Libro Circuitos

M.C. Carlos Antonio Tapia Amaya Profesor

Análisis De Circuitos Eléctricos Trabajo

Participantes: Yael Alejandro Cárdenas Reyes Stephania Fuentes Hernández Carlos Alberto Garcia Ramirez Esmeralda Jácome Lendechy Fernando Muñiz Zamudio Franko Yoman Pérez Salgado Gilberto Ramírez Agustín Julián Reyes Ruiz Mauro Rodriguez Rodriguez Luis Manuel Rodriguez Vela Manuel Antonio Rogel Solis Nayeli Santamand Heredia David Santiago Rosas Luis Fernando Varela Mora  Alejandro Velasco Serrano              

Ing. Mecatrónica Carrera

Veracruz, Ver; 14 De Junio De 2013

ÍNDICE CONTENIDO UNIDAD 1 1.1 Sistema de unidades: carga, corriente, voltaje, 1.2 1.3

potencia Elementos de un circuito y tipos de circuitos Ley de Ohm y leyes de Kirchhoff Experimento Ley de Ohm Experimento de KVL

1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

Experimento de KCL Conexiones: Serie, paralelo, mixtas y delta-estrella Combinación de resistencias y fuentes Divisor de voltaje Divisor de corriente Circuitos equivalentes Transformación de fuentes independientes y

dependientes 1.10 Análisis de circuitos con fuentes dependientes e independientes UNIDAD 2 2.1 Topología de redes: red planar, árboles y coárboles 2.2 Análisis de lazos y mallas 2.3 Análisis de nodos respecto a uno de referencia 2.4 Teorema de superposición 2.5 Teorema de Thévenin 2.6 Teorema de Norton 2.7 Teorema de máxima transferencia de potencia

UNIDAD 3 3.1 Relación de: Voltaje, corriente y energía de un 3.2

inductor Relación de: Voltaje, corriente y energía en un

3.3 3.4

capacitor Equivalentes de bobinas y capacitores Análisis transitorio del circuito “RL”. Propiedades de la respuesta exponencial. La respuesta natural y la respuesta forzada

PAGINA

3.5

Análisis transitorio del circuito “RC”. Las funciones

3.6

singulares escalón unitario, impulso y rampa unitaria Experimento de circuito “RC” Análisis transitorio del circuito “RLC”, serie y paralelo

UNIDAD 4 4.1 Característica de la onda senoidal (valor medio y 4.2

eficaz) Ángulo de factor de potencia (fp), desfasamiento de ondas

4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8

Experimento de Factor de Potencia Potencia instantánea y media Impedancia y admitancia complejas Fasor y diagramas fasoriales Análisis de lazos y mallas Análisis de nodos respecto a uno de referencia Teorema de superposición

Experimento de Teorema de Superposición 4.9 Teorema de Thévenin 4.10 Teorema de Norton 4.11 Teorema de máxima transferencia de potencia 4.12 Definición de potencia activa, reactiva y aparente, potencia compleja, corrección de factor de potencia UNIDAD 5 5.1 Sistemas balanceados y sus características: en 5.2

estrella y delta Obtención de corriente de línea y fase de redes

5.3

balanceadas Sistema desbalanceados y sus características: en

5.4

estrella y delta Obtención de corrientes de línea y fase de redes

5.5

desbalanceadas Potencia trifásica, real, reactiva y aparente

INTRODUCCIÓN DEL CURSO

Esta asignatura aporta al perfil del Ingeniero Mecatrónico la capacidad para analizar, diseñar, simular y construir circuitos eléctricos de corriente directa y alterna eficientes, para su uso en sistemas de alimentación y control en procesos industriales. La materia en su constitución ha tenido especial interés en abordar los principales temas de la ingeniería y de la tecnología eléctrica en aplicaciones de corriente directa y alterna, sin dejar de lado mencionar la importancia que revisten en la labor profesional. La asignatura es columna vertebral de toda la rama electrónica de la ingeniería mecatrónica, pues ofrece el conocimiento de diversos métodos de análisis de circuitos eléctricos y de sus características fundamentales de respuesta y simulación. Temas como ley de Ohm, Kirchhoff, Thévenin, Norton, superposición y otros más son considerados con especial atención contemplando los enfoques de corriente directa y corriente alterna (fasores) en el tratamiento de las señales involucrado en el proceso de análisis. El profesional en el desempeño cotidiano será capaz de comprender las características, parámetros y conceptos intrínsecos de un sistema eléctrico al observar sus diferentes respuestas ante entradas diversas, de este modo será capaz de comprender su respuesta y diseñar, de tal manera que le permita optimizar sistemas.

1.1 SISTEMAS DE UNIDADES: CARGA, CORRIENTE, VOLTAJE, POTENCIA Carga.- En el Sistema Internacional de Unidades, la unidad de carga eléctrica se denomina culombio (símbolo C). Se define como la cantidad de carga que pasa por la sección transversal de un conductor eléctrico en un segundo. Corriente Eléctrica o Intensidad Eléctrica.- Es el flujo de carga eléctrica por unidad de tiempo que recorre un material. Se debe al movimiento de las cargas (normalmente electrones) en el interior del material. En el Sistema Internacional de Unidades se expresa en C/s (culombios sobre segundo), unidad que se denomina amperio. Una corriente eléctrica, puesto que se trata de un movimiento de cargas, produce un campo magnético, un fenómeno que puede aprovecharse en el electroimán. La Tensión Eléctrica O Diferencia De Potencial.- (también denominada voltaje) es una magnitud física que cuantifica la diferencia de potencial eléctrico entre dos

puntos. También se puede definir como el trabajo por unidad de carga ejercido por el campo eléctrico sobre una partícula cargada para moverla entre dos posiciones determinadas. Se puede medir con un voltímetro. Potencia.- Se representa con la letra p y se define como la variación de la energía por unidad de tiempo. Es, por lo tanto, una medida cuantitativa de lo rápido que se gana o pierde (cede) energía. Analíticamente:

P  V I  I 2R 

1.2 ELEMENTOS DE UN CIRCUITO Y TIPOS DE CIRCUITOS Los elementos que constituyen un circuito eléctrico se clasifican en elementos activos (fuentes de energía), que son los que suministran energía eléctrica al circuito, y elementos pasivos, que son los que consumen o almacenan la energía; es el caso de resistencias, motores, bobinas y condensadores. A estos dos grupos de elementos hay que añadir los elementos de conexión o conductores que los unen, en los que en un primer análisis no se disipa significativamente la energía. Un circuito está cerrado cuando por él circula la corriente eléctrica, y abierto en caso contrario. Elementos Activos.- Son los elementos que suministran la energía eléctrica al circuito. En éstos ocurre un proceso de transformación de una forma particular de energía a energía eléctrica. La convención de corriente para los elementos activos es que la corriente sale por el punto de mayor potencial; para indicar que ellos suministran la energía. Los elementos activos se pueden dividir en dos categorías: 



Fuentes de corriente directa. (cd).- Son dispositivos que suministran al circuito corriente constante en el tiempo. Entre las más comunes: pilas, baterías, fuentes de tensión reguladas, generadores de corriente continua, etc. Fuentes De Corriente Alterna (Ca).- Son dispositivos que suministran al circuito corriente cuya intensidad es una función periódica; generalmente la forma de onda es senoidal. la corriente que alimenta alumbrados,

viviendas, edificios, comercios es CA. para aumentar o disminuir a tensión que suministran estas fuentes, se utilizan transformadores según el voltaje o diferencia de potencial requerido. Elementos Pasivos.- Son aquellos que consumen la energía eléctrica en el circuito. Estos elementos pueden transformar la energía eléctrica a cualquier otra forma de energía como ocurre en las resistencias que transforman la energía eléctrica en luz y calor (bombillos, planchas), en los motores que transforman la energía eléctrica en movimiento. También, pueden servir como elementos almacenadores de energía, como los condensadores y las bobinas. La convención de la corriente en los elementos pasivos es que la corriente entra por el punto de mayor potencial para indicar que consumen energía. El esquema para cualquier elemento pasivo es: Interruptores.- Los interruptores son dispositivos que abren o cierran las conexiones de un circuito; básicamente están formados por dos contactos metálicos uno fijo y otro móvil, cuando están abiertos interrumpen el paso de corriente y cerrado permiten el paso de la misma. Conmutadores.- Son dispositivos que permiten cambiar las conexiones de los circuitos eléctricos. Existen dos tipos principales de interruptores y conmutadores: los que operan manualmente (cuchillas, levas o tambor) y los que actúan automáticamente (bimetálicos, de presión, electrónicos). Pulsadores.- Son dispositivos pilotos accionados mecánicamente para que abran o cierren circuitos auxiliares que accionarán otros elementos o contactores del circuito principal; se utilizan en sistemas controlados automáticamente. El más común es el botón pulsador de contacto momentáneo, el cual actúa al aplicarle una presión y, cuando cesa el empuje vuelve a su posición normal por la acción de un resorte. Dispositivos De Protección.- Todos los circuitos eléctricos deben, al menos, estar protegidos contra sobrecorrientes o cortocircuitos, de tal forma que si la intensidad de corriente se eleva mucho, el dispositivo actúe instantáneamente desconectando la línea de alimentación del circuito. Se dispone de diferentes clases de protección, tales como: fusibles, interruptores automáticos, interruptores magnetotérmicos. Fusible.- Es un dispositivo que consta fundamentalmente de una lámina delgada conductora, que interrumpe directamente la corriente del circuito al fundirse si esta corriente es excesiva; el calibre del fusible depende de la corriente que alimenta al equipo a protegerse.

Interruptor automático general.- Son interruptores automáticos que pueden también ser accionados manualmente; poseen un elemento de protección contra sobrecorrientes, un sistema de disparo magnético y un sistema de enfriamiento de arco. El tiempo de respuesta es menor mientras mayor sea el valor de la sobrecorriente que circula por él. En un circuito eléctrico existen tres formas de conectar los generadores y los receptores: serie, paralelo y mixto. Circuito En Serie.- Los elementos de un circuito están conectados en serie cuando se conectan uno a continuación del otro formando una cadena, de manera que la corriente que circula por un determinado elemento, sea la misma que circula por el resto. La tensión en los extremos del generador, será igual a la suma de todas las tensiones intermedias en los receptores. En caso de que uno de los receptores se estropee, se desconectan todos los demás. En la figura 1.1 tenemos un circuito serie que tiene una lámpara, un timbre y un motor. Si uno de los tres receptores se estropea, los otros dos se desconectan porque se abre el circuito.

Figura 1.1

Circuito En Paralelo.- Todos los elementos están conectados entre los mismos puntos y, por tanto, a todos ellos se les aplica la misma diferencia de potencial. La intensidad de corriente que sale del generador es igual a la suma de las intensidades que circulan por los receptores. En caso de que un receptor se estropee, a los demás receptores no les ocurre nada. En la figura 1.2 tenemos un circuito paralelo.

Figura 1.2

Circuito Mixto.- En un mismo circuito existen elementos conectados en serie y en paralelo. En la figura 1.3 tenemos un circuito mixto.

Figura 1.3

1.3 LEY DE OHM Y LEYES DE KIRCHHOFF La ley de Ohm dice que la intensidad de la corriente que circula entre dos puntos de un circuito eléctrico es proporcional a la tensión eléctrica entre dichos puntos. Esta constante es la conductancia eléctrica, que es la inversa de la resistencia eléctrica. La intensidad de corriente que circula por un circuito dado es directamente proporcional a la tensión aplicada e inversamente proporcional a la resistencia del mismo. Cabe recordar que esta ley es una propiedad específica de ciertos materiales y no es una ley general del electromagnetismo como la ley de Gauss, por ejemplo. Resumiendo La ley de Ohm establece que el voltaje entre los extremos de un elemento del circuito es directamente proporcional a la corriente que fluye a través del mismo, es decir “V = RI “. Donde la constante de proporcionalidad R recibe el nombre de resistencia, cuya unidad es el ohm, Ω.

La figura 1.4 muestra el símbolo de un elemento resistor. De acuerdo con las definiciones de voltaje, corriente y potencia, el producto de V por I representan la potencia absorbida por el resistor.

Figura 1.4

Otras expresiones para la potencia absorbida son: La razón de corriente al voltaje es también una constante,

Donde G recibe el nombre de conductancia, cuya unidad es el siemens (S). Antiguamente se asignaba la unidad del mho, que se representaba por una letra omega mayúscula invertida . Para representar resistencias y conductancias se usa el mismo símbolo. Necesariamente la potencia absorbida es positiva y queda expresada en términos de conductancia por:

Ahora es posible considerar las relaciones de corriente y voltaje en redes simples que resulten de la interconexión de dos o más elementos simples de un circuito.

Los elementos se conectan entre sí mediante conductores eléctricos, los cuales se considera en forma ideal que su resistencia es cero. Al punto en el cual dos o más elementos tienen una conexión común se le denomina nodo. Es posible presentar ahora la primera de las leyes de Kirchhoff. Esta ley axiomática recibe el nombre de ley de corrientes de Kirchhoff (LCK) y dice que “La suma algebraica de las corrientes que entran a cualquier nodo es cero”. La cual se muestra en la figura 1.6. A continuación se presenta la ley de voltajes de Kirchhoff (LVK) figura 1.5, que establece que “La suma algebraica de los voltajes alrededor de cualquier trayectoria cerrada en un circuito es cero”.

Figura 1.5 Ley de voltajes de Kirchhoff

EXPERIMENTO LEY DE OHM Calcular el voltaje de la resistencia total (R).

Solución: El voltaje de la resistencia R1 se encuentra directamente encontrando la resistencia total del circuito: V1 = IR1 = (3 mA)(1 kΩ) = (3x10-3 A)(1x103 Ω) = 3 V Por lo tanto la resistencia R2 tiene un voltaje de 6 V, como podemos ver: V = V1 + V2

V 2 = V – V1 = 9 V – 3 V = 6 V

También debemos considerar que la corriente en un circuito en serie, como lo es esté, por lo que la corriente en la resistencia R 1 es la misma que la de R2 y por tanto: R2=

V2 6V 6V 3 = = =2 x 1 0 Ω=2 K Ω I 3 mA 3 x 10−3 mA

Por último la resistencia total de las resistencias del circuito es: R = R1 + R2

R = 1 KΩ + 2 KΩ = 3 KΩ R = 3 KΩ

EXPERIMENTO DE KVL

Ecuación auxiliar 

I 3 =0.04V 1

V 1 =10(

I3=0.04 (10 I1) I3 – 0.4 I1 = 0... 1 Trayectoria 2: KVL 20 + VX5 – 10VX10 – 3VX3 –5(–I1 – I3) + 10(I1) + 3(I1+I2) = 20 5I1 + 5I3 + 10I1 + 3I1 + 3I2 = 20 18I1 + 3I2 + 5I3 = 20… 2 Trayectoria 3: KVL 3VX3 + 3Ix = 0 3(I1 + I2) + 3(– I1 – I3) = 0 3I1 – 3I2 – 3I1 – 3I3 = 0 6I1 – 3I2 – 3I3 = 0... 3

[ 

a=

I3

= 0.625

][ ] [ ]

I 1 ¿1.56 amp −0.4 0 1 0 18 3 5 20 = I 2 ¿−3.75 amp 6 3 3 0 I 3 ¿ 0.625 amp



b=

−I 1−I 3



d=

I2 + I 1



f=

I1

=

=

−¿ 1.56 – 0.625 =

−¿ 3.75 + 1.56 =

= 1.56

EXPERIMENTO DE KCL

I a=

R sa−V 1 =G a(V sa – V 1) Ra

I b=

V 1−V 2 =Gb (V 1 – V 2) Rb

I c=

V sc −V 2 =G c (V sc – V 2) Rc

I d=

V1 =G d (V 1) Rd

I f=

V2 =G f (V 1) Rf

Nodo 1: KCL Ia = Ib + Id

−¿ 2.18

−¿ 2.19

V sa−V 1 V 1 −V 2 V 1 = + Ra Rb Rd V sa V 1 V 1 V 2 V 1 − = − + R a R a Rb R b Rd V sa V 1 V 2 V 1 V 1 = − + + R a R b Rb R d Ra V sa =G b ( V 1 ) – G b V 2 +G d V 1 +GaV 2 Ra Isa = (Gb + Gd + Ga) V1 + GbV2 Nodo 2: KCL

…

1

If = Ib + Ic

V 2 V 1−V 2 V sc−V 2 = + Rf Rb Rc V 2 V 1 V 2 V sc V 2 = − + − Rf Rb R b Rc R c

G f V 2=G b V 1 – Gb V 2 +

V sc –G cV 2 Rc

Isc = GbV1 – (Gf + Gb + Gc) V2… 2

G (¿ ¿ b+Gd +Ga ) ¿ G ¿−G b ¿ f +G + G (¿ b c) −Gb

[ ] [] V 1 [ ] I sa ¿= V2 I sc

[ ][

][ ]

10 = 0.95 −0.25 V 1 ¿ 12.5 2.5 −0.25 0.75 V 2 ¿ 7.5



Ia =

1 2

(20-12.5) = 3.75 amp



Ib =

1 4

(12.5 – 7.5) = 1.25 amp



Ic =

1 6

(15 – 7.5) =1.25 amp



Id =

1 5

(12.5) = 2.5 amp



If =

1 3 (7.5) = 2.5 amp

1.4 CIRCUITO SERIE, PARALELO, MIXTO, ESTRELLA – DELTA Serie.- Un circuito en serie es aquél en que los dispositivos o elementos del circuito están dispuestos de tal manera que la totalidad de la corriente pasa a través de cada elemento sin división ni derivación.

