BAB 8 KONSEP FASOR DAN PENERAPANNYA DALAM RANGKAIAN AC
Phasor adalah bilangan kompleks yang merepresentasikan merepresen tasikan besaran atau magnitude
dan
phasa gelombang sinusoidal. Selain itu, fasor merupakan sebuah rangkaian yang dapat dijelaskan dengan menggunakan fasor disebut berada dalam wawasan frekuensi(frequency domain) Contoh: V(t) = cos (ωt + θ)
Notasi phasornya: phasornya: a. Polar : b. c.
Rektangular: cos (θ) + j Eksponensial: V =
A. Bilangan Kompleks Bilangan kompleks adalah suatu bilangan yang terdiri dari bagian Real (nyata) dan bagian Imaginer (khayal).Kita namakan x bagian nyata ( real part ) dari z dan y bagian khayal (imaginary part ) dari z dan kita lambangkan Re z = x Im z = y
Bentuk-bentuk bilangan kompleks: 1. Bentuk Kartesian/Rectangular Kartesian/Rectangular Bentuk umumnya yaitu z = x + jy (bentuk sudut siku bilangan kompleks) dengan x bilangan nyata, y juga bilangan nyata, dan imajiner. 2. Bentuk Polar Bentuk umumnya dimana
√
= bilangan kompleks atau
Sudut
disebut argumen (ditulis argz) dan penggal garis yang menghubungkan titik
z ke titik awal disebut modulus. Dari gambar jelas bahwa
sedangakan modulus z adalah
√ Jadi, dapat ditulis
√ ()
3. Bentuk Eksponensial
()
Bentuk umumnya dimana
Menggunakan formula Euler :
⌊ ⌋⌊⌋ ⌊ ⌋⌊ ⌋ 4. Bentuk Trigonometri
() B. Bilangan Euler, Phasor, dan Diagram Phasor B.1. Bilangan Euler
Konstanta matematika e adalah basis dari logaritma natural. Kadang-kadang disebut juga bilangan Euler sebagai penghargaan atas ahli matematika Swiss, Leonhard Euler, atau
juga konstanta Napier sebagai penghargaan atas ahli matematika Skotlandia, John Napier yang merumuskan konsep logaritma untuk pertama kali. Bilangan ini adalah salah satu bilangan yang terpenting dalam matematika, sama pentingnya dengan 0, 1, i, dan π. Bilangan ini memiliki beberapa definisi yang ekivalen; sebagian ada dibawah.
Definisi
Dalam analisis matematika, Identitas Euler adalah persamaan :
Di mana persamaan tersebut menunjukkan hubungan yang erat antar kelima bilangan paling penting dalam matematika, yaitu: a. 0 adalah identitas penjumlahan, b. 1 adalah identitas perkalian, c.
adalah
bilangan Euler, basis logaritma natural, yang nilainya adalah mendekati
2.71828182845905. d.
adalah unit imajiner, salah satu dari dua bilangan kompleks yang kuadratnya negatif satu (bilangan yang satu lagi adalah
e.
), dan
adalah Pi, rasio perbandingan antara keliling lingkaran dengan diameternya, yang nilainya adalah mendekati 3.14159265358979.
Perhatikan juga bahwa dalam persamaan tersebut terdapat operasi dasar aritmetik yaitu penjumlahan, perkalian, dan perpangkatan, dan masing-masing muncul tepat satu kali. Secara geometris persamaan ini dapat dibayangkan sebagai rotasi titik (1, 0) pada bidang kompleks sebesar 180° (π radian), dilanjutkan dengan translasi sebesar 1 searah sumbu X. Deretan transformasi tersebut tiba pada titik asal (0, 0).
Bukti
Identitas Euler dapat dibuktikan menggunaan formula :
dengan mensubtitusikan x dengan π didapat:
Sehingga dengan menambahkan kedua ruas dengan 1 diperoleh persamaan :
B.2. Fasor
Kita mengenal pernyataan suatu bilangan kompleks yang berbentuk : z = ( A cos j sin )
(3.3)
Dengan pernyataan bilangan kompleks ini maka fungsi cosinus dan sinus dapat dinyatakan sebagai fungsi eksponensial kompleks, yaitu : A cos
komponen nyata dari z, dan A sin x = Im = komponen imajiner dari z
Karena sinyal sinus dalam analisis rangkaian listrik dituliskan dalam bentuk normal sebagai fungsi cosinus, dapat ditetapkan bahwa hanya bagian riil dari bilangan kompleks saja yang diambil untuk menyatakan sinyal sinus. Oleh karena itu sinyal
sinus : y = A cos (ωt + θ) dapat kita tulis sebagai y = A cos (ωt + θ) = Re ()
=
(3.5)
tanpa harus menuliskan keterangan Re lagi. Jika kita bekerja pada suatu frekuensi ω tertentu untuk seluruh sistem rangkaian, maka faktor pada pernyataan fungsi sinus (3.5) tidak perlu dituliskan lagi. Kita dapat menyatakan fungsi sinus cukup denga mengambil besar dan sudut fasa-nya saja. Jadi,
Sinyal sinus v = A cos (ωt + θ) Dinyatakan dengan
(3.6)
Pernyataan sinyal sinus dengan bilangan kompleks ini disebut fasor yang biasa dituliskan dengan huruf tebal dengan garis di atasnya. Jadi dengan notasi fasor, kita hanya memperhatikan amplitudo dan sudut fasa dari suatu sinyal sinus, dengan pengertian bahwa frekuensinya sudah tertentu. Karena kita hanya memperhatikan amplitudo dan sudut fasa saja, maka fasor dapat kita tuliskan dengan menyebutkan besarnya dan sudut fasanya. Pengertian ini ekivalen dengan modulus dan argumen pada bilangan kompleks. Jadi penulisan fasor dalam bentuk yang
juga kita sebut bentuk polar adalah V = ditulis sebagai V = A
(3.7)
Panjang fasor adalah nilai mutlak dari amplitudo A. Penulisan fasor dalam bentuk polar, dapat diubah ke bentuk sudut-siku, yaitu : V = A∠ θ = A (cos θ + j sin θ)
(3.8)
Sebaliknya, dari pernyataan dalam bentuk sudut-siku dapat diubah ke bentuk polar. V = √ Transformasi timbal balik antara pernyataan dalam bentuk sudutsiku dan bentuk polar, memudahkan kita dalam melakukan operasioperasi fasor yang akan kita lihat berikut ini, yang pada hakekatnya sama seperti operasi aljabar pada bilangan kompleks yang sudah kita pelajari.
B. 3. Diagram Fasor Diagram Fasor
r 0
0
r 45
a.diagram fasor fasa
0
0
0
r 90
b. Diagram fasor fasa
45
0
0
c. Diagram fasor fasa
90
jika beda antara arus dan tegangan sebesar θ, maka diagram fasornya :
0
0
I 1
V 1
0
0
I 2 2
a. diagram fasor arus dan tegangan (arus lagging)
0
0
V 2
b.diagram fasor arus dan tegangan (arus leading)
0
