J.S.Bach._Analisis_del_preludio_en_Do_Ma.pdf

J OS EPS ANZQUI NTANA

J . S . BACH ANÁLI S I SDELPRELUDI O ENDOMAYORBWV8 4 6

r e f : ACdM 8 4001 D

JOSEP SANZ I QUINTANA

J. S. BACH ANÁLISIS DEL PRELUDIO EN DO MAYOR BWV 846 “DAS WOHLTEMPERIRT KLAVIER”

Barcelona 2012

Altri Canti di Marte

© Josep Sanz i Quintana, 2012 Primera edición: Mayo de 2012 Reservados todos los derechos. Ninguna parte de esta publicación puede ser reproducida, almacenada o transmitida por ningún medio sin permiso del editor. www.altricantidimarte.com ref. ACdM-84-001-D

ÍNDICE Presentación 4 I. Introducción al problema de la afinación Los distintos tipos de afinación La afinación pitagórica La afinación justa Temperamento mesotónico El “Wohltemperierte Stimmung” de J.S. Bach II. “Das Wohltemperirte Klavier” Análisis del preludio en do mayor BWV 846 Conclusión

III. Apéndice Partitura Bibliografía

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PRESENTACIÓN Analizar una obra que tiene casi trescientos años de historia no es siempre fácil. No se trata sólo de intentar entenderla con los ojos del hombre moderno, sino de acercarnos todo lo posible al momento de su creación. Todo buen análisis tiene por supuesto un punto de utópico, ya que lamentablemente no tenemos para mirar otros ojos que los nuestros. Pero quizá sea eso, en parte, lo que nos hace examinar una vez tras otra las grandes partituras de la historia de la música. Sabemos que no conseguiremos entenderlas del todo, y aun así, seguimos intentándolo. Seguimos intentando ponernos por un momento en la piel del compositor que la imaginó, para poder aprender algo que de otra manera sería imposible. Esto es lo que hemos intentado hacer con el primer preludio del clave bien temperado de Johann Sebastian Bach. Ésta es una partitura sencilla, efectivamente, pero contiene una inmensa carga histórica que, entendida en su contexto, puede mostrarnos muchísimas cosas interesantes. Bach tituló su ciclo de 48 preludios y fugas, del que el preludio que nos ocupa es sólo el comienzo, con “Das Wohltemperirte Klavier”, es decir, el Clave bien temperado. Se trata pues de una demostración práctica de que es posible escribir en todas las tonalidades mayores y menores sin necesidad de volver a afinar el instrumento. Para acercarnos a esta obra, y con el propósito de situarnos en su contexto histórico, hemos tenido primero que dar un rodeo y observar los distintos sistemas de afinación que existieron antes del barroco tardío. No resultaría demasiado serio nuestro análisis si creyéramos entender la solución que Bach propone si ni siquiera entendemos el problema. Este artículo se divide pues en dos partes diferenciadas. La primera es precisamente este estudio histórico del problema de la afinación. El segundo es propiamente el análisis del preludio BWV 846 de Bach, donde se intenta desentrañar no sólo su estructura sino también la relación directa que mantiene con el problema de la afinación y la solución que propone Bach.

INTRODUCCIÓN AL PROBLEMA DE LA AFINACIÓN Hoy en día, con los instrumentos de que disponemos, se hace difícil creer que hace trescientos años un músico tuviera que pensar previamente en qué tonalidades estaban las partituras que iba a interpretar. Repasando mentalmente las tonalidades, iría reflexionando a su vez sobre qué tipo de afinación sería la más apropiada para que el resultado sonoro estuviera dentro de los gustos de su época. Cuando un músico se presentaba a un examen para un puesto de trabajo, no solo se valoraban sus cualidades técnicas como intérprete, sino también su buen criterio para afinar el instrumento con el que iba a tocar. Actualmente, como decía, el temperamento igual omnipresente en los instrumentos modernos esconde la gran complejidad que hasta hace relativamente poco (¿qué son doscientos cincuenta años en comparación con toda la historia de la música?) reinaba en el campo de la afinación. Para comprender los distintos temperamentos históricos es necesario primero tener presentes los problemas intrínsecos a cualquier sistema de afinación. En primer lugar, sabemos que antiguamente los intervalos se calculaban en base a las proporciones que nos ofrece la serie de armónicos (fig. 1). Así, para calcular una quinta pura sólo se necesitaba multiplicar la frecuencia de la nota fundamental por 3/2. Para los demás intervalos el cálculo era siempre el mismo, adecuando la proporción al ordinal que representa cada nota dentro de la serie de armónicos. Las tres consonancias con las que se calculaba inicialmente un sistema de afinación eran la octava (2:1), la quinta pura (3:2) y la cuarta (4:3). Las terceras no eran consideradas consonancias, puesto que no formaban parte de las estructuras melódicas en la música de la antigua Grecia. Observamos que la suma de una quinta y una cuarta resulta ser una octava (3:2 · 4:3 = 2:1), mientras que la diferencia entre ambos intervalos nos da la razón de un tono (3:2 / 4:3 = 9:8).

(fig. 1)

Establecidas pues las tres consonancias incluidas en la octava, será muy fácil afinar un instrumento (pensemos en uno de tecla) sumando quintas puras una detrás de otra a partir de una nota fundamental. Pero precisamente aquí es donde empiezan los problemas que las distintas afinaciones históricas intentarán resolver.

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J.S.Bach. Preludio en do mayor BWV 846

