J.L.Bueso - Álgebra discreta y de grupos

José L. Bueso

Teoría

Álgebra 2 Grado Grado en Matemátic Matemáticas as

Facultad de Ciencias (http://150.214.18.236/course/view .236/course/view.php?id=12). .php?id=12). Universidad de Granada. (http://150.214.18

José L. Bueso

Teoría

Álgebra 2 Grado Grado en Matemátic Matemáticas as

Facultad de Ciencias (http://150.214.18.236/course/view .236/course/view.php?id=12). .php?id=12). Universidad de Granada. (http://150.214.18

Índice general 1. Introducción a la teoría de grafos. 1.1. Generalidade Generalidadess sobre sobre grafos. grafos. . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. 1.1 .1. Con Concep cepto to de de grafo. grafo. . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. 1.1 .2. Grad Gradoo de vért vértice ices. s. . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3. Grafos regular regulares es y grafos comple completos. tos. . . . 1.1.4. Matric Matrices es asociadas a grafos. grafos. . . . . . . . . 1.1.5. 1.1 .5. Cam Camino inoss en graf grafos. os. . . . . . . . . . . . . . 1.1.6. 1.1 .6. Graf Grafos os con conexo exos. s. . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Grafos euleria eulerianos nos y hamiltonia hamiltonianos. nos. . . . . . . . . 1.2.1. 1.2 .1. Graf Grafoo de de Eule Euler. r. . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Grafo Hamilt Hamiltoniano. oniano. . . . . . . . . . . . . 1.2.3. 1.2 .3. Graf Grafos os bipa bipartid rtidos. os. . . . . . . . . . . . . . . 1.3.. Gra 1.3 Grafos fos pla planos nos.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. 1.3 .1. Con Concep cepto to de grafo grafo plan plano. o. . . . . . . . . . 1.3.2. 1.3 .2. Col Colorac oración ión de de grafos grafos.. . . . . . . . . . . . . 1.3.3. Poli Polinomio nomio cromáti cromático co de de un grafo. . . . . 1.3.4. Concep Concepto to de árbol y caracte caracterizaci rizaciones. ones. . .

.. . .. . .. . .. . . . . .. . . . . .. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . .. . . .. . . . . .. . . .. . . . . . . . . . . .. . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .

.. .. .. .. . . . . . . . . . . .. .. . . . . .. . . ..

. . . . . . . . . . . . . . . .

2. Introducción a la teoría de grupos. 2.1. Grupos. Ejempl Ejemplos os de grupos. grupos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Definic Definición ión de grupo. grupo. Propiedades Propiedades elemen elementales. tales. . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Grupos de permutacio permutaciones: nes: Grupos Grupos simétricos simétricos y alternados alternados.. . . . . 2.1.3. 2.1 .3. Gru Grupos pos diéd diédric ricos. os. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Subgru Subgrupos. pos. Órdenes Órdenes e índices. índices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Subgru Subgrupos, pos, el retícu retículo lo de subgru subgrupos. pos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Clase Clasess laterales.T laterales.Teorema eorema de de Lagrange. Lagrange. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3. 2.2 .3. Gru Grupos pos cíc cíclic licos. os. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Subgru Subgrupos pos normales. normales. Teorema Teoremass de isomorfía isomorfía . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Subgru Subgrupos pos normales normales y grupos cocien cocientes. tes. . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. 2.3 .2. Hom Homomor omorfism fismos. os. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3. Teorema eoremass de de isomorfía isomorfía.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4. Productos direct directos. os. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.. Ac 2.4 Accio ciones nes de grupo grupo y p-grupos. p-grupos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Acc Acción ión de un grupo sobre sobre un conjun conjunto. to. . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2. Teorema eoremass de Sylo Sylow. w. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3. 2.4 .3. Gru Grupos pos abelia abelianos nos finit finitos os . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4. Clasifi Clasificación cación de grupos grupos de de orden orden ≤ 15. 15. . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 4 4 6 9 11 13 17 17 17 21 23 25 25 30 31 33 35 35 35 43 49 52 52 55 59 63 63 65 68 70 72 72 76 79 83

Índice alfabético

87

Bibliografía

89

Capítulo

1 Introducción a la teoría de grafos. El problema de los siete puentes de la ciudad de Königsberg, en la antigua Prusia oriental en el siglo XVIII, ciudad natal de Kant y, actualmente Kaliningrado (Rusia) es un célebre problema matemático que fue resuelto por Leonhard Euler en 1736 y dio origen a la Teoría de Grafos.

Figura 1.1: Los puentes de Konigsberg La ciudad estaba dividida en cuatro zonas por el río Pregel. Estas cuatro zonas estaban unidas por siete puentes, como se ve en el mapa de la Figura 1.1. Los habitantes de la ciudad, durante sus paseos, intentaban encontrar una ruta que cruzase cada uno de los siete puentes una sola vez, y acabase en el mismo lugar que habían empezado. Euler enfocó el problema representando las cuatro partes de tierra por un punto y cada uno de los siete puentes por una línea, uniendo los puntos que se corresponden. Entonces, el problema anterior se puede trasladar a la siguiente pregunta: ¿se puede recorrer el dibujo terminando en el punto de partida sin repetir las líneas? A 5

2 4 1

I 7

C

6 B

3

Introducción a la teoría de grafos.

4

1.1 Generalidades sobre grafos. 1.1.1

Concepto de grafo. Definición 1.1.1

Un grafo consta de: 1. un conjunto finito no vacío V de vértices, 2. un conjunto finito (que puede ser vacío) E de aristas, y 3. una aplicación δ : E → P (V ) (aplicación de incidencia) tal que, para cada arista e, δ(e) es un subconjunto de uno o dos elementos de V . Llamaremos orden del grafo a |V |. El número de aristas, se denomina tamaño del grafo y se denota por |E |. La arista e se dice que une los elementos de δ(e) = {v, w }. Un par de vértices v y w son adyacentes si existe una arista e uniéndolos, esto es, δ(e) = {v, w }. En este caso decimos que v y w son incidentes con e y también que e es incidente con v y w . Si e 1 y e 2 son dos aristas tales que δ(e 1 ) = {v, w } = δ(e2), se dice que son aristas paralelas. Una arista e diremos que es un lazo si sus extremos coinciden, esto es, δ(e) = {v }. Un grafo se denomina simple si no tiene lazos ni aristas paralelas. Un vértice se dice aislado si ninguna arista incide en él. Desafortunadamente, hay muchas variaciones en la definición de un grafo. Algunos autores utilizan una definición que excluye la posibilidad de aristas paralelas en sus grafos, es decir, varias aristas que conectan el mismo par de vértices. Otras definiciones excluyen la posibilidad de lazos, aristas que unen un vértice a sí mismo. Vamos a llamar a un grafo que satisfaga a ambas restricciones - que no tiene lazos ni aristas paralelas - un grafo simple . La terminología de la teoría de grafos es claramente no estándar. Al consultar otros textos se aconseja revisar muy cuidadosamente las definiciones y terminología del autor. Ejemplo 1.1.1

Consideremos el grafo G dado por los siguientes datos: V G = {v1 , v2 , v3 , v4 }, E G = {e1 , e2 , e3 , e4 , e5 }, δG definida por δG (e1 ) = {v1 }, δG (e2 ) = {v1 , v2 }, δG (e3 ) = {v1 , v3 }, δG (e4 ) = {v2 , v3 }, δG (e5 ) = {v2 , v3 }. Representaremos dicho grafo de la siguiente manera:

v2

e2

v1 e4 e3

e5 v4

v3

e1

1.1 Generalidades sobre grafos.

5

La representación gráfica de un grafo no es única.

Ejemplo 1.1.2

El grafo ciclo o circular C n , n ≥ 3 consta de n vértices v1 , v2 , . . . , vn y aristas {{v1, v2}, {v2, v3}, . . . , {vn−1, vn}, {v1, vn}}. El grafo camino simple o lineal Ln , n ≥ 3 consta de n vértices v1 , v2 , . . . , vn y aristas {{v1 , v2 }, {v2, v3 }, . . . , {vn−1 , vn }}.

Definición 1.1.2

Un grafo dirigido o digrafo consta de: 1. un conjunto finito no vacío V de vértices, 2. un conjunto finito E de aristas, y 3. una aplicación δ : E → V × V tal que, para cada arista e, δ(e) es un par ordenado de V . Si δ(e) = [u,v], entonces u se denomina el vértice inicial de e y v el vértice final de e.

Ejemplo 1.1.3

Consideremos el digrafo G dado por los siguientes datos: V G = {v1 , v2 , v3 }, E G = {e1 , e2 , e3 }, δG definida por δG (e1 ) = [v1 , v2 ], δG (e2 ) = [v1 , v3 ], δG (e3 ) = [v2 , v3 ]. Representaremos dicho digrafo de la siguiente manera: v3 e2 v1

e3 e1

v2

Definición 1.1.3

Un grafo H es un subgrafo del grafo G, denotado H ≤ G, si V H ⊆ V G , E H ⊆ E G y δH (e) = δG (e) para toda arista e ∈ E H .

Ejemplo 1.1.4


6 e4

e4

v1

v1

e1

e2

e1

v2

v3

e7 e6

e9

e5 e8

v5

e2

v2

v3

e3

e3

v4

Figura 1.2: El grafo G

v4

Figura 1.3: El grafo H

En la figura podemos observar que H es un subgrafo en G. Definición 1.1.4

Sean G y G  dos grafos. Un isomorfismo de G en G  consta de un par (hV , hE ) de biyecciones hV : V G → V G hE : E G → E G tal que, para toda arista e de G, si δG (e) = {v, w } entonces δG (hE (e)) {hV (v),hV (w) }. Se dice entonces que los grafos G y G son isomorfos.

=

Ejemplo 1.1.5

e1

v4

e7 e8 e9

v3

e4

e6

e5

v1

e2 e3

v2

Figura 1.4: El grafo G

f 1

w4

f 3 f 2

w3

f 4

f 6

f 5

w1

f 7 f 8 f 9

w2

Figura 1.5: El grafo G’

En la figura tenemos dos biyecciones hV : V G → V G dada por hV (v1 ) = w4 , hV (v2 ) = w3 , hV (v3 ) = w2 , hV (v4 ) = w1 y hE : E G → E G dada por hE (e1 ) = f 1 , hE (e2 ) = f 2 , hE (e3 ) = f 3 , hE (e4 ) = f 4 , hE (e5 ) = f 5 , hE (e6 ) = f 6 , hE (e7 ) = f 7 , hE (e8 ) = f 8 , hE (e9 ) = f 9 . Claramente se verifica que si δG (e) = {v, w }, entonces δG (hE (e)) = {hV (v),hV (w) }. 1.1.2

Grado de vértices.


7

Definición 1.1.5

El grado, gr (v) , de un vértice v es el número de aristas que son incidentes en v . (Un lazo conectando v consigo mismo, cuenta doble para el cómputo del grado de v ). Ejemplo 1.1.6

Los grados de los vértices del grafo del ejemplo 1.1.1 están reflejados en la siguiente tabla: Vértice v1 v2 v3 v4

Grado 4 3 3 0

Definición 1.1.6

En un digrafo distinguimos entre grado entrante y grado saliente de u , el primero indica el número de aristas que tienen al vértice u como terminal y el segundo indica el número de aristas que tiene al vértice u como inicial, y se denotan gr− (u) y gr + (u) respectivamente. Proposición 1.1.7

Sean G y G dos grafos y (hV , hE ) un isomorfismo entre G y G . Si v ∈ V G es un vértice de G, entonces gr (v) = gr(hV (v)). Demostración:

Sean G y G dos grafos y (hV , hE ) un isomorfismo entre G y G . Sea v ∈ V G de grado r . Entonces existen r aristas e1 , . . . , er ∈ E G incidentes en v . Entonces hE (e1 ) , . . . , hE (er ) son incidentes en h V (v) . Como h E es biyectiva, gr(hV (v)) ≥ r . Sea e ∈ E G una arista de G incidente en hV (v) . Como hE es biyectiva existe e ∈ E G tal que e  = hE (e). Como h E (e) es incidente en h V (v) en G  , tenemos que e es incidente en v en G. Como e1 , . . . , er ∈ E G son las únicas aristas incidentes en v , e = ei para algún 1 ≤ i ≤ n. Ahora hE (e) = hE (ei ). Así gr (hV (v)) = r . Ejemplo 1.1.7 v1 e5 v4

e1 e6

e4

v2 e7

v5

e2 e3

v3


8 w1

w2

f 1

f 7 f 4

f 5

f 2

w5

f 3

w4

f 6 w3

El isomorfismo viene dado por

hV v1



w1

v2



w5

v3



w4

v4



w3

v5



w2

hE e1



f 4

e2



f 3

e3



f 2

e4



f 6

e5



f 7

e6



f 1

e7



f 5

vértice grado 3 v1 3 v2 2 v3 2 v4 4 v5

vértice w1 w2 w3 w4 w5

grado 3 4 2 2 3

Teorema 1.1.8

Sea G un grafo con V G = { v1 , . . . , vp } su conjunto de vértices y | E G | su número de aristas. Entonces: p

 gr

i

=1

(vi )

= 2|E G |.


9

Demostración:

Al considerar cada arista e ∈ E G , si δE (e) = {vi , vj }, encontramos que la arista contribuye en una unidad al grado de v i y al grado de v j y, en consecuencia, con dos unidades a pi=1 gr(vi ). Así pi=1 gr(vi ) = 2|E G |.





Teorema 1.1.9

Sea G = (V,E) un digrafo. Entonces:

 gr−

(v)

v V

∈

=

 gr+

v V

∈

(v)

= |E G |.

Demostración:

Al considerar cada arista e ∈ E G , si δE (e) = [v i , vj ], encontramos que la arista contribuye en una unidad al grado entrante de vj y al grado saliente de vi . Ejemplo 1.1.8 v3

e1

v2

e2

e5

e4

v5

e3

v1

e6

e7

v4

vértice grado entrante grado saliente 2 2 v1 1 1 v2 3 0 v3 0 2 v4 1 2 v5

1.1.3

Grafos regulares y grafos completos. Definición 1.1.10

Un grafo se dice regular si todos sus vértices tienen el mismo grado. Si dicho grado es r se dice r -regular. Definición 1.1.11

Un grafo simple para el que cada par de vértices hay una arista que los conecta se llama grafo completo.


10

Proposición 1.1.12

Dos grafos completos con el mismo número de vértices son isomorfos.

Demostración:

Sean G y G  dos grafos completos con el mismo número de vértices r . Supongamos que V G = {v1 , . . . , vr } y V G = {v1 , . . . , vr  }. Consideremos la aplicación hV : V G

→ V G

definida por hV (vi ) = vi , i = 1, . . . , r . Entonces hV es una biyección y por la definición de grafo completo, todo par de vértices vi , vj son adyacentes y como G también es completo, también lo son vi = hV (vi ) y vj = hV (vj ) y viceversa. Por tanto G y G son isomorfos.

El grafo completo con n vértices es denotado por K n . A Figura 1.6: El grafo K 1 A

B

Figura 1.7: El grafo K 2 A

B

C Figura 1.8: El grafo K 3 A

B

D

C

Figura 1.9: El grafo K 4


11

A

E

B

D

C Figura 1.10: El grafo K 5

1.1.4

Matrices asociadas a grafos. Definición 1.1.13

Sea G = (V,E) un grafo. Si los vértices vienen enumerados en la forma v 1, . . . , vn , la matriz de adyacencia A = [a ij ] ∈ Mn (N) de G respecto de esta enumeración de los vértices, se define como aij

= número de aristas que conectan los vértices vi, vj

En el caso de un digrafo

= número de aristas con vértice inicial vi y vértice final vj

aij

La matriz de adyacencia no es única, pues depende del orden en que se tomen los vértices. 1. La matriz de adyacencia de un grafo no dirigido es simétrica, pues si una arista conecta el vértice vi con el vértice vj , esa misma arista conecta el vértice vj con el vértice vi . 2. En el caso de un grafo dirigido, la matriz no es simétrica, ya que puede haber una arista que parte del vértice v i y llega al vértice v j pero no existir la inversa. Dos matrices de tamaño n × n A y A  son equivalentes por permutación si existe una matriz permutación P tal que A = P −1AP . En otras palabras, A es igual a A después de una adecuada reordenación de las filas y la correspondiente reordenación de las columnas.


12

Teorema 1.1.14

Consideremos dos grafos G y G con respectivas matrices de adyacencia A y A . Entonces G y G son isomorfos si y solo si A y A son equivalentes por permutación. Ejemplo 1.1.9

Dibuja un grafo con matriz de adyacencia

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 0 1

0 1 1 0

  

v1

v2

v4

v3

Ejemplo 1.1.10

Calcula una matriz de adyacencia para el grafo representado por v1

e5

e4

e1 e2 e3

v2

e9

e6

e8 v4

v3 e10 e7

0 3 0 2

3 0 1 1

0 1 1 2

2 1 2 0

  

Definición 1.1.15

Sea G un grafo. Si V G = {v1 , . . . , vn } y E G = {e1 , . . . , em }, entonces la matriz de incidencia respecto de esta ordenación de los vértices y las aristas, se define como la matriz M = [mij ] ∈ Mn×m dada por 1 si la arista ej es incidente en el vértice vi 2 si ej es un lazo en el vértice vi mij = 0 en otro caso

 


13

En el caso de un digrafo

mij

 1  =  −2 1  0

si el vértice vi es un vértice inicial de la arista ej si el vértice vi es un vértice final de la arista ej si ej es un lazo en el vértice vi en otro caso

Ejemplo 1.1.11 v1

e1

e2

e3

v4 e1 v1 v2 v3 v4 v5

1.1.5

1  0  0 1 0

v2

e6

e4

e5

v3

v5 e2

e3

e4

e5

1 0 0 0 1

0 1 0 1 0

0 1 0 0 1

0 0 1 0 1

e6

0 1 1 0 0

   

Caminos en grafos. Definición 1.1.16

Sea G un grafo. Un camino de longitud n es una sucesión de aristas (e1 , e2 , . . . , en), junto con una sucesión de vértices (v1 , v2 , . . . , vn+1 ) tales que δ(ei ) = {vi , vi+1 }. En tal caso se dice que el camino (e1 , e2, . . . , en ) es un camino del vértice v1 al vértice vn+1 . Si el grafo es simple, el camino (e1 , e2, . . . , en ) queda perfectamente determinado por la sucesión de vértices (v1, v2 , . . . , vn+1 ). Un camino en el que no hay aristas repetidas se denomina recorrido. Un recorrido en el que no hay vértices repetidos (salvo eventualmente el primero y el último) se denomina camino simple. Un camino en el que coinciden el primer y el último vértice se denomina camino cerrado. Un recorrido que es a la vez camino cerrado se denomina circuito. Un circuito que a su vez es camino simple es un ciclo.

Ejemplo 1.1.12

Consideremos el siguiente grafo:


14 v1

v2

v3

v4

v5

v6

v8

v9

v7

v10

La sucesión (v7 , v3 , v9 , v5 , v4, v8 , v9 , v3 ) es un camino de longitud 7 que une v7 con v 3 . No es recorrido, pues la arista que une v 3 con v9 aparece dos veces en el camino. La sucesión (v1 , v3 , v9, v8 , v4 , v3 , v7 ) es un camino de longitud 6 que une v1 con v7 . Es un recorrido, pues ninguna arista se repite. Sin embargo, el camino pasa dos veces por el vértice v3 . No es por tanto un camino simple. (v3 , v4 , v8 , v9 ) es un camino simple de longitud 3. La sucesión (v1 , v3 , v7 , v9, v3 , v4 , v5 , v2 , v1) es un camino cerrado de longitud 8. Es además un circuito, pues ninguna arista se encuentra repetida. No es un ciclo, ya que el vértice v3 se repite. Un ejemplo de ciclo es (v1 , v2 , v5 , v9, v7 , v3 , v1 ).

Vértices repetidos Aristas repetidas Cerrado Nombre Si Si No Camino Si Si Si Camino cerrado Si No No Recorrido Si No Si Circuito No No No Camino simple No No Si Ciclo Cuadro 1.1: Resumen de caminos

Proposición 1.1.17

En un grafo G si existe un camino que conecta dos vértices distintos v y w , existe un camino simple con extremos v y w . Demostración:

Supongamos que el camino es (v = v1 , v2 , . . . , vn = w) . Si el camino no es simple, debe haber dos vértices repetidos. Sean estos vi y vj , con i < j . En tal caso, se tiene que (v = v1 , . . . , vi , vj +1 , . . . , vn = w) es un camino de v a w . Si este camino no fuera simple, repetiríamos el proceso, hasta llegar a un camino simple.


15

Proposición 1.1.18

Sea G un grafo, y sean u y v dos vértices distintos. Si tenemos dos caminos simples distintos de u a v , entonces existe un ciclo en G. Demostración:

Supongamos que u, v ∈ V G se conectan por al menos dos caminos simples diferentes (u,u1 , . . . , um−1 , v) y (u,u1 , . . . , un−1 , v) . Sea ur el vértice que verifica: ui = ui para i ≤ r y ur +1 ≠ u r +1 y sea us el vértice con la condición us = u s y para todo r ≤ i ≤ s , ui ≠ ui . Entonces (ur , ur +1 , . . . , us , us −1 , . . . , ur +1 , ur ) es un ciclo. Ejemplo 1.1.13

En el ejemplo 1.1.12 tenemos dos caminos simples que unen v 3 con v 8 , como son (v3 , v4 , v8 ) y (v3 , v9 , v8 ). A partir de estos dos caminos podemos obtener el ciclo (v3 , v4 , v8 , v9 , v3 ), recorriendo en primer lugar uno de los caminos que une v 3 con v8 , y recorriendo a continuación el otro en sentido contrario. Nótese que si partimos de los caminos simple (v3 , v4, v8 ) y (v3, v1 , v2 , v5 , v4 , v8) y repetimos lo hecho en el párrafo precedente obtenemos el camino cerrado (v3 , v4 , v8 , v4 , v5 , v2 , v1 , v3 ) que no es un ciclo, pues el vértice v4 está repetido (o la arista v 4 v8 ). Sin embargo, la existencia de los dos caminos simples sí nos da la existencia de un ciclo, a saber, (v3 , v4 , v5 , v2, v1 , v3 ). Proposición 1.1.19

Sea G un grafo cuyo conjunto de vértices es V G = {v1 , v2 , . . . , vn } y sea M su matriz de adyacencia. Entonces el coeficiente (i,j) de la matriz M n es igual al número de caminos de longitud n que unen vi con vj . Demostración:

Hagamos la demostración por inducción. Para n = 1 el resultado no es más que la definición de la matriz de adyacencia. Supongamos que el resultado es cierto para n − 1 y demostrémoslo para n. Sea entonces A = M n−1 y B = M n = AM . Queremos probar que b ij es el número de caminos de longitud n que unen v i con vj . Por definición de producto de matrices tenemos que n

bij

 =

aik mkj .

k

=1

Cada camino de vi a vj de longitud n consiste en un camino de vi a un cierto vértice vk de longitud n − 1 seguido de una arista de vk a vj . Entonces por cada arista con un extremo en vj , es decir por cada mkj ≠ 0, obtenemos aik caminos diferentes de longitud n de vi a vj pasando por v k. Es decir, el número de caminos de longitud n entre vi y vj es: ai1 m1j

como queríamos demostrar.

