Université Ferhat Abbas,Sétif Faculté des Sciences de l’Ingénieur Département d’électronique
Mini projet sur : La Compression JPEG d’ d’images fixes Mise en œuvre sous Matlab sur une image fixe de niveau gris 8bits
Par : Azoug Seif Eddine 2éme année master réseaux et systèmes de télécommunication Date : 01-01-2011
TABLE DES MA MATIERE TIERES S
I. II.
:
Introduction Rappel sur l’image numérique
II.1 Définition II.2 Notions de pixel et espace de couleur III.
Rappel sur la compression des images
III.1 Compression sans pertes III.2 Compression avec pertes III.3 Processus général d’un codec d’images fixes IV.
Notions sur la transformé DCT
IV.1 Définition IV .2 Variantes de la DCT IV .2.a DCT I IV .2.b DCT II IV .2.c IDCT IV.3 Propriétés de la DCT en compression d’image IV.3.a Décorrélation IV.3.b Concentration des coefficients IV.3.c Symétrie, séparabilité, et orthogonalité V.
Processus général d’un codec JPEG d’images fixes
V.1 Définitions V.2 JPEG basée sur la DCT séquentielle V.2.1 Découpage en sous blocs V.2.2 Décalage de niveau (Level Shifting) V.2.3 Application de la DCT V.2.4 Quantification V.2.5 Codage des coefficients DC et AC V.2.5.a Les coefficients DC V.2.5.b Les coefficients AC V.2.6 Codage Huffman VI.
Mise en œuvre sous Matlab
VI.1 Représentation des images sous Matlab : VI. 2 Code final VI.3 Résultats VII.
Conclusion
VIII.
Référence
I. Introduction : De nos jours, les images numériques sont omniprésentes dans notre quotidien(photographie quotidien(photographie numérique, web, imagerie médicale…etc), médicale…etc), leurs utilisations sous format brut rendent leurs portabilités difficiles (temps de transmission long) et leurs stockages encombrant (nécessité de plus de mémoire) ce qui revient à un cout élevé , c’est pour cela qu’il a fallu trouver de nouvelles techniques de compression et codage d’image adaptées. Grâce aux progrès atteint dans la théorie du codage et de la compression des donnés, les images peuvent maintenant être compressées en faisant enlever ce qui est redondant sur la base d’algorithmes d’algorithmes de compression intelligents en exploitant plusieurs p lusieurs aspects technique présents sur les données de l’image (redondance psychovisuel, interpixel…..) afin de réduire le poids de l’image, l’image, cela nous fera gagner de l’espace l’espace en mémoire et une augmentation du débit de transmission (temps de transmission moins long). long). Aujourd’hui, Aujourd’hui, on trouve plusieurs algorithmes de compression d’images d’images comme par exemple: .jpg ou .jpeg, .png, .gif, .tiff, jpeg2000 …etc… Dans ce projet, nous allons essayer de revoir le principe de l’algorithme l’algorithme de compression « JPEG » en mode opératoire séquentielle, et enfin sa mise en œuvre pratique de base sur une image image fixe monochrome à l’aide du logiciel Matlab.
II. Rappel sur l’image nume nume rique : L’acquisition d’une d’une image se fait par moyen d’un appareil photo ou une prise d’un film sur une caméra (suite d’images). d’images). La nature brute de l’image à la sortie des capteurs est un signal analogique qui doit être discrétisé (numérisé) pour pouvoir l’exploité l’exploité par un processeur de données numériques. La source peut être aussi une image artificielle, dans ce cas, le signal de l’image est d’origine discret, comme un schéma de dessin industriel sur un logiciel CAO par exemple. II.1 Définition :
Une image numérique est un signal bidimensionnelle bidimensionnelle (a deux dimensions, largeur plus hauteur) fini discret (préalablement échantillonné et quantifié) qui peut être assimilé tel vue sur un écran écran d’ordinateur à une matrice I [MxN] finie où chaque élément I(mi,nj) de cette matrice représente un point ou un élément de l’image (appelé (appelé : pixel) qui appartient à un espace de couleur fini.
II.2 Notions de pixels et espace de couleurs :
L’acronyme pixel c’est la contraction de « Picture element », il représente un point de l’image. La clarté ou la définition de l’image est proportionnelle aux nombres de pixel, c’ c’est la résolution d’une image. Pour une image de bonne qualité la résolution doit être au minimum de 300px/2.54cm (2.54cm = 1 Pouce).Par ex le le nombre de pixel dans une image de résolution 640x480 pixel: 640x480 = 307200 pixels Chaque pixel est représenté dans un espace de couleur finis. Pour une image de niveau gris, par exemple, chaque pixel est représentée sur une échelle de 256 niveaux de gris où chaque niveau représente l’intensité de la luminosité du pixel. Cet espace de couleur nécessite 8 bits pour être coder (2^8=256), (2^8=256), c’est des images 8 bits. Typiquement pour un espace de couleur RVB (Rouge,Vert,Bleu) ,une image chromatique nécessite pour chaque pixel trois couches de niveaux de luminosité des trois couches de couleurs RVB. Cela nécessite au total 3*8 = 24bit pour codé un pixel, où chaque couleur de pixel est représentée sur une échelle de près de 16 millions de niveaux de couleurs (2^24), Problème : Le poids des données de l’ l’image numérique sont proportionnelles à la
résolution de l’image. Solution : Compresser les données de l’ l’image numérique.
