Universidad de Magallanes Facultad de Ingeniería Departamento de Ingeniería Química
Informe Nº1 Vaciado de Tanques
“
”
Integrantes: Claudia Escobar. Dorothy Rojas. Jaime Villegas. Profesor: Sr. Hugo Llerena Fecha de entrega: 01/04/ 2011
1
Índice
Contenido 1. 2. 3. 4. 5. 6.
7. 8. 9. 10.
Resumen Introducción Objetivo Teoría Procedimiento Experimental Datos y Resultados 6.1 Características, datos experimentales y resultados teóricos obtenidos del tanque cilíndrico vertical. 6.2 Gráficos de datos experimentales y simulación del vaciado de tanque cilíndrico vertical en Matlab. 6.3 Datos experimentales y resultados teóricos o btenidos del tanque esférico. 6.4 Vaciado de tanque esférico: curva experimental y simulación Discusión de los Resultados Conclusiones Referencias Anexo Tabla 10.1 : Válvula abierta al máximo Tabla 10.2: Válvula abierta a la mitad Tabla 10.3: Tanque cilíndrico vertical, válvula completamente abierta. Tabla 10.4: Tanque cilíndrico vertical, válvula abierta a la mitad. Tabla 10.5 : Datos experimentales de descarga del tanque esférico Tabla 10.6 Simulacion en simulink para el tanque esférico Figura 10.1: Diagrama obtenido en Simulink – Matlab. Se simulo el vaciado de tanque cilíndrico vertical con válvula de descarga completamente abierta. Figura 10.2: Diagrama obtenido en Simulink – Matlab. Se simulo el vaciado de tanque cilíndrico vertical con válvula de descarga abierta a la mitad . Figura 10.3: Diagrama obtenido en Simulink – Matlab. Se simulo el vaciado de tanque esférico con válvula de descarga abierta a su totalidad .
Página 3 3 3 4 6 7
11 11 12 12 12 12 12 14 15 14
14
16
2
1.
Resumen
El objetivo de la experiencia fue determinar el tiempo de vaciado y el Cv de dos tanques: cilíndrico y esférico, los cuales tienen un ár ea transversal de diferente geometría. El procedimiento experimental consistió básicamente en trabajar con una determinada altura de agua para cada tanque, dentro de la cual se marcaron subdivisiones. Se realizó una comparación entre los valores teóricos y experimentales de los tiempos de vaciado, en donde se utilizó el simulador simulink de Matlab, para determinar el factor Cv de forma experimental, a través de las mediciones de nivel versus tiempo. Este factor permite desarrollar las ecuaciones de balance global para cada tanque. En el caso del tanque cilíndrico, se puede notar que los resultados obtenidos experimentalmente comparados con los teóricos son muy desiguales, lo cual se debe a que en la ecuación de Bernoulli no se incluyen las pérdidas de carga, lo que se ve reflejado en el Cv obtenido, el cual es muy disímil del Cv obtenido de la simulación en Matlab, lo que finalmente se ve reflejado en los tiempos de vaciado del tanque. Para el tanque esférico no distan en mucho la curva de descarga experimenta con respecto a la simulación, sin embargo lo que sí cambia mucho es el coeficiente de descarga, el principal motivo al que atribuidos tal diferencia es que en la ecuación desarrollada no se incluye las pérdidas de carga generadas por los accesorio y tubería existente en el fondo del estanque.
2.
Introducción
El saber calcular el tiempo de descarga de tanques es muy importante, es por esto que se deben analizar todos los parámetros que puedan afectar, y finalmente influir ya sea en el cálculo, como también la operación en sí. Existen distintas formas geométricas de los tanques, de acuerdo a lo cual pueden presentarse variadas situaciones: En el caso de un tanque cilíndrico, el área transversal permanece constante en toda su altura, y en un tanque esférico el área transversal va variando de acuerdo a la altura. Para cada tanque se desarrollaron sus respectivos modelos, para así finalmente poder determinar el tiempo de descarga respectivo.
3.
Objetivo
El objetivo general consiste en determinar el tiempo de vaciado y el con descarga libre.
Cv de dos tipos de tanques
3
4. 4.1
Teoría Tiempo de vaciado de un tanque cilíndrico vertical
Para deducir el tiempo de vacado de un tanque cilíndrico vertical, se utilizara el siguiente diagrama, consideremos que es de área constante y que el fluido es newtoniano, incompresible, con densidad, viscosidad y composición constantes. Aplicamos el Teorema de Bernoulli a los puntos (1) y (2) del sistema.
Figura 4.1: Diagrama Diagrama de un tanque cilíndrico vertical.