+ ai m j + · · · + ainmnj = bij 2

2


16

Ejemplo 1.1.14

En la siguiente figura hemos representado el recorrido de una línea de metro con sus respectivas paradas p2 p5

p1

p4 p6

p7 p3

La matriz de adyacencia es

0 0 0 = 1 1 00

1 0 0 0 0 0 0

0 1 0 = 0 0 11

0 0 0 1 1 0 0

2 0 1 = 0 0 00

0 1 0 0 0 1 1

M

0 1 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 1 1

0 1 0 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0

    

Nos encontramos en la parada p6 y queremos ir a la parada p2 . Ya que m62 = 0 no hay ningún camino de longitud 1. Por otro lado

M 2

1 0 0 0 0 1 1

1 0 1 0 0 0 0

1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 1 0 0

0 1 0 1 0 0 0

    

De nuevo la entrada (6, 2) es cero, luego no hay ningún camino de longitud 2.

M 3

1 0 1 1 1 0 0

0 1 0 2 1 0 0

0 0 0 1 1 0 0

0 1 0 0 0 1 1

1 0 0 0 0 1 1

    

Ahora la entrada (6, 2) es 1, luego hay un camino de longitud 3 que va de p6 a p2 , a saber p6 p4 p1 p2 .

1.2 Grafos eulerianos y hamiltonianos.

1.1.6

17

Grafos conexos. Definición 1.1.20

Un grafo G es conexo si para cada par de vértices v y w existe un camino de v a w . En caso contrario decimos que G es disconexo. Sea G un grafo arbitrario. Definimos una relación R sobre V G mediante vR w si

y sólo si v y w pueden conectarse mediante un camino en G.

Claramente R es una relación de equivalencia, pues: 1) Es reflexiva ya que todo vértice está unido con él mismo por un camino de longitud cero. 2) Es simétrica pues si (e1 , e2 , . . . , en ) es un camino de v a w entonces (en , en−1 , . . . , e1 ) es un camino de w a v .  ) es 3) Es transitiva pues si (e 1 , e2 , . . . , en ) es un camino de u a v y (e 1 , e2 , . . . , em  ) es un camino de u a un camino de v a w , entonces (e1 , e2 , . . . , en , e1 , e2 , . . . , em w. Sea {V 1, V 2, . . . , Vp } la partición del conjunto de vértices por las clases de equivalencia de R. Ahora podemos formar subgrafos Gi con vértices V i y cuyas aristas son aquellas de G que conectan dos vértices de V i . Estos subgrafos Gi son las componentes conexas de G. Ejemplo 1.1.15

Consideremos el siguiente grafo: v1 v2

v3 v4

v5

v6 v7

tiene tres componentes conexas. Éstas son v1

v5

v2

v6

v3

v7

1.2 Grafos eulerianos y hamiltonianos. 1.2.1

Grafo de Euler.

v4


18

Definición 1.2.1

Sea G un grafo, un circuito euleriano es un circuito (esto es, camino cerrado sin aristas repetidas) que contiene todas las aristas de G. Un grafo que admite un circuito euleriano se denomina grafo euleriano. Un camino de Euler es un recorrido (camino sin aristas repetidas) en el que aparecen todas las aristas. Todo circuito de Euler proporciona un camino de Euler. Lema 1.2.2

Sea G un grafo. Si G es euleriano todo vértice de G tiene grado par. Demostración:

Sea v ∈ V G . Podemos contar las aristas que tienen como extremo v siguiendo un circuito euleriano C en G. Si v no es el primer vértice de c , cada vez que tal circuito pasa por v contribuye con 2 al grado de v , pues las aristas que preceden y siguen a v en C tienen como extremo a v . Si v es el primer vértice de C , el circuito contribuye con 2 al grado de v en todas las visitas a v salvo en la primera y en la última en que añade uno cada vez. En cualquier caso v tiene grado par en G. Ejemplo 1.2.1 v1

v1

e4

e5

v2

e2

e3 e2

e7 v5

v3 e8

e1

e6 v4

Figura 1.11: El grafo G1

v2

e3 e7 e6 e10

e1 v5

e5

v3 e8 e9

e4 v4

Figura 1.12: El grafo G2

En el primer grafo 1.2.1, tenemos que hay dos vértices de grado 3, un vértice de grado 2 y dos vértices de grado 4. En el segundo grafo 1.12 , se tiene que todos los vértices tienen grado 4 y un circuito de Euler viene dado por (e1 e2e3 e4 e5 e6 e8 e10e7e9 ). Lema 1.2.3

Sea G un grafo en el que cada vértice tiene grado par. Si u y v son vértices adyacentes, entonces existe un circuito C que contiene a la arista e = {u, v }.


Demostración:

Comencemos un camino C por u y la arista e. El camino se continúa siguiendo la siguiente regla: cada vez que el camino C llega a un vértice distinto de u se continúa el camino usando una arista que no aparezca con anterioridad en C , si w = u damos por terminado el circuito. El proceso siempre es posible gracias a que el grado de todo vértice es par, y que cada vez que C visita un vértice utiliza 2 aristas con un extremo en tal vértice. Como el número de vértices y aristas es finito, C acaba por regresar a u y por construcción C es un circuito. Teorema 1.2.4

Un grafo conexo G es euleriano, si y sólo si, todo vértice tiene grado par. Demostración:

Por el Lema 1.2.2 es suficiente probar que si G es un grafo conexo con todos sus vértices de grado par es euleriano. El teorema es trivial para |V G | = 1. Supongamos que |V G | > 1 y sean u,v dos vértices adyacentes en G , entonces por el Lema 1.2.3 existe un circuito C que contiene a la arista {u, v }. Sea G el subgrafo obtenido eliminando las aristas en C , esto es, V G = V G y E G = E G \ {aristas de C }. Obsérvese que todos los vértices de G  tienen grado par. Si E G =  entonces C es un circuito euleriano y por tanto hemos terminado. Supongamos por tanto que E G ≠ , entonces existe un vértice x de grado mayor que cero en G  . Por ser G conexo, podemos encontrar un vértice y en C de grado mayor que cero en G . En efecto si x no es vértice en C , consideramos un vértice cualquiera w en C , y ya que G es conexo construimos un camino c en G de extremos x y w . Sea { z, y } la primera arista de c que satisface { z, y } ∉ C , es decir, {z, y } ∈ E G e y es un vértice de C . Claramente y es el vértice buscado. Sea por tanto { z, y } ∈ E G con y vértice de C . Aplicando el lema 1.2.3 a G y {z, y } obtenemos un circuito C  en G conteniendo a {z, y }. Podemos unir C y C  en y de la siguiente manera: de z a y siguiendo C , a continuación recorriendo C  y finalmente acabando C desde y . De este modo obtenemos un nuevo circuito C 1 con más aristas que C . Si E  = E \ {aristas de C 1 } no es el conjunto vacío repetimos el proceso. Repitiendo la construcción tantas veces como sea necesario, como el número de aristas de G es finito, y en cada construcción el número de aristas del circuito aumenta, el proceso finaliza, obteniéndose un circuito euleriano. Corolario 1.2.5

Sea G un grafo conexo. G tiene un camino de Euler no cerrado si y solo si G tiene exactamente dos vértices de grado impar. Demostración:

Sea G un grafo con un camino de Euler g de extremos u y v . Construyamos un nuevo grafo G con V G = V G ∪ {w } y E G = E G ∪ {{u, w }, {v, w }} con w ∉ V G . Si g = (u,v1 , . . . , vr , v) , entonces (w,u,v1 , . . . , vr , v , w ) es un circuito de Euler de G , Por tanto, todos los vértices de G  tienen grado par. Como para x ≠ u, v ,

19


20

grG (x) = grG (x), grG (u) = grG (u) − 1 y grG (v) = grG(v) − 1, obtenemos el resultado. Sean u y v los dos únicos vértices de grado impar de G . Construyamos un nuevo grafo G con V G = V G ∪ {w } y E G = E G ∪ {{u, w }, {v, w }} con w ∉ V G . G es conexo y todos los vértices de G tienen grado par, luego existe un circuito de Euler g en G  . Además podemos construir g del siguiente modo: (w,u, v1 , . . . , vr , v , w ). Entonces (u,v1 , . . . , vr , v) es el camino de Euler buscado.

Ejemplo 1.2.2

El grafo completo K n is (n − 1)-regular ya que todo vértice tiene grado n − 1. Ya que es conexo, K n es Euleriano si, y solo si, n es impar (por tanto n − 1 es par). El grafo K 3 tiene un obvio circuito de Euler y dejamos como ejercicio encontrar uno para K 5 . (En efecto, K 5 tiene 264 circuitos de Euler.)

Ejemplo 1.2.3

Un cartero tiene asignada para el reparto una red de calles representada por el grafo J E

B A

F

I C

D

H

G El reparto de cartas debe comenzar y acabar en la estafeta de correos que se encuentra en el vértice A. Por el lema 1.2.2 el cartero sabe que puede hacer su reparto sin tener que recorrer dos veces la misma calle utilizando un circuito euleriano. Comenzamos obteniendo un circuito que parte de A siguiendo las instrucciones del lema 1.2.3 . Supongamos que hemos obtenido el circuito g

= (A,B,C,D,A)

A continuación borramos las aristas recorridas por g obteniendo el grafo G


21

J E

B A

I C

F

D

H

G En el grafo G  obtenemos una arista con extremo en g, por ejemplo AF y aplicamos de nuevo el proceso del lema 1.2.3 obteniendo g

= (A,F,D,H,C,I,H,G,F,E,A)

Uniendo g  a g obtenemos el circuito g1

= (A,F,D,H,C,I,H,G,F,E,A,B,C,D,A)

Borrando la aristas de g1 obtenemos el grafo G J E

B A

F

I C

D

H

G Tomamos ahora la arista E J ya que E está en g1 para repetir el proceso del lema 1.2.3 . Obtenemos ahora el circuito de G g

= (E,J,I,B,E)

Como E G \ {aristas de g } =  el circuito euleriano que puede usar el cartero es (A, F , D, H , C , I , H , G , F , E , J , I , B , E , A, B , C , D, A )

1.2.2

Grafo Hamiltoniano.


22

Definición 1.2.6

Un circuito hamiltoniano de un grafo G es un camino cerrado que recorre todos los vértices una sola vez. Un grafo es hamiltoniano si tiene un circuito hamiltoniano. Un camino de Hamilton es un camino que recorre todos los vértices una sola vez. Ejemplo 1.2.4

Los caminos y ciclos hamiltonianos fueron estudiados después de que el matemático William R. Hamilton, inventor del juego “The icosian game”, lanzara un juguete en 1857 que involucraba encontrar un ciclo hamiltoniano en las aristas del grafo de un dodecaedro.

Teorema 1.2.7: de Ore

Sea G un grafo simple con n vértices para n ≥ 3. Si para cada par de vértices no adyacentes v y w se verifica que gr (v) + gr(w) ≥ n, entonces G es hamiltoniano. Demostración:

Probemos que si G no es un grafo de Hamilton, hay al menos dos vértices no adyacentes tales que la suma de sus grados es menor que n. Supongamos entonces que G es un grafo que no es de Hamilton. Añadimos una arista al grafo. Si sigue sin ser de Hamilton, volvemos a añadir una arista, y así sucesivamente, hasta que encontremos un grafo de Hamilton. Sea ab = v 1v2 la última arista que hemos añadido. El grafo obtenido es un grafo de Hamilton, y el ciclo de Hamilton debe contener a la arista ab. Sea entonces dicho ciclo (a,b,v3 , v4 , . . . , vn , a). Llamemos H al grafo que hemos obtenido justo antes de añadirla arista ab. Para cada i entre 3 y n, vamos a ver que no pueden estar simultáneamente las


23

aristas avi−1 y bvi en el grafo H . Si i = 3, entonces avi−1 = av2 = ab, que no está en H . Si i ≥ 4, en caso de que estuvieran ambas aristas, podríamos construir el circuito de Hamilton (b,vi , vi+1 , ··· , vn , a , vi−1 , vi−2 , ··· , v3 , b) que no contiene a la arista ab, lo cual no es posible, pues el grafo H no es de Hamilton. Tenemos entonces que en el grafo H , se verifica que gr(a) + gr(b) < n, y como G es un subgrafo de H , entonces en G se verifica la misma propiedad. Hemos encontrado entonces dos vértices no adyacentes tales que la suma de sus grados es menor que n, como queríamos. Teorema 1.2.8: de Dirac

Sea G un grafo simple con n vértices para n ≥ 3. Si para todo vértice v de G se verifica gr (v) ≥ n/2, entonces G es de Hamilton. Demostración:

Para cada par de vértices no adyacentes v y w se verifica que gr(v) + gr(w) ≥ n/2 + n/2 = n, de donde, por el teorema de Ore, G es de Hamilton. Ejemplo 1.2.5

Consideremos el siguiente grafo: v4

v1

v3

v2

Un circuito de Hamilton es (v1 , v2 , v3 , v4, v1 ).

1.2.3

Grafos bipartidos. Definición 1.2.9

Un grafo bipartido es un grafo donde el conjunto de vértices V G tiene una partición {V 1, V 2} ( V G = V 1 ∪ V 2, V 1 ∩ V 2 = ) tal que toda arista conecta un vértice de V 1 con un vértice de V 2 . Un grafo bipartido completo es un grafo bipartido tal que todo vértice de V 1 está conectado a todo vértice de V 2 mediante una única arista. Un grafo bipartito completo está completamente determinado por |V 1 | y |V 2 |. El grafo bipartito completo de n y m vértices, denotado K n,m, tiene |V 1 | = n y |V 2| = m. Es necesariamente simple.


24

Ejemplo 1.2.6

El grafo bipartido completo K 3,3 con V 1 = {A,B,C } y V 2 = {D , E , F } A

B

C

D

E

F

Lema 1.2.10

Sea G un grafo bipartido con partición del conjunto de vértices V = V 1 ∪ V 2 . Supongamos que (v1 , v2 , ··· , vm ) es un camino en G y que v1 ∈ V 1 . Entonces {v1, v3, v5, . . .} ⊆ V 1 y {v2, v4, . . .} ⊆ V 2. Demostración:

Ya que v1 ∈ V 1 tenemos que v2 ∈ V 2 , pues si v2 ∈ V 1 tendríamos una arista, la de extremos { v1 , v2 }, con los dos extremos en V 1 , lo que no es posible por ser bipartido. Por tanto v2 ∈ V 2 . Razonando análogamente tendríamos que v3 ∈ V 1 y así sucesivamente. Teorema 1.2.11

Un grafo es bipartido, si y sólo si, no tiene ciclos de longitud impar. Demostración:

Veamos en primer lugar que si G contiene ciclos de longitud impar entonces G no es bipartido. Supongamos que (v1, v2 , . . . , vm−1 , vm, v1 ) es un ciclo de longitud impar, es decir, m = 2k + 1 para algún k ∈ N. Si G fuera bipartido, tendríamos que v1 , v3, . . . , v2k+1 están en el mismo subcon junto de la partición, mientras que v 2 , v4, . . . , v2k , v1 están en el otro subconjunto de la partición. Encontramos entonces un vértice v1 que está simultáneamente en los dos subconjuntos, lo cual no es posible. Supongamos ahora que el grafo no tiene ciclos de longitud impar, y veamos que entonces G es bipartido. Notemos que si G = K 1 entonces es claramente bipartido y no contiene ciclos de longitud impar (para su existencia se necesitan al menos tres vértices). Así podemos suponer que |V G | ≥ 2. También podemos suponer que G es conexo. Sean u y v dos vértices de G. Definimos el número d(u,v) como la menor longitud posible de los caminos que unen u con v . Claramente, si d(u,v) = r entonces existe un camino simple que une u con v . Elegimos un vértice v ∈ V , y definimos los conjuntos:

= {x ∈ V ; d(v,x) es par } V = {y ∈ V ; d(v,y) es impar } Es claro que V = V ∪ V y que V ∩ V = . Veamos que cualquier arista de G V 1

2

1

2

1

2

une un vértice de V 1 con un vértice de V 2 . Sean x1 y x2 vértices en V 1 y supongamos que existe una arista e incidente con los vértices x1 y x2 . Notemos que x1 no es adyacente a v (pues en ese caso, el

1.3 Grafos planos.

25

camino más corto tendría longitud 1), por tanto v ≠ x1 . Análogamente, x2 no es adyacente a v (pues en ese caso, el camino más corto tendría longitud 1), por tanto v ≠ x2 . Sean P 1 = (v,v1 , v2 , ··· , v2k = x1 ), P 2 = (v,v  , ··· , v  = x2 ) 1

2l

caminos de longitud mínima de v a x1 y de v a x2 respectivamente, ambos de longitud par. Si P 1 y P 2 no tienen vértices en común, entonces un ciclo de longitud impar sería (v,v1 , . . . , x1 , x2 , . . . , v1 ,v).

Supongamos ahora que

{v , v , . . . , v k} ∩ {v  , v  , . . . , v l} ≠ . 1

2

2

1

2

2

La idea aquí es la misma, sólo que para obtener un ciclo hemos de eliminar los vértices repetidos. En primer lugar, veamos que si vi ∈ {v1, v2 , . . . , v2k } ∩ {v1 , v2 , . . . , v2 l } entonces vi = vi . Esto es cierto pues si v i = vj con j ≠ i entonces, bien j < i o bien i < j . En el primer caso tenemos que (v, v1 , ··· , vj , vi+1 , ··· , v2k = x1 ) es un camino que une v con x1 de longitud menor que la de P 1, lo cual no es posible. En el segundo se razona de la misma forma. Tomamos ahora el mayor i tal que v i ∈ {v1 , v2 , . . . , v2k }∩{v1 , v2 , . . . , v2 l }. En tal caso, podemos tomar el ciclo (vi , vi+1 , ··· , x1, x2 , v2 l−1 , ··· , vi = vi ), que tiene longitud impar. El caso para y 1 , y 2 ∈ V 2 es totalmente análogo.

1.3 Grafos planos. 1.3.1

Concepto de grafo plano. Definición 1.3.1

Un grafo se dice que es plano si admite una representación gráfica en el plano de modo que cada arista corta únicamente a otra arista en un vértice que sea extremo de ambas. Tal representación se denomina mapa. Un mapa divide al plano en varias partes que se denominan caras. Ejemplo 1.3.1 v3 e6 e3

v4

e4 v1

e2 e5

e1

v2


26

Es un grafo plano con 4 vértices, 6 aristas y 4 caras (las 3 caras encerradas por las aristas y la cara exterior). Cada poliedro regular (tetraedro,hexaedro,octaedro,dodecaedro e icosaedro) define un mapa del grafo formado por sus vértices y aristas. tetraedro hexaedro octaedro icosaedro dodecaedro

vértices 4 8 6 12 20

aristas 6 12 12 30 30

caras 4 6 8 20 12

Cuadro 1.2: Poliedros regulares Figura 1.13: Poliedros regulares

Es bien conocida la fórmula para dichos poliedros vértices-aristas+caras=2. Lema 1.3.2

Sea G un grafo conexo que contiene un ciclo C . Entonces G − e es conexo para toda arista e ∈ C .

1.3 Grafos planos.

27

Demostración:

Sea e = {u, v }. Entonces existe un camino (u,v1, . . . , vr , v) en G − e de u a v . Sean x, y dos vértices cualesquiera de G − e, ya que V G−e = V G y G es conexo existen caminos (x,u1, . . . , us , u) y (v,w1, . . . , wt , y) en G − e. Por tanto (x,u1 , . . . , us , u , v1 , . . . , vr , v , w1 , . . . , wt , y) es un camino de x a y en G − e y por tanto G − e es conexo. Teorema 1.3.3: Fórmula de Euler

Sea G un grafo plano y conexo. Si |V G | es el número de vértices, |E G | el número de aristas y |RG | el número de caras de una representación plana de G, entonces

|V G| − |E G| + |RG | = 2. Demostración:

Razonemos por inducción sobre |E G |. Si |E G | = 0 como G es conexo entonces V G = {v } y E G =  y en el mapa hay una sola cara, esto es, |RG | = 1 y la fórmula se verifica. Supongamos ahora que |E G | ≥ 1 y que la fórmula es cierta para todo grafo plano y conexo con número de aristas menor que |E G |. Caso 1). G tiene algún ciclo. Sea G = G − e donde e es una arista de algún ciclo en G . G  continúa siendo conexo por el lema 1.3.2 y el número de caras disminuye en una unidad ya que e debe pertenecer al borde de dos caras diferentes. Ya que la fórmula se verifica para G , tenemos

|RG| − 1 − (|E G | − 1) + |V G| = 2, de donde |RG | − |E G | + |V G | = 2.