III. Rappel sur la compression des images : La compression des données ou le codage source, permet on appliquant des algorithmes de compression spécifiques de réduire la taille d’une d’une image sur une mémoire ou de manière équivalente de réduire son temps de transmission. Image originale
Décompression
Compression
Ligne de transmission
Image reconstituée Mémoriser Demander
Mémoire Figure III.1 Principe de la compression image
La compression peut être sans perte, l’image restera fidèle à l’ l’image originale, soit elle sera avec perte de qualité (fidélité) pour pour réduire plus la taille de l’image, l’image, dans ce cas-là, la compression sera au prix de la dégradation autorisée, ces types de compression sont faites grâce aux redondances des données présentes sur l’image. l’image. Ces redondances sont : -Redondance psycho visuel : Des détails non perceptible à l’œil humain qu’on peut éliminer
(cf. caractéristiques de la vision humaine). l’image, on dit -Redondance inter pixel : La possible corrélation existante entre les pixels de l’image, qu’une image a une redondance inter pixel si c’est possible de prédire la valeur d’un d’un pixel en connaissance de la valeur des pixels voisins (suivants ou précédant), sachant que plus la résolution de l’image est grande plus la probabilité de rencontré des redondance inter pixel est élevée. -Redondance de codage : séquences de répétition des bits, on rencontre cela généralement
à la fin de la compression, pendant l’ l’étape de codage. III.1 Compression sans perte :
Appelée aussi compression non non destructrice, la qualité de l’image après décompression est la même que celle de l’image originale, le taux de compression de ce type est limité. limité. Ce type de compression on le trouve beaucoup dans le domaine où la précision est majeure comme l’imagerie médicale (IRM par ex.) ou la télédétection (imagerie satellite par ex.).Les algorithmes de compression employés sont nombreux, les plus importants sont: -Codage à répétition : par ex. RLC (Run Length Coding) -Codage entropique :
basé sur le codage à longueur variable ou VLC (Variable Length Coding), par ex : le codage de Huffman,le codage arithmétique,…etc.. arithmétique,…etc.. -Codage dictionnaire ou codage Lempel-Ziv-Welch (LZW) :
Ce codage ne nécessite plus de connaitre les probabilités des symboles comme comme dans le cas du codage entropique. III.2 Compression avec perte :
C’est une compression destructrice, elle permet de sacrifier certains détails de l’image non récupérable en décompression au profit de réduction de poids. Cette dégradation peut être contrôlée selon la qualité qu’on qu’on veut obtenir en fonction du taux de compression choisie.
Ce type de compression on le trouve généralement dans le domaine normal pratique là où la réduction du poids de l’ l’images est très important, comme le domaine multimédia par exemple (web, photographie) où la fidélité envers l’image original n’est pas très importante et le taux de compression sera plus grand que celui d’une compression sans perte du fait qu’on est juste limité par la qualité qu’on souhaite obtenir. obtenir. Les algorithmes de compression employés sont nombreux, on cite l’une des méthodes les transformation . plus utilisées: Le codage par transformation
Ce type de codage fait appel aux transformées mathématiques mathématiques pour avoir une « cartographie » des fréquences spatiales présentes dans l’l’image. La transformé de cosinus discrète DCT et la transformé en ondelettes sont les transformées les plus utilisées. III.3 Processus général d’un codec d’images fixes :
Le schéma suivant illustre le processus général d’encodage et de décodage d’une image fixe sur un système de communication communication : Codeur
Image originale
Canal de transmission
Codage Source
Codage Canal
Décodage Canal
Décodage Source
Canal de transmission
Image reconstituée
Décodeur Figure III.2 Processus d’un codec d’images fixes
Le codec (codeur/décodeur) de source c’est le block qui nous intéresse, du fait que c’est sur ce bloc que la compression-codage /décompression-décodage aient lieu.La présence du codec canal a pour but contrairement au codage source d’ajouter des redondances au code afin d’augmenter l’efficacité de la transmission en utilisant util isant des codes détecteurs et/ou correcteurs d’erreurs d’erreurs (code de parité, code de Hamming…etc…).