(1) El fluido esta a presión atmosférica en ambos puntos (1) y (2) dado que el tanque y la descarga están en contacto con el aire. Luego, p1 = p2 = 0, y h es la altura de la columna de fluido. Consideramos además que el tanque como es vertical es de área constante. Suponiendo que v 1 no es despreciable frente a v 2 y utilizando la ecuación de continuidad tenemos:
Y la ecuación de Bernoulli:
De las ecuaciones (2) y (3) se obtiene:
El volumen de fluido que sale del depósito en la unidad de tiempo es A 2v2, y en el tiempo dt será A2v2dt. Y remplazando: 4
Reemplazamos la ecuación (4) en la ecuación anterior y desarrollamos algebraicamente;
Donde; Cv = Constante de velocidad.
Ahora, para evaluar esta ecuación diferencial, suponemos que la altura inicial del depósito en el instante t =0 es H. Integrando esta ecuación diferencial, obtenemos la expresión de la altura en función del tiempo.
Cuando h=0, despejamos el tiempo t que tarda el depósito en vaciarse por completo.
4.2
Tiempo de vaciado de un tanque esférico
Figura 4.2: Diagrama de un tanque esférico. 5
Tenemos como ecuación general para el vaciado de un tanque 1:
Como no hay flujo de entrada tenemos:
El volumen de un tanque esférico en función de la altura es:
Derivando respecto a h:
Reemplazando (12) en (9) y acomodando términos:
Integrando, t entre 0 y T, h entre H (H es altura del tanque, es decir 2R por la geometría esférica) y h:
Cuando h=0, despejamos el tiempo t que tarda el depósito en vaciarse por completo.
5.
Procedimiento Experimental
El procedimiento se llevara a cabo en estos dos tanques. 1
El desarrollo de la ecuación se explica en el anexo 6
a) b) Figura 5.1: Tanques a usar en este laboratorio: a) Tanque 1, b) Tanque 2. a) Medir el del diámetro de los tanques y el diámetro del orificio de descarga. b) Se debe cerrar la válvula de descarga. c) Determinar la altura, h, que se llenara el tanque (punto 1) y marcar distancias equidistantes hasta llegar al final del tanque (punto 2). d) Llenar ambos taques hasta h. e) Abrir la válvula de descarga y determinar su posición (válvula completamente abierta o hasta la mitad). f) Cronometrar el tiempo de vaciado del estanque en las diferentes alturas marcadas en la alternativa c. g) Repetir el mismo procedimiento mínimo tres veces para verificar las mediciones.
6.
Datos Experimentales y Resultados
6.1
Características, datos experimentales y resultados teóricos obtenidos del tanque cilíndrico vertical.
Diámetro del tanque cilíndrico vertical, d 1= 0,385 (m) Diámetro del orificio de descarga del tanque cilíndrico vertical, d2= 0,012 (m) Altura de columna de agua, H = 0,48 (m) Con estos diámetros se obtienen las aéreas en el punto 1 y 2 con la ecuación (7). A1 = 0,116416 (m2) A2 = 0,000113 (m2) Se utilizan estos valores para evaluar el valor de Cv para luego reemplazarlo en la ecuación (6) y obtener el tiempo de vaciado del tanque con el Cv obtenido solamente del cálculo de las áreas del tanque y del orificio de descarga, este valor no incluye el ángulo de abertura de la válvula de descarga ni los accesorios como manguera, codos y tubería.
7
El resultado de la ecuación indica que el tanque debería vaciarse en aproximadamente 322 segundos. 6.2
Gráficos de datos experimentales y simulación del vaciado de tanque cilíndrico vertical en Matlab.
El grafico 6.1 corresponde a los datos obtenidos experimentalmente de tabla 10.1, se puede observar que ambas son muy similares esto dado a que ambas mediciones se tomaron en las mismas condiciones. Además se incluye la curva que se ajusta a la simulación de la ecuación (5) para determinar la constante de velocidad, en las condiciones que se tomaron los datos experimentales, es decir, altura H de columna de agua y el tiempo que se demoro en descargar libremente a la atmosfera ese caudal de agua
Grafico 6.1: Vaciado de Tanque Cilíndrico Vertical, válvula abierta en su totalidad. 0,5 0,45 0,4 0,35 ) m 0,3 ( a r 0,25 u t l A 0,2
0,15 0,1 0,05 0 0
50
100
150
200
250
300
350
400
Tiempo (seg) 1era descarga
2da descarga
Simulación
Del ajuste en Matab, figura 10.1 se obtiene el valor de Cv el cual es 0,00042, si reemplazamos este valor en la ecuación (6) obtenemos el tiempo de vaciado del tanque.