Caso 2). G no tiene ciclos. Entonces existe al menos un vértice que es extremo de una sola arista. En efecto, si no existiera tal vértice podríamos construir un ciclo de la siguiente manera: comencemos con un vértice cualquiera v0 y a continuación tomamos una arista que comienza en v0, v0 v1 , como v1 es extremo de más de una arista, tenemos otra arista diferente de v0 v1 con extremo v1 , por ejemplo, v1 v2 . A continuación repetimos el argumento con v2 , así vamos obteniendo un camino v 0 v1 v2 . . .. Como V G es finito, existe un primer número s tal que v s = vt con s > t . El camino vt vt+1 . . . vs es un ciclo, lo que es una contradicción. Sea v un vértice que es extremo de una única arista vw en G. Sea G tal que V G = V G − v y E G = E G − vw . G tiene el mismo número de caras que G. Por la hipótesis de inducción,

|RG| − (|E G | − 1) + |V G | − 1 = 2, de donde |RG | − |E G | + |V G | = 2. Definición 1.3.4

Se denomina grado de una cara f y se denota gr(f ) la longitud del camino que la bordea.


28

Corolario 1.3.5

Sea G un grafo simple, plano y conexo. Entonces

 gr

(f )

f RG

∈

= 2|E G |.

En particular 3|RG | ≤ 2|E G | y |E G | ≤ 3|V G | − 6. Demostración:

Al sumar los grados de todas las caras estamos contando dos veces el número de aristas, pues cada arista es frontera común de dos caras. Es claro que al no tener lazos ni aristas paralelas, el grado de cualquier cara es mayor o igual que 3. Tenemos entonces que 3 |RG | ≤ f ∈RG gr(f ) = 2|E G |. La otra desigualdad es consecuencia del teorema de Euler, pues



2 = |V G |−|E G |+|RG | ≤ |V G |−|E G |+

2|E G | 3

= |V G |− |E 3G | ⇒ 6 ≤ 3|V G|−|E G | ⇒ |E G | ≤ 3|V G |−6.

Ejemplo 1.3.2

El grafo completo K 5 es simple conexo y tiene |V G | = 5 vértices y |E G | aristas. Si el grafo fuese plano, entonces por el corolario 1.3.5

= 10

10 = |E G | ≤ 3|V G | − 6 = 15 − 6 = 9 lo que es imposible. Así K 5 no es plano. El grafo K 3,3 es simple conexo y tiene |V G | = 6 vértices y |E G | = 9 aristas. Si fuera plano, entonces como cada cara está limitada por al menos 4 aristas, tendríamos 4|RG | ≤ 2|E G |. Por la fórmula de Euler, |V G | − |E G | + |RG | = 2, de donde |RG | = |E G| − |V G | + 2 = 9 − 6 + 2 = 5 y 20 = 4|RG | ≤ 2|E G | = 18. Así el grafo K 3,3 no es plano. Definición 1.3.6

Sea G un grafo. Una contracción simple de G es el resultado de indentificar en G dos vértices adyacentes. Una contracción de G es una cadena de contracciones simples. Teorema 1.3.7: de Kuratowski

Sea G un grafo. Entonces G es plano si, y sólo si, ningún subgrafo suyo puede contraerse a K 5 ni a K 3,3 . Ejemplo 1.3.3

Consideramos el siguiente grafo G:

1.3 Grafos planos.

29 v2 v2 v1

v1

v3

v5

v3

v4

v5

v4

Entonces, si identificamos cada vértice vi con vi (es decir, realizamos cinco contracciones) obtenemos el grafo K 5 , que sabemos que no es plano. Deducimos por tanto que este grafo no es plano. También podemos ver que este grafo no es plano como sigue: Tomamos el subgrafo de G con los mismos vértices, y del que se eliminan los lados que unen v 3 con v 5 , y v4 con v4 . El grafo que obtenemos es v2 v2 v1

v1

v3

v5

v3

v4

v5

v4

Identificamos los vértices v2 con v4 , v3 con v3 y v5 con v5 , y a continuación v4 con v3 = v3 . El grafo resultante es:

v1

v2

v2

v2

v2 v3

v1

v5

v4

v1

v1

v5

v3


30

que podemos representar como v1

v2

v5

v1

v2

v3

Es decir, hemos encontrado un subgrafo de G que puede contraerse hasta K 3,3 . 1.3.2

Coloración de grafos.

Todo mapa en el plano se puede representar mediante un grafo. Para establecer esta correspondencia, cada región del mapa se representa mediante un vértice. Una arista conecta dos vértices si las caras representadas por dichos vértices tienen frontera en común. Al grafo simple resultante se le denomina grafo dual del mapa. El problema de colorear un mapa se traduce en colorear los vértices del grafo dual del mapa, de manera que ningún par de vértices adyacentes del grafo tengan el mismo color.

Figura 1.14: Mapa y grafo dual de Andalucía Definición 1.3.8

Una coloración de un grafo simple G es una aplicación λ : V G → C , donde C es un conjunto de colores, de manera que para todo e ∈ E G tal que δG (e) = {v, w } con v ≠ w entonces λ(v) ≠ λ(w). Definición 1.3.9

El número cromático χ(G) de un grafo G es el número mínimo de colores que se requieren para una coloración de G.

1.3 Grafos planos.

Ejemplo 1.3.4

1. El grafo K 2 necesita al menos dos colores para colorearlo, ya que los dos vértices no pueden ser coloreados con el mismo color al ser adyacentes. Su número cromático es por tanto 2. 2. En general, el número cromático del grafo K n es n, pues todos los vértices deben tener colores distintos, ya que dos vértices cualesquiera son adyacentes. 3. Si G1 es un subgrafo de G2, entonces χ(G1 ) ≤ χ(G2 ). 4. Si un grafo es plano, su número cromático es menor o igual que 4. Éste es un problema (“El problema de los 4 colores”) que se planteó por primera vez a mitad del siglo XIX, cuando se intentaba colorear los condados de un mapa de Inglaterra de forma que dos condados con frontera común tuvieran distinto color. El problema estuvo abierto durante más de un siglo, hasta que en 1976, Appel y Haken probaron el resultado basándose en un complicado análisis computacional. Proposición 1.3.10

Un grafo G es bipartido, si y sólo si, χ(G) = 2. Demostración:

Si G es un grafo bipartido con {V 1 , V 2 } una bipartición del conjunto de vértices V , cada arista de G une un vértice de V 1 con un vértice de V 2 , por lo que dos vértices son adyacentes si, y sólo si, están en un subconjunto V i distinto. Por tanto si asignamos a los vértices de V 1 el color C 1 , y a los vértices de V 2 el color C 2 , se obtiene una coloración de G que utiliza únicamente dos colores. Recíprocamente, si existe una coloración con dos colores C 1 y C 2 y denotamos por V i el conjunto de vértices que tienen asignados el color C i , para i = 1 , 2, es claro que cada arista une un vértice de V 1 con un vértice V 2 (pues dos vértices adyacentes no pueden tener el mismo color). Así, concluimos que G es bipartido.

1.3.3

Polinomio cromático de un grafo. Definición 1.3.11

Sea G un grafo y x ∈ N. Vamos a denotar por p(G, x) al número de coloraciones distintas, con x colores, que tiene el grafo G. Lo denominaremos el polinomio cromático de G. El primer k tal que P(G,k) ≠ 0 nos dice que χ(G) = k. Ejemplo 1.3.5

1. Si G es un grafo cuyas componentes conexas son G1 , G2 , . . . , Gm entonces p(G,x) = p(G1 ,x)p(G2 , x) ··· p(Gm , x). Por tanto, nos limitaremos a estudiar las coloraciones de los grafos conexos. 2. Si queremos colorear el grafo K 2 y disponemos de x colores, entonces para uno de los vértices podemos elegir cualquiera de los x colores, mientras que para el otro podemos elegir entre los x − 1 restantes. El principio del producto nos dice entonces que p(K 2 , x) = x(x − 1). En general, se tiene que p(K n , x) = x(x − 1) ··· (x − n + 1). De aquí se deduce

31


32

que si m ≤ n , p(K n , m) = 0, mientras que p(K n , n) = n !. Por tanto, el número cromático de K n es n. 3. El polinomio cromático del grafo vacío N n . Como no hay aristas, no tenemos colores prohibidos a la hora de colorear ningún vértice, así que P (N n , x) = x n . Por tanto χ(N n ) = 1. 4. Si G es el grafo camino simple o lineal L n , entonces p(G, x) = x(x − 1)n−1 . En efecto tendremos x posibles colores para el primer vértice, x − 1 para el segundo. Finalmente para el resto de vértices x − 1 colores. Además, χ(Ln ) = 2. Es decir, G = (V,E) donde V = {v1 , v2 , . . . , vn } y E = {e1 , e2 , . . . , en−1 } y δ G (ei ) = {vi , vi+1}. En este caso, para elegir una coloración de G con x colores, podemos elegir el que queramos para v1 , y para el resto de los vértices tenemos x − 1 posibilidades (todas menos la que hayamos elegido para vi−1 ). El principio del producto nos dice que p(G, x) = x(x − 1)n−1 . Dado un grafo G , tomamos una arista e (que no sea un lazo) que una los vértices u y v . Entonces el grafo G − e es el grafo con los mismos vértices que G, pero al que se le ha quitado la arista e , y el grafo G e es el grafo que resulta de identificar en G − e los vértices u y v . Teorema 1.3.12: de descomposición

Sea G un grafo conexo, y e ∈ E G . Entonces p(G

− e,x) = p(G,x) + p(Ge ,x).

Demostración:

Vamos a descomponer el conjunto de las posibles coloraciones de G − e con x colores en dos subconjuntos, los cuales los identificaremos con las coloraciones de G y las de Ge respectivamente (con x colores). Esto, junto con el principio de la suma, nos dará la relación que buscamos. Puesto que en G − e los vértices u y v no son adyacentes, una coloración de G − e puede tener los vértices u y v del mismo color o de distinto color. Si tienen distinto color, lo que tenemos es una coloración del grafo G (obviamente, toda coloración de G es una coloración de G − e). Por tanto, las coloraciones en las que u y v tienen distinto color pueden identificarse con las coloraciones de G. Si u y v tienen el mismo color, entonces lo que tenemos es una coloración de G e . Recíprocamente, cualquier coloración de Ge nos da lugar a una coloración de G − e en la que u y v tienen el mismo color. Esta expresión podemos verla como p(G,x) = p(G − e,x) − p(Ge , x), lo cual nos permite reducir el cálculo del polinomio cromático de un grafo al cálculo de polinomios cromáticos más pequeños (con menos aristas o con menos vértices). De esta forma, podemos reducirlo siempre al cálculo de polinomios cromáticos de grafos completos o de grafos que son caminos simples.

1.3 Grafos planos.

33

Ejemplo 1.3.6

Para simplificar la notación, vamos a representar el polinomio cromático de un grafo encerrando el grafo entre corchetes. = = = -

        ·     -2 ·

    

=x(x − 1)(x − 2)(x − 3)x − 2x(x − 1)(x − 2)(x − 3) = x(x − 1)(x − 2)2 (x − 3). Así κ(G) = 4. 1.3.4

Concepto de árbol y caracterizaciones. Definición 1.3.13

Un árbol es un grafo conexo sin ciclos. Un bosque es un grafo sin ciclos. Dado un grafo conexo, un subgrafo suyo se dice árbol generador si tiene todos los vértices y es un árbol. Proposición 1.3.14

Todo grafo conexo tiene un árbol generador. Demostración:

Sea G un grafo conexo; si G no contiene ningún ciclo, entonces no hay nada que probar ya que G es su propio árbol generador. Supongamos, entonces, G contiene un ciclo. Al eliminar cualquier arista del ciclo obtenemos un grafo que también es conexo. Si el nuevo grafo contiene un ciclo de nuevo eliminamos una arista del ciclo. Continuamos este proceso hasta que el grafo resultante T no contenga ciclos. No hemos eliminado vértices de manera que T tiene los mismos vértices que G, y en cada etapa del proceso anterior se obtiene un grafo conexo. Por lo tanto T es conexo y es un árbol generador de G. Proposición 1.3.15

Todo grafo sin ciclos es un grafo plano. En particular todo árbol es un grafo plano. Demostración:

Lo haremos por inducción en n. Para n = 0 el resultado es trivialmente cierto, pues al no haber aristas no pueden cruzarse. Supuesto el resultado cierto para n lo demostramos para n + 1. Si tenemos un grafo sin ciclos con n+1 aristas, le quitamos una arista y nos resulta un grafo plano (pues no tiene ciclos y tiene n aristas). Al no tener ciclos no divide al plano en caras. Por tanto, la arista que añadimos podemos dibujarla sin que corte a ninguna de las ya existentes.


34

Teorema 1.3.16

Sea G un grafo simple con n vértices. Entonces son equivalentes: 1. G es un árbol. 2. Dos vértices cualesquiera están unidos por un único camino simple. 3. G es conexo, pero si le quitamos una arista deja de serlo. 4. G no tiene ciclos, pero si le añadimos una arista tendrá algún ciclo. 5. G es conexo y tiene n − 1 aristas. Demostración:

1) ⇒ 2) Sean u y v dos vértices de G. Ya que G es conexo, existe al menos un camino simple de u a v . Si existiesen dos caminos simples de u a v , entonces por la proposición 1.1.18 existe un ciclo, lo que es una contradicción. Por tanto existe un único camino simple de u a v . 2) ⇒ 3) Claramente G es conexo. Sea e = {u, v } una arista de G y consideremos G − e. Si G − e fuese conexo entonces existirían al menos dos caminos simples en G de u a v , lo que es una contradicción. 3) ⇒ 4) Supongamos que G contiene un ciclo. Sea e = {u, v } una arista del ciclo. Ya que G es conexo, entonces por el lema 1.3.2 , G − e es conexo, lo que es una contradicción. Por tanto G no contiene ciclos. Sean u y v dos vértices de G y G el grafo obtenido añadiendo a G la arista e = {u, v }. Ya que G es conexo existe un camino (u = v1 , . . . , vr = v) de u a v en G. Por tanto (u = v1, . . . , vr = v,u) es un ciclo en G . 4) ⇒ 5) Sean u y v dos vértices de G y G el grafo obtenido añadiendo a G la arista e = {u, v }. Entonces existe un ciclo conteniendo e en G . Por tanto existe un camino en G de u a v . Así G es conexo. Como no tiene ciclos es un árbol y por la proposición 1.3.15 G es plano. Como |RG | = 1, de la fórmula de Euler se deduce que 2 = |V G | − |E G | + 1, esto es, |E G | = |V G | − 1. 5) ⇒ 1) Supongamos ahora que existe un ciclo C = (v1 , . . . , vr , v1 ). Ya que G es conexo, los restantes vértices v r +1 , . . . , vn pueden ser conectados a los vértices de C . Por tanto |E | ≥ r + (n − r ) = |V |, lo que es una contradicción.

Capítulo

2 Introducción a la teoría de grupos. 2.1 Grupos. Ejemplos de grupos. 2.1.1

Definición de grupo. Propiedades elementales. Definición 2.1.1

Una operación binaria * sobre un conjunto G es una aplicación ∗ : G × G que asigna al par (a,b) de elementos de G, un elemento a ∗ b de G.

 G

→

Por ejemplo la suma y el producto son operaciones binarias sobre el conjunto de números enteros.

Z

Definición 2.1.2

Un conjunto no vacío G con una operación binaria * se dice que es un grupo si verifica las siguientes propiedades: G1) La operación * es asociativa, esto es, a

∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c,

para todo a,b, c ∈ G. G2) Existe un elemento neutro e ∈ G, tal que a

∗ e = a = e ∗ a,

para todo a ∈ G. G3) Para todo elemento a ∈ G, existe un elemento simétrico a ∈ G, tal que a

∗ a = e = a ∗ a.

G4) Si además la operación * es conmutativa, esto es, a

∗ b = b ∗ a,

para todo a, b ∈ G, el grupo se dice que es un grupo abeliano. Normalmente adoptaremos para los grupos notación multiplicativa, donde el producto a ∗ b de dos elementos a y b de un grupo G será denotado ab . La propiedad asociativa entonces requiere que (ab)c = a(bc) para todo a, b,c ∈ G. El elemento neutro, en este caso, es denotado por 1 (o por e) y denominado elemento

Introducción a la teoría de grupos.

36

identidad y el elemento simétrico de un elemento a ∈ G es denotado por a−1 y denominado el inverso de a. Sin embargo para los grupos abelianos es tradicional usar notación aditiva. En este caso la operación de grupo es denotada +, el elemento neutro del grupo es denotado por 0 y el simétrico de un elemento a del grupo por −a. A continuación vamos a describir algunas propiedades básicas de un grupo G, usando notación multiplicativa y denotando el elemento identidad del grupo por e. Lema 2.1.3

Si G es un grupo, entonces existe un único elemento identidad. Demostración:

Supongamos que e y f son elementos neutros, entonces se verifica: e

= ef = f .

Lema 2.1.4

Sea G un grupo, entonces el inverso de a ∈ G es único. Demostración:

Supongamos que a y a son inversos de a, entonces se verifica: a

= ea = (a a)a = a (aa ) = ae = a .

Lema 2.1.5

Sea G un grupo. Si a, b ∈ G, entonces (a−1 )−1

=a

y (ab)−1

1

1

= b− a− .

Demostración:

La primera igualdad es consecuencia de que aa−1 = e = a−1 a. Para la segunda, basta únicamente considerar las siguientes cadenas de igualdades: (b−1 a−1 )(ab)

1

1

1

1

1

1

= ((b− a− )a)b = (b− (a− a))b = (b− e)b = b− b = e, (ab)(b − a− ) = ((ab)b − )a− = (a(bb− ))a− = (ae)a− = aa− = e, 1

1

1

1

1

y utilizar la unicidad del elemento inverso de ab.

1

1

1

2.1 Grupos. Ejemplos de grupos.

Proposición 2.1.6: Propiedades cancelativas o simplicativas

Si G es un grupo, entonces se verifica 1. Si ab = ac entonces b = c (Propiedad cancelativa por la izquierda) 2. Si ba = ca entonces b = c (Propiedad cancelativa por la derecha) Demostración:

Demostraremos la propiedad cancelativa por la izquierda; la otra es análoga. Si ab = ac entonces a−1 (ab) = a−1 (ac) de donde por la propiedad asociativa (a−1 a)b = (a−1 a)c , y por la propiedad del elemento inverso eb = ec . Finalmente por la propiedad del elemento neutro b = c . Proposición 2.1.7

(D) Si G es un grupo y a, b pertenecen a G, entonces las ecuaciones ax = b y xa = b tienen solución única. Recíprocamente, si G es un conjunto no vacío con una operación binaria verificando G1), G2) y D), entonces es un grupo. Definición 2.1.8

Un grupo G se dice que es un grupo finito si el conjunto G tiene un número finito de elementos. En este caso, el número de elementos es llamado el orden de G, denotado por |G|. La proposición anterior proporciona una manera muy fácil de comprobar si un conjunto finito de elementos y una operación sobre ellos forman un grupo o no. Un conjunto finito de elementos y una operación en ellos es frecuentemente dado por una tabla que ilustra el resultado de la operación para cada par de elementos. Dicha tabla se llama una tabla de Cayley, llamada así por el matemático Arthur Cayley. Es una generalización de una tabla de multiplicar (tal como se utiliza para enseñar a los escolares la multiplicación). Se trata de una malla donde las filas y columnas están encabezadas por los elementos a multiplicar, y la entrada en cada celda es el producto de los encabezados de la fila y columna. Por ejemplo, ésto es una tabla de Cayley sobre el conjunto {a,b,c}: * a b c a a b a b c a b c c c b Echemos un vistazo a las filas y columnas de la tabla sin encabezados. Tenga en cuenta que la primera fila representa diferentes resultados de la multiplicación por la izquierda, con a. Pero en la primera fila, no hay elemento c . Eso significa que la ecuación ax = c no tiene solución. Por lo tanto, este cuadro no representa un grupo. Del mismo modo, tenga en cuenta que en la primera columna (sin encabezado), no hay elemento b . Como consecuencia, la ecuación y a =b no tiene solución. A partir de este ejemplo, se puede concluir que una condición necesaria para que una tabla de Cayley represente un grupo es que en cada fila y columna aparezca

37


38

cada elemento al menos una vez. Si aparece algún elemento dos veces, entonces la ley de cancelación no se verifica. Por tanto 1) Cada elemento aparece exactamente una vez en cada fila y cada columna. Además, 2) Tiene que haber un elemento de tal manera que la fila y la columna determinada por el elemento es la misma que la fila y columna de encabezados. En este caso, ese elemento es la identidad. Si una tabla de Cayley de un conjunto G satisface las reglas 1 y 2, entonces G satisface G1) y G3). La propiedad G2) sobre la asociatividad es pesada de comprobar en una tabla de Cayley. Para la comprobación de la asociatividad hay que comprobar que para todas las ternas posibles de elementos (a, b,c) se verifca (ab)c = a(bc). Para la propiedad G4) solo hay que comprobar la simetría de la tabla. Proposición 2.1.9

Sean a1 , . . . , an elementos de un grupo G, definimos inductivamente un nuevo elemento a1 · ·· an del grupo, su producto, como sigue a1

··· an =



a1 (a1

si n = 1 si n > 1

· ·· an− )an 1

Entonces se verifica 1. Para cada 0 < m < n se tiene a1

··· an = (a ··· am)(am+ ·· · an) 1

1

2. (a1

1

1

1

··· an)− = a−n ··· a− . 1

Demostración:

1. Haremos inducción sobre n. Los casos n = 1, 2, son evidentes. Supongamos, por tanto, n > 2. Si m = n − 1, entonces a1 ··· an = (a1 · ·· an−1 )an por definición. Si m < n − 1, entonces a1

··· an = (a ··· an− )an = ((a · ·· am)(am+ ··· an− ))an = (a ··· am)((am+ · ·· an− )an) = (a ··· am)(am+ ··· an). 2. Haremos inducción sobre n. El caso n = 1 es evidente, así que supongamos 1

1

1

n > 1. (a1

1

1

1

1

1

1

1

Entonces 1

1

1

1

1

1

1

1

1

··· an)− = ((a ··· an− )an)− = a−n (a ··· an− )− = a−n (a−n− ··· a− ) = a−n ··· a− . 1

1

1

1

1

1

Sea G un grupo y a ∈ G, definimos n

a

para n

∈

Z.