Le schéma général du du bloc codec source d’images d’images fixe est le suivant: Image originale
décomposée en sous blocs NxN
Codage par transformation
Quantificateur
Codage des symboles
Vers Codage Canal
Fig III.3 Codage source d’images fixes
a) Codage par transformation (Transform Coding):
Après décomposition de l’image en sous-blocs NxN à cause de la non efficacité et la lenteur des calculs d’un d’un seul bloc entier, on applique une transformé linéaire (DFT, DCT,…etc…) DCT,…etc…) qui permet de transformer les sous blocs NxN de l’image a un format non visuel afin d’obtenir des coefficients dans un domaine fréquentiel (une représentation fréquentiel de l’image) qui seront codés et quantifiés. Le but du codage par transformer est d’ d’avoir un autre aspect de la distribution des données de l’ l’image et ainsi décelé les redondances potentiel comme la redondance inter pixel. b) Quantificateur (Quantizer):
Le quantificateur permet de faire une pondération des coefficients de la transformé en se basant sur une table de quantification (une table de luminosité et une autre de chrominance) qui a été établit sur les caractéristiques de la vision humaine, les coefficients de cette table imposeront un seuil de qualité qui décidera des coefficients de la transformé qu’on veut garder et ceux qu’on veut supprimer jugées non important visuellement, visuellement, d’une autre manière, cette étape permet de choisir le taux de dégradation visuel qu’on souhaite faire à l’image (Facteur de qualité), et le but de tous cela c’est d’éliminer la redondance psycho visuel.Cette étape se trouve seulement dans les compressions avec perte. c) Codage des symboles (Symbols coding) :
Cette étape permet de réduire la redondance de codage en utilisant des codes VLC ou autres. Le décodage source : c’est les mêmes blocs des schémas précédents mais dans le sens inverse et chaque bloc effectue l’opération inverse de celle au codage.
IV. Notions sur la DCT : Nous allons parler seulement de certains aspects importants à connaitre pour l’achèvement de l’objet de ce travail qui est la compression d’images d’images sans entrer dans les démonstrations mathématiques.
IV.1.Définition :
La DCT ou Discret Cosine Transform, c’est une transformé linéaire qui a été appliquée la 1ére fois dans la publication des professeursN. [ Ahmed, T. Natarajan, and K. R. Rao, "Discrete Cosine Transform", IEEE Trans. Computers, 90-93, Jan 1974].
C’est une variante de la transformé transformé de Fourier discrète, qui permet per met de garder seulement les cosinus et d’éliminer les Sinus, c’est-à-dire, c’ est-à-dire, obtenir une représentation fréquentiel purement réel. Cette transformé est très largement utilisée dans la compression audio et la compression image comme JPEG et MPEG. IV.2.Variantes de la DCT :
Il existe 8 variante de la DCT, ceux les plus connus sont DCT I,la DCT 2D ou DCT II et sa transformé inverse IDCT ou DCT III, nous allons voir la définition de la DCT I,DCT II et DCT III qui sont la base de la compression JPEG. IV.2.1DCT I :
Pour une séquence d’éléments discrets N, la DCT I s’exprime par :
∑ ⌈ ⌉ √ √ { } IV.2.2 DCT II :
C’est une extension directe de la DCT I dans deux dimensions 2D,NxN, 2D,NxN, qui seras notre image, sa formule mathématique est donnée par :
⌉ ⌈ ∑ ∑ ⌈ ⌉ ⇒ ∑
On remarque si :
Ce coefficient représente le coefficient DC, et le reste des coefficients représente les coefficients AC, nous allons voir après ce que cela signifie en compression JPEG.
IV.2.3 IDCT:
Ou DCT III, elle est l’inverse de la DCT II, sa formule est donnée par :
IV.3 Propriétés importantes de la DCT en compression d’image : IV.3.1 Décorrélation :
La DCT permet de réduire ou d’éliminer d’éliminer la redondance inter pixel,les pixels sont décorrolés afin de réduire la variance des pixel voisins dans l’image ce qui permet une compression efficace on codant chaque pixel indépendamment. indépendamment. IV.3.2 Concentration des coefficients :
La DCT est très efficace pour des images fortement corrolée du fait qu’elle permet de compacté les coefficients qui représente les basses fréquences dans une seule partition de la matrice image, cela permet la séparation des fréquences basses des fréquences hautes, et si c’est une image faiblement corrolée, corrolée, les coefficients sont concentrés dans plusieurs différentes partitions de la matrice image. IV.3.3 Symétrie, séparabilité, et orthogonalité :
La DCT II peut être séparée comme suit :
De
on peut sortir la propriété de symétrie qui va nous conduire à une expression
simplifiée du calcul de la DCT:
∑ ⌈ ∑ ⌉ ⌈ ⌉
A ce stade, on peut conclure avec la propriété d’orthogonalité : va nous permettre d’avoir l’IDCT de la forme suivante :
On remarque qu’on obtient la matrice image originale au final. Ces propriétés réduisent considérablement les calculs dans les algorithmes de compression d’image du fait que ces éléments seront déjà calculés à l’avance (calcul de la matrice C).
V. Processus general d’un codec JPEG d’images fixes : V.1 Définition : JPEG: Joint Photographic Experts Group.
C’est un algorithme standard de compression avec perte d’image fixe établit en 1991 basé sur le codage par la transformé t ransformé en cosinus discrète DCT, et il existe plusieurs modes opératoires de compression JPEG établies selon la rapidité du codec et le besoin -Codage basé sur la DCT séquentielle -Codage basé sur la DCT progressive -Codage sans perte -Codage hiérarchique V.2 JPEG basée sur la DCT séquentielle :
Celui que nous allons aborder sur ce travail c’est celui basé sur la DCT séquentielle, où l’image est traitée de gauche à droite et de haut en bas, la figure Figure V.1 montre le processus d’un codec codec Source JPEG.
