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EVIDENCIA DE APRENDIZAJE Unidad 3 Ecuaciones de primer y segundo grado. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Nota: Sólo escribe las respuestas. Los desarrollos son opcionales. --------------------------------------------------------------------------1.- Resuelva la siguiente ecuación de primer grado, para la incógnita “x”.
Solución: x = -b2 --------------------------------------------------------------------------2.- Resuelva la siguiente ecuación de primer grado, para la incógnita “x”.
Solución: x = 33 --------------------------------------------------------------------------3.- Resuelva la siguiente ecuación de primer grado, para la incógnita “x”.
( ) ( )
Solución: x=1 ---------------------------------------------------------------------4.- Resuelva la siguiente ecuación de primer grado, para el parámetro “P”, es decir, despeja P de la ecuación: A = P + Prt Solución: P = A/1+rt ------------------------------------------------------------------------5.- Resuelva la siguiente ecuación de primer grado, para el parámetro “n”, es decir, despeja n de la ecuación: Autor: Eric Paredes V
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Solución: n = IR/E-IR ------------------------------------------------------------------------SISTEMAS DE ECUACIONES 2 X 2
-----------------------------------------------------------------6- Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones de primer grado con 2 incógnitas por cualquiera de los métodos algebraicos. x+y=2 2x + 2y = 8 Solución: x =NO HAY SOLUCION y= ----------------------------------------------------------------------------7.- Resuelve el sistema de ecuaciones anterior gráficamente haciendo uso de Geogebra. Copia y pega la gráfica de las ecuaciones en el plano xy mostrando la solución. Solución: -------------------------------------------------------------------8.- Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones de primer grado con 2 incógnitas por cualquiera de los métodos algebraicos. x+y=1 4x + 4y = 4 Solución: x =1 y=0 ----------------------------------------------------------------------------9.- Resuelve el sistema de ecuaciones anterior gráficamente haciendo uso de Geogebra. Copia y pega la gráfica de las ecuaciones en el plano xy mostrando la solución. Solución: --------------------------------------------------------------------
Autor: Eric Paredes V
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10.- Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones de primer grado con 2 incógnitas por cualquiera de los métodos algebraicos. Explique. 2x - y = 4 x + 2y = -3 Solución: x =1 y=-2 ----------------------------------------------------------------------------11.- Resuelve el sistema de ecuaciones anterior gráficamente haciendo uso de Geogebra. Copia y pega la gráfica de las ecuaciones en el plano xy mostrando la solución. Explique. Solución: -------------------------------------------------------------------SISTEMAS DE ECUACIONES DE 3 X 3.
------------------------------------------------------------------12.- Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones de primer grado con 3 incógnitas por cualquiera de los métodos algebraicos. 2x – y + 2z = -8 x + 2y - 3z = 9 3x - y - 4z = 3 Solución: x =-5 y=2 z =2 -------------------------------------------------------------------13.- Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones de primer grado con 3 incógnitas por cualquiera de los métodos algebraicos. 2x + 6y - 4z = 8. 3x + 10y - 7z = 12 -2x - 6y + 5z = -3 Solución: x =-30 y=22 z =16 -------------------------------------------------------------PROBLEMAS CON ECUACIONES DE PRIMER GRADO. Autor: Eric Paredes V
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------------------------------------------------------------------------------14.- En una oferta, una tienda de artículos deportivos redujo un 24% el precio de las pelotas de tenis, hasta alcanzar un precio de $34.20. ¿Cuál era el precio original? Solución:$45.00 -----------------------------------------------------------------------------15.- Se presta dinero con interés simple anual al 11%. Después de un año, la deuda total se paga con $721.50. ¿Cuál fue el préstamo original? Solución.$650.00 --------------------------------------------------------------------------16.- Una empresa tiene costos fijos de $10,500 dólares y la producción de cada artículo le cuesta $ 25 dólares. a).- Escriba la función de costo “y” en función del número de artículos “x” . b).- Grafique la recta del costo con Geogebra. c).- Si la empresa tiene un capital para producción de $41,000 dólares, ¿Cuántos artículos puede producir con ese capital? Solución. a).