Figura 1.6 Ley de corrientes de Kirchhoff

Cuando en un circuito hay dos o más resistencias en serie, la resistencia total se calcula sumando los valores de dichas resistencias. Si las resistencias están en serie, el valor total de la resistencia del circuito se obtiene mediante la fórmula: n

R eq=∑ Ri i=1

Donde: Req: resistencia equivalente de la disposición, ohmios. Ri: resistencia individual i, ohmios. Paralelo.-En un circuito en paralelo los dispositivos eléctricos, por ejemplo las lámparas incandescentes o las celdas de una batería, están dispuestos de manera que todos los polos, electrodos y terminales positivos (+) se unen en un único conductor, y todos los negativos (-) en otro, de forma que cada unidad se encuentra, en realidad, en una derivación paralela. El valor de dos resistencias iguales en paralelo es igual a la mitad del valor de las resistencias componentes y, en cada caso, el valor de las resistencias en paralelo es menor que el valor de la más pequeña de cada una de las resistencias implicadas. Si las resistencias están en paralelo, el valor total de la resistencia del circuito se obtiene mediante la fórmula: R eq=

1 n

∑ Ri1 i =1

Donde: Req: Resistencia equivalente de la disposición, ohmios. Ri: Resistencia individual Ri, ohmios.

Mixto.- Cuando se tiene una conexión mixta de resistencias, significa que están agrupadas tanto en serie como en paralelo.

Estrella – Delta.- La conexión estrella – delta o estrella – triangulo, se usa generalmente para bajar de un voltaje alto a uno medio o bajo. Una razón de ello es que se tiene un neutro para aterrizar el lado de alto voltaje lo cual es conveniente y tiene grandes ventajas.

Rab =

R1 R 2+ R 3

Rab =

R 1 R 2+ R 1 R 3 R 1+ R 2+ R 3

Rbc =

R 2 R 1+ R 3 R 2 R 1+ R 2+ R 3

Rca =

R 1 R 2+ R 2 R 3 R 1+ R 2+ R 3

=

RX + RY Rbc =

R2 R 1+ R 3

= Rz + Ry Rca =

R3 R 1+ R 2

= RX + RZ

RX =

RY =

R1R3 R 1+ R 2+ R 3

RZ =

R2R3 R 1+ R 2+ R 3

R1R2 R 1+R 2+ R 3

1.5 COMBINACION DE RESISTENCIAS Y FUENTES La unión de resistencias la podemos hacer de dos maneras, ya sea en un circuito en serie o en paralelo. Veamos algunos ejemplos: Resistencias En Serie.- En un circuito en serie, las resistencias se colocan una seguida de la otra de tal modo que la corriente deberá fluir primero por una de ellas para llegar a la siguiente, esto implica que el valor de la resistencia total del circuito sea la suma de todas ellas.

Resistencias En Paralelo.- En un circuito en paralelo las resistencias se colocan según se indica en el siguiente grafico, de esta manera la corriente eléctrica llega a todas las resistencias a la vez, aunque la intensidad de la corriente es mayor por el resistor de menor valor. En este caso la resistencia total del circuito la puedes obtener utilizando la ecuación que se muestra en el grafico:

Circuitos Combinados.- Hay casos en que se combinan resistencias en serie y en paralelo a la vez, estos son llamados circuitos combinados, y para obtener el valor total de la resistencia se resuelve separándolos en mallas. Observa el siguiente circuito:

Podemos comenzar por los circuitos más sencillos como resolver R 1-2, que representa la resistencia total entre R1 y R2, como están en paralelo: 1/R 1-2 = 1/R1 + 1/R2 Tenemos resueltos R1 y R2 y el circuito nos queda como se ve a continuación:

Combinando el resultado anterior con R3 y teniendo en cuenta que se trata de un circuito en serie: R 1-2-3 = R 1-2 + R3 Y el circuito nos va quedando más pequeño, algo así:

Nuevamente tenemos un circuito en serie entre R 4 y R5, entonces: R 4-5 = R4 + R5 De tal modo que la suprimimos y la reemplazamos por R 4-5.

Cada vez la malla de nuestro circuito se va reduciendo .sucede que es una forma sencilla resolverlo por pasos Ahora resolvemos el circuito en paralelo para obtener R 1...5 1/R 1...5 = 1/R 1-2-3 + 1/R 4-5 Finalmente se obtuvo el circuito más sencillo de todos y es un circuito en serie el cual nos da la resistencia total:

Y el cálculo final sería el siguiente: Rt = R 1...5 + R6

1.6 DIVISOR DE VOLTAJE En ocasiones el análisis de algunos circuitos se simplifica al combinar fuentes y resistencias. Otro atajo útil es la idea de la división del voltaje y la corriente. La división de voltaje se emplea para calcular el voltaje que existe en uno de los tantos elementos en serie.

V2 = R2 I =R2

lo que es igual

V2 = si la red de la figura 1.7 se generaliza sustituyendo R2 por la combinación en serie de R2, R3,RN, entonces la expresión general para la división de voltaje a través de los N elementos en serie quedaría

VN = El voltaje aplicado en algún elemento en serie es igual al voltaje total multiplicado por la relación de su resistencia a la resistencia total.

Figura 1.7

1.7 DIVISOR DE CORRIENTE Divisor de corriente. Se tiene una corriente total suministrada a varios elementos conectados en paralelo, como se ilustra en la figura 1.8. La corriente que fluye a través del elemento G2 es

Figura 1.8

I2 =G2 V = G2

Así, la corriente que fluye a través de cualquiera de los dos elementos en paralelo, es igual a la corriente total multiplicada por la razón de la resistencia del elemento contrario al cual se desea conocer la corriente a la resistencia total.

1.8 CIRCUITOS EQUIVALENTES Un circuito equivalente es un circuito que conserva todas las características eléctricas de un circuito dado. Con frecuencia, se busca que un circuito equivalente sea la forma más simple de un circuito más complejo para así facilitar el análisis. Por lo general, un circuito equivalente contiene elementos pasivos y lineales. Sin embargo, también se usan circuitos equivalentes más complejos para aproximar el comportamiento no lineal del circuito original. Estos circuitos complejos reciben el nombre de macromodelos del circuito original. Un ejemplo de un macromodelo es el circuito de Boyle para el amplificador operacional 741. Hay dos circuitos equivalente que son muy reconocidos:  Equivalente de Thévenin  Equivalente de Norton

1.10 TRANSFORMACION DE FUENTES INDEPENDIENTES Y DEPENDIENTES La transformación de fuentes se usa para simplificar circuitos; como definición se considera así: La transformación de fuentes independientes es el proceso para sustituir una fuente de tensión Vs en serie con una resistencia R por una fuente de corriente I s en paralelo con una resistencia R o viceversa.

Son fuentes dependientes aquellas cuya tensión o corriente es proporcional a la tensión o corriente por alguna rama del circuito. Y la transformación queda de la siguiente manera:

1.11 ANALISIS DE INDEPENDIENTES

CIRCUITOS

CON

FUENTES

DEPENDIENTES

E

Las fuentes dependientes modelan la situación en la cual la tensión o la corriente de un elemento del circuito es proporcional a la tensión o a la corriente de otro elemento de circuito. Las fuentes dependientes son usadas para modelar dispositivos electrónicos tales como transistores y amplificadores. Hay cuatro tipos de fuentes dependientes:

Lo cual no quiere decir que la fuente de tensión dependa siempre de una tensión en otro elemento del circuito, ni que la fuente dependiente de corriente dependa únicamente de un valor de corriente en el circuito. Fuentes independientes.- son los elementos que introducen energía en los circuitos. Tal aportación es el resultado de la transformación de otras formas energéticas. Por simplicidad, se empieza por el estudio de fuentes de energía continuas, entendiendo por tales las que crean tensiones o corrientes constantes. Los dos modelos básicos empleados en el estudio de los circuitos eléctricos son:

generadores de tensión y generadores de corriente. Cada uno de éstos se puede dividir en fuentes independientes o dependientes y también en generadores reales o ideales. Vamos a describir cada uno de éstos. Fuente De Tensión.- Es aquel elemento del circuito que proporciona energía eléctrica con una determinada tensión V (t) que es independiente de la corriente que circula por él.

Figura 1.9

En la Fig. 1.9 se muestra el símbolo del generador de tensión ideal en el que se indica la tensión Vg(t) del generador con la polaridad del mismo. Así, si V g(t)>0 entonces el terminal A tienen un potencial V g(t) voltios por encima del terminal B. La tensión Vg puede depender del tiempo o no; cuando depende del tiempo, se representa en minúscula: Vg(t) y cuando no depende del tiempo se representa con mayúscula Vg. Esta última situación es la que se tiene cuando se trata de un generador de corriente continua, como es el caso de una pila o acumulador. Tratándose de una pila o acumulador ideal también se puede utilizar un símbolo alternativo. El terminal más fino y largo representa siempre el borne positivo, mientras que el más corto y grueso representa el terminal negativo (por lo que no suelen ponerse los signos + y -). La característica v-i de un generador ideal de tensión es simplemente una recta horizontal cuya ordenada representa el valor V g de la tensión en bornes, ya que, de acuerdo con la definición el valor de Vg no depende de i.

I Figura 1.10

La Fig. 1.10 muestra el convenio de referencia de flechas, donde vemos que el signo + es la referencia de polaridad, siendo I AB = e(t). Si se conecta una carga al generador de tensión ideal, éste suministrará corriente al circuito. El valor de esta corriente, dependerá de la magnitud de la impedancia de la carga. La potencia eléctrica suministrada por el generador de tensión, si el sentido de la corriente es el indicado, será igual a: pg ( t )=V g ( t ) ∙ i(t)

Recuérdese que cuando se trata de calcular una potencia generada, se toma como corriente positiva la que sale del terminal + del generador. Una fuente de tensión ideal, cuya diferencia de potencial entre terminales es constantemente nula, es un cortocircuito. Fuente de corriente.-Es aquel elemento activo que proporciona energía con una determinada corriente ig (t) que es independiente de la tensión en bornes. El símbolo de un generador de corriente, donde i g (t) o Ig es la corriente suministrada por el mismo. El sentido de la corriente se indica por una flecha colocada en el interior del círculo. La característica v-i de un generador de corriente ideal es simplemente una recta vertical cuya abscisa representa el valor de i g(t) (o I para fuentes de CD.). De la corriente suministrada por el generador ya que de acuerdo con la definición, el valor i g no depende de la tensión en bornes. Una fuente cuya intensidad es constantemente nula es un circuito abierto.

La tensión del generador depende de la carga conectada externamente y es un error que cometen los principiantes considerar que la tensión entre sus bornes es nula. Debe quedar claro que dicha tensión depende del exterior.

2.1 TOPOLOGÍA DE REDES La topología es una rama de la geometría, que se usa mucho para estudiar circuitos eléctricos. Trata de las propiedades de las redes que no se afectan cuando se distorsiona el tamaño o forma de la red. Las definiciones más importantes son: Nodo: Es un punto de unión entre tres o más elementos de circuito. Cuando se unen sólo dos elementos se denomina nudo secundario. En otras palabras, un nodo es simplemente el punto de unión de 2 o más elementos.

En la figura anterior se identifican los nodos que existen en el circuito. Rama: Se define como una trayectoria simple en una red, compuesta por un elemento simple y por los nodos situados en cada uno de sus extremos. En otras palabras es el elemento o grupo de elementos que hay entre dos nudos.

En la figura anterior se identifican las ramas que existen en el circuito. Red Plana: Es una red que puede dibujarse sobre una superficie plana sin que se cruce ninguna rama.

Lazo: Es un conjunto de ramas que forman una línea cerrada, de tal forma que si se elimina una de ellas, el camino queda abierto. Malla: Es otro concepto importante que se debe tener en cuenta para el análisis de circuitos eléctricos. Se define como cualquier trayectoria cerrada dentro de un circuito, de forma que partiendo de un nodo se vuelva de nuevo al nodo de partida sin pasar a través de ningún nodo más de una vez. Sólo es aplicable a redes planas, es un lazo que no contiene ningún otro en su interior.

En la figura anterior se identifican las mallas que existen en el circuito. Grafo: Es un dibujo simplificado de un circuito en que cada rama se representa por un segmento.

Circuito

Grafo

En la figura anterior muestra el grafo equivalente del circuito. Árbol: Es la parte de un grafo formado por ramas que contengan a todos los nudos, sin que se formen lazos.

Gráfica

Subgráfica

Árbol

En la figura anterior se muestra como encontrar una red de árbol

Eslabón: Son las ramas del gráfico no incluidas en el árbol. Se conoce también con el nombre de ramas de enlace.

En la figura anterior se muestra un árbol conformado por las ramas a, b y c. Sus ramas d, e y f se denominan eslabones

2.2 ANÁLISIS POR LAZOS Y MALLAS Análisis por Mallas En el análisis de mallas se parte de la aplicación de KVL a un conjunto mínimo de lazos para encontrar al final todas las corrientes de lazo. A partir de las corrientes de lazo es posible encontrar todas las corrientes de rama. El número de lazos que se pueden plantear en un circuito puede ser muy grande, pero lo importante es

que el sistema de ecuaciones represente un conjunto mínimo de lazos independientes. Este conjunto mínimo es cualquiera en el cual todos los elementos (ramas) hayan sido tenidos en cuenta en al menos una malla. Las otras posibles mallas serán entonces redundantes. Aquí también el número de incógnitas (corrientes de lazo) debe ser igual al número de ecuaciones (una por malla del conjunto mínimo). De acuerdo al tipo de circuito y la forma en que se seleccionen las mallas se pueden tener distintas posibilidades de conexión de las fuentes: • Fuentes de corriente controladas • Fuentes de voltaje independientes • Fuentes de voltaje controladas • Fuentes de corriente independientes no compartidas por varias mallas • Fuentes de corriente independientes compartidas por varias mallas Según lo anterior hay varias maneras de resolver un circuito por el método de mallas. El método que llamaremos general aplica a los casos de circuitos con fuentes de voltaje independientes y fuentes de corriente independientes no compartidas por varias mallas. Este método NO aplica a los circuitos que tienen: 1. Fuentes de corriente independientes compartidas por varias mallas (se usa el método de supermalla) 2. Fuentes controladas de corriente o voltaje (se deben escribir las ecuaciones de dependencia de la variable controlada y controladora) Si el circuito solo tiene fuentes de voltaje independientes entonces se aplica el método general por el sistema llamado de inspección. El número mínimo de lazos independientes que hay que definir para tener un sistema de ecuaciones linealmente independientes que se deben tener está dado por la siguiente relación: Núm. Lazos independiente = Núm. ramas – Núm. nodos + 1 Para que un conjunto de lazos sea independiente se requiere que en cada uno de ellos exista al menos un elemento que haga parte de los otros lazos.

¿Qué es un lazo? Se denomina lazo a cualquier trayectoria cerrada de una red en un circuito eléctrico plano.

Identificación de lazos Del siguiente circuito: 1 2 3 4

Identificar los nodos y las ramas. Identificar todos los lazos diferentes posibles. Identificar todas las mallas. Identificar un conjunto de lazos independientes que sea diferente al conjunto de mallas.

Figura 2.1

Este circuito tiene cuatro nodos que hemos denominado en la Figura 2.1: A, B, C y D. Nótese que los quiebres de las líneas no constituyen necesariamente nodos, pues no siempre hay unión de dos o más ramas. Tenemos seis ramas: AD, AB, AC, BC, CD y BD.

A Los lazos son los caminos cerrados del circuito. En este caso serían: ABDA, ABCA, CBDB, ACDA, ACBDA, CABDC, ADCBA. B El número de mallas es igual al de lazos independientes: Núm. Mallas = Núm. lazos independientes = Núm. ramas – Núm. nodos + 1 Estas mallas son los lazos que no contienen otros lazos en su interior: ABDA, ABCA y CBDB. C Para tener un conjunto de lazos independientes se requiere que al menos una rama de cada lazo no pertenezca a los otros lazos que conformarán los lazos independientes. Como nos piden un conjunto de lazos independientes ya sabemos que deben ser tres (como el número de mallas). Podemos comenzar por seleccionar un lazo cualquiera y luego ir buscando otros que sean independientes. Vamos a seleccionar el lazo inicial ABDA. Como no hemos adicionado ningún otro lazo al conjunto es evidente que este es independiente. Ahora seleccionamos el segundo lazo independiente haciendo que una de sus ramas no esté en el primer lazo ABDA. Un candidato puede ser ABCA ya que la rama BC no está en el primer lazo. Ahora hay que seleccionar un tercer lazo que tenga una rama que no esté en los dos primeros. El lazo exterior ACDA tiene la rama CD que no está en los dos lazos anteriores, de manera que así tenemos el conjunto deseado de tres lazos independientes.

 NOTA: El lazo no es siempre el equivalente de una malla por su definición, puesto que un lazo es cualquier trayectoria de una red.

Ejercicio: Encontrar un sistema de ecuaciones de mallas para el siguiente circuito.

Solución Malla1: VEA +VAD +VDB +VBE = 0 -VS1 +R*IAD +R*IDB +VS2 = 0 -VS1 +R*I1 +R (I1-I2) +VS2 = 0 -VS2 +I1 (2R) +I2 (-R) + VS2 = 0 (2R)I1 + (-R)I2 = VS1 –VS2

Malla 2: VEB +VBD +VDC +VCE = 0 -VS2 +R*IBD +R*IDC +VS3 = 0 -VS2 +R (-I1 + I2) +R(I2) +VS3 = 0 -VS2 +I1 (-R) +I2 (2R) + VS3= 0 (-R)I1 + (2R)I2 = VS2 –VS3

Ecuación de la matriz: (2R)I1 + (-R) I2 =VS1 –VS2 (-R)I1 + (2R) I2 = VS2 –VS3 I [2−RR−R 2 R ][ I ] 1

2

=

[

V S 1−V S 2 V S 2−V S 3

]

Ejemplo: Analizar el siguiente circuito usando análisis de mallas.

Malla 1: KVL 2 – V1 –V2 –V3 =0 ….. 1 Por ley de Ohm. V1 = 1I1; V4 = 2 I2 V2 = 2 (I1- I2) V5 = 1(I3 – I2) V3 = 3 (I1- I3) V6 = 1I3 Sustituyendo en la ecuación 1 2 = I1 + 2 (I1 – I2) + 3 (I1 –I3) I1 + 2I1 - 2I2 + 3I1 -3I3 = 2 6I1 - 2I2- 3I3 = 2……. 2

Malla 2: KVL 1 + V5 +V2 – V4 = 0 I3- I2 + 2 (1- I2) - 2I2 = - 1 2I1 - 5I2 + I3 = - 1 -2I1 + 5I2 – I3 = 1…….. 3 Malla 3: KVL V3 – V5 –V6 = 0 3 (I1 – I3) -1 (I3 – I2) –I3 = 0 3I1 – 3I3 – I3 + I2 – I3 = 0 -3 I1 – I2 + 5I3 = 0……… 4 Resolviendo las ecuaciones con matrices

[ ][ ] [ ] 2 6−2−3 I 1 = 1 −2 5−1 I 2 −3−15 I 3 0

. I1 = 0.91 A I2 = 0.70 A I3 = 0.68 A Calculando los voltajes en cada elemento V1 = 1Ω (0.91A) = 0.91v V2 = 2Ω (0.91A – 0.7A) = 0.42v V3 = 3Ω (0.91A-0.68A) = 0.69v V4 = 2Ω (0.70A) = 1.4v V5 = 1Ω (0.68A – 0.70A) = - 0.02 v V6 = 1Ω (0.68A) = 0.68 v

Ejemplo: Analizar el circuito por Mallas.