⇒
quantification
Offset
Divisision de l'image en sous-bloc 8x8
Image originale
DCT 2D 8x8 (ou 16x16)
(ou 16x16)
Codage entropique: Huffman
Canal de transmission
Coéffcients AC: scan Zig-Zag + codage RLC
Table codage Huffman
Décodage entropique: Huffman
Coéffcients AC: décodage RLC+ scan Zig Zag inverse
Image décompressée
Table de
Quantificateur
Coéfficients DC: Codage prédéctive DPCM Table de quantification
Coéffcients DC: inverse DPCM
Quantificateur inverse
Fusion des sous blocs 8x8 (ou16x16)
IDCT 8x8 (ou 16x16)
Offset Codeur Source Décodeur Source Figure V.1 Codec Source JPEG
V.2.1 Découpage en sous blocs :
L’image au début elle est découpée en sous -bloc de 8x8 (ou 16x16), chaque sousbloc seras traiter individuellement, individuellement, si c’est une image couleur il faut avant tout faire une transformation couleur ensuite un sous échantillonnage, nous n’allons pas s’étaler sur sur ce sujet.
V.2.2 Décalage de niveau (Level Shifting) :
Deuxième étape, préréglage (offset), en effectuant un décalage de niveaux, en anglais « Level shifting » (pour une image monochrome, c’est les niveaux du gris gris codés sur 8bits), où chaque élément de chaque sous blocs doit être amené à l’intervalle *-128,127], *-128,127], pour faire cela, on soustrait à chaque élément un scalaire 128, cela va permettre d’augmenter la tolérance de précision des coefficients de la DCT. V.2.3 Application de la DCT :
L’étape suivante, Appliquer à chaque sous bloc la transformé DCT 2D ( DCT I I ) N = 8 (ou N=16) ,le résultat une matrice de 8x8 fréquences (ou 16x16),cette transformé va permettre de séparer les hautes fréquences des basses fréquences, on aura 64 coefficients (ou 256), le premier coefficient de la matrice représente le coefficient continue DC ou le fondamental du sous bloc de l’image, c’est le coefficient de la fréquence nulle dont l’amplitude l’amplitude est la plus élevée et le reste des coefficients ce sont des coefficients AC décroissant si on tend vers les hautes fréquences. Le fait de séparer les fréquences hautes et les fréquences basses va ainsi permettre la décorrélation des pixels de chaque sous bloc de l’image et ainsi réduire la redondance redondance inter pixel, sachant que la transformation seul sans quantification et codage n’est pas une compression, ce n’est juste qu’une étape post-compression post-compression ! V.2.4 Quantification :
La prochaine étape, la quantification, quantification, on fait une division euclidienne (
entre les
blocs DCT et une table de quantification déjà calculée sur la base d’un facteur de qualité (50% par ex.)
̃ [ []
Cela a pour but d’éliminer les coefficients haute fréquence dont l’œil humain est est peu sensible, seulement ceux présent en dessous du seuil définis par la table de quantification auront des amplitudes très faibles (éliminatoire), ces coefficients seront arrondis à l’entier prêt qui est souvent 0, d’ailleurs, d’ailleurs, si on prend par exemple la table table de quantification de luminosité normalisée normalisée standard JPEG suivante calculé sur un facteur de qualité FQ = 5:
16
11
10
16
24
40
51
61
12
12
14
19
26
58
60
55
14
13
16
24
40
57
69
56
14
17
22
29
51
87
80
62
18
22
37
56
68
109
103
77
24
35
55
64
81
104
113
92
49
64
78
87
103
121
120
101
72
92
95
98
112
100
103
99
On remarque que les coefficients en hautes fréquences seront divisés sur un nombre élevée (en rouge), et ceux en basses fréquences seront diviser sur un nombre moins élevé (noir).
V.2.5 Codage des coefficients DC et AC :
Maintenant qu’on a les coefficients DCT quantifiés et arrondis, les coefficients AC et coefficients DC auront deux codages différents avant de subir le codage entropique de Huffman. V.2.5.a Les coefficients DC :
Ils seront codés par un codage prédictif DPCM par ex., ce type de codage permet de prédire la valeur du coefficient DC de chaque sous bloc selon la connaissance de la valeur du coefficient du bloc précédant ou des blocs précédents. Par exemple, si on a la suite des coefficients DC de chaque sous blocs suivante: 555558888899999, son codage prédictif sera : 50000300001000. Ce codage nous permet d’avantage de réduire la redondance inter pixel, et pour des raisons de simplicité et de ce qu’ qu’il nous a été demandé de faire, nous allons négliger cette étape dans notre manipulation Matlab.
