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La invención de la escritura y el desarrollo de los conceptos numéricos en Sumeria: algunas implicaciones para la psicología del desarrollo A g e l ik i N ic o l o p o u l o u
Intro du cció n
En este artículo examinaré con algún detalle el trabajo del psicólogo alemán Peter Damerow, referente al uso de los materiales históricos para dedicarse a las preguntas psicológicas con cernientes al desarrollo del concepto de número. Este trabajo, hasta ahora poco conocido, es un ejemplo significativo del interés que ha surgido recientemente en el análisis sistemático de la relación entre el desarrollo psicológico individual y el contexto sociocultural dentro del que se desarrolla el individuo, incluida la consideración de los procesos históricos y evoluti vos gracias a los cuales se desarrolla el contexto social mismo. Si bien el esfuerzo por situar el desarrollo individual de manera más autorreflexiva en un marco sociohistórico tiene un buen número de fuentes, un impulso intelectual de gran impor tancia ha estado constituido por la conciencia y apreciación renovadas hacia el trabajo de L. S. Vygotsky y la escuela sociohistórica de la que él fue precursor. Vygotsky propone entender la formación de la naturaleza humana, que es, después de todo, la misión central de la psico logía, por medio de estudios sobre el origen y desarrollo de las funciones psicológicas supe riores como tales. Este desarrollo es, según él, un proceso individual lo mismo que social; más específicamente, se puede comprender sólo mediante la aprehensión de la interpreta ción sistemática de los procesos sociales e individuales (Vygotsky, 1978,1981; véase también Bakhurst, 1988 y Wertsch, 1985). Como dice Scribner en un iluminador análisis sobre el pro yecto teórico de Vygotsky (1985), éste "toma como su objeto conceptual [el desarrollo de] ‘los sistemas psicológicos superiores’ y lo separa del objeto natural [el desarrollo de] el niño” (Scribner, 1985, p. 133). Por otro lado, Vygotsky sostiene que estos “sistemas psicológicos”
están plasmados no sólo en la mente individual, sino también en la cultura; de hecho, las estructuras cognitivas que componen los "sistemas psicológicos superiores” están modela das culturalmente y se desarrollan históricamente (Vygotsky, 1978, 1981). De la manera en que Scribner reconstruye lógicamente los pasos de Vygotsky en la cons trucción de un método para estudiar la formación de las estructuras cognitivas, este último empezaría con observaciones de “primitivos” adultos, documentadas en registros etnopsicológicos y, después, sirviéndose de experimentos, procedería a las observaciones de niños de su propio tiempo. En otras palabras, la historia cultural se utilizó para generar hipó tesis acerca de los orígenes y las transformaciones de los sistemas psicológicos superiores; pero, a pesar de las percepciones tempranas de Vygotsky, la historia cultural no llegó a ser un dominio de la psicología propiamente dicha. Ha habido pocos estudios psicológicos que hayan examinado de manera sistemática el desarrollo histórico de los “sistemas psicológicos superiores" per se y que después hayan regresado para consagrarse a las cuestiones suscita das por las teorías psicológicas del desarrollo. Hay diversas razones de por qué ha sido éste el caso, pero una de las razones prácticas es que dicho trabajo requiere un sólido dominio de, por lo menos, dos disciplinas, que Damerow y sus adjuntos son capaces de lograr por medio de su esfuerzo de colaboración. Hans Nissen y Robert Englund, los profesores adjun tos principales en el trabajo que examinaré, son ambos arqueólogos en la Free University de Berlín, en tanto que Peter Damerow es un psicólogo del desarrollo en el Instituto Max Planck para el Desarrollo Humano y la Educación en Berlín. Su trabajo parece tener una conexión muy cercana con la obra de Vygotsky; sea como fuere, encarna de una forma fructífera el tipo de método anticipado por éste para la investigación psicológica. La falta de toda mención de Vygotsky, o de la escuela sociohistórica que representa, no deja en claro si existe algún tipo de filiación directa entre su trabajo y el de él. El punto más importante, sin embargo, es que su trabajo se dedica a algunos de los temas que, según Vygotsky había indicado, eran de impor tancia crucial para la psicología del desarrollo. La sig n ifica c ió n teórica de la investig ació n
La investigación encabezada por Damerow examina el desarrollo de los conceptos numéri cos en la cultura babilónica por medio del estudio sistemático de textos antiguos. Este estu dio forma el núcleo de un conjunto de investigaciones que prosiguen con la cuestión de la mediación cultural de las estructuras cognitivas fundamentales. En particular, se ocupan de la cuestión de si existen ciertas estructuras fundamentales del pensamiento, que sean inde pendientes de las influencias culturales específicas, o incluso si las estructuras más funda mentales son dependientes de los sistemas disponibles de representación simbólica o del contenido de la experiencia, de tal manera que, a pesar de su universalidad, puedan conside rarse mediadas culturalmente. Específicamente, este estudio histórico discrepa con la concepción epigenética del constructivismo cognoscitivo de Piaget1al explicar el desarrollo del concepto de número en 1 Piaget toma prestado este término de la biología, en la que indica el surgimiento de la estructura a partir de la interacción entre el organismo y su ambiente, como opuesto a la idea de una estructura heredada y preformada por completo.