El primer problema es que doce quintas puras no son iguales a siete octavas1: (3:2) 12 / (2:1) 7 = 531441/524288 Esta diferencia expresada proporcionalmente es la que conocemos con el nombre de coma pitagórica (en adelante PC, por sus siglas en inglés). Lógicamente, si afinamos nuestro instrumento como decíamos, sumando doce quintas puras a una nota fundamental, la última nota será algo más aguda que si sumamos siete octavas, y debería ser la misma altura. Por definición, nos interesa que todas las octavas sean puras, de manera que esta diferencia, la coma pitagórica, deberá ser sustraída de los doce intervalos de quinta. El segundo problema a resolver es que un ciclo de cuatro quintas puras consecutivas no son iguales que dos octavas y una tercera mayor: (3:2) 4 / (2) 2 / (5:4) = 81/80 Esta diferencia es la coma sintónica (SC). Por consiguiente, si la tercera mayor debe ser pura, tendremos que reducir el intervalo de cuatro quintas en una coma sintónica. El último problema que aparece es lo que conocemos como diesis. Una octava pura menos tres terceras mayores tampoco es el mismo intervalo. 2 / (5:4) 3 = 128/125 Es decir, si sumamos tres terceras mayores la nota que resulta es demasiado baja para ser una octava pura. Veremos estas tres diferencias más claramente si hacemos el cálculo con una frecuencia fundamental. Tomemos un la -2 como nota inicial (la nota más grave de un piano actual). La frecuencia de este la es la que obtenemos de restar cuatro octavas al la 3 de referencia, que situaremos en 440 Hz. 440 Hz : 2 4 = 27,5 Hz Para calcular la coma pitagórica tendremos que sumar por un lado siete octavas puras a esta nota fundamental y, por el otro doce quintas puras. El resultado es el siguiente: 27,5 · 2 7 = 3520 Hz 27,5 · (3:2) 12 = 3568,02429 Hz 1. Para sustraer intervalos debemos dividirlos.

Introducción al problema de la afinación

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Como vemos, el intervalo de doce quintas puras es algo mayor (una coma pitagórica) que el intervalo de siete octavas puras. Para comprobar que efectivamente esta diferencia mantiene las proporciones de la coma pitagórica sólo tendremos que dividir estas dos frecuencias: 3568,02429 / 3520 = 1,01364... 531441/524288 (PC) = 1,01364... La coma sintónica se calculará de la misma manera. Por un lado sumaremos cuatro quintas puras a la nota fundamental y por el otro añadiremos dos octavas y una tercera mayor. 27,5 · (3:2) 4 = 139,21875 Hz 27,5 · 2 2 · (5:4) = 137,5 Hz La misma comparación que hemos hecho con la coma pitagórica nos servirá para comprobar el cálculo: 139,21875/137,5 = 1,0125 81/80 (SC) = 1,0125 Finalmente sólo nos queda calcular la diesis. Sumaremos tres terceras mayores y lo compararemos con una octava pura: 27,5 · (5:4) 3 = 53,7109375 Hz 27,5 · 2 = 55 Hz Lo compararemos con la proporción que hemos dado antes: 55/53,7109375 = 1,024 128/125 (diesis) = 1,024 Con estos sencillos cálculos queda claro que si queremos que todas las octavas sean puras tendremos que “deformar” un poco algunos intervalos para que todo esté correctamente afinado. Los distintos sistemas de afinación históricos son los encargados de proponer diferentes respuestas a este problema. Los distintos tipos de afinación Por supuesto estas soluciones son tremendamente distintas unas de otras, y las podemos clasificar según sus características principales. En primer lugar están las afinaciones regulares, así llamadas por mantener once quintas puras, aunque esto

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signifique que la duodécima quinta, la conocida como quinta del lobo, sea de difícil uso, ya que absorbe toda la coma pitagórica. Si añadimos la coma pitagórica a la quinta del lobo el resultado debe ser, lógicamente, una quinta pura. Para calcular la quinta del lobo debemos restar once quintas puras a siete octavas: (2) 7 / (3:2) 11 = 128 / (177147/2048) = 262144/177147 (1,47981...) Ahora sólo nos falta comprobar que efectivamente sumando esta quinta del lobo a la coma pitagórica se obtiene una quinta pura: 262144/177147 · 531441/524288 (PC) = 139314069504/92876046336 = 3/2 Una de las afinaciones más representativa de este grupo es precisamente la afinación pitagórica. Explicaremos brevemente en que consiste desde el punto de vista teórico para que el lector se haga una idea. La afinación pitagórica Cualquier intervalo en la afinación pitagórica se calcula añadiendo quintas puras y restando tantas octavas como se hayan sobrepasado. Si por ejemplo queremos saber cuanto mide un tono debemos sumar dos quintas puras y restar una octava: (3:2) 2 / 2 = 9:8 De esta manera, añadiendo o restando quintas puras podemos calcular sin problemas una escala diatónica. Partiendo del fa encontraremos el do multiplicando la frecuencia por 3/2, luego el sol de la misma manera y seguiremos hasta llegar a la nota si. Ordenándolas tendremos la escala diatónica: do-re-mi-fa-sol-la-si. Vamos a calcular todas las relaciones interválicas desde el fa inicial: El fa inicial más una quinta pura nos dará el do superior, necesitamos pues restar también una octava para obtener el do de la misma escala: fa3 · 3:2 / 2 = 3:4. El do más una quinta pura nos dará el sol en relación con el fa inicial: do3 · 3:2 = 3:4 · 3:2 = 9:8. Un tono entero desde fa. El sol más una quinta pura nos dará el re, pero otra vez tenemos que restar una octava para obtener el re de la misma escala: sol3 · 3:2 = 9:8 · 3:2 / 2 = 27:32. Tercera menor por debajo del fa.


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El re más una quinta pura nos dará el la: re3 · 3:2 = 27:32 · 3:2 = 81:64. Tercera mayor por encima del fa. El resultado es el mismo si sumamos dos tonos enteros: (9:8) 2 = 81:64. El la más una quinta pura nos dará el mi, aunque otra vez hay que restar una octava para obtener el que hay justo un semitono por debajo del fa inicial: la3 · 3:2 / 2 = 81:64 · 3:2 / 2 = 243:256. Una segunda menor por debajo del fa. El mi más una quinta pura nos dará el si: mi3 · 3:2 = 243:256 · 3:2 = 729/512. Cuarta aumentada por encima del fa. Sin embargo, para calcular el si lo más razonable es restar dos tonos a la cuarta sol-do. 3:2(do) / 9:8 (sol) = 4:3 / (9:8) 2 (dos tonos) = 256:243. Por orden, el resultado es el siguiente: do

re

mi

fa

sol

la

si

3:4

27:32

243:256

1:1

9:8

81:64

729:512

Como podemos observar en la tabla, los intervalos más graves que la nota fundamental son más pequeños de uno, mientras los que son más agudos son proporciones mayores de uno. Hagamos una pequeña comprobación. El si está a 729:512 del fa, pero si lo hemos hecho bien tendrá la misma distancia de semitono con el do superior. Para calcular la distancia tendremos que situar el do una octava más arriba de donde está y luego mirar la relación con el si. 3:4 · 2 / 729:512 = 256:243 (un semitono) Nos interesa ver también las relaciones interválicas a partir del do, la nota inicial de la escala: do

re

mi

fa

sol

la

si

1:1

9:8

81:64

4:3

3:2

27:16

243:128

9:8

9:8

256:243

9:8

9:8

9:8

Con esto tenemos todas las relaciones interválicas que nos interesan. La octava, la quinta pura y la cuarta, que son las consideradas consonancias en la antigua Grecia, tienen las proporciones 2:1, 3:2 y 4:3. Un tono entero tendrá proporción 9:8, mientras que una tercera mayor será 81:64, una tercera menor 32:27 y un semitono 256:243. Nos quedaría calcular las sextas y las séptimas, que son intervalos complementarios de las terceras y las segundas, que sí tenemos. Dos intervalos complementarios son aquéllos que sumados nos dan una octava. Si queremos calcular una sexta mayor, sólo será necesario encontrar el intervalo que sumado a él nos da la octava: 2 / 32:27 = 27:16. Una sexta menor será por contra el resultado de restar una tercera mayor a

