DIKTAT KULIAH
PENGANTAR ANALISA RUNTUN WAKTU
Dr.rer.nat. Dedi Rosadi, M.Sc.Eng.Math. M.Sc.Eng.Math.
Email: dedirosadi@u
[email protected] gm.ac.id .id http://dedirosadi.staff.ugm.ac.id
Program Studi Statistika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Gadjah Mada
Yogyakarta, 18.06.2006
Contents Kata Pengantar
v
1 Pendahuluan
1
1.1 Jenis data menurut waktu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2 Klasifikasi model runtun waktu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
2 Konsep-konsep dasar
5
2.1 Proses Stokastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.2 Stasioner (Strictly) dan (Wide-Sense) Stasioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.3 Hubungan antara stricly stasioner dan W − S stasioner . . . . . . . . . . . . . . .
7
3 Model Runtun Waktu Stasioner
9
3.1 Proses White Noise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.2 Proses MA(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.3 Proses MA(q ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
3.4 Proses AR(1) (skema Markov) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
3.5 Proses MA(∞) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
3.6 Proses AR( p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.7 Proses ARMA( p,q ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3.8 Kausalitas dan Invertibilitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
3.8.1
Kausalitas dari proses ARMA ( p,q ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.8.2
Invertibilitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.8.3
Menentukan koefisien-koefisien dari penyelesaian Kausal . . . . . . . . . . .
19
3.9 Fungsi Autokovariansi Proses Linear Stasioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
3.10 Fungsi Autokorelasi Parsial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
3.11 Menentukan Fungsi kovariansi proses ARMA-kausal . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
3.12 Hubungan antara AR(p) dan MA(q ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.13 Algoritma Durbin Levinson untuk PACF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
4 Peramalan dengan model ARMA
33
i
ii
CONTENTS
5 Estimasi Fungsi Mean dan Autokorelasi
37
5.1 Estimasi Mean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1
37
Mean Ergodic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
5.2 Estimator untuk γ (·) dan ρ(.) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
5.2.1
Sampel Autokovariansi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
5.2.2
Sampel ACF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
5.2.3
Sampel PACF
43
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 Estimasi Model ARMA
45
6.1 Estimasi model Autoregresive
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
6.1.1
Estimasi model Autoregresive dengan metode Yule Walker
. . . . . . . . .
45
6.1.2
Sifat-sifat Estimator Y-W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
6.1.3
Estimasi dengan metode Least Square . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
6.1.4
Estimasi dengan Metode Maksimum Likelihood . . . . . . . . . . . . . . . .
49
6.2 Estimasi Proses Moving Average . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
6.2.1
Substitusi estimator fungsi kovariansi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
6.2.2
Estimator Nonlinear Least square . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
6.2.3
Estimator Maksimum Likelihood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
6.3 Estimasi Parameter model ARMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
6.3.1
Pendahuluan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
6.3.2
Estimator Least Square . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
6.3.3
Estimator Maksimum Likelihood . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
6.3.4
Metode Kesalahan Prediksi (Prediction Error Method) . . . . . . . . . . . .
54
7 Model Trend dan Musiman
7.1 Model nonstasioner dalam mean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
57
7.1.1
Model Trend Deterministik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
7.1.2
Model ARIMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
7.2 Model Non Stasioner dalam variansi dan autokovariansi . . . . . . . . . . . . . . .
58
7.3 Model Musiman (Seasonal Mode) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
8 Model Heteroskedastik
63
8.1 Asset Return . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
8.1.1
Definisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
8.1.2
Sifat tipikal return . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
8.1.3
Volatility . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
8.2 Model ARCH/GARCH
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
8.2.1
Struktur dari model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
8.2.2
Model untuk mean . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
8.2.3
Model untuk volatilitas: ARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
iii
CONTENTS
8.2.4
Model untuk Volatilitas: GARCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
8.2.5
Pengujian Adanya Efek ARCH/GARCH
69
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
CONTENTS
Kata Pengantar Assalamualaikum Wr. Wb., Alhamdulillah, Puji dan syukur kami panjatkan ke hadirat Allah SWT, yang telah melimpahkan rahmat dan karunianya sehingga penulis dapat menyusun handout kuliah Analisa Runtun Waktu ini. Handout perkuliahan ini merupakan printout dari materi perkuliahan yang diberikan dikelas. Versi online dari handout ini dapat diakses di alamat http://dedirosadi.staff.ugm.ac.id/, di mana di alamat web ini terdapat pula berbagai informasi tambahan berkaitan dengan perkuliahan analisa runtun waktu, seperti data-data dan keterangan-keterangan penting lainnya. Penyusun mengucapkan terimakasih kepada PHK A3 Jurusan Matematika yang telah memberi dana bagi penyusunan handout ini melalui hibah pengajaran. Terimakasih pula kepada berbagai pihak yang telah membantu baik langsung maupun tidak langsung untuk penyusunan handout ini. Besar harapan kami agar handout ini dapat bermanfaat bagi penggunanya. Saran dan kritik membangun sangat diharapkan untuk perbaikan perkuliahan ini, dan dapat dikirikan ke alamat email penyusun dialamat
[email protected] Wassalamualaikum Wr. Wb. Yogyakarta, Juli 2006 Penyusun Dr. Dedi Rosadi, S.Si., M.Sc.
