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Autor:

FREDDY HUMBERTO ESCOBAR M., Ph.D.

Análisis Moderno de Pruebas de Presión – Freddy H. Escobar, Ph.D.

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© Freddy Humberto Escobar Macualo © de esta edición Editorial Universidad Surcolombiana

Segunda edición: Abril de 2010 ISBN 958-8154-81-2

Todos los derechos reservados. Prohibida su reproducción total o parcial Por cualquier medio sin permiso del autor Diseño de Portada: Oscar Fernando Muñoz Chavarro Fotografía portada : Oscar Fernando Muñoz Chavarro Diseño y diagramación: Editorial Guadalupe Impresión y encuadernación OTI Impresos Impreso y hecho en Colombia Editorial Universidad Surcolombiana E-mail: [email protected] Dirección: Avenida Pastrana Carrera 1ª. Teléfono: 875 47 53 Ext. 358 Neiva - Huila - Colombia


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DEDICATORIAS

Con especial cariño y aprecio dedico este libro a mi tío José Demetrio Escobar y su descendencia, quienes estoy seguro estarán orgullosos por mis logros. Esta dedicatoria es también extensiva con mi mayor respeto, cariño y gratitud a su esposa Gloria Celis Granados de Escobar, quien me enseñó mis primeras letras; a su hija Doris Elvira Escobar Celis junto con su esposo Carlos Julio Reyes Chacón e hijos Euder Fabián y Estefanía; a su hija Zulmy Yazmín Escobar Celis, junto con su esposo Humberto “Pipico” Alvarez Walteros e hijos Sergio Leonardo y Zulmy Karime; a su hijo Demetrio Alfonso “Jojo” Escobar Celis (Q.E.P.D.) y a su hija Luz Marina Mazuera C.elisjunto con sus hijos y nietos.


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AGRADECIMIENTOS Deseo expresar mi gratitud a mis estudiantes, colaboradores y amigos que han contribuido al desarrollo de mis investigaciones durante la vigencia del Grupo de Investigaciones en Pruebas de Pozos, GIPP y durante mis estudios doctorales. Entre ellos se destacan: Yuly Andrea Hernández Cortés, Claudia Marcela Hernández Cortés, Oscar Fernando Muñoz Chavarro, Juan Miguel Navarrete Bonilla, Robin Fernando Aranda Aranda, John Fredy Herrera Rincón, Rubén Alberto Gon´zalez López, Jorge Cubillos Barreiro, Oscar Eduardo Ibagón, Aura María López, Daniel Augusto Gutierrez Arciniegas, Walter Nuñez García, Katherine Moncada Ceballos, Miguel Danilo Molina Bohórquez, Rubén Alberto González López, Sandra Lorena Nese Buitrago, Renzon Andrés Zamora, Oscar Eduardo Ibagón Morera, Harold Ernesto Silva Buitrago y Aura María López Prieto. Mi gratitud es igualmente extendida al Ing. Oscar Fernando Muñoz Chavarro por la colaboración y dedicación recibida en el diseño de la portada y a la Editorial Universidad Surcolombiana por permitirme la posibilidad de la publicación del presente libro. En forma muy especial y con un profundo agradecimiento quiero extender una calurosa gratitud al Dr. Alhim Adonai Vera Silva por su valiosa colaboración en escribir el prólogo de este libro en una forma tan poética, expresiva, humana, cariñosa, desinteresada y espontánea, en el que resume la temática de este libro para un público no técnico. Tarea difícil, pero no imposible para un hombre del talento e inteligencia del Dr. Vera, ya que en otras cosas es un hombre de letras y desconocía el lenguaje técnico petrolero y tuvo que tomarse la molestia de hacer un curso intensivo de Ingeniero de Petróleos. Dios bendiga al Dr. Vera Silva por su valioso aporte y por las demás obras maravillosas que el hace. Valga la pena mencionar, que es un gran talento que reside en nuestra Universidad Surcolombiana. A mi amada esposa Matilde Montealegre Madero por su compañía, ternura, ayuda y apoyo en el GIPP, al igual que a mis hijitos Jennifer Andrea, Freddy Alonso y María Gabriela Escobar Montealegre quienes constituyen el regalo más grande que Dios me ha dado. Finalmente, pero no significa que sea lo último, mis eternos agradecimientos al Dios Padre Todopoderoso, a Jesucristo su hijo, al Espíritu Santo y a María Santísima por todo lo maravilloso que han hecho y harán en mi vida desde el 3 de Junio de 1965.


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INTRODUCCION Este texto contiene la programática, objetivos y actividades a desarrollar en un curso de pregrado o posgrado de Análisis de Presiones de Fondo, el cual sirve a los estudiantes como texto guía y herramienta fundamental en el desarrollo de sus actividades académicas. Este trabajo recopila información de varios libros y artículos técnicos relacionados con el tema en cuestión existentes en la literatura desde 1960 hasta la actualidad, al igual que los resultados investigativos del autor en los últimos 8 años, toda vez que reúne algunas de sus experiencias en el área de presiones de fondo e incluye sus aportes recientes que él ha hecho a esta rama de la ciencia y algunos aportes logrados por el Grupo de Investigaciones en Pruebas de Pozos, GIPP, liderado por el autor. La introducción del flujo parabólico y dual lineal presente en yacimientos alongados es uno de los grandes aportes que se hace a la ciencia de la interpretación de transientes de presión. Igualmente, se introducen algunos nuevos conceptos que aparecieron posteriormente a la primera edición. Con el respeto que merecen muchos de los autores que han hecho sus contribuciones precediendo a este autor, con el firme convencimiento de enriquecer la Ingeniería de Yacimientos y particularmente el tema de las presiones de pozo, éste no es un libro más de pruebas de pozos; este es un libro de análisis moderno de presiones de fondo y por ello se hace énfasis en la aplicabilidad de una técnica moderna y revolucionaria que permite la interpretación práctica de los transientes de presión sin el empleo de las curvas tipo. El lector se preguntará que siendo la Ingeniería de Petróleos una ciencia herramientas, se están las pocaspara que evitar existen? respuestacones tan un pocas no rotundo!. Se presenta unaeliminando nueva alternativa en La lo posible el uso de curvas tipo, debido a lo engorroso y riesgoso de su uso. La nueva alternativa es mucho más práctica y de fácil uso y actualmente todo su proceso investigativo se haya en la edad adulta y que prácticamente todos los casos posibles encontrados en la naturaleza, relacionados con presiones de pozos, son cubiertas por la metodología que aquí se enfatiza. El lector podrá definir bajo su propio criterio la decisión de su uso. Por ello, el libro presenta un compendio de las diferentes y principales técnicas presentadas en la literatura para poder establecer comparaciones con la técnica materia de este libro. Algunos aspectos como pozos de gas, pozos horizontales, anisotropía, entre otros, están fuera del alcance de este libro y formarán parte de un futuro texto investigativo del autor. El contenido de este libro se enmarca en ocho capítulos. El primero de ellos se orienta a la descripción del flujo de fluidos en medios porosos. Allí se estudian los conceptos básicos del análisis de pruebas de presión y el principio de superposición, así como la deducción solución de la de difusividad con sus los limitaciones aplicaciones.y Este capítulo es ecuación supremamente vital para entender restantes 8y capítulos. El capítulo dos se centra en el estudio de pruebas de declinación de presión,


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completamiento parcial y penetración parcial, pruebas multirata y yacimientos lineales. En éste, también se presentan los fundamentos de almacenamiento y daño, al igual que una introducción a los regimenes de flujo, incluyendo, en pozos horizontales. En este capítulo se emplearán todas las técnicas existentes para interpretar pruebas de pozos incluyendo desde la técnica de ajuste por curvas tipo (más antigua) hasta el método moderno llamado Tiab’s Direct Synthesis Technique, más nueva e introducida en 1993. En general, el texto se enfoca con especial atención en esta técnica toda vez que no solo es moderna sino también de uso muy práctico. El capítulo tres estudia las pruebas de restauración de presión y las diferentes metodologías para que su interpretación. Se de notará que unabiflujo. pruebaEste de capítulo restauración de presión, no es más un caso particular una prueba incluye los métodos para determinar la presión promedia del yacimiento incluyendo pruebas multitasas. Hasta aquí el autor considera que hay material suficiente para abarcar un curso de pregrado. En el capítulo cuatro se estudian las pruebas DST, los métodos de interpretación y las técnicas para determinar las distancias a posibles discontinuidades. El capítulo cinco considera las diferentes heterogeneidades que se presentan en los yacimientos y se presentan diversos métodos para su determinación. Se hace especial énfasis en la detección de una barrera lineal en el radio de drene del pozo. El capítulo seis se centra en pruebas múltiples como las de interferencia y pulso. En principio, todos los yacimientos son naturalmente fracturados. Algunos de ellos, cuyas fracturas son demasiado pequeñas (microfracturas) se clasifican en el grupo de los yacimientos homogéneos. Por ésto, el capítulo 7 estudia los yacimientos naturalmente fracturados. El capítulo 8 está dedicado a los pozos hidráulicamente fracturados. Allí se estudian los diferentes regimenes de flujo que se presentan en pozos artificialmente fracturados al igual que el concepto de conductividad de fractura y su el efecto de flujo. Se Direct hace énfasis especial en la técnica que elimina uso en de los lasregimenes curvas tipo (Tiab’s Synthesis Technique) y se estudian las fracturas de flujo uniforme, conductividad finita e infinita.


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PRÓLOGO Para mi es noble el encargo de dedicar unas líneas a la obra prolífica del Dr. Freddy Humberto Escobar Macualo; es el pretexto perfecto para destacar un joven talento investigador colombiano, adscrito a la Facultad de Ingeniería de nuestra Universidad Surcolombiana. Sorprende su juventud, su ímpetu y su audacia al explorar los conocimientos de frontera en la industria petrolera mundial que alcanza en la nueva sociedad del conocimientro las crestas más que altasdesde en teorizaciones, tecnologizaciones, digitalizaciones e innovaciones petroleras Newton permiten examinar la naturaleza viviente de los pozos y su caracterización. Hablar con el Dr. Freddy Humberto Escobar en el campo de su formación última, Ph.D., es acercarse a la metáfora de la vida. La naturaleza es una combinacion de energía y materia que se tranforma por explosiones e implosiones de violencia química, y alternancia climática del universo, donde las solidez, la cristalización, la invernez, producen transformaciones en la materia y en la energía, preciosas piedras, y manantiales de petróleo vivo; vida que se mueve entre las arterias de su propio cuerpo, donde la metáfora del colesterol obstruye la producción y fragmenta la complejidad de la naturaleza, que más alla de mutaciones mecánicas de energía y materia. El hombre como expresión de la evolución compleja del universo, ha alcanzado la síntesis del universo; la capacidad de simbolizar la realidad de donde procede, a través de hábitos, la inteligencia en códigos de escultura, comunicación, alfabetos, oralidad,socializada escritura, dibujo, pintura, sonido, imágenes, prototipo, mapa, teoría, fórmula, tecnología, e innovación, patente entre otros. El hombre se atreve a simbolizar la realidad, quiere explicarla, quiere poseerla, quiere transformarla. El hombre tiene la audacia de buscar la propia explicación de la vida y de los factores asociados para su perpetuación y uno de esos factores tiene que ver con el aceite de roca, mejor conocido como petróleo. El ámbito de la ingenería le ha permitido al hombre examinar la naturaleza de las tecnologías, crear simbolizaciones, elaborar conceptualizaciones, confrontar teorizaciones, plantear hipótesis, desarrollar estrategias, matematizar relaciones, identificar variables, precisar indicadores, fijar normas, concertar estandares e instrumentos, desarrollar fórmulas, plantear leyes y cumplir principios que rigen en forma relativa las ciencias físicas. El Dr. Escobar indaga a Newton, uno de los iniciadores de la teoriazación en el análisis o interpretación de pruebas de presión que forma parte de la evaluación de formaciones, que a su vez se vuelca dentro de la ingeniería de yacimientos, concientífico la ingeniería de perforación la ingeniería de producción, constituyenqueel junto cuerpo tecnológico de la yIngeniería de Petróleos.


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El Dr. Freddy Humberto Escobar Macualo, no solo consulta la historia del conocimiento newtoniano, sino que la desborda con su rebeldía y espíritu inquisidor, pide explicaciones teóricas al comportamiento de los pozos, actividad imprescindible en la industria petrolera. Estos comportamientos nos dice el Dr. Escobar, se fundamentan en la tercera ley de Newton (acción y respuesta) y consiste en crear una perturbación (abrir o cerrar el pozo) en un pozo y medir su presión (normalmente en el fondo). Este registro de presión contra tiempo es interpretado por el ingeniero haciendo uso de gráficos cartesianos, semilogarítmicos, y otros, para determinar porciones que indicancaracterísticas, diferentes comportamientos del yacimiento ello comprobar diferentes que lo hacen atractivo o no para yla con industria petrolera que mueve millones de dolares por segundo en el mundo. No solo es destacable la inteligencia, la audacia y la juventud del Dr. Escobar, sino la capacidad de trabajo que le ha permitido ser uno de los discipulos del Dr. Djebbar Tiab de la Universidad de Oklahoma, quien a comienzos de la década de los 90s, introdujo la última técnica para interpretar pruebas de presión. Esta técnica revolucionaria usa puntos característicos (“huellas dactilares”) que se hallan en el gráfico de la presión y la derivada de presión para obtener de forma directa (sin uso de costosos simuladores) los parámetros característicos del yacimiento. Este es el eje sobre la cual se levanta el libro Análisis Moderno de Pruebas de Presión del Dr. F.H. Escobar y sobre esa temática es que se ha enfocado su mayor investigación, a través de la cual se han hecho grandes aportes a la ciencia de los hidrocarburos a nivel mundial, como es el caso de la mejor forma para caracterizar yacimientos alargados y la introducción de un nuevosalido regimen como “Parabólico” en virtud a su geometría, nombre del de senoflujo del bautizado grupo de investigaciones en pruebas de pozos, GIPP, liderado por el Dr. Escobar en la Universidad Surcolombiana. Las pruebas de presión que el Dr. Escobar desarrolla con el Grupo de Investigaciones en Pruebas de Pozos (GIPP), en la universidad Surcolombiana tienen múltiples aplicaciones. Entre otros se pueden mencionar: determinar los límites del yacimiento (obviamente reservas de hidrocarburos), establecer la comercialidad de un pozo, determinar la capacidad productiva (permeabilidad) de la roca productora, hallar distancias a fallas y a otras barreras, determinar la presión promedia del yacimiento, un parámetro cuyo conocimiento es tan importante para el ingeniero como la presión arterial del paciente lo es al médico) y cuantificar el daño. El daño es causado por muchos factores tales como la invasión del lodo de perforación, crecimiento bacteriano, precipitación de finos, precipitación de compuestos orgánicos presentes en el crudo (colesterol de los crudos) ocasionando taponamientos de los poros de la roca y de la tubería, entre otros. Los campos de investigacion del GIPP se pueden sintetizar en: yacimientos naturalmente fracturados; yacimientos sensibles a los esfuerzos; análisis de presiones


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de fondo; evaluación de técnicas de derivación de datos de presión; interpretación de pruebas de presión; pruebas de presión en yacimientos gasíferos; optimización de producción; redes neuronales; ingeniería de yacimientos y petrofísica. En escencia, el Dr. Escobar desarrolla investigación para mejorar la productividad de los yacimientos de hidrocarburos por medio de la apropiación, aplicación, producción del conocimiento en el área del análisis e interpretación de presiones de pozos, yacimientos naturalmente fracturados y yacimientos sensibles a los esfuerzos que permiten una caracterización más práctica y confiable de las formaciones de hidrocarburos, de las prioridades campo petrolero. Para una los académicos amantesdede lala investigación investigación tranversal de frontera,enelellibro del Dr. Freddy Humberto Escobar Macualo es un excelente texto de consulta producto de la investigación, que enriquece la mirada en este mundo complejo de la industria petrolera mundial.

ALHIM ADONAI VERA SILVA Decano Facultad de Educación Universidad Autónoma de Bucaramanga Profesor Universidad Surcolombiana desde 1983–2007, Categoría Titular Licenciado en Ciencias de la Educación, Especialidad Pedagogía, Universidad de Pamplona Especialización en Pedagogía, Universidad de Pamplona Magíster en Investigación y Tecnología Educativas, Pontificia Universidad Javeriana Doctorado en educación – Línea Educación Superior Comparada, Universidad Autónoma de Morelos, México


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TABLA DE CONTENIDO INTRODUCCIÓN ............................................................................................................. 5 1. FUNDAMENTOS GENERALES .................................................................................15 1.1. CONCEPTOS BÁSICOS............................................................................................1 5 GENERALIDADES SOBRE LAS PRUEBAS DE PRESIÓN............................................21 1.3. ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD................................................................................23 1.3.1. MÉTODO I ....................... .....................................................................................23 1.3.2. MÉTODO II ...........................................................................................................27 1.3.3. LIMITACIONES DE LA ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD ....................................28 1.3.4. SOLUCIÓN DE LA LÍNEA FUENTE ....................................................................35 1.4. FACTORES ADIMENSIONALES .............................................................................41 1.4.1. ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD EN FORMA ADIMENSIONAL .........................45 1.4.2. SOLUCIÓN DE LA INTEGRAL EXPONENCIAL, EI...........................................49 1.5. APLICACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD ............51 1.6. DISTRIBUCION DE PRESIÓN ................................................................................57 1.7. DAÑO A LA FORMACIÓN (POZO) .........................................................................58 1.8. FLUJO DE GAS ........................................................................................................61 1.9. FUNCIÓN DE DERIVADA DE PRESIÓN ................................................................72 1.9.1. DEDUCCIÓN DE LA DERIVADA DE LA PRESIÓN ...........................................72 1.9.2. CONVERSIÓN DE LA ECUACIÓN DE DERIVADA DE PRESIÓN A UNIDADES DE CAMPO .................................................................................................73 1.10. METODOS PARA ESTIMAR LA DERIVADA ......................................................77 1.10.1. DIFERENCIA FINITA CENTRAL.......................................................................77 1.10.2. ECUACIÓN DE HORNE .....................................................................................77 1.10.3. ECUACIÓN DE BOURDET Y COLABORADORES...........................................78 1.10.4. ECUACIÓN DE CLARK Y VAN GOLF-RACHT ................................................78 1.10.5. ECUACIÓN DE SIMMONS.................................................................................78 1.11. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN ..........................................................................79 1.11.1. SUPERPOSICIÓN EN ESPACIO .........................................................................81 1.11.2. SUPERPOSICIÓN EN TIEMPO...........................................................................83 1.12. METODO DE LAS IMAGENES - SUPERPOSICIÓN EN ESPACIO ......................85 1.12.1. POZO UNICO CERCA A UNA FALLA SELLANTE ..........................................85 1.12.2. POZO CERCA A UNA BARRERA DE FLUJO O LÍNEA DE PRESIÓN CONSTANTE (EMPUJE DE AGUA) ...............................................................................86 1.12.3. POZO EN MEDIO DE DOS FALLAS QUE SE INTERCEPTAN .........................86 2. PRUEBAS DE DECLINACIÓN DE PRESIÓN ............................................................92 2.1. ALMACENAMIENTO (WBS=WELLBORE STORAGE) .........................................92 2.2. DE DE FLUJO LA CARA DEL VS. SUPERFICIE....................98 2.3. CAUDALES PROPIEDADES LASEN CURVAS TIPO DEPOZO RAMEY.......................................... 102 2.3.1. AJUSTE POR CURVAS TIPO DE RAMEY, PROCEDIMIENTO......................... 104


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2.3.2. MÉTODO DE EARLOUGHER ............................................................................ 107 2.3.3. MÉTODO SEMILOG....................................................................... .....................107 2.4. PRUEBA LÍMITE DE UN YACIMIENTO (RLT) .................................................... 117 2.5. CONTROL DE CALIDAD ...................................................................................... 119 2.6. REGIMENES DE FLUJO........................................................................................ 119 2.7. POZOS HORIZONTALES ...................................................................................... 125 2.8. AJUSTE CURVAS DE LA DERIVADA - CURVAS DE BOURDET....................... 127 2.9. MÉTODO DE TIAB’S DIRECT SYHTHESIS TECHNIQUE........................................... 2.9.1. LÍNEAS Y PUNTOS CARACTERÍSTICOS......................................................... 131 2.9.2. PERFORACION ESTIMACIÓN DE DISTANCIA A LAS BARRERAS Y AREA .......................... 144 138 2.10. PARCIAL Y PENETRACION PARCIAL .................................. 2.10.1. ANÁLISIS CONVENCIONAL PARA FLUJO ESFÉRICO ................................. 147 2.10.2. ANÁLISIS CONVENCIONAL PARA FLUJO HEMISFÉRICO .......................... 150 2.10.3. TIAB’S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE, TDST.......................................... 151 2.10.4. TIAB’S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE, TDST, PARA FLUJO HEMISFÉRICO .............................................................................................................. 160 2.10.5. CONSIDERACIONES IMPORTANTES ............................................................. 161 2.10.5.1. EFECTO DE ALMACENAMIENTO................................................................ 161 2.10.5.2. EFECTOS DE LA LONGITUD DE LA PENETRACIÓN PARCIAL ................ 161 2.11. PRUEBAS MULTI-TASA..................................................................................... 166 2.12. PRUEBAS BI-FLUJO ........................................................................................... 170 2.13. MÉTODO DE PINSON ......................................................................................... 172 2.14. MÉTODO SEMILOG PARA PRUEBAS MULTITASAS....................................... 175 2.15. TIAB’S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE, TDST, PARA PRUEBAS MULTITASAS ...............................................................................................................175 2.16. PRUEBAS DE DECLINACIÓN DE PRESIÓN EN YACIMIENTOS 181 DESARROLLADOS....................................................................................................... 2.17. YACIMIENTOS ALARGADOS ............................................................................191 2.18. MÉTODO CONVENCIONAL PARA YACIMIENTOS ALARGADOS….202 3.3.2. POZO CERCA DE LA FRONTERA CERRADA .................................................. 202 2.18. METODO CONVENCIONAL PARA YACIMIENTOS LINEALES ...................... 205 3. PRUEBAS DE RESTAURACIÓN DE PRESIÓN ...................................................... 228 3.1. PRINCIPIO DE SUPERPOSICION .......................................................................... 228 3.2. MÉTODO DE HORNER .......................................................................................... 230 3.2.1. POZO EN UN YACIMIENTO INFINITO ............................................................ 230 3.2.2. RATA DE POSTFLUJO (AFTERFLOW, QAF) ..................................................... 2 32 3.2.3. PASOS PARA DETERMINAR EL ALMACENAMIENTO DE UNA PRUEBA DE RESTAURACIÓN....................................................................................................232 3.2.4. PREDICCIÓN DE LA DURACIÓN DEL POSTFLUJO (AFTERFLOW) ............. 232 3.2.5. GRÁFICO DE HORNER PARA YACIMIENTOS CERRADOS .......................... 233 3.3. MÉTODO DE MDH (MILLER-DYES-HUTCHINSON) .......................................... 234 3.4. MÉTODO EXTENDIDO DE MUSKAT ................................................................... 237 3.5. PRUEBAS DE RESTAURACIÓN DE PRESIÓN EN YACIMIENTOS DESARROLLADOS....................................................................................................... 241 3.6. AJUSTE POR CURVAS TIPO DE LA DERIVADA ................................................ 245


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3.7. TIAB’S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE .......................................................... 246 3.8. PRESIÓN PROMEDIA DEL YACIMIENTO ........................................................... 246 3.8.1. MÉTODO DE MBH ............................................................................................. 246 3.8.2. MÉTODO DE DIETZ............................................................................................ 2 47 3.8.3. MÉTODO DE MDH.............................................................................................. 253 3.8.4. MÉTODO DE RAMEY-COBB ............................................................................. 254 3.8.5. MÉTODO DIRECTO ............................................................................................ 254 3.8.6. TIAB'S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE DURANTE ESTADO PSEUDOESTABLE ........................................................................................................ 255 3.8.6.1. SISTEMAS YACIMIENTOS CIRCULARES CERRADOS ................................................... 255 3.8.6.2. CERRADOS RECTANGULARES .................................................. 257 3.8.6.3. USO DEL PUNTO DE INTERSECCIÓN ........................................................... 258 3.8.6.4. DETERMINACIÓN DE LA PRESIÓN PROMEDIA EN SISTEMAS CERRADOS DRENADOS POR UN POZO VERTICALMENTE FRACTURADO ........ 258 3.8.6.5. POZOS FRACTURADOS EN REGIONES RECTANGULARES ....................... 259 3.8.9. OTROS MÉTODOS PARA CALCULAR LA PRESIÓN PROMEDIA .. …………275 4. PRUEBAS DST ......................................................................................................... 283 4.1. GENERALIDADES .................................................................................................283 4.1.1. PROPÓSITO.........................................................................................................283 4.1.2. USOS DE LOS DATOS DST ................................................................................ 283 4.1.3. INFORMACIÓN CALCULADA DE UN DST ..................................................... 283 4.2. COMPONENTES DE LA HERRAMIENTA ............................................................ 284 4.3. PROCESO DE PRUEBA......................................................................................... 284 4.3.1. DST CONVENCIONAL....................................................................................... 284 4.3.2. PRUEBA STRADDLE PACKER ......................................................................... 285 4.4. CARTAS DE PRESIÓN DST ................................................................................... 285 4.4.1. DST CONVENCIONAL ....................................................................................... 4.4.2. DST SECO ............................................................................................................ 28 6 4.4.2. DST SECO ............................................................................................................ 28 6 4.4.3. CONDICIONES POBRES EN EL POZO……………………………………281. 4.4.4. MÚLTIPLE PRUEBAS DE FLUJO...................................................................... 286 4.4.5. DST CON DOBLE CIERRE ................................................................................. 286 4.5. METODO DE HORNER .......................................................................................... 286 4.6. ESTIMACIÓN DE LA PRESIÓN PROMEDIO O INICIAL .................................... 289 4.6.1. MÉTODO DE DATOS LIMITADOS (MÉTODO EN EL SITIO DEL POZO) ....... 289 4.7. DISTANCIA A UNA DISCONTINUIDAD............................................................. 293 4.7.1. MÉTODO DE HORNER ...................................................................................... 293 4.7.2. MÉTODO DE DOLAN, EINARSEN Y HILL....................................................... 293 4.7.3. MÉTODO DE ISHTEIWY Y VAN POOLLEN .................................................... 293 4.7.4. MÉTODO DE BIXEL Y OTROS.......................................................................... 295 5. HETEROGENEIDADES............................................................................................ 300 5.1. TIPOS DE HETEROGENEIDADES DEL YACIMIENTO ...................................... 300 5.2. SISTEMAS DE FRONTERA SENCILLA ............................................................... 301 5.2.1. PRUEBAS DE RESTAURACIÓN DE PRESIÓN.................................................. 301


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5.2.2. MÉTODOS PARA CALCULAR LA DISTANCIA A LAS DISCONTINUIDADES LINEALES DE GRÁFICAS DE RESTAURACIÓN DE PRESIÓN .......................................................................................................................303 5.2.2.1. MÉTODO DE HORNER .................................................................................... 30 3 5.2.2.2. MÉTODO DE DAVID Y HAWKINS ................................................................. 305 5.2.2.3. MÉTODO DE EARLOUGHER ......................................................................... 309 5.2.2.4. MÉTODO MDH..................................................................................................311 5.2.2.5. MÉTODO DE SABET ......................................................................................... 312 5.2.2.6. TIAB’S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE........................................................312 5.3. FRONTERAS MULTIPLES .................................................................................... 5.4. GRADO DE ESCAPE DE UNA FALLA .................................................................315 5.4.1. FRONTERA CON ESCAPE ................................................................................. 315 5.4.1. FRONTERA CON ESCAPE ................................................................................. 315 5.4.2. FRONTERA DE NO FLUJO O SELLANTE ........................................................ 317 5.5. YACIMIENTOS DE VARIAS CAPAS CON O SIN FLUJO CRUZADO ..............317 5.5. YACIMIENTOS DE VARIAS CAPAS CON O SIN FLUJO CRUZADO ................ 317 5.5.1. CON FLUJO CRUZADO ...................................................................................... 317 5.5.2. SIN FLUJO CRUZADO ........................................................................................ 317 6. PRUEBAS MULTIPLES............................................................................................ 325 6.1. GENERALIDADES .................................................................................................325 6.2. PRUEBAS DE INTERFERENCIA ................................................................ ........... 325 6.2.1. MÉTODO DE EARLOUGHER ............................................................................. 326 6.2.2. MÉTODO DE RAMEY ......................................................................................... 328 6.2.3. MÉTODO DE TIAB Y KUMAR ........................................................................... 329 6.3. PRUEBAS DE PULSO............................................................................................. 3 40 6.3.1. MÉTODO DENATURALMENTE KAMAL – BIRGHAM ................................................................... 7. YACIMIENTOS FRACTURADOS ...........................................341 353 7.1. MODELO DE ESTADO SEMI PSEUDO ESTABLE .............................................. 359 7.2. EFECTOS DE ALMACENAMIENTO Y DAÑO ..................................................... 361 7.3. COMPORTAMIENTO DEL MODELO TRANSIENTE CON DOBLE POROSIDAD.................................................................................................................. 365 7.4. EFECTOS DE ALMACENAMIENTO Y DAÑO ..................................................... 366 7.5. ANÁLISIS DE PRESIÓN DE RESTAURACIÓN .................................................... 366 7.6. APLICACIÓN DE LA FUNCIÓN P’D A YACIMIENTOS NATURALMENTE FRACTURADOS ...........................................................................................................373 7.7. PROCEDIMIENTO DE AJUSTE DE CURVAS TIPO ............................................ 381 7.8. TIAB’S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE PARA YACIMIENTOS FRACTURADOS NATURALMENTE ...........................................................................385 7.8.1. ASPECTO TEÓRICO ........................................................................................... 38 6 7.8.2. PUNTOS Y LÍNEAS CARACTERÍSTICOS......................................................... 387 7.8.3. RESPUESTA DE LA PRESIÓN CON EFECTOS DE ALMACENAMIENTO ...... 391 7.8.4. PROCEDIMIENTO PASO A PASO...................................................................... 394 8. POZOS ARTIFICIALMENTE FRACTURADOS........................................................ 406 8.1. POZOS CON FRACTURAS HIDRÁULICAS VERTICALES.................................. 406 8.1.1. COMPORTAMIENTO EN PRUEBAS DE DECLINACIÓN ................................. 407


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8.1.2. COMPORTAMIENTO EN PRUEBAS DE RESTAURACIÓN (FALLOFF) .......... 409 8.2. POZOS CON FRACTURAS HORIZONTALES....................................................... 412 8.3. CONDUCTIVIDAD DE FRACTURAS.................................................................... 421 8.4. GRÁFICO DE FLUJO BILINEAL .......................................................................... 422 8.5. GRÁFICO DE FLUJO LINEAL .............................................................................. 423 8.6. CURVAS TIPO DE PRESION (CINCO-LEY) ......................................................... 424 8.7. CURVA TIPO - ALMACENAMIENTO (WONG Y OTROS) .................................. 426 8.8. TIAB’S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE PARA POZOS FRACTURADOS HIDRÁULICAMENTE........................................................................................................ 8.8.1. REGIMENES SIMULACIÓNDE DEFLUJO FRACTURAS .......... ERROR! BOOKMARK NOT DEFINED. 8.8.2. EN FRACTURAS ........................................................ 428 8.8.3. ANÁLISIS DE FLUJO BILINEAL ....................................................................... 432 8.8.5. ANÁLISIS DE FLUJO PSEUDORRADIAL ......................................................... 437 8.9. TIAB’S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE PARA POZOS FRACTURADOS VERTICALMENTE EN SISTEMAS CERRADOS ......................................................... 439 8.9.1. INTRODUCCIÓN ................................................................................................ 439 8.9.2. CARACTERÍSTICAS DE UNA FRACTURA DE FLUJO UNIFORME ............... 441 8.9.3. CARACTERÍSTICAS DE UNA FRACTURA DE CONDUCTIVIDAD INFINITA ....................................................................................................................... 446 8.9.4. SISTEMAS RECTANGULARES ......................................................................... 450 8.9.5. PROCEDIMIENTOS ............................................................................................ 451 8.10. TIAB’S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE PARA POZOS CON FRACTURAS DE CONDUCTIVIDAD FINITA ............................................................. 457 8.10.1. CARACTERÍSTICAS DE FRACTURAS DE CONDUCTIVIDAD FINITA....... 458 8.10.2. RÉGIMEN DE FLUJO BILINEAL ..................................................................... 458 8.10.3. INTERRELACIONES FLUJO BILINEAL Y ALMACENAMIENTO .................................................... 461 8.10.4. ENTRE EL FLUJO BILINEAL Y LINEAL..................... 463 8.10.5. INTERRELACIÓN ENTRE EL FLUJO BILINEAL Y RADIAL ........................ 465 8.10.6. RELACIONES ENTRE BIRRADIAL Y BILINEAL........................................... 466 8.10.7. PROCEDIMIENTO SISTEMÁTICO .................................................................. 468 8.11. ESTIMACIÓN DE LA CONDUCTIVIDAD DE LA FRACTURA ......................... 482 NOMENCLATURA ....................................................................................................... 485


15

1. FUNDAMENTOS GENERALES 1.1. CONCEPTOS BÁSICOS

Las pruebas de presión pueden como se ilustra en la Fig. 1.1. entenderse por aplicación de la tercera ley de Newton,

Perturbación de entrada

Entrada al modelo

Mecanismo del yacimiento

Salida de respuesta

Modelo Matemático

Salida del modelo

Fig. 1.1. Esquema de la representación matemática de una prueba de presión Básicamente los objetivos del análisis de las pruebas de presión son:

• Evaluación del Yacimiento: Entrega, propiedades, tamaño, permeabilidad por espesor (útil para espaciamiento y estimulación), presión inicial (energía y pronóstico), límites (tamaño y determinación de existencia de un acuífero). • Administración del yacimiento • Descripción del yacimiento Las pruebas DST y restauración de presión se usan principalmente en producción primaria y exploración. Las pruebas múltiples se usan más a menudo durante proyectos de recuperación secundaria y las pruebas multicapa y de permeabilidad vertical se usan en pozos productores/inyectores. Las pruebas de declinación, de restauración de interferencia y de pulso se usan en todas las fases de producción. Las pruebas multitasa, de inyección, de interferencia y pulso se usan en las etapas primaria y secundaria.


16

GRAFICO HORNER

GRAFICO LOG-LOG

O T N E I M A N E C A M L A

Pendiente unitaria

S E S A F

o d ra u t c a r F t. a N . c a Y

e l b ta s e o d u e s P o j u F

Derivada negativa

Protuberancia

Protuberancia

E D N Ó I C U IB R T S I D E R

GRAFICO DERIVADA

Reversamiento de presión en vez de pico. Se puede observar un mínimo. Puede confundirse con el comportamiento de un yacimiento naturalmente fracturado

Sistema más permeable

Flujo radial en sistema total Sistema total

0.5

Flujo radial Flujo radial en fisuras

Transición o d a r u t c a r F .t a N . c a Y

io r o it s n a r T o j u F

L A E IN L O J U L F

S E L A N A C N E

Flujo radial en sistema total sistema total

Flujo radial

0.5 0.25

Sistema más permeable Un gráfico acrtesiano de P vs. la raiz de t la mayoría de los casos da una recta

Fig. 1.2.a. Cartas de Identificación de yacimientos5


0.5 m=

MODELO

YACIMIENTO CON DOBLE POROSIDAD

YACIMIENTO HOMOGENEO SISTEMAS CERRADOS

SISTEMAS INFINITOS

POZOS FRACTURADOS

GRÁFICO LOG-LOG

INTERPOROSITY FLOW ESTADO PSEUDOESTABLE Flujo radial

1/2

TRANSITORIO Flujo radial

1/4

D

P g lo

GRÁFICO SEMILOG

m

2m

F

F

m

m

Cartesiano

D

m m

T

P

Δt

4

T

Δt

GRÁFICO DE LA DERIVADA '

D

P *

D

C / tD g o

m = Pendientel semilog. Representa flujo radial infinito

1

1 0.5

1/2

0.5

Infinito Hay un factor de 2 en Barrera de no flujo separaciónentre PD y PD' Presión constante para fracturas de conduc-

tividad infinita. El factor es 4 para fracturas de -conductividad finita

1/2 1/2 TRANS

1/4

Conduct. infinita Flujo uniform Conduc. finita (flujo bilineal)

>1/4

1/2

TRANS

F = FISURA Se desarrollan 2 lineas paralelas La transición inicia T =SISTEMA TOTAL antes que termine los efectos de WBS 5

Fig. 1.2.b. Resumen de reacciones de modelos de pozos – yacimientos

1 7

YACIMIENTO HOMOGENEO Barrera lineal impermeable

Frontera externa cerrada

Barrera de presión

(falla) Cartesian

n ió s re P

constante

Semilog

n ió s re P

m

n ió s e r P

2m

m

Tiempo

Tiempo

Log-Log

Log-Log

P

m

2m

Tiempo

Log-Log P

' P * t y P

Δ

t*P'

' P * t y P

P

Δ

2m

t*P'

' P t* y P

Δ

t*P' 1.0 0.5

Tiempo

Tiempo

En el gráfico semilog se observa una recta que dobla su pendiente. Una segunda región plana se observa en la derivada

Tiempo se observa Una región plana normalmente en la mayoría de los gráficos de f P vs t y una línea que decrece conitnuamente se observa en el gráfico de la derivada 9

Fig. 1.3. Resumen de reacciones de modelos de pozos - yacimientos

1 8

19

Tabla 1.1. Parámetros obtenidos de pruebas de pozo

Tipo de Prueba DST

Prueba de formación múltiple repetida Prueba de declinación de presión

Prueba de restauración de presión

Prueba de paso de rata Prueba Falloff

Prueba de pulso e interferencia

Pruebas de yacimientos con capas

Parámetro Obtenido Comportamiento del yacimiento Permeabilidad Daño Longitud de fractura Presión del yacimiento Límites del yacimiento Perfil deFronteras Presión Comportamiento del yacimiento Permeabilidad Daño Longitud de fractura Límites del yacimiento Fronteras Comportamiento del yacimiento Permeabilidad Daño Longitud de fractura Presión del yacimiento Fronteras Presión de rotura de formación Permeabilidad Daño Movilidad en varios bancos Daño Presión del yacimiento Longitud de fractura Ubicación del frente Fronteras Comunicación entre pozos Comportamiento del tipo de yacimiento Porosidad Permeabilidad interpozos Permeabilidad vertical Propiedades de capas individuales Permeabilidad horizontal Permeabilidad vertical Daño Presión de capa promedio Fronteras externas

Análisis Moderno de Presiones de Pozos – Freddy H. Escobar, Ph.D.

20

Tabla 1.2. Gráficas y regimenes de flujo encontrados en pruebas de pozo

Régimen de flujo

Cartesiana

Almacenamiento

Línea recta Pendiente→ C Intercepto→ Δtc, ΔPc

Flujo Lineal

Δt

4

Δt

Gráficas Log-log Pendiente unitaria en Δp y p’ Δp y p ’ coincide Pendiente=1/2 en ΔP y P’ si s=0

Línea recta Pendiente→ xf Intercepto → Daño de fractura

Flujo Bilineal Primer IARF (alta-k capas, fracturas) Transición

Línea recta Pendiente →Cfd Disminución de pendiente

P’ horizontal a P’D=1/2

Más disminución de pendiente

ΔP = λe−2 s P’D=1/4 ( transición) P’D<1/4 (estado

Pendiente similar al primer IARF

s Positivo s Negativo

Pendiente =1/2 nivel en Δpdey PΔ’P si s=0 a medio Pendiente = ½ después de almacenamiento indica un canal del yacimiento Pendiente=1/4 P’a ¼ de nivel de ΔP

pseudoestable) Segundo IARF

Semilog

P’ horizontal a p’D=1/2

Línea recta Pendiente→kh ΔP1hr→s Línea recta Pendiente=1/2 (transición) Pendiente=0 (estado pseudoestable) Línea recta Pendiente→kh, P* ΔP1hr→s

P’ horizontal a p’D=1

Frontera sencilla de no flujo

Fronteras externas de no flujo (solo declinación)

Línea recta pendiente→φAh

Pint→CA

Pendiente unitaria para ΔP y

P’ ΔP y P’ coincide

Línea recta Pendiente =2m Intersección con IARF→distancia a frontera Incremento de pendiente

IARF= flujo radial de acción infinita

El análisis de pruebas de presión tiene una variedad de aplicaciones durante la vida de un yacimiento. Las pruebas DST y de restauración de presión en pozos únicos se usan principalmente durante producción primaria y exploración, mientras que las pruebas múltiples se usan más a menudo durante proyectos de recuperación secundaria. Las pruebas multicapa y de permeabilidad vertical también se corren en pozos productores/inyectores. Pruebas de declinación, de restauración, de interferencia y de pulso se utilizan en todas las fases de producción. Las pruebas multitasas, de inyección, de interferencia y de pulso se usan en las etapas primaria y secundaria. La tabla 1 resume los parámetros que pueden obtenerse del análisis de pruebas de presión. Los ingenieros de petróleos deberían tener en cuenta el estado del arte de la interpretación de pruebas de presión, herramientas de adquisición de datos, métodos de interpretación y otros factores que afectan la calidad de los resultados obtenidos del análisis de pruebas de presión.


21

Una vez los datos han sido obtenidos y revisados, el análisis de presiones comprende dos pasos: (1) El modelo del yacimiento e identificación de los diferentes regimenes de flujo encontrados durante la prueba, y (2) la estimación de parámetros. Entre ellos tenemos: gráficos log-log de presión y derivada de presión vs. tiempo de transiente (herramienta de diagnóstico), gráfico semilog de presión vs. tiempo, gráfico Cartesiano de los mismos parámetros, etc. La tabla 2 proporciona diferentes gráficos y regimenes de flujo que normalmente se encuentran en cada prueba y las Figs. 1.2 a 1.3 ilustran diferentes condiciones de yacimiento y características de flujo encontrados en una prueba de presión. En general, el análisis de presiones es una herramienta excelente para describir y definir el modelo de un yacimiento cuando se maneja un campo hidrocarburífero. Los regímenes de flujo son una función directa de las características del sistema pozo/yacimiento, i.e., una fractura sencilla que intercepta el pozo puede identificarse mediante la detección de un flujo lineal. Sin embargo, siempre que exista flujo lineal, no necesariamente implica la presencia de una fractura. La interpretación de pruebas de presión es el método primario para determinar permeabilidad, factor de daño, presión de yacimiento, longitud y conductividad de fractura y heterogeneidad del yacimiento. Además, es el único método más rápido y más barato para estimar variables dependientes del tiempo como el factor de daño y la permeabilidad en yacimientos sensibles al esfuerzo. El período de comportamiento infinito ocurre después del fin del almacenamiento y antes de la influencia de los límites del yacimiento. Puesto que los límites no afectan los datos durante esteyacimiento período, infinito. el comportamiento presión es idéntico al comportamiento de un El flujo radialdepuede reconocerse por una estabilización aparente del valor de la derivada. El análisis de presiones puede utilizarse para determinar permeabilidad, daño, presión promedia, longitud media de una fractura hidráulica, dirección de una fractura, conductividad de la fractura, entre otros. Obtenidos los datos siguen dos pasos (1) Definir el modelo del yacimiento e identificación de los regímenes de flujo y (2) Estimación de parámetros.

1.2 GENERALIDADES SOBRE LAS PRUEBAS DE PRESIÓN Declinación de presión (ver. Fig. 1.4). Se le conoce como prueba de flujo. Luego de que el pozo ha sido cerrado por un tiempo suficientemente largo para alcanzar estabilización, el pozo se coloca en producción, a caudal constante, mientras se registra la presión de fondo contra el tiempo. Su principal desventaja es que es difífil mantener el caudal constante. Restauración de presión (ver. Fig. 1.4). Se le conoce como prueba de cierre. En esta prueba el pozo se cierra mientras se registra la presión estática del fondo del pozo en Análisis Moderno de Presiones de Pozos – Freddy H. Escobar, Ph.D.

22

función del tiempo. Esta prueba se cataloga como una prueba multirata con dos caudales (cero y otro diferente de cero) y permite obtener la presión promedia del yacimiento. Su principal desventaja es económica ya que el cierre ocasiona pérdida de producción. Restauración de presión

Declinación de presión

q

la d u a C

l a d u a C

tp

0 0

Tiempo

Tiempo

n isó re P

n ió s e r P

Tiempo

tp

Tiempo

Fig. 1.4 . Representación esquemática de pruebas de y declinación de presión

n ó i s e r P

n ó i s e r P

Tiempo

Tiempo

0

0

l a d u a C

l a d u a C

Tiempo

Tiempo

Fig. 1.5. Prueba de inyección (izquierda) y prueba Falloff (derecha)


23

Inyección. Ver (Fig. 1.5). Es una prueba similar a la prueba de declinación de presión, pero en lugar de producir fluidos se inyectan fluidos, normalmente agua. Falloff. (Ver Fig. 1.5). Considera una declinación de presión inmediatamente después de la inyección. Idéntico a una prueba de restauración.

Otras pruebas: Interferencia y/o Múltiples. Involcucran más de un pozo y su propósito es definir conectividad y hallar permebilidades direccionales. DST. Esta prueba se usa durante o inmediatamente después de la perforación del pozo y consiste de pruebas de cierre o flujo cortas y seguidas. Su propósito es establecer el potencial del pozo, aunque el factor de daño estimado no es muy representativo porque puede ocurrir una limpieza del mismo pozo durante la primera etapa productiva del mismo.

1.3. ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD Al inicio de la producción, la presión en el pozo cae abruptamente y los fluidos cerca al pozo se expanden y se mueven hacia el área de menor presión. Dicho movimiento es retardado por la fricción contra las paredes del pozo y la propia inercia y viscosidad del fluído. A medida quen el fluido se mueve se crea un desbalance de presión que induce a los fluídos aledaños a moverse hacia el pozo. El proceso continúa hasta que la caída de presión creada por la puesta en producción se disipa a lo largo del mediante yacimiento. procesodefísico que tomacuya lugardeducción en el yacimiento puedea describirse la El ecuación difusividad se muestra continuación.

1.3.1. Método I (Masa que entra) - (Masa que sale) = Tasa de acumulación del sistema

v=−

k dP μ ds

q=−

kA dP μ ds

Para flujo radial A = 2π rh

Masa que entra = q ρ =

L3 M T L3


24

Δr r

r+Δr

Fig. 1.6. Elemento de volumen radial

k ∂ P q = − 2π rh μ ∂r −

kρ μ

( 2)π rh ∂

∂

P kρ ( ) + π 2 ( rh

μr

ρ −2π h kPkP )(r

∂

μ∂

1 ⎡kρ ∂ P r r ⎢⎣ μ ∂ r

r + dr

r

kρ

μ∂

dr P∂ ⎞ 1 ∂ ρ⎛ k∂ r = r ∂ μr ⎜⎝ ∂ ∂r ⎟⎠

c=−

h

π )+(2 rμr ∂

−

P )ρπ φ= r r + dr

∂

∂∂

t

r

∂

ρ

rπ

P ⎤ r r ⎥⎦ =

∂

ρ ∂r

∂ ∂

t

∂

t

2 rh dr

()φ = 2 rh dr r + dr

∂

t

(φ ρ ) (1.1)

(φ ρ )

1 ∂V 1 ∂ ρ = V∂P ρ∂P

De donde; ρ

= ρo ec ( P − Po )

(1.2)


25

cf =

1 ∂φ P

φ∂

Colocando la Ec. 1.1 en términos deρ: ∂

∂

(φ )ρ = φ()

∂t

∂ρ

∂ ∂

ρ

∂t

∂

∂ ∂t

(φ ρ ) = φ ∂ ρ + φ

c

φ

ρφ c f ∂ ρ

∂t

(φ ρ ) =

∂ ∂t

∂φ∂ ∂ ρ ρt ∂+ ∂ρ∂ P

t (φρ )φ= ∂

∂t

(+) ρ

[c f

cρ

+ c]

∂t

P t

=φ

∂ρ ∂t

⎡ cf ⎤ ⎢1 + c ⎥ ⎣ ⎦

∂ρ ∂t

La parte derecha de la ecuación de difusividad se ha simplificado completamente. Ahora continuando con el término de la izquierda: ∂ ∂

P ∂ ∂Pρ = r ∂ρ∂

∂ρ 1 = rρ∂ c

r

Reemplazando este resultado en la Ec. 1.1, se tiene: 1 ∂ ⎛ kr ∂ ρ ⎞ φ ⎜ ⎟ = [c + c]∂ ρ r ∂ r ⎜⎝ μ c ∂ r ⎟⎠ c f ∂t

(1.3)

Con el objeto de disponer la Ec. 1.1 en términos dep, se deriva la Ec. 1.2 con respecto a r y t, así: ∂ρ ∂

r

∂ρ ∂

t

= ρ o e c ( P −Po ) c

∂

= ρ o ec ( P − Po ) c

∂

∂

∂

P r P t

Reemplazando el resultado de la derivada en la Ec. 1.3:


26

1 ∂ ⎛ kr ∂ P⎞ ∂ P cφ ( P − Po ) = ⎡c + c ⎤ ρ eC ( P − Po )c ρ e c r ⎜⎝ ∂ c o r ⎟⎠ ∂c ⎣ f ⎦ o t

μ r∂

Extrayendo los términos constantes de la derivada: μ∂ ∂ ⎛ P ⎞∂ r = φ ct kr ∂ r ⎜⎝ ∂ r ⎟⎠

∂

P t

(1.4)

Defina la constante de difusividad,η, como 1 = φ ct , luego:

k

η

1 ∂ ⎛ ∂ P⎞ 1 ∂ P r ⎟= r ∂ rr⎜⎝ ∂ η⎠∂ t

Derivando; 1 ⎡∂ P ∂ 2P ⎤ 1 ∂ P +r = r ⎢⎣ ∂ r ∂ r 2η∂⎥⎦ t ∂ ∂

2

P 1∂ P 1 ∂ P + = r 2 ∂r ηr∂ t

(1.5)

En coordenadas cilíndricas15-16 : ∂ ∂

2

P∂ 1 P∂ kθ ∂1 + + + r 2 ∂ r r θ ∂k r ∂r 2

2

P∂ k z =2 ∂ kr

2

P z2

φμ ct

kr

P t

(1.6.)

= r cos θ =, y θ r sin = ,z z En coordenadas esféricas15:

x = rsen θ φcos= , y=θ rsen= θ, x rcos θ=φ , y θrsen sen, z rcos 1 ⎡ ∂ ⎛ ∂ 2⎞ p ∂1 r + ⎛⎜ r ⎢⎣ ∂r ⎜⎝ ∂⎟⎠ r θ sin ∂θ ⎝

⎞∂ θsin + ⎟ ∂θ ⎠

P∂

∂φ μ1 = θ∂φsin 2

2

p⎤ ∂2 ⎥⎦

c k

p t

En coordenadas elípticas16:

= a cosh ξ cos η = , y ξa sinh η = sin , z z


27

∂ 2 ∂p 2 p =2 2 + ∂ξ∂η

1 2 ∂ μφ c a ( cosh2 ξ − η cos2 ) 2 ∂ k

p t

1.3.2. Método II Para la mayoría de los fluidos hidrocarburos, el esfuerzo de corte y la rata de corte pueden describirse mediante la ley de fricción de Newton la cual combinada con la ecuación de movimiento resulta en la conocida ecuación de Navier-Stokes. La solución de dicha ecuación para las condiciones de frontera apropiadas da lugar a la distribución de velocidad del problema dado. Sin embargo, la geometría de los poros, no permite la formulación adecuada de las condiciones de frontera a través del medio poroso. Luego, una aproximación diferente se debe tomar. Darcy descubrió una relación simple entre el gradiente de presión y el vector velocidad para una sola fase. El volumen de fluido contenido en el anillo de la Fig. 1.7 es 15:

V = (2π rhdr )φ

(1.7)

Puesto que c = −

1 dV entonces; V dP

dV = −cVdP De la Ec. 1.7, se tiene:

dV = −c(2π rhdr )φ dP Si dq =

∂V entonces reemplazando la relación anterior en ésta se tiene: ∂t

dq = −cφ (2π rhdr )

∂P , ó; ∂t

∂q ∂P = −cφ (2π rh) ∂r ∂t

(1.8)

De la ley de Darcy, se sabe que:

q = − (2π rh)

k ∂P

∂r Derivando la Ec. 1.9 con respecto ar, se obtiene: μ


(1.9)

28

r+dr P+dP

P

h

r o z o P

Fig. 1.7. Elemento de volumen y presión ∂q k ⎡ ∂P ∂ 2 P ⎤ = − (2π h) ⎢ + r 2 ⎥ ∂r ∂r ⎦ μ ⎣ ∂r

(1.10)

Igualando las Ecs. 1.8 y 1.10, se obtiene: ∂P −cφ (2π −rh)= ∂t

cφ r

k ⎡ ∂P ∂ 2 P ⎤ , ó; (2 + π h) ⎢ r 2⎥ μ ⎣ ∂r ∂r ⎦

∂P k ⎡ ∂P ∂ 2 P ⎤ = +r 2 ⎥ ∂t μ ⎢⎣ ∂r ∂r ⎦

Rearreglando,

∂ 2 P 1 ∂P cφ μ ∂P + = ∂r 2 r ∂r k ∂t

(1.11)

La Ec. 1.11 es la ecuación de difusividad.

1.3.3. Limitaciones de la Ecuación de Difusividad a) Medio poroso isotrópico, horizontal, homogéneo, permeabilidad y porosidad b) constantes Un solo fluido satura el medio poroso c) Viscosidad constante, fluido incompresible o ligeramente compresible


29

d) El pozo penetra completamente la formación. Fuerzas gravitacional despreciables, e) La densidad del fluido es gobernada por la Ec. 1.2. ρ

= ρ o e c ( p − po )

A) ∂ ∂

(1.2)

Flujo radial 2

φ μ ct P 1∂ P ∂P + = r 2 r ∂ r 0.0002637 k ∂ t

(1.12)

Donde;

P = psi ct = 1/psi

t = hr k = md

μ = cp φ = fracción

r = ft

Flujo Multifásico

B)

Al igual que el análisis de pruebas en pozos de gas como se verá más adelante, las pruebas multifásicas se pueden interpretar mediante el método de la aproximación de presión (método de Perrine)3,16-17 , la aproximación de pseudopresión y la aproximación de P2. El método de Perrine permite transformar la ecuación de difusividad a: ∂ ∂

2

P 1∂ P φ ct + = 2 ∂λ r ∂ r r 0.0002637

∂ t

P

(1.13.a)

t

c t = co S o + c g S g + c w S w + c f λt

=

ko μo

+

kg μg

+

kw μw

2 El método asume gradientes de presión y de saturación despreciables. Martin demostró que (a) El método pierde exactitud a medida que la saturación de gas se incrementa, (b) La estimación de la movilidad es buena, (c) El cálculo individual de las movilidades es sensible a los gradientes de saturación. Se logran mejores estimativos cuando la distribución de saturación es uniforme y (d) El método subestima la permeabilidad efectiva de la fase y sobrestima el factor de daño. Cuando hay flujo de gas libre:

⎜⎛⎜ k ⎞⎟⎟ = ± ⎨⎧162600(qg − 0.0001(qo Rs + qw Rsw ) Bg ⎬⎫ mh ⎝ μ ⎠g ⎩ ⎭


30

Siendo m la pendiente del gráfico semilog. La interpretación de los datos de presión puede requerir del cálculo de la rata total de flujo, qt:

qt = (+qo Bo − (qg +qo Rs ) Bg qw Bw ) / Bo siendo qg la rata total de flujo de gas yqoRs representa la rata de gas en solución. En general las ecuaciones que rigen el comportamiento de la presión en pruebas multifásicas para pruebas de declinación y restauración de presión, respectivamente, son: λt t 162.6 qt ⎛ ⎞ Pwf = Pi − + 0.869 s ⎟ ⎜ log λt h ⎝ 1688φ ct rw2 ⎠

Pws = Pi −

⎛ t + Δt ⎞ 162.6 qt log ⎜ p ⎟ λt h ⎝ Δt ⎠

Donde, qt, qo y qw están dados en bbl/día yqg en pcn/día. Nótese que normalmenteqg se da en Mscf/día. La movilidad total, las permeabilidades de cada fase y el daño mecánico se pueden estimar de: λt

=−

162.6 Qt mh

kL = −

kg = −

162.6 qL BL μL ; L = agua o aceite mh

162.6 ( qg − qo Rs /1000 ) Bg μ g mh

⎛ P −P ⎞ ⎛ λ ⎞ s = 1.1513 ⎜⎜ wf 1hr − log ⎜ t 2 ⎟ + 3.23 ⎟⎟ φ m c r ⎝ tw⎠ ⎝ ⎠ C) Flujo de Gas Partiendo de la ecuación de continuidad y la ecuación de Darcy: 1 ∂ ∂ ( rρμ ) r =−( ) φρ r ∂r ∂t


31

k ∂P μ ∂r La ecuación de estado para líquidos ligeramente compresibles no modela flujo de gas, por lo tanto se usa la ley de los gases reales11: ur = −

ρ=−

PM RT

Combinando la ecuación de continiudad y de Darcy resulta:

−

1 ∂ ⎛ρ ∂ k P ⎞∂

r r ∂r ⎜⎝ μ∂

−= φρ ( r ∂⎟⎠ t

)

⎛ ∂k P∂⎞ 1 ∂ρ

r r ∂r ⎜⎝ μ∂

= ( φρ) r∂⎟⎠ t

Susbtituyendo la ley de los gases reales: 1 ∂ ⎛ kPMp∂ ⎞

∂ PM ⎞ r = ⎛φ rr∂ ⎜⎝μ zRT ∂ ∂t ⎟⎠ t ⎜⎝ zRT ⎟⎠

Como M, R y T son constants y asumiendo que la permeabilidad es constante: 1 ∂ ⎛⎜ r P ∂P ⎞⎟ = 1 ∂ ⎛⎜ φ P ⎞⎟ r ∂r ⎝μ∂ z r ⎠∂ k t ⎝ z ⎠ USando la regla de la cadena en el miembro derecho de la anterior igualdad: 1 ∂ ⎛ P∂ P ⎞ ⎡ 1∂φP ∂φ

⎤ P r = + ⎛⎜ ⎞⎟ ⎥ r ∂r ⎜⎝μ∂ z r ⎟⎠ ∂k ∂⎢⎣ z t t ⎝ z ⎠⎦

1 ∂ ⎛ P∂ p ⎞

⎡∂P ∂ P ∂ 1∂φ P P⎤ r = + φ ⎛⎜ ⎞⎟ ⎥ r ∂r ⎜⎝μ∂ z r ⎟⎠ ∂k∂ ⎢⎣∂ z p t∂ p⎝ z ⎠ t ⎦

1 ∂ ⎛ P⎞∂ P⎡ φ∂ P ∂φ P 1⎤ ∂

z ⎛P⎞ r = + r ∂rμ⎜⎝ ∂⎠z r ⎣⎟ ∂ zkφ∂ t ⎢∂⎦ P P P ⎜⎝ z ⎟⎠ ⎥

Usando la definición de compresibilidad:


32

1 ∂ρ ρ ∂P zRT ∂ ⎛ ⎞PM z ∂ P cg = = ⎛⎜ ⎞⎟ ⎟ PM ∂P ⎜⎝ zRT P⎝ ⎠∂P z ⎠

cg =

cf =

1 ∂φ

φ ∂P

Sustituyendo las anteriores definiciones en la ecuación de difusividad: 1 ∂ ⎛ P∂ P ⎞φ ∂ P

= r r ∂r ⎜⎝μ∂ z r ⎟⎠∂ zkt

P

( c f + cg ) ,

si ct = cg + c f entonces;

1 ∂ ⎛ P ∂P ⎞

Pφct ∂P r = r ∂r ⎜⎝μ∂ z r ⎟⎠ ∂ zk t

(1.13.b)

La anterior es una ecuación diferencial parcial no lineal y no peude resolverse directamente. En general, se consideran tres suposiciones limitantes para su solución, a saber: (a) P/μz es constante, (b) μct es constante y (c) la transformación de peudopresión para un gas real.

a) La ecuación de difusividad en términos de presión Si en la Ec. 1.13.b asumimos que10,14 el término P/μz permanece constante con respecto a la presión, ésta se transforma en :

Pφct ∂P = r ⎟⎠ ∂ zk t

1 P ∂ ⎛ ∂P ⎞

r μ∂z ∂r ⎜⎝

r

1 ∂ ⎛ ∂P ⎞ φμct ∂P

r = r ∂r ⎜⎝ ∂r ⎟⎠ k ∂t

La cual es lo mismo que la Ec. 1.11 para fluidos ligeramente compresibles y pueden resolverse si el término μct permanece constante.

b) La ecuación de difusividad en términos de la presión al cuadrado La Ec. 1.13.b puede escribirse en términos de la presión al cuadrado, P2, partiendo del hecho que10-14 :


33

∂P 1 ∂P 2 = ∂r 2 ∂r ∂P 1 ∂P 2 y; P = ∂t 2 ∂t

P

1 ∂ ⎛ r ∂P 2 ⎞ φct ∂P 2 = r ∂rμ⎜⎝∂ zr ⎟⎠ ∂ kz t

Si partimos del hecho que el término μz permanece constante con respecto a la presión, y por supuesto, el radio, entonces la anterior ecuación puede escribirse como: 1 1 ∂ ⎛ ∂P 2 ⎞ φct ∂P 2 r = r μ∂z r∂⎜⎝ r ⎟⎠∂ kz t

Multiplicando por los términos μz: 1 ∂ ⎛ ∂P 2 ⎞ φμct ∂P 2 r = r ∂r ⎜⎝ ∂r ⎟⎠ kt ∂

Esta expresión es similar a la Ec. 1.11, pero la variable dependiente es P2. Por lo tanto, su solución es similar a la de la Ec. 1.11, excepto que su solución está en términos de P2. Esta ecuación también requiere que μct permanezca constante.

c) Ecuación de difusividad de gases en términos de pseudopresión, m(P) La ecuación de difuvidad en términos de P2 puede aplicarse a bajas presiones y la Ec. 1.13.b puede ser aplicada a presiones elevadas sin incurrir en errores. Por ende, se requiere una solución que se aplique a todos los rangos. Al-Hussainy2 introdujo un método de linealización más riguroso llamado pseudopresión la cual permite que la ecuación general de difusividad se solucione sin suposiciones limitantes que restringen ciertas propiedades de gases a permanecer constantes con la presión 2,11-17 : p

m( P ) = 2 μPz dP

∫

p0

Usando la regla de Liebnitz de derivación de una integral:

∂ h( x) g (u )du = ⎧⎨ g [ h( x )] ∂ [ h( x) ] − g [ f ( x )] ∂ [ f ( x)] ⎫⎬ ∂x f ( x) ∂x ∂x ⎭ ⎩

∫


34

La derivada de la pseudopresión con respecto al radio y el tiempo: Pseudopresión

μZ, cp

n ió s re p o d u e

o c ti á r d a u C

0

Lineal

s P

2000

4000

6000

8000

10000

Presión

Fig. 1.8. Pseudopresión

∂m( P) P ∂P =2 ∂r μz ∂r ∂m( P) P ∂P ∂t = 2 μz ∂t Recordando la ecuación de difusividad:

Pφct ∂P = r ⎟⎠ ∂ zk t

1 P ∂ ⎛ ∂P ⎞

r μ∂z ∂r ⎜⎝

r

Reemplazando las pseudopresiones en esta ecuación: 1 ∂ ⎡ Pμ∂⎛ z r r ∂μr ⎢⎣ ∂ z ⎜⎝ 2 Pr

m⎞( P) ⎛⎤μ∂ Pφ⎞ct z m( P) ⎟ ⎜⎥∂= zk⎟ 2P t ⎠ ⎝⎦ ⎠

Simplificando:

φμc

1r ∂∂r ⎜⎛⎝ r ∂m∂(rP) ⎟⎞⎠ = k t ∂m∂(tP)


35

Expandiendo la anterior ecuación y expresándola en unidades de campo: ∂

2

φ μ gi ct m( P ) 1 ∂ m ( P ) + = r2 r ∂r 0.0002637k gi

∂

∂

m( P ) ∂t

(1.14)

Para una linealización más efectiva de la Ec. 1.14, Agarwal16 introdujo el pseudotiempo, ta, en virtud a que el producto μgct en la Ec. 1.14 no es constante: t

ta = 2∫ μdξc 0

t

Con base en eso la ecuación de difusividad para gases queda: 1 ∂ ⎛ ∂m( P) ⎞ 2φ(c f + cg ) ∂m( P ) r = r ∂r ⎜⎝ ∂r ⎟⎠ k cg ∂ta La linealización incompleta de la anterior expresión conduce a obtener pendientes semilog algo más largas comparadas con líquidos. Algunas veces se recomienda utilizar variables normalizadas con el fin de retener las unidades de tiempo y presión16. Las pseudovariables normalizadas son:

m( P )n = Pi + t

tan = μi cti + ∫ 0

μi ρi

P

ρ (ξ )

∫ μ (ξ ) dξ

P0

dξ μ ()() ξ Z ξ

1.3.4. Solución de la Línea Fuente La Ref. 12 presenta la solución de la línea fuente usando la transformada de Boltzman, la trasnformada de Laplace y funciones Bessel. A continuación se presenta el método de Combinación de variables independientes, el cual se basa en el análisis dimensional de Buckingham. Este toma una función f = f(x, y, z, t), esta se debe transformar a un grupo o función que contenga menos variables, f = f(s1,s2...). Se propone un grupo de variables cuya forma general es:

f = f ( x, y , z, t ) → f = f ( s1 , s2 ,...)

s = axbcde yzt


36

La ecuación de difusividad es: 1 ∂ ⎛ ∂f⎞ ∂f ⎜r ⎟= r ∂r⎝ ∂r⎠ ∂t

(1.15)

Donde f es:

f=

P − Pwf Pi − Pwf

Sujeto a las siguientes condiciones iniciales y de frontera:

f = 0, 0≤ ≤∞r r

∂ ∂

=, t 0

f = 1, r = 0, t > 0 r

f = 0, r→∞ >, t 0 Definiendo un grupo de variables como s = ar b t c

(1.16)

Multiplicando la Ec. 1.15 por ∂s/∂s: 1 ∂ s ∂ ⎜⎛ r ∂ s ∂ f ⎟⎞ = ∂ s ∂ f r ∂s∂r⎝ ∂s ∂r⎠ ∂s ∂t

Intercambiando términos: 1∂s ∂ ⎛ ∂s∂ f ⎞ ∂s∂ f ⎜r ⎟= r ∂r ∂ s⎝ ∂r ∂ s⎠ ∂t ∂ s

(1.17)

Las nuevas derivadas se obtienen a partir de la Ec. 1.16: ∂s ∂r

= abr b −1t c

y

∂s ∂t

= acr b t c−1

Reemplazando en la Ec. 1.16 y rearreglando: 1 b−1 c ∂ ⎛ b −1 c ∂ f ⎞ b c−1 ∂ f abr t ⎜ r ⋅ abr t ∂ s ⎟ = acr t ∂ s r ∂ s⎝ ⎠


37

∂ f 1 2 2 r b 2c ∂ ⎛ r b ∂ f ⎞ ab t r⋅ = acr b t c−1 ∂s r r ∂ s ⎜⎝ r ∂ s ⎟⎠

s entonces; at c

b Puesto que r =

a 2b 2 b 2 c ∂ ⎛ s r t ⎜ ∂ s ⎝ at c r2

∂

f⎞ ∂ f ⎟ = acr b t c−1 ∂s

∂s⎠

∂ f ab 2 b c ∂ ⎛ ∂ f ⎞ ⎜ s ⎟ = acr b t c −1 2 r t ∂ s⎝ ∂ s⎠ ∂s r ∂ f b2 ∂ ⎛ ∂ f ⎞ t ⎜s ⎟ = c ∂s r2 ∂ s ⎝ ∂ s ⎠

∂ ∂

⎛ ∂ s s ⎜⎝ ∂

f ⎞ r 2c ∂ f = s ⎟⎠ b 2t ∂ s

∂ ⎛ ∂f ⎞ c ⎡ 2 −1 ⎤ ∂f = s r t ⎦s ∂s ⎜⎝ ∂s ⎟⎠ b 2 ⎣ ∂s Comparando el término encerrado en paréntesis cuadraron con la Ec. 1.16 ( s = arbtc), 2

2 -1

se observa que b = 2, c = -1, luego s= ar /t de modo que r t =s/a, entonces:

∂ ⎛ ∂f⎞ ⎡ ⎤ c ∂f s = s ∂s ⎜⎝ ∂⎠s ⎟⎣ ⎢⎦b2 a ⎥ ∂s El término encerrado en paréntesis cuadrados es una constante que se asume igual a 1 por conveniencia. En vista que c/(b2a) = 1, entonces a = -1/4. Luego:

∂ ⎛ ∂f ⎞ ∂f s =s ∂s ⎜⎝ ∂s ⎟⎠ ∂s Escribiendo como una ecuación diferencial ordinaria:

d ⎛ df ⎞ df ⎜s ⎟ = s ds ⎝ ds ⎠ ds

(1.17.a)

Aplicando el mismo análisis a las condiciones iniciales y de frontera para convertirlas en función de s: Análisis Moderno de Presiones de Pozos – Freddy H. Escobar, Ph.D.

38

Condiciones iniciales:

f = 0, 0≤ ≤∞r

=, t 0

puesto que s = ar2/t al tiempo t = 0, s → ∞

(1.17.b)

Condición de frontera 1: Esta se deriva a partir de la Ley de Darcy. r ∂ f = 1, r = 0, t > 0 ∂r

Multiplicando la anterior ecuación por ∂s/∂s:

f ∂s =1 ∂s ∂r

r

∂

r

∂

r

∂

f abr b −1t c = 1 s

f rb c ab t = 1 ∂s r

∂

∂ ∂

f ab s t c = 1 , puesto que b = 2, entonces, s at c

s∂ f = 1 ∂s 2

(1.17.c)

Condición de frontera 2: f = 0, r→∞

>, t

0

Si s = ar2/t cuando r → ∞, s = ar2/t → ∞

(1.17.d)

Lo anterior porque el tiempo se hace cada vez más grande. Luego, la nueva ecuación diferencial con sus condiciones iniciales y de frontera es:

d ⎛ df ⎞ df ⎜s ⎟ = s ds ⎝ ds ⎠ ds

(1.17.a)

Condiciones iniciales:

f = 0, s→−∞

(1.17.b)


39

Condición de frontera 1:

s

∂

f

∂s

1 cuando s=0 2

=

(1.17.c)

Condición de frontera 2:

f = 0, s→−∞

(1.17.d)

Nota: Observe que la condición inicial y la condición de frontera 2 son iguales. Si

definimos:

g =s

df d , entonces la Ec. 1.17.a se transforma en g=g ds ds

Separando e integrando; ln g = s + c1 , de donde,

g = c1e s = s

df ds

(1.18)

Despejando df;

df =

c1 e s

ds es

∫ df = c ∫ s ds , la cual es una ecuación que no es analíticamente integrable (se 1

resuelve por series de potencia):

es s2 = +1 +s + ...... 2! s Simplificando la solución:

f = c1 ∫

es

ds + c2

Aplicando la condición de frontera 1, Ec. 1.17.c, a la Ec. 1.18:


40

c1 e s = s

df 1 = ds 2

Cuando s = 0, es = 0, luego c1 = ½, luego;

f =

1 s es ds + c 2 2 ∫0 s

Aplicando la condición de frontera 2,f = 0 cuando s → ∞ 1 −∞ e s 0 = ∫ ds + c2 , de donde; 20 s

c2 = −

f =

1 −∞ e s 1 s es 1 −∞ e s ds , entonces f = ∫ ds − ∫ ds , luego: ∫ 20 s 20 s 20 s

1 ∞ e− s 1 s es ds f = − ds , que es igual a f = − 1 Ei ( − s) , ó ∫s 2 −∞ 2 ∫s s 2

1 ⎛ −r2 ⎞ , ó ⎟ f (r , t ) = − Ei ⎜⎜ 2 ⎝ 4t ⎟⎠

1 ⎛ r2 ⎞ PD (rD , t D ) = − Ei ⎜⎜ − D ⎟⎟ 2 ⎝ 4t D ⎠

La ecuación anterior es una muy buena aproximación de la solución analítica cuando se satisface (Mueller y Witherspoon2,3,4,7,8 ) que rD ≥ 20 ó tD/rD2 ≥ 0.5, ver Fig. 1.9. Si tD/rD2 ≥ 5 se incurre en un error inferior al 2 % y sitD/rD2 ≥ 25 el error es inferior al 5 %. La Fig. 1.10 es representada por el siguiente ajuste con coeficiente de correlación, r2, de 0.99833613.

y=

a + cx 1 + bx + dx 2

y

tD = 10 y , donde: rD2

a = 0.5366606870950616 d = 0.119967622262022

b = -0.8502854912915072 c = 1.843195405855263 x = log(PD)

14 La función exponencial puede evaluarse mediante la siguiente fórmula para x ≤ 25:

x2 x3 x4 Ei( x) = 0.57721557 + −+ln x − x + 22⋅ ! 33⋅ ! 4 ⋅ 4!....


41

A continuación se presenta un listado de un código de programa en VisualBasic, que el lector podrá adicionar fácilmente como función en su Microsoft Excel para acondicionarlo a que éste calcule la función exponencial: '

Estimation of Ei function

Function ei(x) Dim dexp As Double, ARG As Double, dlog As Double Dim Res1 As Double, Res2 As Double, Res3 As Double, Res4 As Double, Res5 As Double, Res As Double If x = 0 Then Exit Function dexp = Exp(-x) Ifdlog x >=60Log(x) Then ei = 0# Exit Function End If If x > 4# Then ARG = 4# / x Res = 0.011723273 + ARG * (-0.0049362007 + ARG * (0.00094427614)) Res = -0.022951979 + ARG * (0.020412099 + ARG * (-0.017555779 + ARG * Res)) Res = (0.24999999 + ARG * (-0.062498588 + ARG * (0.031208561 + ARG * Res))) Res = dexp * ARG * Res ei = Abs(Res) Else If x < 0 Then ei = 0# Exit Function End If If x = 0 Then ei = 1E+75 Exit Function End If Res1 = -1.6826592E-10 + x * (1.5798675E-11 + x * (-1.0317602E-12)) Res2 = 0.00000030726221 + x * (-0.00000002763583 + x * (2.1915699E-09 + x * Res1)) Res4 = -0.00023148392 + x * (0.00002833759 + x * (-0.000003099604 + x * Res2)) Res3 = -0.010416662 + x * (0.0016666906 + x * Res4) Res5 = x * (-0.25 + x * (0.05555552 + x * Res3)) Res = -dlog - 0.57721566 + x * (1# + Res5) ei = Abs(Res) End If

End Function

Las Figs. 1.11 y 1.12 y las tablas 1.3.a, 1.3.b y 1.3.c presentan soluciones de la función exponencial.

1.4. FACTORES ADIMENSIONALES Los parámetros adimensionales no proporcionan una visión física del parámetro que se mide, pero si una descripción general o universal de éstos. Por ejemplo, un tiempo real de 24 hrs corresponde a un tiempo adimensional de aproximadamente 300 hrs en formaciones de muy baja permeabilidad o más de 107 en formaciones muy permeables4,11-12 .


42

1.E+01

r D = 1.3

1.E+00

rD=1 1.E-01

D

1.E-02

P

r

D

=

2

1.E-03

1.E-04

1.E-05

1.E-06 0.01

r D = 20 0.1

1

tD/ r

10

2 D

4,12 Fig. 1.9. Presión adimensional para diferentes valores del radio adimensional

100

43

10

10

4

5

10

6

10

7

10

8

9

10

10

1 D

P

0.1

0.01

0.1

1

10

t D /r D2

100

1000

10000

Fig. 1.10. Presión adimensional para un pozo sinalmacenamiento y daño en un yacimiento infinito4,12

44

Ei(-x) 0

0.025 0.05 0.075 0.1

0.125 0.15 0.175 0.2

0.225 0.25

10

x

1

Fig. 1.11. Valores de la integral exponencial para 1≤ x ≤ 10 Ei(-x) 0123456789 1

0.1

x 0.01

0.001

0.0001

Fig. 1.12. Valores de la integral exponencial para 0.0001≤ x ≤ 1

45

Tabla 1.3.a. Valores de la integral exponencial para 0.0001 ≤ x ≤ 0.209 x 0.0000 0.0010 0.0020 0.0030 0.0040 0.0050 0.0060 0.0070 0.0080 0.0090 0.010 0.020 0.030 0.040 0.050 0.060 0.070 0.080 0.090 0.100 0.110 0.120 0.130 0.140 0.150 0.160 0.170 0.180 0.190 0.200

0 6.33154 5.63939 5.23493 4.94824 4.72610 4.54477 4.39162 4.25908 4.14229 4.03793 3.35471 2.95912 2.68126 2.46790 2.29531 2.15084 2.02694 1.91874 1.82292 1.73711 1.65954 1.58890

1 8.63322 6.23633 5.59070 5.20224 4.92365 4.70639 4.52834 4.37753 4.24676 4.13134 3.94361 3.30691 2.92731 2.65755 2.44907 2.27975 2.13762 2.01548 1.90865 1.81393 1.72900 1.65219 1.58217

2 7.94018 6.14942 5.54428 5.17059 4.89965 4.68707 4.51218 4.36365 4.23459 4.12052 3.85760 3.26138 2.89655 2.63443 2.43063 2.26446 2.12460 2.00417 1.89868 1.80502 1.72098 1.64490 1.57551

3 7.53481 6.06948 5.49993 5.13991 4.87622 4.66813 4.49628 4.34995 4.22257 4.10980 3.77855 3.21791 2.86676 2.61188 2.41255 2.24943 2.11177 1.99301 1.88882 1.79622 1.71304 1.63767 1.56890

4 7.24723 5.99547 5.45747 5.11016 4.85333 4.64953 4.48063 4.33645 4.21069 4.09921 3.70543 3.17634 2.83789 2.58987 2.39484 2.23465 2.09913 1.98199 1.87908 1.78751 1.70517 1.63052 1.56234

5 7.02419 5.92657 5.41675 5.08127 4.83096 4.63128 4.46523 4.32312 4.19896 4.08873 3.63743 3.13651 2.80989 2.56838 2.37746 2.22011 2.08667 1.97112 1.86945 1.77889 1.69738 1.62343 1.55584

6 6.84197 5.86214 5.37763 5.05320 4.80908 4.61337 4.45006 4.30998 4.18736 4.07835 3.57389 3.09828 2.78270 2.54737 2.36041 2.20581 2.07439 1.96038 1.85994 1.77036 1.68967 1.61640 1.54940

7 6.68791 5.80161 5.33999 5.02590 4.78767 4.59577 4.43512 4.29700 4.17590 4.06809 3.51425 3.06152 2.75628 2.52685 2.34369 2.19174 2.06228 1.94978 1.85053 1.76192 1.68203 1.60943 1.54301

8 6.55448 5.74455 5.30372 4.99934 4.76672 4.57847 4.42041 4.28420 4.16457 4.05793 3.45809 3.02614 2.73060 2.50677 2.32727 2.17789 2.05034 1.93930 1.84122 1.75356 1.67446 1.60253 1.53667

9 6.43680 5.69058 5.26873 4.97346 4.74620 4.56148 4.40591 4.27156 4.15337 4.04788 3.40501 2.99203 2.70560 2.48713 2.31114 2.16426 2.03856 1.92896 1.83202 1.74529 1.66697 1.59568 1.53038

1.52415 1.46446 1.40919 1.35778 1.30980 1.26486 1.22265

1.51796 1.45875 1.40388 1.35284 1.30517 1.26052 1.21857

1.51183 1.45307 1.39861 1.34792 1.30058 1.25621 1.21451

1.50574 1.44744 1.39338 1.34304 1.29601 1.25192 1.21048

1.49970 1.44186 1.38819 1.33820 1.29147 1.24766 1.20647

1.49371 1.43631 1.38303 1.33339 1.28697 1.24343 1.20248

1.48777 1.43080 1.37791 1.32860 1.28249 1.23922 1.19852

1.48188 1.42534 1.37282 1.32386 1.27804 1.23504 1.19458

1.47603 1.41992 1.36778 1.31914 1.27362 1.23089 1.19067

1.47022 1.41453 1.36276 1.31445 1.26922 1.22676 1.18677

1.4.1. Ecuación de Difusividad en Forma Adimensional ∂ ∂

2

P 1 ∂ P φ μ ct + = r2 r ∂ r k

∂ ∂

P t

(1.19)

Defina rD = r / rw . Derivando; ∂r

= rw∂ rD

(1.20)

46

Tabla 1.3.b. Valores de la integral exponencial,Ei(− x) ×10−4 , para 4 ≤ x ≤ 25.9 x 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0 13.0 14.0 15.0 16.0 17.0 18.0 19.0 20.0 21.0 22.0 23.0 24.0 25.0

0

1

2

3

4

5

6

7

3.6017735 3 .2118193 2.8647125 2 .5556633 2.2804286 2.0352477 1.8167864 1.6220875 1.4485269 1.2937759 1.1557663 1 .0326617 0.9228302 0 .8248215 0.7373462 0.6592579 0.5895367 0.5272751 0.4716656 0.4219890 0.3776052 0 .3379441 0.3024976 0 .2708131 0.2424872 0.2171602 0.1945115 0.1742550 0.1561356 0.1399259 0.1254226 0 .1124444 0.1008297 0 .0904339 0.0811280 0.0727968 0.0653373 0.0586577 0.0526757 0.0473179 0.0425187 0 .0382194 0.0343676 0 .0309164 0.0278237 0.0250521 0.0225681 0.0203416 0.0183456 0.0165563 0.0149520 0 .0135135 0.0122236 0 .0110669 0.0100294 0.0090988 0.0082641 0.0075154 0.0068436 0.0062409 0.0057001 0 .0052148 0.0047794 0 .0043886 0.0040378 0.0037230 0.0034404 0.0031867 0.0029589 0.0027545 0.0025709 0 .0024061 0.0022580 0 .0021251 0.0020057 0.0018985 0.0018022 0.0017157 0.0016381 0.0015683 0.0015056 0 .0014492 0.0013986 0 .0013532 0.0013123 0.0012756 0.0012426 0.0012129 0.0011863 0.0011624 0.0011409 0 .0011216 0.0011041 0 .0010885 0.0010745 0.0010620 0.0010504 0.0010403 0.0010310 0.0010228 0.0010155 0 .0010088 0.0010026 0 .0009971 0.0009925 0.0009879 0.0009843 0.0009804 0.0009777 0.0009746 0.0009725 0 .0009699 0.0009673 0 .0009657 0.0009644 0.0009624 0.0009618 0.0009597 0.0009587 0.0009575 0.0009563 0 .0009573 0.0009561 0 .0009553 0.0009543 0.0009549 0.0009534 0.0009535 0.0009526 0.0009534 0.0009511 0 .0009503 0.0009479 0 .0009497 0.0009496 0.0009488 0.0009517 0.0009495 0.0009448 0.0009480 0.0009526 0 .0009507 0.0009534 0 .0009422 0.0009365 0.0009574 0.0009370 0.0009575 0.0009491 0.0009553 0.0009248 0 .0009537 0.0009454 0 .0009384 0.0009370 0.0009223 0.0009627 0.0009158 0.0009742 0.0009532 0.0009183 0 .0009230 0.0008344 0 .0009125 0.0009568 0.0008906 0.0008732 0.0008799 0.0009004 0.0009780 0.0009464 0 .0009149 0.0007237 0 .0009555 0.0007416 0.0008180 0.0007813 0.0007484 0.0007145 0.0007941 0.0009316 0 .0005388 0.0006837 0 .0003851 0.0007086 0.0007141 0.0006669 0.0011186 0.0010050 0.0005255 0.0000779 0 .0003408 0.0001132 0 .0000237 0.0016636 0.0000553 0.0011594 0.0002998 0.0010992 0.0007856

tD =

t to

(1.23)

t = t o∂ t D

Reemplazando la Ec. 1.23 en 1.22 ∂ ∂

9

11.4839049 10.2139501 9.0871651 8.0870324 7.1989935 6.4102095 5.7093507 5.0864138 4.5325619 4.0399841

Defina el tiempo adimensional como;

∂

8

37.7944731 33.4897554 29.6885708 26.3300686 23.3610494 20.7349566 18.4110072 16.3534439 14.5308884 12.9157826

P 1 ∂ P φ μ ct rw2 + = rD2 rrD ∂ D kto

2

∂ ∂

P tD

Para definir to, asuma que φ μ ct rw2 = 1 , de donde; kto

(1.24)

47

Tabla 1.3.c. Valores de la integral exponencial para 0.1≤ x ≤ 4.09 x 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.10 1.20 1.30 1.40 1.50 1.60 1.70 1.80 1.90 2.00 2.10 2.20 2.30 2.40

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1.222651 0.905677 0.702380 0.559774 0.454380 0.373769

1.182902 0.881506 0.685910 0.547822 0.445353 0.366760

1.145380 0.858335 0.669997 0.536220 0.436562 0.359918

1.109883 0.836101 0.654614 0.524952 0.427997 0.353237

1.076236 0.814746 0.639733 0.514004 0.419652 0.346713

1.044283 0.794216 0.625331 0.503364 0.411517 0.340341

1.013889 0.774462 0.611387 0.493020 0.403586 0.334115

0.984933 0.755442 0.597878 0.482960 0.395853 0.328032

0.957308 0.737112 0.584784 0.473174 0.388309 0.322088

0.930918 0.719437 0.572089 0.463650 0.380950 0.316277

0.310597 0.260184 0.2193840 0.1859910 0.1584085 0.1354511 0.1162194 0.1000197 0.0863084 0.0746547 0.0647132 0.0562045 0.0489006 0.0426144 0.0371912 0.0325024 0.0284404

0.305043 0.255714 0.2157417 0.1829936 0.1559214 0.1333731 0.1144730 0.0985445 0.0850568 0.0735886 0.0638020 0.0554232 0.0482290 0.0420356 0.0366912 0.0320696 0.0280650

0.299611 0.251337 0.2121712 0.1800526 0.1534793 0.1313314 0.1127562 0.0970936 0.0838252 0.0725392 0.0629048 0.0546538 0.0475673 0.0414652 0.0361984 0.0316429 0.0276950

0.294299 0.247050 0.2086707 0.1771667 0.1510813 0.1293253 0.1110684 0.0956665 0.0826134 0.0715063 0.0620214 0.0538960 0.0469155 0.0409032 0.0357127 0.0312223 0.0273301

0.289103 0.242851 0.2052384 0.1743347 0.1487263 0.1273541 0.1094090 0.0942629 0.0814211 0.0704896 0.0611516 0.0531496 0.0462733 0.0403493 0.0352340 0.0308077 0.0269704

0.284019 0.238738 0.2018729 0.1715554 0.1464135 0.1254169 0.1077775 0.0928822 0.0802477 0.0694888 0.0602951 0.0524145 0.0456407 0.0398036 0.0347622 0.0303990 0.0266157

0.279045 0.234708 0.1985724 0.1688276 0.1441419 0.1235132 0.1061734 0.0915241 0.0790931 0.0685035 0.0594516 0.0516904 0.0450173 0.0392657 0.0342971 0.0299961 0.0262659

0.274177 0.230760 0.1953355 0.1661501 0.1419107 0.1216423 0.1045960 0.0901880 0.0779568 0.0675336 0.0586211 0.0509771 0.0444032 0.0387357 0.0338387 0.0295988 0.0259210

0.269413 0.226891 0.1921606 0.1635218 0.1397191 0.1198034 0.1030450 0.0888737 0.0768385 0.0665788 0.0578032 0.0502745 0.0437981 0.0382133 0.0333868 0.0292072 0.0255810

0.264750 0.223100 0.1890462 0.1609417 0.1375661 0.1179960 0.1015197 0.0875806 0.0757379 0.0656387 0.0569977 0.0495824 0.0432019 0.0376986 0.0329414 0.0288210 0.0252457

2.50 2.60 2.70 2.80 2.90 3.00 3.10 3.20 3.30 3.40 3.50 3.60 3.70 3.80 3.90 4.00

0.0249150 0.0218503 0.0191820 0.0168554 0.0148241 0.0130485 0.0114945 0.0101331 0.0089391 0.0078911 0.0069702 0.0061605 0.0054479 0.0048203 0.0042672 0.0037794

0.0245890 0.0215666 0.0189348 0.0166397 0.0146356 0.0128836 0.0113502 0.0100065 0.0088281 0.0077935 0.0068845 0.0060851 0.0053815 0.0047618 0.0042157 0.0037339

0.0242674 0.0212868 0.0186909 0.0164269 0.0144497 0.0127209 0.0112077 0.0098816 0.0087185 0.0076973 0.0067999 0.0060106 0.0053160 0.0047041 0.0041647 0.0036890

0.0239504 0.0210109 0.0184504 0.0162169 0.0142662 0.0125604 0.0110671 0.0097584 0.0086103 0.0076022 0.0067163 0.0059371 0.0052512 0.0046470 0.0041144 0.0036446

0.0236377 0.0207387 0.0182131 0.0160098 0.0140852 0.0124020 0.0109283 0.0096367 0.0085035 0.0075084 0.0066338 0.0058645 0.0051873 0.0045907 0.0040648 0.0036008

0.0233294 0.0204702 0.0179790 0.0158055 0.0139066 0.0122457 0.0107914 0.0095166 0.0083981 0.0074158 0.0065524 0.0057929 0.0051242 0.0045351 0.0040157 0.0035575

0.0230253 0.0202054 0.0177481 0.0156039 0.0137303 0.0120915 0.0106562 0.0093981 0.0082940 0.0073244 0.0064720 0.0057221 0.0050619 0.0044802 0.0039673 0.0035148

0.0227254 0.0199443 0.0175204 0.0154050 0.0135564 0.0119392 0.0105229 0.0092811 0.0081913 0.0072341 0.0063926 0.0056523 0.0050003 0.0044259 0.0039194 0.0034725

0.0224296 0.0196867 0.0172957 0.0152087 0.0133849 0.0117890 0.0103912 0.0091656 0.0080899 0.0071450 0.0063143 0.0055833 0.0049396 0.0043724 0.0038722 0.0034308

0.0221380 0.0194326 0.0170740 0.0150151 0.0132155 0.0116408 0.0102613 0.0090516 0.0079899 0.0070571 0.0062369 0.0055152 0.0048796 0.0043195 0.0038255 0.0033896

to =

φ μ ct rw2

k

(1.25)

48

Reemplazando la Ec. 1.25 en la definición detD:

⎛ φ μ ct rw2 ⎞ ⎟⎟ t = t D ⎜⎜ ⎝ k ⎠

(1.26)

⎛ kt ⎞

⎟ Despejando tD se tiene t D = ⎜⎜ 2 ⎟ ⎝ φ μct rw ⎠ Reemplazando la Ec. 1.25 en la Ec. 1.23: ∂ 2P 1 ∂ P φ μ ct rw2 ∂ P + = 2 ∂ rD rD ∂ rD k (φ μ ct rw2 / k ) ∂ tD ∂ ∂

2

P 1 + rD2 rD

∂ ∂

P ∂P = rD ∂ tD

(1.27.a)

Solución para el caso de rata constante;

q=

khΔP Bμ ln ( re / rw )

Nótese que la ecuación anterior es la solución de la ecuación de difusividad para estado estable. DespejandoΔP;

ΔP =

qBμ ⎛ re ⎞ ln kh ⎜⎝ rw ⎟⎠

Definiendo:

PD = ln

re rw

y

ΔP =

qB μ P kh D

Esto significa que la caída de presión física enestado establepara flujo radial es igual a la presión adimensional multiplicada por un factor escalable, que para este 8-17 caso depende del caudal y de las propiedades del yacimiento . El mismo concepto se aplica a flujo transitorio y a situaciones más complejas, pero en este caso la presión adimensional es diferente. Por ejemplo, para flujo transitorio la presión adimensional siempre es función del tiempo adimensional. En general, la presión a cualquier punto en un sistema con pozo único que produce a rata constante,q, está dada por:

49

[ Pi − P (,) r t ]=

qB P (t , r , C , geometría,....) kh D D D D

La presión adimensional es también afectada por la geometría del sistema, otros sistemas de pozos, el coeficiente de almacenamiento, características anisotrópicas del yacimiento, fracturas, discontinuidades radiales, doble porosidad entre otras. Despejando PD;

kh PD ( rD , tD ) = qBμ ( Pi − P )

(1.27.b)

Derivando dos veces; ∂

PD = −

∂

2

kh ∂P qBμ

PD = −

(1.28)

kh 2 ∂ P qBμ

(1.29)

Reemplazando las Ecs. 1.28 y 1.29 en la Ec. 1.27:

− ∂ ∂

qB μ ∂ 2 PD − kh ∂ rD2 2

PD 1 + rD2 rD

qBμ 1 −= kh rD

∂ PD ∂

rD

=

∂ ∂

∂ PD ∂

rD

qBμ ∂ PD kh ∂ tD

PD tD

Solución para el caso de presión constante:

PD =

P − Pwf ; 0 ≤ PD ≤ 1 Pi − Pwf

El procedimiento es similar al caso de rata constante.

1.4.2. Solución de la Integral Exponencial, Ei Asuma a) un solo pozo produce a caudal constante, and b) el yacimiento es infinito 2,11-17

con rw → 0, r → 0, P → Pi. Defina

rD = r / rw

;

50

Fig. 1.13. Geometría del yacimiento para el ejemplo

tD = t DA =

0.0002637 kt φ μ ct rw2 0.0002637kt φ μ ct A

(1.30)

⎛ r2 ⎞ = t D ⎜⎜ w ⎟⎟ ⎝ A⎠

(1.31)

PD = PD ( rD , t D ) PD =

kh 141.2 qμ B

(1.32)

( Pi − P )

EJEMPLO Un yacimiento de forma cuadrada produce 300 BPD a través de un pozo localizado en el centro de uno de sus cuadrantes. Ver Fig. 1.13. Estime la presión en el pozo después de un mes de producción:

Pi = 3225 psia ko = 1 darcy μo = 25 cp Bo = 1.32 bbl/BF A = 150 Acres SOLUCION

t DA = 0.0002637 φ μ c A kt t

h = 42 pies φ = 25 % ct = 6.1x10-6 /psi rw = 6 pulg q = 300 BPD

51

t DA =

(0.0002637)(1000)(720) = 0.76 (0.25)(25)(6.1×10−6 )(6534000)

De la Fig. 1.14.a se lee un valor de la presión adimensional de 12.

PD =

kh (P − P) 141.2q μ β i

12 = (141.2)(300)(1.32)(25) (1000)(42) ( Pi − P )

P = 2825 psi.

1.5. APLICACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE DIFUSIVIDAD 1 ⎛ r2 ⎞ PD (rD , t D ) = − Ei ⎜⎜ − D ⎟⎟ 2 ⎝ 4t D ⎠

x =−

948φ μ ct r 2 rD2 =− 4t D kt

(1.33)

Si PD = − 1 Ei (− x ) entonces, se cumple que cuandox < 0.00252,11-16: 2

Ei (− x) = ln(1.781x)

(1.34)

Ei ( − x) = ln1.781 + ln x

Ei ( − x ) = ln x + 0.5772 1 Por definición PD = − Ei (− x) , luego 2

⎤ ⎤ 1 ⎡ ⎛ 4t D ⎞ 1 ⎡ ⎛ r2 ⎞ . PD = − ⎢ ln⎜ D ⎟ + 05772 . ⎥ ⎥ ó PD = ⎢ln⎜ 2 ⎟ − 05772 2 r 2 ⎢⎣ ⎝ 4t D ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎦ ⎥⎦ D ⎣ De la definición de PD;

(1.35)

52

⎤ 1 ⎡ ⎛t ⎞ PD = ⎢ln⎜ D2 ⎟ + 080907 . ⎥ 2 ⎢⎣ ⎝ rD ⎠ ⎥⎦

(1.36)

Esta ecuación es válida paratD/rD2 ≥ 50 ó 100.

P = Pi + 70.6

qB μ ⎧ 948φ μ ct r 2 ⎫ E ⎨− ⎬ kh i ⎩ kt ⎭

(1.37)

EJEMPLO Un pozo y yacimiento tienen las siguientes características: q = 20 BF/D μ = 0.72 cp ct = 1.5x10-5 φ = 23 % Pi = 3000 psia re = 3000 pies B = 1.475 bbl/BF k = 10 md h = 150 pies Calcule la presión del yacimiento a 1 pie, 10 pies y 100 pies después de 0.3 hrs de producción.

SOLUCION Por medio de la siguiente expresión 2

x = 948φ μ ct r = 0.0007849 r 2 kt Los valores de x para 1, 10 y 100 pies son, respectivamente 0.0007849, 0.07849 y 7.849. Para el primer x, se usa la aproximación logarítmica, Ei = 6.572, para el segundo y tercero se debe usar tabla 1.3 y resulta un valor de la integral exponencial de 2.044 y para el tercer de cero.

P+ = Pi 70.6 −

(20)(1.475)(0.72) qBμ ⎧ 948φμct r 2 ⎫ =E− ⎨ 6.572 2993.43 psi ⎬ 30007= 0.6 (10)(150) kh i ⎩ kt ⎭

P = 3000 − 70.6

(20)(1.475)(0.72) 2.044 = 2997.96 psi (10)(150)

53

14 13 1

12 1

11 10

1

D

1

P 9

1 1 1

8 1

7 6 5

4 0.001

0.01

t DA

0.1

1

Fig. 1.14.a. Presión adimensional para un pozo en sistemas cuadrados de no flujo, sin almacenamiento y daño, A0.5/rw = 4,8,11-12 2000

54

14 13 12 11 2

10 1

D

P 9

2

2 1

1

8

2

7 1

6 5 4 0.001

0.01

0.1

t

1

DA

Fig. 1.14.b. Presión adimensional para un pozo en sistemas cuadrados de no flujo, sin almacenamiento y daño, A0.5/rw = 20004,8,11-12

55

14 13 12

11

2 1

10 D

2

P 9

4

1 1

8 2

7 1

6 5 4 0.001

0.01

0.1

1

t DA A0.5/rw = Fig. 1.14.c. Presión adimensional para un pozo en sistemas cuadrados de no flujo, sin almacenamiento y daño, 4,8,11-12 2000

56

14 13 12 4

11

1

10 4

D

P 9

1

8 4

7

1 5

6 1

5 4 0.001

0.01

t DA

0.1

1

Fig. 1.14.d. Presión adimensional para un pozo en sistemas cuadrados de no flujo, sin almacenamiento y daño, A0.5/rw = 4,8,11-12 2000

57

1.6. DISTRIBUCION DE PRESION En el punto N, Fig. 1.15, la presión puede calcularse por medio de la Ec. 1.37. En la cara del pozo rD = r/rw=1 y P = Pwf. Note que para aplicar la solución de la línea fuente como tal, el yacimiento se asume infinito4,6-9,11-17 .

Yacimiento infinito, Pi

Punto N

Pozo

Fig. 1.15. Distribución de presión 2500

2000

S<0

i s p , n ió1500 s e r P

0 S=

S>0

1000

500 0

Pozo

500

1000

1500

2000

2500

Radio, pies

Fig. 1.16. Influencia del daño

3000

3500

58

1.7. DAÑO A LA FORMACIÓN (POZO) Hay varias formas de cuantificar daño o estimulación en un pozo en operación (productor o inyector). El método más popular es el de representar una condición del pozo mediante una caída de presión en estado estable que ocurre en la cara del pozo, adicional a la caída de presión transitoria en el yacimiento que ocurre normalmente. La caída de presión adicional, se llama “efecto de daño” y toma lugar en una zona infinitesimalmente delgada: “zona de daño”2,12-15 .

