Monroy Jaimes John Freddy, Carreño Carreño Torres William. Análisis Espectral.
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Monroy Jaimes John Freddy, 91520935; Carreño Torres William, 13743780. E151. Ingeniería Electrónica. Unidades Tecnológicas de Santander
ANALISIS ESPECTRAL I. ANALISIS ESPECTRAL
A continuación se presentan los comandos básicos para la construcción de señales básicas: Señal 1: Onda Sinusoidal. >> A= 4; >> w0 = 20 * pi; >>phi = pi / 6; >> t = 0:0.001:1; >> coseno = A * cos( w0 * t + phi); >> seno = A * sin( w0 * t + phi); >> figure; subplot(2, 1, 1); plot( t, co seno, „r‟); title(„onda coseno‟);
Señal 2 Onda Cuadrada Periódica >>A = 1; >>W =10 * pi; >>rho = 0.5; >> t = 0 : 0.001 :1; >>sq =A*square(W*t + rho) ; >>figure; plot(t ,sq) ; title(„onda cuadrada periodica‟);
onda cuadrada periodica 1
0.8
0.6
0.4
0.2
>> subplot(2,1,2); plot(t, seno); title(„onda seno‟);
0
onda coseno
-0.2
4 -0.4
2
-0.6
0
-0.8
-2 -4
-1
0.1
0.2
0.3
0. 4
0.5
0.6
0.7
0.8
0. 9
1
Figura 2. Onda Cuadrada Periódica 0
0. 1
0.2
0.3
0. 4
0. 5
0.6
0.7
0. 8
0.9
1
Los comandos descritos anteriormente permiten realizar la grafica de la señal mostrada en la figura 2. En este caso el rho sería el equivalente a la fase de dicha señal, si se modifica el rho en aumento la señal se notara mas desfasada, en cambio si llevo el rho a cero la señal entra en fase y no se ve corrimiento alguno.
onda seno 4 2 0 -2 -4
0
0
0. 1
0.2
0.3
0. 4
0. 5
0.6
0.7
0. 8
0.9
1
Figura 1. Grafica Ondas Coseno y Seno
La primera del comando nos almacena en la variable A la amplitud de la señal seno y coseno, en la variable W0 se le indica a Matlab que la señal tenga una frecuencia angular de 20 pi radianes, con la variable t se indica que el eje X vaya de 0 hasta 1 y que se grafique en pasos de 0.001. En las variables seno y coseno se definen las respectivas señales por medio de sus funciones trigonométricas. La fase en este caso está dada por phi con un valor de pi/6. Al momento de graficar se ejecutan el comando subplot para indicar que la ventana de gráficos se divida en 2, asignando las coordenadas se indican las posiciones de las ondas, el color del trazo, la señal con el respectivo titulo para cada una. Cuando no se especifica el color dentro del comando plot, Matlab los asume como azul. En este caso para una de las señales el color asignado fue rojo y para la otra señal el color asignado fue azul.
Señal 3: Onda cuadrada Periódica en Tiempo Discreto. >> A = 1; >> omega = pi / 4; >> rho = 0.5; >> n = -10:10; >> x = A * square (omega*n + rho); >> figure; stem(n, x); title(„onda cuadrada periodica en tiempo discreto‟);
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onda cuadrada periodica en tiempo discreto 1
funcion sinc(x) 1
0.8
0.6
0.8
0.4
0.2
0.6
0
0.4
-0.2
-0.4
0.2 -0.6
-0.8
-1 -10
0 -8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Figura 3. Onda Cuadrada Periódica en el Tiempo Discreto.
Anteriormente se realizo la grafica de la onda cuadrada en tiempo discreto. Se observa que efectivamente la señal es periódica de periodo N = 8. Para construir esta señal se definió el rango de muestras de n de -10 a 10, también se cambió el comando plot y se sustituye por el comando stem que grafica la señal dados los valores de “x” para el intervalo dado en “n” .