 = 

e an−1 a (a−n )−1

si n = 0 si n > 0 si n < 0

El elemento an se llama potencia n-ésima de a; n se llama el

1


39

exponente y a la base de la potencia. El siguiente resultado se prueba por inducción sobre los exponentes de las potencias. Proposición 2.1.10

Sea a un elemento de un grupo G. Entonces 1) (a−1)n = a−n = (an )−1 , para todo n ∈ Z. 2) aman = am+n , para todo m, n ∈ Z. 3) (am )n = amn , para todo m, n ∈ Z. Demostración:

1) El caso n=0 es trivial, ya que a0 = e. Si n >0, entonces a−n = (a n )−1 por definición y (a−1 )n = (a n )−1 por la proposición anterior. Si n < 0, entonces m = −n > 0. Así (a−1 )n = (a−1 )−m = (a−(−m) = am = a−n y (an )−1

= (a−m)− = ((a− )m)− = ((am)− )− = am = a−n. = e, si m = 0 o n = 0, la igualdad es obviamente cierta. 1

1

1

1

1

2) Como a0 Si m,n > 0, es consecuencia de la proposición anterior. Si m,n < 0, entonces am+n = (a−(m+n) )−1 = (a(−n)+(−m) )−1 = (a−n a−m )−1 = (a−m )−1 (a−n )−1 = am an . Si m > 0 y n < 0, entonces si m + n = 0, entonces am an

= ama−m = am(am)− = e = a = am+n, si m + n > 0, entonces, ya que −n > 0, am+n a−n = a(m+n)−n = am . Por tanto, am+n = am an . si m + n < 0, entonces a−m am+n = (am )− )(a−(m+n) )− ) = (am a−(m+n) )− = (a−n )− = an , de donde am+n = aman . 1

1

0

1

1

El caso restante, a saber, m < 0, n > 0, es análogo. 3) Como a0 = e, si m = 0 o n = 0, la igualdad es obviamente cierta. Si m,n > 0, es consecuencia de la proposición anterior. Si m > 0, n < 0, entonces (am )n = ((am )−n )−1 = (a−mn )−1 = amn . Si m < 0, n > 0, entonces (am )n

= ((a− )−m)n = (a− )−mn = amn. 1

1

Si m < 0, n < 0, entonces (am )n

= ((a−m)− )n = (a−m)−n = amn. 1

1


40

Ejemplo 2.1.1

Ejemplos de grupos, ya conocidos, son (Z, +), (Q, +), (Q∗ , ·), (R, +), (R∗ , ·), (C, +), (C∗ , ·). Ejemplo 2.1.2

Para cada cuerpo K (por ejemplo, Q, R, C o, Zp para p primo), y cada entero n ≥ 1, tenemos definido el anillo M n (K de las matrices cuadradas de tamaño n × n con coeficientes en K. El grupo multiplicativo U(M n (K)) de las unidades de este anillo consiste, como es obvio, en las matrices regulares. Se suele denotar por GL n (K), y se llama grupo lineal general de orden n sobre K . Observemos que GLn (K) es no abeliano si n ≥ 2. Además, cuando K = Zp para p primo, se trata de un grupo finito no abeliano. En este curso, centraremos nuestra atención fundamentalmente en los grupos finitos. Los más sencillos son los abelianos; algunos de cuyos ejemplos fundamentales se dan seguidamente. Ejemplo 2.1.3

Cada anillo de restos Zn da lugar a dos grupos conmutativos finitos; el grupo aditivo (Zn , +) y el grupo multiplicativo (Z×n , ·) de las unidades, que ya han debido ser estudiados. De ellos, el más sencillo en general es el grupo aditivo Zn = {[m]; 0 ≤ m < n}, que tiene n elementos. El grupo Z×n = {[m];gcd(m, n) = 1}, que tiene ϕ(n). Ejemplo 2.1.4

El cuerpo de los números complejos C se obtiene de R añadiendo una unidad imaginaria i que verifica que i2 = −1, y que conmuta con todos los números reales. Los elementos de C son de la forma a + bi, con a, b ∈ R , y se opera con ellos de la siguiente forma: Suma: (a + bi) + (c + di) = a + b + (c + d)i. Producto: (a + bi)(c + di) = ac − bd + (ad + bc)i. En C es de la mayor importancia la conjugación de números complejos, que asigna a z = a + bi ∈ C su conjugado z = a − bi. Una propiedad esencial aquí es que zw

= (ac − bd) + (ac + bd)i = (ac − bd) − (ac + bd)i = z w para cualesquiera z = a + bi,w = c + di ∈ C. Observemos que zz = a + b ∈ [0, +∞) por lo que zz = 0 si y sólo a = b = 0. Por tanto, si z ≠ 0, entonces, de la igualdad z obvia z( ) = 1, deducimos que zz 2

z−1

2

= zzz¯ = aa −+bi b 2

2


41

lo que nos indica cómo calcular inversos en el grupo multiplicativo C∗ . Si vemos cada complejo z = a + bi como vector del plano real con componentes (a,b), √ un entonces su longitud es |z| = a2 + b2 y, por tanto, tenemos la expresión

= |zz| .

z−1

2

Observemos ahora que los números u = √ a a+b , v = √ a b+b verifican que u2 + v 2 = 1. Esto significa que existe un único θ ∈ [0, 2π] (aunque podríamos tomar cualquier otra determinación de θ , por ejemplo en [−2π, 0]), tal que u = cos(θ), v = sen(θ). √ Esto significa que, poniendo r = a2 + b2 = |z|, uno obtiene 2

z

2

2

2

= r (cos(θ) + isen(θ)) y

r θ

r sen(θ)

r cos (θ)

x

El ángulo θ se llama argumento de z . Acabamos de ver que cada número complejo se puede expresar en función de su módulo y su argumento. Veamos que dicha representación tiene sus ventajas. Si z = r  (cos(θ ) + isen(θ )), entonces zz 

= r (cos(θ) + isen(θ))r (cos(θ) + isen(θ)) = r r (cos(θ) cos(θ) − sen(θ)sen(θ) + i(cos(θ)sen(θ) + cos(θ)sen(θ))) = r r (cos(θ + θ) + isen(θ + θ)) Es tradición escribir e iθ = cos(θ) + isen(θ). La fórmula anterior se escribe en esta notación exponencial como

r eiθ r  eiθ



= r r ei(θ+θ )

1 De esta manera, si z = r eiθ , entonces z−1 = e−iθ y, para cualquier exponente r m m imθ entero m, se tiene z = r e Veamos ahora cómo obtener las raíces n-ésimas de un número complejo. Si z = r θ , entonces se trata de encontrar r θ  tal que √ r θ = (r θ  )n = (r n )nθ . Por tanto r = r n y nθ  = θ + 360k. Así r  = n r y √ θ+ kπi k , con 0 ≤ k < n. Así existen n raíces n r e n ,0 ≤ k < n. θ  = θ+360 n 2

Ejemplo 2.1.5

Dados números complejos z, w , tenemos que

|zw | = |z||w |.


42

De aquí, deducimos que si z y w son ambos números complejos de módulo 1, entonces su producto zw tiene asímismo módulo 1. Este hecho permite comprobar que la circunferencia S 1

= {z ∈ C; |z| = 1} = {eiθ ; θ ∈ [0, 2π]}

es un grupo, cuya operación es la multiplicación de números complejos.

Ejemplo 2.1.6

Para cada número entero n ≥ 1, consideremos

= {z ∈ C; zn = 1} Observemos que si z, w ∈ Cn , entonces (zw)n = zn w n = 1, luego zw ∈ Cn . Además, (z− )n = (zn )− = 1. Por tanto, Cn resulta ser un grupo bajo la mulCn

1

1

tiplicación. Este grupo es finito, ya que sus elementos son las raíces comple jas del polinomio X n − 1, cuyo número es, a lo sumo, n. Considero para cada r πi r = 0, . . . , n − 1 el número complejo ζ r = e n = cos( 2rnπ ) + isen( 2rnπ ), entonces 2

(ζ r )n

= (e

2r πi

n

)n

2nrπi

=e

n

= e r π i = cos(2r π) + isen(2r π) = 1. 2

Así que

= {ζ = 1, ζ , . . . , ζn − }

Cn

0

1

1

Los elementos de Cn se llaman raíces n-ésimas de la unidad.

Concluyamos con un ejemplo más de grupo cuyos elementos son matrices.

Ejemplo 2.1.7

Dentro de GL2 (C), consideremos (existen otras posibilidades para definir i , j y k , pero todas las elecciones son esencialmente equivalentes) las matrices 1=

1 0  0 1

,i

=

0 1 −1 0

 0   ,j

=

i

i

0

,k

=

i

0

0

−i



Entonces (y conviene que el alumno lo compruebe) el conjunto de ocho elementos

= {±1, ±i, ±j, ±k}

Q2

es un grupo con la multiplicación de matrices. Este grupo es llamado grupo cuaternio.

2.1 Grupos. Ejemplos de grupos. Q2

1

−1

i

−i

j

−j

k

−k

1

1

−1

i

−i

j

−j

k

−k

− 1 −1

1

−i

i

−j

j

−k

k

i

i

−i

−1

1

k

−k −j

j

−i

−i

i

1

j

j

−j

−j

j

k

k

−k −k 2.1.2

43

−1 −k

k

j

−j

k

−1

1

i

−i

k

−k

1

−k

j

−j

−i

k

−j

j

i

−j −k

−1 −i

i

i

−1

1

−i

1

−1

Grupos de permutaciones: Grupos simétricos y alternados. Definición 2.1.11

Sea X un conjunto. Una aplicación σ : X → X es llamada una permutación de X si σ es biyectiva. El conjunto de todas las permutaciones de X será denotado por S(X). El conjunto de todas las permutaciones del conjunto X = {1, 2, . . . , n} será denotado por S n . Sabemos por Álgebra I que: (i) Si σ , τ son elementos de S(X), entonces σ τ está en S(X); (ii) Si σ , τ , µ son elementos de S(X), entonces (στ)µ = σ(τµ); (iii) 1 X está en S(X); (iv) Si σ está en S(X), entonces σ −1 está en S(X). Esto es, S(X) es un grupo respecto a la composición de aplicaciones. La primera observación que tenemos a propósito del grupo S n es la siguiente: Lema 2.1.12

El grupo S n es finito de orden n!. Demostración:

Una permutación σ puede aplicar 1 en cualquiera de los números 1, . . . , n. Una vez elegida la imagen de 1, 2 puede aplicarse en cualquiera de los restantes n − 1 números. Una vez elegidas las imágenes de 1,2, 3 puede aplicarse en cualquiera de los restantes n − 2 números. Así hasta que las imágenes de 1, . . . , n − 1 han sido elegidas. El número restante debe ser la imagen de n. Por tanto existen n(n − 1) ··· 1 elecciones. Así S n tiene n! elementos.


44

El siguiente asunto que trataremos es de la mayor importancia: veremos distintas maneras en que se pueden representar las permutaciones de n símbolos. Una manera clásica de hacerlo es mediante una matriz. Así, la permutación σ ∈ S 4 dada por {1 → 3, 2 → 2, 3 → 4, 4 → 1}, se puede representar como sigue

1

2 3 4 3 2 4 1



Más generalmente, una permutación cualquiera σ determinada por la matriz 2 × n



1 2 σ (1) σ (2)

∈ S n queda completamente

··· n ··· σ(n)



Observemos que, en esta representación, la segunda fila de la matriz contiene a los elementos 1, 2, . . . , n reordenados. Esta notación podría compactarse si acordásemos no representar aquellos elementos fijos por la permutación (en (*), el 2). Podemos ahorrar aún más espacio si representamos una sola vez los elementos que no quedan fijos, de la siguiente forma σ = (1 3 4) entendiendo que la imagen del primer elemento listado (el 1) es el segundo (el 3), la de este segundo, el tercero (el 4), y la de este último, el primero de la lista (o sea, el 1). Esto no puede hacerse, sin embargo, con todas las permutaciones, sino con aquellas que son ciclos, según la siguiente definición. Definición 2.1.13

Una permutación σ ∈ S n se dice ciclo de longitud r , donde r ≤ n, si existe una sucesión i1, . . . , ir ∈ {1, 2, . . . , n} de números distintos tales que 1.- σ fija todo elemento distinto de i1 , . . . , ir 2.- σ (i1 ) = i2 , σ (i2 ) = i3, . . . , σ (ir −1) = ir y σ (ir ) = i1. Se representa mediante la notación σ

= (i i · ·· ir ). 1

2

Un ejemplo de permutación no cíclica es la siguiente

1

2 3 4 5 2 1 5 3 4



Recordemos sin embargo que S 5 es un grupo , lo que significa que podemos pensar en expresar la anterior permutación como producto (composición) de permutaciones más sencillas. En este caso, podemos escribir

1

2 3 4 5 2 1 5 3 4



= (1 2)(3 5 4)

Así que hemos descompuesto nuestra permutación como producto de dos ciclos (observemos que usamos la yuxtaposición para denotar la composición). Esto puede hacerse en general, como indica el siguiente resultado.


45

Definición 2.1.14

Sean σ = (i1 i 2 ··· ir ) y τ = (j1 j 2 ··· js ) ciclos en S n . Entonces σ y τ se dice que son disjuntos si ih ≠ jk para todo h, k. Proposición 2.1.15

Ciclos disjuntos conmutan. Demostración:

Supongamos que σ , τ ∈ S n son ciclos disjuntos dados por σ

= (i i ··· ir ), 1

2

τ

= (j j ··· js ). 1

2

Entonces σ(τ(j)) j τ(σ (j)), j ∉ i1 , . . . , ir , j1 , . . . , js σ(τ(ik ) ik+1 τ(σ(ik ) para 1 k r σ(τ(jk )) jk+1 τ(σ(jk )) para 1 k s

= = = = = = donde hemos usado ir + = i , js+ = j . 1

1

1

{

≤ ≤ ≤ ≤

}

1

Proposición 2.1.16

Toda permutación en S n puede escribirse como un producto de ciclos disjuntos. Los ciclos que aparecen en el producto son únicos Demostración:

Sea σ ∈ S n una permutación. Para demostrar que σ se descompone como producto de ciclos disjuntos, usaremos inducción sobre n. Para n = 1, la afirmación es trivial, así que supongamos n > 1. Tomemos t el primer elemento (en el orden natural) de {1, . . . , n} que no es fijo por σ . Sea σ i (t) el primer término repetido en la sucesión t,σ(t),σ 2 ( t ) , . . . , σ k (t),.... Entonces σ i (t) = σ j (t) para algún j ≤ i y, al ser σ una biyección, tenemos que σ i−j (t) = t . Como i − j ≤ i, se sigue de la elección de i que i − j = i, con lo que j = 0. De modo que σ i (t) = t . Ahora es evidente que (t σ(t) · ·· σ i−1 (t)) es un ciclo, llamémosle τ1 . Entonces podemos escribir σ = σ  τ1 , donde σ  es una permutación que deja fijos t, σ (t ), . . . , σ i−1 (t). Es así que podemos considerar a σ  como una permutación de menos de n símbolos, lo que permite usar la hipótesis de inducción para escribir σ  = τr ··· τ2 , para τ k ciclos disjuntos que dejan fijos los símbolos t, σ (t ), . . . , σ i (t) . Finalmente, hemos obtenido σ

= τr ··· τ τ , 2

1

con τ1 , . . . ,τr ciclos disjuntos. Definición 2.1.17

Sea σ ∈ S n . El menor entero positivo m tal que σ m = (1) es llamado el orden de σ .


46

Proposición 2.1.18

(a) El orden de un ciclo σ es la longitud del ciclo. (b) Sea σ = σ 1 ··· σ r su descomposición en ciclos disjuntos. Entonces el orden de σ es el mínimo común múltiplo de las longitudes de los ciclos σ i . Demostración:

(a) Si σ = (i 1 ··· ir ) ∈ S n es un ciclo, entonces σ(i) = i para i ∉ {i1 ··· ir } y σ (ij ) = ij +1 para j < r con ir +1 = i1 . Por tanto σ r (i) = i para todo i ∉ {i1 ··· ir }. Además σ (i1 ) σ 2 (i1 )

···

σ r (i1 )

= =

i2 σ (i2 )

···

3

= i En general σ r (ij ) = ij+r = ij . (b) Supongamos que |σ | = n y |τ | = m y |σ τ | = M . Como (στ)M = 1, entonces σ M τ M = 1, ya que permutaciones disjuntas conmutan. Ya que son permutaciones disjuntas, tenemos que σ M = 1, τ M = 1. Así m y n dividen a M , luego lcm(m,n)|M . Ya que σ n = 1 y τ m = 1, tenemos que σ (m,n) = 1 y τ (m,n) = 1, de donde (στ) (m,n) = σ (m,n)τ (m,n) = 1, y por tanto M | lcm(m, n). =

ir +1

=i 1

lcm

lcm

lcm

lcm

lcm

Existe otra forma clásica de descomponer permutaciones, que reposa en la idea de que el tipo de permutación más sencillo posible es aquella que, valga la redundancia, permuta justo dos símbolos. La definición técnica es la siguiente. Definición 2.1.19

Un ciclo de longitud dos es llamado una transposición. Tenemos el siguiente corolario de la Proposición 2.1.16. Proposición 2.1.20

Toda permutación puede escribirse como un producto de transposiciones. Demostración:

A la vista de la Proposición 2.1.16 , es suficiente demostrar que cada ciclo se puede escribir como un producto de transposiciones. Pero esto es fácil: dado el ciclo (i1 i 2 ·· · ir ) tenemos (i1 i 2

··· ir ) = (i i r ) ··· (i i 1

1

3

)(i1 i 2 )


47

Desde luego, la descomposición de una permutación en producto de transposiciones está lejos de ser única. Por ejemplo, en S 3, tenemos (1) = (1 2)(1 2) = (2 3)(2 3). Sin embargo, sí hay algo que que es común a todas las formas de escribir una permutación como producto de transposiciones: nos referimos a la paridad del número de transposiciones que aparecen en dicha transposición. Esto está recogido en la siguiente proposición. Lema 2.1.21

Si 1 X = τ1τ2 ··· τr donde los τi son transposiciones, entonces r es par. Demostración:

Es evidente que r ≠ 1, ya que una transposición no es la identidad. Si r = 2, entonces el resultado está probado. Por lo tanto, suponemos que r > 2 y procedemos por inducción. Puesto que (i,j) = (j,i) el producto τ1τ2 se puede expresar en una de las siguientes formas de la izquierda (a,b)(a,b) (a,b)(a,c) (a,b)(c,d) (a,b)(b,c)

= 1X = (b,c)(a,b) = (c,d)(a,b) = (b,c)(a,c).

Si se produce el primer caso, podemos eliminar τ1 τ2 del producto original para obtener 1X = τ 3 ··· τr y, por tanto, por la hipótesis de inducción, r − 2 es par. En los otros tres casos, se sustituye la forma de τ1 τ2 de la izquierda por su contrapartida en la derecha para obtener un nuevo producto de r transposiciones que sigue siendo la identidad, pero donde la primera aparición del entero a se encuentra en la segunda transposición del producto en lugar de en la primera. A continuación repetimos el procedimiento antes descrito con τ2 τ3 y, como antes, obtenemos un producto de r − 2 transposiciones igual a la identidad o un nuevo producto de r de transposiciones, donde la primera aparición de a es en la tercera transposición. Continuando con este proceso debemos obtener un producto de r − 2 transposiciones igual a la identidad. Por lo contrario, tenemos un producto igual a la identidad en la que primera aparición del entero a se encuentra en la última transposición, y tal producto no fija a mientras que la identidad lo hace. Por lo tanto, por inducción, r − 2 es par y así r es par. Teorema 2.1.22

Sea σ

supongamos que σ = τ1 ··· τr = µ1 ··· µs , para τ1, . . . , τr , od 2). Dicho de otro modo ( −1)r = µ1 , . . . , µs transposiciones. Entonces r ≡ s( m´ (−1)s .

∈

S n y

Demostración:

Ya que 1X

1

= σ σ − = τ · ·· τr (µ · ·· µs )− = τ ··· τr µs− ··· µ− = τ ··· τr µs · ·· µ , tenemos que r + s es par. Por tanto r y s tienen la misma paridad y así (−1)r = (−1)s . 1

1

1

1

1

1

1

1

1

Introducción Introducción a la teoría teoría de grupos.

48

El teorema 2.1.22 teorema 2.1.22 garantiza garantiza la consistencia de la siguiente definición. Definición 2.1.23

El número sign sign(σ ) = (−1)r definido en la demostración del Teorema 2.1.22 2.1.22 se se llama signo de la permutación σ . Vemos que el signo de σ σ vale 1 si σ σ se descompone como producto de un número par de transposiciones y -1 si σ σ se escribe como un número impar de transposiciones. Las permutaciones de signo 1 se llaman pares, y las de signo -1, impares. Corolario 2.1.24

Si σ , τ ∈ S n , entonces sign sign(στ) = sign(σ ) sign(τ) (τ ). Demostración:

Supongamos que σ = σ 1 · · · σ r r y τ = τ1 · · · τs , donde σ i y τj son transposiciones. Ya que σ τ = σ 1 · · · σ r r τ1 · · · τs , tenemos que que sign(στ) = (−1)r +s = (−1)r (−1)s = sign(σ ) sign(τ) . Proposición 2.1.25

Sea An el conjunto de todas las permutaciones de n símbolos de signo par. Entonces An , dotado de la operación composición es un grupo que contiene n!/2 elementos. Demostración:

Sean σ y τ dos permutaciones pares. Entonces σ = σ 1 · · · σ r r donde σ i es una transposición y r es par y τ = τ1 · · · τs donde τj es una transposición y s es par. Así σ τ = σ 1 · · · σ r r τ1 · · · τs es una descomposición en un número par de transposiciones, y tenemos que la composición proporciona una operación binaria asociativa en A n . Además, la permutación identidad es par. Para concluir que A A n es un grupo sólo nos queda comprobar que el inverso de una permutación par es asimismo par. Dada σ = = τr ·· · · · τ1 una permutación par, donde τ1, . . . , τr son transposiciones y r es par, tenemos que σ −1

1

1

= τ − · · · τr − = τ · · · τr , 1

1

ya que la inversa inversa de una transposición es ella misma. Por tanto, σ −1 ∈ An . Para contar los elementos de A A n , observamos primero que S S n se descompone como − − unión disjunta de An y S n , donde S n denota el conjunto de las permutaciones impares de n símbolos. El lector puede fácilmente razonar que la aplicación f : − definida por f(σ) An → S n f(σ) = ( 1 2)σ está bien definida y es biyectiva. De aquí, el número de elementos de An es igual al de S n− . Esto, junto con el hecho de que elementos, completa la justificación justificación de que el cardinal de A S n tiene n! elementos, A n es n n !/2. Definición 2.1.26

El grupo An se llama grupo grupo alternado de alternado de n símbolos.


