3
TURUNAN FUNGSI
3.1 Pengertian Turunan Fungsi
Definisi ’
Turunan fungsi f adalah fungsi f yang nilainya di c adalah f (c + h) − f (c) f (c) = lim h →0 h asalkan limit ini ada. ’
Contoh 1 2
x) = 3 x + 2 x +4, maka turunan f di x = 2 adalah Jika f ( x f (2 + h) − f ( 2) f (2) = lim h→0 h 3(2 + h) 2 + 2( 2 + h) + 4 − (3. 2 2 + 2. 2 + 4) = lim h→0 h 2 3( 4 + 4h + h ) + 4 + 2h + 4 − (12 + 4 + 4) = lim h →0 h 12h + 3 h 2 + 2h = lim h →0 h h(12 + 3 h + 2) = lim h→0 h = lim(12 + 3h + 2) ’
h→0
= 14
Jika f mempunyai turunan di setiap x anggota domain maka f ( x + h) − f ( x) f ( x x) = lim h→0 h ’
’
Jika y = f ( x x) turunan y atau turunan f dinotasikan dengan y , atau
dy dx
’
, atau f ( x x), atau
df ( x) dx
Turunan Fungsi
38
Contoh 2 2
x) = 3 x + 2 x +4, maka turunan f di sembarang x adalah Jika f ( x f ( x + h) − f ( x) f ( x x) = lim h →0 h 3( x + h) 2 + 2( x + h) + 4 − (3 x 2 + 2 x + 4) = lim h →0 h 3( x 2 + 2 xh + h 2 ) + 2 x + 2h + 4 − (3 x 2 + 2 x + 4) = lim h →0 h 2 6 xh + 3 h + 2h = lim h →0 h h(6 x + 3 h + 2) = lim h →0 h = lim(6 x + 3h + 2) ’
h→0
= 6 x + 2 3.2 Turunan Fungsi Fungsi Konstan dan Fungsi Pangkat ’
x) = k dengan k konstan untuk setiap x ( f f fungsi konstan), maka f ( x x) = 0. 1. Jika f ( x Bukti:
’
f ( x x)
= lim
f ( x + h) − f ( x)
h →0
= lim
h k − k
h→0
h
=0 ’
x) = x untuk setiap x ( f f fungsi identitas), maka f ( x x) = 1. 2. Jika f ( x Bukti:
’
f ( x x)
= lim
f ( x + h) − f ( x)
h →0
= lim
h
( x + h) − x
h →0
= lim h→0
h h h
= 1. n
’
n–1
3. Jika f ( x x) = x dengan n bilangan bulat positif, untuk setiap x, maka f ( x x) = nx Bukti:
’
f ( x x)
= lim
.
f ( x + h) − f ( x)
h →0
h
( x + h) − x n n
= lim h →0
h
Turunan Fungsi
39
x + nx = lim n
n −1
n(n − 1)
h+
2
x
h →0
⎛ ⎝ = lim
h⎜ nx
n −1
n−2
h 2 + ... + nxh
n −1
+ h n − x n
h
+
n(n − 1)
2
x
n−2
h →0
h + ... + nxh
n−2
⎞ + h n −1 ⎟ ⎠
h
⎛ h →0 ⎝
= lim⎜ nx
n −1
+
n(n − 1)
2
n−2
x
h + ... + nxh
n−2
⎞ + h n −1 ⎟ ⎠
= lim nx n−1 h →0
n− = nx 1
Contoh 3 5
4
’
Jika f ( x x) = x , maka turunan f adalah f ( x x) = 5 x
3.3 Sifat-sifat Turunan
Jika k suatu konstanta, f dan g fungsi-fungsi yang terdiferensialkan, u dan v fungsifungsi dalam x sehingga u = f ( x x) dan v =g( x x) maka berlaku: ’
’
1. Jika y = ku
maka y = k (u )
2. Jika y = u + v
maka y = u + v
’
’
’
3. Jika y = u – v
maka y = u – v
’
’
’
4. Jika y = u v
maka y = u v + u v
’
’
5. Jika y =
u
’
maka y =
v
’
u ' v − uv ' v
