UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE PANAMÁ FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA DINÁMICA APLICADA GUÍA DE LABORATORIO No.2 SISTEMA MASA RESORTE 2.1 Objetivos Generales Desarrollar y analizar el modelo físico y matemático matemático de un sistema masa-resorte bajo vibración libre, sin amortiguamiento.
2.2 Objetivos Específicos 1. Determinar las características principales de los componentes de un sistema dinámico. 2. Obtener el modelo matemático de un sistema masa-resorte. 3. Comprender el efecto de la no-linealidad sobre la complejidad del modelo, 4. Determinar la ecuación diferencial de movimiento para el sistema linearizado. 5. Calcular el periodo y la frecuencia circular natural de la vibración libre resultante. 6. Medir el periodo natural de oscilación y determinar la frecuencia circular natural a partir del mismo. 7. Comparar los resultados obtenidos del modelo matemático con los resultados medidos. 8. Analizar los resultados y explicar las diferencias en función de las aproximaciones y simplificaciones hechas al desarrollar el modelo. 9. Desarrollar y analizar el modelo matemático utilizando MATHLAB Y SIMULINK.
2.3 Equipos y materiales a utilizar 1. 2. 3. 4. 5.
Resorte de tensión Discos de diferentes pesos Cronómetro Marco para soporte Base para los discos
6. Balanza 7. Cinta métrica 8. Computadora
2.4 Metodología 1. Realizar mediciones mediante observación directa, comparación y pruebas. 2. Identificar las características básicas de sistemas mecánicos. 3. Discutir de las experiencias y resultados. 4. Presentar el procedimiento para el desarrollo de modelos matemáticos de sistemas masa resorte. 5. Presentar análisis cualitativo y cuantitativo del modelo 6. Presentar y discutir la representación de modelos físicos. 7. Realizar investigación complementaria. 8. Se evaluará: asistencia, participación y aporte individual y de grupo. 9. Entregar reporte de experiencia de laboratorio. 10.Utilizar el sistema Internacional de Unidades (SI).
2.5 Procedimiento Para cada uno de los tres resortes estudiados en la experiencia de laboratorio No.1: 1. Asegure un extremo del resorte de tensión al marco soporte. Coloque la base de los discos en el extremo libre del resorte. Mida la longitud del resorte entre sus extremos. Escoja el punto central de la región lineal y coloque discos hasta logra la deflexión del resorte correspondiente a este punto. 2. Desplace ligeramente la base con los discos y libere el mismo para que oscile dentro del rango lineal de la gráfica.Con la ayuda del cronómetro tome el tiempo en que demora dar 3 oscilaciones el sistema. 3. Mida el periodo natural y calcule la frecuencia circular natural resultante.
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(Hz o ciclos/s)
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(2.1) (2.2)
4. Determine analíticamente la frecuencia natural del sistema masa resorte.
5. Presente los resultados experimentales y analíticos en la siguiente tabla. Resorte
Masa
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2.6 Preguntas 1. Determine las frecuencias naturales de oscilación, para los sistemas
2. 3. 4. 5. 6. 7.
Masa-resorte de forma experimental y analítica. Presente los porcentajes de error. Explique las posibles fuentes de error en la realización del laboratorio. ¿Qué suposiciones son necesarias para la simplificación del modelo matemático estudiado en el laboratorio? Demuestre matemáticamente la obtención de la frecuencia natural de oscilación analítica. ¿De qué parámetros depende la rigidez de un sistema?, Explique ¿De qué parámetros depende la frecuencia natural de oscilación del sistema masa resorte?, Explique. Resuelva el modelo matemático utilizando Mathlab y Simulink.
2.7 Fundamentos Los sistemas mecánicos cuentan con medios para almacenar energía cinética (masas o inercias), para almacenar energía potencial (elementos elásticos y por su posición en el campo gravitacional) y elementos para disipar energía (amortiguadores o fricción). Para un resorte lineal, la relación entre la fuerza F y la deformación x estádada por la siguiente ecuación: !
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(2.3)
Figura 1. Representación Gráfica Ley de Hooke La energía potencial de un resorte está dada por la ecuación (1.4). !!
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(2.4)
Tal como se establece en la ecuación (1.3) existe una proporción directa entre la fuerza aplicada al resorte y la deformación producida al mismo, la constante de proporcionalidad, que es la pendiente de la curva fuerza-deformación representa la constante k del resorte. Para una masa o inercia, la relación entre la fuerza F y la aceleración ! está dada por: !
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(2.5)
La energía cinética de unamasa con movimiento de traslación está dada por la ecuación (1.6). !!
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(2.6)
Asumiendo despreciable el amortiguamiento en el sistema, la energía total se conserva. Por lo tanto, !!
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(2.7)
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(2.8)
La ecuación diferencial de movimiento de la masa suspendida de un resorte puede determinarse por varios métodos entre los cuales podemos mencionar: ! ! !"
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(2.9)
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(2.10)
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(2.11) !"
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(2.12)
Donde las constantes A y B se obtienen a partir de las condiciones iniciales: !!
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(2.13)
Podemos resolver este problema gráficamente de la siguiente manera: Un integrador está representado por la figura (1.2).
Figura 1.2 Integrador Aplicando integradores para resolver la ecuación (1.14) resulta el diagrama de la Figura (1.3):
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(2.14)
Figura 1.3 Diagrama de bloque de la Ecuación (1.14)
2.8 Referencias 1. Vibraciones Mecánicas. Singiresu S. Rao. Quinta edición. PEARSON EDUCATION, México, 2012. 2. Vibraciones. BalakumarBalachandran, Edward B. Magrab. CENGAGE Learning, Primeraedición, 2008. 3. Diseño en Ingeniería Mecánica de Shigley. Richard G. Budynas y J. Keith Nisbett. Octavaedición. McGraww-Hill/Interamericana, 2008. 4. Modeling, Analysis and Control of Dynamic Systems. William J. Palm III. John Wiley & Sons, 1983. 5. Mecatrónica, Sistemas de Control Electrónico en la Ingeniería Mecánica y Eléctrica. Quinta edición. Alfaomega Grupo Editor, S.A. 2013.
