LB Maquinas Asincronas

Miguel Ocharán P.

MAQUINAS MAQUINAS ASÍNCRONAS

MAQUINAS

Estados Estable y Dinámico

ASÍNCRONAS Estados Estable y Dinámico

Miguel Ocharán P.

Máquinas Asincronas - Estados Estable y Dinámico

MÁQUINAS ASINCRONAS ESTADOS ESTABLE Y DINÁMICO

M. Ocharán P.

ASAMBLEA NACIONAL DE RECTORES 2004 1

Miguel Ocharán P. a

© M. Ocharán P.

© Asamblea Nacional de Rectores Calle Aldabas Nº 337 - Urb. Las Gardenias - Surco Derechos Reservados ISBN:Nº 9972-9390-4-9 Hecho el Depósito Legal Registro Nº 150101-2004-8993 Tiraje: 1000 ejemplares Impreso en Perú - Printed in Peru Primera edición: enero de 2005

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“La presente obra obtuvo el segundo puesto en el área de Tecnologías en el I Concurso del Libro Universitario 2004, organizado por la Asamblea Nacional de Rectores, Lima, Perú”

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PRÓLOGO La presente edición recoge parte del esfuerzo desarrollado durante los años de estudios de la Maestría en Ingeniería Eléctrica y Doctorado en Energética del autor, en particular con relación a los trabajos de investigación sobre las máquinas asíncronas con rotor tipo jaula de ardilla, y trata de orientar y motivar al lector para el estudio de los regímenes especiales de dichas máquinas eléctricas. Entre los principales regímenes especiales que presentan los motores asíncronos tenemos los de arranque, inversión de giro, parada, etc., los mismos que son denominados regímenes dinámicos o regímenes transitorios. Son también parte de ellos sus procesos térmicos -estacionarios y dinámicos- asociados. Gracias al estudio de estos temas se puede realizar una óptima selección de sistemas de arranque, optimizar el consumo de energía y mejorar el comportamiento de la máquina en diversas aplicaciones, con el fin de obtener un máximo de eficiencia. Evidentemente, para lograr este propósito, es necesario estar familiarizado con las nociones básicas de las máquinas asíncronas; y el primer objetivo al escribir este libro- pensando en los estudiantes de pregrado en ingeniería eléctrica y especialidades afines-, es brindarles una aproximación a las máquinas eléctricas de inducción denominadas máquinas asíncronas, en particular al «motor asíncrono». El segundo objetivo esta orientado a alentar y de alguna manera transmitir nuestras experiencias e investigaciones a los estudiantes y profesores de posgrado en ingeniería, buscando contribuir en la exploración e investigación de los problemas relacionados con el funcionamiento en general de las máquinas eléctricas. Elaborar un libro a partir de un trabajo de investigación, aún en desarrollo, y propender que dicho libro sea útil para la formación académica universitaria y técnica es, para los no expertos, como es nuestro caso, una tarea sumamente engorrosa y desconocida, sin embargo, no menos gratificante y aleccionadora. Saludamos la iniciativa de la Asamblea Nacional de Rectores, al incentivar la escritura de este tipo de trabajos, lo que con seguridad contribuirá al desarrollo científico y tecnológico del país. El presente libro consta de dos partes y siete capítulos en total. La primera parte esta dedicada a centrar el objeto de la investigación subyacente asociada al libro. Esta parte consta de cinco capítulos. En el primer capítulo se desarrollan los conceptos fundamentales, la clasificación y la normatividad asociada al diseño y operación de las máquinas eléctricas en general. En el segundo capítulo se trata acerca de las generalidades de los procesos de transformación de energía en las máquinas eléctricas. 5


El tercer capítulo se centra en los aspectos relativos a las máquinas asíncronas propiamente dichas: sus nociones generales, la información necesaria para su diseño y construcción y los aspectos constructivos más relevantes. En el cuarto capítulo se aborda el problema de diseño del motor asíncrono, esto es a la determinación de sus parámetros, en particular de un motor asíncrono trifásico de media potencia, desarrollando una metodología sobre la base de un ejemplo de cálculo específico y que precisamente corresponde al objeto de nuestra investigación. El quinto capítulo está asociado al comportamiento de las máquinas asíncronas en régimen estable o estacionario. Hasta allí es un tratamiento cuasi convencional del tema. La segunda parte del libro consta de los dos últimos capítulos. El capítulo seis que trata sobre los fenómenos térmicos asociados a las máquinas eléctricas, en el que se desarrolla toda una metodología para el cálculo y en donde, otra vez, en el cálculo ejemplarizador se utiliza el motor objeto del estudio. Finalmente el capítulo siete, en el que se enfocan los conceptos relativos al estudio de los regímenes de alta complejidad o procesos transitorios en accionamientos asíncronos, los principios básicos para modelar matemáticamente al motor asíncrono, los métodos numéricos de solución de ecuaciones diferenciales, y notas del proceso experimental del motor asíncrono, en sus diferentes formas de comportamiento, sobre la base de los programas computacionales (adjuntos en medio magnético) desarrollados por el autor en sus trabajos de investigación;complementariamente se proponen un conjunto de preguntas para el lector las cuales sirven como cuestionario de evaluación práctica del tema central desarrollado. Es necesario recalcar que no se pretende cubrir in extenso y exhaustivamente el tema de las máquinas asíncronas en el presente libro, en particular en lo contenido en la primera parte; pues, como sabemos, existen numerosos textos de gran calidad y que más bien han sido nuestros referentes y guías permanentes y cuya información hemos sintetizado. El objetivo, a través de esta primera parte, es hacer una rápida revista sobre los tópicos más relevantes y preparar la información básica asociada al objeto de investigación. En lo que corresponde a la segunda parte, nuestra pretensión es divulgar un proceso de investigación aún en marcha. Finalmente quiero expresar mi gratitud a mis colaboradores, en especial a GVChO, FUM y MMA. El Autor

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CONTENIDO PARTE 1 1 LAS MAQUINAS ELECTRICAS 1.1 Definiciones fundamentales 1.2 Clasificación de las máquinas eléctricas 1.2.1 Clasificación General 1.2.2 Clasificación de las máquinas eléctricas de inducción rotatorias 1.3 Normas 1.3.1 Alcances 1.3.2 Entidades y Normas tomadas como referencia 1.3.3 Generalidades 1.3.4 Protección ambiental y métodos de enfriamiento

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2 GENERALIDADES ACERCA DE LOS PROCESOS DE TRANSFORMACION DE ENERGIA EN LAS MAQUINAS ELECTRICAS 2.1 Procesos electromecanicos y electromagneticos 23 2.2 Campo magnetico 28 2.2.1 Campo magnético con variación periódico en el tiempo 28 2.2.2 Ecuaciones y características del campo electromagnético 29 2.2.3 Campo en el entrehierro 32 2.2.4 Campo magnético de inducción mutua 32 2.2.5 Campo fundamental y campo de dispersión 33 2.2.6 Longitud calculada del circuito magnético 34 2.2.7 Inductancias 34 2.3 METODOS FINITOS PARA CAMPOS ELECTROMAGNETICOS 22 2.3.1 Definición del método 36 2.3.2 Construcción del elemento finito 36 2.3.3 Ecuación de Laplace 36 2.3.4 Ecuación de Poisson 37 2.3.5 Programación y estructuración de datos 37 2.3.6 Representación de campos electromagnéticos 38 2.3.7 Elementos triangulares para la ecuación esclar de Helmholtz 38 2.3.8 Formulación del problema de potencial con simetría de traslación 38 2.3.9 Formulación del problema de potencial con simetría axial 39 2.3.10 Solución numérica de ecuaciones de elementos finitos 39 2.3.11 Programa FEMM 39 2.4 Momento electromagnético de rotación 39 2.5 Transformación unidireccional de la energía 44 2.6 Pérdidas en los procesos de transformación 46

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2.6.1 Eficiencia 2.6.2 Pérdidas eléctricas 2.6.3 Pérdidas magnéticas 2.6.4 Pérdidas mecánicas 3 LAS MÁQUINAS ASÍNCRONAS 3.1 Nociones generales 3.2 Datos para el diseño y fabricación 3.3 Aspectos constructivos del motor con rotor cortocircuitado 3.3.1 Partes activas del estator 3.3.2 Partes activas del rotor 4 PARÁMETROS DE LA MÁQUINA ASÍNCRONA TRIFÁSICA 4.1 Eficiencia y factor de potencia 4.2 Tamaños principales 4.3 Partes activas del estator 4.4 Partes activas del rotor 4.5 Flujos de magnetización 4.6 Parámetros de la máquina 4.7 Pérdidas 5 LA MÁQUINA ASÍNCRONA EN ESTADO ESTABLE 5.1 Marcha en vacío 5.2 Régimen de carga 5.3 Características de carga y operación de la maquina asíncrona 5.4 Arranque 5.5 Regulación de la frecuencia de rotación 5.6 Efecto de expulsión de la corriente 6 CALCULOS TERMICOS EN MÁQUINAS ASÍNCRONAS 6.1 Sobrecalentamientos, cálculos térmicos y normas 6.2 Transmisión térmica en la máquina asíncrona cerrada 6.3 Conceptos básicos y leyes 6.4 Circuito térmico equivalente de la máquina asíncrona cerrada 6.5 Método de cálculo de circuito térmico equivalente 6.6 Método del cálculo térmico 6.7 Cálculo del circuito térmico equivalente 6.8 Consideraciones para el cálculo 6.9 Resultados del cálculo 7 LA MÁQUINA ASÍNCRONA EN ESTADO DINÁMICO 7.1 Procesos transitorios electromagnéticos 7.2 Generalidades acerca del modelo matemático en máquinas asíncronas 7.2.1 Modelo matemático del motor asíncrono trifásico con rotor cortocircuitado 8

46 48 48 51 53 54 55 55 56 59 59 64 74 77 82 87 91 92 94 95 97 98 103 105 109 112 114 117 128 130 131 137 138 138


7.2.2 Relación entre las inductancias propias e inductancias mutuas de los devanados y parámetros energéticos empleados en la teoría de la máquina asíncrona trifásica 7.2.3 Sentido físico de las fórmulas de conversión 7.2.4 Transformación de ecuaciones diferenciales de las máquinas asíncronas 7.3 Métodos numéricos para la solución del modelo matemático 7.3.1 Método de Runge Kutta 7.3.2 Método de aproximación polinomial 7.3.3 Solución de ecuaciones diferenciales rígidas. Método de Gir. 7.4 Programas RKGS y DVOGER 7.5 Cálculo térmico en estado dinámico 7.6 Programas computaciones 7.6.1 Introducción 7.6.2 Aplicación de los programas 7.6.3 Condiciones iniciales y datos de partida 7.6.4 Análisis y discusión de resultados 7.7 Procedimiento experimental para verificación del modelo 7.7.1 Objetivo 7.7.2 Secuencia de la experiencia 7.7.3 Recomendaciones para la realización de la experiencia 7.7.4 Cuestionario

144 148 154 162 163 165 170 171 174 178 178 179 180 181 182 182 182 183 185

BIBLIOGRAFÍA

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APENDICES

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MATERIAL MAGNETICO PROGRAMAS COMPUTACIONALES

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INTRODUCCIÓN Dentro de los problemas a resolver en el proceso del desarrollo industrial, tenemos el mejoramiento de los procesos tecnológicos y el incremento de la productividad de trabajo en la industria en general. En la solución de estos problemas juega un papel importante el accionamiento eléctrico automatizado. Uno de los elementos más importantes en la mayoría de las etapas de producción en diferentes especialidades en el país es el accionamiento eléctrico con motor asíncrono, el cual también se denomina accionamiento asíncrono o simplemente motor asíncrono. En los últimos años han aparecido trabajos de investigación acerca de procesos transitorios en acciónamientos asíncronos. Los temas de mayor atención en estos trabajos son los procesos electromagnéticos del motor asíncrono durante su arranque, inversión de giro y parada. A estos procesos los denominados procesos o regímenes de carácter dinámico. Estos regímenes son de alta complejidad, motivo por el cual, en la actualidad se continúan los estudios concernientes a estos temas, y es el motivo de nuestros trabajos de investigación y que da origen a este libro. Debido a la gran demanda de motores asíncronos para su utilización en los diferentes campos de la industria, surge la necesidad de analizar los fenómenos físicos que se tienen durante el funcionamiento de estas máquinas eléctricas. La descripción analítica de los procesos físicos en cualquier dispositivo diseñado por la tecnología ingenieril se denomina MODELO MATEMÁTICO. Para las máquinas eléctricas y transformadores, el modelo matemático se puede construir por medio de dos métodos: • Método de la teoría de campo. La base de este método son las ecuaciones diferenciales sobre la base de las ecuaciones diferenciales particulares de Maxwell o sus modificaciones. • Método de la teoría de circuitos; el cual está sobre la base de ecuaciones algebraicas o ecuaciones diferenciales simples. Las ecuaciones algebraicas describen sólo los regímenes estables (estacionarios, estáticos) de funcionamiento. En las ecuaciones de este tipo, para la máquina de corriente continua (MCC), se consideran las magnitudes de corriente continua, para las cuales la frecuencia en función del tiempo es igual a cero. Las ecuaciones algebraicas para transformadores y máquinas de corriente alterna (MCA) se escriben en forma de valores complejos de variables senoidales. Las ecuaciones diferenciales son más universales, aunque tengan una descripción más compleja tanto en los regímenes de funcionamiento estable como en el transitorio. Los transitorios son también conocidos como regímenes dinámicos o inestables, los cuales están rela-cionados con los procesos físicos que suceden en los transformadores y 11


máquinas eléctricas. Las ecuaciones diferenciales simples se escriben para valores instantáneos de las variables. Las curvas de éstas variables en función del tiempo son también llamadas oscilogramas. Las ecuaciones de circuitos de devanados se escriben sobre la base de las leyes de Kirchoff y de inducción electromagnética. A la malla de cada fase le corresponde su ecuación y junto con la ecuación diferencial de balance de momentos (ecuación del movimiento del rotor) se da forma al modelo matemático del dispositivo, que viene a ser un sistema de ecuaciones diferenciales. El método de solución más racional, efectivo y porque no decir único, se obtiene gracias al empleo de Máquinas Análogas Electrónicas MAE y de PC¢S.

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CAPITULO 1 LAS MAQUINAS ELECTRICAS

1.1

DEFINICIONES FUNDAMENTALES

Los dispositivos que realizan la transformación de la energía al producir movimientos mecánicos a partir de la dotación de energía eléctrica en sus bornes o al producir energía eléctrica a partir de imprimirle movimiento mecánico al dispositivo se llaman «máquinas eléctricas». En la actualidad una importante parte de la energía reservada en la naturaleza en diversas formas: química, nuclear, mareomotríz, eólica y solar, es transformada en energía eléctrica. La característica fundamental de este proceso de transformación consiste en que la energía eléctrica puede transmitirse a grandes distancias a bajo costo, con alta seguridad y fiabilidad, distribuirse entre los usuarios y de nuevo convertirse en energía en sus diversas formas: mecánica – sistemas de transporte, industriales, etc.- calorífica, química, radiante – equipos de iluminación artificial-, o en el impulso fundamental de los sistemas electrónicos que conforman la mayor parte de dispositivos que la vida moderna ofrece: sistemas de comunicación, como la televisión o la radiofonía, sistemas de computo e infinidad de aplicaciones en el uso doméstico. No obstante, todos los procesos de transformación contienen implícitamente sus propios inconvenientes tecnológicos y económicos, requiriéndose procesos de transformación intermedios o compuestos, donde la transformación de muchos tipos de energía natural en mecánica y luego a eléctrica juega un papel primordial. La maquina eléctrica destinada a transformar la energía mecánica en eléctrica se llama comúnmente «generador eléctrico». La maquina eléctrica destinada a la transformación de energía eléctrica en mecánica se llama «motor eléctrico». 13


Las máquinas eléctricas poseen el principio de reversibilidad de la transformación. Es decir, que en toda máquina eléctrica se puede realizar la transformación electromecánica en los dos sentidos posibles. Si se suministra energía mecánica al eje o árbol de una máquina eléctrica, ésta funcionará en régimen de generador de energía eléctrica. Si a la máquina se le suministra energía eléctrica en los bornes, su órgano móvil, denominado comúnmente árbol, realizará trabajo mecánico, generalmente de rotación. La máquina eléctrica es un sistema electromagnético que consta de circuitos magnéticos y eléctricos interrelacionados mutuamente. El circuito magnético asociado a cada máquina eléctrica está constituido por los circuitos magnéticos fijo y móvil. El circuito magnético fijo es el entrehierro o separación entre la parte estática (estator) y la parte móvil rotativa (rotor) de la máquina, y el conjunto de espiras que conforman el devanado estatórico. El circuito magnético móvil esta constituido por el devanado asociado a la parte móvil o giratoria de la máquina. Los circuitos magnéticos pueden desplazarse uno con respecto al otro. En las máquinas eléctricas la transformación electromecánica de la energía está basada en el fenómeno de la inducción electromagnética y está asociada a las fuerzas electromotrices (f.e.m.) inducidas, producto de la variación – normalmente periódica- del campo magnético. Esta variación periódica del campo magnético tiene lugar durante el desplazamiento mecánico de los devanados o de los elementos componentes del circuito magnético móvil. Las máquinas eléctricas, cuyo principio de funcionamiento está basado en la ley de inducción electromagnética se llaman máquinas de inducción. Un caso particular de la aplicación de este fenómeno es el llamado transformador eléctrico. Este tipo de dispositivo esta destinado a transformar la energía eléctrica con parámetros de unos valores dados (corriente, voltaje, frecuencia) en energía eléctrica con parámetros de otros valores, los mismos que guardan proporcionalidad al numero de espiras de los devanados componentes de los circuitos magnéticos asociados. Este tipo de convertidor inductivo es el más sencillo y de uso más difundido y por medio de él la corriente alterna de una tensión se transforma en corriente alterna de otro voltaje. En ésta máquina sus devanados y el circuito magnético son mutuamente inmóviles, y el proceso de la variación periódica del campo magnético, por el cual se inducen las fuerzas electromotrices en los devanados, se realiza eléctricamente.

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Por otra parte, los convertidores inductivos de energía eléctrica que poseen elementos móviles de llaman máquinas eléctricas rotatorias. Por ello, dado que su principio de funcionamiento y construcción en esencia no difieren de las maquinas eléctricas descritas y teniendo en cuenta el extenso significado del termino «maquina», se debe considerar que los transformadores y los convertidores electromecánicos como una variedad especial de maquinas eléctricas de inducción. Las máquinas eléctricas como convertidores de energía son los elementos más importantes de cualquier instalación energética o industrial. En la actualidad se usan cada vez más asociadas a sistemas de mando automático y regulación. Las máquinas eléctricas pueden operar con una red de corriente alterna o de corriente continua. En correspondencia con esto se dividen en máquinas eléctricas de corriente alterna y máquinas eléctricas de corriente continua.

1.2 CLASIFICACION DE LAS MAQUINAS ELECTRICAS 1.2.1 Clasificación General Existen muchas formas de clasificar las máquinas eléctricas, sea por su tipo de desplazamiento: estáticas o rotatorias, por su potencia: de gran potencia, mediana potencia o micro máquinas, por el tipo de suministro eléctrico asociado: corriente continua o corriente alterna, trifásicas o monofásicas, etc. Elegiremos la clasificación general más sencilla asociada a la destinación funcional de las máquinas eléctricas. Clasificación de las máquinas eléctricas según su destinación funcional Denominación Transformador Convertidor de corriente alterna en continua (rectificador) Convertidor estático de la corriente continua Máquina eléctrica corriente alterna Máquina eléctrica de corriente continua (de válvulas o de colector) Convertidor electromecánico de corriente alterna (o máquina eléctrica de doble alimentación)

Destinación funcional Transformación de la corriente alterna de una tensión en corriente alterna de otra tensión Transformación de la corriente alterna en continua (o transformación inversa) Transformación de la corriente continua de una tensión en corriente continua de otra tensión Transformación de la energía eléctrica de la corriente alterna en energía mecánica (o transformación inversa) Transformación de la energía eléctrica de corriente continua en energía mecánica (o transformación inversa) Transformación de la energía eléctrica de corriente alterna de frecuencia f1 en energía eléctrica de corriente alterna de frecuencia f2 = f1 y en energía mecánica (o transformación en cualquier otro sentido)

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1.2.2 Clasificación de las Máquinas Eléctricas de Inducción Rotatorias Para este tipo particular de máquinas eléctricas la clasificación obedece al tipo de desplazamiento y por la forma de sus partes móviles. Una máquina eléctrica inductiva rotatoria está constituida por dos partes principales: la parte inmóvil y la parte móvil. La parte inmóvil, conocida como el estator, consta del circuito magnético, de uno o varios devanados y de las piezas constructivas, dentro de las que se incluye la carcaza, mediante los cuales a todos los elementos del estator se les otorga una determinada posición en el espacio. La parte móvil está constituida por el circuito magnético asociado a dicha parte, uno o varios devanados y también por las piezas constructivas mediante las cuales se asegura el desplazamiento del rotor o parte móvil respecto al estator o parte inmóvil en determinada dirección. Los devanados móviles e inmóviles reciben alimentación eléctrica a las cuales ellos están conectados directamente o a través de transformadores de frecuencia. Para el acoplamiento del suministro de energía con los devanados móviles se utilizan contactos corredizos. El rotor o parte móvil de la maquina posee generalmente un solo grado de libertad de desplazamiento (el desplazamiento en los demás sentidos posibles se excluye con ayuda de las piezas de apoyo (bujes, cojinetes, rodamientos, etc.) de uno u otro tipo. Las maquinas más utilizadas son aquellas en las cuales la parte móvil gira variando su posición angular respecto a la parte inmóvil o estator. Estas máquinas se llaman giratorias o rotatorias Generalmente se emplean las máquinas giratorias en las cuales el rotor cilíndrico está dispuesto dentro del estator, que tiene la forma de un cilindro hueco, estas maquinas se llaman maquinas giratorias cilíndricas, o simplemente, maquinas giratorias. Existen una serie de casos particulares, que describiremos a continuación: a) Máquina con rotor exterior: con el fin de aumentar el momento de inercia de las partes giratorias, el rotor, que tiene la forma de un anillo, se dispone por fuera del estator. b) Máquinas giratorias frontales: es el tipo de maquina giratoria en la cual tanto el estator como el rotor tienen la forma de discos dirigidos uno hacia el otro por las superficies planas frontales.

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c) Máquinas lineales (planas o cilíndricas): son máquinas eléctricas de uso muy restringido en las cuales la parte móvil se desplaza progresivamente variando su posición lineal respecto al estator. En la máquina plana lineal los circuitos magnéticos móvil e inmóvil tienen la forma de paralelepípedos dirigidos uno hacia el otro por sus caras planas. En la máquina cilíndrica lineal el circuito magnético móvil de forma cilíndrica se desplaza en dirección axial por dentro del circuito magnético inmóvil de forma generalmente anular. d) Máquinas eléctricas oscilatorias: son máquinas giratorias o lineales en las cuales la parte móvil ejecuta movimientos oscilatorios. Una aplicación típica de la máquina lineal oscilatoria es en los relojes eléctricos. e) Los electro moto reductores, sobre la base del convertidor mecánico el cual es análogo al del transformador eléctrico de frecuencia que acopla la maquina electrica con la red. Tal dispositivo a menudo se intercala en la máquina de inducción formando con esta una sola máquina llamada comúnmente moto reductor. El convertidor mecánico más utilizado es el reductor de engranajes o el de platos (multiplicador) que sirve para reducir o aumentar la frecuencia de rotación del árbol del dispositivo moto reductor. Para transformar el movimiento giratorio en movimiento de avance se puede usar la transmisión por tornillo sin fin, el engranaje de cremallera o la transmisión por fricción. Para transformar el balanceo o las oscilaciones en movimiento giratorio o de avance se usan diversos tipos de mecanismos de trinquete.

1.3

NORMAS

1.3.1 Alcances En esta sección resumiremos la primera parte de la publicación MG 2-2001, de la National Electrical Manufacturers Association, relativa a las principales normas de selección, instalación y uso de las máquinas eléctricas rotativas, de modo tal que se prevea en forma práctica la seguridad de las personas y equipos. La publicación excluye los siguientes tipos de dispositivos a. Máquinas de Soldar b. El impulsores, frenos dinámicos, y las máquinas del tipo absorción. c. Las plantas eléctricas de alumbrado agrícola remotas o aisladas. d. El generador de velocidad variable para vagones de pasajeros del ferrocarril. 17


e. Los motores de vehículos, alternadores de vehículos, generadores, y los grupos electrógenos motores para uso en locomotoras, ferrocarril y vehículos. f. Los automotores, los generadores de vehículos y grupos electrógenos. g. Los grupos de motores, de generadores, de excitadores, y de generador motor o del excitador, de uso en transporte aéreo h. Los motores de juguete y los motores sincrónicos pequeños del tipo generalmente usado en muebles domésticos y cronómetros. i. Las características específicas adicionales requeridas en máquinas para el uso en posiciones arriesgadas (clasificado). Tales posiciones podrían estar en zonas explosivas o en áreas definidos en el Código Eléctrico Nacional (ANSI/NFPA 70), los Artículos 500 a través de 503. j. Las máquinas construidas para las especificaciones militares teniendo requisitos que están en conflicto con o pasan sobre la disposición de lo previsto en la publicación. k. Las partes de la máquina destindasa para la instalación de cercos herméticamente sellados. l. Los generadores de polos no salientes y sus excitadores. m. Los generadores mayores que 10,000 kVA, y sus excitadores conducidos por turbina hidráulica, incluyendo las unidades de generación reversible. n. Los condensadores síncronos, los convertidores de frecuencia, y los convertidores de fase. Dado que cualquier máquina puede ser instalada o manejada de tal modo que los peligros pueden ocurrir, la conformidad con la publicación por sí misma no asegura una instalación segura. Sin embargo, cuando una máquina satisface los requisitos expuestos en la publicación y está seleccionada correctamente con relación a la carga conectada y ambiente, y es instalada de conformidad con lo previsto en los códigos nacionales y adecuadas prácticas locales, los peligros para las personas y la propiedad se acortarán. 1.3.2. Entidades y Normas tomadas como referencias. En la publicación se hace referencia a las siguientes entidades y normas: American National Standards Institute (ANSI) 11 West 42nd street NewYork, NY 10036 18


ANSI/ASME B15.1-2000 Safety Standard for Mechanical Power Transmission Apparatus American Society for Testing and Materials (ASTM) 1916 Race Street Philadelphia, PA 19103 ASTM D149-81 Test Method for Dielectric Breakdown Voltage and Dielectric Strength of Solid Electrical Insulating Materials at Commercial Power Frequencies International Electrotechnical Commission (IEC)1 3Rue de Varembé, CP 131, CH-1211 Geneva 20, Switzerland IEC 60034 (Series) Rotating Electrical Machines National Electrical Manufacturers Association (NEMA) 1300 North 17th Street, Suite 1847 Rosslyn, VA 22209 NEMA MG 1-1998 Motors and Generators NEMA MG 10-2001 Energy Management Guide for Selection and Use of Polyphase Motors NEMA Application Guide for AC Adjustable Speed Drive Systems National Fire Protection Association (NFPA) Batterymarch Park Quincy, MA 02269 ANSI/NFPA 70-2002 National Electrical Code Underwriters Laboratories, Inc. (UL) 333 Pfingsten Road Northbrook, IL 60062 ANSI/UL 674-1994 Electric Motors and Generators for Use in Hazardous Locations, Class I Groups C and D, Class II Groups E, F, and G 1.3.3.Generalidades La construcción de máquinas rotativas por si mismas no aseguran seguridad en su uso. Hay una gran necesidad de establecer medidas preventivas en la selección, instalación, y uso de máquinas, ya que existen medidas preventivas en su diseño y la manufactura. Las siguientes recomendaciones son generalmente aplicables pero pueden haber situaciones donde surjan conflictos con otras medidas de seguridad o con los requisitos operacionales, en ese caso se necesitará que 19


estas recomendaciones sean modificadas. Donde las anteriormente citadas medidas preventivas y después de la experiencia del usuario no son suficientes para servir de guía, el fabricante del equipo y el supervisor del fabricante de la máquina, o ambos, deberán ser consultados para desarrollar más información. Esta mayor información deberá ser considerada por el usuario, sus asesores, u otras personas familiarizadas con los detalles de la aplicación compleja al hacer la decisión final. La importancia de la comunicación entre fabricante y usuario no puede ser soslayada. Las oportunidades para impedir incidentes arriesgados y limitar sus consecuencias son grandemente mejoradas cuando ambos, usuario y fabricante, están correctamente y con creces, informados con relación al uso pretendido y todas las condiciones ambientales y operativas. Desde que tal uso pretendido y tales condiciones ambientales y operativas están bajo el control exclusivo del usuario, él es quien tiene el conocimiento más completo del uso pretendido y las condiciones ambientales y operativas, por lo que deberá hacer una selección apropiada y deberá instalar máquinas que optimizarán la seguridad en su uso. La publicación pretende ayudar al usuario en la selección, la instalación y el uso de máquinas eléctricas. 1.3.4 Protección Ambiental y Métodos de Enfriamiento La ventilación y otras consideraciones del diseño de máquinas frecuentemente requieren aberturas en las partes exteriores en las zonas vecinas de las partes de metal no aisladas, disipadores de calor o del movimiento de partes mecánicas de la máquina. El uso de máquinas cerradas de uso general están definidos en las secciones 4.1 y 4.2 de la publicación. Los detalles de protección internacional (IP) y los métodos de enfriamiento internacional (IC) conforman las IEC Standards. Para mayor información, puede verse NEMA Standards Publication MG1, en la Parte 5 (Código IP) y en Parte 6 (Código IC). a) Abiertas (1P00, IC01) b) A prueba de goteo (IP12, IC01) c) A prueba de chorreo (IP13, IC01) d) Semi-cerrada (IC01) e) Cerrada f) A prueba de goteo (IC01) g) Apertura y ventilación independiente (IC06) h) Ventilada por ducto i) Protegida contra interperismo j) Máquina Tipo I (IC01)

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k) Máquina Tipo II (IC01) l) Completamente cerrada. m) Completamente cerrada y no ventilada (IC410) n) Completamente cerrada y enfriada por ventilador o) Completamente cerrada, protegida y enfriada por ventilador (IC411) p) Completamente cerrada ventilada por ducto (IP44) q) Completamente cerrada ventilada por agua (IP54) r) A prueba de agua (IP55) s) Completamente cerrada refrigerada por agua-aire (IP54) t) Completamente cerrada refrigerada por aire-aire (IP54) u) Completamente cerrada refrigerada por aire superficial (IP54, IC417)) v) A prueba de explosión w) Prueba de Ignición y polvo

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CAPITULO 2 GENERALIDADES ACERCA DE LOS PROCESOS DE TRANSFORMACION DE ENERGIA EN LAS MAQUINAS ELECTRICAS 2.1 PROCESOS ELECTROMECANICOS Y ELECTROMAGNETICOS Como sabemos, el circuito electromagnético de una maquina electrica consta de dos elementos principales: el estator o parte inmóvil y el rotor o parte móvil, giratoria. El núcleo del estator está fijamente anclado a la carcaza de la máquina y ésta a su vez a la cimentación del dispositivo. El núcleo del rotor, colocado en el eje o árbol, gira junto con éste sobre los apoyos (cojinetes, bujes, etc.) manteniendo una posición coaxial con respecto al estator. Las ranuras distribuidas diametralmente sobre la superficie cilíndrica del núcleo del rotor alojan el devanado rotórico compuesto por una bobina con número de espiras w1; en las ranuras del circuito magnético del estator se aloja el devanado 2, constituido por una bobina con un número de espiras w2. El material empleado para la fabricación de los núcleos tanto del rotor como del estator es de silicio, en forma de chapas anulares, dicho material que posee una elevada permeabilidad magnética y que permite mantener intensificar la relación magnética existente entre los circuitos magnéticos del rotor y del estator. Con el mismo propósito, esto es, de intensificar o mantener en elevados valores la relación magnética entre los circuitos magnéticos, las bobinas se colocan en las ranuras de los circuitos magnéticos y no en su superficie exterior. Siempre con el mismo criterio, el entrehierro entre el estator y el rotor, se elige con el valor mínimo admisible, ello permite obtener una resistencia bastante pequeña del entrehierro en el circuito magnético. 23


Por medio del eje o árbol, el rotor se acopla con otra maquina y con ésta realiza un intercambio de energía mecánica (entrega emergía en el régimen de rotor y recibe energía en el régimen de generador). El devanado del estator y el devanado del rotor están conectados a redes eléctricas con tensiones u2 y u1. En el régimen de motor, la maquina recibe de éstas redes (o de una de ellas) energía electrica; en el régimen de generador, la máquina genera energía electrica para estas redes. En la máquina, la transformación electromecánica de la energía está ligada con las f.e.m. que se inducen en los devanados, a causa del cambio de su posición mutua en el espacio. Supongamos que en el devanado 2 (del estator) se tiene corriente continua i2 = constante, y que el devanado 1 está desconectado, o sea i1 = 0. En este caso se forma un campo magnético fijo cuyo polo norte N se sitúa en la parte inferior del circuito magnético y el polo sur S se sitúa en la parte superior. Considerando que la permeabilidad magnética del acero de los circuitos magnéticos del estator y del rotor µα ac es infinitamente grande en comparación con la permeabilidad magnética del entrehierro igual a µ0 (µα ac >> µ0), se puede despreciar la diferencia de potenciales magnéticos en el circuito magnético y escribiendo la ley de la corriente total para cualquier circuito que abarca la corriente i2w2 de la bobina 2, tenemos la siguiente ecuación:

∫ H dl = l

B 2 .2δ = i 2 ω2 µ0

(2.1)

desde la cual podemos encontrar el valor de la inducción del campo magnético del devanado 2 en el entrehierro.

