglés: Normalized Difference Built-up Index). Para Landsat TM

NDBI 

TM5  TM 4 TM5  TM 4

NDVI – Indice diferencia normalizado de vegetación (En inglés: Normalized Difference Vegetation Index). Para LANDSAT TM

NDVI 

TM 4  TM3 TM 4  TM3

NDWI – Indice diferencia normalizado de agua (En inglés: Normalized Difference Water Index). Para LANDSAT TM

NDWI 

TM3  TM5 TM3  TM5

Newton – Unidad métrica de fuerza igual a un Kilogramo por metro por segundo al cuadrado. Nivel de gris – Tono de gris asociado, de acuerdo a una función, al valor numérico en la posición (x,y) en una banda de una imagen multi-espectral. nm – nanómetro = 10–9 metros. Número de onda – Por definición: k =2/, donde  es la longitud de onda. O

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Objeto – Entidad física de la escena. Onda – Variación periódica de un campo de energía. Onda electromagnética – Onda que comprende campos eléctrico y magnético mutuamente perpendiculares e interdependientes. En el vacio, una onda electromagnética se propaga a la velocidad de la luz. P Paisaje – Conjunto de rasgos naturales y artificiales interrelacionados entre sí y ocupando una región de la superficie terrestre. Pancromático – Región del espectro electromagnético que cubre el visible: 0.4 m 0.7m. Par estereoscópico – Dos imágenes de la misma escena adquiridas desde dos ángulos de vista tal que permitan visión estereoscópica. Par interferométrico – Dos imágenes radar de la misma escena pero adquiridas desde ángulos diferentes con fines de medición de cambios del terreno. Paralaje – Cambio aparente en la posición de un objeto debido a un desplazamiento en el punto de vista de observación. Parámetros de Stokes – Conjunto de cuatro números reales que describen el estado de polarización de una onda electromagnética. Paquete de ondas – Superposición de ondas con un número de onda predominante. Patrón - Arreglo de entes de la misma naturaleza. Percepción remota – La adquisición de información acerca del comportamiento de una escena por medio del tratamiento de sus imágenes adquiridas a distancia y a través de un conjunto de bandas del espectro electromagnético. Periodo – Duración en tiempo del ciclo de una onda, o del ciclo de un patrón regular recurrente. Permeabilidad – Razón de la densidad de flujo magnético B, en una substancia, a la intensidad del campo externo H, m = B/H. La permeabilidad del espacio vacio es llamada la constante magnética. Permitividad – Razón del desplazamiento eléctrico a la intensidad del campo eléctrico que lo produce. Pixel – Elemento de la imagen digital 1 resultado de la medida de un sensor sobre la escena. Es un vector con un número de elementos igual al de las bandas de la imagen multi-espectral. Pixel mixto - Pixel representando la firma espectral de más de una clase espectral del terreno. Plataforma – Vehículo que transporta un sensor remoto. Un satélite y un avión son ejemplos de plataforma. pm – picómetro = 10-12 metros. Poder de resolución – Medida de la capacidad de un sistema opto-electrónico para distinguir dos objetos espacialmente cercanos o espectralmente similares. Polarímetro – Instrumento para determinar la magnitud de la polarización de una señal electromagnética. Polarización – Proceso de confinar a un plano la variaciones del vector de campo 1

Del Inglés: picture element.

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magnético o campo eléctrico. Se dice también de la orientación del vector de campo eléctrico de una onda electromagnética, las orientaciones empleadas son horizontal (H) o vertical (V). Polarización de quadratura – Sistema de radar que colecta simultáneamente datos radar de una escena en dos estados de polarización mutuamente ortogonales, tanto en la transmisión como en la recepción de éstos. Policultivo – Relativo a varios cultivos entremezclados. Potencia – Cantidad de trabajo realizado por unidad de tiempo. Predictivo – Relativo a la capacidad de predecir. Presión atmosférica – Presión ejercida por la atmosfera en la superficie del mar debido al peso del aire. Su valor estándar es: 1.01325  105 N/m2. Presión barométrica – Fuerza por unidad de área creada por el peso de la atmósfera. Se mide en bars, al nivel del mar la presión es de 1000 mbars. Proceso – Serie de fases de un fenómeno. Proceso aleatorio – Serie de fases de un fenómeno sujeto a leyes probabilísticas. Proceso estocástico – Familia de variables aleatorias x(), cada miembro de esta familia generado por un parámetro uni-dimensional , para cada salida  de un experimento en un espacio S. Psicovisión – Sistema formado por el ojo y la actividad mental por la cual se asocian imágenes y colores a los objetos circundantes. PVI – Indice de Vegetación Perpendicular (En inglés: Perpendicular Vegetation Index). Para LANDSAT TM PVI 

1 a2 1

TM 4  a  TM3  b

Donde a es la pendiente de la línea de suelos y b es la ordenada al origen de la misma. Pulso – Grupo de ondas con una distribución espacial tal que se encuentran confinadas en un corto intervalo de tiempo. Q Quadratura – Señal que se encuentra 90 fuera de fase con respecto a una frecuencia de referencia. Quantum – Cantidad mínima por la cual ciertas propiedades, tales como energía o momento angular, de un sistema pueden cambiar. En mecánica cuántica, tales propiedades no varían continuamente sino en múltiplos enteros del quantum relevante. Quasi-elementales – Del mismo modo que elementales. Quasi-permanente – Del mismo modo que permanente. R Radar – Método para detectar la presencia, posición y dirección de movimiento de objetos distantes por medio de la retrodispersión de radiación electromagnética en la región de microondas. Dispositivo de emisión y detección de microondas. (En inglés: radio detection and ranging). Radarsat – Satélite de radar (Acrónimo de: Radar Satellite).

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Radiación – La emisión y propagación de ondas o partículas portadoras de energía a través del espacio o algún medio. Radiación coherente – Paquete de ondas de radiación electromagnética de la misma longitud de onda y con una relación de fase definida. Radiación solar – Energía radiante emitida por el sol en forma de radiación electromagnética. Radiación difusa – componente de la radiación proveniente de la dispersión atmosférica. Radiación terrestre – Radiación emitida por la Tierra. Radián – Convención para medir la apertura de un ángulo con respecto al número , de acuerdo a la expresión: radián = 180/. Radiancia – Medida de la energía radiada por un objeto en función de la longitud de onda de tal radiación. Radiancia atmosférica – Flujo radiante, por unidad de ángulo sólido, por unidad de área proyectada de la fuente sobre la atmosfera. Radiación electromagnética – Emisión y propagación de energía electromagnética a partir de una fuente. Radioactividad – Energía radiante en forma de partículas u ondas electromagnéticas resultado de la desintegración espontánea de un núcleo atómico inestable. Radiometría – La ciencia y la técnica del uso de radiómetros. Radiométrico – Relativo a la medida de la intensidad y energía de la radiación. Radiómetro – Dispositivo para medir energía radiante. Rango – Longitud de la línea de vista entre la antena de radar y un objeto de la escena. Rango dinámico – Descripción de una variedad de intensidad de señales o de valores en un archivo de datos. En una imagen el rango dinámico se especifica en función de los valores posibles mínimo y máximo de los pixels. Rasgo – Término general para describir una característica de la escena, plasmada en la imagen, con resolución espacial, atributos y relaciones. Este término también se emplea para describir las variables empleadas en clasificación tales como las bandas o los descriptores de textura. Rayo gamma – Fotón de alta energía, emitido en particular por un átomo en la transición entre dos niveles de energía de un electrón. Razón de reflectancia – La reflectancia en una región espectral dividida por la reflectancia en otra región. Razón señal/ruido – Medida cuantitativa para comparar el nivel relativo de los valores digitales de una imagen con respecto a elementos ajenos a la escena tales como ruido o artefactos. Reconocimiento de patrones – Búsqueda de estructuras (clases) en la imagen, donde ésta se encuentra formada por todos los datos (pixels) generados por el sistema sensor Referencia cartográfica – Un punto en una imagen cuya localización cartográfica es conocida. Reflectancia – Razón de la intensidad de la radiación reflejada, por unidad de tiempo por unidad de área, en relación a la incidente sobre una superficie por unidad de tiempo por unidad de área. Reflectancia atmosférica – Razón de la radiación reflejada por la atmosfera en relación a la que incide sobre ésta. Reflectividad – La fracción reflejada de la radiación incidente a una superficie expuesta a una radiación uniforme desde una fuente que cubre su campo de vista.

