Matematicki fakultet Univerzitet u Beogradu
Seminarski rad iz Metodike nastave matematike 2
KONUSNI PRESECI
profesor Zoran Lučić
student Jovanka Urošević 287/06 Beograd, jul 2008.
Konusni preseci
1. Uvod 1.1. Euklidski prostor
Pojam rastojanja u prostoru R n , dužine vektora i pojam ugla izmeñu dva vektora prostora R n baziraju se na pojmu skalarnog proizvoda. Pored navedenog definisaćemo i još neke karakteristike Euklidskog prostora. Pod skalarnim proizvodom vektora V = (v1 , ..., vn ) i W = ( w1 , ..., wn ) u prostoru R n podrazumevamo realan broj (1) V ⋅W = (v1w1 + ... + vn wn ) . Za skalarni proizvod V ⋅W često se koristi i oznaka V ,W . Skalarni proizvod vektora u prostoru R n predstavlja realnu funkciju definisanu na Dekartovom proizvodu R n × R n . Osobine skalarnog proizvoda u prostoru R n navedene su u sledećem stavu. Definicija 1.
Stav 1. Za proizvoljne vektore V ,W , X ∈ R n i za brojeve a, b ∈ R važe sledeće
relacije: (1 ) V ⋅W = W ⋅V ( komutativnost skalarnog proizvoda); o
); pozitivna definitnost ); ( 2 ) V ⋅V ≥ 0 i V ⋅V = 0 ako i samo ako je V = 0 ( pozitivna ( 3 ) ( aV + bW ) ⋅ X = a(V ⋅ X ) + b(W ⋅ X ) ; o
o
X ⋅ ( aV + bW ) = a( X ⋅V ) + b( X ⋅W ) . Osobina ( 3 ) se naziva linearnost po prvom i po drugom argumentu, tj. bilinearnost skalarnog proizvoda vektora. o
Pod n -dimenzionalnim realnim Euklidskim prostorom R n podrazumevamo n -dimenzionalni realni vektorski prostor R n snabdeven skalarnim proizvodom (1). Definicija 2.
Definicija 3. Za proizvoljan vektor V ∈ R n
(2) V = V ⋅V naziva se normom ( ili dužinom ) vektora V .
1
nenegativan broj
Konusni preseci
Za proizvoljne vektore V ,W ∈ R n je ispunjeno: V ⋅ W naziva nejednakoš ću Koši-Švarc-Bunjakovskog.
≤
V W . Ova osobina se
Norma vektora V u prostoru R n poseduje sledeće osobine: V ≥ 0 i V = 0 ⇔ V = 0 ;
(1 ) ( 2 ) λV = λ V ( λ ∈ R ) ; (3 ) V + W ≤ V + W ; i samo ako je V = 0 , ili W = 0 , ili W = rV za neko ( 4 ) V + W = V + W ako o
o
o
o
r > 0 . Definicija 4.
Za proizvoljne dve tačke P = ( p1 , p2 , ..., pn ) , Q = ( q1 , q2 , ..., qn ) ∈ R n
izraz uuur
uuu r
d ( P, Q) = OQ − OP =
n
(qi − pi )2 ∑ i 1 =
naziva se rastojanjem (ili Euklidskim rastojanjem) izmeñu tačaka P i Q . n
uuu r
Posebno je d (O, P) = OP
=
uuu r
∑ pi 2 dužina vektora OP . i =1
Stav 2. Rastojanje d : R n × R n → R u prostoru R n ima sledeće osobine:
samo ako je P = Q ; (1 ) d ( P ,Q ) ≥ 0 i d ( P, Q) = 0 ako i sam ( 2 ) d ( P, Q) = d (Q, P ) ; ke P, Q, M ∈ R n . ( 3 ) d ( P, Q) ≤ d ( P, M ) + d (M , Q ) , za proizvoljne tač ke o
o
o
Svaka funkcija d : R n × Rn → R koja ima osobine iz prethodnog stava se naziva metrikom na prostoru R n . Euklidsko rastojanje je jedna metrika na prostoru R n . Definicija 5. Vektor V ∈ R n
nazivamo jedinič nim nim ( ili normiranim ), ako je V
= 1.
Ako je V ≠ 0 proizvoljan nenula vektor prostora R n , tada se lako može videti da 1 je vektor V0 = V jedinični i kolinearan sa V . V Definicija 6.
Ugao θ ( 0 ≤ θ ≤ π ) odreñen relacijom cos θ =
V ⋅W , tj. sa V W
θ = arccos (V0 ⋅W 0 )
naziva se uglom izmeñu vektora V i W . On se obeležava sa θ = ⊇ (V, W)
2
Konusni preseci
Sledeća definicija uvodi pojam ortogonalnih vektora. Vektori V ,W ≠ 0 prostora R n nazivaju se ortogonalnim ( ili normalnim ) ukoliko je V ⋅ W = 0 . Definicija 7.
Definicija 8.
je Vi ⋅V j
=0
Vektori V1 , ...,Vm ( m ≥ 2 ) prostora R n su uzajamno ortogonalni ako
za bilo koja dva indeksa i, j = 1, ..., m, ( i ≠ j ) .
Sledeći stav se naziva Pitagorinom teoremom u prostoru R n . Stav 3. Ako su V i W ortogonalni vektori u prostoru R n , tada važi jednakost
V +W
2
=
V
2
+
2
W .
Uvešćemo pojam ortogonalne i ortonormirane baze prostora R n . Bilo koja baza { B1 ,..., Bn } prostora R n čiji su vektori uzajamno ortogonalni, tj. važi Bi ⋅ B j = 0 ( i, j = 1, ..., n; i ≠ j ) naziva se ortogonalnom bazom tog prostora. Bilo koja baza { B1 ,..., Bn } prostora R n čiji su vektori jedinični i uzajamno ortogonalni, tj. važi 1, i = j Bi ⋅ B j = δ ij = ( i, j = 1, ..., n ) ≠ 0, i j naziva se ortonorminanom bazom prostora R n . Definicija 9.
Po analogiji sa realnim vektorskim prostorom R n , može se uvesti i odgovarajući kompleksan vektorski prostor C n .
1.2.Elementi spektralne teorije matrica U ovom odeljku navešćemo definicije i stavove (bez dokaza) koji karakterišu opšte simetrične matrice. Najpre navodimo osnovni stav Algebre. Stav 4. Svaki polinom
P ( x ) = a0 xn + a1 x n−1 + ... + an č iji iji
(a0 ≠ 0, n ∈ N ) ,
su koeficijenti realni ili kompleksni brojevi, poseduje bar jednu kompleksnu nulu, tj. postoji kompleksan broj λ takav da je P (λ ) = 0 .
3
Konusni preseci
Svaki polinom P ( x)(x ∈ C ) može se prikazati u obliku P ( x ) = a0 ( x − λ1 ) ( x − λ2 ) ...( x − λ n ) , pri čemu su λ1 , λ2 , ..., λ n nule nule poli polino noma ma P( x ) , tj. m
m
m
P ( x ) = a0 ( x − λ1 ) 1 ( x − λ2 ) 2 ...( x − λ r ) r i m1 + ... + mr = n , gde su λ1 , ..., λ r (r ≤ n) meñusobno različite ite nule nule poli polino noma ma P ( x ) i λ k se pojavljuje tačno mk puta, (k = 1, ..., r ) .
Neka je A = aij proizvoljna realna ili kompleksna kvadratna matrica reda n . Razvijanjem determinante det( A − λ I ) dobija se polinom n -tog stepena n
P(λ ) = ( −1) λ n + a1λ n −1 + ... + an .
(1)
Polinom (1) naziva se karakteristič nim nim polinomom matrice A , a njegove nule sopstvenim vrednostima matrice A . Skup svih sopstvenih vrednosti matrice A naziva se spektrom matrice A , i označava se sa σ ( A) . Definicija 10.
Stav 5. Ako je A realna kvadratna matrica (reda n ), tada se njene sopstvene
vrednosti javljaju u konjugovano kompleksnim parovima. Algebarske višestrukosti sopstvenih vrednosti λ , λ ∈ σ ( A) su meñ usobno usobno jednake.
Neka je A bilo koja kompleksna kvadratna matrica reda n , i λ bilo koja sopstvena vrednost te matrice, dakle det ( A − λ I ) = 0 . Uočimo homogeni sistem linearnih jednačina reda n : (2) ( A − λ I ) X = 0 , T
pri čemu je X = [ x1 ,..., xn ] ∈ C n . Ovaj sistem je neregularan, pa poseduje bar jedno netrivijalno rešenje X ∈ C n ( X ≠ 0 ) . Svaki vektor X ∈ C n \ {0} koji zadovoljava sistem (2) , naziva se sopstvenim sopstvenim vektorom vektorom matrice matrice A , koji odgovara sopstvenoj vrednosti λ . Skup svih vektora X ∈ C n , koji zadovoljavaju relaciju (2) naziva se sopstvenim potprostorom koji odgovara sopstvenoj vrednosti λ . Ovaj potprostor označava se sa n Ν ( A − λ I ) , i predstavlja kompleksan potprostor prostora C . Definicija 11.
Definicija 12.
Ako je λ sopstvena vrednost kvadratne matrice A , tada se
prirodan broj n ( λ ) = dim Ν ( A − λ I ) naziva geometrijskom višestrukoš ću vrednosti λ . Stav 6 . Za svako λ ∈ σ ( A ) važi nejednakost
n ( λ ) ≤ m ( λ ) ,
4
Konusni preseci
tj. geometrijska višestrukost n ( λ ) = dim Ν ( A − λ I ) ne može biti veća od algebarske višestrukosti te sopstvene vrednosti.