Malla 1: KVL 2 –V1 –V2 = 0 V1 + V 2 = 2 Por ley de ohm V1 = 2I1 V2 = 3 (I1 – I2) Entonces: 2I1 + 3 (I1 – I2) = 2 2I1 + 3 I1 – 3I2 = 2 5I1 - 3 I2 = 2……. 1

Malla 2: KVL V2 – V 3 – V 4 = 0 Por ley de ohm V2 = 3 (I1 – I2) V3 = I2

 Nota: V4 no se puede expresar en términos de la corriente de malla. 3I1 + 3I2 – I2 = V4 3I1 - 4I2 = V4 Malla 3: KVL V4 – V 5 – V 6 = 0 V5 + V 6 = V 4 Por ley de ohm. V5=3I3 V6 =2I3 3I3 + 2I3 = V4 Entonces: 3 I1 – 4I2 = 3I3 + 2I3 3 I1 – 4I2 – 5I3 = 0…… 2

La tercera ecuación se obtiene de: I1 – I2 = 2 A ….. 3 Resolviendo con una matriz las ecuaciones.

[ ][ ] [ ] 5−3 0 I 1 −3 4 5 I 2 0−11 I 3

I1= -0.33 A I2 =-1.22 A I3 = 0.777 A Calculando las caídas de voltaje

=

2 0 2

V1= - 0.333 A (2Ω) = -0.666 v V2= 3(-0.333 A - (- 1 .22 A)) = 2.661 v V3= - 1.22 A (1Ω) = -1.22v V5 = 0.777 A (3Ω) = 2.331v V6 = 0.777 A (2Ω) = 1.554 v V4 = V5 + V6 V4= 2.331 v + 1.554v = 3.885 v

2.3 ANÁLISIS DE NODOS RESPECTO A UNO DE REFERENCIA

El método de nodos es un procedimiento de análisis que se utiliza en análisis de circuitos. Consiste en aplicar explícitamente el primer lema de Kirchhoff a los nudos independientes del circuito, de tal forma que el segundo lema de Kirchhoff resulte aplicado de un modo implícito. Antes de comenzar a resolver un circuito por el método de los nodos, se debe intentar siempre que sea posible, sustituir los generadores reales de tensión por generadores reales de corriente equivalentes. Hemos de recordar que el número de ecuaciones nodales linealmente independientes de una red de n nudos es igual a n-1, lo que indica que si se toma un nudo como potencial de referencia, se podrán calcular las tensiones de los otros nodos respecto de aquel, aplicando el primer lema de Kirchhoff a los n-1 nudos restantes, dando lugar a un conjunto de ecuaciones linealmente independientes.

Ejemplo:

Ga = 1 10

Gb = 1 6

Gc = 1 12

1

Gd = 15 Gf =

1 8 1

Gg = 7

[

][ ] [

0.334 −0.167 −0.067 V 1 5+10=115 −0.167 0.3931 −0.1428 V 2 = 5.83−10=−4.17 −0.067 −0.1428 0.3348 V 3 0

V1= 61.06 V2= 23.39 V3= 22.19 Ia = Ga (60 – V1) = -1.11 Ib = Gb (V1 – 60 – V2) = -3.71 Ic = Gc (V2 – 70) = -3.88 Id = Gb (V1 – V3) = 2.59 If = Gf (V3) = 2.77 Ig = Gg (V3 – V2) = -0.172

2.4 TEOREMA DE SUPERPOSICIÓN

¿Qué es el Teorema de superposición?

]

El teorema de superposición es otra forma para resolver circuitos eléctricos y la idea que intenta transmitir este teorema es muy sencilla: cuando tengas varios generadores en un circuito lo puedes resolver por partes considerando en cada una de esas partes un solo generador y el resto anulados. El resultado final vendrá uniendo los resultados de todas esas partes. La respuesta de un circuito que contenga más de un generador es la suma algebraica de las respuestas obtenidas para cada uno de los generadores, suponiendo los demás generadores nulos. Es decir, en una red que contenga varios generadores la intensidad de corriente que circulará por una rama cualquiera será igual a la suma algebraica de las producidas por cada generador actuando independientemente (sustituiremos los demás por sus resistencias internas). Nota: puede darse el caso de que los generadores no se sustituyan por sus resistencias internas al considerarse estos valores despreciables, en ese caso cada generador será sustituido por un cortocircuito o conductor de resistencia nula.

Introducción al Teorema de superposición El teorema de superposición puede utilizarse para calcular circuitos haciendo cálculos parciales. Pero eso no presenta ningún interés práctico porque la aplicación del teorema alarga los cálculos en lugar de simplificarlos. Hay que hacer un cálculo separado por cada fuente de tensión y de corriente y el hecho de eliminar los otros generadores no simplifica mucho o nada el circuito total. El verdadero interés del teorema de superposición es teórico. El teorema justifica métodos de trabajo con circuitos que simplifican verdaderamente los cálculos. Por ejemplo, justifica que se hagan separadamente los cálculos de corriente continua y los cálculos de señales (corriente alterna) en circuitos con componentes activos (transistores, amplificadores operacionales, etc.). Otro método justificado por el teorema de superposición es el de la descomposición de una señal no sinusoidal en suma de señales sinusoidales. Se reemplaza un generador de tensión o de corriente por un conjunto (tal vez infinito) de fuentes de tensión en serie o de fuentes de corriente en paralelo. Cada una de las fuentes corresponde a una de las frecuencias de la descomposición. No se hará un cálculo separado para cada una de las frecuencias, sino un cálculo único con la frecuencia en forma literal. El resultado final será la suma de los resultados obtenidos reemplazando, en el cálculo único, la frecuencia por cada una de las

frecuencias de la serie de Fourier. El enorme interés de esto es el de poder utilizar el cálculo con el formalismo de impedancias cuando las señales no son sinusoidales.

Objetivos   

Verificar experimentalmente en forma cualitativa la propiedad de Superposición. Conocer los fundamentos básicos del teorema de superposición. Comprobar las condiciones necesarias para que se cumpla el teorema de superposición.

Fundamento teórico Definir el concepto de linealidad de un elemento y un circuito eléctrico Se dice que un elemento es lineal si cumple las siguientes condiciones:  

La respuesta a una suma de entrada es igual a la suma de las respuestas individuales Si la entrada se gradúa por la constante K, entonces también la respuesta queda graduada por K.

Enunciar y explicar el principio de superposición "La corriente o la tensión que existe en cualquier elemento de una red lineal bilateral es igual a la suma algebraica de las corrientes o las tensiones producidas independientemente por cada fuente" Considerar los efectos de cada fuente de manera independiente requiere que las fuentes se retiren y reemplacen sin afectar al resultado final. Para retirar una fuente de tensión al aplicar este teorema, la diferencia de potencia entre los contactos de la fuente de tensión se debe ajustar a cero (en corto); el retiro de una fuente de corriente requiere que sus contactos estén abiertos (circuito abierto). Cualquier conductancia o resistencia interna asociada a las fuentes desplazadas no se elimina, sino que todavía deberá considerarse. La corriente total a través de cualquier porción de la red es igual a la suma algebraica de las corrientes producidas independientemente por cada fuente; o sea, para una red de dos fuentes, si la corriente producida por una fuente sigue

una dirección, mientras que la producida por la otra va en sentido opuesto a través del mismo resistor, la corriente resultante será la diferencia entre las dos y tendrá la dirección de la mayor. Si las corrientes individuales tienen el mismo sentido, la corriente resultante será la suma de dos en la dirección de cualquiera de las corrientes. Esta regla es cierta para la tensión a través de una porción de la red, determinada por las polaridades y se puede extender a redes con cualquier número de fuentes. El principio de la superposición no es aplicable a los efectos de la potencia, puesto que la pérdida de potencia en un resistor varía con el cuadrado (no lineal) de la corriente o de la tensión. Por esta razón, la potencia en un elemento no se puede determinar sino hasta haber establecido la corriente total (o la tensión) a través del elemento mediante la superposición.

Definir las condiciones necesarias para aplicar la superposición: Un elemento lineal satisface la superposición cuando cumple con la siguiente relación entre respuesta y estimulo. i1

v1

i2

v2 i1 + i2

v1 +v2

Donde la flecha representa el efecto de la excitación y la respuesta resultante. En primer lugar, se advierte que cuando se considera una fuente independiente, las demás se fijan en cero. Entonces, una fuente independiente de voltaje aparece como un corto circuito con voltaje cero a través suyo. De igual forma, si una fuente independiente de corriente se fija en cero, no fluye corriente alguna y aparece como circuito abierto .Además, es importante destacar que si existe una fuente dependiente, debe mantenerse activa (inalterada) durante el proceso de superposición.

 Nota: Recordemos que para circuitos lineales, aquél y fuentes independientes.

este método solo constituido por

es válido solo elementos lineales

Procedimiento: 1. Analizar el circuito y determinar la tensión V0 y la corriente de salida I0 mediante el principio de superposición. Por el método de Superposición tenemos:

Resolvemos el circuito por el método de mallas:

Malla 1: IR1 +IR2 + (I –I0’) R3 = V1 I (R1 +R2 +R3) –I0’R3 = V1 I=

I 0´ R3 +V 1 R 1+ R 2+ R 3

….. 1

Malla 2: I0´R4 +I0´R0 + (I0´ -I) R3 = 0

I0’ (R4 +R0 +R3) = IR3

I=

R (¿ ¿ 4 + R0 + R3 ) I0 ´ R3 ¿

…. 2

De 1 y 2 obtenemos:

IO´ =

R R (¿ ¿ 1+ R2 + R3 )−R23 (¿ ¿ 4 + R0 + R3 ) ¿ ¿ V 3 R4 ¿

R R (¿ ¿ 1+ R2 + R3 )−R23 (¿ ¿ 4 + R0 + R3 ) ¿ VO´ = ¿ V 3 R4 R 0 ¿ Hacemos corto circuito la fuente de V1

Resolvemos el circuito por el método de mallas Malla 1: IXRX +IXR2 + (IX –I0´) R3 +V2 = 0 IX (R1 +R2 +R3) – I0´R3 +V2 = 0

Ix=

R ¿ 1+ R2 + R3 ) (¿ I 0 ´ R3−V 2 ¿

…… 1

Malla 2: I0´´R4 +I0´’R0 –V2 + (I0´´ -IX)R3 = 0

I0´´(R1 +R2 +R3) – I0´R3 +V2 = 0 Ix=

I 0 ´ ´ ( R 4−R0 + R 3 )−V 2 R3

….. 2

De 1 y 2 obtenemos:

I´´0=

R 2 ¿ 4 + R + R [(¿ 0 3 ) ( R 1+ R 2+R 3 )−R 3 ] v 2 ( R1 + R2 ) ¿

v´´0=

R [(¿ ¿ 4 + R0 + R3 ) ( R 1+ R 2+ R 3 )−R23 ] v 2 ( R1 + R2 ) R 0 ¿

Como hay dos fuentes de tensión entonces obtenemos dos respuestas parciales: I0= I´0 + I´´0 VO = V´0 + V´´0 R1 + R R [(¿ ¿ 4 + R0 +R3 ) ( R 1+R 2+R 3 )−R23 ] I0= v (¿¿ 2) v 1 R3 + 2 ¿ ¿

V0=

R1 + R v 2 (¿¿ 2) v 1 R 3+ ¿ R 0 ¿ R [(¿ ¿ 4 + R0 + R3 ) ( R 1+ R 2+ R 3 )−R23 ] ¿ ¿

Para el circuito 1 empleamos los siguientes valores de resistencias y de las fuentes de voltaje. R1 = 1KΩ ; R2 = 1KΩ ; R3 = 1KΩ ; R4 = 1KΩ ; R0 = 1KΩ ; V1 = 10 V ; V2 = 8V

Reemplazando los valores en las ecuaciones obtenemos: I0 = 5.143 mA. V0 = 5.14 V. Observaciones   

Al resolver los circuitos en forma teórica nos podemos dar cuenta que nos hace más factible resolverlo con el principio de superposición. Este teorema puede aplicarse a cualquier efecto relacionado linealmente con su causa, por lo tanto no se aplica a funciones no lineales tales como la potencia. La respuesta de un circuito lineal que posee varias fuentes de excitación, es la suma de las respuestas a cada una de las fuentes de excitación actuando por separado.

2.5 TEOREMA DE THÉVENIN Los Teoremas de Thévenin y Norton hacen referencia a la posibilidad de cualquier circuito lineal de transformarse en otro equivalente más simplificado. Concretamente el Teorema de Thévenin consiste en sustituir un circuito complejo por otro equivalente, que se compone de una fuente ideal de tensión, con un valor denominado tensión Thévenin, con una resistencia en serie llamada resistencia equivalente Thévenin. Para determinar la tensión Thévenin. A partir del circuito inicial, se halla la tensión que hay entre los dos puntos considerados.

Para hallar la resistencia equivalente, se determina la resistencia equivalente vista desde esos dos puntos, aplicando las siguientes reglas:   

Se cortocircuitan las fuentes de tensión que aparezcan en el circuito. Se dejan a circuito abierto las fuentes de corriente que aparezcan en el circuito. Se busca la resistencia equivalente entre los dos puntos considerados aplicando los conceptos vistos de asociación de resistencias en serie y paralelo, y las transformaciones estrella-delta.

Ejemplo: 10 Ω

20

Ω 100 V

A

RTH = 14

Ω 5Ω

RL

A RL

VTH = 20 B

B

En primer lugar, calculamos la tensión de Thévenin entre los terminales A y B de la carga; para ello, la desconectamos del circuito. Una vez hecho esto, podemos observar que la resistencia de 10 Ω está en circuito abierto y no circula corriente a través de ella, con lo que no produce ninguna caída de tensión. En estos momentos, el circuito que necesitamos estudiar para calcular la tensión de Thévenin está formado únicamente por la fuente de tensión de 100 V en serie con dos resistencias de 20 Ω y 5 Ω. Como la carga R L está en paralelo con la resistencia de 5 Ω (recordar que no circula intensidad a través de la resistencia de 10 Ω), la diferencia de potencial entre los terminales A y B es igual que la tensión que cae en la resistencia de 5 Ω con lo que la tensión de Thévenin resulta:

VTH

¿(

5 )(100)=20V 20+5

Para calcular la resistencia de Thévenin, desconectamos la carga del circuito y anulamos la fuente de tensión sustituyéndola por un cortocircuito. Si colocásemos una fuente de tensión (de cualquier valor) entre los terminales A y B, veríamos que

las tres resistencias soportarían una intensidad. Por lo tanto, hallamos la equivalente de las tres: las resistencias de 20 Ω y 5 Ω están conectadas en paralelo y éstas están conectadas en serie con la resistencia de 10 Ω, entonces:

(20)(5) RTH ¿ 20+5 +10=14 Ω

2.6 TEOREMA DE NORTON El Teorema de Norton consiste en sustituir un circuito complejo por otro simple equivalente denominado circuito equivalente Norton. El circuito equivalente Norton se compone de una fuente de corriente (con una intensidad denominada Norton) en paralelo con una resistencia, denominada resistencia equivalente Norton, y que tiene el mismo valor que la resistencia equivalente Thévenin de ese circuito. Para determinar la intensidad de Norton, a partir del circuito inicial, se cortocircuitan los puntos sobre los que queremos hallar el equivalente. La intensidad que pase por la línea que hemos cortocircuitado será la intensidad de Norton.

Hay que tener presente, que según lo estudiado en transformación de fuentes, se puede pasar de un equivalente a otro utilizando la ley de Ohm. VTH = (REQ) (INT) Ejemplo de un circuito equivalente Norton.

En el ejemplo, ITOTAL viene dado por: ITOTAL

¿

15 V =5.625 mA ( 2 KΩ+1 KΩ )∨¿(1 KΩ+1 KΩ)

Usando la regla del divisor, la intensidad de corriente eléctrica tiene que ser: 1 KΩ+1 KΩ 1 KΩ+1 KΩ+1 KΩ I =¿

) (ITOTAL)

Y la resistencia Norton equivalente sería: R=1 KΩ+(2 KΩ∨¿ ( 1 KΩ+1 KΩ ))=2 KΩ

¿

( 23 ) ( 5.625 mA )=3.75 mA

Por lo tanto, el circuito equivalente consiste en una fuente de intensidad de 3.75mA en paralelo con una resistencia de 2 kΩ R=R1.R2/R1+R2

2.7 TEOREMA DE MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA Cualquier circuito o fuente de alimentación posee una resistencia interna. Si consideramos que el valor de tensión y el valor de la resistencia interna permanecen constantes, podemos calcular cuando la potencia entregada a la carga es máxima. Esto ocurre cuando la resistencia de carga es igual a la resistencia interna de la fuente.

Ri = RL Ri = Resistencia interna RL = Resistencia de carga

Si la resistencia de carga es más baja que la interna, aumenta la corriente por el circuito pero la resistencia interna en serie disipa más potencia (al estar en la misma rama la corriente que pasa por ambas es la misma por lo tanto la resistencia de mayor valor disipa mayor potencia). Si la resistencia de carga es más alta, disipa mayor potencia que la resistencia interna, pero disminuye la corriente total de tal forma de ser menos a la que circula cuando ambas resistencias son del mismo valor y por lo tanto la potencia entregada a la carga es menor. Las fuentes de voltaje reales tienen el siguiente circuito equivalente donde: V = I * Ri + VL Si el valor de Ri (resistencia interna en las fuentes de alimentación) es alto, en la carga aparecerá solamente una pequeña parte del voltaje debido a la caída que hay en la resistencia interna de la fuente. Si la caída en la resistencia interna es pequeña (el caso de las fuentes de tensión nuevas con Ri pequeña) casi todo el voltaje aparece en la carga.

