математички практикум
1
ОСНОВЕ КОМБИНАТОРИКЕ
ПРИНЦИПИ ПРЕБРОЈАВАЊА
ПЕРМУТАЦИЈЕ
ВАРИЈАЦИЈЕ
КОМБИНАЦИЈЕ
Област математике која проучава особине коначних скупова зове се комбинаторика. У те особине, најчешће, спадају издвајање одређених подскупова датог скупа, распоређивање елеелемената у њима, као и одређивање броја таквог издвајања, односно распоређивања.Формално гледано, сваки задатак комбинаторног типа може се ријешити директним претраживањем датог скупа, али се то ријетко ријетко ради, јер су посматрани скупови јако бројни. Примјера Примјера ради, једна обична куцана страница текста, у коме се користе само мала слова, може имати 30 2000 ~ 3000 40 10 различитих верзија, док број атома у садашњој Васиони није већи од 10 . Због тога је комбинаторика развила посебне методе рјешавања задатака. Прво систематско излагање формула и принципа комбинаторике садржано је у књизи двадесетогодишњег Лајбница Dissertatio de Arte Combinatoria, објављеној 1666. године. У предговору Лајбниц објашњава да жели да створи „општи мето помоћу кога ће све истине до којих се долази размишљањем моћи да се добију неком врстом рачуна. Истовремено ће то бити врста универзалног језика или писма, али безусловно различитог различитог од свега раније предложеног, јер ће симболи и чак ријечи у њему бити непосредно резоновање“ . Касније су Јаков Бернули и Леноард Ојлер изучавали низ комбинаторних проблема, који су иницирали развој посебних научних дисциплина, са примјенама које које су и данас значајне. Разликујемо три врсте различитих врсте различитих распоре распореда да и то су: су:
пермутације ,
варијације ,
комбинације .
ПЕРМУТАЦИЈЕ
Дефиниција: Пермутација Дефиниција: Пермутација скупа од n елемената је свака уређена n-торка различитих елемената тог скупа. Број пермутација Број пермутација скупа од n елемената износи P n n n 1 2 1 n !
Симбол n ! је скраћеница за записивање узастопног производа од n елемената и чита се n факторијел . По дефиницији се узима да је да је 0! 1 . Примјер:
1
математички практикум
2
Дат је скуп A a1 , a2 . Колико има пермутација елемената овога скупа , а да се елементи не понављају? Има их двије. То су: a1a2 и a2 a1 . P 2 2 P 1 2 1 2 Примјер:
Дат је скуп A a1 , a2 , a3 . Колико има пермутација елемената овога скупа, а да се елементи не понављају? Има их шест. То су: a1a2 a3 a1a3 a2 a2 a1a3 a2 a3a1 a3a1a2 и a3a2 a1 . P 3 3 P 2 3 2! 3 2 1 6 Примјер:
Дат је скуп A a1 , a2 , a3 , a4 . Колико има пермутација елемената овога скупа , а да се елементи не понављају ? Има их 24 . То су: a1 a2a3a 4 a2a1a3a 4 a3a1a2a4 a4a1a2a3 a1a2 a 4 a3 a2a1a4a3 a3a1a4a2 a4a1a3a2 a1 a3 a2a 4 a2a3a1a 4 a3a2a1a4 a4a2a1a3 a1a3 a 4 a2 a2 a3 a4 a1 a3 a2 a4 a1 a4 a2 a3 a1 a1 a4 a2a3
a2a4a1a3 a3a4a1a2 a4a3a1a2
a1 a4 a3a2
a2 a4 a3 a1 a3 a4 a2 a1 a4 a3 a2 a1
.
P 4 4 P 3 4 3! 4 6 24 . Примјер: На колико начина се могу распоредити 6 различитих књига на полицу? P 6 6! 6 5 4 3 2 1 720 . Примјер: Пчела треба да скупи полен са 7 различитих цвјетова. Када узме полен са цвијета она се на њега више не враћа. На колико начина пчела може да обиђе свих 7 цвјетова? P 7 7! 7 6 5 4 3 2 1 5040 .