2
Contoh 4 5 4 4 1. Jika f ( x x) = 3 x , maka f ( x x) = 3.5 x = 15 x ’
5
’
4
x) = 3 x + 2 x, maka f ( x x) = 15 x + 2 2. Jika f ( x 5
’
4
3. Jika f ( x x) = 3 x – 2 x, maka f ( x x) = 15 x – 2 5
’
4
5
4. Jika f ( x x) = (3 x + 2 x)(4 x + 7), maka f ( x x) = (15 x + 2) (4 x + 7) + (3 x + 2 x)4 5. Jika f ( x x) =
3 x 5 + 2 x 4 x + 7
’
x) = , maka f ( x
(15 x 4 + 2)(4 x + 7) − (3 x 5 + 2 x) 4 ( 4 x + 7) 2
Turunan Fungsi
40
p
x) = x dengan p bilangan bulat negatif maka f ( x x) = x 6. Jika f ( x x) = sehingga f ( x ’
f ( x x) =
=
1 x
n
u
. Dengan menggunakan turunan y =
v
–n
dengan – n = p,
diperoleh
n n− 0. x − 1. nx 1
( x n ) 2
− nx n −1 x 2
n
n− − n = − nx 1 x 2
= − nx − n −1 = px
p −1
3.4 Aturan Rantai (untuk Turunan Fungsi Komposisi) Komposisi) 4
9
Untuk menentukan turunan y = (3 x + 7 x – 8) dengan cara mengalikan 4
bersama kesembilan faktor (3 x + 7 x – 8) kemudian mencari turunan polinom berderajat 36 tentulah sangat melelahkan. Cara yang mudah untuk menentukan 4
9
turunan y = (3 x + 7 x – 8) adalah dengan menggunakan aturan rantai. Aturan Rantai
Misalkan y = f (u) dan u = g( x x) menentukan fungsi komposisi yang dirumuskan x)) = ( f f o g)( x x). Jika g terdiferensialkan di x dan f terdiferensialkan di dengan y = f (g( x u = g( x x) maka y = ( f f o g)( x x) terdiferensialkan di x dan ’
’
y = ( f f o g) ( x x) ’
’
x)) g ( x x) = f (g( x
atau dy dx
=
dy du du dx
Fungsí komposisi dapat diperluas menjadi komposisi 3 fungsi, 4 fungsi dan seterusnya. Jika
y = f (u) u = g(v) v = h( x x)
yakni y = ( f f o g o h)( x x) maka
dy dx
=
dy du dv du dv dx
Turunan Fungsi
41
Contoh 5 4
9
Tentukan turunan y = (3 x + 7 x – 8) Penyelesaian : 4
u = 3 x + 7 x – 8
Misalkan
9
y = u dy dx
=
dy du
8
→
du
→
dy
dx du
3
=12 x + 7 8
= 9u .
3
= 9u (12 x + 7)
du dx
= 9(3 x4 + 7 x – 8)8(12 x3 + 7) 3.5 Turunan Fungsi Invers
Misalkan y = f ( x x) dan f mempunyai invers f
–1
–1
sehingga x = f ( y y). Dengan
–1
menggunakan aturan rantai pada x = f ( y y) diperoleh dx dx
df − ( y ) dy 1
=
⇔
1=
⇔
dx dy
dy
dx
dx dy dy dx
=
1 dy dx
3.6 Turunan Fungsi Implisit x, y) = 0 dengan y sebagai Fungsí implisit secara umum dapat ditulis sebagai f ( x
fungsí dalam x. 3
Contoh fungsi implisit: 1) y – 2 x – 8 = 0 3
2
2) 2 x y – 7 y – x + 1 = 0 Contoh 6
1. Tentukan
dy dx
3
dari fungsí yang dirumuskan dengan y – 2 x – 8 = 0
Penyelesaian :
Apabila kedua ruas y – 2 x3 – 8 = 0 diturunkan terhadap x, maka diperoleh:
Turunan Fungsi
42
dy dx
2. Tentukan
dy dx
dy
⇔
– 6 x2 = 0
dx
= 6 x2
dari fungsí yang dirumuskan dengan 2 x3 y – 7 y – x2 + 1 = 0
Penyelesaian : 3 2 Apabila kedua ruas 2 x y – 7 y – x + 1 = 0 diturunkan terhadap x, maka diperoleh: dy 2 3 dy 6 x y + 2 x –7 – 2 x = 0 dx dx dy 3 2 ⇔ (2 x – 7) = 2 x – 6 x y dx dy 2 x − 6 x 2 y ⇔ = dx 2 x 3 − 7
3.7 Turunan Tingkat Tinggi ’
Jika fungsi diturunkan maka turunannya, yaitu f juga berupa fungsi sehingga boleh ’
’ ’
’’
jadi f mempunyai turunan tersendiri yang dinyatakan oleh ( f ) = f . Fungsi yang f
’’
baru ini disebut turunan kedua dari f karena dia merupakan turunan dari turunan f . x) sebagai Dengan notasi Leibniz kita tuliskan turunan kedua dari y = f ( x d ⎛ dy ⎞
d 2 y
dx ⎝ dx ⎠
dx
⎟=
⎜
2
2
’’
x) = D f ( x x) Notasi lain adalah f ( x Contoh 7 4
’’
Jika f ( x x) = 3 x + 7 x – 8, tentukan f ( x x). Penyelesaian : 3
’
f ( x x) = 12 x + 7 ’’
’
x) kita turunkan f ( x x): untuk mencari f ( x ’’
f ( x x) =
d dx
3 (12 x + 7)
= 36 x2 Contoh 8 5
’’
x) = (3 x + 2 x)(4 x + 7), tentukan f ( x x). Jika f ( x
Turunan Fungsi
43
Penyelesaian :
⎛ d ⎞ ⎛ d ⎞ (3 x 5 + 2 x) ⎟ (4 x + 7) + (3 x5 + 2 x) ⎜ (4 x + 7) ⎟ ⎝ dx ⎠ ⎝ dx ⎠
f ( x x) = ⎜ ’
4
5
= (15 x + 2) (4 x + 7) + (3 x + 2 x)4 ’’
f ( x x) =
=
d dx d dx
4
5
[(15 x + 2) (4 x + 7) + (3 x + 2 x)4] [(15 x4 + 2) (4 x + 7)] +
d dx
[(3 x5 + 2 x)4]
⎛ d ⎞ ⎛ d ⎞ (15 x 4 + 2) ⎟( 4 x + 7) + (15 x 4 + 2)⎜ ( 4 x + 7) ⎟ + ⎝ dx ⎠ ⎝ dx ⎠
= ⎜
⎛ d ⎞ ⎛ d ⎞ 5 5 ⎜ (3 x + 2 x) ⎟4 + (3 x + 2 x)⎜ 4 ⎟ ⎝ dx ⎠ ⎝ dx ⎠ = 60 x3(4 x + 7) + (15 x4 + 2) 4 + (15 x4 + 2) 4 + (3 x5 + 2 x).0 3
4
4
= 60 x (4 x + 7) + (15 x + 2) 4 + (15 x + 2) 4
3.8 Turunan Fungsi Fungsi Aljabar dan Fungsi Fungsi Transenden
⎧ Fungsi Rasional
Fungsi Aljabar ⎨
⎩ Fungsi Irrasional
Fungsi
⎧ Fungsi Trigonomet ri ⎪ Fungsi Siklometri ⎪⎪ Fungsi Transenden ⎨ Fungsi Logaritma ⎪ Fungsi Eksponensial ⎪ ⎪⎩ Fungsi Hiperbolik
3.8.1 Turunan Fungsi Rasional
Contoh-contoh tentang turunan yang diuraikan sebelumnya (contoh 3) adalah contoh-contoh turunan fungsi rasional. Jadi turunan fungsi rasional ini tidak perlu dibahas kembali. 3.8.2 Turunan Fungsi Irrasional
Fungsi Irrasional adalah akar dari fungsi-fungsi rasional
Turunan Fungsi
44
Contoh 9
Tentukan turunan y = n x dengan n bilangan bulat positif Penyelesaian: y = n x ⇔ x = y dy dx
=
n
sehingga
dx
= ny
dy
1 1 1 −n 1 = = y 1 = n −1 dx n n ny dy