2.1.3

49

Grupos diédricos. diédricos.

La Geometría proporciona ejemplos interesantes de grupos. Comencemos por uno de los casos más sencillos.

Ejemplo 2.1.8

Supongamos un triángulo equilátero y consideremos el conjunto D3 de aquellas isometrías que llevan el triángulo sobre sí mismo (isometrías del triángulo, en lo que sigue). 3

1

2

Sabemos por Geometría que las isometrías del plano que dejan fijo el origen de coordenadas (centremos nuestro triángulo ahí son o bien giros o bien simetrías axiales. Con esta información, es fácil ver que el conjunto D D3 contiene tres giros, a ◦ saber, la identidad id, el giro r 120 ( 2π /3 radianes) y el giro r 240◦ ( 4π /3 r 1 de 120 r 2 de 240 radianes), y tres simetrías axiales, s1 , s2 , s3 , que tienen como ejes de simetría respectivos respectivos las tres rectas l1, l2 , l3 que contienen las alturas del triángulo. Dado que la composición de dos isometrías del triángulo vuelve a ser una isometría del triángulo, y que las inversos bajo composición de éstas son del mismo tipo, se sigue que D3 con la composición es un grupo de seis elementos. Una observación útil a la hora de manejar el grupo D3 es que una isometría del triángulo está completamente determinada por su acción sobre los vértices. Esto lleva a concluir que D D3 y S S 3 son esencialmente el mismo grupo (Técnicamente, como veremos más tarde, ambos grupos son isomorfos).

Ejemplo 2.1.9

Si consideramos el grupo D4 de isometrías de un cuadrado, vemos que éste contiene cuatro giros y cuatro simetrías, en total, ocho elementos. En este caso ocurre también que cada isometría del cuadrado viene determinada por una permutación de 4 símbolos, correspondiendo cada símbolo a un vértice. Pero, a diferencia del caso del triángulo, no toda permutación representa una isometría (por ejemplo, la permutación no representa aquí isometría alguna, si numeramos los vértices consecutivamente). En términos de permutaciones, tenemos



1

2

3

4

2

1

3

4




50

4

3

4

 1

2

4

3

1

2

3

4

1

2

3

4

 1

2

4

3

1

2

4

3

2

3

4

2

3

4

1

1

2

4

3

2

3

4

3

4

1

2

1

2

4

3

2

3

4

4

1

2

3

1

2

4

3

2

3

4

2

1

4

3

1

2

2

3

2

1

corresponde al giro de 90 90 ◦ en el sentido de las agujas del reloj.

3

4

3

2

corresponde al giro de 180 18 0◦ en el sentido de las agujas del reloj.

4

1

3

4

corresponde al giro de 270 27 0◦ en el sentido de las agujas del reloj.

2

1

1

2

corresponde a la simetría con res pecto al eje Y.



1

2

3

4

4

3

2

1



4



1



1



1



2



1



1

corresponde al giro de 0 0 ◦ en el sentido de las agujas del reloj.



1



3



4

3

4

1

corresponde a la simetría con res pecto al eje X.



1

2

3

4

3

2

1

4

3

2

corresponde a la simetría respecto a la diagonal P 2 P 4 .


4

3

2

 1

51

1

2

3

4

1

4

3

2

2

3

 1

corresponde a la simetría respecto a la diagonal P 1 P 3 .

4

Si denotamos la rotación de 90 grados por r , entonces las rotaciones de 180 y 270 grados son r 2 y r 3 y entonces r 4 = 1. Denotemos la simetría con respecto al eje y por s . Entonces s 2 = 1, r s es una simetría con respecto a la diagonal principal, r 2 s es una simetría con respecto al eje x y r 3 s es una simetría con respecto a la diagonal no principal. Por tanto, todas las isometrías del cuadrado pueden escribirse en función de r y s . Esto significa que r y s son generadores de D4 . Notemos que sr es la simetría con respecto a la diagonal no principal, por tanto es diferente de r s la simetría con respecto a la diagonal principal. Por tanto, D4 no es abeliano. Notemos también que sr = r 3 s . Las tres ecuaciones r 4 = 1, s 2 = 1, y s r = r 3 s sobre los dos generadores r y s son suficientes para determinar la tabla de D4. Esto significa que el grupo D4 está dado por la presentación 4

2

3

= r , s ; r = 1, s = 1, sr = r s 

D4

Esta presentación permite escribir de manera rápida la tabla sin tener que calcular giros y simetrías. D4

1

r

r 2

r 3

s

rs

r 2 s

r 3 s

1

1

r

r 2

r 3

s

rs

r 2 s

r 3 s

r

r

r 2

r 3

1

rs

r 2 s

r 3 s

s

r 2

r 2

r 3

1

r

r 2 s

r 3 s

s

rs

r 3

r 3

1

r

r 2

r 3 s

s

rs

r 2 s

s

s

r 3 s

r 2 s

rs

1

r 3

r 2

r

rs

rs

s

r 3 s

r 2 s

r

1

r 3

r 2

r 2 s

r 2 s

rs

s

r 3 s

r 2

r

1

r 3

r 3 s

r 3 s

r 2 s

rs

s

r3

r 2

r

1

Ejemplo 2.1.10

Más en general, podemos considerar el grupo D n de las isometrías de un polígono regular de n lados, grupo que contiene n giros y n simetrías axiales y que se puede ver también como un grupo de permutaciones de n símbolos (los vértices del polígono) más pequeño que el grupo simétrico S n. El grupo D n se llama grupo


52

diédrico de orden n, aunque tiene 2 2 n elementos. Sabemos que este grupo consta de n rotaciones (las correspondien correspondientes tes a los ángulos 2 2 kπ/n, con k = 1, . . . , n) y n simetrías axiales (con respecto de los ejes de simetría del polígono). Si denotamos por r al giro o rotación de ángulo 2π /n, es claro que el resto de las rotaciones se obtienen como r 2 ,r 3 , . . . ,r n = 1. Denotemos ahora por s una de las simetrías axiales o reflexiones. El producto de una simetría y una rotación es siempre una simetría, por tanto, s ,r s ,r 2 s , . . . ,r n−1 s son simetrías. Además, estas simetrías son todas distintas, ya que si r i s = r j s para i, j ∈ {1, . . . , n}, entonces, por la propiedad cancelativa, cancelativa, r i = r j y, y, por tanto, i = j . Tenemos entonces que

= {1, r , r , . . . , r n − , s , r s , . . . , rn − s }, 2

Dn

1

1

ya que hemos agotado las 2n isometrías que sabemos constituyen Dn . Ahora surge la siguiente cuestión: si realizamos el producto sr , éste ha de ser una de las simetrías de Dn , que hemos representado en la forma r i s , para algún i = 0, . . . , n − 1. Como s = 1, s r es una simetría, tenemos que (sr) (sr)2 = 1, es decir, srsr = 1 1 1 − − − n de donde r = sr s y sr = r s , o, también, sr = = r s. La observación crucial ahora es que, con las relaciones sr = r n−1 s , r n = 1 y s 2 = 1, 1, podemos expresar i j cualquier producto de elementos de la forma r s , con j = 0 , 1, i = 0 , . . . , n − 1, como un elemento de esta misma forma. Por tanto Dn

= r , s ; r n = 1, s = 1, sr = = r − s . 2

1

Eso es todo lo que necesitamos saber de D D n para construir su tabla de multiplicar para cada n dado. D3

1

r

r 2

s

rs

r 2 s

1

1

r

r 2

s

rs

r 2 s

r

r

r 2

1

rs

r 2 s

s

r 2

r 2

1

r

r 2 s

s

rs

s

s

r 2 s

rs

1

r 2

r

rs

rs

s

r 2 s

r

1

r 2

r 2 s

r 2 s

rs

s

r2

r

1

2.2 Subgrupos. Subgrupos. Órdene Órdeness e índices. índices. 2.2.1

Subgrupos, Subgrupos, el retículo retículo de subgrupos subgrupos.. Definición 2.2.1

Sea H un subconjunto no vacío de un grupo G. Diremos que H es un subgrupo un subgrupo de G si se verifican las siguientes propiedades: S1) si a, b ∈ H , entonces ab ∈ H ,

2.2 Subgrupos. Órdenes e índices.

S2) si a ∈ H , entonces a−1 ∈ H . Es claro, a partir de la definición, que todo subgrupo H de un grupo G, es un grupo para la operación binaria restricción de la de G. Además, todo grupo G tiene al menos dos subrupos, G y {e}. Definición 2.2.2

Un subgrupo H de G se dice propio si propio si H ≠ G y no no trivial si trivial si H ≠ {e}. Proposición Proposi ción 2.2.3

Un subconjunto no vacío H de un grupo G H de G es un subgrupo de G G si y solo si verifica la condición S3) Si a, b ∈ H , entonces ab−1 ∈ H . Demostración:

Supongamos que H es un subgrupo de G y que a, b ∈ H . Entonces por S2) b−1 ∈ H y por S1) ab−1 ∈ H . Recíprocamente supongamos que H verifica S3) y que a, b ∈ H . Entonces e = aa−1 ∈ H y b−1 = eb−1 ∈ H , de donde ab = a(b−1 )−1 ∈ H . Proposición Proposi ción 2.2.4

Sea H un subconjunto finito no vacío de un grupo G. Si H es cerrado para el producto de G, entonces H es es un subgrupo de G. Demostración:

Hemos de comprobar que se verifica S2). {a, a2, . . .} ⊂ H . Ya que H Sea a ∈ H , entonces { H es finito, existe n tal que an = e, por tanto a−1 = an−1 ∈ H . Ejemplo 2.2.1

y S1 son subgrupos de C× , Cm es un subgrupo de Cn para m divisor de n y el grupo de Klein es subgrupo de D4 y S 4 .

Cn

Lema 2.2.5

Sean H y K subgrupos subgrupos de un grupo G. Entonces H ∩ K es es también un subgrupo de G. Demostración:

S1) Si a, b ∈ H ∩ K , entonces ab ∈ H y ab ∈ K , ya que H y K son son subgrupos, de donde ab ∈ H ∩ K . S2) Si a ∈ H ∩ K , entonces a−1 ∈ H , y a−1 ∈ K , ya que H y K K son subgrupos, de 1 − donde a ∈ H ∩ K .

53


54

Más generalmente, generalmente, la intersecc intersección ión de cualquier cualquier familia de subgrupos subgrupos de un grupo dado es un subgrupo del grupo. Definición 2.2.6

Se llama retículo retículo de los subgrupos de subgrupos de un grupo G al conjunto de todos los subgrupos de G, junto con sus relaciones de inclusión. Ejemplo 2.2.2 G

C 3

C 2 C 2 C 2

{1} Definición 2.2.7

Dado cualquier subconjunto X de un grupo G definimos el subgrupo el subgrupo generado por X , denotado por  X  como el menor subgrupo de G que contiene a X . Comencemos describiendo los elementos del subgrupo X  generado por un subconjunto X de de un grupo G. Proposición Proposi ción 2.2.8

Sea X = = {x1, . . . , xn} un subconjunto finito de un grupo G. Entonces

X  = {xe · · · xne ; e , . . . , en ∈ Z}. n

1

1

1

Demostración:

= {x1e · · · xnen ; e1, . . . , en ∈ Z}. Hemos de probar que K es Denotemos K = es un subgrupo y que contiene a todo subgrupo H conteniendo a X . Veamos en primer lugar que K es es un subgrupo. f m en e ∈ K , enton S1) Si x1 · · · xn ∈ K e y 1f · · · y m entonce cess clara clarame mennte f e en (x1 · · · xn )(y 1 · · · y m f m ∈ K . S2) x1e · · · xnen ∈ K , , entonces (x1e · · · xnen )−1 = xn−en · · · x1−e ∈ K . 1

1

1

1

1

1

1

1


55

Sea ahora H un subgrupo conteniendo X . Para todo 1 ≤ i ≤ n, ya que xi ∈ X , tenemos que x i ∈ H y por tanto x1e H , y así K ⊂ H .

1

··· xne ∈ n

Definición 2.2.9

Si X

= {x , . . . , xr } entonces el subgrupo generado por X se denota por x , . . . , xr . Si G =  x , . . . , xr , entonces G se dice finitamente generado y los 1

1

1

elementos x1 , . . . , xr se llaman generadores de G. Obviamente, todo grupo finito es finitamente generado. Como caso particular, diremos que G es cíclico si G = x , para algún x ∈ G. Ejemplo 2.2.3

El grupo Cn de las raíces n-ésimas de la unidad es cíclico. En efecto, 2kπi

= {ζ k = e ; k = 0, 1, . . . , n − 1}, con lo que ζ k = (ζ )k para k = 0, 1, . . . , n − 1 y, por tanto, Cn = ζ . Cn

n

1

1

Ejemplo 2.2.4

El conjunto de las transposiciones genera S n . De hecho, podemos tomar sólo algunas de las transposiciones y obtener que

= (1 2), (1 3) , . . . , (1 n)

S n

En efecto, como toda permutación se descompone como producto de transposiciones, tenemos que el conjunto de las transposiciones genera S n . Para ver que las transposiciones especiales escritas más arriba generan S n , nos bastará con demostrar que toda otra trasposición se expresa como producto de éstas. Eso es así porque dada (i j), tenemos que (i j) = (1 i)(1 j)(1 i). Ejemplo 2.2.5

El grupo alternado An está generado por los 3-ciclos. Esto es porque cada permutación de An se escribe como un producto de un número par de transposiciones. Entonces,si conseguimos escribir cada producto de dos transposiciones como un producto de 3-ciclos, habremos terminado el razonamiento. Pero (x y)(z t) = (x y z)(y z t), para productos de transposiciones disjuntas, y (x y)(y z) = (x y z) , para productos de transposiciones no disjuntas (y no iguales,claro). Ejemplo 2.2.6

Sabemos que Dn = r , s . 2.2.2

Clases laterales.Teorema de Lagrange.


56

Definición 2.2.10

Sea H un subgrupo de un grupo G. Para cada a ∈ G, definimos la clase lateral a izquierda de a respecto de H como el conjunto

= {ah; h ∈ H }.

aH

Análogamente, definimos la clase lateral a derecha de a respecto de H como el conjunto Ha = {ha; h ∈ H }. Proposición 2.2.11

Dado un subgrupo H de un grupo G, la relación aH ≡ b definida por a−1 b ∈ H es una relación de equivalencia, esto es, verifica 1) aH ≡ a, para todo a ∈ G, 2) si aH ≡ b, entonces bH ≡ a, 3) si aH ≡ b y bH ≡ c , entonces aH ≡ c . Demostración:

1) Para todo a ∈ G, e = a−1 a ∈ H , de donde aH ≡ a. 2) Si aH ≡ b, entonces a−1 b ∈ H , de donde b−1 a = (a−1b)−1 ∈ H y así bH ≡ a. 3) Si aH ≡ b y bH ≡ c entonces a−1 b ∈ H y b−1 c ∈ H , de donde a−1 c = (a−1 b)(b−1 c) ∈ H y así aH ≡ c . Tenemos por tanto que [a] = {b; aH ≡ b} = {b; a−1 b ∈ H } = {ah; h ∈ H } = aH y aH = bH si y solo si aH ≡ b, esto es, si y solo si a−1 b ∈ H . Definición 2.2.12

En esta terminología, el conjunto G/H ≡ cuyos elementos son las clases laterales por la izquierda de G con respecto de H se suele llamar conjunto cociente de G con respecto de H ≡. Proposición 2.2.13

Sea H un subgrupo de un grupo G. Las clases laterales a izquierda módulo H forman una partición de G, esto es, i) dados a, b ∈ G, ocurre que o bien aH = bH , o bien aH ∩ bH = ∅. ii) G = a∈G aH . Demostración:

Supongamos que aH ∩ bH ≠ ∅. Entonces existen h, k ∈ H tales que ah = bk. Por tanto, a = bkh−1 y, de aquí, es fácil deducir que aH ⊆ bH . Análogamente se comprueba que bH ⊆ aH y, por tanto, aH = bH . Por otra parte, dado a ∈ G, tenemos que a = ae ∈ aH , ya que e ∈ H . Así G es unión (no disjunta todavía) de los subconjuntos de la forma aH , con a ∈ G. Pero en esta unión, hemos visto que cada dos subconjuntos o bien son iguales, o son disjuntos. Eliminando las copias


57

redundantes de cada aH , obtenemos la segunda afirmación. Cuando G es finito, podemos afirmar que existen a1 , . . . , ar ∈ G tales que G

= a H  · · ·  ar H. 1

Proposición 2.2.14

Sea H un subgrupo de un grupo G. Para todo a ∈ G, la aplicación H → aH definida por h  ah es una biyección y por tanto |H | = |aH | para todo a ∈ G. Demostración:

Claramente es aplicación, ya que si h = h , entonces ah = ah . Veamos que es inyectiva. Si ah = ah , entonces por la propiedad cancelativa de grupos, tenemos que h = h . Veamos que es suprayectiva. Dado ah ∈ aH , tenemos h ∈ H verificando que su imagen es ah. Proposición 2.2.15

Sea H un subgrupo de un grupo G. La aplicación ϕ : G/H ≡→ G/ ≡H definida por aH  Ha −1 es una biyección. Demostración:

Es aplicación ya que si aH = bH , entonces a −1 b ∈ H , de donde a −1 (b−1 )−1 ∈ H , y así Ha −1 = Hb −1. Es inyectiva, ya que si H a−1 = Hb −1, entonces a −1 (b−1 )−1 ∈ H , de donde a −1 b ∈ H y así aH = bH . Es suprayectiva, ya que si Ha ∈ G/ ≡H , tenemos que a−1 H ∈ G/H ≡ tiene como imagen Ha = H(a −1 )−1 . Definición 2.2.16

Se llama índice de H en G y se denota por [G : H] al cardinal del conjunto G/ H ≡. Teorema 2.2.17: de Lagrange

Sea H un subgrupo de un grupo finito G . Entonces el cardinal de H es un divisor del cardinal de G. En particular |G| = [G : H]|H |. Demostración:

Si llamamos s al cardinal de G/H ≡, tenemos que G = a1 H  · · ·  as H , donde {a1 , . . . , as } es un conjunto de representantes de las clases laterales por la izquierda de G con respecto de H . Calculando cardinales obtenemos

|G| = |a H | + · · · + |as H | = s |H | con lo que |H | es un divisor de |G|. 1


58

Ejemplo 2.2.7

En S 3 = {(1), (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)}, tomemos H Describir las clases por la izquierda. La tabla de S 3 es

= {(1), (1 2)}.

S 3

(1)

(1 2)

(1 3 )

(2 3 )

(1 2 3)

(1 3 2 )

(1)

(1)

(1 2)

(1 3 )

(2 3 )

(1 2 3)

(1 3 2 )

(1 2 )

(1 2 )

(1)

(1 3 2 )

(1 2 3)

(2 3)

(1 3 )

(1 3 )

(1 3)

(1 2 3 )

(1)

(1 3 2)

(1 2)

(2 3 )

(2 3 )

(2 3 )

(1 3 2 )

(1 2 3 )

(1)

(1 3 )

(1 2 )

(1 2 3 )

(1 2 3)

(1 3)

(2 3 )

(1 2 )

(1 3 2)

(1)

(1 3 2 )

(1 3 2)

(2 3)

(1 2 )

(1 3)

(1)

(1 2 3 )

Entonces (1)H (12)H (1 3)H (2 3)H (1 2 3)H (1 3 2)H

= = = = = =

{(1)(1), (1)(12)} = {(1), (12)} {(12)(1), (12)(12)} = {(12), (1)} {(1 3)(1), (1 3)(12)} = {(1 3), (1 2 3 )} {(2 3)(1), (2 3)(12)} = {(2 3), (1 3 2 )} {(1 2 3)(1), (1 2 3)(12)} = {(1 2 3), (1 3)} {(1 3 2)(1), (1 3 2)(12)} = {(1 3 2), (2 3)}

Ejemplo 2.2.8

Calcular las clases laterales por la derecha de S 3 con respecto de H . Tenemos que H( 1)

{(1)(1), (12)(1)} = {(1), (12)} {(1)(12), (12)(12)} = {(12), (1)} H( 12) H( 13) {(1)(1 3), (12)(1 3)} = {(1 3), (12)} {(1)(2 3), (12)(2 3)} = {(2 3), (1 2 3 )} H( 2 3) {(1)(1 2 3 ), (12)(1 2 3)} = {(1 2 3), (2 3)} H( 1 2 3) H( 1 3 2) {(1)(1 3 2 ), (12)(1 3 2)} = {(1 3 2), (1 3)} Podemos ver que H( 1) = H( 1), H( 1 2 ) = (1 2)H , pero que H( 1 3 ) ≠ ( 1 3)H , por = = = = = =

ejemplo.

