Kubyshin Yu.A., Volobúev Н.P. Geometría diferencial y álebras de !ie y sus a"licaciones en la teoría de cam"os Resumen del libro En el libro se exponen las bases de la geometría diferencial y de la teoría de álgebras de Lie, y se describen las teorías de campos de gauge en el lenguaje geométrico. Como una aplicación de este aparato se analian la reducción dimensional de las teorías de gauge y el problema de la compactificación espontánea. El libro está dirigido a estudiantes de los cursos superiores, posgraduados, posgraduados, matemáticos y físicos teóricos. !ndice "otas a la edición edición en espa#ol espa#ol $rólogo % &nt &ntroducción %.%. $rincipio $rincipio de in'arianc in'ariancia ia de gaug gaugee local local y campos campos de (ang))*ills ang))*ills %.+. eorías eorías de gaug gaugee de las interacci interacciones ones de partícula partículass elementa elementales les %.-. &nterpreta &nterpretación ción geométric geométricaa de los campos campos de gaug gaugee + Concepto Conceptoss básic básicos os de la geometría geometría diferencia diferenciall +.%. +.%. aried ariedade adess difere diferenci nciabl ables es +.+. ectores ectores tangente tangentess y campos campos 'ectoriale 'ectorialess +.-. +.-. /orm /ormas as dife difere renc ncia iale less +.0. +.0. 1plica 1plicacio ciones nes y transf transform ormac acion iones es +.2. +.2. 3rup 3rupos os de Lie Lie +.4. +.4. /ibrad /ibrados os princ principa ipales les +.5. +.5. Ejempl Ejemplos os de fibrad fibrados os princ principa ipales les +.6. +.6. /ibr /ibrad ados os asoc asocia iado doss +.7. 8eccione 8eccioness de fibrados fibrados y sus propiedad propiedades es +.%9. Conexiones en fibrados principales +.%%. +.%%. /orma de cur'atura cur'atura +.%+. Ejemplos Ejemplos +.%-. ransporte ransporte paralelo y diferenciación co'ariante +.%0. Clases características $roblemas - Conexione Conexioness linea lineales les y conex conexione ioness riemann riemanniana ianass -.%. -.%. Co Cone nexi xion ones es line lineal ales es -.+. -.+. :ifere :iferenci nciac ación ión co' co'ari arian ante te -.-. ensores ensores de cur'atura cur'atura y de torsión torsión -.0. Conexion Conexiones es riemannian riemannianas as $roblemas $roblemas 0 :escripci :escripción ón geométric geométricaa de los campos campos de de gauge y de de los campos campos de materia materia 0.%. Los campos campos de gaug gaugee como conexione conexioness en fibrados fibrados principal principales es
0.+. 0.-. 0.0. 0.2. 0.4. 0.5.
ransformaciones de gauge Electrodinámica de *ax;ell eorías de gauge no)abelianas *onopolo magnético de :irac &nstantones Campos de materia 0.5.%. Campos escalares 0.5.+. Campos espinoriales $roblemas 2 /undamentos de la teoría de álgebras de Lie 2.%. Conceptos fundamentales. Relación entre grupos y álgebras de Lie 2.+. Representaciones de álgebras y forma de
Recientes a'ances, nue'os métodos e ingeniosas ideas en la teoría de interacciones fundamentales >an impulsado un amplio uso de técnicas basadas en la geometría diferencial, topología, álgebras y grupos de Lie. Consideramos, por tanto, ?ue el tema del libro sigue siendo de actualidad, lo ?ue nos permite esperar ?ue la edición del libro en espa#ol sea de utilidad e interés para los estudiantes e in'estigadores de países de lengua espa#ola ?ue trabajan en la teoría de campos, física de altas energías, modelos de interacciones fundamentales y otras áreas relacionadas con éstas, o ?ue simplemente ?uieren introducirse en los métodos de la geometría diferencial y de las álgebras de Lie. :urante la redacción de la edición en espa#ol se >an >ec>o algunos cambios y correcciones ?ue >acen la exposición más clara. *uc>os de éstos >an sido sugeridos por lectores de la edición rusa, sobre todo por 8ergei *urin, y estamos en deuda con todos ellos por >aber mejorado la edición para beneficio del lector. 1simismo, ?ueremos agradecer al :r. @osep 1roca, :r. 1madeo :els>ams, :r. @uan *orales)Rui, :r. *anuel 8e'illa y :r. 8ebastiABa ambó, profesores de la Dni'ersidad $olitécnica de Catalu#a =arcelonaF, su ayuda en la traducción de términos y sus comentarios ?ue nos >an permitido mejorar sensiblemente el texto.