B2 =

µ 0 i 2 ω2 2δ

(2.2)

donde δ es el espesor del entrehierro. El flujo magnético total Ψ12m de este campo en el devanado 1 depende del ángulo γ. Dicho ángulo caracteriza la posición del devanado rotórico 1 con respecto al devanado estatórico 2. El flujo concatenado tiene su valor máximo positivo cuando γ = 0. 24


Ψ12m = B2τlw1,

(2.3)

donde «l» es la longitud del circuito magnético en dirección axial; τ = πR es la longitud del paso polar. De manera análoga varia la inductancia mutua existente entre los devanados L12 = Ψ12/i2: ⎛ 2γ ⎞ L 12 = L 12 m ⎜1 − ⎟ π ⎠ ⎝ 2γ ⎞ ⎛ L 12 = −L 12 m ⎜ 3 − ⎟ π⎠ ⎝

donde L 12 m =

para 0<γ<π para π<γ<2π

(2.4)

(2.5)

µ 0 ω1 ω 2 lτ es la máxima inductancia mutua entre los devanados. 2δ

Al girar el rotor con una velocidad angular Ω el ángulo γ = Ωt crece linealmente y como resultado de su variación en el devanado 1 se induce la f.e.m. e1 = −

dΨ12 dL 12 dL = −i 2 = −i 2 Ω 12 dt dt dγ

(2.6)

dicha f.e.m. inducida se llama f.e.m. de rotación. Puede apreciarse que la f.e.m. de rotación es directamente proporcional a la corriente, a la velocidad angular y a la derivada de la inductancia mutua con respecto al ángulo de giro del rotor. Se deduce que e1 =

2 L 12 m i 2 Ω π

e1 = −

2 L 12m i 2 Ω π

para 0<γ<π

(2.7)

si π<γ<2π

(2.8)

25


Aquí el signo (+) significa, que el sentido de la f.e.m. coincide con el sentido positivo de la corriente en el devanado 1; el signo (-) significa que es contrario. De esta, forma en la máquina eléctrica elemental cuando i2 es constante, en el devanado 1 se induce una f.e.m. variable rectangular. El periodo de variación del flujo concatenado de la inductancia mutua y de la f.e.m. corresponde al giro del rotor al ángulo 2π. Éste es igual a T =2π/Ω, donde la frecuencia de su variación es

f=

Ω 2π

(2.9)

Empleando las fórmulas desarrolladas, la f.e.m. de rotación se puede expresar en función de la inducción B2del campo magnético en el entrehierro de la longitud del circuito magnético en la dirección axial y de la velocidad v. e1 = 2B2lvw1 para 0 < γ < π,

(2.10)

v = RΩ es la velocidad lineal periférica en el centro del entrehierro. Por esta razón, la dirección de la f.e.m. e1 se puede determinar empleando en esencia la «ley de Lenz» sino también mediante «la regla de la mano derecha». Desde luego ambos procedimientos proporcionaran el mismo resultado. El devanado 1 posee la resistencia interior ohnmica R1, al cerrar el devanado (unir sus terminales)dicha resistencia interna ohnmica se añade a la resistencia de carga Rcae, entonces en el circuito eléctrico formado surgirá la corriente resultante: i1 =

e1 R car + R 1

(2.11)

la cual variara con la misma frecuencia que la f.e.m., es decir, con la frecuencia f. Con esto, en el devanado 1 se generara la potencia electrica: e 1 i 1 = −i 1 i 2 Ω

dL 12 = (u 1 + R 1 i 1 )i 1 dγ

(2.12)

Una parte de esta potencia R1i12 se disipa en forma de calor en el devanado 1; la parte restante p1 = u1i1 =Rcari12 será entregada a la carga. La tensión u1 =Rcari1 en 26


los bornes de salida del devanado 1, que coincide con la tensión de carga, también varia con la frecuencia f. Con la condición asumida i2 = constante., el devanado 2 se alimenta de la fuente de corriente continua con la tensión u2 =i2R2. La potencia que se consume en el devanado 2, p2 = u2i2 no es parte de la transformación electromecánica del dispositivo y completamente se disipa en forma de calor. Como resultado de la interacción del campo magnético de la corriente i2 con la corriente i 1, en el rotor se produce el momento electromagnético M. La determinación del momento M se efectúa a partir de igualar el trabajo efectuado al girar el rotor en un pequeño ángulo dγ con la variación de la energía del campo magnético del sistema dW. Dicha variación de la energía del campo magnético se produce debido a la variación de la inductancia mutua dL12cuando i1 = constante. e i2 = constante., es decir, M dγ = dW = i1i2dL12,

(2.13)

de donde M = i 1i 2

dL 12 dγ

(2.14)

De acuerdo al incremento del ángulo dγ, es decir si éste ha sido tomado en la dirección del giro entonces el momento será positivo en este sentido y negativo en caso contrario. En el régimen de generador el momento M < 0. El momento electromagnético puede también expresarse mediante la inducción B2 del campo magnético en el entrehierro. ⏐M⏐ = 2B2li1w1R

(2.15)

En el régimen de operación como generador, para determinar la dirección de la fuerza electromagnética tangencial F = 2B2li1w1 y del momento M , es necesario emplear «la regla de la mano izquierda». En el régimen de operación estable, cuando el rotor gira son una velocidad constante Ω, el momento electromagnético M debe estar compensado con un momento exterior Mext 27


M ext = −M = −i 1 i 2

dL 12 dγ

(2.16)

En este caso, a través del árbol al rotor de la maquina se le aplicará una potencia mecánica. M ext Ω = −i 1i 2 Ω

dL 12 dγ

(2.17)

la cual se transformara en potencia electrica e1i1,. La máquina eléctrica más sencilla, realiza en un solo sentido la transformación electromecánica de la energía (en el caso dado en el régimen de generador).Esa misma máquina puede funcionar como motor, transformando la energía eléctrica en mecánica. Para realizar este régimen hay que conectar el devanado 1 a una red de tensión alterna u1, la cual varia con la frecuencia f. Ello es necesario para que la corriente alterna i1 siempre esté dirigida en oposición a la f.e.m. e1. En conclusión la máquina eléctrica es reversible; es decir, está puede funcionar como generador, o motor.

2.2 CAMPO MAGNETICO CON VARIACION PERIODICA 2.2.1. Campos con variación periódica el tiempo De lo visto hasta este momento, podemos concluir que la condición necesaria e indispensable aunque no suficiente para realizar en la máquina la transformación electromecánica es la variación de las inductancias propias o simplemente inductancias e inductancias mutuas de los devanados cuando gira el rotor. Para obtener la transformación electromecánica unidireccional es necesario además que tanto las corrientes de estator y del rotor varíen de tal manera que no solo los valores instantáneos, sino por sobre todo, los valores medios del momento electromagnético y la potencia mecánica sean bastante grandes. Por consideraciones técnicas y constructivas es poco probable obtener campos magnéticos, inductancias propias e inductancias mutuas y flujos magnéticos concatenados que sean funciones monótonamente crecientes de las corrientes y del ángulo de giro del rotor. Es posible determinar que dichos parámetros varían periódicamente con el ángulo del rotor, por la naturaleza geométrica de la máquina 28


y en ese caso las derivadas de dichas funciones variaran periódicamente. En consecuencia, es necesario obterner la variación periódica de los parámetros (inductancias) de las máquinas en función del ángulo de giro del rotor y es necesario que al circular las corrientes de los devanados, al menos en uno de ellos, formen campos periódicamente variables en el espacio, en particular en la dirección tangencial a lo largo del entrehierro. Por ello, en términos constructivos, es necesario dotar a las máquinas de devanados y circuitos magnéticos que permitan obtener campos periódicos. Existen una diversidad de combinaciones para tal propósito, nos limitaremos a mencionar cuatro de las más comunes: a) Devanado Cilíndrico (de tambor) de polos de signos contrarios (Máquina Convencional) b) Devanado Toroidal de polos de signos contrarios c) Devanado Anular (anillo) y circuito magnético de garras d) Devanado Anular de polos del mismo signo y circuito magnético dentado Cada una de dichas combinaciones ofrecen sus propias ventajas y desventajas, las mismas que motivan sus aplicaciones específicas. 2.2.2. Ecuaciones y características del campo electromagnético en las máquinas eléctricas En una máquina eléctrica de tipo inductivo los procesos de transformación de la energía están relacionados con el campo magnético, creado por la corrientes de los devanados. Fundamentalmente entonces se trata de determinar el valor de la inducción del campo magnético B generado por la distribución espacial de la densidad de la corriente J en los devanados de la máquina. Por ello, estableceremos las siguientes ecuaciones que dan forma al problema a resolver La intensidad del campo magnético, que es una cantidad vectorial, puede expresarse mediante la primera ecuación de Maxwell. rot H= J

(2.18)

Por otro lado, podemos explicitar la relación entre la inducción y la intensidad del campo magnético B = µa H....(2.19) donde µa la permeabilidad magnética absoluta del medio, 29


La ecuación de continuidad nos permite establecer las condiciones de contorno del problema div B = 0....(2.20) y nos indica que las líneas del campo magnético representan lazos cerrados. Asumiremos, como es el caso mayoritario, que el vector de densidad de corriente J esta uniformemente distribuido por la sección del conductor S y está dirigida a lo largo del eje del conductor hacia el lado que fluye la corriente. J = H S...(2.21) Al estar las espiras de los devanados dispuestas en las ranuras de los circuitos magnéticos, en consecuencia el campo magnético está presente en el volumen ocupado por los circuitos magnéticos del estator y del rotor, en el entrehierro entre el rotor y el estator y en el espacio que rodea las partes frontales de los devanados. De igual modo también es posible que se encuentre en las partes constructivas con alta resistencia magnética y conductoras de la maquina obviamente con muy poca intensidad. Para calcular el campo magnético, a las ecuaciones lineales de campo se les debe añadir las ecuaciones de las superficies que separan los diversos medios. Es necesario precisar que los diversos medios o elementos presentes en el volumen de control presentan valores desiguales en sus permeabilidades magnéticas relativas y por consiguiente las ecuaciones de la superficie que limitan los circuitos magnéticos, los valores limites (condiciones de borde) y las componentes tangenciales y normales de los vectores del campo magnético en las superficies que separan los diversos medios, responden a diversos valores. En los casos cuando la permeabilidad magnética del acero de los circuitos magnéticos µ r .a c no se pueda considerar infinitamente grande, en comparación con la permeabilidad magnética relativa de las zonas llenas de aire, de materiales aislantes y de espiras, es necesario tener en cuenta las propiedades magnéticas no lineales de los materiales ferromagnéticos que se caracterizan por la variación de su permeabilidad magnética relativa en función de la intensidad del campo magnético.(características de magnetización de cada material). Si bien es cierto el sistema de ecuaciones planteado y las condiciones anotadas describen plenamente las características para la determinación del campo 30


magnético en la máquina, como es de entenderse su solución analítica por los métodos de la Teoría de Campos resulta sumamente difícil. Fundamentalmente por el alto grado de complejidad en la expresión matemática que, por ejemplo, las superficies involucradas en el cálculo, por la variedad de valores que las características no lineales de los medios ferromagnéticos, y las condiciones espaciales y de movimientos que los circuitos magnéticos y materiales, ofrecen. Por ello, se impone efectuar una serie de suposiciones o asunciones, de modo tal que se facilite el cálculo, sin gravar considerablemente los resultados del mismo. a) Se asume el carácter periódico del campo magnético de la máquina, lo que esta relacionado o sustentado en la periodicidad de la distribución de las corrientes en los devanados b) Se supone que la permeabilidad magnética de los circuitos magnéticos ferromagnéticos es infinitamente grande en comparación con la permeabilidad magnética del vacío. c) Se asume que se puede utilizar el método de superposición de campos y determinar el campo magnético de la máquina como la suma de los campos de cada uno de los devanados .y determinar a su vez, el campo del devanado como la suma de los campos creados por las corrientes en los sistemas periódicos elementales de las bobinas. Para determinar el campo total del devanado basta con calcular el campo magnético de un sistema periódico de bobinas con corriente unitaria I =1, determinar los campos de todos los sistemas periódicos, estando las corrientes instantáneas en ellos dadas, aumentando proporcionalmente el campo creado por la corriente unitaria y sumar estos campos teniendo en cuenta la disposición de los mismos en el espacio. De esta manera: el problema del calculo del campo magnético se reduce a un problema simple de determinación del campo del sistema periódico de bobinas siendo infinitamente grande la permeabilidad magnética relativa de los circuitos magnéticos. El campo del espacio amagnético puede ser dividido en tres campos característicos: a) El campo en la zona de entrehierro b) El campo en la zona de las ranuras con corrientes. c) El campo en la zona de las partes frontales. 31


2.2.3 Campo en el entrehierro En el cálculo de la máquina lo más importante es calcular el valor de la intensidad y densidad de campo en la zona del entrehierro entre los circuitos magnéticos. La energía de esta porción del campo total supera considerablemente la energía de los otros campos componentes, ello es la razón por la que se centra comúnmente los esfuerzos en la determinación de este campo. Este campo posee las siguientes particularidades: a) Es un campo plano paralelo (o bidimensional) al eje axial de la máquina; como veremos más adelante, en el desarrollo del Método de Elementos Finitos (MEF), sección xxx, esta particularidad favorece notoriamente la posibilidad de cálculo. b) Se denomina de inducción mutua; dada su ubicación espacial y su naturaleza simétrica bidimensional, alberga las interrelaciones entre las inductancias propias y mutuas y el campo del entrehierro propiamente dicho. c) Para el cálculo de este campo es posible usar la noción de potencial magnético escalar. Ello también contribuye a la facilidad del cálculo por el MEF. En estudios mas detallados el campo de dispersión de ranura se representa en forma de la suma del campo de dispersión en la ranura y el campo de dispersión por las cabezas de los dientes, A la zona del campo de las partes frontales pertenece el entrehierro amagnético en torno a las partes frontales de las bobinas fuera de los limites de los circuitos magnéticos. 2.2.4 Campo Magnético de Inducción Mutua De acuerdo a lo visto en el acápite anterior, hecha las suposiciones mencionadas el campo de inducción mutua del devanado polifásico es plano - paralelo (bidimensional) y su energía está concentrada en la zona del entrehierro amágnetico, donde no existen corrientes distribuidas. La intensidad H de este campo se puede expresar como el gradiente del potencial magnético escalar ϕm = ϕ H = - grad ϕ...(2.22) A partir de esta ecuación se deduce inmediatamente, por reemplazo, la ecuación de Laplace: ∇ 2 ϕ = ∂ 2 ϕ....(2.23) Para determinar ϕ en cualquier punto de la zona del entrehierro es necesario tener en cuenta las condiciones límites en las superficies ferromagnéticas que corresponden a las corrientes instantáneas en las fases de los devanados. Las 32


condiciones limites se prefijan en forma de distribución del potencial ϕ en las superficies. Definida la distribución del potencial en las superficies limites, el paso siguiente es calcular las componentes de la intensidad de campo en la zona de entrehierro. 2.2.5 Campo Fundamental y Campo de Dispersión El campo magnético en la máquina eléctrica con dos devanados polifásicos, se encuentra conformado por dos componentes, uno está situado en el estator y el otro, en el rotor. Si consideramos la permeabilidad magnética relativa de los circuitos magnéticos del estator y el rotor infinitamente grande, se puede representar el campo magnético de esta maquina en el régimen estacionario en forma de la suma de dos campos: el fundamental y el de dispersión. a) El campo magnético fundamental corresponde al armónico fundamental de distribución de la componente radial de la inducción en el entrehierro. Desempeña el papel principal en el proceso de transformación de la energía. Para µ r = ∞ el campo fundamental puede ser imaginado como compuesto de dos campos mutuamente inmóviles: el campo fundamental del estator, y el campo fundamental del rotor. Lógicamente la distribución espacial de la inducción magnética de cada uno do estos campos en el entrehierro contiene sólo el armónico fundamental. A su vez el campo fundamental del estator (rotor) puede ser representado como la suma do los campos fundamentales creados por cada una de las fases del devanado del estator (rotor). b) El campo magnético de dispersión es el campo formado por tales sistemas de corrientes en los devanados del estator y el rotor, que no son contribuyen al componente armónico fundamental del campo. El campo de dispersión se forma cuando los armónicos fundamentales de la inducción de los campos del estator y el rotor están mutuamente compensados. El flujo concatenado total del devanado polifásico puede ser representado en forma de la suma del flujo concatenado principal y el flujo concatenado de dispersión. El flujo concatenado principal del devanado está condicionado por el campo principal, creado por él, que se cierra a través del entrehierro y que está concatenado con ambos devanados de la máquina. El flujo concatenado de dispersión está condicionado por la parte del campo magnético de dispersión que está concatenado con el devanado dado. 33


2.2.6 Longitud Calculada Del Circuito Magnético Se puede demostrar que l δ = l – nb b′b + 2δ (2.24) Donde: l δ es la longitud calculada asociada al principio de conservación del flujo l es la longitud de los paquetes de campo magnético intercalado por los canales radiales nb es el número de canales radiales b′b es el ancho de los canales radiales δ es la longitud del entrehierro amagnético b′b = c0cbδ c0 = 1 con canales sólo en el estator (o solo en el rotor); c0 = 0.5 con canales en el estator y en el rotor, Nota: cuando el entrehierro es muy pequeño (δ<< δ<< bb) la anchura calculada del ′ canal b b ≈ bb y cuando el entrehierro es muy grande ( δ>> δ>>bb ) la anchura calculada del canal b′b ≈ 0. Los canales radiales son espacios destinados a aumentar la superficie de enfriamiento de la máquina. Para simplificar los cálculos ulteriores y no distorsionar los procesos de transformación de la energía en la máquina, el campo no uniforme por la longitud de la maquina es sustituido por un campo uniforme con una inducción igual a la inducción Bm de la zona de los paquetes, donde se supone que este campo es uniforme y existe a lo largo de la longitud calculada lδ,. 2.2.7. Inductancias En lo que corresponde a las inductancias, para determinar correctamente la naturaleza del campo deberá analizarse el papel de las inductancias presentes en él. Daremos una rápida revista a las definiciones más relevantes sobre ellas A) Inductancia principal de la fase La inductancia principal de la fase se determina por el flujo concatenado principal creado por la corriente en cada fase. B) Inductancia mutua principal entre las fases del devanado La inductancia mutua principal entre las fases del devanado depende del ángulo eléctrico entro los ejes de las fases considerados del devanado dado. 34


C) Inductancia mutua principal entre la fase del devanado primario y la fase del devanado secundario Lo mismo que en el caso anterior, esta inductancia mutua depende del coseno del ángulo eléctrico entre los ejes de las fases consideradas de los devanados primario y secundario. D) Inductancia principal del devanado Además de las inductancias propias e inductancias mutuas detalladas líneas arriba, que se calculan sobre la base de las definiciones dadas, resulta necesario introducir la noción de inductancia principal del devanado, la misma que considera la influencia de todas las fases del devanado. E) Inductancia mutua principal entre la fase del devanado primario y el devanado secundario La inductancia mutua principal entre las fases de distintos devanados se calcula también según el flujo concatenado máximo con la fase del devanado primario, que esta creado por todas las fases del devanado secundario, es decir por el campo giratorio del devanado secundario). Ella es igual a la relación del flujo concatenado indicado en función de la corriente en el devanado secundario. F) Inductancia de dispersión del devanado Conforme a la definición dada el campo de dispersión se crea si se compensan mutuamente los armónicos fundamentales de los campos magnéticos en el entrehierro debidos a las corrientes en los devanados primario y secundario.

2.3METODOS FINITOS PARA CAMPOS ELECTROMAGNETICOS Del texto «Elementos Finitos para Ingeniería Eléctrica» de P.P. Silvester – R.L. Ferrari, extraemos los siguientes conceptos: El análisis clásico de las máquinas eléctricas precisa determinar la distribución de potencial escalar magnético en la región del entrehierro, aquí también es válida la ecuación de Laplace en el interior de esta región. Las condiciones de frontera se asemejan mucho a las del problema de potencial eléctrico: el potencial escalar tiene valores fijos a lo largo de las superficies de hierro y debe tener una derivada normal nula en los planos de simetría. El conocido principio de la energía potencial mínima precisa que la distribución de potencial en la ranura debe ser tal que minimice la energía de campo almacenada por unidad de longitud. Este principio de energía mínima es matemáticamente equivalente a la ecuación de Laplace, en el sentido que una distribución de potencial que satisfaga la solución, también minimizará a la energía, e inversamente. Por consiguiente existen dos métodos prácticos alternativos para resolver el problema de campo. Por una parte, puede buscarse directamente una solución aproximada de la ecuación de Laplace, como se hace por ejemplo en la 35


técnica de separación de variables o en los métodos de diferencias finitas. Por otra parte, puede crearse también una expresión aproximada para la energía almacenada asociada con el potencial (eléctrico o magnético), suponiendo que dicho potencial esta dado por una combinación de funciones elementales convenientemente escogidas, con coeficientes aún indeterminados. La minimización de la energía determina entonces a los coeficientes y determina así implícitamente una aproximación a la distribución de potencial. Virtualmente todos los métodos de elementos finitos siguen la segunda ruta o adaptaciones de ella. Pero el lector se preguntará sobre la pertinencia y oportunidad de este acápite. Pues bien, intentaremos resumir los conceptos y nociones básicas asociadas al uso del método de los elementos finitos y a sustentar su pertinencia en el presente libro. 2.3.1 Definición del Método En este método de análisis, una región compleja que define un continuo se discretiza en forma geométricas simples llamadas Elementos Finitos. Las propiedades del material y las relaciones gobernantes, son consideradas sobre esos elementos y expresadas en términos de valores desconocidos en los bordes del elemento. Un proceso de ensamblaje, cuando se consideran debidamente las cargas y restricciones, da lugar a un conjunto de ecuaciones. La solución de esas ecuaciones nos da el comportamiento aproximado del continuo. 2.3.2 Construcción del Elemento Finito Los elementos finitos son construidos de acuerdo a su dimensión en el espacio, para ello se establece un juego de coordenadas y de codificación propias. • Elementos unidimensionales, elementos bidimensionales, elementos tridimensionales 2.3.3 Ecuación de Laplace Corresponde a la ecuación ∇ 2U = 0 Que expresa que la segunda divergencia del potencial (magnético o escalar) es nula. Para su aplicación y su solución generalmente se emplean Elementos Finitos de Primer Orden.Su aplicación fundamental es para resolver problemas de magnetostática. 36


Es necesario desarrollar una técnica matricial para poder proceder a la Ensambladura de Elementos en forma correcta. La Solución del Problema Conexo ocurre con la aplicación del Principio de Garlekin o de la minimización de la energía asociada. 2.3.4 Ecuación de Poisson Corresponde a la ecuación ∇2U = -ρ Que expresa que la segunda divergencia del potencial (magnético o escalar) es igual a la densidad superficial del flujo magnético para el caso de potencial magnético o de la carga eléctrica para el caso del potencial eléctrico. Su aplicación fundamental es para problemas de campo armónicos (variables en el tiempo en forma periódica o armónica) de baja frecuencia, tal como los que se presentan en las máquinas eléctricas. Para su aplicación y su solución generalmente se emplean Elementos Finitos de Segundo y Tercer Orden (bidimensionales y tridimensionales) Es necesario desarrollar una técnica matricial para poder proceder a la Ensambladura de Elementos en forma correcta. La Solución del Problema Conexo ocurre con la aplicación del Principio de Garlekin o de la minimización de la energía asociada. Se requiere un proceso especial para la Modelación del Término Fuente, que contiene el valor de la densidad superficial indicada. Por otra parte se requiere un Manejo Práctico de Condiciones de Frontera. Las condiciones de Newmann, Dirichlet y Robin., asociadas a las condiciones contorno son aplicadas para determinar los valores frontera. 2.3.5 Programación y Estructuración de datos. Dada la complejidad de información y cantidad de datos asociados a la posición espacial de cada elemento finito, las ecuaciones gobernantes, las condiciones de frontera, y las soluciones parciales que los programas computacionales que resuelvan ecuaciones diferenciales de primer y segundo orden requieren se aplican programas de cálculo y estructuración de datos. 37


2.3.6 Representación de Campos Electromagnéticos Para una adecuada solución a cada problema específico se requiere una adecuada presentación del mismo, básicamente a una correcta representación del campo electromagnético a estudiar. Para ello es necesario precisar y determinar la aplicación de los siguientes conceptos: • Variables Básicas: Definición de las variables conocidas y desconocidas en el tratamiento del problema. • Relaciones de Maxwell: Relaciones entre Densidad, Intensidad de Campo y Potenciales • Notación Fasorial Compleja: Uso adecuado para los casos armónicos • Condiciones de Frontera: Dirichlet, Newmann, Robin o una combinación de ellas. • Ecuaciones de Potencial: Laplace y/o Poisson • Ecuación Inhomogénea de Helmholtz, esta última se refiere al comportamiento del campo en dos direcciones transversales, su aplicación fundamental es en ondas electromagnéticas con compnentes transversales (TE). 2.3.7 Elementos Triangulares para la Ecuación Escalar de Helmholtz Dada la complejidad del problema se recurre al uso de un sistema de coordenadas y de solución particular, los principales elementos son: • Coordenadas Simplex Que es un sistema particular de coordenadas que permite la independencia de la ubicación de cada elemento con respecto a las coordenadas cartesianas. • Interpolación de Símplices, método por el cual dichas las variables en coordenadas pueden ser calculadas por medio de ciertas reglas de interpolación. • Elementos Triangulares Planos Su definición y correcta aplicación. • Matrices de Elementos Triangulares de Orden Superior Métodos por los cuales se utilizan procedimientos matriciales que perfilan la optimización del cálculo del problema en términos de tiempo y memoria computacional. 2.3.8 Formulación de problemas de potencial con simetría de traslación El texto de referencia detalla una lista de problemas tipo, que por su naturaleza han sido agrupados para su solución general, en los siguientes tipos: • Línea coaxial de transmisión • Sistema de líneas de franjas paralelas • Pareja de líneas abiertas • Potencial escalar magnético (Circuito magnético de un motor) • Potencial vectorial magnético 38


• Ranura de armadura con conductor portador 2.3.9 Formulación de problemas de potencial con simetría axial Cuando se presenta simetría de campo y se utiliza material magnético no lineal

• • • • •

δδ

2.3.10 Solución Numérica De Ecuaciones De Elementos Finitos Se lista los procesos y herramientas y consideraciones a ser utilizadas para tal fin: Descomposición Triangular Programa de descomposición de CHOLESKI Requerimiento de tiempo y capacidad de almacenamiento para la descomposición Método de Almacenamiento de perfil y banda Estructuración de matrices. Jacobiano.

2.3.11 Programa FEMM El programa FINITE ELEMENTS METHOD MAGNETICS, creado por David Meeker, con los Derechos Reservados de la Corporación Foster-Miller, es un programa que ha sido utilizado por el autor del presente libro, como un elemento de validación de los cálculos hechos a partir del Módelo Matemático propuesto y desarrollado en los Programas Computacionales desarrollados en proceso de investigación que subyacen al presente texto. Particularmente ha sido empleado en la constatación de los valores del campo electromagnético calculado en condiciones de operación de régimen estable de las máquinas asíncronas con rotor tipo jaula de ardilla. Existen en l actualidad excelentes paquetes y programas para la aplicación de los métodos de elementos finitos para un sin fin de problemas, en particular los asociados con flujos y uno de los más populares es el Programa ALGOR.

2.4MOMENTO ELECTROMAGNETICO DE ROTACION Si analizamos una máquina asíncrona o síncrona de corriente alterna con un entrehierro uniforme δ , y efectuamos las siguientes asunciones o suposiciones: a) Reemplazamos las superficies dentadas de los circuitos magnéticos superficies lisas, b) Introducimos la noción de entrehierro equivalente δ o == k , donde k es el coeficiente de entrehierro, que permite tener en cuenta la influencia del carácter dentado de los circuitos magnéticos en la permeancia del entrehierro, 39


c) Suponemos que en el estator se coloca un devanado polifásico simétrico con un número de fases m1 2, y en el rotor, un devanado polifásico simétrico con un número de fases m2 2, o bien un devanado monofásico de excitación (en la máquina sincrónica). d) Asumimos que en el devanado del estator hay un sistema de corrientes de secuencia directa I1, que varían con una frecuencia angular w1 y; en el rotor, bien un sistema de corrientes de secuencia directa I2 en un devanado polifásico, que varían con la frecuencia angular w1,o bien una corriente continua I2m, en un devanado monofásico de excitación, para el cual ω2 = 0. Encontraremos que la energía que se transforma y el momento electromagnético de rotación medio en un período dependen del ángulo eléctrico α12, entre los ejes de los campos mutuamente fijos del estator y el rotor, el cual está relacionado con el ángulo y12, entre los ejes en la propia máquina por medio de la relación conocida α12 = py12 Por dirección positiva de lectura de los ángulos α12 (ó y12) para el momento de rotación, que actúa sobro el rotor, adoptaremos la dirección desde el eje del campo del rotor en sentido antihorario. El ángulo α12, en el régimen estable o estacionario es constante, el momento de rotación en el transcurso de una vuelta es también constante, y el momento de rotación medio puede ser determinado valiéndose de la siguiente expresión, para una disposición mutua arbitraria del rotor y el estator: .....(2.25) Para determinar el momento hay que hallar primero la energía del campo magnético en el entrehierro en función de B1m, B2m y αl2. La energía del campo magnético en el elemento de volumen dV del entrehierro es

dW =

B 02 dV, 2µ 0

(2.26)

donde Bo = Bom cos(ρ) es la inducción del campo magnético en el elemento dV,

40

≥ m = ∂W / ∂γ

(


Bom = B12 m + B22 m + 2 B1 mB2 m cos α 12 es la amplitud de la inducción del campo resultante en el entrehierro;

ρ, es el ángulo que caracteriza la posición del elemento de volumen dV con respecto al campo resultante; R1, el radio medio del entrehierro. La energía del campo magnético en el entrehierro se determina por integración por el volumen del entrehierro V = 2 πRlδ δ 0 . Esta energía es igual a: 0

W=∫ v

2x B 02 B 02 m dV = ∫ l ∂ δ o R cos ² (pϕ) dϕ = 2µ 0 2µ 0 0

=

γ

dγ =

pτδ 0 l ∂ B12m + B 22 m + 2B1m B 2 m cos α 12 2µ 0

(

)

(2.27)

donde t = πR / p es el paso polar. dα dα = −dγ 12 = − 12 ; dαa = −dα 12 P Ahora hayPque girar el rotor a un ángulo pequeño dy considerando las corrientes constantes, y hallar dW/dy. Recordemos que el ángulo y (o el correspondiente ángulo eléctrico α yp) representa el ángulo de giro del rotor con respecto al estator, por ejemplo el ángulo entre el eje de la fase A del estator y el eje de la fase a del rotor (este ángulo se cuenta desde la fase A del estator en dirección positiva, es decir, en sentido antihorario). Al girar el rotor al ángulo pequeño dy = d/p hacia el lado positivo, para las corrientes fijadas en las fases (ibob = const). se puede observar que la f.m.m. y el campo del rotor se desplazarán junto con el rotor, mientras que la f.m.m. y el campo del estator permanecerán fijos. En este caso el ángulo y12 = α12/p entre la f.m.m. del rotor y la f.m.n. del estator disminuirá en el mismo grado, en el que el ángulo y aumentará (hemos aceptado que oí ángulo Vía so cuenta desde la fase del rotor hacia la fase del estator, os decir, en dirección contraria en comparación con la dirección do lectura do los ángulos y o a). De esto modo, los incrementos de los ángulos y 12, se diferencian únicamente por el signo

(2.28)

41


lo que permite hallar la derivada de la manera siguiente:

M=

dW dW p ² τδ u l ∆ B1m B 2 m = −p = senα 12 dγ dα 12 µ0

(B1m

= const; B 2 m =const )

(2.29)

Expresando las inducciones por medio de las corrientes obtenemos:

M=

m1 m 2 P I1 I 2 L m senα 12 2

(2.30)

donde Lm es la inductancia mutua máxima entre las fases del estator y el rotor El momento, que actúa en el rotor, es positivo (es decir, está dirigido en sentido antihorario) para O < α12 < π y negativo cuando < α12 < 2π (o bien O > α12 > — π). Expresando la inducción B2 por medio de la corriente I2 y observando que

ψ 21m = 2 B1mτlδ w2 k dev 2 / π es la amplitud del flujo concatenado del campo del devanado del estator con la fase del devanado del rotor, se puede expresar el momento de rotación por medio de la corriente y el flujo embragado

M=

m2p I 2 Ψ12 m senα 12 2

(2.31)

En la forma compleja el momento de rotación se determina por la expresión

M=

m2p ~ ~I 0 Im | Ψ 21 2 2

(2.32)

~

donde I 20 es la función compleja conjugada de la corriente secundaria. Partiendo de las expresiones obtenidas no es difícil demostrar que como resultado de la interacción de la corriente del devanado I2, con su propio campo o con el flujo concatenado ψ 22 no se crea momento de rotación, en consecuencia este momento es igual a cero: 42


m2P I 2 Ψ22 m senα 22 = 0 2

(2.33)

donde:

ψ 22 m = 2 B1mτlδ w2 k dev 2 / π es la amplitud del flujo embragado del propio campo principal con las espiras del devanado del rotor;

α 22 = 0, el ángulo entre el flujo embragado ψ 22 m y la corriente I2. Después de esta observación se puede expresar el momento de rotación por medio del flujo concatenado total con el devanado dado ψ 20 m es decir, del flujo concatenado creado tanto por el campo exterior (ψ 21m ) como por el propio campo ψ 22 m . Para ello hay que añadir al segundo miembro del momento igual a cero, enlazado con el propio flujo concatenado:

M=

[

]

[

]

m2p ~ ~I 0 + m 2 p Im Ψ ~ ~I 0 = Im Ψ 21m 2 22 m 2 2 2 m p ~ +Ψ ~ )~I 0 + m 2 p Im Ψ ~ ~I 0 = = 2 Im (Ψ 21m 22 m 2 20 m 2 2 2 m p = 2 Ψ20 m I 2 senα 20 2

[

]

[

]

(2.34)

donde

ψ~20 m = ψ~22 m + ψ~21m es el valor máximo del flujo concatenado total del campo principal con el devanado del rotor; α 20, el ángulo entre la corriente; (o el campo B^ del devanado del rotor) y el flujo embragado total ψ~20 m con este devanado. En el estator actúa un momento absolutamente igual, pero de dirección contraria. Hasta aquí, el momento electromagnético de rotación ha sido hallado partiendo de la ley de conservación do la energía. Existe otro método por el cual el momento electromagnético puede calcularse como la suma de los momentos debidos a las fuerzas electromagnéticas que surgen de la interacción del campo magnético 43


giratorio con los elementos de las corrientes y los elementos de la superficie de los circuitos magnéticos imantados. Bajo este esquema, con la determinación del momento se debe obtener una representación más detallada acerca de la distribución de las fuerzas electromagnéticas a través del volumen de las partes activas de la máquina, así como de los flujos de energía y sus direcciones. Sin embargo, de acuerdo a lo especificado por los especialistas, la realización matemática de tal método es sumamente difícil. Excepcionalmente y en forma simplificada para la determinación de la parte principal del momento electromagnético, relacionada con los armónicos fundamentales de la f.m.m. y la inducción del campo en el entrehierro, se puede hacer uso de la noción de corriente superficial, que sustituye las corrientes en las ranuras del circuito magnético.