Ejemplo 2.2.9

Para ver que, a veces, las clases laterales por la izquierda y por la derecha coinciden, poner en S 3 el ejemplo del subgrupo N = {(1), (1 2 3), (1 3 2)}. Las clases


59

laterales a izquierda son (1)N

{(1), (1 2 3), (1 3 2 )} {(12), (2 3), (1 3)} (12)N (1 3)N {(1 3), (12), (2 3)} {(2 3), (1 3), (12)} (2 3)N {(1 2 3), (1 3 2 ), (1)} (1 2 3)N {(1 3 2), (1), (1 2 3 )} (1 3 2)N donde (12)N = (1 3)N = (2 3)N y (1)N = (1 2 3)N = (1 3 2)N . Luego solo hay = = = = = =

dos clases laterales a izquierda. N( 1)

{(1), (1 2 3), (1 3 2 )} N( 12) {(12), (1 3), (2 3)} {(1 3), (2 3), (12)} N( 1 3) {(2 3), (12), (1 3)} N( 2 3) {(1 2 3), (1 3 2 ), (1)} N(1 2 3) {(1 3 2), (1), (1 2 3 )} N(1 3 2) donde N (12) = N( 1 3 ) = N( 2 3 ) y N (1) = N( 1 2 3 ) = N( 1 3 2 ) Luego solo hay dos clases laterales a derecha. Además ( 1)N = N(1), ( 12)N = N( 12), ( 1 3)N = N( 1 3), (2 3)N = N( 2 3), (1 2 3 )N = N( 1 2 3 ), (1 3 2)N = N(1 3 2). 2.2.3

= = = = = =

Grupos cíclicos. Definición 2.2.18

Un grupo G se dice cíclico si G = a, para algún a ∈ G. Ejemplo 2.2.10

El grupo Cn de las raíces n-ésimas de la unidad es cíclico. En efecto, 2kπi

= {ζ k = e ; k = 0, 1, . . . , n − 1}, con lo que ζ k = (ζ )k para k = 0, 1, . . . , n − 1 y, por tanto, Cn = ζ . Cn

n

1

1

Proposición 2.2.19

Todo grupo cíclico G = a es abeliano. Demostración:

Sean ai , aj aj ai .

∈ G dos elementos arbitrarios de G, entonces ai aj = ai+j = a j+i =


60

Definición 2.2.20

Sea a un elemento del grupo G. Si existe un entero positivo r such that ar = e, entonces se dice que a tiene orden finito, y el menor de tales enteros positivos es llamado el orden de a, denotado por |a|. Si no existe un entero positivo r tal que ar = e, entonces se dice que a tiene orden infinito. Lema 2.2.21

Sea a ∈ G un elemento de orden finito r . Entonces (a) a = {e , a , . . . , ar −1 }. (b) r = |a|. Demostración:

Los elementos 1, a , a2 ,...,ar −1 son distintos, ya que si ai = aj , para i < j < r , entonces aj −i = a 0 = e, en contradicción con | a| = r . Así | a| ≥ r . Sea ahora at ∈ a, entonces por la división euclídea t = qr + s con 0 ≤ s < r . Por tanto at = (ar )q as = as y at ∈ {1, a , a2 ,...,ar −1 }, esto es a = {e , a , . . . , ar −1 } y r = |a|. Ejemplo 2.2.11 Zn es un grupo cíclico de orden n.

Como generador podemos tomar [1]. En efecto,

= {[0], [1], [2] , . . . , [ n − 1]} y [1] = {m[1]; m ∈ Z} = {[m]; m ∈ Z} = Zn.

Zn

Más adelante veremos que todos los grupos cíclicos de orden n son isomorfos a Zn . Lema 2.2.22

Sea a ∈ G un elemento de orden infinito. Entonces (a) a = {an ; n ∈ Z}, donde todas las potencias de a son distintas. (b) a es un grupo infinito. Demostración:

Ya que |a| es infinito, tenemos que am ≠ e para todo m ∈ Z. Además si ai = aj entonces ai−j = e , luego i − j = 0, esto es, i = j . Por tanto todas las potencias son distintas y a es un grupo infinito. Ejemplo 2.2.12 Z es

un grupo cíclico infinito generado por 1. En efecto Z

= {m; m ∈ Z} = {m1; m ∈ Z} = 1.

Más adelante veremos que todos los grupos cíclicos infinitos son isomorfos a Z.


61

Lema 2.2.23

Sea G un grupo finito y a ∈ G de orden r . Entonces an = e si, y solo si, r |n. Demostración:

Supongamos que n = r q + s con 0 ≤ s < r . Ya que e = an = aqr +s = (ar )q as = as tenemos una contradicción, salvo que s = 0. En este caso n = qr , esto es r |n. Recíprocamente, si r |n, entonces n = r q, de donde an = ar q = (ar )q = e. La importancia del Teorema de Lagrange puede comenzar a apreciarse en los siguientes corolarios. Corolario 2.2.24

Sea G un grupo y a ∈ G un elemento de orden finito r . Entonces r divide al orden de G. Corolario 2.2.25

Sea G un grupo finito cuyo orden es un número primo p . Entonces G es un grupo cíclico de orden p que está generado por cualquiera de sus elementos distintos del neutro. Demostración:

Como el orden de G es un número primo p, tenemos que G tiene, al menos, dos elementos. Tomemos a ∈ G con a ≠ e. El cardinal de a ha de ser un divisor de p, que es primo, por lo que |a| = p. Por tanto, a = G. Veamos ahora el número de generadores de un grupo cíclico. Proposición 2.2.26

Sea G = a un grupo cíclico de orden finito r . ak ∈ G es un generador de G si y solo si gcd (k,r) = 1. Demostración:

Supongamos que |ak | = m. Si d = gcd(k,r) ≠ 1, entonces r

(ak ) d

k r

= (ar ) = e.

Por tanto m ≤ dr < r . lo que es una contradicción. Recíprocamente, ya que e = (ak )m = akm , por el lema anterior, r |km|. Como gcd(k,r) = 1 ), tenemos que r |m. Por otro lado, (ak )r = (ar )k = e y por tanto m|r .


62

Corolario 2.2.27

Todo grupo cíclico G = a de orden finito r tiene exactamente ϕ(r) generadores, donde ϕ(r) es la función de Euler en r . Demostración:

De entre los elementos de G = a serán generadores aquellos de la forma ak , k < r y gcd(k,r) = 1. El conjunto { k; k < r y gcd(k,r) = 1 } es justamente Z× r , que tiene ϕ(r) elementos. Concentremos nuestro interés en los subgrupos de un grupo cíclico. Proposición 2.2.28

Todo subgrupo de un grupo cíclico G = a de orden finito r es cíclico de orden un divisor de r . Demostración:

Sea G = a un grupo cíclico de orden finito r . Si H = G = a o H = {e} = e entonces es cíclico. Por tanto supongamos que {e} ≠ H ≠ G. Sea am ∈ H tal que ak ∉ H para todo k < m y sea as un elemento arbitrario de H . Por el algoritmo de la división de Euclides, s = qm + t con 0 ≤ t < m. Entonces (am)−1 ∈ H y por tanto as (a−m )q = as−mq = at ∈ H en contra de la definición de m, a menos que t = 0. Así cada elemento de H es de la forma (a m )q para algún q ∈ Z y H es cíclico generado por am. Finalmente por el Teorema de Lagrange su orden es un divisor de r . Teorema 2.2.29

Sea G = a un grupo cíclico de orden finito r . Para cada divisor d de r existe r d un único subgrupo de orden d, a saber, a . Demostración: r

r

Consideremos a d . Veamos que tiene orden d. Claramente, (a d )d = ar = e. r r Además, si k < d, entonces k dr < d dr = r , por lo que (a d )k = ak d ≠ e. r Es claro que a d tiene d potencias distintas, ya que si 0 ≤ k < d, k dr < r . Por r tanto a d  es un subgrupo cíclico de orden d. Supongamos que existiese otro subgrupo cíclico H de orden d generado por r as . Entonces (as )d = e , por lo que r |sd . Así s = k( dr ) para algún k, y as = (a d )k . r Por tanto H es un subgrupo de  a d  y como tienen igual número de elementos han de ser iguales. Proposición 2.2.30

Sea G = a un grupo cíclico con |G| = n. Si m y k son divisores de n, entonces am ⊆ ak si y sólo si k|m.

2.3 Subgrupos normales. Teoremas de isomorfía

Demostración:

Si  am  ⊆ ak , entonces por el Teorema de Lagrange tenemos que | am |||ak |. Ahora bien, ya que gcd (m, n) = m y gcd (k,n) = k, por el apartado (a) tenemos n n | k , luego k|m. que m Recíprocamente, si k|m, entonces am ∈ ak , de donde am ⊆ ak.

2.3 Subgrupos normales. Teoremas de isomorfía 2.3.1

Subgrupos normales y grupos cocientes. Definición 2.3.1

Un subgrupo H de un grupo G se dice que es un subgrupo normal de G si aH = Ha para todo elemento a de G. La notación H  G significa que H es un subgrupo normal de G. Ejemplo 2.3.1

Todo grupo G tiene al menos dos subgrupos normales, G y {e}. Definición 2.3.2

Un grupo no trivial G se llama simple, si sus únicos subgrupos normales son {e} y G. Ejemplo 2.3.2

En el ejemplo 5.17 hemos visto el subgrupo N = {(1), (1 2 3), (1 3 2)} de S 3 es normal. Proposición 2.3.3

Sea H un subgrupo de un grupo G. Los siguientes enunciados son equivalentes a) H es un subgrupo normal de G b) aHa −1 ⊆ H para todo a ∈ G, donde aHa −1 = {aha−1 ; h ∈ H } c) aha−1 ∈ H para todo a ∈ G y h ∈ H . Demostración:

a) ⇒ b) Sea aha−1 ∈ aHa −1 . Ya que ah ∈ aH = Ha , existe h ∈ H , tal que ah = h a, de donde aha−1 = h aa−1 = h ∈ H . b) ⇒ c) Evidente. c) ⇒ a) Veamos que aH ⊆ Ha . Sea ah ∈ aH . Entonces aha−1 ∈ aHa −1 , de donde aha−1 ∈ H , y así existe h ∈ H , tal que aha−1 = h . Pero entonces ah = h a ∈ Ha . La otra inclusión se demuestra por simetría.

63


64

Lema 2.3.4

Todo subgrupo de un grupo abeliano es normal. Demostración:

Sea H un subgrupo de un grupo abeliano G. Entonces aha−1 (ha)a−1 = h(aa−1 ) = he = h ∈ H para todo a ∈ G y h ∈ H .

1

= (ah)a− =

Si el grupo no es abeliano existen subgrupos que no son normales. Ejemplo 2.3.3

Sea S 3 el grupo de las pemutaciones del conjunto { 1, 2, 3} y sea H el subgrupo de S 3 formado por la permutación identidad y la trasposición (12). Entonces H no es normal en S 3 , ya que (23)(12)(23)−1 = (23)(12)(23) = (13) ∉ H o ver el ejemplo 5.16. Por definición de subgrupo normal, tenemos que, si H es un subgrupo normal de un grupo G, las clases laterales a izquierda y a derecha de H en G coinciden. Podemos, por tanto, referirnos a ellas como las clases laterales de H en G . En tal caso, usamos la notación G/H para referirnos al conjunto de clases laterales por la izquierda G/H ≡ que, obviamente, coincide en este caso con G/ ≡H . Proposición 2.3.5

Sea G un grupo y H un subgrupo normal de G. El conjunto G/H de todas las clases laterales de H en G, es un grupo bajo la operación binaria (aH) ∗ (bH) = abH . El elemento neutro de la operación es eH = H y el inverso de una clase aH es a−1 H . Demostración:

Veamos en primer lugar que * es una operación binaria. Si aH = a H y bH = b H , hemos de probar que abH = a b H . Ya que aa−1 ∈ H y bb −1 ∈ H , entonces (ab)(a b )−1 = (ab)(b−1 a−1 ) = a(bb−1 )a−1 ∈ H . G1) aH ∗ (bH ∗ cH) = a ∗ H(bcH) = a(bc)H = (ab)cH = (abH) ∗ cH = (aH bH) cH G2) (eH) (aH) (ea)H aH (ae)H (aH) G3) (aH) (a−1 H) (aa−1 )H eH (a−1 a)H

∗

∗ ∗ ∗

=

=

=

= = = =

∗ (eH) = (a− H) ∗ (aH) 1

Definición 2.3.6

Sea G un grupo y H un subgrupo normal de G. El grupo G/H anteriormente definido recibe el nombre de grupo cociente de G con respecto H .


Ejemplo 2.3.4

Volviendo al ejemplo 5.17 hemos visto que el subgrupo N = {(1), (1 2 3), (1 3 2)} de S 3 es normal.Además S 3 /N = {(1)N,(12)N }. Ejemplo 2.3.5

En el caso del grupo abeliano Z, sabemos que todos sus subgrupos son de la forma nZ y que son normales. Así Z/nZ

= {[0] = 0 + nZ, . . . , [ n − 1] = (n − 1) + nZ}.

2.3.2 Homomorfismos. Definición 2.3.7

Dados dos grupos G y G  , un homomorfismo de grupos de G a G  es una aplicación ϕ : G  → G tal que ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) para todo a, b ∈ G. Ejemplo 2.3.6

1) El compuesto de dos homomorfismos de grupos es otro homomorfismo de grupos. 2) Si H es un subgrupo de un grupo G, entonces la aplicación inclusión H  G que considera cada x ∈ H como elemento de G es un homomorfismo de grupos. 3) La aplicación identidad 1 G : G  → G es un homomorfismo de grupos. 4) La aplicación signo sign : S n  → C2 = {1, −1} es un homomorfismo de grupos. 5) La aplicación determinante det : GLn (K)  → K ∗ , para K un cuerpo, es un homomorfismo de grupos. 6) Sea a un elemento de un grupo. La aplicación Z  → a que asigna a cada número entero n la potencia an es un homomorfismo de grupos. 7) La aplicación exp : R  → S 1 definida como exp(ϑ) = eiϑ es un homomorfismo de grupos. Pasamos directamente a exponer algunas propiedades de los homomorfismos de grupos. Proposición 2.3.8

Sea ϕ : G  → G un homomorfismo de grupos. Entonces 1) Si e ∈ G y e ∈ G son los respectivos elementos neutros, entonces ϕ(e) = e . 2) Para cualquier a ∈ G se tiene que ϕ(a−1 ) = ϕ(a)−1 . 3) Si H es un subgrupo de G , entonces ϕ(H) = {ϕ(h); h ∈ H } es un subgrupo de G . 4) Si H  es un subgrupo de G , entonces ϕ−1 (H  ) = { a ∈ G; ϕ(a) ∈ H  } es un subgrupo de G.

65


66

Demostración:

1. Como e ϕ(e) = ϕ(e) = ϕ(e2 ) = ϕ(e)ϕ(e) , deducimos que e = ϕ(e). 2. Tenemos que e = ϕ(e) = ϕ(aa−1 ) = ϕ(a)ϕ(a−1 ), lo que implica que ϕ(a)−1 = ϕ(a−1 ). 3. Si h, k ∈ H , entonces ϕ(h)ϕ(k)−1 = ϕ(h)ϕ(k−1 ) = ϕ(hk−1 ) ∈ ϕ(H), ya que hk−1 ∈ H . 4. Supongamos a, b ∈ ϕ−1(H  ). Entonces ϕ(ab−1 ) = ϕ(a)ϕ(b)−1 ∈ H  , ya que ϕ(a), ϕ(b) ∈ H  . Por tanto, ab−1 ∈ ϕ−1 (H  ). Hay dos casos especiales de los subgrupos descritos en los apartados tercero y cuarto de la anterior proposición. Así, tomando H = G en el tercer apartado, obtenemos que im(ϕ) = {ϕ(a); a ∈ G} es un subgrupo de G  , llamado imagen de ϕ. Tomando en el cuarto apartado H  = {e }, obtenemos lo que se suele llamar núcleo de ϕ, definido por ker(ϕ) = {a ∈ G; ϕ(a) = e } y que es un subgrupo de G. Proposición 2.3.9

Un homomorfismo de grupos ϕ : G

→ G es inyectivo si y sólo si ker(ϕ) = {e}.



Demostración:

Si ϕ es inyectivo y a ∈ ker(ϕ), entonces ϕ(a) = e  = ϕ(e), de donde a = e , lo que implica que ker(ϕ) = {e}. Recíprocamente, supongamos que ker(ϕ) = {e}, y sea a, b ∈ G tales que ϕ(a) = ϕ(b). Entonces ϕ(ab−1 ) = ϕ(a)ϕ(b −1 ) = ϕ(a)ϕ(b) −1 = ϕ(a)ϕ(a)−1 = e , por lo que ab−1 ∈ ker(ϕ) = {e}. O sea, ab−1 = e, de donde a = b y ϕ es inyectiva. Proposición 2.3.10

Sea ϕ : G  → G un homomorfismo de grupos. Entonces, el núcleo de ϕ es un subgrupo normal de G. Demostración:

Si k

ker(ϕ) y a ∈ G entonces ϕ(aka−1 ) = ϕ(a)ϕ(k)ϕ(a−1) = ϕ(a)e ϕ(a)−1 = e , luego aka−1 ∈ ker(ϕ). Por tanto ker(ϕ) es un subgrupo normal de G.

∈

Proposición 2.3.11

Sea K un subgrupo normal de un grupo G y sea p : G  → G/K la aplicación definida por p(a) = aK para a ∈ G. Entonces p es un homomorfismo de grupos. Además, K es el núcleo de p. Demostración:

En efecto, tenemos p(ab) = abK = (aK)(bK) = p(a)p(b). Además ker(p) = {a ∈ G; aK = eK } = {a ∈ G; a ∈ K } = K .


Teorema 2.3.12: de la correspondencia

Sea ϕ : G  → G un homomorfismo suprayectivo de grupos y sea K = ker(ϕ). Entonces existe una aplicación biyectiva Γ

: {subgrupos de G conteniendo K } → {subgrupos de G }

que a un subgrupo H de G conteniendo K le hace corresponder ϕ(H). Además 1) H 1 ⊆ H 2 si solo si ϕ(H 1 ) ⊆ ϕ(H 2 ) 2) H es normal en G si y solo si ϕ(H) es normal en G . Demostración:

Por la Proposición 2.3.8 tenemos que, en general, si H es un subgrupo de G, entonces ϕ(H) es un subgrupo de G . Veamos que Γ es una aplicación. Si H 1 = H 2, entonces es claro que ϕ(H 1 ) = ϕ(H 2 ). La aplicación es inyectiva, ya que si ϕ(H 1 ) = ϕ(H 2 ), entonces si a ∈ H 1 , entonces ϕ(a) ∈ ϕ(H 1 ) = ϕ(H 2 ), de donde a ∈ H 2 y por tanto H 1 ⊆ H 2 . La otra inclusión se demuestra de forma análoga. Veamos que Γ es suprayectiva. Sea ahora H  un subgrupo de G . Consideremos H = ϕ−1 (H  ) = {a ∈ G; ϕ(a) ∈ H  }. Por la Proposición 2.3.8 tenemos que H es un subgrupo de G. Además, ya que si a ∈ K , entonces ϕ(a) = e ∈ H  , de donde a ∈ H , esto es, K ⊆ H . Veamos ahora que H  = ϕ(H). Si a ∈ H  , entonces a = ϕ(a), con a ∈ G y por tanto a ∈ H , de donde a = ϕ(a) ∈ ϕ(H). Recíprocamente, si ϕ(a) ∈ ϕ(H), entonces a ∈ H y por tanto ϕ(a) ∈ H  . 1 ⇒ ) Si ϕ(a) ∈ ϕ(H 1 ), entonces a ∈ H 1 ⊆ H 2 , de donde ϕ(a) ∈ ϕ(H 2 ). ⇐) Si a ∈ H 1, entonces ϕ(a) ∈ ϕ(H 1) ⊆ ϕ(H 2), de donde a ∈ H 2. 2 ⇒ ) Sean a ∈ G , ϕ(h) ∈ ϕ(H), entonces a = ϕ(a), con a ∈ G y h ∈ H y ya que H es normal, tenemos que aha−1 ∈ H , de donde a ϕ(h)a−1 = ϕ(a)ϕ(h)ϕ(a)−1 = ϕ(aha−1 ) ∈ ϕ(H). ⇐) Sean a ∈ G, h ∈ G, entonces ϕ(a) ∈ G, ϕ(h) ∈ ϕ(H) y ya que ϕ(H) es normal, tenemos que ϕ(a)ϕ(h)ϕ(a)−1 = ϕ(aha−1 ) ∈ ϕ(H), de donde aha −1 ∈ H . Corolario 2.3.13

Sea K un subgrupo normal de un grupo G . Todo subgrupo de G/K es de la forma H/K = {aK ; a ∈ H }, para un subgrupo H de G con K ⊆ H . Todo subgrupo normal de G/K es de la forma H/K = {aK ; a ∈ H }, para un subgrupo normal H de G con K ⊆ H . Demostración:

Es consecuencia de la proposición anterior aplicada al homomorfismo suprayectivo p : G → G/K dado por p(a) = aK .

67


68

2.3.3

Teoremas de isomorfía. Definición 2.3.14

Un isomorfismo de grupos es simplemente un homomorfismo de grupos biyectivo. Usualmente se dice que dos grupos son isomorfos si existe un isomorfismo de grupos entre ellos. Corolario 2.3.15

Si ϕ:G

→G’ es un isomorfismo grupos, entonces existe una aplicación biyectiva  Γ : {subgrupos de G} → {subgrupos de G }.