Neka je sada A realna kvadratna matrica čiji je spektar realan, tj. σ ( A) ⊆ R , i neka je λ ∈σ ( A ) bilo koja sopstvena vrednost te matrice. Stav 7. Za proizvoljnu realnu simetrič nu nu matricu matricu A reda n , i bilo koju sopstvenu vrednost λ ∈σ ( A ) važi jednakost:
n ( λ ) = m ( λ ) , tj. geometrijska i algebarska višestrukost sopstvene vrednosti λ se poklapaju. Stav 8. Realna kvadratna matrica A = aij reda n , je simetrič na na ako i samo
ako za proizvoljne vektore X , Y ∈ C n važi jednakost AX ⋅ Y = X ⋅ AY . Ako je A realna simetrič na n a matr matric ica, a, tada tada je izraz izraz AX ⋅ X realan, za proizvoljan vektor X ∈ C n . Stav 9 .
Sada sledi najvažnija spektralna osobina realnih simetričnih matrica. Stav 10. Sve sopstvene vrednosti realne simetrič ne ne matrice matrice A su realne. realne.
Primetimo da, ako je ε proizvoljan potprostor prostora R n , tada je = ε + i ε kompleksan potprostor prostora C n . Stav 11 . Ako je
ε realan potprostor prostora R , tada važi jednakost dim ( ε )= dim ( ε + i ε ). n
R
C
Ako sa da u svakom od potprostora ε ν =ΝR ( A − λ ν I ) uočimo bilo koju fiksiranu
(ν )} , i obrazujemo uniju svih ovih baza, neposredno dobijamo sledeći stav. On se naziva još i Stavom o glavnim osama simetrič ne ne matrice. ortonormiranu bazu
{E1 (ν ) ,..., E m(
λ ν )
Stav 12. Ako je A proizvoljna realna simetrič na na matrica, tada postoji
ortonormorana baza prostora R n , č iji iji su vektori sopstveni vektori matrice A. Stav 13. Ako su sve sopstvene vrednosti realne simetrič ne ne matrice A meñ usobno usobno
jednake, tj. ako je σ ( A ) = {λ , λ , ..., λ } ,
5
Konusni preseci
tada je A = λ I , tj. važi A = diag ( λ ,..., λ ) . Svaki vektor X ≠ 0 prostora R n je sopstveni vektor koji odgovara sopstvenoj vrednosti λ , , a bilo koji skup od n ortonormiranih vektora prostora R n predstavlja ortonormirani sistem sopstvenih vektora.
U vezi Stava 12 o glavnim osama, navodimo još jedan stav koji se naziva matrič nim nim oblikom stava o glavnim osama. Stav 14. Ako je A realna simetrič na na matrica reda n č iji iji je spektar σ ( A ) =
{λ1 ,..., λ n } , tada postoji bar jedna ortogonalna matrica P reda n takva da je P −1 AP = PT AP = diag ( λ1 ,..., λ n ) . Napomenućemo da se praktično sve što je rečeno o spektralnim osobinama realnih simetričnih matrica, tj. matrica sa osobinom AT = A , može preneti na kompleksne T hermitske martice, tj. matrice sa osobinom A∗ = A = A . Očigledno su pritom realne simetrične matrice samo specijalan slučaj hermitskih matrica.
1.3. Kvadratne forme Na početku ćemo navesti definiciju bilinearne forme u prostoru R n i njene osobine. Pod bilinearnom formom u prostoru R n podrazumevamo proizvoljnu realnu funkciju B : R n × R n → R , koja je linearna po prvom i po drugom argumentu, tj. za proizvoljne vektore X , X 1 , X 2 , Y , Y1 , Y2 ∈ R n zadovoljava relacije (1) B (α X 1 + β X 2 , Y ) = α B ( X1 , Y ) + β B ( X 2 , Y ) , (2) B ( X ,αY1 + β Y2 ) = α B ( X , Y1 ) + β B ( X , Y 2 ) . Definicija 13.
Osnovni primer bilinearne forme predstavlja skalarni proizvod B ( X , Y ) = X ⋅ Y u prostoru R n . Stav 15. Ako je B bilinearna forma u prostoru R n , tada postoje realni brojevi aij , ( i, j = 1, 2, ..., n ) takvi da je za proizvoljne vektore X = ( x1 ,..., xn ) , Y = ( y1 ,..., yn ) ∈ R n
ispunjeno
(3)
n
B ( X , Y ) = ∑ aij xi y j . i , j =1
Na osnovu formule (3), možemo videti da se forma B ,pomoću svoje matrice koeficijenata A = aij , može izraziti na slede ća dva načina: 6
Konusni preseci
(4)
B ( X , Y ) = X ⋅ ( AY ) ,
(5) B ( X , Y ) = ( AT X ) ⋅ Y , ( X , Y ) ∈ R n , pri čemu vektore X i Y pišemo u obliku kolona-vektora. Bilinearna forma B : R n × R n → R naziva se simetrič nom nom, ako je za proizvoljne vektore X , Y ∈ R n ispunjeno (6) B ( X , Y ) = B ( Y , X ) . Definicija 2.
Stav 16. Bilinearna forma B na prostoru R n je simetrič na na ako i samo ako je
odgovarajuća matrica matrica A simetri simetrič na. na.
Sada sledi definicija kvadratne forme. Definicija 15.
Ako je A = aij proizvoljna realna kvadratna matrica reda n , tada
se funkcija Q : R n → R definisana sa (7)
n
Q( x) = ∑ aij xi x j i , j =1
naziva realnom kvadratnom formom. Kako svaka realna kvadratna matrica A reda n definiše jednu bilinearnu formu B u prostoru R n , možemo da kažemo da je funkcija Q : R n → R kvadratna forma u prostoru R n ako i samo ako postoji izvesna bilinearna forma B na tom prostoru takva da je Q ( X ) = B ( X , X ) za svako X ∈ R n . Za razliku od bilinearne forme, matrica A = aij kvadratne forme Q nije jednoznačno odreñena formom Q . Uočimo opštu kvadratnu formu u prostoru R 2 (8) Q ( x, y ) = ax2 + 2bxy + cy2 , pri čem emuu koefi koefici cije jent ntii a, b, c ∈ R . U matričnom obliku imaćemo da je Q( X ) = X T AX AX , pri čemu je x a b X = , A = . y b c Matrica A je simetrična , pa na osnovu Stava 12 i Stava 14 (tacke 1.2.) o glavnim osama postoji ortogonalna matrica P reda dva, takva da je λ 0 (9) PT AP = 1 , 0 λ 2 gde su λ 1 i λ 2 sopstvene vrednosti matrice A . 7
Konusni preseci
p Neka je P = 11 p21
p12 p11 T −1 , dakle = = P P p p22 12
p21 . p22
Umesto koordinata ( x, y ) , sada možemo uvesti nove koordinate ( x' , y ' ) tačke X na sledeći način : x ' = p11 x + p21 y . ' = + y p x p y 12 22 Imamo da je (10) X ' = PT X .
= ( x, y )
Kako je PPT = I , množenjem jednakosti (10) sa leve strane sa P , dobijamo relaciju (11) X = PX ' . Iz prethodne relacije dobijamo (12)
X T
=
X 'T PT .
Koristeći relacije (11) i (12), izračunaćemo vrednost forme Q u tački X u novim koordinatama ( x' , y ' ) . Imaćemo =(X
Q ( X ) = X T AX = X
'T
= x
Dakle, imamo da je (13)
'
'T
PT ) A ( PX ' ) =
( P AP ) X T
'
= x
'
λ 1 0 x ' y ' = 0 λ 2 y '
λ 1 x ' y ' = λ1 x' 2 + λ 2 y ' 2 . λ 2 y '
Q ( X ' ) = λ1 x' 2 + λ 2 y ' 2 .
U novim koordinatama ( x' , y ' ) tačke X = ( x, y ) , forma Q ne sadrži mešoviti član i dobija se jednostavniji oblik od prethodnog. Slično se, može dobiti i u opštem slučaju kvadratne forme u prostoru R n . n
Stav 17. Neka je Q ( X ) =
∑ aij xi x j i, j 1
proizvoljna kvadratna forma u prostoru R n ;
=
sa simetrič nom nom matricom koeficijenata A = aij . Tada postoji ortonormirana baza {V1 ,..., Vn } prostora R n , takva da forma Q u novim koordinatama ( x1' ,..., xn ' ) dobija oblik (14) Q ( X ' ) = λ1 x1' 2 + ... + λ n xn ' 2 . Pritom su λ1 ,..., λ n ∈ R sopstvene vrednosti matrice A . Odgovarajuće formule transformacije koordinata ( x1 , ..., xn ) u nove koordinate ( x '1 , ..., x 'n ) glase: X = PX ' i
8
Konusni preseci
X ' = PT X , pri č emu emu je P ortogonalna ortogonalna matrica matrica č ije ije su kolone koeficijenti razlaganja vektora V1 ,..., Vn u standardnoj bazi E1 ,..., En . Pritom se prave OV1 ,..., OVn u prostoru R n nazivaju glavnim osama kvadratne forme Q .
Metod svoñenja kvadratne forme Q na kanonički oblik može se veoma uspešno primeniti kod ispitivanja opšte jednačine drugog stepena oblika n
n
i , j =1
=
2bi xi + c = 0 , ∑ aij xi x j + ∑ i 1
(15) pri čemu je
A = aij realna simertična matrica,
b1 ,..., bn , c su realni brojevi i
( x1 , ..., xn ) ∈ R n . Skup svih tačaka X = ( x1 , ..., xn ) u prostoru R n čije koordinate zadovoljavaju jednačinu (15) naziva se hiperpovrs drugog reda. Posebno za n = 2 govorimo o konikama u ravni. Definicija 16.