Glosario

581

Reflectómetro – Instrumento para medir la reflectancia. Reflector – Objeto empleado como una marca artifical identificable en la escena que provoca radiación reflejada a lo largo de una trayectoria paralela a la de la radiación incidente. Refracción – El cambio de dirección de la radiación electromagnética al pasar de un medio a otro con diferente índice de refracción o coeficiente dieléctrico. Regla – Define las relaciones entre los objetos y sus vectores de estado. Regla de decisión – Función que asigna un pixel a una o varias categorías (clases). Si la función es booleana se asigna un pixel y sólo uno a una categoría. Si la función es borrosa (fuzzy) un pixel es asignado a varias categorías de acuerdo a una función de probabilidad relacionada con cada categoría. Resistividad – Habilidad de un material para oponerse al flujo de una corriente eléctrica. Resolución – Capacidad de un sistema para reproducir un objeto aislado, o para separar objetos o líneas espacialmente cercanos. Resolución espacial – Medida de la menor separación espacial o angular entre dos objetos discernibles en una imagen. Resolución espectral – Medida de la capacidad de un sistema sensor para diferenciar radiación electromagnética de diferentes longitudes de onda. Resolución radiométrica – Varianza esperada en cada estimación de la reflectividad de una escena registrada en la imagen correspondiente. Resolución temporal – Frecuencia de adquisición en el tiempo de una misma escena por un sistema sensor. Respuesta espectral – Resultado de la medida de un sistema sensor a la radiación electromagnética de diferentes longitudes de onda. Respuesta transitoria – Respuesta de corta duración de un instrumento causada por un cambio del medio en el que se encuentra. Retrodispersión – Deflección de la radiación por efecto de un fenómeno de dispersión hacia ángulos mayores de 90 con respecto a la dirección original de propagación de la radiación. Rugosidad – Magnitud de los cambios en elevación de la superfice de una escena. Ruido – Valor aleatorio, sujeto a leyes probabilísticas de acuerdo a una función de distribución, sobreimpuesto a los pixels de una imagen de manera aditiva o multiplicativa. Ruido atmosférico – Efecto de interferencia, originado en la atmosfera, sobre las comunicaciones y la observación de la Tierra. Ruido electrónico – Ruido, o error aleatorio, sobreimpuesto a una señal de manera aditiva o multiplicativa por las componentes electrónicas de un sistema sensor. S SAR – Radar de apertura sintética. Acrónimo de: Synthetic Aperture Radar. Satélite – Vehículo en orbita alrededor de la Tierra o cualquier otro objeto celeste empleado como plataforma para la adquisición y transmisión de datos. Satelitario – Que se refiere a un vehículo o plataforma orbital. Satélite – Vehículo o plataforma en orbita regular alrededor del globo terráqueo. SAVI – Indice de Vegetación Ajustado al Suelo (En inglés: Soil Adjusted Vegetation Index). Para LANDSAT TM

582


SAVI 

TM3  TM3 (1  L) TM 4  TM3  L

Donde L es un factor de ajuste que depende de la densidad de vegetación. Seasat – Primer satélite con un sistema radar de apertura sintética (Sea Satellite). Sección diferencial de dispersión – Razón de la mangnitud de la potencia dispersada en una dirección rs, para una polarización Ps, con respecto a la potencia incidente a un área unitaria en la dirección r0, para una polarización P0. Se le conoce también como coeficiente de dispersión y se le denota por 0. Selección de rasgos – Proceso por el cual se determina un conjunto de rasgos con fines de reconocimiento de patrones. Semi-aridez – Grado de aridez intermedia. Semi-continental – De extensión, tamaño o grado cercano a un continente. Semi-suspensión – Suspensión de partículas, en un medio, por un tiempo determinado. Sensor – Detector diseñado para medir la radiación proveniente de un objeto. Señal – Término genérico empleado para denotar la descripción matemática de una onda o pulso. Separabilidad – Capacidad para separar dos o más clases en una imagen. Sinergismo – Utilización concurrente de imágenes de diferentes sistemas sensores cuyo efecto es superior a la consideración de las imágenes por separado en procesos de realce, transformación y reconocimiento de patrones. Sistema de Información Geográfica (SIG) – Colección organizada de datos geográficos diseñada para proporcionar múltiples capas de información geográficamente referenciadas. Un SIG se emplea para capturar, almacenar, actualizar, manipular, analizar y desplegar toda forma de información geocodificada. SLI – Indice de la línea de suelos (En inglés: Soil Line Index). Se define como la distancia del punto determinado por la abscisa al origen a un punto en la línea de suelos. Skylab – Laboratorio orbital tripulado diseñado para llevar a cabo una gran variedad de experimentos incluyendo percepción remota de la Tierra. Speckle – Fenómeno de interferencia generado por la interacción de radiación coherente retrodispersada por los elementos de un campo instantáneo de vista. El aspecto visual en la imagen es de granulosidad. Spot – Satélite para la observación de la Tierra (En francés: Satellite Pour l'Observation de la Terre). Sterradián – Convención para medir la apertura de un ángulo subtendido por un cono con respecto al número , de acuerdo a la expresión: sterradián = 180/. Sub-ártico – Región cercana al ártico. T Tele-detección – Término empleado como sinónimo al de percepción remota. Tele-observación – Observación a distancia de una escena. Temperatura absoluta – Temperatura medida con respecto al cero absoluto de la escala de Kelvin de temperaturas. Temperatura aparente – Temperatura a la cual un cuerpo negro radía la misma cantidad de energía en la misma banda espectral que el cuerpo bajo consideración. Temporal – Perteneciente al tiempo.

Glosario

583

Termografía – Registro de la distribución espacial de las características termales de una superficie por medio de detectores sensibles a la radiación térmica. Textura – Manifestación espacial organizada de los valores de los pixels de una imagen. Textural – Que se refiere a la textura. Tiempo de residencia – Intervalo de tiempo en el que un detector integra la energía radiante proveniente de un CIV. Tiempo real – Un sistema cuya transmisión y tratamiento de datos es realizado concurrentemente con la adquisición de los mismos. Tomografía – Imagen generada por medio de la combinación de varias observaciones a diferentes ángulos de la sección de un objeto. Topoformas – Formas del relieve del terreno. Topología – Propiedades espaciales de objetos geográficos basadas en modelos de adyacencia y conectividad. Rama de la geometría que concierne a las propiedades invariantes, de objetos geométricos, bajo deformaciones contínuas. Transbordador – Vehículo espacial diseñado para alcanzar una órbita regular alrededor del globo terráqueo y regresar a la Tierra al cumplir una misión. Transitómetro – Dispositivo para medir la transmitancia de la atmósfera. Transmitacia – La razón de la energía radiante transmitida, por unidad de tiempo por unidad de área, por un medio con respecto a la energía incidente sobre él, por unidad de tiempo por unidad de área. Transmitancia atmosférica – Energía radiante transmitida por la atmósfera en relación a la que incidente sobre ésta. Trihedro – Reflector formado por tres superficies mutuamente ortogonales. TSAVI – Indice transformado de vegetación ajustado al suelo. (En inglés: Transformed Soil Adjusted Vegetation Index). Para Landsat TM

TSAVI 

a TM 4  a  TM3  b a  TM 4  TM3  a  b

Donde a es la pendiente de la línea de suelos y b es la ordenada al origen de la misma. Turbidez atmosférica – Cualquier condición de la atmósfera que reduce su transmitancia. Se emplea también como una medida de la opacidad de la atmósfera. U UTM – Proyección universal transversal de Mercator (Universal Transverse Mercator). Proyección del elipsiode terrestre sobre una superficie de cilindros transversales englobando la Tierra a intervalos de 6 longitud. V Variable aleatoria – Proceso de asignar un número x() a cada salida  de un experimento en un espacio S. La función resultante debe satisfacer las condiciones 1. El conjunto {x  x} es un evento para  x. 2. Las probabilidades de los eventos {x = } y { x = – } son iguales a P{x = } y P{ x = – }.