El valor obtenido experimentalmente es 370 (seg), entonces se deduce que el valor de Cv del ajuste es aceptable, tiene una variación del 2,7% con respecto a lo obtenido en el ajuste. Este segundo grafico es con la válvula de descarga abierta a la mitad aproximadamente, no se tuvo certeza de que estaba exactamente al medio. Se tomo solo una medida debido a que para tomar una segunda lectura había que cerrar la misma válvula y volver a llenar y luego abrirla nuevamente lo cual dificultaba el volver a abrir la válvula en la misma posición. Los datos experimentales de la 8
3era descarga están en la tabla 10.2 y los del ajuste de la ecuación (5) con los datos experimentales de altura H y tiempo de vaciado experimental están en la tabla 10.4.
Grafico 6.2: Vaciado de Tanque Cilíndrico Vertical, valvula abierta a la mitad 0,5 0,45 0,4 0,35 ) 0,3 m ( a r 0,25 u t l A 0,2
0,15 0,1 0,05 0 0
200
400
600
800
1000
1200
Tiempo (seg) 3era descarga
Simulación
Del ajuste en Matab, figura 10.2 se obtiene el valor de Cv el cual es 0,00013, este valor se reemplaza en la ecuación (6) y s e obtiene el tiempo de vaciado del tanque;
El valor obtenido experimentalmente es 1167 (seg), entonces se deduce que el valor de Cv del ajuste está aceptable, tiene una variación del 6,3% con respecto a lo obtenido en el ajuste. 6.3 Características, datos experimentales, resultados teóricos y gráficos obt enidos del tanque esférico. Diámetro del tanque esférico, d= 0,172 (m) Altura del tanque esférico, H = 0,344 (m)
9
Gráfico 6.3 Vaciado de Tanque Esférico, válvula abierta en su totalidad 0,35 0,3 0,25
) m 0,2 ( a r u t 0,15 l A
0,1
0,05 0 0
50
100
150
200
250
300
Tiempo (seg) 1era descarga 2da descarga Lineal (1era descarga)
h= -0.00119t + 0.32241 h = -0.00121t + 0.32148
En este grafico se muestran los resultados de las dos descargas realizadas para el tanque esférico, se efectuó para cada una de ellas un ajuste lineal con el fin de obtener los Cv experimentales, el Cv promedio de ambas descargas se muestra al f inal de esta sección.
Grafico 6.4 Vaciado de Tanque Esférico: curva experimental promedio y simulación 0,35 0,3 ) 0,25 m ( 0,2 a r u t 0,15 l A 0,1 0,05 0 0
50
100
150
200
250
Tiempo (seg) Promedio de las descargas Simulación Polinómica (Promedio de las descargas) h = -1.6361E-08t 3 + 8.0937E-06t2 - 2.2226E-03t + 3.3925E-01
Se decidió hacer el gráfico 6.4 con el promedio de descargas experimental para realizar la comparación de los resultados experimentales y la simulación en simulink por los siguientes motivos: 1- Las curvas quedaban muy juntas y la lectura e interpretación de datos s e hacía engorrosa.
10
2- Como en el laboratorio no se midieron los tiempos hasta la descarga total del estanque se hace necesaria una extrapolación de los datos, si se extrapolan las 2 curvas experimentales estas distan mucho en el tiempo de descarga total, por lo tanto se induce menos error al obtener la extrapolación de u na curva promedio. Principales resultados obtenidos: -
7.