lo* niño». Este íffuarrollo, de acuerdo con Piaget, es el resultado de la construcción de una enlructura cognitiva basada en la experiencia y la abstracción; por tanto, no se trata de un tiquema Intelectual heredado (realizado o recibido de manera innata) ni una propiedad uliMríifdn directamente de los objetos reales; más bien, es el resultado de la “abstracción reflexivo" Ópartir de las acciones llevadas a cabo con los objetos. En particular, Piaget explica el concapto de número como el resultado de la coordinación de acciones tales como la construcción do una correspondencia parte por parte entre grupos de objetos o entre relacio nes cualitativa», la adición o sustracción de objetos o grupos de ellos, etc. En las estructuras cognitiva» completamente desarrolladas, estas acciones están representadas mentalmente por operaciones reversibles que constituyen un sistema cerrado de inferencias posibles; no obstante, el sustrato estructurado aritméticamente del concepto de número es un sustrato Ideal. Lo» números son objetos ideales del pensamiento, cuya existencia no se encuentra supeditada a la existencia de los objetos materiales a los que se aplican. Son independientes de sus representaciones particulares por los diversos sistemas de signos numéricos que pue den diferir de una cultura a otra (Piaget y Szeminska, 1965). En suma, de acuerdo con Piaget, el concepto de número que, aunque no se hereda sino que so adquiere con la experiencia de los objetos, no se ve influido en su sustancia por el contenido fie dichas experiencias. Interpreta la coordinación de las acciones como el resulta do de un desenvolvimiento endógeno de las posibilidades predeterminadas biológicamente en Interacción con el ambiente, por lo que considera que las estructuras fundamentales de la cognición son una forma especial de adaptación biológica: no obstante, su desarro llo endógeno es un proceso epigenético gobernado por una necesidad interna (Piaget, 1971, 1972), lisia concepción excluye, no obstante, la posibilidad de que las transformaciones estructu rales de las estructuras cognitivas estén influidas por las representaciones materiales de di chas estructuras —en acciones, dibujos o símbolos—o por las formas de interacción social mediadas por dichas representaciones. En contraste, Damerow propone que las representa ciones parlicnlares de las estructuras cognitivas tienen la función de delimitar el horizonte de probabilidades para la realización ontogenética de las estructuras cognitivas (Damerow, 1988). De este modo, el cambio conceptual podría ser no solamente endógeno respecto de un sistema cognitivo; los cambios cualitativos iniciales podrían serle exógenos y determinados tanto histórica como culturalmente. Parte del desarrollo individual constaría entonces del esfuerzo por apropiarse de estructuras cognitivas desarrolladas culturalmente. En las secciones siguientes presentaré primero los hallazgos históricos del estudio, lo que requerirá la reconstrucción del contexto sociohistórico con algo de detalle; a continuación analizaré la significación de estos resultados para las cuestiones teóricas en la psicología del desarrollo.
El estudio histórico ios textos arcaicos de Uruk. Los sujetos del estudio son los sistemas de signos numéricos en los textos arcaicos de Uruk, una ciudad-estado sumeria en la antigua civilización de Mesopotamia, ubicada en la parte sur del actual Irak. Este grupo de textos consta de unas 4000 tablillas y fragmentos de tablillas de arcilla, la mayor parte de las cuales no se han analizado todavía. Con muy pocas excepciones, estas tablillas se encontraron en el distrito de Eanna, que desde
una época temprana fue un (quizá el) distrito central de la Ciudad. Más tarde, este distrito alojó los grandes complejos culturales para Inanna, la diosa patrona de Uruk. Estas tablillas se escribieron hacia el final del cuarto milenio y principios del tercero a.C., y son ios documentos más antiguos que sobreviven de esta parte del antiguo Oriente Medio, si no es que los más antiguos en la historia de la humanidad. Cerca del 3100 a.C., los funcio narios de centros administrativos como Uruk habían desarrollado un sistema para el registro de numerales, pictogramas e ideogramas sobre tablillas de barro especialmente preparadas para ello. Estos textos son de una gran importancia para el estudio de la relación entre la cultura y la cognición, porque documentan el cambio originado por la escritura en el sistema numérico existente. La mayoría de estos textos (85%) son registros económicos, en tanto que 15% constituyen las llamadas listas de vocabulario. Estas últimas se usaban presumiblemente para capacitar a los escribas y constaban de listas de las palabras semánticamente relacionadas cuyo orden de enumeración todavía no se ha descifrado (Nissen, 1985,1986). Los “textos económicos", por otro lado, eran parte de un sistema de contaduría que registraba cuestiones como las tran sacciones de negocios; por ejemplo, parecen ser recibos y listas de gastos, de animales, de todo tipo de bienes, o de materias primas. Dada la abrumadora preponderancia de los textos económicos, se ha atribuido la invención de la escritura a la creación de los centros de admi nistración de las ciudades, ellos mismos resultado de la urbanización, y la necesidad de coordinar y ampliar la unidad económica. Este grupo de condiciones impulsó la introduc ción de mecanismos económicos de coordinación que cuadraban mejor para hacerse cargo de mayores cantidades de información que la que habían tenido disponible con anterioridad. Los sistemas de registro en Mesopotamia: orígenes de los textos económicos. Los arqueólogos han identificado un sistema de registro utilizado en el Cercano Oriente aún más-antiguo, el cual se basaba en el uso de guijarros o pedazos de barro ("cuentas”), acumuladas en monto nes o en recipientes, como un registro temporal de números (Goody, 1986; Schmandt-Besserat, 