Ejemplo: Calcular la potencia que se entrega al circuito

I

¿

V Ri+Rl

=

24 16

= 1.5 A

Esto significa que la tensión en RL es: VRL = I * R = 1.5 * 8 = 12 Voltios. Este dato nos dice que cuando la resistencia interna y RL son iguales solo la mitad de la tensión original aparece en la carga (RL). La potencia en RL será: P = I2 * RL = 1.52 * 8 = 18 Watts (vatios), lo que significa que en la resistencia interna se pierde la misma potencia.

Si ahora se aumenta y disminuye el valor de la resistencia de carga y se realizan los mismos cálculos anteriores para averiguar la potencia entregada a la carga se puede ver que esta siempre es menor a los 18 Watts que se obtienen cuando RL = Ri (recordar que Ri siempre es igual a 8 ohmios). Si RL = 4 Ω I=

V Ri + Rl

=

24 12

==2A

P = I2 * RL = 22 * 4 = 16 W Si RL = 12 Ω I=

V Ri + Rl

24 = 20

= 1.2 A

P = I2 * RL = 1.22 * 12 = 17.28 W Así se concluye que el teorema de máxima transferencia de potencia dice: "La potencia máxima será desarrollada en la carga cuando la resistencia de carga RL sea igual a la resistencia interna de la fuente Ri".

3.1 RELACIONES DE: VOLTAJE, CORRIENTE Y ENERGÍA DE UN INDUCTOR Un inductor es un componente eléctrico que se opone a cualquier cambio en la corriente eléctrica. Está compuesto por una bobina de alambre enrollada alrededor de un núcleo de soporte. La inductancia L, es el parámetro del circuito que describe un inductor, y se mide en henrios (H). La relación entre el voltaje y la corriente en un inductor viene dada por: v =L

di dt

Donde v está en voltios, L en henrios, i en amperios, t en segundos. La ecuación refleja la convención de signos pasiva. Intensidad De la formulación física se ha extraído la expresión: e ( t )=−L

di(t ) dt

Suponiendo una bobina ideal, sin pérdidas de carga, aplicando la segunda Ley de Kirchhoff, se tiene que: v ( t )+ e ( t )=0 Es decir, en toda bobina eléctrica dentro de un circuito se produce en ella una caída de tensión: v L ( t )=v ( t )=−e ( t )=L

di(t) dt

Despejando la intensidad: t

i ( t )=i ( 0 ) +∫ v ( t ) dt 0

Energía La bobina almacena energía eléctrica en forma de campo magnético cuando aumenta la intensidad de corriente, devolviéndola cuando ésta disminuye. Matemáticamente se puede demostrar que la energía “u”, almacenada por una

bobina con inductancia “L”, que es recorrida por una corriente de intensidad “I”, viene dada por: 1 u= L I 2 2 3.2 RELACIONES DE: VOLTAJE, CORRIENTE Y ENERGÍA DE UN CAPACITOR Un capacitor es un dispositivo pasivo, utilizado en electricidad y electrónica, capaz de almacenar energía sustentando un campo eléctrico. Está formado por un par de superficies conductoras, generalmente en forma de láminas o placas, en situación de influencia total (esto es, que todas las líneas de campo eléctrico que parten de una van a parar a la otra) separadas por un material dieléctrico o por el vacío. Las placas, sometidas a una diferencia de potencial, adquieren una determinada carga eléctrica, positiva en una de ellas y negativa en la otra, siendo nula la variación de carga total. Se comporta en la práctica como un elemento "capaz" de almacenar la energía eléctrica que recibe durante el periodo de carga, la misma energía que cede después durante el periodo de descarga. Así como la inductancia se opone ante cualquier cambio en la corriente, la capacitancia (C) se opone ante cualquier cambio en el voltaje. El dispositivo que introduce la capacitancia a los circuitos es el capacitor. Este dispositivo almacena energía en un campo electrostático y la libera posteriormente La manera de representar un capacitor es la siguiente:

A continuación se muestra un esquema del capacitor acompañado con las formulas utilizadas para determinar su intensidad, voltaje, potencia y trabajo.

C( F , µF )

FORMULAS Intensidad

i=C

dV C dt C

1 V c = ∫ idt C

Voltaje

=

V

Potencia

(¿¿ c ) ( i c )=C V c

dV c dt

P=¿ −2 t Ƭ

Trabajo

1−e 1 1 W = C V 2C = C V 20 ¿ 2 2

Capacitancia; Vc = Voltaje; ic = Corriente; W = Trabajo; P = Potencia; Ƭ= Constante de tiempo; t = tiempo; V0 = Voltaje inicial

La constante de tiempo definida por la letra Ƭ (Tao) en circuitos capacitivos es equivalente al producto de la capacitancia por la resistencia:

Ƭ =RC

Funcionamiento de un capacitor

+

Figura 1.7 - 10 Ω

Figura Fuente de voltaje Figura1.10 2.1

Interruptor Le yd ec or rie nt es F de igu Ki ra 1 rch . ho 6 fFigura 1.8 Figura 1.9 Capacitor Corriente de descarga

En el instante en que se cierra el interruptor, el terminal negativo de la batería empieza a impulsar electrones a la placa superior del capacitor, así como también se extraen electrones de la placa inferior del capacitor al extremo positivo de la batería. A medida que se establece una diferencia de electrones entre las 2 placas, aparecen líneas de fuerza electrostáticas entre ellas.

Carga y descarga Al conectar un condensador en un circuito, la corriente empieza a circular por el mismo. A la vez, el condensador va acumulando carga entre sus placas. Cuando el condensador se encuentra totalmente cargado, deja de circular corriente por el circuito. Si se quita la fuente y se coloca el condensador y la resistencia en paralelo, la carga empieza a fluir de una de las placas del condensador a la otra a través de la resistencia, hasta que la carga es nula en las dos placas. En este caso, la corriente circulará en sentido contrario al que circulaba mientras el condensador se estaba cargando. Carga −t Ƭ

V ( t )=V 0 (1−e ) I ( t )=

V 0 −tƬ (e ) R Descarga −t Ƭ

V ( t )=V 0 (e ) −V 0 −tƬ I ( t )= (e ) R En corriente alterna En CA, un condensador ideal ofrece una resistencia al paso de la corriente que recibe el nombre de reactancia capacitiva, XC, cuyo valor viene dado por la inversa del producto de la pulsación ( ω=2 π f ¿ por la capacidad (C):

X c=

1 jωC

3.3 EQUIVALENTES DE BOBINAS Y CAPACITORES Equivalente de bobinas en circuito serie

+¿ … + ln Lequivalente =L1+ L 2+ L3 ¿ Equivalente de bobinas en circuito paralelo

1 1 1 1 + + +¿…+ L 1 L 2 L3 ln 1 Lequivalente = ¿ Equivalente de capacitores en circuito serie

1 1 1 1 + + +¿…+ C 1 C2 C3 Cn 1 C equivalente = ¿

Equivalente de capacitores en circuito paralelo

+¿… +Cn C equivalente=C 1+C 2+ C 3 ¿

3.4 ANÁLISIS TRANSITORIO DEL CIRCUITO “RL”. PROPIEDADES DE LA RESPUESTA EXPONENCIAL. LA RESPUESTA NATURAL Y LA RESPUESTA FORZADA Considérese el circuito de la figura, en el que se pretende activar una bobina por la que no circulaba corriente antes de cerrar el interruptor. Al cerrar el interruptor el generador de tensión Va "intentará" hacer circular una corriente por el circuito, pero, como se ha visto anteriormente, la bobina impide un cambio discontinuo de la corriente. Para evitar este cambio que intenta la fuente Va, la bobina genera una tensión vL del valor adecuado para asegurar la continuidad de la corriente. En este caso el valor "adecuado" de vL es Va. De esta forma la corriente que circula a través de R será nula, puesto que en sus extremos a y b hay la misma tensión.

La expresión

vL=L

diL dt implica que si vL toma el valor Va, la corriente presenta

una derivada de valor vL/L, por lo cual empieza a aumentar a partir de su valor nulo inicial. Pero la corriente sólo puede aumentar si disminuye la tensión en el terminal b de la resistencia, es decir, si disminuye vL. Esta secuencia de acciones (continuidad y aumento de la corriente; disminución de vL ) se va sucediendo hasta que se llega a una situación final estable, caracterizada por una corriente constante y una vL nula. Este valor nulo de la tensión en la bobina provoca que la corriente final en el circuito sea Va/R. Este comportamiento descrito cualitativamente puede cuantificarse resolviendo la ecuación diferencial del circuito. La ecuación de malla establece que: Va= iR + vL ecuación que combinada con

vL=L

diL dt conduce a una ecuación diferencial en

vL o en i. Eligiendo, por ejemplo, la segunda alternativa, tenemos: L

diL + Ri=V a dt

i h=K e−t . R / L

i p=

Va R

i(0)=0=K=

−V a R

y, por tanto, la solución es: −t .

R L

1−e V ) i= a ¿ R

Y aplicando

vL=L

diL dt

se halla la tensión vL V L =V a e−t . R / L

Respuesta natural En estos circuitos, en t=0 se hace un cambio en el circuito (apertura o cierre de interruptores, o bien se apagan algunas fuentes) lo cual provoca que los elementos inductivos y capacitivos entreguen de manera total o parcial su energía almacenada a los elementos resistivos. En estos circuitos, tanto las corrientes por la inductancia como el voltaje en el capacitor disminuyen de manera exponencial con el paso del tiempo. Metodología de Solución 1) Analizar el circuito para t<0, asumiendo que el circuito se encuentra operando en estado estable (inductancias en corto, capacitores en circuito abierto) para determinar iL(0-) oVc(0-) dependiendo del tipo de circuito analizado. 2) Determinar la Req(Rth) vista por el elemento inductivo ó capacitivo. Para determinar Req se puede procederde la misma manera en que se obtiene Rth. Este análisis se efectúa para t>0 , que es el instante en el cual inicia la descarga. 3) Calcular la constante de tiempo del proceso de descarga. τ=

Leq τ=ReqCeq Req

4) Para los circuitos RL, la corriente por la inductancia (t > 0) estará dada por: I L =I 0 e

−t τ

Donde +¿¿ 0 ¿ −¿ 0¿ I 0 =I L ¿

Si se desea calcular el voltaje y/o la corriente en algún otro elemento del circuito se puede representar la inductancia como una fuente de corriente de valor igual a I L =I 0 e

−t τ

Respuesta forzada Metodología de Solución Circuitos RL 1) Determinar iL(0-), la corriente en la inductancia antes de modificar el circuito. Para calcular este valor, asumir que el circuito se encuentra operando en estado estable (inductancias en corto circuito), y utilizar cualquiera de los métodos de análisis del capítulo 2 (mallas, nodos, superposición) para el cálculo de iL(0-) 2) Determinar iL(¥) (Respuesta Forzada) tomando Leq como un corto circuito y utilizando cualquiera de los métodos de análisis del capítulo 2. Este análisis se lleva a cabo considerando las fuentes que permanecen conectadas para t>0. Determinar el valor de las variables de interés F(¥). Estas variables son voltajes y corrientes en algunos otros elementos. 3) Analizar el circuito en t=0+ y determinar el valor de la(s) variable(s) de interés en este tiempo F(0+) Para este análisis conviene representar la inductancia como una fuente de corriente de valor igual a IL(0-) Con excepción de las corrientes en la inductancia (y los elementos en serie con estas las demás corrientes y voltajes pueden cambiar de manera instantánea) 4) Expresar la variable de interés como

F ( t )=F ( ∞ ) + A e

−t τ

Para determinar A, evaluar esta ecuación en t=0+ +¿¿ 0 ¿ F¿ +¿¿ 0 ¿ A=F ¿ Donde F(0+) se obtuvo en el paso 3 Y F(∞) se obtuvo en el paso 2 5) Calcular la Req (Rth) “vista” por la inductancia (Leq). Este valor debe calcularse para t>0. 6) En t=Leq/Req Constante de tiempo (indica la rapidez con que la transición se lleva a cabo) 7) F ( t )=F ∞ ¿+ A e

−t τ

3.5 ANÁLISIS TRANSITORIO DEL CIRCUITO “RC”. LAS FUNCIONES SINGULARES ESCALÓN UNITARIO, IMPULSO Y RAMPA UNITARIA Análisis transitorio de un circuito RC Un circuito RC es un circuito compuesto de resistores y condensadores alimentados por una fuente eléctrica. Un circuito RC de primer orden está compuesto de un resistor y un condensador y es la forma más simple de un circuito RC. Los circuitos RC pueden usarse para filtrar una señal, al bloquear ciertas frecuencias y dejar pasar otras. Carga y descarga

Zona de carga: En el momento de cerrar el interruptor no existe en el capacitor f.e.m inversa y la amplitud de la corriente viene determinada únicamente por la resistencia del circuito. Con el tiempo, entran más electrones al capacitor y se produce en él una f.e.m inversa cada vez mayor, haciendo que la corriente en el circuito vaya decreciendo. Una vez que la f.e.m inversa iguala a la de la fuente, la corriente dejará de circular completamente. Zona de descarga: El capacitor no puede descargarse a través de la fuente, ya que la polaridad del voltaje de la fuente es tal que se opone al voltaje del capacitor. Debido a lo anterior, el capacitor debe contar con una trayectoria de descarga. En el instante tx se mueve el interruptor de manera que la fuente quede desconectada del capacitor para empezar el proceso de descarga. El tiempo de carga del circuito es proporcional a la magnitud de la resistencia eléctrica R y la capacidad C del condensador. El producto de la resistencia por la capacidad se llama constante de tiempo del circuito y tiene un papel muy importante en el desempeño de este Ƭ . Ƭ =RC

Teóricamente este proceso es infinitamente largo, hasta que V(t)=Vmax. En la práctica se considera que el tiempo de carga tL se mide cuando el condensador se encuentra aproximadamente en la tensión a cargar (más del 99% de ésta), es decir, aproximadamente 5 veces su constante de tiempo. T L =5(Ƭ ) La máxima corriente Imax fluye cuando el tiempo es inicial(es decir t=0). Esto es debido que el condensador está descargado, y la corriente que fluye se calcula fácilmente a través de la ley de Ohm, con: I max=

V max R

Respuesta natural El circuito RC más simple que existe consiste en un condensador y una resistencia en serie. Cuando un circuito consiste solo de un condensador cargado y una resistencia, el condensador descargará su energía almacenada a través de la resistencia. El voltaje a través del condensador, que depende del tiempo, puede hallarse utilizando la ley de Kirchhoff de la corriente, donde la corriente a través del condensar debe ser igual a la corriente a través de la resistencia. Esto resulta en la ecuación diferencial lineal: C

dV V + =0 dt R

Resolviendo esta ecuación para V se obtiene la fórmula de decaimiento exponencial: V ( t )=V 0 e

−t RC

Donde V0 Es el voltaje del condensador en el tiempo t = 0. El tiempo requerido para la caída de voltaje es denominado “constante de tiempo RC” simbolizado por Ƭ (Tao): Ƭ =RC

Circuito en serie

Viendo el circuito, como un divisor de tensión el voltaje a través del condensador es: 1 Cs 1 V c ( s) = V ¿ ( s )= V (s) 1 1+ RCs ¿ R+ Cs Y el voltaje a través de la resistencia es: 1 Cs RCs V R ( s) = V ¿ ( s )= V (s) 1 1+ RCs ¿ R+ Cs La corriente en el circuito es la misma en todos los puntos del circuito, ya que el circuito esta en serie: I ( s )=

V ¿ (s) Cs = V ( s) R+1/Cs 1+ RCs ¿

Circuito en paralelo

El circuito RC en paralelo generalmente es de menor interés que el circuito en serie. Esto es en gran parte debido a que la tensión de salida Vout es igual a la tensión de entrada Vin — como resultado, el circuito no actúa como filtro de la señal de entrada sino es alimentado por una fuente de corriente. Sus ecuaciones son las siguientes: I R=

V¿ R

I C =C

dV¿ dt

Cuando se alimenta por una fuente de corriente la función de transferencia de un circuito RC paralelo es: V¿ R = V out 1+ sRC

Formula general Una manera más generalizada de resolver este tipo de circuitos (que también se comparte con los circuitos RL) es con la siguiente fórmula: f ( t )= A e−at + B Dónde: A=V 0−V f B=V f a=

1 Ƭ

Ƭ =RC Esta función sirve de igual forma para calcular el voltaje como la corriente.

Ejemplo

Vc(0)=30V Req=12Ω Ƭ

= Req=12

V=V(0) e

−t τ

V. 4 ( 30 e−0.25 t ) =10 e−0.25 V. Vx= 4+ 8

V8Ω=

i8=

Ejemplo

8 −0.25 t V 12 = 20 e V0 20 e−0.25 t −0.25 t e = 2.5 A 8 = 8

( 13 )

=4s. −t

−0.25 t

=30 e 4 =30 e

Ƭ

= ReqC= Req*20x10-3=3.25*20x10-3=0.065

V (t) =Ae-at+B A= V0-Vf=0-15=-15 B=Vf=15 1 a= Ʈ

1 = 0.065

= 15.38

V(t)= -15e-15.38t+15= 15(1-e-15.38t)

Funciones singulares escalón unitario, impulso y rampa unitaria En el estudio de los circuitos eléctricos son de especial interés el estudio de las funciones escalón unitario, impulso y rampa unitaria.

Función escalón unitario Esta función vale 0 para tiempos negativos y una cantidad constante (A) para tiempos positivos.

Se observa que en t=0, esta función presenta una discontinuidad, por lo que su derivada no existirá en dicho punto. Podemos avanzar que la derivada de la función escalón será la función impulso (o delta de Dirac), que veremos posteriormente. Cuando A = 1, la función recibe el nombre de escalón unitario y se utiliza el símbolo U(t). En los textos de ámbito matemático, esta función recibe el nombre de función de Heaviside, y se la representa como H(t).