584


Vector de estado – Vector que describe las propiedades de un objeto. Llamado también vector de atributos o vector de rasgos. Ventana atmosférica – Banda espectral para la cual la atenuación atmosférica es relativamente pequeña. Ventana espectral – Banda del espectro electromagnético que presenta una transmitancia relativamente grande a través de un medio. Visión sinóptica - Apreciación del conjunto de una escena. Vistas – Cada una de las sub-imágenes utilizadas para formar la imagen resultante de un sistema radar. (En inglés: looks). Volt – Unidad métrica del potencial eléctrico. Voxel – Pixel tri-dimensional. W Watt – Unidad de potencia definida como un Joule por segundo. WDVI – Indice de Vegetación diferencia ponderado. (En inglés: Weighted Difference Vegetation Index). Para LANDSAT TM WDVI = TM4 – aTM3 Donde a es la pendiente de la línea de suelos. X

Y

Z Zenith – Dirección contraria al nadir. Punto del cielo que corresponde verticalemente a un lugar de la Tierra.

Apendice A

585

APENDICE A Acontinuación se presenta una lista de símbolos, prefijos, acentos, operadores y conjuntos empleados a lo largo de los capítulos I a VIII.  Alfabeto Griego, minúsculas  alfa  beta  gamma  delta ε epsilon

 theta  vartheta  iota  kappa  lambda

 varepsilon  zeta  eta

 mu  un  xi

 omicrón  pi  varpi  rho

υ upsilon  phi  varphi  chi  psi

ϱ varrho  sigma ς varsigma  tau

 omega

 Alfabeto Griego, mayúsculas  alfa  beta  gamma  delta  epsilon  zeta

 eta  theta  iota  kappa  lambda  mu

 un  xi  omicrón  pi  rho  sigma

 tau Υ upsilon  phi  chi  psi  omega

 Prefijos del Sistema Internacional Número 101 102 103 106 109 1012 1015 1018 1021 1024

Prefijo deka hecto kilo mega giga tera peta exa zeta yotta

Símbolo da h k M G T P E Z Y

Número 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18 10-21 10-24

Prefijo deci centi milli micro nano pico femto atto zepto yocto

Símbolo d c m  n p f a z y

 Acentos matemáticos aˆ sombrero à grave a barra

ǎ check a punto  a vector

ã tilde a doble punto  A sombrero ancho

á agudo  a breve ~ A tilde ancha

586


 Operadores binarios  producto + adición

⊝ erosión

 mas o menos

◦ apertura · ⊛ intersecta o no intersecta cerradura  negación ⊘ cociente en un sistema postulacional ∩ intersección ! factorial ∆ delta ∨ disjunción

⊗ producto en un sistema postulacional 

∓ menos o mas  multiplicación  división  substracción ⊕ suma de Minkowski  dilatación ⊖ resta de Minkowski

∗ convolución * conjugado complejo

⊻ disjunción exclusiva

∇ nabla

∵ debido a = igualdad

∽ proporcional a

≡ congruente a

∉ no elemento de

∧ conjunción  producto

 Relaciones binarias ≧ (≥) mayor o igual a ≦ (≤) menor o igual a

≲ menor o equivalente a

∈ elemento de

≳ mayor o equivalente a

≢ no congruente a ≡ igualdad incondicional

≫ mucho mayor que

≊ aproximadamente igual

≪ mucho menor que ∣∣ valor absoluto ∥∥ norma ∷ como

∴ por tanto

≐ aproximadamente igual ≈ aproximadamente igual ≃ aproximadamente igual  proporcional a

∍ tal que ∃ existe

∄ no existe  para todo elemento ≬ entre ≙ correspondencia ≜ definición

 Conjuntos ℤ enteros

ℚ racionales

ℕ naturales ℙ primos

 Espacios ℤn espacio discreto

ℝn espacio real

ℂ complejos ∅ el vacio

ℝ reales

Apendice B

587

APENDICE B Se presenta la geometría de observación de adquisición de imágenes de satélites, la dinámica orbital de éstos y se proporcionan los detalles técnicos de las principales plataformas orbitales que generan imágenes multi-espectrales.

B.1 Geometría de Observación La descripción proporcionada en los siguientes párrafos se aplica a imágenes ópticas; la geometría de observación de imágenes radar se explica en el capítulo VIII. Para ubicar el lugar que ocupan los elementos de observación en la percepción remota, consideremos la figura B.1 donde se aprecia la geometría de observación de una escena por medio de un sensor remoto montado en una plataforma.

Figura B.1. Geometría de observación en percepción remota.

588


En este esquema, la escena se encuentra iluminada por una fuente de radiación cuyo ángulo de elevación es , de tal manera que en el zenit,  = 0 y en el horizonte  = 90. Además, la fuente de radiación se encuentra a un cierto ángulo de azimut  con respecto a una dirección azimutal dada por el eje y. Por otro lado, observando la escena, se encuentra un sensor remoto multi-espectral, a un ángulo de observación  con respecto al nadir local. A  se le conoce también como el ángulo de vista. Este sensor también se localiza a un cierto ángulo de azimut  con respecto a la dirección y. La escena es dividida virtualmente en un arreglo regular y homogéneo de campos instantáneos de vista (véase apartado I.2.1). El sensor remoto subtiende un cierto ángulo sólido con cada campo instantáneo de vista de la escena, midiendo la radiación que proviene de éste por unidad de tiempo (véanse apartados II.1.4 y II.2.1). El sensor remoto se encuentra a una altura h sobre el datum de la escena; si la plataforma es orbital, h es del orden de cientos de kilómetros, si la plataforma es aerotransportada, h es del orden de algunos kilómetros. Si la plataforma es orbital es necesario considerar que, entre el sensor y la escena, se encuentra sobre una columna vertical, la totalidad de la masa atmosférica. La atmósfera introduce una degradación en las imágenes ópticas que en ocasiones es necesario corregir. La interacción de la atmósfera con la radiación electromagnética se puede modelar con una ecuación de transferencia de radiación cuyos detalles se estudian en Rees (2001). En algunas configuraciones, al variar el ángulo  en incrementos regulares, la escena es barrida por el sensor remoto generando una imagen digital multi-espectral. No obstante, existen arreglos lineales y matriciales de detectores para los cuales el ángulo de vista es constante. Los detalles de las configuraciones para sensores que barren la escena se discuten en el capítulo 3. La fuente de radiación puede ser controlada como lo es una antena para generar imágenes de radar, o no controlada como el sol. Si la antena es controlada la plataforma donde se encuentre puede ser orbital o aerotransportada. Tal como se mencionó anteriormente, aquellas configuraciones donde la fuente de radiación es controlada son llamadas sistemas activos. Mientras que las configuraciones con fuente no controlada son denominadas sistemas pasivos.

B.2 Dinámica Orbital B.2.1 Orbita polar La puesta en órbita de una plataforma satelital es el primer paso para la observación de la Tierra. La colocación de un satélite en una órbita estable se realiza por medio de un lanzador (cohete) que sigue una trayectoria elíptica hasta la altura deseada para el satélite. La órbita de una satélite, bajo condiciones ideales, es generalmente una elipse con una cierta excentricidad (Figura B.2). Tales condiciones ideales son: que la Tierra sea una esfera perfecta, que carezca de atmósfera y que no haya perturbaciones de cuerpos celestes cercanos. Debido a que no se tienen estas condiciones ideales, la órbita del satélite debe ser corregida regularmente empleando unos pequeños cohetes a bordo de la plataforma orbital. El punto más cercano a la Tierra es llamado el perigeo y el más lejano el apogeo, además, la excentricidad de la elipse está determinada por los semiejes mayor y menor, denotados como a y b en la figura B.2; en un círculo, estos ejes son iguales y por tanto la excentricidad es cero. En términos de los semi-ejes mayor y menor, la excentricidad está dada por (Thomas y Finney, 1984). Los detalles de las principales plataformas orbitales se proporcionan en los cuadros B.1, B.2 y B.3.