1978,1983). Este sistema es de particular interés como un precursor más o menos directo de la escritura, puesto que muchos de los signos escritos (numerales 1 ideogramas) parecen ser representaciones bidimensionales de las cuentas de barro. Las del periodo anterior a la escri tura son pequeños objetos de forma geométrica (por ejemplo, esferas, perdigones, conos, tetraedros, cilindros, ovoides), que en sus formas más tardías están aún más especificados con marcas incisas. Estas cuentas aparecen con una amplia distribución en el Cercano Oriente alrededor del 8500 a.C., y son en general contemporáneas de un cambio profundo en la sociedad humana. Un antiguo patrón de subsistencia basado en la caza y la recolección se transformó por el efecto de la domesticación de plantas y animales y el desarrollo de un modo de vida agrícola. Esta nueva economía, a pesar de que incrementó la producción de comida, introdujo probablemente nuevos problemas que proporcionaron el ímpetu necesa rio para la creación de los mecanismos de registro (como sería el almacenamiento y la distri bución de los alimentos y los textiles). Las cuentas de barro representaban objetos naturales particulares, como los diferentes bienes, animales o productos; las que se utilizaban en un contexto particular expresan en su forma la clase, y por su número la cantidad, de los bienes representados. En la contabilidad de animales, por ejemplo, una cuenta de cada clase particular representa cada uno de los animales de las manadas. Cuando nacían otros animales, se añadía el número pertinente de cuentas; cuando se perdían o sacrificaban, se sustraía el número apropiado de ellas. Asi-
iiiIniuo, probablemente se movían las cuentas de un estante a otro para indicar otros camhlon, como cuando los animales se trasladaban de uno a otro pastizal. Muy pronto, en la Edad del Bronce, entre 3500 y 3100 a.C., se suscitaron cambios significati vo* g | 1} sistema de registro. En algún momento entre 3900 y 3400 a.C. -etapa que los arqueólogos e&nQGen como el periodo Antiguo a Medio de Uruk—se dio un cambio en los patrones de pobla ción I)0 acuerdo con Adams (1981), alrededor dé la mitad de los habitantes del sur de Mesopotamia ahora vivían en asentamientos de por lo menos 10 hectáreas con una población de poco más de l 000. listos nuevos desarrollos dieron como resultado el surgimiento de ciudades con una economía urbana, con raíces en el comercio. Posteriormente, la nueva economía debe de haber multiplicado las exigencias que se hacían al sistema tradicional de registro. No sólo la producción, sino también los inventarios, los embarques y los pagos de los salados debían anotarse, y los mercaderes necesitaban conservar registros de sus transacciones. Cerca de 3500 a.C,, las cuentas mismas sufrieron un cambio radical que se nota en la proliferación de marcas en sus superficies; entre 3500 y 3200 a.C., también encontramos los primeros sobres de barro, objetos huecos y redondos más o menos del tamaño de una pelota de tenis, que se usaban como recipientes para las* cuentas. Anteriormente, éstas se guarda ban en lugares inseguros, ya fuera en pilas o en recipientes abiertos. Este periodo empieza a marcar el deseo de los usuarios de separar las cuentas que representan transacciones dife rentes. Tales cuentas estaban guardadas en un pedazo de arcilla, en cuya superficie se roda ban uno o dos sellos cilindricos para sellar el documento y salvaguardar el contenido para su transportación. Tal como lo examinó Schmandt-Besserat (1978), Amiet indicó que estas bulas do barro pueden haber servido como documentos de carga que, por ejemplo, acompañaban embarques de mercancía de los centros de producción, en el campo, a los centros adminis trativos, en las ciudades. En caso de disputas, el sobre podía romperse, aunque roto ya no había posibilidad de volver a utilizarlo, en virtud de que no era posible seguir validando la transacción. Así que una nueva fase consistía en el marcado de los contenidos del sobre en su superficie, ya fuera imprimiendo la forma de las cuentas mismas en el barro o mediante una copia inscrita. Ya no era necesario abrir el sobre. En efecto, las cuentas en sí, como eran parte de un mecanismo de doble registro, se volvieron superfluas en este contexto; se prescindió de ellas, y lo que habían sido sobres se aplanaron (si bien seguían siendo un poco curvos) y se convirtieron en lo que los arqueólogos llaman textos económicos. Es de importancia teórica observar, sin embargo, que en otro contexto las cuentas no fueron totalmente reemplazadas, de manera que aún hoy en día los pastores en Irak utilizan guijarros para contar los animales en sus rebaños (Schmandt-Besserat, 1978, 1982). Los signos numéricos de los textos económicos. Los textos económicos estaban marcados tanto con caracteres ideográficos como con signos numéricos; éstos se imprimían en el barro con tres tipos diferentes de estilos. Para los caracteres ideográficos se utilizaba un estilo con una punta afilada. En los textos más antiguos, los caracteres se inscribían con un estilo pun tiagudo; éste fue reemplazado posteriormente por un estilo oblicuo, que imprimía las "cabe zas" de las líneas con más profundidad que las “colas”, con lo que dejaban impresiones en forma de cuña (= cunei, de donde tenemos escritura cuneiforme). En contraste con esto, el dibujo de los signos numéricos comprendía el uso de la serie completa de los diferentes tipos de estilos. Los signos numéricos se imprimían por regla general en el barro con estilos redon dos que venían en tamaños grandes y pequeños. De ordinario, las cantidades o unidades
