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La méthode du grand M
La méthode du grand M consiste à combiner les deux phases de la méthode des deux phrases on
considère le système suivant
Max Z=
De la méthode consiste à ajouter les variables artificiels Les contraintes seront
Et en pénalise les variables artificiels par une très petite valeur La nouvelle fonction objectif
Max Z=
-M
-
Les valeurs élevées plus plus grands M ont pour but déliminer déliminer les variables artificiels de au cours des itérations de lalgorithme. Donc on essaie de résoudre le nouveau système : Max Z=
Si la méthode du simplexe se termine avec une solution ou tous les variables artificiels sont nuls alors La solution obtenue est optimale Sinon si une des variables artificiels et non nuls alors le problème original na pas de solution réalisable.
Ex emple
1:
M ax Z= -10 x 1 -2 x 2-x 3
X 1, X 2, X 3 0 en ajoutant une variable artificielle t1 on aura problème devient : Max Z= -10 x 1 -2 x 2-x 3 -M t1
X 1, X 2, X 3, t1 0
Z= (-40-3M) + M x 1 + (5+M) x 3 On écrit nos équations sous forme de tableaux :
t1 X2
X1 1 5 M
X2 0 1 0
La variable entrante est X3 La variable sortante est t1
La variable entrante est X1 La variable sortante est t1
X3 0 1 1-M
T1 1 0 0
T2 0 1 0
b 1 2 -3M
- Z
Le Nouveau tableau est :
x1 t2
X1 1 0 0
X2 1 -1 M+1
X3 0 1 1-M
T1 1 -1 2M-1
T2 0 1 -M-1
b 1 2 -M-1
- Z
X3 0 1 0
T1 1 -1 M
T2 0 1 M-1
b 1 1 -2
- Z
La variable entrante est X3 La variable sortante est t2 Le Nouveau tableau est :
x1 X3
X1 1 0 0
X2 1 -1 2
On a un problème de minimisation tous les coefficients dans la fonctions objectifs sont positifs donc on conclut la solution optimale La solution est Z*=2 X1*= 1