ΔP = ΔP depleción + ΔP de daño Algunos factores causantes de daño son: 1. Invasión de los fluidos de perforación 2. Penetración parcial del pozo 1. Completamiento parcial 2. Taponamiento de las perforaciones 3. Precipitación orgánico/Inorgánica 4. Densidad de perforación inadecuada o perforación limitada 5. Crecimiento bacteriano 6. Dispersión de arcillas 7. Presencia de torta y cemento 8. Presencia de alta saturación de gas alrededor del pozo

Pi − Pwf = 141.2 Pi − Pwf = 141.2

qμ B ( P + s) kh D

Pi − Pwf = 141.2 ΔPs = 141.2

q B P sin daño kh D (1.38)

q B qμ B P + 141.2 s kh D kh

(1.39)

q B s kh

Asumiendo estado estable cerca al pozo y que la zona de daño tiene un radio finito, rs, con una permeabilidad alterada,ks, la caída de presión debido al daño se expresa como la diferencia de presión existente entre la zona virgen y la zona alterada, es decir:

ΔpΔ =s

Palterada en zona−danada Δ

Pvirgen en zona danada

59

ΔPs = 141.2

q B rs q μ B rs ln − 141.2 ln ks hr w kh rw

ΔPs = 141.2

qμ B ⎛ k ⎞ rs − 1 ln , luego: k h ⎜⎝ k s ⎟⎠ rw

⎛ k ⎞ r s = ⎜⎜ − 1 ⎟⎟ ln s ⎝ ks ⎠ rw rs, ks son difíciles de obtener, luego de la Ec. 1.3

ΔPs = 141.2

(1.40)

qμ B s , combinando con la Ec. 1.40, kh

Δps = 141.2

qμ B ⎛⎜ k ⎞⎟ rs − 1 ln kh ⎜⎝ k s ⎟⎠ rw

(1.41)

Si PD+s = -0.5 Ei (-x), entonces es posible expandir la solución a forma adimensional. Sin embargo, se usará la Ec. 1.36:

⎤ 1⎡ ⎛t ⎞ PD = ⎢ln⎜⎜ D2 ⎟⎟ + 0.80907 ⎥ r 2 ⎣ ⎝ D⎠ ⎦ En el radio del pozo, rD = 1,

(1.36)

1 PD = [ln(t D ) + 0.80907 ] 2 Combinando la anterior con la Ec. 1.38,

Pi+= Pwf

⎤ 70.6q μ B ⎡ ⎛ 0.0002637kt ⎞ 0.809082 s ⎥ ⎢ ln + + kh ⎣ ⎜⎝ φμct rw2 ⎟⎠ ⎦

(1.42)

Sacando el logaritmo natural a la constante y aplicando el producto al logarítmo:

Pi =+Pwf ó;

⎤ ⎛ kt ⎞ 70.6q μ B ⎡ −kh + ⎢⎣ 8.2407 + + ln ⎜⎝ φμct rw2 ⎟⎠ 0.80908 2s ⎥⎦

60

Pi = +Pwf

⎤ ⎛ kt ⎞ 70.6q μ B ⎡ − + ⎢ 7.4316 + ln ⎜ 2s ⎥ 2 ⎟ kh ⎣ ⎝ φμct rw ⎠ ⎦

Multiplicando y dividiendo por el ln 10 = 2.303:

Pi =+Pwf

⎤ ln10 ⎛ kt ⎞ 70.6q μ B ⎡ − + ⎢ 7.4316 + ln ⎜ 2s ⎥ 2 ⎟ kh ⎣ ⎝ φμct rw ⎠ ⎦ ln10

+Pi = Pwf

⎛ kt ⎞ (2.303)70.6q μ B ⎡ −7.4316 2s ⎤ + + ln ⎜ / 2.303 ⎢ ⎥ 2 ⎟ φμ kh 2.303 c r 2.303 ⎝ tw⎠ ⎣ ⎦

Pi =+Pwf

⎤ ⎛ kt ⎞ 162.6q μ B ⎡ − + ⎢ 3.2275 + log ⎜ 0.8686 s ⎥ 2 ⎟ kh φμ c r ⎝ tw⎠ ⎣ ⎦

Despejando la presión de fondo fluyente:

Pwf− = Pi

⎤ 162.6q μ B ⎡ ⎛ kt ⎞ ⎢log− ⎜ + 2 ⎟ 3.2275 0.8686 s ⎥ φμ kh c r ⎣ ⎝ tw⎠ ⎦

(1.43)

Pendiente semilog

m=

f w

P m

Log t

Fig. 1.17. Gráfico semilog

162 .6qμ B kh

61

De modo que de una gráfica de presión contra el semilogarítmo del tiempo, se espera una línea recta como lo muestra la Fig. 1.17.

1.8. FLUJO DE GAS Para flujo de gas la presión de fondo puede expresarse comom(P), P2 ó P14,20.

−+ ⎛⎜ kt 2 ⎞⎟ 3.23 0.886s ⎤⎥ Pwf2 −= Pi 2 ⎛⎜ 1637μ g zTq ⎞⎟ ⎡⎢log kh ⎝ ⎠ ⎣ ⎝ φμct rw ⎠ ⎦ con q = Mpcn/D yT = °R

Pwf2 − Pi=2 (−Pwf puesto que P =

(1.44.a)

-------------- x -------------

Pi +)(Pwf=− Pi )

⎛ 1637 μ g zTq ⎞ ⎜ ⎟x kh ⎝ ⎠

Pwf + Pi , entonces la anterior ecuación se convierte en: 2

⎛ 1637 μ g zTq ⎞ x Pwf − Pi = − ⎜ ⎟ 2P kh ⎝ ⎠

⎛ 162.6μ g q ⎞ ⎧10.09zT ⎫ Pwf − Pi = − ⎜ ⎬x ⎟⎨ ⎝ kh ⎠ ⎩ 2 P ⎭ El término entre corchetes corresponde al Bg (bbl/pcn). Cambiando unidades de pcn/D a Mpcn/D, puesto que normalmente Bg = 0.00504 zT / P en bbl/pcn. Resulta:

⎛ 162.6μ g qBg ⎞ Pwf − Pi = − ⎜ ⎟x kh ⎝ ⎠ Incluyendo el daño:

Pwf −= Pi

⎤ 162.6μ g q β g ⎡ ⎛ kt ⎞ 3.23 0.8686s ⎥ ⎢log−+⎜ 2 ⎟ kh φμ c r ⎝ tw⎠ ⎣ ⎦

62

La ecuación es buena para yacimientos grandes o donde el comportamiento infinito está presente.

Sistemas Finitos cerrados En sistemas cerrados, como el de la Figs. 1.18. o 1.19, el flujo radial es seguido por un periodo de transición. Este a su vez es seguido por el estado pseudoestable, semiestable o cuasiestable, el cual es un régimen de flujo transitorio donde el cambio de presión con el tiempo, dP/dt, es constante en todos los puntos del yacimiento:

dP −q = , luego la ecuación de difusividad, Ec. 2.21, se convierte en: dt cVp 1 ∂ ⎛ ∂P ⎞ cφ μ q r =− = cte r ∂r ⎜⎝ ∂r ⎟⎠ k cV p Para darle solución a la ecuación de difusividad en estado pseudoestable, escríbase esta en forma adimensional: 1 ∂ ⎛ ∂PD ⎞ ∂PD r = rD ∂rD ⎜⎝ D ∂rD ⎟⎠ ∂tD

Con sus condiciones inicial, de frontera externa y de frontera interna dadas por:

PD ( rD , tD = 0 ) = 0

⎛ ∂PD ⎞ ⎜ ∂r ⎟ = 0 ⎝ D ⎠reD ⎛ ∂PD ⎞ ⎜ ∂r ⎟ = −1 ⎝ D ⎠rD =1 La solución es10,13,14 :

PD ( rD , tD ) =

⎞ reD2 ln rD 2 ⎛ rD2 + − t ⎜ ⎟ −− D ( reD2) − 1 ⎝ 4 ( )⎠ r 2eD − 1

4 4 2 ( 3rrrr eD − 4 eD ln eD − 2 eD − 1) 2 4 ( reD2 − 1)

⎧⎪ e− an tD Ja12 ( n reD) ⎡(J1) a(n Y0) an(rD)(− )( Y1 an) J 0 an rD 2 2 +π∑ ⎨ ⎣ an ⎡⎣ Ja1 ( n reD ) −(Ja )1 n ⎤⎦ n =1 ⎪ ⎩ ∞

2

⎤ ⎫⎪ ⎦ ⎬⎪ ⎭

63

J0 y J1 son las funciones Bessel de primera clase y orden cero y uno, respectivamente, y Y0 y Y1 osn la funciones Bessel de segunda clase y orden cero y uno, respectivamente. El estado pseudoestable toma lugar a tiempos tardíos (t > 948φμctre2/k), de modo que a medida que el tiempo tiende a infinito, la sumatoria tiende a cero, luego: PD ( rD , tD ) =

4 4 2 ( 3rrrr eD − 4 eD ln eD − 2 eD − 1) 2 4 ( reD2 − 1)

⎛ rD2 ⎞ reD2 ln rD + − − t ⎜ ⎟ D ( reD2 ) − 1 ⎝ 4 ( ) ⎠ reD2 − 1 2

En el pozo, rD = 1, luego:

PD ( rD , tD ) =

r 2 ln1 1 +⎛⎜ − tD −⎞⎟ eD2 2 ( reD)− 1 ⎝ 4 ( )⎠ reD − 1 2

( 3reD4 − 4reD4 ln reD − 2reD2 − 1) 2 4 ( reD2 − 1)

Como reD >>>> 1, esta expresión se reduce a:

PD ( tD ) =

4 4 2 2 ⎛1 eD − 4 eD ln eD − 2 eD − 1) ⎞ −( 3rrrr + t D ⎜ ⎟ 4reD2 reD2 ⎝ 4 ⎠

2 2t 3 1 1 PD (tD ) = 2+ − 2D+ + ln r−eD 2reD2 4reD4 reD reD 4 2t 3 PD (tD ) ≅ reD2D + ln reD − 4 En forma dimensional parcial e incluyendo daño es:

P(r , t ) = −Pi

141.2qμB ⎛ 2t D 3⎞ + − −lnΔreD ⎟ kh ⎜⎝ reD2 4⎠

P (r , t ) −= Pi

282.4qμB tD 141.2qμB 105.9qμB + − ln− rΔeD khr eD2 kh kh

Ps Ps

La derivada de la anterior ecuación con respecto al tiempo es:

dP (r , t ) 282.4qμB 1 =− dtD kh reD2 Al reemplazar el tiempo y el radio adimensional, se obtiene una expresión para hallar el volumen poroso usando la derivada de presión en estado pseudoestable:

64

dP (,)r t 1.79qB =− dt hφct re2

(1.44.b)

El tiempo adimensional fue definido como:

t DA =

0.0002637kt 0.0002637 kt = φμct A φμcπt re2

Usando como base el radio del pozo:

rw2 t = D , por ende, πre2 πreD2 t t D =π reD2 t AD o =πD2 t AD reD t DA = tD

Sustituyendo en la ecuación de presión adimensional se tiene:

PD (tD ) = π 2 t+AD ln−reD

3 4

El periodo de flujo pseudoestable ocasionalmente ha sido denominado en forma errónea como flujo estable, aunque en el verdadero estado estable la presión es constante con el tiempo en cualquier punto del yacimiento. La Fig. 1.19 esquematiza un pozo marcada productorcon en A el denota centro de yacimiento cuadrado con fronteras cerradas. La porción losunefectos de almacenamiento y daño en el pozo. Debido a ellos el flujo radial ha sido enmascarado y se observa más tarde como lo señala la zona demarcada como B. Esta zona se llama también zona de comportamiento infinito puesto que en ella el pozo se comporta como si estuviera en un sistema infinito. Obsérvese que pudiera existir una zona de transición entre los periodos A y B pero aquí no se considera. Una vez terminado el flujo radial se desarrolla una zona de transición demarcada comoC para luego desarrollarse el flujo pseudoestable que corresponde a la demarcación D, en donde la presión cambia linealmente con el tiempo. La representación de dichos regimenes de flujo en términos del comportamiento de la presión se presenta en la Fig. 1.20. Para estos yacimientos r no tiende a infinito. Otra forma de expresar la solución de esta ecuación es: 1 ⎛ ⎞A ⎛ 1 ⎞2.5458 PD = 2π tDA + ln ⎜ ⎟ 2 +⎜ ln ⎟ 2 ⎝ rw ⎠ 2 ⎝ C A ⎠ Nótese que si en la ecuación anterior se reemplaza CA = 31.62, el valor del factor de forma para un yacimiento circular con un pozo en el centro, los dos últimos términos

65

de la ecuación se transforman en la solución familiar ln( re/rw)-3/4. Una característica importante de este periodo de flujo es que la rata de cambio de presión con respecto al tiempo es una constante, es decir,dPD/dtDA = 2π .

Sistemas Finitos Abiertos o de presión constante Cuando en cualquier punto del yacimiento la presión no varía con el tiempo, se dice 11 que el flujo es estable. En otras palabras, el lado derecho de la Ec. 1.19 se cero : 1 ∂ ⎜⎛ r ∂P ⎟⎞ = 0 r ∂r ⎝ ∂r ⎠ Similar al caso de estado pseudoestable, el estado estable toma lugar a tiempos tardíos: 1 ∂ ⎛ ∂PD ⎞ ∂PD r = rD ∂rD ⎜⎝ D ∂rD ⎟⎠ ∂tD

Con sus condiciones inicial, de frontera externa y de frontera interna dadas por:

PD ( rD , tD = 0 ) = 0 PD ( reD , tD ) = 0

⎛ ∂PD ⎞ ⎜ ∂r ⎟ = −1 ⎝ D ⎠rD =1 La solución es: −β 2t J 2 β r e n Dn 0 ( n eD ) ⎪⎧ ⎪⎫ PD ( rD , tD ) = ln reD − 2∑ ⎨ 2 2 ⎬ 2 ⎡ ⎤ β J β ( − ) β J ( r ) n =1 ⎪ n ⎣ 1 n 0 n eD ⎦ ⎭ ⎪ ⎩ ∞

A medida que el tiempo tiende infinito la sumatoria tiende a infinito, luego:

PD ( rD , t D ) = ln reD Que en términos dimensionales se reduce a la ecuación de Darcy. Las funciones adimensionales de presión para flujo lineal y radial son, respectivamente:

66

it Fin

o

Area de drene

Fig. 1.18. Sistema cerrado D

D C

B A Pozo

D

D

Fig. 1.19. Pozo en el centro de un yacimiento cuadrado y de frontera cerradas

67

1.E+04

B

A

D

C

1.E+03

a) Derivada 1.E+02 D P * tD y D P

1.E+01

1.E+00

1.E-01 1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

1.E+09

1.E+10

1.E+11

tD 7.E+03

6.E+03

b) Semilog 5.E+03

4.E+03 D

P

3.E+03

2.E+03

1.E+03

D

B

A

0.E+00 1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

C 1.E+06

1.E+07

1.E+08

1.E+09

1.E+10

1.E+11

tD 5.E+01

c) Cartesiano D

4.E+01

C B 3.E+01 D

P

2.E+01

A

1.E+01

0.E+00 0 .E+00

1.E+07

2.E+07

3.E+07

4 .E+07

5.E+07

6.E+07

7.E+07

8 .E+07

9.E+07

1.E+08

tD

Fig. 1.20. Comportamiento de la presión adimensional en un yacimiento cerrado

68

1.E+02

A

D

C

B

1.E+01

1.E+00 D

*P t D1.E-01 y D P 1.E-02

1.E-03

1.E-04 1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

1.E+09

1.E+10

1.E+11

1.E+12

tD 5.E+01

D

C

4.E+01

B 4.E+01

3.E+01

3.E+01

PD 2.E+01 B 2.E+01

1.E+01

5.E+00

0.E+00 1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

1.E+09

1.E+10

1.E+11

1.E+12

tD 5.E+01

D

D

B

4.E+01

3.E+01 D

P

2.E+01

A

1.E+01

0.E+00 0.E+00

5.E+06

1.E+07

2.E+07

2.E+07

3.E+07

3.E+07

4.E+07

4.E+07

5.E+07

5.E+07

tD

Fig. 1.21. Comportamiento de la presión adimensional en un yacimiento abierto

69

( PD ) ssL = 2π

Lh y( P) D A

ssr

ln =

re rw

Y la solución de la ecuación de difusividad será:

q=

0.00708kh( Pe − Pw ) Bμ ln ( re / rw )

que es la forma radial de la ecuación de Darcy. En los yacimientos, el estado estable puede ocurrir solamente cuando el yacimiento está completamente recargado por un acuífero o cuando la inyección y la producción se encuentran balanceadas. Sin embargo, un yacimiento que posee un acuífero muy activo no siempre actuará bajo estado estable. Primero tiene que existir un periodo de estado inestable, que se seguirá por el estado estable una vez la caída de presión haya tocado las fronteras del yacimiento. La representación de los regimenes de flujo en términos del comportamiento de la presión, para estado estable, se presenta en la Fig. 1.21. La extracción de fluidos de un yacimiento presurizado con fluidos compresibles ocasiona una perturbación de presión. Aunque se espera que dicha perturbación viaje a la velocidad del sonido, ésta se atenúa rápidamente de modo que para una duración dada de tiempo de producción existe una distancia, el radio de drenaje, más allá del cual no se observarán cambios sustanciales de presión. A medida que se extrae más fluido (o se inyecta) la perturbación se mueve más dentro del yacimiento con continua declinación de presión en todos los puntos que han experimentado declinación de presión. Una veza una se encuentra una frontera la presión en la declinando pero rata más rápida que cuando la frontera no frontera se había continúa detectado. Por otro lado si el transiente de presión alcanza una frontera abierta (empuje de agua) la presión se mantiene constante en algún punto, las presiones más cercanas al pozo declinarán más despacio que si se hubiese encontrado una frontera cerrada. Los cambios de caudal o la adición de pozos nuevos causan transientes de presión adicionales que afectan tanto la declinación de presión como la distribución de la misma. Cada pozo establecerá un área de drenaje que le suministra fluido. Cuando se encuentra una frontera de flujo o no, el gradiente de presión –no el nivel de presióntiende a estabilizarse después de tiempo de producción suficientemente largo. Para el caso de frontera cerrada, la presión alcanza el estado pseudoestable con un gradiente de presión constante y una declinación de presión general en todo punto y que es lineal con el tiempo. Para yacimientos de presión constante, se obtiene el estado estable, tanto la presión como su gradiente permanecen constantes con el tiempo.

EJEMPLO Un pozo sencillo en un yacimiento está produciendo un caudal constante de petróleo de 110 STB/D. Algunos datos relevantes para este yacimiento son:

70

ct = 1.62x10-5 psi-1 re = 3500 ft h = 80 ft

μ = 1.3 cp Pi = 2800 psia B = 1.25 bbl/STB s =1.5

φ = 18 %

rw = 0.3 ft k = 75 md

a) Halle la presión del pozo fluyendo después de un mes de producción. b) Determine la presión del yacimiento a un radio de 1, 2, 5, 10, 20, 100 ft, 1000 ft para el mismo tiempo de producción. Graficar el perfil de presión.

SOLUCION a) El tiempo adimensional es obtenido mediante;

tD =

0.0002637kt 0.0002637(75)(720) = = 41737891.7 φ μ ct rw2 (0.18)(1.3)(1.62 ×10−5 )(0.3)2

Ya que tD/rD2 >> 70, luego puede usarse la aproximación logarítmica deEi:

Ei(=− x ) ln+( tD / r=D2 ) 0.80907 + ln(41737891.7) = 0.80907 18.3559 Si se conoce el valor de x de la Ec. 1.8.b, la integral exponencial se puede evaluar de la tabla 1.3 ó de la Fig. 1.10. Estime el valor dex, mediante:

x=

948φ μ ct r 2

948(0.18)(1.3)(1.62 ×10−5 )(0.3) 2

=kt

75(30)(24) =×

−9

5.9895 10

Entonces, Ei se evalúa usando la tabla 1.3,Ei = 18.356. Este valor anterior coincide muy bien con el obtenido de la Ec. 1.35. La presión de pozo fluyendo se estima usando la Ec. 1.43:

Pwf = 2800 −

⎤ 162.6(110)(1.3)(1.25) ⎡ (75)(720) ⎢log (0.18)(1.3)(1.62 × 10− 5 )(1)2 − 3.23 + 0.8686(1.5)⎥ (75)(80) ⎣ ⎦

Pwf = 2755.3 psi La Ec. 1.43 está limitada por el valor detD/rD2. Si este fuera el caso, otra manera de representar la Ec. 1.34 es:

P(r , t ) = P − i

70.6qμ B

Ei(− x)

kh

Reemplazando los parámetros conocidos en la ecuación anterior:

(1.45)

71

Tabla 1.4. Distribución de presión

Radio,ft 0.3 1 2 5 10 20 100 1000

x 5.99x106.66 x102.66 x10-7 1.66 x106.65 x102.66 x10-5 6.65 x10--5 6.65 x10

E i(-x) 18.356 15.948 14.561 12.729 11.342 9.956 6.738 2.198

P, psia 2755.1 2766.5 2769.4 2773.2 2776.2 2779.1 2785.8 2795.4

p, psi 44.92 33.54 30.62 26.77 23.85 20.94 14.17 4.623

2800

2790

i s 2780 p , n ió s e r P 2770

2760

2750 0

100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

Radio, pie

Fig. 1.22. Distribución de presión en el yacimiento A = Puro transitorio B = Sistema cerrado C = Presión constante

1 2

A∴ PD = ln1.871x

1 2

C ∴ PD < ln1.871 x

B A

Pwf

C

PD

C

Pwf

C

1 B ∴ PD > ln1.871 x 2

A

B

B t

tD

A

log t

2 Fig. 1.23.a. Comportamiento de la presión en sistemas infinitos, cerrados y abiertos

72

70.6(110)(1.3)(1.25) 18.356 = 2755.1 psi (75)(80)

P(r , t ) = 2800 −

b) En un radio de 1 ft, el valor de x se calcula usando la Ec. 1.8.b;

x=

948(0.18)(1.3)(1.62 ×10−5 )(1)2 = 6.655 ×10 −8 75 × (30 × 24)

Ei se obtiene de la tabla 1.3,Ei = 5.948. La presión se estima con la Ec. 1.45: 70.6(110)(1.3)(1.25) 15.948 = 2766.5 psi (75)(80) Los valores de presión para los demás radios son reportados en la tabla 1.4 y graficados en la Fig.1.22. Se observa en la gráfica que las mayores caídas de presión tienen lugar en la región cercana a la cara del pozo, como se esperaba. La Fig. 1.23.a muestra el comportamiento de la presión en gráficos convencionales considerando puro régimen de transición, sistema cerrado (o fallas) y sistema de presión constante.

P(r , t ) = 2800 −

1.9. FUNCIÓN DE DERIVADA DE PRESIÓN 1.9.1. Deducción de la Derivada de la Presión18-19 1 ⎡ − rD2 ⎤ P (r , t ) = − 2 Ei ⎢⎣ 4t D ⎥⎦ D

D

D

Derivando respecto a tD:

Δp D 1 Δ =− Δt D 2 Δt D

⎡ ⎛ − rD2 ⎞⎤ ⎟⎟⎥ ⎢ Ei ⎜⎜ ⎣ ⎝ 4t D ⎠ ⎦ ∞

Puesto que Ei (− x ) = − ∫x

(1.46)

e −u du . Aplicando este concepto: u

Δ ⎡ ⎛ − rD2 ⎞ ⎤ Δ ⎡ ∞ e −u ⎤ Δ ⎡ ⎛ − rD2 ⎟⎥ = Δu ⎥ , ó ⎢− r 2 ⎢E ⎜ ⎢E ⎜ Δt D ⎣ i ⎜⎝ 4t D ⎟⎠ ⎦ Δt D ⎢⎣ ∫4DtD u Δ t D ⎣ i ⎜⎝ 4t D ⎥⎦

⎞⎤ e −u Δu ⎟⎟⎥ = − u Δt D ⎠⎦

Tomando la derivada Δv/ΔtD y remplazando v por rD2/4tD:

∞

rD2 4tD

73

Δ Δt D

⎤ e⎛−( rD /4⎞ tD ) r2 − D2 , simplificando: ⎥ = ⎜2 ⎟ ⎦⎝ ⎠D / 4tD 4tD 2

⎡ ⎛ ⎞rD2 ⎢ Ei ⎜ − ⎟ ⎣⎝ ⎠ 4trD

Δ ⎡ ⎛ rD2 ⎞ ⎤ 1 −( rD2 /4tD ) ⎢E − ⎥=− e Δt D ⎣ i ⎜⎝ 4tD ⎟⎠ ⎦ tD

(1.47)

Combinando (1.37) y (1.38) resulta:

Δp D 1 1 −(rD2 / 4tD ) =− e Δt D 2 tD

(1.48)

Expresando la Ec. 1.48 en derivadas parciales, se tiene que: r2

∂p D 1 1 − 4tDD =− e ∂t D 2 tD

(1.49)

El anterior concepto fue introducido por Tiab18-19 en 1976.

1.9.2. Conversión de la Ecuación de Derivada de Presión a Unidades de Campo Tomando la Ec. 1.49

Δp D = − 1 e −rD2 / 4t D Δt D 2t D Puesto que t D =

PD =

0.000264 kt 2 φμct rw

kh Pi − Pwf 141.2 qμβ

(1.50)

(1.51)

Las Ecs. 1.50 y 1.51 están expresadas en unidades de campo. Tomando la derivada para las Ecs. 1.50 y 1.51 respecto a t.

Δt D 0.000264 k = Δt φμct rw2

Δp D kh = Δt 141.2 qμβ

(1.52)

⎛ ΔPwf ⎜⎜ − ⎝ Δt

⎞ ⎟⎟ ⎠

(1.53)

74

Puesto que se puede escribir:

Δp D ΔPD / Δt = Δt D Δt D / Δt

(1.54)

Aplicando el concepto de la Ec. 1.54,

ΔPwf − khφμctrw2 ΔPD = Δt 141.2 qμβ (0.000264k ) Δt

(1.55)

D

Remplazando la Ec. 1.55 en el lado izquierdo de la Ec. 1.49 y sustituyendorD y tD ⎛

r 2φμc r 2

⎞

t w ⎟ −⎜⎜ 2 ΔPwf ⎟ φμct rw2 − khφμct rw2 =− e ⎝ (r / 4 )(0.000264 kt ) ⎠ ) k ( Δt ) 2 0.000264kt 141.2 qμβ (0.000264

⎛ 948φμ ct ⎞ kt ⎟⎠

− kh ΔPwf 1 ⎜− = − e⎝ 141.2q μ B Δt 2t Simplificando:

ΔPwf 70.6q μ B ⎛⎜⎝ − 948ktφμct ⎞⎟⎠ = e Δt kht

(1.56)

La Ec. 1.56 expresada en unidades de campo r2

PD 1 − 4 tDD = PD ' = e 2t D ∂ tD

∂

(1.57)

En el pozo, rD = 1, luego: 1

PD ' =

1 − 4t D e 2t D

(1.58)

Para tD > 250, e −1/ 4tD = 1 , entonces la Ec. 1.58 se convierte en:

1 PD ' = 2t D

(1.59)

75

P1hr =

P1hr

70.6qμB kh

'f w P g o l

1 hr

Log t

Fig. 1.23.B. Gráfico log-log dePwf’ vs. t

m = -1

'D P g o l

Falla simple m = -1

log t D

Fig. 1.24. Identificación de fallas mediante gráfico log-log dePD’ vs. tD Tomando logaritmo a ambos lados: log PD ' = log1 − logt D − log2 log PD ' = − logt D − 0.301

(1.60)

76

2m

D

P g lo

Falla simple

m

dial Flujo ra

log t D

Fig. 1.25. Identificación de fallas mediante gráfico dePD vs. log tD Lo que indica que la gráfica log-log dePD’ contra tD da una línea recta de pendiente unitaria. Ver Figs. 1.23 y 1.24. La pendiente del gráfico semilog se duplica ante el efecto de una falla, ver Fig. 1.25. En unidades reales de campo las Ecs. 1.59 y 1.60 se convierten:

Pwf ' =

∂

Pwf 1 ⎛ 70.6q μ B ⎞ , ó = t t ⎜⎝ kh ⎟⎠

∂

⎛ 70.6 qμ B ⎞ log Pwf ' = − log t + log ⎜ ⎟ ⎝ kh ⎠

(1.61)

(1.62)

Con efectos de almacenamiento (WBS) y daño no se obtiene línea recta. ConP’1hr se puede hallar k ó kh por medio de la Ec. 1.63 y de acuerdo con la Fig. 1.23.b.

P '1hr = 70.6

qμ β kh

(1.63)

El ruido que se presenta en una prueba de presión es debido a factores como (1) turbulencia, (2) movimientos de la herramienta, (3) variaciones de temperatura, (4) apertura y cierre de pozos en el campo, (5) Efectos gravitacionales del sol y la luna sobre las mareas (cerca de los grandes lagos de 0.15 psi y en costa afuera hasta 1 psi). Al estimar derivada el ruido se incrementa porolautilizar razón técnicas de cambio la derivada impone, porlaello se requiere suavizar la derivada de que Spline. La baja

77

resolución de la herramienta y el papel log-log tambien incrementan o exageran el ruido.

1.10. METODOS PARA ESTIMAR LA DERIVADA 1.10.1. Diferencia Finita Central Calcular la derivada de la presión requiere de algún cuidado, debido a que el proceso de diferenciación de datos puede amplificar cualquier ruido que pueda estar presente. 6-7 Una diferenciación numérica usando puntos adyacentes producirá una derivada muy ruidosa .

⎧ (t − t )ΔP (t − 2ti + ti −1 )ΔPi (ti+1 − ti )ΔPi −1 ⎫ ∂P t ⎛⎜ ⎞⎟ = t i ⎨ i i −1 i+1 + i +1 − (ti +1 −)(ti ti −) t i−1 (ti − ti)(−1 ti +1 −) ti −1 ⎬⎭ ⎝ ∂t ⎠i ⎩ (ti +1 −)(ti ti +1 −) ti −1

⎛ ∂P ⎞ ∂P ⎟ t ⎛⎜ ⎞⎟ = t ⎜⎜ ⎝ ∂t ⎠i ⎝ ∂ ln t ⎟⎠i

⎧ ln (ti / ti −1 )ΔPi+1 ⎫ ln (ti +1ti−1 / t i2 )ΔPi ⎪ ln(t /)t( ln t) / t + ln(t /)t( ln )t / t −⎪ ⎪ ⎪ i +1 i−1 i +1 i i i−1 = ⎨ i+1 i ⎬ ( ) ln / t t Δ P i+1 i i −1 ⎪ ⎪ ⎪⎩ ln(t i / t)i−(1 ln t)i +1 / ti−1 ⎪⎭

(1.64)

1.10.2. Ecuación de Horne Cuando los datos están distribuidos en una progresión geométrica (con la diferencia de tiempoelderuido un punto siguiente mucho más grande medida que pasa lanumérica prueba), entonces en la al derivada puede reducirse usandoa una diferenciación con respecto al logaritmo del tiempo. El mejor método para reducir el ruido es usar datos que están separados por lo menos 0.2 de un ciclo logarítmico, en vez de puntos que están inmediatamente adyacentes. Esto se reconoce como suavizamiento y se explica mejor en la Fig. 1.26. Por lo tanto 6:

⎛ ∂P ⎞ ∂P ⎟ t ⎛⎜ ⎞⎟ = t ⎜⎜ ⎝ ∂t ⎠ i ⎝ ∂ ln t ⎟⎠ i

ln t i + j − ln ti ≥ 0.2

⎧ ln(t i / t i −k )ΔPi+ j ln(t i + j t i −k / ti2 )ΔPi ⎫ + −⎪ ⎪ ln(t i + j /)(ti ln ti)+ j / t i −k ln (ti +1 /)t(i ln t)i / ti −1 ⎪ ⎪ =⎨ ⎬ ⎪ ln(t i + j / ti )ΔPi −1 ⎪ ⎪ ln(t i / ti −k ) ln(t i + j / ti −k ) ⎪ ⎩ ⎭ y

ln ti − ln ti− k ≥ 0.2

(1.65)

78

L

L

(t 2, X2 )

(t 1, X1 ) Fig. 1.26. Ilustración del suavizamiento

1.10.3. Ecuación de Bourdet y colaboradores Este algoritmo de diferenciación reproduce la curva tipo de la prueba sobre el intervalo completo de tiempo. Este usa un punto antes y un punto después del punto de interés, i, calcula la correspondiente derivada, y ubica su media ponderada para el punto considerado 1,16 . También puede aplicársele suavizamiento.

Pi − Pi −1 P −P ( X i +1 )− X i + ( i +1 ) i X i − X −1i X i +1 − X i ⎛ dP ⎞ = X i − X i−1 ⎜ ⎟ X i +1 − X i−1 ⎝ dx ⎠ i Siendo X el logaritmo natural de la función de tiempo.

(1.66)

1.10.4. Ecuación de Clark y Van Golf-Racht Clark y van Golf-Racht utilizan el método de Bourdet y escriben éste en términos de ΔP y Δt, generando una función que utiliza una sola diferencia progresiva 16. dX ( X 1 /)t1 ( t2 + ) X 2 / t2 t1 (1.67) =

dt

t1 + t2

Siendo L el valor de suavizamiento, 0.1 < L < 1/10 de la escala logarítmica aplicada.

1.10.5. Ecuación de Simmons La rata de flujo se calcula por diferenciación numérica de la longitud de la columna de un fluido con respecto al tiempo. Para suavizar los datos e incrementar la precisión de los cálculos, se utilizan diferencias finitas de segundo orden. Las expresiones de diferencias finitas han sido derivadas de la expansión de las series de Taylor sin el

79

requerimiento de igual lapso de tiempo para facilitar infrecuentes muestras de datos a tiempos tardíos cuando la presión es relativamente constante. Para el cálculo del caudal inicial se requiere una diferencia finita progresiva. Defina: Δti = ti+1 – ti. La diferencia finita central16:

dX Δti2−1 X i +1 + (Δti2 − Δti2−1 ) X i − Δti2 X i −1 = (Δti2−1Δti + Δti2 Δti −1 ) dt

(1.68)

Para el primer punto, la diferencia finita progresiva es:

⎛ (Δti + Δti +1 ) 2 ⎞ ⎛ (Δt + Δt )2 ⎞ ⎜⎜1 − ⎟⎟ X i + ⎜⎜ i 2 i +1 ⎟⎟ X i +1 + X i + 2 2 Δti Δti dX ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = (Δti + Δti +1 ) 2 / Δti − (Δti + Δti +1 ) dt

(1.69)

La diferencia finita de segundo orden incrementa la precisión del cálculo de la derivada. Se ganan beneficios adicionales con la inclusión de más puntos de datos en la aproximación. Para el último punto, la diferencia finita regresiva es:

⎛ (Δti −1 + Δti − 2 )2 ⎞ ⎛ ( Δt + Δt ) 2 ⎞ ⎜⎜1 − ⎟⎟ X i + ⎜⎜ i −1 2 i − 2 ⎟⎟ X i −1 + X i − 2 2 Δti −1 Δti −1 dX ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = dt (Δti −1 + Δti − 2 ) − (Δti −1 + Δti − 2 ) 2 / Δti −1

(1.70)

El algoritmo de Spline es el mejor procedimiento para derivar datos de presión vs. tiempo por ser más efectivo y con mínimos errores promedios. Es el único algoritmo de carácter polinomial que por ser continuo puede ser suavizado durante cualquier proceso de derivación y la forma de la curva obtenida es acorde al modelo trabajado. El algoritmo de Simons es de carácter polinomial de segundo grado. Pero escrito en términos de presión y tiempo, por lo que resulta impráctico el suavizamiento al tiempo que se realizan los cálculos de la derivada. Los algoritmos polinomiales como el de Simons, el de 2º grado, el de 3 er grado regresivo o el de 3er grado progresivo por ser de carácter discreto, no deben ser suavizados después de un proceso de derivación. Los algoritmos de Horne cuando L = 0.2 y L = 0.4 y Bourdet cuando L = 0.2 y L = 0.4 son buenas opciones para procesos de derivación. El mejor procedimiento para análisis de datos de presión vs. tiempo, es el de derivar y luego suavizar los datos6. Las Figs. 1.27 y 1.28 presentan estimaciones de derivadas por todos los métodos.

1.11. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN “Adicionando soluciones a la ecuación diferencial lineal resultará en una nueva solución de esa ecuación diferencial pero para diferentes condiciones de frontera”6.

80

=

f +

f +

1 1

2 2

f

3 31

100

PD t D*PD'

10

'D *PD t , D

P

1

0.1 1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

1.E+09

1.E+10

tD

Fig. 1.27. Función derivada de presión para un yacimiento homogéneo e infinito 6 100

10

'D *P tD 1 , D P

0.1

0.01 1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

1.E+09

1.E+10

tD

Fig. 1.28. La función derivada de presión para un yacimiento homogéneo e infinito mediante los algoritmos de Horne, Clark y Van Golf-Racht, Spline, Simmons, Bourdet y polinomiales con ruido aleatorio 6

81

Pozo 2 q

q

Pozo 3

t

t

q

r2

Pozo 1 t

r3 r1

N Punto de observación

Fig. 1.29. Presión en el punto N2

1.11.1. Superposición en Espacio De acuerdo con la Fig. 1.29, la caída de presión en el punto N, si se asume que los pozos producen a caudal constante será2-9,11-20 :

ΔP =Δ P + Δ P + Δ P N

N ,1

N ,2

Se sabe que PD =

Pi − P=Δ P=

(1.71)

N ,3

kh ( P − P) 141.2 q μ β i

141.2 q μ B PD (rD , t D ) kh

(1.72)

P se aplica en cualquier punto. Combinando las Ecs. 1.71 y 1.72 se tiene: = ΔPN

141.2 μ ⎡( qB )+ P (r ( ,)+t ) kh ⎣ o 1 D D1 D

qBo (2) PD ( rD 2 , tD )

qBo 3 PD ( rD 3 , tD ) ⎤⎦ (1.73)

r rD1 = 1 , rw

rD 2 =

r2 , rw

rD 3 =

Extendido a n número de pozos:

r3 rw

82

q2

l a d u a C

q1

t1 Tiempo

t2

Fig. 1.30. Superposición en tiempo

ΔPN =

141.2 μ

kh n

ΔPN = ∑ i =1

⎡⎣( qB ) o 1 PD (rD1(, t)D ) + qBo

2

PD ( rD 2 , tD ) ⎤⎦

(1.74)

141.2q μ B [ PD ( rDi , t D ) ] kh

Si N es un pozo de observación (activo), entonces, en el pozo: 141.2 q μ B ΔPw = [ PD + s ] kh

(1.75)

Luego finalmente resulta; n

ΔPN = ∑ i =1

141.2q μ B 141.2q μ B s [ PD (rDNi , t D ) ] + kh kh

N

(1.76)

↓

Incluye el punto N

rDNi =

r1 rw

Note que en la Ecs. 1.71 y 1.76, se adicionan cambios de presiones o presiones adimensionales y no presiones. Si el punto de interés es un pozo en operación, el factor de daño debe adicionarse a la presión adimensional de ese pozo únicamente.

83

1.11.2. Superposición en Tiempo Algunas veces hay cambios de caudal cuando un pozo produce. Ver. Figs. 1.30 y 1.31. Luego, debe aplicarse el concepto de superposición. Para ello, un único pozo se visualiza como si hubiera dos pozos en el mismo punto, uno con q1 para un tiempo de t = 0 a t = t1 y otro (imaginario) produciendo a una rata q2 - q1 por un período de tiempo t2 - t1. El cambio en la presión en el pozo debido al cambio de rata es 2,4:

=ΔP 141.2 kh B [ q1P+D−(rD , t D1 ) +(q2 q1 ) PD (rD , t D2 s )]

(1.77)

Donde tD2 = (t-t1)D. Si existen más variaciones en caudal:

=ΔP

141.2 μ n − ⎡⎣( qB )( ) (i kh ∑ i =1

qB−+i −1 ⎤⎦ PD ( r)D , (t ti ) D s)

(1.78)

Ejercicio: Los siguientes son los datos de dos pozos en producción (tomado de la Ref. 4).

k = 76 md pi = 2200 psi h = 20 pies

φ = 20 % μ = 1 cp

B = 1.08 bbl/BF ct = 10x10-6/psi

Calcule en el pozo 1 después de 7 hrs deinfinito. producción y en el pozo 2 después de 11 hrsladepresión producción. Asuma comportamiento

PARTE 1. Estime:

ΔP(7 hr)= ΔP causado por el flujo del pozo 1 + ΔP causado por el flujo del pozo 2 ΔP7 hr=,rD =1

tD =

141.2μ q1 B 141.2 μ q2 B ⎛ =+ ( PD (rD 1, tD =s ) ) ⎜ PD (rD kh kh ⎝

⎞ 1002 ,t ) 1 D ⎟⎠

0.0002637 kt 0.0002637(76)t = = 10020.6t φ μ ct rw2 (0.2)(10 × 10 −6 )12

En el pozo 1, tD = 10020*7 = 70140, luego tD = 70140 > 100, luego:

PD = 1 ⎢⎡ln⎜⎛ t D2 ⎟⎞ + 080907 . ⎥⎤ =5.98 2 ⎢⎣ ⎝ rD ⎠ ⎥⎦

84

Pozo 2

Pozo 1

100 pies

100 D P B ,l a d u a

100

50

D P B l, a d u a C

25

C

10 Tiempo, hrs s=5 rw = 1 pie

8

Tiempo, hrs

s=1.7 rw = 1 pie

Fig. 1.31. Superposición en tiempo En el pozo 2, tD = 10020t/1002 = 7.014. De la Fig. 1.10 (referencia 6) PD = 1.4. Calculando ΔP en el pozo 1, resulta:

ΔP=7 hr , rD =1

141.2(100)(1.08)(1) 141.2(100)(1.08)(1) + + 1.4 ( 5.98 ) 5= )( (76)(20) (76)(20)

113.7

Pw = 2200-113.7 = 2086.4 psi PARTE 2. A las 11 hrs, se desea estimar la presión en el pozo 2. Se deben considerar dos ratas en cada pozo: ΔP(11hr ,r=D =1) 0.1(100) PD=( pozo 1=, t + 11−hr, rD 100)−= =0.1(50 100) PD ( pozo 1 , t 11 10 hr, rD 100) +0.1(25) PD ( pozo =2 , t 11+=+hr , rD − 1 s ) 0.1(100 =− 25) += PD ( pozo 2 , t 11 8 hr, rD 1 s )

Para el pozo 1

tD = (10020/1002)(11) = 11 PD (rD = 100, tD = 11) = 1.61 de la Fig. 1.10 tD = (10020/1002)(1) = 1 PD (rD = 100, tD = 1) = 0.522 de la Fig. 1.10 (referencia 6) Para el pozo 2 tD = (10020)(11) = 110220 > 100, luego aplicando la Ec. 1.36 da PD = 6.21

85

tD = (10020)(3) = 30060 > 100, luego aplicando la fórmula PD = 5.56. Colocando ΔP en el pozo 2 se tiene:

ΔP(11hr ,r=D =1) 0.1(100)(1.61) +− +0.1( 50)(0.522) ++ 0.1(25)(6.21 1.7) 0.1(75)(5.56 + 1.7) = 87.72 Pw = 2200 - 87.72 = 2112.28 psi La función Ei y el principio de superposición no solo se aplican a pozos dentro de un yacimiento en particular, sino que también se puede aplicar para investigar la interferencia entre yacimientos adyacentes. Como se esquematiza en la Fig. 1.32.

1.12. METODO DE LAS IMAGENES - SUPERPOSICION EN ESPACIO 1.12.1. Pozo Unico Cerca a una Falla Sellante De acuerdo con la Fig. 1.32, la caída de presión en el pozo activo despreciando efectos de daño y almacenamiento es2,18-19 :

PDW = PDR + PDI

(1.79)

1 ⎛ 1 ⎞ PDR = − E i ⎜ − ⎟ 2 ⎝ 4t D ⎠

(1.80)

SISTEMA MODELADO

SISTEMA REAL Pozo Productor

F a ll a s e l la n te

d

Pozo Productor

Pozo Productor (Imagen)

2d

=

Fig. 1.32. Pozo único cerca a una falla sellante SISTEMA MODELADO

SISTEMA REAL Pozo Productor

d

P re s i ó n c o n s t a n te

=

Pozo Inyector (Imagen)

Pozo Productor

2d

Fig. 1.33. Pozo cerca a una barrera de flujo

86

Campo 1

.5 8

m k

0

m k

1

Campo 2 A

B

Fig. 1.34. Superposición entre campos adyacentes2 1 ⎛ r2 ⎞ PDI = − E i ⎜ − D ⎟ 2 ⎝ 4t D ⎠

donde rDI =

(1.81)

2d

rw

1.12.2. Pozo Cerca a una Barrera de Flujo o Línea de Presión Constante (empuje de agua) Este sistema, matemáticamente se expresa de acuerdo a la Fig. 1.33. No puede haber más de un pozo por cuadrante14.

n pozos =

360 θ

El principio de superposición en espacio es igualmente aplicable para estimar caídas de presión entre yacimeintos. Ver Fig. 1.34.

1.12.3. Pozo en Medio de dos Fallas que se Interceptan

yD = by/bx Este sistema se representa de acuerdo con la Fig. 1.35.

87

EJEMPLO El pozo A en la Fig. 1.36 ha producido a una rata constante de 380 BPD. Se desea estimar su presión fluyendo después de una semana de producción. Las propiedades del yacimiento, pozo y fluido son las siguientes:

s = -5

Pi = 2500 psi h = 40 ft rw = 6 in

μ = 0.87 cp φ = 18 %

B = 1.3 bbl/STB ct = 15x10-6 /psi k = 220 md

Cual será la presión fluyendo del pozo después de una semana de producción? Cual sería la presión fluyendo del pozo después de una semana de producción si el pozo estuviera en un yacimiento infinito?

SOLUCION La caída de presión en el pozo A está afectada por su propia caída de presión y la caída de presión causada por sus pozos imágenes. La distancia del pozo A a sus pozos imaginarios se muestran en la Fig. 1.37. La caída de presión total para el pozo A es: ΔPA = ΔPA, r = rw + ΔPimage 1, r = 500 ft + ΔPimage 2 ,r =866 ft + ΔPimage 3, r =1000 ft + ΔPimage 4, r = 866 ft + ΔPimage 5 ,r =500 ft

Por simetría la expresión anterior se convierte en:

ΔPA = ΔPA,r =rw + 2ΔPimage 1,r =500 ft + 2ΔPimage 2 ,r =866 ft + ΔPimage 3,r =1000 ft El parámetro x de la Ec. 1.8.b y la integral exponencial usando la tabla 1.3.

xwell A =

948(0.18)(0.87)(1.5 × 10−5 )(0.5)2 = 1.5 x10−8 , Ei = 17.433 (220)(168)

ximage well 1 or 5 =

948(0.18)(0.87)(1.5 × 10−5 )(500) 2 = 0.015, Ei = 3.633 (220)(168)

ximage well 2 or 4 =

948(0.18)(0.87 )(1.5 × 10 −5 )(8662 ) = 0.0452, Ei = 2.564 (220)(168)

ximage well 3 =

948(0.18)(0.87)(1.5 × 10−5 )(1000 2 ) = 0.06, Ei = 2.291 (220)(168)

Entonces, la caída de presión en A resultará:

88

=ΔPA 70.6

qμ B +− ⎡ E + 2 s 2 =Eiimag + e1, r kh ⎣ i A, r =rw

ΔPA = 70.6

(380)(0.87)(1.3) [17.433 − 10 + 2(3.633) + 2( 2.564) + 2.291] = 76.3 psi ( 220)(40)

=500 ft

2=E iimag e 2, r 866 ft E iimage 3, r 1000 ft ⎤⎦

La presión fluyendo en el pozo A es:

Pwf = 2500-76.3 = 2423.7 psi Si el pozo estuviera ubicado en un yacimiento infinito, la contribución de la no caída de presión sería obtenida de los pozos imaginarios, entonces:

ΔPA = 70.6

qμ B ⎡E + 2 s ⎤⎦ kh ⎣ i A,r = rw

ΔPA = 70.6

(380)(0.87)(1.3) [17.434 − 10] = 25.63 psi (220)(40)

La presión fluyendo del pozo entonces sería de 2474.4 psi. Se observó que las fronteras de no flujo contribuyen con el 66.4 % de caída de presión total en el pozo A.

Pozo imagen

Pozo imagen

2by by

= bx

Pozo real

2bx

Pozo imagen

Fig. 1.35. Pozo en medio de dos fallas que se interceptan

89

500 ft

60°

YD=1 Pozo A

t 0f 50

Fig. 1.36. Localización del pozo A (método de las imágenes) I magen Pozo 2

I magen Pozo 1

I magen Pozo 3 6 8

6

ft

0 ft 100

5

0 0 f t

500 ft

866 ft Pozo A 50 0

I magen Pozo 4

ft

I magen Pozo 5

Figure 1.37. Efectos de los pozos imaginarios para un pozo cerrado por dos fallas de intersección las cuales forman un ángulo de 60°

90

REFERENCIAS 1. Bourdet, D., Ayoub, J.A., and Pirad, Y.M. “Use of Pressure Derivative in Well-Test Interpretation”. SPEFE. p. 293-302. 1989. 2. Dake, L.P. “The Practice of Reservoir Engineering -Revised edition”. Elsevier Developments in Petroleum Science. Second impresión. Amstrerdam, Holanda, 2004. 3. Testing Dykstra, Methods H., Kazemi, H.,Reprint Raghavan, Gulati, M. S., “Pressure Transient ” , SPE SeriesR.,No. 14, Published by the Society of Petroleum Engineers, Dallas, Texas, 1967. 4. Earlougher, R.C., Jr., “Advances in Well Test Analysis”, Monograph Series Vol. 5, SPE, Dallas, TX, 1977. 5. Economides, M.J., Watters, Dunn-Norman, S. Petroleum “ Well Construction”, John Wiley & Sons, New York (1988). 622p. 6. Escobar, F.H., Navarrete, J.M., and Losada, H.D. “ Evaluation of Pressure Derivative Algorithms for Well-Test Analysis”. Paper SPE 86936 presented at the SPE International Thermal Operations and Heavy Oil Symposium and Western Regional Meeting held in Bakersfield, California, U.S.A., 16–18 March 2004. 7. Horne, R.N. Modern Well Test Analysis. Petroway Inc., Palo Alto, CA., 1990. 8. Horner, D.R. “Pressure Buildup in Wells”. Proc. Third World Petr. Congr. Leiden, 1951. 9. John Lee. “Well Testing”. SPE textbook series Vol. 1. 1982 10. Lee, J. and Wattenberger, R.A. “Gas Reservoir Engineering”. SPE textbook No.Rollins, 05. Richardson, TX.Spivey, Second J.P. printing 2002. Transient Testing”. SPE 11. series Lee, J., J.B. and “Pressure Textbook Vol. 9. Richardson, TX, 2003. 12. Mathews, C.S. and Russell, D.G. “ Pressure Buildup and Flow Tests in Wells”. SPE Monograph Vol. 1. 1967. 13. Rhagavan, R. “Well Test Analysis”. Prentice Hall. New Jersey. 1993 14. Sabet, M. “Well Testing”. Gulf Publishing Co. 1991. 15. Slider, H.C. “Slider”. “Wordlwide Practical Petroleum Reservoir Engineering Methods”. Impresión Revisada. PennWell Publishing Co. Tulsa, Oklahoma, EE.UU., 1983. 16. Stanislav, J.F. y Kabir, C.S. “Pressure Transient Analysis”. Prentice Hall. New Jersey, 1990. 17. Strelsova, T. D. “Well Testing in Heterogeneous Formations”. New York. John Wiley and Sons, 1988. P. 377. 18. Tiab, D. and Kumar, A. “Application of PD’ Function to Interference Analysis”. JPT Aug. 1980, P. 1465-1470; Paper SPE presented at the 51st Annual Fall Technical and Exhibition of the Society of Petroleum Engineers of AIME, heldConference in New Orleans, Oct. 3-6, 1976.

91

19. Tiab, D. and Kumar, A. “Detection and Location of Two Parallel Sealing Faults Around a Well”. JPT (Oct. 1980): 1701-1708. 20. Tracy G. W., Coats K. H., Kazemi H., Odeh A. S., Lebourg M., Prats M. y van Poollen H. K., “Pressure Analysis Methods”, SPE Reprint Series No. 9, Published by the Society of Petroleum Engineers of AIME, 1967.

92

2. PRUEBAS DE DECLINACIÓN DE PRESIÓN Estas pruebas se efectuan con el fin de obtener ( a) permeabilidad promedia en el área de drene del pozo, ( b) volumen poroso del yacimiento, y (c) determinar heterogeneidades (en el área de drene). En realidad, lo que se tiene es ( i) transmisibilidad y (ii) volumen poroso por compresibilidad total. Para correr una prueba de declinación de presión, en general, se siguen los siguientes pasos: • Se cierra el pozo por un periodo de tiempo suficiente para alcanzar la estabilización en todo el yacimiento (sino hay estabilización probablemente se requiera una prueba multitasa). • Se baja la herramienta a un nivel inmediatamente encima de las perforaciones (mínimo la herramienta debe tener dos sensores para efectos de control de calidad de los datos). • Abrir el pozo para producir a rata constante y registrar continuamente la Pwf. La duración de una prueba de declinación puede ser unas pocas horas o varios días, dependiendo de los objetivos de la prueba y las características de la formación. Pruebas de declinación extensas o pruebas límites (reservoir limit tests, RLT) se corren para delimitar el yacimiento o estimar el volumen de drene del pozo. Otros objetivos son: Hallar k, s, coeficiente de almacenamiento (wellbore storage, WBS), φ, forma del yacimiento y tamaño del yacimiento. Idealmente, el pozo se cierra hasta que alcance la presión estática del yacimiento antes de la prueba. Este requisito se consigue en yacimientos nuevos, pero a menudo es difícil o impráctico de lograr en yacimientos viejos o desarrollados. Este tipo de pruebas se analizan mediante pruebas multitasa.

2.1. ALMACENAMIENTO (WBS=WELLBORE STORAGE) Es el flujo continuado de la formación hacia el pozo después de que el pozo ha sido cerrado para estabilización. Se le denomina también postflujo, postproducción, postinyección, carga o descarga. En pruebas de declinación ocurre descarga (unloading). El flujo ocurre por la expansión de fluidos en el pozo. En pruebas de restauración de presión ocurre postflujo (afterflow). La Fig. 2.1 ilustra lo anterior5. Las pruebas tradicionales de presión tuvieron que ser lo suficientemente largas para sobrellevar tanto los efectos de almacenamiento y daño de modo que se pudiera obtner una línea recta desventajas indicando el del aparente flujo radial. Incluso estay aproximación presenta ya comportamiento que más de una línea puede aparecer los analistas tienen problemas decidiendo cual línea usar. Aunado a ello, la escala del

93

gráfico podría evidenciar ciertas respuestas de presión como rectas cuando en realidad son curvas. Para sobrellevar este problema los analistas desarrollaron el método de las curvas tipo. Existe flujo en la cara el pozo después del cierre en superficie. El almacenamiento afecta el comportamiento del transiente de presión a tiempos tempranos. Matemáticamente, el coeficiente de almacenamiento se define como el volumen total de los fluidos del pozo por unidad de cambio de presión de fondo, o como la capacidad del pozo para descargar o cargar fluidos por unidad de cambio de presión de fondo: ΔV C= ΔP DECLINACION

RESTAURACION

q

q

Caudal en cabeza

Caudal en cabeza

flujo en la cara del pozo

t

flujo en la cara del pozo

t

Fig. 2.1. Efectos del almacenamiento en restauración y caída de presión 5 1

C1 C2 C3

/qf

s

q

0

tD

Fig. 2.2. Efecto del almacenamiento en la rata de flujo en la cara del pozo, C3>C2>C15

94

El almacenamiento causa que la rata de flujo en la cara del pozo cambie más despacio que la rata de flujo en superficie. La Fig. 2.2 esquematiza la relación qsf/q cuando se cambia la rata en superficie de 0 a q, cuando C = 0, qsf/q = 1, mientras que para C > 0 la relación qsf/q cambia gradualmente de 0 a 1. Entre mayor es el valor de C, mayor será la transición. A medida que los efectos de almacenamiento se vuelven menos severos, la formación empieza a influenciar más y más la presión de fondo hasta que se desarrolla completamente el comportamiento infinito, ver Fig. 2.10. Los datos de presión que se encuentran influenciados por almacenamiento pueden usarse para estimar las propiedades del yacimiento, sin embargo, este análisis es tedioso, a no ser que se utilice la técnica que se Tiab’s Directq Síntesis Technique presentará más adelante en denominada esta unidad. Normalmente, es controlada en superficie (a menos que haya cierre en fondo), los fluidos en el pozo no permiten una inmediata transmisión de la perturbación desde el subsuelo a la superficie, lo que acarrea una desigualdad de caudales en superficie y en la cara del pozo 5,17,18,20-23,27 . El almacenamiento puede cambiar durante una prueba de presión tanto en pozos inyectores como productores. Varias circustancias causan cambios en el almacenamiento, tales como redistribución de fases e incremento o decremento del almacenamiento asociado con pruebas de presión en pozos inyectores. En pozos inyectores, una vez se cierra el pozo, la presión en superficie es alta pero podría decrecer a la presión atmosférica e ir al vacío si la presión estática es inferior a la presión hidrostática. Esto causa incremento del almacenamiento (hasta 100 veces) de un sistema incompresible a uno de un sistema donde el nivel de líquido cae. Ver Fig. 2.3. El comportamiento de la presión y la derivada se muestran en las Figs. 2.3 y 2.4. La situación inversa ocurre en pozos inyectores con un alto nivel de aumento del nivel de almacenamiento en el líquido y en productores con alto GOR o por redisolución del gasselibre. La Fig. 2.5 muestra produciendo bajodel bombeo con empaque. Mientras bombea el nivel del pozounsepozo mantiene por debajo empaque, pero se incrementa cuando se cierra el pozo debido a que el gas en el pozo se redisuelve o se comprime. Cuando el nivel de líquido alcanza el empaque (existirá una pequeña cantidad de gas), el almacenamiento caerá de un valor relativamente alto para aquel de un nivel de líquido incremental a un valor relativamente pequeño para la situación de compresión controlada. Puede verse en las Figs. 2.6 a 2.8 anteriores que tanto para aumento o decremento del almacenamiento, el segundo coeficiente de almacenamiento determina el comienzo de la línea recta semilogarítmica. Ver los comportamientos de presión en las Figs. 2.7 a 2.9. Si existe gas por encima del nivel de líquido, su compresibilidad debe considerarse para estimar el almacenamiento. Para estos casos es mejor utilizar la ecuación de la definición. Cuando la relación entre ΔV y ΔP no cambia durante la prueba, el coeficiente de almacenamiento es constante y puede estimarse de datos de completamiento. Para un nivel de fluido variable5,20-23 :

C = ⎜⎛ 144 ⎟⎞ Vu , donde: ⎝ ρ ⎠

95

JUSTO DESPUES DEL CIERRE, P > 0

MUCHO DESPUES DEL CIERRE, P < 0

⎛ 144 ⎞ C =⎜ ⎟ Vu ⎝ ρ ⎠

C = CwbVwb

Fig. 2.3. Incremento del almacenamiento para un pozo inyector cerrado5 10

Ci = 0.01 bbl/psi Ci = 0.05 bbl/psi s=0 1

'

D

*P D t y D

P0.1

0.01 1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

tD

Fig. 2.4. Presión y derivada de presión para un pozo con incremento del almacenamiento

96

10

8

Ci = 0.01 bbl/psi Ci = 0.05 bbl/psi s=0

6 D

P 4

2

0 1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

1.E+09

tD Fig. 2.5. Gráfico semilog para un pozo con almacenamiento incremental

JUSTO DESPUES DEL CIERRE, P > 0

⎛ 144 ⎞ C =⎜ ⎟ Vu ⎝ ρ ⎠

MUCHO DESPUES DEL CIERRE, P < 0

C = CwbVwb

Fig. 2.6. Decremento del coeficiente de almacenamiento para un pozo bajo bombeo con empaque5

97

100

Ci = 0.08 bbl/psi Ci = 0.032 bbl/psi

' 10 D

P * D t y D

P1

0.1 1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

1.E+09

tD Fig. 2.7. Presión y derivada de presión para un pozo con decremento del almacenamiento 20

16


12 D

P 8

4

0 1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

1.E+09

tD Fig. 2.8. Gráfico semilog para un pozo con almacenamiento decremental

98

100


'

D

10

P * D t y D

P 1

0.1 1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

1.E+09

tD Fig. 2.9. Gráfico semilog para un pozo con almacenamiento decremental más acentuado

Vu volumen del wellbore/unidad de longitud, bbl/pie ρ densidad del fluido en el wellbore, lbm/pie 3

C Coeficiente de almacenamiento, bbl/psi Para pozos inyectores o pozos completamente llenos de fluidos:

C = CwbVwb Cwb Compresibilidad del fluido en el wellbore = 1/ Pwb Vwb Volumen total del pozo El volumen del wellbore/unidad de longitud se puede estimar con los diámetros internos del revestimiento y externos de la tubería de producción, 2 2 Vu = 0.0009714( IDcsg − ODtbg )

2.2. CAUDALES DE FLUJO EN LA CARA DEL POZO VS. SUPERFICIE Al abrir el pozo, ver Fig. 2.9, la producción de petróleo será dada por el fluido que está almacenado en éste (pozo), qsf = 0. A medida que transcurre el tiempo, qsf tiende 17,21 en el pozo será aconstante. se desprecia y la cantidad de líquido q y el almacenamiento La acumulación líquida será (asumiendo : B constante)

99

q

Pt

Awb

Oil

Z

q sf

Pw

Fig. 2.10. Representación esquemática del almacenamiento 17

vwb = Awb (Z ) , la rata de flujo es entonces dvwb dt

24

= ( q − q) B = sf

5.615

A wb

dv wb dZ = Awb dt dt

dZ dt

(2.1)

qsf y q están dados en STB/D. Puesto que Pw – Pt = ρZ/144 (asumiendo g/gc = 1). Siendo ρ la densidad del fluido en lbm/pie3 y Pt es la presión en superficie. Derivando;

d ρ dZ (P − P ) = dt w t 144 dt

(2.2)

Combinando las Ecs. 2.1 y 2.2, resulta: (qsf − q) B =

24(144) Awb d ( Pw − Pt ) 5.615 ρ dt

144 Awb Defina C = 5615 . ρ

(2.3)

100

Asumiendo Pt constante, reemplazando C y despejando qsf:

qsf = q + Pw = Pi −

24C dPw B dt

(2.4)

141.2 q μ B

kh

PD

(2.5) 2

μ ct rw t D t D = 0.0002637 kt , de donde t = 0.φ0002637 φ μ ct rw2 k

(2.6)

La derivada de la Ec. 2.6 es:

dt =

φ μ ct rw2

0.0002637 k

dt D

(2.7)

Derivando Pw, Ec. 2.5, con respecto a t:

141.2 q μ B dPD dPw =− dt kh dt

(2.8)

Reemplazando dt de la Ec. 2.7 en la Ec. 2.8:

dPw = − 141.2qμ B dPD φ μ ct rw2 /(0.0002637 k ) dt D dt kh

dPw ⎛ 0.0373qB ⎞ dPD = − dt ⎜⎝ φ h ct rw2 ⎟⎠ dt D

(2.9)

Combinando las Ecs. (2.4) y (2.9)

qsf = q −

0.894C 0.894 qC dPwD , y definiendo C D = 2 φ ct hrw dt D φ ct hrw2

(2.10)

dPwD dt D

(2.11)

qsf = 1 − C dPwD D q dt D

(2.12)

−q D qsf =q C

101

Si CD = 0 entonces, qsf = q. Las principales ventajas de usar cierre en fondo de pozo es la minimización de los efectos de almacenamiento y duración del postflujo. Cuando la válvula de cierre en fondo se acciona, el flujo hacia arriba dentro del pozo se interrumpe. Entretanto el flujo continúa entrando a la cámara a una tasa que declina exponencialmente. Si qwb representa la tasa al cual el pozo descarga fluidos, entonces21:

qwb = −

C dPwf B dt

La tasa en superficie es la suma de la tasa en el pozo, qwb, y la tasa en la cara de la formación, qsf, luego:

q = qsf + qwb , donde: qsf =

0.00708kh ⎛ ∂P ⎞ 0.894C y sabiendo que CD = r Bμ ⎜⎝ ∂r ⎟⎠ rw φhct rw2

Reemplazado estas expresiones en la ecuación de caudales:

CD

dPwD ⎛ ∂PD ⎞ − r =1 dt D ⎜⎝ D ∂rD ⎟⎠ rD=1

La condición de frontera que incorpora la región de daño es:

⎛ ∂P ⎞ PwD ( t)D =(PD )1, t D − s ⎜ rD D ⎟ ⎝ ∂rD ⎠ rD =1 Si se expresa el problema de valor de frontera (boundary value problem) en forma adimensional, se debe adicionar el siguiente sistema 21:

∂ 2 PD 1 ∂PD ∂PD , + = ∂rrD2 ∂tD D ∂rD lim P ( r , t ) = 0, t D > 0 r →∞ D D D D

PD ( rD ,)0 = P()wD 0 = 0 Cuya distribución de presión está dada por (espacio laplaciano):

102

P D ( rD , u ) = AK( 0

) ur( D + BI )

0

urD

Las constantes A y B se determinan usando las condicones de frontera dadas anteriormente, Luego:

P%D =

K 0 ( )u + s (uK )1 u

{

uK1 ( ) u + CDu( ⎡⎣)K0

u

u( )+ s uK1

}

u ⎤⎦

Aplicando el teorema de la inversión de la transformada de Laplace se tiene:

PD =

π

1 − exp ( − x 2t D )

∞

4

∫x

2

0

3

{⎣⎡vC J ( x) −(⎣⎡f) (x⎦⎤) J D 0

1

x

2

+ (⎦⎤)xCD(Y)0 ( x) − f x Y1 x

2

}

dv

Siendo J0 y J1 las funciones Bessel de la primera clase y orden cero y uno, respectivamente y Y0 y Y1 las funciones Bessel de la segunda clase y orden cero y uno, respectivamente. En algunas pruebas de presión donde hay almacenamiento variable, éste puede estimarse midiendo el caudal en la cara de la formación, qsf, con un spinner o medidor de flujo de hélice. De modo que21:

C (t ) = 1 ( qsf − q ) B 24 dPw / dt Para pruebas de restauración, puesto que el caudal en superficie se hace cero, q = 0:

C ( Δt ) =

1 qsf B 24 dPw / dt

La bondad de estas ecuaciones depende de la calidad con que se calcule la derivada.

2.3. PROPIEDADES DE LAS CURVAS TIPO DE RAMEY De acuerdo con la Fig. 2.10 se observa que a tiempos iniciales qsf = 0. Luego, qsf/q = 0, por tanto la Ec. 2.12 se convierte en 5,21:

1 − CD dPwD = 0

dt D

(2.13)

103

PwD

Separando variables CD

∫ dP

wD

0

tD

= ∫ dtD

e integrando:

0

C D PwD = t D

(2.14)

Tomando logaritmo a ambos lados log PwD = log t D − log C D Claramente se observa que la pendiente es uno. Luego en cualquier oportunidad que se grafique PD vs. tD y al comienzo da una recta con pendiente unitaria, lo que es una buena indicación que existe almacenamiento. De la Ec. 2.14;

CD = t D / PD . Si se sustituyen los valores de CD, tD y PD, se obtendrá: C=

qB t 24 Δ P

(2.15)

Esta última ecuación sirve para determinar C a partir de datos de P vs. t reales en una prueba de declinación de presión. Al graficar, se toma un punto cualquiera sobre la recta de pendiente 1 y se calcula C mediante:

C=

qB tN 24 ( Pi − Pwf ) N

(2.16)

C obtenido por la Ecs. 2.15 ó 2.16 debe coincidir con el valor obtenido de C = 144Vu/ρ. En caso contrario, podría haber una indicación de que el líquido está cayéndose o elevándose. Las razones más comúnmente atribuidas son alta relación gas-petróleo en el pozo, pozos altamente estimulados, empaques con escapes o espacios en las conexiones con el pozo (causados por colapso de la formación o mala cementación) y pozos usados para inyección de fluidos viscosos. En conclusión, las propiedades de las curvas tipo de Ramey permiten identificar (a) una pendiente unitaria que indica el almacenamiento, y (b) el desvanecimiento de los efectos de almacenamiento. Se puede observar también que cada curva se desvía de la pendiente unitaria y forma un periodo de transición que dura aproximadamente 1.5 ciclos. Si cada ½ ciclo es igual a 10 = 3.1622, quiere decir que tres medios ciclos (3.1622 3=31.62) representan aproximadamente un valor de 30. Es decir que una línea que se desvía a los 2 min requiere de una hora para formar el estado transitorio. En otras palabras la prueba está contaminada durante 1 hr por almacenamiento21,22. Se observa además que un grupo detDcurvas que presentan daño se mezclan a unlibre tiempo adimensional, = 60 C 3.5s, tiempo después delaproximadamente cual la prueba está de D + efectos de almacenamiento21,22.

104

1.E+02

1.E+01

i s p

D

, P

P

Δ

1.E+00

Δt, hr 1.E-01 1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

tD

Fig. 2.11. Ajustando datos de presión a la curva tipo

2.3.1. Ajuste por Curvas Tipo de Ramey, Procedimiento Al igual que Tiab´s Direct Synthesis Technique8-15,26-28, que se verá más adelante en esta unidad, el ajuste por curvas tipo es el único procedimiento que puede aplicarse en pruebas cortas donde no se ha desarrollado el flujo radial (línea semilog). Sin embargo, el ajuste por curvas tipo es riesgoso por ser una técnica basada en ensayo y error, pero puede proporcionar aproximados inclusodiferencias cuando losdemétodos convencionales fallan. Un error resultados en un milímetro puede causar presión de hasta 200 psi. El procedimiento es el siguiente 5: 1) Grafique ΔP vs. t (field data plot, fdp) en papel logarítmico usando la misma escala de la curva maestra dada en la Fig. 2.10. 2) Coloque el fdp sobre la curva maestra de modo que los ejes sean paralelos. 3) Obtenga el mejor ajuste con una de las curvas de la curva tipo. Ver Fig. 2.12. 4) Escoja un punto de ajuste conveniente y lea las coordenadas correspondientes ΔPM, tM, PDM, tDM, y CDM. 5) Calcule k

k = 141.2

qμ B ⎛ PDM ⎞ h ⎜⎝ ΔPM ⎟⎠

(2.17)

6) Estime la porosidad φ

=

0.0002637 k ⎛ t M ⎜⎜ μ ct rw2 ⎝ t DM

⎞ ⎟⎟ ⎠

(2.18)

105

1.E+02

CD=0

1.E+01

D

P

CD D=

1.E+00

=10

00

00 100 D= C

00 1000 CD=

s 20 10 5 0 -5

0 10

C

1.E-01 1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

tD Fig. 2.12. Presión adimensional para un pozo en un yacimiento infinito (almacenamiento y daño) 5

1.E+08

106

1.E+00

CD e

2s

30

10 10 25 10 20 10 16 14 10 12 10 10 10 9 10 8 10 7 10 6 10 105 10 4 10 3 10 2 10

Δp 24C 1.E-01 Δt qB

1.E-02 1.E+03

1.E+04

kh Δt md − ft hr , μ C cp bbl / psi

1.E+05

Fig. 2.13. Curva tipo para pozo en yacimiento infinito con almacenamiento y daño 5

1.E+06

107

7) Estime el almacenamiento

C=

φ ct hrw2

0.8936

C DM

(2.19)

2.3.2. Método de Earlougher 1) Grafique ΔP/t vs. t y ajuste con la Fig. 2.13. Escoja cualquier punto conveniente y lea5: ⎛ ΔP 24C ⎞ ⎛ kh t ⎞ ⎛ ΔP ⎞ (2.20) (C D e 2 s ) M , ⎜ , ⎜ ⎜⎟ ⎟ , , tM ⎟ ⎝ t qB ⎠ M ⎝ μ c ⎠ M ⎝ t ⎠ M 2) Calcule C

C=

qBP⎛ Δ 24C ⎞ ⎛ ΔP ⎞ / 24 ⎜⎝ t qB ⎟⎠ M ⎜⎝ t ⎟⎠ M

(2.21)

Si el ajuste fue erróneo debe repetir el proceso. 3) Calcule k μC ⎛ kh

k=

⎜ h ⎝

μ

t⎞ ⎟ c⎠ M

t

(2.22)

M

4) calcule s

⎤ 1 ⎡ φ μct hrw2 s = ln ⎢ (C e 2 s ) 2 ⎣ 0.89359C D M ⎥⎦

(2.23)

Ejercicio: Resuelva el problema propuesto anteriormente por el método de Ramey. Respuestas s = 20, CD = 103. 2.3.3. Método Semilog 1) Comportamiento de un pozo único en un yacimiento infinito. En el pozo rD = 1, luego5,15-24,29:

⎡ ⎤ . PD = 21 ⎢ln⎜⎛⎝ rt D2 ⎟⎞⎠ + 080907 ⎥ ⎥⎦ D ⎣⎢

(2.24)

108

Incluyendo factor de daño, resulta: PD + s =

kh (P i −P wf )

(2.25)

141.2 q μ B

En la cara del pozo rD = 1, luego: 1

PD = ⎡⎣ln ( tD ) + 0.80907 + 2s ⎤⎦

(2.26)

2 Reemplazando la Ec. 2.24 en la Ec. 2.25:

kh( Pi − Pwf ) 1 ⎡ ⎛ 0.0002637 kt ⎞ = ⎢ ln ⎜ ⎟ + 0.809072+ 141.2qμ B 2 ⎣ ⎝ φ μ ct rw2 ⎠

⎤ ⎥ ⎦

(2.27)

Como el papel semilog no esta en escala de logaritmo natural, se debe pasar a escala de log en base 10. Por lo tanto dividiendo todo por el ln 10 se tiene:

⎡ ⎛ 0.0002637 kt ⎞ ⎤ kh( Pi − Pwf ) = ⎢ln ⎜ ⎟ + 0.80907 + 2 s ⎥ / ln(10) 70.6q μ B ln(10) ⎣⎢ ⎝ φ μ ct rw2 ⎠ ⎦⎥ Lo cual se reduce a:

⎤ kh( Pi − Pwf ) ⎡ ⎛ kt ⎞ = ⎢ log(0.0002637) + +log ⎜ + 2 ⎟ 0.80907/ ln(10) 2 s /l n(10) ⎥ 162.6qμ B ⎣ ⎝ φ μ ct rw ⎠ ⎦ ⎤ kh( Pi − Pwf ) ⎡ ⎛ kt ⎞ −= ⎢ 3.5789 + log+⎜ + 0.3514 0.8686 ⎥ 2 ⎟ 162.6qμ B ⎣ ⎝ φμ ct rw ⎠ ⎦

(2.28)

De donde;

Pwf− = Pi

⎤ 162.6 q μ B ⎡ ⎛ kt ⎞ ⎢ log−⎜ + 2 ⎟ 3.2275 0.8686 s ⎥ kh ⎣ ⎝ φμ ct rw ⎠ ⎦

(2.29)

109

Pwf cae menos

s<0

Pwf

m s>0

Barrera de flujo

Mayor caida de presion

2m Barrera de no flujo

log t

Fig. 2.14. Comportamiento de la presión observada en un gráfico semilog El comportamiento de la ecuación 2.29 se describe en la parte central de la Fig. 2.14. Las otras dos regiones están afectadas por almacenamiento y daño y efectos de frontera. De la pendiente;

kh =

162.6 q B m

(2.30)

El tiempo de arranque de la de línea 5,22 recta es (verifica donde arranca m y donde WBS ha terminado) puede estimarse : t D ≅ ( 60 + 3 5. s)C D , en unidades de campo es:

t SSL =

3388 .6(60 + 3.5 s ) C (203316 + 11890 s ) C = kh kh

t SSL =

( 200000 + 12000 s ) C kh

(2.31)

Ya sea que los datos sean registrados en superficie con tiempo real o en fondo, los datos deben validarse en el sitio del pozo. La validación asegura que los datos adquiridos son adecuados para satisfacer los objetivos de la prueba. Cuando se leen datos en superficie en tiempo real, la validación en el sitio del pozo revela el momento en que se han la prueba de ymodo que ésta deba terminarse y se registrados optimice el suficientes tiempo del puntos equipo.para Examinar el tSSL los datos de presión adquiridos de presión y su derivada vs. tiempo en un gráfico log-log es el

110

enfoque de la validación en el sitio del pozo. Sin embargo, la estimación del tSSL puede requerir ensayo y error por lo que se prefiere usar la derivada para determinar con mejor exactitud y practicidad dicho tiempo. Este valor puede identificarse con el comienzo del flujo radial en el gráfico de la derivada 8. Con base en el tSSL es que se diseña la prueba; el tiempo de diseño de prueba es T = 10tSSL. El tiempo de estabilización de la declinación (tiempo requerido para alcanzar las fronteras de no flujo) durante la prueba se puede determinarse como sigue (para un pozo en el centro de la mayoría de sistemas simétricos, tDA = 0.1 de la tabla 2.1)5:

t DA = 0 .1 =

0.0002637kt

(2.32)

φ μ ct A

0.0002637kt

t s = 380

φ μ ct A μφ

ct (43560 A) k

Lee17 proporcionó la solución de la ecuación de flujo para la condición de inyección instantánea:

P = Pi +

const − 948φμkt ct r e t

2

Derivando la función de presión con respecto a t: 2

2

948φμct r 948 ct r − 948φμct r 2 dP const −φμ ln t = const ln t e kt − e kt dt t k

Factorizando: 948φμct r − dP = const ln te kt dt

2

⎡ 1 948φμct r 2 ⎤ ⎢1 − t ⎥ k ⎣ ⎦

⎡ 1 948φμct r 2 ⎤ dP = 0 = ⎢1 − ⎥ dt k ⎣ t ⎦ Para un sistema radial5,21,22 el tiempo máximo es determinado fijando la derivada a cero y despejando el tmax.

111

Tabla 2.1. Factores de forma para varias áreas de drenaje de pozos sencillos 5

Yacimientos finitos

CA

Exacto Para tDA >

Menos de Use solución de sistema 1 % error infinito con menos de t > para tDA > 1 % error for DA

31. 62

0. 1

0. 06

0. 1

31. 6

0. 1

0. 06

0. 1

27. 6

0. 2

0. 07

0. 09

27. 1

0. 2

0. 07

0. 09

21. 9

0. 4

0. 12

0. 08

60°

1/ 3 1

0. 098

0. 9

30. 8828

0. 1

0. 05

0. 09

12. 9851

0. 7

0. 25

0. 03

4. 5132

0. 6

0. 30

0. 025

3. 3351

0. 7

0. 25

0. 01

1

21. 8369

0. 3

0. 15

0. 025

1

10. 8374

0. 4

0. 15

0. 025

1

4. 5141

1. 5

0. 50

0. 06

1

2. 0769

1. 7

0. 5

0. 02

1

3. 1573

0. 4

0. 15

0. 005

4

3

0.6

0.015

1

1

1

1

1

112

Tabla 2.1. Factores de forma para varias áreas de drenaje de pozos sencillos – Cont. Exacto para tDA >

CA

Menos de Use solución de sistema 1 % error infinito con menos de para tDA > 1 % error for tDA >

1

0. 5813

2. 0

0. 6

0. 02

1

0. 1109

3. 0

0. 6

0. 005

1

5. 379

0. 8

0. 3

0. 01

1

2. 6896

0. 8

0. 3

0. 01

1

0. 2318

4. 0

2. 0

0. 03

1

0. 1155

4. 0

2. 3606

1. 0

2

2

4

4

4

2.0

0.01

4 1

0. 4

0. 025

2 2 Use ( Xe/ Xf ) i n pl ace of A/ r w f or f r act ur ed r eservo i r s

5 Vert i cal -Fract ured r eser voi rs xf / xe=0. 1

1

2. 6541

0. 175

0. 08

Cannot use

2. 0348

0. 175

0. 09

Cannot use

1. 9986

0. 175

0. 09

Cannot use

1. 662

0. 175

0. 09

Cannot use

1. 3127

0. 175

0. 09

Cannot use

0. 7887

0. 175

0. 09

Cannot use

19. 1

--

--

--

25. 0

--

--

--

1 xf / xe=0. 2

1 1 xf / xe=0. 3

1 1 xf / xe=0. 5

1 1 xf / xe=0. 7

1 1 xf / xe=1. 0

1 1 Water-Drive reservoirs

Unknown Drive mechanism

113

t max =

948φ μ ct r 2

k

(2.34)

el radio de drenaje (para un sistema radial)

k ts ct

rd = 0.029

μφ

(2.35)

y para cualquier tiempo de producción, tp, el radio de investigación está dado por:

rinv = 0.0325

k tp μ φ ct

(2.36)

El tiempo al cual el periodo de estado pseudoestable (presión se convierte en función lineal del tiempo) tiene lugar está dado por:

t pss =

948 φ μ ct re2

k

(2.37)

Para cualquier tiempo de producción, tp, la Ec. 2.37, se puede expresar como:

tp =

2 948φ μ ct reinv

k

(2.38)

La Ec. 2.37 es apropiada para geometrías cuadradas. Sin embargo, para sistemas circulares, la Ec. 2.38 puede proporcionar buenos resultados ya que ésta toma un poco más de tiempo para alcanzar la frontera. Para estos casos, la relación apropiada es:

t pss =

1190 φ μ ct re2

k

(2.39)

La caída de presión dimensional es dada por la Ec. 1.27.a. De la Ec. 1.43, la contribución a la caída de presión ocasionada por el daño se debe al último término, llámese 0.8686s multiplicado por -162qμB/kh. Luego: ΔPs = − 0.87( m) s

ΔP−=s

0.87(m−) ⎧⎨ k 1⎫⎬ ln rs ⎩ ks ⎭ rw

114

s normalmente es mayor -5, rara vez es -10 (múltiples fracturas). Para analizar el comportamiento de un pozo en sistemas multifásicos, se emplean pseudofunciones bifásicas y/o trifásicas. La exactitud de la siguiente expresión es sensible a los datos de permeabilidad relativa: P

m( P ) = ∫

P0

kro μo Bo

dP

En sistemas multifásicos, una buena aproximación es asumir que la transmisibilidad es una función lineal de la presión:

k ro = aP μo Bo Siendo a una constante de proporcionalidad. La expresión logarítmica, cuya deducción detallada se dará más adelante, es:

⎤ 352.2qo ⎞ ⎡ ⎛ k ⎞ ⎛ t ⎞ Pwf2 −= Pi 2 ⎛⎜ 3.23 0.869s ⎥ ⎢log ⎜ −+ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎟ ⎝ ah ⎠ ⎣ ⎝ μ ⎠t ⎝ φ ct rw ⎠ ⎦ A continuación se describe un no procedimiento superiorlasalsiguiente método sugerencias de Perrine 16para analizar una prueba multifásica, sin antes considerar : a) Use la presión inicial para crudos altamente volátiles y pruebas de declinación o en crudos de baja volatilidad y bajas caídas de presión, b) Use presión promedia para crudos altamente volátiles y pruebas de restauración y pruebas de restauración siguiendo bajas caídas de presión bajo las condiciones de baja volatilidad, c) Use la presión de fondo fluyente a 0.1 hr para altas caídas de presión y crudos de baja volatilidad, y d) Use presiones de restauración a 10 hrs para pruebas de restauración siguiendo altas caídas de presión en caso de crudos de baja volatilidad. a) Grafique P2 vs. Log t y estime la pendiente semilog, m, la cual se define por:

m=

352.2qo ah

b) evalúe la pendiente empírica a de acuerdo con las condiciones expresadas anteriormente de acuerdo con el tipo de prueba y con la volatilidad. Por ejemplo, si la se requiere usar la presión inicial:

115

⎛ k ⎞ 1 a = ⎜ ro ⎟ ⎝ μ o Bo ⎠i Pi c) Determine la permeabilidad efectiva del crudo combinando las ecuaciones de los pasos a y b. Si asumimos que la presión inicial es la condición apropiada, entonces:

ko =

352.2qo Pi ( o Bo )

mh d) Determine la permeabilidad efectiva al gas y al agua de:

⎛μ B ⎞ k g = ( R p − Rs ) ⎜ g g ⎟ k o ⎝ μo Bo ⎠ ⎛μ B ⎞ k w = WOR ⎜ w w ⎟ ko ⎝ μo Bo ⎠ e) Determine el daño para pruebas de declinación y restauración, respectivamente, de:

⎡ P2 − P2 ⎤ ⎛k⎞ ⎛ 1 ⎞ 3.23⎥ s = 1.1513 ⎢ 1hr i − log ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟− ⎣ m ⎝ μ ⎠t ⎝ φ ct rw ⎠ ⎦ 2 2 ⎡P − P ⎤ ⎛k⎞ ⎛ 1 ⎞ − 3.23⎥ s = 1.1513 ⎢ 1hr wf ( Δt =0) − log ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ m ⎢⎣ ⎝ μ ⎠t ⎝ φ ct rw ⎠ ⎥⎦ a) Radio Efectivo o Aparente del Pozo.

rw ' = rwe− s , donde; ⎡P −P ⎤ ⎛ k ⎞ s = 1.1513 ⎢ 1hr i − log ⎜ 3.23⎥ 2 ⎟+ ⎝ φμ ct rw ⎠ ⎣ m ⎦ b) Factor de Eficiencia de Flujo, FE

FE =

J real J ideal

(2.40)

116

Si FE < 1 existe daño, de lo contrario hay estimulación. Los índices de productividad, J, se estiman mediante:

Jideal =

q P − Pwf −ΔPs

y

Jreal =

q P − Pwf

Para maximizar el índice de productividad: • Incrementar la permebilidad en la zona aledaña al pozo - Fracturamiento Reducir la del viscosidad – Inyección de vapor daño - Acidificación • Remosión • Incrementar la penetración del pozo • Reducir el factor volumétrico de formación – Escogiendo separadores correctos en superficie

FE = 1 −

ΔPs P − Pwf

(2.41)

P presión promedia del área de drene o presión inicial en yacimientos nuevos. c) Relación de Daño, DR, DR=1/FE d) Factor de Daño, DF. DF = 1 - FE (real)) DF = s + ln(sr / r ) = 1 − qqd(ideal e w Si DF > 0, el pozo está dañado, de lo contrario el pozo está estimulado o mejorado.

e) Relación de productividad, PR

PR =

ln(re / rw ) q = qd ln(re / rw ) + s

f) Pérdida Anual de Ingresos/año, US$

FD$ L = 365q (OP )DF

siendo OP, el precio del petróleo.

Ejemplo, Cuál será la pérdida anual de un pozo que produce 500 BFD, el cual tiene un de daño de 8, es drena área de 120 acres y tiene un radio de 6 pulg. Asuma quefactor el precio del crudo US$un 55/barril. 120 acres = 5227200 pie². Asumiendo área circular r = 1290 pies.

117

DF =

s 8 = = 0.5046 , luego: s + ln(re / rw ) 8 + ln(1290/ 0.5)

FD$ L = 365q (OP )DF = (365)(500)(55)(0.5046) ≈ US$ 5’064.922 dólares. Lo que indica que el pozo requiere de una estimulación inmediata. 2.4. PRUEBA LÍMITE DE UN YACIMIENTO (RLT) Es una prueba larga de caída de presión. La prueba de caída de presión es usada para estimar condiciones artificiales (C y s), Fig. 2.14, mientras que la prueba RLT trata con las fronteras. En un gráfico cartesiano, Fig. 2.15, se distinguen tres zonas5:

Región I: Flujo inestable. Se usa log-log para determinar C. teus es el fin del flujo inestable (aparece el pseudoestable).

t eus =

φ μct re2

(2.32)

0.0002637 k

El tiempo del inicio del estado pseudoestable es;

t pss =

φ μ ct re2

(2.43)

0.00088 k

Note que

teus = t pss / π

f w

f w

P

Pe

nd ie

nte

De la pendiente se obtiene permeabilidad y daño t log

P g lo

De la linea de pendiente unitaria se obtiene almacenamiento t log

Fig. 2.15. Características de los gráficos semilog y log-log

118

Region I

i s p ,

Region III

Region II

f

Pw

t≈

φ μ c t r e2 0.0002637k

t≈

φ μ ct re2

0.00088k

Time, hrs

Fig. 2.165. Características encontradas en el gráfico cartesiano El estado pseudoestable es gobernado por5,17:

⎛ 22458 ⎞ 1 ⎛ A⎞ . PD = 2π t D + ln⎜ 2 ⎟ + ln⎜ ⎟ 2 ⎝ rw ⎠ ⎝ CA ⎠

(2.44)

El área está dada en pies² y CA es el factor de forma. La mayoría de las curvas están dadas para rA/rw = 2000.

Región II: Flujo transitorio - radial. La ecuación gobernante es:

PD =

kh 141.2q μ B

( Pi − Pwf ) − s

(2.45)

Región III: Flujo pseudoestable De la Ec. 2.44 y combinando con los parámetros adimensionales ( tDA y PD), se tiene5:

⎤ ⎡ 0.23395 ⎤ qB 70.6q⎛μ⎞ B ⎡ A 2.2458 Pwf− = ⎢ −+ t Pi + + ⎢ln 2 ln ⎜ 2s ⎥ ⎟ ⎥ kh ⎣ rw ⎣ φ ct Ah ⎦ ⎝ CA ⎠ ⎦ --- m* --------------------------- b ---------------------

(2.46)

De la pendiente m*, se obtiene el volumen poroso:

m* = − 0.23395qβ φ ct Ah

(2.47)

119

Vp = −

0.23395qB ct m *

(2.48)

Del intercepto se obtiene el factor de forma:

PINT−= Pi

70.6q μ β ⎡

⎤ ⎛ 2.2458 ⎞ A + ⎢ln 2+ ln ⎜ 2s ⎥ ⎟ kh ⎣ rw ⎝ CA ⎠ ⎦

(2.49)

Y el factor de forma es:

CA = 5.456

m 2.303 P1hrm− Pint e m*

(2.50)

Con CA vaya a la tabla 2.1 para determinar la geometría del yacimiento. a) De dicha tabla encuentre el valor de CA más cercano al valor obtenido con la Ec. 2.50 b) Calcule el tD al arranque del estado pseudoestable . ( t DA ) PSS = 01833

m* t m pss

(2.41)

c) Compare el valor (tDA)PSS con la columna “exacto para tDA > “ en la tabla 2.1. Si (tDA)PSS es menor que el valor obtenido de esa columna entonces esa debe ser la forma que más se ajusta al sistema. 2.5. CONTROL DE CALIDAD Cuando se corre una prueba de presión es importante usar, como mínimo, dos herramientas de registro, ver Fig. 2.17, de modo que al comparar los datos registrados sea posible definir la calidad de la medición (control de calidad) al comparar los resultados de las diferentes trazas. Cuando las diferencias entre los datos de un registrador difieran más de lo esperado de otro(s) existe posibilidad de que haya un error de lectura a consecuencia de una herramienta mal calibrado o funcionando mal.

2.6. REGIMENES DE FLUJO Cuando se analiza una prueba de presión, el paso más importante es el de definir la geometría de flujo que existe en determinado periodo de tiempo, para la posterior aplicación de las ecuaciones o modelo de yacimiento adecuado. A continuación se describen regimenes de flujo las pruebaslos de diferentes pozos y que se sintetizan en la encontrados Fig. 2.22.b. durante la interpretación de

120

Registrador de presion # 1

P = Preg − ρ gh

Registrador de presion # 2

h

P = Preg

Fig. 2.17. Esquematización del control de calidad VISTA DE PL AN

PERFIL

No Flujo

No Flujo

No Flujo

No Flujo

Fig. 2.18. Representación del flujo lineal (yacimiento alargado) 3D

PLANTA

PERFIL

Fig. 2.19. Representación del flujo lineal (pozo fracturado hidráulicamente)

121

PLANTA

PERFIL

Fig. 2.20. Representación del flujo radial VISTA DE PL AN

PERFIL No Flujo

Hemisférico Radio externo

No Flujo No Flujo

Esférico Radio externo

No Flujo

Fig. 2.21. Representación del flujo esférico y hemisférico El flujo radial es el régimen de flujo más importante en interpretación de pruebas de presión. Este se reconoce por una extensión constante o tren plano en la derivada. La geometría de flujo radial se describe como líneas de corriente que convergen hacia un cilindro circular. Ver Fig. 2.21. En pozos completados en todo el intervalo perforado, el cilindro puede representar la porción del pozo intersectando toda la formación. En formaciones parcialmente penetradas, el flujo radial podría estar restringido a tiempos tempranos a soloCuando una sección del está intervalo de la formación donde el flujo es el dirigido hacia el pozo. el pozo estimulado o en pozos horizontales, radio efectivo para el flujo radial podría estar alargado (flujo pseudorradial). Los pozos

122

horizontales pueden exhibir flujo radial de tiempo temprano en el plano vertical normal al pozo. Si el pozo está localizado cerca de una barrera de no flujo (falla) la respuesta de presión puede exhibir flujo radial al pozo seguido por flujo radial al pozo más su imagen a través de la barrera. Cuando quiera que exista el flujo radial se puede estimar los valores de k y s. Cuando el flujo radial toma lugar a tiempos tardíos, se puede estimar la presión extrapolada del yacimiento en pruebas de restauración de presión5,21-23. El flujo esférico ocurre cuando las líneas de corriente convergen a un punto (Figs. 2.31 y 2.31). Este régimen ocurre en pozos completados formaciones parcialmente penetradas. Paraque el han casosido deparcialmente completamiento parcial o penetración parcial cerca al tope o la base de la formación, la capa impermeable más cercana impone un flujo hemisférico. Tanto el flujo esférico como el hemisférico son vistos en la curva de la derivada como una pendiente negativa con valor de 0.5. Una vez determinada la permeabilidad del flujo radial, esta puede usarse con la permeabilidad horizontal para determinar la permeabilidad vertical. Esta última es importante para predecir conificación de gas o agua1,19. La geometría del flujo lineal consta de vectores de flujo paralelos, ver Fig. 2.19. El flujo lineal es identificado por una tendencia de pendiente positiva de valor 0.5 en el gráfico de la derivada. Este régimen se presenta en pozos hidráulicamente fracturados, pozos horizontales y yacimientos alongados. Puesto que las líneas de corriente convergen a un plano, los parámetros asociados con el flujo lineal son la permeabilidad de la formación en la dirección de las líneas de flujo y el área de flujo normal a las líneas de corriente. La permeabilidad horizontal determinada de otro régimen de flujo puede usarse para estimar el ancho del área de flujo. Esto proporciona la longitud media de la fractura en un pozo hidráulicamente fracturado, la longitud de producción efectiva de un pozo horizontal, y el ancho de un yacimiento alongado, al igual que la posición del pozo dentro del mismo. La combinación de los datos de flujo radial (o cualquier otro) puede proporcionar los valores principales de la permeabilidad en x o la permeabilidad vertical para estimar los valores de las permeabilidades direccionales de la capa. En una formación anisotrópica, la productividad de un pozo horizontal es más efectiva perforando el pozo en la dirección normal a la máxima permeabilidad horizontal5,21-23,27. El flujo birradial o flujo elíptico se presenta en pozos horizontales6 o en pozos hidráulicamente fracturados27 exhibiendo una pendiente positiva de 0.36 (ó 0.35 según otros investigadores). Este se presenta en fracturas largas y pozos horizontales donde la geometría de las líneas de corriente son de naturaleza elíptica. Los pozos hidráulicamente fracturados con fracturas de baja conductividad pueden exhibir flujo bilineal adicional al flujo lineal. Este régimen ocurre por una caída de presión en la fractura misma que resulta en líneas de corriente paralelas en la fractura al mismo tiempo que existen líneas de flujo en la formación (normales a las de la fractura). El término bilineal se refiere a dos flujos lineales simultáneos que ocurren

123

direcciones normales. El tren de la derivada para este patrón de flujo muestra una pendiente positiva de un cuarto. Cuando se conocen la longitud media de la fractura y la permeabilidad de la formación, la conductividad de la fractura puede determinarse del flujo bilineal. El régimen de flujo compresión/expansión toma lugar cuando el volumen que contiene la perturbación de presión no cambia con el tiempo y la presión en todos los puntos dentro del volumen invariable varía en la misma forma. Este volumen puede limitarse por una porción o todo el pozo, una zona compuesta limitada, o un volumen de drene cerrado. Si el pozostorage); es el factor el régimen flujo es llamado si ellimitante, factor limitante es eldevolumen total de almacenamient o (wellbore drene, este comportamiento se conoce como estado pseudoestable. La derivada de la compresión/expansión aparece como una pendiente unitaria. Una o más pendientes unitarias precediendo al flujo radial pueden representar efectos de almacenamiento. La transición del periodo de almacenamiento a otro régimen de flujo usualmente aparece como una joroba, lomo o pico (Fig. 2.27). El régimen de flujo de almacenamiento representa una respuesta que es efectivamente limitada al volumen del pozo. Por lo tanto proporciona muy poca información acerca del yacimiento. Más aún, este puede enmascarar repuestas importantes a tiempos tempranos que sirven para caracterizar aspectos cercanos al pozo incluyendo penetración parcial o radio de daño finito. Este régimen de flujo es minimizado (nunca eliminado) cerrando el pozo cerca al intervalo productor. El lector debe ser consciente que en formaciones de considerable espesor o en fracturas hidráulicas el almacenamiento puede prevalecer. Cerrar el pozo en fondo puede reducir la porción de datos dominada por almacenamiento en dos o más ciclos logarítmicos. En algunos pozos probados sin cierre en fondo, los efectos de almacenamiento pueden durar varios días. Después del flujo radial, puede ocurrir una pendiente unitaria que no corresponde al comportamiento final observado y que podría resultar de la producción de una zona dentro de otras zonas (o múltiples zonas en una sola). Este comportamiento es acompañado por flujo cruzado en el pozo y ocurre cuando las zonas compuestas se han repletado diferentemente. Si ocurre pendiente unitaria al final de la prueba, se asume que existen condiciones de estado pseudoestable para todo el volumen del área de drene y solo se observa en pruebas de declinación de presión. El volumen del yacimiento puede estimarse de ests régimen de flujo 5,20-24. La apropiada identificación de los regimens de flujo, lo cual aparece como un patron característico exhibido por la derivada de presión, es importante porque un régimen de flujo es la geometría de las líneas de corriente de flujo en la formación probada. Para cada régimen de flujo identificado un conjunto de propiedades del yacimiento pueden calcularse usando solo una porción del los datos del transiente de presión que exhibe el comportamiento del patrón carácterístico. El flujo parabólico, el cual se introduce en este texto y es presentado por primera vez por Escobar y colaboradores 6 se produce unicamente en yacimientos elongados cuando el pozo está cerca de una barrera de flujo, la cual actúa como presión

124

constante por un lado y por el otro lado continúa el flujo lineal. Sin embargo, la combinación simultánea del estado estable con el flujo lineal srcina una nueva geometría de flujo en forma de parábola. Ver Fig. 2.21.a. 5200

Incremento de Presión

5000

4800 500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

Fig. 2.22.a. Geometría del flujo parabólico

Es fér ico

Radial (m=0)

) =1 (m

/he mi sfé rico

ble sta

(m =

-0. 5)

Radial (m=0)

l 6) nea 0.3 Li to .5) m= ( 0 n = o ic m ie lípt al ( am al/e Line adi en Bi-r ac ) m =0.25 Al eal ( m Bilin

) =1 (m

e do al eu ine Ps Dual-L

4500

5000

6 le ab st e do eu 1) Ps m= (

eal Lin

Es ta do

Par abó lico

es ta

(m= -0.5 ) Es Es ta do Un ta d

a

ble

es o ta fro es bl e nt ta er ble a ab ie rt a (m =1

)

Fig. 2.22.b. Herramienta de identificación de regímes de flujo Los 10 patrones de régimen de flujo comúnmente observado en una prueba de presión son radial, esférica, hemisférica, lineal, bilineal, parabólica, compresión/expansión, estado estable, doble porosidad o permeabilidad, y pendiente doblada. La Fig. 2.21.b contiene una plantilla que sirve de identificación de regímenes de flujo (srcinalmente considera solo 8 patrones). Esta se usa para diferenciar los tipos de regímenes de flujo en gráficos log-log para su aplicación en la determinación y entendimiento de las condiciones en subsuelo y en el yacimiento. Las ecuaciones de difusividad para flujo lineal y esférico/hemisférico son, respectivamente1:

∂P k ∂2P = ∂t φμct ∂x 2

(2.52)

125

∂P k 1 ∂ ⎛ ∂P ⎞ = r ∂t φμct r 2 ∂r ⎜⎝ ∂r ⎟⎠

(2.53)

2.7. POZOS HORIZONTALES Un número de diferentes regimenes de flujo pueden ser encontrados mientras se analizan las respuestas del transiente de presión en pozos horizontales12,13. Uno o más de esos regimenes de flujo podrían estar ausentes o enmascarados dependiendo de los parámetros del yacimiento. Los parámetros que juegan un papel importante en el comportamiento transitorio de la presión en un pozo horizontal son: la relación de permeabilidad vertical a horizontal, la posición relativa de la cara del pozo en el estrato y la longitud de la cara del pozo horizontal comparada con el espesor de la formación. Esencialmente, han sido identificados cuatro regimenes de flujo principales que son teóricamente posibles de encontrar durante una prueba de declinación o restauración de presión en un pozo horizontal. Cuando se inicia la producción, la presión transiente se moverá perpendicular a la cara del pozo como se ilustró en la Fig. 2.21.c, entonces se forma el flujo radial. El mismo comportamiento es observado en un pozo vertical produciendo en un ambiente de acción infinita. Este régimen de flujo ha sido reconocido como flujo radial a tiempo temprano y su duración es muy corta en estratos delgados o cuando existe permeabilidad vertical alta10,13,14.

Fig. 2.22.c. Flujo radial a tiempos tempranos 12 Cuando el pozo está cerrado a una frontera de no flujo y este es afectado por la perturbación de la presión, un flujo hemicilíndrico se forma como lo muestra la Fig. 2.23. Frecuentemente, la longitud del pozo horizontal es mucho mayor que el espesor del yacimiento, lo cual contribuye a la formación del segundo régimen de flujo principal. Este es conocido como régimen de flujo lineal y se desarrolla cuando la perturbación de la presión alcanza las fronteras superiores e inferiores del yacimiento. Ver Fig. 2.24. La duración efectiva de este flujo está relacionada con el inicio de los efectos finales. Este régimen de flujo está ausente cuando la longitud horizontal de la cara del pozo es corta se comparada con la formación. En cambio, una de zonaflujo de transición longitudinal desarrollará antes del siguiente periodo identificable.