menores de un sistema particular su Imprimían con los estilos redondos más pequeños, en tanto que las cantidades 0 unldade* mayores se Imprimían con el estilo redondo más grande. Además, los escribas utilizaban un ••sillo adiado (el mismo que se usaba para los caracteres) para dibujar trazos horizontales o verticales, o Incluso puntos que algunos signos numéricos requerían. Contrariamente a lo Información numérica contenida en ios textos económicos, que siem pre se da de manera completa, la Información no numérica es sumamente breve. La escritura no era usada en toda su capacidad, sino más bien como un medio para producir pies para alguien que estaba más o menos familiarizado con el contexto y sólo necesitaba que se le recordaran los detalles particulares, Así que no hay ningún rastro de un sistema verbal epi los textos y ni siquiera una insinuación de relaciones sintácticas. Esta situación significa que actualmente la interpretación de ia información numérica es aún tentativa e incompleta; en particular, las indicaciones de los arqueólogos sobre cuáles objetos se cuentan, y sobre el contexto en el que se aplican diferentes expresiones numéricas, se han restringido a catego rías aproximadas, basadas en los caracteres más prominentes de las tablillas. El sistema total de los signos numéricos y su uso son extremadamente complejos. Actual mente se ha identificado un total de 60 signos numéricos diferentes. Al igual que las cuentas del periodo anterior a la escritura, estos signos son tanto unidades de cuenta como de medi da. Con cantidades pequeñas, el número de objetos se indica directamente mediante la repe tición del signo adecuado durante el mismo número de veces que el número de objetos naturales que haya que representar. No obstante, y contrariamente a las cuentas de barro, los signos están sistemáticamente subsumidos debajo de otros con un valor más alto cada vez que se alcanza' una cantidad en particular; incluso en este caso, empero, el patrón no es uniforme como explicaré. Este juego de signos se usa de manera más o menos intercambiable en un total de (por lo menos) 10 sistemas de signos numéricos que están organizados de.una manera muy diferen te entre sí; los arqueólogos han identificado cinco sistemas fundamentalés y cinco derivados. Cada uno de estos sistemas es dependiente de su contexto en cuanto que cada uno se usa para medir diferentes tipos de objetos; por ejemplo, uno mide objetos discretos, otro objetos de consumo en masa, otro grano, etc. Además, cada uno de los sistemas fundamentales está organizado de una manera diferente, en el sentido de que cada uno trabaja con un valor base diferente. Esta última característica hace que los diversos sistemas no sean automáticamente conmensurables uno con el otro. De los 60 signos numéricos identificados, por lo menos 52 se utilizaban en más de uno de los cinco sistemas fundamentales de numeración (y de los otros cinco derivados). Por consi guiente, los signos numerales no tienen un significado independiente del contexto; el valor de cada signo y la relación entre ellos difiere según sea el sistema en que se utilicen. Por ejemplo, el significado de los dos signos más frecuentes, que a menudo se interpretan erró neamente como uno y 10, depende del asunto al que se apliquen. Se hallan en una relación de uno a 10 cuando miden objetos distintos, pero en una relación de uno a seis, cuando se trata del grano, y de uno a 10 cuando se miden las áreas de superficie de tierra. Para hacer las cosas todavía más complicadas, dentro de cada sistema fundamental de signos no existe necesariamente el mismo valor base entre cualquiera de los dos signos numéricos consecutivos de ese sistema. No obstante, en algunos sistemas la relación de tamaño entre signos consecutivos, aunque no es uniforme, puede describrirse fácilmente con una regla; en algunos de los otros sistemas de signos, empero, es difícil abstraer dicha
regla (para mayores detalles acerca de estos sistemas numéricos, véase Damerow, 1988; Damerow y Englund, 1986; Englund, en prensa). Resumiendo, los cinco sistemas numéricos fundamentales identificados en los textos son: el sexagesimal, el bisexagesimal, el SE, el GAN2 y el EN. El sistema sexagesimal se usó para objetos distintos de varios tipos; este sistema corres ponde a la serie de palabras para números del idioma sumerio, el cual, según se cree, debe de haber sido el idioma de los pueblos del sur de Mesopotamia en la época de la invención de la escritura. Sin embargo, es difícil descifrar la relación exacta entre el sistema numérico y las palabras número y, en particular, la dirección de la interpretación. El sistema bisexagesimal es un segundo sistema de signos numéricos para los objetos distin tos y concuerda con el sistema sexagesimal hasta el signo con valor de 60. Ambos sistemas se usaron de forma completamente separada y, después de unos cientos de años, el sistema bisexa gesimal desapareció por completo de los textos económicos en favor del sistema sexage simal. Se cree que este sistema se usó para medir objetos particulares distintos, tales como productos alimenticios de consumo masivo: pan (posiblemente), queso y cierto tipo de pescado. El sistema SE designa medidas de grano. Las unidades más pequeñas de este sistema se forman como fracciones e indican los tipos de pan de acuerdo con la cantidad de grano contenida en ellos. Este sistema se encuentra únicamente en los textos más antiguos; en los más recientes, lo reemplaza otro sistema con una función muy similar, cuya estructura aritmé tica se modificó, sin embargo, con cada una de las reformas en la medida del grano. El sistema GAN2 designa las mediciones de campos; al igual que el sistema sexagesimal, éste se continuó utilizando durante largo tiempo sin ningún cambio en su estructura aritméti ca. El sistema EN es el menos conocido de los sistemas, y hasta ahora no se ha descifrado el significado de la clave secreta que designa su contexto de aplicación. Im p lic a c io n e s p a r a la te o ría p sic o ló g ic a : d e s a r r o llo in d iv id u a l y c u lt u r a l