9
Konusni preseci
2. Krive u Euklidskim prostorima 2.1. Algebarske krive drugog reda Ravne algebarske krive reda 1 i 2 bile su poznate još u anti čko doba. Krivu u ravni ),η (t ) ) t ∈ R} gde su ξ i η R 2 definisaćemo kao jednoparametarski skup tačaka C = {(ξ (t ), neprekidne funkcije parametra t , osim možda za konačan broj vrednosti t . Pod odreñenim uslovima parametar t se može eliminisati iz sistema x = ξ ( t ) , y = η ( t ) i dobiti jednačina oblika f ( x, y ) = 0 . Tada kažemo da je kriva zadata implicitnom jednačinom. Isto tako ako su ξ i η racionalne funkcije, takve krive nazivamo racionalnim i tada iz opšte teorije polinoma znamo da se parametar t može eliminisati i dobiti implicitna polinomska jedna čina. Drugim rečima, racionalne krive su algebarske. Nealgebarske krive zovu se transcedentnim.
2.2. Klasifikacija krivih drugog reda Posmatraćemo proizvoljnu krivu drugog reda u ravni R 2 čija je jednačina (1) a11 x 2 + a22 y 2 + 2a12 xy + 2 a13 x + 2 a23 y + a33 = 0 , za izvesne realne brojeve a11 , a22 , a12 , a13 , a23 , a33 . Na osnovu rezultata iz tačke 1.2., posebno na osnovu Stava 12 i Stava 14 o glavnim osama možemo izvršiti promenu koordinata ( x, y ) u nove koordinate ( x ' , y ' ) pomoću ortogonalne transformacije P , čime postižemo da mešoviti član u novim koordinatama bude jednak nuli. Uvodimo nove koordinate ( x' , y ' ) sa x ' x ' y = P ' , tj. sa X = PX . y
Jednačina (1) u novim koordinatama ( x' , y ' ) postaje λ1 x ' 2 + λ 2 y ' 2 + 2a13 ' x' + 2 a23 ' y ' + a33 ' = 0 .
(2)
Uvoñenjem translacije X ' = B + X '' , pri čemu je X koeficijenti uz članove x i y budu jednaki nuli. ′′
′′
10
′′
=
( x , y ) , želimo da postignemo da ′′
′′′′
Konusni preseci
Posmatrajući jednačinu (2) razlikujemo nekoliko slučajeva: 1 λ1 , λ 2 ≠ 0 , kada je rang ( A) = 2 . 2 λ1 ≠ 0, λ 2 = 0 , kada je rang ( A) = 1 . 3 λ1 = 0, λ 2 ≠ 0 , kada je rang ( A) = 1 . o
o
o
4 λ1 = λ 2 = 0 , kada je rang ( A) = 0 . o
Sluč aj aj (1 ) . U ovom slučaju moguće je definisati translaciju pomoću formula ' a13' =x x + λ 1 . ' a y ' + 23 = y o
′′
′′
λ 2
Jednačina (2) tada postaje (3) λ1 x 2 + λ 2 y 2 + a33 = 0 . U vezi sa jednačinom (3) razlikovaćemo pet mogućih slučajeva, u zavisnosti od znaka sopstvenih vrednosti λ1 , λ 2 i parametra a33 . Tada: ′′
′′
′′
′′
∗
Kriva K predstavlja elipsu u ravni R 2 , čija je jednačina x 2 y 2 + = 1. a 2 b2 ′′
∗
K je prazan skup tač aka aka u ravni R 2 , i jednačina glasi x 2 y 2 + = −1 . a 2 b2 ′′
∗
′′
Kriva K je K je hiperbola u ravni R 2 , čija je jednačina x 2 y 2 − =1 . a2 b2 ′′
∗
′′
Ako je a33
′′
=0
′′
, tada jednačina (3) postaje λ1 x
kriva K sastoji se od samo jedne tač ke ke x ∗
Ako je a33
′′
′′
=
′′
2
+ λ 2 y
′′
2
=0
y = 0 u ravni R 2 . ′′
= 0 , isto kao i u prethodnom slučaju jednačina (3) postaje
y 2 x 2 λ1 x + λ 2 y = 0 . Za λ1λ 2 < 0 imamo da je 2 = 2 , pa y b a kriva K predstavlja par pravih koje se seku u ravni R 2 . ′′
′′
2
′′
. Za λ1λ 2 > 0
2
11
′′
′′
=±
b x , tj. a ′′
Konusni preseci
Sluč aj aj (2 ) . Uvoñenjem translacije o
' a13' x + λ = x 1 ' y = y
′′
′′
jednačina (2) postaje (4)
λ 1 x 2 + 2a23 y + a33 = 0 . ′′
′′
′′
′′
U vezi sa jednačinom (4) razlikovaćemo četiri moguća slučaja. a23
∗
≠ 0.
′′
a Uvoñenjem translacije x = x , y = y + 33 , jednačina (4) postaje 2a 23 ′′
′′′
′′′
′′′
′′
′′
x ∗
′′′
2
= 2 py
a23
′′′
( p ≠ 0 ) , pa kriva K predstavlja parabolu u ravni R 2 .
= 0, a33 ≠ 0
′′
′′
.
Tada jednačina (4) dobija oblik x paralelnih pravih x ∗
a23
′′
= 0, a33 ≠ 0 ′′
′′
=±
′′
2
a23
′′
2
( a ≠ 0 ) , i kriva K se sastoji od dveju
a.
.
Tada jednačina (4) dobija oblik x tač aka. aka. ∗
=a
′′
2
= −a
2
K prazan skup ( a ≠ 0 ) , pa je kriva K prazan
= a33 = 0 . ′′
Tada jednačina (4) dobija oblik x x = 0 .
′′
2
= 0 , pa je
K par K par podudarnih pravih
′′
Sluč aj aj (3 ) . o
Sličan je sa drugim pa ga izostavljamo. Sluč aj aj (4 ) . o
Za λ1 = λ 2 = 0 , imali bismo PT AP = diag ( 0, 0 ) = 0 , odakle sledi da je A = P ⋅ 0 ⋅ PT = 0 , što je isključeno pretpostavkom.
12
Konusni preseci
Ovim je dokazana sledeća klasifikaciona teorema za algebarske krive drugog reda u Euklidskoj ravni. Teorema 1. Proizvoljna kriva drugog reda u ravni R 2 , č ija ija je jednač ina ina (1),
predstavlja u pogodno izabranom koordinatnom sistemu, jedan od sledećih skupova tač aka: aka: elipsu, hiperbolu, parabolu, par pravih koje se seku, par paralelnih pravih, par podudarnih pravih, jednu jedinstvenu tač ku, ku, prazan skup tač aka, aka, u ravni R 2 .
13
Konusni preseci
3. Konusni preseci 3.1. Opšta definicija konusnih preseka Konusni preseci zauzimaju kako u geometriji, tako i u celoj matematici veoma vidno mesto. Još u III i II veku stare ere u antičkoj Grčkoj matematici, krug nije bio jedina proučavana kriva. Četiri izgubljena dela Euklidovih “Elemenata” bavila su se elipsama, hiperbolama i parabolama, ili jednim imenom, konusnim presecima. Kompletna studija konusnih preseka data je u delu “Konike” (trakt od sedam knjiga) koje je napisao Apolonije iz Perge (III i II vek stare ere). Od tada, pa sve do danas, konusni preseci su imali veliku primenu u fizici. Kepler je (1610. godine) otkrio da se planete kreću po eliptičnim putanjama oko Sunca, pri čemu se Sunce nalazi u jednoj od njenih žiža. Njutn je u svojoj knjizi “Principia Mathematica” (oko 1686. godine) dokazao da takvo kretanje sledi iz zakona gravitacije i zakona mehanike. Ovo je izvedeno, izmeñu ostalog, i pomoću jednačina konusnih preseka u polarnim koordinatama. Opšte ime konusni presek potiče od toga što se ti skupovi tačaka, tj. krive mogu dobiti kao preseci neke ravni i kružne konusne površi. (i) Ako ravan seče sve izvodnice konusa i nije normalna na njenu osu dgovarajući presek je elipsa; specijalno, ako je ravan normalna na osu konusa, presek je kružnica. (ii) Ako je ravan paralelna sa jednom izvodnicom konusa, presek je parabola; specijalno, ako ravan sadrži tačno jednu izvodnicu konusa, presek je prava. (iii) Ako je ravan paralelna sa dve izvodnice konusa, presek je hiperbola; specijalno, ako ravan sadrži dve izvodnice konusa, presek su dve prave.
Neka je d prava, F tačka koja joj ne pripada i π ravan odreñena pravom d i tačkom F . Neka je e neki fiksiran pozitivan broj. Za proizvoljnu tačku M ∈ π ,
14
Konusni preseci
označimo sa M ' podnožje normale iz tačke M na pravu d . Skup svih tačaka sa osobinom FM = e MM ' naziva se konusni presek. Ako je e = 1 , konusni presek se naziva parabola, ako je e < 1 , konusni presek se naziva elipsa, ako je e > 1 , konusni presek se naziva hiperbola. Tačka F je je žiža (fokus) konusnog preseka, prava d je je direktrisa koja odgovara žiži F , a pozitivan broj e se naziva ekscentricitet konusnog preseka. Sada ćemo izvesti jednačinu bilo kog konusnog preseka. Neka je F (α , β ) i neka direktrisa d ima jednačinu ax + by + c = 0 . Ako tačka M ( x, y ) pripada konusnom preseku, jednakost FM = e MM ' zapisaćemo u obliku a x + by + c 2 2 . ( x − α ) + ( y − β ) = e ± a 2 + b2 Posle kvadriranja i sreñivanja dobijamo jednačinu oblika (1) Ax 2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0 , gde je (2) A = a 2 + b 2 − e2 a2 , B = −2abe 2 , C = a 2 + b2 − e2b2 . Jednačina (1) je drugog reda, pa se konusni preseci nazivaju krivama drugog reda. Pokazaćemo da se može utvrditi da li je jednačinom (1) predstavljena parabola, elipsa ili hiperbola. Dakle, koristeći jednakosti (2), dobijamo B 2 − 4 AC = 4a 2b2 e4 − 4 ( a2 + b2 − e2 a2 ) ⋅ ( a2 + b2 − e2 b2 ) , tj. 2 (3) B 2 − 4 AC = 4 ( a 2 + b2 ) ⋅ (1 − e 2 ) . Zaključujemo, da je (i) B 2 − 4 AC = 0 ⇔ e = 1 , pa jednačina (1) predstavlja parabolu; (ii) B 2 − 4 AC > 0 ⇔ e < 1 , pa jednačina (1) predstavlja elipsu; (iii) B 2 − 4 AC < 0 ⇔ e > 1, pa jadnačina (1) predstavlja hiperbolu.