Podemos considerar cualquier función escalón como el producto de una constante (que llamaremos amplitud) por la función escalón unitario. En general, multiplicar una función por la función escalón unitario se asocia a asignar el valor cero para t<0.

Función rampa

La función derivada de una función rampa será la función escalón

Función impulso o Delta de Dirac Esta función (que en realidad es lo que en matemáticas se denomina una distribución de funciones) se representa de la forma indicada

Matemáticamente es la más compleja de las vistas hasta ahora (de hecho no tiene sentido como función convencional), pero podemos expresarla de la forma:

Verificando que

Desplazamiento de funciones En fase con el origen

0t<0 µ(t) 1t>0

0t<0 μ (t)

-1t>0

Función atrasada de “O” 0t<3 µ(t-3) 1t>3

0t<3 µ(t) -1t>3

Función adelantada de “O”

0t<-3 µ(t+3) 1t>-3

0t<-3 µ(t+3) -1t>-3

Otras funciones 0-t<3; t>3 µ(-t-3) 1-t>3; t<3

0-t<0; t>0 µ(-t) 1-t>0; t<0

EXPERIMENTO DE CIRCUITO “RC”

V0=0 V Vf=19 V

Ʈ= ReqC= Req*1/6 R1R2 30 Rx= R 1+ R 2+ R 3 = 18 = 1.67 R2R3 42 RY= R 1+ R 2+ R 3 = 18 = 2.33 R3R1 35 RZ= R 1+ R 2+ R 3 = 18 = 1.94 Ʈ= ReqC= 7.232*1/6= 1.20 V (t) =Ae-at+B A=0-19 B=0 a=1/1.20 =0.8333

V(t)= -19e-0.8333t+ 0= -19(1-e-0.8333t)

3.6 ANÁLISIS TRANSITORIO DEL CIRCUITO “RLC”, SERIE Y PARALELO Los circuitos RLC o también llamados “circuitos de segundo orden”, están caracterizados por una ecuación diferencial de segundo orden. Está compuesto de resistencias y del equivalente de dos elementos de almacenamiento de energía (bobinas y condensadores). Circuito RLC en paralelo

Circuito RLC en serie

ECUACIONES PARA CIRCUITOS RLC “SERIE Y PARALELO” Casos

Condiciones iníciales

Soluciones

Derivada

Solución Sobre amortiguado

Fo= A1 + A2

f ( t )= A1 e S t + A 2 e S t 1

2

β=√ α 2−Wo2

Si α>W o

d [ f (t ) ] =S1 A 1+ S 2 A2 dt t=0

( Wd=β ¿ S 1=−α+ β , S 2=−α −β

Solución Críticamente amortiguado Si α=Wo

−αt

f ( t )=e Fo= A1

( A 1+ A 2 t )

β=√ α 2−Wo2

d [ f (t) ] =−α A1 + A2 dt

(Wd=β )

t=0

Solución βt A 1 cos βt+ A 2 sin ¿ f ( t )=e−αt ¿

Sub amortiguado

Fo= A1

d [ f (t ) ] =−α A1 + β A 2 dt

β=√ Wo2−α 2

(oscilatorio) Si α
(Wd=β )

t=0

S 1=α + jβ , S2=α− jβ

NOTA:

A 1 Y A2

se obtienen aplicando las condiciones iníciales a d [ f (t )] dt R 2L ¿ ¿ ¿ 2− 



α=

1 LC

¿ R 2L ¿ ¿ ¿ −R s 1= +√ ¿ 2L

R 1 1 1 2 en serie α = en paralelo Wo = ; Wo= 2L 2 RC LC √ LC

f (t ) y

Circuito RLC en serie

VR + V L + V C = 0 di 1 + Ri +L dt c ∫idt d2i dt2

S1=

−R 2L +

√(

R 2 1 − 2L LC

)

+

= - α +ß

Sobre amortiguado α
−R − 2L

√(

R 2 1 − 2L LC

)

= - α –ß

Sub amortiguado α>w0 R ß α= 2 L

=

√ ( α ) +( w ) 2

2

(wd= ß ¿

Críticamente amortiguado α=w0 w0=

1 √ LC

1 ; W0 = LC 2

i(t) f(t) v(t)

R di L L d t + LC =0

Sobre amortiguada f(t)=A1eS1t + A2eS2t

Críticamente amortiguado f(t)=eαt(A1 + A2t) Sub amortiguado f(t)=e-αt(A1 cos βt + ¿ A2 sin βt ¿

Circuitos RLC en paralelo

IR + IL + Ic= 0 V 1 dv + ∫ v dt+ C =0 R L dt 2

d v 1 dv V + + =0 2 d t RC dt LC

S2 +

α=

1 1 S+ =0 RC LC 1 2 RC

Ejercicio RLC Ejercicio Para valores del capacitor de: a) 13.33µF, b) 10µF y c) 1µF

I 0 =0 q=2.76 x 10−3 C

q 0=CV 0 → V 0=

q0 C

a)

2.76 x 10−3 C V 0= =207 V −6 13.33 x 10 F

b)

V 0=

c)

2.76 x 10−3 C V 0= =2760 V 1 x 10−6 F

−3

a)

α=

2.76 x 10 C =276 V −6 10 x 10 F

200 =1000 2(0.1) w 0=

1 =866.13 √( 0.1 ) (13.33 x 10−6)

∴ Sobre amortiguado β=√ 10002−866.132 =500

S 1=−1000+500=−500 S 2=−1000−500=−1500

b)

α=

200 =1000 2(0.1) w 0=

1 =1000 −6 ( 0.1 ) (10 x 10 ) √

∴ Críticamente amortiguado

β=√ 10002−10002=0 c ¿ α=

c)

α=

200 =1000 2(0.1)

200 =1000 2(0.1) w 0=

1 =3162.27 √( 0.1 ) (1 x 10−6)

∴ Sub amortiguado β=√ 3162.272−10002 =3000 j

a)

f ( t )= A1 e S t + A 2 e S t → i ( t )= A1 e−500 t + A2 e−1500t

b)

f ( t )=e−αt ( A1 + A 2 t ) →i ( t )=e−1000t ( A1 + A 2 t )

c)

f ( t )=e

1

−αt

2

−1000 t

( A1 Cosβt + A 2 Sinβt ) →i ( t )=e

( A 1 cos 3000t + A 2 sin 3000 t )

Encontrando los valores de A1 y A2 a)

i ( t )= A1 e−500t + A 2 e−1500t

para

t=0 → 0¿ A 1+ A 2

…….Ecuación (1)

di di =S1 A 1 +S 2 A 2 → =−500 A 1−1500 A 2 dt dt VL=L

Pero como

VL=VC −VR

di dt

di V C 0−V R0 → = entonces dt L

di 200−0 = =2000 ∴2000=−500 A1 −1500 A 2 ……Ecuación (2) dt 0.1 Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene que

A 1=2 A2=−2

−500 t −2 e−1500t A Solución: ∴i ( t ) =2 e

b)

i ( t )=e−1000t (A 1+ A 2 t ) para t=0 → 0¿ A 1 ………………Ecuación (1) di di =−a A1 + A2 → =−1000 A1 + A2 dt dt VL=L

VL=VC −VR

Pero como

di dt

di V C 0−V R0 entonces → dt = L

di 276−0 = =2760 ∴2760=−1000 A1 + A 2 ……….…Ecuación (2) dt 0.1 Es fácil notar que los valores son

A 1=0 A 2=2760

−1000 t

Solución: ∴i ( t ) =e

c)

i ( t )=e−1000t (A 1 cos 3000t + A2 sin 3000t ) para

(2760 t) A

t=0 → 0¿ A 1

… Ecu. (1)

di di =−a A1 + β A 2 → =−1000 A 1+ 3000 A 2 dt dt VL=L

Pero como

VL=VC −VR

di dt

di V C 0−V R0 entonces → dt = L

di 2760−0 = =27600∴ 27600=−1000 A1 +3000 A 2 ……Ecuación (2) dt 0.1 Sustituyendo el valor de

A1

se obtiene que

A 1=0 A 2=9.2

−1000 t (9.2 sin 3000 t ) A Solución: ∴i ( t ) =e

Ejercicio 2

I 0 =0 V 0=50 V a=

1 =2994 2 ( 1000 ) ( 0.167 x 10−6 )

w 0=

1

√(1) ( 0.167 x 10

−6

)

=2447

∴ Sobre amortiguado

β=√ 29942−24472=1725.17 S 1=−2994+1725.17=−1268.83 S 2=−2994−1725.17=−4719.17 v ( t )=A 1 e−1268.83 t + A 2 e−4719.17 t

para

t=0 →50 ¿ A1 + A2 ……..Ecu. (1)

dv dv =S 1 A1 + S2 A 2 → =−1268.83 A1−4719.17 A 2 dt dt IC=C

dv dt

IC=−IR−IL

Pero como

entonces

→

dv −IR−IL = dt C

500 + 0) dv 1000 = =−299401.19 ∴−299401.19=−1268.83 A1−4719.17 A 2 …Ecu. (2) dt 0.167 x 10−6 −(

Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene que −1268.83 t

Solución: ∴ v ( t )=−18.42 e Ejercicio 3 Calcule v(t) para t ˃ 0

Reduciendo el circuito se tiene: 1 Req =

1 1 + 60 15+ 25

= 24 Ω

A 1=−18.42 A 2=68.42 −4719.17t

+68.42 e

V

Se obtienen los siguientes valores iníciales V 0=24

( 2436 )=16 V I =0 A 0

Para t ˃0:

a=

w 0=

30 =5 2 ( 3)

1

√

1 (3) 27

=3

( )

∴ Sobre amortiguado β=√ 52−32 =4 S 1=−5+4=−1 S 2=−5−4=−9 v ( t )=A 1 et +A 2 e−9 t

para

t=0 →16 ¿ A1 + A 2 …….Ecuación (1)

dv dv =S 1 A1 + S2 A 2 → =−A 1−9 A 2 dt dt IC=C

dv dt

Entonces

dv IC = dt C

entonces

→

dv 0 = =0 ∴ 0=−A 1−9 A 2 ……Ecuación (2) dt 1/27

Resolviendo el sistema de ecuaciones se tiene que −t

−9 t

Solución: ∴ v ( t )=−18 e −2 e

V

A 1=18 A2=−2

EXPERIMENTO DE FACTOR DE POTENCIA

XL = ω L X 171.42 L= L = ω 377

IC =

120 0 =0.4 ∟90 300−90

IT = 0.3565 7.48 QC = SC = VCIC = 120(0.4) = 48 Vars P2 = 20W Req1 = 5.38 -6.20 Req2 = 1.4142 45 Z eq=

(2−5 j)(1+1 j) 3−4 j

Zeq = 1.5231 30 V = (I1)5.38 -63.2 V = 17.01 -68.17 V IT = Z eq = 11.16 -30 FP = -30… retraso FP = cos 30° = 0.366 P = |V||I|cos Ɵ = 164.4 W

Q = |V||I|sen Ɵ = 94.91W S = |V||I| = 189.83 VA 4.1 CARACTERÍSTICAS DE LA ONDA SENOIDAL (VALOR MEDIO Y EFICAZ) Se denomina corriente alterna (abreviada CA en español y AC en inglés, de Alternate Current) a la corriente eléctrica en la que la magnitud y dirección varían cíclicamente. La forma de onda de la corriente alterna más comúnmente utilizada es la de una onda senoidal (Como se muestra debajo), puesto que se consigue una transmisión más eficiente de la energía. Sin embargo, en ciertas aplicaciones se utilizan otras formas de onda periódicas, tales como la triangular o la cuadrada.

Utilizada genéricamente, la CA se refiere a la forma en la cual la electricidad llega a los hogares y a las empresas. Sin embargo, las señales de audio y de radio transmitidas por los cables eléctricos, son también ejemplos de corriente alterna. Algunos tipos de ondas periódicas tienen el inconveniente de no tener definida su expresión matemática, por lo que no se puede operar analíticamente con ellas. Por el contrario, la onda senoidal no tiene esta indeterminación matemática y presenta las siguientes ventajas: 

La función seno está perfectamente definida mediante su expresión analítica y gráfica. Mediante la teoría de los números complejos se analizan con suma facilidad los circuitos de alterna.



Las ondas periódicas no senoidales se pueden descomponer en suma de una serie de ondas senoidales de diferentes frecuencias que reciben el nombre de armónicos. Esto es una aplicación directa de las series de Fourier.



Se pueden generar con facilidad y en magnitudes de valores elevados para facilitar el transporte de la energía eléctrica.



Su transformación en otras ondas de distinta magnitud se consigue con facilidad mediante la utilización de transformadores.

Dada la relación existente entre el seno y el coseno de un ángulo, las ondas senoidales se expresarán de la forma: a=amsenkt Siendo am el valor máximo de la magnitud a, que corresponde al instante de tiempo en que senkt=1. Suele designarse con el nombre de amplitud. En las 2π ondas senoidales, por lo general, k= ω (Pulsación) = T =2πf. Por lo tanto, su ecuación será: a=amsenωt Valor medio y eficaz: 

Medio: En un período, el valor medio es cero, ya que cada valor de la onda tiene su correspondiente opuesto. Sin embargo, en las funciones senoidales se considera el valor medio en un semiciclo (que corresponde a un semiperiodo). De ésta manera: am Am= T 2

=

2 a =0 .6366 a m π m

Geométricamente, el valor medio equivale a la altura de un rectángulo que tenga la misma base y la misma superficie de la semionda correspondiente. 

Eficaz:

A= 

an

√2

=0.707 a

Factor de forma: Su valor es:

A π = Am 2 √2

= 1.11

4.2 ÁNGULO DE FACTOR DE POTENCIA (f.p.), DESFASAMIENTO DE ONDAS 

Factor de Potencia (f.p.)

Es un porcentaje de energía que se aprovecha en watts. 

Angulo de Factor de Potencia

Es la distancia en grados desde una corriente y un voltaje y su valor es menor o igual a 90° f.p. ≤ 90

El ángulo puede ser en fase, atrasado y retrasado.

Adelantado 1.5 1 0.5 0 -2

-1

-0.5 0 -1 -1.5

1

2

3

4

5

6

Retrasado 1.5 1 0.5 0 -0.5

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

-1 -1.5

Cuando se habla de ángulo de factor de potencia se habla de cómo se encuentra la corriente respecto del voltaje. 4.3 POTENCIA INSTANTÁNEA Y MEDIA Como en el caso de los circuitos DC, la potencia eléctrica instantánea en un circuito AC está dada por P=VI donde V e I son los voltajes y corrientes instantáneos. Puesto que:  

V=Vmsenωt I=Imsen(ωt-ϴ)

Entonces la potencia instantánea en cualquier momento t se puede expresar como: Pinstantánea=VmImsen(ωt)sen(ωt-ϴ) Y usando la identidad trigonométrica: sen(ωt-ϴ)=sen(ωt)cos(ϴ)-cos(ωt)sen(ϴ) La potencia viene a ser: Pinstantánea=VmImcos(ϴ)sen2(ωt)-VmImsen(ϴ)sen(ωt)cos(ωt)

Promediando esta potencia sobre un ciclo completo nos da la potencia media. Potencia Media La potencia de interés en los circuitos de AC, es normalmente la potencia media. Como la expresión para la potencia instantánea: Pinstantánea=VmImcos(ϴ)sen2(ωt)-VmImsen(ϴ)sen(ωt)cos(ωt) Está continuamente variando con el tiempo, el promedio deberá obtenerse por integración. Promediando la función sinusoidal sobre un periodo T, nos dará la potencia media. El promedio del segundo término en la expresión de la potencia de arriba es cero, puesto que es una función impar del tiempo t. El promedio del primer término está dado por: r

Ppromedio=VmImcos(ϴ)

∫ sen2 ωtdt 0

T

=

(V m)( I m ) cos ϴ 2

Puesto que los voltajes y corrientes r.m.s están dados por V=

Vm

√2

e

I=

Im

√2

La potencia media se puede expresar como: Pavg =VIcosϴ

4.4 IMPEDANCIA Y ADMITANCIA COMPLEJAS IMPEDANCIA Repaso de números complejos. Un número complejo S es de la forma x + jy, en donde (x, y) son números reales y j= -1 “x” es la llamada parte Real y “Y” parte Imaginaria. El uso de la palabra Imaginaria es solo un nombre, ya que estos números tienen tanta existencia física como las partes llamadas Reales; por tanto aquellos se tendrán que representar

en un eje llamado Imaginario. El conjunto de los números reales tiene como subconjunto al de los números Reales y al de los Imaginarios. Se tendrán dos ejes perpendiculares entre sí, como se muestra en la figura 1, el eje de las “j” o Imaginario y el eje Real.

Distintas formas de expresar un número complejo. A= x+jy

Forma Binómica

A= r  Forma polar o de Steinmetz A = reje Forma exponencial. A = r (cos + j sen )

Forma trigonométrica.

A =  x2 + y2

Módulo o magnitud de A

x = r cos, y = r sen

Operaciones con números complejos. Conjugado.- El conjugado del número complejo “F” se simboliza con un asterisco “F*”. Si está expresado en forma Binómica, se le cambia el signo a la parte imaginaria; si está expresado en forma Polar se le cambia de signo al argumento, ejemplo:

C= 0 + j5

C*= 0 - j5

C= 5  90°

C*= 5  -90°

D= -1 + j3

D*= -1 - j3

D= 3.16  108.43°

D*= 3.16  -108.43°

E= -2 - j2

E*= -2 + j2

E= 2.82  -135°

E*= 2.82  135°

En el plano complejo, el conjugado de un número complejo es siempre simétrico respecto del eje real. Las cuatro formas de escribir un número complejo A y su conjugado correspondiente son:

A= x + j y

A= r   °

A= r ejA= r (cos + j sen)

A*= x - j y

A*= r  -°

A*= r e-jA*= r (cos - j sen)

Pasos de la forma Polar a la Binómica Ejemplo: Expresar

S= 50  53.1°

Nos damos cuenta que la magnitud o módulo es la hipotenusa de un triángulo rectángulo, por lo tanto es fácil obtener por el teorema de Pitágoras x e y.

Ejemplo:

Expresar

R= 100  -120°

Observamos que x e y se encuentran en el tercer cuadrante, por lo tanto serán negativas, y el ángulo que forma con el eje real es 60°.