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una octava: 2 / 81:64 = 128:81 o incluso el de sumar una quinta y un semitono: 3:2 · 256:243 = 128:81. Para la séptima mayor podemos restar simplemente un semitono a una octava pura: 2 / 256:243 = 243:128 o también sumar una tercera mayor y una quinta pura: 3:2 · 81:64 = 243:128. Desde luego este sistema es perfecto para toda aquella música que sea monódica y diatónica, pero si intentamos encontrar el total cromático empezarán a aparecer los problemas. Antes nos hemos detenido en la nota si. Sigamos ahora unas quintas más. La siguiente nota será un fa #, que calcularemos añadiendo una quinta pura a la relación fa - si que ya tenemos, naturalmente tendremos también que restar una octava: 3:2 · 729:512 /2 = 2187:2048 El semitono fa-fa # no es ya un semitono como el que teníamos, sino algo mayor: 2187:2048 = 1,0678710... 256:243 = 1,0534979... Este semitono, llamado semitono mayor o apotomé resulta ser exactamente el mismo intervalo que la diferencia entre un tono y un semitono menor: 9:8 / 256:243 = 2187:2048 Tendremos pues el tono dividido en dos partes desiguales, el semitono menor habitual en la música diatónica y el semitono mayor que aparecerá siempre que escribamos cromatismos. Con todo, la afinación pitagórica tiene ventajas evidentes, ya que sus quintas (casi todas) son quintas puras. Sus inconvenientes son principalmente tres, el primero es la quinta del lobo, que impide circular por todas las tonalidades libremente, el segundo, que sus terceras mayores (81:64) se alejan bastante de la razón natural 5:4, cosa que no era un problema para la música griega pero que lo será más adelante y el tercero, que el semitono diatónico siempre es más cercano que el cromático. Como acabamos de ver, el semitono fa - fa # es un semitono mayor. Pero si buscamos la nota sol b, esta vez restando quintas en dirección contraria, encontraremos que su distancia con fa es un semitono menor. Esto quiere decir que melódicamente encontraremos antes el sol b que el fa # y que la secuencia lineal entre fa y sol sería entonces fa - solb - fa # - sol. Ciertamente no parece muy práctico. Poco a poco vamos acercándonos a nuestro objetivo, que no es otro que el de hacernos una idea de la evolución de los sistemas de afinación desde sus comienzos hasta el momento en que Bach escribe el Clave bien temperado. Como sabemos en


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la afinación pitagórica las consonancias eran la octava (2:1), la quinta pura (3:2) y la cuarta (4:3). Sin embargo las nuevas necesidades expresivas que surgen durante el renacimiento, hacen indispensable que sean consideradas como consonancias, además de las anteriores, la tercera y la sexta. La tercera mayor pura tiene razón 5:4, mientras que la menor es de 6:5. Igualmente la sexta mayor resulta ser 5:3 y la menor 8:5. Será realmente difícil mantener todas estas consonancias sin desvirtuar el armazón pitagórico. Afinación justa La tercera mayor que se consigue por el método pitagórico (cuatro quintas puras menos dos octavas) es una coma sintónica mayor que la tercera mayor justa: 81:64 / 5:4 = 81:80 (SC) Si queremos que la tercera mayor se acerque a su razón natural tendremos que restar esta coma sintónica de alguna manera entre las cuatro quintas. Una opción es restar directamente una coma sintónica cada cuatro quintas. De esta manera habrá, en cada grupo de cuatro quintas, una que estará rebajada a razón 81:80. Veamos como se calcularía entonces una escala diatónica. Tomemos el fa como nota inicial, igual que hemos hecho para calcular la afinación pitagórica. El fa3 inicial más una quinta pura nos dará el do4 superior. Hay que restar una octava para conseguir el do3 que necesitamos: fa3 · 3:2 / 2= 3:4. El do3 más una quinta pura nos dará el sol3: 3:4 · 3:2 = 9:8. El sol3 más una quinta pura nos dará el re4. Como antes, tendremos que restar también una octava para obtener el re3 que nos interesa. 9:8 · 3:2 / 2 = 27:32. Observemos que igual que sucedía en la afinación pitagórica, este intervalo está a 9:8 del do de la escala que acabamos de calcular: 27:32 / 3:4 = 9:8 El siguiente paso es calcular la quinta por encima del re3. Lógicamente tenemos que sumar una quinta pura, pero ésta es ya la cuarta quinta que calculamos, con lo que tenemos también que restarle una coma sintónica. Aquí es donde la afinación justa se desvía de la pitagórica: re3 · (3:2 / 81:80) = 27:32 · (3:2 / 81:80) = 5:4. Esto nos da, efectivamente, una tercera mayor fa - la totalmente pura. Mientras la tercera mayor pitagórica era 81:64, la tercera mayor justa es 5:4. La tercera mayor