2.5TRANSFORMACION UNIDIRECCIONAL DE LA ENERGIA La transformación unidireccional de la energía en la máquina eléctrica de inducción puede transcurrir sólo si se cumple una condición determinada con respecto a las frecuencias de las corrientes en el devanado del estator (w1), en el devanado del rotor ω 2 y la frecuencia de variación de la inductancia mutua entre los devanados = p . Para obtener la es proporcional a la velocidad angular del rotor transformación unidireccional de la energía es necesario que la suma o la diferencia do las frecuencias de las corrientes en los devanados sea igual a la frecuencia de = = p . Si variación de la inductancia mutua entre los devanados 1 2 < 1 y 2 = ( 1 - ) entonces los esta condición se cumple, es decir que armónicos fundamentales de las f.m.m. (o de los campos giratorios), generados por los sistemas simétricos de corrientes en los devanados primario y secundario, giran, con respecto al estator, con iguales velocidades angulares 1 = 1/p. El armónico fundamental de la f.m.m. del devanado primario (2.35) o el armónico fundamental de la inducción del campo del devanado primario en el entrehierro

~ =µ ~ −B 2m1µ 0 Iw 1 k dev1 w 1 / (δ 0 πp ) 1m o F1m / δ o =

44

(2.36)

ω ~ ± Ω F1m = 2m1 ~I1


giran a la velocidad angular eléctrica ω 1 =p decir, de la fase A a la fase B).

1I

1

= B1m.

I 1.

1

(25-3) en dirección positiva (es

A 12

12 Bom

21m

om 20m

c

20

2

B

1

d b B

20m

B2m

d =

d

12

2m

C

M

2

1 ~ Ω ω F22m = 2m 2 ~I2 k dev 2 w 2 / (πp )

Figura. 2-I. Disposición mutua de los armónicos fundamentales de las f.m.m. y flujos concatenados de los devanados primario y secundario. El armónico fundamental de la f.m.m. del devanado secundario (2.37) o el armónico fundamental del campo del devanado secundario en el entrehierro

~ =µ ~ B 2m 2 µ 0 ~I2 k dev 2 w 2 / (δ 0 πp ) 2m 0 F2 m / δ 0 =

(2.38)

giran, con respecto al rotor, con una velocidad angular eléctrica ω 2, igual a la frecuencia angular de la corriente en el rotor, con la particularidad de que este giro sucede también en dirección positiva do la fase a la fase b. Para hallar la velocidad angular de la f.m.m. del devanado secundario F2, con respecto al estator (

), hay que tener en cuenta que el rotor gira a una velocidad 45


angular eléctrica ω =

p en dirección positiva y añadir esta velocidad a la

velocidad de desplazamiento de la f.m.m. F2 con respecto al rotor

= ω2 +

Si se satisface la condición indicada con respecto a la unidireccionalidad de la transformación de energía, se tiene: ....(2.39) En consecuencia, la transformación unidireccional de la energía sucede sólo con la condición de que la f.m.m. del rotor gira con la misma velocidad angular eléctrica ω 1= = p en el modelo y con la misma velocidad angular w1 en la propia máquina, a la cual gira la f.m.m. del estator.

2.6PERDIDAS EN LOS PROCESOS DE TRANSFORMACION 2.6.1 Eficiencia La transformación de energía en una máquina eléctrica de inducción, sea de energía eléctrica a mecánica (motor) o de energía mecánica a eléctrica (generador)tiene lugar si se cumplen las siguientes condiciones: a) El rotor de la máquina gira y a través del árbol (eje mecánico asociado al rotor) se transmite energía mecánica; b) Circulan corrientes eléctricas por los devanados de la maquina, tales corrientes poseen frecuencias, las mismas que están relacionadas de una manera determinada entre sí y con la velocidad angular del rotor; c) El campo y por consiguiente los flujos magnéticos asociados con los devanados varían periódicamente y a partir de ello se realiza la transformación de la energía. En consecuencia, al registrarse movimiento del árbol una parte de la energía se dispersará en forma de pérdidas de energía por razonamiento de las piezas de rotación, llamadas perdidas mecánicas: otra parte de energía se disipará al circular corrientes por los conductores de los devanados, respondiendo al efecto Joule, y se les denominará pérdidas eléctricas, y finalmente, debido a los fenómenos de dispersión, no uniformidad del volumen real que contienen los campos (ranuras, dientes, tapas frontales de los devanados, etc.) así como las características magnéticas de los materiales, pero fundamentalmente a las variaciones periódicas de los flujos en los circuitos magnéticos, se producirán las llamadas perdidas magnéticas. 46

ω Ω12 = (ω1 − ω) ω


Es normal caracterizar todas las formas de perdidas por la energía térmica que se libera en la unidad de tiempo, y por la suma de la potencia de las perdidas de energía. Partiendo de la ley de conservación de la energía se puede concluir que la potencia útil, transformada en la máquina, es menor que la potencia que ingresa en la máquina para la transformación en el valor de las perdidas de potencia. El rendimiento de la maquina en le proceso de transformación electromecánica se determina como la relación de la potencia útil, transformada en la maquina, con respecto a la potencia total absorbida por la máquina a partir de una fuente externa de energía, la eficiencia o rendimiento se calcula por las siguientes expresiones. a) En el régimen de generador:

(2.40) b) En el régimen de motor: η Pelec ∑P = 1− η= Pmec Pelec + ∑ P P P η = elec = 1 − ∑ Pmec Pelec + ∑ P

(2.41)

La eficiencia es siempre menor que la unidad ( η < 1), de modo que cuanto menor parte de la potencia útil transformada se constituyen en pérdidas, tanto más se aproxima la eficiencia o rendimiento a la unidad. Para evitar el calentamiento excesivo de la máquina, dañar el aislamiento de las partes activas y acortar el tiempo de vida útil del dispositivo, así como modificar el valor efectivo de las resistencias eléctricas, cariando sustancialmente las características de funcionamiento de las máquinas; las pérdidas que se desprenden en forma de calor en ella deben ser evacuadas al medio exterior con ayuda del sistema de refrigeración y/o ventilación. Para tal efecto, por ejemplo la carcaza que cubre la máquina presenta aletas, que no son otra cosa que elementos que brindan mayor superficie de intercambio de calor entre el interior de la máquina y el medio exterior.

47


2.6.2 Pérdidas Eléctricas En el caso de las máquinas de corriente alterna las pérdidas se calculan conforme a la resistencia activa del devanado R=

(2.42)

kR es el factor que permite corregir el valor de la resistencia ohmmica del conductor considerando la irregularidad de la distribución de la corriente por la sección del referido conductor. La irregularidad de distribución de la corriente alterna por las secciones de los conductores, situados en la ranura del circuito magnético, depende de la magnitud del campo de dispersión en la ranura. Dado qué las líneas de este campo son perpendiculares al eje de la ranura, para la ranura de forma rectangular representan casi líneas rectas, en ese caso el campo de dispersión tiene igual concatenación con cualesquiera elementos del conductor, situados a mismo nivel por la altura de la ranura, por lo que en consecuencia resultan iguales las inductancias de estos elementos. Este efecto lo trataremos más adelante, cuando se detalle el fenómeno de expulsión de la corriente. Evidentemente este efecto se produce tanto en el rotor como en el estator de la máquina. Luego para efectos de cálculo se aplicará la conocida fórmula de Joule para las pérdidas: P elec = I 2 R

(2.43)

Con el fin de disminuir las perdidas eléctricas, los conductores de los devanados deben tener la menor resistencia especifica posible ρ1 . El material mas adecuado para los conductores de los devanados es el alambre de cobre de sección redonda o rectangular, los mismos que deberán tener, en lo posible, el más pequeño contenido de impurezas. El uso del aluminio en calidad de material para conductores, en particular para devanados estatoricos, es limitado; sin embargo, es de uso muy difundido en la aplicación de los devanados de los rotores del tipo jaula de ardilla. El aluminio tiene una mayor resistencia eléctrica específica comparada con la del cobre. 2.6.3 Pérdidas Magnéticas Las perdidas de los circuitos eléctricos de las maquinas eléctricas surgen fundamentalmente como resultado de la variación periódica del campo magnético con el tiempo. 48

k R R0


Con el fin de disminuir estas pérdidas se recurre a la división del circuito magnético en circuitos magnéticos eléctricamente aislados. En este caso, la sección efectiva necesaria del circuito magnético se forma como la suma de las secciones de los circuitos magnéticos elementales (laminas ferromagnéticas aisladas de uno u otro espesor). El espesor de las laminas y el material, del cual estas laminas se fabrican, se eligen en dependencia de la frecuencia de remagnetización. Las frecuencias de remagnetización en el estator y en el rotor coinciden con las frecuencias de las corrientes en los devanados correspondientes, en el caso general no son iguales ( ω1 ≠ ω 2 )1). Como ya se vio en el acápite 2.4, en las maquinas asíncronas la relación entre las frecuencias depende de la frecuencia de rotación, y por consiguiente la elección del espesor de las laminas de los circuitos magnéticos debe realizarse para la frecuencia de rotación nominal. Para alcanzar la distribución uniforme del flujo magnético por la sección de la lamina y obtener perdidas magnéticas admisibles, al aumentar la frecuencia hay que disminuir el espesor de las laminas y pasar a la utilización de aceros para transformadores acerados. La máquina de corriente alterna, en su variante más común posee dos devanados, uno de ellos esta situado en las ranuras del circuito magnético del estator, y el otro, en las ranuras del circuito magnético del rotor. Si los de los devanados se disponen en las ranuras de un mismo circuito magnético, entonces existen simultáneamente dos campos magnéticos, que varían con distintas frecuencias ω1 y ω 2 . Con bastante frecuencia, sobre todo en los rotores mecánicamente tensados, los circuitos magnéticos se hacen macizos de piezas de ACRO forjadas o de acero fundido (a veces de hierro colado), como es el caso de los rotores en los motores jaula de ardilla. Al analizar la variación del campo, que origina entre otras cosas las perdidas magnéticas, encontraremos que existen dos tipos de respuestas a estas variaciones, llamadas remagnetizaciones. a) Cuando las líneas del campo están siempre dirigidas en sentido radial y el campo varía periódicamente solo por su valor se llama remagnetización pulsatoria (o alterna). El vector de inducción en el caso de remagnetización pulsatoria. b) Cuando el campo permanece continuo y varía únicamente de dirección, el vector de inducción de semejante campo magnético gira con una velocidad angular ω = 2π / con respecto a la culata, conservando su valor, lo que permite llamar a esta forma de variación del campo remagnetización giratoria.

49


Es con estas nociones que se procede a calcular las pérdidas magnéticas. En forma específica, al calcular las perdidas magnéticas debido a las inductancias mutuas y a las pérdidasmagnéticas en los elementos que se remagnetizan de las maquinas eléctricas, montados de chapas aisladas de acero para transformadores, hay que tener en cuenta el carácter de la remagnetización de estos elementos (remagnetización pulsatoria o rotativa), el aumento de las perdidas esta relacionada con los factores tecnológicos (fabricación), así como con distintas formas de pérdidas magnéticas adicionales. El método convencional para calcular las pérdidas magnéticas en los elementos de los circuitos magnéticos es a partir de las pérdidas totales registradas en un kilogramo de masa del material de1 circuito magnético (estator o rotor), es decir 1 Kg. de masa de acero en chapa durante la remagnetización pulsatoria, a una frecuencia de 50 Hz y una inducción de 1 Tesla, medidas con ayuda del aparato de Epshtein. Estas pérdidas se llaman pérdidas especificas para al inducción de 1 T y se designan

W/kg. Las pérdidas especificas para otras frecuencia e

inducciones (B ≤ 1,6T ) se determinan por la fórmula de conversión siguiente: 1, 3

⎛ f ⎞ 2, Pmag = P1.0 / 50 ⎜ ⎟ B ⎝ 50 ⎠

P1.0 / 50

(2.44)

donde f debe encontrarse en el intervalo de 40 a 60 Hz. Como es sabido, es posible emplear las relaciones, por las cuales las pérdidas por histéresis son proporcionales a la frecuencia y las pérdidas por corrientes parásitas (junto con las pérdidas adicionales) son proporcionales al cuadrado de la frecuencia, si f varía en una rango mayor. 2

1 2 ⎛ f ⎞ B + σ ⎜ ⎟ B2 , Pmag = ε 50 ⎝ 50 ⎠

(2.45)

donde son las pérdidas especificas por corrientes parásitas de histéresis para

B = 1Tyf = 50 Hz. W/Kg.

50


σ . Las pérdidas especificas en las chapas de acero para transformadores se miden en condiciones determinadas: a) Con un aislamiento ideal entre las chapas b) Con el recogido obligatorio del acero después del tratamiento mecánico (el corte del acero con ayuda de tijeras o del estampado), para la variación sinusoidal de la inducción. En las construcciones reales de las máquinas eléctricas las chapas de acero, después del tratamiento mecánico, no son recocidas, lo que aumenta las pérdidas de histéresis. El incremento de las pérdidas magnéticas en los elementos de los circuitos magnéticos de las máquinas a causa de los defectos de fabricación y la imperfección en la tecnología misma se toma en consideración con los coeficientes tecnológicos de aumento de las perdidas. Al calcular las pérdidas de algunos elementos del circuito magnético hay que tener en cuenta también que la inducción durante la remagnetización pulsatoria varía no sinusoidalmente (al medir las pérdidas con ayuda del aparato de Epshtein la inducción varía sinusoidal mente). Para las máquinas de inducción rotatorias «las pérdidas magnéticas se determinan por la inducción del campo magnético de inducción mutua y del flujo magnético el cual es proporcional a la tensión de la máquina, y casi no depende de la corriente. En consecuencia, las pérdidas magnéticas son proporcionales al cuadro de la tensión de la maquina y casi no varían al variar las corrientes en los devanados. Las pérdidas debidas a la remagnetización de los circuitos magnéticos por los campos de dispersión de los devanados son proporcionales al cuadrado de la corriente. Estas pérdidas pertenecen a la categoría de pérdidas adicionales de carga, que dependen de la corriente de carga.

2.6.4 Pérdidas Mecánicas Las pérdidas por rozamiento en los cojinetes, las pérdidas por rozamiento de las escobillas contra los anillos de contacto (si éstos existen), las pérdidas por rozamiento al girar el rotor en el medio ambiente (corrientemente en un entorno gaseoso, ocasionalmente en medio líquido), y también las pérdidas por refrigeración, constituyen las pérdidas mecánicas. Las pérdidas en los cojinetes dependen de su 51


construcción y la clase de lubricante que se emplea En las maquinas pequeñas se obtienen pérdidas admisibles al emplear cojinetes de bolas o de rodillos con grasa consistente. En las máquinas de mayor potencia se emplean cojinetes de deslizamiento, los cuales, son lubricados con aceites fluidos. Como en todos los casos de fricción rotatoria las pérdidas en los cojinetes aumentan al aumentar la frecuencia de rotación, la masa del rotor y el diámetro del muñón del árbol (superficie de fricción)en la zona de disposición de los cojinetes.

52


CAPITULO 3 LAS MÁQUINAS ASÍNCRONAS

3.1

NOCIONES GENERALES

Se llama máquina asíncrona a la máquina eléctrica de dos devanados de corriente alterna, en la cual sólo un devanado (el primario) recibe alimentación de la red eléctrica con frecuencia constante w1, mientras que el otro devanado (el secundario) se cortocircuita o se cierra a las resistencias eléctricas. Las corrientes en el devanado secundario aparecen como resultado de la inducción electromagnética. La frecuencia w2 es función de la velocidad angular del motor Ω, la cual a su vez depende del momento de rotación aplicado al árbol de la máquina. Las motores asíncronos con devanado simétrico trifásico con polos de distinto signo en el estator, alimentado desde la red de corriente alterna, y con devanado simétrico trifásico o polifásico con polos de distinto signo en el rotor, son las motores eléctricos de uso más difundido, y se denominan simplemente motores asíncronos, las máquinas asíncronas de otras variantes se denominan máquinas asíncronas especiales. El devanado de polos de distinto signo del rotor de un motor asíncrono puede ser en jaula (jaula de ardilla)o de fase (rotor bobinado). Los más aplicados son los motores con devanado en jaula en el rotor, o también denominados en cortocircuito. Su fabricación es barata y la explotación fiable. Una de las principales características mecánicas del motor es que al variar la carga desde la marcha en vacío hasta la nominal su frecuencia de rotación disminuye solamente en un 2.5%). 53


Los motores con devanado en jaula en el rotor poseen también un momento de rotación de arranque inicial bastante alto. Podemos citar entre sus principales deficiencias, las siguientes: a) Dificultad de realizar la regulación suave de la frecuencia de rotación entre amplios límites; b) Consumo de corrientes de alta intensidad de la red durante el arranque (que superan de 5 a 7 veces la corriente nominal). Los motores con devanado de fase en el rotor o motores de anillos están exentos de estos defectos a cuenta de la complicación de la estructura del rotor, lo que conduce a su notable encarecimiento en comparación con los motores en cortocircuito (aproximadamente en 1.5 veces). Por ello, los motores de anillos en el rotor se emplean sólo en los casos de pesadas condiciones de arranque, así como en caso dé necesidad de regular suavemente la frecuencia de rotación. En lo que sigue centraremos nuestra atención en un motor asincrono trifásico de mediana potencia, sin embargo es necesario hacer notar que existen diversos tipos de máquinas asíncronas como por ejemplo los motores asíncronos monofásicos con devanado de arranque, los con capacitor ,los de polos blindados, y en el grupo de los motores trifásicos, los generradores, convertidores de frecuencia, con rotor macizo, con rotor amagnético hueco, bombas electromagnéticas de inducción y motores de línea y de arco, entre los llamados tipos especiales. Por otro lado, existen dipositivos como los generadores tacométricos, los transformadores giratorios y los selsynes monofásicos.

3.2

DATOS PARA EL DISEÑO Y FABRICACION

Las principales características técnicas para el diseño y fabricación de los motores asíncronos, llamadas nominales, que deben ser indicadas en los protocolos de fabricación y en la placa de cada máquina, son las siguientes: • • • • • • • 54

La potencia mecánica desarrollada por el motor, Pnom === P2nom; La frecuencia de la red f1; La tensión de línea del estator U1nom.lfn; La corriente de línea del estator I1nom.lfn; La frecuencia de rotación del rotor nnom; El coeficiente de potencia cosp1nom; El rendimiento nnom;


Para el caso de los motores de anillos deberá registrarse la tensión en los anillos abiertos cuando el rotor se encuentra inmóvil y la corriente lineal del rotor en el régimen nominal. Los datos nominales de los motores asíncronos varían entre límites muy amplios: a) La potencia nominal, desde fracciones de watio hasta decenas de miles de kilowatios. b) La frecuencia nominal sincrónica de rotación n1om ==60 f1/p para la frecuencia de red de 60 Hz varía desde 3600 hasta 600 r.p.m. y menos en casos particulares; para elevadas frecuencias, hasta 100 000 r.p.m. y más (la frecuencia nominal de rotación del motor es corrientemente en un 2. a 5% menor que la sincrónica; en los micromotores, en un 5 a .20%). c) La tensión nominal varia desde 24 V hasta 10 kV (los valores mayores para potencias mayores). d) La eficiencia nominal de los motores asíncronos aumenta al aumentar su potencia y su frecuencia de rotación; para la potencia mayor de 0.5 kV este rendimiento constituye 0.05.....0.95, en los micromotores de 0.2 a 0.65. e) El factor nominal de potencia de los motores asíncronos, igual a la relación de la potencia activa a la potencia total consumida de la red,

3.3ASPECTOS CONSTRUCTIVOS DEL MOTOR CON ROTOR CORTOCIRCUITADO La composición constructiva de una máquina asíncrona con rotor en cortocircuito se representa en la figura 3-1. Del Libro Máquinas Eléctricas de I.A. Ivanov – Smolenski, tomamos la información principal sobre este tópico. 3.3.1 Partes activas del estator El estator de la máquina se compone de: a) Circuito magnético b) Devanado trifásico de polos de distinto signo c) Terminales, bornera y, d) Bancada, chasis o carcaza Los elementos activos del estator, destinados especialmente para crear el campo magnético giratorio, son el circuito magnético y el devanado. El circuito magnético del estator se compone de placas aisladas de acero para transformadores, corrientemente de 0,5 mm de espesor. Las placas se estampan de acero para 55


transformadores en chapa y en rollo con dimensiones normalizadas y son aisladas por ambos lados con laca o barniz.

MOTOR ASINCRONO CON ROTOR TIPO JAULA DE ARDILLA SERIE 4A 2. Estrías de ventilación en carcasa; 4. Alabes de ventilador; 5. Base portacojinete; 6. Tapa lateral; 7. Eje del motor; 8. Perno de fijación; 9. Espárrago; 11. Caja de borneras; 13. Carcasa parte lateral; 14. Núcleo del estator (parte exterior)

Con el fin de disminuir las pulsaciones del campo magnético y las pérdidas adicionales relacionadas con el carácter dentado del circuito magnético, el devanado del estator, como regla, se coloca en las maquinas asíncronas en ranuras semicerradas. 3.3.2 Partes activas del rotor El rotor de la maquina se compone de: a) Circuito magnético, en las ranuras del cual se encuentra el devanado en cortocircuito de fases múltiples no aislado, b) Las palas de ventilación incorporadas al devanado, c) El árbol y uno o más ventiladores Los elementos activos del rotor, que participan activamente en el proceso de transformación de la energía, son el circuito magnético y el devanado. Las demás piezas tienen destinación constructiva el árbol transmite la energía. Los ventiladores aseguran la circulación del medio refrigerante. 56

8


El circuito magnético del rotor se compone de placas anulares enterizas estampadas de chapas de acero para transformadores de 0,5mm de espesor en la parte exterior de las cuales se han cortado las ranuras de la forma requerida (cerradas o semicerrados). Las placas del circuito magnético del rotor se arman en un mandril especial, se prensan en él y se mantienen en estado prensado durante el proceso de fabricación del devanado en cortocircuito. El devanado en cortocircuito se funde de aluminio y no se aísla del circuito magnético. Los anillos de tope que cierran por los lados las barras de devanado, se funden en una sola pieza con las barras. Simultáneamente en forma salientes a los anillos de corto circuito se funden las palas de ventilación El árbol del rotor se apoya sobre cojinetes de contacto rodante. El cojinete de bolas 12 centra el rotor no solo en dirección radial, sino también en axial, soportando junto con los esfuerzos radiales, también los axiales. El árbol del rotor debe ser lo suficiente rígido, y el tratamiento mecánico de las piezas constructivas que aseguran la posición correcta del eje del árbol en el espacio debe realizarse con alta exactitud. La elevación del motor durante la reparación se realiza con ayuda de la argolla, también llamada «cáncano».

57


58


CAPITULO 4 DETERMINACIÓN DE LOS PARÁMETROS DE LA MÁQUINA ASÍNCRONA TRIFÁSICA CON ROTOR JAULA DE ARDILLA SOBRE LA BASE DEL RESULTADO DEL DISEÑO. φ, 220/380V, 60 Hz, 1800 Cálculo del motor jaula de ardilla. 13 KW, 3φ RPM. Régimen de Trabajo Programado, Construcción Protegida, Ventilador Radial (máquina normal de serie tipo 4A) 4.1 EFICIENCIA Y FACTOR DE POTENCIA NOMINALES De la Tabla 4-1, cosfn=0.88; hn=0.885 4.2. SELECCIÓN DE LAS DIMENSIONES PRINCIPALES 4.2.1. Número de pares de polos

p=

fr.60 60.60 = =2 n1 1800

4.2.2. Potencia de cálculo. Ρ′ =

ΚΕ Ρn

ηn cos φn

=

(0.97 )(13) = 16,2 KVA (0.885)(0.88)

Donde KE =0.97 según la Figura 4-1 59


4.2.3 Diámetro Interior y Exterior del Estator. De la Figura 4-2, en función de la Potencia y el número de polos. D ≈ 19 cm. Da ≈ 1,58D ≈ 30 cm. Luego, el diámetro más cercano exterior es Da≈29,1 cm. (Diámetro exterior). De donde Tomamos

D≈

29,1 = 18,42cm. 1,58

D = 18,40 cm. (Diámetro interior)

TABLA 4-1 EFICIENCIA Y FACTOR DE POTENCIA

MAQUINAS ASINCRONAS TIPO A2-A4 EFICIENCIA % RPM 3000 1500 1000 POTENCIA 7.5 10 87 13 88.5 88 17 88 89.5 89 22 89 90 89.5 30 90 90.5 90 40 90.5 91 91 55 91 92 92 75 92 92.5 92.5

60

750 85 87 87.5 88.5 89 90 91.5 92

COSΦ 3000

1500

1000

750

0.88 0.88 0.88 0.89 0.89

0.88 0.88 0.88 0.88 0.89 0.89

0.86 0.86 0.87 0.87 0.88 0.89 0.89

0.78 0.81 0.82 0.82 0.82 0.84 0.84

Máquinas Asincronas - Estados Estable y Dinámico 1.00 KE 0.98

0.96

0.94

0.92

0.90

0.88 P 0.86 2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

FIG. 4.1 Coeficiente de tensión vs numero de pares de polos

4.2.4. Paso Polar

τ=

πD πx18,4 = = 14,45 cm. 2p 4

4.2.5 Longitud de Cálculo del Estator.

l∂ =

6,1 * 10′′ * P1 α∂ k b k o1 AB∂ D 2 n

Donde: P1: potencia calculada de la máquina = 16.2 en KVA.

61


De la Figura 4-3, para τ = 14.45 cm, si asumimos los siguientes valores: ∝∂=0.715 Kb=1,090 A =310 amp/cm. B∂=7200 gauss Y seleccionemos el devanado en bucle para dos capas, con lo que K01 ≈0.91 Obtenemos: l∂=12.25 cm. ., tomamos l∂ = 12.3 cm. 4.2.6. Longitud Real del Estator. l1=l=l∂=12.3 cm. La Tabla 4-2 contiene las variables de cálculo típicas para motores del tipo 2A y 4ª en 13 y 17 Kw.

cm D

80 60 50 40

P=6

30 5 20 4 15

3 2

10 8 7

P=1 1

2

3

4

5

7

10

20

30

40 50 60 70

100

200

300

500

700

KWA

Fig. 4.2 Relación Diámetro vs Número de polos y potencia de diseño

62


gauss 8 400

P=6

3

2

8 000 1

7 600 7 200 6 800 6 400 6 000 12

3

2 7

P = 24

A

Amp/cm

6

450

350

250

150

4

12

20

28

36

44

52

cm

Fig. 4.3 Densidad de flujo e intensidad de corriente vs longitud de paso polar y número de pares de polos

63


4.3 PARTES ACTIVAS DEL ESTATOR 4.3.1. Número de ranuras por polo y por fase Se seleccionó q1 = 3. 4.3.2. Número total de ranuras del estator Z1 =6.p.q1=6.2.3=36. 4.3.3. Paso de dientes del estator

πD π x 18,4 = 1,605cm t1 = Ζ = 36 1 4.3.4. Corriente Nominal por fase.

Ι 1n =

(para 220/380 V – conexión de fases ∆/Υ) 4.3.5 Número efectivo de conductores por ranura. (para a1 = 1).

µ n1 =

At1 a 1 310x1,6055x1 = = 19,7 Ι1n 25,3

Seleccionamos µn1 =20, (a1 =número de hilos/conductor). 4.3.6 Sección y diámetro de los conductores de devanado del estator. Considerando una densidad de corriente admisible ∆c≈5,2 amp/mm2, obtenemos la sección teórica:

64

Pn .10 3 m1Vη n cos


s1c =

Ι1n 25,3 = = 1,62 mm 2 a 1q1∆ c 1x3x5,2

Seleccionamos la sección comercial inmediata inferior, esto es: s1c=1,651 mm2 4.3.7. Densidad Real de Corriente.

∆c =

2 Ι1n 25,3 = = 5,10 − amp. / mm q1a1s c 3x1x1,561

4.3.8 Dimensiones de la ranura, diente y aislamiento de la ranura El número total de conductores por fase es: nt =

µn1 nε=20x3=60

El diámetro nominal de los conductores considerando el aislamiento es: de = 1.56 mm2 por tanto la sección llena de la ranura es: S1 t =

nt da 2 60 × 1,56 2 = = 200 mm 2 k3 0,73

k3=0,73, Considerando S1t≈200 mm2, y tomando como base la información contenida en la Tabla 4-3 y la Figura 4-4, el valor real de S1t≈197 mm 2 4.3.9 Valor real del coeficiente de relleno.

Κ3 =

n t d 2 a 146 = = 0,74 197 S1 t

65


4.3.10 Determinación del valor de inclinación de la ranura. Tómanos bc=12,5 mm como valor de diferencia entre la cabeza y la cola del vástago o barra de la jaula de ardilla, entonces:

1 bc 12,5 1 = = = C πD 18,4π 46 4.3.11 Número total de espiras del estator

ω1 = pq

µ n1 a1

= 2 × 3×

20 = 120 1

4.3.12 Paso del devanado

β=

γ 7 = = 0,778 τ 9

γ=0.83*t= 0.83*9 =7

γ=7, para (1→8)

TABLA 4-2 VARIABLES DE CÁLCULO

Nro. Variables 1 2 3

66

Da

D

τ

A

Bδ

Lδ

L1

29.10 24.80 34.30

18.47 16.70 21.60

14.45 12.30 16.95

310 280 330

7200 7100 7300

12.30 19.00 8.30

12.30 19.00 8.30

Lδ/τ (13kW) 0.852 1.545 0.490

Lδ/τ (17kW) 1.11 2.02 0.81


TABLA 4-3 COMPONENTES DE LA RANURA DEL ESTATOR (Fig. 4-4) Nro

Material

1

Conductor tipo Cu-PTV 1.45/1.56 Papel aislante seco Papel aislante en aceite Material aislante resina Idem anterior Madera Valores para la ranura

2 3 4 5 6

Características Valores Totales Espesor Cantidad Cantidad Ancho Ancho (mm) Vertical Horizontal Vertical Horizontal

0.27 0.27 0.27 0.27 3

2 2

3 3 2 1 1

0.54 0.54

1.1

0.8 0.8 0.54 0.27 3 5.4

TABLA 4-4 NÚMERO DE RANURAS DEL ESTATOR Y ROTOR (En función del número de polos) Pares de polos 2

4

Estator 18 24 30 36 42 48

Rotor c/inclinación 16,32 22,38 26,28,44,46 32,34,50,52 38,40,56,58

24 36 42 48 60 72

32 26,44,46 34,50,52,54 34,38,56,58,62,64 50,52,68,70,74 62,64,80,82,86

Rotor s/inclinación 26 18,30,31,33,34,35 18,20,21,23,24,37,39,40 25,27,28,43,45,47 59 16,20,30,33,34,35,36 24,27,28,30,32,45,48 33,34,38,51,53 36,39,40,44,57,59 48,49,51,56,64,69,71 61,63,68,76,81,83

4.3.13 .Coeficientes o Factores de Corrección para el DevanadoKπ1=0,94 i

Kδl

=0.902 (ver tabla 4.6)

67


4.3.14 Flujo magnético en el entrehierro

φ=

K E U1n 10 8 4Kb f1 W1K o1

( 0,97 )(220 )(10 8 ) φ= = 0.7525 * 10 6 4(1,09 )(60 )(120 )(0,902 ) 4.3.15. Inducción magnética en el entrehierro

Bδ =

( )

φ (0,7525) 10 8 = 5920 = gauss αδτl (0,715)(14,45)(12,3)

4.3.16 Inducción máxima (y media) en el diente

Β zim = Bzicp =

Bδ * t1 * λδ (5920 )(1,605)(0,95) = (0,73)(12,3)(0,95) b z1 * l * k c

Bzim = 13 700 gauss Considerando el acero electrotécnico Para l<14 cm. , tomamos kc =0.95 ,con aislamiento de espesor 0,5 mm. 4.3.17 Altura del yugo del estator.