126

Fig. 2.23. Flujo Hemicilíndrico 12

Fig. 2.24. Flujo Lineal12 En ausencia de una fuente de presión constante y no fronteras al flujo horizontal sobre una distancia razonable, el flujo hacia la cara del pozo horizontal se vuelve efectivamente radial después de un largo tiempo, con el plano horizontal actuando algo así como un punto fuente, Ver Fig. 2.24. Este régimen de flujo, llamado radial a tiempos últimos, puede no ser observado si otras fronteras externas están afectando el primero o no será observado cuando el yacimiento tiene fronteras de presión constante.

Fig. 2.25. Flujo radial a tiempos tardíos12 Entre los periodos de flujo radial tempranos y últimos es posible encontrar un régimen de flujo lineal causado por la influencia del tope y base de las fronteras mientras la longitud horizontal del pozo es importante para el radio de investigación. En otras palabras, en un yacimiento semi-infinito, una vez que las fronteras paralelas han sido alcanzadas, un régimen de flujo lineal se desarrollará. Siguiendo el flujo radial temprano, puede aparecer un periodo intermedio si el pozo se encuentra

127

cerrado a una de las fronteras superior o inferior; éste periodo es llamado régimen de

flujo hemirradial, ver Fig. 2.25. Este régimen de flujo usualmente no se desarrollará si la posición del pozo relativa al espesor de la formación es 1 o cero, indicando que el pozo está muy cerrado a cualquiera de las fronteras superior o inferior. Un régimen que se podría estabilizar cuando un pozo horizontal esta en prueba de declinación de presión, pero este no se considera común, es el estado estable. Este solo se desarrollará cuando exista una fuente de presión constante tal como un acuífero o una capa de gas.

Fig. 2.26. Flujo hemirradial12 Resumiendo, existen cuatro principales regimenes de flujo distintos que teóricamente pueden desarrollarse cuando un pozo horizontal está siendo probado por declinación o restauración de presión; su identificación es crítica para la apropiada interpretación de una prueba de un pozo horizontal. EL flujo elíptico (pendiente 0.36 en la curva de la derivada) puede presentarse en pozos horizontales. En general, en orden cronológico de desarrollo, éstas son: • • • •

Flujo radial a tiempos tempranos Flujo lineal a tiempos intermedios Flujo radial a tiempos últimos Flujo lineal a tiempos últimos(estado pseudoestable)

2.8. AJUSTE CURVAS DE LA DERIVADA - CURVAS DE BOURDET la curva tipo de la derivada se presenta en la Fig. 2.27. La aplicación es similar a las curvas de Ramey. Las ecuaciones gobernantes son2,8:

khΔP ' 141.2q μ B

(2.54)

tD kh t = 0000295 . CD μ C

(2.55)

PD ' =

128

Si se tiene un buen punto de ajuste de los datos con la curva tipo, se leen los siguientes parámetros de ambas gráficas:

ΔPM , (t * ΔP ') M , PDM ⎜ ⎟,

⎛ t⎞D ⎛⎞ PDM ⎜ ⎟',,tM ⎝ C⎠ D ⎝⎠

tD CD

M

k, s, y C se obtienen de:

k=

141.2qμ B ⎜⎛ tD ⎟⎞ PDM h ⎝ CD ⎠ (t * ΔP ') M

k=

141.2q μ B ( PD )M ( ΔP ) M h

C = (0.000295kh / μ )

C D e2 s =

tM (t D / cD )M

, leyendo CD e 2 s

2 0.8936Ce2 s φ c hr , de donde Ce 2 s = t w (CD e2 s ) M 2 φ ct hrw 0.8936

Llamando todo el lado derecho como n, resulta Ce 2 s = n , despejando s; 1 n s = ln 2 C Debido a la diferencia en presión dada en la Fig. 2.27, las curvas tipo de declinación no pueden usarse para analizar datos de restauración de presión, para aliviar este problema Agarwal usando el concepto de desuperposición introdujo el concepto de tiempo efectivo que se define mediante: Δt e =

t p Δt Δt + t p

Para flujo de gas se recomienda usar pseudotiempos.

2.9. MÉTODO DE TIAB’S DIRECT SYHTHESIS TECHNIQUE, TDST La solución de la ecuación de difusividad considerando daño y almacenamiento está dada por26:

129

1.E+02

CD e

2s

40

1.E+01

'

D

p ) D

/c D t( , D

p

10 10 35 10 30 10 25 20 10 15 10 12 10 10 10 8 10 6 10 5 10 4 10 3 10 10 2

1.E+00

1.E-01 1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

tD/cD Fig. 2.27. Curva tipo de Bourdet 2

1.E+03

1.E+04

130

Pi

Δp drawdown

n io s re P

Δp buildup Presion de referencia

Δp diferencia

tp

t

Δt

Tiempo

Fig. 2.28. Diferencias de presión de declinación y restauración5,21-23

⎛ u2t 4 ∞ 1 − e− D PD = 2 ∫ ⎜ 3 π 0 ⎜⎜ u U D ⎝

⎞ ⎟du ⎟⎟ ⎠

(2.56)

y su derivada es; u2t dPD 4 ∞ ⎛⎜ e− D = 2∫ dt D π 0 ⎜ uU J ⎝

⎞ ⎟ du ⎟ ⎠

(2.57)

donde;

[

]2 [

(

) ]2

U J = uCD J 0 (u) − (1 − CD su2 ) J1 (u) + uCDY0 (u ) − 1 − CD su 2 Y1 (u )

(2.48)

La presión adimensional, PD, el tiempo adimensional, tD y el coeficiente de almacenamiento adimensional, CD, se expresan como sigue: ⎛ kh ⎞ PD = ⎜ ⎟ ΔP ⎝ 141.2quB ⎠

(2.59)

⎛ 0.0002637k ⎞ ⎟⎟t t D = ⎜⎜ 2 ⎝ φμct rw ⎠

(2.60)

131

⎛ 0.8935⎞ ⎟C CD = ⎜⎜ 2 ⎟ ⎝ φc t hrw ⎠

(2.61)

2.9.1. Líneas y Puntos Característicos El gráfico log-log de presión adimensional y derivada de presión versus tiempo, Fig. 2.27, tiene varias características únicas: (1) La curva de presión tiene una al línea unitariapuro. durante tiempos tempranos. Esta línea corresponde flujodede pendiente almacenamiento La ecuación de esta línea recta es:

PD =

tD CD

(2.62)

combinando las Ecs. 2.59 y 2.60 dadas:

t D 0.0002637kt 0.8935C = / φμct rw2 φμ hrw2 CD tD ⎛ hk ⎞ t = ⎜ 2.95×10−4 ⎟⎟ CD ⎜⎝ μ ⎠C

(2.63)

Sustituyendo las Ecs. 2.59 y 2.63 en la Ec. 2.62 y solucionando el coeficiente de almacenamientoC se obtiene:

⎛ ⎛ kh ⎞ −4 kh ⎞ t ⎜ 141.2qμ B ⎟ ΔP = ⎜ 2.95 ×10 μ ⎟ C ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ qB t C = ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ 24 ⎠ ΔP

(2.64)

qB t C = ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ 24 ⎠ t * ΔP' Para pruebas de declinación de presión,ΔP = P i - Pwf. Para pruebas de restauración de presión ΔP = Pws - Pwf (Δt = 0).

132

2) La curva de al derivada de presión tambiéntiene una línea recta dependiente unitaria a tiempos tempranos. La ecuación de esta línea es obtenida tomado la derivada de la Ec. 2.62 con respecto al logaritmo natura tde D/CD. Así:

⎛ tD ⎞ t ⎜⎜ ⎟⎟ PD ' = D C C D ⎝ D⎠

(2.65)

donde la derivada de la presión adimensional es:

⎛ kh ⎞ dP dPD ⎜⎝ 141.2qμ B ⎟⎠ PD ' = = dtD ⎛ 0.0002637k ⎞ ⎜ φμc r 2 ⎟ dt t w ⎝ ⎠ ⎛ 26.856 rw2φ ct h ⎞ P 'D = ⎜⎜ ⎟⎟ΔP ' qB ⎝ ⎠

(2.66)

El lado izquierdo de la Ec. 2.65 puede expresarse en unidades reales mediante combinación de las Ecs. 2.63 y 2.66:

⎛ tD ⎞ ⎛ hk ⎞ t ⎜⎜ ⎟⎟ PD ' = ⎜⎜ 2.95×10−4 ⎟⎟ μ ⎠C ⎝ ⎝ CD ⎠

⎛ 26.856rw2φ ct h ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ΔP' qB ⎝ ⎠

⎛ tD ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ φc hr 2 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ PD ' = 0.00792252⎜⎜ kh ⎟⎟ ⎜⎜ t w ⎟⎟t * ΔP ' ⎝ qμB ⎠ ⎝ C ⎠ ⎝ CD ⎠ Multiplicando y dividiendo por 0.8935

⎛ tD ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ φc hr 2 ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ PD ' = 0.007087⎜⎜ kh ⎟⎟ ⎜⎜ t w ⎟⎟t * ΔP ' ⎝ qμB ⎠ ⎝ 0.8935C ⎠ ⎝ CD ⎠ Puesto que CD es: ⎛ 0.8935⎞ ⎟C CD = ⎜ ⎜ φc hrw2 ⎟ ⎝ t ⎠

⎛ tD ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ PD ' = 0.007087⎜⎜ kh ⎟⎟ ⎜⎜ 1 ⎟⎟t * ΔP' ⎝ qμB ⎠ ⎝ CD ⎠ ⎝ CD ⎠

133

Puesto que la pendiente unitaria es uno, entonces CD = 1, así

⎛ tD ⎜⎜ ⎝ CD

⎞ ⎛ ⎞ kh ⎟⎟ P 'D = ⎜⎜ ⎟⎟t * Δ P ' ⎝ 141 .2 qμB ⎠ ⎠

(2.67)

De la Fig. 2.22 es obvio que la línea de pendiente unitaria a tiempos tempranos es la misma para las curvas de presión y derivada de presión. Combinando las Ecs. 2.65, 2.66 y 2.67 y solucionando paraC se obtiene una ecuación similar a la Ec. 2.64 donde

ΔP es remplazado cont*ΔP’. qB t C = ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ 24 ⎠ t * ΔP' 3) La porción de flujo radial de acción infinita de la derivada de presión es una línea recta horizontal. Para un yacimiento homogéneo, la ecuación de esta línea es:

⎡⎛ t D ⎞ ⎤ ⎢⎜⎜ ⎟⎟ P 'D ⎥ = 0.5 ⎣⎝ C D ⎠ ⎦ r

(2.68)

Combinando las Ecs. 2.67 y 2.68 y solucionando para la permeabilidad se tiene:

⎛ kh ⎞ ⎟⎟t * ΔP' 0.5 = ⎜⎜ ⎝ 141.2qμB ⎠

k=

70.6q B h(t * ΔP ')r

(2.69)

Donde el subíndicer es usado para la línea de flujo radial. En términos de presión, la ecuación de esta línea es:

⎧ ⎛t ⎞ ⎫ PDr = 0.5⎪⎨1n⎜⎜ D ⎟⎟ + 0.80907 + ln[CDe 2 s ]⎪⎬ ⎪⎩ ⎝ C D ⎠ r ⎪⎭

(2.70)

4) El tiempo de inicio de la línea de acción infinita de la curva de derivada de presión está dada aproximadamente por:

⎜⎛ t D ⎞⎟ = 10 log(CDe2 s )10 ⎝ CD ⎠ SR

(2.71)

134

Esta ecuación es obtenida mediante graficación de los valores de tD/CD correspondientes al primer punto donde la Ec. 2.70 es válida, por ejemplo, en el inicio de la línea horizontal para diferentes valores deCDe2s > 100. Valores de tD/CSR fueron obtenidos de la segunda derivada de la Ec. 2.46. Sustituyendo por CD y tD y solucionando para tSR:

tSR =

⎡ ⎛ 0.8935C ⎞ ⎤ μC ⎟ + 2s ⎥ ⎢ln⎜ 6.9×10 − 5 kh ⎣ ⎜⎝ φ ct hrw2 ⎟⎠ ⎦

(2.72)

donde tSR es el tiempo de inicio de línea de flujo radial de acción infinita. 26 Vongvuthipornchai y Raghavan mostraron que el tiempo de inicio de la línea recta semilog se determina mejor de:

⎛ tD ⎞ ⎛ tD ⎞ ⎤ 1⎡ 2s ⎜⎜ C ⎟⎟ = α ⎢ln C D e + ln⎜⎜ C ⎟⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎝ D ⎠ SR ⎝ D ⎠ SR ⎦⎥

(

)

(2.73)

donde α es la tolerancia (fracción) usada para determinar el valor deDSR t al cual la Ec. 2.68 es válida. Para α = 0.05 ellos encofraron que la Ec. 2.73 (solución aproximada) puede predecir el valor detDSR con un 8 % del valor predicho por la Ec. 2.57 (solución exacta). La línea recta semilog siempre aparecerá al iniciar temprano la porción horizontal de la curva de derivada de presión. La diferencia puede ser mucho más que del 50 %. El coeficiente de almacenamiento se puede estimar de la Ec. 2.73 cuando α = 0.05 y solucionando para C:

⎛ t DSR ⎞ ⎟⎟ C = 0.056φ ct hrw2 ⎜⎜ ⎝ 2 s + ln t DSR ⎠

(2.74)

donde tDSR es calculado de la Ec. 2.60 at = tSR. 5) La línea de pendiente unitaria a tiempos tempranos y la línea de acción infinita a tiempos tardíos de la derivada de presión, por ejemplo, la línea horizontal, interceptan en: ⎛ tD ⎞ ⎜⎜ C P 'D ⎟⎟ = 0.5 ⎝ D ⎠i

(2.75)

⎛ tD ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = 0.5 C

(2.76)

D

⎝

⎠

i

135

Donde el subíndice i se usa para “intersección”. En unidades reales las coordenadas de este punto de intersección se obtienen de:

(t * ΔP ')i =

70.6q B kh

(2.77)

y, 0.5 =

ti =

0.0002637 kt 0.8935C / φμct rw2 φμ hrw2

1695 μ C kh

(2.78)

Estas ecuaciones se pueden derivar, respectivamente, de las Ecs. 2.69, 2.63 y 2.76. Así, el punto de intersección puede ser usado para determinark de la Ec. 2.77 y C de la Ec. 2.78. Puesto que la línea de pendiente unitaria es la misma para las curvas de presión y derivada de presión, en el punto de intersección se tiene:

(Δ)P (i = t)* (ΔP ' i )= t * ΔP ' r

(2.79)

6) Entre las líneas rectas a tiempos tempranos y tardíos, las curvas de derivada tiene una forma específica para diferentes valores deCDe2s. Aquí, las coordenadas de los “picos” para CDe2s > 100 fueron obtenidas de la segunda derivada y graficadas en ejes Cartesianos. La ecuaciónde esta línea es:

⎛ ⎞tD ⎜C ⎟ P 'D ⎝⎠D

x

⎛⎞ tD = 0.35717 ⎜⎟ C ⎝⎠ D

− 0.50

(2.80)

x

Si bx = 141.2qμB / kh

(2.81)

Combinando las Ecs. 2.63, 2.67 y 2.81 se tiene que:

qB ⎞ ⎛ ( t × ΔP=') r ⎜ 0.014879 − ⎟ t x 0.50bx C⎠ ⎝

(2.82)

siendo:

bx = 141.2qμB / kh

(2.82)

136

y (t*ΔP’)x y tx son las coordenadas del punto máximo (pico) de la curva de derivada de presión. De la Ec. 2.81 es obvio que se pueda calcular el coeficiente de almacenamiento o la permeabilidad de las coordenadas del pico. Despejandok de la Ec. 2.81 se tiene que: 70.6q μ B ⎞ 1 k = ⎛⎜ ⎟ 0.014879qB / C t − (t * ΔP ') h ( )x ⎝ ⎠ x

(2.83)

Esta ecuación podría ser usada para calculark solo si no es observada la línea de flujo radial de acción infinita a tiempos últimos,tal como en pruebas cortas, o si existe mucha interferencia en los valores de la derivada a tiempo últimos. Despejando C de la Ec. 2.82 se tiene que:

C=

0.014879qBtx ( t * Δ)P(' x + )t * ΔP '

(2.84) r

Esta ecuación podría ser usada en casos dondek es conocida por otras fuentes y no se observa la línea de pendiente unitaria a tiempos tempranos. 7) Un gráfico log-Log de log (CDe2s) versus las coordenadas del pico produce las siguientes ecuaciones: ⎛

y,

1.24

⎞ ⎟ ⎟ D ⎝ C ⎠x

t log (CD e2 s ) = 0.35⎜⎜ D

(2.85) 1.24

⎛

⎞

⎝ CD

⎠x

t log (CD e 2 s ) = 1.71⎜⎜ D PD ' ⎟⎟

(2.86)

Sustituyendo las Ecs. 2.63 y 2.67 en las Ecs. 2.85 y 2.86 se producen dos nuevas expresiones. Combinando estas nuevas expresiones con las Ecs. 2.77 y 2.78 se tiene que: 1.24

⎛t ⎞ logCD e 2 s = 0.1485⎜⎜ x ⎟⎟ ⎝ ti ⎠ y

(2.87)

1.1

⎡ (t * ΔP ')x ⎤ logCD e 2 s = 0.80⎢ ⎥ ⎣ (t * ΔP')i ⎦

(2.88)

137

Así, las coordenadas del punto máximo (pico) de la derivada de presión se pueden usar también para calcular daño. Resolviendo para daño las Ecs. 2.87 y 2.88 dan respectivamente: ⎛t ⎞ s = 0.171⎜⎜ x ⎟⎟ ⎝ ti ⎠ y,

1.24

⎛ 0.8935C ⎞ ⎟ − 0.5 ln ⎜⎜ 2 ⎟ ⎝ φ hct rw ⎠

⎛ ⎞ s = 0 .921 ⎜ ((tt**ΔΔPP ''))x ⎟ i ⎠ ⎝

1 .1

(2.89)

⎛ ⎞ − 0.5 ln ⎜ 0 .8935 2C ⎟ ⎝ φ hc t rw ⎠

(2.90)

Debido a que en algunas pruebas de presión la forma de la protuberancia del almacenamiento puede parecer plana en el “pico’, es posible leer el valor correcto de (t*ΔP′)x pero un valor incorrecto de t x. En este caso, es una buena práctica calcular s de ambas ecuaciones. Si estas dan valores diferentes entonces se debe obtener un nuevo valor de tx y repetir los cálculos hasta que las dos ecuaciones arrojen valores similares de daño. 8) Una expresión que relaciona la porción de la línea de flujo radial de acción infinita 2s de la curva de derivada de presión y los picos para diferentes valores Cde se De puede obtener dividiendo la Ec. 2.80 con la Ec. 2.68:

⎡⎛ t D ⎞ ⎤ ⎢⎜ ⎟ P 'D ⎥ = 0.5 ⎣⎝⎜ CD ⎠⎟ ⎦ r ⎛ tD ⎞⎛ ⎜ C P⎟⎜ 'D ⎝ D ⎠⎝

⎞ tD ⎛⎞ ⎡ tD ⎟/ C P 'D ⎜=⎟2 ⎢ 0.35717 C D D x ⎠ r⎝ ⎠ ⎢ ⎣

(2.68)

⎤ − 0.50 ⎥ x ⎦⎥

(2.91)

Usando las Ecs. 2.63 y 2.67 con la Ec. 2.91 se tiene: ⎧⎪ ⎫⎪ ( t *ΔP ') x ⎛ kh ⎞ t = 2 ⎨1.062×10 − 4 ⎜⎜ ⎟⎟ x − 0.42 ⎬ ( t *ΔP ') r ⎪⎩ ⎪⎭ ⎝ μ ⎠C

(2.92)

La Ec. 2.92 se puede usar para calcularC o k. Sustituyendo por kh/μ de la Ec. 2.69 y despejando C se tiene que:

C = 0.014879qBtx ( t * ΔP ' ) x + 0.5bx

(2.93)

138

Así, el coeficiente de almacenamiento se puede determinar aún si no es observada la línea de pendiente unitaria por razones mecánicas debido a la falta de datos de presión a tiempos tempranos. Despejando k de la Ec. 2.92, resulta: k = 4745.36

C ht x

μ

⎧⎪ ( t *ΔP ') ⎫⎪ x +1⎬ ⎨ ⎩⎪ ( t *ΔP ') r ⎭⎪

(2.94)

9) Una expresión que relaciona la porción de la línea de flujo radial de acción infinita de lascon curvas presión y derivada de presión se puede obtener dividiendo la Ec. 2.70 la Ec.de2.68:

PDr = ln t Dr + 2s + 0.80907 ⎛ tD ⎞ ⎜⎜ C PD ' ⎟⎟ ⎝ D ⎠r

(2.95)

Usando las Ecs. 2.59, 2.63 y 2.67 con la Ec. 2.95 y despejando el daño se tiene que:

⎛ ΔPr ⎞ ⎡ k tr ⎤ s = 0.5 ⎜⎜ − ln ⎢ + 7.43 ⎟⎟ 2⎥ ⎣φμct rw ⎦ ⎝ (t * ΔP ') r ⎠

(2.96)

donde tr es cualquier tiempo conveniente durante la línea de flujo radial de acción infinita y ΔPr es el valor de ΔP correspondiente a tr. La comparación entre las Ecs. 2.30 y 2.69 permite concluir:

m = 2.303(Δt *= P ') r Δln(10)(t * P ')r 2.9.2. Estimación de Distancia a las Barreras y Area Existen muchas formas de estimar el área del yacimiento mediante la TDST. La forma más común es utilizando el punto de intersección entre la línea de comportamiento infinito y la linea de estado pseudoestable,trpi: En la siguiente expresión el área está dada en pies cuadrados10,27-28:

A=

ktrpi 301.77φ μ ct

(2.97)

Normalmente, la literatura presenta procedimientos detallados para el uso de la TDST. El procedimiento general es:

139

Tabla 2.2.a. Datos de presión para ejercicio t, hrs Pwf, psia

0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.65 1.00 1.50 2.00 3.00 4.00

P, psia t* P’, psia/hr t, hrs Pwf, psia

2733 2703 2672 2644 2616 2553 2500 2440 2398 2353 2329

0 30 61 89 117 180 233 293 335 380 404

31.05 58.95 84.14 106.30 129.70 135.15 151.90 127.26 102.10 81.44

5 7 9.6 12 16.8 33.6 50 72 85 100

2312 2293 2291 2290 2287 2282 2279 2276 2274 2272

P,psia t* P’, psia/hr

421 440 442 443 446 451 454 457 459 461

65.42 35.32 5.86 5.85 7.63 7.99 7.94 10.50 12.18 13.36

Grafique log-log ΔP y t*ΔP’ Trace una línea en la región temprana de pendiente unitaria Trace la línea de flujo radial de acción infinita Lea las coordenadas de la intersección ti y t*ΔP’i. Lea las coordenadas del pico, tx, (t*ΔP’)x. Seleccione cualquier punto conveniente rt en la línea de flujo radial de comportamiento infinito y leaΔPr. 7) Si existe estadopeudoestable o estable trace una pendiente unitaria (o -1) sobre ésta y lea el intercepto con la línea de flujo radial,trpi. 1) 2) 3) 4) 5) 6)

El radio de investigación a un tiempot de la prueba y la máxima respuesta de presión se estiman de: 1/ 2

⎛ kt ⎞ rinv = 0.0325 ⎜ ⎟ ⎝ φ μ ct ⎠

t max =

(2.98)

948φ μ ct r 2 k

(2.99)

EJEMPLO El pozo Kate-1 produce de un yacimiento con las siguientes características:

rw = 3.2 pulg. -5

-1

ct = 26.4x10 psi

q = 250 BPD

μ = 1.2 cp

h = 16 pies

φ = 18 %

B = 1.229 bbl/BF

140

2800 2700 2600

i s p2500 f, w

P2400 2300

p1hr = 2308 psi 2200 0.1

m=-18 psia/cycle 1

t, hr

10

100

Fig. 2.29.a. Gráfico Semilog Los datos de una prueba de caída de presión se reportan en la tabla 2.2.a. Hallar permeabilidad, factor de daño, eficiencia de flujo, factor de daño (DF), caudal ideal y área usando métodos convencionales.

SOLUCION Del gráfico semilogarítmico, Fig.2.29.a, se obtiene una pendiente m = -18 psi/ciclo. Ec. 2.30,usando k = 208la md. De la misma Fig. 2.29.a se lee P1hr = 2308 psi. Luego sdeseladetermina Ec. 2.40:

⎡P −P ⎤ ⎛ k ⎞ s = 1.1513 ⎢ 1hr− i log+⎜= 3.23⎥ 22.03 2 ⎟ m c r φ μ t w ⎠ ⎝ ⎣ ⎦ ΔP=s−

0.87(=m) s 345p si

FE = 1 −

ΔPs = 23.2 % P − Pwf

DF =1 - FE= 76.8 % qideal = 1000 BPD.

141

EJEMPLO Usando los datos de yacimiento y presión de la tabla 2.2 encontrar (a) el volumen de drenaje, (b) área de drenaje, y (c) geometría del sistema por el método convencional. Recalcule permeabilidad, daño y área usando TDST. 1. De una gráfica Cartesiana dePwf vs. t, Fig. 2.30, se tiene:

m* = -0.13 psia/hr 2285 tPpssint ≈= 50 hrspsia 5,18-10 2. El volumen de drenaje del sistema se obtiene de la Ec. 2.47 así :

Vp =−φ=Ah

0.23395qB = ct m *

0.23395(250)(1.229) = × = × 26.4 ×10−5 (0.13)

2.09 106 ft 2 3.73 105 bbl

3. El área de drenaje es:

A=

Vp 2.09 ×10 ft 2 1 = = 16.7 Ac φh (0.18)(16) 43560 ft 2 /Ac

4. Usar la Ec. 2.40 para estimar el factor de forma. De la gráfica semi-log dePwf vs. tiempo (Fig. 2.29.a), se tienem = -18 psi/log ciclo y P1hr = 2308 psi, entonces;

C A = 5.456

⎡ 2.303( 2308−2285) ⎤ ⎥⎦ −18

18 ⎢⎣ e 0.13

= 39.8

5. Geometría del sistema. En la Tabla 2.1, CA = 39.8 corresponde con frecuencia a un pozo en el centro de un círculo, cuadrado, o hexágono: Círculo: CA = 31.62 Cuadrado: CA = 30.88 Hexágono: CA = 31.6 4. Verificación: usar la Ec. 2.51

(t DA ) pss = 0.1833 0.13 50 = 0.066 18

142

1000

ΔP r = 451 psi

Almacenamiento

is p ,' P Δ * t , P Δ

tr = 33.6 hrs

100

Estado Pseudoestable

Flujo radial

10

(t*ΔP') r =7.7 psi trpi = 56 hrs

1 0.1

1

10

100

t, hrs

Fig. 2.29.b. Gráfico log-log de presión y derivada de presión 2800 2700 2600 is p

f, 2500 w P

2400 2300

Pint = 2285 psia

m*=0.13 psia/hr

2200 0

20

40

60

80

100

t, hr

Fig. 2.30. Gráfico Cartesiano dePwf vs. t para los datos de la tabla 2.2 Este pozo coincide con (tDA)pss = 0.1 para las 3 formas. Usando los datos de yacimiento presión deselatiene: tabla 2.2 encontrar permeabilidad, daño y área usando TDST. De lay Fig. 2.29.b

143

( t*ΔP’)r = 7.7 psi trpi = 56 hr

=tr 33.6 hr ΔPr = 451 psi

La permeabilidad se halla de la Ec. 2.69:

k=

70.6q B 70.6(250)(1.2)(1.229) = = 211.3 md h ( t * ΔP ' ) r (16)(7.7)

Calcule el daño por medio de la Ec. 2.96:

s = 0.5

⎡ ΔPr −ln⎛⎜ ktr ⎞⎟ +7.43⎤ ⎢⎣(t*ΔP ')r ⎜⎝ φμ ct rw2 ⎟⎠ ⎥⎦

s = 0.5 −

⎡451 ⎢⎣ 7.7

⎛

⎤ ⎥⎦

⎞ 211.3(33.6) 7.43 =+ −5 2 ⎟⎟ 0.18(1.2)(26.4 10 )(0.2667 ) × ⎝ ⎠

ln ⎜⎜

22.4

El área se calcula con la Ec. 2.97:

A=

ktRPi 211.3(56) = = 15.8 Ac 301.77φ μ ct 301.77(0 .18)(1.2)(26.4×10−5 )(43560)

EJEMPLO Con los datos del ejemplo anterior determinetSSL y determine si el nivel de fluido del pozo está aumentando o disminuyendo para los datos del ejercicio anterior, si el pozo tiene tubería de producción de 2 pulg. De diámetro en un revestimiento de diámetro 3 interno 5 pulg., con juntas. La densidad del fluido es 42.5 lbm/pie .

SOLUCION Al graficar ΔP. vs. t en papel logarítmico se obtiene una recta de pendiente unitaria a tiempos tempranos. Se lee un punto sobre la recta de pendiente unitaria:ΔP = 59 psi y t = 0.2 hr. El almacenamiento se obtiene por medio de la Ec. 2.16.

C=

qB tN (250)( 1.229) 0.2 = = 0.0434 bbl / psi 24 ( Pi − Pwf ) N 24 59

Usando la Ec. 2.31,

144

Flujo esferico Flujo radial

h Flujo radial

19 Fig. 2.31. Regimenes de flujo ideales en completamiento parcial hp=28'

Periodo 1 Flujo radial

h=350'

Periodo 2 Flujo hemisférico Periodo 3 Flujo radial

19 Fig. 2.32. Regimenes de flujo ideales en penetración parcial

tSSL =

(200000 + 12000s) μ C ( 200000 + 12000[22.03]) (1.2)(0.0434) = = 7.27 hr kh (208)(16)

Despejando la capacidad de la tubería de la definición de almacenamiento: ρ Vu = ⎛⎜ ⎞⎟ C = 00128 . bbl / pie ⎝ 144 ⎠

De valores tabulados se tiene queVu = 0.0134 bbl/pie. Lo que permite concluir que el líquido está cayendo.

2.10. PERFORACION PARCIAL Y PENETRACION PARCIAL Cuando un pozo penetra una pequeña parte del espesor de la formación, entonces tiene lugar un flujo hemisférico. Ver Fig. 2.32. Cuando el pozo es revestido por encima del intervalo productor y solo una pequeña parte del revestimiento es perforada, tiene lugar un flujo esférico en la región cercana a la cara del pozo. Ver Fig. 2.31. Como el transiente avanza más hacia lo más profundo de la formación, el flujo se vuelve radial, pero si la prueba es corta, el flujo seráesférico. Ambos tipos

145

de flujo se caracterizan por una pendiente de - en el gráfico log-log de la derivada de la presión1,5. Gran parte del material introducido en este libro considera que el pozo penetra completamente una formación horizontal. Kazemi y Seth demostraron que para un pozo completado parcialmente se desarrollan dos porciones rectas. La primera representa la transmisibilidad del intervalo perforado y la segunda representa el intervalo de perforación completo. La primera línea se puede enmascarar por almacenamiento u otros efectos. El factor de daño aparente, Sa, obtenido del análisis de transiente de presión es una 5 combinación de varios factores de “pseudo daño” tales como

sa = s + s p + sθ + scp + ......

(2.100)

siendo s el factor de daño verdadero causado por el daño a la porción del pozo,sp es el factor de pseudo daño debido a la entrada restringida de flujo,sθ es el factor de pseudo daño resultante de una desviación del pozo, y scp es el pseudo daño debido a un cambio en la permeabilidad cerca a la cara del pozo.sp se puede estimar de:

⎛h ⎞ s p = ⎜⎜ − 1⎟⎟ ln hD ⎝ hp ⎠

(2.101)

hp = longitud del intervalo perforado o abierto. Las ecuaciones de espesor adimensional, hD, Para flujo hemisférico y esférico, respectivamente :

hD =

h kh rw k z

(2.102.a)

hD =

h kh 2rw kv

(2.102.b)

donde kh es la permeabilidad horizontal kz = kv es la permeabilidad vertical. La contribución del pseudo daño de un pozo inclinado está dada por: θ sθ = −⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ 41 ⎠

2.06

1.865

θ − ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ 56 ⎠

⎛ h ⎞ ⎟⎟ log⎜⎜ ⎝ 100rw ⎠

(2.103)

La ecuación anterior es válida para 0°≤ θ ≤ 75°, h/rw > 40 y tD > 100. Note que la Ec. 2.103 podría proporcionar un valor negativo. Esto es debido a que la desviación en la cara del pozo proporciona mayor área en la cara del pozo o un pseudo espesor de

146

formación. Un pseudo daño que responde a un cambio en la permeabilidad cerca de la cara del pozo está dado por:

scp =

h hp

⎡ ⎛ r − r ⎞ ⎤ ⎛ k − ks ⎞ rs ⎢1 − 0.2 ⎜⎜ s w ⎟⎟ ⎥ ⎜ ⎟ ln ⎢⎣ ⎝ hp ⎠ ⎥⎝ ⎦ ks ⎠ rw

EJEMPLO Un pozo direccional el cual un ángulo la vertical de 24.1° tieneesun0.3factor s = -0.8. daño El espesor de tiene la formación es con de 100 ft, el radio del pozo ft, y de la relación de permeabilidad horizontal con vertical es 5. Cual porción de la dañada corresponde a la desviación del pozo?5

SOLUCION Estime la contribución del pseudo daño del pozo inclinado usando la Ec. 2.103: 24.1 ⎞ sθ = −⎛⎜ ⎟ ⎝ 41 ⎠

2.06

24.1 ⎞ − ⎛⎜ ⎟ ⎝ 56 ⎠

1.865

⎛ 100 ⎞ log⎜⎜ ⎟⎟ = −0.4432 ⎝ 100(0.3) ⎠

De la Ec. 2.100 el factor de daño aparente y total es:

sa = s + sθ = −0.8 − 0.4432 = −1.2432 Por lo tanto, 35.65 % del factor de daño es debido a la desviación del pozo. Otra forma de representar la medida total del daño es:

st = +s F

1 ( f + ( s+ s ) fs sθ ) F pdp d dp

SF, Daño por penetración Parcial spd, Daño por perforaciones sθ, Daño por Desviación sdp, Daño a la Formación F, Fracción de zona abierta al flujo 2.10.1. Análisis Convencional para Flujo Esférico La ecuación de difusividad para flujo esférico asumiendo porosidad, compresibilidad 1

y movilidad constantes es :

147

VISTA SECCIONAL

VISTA SUPERIOR

Fig. 2.33. Flujo radial hacia un sumidero esférico19

rw Sumidero esférico

r sw

l a e r o ic r n íd il c o z o P

Fig. 2.34. Sumideros cilíndrico y esférico19

2.10.1. Análisis Convencional para Flujo Esférico La ecuación de difusividad para flujo esférico asumiendo porosidad, compresibilidad y movilidad constantes es1: 1 ∂ ⎛ 2 ∂P ⎞ φμc t ∂P ⎜r ⎟= r 2 ∂r ⎝ ∂r ⎠ k sp ∂t Donde, ksp, es la permeabilidad esférica que se define como el promedio geométrico de las permeabilidades verticales y horizontales:

148

ksp = 3 kv kh2 = 3 kv k r2 = 3 kv k 2 El sistema físico se ilustra en las Figs. 2.33 y 2.34. Dicha región se denomina “sumidero esférico”.rsw está dado por:

rsw =

hp ⎛h ⎞ 2ln ⎜ p ⎟ ⎝ rw ⎠

(2.104)

La ecuación de flujo esférico para declinación de presión es:

Pwf =−Pi

70.6qμ B 2453q μ B 1 + +(1 ssp ) φμct ksp rsw ksp3/ 2 t

(2.105)

De un gráfico cartesiano dePwf en función de 1/ t habrá una recta de cuyo intercepto y corte podemos calcular:

k sp = ⎛⎜ ⎝

ssp =

2453qμB ⎞ φμct ⎟ m ⎠

2/3

(2.106)

( Pi − I ) k sp rsw −1 70.6qμ B

(2.107)

Para restauración de presión cuando el tiempo de flujo es mucho más largo que el tiempo de cierre:

Pws =+Pwf

⎡ 1 70.6q μ B 2453q μ B +− (1 ssp ) +3/ 2− φμ ct ⎢ ksp rsw ksp ⎢⎣ t p

1 Δt

1 ⎤ ⎥ t p + Δt ⎥⎦

De lo contrario:

Pws− = Pi

2453qμ B −φμct k sp3/ 2

⎡ 1 ⎢+ ⎢⎣ Δt

1 ⎤ 70.6q μ B ⎥ s ksp rsw sp t p + Δt ⎥⎦

De un gráfico Cartesiano de Pws en función de(1/ t p + 1/ Δ−t 1/ + tΔp una recta de cuya pendiente y corte podemos estimar:

t ) se obtendrá

149

Vista Superior Vista de lado

Vista 3D

19 Fig. 2.35. Flujo radial hacia un sumidero hemisférico

l a e r o c ri d n líi c ro e id m u S

r sw Sumidero hemisférico

rw

1

Fig. 2.36.a. Sumideros cilíndrico y hemisférico

k sp = ⎛⎜ − ⎝

ssp =


2/3

( I − Pwf )k sp rsw −1 70.6q μ B

Conociendo la permeabilidad vertical se puede estimar el valor de los efectos de daño debido a penetración parcial: 1 sc = ⎛⎜ − 1⎞⎟ [ ln hD − G ] ⎝b ⎠

Donde b=hp/h. hD se puede estimar de la Ec. 2.101, y G se estima mediante: G = 2.948 − + 7.363b− 11.45b 2 4.576b3

150

2.10.2. Análisis Convencional para Flujo Hemisférico El modelo para flujo hemisférico es muy similar que el de flujo esférico. La diferencia es que una condición de frontera considera media esfera. Las Figs. 2.35 y 2.36.a esquematizan la geometría de este sistema. Para pruebas de restauración de presión1:

Pwf =−Pi

141.2qμ B 4906qμ B 1 φμct ++ (1 s ) khs rsw khs3/ 2 t

Para condiciones de flujo hemisférico la constante 2453 de la Ec. 2.106 se duplica a 4906 y 70.6 de la Ec. 2.107 se duplica a 141.2, luego:

khs = ⎛⎜ ⎝

shs =


2/3

(2.108)

( I − Pwf )k hs rws −1 141.2qμ B

(2.109)

Para restauración de presión cuando el tiempo de flujo es mucho más largo que el tiempo de cierre: μ μ Pws =+Pwf 141.2 k+hs−rqsw B (1 shs ) 4906 k+hs3/q−2 B

φμ ct

⎡ ⎢⎢ 1t ⎣ p

1Δt

⎤ 1 t p + Δt ⎥⎥⎦ (2.110)

De lo contrario:

⎡ 1 1 ⎤ 141.2qμ B ⎢+ ⎥ s (2.111) khs rsw hs t p + Δt ⎥⎦ ⎢⎣ Δt Al igual que para pruebas de declinación, hay una duplicación de las constantes, luego:

Pws− = Pi

4906qμ B −φμ ct khs3/ 2

khs = ⎛⎜ − ⎝

4906 qμB ⎞ φμct ⎟ m ⎠

( I − Pwf )khs rsw shs = 141.2qμ B − 1

2/3

(2.112)

(2.113)

151

2.10.3. Tiab’s Direct Synthesis Technique, TDST, para flujo esférico Las ecuaciones para cálculo de permeabilidad y almacenamiento usadas en la sección 2.9 se usan en esta sección excluyendo las correlaciones allí desarrolladas que relacionan las coordenadas del pico con la permeabilidad, el daño y el almacenamiento26 Para pruebas de declinación o restauración de presión, leyendo cualquier valor del tiempo y la derivada de presión durante el flujo esférico se puede calcular la permeabilidad esférica, y luego la permeabilidad vertical, y el daño 19

causado por completamiento parcial

⎛ qBμ ksp = ⎜1227 ⎜ ( t * ΔP ') sp ⎝

ssp = 34.74

φμ ct rsw2

k spt sp

φμ ct

tsp

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

2 /3

⎡ ( ΔP ) sp ⎤ ⎢ + 1⎥ − 1 ⎢⎣ 2 ( t * ΔP ') sp ⎥⎦

(2.114)

(2.115.a)

El daño total puede calcularse del flujo radial tardío, Ec. (2.96):

sr 2 == st

⎡ (Δ P ) r 2 ⎤ ⎛ kt ⎞ 0.5 ⎢ − + ln ⎜ r 2 2 ⎟ 7.43⎥ ( * ') φμ t Δ P c r 2 r t w ⎝ ⎠ ⎣ ⎦

(2.96)

El daño mecánico puede estimarse de:

⎡ ( Δ P ) r1 ⎤ ⎛ k t r1 ⎞ sr1 = sm 0.5 ⎢ − + ln ⎜ 7.43⎥ 2 ⎟ ( * ') φμ t Δ P c r 1 r t w ⎝ ⎠ ⎣ ⎦

(2.96)

El sufijo r1 denota la línea del primer flujo radial.tr1 es cualquier tiempo conveniente durante la primera línea de flujo radial en el gráfico de la derivada.ΔPr1 y (t*ΔP’)r1 son los valores de presión y derivada correspondientes atr1. El daño total, st, se define como la suma de todos los efectos de daño en las fronteras del pozo:

st =

sm +s +s b c sp

Donde sc significa ya sea penetración parcial o completamiento parcial,sm significa el daño mecánico y ssp el daño esférico. La permeabilidad horizontal puede estimarse de:

152

k r1 = k H = k =

70.6qBμ h (t * ΔP ')r1

La Fig. 2.36.b ilustra la derivada de presión adimensional en simetría esférica y la correspondiente derivada de presión adimensional en simetría radial. Allí se observa que el valor de la derivada para el flujo radial tardío en geometría esférica es equivalente a 0.0066 en lugar de 0.5 del sistema radial. Además, la línea de pendiente –½ correspondiente al flujo esférico y la línea de flujo radial tardío de la curva de la derivada de presión adimensional en simetría esférica se intersectan en:

( t D * PD ')i =

1 2 π

tDsp−1/ 2

de donde: 1 t Dsp −1 / 2 = 0.0066 2 π Que substituyendo el tiempo adimensional resulta:

ti = 6927748.85

2 φμct rsw

(2.115.b)

k sp

En la radial anterior ecuación sufijoradial i denota entre elpuede flujo esférico y el flujo tardío. Si elelflujo no lase “intersección” observa este tiempo dar un punto inicial para trazar la línea horizontal correspondiente al flujo radial, del cual se halla la permeabilidad horizontal. Este punto también se puede utilizar para verificar la permeabilidad esférica ksp. Otra ecuación que define el mencionado tiempo adimensional puede hallarse de la intersección de la línea de pendiente–½ (flujo esférico) con la línea horizontal de flujo radial tardío pero en simetría radial, sabiendo que:

(t D * PD' )i =

k r3 / 2 h 3/2

4k sp

( t D * PD ')i = 0.5 Luego:

2

πrsw

1 t Dr

153

10 b = 0.1

( tD * PD' )r =

b = 0.2

1

Simetría Radial

b = 0.4 b = 0.6

kr3/ 2 h 4k

3/ 2 sp

2 sw

πr

tD−1/ 2

b = 0.8 b=1

(tD * PD' )r = 0.5

' D

P * tD

0.1

b = 0.1

(tD * PD' )sp =

b = 0.2

1 2 π

tD−1 / 2

Simetría Esférica

b = 0.4 b = 0.6

0.01

b = 0.8 b=1

(t D * PD' )sp = 0.0066 0.001 1.00E-01

1.00E+00

1.00E+01

1.00E+02

1.00E+03

1.00E+04

1.00E+05

1.00E+06

1.00E+07

1.00E+08

tD

Fig. 2.36.b. Curvas tipo de derivada de presión para un pozo vertical con completamiento parcial para diferentes relaciones de completamiento (b = hp/h) en simetrías esférica y radial19

154

1000 i s p , n ó i

Pr2 Psp PN

s100 re p e d a d a iv r e d y 10 n ó i s e r P

tN

IA =

2 V H

ksp = k k 3

Pendiente unitaria C=

ssp = 34.74

qB ⎛ t ⎞ ⎜ ⎟ 24 ⎝ Δ P ⎠ N

kV kH

3

⎛k ⎞ = ⎜⎜ sp ⎟⎟ ⎝ kH ⎠

φμct rsw2 ⎡

(Δpw )sp +1⎤⎥ −1 ⎢ ksptsp ⎢⎣ 2(t * Δpw' )sp ⎦⎥

⎛ qBμ ksp = ⎜1227 ⎜ t Δpw' ) sp ( * ⎝

φμct

tsp

Flujo esférico (m = -1/2)

2/ 3

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎡ (Δp w ) r ⎛ kt s t = 0 .5 ⎢ − ln ⎜⎜ r r 2 ' ⎝ φμ c t rw ⎣⎢ ( t * Δ p w ) r

kr 2 =

ti (t* P')sp (t* P') r2

tsp

⎤ ⎞ ⎟⎟ + 7 . 43 ⎥ ⎠ ⎦⎥

70.6qBμ h(t *Δpw' )r

tr2 2o. Flujo Radial

1 0.001

0.01

0.1

Tiempo, hrs

1

10

19 Fig. 2.36.c. Respuesta de presión para un pozo con completamiento parcial ilustrando los puntos y líneas características

100

155

10

( tD * PD' )r =

b = 0.1 b = 0.2

Simetría Radial 1

3/ 2 −1/ 2 r 3/2 2 D π sp sw

k h

2k

r

t

b = 0.4 b = 0.6 b = 0.8 b =1

(tD * PD' ) = 0.5

'

D

P * tD

0.1

(t D * PD' ) =

b = 0.1

1 t D− 1 / 2 2 π

Simetría Hemisférica

b = 0.2

0.01

0.001 1.00E-01

b = 0.4 b = 0.6 b = 0.8 b =1

(tD * PD' ) = 0.0033 1.00E+00

1.00E+01

1.00E+02

1.00E+03

1.00E+04

1.00E+05

1.00E+06

1.00E+07

t D

Fig. 2.36.d. Curvas tipo de derivada de presión para un pozo vertical con penetración parcial para diferentes relaciones de completamiento (b = hp/h) en simetrías hemisférica y radial19

156

1000 i s p , n ió s e100 r p e d a d a v i r e d 10 y n ió s e r P

1 0.001

Phs

Pr1 ⎡ (Δpw )r1 ⎤ ⎛ kt ⎞ sr1 = 0.5⎢ − ln⎜⎜ r r1 2 ⎟⎟ + 7.43⎥ ' ( t * Δ p ) φμ c r w r 1 t w ⎝ ⎠ ⎣ ⎦

kr1 =

shs = 34.74

70.6qBμ hp (t * Δpw' )r1

Pr2

(Δpw )hs + 1⎤ − 1 ⎢ ⎥ ' ⎣ 2(t * Δpw )hs ⎦

φμct rsw2 ⎡

khst hs

khs = 3 kV kH2

IA =

kV ⎛⎜ khs ⎞⎟3 = kH ⎜⎝ kH ⎟⎠

2/3

⎛ qBμ φμct ⎞⎟ khs = ⎜⎜ 2453 ( * t Δpw' )hs ths ⎟⎠ ⎝

1er. Flujo Radial

Flujo Hemisférico m = -1/2

(t* P')r1

⎡ (Δpw )r 2 ⎤ ⎛ kt ⎞ sr 2 = 0.5⎢ − ln⎜⎜ r r 2 2 ⎟⎟ + 7.43⎥ ' ( t * Δ p ) φμ c r w r2 ⎝ tw⎠ ⎣ ⎦

kr 2 = (t* P')hs tr1

2o. Flujo Radial

ths

(t* P')r2

70.6qBμ h(t * Δpw' )r 2

tr2 ti

0.01

0.1

Tiempo, hrs

1

10

100

19 Fig. 2.36.e. Respuesta de presión para un pozo con penetración parcial ilustrando los puntos y líneas características

157

100

D

P

10 1.E+00

CD 10000 100 10 1 0.1

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

t D /C D 19 Fig. 2.36.f. Solución fuente esférica para un pozo único en un sistema infinito incluyendo almacenamiento y sin daño

158

100

CD= 10

C D= 1000

C D= 1

10

'

C D= 100

C D= 0.1 D

P * D t

1

Flujo esférico m=-1/2

0.1 1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

tD Fig. 2.36.g. Solución fuente esférica (derivada de presión) para un pozo único en un sistema infinito incluyendo almacenamiento y sin daño19

159

1.E+01

Flujo esférico m=-1/2

'

D

P1.E+00 * D t

1.E-01 1.E+01

b 0.1 0.2 0.3 0.4 0.6 0.8 1.0

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

tD Fig. 2.36.h. Comportamiento de la derivada de presión para un pozo único en un yacimiento infinito con diferentes longitude de penetración parcial (CD = 0, s = 0)19

160

k r3 / 2 h 4k

3/ 2 sp

1

t Dr

2 sw

πr

= 0. 5

Al reeemplazar las variables adimensionales se tiene:

t i = 301.77

k r2 h 2φμct k sp3

(2.115.c)

Puesto que las Ecs. 2.115.b y 2.115.c representan el mismo punto de intersección, éstas pueden combinarse para hallar una nueva forma de estimarrsw:

rsw = 0.0066

kr h k sp

(2.115.d)

2.10.4. Tiab’s Direct Synthesis Technique, TDST, para flujo hemisférico Aquí se presentan las mismas consideraciones de la sección 2.13.3. Usando un valor de tiempo y derivada durante el flujo hemisférico, la permeabilidad hemisférica y el daño por penetración parcial se estiman mediante19

⎛ qBμ khs = ⎜⎜ 2453 ( * ΔP ')hs t ⎝

shs = 34.74

φμct rsw2

khs ths

φμ ct

ths

⎞ ⎟⎟ ⎠

2/3

⎡ ( ΔP ) hs ⎤ + 1⎥ − 1 ⎢ ⎢⎣ 2 ( t * ΔP ')hs ⎥⎦

(2.116)

(2.117)

En la Fig. 2.36.d se puede apreciar que la derivada en geometría esférica del flujo radial tardío corresponde a 0.0033 en lugar de 0.5 del sistema radial. Esta vez la línea de flujo radial y de flujo hemisférico, en simetría hemisférica, se intersectan en:

( t D * PD ' )i = 0.0033 , de donde: t i = 27710995.41

φμct rsw2

k hs

(2.118.a)

Este punto de intersección en simetría radial proporciona la siguiente ecuación:

ti = 1207.09

kr2 h 2φμct khs3

(2.118.b)

161

Igualando las Ecs. 2.118.a y 2.118.b se puede obtener una forma alterna de estimar

rsw.

rsw = 0.0033

kr h khs

(2.118.c)

El daño total y mecánico se evalúa de una forma similar a la sección 2.10.3.

2.10.5. Consideraciones Importantes 2.10.5.1. Efecto de almacenamiento Es importante identificar el rango de valores de almacenamiento,CD que pueden influenciar la interpretación del régimen de flujo esférico y hemisférico. La forma más simple es graficando PD vs. t D/CD. la Fig. 2.36.f proporciona una idea del efecto del almacenamiento. Como puede verse, la respuesta de presión para varios valores de CD puede distinguirse cuando el almacenamiento es bajo (<10) mientras que para valores más grandes de CD la respuesta es casi idéntica. Un mejor entendimiento se puede lograr si se grafica (tD*PD’) vs. tD/CD. En la Fig. 2.36.g, se observa la respuesta de la derivada de presión para varios valores deCD. Para CD <10 se distingue bien la pendiente de –½ que caracteriza tanto el flujo esférico como el hemisférico. Para valores de 10 < CD >100 la pendiente de –½ es más dificil de identificar. Para valores de CD > 100, el regimen de flujo esférico practicamente ha sido enmascarado por el almacenamiento, lo cual imposibilita la aplicación de la técnica arriba presentada para estimimar la permeabilidad vertical. Luego, para asegurar que no existe 19

enmascaramiento CD debería ser menor de 10

2.5.10.2. Efectos de la longitud de la Penetración Parcial La longitud del intervalo completado o la longitud de la penetración parcial,hp, juegan un papel importante en la definición del flujo esférico. La presencia de flujo esférico o hemisférico se caracteriza por una pendiente de –½. Esta pendiente característica está ausente cuando la relación de penetración,b = hp/h es mayor del 20 %, como se aprecia en la Fig. 2.35.h.

EJEMPLO Abbott et all1 presentaron en su artículo datos de presión-tiempo para una prueba de declinación de presión. El pozo No. 20 está parcialmente completado en un yacimiento masivo de carbonato. El pozo se cerró para estabilización y luego fluyó a 5200 BOPD por 8.5 hrs. Los datos de presión se dan en latabla 2.3. Las propiedades de yacimiento y fluido se dan a continuación: h= 302 ft rw =

0.246 ft

P=

2298 psia

162

hp= 20 ft φ=

q=

0.2

=

5200 BPD 0.21 cp

B= ct=

1.7 bbl/STB 34.2 x 10 - psi-

Tabla 2.3. Datos de presión para el pozo No. 20 t, hr

1/ t , 1/ hr

Pwf, psi

0.0 0.5 1.0 1.6 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5

1.414 1.000 0.791 0.707 0.632 0.577 0.535 0.500 0.471 0.426 0.408 0.392 0.378 0.365 0.354 0.343

2266 2255 2243 2228 2218 2208 2197 2185 2178 2170 2161 2157 2153 2149 2146 2142 2140

P, psi

0 11 23 38 48 58 69 81 88 96 105 109 113 117 120 124 126

t* P’, psi

11.5 24.5 40.0 45.0 52.5 69.0 66.5 60.0 56.3 46.8 48.0 52.0 49.0 52.5 48.0

SOLUCION La permeabilidad y el daño se hallan usando información del gráfico semilogarítmico, Fig. 2.37:

k=

−162.6qBμ −162.6(5200)(1.7)(0.21) = = 8.19 md mh (−122)(302)

⎡P − P ⎤ ⎛ k ⎞ ⎟ + 3.2275⎥ s = 1.1513⎢ 1hr i − log⎜⎜ 2 ⎟ m φμ c r ⎝ t w⎠ ⎣⎢ ⎦⎥ ⎡ 2252 − 2298 ⎤ ⎛ ⎞ 8.19 log ⎜ s = 1.1513 ⎢ − − + = −6 2 ⎟ 3.2275 ⎥ ⎝ (0.2)(0.21)(34.2 ×10 )(0.246) ⎠ ⎣ −122 ⎦ Método Cartesiano:

5.03

163

2270

P 1hr =-2252 psi 2250

2230

m

i s p 2210 ,f

=12

w

P

2

ps

i/c

ic l o

2190

2170

2150

2130 0.1

1

10

t, hr

Fig. 2.37. Flujo semilog radial para el pozo No. 20 2260

2220 1 /2

2180

is p f, w

=

(h psi 250

r

m

)

Flujo esférico

2140

P 2100

2060

I = 2060 psi

2020 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1/ t ,1 / hr

Fig. 2.38. Gráfico de flujo esférico (cartesiano) para el pozo No. 20 La Fig. 2.38 contiene un gráfico Cartesiano de Pwf en función 1/ t . De allí la pendiente observada es,m = 250 psi(hr-1/2) e intercepto,I = 2060 psia, la permeabilidad esférica y el daño esférico son:

164

2453q⎞μ B φμ ct ksp = ⎛⎜ ⎛⎜ ⎟ ⎝ ⎝ m⎠

2/3

=

2453(5200)(0.21)(1.7) ⎞ (0.2)(0.21)(34.2 × 10-6 ) 250 ⎟⎠

2/3

ksp = 7.81 md La permeabilidad vertical se estima de:

ksp = 3 kv kh2 De donde:

kv =

rsw =

ssp =

ksp3 7.813 = = 7.1md kh2 8.19 2 hp 120 = = 9.69 ft ⎛ h⎞p ⎛ 2 ln ⎞ 120 2 ln ⎜ ⎟ ⎜ 0.246 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ rw ⎠

( Pi − I ) ksp rsw ( 2298 − 2060) (7.81)(9.69) =− 1 − =− 1 70.6qμ B 70.6(5200)(0.21)(1.7)

0.86

Con el valor de la permeabilidad vertical se puede estimar el daño causado por penetración parcial:

hD =

8.19 302 kH h = = 1318.5 kV rw 7.1 0.246 2

b b b G = 2.948 − 7.363⎛⎜ ⎞⎟ + 11.45⎛⎜ ⎞⎟ − 4.675⎛⎜ ⎞⎟ ⎝h⎠ ⎝h⎠ ⎝h⎠ 120 G = 2.948 − 7.363 +⎛ ⎞⎜ ⎟ −⎛ ⎝ 302 ⎠

2

3

120 ⎞11.45 =⎛120⎞ ⎜ ⎟ 302⎜ ⎟ 4.675 302 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

3

1.54

⎛ 1 ⎞ 1 sc = ⎜ − 1[−⎟=ln hD G − ] ⎛⎜ − = 1[⎞⎟ ln 1318.5 1.57] 8.51 p ⎝⎜ h / h ⎠⎟ ⎝ 120 / 302 ⎠

165

1000

i s p ', P Δ t* 100 , P

(ΔP)r = 120 psi

Δ

(ΔP)sp = 96 psi (t*ΔP')sp = 56.25 psi tsp = 4.5 hr

Almacenamiento

2o. Flujo radial

(t*ΔP')r = 52.5 psi Flujo esférico (ΔP)N = 23 psi tN = 1 hr

tr = 7.5 hr

10 0.1

1

10

t, hrs

Fig. 2.39. Derivada de presión para el pozo No. 20

Tiab´s Direct Synthesis Technique La Fig. 2.38 presenta el gráfico de la derivada. De allí se leyeron los siguientes datos:

Almacenamiento tN = 1 hr

ΔP = 23 psia

Flujo (t*ΔP’)esférico sp = 56.25 psi Flujo radial tardío (t*ΔP’)r2 = 52.5 psi

ΔPsp = 96 psi

tsp = 4.5 hr

ΔPr2 = 96 psi

tr2 = 7.5 hr

El almacenamiento se estima de: (5200)(1.7) 1 qB ⎛t N C = ⎛⎜⎞⎟ = ⎞⎟ = 16.01 bbl/psi ⎜ 23 ⎝⎠24 ( Δ⎝ P ) N ⎠ 24

De la línea de flujo esférico, m = , la permeabilidad esférica y el daño esférico mecánico se estiman mediante: ⎛ ⎛ qB⎞μ k sp = ⎜1227⎜ ⎟ ⎜ (t * ΔP ')sp ⎝

φμct

tsp ⎟⎠

2 /3

= 1227 ⎜ ⎝

⎞ (5200)(1.7)(0.21) (0.2)(0.21)(34.2 × 10-6 ) ⎟ ⎟ 56.25 4.5 ⎠

2/ 3

=8.05 md

166

ssp = 34.74=

⎡ ( ΔPw ) sp ⎤ (0.2)(0.21)(34.2 x 10 -6)(9.69 2) − ⎢− ⎥ 1 34.74 ksptsp ⎢⎣ 2*( t ΔP ' ) sp ⎥⎦ (8.05)(4.05)

2 φμct rsw

⎡ ( 96 ) ⎤ =-0.93 ⎢ ⎥ 1 ⎣ 2 ( 56.25 ) ⎦

La permeabilidad horizontal y el daño se hallan del flujo radial tardío: kr =

70.6qB μ 70.6(5200)(1.7)(0.21) = = 8.26 md h(*t ΔP ') r (302)(52.5)

s = 0.5 ⎢⎡ (t *−ΔΔPPr ') += ln−⎜⎛ φμkcrtrr 2 ⎟⎞ 7.43⎥⎤ 0.5 ⎢⎡ 52.5 120 + ln ⎜⎛ (0.2)(0.21)(34.2 (8.26)(7.5) x10)-6 (0.2462 ) ⎟⎞⎠ 7.43⎥⎤⎦ =-5.33 ⎝ r ⎝ tw⎠ ⎣ ⎣ ⎦

La permeabilidad vertical se estima de:

ksp = 3 kv kh2 La tabla 2.4 presenta la comparación de los resultados obtenidos por el método convencional y TDST. Tabla 2.4. Comparación de resultados

kv =

Parámetro ksp, md ssp

Método Convencional 7.01 -0.86

TDST 8.05 -0.93

⎯k,srmd kv, md

8.19 -5.03 7.10

8.26 -5.53 7.65

k sp3 8.053 = = 7.65 md kh2 8.26 2

2.11. PRUEBAS MULTITASAS Razones de su uso: 1. Es a menudo impráctico mantener a rata constante por mucho tiempo para efectuar una prueba de caída de presión completa. 2. Cuando el pozo no se cerró el tiempo suficiente para alcanzar la presión estática antes de que iniciara la prueba de caída de presión. 3. Cuando no es económicamente rentable cerrar un pozo para hacer una prueba de restauración de presión. Ya sea que las ratas sean constantes o no durante periodos los periodos de flujo, existen principalmente 3 tipos de pruebas multiflujo:

167

q2 q3 l a d u a C

q4

q1

qN-1 q5 qN

0

t1

t2

t3

t4 Tiempo

t5

tN-2

tN-1

tN

Fig. 2.40. Gráfica de una prueba múltiple (a) Rata variable incontrolada, (b) series de tasas constantes, y (c) Rata de flujo variable con presión de fondo constante. Esta prueba es común en pozos gasíferos produciendo de formaciones muy apretadas.

Las pruebas de restauración de presión, vistas más adelante en la unidad 3, son realmente un caso especial de pruebas multiflujo. Aplicando el principio de 5,91214,15,17,19-29

superposición (basado en la Fig. 2.39)

:

⎧q1[ PD (t D ) + s] + (q2 − q1 )[ PD ([t − t1 ]D ) + s ] + ⎫ 141.2 μB ⎪ ⎪ Pwf (t ) = Pi − ⎨(q − q )[ P ([t − t2 ]D ) + s] + (q4 − q3 )[ PD ([t − t3 ]D ) + s]⎬ kh ⎪ 3 2 D ⎪ ⎩+ .... + (qN − q N −1 )[ PD ([t − t N ]D ) + s] ⎭ Rearreglando:

Pwf (t ) = Pi −

⎧q1{PD (tD ) − PD ([t − t1 ]D } + q2{PD ([t − t1 ]D − PD ([t − t2 ]D }⎫ ⎪ ⎨+ ... + qN −1{PD ([t − t N − 2 ]D − PD ([t − t N −1 ]D} + ⎬ ⎪+ q {P ([t − t ] } + s ⎪ N −1 D ⎩ N D ⎭

141.2μB ⎪

kh

Utilizando la aproximación logarítmica:

168

16

12

Pi − Pwf qN

m'

8

b' 4 0 4

6

8

Xn

Fig. 2.41. m’ y b’ de una prueba multitasa

⎧ ⎛ t ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎫ ⎟⎟ + q2 ln⎜⎜ t − t1 ⎟⎟ + q3 ln⎜⎜ t − t2 ⎟⎟ + qN −1 ln⎜⎜ t − t N − 2 ⎟⎟⎪ ⎪q1 ln⎜⎜ 70 .6 μB ⎪ ⎝ t − t1 ⎠ ⎝ t − t2 ⎠ ⎝ t − t3 ⎠ ⎝ t − t N −1 ⎠⎪ Pwf (t ) = Pi − ⎨ ⎬ kh ⎪ k ⎪ {ln(t − t N −1 )} + ln 7.4316 + 2 s + q − N 2 ⎪⎩ ⎪⎭ φμct rw Dividiendo por el ln 10 y rearreglando:

Pwf (t ) = Pi −

⎫ ⎛ t − t j −1 ⎞ 162.6μB ⎧⎪N −1 ⎟ + qN {log(t − tN −1)} + log k 2 − 3.2275 + 0.8686s ⎪⎬ ⎨ q j log⎜⎜ ⎟ kh ⎪⎩∑ t − t c r φμ j =1 ⎪⎭ j ⎠ t w ⎝

Por conveniencia:

⎫ Pi − Pwf (t ) 162.6μB ⎧ N ⎛ q j − q j −1 ⎞ ⎟⎟ log(t − t j−1 ) + log k 2 − 3.2275 + 0.8686s ⎬ = ⎨ ⎜⎜ φμ qN kh ⎩∑ q c r j =1 ⎝ N t w ⎠ ⎭ defina m' =

s ' = log

162.6 μB kh

k φμc t rw2

− 3.23 + 0.87 ⋅ s

(2.119) (2.120)

169

REGION A REGION REGION B C

Pi

f w

P

Región A es usada en análisis de presiones Region B se debe a efectos de frontera e interferencia Región C ocuure cuando el pozo regresa a presión de delinación estabilizada

Historia de presión pasada

t1

Δt

Tiempo

l a d u a C

q1 q2 n ió c i s n a tr

Usualmente se requiere un tiempo de transición corto antes que la nueva rata de flujo se estabiliza

t

t1

Δt

Tiempo

Fig. 2.42. Representación de una prueba bi-flujo 5

b ' = m' s '

(2.121)

Generalizando:

Pi − Pwf ( t ) = m' Xn +b' qn

(2.122)

donde el tiempo de superposición, Xn, es: n ⎛ q −q ⎞ X n = ∑ ⎜⎜ i i −1 ⎟⎟ log (t − ti −1 ) qn ⎠ i =1 ⎝

(2.123)

La Ec. 2.122 es la ecuación de una línea recta (papel cartesiano) con pendiente m’ e intercepto b’, ver Fig. 2.41. Una vez que m’ y b’ son conocidos, la permeabilidad y el factor de daño se pueden estimar usando las Ecs. 2.124 y 2.125:

k=

162.6 μ B m'h

(2.124)

170

⎡ b' ⎤ k + 3.23⎥ s = 1.1513⎢ − log 2 ' φμ m c r t w ⎣ ⎦

(2.125)

La presión inicial, Pi, y toda la historia de la rata de flujo podría conocerse usando este método. Generalmente, estos no se conocen.

2.12. PRUEBAS BI-FLUJO Este método fue desarrollado por Russell5. Este es simplemente un caso especial de pruebas multiflujo. El procedimiento es como sigue: 1. Estabilice el pozo por varios días a una tasa constante, q1. 2. Baje la herramienta registradora de presión en el pozo unas 3 ó 4 horas antes del cambio de tasa y empiece a registrar presiones: 3. Cambien la rata de flujo usando el choque en cabeza. Después de una corta transición, la tasa se estabiliza al nuevo valor, q2. Las 3 regiones en la Fig. 2.41 representan ciertas características típicas: Región A - Porción de historia de presiones usados en análisis de pruebas de flujo Región B - Detección de fronteras e interferencia Región C - El pozo regresa a una declinación estable de presión La presión de fondo fluyente después del cambio de tasa está gobernada por la siguiente ecuación5,21-23:

⎡ ⎛ t + Δt ⎞ q ⎤ Pwf = m'1 ⎢⎣log⎜⎝ 1 Δt ⎟⎠ + q12 log(Δt )⎥⎦ + Pint

(2.126)

donde:

t1 = 24

Np q1

(2.127)

m'1 = −

162.6q1 μB kh

(2.128)

Pint = Pi + m '1

⎤ q2 ⎡ ⎛⎜ k ⎞⎟ − 3.23 + 0.87 s ⎥ ⎢log q1 ⎣ ⎜⎝ φμct rw2 ⎟⎠ ⎦

(2.129)

2/q1 log (Δt) da La 2.126 indica un gráfico de Pwf Pvs. [(t1se +Δmuestra t)/Δt] + qen unaEc. línea recta con que pendiente intercepto como la Fig. 2.43. m’1 elineal int, log En general, el “lag time” (tiempo de transición) es más corto cuando hay reducción

171

de rata que cuando hay incremento, i.e. Si q2 < q1 entonces el tlag será corto y si q2 > q1 entonces el tlag será largo debido a efectos de almacenamiento, ver Fig. 2.42. Una vez se conocen m’1 y Pint, se calcula k, s y P* ≈ Pi.

k =−

162.6q1 B m1 ' h

(2.130)

⎤ ⎛ Pwf (Δt = 0) − P1hr ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ − log k 2 + 3.23⎥ φμct rw m'1 ⎣ q1 − q2 ⎝ ⎠ ⎦ La caída de presión a través de la zona de daño es: ⎡ q s = 1.1513⎢ 1

(2.131)

ΔPskin (q1 ) = −0.87(m'1 )s

(2.132)

ΔPskin (q 2 ) = −0.87

P∗ = Pint −

q2 (m' )s q1 1

(2.133)

q1 [P (Δt = 0) − P1hr ] (q2 − q1 ) wf

(2.134)

P* se conoce como “presión falsa” y a menudo se usa para estimar la presión promedia del yacimiento.

EJEMPLO La producción de área ha causado serios problemas en ciertos pozos. Debido al peligro de perder una herramienta en el subsuelo, las pruebas de restauración de presión han sido reemplazadas por pruebas biflujo. La Tabla 2.5 presenta los datos de presión para un pozo que ha fluido a una rata de 1841 STB/D durante 28.4 hrs antes de que la rata se incrementara a 3523 STB/D. Estime la permeabilidad, factor de daño y pérdidas de presión debido al daño. Información adicional, se da a continuación:

B = 1.63 bbl/STB φ = 30 %

rw = 0.365 ft h = 108 ft

μ = 1.63 cp

ct = 302x10-6 psi-1

SOLUCION Los cálculos necesarios para preparar un gráfico para pruebas biflujo (Fig. 2.43) se resumen en la tabla 2.5. Puesto que, t1 = 28.4 hrs es un valor dado, el gráfico de Pwf vs. log [(alta, )/Δt] prueba + q2/q1 se logcomporta (Δt) se presenta en laprueba Fig. 2.43. la segunda t1+Δtesta es mas como una de Como caída de presión.rata Se observa que a tiempos tempranos hay efectos de almacenamiento mientras que a

172

tiempos tardíos se desarrolla una línea recta de pendiente -75.5 psi/ciclo log . Usando esta pendiente, la permeabilidad se calcula de:

k=

162.6q1 B (162.6)( 1841 )( 1)(.63 1) .63 = = 97.6 md m1 ' h (− 75.)(5 108 )

El factor de daño total se calcula con la Ec. 2.131.

⎡ 1841 ⎛ 14191− 319 ⎞ ⎤ 97.6 s = 1.1513 ⎣⎢1841 − 3523 ⎝⎜ −−75.5 ⎠⎟ log−(0.3)(1.63)(302 = ×10−6 )(0.3652 ) ⎦⎥

2.25

Lo anterior indica que el pozo está ligeramente estimulado. En términos de pérdida de presión, se tiene:

ΔPskin −=

0.87(75.5)( − = 2.25) 147.79 psi Pint

q2 < q1 Los efectos de frontera se perciben primero aquí

is p ,f w P

m' 1

Incremento del tiempo de flujo

t + Δt ⎞ q 2 log ⎛⎜ 1 ⎟ + log Δt ⎝ Δt ⎠ q1

Fig. 2.43. Gráfico de Pwf vs. log [( t1+Δt)/Δt] + q2/q1 log (Δt)

2.13. METODO DE PINSON Este es una aproximación del método biflujo y debería usarse solo cuando t1 >> Δt, en tal caso, la Ec. 2.126 se convierte en:

Pwf = m p log Δt + Pint

(2.135)

173

Esta ecuación indica que un Gráfico semilog de Pwf vs. Δt, ver Fig. 2.44, debería dar una línea recta de pendiente mp e intercepto Pint dados por:

mp = −

162.6(q2 − q1 )μB kh

Pint = Pi +

(2.136)

⎫ m p q2 ⎧ ⎛ k ⎞ ⎟ 3.23 + 0.87 s + q1 log(t1 )⎬ ⎨log⎜⎜ 2 ⎟− (q2 − q1 ) ⎩ ⎝ φμct rw ⎠ q2 ⎭

(2.137)

Estas dos ecuaciones pueden usarse para estimar k y s, o también:

k=−

162.6(q2 − q1 ) B

(2.138)

mph Tabla 2.5. Datos de presión para prueba biflujo 5 t1 + Δt Δt

⎛ t + Δt ⎞ log⎜ 1 ⎟ ⎝ Δt ⎠

q2 log(Δt ) q1

⎛ t + Δt ⎞ + q2 log(Δ ) log⎜ 1 t ⎟ ⎝ Δt ⎠ q1

0.00 0.25 0.50 0.75 1.00

Pwf, psia 1419 1400 1384 1358 1335

114.60 57.80 38.87 29.40

2.06 1.76 1.59 1.47

-1.15 -0.58 -0.24 0.00

0.91 1.19 1.35 1.47

1.25 1.50 1.75 2.00 2.50 3.00 3.50 4.00 4.50 5.00 6.00 7.00 8.00 9.00 10.0

1321 1310 1304 1300 1286 1280 1274 1270 1265 1261 1255 1249 1245 1241 1237

23.72 19.93 17.23 15.20 12.36 10.47 9.11 8.10 7.31 6.68 5.73 5.06 4.55 4.16 3.84

1.38 1.30 1.24 1.18 1.09 1.02 0.96 0.91 0.86 0.82 0.76 0.70 0.66 0.62 0.58

0.19 0.34 0.47 0.58 0.76 0.91 1.04 1.15 1.25 1.34 1.49 1.62 1.73 1.83 1.91

1.56 1.64 1.70 1.76 1.85 1.93 2.00 2.06 2.11 2.16 2.25 2.32 2.39 2.44 2.50

15.0 20.0 26.1

1219 1206 1200

2.89 2.42 2.09

0.46 0.38 0.32

2.25 2.49 2.71

2.71 2.87 3.03

t, hrs

174

1440 1420 1400 1380 1360

i 1340 s p ,f 1320

m'1 = -75.5 psia/log cycle

P1hr = 1315 psi

w

P1300 1280 1260 1240 1220 1200 0.0

Δt = 1 hr 0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

⎛ t + Δ t ⎞ + q 2 log Δ t ' log ⎜ ⎟ ⎝ Δ t ⎠ q1

Fig. 2.44. Gráfico de una prueba de dos ratas 1450

1400

i 1350 s p

P

m=-87.9 psi/cysle

P1hr=1323 psia

f, w

1300

1250

1200 0.1

1

Δt, hrs

10

100

Fig. 2.45. Gráfico Semilog de Pwf vs. Δt

⎡⎛ P − P (Δt = 0) ⎞ ⎤ k ⎟⎟ − log s = 1.1513⎢⎜⎜ 1hr wf + 3.23⎥ 2 p φμ m c r t w ⎠ ⎣⎝ ⎦

(2.139)

El método de Pinson es mucho más rápido y más simple que el de Russell. Earlougher demostró que los valores de k y s obtenidos de un gráfico Pinson podría ser considerado como una aproximación de los valores reales. El error en permeabilidad (Ec. 2.140) y en factor de daño (Ec. 2.142) están dados por:

175

q1 k E − k actual = k actual q1 T * −1 − q 2T *

Ek =

(

)

(2.140)

donde: log(Δt )

T* =

(2.141)

⎛ t1 + Δt ⎞ ⎟⎟ ⎝ t1 ⎠

log⎜⎜

⎡⎛ P − P (Δt = 0 ) ⎞⎛⎜ q1 ⎞⎟ 1 ⎤ ⎟⎜⎜ ⎟ Es = s E − sactual = −1.1513⎢⎜⎜ 1hr wf ⎟⎜⎝ q1 − q2 ⎟⎟⎠ T * ⎥⎥ mp ⎠ ⎣⎢⎝ ⎦

(2.142)

2.14. METODO SEMILOG PARA PRUEBAS MULTIRATAS La ecuación gobernante es5,21:

Pi − Pwf ( t n ) = m 'log teq + b ' qn

(2.143)

donde el tiempo equivalente, teq, se estima mediante (de la Ec. 2.123): n

teq

=∏ i =1

(qi − qi −1 ) (tn

− ti −1 )

qn

Xn

= 10

(2.144)

Si se grafica [Pi - Pwf(t)]/qn vs. Log teq, se obtendrá una línea recta. Utilice las Ecs. 2.119 y 2.120 para estimar permeabilidad y daño.

2.15. TIAB’S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE, TDST, PARA PRUEBAS MULTIRATA Los detalles matemáticos de la derivación de las ecuaciones los presentan en detalle Mongi y Tiab20. Estime los siguientes parámetros:

ΔPq =

Pi − P (t n ) qn

(2.145)

donde;

t n = t n−1 + Δt

(2.146)

176

Tabla 2.6. Datos de presión y caudal para prueba multirata 5 n t, hr q, BPD Pwf, psi

0 1 1 1 1.5 1 1.89 1 2.4 2 3 2 3.45 2 3.98 2 4.5 2 4.8 3 5.5 3 6.05 3 6.55 3 7 3 7.2 4 7.5 4 8.95 4 9.6 5 10 5 12 6 14.4 7 15 7 18 7 19.2 8 20 8 21.6 9 24 10 28.8 11 30 11 33.6 12 36 13 36.2 13 48

2906 1580 1580 1580 1580 1490 1490 1490 1490 1490 1440 1440 1440 1440 1440 1370 1370 1370 1300 1300 1260 1190 1190 1190 1160 1160 1137 1106 1080 1080 1000 983 983

P, psi

P /q, psi/BPD

Xn

teq, hr t*( P/q)' teq*( P/q)'

2023 1968 1941

883 938 965

0.559 0.594 0.611

0.000 0.176 0.276

1.000 1.500 1.890

0.0827 0.0922

0.0827 0.085

1892 1882 1873 1867

1014 1024 1033 1039

0.681 0.687 0.693 0.697

0.519 0.569 0.624 0.673

3.306 3.707 4.208 4.712

0.0862 0.0459 0.038 0.0752

0.0791 0.0543 0.0422 0.0576

1853 1843 1834 1830

1053 1063 1072 1076

0.731 0.738 0.744 0.747

0.787 0.819 0.849 0.874

6.124 6.596 7.056 7.481

0.111 0.076 0.0601 0.2905

0.1044 0.0933 0.07 0.0683

1827 1821

1079 1085

0.788 0.792

0.974 9.412 0.4561 1.009 10.212 0.245

0.0941 0.0764

1815 1797

1091 1109

0.839 0.853

1.124 13.311 0.319 1.153 14.239 0.2056

0.1996 0.2094

1775 1771

1131 1135

0.950 0.954

1.337 21.746 0.2518 1.355 22.662 0.1366

0.1018 0.0946

1772

1134

0.978

1.423 26.457 0.2151

0.1913

1756

1150

1.011

1.485 30.553 0.2147

0.2311

1751

1155

1.069

1.607 40.426 0.3864

0.2234

1756 1743

1150 1163

1.170 1.183

1.788 61.414 0.3984 1.799 63.020

0.4908

eq*(ΔP/q)’ y haga el Con el tiempo equivalente, 2.146, determine la derivada gráfico de la derivada. El Ec. almacenamiento puede obtenerset tomando un punto cualquiera sobre la recta unitaria de tiempo temprano y estimado mediante:

177

B ⎛ t C = ⎛⎜ ⎞⎟⎜⎜ ⎝ 24 ⎠⎝ ΔPq

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

(2.147)

La permeabilidad se obtiene con la derivada en el flujo radial usando la Ec. 2.148 y el daño se obtiene con la Ec. 2.149 tomando un valor de tiempo y presión en la línea de flujo radial: 70.6 μB (2.148) k= h(t * ΔPq′)r

⎡ (ΔPq ) r ⎤ ⎛ kt ⎞ s = 0.5⎢ − ln⎜⎜ r 2 ⎟⎟ + 7.43⎥ ⎢⎣ (t * ΔPq ' ) r ⎥⎦ ⎝ φμct rw ⎠

(2.149)

Cuando la rata de flujo tiene una variación moderada, se prefiere utilizar tiempo real en vez de tiempo equivalente con excelentes resultados. Por el contrario, cambios bruscos en la rata de flujo proporcionan resultados inaceptables. Es recomendable que los datos de la prueba se registren en intervalos iguales de tiempo para obtener derivadas más suavizadas. TDST es aplicable a pruebas de dos ratas y existe además una técnica para pruebas donde hay una rata de flujo constante precedida por rata de flujo variable. Para pruebas de inyección con múltiples ratas, referirse al artículo SPE 76714 (tomado de la Ref. 5).

EJEMPLO Estime permeabilidad y porosidad utilizando el método cartesiano, semilog y TDST usando los datos de presión y rata de flujo medidos en una prueba multirata se dan en la tabla 2.6. Otros parámetros conocidos del yacimiento son:

Pi = 2906 psi h = 40 ft ct = 2.4x10-6 1/psi

B = 1.27 bbl/STB rw = 0.29 ft

μ = 0.6 cp φ = 11.2 %

SOLUCION Una de las dificultades de éste método es la determinación de Xn y del tiempo equivalente, teq, lo que lo hacen un procedimiento tedioso. Para ilustrar esto se estimará Xn a las 6.05 hrs, utilizando la Ec. 2.123. Observe que cada valor de j se refiere al nivel n en la prueba y por lo tanto se usa el último dato de tiempo y caudal de cada intervalo de j que finalmente afecta la prueba. Para el ejemplo, n = 3 y:

178

n ⎛ q −q ⎞ X n = ∑ ⎜ i i−1 ⎟ log −= ( t −t)i −1 qn ⎠ i =1 ⎝

Xn = +

1

n

(− ∑ ) q(i q) i −1 log t ti−1 qn i=1

1 ⎡(−1580 − )( 0 +log ) ⎤⎦ ⎡⎣6.05−( 0 1440 ⎣

j =1

1 1440

1580 log 6.05 2.4 )(− ⎤⎦ 1490 )

j= 2

1 ⎡(−1440 1490 =) 6.05 4.8 ⎤⎦ j =3 0.819 )( − log 1440 ⎣

Método Cartesiano: La tabla 2.6 presenta el resumen de los valores calculados para la presión normalizada [Pi - Pwf(t)]/qn, tiempo de superposición, Xn , Ec. 2.123 y tiempo equivalente, teq, Ec. 2.144. La Fig. 2.45 muestra los del gráfico cartesiano de [ Pi - Pwf(t)]/qn versus Xn. Se observan allí dos líneas rectas. Note que la pendiente de la segunda línea recta es mayor que la de la primera indicando ya sea una falla, una zona de baja permeabilidad o estado pseudoestable. Los resultados de regresión lineal dan un a pendiente m’=0.2296 psi/(STB/D), y un intercepto b’=0.5532 psi/(STB/D). La permeabilidad y el daño se calculan con la Ecs. 2.124 y 2.125, respectivamente:

Xn =

k=

1 1 ⎡(−1580 − )( 0 +log 1580 log 6.05 2.4 ) ⎦⎤ ⎣⎡6.05−( 0 j=1 )(− ⎦⎤ 1490 ) 1440 ⎣ 1440 1 + ⎡(−1440 1490 )( − log=) 6.05 4.8 ⎤⎦ j =3 0.819 1440 ⎣

j= 2

162.6 μ B 162.6(1.27)(0.6) = = 13.49 md 0.2296(40) m'h

⎡ b' ⎤ k + 3.23⎥ s = 1.1513⎢ − log 2 m ' φμ c r t w ⎣ ⎦

⎡ 0.5532 13.49 log s = 1.1513 ⎢− − = 0.2296 (0.112)(0.6)(2.4 ×10−6 )(0.292 ) ⎣

⎤ ⎦

3.87 ⎥

Método semilog: La Fig. 2.47 es un gráfico semilog de [ Pi - Pwf(t)]/qn versus t y teq. El objeto de éste gráfico es el de comparar entre el análisis riguroso usando tiempo equivalente, teq, y análisis usando el tiempo real de flujo, t. Note que durante el primer ciclo los gráficos de t y teq son prácticamente iguales. La regresión para el caso de tiempo real dio una pendiente m’=0.2411 psi/(STB/D)/ciclo e intercepto b’ o ΔP/q(1hr)=0.553 psi/(STB/D). De nuevo, la permeabilidad y el daño se calculan con la Ecs. 2.124 y 2.125, respectivamente:

179

k=

162.6 μ B 162.6(1.27)(0.6) = = 12.84 md 0.2411(40) m'h

⎡ 0.553 ⎤ ⎛ ⎞ 12.84 log ⎜ 3.23⎥ s = 1.1513 ⎢ − − += −6 2 ⎟ ⎝ (0.112)(0.6)(2.4 ×10 )(0.29 ) ⎠ ⎣ 0.2411 ⎦

3.98

La línea recta con teq tiene una pendiente m’=0.2296 psi/(STB/D)/ciclo, e intercepto b’ ó ΔP/q(1hr)=0.5532 psi/(STB/D). Luego la permeabilidad y el daño estimados mediante las Ecs. 2.124 y 2.125 son 13.49 md y –3.87, respectivamente. Método de Tiab’s Direct Synthesis Technique: La derivada de la presión normalizada también se reporta en la tabla 2.6. La Fig. 2.47 ilustra un gráfico log-log de ΔPq and (t*ΔP'q) versus t y teq. Durante el primer ciclo los dos juegos de datos tienen aproximadamente la misma tendencia. De dicho gráfico, se observa la línea de comportamiento infinito y se leen los siguientes valores: (t*ΔP'q)r = 0.097 psi/(STB/D), (ΔPq)r = 0.69 psi/(STB/D) y tr = 4 hrs La permeabilidad y el daño se estiman, respectivamente, usando las Ecs. 2.148 y 2.149:

k = 70.6 μ B = (70.6)(1.27)(0.6) = 13.86 md 0.097(40) h(*t ΔPq′) r ⎡ (ΔPq ) r ⎤ ⎛ kt ⎞ s = 0.5⎢ − ln⎜⎜ r 2 ⎟⎟ + 7.43⎥ ( * Δ ' ) t P φμ c r q r ⎝ tw⎠ ⎣⎢ ⎦⎥ ⎡ 0.69 ⎤ ⎛ ⎞ (13.86)(4) ln ⎜ 7.43⎥ s = 0.5 ⎢− − +=−6 2 ⎟ 0.097 (0.112)(0.6)(2.4 10 )(0.29 ) × ⎝ ⎠ ⎣ ⎦

3.794

La comparación de los resultados obtenidos mediante los diferentes métodos se resumen en la tabla 2.7.a. Note que todos los resultados concuerdan bien. La estimación de la permeabilidad usando tiempo real tiene una desviación absoluta de 4.81 %. Puesto que este error es aceptable se puede realizar el análisis graficando presión normalizada vs. tiempo ya que el cálculo de Xn es tedioso y requiere un programa de computador. Se halló una diferencia de 2.74 % entre los resultados obtenidos de la TDST y el análisis semilog. Nótese que la derivada tiene mucho ruido probablemente debido a que el incremento del tiempo no es igualmente espaciada.

180

Para la aplicación de pruebas multirata en otros sistemas (inyección, pozos horizontales, etc.) el lector debería consultar las Refs. 6-11, 13-16,19-20,25-28. 1.2

1.1

1.0

D P B i/ 0.9 s p , /q P 0.8 Δ

6 .229 m'=0

PD psi/B

0.7

0.6

b' = 0.5532 psi/BPD 0.5 0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

1.6

1.8

Xn, tiempo de superposición

Fig. 2.46. Gráfico cartesiano de presión normalizada vs. Tiempo de superposición 1.2

t teq

1.0

D P B i/ s p , 0.8 /q P

Δ

m

ps 411 '=0. 2

real lo, t q D/cic lo, te i/ BP D/cic s i/BP p 6 .229 m'=0

0.6

b' = 0.553 psi/BPD, t real b' = 0.5532 psi/BPD, et q 0.4 1

10

100

t y teq, hrs

Fig. 2.47. Gráfico semilog de presión normalizada vs. Tiempo equivalente y tiempo real

181

10 t *ΔP ' eq

q

t*ΔPq'

l b b /i s p 1 , ' q

( ΔPq )r = 0.69p si/STB

P

*Δ q e

t

& '

q

(teq * ΔPq ')r = 0.097 psi/STB

P

*tΔ 0.1 , P

q

Δ

(teq )r = 4 hr 0.01 1

10 t & teq, hr

100

Fig. 2.48. Gráfico log-log de presión normalizada y su derivada vs. Tiempo equivalente y tiempo real Tabla 2.7.a. Comparación de resultados estimados mediante diferentes técnicas

TECNICA Tiempo de Superposición Método Cartesiano Tiempo Equivalente Método Semilog

k, md

s

13.49

-3.87

13.49

-3.87

Tiempo Real Método Semilog

12.84

-3.98

TDST

13.86

-3.794

2.16. PRUEBAS DE DECLINACION DE PRESION EN YACIMIENTOS DESARROLLADOS33 Slider23,30,31 sugirió una metodología para analizar pruebas de presión cuando no existen condiciones constantes con anterioridad a la prueba. La Fig. 2.49.a esquematiza un pozo con la presión de cierre declinando (línea sólida) antes que 1 iniciara la prueba a unpozos tiempo línea punteada representainicia la extrapolación futura sin el efecto de otros ent el. La yacimiento. La producción en t1 y la presión se comporta como lo muestra la línea sólida23.

182

Declinación inicial de presión observada

ΔPow(t) Extrapolación esperada para un único pozo

n ó i s re P

ΔPΔt

Δt

Declinación de presión observada

t1 Tiempo de flujo

Fig. 2.49.a. Comportamiento de una prueba de declinación en un pozo depletado El procedimiento sugerido por Slider23,30,21 para analizar correctamente pruebas de este tipo se presenta a continuación: 1) Extrapole correctamente la presión de cierre 2) Estime la diferencia entre la presión de fondo fluyente observada y la presión extrapolada, ΔPΔt 3) Grafique ΔPΔt vs. log Δt. Esto debería dar una recta cuya pendiente puede analizarse usando las Ecs. 2.30 y 2.40. μ kh = 162.6 q B m

(2.30)

⎡P −P ⎤ ⎛ k ⎞ s = 1.1513 ⎢ 1hr i − log ⎜ + 3.23⎥ 2 ⎟ m φμ c r ⎝ tw⎠ ⎣ ⎦

(2.40)

Para el caso particular, la Ec. 2.40 puede rescribirse como:

⎡ ( ΔP ) ⎤ ⎛ k ⎞ s = 1.1513 ⎢ Δt 1hr − log ⎜ + 3.23⎥ 2 ⎟ m φμ c r ⎝ tw⎠ ⎣ ⎦ Sin embargo, éste análisis podría ser modificado de la siguiente manera5. Considere un pozo cerrado en un yacimiento desarrollado con otros pozos en operación. Existe una declinación el prueba pozo cerrado la producción de los totros pozos. Después de quepresión el pozoende se ha producto puesto endeproducción al tiempo 1, su presión será:

183

Pwf = −Pi

141.2q μ B Δ [ PD=( t D , +rD− Δ1,...) s ] kh

Pow (t )

(2.150)

De acuerdo con la Fig. 2.49.a, ΔPwo(t) es la caída de presión con respecto a Pi causada por otros pozos en el yacimiento y se mide a un tiempo t = t1 + Δt. ΔPwo(t) puede estimarse por superposición a partir de:

ΔPow (t=) − Pi =Pw (t )

141.2 μ

kh

n

∑ q B P (t j

j D

D

, rDj ...)

(2.151)

j =2

La Ec. 2.151 asume que todos los pozos arrancan a producir a t = 0. Esto no siempre es cierto; para incluir pozos que arrancan a diferentes tiempos se necesita una superposición más compleja. Si los otros pozos en el yacimiento operan bajo estado pseudoestable, como normalmente ocurre, la Ec. 2.151 se convierte en:

ΔPow (t ) = b − m * t

(2.152)

La pendiente, m*, es negativa cuando se grafica ΔPwo(t) vs. t ó es positiva si se grafica Pw vs. t. m* se estima antes de que el pozo de prueba se abra en producción como la rata de declinación de la presión:

m* =

dPws ()() P − Pws = ws 2 dt t2 − t1

1

(2.153)

Si se dispone de datos de presión antes de la prueba, m* puede estimarse fácilmente. También, se puede estimar mediante una ecuación resultante de reemplazar la Ec. 2.44 en la 2.151:

m* =

−0.23395 n ∑ q Bj φ ct hA j = 2

(2.154)

estando el volumen del yacimiento en ft3. Combinando adecuadamente las Ecs. 2.24 (con rD = 1), 1.30, 2.150 y 2.152, resulta:

Pwf − m *Δ =t m log Δ + Δt

P1hr

donde m y P1hr se obtienen de las Ecs 2.29 y 2.30:

⎡ ⎛ ⎤ ⎞ P1hr = Pws+( Δt = 0) m ⎢ log−⎜ φμ+kc r 2 ⎟ 3.2275 0.8686 s ⎥ t w ⎠ ⎣ ⎝ ⎦

(2.155)

184

Tabla 2.7.b. Datos de presión para ejemplo de yacimiento desarrollado t, hr

Pwf, psi 0 5000 4.51 50 00.0001 10.10 4999.98 56.79 4991.08 100.98 4970.97 201.48 4926.98

t, hr 4000.00 4000.10 4000.20 4000.40 4000.64 4001.13

Pwf, psi t, hr 4278.93 7091.28 4134.44 7511.28 4015.56 7931.28 3830.82 8351.28 3676.32 8771.28 3478.40 9191.28

Pwf, psi 2007.41 1899.99 1792.61 1685.19 1577.72 1470.25

319.33 402.02 506.11 637.15 802.13 1009.82 1271.28 1551.28 2111.28 2671.28 3091.28 3511.28

4001.80 4005.06 4017.96 4090.00 4201.48 4402.02 4637.15 5009.82 5411.28 5831.28 6251.28 6671.28

3345.40 3166.11 3039.90 2891.65 2807.85 2720.00 2644.70 2542.16 2437.61 2329.70 2222.26 2114.85

1362.85 1255.45 1148.04 1040.57 933.06 825.63 718.26 610.85 503.40 395.95 288.51 240.23

4887.16 4864.59 4840.13 4813.27 4782.99 4747.74 4705.41 4661.10 4573.46 4486.12 4420.63 4355.13

9611.28 10031.28 10451.28 10871.28 11291.28 11711.28 12131.28 12551.28 12971.28 13391.28 13811.28 14000.00

La Ec. 2.155 indica que un gráfico de Pw f - m*Δt vs. log Δt da una recta de pendiente m y corte ΔP1hr en Δt = 1 hr. La permeabilidad se pude hallar de la ecuación anterior. El daño se estima de un arreglo de la Ec. 2.40:

⎡ ΔP − P Δ(= t 0) ⎤ ⎛ k ⎞ s = 1.1513 ⎢ 1hr ws − log ⎜ + 3.23⎥ 2 ⎟ m φμ c r ⎝ t w ⎠ ⎣ ⎦ La metodología TDST también puede aplicarse a yacimientos desarrollados. La técnica podría aplicarse tomando la derivada a la presión en forma rigurosa, es decir, sin considerar el efecto de la producción de otros pozos. Como se verá en el ejemplo siguiente, esto no es recomendable puesto que la derivada no es correctamente definida y, por ende, los resultados podrían incluir errores superiores al 10 %. Ver Fig. 2.49.f. En este caso, lo recomendable es corregir o extrapolar la presión mediante:

Pext = Pwf − m * Δt Una vez, la presión ha sido extrapolada, se le toma la derivada y se aplican las ecuaciones de la TDST visto anteriormente.

185

Tabla 2.7.c. Datos de Pwf, Pext = Pwf - m*Δt, t*ΔPwf', t*ΔPext ' t, hr 0.00 0.01 0.02 0.03 0.05 0.06 0.08 0.113 0.160 0.226 0.319 0.451 0.637 0.900 1.271 1.796 2.537 3.583 5.061 7.149 10.098 16.005 22.61

Pwf, psi 4278.93 4263.17 4247.80 4232.77 4203.65 4189.53 4162.11 4118.69 4062.04 3989.51 3899.81 3793.92 3676.32 3555.47 3442.11 3345.40 3269.25 3211.35 3166.11 3128.10 3093.70 3050.46 3018.94

Pwf, psi 0.00 15.76 31.13 46.16 75.28 89.40 116.83 160.24 216.89 289.42 379.12 485.01 602.61 723.47 836.82 933.53 1009.68 1067.58 1112.82 1150.84 1185.23 1228.47 1259.99

t* Pwf', psi

0.00 16.17 31.50 46.15 73.43 86.24 110.14 145.70 187.89 234.79 281.46 319.72 339.60 333.33 300.48 250.08 196.69 152.72 123.22 106.39 97.75 92.62 91.11

Pext, psi 4278.93 4263.17 4247.80 4232.77 4203.66 4189.54 4162.12 4118.71 4062.06 3989.55 3899.86 3793.99 3676.42 3555.61 3442.31 3345.68 3269.65 3211.91 3166.90 3129.21 3095.28 3052.96 3022.47

Pext, psi 0.00 15.76 31.13 46.16 75.27 89.39 116.81 160.22 216.87 289.38 379.07 484.94 602.51 723.33 836.63 933.25 1009.28 1067.02 1112.03 1149.72 1183.65 1225.97 1256.46

31.93 45.11 63.72 90.00 127.13 179.57 253.65 358.30 506.11 714.90 1009.82 1411.28 1831.28 2251.28 2811.28 3371.28 4071.28

2987.69 2956.32 2924.46 2891.65 2857.33 2820.74 2780.81 2736.24 2684.75 2622.34 2542.16 2437.61 2329.70 2222.26 2079.04 1935.78 1756.82

1291.25 1322.61 1354.47 1387.28 1421.60 1458.19 1498.12 1542.70 1594.18 1656.59 1736.77 1841.32 1949.23 2056.67 2199.90 2343.15 2522.11

90.86 91.76 93.89 97.54 103.15 111.39 123.24 140.71 167.76 211.07 279.69 380.45 489.81 600.72 749.48 898.68 1085.26

2992.67 2963.37 2934.41 2905.70 2877.17 2848.77 2820.41 2792.17 2763.76 2733.94 2699.80 2657.93 2615.59 2573.71 2517.91 2462.07 2392.38

1286.26 1315.57 1344.52 1373.23 1401.76 1430.16 1458.52 1486.76 1515.17 1544.99 1579.13 1621.01 1663.35 1705.22 1761.03 1816.86 1886.55

85.67 84.42 83.53 82.89 82.47 82.17 81.97 82.41 85.41 94.76 115.40 150.84 191.86 234.44 292.10 350.18 422.88

4771.28 5611.28 6451.28

1577.72 1362.85 1148.04

2701.21 2916.08 3130.89

1271.94 1495.85 1719.92

2322.57 2238.83 2155.15

1956.36 2040.10 2123.78

495.67 582.91 670.32

t* Pext ', psi

0.00 16.17 31.50 46.14 73.42 86.23 110.13 145.69 187.86 234.75 281.41 319.65 339.50 333.19 300.27 249.79 196.28 152.14 122.39 105.23 96.11 90.01 87.43

186

Pwf, psi t, hr 6591.28 1112.23 7711.28 825.63 8831.28 539.22 9951.28 252.69 10000.00 240.23

Pwf, psi 3166.71 3453.31 3739.71 4026.24 4 038.70

t* Pwf', psi

1757.27 2055.97 2354.68 2653.47 2666.47

Pext, psi 2141.19 2029.43 1917.88 1806.19 1801.33

Pext, psi 2137.74 2249.50 2361.06 2472.74 2477.60

t* Pext ', psi

684.89 801.38 917.87 1034.44 1039.51

EJEMPLO Se simuló una prueba de presión en un yacimiento de forma cuadrada con un área de 2295.7 acres teniendo un pozo 1 de prueba en el centro y otro pozo 2 a 1956 pies al norte del pozo 1. El pozo 2 produce a una rata de 500 BPD durante 14000 hrs. Al cabo de 4000 hrs de flujo, el pozo 1 se abrió a una rata de flujo de 320 BPD para correr una prueba de declinación de presión cuyos datos se reportan en la tabla 2.7.b. Los datos utilizados para la simulación fueron:

rw = 0.3 pie

μ = 3 cp

φ = 10 %

B = 1.2 bbl/BF

ct = 3x10-6 psi-1 k = 33.33 md

h = 30 pies s=0

Interprete la prueba mediante las técnicas convencionales y la TDST considerando y sin considerar la presencia del pozo 2.

SOLUCION Puede apreciarse en la Fig. 2.49.b el cambio en la presión que se observa en el pozo 1 hasta un tiempo de 4000 hrs, luego del cual éste se coloca en producción para la prueba de declinación. La Fig. 2.49.c presenta el gráfico de Pwf vs. log Δt obtenida con la información de la tabla 2.7.c . De allí la pendiente y el corte son, respectivamente, -230 psi/ciclo y 3330.9 psi. La permeabilidad se estima de la Ec. 2.30 y el daño de la Ec. 2.40:

k=

162.2q μ B 162.6(320)(3)(1.2) = = 27.15 md 30(230) hm

⎡ 3330.9 − 4278.93 ⎤ ⎛ ⎞ 27.15 log ⎜ − += −6 3.23⎥ s = 1.1513 ⎢ − 2 ⎟ 230 (0.1)(3)(3 10 )(0.3 − × ⎝ ⎠ ⎣ ⎦

1.35

La tabla 2.7.c también reporta los datos de Pwf-m*Δt. La Fig. 2.49.c presenta, además, el gráfico de Pwf – m* Δt vs. log Δt. De allí la pendiente y el corte son respectivamente 2.30, y el daño de193.9 la Ec.psi/ciclo 2.40: y 3285.9 psi. La permeabilidad se estima de la Ec.