V.2.5.b Les coefficients AC : Coefficient DC
Figure V.3 Scan zig-zag
Les coefficients AC seront récupérer sur un vecteur par un scan en zig-zag de la matrice de chaque sous bloc afin de mettre les coefficients élevées en premier et les zéros en fin comme illustré dans la figure V.3.Ensuite, ces coefficients seront codés par le codage RLC (Run Length Coding) où les suites de coefficients AC qui se suivent de même valeurs sont codées par leurs nombre de redondance sur la séquence par ex : Zig-zag : -25
2
2
2
2
1
0
0
0
0
0
-1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
@
5 2
1
0
1
@
5
0
-1
EOB
RLC : -25
EOB (End Of Block) veut dire le reste des coefficients de la matrice sont à zéros, et @ suivis
du nombre de redondance de la valeur qui suit, par exemple : @ 5 0 veut dire que c’est une suite de cinq 0. Enfin, les deux vecteurs DC et AC seront réunis sur un même vecteur pour le codage entropique Huffman. V.2.6 Codage Huffman
L’étape finale, c’est le codage Huffman, Huffman, qui va compresser le vecteur RLC à la limite de la compression sans perte (VLC).Le codage Huffman se déroule en deux étapes : 1ére étape : Construire l’arbre de Huffman en classant les probabilités de chaque symbole de haut en bas, et on additionnant les probabilités faibles pour obtenir un autre symbole et ainsi de suite jusqu’à il en reste que deux probabilités.
2éme étapes : consiste en l’encodage des symboles en partant de l’inverse où on s’est arrêté on assignant des 0 et 1 à chaque symbole jusqu’à construire la table de codage de chaque symbole, par ex : -25
[0,1,1,1]
2
[0,0,0,0]
-3
[0,1,1,0]
5
[0,0,1,1]
-1
[0,0,0,1]
EOB [0,0,1,0]
0
[1,0]
@
1
[0,1,0]
[1,1]
En général cela est basé sur une table Huffman standard au JPEG déjà prête, mais dans notre cas, on va calculer nos tables de codage. Au final nous auront un vecteur de suite de 1 et 0 qui représente l’image compressée JPEG. Img_comp = [0
1
1
1
0
1
1 … 0] ;
Dans le processus de décodage, c’est l’inverse de toutes les étapes précédente en commençant par le décodage Huffman jusqu’à la DCT inverse (IDCT) pour reconstituer finalement l’image.
VI. Mise en œuvre sous Matlab : J’ai utilisé la boite à outils de traitement d’images (Image Processing Toolbox) de Matlab pour pour l’opération de lecture, conversion et affichage des graphiques. VI.1 Représentation d’images sous Matlab :
Dans la boite à outils (Image Processing Toolbox) de Matlab,ils existent quatre type de base d’images qu’on peut manipuler. II.1.a Image Binaire (Binary):
C’est une image interprété par une matrice logique I de dimension MxN où chaque élément ou pixel de l’image peut prendre uniquement la valeur 1 (Blanc) ou la valeur 0 (Noir). II.1.b Image de niveaux gris (Grayscale):
Elle est interprétée par une matrice I[MxN] où chaque élément de la matrice I donne le niveau d’intensité sur une échelle de niveau de gris selon le type de la matrice,
pratiquement, c’est le type préféré en traitement d’image non chromatiques (uint8 en général la structure des données utilisée). II.1.c Image de couleur réel ou RVB (Truecolor RGB)
Cette image est interprété par une matrice multidimensionnelle multidimensionnelle I[MxNx3] chaque pixel I(mi,nj) en a des composantes en couleurs RVB non indexées comme suit :
R : I(mi,nj,1) V : I(mi,nj,2) Ce type peut être décomposé en trois couches d’image de niveaux niveaux de gris où chaque couche est traitée comme une matrice distincte. II.1.d Image indexée
C’est une image interprétée par une matrice I * MxN+ qui contient l’indices des pixels de l’image et une matrice K* Mx3+ qui contient la palette des couleurs de l’image (colormap).Chaque (colormap).Chaque ligne de K donne le niveau d’intensité du Rouge, du Vert, et du Bleu, de chaque pixel pour reconstituer sa couleur unique. Ce type peut être converti en RVB(RGB) réel ou en niveau de gris g ris (Grayscale) par les fonctions prêtes de la boite à outils image de Matlab : ind2rgb et ind2gray VI.2 Le code Matlab final :
Ce programme est modulaire, composé d’un script d’exécution principale : codec_jpeg.m et codage_jpeg.m decodage_jpeg.m des scripts suivants : init_jpeg.m init_indices_zigzag.m codage_jpeg.m .