Este estudio histórico ha sacado a la luz al parecer dos estadios distintos en el desarrollo cultural del concepto de número entre los babilonios: el primero comprende las operaciones aritméticas del periodo anterior a la escri tura, como se demostró con las cuentas de barro; y el segundo abarca las operaciones arit méticas descubiertas gracias al descifre de los textos económicos arcaicos. Tiene cierto interés teórico intentar comparar estos estadios con los descubiertos hasta ahora en el desarrollo del número en otras culturas, o en los niños, y también destacar los factores que deben de haber dado origen a este cambio conceptual. Como observa Damerow, la representación anterior a la escritura de las cantidades median te un número correspondiente de cuentas manifiesta características asociadas con el con cepto de número en culturas “primitivas" contemporáneas. "[Ello] muestra los mismos lazos con los contextos concretos particulares de la aplicación y la acción..., especialmente por medio de la representación simultánea de la cantidad y la calidad” (Damerow, 1988, p. 148). En particu lar, está vinculado al uso concreto de cuentas de barro como medios auxiliares, y todas las ope raciones aritméticas se conducen exclusivamente por medio de las mismas. El resultado es que pueden aplicarse únicamente a cantidades limitadas, así como a una parte restringida de la vida humana, como se evidencia con el conjunto de cuentas de barro del que disponemos.
La interpretación de los datos p o r Damerow.
De acuerdo con la teorfa constructivista epigenética de Piaget, Damerow sostiene que la génesis de ia representación de cantidades mediante una correspondencia parte poi paite no requiere como requisito previo ninguna habilidad cognitiva de naturaleza específicamente aritmética; sólo requiere el manejo adecuado de la función del símbolo (es decir, de la papa cidad para adscribir un significado simbólico a un objeto, como hacer que una cuenta
de representación más rico y más flexible; y tal cambio cultural se dio, a su vez, dentro de un cambio global en la organización social, en particular la organización socioeconómica, que marcó una modificación a partir de una forma de vida agrícola a una urbana. Este viraje en el medio de representación no puede ser percibido» entonces, como algo secundario o deriva do, ni como algo que solamente refleja una expansión de las capacidades cognitivas; más bien, desencadenó efectos cognitivos de larga duración, que se reflejan en las complejidades de los sistemas de signos numéricos que contribuyó a generar. Encuentro muy convincente la extensa caracterización de Damerow de la transición a partir del uso de cuentas de barro a los textos arcaicos como algo mediado culturalmente; sin embargo, sus caracterizaciones más detalladas sobre la significa ción cognitiva de cada estadio me convencen mucho menos. Una tensión subyacente impor tante en su artículo proviene del hecho de que utiliza una aproximación fundada en cuestiones culturales para llevar a cabo una ruptura parcial con ciertos argumentos de Piaget. Con todo, no está dispuesto a romper de manera completa con el marco de Piaget, tal como la lógica de su propia posición debió haberlo llevado a hacer. Siguiendo a Piaget, Damerow afirma que el surgimiento del uso de cuentas de barro podría haberse dado sin que existiera ningún con cepto numérico específico, y que en lugar de esto requería nada más una capacidad “simbó lica”. Por otro lado, indica que el desarrollo clave dentro de este primer estadio (la etapa marcada por el uso de cuentas de barro) es el desarrollo del concepto de conservación de la cantidad (o “un equivalente del concepto de cantidad"). Estas dos afirmaciones, supuestos en realidad, me parecen gratuitas y nada convincentes. Me parece más plausible desde el punto de vista teórico, y por lo menos tan bien apoyado por las pruebas empíricas, asumir que el uso de las cuentas de barro requirió desde el princi pio la presencia de por lo menos algunos conceptos numéricos amorfos, y que éstos se refinaron posteriormente y cristalizaron en el curso del desarrollo posterior. Por otra parte, el uso de las cuentas de barro como tal parece indicar la presenciaj por lo menos en forma limitada, de un concepto de conservación de la cantidad.2 Aquí debemos proceder con cau Algunas reflexiones críticas.
2 En este caso lo que aquí indico proviene de un asunto más amplio, que es demasiado complejo como para desarrollarlo en detalle en este artículo. Las teorías sobre el desarrollo cognitivo tienden a menudo a dar por sentado de manera explícita o implícita que el desarrollo de la cognición sigue una especie de modelo de piezas para armar, en el que cada pieza se añade a la precedente. Así, el desarrollo parece comprender la acumulación gradual de diferentes capacidades cognitivas. Esta fantasía teórica me parece bastante errónea, entre otras cosas porque oscurece el hecho de que, como ha insistido constantemente Piaget, una estructura cognitiva siempre comprende un sistema integrado de relaciones cognitivas. Esto indica que una capacidad cognitiva, en vez de surgir de la nada, está presente, de inicio, de una manera amorfa, que tiene después que cristalizarse y refinarse por medio (del aprendizaje y) del desarrollo. Sin embargo, a pesar de que la lógica de la posición de Piaget apunta más allá de la propuesta de piezas para armar, aun él no siempre se ha librado com pletamente de la misma (y esto es aún más cierto en muchos de sus seguidores), en parte porque hace hincapié en la naturaleza necesariamente sistémica de una capacidad cognitiva, una vez que se ha conseguida, pero no siempre habla del proceso de su consecución como si implicara una estructura sistémica en desarrollo. En este contexto, deberíamos ser más consistentemente piagetianos que Piaget (He estado tratando de resolver este asunto de manera más exhaustiva, empezando por mi tesis; véase, por ejemplo, Nicolopoulou, 1984.) Cuando nos ocupamos del pro blema de la mediación cultural, por otra parte, necesitamos ir más allá de Piaget.