187

k=

162.6q μ B 162.6(320)(3)(1.2) = = 32.2 md 30(193.9) hm

⎡ 3285.9 − 4278.93 ⎤ ⎛ ⎞ 32.2 − − += −6 s = 1.1513 ⎢ log ⎜ 2 ⎟ 3.23 ⎥ −193.9 ⎝ (0.1)(3)(3 ×10 )(0.3 ) ⎠ ⎣ ⎦

0.28

Para aplicar la TDST, inicialmente se saca la derivada a los datos de presión de fondo fluyente en forma rigurosa, ver tabla 2.7.c. Con estos datos se obtiene la Fig. 2.49.d donde hr se obtienen( los parámetros: tde =r 35.826 t*Δsiguientes P’)r = 90.4 psi

ΔPr = 1301.7 psi

La permeabilidad y el daño se hallan con las Ecs. 2.69 y 2.96, respectivamente:

k=

70.6q μ B 70.6(320)(3)(1.2) = ≅ 30 md 30(90.4) h(*t ΔP ')r

⎡ ΔPr ⎤ ⎛ kt ⎞ s = 0.5 ⎢ − ln ⎜ r 2 ⎟ + 7.43⎥ ⎝ φμct rw ⎠ ⎣⎢ (t * ΔP ')r ⎦⎥ ⎡1301.7 ⎤ ⎛ ⎞ (30)(35.826) s = 0.5 ⎢ − ln ⎜ −+ 6= 2 ⎟ 7.43⎥ 90.4 (0.1)(3)(3 × 10 )(0.3 ) ⎝ ⎠ ⎣ ⎦

0.74

Si datos como de Pwfse -mreporta *Δt, o presión corregida, toma la tabla 2.7.c y sea los grafican en la Fig. 2.49.e, se se le obtiene unaderivada, derivadaver más definida que la de la Fig. 2.49.d. Los siguientes parámetros fueron leídos del gráfico de la derivada presentado en la Fig. 2.49.e: =tr319.3321 hr ( t*ΔP’)r = 82.1177 psi ΔPr = 1477.3508 psi Los datos de permeabilidad y daño se obtienen con las Ecs. 2.69 y 2.96, respectivamente:

k=

70.6q μ B 70.6(320)(3)(1.2) = ≅ 33.07 md 30(82.1177) h(t * ΔP ')r

⎡ ΔPr ⎤ ⎛ kt ⎞ s = 0.5 ⎢ − ln ⎜ r 2 ⎟ + 7.43⎥ φμ c r ⎢⎣ (t * ΔP ')r ⎥⎦ ⎝ tw⎠ ⎡1477.3508 ⎛ (33.07)(319.3321) ⎞ ⎤ s = 0.5 ⎢ − − + =6 ln ⎜ 2 ⎟ 7.43 ⎥ 82.1177 (0.1)(3)(3 × 10 )(0.3 ) ⎝ ⎠ ⎣ ⎦

0.087

188

La tabla 2.7.d muestra todos los valores de permeabilidad y daño obtenidos para este ejemplo con sus respectivos errores absolutos con referencia al valor entrado de la simulación. La TDST cuando se toma la presión corregida proporciona los mejores resultados. De la gráfica de la derivada, Fig. 2.49.f, se puede observar que el estado pseudoestable ha sido perfectamente desarrollado, como consecuencia podemos obtener las pendientes cartesianas realiznaod una regresión lineal con los últimos 10 últimos datos a saber: m* (Pwf vs. Δt) = -0.256 psi/hr y m* (Pext vs. Δt) = -0.0992 psi/hr. La Ec. 2.47 permite obtener el área de drene del pozo 2: 0.23395qB 0.23395(320)(1.2) 895.2 Ac −A( Pwf ) == = (0.1)(3 ×10 −6 )(30)(0.256)(43560) φ ct hm *

−A( Pext ) =

0.23395qB φ ct hm *

0.23395(320)(1.2) 2310 Ac = (0.1)(3 ×10−6 )(30)(0.0992)(43560)

La Ec. 2.97 permite determinar el área de drene usando la TDST, usandotrpi = 376.6049 hr (Fig. 2.49.d) y trpi = 800.5503 hrs (Fig. 2.49.e):

APwf =

ktrpi 301.77φμct

=

(30)(376.604) 1 = 955 Ac 301.77(0.1)(3)(3 ×10−6 ) 43560

ktrpi (33.07)(800.5503) 1 APext = 301.77φμct = 301.77(0.1)(3)(3 ×10−6 ) 43560 = 2237.8 Ac La Fig. 2.49.f proporciona un comparativo de la derivada de la presión de fondo fluyente ignorando el efecto del pozo 2 y de la derivada de la presión incluyendo el efecto del pozo 2. Se observa allí que la zona de flujo radial es más corta y mucho menor definida. Por otro lado la zona de estado pseudoestable aparece primero cuando no se incluye el efecto del pozo adyacente, lo que indica que el área de drene del pozo, y por ende, las reservas allí presentes estarán sustancialmente subestimadas. Tabla 2.7.d. Resultados de permeabilidad y daño para ejemplo de yacimiento desarrollado

Fuente k, md Error Abs., % Dato de entrada (simulación) 33.33 Método Semilog de P27.15 18.54 -1.35 wf ext Método deP P32.2 Método Semilog TDST con 30 wf Método TDST con P33.07 ext

3.39 9.99 0.78

-0.29 -0.74 -0.087

S

Error Abs., %

0 135 29 74 8.7

189

6000

5000

i s p ,f

4000

w 3000

P

2000

1000

0 0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

Δt, hr Fig. 2.49.b. Gráfica cartesiana de los datos de presión tomados en el pozo 1 4500

Pwf-m*dt Pwf 4000

i s p ,t 3500 Δ * m -

f w3000

P y f 2500 w

P

mPwf = 230 psi/ciclo P1hr Pwf = 3330.9 psi mPwf - m*Δt =193.9 psi/ciclo PPwf - m*Δt= 3285.9 psi

2000

1500 0.1

1

10

100

1000

Δt, hr

Fig. 2.49.c. Gráfica semilog para ejemplo de un yacimiento desarrollado

10000

190

10000

(ΔP)r = 1301.7 psi

i s 1000 p ,' )t Δ * m f w

P

( Δ 100

(t*ΔP')r = 90.4 psi

*t

trpi = 376.6049 hr

tr = 35.82 hr

10 0.01

0.1

1

10

100

1000

10000

Δt, hr

Fig. 2.49.d. Derivada de Pwf-m*Δt para ejemplo de un yacimiento desarrollado 10000

(ΔP)r = 1477.35 psi 1000

i s p ,f' w

P *t

tr = 319.3321 hr

Δ

(t*ΔP') r = 82.1177 psi

100

trpi = 800.5503 hr

10 0.01

0.1

1

10

100

1000

10000

Δt, hr

Fig. 2.49.e. Derivada de Pwf-m*Δt para ejemplo de un yacimiento desarrollado

191

10000

i s p , n ió s 1000 e r p e d s a d a v ir

ΔPext t*ΔPext', psi ΔPwf, psi t*ΔPwf', psi

e d 100 y n ó i s re P 10 0.01

0.1

1

10

100

1000

10000

Δt, hr

Fig. 2.49.f. Comparación de la derivada de Pwf y Pext para ejemplo de unyacimiento desarrollado

2.17. TDST PARA YACIMIENTOS ALARGADOS Estos yacimientos pueden aproximarse a la geometría descrita por la Fig. 2.50 (parte a). y resultan principalmente de depósitos fluviales, comúnmente llamados canales. Los posibles regímenes de flujo cuando el pozo está completamente descentrado se presentan en la Fig. 2.52. Cuando las fronteras paralelas del yacimiento son de no flujo (cerradas), y el pozo se encuentra localizado a un extremo de éste, Fig. 2.50 (parte c), se observa que el régimen de flujo dominante es el flujo lineal caracterizado por una pendiente de 0.5, ver Fig. 2.50, y cuya ecuación gobernante es7,10,32 :

PD = 2π t+DL= sL +

2π tD

WD

sL

(2.156)

Siendo sL el daño causado por el cambio de flujo lineal a radial. Los parámetros adimensionales se definen como:

tD =

0.0002637 kt 2 φ μ c t rw

wD = YrE w

(2.60)

(2.157.b)

192

a) GEOMETRIA DEL YACIMIENTO

YE

Xw xE b) FLUJO DUAL LINEAL Pozo

h YE c) FLUJO LINEAL Pozo

h YE

Fig. 2.50. Geometría del yacimiento y caracterización de los regímenes de flujo

t D * PD ' =

kh 141.2q μ B

t * ΔP '

(2.158)

La derivada de la Ec. 2.156 es:

t D * PD ' =

tD WD

π

(2.159)

Reemplazando las Ecs. 2.157.b, 2.158 y 2.60 en la Ec. 2.159 y despejando el producto de la raiz de la permeabilidad por el ancho del yacimiento, YE, se tiene:

kYE = Para

∆

7.2034qB t L μ h(tP* Δ ') L φct

(2.160)

t = 1 hr

kYE =

7.2034qB h(tp* Δ ) L1

t DL = t D2 wD

μ φ ct

(2.161) (2.157.a)

193

1.E+04

Estado pseudoestable

Pozo en el centro - Laterales cerrados

1/2

1.E+03

' D 1.E+02 *P tD y D 1.E+01

P

Flujo

dua

l line

al

1.E+00

Fin del flujo radial 1.E-01 1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

1.E+09

tD

Fig. 2.51. Comportamiento de la presión adimensional y la derivada de la presión adimensional para un yacimiento rectangular XE/YE=128 con el pozo situado en la mitad del yacimiento10 1.E+04


Pozo a 1/8 - laterales cerrados

1.E+03

1/8

Flujo lineal puro 'D 1.E+02 P * tD y

`

D

P 1.E+01

1.E+00

Flujo dual lineal

Fin del flujo radial 1.E-01 1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

1.E+09

tD

Fig. 2.52. Comportamiento de la presión adimensional y la derivada de la presión adimensional para un yacimiento rectangular XE/YE=128 con el pozo situado a 1/8 de la frontera más cercana10

194

El producto de la raiz de la permeabilidad por el ancho del yacimiento, YE, puede ser calculada del flujo dual lineal, DL, que toma lugar cuando el pozo se encuentra localizado a cualquier distancia de la frontera lateral más cercana a él, ver Fig. 2.50 (parte b). El comportamiento de la presión adimensional y su derivada se presentan en la Fig. 2.51. PD

=

2 π tD WD

+ sL

(2.162)

cuya derivada es:

t D * PD ' =

π tD WD

(2.163)

Al remplazar las variables adimensionales se tiene:

kYE = Para

∆

4.064qB t DL μ h(t * ΔP ') DL φ ct

(2.164)

t = 1 hr

kYE =

4.064 qB h(t * ΔP ') DL1

μ φ ct

(2.165)

Puntos de Intersección Para tiempos largos de producción, en la derivada de pseudopresión se obtiene una línea recta de pendiente unitaria la cual corresponde al flujo de estado pseudoestable, cuya ecuación esta dada por10:

( t D * PD ') pss = 2π * t DA

(2.166)

Esta línea se intercepta con la línea del flujo lineal y doble lineal obteniéndose el área de drene del yacimiento. Para flujo doble lineal se tiene:

195

1.E+03

Estado pseudoestable 1.E+02

'D P * t D 1.E+01

ujo Fl

l ea lin

y D

P

2o. Flujo radial

Primer Flujo radial

1.E+00

jo Flu

lineal al du

Almacenamiento 1.E-01 1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

t

1.E+07

1.E+08

1.E+09

1.E+10

1.E+11

1.E+12

D

Fig. 2.53. Comportamiento de la presión adimensional y la derivada de la presión adimensional para un yacimiento rectangular con el pozo situado asimétricamente con respecto a los lados del yacimiento 10

A=

ktDLPiYE2 301.77φμ ct

(2.167)

Para flujo lineal se tiene:

A=

ktLPiYE2 948.047φμ ct

(2.168)

La línea de flujo radial y la línea de estado pseudoestable interceptan en:

t DARPi =

1 4π

(2.169)

Donde:

t DA =

0.0002637 kt φ μ ct

A

(2.170)

Sustituyendo la ecuación 2.170 en 2.169 y despejando el área se obtiene10,27:

196

A=

kt RPi

(2.171)

301.77φμct

Igualmente, de la intersección de la línea de comportamiento radial infinito de la derivada de presión (línea recta horizontal) con los flujos lineal y doble lineal se obtienen ecuaciones para calcular el ancho del yacimiento lineal. El punto de corte entre el flujo radial y el flujo lineal es único, tRLi, donde el valor de la derivada adimensional de la presión adquiere un valor de ½ cuando el pozo se encuentra centrado con respecto a sus fronteras más cercanas y de 1 cuando el pozo esta descentrado y se observan dos líneas horizontales, ver Fig. 2.52, Luego:

( t D * PD ')DL =

π tD

WD

= 0.5

(2.172)

Reemplazando las Ecs. 2.157.b, 2.158 y 2.60 en la Ec. 2.172 se obtiene el ancho del yacimiento YE en unidades de campo:

YE = 0.05756

ktRDLi φμct

(2.186)

Cuando se observan dos líneas horizontales (dos flujos radiales) o cuando el primero está enmascarado, la Ec. 2.173 se transforma en:

YE = 0.02878 ktRDLi φμct

(2.173)

Para puro flujo lineal, las ecuaciones 2.173 y 2.174 se transforman respectivamente en:

YE = 0.1020

YE = 0.051

ktRLi φμct

ktRLi φμct

(2.174)

(2.175)

El daño causado por la convergencia del flujo lineal a radial puede hallarse dividiendo la presión adimensional por su derivada adimensional, Ecs. 2.156 y 2.158, sustituyendo variables despejando ellas daño, sL: adimensionales por las cantidades en unidades de campo y

197

1,E+04

Flujo Pseudo estable

X D= 1/4 XE/YE = 512

al ine jo L u l F

1,E+03

tDLPSSi

1,E+02

' P t*

tLPSSi

D D

1,E+01

al ine al l u D jo Flu

1,E+00

Flujo Radial

tLPi 1,E-01 1,E+01

1,E+02

1,E+03

1,E+04

tDLPi 1,E+05

tRPSSi 1,E+06

1,E+07

1,E+08

1,E+09

1,E+10

1,E+11

1,E+12

tD Fig. 2.54. Puntos de intersección característicos de los yacimientos lineales 10 1,E+02

Yacimiento con frontera lejana cerrada 1,E+01

Flujo parabólico

D D== 1/16 1/16 XXEXE/Y 512 /YEE == 512

1,E+00

eal l lin ua D jo Flu

t DLPBi

Flujo Radial

t RPBi * t

' D 1,E-01 P D

1,E-02

1,E-03

1,E-04 1,E+00

1,E+01

1,E+02

1,E+03

1,E+04

1,E+05

1,E+06

1,E+07

1,E+08

1,E+09

1,E+10

tD Fig. 2.55. Puntos característicos del flujo parabólico7,10,32

1,E+11

1,E+12

198

1,E+02

1,E+01

Yacimiento con fronteras abiertas

X D= 1/4 XE/YE= 512

m= -1 Flujo Parabólico

1,E+00

Flujo Dual lineal Flujo Radial Yacimiento con frontera lejana cerrada

' D 1,E-01 P * tD 1,E-02

1,E-03

1,E-04 1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03 1,E+04 1,E+05 1,E+06 1,E+07 1,E+08 1,E+09 1,E+10 1,E+11 1,E+12 1,E+13

tD Fig. 2.56. Características de las líneas de pendiente -17,10

⎛ ΔPL ⎞ 1 − 2⎟ sL = ⎜ ( t * Δ P ') 34.743 YE ⎝ L ⎠

ktL φμct

(2.176)

Donde tL es cualquier tiempo conveniente durante el flujo lineal y ΔPL y t*ΔPL’ son la presión y la derivada de presión correspondientes a tL. El daño causado por la convergencia del flujo dual lineal a radial puede también hallarse dividiendo la presión adimensional por su derivada adimensional, Ecs. 2.162 y 2.163 y despejando el daño, sL:

⎛ ΔPDL ⎞ 1 sDL = ⎜ − 2⎟ ( * ') t Δ P DL ⎝ ⎠ 19.601YE

ktDL φμct

(2.177)

Donde tDL es cualquier tiempo conveniente durante el flujo lineal y ΔPDL y t*ΔPDL’ son la presión y la derivada de presión correspondientes a tDL. En yacimientos lineales cuando el pozo está descentrado y existe una acción simultánea del flujo lineal, en un lado, y del estado estable, en el otro extremo, se presenta un flujo de pendiente de -1/2, que no corresponde al flujo esférico o hemisférico, ver Figs. 2.55 y 2.56. Dada la geometría de las líneas de corriente este regimen de flujo se llama flujo parabólico7,32. La ecuaciones gobernantes de este regimen de flujo son:

199

2

2⎛ X ⎞ PD = −(WD ) ( X D ) ⎜ E ⎟ t D−0.5 + sPB ⎝ YE ⎠

(2.178)

2

t D * PD ' =

WD 2⎛ X ⎞ ( X D ) ⎜ E ⎟ tD−0.5 2 ⎝ YE ⎠

(2.179)

Usando la filosofía de la Tiab´s Direct Synthesis technique, se obtiene una relación para estimar el daño causado por la convergencia de flujo dual lineal a flujo parabólico y la posición del pozo.

⎛ ΔPPB ⎞ 123.16 bx sPB = ⎜⎜ + 2 ⎟⎟ t * Δ P ' ( ) ⎝ PB ⎠ YE

φμct

kt PB

⎡ q μ B ⎤ ⎡ φμct ⎤ 0.5 k 1.5YE = 17390 ⎢ ⎥⎢ ⎥ bx2 ⎢⎣ h ( t * ΔP ') PB ⎥⎦ ⎣ tPB ⎦

(2.180)

(2.181)

El daño total para este tipo de yacimiento se evalúa de acuerdo a los regímenes de flujo que se presenten:

• Pozo cerca de la frontera cerrada. En este caso se presentan el flujo radial, dual lineal y lineal.

s = sr + sDL + sL

(2.182)

• Pozo cerca de la frontera abierta. En este caso se presentan el flujo radial, dual lineal y flujo parabólico7,32.

s = sr + sDL + sPB

(2.183)

Los puntos de intersección, ver Figs. 2.53 a 2.56, hallados entre las diferentes líneas de la derivada permiten desarrollar las siguientes ecuaciones:

A=

ktDLPSSiYE2 301.77φμct

A=

ktLPSSiYE2 948.047φμct

(2.184)

(2.185)

200

YE = 0.05756

YE = 0.1020

ktRDLi φμct ktRLi φμct

1

ktDLPBi

65.41

φμ ct

bx =

(2.186)

⎛ kt ⎞ Y bx = ⎛⎜ E ⎞⎟ * ⎜ RPBi ⎟ ⎝ 246.32 ⎠ ⎝ φμct ⎠

(2.187)

(2.188) 0.5

(2.189)

Para casos de estado estable se traza una pendiente unitaria negativa,SS1, cuyo corte con la línea de flujo parabólico permite estimar la longitud del yacimiento, ver Fig. 2.56.

X E3 =

1 ⎛ kt PBSS1i ⎞ ⎜ ⎟b 77.9 ⎝ φμct ⎠ x

(2.190)

1. Fronteras abiertas

• Intersección pendiente -1 con flujo dual lineal 3

1 ⎞ ⎛ kt DLSS1i ⎞ ⎛ 1 ⎞ X E3 = ⎛⎜ ⎜9 ⎟ ⎟⎜ ⎟ 1.426 × 10 ⎝ ⎠ ⎝ φμct ⎠ ⎝ bx3 ⎠

(2.191)

• Intersección pendiente -1 con flujo radial 2

1 ⎞ ⎛ kt RSS1i ⎞ ⎛ YE2 ⎞ X E3 = ⎛⎜ ⎜6 ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎝ 4.72 × 10 ⎠ ⎝ φμct ⎠ ⎝ bx3 ⎠

(2.192)

• Intersección pendiente -1 con flujo pendiente -½

X E3 =

1 ⎛ kt PBSS1i ⎞ ⎜ ⎟b 77.9 ⎝ φμct ⎠ x

2. Fronteras mixtas (pozo cerca de la frontera abierta)

(2.193)

201

• Intersección pendiente -1 con flujo dual lineal 3

1 ⎞ ⎛ kt DLSS2i ⎞ ⎛ 1 ⎞ X E3 = ⎛⎜ ⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ 10 ⎝ 1.42 ×10 ⎠ ⎝ φμct ⎠ ⎝ bx3 ⎠

(2.194)

• Intersección pendiente -1 con flujo radial 2

1 ⎛ ⎞ ⎛ kt RSS2i ⎞ ⎛ YE2 ⎞ X E = ⎝⎜ 4.66 ×10⎜7 ⎠⎟ ⎝ φμ ⎟⎜ct ⎟⎠ ⎝ bx3 ⎠ 3

(2.195)

• Intersección de la línea de pendiente -1 con la linea de flujo parabólico de pendiente -½

X E3 =

1 ⎛ ktPBSS2i ⎞ ⎜ ⎟b 768.4 ⎝ φμct ⎠ x

(2.196)

Del punto de inflexión entre el flujo dual lineal al lineal se puede obtener la posición del pozo, mediante cualquiera de las siguientes relaciones:

bx = bx =

ktF 5448.2φμct khYE (t * ΔP ') F 415.84q μ B

(2.197)

(2.198)

Puntos máximos – Pozo cerca de la frontera abierta. Primer punto máximo (cambio de flujo dual lineal a parabólico)

XE YE

⎛ π⎞ = ⎜⎜ ⎟⎟ (t D * PD ') X 1 ⎝ XD ⎠

1 ⎞ ⎛ kt X 1 ⎞ bx = ⎛⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 58.8 ⎠ ⎝ φμct ⎠

bx =

khYE (t * ΔP ') X 1 159.327qμ B

(2.199)

(2.200)

(2.201)

202

100 Barreja lejana de no flujo

' D P * tD

3

⎛ X ⎞ W2 tD * PD ' = ⎜ E ⎟ D ⎝ YE ⎠ t D al ine jo l o Fl u únic

10

al

y

FlujolinDeua

D

P

1

Estado estable

Radial flow

(t D ) ssri 0.1 1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

tD

1.E+07

1.E+08

1.E+09

1.E+10

Fig. 2.57. Comportamiento de la presión y derivada de presión adimensional para un pozo con frontera lejana abierta y frontera cerrada de no flujo Segundo Punto Máximo (fin de la línea de flujo parabólico y comienzo del flujo estable):

X E = 637.3 ⎜⎟

XE =

⎛⎞bx2 ⎛⎛q μ B ⎞ ⎞ 1 ⎜ ⎜ ⎟ ⎝⎠YE ⎝⎝ kh ⎠ (⎠tP* Δ ') X 2

1 ⎛ kt X 2 ⎞ ⎜ ⎟ 39.2 ⎝ φμct ⎠

(2.202)

0.5

(2.203)

Pozo cerca de la frontera cerrada

XE =

1 ⎛ kt X 3 ⎞ ⎜ ⎟ 44.24 ⎝ φμct ⎠

0.5

(2.204)

Corte entre la pendiente -1 (estado estable) y el flujo radial: Pozo cerca de la frontera cerrada – frontera lejana abierta. En este caso, Fig. 2.57, se desarrolla tanto flujo dual lineal 37 como flujo lineal único. Este es seguido por un máximo. La ecuación gobernante es de la línea de pendiente menos uno tangente a la derivada después del máximo es:

203

1.E+01

3

tD * PD ' = 3

t D * PD ' =

1.E+00

' PD * tD

32WD2 ⎛ X E ⎞ −1 t 19π ⎜⎝ YE ⎟⎠ D

WD2 ⎛ X E ⎞ −1 ⎜ ⎟ t 5π ⎝ YE ⎠ D

Flujo dual lineal

(t D ) ssri

Flujo radial Fronteras abiertas

1.E-01

Estado estable

Una frontera cerrada

1.E-02 1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

1.E+09

1.E+10

1.E+11

tD

Fig. 2.58. Comportamiento de la derivada de presión adimensional para un pozo centrado con una o dos frontera de presión constante 3

⎛ X ⎞ W2 t D * PD ' = ⎜ E ⎟ D ⎝ YE ⎠ t D

(2.205)

De donde se tiene del intercepto con el flujo radial: XE = 3

ktrssiYE 7584.2φμct

(2.206)

Si se asume que el área se obtien del producto del ancho por el largo del yacimiento, A = XEYE, entonces, A= 3

ktrssiYE4 7584.2φμct

(2.207)

Pozo centrado – una frontera abierta. La ecuación de la recta con pendiente unitaria que pasa tangencial a la curva de la derivada cuando el pozo está centrado en un sistema alargado con una sola de sus fronteras de presión constante, Fig. 2.58, está dada por la siguiente expresión37:

204

3

t D * PD ' =

32WD2 ⎛ X E ⎞ −1 ⎜ ⎟ t 19π ⎝ YE ⎠ D

(2.208)

La ecuación para estimar el área de drenaje se obtiene del corte de la Ec. 2.208 conal líena de flujo radial. Luego de reemplazar los parámetros adimensionales y asumir geometría rectangular perfecta se tiene:

A= 3

ktssriYE4

(2.209)

4066φμct

Pozo centrado – Ambas fronteras laterales son de estado estable. Cuando ésto ocurre, la ecuación gobernante con pendiente negativa, tangente a la curva de la derivada está dada por: 3

t D * PD ' =

WD2 ⎛ X E ⎞ −1 ⎜ ⎟ t 5π ⎝ YE ⎠ D

(2.210)

De donde se obtiene el área de drenaje del intercepto con el flujo radial y reemplazando los parámetros adimensionales mediante:

A= 3

ktssriYE4 482.84φμct

(2.211)

El punto máximo para cuando una de las dos fronteras es de presión constante está dado por:

X E 15 ⎛ 1 ⎞ 0.5 = π t YE 32 ⎜⎝ WD ⎟⎠ Dxc

(2.212)

Y cuando ambas fronteras están abiertas es:

X E 15 ⎛ 1 ⎞ 0.5 = π t YE 16 ⎜⎝ WD ⎟⎠ Dxc

(2.213)

Luego de reemplazar las cantidades adimensionales en las Ecs. 2.112 y 2.113, se hallan expresiones para determinar la longitud del yacimiento y su área, respectivamente:

205

XE =

A=

1 ⎛ ktx ⎞ ⎜ ⎟ 41.82 ⎝ φμct ⎠

YE ⎛ kt x ⎞ 41.82 ⎜⎝ φμct ⎟⎠

XE =

0.5

(2.214.a)

0.5

1 ⎛ ktx ⎞

(2.214.b) 0.5

(2.215.a)

20.91 ⎝⎜ φμct ⎠⎟

A=

YE ⎛ kt x ⎞ ⎜ ⎟ 20.91 ⎝ φμct ⎠

0.5

(2.215.b)

2.18. METODO CONVENCIONAL PARA YACIMIENTOS ALARGADOS La Ec. 2.30 se utiliza para determinar la permeabilidad del flujo radial de un gráfico semilogarítmico, ver Fig. 2.60. La ecuación dimensional que gobierna el flujo dual lineal es (ver Fig. 2.59)25,35-36:

ΔP =

8.1282 qB ⎛ μ ⎞ YE khc⎜⎝ φ t k ⎟⎠

0.5

t+

141.2qμ B sDL kh

(2.216.a)

En pruebas de restauración de presión, aplicando el principio de superposición, se tiene35: 0.5 8.1282 qB ⎛ μ ⎞ Δ=P +( Δ −Δ tp t t) (2.216.b) YE kh ⎜⎝ φ ct k ⎟⎠ Las Ecs. 2.216.a y 2.216.bimplican que en un gráfico Cartesiano deΔP vs. ya sea t o ( t p +Δt − Δ t ) se observará una recta duran el flujo dual lineal con pendiente, mDLF, e intercepto, bDLF, que se usan para hallar el ancho del yacimiento,YE, y el factor de daño dual lineal,sDL.

YE = 8.1282

qB ⎡ μ ⎤ mDLF h ⎢⎣ kφ ct ⎥⎦

sDL = khbDLF 141.2qμ B

0.5

(2.217.a)

(2.217.b)

206

2 D

π

1

P

bDL ⇒ sDL

tD Fig. 2.59. Gráfico de PD vs. tD0.5 Durante el flujo lineal25 Es de anotar que en otros autores25 presentan la siguiente expresión:

⎛ r ⎞⎤ 1 ⎡ khbDLF sDL = ⎢ + ln ⎜ w ⎟ ⎥ 2 ⎢⎣141.2q μ B ⎝ Ye ⎠ ⎥⎦

(2.217.c)

Las ecuaciones gobernantes para declinación y restauración de presión, respectivamente, para flujo lineal único son:

ΔPwf =

14.407 q μ B kt 141.2q μ B + sL YE kh φμ ct kh

ΔP=ws

14.407 q μ B k +( Δ −Δt p YE kh φμct

t

(2.218.a)

t)

(2.218.b)

Similarmente al caso de dual lineal, al graficar en coordenadas CartesianasΔP vs. t ó t p +Δt − Δ t se obtendrá una recta en la región influenciada por flujo lineal con pendiente, mLF, y corte, bLF, que se usan, respectivamente, para estimar ancho del yacimiento, YE, y el factor de daño lineal,sL. 14.407 qB ⎛ μ ⎞ Y = mLF h ⎜⎝ φ ct k ⎟⎠ E

0.5

(2.219.a)

207

m

i s p ,

1

P

log t, hr Fig. 2.60. P Versus t0.5 Durante el flujo radial25

sL =

khbLF 141.2qμ B

(2.219.b)

La ecuación gobernante para flujo parabólico fue introducida en las Refs. 10, 32 y 35. La forma convencional de dicha ecuación35, incluyendo restauración, es:

− Δ =Pwf

−

=ΔPws

34780.8qBbx2 φ ct ⎛ μ ⎞1.5 1 141.2qμ B + ⎜ ⎟ sPB hYE kh ⎝k⎠ t

(2.220.a)

34780.8qBbx2 φ ct ⎛ μ ⎞1.5 ⎛ 1 −⎜ ⎟ ⎜ hYE ⎝ k ⎠ ⎜⎝ t p + Δt

(2.220.b)

1 ⎞ ⎟ Δt ⎟⎠

De un gráfico Cartesiano de ΔP vs. 1/ t o (1/ t p + Δt − 1/ Δ t ) se observará una recta en el periodo dominado por este flujo, cuya pendiente,mPB, e intercepto, bPB, conducen a la obtención de la excentricidad del pozo,bx, y factor de daño parabólico, sPB, respectivamente, como: 1.5

⎛k⎞ mPB hYE ⎜ ⎟ 34780.8qB φ ct ⎝ μ ⎠ kh sPB = b 141.2qμ B PB

bx = −

(2.221.a) (2.221.b)

El área se puede calcular del flujo pseudoestable de la siguiente ecuación:

208

Tabla 2.8. Datos de presión y derivada de presión para ejemplo real de yacimiento rectangular t, hr

t* P´,

0.165 0.332 0.498 0.665

P, psi 49.00 99.00 122.42 140.49

Psi 51.00 67.00 60.38 66.57

0.831 0.998 1.165 1.331 1.498 1.665 1.831 1.998 2.165 2.331 2.498 2.665 2.831 2.998 3.165 3.331 3.498 3.665 3.831 3.998 4.165

156.07 170.14 182.92 194.48 205.17 215.09 224.53 233.54 242.11 250.33 258.24 265.94 273.23 280.57 287.49 294.22 300.85 307.28 313.54 319.60 325.50

73.69 80.12 84.74 88.67 92.44 96.63 101.16 105.28 109.19 113.12 116.37 120.68 124.15 126.97 130.91 133.24 136.37 138.93 141.42 143.73 145.48

X EYE =

0.234qB φ hct m*

t, hr

4.331 4.498 4.665 4.831

P, psi 331.24 336.89 342.30 347.70

t, hr P, t* P´, Psi psi Psi 147.65 9.824 458.47 136.70 149.17 10.157 463.23 132.87 151.39 10.490 467.44 134.03 152.79 10.824 471.48 132.58

4.998 5.165 5.331 5.498 5.665 5.831 5.998 6.165 6.331 6.498 6.665 6.831 6.998 7.165 7.331 7.657 7.990 8.324 8.657 8.990 9.490

352.84 358.01 362.96 367.77 372.54 377.15 381.67 386.10 390.50 394.60 398.63 402.76 406.64 410.42 414.19 421.18 428.16 434.62 440.94 446.87 453.81

154.09 155.83 156.87 157.85 159.51 159.55 159.94 161.25 161.31 161.74 161.58 161.88 161.66 161.90 161.66 161.21 160.73 153.77 149.99 146.59 140.47

t* P´,

11.157 11.490 11.824 12.157 12.490 12.824 13.157 13.490 13.824 14.157 14.490 14.990 15.490 15.990 16.490 16.990 17.490 17.990 20.474 22.640

475.61 479.47 483.19 486.70 489.94 493.12 496.26 499.19 502.05 504.71 507.15 510.78 514.29 517.45 520.59 523.48 526.10 528.57 470.79 538.42

130.61 127.78 126.71 125.21 122.97 119.84 117.32 115.01 113.78 111.16 109.55 106.05 102.52 99.40 97.21 93.62 90.44 86.87 50.29 10.60

(2.222)

Siendo m* es la pendiente del gráfico Cartesiano de presión contra tiempo (psi/hr), Ver Fig. 2.30. Alternativamente, si se conoce el ancho del yacimiento por alguna otra 36 fuente, es posible determinar la anisotropía en permeabilidad areal .

EJEMPLO El se tomó deenuna prueba de depresión un pozoy de petróleo en presente un canal ejemplo de un yacimiento Colombia, lospresión datos de derivada deubicado presión se presentan en la tabla 2.8, y los de roca y fluido se presentan a continuación.

209

q = 1400 bbl/Dia rw = 0.51 pies

h = 14 ft φ = 24 %

ct = 9x10-6 psi-1 Bo = 1.07 bbl/STB

μ

= 3.5 cp

Usando la TDST y análisis convencional: 1) Estime la permeabilidad en el periodo de flujo radial 2) Determine el largo y ancho del yacimiento 3) Determine la distancia del pozo a la frontera

SOLUCIÓN POR TDST De la Fig. 2.61, se obtuvieron los siguientes datos (t*ΔP’)r = 60 psi (t*ΔP’)DL = 105,81 psi =tPB10,157 hr tPBDLi = 6 hr tRSS1i = 24 hr

ΔPr = 122,424 psi ΔPDL = 265,942 psi ( t*ΔP’)PB = 132,873 t=PBRi 50 hr tPBSS1i = 12 hr

t

tDL = 2 hr tRDLi = 0,7 hr ΔPPB = 458,466 psi DLSS1i = 7,5 hr

La permeabilidad se obtiene de la Ec. 2.69 y el ancho del yacimiento se calcula de la Ec. (2.164), respectivamente:

k=

70.6q μ B 70.6(1400)(3.5)(1.07) = = 440.7 md h ( t * ΔP ' ) r (14)(60)

DL μ YE = kh4.064 (2)(3.5) ×10−6 ) = 352.4 ft P ') DL Δφt ct = 4.064(1400)(1.07) (*t ΔqB 440.7(14)(105,81) (0.24)(9

Verifique YE con la Ec. 2.186:

YE = 0.05756

kt RDLi (440.7)(0.7) = 0.05756 = 367.7 ft φμ ct (0.24)(3.5)(9 × 10−6 )

Se determina la posición del pozo (distancia a la frontera más cercana) de la Ec. (2.181):

bx2 =

k 1.5YE 440.71.5 (367.8) = 0.5 0.5 ⎡ q μ B ⎤ ⎤ ⎡φμct ⎡ ⎤ ⎤ 0.24(3.5) ( 9 ×10−6 ) ⎡1400(3.5)(1.07) 17390 ⎢ ⎥⎢ ⎥ 17390 ⎢ ⎥ ⎢ 14(132.873) ⎥ 10.157 ⎣⎢ h ( t * ΔP ') PB ⎦⎥ ⎣ tPB ⎦ ⎥⎦ ⎣ ⎦ ⎢⎣

bx = 283.7 ft

210

1000

,

s p

i

(t*ΔP')PB =132.8 psi

(t*ΔP')DL =105,81psi

P

Δ 100

t PB =10.157hrs

t DL =2 hrs

t*

tSS2DLi=7 hrs

(t*ΔP')r = 60 psi

P Δ

t SS2PBi =12 hrs t RDLi= 0.7hrs 10 0.1

t PBDLi = 6 hrs

1

tPBRi = 50 hrs

tSS2Ri=24 hrs

10

100

t, hrs 7,10 Fig. 2.61. Presión y derivada de presión para ejemplo yacimientos lineales

Verifique bx de las ecuaciones 2.188 y 2.189: PBDLi bx = 65.41 1 ktφμ 1 440.7 *6 ct = 65.41 0.24(3.5)(9 × 10−6 ) = 285.9 ft

0.5

⎛ kt ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ Y⎞ bx = ⎜ ⎟ E * ⎜ PBRi ⎜ ⎟⎟ = 246,32 ⎝ ⎠ ⎝ φμc⎝t ⎠ ⎠

⎞ 367.7 ⎛ 440.7(50) 246,32 ⎜⎝ 0.24(3.5)(9 ×10−6 ) ⎟⎠

0.5

= 283.9 ft

En la curva de derivada de la presión una vez se termina la línea de pendiente -0,5 de flujo parabólico, antes de caer se levanta un poco, de lo cual determinamos que la frontera lejana es cerrada, este punto máximo no se observa con mucha claridad de ol cual utilizamos las ecuaciones del punto de intersección de la pendiente -1 con los flujos dual lineal, parabólico y radial.

⎛ kt ⎛ 2⎞i⎛ 1 X E3 = ⎛⎜ ⎞⎟ 10 ⎜ DLSS ⎜ ⎟⎜ ⎝ 1.411 ⎠× 0 ⎝ φμ⎝ct ⎠⎝

3

3

⎞ 1 ⎞ 1 1 ⎛⎞ ⎛ 440.7 × 7.5 = 637.2 ft ⎟ b3 = ×1.411 × × ×010⎜⎝⎟⎠ ⎜⎝ 0.24 3.5 (91 0−6 ) ⎟⎠ 2843 ⎠ x

Intersección de la línea pendiente -1 con la línea de flujo radial, Ec. (2.195):

211

⎞⎛ kt RSS ⎛ ⎛2i ⎞ ⎞1 X E3 = ⎛⎜ ⎟ ⎜⎟⎜ 7 ⎜ ⎝ 4.661 ⎠× 0 ⎝ φμ c⎝t ⎠

2

2

⎛ ⎛⎞ 440.7 × 24 ⎞ 367.7 2 1 ⎞YE2 = 628.2 ft ⎟⎟ 3 = 7 ⎜ −6 ⎟ ⎜ 3 ⎟ ⎝⎠bx ⎠ ×4.661× ××0 ⎝ 0.24 3.5 (91 0 ) ⎠ ⎝ 284 ⎠

Intersección de la línea pendiente -1 con la línea de flujo parabólico, Ec. (2.197). Intersección de la línea pendiente -1 con la línea de flujo dual lineal, Ec. (2.194): ⎛ 1 ⎛ ktPBSS2i ⎞ X E = ⎜⎜ ⎜ = ⎟ bx ⎝ 768.4 ⎝ φμCt ⎠

1/ 3

⎞ ⎞ 1 ⎛ 440.7 ×12 ×= 284 ⎟⎟ ⎜ −6 ⎟ 768.4 ⎝ 0.24 × 3.5 × (9 × 10 ) ⎠ ⎠

637.1 ft

El daño del flujo radial se determina de la Ec. 2.96:

s = 0.5

⎡ ΔPr −ln⎛⎜ ktr ⎞⎟+7.43⎤ ⎢⎣ (t*ΔP')r ⎜⎝ φμ ct rw2 ⎟⎠ ⎥⎦

s r = 0.5

⎡122.424 ⎣ −60

⎤ ⎦

440.7×0.5 ⎛ ⎞ 7.43 ln ⎜ −+ = ⎟ × ×9 10×−6 0.332 ⎠ ⎝ 0.24×3.5

4.9

El daño del flujo dual lineal se halla de la Ec. (2.177)

⎛ ΔPDL ⎞ 1 sDL = ⎜⎜ − 2 ⎟⎟ ⎝ ( t * ΔP ') DL ⎠ 34.743YE

ktDL φμCt

265.942 ⎞ 1 440.72× sDL = ⎛⎜ − 2⎟ = 0.4 105.81 34.743 × 367.7 0.24 × × × 3.5 9 10−6 ⎝ ⎠ El daño del flujo parabólico se hallade la Ec. (2.180):

⎛ ΔPPB ⎞ 123.16 bx2 sPB = ⎜⎜ + 2 ⎟⎟ ⎝ ( t * ΔP ') PB ⎠ YE

φμct

kt PB

458.466 ⎞ 123.16( 283.7 2 ) (0.24)(3.5)(9 ×10−6 ) sPB = ⎛⎜ + 2⎟ = 6.3 352.4 (440.7)(10.157) ⎝ 132.873 ⎠ El daño total se calcula de la sumatoria de todos los daños, Ec. (2.183).

s = sr + sDL + sPB = -4.9 + 0.4 + 0.0222 = -4.47779

212

1400 1300

m=1 ps i / 4 0 ciclo

1200

P 1hr=1158 psi i 1100 s p f, w

1000

P

900 800 700 600 0.1

1

10

100

t, hrs 10 Fig. 2.62. Gráfico semilog para ejemplo yacimientos lineales

610

510

lineal, r^0.5 al si/h du 82 p o j . Flu 150 =

410

i s p , P310

mD

LF

Δ

210

110

b DLF = 19.4 psi 10 0.1

0.6

1.1

1.6

2.1

2.6

3.1

3.6

4.1

4.6

t , hr

Fig. 2.63. Gráfico cartesiano deΔP vs. t0.5 para ejemplo yacimientos alargados34

5.1

213

850

b PB = 730.64 psi

750

650

i s 550 p , P Δ 450

m

PB

350

250

Flu jo = - pa 85 rab 1.6 ól ps ico, i*h r^0 .5

150 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1/ t , 1/ hr

Fig. 2.64. Gráfico cartesiano deΔP vs. t -0.5 para ejemplo yacimientos alargados34

SOLUCION POR EL METODO CONVENCIONAL De las Figs. 2.62, 2.63 y 2.64se leyeron los siguientes datos:

m = 140 psi/ciclo mPB= -851.6

mDLF = -150.8 bPB = 730.64

bDLF = 19.4

Con la pendiente del Gráfico semilogarítmicom se determina la permeabilidad con la Ec. 2.30.

k=

162.6qμ B 162.6(1400)(3.5)(1.07) = = 433.88 md hm (14)(140)

Se encuentra el valor del ancho del yacimiento con la Ec. 2.217.a, teniendo el valor de mDLF que es la pendiente del Gráfico de presión versust0.5 . 0.5

YE = 8.1282

0.5

⎤ qB ⎡ μ ⎤ (1400)(1.07) ⎡ (3.5) = 8.1282 = 350 ft mDLF h ⎢⎣ kφ ct ⎥⎦ (150.8)(14) ⎢⎣ (434.96)(0.24)(9 ×10 −6 ) ⎥⎦

El dañot0.5se determina versus , Ec. 2.117.b, con el valor del corte con el eje Y, de la gráfica de presión

214

sDL =

khbDLF (434.96)(14)(19.4) = = 0.2 141.2q μ B 141.2(1400)(3.5)(1.07)

Los demás resultados se resumen en a continuación:

Parámetro bx, del flujo parabólico, ft s sPB st

Ec. Nro. 2.110.a 2.40 2.110.b

Valor 277.4 -4.6 6.1 1.7

Al comparar con los resultados de la simulación con los obtenidos por el método de TDST y el del método convencional no se encuentra mayor diferencia.

PROBLEMA PROPUESTO 1 Un pozo que produce de una arenisca consolidada ha producido a una rata regulada de 95 STB/día. Durante el periodo de flujo la presión de fondo se registró y se reporta en la tabla 2.9. Determine la permeabilidad y el área por el método convencional y la TDST. Que sugiere el área de drenaje?. Otros datos relevantes son: Tabla 2.9. Presión y derivada de presión para ejemplo propuesto 1 t, hr

P, psi

P, psi

t* P', psi

0.00 0.20 0.50 1.00 1.50 2.30 3.06 3.82 5.35 6.11 7.63 11.45 15.27

3830 3605 3587 3569 3559 3550 3542 3537 3529 3524 3518 3509 3502

0 225 243 261 271 280 288 293 301 306 312 321 328

0 96.315 23.481 25.838 24.069 23.916 24.401 26.564 25.589 25.508 25.846 23.415 19.406

t, hr 19.10 29.90 30.55 45.83 61.11 76.38 84.03 91.66 99.30 114.58 122.22 137.50 152.77

P, psi

P, psi

t* P', psi

3497 3493 3486 3477 3469 3464 3461 3458 3455 3450 3447 3441 3434

333 337 344 353 361 366 369 372 375 380 383 389 396

23.307 23.075 23.121 29.511 27.638 31.196 33.788 37.132 40.480 48.821 53.078 61.138 69.039

Pi = 3830 psia co = 14x10-6 psia-1

rw = 0.25 ft q = 95 STB/day

h = 16 ft cw = 3x10-6 psia-1

B = 1.2 RB/STB Sw = 22 %

So = 78 % μ = 0.65 cp

φ = 16 %

cf = 3.4x10-6 psia-1

215

3700

3650

3600

a i s p 3550 ,f w P 3500

3450

3400 0.1

1

10

100

1000

Tiempo, hr

Fig. 2.65. Gráfico semilog para el problema propuesto 1 3850

3800 3750 3700

ia s 3650 p ,f w P 3600 3550 3500 3450 3400 0

20

40

60

80

100

120

140

Tiempo, h r

Fig. 2.66. Gráfico cartesiano para el problema propuesto 1

160

180

216

1000

i s p ', P 100 * t y P

10 0.1

1

10

100

1000

t, hr

Fig. 2.67. Gráfico de la derivada para el problema propuesto 1 1000.000

100.000

i s p ,' P * t y P

10.000

1.000

0.100 0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

100

1000

t, hr

Fig. 2.68. Gráfico de presión y derivada de presión para el problema propuesto 2

PROBLEMA PROPUESTO 2 La información que se presenta en la tabla 2.10 corresponde a un pozo con penetración parcial. Caracterice el yacimiento de acuerdo a los datos de la prueba de

217

presión y determine los parámetros a que hubiere lugar usando la TDST. Otra información relevante a la prueba se da a continuación:

Pi = 5300 psi ct = 1x10-5 psia-1

rw = 0.3 ft h = 100 ft hp = 10 ft q = 300 STB/día B = 1.28 rb/STB φ = 20 % μ = 1.3 cp

Tabla 2.10. Datos de presión yderivada de presión para el problemapropuesto 2 t, hr

ΔP,

0.0003 0.0007 0.0011 0.0015 0.002 0.0023 0.0027 0.0031 0.0036 0.0042 0.0049 0.0057 0.0066 0.0077 0.0089 0.0104 0.0121 0.0141 0.0164 0.019 0.0221 0.0257 0.0299 0.0348 0.0405 0.0471 0.0548 0.0637 0.0741 0.0861 0.1002

psi 88.250 93.250 96.030 97.810 99 .530 100.37 101.21 102.03 102.84 103.64 104.43 105.22 105.99 106.76 107.51 108.24 108.95 109.65 110.32 110.97 111.59 112.19 112.75 113.29 113.80 11 4.280 11 4.730 11 5.160 11 5.560 115.930 116.280

t*ΔP', psi 6.463 6.463 6.049 6.026 5.817 5.753 5.641 5.521 5.378 5.328 5.229 5.144 5.064 4.987 4.895 4.766 4.653 4.489 4.349 4.197 4.030 3.853 3.654 3.463 3.278 3.097 2.918 2.744 2.579 2.426 2.272

t, hr

ΔP,

psi 0.1165 116.610 0.1355 116.920 0.1575 117.210 0.1832 117.480 0.213 117.720 0.2478 117.960 0.2881 118.170 0.3351 118.380 0.3897 118.570 0.4532 118.750 0. 527 118.930 0.6129 119.110 0.7128 119.280 0.829 119.460 0.9641 119.650 1.1212 119.840 1.3038 120.050 1.5163 120.270 1.7634 120.500 2.0508 120.750 2.3849 121.030 2.7736 121.320 3.2256 121.630 3.7512 121.970 4.3625 122.340 5.0733 122.730 5.9001 123.150 6.8615 123.610 7.9796 124.090 9.28 124.600 10.7922 125.130

t*ΔP', t, hr psi 2.124 1.982 1.858 1.731 1.619 1.508 1.412 1.342 1.279 1.232 1.205 1.199 1.211 1.244 1.287 1.350 1.432 1.528 1.634 1.750 1.882 2.031 2.186 2.348 2.527 2.713 2.898 3.071 3.234 3.384 3.497

12.5508 14.596 16.9746 19.7406 22.9575 26.6985 31.0492 36.1088 41.993 48.8359 56.794 66.0489 76.8119 89.3288 103.8854 120.8141 140.5014 163.3969 190.0232 220.9885 256.9998 298.8793 347.5832 404.2238 470.0942 546.6985 635.7859 739.3906 859.8783 1000

ΔP, psi 125.67 126.23 126.79 127.35 127.91 128.46 129.00 129.53 130.03 130.52 130.97 131.40 131.80 132.18 132.56 132.95 133.35 133.77 134.22 134.68 135.15 135.61 136.05 136.45 136.79 137.07 137.28 137.43 137.52 137.57

t*ΔP', psi 3.584 3.640 3.664 3.664 3.632 3.569 3.487 3.371 3.239 3.090 2.937 2.810 2.710 2.652 2.644 2.688 2.764 2.851 2.918 2.950 2.919 2.800 2.603 2.329 1.998 1.629 1.268 0.969 0.740 0.590

218

10

10

Pozo vertical Yacimiento infinito i s p

i s p ', P *t , P

', P t* 1 , P

1

0.1

Pozo vertical Yacimiento cerrado 0.1 1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

0.01 1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

t, hrs

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

t, hrs

100

10

i s10 p ,' P *t , P

i 1 s p ', P *t , P

1

0.1

Pozo vertical Placas paralelas 0.1 1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

1.E+09

1.E+10

1.E+11

Pozo vertical cerca de falla 1.E+12

0.01 1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

t, hrs

1.E+01

1.E+02

1.E+ 03

1.E+04

t, hrs

10

1.E+04

1.E+03

1

i s p 1.E+02 ', P *t , 1.E+01 P

i s p ,' P 0.1 *t , P

0.01 1.E+00

Pozo vertical - Una barrera de flujo 0.001 1.E-04

1.E-03

1.E-02

Pozo vertical Yacimiento lineal 1.E-01

1.E+00

1.E+ 01

1.E+ 02

1.E+ 03

1.E-01 1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

t, hrs

1.E+07

1.E+08

1.E+09

1.E+10

1.E+11

1.E+12

1.E+07

1.E+08

1.E+09

1.E+10

1.E+11

t, hrs 1.E+04

1.E+04

Wellat center- bothsides are open

1/2 1/2

1.E+03

1.E+03

PD

PD

Pozo vertical Yacimiento lineal

1.E+00

t D*P'D 1.E-01 1. E+02


1.E+02

'D *P D t y D P1.E+01

1.E+02

'D *P D t y D1.E+01 P

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1. E+06

1.E+07

tD

1. E+08

1.E+09

1. E+10

1.E+00

t D*P'D 1.E+11

1.E-01 1. E+02

1. E+03

1. E+04

1. E+05

1. E+06

tD

Fig. 2.69. Comportamientos del transiente de presión

219

1.E+04

1.E+04

1.E+03

1.E+03

1/8

1/8 1.E+02

1.E+02

'D 1.E+01 *P D t y 1.E+00 D P

PD

'D 1.E+01 P *D t y 1.E+00 D P

1.E-01

1.E-01

t *P' 1.E-02

1.E-03 1.E+02

D


D

1. E+03

1.E+04

1.E+05

1. E+06

1.E+07

t

1.E+08

1.E+09

1.E+10

PD

t *P' D

D


1.E-02

1.E+11

1.E-03 1.E+02

1.E+12

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

1.E+09

1.E+10

1.E+11

tD

D 1.E+04

1.E+03

1.E+02

1.E+03

1/8

1.E+01

´

'D P *D t y D P

D 1.E+00

*P t , 1.E-01

D

Pendiente=-1/2

D

P 1.E-02

1.E+02

1.E+01

P

Pendiente=-1

Pozo vertical Yacimientos lineal

1.E-03

D


1.E+00

t *P' D

1.E-04 1.E+02

Xe/Ye = 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512. 1.E+03

1.E+04

1. E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

1.E+09

1.E+10

1.E+11

1.E+12

tD

1.E-01 1.E+02

D

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

t

1.E+08

1.E+09

1.E+10

1.E+11

1.E+12

D

10

1.E+07

Pozo vertical Yacimiento Naturalmente fractrados

1.E+06

1.E+05

i s 1 p ,' P t* , P 0.1

1.E+04 D *T ' D 1.E+03 P

P1.E+02 D 1.E+01


1.E+00

1.E-01 1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

1.E+09

1.E+10

1.E+11

1.E+12

0.01 1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

t, hrs

TD 10 5000

Pozo vertical Completamiento Parcial Yacimiento cerradol

h

Pozo vertical Yacimiento Naturalmente fractrados

4500

i 1 s p ', P t* , P 0.1

4000

i s p , P

3500

3000

2500 0. 000 1

0.00 1

0.0 1

0. 1

1

t, hrs

10

100

100 0

100 00

0.01 1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

t, hrs

Fig. 2.69. Comportamientos del transiente de presión (cont.)

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

220

400

1000

350

300

i 100 s p ', P t* , P

i s p

250

, P200 150

10 100

Pozo vertical Segragación de fases 1 0.001

0.01

0.1

1

10

100

Pozo vertical Segragación de fases

50

0 0.001

1000

0.01

0.1

1

10

100

1000

t, hrs

t, hrs 1000

1E+4

Flujo radial

1E+3

i s p ', P 1E+2 *tΔ , P

i s p ', P 100 *Δ t , P

Flujo lineal

Δ

Δ

1E+1

Pozo vertical - Fractura de conductividad finita

Flujo Bilineal

Pozo vertical - Fractura de conductividad infinita

1E+0

1E - 5

1E -4

1 E-3

1 E- 2

1E - 1

1E +0

1E +1

1 E+ 2

1 E+3

1E +4

1 E +5

t, hr

10 0.01

0.1

1

10

100

1000

t, hrs

0.1

1000

i s p ', P Δ t* , P

i 0.01 s p ', P *t , P 0.001

100

Δ

10

m = 0.36

Pozo horizontal Yacimiento Naturalmente fractrados

m = 0.25

Pozo vertical - Fractura de conductividad infinita 1 0.001

0.01

0.1

1

10

100

0.0001 1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

t, hrs 0.1

0.1

i 0.01 s p ', P t* , P 0.001

i 0.01 s p ', P *t , P 0.001

Pozo horizontal descentrado - Yacimiento heterogêneo 0.0001 1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

t, hrs

1.E+01

1.E+02

1.E+03

Pozo horizontal Yacimiento Naturalmente fractrados 1.E+04

0.0001 1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+01

t, hrs


1.E+02

1.E+03

1.E+04

221

0.1

1000

Pozo vertical Penetraciòn parcial

i 0.01 s p ,' P t* , P 0.001

i s p ', P 100 *t , P

Flujo hemisférico

Pozo horizontal Yacimiento Naturalmente fractrados 0.0001 1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

Flujo esférico

1.E+03

10 0.0001

1.E+04

0.001

0.01

0.1

1

10

100

1000

t, hrs

t, hrs 1.00E+03

1000

Pozo vertical - Efecto de movilidad

Pozo vertical Penetraciòn parcial 1.00E+02 i 100 s p ', P t* , P

' 1 D

w 1.00E+01 P * D t

10

Flujo hemisférico 1.00E+00

Flujo esférico 1 0.0001

0.001

0.01

0.1

1

t, hrs

10

100

1000

1.00E-01 1.00 E+00

1. 00 E+01

1.00 E+02

1.00 E+03

1. 00E +04

1.00 E+05

1.00 E+06

1. 00 E+07

1. 00E +08

tD M=0.1 1 4

M=0.2

1.00E+03


1 2

1.00E+02

1 0

M=0.5


M=2 M=5

8 D w P

M=10

' 1.00E+01

1 D w *P D t

6

M=20 M=40 1.00E+00

4

M=50 mt r=0. 95 2

M=10

1.00E-01 0 1.00E+ 06

1.00E+ 05

1.00E+ 04

1.00E+ 03

1.00E+ 02

1.00E+ 01

1.00E+ 00

tD

1.00E-02 1.00E +00

1. 00E +01

1.00E +02

1. 00E +03

1.00E +04

1. 00E +05

1.00E +06

1. 00E +07

1. 00E +08

tD

1.E+03 1.E+04 x=1E40 t *dP' x=1E35 t *dP' x=1E25 1.E+03

n=0.4 x = C De 2s

t *dP' x=1E20 t *dP'

1.E+02

x=1E10 t *dP'

'D

1.E+02

x=1E3 t *dP'

'

n=0.4 x = C De 2s

D

)P

)P

D

D

/C D t( ,D

x=1E40 t*dP' x=1E35 t*dP' x=1E25 t*dP' x=1E20 t*dP' x=1E10 t*dP' x=1E3 t*dP'

C / 1.E+01 t( ,

D 1.E+01

D

P

P

1.E+00 1.E+00

Pozo vertical - Fluido no-Newtoniano 1.E-01 1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

t D/C D)

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

Pozo vertical - Fluido no-Newtoniano 1.E+09

1.E-01 1.E- 01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

t D /C D )


1.E+05

1.E+06

1.E+07

222

1.E+02

1.E+03

x=1E40

x=1E40

n=0.8 x = C De 2s

t*dP' x=1E35

t *dP' x=1E25

x=1E25

t *dP' x=1E20

t*dP' x=1E20

1.E+02

t *dP' x=1E10

t*dP' x=1E10 t*dP'

'

D

P )

'

/C t( ,

t *dP' x=1E3

1.E+01

t *dP'

x=1E3

D

t*dP'

P )

Pozo vertical - Fluido no-Newtoniano

D

D

D

n=0.8 x = CDe2s

t *dP' x=1E35

t*dP'

/C D t( ,

1.E+01

D

D

P

P

1.E+00

1.E+00


1.E-01 1.E-01

1.E+ 00

1.E+01

1.E+ 02

1.E+03

1.E+ 04

1.E+ 05

1.E+06

1.E+ 07

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+08

1.E+05

1.E+06

1.E+07

t D/C D)

t D/C D )

STRATAMODEL

1.E+02

12

x=1E3 X=1E10

e nt ie a nd ar i Pe nit u

x=1E25 x=1E40

x = CDe2s

n=0.2

10

n=0.4

1.E+01

n=0.6

'

a.

10-5

10-2

10-9

10-3

b.

10-9

10-2

10-5

10-3

8

D

P ) D

TriplePorosidad

C / D t(

D P

n=0.8

6

Doble Porosidad

1.E+00

a

4

n=1.0

b


1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

2

Pozo vertical - Yacimiento de triple porosidad 0

1.E+05

10

100

1000

10000

t D/C D) SISTEMA DE TRIPLE POROSODAD

100000

1000000

10000000

100000000

100000 0000 10000000000

1E+11

1E+12

TD

SISTEMA DE TRIPLE POROSIDAD BLOCK MODEL

BLOCK MODEL 100

ω 1=0,1 ω 2= 0,01

ω 1 = 0,1 ω 2= 0,01

16.1

λ 1= 10−6 λ 2= 10−9

14.1

λ 1= 10−6 λ 2= 10−9

10

12.1

10.1 t D * P D '

8.1

1

CD=0

00 1 = D C

6.1

0.1

= D C

4.1

CD

2.1

0

=

=

CD

0 10

=1 D C

0 0

0 D C

1 =

0

0 0

0

D C

1 =

0

0

0 0

0 0 0 1

0 00 0 1 = D C

0

0 0 0

0 1 =

D C

Pozo vertical - Yacimiento de triple porosidad

0


0.01

0.1 10

1000

100000

10000000

1000000000

1E+11

1E+13

1E+15

10

1E+17

100

1000

10000

100000

100000010 000000

1E+08

1E+09

1E+10

1E+11

1E+12

1E+13

1E+14

1E+15

1E+16

tD

SISTEMA TRIPLE POROSIDAD STRATA MODEL

16.1

100

ω 1= 0,1 ω 2= 0,01

ω 1= 0,1 ω 2= 0,01

14.1


λ 1= 10−6 λ 2= 10−9

λ 1 = 10−6 λ 2 = 10−9

12.1

10

' D P 10.1 * tD D P8.1

' D P * tD D P

6.1

1

CD=0

4.1

2.1

SISTEMA TRIPLE POROSIDAD STRATA MODEL

CD

0

=

00 =1 CD

CD

1 =

00

0 =

1

0 0

0 0

= D C

10

0

0 0

0


D C

C

0.1 10

1000

100000

10000000

1000000000

tD

1E +11

1E+13

1E+15

1E +17

= D

0 0 1

1 = D C

0

0 0

C

1 = D

0 0 0

0

D C

=

0 1

0

0 0

0

0.1 10

1000

100000

10000000

1000000000

1E+11

1E+13

1E+15

tD


1E +17

1E+19

1.E+08

223

STRATAMODEL

SISTEMA DE TRIPLE POROSODAD STRATA MODEL

10

25

ω 1= 0,1 ω 2= 0,01 λ 1= 10−3 λ 2= 10−9


1

15

D P

10

CD=0 CD=1,5 CD=10 CD=50 CD=100 CD=200 CD=500

0,1

ω2 ω1 λ2 λ1 1. 0,05 0,1 10−9 10−3 2. 0,02 3. 0,01 4. 0,005

5

5. 6. 0,002 0,001 7. 0,0001 8. 0,00001


0,01 10

1000

100000

10000000

1000000000

1E+11

1

1E+13

100

10000

1000000

100000000

10000000000

1E+12

1E+14

1E+16

1E+18

tD

t

D STRATAMODEL 1

1,E+02

Pozo vertical - Isotropía de esfuerzos, v= 0.2 y E variable 1,E+01

1

' D P * D t

2 3

' D P * tD

4 5 6

0,05 0,1 10−9 0,02 0,01 0,005 0,002 0,001 0,0001 0,00001 0,1 1,E+00

1,E+02

7

8

10−3

E 6.0E+06 4.5E+06 3.0E+06 2.0E+06 1.0E+06 5.0E+05 3.0E+05

1,E+00

Pozo vertical - Yacimiento de triple porosidad 1,E+04

1,E+06

1,E+08

1,E+10

1,E+12

1,E+14

1,E+16

1,E+18

Estándar

1,E-01 1,E+06

1,E+07

1,E+08

1,E+09

tD

tD

1,E+02

Pozo vertical - Isotropía de esfuerzos, v variable y E=2000000 psi

CART ADSTDEUNYACIMIENTOENDEPLECION

1,E+01

' P *

v

D

0.35 0.30 0.26 0.20 0.15 0.10

D t

1,E+00

P Estándar

1,E-01 1,E+05

1,E+06

1,E+07

1,E+08

1,E+09

TIEMPO

1,E+10

tD

ALTO VOLUMEN DE FLUIDOS RECUPERADOS

DST FLUYENTE

P

P

B

C

A

Podría usarse para calcular la rata de producción

TIEMPO

TIEMPO


1,E+10

224

CARTA DST DE UN YACIMIENTO CON BAJA PERMEABILIDAD - BAJO DAÑO

CARTA DST DE UN POZO LLENO

P

Final Shut-in

P Final Open

TIEMPO

TIEMPO

CARTA DST PARA UN YACIMIENTO CON

BUENA PERMEABILIDAD - DAÑO SEVERO

EFECTO DE DIFERENTE DIAMETRO DE TUBERIA

P

P

C

B A A - B: BOTELLAS

TIEMPO

B - C: TUBERIA DE PERFORACION

TIEMPO

100

Fluidos Bingham 10 D

P GD

y '

D

P * D t

1

1.333E-03 1.173E-03 8.000E-04 5.332E-04 2.666E-04 2.133E-04 1.600E-04 1.173E-04 5.332E-05 0

0.1 1.E+05

1.E+06

tD

1.E+07

1.E+08

1.E+07

1.E+08

100

Fluidos Bingham D

10

P

y ' D

P * D t

1

reD

15625 12500 9375 6250 0.1 1.E+05

1.E+06

tD


225

REFERENCIAS Application 1. Abbott, W.A., Collins, T., Tippie, D.B., Van Pollen, H.K. Practical “ of Spherical Flow Transient Analysis”. SPE 7435, 53rd Annual Fall Technical Conference and Exhibition of the SPEof AIME, Texas (Oct 1978). 2. Bourdet, D., Ayoub, J.A., and Pirad, Y.M.Use “ of Pressure Derivative in Well-Test Interpretation”. SPEFE. p. 293-302. 1989. 3. Boussalem, R., Tiab, D., and Escobar, F.H. “Effect of Mobility Ratio on the

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227

28. Tiab, D. “Direct Type-Curve Synthesis of Pressure Transient Tests”. SPE paper 18992, Rocky Mountain Regional/Low Permeability Reservoir Symposium, Denver, CO., March. 1989. 29. Tracy G. W., Coats K. H., Kazemi H., Odeh A. S., Lebourg M., Prats M. y van Poollen H. K., “Pressure Analysis Methods”, SPE Reprint Series No. 9, Published by the Society of Petroleum Engineers of AIME, 1967. 30. Slider, H.C. “A Simplified Method for Pressure Buildup Analysis for a Stabilized Well”. JPT Sept. 1971. Pág. 1155-1160. 31. Slider, H.C. “Application of Pseudosteady State Flow to Pressure –Buildup

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228

3. PRUEBAS DE RESTAURACION DE PRESION La prueba de restauración de presión ha sido una técnica muy popular usada en la industria petrolera. Varias razones la han convertido en una prueba muy popular, algunas de estas son: (a) no requiere una supervisión muy detallada, (b) se pueden estimar la permeabilidad el factor de daño a partir pruebas de restauración declinación de presión. Siny embargo, la declinación de de presión no permite estimar lao presión promedio de yacimiento o la presión inicial de yacimiento mientras que la prueba de restauración de presión si lo hace2-4,10-11,16,19. La Fig. 3.1 muestra un gráfico de una prueba de restauración de presión ideal. En términos generales, una prueba de restauración de presión requiere cerrar un pozo productor después de que se ha producido durante algún tiempo en el que la estabilización de la rata se ha alcanzado. Una prueba de restauración se corre de la siguiente manera: 1. Determinar la ubicación de los empaques, tamaño de la tubería de producción y la tubería de revestimiento, profundidad del pozo. 2. Estabilizar el pozo a una rata de producción constante,q. 3. Cerrar el pozo y registrar el valorPwf (justo antes del cierre). 4. Leer la presión de cierre, Pws, a intervalos cortos de 15 segundos para los primeros minutos (10-15 min), entonces cada 10 min. Para la primera hora. Durante las siguientes 10 horas, se deben tomar lecturas de presión cada hora. Cuando la prueba progresa, los intervalos de tiempo se pueden expandir a 5 horas. Para correr una prueba de restauración de presión, el pozo produce a una rata constante por un período de tiempo tp. Se baja un registrador de presión al pozo inmediatamente antes de cerrarlo. tp no debe ser muy pequeño para no tener problemas con el radio de investigación.

3.1. PRINCIPIO DE SUPERPOSICION Supóngase que después de que el pozo ha producido a una rata constante durante un tiempo tp, se decide cerrar para obtener una prueba de restauración de presión. Intuitivamente se espera movimiento de fluidos en el yacimiento después de cerrar el pozo, pero en superficie q = 0. Se hace una analogía al movimiento de fluidos en el yacimiento de la siguiente manera2-3,5,11,14-16,20-23,26: Se deja producir el pozo indefinidamente a la misma rata q, y al instante de cerrar el pozo se inyecta en el mismo pozo el mismo caudal q y luego se suma la presión de caída de presión debido a la producción de q y los mismos datos de presión multiplicados por1- y desplazado al instante de cerrar el pozo:

229

q la d au C tp

0

Tiempo

n ió se r P

tp

Pwf Tiempo

Fig. 3.1. Representación de la Restauración de Presión

PDS = PD (t p + Δt ) D − PD (ΔtD )

PDS = tp =

Np q

kh( Pi − Pws ) 141.2q μ B

24 Np q

(3.1) (3.2) (3.3)

es el petróleo producido desde la última estabilización es el caudal constante justo antes de cerrar el pozo.

Combinando las Ecs. 3.1 y 3.2: 162.6q μ B ⎛ t p + Δt ⎞ log ⎜ ⎟ kh ⎝ Δt ⎠ 1 ⎤⎦ s +tΔp + t )D 0.80907 − PD (t p + Δt )D= ⎡⎣ ln( 2

Pws = Pi −

PD (Δt )=D

1 + t ) D −0.80907 ] s 2Δ[ln(

(3.4.a) (3.4.b)

(3.4.c)

230

Combinando las Ecs. 3.4.b y 3.4.c se obtiene;

1 ⎡ t + Δt ⎤ PD (Δt ) D = ln ⎢ p 2 ⎣ Δt ⎥⎦

(3.5)

La Ec. 3.4 se convierte en la ecuación de Horner:

162.6 q μ B

P =P− ws

i

kh

⎛ t p + Δt ⎞ log ⎝⎜ Δt ⎠⎟

(3.6)

Como resultado de la aplicación del principio de superposición es que el factor de daño, s, no afecta aparece en la ecuación simplificada de Horner. Eso significa que la pendiente del gráfico Horner no está afectada por el daño. Sin embargo, el factor de daño altera la forma de la curva de restauración de presión, como se indica en la Fig. 3.2. Esta desviación se debe también al almacenamiento o a los daños negativos de los pozos fracturados.

3.2. METODO DE HORNER El gráfico de Horner generalmente no se prefiere, porque requiere más trabajo que MDH a menos que tp < tpss5,11. Este método se usa preferiblemente en pozos nuevos porque tenemos Pi. Si tp es por lo menos el doble del tamaño de tpss se justifica graficar usando tpss en vez de tp en sistemas finitos, ya que el gráfico Horner, al pss en contrario MDH,significado tiende a prolongar la rectaerrores semilog. Graficar Horner tp tiene vez de dede para minimizar en la estimación de con la tpresión promedia. De la pendiente del gráfico Horner obtenga kh:

m=

162.6 q B kh

(3.7)

kh =

162.6 q μ B m

(3.8)

3.2.1. Pozo en un Yacimiento Infinito

⎡P − P ⎤ ⎛ k ⎞ s = 1.1513 ⎢ 1hr wf − log ⎜ + 3.2275 ⎥ 2 ⎟ m c r φ μ t w ⎠ ⎝ ⎣ ⎦ Pwf, es la presión justo antes del cierre.

(3.9)

231

2400

P* 2350

m

i s p ,

P

1 hr

2300

2250

s w 2200

P

2150

Almacenamiento 2100

2050

2000 1000

100

tp + Δt Δt

10

1

Fig. 3.2. Comportamiento de la presión – Gráfico Horner

P1hr =

t + Δt t + 1 = Δt 1

(3.10)

Si tp < 1 hr

⎡ P1hr − Pwf s = 1.1513 ⎢⎣

m−

⎤ ⎛ 1⎞ k ⎞ 2 log ⎝⎜+φ +μ+ct rw ⎠⎟ log ⎝⎜ 1 t p ⎟⎠ 3.2275⎥⎦ ⎛

(3.11)

ΔPs = −0.87(m) s FE = 1 −

ΔPs P * − Pwf ( Δt = 0)

(3.12)

El factor de daño afecta más la prueba de restauración que la de caída porque el almacenamiento persiste.

3.2.2. Rata de Postflujo (afterflow, qaf) Aunque el pozo se cierra para una prueba de restauración de presión, el postflujo causado por el almacenamiento tiene una influencia significativa en los datos de presión. Esto ocurre porque la presión en cabeza no es igual a la presión de cierre en fondo, por lo tanto el fluido continúa fluyendo desde la formación al pozo. Luego la presión no se recupera tan rápido como esperamos. A medida que la rata de flujo tiende a cero, la presión se incrementa rápidamente. La gráfica semilog es

232

pronunciada y lineal en este periodo y puede confundirse con la pendiente semilog5,16,21.

qaf =

Vu 24 d ( ΔPws ) ( ρ /144) B d Δt

qaf =

24C Δ ( dPws ) B d Δt

C = qB ⎛⎜ Δt N ⎞⎟ de análisis de presiones. 24 ⎝ ΔPN ⎠

qaf =

24C Vu Δ (dPws ) B d Δt

qaf =

24CLF Δ (dPws ) ; B d Δt

CLF = C Vu

(3.13)

3.2.3. Pasos para Determinar el Almacenamiento de una Prueba de Restauración 1) Estime qaf para varios tiempos 2) si qaf/q > 0.01 no se está en el régimen de m 3) si qaf/q < 0.01 se concluye que WBS (efectos de almacenamiento) no afectan los datos de presión y se está en la verdadera recta

3.2.4. Predicción de la Duración del Postflujo (Afterflow) a) Pozos productores

⎛ C ⎞ Δtaf = 204 ⎜ ⎟ ⎝BJ⎠ Después de este tiempo, el efecto de almacenamiento es despreciable,

J=

q P − Pwf

Use Pi , P , Pe , o P * b) Pozos inyectores

(3.14)

233

2400

2350

2300

i s p ,

m

P 1hr

2250

s w 2200

P

2150

2100

2050

Almacenamiento

2000 0.1

1

Δt, hrs

10

100

Fig. 3.3. Gráfico semilog o MDH

C Δtaf ≅ 204 ⎛⎜ LF ⎞⎟ ⎝ BJ ⎠

(3.15)

Arranque de la porción de línea recta,SSL ΔtD = 50CD e0.14 s

Δt

SSL

170000μ Ce0.14 s = kh

(3.16)

(3.17)

Recordando la Ec. 2.31:

t SSL =

( 200000 + 12000 s ) μ C kh

(2.31)

Se puede observar que el daño afecta mucho más las pruebas de resturación (Falloff) que de declinación de presión (inyección). Para pozos fracturados, la estimación de este tiempo basado usando C con base en datos de volumen en vez de datos de la pendiente unitaria (que probablemente no existe) tiende a minimizar el ΔtSSL permitiendo despreciar almacenamiento en la fractura.

3.2.5. Gráfico de Horner para Yacimientos Cerrados Para hallar , s, yactiva, C el P método es igual a infinito, que un pozo nuevo o intrusión dekagua * ≈ Pi. En la mayoría de lossolo casos P* para > P promedia.

234

⎛ t + Δt ⎞ Pws = P * − m log ⎜ p ⎟ ⎝ Δt ⎠

(3.18)

3.3. METODO DE MDH (MILLER-DYES-HUTCHINSON) Este se basa en la suposición que el tiempo de producción es suficientemente largo para alcanzar el estado pseudoestable, luego es más representativo usar presión promedia que presión inicial. El método MDH se prefiere en pozos viejos o formaciones depletadas, por lo que se podría dificultar la obtención de la estabilización antes del cierre. El gráfico de Horner puede simplificarse siΔt <<< tp, luego5,16:

t p + Δt ≅ t p luego:

⎛ t + Δt ⎞ ⎟⎟ ≈ log t p − log Δt log⎜⎜ p ⎝ Δt ⎠

(3.19)

Combinando las Ecs. 3.18 y 3.19:

Pws = P−* m log + t p Δ m log t Si P * −m log t p = cte = intercepto, entonces:

Pws = P1hr + m=

162.6 qμ B log Δt kh

162.6q μ B kh

(3.20)

En el gráfico MDH, Fig. 3.3, no tiene sentido matemático extrapolar.s se calcula con la ecuación para yacimiento infinito.

⎡P − P ⎤ ⎛ k ⎞ s = 1.1513 ⎢ 1hr wf − log ⎜ + 3.2275⎥ 2 ⎟ ⎝ φμ ct rw ⎠ ⎣ m ⎦

(3.21)

El arranque del comportamiento infinito es: 170000 μ C ⎞ 0.14 s Δ t SSL = ⎜⎛ ⎟e ⎝ ⎠ kh

(3.22)

235

1

1

2

5 7

3 0.1

L S

4

)EA t

D

Δ

(

6

0.01

0.001 0.001

0.01

0.1

tpDA

1

Fig. 3.4. Tiempo adimensional para el fin del la línea recta Horner para las formas suministradas en la Fig. 3.65 0.1

7

0.01

L S

)EA

1

2

D

t (Δ

3,6 4

0.001

0.0001 0.001

0.01

tpDA

0.1

1

Fig. 3.5. Tiempo adimensional para el fin del la línea recta MDH para las formas suministradas en la Fig. 3.65

236

CURVA NUMERO

FORMA 1 1

1

CURVA NUMERO

FORMA 2

1

5

1

2

1

4

1

1

3

1

6

1

2

4

1

7

1

Fig. 3.6. Formas usadas en las Figs. 3.4 y 3.55

C se obtiene del gráfico log-log, usando la Ec. 2.16. Si no existe pendiente unitaria, entonces; C=

144 ρ

Vu

(3.23)

Cuando se llega al ΔtESL la prueba se puede detener. φ μct A ⎞ Δt ESL = ⎛⎜ ⎟(Δt ) 0 . 0002637 k ⎠ DA ESL ⎝

(3.24)

(ΔtDA)ESL se obtiene de la Fig. 3.4 para el gráfico de Horner ó de la Fig. 3.5 para el gráfico de MDH. Note que este parámetro depende de la forma del yacimiento y de la localización del pozo. En ambos gráficos, el parámetrotpDA se obtiene por medio de la siguiente ecuación:

⎛ 0.0002637k t p ⎞ t p DA = ⎜ ⎟ ⎝ φ μ ct A ⎠

(3.25)

Inspeccionando las Figs. 3.4 y 3.5, se observa que Δ( tDA)ESL para sistemas cerrados siempre es menor un gráfico Horner que para un gráfico MDH. Para sistemas geométricos la línea recta se prolongará para el gráfico Horner para tiempos de producción tp hasta de 4tpss. El gráfico de horner es superior desde el punto de vista de duración de la línea recta cuando tp < tpss. El caso no es lo mismo para sistemas abiertos.

237

tp =

24 N p q

(3.26)

3.4. METODO EXTENDIDO DE MUSKAT Es un método de ensayo y error que resulta más atractivo en casos de sistemas con presión constante o sistemas de inyección de agua (llenado) porque en éstos casos la línea recta sería más larga y por ende más fácil de precisar. Las ecuaciones que 5,16

gobiernan el método de Muskat (y MDH) son : 141.2q μ B P − P=ws [+PDΔ(t − Δt ) D− PD ( t ) D 2π t DA ] kh A partir del intercepto aΔt = 0 se calcula k.

k=

141.2q μ B PD (t pDA )int h ΔPM int

Donde PD(tpDA) se obtiene de la Fig. 3.8 para ciertos valores particulares de tiempo o de la Fig. 3.9 para un rango más amplio de valores de tiempo adimensional. Las curvas de la Fig. 3.9, pueden sustituirse por los siguientes ajustes: Para un pozo dentro de un yacimiento de forma cuadrada – caso de presión constante: P

)

= −0.0118157 + 1.3509395 1 − exp(−21.692995 t

DM int

(3.27.a)

pDA

Para un pozo dentro de un yacimiento de geometría cuadrada – Caso de barrera de no flujo. PDM int = −0.02056 + 0.682297 1 − exp(−50.7038508 t pDA )

(3.27.b)

La pendiente del gráfico de Muskat puede usarse para hallar el área de drene:

⎛ k A=⎜ φ μ c t mM ⎝

⎞ ⎟ M SF ⎠

Donde MSF es el factor de forma de Muskat y se determina de la Fig. 3.10. Si A se conoce, entonces;

238

1000

ΔPM int

)

100 Presión promedia muy alta

s w

P (P g lo

mM

10

Presión promedia correcta

Presión promedia muy baja 1 0

20

40

60

80

100

120

140

Δt, hrs

Fig. 3.7. Representación esquemática del gráfico de Muskat para análisis de Pruebas de restauración de presión

0.67 para

tpDA > 0.1

1.34 para

tpDA > 0.1

0.84 para

tpDA > 0.1

Fig. 3.8. Valores de tpDA5 φ ct

h = St =

kh M SF M = T SF mM A μ mM A

(3.28)

El comienzo y final de la línea recta de Muskat está dada por: φ μ ct A ⎞ Δt = ⎛⎜ ⎟(Δt DA )SL ⎝ 0.0002637 k ⎠

(3.29)

239

1.4

1.2

1 Presión Constante tn i

0.8

M

)

A D

t( 0.6 D

P

No flujo

0.4

0.2

0 0.001

0.01

tpDA

0.1

1

Fig. 3.9. Presión adimensional de intercepción de Muskat para un pozo dentro de un yacimiento cuadrado5

MSF = -0.00471 para

MSF = -0.00233 para

MSF = -0.00528 para

Fig. 3.10. Factor de forma de Muskat,MSF Donde (ΔtDA)SL se halla de la Fig. 3.12 usando tpDA encuentra dos líneas una para el arranque y otra para el fin de la línea recta.

s = ⎛⎜ PD (tDA )int ⎞⎟ ⎡⎣−P Δ=Pwf− ( t+ 0) ⎤⎦ ln re 0.75 rw ⎝ ΔPint ⎠

(3.30)

240

0.09

Fin de la línea recta de Muskat 0.08

0.07

L 0.06 S

No flujo

)

A D

t(Δ0.05 0.04

Arranque de la línea recta de Muskat

0.03 Presión constante 0.02 0.0001

0.001

tpDA

0.01

0.1

Fig. 3.11.a. Tiempo de inicio y terminación de la línea recta de Muskat para un pozo dentro de un yacimiento cuadrado5 Para yacimientos de forma cuadrada:

re =

43560 A 2

(3.31)

Donde el área está dada en acres. Se puede concluir queen términos generales se prefiere MDH porque su fácil uso. Para tiempos de producción cortos, se recomienda usar el método de Horner ya que la recta semilog es más larga que la de MDH. 1) El método de Horner podría ser usado para analizar datos de restauración de presión, asumiendo que se conoce tp. Sin embargo, como primera elección normalmente se usa MDH y luego Horner. 2) Si tp no se conoce, use MDH 3) Use MDH como primera prueba a menos que tp < tpss (yacimiento actuando como infinito, luego se aplica Horner) o a menos que el pozo está en el centro de un yacimiento de forma cuadrada con fronteras abiertas, como un patrón de inyección de 5 puntos. 4) área El método de Muskat se utiliza como último recurso ytambién para determinar el de drene.

241

Ps

n ó i s e r P

Presión observada

ΔPΔt

P wf Pw ext

Presión esperada en sistema infinito

tp

Δt = 0

Tiempo

Δt = ts

Fig. 3.11.b. Esquematización de restauración de presión en un yacimiento desarrollado22

3.5. PRUEBAS DE RESTAURACIÓN DE PRESIÓN EN YACIMIENTOS DESARROLLADOS30 Los métodos presentados anteriormente pueden arrojar resultados erróneos cuando el pozo en prueba produce bajo estado pseudoestable antes de una prueba de restauración de presión o experimenta una declinación de presión debido a la producción de pozos el 22,27,28 yacimiento. En esos es mejor usar la 3.1 en una forma másaledaños general. en Slider ha sugerido unacasos técnica para tratar el Ec. caso de pruebas de presión en pozos donde la caída de presión contiene la contribución de otros pozos aledaños. Un procedimiento similar al presentado para el caso de declinación de presión, se presenta a continuación22. Se requiere extrapolar la presión de fondo fluyente sobre le periodo de restauración de presión para estimar Pw ext, ver Fig. 3.11.b. Luego halle la diferencia entre la presión observada de cierre y la presión de fondo fluyente extrapolada, ΔPΔt, y grafique ésto en función deΔt. Los datos deberían ajustarse a la siguiente ecuación:

ΔPΔt= −Pws P=Δ wext+

P1 hrΔ m log t

(3.31.a)

Una línea recta en este gráfico da una pendientem dada por la Ec. 3.7 e intercepto:

=ΔP1hr

μ 162.6 + kc r 2 ⎟⎞ 3.2275 0.86859 s ⎥⎤ khq B ⎢⎡⎣ log− ⎜⎛⎝ φμ t w ⎠ ⎦

(3.31.b)

242

La permeabilidad se halla de la Ec. 3.8 y el daño con la Ec. 3.21 cambiandoP1hr por ΔP1hr*.

⎡ ΔP ⎤ ⎛ k ⎞ s = 1.1513 ⎢ 1hr − log ⎜ + 3.2275 ⎥ 2 ⎟ m c r φμ t w ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ Si la declinación de presión es lineal antes del cierre, lo que normalmente ocurre por la existencia del estado pseudoestable, la Ec. 3.31.a se convierte en:

Pws − m *Δ =Δ t +P1*hr m Δlog t

(3.31.c)

Donde m*, normalmente posee un valor negativo, es el cambio lineal de rata de presión antes del cierre:

m* =

dPwf cuando t < tp dt

Normalmente, m* es negativa. El valor de ΔP*1hr en la Ec. 3.31.c se deriva de la Ec. 3.31.b para el comportamiento lineal extrapolada es21:

⎡ ⎤ ⎛ k ⎞ ΔP1hr= * Pwft + −( Δ = 0) m ⎢ +log− ⎜ 3.2275 0.86859s ⎥ 2 ⎟ ⎝ φμ ct rw ⎠ ⎣ ⎦ De modo que cuando la presión declina linealmente antes de la prueba, un gráfico de (Pws – m*Δt) vs log Δt debería dar una línea recta. La permeabilidad se calcula con la Ec. 3.8 y el daño con la Ec. 3.9 cambiandoP1hr por ΔP1hr*. Normalmente, la producción ocurre bajo estado pseudoestable, por lo tanto, la presión que tendría el pozo si la producción se continuara estaría dada por:

Pext = Pwf Δ ( =t −0) Δm * t Y ΔP* se calcula como la diferencia entre la presión observada menos la presión extrapolada:

ΔP * = Pws − Pext La TDST también es aplicable a yacimientos desarrollados derivandoΔP* y utilizando las ecuaciones tradicionales de la técnica.

243

Tabla 3.1.a. Datos de presión para ejemplo de yacimiento desarrollado t, hr

Pws, psia

Pext, psia

P*, psi

[t*( P*)’]

0 2 4 8 12 16

1123 2290 2514 2584 2612 2632

1123 1121 1119 1115 1111 1107

0 1169 1395 1469 1501 1525

606.577 225.854 97.372 83.543 73.916

20 24 30

2643 2650 2658

1103 1099 1093

1540 1551 1565

70.157 70.988 77.176

EJEMPLO (Tomado de la Ref. 27). Un pozo perforado en un campo con un espaciamiento uniforme de 40 acres ha producido por 10 días una rata promedia de 280 STB/D. El pozo se cierra para un estudio de restauración de presión. En los cincos días anteriores al cierre, la presión fluyente en la cabeza del pozo cae alrededor de 24 psia/día (1 psi/hr). La relación gas petróleo se mantuvo constante durante la producción. Los datos de la prueba se reportan en la tabla 3.1.a. Se cuenta con la siguiente información:

B = 1.31 rb/STB

μ = 2 cp

h = 40 ft

rw = 0.33 ft

SOLUCION Estime la Pext mediante:

Pext = PwfΔ( =t − 0)Δ=m * −t 1123 = (1)(0) 1123 psi Estime ΔP* usando la presión observada menos la presión extrapolada;

ΔP*= −Pws = Pext − 1123 = 1123 0p si En la Fig. 3.11.c se presenta un gráfico deΔP* contra el log Δt. De allí se obtiene una pendiente de 192.92 psi/ciclo que permite estimar la permeabilidad con la Ec. 2.40:

k=

162.2qμ B 162.6(280)(2)(1.31) = = 15.42 md hm 40(192.92)

Como se conoce dP/dt, si se asume que el área de drene se aproxima a un círculo,r(e = 745 ft) el producto φct se halla con la Ec. 1.44.a:

244

1600

.92 192 m=

1500

iclo a/c psi

i 1400 s p *, P Δ

`

1300

ΔP*1hr=1287.6 psi 1200

1100 1

10

100

Δt, hrs

Fig. 3.11.c. Gráfico ΔP* contra el log Δt 10000

(ΔP*)r = 1551 psia i s p ',) * P Δ *(t

1000

y * 100 P

[t*(ΔP*)']r = 84 psia

Δ

tr = 24 hr

10 1

10

Δt, hr

Fig. 3.11.d. Derivada de ΔP* contra Δt

100

245

dP(,)r t 1.79qB =− dt hφct re2 φ ct

=

1.79qB 1.79(280)(1.31) = =× 1.24 10−6 /p si dP (40)(7452 )(24) hre2 dt

De la 3.11.c se puede observar que el corte,ΔP*1hr = 1287.6 psi. El daño se calcula mediante la siguiente relación:

⎡ ΔP ⎤ ⎛ k ⎞ + 3.2275⎥ s = 1.1513 ⎢ 1hr − log ⎜ 2 ⎟ m c r φμ ⎝ t w ⎠ ⎣ ⎦ ⎡1287.6 ⎤ ⎛ ⎞ 15.42 + = −6 s = 1.1513−⎢ log ⎜ 3.2275⎥ 2.47 2 ⎟ × ⎝ (2)(1.24 10 )(0.33 ) ⎠ ⎣192.92 ⎦ Para aplicar la TDST a éste ejemplo, se toma la derivada deΔP*, ver Tabla 3.2.b, y se leen los puntos característicos de la Fig. 3.17.c, a saber:tr = 24 hr, [t*(ΔP*)’]r = 70.998 psi, (ΔP*)r = 1551 psi. La permeabilidad y el daño se hallan con las Ecs. 2.69 y 2.96, respectivamente:

k=

70.6qμ B

=

70.6(280)(2)(1.31)

= 15.4 md

h(*t [ΔP*]') 40(84) ⎡ 1551 ⎤ ⎛ ⎞ (24)(15.4) s = 0.5 ⎢ − ln ⎜ += −8 2 ⎟ 7.43⎥ 1.81 ⎝ (2)(1.24 ×10 )(0.33 ) ⎠ ⎣ 70.998 ⎦ r

Se observa en el ejemplo una buena aproximación a los datos estimados por los dos métodos.

3.6. AJUSTE POR CURVAS TIPO DE LA DERIVADA Siempre que el tiempo de producción sea mayor que el tiempo necesrio para alcanzar el estado pseudoestable, las curvas tipo de derivada de presión introducidas por Bourdet1 pueden aplicarse para analizar pruebas de restauración de presión tal como se expresa en el capítulo 2. En caso de que esta condición no se cumpla, la caída de presión de declinación y de restauración es diferente para un tiempo dado, ver Fig. 2.28. Para aliviar esta falla, Agarwal5 propone que se estime el tiempo equivalente y se reemplace por el tiempo real durante el proceso interpretativo de la prueba, de acuerdo con la siguiente expresión.

246

Δte =

t p Δt Δt + t p

3.7. TIAB’S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE La TDST puede aplicarse sin distinción tanto a pruebas de restauración como a pruebas de declinación de presión como se expuso en el capítulo anterior. Esta técnica es igualmente aplicable en pruebas de restauración para todos los casos presentados en las Refs. 7-9, 12-13,18, 24-25.

3.8. PRESIÓN PROMEDIA DEL YACIMIENTO La presión promedia para un yacimiento sin intrusión de agua es la presión que el yacimiento alcanzaría si todos los pozos se cierran por tiempo infinito. En está sección se estudiarán dos métodos para determinar la presión promedia: el método de 2,5,16,20-23 MBH, Dietz, MDH y el de Ramey-Cobb. La presión promedia es útil para : 1) Para caracterizar el yacimiento a) Si ΔP = P - Pwf es pequeño por unidad de producción, lo que se conoce como índice de productividad, J, indica que existe un empuje de agua activo o un yacimiento muy grande b) Si ΔP es grande por unidad de producción implica drenaje de un yacimiento pequeño, lente de arena o yacimiento fallado. 2) Para calcular aceite in-situ 3) Para pronósticos del comportamiento futuro del yacimiento 4) La presión promedia es un parámetro fundamental que debe ser entendido en procesos de recobro primario, secundario y proyectos de mantenimiento de presión. Mediante el uso del análisis de presiones lo que se estima es la presión promedia en la región de drene.

3.8.1. Método de MBH (Matthews-Bronz & Hazebrock) Este método es considerado el más exacto5,16,21 y fue corregido por Odeh22. Utiliza un gráfico Horner. Se aplica en la mayoría de situaciones donde se desea hallar la presión promedia en un yacimiento cerrado para cualquier localización de pozo dentro de una variedad de formas de drene. El método asume que no hay variaciones en movilidades de fluido o compresibilidades de fluido dentro de la región de drene. Esta limitación se puede sobrellevar usando un tiempo de produccióntp igual tpss. El procedimiento es: 1) Calcule tp = 24 Np/q.

247

2) El valor de tp debe ser comparado con el tiempo requerido para alcanzar el estado pseudoestable. Por lo tanto obtenga ( tDA)pss de la tabla 2.1, de la columna “exacto para tDA > “. Para esto debe conocerse previamente la forma del yacimiento. 3) Calcule el tiempo para alcanzar el estado pseudoestable, tpss:

t pss =

φ μ ct

A(tDA ) pss 0.0002637 k

(3.32)

4) Obtenga la relación α, α = tp/tpss. Si α > 2.5 entonces, haga t = tpss. Si α < 2.5 (para ratas muy altas, el mejoramiento en el cálculo de la presión promedia es significativo cuando α está comprendido entre 2.5 y 5) entonces hagat = tp. Luego grafique Pws vs. (t+Δt)/Δt. Como se vio anteriormente, el uso detpss en el método de Horner puede incrementar la longitud de la recta semilog, contrario al gráfico MDH. 5) Con el tiempo, t, definido en el paso anterior determinetpDA

t pDA =

0.0002637k t φ μ ct A

(3.33)

6) Extrapole la recta semilogarítmico del gráfico Horner y halle P*. 7) Determine PDMBH de la Figs. 3.12.a 3.12.d usando eltpDA calculado en el paso 5. 8) Calcule la presión promedia:

P = P * − ⎜⎛ m ⎟⎞ PD MBH ⎝ 2.3025 ⎠

(3.34)

Debido factores de compensación (valores bajos de P* con correspondientes correcciones pequeñas), cualquier valor detp usado con el método MBH teóricamente dará resultados idénticos para presión promedia. Prácticamente, untp relativamente corto puede eliminar problemas numéricos serios en el cálculo de la presión promedia. Esto incluye errores causados por largas extrapolaciones y desviaciones de las suposiciones teóricas: (1) falta de estabilización de la rata de flujo antes del cierre, (2) migración y cambio de áreas de drene en yacimientos con múltiples pozos, y (3) variaciones en la compresibilidad del sistema y movilidad.

3.8.2. Método de Dietz Este método5,16 asume que el pozo fluyó lo suficiente hasta alcanzar el estado pseudoestable antes del cierre y que la recta semilog se desarrolló apropiadamente.

248

Hexágono y circul o Cuadrado Triángulo equilátero

Rombo Triángulo recto

(t DA ) ps s (tD A ) pss (t D A ) ps s

0.1

Tiempo de Prod ucción adimensional, t

1

10

pD A

5 Fig. 3.12.a. PD MBH para un pozo en el centro de áreas de drene equiláteras

249

*

6 .0 5 .8 5 .6 5 .4 5 .2 5 .0 4 .8 4 .6 4 .4 4 .2 m /) 4 .0 P 33 .8 - .6 3 .4 P ( 3 .2 3 0 3 .0 3 . 2 .8 2 2 .6 = 2 .4 H 2 .2 B M 2 .0 D 1 .8 P 1 .6 1 .4 1 .2 1 .0 0 .8 0 .6 0 .4 0 .2 0 .0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0

0.01

(t D A ) pss

A (t D

(t

) ps

DA

s

) ps

s

(t DA ) pss Pozo a 1/8 de altura del lado 0.1

1

Tiempo d e Producción ad imensi onal, t

10

pD A

5 Fig. 3.12.b. PD MBH para un pozo en el centro de áreas de drene cuadradas

250

6

5

4

*

m /) P 3 (P 3 0 .3 2 =2

(t D A ) pss (t D A ) pss

H B M D

P

Po

1

zo

a

8 1/

de

al

tu

ra

l de

la

do

(t D A ) ps s 0 e 8d

-1 0.01

l on

g it

ud

/ a1 P oz o l l a d o de

0.1

1

Tiempo de P roducción adimensional,

10

t pD A

5 Fig. 3.12.c. PD MBH para un pozo en el centro de áreas de drene rectangulares con relación de lado 2:1

251

4

3

1 4

(t DA ) pss (t DA ) pss

2

*

/m ) P P ( 31 0 .3 2 =

1 4

1 5

(t DA ) pss

H B M D0

1

P

4

1 -1

4

-2 0.01

0.1

Tiempo d e Producción adimensional, t

(t DA ) pss

1

10

pD A

5 Fig. 3.12.d. PD MBH para un pozo en el centro de áreas de drene rectangulares con relación de lado 4:1 y 5:1

252

0

1

H D2 M D P 3

4

5 1.E-05

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

Tiempo de cierre adimensional,ΔtDA 5 Fig. 3.13. PD MDH para un pozo en el centro de áreas de drene circular y cuadrada

1.E+00

253

Este método es sencillo y simple y usualmente se prefiere en pozos sin un daño significante, s >-3 o rw’ = 0.05 re. El procedimiento para este método es: 1) Conociendo la forma del yacimiento y la localización del pozo encuentreCA de la tabla 2.1. 2) Calcule el tiempo de cierre de Dietz,( Δt ) p

tP =

φμct A 00002637 . CA k

(3.35)

3) Haga un gráfico MDH (opcionalmente puede hallark y s) 4) Obtenga la presión promedia a un Δt = t P . Para un pozo en el centro de un yacimiento de forma cuadrada con presión constante, el factor de forma,CA = 19.5, luego la Ec. 3.35 se convierte en:

Δt P = 19.5

φ

ct A k

(3.36)

3.8.3. Método de MDH (Miller-Dietz-Hutchinson) Esta técnica fue elaborada para estimar la presión promedia en yacimientos de forma circular o cuadrada. Se aplica solamente en pozos que operan bajo estado pseudoestable5,16. Su procedimiento se presenta como sigue: 1) En un gráfico MDH, escoja cualquier punto sobre larecta y lea sus coordenadas, (Pws)N y ΔtN 2) Calcule ΔtDA

Δt DA

N

=

0.0002637k Δt N φ μ ct A

(3.37)

4) De la Fig. 3.13, determinePDMDH correspondiente a ( ΔtDA)N 5) Calcule la presión promedia

P = Pws

N

m ⎞ + ⎛⎜ ⎟ PD MDH ⎝ 1.1513 ⎠

Para líneas de presión constantePDMDH se lee de las curvas más bajas.