Tiempo de descarga total experimental (h=0): t=274.907 segundos. Tiempo de descarga total en simulación: 281.278 segundos. Cv experimental (promedio obtenido de ambas curvas, ajuste por rectas): 0.0012 Cv usado en la simulación: 0.00021
Discusión de los Resultados
Cuando se aplica la ecuación de Bernoulli no se consideran las pérdidas de carga debido a que las asumimos despreciables, lo cual no es correcto dado que si comparamos el Cv teórico obtenido del cálculo de las aéreas y el Cv obtenido del ajuste en Matlab se tiene una variación de un 19% y esto también se ve reflejado en el cálculo del tiempo de vaciado donde el teórico varia en un 15% con respecto al valor del tiempo de vaciado del ajuste. Las curvas de ajuste de los gráficos 6.1 y 6.2 no son lineales como las curvas de los datos obtenidos en laboratorio esto debido a que los datos experimentales no incluyen el fondo curvo del cilindro y la curva de ajuste si incluye esta sección. Al comparar las curvas de simulación de los gráficos 6.1 y 6.2 se puede observar que la curva del grafico correspondiente a la válvula abierta a la mitad se asemeja más a la tendencia de los datos experimentales que el grafico correspondiente a la válvula completamente abierta, esto debido a que cuando la válvula está abierta a la mitad el flujo es mas de tres veces más lento lo cual se ve reflejado en que la constante de velocidad es menor. Para el caso del tanque esférico si se comparan las gráficas experimentales y la simulación se puede aprecia que en la primera mitad de la descarga la simulación arroja resultados menores a los experimentales, la principal causa de esto es que la simulación se basa en la ecuación desarrollada teóricamente la cual no incluye las pérdidas de carga provocadas por accesorios, secciones de tubería y cambios de área en el fondo del tanque. En la segunda mitad de la curva ocurre lo contrario: la simulación da un tiempo mayor de descarga que lo obtenido experimentalmente, la causa es la misma pero la explicación distinta, y tiene que ver con la presión hidrostática, llegando al último tercio de altura del tanque la presión hidrostática es baja por lo tanto el efecto de pérdida de carga por accesorios y secciones de tubería es menor ya que hay una menor velocidad en la descarga del estanque. Respecto a la simulación los resultados no son muy distintos aparentemente (comparando los tiempos de descarga total, sin embargo para que esto ocurra, en la simulación se debe ocupar un valor de Cv considerablemente diferente al obtenido por datos experimentales, aquí se pone de manifiesto claramente el tema de las pérdidas de carga, las cuales deben considerarse analíticamente para que la ecuación se acerque más a la realidad sin necesidad de tantear un Cv mediante un simulador.
11
8.
Conclusiones y Recomendaciones
Con los datos obtenidos experimentalmente y la simulación realizada se pudo estudiar el vaciado de un tanque cilíndrico vertical, para una posterior repetición de este laboratorio se recomienda utilizar una segunda válvula de cierre para hacer mas lecturas con válvula de descarga abierta a la mitad, de esta forma, esta última se puede dejar fija. Ya sabiendo que los si despreciamos las pérdidas de carga de la tubería y accesorios la variación de la constante de velocidad varia significativamente, lo ideal sería que se reformule la ecuación pero incluyendo estas pérdidas para obtener una mejor aproximación.
9.
Referencias -
10.
http://cbi.izt.uam.mx/iq/lab_mec_de_fluidos/Practicas%20Laboratorios/PRACTICA3.pdf Guía de Laboratorio de Mecánica de Fluidos, Universidad Autónoma Metropolitana, México
Anexo
Desarrollo de la ecuación general para descarga de un tanque, con una entrada F1 y una salida F2 :
Reemplazando
y
Por otra parte, aplicando la ecuación de Bernoulli P1
v12
g z1
P2
v22
g z 2
2
2
h f
Tomando como 1 el nivel del tanque y 2 la salida: v12 2g
H
h f
v 22
g
2g
Ocupando la ecuación de continuidad tenemos que: v1
A2 v 2 A1
Reemplazando finalmente tenemos: 2 g ( H
F
v 2 A2
A2 A1
A12
h f g A22
)
= Cv H
12
Tabla 10.1 : Válvula abierta al máximo
Tabla 10.2: Válvula abierta a la m itad
1era descarga 2da descarga Tiempo (seg)
3era descarga
Altura (m)
Tiempo (seg)
0,48
0
0
0,48
0
0,44
29
29
0,44
78
0,40
57
57
0,40
157
0,36
87
87
0,36
239
0,32
116
116
0,32
320
0,28
146
146
0,28
402
0,24
176
177
0,24
486
0,20
207
207
0,20
570
0,16
238
238
0,16
658
0,12
271
270
0,12
746
0,08
304
304
0,08
835
0,04
337
337
0,04
927
0
370
369
0
1167
Altura (m)
Tiempo (seg)
Tabla 10.3: Tanque cilíndrico vertical,
Tabla 10.4: Tanque cilíndrico vertical,
válvula completamente abierta.
válvula abierta a la mitad.