Da − D − h z1 2 29,1 − 18,4 hc = − 2,55 = 2,88 cm. 2 hc =

De la geometría de la máquina hz1=2,55 cm. 68


4.13.18 Inducción en el yugo del estator.

Bc =

φ 0,7525 *106 = = 11,500 gauss 2hclk c 2(2,8)(12,3)(0,95)

4.13.19 Entrehierro según la Figura 4-5. δ=0.45 mm.

60

9

º

0,6

3,1

16,05

Fig. 4.4 RANURA DEL ESTATOR Forma y dimensiones características de la ranura del estator de la máquina en estudio 69

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0

50

2

200

0 +1

150

=4

=

mm

1

2

3

0

200

400

600

800

6

1000

4

8

1200

mm

14

12

10

1

2

3

1000

mm

2000

2P

8 =1

Fig. 4.5, 4.6, 4.7 Entrehierro (δ δ) vs Diámetro del estator y número de pares de polos

100

2P

2

P

mm 2 = P

70 2

mm

3000

6 +5


B Gauss 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000 12000 13000 14000 15000 16000 17000 18000 19000 20000 21000 22000 23000 24000 25000

0 1.40 1.71 2.11 2.61 3.18 3.97 5.02 6.47 8.43 11.40 15.80 25.00 43.70 77.80 128.00 197.00 310.00 655.00 1440.00 2240.000 3040.00 3840.00

100 1.43 1.75 2.16 2.66 3.24 4.07 5.14 6.64 8.66 11.80 16.40 26.40 46.30 82.00 134.00 206.00 325.00 725.00 1520.00 2320.00 3120.00 3920.00

200 1.46 1.79 2.21 2.71 3.30 4.17 5.27 6.82 8.91 12.20 17.10 27.90 49.10 86.30 142.00 216.00 343.00 800.00 1600.00 2400.00 3200.00 4000.00

300 1.49 1.83 2.26 2.76 3.37 4.27 5.41 7.01 9.18 12.60 17.80 29.50 52.20 90.70 146.00 226.00 365.00 880.00 1680.00 2480.00 3280.00 4080.00

400 1.52 1.87 2.31 2.81 3.44 4.37 5.55 7.20 9.46 13.00 18.60 31.10 55.30 96.30 152.00 236.00 390.00 960.00 1760.00 2560.00 3360.00 4160.00

500 1.53 1.91 2.36 2.87 3.52 4.47 5.70 7.39 9.76 13.40 19.50 32.80 58.80 101.00 159.00 246.00 420.00 1040.00 1840.00 2640.00 3440.00 4240.00

600 1.58 1.95 2.41 2.93 3.60 4.58 5.85 7.59 10.10 13.80 20.50 34.60 62.30 106.00 166.00 256.00 455.00 1120.00 1920.00 2720.00 3520.00 4320.00

700 1.61 1.99 2.46 2.99 3.69 4.69 6.00 7.79 10.40 14.30 21.50 36.60 66.00 111.00 173.00 268.00 495.00 1200.00 2000.00 2800.00 3600.00 4400.00

800 1.64 2.03 2.51 3.06 3.78 4.80 6.15 8.00 10.70 14.80 22.60 38.80 69.80 116.00 180.00 282.00 545.00 1280.00 2080.00 2880.00 3680.00 4480.00

INDUCCIÓN MAGNÉTICA EN FUNCIÓN DE LA DENSIDAD DE FLUJO DE MATERIALES E11, E12, E13

TABLA 4-5

900 1.67 2.07 2.56 3.12 3.87 4.91 6.31 8.21 11.00 15.30 23.80 41.20 73.70 122.00 188.00 296.00 595.00 1360.00 2160.00 2960.00 3760.00 4560.00

B Gauss 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000 11000 12000 13000 14000 15000 16000 17000 18000 19000 20000 21000 22000 23000 24000 25000


71

Miguel Ocharán P. a TABLA 4-6 CÁLCULO DE LONGITUD DE BOBINAS DEL ESTATOR (En función del número de polos)

Pares de Polos 2 4 6 8ó+ Considerando 2 4 6 8ó+

72

1.0177

1.0256

1.0347

1.0450

1.0700

1.1000

1.1590

1.3570

1.7450

2.1500

12

14

16

20

225

30

40

50

60

15

ε

10

γE

2.5600

2.0100

1.4850

1.2160

1.1490

1.0960

1.0610

1.0471

1.0347

1.0240

20

2.9700

2.2700

1.6120

1.2730

1.1890

1.1210

1.0780

1.0590

1.0440

1.0310

25

3.3800

2.5400

1.7400

1.3300

1.2800

1.1460

1.0940

1.0720

1.0530

1.0360

30

3.8000

2.8100

1.8680

1.3870

1.2670

1.1720

1.1000

1.0840

1.0620

1.0430

35

4.2000

3.0700

1.9900

1.4440

1.3070

1.1970

1.1260

1.0970

1.0710

1.0490

40

4.6200

3.3400

2.1200

1.5000

1.3460

1.2200

1.1420

1.1090

1.0800

1.0550

45

5.0300

3.6000

2.2500

1.5580

1.3850

1.2470

1.1590

1.1220

1.0880

1.0620

50

5.4400

3.8700

2.3800

1.6150

1.4240

1.2730

1.1750

1.1340

1.0980

1.0680

55

5.8500

4.1400

2.5050

1.6710

1.4630

1.2980

1.1920

1.1460

1.1070

1.0740

60

6.2500

4.4000

2.6300

1.7300

1.5010

1.3240

1.2070

1.1590

1.1700

1.0810

65

6.6600

4.6600

2.7600

1.7860

1.5400

1.3480

1.2230

1.1710

1.1260

1.0870

70

TABLA 4-7 COEFICIENTE DE CORRECCIÓN DE IMPEDANCIA CONSIDERANDO LA INCLINACIÓN DE LA RANURA DEL ROTOR


73


4.4 PARTES ACTIVAS DEL ROTOR DEVANADO, RANURAS Y YUGO DEL ROTOR. 4.4.1 Número de ranuras del rotor. Ζ2=46 (Ver Tabla 4-4) 4.4.2 Diámetro exterior del rotor.

D’=D-2δ=18,4-2(0,045)=18,31 cm. 4.4.3 Paso del diente del rotor.

t2 =

π D´ π(18,31) = = 1,25 cm Ζ2 46

4.4.4 Corriente en la barra ó vástago de la jaula de ardilla

(para K1 =0.92) ⎛ 6w K ⎞ Ι c = Ι 2 = k1 Ι1n ⎜⎜ 1 o1 ⎟⎟ ⎝ Ζ2 ⎠ ⎛ 6 × 120 × 0,902 ⎞ Ι c = Ι 2 = (0,92)(25,3)⎜ ⎟ = 328amp. 46 ⎝ ⎠ 4.4.5 Corriente en el anillo cortocircuitado del rotor

⎞ ⎛ ⎟ ⎜ 1 ⎟ = I ⎛⎜ 1 ⎞⎟ ⎜ Ιk = Ιc ⎜ πp ⎟ c ⎝ ∆ ⎠ ⎟ ⎜ 2 sen Z2 ⎠ ⎝ ⎛ 1 ⎞ Ι k = 328⎜ ⎟ = 1205 amp ⎝ 0.272 ⎠

74


∆ = 2 sen

πp Z2

= 2 sen

2π = 0.272 46

4.4.6 Sección del vástago o barra para un valor de densidad de corriente ∆c ≅ 3.4 amp/cm2

Sc =

I c 328 = = 97 mm 2 ∆ c 3 .4

4.4.7 Sección de anillo cortocircuitado para un valor de densidad de corriente ∆k ≈ 2,6 amp/mm2

Sk =

Ik 1205 = = 465 mm2 ∆K 2,6

4.4.8. Tamaño de la ranura y del diente del rotor De las Figuras 4-7 y 4-8, obtendremos que tr2=28 mm bm2=1,5 mm Además, puesto que

St = Sc ≈ 97 mm2 obtenemos,

br 2

=

St 97 = ≈ 3,47 mm tr 2 28

tomamos br2 = 3,5 mm

75


4.4.9 Area de la ranura. Según la Figura 4-8

(

)

(

)

St = Sc = hr 2 b r 2 + 0.5 b r 2 2 − bm 22

St = Sc = (28)(3,5) + 0,5 3,52 − 1,52 = 103 mm 2

4.4.10 Tamaño de los anillos cortocircuitados. Sr=ab=(33)(14)=462 mm2 (la sección del anillo es trapezoidal)

4.4.11 Altura de yugo del rotor

hp =

D′ − D′a + 16 D′a

− hz2 2 (18,31) − 6 + 16 (6) hp = − 3,04 = 3,675 cm 2

El valor de la altura del diente del rotor es tomado a parir de la geometría del mismo hz2 = 3,04cm Fog4.7 f.i4.8 4.4.12 Inducción en el yugo del rotor.

Bp =

φ 0,7525 * 106 = = 8415gauss 2 * hp * l 2 * k c 2 (2 )(3,675)(12,8)(0,95)

(La longitud l2=l1+0,5=12,3+0,5=12,8 cm)

76


4.5 FLUJOS DE MAGNETIZACIÓN. 4.5.1 Coeficiente para el cálculo del valor del flujo de magnetización en el entrehierro.

kl = 1,14

bm1 3,10 = = 0,193 t1 16,05 para

bm1 3,10 = = 6,90 δ 0,45 kl 2 = 1,07

bm 2 1,50 = = 0,12 t2 12,5 bm 2 1,50 = = 3,33 δ 0,45 finalmente:

kl = kl 1 * kl 2 = (1,14 )(1,07) = 1,22 4.5.2 Tensión magnética en el entrehierro.

Fδ = 1.6 * B∂ * kl * δ = (1,6 )(5920 )(1,22 )(0,045) Fδ = 520 amp.

4.5.3 Tensión magnética en los dientes del estator.

Fz1 = 2 * l z1 * H z1 = (2 )(2,55)(14,30) = 72,93 amp. 77


(de la Tabla 4-5 para Bzicp= 13.700 gauss Hzi=14,30 amp/cm.; además lzi = hz1 = 2,55 cm.) 4.5.4 Tensión magnética en los dientes del rotor.

Fz2 = 2 l z 2 H z 2 = (2)(3,04)(9,98) = 60,67 amp. Hz2 se calcula a partir de las inducciones en los dientes del rotor:

Bδ * t 2 * l∂ b z 2 max * l2 * k c

Bz 2 min =

(5920)(1,25)(12,3) = 8507 gauss (0,88)(12,8)(0,95)

=

B z 2 max =

Bδ * Z 2 * l∂ b z 2 min * l 2 * K c

=

(5920 )(1,25)(12,3) = 14973gauss (0,5)(12,8)(0,95)

En consecuencia Bz2cp, inducción promedio es Bz2cp = 11 740 gauss, En consecuencia de la Tabla 4-5 hallaremos: H2zmin = 3,52 amp/cm H2zmax = 24,60 amp/cm. H2zcp

= 7,94 amp/cm

Hz2 = 1/6 (3,52+24,60+4(7,94))= 9,98 amp/cm.

78


4.5.5. Coeficiente o factor de saturación de los dientes

kz =

Fδ + Fz1 + Fz 2 520 + 72,93 + 9,98 = = 1,159 Fδ 520

4.5.6. Precisión de las magnitudes de la inducción y la tensión magnética en los dientes del estator, del rotor y del entrehierro. Puesto que el factor kz es diferente de 1,325 que corresponde a ∝δ = 0,715, entonces repetimos el cálculo de Fz1, Fz2, Fδ; afectándolos por el valor de corrección siguiente: Tomando por interpolación: aδ = 0.705 para kz=1,159 Las ecuaciones en este caso varían en la proporción

0,715 = 1,014 0,705 En consecuencia los valores corregidos son: Bδ 6003 gauss Fδ 527 amp. B z1cp 13890 gauss H z1 14,50 amp/cm. FZ1 73,95 amp. B z2min 8626 gauss H z2min 3,57 amp/cm Bz2max 15183 gauss Hz2max 24,94 amp/cm. B z2cp 11904 gauss10 H z2cp 8,05 amp/cm. H z2 10,12 amp/cm F z2 61,52 amp K z 1,159 79


4.5.7. Tensión magnética del yugo del estator. Fc = ξ*Hc*ϑc=(0,45)(7,39)(20,6)=68,51 amp (de la Tabla 4-5, para Bc = 11500 gauss) Hc = 7,39 amp/cm; de la Figura 4-9 ξ=0,45

lc =

π(Da − hc ) π(29,1 − 2,8) = = 20,6 cm 2p 4

4.5.8 Tensión magnética del yugo de rotor Fp = ξ*Hp*lp =(0,62)(3,46)(7,56)= 17 amp. (de la tabla 4-5 para Bp = 8415 gauss) Hp = 3,46 amp/cm, de la Figura 4-9 ξ= 0.62

lp =

80

(

π D1a + h p 2p

) = π(6 + 3,615) = 7,56 amp. 4


0,4

1,5

12,5

28

30,4

8, 8

5 3,5

Fig. 4.8 Ranura del rotor: dimensiones (mm)

0,8

0,6

0,4

0,2

Bc (Bp) 0 4

6

8

10

12

14

16

Kgauss

Fig. 4.9 Factor de corrección para tensión magnética (x) vs densidad de flujo 81


4.5.9. Fuerza de magnetización del circuito magnético.

Fµ = Fδ + Fz1 + Fz 2 + Fc + Fp = 527,28 + 73,95 + 61,52 + 68,51 + 17 = 748,25 amp.

4.5.10 Coeficiente total de saturación.

kµ =

Fµ 748,25 = = 1,42 Fδ 527,28

4.5.11 Corriente de magnetización.

Iµ =

p * Fµ (2 )(748,25) = 5,12 amp. = 0,9 m. w , Ko1 (0,9 )(3)(120 )(0,902 )

y el valor por unidad es

Iµ % =

Iµ 5,12 x100 = x100 = 20,24% I iN 25,3

4.6 PARÁMETROS DEL MOTOR EN RÉGIMEN DE TRABAJO 4.6.1 Longitud de la parte frontal del devanado del estator

lπ 1 = kπ 1xτ yi + 2 B

lπ 1 = (1.55)(12.8) + 2(1) = 21.85 π (D + hπ 1) π (18.4 + 2.5) ⎡ ⎤ =7 = 12.8 cm.⎥ ⎢τy1 = y1 Z1 36 ⎢ ⎥ ⎢⎣de la Tabla : 4 − 6, Kπ 1 = 1.55 B = 1cm ⎥⎦

82


4.6.2 Longitud hacia la salida de la parte frontal del estator. lB1 = kBi ℑu1+B =(0.5)(12.8)+1= 7.4 cm. 4.6.3 Longitud media de la semiespira del devanado del estator. lcp1 = l1 + lπ1 = 12.3 + 21.85 = 34.15 cm

4.6.4 Longitud total del conductor del devanado del estator. lt1 = 2*w1lcp *10-2 = (2)(120)(34,15)(10-2) = 82 m

4.6.5 Resistencia activa del devanado del estator.

r1 = ρ

l

t1 82 = 1 * = 0,3601 75 n * s * a 58 3 * 1,65 * 1 c c 1

en valores por unidad:

I *r 25,3 * 0,3601 r * = 1N 1 = = 0,0414 = 4,14% 1 V 220 1N 4.6.6 Resistencia activa del devanado del rotor.

2r r =r + a 2 p ∆2 rp = resistencia del vástago. ra = resistencia del anillo. *Cálculo de la resistencia del vástago.

83


l *10 − 2 12,80 *10 − 2 2 r =ρ = 1 * = 5,4 *10 −5 ohm p al,75º C s 23 103 c (para el aluminio colado de Tablas ρal = 1/23) *Cálculo de la resistencia de cortocircuito del anillo.

ρ * πD '1 * 10 − 2 r al , 75 C r =2 a =2 k ∆2 Z * s * ∆2 2 r 3.1416 *15,01 * 10 r =2 1 k 23 46 * 462

−2

1 0,272 2

= 2,61 * 10 −5 ohm

D1 =D2–a =18,31-3.3 =15.01 cm ∆ = 0,272 en consecuencia r2 = 8,01*10-5 4.6.7 Factor de reducción de los parámetros del rotor jaula de ardilla al devanado del estator. v = 4 m1(w1*ko)2 /Z2 =(4)(3)(120*x 0,902)²/46 v = 3,06 x 10³ 4.6.8 Resistencia activa del devanado del rotor reducida al devanado del estator. r2 = r2v =(8,01)(10-5)(3,06)(10³)=0,245 ohm

84


su valor por unidad

I *r 25,3 * 0,245 r * = 1N 2 = = 0,282 p.u = 28,20% 2 V 220 1n 4.6.9 Factores para el cálculo de la conductibilidad magnética de dispersión del estator Para los valores de fórmulas y tablas consignados en el Apéndice 1 λπ1 = 1,26 λd1 = 1,62 λf1 = 1,21 ∑λ1 = λπ1 + λd1 + λƒ1 = 1,26 + 1,62 + 1,21 = 4,09

4.6.10 Resistencias inductivas de la dispersión del flujo en el devanado del estator.

x1 = 0,158 *

f1*w12 *l1 ∑ λ1 100*100 2 *p*q1

x 1 = 0,158 *

60 * 120 2 * 12,3 * 4,06 = 1,1446 Ω 100 * 100 2 * 2 * 3

en valores por unidad. x1* = 0,1316 p.u. = 13,16%

85


4.6.11 Factores para el cálculo de la conductibilidad magnética de dispersión del rotor. Análogamente del Apéndice 1, para el rotor: λπ2 = 3,386 λd2 = 1,860 λƒ2 = 0,845 ∑λ2 = ∑π2 + ∑d2 + ∑f2 = 6,091 4.6.12 Resistencias inductivas de dispersión de devanado del rotor

x 2 = 9,9 * f1 * l δ * ∑ λ 2 * 10 −3 = 9,9 * 60 * 12,8 * 6,091 * 10 −3 x 2 = 0,3696 * 10 − 3 Ω

4.6.13 Valor de la resistencia inductiva del devanado del rotor reducida al devanado del estator. x2= (0,3696*10-3)(3,06 x 103) = 1,1309 ohm en valores por unidad. x2 = 0,1309 p.u. = 13,09% 4.6.14 Resistencia inductiva de la inducción recíproca (sin considerar la inclinación de las ranuras)

V − I *x 1N µ 1 220 − 5,12 * 1,1446 x ≈ = = 41,82 Ω 12 I 5,12 µ en valores por unidad. x12 = 4,47 p.u. 86


4.6.15 Resistencias inductivas de dispersión tomando en consideración la inclinación de las ranuras. El ángulo de inclinación. γc = 360p/Z2 = (360)(2)/46 = 15,6° Según la siguiente fórmula: ε = V1N /(Iµ*x1)= 220/(5,12*1,1446)=37,25 De la Tabla 4-7 σck = 1.111, por lo tanto: x1*σck = (1,1446)(1,11) = 1,272 ohm x21*σck = (1,1309)(1,11) = 1,256 ohm Adoptamos: x1 = 1,272 ohm x2 = 1,256 ohm 4.7 PÉRDIDAS EN EL ACERO Y PÉRDIDAS MECÁNICAS 4.7.1 Peso del yugo del estator Gc = γ*hc*kc*l1*lcp(2p)*10-8 Gc =(7,8)(2,8)(0,95)(12,3)(20.6)(4)(10-8) Gc = 21 kg. 4.7.2 Peso de los dientes del estator. Gcz = γ*Z1*hz1*kbpcp*l1*kc*10-8

87


Gcz = (7,8)(36)(2,55)(0,735)(12,3)(0,95)(10-8) Gcz = 6.15 kg 4.7.3 Pérdidas principales en el acero del yugo del estator Pcc = kπ*pcc*Gc*10-8 Pcc = (1,6)(5,87)(21)(10-8) = 0,197 kw. Consideramos: pcc = 5.87 (w/kg) para el acero E12 y para Bc= 11500 gauss 4.7.4 Pérdidas principales en el acero de los dientes del estator. Pcz = kπ1*pcz*Gcz*10-8 Pcz = (1,8)(6,38)(6,15)( 10-8) Pcz = 0.0706 kw. Se ha considerado pcz = 6,38 (w/kg) para Bz1cp = 13 892 gauss 4.7.5 Pérdidas superficiales en los dientes del rotor.

t −b m 2 l * 10 − 7 * p = 2 pτ 2 P sup, r δ sup, r p t 2 2 1,5 ⎛ Z1 * n1 ⎞ ⎛ B 0 * t1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎜ p = 0,5k ⎜ sup, r 0 ⎜ 10000 ⎟ ⎜ 1000 ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

88


de Tablas obtenemos: ko = 2 Bo = βokδBδ por consiguiente: Bo = (0,365)(1,22)(6003) = 2673 gauss β 0 se obtiene a partir de la relación: bm1/δ= 3,1/0,45 = 6,9 i βo = 0,365 como Z1 = 36, n1 = 1800 t1 = 16,05 mm t2 = 12,50 mm bm2 = 1,50 mm p =2 τp = 14,45 lδ = 12,30 entonces, reemplazando psup,r = 960 w/m2 Psup,r = 0,060 kw. 4.7.6 Pérdidas por pulsación en los dientes del rotor.

Ppuls,r

⎛ Z *n ⎞ ⎟ = 0,14⎜ 1 ⎜ 10000 ⎟ ⎝ ⎠

B puls,r = B

2⎛ B ⎜ puls, r ⎜⎜ 1000 ⎝

2 ⎞ ⎟ G * 10 −8 zp ⎟⎟ ⎠

γ δ 0 = 11904 4 * 0,45 = 857 gauss z 2cp 2 t 2 * 12,5 2

en consecuencia, como Gzp= 9,15 Ppuls,r = 0,0395 kw. 89


90


CAPITULO 5 LA MAQUINA ASINCRONA EN ESTADO ESTABLE

La transformación electromecánica de la energía sucede en una máquina asíncrona en todos los regímenes, excepto dos regímenes peculiares: el régimen de marcha en vacío y el régimen de cortocircuito. En el régimen de marcha en vacío la potencia mecánica, desarrollada por el rotor Pmec=MΩ es igual a cero, por cuanto la velocidad angular del rotor coincide con la velocidad angular del campo Ω = Ω1 y el momento electromagnético M=0 En el régimen de cortocircuito la potencia mecánica es igual a cero. Por cuanto en este régimen el rotor esta fijo Ω = 0. 5.1 MARCHA EN VACÍO En el régimen de marcha de vacío ideal debemos considerar lo siguiente: a) El momento exterior, aplicado al árbol de la maquina, es igual a cero (Mext ==0). b) No existe momento debido al rozamiento de las piezas giratorias. c) El rotor de la maquina gira con las misma velocidad angular que el campo giratorio (Ω=Ω1) d) El deslizamiento es igual a cero (s==0); e) La f.e.m. y las corrientes del devanado del rotor no se inducen (I2 = 0), y, f) El momento electromagnético que equilibra el momento exterior y el momento de las fuerzas rozamiento, es igual a cero(M=0). El régimen de marcha en vacío de la máquina asíncrona es análogo a régimen de marcha en vacío del transformador. El campo magnético se forma en este régimen solo por la corriente primaria, lo que permite llamar la corriente de marcha en vacío corriente magnetizante (I1=I0). 91


A diferencia del transformador el sistema de corrientes I0 en las fases del rebanado polifasico del estator forma un campo magnético giratorio. En virtud de la insignificante caída de tensión X1 Ýo y R1 Ýo la tensión Ù1 se equilibra casi totalmente por la f.e.m. Ë1 es decir Ù1 = -Ë1 En el cálculo del circuito magnético se cumple en el régimen de marcha en vacío con el fin de determinar la corriente magnetizante en el devanado del estator I0 (o la f.m.m. F0), que origina el campo giratorio con el flujo magnético Øm que induce en el devanado del estator la f.r.m. prefijada En el caso de circuito magnético no saturado las resistencias de las secciones de acero del circuito magnético son insignificantes y el campo en el entrehierro se determina principalmente por su propia resistencia magnética. Por esta razón, la distribución de la inducción en el entrehierro repite la distribución sinusoidal del armónico fundamental de la f.m.m. La saturación de los dientes conduce a la distorsión del carácter sinusoidal de la distribución dé la inducción en el entrehierro, que se manifiesta en forma de aplanamiento» de la curva en la zona de grandes f.m.m. Una vez realizado el cálculo del circuito magnético y determinada la corriente en vacío se puede hallar la resistencia principal del devanado del estator teniendo en cuenta la saturación del circuito magnético.

5.2 MARCHA EN REGIMEN DE CARGA Analicemos los procesos electromagnéticos estables en la máquina asíncrona cargada para el caso de tensiones sinusoidales en el devanado del estator, que forman un sistema polifásico simétrico. Para establecer las relaciones cuantitativas entre el momento exterior Mext., que actúa sobre el árbol del rotor, la velocidad angular del rotor Ω y las magnitudes de los circuitos eléctricos del estator y el rotor de la máquina (tensiones, corrientes y potencias activas y reactivas) es necesario plantear un sistema de ecuaciones que describan los procesos electromagnéticos en los circuitos de los devanados polifásicos del estator y el rotor.

92


Por cuanto todas las magnitudes de los circuitos eléctricos del estator y el rotor varían con el tiempo, prácticamente en forma sinusoidal, este sistema de ecuaciones es más cómodo escribirlo en forma compleja. El análisis de los procesos electromagnéticos en la máquina asíncrona se realiza con ayuda de un modelo que contiene para un periodo de su campo. asíncrona (las dimensiones de entrehierro) de las ranuras, los números de conductores efectivos en las ranuras, las corrientes en las ranuras, las tensiones en las espiras, los ángulos entre cualesquiera elementos del paso polar aumentan en p veces (donde p es el numero de periodos del campo de la propia maquina); la velocidad angular del campo es Ω 1y la velocidad angular del rotor Ω aumentan en p veces y se hacen respectivamente iguales a Ω1p = ω1p = ω1 y ω = Ωp; el deslizamientos y las frecuencias en los devanados del estator f1 y el rotor f2 se conservan. Con el fin de simplificar en todas los pasos siguientes los circuitos magnéticos dentados del estator y el rotor del modelo de un solo periodo se representan lisos. Las tensiones, las fem y las corrientes de las fases del estator deben satisfacer la ecuación de las tensiones, la cual en forma compleja se escribe de la misma manera que para el devanado primario del transformador. U 1+E t0+Et0=R 1Id Donde R1 es la resistencia óhmica de la fase del estator para la corriente de frecuencia f1, Expresando E10 por medio de la corriente It se puede introducir en esta ecuación la resistencia de la fase del estator Z1: U1 = -E1 + Z1I1 donde Z1 = R1 + jX1 es la resistencia de la fase del estator. El valor y la dirección de la fem E1, inducida por el campo giratorio Bm se han elegido de tal manera que para la tensión dada U1 la maquina funcione en el régimen de motor con carga. I1 = U1 + E1 Z1

93


Para ello es necesario que la corriente de la fase esté retardada de la tensión U1 en el ángulo φ1z<π/2 y la potencia activa P1= m1U1I1cosφ1 > 0 (se considera positiva la potencia consumida de la red).

5.3 CARACTERISTICAS DE LA MAQUINA ASINCRONA Las características de carga (tensiones y corrientes) de una máquina asíncrona, detalla gráficamente el sistema de ecuaciones que describen los fenómenos en los circuitos eléctricos del estator y el rotor de la maquina asíncrona en estado estable o estacionario.(Ver figuras de 5.1 a 5.4). El diagrama se construye en el plano complejo espacial respondiendo al modelo «de un solo periodo» y representa la unificación de los diagramas parciales de cada componente. Todos los complejos giran en el diagrama con la velocidad el rotor y los ejes de las fases del rotor giran con la velocidad angular, el estator y los ejes de las fases del estator se consideran inmóviles. Las magnitudes de fase del estator son las proyecciones de los respectivos complejos sobre los ejes de las fases del rotor, con respecto a los cuales ellos giran con la velocidad. Las magnitudes distribuidas en el espacio se obtienen proyectando los complejos sobre los radios dirigidos hacia los puntos considerado del entrehierro. Es más cómodo comenzar la construcción del diagrama por el complejo de la inducción que coinciden en dirección con los complejos. En este caso además de la amplitud de la inducción en el entrehierro se consideran dadas las frecuencias de la corriente del estator la velocidad angular del rotor los parámetros y las características de imantación. Durante la construcción del diagrama se determinan gráficamente todas las demás magnitudes de los circuitos eléctricos del estator y el rotor. Se muestra el diagrama para el régimen de motor. Su construcción se realiza en la sucesión siguiente: Se fija una posición arbitraria para el complejo Bm. Se trazan los complejos Øm, Y1m, Y2m coincidentes en dirección con Bm. El flujo Øm se calcula valiéndose de tomando en consideración el aplanamiento de la curva de inducción Se trazan lo complejos de la f.e.m E1 y de la f.e.m. E2 con un retardo de fase con respecto a Φm igual al ángulo π/2.

94


Se determina el complejo de la corriente I2, que tiene un retraso de fase con respecto a E2, igual al ángulo β2, y se construye el diagrama de tensiones del rotor. Se calcula la corriente del rotor I2 reducida al estator. Se determina el complejo de la corrientes I0. Se halla el complejo de la corriente del estator I1. Se construye el diagrama de tensiones del estator y se determinan la tensión de la red primaria U1, y el ángulo ϕ1 entre U1 y I1. Por otro lado, las características electromecánicas de las máquinas asíncronas, pueden determinarse a prtir de los siguientes conceptos: a) La transformación de energía puede transcurrir en la máquina asíncrona en los tres regímenes siguientes: Régimen de motor: 0 ≤s≤ 1, Régimen de generador: s ≤ 0 Régimen de freno: s ≥ 1 Además tienen singular importancia dos regímenes característicos más de funcionamiento, en los cuales la transformación de energía no tiene lugar: marcha de vacío ideal y régimen de cortocircuito.

5.4 ARRANQUE Puesta en marcha de los motores asíncronos con rotor en cortocircuito El régimen de motor es el régimen en el cual se usan prácticamente todas las máquinas asíncronas, su uso como generador u otros regímenes posibles de funcionamiento es bastante escaso. Todos los motores asíncronos se ponen en marcha independientemente, es decir, se aceleran desde el estado inmóvil hasta la velocidad angular próxima a la síncrona, venciendo el momento de resistencia de la carga.. Por lo tanto, esta condición de arranque debe de asegurarse de distintas maneras en los motores de distintos tipos (variantes). Los motores ordinariamente se ponen en marcha conectando directamente a la red la tensión nominal U1 = U1nom. El proceso de aceleración del rotor del motor 95


desde el estado inmóvil (Ω = 0, s = 1) hasta la velocidad angular nominal Ω1nom se determina por su característica mecánica M = f (Ω) y la característica mecánica de la carga Mext = f (Ω). La característica mecánica del motor representa la característica ideal del momento al despreciar los armónicos superiores del campo; sin embargo sabemos que existe una característica mecánica real, construida teniendo en cuenta la influencia de los armónicos superiores del campo. Los momentos de rotación adicionales, relacionados con los armónicos superiores del campo, ejercen una influencia notable en la marcha de la característica, disminuyendo el momento de rotación resultante a pequeñas velocidades de rotación. La marcha de la característica de la carga depende del tipo de máquina operadora que se pone en movimiento. Generalmente el momento de rotación (en mayor grado en los ventiladores y bombas y en menor grado en las máquinas herramienta). Si permanece inmóvil el rotor (Ω = 0) el momento de arranque inicial del motor Marr es mayor que el momento |Mext|, requerido para poner en movimiento la máquina ejecutiva, entonces conforme a la ecuación del movimiento donde J es el momento de inercia de las piezas

M + M ext = J

dΩ dt

en rotación, reducido al rotor, el rotor adquirirá cierta aceleración positiva dΩ/dt > 0 y comenzará a acelerarse. Este proceso sucederá hasta que la suma M + Mext, donde M > 0, y Mext < 0, se reduzca a cero. Esto tendrá lugar en el punto en el cual el motor funcionará en lo sucesivo en el régimen estacionario con un momento de rotación nominal Mnom y con la velocidad angular nominal Ω’nom. Para determinar el tiempo de arranque tarr hay que integran gráficamente Ωnom

t arr =

∫ 0

96

jdΩ M + M ext


La integración se puede realizar también en forma numérica con ayuda de una computadora o d e algún modelo matemático adecuado para tal fin. El tiempo de arranque depende del momento de inercia de las piezas en rotación J y de la suma de los momentos M + Mext (o de la diferencia M - |Mext|). Este tiempo no es grande (se encuentra entre los límites de partes en cuenta que las corrientes I1 y I2 en los devanados durante el arranque superan en muchas veces la corriente nominal (la corriente de arranque inicial forma en unidades relativa I*arr = Iarr/I1nom = 5 … 7) y, como se ve en la figura, las corrientes disminuyen lentamente al aumentar el resbalamiento. Por eso cuando los momentos electromagnéticos son insuficientemente grandes (y son pequeñas las diferencias M - |Mext|, cuando el proceso de arranque se demora, las temperaturas de los devanados pueden superar los límites admisibles.

5.5 MÉTODOS DE REGULACIÓN DE LA FRECUENCIA DE ROTACIÓN Bajo el término de regulación se comprende la variación de la velocidad del rotor Ω, la cual se realiza actuando sobre el motor. En este caso se supone que la característica mecánica de la carga durante la regulación permanente constante. Por cuanto la velocidad angular Ω = Ω1 (1 – s), existen dos posibilidades para su regulación: mediante la variación de la velocidad angular del campo magnético Ω1 y variando el resbalamiento s. La variación de la velocidad angular Ω1 = 2πf1/p puede ser obtenida por tres métodos: 1) Variando la frecuencia de la corriente f; 2) Variando el número de pares de polos p de los devanados del motor; 3) Empleando el acoplamiento en cascada de dos máquinas asincrónicas. La variación del deslizamiento puede ser alcanzado por distintos procedimientos, que se dividen en dos grupos: 1) Los métodos con los cuales la potencia de deslizamiento sPe.m se desprende en forma de calor en el circuito eléctrico del devanado del rotor (variación de la tensión U1); introducción de una resistencia óhmica suplementaria R2 en el circuito del rotor; introduciendo reactancias suplementarias en el circuito del rotor; 2) Métodos con los cuales la potencia de deslizamiento sPe.m se pierde sólo parcialmente en los circuitos eléctricos del rotor en forma de pérdidas m2I’2R2 97


y en lo fundamental se usa útilmente (introducción de f.e.m. adicional de resbalamiento en el circuito del rotor con ayuda de acoplamientos en cascada eléctricos o electromecánicos de la máquina asíncrona. Existen dos métodos principales de regulación que pasamos someramente a listar: a) Regulación de la frecuencia de rotación variando la frecuencia de la corriente f1. b) Regulación de la frecuencia de rotación variando el número de pares de polos p del devanado del estator

5.6 CORRIENTE DE EXPULSIÓN. Las inductancias de los elementos del conductor, que ocupan distinta posición por la altura de la ranura, resultan distintas, la inductancia del conductor situado más cerca del entrehierro es menor que la inductancia del conductor situado más cerca del fondo de la ranura. Por ello se explica el hecho de que por la anchura del conductor de la corriente se distribuye casi uniformente, mientras que la irregularidad de la distribución se manifiesta solamente por la altura de la sección. En le caso de un solo conductor en la ranura, la mayor densidad de la corriente se observa en los elementos del conductor situados en la proximidad del entrehierro (véase la curva de distribución de la densidad de la corriente en la figura 5.5). La densidad de la corriente en esta parte de la sección puede superar esencialmente la densidad media de la corriente en el conductor.