(3.38)

254

Pe = Pws

N

m ⎞ + ⎛⎜ ⎟ PD MDH ⎝ 1.1513 ⎠

(3.39)

3.8.4. Método de Ramey-Cobb Ellos presentaron un método para extrapolar la presión promedia de un gráfico Horner cuando t ≥ tpss. Este método5,16,21 requiere conocer información sobre la forma del área de drene, la localización del pozo y la confirmación que las fronteras son cerradas. El procedimiento de Ramey-Cobb es: 1) Conociendo la forma de la tabla 2.1 obtenga el t(DA)pss, calcule tp y tpss.

t pss =

φμ ct A

0.0002637 k

( tDA ) pss

(3.40)

2) Si tp < tpss el método no es confiable. Calcule el tiempo Horner correspondiente a la presión promedia. ⎛ t p + Δt ⎞ 0.0002637kC A ⎜⎜ ⎟⎟ = tP φμct A ⎝ Δt ⎠ P

(3.41)

Cuando (tp+Δt) = tp, la Ec. 3.41 se reduce a la Ec. 3.35. Si tp < teia (fin de la línea de comportamiento infinito), Ramey y Cobb mostraron que: ⎛ t p + Δt ⎞ 4π t pDA ⎜ Δt ⎟ = e ⎝ ⎠P

(3.42)

3) Haga un gráfico Horner (opcionalmente calculek y s) 4) Del gráfico, lea la presión promedia a (⎡⎣ t p + Δ)t/ Δt ⎤⎦ p

3.8.5. Método Directo Azari4,17 presentó en 1987 un método simple para calcular la presión promedia durante producción o restauración de presión sin la ayuda de ninguna gráfica. Este método requiere conocer la distancia desde el pozo a la cual la presión del yacimiento es la misma presión promedia. Para yacimientos cerrados: e μ P = Pwf+ 162.6 khq B ⎜⎛2log rrw −0.5203 +0.87 s ⎟⎞⎠ ⎝

(3.43)

255

P = Pwf +

162.6 qμ B ⎛

kh

⎞ A ⎜ log r 2 − 1.1224 + 0.87 s ⎟ w ⎝ ⎠

(3.44)

Para yacimientos con frontera de presión constante:

P = Pwf +

162.6q μ B ⎛

kh

⎞ re ⎜ 2 log r − 0.4342 + 0.87 s ⎟ w ⎝ ⎠

μ + A2 1.036 0.87 s ⎞⎟ P =+Pwf 162.6q B−⎛⎜ log kh ⎝ rw ⎠

(3.45)

(3.46)

Para considerar diferentes posiciones de los pozos y diferentes geometrías de yacimiento, las ecuaciones de flujo se desarrollaron introduciendo los factores geométricos de forma de Dietz en las ecuaciones 3.44 y 3.46 las cuales se transforman, respectivamente en:

P = Pwf +

162.6q μ B ⎛

kh

⎞ A ⎜ log C r 2 + 0.368 + 0.87 s ⎟ A w ⎝ ⎠

162.6qμ B ⎛

P =+ Pwf

kh

⎞ A ⎜+log+ C r 2 0.454 0.87 s ⎟ A w ⎝ ⎠

(3.47)

(3.48)

3.8.6. Tiab's Direct Synthesis TechniqueDurante estado pseudoestable 3.8.6.1. Yacimientos circulares cerrados El área de drene se halla mediante la siguiente ecuación:

A=

0.234qB t *ΔP p')1

φ ct h(

(3.49)

Siendo (t*ΔP’)p1 el valor de la derivada de presión en la línea de estado pseudoestable al tiempo t = 1 hr, extrapolado si es necesario. Ver Fig. 3.14.a. Para un pozo en el centro de un yacimiento circular, la presión promedia se obtiene a partir de un gráfico 4 de presión y derivada de presión según la siguiente expresión :

P = Pi −

⎞ ⎛ re 3 ⎞⎤ (t * ΔP ') pss 141.2 q μ B ⎡⎛ kh ⎢⎣⎜⎝ (ΔP) pss − (t * ΔP ') pss ⎟⎠ ln ⎜⎝ rw − 4 ⎟⎠⎥⎦

(3.50)

256

10000

(ΔP)pss

1000

(t*ΔP')pss

)i s p ( ,'

Línea de flujo radial

P

100 *Δ t y

do sta le e e stab d ea oe Lín seud p

P

Δ

10

(t*ΔP')p1

trpi

tpss 1 0.01

0.1

1

10

100

t, hrs

Fig. 3.14.a. Esquema ilustrativo para determinar área y presión promedia usando TDST * i donde presión casos puede aproximarse aP , (ΔP)pss y (t*ΔP’)Ppss es sonlalos valoresinicial de (ΔP(en ) y algunos ( t*ΔP’) en la línea recta de estado pseudoestable. Se recomienda tomar cualquier punto tardío, pero los dos valores deben coincidir con el tiempo. Ver Fig. 3.14.a. Para yacimientos naturalmente fracturados con la presión promedia adimensional definida como17, 29:

PD =

kh ( P − Pws ) 141.2qμ B

La presión promedia está dada por17:

⎛ 3792.2φμct rw2 (1 − ω )2 ⎞ P = Pwf+ Δ P+pss Δ(t * P +') pss ⎜⎜1 ⎟⎟ λ kt pss ⎝ ⎠ wf P =+PΔ +

Ppss

⎞⎛ r 141.2qμ B ⎛ ( t * ΔP ') pss e + − ⎜ kh ⎝ ΔPpss − ( t * ΔP ') pss ⎟⎠ ⎜⎝ ln rw

3 2π r 2 (1 − ω ) 2 ⎞ w ⎟⎠ 4 λA

257

P =+PΔwf+

Ppss

141.2q μ B ⎛

kh

( t * ΔP ') pss ⎞ ⎛ re ⎜ ⎟ ln +− ⎜ ΔPpss − ( t * ΔP ') pss ⎟ ⎜⎝ rw ⎝ ⎠

3 0.1987C Arw2 (1 − ω ) 2 ⎞ ⎟ 4 λA ⎠

Si la presión promedia adimensional se define como17:

PD =

kh (P − P) 141.2qμ B i

La presión promedia está dada por17,29:

⎛ 3792.2φμct rw2 (1 − ω ) 2 ⎞ P =P −i Δ(t * P ')+pss ⎜⎜ 1 ⎟⎟ λ kt pss ⎝ ⎠ −P = Pi

−P = Pi

141.2q μ B ⎛

kh

( t * ΔP ') pss ⎞ ⎛ re ⎜ ⎟ ln + − ⎜ ΔPpss − ( t * ΔP ') pss ⎟ ⎜⎝ rw ⎝ ⎠

141.2q μ B ⎛

kh

( t * ΔP ') pss ⎞ ⎛ re ⎜ ⎟ ln + − ⎜ ΔPpss − ( t * ΔP ') pss ⎟ ⎜⎝ rw ⎝ ⎠

3 2π rw2 (1 − ω ) 2 ⎞ ⎟ 4 λA ⎠ 3 0.1987C A rw2 (1 − ω ) 2 ⎞ ⎟ 4 λA ⎠

El factor de forma de Dietz puede estimarse mediante4: 2.2458 A CA = rw2

⎧⎪ 0.001055 ⎡π kt pss( ⎨ Exp ⎢ φμ c At t ⎪⎩ ⎣⎢

⎛ )ΔPw pss ⎞⎤ ⎫ − 1⎟⎟⎥ ⎪⎬ ⎜⎜ / ( * Δ P ) w pss ⎝ ⎠⎥⎦ ⎪⎭

−1

3.8.6.2. Sistemas cerrados rectangulares Para estos sistemas el área se estima con la Ec. 3.49. El factor de forma y la presión promedia se obtiene respectivamente mediante las siguientes ecuaciones4:

⎡ 0.003314 kt pss ⎛ ( ΔP) pss ⎞⎤⎫ 2.2458 A ⎧⎪ CA = − 1⎟⎟ ⎥ ⎪⎬ ⎜⎜ ⎨ Exp ⎢ 2 rw ⎢⎣ φμ ct A* (⎝') t ΔP pss ⎠ ⎥⎦ ⎪⎭ ⎪⎩

P = Pi − 70.6

−1

⎞ ⎛ 2.2458 A ⎞ ⎤ (t * ΔP ') pss q μ B ⎡⎛ ⎢⎜ ⎟ ln ⎜ ⎟⎥ 2 kh ⎣⎢⎝⎜ ( ΔP) pss − (t * ΔP ') pss ⎠⎟ ⎝ CA rw ⎠ ⎦⎥

(3.51)

(3.52)

258

3.8.6.3. Uso del punto de intersección El punto de intersección entre la línea de flujo radial y la línea de estado pseudoestable, trpi, es única tanto para el sistema circular como elrectangular. El área 4 y la presión promedia se hallan mediante las siguientes ecuaciones : π k (3.53) A = t 948.05φμct rpi

⎛ qμ B ⎞ P = Pi − 70.6 ⎝⎜ kh ⎠⎟

(3.54)

3.8.6.4. Determinación de la presión promedia en sistemas cerrados drenados por un pozo verticalmente fracturado Use la Ec. 3.49 para estimar el área. El factor de forma y la presión promedio se halla por medio de4:

⎞⎛x C A =2.2458⎟⎟ ⎜⎜ e ⎠ ⎝ xf

P = Pi -

2

⎧⎪ exp ⎨ ⎪⎩

⎡ 0.003314 ⎛ ⎞ pss kt ( ΔP) pss ⎢ ⎜⎜ ⎟⎟ 1⎢⎣ ⎝ φμ ct A⎠* ') ( t ΔP pss

⎤ ⎫⎪ ⎥⎬ ⎥⎦ ⎪⎭

⎡ x ⎛⎞ )⎞ q μβ ⎧⎪ π0 .0744kt pss ⎛ Δ( P pss ⎜⎜ ⎟⎟ − 70.6 ⎜⎜⎟⎟ ln ⎢ e ⎨ kh ⎪ φμct At ⎝ ( * ΔP ')⎠ pss ⎝⎠ ⎢ xf ⎣ ⎩

(3.55)

2

⎛ 2.2458 ⎞ ⎤⎥ ⎫⎪ ⎜ C ⎟ ⎬ (3.56) ⎝ A ⎠ ⎥⎦ ⎪⎭

Las Ecs. 3.53 y 3.54 se aplican también a este caso. Cuando se presenta flujo birradial, el área y la presión promedia se pueden determinar de las siguientes ecuaciones4:

A=

k ⎛x 142.43 φμ ct ⎜⎜ e ⎝ xf

t

1.123 BRPi

⎞ ⎟⎟ ⎠

⎡ q μ B ⎛ x ⎞0.72 ⎛ k ⎞0.36 ⎤ 0.36 P = Pi -5.64 ⎢ ⎜ e⎟ ⎜ ⎟ ⎥ t BRPi ⎢ kh ⎜⎝ x f ⎟⎠ ⎝ φμct A ⎠ ⎥ ⎣ ⎦

(3.57)

(3.58)

donde tBRPi es el punto de intersección entre la línea de flujo birradial y radial. Para f < 8, el flujo radial no se observa, entonces fracturas uniforme y cuando xe/xlineal se utiliza de la flujo intersección entre el flujo y la línea de estado pseudoestable,tLPi. Luego, el área y la presión promedia se obtienen de:

259

⎡⎛ π k⎞⎛ ⎞x f A = 0.001055 ⎜ ⎢ φμ ⎟⎜ ⎟ ⎢⎣⎝ ct⎠⎝ ⎠xe ⎡ qB μ ⎛ x P = Pi -4.06 ⎢ ⎜ e ⎢⎣ h φ ct k ⎜⎝ x f

⎤ ⎥ t LPi ⎥⎦

(3.59)

⎞⎤ ⎟⎟ ⎥ tLPi ⎠ ⎥⎦

(3.60)

2

3.8.6.5. Pozos Fracturados en Regiones Rectangulares Para estos sistemas, la transición entre la línea de comportamiento infinito y la de estado pseudoestable es más larga comparada con el caso de sistemas cuadrados en ambos casos de fractura: conductividad infinita y flujo uniforme. Cuando la línea de flujo radial no se observa, tal es el caso dexe/xf < 8, se usa la siguiente ecuación para determinar la permeabilidad4:

⎛ μ⎞ ⎡ 8.128⎤ qB k=⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎝ φ c⎠t ⎣A h (t * Δ⎦P ')CB1

2

(3.61)

Donde (t*ΔP’)CB1 es el valor de (t*ΔP’) a t = 1 hr sobre la línea de flujo lineal que 4 aparece después del flujo radial. Despejando el área de drene se obtiene :

⎛ A=⎜

μ⎞ ⎡

⎟⎢

8.128⎤ qB

2

(3.62)

⎥

⎝ φ c⎠ ⎣k h (t * Δ⎦P ') El punto de intersección entre el flujo lineal de la frontera paralela más cercana: el segundo flujo lineal y la línea de estado pseudoestable,tCBPi, es único. Con este punto determine el área de la siguiente ecuación4: t

A =

CB1

π 0.0002634 φμ

ct

k

tCBPi

(3.63)

Esta ecuación debería usarse para propósitos de verificación de los valores permeabilidad y área obtenidos mediante las Ecs. 3.61 y 3.62. La presión promedia se obtiene de4:

P = Pi -

qB πh

⎛ 8.284 10 × ⎜ ⎝

−4

φ

⎞ μ t ct k A ⎟⎠ CBPi

(3.64)

Esta ecuación debería usarse si k y A pueden determinarse de la frontera paralela más cercana.

260

EJEMPLO Los datos de una prueba de restauración de presión se reportan en la tabla 3.1. Las propiedades del yacimiento se obtuvieron de un pozo localizado en el centro de un yacimiento de forma cuadrada. Dados los siguientes datos:

rw = 4 in μ = 0.76 cp A = 40 acres (área contratada)

h = 44 ft B = 1.24 rb/STB q = 340 BPD

φ = 12 % Np= 4550 STB ct = 36x10-6 psi-1

Pwf = 2980 psi (medido justo antes del cierre) Estime: A. Permeabilidad B. Factor de daño C. Presión promedia del yacimiento, por medio de: C.1. MBH C.2. Dietz C.3. Ramey-Cobb C.4. MDH C.5. Tiab’s Direct Síntesis Technique C.6. Método directo (Azari) Tabla 3.1.b. Datos de restauración de presión t hr Pws, psi (tp+ t)/ t (tpss+ t)/ t (t* P'), t hr Pws, psi (tp+ t)/ t (tpss+ t)/ t (t* P'), 0.1 0.2 0.3 0.5 0.75 1 2 3 4 5

3100 3150 3200 3250 3275 3290 3315 3325 3330 3335

3212.76 1606.88 1071.59 643.35 429.24 322.18 161.59 108.06 81.29 65.24

SOLUCION A. Permeabilidad

807.45 404.23 269.82 162.29 108.53 81.65 41.32 27.88 21.16 17.13

psi 79.65 96.78 107.67 78.65 57.19 45.56 31.16 24.24 21.32 20.15

7 10 15 20 30 40 50 60 70 80

3342 3350 3360 3364 3370 3372 3374 3375 3376 3377

46.88 33.12 22.41 17.06 11.71 9.03 7.42 6.35 5.59 5.01

12.52 9.06 6.38 5.03 3.69 3.02 2.61 2.34 2.15 2.01

psi 21.85 22.46 19.24 16.33 11.34 9.04 7.18 7.61 8.05 8.49

261

3400

P=3368 psi 4 m=4

P1hr = 3306 psi

i s p ,

3300

s w

P

3200

3100 10000

⎛ t p + Δt ⎞ ⎜⎜ Δt ⎟⎟ = 12.299 ⎝ ⎠P

1000

100

10

1

(t p + Δt ) / Δt Fig. 3.14.b. Gráfico de Horner 3400

P* =3398 psi

i s p ,

3300

s w

P 3200

3100 1000

100

(t pps + Δt ) / Δt

10

Fig. 3.15. Gráfico de Horner contpss

1

262

1000

ΔP pss = 384 psi ΔP r = 362 psi

100

i s p ,' P *tΔ , P Δ

Flujo radial

(t*ΔP') r = 21.86 psi tr = 7 hrs

10

Estado estable

(t*ΔP') pss = 16.33 psi tpss = 20 hrs 1 0.1

1

t, hr

10

100

Fig. 3.16. Gráfico de la presión y derivada de presión Ecuación básica:

Pws = Pi −

162.6qμB ⎛ t p + Δt ⎞ ⎟⎟ log⎜⎜ kh ⎝ Δt ⎠

tp se halla mediante: tp =

24 N p (24)(4550) = = 321.2 hr q 340

El gráfico de Horner se da en la Fig. 3.14 (ver datos en tabla 3.1). Se visualiza una recta con pendiente de44 psi/ciclo. La permeabilidad se calcula de:

k=

162.6qμ B (162.6)(340)(0.76)(1.24) = = 26.91 md mh (44)(44)

B. Factor de daño

s = 1.1513⎡⎢ P1hr − Pwf ( Δt =0) − log⎛⎜⎜ k 2 ⎞⎟⎟ + 3.2275⎤⎥ m ⎢⎣ ⎥⎦ ⎝ φμct rw ⎠ De la Fig. 3.14.b, P1hr = 3306 psi, luego:

263

⎡ 3306 − 2980 ⎤ ⎛ ⎞ 26.91 ⎟ s = 1.1513⎢ − log⎜⎜ −6 2 ⎟ + 3.2275⎥ = 3.18 ⎝ (0.12)(0.76)(36 × 10 )(0.333) ⎠ ⎣ (44) ⎦

C. Presión promedia del yacimiento C.1. Método de MBH 1. Determine (tDA)pss de la Tabla 2.1 para yacimientos de forma cuadrada, ( tDA)pss = 0.1 Calcule tpss;

t pss =

φμct A

0.0002637k

(tDA ) pss =

(0.12)(0.76)(36 × 10−6 )(40)(43560) (0.1) = 80.645 hr (0.0002637)(26.91)

Calcule: α

=

t p 312.176 = = 3.982 . Puesto que α > 2, luego t = tpss. t pss 80.645

Grafique Pws vs. log(tpss+Δt)/Δt, (ver tabla 3.1). En la Fig. 3.15, trace una línea recta y extrapólela a 1 hr, y determine el valor deP*.

P* = 3398 psi Calcule el tiempo de producción adimensional de: ⎛ 0.0002637k ⎞ (0.0002637)( 26.91) ⎟⎟t = t pDA = ⎜⎜ (80.645) = 0.0999 ≈ 0.1 −6 ⎝ φμct A ⎠ (0.12)(0.76)(36 × 10 )(40 ⋅ 43560)

De la Fig. 3.12.b para un sistema de forma cuadrada con pozo en el centro, la presión adimensional de MBH esPDMBH=1.15.

PDMBH = 2.303

P∗ − P m

Luego, la presión promedia del yacimiento será:

P =−P *

m PDMBH = − 2.303

3398=

(44)(1.15) 3376 psi 2.303

264

3400

P=3368 psi 3350

Δt N 3300

i s p 3250 ,

s w

3200

P 3150 3100

( Pws ) N

3050 0.1

1

10

100

Δt , hr s Fig. 3.17. Gráfico de MDH

C.2. MÉTODO DE DIETZ

Pasos: 1. Grafique Pws vs. log(Δt), Fig. 3.17. 2. Determine factor de forma CA deClaA =tabla 2.1 para un pozo localizado en el centro de unelárea de drene cuadrada. 30.8828. 3. Calcule el tiempo de cierre de Dietz:

=

Δt=−

P

φμct A

1 0.0002637 k C A

(0.12)(0.76)(36 ×10−6 )(40)(43560) 1 = 26.1136 hr (0.0002637)(26.91) (30.8828)

4. De la Fig. 3.17, P = 3368 psi.

C.3. Método de Ramey - Cobb Pasos: 1. Calcule tp y tpss:

t p = 24 N p = (24)(4550) = 321.176 hr q 340

265

t pss =

φμ ct A

0.0002637k

t DApss =

(0.12)(1.76)(36 ×10−6 )(40)(43560) (0.1) = 80.645 hr (0.0002637)(26.91)

2. Para el área dada, A=1742400 ft2, determine el factor de formaCA de la Tabla 2.1, para un pozo localizado en el centro de una área de drene cuadrada, CA=30.8828. 3. Puesto que tp >> tpss, calcule [(t + Δt ) / Δt ]P (Tiempo de cierre de Ramey-Cobb), de: −

⎛ t + Δt ⎞ = ⎛⎜ 0.0002637 k ⎞⎟C t ⎜ ⎟ A p ⎝ Δt ⎠ P ⎜⎝ φμct A ⎟⎠ (0.0002637)( 26.91) ⎛ t + Δt ⎞ = (30.8828)(312.176) = 12.299 ⎜ ⎟ ⎝ Δt ⎠ P (0.12)(0.76)(36 × 10 −6 )(40)(43560)

4. De la Fig. 3.14.b, determine P para [(t + Δt ) / Δt ]P . promedia es 3368 psi. −

El valor de la presión

C.4. Método de Miller-Dyes-Hutchinson (MDH)

Pasos: 1. Grafique Pws vs. log(Δt), como se muestra en la Fig. 3.17. 2. Escoja cualquier punto convenienteN sobre la porción recta y lea ΔtN y (Pws)N. Los valores leídos son:ΔtN = 10 hrs y (Pws)N = 3350 psi. 3. Calcule punto N):el tiempo de cierre adimensional usando la siguiente ecuación (para el ⎛ 0.0002637 k ⎞ (0.0002637 )( 26.91) ⎟⎟ Δt N = Δt DA = ⎜⎜ (10) = 0.0124 (0.12)(0.76)(36 × 10 −6 )( 40)(43560) ⎝ φμct A ⎠

Nota: Use este tiempo adimensional con la curva superior de la Fig. 3.13, y halle el valor de PDMDH. De esta figura, PDMDH =0.6. 5. Calcule P , (con el punto N), de la siguiente ecuación:

P = PwsN +

m 44 P = 3350 + (0.6) = 3372.9 psi 1.1513 DMDH 1.1513

C.5. TDST Los del estado pseudoestable se tomaron del estado estable. Los siguientes datosdatos se leyeron del gráfico 3.16:

266

ΔP=r 362 psi tpss = 20 hr

tr = 7 hr ΔPpss = 384 psi

( t*ΔP’)pss = 16.33 psi ( t*ΔP’)r = 21.86 psi

Estime la permeabilidad y daño de:

k=

70.6q μ B (70.6)(340)(0.76)(1.24) = = 23.52 md h(t * ΔP ')r 44(21.86)

s = 0.5

r r ⎢⎡⎣(t*−ΔΔPP')r +=ln⎜⎛⎜⎝ φμktc−t rw2 ⎟⎞⎟⎠ 7.43⎥⎤⎦

0.5

362 +ln=⎜⎛⎜ 23.52(7) −6 7.43 2 ⎟⎞⎟ ⎢⎡⎣21.86 ⎥⎤⎦ ⎝ (0.12)(0.76)(36×10 )(0.3 ) ⎠

1.93

Tomando un sistema rectangular cerrado, Ecs. 3.51 y 3.62, se halla elfactor de forma y la presión promedia. Aquí se toma comoPi el último valor de presión, es decir 3377 psi.

CA =

⎡ 0.003314 kt pss ⎛ ( ΔP) pss ⎞⎤⎫ 2.2458 A ⎧⎪ − 1⎟⎟ ⎥ ⎪⎬ ⎜⎜ ⎨ Exp ⎢ 2 rw ⎢⎣ φμ ct A* (⎝') t ΔP pss ⎠ ⎥⎦ ⎪⎭ ⎪⎩

CA =

2.2458 (40)(43560) 0.32

−1

⎧ ⎡ 0.003314(23.52)(20) ⎛ 384 − 1⎞⎤ ⎫ ⎨ Exp ⎢ ⎜ 16.33 ⎟⎥ ⎬ −6 × 0.12(0.76)(30 10 )(40)(43560) ⎝ ⎠⎦ ⎭ ⎣ ⎩

CA = 94054 P = Pi − 70.6

3377 P =70.6

⎞ ⎛ 2.2458 A ⎞ ⎤ (t * ΔP ') pss q μ B ⎡⎛ ⎢⎜⎜ ⎥ ⎟ ln kh ⎢⎣⎝ ( ΔP) pss − (t * ΔP ') pss ⎟⎠ ⎜⎝ CA rw2 ⎟⎠ ⎥⎦

−

(340)(0.76)(1.24) ⎡⎛ (23.52)(44)

16.33 ⎞ ⎢⎜ ln ⎟ −16.33 ⎠ 384 ⎣⎝

⎛ 2.2458(40)(43560) ⎞ ⎤ ⎜ ⎟⎥ 2 ⎝ 94054(0.3 ) ⎠⎦

P = 3371.4 psi C.5. AZARI (Método directo) Tomando la Ec. 3.46, para sistemas de presión constante, se tiene:

⎛ ⎞ P =+Pwf 162.6 + rAw2 1.036 0.87s ⎟⎠ khqμ B−⎜⎝ log

−1

267

Tabla 3.2. Resumen de presión promedia

Método Ramey & Cobb MBH MDH Dietz TDST Azari (Método directo)

Presión Promedia, psi 3368 3376 3372.9 3368 3371.4 3379.3

Promedio 3372.6 Tabla 3.3. Datos de presión para ejemplo t, hrs

Pws, psi

P, psi

0 0.00989 0.01458 0.02103 0.02814 0.04192 0.05035 0.05983 0.08447 0.11545 0.16125

2840 2872.354 2909.071 2954.428 3001.944 3050.54 3078.618 3102.376 3128.294 3147.732 3166.091

0 32.354 69 .071 114.428 161.944 210.54 238.618 262.376 288.294 307.732 326.091 342.29

0.24814 3182.29

P += 2980

109.6355 145.7317 145.7446 143.3739 145.2437 116.8582 68.36178 58.70226 47.36436

t, hrs 0.36183 0.45863 0.63368 0.82962 1.12182 1.50068 2.00748 2.62819 3.40394 4.17739 4.9103

Pws, psi 3195.249 3202.808 3213.607 3223.326 3229.806 3239.525 3243.844 3252.884 3266.523 3276.242 3285.961

35.86205

5.77179

3295.68

t* P’, psi

P, psi t* P’, psi 355.249 32.83937 362.808 3 2.52705 373.607 34.85923 383.326 29.18734 389.806 27.54739 399.525 24.12313 403.844 24.55872 412.884 43.33975 426.523 49.79418 436.242 54.54016 445.961 60.12454

455.68

⎞ 162.6(340)(0.76)(1.24) ⎛ 40(43560) +−log = 2 1.036 0.87(1.93) ⎟ 3379.3 psi ⎜ (23.52)(44) 0.3 ⎝ ⎠

La tabla 3.2.a resume los resultados de los datos de presión promedia obtenidos por los seis métodos anteriores:

EJEMPLO La tabla 3.3 proporciona datos de restauración de presión. Se cree que el pozo está en el centro de un yacimiento cuadrado. El pozo produjo 234000STB a una rata constante de 250 STB/día antes del cierre para la prueba. Las propiedades de roca y fluido son: φ = 19.4 % Pwf (t = 0) = 2840 psi B = 1.44 bbl / STB

ct = 19.4x10-6 1/psi A = 93 acres rw = 0.25 ft

h = 50 ft μ = 1.34 cp

268

Use el método de Tiab y el método directo para hallar la presión promedia del yacimiento. Método Directo

1- El valor de k es 22.41 md (de gráfico Horner no suministrado). 2- El valor de s es 1.1. 3- Para un pozo localizado en el centro de un cuadrado cerrado,CA = 30.8828. 4- La presión promedia se calcula mediante de:

P = Pwf + 162.6qμ B ⎜⎛ log A 2 + 0.368 + 0.87 s ⎟⎞ kh ⎝ C Arw ⎠ ⎛ ⎞ P = 2840 + (162.6)(250)(1.34)(1.44) ⎜⎜ log (93)(43560) 2 + (0.368) + (0.87)(1.1) ⎟⎟ (22.41)(50) ( 30 . 8828 )( 0 . 25 ) ⎝ ⎠ P = 3371.4 psi Tiab's Direct Synthesis Technique

A- Permeabilidad de la formación 1. Del gráfico log-log dado en la Fig. 3.18, se obtiene t* ( ΔP’)r = 30 psi. La permeabilidad se calcula de:

k=

70.6qμ B

=

70.6(250)(1.34)(1.44)

= 22.7 md

h(t * ΔP ') 50(30) B- Factor de daño 1. Se selecciona un tiempo convenientetr = 1 hr durante el flujo radial, allí se leeΔPr = 400 psi y (t* ΔP')r = 30 psi. 2. El factor de daño se calcula mediante la Ec. 2.96: r

⎛ ΔPr ⎞ ⎡ kt ⎤ s = 0.5 ⎜⎜ − ln ⎢ r 2 ⎥ + 7.43 ⎟⎟ ⎣φμct rw ⎦ ⎝ (t * ΔP ') r ⎠ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ (22.7)(1) s = 0.5 ⎢ (400) − ln ⎜⎜ − 6)(0.25)2 ⎟ ⎟ + 7.43⎥ = 1.3 ( 30 ) ( 0 . 194 )( 1 . 34 )( 19 . 4 × 10 ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ C- Presión promedia 1. Seleccione conveniente leen: (ΔP)pss = cualquier 405 psi ypunto (t*ΔP’) pss = 37 psi.sobre la línea de estado pseudoestable y se 2. Calcule la presión promedia a partir de la Ec. 3.52:

269

1000

(ΔP)pss=405 psi (ΔP)r = 400 psi

i) s (p ',

100

(t*ΔP')pss=37 psi

P Δ

t*

(t*ΔP')r=30 psi

y P Δ

10

tr = 1 hr

1 0.01

0.1

1

10

t, hrs

Fig. 3.18. Gráfico log-log de presión y derivada de presión (tabla 3.3)

P = Pi − 70.6

⎞ ⎛ 2.2458 A ⎞ ⎤ (t * ΔP ') pss qμ B ⎡ ⎛ ⎢⎜ ⎥ ⎟ ln kh ⎣⎢⎜⎝ (ΔPw ) pss − (t * ΔP ') pss ⎟⎠ ⎜⎝ C A rw2 ⎟⎠ ⎦⎥

La Ec. 3.52 da un estimativo confiable de P si el valor de la presión inicial del yacimiento se conoce de otras fuentes. Debido a la carencia de información acerca de Pi, y que además se tiene tiempos de cierre cortos comparados con el tiempo de producción, la presión inicial del yacimiento se maneja como si ésta fuese igual a P*, la cual se halla de un gráfico Horner P ( * = 3400 psi).

P = 3400 70.6 -

⎞ ⎛ (2.2458)(93)(43560) ⎞ ⎤ (250)(1.34)(1.44) ⎡⎛ 37 ln ⎟ ⎜ 3353.6 ⎢⎜ ⎟ ⎥ = psia 2 − (22.7)(50) (400 37) ⎠ ⎝ (30.8828)(0.25) ⎠ ⎦ ⎣⎝

3.8.7. Presión Promedia en Pruebas Biflujo2,21 En el estado pseudoestable, la caída de presión es función lineal del tiempo, luego:

Pi − P=wf

0.0417qB Vp c+t − t ( P Pwf )

(3.65)

270

Para completar la formulación de la ecuación anterior, se necesita determinar una expresión para ( P - Pwf). Para este propósito se aplica la ley de Darcy en flujo radial y se despeja la presión volumetrica promedia:

P − Pwf =

325.2q μ B 0.472re log kh rw

(3.66)

Si un pozo está produciendo en estado semiestable, justo antes de que la rata se cambie la ecuación anterior es válida. Expresando ésta en términos deq1 y adicionando ΔPskin, se obtiene:

P − Pwf@Δt'=0 =

325.2 q1μ B 0.472re log + 0.87m1s kh rw

(3.67)

donde Δt’, dado en hrs, es el tiempo medido desde el instante en que se cambió la rata de q1 a q2. Esta ecuación nos permite estimar la presión promedia a partir de una prueba biflujo siempre y cuando la geometría del yacimiento sea circular. Si se necesitan otras geometrías se precisa introducir el factor de forma de Dietz,CA. Sabiendo que para un sistema circular este valor es de 31.6, se tiene:

⎧⎪ ⎛ 0.233r 2 ⎞2 ⎫⎪ e P − Pwf@Δt'=0 = 2m1 ⎨log ⎜ ⎟ + 0.435s ⎬ 2 r ⎪⎩ ⎝ w ⎠ ⎪⎭ Dividiendo y multiplicando por 31.6π :

⎧ ⎛ 0.233 × 31.6π × r 2 ⎞2 ⎫ e P − Pwf@Δt'=0 = 2m1 ⎪⎨log ⎜ + 0.435s ⎪⎬ ⎟ 2 ⎠ ⎪⎩ ⎝ 31.6π × rw ⎪⎭ si el área de drene está en ft2, entonces resulta:

⎧⎪ ⎛ 2.241A ⎞2 ⎫⎪ P = 2m1 ⎨log ⎜ 2 ⎟ + 0.435s ⎬ + Pwf@Δt'=0 ⎩⎪ ⎝ C A rw ⎠ ⎭⎪

(3.68)

EJEMPLO Se corrió una prueba biflujo arrojando los valores de presión contra tiempo mostrados en la tabla 3.4. Para interpretar la prueba, se requieren los siguientes parámetros del yacimiento, PVT y del flujo (tomado de la Ref. 21):

271

21 Tabla 3.4. Datos de presión para ejemplo de prueba biflujo

Datos antes del cambio de rata t, hr

288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300

rμe == 1.2 745cp ft q1 = 100 STB/D

Pwf, psi 1607,5 1607,2 1606,8 1606,4 1606,1 1605,7 1605,4 1605 1604,6 1604,3 1603,9 1603,6 1603,2

Datos después del cambio de rata ht,r 0,33 0,42 0,5 0,58 0,67 0,75 0,83 0,92 1 1,25 1,5 1,75 2 2,5 3 4 5 6 7 7,5

rcw== 20x10 0.25 ft-6 psi-1 t q2 = 50 STB/D

P

wf, psi 2475 2482 2487 2492 2497 2500 2502 2505 2508 2514 2520 2525 2531 2542 2552 2568 2582 2590 2600 2604

t’ 2,72 2,67 2,63 2,6 2,56 2,54 2,52 2,5 2,48 2,43 2,39 2,36 2,33 2,28 2,24 2,18 2,13 2,1 2,06 2,05

B = 1.25 bbl/STB htp == 20 300fthr Pwf@Δt’=0 = 1603.2 psi φ = 15 %

Determine presión promedia, daño y demuestre que la prueba no ha alcanzado el periodo transitorio cuando se cambió de rata.

SOLUCION Un valor de m1 = 274 psi/ciclo y P1hr = 2485 fue tomado del gráfico cartesiano presentado en la Fig. 3.19. La permeabilidad se y el daño se calculan con las Ecs. 2.130 y 2.131, respectivamente, yresultaron ser 4.5 md y aproximadamente 3.0. El tiempo para alcanzar el estado semiestable en la prueba se estima con Ec. 2.39 conr = re, como sigue:

t

pss

948 φ μ ct r 2 948(0.15)(1.2)(20 ×10−6 )(7452 ) k 4.5 = = = 420 hrs

272

2620

2600

2580

i s p f,

2560

w 2540

m'1 = -274 psia/log cycle

P

2520

2500

2480

P1hr = 2485 psi

2460 2

2,1

2,2

2,3

2,4

2,5

2,6

2,7

2,8

t + Δt q Δ=t ' log ⎛⎜ + Δ ⎞⎟ 2 log t ⎝ Δt ⎠ q1

Fig. 3.19. Gráfico Cartesiano para prueba biflujo Si asumimos que el pozo está en el centro de un área rectangular o circular, se puede apreciar el cambio (t = 300 hrs) ocurrió antes de alcanzar el estado pseudoestable. Para calcular la presión promedia, utilizamos la Ec. 3.67, así pues:

P=

=

P

325.2q1μ B 0.472 re kh log rw + 0.87m1s + Pwf@Δt'=0

325.2(100)(1.2)(1.25) 0.472(745) +log =+ 0.87(274)(3) 1603.2 2405.8p si (84.5)(20) 0.33

Note que el valor de presión promedia no es correcto (se obtuvo para efectos explicativos) porque el pozo no estaba produciendo bajo estado pseudoestable antes de cambiar a la segunda tasa.

3.8.8. Presión Promedia en Pruebas Multirata Para este tipo de pruebas es necesario construir un gráfico cartesiano de presión contra el tiempo de superposiciónXn, Ec. 2.123, para obtener permeabilidad y daño. Luego se realiza una gráfica MDH y se aplica el método de Dietz. Para ésto se requiere determinar Δt mediante la Ec. 3.35. Con este valor se lee la presión promedia del gráfico MDH. Es posible, entonces, aplicar cualquiera de los métodos de presión promedia vistos en este capítulo21.

273

Sin embargo, la metodología TDS juega un papel importante. La ecuación para sistemas circulares se presenta a continuación31.

P = Pi −

⎞ ⎛ re (t * ΔPq ') pss ⎞⎤ 141.2 qn μ B ⎡⎛ ⎢⎜⎜ ⎟⎟ ⎜ ln − 0.75 ⎟⎥ kh ⎢⎣⎝ (ΔPq ) pss − (t * ΔPq ') pss ⎠ ⎝ rw ⎠⎥⎦

Donde Pi es la presión inicial. (ΔPq)pss y ( t*ΔPq’)pss son los correspondientes valores de la presión normalizada y su derivada dadas a un tiempo arbitrario,tpss. Para cualquier geometría la ecuación es: (t * ΔPq ') pss 70.6qn μ B ⎡⎛ P = Pi − ⎢⎜⎜ kh ⎢⎣⎝ (ΔPq ) pss − (t * ΔPq ') pss

⎞ ⎛ 2.2458 A ⎞ ⎤ ⎟⎟ ln ⎜ ⎟⎥ 2 ⎠ ⎝ CA rw ⎠ ⎥⎦

Donde CA se halla mediante4:

⎞⎤ ⎫ 2.2458 A ⎧⎪ ⎡ π 0.001055kt pss ⎛ (ΔPq ) pss CA = − 1⎟⎟⎥ ⎪⎬ ⎜⎜ ⎨exp ⎢ 2 rw ⎩⎪ ⎣⎢ φμct A ⎝ (t * ΔPq ') pss ⎠⎥⎦ ⎭⎪

−1

Para pruebas multitasas en yacimientos naturalmente fracturados, las ecuaciones respectivas31 son:

= =

(t * ΔPq ') pss ⎛ re 141.2qnμB ⎡ P P − kh ⎢⎣⎢ (Δln Pq ) pss −0.75 (t * ΔPq ') pss ⎜⎝ rw −

2rw2 (1− ω)2 ⎞⎤ + λre2 ⎟⎠⎥⎦⎥

i

P Pi −

(t * ΔPq ')pss ⎛ re 141.2qnμB ⎡ − ⎢ ln 0.75 kh ⎣⎢(ΔPq )pss − (t *ΔPqp') ss ⎜⎝ rw

+

0.198CArw2 (1−ω)2 ⎞⎤ ⎟⎥ λA ⎠⎦⎥

EJEMPLO Un pozo centrado en un yacimiento de forma circular produjo a una rata constante de 9200 STB/D durante 158 hrs antes de cerrarse para una prueba de restauración de 8 hrs. Si embargo, el flujo continuó después de carrado el pozo en la superficie como lo indica los resultados de un medidor de hélice. Los datos de presión, caudales, tiempo y tiempo de superposición para esta prueba se dan en la tabla 3.5. Determine la presión promedia para este yacimiento (tomado de la Ref. 21). Datos adicionales:

274

rw = 0.25 ft ct = 11x10-6 psi-1 k = 411.5 md

φ = 27 %

B = 1.24 bbl/STB s=2

h = 100 ft tp = 300 hr A = 640 Ac

μ = 1.24 cp Pwf@Δt’=0 = 1844.65 psi

Tabla 3.5. Datos de presión para prueba multirata t, hr

Pws, psi

0,0000 0,0032 0,0074 0,0107 0,0136 0,0166 0,0224 0,0282 0,0341 0,0399 0,0457 0,0545 0,0632 0,0720 0,0807 0,0903 0,1102 0,1310

1844,65 1850,37 1854,51 1859,07 1863,35 1867,81 1876,97 1885,99 1894,87 1903,80 1912,72 1925,94 1938,79 1951,53 1963,92 1977,10 2003,45 2028,89

qsf, STB/D 9200,0 9025,7 8922,4 8790,1 8687,8 8564,9 8346,0 8130,6 7914,6 7700,6 7496,9 7195,3 6890,2 6605,2 6306,0 5984,5 5390,8 4817,2

t, hr

Pws, psi

0,2449 0,2852 0,3391 0,4204 0,5282 0,5910 0,6710 0,7899 0,9693 1,0860 1,2282 1,4004 1,6016 1,8382 2,1216 2,4660 2,8771 3,3882

2134,43 2159,67 2185,34 2211,49 2232,61 2241,11 2249,21 2257,70 2266,62 2271,05 2275,48 2279,91 2284,32 2288,72 2293,14 2297,55 2301,95 2306,37

0,1557 0,1807 2056,41 2081,78 4184,7 3585,9 3,9971 4,7438 2310,76 2315,15 0,2107 2108,50 2976,5 5,6816 2319,54

q sf, STB/D 2378,6 1807,7 1251,1 722,6 470,9 339,3 244,5 170,5 124,7 99,0 81,3 68,2 57,9 48,6 40,2 33,3 27,3 22,4

18,4 14,8 12,0

SOLUCION Estime el tiempo de cierre de Dietz, con la Ec. 3.35:

=

Δt P =

φμ ct A

0.0002637C A k

(0.27)(1.24)(11×106 )(640 × 43560) = 29.94 hr 0.0002637(31.6)(411.5)

Entrando con este valor se obtiene un valor de presión promedia de 2370 psi.

3.8.9. Otros Métodos para Estimar la Presión Promedia La presión promedia también puede estimarse usando balance de materia:

275

2500

2400

P = 2370 psi

2300

i s p2200 ,s w

P 2100

Δt p = 29.94 hrs

2000

1900

1800 0,001

0,01

0,1

1

10

100

Δt, hrs

Fig. 3.20. Gráfica MDH para prueba multirata

Pi − P =

5.615qt con Vp en ft3 ctVp

(3.69)

Craft and Hawkins12 formularon una ecuación para calcular la presión promedia:

P=∑

Pr ΔV V Si se reemplaza ΔV como 2 πrΔrhφ y la ecuación de flujo radial pseudoestable se obtiene: ⎛ r r2 ⎞ (3.70) Pr =+Pw qμ−⎜ ln +Δ kh Ps 2 ⎟ / 0.00708 ⎝ rw 2re ⎠ Que luego de integrar entre rw y re se tiene la ecuación de presión promedia en estado pseudoestable:

P = +Pw

⎛ r ⎞ qμ −⎜ ln +e Δ 0.75 ⎟ 0.00708kh ⎝ rw ⎠

Ps

La presión en el radio externo para estado pseudoestable es:

(3.71)

276

Pe = +Pw

⎛ re ⎞ qμ ⎜−ln+ Δ 0.5 ⎟ 0.00708 kh ⎝ rw ⎠

Ps

(3.72)

Restando la Ec. 3.72 de la 3.71, anterior se tiene:

Pe − P =

35.3qμ kh

(3.73)

La Ec. 3.71 se puede expresar más convenientemente de la siguiente manera: ⎛ r ⎞ (3.74) P = +Pw 0.8687 m ⎜−ln e+ Δ0.75 ⎟ Ps r ⎝ w ⎠ Para pozos que se encuentran en estado estable al tiempo de cierre, se utiliza la siguiente ecuación:

⎛ r ⎞ P = +Pw 0.8687 m ⎜−ln +e Δ 0.5 ⎟ ⎝ rw ⎠

Ps

(3.75)

Slider22 propuso una ecuación para el caso donde existe interferencia con otros pozos que incluye la obtención de la presión estática mediante la extrapolación o corrección de la presión a un tiempo igual al tiempo de estabilización o tiempo para alcanzar el estado pseudoestable, de modo que:

ΔPq= −Pw +Pwf Δm * t De acuerdo con la Ec. 1.44.b y con la Ec. 2.37 (con la permeabilidad en Darcies), la anterior ecuación se transforma en:

P = −Pwf

0.04φμct re2 1.79q Δ+ 2 k φ hct re

(

Pq )t

pss

rearreglando:

P = Pwf− 0.439 +Δm

(

Pq )t

(3.76) pss

22

En resumen, Slider se recomiendan los siguientes métodos para la determinación de la presión promedia al momento del cierre: 1) Si el pozo está ni pozos en estado o pseudoestable use balance de materia,entre Ec. 3.69. Estonoincluye bajoestable comportamiento infinito o en transición comportamiento infinito y estado estable o pseudoestable.

277

2) Si el pozo está en el centro de su área de drene y se encuentra en estado estable o pseudoestable use las Ecs. 3.74 o 3.75, respectivamente, las cuales no requieren conocer ni la porosidad ni la compresibilidad. 3) Si el pozo está situado cerca al centro de su área de drene y está operando bajo estrado pseudoestable y se conoce el cambio de presión con respecto al tiempo (m*) se puede utilizar la Ec. 3.76. 4) Si el pozo está descentrado dentro del área de drene y opera bajo estado pseudoestable pero se desconoce m*, se recomienda el método MBH. 5) Para un pozo que está descentrado y opera en estado estable al tiempo de cierre, no se recomienda ninguno de los métodos. Tabla 3.6. Datos de presión y derivada de presión para problema propuesto t, hrs

Pws, psi

P, psi

0.00000 0.00989 0.01458 0.02103 0.02814 0.04192 0.05035 0.05983 0.08447 0.11545 0.16125 0.24814

2840.000 2872.354 2909.071 2954.428 3001.944 3050.540 3078.618 3102.376 3128.294 3147.732 3166.091 3182.290

0.000 32.354 69.071 114.428 161.944 210.540 238.618 262.376 288.294 307.732 326.091 342.290

t* P’, psi 79.318 61.584 105.603 130.196 138.880 128.337 116.358 106.506 76.447 58.417 47.650 37.158

t, hrs

Pws, psi

P, psi

0.36183 0.45863 0.63368 0.82962 1.12182 1.50068 2.00748 2.62819 3.40394 4.17739 4.91030 5.77179

3195.249 3202.808 3213.607 3223.326 3229.806 3239.525 3243.844 3252.484 3266.523 3276.242 3285.961 3295.680

355.249 362.808 373.607 383.326 389.806 399.525 403.844 412.484 426.523 436.242 445.961 455.680

t* P’, psi 34.373 33.968 31.090 30.559 26.573 25.227 32.556 37.987 49.240 57.096 63.079 70.182

PROBLEMA PROPUESTO Se cree que un pozo se encuentra centrado en un yacimiento de forma cuadrada. El pozo produjo 234000 STB a una rata constante de 250 STB/día antes del cierre para una prueba de restauración de presión. Determine permeabilidad, daño y presión promedia por los métodos de MDH, MBH, Azari y TDST. Los datos de presión se reportan en la tabla 3.6 y la información pertinente al yacimiento y a los fluidos se lista a continuación:

A = 93 acres μ = 1.34 cp

rw = 0.25 ft ct = 19.4x10-6 psi-1

φ = 19.4 % B = 1.44 bbl/STB

h = 50 ft

278

3550

3450

3350

ia s 3250 p , s w

P3150

3050

2950

2850 10000000

1000000

100000

10000

1000

100

10

1

tp + Δt Δt

Fig. 3.21. Gráfico de Horner para el problema propuesto 3400

3300

3200

ia s p 3100 , s w P 3000

2900

2800 0.001

0.01

0.1

1

t, hr

Fig. 3.22. Gráfico de MDH para el problema propuesto

10

279

1000

i s p ,' P * t y P

100

10 0. 001

0. 01

0. 1

1

10

t, hrs

Fig. 3.21. Gráfico de presión y derivada de presión para el problema propuesto

280

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281

13. Khelifa, M., Tiab, D., and Escobar F.H. “ Multirate Test in Horizontal Wells”. SPE 77951, Proceedings, SPE Asia Pacific Oil and Gas Conference and Exhibition, Melbourne, Australia 8-10 October 2002. 14. Lee, J. “Well Testing”. SPE textbook series Vol. 1. 1982 15. Lee, J., Rollins, J.B. and Spivey, J.P. “Pressure Transient Testing”. SPE Textbook Vol. 9. Richardson, TX, 2003. 16. Mathews, C.S. and Russell, D.G. “Pressure Buildup and Flow Tests in Wells”. SPE Monograph Vol. 1. 1967. 17. Molina, M.D. and Escobar, F.H. “Determination of Average Reservoir Pressure

for VerticalPlots Wellswithout in Naturally Fractured Reservoirs Pressure and Pressure Derivative Type-Curve Matching ”. XIfrom Congreso Colombiano del Petróleo. Oct. 18-21, 2005. 18. Moncada, K., Tiab, D., Escobar, F.H., Montealegre-M, M., Chacon, A., Zamora, R.A., Nese, S.L. “Determination of Vertical and Horizontal Permeabilities for Vertical Oil and Gas Wells with Partial Completion and Partial Penetration using Pressure and Pressure Derivative Plots without Type-Curve Matching”. CT&F – Ciencia, Tecnología y Futuro. Vol. 2, No. 6. P. 77-95. Dic. 2005. 19. Mongi, A., and Tiab, D. “Application of Tiab's Direct Synthesis Technique to Multi-Rate Tests” Paper SPE 62607 presented at the 2000 SPE/AAPG Western Regional Meeting held in Long Beach, California, 19–23 June 2000. 20. Rhagavan, R. “Well Test Analysis”. Prentice Hall. New Jersey. 1993 21. Sabet, M. “Well Testing”. Gulf Publishing Co. 1991. 22. Slider, H.C. “Slider”. “Wordlwide Practical Petroleum Reservoir Engineering Methods”. Impresión Revisada. PennWell Publishing Co. Tulsa, Oklahoma, EE.UU., 1983. 23. Stanislav, J.F. y Kabir, C.S. “Pressure Transient Analysis”. Prentice Hall. New Jersey, 1990. 24. Tiab, D. “Analysis of Pressure and Pressure Derivative without Type-Curve Matching: 1- Skin Factor and Wellbore Storage ”. Paper SPE 25423 presented at the Production Operations Symposium held in Oklahoma City, OK, Mar. 21-23, 1993. P. 203-216. Also, Journal of Petroleum Science and Engineering 12 (1995), p. 171-181. 25. Tiab, D. “Analysis of Pressure Derivative without Type-Curve Matching: Vertically Fractured Wells in Closed Systems”. Journal of Petroleum Science and Engineering 11 (1994) 323-333. This paper was srcinally presented as SPE 26138 at the 1993 SPE Western Regional Meeting, held May 26-28, Anchorage, Alaska. 26. Tracy G. W., Coats K. H., Kazemi H., Odeh A. S., Lebourg M., Prats M. y van Poollen H. K., “Pressure Analysis Methods ”, SPE Reprint Series No. 9, Published by the Society of Petroleum Engineers of AIME, 1967. 28. Slider, H.C. “A Simplified Method for Pressure Buildup Analysis for a Stabilized Well”. JPT Sept. 1971. Pág. 1155-1160. 29. Slider, H.C. “Application of Pseudosteady State Flow to Pressure –Buildup Analysis”. Paper SPE 1403 presentado en el simposio regional de la SPE-AIME en Amarillo, TX, EE.UU., Oct. 27-28 de 1966.

282

30. Molina, M.D., Escobar, F.H., Montealegre-M, M. and Restrepo, D.P. “Application of the TDS Technique for Determining the Average Reservoir Pressure for Vertical Wells in Naturally Fractured Reservoirs”. CT&F – Ciencia, Tecnología y Futuro. Vol. 2, No. 6. ISSN 0122-5383. 30. Escobar, F.H., Montealegre-M, M., and Cantillo, J.H. “ Pressure and Pressure Derivative Analysis for Depleted Reservoirs without Type-Curve Matching”. Paper SPE 100819, Proceedings, accepted for presentation at the SPE Asia Pacific Oil and Gas Conference and Exhibition (APOGCE), held in Adelaida, Australia 11-13, September 2006. 31. Pressure F.H., Ibagón,forO.E. and Montealegre-M, M.Fractured “AverageFormations Reservoir Escobar, Determination Homogeneous and Naturally from Multi-Rate Testing with the TDS Technique”. Journal of Petroleum Science and Engineering. Vol. 59, p. 204-212, 2007.

283

4. PRUEBAS DST 4.1. GENERALIDADES Una prueba DST (Drillstem Test) es una prueba de presión corta que se efectúa durante la perforación tubería de perforación. formada por pruebas de declinación y caída utilizando de presión laconsecutivas. Para correr Está un DST, una herramienta especial se coloca en la sarta de perforación y se baja a la zona a probar. La herramienta aísla la formación de la columna de lodo en el anular y permite que los fluidos de la formación fluyan a la sarta de perforación mientras se registra continuamente la presión2,4.

4.1.1. Propósito 1. Tomar una muestra del fluido del yacimiento. 2. Establecer la probabilidad de comercialidad. Normalmente se corre en pozos exploratorios y algunas veces en pozos de avanzada si la formación es muy heterogénea. 3. Determinar las propiedades de la formación y el daño. Estos podrían usarse para estimar el potencial de flujo del pozo. Además de proporcionar muestra del una tipomedida de fluido yacimiento, un buen DST da una indicación deuna la rata de flujo, de en las el presiones estáticas y de flujo y una prueba transitoria corta. Un DST puede en ciertos casos detectar barreras, si éstas son cercanas al pozo: fallas, discontinuidades, frentes de inyección, etc. y servir para la determinación de la presión inicial o la presión promedia.

4.1.2. Usos de los datos DST 1) Descripción del yacimiento 2) Un volumen recuperado. Cartas de tiempos de flujo y cierre y presiones de fondo vs. Tiempo

4.1.3. Información calculada de un DST

k, s y radio de investigación, distancia a fallas y presión promedia (si el tiempo de prueba lo permite).

284

4.2. COMPONENTES DE LA HERRAMIENTA Los principales componentes de una herramienta DST (ver Fig. 4.1), junto con sus respectivas funciones, son mostradas a continuación2:

Ancla: Sostiene el empaque en el lugar correcto y saca cortes o basuras que pueden taponar el equipo. Registradores de Presión: Normalmente son dos. Proporcionan un registro completo de lo que pasa en el pozo. Empaque: Puentea o separa el pozo en el punto inmediatamente sobre a la zona a probar. Válvula Igualadora de Presión (By-Pass): Permite al lodo fluir hacia abajo a través del empaque al final de la prueba. Iguala las presiones arriba y abajo de la herramienta haciendo fácil la sacada de la herramienta. Válvula Retenedora (Probadora): Previene la entrada del lodo a la sarta de perforación mientras se baja la herramienta. Retiene la muestra de fluido cuando se saca el equipo.

S E R O D A B O R P

Tubería de Perforación

S O C I L U A R

{

ID H

{ {

S E U Q A P M E

A L C N A

Válvula retenedora Válvula Igualadora Registrador de presión No. 1

Empaque de caucho

Ancla perforada

Formación porosa

Registrador de presión No. 2

Zapato del ancla

Fig. 4.1. Componentes de la herramienta DST

4.3. PROCESO DE PRUEBA 4.3.1. DST Convencional A) Mientras se baja la herramienta el empaque se colapsa permitiendo elevar el nivel del lodo

285

B) Una vez llegado al objetivo se fija el empaque (compresión y expansión) para aislar la zona inferior del resto del pozo C) Se opera la válvula retenedora de modo que la zona aislada se expone a la baja presión dentro de la sarta vacía. Causa que los fluidos de la formación entren a la sarta D) Al final de la prueba la válvula retenedora se cierra atrapando cualquier fluido sobre ella. Se abre la válvula igualadora para equilibrar presiones E) Se reduce el peso y se libera el empaque F) Se retira la sarta. Se invierte la prueba mediante el cierre de las preventoras e 2

inyección de lodo por el anular . 4.3.2. Prueba Straddle Packer. Aislar completamente una zona.

OIL

Fig. 4.2. Prueba Straddle Packer

4.4. CARTAS DE PRESIÓN DST 4.4.1. DST Convencional Los pasos en esta prueba se ilustran en la Fig. 4.3. 1) Captura de agua dentro de la sarta. Razones : reducir la presión de colapso de la sarta y reducir la presión diferencial en la formación y a través de los empaques cuando se para la herramienta 2) Bajando la herramienta. La curva es ocasionada por el incremento del peso de lodo 3) Máxima presión hidrostática 4) Se crea extra presión para fijar el empaque 5) abre ladeválvula Se libera presión empaques 6) Se Periodo flujo dedelaprueba. formación a la sarta. Aldebajo entrar de máslosfluido se incrementa la presión hidrostática

286

7) Se cierra la válvula de prueba y da lugar a una prueba de restauración de presión. 8) Se abre la válvula igualadora para equilibrar presiones debajo del empaque. 9) Se libera el empaque. 10) Se saca la herramienta.

4.4.2. DST Seco. Formación completamente impermeable (Lutitas). No hay flujo. Ver línea discontinua en la Fig. 4.4. 4.4.3. Condiciones Pobres en el Pozo. Ver Fig. 4.4. 1) Taponamiento Raspado de la torta 2) de la ancla perforada o la válvula de prueba 3) Arrastre o sacadas debido a condiciones pobre del pozo

4.4.4. Pruebas de Flujo Múltiple. Ver Fig. 4.5. 4.4.5. DST con Doble Cierre. Ver Fig. 4.6.

9 4 n ó i s re P

8

3

5

10

7

2 6 1

DST seco

Tiempo

Fig. 4.3. Esquema DST Seco2

4.5. METODO DE HORNER 1) Obtenga los puntos de presión de las cartas DST 2,4,6-8 2) Grafique P-vs-(tp+Δt)/Δt (gráfico Horner); Calcule k

k=

162.6q B mh

q = 24 R tp

(4.1)

287

9 8

4 3

10

p 5

7

2 6 1

DST

t

Fig. 4.4. Condiciones pobres en el pozo

n ió s e r P

Tiempo

Fig. 4.5. Prueba de Flujo Múltiple

n ió s e r P

tp2 tp1Tiempo

Fig. 4.6. DST con doble cierre

288

3) R es el aceite total recuperado en la sarta de perforación. El valor usado para tp usualmente es la longitud del periodo de flujo que precede. Sin embargo, si el periodo de flujo es muy largo, es más exacto usar la suma de la longitud de los periodos de flujo. tp = tp1 + tp2 4) Factor de daño

⎡P − P ⎤ ⎛ 1⎞ ⎛ k ⎞ s = 1.1513 ⎢ 1hr wf+( Δt+−=0) log ⎜⎜ 1+ ⎟⎟ log ⎜ 3.2275⎥ (4.2) 2 ⎟ m t φ μc r p t w ⎢ ⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦⎥ 5) Halle DR y FE

FE = 1 − DR =

ΔPs Pi − Pwft( Δ =0)

1 FE

(4.3)

(4.4)

ΔPs = 0.87(m) s 6) Radio de investigación

kt rinv = 0.029

p

φ μ ct

(4.5)

El almacenamiento no es muy significante en la porción de restauración de un DST puesto que el pozo se cierra cerca a la cara de la formación. Sin embargo, si se sospecha su existencia, se debe que parte de los datos deben analizarse. En formaciones con bastante espesor y baja permeabilidad o en yacimientos de gas, el almacenamiento puede ser significativo. Para variaciones significativas en la rata de flujo (análisis multiflujo) y cuando tp es menor que el tiempo de cierre, las siguientes ecuaciones se usan para modificar tp y q: N ⎛ ⎞ ∑j =1 q j (t 2j − t 2j −1 ) ⎟ ⎜ ⎟ t p * = 2⎜ tp − N ⎜ ⎟ 2 q ( t − t ) ∑ j j j 1 − ⎜ ⎟ j =1 ⎝ ⎠

(4.6.a)

289

q* =

1 N q j (t j − t j −1 ) tp * ∑ j =1

(4.6.b)

Usar la relación anterior en el gráfico de Horner

4.6. ESTIMACIÓN DE LA PRESIÓN PROMEDIO O INICIAL Estos parámetros pueden ser estimados mediante el cálculo de P* como se mostró en el capítulo 3 para (tp+Δt)/Δt=1 (tiempo de cierre infinito). Sin embargo, no son requeridas correcciones debido a la forma del yacimiento puesto que un DST tiene corta duración2. Así, generalmente para un DST:

Pi ≅ P *

Para una frontera con presión constante

o;

P ≅ P*

para un yacimiento finito

4.6.1. Método de datos limitados (Método en el sitio del pozo) En el sitio del pozo, los únicos datos de presión disponibles son: la presión hidrostática (lodo) inicial (IHP), la presión de cierre inicial ( ISIP), las presiones de flujo inicial y final (IFP1 y IFP2) de los periodos de flujo 1 ero y 2 do, las presiones de flujo final de los periodos de flujo 1 ero y 2 do ( FFP1 y FFP2), la presión de cierre final 2

(FSIP) y la presión hidrostática final (FHP). El tiempo de flujo total es definido por :

t p = t p1 + t p 2 La presión inicial del yacimiento o la presión promedia del yacimiento pueden asumirse así:

Pi ≈ P ≈ ISIP La permeabilidad del yacimiento puede ser estimada a partir de:

k=

162 .6qμB mE h

Siendo,

(4.7)

290

ISIP

P1 P2 P3

P4 P5

IHP Flujo inicial

Línea base

flujo

Ciclo de cierre inicial

Δt1 Δt2 Δt 3 Δt4 Δt5

Fig. 4.7. Carta típica DST2 Tabla 4.1. Datos de la Prueba DST – Datos del Cierre Inicial t, hrs

Pws, psi (t p+ t)/ t

P, psi t* P’,

t, hrs

Pws, psi

psi

(tp+ t)/ t

P, psi t* P’,

psi

0.01667 454.64 0.03334 668.73 0.05001 904.62 0.06668 1124.61 0.08335 1317.01

231.95 116.48 77.98 58.74 47.19

207.64 421.73 657.62 877.61 1070.01

220.58 469.80 676.55 799.53 844.48

0.33336 2184.23 0.3667 2204.5 0.4 2220.4 0.43334 2232.83 0.46668 2244.26

12.55 11.50 10.63 9.88 9.25

1937.23 1957.5 1973.4 1985.83 1997.26

248.74 217.39 190.93 167.27 149.30

0.10002 0.11669 0.13336 0.15003 0.1667 0.2 0.23334 0.26668 0.30002

39.49 33.99 29.87 26.66 24.10 20.25 17.50 15.44 13.83

1240.02 1377.46 1487.21 1577.82 1651.51 1760.38 1827.48 1877.08 1912.25

845.34 0.66667 0.5 2252.1 2280.43 810.61 0.75 2289.5 758.80 1 2304.41 700.33 2313.36 636.69 1.25 2314.6 526.67 1.333 2319.07 434.49 1.5 358.38 1.5533 2320.19 302.40

8.70 6.77 6.13 4.85 4.08 3.89 3.57 3.48

2005.1 2033.43 2042.5 2057.41 2066.36 2067.6 2072.07 2073.19

132.25 85.94 72.66 51.99 40.87 40.74 40.49 40.40

mE =

1487.02 1624.46 1734.21 1824.82 1898.51 2007.38 2074.48 2124.08 2159.25

ISIP − FSIP log [(t p + Δt )Δt ]

(4.8)

Siendo Δt el tiempo de cierre total o el tiempo cuando se lee FSIP. La Ec. 4.1 puede usarse para estimar la permeabilidad si ISIP = FSIP puesto que la Ec. 4.8 no se aplica.La Relación de daño se estima mediante:

291

⎛ ISIP − FFP2 ⎞ DR = 0.183⎜⎜ ⎟⎟ mE ⎝ ⎠

(4.9)

ó:

DR ≈

ISIP − FFP2 mE (4.43 + log t p )

(4.10)

Este método no es muy confiable ya que solo puede ser usado para datos limitados.

EJEMPLO La tabla 4.1 muestra las presiones registradas de un DST que fue corrido en un pozo de petróleo. Determinar la permeabilidad, y el factor de daño para este pozo, igual que la presión promedio para este yacimiento. La información relevante concerniente al pozo, fluido y el yacimiento es:

rw = 0.25 ft h = 25 ft φ = 10 % B = 1.2 bbl/STB tp1 flujo inicial = 0.85 hrs μ = 1.1 cp tp2 flujo final = 3 hrs R = 22.43 bbl ct = 1.2x10-6 1/psi Pwf = 247 psi Caudal de petróleo promedio durante el periodo de flujo inicial = 372 BPD. Verifique los resultados con la TDST. SOLUCION Usando tp = 0.085 hrs para los datos de cierre inicial y tp = 3 hrs para los datos de cierre final, los valores de (tp+Δt)/Δt son calculados y reportados en la tabla 4.1. Un gráfico Horner fue construido y presentado en la Fig. 4.8.a. En este gráfico, la pendiente es –102.5 psi/ciclo. Entonces la permeabilidad es estimada usando la Ec. 4.1:

k=

162.6q μ B 162.6(372)(1.1)(1.2) = = 31.2 md mh (102.5)(25)

El factor de daño se calcula de la Ec. 4.2 con P1hr = 2375.6 psi: ⎡ 2375.6 − 247 ⎤ ⎛ ⎞ 1 ⎞ 31.2 ⎛ s = 1.1513 ⎢ log ⎜1 3.2275⎥ 16.71 +− = ⎟ log ⎜+(0.1)(1.1)(1.2 ×10−6 )(0.252 ) ⎟⎠ ⎝ 3.85 ⎠ ⎝ ⎣ 102.5 ⎦

De la Fig. 4.8, P = P* = 2400 psi

292

P* = 2400 psi

2500

P1hr = 2375.6 psi 2000

m=102.5

psi

i s1500 p , s w

P1000

500

0 1000

100

(tp + Δt)/Δt

10

1

Fig. 4.8.a. Gráfico Horner 10000

(ΔP*)r = 2067.6 psia i s 1000 p ,' *) P Δ *(t y * P 100 Δ

[t*(ΔP*)']r = 40.89 psia

tr = 1.33 hr 10 0.01

0.1

1

10

Δt, hr

Fig. 4.8.b. Gráfico de presión y derivada de presión Usando la TDST, con los datos datos en la tabla 4.1, se obtiene la Fig. 4.8.b, de donde tr = 1.33 hrs. La se obtiene (t*ΔP’)r = 40.89 psi, ΔPr = 2066.49 psi y permeabilidad y el daño se hallan de las Ecs. 2.69 y 2.96, respectivamente:

k=

70.6q μ B

h(t * ΔP)

r

=

70.6(372)(1.1)(1.2) (25)(40.89)

r

= 33.96 md

293

⎡ ΔPr ⎛ kt ⎞⎤ s=⎢ − ln ⎜ r 2 + 7.43 ⎟⎥ t P c r ( * Δ ') φμ r ⎝ tw ⎠⎦⎥ ⎣⎢ ⎡ 2067.6 ⎛ ⎞⎤ (33.96)(1.33) s = ⎢− ln ⎜ += −6 7.43 ⎟ ⎥ 18.94 2 ⎝ (0.1)(1.1)(1.2 × 10 )(0.25 ) ⎠⎦ ⎣ 40.89 Se observa una buena concordancia entre los datos obtenidos por el método convencional y el método TDST.

4.7. DISTANCIA A UNA DISCONTINUIDAD Normalmente, cualquier tipo de barrera al flujo no puede ser vista en un DST ya que el tiempo es muy corto para afectar el gráfico semilog. Sin embargo, en estos casos donde los periodos de flujo son bastante largos para observar desviaciones de la pendiente semilog, la cual refleja cambios en la transmisibilidad del yacimiento, fallas, discontinuidades, condiciones de frontera o geometría del yacimiento como se ilustra en la Fig. 4.9. Algunos de los métodos para estimar la distancia a las fronteras serán mostrados posteriormente1,2,3,5,7,8.

4.7.1. Método de Horner

⎛ 948φμct d 2 ⎞ ⎟ = ln⎛⎜⎜ t p + Δt ⎞⎟⎟ − Ei⎜⎜ − ⎟ kt p ⎝ Δt ⎠ x ⎝ ⎠

(4.11)

Cuando una línea de presión constante es encontrada a una distancia “ d” del pozo, la Ec. 4.11 también aplica1.

4.7.2. Método de Dolan, Einarsen y Hill Ellos simplificaron la Ec. 4.11 asumiendo que la función exponencial puede ser reemplazada por la aproximación logarítmica3,4, así:

d = 0.024337

kt p ⎛ t p + Δt ⎞ ⎟⎟ φμct ⎜⎜ ⎝ Δt ⎠ x

4.7.3. Método de Ishteiwy y Van Poollen Ellos llegaron a la siguiente correlación empírica3:

(4.12)

294

b) Cambio en el tipo de fluido

a) Barrera de no flujo (falla)

GAS

OIL

k2

k1

h2

h1

k1 < k2

h1 < h2

b) Cambio en espesor de la zona productora

b) Cambio de permeabilidad (facies)

Fig. 4.9. Tipos de discontinuidades3

ps

is p , s

m

lo ic i/c

21 13 =

w

P

[(tp+Δt)/Δt] x = 1.55

10

1

(tp+Δt)/Δt

Fig. 4.10. Gráfico Horner – Pozo cercano a una discontinuidad

t ⎛ t p + Δt ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = pD ⎝ Δt ⎠ x 1.13 donde;

(4.13)

295

t pD =

0.0002637 φμct d 2

(4.14)

Introduciendo la Ec. 4.14 en la Ec. 4.13 y solucionando para la distancia, d, se tiene:

kt p ⎛ t p + Δt ⎞ ⎟⎟ φμct ⎜⎜ ⎝ Δt ⎠ x

d = 0.015276

(4.15)

4.7.4. Método de Bixel y Otros Estos investigadore spresentaron las siguientes relaciones3. Para pruebas de declinación:

d = 0.0307

ktx

(4.16)

φμct

Para restauración de presión, su ecuación fue la misma Ec. 4.14.

EJEMPLO Gibson y Campbell3 presentaron datos de DST corridos en la formación Red del condado Major, Oklahoma. El pozo se trató para trabajos de completamiento con aproximádamente 480 BPD. El gráfico de Horner se suministra a continuación.

q = 118 BPD φ = 12 %

ct = 8.2x10-6 psi-1 B = 1.1 bbl/STB

μ = 1.3 cp

m = 1321 psi/cycle

tp = 4 hr A) Determine la permeabilidad B) Determine la distancia a la discontinuidad usando los métodos mencionados C) Puesto que no hay falla o frontera cerca al pozo, que sugiere que pueda ser la discontinuidad?

SOLUCION a) Permeabilidad Pueso que la pendiente se da, la permeabilidad se obtiene de:

296

k=

162.6qμ B 162.6(118)(1.1)(1.3) = = 1.38 md (15)(1321) mh

b) Determine la distancia a la discontinuidad usando los métodos mencionados De la Fig. 4.10, [( tp+Δt)/Δt]x = 1.55. Aplicando el método de Horner se tiene:

⎛ 948φμct d 2 ⎞ ⎟ = ln⎛⎜⎜ t p + Δt ⎞⎟⎟ − Ei⎜⎜ − ⎟ ⎝

kt p

⎠

⎝ Δt ⎠ x

⎛ 948(0.12)(1.3)(8.2 × 10−6 )d 2 ⎞ ⎟⎟ = ln1.55 − Ei⎜⎜ − 1.38(4) ⎝ ⎠ − Ei−⎡⎣×( 2.1969 =10−4 )d 2 ⎤⎦ 0.4383 Interpolando de la tabla 1.3; 2.1969 ×10−4 d 2 = 0.618 luego, d = 53 ft Usando el método de Dolan, Einarsen y Hill, Ec. 4.12:

d = 0.024337

kt p 1.38(4) = 0.024337 = 40.7 ft (0.12)(1.3)(8.2 ×10−6 )(1.55) ⎛ t p + Δt ⎞ φμ ct ⎜ ⎟ ⎝ Δt ⎠ x

Método de Ishteiwy y van Poollen, Ec. 4.15:

d = 0.015276

kt p φμ ct ( (t p + Δtt) / Δ

)x

= 0.015276

1.38(4) = 25.5 ft (0.12)(1.3)(8.2 ×10−6 )(1.55)

c) Puesto que no hay falla o frontera cerca al pozo, que sugiere que pueda ser la discontinuidad? La pendiente decrece, sin embargo, hay evidencia de una “ barrera de pr presi sión const stante”. El mejoramiento en la transmisibilidad podría deberse al tratamiento que el pozo recibió antes de la prueba.

297

PROBLEMA PROPUESTO La tabla 4.2 presenta los datos para el Segundo periodo de un DST que se condujo en un yacimiento Nuevo. Otros datos de importancia se dan a continuación:

ct = 32x10-5 /psi tp = 185.1 min Pwf = 1983 psi

B = 1.22 bbl/STB h = 32 ft rw = 4 in

μ = 2.3 cp φ = 19 %

q = 220 BPD

Estime la presión promedio y determine permeabilidad, daño, relación de daño usando el método convencional y la TDST. Tabla 4.2. Datos DST – Periodo de cierre final t, hrs

Pws, psi

0 0.0167 0.0333 0.05 0.0667 0.0834 0.1 0.15 0.2

1317.72 1456.00 1624.88 1689.50 1739.36 1780.17 1813.03 1888.98 1942.25

(tp+ t)/ t

186.063 93.531 62.688 47.266 38.013 31.844 21.563 16.425

t* P', psi

t, hrs

164.625 212.555 183.185 175.606 178.752 183.519 180.324 180.958

0.3 0.4 0.5 1 1.5 2 4 6 10

Pws, psi

(tp+ t)/ t

2012.53 2059 2089.6 2173.47 2212.01 2236.94 2281.15 2295.89 2312.89

11.283 8.713 7.17 4.085 3.057 2.543 1.771 1.514 1.309

t* P', psi 164.923 144.155 129.961 111.956 89.0582 75.7271 52.0588 39.2582 44.2931

2400

2200

i s p ,

s w 2000

P

1800

1600 100

10

(tp+Δt)/Δt

Fig. 4.11. Gráfico Horner para el problema propuesto

1

298

1000

i s p ', P * t

100

& P

10 0 .0 1

0. 1

1

10

t, min

Fig.4.12. Gráfico de presión y derivada de presión para el problema propuesto

299

REFERENCIAS 1. Dake, L.P. “The Practice of Reservoir Engineering - Revised edition”. Elsevier Developments in Petroleum Science. Second impresión. Amstrerdam, Holanda, 2004. 2. Earlougher, R.C., Jr., “Advances in Well Test Analysis”, Monograph Series Vol. 5, SPE, Dallas, TX, 1977. 3. Discontinuity Gibson, J.A., from and D.S.T. Campbell, Distance PaperJr.SPE“Calculating 3016 presented at the to45tha Data”.A.T., Annual Fall Meeting of the SPE of AIME held in Houston, TX, Oct. 4-7, 1970. 4. Lee, J., Rollins, J.B. and Spivey, J.P. “ Pressure Transient Testing”. SPE Textbook Vol. 9. Richardson, TX, 2003. 5. Odeh, A. S. “Flow Tests Analysis for a Well with Radial Discontinuities”. JPT (Feb. 1969): 328-334. 6. Sabet, M. “Well Testing”. Gulf Publishing Co. 1991. 7. Slider, H.C. “Slider”. “Wordlwide Practical Petroleum Reservoir Engineering Methods”. Impresión Revisada. PennWell Publishing Co. Tulsa, Oklahoma, EE.UU., 1983. 8. Stanislav, J.F. y Kabir, C.S. “Pressure Transient Analysis”. Prentice Hall. New Jersey, 1990.

300

5. HETEROGENEIDADES Los métodos de análisis de presión disponibles están basados en suposiciones basados en la ley de Darcy, por ejemplo, una formación homogénea y horizontal de espesor uniforme, con distribuciones de porosidad y permeabilidad isotrópica y constante. El tema del comportamiento de la presión en yacimientos heterogéneos ha tenido considerable atención en los últimos años. La principal razón de ésto, es la necesidad de una mayor exactitud en la descripción del yacimiento. La descripción del yacimiento tiene un efecto significativo en el diseño, operación, y por lo tanto, el éxito económico del proceso involucrado. Puesto que estos métodos pueden ser aplicados solo una vez al yacimiento, es obvia la necesidad de una descripción confiable del yacimiento2,3,6,14. Se pueden usar dos técnicas para describir yacimientos son los trazadores y las pruebas de transiente de presión. Las pruebas de transiente de presión han sido más usadas (y con mejores resultados) que los trazadores. La determinación de la eficiencia de barrido volumétrica es un problema que tiene un mejor potencial de ser solucionado por los trazadores. Actualmente, la descripción de la heterogeneidad del yacimiento mediante el ajuste del comportamiento del trazador es afectada por la falta de modelos numéricos adecuados, el mucho tiempo gastado para obtener los resultados, y la dependencia del ajuste a los parámetros adicionales que son introducidos por los mismos trazadores, (por ejemplo, coeficientes de dispersión, retención del trazador, etc.). Es muy posible que los trazadores y las pruebas de transiente de presión en el futuro sean usadas al mismo tiempo para la descripción del yacimiento3.

5.1. TIPOS DE HETEROGENEIDADES DEL YACIMIENTO Las heterogeneidades del yacimiento, ver Fig. 4.9, son variaciones en las propiedades de la roca y el fluido resultantes de la depositación, plegamiento, fallamiento, cambios postdepositacionales en la litología del yacimiento, y cambios en las propiedades o tipos de fluidos. Las heterogeneidades del yacimiento pueden ser de pequeña escala, como en yacimientos carbonatados donde la roca tiene dos constituyentes, matriz y fracturas, cavidades y cavernas. Estas también pueden ser de mayor escala, tales como barrearas físicas, fallas, contactos fluido-fluido, cambios de espesor, cambios de litología, varias capas con diferentes propiedades en cada capa, etc. Adicionalmente a estas heterogeneidades naturales, el hombre puede inducir heterogeneidades artificiales alrededor de la cara del pozo durante la perforación (invasión de lodo), el fracturamiento hidráulico, o la inyección de fluido3. Otra característica relacionada es la anisotropía en la permeabilidad, es decir cuando esta propiedad varía con la dirección de flujo. La anisotropía también puede ser

301

causada por procesos sedimentarios (depósitos de canales llenos) o por tectonismo (orientación de fracturas en sentido paralelo). La anisotropía toma lugar tanto en yacimientos homogéneos como heterogéneos. Por lo tanto, la anisotropía no implica heterogeneidad. La mayoría de los yacimientos tienen permeabilidad vertical menos que la horizontal, de modo que existe anisotropía en ese sentido.

5.2. SISTEMAS DE FRONTERA SENCILLA En general, para localizar fallas se requiere una prueba suficientemente larga para explorar el yacimiento a profundidad, por lo menos cuatro veces la distancia a la falla.

5.2.1. Pruebas de Restauración de Presión Aplicando el principio de superposición, la presión de cierre adimensional y dimensional para un pozo cercano a la frontera están dadas, respectivamente, por5-10: ⎛ 2d ⎞ ⎛ 2d ⎞ PDS = [PD (1,(t p + Δt )D ) + s ] − [PD (1, Δt D ) + s ] + pD ⎜⎜ , (t p + Δt )D ⎟⎟ − p D ⎜⎜ , ΔtD ⎟⎟ r r ⎝ w ⎠ ⎝ w ⎠ ⎤ 162.6qμB ⎡ ⎛ k (t p + Δt ) ⎞ ⎟ − 3.23 + 0.869s ⎥ Pi − Pws = ⎢log⎜ kh ⎣ ⎜⎝ φ μct rw2 ⎟⎠ ⎦ ⎤ 70.6qμB ⎡ ⎛ − 3792φ μ ct d 2 ⎞ ⎤ 162.6(− q) μB ⎡ ⎛ kΔt ⎞ ⎟⎥ ⎟ + ⎢ − Ei⎜ ⎢log⎜⎜ 2 ⎟ − 3.23 + 0. 869s ⎥ − kh φ μ c r kh ⎣⎢ ⎜⎝ k (t p + Δt ) ⎟⎠ ⎦⎥ t w ⎠ ⎣ ⎝ ⎦ 2

φ μ ct d ⎟⎞⎤⎥ − 70.6(kh −q ) μB ⎡⎢− Ei⎛⎜ − 3792kΔ t ⎠⎦ ⎣ ⎝

(5.1) Para un tiempo de producción, tp, suficientemente largo y para tiempos muy cercanos al tiempo de cierre, la Ec. 5.1 puede ser expresada así: Pws = Pi −

2 ⎤ ⎛ − 3792φ μ ct d 2 ⎞ 162.6qμB ⎡ ⎛ t p + Δt ⎞ ⎟ + 0.434 Ei⎛⎜⎜ − 3792φ μ ct d ⎞⎟⎟⎥ ⎟⎟ − 0.434 Ei⎜⎜ ⎢log⎜⎜ ⎟ kh ⎣⎢ ⎝ Δt ⎠ kΔt ⎝ ⎠⎦⎥ ⎝ k (t p + Δt ) ⎠

(5.2) A tiempos lejanos, los valores predichos por la Ec. 5.2 empiezan a desviarse hacia arriba de la línea recta en semilog. Los cálculos de d requieren la estimación de ΔPL el cual es la diferencia entre las funciones exponenciales:

ΔPL =

⎛− ⎛ − 3792 φ μ ct d 2 ⎞⎤ ⎛ − 3792 φ μ ct d 2 ⎞ φ μ ct d 2 ⎞⎟ 70.6qμB ⎡ ⎜ ⎟⎥ ⎟⎟ + Ei ⎜⎜ 3792 − Ei ⎢− Ei⎜⎜ ⎟ ⎜ ⎟

kh

⎣⎢

⎝

kΔt

⎠

⎝

k (t p + Δt )

⎠

⎝

kt p

⎠⎦⎥

302

b) Prueba Buildup - Grafico Horner

a) Prueba Drawdown

2m m f w

m

s w

P

P

⎛ t p + Δt ⎞ ⎜⎜ Δt ⎟⎟ ⎝ ⎠x

2m

tx

log t

⎛ t p + Δt ⎞ ⎟ log ⎜ ⎜ Δt ⎟ ⎝ ⎠

c) Prueba Buildup - Grafico MDH 2m

s w

m

P

(Δt) x

log Δt

Fig. 5.1. Identificación de fronteras lineales de gráficos semilog 12

d puede ser calculada por un procedimiento de ensayo y error usando la ecuación anterior. Sin embargo, siempre que tp >> Δt, la Ec. 5.2 se convierte en: Pws = Pi −

+tΔ t 162.6q μ B ⎛ t p ⎞+ Δt 162.6⎛ q μ⎞B p log ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ log Δt kh kh ⎝ ⎠Δt ⎝ ⎠

ó;

Pws = Pi −

325.2q μ B

⎛ t + Δt ⎞ log ⎜ p ⎟

(5.3)

kh ⎝ Δt ⎠ Observando la comparación entre las Ecs. 3.6 y 5.3, la pendiente es el doble en la Ec. 5.3. En otras palabras la Ec. 5.3 puede ser expresada como: ⎛ t + Δt ⎞ ⎟⎟ Pws = Pi − 2m log⎜⎜ p ⎝ Δt ⎠

(5.4)

Esta ecuación en una gráfica de restauración de presión, muestra que la pendiente eventualmente será el doble siempre que la perturbación de la presión haya alcanzado una barrera lineal tal como una falla. Una vez la pendiente es doblada, d puede ser fácilmente calculada leyendo el tiempo de intercepción de la línea recta de la pendiente m con la línea recta de pendiente 2m, como se ilustra en las Figs. 5.1.b y 5.1.c. Este comportamiento también es presentado en un gráfico de presión de declinación como lo indica la Fig. 5.1.a. Sin embargo, la pendiente de una gráfica de presión de restauración normal no cambiará para la parte temprana de la presión de restauración. Así, esta porción de línea recta temprana con pendiente m puede ser usada para calcular k, s y C como se discutió en el capítulo 3. La extrapolación de la línea recta de doble pendiente es usada para la estimación de la presión promedio.

303

Este redoble en la pendiente se presenta en pruebas multitasa, de inyección, de declinación, etc. Cuando un pozo está cerca a barreras múltiples se pueden presentar diferentes características del transiente de presión. Por ejemplo, cuando existen dos fallas interceptándose en ángulo recto cerca a un pozo (una más cerca que la otra), la pendiente se duplicará y luego se redoblará. En términos generales las pendientes que se obtienen son función de los ángulos de intersección dada por la siguiente ecuación13: Nueva Pendiente =

360

m

θ

De igual manera las líneas horizontales de flujo radial en la derivada adimensional y dimensional serán: (t D * PD ') Nueva = (t * ΔP ') Nueva =

360 2θ

360 (t * ΔP ') r 2θ

5.2.2. Métodos para Calcular la Distancia a las Discontinuidades Lineales de Gráficas de restauración de presión 5.2.2.1. Método de Horner Siempre que ΔtD > 25, la distancia a una discontinuidad puede ser solucionada a partir de la siguiente correlación empírica2,3,11.

d = 0.01217

Δt D =

kt p 1 φ μ ct ⎛ t p + Δt ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ Δt ⎠ x

0.0002637 kΔt φμct d 2

(5.5)

(5.6)

Para valores pequeños de tp, el método de Horner es menos exacto.

EJEMPLO Los datos dedepresión obtenidos delúnicamente pozo Bravo-1 West –Texas. Este siguientes es un yacimiento calizas fueron con influjo de agua en laenporción del sur. Los datos geológicos indican la presencia de una frontera (Raven) al oriente del pozo.

304

Ver los datos de restauración en la tabla 5.1. La propiedades de la roca y del fluido son las siguientes:

rw = 5 in ct = 22x10-5 /psi Pi = 3750 psi Np = 9000 STB

h = 18 ft

φ = 14 %

μ = 1.8 cp

B = 1.31 bbl/STB q = 180 BPD

ρ = 56.8 lbm/ft3

Encontrar: Permeabilidad del yacimiento, eficiencia de flujo y distancia a la frontera Raven, usando los métodos de Horner. SOLUCION Permeabilidad del yacimiento. En la Fig. 5.2 se da un gráfico de Horner (semilog de

Pws vs. (tp+Δt)/Δt), donde tp = 24 Np/q = (24)(9000)/80 = 1200 hrs. Tómese la porción de línea recta con pendiente m = 66 psi/ciclo (línea de comportamiento infinito). La permeabilidad de la formación será:

k=

162.6qμ B 162.6(180)(1.8)(1.31) = = 58.1md mh 66(18)

La eficiencia de flujo es estimada mediante: FE = 1 −

ΔPs P* − P wf ( Δt= 0)

Donde:

ΔPs = 0.87 ( m ) s Tabla 5.1. Datos de Presión de Restauración t, hrs Pws, psi (tp+ t)/ t

0 0.5 0.7 1.1 1.6 2.5 3.5 5 7 50

2900 3090 3118 3170 3199 3240 3278 3290 3302 3450

2401.00 1715.29 1091.91 751.00 481.00 343.86 241.00 172.43 5.80

t, hrs Pws, psi (tp+ t)/ t

9 13 20 30 40 50 70 100 150 2

3310 3320 3333 3343 3350 3363 3382 3400 3423

134.33 93.31 61.00 41.00 31.00 25.00 18.14 13.00 9.00

305

3700

3600

3500

i 3400 s p ,s

6 psi/ m1=-6

ciclo

lo /cic psi

P*=3435 psi

w 3300

P

6 -13 m= 2

p1hr = 3245 psi

⎛ t p + Δt ⎞ ⎜ Δt ⎟ = 27 ⎝ ⎠x

3200

3100

3000 10000

1000

100

10

1

⎛ tp + Δt ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ Δt ⎠

Fig. 5.2. Gráfica de Horner De la Fig. 5.2, P1hr = 3245 psia. Por lo tanto el factor de daño es:

⎡P −P ⎤ ⎛ k ⎞ s = 1.1513 ⎢ 1hr wf ( Δt =0) − log ⎜ + 3.23⎥ 2 ⎟ m ⎝ φμct rw ⎠ ⎣⎢ ⎦⎥ ⎡ 32452− 900 ⎤ ⎛ ⎞ 58.1 ⎟ 3.23⎥ 1.7 s = 1.1513 ⎢ − = + log ⎜ 2 ⎢ ⎥ 66 ⎜ ( 0.14)( 1.8 ) ( 22 ×10 −5 ) ( 0.416 ) ⎟⎠ ⎝ ⎣ ⎦

ΔPs = 0.87 ( 66 )1.7 = 97.6 psia . P* = 3435 psia (extrapolando la primer línea recta), entonces: FE = 1 −

97.6 = 81.8 % 3435 − 2900

Lo anterior significa que es necesaria una estimulación. La distancia a la frontera

lineal es encontrada de las Ecs. 5.5, 5.7.a y 5.7.b, respectivamente: d = 0.01217

k Δt p 1 58.1(1200) = 0.01217 = 83 ft φμct ⎡⎣(t p + Δt ) / Δt ⎤⎦ (0.14)(1.8)(22 ×10 −5 )(27) x

5.2.2.2. Método de David y Hawkins Utilizaron cualquiera de los gráficos MDH, Fig. 5.1.c., o Horner, Fig. 5.1.b así:

306

d = 0.01217

kΔt x

(5.7)

φ μ ct

De la gráfica MDH, es obtenida directamente Δtx. Por el gráfico de Horner Δtx tiene que ser solucionado de [(tp+Δt)/Δt]x. Esta ecuación es estrictamente válida para [(tp+Δt)/Δt]x ≥ 30. Una desventaja para este método es que requiere largos tiempos para que la pendiente sea doble2,11,14Esto tiene lugar cuando: 2

Δt = 380000 φ μ kct d Cuando d es largo o k es pequeño, la pendiente puede no ser el doble en una prueba de restauración de presión típica. Kucuk y Kabir19 hicieron una modificación a la Ec. 5.7 para obtener:

d = 0.00431

kts 2 r φμct

ts2r es el inicio de la segunda recta semilog que puede hallarse mejor en el gráfico de la derivada

Tabla 5.2. Datos de restauración de presión t, hrs Pws, psia 0 2665 0.1 2940 0.2 2970 0.5 3009 1 3040 2 3070

(tp+ t)/ t 10081 5041 2017 1009 505

t, hrs Pws, psia 5 3111 10 3148 20 3192 50 3258 100 3311 200 3361

(tp+ t)/ t 202.6 101.8 51.4 21.16 11.08 6.04

EJEMPLO Un pozo de petróleo produjo 4410 STB de petróleo y fue cerrado. El caudal de producción promedio fue de 105 STB/día. El pozo está ubicado en un área donde se supone existe una discontinuidad en la permeabilidad (falla). Además, los efectos de almacenamiento en la cara del pozo son despreciables. Los datos de restauración de presión y de la roca son presentados, estimar entonces la distancia a la discontinuidad usando el método de David y Hawkins, la permeabilidad de la formación, y el factor de daño. Las propiedades de la roca y el fluido para este sistema son:

307

3400 3350 3300 3250

si p ,s

w

P

2

m

3200

0 19 =-

o icl i/c ps

3150 3100 3050 3000

iclo 00 psi/c 1 m1=

⎛ t p + Δt ⎞ ⎜⎝ Δt ⎟⎠X = 73

2950 2900 10000

1000

100

10

1

⎛ t p + Δt ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ Δt ⎠

Fig. 5.3. Gráfico de Horner

q = 105 BPD

rw = 0.33 ft

φ = 16 %

μ = 0.87 cp

ct = 18.4x10-6 /psi

k = 9.9 md

h = 19 ft B = 1.27 bbl/STB

SOLUCION Calcule el tiempo Horner de:

tp =

24 N p 24(4410) = = 1008 hr q 105

De la gráfica de Horner en la Fig. 5.3, se observa que m2/m1≈ 2.0, lo cual indica una discontinuidad. De la intercepción de las dos líneas rectas, [(tp+Δt)/Δt]x =73. Puesto que tp es 1008 hrs, entonces Δtx = 14 hrs. La distancia a la discontinuidad es solucionada de la Ec. 5.7:

d = 0.01217

k Δt x φ μ ct

= 0.01217

9.9(14) = 90 ft 0.16(0.87)(18.4 ×10−6 )

Así, la distancia a la discontinuidad es aproximadamente 90 ft.de Sin la dirección a la discontinuidad no puede ser determinada adepartir estaembargo, prueba del pozo.

308

EJEMPLO Los datos de restauración de presión tabulados a continuación fueron medidos durante una prueba a un pozo localizado en le campo Bay Marchand, costa afuera de Lousiana. El pozo ha producido 203280 STB de petróleo desde el último cierre. La rata estabilizada después del cierre fue de 336 BOPD. Otros datos importantes son:

q = 336 BPD

rw = 0.286 ft

φ = 30 %

μ = 1.87 cp

-6

ct = 10x10 /psi

h = 27 ft B = 1.217 bbl/STB

Pwf = 4473 psi

Los datos de la sísmica indican la presencia de una falla, posiblemente junto con el área de drenaje del pozo de prueba. Los datos de la prueba confirman la presencia de esta falla?. Si es así, estime la distancia a la falla usando el método de David y Hawkins. Estimar la permeabilidad efectiva en el pozo. Tabla 5.3. Datos de restauración de presión t, hrs Pws, psi

0 4473 0.5 4482 1 4486 2 4 490 4 4 494 86 10 12 14

508 4 516 4520 4524 4528

(tp+ t)/ t t, hrs Pws, psi (tp+ t)/ t Pws, psi

27041.0 13521.0 6761.0 3381.0

16 20 24 28 32 36

4534 4538 4548 4552 4557 4562

846.0 675.0 564.3 483.9 423.5 376.6

4534 4538 4548 4552 4557 4562

2254.3 1691.0 1353.0 1125.7 966.7

40 44 48 52 61

4567 4572 4576 4580 4580

339.0 308.3 282.7 261.0 222.6

4567 4572 4576 4580 4580

SOLUCION

tp es 14520 hrs usando la Ec. 4.6.b. De la gráfica de Horner presentada en la Fig. 5.4, son aparentes tres líneas rectas. Estas líneas tienen pendientes m1 = -13, m2 = -57, y m3 = -100 psi/ciclo. Si una falla está presente, se espera que dos líneas rectas con una relación de pendientes aproximada a dos, se presente. Observando las primeras dos líneas m2/m1=4.4 y m3/m2=1.8. Sin hacer un análisis más detallado, la segunda línea representa el flujo transiente en el yacimiento y la tercera línea se debe a la falla. Por consiguiente, la primera línea se debe probablemente a la estimulación de la cara del pozo. La permeabilidad es obtenida a partir de la pendiente de la segunda línea, entonces:

309

4600

4580

4560

m

i 4540 s p , s w P4520 4500

m

-57 2=

2

0 10 =-

i/ ps

lo cic

lo /cic psi

⎛ t p + Δt ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = 650 ⎝ Δt ⎠ x

iclo m1=-13 psi/c

4480

4460 10000

1000

100

⎛ tp + Δt ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ Δt ⎠

Fig. 5.4. Gráfica de Horner

k=

162.6q B (162.6)(336)(1.88)(1.217) = = 81 md m2 h (−57)(27 )

La intercepción de las líneas 2 y 3 ocurre en [(tp+Δt)/Δt]=650. Así, Δtx = 22.4 hrs. De la Ec. 5.7, la distancia a la falla puede ser calculada:

d = 0.01217 φμ kΔctx = 0.01217 (0.30)( (181.)(88 ) 22(10.)4× 10 − 6 ) = 218 ft t El tipo de comportamiento de presión observado en la Fig. 5.4 podría ser causado por el fallamiento.

5.2.2.3. Método de Earlougher Este método generalmente arroja resultados exactos para todos los tiempos 2,3.

d = 0.008119

kt p ⎛t ⎞ φ μ ct ⎜⎜ D2 ⎟⎟ ⎝ rD ⎠

(5.8)

donde; 1 t t PD = ln⎛⎜⎜ p + Δ ⎞⎟⎟ 2 ⎝ Δt ⎠ x

(5.9)

310

3400

P i = 3361 psi 3300 2

=

34 6. 19

lo ic i/c ps

m

i s p ,s

3200

w

P

3100

p .94 99

i si/c

clo Δtx = 15 hr

m1 = 3000

Δt s = 1300 hrs 2900 0,1

1

10

100

1000

10000

Δt, hr

Fig. 5.5. Gráfico MDH para Estimar la Distancia a una Falla Note que tD/rD2 es desconocido y debería ser estimado usando la Fig. 1.10 o su ajuste estadístico que se presenta inmediatamente después de dicha Figura. El método de Earlougher no es recomendable cuando tp >> Δt usando la Ec. 5.9.

EJEMPLO Para los datos de restauración de presión dados en el segundo ejemplo (tabla 5.2), calcular permeabilidad, factor de daño y determinar si existe o no una falla que no haya sido detectada. Si es así, estimar la distancia pozo a la falla usando la gráfica MDH y el método Earlougher.