ПЕРМУТАЦИЈЕ СА ПОНАВЉАЊЕМ
Број пермутација са понављањем, скупа од n елемената, међу којима има k1 , k2 , , k m једнаких износи Pk ,k ...k n 1 2 m
2
n! k 1! k 2 !...k m !
.
математички практикум
3
Примјер: Написати све пермутације елемената a, b, b . abb, bab , bba
Примјер: Одредити број пермутација елемената 0,0,0,1,1,1,1 .
7 7 3 7! 7 6 5 4! 35 . 4 3 3!4! 3!4!
Број пермутација је P3,4 7 ВАРИЈАЦИЈЕ
Дефиниција: Варијација k класе од елемената тог скупа. Број варијација износи
n
елемената је било која уређена k -торка различитих
k 1
n
Vk
n i n n 1
n k 1
i 1
или V k n
n!
n k !
Примјер:
Дат је скуп A a1 , a2 , a3 . Колико има варијација друге класе елемената овога скупа и како гласе? Има их шест. То су: a1a2 a1a3 3
V 2
a2a1
a 2a 3
a3a1
a3a 2
3 2 6 .
Примјер: На конкурс у фирму јавило се 6 кандидата за радна места директора , секретара и потрира. На колико начина их је могуће изабрати?
Вршимо избор 3 од 6 кандидата. Како је распоред ( функција) битан, у питању су варијације треће класе од 6 елемената. V 3 6
6 5 4 120 .
ВАРИЈАЦИЈЕ СА ПОНАВЉАЊЕМ
Варијација са понављањем k класе од n елемената је било која k -торка елемената скупа A . Број варијација износи n
V k
n k
Примјер: Колико има двоцифтрних бројева који се могу написати са цифрама 1,2,3 и како гласе?
Има их V 2 3 9 . 3
2
То су: 11,12,13, 21, 22,23,31,32,33 .
3
математички практикум
4 КОМБИНАЦИЈЕ
Дефиниција: Комбијација k класе скупа од n елемената је било који посдскуп од k елемената тог скупа. Број комбинација износи n
C k
Израз
n k
n! k ! n k !
n чита се n над к. k
Примјер:
Дат је скуп A a1 , a2 , a3 . Колико има комбинација друге класе елемената овога скупа и како гласе? 3
Има их C 2
То су: a1a2
3 3 2 3. 2 2! a1a3
a2a3 .
Напомена: Основна разлика између пермутација, варијација и комбинација је у томе што код пермутација користимо и распоређујемо све елементе задатог скупа, док код варијација и комбинација користимо подскупове задатог скупа. Са друге стране, разлика између варијација и комбинација је у томе што је код варијација је битно место елемента у распореду, а код комбинација није. Примјер: Колико има троцифрених бројева који се могу написати са цифрама 1,2,3 ?
Како је у броју битан распоред цифара, ово су варијације. Има их V 2 3 2 6 . 3
Примјер: Колико има правих који се могу повући кроз неколинеарне тачке A, B, C ?
Како је сада није битан распоред тачака на правој, ово су комбинације. 3
Има их C 2
3 3 2 3 2 3. 2 2! 2 1
То су праве AB , AC и BC .
КОМБИНАЦИЈЕ СА ПОНАВЉАЊЕМ
Комбијација k класе од n елемената са понављањем је
n
C k
n k 1 k
4
математички практикум
5
Примјер: На колико начина се 12 истих лопти може распоредити у 6 различитих кутија.