J0 =

I I = J aelembelem

Por la parte de la sección del conductor, hundida en la ranura, corre una parte insignificante de la corriente. La sección útil del conductor disminuye, mientras que la resistencia óhmmica aumenta. El coeficiente K R = R / R0 , es llamado coeficiente de aumento de la resistencia del devanado a causa del efecto superficial (o coeficiente de Field).Dicho coeficiente depende solo de la altura y el número de conductores efectivos macizos por la altura de la ranura y no depende de su anchura.

98


El problema de determinación de la resistencia óhmnica, así como la inductancia de dispersión del devanado, situado en las ranuras de forma rectangular, se ha resuelto en los trabajos de A. Field, F. Ende, I, Sammers y en la forma más general, en el trabajo de T. G. Soroker. Todo este fenómeno que muestra desigualdad en las densidades de corriente, de los elementos conductores, y por consiguiente en las inductancias y resistencias ohmmicas de los devanados de acuerdo a la altura o profundidad en la ranura se denomina fenómeno de expulsión de la corriente. En términos prácticos, por ejemplo en los rotores de jaula de ardilla, en que el devanado rotórico son barras adosadas al rotor, se efectúa constructivamente una transposición de posiciones, inclinando la posición de las barras, ello con el fin, entre otras cosas de compensar este fenómeno y en resumen, buscar que el campo electromagnético sea lo más uniforme posible y se aproxime al modelo ideal. La transposición en la parte de la ranura de cada espira del conductor efectivo se forma de dos barras, soldadas entre si por las cabezas, con la transposición completa de los conductores elementales entre los limites de la longitud de la ranura. La estructura de semejante barra permite que cada uno de los conductores elementales, al pasar de una capa a otra por la altura de la barra, ocupa todas las posiciones posibles en la barra, las inductancias de los conductores elementales en la barra efectiva resultan iguales a la corriente del conductor efectivo se distribuyen entre todos los conductores elementales de igual manera

I elem = I / ca cb La irregularidad de distribución de la corriente se manifiesta solo entre los limites del conductor elemental dado Ella resulta mayor en las secciones de los conductores elementales dispuestas en las zona del campo de dispersión más intensivo (es decir, más cerca al entrehierro). No obstante, incluso en estas secciones de los conductores elementales la irregularidad de la distribución de la corriente resulta considerablemente menor que un conductor efectivo macizo. La densidad de la corriente J en la periferia del conductor elemental se diferencia relativamente poco de la densidad media de la corriente

J 0 = I elem aelembelem Por eso las perdidas en le conductor efectivo transpuesto resultan esencialmente menores que en el macizo de la misma sección. El coeficiente K R puede ser 99


calculado en este caso valiéndose de la particularidad de que el numero de conductores elementales por la altura de la ranura es igual a amelem = µ cond ca , donde µcond es el numero de conductores efectivos transpuestos por la altura de la ranura (ordinariamente µcond = 2 ).

COS 1.0

25

0.8

20

S % 3

COS

10 0.6

2

S

0.4

10

0.2

5

0

0

1

2

4

6

8

10

P 2n

P2

14

KW

12

Fig. 5.1 Características de trabajo del motor de jaula de ardilla A4-13 KW-220V en operación nominal 4.4 0.9

3.6

0.8

3.2

0.7

2.8

0.6

2.4

0.5

2.0

0.4

1.6

0.3

1.2

0.2

0.8

0.1

0.4

0

0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4

2.8

3.2

3.6

4.2

4.4

4.8

5.2

Fig. 5.2. Relación coeficiente de corrección vs coeficiente de expulsión 100


k

1.0

0.3

0.8

k =f(B ) 0.7

0.6

0.5

0.4

0.3

0

20

40

60

80

100

B Kgauss

Fig. 5.3. Coeficientes de saturación de entrehierro vs densidad de flujo

I1

M/MN (N)

(AMP)

160

2.0

120

1.5

80

1.0

40

0.5

0

0

M/MN

I1

s 1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0

Fig. 5.4. Gráfica I Estator, torque máximo vs deslizamiento 101


a

b

c A

1 m

2

E2

E2 B

0

l2

2

C

b

b

Fig. 5.5. Flujo de dispersión de la ranura del rotor de un motor de grande reactancia y distribución de la intensidad de corriente en el conductor del rotor

102


CAPÍTULO 6 CÁLCULOS TÉRMINOS EN MÁQUINAS ASÍNCRONAS

6.1 SOBRECALENTAMIENTOS, CÁLCULOS TÉRMICOS Y NORMAS Cuando se realiza la transformación electromagnética de energía en la parte interna de la máquina eléctrica, parte de esta energía se disipa en forma de pérdidas, las cuales calientan las diferentes partes de la máquina. Los flujos térmicos que se generan debido a estas pérdidas se distribuyen desde los cuerpos de mayor temperatura hacia los cuerpos con menor temperatura y finalmente hacia el medio CLASE TÉRMICA DE AISLAMIENTO A E B F H ambiente. SOBRECALENTAMIENTO PERMISIBLE 60 75 100 125 Uno de los objetos del cálculo térmico es80la determinación de los sobreelevaciones temperaturas (sobrecalentamientos) de las partes activas de la máquina y consiguientemente, la comparación de estas temperaturas medias sobre elevadas con los valores permisibles para una clase térmica de aislamiento normalizado utilizado en la fabricación de la máquina en estudio.

DEL DEVANADOmedias DEL ESTATOR de las

El sobrecalentamiento medio del devanado del estator, que se mide de acuerdo a las resistencias térmicas, no debe de sobrepasar los siguientes valores, a la temperatura normalizada de +40°C del medio ambiente, valor registrado por normas GOST 183-F4 para Rusia e IC411, según la Norma NEMA MG-1, parte 6 para Perú. IEC 34-6). TABLA 6-1

103


Si el sobrecalentamiento del devanado del estator sobrepasa la temperatura permisible en 10 a 12°C, entonces de tiempo de vida del aislamiento se reduce a la mitad aproximadamente. Durante el diseño de máquinas eléctricas el cálculo de la sobreelevación de la temperatura nos permite controlar la permisividad y la aceptación de las cargas electromagnéticas seleccionadas previamente. En la manufactura moderna de las máquinas eléctricas cuando se construye motores asíncronos se emplean materiales de aislamiento de acuerdo a los tipos de motores. Se emplea la clase térmica E para los motores de la serie A2, AD2 y otros, de la clase B y F para los motores 4A y otros, y de la clase H para motores de destino especial. Los motores de protección cerrada son los más fiables durante su explotación y operación en comparación con los motores de protección por ventilación, ya que los devanados de los motores de protección cerrada responden en el medio exterior. Sin embargo sus condiciones de refrigeración son peores, sobre todo cuando se tienen motores con carcasas cerradas de grandes potencias. Es por eso que actualmente estos motores con protección cerrada y ventilación externa se fabrican para potencia de hasta solamente 100 kW, sin embargo, la tendencia es incrementar la potencia para estos motores de protección y ventilación cerrada. Los procesos de transmisión térmica en los motores de protección cerrada son más complejos que los motores de protección por ventilación externa y el estudio de estos procesos de transmisión térmica se han iniciado aproximadamente hace unos diez años. Para nuestro caso particular Arequipa, Perú, estos motores responden a las normas de protección IP54, IP55. Los métodos suficientemente exactos de cálculo térmico de motores cerrados empezaron a aparecer en los trabajos de investigación. Al momento no se dispone de una bibliografía generalizada para este tipo de cálculos, por tanto, estos tipos de cálculo se encuentran entre los de pleno desarrollo e investigación. En el presente capítulo se ha sintetizado parte de la información bibliográfica existente con el fin de cumplir con el objetivo de poder establecer, con un alto grado de precisión, los fenómenos térmicos asociados a las máquinas asíncronas 104


y extraer las conclusiones más valiosas para un correcto diseño y explotación de este tipo de máquinas. La metodología desarrollada en el presente capítulo esta orientada al cálculo de la sobreelevación media de la temperatura bajo un régimen continuo nominal de funcionamiento y en condiciones normales de operación. La temperatura del medio ambiente se toma como la normalizada +40°C y la altura sobre el nivel del mar es no mayor a 1000 m., en primera instancia, y posteriormente evaluaremos los valores de sobreelevación de temperatura para operación a la altitud de la ciudad de Arequipa, estos es 2350 metros sobre el nivel del mar. En cuanto al sobrecalentamiento del devanado cortocircuitado del rotor, dicho valor no se establece según las normas de manufactura electrotécnica, entonces no vamos a desarrollar los cálculos correspondientes.

6.2TRANSMISIÓN TÉRMICA EN EL MOTOR ASÍNCRONO CERRADO La transmisión térmica en el motor asíncrono cerrado y ventilado puede ser representada de acuerdo a sus partes principales y fundamentales. Gracias a los esquemas o circuitos térmicos equivalentes, por ejemplo el que se muestra en la figura (6.1), se obtiene una mejor observación del circuito, en el que se detalla sus principales partes según el corte transversal del motor. Las pérdidas en los diferentes elementos del motor se muestran en el circuito en forma en fuentes de calor concentradas. Pn y PA Son pérdidas eléctricas en la ranura y en las partes laterales de la bobina del devanado del estator respectivamente. Pz y Pa Son las pérdidas magnéticas en los dientes y el yugo del estator. Pp Son pérdidas en el rotor que incluyen las pérdidas en el devanado y adicionales de los dientes, respectivamente. Pf Son las pérdidas internas de ventilación debido a la distribución del aire por los alabes del rotor. P Son las pérdidas por fricción en los rodamientos. Los puntos de recorrido del flujo térmico desde los lugares de generación hacia todos los cuerpos que lo rodean se muestran en los circuitos equivalentes térmicos 105


como conductancias térmicas que vamos a designar como λ o también como resistencias térmicas R = 1/∧. En el sistema de refrigeración del motor asíncrono tipo cerrado, la carcasa juega un papel de intercambiador térmico, esta carcasa toma todos los flujos térmicos de las partes activas del motor y las trasmite hacia el medio ambiente por convección y generalmente por radiación. La transmisión térmica de la carcasa se considera en los circuitos térmicos equivalentes por dos conductancias de calor. λ’° - desde la parte media del grosor de la carcasa. λ»° - desde las capas laterales y las partes finales de la carcasa. El calor entra a la carcasa desde las partes activas por dos caminos principales: 1°. Parte de las pérdidas en el devanado del estator se transmiten hacia los dientes del aislamiento de ranura (resistencia térmica Rn); así mismo a través del entre hierro ingresan parte de las pérdidas del rotor (resistencia Rδ). El flujo térmico pasa hacia la carcasa a través de la resistencia de los dientes Rz (parcialmente y a través del estator de la resistencia térmica del yugo del estator Rt) y del entrehierro entre el núcleo y la carcasa, lo que es representado por la resistencia R∆. Además conforme el flujo térmico se va conduciendo hacia la carcasa, se adicionan las pérdidas en los dientes y en el yugo del estator. La transmisión de calor aquí sucede debido a la conducción térmica. 2°. Otra parte de las pérdidas del estator y rotor pasan desde las superficies de las partes laterales de los devanados del estator y desde los anillos de la parte de la jaula de ardilla del rotor hacia el aire interno, estos fenómenos están representados por las resistencias (térmicas Rsf y Rpf); el paso de las pérdidas del aire está representado por Pf, la misma que se transmite hacia la superficie interna de la carcasa, (tal resistencia está representada por Rk). La transmisión térmica sucede aquí debido a la convección.

106


o

P

R Rc

P

Rz

CC

Rcm PIH

Rn

CZ

R

o

PP

Pn

RM

PA

Raf

Rk Pf

Rpf

FIGURA 6.1. Circuitos de distribución de los flujos térmicos en el motor asíncrono tipo cerrado, ventilado, de refrigeración interna.

La irradiación térmica por ambos caminos sucede con diferentes efectividades, como resultado surge la desuniformidad de calentamiento de los devanados y de la carcasa a todo lo largo del estator. Eso conlleva al equilibrio de flujos térmicos a lo largo de los devanados y de la carcasa, cuyos caminos y puntos de paso del flujo térmico se muestran en el esquema de resistencia, Rm y Rcm. En la Figura 6.2. se muestra la distribución experimental de la sobre elevación de temperatura sobre la temperatura del medio ambiente a lo largo de toda la carcasa, (la representación es θcm), así como del devanado del estator y del rotor, para un motor en régimen estable de funcionamiento. Este carácter de distribución de los sobrecalentamientos viene a ser típico para los motores tipo cerrado, con ventilación interna y con valores de potencia de hasta los 30 ó 40 Kw. En tales máquinas se tiene como regla común que la resistencia térmica según el primer camino del flujo térmico descrito es menor que a la del segundo camino. Debido a esa condición tenemos un menor 107


recalentamiento de las ranuras del devanado del estator en relación con el calentamiento medio de las partes laterales del mismo. Así mismo la sobreelevación de la densidad del flujo térmico, el cual se conduce a través del grosor medio de la carcasa, condiciona o genera la tendencia de la curva θ cm. La asimetría de las curvas de distribución del sobre calentamiento se genera por la distribución en uno de los lados del ventilador de la ventilación forzada. Además, se puede considerar en el cálculo térmico, el efecto de la asimetría de la refrigeración de la carcasa sobre la distribución del calentamiento, a lo largo del devanado del estator, si es que trazamos un «esquema» o «circuito térmico equivalente», para todo el corte transversal del motor, tal como se muestra en la Figura 6.2, el mismo que se construye a partir del esquema de la Figura 6.1. Sin embargo, para el cálculo de la sobreelevación media de la temperatura del devanado es suficiente tomar por base un esquema asimétrico más simple, como se trazó en la Figura 6.1.

100 80 60

40 20

Figura 6.2. Distribución de los calentamientos medios a lo largo de la longitud del motor tipo 4A-132M-6. 108


6.3 CONCEPTOS BÁSICOS Y LEYES QUE SE REFIEREN A LOS CIRCUITOS TÉRMICOS EQUIVALENTES Los circuitos térmicos equivalentes nos permiten obtener relaciones cuantitativas entre las pérdidas de las máquinas eléctricas, los flujos térmicos producidas en éstas y los calentamientos o recalentamientos de sus partes. Como elemento de la máquina o parte de la misma, en el cálculo térmico se entiende como una parte generalmente homogénea que esta caracterizada por condiciones determinadas de conducción o intercambio de calor y que se diferencian para cada una de las partes de la máquina. Cada parte de la máquina se debe representar en el circuito térmico equivalente en forma de un nodo. En el nodo se ubica también la fuente de calor que es igual a la presente en este elemento o parte. Algunos nodos pueden no tener fuentes de calor, por ejemplo la carcasa. Cada nodo del circuito equivalente térmico tiene un calentamiento, el cual es igual a la sobre elevación media de la temperatura del intercambio de calor, lo cual se puede expresar con un determinado grado de precisión, que corresponde al elemento de calor sobre la temperatura del medio ambiente. Por las ramas del circuito térmico equivalente que conectan los nodos entre sí, recorren los flujos térmicos correspondientes. Se denomina flujo térmico (Q) a la cantidad de energía térmica que se transporta desde un elemento o parte de la máquina hasta otro elemento o parte vecina de la máquina en la unidad de tiempo. Q tiene las mismas unidades que la potencia. De la ley de conducción térmica (la ecuación De Fourier); y de la fórmula de Newton-Ripsman para la transmisión térmica por convección y por irradiación, el flujo térmico que está orientado desde una parte o elemento hasta otra parte o elemento, es proporcional a la diferencia de temperatura o a la caída de temperatura entre ambos elementos. Q = (θ1-θ2)λ = (θ1-θ2)/R

(6.1)

Además, la diferencia: ∆θ = (θ1-θ2) 109


Se denomina generalmente caída de temperatura. La ecuación (6-1) se denomina Ley de Ohm para circuitos térmicos, tal como o en forma análoga a la de los circuitos eléctricos. Con ello Q es análoga a la corriente y la caída de temperatura ∆θ es análoga a la caída de tensión eléctrica. La resistencia térmica R, cuando se realiza la transmisión de calor a través de una pared plana, de grosor ∆1 y de sección Sc, sobre la base de las ecuaciones de Fourier se puede expresar de acuerdo a la siguiente fórmula:

(6-2) Donde λ: factor de conductancia térmica durante la transmisión de calor desde la superficie hasta un gas o un líquido (así mismo en sentido contrario), la expresión para determinar se obtiene de la fórmula de Newton-Ripsman.

R=

∆1 αS

(3-3)

Para α: factor de transmisión térmica. En caso de tener una configuración o estructura compleja de elementos en la máquina eléctrica, la distribución de las pérdidas por unidad de volumen de un campo de temperatura de dos o tres dimensiones, las fórmulas para las resistencias térmicas, para determinar las resistencias térmicas que tienen una configuración más completa, sin embargo tienen como base, la misma estructura como las ecuaciones (6-2) y (6-3). Para cada elemento de la máquina y respectivamente para cada nodo del circuito equivalente térmico, se pueden obtener una ecuación de balance térmico de acuerdo al siguiente principio: «La suma algebraica de los flujos térmicos en las ramas del circuito térmico equivalente que salen a partir de un nodo, en un régimen térmico estable, es igual a la potencia de las fuentes de calor o las fuentes térmicas en este nodo». 110

R=

∆1 λSc


Por ejemplo para el nodo 1, que está conectado con los nodos 2,3 y 4; la ecuación de balance térmico va a tener la siguiente forma: P1 = Q12 + Q13 + Q14

(6-4)

Donde Q1; son los flujos térmicos en las ramas, según el esquema, que conectan el nodo 1 con los demás nodos (j = 2,3,4). El flujo térmico que está orientado desde el nodo analizado se considera positivo y el que está orientado hacia el nodo negativo. La ecuación de balance térmico y la ley de Ohm están desarrolladas sobre la base del cálculo de circuitos térmicos equivalentes. Analizando, tal como si fuera un circuito eléctrico, se pueden reemplazar: las fuentes de calor por fuentes de corriente, conectadas hacia los nodos, los flujos térmicos por corrientes y las temperaturas por potenciales eléctricos. Entonces la ecuación del balance térmico puede ser denominada como la primera ley de Kirchoff para circuitos térmicos equivalentes. La segunda ley de Kirchoff para circuitos térmicos equivalentes, puede ser establecida de la siguiente manera: «la suma algebraica de las caídas de temperatura (∆θ = QR) en una malla cerrada es igual a cero», por cuanto en el circuito térmico equivalente no se tienen elementos análogos a las fuerzas electromotrices. Gracias a la analogía entre las leyes de los circuitos eléctricos y los circuitos térmicos, se pueden emplear todos los métodos que se emplean para solucionar los circuitos eléctricos de corriente continua. Los circuitos térmicos equivalentes de las máquinas eléctricas que son refrigeradas por medio de ventilación, se pueden considerar lineales, por cuanto sus resistencias térmicas casi no están en función de las temperaturas. Debe hacerse notar que una de las finalidades del cálculo de los circuitos térmicos equivalentes es la determinación de la sobreelevación de la temperatura.

111


6.4 CIRCUITO TÉRMICO EQUIVALENTE DEL MOTOR ASÍNCRONO TIPO CERRADO El circuito térmico equivalente que se muestra en la Figura 6-1, sirve principalmente como esquema característico cualitativo del proceso de transmisión térmica. Para realizar el cálculo térmico se ha desarrollado un circuito más completo, tal como se pude ver en le Figura 3. Los nodos de este circuito se simbolizan con subíndices numéricos, para una mayor comodidad: 0 = Medio ambiente (atmósfera). 1 = Devanado del estator. 2 = Rotor (El devanado y el núcleo se toman en cuenta como un solo elemento, por cuanto el devanado del rotor no está aislado). 3 = Dientes del estator. 4 = Yugo del estator. 5 = Aire interno 6 = Parte de la carcasa que esta en contacto con el estator. 7 = Todas las demás partes de la carcasa y las tapas laterales que cubren la máquina asíncrona. Los flujos de calor térmico en la rama del circuito equivalente térmico dado corresponden principalmente al circuito equivalente térmico de la Figura 6.1. La diferencia entre ambos circuitos térmicos equivalentes es de que las partes de las ranuras y de la parte frontal del estator se juntan en un solo elemento, donde se considera que prácticamente se puede eliminar el error al no considerar las juntas o uniones, gracias al método de cálculo de las resistencias térmicas Ra y Rλ. En la metodología de cálculo propuesto en comparación a la metodología de cálculo de máquinas de alta protección, para la determinación de la sobreelevación de la temperatura de las partes activas con respecto al elemento cero, es necesario agregar adicionalmente el calentamiento del flujo del aire refrigerante, ya que aquí contribuye en la caída de temperatura en las resistencia R’o y R»o. Esta simplificación sólo es permisible con máquinas con una resistencia de refrigeración externa.

112


0 Ró

R"o P7 7

6 Rcm R´∆

Rk

4 P4 Rf 3 P3

∆

Rń

P1 1

Rn

P5 5

R´δ

P2 2

Rp

Figura 6.3. Circuito térmico equivalente del motor asíncrono tipo cerrado

2 R12

P1 1

P21

3 R13 P31

R´13

Figura 6.4. Transformación de un nodo con dos ramas

113


6.5 MÉTODO DE CÁLCULO DE CIRCUITOS EQUIVALENTES TÉRMICOS 6.5.1. Método general de cálculo Si tenemos un circuito equivalente térmico que tiene «m» nodos, los cuales están simbolizados por subíndices K(1 ≤ K ≤ m); además de ello, se tiene un elemento denominado nodo cero cuyo recalentamiento es θo = 0. Si además, se toma en cuenta uno de los nodos K con un valor concreto y para ese nodo escribimos la ecuación de balance térmico, expresando los flujos térmicos con ayuda de la ley de Ohm, a través de los recalentamientos del nodo dado (θk) y de los demás nodos (θ1); k = i y θo. Si, finalmente a la conductancia térmica entre los nodos i, y todos los demás nodos, las simbolizamos respectivamente como λik y λio. (Si entre los nodos existe una conexión directa la conductancia térmica entre estas va a ser cero), entonces la expresión general para la ecuación del balance térmico será:

(6-5) m

∑ (θ Donde Pi es la potencia de la fuente de calor en el nodo i. Si reagrupamos los términos de la ecuación 6-5 e igualamos θo = θ e introducimos. m

λ ii ∑

λ ik + λ i 0

k =l k ≠l

(6-6)

Que viene a ser la conductancia térmica propia del nodo i – que es igual a la suma de todos las conductancias que ingresan al nodo -, entonces como forma final de la ecuación de balance térmico tendremos: m

θ i λ ii ∑ k =l k≠l

λ ik θ ik = Pi

(6-7)

Donde θi y θk son sobrecalentamientos desconocidos. 114

k =l k≠l

i

− θk )


Dando valores de subíndice i, en forma ordenada desde 1 hasta m, y escribiendo las ecuaciones de balance térmico para todos los nodos, tenemos un sistema de m ecuaciones, con un número de incógnitas igual a m también. El sistema de ecuaciones lineales algebraica obtenido tiende a ser de primer orden y puede ser solucionado por cualquier método existente de solución. El método de cálculo de los circuitos térmicos equivalentes es análogo al método de nodos empleados para la solución de circuitos eléctricos. 6.5.2. Método de Transposición (Método de Conversión) La transposición del circuito térmico equivalente está basada en la secuencia de simplificación del número de nodos. Sobre la base del método de transposición, tenemos obtenemos la solución del sistema de ecuación (6-7). Si escribimos el sobrecalentamiento θi y lo expresamos con la ayuda de la ecuación de balance térmico para el nodo i, obtenemos

θi =

m Pi +∑ λ ii k =l k ≠l

θk

λ ik λ ii

(6-8)

Y si reemplazamos en las demás ecuaciones del sistema, lo mismo que acabamos de señalar, obtenemos como resultado un nuevo sistema, en que el número de incógnitas es igual al anterior en menos una. El nuevo sistema de ecuaciones corresponde a un nuevo circuito térmico equivalente en el cual se excluye el nodo i. Se puede demostrar que en el nuevo circuito térmico equivalente las fuentes de calor o las fuentes térmicas de los nodos restantes k y las conductancias térmicas entre ellos se obtienen por medio de las diferencias.

∆Pi = Pi

λ ik λ ii

∆λ vk = λ ik

λ iv λ ii

(6-9)

(6-10)

Donde v: índice de uno de los nodos de cualquiera de los nodos k. 115


Luego de realizar las transformaciones pueden aparecer conductancias térmicas entre nodos, los cuales antes no estaban conectados. Realizando una operación secuencial de simplificación del número de nodos, secuencia en que se puede disminuir hasta cualquier valor deseado, en que el cálculo del circuito térmico equivalente va ha ser lo suficientemente simple, y efectuando el cálculo del circuito obtenido, finalmente, se puede hallar los sobre calentamientos de todos los nodos excluidos utilizando siempre la fórmula (6-8). El método de transformación es viable utilizarlo para nodos con un número pequeño de conductancias, especialmente para nodos con fuentes de calor y dos conductancias. Por ejemplo en la Figura 6-4 se muestra una parte del circuito térmico equivalente con este nuevo resultado (antes y después de la transformación). Para ello, en lugar de las conductancias λ es mejor emplear la resistencia térmica R. De acuerdo a la ecuación (6-9) tenemos:

P21 = P1

λ12 λ12 + λ13

1 ⎛ ⎜ R 12 = P1 ⎜ ⎜ 1 1 + ⎜ ⎝ R 12 R 13

⎞ ⎟ R 13 ⎟=P ⎟ 1 R 12 + R 13 ⎟ ⎠

(6-11)

en forma análoga:

P31 = P1

R 12 = P1 − P21 R 12 + R 13

(6-12)

Estas potencias se aumentan respectivamente a las fuentes térmicas de los nodos 2 y 3. De acuerdo a la ecuación (6-10) tenemos:

R '23 =

116

λ + λ13 1 1 1 = 12 = + = R 12 + R 13 ∆λ 23 λ12 − λ13 λ12 λ13

(6-13)


Esto quiere decir que la transformación conlleva a una suma de resistencias en serie simple. Además notamos que las resistencias R’12 y R13 pueden constar de una cantidad cualquiera de resistencias en serie. Además de las transformaciones analizadas, en los circuitos térmicos equivalentes se pueden emplear en reemplazo de resistencias en paralelo una equivalente, la transformación triángulo – estrella, etc.; asimismo se pueden emplear las diferentes técnicas de transformación de resistencias y conductancias empleadas en los análisis de los circuitos eléctricos.

6.6

METODOLOGÍA DE CÁLCULO TÉRMICO

6.6.1. Cálculo de las fuentes de calor a) Datos iniciales para el cálculo de las fuentes de calor De acuerdo a la simbología empleada en el cálculo electromagnético, vamos a tomar como datos iniciales las siguientes magnitudes: • P n(Kw) : Potencia nominal • P

: Número par de polos del motor

• η

: Eficiencia del motor

• I 1N

: Corriente nominal de fase del estator

• I’ 2N

: Corriente del rotor referida al estator en un régimen nominal

• r1

: Resistencia de fase del devanado del estator para una temperatura de funcionamiento de 75°C para un tipo de aislamiento B.

• r’ 2

: Resistencia del devanado del rotor referida al devanado del estator considerado la misma temperatura y clase de aislamiento vistas para r1

• P cc(Kw) : Pérdidas principales en el acero del yugo del estator. • P cz(Kw) : Pérdidas principales en los dientes del yugo del estator. • Pmax (Kw): Pérdidas mecánicas b) Las pérdidas adicionales en el cálculo térmico se determinan gracias al factor kg, cuyos valores se muestran en la Tabla 6.2. 117


TABLA 6.2 # par de polos

1

2

3

4a+

Kg para P < 30 kW

0.03

0.02

0.025

0.03

Kg para P > 30 kW

0.02

0.015

0.020

0.025

Pg = kgPn * 10-3/η

(6-14)

a) Resistencias eléctricas corregidas Las resistencias eléctricas de los devanados deben ser referidas a su temperatura real cuando el motor está operando en su régimen nominal y estable. Sin embargo, por cuanto esta temperatura no es conocida antes de realizar el cálculo térmico o antes de realizar las experiencias para determinar el calentamiento de la máquina, entonces se puede determinar aproximadamente el calentamiento permanente del devanado del estator (Ver Tabla 6.1), considerando además el recalentamiento del devanado en 20%. La temperatura del medio ambiente en el laboratorio se puede tomar como 20°C. De esta forma las resistencias, referidas a la temperatura de los devanados cuando el motor está en plena operación, son iguales a:

r100 = r1(75°C )

235 + 20 + 0 lm 235 + 20 + 0 lm = r10(115°C ) 235 + 75 235 + 75

(6-15)

y

r200 = r '2 (75°C )

245 + 20 + 1.20 lm 245 + 20 + 1.20 lm = r21(115°C ) 245 + 75 245 + 75

b) Pérdidas (Fuentes de Calor) • Pérdidas en el devanado del estator (w) P1 = 3I²1Nr10 118

(6-17)

(6-16)


• Pérdidas en el rotor, en los dientes y en el yugo del estator P2 = 3(I²2N)² r¹20 + 0.5 Pg P3 = Pca . 10³ + 0.5 Pg P4 = Pcc . 10³ • La distribución aproximada de las pérdidas mecánicas en el circuito equivalente térmico es: P5 = P7 = Pmax . 10³/3

(6-19)

• Las pérdidas totales son (w) P ∑ = P 1 + P2 + P3 + P4 + P 5 + P 7

(6-20)

6.6.2 Cálculo de las Resistencias Térmicas a) Datos iniciales Los datos iniciales para el cálculo de las resistencias térmicas del circuito térmico equivalente se toman del cálculo del circuito electromagnético considerando la misma simbología utilizada en ese proceso, así como los datos contenidos en los planos de diseño del motor o de los planos de dibujo antes de la construcción del mismo; todas las dimensiones deben expresarse en centímetros. Deben considerarse: • n (rpm) : Cantidad de revoluciones por minuto (nominal) • z1

: Número de dientes del estator

• δ¹,∂

: Ancho máximo y mínimo de la ranura del estator de forma trapezoidal de acuerdo a la Figura 6-4.

• hn

: Altura de la ranura del estator (sin estrías)

• d

: Diámetro del conductor desnudo.

• dµ3

: Diámetro del conductor aislado.