-0.2
-0.4 -15
-10
-5
0
5
10
15
Figura 5.Funcion sinc(x)
Se observa la señal sinc(x) también conocida como señal seno cardinal, comúnmente se define como sinc(x)= sin(x)/x. cuando x vale cero la amplitud de la señal es igual a 1. La función sinc corresponde a la transformada de Fourier de un pulso rectangular. Señal 6. Señales exponenciales decrecientes y crecientes: >> B = 5; >> a = 6; >> t= 0 :0.001 : 1; >>x= B * exp (-a* t); >>x2 = B * exp (a*t); >>figure; >>subplot(1,2,1); plot (t,x) ; title(„señal exponencial
Señal 4. Onda triangular periódica. >> A = 1; >> w = 10 * pi; >> wdt = 0.5; >> t = 0 : 0.001 : 1; >> tri = A*sawtooth(w * t + wdt); >> figure; plot(t, tri); title(„onda triangular periodica‟);
decreciente‟); >>subplot(1,2,2); plot(t,x2); title(„señal exponencial creciente‟);
onda triangular periodica 1
0.8
0.6
señal exponencial decreciente
0.4
señal exponencial creciente
5
2500
0.2
4.5
0
-0.2
4
-0.4
3.5
-0.6
3
2000
1500
-0.8
2.5 -1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
2
1000
Figura 4. Onda triangular periódica. 1.5
Se observa la señal diente de sierra, en donde la señal se construye por medio de la función tri en donde se define el comando sawtooth, y el comando plot. En este caso wdt da el desfase de la señal. Señal 5. Función sinc(x) >> t=-10 :0.01:10; >> g= sinc (t) ; >> figure; plot (t,g); title („función sinc(x)‟);
1
500
0.5 0
0
0.5
1
0
0
0.5
1
Figura 6. Señal exponencial Decreciente (Izquierda), exponencial creciente (Derecha).
En la gráfica anterior se estableció la forma decreciente y creciente para una señal exponencial. Observando el código
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introducido a matlab, es posible observar que la señal decreciente está contenida en la variable “X” ya que esta
variable es la que está cargada con el exponencial negativo. También se puede observar que la orientación de estas graficas es vertical y no horizontal como se había manejado anteriormente, esto se puede ver en el código de matlab, al momento de realizar el subplot se cambió la coordenada de tal forma que la señal quedo con orientación vertical. Adicionalmente con este par de señales se puede observar que: la señal decreciente empieza su máxima amplitud en un valor muy próximo a cinco, es lógico ver esto ya que el exponencial de cero es uno y por tal motivo esta grafica empieza en la amplitud máxima, y cae a un valor próximo 1 con respecto al eje horizontal. Con respecto a la señal creciente aunque en la gráfica se muestra que la señal inicia en el origen, si se observa con detenimiento es posible ver que la gráfica presenta un corrimiento en el eje horizontal, además observando la ecuación de la exponencial sería ilógico decir que la señal inicie en cero ya que cualquier numero o en este caso la exponencial elevado a cero daría como resultado uno y esto a su vez multiplicado por la amplitud daría como resultado el valor de la amplitud que para este caso sería cinco. La exponencial creciente aumenta a medida que aumenta el eje horizontal, cuando el eje horizontal alcanza el valor máximo que en este caso es uno, la señal tiene una amplitud muy próxima a dos mil, si se aumenta la base del eje horizontal, la seña seguirá creciendo con una tendencia al infinito. Señal 7. Escalon unitario: >> t = -1 : 0.1 : 1; >> u = [zeros(1, 10), ones (1, 11)]; >> figure; plot(t, u); title(„señal escalón unitario‟); >>n = -10 : 10; stem(n, u); title(„señal escalón unitario en tiempo discreto‟);
señal escalón unitario en tiempo discreto 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Figura 7.b. Señal escalón unitario en tiempo discreto.
En la parte a), se observa la señal escalón unitario en el dominio del tiempo. La señal conmuta para valores igual y mayores que cero tomando un valor de uno. En la parte b), se puede observar la misma señal pero muestreada al dominio del tiempo discreto. Podemos observar que dicha señal conmuta inmediatamente el tiempo es cero en cambio en la señal mostrada en el literal a), la señal empieza a conmutar cuando la función se acerca a valores próximos a cero. Aunque la señal conmuta de manera lineal no lo hace verticalmente sino con una leve inclinación.