Apendice B

589

Figura B.2. Trayectoria elíptica de un satélite alrededor de la Tierra.

a2  b2 a2

e

(B.1)

La excentricidad de la órbita de un satélite de percepción remota es muy pequeña (< 0.01), cercana a un círculo. El periodo de un satélite está dado por la siguiente ecuación (Richards y Jia, 1999) T  2

a3 GM

(B.2)

Donde G es la constante de gravitación y M es la masa de la Tierra. Los valores para G y M son: G = 6.6726  10-11 Nm2kg-2. M = 5.9742  1024 kg. El producto GM ha sido medido con mayor precisión que las constantes por separado GM = (3.98600434  0.00000002)  1014 m3s-2. La velocidad angular del satélite está dada por

 

GM rads-1 a3

Donde rad significa radianes y  es la derivada con respecto al tiempo de .

(B.3)

590


La distancia del centro de la Tierra al satélite está dada por la expresión r

a (1  e 2 ) 1  eCos

(B.4)

Donde  es el ángulo que forma el eje mayor con la dirección de r (Figura B.2). La ecuación (B.3) es la expresión en coordenadas polares de una elipse y describe la trayectoria del satélite alrededor de la Tierra. Además de la excentricidad de la órbita, el plano de la misma forma un cierto ángulo  con respecto al ecuador de la Tierra (Figura B.3); a este ángulo se le llama la inclinación de la órbita. Si  es menor de 90° y si la dirección de movimiento del satélite es en el mismo sentido que la rotación de la Tierra a la órbita se le llama prógrada. Si  es mayor de 90° y si la dirección de movimiento del satélite es en el sentido contrario que la rotación de la Tierra a la órbita se le llama retrógrada. Por convención el ángulo es siempre positivo. Cuando el ángulo  es igual a 90° a la órbita se le llama polar. Al nadir local donde la órbita cruza el ecuador se le llama el nodo y se le denota por N (Figura B.3).

Figura B.3. Inclinación de la órbita de un satélite. En cualquier posición del satélite en su órbita, al nadir local se le llama el punto sub-satélite o punto sub-nadir. Cuando la dirección de movimiento del satélite es de sur a norte, se le llama nodo ascendente y cuando es de norte a sur, nodo descendente. Las órbitas casi polares son las que proporcionan la mayor cobertura de la superficie

Apendice B

591

terrestre. Hasta ahora se han definido una serie de variables que, en conjunto, definen la órbita de un satélite. En resumen estas variables son N – El nodo. a – El semieje mayor de la órbita. e – La excentricidad de la órbita.  – La inclinación de la órbita.  – El ángulo con respecto al eje mayor. A estas variables se les llama los elementos de Kepler. El plano de la órbita del satélite no está fijo en el espacio debido a la forma esferoidal de la Tierra (B.4).

Figura B.4. Precesión del plano de la órbita de un satélite. Por otro lado, la rotación de la Tierra hace que la trayectoria del punto sub-satélite no describa un círculo sobre la superficie de la misma; esto es válido para cualquier inclinación de la órbita con excepción de  = 0°. La Tierra no es una esfera perfecta sino más bien un esferoide oblato con un diámetro mayor en el ecuador que en los polos. La forma esferoidal de la Tierra trae como consecuencia que el campo gravitacional de la misma no sea esféricamente simétrico, induciendo con esto una rotación del plano de la órbita (Figura B.4). A esta rotación se le conoce como la precesión del plano de la órbita. La velocidad angular a la cual ocurre esta precesión está dada por la siguiente expresión (Rees, 2001)

p   Donde

3J 2 GM R T2 a 7 / 2 Cos 2(1  e 2 ) 2

(B.5)

592


RT - Es el radio ecuatorial de la Tierra, con un valor de: 6,378,135 m. J2 – Es el llamado factor de forma dinámico, con un valor de: 0.00108263. El factor J2 es una medida de la forma esferoidal de la Tierra; un valor de cero sería una esfera perfecta. Un valor positivo para p en la ecuación (B.5) indicaría una precesión prógrada lo cual ocurre únicamente cuando Cos es positivo, es decir, cuando la órbita misma es retrógrada. Por otro lado, si la órbita del satélite no es circular sino elíptica la forma esferoidal de la Tierra provoca que la elipse precese en su propio plano (Figura B.5); la velocidad angular de tal precesión está dada por

p  

3J 2 GM R T2 a 7 / 2 (1  5Cos 2  ) 4(1  e 2 ) 2

(B.6)

La interpretación del signo menos es la misma que la que se aplica a la ecuación (B.5).

Figura B.5. Precesión de la órbita de un satélite. Para calcular la velocidad tangencial a la que viaja un satélite considérese primero la velocidad del punto sub-nadir sin tomar en cuenta la rotación de la Tierra

v n  R T   R T Donde   d / dt .

GM r3

(B.7)

Apendice B

593

La velocidad del satélite, tomando en cuenta la rotación de la Tierra, depende de la inclinación de la órbita determinada por el ángulo  y de la latitud determinada por el ángulo . Sea vT la velocidad tangencial de la Tierra, entonces a la latitud determinada por el ángulo  la velocidad del punto sub-nadir está dada por

vs  R T

GM  v T CosCos r3

(B.8)

El símbolo  significa que se aplica el signo más cuando el sentido de la rotación de la Tierra es opuesto al del satélite, tanto para el modo descendente con   90° como para el ascendente con   90°; de otra manera se aplica el signo menos. Es importante puntualizar que la ecuación (B.8) se aplica únicamente para órbitas circulares ignorando la forma esferoidal de la Tierra. B.2.2 Orbita geoestacionaria A los satélites con órbitas polares o casi polares se les llama satélites de percepción remota debido al cubrimiento regular que realizan de la mayor parte de la superficie terrestre. Existen por otro lado, satélites con órbitas ecuatoriales cuya velocidad angular de rotación es igual a la de la Tierra por lo que aparentan estar fijos en el firmamento; a estos satélites se les llama geoestacionarios o del medio ambiente. Los satélites geoestacionarios tienen una resolución espacial mucho menor que los de percepción remota paro una cubrimiento mucho mayor. Los satélites geoestacionarios adquieren imágenes cada media hora debido a que su principal aplicación se encuentra en el área de la meteorología. La órbita de un satélite geoestacionario debe tener un periodo TG igual al periodo de rotación de la Tierra TT. Para calcular el periodo TT es necesario considerar que la Tierra, además de girar sobre su eje, lo hace también alrededor del Sol. Así entonces, con respecto a un sistema de coordenadas fijo, la Tierra orbita el Sol en 365.24 días, por lo que en 24 horas gira 1 + 1/365.24 veces. Este periodo equivale a 86,164 segundos y es llamado un día sideral. La órbita del satélite geoestacionario debe tener un periodo igual al día sideral.

594


Cuadro B.1. Principales plataformas orbitales ópticas. Plataforma Dato Fecha de lanzamiento Altura promedio Periodo de la orbita Periodo de cobertura Tamaño del Campo Instantáneo de Vista Tamaño de la imagen Bandas espectrales (m)

Goes 9

Spot 5

QuickBird 2

Ikonos 2

Mayo, 1995

Mayo, 2002

Octubre, 2001

Septiembre, 1999

35,788 km

832 km

450 km

681 km

24 horas

101 minutos

93 minutos

98 minutos

26 días

3.5 días

5 días

pancromático: 2.5 x 2.5 m2 multiespectral: 10 x 10 m2

pancromático: 0.61 x 0.61 m2 multiespectral: 2.44x 2.44m2

bandas 1-4: 4 x 4 m2 banda 5: 1 x 1 m2

16.5 x 16.5 km2

11 x 13 km2

bandas 1, 3, 4: 30 minutos bandas 2, 5: 60 minutos banda 1: 1 x 1 km2 bandas 2, 4, 5: 4 x 4 km2 banda 3: 8 x 8 km2 casi un hemisferio terrestre 1) 0.52-0.75 2) 3.78-4.03 3) 6.50-7.00 4) 10.2-11.2 5) 11.5-12.5