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pitagórica se componía entonces de dos tonos iguales: 9:8 · 9:8 = 81:64. Ahora la tercera mayor fa - la se compone en cambio de un tono mayor (9:8) y un tono menor (10:9): 5:4 / 9:8 = 10:9 Si seguimos paso a paso construyendo nuestra escala diatónica justa veremos que el mi3 siguiente es el la3 más una quinta pura. Sin embargo, este mi estará también rebajado una coma sintónica dado que la nota de partida, el la3, ya lo estaba. Otra vez rebajamos una octava para obtener el mi3 que nos interesa: 5:4 · 3:2 / 2 = 15:16 Esta proporción nos indica la relación entre el fa inicial y el mi, colocado un semitono por debajo. La relación de este mi con el do sigue siendo de una tercera justa: 15:16 / 3:4 = 5:4 Eso quiere decir que la quinta do - mi también estará formada por un tono mayor do - re (9:8) y un tono menor re - mi (10:9). La última nota que nos queda por calcular es el si3. Tomamos el mi3 como referencia y le sumamos una quinta justa: 15:16 · 3:2 = 45:32, que queda a una quarta aumentada de la nota inicial fa. do

re

mi

fa

sol

la

si

3:4

27:32

15:16

1:1

9:8

5:4

45:32

Como hemos hecho con la afinación pitagórica, nos interesa ver también aquí las relaciones interválicas desde el do inicial de la escala: do

re

mi

fa

sol

la

si

1:1

9:8

5:4

4:3

3:2

5:3

15:8

9:8

10:9

16:15

9:8

10:9

9:8

Falta añadir el intervalo de sexta menor, que sería el resultado de restar la tercera mayor a la octava: 2 / 5:4 = 8:5 En el cuadro siguiente pueden verse las comparaciones entre afinación pitagórica y justa:


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do

re

mi

fa

sol

la

si

Pitagórica

1:1

9:8

81:64

4:3

3:2

27:16

243:128

Justa

1:1

9:8

5:4

4:3

3:2

5:3

15:8

Donde el mi, el la, y el si de la afinación justa están exactamente una coma sintónica por debajo de la afinación pitagórica. Como vemos, las razones interválicas son en la afinación justa mucho más manejables que en la afinación pitagórica. Sin embargo, dicha afinación nos deja algunas tonalidades perfectamente útiles pero otras totalmente impracticables. Los acordes mayores de do, fa y sol tendrán una afinación impecable, dada su tercera mayor justa y su quinta pura. En cambio la quinta re - la no mide lógicamente 3:2 sino que está reducida en una coma sintónica. Eso hará que tanto los músicos teóricos como los prácticos sigan buscando nuevos métodos de afinación que les permitan recorrer un número mayor de tonalidades. Temperamento mesotónico Si desde el punto de vista armónico el sistema de afinación justa tiene cierto atractivo, sobretodo si nos limitamos a ciertas tonalidades, en el plano melódico es bastante irregular. Durante el renacimiento y el barroco temprano, los músicos empezarán a buscar la manera de dividir una tercera pura en dos partes iguales. De esta manera, se mantienen las terceras, al mismo tiempo que se divide en dos tonos iguales. Justamente de la idea de situar la nota intermedia de una tercera mayor, a un tono exactamente igual de distancia con ambos extremos, se deriva el nombre de temperamento mesotónico. Para conseguir que los dos tonos incluidos en una tercera mayor sean iguales, tendremos que hacer una pequeña modificación de la afinación justa. En lugar de dejar que una sola quinta de cada cuatro absorba toda la coma sintónica, repartiremos dicha coma entre las cuatro quintas. El temperamento que se derive tomará el nombre de la porción de coma reducida en cada quinta. El más habitual era sin duda el temperamento mesotónico de 1/4 de coma. Aparece un problema nuevo para calcular dicha afinación, y es que si en las afinaciones pitagórica y justa podíamos representar todos los intervalos proporcionalmente, ahora la división de la coma sintónica en cuatro partes iguales deberá calcularse como la raíz cuarta de dicho intervalo: 81:80 1/4 De esta manera dos quintas puras, cada una temperada un cuarto de coma

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sintónica hacia abajo menos una octava, nos dará el intervalo de tono de la afinación mesotónica. Compararemos el resultado con los tonos mayor y menor de la afinación justa: Tono temperado: (3:2)2 / (81:80)1/2 / 2 = 1,1180339... Tono mayor (afinación justa): 9:8 = 1,125 Tono menor (afinación justa): 10:9 = 1,1111... Como el total de las cuatro quintas que forman una tercera siguen reducidas en una coma sintónica, la tercera seguirá siendo justa, por tanto las ventajas del sistema son obvias. Todas las tonalidades que no atraviesen la quinta del lobo sonarán iguales, y melódicamente la escala se vuelve regular. El inconveniente es que todas las quintas dejan de ser puras, y que sigue siendo un sistema no circular, es decir, que al cabo de doce quintas no llegamos a la misma nota de partida. Eso es debido a que si restamos un cuarto de coma sintónica en once quintas, la quinta restante, igual que sucedía en la afinación justa, es mayor que una quinta pura. Para comprobarlo sólo será necesario restar tres comas sintónicas (las que se acumulan al temperar doce intervalos de quinta temperadas) de la coma pitagórica: (81:80)3 / PC = 128:125 Que representa exactamente el intervalo de la diesis. Se puede calcular igualmente si restamos las doce quintas menos las tres comas sintónicas de las siete octavas: (2)7 / ((3:2)12 / (81:80)3 ) = 128:125 El resultado es que la última nota del círculo de quintas es entonces 128:125 mayor que la nota inicial. Conseguimos un sistema donde las terceras son justas y divisibles en dos partes iguales, pero un sistema al fin y al cabo que nos impide circular libremente por el círculo de quintas. Y llegamos con esto al momento histórico que nos interesa. Durante el barroco, especialmente en Alemania, empiezan a implantarse los sistemas de afinación comúnmente llamados bien temperados. Estos sistemas no son regulares, ya que no reparten ni la coma pitagórica ni la coma sintónica de manera equitativa entre todas las quintas. El objetivo es hacer practicable la quinta del lobo, de manera que todas las tonalidades sean posibles. Las quintas estarán temperadas de manera diferente, y eso implica también que las distintas tonalidades sonarán de manera diferente unas de otras. Esta cualidad será altamente apreciada en la música del barroco, ya que es posible entonces relacionar una determinada tonaliad a un caracter específico.


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De entre todos los sistemas disponibles (Kirnberger, Werckmeister, Vallotti, etc.) hemos escogido el que aparentemente el mismo Bach dejó esquemáticamente anotado en las cubiertas de su Clave bien temperado. El “Wohltemperierte Stimmung” de J. S. Bach Como decíamos, existen actualmente numerosas teorías acerca de cuál fue el temperamento que Bach usaba para su música. Todas persiguen el mismo objetivo, que no es otro que el de encontrar un temperamento irregular que permita el uso de todas las tonalidades. Este tipo de temperamento es, precisamente, el habitual en el período barroco que nos ocupa. De todas las teorías posibles, hemos escogido una que nos parece la más plausible. Según el musicólogo Bradley Lehman2, el gráfico que Bach anota en la primera página de su obra “Das Wohltemperierte Klavier”, y que hasta hace poco se consideraba puramente ornamental (fig. 2), parece indicar el tipo exacto de temperamento que el autor de Eisenach pedía para la buena interpretación de su música.