Nos disponemos ahora a demostrar los teoremas de isomorfía, de importancia capital en este curso. Proposición 2.3.16

Sean G y G grupos, sea ϕ : G  → G un homomorfismo de grupos y sea H un subgrupo normal de G . Supongamos que H ⊆ ker(ϕ). Entonces el homomorfismo ϕ induce un homomorfismo suprayectivo de grupos ϕ : G/H  → im(ϕ) aplicando gH en ϕ(g). Además, si H = ker(ϕ), entonces ϕ es biyectiva. Demostración:

Sean a y b elementos de G. Supongamos que aH = bH , entonces a−1 b ∈ H , de donde a−1 b ∈ ker(ϕ) y por tanto ϕ(a) = ϕ(b). Así ϕ induce una aplicación ϕ : G/H  → G definida por ϕ(aH) = ϕ(a). Esta aplicación es un homomorfismo ya que ϕ((aH)(bH)) = ϕ(abH) = ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) = ϕ(aH)ϕ(bH) . Supongamos ahora que H = K ker(ϕ). Entonces ϕ(aH) = ϕ(bH) si y solo si ϕ(a) = ϕ(b) si y solo si a−1 b ∈ ker(ϕ) = H si y solo si aH = bH . Así ϕ es inyectiva. Si a ∈ im (ϕ), entonces existe a ∈ G tal que a = ϕ(a). Pero ϕ(aH) = ϕ(a). Luego existe aH ∈ G/H tal que ϕ(aH) = a y ϕ es suprayectiva. Supongamos ahora que H = ker(ϕ). Entonces ϕ(aH) = ϕ(bH) si y solo si ϕ(a) = ϕ(b) si y solo si a−1 b ∈ ker(ϕ) = H si y solo si aH = bH . Así ϕ es inyectiva. Teorema 2.3.17: Primer Teorema de Isomorfía

Sea ϕ : G

→ G un homomorfismo de grupos. Entonces G/ ker(ϕ)  im(ϕ).



Vamos ahora a deducir algunas consecuencias del Primer Teorema de Isomorfía para grupos, como son los llamados segundo y tercer teoremas de isomorfía. Antes, demostremos un lema que será muy útil.


Lema 2.3.18

Sean K y N subgrupos de un grupo G, y supongamos que N es normal en G. Entonces 1) K ∩ N es un subgrupo normal de K , 2) KN = {kn; k ∈ K, n ∈ N } es un subgrupo de G, 3) N es normal en KN , 4) si además K es normal en G, KN es un subgrupo normal de G. Demostración:

1) Claramente K ∩ N es un subgrupo de K . Además, es normal, ya que si k ∈ K y h ∈ K ∩ N , entonces khk−1 ∈ K , ya que k, h ∈ K y K es un subgrupo de G. 2) Dados k1n1, k2 n2 ∈ KN , sea n1 ∈ N tal que n1 k2 = k2 n1 . Entonces k1 n1 k2 n2 = k1 k2 n1 n2 ∈ KN , luego KN es cerrado bajo el producto del gru po. Por otra parte, dado kn ∈ KN , existe n ∈ N tal que n−1 k−1 = k−1 n ∈ KN , lo que significa que KN es cerrado bajo inversos. Esto prueba que KN es un subgrupo de G. 3) Sea kn ∈ KN y h ∈ N . Entonces knhn−1 k−1 = k(nhn−1 )k−1 ∈ N , por la normalidad de N en G. 4) Por último, si ambos subgrupos K y N son normales, dados g ∈ G, y kn ∈ KN , tenemos que gkng −1 = gkg −1 gng −1 ∈ KN , de donde KN resulta ser también normal en G. Teorema 2.3.19: Segundo Teorema de Isomorfía

Sean K y N subgrupos de un grupo G, y supongamos que N es normal en G. Entonces K/(K

∩ N)  KN/N.

Demostración:

La aplicación ϕ : K  → KN/N definida por ϕ(k) = kN , para cada k ∈ K es una aplicación suprayectiva y un homomorfismo, ya que ϕ(kk ) = kk N = (kN)(k N) = ϕ(k)ϕ(k ). Además ker(ϕ) = {k ∈ K ; kN = eN } = {k ∈ K ; k ∈ N } = K ∩ N . Así por el Primer Teorema de isomorfía tenemos KN N

= im(ϕ)  kerK (ϕ) = K ∩K N .

Lema 2.3.20

Sea G un grupo y H y K subgrupos de G tales que H ⊆ K . Si H es normal en G, entonces H es normal en K . Demostración:

Sea k ∈ K y h ∈ H . Entonces hkh−1 ∈ H , ya que K es normal en G, pero como H ⊆ K , tenemos que hkh−1 ∈ K , luego K es normal en H .

69


70

Teorema 2.3.21: Tercer Teorema de Isomorfía

Sean H y K subgrupos normales de un grupo G. Si H ⊆ K , entonces G/H K/H

 GK .

Demostración:

Como H es un subgrupo del núcleo de la proyección canónica p : G  → G/K , podemos aplicar la Propiedad Universal del núcleo (Prop 8.60) y obtener un homomorfismo suprayectivo ϕ : G/H  → G/K que aplica gH en gK para todo g ∈ G. Ademas ker(ϕ) = K/H . Así por el Primer Teorema de isomorfía tenemos G/H G/H = im(ϕ)  ker = . (ϕ) K/H

G/K

Proposición 2.3.22

Todo grupo cíclico de orden n es isomorfo a Zn y todo grupo cíclico infinito es isomorfo a Z. Demostración:

Sea G

= a un grupo cíclico infinito y ϕ

: Z  → G la aplicación dada por . La aplicación es un homomorfismo, ya que ϕ(r + s) = ar +s = ar as = ϕ(r) = ϕ(r)ϕ(s). La aplicación claramente es suprayectiva. Además es inyectiva, ya que si ar = as , entonces ar −s = e y por tanto r − s = 0, esto es, r = s . Sea ahora G = a un grupo cíclico finito de orden n y ϕ : Zn  → G la aplicación dada por ϕ(r) = a r . Veamos que efectivamente es una aplicación. Supongamos que r = s , entonces n|r − s , luego ar −s = e, esto es, ar = as . Claramente es suprayectiva. Veamos que es inyectiva. En efecto, si ar = as , entonces ar −s = e, de donde n|r − s , esto es, r = s . Además es un homomorfismo, ya que ϕ(r + s) = ϕ(r + s) = ar +s = ar as = ϕ(r)ϕ(s). ar

2.3.4

Productos directos. Proposición 2.3.23

Sean G i , i = 1, 2, . . . , n, grupos. El producto cartesiano G 1 × G2 ×···× Gn dotado de la operación

) (g1 , g2 , . . . , gn )(g1 , g2 , . . . , gn

= (g g , g g , . . . , gngn ) 1

1

2

2

posee estructura de grupo, y recibe el nombre de producto directo de los grupos Gi , i = 1, 2, . . . , n.


71

Demostración:

La operación interna y la asociatividad son evidentes de la estructura de grupo de cada G i . El elemento neutro de G 1 × G2 ×···× Gn es (e 1, e2 , . . . , en ). El elemento inverso de (g1, g2, . . . , gn ) es (g1−1 , g2−1 , . . . , gn−1 ). Proposición 2.3.24

Sea G un grupo y sean H y K subgrupos normales de G . Si H ∩ K = {e} y H K = G, entonces G  H × K . Demostración:

Definamos ϕ : H × K → G mediante ϕ(h, k) = hk. La aplicación es suprayectiva, ya que si g ∈ G existen h ∈ H , k ∈ K tales que g = hk, de donde ϕ(h, k) = hk = g . La aplicación es inyectiva, ya que si hk = h k , entonces (h )−1 h = k (k)−1 ∈ H ∩ K = {e}, de donde h = h y k = k , esto es, (h, k) = (h , k ). Para demostrar que es homomorfismo, probemos primero que hk = kh para todo h ∈ H , k ∈ K . La normalidad de H y K implica que khk−1 h−1 = (khk−1 )h−1 = k(hk−1 h−1 ) ∈ H ∩ K = {e} de donde khk−1 h−1 = e, esto es, kh = hk. Entonces ϕ(hh , kk ) = hh kk = hkh k = ϕ(h, k)ϕ(h , k ). Corolario 2.3.25

Un grupo G es isomorfo al producto directo de sus subgrupos H i , i = 1 , 2, . . . , n si 1. H j  G para cada j = 1, 2, . . . , n, 2. H j ( i≠j H i ) = {e} para cada j = 1, 2, . . . , n, y 3. ni=1 H i = G.





Demostración:

Por 3) para cada g ∈ G existen h j ∈ H j , j = 1, 2, . . . , n tales que g = h1h2 ··· hn . Esta descomposición es única, ya que, si h1 h2 · ·· hn = h1 h2 · ·· hn , entonces (h )−1 h1 = (h ··· hn )(h2 ··· hn )?1 . Ya que los H i son normales tenemos que 1

2

(h1 )−1 h1

?1

= (h ··· hn)(h · ·· hn) ∈ H ∩ ( 2

2

1



H i ).

i≠1

Ahora por 2) tenemos que h1 = h1 . Por tanto por inducción tenemos que (h1 , h2 , . . . , hn ) = (h1 , h2 , ··· , hn ). Así, podemos definir la aplicación ϕ : G → H 1 × ··· × H n mediante ϕ(g) = (h1 , h2 , ··· , hn ). Esta aplicación es evidentemente biyectiva, y es un homomorfismo, pues, si g = h1 h2 ··· hn y g  = h1 h2 · ·· hn , ϕ(gg  ) = (h1 h1 , h2 h2 , ··· , hn hn ) = (h1 , h2 , ··· , hn )(h 1, h2 , ··· , hn ) = ϕ(g)ϕ(g ).


72

Proposición 2.3.26

Sean m, n ∈ Z tales que gcd (m, n) = 1. Entonces, Zm

× Zn  Zmn.

Demostración:

Sea x un generador de Zm , e y un generador de Zn . Entonces, los elementos (x, 0), (0, y) ∈ Zm × Zn tiene órdenes m, n, respectivamente. Por tanto, por la proposición 3.2.1, se tiene

|(x,y)| = lcm(|(x, 0)|, |(0, y)|) = lcm(m, n) = mn. 2.4 Acciones de grupo y p-grupos. 2.4.1

Acción de un grupo sobre un conjunto. Definición 2.4.1

Sea G un grupo, y X un conjunto no vacío. Una acción a izquierda de G sobre X es una aplicación ∗ : G × X → X ; (g,x)  g ∗ x que cumple las siguientes propiedades: ACT1) a ∗ (b ∗ x) = (ab) ∗ x para todo a, b ∈ G y para todo x ∈ X . ACT2) e ∗ x = x para todo x ∈ X . Podemos definir de manera análoga lo que entendemos por una acción a derecha de un grupo sobre un conjunto no vacío. Mientras no se diga lo contrario todas las acciones consideradas serán a izquierda. Ejemplo 2.4.1

Si V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K , entonces el grupo aditivo de K actúa sobre V . En efecto, tenemos una aplicación K × V → V definida por a ∗ v = av , que verifica ACT1) (ab)v = a(bv) (propiedad pseudoasociativa) ACT2) 1 v = v (propiedad del elemento 1) Ejemplo 2.4.2

Una acción del grupo simétrico S n sobre el conjunto X = {1, . . . , n} viene dada por σ ∗ i = σ(i). En efecto ACT1) (στ) ∗ i = στ(i) = σ(τ(i)) = σ (τ ∗ i) = σ ∗ (τ ∗ i) ACT2) 1 ∗ i = 1(i) = i

2.4 Acciones de grupo y p-grupos.

Proposición 2.4.2

Sean G un grupo y X un conjunto no vacío. Cada acción de G sobre X induce un homomorfismo de grupos λ : G → S(X), donde S(X) es el grupo de todas las permutaciones de X , denominado su representación permutacional. Demostración:

Sea a ∈ G, definimos λa : X → X por λa (x) = a ∗ x . Para a, b ∈ G y x ∈ X , usando ACT1) tenemos λab (x) = (ab) ∗ x = a ∗ (b ∗ x) = λa (b ∗ x) = λa (λb (x)) = (λ a λb )(x) de donde λab = λ a λb . Además, usando ACT2) tenemos λe (x) = e ∗ x = x = 1X (x) de donde λe = 1X . Así, λa λa− = 1X = λa− λa y λa es biyectiva, esto es, una permutación de X . Entonces λ : G → S(X) : λ(a) = λa es un homomorfismo de grupos. 1

1

Teorema 2.4.3: de Cayley

Todo grupo finito de orden n es isomorfo a un subgrupo de S n . Demostración:

Un grupo G actúa sobre sí mismo mediante el propio producto del grupo G × G → G : a ∗ b = ab. La representación por permutaciones vendrá dada por λ : G → S(G),a  λa , donde λ a : G → G se define para cada a ∈ G como λ a (x) = ax para todo x ∈ G . Es fácil ver que el núcleo de λ : G → S(G) es trivial: si a ∈ ker(λ), entonces λa (e) = e , o sea, ae = e y, por tanto, a = e . Así, G es isomorfo con su imagen mediante λ, que sabemos es un subgrupo de S(G). Proposición 2.4.4

Sea G un grupo actuando sobre un conjunto no vacío X . La relación definida sobre X mediante x ∼ y si y solo si a ∗ x = y para algún a ∈ G, es una relación de equivalencia. Demostración:

1) Propiedad reflexiva. Para todo x ∈ X , e ∗ x = x , de donde x ∼ x . 2) Propiedad simétrica: Si x ∼ y , entonces a ∗ x = y para algún a ∈ G, de donde a−1 ∗ y = a−1 ∗ (a ∗ x) = (a−1 a) ∗ x = e ∗ x = x y así y ∼ x . 3) Propiedad transitiva: Si x ∼ y e y ∼ z, entonces a ∗ x = y e b ∗ y = z para algún a, b ∈ G, de donde z = b ∗ y = b ∗ (a ∗ x) = (ba) ∗ x y así x ∼ z. Definición 2.4.5

La clase de equivalencia de un elemento x ∈ X bajo la relación de la proposición anterior recibe el nombre de órbita de x . OG (x)

= {y ∈ X ; y ∼ x} = {a ∗ x; a ∈ G}

73


74

Definición 2.4.6

Sea G un grupo actuando sobre un conjunto no vacío X y x estabilizador de x en G al conjunto

∈ X . Llamamos

StabG (x) = {a ∈ G; a ∗ x = x }. Definición 2.4.7

FixG (X) = {x ∈ X ; a ∗ x = x para todo x ∈ X } es llamado el subconjunto de X fijo por G. Proposición 2.4.8

Sea G un grupo actuando sobre un conjunto no vacío X , entonces para cada x ∈ X se tiene que StabG (x) es un subgrupo de G. Además |OG (x)| = [G : StabG (x)]. Demostración:

Comprobemos primero que StabG (x ) es un subgrupo de G. Para ello, tomados a, b ∈ StabG (x) , tenemos que a ∗ x = b ∗ x = x , luego x = e ∗ x = (b−1 b) ∗ x = b−1 ∗ (b ∗ x) = b−1 ∗ x . Por tanto, (ab−1 ) ∗ x = a ∗ (b−1 ∗ x) = a ∗ x = x . Así que ab−1 ∈ StabG (x). Consideremos la aplicación f : G/ ≡StabG (x) → OG (x) definida por f (a StabG (x)) = a ∗ x . Es aplicación, ya que si a StabG (x) = b StabG (x) , entonces b−1 a ∈ StabG (x) y, así, (b−1 a) ∗ x = x , de donde se obtiene con facilidad que a ∗ x = b ∗ x . Claramente es suprayectiva. Por último, sólo hemos de ver que f es inyectiva: si f (a StabG (x)) = f (b StabG (x)) tenemos que a ∗ x = b ∗ x , de donde se deduce con facilidad que (b −1 a) ∗ x = x , de donde b −1 a ∈ StabG (x) y, así, b StabG (x) = a StabG (x). Esto prueba que f es biyectiva y por tanto |OG (x) | = [G : StabG (x)]. Definición 2.4.9

Sea G un grupo.La acción de G sobre G, ∗ : G × G → G definida por g

1

∗ x = gxg−

recibe el nombre de conjugación de G por G. La órbita de un elemento g ∈ G se denomina clase de conjugación de g en H . ClG (x) = {g ∗ x ; g ∈ G} = {gxg −1 ; g ∈ G} El estabilizador de x ∈ G recibe el nombre de centralizador de x en G. C G (x)

1

= {g ∈ G; g ∗ x = x} = {g ∈ G; gxg− = x} = {g ∈ G; gx = xg }


75

Ejemplo 2.4.3

Tomando la acción por conjugación de G sobre G, vemos que las órbitas son de la forma OG (x) = {gxg−1 ; g ∈ G}. Consideremos S 3 = {(1), (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3 ), (1 3 2)}. Entonces conjugado σ (1)σ −1 σ (1 2)σ −1 σ (1 3)σ −1 σ (2 3)σ −1 σ (1 2 3)σ −1 σ (1 3 2)σ −1

(1) (1) (1 2) (1 3) (2 3) (1 2 3) (1 3 2)

(1 2) (1) (1 2) (2 3) (1 3) (1 3 2) (1 2 3)

(1 3) (1) (2 3) (1 3) (1 2) (1 3 2) (1 2 3)

(2 3) (1 2 3) (1) (1) (1 3) (2 3) (1 2) (1 2) (2 3) (1 3) (1 2 3) (1 2 3) (1 3 2) (1 3 2)

(1 3 2) (1) (1 3) (2 3) (1 2) (1 3 2) (1 2 3)

de donde

O(( 1)) O(( 1 2))

= O((1 3)) = O((2 3)) O(( 1 2 3 )) = O(( 1 3 2 ))

= {(1)} = {(1 2), (1 3), (2 3)} = {(1 2 3), (1 3 2 )}

Definición 2.4.10

Se llama centro de G al subgrupo Z(G)

=



g G

∈

C G (g)

= {g ∈ G; gh = hg, para todo h ∈ G}

Proposición 2.4.11 Z(G) es

un subgrupo abeliano de G.

Proposición 2.4.12: Fórmula de clases

Sea G un grupo finito, y sea C = {x1, x2 , . . . , xr } una colección completa de representantes de clases de conjugación de G en G. Entonces,

|G| = |Z(G)| +



x x ∉Z(G)

∈C

| ClG (x)|.

Demostración:

Primero, observemos que para x ∈ G se tiene que ClG (x) = {gxg −1 ; g ∈ G} = {x } si y solo si gxg−1 = x para todo g ∈ G si y solo si gx = xg para todo g ∈ G si y solo si x ∈ Z(G). Por otra parte, como las clases de conjugación forman una partición de G, G =  xi ∈C ClG (xi ), el cardinal del grupo es la suma de los cardinales de cada una de las clases de conjugación. Así, las clases de conjugación unitarias aportan a |G| exactamente |Z(G)|, y el resto de las clases, con más de un elemento, aportan el resto de los sumandos.


76

Definición 2.4.13

Sea G un grupo. La acción de G sobre el conjunto S(G) de subgrupos de G, definida por ∗ : G × S(G) → S(G) : g ∗ H = gHg−1 recibe el nombre de conjugación de subgrupos de G por G. La órbita de un subgrupo H ≤ G se denomina clase de conjugación de H en G. ClG (H) = {g ∗ H ; g ∈ G} = {gHg −1 ; g ∈ G} El estabilizador de H ≤ G recibe el nombre de normalizador de H en G. N G (H)

2.4.2

1

= {g ∈ G; g ∗ H = H } = {g ∈ G; gHg− = H } = {g ∈ G; gH = Hg }.

Teoremas de Sylow. Definición 2.4.14

Sea p un número primo. Un grupo finito G se dice que es un p-grupo si su orden es una potencia de p . Teorema 2.4.15: Teorema de Burnside

Sea G un p-grupo finito no trivial. Entonces, Z(G) es no trivial y |Z(G)| ≥ p. Demostración:

El teorema es evidente si G = Z(G). Supongamos pues que G ≠ Z(G). Consideremos la ecuación de clases

|G| = |Z(G)| +



xi xi ∉Z(G)

∈C

| ClG (xi)|.

Ya que | Cl(xi )| > 1 y | ClG (xi )| divide a |G| = pn , n > 0, tenemos que | ClG (xi )| y p dividen a |G|, de donde p divide a |Z(G)|. Como |Z(G)| > 0, entonces |Z(G)| ≥ p. Lema 2.4.16

Supongamos que n = pr m con p  m. Entonces

  n p r

En particular, p 

≡m

mód p.

 . n pr

Demostración:

Es fácil comprobar que (1

+ x)p ≡ 1 + xp (

mód p).


77

Además por inducción, r

r

+ x)p ≡ 1 + xp ( mód p). Así ( 1 + x)n = ((1 + x)p )m ≡ (1 + x p )m ≡ 1 + mxp +···+ od p) . Pero x n( m´   n n p n el coeficiente de x en el desarrollo de (1 + x) es p . Así p ≡ m( mód p).  (1

r

r

r

r

r

Como p  m tenemos que p 

n p r

r

.

Proposición 2.4.17

Sea G un grupo actuando sobre un conjunto finito X , y sea FixG (X) X ; g ∗ x = x para todo g ∈ G}. Entonces 1) Fix G (X) = {x ∈ X ; |OG (x)| = 1}. 2) Si G es un p-grupo entonces, |X | ≡ | FixG (X) | mód p .

= {x ∈

Demostración:

Supongamos que X = {x1 , . . . , xm }. 1) FixG (X) = {x ∈ X ; g ∗ x = x para todo g ∈ G } = { x ∈ X ; StabG (x) = G} = {x ∈ X ; |OG (x)| = 1}. m 2) X = 1≤i≤m OG (xi ). Así m = | X | = m i=1 |OG (xi )| = i=1 [G : StabG (xi )]. Si ahora G es un p-grupo, entonces |OG (xi )| = 1 o p||OG (xi )|.





Definición 2.4.18

Sea G un grupo de orden n = p r m donde p  m . Los subgrupos de G de orden pr son llamados p-subgrupos de Sylow. Teorema 2.4.19: Primer Teorema de Sylow

Sea G un grupo finito. Para cada primo p dividiendo | G| existe un p-subgrupo de Sylow. Demostración:

Supongamos que | G| = n = mp r , donde p  m . Sea X el conjunto de todos los subconjuntos de G con pr elementos y por tanto | X | = pnr . Consideremos la acción de G sobre X por multiplicación:



g

∗ A = gA = {ga; a ∈ A}.