codec_jpeg.m % \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ % Programme basique sur la compression JPEG d'image fixe monochrome % Version : 1.0 % Par: Azoug SeifEddine % http://dynelectrons.net76.net %
[email protected] % Fait le: 01/01/2011 % \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ clear % Chargement de la matrice image monochrome sur Matlab qui seras sous format entier uint8 % et la convertir en double pour les calcul img_originale = double(imread('zohrap.bmp' double(imread( 'zohrap.bmp')); )); % Si Image a un espace de couleur RVB ou autre que monochrome,elle doit étre convertie % img_originale = rgb2gray(img_originale); dim_bloc = 8; %dimension 8x8 des sous blocs init_jpeg; % Déclaration et initialisation des variables nécéssaires (voir: init_jpeg.m)
%Décodage et décompression (Voir: codage_jpeg.m) codage_jpeg %Décodage et décompression (Voir: decodage_jpeg.m) decodage_jpeg %Affichage de l'image originale,de sa DCT,et de l'image décompressé. figure(1) subplot(1,3,1) imshow(uint8(img_originale)) title('Image title('Image Originale'); Originale' ); subplot(1,3,2) imshow(jpeg) title('DCT' title('DCT'); ); subplot(1,3,3) imshow(uint8(img_decompresse)) title('Image title('Image décompressé décompressée' e'); ); figure(2) subplot(2,2,1) imshow(uint8(img_originale(112:120,120:128))) title('Sous title('Sous bloc de l''mage Originale' ); subplot(2,2,2) imshow(uint8(img_decompresse(112:120,120:128))) title('Sous title('Sous bloc de l''mage Compressée' ); %Evalutation du Taux de compression for i=1:8:m for j=1:8:n eval([ sprintf('taille_img_compresser sprintf('taille_img_compresser = taille_img_compresser + numel(hcode_%d_%d);' ,i ,j)]); end end taille_originale = dim_img taille_img_compresser taux_compression = taille_originale / taille_img_compresser %Evaluation de l'erreur quandratique moyenne EQM somme=0; for(i=1:m) for (i=1:m) for(j=1:n) for (j=1:n) somme=somme + ((img_originale(i,j) - img_decompresse(i,j))^2); end end EQM=somme/(m*n) %Calcul de la valeur créte du rapport signal sur bruit Peak to noise ratio PSNR bit=8; PSNR=10*log10(((2^bit-1)^2)/EQM) %Calcul des bits par pixel Bpp. bpp = taille_img_compresser taille_img_compresser / dim_img % Fichier image compressé / nombre de pixels
init_jpeg.m % Déclaration des variables et initialisation des constantes jpeg = ones(size(img_originale)); % Matrice JPEG qui va contenir l'image compressée jpeg_deco = ones(size(jpeg)); % Matrice qui va contenir l'image décompressé offset = ones(dim_bloc,dim_bloc ones(dim_bloc,dim_bloc)*128; )*128; %Matrice 8x8 pour "Level Shifting". DCT = dctmtx(dim_bloc); dctmtx(dim_bloc); % Matrice C pour le calcul de F % récupération des dimensions de l'image. [m,n] = size(img_originale); dim_img = m*n; %Matrice ou table de quantification Q (Standard JPEG) quantizer =... =... [... 16 11 10 16 24 40 51 61; ... 12 12 14 19 26 58 60 55; ... 14 13 16 24 40 57 69 56; ... 14 17 22 29 51 87 80 62; ... 18 22 37 56 68 109 103 77; ... 24 35 55 64 81 104 113 92; ... 49 64 78 87 103 121 120 101;... 72 92 95 98 112 100 103 99... ]; %Vecteur du scan Zigzag zigzag = ones([1 dim_img]); %Fonction de récupération des indices du scan zigzag (voir init_indices_zigzag.m) [col lig] = init_indices_zigzag(dim_bloc); %Vecteur du codage/décodage RLE et codage/décodage Huffman rle = []; rle_deco = []; huff_deco = []; % Constantes utiles taux_compression = 0; taille_img_compresser taille_img_compresser = 0; dec_l = 0; dec_c = 0; redondance = 0; col_rle_p = 1; k = 1; z =1; d=0;
init_indices_zigzag.m %Cette fonction permet de créer deux matrices %Une matrice ligne lig et une matrice colone "col" %Chaque matrice va contenir respectivement indices ligne et colonnes %Ces indices vont aidé a faire le scan zig zag pour un sous bloc 8x8. function [col,lig]=init_indices_zigzag(dim_bloc) col = ones([1 (dim_bloc * dim_bloc)]); dim_bloc)]); lig = ones([1 (dim_bloc * dim_bloc)]); dim_bloc)]); lig(1) = 1; k=2; r=1; for x=3:2:dim_bloc for j=1:x lig(k) = j; k = k + 1; end for j=x-1:-1:1
lig(k) = j; k = k + 1; end for j=1:x-1 col(r) = j; r = r + 1; end for j=x-2:-1:1 col(r) = j; r = r + 1; end if(x if (x == 7 ), x = x+1; for j=1:x lig(k) = j; k = k + 1; col(r) = j; r = r + 1; end for j=x-1:-1:1 col(r) = j; r = r + 1; end for z=2:2:x for j=x:-1:z+1 lig(k) = j; k = k + 1; end for j=z:x lig(k) = j; k = k + 1; end for j=z:x col(r) = j; r = r + 1; end if(z if (z ~= dim_bloc) for j=x:-1:z+1 col(r) = j; r = r + 1; end end end end end; end ;
codage_jpeg.m %Boucle général qui va parcourir l'image en sous bloc 8x8 for i=1:dim_bloc:m dec_l = i-1; %Décalage vertical des sous blocs for j=1:dim_bloc:n dec_c = j-1; %Décalage vertical des sous blocs jpeg(i:i+7,j:j+7) = img_originale(i:i+7,j:j+7) - offset; % Effectuer le "Level Shifting". jpeg(i:i+7,j:j+7) = DCT * jpeg(i:i+7,j:j+7) * DCT'; % Appliquer DCT (cf.[7]).