60 x 60 km2 ó 120 x 120 km2 1) 0.50-0.59 2) 0.61-0.68 3) 0.79-0.89 4) 1.58-1.75

1) 0.45-0.52 2) 0.52-0.60 3) 0.63-0.69 4) 0.76-0.90 5) 0.45-0.90

1) 0.45-0.52 2) 0.52-0.60 3) 0.63-0.69 4) 0.76-0.90 5) 0.45-0.90

Apendice B

595

Cuadro B.2. Principales plataformas orbitales empleadas ópticas. Plataforma Dato Fecha de lanzamiento Altura promedio Periodo de la orbita Periodo de cobertura

Landsat 7 ETM

Aster

OrbView 3

Spot 4

Abril, 1999

Diciembre, 1999

Junio, 2003

Marzo, 1998

705 km

717 km

470 km

822 km

99 minutos

99 minutos

92 minutos

101 minutos

16 días

16 días

3 días

26 días

Tamaño del Campo Instantáneo de Vista

bandas 1-5 y 7: 30 x 30 m2 banda 6: 60 x 60 m2 banda 8: 15 x 15 m2

bandas 1-3: 15 x 15 m2 bandas 4-9: 30 x 30 m2 banda 10-14: 90 x 90 m2

bandas 1-4: 4 x 4 m2 banda 5: 1 x 1 m2

banda 2: 10 x 10 m2 o 20 x 20 m2 bandas 1, 3, 4: 20 x 20 m2

Tamaño de la imagen

185 x 185 km2

60 x 60 km2

8 x 8 km2

60 x 60 km2

Bandas espectrales (m)

1) 0.45-0.52 2) 0.53-0.60 3) 0.63-0.69 4) 0.78-0.90 5) 1.55-1.75 6) 10.4-12.5 7) 2.09-2.35 8) 0.52-0.90

1) 0.52-0.60 2) 0.63-0.69 3) 0.76-0.86 4) 1.60-1.70 5) 2.145-2.185 6) 2.185-2.225 7) 2.235-2.285 8) 2.295-2.365 9) 2.360-2.430 10) 8.125-8.475 11) 8.475-8.825 12) 8.925-9.275 13)10.25-10.95 14) 10.95-11.65

1) 0.450-0.520 2) 0.520-0.600 3) 0.625-0.695 4) 0.760-0.900 5) 0.450-0.900

1) 0.50-0.59 2) 0.61-0.68 3) 0.79-0.89 4) 1.53-1.75

596


Cuadro B.3. Principales plataformas orbitales radar. Plataforma ERS 2 Dato Fecha de Abril, 1995 lanzamiento Altura 784 km promedio Periodo de 100 minutos la orbita Periodo de 35 días cobertura Tamaño del Campo 26 x 30 m2 Instantáneo de Vista Tamaño de la imagen Bandas espectrales Polarización Looks Dimensión de la antena

Radarsat 2

Envisat (Asar)

TerraSar

Diciembre, 2007

Marzo, 2002

Junio, 2007

798 km

796 km

514 km

101 minutos

100 minutos

95 minutos

24 días

35 días

11 días

25 x 25 m2 ó 150 x 150 m2 100 x 100 km2 ó 400 x 400 km2

5.6 cm (banda C) VV 6

desde 3 x 3 m2 hasta 100 x 100 m2 desde 20 x 20 km2 hasta 500 x 500 km2 5.6 cm (banda C) HH, HV, VH, VV 1–4

5.6 cm (banda C) VV, HH, HV 4

desde 1 x 0.65 m2 hasta 16 x 16 m2 desde 10 x 5 km2 hasta 100 x 100 km2 3.1 cm (banda X) VV, HH, HV 1 – 11

10 x 1 m2

15 x 1.5 m2

10 x 1.3 m2

4.78 x 0.70 m2

2

80 x 80 km

Apéndice C

597

APENDICE C Se presentan los elementos básicos que conforman la precepción remota y una definición de esta ciencia de observación a distancia que involucra la adquisición, manejo y análisis de imágenes multi-espectrales.

C.1 Elementos básicos Con el desarrollo moderno de la ciencia de la computación electrónica digital se ha dado un auge importante a la percepción remota, ya que la disponibilidad de esta herramienta permite la evaluación cuantitativa de un gran volumen de datos. En un proceso de retroalimentación, las ciencias de la computación han impulsado el desarrollo de la percepción remota y ésta a su vez, ha demandado de nuevos sistemas de procesamiento digital tanto en computadoras como en sistemas de análisis. A su vez, el desarrollo de la ciencia y la tecnología ha permitido incorporar nuevos métodos y dispositivos de captura de datos a distancia, lo que ha hecho que la percepción remota extienda su campo de acción a fenómenos muy diversos, no restringiéndose al mundo macroscópico sino extendiéndose también al microscópico. Veamos ahora cómo se identifican los elementos básicos de la percepción remota. La fuente de iluminación: Objeto o dispositivo que emite energía radiante. Las fuentes de iluminación se clasifican en dos grandes grupos: controladas y no controladas. Existen sistemas en percepción remota que utilizan una fuente de iluminación sobre la cual no se tiene control. Estos sistemas, llamados sistemas pasivos, utilizan usualmente al Sol como fuente de iluminación. Es claro entonces, que en una observación a distancia donde se utilice el Sol como fuente de iluminación, únicamente se puede hacer uso de sus características regulares de iluminación determinadas por la rotación de la Tierra y por la translación de ésta en su órbita alrededor del Sol (Apéndice B). Las orbitas de los satélites están diseñadas por tanto para hacer uso de estas características regulares de iluminación con el objeto de llevar a cabo la observación de la escena bajo condiciones conocidas. Si se desea cubrir todo un paisaje con observaciones sistemáticas, es necesario cuidar muy bien las características de iluminación, es decir, hora y estación del año, siendo éstas las que requiera el diseño de la observación de una escena para un propósito específico. También es necesario seleccionar adecuadamente la energía de la radiación empleada, si ésta es electromagnética se puede utilizar una de las regiones del espectro electromagnético. El cuidado en el diseño asegura una buena tasa de éxito. Existen experimentos que demandan observaciones a una misma hora y estación del año y, otros a diferentes horas en las cuatro estaciones del año; en la práctica, cualquier combinación es posible dependiendo de la aplicación deseada. Por otro lado, existen sistemas en percepción remota que utilizan su propia fuente de iluminación, de la que, por tanto, se tiene control. Debido a este control es factible diseñar experimentos en tiempos, geometrías y condiciones de iluminación adecuados a una aplicación específica. Estos sistemas llamados sistemas activos, son los que han permitido extender el campo de estudio de la percepción remota a una diversidad de fenómenos donde la fuente de iluminación emite radiación en una variedad de energías para iluminar la escena. En estos casos la fuente puede emitir radiación ultravioleta o infrarroja, rayos gamma o rayos X, o bien un haz de partículas como protones o