Señal 8. Impulso unitario en tiempo continuo: >> delta = [zeros(1,1000), 1, zeros(1, 1000)]; >> t = -1:0.001:1; >> figure; plot(t, delta); title(„señal impulso tiempo continuo‟);
señal escalón unitario 1 0.9
señal impulso tiempo continuo
0.8
1
0.7
0.9
0.6 0.8 0.5
0.7
0.4
0.6
0.3
0.5
0.2
0.4
0.1 0 -1
0.3 -0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
Figura 7.a. Señal escalón unitario.
0.8
1
0.2 0.1 0 -1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Figura 8. Señal Impulso
La figura anterior muestra la señal impulso unitario. Esta señal conmuta a uno o a la amplitud máxima y cae nuevamente cuando el tiempo es igual a cero.
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señal rampa en tiempo continuo 10
Señal 9. Impulso unitario en tiempo discreto: >> delta = [zeros(1, 1000), 1, zeros(1, 1000)]; >> n = -1000:1000;
9 8
>>figure; stem(n, delta); title(„señal impulso en tiempo discreto‟);
7 6
señal impulso en tiempo discreto 1
5
0.9
4
0.8
3
0.7
2
0.6
1
0.5
0 -10
0.4
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Figura 10. Señal rampa.
0.3 0.2 0.1 0 -1000
-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
100
Figura 9.a. Señal original. señal impulso en tiempo discreto
P1/. Que representan las condiciones phi, rho y wdt vistos en algunos ejemplos anteriormente.
1 0.9 0.8
R/ El parámetro phi se usó en las señales sinusoidales, este parámetro representa la fase de las señales. Al observar las gráficas de seno contra coseno se observa un pequeño desfase entre las dos señales el cual correspondería a phi.
0.7 0.6 0.5
El parámetro rho se usó en la señal periódica cuadrada, el uso de este término produjo un pequeño desplazamiento de la señal, un adelanto de 0.5 unidades.
0.4 0.3 0.2 0.1 0 -10
La grafica anterior muestra la señal rampa, esta señal esta en tiempo continuo. Cuando el tiempo es igual a cero la función conmuta en forma de rampa hasta la amplitud máxima, pero no lo hace de manera vertical sino que progresivamente va en aumento a medida que aumenta la base de tiempo hasta el valor máximo.
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Figura 9.b. Señal modificada.
Anteriormente se graficaron las señales impulso unitario en tiempo discreto. Para poder entenderse esta señal se modificó la base de tiempo discreto para poder visualizar parte de la señal, aunque se habría obtenido el mismo resultado si se usara la herramienta lupa de la ventana de gráficos en matlab. En si se obtuvo la señal impulso unitario en tiempo discreto, se observa que la señal es cero para todos los valores diferentes a cero y uno su amplitud máxima cuando el tiempo vale cero. Señal 10. Rampa en tiempo continúo. >> t1=0 : 0.1 : 10; >> rampa1 = t1; >> rampa =[zeros(1, 101), rampa1]; >> t2 = -10 : 0.1 : 0; >> t = [t2, t1]; >> figure; plot(t, rampa); title(„señal rampa en tiempo continuo‟);
En la onda diente de sierra se usó un parámetro para dar un desplazamiento leve a la señal, este parámetro se puede observar en la función que se usó para construir la señal con el nombre de wdt. P2/. Que es un armónico de una señal. Los armónicos son señales cuya frecuencia es un múltiplo de la frecuencia fundamental; así, el primer armónico tiene una frecuencia de (2 * frecuencia fundamental), el segundo armónico tiene una frecuencia de (3 * frecuencia fundamental), el tercer armónico (4 * frecuencia fundamental), etc. Como sólo las frecuencias múltiplos de la fundamental pueden estar presentes, se dice que el espectro frecuencial de las señales periódicas es discreto.
II. CONCLUSIONES
Se graficaron las diferentes señales como lo son seno, coseno, ondas cuadrada, onda diente de sierra. Aparece una nueva señal conocida como sinc(x), en
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Monroy Jaimes John Freddy, Carreño Torres William. Análisis Espectral. la cual se puede observar su comportamiento y se determina su origen.
Se grafican señales en tiempo continuo y en tiempo discreto, pudiendo así observar y analizar su respectivo comportamiento. Se observan diferentes parámetros usados en las gráficas con el fin de modificar su respectiva fase, con respecto al eje del tiempo.
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