Jednačina konusnog preseka može biti znatno jednostavnija, ako se koordinatni sistem podesno izabere. Pokazaćemo da se za opštu jednačinu parabole može uzeti (a ∈ R) y 2 = 4ax za opštu jednačinu elipse x 2 y 2 + = 1 ( a, b ∈ R ) a2 b2 za opštu jednačinu hiperbole x 2 y 2 − = 1 ( a, b ∈ R ) . a 2 b2
15
Konusni preseci
3.2. Parabola Parabola je skup tačaka u ravni sa osobinom da je rastojanje ma koje tačke M tog skupa od jedne stalne tačke F te ravni -žiže- jednako rastojanju te tačke M od jedne stalne prave d iste ravni –direktrise- koja ne prolazi kroz tačku M .
Izvedimo sada jednačinu parabole. Koordinatni sistem odreñujemo na sledeći nacin. Osu Ox postavimo kroz žižu F , normalno na direktrisu d , i to u pravcu od d ka F , a osu Oy normalno na Ox kroz sredinu odsečka koji spaja žižu sa direktrisom. Neka je P parabola kod koje je rastojanje izmeñu žiže F i direktrise iznosi p . p Tada, u ovako definisanom koordinatnom sistemu, jednačina direktrise glasi: x = − , 2 p a žiža F ima koordinate , 0 . Neka je M proizvoljna tačka parabole P . Tada imamo 2 sledeći rezultat. Stav 1. Tač ka ka M ( x, y ) pripada paraboli paraboli P ako i samo samo ako njene njene koordinate koordinate
zadovoljavaju jednač inu inu 2 (1) y = 2 px . Drugim reč ima, ima, (1) je jednač ina ina parabole parabole P . Dokaz. Označimo sa N podnožje normale iz tačke M na direktrisu d ( Slika 1).
Kako je M ( x, y ) proizvoljna tačka parabole P , po definiciji su dužine duži FM i NM jednake. Stoga, definiciona postaje
jednakost
FM = N M
2
p p 2 − + = + , x y x 2 2
odakle posle kvadriranja, dobijamo p x = − 2
x
2
−
tj.
px +
p 2 4
+
y
2
y 2 = 2 px .
Slika 1. 16
2
=x +
px +
p2 , 4
Konusni preseci
Obrnuto, neka brojevi x i y zadovoljavaju jednačinu (1). Dokažimo da se tačka p M ( x, y ) nalazi na jednakom rastojanju od prave d , čija je jednačina x = − i tačke 2 p F sa koordinatama , 0 , tj. dokažimo da tačka M pripada paraboli P . 2 Primetimo da važi 2
p FM = x − + y 2 , 2
NM
=
x+
p . 2
Na osnovu (1) važi y 2 = 2 px , pa je 2
2
p p p FM = x − + 2 px = x + = x + = NM , 2 2 2
što znači da je rastojanje ta čke M od tačke F jednako jednako rastojanju tačke M od prave d , tj. da tačka M pripada paraboli P o Koristeći se jednačinom parabole P možemo formulisati nekoliko važnih svojstava parabole. Apscisa ma koje tačke parabole y 2 = 2 px veća je ili jednaka nuli. Zaista, kako je y 2 ≥ 0 i p > 0 , iz jednačine y 2 = 2 px sledi da je x ≥ 0 . Parabola P se nalazi u desnoj poluravni. •
Parabola y 2 = 2 px prolazi kroz koordinatni pocetak. Ovo je posledica činjenice da tačka ( 0,0 ) zadov zadovol olja java va jedn jednaačinu y 2 = 2 px . •
Parabola y 2 = 2 px simetrična je u odnosu na apscisnu osu. Zaista, iz y 2 = 2 px sledi da svakoj vrednosti x ( > 0 ) odgovaraju dve vrednosti y , jednake po apsolutnoj vrednosti, a suprotnog znaka. Na osnovu ove osobine zaključujemo da je dovoljno konstruisati deo parabole u prvom kvadrantu, a zatim taj deo simetrično preslikati na četvrti kvadrant. •
Pri neograničenom povećanju apscise x ,ordinata y raste po apsolutnoj vrednosti. Ovo je takoñe neposredna posledica jednačine y 2 = 2 px . •
Odnos prave y = kx + n i parabole (1) može se ustanoviti ispitivanjem sistema y 2 = 2 px jednačina . = + y kx n Ako y iz druge zamenimo u prvu jednačinu dobija se kvadratna jednačina k 2 x 2 + 2 ( kn − p ) x + n 2 = 0 . •
17
Konusni preseci
Diskriminanta poslednje jednačine je D = 4 ( kn − p ) − k 2 x2 = 4 p ( 2 kn − p ) . Pošto je p > 0 , zaključujemo da prava i parabola imaju dve zajedničke tačke ako je 2kn − p > 0 . Ako je 2kn − p < 0 , tada nemaju zajedničkih tačaka. U slučaju 2kn − p = 0 , tj. 2 kn = p , imamo jedno dvostruko rešenje, pa je u tom slučaju prava tangenta date parabole. Dakle, prava y = kx + n ( k ≠ 0 ) je tangenta parabole (1) ako i samo ako je ispunjen uslov 2kn = p . Ako imamo prave oblika x = m , tada sistem y 2 = 2 px ima dvostruko rešenje samo u slučaju m = 0 , pa je tangenta = x m parabole prava x = 0 , tj. y osa. Apscisna osa se naziva osa simetrije parabole, a koordinatni pocetak je teme parabole (1). Rastojanje p izmeñu žiže i direktrise nazivamo parametrom parabole (ili fokalnim parametrom fokalnim parametrom). Napomena 1. Promenom položaja koordinatnog sistema u odnosu na žižu i direktrisu parabole, menja se i njena jednačina. Napomena 2. Grafik svake kvadratne funkcije y = ax 2 + bx + c ( a ≠ 0 ) , takoñe je parabola. Moguće je pomoću transliranja koordinatnog sistema Oxy (za neki vektor uuuu r
OO ' ) tj. transformacije x = x' + x0 ' y = y + y0
(2)
postići da se grafik funkcije y ' = ax '2 poklapa sa grafikom y = ax 2 + bx + c . Jednačine (2) zamenjene u jednakost y = ax 2 + bx + c daju y ' + y0
2
= a ( x ' + x0 ) + b ( x' + x0 ) + c ,
tj. y ' = ax ' 2 + ( 2ax0 + b ) x' + ( ax02 + bx0 + c − y0 ) .
Želimo da odredimo x0 i y0 . Koeficijent uz x ' i slobodan clan su jednaki nuli. Iz b jednakosti 2ax0 + b = 0 odreñujemo x0 . Prema tome, x0 = − . Sada odreñujemo y0 2a 2 iz uslova ax0 + bx0 + c − y0 = 0 , u kojem zamenjujemo već nañeno x0 . Dobijamo da je
tj.
b2 b2 − + c = y0 , 4 a 2a
4ac − b 2 . y0 = 4a
18
Konusni preseci
Pomoću translacije (2) u kojoj je 4ac − b2 b , y0 = , x0 = − 2a 4a prešli smo u novi koordinatni sistemu kome jednačina parabole y = ax0 2 + bx0 + c b 4 ac − b 2 izgleda y = ax . Teme ove parabole je u tački T = − , . Parametar je 2 4 a a b 1 + b 2 − 4 ac 1 p = , a koordinate žiže su F − , , a jednačina direktrise glasi 2a 2 4 a a '
'2
1 + b 2 − 4ac . y = − 4a
3.3. Elipsa Elipsa je skup tačaka u ravni sa osobinom da zbir rastojanja ma koje ta čke tog skupa od dve stalne tačke F 1 i F 2 ima konstantnu vrednost. Tačke F 1 i F 2 nazivaju se žiže (fokusi) elipse. Neka je E elipsa odreñena tačkama F 1 i F 2 ,takvim da je F1 F2 = 2c , i ovo rastojanje se naziva fokusno rastojanje (Slika 2). A1
Prava F1 F 2 naziva se velika (glavna osa) elipse, a simetrala duži F1 F 2 naziva se mala (sporedna) osa elipse. Koordinatni sistem uvodimo tako da se x osa poklapa sa velikom osom, a y osa sa malom osom elipse. Dakle, koordinatni početak je središte duži F1 F 2 . Kako je F1 F2 = 2c , imamo F1 ( −c, 0 ) i F2 ( c, 0 ) , gde je 0 < c < a . Bilo koja tačka M ( x, y ) elipse ima osobinu: F1M + F2 M = 2a .
Slika 2.
Tačke A1 ( −a, 0 ) i A2 ( a, 0 ) pripadaju elipsi. Zaista, jednostavno se proverava da je F1 A1
+
F1 A2 = F2 A1 + F2 A2 = 2a .
Tačke B1 ( 0, b ) i B2 ( 0, −b ) , gde je b = a 2 − c2 , pripadaju elipsi.
19
Konusni preseci
Zaista, imamo F1 B1
+
F2 B1 = c 2 + a2 − c2 + c 2 + a2 − c2 = 2 a , a slično se pokazuje i
da je F1 B2 + F2 B2 = 2a . Rastojanje izmeñu tačaka A1 i A2 , tj.2a , naziva se dužina velike ose, dok se a naziva velika poluosa elipse. Rastojanje izmeñu tačaka B1 i B2 , tj. 2b = 2 a 2 − c2 naziva se dužina male ose, dok se b naziva mala poluosa elipse. Za ovako definisan uzajamni položaj koordinatnog sistema i elipse važi sledeći rezultat. Tač ka ka M ( x, y ) pripada elipsi E ako i samo ako njene koordinate zadovoljavaju jednakost x 2 y 2 2 2 + 2 = 1 , ( b = a − c ) , (1) 2 a b tj. (1) je jednač ina ina elipse. Stav 2.