(fig. 2)

En dicho gráfico se observa la indicación de la nota de referencia C, es decir, el do. Cada círculo dibujado entre una nota y la siguiente expresa una quinta, y los círculos concéntricos dentro de cada uno de ellos, la fracción de coma pitagórica que debe restársele. Un círculo concéntrico indica una doceava parte de una coma, y dos círculos un sexto de coma. Así, para reproducir el buen temperamento que pide Bach tendremos que contar, a partir de la primera nota del gráfico empezando por la derecha, el fa, cinco quintas temperadas en un sexto de coma pitagórica. Con eso llegamos a la nota mi, a partir de la cual hay tres quintas puras. Las siguientes tres quintas estarán temperadas en un doceavo de coma pitagórica, y nos quedará por enlazar la última quinta, entre la # y la nota inicial, el fa. Nótese que de esta manera el círculo de quintas no se cierra, por que en las once quintas que hemos calculado hay cinco quintas rebajadas un sexto de coma y tres más rebajadas un doceavo de 2. Lehmann, B. Bach’s extraordinary temperament: our Rosetta Stone. Early music, Vol. XXXIII, nº 1. Oxford University Press 2005.

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coma, a parte de las tres quintas puras. En total se han rebajado 13 doceavos de coma pitagórica, con lo cual la última quinta resulta ser un doceavo de coma más grande que un quinta pura. Este tipo de afinación, pensado probablemente más desde el punto de vista práctico que el teórico, permite la utilización de todas las tonalidades al mismo tiempo que confiere a cada una de ellas un “aroma” propio. Las terceras mayores fa - la y do - mi son un tercio de coma sintónica más pequeñas que la tercera pura, mientras que sol - si, re - fa #, la - do # y mi - sol # son cada una un poco más grande que la anterior. Las restantes terceras si - re #, fa # - la #, re b - fa, la b - do, mi b - sol, si b - re y fa - la, irán rebajando la tensión que tiene su punto culminante en la tercera mi - sol #. Calcular ahora todas las relaciones interválicas sería bastante tedioso, y si el lector ha seguido atento las explicaciones que hemos dado para los otros sistemas de afinación, sin duda estará en disposición de encontrar las de Bach. Dejaremos indicado, a modo de guía y también para poder comparar las distintas quintas que hemos visto en todos los sistemas, la medida exacta de los tres tipos de quinta que utiliza Bach. El primero es el más sencillo, las tres quintas puras que lógicamente guardarán la relación 3:2. El segundo tipo de quinta es el que se consigue temperando un doceavo de coma sintónica: 3:2 / CP 1/12 = 1,498307... El tercer tipo de quinta se tempera un sexto de coma pitagórica: 3:2 / CP 1/6 = 1,496616... Para finalizar compararemos todas las quintas que hemos visto desde nuestro particular viaje por la historia de la afinación: Quinta pura

3:2

1,5

Bach 1/12 PC

3:2 / CP

1/12

1,498307...

Bach 1/6 PC

3:2 / CP 1/6

1,496616...

Mesotónico 1/4 SC

3:2 / SP

1/4

1,49534878...

Con esto nos hemos hecho una idea básica de como funcionan las afinaciones históricas, al mismo tiempo que hemos establecido un marco a partir del cual nos será mucho más fácil entender las implicaciones de una obra como el “Clave bien temperado” que inmediatamente vamos a abordar.

DAS WOHLTEMPERIRTE KLAVIER Aunque nosotros vamos a abordar tan sólo el primer preludio, vale la pena hacer un pequeño repaso de qué es y como se estructura la obra entera. “Das Wohltemperirte Klavier” o, traduciendo, el clavecín bien temperado, es un compendio de 48 preludios y fugas que se estructura en dos partes, cada una de las cuales contiene 24 preludios y fugas. Las tonalidades de estos preludios y fugas mantienen un mismo orden dentro de cada volumen. La primera tonalidad es do mayor, que corresponde al primer preludio y fuga, la segunda es do menor, que corresponde al segundo preludio y fuga. A partir de aquí, las tonalidades ascienden cada vez un semitono mostrando siempre la tonalidad mayor en el preludio y fuga impar y la menor en el impar. Cada dos preludios se asciende un semitono, de manera que al cabo de los veinticuatro hemos recorrido el total de la escala cromática. La estructura quedaría de la siguiente manera: 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

Do

do

Do#

do#

Re

re

Mib

mib re#

Mi

mi

Fa

fa

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

Fa#

fa#

Sol

sol

Lab

sol#

La

la

Sib

sib

Si

si

El preludio nº 8 está en mi b menor, mientras que su fuga está en re # menor. El preludio y fuga nº 17 está en la b mayor, mientras que el preludio y fuga nº 18 está en sol # menor. El cambio de enharmónico en este último es lógico si no queremos escribir en la tonalidad de la b menor, mucho más incómoda que sol # menor. El cambio enharmónico del preludio y fuga nº 8 tiene base más teórica que práctica, puesto que ambas tonalidades tienen seis alteraciones en su armadura. Es probablemente una manera de mostrar que efectivamente podemos circular por todas las tonalidades ya que el círculo de quintas es cerrado. Formalmente, el preludio es totalmente libre. Sus orígenes se remontan a la época en que el instrumentista improvisaba unos arpegios en el teclado para introducir la obra principal, que en este caso sería la fuga que le sigue. Lógicamente, en la época de Bach la complejidad de estas “introducciones” supera con creces lo que un buen instrumentista puede hacer por su cuenta. La fuga es ya toda otra historia, y no es éste el momento ni el lugar para abordar una de las formas más complejas de música en occidente. Centrémonos por fin en lo que ha motivado todo el artículo, el análisis del primer preludio del “clavecín bien temperado”3. 3. A pesar de que se trata de una partitura muy conocida y al alcance de todos, el lector encontrará al final del artículo una copia del preludio transcrita directamente del manuscrito del autor.