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neutrones. Con esta diversidad de fuentes de iluminación es factible aplicar las técnicas de la percepción remota no sólo al ámbito de la geofísica, sino también al de la medicina, la biología, la astronomía, la física nuclear y la industria. De entre los sistemas activos destaca aquel que emplea radiación electromagnética en la región de las microondas. Este dispositivo llamado sistema radar de imágenes presenta aplicaciones importantes en el ámbito de la geofísica, debido a esto, su estudio se realiza en detalle en el capítulo VIII. El paisaje: Sistema físico formado por los elementos que componen una cierta región del globo terráqueo. El paisaje es en general un sistema complejo donde pueden ocurrir una variedad de fenómenos que escapan al control de una observación a distancia. Algunos fenómenos pueden ser ajenos al propósito de la percepción remota y sostener una interacción estrecha entre sí. Es posible que los fenómenos que son de interés en percepción remota interaccionen con aquellos que no lo son y modifiquen por tanto las observaciones a distancia. El paisaje es un sistema tridimensional que evoluciona en el tiempo, en ocasiones modificándose rápidamente debido a eventos catastróficos, en otros casos, la evolución puede ser gradual. En el caso de inundaciones el cambio es rápido, en cambio en procesos como la desertificación, el paisaje se modifica a lo largo de décadas y centurias. En percepción remota es factible controlar el sensor remoto, la fuente de iluminación y el procesamiento de los datos, pero es factible que escape a su injerencia el sistema físico que desea analizar. Los errores que comúnmente se cometen en el modelado del paisaje es cuando se le subestima o se le sobre simplifica. El considerar justamente las variables necesarias para caracterizar uno de los fenómenos que ocurren en el paisaje es precisamente uno de los grandes retos en percepción remota. El paisaje, considerado como un sistema físico complejo, puede entenderse como un sistema microscópico: la superficie de un material observado con un microscopio electrónico e iluminada por un haz de electrones, o un conjunto de células observadas a través de un microscopio óptico e iluminadas con luz ultravioleta. El paisaje también se puede considerar como un sistema macroscópico: la amazonía observada a través de un sistema radar empleando energía electromagnética en la región de microondas, o bien la superficie de una de las lunas de Júpiter iluminada por el Sol. Una aplicación relevante de los sistemas activos en la prospección de los recursos naturales terrestres es el uso de señales de radar, ya que al interaccionar con el paisaje terrestre permiten obtener datos complementarios a los que se obtienen utilizando la porción óptica del espectro electromagnético. En otras palabras, es factible afirmar que los sistemas activos amplían la capacidad para obtener imágenes con representación digital y visual. Las imágenes radar, hace algunas décadas, no podían generarse por razones tecnológicas. En la actualidad, las imágenes radar de la superficie terrestre son producidas regularmente por varios satélites y plataformas aerotransportadas (Cuadro B.3). En sistemas pasivos empleando plataformas a bordo de satélites, la región óptica es la única que se puede emplear. En esta región la atmósfera es suficientemente transparente para realizar observaciones de la superficie terrestre desde el espacio. En sistemas activos de radar el problema de la transparencia atmosférica no es relevante ya que las microondas atraviesan la atmósfera prácticamente sin atenuación (véase figura VIII.1). En otras aplicaciones de la percepción remota, la producción de imágenes con rayos X de baja energía permite a un médico el examen del sistema óseo y la posibilidad de determinar la presencia y localización de fracturas. Las imágenes generadas con rayos ultravioleta ayudan a un biomédico a estudiar la morfología de una bacteria con el fin de determinar

Apéndice C

599

las características de su evolución. El empleo de pulsos electromagnéticos y haces de positrones permite la formación y registro de imágenes del cerebro llamadas tomografías, con las cuales es factible estudiar las funciones de tal órgano. La escena: Superficie embebida en el paisaje. La escena es uno de los elementos básicos de la percepción remota más complejos, ya que demanda de la combinación de conceptos lógicos y entidades físicas. Supóngase una superficie, que forma parte de un paisaje, consideremos todos los objetos de éste que se encuentren sobre tal superficie y tendremos una imagen visual de una escena embebida en un paisaje. Para ilustrar este concepto vayamos al ámbito fotográfico, al variar el enfoque de la lente de una cámara fotográfica, es posible definir diferentes planos donde se encuentran escenas de un mismo paisaje; estas escenas son a su vez plasmadas en la memoria digital de la cámara una vez que se acciona el disparador de la misma. Por tanto, en esta memoria quedan grabados en forma permanente y visible el conjunto de objetos que se encuentran sobre la escena. Así entonces, la imagen producida por la cámara se convierte en una representación bidimensional de los objetos enfocados o, equivalentemente en una imagen de la escena. A partir de este ejemplo es factible comprender que el manejo y análisis de las imágenes correspondientes a diferentes escenas permite comprender los mecanismos de evolución del paisaje. De aquí se producen conclusiones que nos conducen a modelar la correcta gestión del paisaje. Bajo este modelado, es posible tomar las acciones necesarias para una explotación racional del paisaje en un esquema de desarrollo sustentable. Algunos ejemplos en el área biomédica pueden ser considerados, ya sea en una radiografía de un órgano como los pulmones o de una tomografía del cerebro. Al producir una radiografía, con el enfoque del aparato de rayos X sobre una sección del cuerpo humano, se selecciona una escena del paisaje. La superficie que constituye la escena es en este ejemplo el plano sobre el que se enfoca el aparato de los rayos X y los objetos son los órganos enfocados; la radiografía resultante es por tanto la representación visual de los órganos, su organización y su estado de salud. Por otro lado, la interpretación que hace el médico de la radiografía resultante le facilita entender el comportamiento de los órganos estudiados del paciente respectivo. Al detectar, estudiar y cuantificar posibles problemas de salud en dichos órganos permite al médico tomar las acciones médicas necesarias que le conduzcan a la correcta gestión del paisaje, es decir, a corregir un posible problema de salud en el paciente. El sensor remoto: Dispositivo de medida de la radiación. La ciencia y la tecnología han impulsado el desarrollo de dispositivos eficientes y de bajo costo, capaces de medir la radiación electromagnética en un amplio intervalo de longitudes de onda, que en la práctica amplían la capacidad visual del humano. La capacidad de detección de estos dispositivos permite la medida de radiación invisible al ojo humano como la ultravioleta o la infrarroja. Otros sensores en el área biomédica detectan radiaciones como los rayos X y gamma y partículas como electrones, y positrones para generar radiografías y tomografías. En el área científica existen detectores para medir flujos de neutrones y otras partículas subatómicas. Ejemplos de tales detectores son la placa radiográfica, la película fotográfica infrarroja, los detectores Geiger, los fotodetectores, los fotomultiplicadores, las cámaras de televisión y los CCD 1 . Estos sensores son de bajo costo, de gran eficiencia y de diminuto tamaño como los CCD que generan imágenes 1

En ingles: Charge Coupled Device.

600


multiespectrales de manera cuantitativa, es decir, en formato digital. Las imágenes resultantes de estos sensores, en formato digital, pueden ser almacenadas en medios magnéticos u ópticos y procesadas en computadora con sistemas de análisis especializados. Estos sensores, llamados también detectores, han ampliado el horizonte de observación en percepción remota y son capaces de producir imágenes de gran calidad de paisajes tan diversos como los cuerpos celestes del sistema solar, de estrellas lejanas y galaxias distantes. Estos detectores también son capaces de generar imágenes de paisajes microscópicos vistos a través de un microscopio electrónico y mostrar los detalles de virus y bacterias. Además, en ciertas geometrías de observación, donde la radiación electromagnética atraviesa el objeto bajo estudio, es posible producir imágenes de paisajes internos tales como los órganos del cuerpo humano o los defectos interiores de una pieza de metal. Para estudiar estos paisajes internos se emplea radiación en la región de los rayos X. En la actualidad, en relación con el medio ambiente, los sensores remotos montados en satélites proporcionan imágenes de manera regular para el seguimiento de la evolución de fenómenos meteorológicos, para detectar cambios en la superficie terrestre producidos por deforestación, desertificación, inundaciones y huracanes. La plataforma: Soporte físico del sensor remoto. La distancia a la cual se coloca la plataforma con respecto de la escena determina la visión de conjunto que se tenga de ésta. Sin embargo, al incrementarse esta distancia, el detalle o grado de discernimiento (resolución espacial 2 ) que se puede alcanzar de la escena disminuye. En términos generales, la resolución disminuye cuando la distancia entre la plataforma y la escena aumenta; para plataformas satelitales, se requiere por tanto de un sistema telescópico entre el sensor y la escena. Para discernir objetos relativamente pequeños o muy próximos entre sí se requiere de detectores de alta eficiencia acoplados a un telescopio; su uso es indispensable en plataformas colocadas a una gran distancia de la escena como lo son los sensores a bordo de satélites. Las plataformas situadas en sistemas orbitales a gran altura sobre la superficie terrestre, por su visión sinóptica, han mostrado un potencial indiscutible en prospección de los recursos naturales, en meteorología, en urbanismo, en estudios costeros, en silvicultura y en general en la exploración de nuestro planeta. Para estas aplicaciones, la plataforma orbital espacial ha mostrado ser la más adecuada por la regularidad con la que puede observar la superficie terrestre (Cuadros B.1 y B.2). Los modernos detectores permiten obtener imágenes de la superficie terrestre con elementos de resolución de 30 m por lado (Landsat TM), cubriendo escenas de aproximadamente 185  185 km2, es decir, una superficie de 33,225 km2. Otros sensores orbitales (Spot) son capaces de obtener imágenes de 100 por 100 km2, con un elemento de resolución de 10 por 10 m2, es decir, que el área mínima de observación del sensor es de 10 m por lado. Las plataformas más modernas (Ikonos y QuickBird) pueden generar imágenes con elementos de resolución de 1  1 m2 abarcando escenas de 60  60 km2. En percepción remota existen dos grandes clases de plataformas: 2

Por resolución espacial se entiende aquí la capacidad de un sistema sensor para separar, como distintivos, dos objetos próximos entre sí.