SOLUCION De las Figs. 5.3 y 5.5 la pendiente en la región de comportamiento infinito está alrededor de 100 psi/ciclo. Se observa también que m2/m1 = 1.9 ≈ 2.0, lo cual indica una discontinuidad (falla). La permeabilidad es estimada de la Ec. 3.8:

k=

162.6q B 162.6(105)(0.87)(1.27) = = 9.93 md m1h 100(19)

De la tabla 5.2, P1hr = 3040 psia, el factor de daño se estima con la Ec. 2.40,

⎡ P1hr − Pwf ( Δt =0)

s = 1.1513⎢⎣

m

⎤ ⎛ k ⎞ − log⎜⎝ φμct rw2 ⎟⎠ + 3.23⎥⎦

311

⎡ 30402− 665 ⎤ ⎛ ⎞ 9.93 s = 1.1513 ⎢ − log ⎜ − =+ −6 3.23⎥ 2 ⎟ 100 0.16(0.87)(18.4 × 10 )(0.33 ) ⎝ ⎠ ⎣ ⎦

0.6

De la Fig. 5.5, Δtx = 15 hr. Usando la Ec. 5.7:

kΔt x

d = 0.01217

φ μ ct

= 0.01217

(9.93)(15) = 92.8 ft (0.16)(0.87)(18.4 × 10− 6 )

De la Fig. 5.3, [( tp+Δt)/Δt]x = 73. Usando la Ec. 5.5, se tiene: d = 0.01217

kt p φ μ ct ⎣⎡ (t p

1 (9.93)(1008) 1 = 0.01217 = 89.05 ft (0.16)(0.87)(18.4 ×10−6 ) 73 + Δt ) / Δt ⎦⎤ x

Usando el método de Earlougher se estima PD de la Ec. 5.8: 1 ⎛ t + Δt ⎞ 1 ⎟ = ln(73) = 2.14523 PD = ln⎜⎜ p 2 ⎝ Δt ⎟⎠ x 2 y usando la Fig. 1.10 ó su ajuste estadístico x =log(PD) = log(2.14533) = 0.3314738

y=

0.53666 + (1.8432)(0.3515) = 1.5692 1 − (0.8503)(0.3515) + (0.11997 )(0.3515)2

tD = 10 y = 101.5692 = 37.09 . La distancia a la falla se estima con la Ec. 5.8: rD2

d = 0.008119

kt p (9.93)(1008) = 0.008119 = 83.34 ft (0.16)(0.87)(18.4 × 10− 6 )(37.09) ⎛ tD ⎞ φ μ ct ⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ rD ⎠

5.2.2.4. Método MDH Estos investigadores propusieron la siguiente ecuación13:

d = 0.01217

kt p φμct Δts

Siendo Δts el valor del tiempo al cual la presión extrapolada de la primera pendiente se iguala a la presión inicial como lo indica la Fig. 5.5 (asumiendo que Pi = 3361 psi)

312

5.2.2.5. Método de Sabet Es posible obtener la distancia a una barrera lineal leyendo un punto cualquiera sobre la línea recta de pendiente 2 m y aplicando la siguiente ecuación13:

d = 0.5 ×10

k ⎪⎧ P − P ⎪⎫ − ⎨ 2 m −wf −log t2 m +log − 3.23 0.435 s ⎬ φμ ct rw2 ⎪⎭ ⎩⎪ 2 m

EJEMPLO Halle la distancia a la discontinuidad usando el método MDH y por el método convencional de doble pendiente para los datos dados en la tabla 5.2. SOLUCION De la Fig. 5.5, Δts = 1300 hrs, luego aplicando el método MDH se tiene:

d = 0.01217

kt p φμct Δts

= 0.01217

(9.9)(1008) = 21.07 ft (0.16)(0.87)(18.4 × 10−6 )(1300)

Usando el método convencional de doble pendiente, leemos un punto sobre la segunda recta semilog de la Fig. 5.5, a ser, Δt = 100 hrs y Pws = 3311 psi, reemplazando en la Ecuación:

d = 0.5 ×10 d = 0.5 ×10

k ⎪⎧ P − P ⎪⎫ − ⎨ 2 m −wf −log t2 m +log − 3.23 0.435 s ⎬ φμ ct rw2 ⎪⎩ 2 m ⎪⎭

⎫⎪ 9.9 ⎪⎧ 3311− 2665 log100l og 3.230 .435(0 .6) ⎬ − ⎨− − −+ − 0.16( 0.87)(18.4×10−5 )(0.332 ) ⎪⎭ ⎩⎪ 196.34

= 29.37 ft

5.2.2.6. Tiab’s Direct Synthesis Technique Para discontinuidades ocasionadas por diferencia de fluido (inyección) se invita al lector Aconsultar La Ref. 1. Overpeck y Holden2 también han trabajado este tema. La TDST tiene múltiples aplicaciones en la detección de fronteras. Para una mejor profundización en este aspecto, le lector es remitido a las Refs. 4-5,7-10,15-16. Para determinar la distancia radial a una discontinuidad se usa la siguiente ecuación 7:

d = 2.56 A = kx / k y

0.0002637 k tRe φμct

313

A se obtiene por ajuste con la curva tipo de la Fig. 5.8. Usando el punto al cual ocurre la inflexión, tinf: d = 0.01217

ktinf φμ ct

kx = k A ky =

(5.10.a)

kx A

(5.10.b)

Gray20, Martínez y Cinco-Ley21 proponen un método que utiliza el valor del tiempo, tdv, donde la presión o la derivada se desvían de la primera recta horizontal de flujo radial o de la primera recta semilog:

d=

0.0002637tdv ln(0.86859m1 ) φμ ct

Siendo m1 la pendiente de la primera recta semilog. y ky Imagen (espejo)

kx

Barrera

Verdadera imagen

d

θ Pozo real

x

Fig. 5.6. Sistema de Falla en un Yacimiento Anisotrópico Real7

314

2 1.8 1.6 1.4 te a n i d r o o c y

A=1

1.2 Boundary

1

A=2

0.8 0.6 0.4

A=5 A=10

0.2

A=100

0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

x coordinate

Fig. 5.7. Posiciones del Pozo Imagen Normalizado como una Función de la Relación de Permeabilidad A y la Orientación de la Falla7 1000

CDe

100

'

D

P D

t 10 d n a

D

P 1

0.1 1.E-01

2s

89 10 81 10 72 10 63 10 55 10 46 10 37 10 29 10 20 10 16 10 11 10 10 10 9 10 8 10 7 10 6 10 5 10 4 10 3 10 2 10 1` 10`

1.E+00

A 1 2 5 10 100

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

1.E+09

tD /CD

Fig. 5.8. Presión adimensional y derivada de presión vs grupo adimensional para un pozo sencillo cercano a una frontera de no flujo en un medio anisotrópico para un ángulo entre el pozo y la normal a la frontera ( θ) de 30° y diferentes relaciones de permeabilidad, A7

315

Si el ángulo se conoce, el factor de corrección para la distancia aparente puede estimarse mediante: 2 2 ⎧⎪ ⎡ cosθ sin θ ⎞ +⎛ ⎞ ⎤ ⎫⎪ DDR = ⎨ A ⎢ A⎛⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎥⎬ ⎪⎩ ⎢⎣ ⎝ A cos ²θ + sin ²θ ⎠ ⎝ A cos ²θ + sin ²θ ⎠ ⎥⎦ ⎪⎭

dtrue =

1

2

d DDR

5.3. FRONTERAS MULTIPLES La determinación de fronteras múltiples está fuera del alcance de este libro. Sin embargo, se recomiendan las Refs. 9,17-18. 5.4. GRADO DE ESCAPE DE UNA FALLA 5 La conductividad adimensional de la falla/frontera está definida como

FCD =

k f wf k L

(5.11)

El valor de FCD típicamente varía entre cero y 1.0ó más. Un valor de cero indica una frontera sellada o ausencia de la frontera y un valor infinito indica una presión 5 constante en la frontera o una falla completamente sellada

5.4.1. Frontera con Escape Una conductividad adimensional escalable de la frontera,τ, es definida como5 τ

= e − FCD − 1

(5.12)

donde –1 ≤ τ ≤ 0. Valores negativos de τ indican la presencia de una acuífero al otro lado de la frontera. Note que cuando τ = 0, FCD = 0 indica que L = 0, y cuando τ = –1, FCD = ∞, indica que la conductividad de la frontera es infinita5 τ

= 0.00375902 − 3.1638126

(t * ΔP ') '2 x (t * ΔP ')r

(5.13)

La ecuación anterior es aplicable para casos cuando la segunda línea horizontal no está bien desarrollada5 τ

= 0.983396

(t * ΔP ') r 2 − 0.98603107 (t * ΔP ')r

(5.14)

316

100

') '

10

Pressure curve

D

*PD (t d n a 'D P * tD

τ Pressure derivative curve

0 -0.1 -0.2 -0.3 -0.4 -0.5 -0.6 -0.7 -0.8 -0.9

1

0.1

,D P

-1.0

0.01

0.001 1.E+02

Second pressure derivative curve

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

tD

Fig. 5.9. Presión adimensional, derivada de presión y segunda derivada de presión para una frontera con escape parcial y valores de conductividad adimensional escalable negativos (frontera de flujo) 5 100

') D P *D (t d n a 'D P *D t , D P

10

Pressure curve

τ

Pressure derivative curve 1

1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0

0.1

0.01

0.001 1.E+02

Second pressure derivative curve

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

tD

Fig. 5.10. Presión adimensional, derivada de presión y segunda derivada de presión para una frontera parcialmente sellante(frontera y valoresdedeno conductividad adimensional escalable positivos flujo) 5

317

5.4.2. Frontera de No Flujo o Sellante Una conductividad adimensional escalable de la frontera,τ, es definida como5 τ

= 1 − FCD

(5.15)

donde 0 ≤ τ ≤ 1. Los valores positivos indican la presencia de barreras de no flujo. Un valor de cero indica que no hay falla/frontera, entonces la permeabilidad en ambos lados de la frontera es la misma. Note que cuandoτ = 0, FCD = 1, y cuando τ = 1, FCD 5. =0 indican que la barrera tiene una permeabilidad de cero (t * ΔP ') '2 x − 0.0015121 (t * ΔP ')r

τ

= 3.173803

τ

= 1.01338389

(t * ΔP ') r 2 − 1.0146535 (t * ΔP ')r

5.5. YACIMIENTOS DE VARIAS CAPAS CON O SIN FLUJO CRUZADO 5.5.1. Con Flujo Cruzado La Fig. 5.11 ilustra las bondades de estos sistemas. El comportamiento de la presión transiente de un yacimiento de varias capas con flujo cruzado es el mismo que el de un sistema homogéneo equivalente, con una transmisibilidad total aritmética 3

⎛ kh ⎞ n ⎛ kh ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = ∑ ⎜⎜ i =⎟⎟1, 2, 3,..., n ⎝ μ ⎠t i =1 ⎝ μ ⎠i

(5.16)

Y el almacenamiento total aritmético: n

(φ c)t h t =( ∑) φ ct h i

(5.17)

i =1

5.5.2. Sin Flujo Cruzado Este tipo de yacimientos están también referidos a sistemas compuestos, en los cuales las capas solo se comunican a través de la cara del pozo, como lo muestra la Fig. 5.123

a. Comportamiento Declinación de Presión

318

k1, φ1, h1 k2, φ2, h2 k3, φ3, h3 Fig. 5.11. Sistema de Tres Capas con Flujo Cruzado 3,13

k1, φ1, h1 k2, φ2, h2

Arenisca Arenisca im Barrera

ble permea

Fig. 5.12. Sistema de Dos Capas sin Flujo Cruzado 3,13

319

18 16 14

h1/h 2 = 1 (φ μ ct)1/( φ μ ct)1 = 1 re/r w = 2000

k1/k 2 = 100 k1/k 2 = 10 k1/k 2 = 2 k1/k 2 = 1

12 10 8 6

Approximate end of infinite acting period

4 2 0 1.E+02

1.E+03

1.E+04

tD =

1.E+05

1.E+06

1.E+07

0 .0002637 ( kh ) t t (φ ct h ) t μ rw2

Fig. 5.13. Comportamiento del declinación de presión adimensional para un pozo en el centro de un yacimiento de varias capas, cerrado, circular y compuesto 3 Presión Promedia del yacimiento

e d o d o ir e P

n ió s re P

o t n ie m a n e c a m l a

E to n e i m a n la p A

Recta Semilog

C

Incremento Final de la presión

D

B

A

Log (Tiempo de cierre) Fig. 5.14. Presión de restauración teórica para un pozo sencillo ideal, multicapas, en un yacimiento de frontera cerrada3

320

4200

4100

i s p ,

s 4000 w

P

3900

3800 1.E+06

1.E+05

1.E+04

1.E+03

1.E+02

(tp+Δt)/Δt

Fig. 5.15. Gráfico Horner para problema propuesto 1000

i s p ,' p *tΔ 100 y p Δ

10 0.01

0.1

1

10

100

Time, hr

Fig. 5.16. Gráfico de presión y derivada de presión para problema propuesto La caída de presión a tiempos tempranos en un sistema de 2-capas produce una porción de línea recta en el gráfico semilog de PD vs. tD, Fig. 5.13, donde3

PD =

(kh )t

141.2qμB

(Pi − Pwf )

(5.18)

321

⎛ 0.0002637(kh)t ⎞ PD = ⎜ ⎟t 2 ⎝ (φ ct h)t μ rw ⎠

(5.19)

(kh) t (= )kh( ) 1+ kh 2

(5.20)

(φct )h t( = )φc(t h 1)+ φct h 2

(5.21)

De acuerdo a la Fig. 5.13, nada distingue la curva declinación de presión a la del de una sola capa, yacimiento homogéneo, teniendo las propiedades promedio del sistema de varias capas. La pendiente de la línea recta puede ser usada para determinar ( kh)t y el factor de daño promedio con las ecuaciones de declinación de presión normal. La inclinación hacia arriba es causada por los efectos de frontera. Después de un gran tiempo de producción, las condiciones de estado pseudo estable prevalecen y el comportamiento de la presión será lineal con el tiempo.

b. Comportamiento en Restauración de Presión La Fig. 5.15 muestra una sección de línea recta inicial BC con pendiente 3

m=

162.6q B (kh )t

(5.22)

la cual, puede ser usada para estimar el producto total (kh). El achatamiento de CD puede serenobservado en el caso un yacimiento dos-capas conanalizar contraste pequeño espesor osolo porosidad. Losdemétodos no son de favorables para la segunda pendiente.

PROBLEMA PROPUESTO La prueba de restauración de presión dada en la tabla 5.4 fue tomada de un pozo de crudo. El pozo produjo 218400 STB de crudo desde el último cierre. La rata de flujo estabilizada fue de 728 BOPD. Otroa información adicional:

rw = 0.29 ft μ = 2.1 cp

h = 51 ft B = 1.13 bbl/STB

φ = 27 %

ct = 3x10-6 /psi

Información sísmica indica que existe una falla a 320 ft del pozo. Los datos de la prueba de restauración verifican este hecho? De ser así, estime la distancia del pozo a la falla usando los métodos de David and Hawkins, Earlougher y TDST.

322

Tabla 5.4. Datos de presión y derivada de presión para el problema propuesto

t, hr

P, psi

P, psi t* P’, psi (tp+ t)/ t t, hr

0.0000 0.0100 0.0200 0.0300 0.0400

3812.81 3836.87 3857.41 3875.20 3890.71

0.00 24.06 44.61 62.39 77.90

21.41 38.57 49.80 57.42

720001.0 360001.0 240001.0 180001.0

0.0505 0.0636 0.0800 0.1007 0.1268 0.1597 0.2010 0.2531 0.3186 0.4011 0.5049 0.6356 0.8002

3904.91 3920.13 3936.10 3952.23 3967.87 3982.36 3995.21 4006.16 4015.25 4022.72 4028.92 4034.23 4038.96

92.10 107.32 123.29 139.42 155.06 169.55 182.40 193.35 202.44 209.91 216.11 221.43 226.15

62.46 66.23 67.88 67.13 63.82 58.34 51.47 44.05 36.96 30.88 26.10 22.65 20.30

142575.3 113208.5 90001.0 71500.5 56783.3 45085.5 35821.9 28448.3 22599.9 17951.6 14261.2 11328.9 8998.8

P, psi

P, psi 230.51 234.63 238.61 242.53 246.46

t* P’, psi 18.79 17.88 17.40 17.27 17.45

(tp+ t)/ t

3.186 4063.28 250.47 4.011 4067.44 254.63 5.049 4071.80 258.99 6.356 4076.39 263.58 8.002 4081.22 268.41 10.07 4086.29 273.49 12.68 4091.58 278.77 15.97 4097.04 284.24 20.10 4102.64 289.84 25.31 4108.33 295.53 31.86 4114.06 301.26 35.74 4116.93 304.12 40.11 4119.79 306.98 45.00 4122.63 309.82

17.91 18.61 19.48 20.46 21.45 22.39 23.22 23.89 24.43 24.71 25.41 26.35 27.63 29.51

2261.0 1796.2 1427.0 1133.7 900.7 715.7 568.7 451.9 359.2 285.5 227.0 202.4 180.5 161.0

1.007 1.268 1.597 2.010 2.531

4043.31 4047.43 4051.42 4055.34 4059.27

7148.1 5677.9 4510.3 3582.9 2846.3

323

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Falloff Analysis in Water Injection Wells Using the Tiab's Direct Synthesis Technique”. SPE 70035, Proceedings, SPE Permian Basin oil and Gas recovery conference, Midland, TX, May. 15-16, 2001.

324

11. Lee, J., Rollins, J.B. and Spivey, J.P. “ Pressure Transient Testing”. SPE Textbook Vol. 9. Richardson, TX, 2003. 12. Odeh, A. S. “Flow Tests Analysis for a Well with Radial Discontinuities”. JPT (Feb. 1969): 328-334. 13. Sabet, M. “Well Testing”. Gulf Publishing Co. 1991. 14. Strelsova, T. D. “Well Testing in Heterogeneous Formations”. New York. John Wiley and Sons, 1988. P. 377. 15. Tiab, D. “Analysis of Pressure and Pressure Derivative without Type-Curve Matching: 1- Skin Factor and Wellbore Storage”. Paper SPE 25423 presented at the Production Operations held in Oklahoma City,Engineering OK, Mar. 21-23, 1993. P. 203-216. Also,Symposium Journal of Petroleum Science and 12 (1995), p. 171-181. 16. Tiab, D. “Analysis of Pressure Derivative without Type-Curve Matching: Vertically Fractured Wells in Closed Systems”. Journal of Petroleum Science and Engineering 11 (1994) 323-333. This paper was srcinally presented as SPE 26138 at the 1993 SPE Western Regional Meeting, held May 26-28, Anchorage, Alaska. 17. Tiab, D. and Kumar, A. “Detection and Location of Two Parallel Sealing Faults Around a Well”. JPT (Oct. 1980): 1701-1708. 18. Tiab, D., and Crichlow, H. B. “Pressure Analysis of Multiple-Sealing-Fault System and Bounded Reservoirs by Type Curve Matching”. SPEJ (December 1979) 378-392. 19. Kucuk, F.J. and Kabir, S. “ Well test Interpretation for Reservoirs with a Single Linear No-Flow Barrier”. J. Pet. Sci. Eng. p. 195-221. 1988. 20. Gray, K.E. “Approximating Well-to-Fault Distance from Pressure Buildup Tests”. JPT. p. 761-767. July 1965. 21. Stanislav, J.F. y Kabir, C.S. “Pressure Transient Analysis”. Prentice Hall. New Jersey, 1990.

325

6. PRUEBAS MULTIPLES 6.1. GENERALIDADES La forma más simple de pruebas de interferencia involucra dos pozos: un productor (o inyector) un pozo de observación. idea general es Producir en usualmente un pozo y observar la ycaída de presión en otro. La Pruebas de multinterferencia involucra un productor (o inyector) y varios pozos de observación. Para realizar una prueba de interferencia, todos los pozos involucrados se cierran hasta estabilizar sus presiones de fondo. Luego, se bajan las herramientas de registro de presiones en el pozo de observación y se abre el productor (o inyector) a producción (inyección). Si existe interferencia, se registra una caída de presión en el (los) pozo(s) de observación dentro de una longitud de tiempo razonable. La mayoría de las pruebas múltiples se efectúan en yacimientos cerrados2,3. Las pruebas múltiples se llevan a cabo por un número de razones:

• • • •

Buscar conectividad y/o continuidad del yacimiento 2 Detectar permeabilidad direccional y otras heterogeneidades2 Estimar volumen del yacimiento 2 Orientación (azimut) de Fracturas hidráulicas1

Para un sistema de dos pozos2:

rinv = 0.029

kt φ μ ct

(6.1)

El daño en el pozo activo no afecta la presión en el pozo de observación. Hay dos tipos de pruebas: De interferencia y de pulso.

6.2. PRUEBAS DE INTERFERENCIA Estas se usan para determinar: a) Conectividad del yacimiento. Transmisibilidad b) Dirección de los patrones de flujo. Esto se hace mediante apertura selectiva de pozos alrededor del pozo cerrado o en observación. c) Capacidad de almacenaje (factor de almacenaje) = St = φ ct h d) Determinación de la naturaleza y magnitud de la anisotropía. Se halla la permeabilidad del yacimiento en todas sus direcciones y la dirección, θ, del ángulo de anisotropía.

326

Pozo activo (inyector o productor)

Pozo de observación (Preferiblemente cerrado)

Fig. 6.1. Representación esquemática de una prueba de interferencia

Pozo de observación # 3 Pozo de observación # 2

Pozo de observación # 1 Pozo activo

Fig. 6.2. Representación esquemática de la medida de la anisotropía En yacimientos con contactos fluido-fluido, por ejemplo capa de gas, en la región de interferencia, las pruebas múltiples podrían dar resultados erróneos o ilógicos debido a las diferentes propiedades de los fluidos en las regiones.

6.2.1. Método de Earlougher a) Dos pozos: Uno activo (inyector o productor) y el otro de observación preferiblemente cerrado. La presión en el pozo de observación es2:

Pws = P1hr + m log t

(6.2)

Cuando t = 1 hr, Pws ≈ P1hr ≈ Pi para yacimientos nuevos. La Ec. (6.2) es válida si tD/rD2 > 100 (x < 0.0025). Siendo r la distancia entre pozos. La restricción de tD/rD2 > 100 se aplica con un error del 1 %.

327

At = 1hr, Pws = P1hr ≈ Pi

Para yacimientos nuevos

s w

P

1 hr

log t

Fig. 6.3. Gráfico semilog de una prueba de interferencia

Pozo activo

Pozo de observación

h2 h1

Ocurre primero reflexión en la frontera inferior donde esta el pozo activo

Fig. 6.4. Reflexión de la onda en un sistema de espesor variable t D 0.0002637 kt = rD2 φ μ ct r 2

(6.3)

Cuando se grafica Pws vs. log t, se debería obtener una línea recta de cuya pendiente y corte se obtiene la transmisibilidad y la porosidad. La transmisibilidad,T, se halla de:

T = kh = 162.6q β μ m

(6.4)

328

⎛ ⎞ k P1hr = Pi + m ⎜ log − 3.2275 ⎟ 2 ⎝ φμct r ⎠ Note que el factor de daño no aparece en esta ecuación puesto únicamente hay flujo de fluidos en el pozo activo y no en el pozo de observación. Sin embargo, se presentan excepciones cuando el pozo está muy estimulado. El almacenaje también es minimizado en las pruebas múltiples pero no del todo2. ⎛

St = φct h = T2 e⎝⎜ 2.303 r

Pi − P1 hr ⎞ m − 7.41314 ⎠⎟

(6.5)

b) Dos pozos: ambos cerrados

Pws = Pi + m log

t + Δt Δt

(6.6)

t es el tiempo total de producción en el pozo activo. Efectúe un gráfico Horner y de la pendiente obtenga la transmisibilidad:

T=

162.6qB

m

Calcula el factor de almacenaje de: ⎛

St = φct h =

T ⎜⎝ 2.303 e r2

Pi − Pwf ( Δ t= 0) ⎛ 1 ⎞ ⎞ − ln ⎜ 1+ ⎟ −7.41314 ⎟ m ⎝ t⎠ ⎠

(6.7)

6.2.2. Método de Ramey Dos pozos: Uno activo (productor o inyector) y el otro de observación preferiblemente cerrado. Procedimiento2: 1) Grafique ΔPws = Pi - Pws (pozo de observación) vs. tiempo de prueba y obtenga el mejor ajuste con una de las curvas de la Fig. 1.10. 2) Tome cualquier punto conveniente y lea las coordenadas: (PD)M, (tD/rD2)M, ΔPM, tM 3) Halle transmisibilidad ;

329

Pozo activo (inyector o productor)

Pozo de observación (Preferiblemente cerrado)

ESTE POZO SE CIERRA

Fig. 6.5. Caso b: ambos pozos cerrados

T = 162.6qB

PDM ΔPM

(6.8)

4) Calcule St;

St = 0.0002637

T tM r 2 ⎛ tD ⎞ ⎜ r2 ⎟ ⎝ D ⎠M

(6.9)

Limitaciones: a) r > 20 (ver Fig. 1.9) b) (tDD/rD2) > 50 ó 100

6.2.3. Método de Tiab y Kumar

P’m = el máximo valor de la derivada de presión en el pozo de observación el cual está colocado a una distanciar del pozo activo4. Unidades psi/hr. tm = Es el tiempo al cual ocurreP’m, hrs Procedimiento: 1) Obtenga ΔP vs. tiempo en el pozo de observación que preferiblemente está cerrado. 2) Calcule P’ = Δ(ΔP)/Δt = cambio de ΔP/cambio en tiempo de prueba 3) Grafique P’ vs. t en log-log, ver Fig. 6.6. 4) Calcule St;

St = 0.0274

qβ ⎛ 1 ⎞ r 2 ⎜⎝ p 'm ⎟⎠

(6.10)

330

' P

P'm

g o l

tm

log t

Fig. 6.6. Gráfico log-log de la derivada

p'

p'm punto de inflexión

tm to

t

Fig. 6.7. Gráfico cartesiano para determinar el punto de inflexión 5) Calcule la transmisibilidad, T

T = 948St r 2

1 tm

(6.11)

Cuando por efectos de ruido es muy difícil obtener elP’ entonces se gráfica en cartesiano.

331

Seleccione el punto de inflexión. La pendiente esP’m. Extrapole la recta y lea el valor de to. 6) Verifique y chequee resultados:

T = 382.2St r 2

1 to

(6.12)

EJEMPLO Durante una prueba de interferencia fueron producidos 3125 STB de petróleo por el pozo A. La respuesta de la presión fue observada en el pozo B, 138 ft lejos del pozo A por 300 horas. Entonces, el pozo A fue cerrado también y la respuesta de la presión fue observada en el pozo B para 100 horas. Adicionalmente se dan os l siguientes datos del yacimiento:

B = 1.14 bbl/STB ρ = 56.4 lbm/ft3 Vu = 0.00697 bbl/ft

μ = 1.3 cp Pi = 2600 psia ct = 16x10-6 /psi

h = 31 ft s = -2.2 (well A)

Los datos de tiempo y presión de prueba están dados en las tablas 6.1 y 6. 2. 1. Calcular la permeabilidad y la porosidad usando: A) El método de Earlougher a) Pozo A es activo b) Pozo A está cerrado B) El método de Tiab y Kumar C) Mostrar que los efectos del almacenamiento en la cara del pozo no son importantes en el pozo A. Tabla 6.1. Respuesta de la Presión en el Pozo B (Activo) t, hr 1.1 1.5 2.0 2.5 3.0 4.0 5.0

P, p, P, psia t* P, t,hr P, psia t* P, psia psia psia psia 2595.6 4 .4 5.15 10 2575.5 24.5 11.19 2593.5 6.5 6.29 15 2571.0 29 11.60 2591.4 8.6 8.25 25 2565.0 35 11.39 2590.0 10 8.68 35 2561.0 39 11.71 2587.5 12.5 9.05 60 2555.0 45 11.50 2585.0 15 9.76 100 2549.0 51 12.74 2583.0 17 9.46 150 2543.5 56.5 15.61

7.5 2579.0

21

10.53

300 2530.0

70

28.14

332

Tabla 6.2. Respuesta de la Presión en el Pozo B (Cerrado) Tiempo de prueba, hr 1.0 2.0 3.5 5.0 7.0 10.0 15.0 25.0 40.0 60.0 100.0

Respuesta de la presión, psia 2541.0 2544.0 2547.0 2551.0 2555.0 2559.0 2563.5 2569.0 2574.0 2577.0 2580.0

t1+ t)/ t 301.00 151.00 86.71 61.00 43.86 31.00 21.00 13.00 7.50 6.00 4.00

Tabla 6.3. Derivada de presión y datos postflujo

Tiempo, P, psi hr 1.1 1.5 2.0 2.5 3.0 4.0 5.0 7.5 10.0 15.0 25.0 35.0 60.0 100.0 150.0 300.0

2595.6 2593.5 2591.4 2590.0 2587.5 2585.0 2583.0 2579.0 2 575.5 2 571.0 2 565.0 2 561.0 2 555.0 2549.0 2543.5 2530.0

P, psi P', psi/hr qaf, STB

4.40 6.50 7.60 10.00 12.50 15.00 17.00 21.00 24.50 29.00 35.00 39.00 45.00 51.00 56.50 70.00

4.00 5.25 4.20 2.80 5.00 2.50 2.00 1.60 1.40 0.90 0.60 0.40 0.24 0.15 0.11 0.09

SOLUCION 1. Calcular la permeabilidad y la porosidad usando A) El Método de Earlougher: a)

El pozo A está activo.

1.498947 1.967368 1.573895 1.049263 1.873684 0.936842 0.749474 0.599579 0.524632 0.337263 0.224842 0.149895 0.089937 0.056211 0.041221 0.033726

qaf/q

0.0060 0.0079 0.0063 0.0042 0.0075 0.0037 0.0030 0.0024 0.0021 0.0013 0.0009 0.0006 0.0004 0.0002 0.0002 0.0001

333

2600

m

2580

i s p , s

=25

.5 1

8

2560

ps i/c ic

lo

w

P 2540

2520 0.1

1

10

100

1000

Tiempo, hrs

Fig. 6.8. Gráfico semilog dePws vs. t Es necesario construir un gráfico en semilog dePws vs tiempo (ver Fig. 6.8). En este gráfico, se traza una línea recta cuya pendiente,m = -25.517 psi/ciclo. Puesto que 3125 STB de petróleo fueron recuperados durante 300 horas de producción, entonces rata de flujo, q, es 250 BPD. Luego, la permeabilidad se calculada usando la Ec. 6.4: 162.6qμ B 162.6(250)(1.3)(1.14) 76.15 md −k = = =

mh (25.518)(31) Usar la Ec. 7.5 para estimar la porosidad: φct

=

⎧ 2.302⎛⎜⎝ Pi − P1hr ⎞⎟⎠ ⎫ k − 7.4316⎬ exp ⎨ 2 μr m ⎩ ⎭

P1hr = 2600.53 psi, entonces: Mediante un análisis de regresión lineal se encuentra que φ

=

⎧ 2.302 ( 2600 − 2600.53) ⎫ 76.15 − 7.4316⎬ = 11.94 % 2 −6 exp ⎨ (1.3)(138) (16 ×10 ) −25.518 ⎩ ⎭

b) El pozo A está cerrado La Fig. 6.9 presenta una gráfica en semilog de Pws vs. (t1+Δt)/Δt. De la línea recta, se tiene: m = -26.749 psi/ciclo yP1hr = 2532.55 psia.

334

2580

2570

i s p , s

m

2560

=2 6. 74 9

ps i/

cic l

o

w

P 2550

2540

P1hr = 2532.55 psi 2530 1

10

t 1 + Δt Δt

100

1000

Fig. 6.9. Gráfico semilog dePws vs. (t1+Δt)/Δt 10

r h i/s p ',P

P' m = 5.25 psi/hr

1

0.1

tm = 1.5 hrs 0.01 1

10

100

t, hrs

Fig. 6.10.a. Gráfica de la Derivada de Presión • Usar la Ec. 6.4 para calcular la permeabilidad

k=

162.6(250)(1.3)(1.14) = 72.65 md (26.749)(31)

• La porosidad es determinada por medio de la Ec. 6.7;

1000

335

φ ct

= φ

=

⎧ 2.302[P1hr − Pws (Δt =0) ] ⎛⎜ 1 ⎞⎟ ⎫ k − ln ⎜⎜1 + ⎟⎟ − 7.4310⎬ 2 exp ⎨ ⎜ ⎟ μr m t 1⎠ ⎝ ⎩ ⎭

72.65 ⎧ 2.303(2532.55 − 2530) 1 ⎞ ⎫ ⎛ exp ⎨ +−− = ln ⎜1 ⎟ 7.431⎬ 8.7 % (1.3)(1382 )(16 ×10−6 ) −26.749 ⎝ 300 ⎠ ⎩ ⎭

B) Método de Tiab y Kumar Obtener ΔP vs tiempo (ver tabla 6.3) • Calcular la derivada de presión,P' • Graficar la derivada de presión vs tiempo en escala log-log, ver Fig. 6.10.a, de esta P'm = 5.25 psia ytm = 1.5 hr • Usar la Ec. 6.10 para estimar la porosidad •

φ

•

= 0.0274

qB ⎛⎜ 1 ⎞⎟ (250)(1.14) ⎛ 1 ⎞ = 15.74 % = 0.0274 ⎜ ⎟ hr 2ct ⎜⎝ P 'm ⎟⎠ (31)(1382 )(16 ×10−6 ) ⎝ 5.25 ⎠

Estime la permeabilidad de la Ec. 6.11;

⎛1⎞ 1 k = 948φ ct μ=r 2 ⎜ ⎟ × 948(0.1574)(16 = 10−6 )(1.3)(1382 ) ⎛⎜ ⎞⎟ 39.4 md t 1.5 ⎝ ⎠ ⎝ m⎠ Note que la gráfica de la derivada presenta cierto ruido, entonces se recomienda suavizar la gráfica antes de desarrollar los cálculos.

C) Mostrar que el efecto de almacenamiento en la cara del pozo no es importante en el pozo A Cuando qaf/q < 0.01 se puede concluir que el postflujo o el almacenamiento en la cara del pozo no está afectando los datos de presión. Para calcularqaf, se usa el siguiente procedimiento:

q af =

24C dPws B dΔt

(6.13.a)

siendo;

C = 144

Vu ρ

entonces;

= 144

0.00697 = 0.0178 bbl/psi 56.4

336

q af =

24(0.0178) 4 = 1.499 BPD 1.14

Los demás valores adicionales se muestran en la tabla 6.3.En esta tabla, se puede ontar que la condición qaf/q < 0.01es siempre cumplida, por tanto los efectos de almacenamiento en la cara del pozo no son importantes. Entre otros métodos para interpretar pruebas de interferencia se tienen: • El gráfico cartesiano deΔP semilog de la derivada • El gráfico o Rata única o Bi-flujo o Restauración de presión • Análisis computacional o Método de mínimos cuadrados o Método de Morris & Tracy • La Tiab’s Direct Synthesis Techinique (TDS Technique o TDST)

D) Interpretación de pruebas de Interferencia por la TDST5,6 La derivada de la solución de la línea fuente con respecto al tiempo adimensional está dada por:

⎛ r2 ⎞ ∂PD 1 = exp ⎜ − D ⎟ ∂t 2t 4t D D ⎝ D⎠ La cual puede rescribirse de la siguiente forma:

PD '(rD , tD ) =

( t D *'PD ) (rD , tD ) = tD

⎛ r2 ⎞ ∂PD 1 = exp ⎜ − D ⎟ ∂t D 2 ⎝ 4tD ⎠

Puntos y líneas características En la Fig. 6.10.b se observan los siguientes características: 1) Es evidente que la curva de la derivada,tD*PD’, se intersecta con la curva de de PD cuando:

⎛ tD ⎞ ⎜ 2 ⎟ = 0.574952929 ⎝ rD ⎠int

(6.13.b)

337

10

( PD )tD =0.57495 = (tD * PD ') tD =0.57495 = 0.32369

'D P * tD

rD2

rD2

1

y

(t D * PD ' )r = 0.5

D

P

⎛ tD ⎞ ⎜ 2 ⎟ = 0.574952929 ⎝ rD ⎠int 0.1 1.E+07

1.E+08

2

t D/ rD

1.E+09

1.E+10

Fig. 6.10.b. Gráfico Log-Log dePD y tD*PD’ vs. tD/rD2 para un yacimiento infinito (línea fuente)5,6 Donde el sufijo int denota intersección. Los valores correspondientes de presión adimensional y la derivada adimensional en este punto de intersección son: Therefore we have:

( PD )tD / rD =0.57495 = 0.32369

(6.13.c)

( tD * PD ')tD / rD =0.57495 = 0.32369

(6.13.d)

2

2

2) La derivada de presión durante el flujo radial infinito, nuevamente, corresponde a un medio:

( t D * PD ' )r = 0.5

(6.13.e)

Ecuaciones interpretativas para datos de Interferencia La presión o la derivada en el punto de intersección pueden emplearse para hallar la transmisibilidad. Reemplazando los parámetros adimensionales en las Ecs. 6.13.c y 6.13.d, se tiene, respectivamente:

T

ΔP

(

) 141.2qB int

= 0.32369

338

( t * ΔP ' )int

T = 0.32369 141.2qB

De donde:

T= T=

kh μ

kh

= 45.705 = 45.705

qB ( ΔP )int qB

(6.13.f) (6.13.g)

( t * ΔP ')int

μ

Similarmente, reemplazado los parámetros adimensionales en la Ec. 6.13.e, se tiene:

T =

kh μ

= 70.6

qB ( t * ΔP ')r

(6.13.h)

La Ec. 6.13.b puede usarse para determinar la capacidad de almacenaje,φcth. Reemplazando las cantidades adimensionales se llega a:

⎛ tD ⎞ 0.0002637T tint = 0.57495 ⎜ r2 ⎟ = r 2 St ⎝ D ⎠int Luego St = φ ct h = 0.000458646

T

t (6.13.i) 2 int r Es obvio, que el método requiere la identificación del punto de intersección. Para propósitos de verificación de la lectura correcta de las coordenadas de intersección, los valores de T y St obtenidos pueden probarse en la siguiente expresión: ⎛ S r2 ⎞ − Ei ⎜ 948= t ⎟ 0.32369 PD−= 0.5 T tint ⎠ ⎝ u obteniendo resultados de T iguales o muy similares de las Ecs. 6.13.f, 6.13.g, y 6.13.h. El lector debe recordar que la TDST se aplica tanto a restauración como declinación de presión. Adicionalmente, la Ref. 6 presenta la forma de estimar anisotropía usando pruebas de interferencia con el método TDST.

EJEMPLO Con la información dada en la tabla 6.1 halle permeabilidad y porosidad por el método TDST.

339

100

i s p ', 10 P * ,t P

(t*ΔP')r = 11.45 psi

(ΔP)int =(t*ΔP')int = 7.4 psi tint = 1.5 hr

1 1

10

t, hrs

100

1000

Fig. 6.10.c. Gráfico de presión y derivada para ejemplo por el método TDST

SOLUCION Los datos leídos del gráfico de presión y derivada, Fig. 6.10.c, sont*(ΔP’)r = 11.45 psi, (ΔP)int =(t*ΔP’)int = 7.4 psi, ytint = 1.5 hr. De la Ec. 6.13.g y 6.13.h.

k = 45.705

k=

qμ B (250)(1.3)(1.14) = 45.705 = 73.81 md h ( t * ΔP ')int (31)(7.4)

70.6q μ B (70.6)(250)(1.3)(1.14) = = 73.8 md h ( t * ΔP ' ) r (31)(11.45)

La porosidad se determina de la Ec. 6.13.i: φ

= 0.000458646

k μ ct r 2

tint = 0.000458646

73.81 1.5 = 12.81% (1.3)(16 ×10−6 )(1382 )

Puede observarse que los datos se ajustan muy bien con los resultados obtenidos mediante el método de Earlougher.

340

Δtc

jo lu f e d a t a R

) e t n a ls u p o z o P (

Δtp

pulsos

1

2

p u ls o

t1

3

p

u ls o 2

1

4

p u ls o

5

6

p u

3

pu ls

lso

o

5

4

t L1 a d a v r e s b o n ó i s e r P

ΔP2 q

Δtp

ΔP1 q

de sta pue Res s o puls

los

Tren e stablec ido

t1

tiempo 2

Fig. 6.11. Nomenclatura de las pruebas de pulso

6.3. PRUEBAS DE PULSO Está técnica usa una serie de pulsos cortos de la rata de flujo. Los pulsos son periodos alternantes de producción (o inyección) y cierre con el mismo caudal en cada producción. La respuesta de presión a los pulsos se mide en el pozo de observación. La principal ventaja de las pruebas de pulso estriba en la corta duración del pulso. Un pulso puede durar unas horas o unos pocos días, lo cual interrumpe la operación 2 normal ligeramente comparado con las pruebas de interferencia .

tL (time lag), es el tiempo entre el fin de el pulso y el pico de presión causado por el pulso. ΔP, (amplitud). La distancia vertical entre la tangente a dos puntos picos consecutivos y la línea paralela a esa tangente en el pico del pulso a medir. c deldepulso. Δ Δttp,, Ciclo Periodo cierre.Tiempo desde el arranque hasta el fin del periodo de flujo.

341

La convención de signos paraΔP es: 1. ΔP > 0 si q > 0 (pozo productor activo) ,ΔP/q > 0 2. ΔP < 0 si q < 0 (pozo inyector activo), ΔP/q > 0 3. ΔP < 0 para picos impares 4. ΔP > 0 para picos pares

6.3.1. Método de Kamal – Birgham Procedimiento: 1) Grafique ΔP/q vs. t en papel cartesiano 2) De este gráfico obtenga el tL, Δtc y Δtp. 3) Calcule la relación tL/Δtc y F’= Δtp/Δtc. 4) Halle [ΔPD(tL/Δtc)2] de las Figs. 6.12.a a la 6.12.d, que corresponde aF’ y tL/Δtc del paso 3. Al-Khalifah y otros7 hallaron error en las ecuaciones de Kamal – Birgham y desarrollaron nuevas ecuaciones y cartas. 5) Calcule la transmisibilidad,T

T=

141.2 B ⎡ ΔPD ( t L / Δtc )2 ⎤ 2 ⎦ ( ΔP /)(q tL /)Δtc ⎣

(6.14)

Analice todos los valores puesto que el primero puede estar afectado por WBS. 6) Determine tLD/rD2, tiempo lag dimensional, de las Figs. 6.13.a a 6.13.d a F’ y tL/Δtc obtenido en el paso 3. 7) correspondiente Calcule St;

T tL St = 0.000263⎛⎜ 2 ⎞⎟ ⎝ r ⎠ ( t LD / rD2 )

(6.15)

En el pozo de observación los efectos de almacenamiento se incrementan con el tiempo lag y tienden a reducir la amplitud de los primeros pulsos. Sin embargo si r>32(C/St)0.54 entonces los efectos de almacenamiento en el pozo de respuesta en menos del 5 % de incremento del tiempo de transición y no afectará la amplitud, lo anterior es válido sí,

⎛C ⎞ tD > (230 − 15s) ⎜ D2 ⎟ rD 2 ⎝ rD ⎠

0.86

342

0.00325 2

Primer pulso 0.00300 impar ] t Δ / 0.00275 L t[ 0.00250

F'=0.7

c

D P0.00225 Δ

, o ls 0.00200 u p0.00175 le d0.00150

F'=0.6 F'=0.4

esta0.00125 u p s er 0.00100 e d0.00075 d u ti l 0.00050 p m0.00025 A

F'=0.8 F'=0.3

F'=0.1

F'=0.2

F'=0.9

0.00000 0.01

0.1

1

Δtc Tiempo de transición,L /longitud t del ciclo,

Fig. 6.12.a. Relación entre tiempo de transición y la respuesta de la amplitud para el primer pulso impar 0.00450 2

]c t

F'=0.3

Primer pulso par 0.00400

F'=0.2

Δ

L /

t[

D

0.00350

P Δ , 0.00300 o sl u p 0.00250 el d a st 0.00200 e u p s er 0.00150 e d d 0.00100 u ti l p m0.00050 A

F'=0.5

F'=0.4

F'=0.1

F'=0.6

F'=0.8 F'=0.7

0.00000 0.01

0.1

1

Tiempo de transición,Lt/longitud del ciclo,Δtc

Fig. 6.12.b. Relación entre tiempo de transición y la respuesta de la amplitud para el primer pulso par

343

0.00450 2

]

c 0.00400 t Δ / [t 0.00350

L

Todos los pulsos pares excepto el primero

F'=0.3

F'=0.2

D

P Δ , 0.00300 so l u p 0.00250 le d a est 0.00200 u p s 0.00150 re e d d 0.00100 u ti l p m0.00050 A

F'=0.5

F'=0.4

F'=0.1

F'=0.6 F'=0.7 F'=0.8

0.00000 0.01

0.1

1

Tiempo de transición, Lt /longitud del ciclo,Δtc

Fig. 6.12.c. Relación entre tiempo de transición y la respuesta de la amplitud para todos los pulsos pares excepto el primer 0.0040 2

] t 0.0035 /Δ L [t c

Todos los pulsos impares excepto el primero

F'=0.7 F'=0.6

D P 0.0030

F'=0.8

Δ

, o 0.0025 ls u p le d 0.0020 at es u 0.0015 p s re e d 0.0010 d u ti l p 0.0005 m A 0.0000 0.01

F'=0.4

F'=0.5 F'=0.3 F'=0.2 0.1

F'=0.9 1


Fig. 6.12.d. Relación entre tiempo de transición y la respuesta de la amplitud para todos los pulsos impares excepto el primer

344

0.8

Primer pulso par 2)

D

F'=0.1

0.7

r / D L (t al 0.6 n o si en 0.5 im ad n 0.4 ió ics n tra e 0.3 d o p em i 0.2 T

F'=0.2

F'=0.4

F'=0.3 F'=0.5

F'=0.6 F'=0.7

F'=0.8 0.1 0.01

0.1

1

Tiempo de transición, t L /longitud del ciclo, Δtc

Fig. 6.13.a. Relación entre tiempo de transición y la longitud del ciclo para el primer pulso par 0.7

F'=0.9

Primer pulso impar 2)

D

r 0.6 / D L t( l 0.5 ao n si n e 0.4 m i ad n ó ic 0.3 is an rt e 0.2 d o p m ei 0.1 T

F'=0.8

F'=0.7 F'=0.6 F'=0.5 F'=0.4

F'=0.3

F'=0.1

F'=0.2

0 0.01

0.1

1

Tiempo de transición, tL /longitud del ciclo, Δtc

Fig. 6.13.b. Relación entre tiempo de transición y la longitud del ciclo para el primer pulso impar

345

0.8

2)

D

Todos los pulsos pares excepto el primero

F'=0.1

0.7

r / D L (t la 0.6 n io s n e 0.5 im d a n ó 0.4 cii s n etra 0.3 d o p m ie 0.2 T

F'=0.2

F'=0.4

F'=0.3

F'=0.5 F'=0.6 F'=0.7 F'=0.8

0.1 0.01

0.1

1

Tiempo de transición, tL /longitud del ciclo, Δtc

Fig. 6.13.c. Relación entre tiempo de transición y la longitud del ciclo para todos los ciclos pares excepto el primero 0.7

Todos los pulsos impares excepto el primero

2)

F'=0.9

D

r / D L t( al

0.6

is 0.5 n o en m i d a 0.4 n ó ic is n rat 0.3 e d o p 0.2 m ie T

F'=0.7

F'=0.8

F'=0.6

F'=0.5 F'=0.4 F'=0.3 F'=0.2

0.1 0.01

0.1

1


Fig. 6.13.d. Relación entre tiempo de transición y la longitud del ciclo para todos los ciclos impares excepto el primero

346

0.014

500

y = 0 .0014222 x + 0 .0072222 450 0.012

5 .5 0 =

0.010

t

400

1 L

D P B i/ 0.008 s p , /q p 0.006

t L2=0.47 350

ΔP3 q

ΔP2 q

Δ

300 250 200

ΔP1 q

0.004

y = 0.00096 x + 0.0014

R a te d e fl u jo , B P D

150 100

0.002

y = 0.0016x

8 .0 -0 = 2

50

L

t

0.000

0 0123456

Tiempo, hrs

Fig. 6.14. Gráfico de la Prueba de Pulso Tabla 6.4. Datos de la Prueba de Pulso

t, hr P(psi) P/q t, hr P(psi) P/q 0.25 0.175 0.0005 2.75 1.925 0.0055 0.50 0.560 0.0016 3.00 2.975 0.0085 0.75 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 2.25 2.50

1.400 2.625 3.150 2.940 1.890 1.400 1.260 1.505

0.0040 0.0075 0.0090 0.0084 0.0054 0.0040 0.0036 0.0043

3.25 3.50 3.75 4.00 4.25 4.50 4.75 5.00

3.850 4.270 4.060 3.360 2.590 2.100 2.100 2.555

0.0110 0.0122 0.0116 0.0096 0.0074 0.0060 0.0060 0.0073

EJEMPLO Los datos de la respuesta de la presión dados en la tabla 6.4 fueron obtenidos de un pozo productor durante una prueba múltiple. Datos adicionales concernientes a esta prueba son mostrados a continuación: μ = 2.8 cp

ct = 12x10-6 /psi

B = 1.20 bbl/STB h = 30 ft C = 0.002 bbl/psi en el pozo de observación

347

Periodo de cierre = 0.7 hr Distancia entre pozos = 140 ft 1) 2) 3) 4)

Periodo de pulso = 1.63 hr Rata de flujo = 350 STB/D

Calcular la permeabilidad de la formación (respuesta al pulso 3d) Calcular la porosidad (respuesta al pulso 3d) Recalcular k y φ a los otros dos pulsos y comparar. Explicar ladiferencia. Comente el efecto de almacenamiento en esta prueba.

SOLUCION Para el Pulso 1: En la Fig. 6.14, una línea recta desde (0,0) hasta (2.25, 0.0036) ha sido dibujada. Puesto que la forma general de una ecuación de línea recta es:

y - y1 =

y 2 - y1 ( x - x1 ) x 2 - x1

Aplicando esta ecuación, se tendrá;

y = 0.0016x . ΔP1/q es igual a la distancia entre los puntos (1.25, 0.002) y (1.25, 0.009): ΔP1 = ( x 2 - x1)2 + ( y 2 - y1)2 q ΔP1/q = 0.007041

tL1 = 0.55

ΔtC1

= 2.33 Δtp1 = 0.7 Para el Pulso 2: En la Fig. 6.14, una línea recta es dibujada desde (1.25,0.009) hasta (3.5, 0.0122), la ecuación de la línea recta será: y = 0.0014222x + 0.0072222 .

ΔP2/q es igual a la distancia entre los puntos (2.25,

0.0036) y (2.25, 0.01042):

ΔP2/q = 0.0066992 psi/BPD ΔtC2 = 2.33 hrs

tL2 = -0.0799 hr Δtp2 = 0.7 hrs

Para el Pulso 3: En la Fig. 6.14, una línea recta es dibujada desde (2.25,0.0036) hasta (4.75, 0.006), la ecuación de la línea recta será:

y = 0.00096 x + 0.0014 . ΔP3/q es igual a la distancia entre los puntos (3.25, 0.004836) y (3.5, 0.0122): ΔP3/q = 0.007455 ΔtC3 = 2.33

tL3 = 0.47 Δtp3 = 0.7

348

1) Calcular la permeabilidad de la formación (respuesta al pulso 3d) Calcular la relacióntL/ΔtC y F' = Δtp/ΔtC

tL/ΔtC = 0.47/2.33 = 0.2017 F' = 0.7/2.33 = 0.3004 Usando tL/ΔtC y F' se obtiene [ΔPD (tL/ΔtC)²] de la Fig. 6.12.c. Δ[ PD (tL/ΔtC)²] = 0.0033. Calcular la permeabilidad de la Ec. 6.14:

k=

141.2μ B 141.2(2.8)(1.2)(0.0033) 2 ΔΔ =2 ⎡ PD ( t L / tc ) ⎤⎦= 172.07 md (0.007455)(0.20172 )(30) ( ΔP /)(q t L /) Δtc h ⎣

2) Calcular la porosidad (respuesta al pulso 3d). Determinar el time lag adimensional, tLD/rD², de la figura 6.13.c usandotL/ΔtC y F'. Entonces, tLD/rD² = 0.52. Estimar la porosidad usando la Ec. 6.15: φ

=

0.0002637k tL 0.0002637(172.07) (0.47) = = 6.22% μ r 2 ct (tLDD/ r 2 ) (2.8)(1402 )(12 ×10−6 )( 0.52)

3) Recalculark y φ a los otros dos pulsos y comparar. Explique la diferencia.

Para el Pulso 1:

tL/ΔtC = 0.55/2.33 = 0.236 F' = 0.7/2.33 = 0.3004 Usando tL/ΔtC y F' se obtiene [ΔPD (tL/ΔtC)²] de la Fig. 6.12.b. Entonces,Δ[PD (tL/ΔtC)²] = 0.0037. Calcular la permeabilidad de la Ec. 6.14;

k=

141.2μ B 141.2(2.8)(1.2)(0.0037) 2 ΔΔ =2 ⎡ PD ( tL / tc ) ⎤⎦= 149.21 md (0.007041)(0.2362 )(30) ( ΔP /)(q t L /) Δtc h ⎣

Determinar el tiempo de transición adimensional, tLD/rD², de la Fig. 6.13.b usandotL/ΔtC y F'. Esto estLD/rD² = 0.26. Ahora, estimar la porosidad usando la Ec. 6.15 φ

=

0.0002637(55.98) (0.55) = 12.64 % (2.8)(1402 )(12 ×10−6 ) (0.26)

Para el Pulso 2: Puesto que el time de transición, tlag, es negativo (ver Fig. 6.14), lo cual implica que la presión está empezando a incrementar después del cierre del pozo,

349

como lo muestra el gráfico. Este comportamiento no es físicamente lógico y puede ser causado por algún error ocurrido durante la prueba. 4) Comente sobre el efecto de almacenamiento en esta prueba. En el primer pulso, la permeabilidad se redujo en un 87 % y la porosidad fue aumentada tL y una reducción en el valor de la en un 203 %. Esto fue debido a un incremento en amplitud del pulso. 0.55 ttLL31 == 0.47

ΔP P132==0.007041 0.007455

Estos cambios son causados por el efecto de almacenamiento.

PROBLEMA PROPUESTO 1 Se corrió una prueba de interferencia entre dos pozos. El pozo activo se abrió en flujo durante 300 hrs a una rata de 480 STB/D. Le siguió un periodo de cierre de 180 hrs. La respuesta de presión se observó en un pozo cerrado a 2000 ft de distancia del pozo activo. Ver tabla 6.5. Otra información relevante es: μ = 4.32 cp

Pi = 5000 psi rw = 0.4 ft (both wells)

B = 1.12 bbl/STB s = -1.5 (Active well)

h = 62 ft ct = 3x10-6 /psi

Estime l métodos de Earlougher y Tiab & Kumar. la permeabilidad y laporosidad usando os Table 6.5. Datos de presión contra tiempo para el problema propuesto 1 t,hr P,psi 0.0000 5000.00 3.4315 5000.00 9.6713 4999.96 19.2967 4 999.19 27.2574 4 997.95 52.8000 4 993.02 67.2000 4 990.31 96.0000 4 985.47 110.4000 49 83.33

t,hr P,psi t,hr P,psi 139.2000 4979.51 309.6713 4964.425 182.4000 4974.69 319.2967 4964.575 240.0000 4969.48 327.2574 4965.306 283.2000 4966.20 338.5020 4966.731 300.0000 4965.03 367.2000 4970.570 300.4320 4965.00 381.6000 4972.288 301.2175 4964.95 410.4000 4975.227 302.4293 4964.87 439.2000 4977.610 304.8471 4964.71 468.0000 4979.570 477.6000 4980.148

350

5080

5060

5040

ias p , n ó i esr P

5020

5000

4980

4960

4940 1

10

100

1000

Tiempo, hrs

Fig. 6.15. Gráfico semilog para el problema propuesto 1 0.16

700

0.14

600

0.12 500

F lo w r 400 a t e , B P D 300

D 0.10 P /B i s p , q / 0.08 p Δ

0.06 200 0.04

100

0.02

0.00

0 0

2

4

6

8

10

Time, hrs

Fig. 6.16. Gráfico cartesiano deΔP/q vs. t para el problema propuesto 2

12

351

Table 6.6. Datos de pulso para el problema propuesto 2 t, hr

P, psi

0.000 0.193 0.484 0.683 0.766

0 0.095 2.666 5.447 6.664

P/q, psi/hr 0.00000 0.00026 0. 00717 0. 01464 0.01791

1.179 1.608 2.000 2.216 2.342 2.543

12.545 17.999 22.379 24.401 24.746 24.194

0.03372 0.04838 0.06016 0.06559 0.06652 0.06504

t, hr 2.68 2.896 3.0223 3.2225 3.5399 3.9664 4.3952 4.6953 4.9223 5.0641 5.2887

P, psi

t, hr

23.456 22.294 22.378 23.569 26.41

P/q, psi/hr 0.063 0.060 0.060 0.063 0.071

5.4366 5.5525 5.6651 5.8435 6.1264

30.38 34.026 36.346 37.689 37.488 36.073

0.082 0.091 0.098 0.101 0.101 0.097

6.5392 6.968 7.36 7.576 7.7023 7.9025

P, psi

t, hr

34.869 33.979 33.658 34.151 36.026

P/q, psi/hr 0.09399 0.09159 0.09072 0.09205 0.09711

P, psi

8.1166 8.2325 8.3451 8.5235 8.8064

42.727 41.723 41.296 41.624 43.253

P/q, psi/hr 0.11517 0.11246 0.11131 0.11219 0.11658

39.221 42.344 44.921 46.06 45.921 44.644

0.10572 0.11413 0.12108 0.12415 0.12378 0.12033

9.2192 9.648 10.04 10.256 10.3823 10.5825

46.118 48.927 51.241 52 .244 52.028 50.634

0.12431 0.13188 0.13812 0.14082 0.14024 0.13648

PROBLEMA PROPUESTO 2 La respuesta de presión dada en la tabla 6.6 se obtuvo de una prueba multiple. Datos adicionales: μ = 3.5 cp ct = 4.23x10-6 /psi Periodos de cierre = 0.68 hr Distancia entre pozos = 180 ft rw = 0.29 ft

B = 1.35 bbl/STB h = 38 ft C = 0.01 bbl/psi en el pozo de observación Periodos de Pulso = 2 hrs q = 372 STB/D s = 1.2

Calcule la permeabilidad y porosidad de la formación usando los cuatro pulsos.

352

REFERENCIAS 1. Cherifi, M., Tiab, D., and Escobar, F.H. “Determination of Fracture Orientation by Multi-Well Interference Testing”. SPE 77949, Proceedings, SPE Asia Pacific Oil and Gas Conference and Exhibition, Melbourne, Australia. Oct. 8-10, 2002. 2. Earlougher, R.C., Jr., “Advances in Well Test Analysis”, Monograph Series Vol. 5, SPE, Dallas, TX, 1977. 3. M. and “WellKumar, Testing”. 4. Sabet, Tiab, D, A.Gulf Application “ PublishingofCo. the1991. PD’ function to Interference Analysis”, JPT, Agst. 1980, p. 1465-1470. 5. Abdelkrim, O. “Interpretation of Interference Tests by Tiab’s Direct Synthesis Technique”. M.Sc. Thesis. University of Oklahoma. 1999. of Horizontal 6. Escobar, F.H., Cubillos, J. and Montealegre-M, M. Estimation “ Reservoir Anisotropy without Type-Curve Matching”. Journal of Petroleum Science and Engineering. Vol. 60. p. 31-38. 2008. 7. Al-Khalifah, A. A., Al-Hashim, H. S. and Menouar, H. K., 1985. Revised “ Pulse Testing Correlation Charts”. SPE paper 14253, presented at the 60th Technical Conference and Exhibition of the Society of Petroleum Engineers held in Las Vegas, Sept.

353

7. YACIMIENTOS NATURALMENTE FRACTURADOS En estos yacimientos, se observan dos tipos diferentes de porosidad. La matriz tiene menor permeabilidad y su porosidad es pequeña comparada con la de las fracturas, la cual también tiene alta permeabilidad. Sin embargo, existen casos donde la matriz tiene porosidad y permeabilidad con valor cero, entonces el flujo solo ocurre desde las fracturas. Este tipo 2 de comportamiento se presenta en yacimientos con rocas ígneas o metamórficas . Los yacimientos naturalmente fracturados tienen fracturas con permeabilidad,kf y porosidad, φf y una matriz con permeabilidad, km y porosidad, φm. Algunos yacimientos funcionan como si estos fueran naturalmente fracturados, pero éstos realmente no lo son. Este es el caso de canales disueltos, capas interestratificadas con permeabilidad diferente (dolomitas interestratificadas con calizas las cuales tienen menos densidad o areniscas interestratificadas con otras limolitas y areniscas de grano fino). Sin embargo, los modelos fracturados naturalmente pueden er s aplicados a estos tipos de yacimientos6. En esta clase de yacimientos fracturados naturalmente, los dos tipos diferentes de porosidad son encontrados como se muestra en el lado izquierdo de la figura 7.1.c. Una muy baja porosidad, presentada en los poros finos y otra alta porosidad representada por fisuras, cavidades y fracturas. Cuando se realiza la clasificación de los yacimientos naturalmente fracturados desde el punto de vista del flujo (ingeniería) se debe tener en cuenta la permeabilidad y porosidad de la fractura y realizar una comparación con la permeabilidad y porosidad de la matriz. De acuerdo a lo anterior se hablará de cuatro tipos de fracturas. El tipo I lo componen aquellas fracturas que proveen la capacidad de almacenamiento y permeabilidad del yacimiento. El tipo II es aquel grupo de fracturas que posee una mejor permeabilidad que el de la matriz. El tipo III lo componen aquellas fracturas en las cuales la permeabilidad es despreciable, pero la capacidad de almacenaje de hidrocarburos es alta. Finalmente se halla el tipo IV son aquellos en los cuales las fracturas están llenas de minerales y por lo general no es muy factible que se desarrolle el flujo9. Los yacimientos fracturados naturalmente son heterogéneos. La idea de un canal homogéneo ocurre fuera de la realidad. No obstante, la roca es fracturada homogéneamente, la precolación del agua del agua causa depositación mineral, la cual la permeabilidad completamente los elcanales dely fluido. Por una lo tanto,reduce las fracturas de caráctero tapona homogéneo cambian con tiempo se obtiene roca heterogénea. La porosidad de la fractura es rara vez mayor al 1.5 o 2 %.

354

Usualmente, esta es menor que el 1 %. La capacidad de almacenamiento de la fractura, Sf = φfcfhf, es muy pequeña, debido a que φf es pequeña y hf es extremadamente baja. En contraste, kf es muy alta. La capacidad de almacenamiento de la matriz, Sm = φmcmhm, es mayor que La capacidad de almacenamiento de la fractura. Normalmente, la permeabilidad de la matriz es menor que la permeabilidad de la fractura. Si estas tienen el mismo valor, el sistema se comporta como homogéneo y sin fractura. Si la permeabilidad de la matriz es cero ylas fracturas son fortuitamente distribuidas, el sistema tiene un comportamiento homogéneo. Sin embargo, si la permeabilidad de la matriz es cero, pero las fracturas tienen una dirección setienemenor flujo lineal. Además, la matriz preferencial, es pequeñaentonces (usualmente que 0.01 md)si yla permeabilidad el yacimiento dees ampliamente fracturado, el sistema se comporta como homogéneo y sin fracturas. Desde el punto de vista de prueba de pozo, se deben cumplir tres condiciones para 9 determinar si en realidad se trata de un yacimiento fracturado naturalmente . 1. La porosidad de la matriz es mayor que la porosidad de la fractura. 2. La permeabilidad de la matriz no es cero, pero su permeabilidad es mucho más pequeña que la permeabilidad de la fractura. 3. El pozo intercepta la fractura. Odeh10 examinó varios modelos teóricos y concluyó que los yacimientos fracturados (especialmente con porosidad secundaria) generalmente se comportan como yacimientos homogéneos. De acuerdo con Warren y Root, una gráfica de presión de cierre versus log (tp+Δt)/Δt producirá dos porciones de líneas rectas paralelas como se muestra en la Fig. 7.1.d. La primera porción de línea recta puede ser usada para calcular el producto kh y elde factor de daño el método convencional de Horner. Note que P1hr total es tomado la segunda líneapor recta. La presión promedia del yacimiento se estima mediante la extrapolación de la segunda línea atp(+Δt)/Δt = 1 para obtener P* y entonces usar técnicas convencionales. La distancia vertical entre las dos líneas rectas semilog, ver Fig. 7.1.d, identificada como∂P puede ser usada para estimar la relación φct producida en la fractura para el sistema total (capacidad de almacenamiento de la fractura)15: ω

∂P⎞ = anti log⎛⎜ − ⎟ ⎝ m ⎠

(7.1.a)

ω

⎛t ⎞ =⎜ 1 ⎟ ⎝ t2 ⎠

(7.1.b)

2 (φct )μf rwφ ( μct ) f +mw r 2 λ = 1.781kt = 1.781kt 1 2

(7.1.c)

355

1

FDD FEID 0.1

ω 0.01

0.001 0.01

0.1

1

10

FEID or FDD Fig. 7.1.a. Determinación deFEID ó FDD14 De la ecuación anterior, si∂P < 100, el parámetro de capacidad de almacenamiento, ω, puede contener muchos errores. Defina15: ω

(φct ) f

=

(φc ) + (φct ) ma t f

El parámetro de flujo interporoso, λ, es directamente proporcional a la relación de permeabilidad de la matriz y la fractura15. λ

∝

km kf

Si ω tiende a 0 y λ ≤ 1x10-9, toda la permeabilidad proviene de la fractura. El 14 parámetro λ puede estimarse por el método de Uldrich y Ershaghi en 1979, usando las coordenadas del punto de inflexión del gráfico semilog de declinación de presión:

−λ =

ω ln()ω

donde:

⎛ P −P F ⎞ anti log ⎜+ wf + i+ ⋅ EID 0.3510 .87m s ⎟ m 2.303 ⎝ ⎠

(7.2)

356

1.E+00

1.E-01

ω

1.E-02

Δ tinf t p + Δ t inf

1.E-03

0.001 0.002

0.004

0.01

1.E-04 1.E-03

0.04

0.02

1.E-02

0.1 1.E-01

0.3

0.6

1.E+00

FB Fig. 7.1.b. Determinación deFB14 ln()ω FEID = Ei ⎡⎢ ⎤⎥ ⎣ 1 −⎦ω

⎡ − Ei ⎢⎣

⎤ω ln()ω ⎥⎦ 1 − ω

(7.3)

FEID es la diferencia integral exponencial en el punto de inflexión yFDD es un factor usado para estimar ω de una prueba de declinación de presión cuando el último tiempo de extensión no es evidente. FDD =

2.303 ⎡⎣ Pwf −inf − ( Pwf −inf ) early ⎤⎦ m

(7.4)

donde Pwf-inf es el valor de la presión en la inflexión y P( wf-inf)early es la presión extrapolada al tiempo cercano de extensión en el punto de inflexión. Para una presión de restauración, el parámetroλ puede despejarse de la siguiente relación14: ( tinf ) D ]λ ⎡ λ (Δtinf ) D ⎤ = ω (1 − ω−)[ (t p+)Δ D exp ⎢ ⎥ ( tinf )D ] ⎣ ω ⎦ω ω (1 − −)[ (t p+)Δ D λω

357

Fractura Matriz Fractura

Matriz Caverna Matriz

YACIMIENTO REAL

Fractura

SISTEMA IDEALIZADO

Fig. 7.1.c. Ilustración de un yacimiento fracturado naturalmente y su representación ideal 6500 6400 6300

re u s 6200 s e r p n 6100 -ti u h 6000 S 5900

∂p

3

m Extrapolate to P*

m/2

t1 1

t2

2

m Extrapolate to P1hr

5800 5700 100000

10000

1000

100

10

(tp+Δt)/Δt

Fig. 7.1.d. Gráfico Horner para un yacimiento fracturado Esta ecuación puede ser reordenada de la siguiente manera: λ (Δtinf ) D

= FB

(7.5)

Así, teniendo FB, el parámetro λ puede ser obtenido del gráfico. El parámetroλ (parámetro de flujo interporoso) puede ser estimado fácilmente de los gráficos semilog usando la relación presentada por Tiab y Escobar13: λ

2 = 3792(φ ct )t μ rw ⎡⎢ω ln⎛⎜ 1 ⎞⎟⎤⎥ k Δtinf ⎣ ⎝ ω ⎠⎦

(7.6)

358

donde Δtinf es el valor del tiempo en el cual tiene lugar la inflexión.ω y λ son independientes de la presión. Las propiedades PVT pueden afectar la capacidad de almacenamiento. El parámetro de flujo interporoso es función de la capacidad de almacenamiento. De acuerdo a la Fig. 7.1.d, la porción lineal (sección 1), representa un flujo transiente radial através de las fracturas. A partir de la pendiente,m, puede ser solucionada la permeabilidad de la fractura. Puesto que la permeabilidad de la fractura es pequeña, el depletamiento tiene lugar rápidamente, por lo tanto, la presión de pozo fluyendo y la presión de la fractura caen rápidamente. Esto hace que el fluidodededeclinación la matriz fluya hacia las (sección 2).cuando Esto causa unadecaída de la rata de presión del fracturas pozo. Finalmente, a presión la matriz alcanza la presión de la fractura, la contribución de la fractura desaparece y su comportamiento es debido a al contribución de la matriz. Si las líneas de la sección 1 y 3 no son paralelas, entonces una frontera del yacimiento ha sido detectada. El periodo de transición, sección 2, se debe a: A. La rata de flujo es directamente proporcional a la caída de presión matriz-fractura (Warren y Root15, 1963) – modelo de estado pseudo estable. Caso especial del caso C. B. La rata de flujo es directamente proporcional a la caída de presión promedio en toda la matriz (Streltsova, 1988). Modelo degradiente de presión6. C. La rata de flujo bajo comportamiento de estado inestable es función de la caída de presión en toda la matriz (Kazemi, 1969, deSwann, 1976 y Najurieta, 1980)6. Modelo de estado instable. Las ecuaciones del método convencional vistas en el capítulo dos se usan para hallar la permeabilidad preferiblemente a partir de la pendiente la segunda línea recta. Sección 3 Fig. 7.1.d, pues la primera puede estar afectadadepor almacenamiento. El factor de daño se halla extrapolando la segunda línea recta, sección 3, leyendo la presión al tiempo de una hora. Los métodos para estimar la presión promedia, capítulo 3, igualmente se aplican convencionalmente a yacimientos naturalmente fracturados usando la segunda porción lineal del gráfico semilog. Es decir queP* se lee sobre dicha línea. Sin embargo, como se aprecia en el capítulo 3 y en las Refs. 16 y 17, por primera vez se presenta una técnica apropiada para la detrminación de la presión promedia en yacimientos heterogéneos.

EJEMPLO Asumiendo que los valores siguiente son leídos de la Fig. 7.1.d, encontrar la fracción del volumen poroso total proporcionados por las fracturas y la porosidad de la fractura. Del gráfico semilogm = 300 psi/ciclo. Información adicional: λ (Δtinf ) D = FB ∂P = 285 psi (ct)f = 3x10-4 psi

φma = 4.3 %

( ct)ma = 1.5x10-6 psi

(7.5)

359

SOLUCION ω

∂P⎞ ⎛ 285 ⎞ = 0.1122 = anti log⎛⎜ − ⎟ = anti log⎜ − ⎟ ⎝ m ⎠ ⎝ 300 ⎠ φ f (3 × 10− ) 4

0.1122 =

−4

φ f (3 × 10 ) + (0.043)(1.5 × 10−5 )

Entonces, la porosidad de la fractura es 2.72x10-2 %. El análisis clásico de yacimientos de doble porosidad está basado en un modelo continuo que considera propiedades promedio. Fuera del flujo a través de las fracturas, la ecuación de difusividad también incluye un término que tiene en cuenta el flujo en la matriz. Varios modelos tratan sobre la transferencia de fluido entre las fracturas y la matriz bloque. Kazemi propuso un modelo transiente el cual aplica para los siguientes regímenes de flujo de bloque interno: transiente, último transiente y estado semi pseudo estable (PSSS).

7.1. MODELO DE ESTADO SEMI PSEUDO ESTABLE Recientemente, el concepto de daño de interporosidad ha sido introducido al estudio de yacimientos naturalmente fracturados. Este resultó de la observación de la depositación de material en una capa delgada de baja permeabilidad o la alteración de la superficie de fractura causada por la precolación de agua a través de las fracturas. Este efecto es para inhibir y retrasar el soporte de los bloques de la matriz a los sistemas de fractura. La solución analítica (espacio Laplaciano) para la respuesta de la presión en un sistema de doble porosidad es7,10-12: ~ P * fD =

K o (rD s f ( s ) ) s s f ( s ) K1 ( s f ( s ) )

(7.7)

s → tD En la cara del pozo,rD = 1. El parámetro Laplace f ( s ) es función del tipo de modelo (PSSS o transiente) y la geometría del sistema de fractura. Las siguientes tres geometrías de bloque de matriz son consideradas: Lámina (capas) Palos de fósforos (cilindro) Cubo (esfera)

n =1 n =2 n =3

Siendo n el número de planos de fractura normal. Se recomienda paralelepípedos rectangulares por cilindros y cubos por esferas ya que estosreemplazar tienen relaciones volumen/superficie idénticas, entonces sus propiedades de difusión son muy

360

parecidas. Los parámetros de flujo interporoso, λ, y de capacidad de almacenamiento o relación de capacidad,ω, son usados en el estudio de los sistemas de doble porosidad: λ

=

ω

=

4n(n + 2) k mb rw2 k fb hm2

(7.8)

φ fb c f φ

fb

(7.9)

c f + φ mb cm

La función f ( s ) excluye el daño de interporosidad para el modelo PSSS aplicado a las tres geometrías simplificadas es:

f (s ) =

(1 − ) s + λ (1 − ω )s + λ

(7.10)

f ( s ) será: Ahora, si el daño de interporosidad es tomado en cuenta, la función

f (s ) = sma =

ω (1 − ω )s + λ /(1 + [n + 2]sma )

(1 − ω ) s + λ /(1 + [n + 2]sma )

2k mi hs hmk s

(7.11)

(7.12)

Si el parámetro de flujo interporoso aparente se define como: λa

=

λ

(7.13)

1 + [n + 2]sma

entonces, la Ec. 7.11 se convierte en:

f (s ) =

ω (1 − ω ) s

+ λa (1 − ω ) s + λa

(7.14)

Las funciones f ( s ) para el caso transiente incluyendo el daño de interporosidad para el modelos de capas o estratos: 1 λ 3(1 − λ ) s

f (s ) = ω +

tanh

3(1 − λ ) s

λ λ 3s ⎡ 3(1 − λ ) s 3(1 − λ ) s ⎤ 1 + sma ⎢ tanh ⎥ λ λ ⎣ ⎦

(7.15)

361

Para el modelo de palos de fósforos: 1 λ 8(1 − λ ) s I1 4s λ Io f (s ) = ω + 8(1 − λ ) s I1 1 + sma λ Io

3(1 − λ ) s 3(1 − λ ) s 3(1 − λ ) s 3(1 − λ ) s

(7.16)

Para cubos de azúcar: 1 λ 15(1 − λ ) s ⎧ 15(1 − λ ) s 15(1 − λ ) s ⎫ coth − 1⎬ ⎨ 8s λ λ λ ⎩ ⎭ f (s ) = ω + ⎧ 15(1 − λ ) s 15(1 − λ ) s ⎫ 1 + sma ⎨ coth − 1⎬

⎩

λ

λ

(7.17)

⎭

7.2. EFECTOS DE ALMACENAMIENTO Y DAÑO Asumiendo que rD = 1, la declinación constante de la rata en la cara de la arena es rescrita de la Ec. 1.1 como1,3: ~ ~ P * fD = P * fD ( s , ω , λ ) s → tD

(7.18)

Después de la inversión numérica de la transformada de Laplace, la ecuación anterior se convierte (sin considerar efectos de daño y almacenamiento) en: ~ P * fD = P* fD (t D , ω , λ ) (7.19) Considerando efectos de daño y almacenamiento, se tiene:

P%D =

sP%fD* + s s (1 + CD s [ s + sP%fD* ])

(7.20)

La inversión de la ecuación anterior puede ser escrita así:

PD = PD (,,tD

ω λ , CD , s )

(7.21)

Entonces, una vez que los cuatro parámetros en el paréntesis son conocidos, la inversión numérica puede ser usada para generar soluciones de PD como una función detD.

362

12

10

-7

λ=10 8

D6

-6

P

-5

λ=10

λ=10

-4

λ=10

4

2

0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

91

0

log tD

Fig. 7.1.e. Efecto de λ sobre el comportamiento de yacimientos con doble porosidad, modelo PSSS para ω=0.017 2.0 1.5 1.0

D

P g o l

0.5 0.0 -0.5 -1.0

-7

λ =10

-4

λ=10

-1.5

-5

λ=10

-2.0 0

1

2

3

4

-6

λ =10 5

6

7

8

91

0

log tD

Fig. 7.2. Efecto deλ sobre el comportamiento de la presión en yacimientos con doble porosidad, modelo PSSS para ω=0.017

363

1

0

ω =0. 5 ω =0. 2 ω =0. 1

ω

' -1

D

= 0 .

ω

P

= 0 .

ω

g o -2 l

= 0 .

ω

= 0 .

-3

0 0 01

0 0 0

0

0 1

0 1

ω =0. 05

ω =0. 005

5

-4 -6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

log t Db

Fig. 7.3. Curva tipo derivada unificada La Fig. 7.1.e es una respuesta de al presión típica en sistemas dedoble porosidad. Son observados tres aspectos principales: una primera línea recta, una zona de transición o inflexión y una línea recta final que tiene la misma pendiente que la primera. La primera línea representa solo el sistema de fractura y es muy corta y normalmente es 7 difícil de detectar debido alefecto de almacenamiento.La ecuación para esta línea es : 1⎛

4⎞

P = 2 ⎜⎝ ln t − ln ω + ln γ ⎟⎠ wD

D

(7.22)

ó;

Pwf = Pi −

4k fb ⎞⎟ qBμ ⎛⎜ ln t + ln ⎜ φ fbc f μrw2γ ⎟⎠ 4π k fb h ⎝

(7.23)

donde s = 0. La línea recta final representa el comportamiento de todo el sistema y está expresada como: 1⎛ 4⎞ PwD = ⎜⎜ ln tD + ln ⎟⎟ 2⎝ γ ⎠

o;

(7.24)

364

0

-0.2

ω =0. 5 ω =0. 1

'-0.4

D

ω =0. 001

P

ω =0. 01

g o-0.6

ω =0. 25

l

-0.8

-1 -6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

log t Db 16 Fig. 7.4. Derivada logarítmica de presión de yacimientos con doble porosidad

Pwf = Pi −

4k fb qBμ ⎛⎜ ln t + ln 4π k fb h ⎜⎝ [φ ct ]m+ f μrw2γ

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

(7.25)

Las dos líneas rectas están esparadas por ln ω (un número negativo). El final teórico de la primera línea recta y el inicio de la línea recta final están dados, respectivamente, por:

(tD )e1l =

0.01 (1 − )

(t Db ) = t D

t Db =

λ λ

4

=1

k fbt 4n(n + 2)kmb rw2 2 [φ ct ]m + f μrw 4hm2 k fb

(7.26) (7.27.a) (7.27.b)

La Fig. 7.2 presenta una curva tipo paraP’D vs. tD. Note que la derivada presenta una pendiente característica o mínimo entre las dos líneas rectas de la derivada constante e igual. Este mínimo depende del valor de λ. Los valores de 4n(n+2) para las tres principales geometrías son:

365

3

2

1

'

D

P g o l

0

Sma=0

-1

Sma=0. 1

Sma=100 Sma=1 Sma=5 Sma=10

Sma=50 Sma=20

-2

-3 0

1

2

3

4

5

6

7

8

91

0

log tD

Fig. 7.5. Yacimiento con doble porosidad, flujo transiente con daño de interporosidad, bloques de matriz con forma laminada,ω=0.01 y λ=105

Geometría Lámina (slab) Palos de fósforos/cilindro Cubo/esfera

4n(n+2) 12 32 60

La Fig. 7.3 es una curva tipo deP’D vs. tDb para diferentes valores de ω. Note que, ahora el mínimo aumenta cuandoω ncrementa. i Los datos de campo pueden ser ajustados con esta curva para obtenerkfb, λ y ω. La pendiente unitaria no muestra el efecto de almacenamiento (note que la presión adimensional, PD, podría proporcionar una línea de pendiente unitaria). Esto se debe a la característica especial del sistema con doble porosidad PSSS. A medida queω disminuye en valor, la derivada en el mínimo se aproxima a cero. Para valores de ω menores que 0.001, la intersección de la línea de pendiente cero con el punto de inflexión y la línea recta final es expresada así: λ 1 (t Db )i = ⎛⎜ tD ⎞⎟ = ⎝ 4 ⎠ 4γ

(7.28)

7.3. COMPORTAMIENTO DEL MODELO TRANSIENTE CON DOBLE POROSIDAD 11 Lo mismo que para el modelo PSSS, la ecuación almacenamiento y daño puede ser expresada así : de presión sin considerar efectos de

366

P*wD = P* wD (tD , ω , λ )

(7.29)

Aunque, los parámetrosω y λ son los mismos que en el modelo PSSS, la función Laplaciana, f ( s ) varía para cada geometría. La Fig. 7.4 presenta el gráfico de derivada de presión para sistemas con doble porosidad. La deriva para valores pequeños deω es muy diferente que la dada pa ra el modelo PSSS. Igualmente, ajustar la curva tipo es una buena idea para obtener los parámetros de yacimiento desconocidos. Los tres modelos transitorios no pueden ser distinguidos solo de datos de pruebas de pozo. La Fig. 7.5 muestra el comportamiento de la presión cuando se considera daño de interporosidad en el modelo. Note que para Sma > 10 la forma de la curva de derivada de presión permanece constante –aunque se traslado a la derecha- y similar al caso de PSSS. El modelo de daño de interporosidad y el modelo PSSS producen resultados similares cuando: λeff

=

λ

1 + (n + 2) S ma

(7.30)

7.4. EFECTOS DE ALMACENAMIENTO Y DAÑO Las soluciones de rata constante incluyendo efectos de almacenamiento y daño se expresan así3,15-16;

PwD = PwD (tD , ω , λ , CD , s)

(7.31.a)

P'wD = P'wD (tD , ω , λ , CD , s)

(7.31.b)

La solución está basada en las Ecs. 7.7 y 7.26 con la f ( s) apropiada dependiendo del modelo. El factor de daño se puede estimar dela pendiente semihilos querepresente el comportamiento de todo el sistema. A tiempos cercanos, el comportamiento de al presión sin efectos del almacenamiento es: 1 PwD = (ln t D − ln ω + ln 4γ + 2s ) 2

(7.32)

La Ec. 7.32 no es válida (ya que es inversión de la Ec. 7.20) sis < 0 y 2 s > ln t D − ln ω + ln 4γ

7.5. ANÁLISIS DE PRESIÓN DE RESTAURACIÓN 7: La respuesta a la presión de restauración es obtenida mediante superposición

367

PDs =

2π kh( Pi − Pws ) qBμ

PDs = PD (t p + Δt ) D − PD (Δt ) D

(7.33) (7.34)

Si la solución analítica para presión de declinación es solo disponible, entonces el tiempo de superposición requiere una inversión numérica para tp(+ΔtD) y (ΔtD), respectivamente. Definiendo la presión de restauración comoPws-Pwf(Δt=0) y la función de presión de restauración adimensional como: 2π kh( Pws − Pwf (Δt = 0) PDB = qBμ

PDB = PD (t p ) D + PD (Δt ) D − PD (t p + Δt ) D

(7.35) (7.36)

El análisis de presión de restauración es desarrollado mediante la graficación dePDB vs. log (Δte)D, donde:

Δte =

t p Δt t p + Δt

(7.37)

Cuando tp >> Δt:

PDB = PD (Δt ) D

(7.38)

Δte = Δt

(7.39)

La respuesta de la presión de restauración semilog dada por la expresión de la Ec. 7.37 o por la función de Horner t(p+Δt)/Δt está caracterizada por una línea recta inicial muy corta la cual es tenida en cuenta para el sistema de fractura y una línea recta final correspondiente al comportamiento combinado o total. En el caso de presión de declinación, existen varios criterios para el inicio, final e intersección de las líneas en términos detDb. Estos criterios están incluidos en el comportamiento de la presión de restauración sí Dt b es reemplazado por (Δte)Db.

[Δte ]Db =

4n(n + 2)k mΔte 4(φ ct )m + f μhm2

El inicio de la línea recta final tiene lugar cuando Δ( te)Db =1 ó;

(7.40.a)

368

1=

4n(n + 2)km Δte 4(φ ct ) m + f μhm2

(7.40.b)

Para el comportamiento PSSS (caso presión de restauración):

k m 4(φ ct ) m+ f μ (t p + Δtbts ) = hm2 4n(n + 2)Δtbts t p

(7.41)

En términos generales, los análisis en sistemas de condoble doble porosidad tienen las siguientes metas:de pruebas confirmardeelpozo comportamiento porosidad, determinación de las propiedades del sistema de fractura, kfbh y s, y la identificación de los parámetros ω y λ. El gráfico de la derivada es la principal herramienta para la identificación de yacimientoscon doble porosidad. La derivada de la presión en el modelo PSSS está caracterizada por un mínimo distinto y una pendiente unitaria antes del periodo final. El transiente es reconocido mediante un mínimo no agudo en el periodo intermedio. Sin embargo, la gráfica semilog debería ser considerada puesto que la respuesta de la presión de yacimientos naturalmente fracturados puede ser fácilmente confundida con la de un sistema multifásico, la cual presenta un cambio completo durante el almacenamiento, en lugar de un pico, causando un mínimo o una inclinación en la curva de la derivada de la presión. Analizando sistemas con doble porosidad, el primer paso consiste en ajustar los datos de campo con una curva tipo sin efectos de almacenamiento.kfbh puede ser obtenida del ajuste de presión yλ se puede estimar del ajuste del tiempo mediante: λ

=

(tDb) M (4μ )φ Ct kbf (t )M

2 m+ f w

r

(7.42)

Retomando que el parámetro λ se puede estimar del punto de inflexión,Δtinf, se encontraron unos gráficos semilog usando las relaciones presentadas por Tiab y Escobar13 (2003): λ

=

3792(φ ct )t μ rw2 ⎡ ⎛ 1 ⎞⎤ ⎢ω ln⎜⎝ ω ⎟⎠⎥ k Δtinf ⎣ ⎦

(7.43)

Si el almacenamiento es despreciable, entoncesω se puede estimar a partir de los parámetros ajustados. Para una mayor exactitud en la estimación de ω, se debe determinar primero CD analizando los datos más tempranos usando curvas tipo homogéneas convencionales. Entonces, se debe encontrar la curva tipo no de se porosidad doble adecuada que ajuste con el CD encontrado. Este procedimiento trabaja para valores muy grandes de λ y almacenamiento significativo. Stewart y

369

Ascharsobbi simularon flujo radial colocando un pozo en un nodo central de una malla cuadrada mientras mantenían la presión constante,Pe, en los nodos situados por fuera del circulo de radio re. Para un sistema homogéneo la ecuación de flujo radial en estado estable está dada por:

P(r ) − Pwf =

⎞ q μ ⎛⎜ r ln + s ⎟ 2π kr h ⎜⎝ rw ⎟⎠

(7.44)

entonces, un gráfico de P(r) vs. ln r produce una línea recta de pendiente, m, e intercepto b:

m=

q 2π k r h

b = Pwf −

(7.45)

q μ ⎛⎜ r⎞ s − ln ⎟⎟ 2π kr h ⎜⎝ rw ⎠

(7.46)

por lo tanto:

s=

b − Pwf + ln rw m

(7.47)

La permeabilidad promedio está relacionada con la permeabilidad de las fisuras por medio de:

krf = k b =

qμ B w =k 2π mh fi hm

(7.48)

El factor de daño de flujo radial, s, está relacionado con el tamaño del bloque, hm, mediante:

s=

π

2

− ln

hm rw

(7.49)

En pozos acidificados, sin embargo, las fracturas conectadas pueden poseer una mayor anchura. El factor de daño es entonces estimado por: 3

⎛w⎞ hm s = 2 ⎜⎝ wc ⎟⎠ − ln rw π

(7.50)

370

Cuando e pozo es situado en el centro de un bloque del modelo de palos de fósforos sin interceptar fracturas, un alto factor de daño positivo es estimado por:

⎛k ⎞ h s = ⎜⎜ fb − 1⎟⎟ ln m ⎝ km ⎠ 2rw

(7.51)

EJEMPLO Determinar la permeabilidad de una fisura-gruesa, el factor de daño y los parámetros ω y λ para el pozo Q-18 de acuerdo a la información dada a continuación y a la tabla 7.17.

h = 242 ft Pwf = 1932 psi = 1.18 μ cp

(

rw = 0.29 ft tp = 408000 hrs φ ct)m+f = 7.50x10-06 psi-1

q = 3629 STB/D B = 1.32 rb/STB km = 0.148 md

SOLUCION Esta prueba puede ser analizada usando el método convencional semilog de Horner. Una gráfica Horner es presentada en la Fig. 7.6. la capacidad de almacenamiento,ω, es estimada de la separación de las líneas paralelas usando la Ec. 7.1: Tabla 7.1. Datos de presión de restauración, pozo Q-187

t, hrs Pws, psi 0.0167 1948 0.0333 1958 0.0500 1961 0.0667 1963 0.1000 1966 0.1333 1969 0.2000 1971 0.3500 1976 0.5500 1981 0.7500 1984 0.9500 1987

(tp+ t)/ t 24431138.7 12252253.3 8160001.0 6116942.5 4080001.0 3060766.2 2040001.0 1165715.3 741819.2 544001.0 429474.7

t, hrs 0.9500 1.3500 1.7500 2.1500 2.5500 3.1833 3.9000 4.6500 5.4833 5.0000

Pws, psi 1987 1990 1993 1994 1995 1996 2001 2003 2005 2006

(tp+ t)/ t 429474.7 302223.2 233143.9 189768.4 160001.0 128169.9 104616.4 87742.9 74408.7 81601.0

371

2010

Inicio de la línea recta final = 2.15 hrs

2000

o icl i/c si s p p 31 42 =- 21 m = b

1990

i s 1980 p ,s w

P1970

ΔP=16

1960

1950

1940 1.E+08

1.E+07

1.E+06

1.E+05

1.E+04

(tp+Δt)/Δt

Fig. 7.6. Gráfica Horner Clásica

ω

∂P 16 = antilog⎛⎜ − ⎞⎟ = antilog⎛⎜ − ⎞⎟ = 0.305 ⎝ m⎠ ⎝ 31 ⎠

La Ec. 7.48 se utiliza para estimarkfb:

k fb = 162.6 = 122.5 md mhq μ B = 162.6(3629)(1.18)(1.32) (31)(242) Estimar el factor de daño de la Ec. 7.47.

s=

λ

=

b − Pwf 2142 − 1932 + ln rw = + ln (3.48) = −5.52 m − 31 4n(n + 2)k mb rw2 kb hm2

se puede estimar la Ec. 7.8 si se hacen las siguientes suposiciones: tomarn = 1 (lámina), kb = kfb y hmb = h, entonces: λ

λ

=

4n(n + 2)kmb rw2

4(1 + 2)(0.148)(8.83922 )

k h=

2 (122.5)(242 ) ×=

b m2

−5

1.93 10

372

EJEMPLO Determinar la permeabilidad de una falla-gruesa, el factor de daño y los parámetrosω y λ para el pozo R-6 de acuerdo a la información dada a continuación y a la tabla 7.2.

h = 1150 ft Pwf = 5223 psi = 0.47 μ cp

(

rw = 0.292 ft tp = 408000 hrs φ ct)m+f = 1.4x10-06 psi-1

q = 17000 STB/D B = 1.74 rb/STB km = 0.148 md 7

Tabla 7.2. Datos de presión de restauración, pozo R-6

t, hrs 0.000 0.010 0.023 0.058 0.230 0.780 1.400

Pws, psi t*P’ws, psi 5223 5232 5.61 5239 9.56 5250 8.48 5256 5.06 5263 8.80 5269 9.87

t, hrs 1.400 2.000 2.400 2.700 3.450 3.700 4.000

Pws, psi t*P’ws, psi 5269 9.87 5272 9.40 5274 11.72 5275 10.81 5277 8.54 5281 7.78 5281 6.91

SOLUCION El gráfico MDH dado en la Fig. 7.7 confirma la existencia de un sistema con porosidad doble. En la Fig. 7.8 se muestra también una curva tipo de ajuste. La capacidad de almacenamiento,ω, es estimada de la separación de las líneas paralelas usando la siguiente ecuación: ω

∂P 13 = anti log⎛⎜ − ⎞⎟ = anti log⎛⎜ − ⎞⎟ = 0.25 ⎝ m⎠ ⎝ 22 ⎠

Usar la Ec. 7.48 para estimarkfb:

k fb =

141.2q μ B 162.6(17000)(0.47)(1.74) = = 89.4 md mh (22)(1150)

puede estimarse usando los puntos de ajuste de la Fig.7.8 y la Ec. 7.42 (en unidades CGS): λ

M = 0.023 hrs tP’ D = 0.5 ω = 0.2

t* = 8.5 psi/hr tDΔ=P’0.0162

373

5290

Inicio de la 2a. línea recta= 0.78 hrs

5280

5270

i s 5260 p , s w

=13

P5250

ΔP

lo /cic psi psi 2 -2 5 m= = 526 b

5240

5230

5220 0.01

0.1

1

10

Δt, hrs

Fig. 7.7. Gráfico MDH para el pozo R-6

λ

=

(t Db )M 4μ (φ ct ) m + f rw2 = k fbt M

(0.0162)(4)(0.0047)(1.088 ×10−8 )(8.92 ) × = 3.78 10 −3 (89.4)(7.76 ×10−10 )

El factor de daño puede ser aproximado mediante la Ec 7.49.

hm π π 1150 s = 2 − ln rw = 2 − ln 0.292 = −6.7 7.6. APLICACIÓN DE LA FUNCION NATURALMENTE FRACTURADOS

P’ D

A

YACIMIENTOS

Mavor y Cinco-Ley7 presentaron una solución en espacio Laplace para un pozo en un yacimiento fracturado naturalmente conproducción a rata constante. Los efectos de almacenamiento y daño son considerados. Pw ( s ) =

Ko ( s f ( s) )( + s )(s f ( s )) K1 s f ( s ) s [( s f ()s() K1 ) s f ( s ) (+ s CD) {(K o )s(f ( s ) ) + s s f (s ) K1 s f ( s ) }]

(7.52)

La función f ( ) para flujo interporoso en estado pseudoestable, flujo interporoso transiente, y para el caso de capas y el caso esférico, son definidos, respectivamente, como:

374

1

0

ω =0. 2 ω

' -1

= 0 .

ω

D

= 0 .

ω

P

= 0

ω

g o -2

= 0 .0 0 0 1

l

.

0

0 05

0 0 1

ω =0. 5 ω =0. 1 ω =0. 05

0 1

ω =0. 005

-3

-4 -6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

log t Db 7 Fig. 7.8. Curva de ajuste de la derivada para el pozo R-6

f (s ) =

(1 − ) s + λ (1 − ω ) s + λ

1/ 2 ⎡⎛ 3(1 − ω ) s ⎞1 / 2 ⎤ λ (1 − ω ) ⎤ f (s ) = ω + ⎡⎢ ⎟ ⎥ ⎥ coth ⎢⎜ ⎣ 3s ⎦ ⎣⎢⎝ λ ⎠ ⎦⎥

f (s ) = ω +

1/ 2 ⎡ ⎡15(1 − ω ) s ⎤ 1 / 2 ⎤ ⎫⎪ 1 λ ⎧⎪⎡15(1 − ω ) s ⎤ coth ⎢ ⎢ ⎨⎢ ⎥ ⎥⎦ ⎥ ⎬ − 1 5 s ⎪⎩⎣ λ λ ⎦ ⎢⎣ ⎣ ⎥⎦ ⎪⎭

(7.53.a)

(7.53.b)

(7.53.c)

La solución de la derivada de la ecuación (1.45) es expresada como:

P'wD ( s ) =

(

K o s f (s ) ) + s s f (s ) )K1 s f ( s ) ) (7.54) s f ()s() K1 ) s f (s ) (+ s CD) {(K o )s(f ( s ) )+ s s f (s ) K1 s f ( s ) }

Las Figs. 7.9 y 7.10 presentan los gráficos de la presión adimensional, la derivada de la presión adimensional y la relación de la presión adimensional con la derivada de la presión adimensional para flujo interporoso en estado pseudoestable y acción infinita y flujo interporoso transitorio, respectivamente. Los efectos del almacenamiento se notan por laconstante línea de de pendiente unitariauna a tiempos cercanos mientras PPR permanece a un valor 0.5. Entonces, línea recta semilog se presenta durante el periodo de flujo radial de la fractura. Una vez el periodo de transición es alcanzado

375

las curves de PD se acuestan hacia el ejex mientras para el flujo interporoso en estado pseudo estable P’D disminuye abruptamente y PPR incrementa fuertemente. Después, P’D incrementa hasta un valor fijo de 0.5 se alcanza. Para el flujo interporoso transiente, la curvaP’D disminuye hasta 0.25 mientras elPPR incrementa por encima de la curva PD. En el tiempo final las curvesP’D incrementaron a 0.5 y PPR disminuyo y se unió con la curva PD. Las variables adimensionales están definidas por:

tD =

0.0002637kt

(7.55)

2

φμct rw

PwD (rD , t D ) = CD =

kh [P − P(r , t )] 141.2qμB i

(7.56)

0.89359 C φct hrw2

P' D = t D

(7.57)

dPD dtD

(7.58)

1.E+04

PPR 1.E+03

R 1.E+02 P P ,

1.E+01

D

' P 1.E+00 ,

D

P

1.E-01

PD 1.E-02

1.E-03 1.E-01

P' 1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

D

1.E+07

1.E+08

1.E+09

1.E+10

tD

Fig. 7.9. Yacimiento fracturado naturalmente de acción infinita con parámetro de flujo interporoso en estado pseudoestable16

376

1.E+02

PPR PD

1.E+01

R P P , D

' P

1.E+00

, D P

P' D 1.E-01

1.E-02 1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

1.E+09

1.E+10

tD

Fig. 7.10. Yacimiento fracturado naturalmente de acción infinita con parámetro de flujo interporoso transitorio16 1 ω

=

ω

= ω =

0.1

0 .

ω = 0

ω = 0

ω D

=

'0.01 P

= 0 .

= 0 .

0.001

0.0001 1.E+02

0 .

ω ω

1.E+03

0

0 0

.

.

0 0

0. 1

0 .0 3 0 1

3

0 0 1

0 3

0 0 1

0 0 0 0 3

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

tD 16 Fig. 7.11. parámetro Curva tipode Omega para un yacimiento naturalmente con flujo interporoso en estadofracturado pseudoestable

377

100 2s

50

2s

40

CDe

=10

CDe

=10

2s

30

2s

20

2s

15

CDe

=10

CDe

10

=10

CDe

=10

D

P

2s

10

2s

6

CDe

=10

CDe2s=103 CDe =10

1

2s

2

2s

0

CDe

-1

0 2s =1

CDe

De

=10 =10

C 0.1 1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

tD/CD Fig. 7.12. Curva tipo para un yacimiento homogéneo, de acción infinita con almacenamiento y daño16 1

ω

D

' P

ω

ω

ω

= 0 . 000 3

= 0 . 00 1

ω

= 0. 003

= 0 .1

= 0 . 03 ω = 0. 0 1

ω = 0. 00003 ω = 0. 0001

0.1 1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

tD Fig. 7.13. Curva tipo Omega para un yacimiento fracturado naturalmente con parámetro de flujo interporoso transiente para el modelo estratos11

378

1

ω

ω

D

' P

ω

ω

= 0 . 00 = 0 1 . 000 3

ω

ω

= 0. 003

= 0. 1

= 0 . 03

= 0. 01

ω = 0. 00003 ω = 0. 0001

0.1 1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

tD

Fig. 7.14. Curva tipo Omega para un yacimiento fracturado naturalmente con parámetro de flujo interporoso transiente para el modelo esférico11 100

a=

λC D

(1 − ω )ω -

2

-3

10

3

-4

-4

0 10 10 x1 1x 1x =3 a= a= a

0 x1

0 -1 0 x1 =3 0 x1 1 a 1 3 a= x a= 1 = a 2

R P P

1

0.1 1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

tD/CD

Fig. 7.15. Curva tipo para un yacimiento fracturado naturalmente con parámetro de flujo interporoso en estado pseudo estableω=0.116

379

100

a=

λC D

(1 − ω )ω 3

-4

-3

-4

2 0 10 0 10 0 x1 1x 1 x1 1x =3 a= 10 1x =3 a= a 3x a= a a= -2

-

10

x 1 = a

1

0 1

R P P

1

0.1 1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

tD/CD

Fig. 7.16. Curva tipo para un yacimiento fracturado naturalmente con parámetro de flujo interporoso en estado pseudoestableω=0.216 100

a=

λC D

(1 − ω )ω 3

-4

-4

3 0 x10 0 1 3x10 =1x1 a=3x1 a=1 1 a 10 1x a= 0 1 3x a= x = 1 a = a -2

10

2 -0

R P P

1

0.1 1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

tD/CD

Fig. 7.17. Curva tipo para un yacimiento fracturado naturalmente con parámetro de flujo interporoso en estado pseudo estableω=0.316

380

10

a=

λC D

-4

a=1x10

(1 − ω )ω

-4

a=3x10 -3

a=1x10 -3

a=3x10 -2

a=1x10 -2

a=3x10

R P1 P

-1

a=1x10

0.1 1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

tD/CD

Fig. 7.18. Curva tipo para un yacimiento fracturado naturalmente con parámetro de flujo interporoso transitorio modelo de estratos.ω=0.116 10

a=

λC D

-4

a=1x10

(1 − ω )ω -4

a=3x10 -3

a=1x10 -3

a=3x10 -2

a=1x10 -2

a=3x10

R P1 P

0.1 1.E-01

-1

a=1x10

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

tD/C D

Fig. 7.19. flujo Curvainterporoso tipo para un yacimiento fracturado naturalmente con16parámetro de transitorio para modelo de estratos,ω=0.01

381

10

a=

λC D

-4

a=1x10

(1 − ω )ω

-4

a=3x10 -3

a=1x10 -3

a=3x10 -2

a=1x 10 -2

a=3x10

R P1 P

0.1 1.E-01

-1

a=1x10

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

tD/CD

Fig. 7.20. Curva tipo para un yacimiento fracturado naturalmente con parámetro de flujo interporoso transitorio para caso estratosω=0.0216

PPR =

0.5PD dP tD D dtD

(7.59)

(φc ) f (φc)t

(7.60)

km kf

(7.61)

ω

=

λ

= rw2

Las Figs. 7.11 a la 7.20 son un grupo de curvas tipo log-log. Estas incluyenPD vs. tD/CD para diferentes CDe2s, P’D vs. tD/CD para diferentes valores de ω y PPR vs. tD/CD para un rango de λCD/(1-ω) ω.

7.7. PROCEDIMIENTO DE AJUSTE DE CURVAS TIPO1 1. Construir los gráficos log-log de (a) ΔP vs. Δte (Ec. 7.39), (b) Δte vs. Δte (dΔP)/(dΔte) vs. Δte, y (c) ΔP*0.5/(Δte (dΔP)/(dΔte) vs. Δte. 2. Determinar el modelo de flujo de interporoso basado en el perfil de los datos graficados. Para el flujo interporoso transitorio, se determina la posible geometría del bloque de la matriz.