n–1
1− n
( x ) n
=
( x ) n
1
1 n
1− n
1 1 −1 = x n n
Contoh 10
Tentukan turunan y = x 3 + 4 x
(
Penyelesaian: y = x 3 + 4 x = x + 4 x 3
)
1 2
’
Dengan aturan rantai diperoleh: y = =
1 2
( x
3
− 12
+ 4 x )
(3 x
2
+ 4)
3 x 2 + 4 2 x 3 + 4 x
3.8.3 Turunan Fungsi Trigonometri
Akan dicari turunan fungsi kosinus sebagai berikut. Ingat: cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b. Jika f ( x x) = cos x, maka ’
f ( x x)
= lim
f ( x + h) − f ( x)
h →0
= lim
h
cos( x + h) − cos x
h→0
= lim
h
cos x cos h − sin x sin h − cos x
h →0
= lim
h
cos x(cos h − 1) − sin x sin h
h→0
= lim
h
cos x(cos h − 1)
h→0
h→0
h→0
sin x sin h
h →0
h
= lim cos x lim
– lim
(cos h − 1) h
h
– lim sin x lim h →0
h→0
sin h h
= cos x . 0 – sin x . 1 = – sin x
Turunan Fungsi
45
Jadi,
’
jika f ( x x) = cos x, maka f ( x x) = – sin x
Analog: ’
x) = sin x, jika f ( x
x) = maka f ( x
cos x
jika f ( x x) = tg x,
maka f ( x x) =
jika f ( x x) = ctg x,
2 maka f ( x x) = – cosec x
x) = sec x, jika f ( x
x) = maka f ( x
2
’
sec x
’
’
sec x tg x
’
x) = cosec x, maka f ( x x) = – cosec x ctg x jika f ( x
3.8.4 Turunan Fungsi Siklometri
Fungsi siklometri adalah invers fungsi trigonometri. Akan dicari turunan invers fungsi sinus (arcus sinus) berikut. y = arc sin x
→
→
x = sin y
1 x y
1 − x 2 dx dy dy dx
= cos y = =
Jadi,
1
cos y =
cos y 1
1 − x 2
1 − x 2
’
jika y = arc sin x, maka y =
1 1 − x 2
Turunan Fungsi
46
Analog: 1
’
jika y = arc cos x,
maka y = –
jika y = arc tg x,
maka y =
jika y = arc ctg x,
maka y = –
jika y = arc sec x,
maka y =
’
1 − x 1 1 + x
’
’
’
2
2
1 1 + x
2
1 x x 2 − 1
jika y = arc cosec x, maka y = –
1 x x − 1 2
3.8.5 Turunan Fungsi Logaritma x) = ln x berikut. Akan dicari turunan f ( x ’
f ( x x)
= lim
f ( x + h) − f ( x)
h →0
= lim
h
ln( x + h) − ln x
h→0
= lim
h
⎛ x + h ⎞ ln⎜ ⎟ ⎝ x ⎠
h→0
h
⎛ ⎝ = lim
ln⎜1 +
h→0
⎛ ⎝ = lim
h
x
x
= lim h →0
h
⎟
x ⎠
h
ln⎜1 +
h →0
h ⎞
h ⎞
⎟
x ⎠
. x
⎛ ⎝
ln⎜1 +
h ⎞
⎟
x ⎠
x
Turunan Fungsi
47
x
⎛ ⎝
ln⎜1 + = lim h→0
⎟
x ⎠
x x
⎛ ⎝
lim ln⎜1 + h →0
=
h ⎞ h
h ⎞ h
⎟
x ⎠
lim x h→0
⎛ h →0 ⎝
Mengingat (1) lim ln f ( x) = ln lim f ( x) dan (2) lim ⎜1 + h →0
h →0
x
h ⎞ h
⎟ =e
x ⎠
Sehingga diperoleh: x
⎛ ⎝
lim ln⎜1 + ’
f ( x x)
h →0
=
h ⎞ h
⎟
x ⎠
lim x h→0
x
⎛ h →0 ⎝
ln lim ⎜1 + =
h ⎞ h
⎟
x ⎠
lim x h →0
= =
ln e x
1 x
Jadi,
jika f ( x x) = ln x,
’
maka f ( x x) =
1 x
a
Selanjutnya jika y = log x maka turunannya dapat dicari sebagai berikut.