6 12 1 6188 . 12
12
Има их C 6
ЗАДАЦИ:
1. На колико начина могу да с jедну 5 особа на пет столица? Рјешење:
P 5 5! 5 4 3 2 1 120 . 2. Колико различитих петоцифрених бројева се могу написати помоћу цифара 0,1,2,3,4 , а да се
цифре не понављају ? Рјешење: P 5 P 4 5! 4! 120 24 96 . 3. Дат је скуп A 1,2,3,4,5,6 . a)
Колико шестоцифрених бројева почиње цифрама 1, 2 у датом поретку ?
b)
Колико шестоцифрених бројева почиње цифрама 1, 2 у произвољном поретку ?
c)
У колико шестоцифрених бројева цифре 1, 2 стоје једна поред друге у датом поретку?
d)
У колико шестоцифрених бројева цифре 1, 2 стоје једна поред друге у произвољном поретку?
Рјешење: а) P 4 4! 24 , б) 2 P 4 2 4! 48 , ц) P 5 5! 120 , д) 2 P 5 2 5! 240 . 4. Формирати све пермутације од елемената a, b, b, c и одредити њихов број.
Рјешење: abbc , abcb , acbb , babc , bbac , bbca , bcba , bacb , bcab , cabb , cbab , cabb . P2 4
4! 2!
24 2
12 .
5. Колико пермутација од елемената a, a, a, a, a, b, b, b, c почиње
а) са а, b) са б, c) са ц .
Рјешење: а) P4,3 8 б) P5,2 8
8! 4! 3! 8! 5! 2 !
280 , 186 ,
5
математички практикум
6 ц) P5,3 8
8! 5! 3!
56 .
6. Колико има двоцифтрних бројева који се могу написати са цифрама 1,2,3 ?
Рјешење: Има их V 2 3 9 . 3
2
То су: 11,12,13, 21, 22,23,31,32,33 . 7. Дат је скуп A 1,2,3,4 .
а) Формирати све двоцифрене бројеве од елемента овог скупа, код који се цифре не понављају и одредити њихов број. б) Формирати све двоцифрене бројеве од елемента овог скупа и одредити њихов број.
Рјешење: а) 12,13,14, 21, 23, 24,31,32, 34,41, 42,43 .
4 3 12 б) 11,12,13,14, 21, 22, 23, 24,31, 32,33,34, 41, 42, 43, 44 4
V 2
4
V 2
4 2 16 .
8. На колико се начина могу изабрати четири особе на четири различите дужности, од девет пријављених кандидата?
Рјешење: V 4 9
9 8 7 6 3024 .
9. У кампањи за изборе председнички кандидат мора да обиђе 7 од 15 градова у Црној Гори. Да би постигао што бољи резултат он кампању мора да заврши у Бијелом Пољу. На колико различитих начина он то може учинити? Рјешење: V 6
14
10.
14 13 12 11 10 9 2162160 . Колико се различитих четвороцифрених бројева може формирати од десет различитих цифара?
Рјешење: а) Ако се цифре у броју не понављају, бројева има 10
V4
V 39 10 9 8 7 6 9 8 7 5040 504 4536 . 10
б) Ако се цифре у броју понављају, бројева има V4 11.
V 310 10 4 103 9000
Колико се различитих петоцифрених бројева може формирати од цифара 0,1,3,5,7,9 , ако се нула не налази ни на првом ни на последњем мјесту и ако се цифре не понављају ?
Рјешење:
2 V 45 480 . 12.
На тикету спортске прогнозе има 12 сусрета. Колико попуњених колона обезбеђује 12 тачних погодака?
Рјешење:
6
математички практикум
7 3
V 12
312 531441 .
На једном шаховском турниру учествује 15 шахиста. Сваки треба да одигра партију са сваким. Колико ће партија бити одиграно?
13.
Рјешење:
15 15 14 105 . 2 2 1
15
C 2
14.
Колико дијагонала има конвексни петоугао?
Рјешење: 5
C 2
5 54 10 . 2 2 1 Скуп од 40 особа треба да изабере председника , секретара и 3 члана председништва. На колико начина је могуће начинити овај избор?
15.
Рјешење: 40
38
V2 C 3
13160160 .
Колико у граду има телефона са петоцифреним бројевима: ако су све цифре различите, ако се цифре понављају.
17. a) b)
Рјешење: 10
10
V5 ,
V 5 .
18.