Altura (m)
Tiempo (seg)
Altura (m)
Tiempo (seg)
0,4800
0,00
0,4800
0,00
0,4617
7,40
0,4616
24,00
0,4437
14,80
0,4436
48,00
0,4261
22,20
0,4259
72,00
0,4089
29,60
0,4086
96,00
0,3920
37,00
0,3916
120,00
0,3754
44,40
0,3751
144,00
0,3593
51,80
0,3588
168,00
0,3434
59,20
0,3429
192,00
0,3280
66,60
0,3274
216,00
0,3129
74,00
0,3123
240,00
0,2981
81,40
0,2975
264,00
0,2837
88,80
0,2830
288,00
0,2697
96,20
0,2690
312,00
0,2560
103,60
0,2552
336,00
0,2426
111,00
0,2419
360,00
0,2297
118,40
0,2289
384,00
0,2171
125,80
0,2162
408,00
0,2048
133,20
0,2040
432,00
0,1929
140,60
0,1920
456,00
0,1813
148,00
0,1805
480,00
0,1702
155,40
0,1693
504,00 13
0,1593
162,80
0,1584
528,00
0,1488
170,20
0,1479
552,00
0,1387
177,60
0,1378
576,00
0,1290
185,00
0,1280
600,00
0,1195
192,40
0,1186
624,00
0,1105
199,80
0,1096
648,00
0,1018
207,20
0,1009
672,00
0,0935
214,60
0,0925
696,00
0,0855
222,00
0,0846
720,00
0,0778
229,40
0,0770
744,00
0,0706
236,80
0,0697
768,00
0,0637
244,20
0,0628
792,00
0,0571
251,60
0,0563
816,00
0,0509
259,00
0,0501
840,00
0,0451
266,40
0,0443
864,00
0,0396
273,80
0,0388
888,00
0,0344
281,20
0,0337
912,00
0,0297
288,60
0,0290
936,00
0,0252
296,00
0,0246
960,00
0,0212
303,40
0,0206
984,00
0,0175
310,80
0,0169
1008,00
0,0141
318,20
0,0136
1032,00
0,0111
325,60
0,0107
1056,00
0,0085
333,00
0,0081
1080,00
0,0062
340,40
0,0058
1104,00
0,0043
347,80
0,0040
1128,00
0,0027
355,20
0,0025
1152,00
0,0015
362,60
0,0013
1176,00
0,0006
370,00
0,0005
1200,00
0.385
pi*u^2/4
d (m) TK
A (m2) Product 1
raiz (h)
0.0006444
dh
Display
Cv*raiz(h)
u^0.5 h (m)
1 s
Product
Gráfico
0.00042 Cv
Figura 10.1: Diagrama obtenido en Simulink – Matlab. Se simulo el vaciado de tanque cilíndrico vertical con válvula de descarga completamente abierta.
14
0.385
pi*u^2/4
d (m) TK
A (m2) Product 1
raiz (h)
0.0005202
dh
Display
Cv*raiz(h)
u^0.5 h (m)
1 s
Product Gráficar
0.00013 Cv
Figura 10.2: Diagrama obtenido en Simulink – Matlab. Se simulo el vaciado de tanque cilíndrico vertical con válvula de descarga abierta a la mitad .
Tabla 10.5 : Datos experimentales de descarga del tanque esferico Tiempo(seg)
Altura (m)
1era descarga
2da descarga
0.344
0
0
0.33
4
4
0.303
15
15
0.266
37
36
0.221
70
67
0.172
114
109
0.123
165
157
0.077
210
206
0.0402
248
244
Tabla 10.6 Simulacion en Simulink para el tanque esférico Altura (m)
Tiempo (seg)
0.343
0
0.3319
0.6039
0.3267
1.2662
0.3121
4.3071
0.2952
9.9071
0.2826
15.5071
0.2719
21.1071
0.2625
26.7071
0.2539
32.3071
0.246
37.9071
0.2385
43.5071 15
0.2314
49.1071
0.2246
54.7071
0.2181
60.3071
0.2119
65.9071
0.2058
71.5071
0.1999
77.1071
0.1942
82.7071
0.1886
88.3071
0.1831
93.9071
0.1777
99.5071
0.1724
105.1071
0.1672
110.7071
0.1621
116.3071
0.157
121.9071
0.152
127.5071
0.147
133.1071
0.142
138.7071
0.1371
144.3071
0.1323
149.9071
0.1274
155.5071
0.1226
161.1071
0.1178
166.7071
0.1129
172.3071
0.1081
177.9071
0.1033
183.5071
0.0984
189.1071
0.0936
194.7071
0.0887
200.3071
0.0837
205.9071
0.0787
211.5071
0.0736
217.1071
0.0685
222.7071
0.0633
228.3071
0.0579
233.9071
0.0524
239.5071
0.0467
245.1071
0.0407
250.7071
0.0344
256.3071
0.0276
261.9071
0.02
267.5071
0.0108
273.1071
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Figura 10.3: Diagrama obtenido en Simulink – Matlab. Se simulo el vaciado de tanque esférico con válvula de descarga abierta a su totalidad .
17