⇔ y =
a
y = log x
ln x ln a 1
= ’
Sehingga y = =
1
ln a
ln x
1
ln a x 1 x ln a
Turunan Fungsi
48
Jadi,
a
jika y = log x ,
’
maka y =
1 x ln a
3.8.6 Turunan Fungsi Eksponensial x
Akan dicari turunan y = a sebagai berikut. x
y = a
⇔ ln y = ln a x ⇔ ln y = x ln a ⇔ x =
ln y
⇔ x =
1
Sehingga Diperoleh
dx dy dy dx
ln a ln a
=
1
1
ln a y
= y ln a. x
=a
Jadi,
ln y
ln a
x
x
’
jika y = a ,
maka y = a
x
Khususnya untuk a = e, jika y = e ,
ln a
’
x
maka y = e
ln e
x
=e
Jadi,
x
jika y = e ,
’
x
maka y = e
Turunan Fungsi
49
3.8.7 Turunan Fungsi Hiperbolik
Definisi sinh x =
x − x e −e
coth x =
2 x − x e +e
cosh x =
sech x =
2 sinh x
tanh x =
cosh x
e −e x
=
1 tanh x 1 cosh x
− x
csch x =
x − x e +e
1 sinh x
=
=
=
x − x e +e
e −e x
− x
2 e +e x
− x
2 x − x e −e
x) = sinh x, maka dengan menggunakan turunan fungsi eksponensial diperoleh Jika f ( x f ' ( x) =
=
d ⎛ e x − e − x ⎞
⎜
⎜ dx ⎝
2
⎟⎟ ⎠
x − x e − ( −e )
2 − x e +e x
=
2 = cosh x.
Jadi,
’
jika f ( x x) = sinh x, maka f ( x x) = cosh x
3.9 Turunan Fungsi Parameter
Apabila disajikan persamaan berbentuk: x = f (t ) y = g(t )
maka persamaan ini disebut persamaan parameter dari x dan y, dan t disebut parameter. Dari bentuk parameter ini dapat dicari
dy dx
dengan cara sebagai
x) dengan h fungsi invers dari f . Nampak berikut. Dari x = f (t ) dibentuk t = h( x
bahwa y = g(t ) merupakan bentuk fungsi komposisi y = g(t )
= g(h( x x))
Turunan Fungsi
50
Diperoleh
dy dx
dy dt
=
dt dx
atau
dy dx
=
dy 1 dt dx dt
sehingga
dy dx
=
dy dt dx dt
SOAL
Carilah
dy
untuk yang berikut
dx
4
2
2
x + 7) 1. y = (3 x + 2 x + x)( x 3
2
5. y =
2
x + 3 x )(4 x + 2) 2. y = ( x
3. y = 4. y =
6. y =
1
7. y =
3 x 2 + 1
1 4 x 2 − 3 x + 9 x − 1 x + 1
2 x 2 − 3 x + 1 2 x + 1
2 5 x − 1 2
Dengan aturan rantai tentukan
dy dx
untuk yang berikut
8. y = (2 – 9 x)15 2
5
9. y = (5 x + 2 x – 8)
10. y =
1 ( 4 x 2 − 3 x + 9) 9
⎛ 3 x − 1 ⎞ ⎟ ⎝ 2 x + 5 ⎠
15. y = sin ⎜
⎛ x 2 − 1 ⎞ ⎟⎟ 16. y = cos ⎜⎜ x 4 + ⎝ ⎠
2
17. y = arcsin (3 x – 11 x)
12. y = cos (3 x – 11 x)
4
18. y = arctg (3 x – 11 x)
3
19. y = ln (5 x + 2 x – 8)
11. y = sin (3 x + 11 x)
4
8
2
13. y = sin x
⎛ x − 1 ⎞ 14. y = ⎜ ⎟ ⎝ x + 1 ⎠
4
4
20. y = e
(2 – 9 x)
Tentukan turunan fungsí implisit berikut 2
2
21. x + y = 9 2
2
3
2
3
26. 4 x + 11 xy – 2 y = 0
22. 4 x + 9 y = 36
27.
23. x y x y = 4
28. xy + sin y = x2
2
24. xy – x + 16 = 0 3
2
25. x – 3 x y+ 19 xy = 0
xy + 3 y = 10 x 2
29. cos ( xy) = y + 2 x 30. 6 x –
3 2 2 xy + xy = y
Turunan Fungsi
51
Tentukan
dy dx
untuk fungís parameter berikut
31. y = 2 – 9t
34. x = ln (2t – 9) 2
x = sin t
3
y = (t + 7) 2
32. y = 2 – 9t
x = arc sin (t – 1)
33. x = ln (2 – 9 t ) y = sin t
35. x = e
(2t – 9)
y = cosec t
36. y = sec ( t – 1) x = tg (t – 1)
Turunan Fungsi
52