Apéndice C

601

a) Las orbitales que se encuentran girando alrededor de la Tierra a varios cientos de kilómetros sobre la superficie terrestre en órbitas regulares con geometría de iluminación sincrónica con el Sol. Las plataformas orbitales se dividen a su vez en polares y geoestacionarias (Apéndice B). Las plataformas polares son adecuadas, debido al detalle y extensión que proporcionan de la escena, para aplicaciones geológicas y geofísicas. Las plataformas geoestacionarias, por su gran visión sinóptica, son útiles en aplicaciones meteorológicas. A los satélites con órbita polar se les denomina de percepción remota, a los que tienen órbita geoestacionaria se les llama del medio ambiente. b) Las plataformas aerotransportadas, montadas en aeronaves y a poca altura con respecto a la superficie terrestre, que son útiles en misiones específicas o en misiones de experimentación de nuevos sensores, producen imágenes de alta definición de la superficie terrestre pero son considerablemente más costosas que las imágenes de plataformas orbitales. Con el desarrollo de detectores de gran eficiencia y de bajo costo, es posible generar imágenes de gran detalle desde plataformas orbitales, con resoluciones comparables a las que produce un sensor montado en una plataforma aerotransportada y a un costo mucho menor. Además, las plataformas orbitales presentan ahora capacidad para producir pares estereoscópicos de una misma escena, permitiendo con esto la producción de modelos digitales de elevaciones en tiempos muy cortos. Los pares estereoscópicos son producidos por los satélites Spot y Aster (Lira, 2009). El primero genera los pares a través de las órbitas, es decir la escena es observada desde dos órbitas contiguas en un lapso igual al periodo de cobertura. El segundo, en cambio, genera los pares a lo largo de la órbita empleando dos telescopios que forman un ángulo de poco más de 27°, de esta manera las imágenes que forman el par son producidas en un intervalo de tiempo muy corto. El término percepción remota, desde su introducción en las primeras misiones espaciales, ha sido asociado al estudio de los fenómenos que ocurren en la superficie terrestre y la atmósfera. En la prospección geofísica, geológica y meteorológica, desde el punto de vista de la percepción remota, se han empleado plataformas orbitales que regularmente han proveído de imágenes de baja, mediana y alta resolución espacial. La plataforma orbital, sea polar o geoestacionaria (Apéndice B), aloja un grupo de sensores remotos acoplados a un sistema telescópico y a un sistema de conducción de radiación. Los sensores remotos son proveídos de energía eléctrica por medio de paneles solares formados por arreglos de celdas fotovoltaicas. La plataforma orbital cuenta con un sistema de control y telecomunicación automatizado que proporcionan los sistemas de navegación para sostener la órbita durante el tiempo de vida de los sensores remotos. La regularidad en la órbita asegura la posibilidad de una cobertura regular y repetitiva de la superficie terrestre. En las órbitas polares, el movimiento combinado del satélite y el de rotación de la Tierra hacen que la superficie de ésta sea cubierta totalmente en periodos de dos o tres semanas. Además, la órbita de la plataforma está ajustada de tal manera que la observación de una misma región se hace aproximadamente a la misma hora local, teniéndose variaciones únicamente por las estaciones del año. En la práctica, no se hacen observaciones en latitudes boreales o australes que se encuentren cerca de los polos debido a las condiciones de iluminación y nubosidad. La plataforma soporta también un sistema de grabado y transmisión de imágenes, ya sea a una red intermedia de satélites de comunicación o bien directamente a la estación terrestre más cercana; en

602


principio, por tanto, las imágenes adquiridas por los sensores remotos pueden estar disponibles en un lapso de algunos días. El sistema de procesamiento: Dispositivo para almacenar, analizar, grabar y transmitir imágenes. Los sensores remotos modernos permiten generar imágenes digitales de alta calidad y de gran resolución. El incremento en la resolución espacial y espectral de las imágenes ha traído como consecuencia la generación de un gran volumen de datos: las imágenes pueden ocupar hasta 800 MB de espacio. El gran volumen de datos y la enorme variedad de procesos disponibles actualmente para analizar imágenes ha demandado de un sistema de cómputo de alto rendimiento. El desarrollo tecnológico ha permitido el diseño, construcción y comercialización de sistemas de cómputo de bajo costo que facilitan la tarea de análisis de imágenes digitales de satélite. Para analizar imágenes, un sistema de cómputo debe incluir computadora y dispositivos de lectura, análisis y grabación de imágenes; al conjunto de estos elementos se le conoce como sistema de procesamiento. Los dispositivos de lectura incluyen un instrumento para digitalizar datos auxiliares a las imágenes; a este instrumento se le conoce como tablilla digitizadora. En esta tablilla se discretiza información analógica proveniente de mapas, fotografías y cartas. Estos datos son necesarios en cualquier proyecto de percepción remota donde además de las imágenes se requiere de información auxiliar llamada información ancilar. Para leer las imágenes es necesario contar con un dispositivo de lectura de CD. Actualmente las imágenes de satélite se encuentran grabadas en CD en una variedad de formatos. El ingreso de información ancilar puede llevarse a cabo a través de un digitizador (escáner) que convierte de formato analógico a formato digital datos contenidos en fotografías, cartas y mapas. La diferencia entre este digitizador y la tablilla es que en ésta el proceso de discretización es de tipo selectivo y se realiza manualmente, mientras que en aquella, el ingreso es automático y no selectivo. La computadora acoplada a estos tres dispositivos de ingreso de datos debe contener el software y la interfase adecuados para la lectura y almacenamiento de la información discretizada. La computadora, a su vez, está formada por una unidad central de procesamiento (CPU), un monitor, un teclado y un ratón. Como dispositivos de salida o grabación de datos se cuenta un graficador, una unidad de CD y una impresora de alta resolución a color. En el graficador se graban, en papel, imágenes o cartas y gráficas resultado del análisis de las imágenes, en el CD se graban imágenes digitales y en la impresora compuestos a color de imágenes en papel de calidad fotográfica. En términos generales el esquema de procesamiento es el siguiente: ingreso de datos  análisis  salida de datos e información. El ingreso de datos se realiza a través de los dispositivos de captura, el análisis se lleva a cabo en la computadora y la salida de datos e información se hace en los dispositivos de grabación. La disponibilidad de computadoras digitales de alto rendimiento y bajo costo ha hecho posible que se puedan analizar imágenes de gran dimensión y complejidad. En un proceso de retroalimentación, el desarrollo de la percepción remota ha demandado de recursos computacionales cada vez más importantes, trayendo como consecuencia el diseño de arquitecturas computacionales especializadas en el tratamiento digital de imágenes. En cuanto al software, se han desarrollado lenguajes computacionales especiales para el análisis de imágenes digitales; la consecuencia clara es un impulso aun mayor a la percepción remota. Los sistemas de análisis de imágenes cuentan