382

3. Obtener ω ajustando la parte de la zona de transición de la gráfica de derivada de presión con la curva apropiada de PD’ vs. tD/CD. ω se puede estimar con un ajuste adecuado de la Fig. 7.11. ω es la relación entre el valor ajustado deCDe2s durante los periodos de tiempo últimos y finales. 4. Usar la curva de PPR vs. tD/CD para ajustar con la tercera gráfica y registrar los valores de (CDe2s)M, Δte/(tD/CD)M, y (λCD/(1-ω) ω)M. 5. Ajustar la gráfica ΔP vs. Δte con la curva PD vs. tD/CD por alineación de los ejes del tiempo con el Δte/( tD/CD)M obtenido previamente. Registrar ( PD/ΔP)M. 6. Estimar los parámetros del yacimiento de:

P kh = 141.2qμB⎛⎜ D ⎞⎟ Δ ⎝ P ⎠M C=

0.000295kh ⎛ Δte ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ μ ⎝ tD / C D ⎠

CD ( f + m ) =

0.8936C ⎛ Δte ⎞ ⎜ ⎟ φ Ct hrw2 ⎜⎝ t D / CD ⎟⎠

⎛ (C e 2 s ) ⎞ s = 0.5 ln⎜⎜ D f + m ⎟⎟ ⎝ (CD ) f ⎠

(7.62)

(7.63.a)

(7.63.b)

(7.64)

Si ω no puede ser encontrado de la curva tipo, estimar ω de: ω

=

(C D e 2 s ) f + m (C D e 2 s ) f

(7.65)

El parámetro de flujo interporoso con estado pseudoestable,λ, está dado por: λ

⎡ ω (1 − ω ) ⎤ ⎡ λC D ⎤ =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ C D ⎦ ⎣ ω (1 − ω ) ⎦ M

(7.66.a)

El parámetro de flujo interporoso transiente,λ esta dado por: λ

⎡ (1 − ω ) 2 ⎤ ⎡ λC D ⎤ =⎢ ⎥⎢ 2⎥ ⎣ C D ⎦ ⎣ (1 − ω ) ⎦ M

(7.66.b)

383

EJEMPLO Determinar la permeabilidad, almacenamiento, factor de daño y los parámetrosλ y ω para un yacimiento cuya información esta dada a continuación y en la tabla 7.31.

h = 7 ft Pwf = 3816.99 psi μ = 0.3 cp

rw = 0.29 ft tp = 30.05 hrs φ = 0.05

q = 830 STB/D B = 1.5 rb/STB ct = 2x10-05 psi-1

SOLUCION Un gráfico de ΔP, t*ΔP’, y PPR vs. tiempo es mostrado en la Fig. 7.21. Cada curva fue ajustada a su respectiva curva tipo. Los parámetros ajustados son los siguientes: (CDe2s)M = 6.1x10-3 (λCD/[1 -=ω10 ] ω)M (PD/ΔP)M = 1/17

Para

Δte/( tD/CD)M = 6x10-3 ω = 0.15

Estimar la permeabilidad de la Ec. 7.62:

k=

141.2qμB ⎛ PD ⎞ 141.2(830)(0.3)(1.5) ⎛ 1 ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ = 443.2 md h 7 ⎝ ΔP ⎠ M ⎝ 17 ⎠

El cálculo de C es estimado de la Ec. 7.63.a:

C=

0.000295kh ⎛ Δte ⎞ 0.000295(443.2)(7) ⎜⎜ ⎟⎟ = (0.0061) = 0.0186 STB / ft μ 0.1 ⎝ t D / CD ⎠

El almacenamiento adimensional, factor de daño y parámetro de flujo interporoso se encontraron usando las Ecs. 7.63.b, 7.64 y 7.66.a, respectivamente:

CD ( f + m) =

0.8936C ⎛ Δte ⎞ ⎜ ⎟ = 0.8936(0.0186) (0.0061) = 28233 φ Ct hrw2 ⎜⎝ t D / CD ⎟⎠ 0.05 (2 × 10− 5 )(7)0.292

⎛ (C e 2 s ) ⎞ 10 ⎞ s = 0.5 ln⎜⎜ D f + m ⎟⎟ = 0.5 ln⎛⎜ ⎟ = −4 ( C ) 28233 ⎝ ⎠ D f ⎝ ⎠

λ

⎡ω (1 − ω ) ⎤ ⎡ λCD ⎤ ⎡ 0.15(1 − 0.15) ⎤ −8 CD ⎥⎦ ⎢⎣ω (1 − ω ) ⎥⎦ M = ⎢⎣ 28233 ⎥⎦[0.006] = 2.7 × 10

= ⎢⎣

384

Tabla 7.3. Datos de presión de restauración t, hrs 0.000000 0.000621 0.001247 0.001862 0.003103 0.003729 0.004970 0.006837 0.008693 0.010560 0.012428 0.014910 0.018018 0.021115 0.027946 0.034162 0.040379 0.050933 0.063980 0.078884 0.100618 0.120810 0.153423

P, psi 3816.99 3817.96 3819.73 3821.64 3824.92 3826.96 3829.52 3832.61 3835.18 3837.58 3839.94 3842.79 3845.72 3848.40 3853.16 3856.67 3859.48 3863.31 3867.10 3870.32 3873.84 3876.51 3879.37

t* p' PPR

p 0.970 2.740 4.650 7.930 9.970 12.530 15.620 18.190 20.590 22.950 25.800 28.730 31.410 36.170 39.680 42.490 46.320 50.110 53.330 56.850 59.520 62.380

1.830 3.843 5.441 8.065 8.706 9.773 10.620 12.105 13.233 14.426 15.391 16.174 16.521 16.974 17.013 16.844 16.462 15.788 15.076 13.931 13.038 11.824

0.265 0.357 0.427 0.492 0.573 0.641 0.735 0.751 0.778 0.795 0.838 0.888 0.951 1.065 1.166 1.261 1.407 1.587 1.769 2.040 2.283 2.638

t,hrs 0.255902 0.330442 0.404981 0.498147 0.572686 0.684489 0.833557 0.945360 1.168970 1.336680 1.578920 1.951600 2.324270 3.069630 3.349140 4.746680 5.864710 6.982750 8.659800 9.405190 10.150500 12.013900 14.260000

P,psi 3884.70 3886.59 3888.34 3889.31 3890.20 3890.80 3892.31 3892.60 3893.57 3893.97 3894.64 3895.38 3895.92 3896.81 3897.18 3898.22 3899.11 3899.81 3900.69 3901.08 3901.43 3902.31 3903.19

p 67.710 69.600 71.350 72.320 73.210 73.810 75.320 75.610 76.580 76.980 77.650 78.390 78.930 79.820 80.190 81.230 82.120 82.820 83.700 84.090 84.440 85.320 86.200

t* p' PPR 9.035 3.747 7.447 4.673 6.420 5.557 6.215 5.818 5.553 6.592 4.849 7.611 4.646 8.105 4.344 8.704 4.151 9.224 3.601 10.690 3.677 10.560 3.427 11.438 3.411 11.571 3.264 12.229 3.342 11.999 3.702 10.971 3.943 10.413 4.352 9.516 4.571 9.155 4.802 8.755 4.843 8.717 4.414 9.664 4.167 10.343

100

ΔP t * ΔP'

' P

10

* t , R P P , 1 P

PPR

0.1 0.0001

0.001

0.01

0.1

1

t, hrs

Fig. 7.21. ΔP, t*ΔP, y PPR vs tiempo1

10

100

385

7.8. TIAB’S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE PARA YACIMIENTOS FRACTURADOS NATURALMENTE Las ecuaciones básicas para flujo en yacimientos fracturados naturalmente con porosidad doble fueron formuladas srcinalmente en 1960. Usando la mecánica continua, los parámetros del medio y de flujo de las fracturas y la matriz, son definidas en cada punto matemático. La transferencia de fluido en tre los dos medioses mantenida en una función fuente, donde el fluido se asume en estado pseudoestable en la matriz del sistema. Warren y Root15 usaron esta aproximación para desarrollar una solución integrada y fracturado aplicable para las pruebas presión de declinación restauración yacimiento na turalmente conde porosidad doble. A partiry de su trabajo en se un pueden identificar varios regímenes de flujo del análisis semilog. En orden cronológico existen una línea recta en tiempos cercanos representando únicamente el depletamiento de la fractura, y una línea recta en tiempos finales, la cual corresponde al tiempo cuando todo el yacimiento produce como un yacimiento homogéneo equivalente. A estos tiempos finales, la línea recta semilog es paralela a la primera línea recta. 15 Dos parámetros claves fueron derivados por Warren y Root para caracterizar yacimientos fracturadosnaturalmente: el coeficiente dealmacenamiento adimensional, ω, y el parámetro de flujo interporoso,λ. ω proporciona un estimado de la magnitud y la distribución de la matriz y el almacenamiento de la fractura,λ yes una medida de la rata de transferencia de masa de la matriz a la red de fracturas y por lo tanto describe la capacidad de flujo de la matriz disponible en las fracturas.

Nuevos desarrollos realizados por Mavor y Cinco7 incluyeron almacenamiento y daño en la solución para elparámetro de flujo enestado pseudoestable en une yacimiento fracturado naturalmente. Esto de fueinterporoso llevado a cabo en el espacio Laplaciano invertido numéricamente usandoel algoritmo de Stehfest. Como consecuenciadirecta, 1 fueron desarrolladas curvas tipo por Bourdet , las cuales incluyeron almacenamiento y daño en yacimientos fracturados na turalmente. Subsecuentemente, losparámetros de yacimiento podrían ser estimados cuando el almacenamiento dominara los datos de presión en tiempos cercanos. Un avance en las curvas tipo de yacimientos fracturados 1 naturalmente ocurrió con la adición de la curva de la derivada (Bourdet y otros , 1983). 4 El incremento de la sensibilidad de la curva de la derivada en yacimientos fracturados naturalmente, resulta en una mayor exactitud de la curva tipo de ajuste. Desafortunadamente, el ajuste con curvas tipo es un método por ensayo y error, lo cual proporciona frecuentemente respuestas no únicas; por lo tanto, la Tiab’s Direct Síntesis Technique se propone en esta sección. Este método combina los puntos característicos y las pendientes de un gráfico log-log de datos de presión y derivada de presión con las soluciones analíticas exa ctas para obtener propiedadesdel yacimiento. Esta ha sido aplicada porpara Tiab para modelos de fractura con conductividady infinita y exitosamente flujo uniforme, yacimientos homogéneos convertical daño y almacenamiento, para pozos fracturados verticalmente en sistemas cerrados como se verá en el capítulo

386

83. Esta sección presenta al ampliación de este nuevo método para yacimientos fracturados naturalmente con flujo interporoso en estado pseudoestable. Para casos de yacimientos de triple porosidad, cuya investigación es escasa, el lector es remitido a la Ref. 5. De igual manera, la extensión de la técnica de Tiab para determinar presión promedia en yacimientos de doble porosidad se da en la Ref. 8.

7.8.1. Aspecto Teórico Una formación real fracturada naturalmente está compuesta de un sistema heterogéneo de cavernas, m atriz, cuales sonconsta aleatorias ensu naturaleza. Para modelar este sistema fracturas, se asumeyque el las yacimiento de elementos de bloque de matriz discretos separados por unsistema ortogonal de racturas f uniformes y continuas.Estas fracturas están orientadas paralelas los a ejes principales de permeabilidad. Se asumen dos geometrías comúnmente, por ejemplo, capas ycubos de azúcar. El flujo entre la matriz y las fracturas está gobernado por condición de estado pseudoestable, pero solo las fracturas llegan a la cara delpozo a una rata constante. Se asume que el fluidoes de una sola fase y ligeramente compresible.La solución de al presión de al cara del pozo en un yacimiento de acción infinita, con las suposiciones anteriores está dada15por :

⎛ λ t D ⎞ ⎛ λ t D ⎞⎤ 1⎡ ⎟⎟ - Ei⎜ p D = ⎢ln t D + 0.80908 + Ei⎜⎜ ⎟⎥ + s 2⎣ ⎝ ω( 1 - ω ) ⎠ ⎝ 1 - ω ⎠ ⎦

(7.67)

La función derivada de la Ec. 7.67 puede ser obtenida fácilmente así: ⎡

⎤

t D * PD ' = 12 ⎢⎢1- exp⎛⎜⎝ − 1λ-tωD ⎞⎟⎠+exp⎛⎜ − ωλ(1t-Dω ) ⎞⎟⎥⎥ ⎝ ⎠ ⎣

(7.68)

⎦

Las variables adimensionales son definidas por:

PD =

k 2hΔP 141.2q μ B o

0.0002637k 2t (φ c)1+2 μ rw2 φ 2c 2 ω = φ 1c1 + φ 2 c 2

tD =

λ = α r 2w

k1 k2

(7.69) (7.70) (7.71)

(7.72)

387

donde α refleja la geometría de los elementos de la matriz. Note, que los subíndices numerados se refieren a la propiedad dada cuando fueron distribuidas, por ejemplo, en relación al volumen bruto oal volumen elemental representativo.Por lo tanto,φ1 y φ2 son las porosidades de matriz bruta y de fractura, respectivamente, o en otras palabras la relación de los volúmenes porosos de la matriz y la fractura en el volumen total bruto.

7.8.2. Puntos y Líneas Característicos La Fig. 7.22 ilustra las características únicas de un gráfico de presión adimensional y derivada de presión tiempoanálisis para un yacimiento fracturado naturalmente. Referente a esta figura,versus el siguiente se puede efectuar: Los periodos de flujo radial de acción infinita están representados por una línea recta horizontal de derivada de presión. El primer segmento corresponde al depletamiento de la fractura y el segundo a la respuesta del yacimiento homogéneoequivalente. Una expresión para al derivada 3 durante este tiempo está dada por :

t D * PD '=

1 2

(7.73)

Sustituyendo por las variables adimensionales y reordenando resultados en una técnica simple y rápida para determinar la permeabilidad de la red de fracturas,

k2 =

70.6q μ B o h(t * ΔP)r

(7.74)

donde (t*ΔP’)r es la derivada de la presión a algún tiempo conveniente, tr. Note en la Fig. 7.22 que en la parte recta de la curva de derivada se indica el periodo de transición para yacimientos fracturados naturalmente. La parte más baja de esta parte recta es dependiente del coeficiente de almacenamiento adimensional, pero independiente del flujo interporoso. Una expresión analítica paralas coordenadas mínimas puede ser obtenida tomando la segunda derivada de la Ec. 7.67 e igualando el resultado a cero. Subsecuentemente, las coordenadas mínimas adimensionales están dadas por: (t D ) min =

λ

ln

1 ω

(7.75)

y; 1 ω ⎞ 1⎛ (t D * PD ' )min = ⎜⎜1 + ω 1−ω − ω 1−ω ⎟⎟ 2⎝ ⎠

(7.76)

388

10

(PD) r2 (PD) r1 '

D

P t*

(tD)usi

1

(t*PD') r1

(t*PD') r2

d n a D

tD,e1

P

tD,b2

0.1

(t*PD')min @ tDmin

tDmin 0.01 1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

tD

Fig. 7.22. Puntos y líneas características de un yacimiento fracturado naturalmente con flujo interporoso en estado pseudoestable ω=0.01, λ=1x10-6 13 El uso de la segunda derivada fue propuesto srcinalmente por Uldrich y Ershaghi para determinar el parámetro de flujo interporoso. Sin embargo, para convertir esta expresión universal en unidades reales, fue desarrollada una forma normalizada dividiendo el punto mínimo de la derivada por el valor la línea de la derivada del flujo radial de acción infinita. La expresión analítica resultante esescrita así3: 1 ω ⎞ (t * ΔP' )min ⎛⎜ = ⎜1 + ω 1−ω − ω 1−ω ⎟⎟ (t * ΔP' )r ⎝ ⎠

(7.77)

Existe una relación de ajuste entre la relación de la derivada de la presiónω.y Por conveniencia, una correlación empírica fue desarrollada, 2

⎧ (t * ΔP' ) min ⎫ ⎧ (t * ΔP' ) min ⎫ ⎬ + 0.54653⎨ ⎬ ⎩ (t * ΔP' ) r ⎭ ⎩ (t * ΔP' ) r ⎭

ω = 0.15866⎨

(7.78)

y es válida desde 0≤ ω ≤ 0.10 con un error menor que1.5 %. Un método alternativo para determinar ω surge de los tiempos característicos definidos de curva de derivada de presión. Mostrados en la Fig. 7.22 esos tiempos incluyen el final de la primera línea recta horizontal,tDe1, el inicio de la segunda línea recta horizontal, tDb2, y el tiempo correspondiente a la mínima derivada,tDmin. La siguiente relación, independiente del parámetro de flujo interporoso, puede ser desarrollada de las relaciones de los tiempos.

389

50t e1 = t b 2 = t min ) 5(1ω ω ) ω ln(1/ )

(7.79)

ω(1ω

El coeficiente de almacenamiento adimensional se puede determinar directamente de la relación del final de al primera línea recta yel inicio de la segunda línea recta. Sin embargo, las relaciones de los tiempos con la coordenada del tiempo mínimo son ligeramente más complejas; por lo tanto, se desarrollaron unas correlaciones empíricas para facilitar la solución de ω. La correlación para larelación del tiempo mínim o con el 3 tiempo para el final de la primera línea recta, con un error menor que el 5%, : es

⎡

1 ⎛ t min ⎞⎤ - 0.4383 ⎟ ⎥ ⎜ ⎠⎦ ⎣ 0.9232 ⎝ 50t e1

ω = exp ⎢-

(7.80)

La correlación para la relación del tiempo mínimo con el tiempo de inicio de la segunda línea recta, válido paraω ≤ 0.1 con un error menor que el 2% está dada por:

⎧ ⎫ 5t min ⎨ ⎬ ⎩ t⎭b 2

ω =0.19211

⎧ ⎫ +0.80678 ⎨ ⎬ ⎩ ⎭

5t min t b2

2

(7.81)

Para un coeficiente de almacenamiento adimensional dado la mínima coordenada de presión adimensional es independiente del parámetro de flujo interporoso, mientras que la mínima coordenada de tiempo adimensional está en función λde . Subsecuentemente, un gráfico de log t(D*P’D)min vs. log (λtD)min resulta en una línea recta con pendiente unitaria. La correspondiente ecuación em pírica es: ln(t D * PD ' )min = ln(λ ⋅ t D min ) + ln(0.63)

(7.82)

Expresando la Ec. 7.82 en unidades reales y reordenando, proporciona un método para determinarλ, λ=

42.5hST r w2 ⎛ t * ΔP' ⎞ ⎜ ⎟ q B o ⎝ t ⎠min

(7.83)

Un método alternativo para determinarλ puede llevarse a cabo observando una línea recta con característica de pendi ente unitaria durante el últimoperiodo de transición. El menor coeficiente de almacenamiento adimensional (punto más bajo de la recta) ajusta los datos másexactamente a línea dependiente unitaria. Un ω menor que 0.05 da como resultado un estimativo más exacto deλ. Para ω > 0.05, λ será sobrestimado. La ecuación analítica para este comportamiento del último tiempo de transición es:

390

⎛ λ ⋅t ⎞ ln(t D * PD ' )us = ln⎜ Dus ⎟ ⎝ 2 ⎠

(7.84)

La intersección de la línea de pendiente unitaria del periodo de transición con la línea de la derivada de presión del flujo radial con acción infinita (mostrada en la Fig. 7.22), λ, desarrolla una expresión muy simple para determinar λ=

1

(7.85)

t Dusi

o en unidades reales,

⎛ ST μ r 2w ⎞ 1 ⎟ ⎝ 0.0002637 k 2 ⎠ tusi

λ=⎜

(7.86)

En general, el parámetro de flujo interporoso se puede estimar de cualquiera de los 3 valores de tiempo característicos mediante las siguientes relaciones , λ=

ω(1ωω) ω

= 50β t e1

ln(1/ ) ω1 = = β t min β tusi

5(1- ) β t b2

(7.87)

donde β representa el inverso del grupo de constantes en el paréntesis de la Ec. 7.86. Para el punto de intersección de la pendiente unitaria solo se requiere un estimado de la permeabilidad de la redde dealmacenamiento fracturas, mientras para los tiempos restantes el coeficiente adimensional debería característicos también ser conocido. Afortunadamente, para determinar λ de la Ec. 7.83 solo requiere de la identificación de las coordenadas mínimas y esto proporciona una ventaja sobre otros métodos. El factor de daño se puede determinar de los valores de presión y derivada de presión a un tiempo conveniente durante cualquiera de los dos segmentos de línea de flujo radial con acción infinita. De las ecuaciones analíticas de tiempo cercano, en unidades reales, el factor de daño está dado por3:

⎤ ⎛ t 1⎞ 1 ⎡⎛ ΔP ⎞ - ln ⎜ k 2 r1 ⎟ + 7.43⎥ s m = ⎢⎜ 2 ⎣⎝ t * ΔP ' ⎟⎠r1 ⎝ ST μ r w2 ω ⎠ ⎦

(7.88)

donde el subíndice r1 denota la línea recta radial de tiempo temprano SyT =(φct)t. Similarmente, durante el periodo de tiempo lejano se puede desarrollar una expresión para el factor de daño;

S m = 1 ⎡⎢⎛⎜ ΔP ⎞⎟ - ln⎛⎜⎜ k 2 tr 22 ⎞⎟⎟ + 7.43⎤⎥ 2 ⎣⎝ t * ΔP' ⎠r2 ⎝ ST μ r w ⎠ ⎦

(7.89)

391

7.8.3. Respuesta de la Presión con Efectos de Almacenamiento Como una consecuencia directa del almacenamiento, se tiende a ocultar el periodo de flujo radial de tiempo temprano. Por lo tanto, la línea de flujo radial entiempo lejano de acción infinita es esencial para estimar el factor de daño y la permeabilidad de la red de fracturas como se discutió anteriormente. Existen varios métodos directos para determinar la constante de almacenamiento a partir de las curvas de presión y derivada presión. son Lasunlíneas de presión yderivada de presión con pendiente unitaria a tiemposdecercanos indicativo del almacenamiento puro. En unidades reales, la curva de presión puede ser usada para resolver la constante de almacenamiento3,

⎛q C =⎜ B ⎝ 24

⎞ t ⎟ ⎠ ΔP

(7.90)

Similarmente, de la línea de derivada de presión con pendiente unitaria,

⎛q ⎞ t C=⎜ B ⎟ ⎝ 24 ⎠ t * ΔP'

(7.91)

Una alternativa es usar también la intersección de la línea de presión de pendiente unitaria en el tiempo cercanocon la línea de flujo radial de acción infinita. De este punto de intersección se puede estimar C. h C = k 2 ti 1695μ

(7.92)

La influencia del almacenamiento en las coordenadas mínimas es de mayor importancia en el análisis. Como muestra la Fig. 7.23,el dilema es sí el punto mínim o observado es el mínimo real o un “pseudo-mínimo” como resultado directo del almacenamiento. Investigaciones detalladas han mostrado que el punto mínimo no es afectado por el almacenamiento para todos losω y λ, proporcionados, (t D ) min,o ≥ 10 (t D ) x

(7.93)

Por consiguiente, los procedimientos descritos anteriormente son válidos. Cuando la relación del ocurre tiempoun mínimo con el tiempoenenlaelcurva pico de es menor que eldelímite definido la Ec 7.93 “pseudo-mínimo” la derivada presión. Una por

392

correlación empírica generada durante esta región proporciona un método para calcular 3 el parámetro de flujo interporoso , 10

[λ log(1 / λ )]min =

1 ⎡ tx ⎤ ⎢5.565 ⎥ CD ⎣ t min ,o ⎦

(7.94)

donde, 1.0845

λ = ⎛⎜ [λ log(1/λ )]min

⎝

1.924

⎟⎞ ⎠

(7.95)

Un método alternativo para determinarλ está basado en la relación de la coordenada de la derivada de presión mínima con la coordenada de la derivada de presión en el pico. CDλ > 0.001. Esta correlación es válida únicamente para λ=

1 (t * ΔP' )min 10 C D (t * ΔP' ) x

(7.96)

Tiab y otros19 determinaron que el mínimo no es afectado por WBS para cualquier valor ω, siempre y cuando:

CD

λ -4 10-5 10 10-6

CD > 102 C > 103

10-7 10-8

CD > 104 C > 105

CD > 10

D

D

y propusieron una ecuación para corregir el mínimo, (t * ΔP ')min= Δ ( t * +P ' ) r

donde,

( t )* ΔP( ' min)−O Δ t * +P ' r [1 2 D1D2 ] ⎡ ⎛ ⎤ ⎞ C 1 + D2 ⎢ ln ⎜ ⎟ + 2s − 0.8801⎥ 2 ⎢⎣ ⎜⎝ (φ ct ) f + m hrw ⎟⎠ ⎥⎦

(7.97.a)

393

⎡ ⎛ ⎤ ⎞ qBtmin O ⎟ + 2 s − 4.17 ⎥ D1 = ⎢ln ⎜ 2 ⎢⎣ ⎜⎝ ( tP* Δ )(' r ) φ ct f + m hrw ⎟⎠ ⎥⎦ D2 =

(7.97.b)

48.02C ⎛ (t * ΔP ')r ⎞ qB ⎜⎝ tmin O ⎟⎠

(7.97.c)

Siendo tminO y (t*ΔP’)minO el valor de las coordenadas del punto mínimo en la derivada sin efectuarseninguna corrección (observados) cuando existe efecto de WBS. Una vez corregido, puede aplicar la siguiente expresión: ω

( t ×ΔP ′) min ⎛ 0.7912 ⎞ (t × ΔP′) R ( t ×ΔP ′ ) R = ⎜ 2.9114 + 4.5104 − 6.5452e ⎟⎟ ⎜ (t × ΔP ′) min ⎝ ⎠

−1

(7.98)

Tiab y otros19 tambien hallaron una nueva solución paraω: ωω

= e− λtD min

(7.99)

donde,

⎛ 0.0002637 k ⎞ t D min = ⎜⎜ 2 ⎟ ⎟ t min ⎝ (φ ct ) f +m μ rw ⎠

(7.100.a)

Para valores de ω menores a 0.5 la solución de Ec. 7.99 es: ω

⎛ 3.5688 6.5452 ⎞ = ⎜ 2.9114 − − ln( N S ) N S ⎟⎠ ⎝

−1

(7.100.b)

donde,

N S = e − λtD min

(7.100.c)

Si es observado un “pseudo-mínimo” se recomienda el siguiente método para determinar ω. Primero, el parámetro de flujo interporoso, el factor de daño, y la constante de almacenamiento deben ser conocidas con anterioridad a partir de los grupos adimensionales mostrados en la Fig. 7.24. Este grupo acoplado con la relación de la derivada de presión de flujo radial de acción mínima a infinita, proporciona una manera de determinar el coeficiente de almacenamiento.

394

10

CD=500 1

' P *

CD=0

D D

t

Pseudo-minimum

0.1

λ =10-5

λ =10-6 Real minimum

0.01 1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

1.E+06

1.E+07

1.E+08

tD

Fig. 7.23. Efecto del almacenamiento en la derivada de presión mínima, ω=0.05, s=03 0.7

C D * λ * [log(1 / λ ) + 0.8686 s ] 0.6

0.08 r

') P Δ *t /( n i m

0.5

0.06 0.05

0.4

0.04

)' P

Δ 0.3

(t*

0.03 0.02 0.2

0.01 0.005 0.0005 0.0

0.1

0 0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

ω

Fig. 7.24. Determinación del coeficiente de almacenamiento de la relación de derivada de presión de mínima a radial3

7.8.4. Procedimiento Paso a Paso3 Caso 1 – Coordenadas mínimas no influenciadas por almacenamiento: Paso 1 – Construir un gráfico log-log deΔP y t*ΔP’ vs. t e identificar las distintas líneas y puntos característicos. Paso 2 – Identificar cualquiera de las líneas horizontales de flujo radial de acción infinita a tiempos cercanos o lejanos. Calcular la permeabilidad del sistema fracturado de la Ec. 7.74.

395

Paso 3 – Dibujar las líneas de presión y derivada de presión de pendiente unitaria al tiempo cercano indicativas de almacenamiento puro. Seleccionar un punto conveniente sobre esas líneas y resolver la constante de almacenamiento de las Ecs. 7.90 o 7.91. Identificar el punto de intersección entre la línea de pendiente unitaria y la líneade flujo radial de acción infinita. Usar este punto con la Ec. 7.92 para solucionar o verificar la permeabilidad del sistema fracturado o la constante de almacenamiento. Paso 4 – Seleccionar un ΔP y t*ΔP’ a un tiempo conveniente durante el periodo de flujo radial de acción infinita a tiempo lejano. Sustituir esos valores en al Ec. 7.89 y determinar el factor de daño. las coordenadas tiempo mínimo y picoque endiez la curva de que derivada Pasopresión. 5 – Identificar de Si la relación de esas de coordenadas es mayor indica las coordenadas mínimas no están influenciadas por almacenamiento. Paso 6 – Identificar la coordenada de la derivada de presión mínima y normalizar esos valores con respecto a laderivada de presión de flujo radial de acción infinita. Usar la Ec. 7.78 para calcular el coeficiente de almacenamiento adimensional,ω. Paso 7 – Las Ecs. 7.79 – 7.81 pueden ser usadas para verificar elω determinado en el paso 6. Paso 8 – Con base en las coordenadas mínimas determinarλ de la Ec. 7.83. Si una pendiente unitaria es desarrollada durante el periodo último de transición, entonces la Ec. 7.89 puede ser usada para verificar el parámetro de flujo interporoso calculado. Similarmente, la relación de los tiempos característicos (Ec. 7.86) puede usarse para verificar de nuevo los resultados.

EJEMPLO Los presión medidos en unavariabl prueba de restauración presión están dados en tabladatos 7.4. de Una rata de producción e precedió a esta de prueba de restauración dela presión; por lo tanto fue usada una función de superposición para modelar la historia del flujo. Otros datos conocidosdel pozo y del yacimiento son:

q = 880 B ct = 5x10-6 /psi rw = 0.29 ft

φ=8%

μ = 1.3 cp

B = 1.3 bbl/STB Pwf (Δt=0) = 7248 psi

h = 20 ft

Calcular la permeabilidad del sistema fracturado, factor de daño, constante de almacenamiento, parámetro de flujo interporoso,y coeficiente de almacenamiento.

SOLUCION Paso 1 – Un gráfico log-log de ΔP y t*ΔP’ vs. Tiempo es mostrado en la Fig. 7.25. Note que una línea horizontal puede ser dibujada a través de los puntos de la derivada a tiempos lejanos representando el periodo de flujo radial de accióninfinita.

396

Tabla 7.4. Datos de presión del pozo3

t, hr

Pwf, psi

t, hr

0.000743 0.001768 0.003819 0.005357 0.006382 0.008433 0.009458 0.010484 0.012535 0.014073 0.015098 0.017149 0.018117 0.019200 0.021250 0.022788 0.023814 0.025865 0.026890 0.027915 0.029966 0.031504 0.032530

7276.14 7322.16 7362.11 7398.18 7427.28 7452.14 7473.70 7490.58 7506.00 7519.93 7531.70 7542.65 7552.64 7561.42 7569.66 7577.22 7584.04 7590.39 7595.96 7601.53 7606.87 7611.32 7615.77

0.046372 0.047398 0.048423 0.050474 0.052012 0.069444 0.086875 0.1038 0.1212 0.1397 0.1571 0.1746 0.1920 0.2094 0.2268 0.2443 0.2617 0.3494 0.4371 0.5242 0.6119 0.6996 0.7867

Pwf, psi t, hr P wf, psi t, hr P wf, psi t, hr P wf, psi 7756.78 7756.65 7760.20 7763.47 7766.63 7769.58 7772.39 7774.80 7777.25 7779.55 7781.56 7783.74 7785.69 7787.48 7787.97 7788.14 7790.81 7789.44 7790.19 7790.86 7791.44 7792.07 7792.62

23.346 23.532 23.878 24.225 24.571 24.916 25.262 25.608 25.794 25.954 26.299 26.646 27.146 27.510 28.011 28.375 29.240 30.105 30.776 31.641 32.507 33.371 34.236

7797.38 7797.44 7797.88 7798.42 7798.81 7799.30 7799.72 7800.20 7800.50 7800.66 7801.12 7801.53 7802.16 7802.68 7803.16 7813.62 7804.56 7805.14 7805.92 7806.70 7807.49 7808.22 7808.36

0.034580 0.035606 0.036631 0.038682 0.039707 0.041245 0.043296 0.044322

7620.09 7623.67 0.8744 0.9615 7716.67 7717.61 3.674 3.761 7738.40 7739.48 20.765 21.111 7793.20 7793.81 7627.26 1.049 7718.22 4.112 7741.07 21.357 7794.20 7630.78 1.137 7718.78 4.549 7743.59 21.630 7794.58 7633.71 1.224 7719.27 4.987 7745.97 21.976 7795.11 7636.64 1.312 7719.74 5.424 7748.33 22.322 7795.53 7639.55 1.399 7720.18 5.861 7750.50 22.668 7796.10 7641.86 1.487 7720.88 6.300 7752.71 23.014 7796.64

35.101 35.966 36.831 37.800 40.424

7809.61 7810.29 7810.89 7811.57 7813.28

7644.18 7646.49 7648.81 7650.88 7652.65 7668.94 7677.52 7682.51 7686.63 7689.76 7692.36 7694.48 7696.61 7698.10 7699.36 7700.83 7701.69 7705.50 7708.77 7710.94 7712.77 7715.72 7716.17

1.574 1.661 1.749 1.837 1.924 2.012 2.100 2.187 2.275 2.362 2.449 2.537 2.624 2.712 2.800 2.887 2.974 3.062 3.149 3.324 3.412 3.499 3.587

7721.88 7722.81 7723.72 7725.85 7726.63 7726.52 7726.98 7727.75 7728.50 7729.23 7729.91 7730.57 7731.23 7731.89 7732.53 7733.14 7733.74 7734.35 7734.98 7735.58 7736.17 7736.74 7737.28

6.737 7.174 8.049 8.924 9.799 10.675 11.549 12.424 13.300 14.174 15.049 15.924 16.800 17.674 17.693 17.995 18.342 18.688 19.034 19.381 19.727 20.072 20.418

Paso 2 – De la línea de flujo radial de acción infinita a tiempos lejanos: (t*ΔP’)r = 37 psi, entonces usando la Ec. 7.74:

k2 =

70.6q μ B 70.6(880)(1.3)(1.3) = 141.89 md = (20)(37) h(t * ΔP)r

Paso 3 – Dibujar la línea de pendiente unitaria a tiempos cercanos que indica el almacenamiento. El punto conveniente es:

t = 0.0018 hr

ΔP = 74.2 psi

t*ΔP’ = 52.423 psi

397

Usando las Ecs. 7.90 y 7.91, respectivamente, 880(1.3) 0.0018 qB t = ⎞⎟ = 0.0011 bbl/psi C = ⎛⎜ ⎞⎟ ⎛⎜ 74.2 ⎝ 24 ⎠ ⎝ ΔP ⎠ 24

qB ⎛t ⎞ 880(1.3) 0.0018 = 0.0016 bbl/psi C = ⎛⎜ ⎞⎟ ⎜ =⎟ 52.423 ⎝ ⎠24 t *⎝ΔP ' ⎠ 24 Del punto de intersección entre la línea de pendiente unitaria y la línea de flujo radial de acción infinita a tiempos lejanos,

C=

k2hti 1695μ

=

(141.89)(20)(0.0013) = 0.0016 bbl/psi 1695(1.3)

Paso 4 - Seleccionar ΔP y t*ΔP’ durante el periodo de flujo de acción infinita a tiempos lejanos,

t = 35.101 hr

ΔP = 561.61 psi

t*ΔP’ = 37 psi

Usando la Ec. 7.89:

⎤ 1 ⎡⎛ ΔP ⎞ ⎛ kt ⎞ S m = ⎢⎜ ⎟ ⎜ - ln⎟ 2 r 2 2 + 7.43⎥ 2 ⎣⎝ t * ΔP ' ⎠ r 2 ⎝ S T μ r w ⎠ ⎦ ⎤ ⎛ ⎞ 1 ⎡ 561.61 ⎞ 141.89(35.101) S m = ⎢⎛⎜ - ln + 7.43⎥ = −1.42 2 ⎣⎝ 37 ⎟⎠ r 2 ⎜⎝ 5 ×10−6 (0.08)(1.3)(0.29)2 ⎟⎠ ⎦

Paso 5 – Identificar el tiempo mínimo y pico,

tx = 0.0095 hr

tmin,o = 1.049 hr

tmin,o/tx = 110

Esta coordenada mínima representa únicamente la respuesta del yacimiento:

Paso 6 - Calcular ω con base en (t*ΔP’)min, (t*ΔP’)min = 8.865 psi De la Ec. 7.78, 2

ω = 0.15866⎨ ⎧ (t * ΔP' ) min ⎬⎫ + 0.54653 ⎨⎧ (t * ΔP' ) min ⎬⎫

⎩ (t * ΔP' ) r ⎭

⎩ (t * ΔP' ) r ⎭

398

1000

ΔP

(t*ΔP') x=128 psi i) s p ( ,'

100

tusi=5.5 hrs

P Δ

*t y

t*ΔP'

(t*ΔP') r=37 psi t i=0.013 hr

P Δ

10

t b2=30 hr

(t*Δ P') min=8.865 psi t min = 1.049 hr

t x=0.0095 hr

1 0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

100

t, hrs

Fig. 7.25. Presión y derivada de presión para los datos de la tabla 7.4 3 ω

8.865 ⎛ ⎞ 8.865 ⎛ + 0.54653 ⎞ = 0.15866 ⎜ 37 ⎟ ⎜ ⎟ 37 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

2

= 0.069

Paso 7 – El tiempo al final del periodo de flujo radial cercano no es observado, y el tiempo para el inicio del periodo de flujo radial a tiempos lejanos no está bien definido. Estimar tb2 = 30 hr, usando la Ec. 7.81:

=

ω

⎧ ⎫ 5t min ⎧ ⎫ 5t min 0.19211 + ⎨⎬ 0.80678 ⎨⎬ = ⎨ ⎩ t⎭b2 ⎩ ⎭ t b2

2

⎧ ⎫5(1.049)⎧ +0.80678 ⎫ ⎬ 0.19211 ⎨ ⎬ ⎩ 30⎭ ⎩ ⎭

2

5(1.049) 0.058 = 30

Paso 8 - Determinación de λ. De la coordenada mínima, usando la Ec. 7.83, λ=

42.5h S T r 2w ⎛⎞ t * ΔP '

qB

⎜⎟ ⎝⎠

t

= min

42.5(20)(0.08)(5 ⎞⎛ × 10 −6 )(0.29 2 ) 8.865 ⎟⎜ 880(1.3) 1.049 ⎠⎝

= 1× 10−7 min

Del punto de intersección del periodo de transición,tusi = 5.5 hr, usando la Ec. 7.86,

⎞ 1 ⎛ 5 ×10−6 (0.08)(1.3)(0.292 ) ⎞ 1 = 2.12 ×10−7 ⎟ ⎟ =⎜ 2 US,i ⎝ 00. 002637k ⎠ t ⎝ 0.0002637(141.89) ⎠ 5.5 ⎛

λ=⎜

S T μ r 2w

λ promedio = 1.56x10-7

399

Caso 2 – Coordenada mínima influenciada por almacenamiento: Paso 1 – Los pasos 1 - 4 del Caso 1 son independientes de las coordenadas mínimas y por lo tanto se pueden aplicar en el caso 2. Paso 2 – Identificar las coordenadas de tiempo mínimo y pico en la curva de la derivada de presión. Una relación de esos tiempos menor que diez corresponde a ol s efectos del almacenamiento en las coordenadas mínimas. Paso 3 – Usando la relación de tiempo del paso 2 y elCD calculado anteriormente, el parámetro de flujo interporoso se puede determinar de las Ecs. 7.94 y 7.95. Paso 4 – Igualmente, las coordenadas de la derivada de presión en el mínimo y en el pico se pueden usarlaenEc.conjunto interporoso mediante 7.96. con CD para determinar el parámetro de flujo Paso 5 – El coeficiente de almacenamiento adimensional, ω, es determinado gráficamente de la Fig. 7.24, dondeSm, CD, y λ son calculados anteriormente y los puntos de la derivada de presión de flujo radial de acción infinita y mínima son observados.

EJEMPLO La tabla 7.5 presenta los datos de una prueba de declinación de presión. Otros datos conocidos del pozo y del yacimiento son:

q = 3000 stbd ct = 3.0 x 10-5 psi-1 rw = 0.40 ft

φ = 0.10

μ = 1.0 cp

B = 1.25 bbl/stb Pwf (t=0) = 4473 psi

h = 100 ft.

Calcular la permeabilidad sistema fracturado, factordede daño, constante de almacenamiento, parámetro dedel flujo interporoso, y coeficiente almacenamiento.

SOLUCION Paso 1 - Un gráfico log-log de ΔP y t*ΔP’ vs. tiempo es presentado en la Fig. 7.26 con los puntos y líneas característicos marcados. Tabla 7.5. Datos de declinación de presión t, hrs 0.0933 0.1766 0.2600 0.3433 0.4266 0.5100 0.5933

Pwf, psi 4373.4 4299.1 4246.1 4203.6 4173.8 4139.7 4118.5

t* P', psi 84.473 133.483 146.776 151.595 157.618 150.295 141.355

T, hrs 0.6766 0.7600 0.9266 1.0930 1.26 1.427 2.427

Pwf, psi 4103.5 4086.4 4075.4 4060.3 4043.1 4032.2 4002.8

t* P', psi 111.676 99.694 95.720 87.234 84.384 76.719 75.401

t,hrs 3.427 4.427 5.427 6.427 7.427 9.427 12.43

P wf, psi 3971.3 3948.3 3931.6 3917.1 3898.4 3865.3 3824.2

t* P', psi 90.502 87.168 95.595 108.303 122.336 142.426 137.651

t, hrs 14.43 20.43 26.43 32.43 38.43 44.43 50.43 53.43

Pwf, t* P', psi psi 3804.1 136.857 3758.7 138 .810 3720.3 135 .210 3695.1 134.790 3674.6 134.116 3652.4 156.278 3636.9 183.611 3625.2 196.734

400

1000

(ΔP) r2 =714.3 psi

ΔP

t r2=20.43 hr t i=0.14 hr (t*ΔP') x=151.9 psi

i s p ',

t*ΔP' (t*ΔP') r=138.5 psi

P 100 *Δ t y P Δ

t x=0.43 hr

10 0.01

0.1

(t*ΔP') min=72.1 psi t min = 2.427 hr

t b2=14.4 hr

1

10

100

t, hrs

Fig. 7.26. Presión y derivada de presión para los datos de la tabla 7.5 3

Paso 2 – El periodo de flujo radial de acción infinita a tiempos lejanos es fácilmente identificado. (t*ΔP’)r = 138.5 hrs, entonces, usando laEc. 7.74 se obtiene,

k2=

70.6qμ B 70.6(3000)(1.0)(1.25) = = 19.1md 100(138.5) h(t ⋅ ΔP ')r

Paso 3 – De la línea de pendiente unitaria cercana un punto conveniente es leído.

ΔP = 99.6 psi t*ΔP’=116.4 psi t = 0.093 hr De las Ecs. 7.90 y 7.91, respectivamente, 3000(1.25) 0.093 qB t C = ⎛⎜ ⎞⎟ ⎛⎜ = ⎞⎟ = 0.146 bbl/psi 99.6 ⎝ ⎠24 ⎝ΔP ⎠ 24

401

3000(1.25) 0.093 qB ⎛ t C = ⎛⎜⎞⎟ = ⎞⎟ = 0.129 bbl/psi ⎜ 116.4 ⎝⎠24 t *⎝ ΔP ' ⎠ 24 El punto de intersección de línea de pendiente unitaria con la línea de flujo radial de acción infinita a tiempos lejanos es ti = 0.14 hr. El coeficiente de almacenamiento es ahora calculado usando la Ec. 7.92, 19.1(100)(0.14) h C = k 2 ti = = 0.158 bbl / psi 1695 μ

1695(1)

Paso 4 – Seleccionar un punto conveniente paraΔP y t*ΔP’ durante el periodo de flujo de acción infinita a tiempos lejanos,

ΔP = 714.3 psi

tr2 = 20.43 hrs

t*ΔP’=138.5

Usando la Ec. 7.89,

⎤ 1 ⎡ 714.3 ⎛ t ⎞ ⎤ 1 ⎡⎛ ΔP ⎞ 19.1(20.43) ln - ln k 2 r 2 + 7.43⎥ = ⎢ − +− = 2 7.43⎥ s m = ⎢⎜ −6 2 ⎣⎝ t * ΔP ' ⎟⎠ r 2 ⎜⎝ ST μ r 2w ⎟⎠ 2 138.5 3 10( 0.1)(1)(0.4 ) × ⎣ ⎦ ⎦

5.13

Paso 5 – Las coordenadas de tiempo mínimo y pico son: tx = 0.43 tmin,o = 2.427 tmin,o/tx = 5 < 10 La relación del tiempo mínimo con el tiempo en el pico sugiere que las coordenadas mínimas si están influenciadas por almacenamiento.

Paso 6 - Determinación de λ. El valor promedio de C es 0.143 bbl/psi, entonces, aplicando la Ec. 2.8,

CD =

0.8935C φ hct rw2

=

0.8935(0.143) = 26618 0.1(100)(3 ×10−6 )(0.42 )

De las Ecs. 7.94 y 7.95, [λ log(1/ λ )]min =

10

10 t x ⎤ = 1 ⎡5.565 0.43 = ⎤⎥ ×=0.000032, λ 5.2 10−7 ⎢5.565 ⎥ 26618 ⎢ 2.427 ⎦ ⎣ CD ⎣ t min ,o ⎦

1 ⎡

De la Ec. 7.96, λ

= 1 (t * Δ=P ')min 10C D (t * ΔP ') x

1×= 72.087 1.78 10−6 10(26618) 151.94

402

Paso 7 - Determinación de ω. Tabla 7.6. Datos de presión y derivada de presión para el problema propuesto

t, hr

P, t* P', t, hr P, psi psi psi 0.0003 12.480 9.592 0.0861 65.410 0.0007 22.130 14.781 0.1165 66.420 0.0011 29.400 16.245 0.1575 67.300

t, hr t* P', P, t* P', psi psi psi 3.528 19.7406 74.490 3.644 3.114 31.0492 76.290 4.220 2.667 48.8359 78.310 4.574

0.0015 0.002 0.0027 0.0031 0.0036 0.0049 0.0057 0.0077 0.0104 0.0141 0.019 0.0257 0.0348 0.0471 0.0637

2.166 1.668 1.216 0.839 0.597 0.480 0.480 0.553 0.702 0.925 1.198 1.537 1.938 2.401 2.910

34.440 39.280 43.610 45.520 47.260 50.220 51.490 53.690 55.590 57.300 58.890 60.370 61.760 63.070 64.290

16.716 0.213 15.666 0.2881 13.666 0.3897 12.259 0.527 11.070 0.7128 8.944 0.9641 8.140 1.1212 6.897 1.5163 6.005 2.0508 5.468 2.7736 5.096 3.7512 4.772 5.0733 4.461 6.8615 4.189 9.28 3.870 12.5508

68.030 68.6 00 69.030 69.330 69.530 69.670 69.740 69.880 70.060 70.300 70.620 71.020 71.540 72.190 72.990

76.8119 103.8854 140.5014 163.3969 220.9885 298.8793 404.2238 470.0942 546.6985 635.7859 739.3906 859.8783 1000

80.430 81.850 83.290 84.030 85.550 87.210 89.160 90.310 91.620 93.120 94.850 96.860 99.200

4.702 4.751 4.862 4.957 5.327 6.064 7.415 8.368 9.551 10.995 12.718 14.754 17.147

(t * ΔP' ) min 72.078 = = 0.52 (t * ΔP' ) r 138.5 1⎤ ⎡ ⎡ CD λ ⎞⎟⎢log ⎛⎜ ⎥ + 0.8686 = ×⎢s λ ⎠⎣ ⎝ ⎦ ⎣

⎛ ⎞ 10−6 )⎤ +log − = 1 26618(1.78 ⎜ ⎟ ⎥ 1.78 ×10−6 ⎝ ⎠ ⎦

0.8686( 5.13)

0.061

De la Fig. 7.24, extrapolando, ω = 0.07.

PROBLEMA PROPUESTO Usando el método convencional y TDST determine los parámetros del yacimiento naturalmente fracturado cuya prueba de presión se da en la tabla 7.6. Información adicional:

rμw==20.3 cp ft q = 500 BPD

100 ftbbl/STB h == 1.33 B Pi = 5200 psi

φ

% -5 /psi 1.4x10 ct == 15

403

5200

5190

5180

5170

5160

i s 5150 p , f w 5140 P 5130

5120

5110

5100

5090 0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

100

1000

t, hrs

Fig. 7.27. Gráfico semilog para problema propuesto 100

10

1

0.1 0 .0 0 0 1

0 .0 0 1

0 .0 1

0 .1

1

10

100

1 00 0

Fig. 7.28. Gráfico de presión y derivada de presión para problema propuesto

404

REFERENCIAS 1. Bourdet, D., Ayoub, J.A., Whittle, T.M., Pirard, Y.M. and Kniazeff, V. “Interpreting Well Tests in Fractured Reservoirs”. World Oil: P. 77-87. 1983. 2. Earlougher, R.C., Jr., “Advances in Well Test Analysis”, Monograph Series Vol. 5, SPE, Dallas, TX, 1977. 3. Engler, T. and Tiab, D. “Analysis of Pressure and Pressure Derivative without Type Curve Matching, 4. Naturally Fractured Reservoirs”. Journal of Petroleum Science and Engineering 15 (1996) p. 127-138. 4. Escobar, F.H., Navarrete, J.M., and Losada, H.D. “ Evaluation of Pressure Derivative Algorithms for Well-Test Analysis”. Paper SPE 86936 presented at the SPE International Thermal Operations and Heavy Oil Symposium and Western Regional Meeting held in Bakersfield, California, U.S.A., 16–18 March 2004. 5. Escobar, F.H., Saavedra, N.F., Escorcia, G.D., and Polanía, J.H., “Pressure and

Pressure Derivative Analysis Without Type-Curve Matching for Triple Porosity Reservoirs”. Paper SPE 88556, Proceedings, accepted for presentation at the SPE Asia Pacific Oil and Gas Conference and Exhibition (APOGCE), to be held to be held 18-20 October 2004, in Perth, Australia. 6. Kazemi, H. “Pressure Transient Analysis of Naturally Fracture Reservoir with Uniform Fracture Distribution”, SPEJ (Dec. 1969): 451-462. 7. Mavor, M.J. and Cinco-Ley, H. “Transient Pressure Behavior of Naturally Fractured Reservoirs”. SPE paper 7977, California Regional Meeting, Ventura, CA., Apr. 18-20. 1979. 8. Molina, M.D. “Determinación de la Presión Promedia en Yacimientos Naturalmente Fracturados, Utilizando la Técnica de Síntesis Directa de Tiab”. Tesis de Maestría en Ingeniería de Hidrocarburos. Universidad Industrial de Santander. 2004. 9. Odeh, A. S. “Unsteady-State Behavior of Naturally Fractured Reservoirs ”. SPEJ (March 1965) p. 64-65; Trans. AIME, 234. 10. Okoye, C.U., Songmuang, A. and Ghalambor, A. “Application of P’D in Well Testing of Naturally Fractured Reservoirs”. Paper SPE 21828 presented at the Rocky Mountain and Low-Permeability Symposium held in Denver, CO, April 15-17, 1991. 11. Strobel, C.J., Gulati, M.S., Ramey, H.J. Jr. “Reservoir Limit Tests in a Naturally Fracture Reservoir - A Field Case Study Using Type Curves”. JPT Sept. 1976. P. 1097-1106 12. Tiab, D., y Escobar, F. H. “Determinación del Parámetro de Flujo Interporoso de un Gráfico Semilogarítmico”. X Congreso Colombiano del Petróleo. Oct. 2417, 2003. 13. Uldrich, D.O. and Ershaghi, I. “A Method for”.Estimating Interporosity 7142 presented atFlow the Parameter in Naturally Fractured Reservoirs Paper SPEthe

405

48th SPE-AIME Annual California Regional Meeting held in San Francisco, CA, Apr. 12-14, 1978. 14. Warren, J.E. and Root, P.J. The Behavior of Naturally Fractured Reservoirs.Soc. Pet. Eng. J. (Sept. 1963): 245-255. 15. Wong, D.W., Harrington, A.G., and Cinco-Ley, H., 1986. “Application of the

Pressure-Derivative Function in the Pressure-Transient Testing of Fractured Wells,” SPEFE, Oct.: 470-480, 1986. 16. Molina, M.D. and Escobar, F.H. “Determination of Average Reservoir Pressure for Vertical Wells in Naturally Fractured Reservoirs from Pressure and Pressure Derivative Plots without Petróleo. Oct. 18-21, 2005.Type-Curve Matching”. XI Congreso Colombiano del 17. Molina, M.D., Escobar, F.H., Montealegre-M, M. and Restrepo, D.P. “Application of the TDS Technique for Determining the Average Reservoir Pressure for Vertical Wells in Naturally Fractured Reservoirs”. CT&F – Ciencia, Tecnología y Futuro. Vol. 2, No. 6. ISSN 0122-5383. 18. Nelson, R., 2001. “Geologic Analysis of Naturally Fractured Reservoirs ”. 2nd Edition, Gulf Professional Publishing, p. 101. 19. Tiab, D., Igbokoyi, A., and Restrepo, D.P., 2007. “Fracture Porosity From Pressure Transient Data”. Paper IPTC 11164 presented at the International Petroleum Technology Conference held in Dubai, U.A.E., 4–6 December.

406

8. POZOS ARTIFICIALMENTE FRACTURADOS La orientación de las fracturas hidráulicas es función de la distribución de esfuerzos en la formación1,11. Si el esfuerzo menos importante en la formación es horizontal, entonces se obtendrá una fractura vertical. Por otra parte, si el esfuerzo menos importante es vertical, entonces tendrá lugar una fractura horizontal 2,6. Sin embargo, hay una creencia general en que las fracturas verticales se obtienen a profundidades mayores de 3000 ft. 8.1. POZOS CON FRACTURAS HIDRAULICAS VERTICALES La Fig. 8.1 es un plano de un sistema cuadrado cerrado en cuyo centro hay un pozo con una fractura vertical. La longitud de fractura se ha exagerado para propósitos de la explicación. Generalmente, el fluido entra a la fractura a una rata de flujo uniforme por unidad de área de la cara de la fractura para que exista una caída de presión en la fractura. En este caso, la fractura se refiere a una “fractura de flujo uniforme”. Sin embargo, para algunas fracturas que tienen permeabilidad infinita (conductividad) y, por lo tanto, la presión es uniforme en todas partes. Excepto para fracturas con bastante contenido de material de sostén y fracturas conductivas, se piensa que la fractura de flujo uniforme representa mucho mejor la realidad que la fractura de conductividad infinita4,5,8,11,17.

Barrera de no flujo

Fractura vertical

Pozo

xf xe

Fig. 8.1. Representación esquemática de una fractura vertical17

407

1

Gráfico Horner para todos los tiempos de producción

m 0.12 0.05

r o c

0.02 0.015 0.01 0.0075 0.005

Gráfico MDH 0.1

F

tpDA= 0 .0025

0.01 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Penetración de la Fractura, xe/xf

Fig. 8.2. Factor de corrección para kh estimado de pruebas de restauración de presión en pozos fracturados verticalmente6

8.1.1. Comportamiento en Pruebas de Declinación La presión adimensional en el pozo para el caso de una fractura de flujo uniforme es 26:

⎛ 1 ⎜ 2 tDxf ⎝

π t Dxf erf ⎜

PD =

⎞ 1 ⎛ 1 ⎟ − Ei⎜ − ⎟ 2 ⎜⎝ 4t Dxf ⎠

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

(8.1)

y para el caso de una fractura de conductividad infinita es: PD =

⎡ ⎛ 0.134 ⎞ ⎛ ⎞⎤ 1 ⎟ + erf ⎜ 0.866 ⎟⎥ − 0.067 Ei⎛⎜ − 0.018 ⎞⎟ − 0.433Ei⎛⎜ − 0.75 ⎞⎟ πt Dxf ⎢erf ⎜ ⎜ tDxf ⎟ ⎜ tDxf ⎟ ⎜ t Dxf ⎟⎥ 2 ⎢⎣ ⎜⎝ tDxf ⎟⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦

(8.2) donde;

t Dxf

⎛ rw ⎞ = t D ⎜⎝ x f ⎟⎠

2

(8.3)

408

Si tDxf < 0.1 en la Ec. 8.1 y tDxf < 0.1 en la Ec. 8.2, estas dos ecuaciones se convierten en: PD = π tDxf (8.4) indicando que a tiempos tempranos el flujo dentro de la fractura es lineal. En unidades reales, la Ec. 8.4 se puede escribir así 6:

Pw = Pi + mvf t

(8.5)

donde;

mvf =

−4.064qB μ h kφ ct x 2f

(8.6)

es la pendiente de la gráfica Cartesiana de P vs. t1/2, que se puede usar para calcular: 2

⎛ ⎞ −4.064qB ⎟ μ kx f = ⎜ ⎜ hm ⎟ φc vf ⎠ t ⎝ 2

(8.7)

en la cual, el análisis semilog convencional aplica para tDxf > 10. Las Ecs. 8.1 y 8.2 se convierten, respectivamente en:

PD = 1 [ln (t Dxf ) + 2.80907] 2

(8.8)

1 [ln (tDxf ) + 2.2] 2

(8.9)

PD =

Estas dos ecuaciones dan la presión adimensional para flujo pseudorradial, siempre que los efectos de frontera no se encuentren. En un yacimiento cerrado, el periodo de flujo pseudorradial de acción infinita solo se desarrolla completamente si xe/xf > 5. Existe una relación aproximada entre el cambio de presión al final del periodo de flujo lineal, ΔPel, y en el inicio de la línea recta semilog, ΔPbsl:

Δ Psbl ≥ 2 Δ Pel

(8.10)

Si esta relación no se cumple es por que se seleccionó incorrectamente el periodo de flujo lineal o el periodo de flujo radial.

409

Nota: • Un gráfico de ΔP vs. tiempo en un papel log-log producirá una línea recta de media pendiente durante el periodo lineal. • El análisis anterior es válido para pruebas de declinación de presión y de inyección. 8.1.2. Comportamiento en Pruebas de Restauración (Falloff) En pozos fracturados verticalmente, las pruebas de restauración de presión o falloff son similares fracturados. Sinasí: embargo, la permeabilidad, estimada del gráfico Horneraopozos MDH,nodebe ser corregida

k = kc Fcor

(8.11)

donde;

Fcor =

(kh )true (kh )apparent

(8.12)

q B mh

(8.13)

kc = 162.6

El factor de relación, Fcor, se toma de la Fig. 8.2. El gráfico Horner es fuertemente recomendado para análisis de datos de pozos fracturados verticalmente. Para usar la e xf. xf es simplemente la longitud media del lado figura anterior,xfseesnecesita conocer del cuadrado. la longitud mediax /de la fractura, la cual se puede estimar de:

xf =

0.3187 qB mqB mvf φct hFcor

(8.14)

Fcor se puede estimar mediante una técnica iterativa así: Paso 1. Estime kxf2 de la Ec. 8.7. Paso 2. Estime kc de la Ec. 8.13. Paso 3. Calcule k de la Ec. 8.11 usando un valor razonable de xe/xf (empezar en xf = 0.5xe) en la Fig. 8.2. Paso 4. Usar el valor de k del paso 3 para estimar xf en la Ec. 8.7. Paso 5. Este nuevo valor de xf se usa para calcular un nuevo xe/xf a ser utilizado en la figura. Este mejoraría la estimación de k. Paso 6. Este proceso continua hasta que dos valores sucesivos sean iguales. Si ambos periodos de flujo no se desarrollan, es necesario realizar un estimativo independiente de kc a partir de un pozo no fracturado cercano. Una técnica alterna

410

100

hD =

h rf

kr = 0 . 05 kz 0.1

10

0.6

0.8

0.2 0.3

0.4

0.5 1 0.5 D

10

P1

1.5

100

3

0.1

Pozo h

0.01 0.001

0.01

1

kz kr

rf

0.1

t Dxf =

Fractura

10

100

0.0002637 kt φ μ c t x 2f

Fig. 8.3. Presión adimensional para un pozo simple fracturado horizontal (flujo uniforme) en un sistema infinito, sin almacenamiento. Fractura ubicada en el centro del intervalo3-5 10

Flujo uniforme

xf

Fin aproximado del periodo de media pendiente

1

Conductividad infinita

D

P

0.1

0.01 0.001

0.01

0.1

2

2

1

10

100

t D (r w / x f )

Fig. 8.4. Presión adimensional para un pozo simple fracturado vertical en un sistema infinito, sin almacenamiento. Fractura ubicada en el centro del intervalo3-5

411

100

10/7

x

x e/

f

=

2

10/3

1

5 10

10

∞ D

P Ar ea de dr ene 2

1

A=4xe

2xf 2xe 0.1 0.01

0.1

1

10

t Dxf =

100

0.0002637 kt φ μ ct x 2f

1000

Fig. 8.5. Presión adimensional para un pozo fracturado verticalmente en el centro de un cuadrado cerrado, sin almacenamiento, fractura de conductividad infinita3-5 100

x

x e/

f=

1

10/7

2

10/3

5

10 10

20

∞

D

P

Ar ea de dr ene 2 A=4xe

1

2xf 2xe 0.1 0.01

0.1

1

t Dxf =

0.0002637 kt 2 φ μ ct x f

10

100

1000

Fig. 8.6. Presión adimensional para un pozo fracturado verticalmente en el centro de un cuadrado cerrado, sin almacenamiento, fractura de flujo uniforme3-5

412

para análisis de datos de prueba transiente en pozos fracturados es ajustar curvas tipo usando las Figs. 8.3, 8.4, y 8.5. La permeabilidad se estima de:

k=

141.2q B ( PD )M h (ΔP ) M

(8.15.a)

y la longitud media de la fractura es:

xf =

0.0002637k ( Δt ) M φμc ( tDxf )M t

(8.15.b)

Si todos los datos de la prueba caen sobre la línea de media pendiente en el gráfico de log ΔP vs. log Δt, entonces la permeabilidad no se puede estimar mediante el ajuste de cualquier curva tipo o gráfico semilog. Esta situación ocurre con frecuencia en formaciones de gas apretadas, donde el periodo de flujo lineal puede durar por varios cientos de horas. Sin embargo, el último punto de los datos en la línea de media pendiente (o en la línea recta de ΔP vs. t1/2) se puede usar para estimar un límite superior de k:

k ≤ α1

141.2q B hΔ P

(8.15.c)

y una longitud de fractura mínima es:

xf ≥

0.0002637kt α 2φμct

(8.16)

donde: α1 = 0.215 para la fractura de conductividad infinita = 0.76 para la fractura de flujo uniforme α2 = 0.016 para la fractura de conductividad infinita = 0.16 para la fractura de flujo uniforme (ΔP) y (t) = corresponden al último punto de datos

8.2. POZOS CON FRACTURAS HORIZONTALES A tiempos de flujo tempranos, existe un periodo de flujo vertical lineal desde la formación hasta la fractura horizontal. Durante esos tiempos, la presión adimensional está dada por6:

PD = 2hD

t Drf π

(8.17)

413

donde; hD =

h kr rf k z

⎛r ⎞ t Drf = tD ⎜⎜ w ⎟⎟ ⎝ rf ⎠

(8.18) 2

(8.19)

A tiempos tempranos y para valores grandes de hD, se tiene una porción de línea recta con pendiente de un medio. A valores bajos de hD, esta línea recta tiene pendiente unitaria, como se muestra en el gráfico log-log de PD vs. tDrf (Fig. 8.3). En unidades reales, la presión fluyendo durante declinación de presión o inyección, en un periodo de flujo lineal es:

Pwf = Pi + mHf t

(8.20)

donde;

mHF = −

2587 qB μ rf2 k zφ ct

(8.21)

Así, un gráfico de Pwf vs. t1/2 (gráfica Cartesiana) tendría una porción de línea recta a tiempos tempranos con intercepto Pi (en t=0). La permeabilidad vertical kz se puede calcular de la Ec. 8.21 si rf es conocido. Generalmente, rf se calcula del ajuste de la curva tipo de la Fig. 8.3 así:

rf2 =

0.0002637 kr tM φ μ ct (tDrf ) M

(8.22)

La permeabilidad radial kr es calculada del análisis del periodo de flujo pseudorradial:

kr = 162.6

q B mh

(8.23.a)

El valor de kz se puede también calcular del punto de ajuste: 2

kr ⎛⎜ h ⎞⎟ r2 ⎜ h ⎟ f ⎝ DM ⎠ El valor de kr puede ser estimado de: kz =

(8.23.b)

414

kr =

1 ⎡141.2qμ B (PD / hD )M ⎤ ⎢ ⎥ k z ⎢⎣ rf (ΔP )M ⎥⎦

(8.23.c)

Como dato, no existen estudios del comportamiento de la restauración de presión (falloff) en pozos fracturados horizontalmente.

Nota: El efecto de almacenamiento no se incluye en este análisis de fracturas hidráulicas. EJEMPLO Los datos de presión de restauración obtenidos después de un tratamiento de fracturamiento hidráulico se muestran en la tabla 8.1. Las características del yacimiento son las siguientes:

q = 101 BPD φ=8% ct = 17.7x10-6 /psi

rw = 0.198 ft μ = 0.45 cp tp = 364 hrs

h = 42 ft B = 1.507 bbl/STB

Tabla 8.1. Datos de presión de restauración t, hrs Pws, psi

t0.5, hr0.5

P, psi ( tp+ t)/ t t* P’, psi P', psi/hr

0.0 0.5

1170 1329

0.000 0.707

159

729.00

59.889

119.778

1.0 1.5 2 3 4 6 10 18 27 36 45 54 63 71

1388 1464 1501 1570 1639 1748 1899 2075 2209 2304 2375 2434 2481 2516

1.000 1.225 1.414 1.732 2.000 2.449 3.162 4.243 5.196 6.000 6.708 7.348 7.937 8.426

218 294 331 400 469 578 729 905 1039 1134 1205 1264 1311 1346

365.00 243.67 183.00 122.33 92.00 61.67 37.40 21.22 14.48 11.11 9.09 7.74 6.78 6.13

139.603 163.006 146.786 209.375 251.844 279.544 303.719 311.701 329.161 322.987 322.865 308.208 299.262 296.365

139.603 108.671 73.393 69.792 62.961 46.591 30.372 17.317 12.191 8.972 7.175 5.708 4.750 4.174

415

3400

P*=3160 psi 3000

2600

i s p , s w P

iclo si/c 0p 1 5 m=

2200

1800

1400

P1hr=1138 psi 1000 1000

100

10

⎛ tp + Δt ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ Δt ⎠

1

Fig. 8.7. Gráfico Horner 2600 0.5

2200

i s p ,s 1800

m

vf=

3 1. 14

r i/h ps

w

P 1400

1000 0

2

4

6

8

10

t, hrs

Fig. 8.8. Gráfico de Pws vs.

t

1. Usando técnicas convencionales semilog y Cartesianas, encontrar: a. Permeabilidad b. Longitud media de fractura. c. Eficiencia de flujo d. Almacenamiento 2. Recalcular (a), (b), y (c) usando curvas tipo apropiadas de P y P ’. D

D

416

10000

i s p 1000 , P

Δ

100 0.1

1

10

Δt, hrs

100

Fig. 8.9. Gráfico log-log de ΔP vs. Δt

SOLUCION 1. Técnicas convencionales semilog y Cartesianas a. Permeabilidad de la formación. Un gráfico Horner para los datos dados en la tabla 8.1 se presenta en la Fig. 8.7. La pendiente –510 psi/ciclo. permeabilidad se puede estimar de la pendiente de la línea rectaes semilog, usando laLasiguiente ecuación:

kc =

162.6q μ B (162.6)(101)(0.45)(1.507) = = 0.52md mh (510)(42)

Calcule la permeabilidad siguiendo paso a paso el procedimiento: Paso 1. Considerar xf/xe = 0.5. Paso 2. Leer el factor de corrección correspondiente de la Fig. 8.2, sobre la línea Horner. Fcor=0.46. Paso 3. De la Fig. 8.8, gráfico Cartesiano de Pws vs. t0.5, la pendiente es mvf = 141.3 psi/hr0.5. Paso 4. Calcule: 2

⎛ −4.064qB ⎞ μ kx 2f = ⎜ = ⎟ ⎝⎜ hmvf ⎠⎟ φ ct

2

⎛ (4.064)(101)(1.507) ⎞ (0.45) =− ⎟ 3452.6m d ft 2 ⎜ −6 (42)(141.3) ⎝ ⎠ (0.08)(17.7 ×10 )

Paso 5. Aplique el factor de corrección para calcular una nueva permeabilidad:

417

k = kc Fcor = (0.52)(0.46) = 0.2392md Paso 6. Calcule la longitud media de fractura:

xf =

kx 2f 3452.6 = = 120.14ft k 0.2392

Paso 7. Estimar xe, de:

xe = 0.029

kt p φμ ct

= 0.029

(0.2392)(364) = 339 ft (0.08)(0.45)(17.7 × 10−6 )

Paso 8. Calcular la relación xf/xe:

x f 120.14 = = 0.356 xe 339 Repita el paso 2 al 7 para n iteraciones hasta que xf(i) ≈ xf(i-1). Después de 12 pasos, la permeabilidad es k = 0.475493 md. Ver la siguiente tabla:

Asumido x f/xe 0.5 0.356514 0.273349 0.201135 0.183353 0.179387 0.178525 0.178338 0.178298 0.178289 0.178287 0.178287

xe, ft

Fcor

k, md

xf, ft

337.9897 385.9966 449.9846 471.3004 476.4818 477.6316 477.8814 477.9355 477.9471 477.9497 477.9502 477.9503

0.45728 0.596406 0.810533 0.889141 0.908799 0.913190 0.914146 0.914352 0.914397 0.914407 0.914409 0.914409

0.237785 0.310131 0.421477 0.462354 0.472575 0.474859 0.475356 0.475463 0.475487 0.475492 0.475493 0.475493

120.4982 105.5117 90.50785 86.41439 85.47472 85.26894 85.22437 85.21473 85.21265 85.2122 85.2121 85.21208

b. Longitud media de fractura

kx 2f 3452.6 x = k = 0.4754 = 85.2 ft f

c. Eficiencia de Flujo

Nuevo xf/xe 0.356514 0.273349 0.201135 0.183353 0.179387 0.178525 0.178338 0.178298 0.178289 0.178287 0.178287 0.178287

418

De la Fig. 8.7, P1hr = 1138 psi y usando Pwf = 1170 psi conocida, calcule el factor de daño usando la Ec. 2.40. ⎡11701− 138 ⎤ ⎛ ⎞ 0.671 log ⎜ − + = −6 3.2275⎥ s = 1.1513 ⎢ − 2 ⎟ (320) (0.08)(0.45)(17.7 10 )(0.28) x ⎝ ⎠ ⎣ ⎦

FE −= 1

4.37

ΔP 0.87 ms 0.87(510)(−4.37) 1≈ 2 −= s −=1 * P* − Pwf P − Pwf 3160 − 1170

d. Almacenamiento. Del gráfico log-log de ΔP vs. t (Fig. 8.9) se obtuvo el punto N ( ΔtN = 0.5 hr y ΔPN = 159 psi). Se puede calcular el coeficiente de almacenamiento de:

qB Δt N (101)(1.507)(0.5) = = 0.02 bbl/psi 24 ΔPN 24(159)

C=

2. Técnica de ajuste por curva tipo I) Método PD a) Permeabilidad. Usando la Fig. 8.9 y Fig. 8.4 obtener el punto de ajuste M:

ΔPM = 340 psi k=

Δt=M 10 hrs

( PD)M = 1.6

141.2qμ B( PD ) M 141.2(101)(0.45)(1.6) = = 1.08 md h(ΔP) M 42(340)

b) Longitud media de fractura. De la Fig. 8.5, tDxf = 1.4.

x 2f =

0.0002637k tM = φμ ct (t D ) M

0.0002637(1.08)(10) 3196 ft 2 = =⇒ 0.08(0.45)(17.7 ×10−6 )(1.4)

xf

56.5 ft

II) Método P’D. Usando la Fig. 8.10 y las curvas tipo 13 de las Figs. 8.11 a la 8.13 un punto de ajuste es: (P’ws)M = 11 psi P’SD = 0.4

ΔtM = 10 hrs ΔtxfD = 1.1

419

1000

100 r h i/ s p ', P

10

1 0 .1

1

10

100

t, hrs

Fig. 8.10. Gráfico log-log de la derivada de presión vs. tiempo 100

Fin del flujo lineal de conductividad infinita Fin del flujo lineal de flujo uniforme

10

'D P1

0.1

0.01 0.001

Inicio del comportamiento infinito para mabas fracturas

0.01

0.1

ΔtxfD

1

10

100

Fig. 8.11. Curvas tipo de derivada de presión para un pozo fracturado verticalmente en un yacimiento infinito 13

420

100

Fractura de flujo uniforme

10

D s

'1 P txfD=1 0.1

txfD=1000

txfD=10 txfD=100

0.01 1.00E-03

1.00E-02

1.00E-01

1.00E+00

1.00E+01

ΔtxfD

1.00E+02

Fig. 8.12. Curvas tipo de restauración de presión para una fractura vertical de flujo uniforme en un yacimiento infinito13 100

Fractura de conductividad Infinita

10

D s

' P1 txfD=1 txfD=10

0.1

txfD=1000

txfD=100 0.01 1.00E-03

1.00E-02

1.00E-01

1.00E+00

ΔtxfD

1.00E+01

1.00E+02

Fig. 8.13. Curvas tipo de restauración de presión para una fractura vertical de conductividad infinita en un yacimiento infinito13

421

La permeabilidad, la longitud media de fractura y el factor de daño se determinan de las Ecs. 8.24 a la 8.26, respectivamente: 1. Permeabilidad:

k=

141.2q μ B ⎛ P 'SD ⎞ ⎛ ΔPxfD ⎞ ⎜ P ' ⎟ ⎜ Δt ⎟ h ⎠M ⎝ ws ⎠M ⎝

k=

141.2(101)(1.507)(0.45)(0.4)(1.1) = 0.92 md 42(11)(10)

(8.24)

2. Longitud media de fractura

x 2f =

0.0002637 k tM tDxfM φμct

(8.25)

0.0002637(0.92)(10) = 58.8ft 0.08(0.45)(17.7 × 10−6 )(1.1)

xf =

1. Eficiencia de Flujo.

s = ln

2rW xf

s = ln

2(0.198) = −5 58.8

FE =− 1

(8.26)

ΔPs =− P* − Pwf

1=−

0.87 ms 0.87(320)(−5) 1= 2.86 P* − Pwf 3115 − 2370

(8.27)

8.3. CONDUCTIVIDAD DE FRACTURAS El producto de la permeabilidad de la fractura y la longitud de la fractura (kfw) se conoce como conductividad de la fractura. La conductividad de la fractura adimensional se expresa matemáticamente como 5,8-11,13-14,16-17:

C fD =

k f wf k⋅x

f

(8.28)

422

La expresión anterior se puede también encontrar multiplicada por π. Sin embargo, se acostumbra, en análisis de pruebas de pozo, a usarse como está dada en la Ec. 8.28. La fractura de flujo uniforme12-13,16 es uno de los conceptos introducidos en la literatura para la interpretación de datos de pruebas de pozo en pozos fracturados. Este tipo de conductividad asume que el flujo del yacimiento hacia la fractura es uniforme y una pequeña caída de presión se presenta a lo largo de la fractura. Este tipo de conductividad se puede observar en fracturas con alto daño causado por una zona de baja permeabilidad alrededor de la fractura. Una fractura de conductividad infinita tiene una conductividad tal que la caída de presión a lo largo de la fractura se considera una de pendiente cero. Enmedia un gráfico log-log, este tipo de mediante sobre los datos tempranos en fractura la presiónesy identificado derivada de presión. Una fractura se considera que tiene conductividad infinita cuando su conductividad de fractura es mayor que 300. Por otro lado, la fractura posee conductividad finita5,8-11 la cual se identifica en un gráfico log-log mediante una pendiente de ¼ de los datos tempranos. Una pendiente ½ puede o no mostrarse después. Una fractura de conductividad finita implica una caída de presión a lo largo de la fractura. Esta caída de presión contribuye a la formación de un flujo lineal simultáneo en la fractura y un flujo lineal desde la formación hasta la fractura como se representa en la Fig. 8.14.b. Este régimen de flujo simultáneo se conoce como flujo bilineal. La larga duración del flujo, ocasiona una baja conductividad de fractura. El análisis convencional para este tipo de fracturas requiere ajuste de curvas tipo. En fracturas de conductividad infinita, Tiab16 mostró que la relación de la longitud, xe, con la longitud de fractura, xf, tiene cierta influencia sobre el patrón de flujo, ver la Fig. 8.26. de Teóricamente, si xe =enxfla , solo una pendiente de ½ se como observará indicando de la presencia puro flujo lineal formación. Sin embargo, el incremento xe/xf en la línea recta de pendiente unitaria es corto, entonces se forma una pendiente 0.36. Esto es debido al flujo birradial, como lo llama Tiab16. Otros autores lo han llamado flujo elíptico. Cuando, la relación xe/xf ≥ 16, únicamente se observa la pendiente 0.36. La Fig. 8.14.a presenta el comportamiento de la rata de flujo en una fractura con diferentes conductividades.

8.4. GRÁFICO DE FLUJO BILINEAL ( P vs. 4 Δt ) Las ecuaciones presentados por Cinco-Ley y colaboreadores5 son:

ΔP =

44.1q B t 0.25 h f k f w (φμct k )0.25

De la pendiente de la gráfica:

423

3

q fD =

2 q( x , t ) x f qw

xD =

x xf

2.5

CfD 300 30 6

2

3 0.6

1.5 D f

q

1

0.5

Fractura de flujo uniforme

0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

xD

Fig. 8.14.a. Distribución de flujo a lo largo de una fractura 12

hf k f w =

44.1q B t 0.25 mbf (φμct k )0.25

Para este caso, xf se puede expresar también usando el procedimiento de ensayo y error mencionado antes.

8.5. GRÁFICO DE FLUJO LINEAL ( P vs. Δt ) Las ecuaciones presentados por Cinco-Ley y colaboreadores5 son:

ΔP =

4.064qB μt hf x f φct k

hf x f =

4.064 qB μ φct k mlf

424

10

1

CfD 0.1 0.5 1 5 10

D0.1

P

50 100 500

0.01

0.001 1.E-05

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

t Dxf

Fig. 8.14.b. Curva tipo de Cinco-Ley5

C fD = 0.0125

telf tblf

donde telf y tblf son los tiempos para final e inicio del flujo lineal.

8.6. CURVAS TIPO DE PRESION (CINCO-LEY) Cinco y otros5 formularon un modelo para estudiar el comportamiento de la presión en fracturas de conductividad finita. Este modelo es quizá uno de las más importantes contribuciones a la literatura de pruebas de pozos. Esta curva tipo está dada en la Fig. 8.14.b. Del punto de ajuste, se pueden obtener los parámetros de fractura y yacimiento. Obtenga primero la permeabilidad: ( PD ) M =

kh(ΔP ) M 141.2qμB

(8.29)

La longitud de fractura se puede solucionar de: (t D ) M =

0.0002637 ktM φμct x 2f

La conductividad de la fractura se obtiene de la Ec. 8.28:

(8.30)

425

100

10000

PUNTO DE AJUSTE ΔP=100 psi, P D = 0.47 Δt = 100 hrs, t D = 3.3 10

1000

i s p ,

D

i s p , P

P

Δ

1

100

0.1 0.01

0.1

1

t D, hr

10

100

1000

10 0.1

1

10

100

1000

t, hr

Fig. 8.15. Ajuste por curva tipo Tabla 8.2. Datos de prueba de presión para un pozo fracturado

(C fD ) M =

t, hr

P, psi

P, psi

P, psi

0.25 0.5 1 2.5

57 68 79 106

40 50 60 70

261 280 298 311

105 20 30

134 168 210 238

80 90 100 150

321 334 343 384

kfw k xf

Use la Ec. 8.31 (por análisis semilog) para estimar el factor de daño:

⎛ P −P ⎞ ⎛ k ⎞ ⎟ ⎟ s = 1.1513⎜⎜ 1hr i − log⎜⎜ 2 ⎟ − 3.23 ⎟ m c r φμ ⎝ tw⎠ ⎝ ⎠

(8.31)

EJEMPLO Con los siguientes datos y los de la tabla 8.2 de una prueba de presión, encontrar permeabilidad, factor de daño, longitud de fractura y conductividad de la fractura.

426

ct = 2x10-6 /psi q = 250 BPD

h = 30 ft B = 1.65 rb/STB

φ = 30 % μ = 0.85 cp

rw = 0.25 ft

SOLUCION De acuerdo a la curva tipo dada en la Fig. 8.15, se tiene: (ΔP=)M100 psi

PD)M = 0.47

(

ΔtM

D)M = 100 hrs =(t1.6 Encontrar permeabilidad de la Ec. 8.29, así:

0 .47 =

(

CfD)M = 2

k ( 30 )(100 ) luego k = 7.76 md 141 . 2 ( 250 )( 0 .85 )(1 . 65 )

La longitud media de la fractura se calcula usando la Ec. 8.30: 1.6 =

0.0002637 (7.76)(100) (0.3)(0.85)(2 ×10 −6 ) x 2f

xf = 500.8 ft La conductividad de la fractura se obtiene de la Ec. 8.28: 2=

k f wf (7.76)(500.8)

kfwf= 7772.4 md-ft Usando la Ec. 10.34, s = –5.65.

8.7. CURVAS TIPO CON ALMACENAMIENTO ( WONG Y OTROS18)

k=

141.2qμB ( PD C fD ) M h(ΔP ) M (C fD ) M

xf =

0.0002637 ktM

(C 2fD ) M

φμct

(t Dxf C fD ) M

2

La conductividad de fractura adimensional está dada por:

(8.32)

427

w

Pozo

Fractura

E s p e s o r

Impermeable boundaries

xf

Fig. 8.17. Esquema de una fractura ideal 5,17

C fD = kx f (C 2fD ) M

(8.33)

Si la fractura está dañada y una porción de la prueba se supone en flujo bilineal, se puede ajustar una gráfica log-log de ΔPwf y ΔP’wf vs. t. El almacenamiento se puede determinar mediante:

C=

0 .2339 qB ( t ) M [ F1 ( PD )] M (ΔP ) M [ F2 (t Dxf )] M

(8.34)

La conductividad de fractura es: 3

k f wf =

⎫ 0.4 C ⎧141.2qμ B[ FP 1 ( D )]M ⎨ ⎬ h 2 φ ct k ⎩ ( ΔP ) M ⎭

8.8. TIAB’S DIRECT SYNTHESIS FRACTURADOS HIDRAULICAMENTE

TECHNIQUE

PARA

POZOS

Esta sección trata sobre el análisis de datos de pruebas tomados de pozos que han sido fracturados hidráulicamente. En un principio, el fracturamiento hidráulico llegó a ser en una buena manera para incrementar la productividad de los pozos completados en yacimientos de baja permeabilidad. Sin embargo, últimamente, se ha convertido en una práctica común gracias a su impacto para incrementar la productividad del pozo y remover el daño. El propósito de las pruebas de pozos fracturados es determinar las propiedades de fractura y yacimiento para proporcionar una valoración efectiva del tratamiento de fractura y predecir una productividad a largo plazo para el yacimiento 16-17.

428

8.8.1. Simulación de Fracturas Cuando un pozo es fracturado hidráulicamente, la presión se eleva en la formación hasta su agrietamiento. Un fluido que contiene arena o material de sostén es entonces colocado en la grieta. El fluido se separa de las partículas sólidas (arena) dentro de la formación y al retirarlo la fractura se cierra pero con el material de sostén adentro de modo que la fractura no cierra completamente. La Fig. 8.17 representa una fractura ideal. La meta del fracturamiento es abrir más el área superficial de la cara del pozo sin perforar otro pozo. Puesto que mayor área del yacimiento está en comunicación directa la cara pozo, de un tiempo, gran volumen de fluido puede producirsededentro de de la cara delcon pozo pordel unidad resultando en un incremento la rata producción. Básicamente, el fracturamiento incrementa el radio efectivo de la cara del pozo:

r 'w =

xf = r e− s 2 w

(8.35)

El fracturamiento no altera la permeabilidad del yacimiento pero si altera la permeabilidad promedio del sistema. El análisis de presiones de una prueba en un pozo fracturado requiere del uso de curvas tipo las cuales han sido generadas analíticamente. Dichas soluciones están basadas en una de estas tres suposiciones:

• Fractura de conductividad infinita, • Fractura de flujo uniforme, o • Fractura de conductividad finita. Las curvas tipo para una fractura de conductividad infinita se muestran en la Fig. 8.18. Las curvas tipo para una fractura de conductividad finita se presentan en la Fig. 8.19. A menos que la permeabilidad de la formación sea extremadamente baja, por ejemplo en el rango microdarcy, la respuesta de la presión, para la mayoría de los pozos fracturados, parece ser representativa de un sistema de fractura de conductividad finita. Tomando como base esta observación, únicamente el sistema de fractura de conductividad finita es considerado en esta sección. En esta sección, el término “fractura” se refiere a fractura de conductividad finita.

8.8.2. Regimenes de Flujo en Fracturas Después de que un pozo ha sido fracturado, se forma un nuevo grupo de regímenes de flujo. Los principales regímenes de flujo se presentan en la Fig. 8.20 y son los siguientes17.

429

03

CD 10000 5000 2000 1000 500 200 100 50 20 10 5 0

02

01

00

t Dxf F1 '(PD ) =

01

( k f w) 2D/ 3 dPD

C1/fD3 2/ 3 f D 1/ 3 fD

F1 ( PD ) = (k w) C 02 1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+01

F2 (t Dxf ) =

1.E+02

( k f w) 2/3 D

C 4fD/3

1.E+03

1.E+04

dtDxf

PD 1.E+05

t Dxf

tipo de Wong y otros para pozo vertical con fractura de conductividad finita, almacenamiento y daño bajo condiciones de flujo bilineal18

430

1.E+01

EL estado pseudoestable arranca aprox. a tDA=0.12 para todos los xe/xf xe/xf`=5 xe/xf`=7 xe/xf`=10

1.E+00

Fin aproximado del periodo de media pendiente

xe/xf=15 FIn del periodo de media pendiente paraxe/xf=1

xe/xf`=3

D

xe/xf`=2

P

xe/xf`=1.5

Area de drene A=(2xe) 2

xe/xf`=1

1.E-01

xf

1/2 pe= Slo 1.E-02 1.E-05

1.E-04

xe 1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

t DA Fig. 8.18. Presión adimensional para un pozo fracturado verticalmente en el centro de un sistema cerrado, sin almacenamiento, fractura de conductividad infinita 16 Pozo a caudal constante

10

CfD=Conductividad adimensional de lafractura

1

CfD=0.1

CfD=5

.5 CfD=0

D0.1 w

P

khΔP aceite 141.2q μ B 2 khΔ ( P ) PwD = gas 1424q μ zT

CfD=1

PwD =

CfD=10

CfD=50 CfD=100

0.01

0.001 1.E-05

kh[ΔmP () ] gas 1424qT 0.0002637 kt t Dxf = φ μ ct x 2f k w C fD = f k xf

PwD =

CfD=500

1.E-04

1.E-03

1.E-02

t

1.E-01

Dxf

Fig. 8.19. Fractura vertical de capacidad infinita 16

1.E+00

431

a) Flujo lineal en la fractura

b) Flujo bilineal

d) Flujo lineal en la formación c) Flujo pseudoradial

Fig. 8.20. Regímenes de flujo que gobiernan el comportamiento de la presión en un pozo interrumpido por una fractura vertical de capacidad finita 17

• • • •

Flujo lineal en la fractura Flujo bilineal (fractura y formación) Flujo lineal en la formación (o elíptico) Flujo pseudorradial

Para sistemas de fractura de conductividad infinita y flujo uniforme se evidencian únicamente el tercer y cuarto régimen de flujo en los datos de presión. El flujo lineal normalmente ocurre a un tiempo muy temprano, puesto que éste es normalmente enmascarado por los efectos del almacenamiento. El inicio del flujo pseudorradial puede ocurrir a un tiempo que económicamente no es factible de alcanzar, y por ende no puede ocurrir a ningún tiempo durante una prueba de pozo. Para determinar kh del yacimiento, es necesario que el yacimiento esté en flujo radial. Sin embargo si la fractura es de conductividad finita y se observan las pendientes de un medio y un cuarto, es posible obtener la permeabilidad del punto de intersección entre estas líneas. Esto únicamente es posible por medio de la Tiab’s Direct Synthesis Technique. De modo que si requiere el análisis de una prueba de un pozo fracturado, es importante que una prueba de prefracturamiento se desarrolle para determinar kh del yacimiento, si se usan métodos convencionales o curvas tipo. Si ésto no ocurre, un análisis único de los datos puede no ser posible, ya que existen dos incógnitas: permeabilidad del yacimiento y longitud de la fractura 16-17. Si los efectos del almacenamiento duran una cantidad de tiempo significativa, es posible que el primero de los tres regímenes de flujo sean enmascarados. Si ésto ocurre, el análisis para determinar la longitud de la fractura no es posible. En este caso, el éxito del tratamiento de fractura tendrá que ser determinado usando el factor

432

de daño calculado. Como regla general, una fractura es exitosa si el factor de daño es reducido a menos de -3. Si los efectos del almacenamiento son de vida corta, entonces los análisis de flujo bilineal o flujo lineal se pueden usar para determinar la longitud de fractura y su conductividad. Para análisis de pozos fracturados, se usa un nuevo grupo de parámetros adimensionales. Estos son el tiempo adimensional para un pozo fracturado, tDxf, y la conductividad de fractura adimensional CfD. Estos se definen así: 0.0002637 k Δt

tDxf =

(8.36)

2

φ μ ct x f

C fD =

k f wf k xf

(8.37)

8.8.3. Análisis de Flujo Bilineal La ocurrencia del flujo bilineal está caracterizada por una pendiente de 1/4 en un gráfico log-log de presión y su derivada. Ver Fig. 8.21. Esta gráfica indica que el flujo bilineal ocurrió para más de un ciclo log. Como resultado, se puede concluir que la pendiente de 1/4 es válida y puede ser analizada para determinar la longitud media de fractura. El comportamiento de la presión durante el periodo de flujo bilineal se modela usando la siguiente ecuación 17:

P = D

2.45

C 1fD/ 2

t 1/ 4

(8.38)

Dxf

En unidades de campo, la ecuación de la respuesta de la presión es:

ΔP =

44.13qμ BΔt 1/ 4 h(k f w f )1/ 2 (φ μ ct k )1/ 4

(8.39)

Cuando la pendiente de 1/4 es evidente en un gráfico log-log, los datos puedes ser regraficados en un papel lineal de P versus t1/4. La pendiente, mbf de una línea recta. Esta puede ser usada para determinar la conductividad de la fractura así:

⎛ 44.13qμ B ⎞ ⎟ k f wf = ⎜ ⎜ mbf h (φ μ ct k )1/ 4 ⎟ ⎝ ⎠

2

(8.40)

Con el anterior valor de kfw, el valor para CfD puede ser determinado. El siguiente paso es calcular un valor de PD para cualquier P, usando:

433

1E+4

Flujo radial

1E+3

i s p ', P 1E+2 *tΔ y P

Flujo lineal

Δ

1E+1

Flujo Bilineal 1E+0

1E- 5

1E-4

1 E-3

1E - 2

1 E -1

1E+0

1 E +1

1E+ 2

1 E+ 3

1E + 4

1E + 5

t, hr

Fig. 8.21. Gráfico log-log de los datos de presión durante flujo bilineal y flujo lineal17 1.E+02

CfD

D

P ,L 1.E+01 A N O I S 1.E+00 N E M I D A 1.E-01 N O I S E 1.E-02 R P E D A 1.E-03 ID A C 1.E-04 1.E-10

0.1 500

Fractura de baja conductivi dad CASO I

C

m=1/4

m=1/2 J

B

Umbral del flujo pseUdoradial

I

A F

m=1/4 G

CASO II

H

Fractura de alta conduct ividad

L 1.E-08

1.E-06

1.E-04

1.E-02

1.E+00

1.E+02

TIEMPO ADIMENSIONAL, t Dxf

Fig. 8.22. Comportamiento típico presión adimensional vs. tiempo adimensional en pozos fracturados17

434

PD =

kh P 1412 . qμ B

(8.41)

Usando los valores para PD y CfD, el gráfico log-log se puede ajustar a las curvas tipo apropiadas y obtener los valores correspondientes para t y tDxf. El valor para xf es calculado usando la Ec. 8.36. Para verificar que los datos que fueron examinados realmente estaban en flujo bilineal, debe calcularse el rango de tiempo para la existencia del flujo bilineal. Teóricamente, el flujo bilineal ocurre para un tiempo adimensional de:

t Dxf =

0. 1 C 2fD

C fD > 16

⎛ 4.55 ⎞ t Dxf = ⎜⎜ 1/ 2 − 2.5 ⎟⎟ − 4 C ⎝ fD ⎠

(8.42)

C fD < 16

(8.43)

8.8.4. Análisis de Flujo Lineal La ocurrencia de formación de flujo lineal está caracterizada por una pendiente de un 1/2 en la gráfica log-log de la presión y derivada de presión. Este régimen de flujo será normalmente evidente y analizable para fracturas con muy alta conductividad (CfD > 300). El inicio de del régimen de flujo lineal ocurre en:

t Dxf C 2fD = 100

(8.44)

Si se obtienen los datos que exhiben la pendiente de un medio en la gráfica log-log, entonces el análisis sigue los mismos pasos que el flujo bilineal. Se pueden emplear las curvas log-log de la Fig. 8.19. Las ecuaciones que gobiernan el análisis de flujo lineal están basadas en la ecuación de respuesta de la presión durante este régimen de flujo:

PD = (π tDxf )1/ 2

(8.45)

En unidades de campo, la Ec. 8.45 es:

P = 4.064

qB hx f

1/ 2

⎛ μ Δt ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ φ ct k ⎠

(8.46)

Así, la gráfica de P versus t1/2 producirá una línea recta de pendiente mlf, de:

435

10000

i 1000 s p , P Δ *t y P Δ

100

10 0.001

0.01

0.1

1

10

100

Tiempo, hr Fig. 8.23. Puntos de presión y derivada de presión 40700

39700

38700

a 37700 P K , n 36700 ió s e r P35700

m

.5 17 7 =

lo ic i/c ps

P1hr =75125 KPa

34700

33700

32700

31700 10000

1000

100

(t p+ Δt)/ Δ t

Fig. 8.24. Gráfico Horner

10

1

436

42500

40500 0.25

mbf =

i/hr 405 ps

38500

a P K , n36500 ió s e r P 34500

32500

30500 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0.25

(Δt) 0.25 , hr

Fig. 8.25. Gráfico Cartesiano de presión vs. ( Δt)1/4 1/ 2

qB ⎛⎜ μΔt ⎞⎟ (8.47) ⎜ ⎟ f φ t hx ⎝ c k ⎠ La Ec. 8.47 se puede usar para determinar xf. Para verificar que los datos usados para el análisis realmente representan flujo lineal, el rango válido de datos ocurre durante: mlf = 4.064

100 < t < 0.016 C 2fD Dxf

(8.48)

Tomando como base el tiempo al cual el flujo lineal termina, tDxf = 0.016, es posible estimar la permeabilidad de la formación. En el final del flujo lineal, los datos de P versus Δt1/2 se desvían de la línea recta. Usando el tiempo de esta desviación con las Ecs. 8.36, y 8.37 producirá:

k = 100.1

qμ B hmlf telf

En la Ec. 8.49, telf representa el tiempo al final de flujo lineal.

(8.49)

437

8.8.5. Análisis de Flujo Pseudorradial Después de que ha pasado un periodo suficiente de tiempo, y si las fronteras del yacimiento no influyen el comportamiento de la presión, el flujo comienza a converger radialmente hacia el sistema pozo – fractura 16. Este periodo es el periodo de flujo pseudorradial y comenzará realmente después de un tiempo adimensional de:

t Dxf > 2.5 para C fD baja

(8.50)

t Dxf > 5 para C fD alta

(8.51)

Este periodo es llamado periodo de flujo pseudorradial debido a que es idéntico al caso de yacimiento radial pero con un factor de daño negativo causado por la presencia de la fractura. Durante este periodo el comportamiento de la presión está descrito por:

⎛ x2 ⎞ PD = 0.5 ln⎜⎜ t Dxf 2f ⎟⎟ + 0.404 + s rw ⎠ ⎝

(8.52)

Si se alcanza el flujo pseudorradial, entonces las técnicas convencionales (por ejemplo, semilog) pueden usarse. La Fig. 8.22 muestra el comportamiento general de un pozo con una fractura vertical de conductividad finita para dos casos: Caso I: comportamiento de la fractura de baja conductividad, por ejemplo CfD=0.1 y Caso II: fractura que tiene una alta capacidad de almacenamiento y alta conductividad, por ejemplo CfD=500. Esta figura muestra que el comportamiento de la presión a tiempos tempranos de un pozo con una fractura de conductividad finita incluye varios regímenes de flujo. Un breve resumen de las características de esos regímenes son: (a) Inicialmente, es una fractura de flujo lineal caracterizada por una línea recta de pendiente ½ (no mostrada en la figura debido a que generalmente es muy corta). Los puntos A, F y L, realmente representan el final de este régimen de flujo. (b) Después de un periodo de transición, las curvas muestran un periodo de flujo bilineal, indicado por una línea recta de pendiente ¼. Los segmentos B-C y G-H representan este régimen. La línea de flujo bilineal no es probable, sin embargo, se observa en el caso de una alta conductividad de la fractura. (c) Como el tiempo incrementa, un periodo de flujo lineal en la formación podría desarrollarse, y puede ser identificado mediante una línea recta de pendiente 0.5. El segmento I-J (caso II) representa una fractura con alta conductividad CfD >300. (d) Eventualmente, en ambos casos, el sistema alcanza el régimen de flujo radial.

438

EJEMPLO Usando los siguientes datos y los datos de prueba de presión dados en la tabla 8.1, encontrar la permeabilidad, factor de daño, y conductividad de la fractura para una fractura del yacimiento.

q = 1100 BPD B = 1.37 rb/STB h = 18 ft

φ = 15 %

μ = 0.53 cp

rw = 0.328 ft ct = 1.3x10-5 psi-1

Pwf = 4668.9 psi tp = 22.3 hrs

Tabla 8.3. Datos de prueba de presión t, hr 0.0000 0.0030 0.0056 0.0093 0.0111 0.0139 0.0167 0.0194 0.0222 0.0250 0.0279 0.0306 0.0333 0.0361 0.0389 0.0417 0.0444 0.0472 0.0500 0.0528 0.0556 0.0583 0.0611

P, Kpa t, hr P, Kpa t, hr P, Kpa t, hr P, Kpa t, hr P, Kpa t, hr P, Kpa

32191 32342 32494 32670 32814 32979 33144 33306 33476 33642 33912 33982 34155 34329 34507 34665 34861 35042 35202 35384 35568 35751 35937

0.0639 0.0667 0.0833 0.100 0.117 0.133 0.150 0.167 0.183 0.200 0.217 0.233 0.317 0.400 0.483 0.567 0.650 0.733 0.817 0.900 1.067 1.233 1.400

36121 36306 37031 37339 37490 37592 37683 37770 37843 37906 37962 38010 38225 38312 38489 38603 38687 38783 38878 38 985 39 061 39 107 39 148

1.570 1.730 1.900 2.067 2.233 2.400 2.567 2.733 2.900 3.067 3.233 3.400 3.533 3.733 3.900 4.067 4.233 4.400 4.567 4.733 4.900 5.067 5.233

39197 39259 39304 39349 39398 39438 39495 39535 39593 39627 39655 39669 39693 39704 39720 39764 39755 39766 39782 39795 39809 39824 39835

5.38 5.40 5.57 5.73 5.90 6.07 6.40 6.90 7.40 7.90 9.40 9.90 9.40 9.90 10.40 10.90 11.40 11.90 12.40 12.90 13.40 13.90 14.40

39852 39851 39865 39881 39933 39945 39939 39972 40008 40043 40073 40103 40135 40163 40186 40211 40235 40262 40263 40315 40335 40359 40360

14.90 15.40 15.90 16.40 16.90 17.40 17.90 18.40 18.90 19.40 19.90 20.40 20.90 21.40 21.90 22.40 22.90 23.90 24.90 25.90 26.90 27.90 28.90

40402 40421 40443 40462 40462 40503 40524 40540 40561 40591 40597 40616 40635 40653 40669 40684 40703 40734 40765 40804 40829 40855 40882

29.90 30.90 31.90 32.90 33.90 34.90 35.90 36.90 37.90 38.90 39.90 40.90 41.90 42.90 43.90 44.90 45.90 46.90 47.90

40909 40934 40961 40986 41012 41033 41055 41060 41099 41119 41148 41161 41161 41203 41218 41235 41253 41271 41286

SOLUCION Se construyeron tres gráficos para trabajar este ejemplo. Un gráfico de presión y derivada de presión, un gráfico Horner y uno de presión vs. Δt1/4 los cuales se presentan en las Figs. 8.23, 8.24 y 8.25, respectivamente. Los puntos de derivada de presión estimados la las Ec.gráficas. 1.63 y un siguientesfueron parámetros fueronusando leídos de Delfactor gráficodedeajuste Horner:de 0.2. Los

439

De la gráfica semilog, m = 717.5 psi/ciclo, P1hr = 5125 psi y P* = 6106 psi. Del gráfico bilineal mbf = 405 psi/hr0.25. De la Ec. 4.7:

k=

162.6qμ B 162.6(1100)(0.53)(1.37) = = 10 md mh (717.5)(18)

De la Ec. 4.2;

⎡ 5125 − 4668.9 ⎤ 10 s = 1.1513 ⎣⎢ 717.5 log (0.15)(0.53)(1.3 − − +×=10−5 )(0.3282 ) 3.2275⎦⎥

4.7

Lo cual indica un tratamiento de fractura exitoso. Usando la Ec 8.40: 2

2

⎞ ⎛ 44.13qμ B ⎞ ⎛ 44.13(1100)(0.53)(1.37) k f wf = ⎜ ⎟ = 7308.33 md-ft ⎟ =⎜ ⎜ mbf h 4 φ μ ct k ⎟ ⎜ 405(18) 4 (0.15)(0.53)(1.3 ×10−5 )(10) ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 8.9. TIAB’S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE PARA FRACTURADOS VERTICALMENTE EN SISTEMAS CERRADOS

POZOS

Esta sección presenta la Tiab’s Direct Synthesis Technique para interpretación de gráficas log-log de presión y derivada de presión sin usar curvas tipo para el ajuste. Para el caso de una fractura de flujo uniforme, los gráficos de derivada de presión para varias relaciones xe/xf revelan tres regímenes de flujo dominantes. Durante tiempos tempranos0.5. el flujo de fluidos linealesyusada puedepara ser calcular identificado línea recta de pendiente La línea de flujoeslineal la ongitud l por una media de la fractura. El régimen de flujo radial de acción infinita, el cual puede ser identificado por una línea recta horizontal, es dominado por x e/xf > 8. Este régimen de flujo es usado para calcular permeabilidad y daño. La tercera línea recta, la cual corresponde al régimen de flujo pseudoestable y presenta una pendiente unitaria. Esta línea es usada para calcular el área de drene y el factor de forma. Para el caso de fractura de conductividad infinita, los gráficos de derivada de presión muestran un cuarto régimen de flujo dominante, llamado aquí como flujo birradial. Este régimen de flujo, el cual puede ser identificado por una línea recta de pendiente 0.36, también puede usarse para calcular la longitud media de fractura y la permeabilidad16.