Dokaz. Ako tačka M ( x, y ) pripada elipsi E , tada je F1M + F2 M = 2a , tj.
( x + c )
2
+
2
y 2 + ( x − c) + y2 = 2a .
Ako ovu jednakost napišemo u obliku ( x + c ) je,
dobijamo
( x + c )
2
+
2
+
2
y 2 = 2a − ( x − c ) + y 2 , i kvadriramo 2
2
y 2 = 4 a 2 − 4 a ( x − c ) + y 2 + ( x − c ) + y2 ,
2
tj. a ( x − c ) + y 2 = a 2 − cx . Posle ponovnog kvadriranja dobijamo (2) ( a 2 − c 2 ) x2 + a 2 y 2
= a2 ( a2 − c2 ) .
Kako je a > c > 0 , imamo a 2 > 0 , a 2 − c 2 > 0 , pa jednakost (2) možemo podeliti sa a 2 ( a 2 − c 2 ) . Dobija se da je x 2 a2
ili
+
y2 a 2 − c2
= 1,
x 2 y 2 + 2 =1 , b = a 2 − c2 ) . ( 2 a b Obrnuto, neka su x i y brojevi koji zadovoljavaju jednačinu (1). Dokažimo da tačka M ( x, y ) pripada elipsi E. Dovoljno je dokazati da je F1M + F2 M = 2a . x 2 Iz (1) sledi da je y = b 1 − 2 , a takoñe x ≤ a , y ≤ b . Zaista, iz (1) sledi a 2
2
x 2 0 ≤ 2 ≤ 1 , pa je stoga 0 ≤ x 2 ≤ a 2 , tj. x ≤ a , i slično se pokazuje da je y ≤ b . a
20
Konusni preseci
Imamo da je x 2 F1M = ( x + c ) + y = ( x + c ) + b 1 − 2 , a 2
i posle kraćeg računa dobijamo da je F1M
2
2
=
2
c x+a . a
c c c < 1 , zaključujemo da je x < a , tj. − a < x < a , a a a c c c c pa je 0 < x + a < 2a . Stoga je x + a = x + a i konačno dobijamo F1M = x + a . a a a a Slično, imamo da je b2 2 x 2 2 2 2 2 F2 M = ( x − c ) + y = ( x − c ) + b 1 − 2 = 1 − 2 x − 2cx + c2 + b2 = a a
Meñutim, kako je x
≤ a,0 <
2
c c c c = x − a = x − a = a − x , jer je u ovom slučaju, x − a < 0 . a a a a c c Stoga je F1M + F2 M = x + a + a − x = 2a , što znači da tačka M ( x, y ) pripada a a
elipsi E.
o
Količnik
c naziva se ekscentricitet elipse (1) i označava se sa e . Dakle, imamo a 2
1 2 2 b = a − b = 1− . a a a a a2 a2 = = − = = − Prave čije su jednačine : x i x , tj. x i x , nazivaju se e e c c a direktrise elipse. Pri tome kažemo da direktrisa x = odgovara žiži F2 ( c, 0 ) , a da e a direktrisa x = − odgovara žiži F1 ( −c, 0 ) . e c e= a
Koristeći se jednačinom (1) možemo dokazati neka svojstva elipse E. •
Ako tačka M1 ( x1 , y1 ) pripada elipsi E, tada i tačke M 2 ( − x1 , y1 ) , M 3 ( − x1 , − y1 ) ,
M 4 ( x1 , − y1 ) pripadaju elipsi E. x12 y12 Zaista, ako M 1 ∈ ( E ) , tj. ako važi 2 + 2 = 1 ,tada važe i jednakosti a b 2 2 2 2 ( − x1 ) y12 ( − x1 ) ( − y1 ) x12 ( − y1 ) + 2 = 1, + =1, + = 1 , što znači da M 2 , M 3 , M 4 ∈ ( E ) . a2 b a2 b2 a2 b2
21
Konusni preseci
Odavde sledi da su koordinatne ose – ose simetrije elipse, a koordinatni početak je centar simetrije. Takoñe, zaključujemo da je dovoljno konstruisati elipsu u jednom (recimo prvom) kvadrantu, a zatim simetrično preslikati taj deo u ostale kvadrante. Elipsa (1) nalazi se unutar pravougaonika čije su stranice odreñene jednačinama: x = a, x = −a, y = b, y = −b . •
•
Ekscentricitet elipse opisuje, na neki način, njen oblik. Naime,koli čnik
b uvek a
b b ≤ 1 . Što je ekscentricitet ve ći, količnik je bliži nuli, i elipsa je a a b razvučenija, dok se u graničnom slučaju = 0 , tj. b = 0 , ne svede na duž. Obrnuto, što je a b ekscentricitet manji, to je količnik sve bliži jedinici i elipsa je po obliku sve bliža a b kružnoj liniji, a u graničnom slucaju = 1 , tj. e = 0 , postaje kružna linija. Dakle, može a se reći da je kružna linija elipsa sa ekscentricitetom 0.
je ograničen: 0 ≤
Direktrise elipse su prave normalne na veliku osu, simetrične su u odnosu na a koordinatni početak (centar elipse) i nalaze se na rastojanju sa jedne i druge strane e a y ose. Kako je e < 1 , imamo > a , pa direktrise nemaju zajedničkih tačaka sa elipsom e (Slika 3). •
Izvešćemo sada jednu važnu osobinu elipse. Stav 3. Količ nik nik rastojanja od
proizvoljne tač ke ke M ( x, y ) elipse (1) do žiže i rastojanja te tač ke ke do odgovarajuće direktrise je konstantan i jednak ekscentricite ekscentricitetu tu e .
Slika 3.
22
Konusni preseci
Dokaz. Označimo sa r rastojanje od tačke M do žiže F2 ( c, 0 ) ,a sa d rastojanje a c 2 od M do direktrise x = . Tada je, r = F2 M = ( x − c ) + y 2 = a − x = a − ex ex , a e a a a − ex r a − ex očigledno je d = − x = . Stoga je = = e.o e e d a − ex e • Odnos prave y = kx + n i elipse (1) može se razmatrati pomoću sistema odgovarajućih jednačina x 2 y 2 2 + 2 =1 . a b y = kx + n
Ako zamenimo y iz druge u prvu jednačinu,a zatim dobijenu jednačinu transformišemo, doćićemo do kvadratne jednačine:
( a 2 k 2 + b 2 ) x2 + 2a2 knx + a2 ( n2 − b 2 ) = 0 . Diskriminanta
ove
jednačine
je
D = 4 a 2b 2 ( a 2 k 2 + b2 − n2 ) ,
pa
ako
je
prava i elipsa imaju dve zajedničke tačke. Ako je a 2 k 2 + b2 − n2 > 0 , tada 2 2 2 2 a k + b − n < 0 , tada nemaju zajedničkih tačaka, a ako je a 2 k 2 + b2 − n2 = 0 , tada sistem ima dvostruko rešenje. Dakle, prava y = kx + n je tangenta elipse (1) ako i samo ako je ispunjen uslov a 2 k 2 + b2 = n2 . 2 m2 x 2 y 2 2 =1 + y = b 1 − 2 ⇔ U slučaju x = m imaćemo da je sistem a 2 b2 a . x = m x = m m2 Poslednji sistem može imati dvostruko rešenje samo u slučaju 2 a ovom slučaju su jednačine tangente x = ± a . Napomena 1. F1 ( − a 2 − b2 , 0 ) , F2 (
= 1,
tj. m = ± a .U
Jednačina (1) gde je a > b > 0 predstavlja elipsu čije žiže a 2 − b2 , 0 ) pripadaju x osi. Slično se dokazuje da jednačina (1),
gde je b > a > 0 predstavlja elipsu čije žiže F1 ( 0, b 2 − a 2 ) , F2 ( 0, − b2 − a 2 ) pripadaju y osi.
23
Konusni preseci
3.4. Hiperbola Hiperbola je skup tačaka u ravni sa osobinom da razlika rastojanja ma koje tačke tog skupa od dve stalne tačke F 1 i F 2 te ravni ima konstantnu vrednost. Drugim rečima, ako uzmemo da je F1 F2 = 2c ,i ako je M proizvoljna tačka
hiperbole, tada je F1M − F2 M = 2a , gde je a < c .Tacke F i F 2 nazivaju se žiže (fokusi) hiperbole. Neka je H hiperbola hiperbola odreñena tačkama F 1 i F 2 takvim da je F1 F2 = 2c , i datim brojem 2a < 2c . Prava F1 F 2 naziva se realna (glavna) osa hiperbole H, a simetrala duži F1 F 2 naziva se imaginarna (sporedna) osa hiperbole H. Koordinatni sistem uvodimo tako da se x osa poklapa sa realnom osom, a y osa sa imaginarnom osom hiperbole H ; koordinatni početak je dakle, središte duži F1 F 2 . Kako je F1 F2 = 2c , u ovom koordinatnom sistemu važi : F1 ( −c, 0 ) i F2 ( c, 0 ) . Za ovako definisan koordinatni sistem u odnosu na hiperbolu H važi sledeći rezultat. Stav 4. Tač ka ka M ( x, y ) pripada hiperboli H ako i samo ako njene koordinate
zadovoljavaju x 2 (1) a2 tj. (1) je jednač ina ina hiperbole H.
−
y2 = 1 , ( b = c 2 − a 2 ) , 2 b Dokaz. Ako tačka M ( x, y ) pripada hiperboli H (Slika 4), tada je F1M − F2 M = 2a , tj. ( x + c )
2
+
y2
−
( x − c)
2
+
y2
= 2a ,
ili ( x + c )
2
+
y2
−
( x − c)
2
+
y2
= ±2a .