• nn

: Número total de conductores por ranura

• ∆µ

: Grosor del aislamiento de ranuras por uno de los lados. 119


• H KA

: Altura de las cuñas que tapan las partes activas del devanado del estator

• L B1

: Longitud de la parte frontal del devanado del estator

• Kc = 0.75 : Factor de relleno del acero del núcleo del estator La cantidad de aletas de ventilación en la carcasa del motor es Np = 20 para una altura normalizada H y una longitud normalizada Ip. *N’p = 6, cuando se tiene una longitud Hp y una longitud disminuida L’p junto con la posición de la capa de bornes, etc. Hpm = 4 cuando se tiene una altura del eje Hpm disminuida (altura media) distribuida entre las tapas. do : grosor de la aleta en la base. Todas las demás dimensiones se toman de acuerdo a la Figura 6.5. Las dimensiones que se muestran con asterisco no se toman como datos iniciales, por cuanto dichos valores son seleccionados durante la construcción del motor, tomando en cuenta las consideraciones y recomendaciones pertinentes. Durante la construcción del sistema de ventilación y la toma de los datos iniciales para el cálculo térmico se pueden obtener datos característicos de acuerdo a las recomendaciones para la fabricación de motores asíncronos de la serie 4A, las cuales se detallan a continuación: TABLA 6.3 Altura de eje de giro H (mm) 71.80 90 100 112 132 160,180 200,225,250

120

Hp/Dcm

γ

δo/hp

Material Carcasa

De 0.100 a 0.115

10°

Aleación con 0.02 aluminio

9°

0.025

B

De 0.083 a 0.092

De 7° a 8°

De 0.18 a 0.20 De 0.19 a 0.22 0.22-0.26

0.04

F

Hierro dulce

∆µ (cm)

Clase Aislamiento


El diámetro de ventilador Dp = Dcm y el número de aletas NA = 8 para todos los motores, con excepción de aquellos en los cuales Dp = (0.85-0.90) Dcm y NA = 6, para este caso además el ancho de las aletas es dA = Dd/4. El diámetro de la protección externa de la carcasa responde a la fórmula: DK = Dcm + 2hp + (0.1-0.5), (6-21) Como dato de entrada el diámetro Da = 0.8 Dcm La dimensión kK es aproximadamente (1.5 – 2) hp El grosor en su parte extrema es de (0.6 – 0.78) do El radio de giro en la base de la aleta es de 3-5 mm Durante la selección de las dimensiones éstas se redondean hasta valores enteros en milímetros, las dimensiones de la sección de la aleta hasta en 0.5 mm. Partes del motor Carcasa

Denominación ElMateriales ángulo γ se selecciona de tal forma queConductividad el ancho de los canales entre las (w/cm°C) aletas será igual para toda la superficie. Luego se calcula el número de aletas, Hierro dulce 0.5 λcm NpAluminio , N’p y NPM. 0.5 λcm

Aleación λcm Acero-silicio λfe Tipo 6.4. E11 yCoeficientes E12 TABLA λfe de Tipo E21 y E22 λfe Tipo E0 - 100 λfe Tipo E0 – 300 λfe Devanado del estator Aislamiento ranura λu Clase E λu Clase B y F λu Barniz impregnado λu Cobre λu

1.5

Núcleo del estator

0.36térmica de los materiales conductividad 0.23 0.41 0.15 0.0013 0.0016 0.0011 3.8

121

122 12,30

21,90

27,10

11,45

7,40

4,00

7.5º

Fig. 6.5. Motor asíncrono con rotor tipo jaula de ardilla 13KW, serie 4A Corte-Sección longitudinal y dimensiones

1,1 0 2,8


18

36,8 31,3

24,15

29,1

18,4


b) Determinación de Parámetros b1) Area de la superficie lisa de la carcasa y de las tapas laterales sin considerar los canales y las aletas de refrigeración. SrA = πDcm (Lcm + 0.5 Dcm + 1.5 hµf) (6-22) b2) Area de la superficie de las aletas

⎡⎛ ⎤ L' p ' ⎞ Sp = 2 ⎢⎜ N p + N p ⎟ h p + N PM h PM ⎥ L p ⎟ Lp ⎢⎣⎜⎝ ⎥⎦ ⎠

(6-23)

b3) Area ocupada por las aletas

Sop =

0.57S p δ o (6-24)

hp

b4) Area de la superficie de las tapas y todos los demás elementos que se tienen en la carcasa. Snp = 0.63 DcmLcm

(6-25)

b5) Paso entre aletas (cm) Kp = πDcmγ/360

(6-26)

b6) Area entre canales de las aletas

Sgk = (Sp + 075S np )

t pδo 2h p

(6-27)

b7) Velocidad de giro del ventilador (m/s) vδ = πDδnH * 10-2/60

(6-28)

123


b8) Velocidad media de absorción del aire de refrigeración de la carcasa

v cp =

v δo D cm

(L cm + D cm )

(6-29)

b9) Factor de intercambio de calor para las partes sin aletas y que no son suprficies corrugadas en las aletas

α Hp

⎛ v 0cp.6 ⎞ ⎜ = 1.3 + 5.8 0.3 ⎟ x 10 −3 ⎜ v cm ⎟⎠ ⎝

(6-30)

b10) Factor de intercambio de calor de la superficie corrugada de la carcasa

α op =

1.05α Hp 3

1+

2h p

(6-31)

tp

b11) Factor de efectividad de la aleta

Kp =

1 2 3 h p α op 1+ 4 δ o λ cm

(6-32)

b12) Conductividad térmica de la carcasa del motor hacia el medio ambiente λo = αHh (Sca – Sop – Sgk) + αop (kpSp + Sgk + Snp)

(6-33)

b13) Resistencia térmica desde la parte media de la carcasa hacia el medio ambiente

R 'o =

124

1 λol

D ⎞ ⎛ ⎜ L cm + cm ⎟ 3 ⎠ ⎝

(6-34)


b14) Resistencia térmica desde las partes extremas de la carcasa hacia el medio ambiente

R "o =

1 λo −

l R 'o

(6-35)

b15) Area de la sección de la carcasa Scm = 1.1π(Dcm - hcm)hcm + 0.7 (Np + N’p)hpδo

(6-36)

B16) Resistencia térmica axial de la carcasa

R cm =

L cm

(12Scm λ cm )

(6-37)

b17) Resistencia térmica del entrehierro entre el núcleo del estator y la carcasa

RΛ =

1.45 + 0.11D g πD a l

(6-38)

b18) Resistencia térmica del yugo del estator

RC =

ha π(D a − h a )lk c λ fe

(6-39)

b19) Resistencia térmica de los dientes del estator

RZ =

hn Z1δ Zcp lk c λ fe

(6-40)

b20) Resistencias del circuito térmico equivalente para el flujo térmico que se conduce por el núcleo del estator R’A = RA + 0.5 RC

RF = 0.5 RC + 0.3 RZ

(6-41) 125


B21) Perímetro de la ranura trapezoidal del estator π = 2hn + δ’ – 2hka – 10 Aµ

(6-42)

B22) Resistencia térmica del aislamiento de ranura

R nµ =

1 ZΠ l

⎛ ∆µ 0.02 ⎞ ⎜⎜ + ⎟⎟ ⎝ λµ λA ⎠

(6-43)

B23) Coeficiente equivalente de conductividad térmica del flujo, del paquete de aislamiento de los conductores por ranura, en forma transversal a los conductores λ3 = 0.0421 + 0.164 dµ1²

(6-44)

B24) Coeficiente de forma de ranura ε = (δ’ + δ)/(4hµ - δ)

(6-45)

B25) Resistencia térmica del aislamiento de conductores por ranura

R n 3 = ε(1 − 0.5ε )

4h n − δ

(6-46)

B26) Area de la sección de cobre del devanado del estator

SM =

π Z1n k d ² 4

(6-47)

B27) Resistencia térmica resultante entre el devanado y el núcleo del estator

R M = R n + R n3 +

126

0.05312A1 S M λ cu (1 + 1A1 )

(6-48)


B28) Area de la superficie de refrigeración de las partes laterales del estator

[

]

S A = 141 D + 1.4h n + k 3 Z1 (h n − δ zcp )

(6-49)

El coeficiente kξ para motores de la serie 4 A de 2,4,6 y 8 polos es 0,05; 0,09; 0,10 y 0,11 respectivamente. B29) Velocidad del rotor (m/s)

vp =

πD p n M + 10 −2 60

(6-50)

B30) Factor de intercambio de calor de las superficies de las partes laterales

⎡ (v p D p )0.8 ⎤ *10 −3 α Λ = ⎢1 + 3.7 ⎥ D a ⎥⎦ ⎢⎣

(6-51)

B31) Resistencia térmica desde el devanado del estator hacia el aire interno del motor

RA =

1.5R np l 1 + 1Ai P α ASA

(6-52)

B32) Area de la sección de la superficie interna libre de la carcasa

⎛ L − 1 + h µ1 + D a ⎞ S K = πD a ⎜ cm 2 ⎟⎠ ⎝

(6-53)

B33) Resistencia térmica desde el aire interno a la superficie de la carcasa

RK = 1

(0.8α ASk )

(6-54)

127


6.7 CÁLCULO DEL CIRCUITO TÉRMICO EQUIVALENTE (CTE) La finalidad del circuito térmico equivalente es determinar la sobre elevación media de la temperatura del estator θr. El circuito equivalente térmico, del motor asíncrono de protección cerrada, se muestra en la Figura 6.3 y se calcula utilizando los métodos propuestos en el punto 6.6. El cálculo se inicia excluyendo el nodo 2 (del rotor), el cual puede ser calculado por un método simplificado gracias a que las resistencias R’d y Rp prácticamente son pequeñas y no afectan el recalentamiento del devanado del estator, así pues, también la exclusión de las pérdidas P2 entre los nodos 3 y 5, cuando se excluye el nodo 2, también son casi no considerables, y éstas se pueden considerar proporcional a la relación entre 1 y D del motor. a) Potencia de las fuentes 3 y 5 luego de excluir el nodo 2. P’3 = P3 + P2l/(1+D)

(6-55)

y P’5= P5+ P2 P2l/(1+D)

(6-56)

b) Conversión del triángulo 6-7-0 en estrella b) Resistencia total de los lados del triángulo 6-7-0 RT = R’o + R»o + Rc

(6-57)

b2) Resistencia de los radios de la estrella Para el nodo 0 :

Ro = R’o R»o/RT

(6-58)

Para el nodo 6 :

R1 = R’o Rcm/RT

(6-59)

Para el nodo 7 :

R2 = R»o Rcm/RT

(6-60)

El esquema que se obtiene luego de realizar las respectivas transformaciones se muestra en la Figura 6-6.

128


Para seguir realizando las transformaciones en el circuito térmico equivalente se tiene que excluir las fuentes de calor 3,4,5 y 7 y como resultado de esto, las pérdidas van a concentrarse en el nodo 1. (P’1) y en el centro de la estrella 67-0 (P∑ P’1), entre las cuales se encuentran conectados dos ramas de resistencias térmicas en serie (Figura 6.6.B). c) Resistencias paralelas del circuito térmico equivalente Ra = R1 + R’a + Rf + R Rb = R2 + Rk + RA

(6-61) (6-62)

d) Coeficientes de referencia de las fuentes de calor hacia el anodo 1.

k 41 =

R 1 + R 'A Ra

R k 71 = 2 Rδ

k 31 = k 41

RF Ra (6.63)

R k 51 = k 71 k Rδ

e) Potencia total de pérdidas referidas al nodo 1 P’1 = P1 + k31P’3 + k41P’4 + k51P’5 + k71P7

(6-64)

f) Sobre elevación media de la temperatura de los devanados del estator (°C)

θ1 = P'1

RaRδ + P1R 0 Ra + Rδ

(6-65)

129


0

0 Qkg=P´1+Pδ=P1

Ro 8 R1

R2

Ro

P8 8

P7 7

6 R´∆

Rk

4 P4

Rδ

Ra

Rf 3 P3

P5 5

(R´δ+Rp)

Qkg=P´1 Rń

P1 1

Rn P1 1

6.6a

6.6b

Figura 6.6 Transformación del circuito térmico equivalente del motor

6.8 CONSIDERACIONES PARA EL CÁLCULO El cálculo de verificación, sobre la base de un modelo experimental, se realiza bajo condiciones en las que el motor utilizado va a cumplir con bastante eficacia su operación y bajo el supuesto que la calidad de su fabricación es óptima. Esto quiere decir que la calidad de impregnación, de ensamblaje y de la fundición colada del rotor, se han realizado bajo buen control de calidad. La sobre elevación de temperatura o recalentamiento calculado en el devanado del stator, en régimen nominal, debe de ser menor a la temperatura permisible de acuerdo a las normas preestablecidas con un margen de 5 a 15%. Si el cálculo no satisface esta exigencia entonces luego de volver a realizar todo el cálculo según la metodología desarrollada, se toman las medidas correctivas con el fin que bajo nuevas condiciones, los resultados finales sean satisfactorios; así, en caso que el sobre calentamiento sobrepase el valor permisible, entonces se puede eliminar esta desventaja o error siguiendo, por ejemplo, las siguientes recomendaciones: 130


1. Utilizar un aislamiento de mayor clase térmica. 2. Disminuir las pérdidas en el motor, disminuir las cargas específicas y realizar un cálculo electromagnético nuevo. Para lograr un mayor efecto en ello se puede disminuir la densidad de corriente de los devanados del estator y rotor, gracias al incremento del área de las secciones de las ranuras o disminuyendo el número de espiras del devanado; en el último de los casos es necesario incrementar el flujo magnético. Una menor variación en el cálculo se tiene cuando se incrementa el flujo incrementando la longitud activa. Una de las medias más radicales para disminuir el calentamiento es el incremento de los diámetros principales D y Da. Además de todos estos intentos se pueden aplicar técnicas que se emplean para disminuir el calentamiento del motor; por ejemplo variar los coeficientes térmicos, variar las aletas del ventilador, etc. Es decir, los cambios que se van a realizar en el sistema de refrigeración y ventilación, no serán para todas las máquinas iguales y tan efectivos, ya que la ventilación recomendada por el sistema de refrigeración es casi óptima en el sentido técnico-experimental.

6.9

RESULTADOS DEL CALCULO

CALCULO TÉRMICO MOTOR 13KW, 1800rpm, p=2, f=60Hz, η=0.885. cos φ= 0.880 Datos producto del cálculo según metodología del Capítulo I a) Geométricos D = 18.4 cm

l = 12.3 cm

hcm = 1.10 cm

Dp = 18.36 cm

Da = 29.1 cm

ha = 2.80 cm

Z1 = 36

hzq = hπ 2.55 cm

bz1 = 0.73 cm

δ’ = 1.35 cm

δ = 0.90 cm

kc = 0.95

nr = µn1 = 20

dµ1 = 0.156 cm

∆µ = 0.03 cm

hkA = 0.3 cm

lAf = 21.85 cm

lB(lb1)= 7.4cm

Lcm = 27.10 Dcm = 31.3 cm 131


hµf = 3.7 cm hp = 2.80 cm Lp = 21.90 cm L’p = 11.45 cm Np = 20 N’p = 6 Npm = 0.80 cm Bp = 0.60 cm γ = 7°30’ ∆µf = 0.03 Clase B Dk = 36.80 cm H = 180 mm Dρ = Dcm = 31.30 cm Dα = 0.83 Da = 24.15 cm δA = 4.0 cm δ0 = 0.60 cm b) Eléctricos (Calculados en el Capítulo 4) r1 = 0.360 ohm r’2 = 0.245 ohm x1 = 1.272 ohm x’2 = 1.256 ohm x12 = 41.84 ohm lµ = 5.12 amp ηm = 0.885 l’1n = 24.55 amp 132


l’2n = 23.03 amp P1 = 14.53 Kw P2 = 13.05 Kw (Pn) S = 0.02856 pm = 0.141 Kw pc1 = 0.268 Kw pca = 0.197 Kw pcz = 0.071 Kw c) Coeficientes Térmicos (De Tablas – Capítulo 6) • Carcasa

λcm = 0.5

(hierro dulce)

• Núcleo estator

λfe = 0.36

(E12)

• Aislamiento ranura

λµ = 0.0016 (tipo B)

• Barniz impregnado

λ∆ = 0.0011

• Conductor

λcu = 3.8

(cobre)

→ B ⇒ 80°C de sobreelevación. Del tipo de motor. I) Cálculo de las fuentes de calor Pg = 0.2938 Kw r*10 = 0.3890 ohm r’*20 = 0.2648 ohm P1 = 703.35 W P2 = 568.23 W P3 = 217.60 W P4 = 197.23 W P5 = 47 W ∑P = 1733.41W

133


II) Cálculo de las resistencias térmicas (Fórmulas 6-22 a 6-54, en la misma secuencia) Sr∆ = 4749.44 cm2 Sp = 2775 cm2 S0p = 365.02 cm2 S∏p = 534.38 cm2 tp = 2.0486 cm Sgk = 877.26 cm2 vδ0 = 29.4996 m/s vcp = 15.81 m/s α∏p = 11.78x10-3 N/cm2°C α0p = 8.1171x10-3 kp = 3507.16 Λ0 = 72.59 R’0 = 0.0420°C/w R»0 = 0.0104°C/w Scm = 143.19 cm2 Rcm = 0.03154°C/w R∆ = 0.0041°C/w Rc = 8.056x10-3 Rz = 0.02307 R’∆ = 8.128x10-3 Rf = 0.0109 ∏ = 2.85 cm Rnµ = 0.0293°C/w λz = 6.091x10-3 w/°C.cm ξ = 0.2419 Rng = 0.0113

134


SM = 13.76 cm² R∏ = 0.0553°C/w SA = 1983.35 cm2 Vp = 17.30 m/s αA = 0.01376 w/°C cm2 RA = 0.0414°/w Sk = 3021.45 cm2 Rk = 0.300°C/w III) Cálculo del circuito equivalente térmico. (Según fórmulas 6-55 a 665, en la misma secuencia) P’3 = 439.66 P’5 = 439.60 RT = 0.08394°C/w R0 = 0.0052 R1 = 0.0158 R2 = 0.0039 Ra = 0.0901 Rδ = 0.0753 K41 = 0.2653 K31 = 0.3863 K71 = 0.0518 K51 = 0.4502 P’1 = 1733.41 θ1 = 92.18°C

135


136


CAPITULO 7 LA MÁQUINA ASÍNCRONA EN ESTADO DINÁMICO 7.1 PROCESOS TRANSITORIOS ELECTROMAGNETICOS Dentro de las exigencias actuales hacía el accionamiento asíncrono, tenemos: • Alta frecuencia de conexión del motor asíncrono. • Regímenes de funcionamiento por ondas de impulso. • Inversión de giro parcializado. • Diversidad de métodos de parada con alta precisión. En caso de despreciar los procesos transitorios electromagnéticos durante el análisis de estos regímenes obtendremos como resultado: • Una evaluación incorrecta de: los pares (momentos), que interactúan sobre el sistema del accionamiento. • Grandes errores durante la determinación de pérdidas en el motor. • Inexactitud en la determinación del método de parada del accionamiento, etc. Los motores asíncronos generan pares electromagnéticos de alta magnitud durante el proceso transitorio, los cuales sobrepasan en varias veces el valor del par nominal e incluso del par critico. Estos pares son la causa principal de la aparición de tensiones mecánicas peligrosas en los elementos del circuito cinemático del sistema del accionamiento. Estos pares no se pueden despreciar durante la evaluación de confíabilidad de los accionamientos eléctricos. Las condiciones que originan estos transitorios electromagnéticos en los motores asíncronos, principalmente debido a su campo no atenuable, afectan notablemente la prolongación de estos procesos transitorios. Así pues, por ejemplo, si se realiza la inversión de giro del motor asíncrono, en el cual se tiene un campo no atenuable, la duración y el camino del frenado, cuando se invierten las fases, pueden ser 137


notablemente diferentes, de acuerdo a que fases se hayan invertido. En consecuencia la precisión del procesamiento de comandos, depende principalmente de los procesos transitorios electromagnéticos. Las curvas de los procesos transitorios en el accionamiento asíncrono se trazan tradicionalmente, de acuerdo a la estadística de las características mecánicas, sin considerar los procesos transitorios electromagnéticos, lo cual conlleva a grandes errores. El estudio detallado de los procesos transitorios electromagnéticos nos da la posibilidad de diseñar y construir racionalmente el sistema del accionamiento eléctrico.

7.2GENERALIDADES ACERCA DEL MODELO MATEMÁTICO EN MÁQUINAS ASÍNCRONAS 7.2.1 MODELO MATEMÁTICO DEL MOTOR ASÍNCRONO TRIFÁSICO CON ROTOR CORTOCIRCUITADO Para describir los procesos electromagnéticos transitorios de la máquina asíncrona, así como para cualquier convertidor electromecánico de energía, es necesario describir las ecuaciones de balance mecánico y de energía, así como las ecuaciones de conversión de energía eléctrica en mecánica. El primer tipo de ecuación mencionado representa a la ecuación deducida de acuerdo a la segunda Ley de Kirchoff y obtenida para cada circuito eléctrico de la máquina, el segundo tipo de ecuación mencionado es la ecuación de desplazamiento del accionamiento y el tercer tipo de ecuación establece la relación cualitativa de la conversión de la energía electromagnética en mecánica y viceversa. Durante la deducción de las ecuaciones diferenciales de la máquina asíncrona, se consideran las siguientes suposiciones: • No se considera la saturación del circuito magnético, las pérdidas en el acero y la influencia de los dientes y las ranuras. • Se considera que los devanados de fase son totalmente iguales y el entrehierro es uniforme. • No se consideran los armónicos espaciales de alto orden del campo magnético, o sea el campo magnético de cada devanado se considera distribuido uniformemente por toda la periferie del estator. • Generalmente se considera que los parámetros del rotor están referidos hacia el estator. 138


La máquina asíncrona se debe de analizar como un sistema de devanados enlazados magnéticamente, ubicados en el estator y rotor. Durante el análisis de la interacción de los devanados de la fase «A» del estator y los devanados de la fase «a» del rotor, es necesario recalcar que la disposición mutua de estos devanados en el espacio, cuando el rotor gira, varía continuamente. Conforme a las suposiciones tomadas en cuenta, la inductancia mutua entre los devanados «A» y «a» debe ser igual a:

M Aa = M 12 cos ϕ Aa

(7.1)

Donde : M12 es la magnitud máxima de la inductancia mutua, la cual tiene lugar cuando coinciden los ejes " A" y " a", en Henrios. ϕ Aa Es el ángulo entre los ejes de devanados de las fases " A" y " a", en grados eléctricos.

Para las 3 fases del estator las ecuaciones de ten siones tienen la siguiente forma : VA =

dψ A + i A r1 ; dt

VB =

dψ B + i B r1 ; dt

(7.2)

dψ C + i C r1 dt Entonces para las 3 fases del rotor : VC =

139


dψ a + i a r2 ; dt dψ b 0= + ib r2 ; dt dψ c 0= + i c r2 ; dt 0=

(7.3)

De aquí en adelante los subíndices A, B y C simbolizarán a las fases de los devanados del estator y los subíndices a, b y c a las fases de los devanados del rotor. Entonces:

V A - es el va

term inale

ψ A (ψ a ) - es e Por ejemplo el flujo concatenado de la fase A del estator se determina de acuerdo a la magnitud de la inductancia propia de la fase A(LA) y de la inductancia mutua de la fase A (MA) con respecto a todos los demás devanados de la máquina. Tomando en cuenta la expresión (7.1) se pueden escribir las siguientes expresiones para los flujos concatenados totales del estator y del rotor. Estas expresiones para la fase A y a tienen la siguiente forma:

ψ A = L A i A + M AB i B + M AC iC + M Aa cosϕ Aa i a + ... ... + M Ab cosϕ Ab ib + M Ac cosϕ Ac ic ψ a = La i a + M ab ib + M ac ic + M aA cosϕ aAi A + ... ... + M aB cosϕ aB i B + M aC cosϕ aC iC 140

( 7.4)

( 7.5)

(fase i A (ia ) - es la .


Donde: LA=LB=LC=L1 - es la inductancia por fase en el estator. La = Lb = Lc =L2 - es la inductancia por fase en el rotor. MAB = MAC = MBC = M1 - es la inductancia mutua entre 2 devanados «X» del estator. Mab=Mac=Mbc=M2 es la inductancia mutua entre 2 devanados «X» del rotor. MAa = MBa = ... =M12 es el valor máximo de la inductancia mutua entre 2 devanados «X» del rotor y del estator. En la fig. 7.1. se indica como se distribuyen los ejes de los devanados de la máquina asíncrona. Con las líneas A, B, C se indican los ejes de los devanados de fase del estator y con las líneas a, b, c se indican los ejes de los devanados de fase del rotor. El ángulo ϕ es el ángulo existente entre los ejes de los devanados A y a.

Fig. 7.1. Esquema de distribución de los ejes de los devanados de la máquina asíncrona

141


De la fig. 7.1. se pueden deducir las siguientes relaciones: ϕ aA =ϕ Aa =ϕ;

ϕaB=ϕBa=ϕ -120°

ϕaC=ϕCa=ϕ+120°; ϕbA=ϕAb=ϕ+120°;

ϕ bB =ϕ Bb=ϕ;

ϕbC=ϕCb=ϕ -120°; ϕcA=ϕAc=ϕ - 120°;

ϕcB=ϕBc=ϕ +120°;

ϕ cC=ϕ Cc=ϕ;. Entonces (7.4) y (7.5) para todas las fases del estator y rotor, tomarán la siguiente forma: ΨA=L1iA+M1iB+M1iC+M12cosϕia+…...+M12cos(ϕ+120°)ib+M12cos(ϕ-120°)ic; ΨB=M1iA+L1iB+M1iC+M12cos(ϕ-120°)ia+... ..+M12cosϕib+M12cos(ϕ+120°)ic (7.6) ΨC=M1iA+M1iB+L1iC+M12cos(ϕ+120°)ia+... ...+M12cos(ϕ-120°)ib+M12cosϕic Ψa=L2ia+M2ib+M2ic+M12cosϕiA+M12cos(ϕ-120°)iB +M12cos(ϕ+120°)iC; Ψb=M2ia+L2ib+M2ic+M12cos(ϕ+120°)iA+ …..+M12cosϕiB+M12cos(ϕ-120°)iC (7.7) Ψc=M2ia+M2ib+L2ic+M12cos(ϕ-120°)iA +M12cos(ϕ+120°)iB+M12cosϕiC Las ecuaciones (7.2) y (7.3) conjuntamente con las ecuaciones (7.6) y (7.7) forman el primer grupo de ecuaciones que componen el sistema de ecuaciones diferenciales de la máquina asíncrona. La expresión para determinar el par electromagnético del motor asíncrono, puede ser obtenida en base a la posición conocida, de acuerdo a la cual el par electromagnético de la máquina eléctrica es igual a la derivada parcial de la energía electromagnética acumulada con respecto al ángulo geométrico.

142

dϕ = ω dt


La energía electromagnética de la máquina asíncrona puede ser determinada de acuerdo a la siguiente expresión:

1 Wem = [ψAiA +ψBiB +ψCiC +ψaia +ψbib +ψcic ] 2

(7.8)

De esta expresión, se deduce que el par electromagnético es igual a:

T =

∂W em p ∂ϕ

(7.9)

Donde: p es el número par de polos. La ecuación de movimiento del accionamiento es:

M − MC =

J dω p dt

(7.10)

Donde: ω-es la velocidad angular de giro del rotor, en grados eléctricos/seg. J es el momento de inercia del accionamiento eléctrico, referido al eje del motor. MC Es el par estático de la carga. Las expresiones (7.2),(7.3),(7.6),(7.7),(7.9) y (7.10) forman el sistema de ecuaciones de la máquina asíncrona. Este sistema contiene catorce ecuaciones donde se tienen catorce incógnitas: seis corrientes, seis flujos concatenados, el par electromagnético, la velocidad angular o el ángulo de desplazamiento ϕ que está relacionado con la velocidad por medio de la siguiente expresión:

ϕ

geom

=

ϕ p

;

ω

geom

=

ω p

143


Así mismo es necesario denotar que en el sistema de ecuaciones analizado, se utiliza solamente el concepto de «ángulo eléctrico» así como la frecuencia angular: ω=dϕ/dt, lo cual permite resolver conjuntamente las ecuaciones (7.6),(7.7), (7.9) y (7.10). Por otro lado en las ecuaciones del par electromagnético y de movimiento del accionamiento deben de emplearse los conceptos de «ángulo y velocidad geométricos» Con lo cual se puede explicar el por qué de la presencia de «p» como factor en las ecuaciones (7.9) y (7.10). Este principio nos permite emplear el sistema de ecuaciones obtenido, para una máquina eléctrica de cualquier número de polos. El sistema de ecuaciones diferenciales deducido, es muy complejo para una solución analítica. Este sistema es de alto orden y contiene ecuaciones no lineales con coeficientes periódicos. Es por esto que el sistema de ecuaciones de la máquina asíncrona trifásica, deducida de acuerdo a magnitudes reales de corrientes de fase y de flujos concatenados requiere de un conjunto de transformaciones, gracias a las cuales se puede obtener un sistema de ecuaciones con coeficientes constantes.

7.2.2. RELACIÓN ENTRE LAS INDUCTANCIAS PROPIAS E INDUCTANCIAS MÚTUAS DE LOS DEVANADOS Y PARÁMETROS ENERGÉTICOS EMPLEADOS EN LA TEORÍA DE LA MÁQUINA ASÍNCRONA TRIFÁSICA Cuando se realizan cálculos analíticos de los procesos transitorios electromagnéticos de las máquinas asíncronas, antes que todo, surge la necesidad de relacionar los parámetros que entran en el sistema de ecuaciones diferenciales, tales como: L1, L2, M1, M2, M12 con los parámetros empleados en la teoría de máquinas eléctricas (X1, X2, Xo). Estos últimos parámetros se pueden calcular por fórmulas ya conocidas. Para relacionar los mencionados parámetros es necesario escribir las ecuaciones de tensiones en régimen estable de acuerdo a (7,2), (7,3), (7,6) y (7,7) y comparar estas ecuaciones con las empleadas en la teoría de máquinas eléctricas; las 144


corrientes del estator y del rotor por fase en régimen estable tienen la siguiente forma: Para el estator: iA=Im1cos(ω0t+ξ); iB=Im1cos(ω0t+ξ-120°);

(7.11)

iC=Im1cos(ω0t+ξ+120°); Para el rotor: ia=Im2cos[(ω0 -ω)t+η]; ib=Im2cos[(ω0 -ω)t+η-120°];

(7.12)

ic=Im2cos[(ω0 -ω)t+η+120°]; Donde: Im1 e Im2 es la amplitud de las corrientes por fase del estator y rotor. ξ y η es la fase inicial de la corriente de la fase A y a respectivamente. Las tensiones de alimentación por fase de los devanados del estator son iguales a:

vA=Vmcos(ω0t+γ); vB=Vmcos(ω0t+γ-120°);

(7.13)

vC=Vmcos(ω0t+γ+120°); Reemplazando las ecuaciones para las corrientes (7.11) y (7.12) en la primera ecuación (7.6) y tomando en cuenta las siguientes igualdades: iA+iB+iC=0;

ia+ib+ic=0;

ϕ=ωt

145


Determinamos el flujo total de la fase A en régimen estable:

Realizando en forma análoga las transformaciones de las expresiones del flujo total Ψa de la fase a del rotor, obtenemos:

VA = Vme

jω 0 t

I A = I m1e

jω 0 t

I

a

= I

m 2

e

e e

j (ω

jγ jξ 0

−ω )t

e

jη

Escribimos en forma compleja las variables de las ecuaciones (7.11) a (7.15), entonces:

ΨA = I m1e jω 0 t e jξ ( L1 − M 1 ) + I m 2 e jω 0 t e jη

Ψa = I m2e

j (ω 0 − ω ) t

... + I m 1 e

e

jη

j (ω 0 − ω ) t

3 M 12 2

( L 2 − M 2 ) + ... e

jξ

3 M 12 2

Reemplazando las expresiones dΨA/dt e IA en la ecuación de tensiones de la fase A del estator y realizando algunas transformaciones, obtenemos: Ψ1=Ψu1+jΨv1 ; i1=iu1+jiv1; V1=Vu1+jVV1

Vm e jγ = j[( L1 − M 1 )ω 0 −

3 M 12ω 0 ]I m1e jξ + ... 2

3 ... + j M12ω 0 (I m1e jξ + I m2 e jη ) + r1I m1e jξ 2 146

(7.16)

ΨaA ==IImm21((LL2 1−−M 3 3 + I+m1I m 2 M ...... 2 2


Reemplazando las expresiones dΨa/dt en Ia en la ecuación de tensiones de la fase a del rotor y realizando algunas transformaciones, obtenemos:

3 3 M 12ω 0 ]Im2e jη + j M12ω 0 (Im1e jξ + ... 2 2 r2 ... + I m2e jη ) + I m2e jη (7.17) ω0 - ω

0 = j[(L2 − M 2 )ω 0 −

ω0 Las ecuaciones en forma compleja de la máquina asíncrona, que se analizan generalmente cuando se estudia la teoría de la máquina eléctrica y cuando se desprecian las pérdidas en el acero, tienen la siguiente forma:

V 1 = ( r1 + jX 1 ) I 1 + jX 0 I 0 r2 + jX 2 ) I 2 + jX 0 I 0 s I 0 = I1 + I 2

0= (

0 ={

r2 ω0 - ω ω0

... -

(2.18)

+ j[ ω 0 ( L 2 − M 2 ) − ... En las ecuaciones (7.16) y (7.17), denotaremos:

Im1e jξ = I1;

3 3 M 12 ω 0 ]} I 2 + jjξ M 12 ω 0 Ijη0 Im1e 2 + Im2e 2

Im2e jη = I2 ;

Vme jγ = V1 ;

(2.19)

= I1 + I2 = I0

Entonces las ecuaciones (7.16) y (7.17) tendrán la siguiente forma:

V 1 = { r1 + j[ ω 0 ( L 1 − M 1 ) − ... ... -

3 3 M 12 ω 0 ]} I 1 + j M 12 ω 0 I 0 2 2

147


I 0 = I1 + I 2

,

Comparando las ecuaciones (7.18) y (7.19), obtenemos:

3 M 12 ; 2 3 (7.20) X 2 = ω 0 ( L 2 − M 2 ) − ω 0 M 12 ; 2 3 X 0 = ω 0 M 12 ; 2 Denotamos : ω 0 ( L1 − M 1 ) = X s ; ω 0 ( L2 − M 2 ) = X r ; X 1 = ω 0 ( L1 − M 1 ) − ω 0

Entonces : X s = X 0 + X 1;

Xr = X0 + X2

Donde: Xs(Xr) Son las reactancias síncronas del devanado del estator (rotor), que consideran el enlace magnético con otros 2 devanados de fase del estator (rotor). Se denominan REACTANCIAS SÍNCRONAS a estas, debido a que cuando se tiene una velocidad síncrona en el rotor, la reactancia equivalente del rotor será igual a Xs cuando el motor se alimenta por el lado del estator (o sea referido al lado del estator) y Xr cuando el motor se alimenta por el lado del rotor (referido al lado del rotor); X0=ω0(3/2)M12,que viene a ser la inductancia mutua, que considera el enlace magnético de un devanado del estator (rotor) con 3 devanados del rotor (estator).

7.2.3. SENTIDO FÍSICO DE LAS FÓRMULAS DE CONVERSIÓN El sistema de ecuaciones diferenciales de la máquina asíncrona trifásica ha sido escrita en relación a parámetros reales de fase. La presencia de coeficientes periódicos antes de las variables en las ecuaciones, obliga a buscar caminos de simplificación del sistema de ecuaciones para obtener ecuaciones con coeficientes constantes. Para ello se requiere reemplazar los coeficientes. 148


Supongamos que el sistema de ecuaciones se escribe en función a las nuevas variables y este sistema describe el comportamiento de una máquina asíncrona ideal, para la cual las tensiones, corrientes y flujos totales están relacionadas con las tensiones, corrientes y flujos totales de la máquina real mediante las fórmulas a determinar del reemplazo de las variables. Por cuanto, las ecuaciones diferenciales de la máquina asíncrona ideal no contienen coeficientes periódicos, entonces se puede suponer que el rotor de esta máquina es inmóvil con respecto al estator, en efecto, los coeficientes periódicos aparecen a consecuencia de la variación de la posición mutua de los devanados del estator y rotor. Consideramos que el campo del estator y el rotor de la máquina asíncrona ideal giran en el espacio a una velocidad cualquiera ωk. Se puede suponer que la magnitud de ωk varía la forma de las ecuaciones, simplificando o complicándolas, es por ello que por el momento a la magnitud ωk no se le va a dar un valor determinado. Seguidamente supongamos que esta máquina asíncrona ideal es bifásica y equivalente a una máquina real trifásica de acuerdo a las fuerzas magnetomotrices, las cuales se generan tanto por las corrientes del estator como por las del rotor. En la figura 7.2 se muestra el esquema de la máquina asíncrona bifásica ideal. Los devanados del estator y rotor son inmóviles uno con respecto a otro y se ubican a lo largo del sistema de coordenadas u, v; donde ambos ejes para caso general pueden girar en el espacio con una velocidad arbitraria ωk, tal como se muestra en la fig 7.2. Fig. 7.2 Esquema equivalente de la máquina asíncrona ideal bifásica.