Pasos de la forma Binómica a Polar.- Es el caso contrario a la operación anterior, conocemos los catetos opuesto y adyacente de un triángulo rectángulo y obtenemos la hipotenusa o módulo y el argumento o ángulo siempre referido al eje real positivo, teniendo en cuenta que ángulos medidos en el sentido de las manecillas del reloj son negativos; y si son contrarios se tomarán como positivos. Ejemplo: Expresar: D= -1 + j3 = 3.16  108.43° D= -1 + j3 = 3.16  -251.57°

Cualquiera de las dos expresiones está correcta.

Potencias del operador “j”.j =  -1 j2 = -1 j3 = j2. j = -j j4 = j2. j2 = 1 j5 = j4. j = j

Suma y Resta.- La suma o resta de números complejos es algebraica, se hace independientemente, partes reales y partes imaginarias. Lo más cómodo es expresarlas en forma binómica para realizar las operaciones. Ejemplos: C= - 6 - j3; S= 3 + j4 C + S = - 6 - j3 + 3 + j4 = - 3 + j1 = 3.16  161.56° = 3.16  -198.44° C - S = - 6 - j3 - 3 + j4 = - 9 - j7 = 11.4  -142.12° = 11.4  217.88° En caso de sumar dos números complejos expresado en forma polar, habría que expresarlos primero en forma binómica. Multiplicación.- Ejemplos, si están expresados en forma binómica. C.S = (- 6 - j3)( 3 + j4) = - 18 - j24 - j9 + 12 = - 6 - j33 = 33.54  259.6° C.S = (6.7  206.56°)(5  53.1°) = (6.7 x 5)  206.56° + 53.1° = 33.5  259.6° En forma exponencial A = 5 ej / 3

B = 2 e-j / 6

A.B = 10 ej / 6

División de números complejos.M = - 5 - j4 = 6.4  218.65° N = 2 + j3 = 3.6  56.13° M = (-5 - j4) x (2 - j3) = -10+j15 -j8 -12 = -22 + j7 = -1.69 + j0.538 = 1.77  162.34° N (22+j3) (2 - j3) 4+9 13

Se multiplican ambos miembros por el conjugado del denominador. M = 6.4  218.65° = 6.4 218.65° - 56.13° = 1.77  162.3° N 3.6  56.13° 3.6 En forma exponencial A = 4 ej / 3 B = 2 ej / 6 A = 2 ej /6 B

Raíz.- Cualquier número complejo expresado en la forma A = re j equivale a escribir A = re j( + 2n), con n = 0, 1, 2....análogamente, A =r   ° es equivalente a A =r  +n360). Por lo tanto A = rej= re j( + 2n ) A= r  ° = r ( + n360)

k

A = k r e j( + 2n ) / k k

A = k r ( + n360) / k

Dando a K los valores de 0, 1, 2, 3......., (K - 1), se deducen las K raíces distintas que posee un número complejo.

Ejemplos: B = 8 60° B = 38  (60 + n360) / 3 = 2  (20 + n120)

3

n= 0, 1, 2

Se obtienen 3 raíces:  2  20°  2  140°  2  260°

Logaritmo.- El logaritmo neperiano o natural de un número complejo se halla muy fácilmente si está escrito en forma exponencial.

ln A = ln r e j( + 2n ) = ln r + ln e j( + 2n ) = ln r + j( + 2n) El resultado que se obtiene no es único. Se llama valor principal del logaritmo al que corresponde a n = 0, y es el que se considera con más frecuencia.

Ejemplo: C = 3 ej / 6

ln C = ln 3 + j/6 = 1.099 + j0.523

Impedancia compleja.- Las tensiones que se suministran los generadores son, muy aproximadamente, funciones senoidales del tiempo. El análisis de circuitos en estado estable senoidal es muy importante, en los problemas de la unidad I se estudiaron circuitos sencillos en los que las tensiones y corrientes eran funciones senoidales del tiempo. A pesar de tratarse de circuitos relativamente simples su análisis en ocasiones es pesado. Mediante el empleo de notación fasorial en la representación de tensiones e intensidades de corriente y el concepto de “Impedancia Compleja” de los elementos del circuito, el estudio del estado estable senoidal se facilita bastante. Consideremos el circuito serie RL de la figura mostrada con la tensión V(t) mostrada. Aplicando la Ley de Kirchhoff de los voltajes a la malla, tenemos.

Vme jwt = Ri (t) + L

di( t) dt

Solución particular es de la forma i(t) = Ke jwt En t = 0

Vm Rkejwt+ jwLKe jwt = Vme jwtK = R+ jwL

R+¿ I(t) = K = Vm e jwt = ¿

V (t) R+ jwL

V (t) R+ jXL De donde Z = i (t) = R + jwL = ohms De acuerdo a la definición mencionada en la unidad I, la impedancia es la relación de un voltaje a una corriente. Observamos que la impedancia es un número complejo. El mismo análisis se puede realizar para un circuito RC.

Vmejwt = Ri(t) +

1 C  i(t) dt

Vmejwt = RKe jwt

vm 1 1 jwt wc Ke K = R+ wc

Vm I(t) = R− j( 1 ) e jwt de donde Z = wc

i(t) = Ke jwt vm =

V ( t) i(t)

R− j(

1 ) wc

1 = R - j wc = R - jXcohms.

Todo lo anterior indica que los elementos de un circuito se pueden expresar mediante su impedancia compleja Z, la cual se puede situar directamente sobre el diagrama del circuito.

Z = Real  j imaginaria Z = R  j x ohms. El recíproco de la impedancia se llama admitancia y también es un número complejo, se representa con la letra “Y”. 1 Y = Z Ohms

Y = Real  j imaginaria

Y = G jB

Como la impedancia es un número complejo se podrá representar por un punto en el plano complejo. Como la resistencia óhmica no puede ser negativa, solo se utilizan el primero y cuarto cuadrante. La representación gráfica se llama “DIAGRAMA DE IMPEDANCIAS”.

Ejemplo: Representación de las impedancias.

La combinación vectorial de R, XL, Xc, dan como resultado la impedancia total. El ángulo de la impedancia es el ángulo de factor de potencia; dependiendo si el signo del ángulo es positivo o negativo, podemos decir que es inductivo o capacitivo (Bobina o capacitor).

4.5 FASORES Y DIAGRAMAS FASORIALES Fasor: Se puede definir a un segmento giratorio a una velocidad angular constante y en sentido contrario de las manecillas del reloj, cuyo centro de giro es el origen del plano complejo; por lo tanto a los números complejos le podemos aplicar esta definición.

Ejemplo: f(t) = rejωt

es un número complejo que depende del tiempo

Para t = 0, /4ω, /2ω, tenemos;

Diagramas fasoriales

Los diagramas fasoriales son usados para representar en el plano complejo las relaciones existentes entre voltajes y corrientes fasoriales de un determinado circuito. Para representar cualquier voltaje o corriente en el plano complejo es necesario conocer tanto su magnitud como su ángulo de fase y de esta manera poder realizar operaciones entre ellos (suma, resta). Otro uso de los diagramas fasoriales es la representación en el dominio del tiempo y la frecuencia, es decir que sobre un plano se pueden representar las magnitudes (corriente, voltaje, etc.) en el dominio de la frecuencia y del tiempo también y realizar la transformación necesaria. Para transformar una magnitud del dominio de la frecuencia con cierta magnitud y un ángulo de fase, al dominio del tiempo solo es necesario girar el fasor en sentido contrario a las manecillas del reloj a una velocidad angular que está dada en rad/s y tomar su proyección sobre el eje real.

Con los diagramas fasorial, es posible observar el comportamiento de los voltajes y corrientes de un circuito en estado senoidal permanente tanto en el dominio de la frecuencia como en el dominio del tiempo.

4.6 ANÁLISIS DE LAZOS Y MALLAS

Una malla puede ser definida como los espacios abiertos de una red planar, donde una red planar es aquella que puede ser dibujada sobre una superficie plana sin cruzamiento de líneas o elementos. El lazo no es siempre el equivalente de una malla por su definición, puesto que un lazo es cualquier trayectoria de una red.

Ea-I1Za-(I1-I2)Zb = 0

Ec+I2Zc+(I2-I1)Zb = 0

Ea = I1Za+(I1-I2)Zb

-Ec = I2Zc+(I2-I1)Zb

Ea = (Za+Zb)I1-ZbI2 . . . . . 1

-Ec = I2Zc+(ZbI2)-I1Zb -Ec = ZbI1+(Zc+Zb)I2 . . . . . 2

Las ecuaciones obtenidas las representamos en forma matricial. ¿ Z a + Z b−( Z b ) ¿ −(Z b )

[]

[]

Ea [ (Z +Z ) ] I1 =¿ a b ¿ Ec I2

Sabemos que una matriz es un arreglo de renglones y columnas, aprovechando esta notación de los subíndices, las ecuaciones anteriores se pueden formar por inspección del circuito, siempre y cuando no existan fuentes dependientes. (Ya que de existir, habría que hacer otro paso).

[ ][

][ ]

E1 Z Z 12 I 1 = 11 E2 Z 21 Z 22 I 2

El elemento E1 debe contener el arreglo de fuentes de voltaje de la trayectoria de la corriente I1, teniendo en consideración que si la corriente entra por el potencial mayor se toma como negativa; pero si entra por el potencial menor o sea sale del mayor, se toma como positiva ( la fuente).

E2 será lo mismo que para E1, solo que el arreglo contiene las fuentes de voltaje de la trayectoria de la corriente I2. La matriz de impedancias se puede formar de una manera muy fácil, Z11 contiene la suma de las impedancias de la trayectoria de la corriente I1; Z22 contiene la suma de las impedancias de la trayectoria de la corriente I2; Z12 contiene las impedancias comunes que recorren las corrientes I1 e I2; Z21 es lo mismo que Z12; para la determinación del signo de estos elementos llamados términos comunes, se determina de la siguiente manera, si la corriente circula en las impedancias en el mismo sentido, el término común será positivo, en caso de que circulen en sentido contrario, el término común será negativo. La matriz de corriente deberá contener las corrientes que deseamos encontrar, en este caso I1, I2. Este método por inspección se puede emplear para cualquier número de incógnitas, teniendo la precaución que se menciona arriba, de que no deben existir fuentes dependientes para su aplicación. Para ilustrar lo escrito, se mostrarán ejemplos:

[

][

][ ]

Ea (Z + Z ) −(Z a) I 1 = a b E c −Ea −(Z a ) (Z a+ Z c ) I 2

Ea = (Za+Zb)I1+ZaI2

..... 1

Ec-Ea = -ZaI1+(Za+Zc)I2

[

..... 2

][

][ ]

I1 ( 7+ j 3) −(2− j2) (5) 10 ∟ 0° 10 ∟ 90° +5 ∟30 °−10 ∟ 0° = −(2− j 2) (22− j 2) (10) I2 10 ∟ 90° (5) (10) (17− j 2) I 3

10  0° = (7-j3)I1-(2-j2)I2+5I3

..... 1

10  90° +5  30° - 10  0° = -(2-j2)I1+(22+j2)I2+10I3 10  90° = 5I1+10I2+(17-j2)I3

..... 2

..... 3

En todos los ejemplos solo faltaría resolver las ecuaciones simultáneas para obtener las corrientes.

Resolveremos el Problema N°.1

Z1 = 10  30° = 8.66 + j5 

Z2 = 8  45° = 5.6 + j5.6  Z3 = 9.41  40.6° = 7 + j6  IZ1, IZ2, IZ3 = ? IZ1 = I1, IZ2 = I1-I2 , IZ3 = I2

127  30° = (10  30° + 8  45°)I1 - 8  45°I2 0 = - 8 45°I1 + (8  45° + 9.41  40.6°)I2

127  30° = 17.77  36.62°I1 - 8  45° I2 0 = - 8  45° I1 + 17.13  42.63° I2

[

..... 1 ..... 2

..... 1

..... 2

][ ]

][

−(8 ∟45 ° ) I1 127 ∟ 30° = (10∟ 30° +8 ∟ 45 °) 0 −(8 ∟45 ° ) (8 ∟ 45 °+ 9.46 ∟40.6 ° ) I 2

z = 304.4  79.45°-64 90° = 55.73+j299.25-j64 = 55.73 + j235.25 z = 241.76 76.67°  I1

[

127 ∟ 30° −(8 ∟ 45° ) 0 17.13∟ 42.62

 ¿ I2 17.17 ∟36.62° 127 ∟30 °−( 8∟ 45 °) ¿ [ 0¿ ]

I 1 = I1 = 8.99  -4.04° = IZ1 Amp. I2

=

I2

= 4.2 -1.67° = IZ3 Amp.

]

=

2175.51∟

72.63° = 1016

∟ 45°

z= IZ2 = 8.96-j0.633-4.19+j0.122 = 4.77 - j0.511 = 4.79  -6.1° Amp.

Podemos observar anteriormente.

que

los valores son

aproximados

a

los obtenidos

4.7 ANÁLISIS DE NODOS RESPECTO A UNO DE REFERENCIA

En análisis de circuitos eléctricos, el análisis de nodos, o método de tensiones nodales es un método para determinar la tensión (diferencia de potencial) de uno o más nodos. Cuando se analiza un circuito por las leyes de Kirchhoff, se podrían usar análisis de nodos (tensiones nodales) por la ley de corrientes de Kirchhoff (LCK) o análisis de malla (corrientes de malla) usando la ley de tensiones de Kirchhoff (LVK). En el análisis de nodos se escribe una ecuación para cada nodo, con condición que la suma de esas corrientes sea igual a cero en cualquier instante, por lo que una carga nunca puede acumularse en un nodo. Estas corrientes se escriben en términos de las tensiones de cada nodo del circuito. Así, en cada relación se debe dar la corriente en función de la tensión que es nuestra incógnita, por la conductancia. Por ejemplo, para un resistor, I rama = Vrama * G, donde G es la Conductancia del resistor. El análisis de nodos es posible cuando todos los nodos tienen conductancia. Este método produce un sistema de ecuaciones, que puede resolverse a mano si es pequeño, o también puede resolverse rápidamente usando álgebra lineal en un computador. Por el hecho de que forme ecuaciones muy sencillas, este método es una base para muchos programas de simulación de circuitos (Por ejemplo, SPICE). Cuando los elementos del circuito no tienen conductancia, se puede usar una extensión más general del análisis de nodos, El análisis de nodos modificado. Los ejemplos simples de análisis de nodos se enfocan en elementos lineales. Las redes no lineales (que son más complejas) también se pueden resolver por el análisis de nodos al usar el método de Newton para convertir el problema no lineal en una secuencia de problemas lineales.

Procedimiento 1. Localice los segmentos de cable conectados al circuito. Estos serán los nodos que se usarán para el método. 2. Seleccione un nodo de referencia (polo a tierra). Se puede elegir cualquier nodo ya que esto no afecta para nada los cálculos; pero elegir el nodo con más conexiones podría simplificar el análisis. 3. Identifique los nodos que están conectados a fuentes de voltaje que tengan una terminal en el nodo de referencia. En estos nodos la fuente define la tensión del nodo. Si la fuente es independiente, la tensión del nodo es conocida. En estos nodos no se aplica la LCK. 4. Asigne una variable para los nodos que tengan tensiones desconocidas. Si la tensión del nodo ya se conoce, no es necesario asignarle una variable. (Véase Figura 2) 5. Para cada uno de los nodos, se plantean las ecuaciones de acuerdo con las Leyes de Kirchhoff. Básicamente, sume todas las corrientes que pasan por el nodo y las igualé a 0. Si el número de nodos es, el número de ecuaciones será por lo menos porque siempre se escoge un nodo de referencia el cual no se le elabora ecuación. 6. Si hay fuentes de tensión entre dos tensiones desconocidas, una esos dos nodos como un supernodo, haciendo el sumatorio de todas las corrientes que entran y salen en ese supernodo. Las tensiones de los dos nodos simples en el supernodo están relacionadas por la fuente de tensión intercalada. 7. Resuelva el sistema de ecuaciones simultáneas para cada tensión desconocida.

Ejemplo: Caso básico La única tensión desconocida en este circuito es V 1. Hay tres conexiones en este nodo y por esta razón, 3 corrientes a considerar. Ahora se analiza todas las corrientes que pasan por el nodo, así:

Con ley de corrientes de Kirchhoff (LCK), tenemos:

Se resuelve con respecto a V1:

Finalmente, la tensión desconocida se resuelve sustituyendo valores numéricos para cada variable. Después de haber obtenido estas ecuaciones y conocer cada tensión, es fácil calcular cualquier corriente desconocida.

Ejemplo: Del circuito de la figura debemos hallarlos voltajes en sus diferentes nodos

Solución: 1. Se localizan todos los nodos del circuito. 2. Se busca el nodo con más conexiones y se le llama nodo de referencia V d. 3. No hay fuentes de tensión. 4. Se le asignan variables a los nodos Va, Vb y Vc 5. Se plantean las ecuaciones según las leyes de Kirchhoff, así: 

Para calcular el voltaje en el nodo Va, decimos que la resistencia 2Ω de tiene la polaridad de la Figura 4.1, así

Simplificando:

Figura 4.1

Para calcular el voltaje en el segundo nodo (Vb) las resistencias que van a dicho nodo tendrán la polaridad de la Figura 6:

Factorizando obtenemos:

Para la polaridad del nodo Vc asumimos así:

Factorizando obtenemos:

Sistema de ecuaciones: Obtenemos un sistema de ecuaciones del cual podemos determinar los valores de los voltajes en los nodos.

Solucionando el sistema lineal, nos da como resultado los voltajes: V a = 42.5 V, Vb=22.5 V y Vc = 12.5 V.