18


Análisis del preludio en do mayor BWV 846 Cuando nos disponemos a analizar una obra determinada, debemos detectar qué parámetros musicales tienen más peso. No siempre es tarea fácil, ya que todos los elementos que conforman una obra musical tienen siempre cierta importancia. Sin embargo, a menudo el compositor quiere focalizar nuestra atención hacia un aspecto determinado del flujo musical, y precisamente para conseguir este objetivo ha tenido que reducir un poco la importancia de otros factores. Solo así, restando peso a algunos de los elementos musicales, el oyente puede centrarse en lo que el compositor quiere precisamente trabajar o mostrar. En el preludio que nos ocupa, podemos apreciar claramente un motivo o diseño que se repite una y otra vez durante toda la obra. Esta repetición es en sí misma un elemento que goza de una tremenda relevancia, no por su interés o por su originalidad, sino simplemente por su omnipresencia.

Ejemplo 1

Observamos que el diseño es simplemente un acorde arpegiado, aunque de una manera un tanto peculiar. Las dos notas más graves, y las primeras que suenan, se mantienen durante todo el tiempo que dura el arpegio. Probablemente es una estrategia para lograr que el bajo tenga algo más de peso, ya que tratándose de un clavecín, el sonido tiende a desvanecerse rápidamente una vez soltamos la tecla. Al mismo tiempo vemos que las tres notas superiores del arpegio se repiten también. Esto tiene dos objetivos, el primero es obvio, a saber, que los acordes que integran el preludio están escritos a cinco voces, y que tocando estas cinco notas todavía faltarían tres más para llenar la blanca que dura cada arpegio. El segundo objetivo es algo más complejo y además muestra también cierta intención musical. Sabemos que al cambiar de dirección melódica, se crean ciertos acentos. No son necesariamente acentos dinámicos, puesto que el clave obviamente carece de ellos, sino de dirección. El oyente percibe mejor ésas notas que, estando dentro de un grupo mayor, se destacan por estar en sus “límites”. Un ejemplo fácil de entender es una escala. Si tocamos una escala rápidamente de do a sol y acto seguido volvemos por el mismo camino que hemos venido las notas que el oyente más rápidamente captará son el do y el sol. Si hacemos lo mismo con una escala que ascienda y descienda del do hasta el la nos encontraremos con que las notas “acentuadas” serán ahora el do y el la.

Análisis del preludio

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Ejemplo 2

En el caso del diseño que nos ocupa, la repetición del sol, la sexta nota del arpegio, queda acentuada levemente por este cambio de dirección. ¡Qué diferente hubiera sonado el preludio si todos los arpegios estuvieran escritos sin ese acento!

Ejemplo 3

El objetivo que persigue Bach se hace ahora más claro: romper la constante simetría métrica de la que sería víctima sin él. Tenemos desde luego el acento de la primera nota de cada diseño, más el acento métrico de la segunda negra del compás. A éstos dos se les añade el que acabamos de comentar, que dota de fluidez al movimiento perpetuo del preludio. Al mismo tiempo, este diseño reiterado permite liberar la atención del oyente de los elementos ritmico-motívicos para centrarse en otra cosa. ¿Pero qué otra cosa hay en la partitura que pueda ser del interés del oyente? Pues no demasiado, en principio. Por lo que respecta a las dinámicas, sencillamente no están indicadas en la partitura, al tratarse de música para clave. Si alguien tuviera en casa una partitura con las dinámicas puestas, mi consejo es que no lo tire, sino que lo guarde para la noche San Juan. De manera que lo único que podría darnos alguna pista de cómo está planteada la obra es precisamente la construcción armónica. Mostramos primero un esquema del preludio entero con todos los acordes. Para ello eliminamos las notas de paso del compás 23, pero dejaremos intactos los retardos que aparecen en toda la partitura, puesto que nos pueden ser de utilidad4. 4. Existe una conocida controversia precisamente en este punto de la partitura. Las obras de Bach fueron intensamente copiadas por sus discípulos, y a su vez estas copias eran copiadas por otros. Una de estas copias manuscritas fue realizada por Christian Friedrich Gottlieb Schwencke, quien introduce un compás completamente nuevo entre el 22 y 23 de nuestra partitura. Dado que la controversia todavía no está resuleta, hemos decidido no incluir el conocido como “compás Schwencke” en nuestro análisis.

20


Ejemplo 4

Primero dividiremos todo el preludio en cadencias, para que sea algo más manejable. La primera cadencia (ejemplo 5) presenta cuatro acordes distintos. El primero es de tónica, mientras que el segundo es un segundo grado. El do del bajo se puede considerar una séptima del acorde, pero dado que en origen las séptimas son ornamentaciones, no será necesario indicarlo5. El tercer compás nos muestra un acorde de quinto grado en primera inversión con función de dominante, también con una séptima que puede ser considerada un retardo del acorde anterior, puesto que se encuentra en la misma voz. El último acorde de ésta primera cadencia es otra vez la tónica, exactamente igual que está representada en el primer compás.

Ejemplo 5 5. Tomamos esta resolución siempre y cuando dicha ornamentación esté tratada como tal, como es el presente caso, pero nunca cuando esté tomada por salto o no esté escrita como ornamentación.


21

Esta cadencia tiene una función evidente dentro del conjunto: estabilizar el centro tonal principal, es decir, do mayor. Hace las funciones de presentación y al mismo tiempo ofrece al oyente un punto de referencia. Si observamos detenidamente cada una de las voces veremos que toda la cadencia es una ornamentación del acorde de tónica, es decir, que todas las notas que no pertenecen a dicho acorde pueden leerse como ornamentaciones en el plano melódico. El fa y el re de la soprano son bordaduras de mi y do. El la de la contralto es una bordadura de sol. La voz del tenor también hace una bordadura, esta vez inferior, exactamente igual que el bajo, que hace una bordadura del si. La siguiente cadencia la encontramos entre los compases quinto y octavo (ejemplo 6). Otra vez tenemos una cadencia que refuerza la tónica. Sin duda esta cadencia es más potente que la anterior, ya que a parte de la subdominante de sexto grado, incluye una dominante de la dominante para reforzar el quinto grado. Eso otorga un mayor impulso hacia la tónica, pero lógicamente Bach está empezando el preludio, y si ahora resolviera con semejante empuje en una tónica como la del compás cuatro la fluidez del discurso se vería seriamente amenazada. La solución que adopta es mantener la nota si del acorde anterior, retardándola, para que el acorde de tónica, ahora ciertamente disonante, no sea concluyente.

