DESARROLLO DEL PROBLEMA TAREA UNO: Cada estudiante escogerá una ecuación de diferencias expuesta a continuación y reportará en el foro su decisión, esto con el fin de que cada estudiante tenga una ecuación diferente.
Solución:
La ecuación de diferencias escogida es:
[] [][][] TAREA 2: Cada estudiante realizará el diagrama de bloques de su ecuación de diferencia en la página de internet:
https:/www.draw.io Solución:
Z-1 retarda la señal de entrada en una unidad de tiempo, b0 multiplica a la señal de entra X[n], -a1 multiplica la señal Y[n-1], -a2 multiplica la señal Y[n-2] y los + se encargan de sumar las señales.
TAREA TRES: Se realizará la transformada Z de la ecuación de diferencias. Esta debe realizarse en el editor de ecuaciones de Word. No se aceptan pantallazos. Solución: La ecuación de diferencias es:
[] 0[][ 1] [ 2] La transformada Z será:
∞
∑
=−∞
[]−
∞
∑ 0[][ 1][ 2]−
=−∞
∞
0 ∑
=−∞
[]−
∞
∑
=−∞
[ 1]−
∞
∑ [ 2]−
=−∞
Haciendo el cambio en la segunda sumatoria por:
1 → 1
Haciendo el cambio en le tercera sumatoria por:
2 → 2
Y sabiendo que el infinito sumando o restándole 1 o 2 sigue siendo infinito tenemos que:
∞
∞
∞
=−∞ ∞
=−∞ ∞
=−∞ ∞
=−∞
=−∞
=−∞
0 ∑ []− ∑ []−+ ∑ []−+ 0 ∑ []− ∑ []−− ∑ []−− Como las sumas están sobre l y k, lo que no dependa de ellos puede salir de la sumatoria, luego:
∞
∞ ∞ − − − − 0 ∑ [] ∑ [] ∑ []− =−∞ =−∞ =−∞ Lo que queda en cada sumatoria será transformadas Z, luego:
0−− Despejando la transformada Z de Y, obtenemos:
−− 0 1 − − 0 Luego la transformada Z de la señal de salida es:
10−−
TAREA CUATRO: Una vez se tenga la transformada Z de la ecuación de diferencia, se hallará la función de transferencia del sistema H(Z). Esto también se realizará con el editor de ecuaciones de Word. Recordar que la función de transferencia es:
Solución:
Reemplazando el valor anterior de la transformada Z de la señal se encuentra que:
1 0− − −0 − 1 1
La función de transferencia del sistema, será:
1−0− TAREA CINCO: Una vez se tenga la función de transferencia, se hallará la respuesta en frecuencia del sistema, remplazando:
Solución:
1−0− 1−0 − Luego la respuesta en frecuencias será:
1−0−
TAREA SEIS: Una vez se cuente con la respuesta en frecuencia del sistema, se hallará la magnitud de la respuesta en frecuencia, para ello se aplicará la identidad de Euler: = ( )+ ( ) Luego se aplicará la ecuación de magnitud de un número complejo para agrupar los términos reales e imaginarios: ( + )2 = 2+
Solución:
0 1cos (cos22)
Agrupando parte imaginaria y parte real:
0 [1 cos cos2][ 2]
Como se observa se presenta cierta dificultad para hallar directamente la magnitud, como hay una división por un número complejo, lo más conveniente es usar notación en fasores del denominador, es decir, se quiere escribir el denominador de la función de transferencia como:
θ
Donde es el ángulo formado por el número complejo en el plano complejo, y esta definido como que la tangente de este ángulo es igual a la parte imaginaria sobre la parte real del número complejo, para este caso sería:
2 1 cos cos2
Y A es la magnitud del número complejo, y está dada por:
√[1 cos cos2] [2] Haciendo las operaciones que hay dentro de la raíz se obtiene:
√1 21 cos2cos2 0θ 0 −θ
Teniendo en cuenta las definiciones anteriores, la función de transferencia se escribirá como:
Luego la amplitud cuadrada de la función de respuesta de frecuencia será:
0 1 210cos2cos2 Sacando raíz cuadrada a ambos lados nos queda que la amplitud de la función de respuesta en frecuencia es:
|| √1 210 cos2cos2
TAREA SIETE: Una vez se tengan agrupados los términos reales e imaginarios (a y b), se hallará la ecuación que represente la respuesta en fase del sistema, utilizando la siguiente ecuación :
Solución: En el punto anterior teníamos escrita la función de frecuencia en forma fasorial:
0 −θ 0 φ
Siendo el ángulo -ϴ la fase de la función de respuesta en frecuencias, se tenía que por definición:
2 1 cos cos2
Pero la función tangente es impar, luego:
Luego,
2 1 cos cos2
Por lo tanto la fase de la función respuesta en frecuencias es:
2 − 1 cos cos2