jpeg(i:i+7,j:j+7) = jpeg(i:i+7,j:j+7) ./ quantizer;
% Division par la table
Q. jpeg(i:i+7,j:j+7) = round(jpeg(i:i+7,j:j+7)); le plus prés. for q =1:64 zigzag(k) = jpeg(lig(q)+dec_l,col(q)+dec_c);
% Arrondir à l'entier
% Effectuer un scan
ZigZag. k = k + 1; end d = k - 64; q = 1; while(q while (q <= 64) % Boucle While qui effectue un codage RLC sur chaque sous bloc if (d < dim_img) && (zigzag(d) ~= zigzag(d+1)) rle(z) = zigzag(d); d = d + 1; q = q + 1; z = z + 1; elseif (d < dim_img) && (zigzag(d) == zigzag(d+1)) && (zigzag(d+1) ~= zigzag(d+2)) rle(z) = zigzag(d); rle(z+1) = zigzag(d+1); zigzag(d+1); d = d + 2; q = q + 2; z = z + 2; elseif (d < dim_img) && (zigzag(d) == zigzag(d+1)) && (zigzag(d+1) == zigzag(d+2))&& (zigzag(d+2) ~= zigzag(d+3)) rle(z) = zigzag(d); rle(z+1) = zigzag(d+1); zigzag(d+1); rle(z+2) = zigzag(d+2); zigzag(d+2); d = d + 3; q = q + 3; z = z + 3; elseif (d < dim_img) && (zigzag(d) == zigzag(d+1)) && (zigzag(d+1) == zigzag(d+2))&& (zigzag(d+2) == zigzag(d+3)) redondance = 4; rle(z) = 257; rle(z+1) = redondance; rle(z+2) = zigzag(d); d = d + 3; q = q + 4; while (q <= 64) && (d < dim_img) && (zigzag(d) == zigzag(d+1)) redondance = redondance + 1; q = q + 1; d = d + 1; end rle(z+1) = redondance; d = d + 1; z = z + 3; end if(q if (q == 64) q = q+1; end end % Début du codage Entropique de Huffman. col_rle = z-1; %Extraction des symboles uniques présent dans le vecteur %RLC. symboles = unique(rle(col_rle_p:col_rle)); nbr_symboles = numel(symboles); taille_block = numel(rle(col_rle_p:col_rle));
%Calcul des probabilités de chaque symboles. table_p = ones(1,nbr_symboles); for q = 1:nbr_symboles 1:nbr_symboles itter = 0; for r = col_rle_p:col_rle col_rle_p:col_rle if(rle(r) if (rle(r) == symboles(q)) symboles(q)) itter = itter + 1; end end table_p(q) = itter / taille_block; taille_block; end %Dressage de l'arbre de huffman et codage de chaque %symbole de chaque sous bloc. eval([ sprintf('dico_%d_%d sprintf('dico_%d_%d = huffmandict(symboles,table_p);', i ,j)]); eval([ sprintf('hcode_%d_%d sprintf('hcode_%d_%d = huffmanenco(rle(col_rle_p:col_rle),dico_%d_%d);', i ,j,i ,j)]); col_rle_p = col_rle+1; end end
decodage_jpeg.m %Décodage Huffman for i=1:dim_bloc:m for j=1:dim_bloc:n eval([ sprintf('huff_deco sprintf('huff_deco = [huff_deco huffmandeco(hcode_%d_%d,dico_%d_%d)];' , i ,j,i ,j)]); end end %Décodage RLE i = 1; k = 1; while(k while (k <= numel(huff_deco)) numel(huff_deco)) if(huff_deco(k) == 257) if(huff_deco(k) rle_deco(i:(i-1+huff_deco(k+1))) = huff_deco(k+2); i = i + huff_deco(k+1); k = k +3; else rle_deco(i) = huff_deco(k); i = i +1; k = k +1; end end k=1; for i=1:dim_bloc:m dec_l = i-1; for j=1:dim_bloc:n dec_c = j-1; %Scan zigzag inverse for q =1:64 img_decompresse(lig(q)+dec_l,col(q)+dec_c) = rle_deco(k); k = k + 1; end %quantification inverse + IDCT + Remises des niveaux (Inverse %Level Shifting) img_decompresse(i:i+7,j:j+7) = img_decompresse(i:i+7,j:j+7) .* quantizer; img_decompresse(i:i+7,j:j+7) = DCT' * img_decompresse(i:i+7,j:j+7) * DCT; img_decompresse(i:i+7,j:j+7) = img_decompresse(i:i+7,j:j+7) + offset; end
end
VI.3 Résultats :
Voici les résultats pour cette image de niveau de gris 8bit 232x256 pixels de format BMP (volumineux) et de taille 59392 bits :
FigureVI.1 Compression JPEG
taille_originale = 59392bits
taux_compression = 1.2516
taille_img_compresser = 47453bits
EQM = 25.6932 PSNR = 34.0326 bpp = 0.7990
On remarque que la taille de l’image a été compressé avec un taux de compression de 1.25 ce qui est acceptable on aurait pu avoir plus si on aurait pris une image plus corrolée que
celle-ci. On remarque aussi que la DCT dans chaque sous blocs elle fait une concentration des coefficients basses fréquences (en blanc). L’image n’a pas perdu de sa fidélité apparente, cela étant seulement visuellement apparent, parce que l’ l’erreur quadratique moyenne n’ n’est pas nulle et égale à EQM = 25.69 cela veut dire qu’il y’a une erreur d’une différence moyenne de 25.7 environs entre les éléments des deux matrices images mais elle n’est notable seulement à l’échelle d’un sous bloc 8x8, où on peut remarquer cette différence sur la figure