ambién agradecemos muc>o el trabajo de nuestro traductor y nuestra redactora y nos sentimos complacidos y >onrados por la traducción de nuestro libro a la lengua espa#ola. $rólogo GLa relación entre la matemática pura y la física es cada 'e más estrec>a, aun?ue sus métodos siguen siendo diferentes. 8e puede decir ?ue el matemático juega a un juego en el cual él mismo in'enta las reglas, mientras ?ue el físico juega a un juego cuyas reglas son elegidas por la "aturaleaH no obstante, con el transcurso del tiempo se >ace más e'idente ?ue las reglas ?ue el matemático encuentra interesantes coinciden con las ?ue eligió la "aturalea. Es difícil predecir el resultado de todo eso. Es posible ?ue, al fin y al cabo, ambas disciplinas se meclen y cada rama de la matemática pura tenga sus aplicaciones físicas, en tanto ?ue su importancia en la física será proporcional al interés ?ue represente en la matemática.G $arece ?ue esta predicción de :irac comiena a cumplirse, al menos en lo concerniente a la geometría diferencial y las teorías de campos de gauge. Efecti'amente, la confirmación experimental de la teoría unificada de las interacciones electrodébiles de Ieinberg))8alam))3las>o;, especialmente el descubrimiento de los bosones 'ectoriales intermedios, y los éxitos de la cromodinámica cuántica, la cual describe, por lo menos sin contradicciones, las interacciones fuertes, son una raón bastante sólida para suponer ?ue en la base de la teoría de las interacciones de las partículas elementales descansa el principio físico fundamental de in'ariancia de gauge local. El modelo estándar de interacciones de las partículas elementales basado en este principio, y ?ue incluye la teoría de las interacciones electrodébiles y la cromodinámica cuántica, en la actualidad concuerda prácticamente con todos los datos experimentales disponibles, y su aplicación consecuente permite salir del marco de este modelo y a'anar considerablemente en el programa de unificación de todos los tipos de interacciones en una interacción uni'ersal mediante la construcción de teorías de gauge unificadas. El aparato de la teoría cuántica de campos existente, basado en la teoría de perturbaciones, es suficiente, en principio, para calcular los procesos físicos ?ue se obser'an y se obser'arán en el futuro inmediato en los experimentos de la física de altas energías. 8in embargo, es bien sabido ?ue las teorías de gauge poseen numerosas estructuras cuyo estudio re?uiere ir más allá del marco de la teoría de perturbaciones. 1 dic>as estructuras pertenecen las soluciones tipo instantón y tipo monopolo, la estructura compleja del 'acío, los modelos topológicos y los modelos de C>ern)) 8imons, es decir, prácticamente todos los fenómenos donde se manifiesta la naturalea geométrica y topológica de las teorías de gauge. Como era de esperar, para el estudio de este aspecto de las teorías de gauge era necesaria la aplicación de un nue'o aparato matemático, el cual ya estaba elaborado o en proceso de elaboración. Las partes fundamentales de este aparato incluyen la geometría diferencial en primer lugar, la teoría de fibrados y la teoría de conexionesF, la topología algebraica, y la teoría de grupos y álgebras de Lie. La geometriación de las teorías de gauge se produjo de forma natural y permitió, en primer lugar, comprender