Apéndice C

603

actualmente con un espectro muy amplio de algoritmos 3 , los que a través de sistemas de despliegue a color de alta resolución permiten desplegar la imagen digital, proporcionando al analista de percepción remota una comunicación interactiva con el sistema de procesamiento. El análisis de imágenes se hace de manera interactiva ya que muchos algoritmos requieren de valores y parámetros de entrada que es necesario ingresar por medio del teclado y el ratón. El proceso de análisis genera un gran volumen de datos que debe ser canalizado a bancos de memoria en la misma computadora, de donde puede ser extraída, representada o manipulada lo más adecuadamente posible. La salida, resultado del análisis, es información útil que puede ser empleada en la toma de decisiones acerca del comportamiento de la escena caracterizada por la imagen. Las salidas, organizadas en un banco de memoria llamado base de datos, junto con modelos del comportamiento de la escena, facilitan la toma decisiones relativas al manejo de los fenómenos que ocurren en la Tierra. A la combinación de base de datos con modelos se le conoce como sistema de información. Este sistema de información permite la toma de decisiones de manera oportuna, racional y sustentada en información cuantitativa en un proceso de rápido apoyo a la gestión de los recursos naturales del planeta. El apoyo de campo: Proceso de medidas selectivas en la escena. El apoyo de campo está formado por un conjunto de técnicas de muestreo en lugares selectos de la escena. El análisis de la imagen digital puede ser complementado con medidas directas en la escena. Las técnicas de apoyo de campo son resultado de métodos de muestreo estadístico y de medidas directas de propiedades físicas y químicas de los objetos que se encuentran en la escena. Es necesario mencionar que únicamente aquellas propiedades físicas y químicas que tiene una respuesta óptica pueden ser medidas, de otra manera no podrían ser relacionadas con las medidas que llevan a cabo los sensores remotos a bordo de un satélite. El apoyo de campo no se realiza haciendo una evaluación de los elementos que componen una escena y tampoco se hacen medidas exhaustivas. Hacer esto sería costoso y generaría un volumen de datos inútiles en la percepción remota. El apoyo de campo consiste más bien de una serie de medidas cuidadosamente seleccionadas sobre la escena. El número y distribución de medidas deben satisfacer los principios de un muestreo con validez estadística; en este sentido, la percepción remota hace uso de criterios estadísticos ya establecidos. Por otro lado, hacer un número exhaustivo de medidas implicaría que las medidas a distancia no serían necesarias, es decir la percepción remota dejaría de tener sentido. Cuando los procesos de análisis de una imagen digital son correctamente realizados, el apoyo de campo se convierte entonces en una herramienta complementaria. Las medidas hechas en la escena tienen como objetivo principal calibrar en valores absolutos los resultados generados en los procesos de análisis de la imagen, sirven también para realizar una estimación de la precisión de las segmentaciones y clasificaciones que se realicen sobre los elementos de la escena. Las medidas hechas por un sensor remoto son en general relativas al mismo sensor, al método de adquisición de una imagen, a la geometría de observación e iluminación y pueden estar distorsionadas por la atmósfera, la curvatura terrestre, la velocidad relativa entre el sensor y la escena y las fluctuaciones de la órbita de la plataforma satelitaria. Estos factores intervienen en la percepción remota de una manera intrínseca 3 Un algoritmo es una sucesión lógica de instrucciones que, traducidas por medio de un lenguaje de computadora como el Delphi o el C++, proporciona al sistema computacional las órdenes necesarias para ejecutar una tarea específica.

604


conduciendo a distorsiones en la imagen y a la relatividad de los valores presentes en la misma. El apoyo de campo tiene como objetivo fundamental eliminar las distorsiones y la relatividad de las medidas a distancia. Por otro lado, el resultado de los procesos de análisis es una colección de imágenes, mapas temáticos, cartas, gráficas y tablas cuya validez y precisión puede ser verificada con las medidas hechas directamente en la escena. La medida de las propiedades de ciertos objetos de la escena incluye solo aquellas que tienen una respuesta óptica y que puede ser correlacionada con los valores digitales de una imagen óptica. En imágenes de radar la situación es diferente ya que los valores digitales dependen de una manera compleja de ciertas propiedades de la escena, de tal manera que el muestreo en campo es más elaborado que el relativo a imágenes ópticas. El apoyo de campo, además de medidas directas en la escena, puede estar constituido por otras fuentes de información tales como mapas, datos estadísticos, gravimétricos, magnéticos y climatológicos; las Imágenes de otros sensores pueden ser agregadas también. En ocasiones es factible considerar, en un sinergismo, imágenes de diferentes sensores tales como imágenes ópticas y radar. En general se les llama datos ancilares a todos aquellos que son complementarios a la imagen de una escena. El mecanismo para llevar a cabo el apoyo de campo consiste de los siguientes pasos: a) Selección de puntos en la escena – Este es un proceso que se fundamenta en el muestreo estadístico, b) Localización de los puntos en el terreno – Esto se lleva a cabo posicionándose en los sitios de la escena que corresponden con las coordenadas geográficas de los puntos seleccionados, c) Medida de las propiedades ópticas en los sitios - Con los instrumentos adecuados se procede a levantar las medidas necesarias. Finalmente las medidas colectadas en campo son almacenadas en la base de datos de una computadora portátil. Es importante mencionar que las medidas en campo pueden incluir observaciones cualitativas, tales como la existencia de una clase o la de un rasgo morfológico. Las medidas colectadas en campo son cotejadas entonces, empleando métodos estadísticos también, con los resultados que arrojen un análisis de la imagen de la escena correspondiente.

C.2 Definición de percepción remota Con los conceptos hasta ahora desarrollados estamos en posibilidad de introducir una definición formal de percepción remota La percepción remota es la obtención de información acerca de una escena, empleando radiación electromagnética en la región óptica y de microondas, por medio del análisis automatizado de datos obtenidos a distancia por un sistema formado por un grupo de sensores remotos. En esta definición podemos identificar los siguientes elementos  Obtención de información – Las imágenes generadas por los sensores remotos conforman un volumen de datos que, convenientemente analizados, producen información acerca del comportamiento de la escena.  Radiación electromagnética – Las propiedades de la escena son observadas a través de la interacción de la radiación con los elementos físicos que la componen; la información

Apéndice C

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de estas propiedades es portada por la señal electromagnética que incide en el sensor remoto.  Análisis automatizado – El conjunto de algoritmos, debidamente programados y organizados coherentemente en un paquete de procesamiento de imágenes, lleva a cabo tareas automáticas de análisis de los datos generados por los sensores remotos conjuntamente con los datos ancilares.  Datos obtenidos a distancia – Las observaciones que realizan los sensores remotos se lleva a cabo midiendo la cantidad de radiación que proviene de la escena bajo estudio. En percepción remota, es factible hacer observaciones a distancia debido a que la radiación electromagnética porta información de la escena; de aquí entonces las propiedades observables de la escena dependen directamente de la fuente de radiación.

Presentación del libro A partir del lanzamiento de las sondas espaciales a los planetas Venus y Marte, el tratamiento digital de imágenes ha cobrado relevancia en las ciencias exactas. Las aplicaciones de esta moderna ciencia son variadas: industria, arqueología, percepción remota, biomedicina, astronomía, televisión digital, microscopía electrónica, visión computacional e inteligencia artificial, entre otras. El número de profesores, técnicos y estudiantes dedicados al tratamiento digital de imágenes ha experimentado un crecimiento importante en los últimos diez años. Los grupos de investigación, laboratorios, universidades, institutos y postrados donde se emplea el tratamiento digital de imágenes forman ahora un núcleo importante para el desarrollo socio-industrial de un país. El presente trabajo es el primero de su género escrito en castellano, está dirigido a todos los profesionales y estudiantes que requieran adentrarse en el mundo fascinante de las imágenes digitales. Debido a que es una obra escrita en castellano, este libro puede ser empleado en cursos cortos y universitarios en Iberoamérica en cualquier área donde se requiera del tratamiento digital de imágenes. Perfil del autor Jorge Lira estudió la licenciatura en física en la Facultad de Ciencias de la UNAM. Con el apoyo de becas del gobierno de Bélgica y del CONACYT, realizó su maestría y doctorado en física en la Universidad de Lovaina. En la actualidad es investigador titular en el Instituto de Geofísica y profesor de asignatura en los postgrados de Ingeniería Eléctrica y Ciencia de la Computación de la UNAM. Es responsable del Laboratorio de Percepción Remota donde se desarrollan proyectos con imágenes de radar y ópticas para la modelación y estudio del medio ambiente en general.

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