tela, en virtud de que Damerow no deja perfectamente en claro a qué se refiere cuando habla de “un equivalente de la cpnservaclón de la cantidad". La estrüctura general de su argumen to, sin embargo, implica una forma un tanto menos exigente de concebir este concepto que la definición estándar de Piaget, que requiere que los niños hayan obtenido una idea abstrac ta e invariable de nümero, como se manifiesta en el hecho de que han aprehendido que no son pertinentes las transformaciones perceptuales-espaciales (por ejemplo, la longitud o la densidad). Lo que Damerow parece tener en mente cuando hace referencia a “un equivalente del [concepto de] conservación de la cantidad", cuando menos ésta es la única interpreta ción inteligible para mf, es una comprensión de los elementos rudimentarios del concepto mismo de cantidad, que incluye un reconocimiento de la estabilidad de las cantidades en el tiempo o cuando los ftemes individuales se mueven o transfieren. Suponiendo que éste sea el casó, podemos seguir a Damerow en ese punto más lejos de lo que él querría seguir. Yo diría que el primer uso de las cuentas de barro debe de haber implicado la presencia de un concepto limitado de la cantidad y, en el sentido débil denotado por Damerow, de “la conservación de la cantidad". En efecto, el uso del esquema de las cuentas de barro por adultos en conexión con sus preocupaciones concretas cotidianas es incomprensible de otra manera; concedido esto, tendríamos aquí lo que he llamado una versión limitada del concepto de cantidad-, y lo que la hace limitada (o, se podría decir, primi tiva o sin desarrollar) es en realidad que se relaciona tan íntimamente con la función simbó lica. Asf, una cuenta de barro reemplaza de una manera estable no sólo un único tipo de objeto sino, en particular, un único objeto de dicha clase. Por eso, parecería que la unidad de cantidad que representa una cuenta está en el lugar de la unidad “natural" (más pequeña), en la que ese objeto existe en el mundo. La idea de cantidad que supongo para este estadio implicaría por consiguiente aceptar un objeto natural como a!go“dado" cuantitativo. (Incidentalmente, si esto es correcto, se deduciría quizá que, por lo menos en el inicio de este estadio, las cuentas de barro representarían únicamente objetos distintos pero no conti nuos.) No obstante, el uso de las cuentas permite la representación de colecciones de obje tos "naturales", lo que parece ser su punto principal. La representación de una multitud de objetos se logra acumulando tantos objetos simbólicos como objetos “naturales" existan para ser contados; las cuentas pueden retener su valor en forma independiente del movimiento o transferencia de los objetos "naturales". La fijeza de los montones de cuentas, pese a los cambios que carecen de pertinencia cuantitativa en los elementos que representan, y la capa cidad para transferir las cuentas sin inconvenientes de un montón a otro, indicarían los pri meros estadios de un concepto de conservación de la cantidad. Ahora podemos llevar un paso más adelante otro aspecto del argumento de Damerow: después de haber puesto de relieve la significación de los medios disponibles de representa ción para el desarrollo cognitivo, Damerow podría haber llevado las implicaciones de esta perspectiva mucho más allá. Por ejemplo, yo adelantaría la idea de que lo que se encuentra detrás del surgimiento del primer estadio, lo mismo que del segundo, es el descubrimien to de un medio de representación más rico y poderoso. En el caso de las cuentas de barro, el impulso decisivo parece haber sido el descubrimiento de la posibilidad de usar una corres pondencia simbólica parte por parte entre un objeto en miniatura y un objeto “natural”; con base en esto, se podría crear un conjunto de objetos en miniatura con los que se podría maniobrar para simbolizar diferentes operaciones aritméticas haciendo representaciones y, en particular, para tratar con los problemas prácticos relativos a la cantidad. Como he afirma do más arriba, esto no requiere que se suponga que una idea de cantidad se abstrajo sólo
El hecho de que este sistema de representación esté unido tan cercanamente con la repro ducción simbólica directa de los objetos "naturales" tiene una implicación cuya importancia potencial en la limitación del desarrollo de la abstracción vale la pena considerar, a saber, que cualesquiera cambios efectuados en la distribución o la disposición de las cuentas de barro eliminaría todo el registro del estado previo. Es decir, el medio en el que se registraron tales cambios no fomentaría la abstracción a partir del carácter fugaz y cambiante de las cantidades concretas, en virtud de que los estados previos no reciben el tipo de representa ción estable que dejaría un margen para la reflexión simultánea sobre los estados previos y los estados finales. Ahora bien, la adición y ]a sustracción son operaciones que pueden ser comprendidas en un nivel relativamente concreto, al que dicho medio puede, por consi guiente, representar medianamente bien. Sin embargo, la comprensión de la multiplicación y la división requiere un mayor grado de yuxtaposición consciente de dos estados temporal mente separados, lo que se hace difícil por las limitaciones del medio de representación. Por este motivo, yo esperaría que el uso de las cuentas de barro acrecentó la realidad psicológica de las operaciones de adición y sustracción, pero que no fomentó un entendimiento de la multiplicación y la división más allá de un nivel