149


A cada devanado se conectan fuerzas electromotrices adicionales, las cuales consideran la rotación del rotor con respecto al estator en la máquina asíncrona real. Así mismo la magnitud de la velocidad de giro ωk del sistema de coordenadas u, v. Para transformar el sistema de ecuaciones diferenciales de la máquina asíncrona trifásica real, se requiere la solución de 2 problemas: • Se tiene que hallar las fórmulas de reemplazo de las variables. • Utilizando las fórmulas de conversión, obtener un sistema de ecuaciones diferenciales con respecto a las variables nuevas. Fig 7.3. Esquema para deducir las fórmulas de conversión.

En la fig 7.3. con las líneas A, B, C se designan los ejes de los devanados de fase del estator. Con las letras u, v se designa al eje ortogonal del sistema de coordenadas (u, v), el cual rota en el espacio con una velocidad arbitraria ωk. En la fig 7.3. se muestra también el vector I1, el cual es proporcional a la fuerza magnetomotriz total que se genera por las corrientes de las 3 fases del estator. De la fig 7.3 se observa que: iA=I1cosδ1; iB=I1cos(δ1-120°); IC=I1cos(δ1+120°); 150

(7.21)


Donde: δ1 es el ángulo entre I1 y el eje de la fase A del estator. I1 es la magnitud absoluta de I1. Las corrientes iu1 e iv1, que actúan en los ejes «u» y «v» y definen al vector I1, se pueden determinar de acuerdo a las siguientes expresiones:

Ahora el problema consiste en obtener a partir de las relaciones (7.21) y (7.22) las relaciones entre iu1 e iv1 vs iA,,iB e iC. De las expresiones (7.22) hallamos: Iu1=(I1cosδ1)cosωkt+(I1senδ1)senωkt. De la primera ecuación de (7.21), sabemos que: i =I cosδ ;

1 i u1 = I1cos(ω k3t - δ 1A); 1 (i B − iC ). I sen δ 1 = de la segunda y tercera ecuación, obtenemos: i v1 = −I1sen(ω3Y (7.22) k t - δ 1 ); De donde :

i u1 = i A cos ω k t +

3 (i B − iC ) sen ω k t = ... 3

2 [i A cos ω k t + i B cos(ω k t − 120 o ) + ... 3 ... + iC cos(ω k t + 120 o )] (7.23) ... =

En forma análoga se puede obtener : 2 i v1 = − [i A sen ω k t + i B sen(ω k t − 120 o ) + ... 3 ... + iC sen(ω k t + 120 o )] (7.24)

151


En la fig 7.3 con líneas a, b, c se designan a los ejes de fase de los devanados del rotor. El vector I2 que se muestra en la fig. 7.3 y es proporcional a la fuerza magnetomotriz total, que se genera debido a la suma de las corrientes rotóricas. De la fig 7.3 tenemos: ia=I2cos(δ2 -ϕ); ib=I2cos(δ2-ϕ-120°); (7.25) Ic=I2cos(δ2-ϕ+120°); Donde: δ2 es el ángulo entre el vector I2 y el eje de la fase A del estator; I2 es el valor absoluto del vector I2. Las corrientes iu2 e iv2, que actúan en los ejes «u» y «v» y definen al mismo vector I2, de acuerdo a la fig 7.3, se pueden determinar por la siguiente expresión:

i u2 = I 2 cos(ω k t - δ 2 ); i v2 = − I 2 sen(ω k t - δ 2 );

(7.26)

De las expresiones (7.25) y (7.26) se puede hallar la relación entre iu2 e iv2 vs ia, ib e ic:

2 i u2 = [i a cos(ω k t − ϕ ) + ib cos(ω k t − ϕ − 120 o ) + ... 3 ... + i c cos(ω k t − ϕ + 120 o )] ; 2 i v2 = − [i a sen(ω k t − ϕ ) + ib sen(ω k t − ϕ − 120 o ) + .... 3 ... + i c sen(ω k t − ϕ + 120 o )]; (7.27) Las expresiones (7.23) y (7.24) para las corrientes del estator y las expresiones (7.27) para las corrientes del rotor representan a las denominadas fórmulas de transformación, o sea a las fórmulas de traspaso de las variables de la máquina asíncrona real trifásica a las variables de la máquina asíncrona ideal bifásica. 152


Obviamente surge una pregunta: Son suficientes 2 variables iu1 e iv1 para el reemplazo total de 3 variables reales iA, iB e iC.?. Como se puede observar esto si se puede solucionar, si realizamos la transformación en forma inversa. Para lo cual multiplicamos la igualdad (7.23) por cosωkt y la ecuación (7.24) por senωkt y sumamos ambas expresiones. Luego de realizar las transformaciones, obtenemos: iA=iu1cosωkt-iv1senωkt+(1/3)(iA+iB+iC). La corriente I 01=(1/3)(i A+i B+i C) no se puede expresar en base a i u1 e i v1 . Supongamos que es una contradicción, entonces existen unos valores «L» y «q» de tal forma que se cumple la siguiente igualdad: iA+iB+iC=Liu1+qiv1.

(7.28)

Reemplazando en la última expresión iu1 e iv1, de acuerdo a las fórmulas (7.23) y (7.24) e igualando los coeficientes antes de iA, iB e iC respectivamente en ambos miembros de la igualdad, obtenemos:

2 2 L cos ω k t − q sen ω k t ; 3 3 2 2 1 = L cos( ω k t − 120 o ) − q sen( ω k t − 120 o ); 3 3 2 2 1 = L cos( ω k t + 120 o ) − q sen( ω k t + 120 o ); 3 3 1=

Sumando estas 3 igualdades obtenemos:

3=

2 L[cos ω k t + cos(ω k t − 120o ) + cos(ω k t + 120o )] + ... 3 2 ... + q[sen ω k t + sen(ω k t − 120 o ) + sen(ω k t + 120o )] 3

Las expresiones que están dentro de las llaves son iguales a cero. Por lo tanto para cualquier valor de «L» y «q» no se cumple la igualdad (7.28). Lo que significa que las corrientes I01, iA, iB e iC no pueden expresarse solamente a través de iu1 e iv1.

153


Para el sistema trifásico, la corriente I01 es igual a la corriente de secuencia cero; y cuando se conecta los devanados del estator de la máquina asíncrona en estrella con neutro aislado, esta corriente es igual a cero. Entonces para el caso general, las fórmulas de transformación para los parámetros del estator y rotor respectivamente, tienen la siguiente forma: i01=1/3[iA+iB+iC] i02=1/3[ia+ib+ic]

2 i u1 = [i A cosω k t + i B cos(ω k t −120o ) + ... 3 ... + iC cos(ω k t + 120o )] ; 2 i v1 = − [i A sen ω k t + i B sen(ω k t − 120o ) + ... 3 ... + iC sen(ω k t + 120o )];

( 7.29)

Las transformaciones (7.29) y (7.30) se realizan también para las tensiones y flujos totales. El sentido físico de las fórmulas de transformación (7.29) y (7.30) para la máquina asíncrona, es de que esta máquina asíncrona trifásica real se refiere (se representa) como una máquina asíncrona bifásica ideal equivalente a la real de acuerdo a las fuerzas magnetomotrices (f.m.m), que se generan por las corrientes del estator y rotor. Para lo cual el estator y rotor de la máquina bifásica son inmóviles uno con respecto a otro y giran en el espacio con una velocidad arbitraria ωk. La magnitud de la velocidad de giro del rotor con respecto a la del estator en la máquina real y la magnitud de velocidad ωk se consideran por medio de fuerzas electromotrices (f.e.m) adicionales (ver fig 7.2).

7.2.4. TRANSFORMACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES DE LA MÁQUINA ASÍNCRONA. Realizaremos la transformación a las nuevas variables de los sistemas (7.6) y (7.7).

154


La primera igualdad del sistema (7.6) la multiplicamos por 2/3(cosωkt), la segunda por 2/3[cos(ωkt-120°)] y la tercera por 2/3[cos(ωkt+120°)]. Posteriormente sumamos las 3 ecuaciones y luego de realizar las transformaciones obtenemos el flujo total del estator en el eje «u», que tiene la siguiente forma: 3 M 12 iu 2 2 En forma análoga se puede obtener el flujo total

Ψu1 = ( L1 − M 1 )iu1 +

del estator en el eje" v": 3 Ψv1 = ( L1 − M 1 )iv1 + M 12 iv 2 2 Realizando las mismas transformaciones para las ex presiones del flujo total del rotor (7.7) y consideran do la fórmula (7.30), hallamos las expresione s para deter minar los flujos totales del rotor en los ejes " u" y " v" respectivamente : 3 M 12 iu1 2 3 + M 12 iu1 2

Ψu 2 = ( L2 − M 2 )iu 2 + Ψv 2 = ( L2 − M 2 )iv 2

Empleando las expresiones y simbología obtenidas en el epígrafe 7.2, copiamos las expresiones para los flujos totales en la siguiente forma:

ω 0 Ψu1 = X S iu1 + X 0 iu 2 ; ω 0 Ψv1 = X S iv1 + X 0 iv 2 ; ω 0 Ψu 2 = X S iu 2 + X 0 iu1 ; ω 0 Ψv 2 = X S iv 2 + X 0 iv1 ;

(7.31) (7.32)

Deduzcamos las ecuaciones diferenciales para las tensiones con base en las nuevas variables de transformación: la primera ecuación del sistema (7.2) la multiplicamos por 2/3(cosω kt), la segunda por 2/3[cos(ω kt-120°)] y la tercera por 2/ 3[cos(ωkt+120°)]. Y finalmente sumamos las 3 ecuaciones y obtenemos:

155


dψ A dψ B 2 [cos ω k t + cos(ω k t − 120 o ) + ... dt dt 3 dψ C ... + cos(ω k t + 120 o ) ] + r1i u1 . dt Realizando algunas transformaciones adicionales,

Vu1 =

obtenemos : dψ A d [ψ A cos ω k t ] = −ψ Aω k sen ω k t + cos ω k t ; t dt

d [ψ B cos(ω k t − 120 0 )] = −ψ Bω k sen ω k t + ... dt dψ B ... + cos(ω k t − 120 0 ) ; t d [ψ C cos(ω k t + 120 0 )] = −ψ C ω k sen ω k t + ... dt dψ C ... + cos(ω k t + 120 0 ) ; t Tomando en cuenta las últimas relaciones, así como la anterior para Vu1, finalmente obtenemos:

v u1 =

dΨu1 − ω k Ψv1 + r1i u1 . dt

En forma análoga, se puede hallar la ecuación de tensiones del estator en el eje «v», así como las ecuaciones de tensiones del rotor en los ejes «u» y «v». En conclusión las ecuaciones de tensiones transformadas para el estator y rotor respectivamente se escriben de la siguiente forma:

dΨu1 − ω k Ψv1 + r1i u1 dt dΨv1 = − ω k Ψu1 + r1i v1 dt

v u1 = v v1 156

(7.33)


dΨu 2 − Ψv 2 (ω k − ω ) + ω 0α , r Ψu 2 + r2 iu 2 ; dt dΨv 2 0= − Ψu 2 (ω k − ω ) + ω 0α , r Ψv 2 + r2 iv 2 ; dt 0=

(7.34)

Notamos, que las componentes ωkΨu1 o (ωk-ω)Ψv2 del sistema de ecuaciones (7.33) y (7.34) respectivamente, representan a las f.e.m adicionales, tal como se muestra en la fig 7.2. Del sistema de ecuaciones (7.31) y (7.32) se pueden deducir las siguientes relaciones:

iu1 r1 = ω 0α , S (Ψu1 − Ψu 2 k r ); iv1 r1 = ω 0α , S (Ψv1 − Ψv 2 k r );

(7.35)

iu 2 r2 = ω 0α , r ( Ψu 2 − Ψu1 k S ); iv 2 r2 = ω 0α , r ( Ψv 2 − Ψv1 k S );

(7.36)

Donde :

α ,S =

x αS r ;α S = 1 ; k S = 0 ; xS xS σ 2

x σ = 1 − 0 = 1 − kr kS ; xS xr

α ,r =

(7.37)

x r αr ;α r = 2 ; k r = 0 ; xr xr σ

Reemplazando (7.35) en (7.33) y (7.36) en (7.34), obtenemos:

dΨu1 − ω k Ψv1 + ω 0α , S Ψu1 − ω 0α , S k r Ψu 2 ; dt dΨv1 = + ω k Ψu1 + ω 0α , S Ψv1 − ω 0α , S k r Ψv 2 ; dt

v u1 = v v1

(7.38)

157


dΨu2 − Ψv2(ωk −ω) +ω0α,rΨu2 −ω0α,rkSΨu1; dt dΨ 0 = v2 − Ψu2(ωk −ω) +ω0α,rΨv2 −ω0α,rkSΨv1; dt

0=

(7.39)

Es necesario aclarar que si como resultado de la solución del sistema de ecuaciones diferenciales, se obtienen corrientes y flujos totales de la máquina bifásica ideal(iu1,Ψu1,etc), entonces de acuerdo a estos parámetros se pueden calcular las corrientes y flujos totales de la máquina asíncrona real, de acuerdo a las fórmulas de transformación inversa, las cuales para el estator y rotor respectivamente, tienen la siguiente forma:

i A = iu1 cosω k t − iv1 senω k t + i01 ; i B = iu1 cos(ω k t − 120o ) − iv1 sen(ω k t − 120o ) + i01;

(7.40)

i C = iu1 cos(ω k t + 120o ) − iv1 sen(ω k t + 120o ) + i01; i a = iu 2 cos(ω k t − ϕ ) − iv 2 sen(ω k t − ϕ ) + i02 ; i b = iu 2 cos(ω k t − ϕ − 120o ) − .... ... − iv 2 sen(ω k t − ϕ − 120o ) + i02 ;

(7.41)

i c = iu 2 cos(ω k t − ϕ + 120o ) − ... ... − iv 2 sen(ω k t − ϕ + 120o ) + i02 ; El sistema (7.41) se obtuvo como resultado de la solución de (7.29) con respecto a las variables iA, iB e iC, ,y el sistema (7.41) de la solución de (7.30) con respecto a ia, ib e ic. La fórmula para determinar el par electromagnético en función de las corrientes de fase reales y el ángulo de desplazamiento del motor, se puede deducir reemplazando los valores del flujo total de los sistemas de ecuaciones (7.6) y (7.7) en la ecuación (7.8) en primer lugar y posteriormente en la ecuación (7.9). Una vez determinada esta relación, utilizando las fórmulas de transformación inversa (7.40) y (7.41), reemplazamos los valores reales de las corrientes de la máquina trifásica por las corrientes iu1, iu2, iv1.e iv2 de la máquina bifásica ideal. Entonces la expresión para determinar el par electromagnético es: 158


Τ=

3 x0 p(i u2 i v1 - i u1i v2 ) 2 ω0

(7.42)

Reemplazando los valores de las corrientes en el flujo total, de acuerdo a (7.35) y (7.36) y tomando en cuenta la relación (7.37), obtenemos otra forma de definir el par electromagnético:

Τ=

k 3 pω 0 r (Ψu2 Ψv1 - Ψu1 Ψv2 ) 2 x 0σ

(7.43)

Para un análisis más cómodo, resolvemos las ecuaciones de tensiones (7.38) y (7.39) y la ecuación de movimiento (7.10) con respecto a las primeras derivadas. Entonces el sistema de ecuaciones diferenciales de la máquina asíncrona toma la siguiente forma:

dΨu1 = vu1 −ω0α,S Ψu1 + ω0α,S krΨu2 +ωk Ψv1; dt dΨv1 = vv1 −ω0α,S Ψv1 +ω0α,S krΨv2 −ωk Ψu1; dt dΨu2 = −ω0α,rΨu2 +ω0α,rkS Ψu1 + (ωk −ω)Ψv2; dt dΨv2 = −ω0α,rΨv2 +ω0α,rkSΨv1 − (ωk −ω)Ψu2; dt 3 k T = pω0 r (Ψu2Ψv1 − Ψu1Ψv2 ); 2 xSσ

(7.44)

dϖ 1 = (T- Tresist) dt J p Si las tensiones reales de fase se determinan de acuerdo a las ecuaciones (7.13), entonces reemplazando estos valores en las fórmulas de transformación (7.29), obtenemos las fórmulas para hallar las tensiones en el sistema de coordenadas bifásico:

159


vu1=Vmcos[(ω0 - ωk)t+γ)]; vv1=Vmsen[(ω0 - ωk)t+γ];

(7.45)

En la teoría de procesos transitorios electromagnéticos en máquinas eléctricas, se analizan 3 sistemas de coordenadas, las cuales vienen a ser el caso particular del sistema anteriormente analizado, el cual gira a una velocidad angular arbitraria ωk. El primer sistema de ejes es inmóvil con respecto al rotor y gira con respecto al estator a una velocidad del rotor (sistema d, q, 0), o sea ω=ωk. Este sistema de coordenadas se emplea para analizar los procesos transitorios en las máquinas síncronas de polos salientes y se recomienda emplearla también para el análisis de los procesos transitorios en las máquinas asíncronas cuya conexión de los circuitos del rotor es asimétrica. El segundo sistema es el sistema de ejes, que giran con respecto al estator con una velocidad síncrona, o sea son inmóviles con respecto al campo de la máquina asíncrona en el régimen estable, en este caso ω=ωk. Simbolicemos este sistema bajo los índices x, y y o. Este sistema de coordenadas es más usual para el análisis de los procesos transitorios en las máquinas asíncronas, ya que las tensiones Vx1 y Vy1 de acuerdo a (7.45) van a ser constantes. En el tercer sistema de coordenadas los ejes son inmóviles con respecto al estator. ( sistema α, β y 0) o sea, ωk=0 Las variables Vα1 y Vβ1, van a variar en función del tiempo senoidalmente de acuerdo a (7.45). El sistema α, β y 0, tiene la ventaja de que en este sistema, la corriente iα1 va a ser igual a la corriente real de fase del estator de la máquina trifásica. Generalmente la selección del sistema de coordenadas a tomar, para el análisis de los procesos transitorios en las máquinas asíncronas, dependen de datos iniciales concretos. (si el esquema de conexión es simétrico o asímétrico de los devanados del rotor y estator, si es necesario obtener las corrientes de fase , si el modelo matemático es simple).

160


Generalmente es más cómodo representar las ecuaciones diferenciales de la máquina asíncrona en forma compleja, cuando se analizan sus procesos transitorios. Para lo cual se introducen nuevas variables: Ψ1=Ψu1+jΨv1 ; i1=iu1+jiv1; v1=vu1+jvv1; Ψ2=Ψu2+jΨv2 ; i2=iu2+jiv2; En lugar de 2 magnitudes, se tiene una magnitud compleja, cuyo valor real sirve como variable en el eje «u»(eje+) y el valor imaginario sirve como variable en el eje «v»(eje +j), como se muestra en la fig. 7.3. El sistema de ecuaciones diferenciales en forma compleja para la máquina asíncrona va a tener la siguiente forma:

dΨ1 = Vm e jγ e j(ω 0 −ω k ) t − (ω 0α , s + jω k ) Ψ1 + ω 0α , s k r Ψ2 ; dt d Ψ2 3 - ω )]kΨr + ω α , r&k Ψ ; = −[ω 0α , r T+ =j(ω (7.46) (7.46) kpω 0 2 Im(0Ψ1 Ψ2 s); 1 dt 2 xS σ

dϖ 1 = (T - Tresist ); J dt p Donde * significa la magnitud compleja conjugada. Posteriormente no se va a introducir diferentes índices para simbolizar las variables complejas, que pertenecen a diferentes sistemas de coordenadas. En caso de emplear para el análisis las ecuaciones en forma compleja, va a ser notorio en que sistema de coordenadas se escriben estas ecuaciones. La transformación del sistema de ecuaciones diferenciales de la máquina asíncrona a la forma (7.44) o (7.46) es mucho más simple que el sistema de ecuaciones escritas para los parámetros reales de fase.

161


Las ecuaciones (7.44) y (7.46) no contienen coeficientes periódicos. También notamos que los sistemas de ecuaciones (7.44) y (7.46) se escriben con respecto a los flujos totales más no con respecto a las corrientes. Con lo que simplificaremos notablemente el análisis.

7.3 MÉTODOS NUMÉRICOS DE SOLUCIÓN DE ECUACIONES APLICACIÓN DEL MODELO EN MÁQUINAS ASÍNCRONAS Todas las experiencias del presente libro se realizan en PC´s, para lo cual se utilizan métodos numéricos de solución de ecuaciones diferenciales simples. Para la solución numérica de una ecuación diferencial simple, ésta debe de estar descrita en la forma normal de KOSI: dX = f ( x, t ) dt

(7.47)

Donde X es la matriz de las variables a determinar; f(x,t) miembro derecho de la ecuación; t - tiempo. Para la solución por métodos numéricos se necesita tener como dato los valores iniciales de las variables, o sea los valores de las condiciones iniciales X(to)=Xo, entonces se supone que hay una solución a este problema para las condiciones iniciales dadas y esta solución se encuentra determinada para todos los instantes de tiempo t > to, donde to - es el valor inicial del tiempo. El intervalo de tiempo tmax, dentro del cual se encuentra la solución, se dividen en pequeñas variaciones de tiempo (intervalos) hi=(∆t)i, los cuales son denominado pasos. La finalidad del método de integración numérica, es de determinar un X(t), para todos los valores de: k hk=to+∑ hi. i=1

162


La mayoría de métodos de solución, están basados en dos caminos de solución: • Descomposición de la función por determinar, en una serie de Taylor • Por aproximación polinomial. Los métodos basados en la descomposición en series de Taylor generalmente son conocidos como Métodos de Runge Kutta y el método de aproximación polinomial, es conocido como método de integración numérica. 7.3.1. MÉTODO DE RUNGE KUTTA El algoritmo de este método se obtiene descomponiendo la función X(t) en la serie de Taylor en base a la vecindad del punto correspondiente al instante de tiempo t=tn: X ' (tn )(tn +1 − tn ) + .... 1! P 2 X ' ' (tn )(tn +1 − tn ) X ( P ) (tn )(tn +1 − tn ) ... + + ... + + ... P! 2! ... + miembros de mayor orden (7.48) X (tn +1 ) = X (tn ) +

Los miembros de mayor orden se colocan en la parte izquierda de la ecuación (7.48) y toda la parte izquierda se reemplaza por Xn+1 y el valor exacto de X(tn) en la parte derecha de la ecuación (7.48) se reemplaza por X(tn). Entonces después de haber denominado la expresión X(tn) en f[X(tn),tn], se obtienen las siguientes ecuaciones: Xn+1 = Xn+hTp(Xn,tn;h) TP ( X n , tn , h ) = f ( X n , tn ) + ... +

(7.49) hf ' ( X n , tn ) + ... 2!

h P −1 f ( P −1) ( X n , tn ) P!

(7.50)

De la ecuación (7.49) se pueden obtener los métodos de Taylor prácticamente de cualquier orden. Por ejemplo el método de Taylor de primer orden, llamado también el método de Euler, tiene la forma : Xn+1 = Xn+hf(Xn,tn)

(7.51)

El error metódico local de éste método es relativamente pequeño, es por ello que para obtener una buena precisión con ayuda del método de Euler es necesario 163


elegir una magnitud pequeña del paso, lo cual conlleva a grandes pérdidas del tiempo de procesamiento de la máquina, es por esto que generalmente no se utiliza este método en la práctica. Los métodos de Taylor de orden más alto, empezando del segundo orden contienen soluciones particulares de la derivada de la función f(X,t). La determinación de la solución particular de la derivada, es un problema dificultoso y puede traer errores. Pero el análisis matemático de Runge-Kutta encontró un método que nos permita excluir la necesidad de hallar las soluciones particulares de las derivadas y que nos da la misma solución exacta que el algoritmo de Taylor. El método de Runge-Kutta de segundo orden tiene la siguiente forma: Xn+1=Xn+hK2(Xn,tn;h) (7.52) Donde : K2(Xn,tn,h)=(1-a2)f(Xn,tn)+a2f[Xn+(a2h/2)] (7.53) Aquí tenemos un parámetro libre a2≠ 0. En consecuencia se puede obtener todo un grupo de métodos Runge-Kutta de segundo orden, dando diferentes valores a a2 .por ejemplo, si seleccionamos a2=1/2 obtenemos el método modificado de trapecios o método de Jena y si seleccionamos a2=1, entonces obtenemos el método de Euler-Kosi. Para aumentar la precisión del cálculo, para una mayor magnitud del paso, es empleado ampliamente el método de Runge-Kutta de cuarto orden. Este se da de acuerdo a las siguientes expresiones: Xn+1=Xn+hK4(Xn,tn;h)

(7.54)

K1=f(Xn,tn) K4(Xn,tn;h)=1/2[K1+2K2+2K3+K4] K2=f(Xn,[h/2]K1,tn+[h/2]); K3=f(Xn,[h/2]K2,tn+[h/2]; K4=f(Xn,[hK3,tn+h);

164

(7.55)


Así como el método tiene cuarto orden, entonces se puede seleccionar un paso relativamente grande, bajo consecuencias de un error local metódico de bajo valor, el cual es casi inapreciable en cada paso, es por esto que generalmente se toma un paso relativamente rebajado. Otra desventaja de este método es, de que la función f(Xn,tn) debe de calcularse 4 veces para cada paso. Además de todo esto, los valores de esta función no se emplean para los cálculos siguientes. Consecuentemente desde el punto de vista «trabajoso» este método no es efectivo en comparación a algunos métodos de varios pasos, basados en el método de aproximación polinomial.

7.3.2. MÉTODO DE APROXIMACIÓN POLINOMIAL Está basado en la suposición de que la solución exacta al método de KOSI se determina con el polinomio elevado a «k»: X (t ) = α 0 + α1t + α 2t 2 + ... + α k t k

Donde:αo,α1,α2,...αk son constantes. La expresión analítica en forma del polinomio elevado a la «K», que nos da la posibilidad de calcular exactamente el valor de X(tn+1) es conocida también como la fórmula de integración numérica de orden «K». A diferencia del Método de Taylor, en la mayoría de las fórmulas de integración numérica para el cálculo de Xn+1 se emplea la información de los pasos precedentes. Es por esto que a los métodos de integración numérica se les denomina también métodos de varios pasos que son diferentes a los Métodos de Taylor que también son denominados métodos de un paso. La forma general de la fórmula de integración numérica de varios pasos es: X n +1 = a0 X n + a1 X n −1 + ... + a p X n − p + h[b−1 f ( X n +1 , tn +1 ) + ... + b0 f ( X n , tn ) + bp f ( X n − p , tn − p ) P

P

i =0

i = −1

= ∑ ai X n −1 + h ∑ bi f ( X n −i , tn − i )

(7.56) 165


Donde: ai y bi son 2p +3 coeficientes, los cuales deben de ser determinados si es que la solución exacta es el POLINOMIO y si es que los cálculos previos de Xi se suponen son exactos, entonces la ecuación (7.56) nos determina el valor exacto de Xn+1. También podemos aclarar de que si b1=0, entonces obtenemos una fórmula evidente (de tipo abierto), y si b≠0, entonces obtenemos una fórmula no evidente (de tipo cerrada). La fórmula para determinar Xn+1 viene a ser de tipo no evidente, cuando la incógnita Xn+1 se encuentra en ambos miembros de la ecuación. Para buscar los valores de Xn+1, de forma ordenada por el método no evidente, será necesario, realizar para cada punto unos cuantos cálculos por iteración. ( j +1) (i ) X n +1 = F ( X n +1)

(7.57)

Para un valor escogido del paso «h», el número de iteraciones puede ser disminuido seleccionando una aproximación inicial que se encuentre lo suficientemente cercana a la solución Xn+1. Antes de seleccionar arbitrariamente es aconsejable emplear el método exacto para predecir. Por ejemplo, supongamos que hemos escogido el método evidente de Euler, de acuerdo a (7.51), para pronosticar la aproximación inicial para el método de trapecios, que es determinado por la ecuación: h (1) X n +1 = X n + 2 { f [ X n + hf ( X n , tn ), tn +1 ] + f ( X n , tn )} (7.58)

La ecuación (7.58) nos determina el valor corregido de Xn+1, después de una iteración. En general pueden ser requeridas unas cuantas iteraciones, para verificar que el valor calculado es lo bastante cercano al valor buscado. Los valores son secundarios, empleados sólo para calcular uno con respecto al otro, estos no son empleados finalmente, cuando se obtiene la iteración final. La descripción del proceso de cálculo de Xn+1, por el método no evidente es llamada también MÉTODO DE PRONÓSTICO -CORRECCIÓN. Cualquier método de integración numérica de varios pasos, determinado por la ecuación (7.56), no es autoiniciativo, ya que inicialmente sólo son datos Xo y to. En general para realizar el cálculo de Xn+1, es necesario obtener p+1 valores anteriores de X, considerando el valor constante del paso «h».

166


Para obtener estos valores se utiliza el método de un paso, por lo menos p+1 veces, antes de empezar el cálculo por el método de varios pasos. Para hallar todos estos valores iniciales frecuentemente se emplea el MÉTODO DE RUNGEKUTTA de cuarto orden, que tiene un alto valor de aproximación y es fácil de programarlo. Analicemos 2 métodos importantes de integración numérica. MÉTODO DE ADAMS-BASHFORTH, de orden «k», que viene a ser un método evidente de varios pasos. que se obtiene de la ecuación (7.56) bajo las condiciones siguientes: P=k-1, a1=a2=…=ak-1=0, b1=0

(7.59)

O sea: Xn+1=a0Xn+h{b0f(Xn,tn)+ b1f(Xn-1,tn-1)+… …+bk-1f(Xn-k+1,tn-k+1)}

(7.60)

Donde: tenemos k+1 coeficientes ao, bo, b1,...,bk-1, los cuales se determinan de tal forma que la ecuación (7.60) sea exacta para todas las soluciones polinomiales de orden «k». Para k=1 obtenemos el método de Adams-Bashforth de primer orden: Xn+1=Xn+hf(Xn,tn)

(7.61)

Como vemos esta expresión es el método evidente de EULER. Para k=2, obtenemos el método de Adams-Bashforth de segundo orden: 3 1 X n +1 = X n + h{ f ( X n , tn ) − f ( X n −1 , tn −1 )} 2 2

(7.62)

Para K=3, obtenemos el método de Adams-Bashforth de cuarto orden: X n +1 = X n + h{ +

23 16 f ( X n , tn ) − f ( X n −1 , tn −1 ) 12 12

5 f ( X n − 2 , tn − 2 )} 12

(7.63)

167


El método de Adams-Moultown de orden «k», viene a ser el método no evidente obtenido para la ecuación (7.56); bajo las siguientes condiciones: P=k-2, a1=a2=…=ak-2=0

(7.64)

Entonces: Xn+1=a0Xn+h{b-1f(Xn+1,tn+1)+b0f(Xn,tn)+b1f(Xn-1 ,tn-1)+……+bk-2f(Xn-k+2,tn-k+2)}

(7.65)

Aquí tenemos k+1 coeficientes ao, b-1, bo, b1...,bk-2 que deben de ser determinados de tal forma que la ecuación (7.65) sea correcta para todas las soluciones polinomiales de orden «k». Para k=1, obtenemos el método de Adams-Moultown de primer orden: Xn+1=Xn+hf(Xn+1,tn+1)

(7.66)

Al contrario del método evidente de Euler, que se determina por la ecuación (3.17), este método se denomina Método No Evidente de Euler . Para K=2, obtenemos el método de Adams-Moultown de segundo orden 1 1 X n +1 = X n + h{ f ( X n +1 , tn +1 ) + f ( X n , tn )} 2 2

(7.67)

Como se observa este método viene a ser el método de trapecios. Para K=3, obtenemos el método de Adams-Moultown de tercer orden: 5 8 X n +1 = X n + h{ f ( X n +1 , tn +1 ) + f ( X n , tn ) 12 12 1 − f ( X n −1 , tn −1 )} (7.68) 12

Los métodos de Adams-Bashforth y de Adams-Moultown son solamente dos de la gran cantidad de métodos de varios pasos existentes, cuyas soluciones se dan por cálculos de gran precisión. Sin embargo se habla de gran precisión en estos métodos, sólo al inicio de los cálculos, surgiendo posteriormente una tendencia de aumento del error metódico local y del error cuando se redondean los valores 168


en cada paso, es por esto, de que a través de un determinado intervalo de tiempo, el error aumentará sobre la solución final. De lo dicho anteriormente deducimos que estos métodos de varios pasos son ineficientes, a excepción de los Métodos de Adams-Bashforth y AdamsMoultown. Hasta ahora se ha entendido de que, para la solución de problemas se tiene que seleccionar uno de los métodos de integración numérica de un determinado orden, que será constante durante todo el proceso de integración. Entonces para lo mencionado anteriormente, la magnitud del paso puede ser optimizada conforme se seleccione el mayor valor posible de «h», para el cual el error metódico local será menor al error máximo generado al inicio y para el cual el método será estable numéricamente. Para sistemas de varias ecuaciones, el número de cálculos no aumenta en gran magnitud, si es que se aumenta el orden del método. Es por ello que frecuentemente, es más efectivo cambiar el orden del método y la magnitud del paso «h» en cada intervalo de tiempo determinado. Cualquier sistema de ecuaciones diferenciales, cuya solución contenga componentes de variación «rápida» o «lenta» es denominado SISTEMA RÍGIDO. En los sistemas de ecuaciones lineales, el fenómeno de RIGIDEZ se observa en los casos, cuando los valores propios de la matriz, que se encuentra asociada con este sistema, se diferencian en gran magnitud. El sistema no lineal es rígido, si su matriz, en los puntos de interés contiene caídas bruscas de sus propios valores. Las ecuaciones diferenciales de las Máquinas Electricas. son generalmente de este tipo. Para solucionar efectivamente ecuaciones diferenciales rígidas, se debe de seleccionar un método, el cual nos permita variar la magnitud del paso en grandes rangos, conservando siempre la estabilidad del cálculo. Entonces este método iniciará la integración con un paso de pequeña magnitud, conservando las exigencias de precisión, para así obtener una componente inicial «rápida» del proceso transitorio, para posteriormente incrementar el paso después de que el proceso transitorio se atenúe.