Supernodos

En este circuito, inicialmente tenemos dos tensiones desconocidas, V 1 y V2. La tensión en la terminal positiva de V B ya se conoce porque la otra terminal se encuentra en el nodo de referencia. La corriente que pasa por la fuente de voltaje VA no puede ser calculada directamente. Además no podemos escribir las ecuaciones de corriente para V 1 y 2. Incluso si los nodos no pueden resolverse individualmente, sabemos que la combinación de estos nodos es cero. Esta combinación de los dos nodos es llamada el método de supernodo, y requiere una ecuación adicional, que involucre las tensiones que afectan a la fuente, V 1 = V2 + VA. El sistema de ecuaciones para este circuito es:

Al sustituir V1 en la primera ecuación y resolviendo con respecto a V 2, tenemos:

Ejemplo de resolución por supernodos

Para calcular la tensión entre las terminales de la fuente de tensión, sumamos las tensiones de las resistencias que están unidas a estos nodos, y además consideramos los dos nodos de la fuente de tensión como uno solo, así: 

Tensión en la resistencia de 4Ω:

Factorizando:

Observamos el supernodo en los nodos y , tomamos estos dos nodos como uno solo, por lo tanto sumamos las corrientes de las resistencias que hay conectadas a

y

:

Factorizando:

Finalmente, planteamos una ecuación para la fuente de voltaje la cual es la caída de voltaje en los nodos así:

Observación: Debemos tener en cuenta la polaridad de la fuente para plantear esta última ecuación, y así obtener el sistema de ecuaciones para determinar los valores de los voltajes.

Sistema de ecuaciones

Resolviendo Va= 62,5 V, Vb= 22,5 V y Vc= 12,5

Repaso de análisis de nodos.- Nos piden obtener las ecuaciones para obtener los voltajes V1 y V2, respecto al nodo de referencia.

En este método también existe un método por inspección para obtener directamente las ecuaciones, siempre y cuando no existan fuentes independientes. Lo recomendable para el uso de este método; primero transformar las fuentes de voltaje en fuentes de corriente y las impedancias en admitancias. Debemos formar una matriz de esta forma dependiendo del número de incógnitas. En este caso, una matriz de 2x2.

Y 11 ¿ −( Y 12 ) ¿ ¿ V ¿ 1 V2

[ ] [ ]

Is1 =¿ Is2

IS1 e IS2, contienen las fuentes de corriente que pertenecen a cada nodo en particular, tomando como positivas las que entran al nodo, y como negativas las que salen del mismo. Y11 y Y22, contienen la suma de las admitancias que pertenecen a cada nodo en particular. Y12 y Y21, contienen a las admitancias comunes entre el nodo (1) y el nodo (2), los elementos fuera de la diagonal principal se le llama elementos comunes y después de que se obtienen del circuito, se le afecta por un signo negativo. La matriz de voltajes deberá contener los voltajes que deseamos encontrar, en este caso V1 y V2. Este método por inspección se puede emplear para cualquier número de incógnitas teniendo la precaución que se que se mencionó, de que no deben existir fuentes dependientes para su aplicación. Para ilustrar lo escrito, se mostrará este ejemplo y otros.

(I sa+ I sc ) ¿ (Y +Y +Y ) −( Y c ) V1 I = a b c (¿ ¿ sf + I sc ) −( Y c ) ( Y c +Y d +Y f ) V 2 ¿

[

][ ]

Isa + Isc = (Ya+Yb+Yc)V1 - YcV2

..... 1

Isf - Isc = -YcV1 + (Yc+YD+Yf)V2 . . . . . 2

Ejemplo:

-Isa = (Ya+Yd+Yg)V1 - YaV2 - YgV3

..... 1

Isa + Isc = -YaV1 + (Ya+Yb+Yc)V2 - YcV3 -Isc = -YgV1 - YcV2 + (Yc+Yf+Yg)V3

[ ][

..... 3

][ ]

(Y a +Y d +Y g ) −( Y a ) −(Y g ) I sa V1 −( Y a ) (Y a+ Y b +Y c ) −( Y c ) I sa + I sc = V2 −I sc −(Y g ) −( Y c ) (Y c +Y f + Y g ) V 3

Ejemplo:

..... 2

4.8 TEOREMA DE SUPERPOSICIÓN El teorema de superposición establece que la respuesta en cualquier elemento un circuito lineal bilateral que contenga dos o más fuentes es la suma de las respuestas obtenidas para cada una de las fuentes, actuando separadamente y con todas las demás fuentes iguales a cero. El principio de superposición se aplica para determinar las corrientes y las tensiones en los nodos que están relacionados linealmente con las fuentes que actúan en el circuito. La potencia no se puede hallar por superposición, ya que la relación entre la potencia y la corriente o la tensión es cuadrática. El teorema de superposición sólo se puede utilizar en el caso de circuitos eléctricos lineales, es decir circuitos formados únicamente por componentes lineales (en los cuales la amplitud de la corriente que los atraviesa es proporcional a la amplitud de voltaje a sus extremidades). El teorema de superposición ayuda a encontrar: Valores de voltaje, en una posición de un circuito, que tiene más de una fuente de voltaje. Valores de corriente, en un circuito con más de una fuente de voltaje Este teorema establece que el efecto que dos o más fuentes tienen sobre una resistencia es igual, a la suma de cada uno de los efectos de cada fuente tomados por separado, sustituyendo todas las fuentes de voltaje restantes por un corto circuito, y todas las fuentes de corriente restantes por un circuito abierto. Ejemplo: Usando el teorema de superposición, obtener la corriente por la impedancia 3+j4.

Primero, V2 = 0 Zt’ = 5 + (3+j4)5 = 5.83+j2.5 = 6.35  23.2°

It’ = 100  90°_ = 15.74  66.8° Amps.

Por división de corriente. It’= _(j5)_ (15.74  66.8°) = 8.3  85.3° Amps. Segundo, V1 = 0 Zt’’ = j5 + (3+j4)5 = 2.5+j6.25 = 6.74  68.2° Ohms. It’’ = 100 0° = 14.84  -68.2° Amps. 6.74  68.2° I” = -

5

(14.84  -68.2°) = 8.3 85.3°

8+j4 I = I’ + I” = 8.3  85.3° + 8.3  85.3° = 16.6  85.3° Amps.

Ejemplo: Usando el teorema de superposición, obtener la tensión VAB.

Primero, I2 = 0 . V’AB = 5(12) (1) = 3.529 Volts Segundo, I1 = 0. I5 = _2_ (2) = 0.235 Amps. V”AB = (5) 4_ = 1.176 Volts. VAB = V’AB+V”AB = 3.529+1.176 = 4.705 Volts.

EXPERIMENTO DE TEOREMA DE SUPERPOSICIÓN

Vtn=Vab’ + Vab” + Vab”’

V2=0 IS=0

( 2.63 71.56 ) (100 90) =41.46138.4 ° V Vab= ( 2.63 71.56 ) +5 V1=0

Is=0

Vab”=

( 2.79 26.56 ) (100 0) =−41.47−41.66 V ( 2.79 26.56 ) +( j 5)

V1=0; V2=0

Vab”’=0

Vtn=Vab’ + Vab” + Vab”’ Vtn=41.46

138.4 – 41.47 - 41.66 + 0

≈ 83.05 138.33V .

4.9 TEOREMA DE THÉVENIN El Teorema de Thévenin establece que en un circuito de AC (corriente alterna) con dos terminales se puede sustituir por otro sencillo que consta de un generador de corriente alterna V y una impedancia en serie Z . Su utilidad consiste en que TH

TH

cuando se hacen cálculos repetitivos se ahorra mucho tiempo y la ventaja es tanto mayor cuanto más complicado es el sistema eléctrico. Se puede sustituir cualquier combinación de fuentes sinusoidales de AC (corriente alterna) e impedancias entre dos puntos (terminales), por una simple fuente de voltaje e y una simple impedancia en serie Z . El valor de e es el voltaje entre los dos puntos en circuito abierto, y el valor de

Z

e

es

dividido por la

corriente que circula con los dos puntos en cortocircuito. En este ejemplo, esa evaluación de la impedancia está formada por una combinación serie-paralelo.

El voltaje de Thévenin “ e ” es el voltaje de

VAB

circuito abierto en los terminales A y B La impedancia Thévenin

Z

es la impedancia

vista en AB con todas las fuentes de tensión reemplazados por cortocircuitos y todas las fuentes actuales sustituidos por circuitos abiertos

Circuito equivalente de Thévenin

4.10 TEOREMA DE NORTON El Teorema de Norton aplica a los circuitos de AC (corriente alterna)de la misma manera que los circuitos de CD. En el circuito equivalente de Norton se puede ver como el circuito lineal se reemplaza por una fuente de corriente en paralelo con una impedancia. Es importante mostrar que esto se relaciona de la siguiente forma: ZTH = ZNT

Equivalente de Norton

Justo como en la transformación de la fuente la V TH es la tensión de circuito abierto, mientras que INT es la corriente de cortocircuito. Si el circuito tiene fuentes que operan a diferentes frecuencias el circuito equivalente de Norton debe determinarse para cada frecuencia. Esto conduce a circuitos equivalentes totalmente distintos, uno por cada frecuencia, no a un solo circuito equivalentes con fuentes equivalente e impedancias equivalentes

Corriente Norton INT

Circuito Circuito

4.11 TEOREMA DE MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA El teorema de máxima transferencia de potencia establece que, dada una fuente, con una resistencia de fuente fijada de antemano, la resistencia de carga que maximiza la transferencia de potencia es aquella con un valor óhmico igual a la resistencia de fuente. También este ayuda a encontrar el teorema de Thévenin y Norton. El teorema establece cómo escoger (para maximizar la transferencia de potencia) la resistencia de carga, una vez que la resistencia de fuente ha sido fijada, no lo contrario. No dice cómo escoger la resistencia de fuente, una vez que la resistencia de carga ha sido fijada. Dada una cierta resistencia de carga, la resistencia de fuente que maximiza la transferencia de potencia es siempre cero, independientemente del valor de la resistencia de carga. Cualquier circuito o fuente de alimentación posee una resistencia interna. Si consideramos que el valor de tensión y el valor de la resistencia interna permanecen constantes, podemos calcular cuando la potencia entregada a la carga es máxima. Esto ocurre cuando la resistencia de carga es igual a la resistencia interna de la fuente.

Ri = RL  

Ri = Resistencia interna RL = Resistencia de carga

Si la resistencia de carga es más baja que la interna, aumenta la corriente por el circuito pero la resistencia interna en serie disipa más potencia (al estar en la misma rama la corriente que pasa por ambas es la misma por lo tanto la resistencia de mayor valor disipa mayor potencia). Si la resistencia de carga es

más alta, disipa mayor potencia que la resistencia interna, pero disminuye la corriente total de tal forma de ser menos a la que circula cuando ambas resistencias son del mismo valor y por lo tanto la potencia entregada a la carga es menor

4.12 DEFINICIÓN DE POTENCIA ACTIVA, REACTIVA Y APARENTE, POTENCIA COMPLEJA, CORRECCIÓN DEL FACTOR DE F. P. Potencia en Corriente Alterna En corriente alterna existen desfasajes entre la tensión y la corriente debido a las capacidades e inductancias del circuito que crean campos eléctricos y magnéticos. La energía que almacenan estos campos temporalmente se devuelve al circuito (por ejemplo cuando el capacitor se descarga o el campo magnético del inductor se auto induce). Esto hace que la potencia total suministrada por la fuente no siempre sea la consumida por el circuito. Una parte de la potencia se utiliza para crear esos campos, pero no se consume. Sin embargo la fuente debe proveerla para el funcionamiento del circuito

Encontramos en este tipo de circuito tres valores distintos de potencia.

Potencia Activa Es la potencia consumida en el circuito (por ejemplo convertida en calor, energía mecánica, etc). El la potencia que se utiliza. PA= Ief2 R

Potencia Reactiva Es la potencia necesaria para crear los campos eléctricos y magnéticos. Es una potencia devuelta al circuito, pero que está presente. PR= Ief2 (XL-XC)

Potencia Aparente Es la suma (en forma vectorial) de las potencias activa y reactiva. Su valor depende del ángulo de desfasaje. P= Ief2 Z

P = Potencia aparente PA = Potencia activa PR = Potencia Reactiva

Corrección del Factor f.p. Se define factor de potencia, f.p., de un circuito de corriente alterna, como la relación entre la potencia activa, P, y la potencia aparente, S. Da una medida de la capacidad de una carga de absorber potencia activa. Por esta razón, f.p. = 1 en cargas puramente resistivas y en elementos inductivos y capacitivos ideales sin resistencia f.p. = 0. De otra forma, el factor de potencia de un circuito indica qué relación hay entre la potencia aparente y la potencia activa, es decir, qué parte de potencia aparente es potencia activa. Esto es:

FP=

P S

En el triángulo de potencias descrito anteriormente se puede apreciar que el factor de potencia es el cateto contiguo dividido por la hipotenusa. Esto corresponde con el coseno del ángulo: FP=cosφ

Influencias del tipo de cargas El valor del f.p. viene determinado por el tipo de cargas conectadas en una instalación. De acuerdo con su definición, el factor de potencia es adimensional y φ solamente puede tomar valores entre 0 y 1 ( cos ⁡¿ )). En un circuito resistivo puro recorrido por una corriente alterna, la intensidad y la tensión están en fase (φ = 0), esto es, cambian de polaridad en el mismo instante en cada ciclo, siendo por lo tanto el factor de potencia es 1. Por otro lado, en un circuito reactivo puro, la intensidad y la tensión están en cuadratura (φ=90º) siendo el valor del f.p. igual a cero, y si es un circuito inductivo φ < 0. En realidad los circuitos no pueden ser puramente resistivos ni reactivos, observándose desfases, más o menos significativos, entre las formas de onda de la corriente y la tensión. Así, cuando el f.p. está cercano a la unidad, se dirá que es un circuito fuertemente resistivo por lo que su f.p. es alto, mientras cuando está cercano a cero se dirá fuertemente reactivo y su f.p. es bajo. Cuando el circuito sea de carácter inductivo, caso más común, se hablará de un f.p. en atraso, mientras que se dice en adelanto cuando lo es de carácter capacitivo. Las cargas inductivas, tales como; transformadores, motores de inducción y, en general, cualquier tipo de inductancia (tal como las que acompañan a las lámparas fluorescentes) generan potencia inductiva con la intensidad retrasada respecto a la tensión. Las cargas capacitivas, tales como bancos de condensadores o cables enterrados, generan potencia capacitiva con la intensidad adelantada respecto a la tensión.

5.1 SISTEMAS BALANCEADOS Y SUS CARACTERÍSTICAS: EN ESTRELLA Y DELTA

5.2 OBTENCIÓN DE CORRIENTE DE LÍNEA Y FASE DE REDES BALANCEADAS

5.3 SISTEMAS DESBALANCEADOS ESTRELLA Y DELTA

Y

SUS

CARACTERÍSTICAS:

EN

El desbalance trifásico es el fenómeno que ocurre en sistemas trifásicos donde las tensiones y/o ángulos entre fases consecutivas no son iguales. El balance perfecto de tensiones es técnicamente inalcanzable. El continuo cambio de cargas presentes en la red, causan una magnitud de desbalance en permanente variación. La mera conexión de cargas residenciales, de naturaleza monofásica, provocan un estado de carga en el sistema trifásico que no es equilibrado entre fases, de allí las caídas de tensión del sistema tampoco serán equilibradas dando por resultado niveles de tensión desiguales. A modo de recordar, un sistema de generación simétrico, es aquel donde las tres tensiones tienen igual magnitud de tensión y sus fasores están a 120º entre sí. Una carga trifásica simétrica, es aquella que genera tres corrientes de magnitudes y fases iguales respecto a la tensión. El método de las componentes simétricas resulta casi indispensable para el análisis de condiciones de desequilibrio en las cuales jueguen un papel importante las impedancias de máquinas rotativas. La mayoría de los problemas en los que los principales factores reguladores son las impedancias de los bancos de transformadores pueden, en cambio, resolverse satisfactoriamente combinando la teoría del transformador único con las relaciones entre tensiones e intensidades en circuitos trifásicos. A continuación y como repaso, se resume la teoría simplificada del transformador y las ecuaciones de los circuitos trifásicos.

5.4 OBTENCIÓN DE DESBALANCEADAS

CORRIENTES

EN

LÍNEA Y FASE

DE

REDES

Ecuaciones de las corrientes de línea en estrella: Para circuitos conectados en estrella con hilos neutros, la ecuación de las corrientes de primario es:

IA + IB + IC = IN

(12)

Donde IA, IB, IC son los vectores representativos de las corrientes de línea que penetran en los primarios e IN es el vector que representa a la corriente que circula por el neutro regresando al generador. Para las corrientes de los secundarios Ia + Ib + Ic = In,

(13)

Donde Ia, Ib, Ic son los vectores representativos de las corrientes que circulan hacia la carga por las líneas de los secundarios, e I n es el vector representativo de la corriente que regresa por el neutro procedente de la carga. Para circuitos conectados en triángulo o para circuitos conectados en estrella sin hilos neutros, IA + IB + IC = 0 (14) Ia + Ib + Ic = 0 (15)

Relaciones entre las corrientes en la línea y en el triángulo: Las relaciones vectoriales entre las corrientes en la línea y en las fases del triángulo son: IA = IAB – ICA (16) IB = IBC – IAB (17) IC = ICA –IBC (18) Ia = Iba – Iac (19) Ib = Icb – Iba (20) Ic = Iac – Icb (21) Obsérvese que de las cuatro relaciones dadas por las ecuaciones (14), (16), (17), y (18) (o por las 15, 19, 20, y 21) sólo tres son independientes, ya que cualquiera de ellas puede deducirse de las otras tres. Ejemplos de circuitos desbalanceados: DELTA DESBALANCEADA.

Datos: VL = 220 volts. Son trifásicos balanceados. SEC. acb, f = 60 cps. Se pide: Ia, Ib, Ic y PT =?

Según el D.F. Vac = 220  0° Vcb = 220  -120° Vba = 220  120° Se obtienen las corrientes de fase. Iac = 220  0° = 14.66  -50° = 9.42-j11.23

15  50° Icb = 220  -120° = 11  -165° = -10.62-j2.84 20  45° Iba = 220  120° = 22  90° = 0 +j22 10  30° Ia = ( Iac - Iba )

Ib = ( Iba - Icb )

Ic = ( Icb - Iac )

Ia = 9.42-j11.23-j22 = 34.54  -74.17 Amps. Ib = j22+10.62+j2.84 = 27.02  66.85° Amps. Ic = -10.62-j2.84-9.42+j11.23 = 21.73  157.3 Amps.