- y =41000=X(25) b).- Gráfica: c).- Número de artículos a producir:1640 --------------------------------------------------------------------------17.- Un inversionista ha colocado un cierto capital a 4% una parte y a 5% la otra parte recibiendo anualmente un interés de $ 1,100. Si las hubiera invertido al revés, recibiría al año $50 más en concepto de intereses. Encuentre la cantidad de dinero que ha invertido como capital Solución: a).- Sistema de ecuaciones a resolver: X+Y = 1100 , Y + X = 1150 b).- Cantidad de dinero invertida: ------------------------------------------------------------18.- Un deposito A contiene 10 litros de agua y 5 litros de alcohol puro. Otro deposito B contiene 12 litros de agua y 3 litros de alcohol. Encuentre el número de litros que se debe extraer de cada depósito para conseguir una solución de 8 litros que contenga 25% en volumen de alcohol. Utiliza las letras “x” y “y” como incógnitas. Solución: a).- Sistema de ecuaciones a resolver: b).Autor: Eric Paredes V
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x= y= ---------------------------------------------------------ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. SOLUCIÓN POR FORMULA GENERAL
-----------------------------------------------------------------------19.- Obtenga las raíces algebraicamente de la siguiente ecuación de segundo grado, para la incógnita “x”.
3x2 - 5x + 1 = 0 Solución: x1 = 1.43 x2 =0.23 --------------------------------------------------------------------------20.- Obtenga las raíces de la ecuación de segundo grado anterior gráficamente utilizando Geogebra y la función y = 3x2 - 5x + 1. Copie y pegue la gráfica mostrando las raíces. Solución. Gráfica. -----------------------------------------------------------------------------21.- Obtenga las raíces algebraicamente de la siguiente ecuación de segundo grado, para la incógnita “x”.
4x2 - 6x + 3 = 0 Solución: x1 = x2 = --------------------------------------------------------------------------22.- Obtenga las raíces de la ecuación de segundo grado anterior gráficamente utilizando Geogebra y la función y = 4x2 – 6x + 3. Copie y pegue la gráfica mostrando las raíces. Solución. Gráfica. ----------------------------------------------------------------------23- Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones con 2 incógnitas por cualquier de los métodos algebraicos. 2x2 – y2 = 5 3x2 + 4y2 = 57 Solución: x1 =2.645 Autor: Eric Paredes V
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y1=3 x2 =-2.645 y2 =-3 x3 = y3= x4 = y4 = ---------------------------------------------------------------------------24.- Obtenga la solución al sistema de ecuaciones del problema anterior haciendo uso de Geogebra. Copie y pegue la gráfica de las funciones mostrando su intersección. Solución: Gráfica. -------------------------------------------------------------------25- Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones con 2 incógnitas por el método gráfico haciendo uso de Geogebra. Copie y pegue las gráficas juntas de las funciones mostrando su intersección. x3 – y3 = 19 x2y – xy2 = 6 Solución: x1 = y1= x2 = y2 = ----------------------------------------------------------------------------PROBLEMAS CON ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO.
----------------------------------------------------------------------------Nota: En estos problemas de oferta y demanda solo tienen sentido las cantidades positivas y los precios positivos de los productos. ------------------------------------------------------------------------Problema de oferta y demanda de un producto en el mercado. 26.- La función de la oferta de un producto está dada por la siguiente función: y = x/40 + 10 Donde y es el precio en dólares. x es el número de productos que ofrece el productor al precio “y”.
Autor: Eric Paredes V
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La función de la demanda de ese producto está dada por la siguiente función: y = 8000/x Donde y es el precio en dólares. x es el número de productos que son demandados al precio y. Determine el punto de equilibrio algebraicamente de este producto. NOTA: El punto (xe, ye) donde se intersectan ambas funciones se llama punto de equilibrio del producto. Solución: x= y= --------------------------------------------------------------27.- Obtenga la solución del problema anterior haciendo uso de Geogebra. Copie y pegue la gráfica de las funciones mostrando su intersección. Solución: Gráfica. ------------------------------------------------------------------SOLUCIÓN POR FORMULA GENERAL DE ECUACIONES CUADRATICAS CON RAICES COMPLEJAS.
-----------------------------------------------------------------------28.- Obtenga las raíces complejas de la siguiente ecuación de segundo grado, para la incógnita “x”.
x2 - 2x + 4 = 0 Solución: x1 = x2 = --------------------------------------------------------------------------29.- Obtenga la gráfica de la función de segundo grado anterior utilizando Geogebra; y = x2 - 2x + 4. Copie y pegue la gráfica. ¿Tiene intersecciones la gráfica con el eje “x” ?
Solución. Gráfica. -----------------------------------------------------------------------------30.- Obtenga las raíces complejas de la siguiente ecuación de segundo grado, para la incógnita “x”.
9x2 + 12x + 7 = 0 Solución: Autor: Eric Paredes V
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x1 = x2 = --------------------------------------------------------------------------31.- Obtenga la gráfica de la función de segundo grado anterior utilizando Geogebra; y = 9x2 + 12x + 7. Copie y pegue la gráfica. ¿Tiene intersecciones la gráfica con el eje “x”?
Solución. Gráfica. --------------------------------------------------------------------TIPOS DE SOLUCIONES EN LAS ECUACIONES CUADRATICAS.
------------------------------------------------------------------32.- Dada la siguiente función de segundo grado; 4x2 – 2x + 1 = 0. a).- Determine el valor del discriminante D de la ecuación anterior. b).- Diga si las raíces son; a).- Reales diferentes, b).- Reales iguales o c).- Complejas conjugadas. Solución: a).- D = b).- Raíces; ---------------------------------------------------------------------33.- Dada la siguiente función de segundo grado; 4x2 - 12x + 9 = 0. a).- Determine el valor del discriminante D de la ecuación anterior. b).- Diga si las raíces son; a) Reales diferentes, b).- Reales iguales o c).- Complejas conjugadas. Solución: a).- D = b).- Raíces; ---------------------------------------------------------------------RAICES DE POLINOMIOS DE GRADO SUPERIOR
-----------------------------------------------------------------34.- Dado el siguiente polinomio q(x) de grado 5; ()
Autor: Eric Paredes V
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a).- ¿Cuántas raíces complejas debe tener este polinomio de grado 5 de acuerdo al Teorema fundamental del Álgebra? (Recuerda el video que se envió) b).- Determine las raíces reales de este polinomio haciendo su gráfica en el plano xy con Geogebra. c).- Determine las raíces complejas de este polinomio. Sugerencia: i).-Primero obtenga las raíces reales con la gráfica construida con Geogebra. Para cada raíz real xi se va tener un factor del tipo (x – xi). Es decir, por ejemplo, si una raíz es x = 3.5, el factor asociado será (x - 3.5). Observe el cambio de signo en el factor.(Este ejemplo no es raíz del polinomio q(x).) ii).-Multiplique TODOS los factores del tipo (x –xi) relacionados a las i raíces reales para obtener un polinomio en x resultado del producto anterior. iii).- Divida el polinomio ORIGINAL q(x) entre el polinomio obtenido en el inciso anterior (ii) y obtendrá otro polinomio que es de segundo grado. La división de los 2 polinomios anteriores no debe tener residuo. iv).- El polinomio obtenido en el inciso iii) tendrá raíces complejas. Haciendo uso de la formula general para ecuaciones de segundo grado obtenga las 2 raíces complejas faltantes. -----------------------------------------Solución: a).b).- Raíces reales; Gráfica del polinomio; Las raíces reales en orden creciente son: x1 = x2 = x3 = c).- Raíces complejas. x4 = x5 = ------------------------------------------Estamos en contacto. Autor: Eric Paredes V
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Eric Paredes Villanueva Facilitador
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