con mayor profundidad >ec>os ya conocidos por ejemplo, la no!uni'ocidad de 3ríbo'F y, en segundo lugar, descubrir toda una serie de propiedades y fenómenos totalmente nue'os la estructura del 'acío, la estructura del espacio de módulos de las soluciones tipo instantón, la interpretación de la teoría de :onaldson))/loer como una teoría cuántica topológica, las conexiones in'ariantes, etcéteraF. El objeti'o del presente libro es, primero ?ue todo, dar a conocer a los estudiantes de la especialidad de física teórica y a los especialistas ?ue trabajan en esta rama, los fundamentos del aparato matemático de la geometría diferencial y de la teoría de álgebras de Lie finitas. 8egJn la opinión, ?ue los autores también comparten, de muc>os profesores uni'ersitarios, el contenido básico de estos apartados de la matemática >ace muc>o tiempo ?ue debería formar parte de los cursos obligatorios de G*étodos matemáticos de la física teórica modernaG. :ado ?ue en la mayoría de las facultades de física tales cursos no existen, o bien se limitan a la exposición de la teoría de grupos de Lie finitos, al escribir este libro se >a intentado llenar parcialmente este 'ació. En segundo lugar ))y esto tiene relación directa con el tema principal del libro)) se >a planteado el objeti'o de >acer una introducción a la descripción geométrica de las teorías de gauge en el lenguaje de fibrados y conexiones. 1l elegir el material no se pretendió abarcar todos los resultados clásicos fundamentales de la geometría diferencial. $ara ello, en la actualidad existen numerosas monografías y libros de texto, algunos de los cuales están escritos especialmente para físicos. 8e >a procurado esboar y exponer claramente el mínimo necesario para comprender el enfo?ue geométrico de descripción de las teorías de gauge. 1l mismo tiempo, éste es el mínimo necesario para orientarse en la bibliografía sobre geometría diferencial y teoría de las álgebras de Lie. La estructura del libro es la siguiente. El capítulo % tiene carácter introductorio, en él se dan las definiciones y conceptos fundamentales ?ue surgen en los modelos de gauge, concretamente, en la teoría electrodébil y en la cromodinámica. Los capítulos +, - y 2 contienen material matemático. Los capítulos + y - están destinados a la exposición de los resultados fundamentales de la geometría diferencialH en el capítulo 2 se expone el concepto de sistema de raíces de un álgebra de Lie finita y la teoría de los diagramas de :ynKin de las álgebras de Lie semisimples. En los capítulos restantes se estudian las aplicaciones de este aparato matemático a un conjunto de problemas de la teoría de campos y de la gra'itación. En el capítulo 0 se presenta un enfo?ue geométrico de descripción de las teorías de gauge. En los capítulos 4 y 5 se estudian las aplicaciones de dic>o enfo?ue a la resolución de los problemas de reducción dimensional de campos de gauge y a la compactificación espontánea. La elección de estas aplicaciones es bastante subjeti'a los autores in'estigaron dic>os problemas durante 'arios a#os. 1l mismo tiempo, tales aplicaciones permiten, en primer lugar, demostrar las numerosas 'entajas y el poder del enfo?ue geométrico y, en segundo lugar, al igual ?ue la propia idea de
a intentado >allar un estilo intermedio de exposición del material, entre el estilo matemático riguroso y el adoptado en la física, en el cual los temas difíciles se >acen comprensibles y se acompa#an de ejemplos ilustrati'os claros. 8e mantiene el rigor en las definiciones y formulaciones de los teoremas, pero se acude a las demostraciones de los teoremas sólo en los casos cuando ello se puede >acer de manera
clara y bre'e sin utiliar una gran cantidad de material suplementario, o cuando las demostraciones son necesarias para comprender el material. En caso contrario, se aclara la idea de la demostración mediante ejemplos típicos o, simplemente, se >acen referencias a los libros donde se exponen las demostraciones correspondientes. 