Demostraremos que el estabilizador de uno de dichos subconjunto es el subgrupo que buscamos. Descompongamos X en órbitas, obteniendo |X | = |OG (A)|. Por el Lema ?? , p  |X |. Por tanto, por la fórmula p r m = |G| = |OG (A)|| StabG (A)| debe existir alguna órbita tal que p  |OG (A)|. Tenemos que pr m = |G| = |OG (A)|| StabG (A)| y ya que p  |OG(A)|, se deduce que pr || StabG(A)|. Pero dado a ∈ A, la aplicación StabG (A) → A dada por g  ga , es una aplicación inyectiva, de donde | StabG (A)| ≤ |A| = pr . Así | StabG (A)| = pr .




78

Teorema 2.4.20: Cauchy

Si G es un grupo finito y p es un divisor primo del orden de G, entonces existe un elemento de orden p y por consiguiente un subgrupo de G de orden p. Demostración:

Por el primer teorema de Sylow, existe un subgrupo H de G de orden pr . Sea a ∈ H , a ≠ e . Por el teorema de Lagrange, | a| divide a pr , luego | a| = p s , con s− 0 < s ≤ r . Entonces ap tiene orden p . 1

Teorema 2.4.21: Segundo Teorema de Sylow

Sean H y K p-subgrupos de Sylow de un grupo finito G. Entonces H y K son subgrupos conjugados de G, esto es, K = gHg −1 para algún g ∈ G. Demostración:

Sea X = {gH ; g ∈ G} el conjunto de clases laterales a izquierda de H y K actuando sobre X por traslación a izquierda a

∗ (gH) = agH a ∈ K,gH ∈ X. Supongamos que | G| = n = mpr , donde p  m. Ya que |X | = [G : H] = m, por el teorema , | FixK (X) | ≡ m mód p y como p  m, | FixK (X) | ≠ 0. Sea gH ∈ FixK (X) , entonces agH = gH , para todo a ∈ K , de modo que g − agH = H para todo a ∈ K . Así g− ag ∈ H para todo a ∈ K , de modo que K ≤ gHg − . Como |H | = |K |, debemos tener K = gHg − de modo que H y K son conjugados. 1

1

1

1

Corolario 2.4.22

Sea G un grupo finito de orden n = p r m donde p subgrupo de Sylow H , si y solo si, H es normal en G.

 m.

Existe un único p -

Demostración:

Supongamos que existe un único p-subgrupo de Sylow. Si existe algún otro K , entonces por el segundo teorema de Sylow será conjugado a H , esto es, K = gHg −1 para algún algún g ∈ G. Ya que |H | = |gHg −1 | = |K |, tenemos que H = K . Recíprocamente, si H y K son p-subgrupos de Sylow, entonces por el segundo teorema de Sylow son conjugados, esto es, K = gHg −1 para algún g ∈ G. Si H es normal en G, entonces K = gHg −1 = H . Teorema 2.4.23: Tercer Teorema de Sylow

Sea G un grupo finito de orden n = pr m donde p es un número primo y p  m. El número sp de p-subgrupos de Sylow es congruente con 1 módulo p, y es un divisor de m.


79

Demostración:

Sea H un p-subgrupo de G. Sea X el conjunto de todos los p-subgrupos de G y sea la acción de H en X mediante conjugación 1

∗ K = aKa− , a ∈ H, K ∈ X. Por la proposición 2.4.17 , | X | = | FixH (X) | mód p . Calculemos pues FixH (X) . Si K ∈ X , entonces K ∈ Fix H (X) si y solo si aKa − = K , para todo a ∈ H . Así H ≤ N G (K) y claramente K ≤ N G (K) . Como H y K son p-subgrupos de Sylow de a

1

G,

también son p-subgrupos de Sylow de N G (K) . Pero entonces son conjugados en N G (K) . Como K es un subgrupo normal de N G (K) , es su único conjugado en N G (K) . Así H = K . Entonces FixH (X) = {H } y | FixH (X) | = 1, de donde od p . sp = |X | = 1 m´ Ahora supongamos G actuando sobre X por conjugación. Como todos los p subgrupos de Sylow son conjugados, entonces solo existe una órbita en X bajo G. Si H ∈ X , entonces StabG (H) = N G (H) . Entonces por el teorema sp = | X | = |OG (H) | = [G : N G (H)] = |G|/|N G (H) | = |G|/(|H |[N G(H) : H]) = m/[N G (H) : H] . Luego sp es un divisor de m.

2.4.3

Grupos abelianos finitos Lema 2.4.24

Sea G un grupo finito con |G| = p1n p2n ··· pr nr donde los p i son primos distintos. Sea S pi un pi -subgrupo de Sylow de G con S pi normal en G. Entonces 1

G

2

 S p × · · · × S p . r

1

Demostración:

Ya que cada S pk es un subgrupo normal de G, para cada k ≤ r , S p S p ··· S pk es un subgrupo de G. Probemos por inducción sobre k que para cada k ≤ r , |S p S p ··· S pk | = |S p ||S p |···|S pk |. El resultado es evidente si k = 1. Sea H = S p ··· S pk− y K = S pk . Por la hipótesis de inducción 1

1

2

1

1

2

2

1

|H | = |S p ||S p |···|S p − |. y ya que pk no divide a |H | tenemos que |H ∩ K | = 1. Por tanto |S p S p ··· S p | = |HK | = |H ||K | = |S p ||S p |···|S p |. Así para k = r , tenemos que S p ··· S p es un subgrupo de G con |G| elementos, por tanto G = S p ··· S p . También hemos visto que (S p ··· S p − ) ∩ S p = {1}. Así G  S p × · · · × S p . 1

1

k

2

r

1

k

1

1

1

1

2

k

2

r

1

r

1

r

r

Corolario 2.4.25

Todo grupo abeliano finito es isomorfo al producto directo de todos sus subgrupos de Sylow.


80

Demostración:

Si G es abeliano entonces todo subgrupo es normal y el enunciado resulta del lema anterior. Queremos probar que todo grupo abeliano finito es un producto directo de grupos cíclicos. Por el corolario 2.4.25 es suficiente probar que para todo primo p, todo p-grupo abeliano es un producto directo de grupos cíclicos. Lema 2.4.26

Sea G un p-grupo abeliano finito y a un elemento de orden maximal en G. Entonces existe un subgrupo K de G tal que G  a × K . Demostración:

Sea | G| = pn y hagamos inducción sobre n. Si n = 1, entonces G = a × e. Ahora supongamos que el enunciado es verdadero para todo grupo abeliano de orden pk con k < n. Entre todos los elementos de G, elijamos uno de orden m maximal p m . Entonces x p = e para todo x ∈ G. Podemos suponer que G ≠ a, pues en caso contrario no hay nada que probar. A continuación, entre todos los elementos de G elegimos b de menor orden tal que b ∉ a. Veamos que a ∩ b = {e}. Claramente, es suficiente probar que |b| = p. Ya que bp = |b| , p

concluimos que

bp

bp

m bp

ai

∈ a. Por ejemplo, = . Resaltemos que e = = = (ai) , por tanto |ai | ≤ pm− . Así ai no es un generador de a (bp ) y por tanto, por el teorema , gcd(pm, i) = 1. Esto prueba que p divide a i, de donde i = pj . Entonces bp = ai = apj . Consideremos el elemento c = a−j b. Ciertamente, c ∉ a, pues en caso contrario b ∈ a. También, c p = a −jp bp = a−i bp = b−p bp = e. Así, hemos hallado un elemento c de orden p tal que c ∉ a. Por la definición de b, tenemos que |b| = p. Ahora consideremos el grupo cociente G = G/b. Para simplificar la notación, − = e. Esto implica que sea x la clase x b en G . Si |a| < |a| = p m, entonces a p − − − p p p = a b = b, por tanto a ∈ a∩b = {e}, en contradicción (ab) con el hecho de que |a| = pm . Así, |a| = |a| = pm , y así a es un elemento de orden maximal en G. Por la hipótesis de inducción, G puede escribirse como  a × K pm

−1

pm

−1

1

m

m

1

m

m

1

1

1

para algún subgrupo K de G . Sea K la imagen inversa de K bajo el homomorfismo canónico de G en G (esto es, K = { x ∈ G; x ∈ K }). Veamos que  a ∩ K = { e}. Si x ∈ a ∩ K , entonces x ∈ a ∩ K = {e} = b y x ∈ a ∩ b = {e}. Ya que G = aK , tenemos que G = a × K . Proposición 2.4.27

Sea G un p -grupo abeliano de orden pn . Entonces G es un producto directo de grupos cíclicos de orden pe , . . . , pet , donde e1 ≥ · · · ≥ et y n = e1 + · · · + et . 1

Demostración:

Inducción y el lema anterior proporcionan el resultado.


81

Veamos a continuación la unicidad. Lema 2.4.28

Sea G un p-grupo abeliano. Si G  H 1 × H 2 × · · · × H s y G  K 1 × K 2 × · · · × K t , donde los H i y los K j son subgrupos cíclicos de orden potencia de p con |H 1 | ≥ |H 2| ≥ · · · |H s | y |K 1| ≥ |K 2| ≥ · · · |K t |, entonces s = t y |H i | = |K i | para todo i. Demostración:

Procedamos por inducción sobre G. Claramente, el caso donde |G| = p es verdadero. Ahora supongamos el enunciado verdadero para todo p-grupo abeliano de orden menor que |G|. Para todo grupo abeliano L, el conjunto L P = {xp ; x ∈ L} es un subgrupo de L. Se deduce que G p = H 1p × H 2p ×··· H sp y G p = K 1p × K 2p ×··· K tp , donde s  es el mayor entero i tal que |H i | > p y t  es el mayor j tal que |K j | > p . (Esto asegura que nuestros dos productos directos para Gp no tienen factores triviales). Ya que GP < G , tenemos por inducción que s  = t  y |H ip | = |K ip | para p p i = 1 , . . . , s  . Ya que | H i | = p|H i | y | K i | = p |K i | tenemos que | H i | = |K i | para todo i = 1, . . . , s . Todo lo que queda por probar es que el número de H i de orden p es igual al número de K i de orden p , esto es, debemos probar que s − s  = t − t  . Esto se deduce de

|H |H |···|H s |ps−s = |G| = |K ||K |···|H t |pt−t y |H i | = |K i | y s  = t  . 1

2

1

2

Teorema 2.4.29: Teorema fundamental de los grupos abelianos finitos

Todo grupo abeliano finito G es isomorfo a un producto directo de la forma G

 Zp × · · · × Zp e11 1

e1t 1 1

× · · · × Zp × · · · × Zp er 1 r

er tr r

Esta descomposición es única, salvo por el orden. Demostración:

Sea |G| = p1n p2n ··· pr nr donde cada uno de los pi son primos distintos. Por el corolario 2.4.25 obtenemos G  S p ×···× S pr . Entonces por la proposición 2.4.27 cada uno de los S pi puede descomponerse como 1

2

1

S pi

 Zp × Zp × · · · × Zp ei1 i

ei2 i

eit i

i

Así G es isomorfo a un producto directo de grupos cíclicos de orden potencia de un primo. Definición 2.4.30

Sea G un grupo abeliano finito con |G| = p1n

· ·· pr n . × · · · × Zp × · · · × Zp r

1

G

 Zp × · · · × Zp e11 1

e1t

1

1

er 1 r

er tr r


82

Los números (p1e , . . . , pr er tr ) se llaman divisores elementales del grupo G. 11

Ejemplo 2.4.4

Determinar todos los grupos abelianos, salvo isomorfismos, de orden 16. | G| = 16 = 24 . Por tanto n = 4, así tenemos las siguientes cinco listas de posibilidades 4 3 2 2 1

1 2 1 1 1 1 1

Así existen cinco posibilidades para G. En particular, G debe ser isomorfo a uno de los siguientes grupos: Z24

Z21

Z23

× Z Z × Z Z × Z × Z × Z × Z × Z

21

22

22

22

21

21

21

21

21

= = = = =

Z16 Z8 Z4 Z4 Z2

×Z ×Z ×Z ×Z ×Z ×Z ×Z 2 4 2

2

2

2

2

Proposición 2.4.31

Todo grupo abeliano finito G es isomorfo a un producto directo de la forma G

 Zm × Zm × · · · × Zm donde m ≥ 2 y mj divide a cada mi con j ≥ i y n = m ··· mt . 1

2

t

1

1

Demostración:

Ponemos juntos los mayores factores para cada primo, y luego los siguientes mayores factores, y así sucesivamente. Definición 2.4.32

Sea G un grupo abeliano finito G

 Zm × Zm × · · · × Zm ≥ 2 y mj divide a cada mi con j ≥ i. Los números mi reciben el 1

2

t

donde mt nombre de factores invariantes de G. Ejemplo 2.4.5

Determinar todos los grupos abelianos de orden 56. |G| = 56 = 2 3 · 7. Sabemos que G  S 2 × S 7 donde |S 2| = 2 3 y |S 7 | = 7. Así los posibles exponentes para los


83

divisores elementales están dados por las siguientes listas S 2

S 7

3 2, 1 1, 1, 1

1

Así G debe ser isomorfo a uno de los siguientes grupos:

Z21

Z23

× Z Z × Z × Z × Z × Z × Z

71

22

21

71

21

21

71

Z8

= = =

Z4 Z2

×Z ×Z ×Z ×Z ×Z ×Z 7 2

7

2

2

7

Ejemplo 2.4.6

Supongamos que un grupo tienen como divisores elementales 2, 2, 22 , 23, 3, 3, 3, 5, 52. Determinar sus factores invariantes. Para hallar los factores invariantes colocamos nuestros divisores elementales en orden decreciente, con una fila para cada primo. 23 3 52

22 2 2 3 3 5

Ahora reagrupamos los factores cíclicos de G usando las columnas de la anterior distribución. G

 Z × (Z × Z ) × (Z × Z × Z ) × (Z × Z × Z G  Z ×Z ×Z ×Z 2

2

3

4

2

2.4.4

3

6

5

60

8

3

25

)

600

Clasificación de grupos de orden ≤ 15. Grupos finitos de orden 2,3,5,7,11,13.

Sabemos que todo grupo finito de orden primo p, es cíclico e isomorfo a

Zp .

Grupos finitos de orden 6,10,14.

Proposición 2.4.33

Sea p un primo impar. Todo grupo de orden 2 p es isomorfo a Z2p o a Dp . Demostración:

Sean s2 y sp el número de 2-subgrupos de Sylow y de p-subgrupos de Sylow de G. Ya que sp |2 y sp ≡ 1( mód p), tenemos que sp = 1. Si H es el único p-subgrupo de Sylow de G, entonces H es un subgrupo normal de G. Ya que s2 |p y s2 ≡ 1( mód 2), tenemos que s2 = 1 o p. Caso s2 = 1.


84

Si K es el único 2-subgrupo de Sylow de G , entonces K es un subgrupo normal de G. Ya que |H ∩ K | divide a |H | y a |K |, tenemos que |H ∩ K | = 1, esto es, H ∩ K = {e}. Por el segundo teorema de isomorfía, |HK | = |H ||K | = 2p = |G|, de donde HK = G. Así G

 H × K  Zp × Z  Z p . 2

2

Caso s2 = p. Ya que |H | = p, es cíclico de orden p, esto es, existe a ∈ H , con |a| = p y H = a = {e , a , . . . , ap−1 }. Como H ≠ G, existe b ∉ H . Como |G/H | = 2p/p = 2, tenemos que G = H  Hb = {e , a , . . . , ap−1 }  {b , a b , . . . , ap−1 b}. Veamos que |b| = 2. Tenemos que |b| divide a 2 p, luego |b| = 1, 2 o p. Si |b| = 1, entonces b = e, lo que es imposible, ya que b ∉ H . Si |b| = p, entonces b también es un p -subgrupo de Sylow y sería igual a H , lo que es imposible, ya que b ∉ H . Por tanto |b| = 2. Análogamente |ab| = 2. Así G  Dp . Grupos finitos de orden 15.

Proposición 2.4.34

Todo grupo de 15 elementos es isomorfo a Z15. Demostración:

Sean s 3 y s 5 el número de 3-subgrupos de Sylow y de 5-subgrupos de Sylow de G . Ya que s3 |5 y s3 ≡ 1( mód 3), tenemos que s3 = 1. Si H es el único 3-subgrupo de Sylow de G, entonces H es un subgrupo normal de G. Análogamente, ya que s5 |3 y s5 ≡ 1( mód 5), tenemos que s5 = 1. Si K es el único 5-subgrupo de Sylow de G , entonces K es un subgrupo normal de G . Ya que |H ∩ K | divide a |H | y a |K |, tenemos que |H ∩ K | = 1, esto es, H ∩ K = {e}. Por el segundo teorema de isomorfía, |HK | = |H ||K | = 15 = |G|, de donde HK = G . Así G

 H × K  Z × Z  Z 3

5

15

.

Grupos finitos de orden 4,9.

Proposición 2.4.35

Sea p un primo. Todo grupo de orden p 2 es abeliano e isomorfo a Zp o a Zp × Zp . 2

Demostración:

Ya que G es un grupo no trivial, Z(G) es no trivial y |Z(G)| ≥ p. Por el teorema de Lagrange |Z(G)| divide a p2 , luego |Z(G)| es igual a p o p2 . Si |Z(G)| = p2 , entonces G = Z(G), luego G es abeliano. Si |Z(G)| = p , entonces |G/Z(G)| = p, luego G/Z(G) es cíclico y por tanto abeliano. Veamos que G es entonces también abeliano. Supongamos que G/Z(G) = gZ(G) y sean a, b ∈ G. Entonces aZ(G) = gr Z(G) y bZ(G) = gs Z(G), esto es, a = gr c , b = gs d, con c, d ∈ Z(G). Pero entonces ab = g r cg s d = gs dg r c = ba.


85

Grupos finitos de orden 8.

Proposición 2.4.36

Todo grupo de 8 elementos es isomorfo a alguno de los siguientes: Z2 × Z2 × Z2 , D4 , Q2 .

Z8 , Z4

× Z , 2

Demostración:

Supongamos que G es un grupo de orden 8 no abeliano. Si G tuviese un elemento de orden 8, entonces sería cíclico y por tanto abeliano. Si todos los elementos de G tuviesen orden 2, entonces para todo a, b ∈ G, tendríamos que a 2 b2 = (ba)2 = e, de donde ba = bea = b(ba)2 a = bbabaa = eabe = ab y G sería abeliano. Por tanto al menos un elemento a ∈G tiene orden 4. Sea H = a = {e,a,a2 , a3 }, entonces H es normal en G y | G/H | = 2. Por tanto existe b ∉ H , tal que G = H  H b = {e,a,a2 , a3 }  {b,ab,a2 b, a3 b}. Consideremos b2 . Necesariamente b2 ∈ H , pues si b2 ∈ Hb , tendríamos que b ∈ H . Si b2 = a, entonces G = {e, b2 , b4 , b6 , b , b3 , b5 , b7 } = b es cíclico y por tanto sería abeliano. Si b2 = a3, entonces G = { e, b6, b4 , b2 , b , b7 , b5, b3 } =  b es cíclico y por tanto sería abeliano. Por tanto hemos de considerar 2 casos: Caso b2 = e: Ya que H es un subgrupo normal de G , tenemos que b −1 ab ∈ H . Necesariamente b−1 ab = a3 , esto es, ba = a3 b y G  D4 = a, b; a4 = e, b2 = e,ba = a3 b. Caso b2 = a2 : Ya que H es un subgrupo normal de G , tenemos que bab−1 ∈ H . Necesariamente bab −1 = a3 , esto es, ba = a3 b y G  Q2 = a, b; a4 = e, b2 = a2 , ba = a3 b . Grupos finitos de orden 12.

Proposición 2.4.37

Todo grupo de 12 elementos es isomorfo a alguno de los siguientes: Z2 × Z2 × Z3 , A4 , D6 ,Q3 .

Z4

× Z

3

,

Demostración:

Supongamos que G es un grupo de orden 12 no abeliano. Sean s2 y s3 el número de 2-subgrupos de Sylow y de 3-subgrupos de Sylow de od 2), luego s 2 = 1, 2 y s 3 |4 y s 3 ≡ 1( mód 3), luego G. Entonces s 2 |3 y s 2 ≡ 1( m´ s3 = 1, 4. Sea H un 3-subgrupo de Sylow de G, entonces [G : H] = 12/3 = 4 y si X es el conjunto de clases laterales a izquierda de H en G, entonces la representación permutacional de G, λ : G → S 4 , verifica ker (λ) = g∈G gHg −1 ⊆ H . 1) Si ker(λ) = {e}, entonces G  im(λ) ⊆ S 4 , y por tanto G es isomorfo a un subgrupo de orden 12 de S 4 , luego G  A4 . 2) Si ker(λ) ≠ {e}, entonces, ya que | ker(λ)| divide a |H | = 3, tenemos que ker(λ) = H y por tanto H es normal, luego único. Supongamos que H = x  = {e,x,x2}. Veamos que |C G (x)| = 6 o 12. Ya que [G : C G(x)] = |Cl(x)|, es sufciente comprobar que |Cl(x)|=1 o 2. Pero si y ∈ Cl(x), entonces y = gxg −1 , para



86


algún g ∈ G y por tanto |y | = |gxg −1 | = |x | = 3, luego |Cl(x)|=1 o 2, ya que x , x 2 son los únicos elementos de orden 3 de G. Ya que 2||C G (x) |, por el teorema de Cauchy, existe z ∈ C G (x), de orden 2. Sea a = xz , entonces |a| = |x ||z| = 6. Sea K = a, entonces [G : K] = 2, y por tanto K es normal en G. Además existe b ∉ K , tal que G = K  Kb = {e,a,a2 , a3 , a4 , a5 }  {b,ab,a2 b, a3 b, a4 b, a5 b}. Como bab −1 ∈ K y | bab −1 | = |a| = 6, tenemos que bab −1 = a o a5 . Pero si bab −1 = a, entonces ba = ab y G sería abeliano. