Álgebra Unidad 1. Números reales
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Álgebra Unidad 1. Números reales Actividad 3. Uso de propiedades de campo Indicaciones: Resuelve los ejercicios que se te presentan a continuación. 1. Escribe en cada una de las líneas de la derecha la propiedad o axioma que corresponda sobre los números reales que se están empleando. Partimos de considerar tres números reales, a, b y c, con c ≠ 0 tenemos que si ac = bc entonces a = b. ac = bc
–1
c
–1
(ac) = c (bc)
Partimos de esta suposición. Multiplicamos ambos miembros de la igualdad por c –1, pues como c ≠ 0 existe su inverso multiplicativo.
(c –1 a) c = (c –1 b) c
Axioma 4. Asociatividad de la multiplicación.
(a c –1) c = (b c –1) c
Axioma 2. Conmutatividad de la multiplicación
–1
a (c
c)
a ·
= b (c –1 c)
1 = b · 1 a = b
Axioma 4. Asociatividad de la multiplicación. Axioma 9. Inverso multiplicativo. Axioma 7. Elemento neutro para la multiplicación
*Después de resolver este ejercicio lo que obtienes es la ley de la cancelación de la multiplicación.
2. Escribe en cada una de las líneas de la derecha la propiedad o axioma que corresponda acerca de los números reales que se están empleando. Partimos de considera dos números reales, a y b, para ver que si ab = 0 y a ≠ 0, entonces b = 0. ab =
0
–1
a
(ab) = a –1 · 0 –1
a
(ab) = 0
(a –1 · a) b = 0 1 · b = 0 b =
0
Partimos de esta suposición. Multiplicamos ambos miembros de la igualdad por –1 a , pues como a ≠ 0 existe su inverso multiplicativo. Axioma 2. Conmutatividad de la multiplicación. Axioma 4. Asociatividad de la multiplicación. Axioma 9. Inverso multiplicativo. Axioma 7. Elemento neutro para la multiplicación.
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Álgebra Unidad 1. Números reales 2. Analiza la siguiente serie de argumentos para justificar que 2 = 1. Partimos de la idea de tomar dos números reales, a y b, que cumplan dos características: a = b y a
≠ 0.
1)
a = b
2)
ab = b
3)
4)
5) 6) 7)
8)
9) 10)
Multiplicamos ambos miembros de la igualdad por b.
2
ab – a
a(b – a)
= b2 – a2
Resta a ambos miembros de la igualdad a2.
= (b – a) (b + a)
[a(b – a)] (b – a) –1 = = [(b – a) (b + a)] (b – a) –1 a
[(b – a) (b – a) –1] =
= [(b – a) (b + a)] (b – a) –1 a =
–1
[(b – a) (b + a)] (b – a)
a = (b + a)
[(b – a) (b – a) –1]
a = b + a
a = a + a
11) 12)
2
(b – a) –1. Aplicamos el axioma 4 de la asociatividad en el miembro izquierdo de la igualdad. Aquí simplificamos el miembro izquierdo aplicando el axioma 9 del inverso multiplicativo y el axioma 7 del elemento neutro para la multiplicación. Aquí comenzamos a simplificar el miembro de la derecha. Aplicamos el axioma 2 de la conmutatividad de la multiplicación y el axioma 4 de la asociatividad de la multiplicación. Aquí se termina de simplificar el miembro derecho de la igualdad. Aplicamos el axioma 9 del inverso multiplicativo y el axioma 7 del elemento neutro de la multiplicación. Sustituimos el valor de b por a. (Al inicio se dijo que ambos valían lo mismo.)
2a
Sumamos las dos a, aunque es una aplicación del axioma 5 de distributividad: 1 a + 1a = (1 + 1) a = 2a.
= 2a·a –1
Multiplicamos ambos miembros de la igualdad por el inverso multiplicativo de a, es decir, por a –1.
a =
–1
a·a
Factorizamos expresiones de ambos miembros de la igualdad. Aunque ambas expresiones se factorizaron aplicando el axioma 5 de campo, la de la izquierda fue de manera inmediata mientras que la de la derecha requirió un trabajo más amplio. 1 Multiplicamos ambos miembros de la igualdad por el inverso multiplicativo de ( b – a) que se denota por
13)
1 = 2 1
14)
1=2
Aplicamos el axioma 9 del inverso multiplicativo Aplicamos el axioma 7 del elemento neutro para la multiplicación.
1
Los temas factorización vienen en el curso en la siguiente unidad, así que por lo pronto te pedimos que creas estos pasos de factorizaciones.
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Seguramente observaste que algo está mal. Menciona ¿en cuál paso se cometió un error y cuál fue?
R= En el paso 5 es donde creo que se encuentra lo que está mal, según lo que leí, no se puede multiplicar por el inverso multiplicativo de (b-a) porque nos da el siguiente resultado b - a = 0 y aquí es donde se aplica que “ el 0 no puede tener inverso multiplicativo”, al menos eso es lo que entendí, así, sabemos que el inverso multiplicativo lo tienen todos los elementos, menos el 0, pues no hay ningún elemento que multiplicado por 0 nos arroje un valor de 1, es así que el error se cometió pues en el 0 no hay ningún inverso, o al menos así es como lo llegue a entender.
Recuerda consultar la escala de evaluación para esta actividad, disponible en
Criterios de
evaluación de actividades U1
Cuando concluyas tu actividad, guárdala en un archivo . doc con el nombre LALG_U1_A3_XXYZ y envíalo a tu Facilitador(a) para que te retroalimente.
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