rudimentario. Vale la pena echar un vistazo a esta posibilidad. También vale la pena mencionar que el aspecto de este modelo de representación que he puesto de relieve (su debilidad para “fijar” o estabilizar diferentes estados de manera que pue dan compararse conveniente y precisamente) es también un elemento decisivo que distin gue un modo de comunicación oral de uno escrito. Sospecho que sería útil relacionar las investigaciones de Damerow con el cuerpo de trabajo que ha examinado las implicaciones cognitivas de las culturas orales y el impacto transformador del alfabetismo (c í Goody, 1977, 1987). Entre paréntesis, algunas de las indicaciones de Goody podrían arrojar luz sobre la cues tión de la impresionante continuidad histórica de cada uno de estos sistemas de representa ción, en especial del que se basa en las cuentas de barro. El sistema de las cuentas de barro, se recordará/permaneció esencialmente sin cambios por al menos cinco milenios, y es posi ble que incluso más (véase Schmandt-Besserat, 1978, pp. 6-9). Una vez que el sistema de los textos arcaicos surgió, quizá permaneció relativamente estable durante alrededor de un milenio (esto es lo que deduzco a partir de Damerow, 1988, p. 151). Las pruebas disponibles no nos permiten estar completamente ciertos acerca de las fechas, pero revelan que: /. la longevidad del sistema de los textos arcaicos fue impresionante; pero 2. mostró, de manera considerable, menos estabilidad que el sistema de las cuentas de barro, y 3. mientras el sistema fundamen tal de los textos arcaicos permaneció estable durante un largo periodo, mostró un desarrollo interno mayor en sus detalles que el sistema de las cuentas de barro. Goody afirma que existe una tendencia sistemática en las culturas orales hacia la homeostasis (Goody, 1977); si ello es así, entonces la similitud estructural entre el sistema de representación de las cuentas de barro y la comunicación oral podría hacer que su tendencia hacia la continuidad fuera parte de esta tendencia más general. Por lo menos, este paralelismo podría indicar algunas pistas con miras a una explicación. Al mismo tiempo, por supuesto, este factor sería, cuando más, uno entre muchos. También necesitaríamos reconstruir, por ejemplo, el papel sociopolítico que pudieron haber tenido las prácticas que implicaban el uso de cada medio, y la posición e intereses de los estratos que se sirvieron de ellas y las controlaron (consideraciones que, por cierto, también fueron destacadas por Goody (1986) y que además nos llevarían de regre so a argumentos más fundamentales como los de Weber, 1978). Sin embargo, actualmente
estas especulaciones señalan, antes que nada, que no sabernos, y twcesíi&rfíQS investigar, más de lo que ellas esbozan, las líneas específicas que debeTían seguir nuestras indagaciones. A pesar del más bien glacial ritmo de cambio, empero, la narración histórica sigue siendo una historia de desarrollo lo mismo que de estabilidad, y las cuestione* clave apuntadas por Damerow se interesan en la manera en que deberíamos entender dicho proceso de desarro llo. Aquí, como ha implicado la línea completa de análisis de este artículo, eJ reto es la aprehen sión de la conexión entre dos fenómenos distintos, si bien presumiblemente ínterconectados: los cambios cognitivos generados por un cambio en el medio de representación; y los cam bios cognitivos que podríamos esperar que surgieran con el paso del tiempo a partir del uso de un medio determinado. Empecemos con la segunda cuestión. Debatí con anterioridad contra la indicación de Damerow de que el avance cognitivo clave producido por el uso de las cuentas de barro habría sido el surgimiento de un concepto “equivalente” al de la conservación de la cantidad. Sin embargo, a! hacer eso, no trataré de traer a colación el punto más general de que el uso del medio durante un largo periodo podría de igual forma haber generado alguna presión para el avance cognitivo, particular mente en la capacidad de abstracción; esto me parece plausible. La cuestión es de qué tipo de avance cognitivo se trataba. Aparte de las objeciones específicas que presenté contra la formulación de Damerow, propuse, y quisiera recalcarlo aquí, un criterio interpretativo más general: el tipo de cambio cognitivo que yo esperaría que descubriéramos dentro de este es tadio comprendería muy probablemente, no la consecución de conceptos genuinamente nuevos, sino más bien el refinamiento y cristalización de conceptos ya presentes en un esta do amorfo. O, para replantear este punto en términos más generales, dentro de un marco más amplio: cada “estadio” numérico, como hemos visto, está definido por su sistema específico de representación numérica, que a su vez se halla unido a un medio particular de represen tación. Yo propondría que, una vez que un estadio determinado se inicia por la invención de un nuevo medio de representación, el desarrollo de las estructuras cognitivas dentro de di cho estadio es al parecer fundamentalmente “continuo”; implicaría en un grado considerable la manifestación de las posibilidades estructurales ya inherentes en el medio. No obstante, la discontinuidad en las estructuras cognitivas que comprendieran por ejemplo la consecución de conceptos genuinamente nuevos, requeriría el efecto de una interrupción exterior, o, más crucialmente, de un cambio en el medio de representación (véase Luria, 1977, para un estu dio análogo en el plano individual). Al mismo tiempo, sería necesario que los desarrollos más 