Pac = (220)(14.66) cos 50° = 2073.11 watts. Pab = (220)(11) cos 45° = 1711.19° watts. Pba = (220)(22) cos 30° = 4191.56 watts.

PT = Pac + Pab + Pba = 7975.86 watts.

 Nota: Aunque los voltajes son trifásicos balanceados, la carga es desbalanceada, por tanto el sistema es desbalanceado, como puede notarse en los resultados.

Observaciones: Se ve claro en el problema anterior que en los sistemas desbalanceados ya no funcionan las fórmulas que tienen el factor

√ 3 , y la

potencia total se obtiene sumando la potencia de cada fase ya que no podemos multiplicar por tres como se hacía en los sistemas balanceados.

ESTRELLA DESBALANCEADA.

Datos: VL = 480 volts son trifásicos balanceados. Sec. abc. Se pide: Ia, Ib, Ic, Pt, Va, Vb, Vc.

Utilizaremos el D.F.

La solución de este problema se puede hacer utilizando el método de corrientes de malla, o convirtiendo la estrella a su equivalente en delta y obtener así las corrientes de línea como se trabajó en el problema anterior. Se usará el método de mallas.- De la fig. Tenemos que:

Ia = I1; Ib = I2 ; Ic = -( I1 +I2 )

Según el D.F.: Vbc = 480  0°; Vab = 480  120°; Vca = 480  -120°

Aplicando inspección para obtener las ecuaciones, tenemos:

¿ 10 0 °+5 30 ° (5 30 °) ¿ (5 30 °)

[

]

[ ]

−(480−120° ) [ I1 = ¿(5 30 ° +5−30° ) ¿ ] (480 0 °) I2

z = 50  30° + 50  -30° + 25  60° + 25  0° - 25  60° = 43.3+j25+43.3-j25+25 z = 111.6  0°

1 = -2400  -90° - 2400  -150° - 2400  30° = j2400 + 2078.46 + j1200 - 2078.46 - j1200 1 = 2400  90°

2 = 4800  0° + 2400  30° + 2400  -90°

4800 + 2078.46 + j1200 - j2400 6878.46 - j1200 2 = 6982.35  -9.896 I1 = 1/z = 21.5  90°

I2 = 2/z = 62.565  -9.896°

Ia = 21.5  90° Amps.

Ib = 62.565  -9.896° Amps.

Ic = - (j21.5+61.63-j10.75) = -61.63-j10.75 = 62.56-170.11 Ic = 62.56  -170.11° Amps.

Va = (21.5  90°)(10  0°) = 215  90° Volts. Vb = (62.565  -9.896)(5  -30°) = 312.825  -39.896 Volts. Vc = (62.565  -170.11°)(5  30°) = 312.8  -140° Volts.

Pa = (215)(21.5) cos 0° = 4622.5 watts. Pb = (312.825)(62.565) cos 30° = 16949.75 watts. Pc = (312.825)(62.565) cos 30° = 16949.75 watts. Pt = Pa + Pb + Pc = 38519.3 watts.

Si conectamos una delta al mismo sistema de voltaje que alimenta a la estrella anterior y nos pidieran obtener las corrientes totales de alimentación y la potencia total del sistema tendríamos lo siguiente:

Iab = 480°  120° = 48  90° = j48

10  30°

Ibc = 480  0° = 24  -45° = 16.97 - j16.97

20  45° Ica = 480  -120° = 32  -170° = -31.51 - j5.55

15  50° Ia2 = j48+31.51+j5.55 = 31.51+j53.55 = 62.21  59.57° Ib2 = 16.97-j16.97-j48 = 16.97-j64.97 = 67.14  -75.36° Ic2 = -31.51-j5.55-16.97+j16.97 = -48.48 + j11.48 = 49.82  166.67°

Ia1 = 21.5  90°  j21.5 Ib1 = 62.565  -9.896  61.63-j10.75 Ic1 = 62.565  -170.11°  61.63-j10.74

Estas son las corrientes de la conexión estrella del problema anterior que se ría la carga (1) y la delta la carga (2).

IaT = Ia1 + Ia2 = 31.51 + j75.05 = 81.39  67.22° Amps. IbT = Ib1 + Ib2 = 78.6 - j75.72 = 109.13  -43.93° Amps. IcT = Ic1 + Ic2 = -110.11 + j.74 = 110.11  179.61° Amps.

Pab = (480)(48) cos 30° = 19953.22 Pbc = (480)(24) cos 45° = 8145.87

Pca = (480)(32) cos 50° = 9873.21

P2= Pab + Pbc + Pca P2 = 37972.30 Watts. P1 = 38519.30 Watts. PT = P1 + P2 = 76491.60 Watts.

5.5 POTENCIA TRIFÁSICA, REAL, REACTIVA Y APARENTE Hay ciertas diferencias fundamentales de la variación respecto al tiempo de las potencias instantáneas. La potencia monofásica sigue una ley sinusoidal con respecto al tiempo, de doble frecuencia mas una constante. La potencia instantánea para una de las tres fases, cuando las corrientes y voltajes son ondas sinusoidales, de un sistema trifásico balanceado, es dada por las siguientes ecuaciones: Pa = Vm Im Sen ωt Sen (ωt - ) Pb = Vm Im Sen (ωt - 120) Sen (ωt - 120 - ) Pc = Vm Im Sen (ωt - 240) Sen (ωt - 240 - )

Se mencionó anteriormente que la potencia total para este caso es la suma de las tres potencias, por lo tanto: Ptotal 3 = Pa + Pb + Pc P3=VmImSenωt Senωt (ωt-)+ Sen(ωt-120) Sen(ωt-120-) + Sen(ωt240)Sen (ωt- 240-) P3 = 1.5 VmIm Cos  . . . . . (A) Sen  Sen  = ½ cos (-) - ½ cos (+) Para una sola fase, ejemplo la fase “a”, tenemos:

Pa = VmIm Sen ωt Sen (ωt-) . . . . . . . . . . A

Pa =

(V m I m) −¿ 2 cos

2ω t−¿ 2 cos ¿ (V m I m) . . . . . . . . . . . B ¿

La ecuación “A” demuestra que el valor instantáneo de la potencia trifásica es independiente del tiempo. En conclusión la potencia trifásica balanceada, en condiciones estacionarias, es constante de instante a instante. En contraste la ecuación “B” de la potencia monofásica demuestra que esta sigue una variación de doble frecuencia con respecto al tiempo.

Fig. Comparación de variaciones de potencia monofásica y trifásica balanceada.

La ecuación “A” se puede expresar en función de voltajes y corrientes de fase eficaces. P3 = 1.5 (

√ 2 Vf) ( √ 2 If) Cos  = 1.5 (2) Vf If Cos 

P3 = 3 Vf If Cos  . . . . .(C) La conclusión de esta ecuación “C”, para sistemas trifásicos balanceados, es obtener la potencia de una sola fase y multiplicarla por tres y así obtener la total. En caso de sistemas trifásicos desbalanceados se obtiene la potencia de cada una de las fases y se suman. Definiremos otras potencias, sus ecuaciones y unidades.

P = VI Cos  = Watts = Potencia activa o real. Q = VI Sen  = VARS = Potencia reactiva. S = VI = V.A. = Potencia aparente.  Nota: En estas expresiones, solo estamos utilizando las magnitudes de V e I. Existe otra potencia llamada potencia compleja, sus unidades son “V.A.” y su ecuación es: S* = V I * En este producto se utiliza el concepto de la multiplicación de fasores, tanto la magnitud como ángulo.

V

¿ V β ; I ¿ I α ; I ¿ I −α

S∗¿ ( V β )( I −α )=VI β−α =VI θ V . A S∗¿VI θ=VI cos θ + j sin θ=P+ jθ

Observamos que el origen de su nombre, es porque se puede expresar como un número complejo. De una simple inspección de la ecuación “D”, observamos que tiene ciertos conceptos fundamentales: a. Expresada en forma polar, su magnitud es la potencia aparente y su ángulo es el de factor de potencia del circuito o sistema. b. Expresada en forma binómica, la parte real es la potencia activa, y la parte imaginaria es la potencia reactiva. c. Lo mismo que el ángulo de la impedancia, su signo nos indica si el circuito o sistema es inductivo o capacitivo. Por lo tanto, es suficiente calcular esta potencia compleja, y haciendo así estaremos obteniendo las otras potencias. Estas potencias, activa, reactiva y aparente, dan origen a los triángulos de potencias, cuya representación son las siguientes: Para Cargas capacitivas, el triángulo se representa hacia arriba, y esto significa un factor de potencia adelantado, corriente adelantada con respecto al voltaje.

Para cargas inductivas, el triángulo se representa hacia abajo, y esto significa un factor de potencia retrasado, corriente retrasada con al voltajees el siguiente: Un ejemplo respecto más objetivo Suponemos que deseamos empujar un cajón hacia un punto “a” de una pared, como muestra la figura. Si aplicamos una fuerza F=10 unidades y un cierto ángulo con respecto a la horizontal, suponemos  = 60°. Tenemos, que el cajón si llegará a la pared, pero no al punto deseado, sino a otro punto “b”.

Figura “E”. El hecho de que el cajón no ha llegado al punto deseado, se debe a los componentes, vertical y horizontal que se originan debido al ángulo de empuje. En realidad la única fuerza que necesita el cajón para llegar al punto “a” es la de cinco, con esto concluimos que la fuerza A, viene a ser una potencia aparente. Si corregimos el ángulo de empuje a cero grados, seremos capaces de empujar dos cajones iguales al punto “a” o sea, sería más eficiente.

De este triángulo formado por componentes de fuerza, podemos establecer una analogía con los triángulos de potencia eléctrica, en el cual P = 5, Q = 8.66 y S = 10. Todo esto sucede en los sistemas eléctricos, solo que aquí la fuerza es el voltaje que hace circular una corriente con un cierto ángulo que depende de los elementos de circuitos que intervienen en el proceso de transmisión de potencia eléctrica.

Ejemplo: Obtener el triángulo de potencia del circuito mostrado

I=

100 0 ° =10−60° ; I∗¿ 10 60 ° 10 60 °

S∗¿ ( 100 0 ° ) (10 60 ° )=1000 60 ° S∗¿500 ± j 866

El ángulo es positivo, por lo tanto es un circuito inductivo y el triángulo se representa hacia abajo.

Ejemplo:

Obtener el triángulo de potencia de cada impedancia y el triángulo total, del circuito mostrado.

I=

12015 ° 120 15° = =5.93−10 Amps . Z 1+ Z 2 20.22 25°

S 1=V´ Z 1 ´I Z 1∗; S 2∗¿ V´ Z 2 ´I Z 2∗¿

I*Z2 = I* = 5.93  10° Amps. VZ1 = (5.93  -10°)(15  45°) = 89.02  35° Volts. VZ2 = (5.93  -10°)(8  -15°) = 47.44  -25° Volts. S*1 = (89.02  35°)(5.93  10°) = 527.88  45° = 373.27 + j373.27 S*2 = (47.44  -25°)(5.93  10°) = 281.91  -15° = 272.3 - j73

Para obtener el triángulo de potencias total, se combinan las potencias activas y reactivas de ambos triángulos, algebraicamente.

 = tg-1 (300.27/645.57) = 25° ST = Se puede obtener por cualquier función trigonométrica. El ángulo  del triángulo total, debe ser el mismo de la impedancia equivalente total. Aplicaremos el concepto de triángulos de potencia al caso trifásico balanceado.

PF=VFIF VL √3 IL cos θ= V L I Lcos θ 3 √3

( )

cos θ=

√ 3V L I L cos θ

PT=3PF=

QF=

SF=VFIF

¿

ST=3SF=

( VL√ 3 ) I L¿ √33 V L I L √ 3V L I L

S F∗¿ V´ F ´I F∗; S T∗¿ 3 S F∗¿ √ 3 V L I L θ

θ=¿

( V√3L ) I Lsin θ= √33 V L I L sin θ

QT=3QF=

V F I F sin ¿

√ 3V L I L sin θ

PF=VFIF

( √IL3 ) VLcos θ= √33 V L I Lcos θ

cos θ=

√ 3V L I L cos θ

PT=3PF=

QF=

SF=VFIF

¿

ST=3SF=

( √IL3 ) V L¿ √33 V L I L

θ=¿

( I√L3 ) V Lsin θ= √33 V L I L sin θ

QT=3QF=

V F I F sin ¿

√ 3V L I L sin θ

√ 3V L I L

S F∗¿ V´ F ´I F∗; S T∗¿ 3 S F∗¿ √ 3 V L I L θ Podemos deducir de lo anterior, que no importa que conexión tenemos, ya que las ecuaciones para el cálculo de las potencias totales son iguales. La mayoría de los problemas siguientes aprovecharemos algunos datos y resultados que se obtuvieron cuando fueron resueltos en la unidad anterior de circuitos trifásicos.

Ejemplo: Datos: VL = 220 Volts trifásico Balanceado. SEC. ABC Obtener el triángulo de potencias total de la carga mostrada.

Los resultados que se aprovechan en ese problema anterior son: Pf = 1140.49 watts PT = 3421.47 watts.

Sabemos que se una carga inductiva, por lo tanto el triángulo se representa hacia abajo. Por concepto el ángulo del triángulo es el de factor de potencia, en este caso el de la impedancia que sería el mismo que el de la potencia compleja. Las potencias reactivas y aparentes se obtienen de cualquier función trigonométrica.

Ejemplo: Un sistema trifásico a dos cargas conectadas en estrella, la carga (1) tiene por impedancias 10  45° y la carga (2) tiene por impedancias 20  60°. Los voltajes de

línea 220 volts, son trifásicos balanceados, la secuencia ABC y la frecuencia 60 cps. Obtener el triángulo de potencia total de la combinación de las dos cargas. En este problema aprovechamos los resultados obtenidos de la unidad anterior. Además podemos observar que una de las cargas, en este caso la No.1 es la misma del problema anterior con los mismos datos, por lo tanto solo falta obtener el triángulo de potencias de la carga No. (2), después combinando ambos obtenemos el total. Carga N° 1 Carga No.2 PF2=403.22Watts PT2=1209.66 Watts

Triángulo de potencias de la carga (2).

Combinando los dos triángulos:

Si quisiéramos obtener la corriente total de alimentación se hace lo siguiente: S

T

¿ √3 V

I

L L

7204.7 =18.9 Amps IL= √ 3 ( 220 )

Esta es la obtenida en la unidad anterior.

Ejemplo: Datos. VL = 220 volts trifásicos balanceados. Sec. ABC. Obtener el triángulo de potencias de la carga mostrada.

Aprovechemos los datos obtenidos en la unidad anterior de este problema: Pac = 2073.11 watts. Pcb = 1711.19 watts. Pba = 4191.56 watts.

Combinando los triángulos de las tres fases:

Ejemplo: Un sistema trifásico alimenta a dos cargas en delta, la carga (1) tiene por impedancias 30  30° y la carga (2) 20  45°, los voltajes de línea 220 volts y son trifásicos balanceados, la secuencia ABC. Obtener el triángulo de potencias total. Aprovechamos los datos obtenidos en la unidad anterior.

En todos los ejemplos mostrados hemos aprendido a representar triángulos de potencias de cargas monofásicas y trifásicas; en realidad es algo bastante sencillo, ya que viene a ser un problema de trigonometría, pues conociendo un cateto y el ángulo se conocen las otras potencias.

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Unidad 1 de la carpeta “Apuntes”- Información proporcionada por el profesor M.C. Carlos Antonio Tapia Amaya

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http://wwwprof.uniandes.edu.co/~antsala/cursos/FDC/Contenidos/03_Analisis_por _Nodos_y_Mallas.pdf http://www.ing.unlp.edu.ar/electrotecnia/tcieye/Tci/Documentos/Apuntes/Analisis %20y%20Resolucion%20de%20Circuitos%20III.pdf http://www.ing.unlp.edu.ar/electrotecnia/tcieye/Tci/Documentos/Apuntes/Analisis %20y%20Resolucion%20de%20Circuitos%20III.pdf http://www.monografias.com/trabajos81/teorema-superposicion/teoremasuperposicion.shtml http://educativa.catedu.es/44700165/aula/archivos/repositorio//2750/2954/html/44_ teorema_de_superposicin.html http://gemini.udistrital.edu.co/comunidad/grupos/gispud/RAIZDC/contenidoprogram atico/Ejercicios%20capitulo3/EjerciciosCapitulo3Superposicionpro.pdf http://www.fisicapractica.com/transferencia.php http://www.unicrom.com/Tut_teorema_max_trans_pot.asp

UNIDAD III    

campusvirtual.ull.es/ocw/file.php/54/Temario/Tema2.pdf www.itescam.edu.mx/principal/sylabus/fpdb/recursos/r67258.PDF formanual_apuntes_y_ejercicios_circuitos_electricos_i dspace.universia.net/bitstream/2024/1071/1/circuitos-y-dispositivoselectronicos.pdf  http://fgagor.webs.ull.es/PracticaTC2.pdf  http://es.wikipedia.org/wiki/Inductor#An.C3.A1lisis_de_transitorios  Unidad 2 de la carpeta “Apuntes”- Información proporcionada por el profesor M.C. Carlos Antonio Tapia Amaya UNIDAD IV  

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/electric/powerac.html Unidad 2 de la carpeta “Apuntes”- Información proporcionada por el profesor M.C. Carlos Antonio Tapia Amaya

      

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/electric/acthev.html http://linux0.unsl.edu.ar/~rlopez/eyme2/programa/teoria7_Alterna_V.pdf http://www.slideshare.net/eglisp/teorema-de-norton http://www.heurema.com/PF56.htm http://www.monografias.com/trabajos81/maxima-transferenciapotencia/maxima-transferencia-potencia.shtml http://www.fisicapractica.com/potencia-rlc.php http://es.wikipedia.org/wiki/Potencia_eléctrica#Potencia_en_corriente_alterna

UNIDAD V

 http://www.ecamec.com/newsletter/bajarnotaa0909.pdf  http://patricioconcha.ubb.cl/transformadores/pagina_n1.htm  Unidad 4 de la carpeta “Apuntes”- Información proporcionada por el profesor M.C. Carlos Antonio Tapia Amaya