На школској забави налази се 22 девојака и 15 младића. На колико начина је могуће од њих изабрати 4 пара за плес?
Рјешење: 12
C4
C 415 .
19.
На колико начина се сјеку 18 правих, од којих су 5 паралелне, 6 се сјеку у једној тачки, а 4 у другој.
Рјешење: 18
C2
C25 C26 1 C24 1 124 .
20. Кошаркашки тим сачињавају 5 бекова, 4 центра и 3 крила. На колико начина се може саставити петорка ако у њој морају да играју бар 2 бека и бар један центар?
Рјешење: 5
4
3
C2 C 2 C1
21.
C 25C34 C 25C14C 23 C 35C14C13 C 35C 24 C 45C14 540 .
Дате су цифре 0,0,0,0,1,1,1 . Колико има пермутација од ових елемената?
Рјешење:
7
математички практикум
8 P4,3 7 22.
7! 4!3!
35 .
Колико има четвороцифрених бројева чије су сусједнe цифре различите? Рјешење: Прва цифра с лијева не може бити нула, па за њу има 9 могућности. Следећа цифра може бити било која осим оне која је изабрана за прву цифру, па и за њу има 9 могућности.На исти начин и за цифру десетица и за цифру јединица има по 9 могућности. Дакле, укупно има 9∙9∙9∙9, односно 94 могућности .
23.
Колико има четвороцифрених бројева који се записују помоћу двије различите цифре? Рјешење: Прва цифра може да се изабере на 9 начина, а за следећа три мјеста треба изабрати једну од преосталих цифара (9 начина) и уписати једном (3 начина) или два пута (3 начина) или три пута (1 начин) . Дакле, има 9∙9∙7, односно 567 таквих бројева.
24.
Колико има пермутација цифара 1,2,3,4,5 у којима је цифра 3 испред цифре 2? Рјешење: Исто колико и оних у којима је 2 испред 3, јер се од пермутације у којој је цифра 3 испред цифре 2 добија пермутација у којој је цифра 2 испред цифре 3 тако што цифре 3 и 2 замијене мјеста. Дакле, има5!:2=60 тражених пермутација.
25.
Колико има пермутација скупа цифара у којима је цифра 0 на неком од првих шест мјеста, а цифра 1 на неком од поседњих шест мјеста? Рјешење: Ако је цифра 0 на неком од прва четири мјеста, онда има 4∙6∙8! пермутација, а ако је цифра 0 на петом или шестом мјесту, онда има 2∙5∙8! пермутација. Дакле, укупно 34∙8! тражених пермутација
26.
У једном одјељењу има 15 дјечака и 15 дјевојчица. На колико начина они могу да сједну у 15 клупа тако да у свакој клупи буде ученик и ученица? Рјешење: Ученици по клупама могу да се распореде на 15! начина. На исто толико начина могу да се распореде дјевојчице, а у свакој клупи има два начина да сједну дјечак и дјевојчи2 15 ца. Дакле, укупно има (15!) ∙2 тражених начина.
27.
28.
Колико има деветоцифрених бројева у којима се цифра 2 појављује два пута, цифра 3 три пута, а цифра 4 се појављује четири пута? Рјешење: Ради се о пермутацијама са понављањем типа 2,3,4 скупа од 9 елемената, па је 9! P2 ,3 ,4 1260 2!3!4! На колико начина може бити оцијењен ученик на крају школске године ако се оцјењује из 12 предмета? Рјешење: Скуп оцјена има пет елемената, а ученик се оцјењује уређеном дванаесторком тих елемената, при чему се они понављају. Према томе, укупно има 5 12 могућности.
29.
У равни је 30 тачака, при чему не постоје три од њих које припадају истој правој. Колико постоји троуглова чија су тјемена дате тачке?
8
математички практикум
9
Рјешење: Троугао је одређен са три од датих тачака. Према томе, треба од 30 тачака изабрати 30 3, а то може да се уради на 4060 начина. 3 30.