'continuos” dentro de un esta dio dado prepararan el camino para las interrupciones más discontinuas asociadas con el surgimiento de un nuevo medio de representación. Permítaseme hacer una indicación acerca de la forma como esto podría ser el caso con los sistemas numéricos bab3onios. En mi caracterización tentativa de la etapa de las cuentas de barro llegué a la conclusión de que probablemente implicó un refinamiento y una cristalización gradual del concepto amorfo de cantidad que originalmente estaba presente. Esta tendencia iría acompañada, de modo que se reforzaran mutuamente, de un esfuerzo por abarcar una mayor variedad de situaciones en las diferentes operaciones aritméticas. Tal esfuerzo parece haber incluido la extensión de la técnica de representación con cuentas de barro a más objetos de la vida económica (c/., Schmandt-Besserat, 1978). Hasta ahora, lo que parece estar implicado es principalmente la extensión cuantitativa de una técnica existente; no obstante, hay razones para pensar que podría haber comprendido una forma de diferenciación cualitativa. Afirmo esto con base en la situación informada por Goody (1977) entre el LoDagaa y el norte de
Ghana. Utilizaron diferente* pf^udíniítnlM f& n coírtar diversos tipos de objetos; en particu lar, agruparon objeto* distinto# t n CToji/nfc'/t <¡fe ¡feíBstíJc®dífersaiíes y íes pareció entretenido cuando él Intentó contarlo* uno por uno de W3íi£?& labo/iosa. Así pues, es posible que el uso extensivo ele la técnica de cofftipwxfefif.ííi pw tí por parte en la antigua Sumeria pudiera también haber originado un* tendencia pira Sí mát süá de la unidad "natural" de un objeto dado y agrupar los objeto# en unídsde* múltiple?. De cualquier manera, un movimiento tal significaría solamente un grado de aí*tim sJ6n imitado, ya que los agrupamientos de opera ciones de este tipo no son independíenles del coírtenido ni del contexto; además, se requirió un nuevo medio de representación anisa sja@esta* operaciones pudieran expresarse en el siste ma representacíonal. El surgimiento de loa texto* arcaicos ságróíkó un avance enorme en la complejidad y flexibilidad del sistema de represetífacíón numérica. Un cambio importante fue la aparición de signos de orden superior que estafos® sm ésúss desde luego del sistema de las cuentas de barro. Las bases para lo* diferentes signos de valor superior nos parecen arbitrarios en esta fase de la investigación; sin embargo, es gaosáMe que expresen los diversos procedimientos pa ra contar que habían comenzado a desarrollarse durante el estadio de las cuentas de barro para tratar con distinto» tipos de objetos. Esto podría explicar las complicadas variaciones de base que encontramos entre ios diferentes sistemas de signos y en ei seno de los mismos. De ser así, esto podría concordar con la aproximación general que esbocé más arriba para la interpretación de la estructura cognitiva del primer estadio. Sí la idea de cantidad estaba ligada originalmente de manera directa a objetos naturales concretos, de manera que la uni dad “natural” fuera la "base” original del sistema, entonces él siguiente nivel de generalidad comprendería la agrupación de los objetos de maneras que estaban todavía intensamente relacionadas con los contextos de la actividad práctica. Lo que se desarrollaría durante el primer estadio sería una creciente necesidad cognitiva, por así decirlo, de un sistema de representación que pudiera encamar dichos agrupamientos. (Esto podría implicar, por su puesto, no sólo un proceso de “aprendizaje’' inducido por el uso del sistema numérico mis mo, sino también nuevas necesidades generadas por los cambaos en la economía y la estructura social, etc.) No obstante, se requería un cambio en el medio de representación para el signi ficativo avance hacia el nuevo sistema. Este último estaba, así, en un nivel de generalidad intermedio: más abstraído de la unidad ‘natural* que el sistema de las cuentas de barro, pero no completamente libre de éste, en vista de que estaba todavía fuertemente unido a los obje tos concretos y al uso de los mismos, aunque en un nivel más completo. El nuevo sistema era, no obstante, no sólo más poderoso cognitívamente, sino también potencialmente más dinámico, aunque hay que recordar que seguimos hablando en térmi nos relativos. Esto se debió en parte al cambio, en la terminología de Aebli y Damerow, hacia un sistema de representaciones secundarias, que coordina la acción y la cognición de mane ra indirecta, lo que permite un considerable incremento en la abstracción. Por otro lado, otra implicación fundamental de la inboducdóa de la escritura, y del sistema de los textos arcai cos en particular, fue que ahora era posible estabilizar los registros de las cantidades en momentos diferentes y representar los sucesos físicos y económicos que los afectan. Ya he indicado por qué los cambios de este tipo debieron haber tenido un impacto en la compren sión aritmética Además, la posibilidad de representar y comparar los estados secuenciales finales producidos por cambios cuantitativos debió haber hecho más visibles los procesos implicados en las operaciones aritméticas; y esto, a su vez, habría facilitado por lo menos el esfuerzo para reflexionar sobre estas operaciones como procesos recurrentes y para formalizar
las reglas implícitas en ellos. La facultad para formalizar las reglsg dfi transformación y pnrti considerarlas explícitamente es, por supuesto, el primer paso hacía pensar en
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