Ejemplo 6

En la siguiente cadencia (ejemplo 7) se repite el mismo esquema otra vez, e incluso con más ímpetu que la anterior. Si en la segunda cadencia los acordes de subdominante y dominante que precedían a la tónica estaban en primera inversión, ahora están ya en estado fundamental. Tampoco ningún bajo es un retardo del acorde anterior, con lo que la progresión se percibe con una claridad diáfana. En los compases 5 - 8, para desviar la fuerza de la cadencia auténtica hacia la tónica, Bach ha optado por escribir dicha tónica con un retardo, consiguiendo que no lo oyéramos como un punto de llegada. En la tercera cadencia, opta directamente por omitir la tónica, de manera que nuestras expectativas como oyentes se ven claramente frustradas.

22


Ejemplo 7

Quien realmente queda reforzado pues no es la tónica, que no aparece, sino el quinto grado de la tonalidad. El bajo de la cadencia, dispuesto por quintas, es realmente convincente. La cuarta cadencia es más corta que las anteriores, de sólo dos compases, y tiene como objetivo reforzar el segundo grado, aunque de manera un tanto débil puesto que el acorde está en primera inversión (ejemplo 8).

Ejemplo 8

La quinta cadencia es una mera transposición de la anterior, que refuerza la tónica. Tampoco en este caso tenemos la tónica en estado fundamental, con lo que el autor nos indica que el flujo musical continúa. Y de hecho continúa hacia el cuarto grado de la tonalidad. Sabemos que en el modo mayor la tónica puede actuar como dominante del cuarto grado, dado que sus fundamentales se encuentran a distancia de quinta justa. Lo razonable es pues considerar el cuarto grado como el punto de llegada de esta cadencia.


23

Ejemplo 9

La siguiente cadencia contiene tres acordes en estado fundamental. De hecho es una copia exacta de la tercera cadencia, pero transportada una quinta hacia abajo. La nota reforzada aquí es sin duda la tónica, en estado fundamental y sin ornamentaciones que puedan entorpecer su función.

Ejemplo 10

Parece que hemos llegado a un punto formalmente importante de la obra, ya que toda la tensión de las cadencias anteriores acaba resolviéndose en este momento. Cuando acabemos de analizar las cadencias nos dedicaremos a ello. La séptima cadencia refuerza otra vez el cuarto grado, pero ahora ambos acordes están en estado fundamental (ejemplo 11).

Ejemplo 11

24


La octava y última cadencia es mucho más extensa que las anteriores, pues su función no es otra que estabilizar finalmente la tonalidad y dar sensación de conclusión al conjunto (ejemplo 12).

Ejemplo 12

Los dos primeros acordes preparan la entrada del pedal de quinto grado. Obsérvese la tercera disminuida entre fa # y la b que desembocan en el sol del bajo. Después podemos ver un pedal de quinto grado que dura ocho compases bastante ornamentado y finalmente un pedal de tónica, también fuertemente ornamentado. Estos dos pedales juntos duran doce compases, prácticamente un tercio de la obra. El compás treinta y tres lo hemos cifrado de dos maneras. Por un lado representa la resolución de la dominante anterior hacia el cuarto grado, aunque dicho acorde está en segunda inversión. Si el lector está familiarizado con el sistema armónico que estamos usando, sabrá que un pedal debe cifrarse dependiendo de si la nota que se mantiene en el bajo es consonante o disonante con el acorde que se encuentra encima de él. Recuérdese que la cuarta justa recibe en esa época la consideración de disonancia, de manera que lo lógico es cifrar por un lado el pedal y independientemente de él el acorde de cuarto grado en estado fundamental de encima. El do del tenor sería en este caso una duplicación momentánea del pedal. Sin embargo, el acorde que nos ocupa se dirige hacia otro de sobretónica y finalmente a la tónica en estado fundamental, por lo que se le puede considerar también una ornamentación del acorde final, un acorde de sexta y cuarta de amplificación6. Las conclusiones que podemos extraer del análisis armónico efectuado hasta ahora son básicamente tres. La primera es que a pesar de utilizar algunas dominantes secundárias, el preludio no modula en ningún momento ya que no estabiliza ninguna otra tonalidad que no sea do mayor. La segunda es que sólo hemos visto tres tónicas en estado fundamental y sin ornamentaciones, con lo que probablemente la forma del preludio se pueda dividir en tres secciones. La tercera es que a pesar de no modular en ningún momento, aparecen todas las notas de la escala cromática. Ésta 6. Para una explicación más detallada de los acordes en segunda inversión y del cifrado de los pedales se puede consultar mi tratado de armonía, publicado en esta misma colección.


25

es una manera de mostrar que el “buen temperamento” que se está usando permite utilizar todas las notas cromáticas sin problemas. Si esto es todo lo que podemos extraer del preludio, ciertamente no es mucho. Cuanto más profundo pueda ser un análisis, más nos acercará a las ideas del compositor, y desde luego más herramientas tendremos para decidir nuestra interpretación de la obra. Ya Schenker vio, en su conocido análisis de este preludio7, que el bajo desciende por grados conjuntos desde la nota inicial do hasta el do una octava más grave del compás 19 (ejemplo 13). Por otra parte, esta idea no era nueva para la época, sino un lugar común para cualquier intérprete habituado a improvisar8.

Ejemplo 13

Esto confirmaría nuestra observación sobre la división de la partitura en tres secciones. La primera son los cuatro primeros compases, que estabilizan la tonalidad. La siguiente sección se desarrolla desde el compás cinco hasta el diecinueve (el veinte forma parte de la siguiente cadencia), donde volvemos a oír la tónica en estado fundamental, y la tercera sección que seguiría desde el compás veinte hasta finalizar la pieza. La escala que aparece entre los compases 5 y 20 también puede dividirse en dos partes iguales, siendo una la transposición exacta de la otra (ejemplo 14).

Ejemplo 14

Esto ya está algo mejor. Tenemos una idea armónica de la pieza y también una idea formal. Podemos basar nuestra interpretación en estos dos factores, y sin duda estaremos haciendo lo que Bach quería. Pero podemos dar un paso más todavía. 7. Five graphic music analyses. H. Schenker. Dover Publications. 8. J. S. Bach teaches us how to compose: four pattern preludes of the “Well-tempered Clavier”. J. Lester. College Music Symposium, Vol. 38 (1998), pp. 33-46.