v
Chapter 1
Pendahuluan 1.1
Jenis data menurut waktu
Untuk dapat memahami pemodelan runtun waktu, perlu diketahui beberapa jenis data menurut waktu, yang dapat dibedakan sebagai berikut: •
•
•
Cross-section data, yakni jenis data yang dikumpulkan untuk/pada sejumlah individu/kategori untuk sejumlah variabel pada suatu titik waktu tertentu. Model yang digunakan untuk memodelkan data tipe ini seperti model regresi (cross-section) Time Series (Runtun waktu) data yakni jenis data yang dikumpulkan menurut urutan waktu dalam suatu rentang waktu tertentu. Jika waktu dipandang bersifat diskrit (waktu dapat dimodelkan bersifat kontinu), frekuensi pengumpulan selalu sama (equidistant). Dalam kasus diskrit, frekuensi dapat berupa misalnya detik, menit, jam, hari, minggu, bulan atau tahun. Model yang digunakan adalah model-model time series, yang menjadi fokus dari perkuliahan ini. Panel/Pooled data, yakni tipe data yang dikumpulkan menurut urutan waktu dalam suatu rentang waktu tertentu pada sejumlah individu/kategori. Model yang digunakan untuk pemodelan data tipe ini seperti model data panel, model runtun waktu multivariat. Secara ekuivalen, dikenal juga tipe data Longitudinal, dengan frekuensi data tidak harus equidistant, namun analisa fokusnya berbeda dengan model panel.
Contoh 1.1.1. Contoh data panel : Misalkan dimiliki data produksi gula bulanan dari 10 pabrik gula di Indonesia dalam 12 bulan terakhir
PG1
PG2
PG3 . . .
Januari Februari .. . Desember
1.2
PG10 .
Klasifikasi model runtun waktu
Salah satu pengelompokan model-model runtun waktu dapat diberikan sebagai berikut: 1
2
CHAPTER 1.
PENDAHULUAN
1. Model stasioner, yakni suatu model yang sedemikian hingga semua sifat statistiknya tidak berubah dengan pergeseran waktu (yakni bersifat time invariant). Dalam aplikasi, sifat statistik yang sering menjadi perhatian adalah rata-rata (expected value),variansi (variance) serta ukuran keeratan (dependence) yakni fungsi kovariansi (covariance function), yang mana suatu model yang memenuhi sifat ini disebut sebagai proses weakly-stasioner. Pada model stasioner, sifat-sifat statistiknya dimasa yang akan datang dapat diramalkan berdasarkan data historis yang telah terjadi dimasa yang lalu. Beberapa model runtun waktu stasioner (khususnya sering disebut model linear dan homoskedastik) yang akan dibahas pada kuliah ini adalah model i.i.d., white noise, moving average, Autoregressive Moving average (ARMA), dan model ARMA dengan variabel eksogen/prediktor (yakni model ARMAX). 2. Model non-stasioner, yakni model yang tidak memenuhi sifat model stasioner diatas Dalam kuliah ini, akan dibahas beberapa model non stasioner, yakni model trend, model Autoregressive Integrated Moving Average (ARIMA), Seasonal ARIMA (SARIMA), Model ARIMAX, model heteroskedastik ARCH/GARCH. Ada sangat banyak model lain yang dikenal didalam literatur, sebagai contoh model siklus, model dengan long memory Fractional ARIMA, dan modelmodel lain, baik model linear maupun non linear. Klasifikasi lain dari model runtun waktu dapat diberikan sebagai berikut: •
•
Model univariat : hanya mengamati satu variabel/individu runtun waktu Model multivariate (multivariabel): lebih dari satu variabel/individu runtun waktu Contoh model multivariat yang relatif populer: – model Vector Autoregressive (VAR) – model State-Space – model Space-Time, banyak digunakan untuk pemodelan data-data geografi, data-data
fisika/geofisika. Dalam pemodelan data tipe ini, dapat juga digunakan pendekatan VAR – model multivariate Arch/GARCH, dan lain-lain
Klasifikasi lain dalam pengelompokan model runtun waktu dapat digambarkan dengan tabel berikut: Linear dengan error Gaussian, non-linear dengan error Gaussian misal: ARMA, ARIMA, ARIMAX + normal misal: Threshold AR, STAR, SETAR + normal Linear dengan error non-Gaussian, non-linear dengan error non-Gaussian misal: ARMA + student t, ARMA+stable misal: TAR, STAR, SETAR+non normal Fokus perkuliahan ini adalah analisa model runtun waktu pada domain waktu dimana •
Waktu bersifat diskrit
•
Model Univariate
•
Model Linear dengan error normal
•
Model stasioner dan beberapa model non stasioner
Analisa time series dapat dilakukan dalam domain frekuensi, yang dikenal sebagai spectral analysis. Analisa tipe ini banyak digunakan pada aplikasi di bidang teknik. Buku Acuan Utama :
1.2. KLASIFIKASI MODEL RUNTUN WAKTU
3
1. Wei, W.S, 1994, Time Series Analysis: Univariate and Multivariate Methods, Addison Wesley. 2. Enders, W., Applied Econometrics Times Series, 2nd Eds., Wiley. 3. Brockwell, P.J. dan Davis, R.A., Introduction to Time Series and Forecasting, 1996. 4. Brockwell, P.J. dan Davis, R.A., 1991, Time Series: Theory and methods, Springer Verlag. Buku penunjang, diantaranya 1. Hamilton, Time Series Analysis, Princeton. 2. Gouri e´roux, C., 1997, ARCH Models and Financial Application, Springer. Diktat Kuliah 1. Rosadi, D., 2005. Pengantar Analisa Data Runtun Waktu dengan EViews 4, Lab Komputasi Matematika Statistika, FMIPA UGM 2. Rosadi, D., 2006, Pengantar Analisa Data Runtun Waktu, Program Studi Statistika FMIPA UGM. Selain itu akan digunakan sejumlah literature online di Internet, yang akan diinformasikan selama kuliah berlangsung
4
CHAPTER 1.
PENDAHULUAN