Колико на шаховској табли има правоугаоника? Рјешење: Сваки правоугаоник је одређен избором двије од девет вертикалних и двије од девет хоризонталних линија које ограничавају поља на шаховској табли. Дакле, укупан број
31.
32.
9 9 правоугаоника је 1296 2 2 Један фудбалски клуб жели да пет од својих седам играча размијени за пет од девет играча другог клуба. На колико начина се може обавити размјена? 7 9 Рјешење: Први клуб може да одабере играче за размјеру на начина, други на начина 5 5 7 9 што је укупно 2646 начина 5 5 Ако конвексан многоугао има n страница колико највише може бити пресјечних тачака његових дијагонала? Рјешење: Свака пресјечна тачка дијагонала је одређена са двије дијагонале, а свака дијагонала са два тјемена, при чему ће бити највише пресјечних тачака ако никоје три и више дијагонале немају заједничку тачку. Према томе, проблем се своди на на избор 4 од n тјемена многоугла, n а то може да се уради на начина. 4
33.
На тениском турниру учествује 10 тенисера и 6 тенисерки. На колико начина могу да се од њих изаберу 4 мјешовита пара? Рјешење: За први пар тенисер може да се изабере на 10, а тенисерка на 6 начина. За други пар тенисер може да се изабере на 9 , а тенисерка на 5 начина. Слично за трећи и четврти пар, што значи да укупно има V 410 V 46 1814400 начина.
34.
У ормару се налази 10 различитих пари ципела. На колико начина можемо изабрати 4 ципеле тако да међу изабраним ципелама буде бар један пар исте врсте? Рјешење: Један пар ципела исте врсте можемо да изаберемо на 10 начина, а од преосталих 18 18 двије могу да се изаберу на начина. Међутим, случај кад су оба пара исте врсте смо 2 18 бројали два пута, па од 10∙ треба одузети број начина да се изаберу два пара ципела исте 2 10 18 10 врсте, односно , па имамо: 10∙ - =1485 2 2 2
35.
Ако се регистарске таблице састоје од 2 слова азбуке, која има 30 слова, и иза њих четвороцифреног броја, колики је број различитих таблица? Рјешење: Два слова на таблици могу да се појаве на 30∙30 начина, а четири цифре на 10 4 6 начина , што значи да различитих таблица има 30∙30∙10 =9∙10
36.
4
На 6 нумерисаних сједишта на једној клупи распоредити 3 дјевојке и 3 младића тако да никоје двије особе истог пола не сједе једна до друге. На колико начина је то могуће?
9
математички практикум
10
Рјешење: Распореда MDMDMD, гдје је М младић, а D дјевојка има 3!∙3!, а исто толико распореда DМDМDМ. Према томе, укупно има 2∙6∙6 односно 72 различита распореда.
37.
Одредити број пресјечних тачака свих дијагонала унутар конвексног седмоугла код којег се никоје три и више дијагонале не сјеку у једној унутрашњој тачки седмоугла. Рјешење: Свака пресјечна тачка је одређена двијема дијагоналама, односно тјеменима која одређују те двије дијагонале. Према томе, број пресјечних тачака је једнак броју избора 7 четири тачке од седам а то је 35 5
38.
Од три математичара и пет инжењера треба формирати експертни тим од шест чланова у којем ће бити бар два математичара. На колико је начина то могуће урадити? Рјешење: Према услову задатка експертски тим може да има или 2 или 3 математичара. У првом случају математичари могу да се изаберу на 3 начина а преостала четири члана на 5 начина. У другом случају се од пет инжењера бирају три, а то може да се учини на 10 начина. Према томе, укупно има 3∙5+10 односно 25 различитих тимова.
39.
Колико има природних бројева који имају бар двије цифре и код којих је свака цифра мања о претходне? 10 Рјешење: Двоцифрених бројева који задовољавају наведени услов има , троцифрених 2 10 10 , ..., десетоцифрених . Према томе, природних бројева који испуњавају дати услов 3 10 10 10 10 има + +...+ =210-10-1=1013 2 3 3
10