26


Acabamos de analizar el bajo de la pieza, especialmente hasta el compás veinte, ya que la sección final no necesita demasiada explicación. El bajo es sin duda una de las notas más importantes de un acorde, sobretodo por que es una de las que mejor se oye. De todas maneras, todo el mundo sabe que la nota más importante y que define en realidad un acorde es su fundamental. Vamos a disponer las fundamentales de los acordes de estas dos primeras secciones para poder examinarlas con cuidado (ejemplo 15).

Ejemplo 15

Curiosamente, las fundamentales de los acordes están dispuestos en varias sucesiones de quintas. Hemos añadido las fundamentales de los compases doce y catorce, por que es habitual que ciertos sistemas armónicos consideren los acordes de séptimo grado como acordes con una fundamental omitida. No somos de la misma opinión por que si una nota no suena, simplemente no hay que considerarla parte integrante del acorde, pero en este caso parece que acaba de dar forma a la hipótesis que estamos mostrando. No sólo eso, sino que haciendo inventario de las notas que Bach usa para las fundamentales de los acordes nos damos cuenta de que sólo usa cinco notas: do - re - fa - sol - la. En total son cuatro quintas: fa - do - sol - re - la. Estas cuatro quintas, juntamente con la quinta la - mi que no aparece entre las fundamentales del preludio, son precisamente las quintas que en el temperamento de Bach que hemos visto antes están rebajadas un sexto de coma pitagórica. Todas estas quintas son por tanto exactamente iguales. Pero no sólo eso. Antes hemos mencionado que Bach utiliza todas las notas de la escala cromática en el preludio, aun sin modulación. Las notas diatónicas de do mayor aparecen ya en los primeros compases, pero las notas cromáticas van apareciendo poco a poco durante la pieza, exactamente como muestra la siguiente tabla: notas

do mi sol

re fa la

si

fa#

do# sib

lab

mib

compás

1

2

3

6

12

14

22

Si recordamos el esquema de buen temperamento que Bach escribe en la primera página del clave bien temperado, veremos que el orden de aparición de las notas cromáticas no es aleatorio. Como hemos dicho hace un momento, las cinco quintas


27

que tienen un sexto de coma pitagórica menos aparecen ya en los dos primeros compases. La siguiente nota que aparece es el si, es decir, una quinta por encima del mi. La siguiente es el fa #, otra vez una quinta superior a si. Las dos siguientes notas, que aparecen juntas en el compás 12, son una quinta más (el do #) y una quinta menos (si b) de los límites que teníamos hasta el momento (fa # y fa respectivamente). Después aparece el la b en el compás 14, de nuevo una quinta superior al do # anterior, escrito aquí enharmónicamente. La última nota cromática que aparece es el mi b, una quinta superior al último sol # y al mismo tiempo una quinta inferior a si b. El mi b del compás 22 une pues el círculo de quintas. En el orden establecido, Bach muestra primero las quintas temperadas en un sexto de coma pitagórica, luego las tres quintas puras que dotan de más tensión al fragmento, y finalmente las tres quintas temperadas un doceavo de coma pitagórica. Con este planteamiento, Bach dota a la tonalidad de una dimensión que con el temperamento igual posterior con el que estamos acostumbrados a oír esta música desaparece totalmente, y es que la tonalidad y sus relaciones interválicas pasan a ser un elemento elástico. Para acabar con nuestro análisis, mostraremos también una pequeña exquisitez de Bach. Hemos visto en el ejemplo 15 las fundamentales de los acordes que aparecen en las dos primeras secciones de la obra. Alguien podría alegar que este aspecto del análisis no es importante por que nadie lo va a percibir durante una interpretación de la pieza. Todo depende. Si el compositor es inteligente (¿Y alguien duda de la inteligencia de Bach?) y quiere que lo percibamos, ya encontrará la manera. En el ejemplo 16 hemos transcrito otra vez los acordes del preludio señalando en color rojo las fundamentales. Lógicamente, escribiendo a cinco voces es obligatorio que aparezcan duplicaciones, pero como se trata de demostrar que efectivamente las fundamentales se oyen a la perfección hemos destacado aquéllas que por su posición son preponderantes.

Ejemplo 16

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Conclusión De todo lo estudiado hasta el momento, podemos sacar alguna conclusión. Bach escribe su compendio de preludios y fugas como demostración práctica de que efectivamente puede usarse una sola afinación para todas las tonalidades. Una vez analizado el primer preludio de todo el ciclo, parece bastante claro que su intención es mostrar abiertamente las posibilidades del “buen temperamento”. En el fondo, lo que está haciendo Bach, más o menos conscientemente, es definir lo que a partir de entonces va a ser la tonalidad. Una tonalidad que permite incluir el total de notas cromático, y que permitirá también, aunque este extremo no aparezca en el primer preludio, modular a cualquier otra tonalidad, por muy lejana que sea y sin miedo a encontrarse en el camino una quinta impracticable. Una tonalidad basada en su equilibrio dentro del círculo de quintas, donde habrá un centro definido por un reducido grupo de esas quintas, pero donde también será posible el juego entre los distintos intervalos que, luciendo ligeramente irregulares, permitirán aumentar o reducir la tensión armónica y melódica con evidente elasticidad.

APÉNDICE Partitura

30


Apéndice

31

Bibliografia Dürr, Alfred. Johann Sebastian Bach. Das Wohltemperierte Klavier. Bärenreiter Verlag. 3ª edición, 2008. Goldáraz, J. Javier. Afinación y temperamentos históricos. Alianza Música. Madrid, 2004. Grove’s dictionary of music and musicians. V.V.A.A. MacMillan & Co. LTD. London, 1911. Lehman, Bradley. Bach’s extraordinary temperament: our Rosetta Stone. Early music, Vol. XXXIII, nº 1. Oxford University Press 2005. Lester, Joel. Bach teaches us how to compose: four pattern preludes of the “Welltempered Clavier”. College Music Symposium, Vol. 38 (1998), pp. 33-46. Sanz, Josep. Armonía I. La práctica armónica en los períodos barroco y clásico. Altri Canti di Marte. Barcelona, 2012. Schenker, Heinrich. Five graphic music analyses. Dover Publications.

www. a l t r i c a nt i di ma r t e . c om

J.S.Bach._Analisis_del_preludio_en_Do_Ma.pdf

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