Ovu jednakost napisaćemo u obliku ( x + c )
Slika 4.
24
2
+
y2
= ±2a +
(x − c)
2
+
y2 .
Konusni preseci
Kada je kvadriramo, dobijamo ( x + c )
2
+
y 2 = 4a 2 ± 4 a ( x − c )
2
+
y2
+
( x − c )
2
+
y2
ili ±a
( x − c)
2
+
y 2 = cx − a 2 .
Posle ponovnog kvadriranja, dobijamo a 2 ( x − c) tj. (2)
2
+ a 2 y 2 = ( cx − a2 )
2
,
( c 2 − a 2 ) x 2 − a 2 y 2 = a 2 ( c2 − a 2 ) .
Kako je a > 0 i c > a , imamo a 2 > 0 i c 2 − a 2 > 0 , pa jednakost (2) možemo podeliti sa a 2 ( c 2 − a 2 ) . Dobijamo da je x 2 a2
tj.
−
y2 c2 − a2
=1,
x 2 y 2 − 2 =1 b = c2 − a2 ) . ( 2 a b Obrnuto, neka su x i y brojevi koji zadovoljavaju jednačinu (1). Dokažimo da tačka M ( x, y ) pripada hiperboli H. Dovoljno je dokazati da je F1M − F2 M = 2a . Neposredno dobijamo 2
2
F1M = ( x + c ) + y 2 ,
F2 M = ( x − c ) + y 2 ,
b2 2 2 tj. s obzirom da iz (1) sledi y = 2 ( x − a ) , a takoñe je b 2 a 2
F1M F2 M
=
b2 2 2 ( x + c) + 2 ( x − a ) a
=
b2 2 2 c ( x − c) + 2 ( x − a ) = x − a a a
2
2
2
=c −a
2
,
2
c c = x + a = x + a , a a 2
=
c x −a . a
x 2 y2 Iz (1) sledi x ≥ a . Zaista, imamo 2 = 1 − 2 ≥ 1 , pa je x 2 ≥ a 2 , odakle sledi x ≥ a . a b Dakle, postoje dve mogućnosti: x ≥ a ili x ≤ −a . c ∗ Neka je x ≥ a . Tada, s obzirom da je c > 0 , dobijamo x + a > 0 . a x c c Takoñe je ≥ 1 , pa je x ≥ c , tj. x − a ≥ c − a > 0 , pa je a a a
25
Konusni preseci
F1M
=
F2 M
=
c x+a a c x−a a
c x+a; a c = x−a. a
=
Stoga je c c x + a − x − a = 2a , a a i u ovom slučaju tačka M pripada hiperboli H. x c c ≤ −1 , pa je x ≤ −c i x − a ≤ c − a < 0 , a ∗ Neka je x ≤ − a . Tada je a a a c takoñe je x + a ≤ a − c < 0 . Dakle, a c c F1M = x + a = − x − a ; a a c c F2 M = x − a = − x + a . a a Stoga je c c F1M − F2 M = − x − a − − x + a = −2a = 2a , a a pa i u ovom slučaju tačka M pripada hiperboli H. o F1M
Količnik imamo
−
F2 M
=
c naziva se ekscentricitet hiperbole (1) i označava se sa e . Dakle, a 2
c 1 2 2 b e= = a + b = 1+ . a a a Kako je c > a , u slučaju hiperbole imamo e > 1 . a a Prave čije su jednačine x = i x = − nazivaju se direktrise hiperbole. e e
Koristeći se jednačinom (1) možemo dokazati neka svojstva hiperbole. Hiperbola je simetrična u odnosu na obe koordinatne ose , a koordinatni početak je centar simetrije. •
Tačke A1 ( − a, 0 ) i A2 ( a, 0 ) pripadaju hiperboli. To su, ujedno, i jedine presečne tačke hiperbole (1) i x ose. Tačke A1 i A2 nazivamo temenima hiperbole. •
•
Hiperbola (1) je smeštena van trake širine 2a u odnosu na y osu. Ovo svojstvo smo već dokazali, jer smo dokazali da za svako x , važi x ≥ a , tj. a ≤ x ili
26
Konusni preseci
x ≤ −a . Odavde se vidi da se hiperbola sastoji iz dve odvojene grane za koje znamo da su simetrične u odnosu na y osu.
Hiperbola (1) nema zajedničkih tačaka sa y osom. Zaista, za tačke na y osi važi x = 0 , pa nije x ≥ a , što znači da na y osi nema tačaka hiperbole. Označimo tačke •
B1 ( 0, b ) i B2 ( 0, −b ) na y osi , gde je b = c 2 − a 2 . Njima je odreñena imaginarna osa hyperbole, a b se naziva imaginarna poluosa hiperbole. Analogno, a se naziva realna poluosa hiperbole. Asimptote. Ako u jednačini hiperbole (1) zanemarimo slobodan član, dobijamo jednačinu x 2 y 2 x y x y − = 0 , tj. − + = 0 , a 2 b2 a b a b odakle sledi da je b b (3) y = x ili y = − x . a a Jednačinama (3) odreñene su dve prave linije koje se seku u koordinatnom pocetku. Ove prave su odreñene dijagonalama pravougaonika obrazovanog pravama x = ± a i y = ±b . Ispitaćemo odnos tih pravih i hiperbole (1). S obzirom na uspostavljenu simetriju, dovoljno je ispitati situaciju u prvom kvadrantu. Kako je a > 0, b > 0 , u prvom kvadrantu se pojavljuje prava b (4) y = x . a Neka je M ( x, y ) proizvoljna tačka hiperbole, takva da je x ≥ a i y ≥ b , a M ' ( x, y ' ) b tačka prave y ' = x sa istom apscisom (Slika 5). a •
Iz (1) dobijamo y 2 b2 tj.
x2 = 2 −1, a
b 2 2 x −a . a b b 2 b 2 2 Kako je x = x > x −a , a a a prava (4) je stalno iznad hiperbole (1). Takoñe je b b 2 2 b y ' − y = x − x − a = ( x − x2 − a 2 ) a a a y =
Slika 5.
27
Konusni preseci
Meñutim, x + x 2 − a 2 a2 , = x − x − a = ( x − x − a ) ⋅ x + x 2 − a 2 x + x2 − a2 2
2
2
2
pa je ab . 2 2 x + x − a S druge strane, primetimo da je x + x 2 − a 2 > x , jer je x > a , pa iz (5) dobijamo da je ab (6) y ' − y < . x Možemo reći kada x neograničeno raste, rastojanje y ' − y se neograničeno smanjuje. Zaključujemo da prave (3) dobro aproksimiraju grafik hiperbole kada je x y ' − y =
(5)
veliko, i da je ta aproksimacija sve bolja sto je x veće. Prave (3) se nazivaju asimptote hiperbole. Intuitivno, one se mogu smatrati kao tangente na hiperbolu u “beskonačno dalekoj tački”. Ekscentricitet hiperbole na neki način karakteriše njen oblik. Što je ekscentricitet b manji, manji je i odnos , pa je hiperbola više sažeta ka x osi. U graničnom slučaju a e = 1 , tj. b = 0 , ona se degeneriše u dve poluprave koje polaze iz žiža F 1 i F 2 . Obrnuto, b kad e raste, tj. odnos raste, grane hiperbole se sve više udaljavaju od x ose i teže ka a pravama x ± a = 0 . •
a Direktrisa x = ( koja odgovara žiži F2 ( c, 0 ) ) nalazi se izmeñu centra ( 0,0 0, 0 ) e a i temena ( a, 0 ) ,dok se direktrisa x = − ( koja odgovara žiži F1 ( −c, 0 ) ) nalazi izmeñu e 0, 0 ) i temena ( −a, 0 ) . centra ( 0,0 •
Izvešćemo sada jednu važnu osobinu hiperbole. Stav 5. Količ nik nik rastojanja od proizvoljne tač ke ke M ( x, y ) hiperbole (1) do žiže i
rastojanja te tač ke ke do odgovarajuće direktrise je konstantan i jednak ekscentricitetu e .
izvodimo za desnu granu granu hiperbole, tj. za žižu F2 ( c, 0 ) i Dokaz. Dokaz izvodimo odgovarajuću direktrisu. Slično se izvodi dokaz i za levu granu hiperbole. Označimo sa r rastojanje od tačke M ( x, y ) koja pripada desnoj grani hiperbole do žiže F 2 , a sa d rastojanje od M do direkrtise (Slika 6).
28
Konusni preseci
Tada je, 2
x = −
a e
x =
r = F2 M = ( x − c ) + y 2 = ex − a , a očigledno je a ex − a . d = x− = e e Stoga je r ex − a = = e. d ex − a e Neka sada tačka M ( x, y ) pripada levoj grani hiperbole. Tada je, a a − ex , r = a − ex , d = − x = e e pa je r a − ex = = e.o d a − ex e
a e
Slika 6. •
Odnos prave y = kx + n i hiperbole (1) možemo posmatrati pomoću sistema
jednačina x 2 y 2 2 − 2 =1 . a b y = kx + n
Broj realnih rešenja ovog sistema odreñuje broj zajedničkih tačaka prave i hiperbole (dve, jedna ili nijedna). U slučaju jednog dvostrukog rešenja pomenutog sistema, imamo da je prava tangenta hiperbole. Da bismo taj uslov odredili, eliminišimo y iz prethodnog sistema jednačina. Dobijamo jednačinu ( b 2 − a 2 k 2 ) x2 − 2a2 knx − a2 ( n2 − b2 ) = 0 . b Ako je b 2 = a 2 k 2 , tj. ako je k = ± i n ≠ 0 , imaćemo linearnu jednačinu i sistem će a imati rešenje , tj. prava i hiperbola će imati jednu zajedničku tačku. Zapažamo da su u takvom slučaju prave paralelne asimptotama hiperbole i različite od njih. Slučaj b2 = a 2 k 2 i n = 0 je nemoguć. Neka je, dalje, b 2 − a 2 k 2 ≠ 0 . Tada imamo kvadratnu jednačinu čija je diskriminanta D = 4 a 2b 2 ( n2 + b2 − a2 k 2 ) . Ako je n 2 + b2 − a2 k 2 > 0 , tada sistem ima dva realna i različita rešenja , tj. hiperbola i prava imaju dve zajedni čke tačke. Presečnih tačaka neće biti ako je n 2 + b 2 − a 2 k 2 < 0 . Sistem ce imati dvostruko rešenje ako je n 2 + b2 − a2 k 2 = 0 . Dakle, prava y = kx + n je tangenta hiperbole (1) ako i samo ako je n ≠ 0 i a 2 k 2 − b2 = n2 .