FigureVI.2 Comparaison des sous bloc 8x8 de l’image originale et l’image compressée
Certains pixel ne sont pas les mêmes dans les deux sous blocs et non pas le même niveau de gris, cela est due au fait que l’étape de la quantification est une étape avec perte, perte, où on a arrondit a l’entier pré après avoir divisé sur la table Q. Le rapport crête signal sur bruit 34 dB est acceptable ,ce qui montre qu’ qu’on a fait une compression efficace en matière de taille/qualité. taille/qualité. Le nombre de bit par pixel a été réduit à 0.799 cela nous a fait perdre du poids au fichier image. Si on veut aller plus loin, on ajoute la fonction suivante qui va générer d’autres tables de quantification en fonction de FQ: function quantizer = quantificateur (FQ,dim_bloc) for i=1:dim_bloc for j=1:dim_bloc quantizer(i,j) = 1 + ((1 + i + j)*FQ); end end Nous obtiendrons les résultats suivants pour différents facteur qualité :
Pour : FQ = 10 taille_img_compresser taille_img_compresser =20820bits taux_compression = 2.8526 EQM = 65.7042 PSNR = 29.9549 dB bpp = 0.3506
Pour : FQ = 50 taille_img_compresser taille_img_compresser = 8978bits taux_compression taux_compression = 6.6153 6.6153 EQM =240.4954 PSNR = 24.3197 dB bpp = 0.1512
Pour : FQ = 100 (maximum) taille_img_compresser = 7716bits taux_compression =7.6973 EQM = 435.2725 PSNR =21.7432 dB bpp = 0.1299
FigureVI.3 Compression JPEG avec un FQ=10,50,100 FQ=10,50,100
On remarque que plus on choisis un facteur de qualité grand, plus le taux de compression est meilleur du fait qu’on augmente le seuil de la table Q mais EQM augmente aussi ce qui va influer l’efficacité de la compression constaté visuellement et aussi au vue du rapport PSNR médiocre du fait qu’on a perdus beaucoup de données données pendant l’étape de quantification et cela est devenue très visible, ce qui rend l’ l’image exploitable à certaines limites. VII. Conclusion
La compression JPEG pour qu’elle soit efficace doit être effectuée de façon optimale afin de ne pas perdre trop en qualité de l’image et en parallèle réduire le poids de l’image, c’est-àc’est-àdire trouver un compromis rapport taille/qualité qu’est le standard JPEG. La compression JPEG en mode codage DCT séquentielle est une compression avec perte non adapté aux besoins de précision, mais serait le format le mieux adapté pour les mémoires (grace aux JPEG que les appareils photo numérique ont fait leurs apparition) ou pour le web (rapidité de transmission ),cela dit,un format nouveau a été développer pour les applications qui demande une fidélité maximum de l’image traité à l’ l’image réel,comme l’imagerie l’imagerie médicale, c’est c’est le format JPEG2000 qui a les mêmes avantage du JPEG mais basé
sur une compression sans perte en utilisant une nouvelle transformé appelée la transformé en ondelettes. VIII. Références : -Gérard Blanchet et Maurice Charbit, « Signaux et images sous Matlab »,Hermes science publications,2001 -Aide du logiciel Mathworks Matlab R2010 -Syed Ali Khayam,” The Discrete Cosine Transform (DCT): Theory and Application http://www.egr.msu.edu/waves/people/Ali_files/DCT_TR802.pdf -Pascal Getreuer,Image Processing with Matlab http://www.math.ucla.edu/~getreuer/matlabimaging.html
-P-O Östberg, Umeå University,Compression http://www8.cs.umu.se/kurser/TDBC30/VT05/material/lecture8.pdf -JPEG Image Compression,Rahul Garg, Varun Gulshan http://www.cs.washington.edu/homes/rahul/data/JPEG.pdf
-VIDEO & IMAGE COMPRESSION TECHNIQUES http://videocodecs.blogspot.com/2007/05/image-coding-fundamentals_08.html -Wikipedia http://fr.wikipedia.org/wiki/JPEG -Institut des Systèmes Intelligents et de Robotique http://www.isir.upmc.fr/UserFiles/File/clady_homepage/EPU/matlab_ti.pdf -Girod: Image and Video Compression http://www.icg.isy.liu.se/courses/tsbk01/material/slides/TransformCoding_ee392c_Girod.pdf -Compression d’image,E. LE PENNEC http://www.math.jussieu.fr/~lepennec/papers/Image2006LePennec.pdf