8.9.1. Introducción Puthigai y Tiab13 extendieron la aplicación de a función de derivada de presión a pozos fracturados verticalmente en un yacimiento infinito. Ellos hicieron uso de ajuste por curvas para uniforme interpretary de estaconductividad función. Fueron los analizaron modelos de fracturastipo de flujo infinita.investigados Wong y otros el comportamiento de las curvas de derivada de presión para un pozo con una fractura de

440

conductividad finita, daño y almacenamiento durante condiciones de flujo bilineal. Chukwu2 usó la técnica de ajuste por curvas tipo para analizar la presión y derivada de presión de pozos fracturados verticalmente en un sistema cerrado. Tiab16 introduce una nueva técnica para la interpretación de pruebas de transiente de presión, llamada Tiab’s Direct Synthesis Techniquela cual usa los gráficos log-log de presión y derivada de presión versus tiempo para calcular parámetros de yacimiento tales como daño, almacenamiento, permeabilidad, y longitud media de fractura sin usar la técnica de ajuste con curvas tipo y empleando ciertas “huellas digitales” halladas en el gráfico de presión y derivada de presión8,16-17. El propósito de esta sección es aplicar la Tiab’s Direct Synthesis Technique para un pozo fracturado verticalmente en un sistema cerrado. Las suposiciones usuales a aplicar, son por ejemplo que el medio poroso es isotrópico, horizontal, homogéneo, uniforme en espesor y tiene permeabilidad constante. Además, la fractura penetra completamente la extensión vertical de la formación y es la misma longitud en ambos lados del pozo. La caída de presión adimensional de un pozo ubicado en el centro de una fractura de plano vertical en un yacimiento limitado puede ser generalizada así: tDA

PD = 2π

⎛ ⎞ ∞ ⎛y ⎞ ∫0 ⎡⎢1+ 2en∑=1 xp⎜⎜ −4n2π 2 ⎜⎜ xe ⎟⎟ t 'DA ⎟⎟⎤⎥ ⎝ e⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎣

⎡ ⎢⎣

⎛ ⎞⎛ sin mπ x f / xe ⎞ ⎛y ⎞ ∞ ′ + ⋅ 1 −2e ∑ xp⎜ 4 m⎜ 2π 2 ⎜ e ⎟⎟t 'DA ⎟⎜ cos( mπ xD x f / xe )] dtDA ⎜ ⎟ ⎟⎝ mπ x f / xe ⎟⎠ m=1 ⎜⎝ ⎝ xe ⎠ ⎠

(8.53.a)

donde el tiempo adimensional y la presión del pozo adimensional son definidas por las siguientes ecuaciones:

t DA =

0.0002637 kt φ μ ct A

PD =

kh ΔP 141.2q μ B

(8.53.b)

Donde ΔP es igual a Pi - Pwf para pruebas de declinación de presión yPws - Pwf (Δt=0) para pruebas de restauración de presión. La presión de pozo adimensional de un flujo uniforme se puede obtener de la Ec. 8.53.a a xD = 0. Asumiendo una geometría cuadrada, por ejemplo xe = ye, y una fractura de flujo uniforme, la derivada de la Ec. 8.53 con respecto al tiempo adimensionaltDA es12,16: ⎡ ⎤⎡ ∞ ∞ sin mπ x / xe ⎤⎥ P ' D = 2+π ⎢1 2− ∑ exp( +4 n−2π 2 tDA )1⎥ ⎢ 2 ∑ exp( 4 m2π 2tDA ) ⎢ ⎢⎣ n =1 ⎥⎦ ⎣ m =1 mπ x f / xe ⎥⎦

(8.54)

441

La presión adimensional de un pozo interceptado por una fractura vertical de conductividad infinita se puede obtener de la Ec. 8.53 axD = 0.732. La derivada de la presión de pozo adimensional para un cuadrado es: ⎤ ⎡ ⎤⎡ ∞ ∞ ⎛ sin mπ x f / xe ⎞ ⎜ )1⎥ ⎢⎢ 2 ∑ exp( ⎟ 4πm2 2t DA ) cos(0.732 m x f /)xe ⎥ P ' D = 2+π ⎢1 −2 π∑ exp( +4 n 2 −2πt DA ⎥ ⎜ ⎟ ⎢⎣ n =1 ⎥⎦ m x / x π f e ⎠ ⎝ ⎣ m =1 ⎦

(8.55) Se pueden derivar ecuaciones similares para un pozo fracturado verticalmente en un yacimiento lo tanto, para un rectángulo dos acon uno,respecto simplemente grupo xe = 2rectangular. ye en la Ec. Por 8.53.a y entonces tomar la derivada atDA. Elel gráfico log-log de la presión de pozo adimensional para pozos fracturados verticalmente en el centro de un sistema cerrado ha sido ya discutido por Gringarten y otros12. Chukwu2 generó curvas tipo para varios sistemas rectangulares usando funciones de presión y abogando a las técnicas de ajuste de curvas tipo, como una herramienta para el análisis de pruebas de transiente de presión de pozos fracturados verticalmente en un sistema cerrado. Los problemas con el ajuste de curvas tipo son bien conocidos como lo puntualizó Tiab16 y por lo tanto no serán discutidos aquí. El gráfico log-log de la presión de pozo adimensional y la derivada de presión versus el tiempo tiene varias características únicas que se pueden usar para interpretar pruebas de presión de pozo sin la necesidad de la técnica de ajuste de curvas tipo.

8.9.2. Características de una Fractura de Flujo Uniforme La Fig. 8.26 muestra un gráfico log-log de la presión y el grupo de derivada de presión versus el tiempo adimensional para tres valores dex / x . Estas curvas tienen varias e f características únicas, que pueden ser usadas para interpretar las pruebas de transiente 16 de presión en pozos fracturados sin usar el ajuste con curvas tipo . 1) Para fluidos a tiempos cortos de producción el flujo en la fractura es lineal. La duración de este régimen de flujo es una función de la relación de penetración xe/xf. La ecuación correspondiente a esta línea recta a tiempos tempranos es: ⎛x t DA P ' D = 1.772 ⎜⎜ e ⎝ xf

⎞ ⎟ t ⎟ DA ⎠

(8.56)

Tomando el logaritmo de ambos lados de la ecuación producirá: ⎛ π xe ⎜ xf ⎝

log(t DA * P 'D ) = 0.5 log t DA + log⎜

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

(8.57)

442

La pendiente de esta línea recta es 0.5, la cual es de por si una característica única del régimen de flujo lineal. Sustituyendo por los términos adimensionales en la Ec. 8.56 y solucionado para la derivada de presión del pozo se tiene:

t * ΔP ' = 0.5 m L t

(8.58)

100


10 ' D

P *

A D

t y

f=8

xe/x

f=4

1

xe/x

Flujo radial

D

P xe/xf=1

0.1

Flujo lineal 0.01 0.0001

0.001

Flujo uniforme 0.01

0.1

1

10

tDA Fig. 8.26. Fractura de Flujo Uniforme en un Cuadrado16

mL = 4.064

0..5 qB ⎛⎜ μ ⎞⎟ h ⎜⎝ φμ ct k x 2f ⎟⎠

(8.59)

Tomando el logaritmo de ambos lados de la Ec. 8.58: log (t * ΔP ') = 0.5 log t + log (0.5mL )

(8.60)

Esta expresión muestra que un gráfico det*ΔP’ medido versus tiempo en un gráfico log-log producirá una línea recta de pendiente 0.5 si el régimen de flujo lineal es el dominante. Permitir que (t*ΔP’)L1 sea el valor del producto t*ΔP’ a un tiempo t = 1 hr en la línea recta de flujo lineal (extrapolada, si es necesario); entonces combinando las Ecs. 8.58 y 8.59 y solucionando para la longitud media de fracturaxf se obtiene8,16-17:

xf

2.032 Bq ⎛⎜ μ ⎞⎟ = h ( t *ΔP ') L 1 ⎜⎝ φ ct k ⎠⎟

0 .5

(8.61)

443

La ecuación de la porción de línea de flujo lineal de la curva de presión es: ΔP = m L t

(8.62)

Sea (ΔP)L1 el valor de ΔP en la línea recta (extrapolada si es necesario) a un tiempot=1 hr. Así, después sustituyendo por mL de la Ec. 8.62, se tiene:

x f = 4.064 h ( ΔqB P ) L1

⎛ ⎞ ⎜φ μ ⎟ ⎝ ct k ⎠

0.5

(8.63)

Se puede derivar una expresión útil mediante la combinación de las Ecs. 8.58 y 8.62 a un tiempo t = 1 hr: ( t * ΔP ') L 1 = 0.5( ΔP ) L 1

(8.64)

Generalmente, las condiciones cercanas a la cara del pozo afectan la curva de derivada de presión mucho más que la curva de presión durante el flujo lineal. En tal caso, se debe calcular la longitud media de la fractura de la línea de pendiente ½ de la curva de presión, usando la Ec. 8.63. Entonces, calcular (t*ΔP’)L1 de la Ec. 8.64 y dibujar una línea recta de pendiente 0.5 através de este punto. Esta línea corresponde a la línea de flujo lineal de la curva de derivada de presión. 2) Siguiendo el régimen de flujo lineal es la línea de flujo radial de acción infinita (horizontal), como se muestra en la Fig. 8.26. Este régimen de flujo es dominante solo si la relación de penetraciónxe/xf es mayor que 8. La ecuación correspondiente a esta segunda línea recta está descrita por:

t DA * P 'D = 0.5

(8.65)

Sustituyendo por los términos adimensionales y resolviendo para la permeabilidad producirá:

k =

70.6 q μ B h ( t *ΔP ')r

(8.66)

donde el subíndice r se usa para línea de flujo radial. 3) Para tiempos de producción largos, la función derivada de presión producirá una línea de pendiente unitaria.enEsta línea corresponde al régimen de 0fl.2. ujo La del estadorecta pseudoestable, comienza un valor detDA de aproximadamente ecuación de esta línea recta es:

444

t DA * P'D = 2π tDA

(8.67)

Sustituyendo por los términos adimensionales se obtiene:

⎛ qB ⎞ ⎟t t * ΔP ' = ⎜⎜ ⎟ ⎝ 4.27φ ct A ⎠ 8.68)

(

Esta expresión puede ser usada para calcular el área de drenaje por la obtención de (t*ΔP’)p1 de la gráfica y resolviendo la Ec. 8.68 para A. (t*ΔP’)p1 es el valor de la derivada a un tiempo de t=1 hr en la línea de estado pseudoestable (extrapolada si es necesario). 4) La presión adimensional durante el flujo en estado pseudoestable es una función lineal del tiempo adimensional. La ecuación correspondiente a este régimen es:

PD = 2π tDA + ln(xe / x f ) ln

2.2458 CA

(8.69)

Tomando la relación de las Ecs. 8.69 y 8.67 se tiene: PD

⎛x ⎜ ln ⎜ e D π 2 t ⎝ xf 1

=1+

t DA *P ' D

⎞ 2.2458 ⎟ ⎟ CA ⎠

(8.70)

Sustituyendo por los términos adimensionales y resolviendo para el factor de forma CA se tiene: CA

⎛x ⎜ = 2.2458⎜ e ⎝ xf

⎛x C A = 2.2458⎜⎜ e ⎝ xf

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

2

⎡ ⎢⎣

⎞ ⎟ exp 0.000527 kt ps ⎛⎜ 1 ( ΔP ) ps ⎟ ⎜ − ( t *ΔP ' ) ps φμ ct A ⎠ ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎤ ⎥⎦

(8.71.a)

2

si (ΔP)ps = (t*ΔP’)ps

(8.71.b)

Donde tps es cualquier tiempo conveniente durante la porción de línea del estado pseudoestable de las curvas. (ΔP)ps y (t*ΔP’)ps son valores de ΔP y t*ΔP’ correspondientes a tps, respectivamente. 5) El punto de intersección de la línea del flujo lineal y la línea del flujo radial de acción infinita es único. Las coordenadas de estepunto se puede obtener mediante

445

la combinación de las Ecs. 8.56 y 8.65, y resolviendo para el tiempo adimensional producirá t DALRi =

1 4π

⎛ xf ⎜ ⎜x ⎝ e

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

2

(8.72)

Donde el subíndice L y R representan lineal y radial, respectivamente; ei intersección. Sustituyendo la Ec. 8.53.a, donde A=4xe2, dentro de esta ecuación y despejando la 2

relación xf /k, se obtiene:

x 2f t LRi k = 1207φμ ct

(8.73)

Esta ecuación preferiblemente debería ser usada para verificar la exactitud de los valores de permeabilidad y la longitud media de fractura obtenidos de las Ecs. 8.66 y 8.61, respectivamente. 6) La línea de flujo lineal y la línea de estado pseudoestable interceptan en:

t DALPi

1 ⎛⎜ x e ⎞⎟ = 4π ⎜ x f ⎟ ⎝ ⎠

2

(8.74)

Esta ecuación es obtenida por la combinación de las Ecs. 8.56 y 8.67. El subíndice L y P corresponden para lineal y pseudoestable, respectivamente. Sustituyendo para el tiempo adimensional de la Ec. 8.53.a se tiene: 2

kx f =

7544φμ ct A 2 t LPi

(8.75)

Esta ecuación se puede usar para propósito de verificación o para calcular k dado que xf es conocido. 7) La línea de flujo radial y la línea de estado pseudoestable a tiempos tardíos se interceptan en:

t DARPi =

1 4π

Sustituyendo la Ec. 8.53.a en la Ec. 8.76 y despejando paraA se tiene16:

(8.76)

446

kt A = 301.77RPi φ μct

(8.77)

8) Combinando las Ecs. 8.72, 8.74 y 8.76, se puede ver que los tiempos de intersección de las líneas rectas correspondientes a los tres regímenes de flujo están relacionados por la siguiente relación: 2

t LRi ⎛⎜ x e ⎞⎟ = (8.78) t LPi ⎜ x f ⎟ ⎝ ⎠ Esta expresión se puede usar para propósitos de verificación. También se usa cuando se diseña una prueba de transiente de presión en un pozo interceptado por una fractura vertical. t LRi t RPi = = t RPi t LPi

9) El factor de daño se puede calcular de (Ec. 2.96):

⎛ ΔPr ⎞ ⎡ k tr ⎤ s = 0.5 ⎜⎜ − ln ⎢ + 7.43 ⎟⎟ 2⎥ ( t * P ') φμ c r Δ r ⎣ t w⎦ ⎝ ⎠

(8.79)

Donde tr es cualquier tiempo conveniente durante la línea de flujo radial de acción infinita y (ΔP)r es el valor de ΔP correspondiente a tr. 10) El efecto del almacenamiento en pozos fracturados verticalmente usando laTiab’s

Direct la cualunitaria será discutida por separado. embargo, si sees observaSynthesis la líneaTechnique de pendiente correspondiente al Sin almacenamiento 16 observada, entonces las ecuaciones desarrolladas por Tiab se pueden aplicar para calcular el coeficiente de almacenamiento. Por lo tanto, del punto de intersección de la línea de pendiente unitaria y al línea de flujo radial de acción infinita. El coeficiente de almacenamiento es:

⎛ kh ⎞ C =⎜ ⎟ ti ⎝ 1695μ ⎠

(8.80)

donde ti es el tiempo de intersección de las línea de flujo radial y la línea de almacenamiento.

8.9.3. Características de una Fractura de Conductividad Infinita La Fig. 8.27 es un gráfico de presión adimensional y derivada de presión versustDA para una fractura vertical de conductividad infinita dentro de un sistema cuadrado. Esta figura muestra la existencia de cuatro líneas rectas: (a) la línea de flujo lineal de pendiente 0.5, (b) línea de flujo birradial de pendiente 0.36, (c) línea de flujo radial de

447

acción infinita (línea horizontal), y (d) línea de flujo de estado pseudoestable de pendiente unitaria. Para xe/xf > 8, el régimen de flujo lineal es casi inexistente, y la línea de flujo birradial es observada primero. Para xe/xf < 8, es la línea de flujo radial la que desaparece16. Únicamente las características del régimen de flujo birradial serán discutidas aquí. Las características e interpretación de los otros tres regímenes de flujo (lineal, radial y pseudoestable) son las mismas que se discutieron anteriormente para fractura de flujo uniforme. 100


10 ' D w

f=1

xe/x

*P

A 1 D

6

f=4

xe/x

t y

Flujo radial

D

P

xe/xf=2 flujo biradial

0.1

Flujo bilineal 0.01 0.0001

0.001

Conductividad infinita

0.01

0.1

1

10

tDA

16 Fig. 8.27. Fractura de conductividad infinita en un cuadrado

1) La ecuación de la línea de flujo birradial es: ⎛x ⎞ ⎜ ⎟ t DA * P'D = 0.769⎜ e ⎟ ⎝ xf ⎠

0.72 0.36

tDA

(8.81)

Tomando el logaritmo de ambos lados de la ecuación produce: 0.72 ⎡ ⎛x ⎞ ⎤ log (t DA * P ' D ) = 0.36 log t+DA log ⎜⎟ ⎢⎢0.769⎜ e ⎟ ⎥⎥ ⎝ xf ⎠ ⎦ ⎣

(8.82)

La Ec. 8.81 fue derivada tomando los puntos correspondientes a esa línea recta, y entonces aplicando un análisis de regresión multivariada, la Ec. 8.81 se convierte en:

448

⎛ x t * ΔP ' = 0.769C BR ⎜⎜ e ⎝ xf

2

⎞ 0.36 ⎟ t ⎟ ⎠

(8.83)

donde:

C BR

qμ B = 7.268 kh

⎛ k ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ φμ c A ⎟ t ⎠ ⎝

0.36

(8.84)

Tomando el logaritmo de la Ec. 8.83 se tiene:

⎛ ⎛x log(t * ΔP ') = 0.36 log t + log⎜⎜ 0.7699C BR ⎜⎜ e ⎜ ⎝ xf ⎝

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

0.72

⎞ ⎟ ⎟⎟ ⎠

(8.85)

Así, la línea de flujo birradial se puede identificar por su pendiente de 0.36. Es importante no confundir esta línea birradial con la línea de flujo lineal debido a que sus pendientes (0.5 y 0.36) son relativamente cercanas. Sea (t*ΔP’)BR1 el valor de t*ΔP’ a un tiempo t = 1 hr en la línea recta (extrapolada si es necesario), entonces la Ec. 8.83 se puede usar para calcular la longitud media de fractura xf si el régimen de flujo lineal no es observado: = 0.694 x

x f

⎡ C ⎤ e (t *ΔP ') ⎣ ⎦

1.388

BR

BR 1

(8.86)

Donde CBR es calculado de la Ec. 8.84, y la permeabilidad de la línea de flujo radial de acción infinita, Ec. 8.66. 2) Estos tiempos de intersección de la línea de flujo birradial y a línea de flujo lineal se puede determinar por combinación de las Ecs. 8.66 y 8.81:

⎛x t DALBRi = 0.00257⎜⎜ f ⎝ xe

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

2

(8.87)

Sustituyendo por el tiempo adimensional y resolviendo para xf2/k produce:

x 2f

t LBRi k = 39φμct

(8.88)

449

100


10

4:1R

' D

1 P *

A

Cuadrado xe/xf=16

D t

Flujo radial xe/xf=4

0.1

Flujo lineal Flujo uniforme

0.01 0.0001

0.001

0.01

tDA

0.1

1

10

16 Fig. 8.28. Fractura de flujo uniforme en un cuadrado y un rectángulo 4:1

Si el flujo radial de acción infinita está bien definido, calculark de la Ec. 8.66, entonces calcular la longitud media de la fractura de la Ec. 8.61 (si el régimen de flujo lineal es dominante) o de la Ec. 8.86 (si el régimen de flujo birradial es mucho más dominante). Sin embargo para xe /xf <8, el régimen de flujo radial de acción infinita es de vida muy corta o esencialmente inexistente.En este casose puede calcular la permeabilidad de: ⎛ 12.67 qμ B ⎞ 1 k=⎜ (8.89) ⎟ ⎝ h(t * ΔP ') L1 ⎠ t LBRi Esta ecuación fue derivada por combinación de las Ecs. 8.61 y 8.88. 3) Para xe /xf > 8 el régimen de flujo lineal no es generalmente dominante y por lo tanto la línea recta correspondiente a este régimen no será observada. En este caso es mejor usar el tiempo de intersección de la línea de flujo birradial y la línea de acción infinita para verificar los valores de k y xf: ⎛x t DARBRi = 0.3023⎜⎜ f ⎝ xe

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

2

(8.90)

Sustituyendo por el tiempo adimensional y resolviendo para la relación xf2/k dada:

450

x 2f

k

t RBRi = 4587 φμ ct

(8.91)

Esta ecuación también puede usarse para calcular la longitud media de fracturaxf, si k puede ser determinada de la línea de acción infinita16, por ejemplo la Ec. 8.88. 4) El tiempo de intersección de la línea de flujo birradial y al línea de estado pseudoestable se puede obtener combinando las Ecs. 8.81 y 8.67: ⎛x ⎜ t DAPBRi = 0.03755⎜ e ⎝ xf

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

1.125

(8.92)

Sustituyendo el tiempo adimensional y resolviendo para k se tiene: 142.3φμct A k = t PBRi

⎛x ⎜ e ⎜x ⎝ f

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

1.125

(8.93)

5) Varias relaciones útiles se pueden derivar mediante la combinación de las ecuaciones del tiempo de intersección. Por lo tanto, combinando las Ecs. 8.88 y 8.91 se tiene: t

RBRi

= 117.6 t

LBR i

(8.94)

De las Ecs. 8.90 y 8.92 se puede derivar:

t RBRi

⎛x = 8 ⎜⎜ f ⎝ xe

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

2.125

t PBRi

(8.95)

Estas ecuaciones se pueden usar para propósitos de verificación o para diseño de pruebas de transiente de presión.

8.9.4. Sistemas Rectangulares Para un sistema rectangular, la transición entre el flujo radial de acción infinita y el flujo de estado pseudoestable, para ambos tipos de fractura, es mucho más largo que para uno cuadrado. Para un rectángulo 4:1, por lo tanto, este periodo de transición producirá una línea recta de pendiente 0.5, como muestra la Fig. 8.28. Esta línea recta corresponde al efecto de dos fronteras paralelas cerradas. La ecuación de esta línea recta es16:

451

t DA * P'D = 3.545 t DA

(8.96)

Sustituyendo por los términos adimensionales se tiene:

t * ΔP' = mCB t

(8.97)

Donde el subíndice CB corresponde a las fronteras paralelas cerradas, ymCB está dada por:

m CB = 8.128

qB h

⎛ μ ⎞ 0.5 ⎜ ⎟ ⎜ φ c kA ⎟ ⎝ t ⎠

(8.98)

Sea (t*ΔP’)CB1 el valor de (t*ΔP’) a un tiempo t = 1 hr en la línea recta (extrapolada si es necesario). Luego, se despeja permeabilidad o el área de drene de las Ecs. 8.97 y 8.98. Si la línea de flujo radial de acción infinita no es observada, tal como cuandoxe/xf < 8, entonces la permeabilidad es: 2

⎛ ⎞ μ qB k = 66.0712⎜⎜ ⎟⎟ h t * Δ P ' φ ct A ( ) ⎝ CB1 ⎠

(8.99)

Las ecuaciones para el tiempo de intersección de la línea de fronteras paralelas cerradas con las otras líneas, por ejemplo la línea de flujo radial de acción infinita y la línea de flujolasdelEcs. estado se pueden derivar combinación de 8.65pseudoestable y 8.67, respectivamente, con lafácilmente Ec. 8.96. mediante La línealade fronteras paralelas cerradas y la línea de flujo lineal a tiempos tempranos tienen la misma pendiente, 0.5. Sin embargo, las constantes 1.772 (Ec. 8.56) y 0.769 (Ec. 8.81) cambian con una relación del lado largo al lado corto,ye/xe. Esto afectará las ecuaciones del tiempo de intersección involucradas con las líneas de frontera birradial y lineal.

8.9.5. Procedimientos Una prueba de transiente de presión en un pozo fracturado verticalmente en un sistema cerrado, producirá todas las líneas rectas necesarias para calcular la longitud media de fractura, permeabilidad, daño, área de drene y factor de forma a partir de las técnicas convencionales. Sin embargo, en muchos casos las pruebas son muy cortas para observar la línea de flujo de estado pseudoestable, o la línea del régimen de flujo lineal no está bien definida debido a la falta de puntos, tales como cuando la relación de penetración x /x es muy alta. En tales casos, el ajuste con curvas tipo fue la única e f las técnicas convencionales. Sin embargo, aún con la adición de la alternativa para curva de derivada de presión, encontrando un ajuste único mediante una simple comparación de formas es todavía uno de los principales problemas de la técnica de

452

ajuste con curvas tipo. La técnica propuesta aquí se ilustra para el caso de un pozo fracturado en un cuadrado.

CASO 1 FRACTURA CON FLUJO UNIFORME16 El siguiente procedimiento paso a paso es para el caso ideal donde todas las líneas rectas necesarias están bien definidas.

Paso 1 – Grafique los valores de cambio de presión del pozo Δ( P) y de derivada de presión (tde *ΔP ’) versus La una presenci de una línea recta de pendiente 0.5 (régimen flujo lineal)tiempo. seguida por líneaarecta horizontal (régimen de flujo radial) indica que el pozo está interceptado por una fractura de flujo uniforme. Una tercera recta de pendiente 0.5 indica un sistema cerrado. Paso 2 – Lea el valor de (t*ΔP’)r correspondiente a la línea de flujo radial de acción infinita. Paso 3 – Calcular la permeabilidad de la Ec. 8.66. Paso 4 – Obtener el valor de (t*ΔP’) a un tiempo t = 1 hr de la línea de flujo lineal (extrapolada si es necesario),t*( ΔP’)L1. Paso 5 – Calcular la longitud media de fracturaf xde la Ec. 8.61. Si la porción de línea de flujo lineal de t(*ΔP’) es muy corta o muy distorsionada por el efecto de la cercanía a la cara del pozo y ruido, entoncesxf podría ser determinada de la línea de pendiente ½ de ΔP, usando la Ec. 8.63. Use la Ec. 8.64 para dibujar la línea de pendiente ½ de la curva de derivada de presión. Paso 6 – Determinar el tiempo de intersección de la línea de flujo lineal y radial de la gráfica, por ejemplotLRi , usando la curva t(*ΔP’). Paso 7 – Calcule la relaciónxf2/k de la Ec. 8.73. Luego calcule esta relación usando valores de k y xf obtenido en los pasos 3 y 5, respectivamente. Si las dos relaciones son aproximadamente iguales, entonces los valores dek y xf son correctos. Si esas relaciones son significativamente diferentes, trasladar una o ambas líneas rectas, y repetir los pasos del 2 al 7 hasta que las relaciones sean iguales. Generalmente, los valores de derivada de presión durante el régimen de flujo lineal probablemente son más distorsionados debido a problemas mecánicos, almacenamiento y daño. Por consiguiente, si la línea de flujo radial de acción infinita está bien definida, entonces la línea de flujo lineal es probablemente la única que se pudiese trasladar. Un traslado hacia la izquierda disminuirá el valor de xf y un traslado hacia la derecha lo incrementará. Paso 8 – Lea el valor de (t*ΔP’)p1 de la línea de estado pseudoestable (extrapolada si es necesario). Calcule el área de drene usando al Ec. 8.68. Paso 9 – Obtenga el tiempo de intersección de la línea de acción infinita y la línea de estado pseudoestable, tRPi, de la gráfica, y calculeA de la Ec. 8.77. Si los dos valores de A en los pasos 9 y 10 son aproximadamente iguales, entoncesAes correcta. Si éstos son claramente diferentes entonces trasladar hacia laizquierda o derecha y repetir los pasos 8, 9 y 10 hasta que la Ec. 8.68 y 8.77 den los mismos valoresAde .

453

Paso 10 – Seleccionar cualquier valor conveniente de tiempotr durante el periodo de acción infinita y leer el valor correspondiente deΔP( )r; luego calcule el factor de daño de la Ec 8.79. Paso 11 – Leer el valor deΔP y (t*ΔP’) correspondiente a cualquier tiempo tps durante la porción de flujo de estado pseudoestable de las curvas, y calcular el factor de forma CA de la Ec. 8.71.a o 8.71.b. La Fig. 8.26 muestra que paraxe/xf < 8 el régimen de flujo radial de acción infinita no es el dominante. Así no se puede dibujar al línea horizontal correspondiente a este régimen de de flujo. En este caso lineal usar los siguientes pasos: a de fractura la línea de flujo (Pasos 4 y 5 del Caso1.1).Calcular 2. Uselalalongitud línea demedi flujo de estado pseudoestable para calcular A (Pasos 8 y 9 del caso 1). 3. Calcule la permeabilidad del tiempo de intersección de las dos líneas rectas y de la Ec. 8.75. Calcule el valor de (t*ΔP’)r de la Ec. 8.66, entones calcular el factor de daño de la Ec. 8.79 (Paso 10).

CASO 2 FRACTURA DE CONDUCTIVIDAD INFINITA16 A. Régimen de Flujo Lineal Si todas las tres líneas rectas usadas en el Caso 1, la línea de flujo lineal, línea de flujo radial de acción infinita y línea de flujo de estado pseudoestable, están disponibles, entonces el paso 11 del procedimiento usado para analizar una prueba de transiente de presión en una fractura de flujo uniforme es exactamente la misma que para una fractura de conductividad infinita. B. Régimen depruebas Flujo Birradial En muchas la porción de línea de flujo lineal de curva de la fractura de conductividad infinita es muy corta o inexistente, como se muestra en al Fig. 8.28 para relaciones xe/xf altas. Así solo las líneas birradial, de acción infinita, y de estado pseudoestable pueden ser observadas. En este caso el siguiente procedimiento es recomendado. Paso 1 - Grafique ΔP y (t*ΔP’) versus tiempo de prueba en una gráfica log-log, y trace las líneas rectas necesarias, por ejemplo la línea de flujo birradial de pendiente 0.36, la línea de acción infinita (horizontal) y la línea de flujo de estado pseudoestable de pendiente 1. Paso 2 – Igual que el Paso 2 del Caso 1. Paso 3 - Igual que el Paso 3 del Caso 1. Paso 4 - Igual que el Paso 8 del Caso 1. Paso 5 - Igual que el Paso 9 del Caso 1. Paso 6 – De la línea de flujo birradial (extrapolada si es necesario) leer el valor de BR1 a un tiempot = 1 hr. (Paso t*ΔP’) 7 – Calcule el término CBR de la Ec. 8.84, luego calcule la longitud media de fractura xf usando la Ec. 8.86.

454

Paso 8 – De la gráfica, determine el tiempo de intersección de la línea de flujo radial y la línea de flujo birradial,tRBRi, luego calculexf2/k de la Ec. 8.91. Paso 9 - Calcular xf2/k usando los valores de k y xf obtenidos en los Pasos 3 y 7, respectivamente. Si los Pasos 8 y 11 dan el mismo valor dexf2/k, entonces los valores de k y xf son correctos. Si éstos son diferentes, entonces traslade una o ambas líneas rectas (birradial y de acción infinita), y repetir los Pasos 2, 3, 6, 7, 8 y 9 hasta que los Pasos 8 y 9 den el mismo valor dexf2/k. Paso 10 – Igual al Paso 10 del Caso 1. Paso 11 – Igual al Paso 11 del Caso 1. C. Regímenes de Flujo Lineal y Birradial La Fig. 8.27 indica que paraxe/xf = 2, ambas líneas de flujo lineal y flujo birradial pueden observarse. En este caso, la escogencia del procedimiento depende de cual de las dos líneas está mejor definida. La Fig. 8.27 también muestra que para 1
(ΔP) r =507 psi (t*ΔP') L1=97 psi 100

i s p ', P Δ t* y P

(t*ΔP') r =105.5 psi t LRi = 1.2 hr

t r = 48 hr

Δ

10

1 0.01

0.1

1

10

100

Tiempo, hr

Fig. 8.29. Curvas de presión y derivada de presión

1000

455

Tabla 8.4. Datos de Presión t, hrs

0.010000 0.012023 0.014454 0.017378 0.020893 0.025119 0.030200 0.036308 0.043652 0.052481 0.063096 0.075858 0.091201 0.109648 0.131826 0.158489 0.190546

P, psi

t* P’,

5180.516 5178.636 5176.577 5174.322 5171.855 5169.160 5166.224 5163.033 5159.574 5155.836 5151.809 5147.480 5142.837 5137.868 5132.556 5126.883 5120.828

psi 9.23087 10.54014 11.72241 12.82671 14.01576 15.28467 16.62967 18.04506 19.52534 21.06790 22.67274 24.34180 26.08251 27.90302 29.81587 31.83841 33.98632

t, hrs

0.229087 0.275423 0.331131 0.398107 0.478630 0.575440 0.691831 0.831764 1.000000 1.202264 1.445440 1.737801 2.089296 2.511886 3.019952 3.630780 4.365158

P, psi

t* P’,

5114.365 5107.467 5100.102 5092.232 5083.817 5074.815 5065.183 5054.879 5043.873 5032.142 5019.680 5006.494 4992.606 4978.053 4962.879 4947.134 4930.874

psi 36.27736 38.73384 41.37633 44.22563 47.29661 50.59502 54.11097 57.81682 61.66244 65.58171 69.50258 73.34374 77.03471 80.51626 83.74402 86.69314 89.34966

t, hrs

P, psi

5.248075 4914.153 6.309573 4897.025 7.585776 4879.542 9.120109 4861.749 10.964780 4843.691 13.182570 4825.404 15.848930 4806.922 19.054610 4788.276 22.908680 4769.489 27.542290 4750.584 33.113110 4731.580 39.810720 4712.492 47.863010 4693.335 57.543990 4674.118 69.183100 4654.853 83.176380 4635.546 100.00000 4616.205

t* P’, psi

91.71316 93.79619 95.61336 97.18816 98.54471 99.70423 100.69316 101.53187 102.24115 102.84031 103.34314 103.76627 104.12099 104.41843 104.66756 108.80341 120.18258

EJEMPLO Los datos de presión dados en la tabla 8.4 corresponden a una prueba de declinación de presión en un pozo fracturado altamente productivo. La derivada de presión para esta prueba fue estimada mediante la Ec. 1.63 y sus datos se reportan en la tabla 8.4. Otros datos conocidos del yacimiento y el pozo son:

q = 2000 STB/D ct = 14.8x10-6 psi-1 rw = 0.4 ft

φ = 0.24 B = 1.5 bbl/STB Pi = 5200 psi

μ = 0.3 cp h = 50 ft

SOLUCION Paso 1 – La Fig. 8.29 muestra una grafica log-log deΔP y (t*ΔP’) versus tiempo. La curva de derivada de presión muestra la existencia de tres líneas rectas. La primera línea recta de pendiente 0.5 correspondientes al régimende flujo lineal. La pendiente de la segunda línea recta es aproximadamente 0.36. Así, esta fractura altamente conductiva puede tratarse como si tuviera conductividad infinita. La tercera línea recta es horizontal y corresponde al régimen de flujo radial de acción infinita. El pozo no fue probado por bastante tiempo para observar la línea de estado pseudoestable. La Fig. 8.29 muestra donde esta línea se ubicaría si el pozo hubiera sido probado por más tiempo y por lo tanto xe = 660 ft. Puesto que la línea

456

correspondiente al régimen de flujo de estado pseudoestable no es observada, el procedimiento presentado en el Caso 2 es modificado como sigue:

Paso 2 – De la línea (horizontal) de flujo radial de acción infinita en la Fig. 8.29: (t*ΔP’)r =105.5 psi Paso 3 – Calcular la permeabilidad de la Ec. 8.66.

k=

70.6qμ B 70.6(2000)(0.3)(1.5) = = 12 md h(*t ΔP ')r 50(105.5)

Paso 4 – De la línea del régimen de flujo lineal de pendiente 0.5 a un tiempo t = 1 hr: (t*ΔP’)L1 = 97 psi Paso 5 - Calcule la ol ngitud media de fractura de la Ec. 8.61.

xf =

2.032qB μ 2.032(2000)(1.5) 0.3 = = 105.4 ft h ( t * ΔP ' ) L1 φ ct k 50(97) 0.24(14.8 × 10−6 )(12)

Paso 6 – Seleccione cualquier tiempo convenientetr durante el periodo de flujo radial de acción infinita y lea el valor correspondiente de ΔP: tr = 48 hrs (ΔP)r = 507 psi Paso 7 - Calcular el factor de daño de la Ec. 8.79.

⎡ 507 ⎤ ⎛ ⎞ 12 ⋅ 48 s = 0.5⎢⎣105.5 − ln⎜⎝ (0.24)(0.3)(14.8 × 10− 6 )(0.4)2 ⎟⎠ + 7.43⎥⎦ = −4.85 Paso 8 - Verificación a) Calcule la relación xf2/k usando el valor de k y xf en los pasos 3 y 5, respectivamente.

x 2f 105.42 = = 927.5 ft 2 /md k 12 b) Calcule la relaciónxf2/k de la Ec. 8.73, dondetLRi = 1.2 hr (de la Fig. 8.29):

x 2f 1.2 t LRi = = = 933f t 2 /m d k 1207φμ ct 1207(0.24)(0.3)(14.8 × 10−6 ) 2

Puesto que de losk,dos dexf /k son aproximadamente iguales, se puede concluir que los valores xf yvalores s son correctos.

457

8.10. TIAB’S DIRECT SYNTHESIS TECHNIQUE PARA POZOS CON FRACTURAS DE CONDUCTIVIDAD FINITA8-17 Esta sección amplia la Tiab’s Direct Synthesis Technique para interpretación del comportamiento de los datos de presión y derivada de presión de un pozo interceptado por una fractura hidráulica de conductividad finita. En esta técnica son analizados gráficos log-log de datos de presión y derivada de presión de una prueba de declinación o restauración de presión sin usar ajustes con curvas tipo o procedimientos de regresión. Un gráfico log-log de presión y derivada de presión versus tiempo de prueba para un pozo fracturado en un sistema cerrado puede revelar la presencia de varias líneas rectas correspondientes a diferentes regímenes de flujo; flujo bilineal, flujo lineal, flujo radial de acción infinita, y flujo de estado pseudoestable. Las pendientes y puntos de intersección de estas líneas rectas son únicos y por lo tanto pueden ser usados para calcular varios parámetros de pozo, yacimiento y fractura: permeabilidad, factor de daño, coeficiente de almacenamiento, conductividad de la fractura, longitud media de la fractura y área de drene. Se encontró que las ecuaciones correspondientes a los puntos de intersección son muy útiles en el chequeo de parámetros obtenidos de las pendientes, cuando la curva de derivada de presión no es suavizada. Se deriva una nueva ecuación para calcular (a) longitud media de fractura en la ausencia de una línea recta de régimen de flujo lineal de pendiente 0.5 tal como en el caso de fractura de baja conductividad, (b) conductividad de la fractura en la ausencia de la línea de flujo bilineal de pendiente 0.25, y (c)enfactor la ausencia tal como el casodededaño una en prueba corta. de la línea de flujo radial de acción infinita Cinco-Ley y otros5 presentaron una técnica para la interpretación de datos de transiente de presión para pozos interceptados por una fractura vertical de conductividad finita. Ellos demostraron que si la conductividad de la fractura adimensional, CfD, es menor que 300, tal como en fracturas muy largas y fracturas de muy baja capacidad, pues la conductividad de la fractura no puede ser considerada infinita. Cinco-Ley y Samaniego4 desarrollaron un método para analizar datos de presión a tiempos tempranos para un pozo con una fractura de conductividad finita. Este método está basado en el régimen de flujo bilineal, el cual está caracterizado por una línea recta de pendiente 0.25 en un gráfico log-log de caída de presión versus tiempo. Este periodo de flujo está presente cuando elflujo lineal dentro de al fractura y el flujo lineal dentro de la la formación ocurren simultáneamente. La formación de la línea de flujo lineal de pendiente = 0.5 es observada después del flujo bilineal. Wong y otros18 presentaron curvas tipo para presión y derivada de presión para el análisis de datos de transiente de presión para pozos con fractura de conductividad finita. Ellos desarrollaron un método de ajuste con curvas tipo para casos con almacenamiento y sin efectos de daño.

458

8.10.1. Características de Fracturas de Conductividad Finita Considere un pozo fracturado verticalmente produciendo de una formación horizontal, homogénea e isotrópica. La permeabilidad es constante, el espesor es uniforme, y la fractura tiene la misma longitud en ambos lados del pozo. La teoría general y las ecuaciones del comportamiento de la presión para un pozo fracturado bajo condiciones de flujo bilineal tal como fueron presentadas por Cinco-Ley y Samaniego4 y Wong y otros18 se aplican aquí. Asumiendo que eldepozo fracturado produciendo para observarson el comportamiento acción infinita,está y que los efectospor de largo daño tiempo y almacenamiento dominantes, entonces el gráfico log-log de datos de presión y derivada de presión versus tiempo producirá características únicas, las cuales puede ser usadas para analizar pruebas de transiente de presión medianteTiab’s Direct Synthesis Technique. La Fig. 8.30 muestra un gráfico log-log de presión adimensional y derivada de presión versus tiempo adimensional para varios valores de conductividad de fractura, para efectos de esfuerzos despreciables, y sin efectos de daño y almacenamiento. El efecto del daño y el almacenamiento en tal gráfica se muestran el la Fig. 8.31. De estas figuras se pueden identificar varias características únicas. Estas son: (1) La línea de pendiente unitaria correspondiente al almacenamiento, (2) La línea de flujo bilineal de pendiente 0.25, (3) La línea de flujo lineal de pendiente 0.5, y (4) La línea horizontal a tiempos tardíos que corresponde al régimen de flujo radial.

8.10.2. Régimen de Flujo Bilineal Cinco-Ley y Samaniego fueron los primeros en discutir las características de este régimen de flujo. Es llamado flujo “bilineal” debido a que es el resultado de dos regímenes de flujo lineal. Un régimen de flujo es el flujo lineal incompresible de la fractura y el otro régimen de flujo es el flujo lineal compresible en la formación, como se muestra en la Fig. 8.20. Ellos mostraron matemáticamente que el flujo bilineal existe siempre que: (a) La mayoría del fluido que entra a la cara del pozo viene de la formación, y (b) Los efectos de la fractura no afectan el comportamiento del pozo. Durante el régimen de flujo bilineal mostrado en la Fig. 8.22, el comportamiento de la presión adimensional del pozo está dado por:

⎛ 2.451 ⎞ 0.25 ⎟t P =⎜ ⎜ C fD ⎟ Dxf ⎝ ⎠ D

(8.100)

Combinando las Ecs. 8.100, 8.36, 8.37 y 8.39 y despejando el cambio de presión del pozo, ΔP, se tiene:

459

ΔP = mBLt 0.25

mBL =

(8.101)

44.13 ⎛⎜ qμB ⎞⎟ (φμct k )0.25 ⎜⎝ h k f w f ⎟⎠

(8.102)

El subíndice “BL” representa el término bilineal. Tomando el logaritmo de ambos lados de la Ec. 8.101 se tiene: log ΔP = 0.25 log t + log mBL

(8.103)

Esta expresión indica que un gráfico deΔP versus tiempo en una gráfica log-log producirá una porción de línea recta de pendiente 0.25, si el régimen de flujo bilineal es dominante tal como en fracturas de conductividad finita con capacidad de almacenamiento adimensional pequeña, por ejemploCfD < 300. Sea (ΔP)BL1 el valor de ΔP a un tiempo t = 1 hora en la línea recta de flujo bilineal (extrapolada si es necesario), entonces la Ec. 8.103 se vuelve:

1.E+01

Inicio aproximado del flujo p seudoradial

1.E+00

CfD 0.1 0.5 1.0 5.0 10.0 25.0 50.0 100.0 500.0

D '

*P f x D

t 1.E-01 y

D

P

Fractura de conductividad infinita

1.E-02

Fin del regimen de flujo bilineal 1.E-03 1.E-07

1.E-06

1.E-05

1.E-04

1.E-03

1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

t Dxf

Fig. 8.30. Curvas tipo de presión y derivada de presión para pozos fracturados verticalmente18

460

1.E+03

CD=10000 1.E+02

CD=2000 CD=500

' 1.E+01

CD=20

D

P y D

P

1.E+00

CD=0

CD=200 CD=1000

CD=5000

1.E-01

1.E-02 1.E-02

1.E-01

1.E+00

1.E+01

1.E+02

1.E+03

1.E+04

1.E+05

Tiempo adimensional

Fig. 8.31. Curvas tipo de presión y derivada de presión para pozos fracturados verticalmente1 (ΔP) BL1 = mBL

(8.104)

Combinado las Ecs. 8.102 y 8.104 y resolviendo para la conductividad de la fractura, por ejemplo kfwf, se tiene:

k f w f = 1947.46

1 ⎛ qμB ⎞ ⎜ ⎟ φμct k ⎜⎝ h(ΔP ) BL1 ⎟⎠

2

(8.105)

La conductividad de la fractura también se puede determinar de la línea recta de la derivada de la presión correspondiente al régimen de flujo bilineal. La derivada adimensional de la presión en el pozo durante ese régimen es:

⎛ 0.6127 ⎞ 0.25 ⎟⋅t t Dxf * P'D = ⎜ ⎜ k fD w fD ⎟ Dxf ⎝ ⎠

(8.106)

Sustituyendo por selostiene: parámetros adimensionales y resolviendo para la derivada de presión del pozo,

461

t * ΔP' = 0.25mBL ⋅ t 0.25

(8.107)

Tomando el logaritmo de ambos lados de estas ecuaciones, da: log(t * ΔP' ) = 0.25 ⋅ log t + log(0.25mBL )

(8.108)

Esta expresión también muestra que un gráfico log-log de t(*ΔP’) versus tiempo producirá una línea recta de pendiente 0.25 si el flujo bilineal es dominante. Sea (t*ΔP’)BL1 el valor de (t*ΔP’) a un tiempo t=1 hr en la línea recta de flujo bilineal (extrapolada si es necesario) entonces la Ec. 8.108 se convierte en: (t * ΔP' ) BL1 = 0.25mBL

(8.109)

Comparando las Ecs. 8.104 y 8.109, dadas a un tiempot=1 hr: (t * ΔP' ) BL1 = 0.25(ΔP) BL1

(8.110)

La conductividad de la fractura de conductividad finita de la línea de derivada de presión es obtenida reemplazando (t*ΔP’)BL1 en la Ec. 8.105 con 4(t*ΔP’)BL1, así:

k f wf =

⎞ 121.74 ⎛ qμB ⎜⎜ ⎟ φμct k ⎝ h(t * ΔP ' ) BL1 ⎟⎠

2

(8.111)

La Ec 8.111 muy importante debido a: (a) EstaEsta relaciona las funciones de es presión y derivada en de muchos presión aspectos, en un punto único, y (b) puede ser usada para propósitos de verificación. Generalmente, las condiciones de cercanía a la cara del pozo afectan la curva de derivada de presión mucho más que la curva de presión durante el flujo bilineal, haciendo esto difícil localizar la línea de pendiente ¼. En tal caso, estime la conductividad de la fractura de la línea de flujo bilineal de la curva de presión, usando la Ec. 8.105 Entonces, estime t(*ΔP')BL1 de la Ec. 8.110 y dibuje una línea recta de pendiente 0.25 a través de este punto.

8.10.3. Flujo Bilineal y Almacenamiento Si la línea recta de pendiente unitaria, que corresponde al régimen de flujo del almacenamiento está presente (lo cual no es muy común que ocurra), entonces el coeficiente de almacenamiento se puede determinar de las ecuaciones usuales por ejemplo de la curva de presión:

462

qB t C = ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ 24 ⎠ ΔP

(8.112)

o de la curva derivada de presión:

qB t C = ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ 24 ⎠ t * ΔP '

(8.113)

Las coordenadas del punto de intersección de las líneas dependiente unitaria y flujo bilineal en la curva de presión pueden ser obtenidas por la combinación de la Ec. 8.101 y 8.112:

qB ⎞ mBLt 0.25 = ⎛⎜ ⎟t 24 ⎝ C⎠

(8.114)

Reemplazando t por tUSBLi se tiene:

⎛ Cm ⎞ tUSBLi = 24 4 / 3 ⎜⎜ BL ⎟⎟ ⎝ qB ⎠

4/3

(8.115)

En el punto de intersección, en la curva de presión: ( ΔP )USBLi = mBL (tUSBLi ) 0.25

(8.116)

Las coordenadas del punto de intersección de las líneas de pendiente unitaria y flujo bilineal en la curva de derivada se pueden obtener combinando las Ecs. 8.107 y 8.113; por ejemplo:

qB ⎞ 0.25mBLt 0.25 = ⎛⎜ ⎟t ⎝ 24c ⎠

(8.117)

Reemplazando t por t'USBLi se tiene:

⎛ cm ⎞ t 'USBLi = 6 4 / 3 ⎜ BL ⎟ ⎝ qB ⎠

4/3

(8.118)

y; (t * ΔP ' )USBLi = 0.25mBL (t 'USBLi ) 0.25

(8.119)

463

Las coordenadas de los puntos de intersección en las curvas deΔP y t*ΔP' son relacionadas a continuación:

tUSBLi = 44 / 3 t 'USBLi

(8.120)

(ΔP)USBLi = 4(t * ΔP' )USBLi

(8.121)

Estas dos expresiones son muy útiles para propósitos deverificación.

8.10.4. Interrelaciones entre el Flujo Bilineal y Lineal Si el régimen de flujo lineal en la formación es observado después de la línea de flujo bilineal, tal como para CfD > 300, entonces las ecuaciones desarrolladas por Tiab para los casos de fractura de conductividad infinita y fractura de flujo uniforme se pueden usar para determinar la longitud de fractura. Brevemente, las ecuaciones descritas para el régimen de flujo lineal son8,17:

ΔP = mL t

(8.122)

(t * ΔP ' ) = 0.5mL t

(8.123)

Donde:

⎛ qB ⎞ mL = 4.064⎜⎝ h ⎟⎠

μ φ ct kx 2f

(8.124)

Tomando el logaritmo de ambos lados de la Ec. 8.122 y resolviendo para la longitud media de la fractura xf a un tiempo t = 1 hr se tiene:

⎛ qB ⎞ ⎟⎟ x f = 4.064⎜⎜ ⎝ h(ΔP )L1 ⎠

μ φ ct k

(8.125)

Donde (ΔP)L1 es el valor de ΔP a un tiempo t=1 hora en la porción de línea recta de pendiente 0.5 (extrapolada si es necesario). La longitud de fractura se puede determinar de la curva de derivada reemplazando Δ( P)L1, en la Ec. 8.50 por 2(t*ΔP’)L1, después de un tiempo t = 1 hora: (t * ΔP' ) L1 = 0.5(ΔP) L1

(8.126)

(a) Las coordenadas del punto de intersección de las líneas en la curva deΔP se pueden obtener combinado las Ecs. 8.101 y 8.122:

464

mBL t 0.25 = mLt 0.5

(8.127)

Reemplazando t por tBLLi, donde el subíndice “BLLi” representa la intersección de las líneas bilineal y de flujo lineal, se tiene:

⎛m ⎞ t BLLi = ⎜ BLLi ⎟ ⎝ mL ⎠

4

(8.128)

(ΔP) BLLi = mL t BLLi o;

(8.129)

( ΔP ) BLLi = mBL (t BLLi )0.25

(8.130)

Sustituyendo por mBL (Ec. 8.102) y mL (Ec. 8.124) en la Ec. 8.128 se tiene:

⎛ x2 k ⎞ tBLLi = 13910φμct ⎜ f ⎟ ⎜ k f wf ⎟ ⎝ ⎠

(8.131)

Resolviendo explícitamente parak se tiene: 2

⎛ k f wf ⎞ t BLLi k = ⎜ x 2f ⎟ 13910 φ μct ⎝ ⎠

(8.132)

Las Ecs. 8.131 y 8.132 se pueden usar para propósitos de verificación, si todos los tres regímenes de flujo son observados. Si la prueba es muy corta para observar la línea de flujo radial, o una prueba pre-frac no es posible tal como en la formación de baja permeabilidad, entonces la Ec. 8.132 puede ser usada para calcular la permeabilidad de la formación. Se puede derivar una relación útil para diseñar, y con propósitos de verificación, combinando la conductividad adimensional de la fractura Ec. 8.37 y Ec. 8.128.

t BLLi = 13910

⎛ x 2f ⎞ ⎜ ⎟ k ⎜⎝ c fD ⎟⎠

φμct

2

(8.133)

(b) Usando una aproximación similar, las coordenadas del punto de intersección de las líneas rectas bilineal y lineal en la curva de derivada, se tiene:

465

4

4

⎛m ⎞ 1 ⎛m ⎞ t 'BLLi = ⎜⎜ BL ⎟⎟ = ⎜⎜ BL ⎟⎟ ⎝ 2mL ⎠ 16 ⎝ mL ⎠ (t * ΔP ' ) BLLi = 0.5mL (t 'BLLi ) 0.5

(8.134) (8.135)

o; (t * ΔP ' ) BLLi = 0.25mBL ⋅ (t 'BLLi ) 0.25

(8.136)

Una relación entre tBLLi y t'BLLi puede ser derivada combinando las Ecs. 8.123 y 8.125:

tBLLi = 16t ' BLLi

(8.137)

Combinando las Ecs. 8.130 y 8.136 se tiene: (ΔP) BLLi = 4(t * ΔP' ) BLLi

(8.138)

Así, es posible “ubicar” las líneas rectas correspondientes a los dos regímenes de flujo de la curva de derivada de presión a partir de la curva de presión, aún cuando los datos de derivada de presión son extremadamente ruidosos.

8.10.5. Interrelación entre el Flujo Bilineal y Radial La porción de derivada presión correspondiente a flujo la línea flujopor: radial de acción infinita es una línea rectadehorizontal. Este régimen de estádedado (t * ΔP ') r =

70.6 qμ B kh

(8.139)

El subíndice r representa el flujo radial. La permeabilidad de la formación es por lo tanto:

k=

70.6q μ B h(t * ΔP ') r

(8.140)

donde (t*ΔP’)r es obtenido por extrapolación de la líneahorizontal al eje vertical. La línea del flujo radial puede también ser usada para calcular el factor de daño de:

s = 0.5 ⎜⎛ (t *ΔΔPPr ') − ln ⎢⎡φμkctrr 2 ⎥⎤ + 7.43 ⎟⎞ r ⎣ t w⎦ ⎝ ⎠

(8.141)

466

Donde tr es cualquier tiempo conveniente durante el régimen de flujo radial de acción infinita (como el indicado por la línea horizontal en la curva de derivada de presión) y (ΔP)r es el valor de ΔP en la curva de presión correspondiente atr. La coordenada de tiempo del punto de intersección de la líneas bilineal y radial se puede determinar de una combinación de las Ecs. 8.102 y 8.107: 0.25mBLt 0.25 = 0.25 t RBLi =

70.6qμB kh

(8.142)

70.6qμB 4 kh mBL

(8.143)

Sustituyendo por mBL de la Ec. 8.102 se tiene:

t RBLi = 1677

φμct

k3

(k f w f )2

(8.144)

Esta expresión preferiblemente debe ser usada para propósitos de verificación.

8.10.6. Relaciones entre Birradial y Bilineal Las coordenadas del punto de intersección de las líneas de flujo bilineal y birradial en la curva de presión se pueden obtener combinado la Ec. 8.107 y 8.83: 0.11 tBLBRi =

0.25mBL ⎛⎞ x 0.7699CBR ⎜⎜⎟⎟ e ⎝⎠x f

0.72

=

1.197k 0.39 (φμct k )0.11 x 0.72 f

⎛⎞ x ⎜⎜⎟⎟k f w f e x f ⎝⎠

0.72

(8.144.a)

La conductividad de la fractura o la longitud de la fractura pueden ser obtenidas de la Ec. 8.144.a.

CASOS ESPECIALES El análisis anterior asume que todos los tres regímenes de flujo (bilineal, lineal de formación y radial) son observados durante la prueba de presión y que éstos están bien definidos en la curva de derivada de presión. En muchas instancias, al menos uno de los regímenes de flujo no es observado o no está definido. Note que el flujo lineal de fractura no es discutido aquí, puesto que es prácticamente imposible observar este régimen de flujo debido al fenómeno de la cara del pozo.

467

(a) Flujo Lineal de la Formación no es Observado. Para una fractura de baja conductividad, la línea recta correspondiente al régimen de flujo lineal probablemente no será observada. Después de la línea de flujo bilineal, la curva de derivada de presión generalmente entra a un flujo de transición. Después, si la prueba es corrida por un tiempo largo, se observa una línea horizontal en la curva de derivada de presión correspondiente al régimen de flujo radial de acción infinita. En este caso, la permeabilidad de la formación es calculada de la Ec. 8.140 y la conductividad de la fractura es determinada de la línea de flujo bilineal (Ecs. 8.105 o 8.111). En la literatura, en la ausencia de flujo lineal de la formación, la longitud media de la fractura se mediante cexpresión relacionan ladelongitud media fractura, xf, determina permeabilidad de launaformación, k, que conductividad la fractura, wfkdef, la y 4 factores de daño de post-frac, Cinco-Ley y Samaniego :

xf =

1.92173 1 3.31739k − r 'w wf k f

(8.145)

donde r’w es el radio efectivo del pozo:

r 'w = rwe − s

(8.146)

Para una fractura que pose una conductividad muy alta, el término (31739 k/wfkf) se aproxima a cero, como se espera, el radio adimensional efectivo del pozorw’/xf se aproxima a 0.5. La Ec. 8.145 es derivada por generación, similarmente aCinco-Ley 4

f para y Samaniegode , una curva como muestra la relación rw’/x8.37, la conductividad adimensional la fractura la definida por la Ec. y entonces se obtiene la mejor relación que represente la curva mediante un análisis de regresión multivariable (r2=0.999). Combinando la Ecs. 8.145 y 8.146 se tiene:

xf =

1.92173 e s 3.31739k − rw wf k f

(8.147)

Conociendo la conductividad de la fractura w ( fkf) del flujo bilineal, y la permeabilidad de formación (k) y daño (s) del flujo radial, la Ec. 8.147 se puede usar para calcular la longitud media de fractura (xf). Esta ecuación es muy sensible a los valores de daño (debido al término exponencial).

(b) Flujo Bilineal no es Observado. Si la línea de flujo bilineal de pendiente 0.25 no está bien definida o no se observa debido al fenómeno de cara del pozo, entonces la conductividad de la fractura w ( fkf) se puede calcular de:

468

wf k f =

3.31739 k e s 1.92173 − rw xf

(8.148)

donde la permeabilidad de la formación es determinada de la Ec. 8.140 (si un pre-frac no es posible) y daño post-frac de la Ec. 8.141. La ongitud l media de la fractura es obtenida de la Ec. 8.125.

(c) No se Observa el Flujo Radial. Para pruebas cortas tales como en formaciones de baja permeabilidad, la línea recta horizontal en la derivada de presión, que corresponde al comportamiento de acción infinita podría no ser observado durante el periodo limitado de tiempo de una prueba convencional de declinación o restauración de presión. En este caso, la Ec. 8.141 no puede ser usada para calcular el factor de daño post-frac. Si el flujo lineal de la formación y el bilineal están bien definidos en las curvas de derivada de presión y presión, entonces la permeabilidad de la formación es calculada de la Ec. 8.132 (asumiendo que no hubo prueba pre-frac), mientras que el factor de daño post-frac es obtenido de7:

⎡ ⎛ 1.92173 3.31739k ⎞⎤ ⎟⎥ s = ln ⎢rw ⎜⎜ − w f k f ⎟⎠⎦⎥ ⎣⎢ ⎝ x f

(8.149)

El factor de daño post-frac puede también ser calculado mediante el método gráfico sugerido por Cinco-Ley y otros5, ajuste de curvas tipo, o de la siguiente ecuación7:

s = ln

rw 1.65 − 0.32u + 0.11u 2 + x f 1 + 0.18u + 0.064u 2 + 0.005u 3

(8.150)

y;

⎛w k u = ln ⎜⎜ f f ⎝ xf k

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

(8.151)

Es importante enfatizar que valores exactos dek, xf, y wfkf solo pueden obtenerse cuando, respectivamente, los regímenes de flujo radial, lineal de la formación y bilineal están bien definidos en las curvas de presión y derivada de presión. En ausencia de cualquiera de los tres regímenes, las Ecs. 8.145 – 8.149 son de gran exactitud (con error menor al 1 %) para determinar estos parámetros.

8.10.7. Procedimiento Sistemático El fracturamiento hidráulico tiene un efecto definido sobre el comportamiento del transiente de presión. Es importante por lo tanto estimar la respuesta completa de la

469

presión esperada usando propiedades de yacimiento asumidas y medidas, o con el más pequeño factor clave estimado en al respuesta de la prueba. El diseño de la prueba es crítico ya que muchos aspectos pueden enmascarar la respuesta buscada, o puede causar una respuesta errónea debida simplemente a que se parece al comportamiento esperado. Es conveniente tomar datos de presión a intervalos cortos mientras el almacenamiento sea importante para definir mejor la porción afectada por almacenamiento de la curva de derivada de presión. Debido a que los efectos del almacenamiento pueden enmascarar los regímenes de flujoseabilineal y lineal de la formación (lo cual hacer que prueba de presión no interpretable), puede ser necesario idearpuede una prueba que laminimice o elimine los efectos del almacenamiento. Los mejores resultados son obtenidos cuando el pozo es cerrado en la cara de la arena y la presión de fondo del pozo se registra continuamente durante una prueba transiente. Aunque la presión de superficie frecuentemente puede ser convertida a valores de profundidad del pozo si la información adecuada acerca del sistema del pozo está disponible, es probable que esta conversión resultara en un efecto de ruido adicional en los valores de derivada de presión.

CASO 1 – CASO IDEAL (TODOS LOS 3 REGIMENES DE FLUJO SON OBSERVADOS) El siguiente procedimiento paso a paso es para el caso donde todas la líneas rectas correspondientes a varios regímenes de flujo de una fractura de conductividad finita están bien definidas. Grafique el cambio de presión ΔP y los valores de derivada de presión 1 -versus (Paso t*ΔP’) el tiempo de prueba. Paso 2 – Identifique y trace las líneas rectas correspondientes al almacenamiento (pendiente = 1), flujo bilineal (pendiente = 0.25), flujo lineal de la formación (pendiente = 0.5), y flujo radial de acción infinita (línea horizontal). Paso 3 – Calcule el coeficiente de almacenamiento de la Ec. 8.112, si la pendiente unitaria está bien definida. Paso 4 - Calcule la permeabilidad de formación, k, de la línea de flujo radial de acción infinita en la curva de derivada de presión, usando la Ec. 8.132. Paso 5 – Lea el valor de ΔP y (t*ΔP’) a un tiempo t =1 hr de la línea de flujo bilineal (extrapolada si es necesario), y calcular la conductividad de la fracturakf(wf) de las Ecs. 8.105 y 8.111. Si los valores de tiempo temprano de los valores de derivada de presión están distorsionados con ruido, entonces usar la Ec. 8.110 para “ubicar” la línea de pendiente de ¼ en la curva t(*ΔP’). Las Ecs. 8.105 y 8.111 de por sí producirán el mismo valor de (kfwf). Paso 6 - Calcule el tiempo de intersección de la líneas de flujo bilineal y radial 8.144,calculado y comparar con el tiempo de intersección observado en la gráfica tusando losEc.valores y observado detRBLi son aproximadamente iguales, se RBLi. Si la puede concluir que los valores calculados de la permeabilidad de la formación, k, y la

470

conductividad de la fractura,kfwf, son correctos. Si éstos son diferentes, ajuste una de las dos líneas rectas o ambas y recalculek y kfwf hasta que los dos valores de tRBLi sean iguales. Paso 7 – Calcule el factor de daño de la Ec. 8.141. Paso 8 - Calcule la longitud media de la fractura de la Ec. 8.125. Verifique este valor de xf calculando tBLLi de la Ec. 8.131 y entonces compararlo con el valor observado de tBLLi. Si estos dos valores de tBBLi son aproximadamente iguales se puede concluir que xf es correcto. Si los dos valores de tBLLi son diferentes trasladar la línea de ½ pendiente hasta que el tBLLi observado y calculado sean iguales. - Calculeque la el conductividad adimensional de la fractura C( fD) en de el la valor Ec. 8.28. Se Paso 9observar puede índice de productividad máximo ( PI) ocurre óptimo de CfD = 1.6, para cualquier formación, pozo, y material de sostén. Aunque el fCD óptimo puede no ser técnicamente o económicamente posible, si la Ec. 8.37 produce un CfD que es muy diferente de 1.6 es importante buscarlo por una razón. Generalmente, en yacimientos de baja permeabilidad,CfD=1.6 indica una larga y angosta fractura; en yacimientos de alta permeabilidad, este valor deCfD puede indicar una fractura corta y ancha.

CASO 2 FRACTURA DE CONDUCTIVIDAD BAJA (NO SE OBSERVA LA LÍNEA DE FLUJO LINEAL) Para una fractura de baja conductividad, el régimen de flujo lineal de la formación probablemente será de muy corta duración para que esté bien definido, haciendo difícil trazar la línea de pendiente ½, o no será observada del todo. Pasos 1 - 7: Igual al caso ideal. Paso 8: Calcule la longitud Paso 9: Igual al caso ideal. media de la fractura de la Ec. 8.147.

CASO 3 - FRACTURA DE CONDUCTIVIDAD INTERMEDIA Una prueba de presión en un pozo con una fractura de conductividad intermedia producirá todos los tres regímenes de flujo (bilineal, lineal de la formación y radial). Sin embargo, si el efecto de almacenamiento y/o ruido en los datos de presión a tiempos tempranos son severos, entonces se dificultará dibujar la línea de pendiente 1/4. Pasos 1-4: Igual al caso ideal. Paso 5: Calcule la longitud media de la fractura de la Ec. 8.125. Paso 6: Seleccione cualquier tiempo conveniente tr durante la porción radial de acción infinita de las curvas de presión y derivada de presión, y lea los valores correspondientes de (ΔP)r y ( t*ΔP’)r. Luego, calcule el factor de daño (s) de la Ec. 8.141. Paso 7: Estime la conductividad de la fractura k( w ) de la Ec. 8.148. f f Paso 8: Igual que el paso 9 del caso ideal.

471

CASO 4 - PRUEBAS CORTAS POST-FRAC Para yacimientos de baja permeabilidad, la porción de la curva correspondiente al comportamiento de acción infinita radial puede no ser observado. Luego un procedimiento de ensayo y error podría ser empleado. Pasos 1-3: Igual que el caso ideal. Paso 4: El valor de permeabilidad se determina de una prueba pre-frac. Paso 5: Calcule la conductividad de la fractura k(fwf) como se discutió en el paso 5 del caso ideal.

Paso ideal. 6: Calcule la longitud media de fractura x( f) como se discutió en el paso 8 del caso Paso 7: Calcule el daño a partir de la Ec. 8.149. Paso 8: Igual al paso 9 del caso ideal. Opcionalmente, puesto que se conoce la permeabilidad, t(*ΔP’)r se puede despejar de la Ec. 8.140 y la línea de flujo radial puedetrazarse en el gráfico de laderivada. Use la intersección de esta línea con los regímenes de flujo de la fractura para determinar la conductividad y longitud media de la fractura. 1000

ΔPr = 471psi

ΔPBL1 =160 psi

i s

(*t ΔP ') r = 150 psi

',p

ΔPL1 =120 psi

P

Δ 100

*t

Flujo radial

y P

(t * ΔP ') BL1 =40 psi

Δ

t BLLi = 1 hr Flujo Bilineal

tr = 30 hr

Flujo Lineal

10 0.1

1

10

100

t, hr

Fig. 8.32. Presión y derivada de presión para el ejemplo del caso 1

EJEMPLO (Caso ideal – todos los 3 regímenes de flujo son observados) La tabla 8.5 muestra datos de restauración de presión después de un tratamiento de fracturamiento hidráulico de un pozo de petróleo. La derivada de presión fue

472

calculada usando la Ec. 1.63 con un valor aproximado de 0.5. Otras características son dadas a continuación.

q = 101 STB/D ct = 17.7x10-6 psi-1 rw = 0.28 ft t, hrs 0.23 0.39 0.6 1 1.8 2.4 3.8 4.1 4.96 6.2 8.5 10

φ=

0.08 μ = 0.45 cp B = 1.507 bbl/STB h = 42 ft tp = 2000 hrs Pi = 2200 psi Tabla 8.5. Datos de presión para el caso 1

P, psi t* P', psi t, hrs 102 115 130 145 183 195 260 265 280 308 320 345

26.3 30 35.8 40.8 57.2 67 83.3 69.2 96.9 102.3 103.3 149

1520 25 30 35 40 45 50 55 60 65 71

P, psi t* P', psi 390 423 446 471 493 510 526 540 556 565 580 583

117 112 120 141 136.5 132 135 150 137.5 144 121.1

SOLUCION Los resultados del tratamiento se determinan usando el siguiente procedimiento paso a paso: Paso 1 - La Fig. 8.32 es una gráfica del cambio de presión ΔP y valores de derivada de presión (t*ΔP’) versus tiempo de prueba. Paso 2 – Las líneas rectas bilineal (pendiente = 0.25), lineal (pendiente = 0.5), y radial (horizontal) fueron identificadas. Paso 3 - No se observa efectos de almacenamiento (no hay línea recta con pendiente =1). Por lo tanto el coeficiente de almacenamiento no puedeser calculado. Paso 4 - De la curva de derivada depresión, (t*ΔP’)r = 150 psi. Usando la Ec. 8.140, la permeabilidad de la formación es:

k=

70.6qμ B (70.6)(101)(0.45)(1.507) = = 0.76 md h(t * ΔP ')r (42)(150)

Paso 5 – De la Fig. 8.32 el valor de ΔP y (t*ΔP’) a t = 1 hr de la línea de flujo bilineal respectivamente son (t*ΔP’)L1 = 160 psi y (ΔP)L1 = 40 psi. La conductividad de la fractura, kfwf, se calcula con las Ecs. 8.105 y 8.111 es:

473

2

k f wf =

⎛ (101)(0.45)(1.507) ⎞ 1947.46 ⎜ ⎟ = 290.7 md-ft (42)(160) (0.08)(0.45)(17.7 × 10−6 )(0.76) ⎝ ⎠

k f wf =

⎛ (101)(0.45)(1.507) ⎞ 121.74 ⎜ ⎟ = 290.77 md-ft (42)(40) (0.08)(0.45)(17.7 ×10−6 )(0.76) ⎝ ⎠

2

Las Ecs. 8.105 y 8.111 producirán un valor bastante cercano dekfwf. – El tiempo calculado de intersección del flujo bilineal y radial es obtenido de Paso la Ec.68.144:

t RBLi = 1677

(0.08)(0.45)(17.7 × 10−6 ) (310.8)2 = 235 hrs (0.76)3

La cual baja en el rango del tiempo de intersección observadotRBLi en la Fig. 8.32. Por lo tanto, se puede concluir que los valores calculados de permeabilidad de formación, k, y conductividad de la fractura,kfwf, son correctos.

Paso 7 – Lea tr=30 horas, el tiempo seleccionado durante laporción radial de acción infinita de las curvas de presión y derivada de presión. Los valores correspondientes de (ΔP) y (t*ΔP’) son (t*ΔP’)r = 150 psi y (ΔP)r = 471 psi. Luego, de la Ec. 8.141, el factor de daño es: ⎤ ⎛ ⎞ 1 ⎡ 471 (0.76)(30) s = 2−⎢⎣ 150 ln ⎜⎝ (0.08)(0.45)(17.7 ×−10+−=6 )(0.282 ) ⎟⎠ 7.43⎥⎦

4.68

Paso 8 – La longitud media de fractura es calculada de la Ec. 8.125, donde a un tiempo t = 1 hr, (ΔP)L1 = 120 psi. ⎛ (101)(1.507) ⎞ 0.45 x f = 4.064 ⎜ ⎟ (0.08)(17.7 × 10−6 )(0.76) = 79 ft (42)(120) ⎝ ⎠ De la Ec. 8.131, la coordenada de tiempo del punto de intersección de las líneas rectas lineal y bilineal es: 2

⎛ 792 0.76 ⎞ t BLLi = 13910(0.08)(0.45)(17.7 ×10−6 ) ⎜⎜ ⎟⎟ = 1.48hr ⎝ 290.7 ⎠ Este valor calculado detBLLi es aproximadamente igual al valor observadotBLLi = 1 hr. Así, se puede concluir quexf es correcto.

474

Note que existe cierto ruido en los datos de derivada de presión correspondientes al flujo lineal de la formación. Por tanto, se tendría que usar la Ec. 8.147 para calcular xf:

xf =

1.92173 1.92173 = = 79ft es 3.31739k e−4.6844 3.31739(0.76) − − rw wf k f 0.28 290.7

Las Ecs. 8.125 y 8.147 producen un valor similar de longitud de fracturaxf. La diferencia puede deberse a una selección inapropiada de los puntos característicos.

Paso 9 – La conductividad de fractura adimensionales es:

C fD =

wf k f 290.7 = = 4.8 x f k 79(0.76)

EJEMPLO (No se observa flujo lineal en la formación) La tabla 8.6 muestra datos de restauración de presión después de un tratamiento de fracturamiento a un pozo. Los parámetros de yacimiento y del fluido son mostrados a continuación. Tabla 8.6. Datos de presión para el caso 2

t, hr 0.1 0.2 0.35 0.49 0.74 0.99 1.23 1.48 1.97 2.47 2.96 3.95 4.94 5.92 91.8

P, psi t* P', psi 73.94 46.14 92.29 30.21 107.65 32.2 119.17 36.65 134.52 38.92 145.47 40.1 154.43 43.65 162.82 45.07 174.76 46.44 186.14 52.09 195.67 55.68 213.02 61.26 226.38 61.99 237.76 73.04 550.03 164.59

t, hr 9.87 11.85 13.82 15.79 17.77 19.74 22.7 32.58 37.51 42.45 47.38 57.25 67.13 72.09 86.87

P, psi t* P', psi 277.43 84.22 293.93 91.25 307.86 94.25 320.8 91.6 330.76 93.46 341.57 102.16 355.5 105.1 398.73 122.05 415.65 132.4 433.57 147.38 449.92 149.26 474.66 151.15 501.11 152.32 513.2 156.62 538.65 157.81

475

q = 1736 STB/D ct = 26.7x10-6 psi-1 rw = 0.23 ft

φ=

0.08 B = 1.62 bbl/STB tp = 2000 hrs

μ=

0.27 cp h = 152 ft Pi = 2392 psi

SOLUCION 1000

ΔPr = 550 psi

ΔPBL1 =160 psi

i s p ',

(*t ΔP ') r = 160 psi

P 100 Δ

t*

Flujo radial

y

(t * ΔP ') BL1 =40 psi

P Δ

Flujo Bilineal

tr = 90 hr 10 0.1

1

10

100

t, hr

Fig. 8.33. Puntos de caída de presión y derivada de presión para el ejemplo del caso 2 Los resultados del tratamiento son determinados usando un procedimiento paso a paso:

Paso 1 - La Fig. 8.33 muestra un gráfico de ΔP y valores de ( t*ΔP’) versus el tiempo de prueba. Paso 2 – Las líneas rectas bilineal (pendiente = 0.25), y radial (horizontal) fueron identificadas. Paso 3 – Los efectos del almacenamiento no fueron observados (no hay línea recta con pendiente = 1). Por lo tanto el coeficiente de almacenamiento no puede calcularse. Paso 4 – De la curva de derivada de presión, t(*ΔP’)r=160 psi. La permeabilidad es calculada de la Ec. 8.140:

k=

70.6qμ B (70.6)(1736)(0.27)(1.62) = = 2.2 md h(*t ΔP ')r (152)(160)

Paso 5 – De la Fig. 8.33, el valor de ΔP y (t*ΔP’) a t=1 hr de la línea de flujo bilineal respectivamente son (t*ΔP’)BL1 = 40 psi y (ΔP)BL1 = 160 psi. La conductividad de la fractura (kfwf) es calculada de las Ecs. 8.105 y 8.111:

476

2

k f wf =

⎛ (1736)(0.27)(1.62) ⎞ 1947.46 = 1685.4 md-ft ⎜ (152)(160) ⎟⎠ (0.08)(0.27)(26.7 ×10−6 )(2.2) ⎝

k f wf =

⎛ (1736)(0.27)(1.62) ⎞ 121.74 ⎜ ⎟ = 1685.7 md-ft −6 (152)(40) (0.08)(0.27)(26.7 ×10 )(2.2) ⎝ ⎠

2

Las Ecs. 8.105 y 8.111 producen prácticamente el mismo valor dekfwf.

Paso 6 – El tiempo calculado de intersección de flujo bilineal y radial se obtiene de la Ec. 8.144:

t RBLi = 1677

(0.08)(0.27)(25.7 ×10−6 ) (1685) 2 = 248.2 hr (2.2)3

La cual es muy cercana al tiempo de intersección observadotRBLi de la Fig. 8.33. Por lo tanto, se puede concluir que los valores calculados de la permeabilidad de la formación (k) y la conductividad de la fractura k( fwf), son correctos.

Paso 7 – Tome tr = 90 hrs como el tiempo seleccionado durante la porción radial de acción infinita de las curvas de presión y derivada de presión Δ(P) y (t*ΔP’) son (t*ΔP’)r = 160 psi y (ΔP)r = 550 psi. Luego, de la Ec. 8.141, el factor de daño es: ⎤ ⎞ 1 ⎡ 550 ⎛ (2.2)(90) s = 2 ⎢⎣160 − ln⎜⎝ (0.08)(0.27)(26.7 ×10−6 )(0.232 ) ⎟⎠ + 7.43⎥⎦ = −5.86

Paso 8 – La longitud media de fractura es calculada de la Ec. 8.147:

xf =

1.92173 1.92173 = = 238.3 ft es 3.31739k e−5.86 3.31739(2.2) − − rw wf k f 0.23 1685

El factor de daño puede ser calculado de la Ec. 8.151:

⎛ 1685 ⎞ ⎟⎟ = 1.1675 u = ln⎜⎜ ⎝ (238.3)(2.2) ⎠ 0 .23 1.65 − 0.32(1.1675) + 0.11(1.1675) 2 s = ln 238.3 + 1 + 0.18(1.1675 ) + 0.064(1.1675) 2 + 0.005(1.1675) 3 = −5.84

477

El factor de daño anterior tiene una diferencia de 0.34 % comparado con el valor obtenido previamente en el paso 7. Esto también verifica la exactitud de al Tiab’s Direct Síntesis Technique. Adicionalmente, de la Ec. 8.149;

⎧ 1.92173 3.31739(2.2) ⎞ ⎫ s = ln ⎨0.3 ⎛⎜ + − = ⎟⎬ 1685 ⎠⎭ ⎩ ⎝ 283.3

5.86

Paso 9 – La conductividad de fractura adimensional es:

C fD = w f k f = 1685 = 3.21 x f k ( 238.3)(2.2) EJEMPLO (No se observa el flujo bilineal) La tabla 8.7 proporciona datos de restauración de presión después de un tratamiento de fracturamiento a un pozo. Los parámetros de yacimiento yfluido son mostrados a continuación:

q = 1343.34 STB/D ct = 30.36x10-6 psi-1 rw = 0.23 ft

φ=

0.09 B = 1.782 bbl/STB tp = 2500 hr

μ=

0.208 cp h = 150 ft Pi = 2366.49 psi

SOLUCION Paso 1 - La Fig. 8.34 muestra una gráfica de ΔP y valores de (t*ΔP’) versus tiempo de prueba. Paso 2 – Las líneas rectas lineal de formación (pendiente = 0.5), y radial (horizontal) fueron identificadas. Paso 3 – Los efectos del almacenamiento no fueron observados (no hay línea recta con pendiente = 1). Por lo tanto el coeficiente de almacenamiento no puede calcularse. Paso 4 – De la curva de derivada de presión, t(*ΔP’)r =195 psi. La permeabilidad de la formación es calculada de la Ec. 8.140:

k=

70.6qμ B (70.6)(1343.34)(0.208)(1.782) = = 1.2 md h(t * ΔP ')r (150)(195)

Paso 5 – De la Fig. 8.34, el valor deΔP y (t*ΔP’) a t=1 hr de la línea de flujo lineal respectivamente son (t*ΔP’)L1 = 44 psi y (ΔP)L1 = 150 psi. La longitud media de fractura es calculada de la Ec. 8.125:

478

⎛ 1343.54(1.782) ⎞ 0.208 x f = 4.064 ⎜ ⎟ (0.09)(30.36 × 10−6 )(1.2) = 108.9 ft (150)(150) ⎝ ⎠ Tabla 8.7. Datos de presión para el caso 3

t, hr 0.00 0.09 0.19 0.38 0.86 1.35 1.84 2.32 3.29 4.26 5.24 6.21 9.12 12.03 14.95

P, psi 2366.49 2477.83 2525.47 2560.88 2606.24 2633.69 2652.17 2666.25 2691.99 2715.88 2735.50 2753.70 2797.78 2829.78 2858.09

t* P', psi t, hr 17.86 42.947 22.72 61.689 27.57 52.580 32.43 64.004 37.28 62.758 42.14 61.401 47.00 64.754 51.85 84.149 56.71 94.770 61.56 101.617 66.42 104.906 71.27 118.470 76.13 124.277 80.99 148.446 85.84 90.70

P, psi 2887.51 2928.61 2965.86 2994.87 3021.46 3043.51 3062.56 3081.33 3096.55 3112.19 3125.55 3138.35 3151.15 3160.68 3168.93 3179.45

t* P', psi 165.339 183.183 187.292 185.602 186.193 177.831 182.965 181.163 179.999 182.089 182.473 180.398 169.881 166.090 171.498 187.917

479

1000

ΔPr = 599.37 psi

(*t ΔP ')r = 195 psi

i s p ',

ΔPL1 =150 psi

P

Δ 100

t*

Flujo radial

y P Δ

Flujo Lineal

(t * ΔP ') L1 =44 psi

tr = 27.57 hr 10 0.01

0.1

1

10

100

t, hr

Fig. 8.34. Presión y derivada de presión para el ejemplo del caso 2

Paso 6 – Tome tr = 27.57 hrs como el tiempo seleccionado durante la porción radial de acción infinita de las curvas de presión y derivada de presión. Los valores correspondientes de ΔP y (t*ΔP’) son (t*ΔP’)r = 195 psi y (ΔP)r = 599.37 psi. Entonces, de la Ec. 8.141, el factor de daño es: ⎤ ⎞ 1 ⎡599.37 ⎛ (1.2)(27.57) s= ⎢ − ln⎜⎜ ⎟ + 7.43⎥= −5.16 −6 2 ⎟ 2 ⎣ 195 ( 0 . 09 )( 0 . 208 )( 30 . 36 10 )( 0 . 23 ) × ⎝ ⎠ ⎦ Paso 7 – La conductividad de la fractura se calcula usando la Ec. 8.148:

wf k f =

3.31739k = e s 1.92173 − rw xf

3.31739(1.2) = − 543.7 md ft e−5.16 1.92173 − 0.23 108.9

Paso 8 – La conductividad adimensional de la fractura es:

C fD =

k f wf kx

f

=

543.7

= 4.16

1.2(108.9)

EJEMPLO (Prueba corta- Línea de flujo radial no es observada)

480

Una prueba de restauración de presión pre-frac en un pozo de petróleo produjok = 12.4 md. La tabla 8.8 proporciona los datos de restauración de presión después de que el pozo fue fracturado hidráulicamente. Los parámetros de yacimiento y fluido son los siguientes:

q = 411.98 STB/D ct = 101x10-6 psi-1 rw = 0.689 ft

φ = 0.2

B = 1.258 bbl/STB tp = 3000 hrs

μ=

0.53 cp h = 21 ft Pi = 479.61 psi

SOLUCION Los resultados del tratamiento se determinan usando el siguiente procedimiento paso a paso: Paso 1 - La Fig. 8.35 muestra una gráfica de ΔP y valores de (t*ΔP’) versus tiempo de prueba. Paso 2 – Se identificaron las líneas bilineal (pendiente=0.25) y lineal (pendiente= 0.5). Paso 3 – No se observó el efecto del almacenamiento. Por lo tanto el coeficiente de almacenamiento no puede calcularse. Paso 4 – El valor de permeabilidad es conocido de la prueba pre-frac,k = 12.4 md. Tabla 8.8. Datos de presión para el caso 4

t, hr

P, psi t* P', psi t, hr

0.017 27.45 0.019 42.39 0.082 48.5 0.28 56.18 0.33 61.87 0.78 63.72 1.08 72.11 1.78 76.38 2.78 86.34

26.62 24.98 5.19 10.50 9.67 10.91 13.18 15.36 22.58

3.78 4.78 5.78 7.78 9.78 11.78 13.78 17.78 19.78

P, psi t* P', psi 93.59 99.56 104.26 113.36 121.04 126.87 131.85 142.66 146.07

24.83 26.54 28.48 30.28 33.23 34.99 35.50 38.36 40.54

481

1000

ΔPBL1 =72 psi

i 100 s p ,' P

ΔPL1 =37.2 psi

*Δ t

Flujo Lineal

y P Δ

10

Flujo Bilineal

(*t ΔP ') BL1 =18 psi

1 0.01

0.1

1

10

100

t, hr

Fig. 8.35. Puntos de caída de presión y derivada de presión para el ejemplo del caso 2

Paso 5 – De la Fig. 8.35, los valores de ΔP y ( t*ΔP') a t=1 hr de la línea de flujo bilineal respectivamente son (t*ΔP’)BL1 = 18 psi y (ΔP)BL1 = 72 psi. La conductividad de la fractura se calcula usando las Ecs. 8.105 y 8.111: 2

k f wf =

1947.46 ⎜⎛ (411.98)(0.53)(1.258) ⎟⎞ = 5578.35 md-ft (21)(72) (0.2)(0.53)(101×10−6 )(12.4) ⎝ ⎠

k f wf =

⎛ (411.98)(0.53)(1.258) ⎞ 121.74 ⎜ ⎟ = 5579.44 md-ft (21)(18) (0.2)(0.53)(101×10−6 )(12.4) ⎝ ⎠

2

Las Ecs. 8.105 y 8.111 dieron un valor similar dekfwf.

Paso 6: De la Fig. 8.35, (ΔP)L1 = 37.2 psi. Luego, la longitud media de la fractura se estima con la Ec. 8.125: ⎛ 411.98(1.258) ⎞ 0.53 x f = 4.064 ⎜ = 124.02 ft ⎟ −6 ⎝ (21)(37.2) ⎠ (0.2)(101× 10 )(12.4) La Ec. 8.131 se usa para calcular las coordenadas del punto de intersección de la línea recta de pendiente ½ y de la línea recta de pendiente 1/4:

482

⎛ 124.022 ⎞ t BLLi = 13910(0.2)(0.53)(101 × × 10 10 = −6 )(12.4) ⎜ ⎟ ⎝ 5578.9 ⎠

2

14h r

El valor calculado anteriormente corresponde al punto de intersección observado entre las líneas rectas en la Fig. 8.35.

Paso 7 – Calcular el factor de daño de la Ec. 8.149:

s = ln ⎡⎢0.689⎛⎜ 1124 .92173 .02 − 3.31739 5578(.12 9 .4) ⎞⎟⎠ ⎤⎥⎦ = −5.18 ⎝ ⎣ Paso 8 – La conductividad adimensional de la fractura es:

C fD =

k f wf 5578.9 = = 3.62 kx f 12.4(124.02)

Las siguientes observaciones son muy importantes para el análisis de datos de presión para pozos fracturados de conductividad finita. 1. Las líneas rectas correspondientes a los regímenes de flujo se pueden usar para calcular permeabilidad, longitud media de fractura, y conductividad de la fractura sin usar ajuste con curvas tipo o técnica de análisis de regresión. 2. Los puntos de intersección de las tres líneas rectas preferiblemente deben ser usadas para verificar los valores de los parámetros obtenidos de las pendientes. 3. del Parapunto pruebas cortas, la permeabilidad puede calcular de la coordenada de tiempo de intersección de las líneas se lineal y bilineal. 4. Una nueva ecuación es presentada para calcular (a) La longitud media de fractura en la ausencia de la línea recta del régimen de flujo lineal de pendiente 0.5 tal como en el caso de una fractura de baja conductividad, (b) La conductividad de la fractura en la ausencia de la línea de flujo bilineal de pendiente 0.25, y (c) El factor de daño post-frac en la ausencia de la línea de flujo radial de acción infinita tal como en el caso de una prueba corta.

8.11. ESTIMACION DE LA CONDUCTIVIDAD DE LA FRACTURA Una vez la longitud de la fractura y el daño se conocen, la conductividad adimensional de la fractura puede estimarse mediante la correlación gráfica proporcionada en la Fig. 8.36 o por el siguiente juego de ecuaciones obtenidos de la 7

figura en mención :

483

⎛x ⎞ x = s + ln⎜⎜ f ⎟⎟; 0.67 ≤ x ≤ 2.8 ⎝ rw ⎠ ⎛ 0.59222806 − 1.77955x + 0.86571983x 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 1 − 1 . 5944514 x + 0 . 010112 x ⎠ C fD = 10⎝

(8.152)

(8.153)

2.5

2.0

) w r /f 1.5 x ( ln + s 1.0

0.5

0.0 0.1

1

10

C Df =

kfw

100

1000

k xf

7 Fig. 8.36. Efecto del daño con la conductividad de la fractura

Tabla 8.9. Datos de presión y derivada de presión para el problema propuesto t, hr

P, psi

0.0011 0.0015 0.0020 0.0027 0.0036 0.0049 0.0066 0.0089 0.0121

36.33 39.17 42.23 45.53 49.09 52.92 57.04 61.49 66.27

t* P', psi 9.10 10.09 10.86 11.66 12.27 13.22 14.17 15.28 16.50

t, hr 0.136 0.183 0.248 0.335 0.453 0.613 0.829 1.12 1.52

P, psi t* P', psi 120.76 30.68 130.40 33.57 140.96 36.89 152.59 40.75 165.46 45.21 179.78 50.37 195.76 56.31 213.65 63.09 233.72 70.79

t, hr

P, psi

t* P', psi

22.96 561.67 31.05 616.61 41.99 673.93 56.79 733.39 76.81 794.74 103.89 857.75 140.50 922.19 190.02 987.95 257.00 1055.56

176.92 185.62 193.08 199.76 205.66 210.84 215.76 222.38 235.69

484

0.0164 71.42 0.0221 76.97 0.0299 82.94 0.0405 89.37 0.0548 96.32 0.0741 103.81 0.100 111.94

17.75 19.12 20.55 22.14 23.95 25.94 28.16

2.05 2.77 3.75 5.07 6.86 9.28 12.55

256.25 281.55 309.93 341.72 377.23 416.80 460.73

79.45 89.15 99.89 111.70 124.56 138.47 152.83

347.58 470.09 546.70 635.79 739.39 859.88 1000

1127.60 264.43 1210.27 319.18 1258.60 359.45 1313.55 409.80 1376.73 471.27 1449.83 544.93 1534.69 632.06

PROBLEMA PROPUESTO Usando la TDST determine los parámetros de la fractura cuya prueba de declinación de presión se da en la tabla 8.9. Información adicional:

rw = 0.3 ft μ = 2 cp q = 700 BPD

h = 70 ft B = 1.42 bbl/STB Pi = 3850 psi

φ=8%

ct = 1.56x10-5 /psi

10000

1000

i s p , P t* y P

100

10

1 0.001

0.01

0.1

1

10

100

1000

t, hr

Fig. 8.37. Gráfico de presión y derivada de presión para problema propuesto

485

NOMENCLATURA

A Área de drenaje, acres a Factor de forma, ft -2 B Factor volumétrico del aceite, rb/STB b intervalo perforado bx ver Ec. 2.72 C Factor de almacenamiento, bbl/psi c1 Compresibilidad, Compresibilidad1/psi total de la matriz, psi -1 c2 Compresibilidadtotal de la fractura, psi -1 CA Factor de forma CBR Constante característica del flujo birradial CD Factor de almacenamiento adimensional cf Compresibilidad total de la fisura, conductividad de la fractura, md-ft CfD Conductividad adimensional de la fractura cft Compresibilidad total de la fractura, 1/psi cm Compresibilidad total de la matriz coe Compresibilidad efectiva del petróleo coema Compresibilidad efectiva de la matriz, psi -1 coef Compresibilidad efectiva del sistema de fractura, psi -1 co Compresibilidad del petróleo, 1/psi cr Compresibilidad bruta de la roca, 1/psi cw Compresibilidad del agua, 1/psi he Espesor ft Espesorde delformación, intervalo efectivo del yacimiento hf Espesor de la fractura, ft hm Dimensión del bloque de la matriz hp intervalo perforado hs Espesor de la capa de daño de interporosidad I0 Punto de intersección en el eje y de la gráfica t*P’ vs. 1/t k Permeabilidad horizontal o radial de la formación, md kr Permeabilidad horizontal o radial de la formación, md k1 Permeabilidad del sistema bloque-fractura, md kf Permeabilidad del sistema bloque-fractura, md kfi Permeabilidad intrínseca de la fisura kmi Permeabilidad intrínseca de la matriz kr Permeabilidad radial, md. ks Permeabilidad de la capa con daño de interporosidad kx Permeabilidad en la dirección x ky Permeabilidad en la dirección y m Pendiente m’ Pendiente del gráfico semilog de (t⋅P’) vs. 1/t

486

mp Máxima pendiente del gráfico cartesiano de ΔP vs. t mpss Pendiente del estado pseudoestable debida al alto contraste de movilidad, psi/hr mtr Pendiente del gráfico semilog en región de transición P Presión, psi P Presión estabilizada en el yacimiento después del cierre, psi P’ Derivada de presión, psi/hr PD Presión adimensional P’D Derivada de presión adimensional PDB Funciónadimensional de presión dederestauración P Presión fractura adimensional fD P%fD* ( s ) Transformada de Laplace de la presión de fisura adimensional Pfo Presión promedio en el sistema de fractura al momento del cierre Pi Presión inicial, psi P’m Derivada de presión máxima, psi PPR Relación entre presión adimensional y derivada de presión adimensional Ps Presión estática, psi Pwf Presión del pozo fluyendo, psi P%wD Solución Laplace para la presión de la cara del pozo Pwo Presión de fondo al momento del cierre Pws Presión de cierre de fondo, psi P1hr Valor de presión leído de la línea en el gráfico a un tiempo de flujo de 1 hora q Caudal de petróleo, BPD qaf Rata afterflow, BPD BPDexpresada en unidades de yacimiento, rb qo, qw Rata de flujo flujodel al pozo/petróleo, instante de cierre (barriles de yacimiento) r Radio, ft (distancia entre el pozo activo y el de observación) rD Radio adimensional re Radio de drenaje del pozo, radio externo del yacimiento, ft reD Radio adimensional de los limites del yacimiento, rD= reD = re/rw rs Radio del daño, ft rw Radio del pozo, ft S Saturación, fracción s Factor de daño, parámetro Laplace Parámetro Laplace Sm Factor de daño mecánico Sma Factor de daño de interporosidad St Capacidad de almacenamiento= φcth, ft/psi t Tiempo, hrs, tiempo de prueba

tDDA tDb

Tiempo Tiempo adimensional adimensionalcalculado basado enusando el área el deradio drenaje del yacimiento Tiempo adimensional de bloque

487

tDSR Tiempo adimensional reflejado a un tiempo en el que los efectos de almacenamiento se puede asumir despreciables o inicia la línea de acción infinita tDxf Tiempo adimensional referido a la longitud media de fractura tint Tiempo de intercepto tinf Punto de inflexión tL Tiempo de transición tLD Tiempo adimensional de transición tm Tiempo máximo, hrs Tiempo de producción antes del cierre, hrs, tp = tp1 + tp2 Ttpr Transmisibilidad = kh/ total μ, md-ft/cp tre Fin del flujo radial, hrs tx Tiempo al cual tiene lugar el valor pico, hr (t*ΔP’)x derivada del punto máximo (peak), psi Vma Volumen de la matriz de poro fino, bbl Vs Volumen del daño, bbl Vt Volumen total de fluido, bbl w, wf Ancho de fractura, in wc Ancho de los canales de las fisuras x Dirección x xE Lado largo del rectángulo (yacimiento cerrado) xf Longitud media de fractura, ft xw Ubicación del pozo a lo largo de la fractura y Dirección x yE Lado corto del rectángulo (yacimiento cerrado)

z

Factor de desviación del gas

SIMBOLOS GRIEGOS

Δ ΔP ΔP’ ΔPc ΔPD ΔP/q Δt Δ tC Δ tc Δ te Δtinf Δ tp λ φ

Cambio, caída Diferencia de presión, psi Cambio de la rata de presión con el tiempo (derivada de presión), psi Corrección de presión al inicio de la prueba, psi Amplitud del tiempo adimensional Amplitud en la prueba de pulso, psi-day/STB Tiempo de cierre total, hrs, intervalo de tiempo Periodo de pulso más periodo de cierre = pulso total Tiempo de corrección al inicio de la prueba, psi Tiempo de declinación equivalente Punto de inflexión semilog, hrs Periodo de pulso Parámetro de flujo de interporosidad Porosidad

488

φfb φmb μ ρ ω γ η τ

Porosidad de fisura gruesa Porosidad de matriz gruesa Viscosidad, cp Densidad, lbm/ft 3 Producto compresibilidad-porosidad de todo el sistema, coeficiente de almacenamiento adimensional Constante exponencial de Euler, 1.871 Factor de difusividad hidráulica Factor de tortuosidad

SUBINDICES

actual Real app Aparente Promedio avg bts Inicio de la tercer línea recta b2 Inicio del Segundo periodo de flujo radial BL Bilineal BLLi Intersección de las líneas de flujo bilineal y lineal BLRi Intersección de las líneas de flujo radial y bilineal BR Birradial BRBL Intersección de las líneas de flujo birradial y bilineal CB Fronteras paralelas cerradas D Cantidad adimensional DL Dual lineal DLPBi Intersección entre flujo dual lineal y flujo de pendiente -1/2 e1 Final del primer periodo de flujo radial ext extrapoladao corregida F punto de inflexión f Formación, fractura, fisura g Gas i Condiciones iniciales o intersección ideal Ideal inf Inflexión int Intersección L Lineal M Punto de ajuste m Matriz, propiedad intrínseca de la matriz, pendiente ma Matriz max Máximo min min,o m+f

Mínimo Mínimoverdadero observado Matriz + fisura

489

o Petróleo P Estado pseudoestabble Flujo radial, roca R,r r1 Tiempo temprano, periodo de flujo radial r2 Tiempo tardío, periodo de flujo radial PB Flujo parabólico PSS Flujo pseudo estable SS Flujo estable DLPSSi Intersección entre la línea de flujo pseudo estable y la línea de flujo LPSSi RPi RDLi RLi RPBi SS1 SS2 RSS1i DLSS1i PBSS1i RSS2i DLSS2i PBSS2i s sc SR s2r t US usi X

dual lineal entre la línea de flujo pseudo estable y la línea de flujo Intersección lineal Intersección entre la línea de flujo pseudo estable y la línea de flujo radial Intersección entre la línea de flujo radial y la línea de flujo dual lineal Intersección entre la línea de flujo radial y la línea de flujo lineal Intersección entre la línea de flujo radial y la línea de flujo de pendiente -1/2 Línea de pendiente -1 que se forma cuando se termina el flujo -1/2 y empieza el flujo estable cuando el yacimiento tiene ambas fronteras abiertas Línea de pendiente -1 que se forma cuando se termina el flujo -1/2 y empieza el flujo estable cuando el yacimiento tiene fronteras mixtas y el pozo se encuentra cerca de la frontera abierta al flujo Intersección entre la línea de flujo radial y la línea de pendiente -1 (SS1) Intersección entre la línea de flujo dual lineal y la línea de pendiente -1 (SS1) Intersección entre la línea de pendiente -1/2 y la línea de pendiente -1 (SS1) Intersección entre la línea de flujo radial y la línea de pendiente -1 (SS2) Intersección entre la línea de flujo dual lineal y la línea de pendiente -1 (SS2) Intersección entre la línea de pendiente -1/2 y la línea de pendiente -1 (SS2) Estático Condiciones estándar Inicio de la línea de flujo radial inicio de la segunda recta semilog Total Pendiente unitaria Punto de intersecciónde la pendiente unitaria Punto máximo en el almacenamiento

490

X1 X2 X3 x4 w wf x 1 2

Punto máximo que se presenta entre el flujo dual lineal y el flujo parabólico cunado el pozo se encuentra cerca de la frontera abierta Punto máximo que se presenta al finalizar el flujo parabólico y al comienzo de la línea de flujo estable cuando el yacimiento tienen fronteras mixtas y el pozo está cerca al frontera abierta Punto máximo que se presenta cuando se termina la línea de flujo lineal comienza la línea de flujo estable. Cuando el yacimiento tiene fronteras mixtas y el pozo está cerca de la frontera cerrada Punto máximo que se presenta cuando se termina las líneas de flujo lineal dual pozo, líneal agua y sigue el estado estable Cara delypozo, Condiciones fluyendo Máximo punto o pico Propiedad de la región interna, tiempo es 1 hora Propiedad de la región externa

491

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