169


7.3.3 SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES RÍGIDAS. MÉTODO DE GIR Para la solución del problema mencionado anteriormente, Gir (investigador) realizó una familia de algoritmos, que son rígidamente estables, evidentes y de varios pasos; en los cuales la magnitud del paso se limita sólo con el error metódico local admisible (permisible). Por ellos los algoritmos indicados anteriormente son ideales para la variación automática del orden del método y de la magnitud del paso. Gir procesó un programa de alta eficacia para integrar el sistema de «N» ecuaciones diferenciales simples, además este programa contiene un algoritmo estable y rígido de variación automática del orden y magnitud del paso. Este es el programa DVOGER. El método de Gir de orden «K» ,viene a ser un método evidente, obtenido bajo las siguientes consideraciones: P=k-1, b0=b1=b2=…=bk-1=0

(7.69)

En la ecuación (7.11) Xn+1=ao(k)Xn+a1(k)Xn-1+a2(k)Xn-2+…+ak-1(k)Xn-k+1 +h[b-1(k)f(Xn+1,tn+1)] (7.70) Donde los coeficientes ai son reemplazados por ai(k) para obviar el orden «K» del método y su dependencia del orden. Para K=1, obtenemos el método de Gir de primer orden: Xn+1=Xn+hf(Xn+1,tn+1)

(7.71)

Vemos que la ecuación (7.71) es el método no evidente de EULER, el cual fue deducido anteriormente. Para K=2. obtenemos el método de Gir de segundo orden: X n +1 =

170

4 1 2 X n − X n −1 + h( f ( X n +1, tn +1 )) 3 3 3

(7.72)


Para K=3, obtenemos el método de Gir de tercer orden: X n+1 =

18 9 2 6 X n − X n−1 + X n−2 + h( f ( X n+1, tn+1)) 11 11 11 11

(7.73)

Las fórmulas de los métodos de Gir de mayor orden, son desarrolladas con muchos valores, debido a lo cual no las escribiremos. Para la solución de sistemas de ecuaciones diferenciales, es lógico emplear programas conocidos, los cuales han sido probados experimental y técnicamente durante varios años y gracias a los cuales se les puede emplear confiablemente para un empleo masivo. • EL PROGRAMA RKGS - que realiza el método de Runge-Kutta de cuarto orden. • EL PROGRAMA DVOGER - que por selección, puede realizar el método de Gir ó el método de Adams - Moultown (con el algoritmo de variación automática del paso de integración y del orden del método).

7.4 PROGRAMAS RKGS Y DVOGER El programa RKGS se encuentra dentro de la biblioteca de sub-programas matemáticos SSPLIB. El programa DVOGER, se encuentra dentro del programa NAP de matemáticas para el cálculo de circuitos no lineales. Para entrar al programa RKGS se realiza el siguiente procedimiento: CALL RKGS (prmt, y, dery, ndim, ihlf, FCT, OUTP, aux) Donde: prmt-serie masiva de dimensión no menor a 5 prmt(1)- valor inicial del intervalo de integración. prmt(2)- valor final del intervalo de integración.

171


prmt(3)- valor inicial del paso de integración. prmt(4)- magnitud del error máximo permisible. prmt(5)- parámetro controlador: El programa dispone. prmt(0) cuando el proceso de cálculo se realiza normalmente; el operador puede interrumpir el proceso de cálculo, variando el valor de prmt(5) a un valor diferente de cero en el subprograma externo OUTP (ver más abajo). y

cuando se entra al programa la serie de valores iniciales, cuando se sale del programa- serie de valores secuentes.

dery

para entrar la serie de coeficientes variables (la suma de los cuales debe ser igual a 1), para salir- serie de valores secuentes de derivadas variables.

ndim

número de ecuaciones del sistema.

Ihlf

número de fraccionamientos realizados en el paso de integración, además de esto en caso de que el número de fraccionamientos sea mayor a 10, entonces ihlf=11; si el valor inicial del paso es prmt(3)=0, entonces ihlf=12; si el signo del paso inicial prmt(3) no coincide con el signo de la diferencia (prmt(2)-prtmt(1)), entonces ihlf=13.

FCT

dirección del subprograma externo, que es llamado de RKGS la cual calcula los miembros de la derecha del sistema de ecuaciones diferenciales: FCT(x, y, dery) (Donde: x- valor continuo del tiempo dentro del intervalo de integración).

OUTP

dirección del subprograma externo, llamado desde RKGS, la cual realiza la deducción de los valores intercalados de las variables en los puntos de división del intervalo de integración: OUTP(x,y,dery,ihlf,ndim,prmt) (en este se puede variar el parámetro controlador prmt(5))

aux

serie complementaria de trabajo, que tiene las siguientes dimensiones (8,ndim).

Para entrar al programa DVOGER se realiza el siguiente procedimiento: CALL DVOGER(DFUN,y,t,n,mth,maxder,jstart,h,hmin,hmax,eps,ymax,error,wk,ier) Donde : 172


DFUN

Subprograma externo de cálculo del miembro derecho del sistema de ecuaciones diferenciales: DFUN(yp,tp,n,dy,pw,ind)

Donde: yp

conjunto de valores continuos de las variables y sus derivadas, con dimensión(8,n); la solución continua se encuentra en la primera columna de este conjunto de valores: X(1)=yp(1,1),X(2)=yp(1,2),...X(n)=yp(1,n):

tp

valor continuo del tiempo:

n

número de ecuaciones del sistema

ind

parámetro controlador: si ind=0, entonces DFUN debe calcular el conjunto «n» de miembros derechos del sistema de ecuaciones y conservar este cálculo en dy(n); si ind=1, entonces DFUN además de calcular el conjunto «n» debe de conservar el cálculo en la matriz pw(n,n) (El conjunto «n» se calcula sólo si se llama el programa DVOGER con mth=1).

y

conjunto de variables de dimensión (8,n),que contiene variables y sus respectivas derivadas; al principio de la integración este debe de contener en la primera columna los valores iniciales de las variables:

t

valor continuo de la variable independiente de integración (tiempo); cuando se inicia la integración debe de contener un tiempo inicial «to».

n

orden del sistema de ecuaciones (cantidad de ecuaciones en el sistema).

mth

símbolo del método de integración: mth=0-método de Adams de prognóstico-corrección; mth=1-método de Gir con variación del orden del método, que es efectivo para la resolución de ecuaciones rígidas(para esto el operador debe de realizar el cálculo en Yakobiana en el comando DFUN). mth=3-método de Gir con variación de orden del sistema (para esto DVOGER automáticamente calcula el JACOBIANO):

maxder orden máximo del método: maxder<8 para el método de Adams y maxder<7 para el método de Gir. Jstart

parámetro controlador, que toma los siguientes valores: -1 repetir el último paso con un nuevo valor de «h». 0 iniciar la integración (al primer llamado) +1 continuar la integración. 173


Cuando se sale de DVOGER jstart es igual al orden continuo del método empleado durante la integración. h

cuando se entra al programa la magnitud del paso continuo con la cual va ha ser realizada la variación de t, cuando se sale del programa, la magnitud recomendada del siguiente paso, que se deduce de las condiciones de integración económica para lograr una precisión dada.

hmin

magnitud del paso mínima permisible.

hmax

magnitud del paso máxima permisible.

eps

criterios de error relativo máximo permisible.

ymax-

conjunto de variables, con dimensión «n», que contiene valores máximo absolutos de las variables (antes de iniciar la integración estos se toman =1).

error-

conjunto de valores con dimensión «n» que contiene errores locales de solución.

wk-

conjunto de valores empleado constantemente, con dimensión (17, n) para mth=0 y (n,n+17) en todos los demás casos;

Ier-

símbolo de errores, que se genera durante la integración.

Los programas RKGS y DVOGER junto con los diferentes métodos de integración, realizan aplicaciones en programación. El programa RKGS representa un sistema cerrado de autosuficiencia, que realiza la interación en un intervalo dado de tiempo, los medios de control de la correcta realización de la integración son limitados. El programa DVOGER es al contrario, pues representa a un integrador de un solo paso, el cual controla el programa en utilización para el análisis y selección de la estrategia y táctica de cálculos posteriores al finalizar el cálculo de cada paso de integración, gracias a esta ventaja se permite crear programas más flexibles, que reaccionan de la misma forma hacia los efectos externos.

7.5 CALCULO TERMICO EN ESTADO DINAMICO 7.5.1. Sistema de Ecuaciones Diferenciales de Poisson En la mayoría de casos el método del Circuito Térmico Equivalente (CTE) se utiliza para determinar las temperaturas medias en el régimen de funcionamiento continuo o estado estable de operación, pero este método también se puede utilizar para calcular con muy buena aproximación los valores de temperatura en el estado transitorio o dinámico de la máquina. 174


Aun cuando la construcción de una máquina eléctrica sea relativamente simple, desde el punto de vista térmico, cualquier construcción es un sistema complejo de elementos correlacionados, donde los procesos se describen matemáticamente por el sistema de ecuaciones diferenciales de Poisson en cada elemento conductor de calor. Las condiciones límites de interrelación e interdependencia para estas ecuaciones complican la solución. El dejar de analizar el campo de temperaturas al interior de cada elemento nos permite representar los procesos térmicos por medio de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales simples de primer orden. El número de estas ecuaciones depende del número de cuerpos en la que se subdivide la máquina. El estado térmico del cuerpo «n» se describe por la siguiente ecuación diferencial de balance térmico:

Cn

dθ n q ( i − n ) = ∑ Λ in (θi − θn ) + Pn dt i =1

(7.74)

Donde: Cn : capacidad térmica del cuerpo «n» θn : temperatura del cuerpo «n» θi

: temperatura del cuerpo «i»

q

: cantidad de cuerpos relacionados térmicamente con el cuerpo analizado «n»

Λin : transmisión térmica desde uno de los cuerpos vecinos «i» hacia el cuerpo «n» Pn : pérdida de potencia en el cuerpo «n» t

: tiempo

Para determinar las características del estado térmico de la máquina que trabaja en los estados estable y dinámico es necesario resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

175


⎛ dθ1 ⎜ C1 dt ⎜ ⎜ dθ ⎜ C2 2 dt ⎜ ⎜ ..... ⎜ dθ n ⎜⎜ C n dt ⎝

⎛ m ⎞ ⎜ − ∑ Λi1⎟ ⎝ i =2 ⎠ ⎛ k (1≠ 2 ) ⎞ ⎜⎜ − ∑ Λi 2 ⎟⎟ ⎝ i=1 ⎠ ..... ⎛ q (1≠ n ) ⎞ ⎜⎜ − ∑ Λin ⎟⎟ ⎝ i =1 ⎠

n

∑ (Λi1θi )

i =1 k (1≠ 2 )

∑ (Λi2θi ) i =1

q (1≠ n )

.....

∑ (Λinθi ) i =1

⎞ P1 ⎟ ⎟ ⎟ P2 ⎟ ⎟ .....⎟ (7.75) ⎟ Pn ⎟⎟ ⎠

Donde: m: cantidad de cuerpos relacionados térmicamente con el primer cuerpo. k: cantidad de cuerpos relacionados térmicamente con el segundo cuerpo. 7.5.2. Sistema de Ecuaciones Diferenciales o de Poisson para el Motor Asíncrono del tipo cerrado Suponiendo que la resistencia térmica entre la carcasa y las tapas laterales es cero, que la transmisión térmica en el eje es despreciable y que todo el esquema es simétrico, se puede simplificar el circuito térmico equivalente mostrado en la Figura 6.3.

C 34 Por tanto, utilizando los símbolos y esquemas desarrollados en el Capítulo 6, podemos establecer el siguiente conjunto de ecuaciones diferenciales para determinar el comportamiento térmico del motor asíncrono del tipo cerrado.

176

C1

dθ1 = − Λ1n + Λ A θ1 + Λ1n θ3 + Λ A θ5 + P1 dt

C5

dθ5 = −(Λ ∆ + Λ k )θ5 + Λ Λ θ1 + Λ k θ 7 + P51 dt

(

)

dθ 34 = − Λ1 dt

(


C6

dθ 6 = − Λ1∆ + Λcm + Λ10 θ 6 + Λ1∆ θ 4 + Λcmθ 7 + Λ10 θ 0 dt

C7

dθ 7 = − Λcm + Λ k + Λ110 θ 7 + Λcmθ 6 + Λ k θ 5 + Λ110θ 0 dt

(

)

(

)

P51 = P5 + P2 − P2 * l / (l + D )

θ 0 = 40°C

(7.76)

* Significado y cálculo de los coeficientes C: C1:Capacidad térmica del devanado del estator térmica de los dientes del estator P31 = P3 + P2 * l / (lC+3:Capacidad D) C4:Capacidad térmica del núcleo del estator C5:Capacidad térmica del aire interno C6:Capacidad térmica de la parte de la carcasa que envuelve el núcleo del estator C7:Capacidad térmica de las otras partes de la carcasa Tales coeficientes se determinan mediante la fórmula (7.77): Ci = ci * Gi Donde: ci: coeficiente específico de velocidad de variación de la capacidad térmica de cada elemento «i» en función del material y expresado en joule/°C-gr. Los valores de ci, para los diferentes materiales están consignados en la Tabla 6-1.

177


Gi: Peso del elemento «i». Este valor debe expresarse en gramos. Los valores pertinentes han sido calculados en el Capítulo 4, con excepción del volumen interno del aire y de las dos partes de la carcasa las cuales se dan en el siguiente cuadro de fórmulas.: • Carcasa considerando solo el núcleo

(

)

⎡π 2 ⎤ ⎛1⎞ 1 11 Gctn = γ c l 1 ⎢ D cm − D a21 + Np ⎜ ⎟ hp b1p + b11 kc⎥ (7.78 - a) p + bpbp ⎝ 3⎠ ⎣4 ⎦

(

)

• Carcasa de las otras partes

Gcto = Gtcn

2 2 ⎡ l cm − l 1 ⎛ D + D a1 ⎞ ⎛ D cm + D a1 ⎞⎤ ⎜ ⎟⎟⎥ (7.78- b) + 2h cm γ c π ⎢(h µf ) ⎜ cm + ⎟ ⎜ l1 2 4 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎦ ⎣

• Volumen de aire interior

Gof = γ o

(

π (l B − h π1 ) D a21 − D i22 4

)

(7.78 - c)

Por otra parte, para poder establecer el valor medio de sobre elevación de la temperatura de la máquina asíncrona durante su estado estable bastará establecer las siguientes aproximaciones:

Cn =

dθ n → 0, para todo elemento «n» dt

7.6 PROGRAMAS COMPUTACIONES DESARROLLADOS 7.6.1 Introducción En el acápite se exponen las aplicaciones de los Programas desarrollados, cuyo software se adjuntan en forma de material magnético al final del libro. En primera instancia se detallan las hojas que contienen la data de los respectivos programas. Estos programas data recogen los parámetros de cálculo definidos según los métodos convencionales y a su vez se constituyen en los valores iniciales para los determinados procesos. 178


Cada Programa contiene los SubProgramas xxx.DAT, xxx.EXE, y xxx.Grapher; para su debido procesamiento, así como el SubPrograma .xxx.FOR. Para el caso del análisis del comportamiento electromagnético sin considerar los efectos térmicos se muestran las características para velocidad (rad/seg), corriente en estator, corriente en rotor y torque. Se han considerado condiciones de vacío y carga nominal. Con este propósito se aplican los Programas 1,3, y 4. Por otra parte es factible calcular los efectos térmicos sin considerar los procesos electromagnéticos dinámicos, tanto para los estados estable así como el estado dinámico desde el punto de vista térmico. Aplicamos el Programa de Cálculo Térmico denominado Teplo. Finalmente, consideramos ambos efectos: electromagnéticos y térmicos en forma simultánea. El proceso de cálculo lo efectuamos a través del Programa ELMT. En está aplicación, como se indicó anteriormente, se consideran los efectos de expulsión de la corriente en el proceso de arranque. De igual manera se analiza el comportamiento para carga nula (vacío), marcha normal, con torque variable y marcha a plena carga. 7.6.2 Aplicaciones de los Programas Con la Aplicación de los Programas 1 y 3 se han calculado las características dinámicas bajo las siguientes condiciones: Gráfica PR 11 (PR31) Tensión Nominal, Momento de Inercia Nominal y momento de Carga nulo (vacío). Gráfica PR12 (PR32) Tensión Nominal, Momento de Inercia Nominal y 50% de Momento de Carga Gráfica PR13 (PR33) Tensión Nominal, Momento de Inercia Nominal y Momento de Carga Nominal Aplicando el Programa 4 se han calculado y se muestra las gráficas (8), de las características dinámicas bajo el evento de inversión de giro, con las siguientes condiciones: Gráfica PR41 Tensión Nominal, Momento de Inercia Nominal, Momento de Carga Nulo y Reversión a los 0.20 segundos de arranque 179


Gráfica PR42 Tensión Nominal, Momento de Inercia Nominal, Momento de Carga Nominal, tiempo de reversión a los 0.20 segundos luego del arranque. La Aplicación del Programa para el Cálculo Térmico «Teplo» se ha realizado considerando dos escenarios, el primero operación en estado estable y el segundo: operación en estado dinámico. En ambos casos prescindimos de considerar los efectos electromagnéticos dinámicos de operación de la máquina. El proceso de estabilización térmica es mucho más lento que el de un fenómeno electromagnético. Por ello el tiempo de análisis no es de 0,3 ó 0,5 segundos sino de dos o tres minutos para observar la tendencia. Más aún, estimamos que el proceso de estabilización térmica alcanza dos o tres horas en condiciones de operación continua. Los resultados se muestran en las Gráficas TEPLO 1 y TEPLO 2 respectivamente. Finalmente, la Aplicación del Programa ELMT nos ofrece la posibilidad de explorar el comportamiento de la máquina considerando en forma simultánea los fenómenos electromagnéticos y térmicos. Los oscilogramas, tanto para las características de operación de la máquina como para los efectos de sobrecalentamiento se expresan tanto para su estado estable como para su estado dinámico. Se muestran las gráficas que reflejan el comportamiento de la velocidad, corrientes en el estator y rotor, torque, calentamiento en el devanado del estator, en los dientes y yugo del estator, en el aire interior de la máquina, en la carcasa en la parte periférica al núcleo y en la carcasa en las partes laterales. Son las gráficas ELMT 1 a ELMT 10 respectivamente y los Índices ä»o «b» respectivamente si son condiciones de vacío o marcha normal. 7.6.3 Condiciones iniciales y datos de partida Se muestran los listados de los programas MIG.DAT asociado al Programa 1, M.DAT asociado al Programa 3 y MR.DAT asociado al Programa 4. los valores son fundamentalmente los parámetros de diseño, obtenidos según el Capítulo I, para los valores de resistencias activas e inductivas del estator y rotor respectivamente, la impedancia mutua estator — rotor, el número de pares de polos, el valor incremental de tiempo para efectos de cálculo, los valores de la tensión de fase, frecuencia nominal y ángulo de desfasaje entre vector de fase A del estator y la referencia, el momento de inercia del rotor, el valor de tiempo de análisis y el momento de carga. El programa M.DAT asociado al Programa 3, contiene además los valores relativos a la geometría de las ranuras del rotor, con el fin de determinar los cálculos relativos 180


al efecto de expulsión de la corriente y datos requeridos para la subrutina SPLINE, la que contribuye al cálculo de los flujos de dispersión. Adicionalmente se incluyen los valores corregidos de r2 y x2 para el arranque. El programa MR.DAT incluye lo señalado para MIG.DAT además de el valor inicial del tiempo en que se produce la inversión de giro del motor. El Programa TEPLO.DAT lista los valores de las resistencias térmicas de las partes involucradas en el análisis, los valores de pérdidas, que como sabemos se constituyen en las fuentes de calor en el esquema térmico equivalente, el tiempo de análisis de los procesos y algunos datos de la geometría de la máquina. Finalmente el Programa KLMT.DAT lista los valores de partida e iniciales en forma similar a los dados en M.DAT para los efectos electromagnéticos y TEPLO.DAT para los fenómenos térmicos. En este caso prolongamos el tiempo de análisis a 1 minuto.

7.6.4 Análisis y discusión de resultados A partir de los Oscilogramas obtenidos, podemos efectuar algunas apreciaciones: a) Proceso de Arranque para diferentes momentos de carga Los valores de velocidad de giro, corrientes de estator y de rotor demoran más en estabilizarse, conforme se incrementa el momento de carga del motor. En el caso de arranque en vacío, esto es con momento de carga nulo, la velocidad es ligeramente superior a la obtenida a plena carga, la corriente del rotor sin ser cero tiende a ese valor y la corriente en el estator es aproximadamente igual a la de magnetización. En plena carga el valor de la corriente de estator es mayor que en vacío, esto se puede comprobar tanto para el Programa 1 como para el Programa 3 que considera el efecto de expulsión de la corriente. (Gráficas PR11, PR12, PRL3, PR31, PR32, PR33) b) Procesos transitorios en régimen de inversión de giro Producida la inversión de giro, los tiempos requeridos para que se estabilicen la velocidad, corrientes de estator y de rotor, así como el momento de carga llegan hasta el doble del tiempo empleado luego de producido el arranque normal. Los valores de corriente de rotor y estator, durante el transitorio de inversión alcanzan valores de 60" o a 80% de los valores transitorios análogos en el arranque. (Gráficas PR41 y, PR42).

181


c) Procesos Térmicos De las gráficas podemos colegir que la temperatura del aire interior y de los dientes del estator son los que sufren más rápidamente el proceso de calentamiento o elevación de temperatura. Sin embargo dada la naturaleza de los elementos diferentes (aire y hierro) los procesos no responden a similares características de calentamiento. Por otra parte, como era de esperarse, en el proceso de arranque con carga el calentamiento es ligeramente mayor que en el de vacío. d) Procesos Combinados Del análisis de los procesos combinados, podemos establecer que en el caso electromagnético se produce cierto retardo, con relación al proceso simple, en el efecto de estabilización. Por otra parte el programa puede calcular el valor estable de las temperaturas, pero ello requiere un tiempo muy alto en computo. Las cargas afectan los fenómenos y se nota marcadamente la influencia.

7.7 PROCEDIMIENTO EXPERIMENTAL PARA VERIFICACIÓN DEL MODELO 7.7.1 OBJETIVO El objetivo del presente libro es el modelamiento de las ecuaciones de funcionamiento de la máquina asíncrona en los ejes de coordenadas α, β con flujos totales variables y; el estudio por computadora de los regímenes transitorios del motor asíncrono. 7.7.2 SECUENCIA DE LA EXPERIENCIA ¾

Realizar el análisis del modelo matemático del motor asíncrono, obtenido con base en ecuaciones diferenciales, en las cuales las variables dependientes son los flujos totales.

¾

Preparar los datos necesarios para el cálculo de tres motores asíncronos.

¾

Realizar el cálculo de proceso transitorio durante el arranque en vacío de cada uno de los motores asíncronos, comparar el arranque de cada uno de los motores y sacar conclusiones acerca del efecto de la potencia del motor sobre la duración y el carácter del proceso transitorio de arranque.

¾

Para uno de los motores asíncronos realizar el arranque bajo carga, con cargas iguales a 0,05; 0,5 y 3,0 de la carga nominal y sacar conclusiones acerca del efecto del par de resistencia de la carga sobre la duración del proceso transitorio

182


durante el arranque, la sobre elevación de la corriente de arranque y sobre el par de arranque, así mismo sacar conclusiones acerca de las limitaciones del empleo del modelo matemático. ¾

Para el motor asíncrono seleccionado en el punto anterior, realizar la inversión de giro del motor bajo carga igual a 0,1 de la carga nominal.

¾

Realizar el cálculo de los procesos transitorios durante la parada de cada uno de los motores asíncronos cuando estos están trabajando en vacío, comparar estas características de parada de los motores y sacar conclusiones acerca del efecto de la potencia del motor sobre la duración y el carácter del transitorio de la parada.

¾

Para uno de los motores asíncronos realizar el análisis del efecto de la frecuencia de alimentación (f, var) sobre la característica de arranque del motor en vacío

7.7.3 RECOMENDACIONES PARA LA REALIZACIÓN DE LA EXPERIENCIA Para la solución del sistema de ecuaciones diferenciales (7.44) conjuntamente con las ecuaciones (7.35), (7.36) y (7.43) y (7.45), se ha realizado un programa. La diferenciación numérica de (7.44) se realiza gracias al método de RUNGEKUTTA Los datos iniciales para la realización de la presente experiencia se subdividen en: Parámetros físicos y matemáticos. Los parámetros físicos son aquellos que describen en forma concreta al motor asíncrono, modelado de acuerdo al sistema de ecuaciones (7.44). Los parámetros matemáticos son los que controlan el proceso de integración numérica. Las variables independientes del sistema de ecuaciones diferenciales (7.44), son los flujos totales ψsα, ψ sβ, ψrα, ψ rβ y la velocidad de giro del rotor ωr. Todos los demás parámetros son datos de valores concretos para cada motor modelado. Para proceder con las secuencias 3, 4 y 7 de la experiencia se debe de emplear el programa mig.exe. Los datos iniciales se deben de introducir mediante el archivo mig.dat (como en el Anexo 1).

183


Para proceder con la secuencia 5 de la experiencia , se debe de emplear el archivo mr.exe. Los datos iniciales se deben de introducir mediante el archivo mr.dat. (como en el Anexo 2). Para proceder con la secuencia 6 de la experiencia se debe de emplear el archivo ma.exe. Los datos iniciales se introducen mediante el archivo ma.dat (como en el Anexo 3). Como ejemplo de la introducción de datos iniciales, tenemos los anexos 1, 2 y 3, los cuales corresponden a motores de diferentes potencias. En las Figuras A y B se muestran los oscilogramas de arranque en vacío de un motor de potencia media (3 kW). En la Figura C se muestra el oscilograma de la inversión de giro y en la Figura D el oscilograma de la parada de un motor asíncrono de mediana potencia. Durante la introducción de valores numéricos de los datos iniciales mediante los archivos mig.dat,mr.dat y ma.dat, se deben de utilizar sólo 5 cifras. (5 posiciones). Los resultados de los cálculos se llevan a los archivos de números: acl.dat, la función ω(t) ac2.dat, la función UA (t) ac3.dat, la función IA(t) ac4.dat, la función M(t). Para representar los resultados de los cálculos en forma de gráficos se recomienda emplear, el programa GRAFER, predestinado para el procesamiento gráfico de datos numéricos masivos. Además es necesario denotar, que con ayuda de los programas mig.exe, mr.exe y ma.exe se puede realizar el análisis del efecto de la variación de diferentes parámetros sobre las características de los procesos transitorios, por ejemplo de la tensión de alimentación, de la amplitud de la tensión de alimentación, de la fase inicial de la tensión, de la magnitud del momento de inercia, etc. Así mismo es posible la combinación variada de parámetros iniciales. De igual forma se recomienda a los estudiantes realizar investigaciones específicas de diferente carácter de acuerdo al tema en calidad de investigación aplicada, cuyos contenidos deben de recomendarse por catedráticos de la especialidad.

184


7.7.4 CUESTIONARIO • Con qué finalidad se modelan los procesos de funcionamiento de la máquina asíncrona en los ejes de coordenadas α y β. • Explique el sentido físico de las inductancias totales Ls y Lr de las ecuaciones que describen el funcionamiento de la máquina asíncrona. • A qué es igual la inductancia mutua entre los devanados del estator, los cuales se ubican en los ejes α y β. • Formule las principales suposiciones para la realización del modelo matemático del motor asíncrono en los ejes de coordenadas a y b. • Explique el algoritmo de la diferenciación numérica del sistema de ecuaciones diferenciales por los métodos de Runge-Kutta y Dvoger. • Explique los procesos físicos, que suceden en la máquina asíncrona en los regímenes de arranque e inversión de giro. • Qué procesos surgen en el motor asíncrono durante su parada.

185


186


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APENDICES APENDICE 1 mig.dat C Resistencia activa del estator (Rl =0.625) 0.944 C Resistencia activa del rotor (R2= 1.443) 0.275 C Reactancia inductiva del estator (XI =1.431) 0.917 C Reactancia inductiva del rotor (X2=1.41) 0.685 C Reactancia inductiva entre el estator y rotor (Xm= 28.305) 35.538 C Número par de polos (p=2) 2.0 C Paso inicial de diferenciación (xt= 0.0001) 0.0001 C Tensión de alimentación (Ul=220.) 220. C Frecuencia (f=60.) 60. C Fase inicial de la tensión (g=0) 0. C Momento de inercia (0.0075) 0.0075 C Tiempo máximo de cálculo (0.15) 0.15 C Par resistivo (0) 0.

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APENDICE 2 mr.dat C Resistencia activa del estator (R1 =0.625) 0.36 C Resistencia activa del rotor (R2= 1.443) 0.4 C Reactancia inductiva del estator (XI =1.431) 0.955 C Reactancia inductiva del rotor (X2=1.41) 0.9 C Reactancia inductiva entre el estator y rotor (Xm= 28.305) 29.3 C Número par de polos (p=2.) 2.0 C Paso inicial de diferenciación (xt=0.0001) 0.0001 C Tensión de alimentación (Ul =220.) 220. C Frecuencia (f=60.) 60. C Fase inicial de la tensión (g=0) 0. C Momento de inercia (0.03) 0.03 C Tiempo máximo de cálculo (0.7) 0.7 C Par resistivo (50.0) 50.0 C Tiempo de inversión de giro 0.03

192


APENDICE 3 ma.dat C Resistencia activa del estator (Rl =0.625) 0.36 C Resistencia activa del rotor (R2= 1.443) 0.4 C Reactancia inductiva del estator (XI = 1.431) 0.955 C Reactancia inductiva del rotor (X2== 1.4J) 0.9 C Reactancia inductiva entre el estator y rotor (Xm=28.305) 29.3 C Número par de polos (p=2.) 2.0 C Paso inicial de diferenciación (xt=0.0001) 0.0001 C Tensión de alimentación (U1 =220.) 220. C Frecuencia (t’=60.) 60. C Fase inicial de la tensión (g=0) 0. C Momento de inercia (0.03) 0.03 C Tiempo máximo de cálculo (0.7) 0.7 C Par resistivo (50.0) 50.0 C Tiempo de la parada 0.3

193


APENDICE 4 GRÁFICAS r

M3

r

M3

0

t, c

0.1c

FIGURAA Oscilograma del par electromagnético y de la velocidad angular del rotor del motor 4A315M8Y3 durante el arranque

i

is

M3

r

t, c

FIGURA B Oscilograma de corrientes, velocidad angular y par vs tiempo para un motor de 500 Kw 194


FIGURAC Oscilograma del motor asíncrono de 2.2 kW durante la inversión de giro

0.8 k c= 0 .6

.6 5

0

5

0

0. 5

0

=0

0

M3

0 .5

0

kc=

is

kc

k c=

0.6 0.4 0.2

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 t (seg) a) t, c

r

0.1c

0.8

0

.5

.5

=0 kc

=0 kc 5

5

0 .4

0

k c=

0.6 0.4 0.2

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 t (seg) b)

FIGURAD Velocidad vs tiempo de un motor asíncrono durante su parada; a) motor asíncrono de 75 kW b) motor asíncrono de 500 kW. 195


Se terminó de imprimir en los Talleres Gráficos de: GRAFICA EL ROSARIO A. MEJIA Z. E.I.R.L. Jr. Chancay Nº 350 Telefax: 425-0450 Lima - Perú

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Miguel Angel Ocharán P., Doctor en Energética, combina, de manera intensa y especial, tres características: la docencia, la científica y la profesional. Lo usual, y común en nuestro país, es encontrar personas que son solamente una de las mencionadas. Es decir, o profesor, o investigador, o como en este caso ingeniero. Pocos hay que sean docentes e investigadores; hay mas docentes que son profesionales en ejercicio y carece nuestra sociedad, casi por completo, de profesionales que también sean investigadores científicos. Por ello, el caso de Miguel Ocharán es tan especial. En efecto un excelente profesor en las materias de Ingeniería de Iluminación en el pregrado y de Máquinas Eléctricas Especiales en el posgrado en la Universidad de San Agustín, ejerce su profesión con niveles de calidad internacional (es responsable, por ejemplo, de los programas de iluminación de la nueva Universidad San Agustín, del Estadio Arequipa, de gran parte de los nuevos sistemas de iluminación y del cableado subterráneo del Centro Histórico de Arequipa, etc.) y, tal como lo pone de manifiesto en el presente libro, es poseedor de muy peculiares capacidades para la investigación científica. Nos entusiasma, particularmente, mas allá de los objetivos académicos-pedagógicos o estimulantes de su trabajo, utilice la modelación matemática y los métodos numéricos, así como el análisis experimental, en relación a los motores asíncronos. Entendemos que uno de los intentos de Ocharán, además de los teóricos y aplicativos en el campo estricto de su estudio, es demostrar cuan absolutamente necesario es el dominio y utilización de los métodos matemáticos para el desarrollo de la investigación tecnológica en nuestro Perú. La Asamblea Nacional de Rectores tuvo una extraordinaria iniciativa para promover este tipo de investigaciones para apoyar a los poquísimos que, a pesar del desaliento, mantienen fe en sus potencialidades. Esperamos que la ANR fortalezca y amplié esta propuesta. Enero, 2005. Juan Manuel Guillén Benavides

LB Maquinas Asincronas

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