29
Konusni preseci
Prava x = m može biti tangenta hiperbole (1) u slučaju da sistem x 2 y 2 2 − 2 =1 a b x = m ima dvostruko rešenje. Eliminacijom promenljive x zaključujemo da je to moguće samo ako je m = ± a , tj. da su tada jednačine tangenata , x = ± a . Napomena . Ako je a = b jednačina hiperbole (1) postaje x 2 − y 2 = a 2 . Takva hiperbola se zove jednakostranič na na hiperbola. Kako se njene asimptote y = x i y = − x seku pod pravim uglom, ona se često naziva i pravougla hiperbola.
3.5. Parametarske jedna čine Neka je u ravni data elipsa x 2 y 2 (1) + = 1. a 2 b2 Postavićemo dve kružnice sa centrom u koordinatnom pocetku O (Slika 7) : veliku k 1 (sa centrom u tački O i poluprečnikom a ) i malu k 2 (sa centrom u tački O i poluprečnikom b ), a p je proizvoljna prava kroz koordinatni početak. Ugao koji prava p zaklapa sa apscisnom osom Ox je ϕ . Presek prave p i kružnice k 1 je tačka L , a presek prave p i kružnice k 2 je tačka K . Kroz tačke K I L povući ćemo prave k i l paralelne
Slika 7.
sa Oy osom ( k ∩ Ox = K ' ∧ l ∩ Ox = L' ). Kroz K povlačimo pravu paralelnu Ox osi. Presek te prave i prave l je tačka M . Pri čemu za ϕ = 0 ili ϕ = π sledi M = L 3π π a za ϕ = ili ϕ = sledi M = K , a to 2 2 su tačke elipse. Uopšte za 0 < ϕ < π naše tvrñenje daje neku tačku iznad , a za π < ϕ < 2π daje neku tačku ispod x ose, tako što na svakoj vertikalnoj pravoj x = m , −a < m < a dobijamo tačno dve tačke M .
30
Konusni preseci
Dokažimo sada da svaka od tih tačaka pripada elipsi (1). Za koordinate x, y tačke M imamo x = ( OL' ) = OL cos ϕ = a cosϕ , ' ' y = ( L M ) = ( K K ) = OK sin ϕ = b sin ϕ
(2)
x 2 i iz jednačine (1) imamo 2 a
y2 + 2 b
2
2
= cos ϕ + sin ϕ = 1 , čime je tvrñenje
dokazano.
Dokažimo da iz naše pretpostavke, za neko ϕ dobijamo odgovarajuću tačku koja zadovoljava jednačine (2). Neka je N ( x0 , y0 ) bilo koja tačka elipse, − a < x0 < a na pravoj x = x0 dobijamo dve tačke M i one zadovoljavaju jednačinu (1) ( pripadaju elipsi). Ako se ni jedna od tih tačaka M ne bi poklopila sa tačkom N , na pravoj x = x0 , imali bismo tri tačke elipse, što je kontradikcija. Stavljaju ći u jednačinu (1) x = x0 za dobijanje vrednosti y0 kao tačke preseka prave x = x0 i elipse (1), dobijamo jednu kvadratnu jednačinu. Sve tačke elipse (1) zadovoljavaju sistem jednačina x = a cos ϕ , sin = y b ϕ
(3)
gde je 0 ≤ ϕ ≤ 2π .
Sistem jednačina (3) naziva se parametarske jednač ine ine elipse. Slično se mogu dobiti i parametarske jednačine hiperbole i parabole. Parametarske jednač ine ine hiperbole glase x = a sec ϕ y = btgϕ
(4)
gde je
−
π
2
≤ ϕ ≤
π
2
za desnu granu, i
π
2
≤ ϕ ≤
3π za levu granu. 2
Parametarske jednač ine ine parabole glase
(5)
x = 2 pt 2 y = 2 pt
( −∞ < t < +∞ ) .
31
Konusni preseci
3.6. Jednačine konusnih preseka u polarnim koordinatama
Polarna osa usmerena je od pola u stranu suprotnu od odgovarajuće direktrise d , tj. kako je usmerena apscisa. Za bilo koju tačku M naše krive C, označićemo sa r rastojanje od M do fokusa F , a sa δ rastojanje od M do direktrise d . Kriva C je geometrijsko mesto tačaka M za koje je r = e , tj. r = eδ . δ
Da bi izračunali δ , označićemo sa D tačku preseka direktrise i fokusne ose, a sa M x uuuu uuuuu u r projekciju tačke M na tu osu. Vidimo da je δ dužina vektora DM x . Za algebarsko značenje vektora imamo (1) ( DM x ) = ( DF ) + ( FM x ) , tj. uuur p ( DF ) = DF = , e ( FM x ) = r cos ϕ , uuuu r
gde je ϕ ugao vektora FM u odnosu na polarnu osu , tj. polarni ugao tačke M . uuuu uuuuu u r Imamo da je ( DM x ) = DM x = δ . Dakle, p p + er cos ϕ + r cos ϕ = . e e Koristeći jednakost r = eδ , dobijamo r = p + er cos ϕ , tj. δ=
p . 1 − e cos ϕ Poslednja jednakost predstavlja jednačinu parabole, elipse ili hiperbole u polarnim koordinatama. r (1 − e cos ϕ ) = p ili
r =
U slučaju elipse (Slika 8) vrednost 0 ≤ ϕ < 2π je dobra, jer je e cos ϕ ≤ e < 1 .
Slika 8.
32
Konusni preseci
Slika 9.
Slika 10.
Za hiperbolu (Slika 9) možemo da dobijemo ϕ , za koje je cos ϕ <
1 a = e a 2 + b2
= cosθ ,
gde je θ oštar ugao izmeñu asimptote i fokusne ose hiperbole. U svim tačkama desne grane hiperbole polarni ugao ϕ nalazi se u oblasti 0 < ϕ < 2π −θ , jer je cosθ
> cos ϕ .
Za parabolu (Slika 10) dobijamo jednostavno r =
p , gde je 0 < ϕ < 2π . 1 − cos ϕ
Vrednost ϕ = 0 ne može da postoji, jer joj ne odgovara nijedna tačka na paraboli.
33
Konusni preseci
4. Elementi konusnih preseka Elementom konusnog preseka naziva se svaka tačka, svaka prava, svaki skup tačaka, svaki skup pravih koje se odreñuju pomoću jedne ili više relacija koje sadrže koeficijente iz jednačine datog konusnog preseka. Posmatraćemo i odrediti elemente konusnog preseka polazeći od opšte jednačine (opšte algebarske jednačine drugog stepena) (1) 2 f ( x, y ) ≡ a11 x2 + 2a12 xy + a22 y2 + 2 a13 x + 2 a23 y + a33 = 0 . •
Preč nik nik . Preč nik nik ili dijametar je geometrijsko mesto sredina paralelnih tetiva konusnog preseka. r
Neka je ma koja tetiva krive (1) odreñena jediničnim vektorom s {m, n} , čije su koordinate kosinusi uglova α i β koje on zaklapa sa osama pravouglog Dekartovog koordinatnog sistema Oxy . Premestićemo početak sistema Oxy u neku novu tačku O1 ( a, b ) i primenićemo formule translacije x = a + x1 , y = b + y1 . Transformisana jednačina u odnosu na novi koordinatni sistem O1 x1 y1 ima sledeći oblik (2) a11 x12 + 2a12 x1 y1 + a22 y12 + 2 ( fa ' x1 + fb ' y1 ) + 2 f ( a, b ) = 0 , gde smo upotrebili sledeće oznake i stavili f a ' ≡ f x1 ' ( a, b ) , f b ' ≡ f y1 ' ( a, b ) , f x1 ' ( x1 , y1 ) ≡ a11 x1 + a12 y1 + a13 , f y1 ' ( x1 , y1 ) ≡ a21 x1 + a22 y1 + a23 ,
aik
= aki ,
( i, k = 1, 2 ) .
Ur novom koordinatnom sistemu tetiva koja prolazi kroz početak i paralelna je vektoru s , ima sledeće parametarske jednačine (3) x1 = mt , y1 = nt , ( t je parametar ). Eliminacija x1 i y1 iz jednačina (2) i (3) daje nam uslov
( a11m2 + 2a12 mn + a22 n2 ) t 2 + 2 ( f a' m + fb ' n ) t + 2 f ( a, b ) = 0 za odreñivanje onih vrednosti parametra t koje odgovaraju tačkama preseka prave (3) i krive (2). Ako tačka ( a, b ) treba da leži na sredini tetive, onda poslednji uslov ne može sadržati linearan član po veličini t , tj. mora biti f a ' m + fb 'n = 0 . Mi tražimo geometrijsko mesto sredina svih tetiva,tj. sve i samo one tačke ( a, b ) koje zadovoljavaju poslednji uslov. Zamenom veličina a i b sa tekućim koordinatama x i y dobijamo f x 'm + f y 'n = 0 jednačinu traženog geometrijskog mesta, jednačinu dijametra.
