Laplaciano en coordenadas polares. En cálculo vectorial y física es muy importante su uso, pero aparece poco analizado en el contexto analítico, esto sale a la luz cuando se requiere calcular a partir de la transformación de coordenadas polares a cartesianas así como su transformación inversa:
= r cos θ = r sin θ
x y r θ
= =
x2 + y 2
tan−1
1 2
y x
Si tenemos una función de dos variables cartesianas f (x, y), al hacer el cambio de variable a polares estamos considerando de hecho, una nueva función g (r, θ) dada por:
g(r, θ) = f (r cos θ, r sin θ), de manera que deseamos encontrar la expresión del laplaciano en las nuevas coordenadas:
∂ 2 f ∂ 2 f ∂g ∂ g ∂ 2 g ∂ 2 g H , , , + = ( ), ∂x 2 ∂y 2 ∂θ ∂r ∂θ 2 ∂r 2 es decir, decir, escrib escribirl irla a como como una función función de las primer primeras as y segund segundas as deriv derivada adass en el nuev nuevo o sistema sistema de coordenadas. Haciendo uso de la regla de la cadena como se hace usualmente:
∂f ∂g ∂r ∂ g ∂θ = + ∂x ∂r ∂x ∂θ ∂x ∂f ∂g ∂r ∂ g ∂θ = + ∂y ∂r ∂y ∂θ ∂y ∂r El cálculo de ∂x , inversa, esto es:
∂r se ∂y
puede calular de manera sencilla haciendo uso implícito de la transformación
∂ 2 ∂ r = x2 + y 2 ∂x ∂x
2r
∂r = 2 x, ∂x
∂r x = , ∂x r similarmente podemos calcular la derivada respecto a y : ∂r y = . ∂y r Sin embargo, la derivada de θ respecto a x e y no es tan sencilla a partir de la transformación directa ni de la inversa. inversa. Para Para hacer el proceso un poco más práctico, práctico, proponemos proponemos lo siguiente siguiente::
∂θ ∂θ ∂x ∂θ ∂y = + = 1; ∂θ ∂x ∂θ ∂y ∂θ ∂θ ∂θ ∂x ∂θ ∂y = + = 0, ∂r ∂x ∂r ∂y ∂r 1
la primera igualdad es trivial, y la segunda es cero debido a que θ, r son variables independientes en el nuevo sistema. Calculando las derivadas indicadas y dejando como incógnitas el resto tenemos:
sin +
∂θ ∂x
r
∂θ ∂x
cos θ +
r sin θ cos θ
r cos θ sin θ
−
∂θ ∂y
θ
∂θ ∂y
r cos θ = 1
sin θ = 0,
Tenemos así un sistema lineal
−
∂θ ∂x ∂θ ∂y
1 =
0
,
resolviendo por Kramer, el determinante del sistema es,
∆ = det
r sin θ cos θ
r cos θ sin θ
−
det
∂θ ∆1 = = ∂x ∆
1
r sin2 θ − r cos2 θ =
−
r cos θ sin θ
0
∆ det
∂θ ∆2 = = ∂y ∆
=
=−
1
r sin θ cos θ ∆
−
0
=
r,
−
sin θ r
cos θ r
,
de esta manera fué posible calcular las derivadas por un proceso analítico, de manera que:
∂f ∂g ∂r ∂ g ∂θ ∂g ∂g sin θ , = + = cos θ − ∂x ∂r ∂x ∂θ ∂x ∂r ∂θ r ∂f ∂g ∂r ∂ g ∂θ ∂g ∂ g cos θ = + = sin θ + , ∂y ∂r ∂y ∂θ ∂y ∂r ∂θ r Para calcular las segundas derivadas parciales es útil escribir estos resultados como operadores, es decir
∂ ∂x ∂ ∂y
cos θ
≡
≡
cos θ
∂ ∂r
−
sin θ ∂ r
∂θ
∂ cos θ ∂ , + ∂r r ∂θ
de manera que los operadores del laplaciano en ambas coordenadas pueden construirse a partir de éstos, teniendo en cuenta su naturaleza de operadores, algunas operaciones deben hacerse con cuidado, ∂ ∂ sobre todo las parciales cruzadas ∂θ , ∂r .
∂ 2 ∂ 2 sin 2 θ ∂ 2 2 = cos θ 2 + ∂x 2 ∂r r2 ∂θ 2
∂ − cos θ ∂r
∂ 2 ∂ 2 cos 2 θ ∂ 2 ∂ 2 θ = sin + + sin θ 2 2 2 2 ∂y ∂r r ∂θ ∂r
sin cos θ ∂ r ∂θ
θ ∂ r ∂θ
−
+
sin θ ∂ r
∂θ
cos θ ∂ r
∂θ
cos θ
sin θ
∂ ∂r
∂ ∂r
.
De tal manera, que el operador laplaciano queda:
∂ 2 ∂ 2 + ∂x 2 ∂y 2
=
2
cos −
∂ 2 θ + sin θ + ∂r 2
sin θ
2
cos θ ∂ r
2
∂θ
+
sin
2
2
2
sin
θ + cos2 θ r2
θ + cos2 θ r
∂ ∂r
∂ 2 sin θ ∂ + cos θ 2 , 2 ∂θ r ∂θ
simplificando 1 ∂ 2 ∂ 2 ∂ 2 ∂ 2 1 ∂ , + = + + ∂x 2 ∂y 2 ∂r 2 r2 ∂θ 2 r ∂r de manera que, 1 ∂ 2 g 1 ∂g ∂ 2 f ∂ 2 f ∂ 2 g + = + + . ∂x 2 ∂y 2 ∂r 2 r2 ∂θ 2 r ∂r Que expresa el laplaciano en las nuevas coordenadas.
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