1lgunos cálculos intermedios bastante simples, omitidos en el texto principal, se ofrecen al lector al final de cada capítulo en calidad de problemas propuestos. La elección de las aplicaciones físicas mencionadas anteriormente está influenciada por el estilo de exposición adoptado. :ic>as aplicaciones tienen, más bien, el carácter de ejemplos ilustrati'os y no pretenden ser la Jltima palabra sobre las aplicaciones de los métodos matemáticos en las teorías de gauge. Este libro contiene también 'arios apéndices ?ue lo >acen bastante completo. En ellos se enuncian algunas definiciones y se presenta un material bre'e ?ue no está relacionado ni con la geometría diferencial, ni con la teoría de las álgebras de Lie, pero ?ue se utilia en el libro. La mayor parte del libro se basa en el programa para estudiantes de & curso, impartido por los autores durante 'arios a#os en el :epartamento de estadística cuántica y teoría de campos de la /acultad de /ísica de la Dni'ersidad Estatal de *oscJ G*..Lomonóso'G. Los autores están sumamente agradecidos a todos los estudiantes, pues sus preguntas contribuyeron a mejorar la exposición del material. ambién ?uisieran agradecer a sus amigos y coautores de muc>os artículos, 3erd Rudolp> y @osé *anuel *ourA ao, las numerosas, agradables y producti'as discusiones sobre cuestiones ?ue encontraron reflejo en el libro. Los autores también manifiestan su agradecimiento a la dirección de la 8ección de física teórica de altas energías del &nstituto de &n'estigaciones Científicas en física nuclear de la Dni'ersidad Estatal de *oscJ, por la atención prestada y el apoyo durante el trabajo con el libro y su edición. Dno de los autores (u.<.F ?uisiera expresar su agradecimiento a su familia por la comprensión, paciencia y apoyo moral ?ue le brindaron en su largo trabajo con este libro. 1utores
Yuri Ale#ándrovich Kubyshin :octor en ciencias físico)matemáticas por la Dni'ersidad Estatal G*. . Lomonóso'G de *oscJ. :esde %76% colabora con el &nstituto de /ísica "uclear G:. =. 8KobeltsynG de la Dni'ersidad de *oscJ, donde realia in'estigaciones en el campo de la teoría de partículas elementales. :esde +99% ejerce en la Dni'ersidad $olitécnica de Catalu#a como profesor de física de partículas y de aceleradores en el &nstituto de écnicas Energéticas de esta uni'ersidad. /ue $rofesor 'isitante en la Dni'ersidad de =arcelona en %77+)%772, en la Dni'ersidad 1utónoma de *adrid en %772)%774, en la Dni'ersidad de 1lgar'e $ortugalF en %775)%777 y en la Dni'ersidad de 8out>ampton &nglaterraF en +999)+99%. 8us principales áreas de in'estigación son la teoría de partículas y, más recientemente, la física de aceleradores. Ma desarrollado e impartido cursos de geometría diferencial y álgebras de Lie, teoría cuántica de campos y física de aceleradores para estudiantes de licenciatura y posgrado. Es autor de más de 69 artículos, ?ue >an sido publicados en re'istas y en protocolos de diferentes conferencias de física matemática, teoría cuántica de campos, física de altas energías y cosmología.
Es coautor, junto con N. $. olobJe' y otros, de la monografía G:imensional reduction of gauge t>eories, spontaneous compactification and model buildingG 8pringer)erlag, %767F.
$or Pávlovich Volobúev :octor en ciencias físico)matemáticas por la Dni'ersidad Estatal G*. . Lomonóso'G de *oscJ. El :octor olobJe' es uno de los especialistas más cualificados del :epartamento de física de altas energías del &nstituto de /ísica "uclear G:. =. 8KobeltsynG de la Dni'ersidad de *oscJ. 8u interés científico fundamental es la teoría de interacción de partículas elementales en el espacio)tiempo con dimensiones complementarias. En una serie de sus trabajos fueron desarrollados diferentes métodos de bJs?ueda de soluciones de compactificación espontánea en las teorías de Einstein))(ang))*ills, basados en la reducción dimensional de campos de gauge simétricos, lo ?ue permitió construir consecuentemente modelos de interacción de partículas elementales en el espacio)tiempo con dimensiones complementarias. 1lgunos de sus trabajos están dedicados al estudio del modelo de Randall)8undrum con dos branes. En estos trabajos por primera 'e fueron >allados explícitamente los grados de libertad físicos de este modelo y se demostró ?ue la dimensión complementaria puede ser del orden del e ))0. Es autor de más de 59 trabajos científicos, entre ellos dos monografías.