34
Konusni preseci
Ako stavimo da je n = tgα = k m tada jednačinu dijametra, tj. prave linije, možemo pisati u jednom od sledećih oblika (4) f x ' + kf y ' = 0 , f y ' ≠ 0 ili (5) ( a11 x + a12 y + a13 ) + k ( a21 x + a22 y + a23 ) = 0 , gde je k ugaoni keoficijent paralelnih tetiva. Za prečnik ili dijametar (4) ili (5) kažemo da je spregnut ili konjugovan s pravcem k . Koeficijent pravca k 1 dijametra (5) je a + a k k 1 = − 11 12 . a12 + a22 k Poslednja relacija se može napisati u simetričnom obliku u odnosu na veličine k i k 1 : (6) a22 kk1 + a12 ( k + k1 ) + a11 = 0 . Za prečnik koji je konjugovan sa pravcem k 1 , kažemo da je konjugovan sa prečnikom (5) i zato ugaoni koeficijenti dva uzajamno konjugovana prečnika zadovoljavaju vezu (6). m = cosα , n = sin α ,
Ose. Dva uzajamno normalna preč nika nika zovu se ose konusnog preseka.
•
Ugaoni koeficijent u osa odredićemo na sledeći na čin. Zbog uslova ortogonalnosti pravaca k i k 1 (7) kk 1 + 1 = 0 uslov (6) se može zapisati u obliku a −a (8) k + k 1 = − 11 22 . a12 Na osnovu (7) i (8) vidimo da su k i k 1 koreni sledeće kvadratne jednačine (9) a11n 2 + ( a11 − a22 ) n − a12 = 0 . Prema tome, koreni jednačine (9) jesu ugaoni koeficijenti osa konusnog preseka (1). •
Centar . Preseci uzajamno konjugovanih preč nika nika daju centar konusnog
preseka.
Koordinate centra dobijamo rešavanjem linearnih jednačina kojima su odreñeni konjugovani prečnici. Posmatraćemo sledeću jednačinu a11 x12 + 2a12 x1 y1 + a22 y12 + 2 ( fa ' x1 + fb ' y1 ) + 2 f ( a, b ) = 0 . Ako izaberemo koordinate ( a, b ) novog koordinatnog početka tako da pomenuta jednačina bude bez linearnih članova, tj. da bude oblika (10) a11 x12 + 2a12 x1 y1 + a22 y12 + 2 f ( a, b ) = 0 onda moraju postojati uslovi f a ' = 0 i f b ' = 0 , tj.
35
Konusni preseci
a11a + a12b + a13 = 0 . a21a + a22b + a23 = 0 Tako izabrani koordinatni početak, čije koordinate zadovoljavaju uslove (11), jeste centar krive, jer ma koja sečica što prolazi kroz O1 seče krivu (10) u dvema simetričnim tačkama. Dakle, jednačine (11) služe za odreñivanje koordinata centra konusnog preseka. Da bi linearan sistem (11) imao rešenja po a i b , ili, da bi kriva drugog reda imala centar, mora determinanta sistema da bude različita od nule, tj. a11 a12 2 ∆≡ = a11a22 − a12 ≠ 0 . a21 a22
(11)
Krive drugog reda sa centrom su elipsa i hiperbola, a bez centra je parabola ( ∆ = 0 ) . •
Temena. Preseci konusnog preseka sa osama zovu se temena konusnog preseka.
Koordinatni početak je teme parabole, presečne tačke hiperbole i x ose nazivamo temenima hiperbole. Tangenta. Tangenta u tač ki ki ( x0 , y0 ) konusnog preseka je prava koja prolazi kroz tu tač ku ku paralelno tetivama konjigovanim sa preč nikom nikom koji takoñ e prolazi kroz tač ku ku ( x0 , y0 ) ( Slika 11). Izvešćemo jednačinu tangente na osnovu ove definicije. Prečnik koji je spregnut s pravcem k ima ednačinu ( x0 , y0 ) (13) f x ' + f y 'k = 0 . Jednačina tangente TT ' je jednačina prave koja prolazi kroz tačku ( x0 , y0 ) i ima ugaoni koeficijent k , tj. (14) y − y0 = k ( x − x0 ) . Slika 11. •
Pošto i prečnik (13) prolazi kroz istu ta čku ( x0 , y0 ) sledi f x0 ' ' ' (15) f x0 + f y0 k = 0 ; k = − ' , f y0 ' ≠ 0 . f y0 Eliminacijom k iz jednačina (14) i (15) dobijamo f x0 ' (16) y − y0 = − ' ( x − x0 ) , f y0 ili ( x − x0 ) f x0 ' + ( y − y0 ) f y0 ' = 0 što je tražena jednačina tangente. 36
Konusni preseci
Jednačini tangente možemo dati i jedan od sledećih oblika ( a11 x0 + a12 y0 + a13 ) x + ( a21 x0 + a22 y0 + a23 ) y + ( a31 x0 + a32 y0 + a33 ) = 0 ili (17) a11 x0 x + a12 ( y0 x + x0 y ) + a22 y0 y + a13 ( x + x0 ) + a23 ( y + y0 ) + a33
= 0.
Polara. Da bismo definisali polaru uočimo neku tačku P , koja ne pripada konusnom preseku i kroz istu povucimo sečicu PM 1M 2 (Slika 12). •
Odredimo na toj sečici tačku Q tako da e par tačaka P i Q harmonijski konjugovan sa parom tačaka M 1 i M 2 . Tada za tačke P i Q kažemo da su harmonijski konjugovane u odnosu na dati konusni presek.
Slika 12.
Polarom konusnog preseka sa polom u tač ki ki P zovemo geometrujsko geometrujsko mesto tač aka aka harmonijski konjugovanih sa polom P u odnosu na taj konusni presek presek .
Na osnovu ove definicije dobija se jednačina polare a11 x0 x + a12 ( y0 x + x0 y ) + a22 y0 y + a13 ( x + x0 ) + a23 ( y + y0 ) + a33
=0
gde su x0 i y0 koordinate pola P . Jednačina polare ista je po obliku kao i jedna čina tangente (17). Razlika je u tome što su u jednačini tangente veličine x0 i y0 koordinate tačke na krivoj, dodirne tačke, a kod polare to su koordinate neke tačke koja nije na krivoj, koordinate pola. Asimptota. Asimptota konusnog preseka je prava koja dodiruje presek u beskrajno udaljenoj tač ki ki. •
Eliminacijom y iz jednačine konusnog preseka (1) i jednačine prave (18) y = mx + n dobićemo kvadratnu jednačinu po x (19) Ax 2 + 2 Bx + C = 0 , gde je A ≡ a11 + 2a12 m + a22 m 2 , B ≡ ( a12 + a22 m ) n + a23 m + a13 , C ≡ a 22 n2 + 2a23 n + a33 . Da bi prava y = mx + n dodirivala krivu Ax 2 + 2 Bx + C = 0 mora da ima dvostruki koren, tj. mora postojati uslov 37
Konusni preseci
(20) B 2 − AC = 0 , a da bi se jednačina (19) mogla “zadovoljiti “ za x → ∞ mora biti i (21) A = 0 . Prema tome, uslovi (20) i (21) mogu se napisati u obliku A = 0, B = 0 ili a11 + 2a12 m + a22 m 2 = 0 , ( a12 + a22 m ) n + a 23 m + a13 = 0 , i daju takve vrednosti za m i n ( ako su realne) na osnovu kojih jednačina y = mx + n predstavlja jednačinu asimptote. Označimo sa F (α , β ) žižu, sa DD ' : m1 x + n1 y + k1 = 0 r direktrisu, sa M ( x, y ) ma koju tačku konusnog preseka. Tada imamo = e , gde je d r odstojanje tačke od žiže, a d od direktrise. Poslednju jednačinu možemo zapisati u obliku •
Žiže i direktrise.
2
( x − α ) + ( y − β ) m1 x + n1 y + k1 m12 + n12 ili (22) gde su uvedene oznake m≡
( x − α )
2
2
=e,
2
+ ( y − β ) = ( mx + ny + k )
m1e n1e ≡ , , n 2 2 2 2 m1 + n1 m1 + n1
k ≡
2
, k1e 2 1
m
2 1
+n
.
Jednačina (22), može da se razlikuje od jednačine (1) samo konstantnim množiteljem, recimo µ , i zato su odgovarajući koeficijenti ovih dveju jednačina proporcionalni: (23)
1 − m2 a11
mn 1 − n 2 =− = a12 a22
=
α + km
a13
=−
β + km
a23
=
α 2 + β 2 − k 2
a33
( = µ ) .
Jednačine ( 23) služe za odreñivanje veličina α , β , m, n, k ,tj. za odreñivanje žiža i direkrtisa pomoću koeficijenata jednačine (1).
38
Konusni preseci
LITERATURA
1. B.Rašajski, ” Analiti čka geometrija ”, Gra ñevinska
knjiga,
Beograd, 1968. 2. P.S. Aleksandrov, “ Predavanja iz analiti čke geometrije ”
Nauka, Moskva, 1968 . 3. M. Radojčić, “Elementrana geometrija”, Nau čna knjiga,
Beograd, 1961. 4.
Miroslava Petrović-Torgašev, ” Analiti čka geometrija ”. Prirodno-matematički fakultet Kragujevac, 1995 .
5.
“Matematicka enciklopedija Larousse”, 1967
39
Konusni preseci
Sadržaj
1. Uvod
1
1.1. Euklidski prostor 1.2. Elementi spektralne teorije matrica 1.3. Kvadratne forme
1 3 6
2. Krive u Euklidskim prostorima
10
2.1. Algebarske krive drugog reda 2.2. Klasifikacija krivih drugog reda
10 10
3. Konusni preseci
14
3.1. Opšta definicija konusnih preseka 3.2. Parabola 3.3. Elipsa 3.4. Hiperbola 3.5. Parametarske jednačine 3.6. Jednačine konusnih preseka u polarnim koordinatama
14 16 19 24 30 32
4. Elementi konusnih preseka
34
40
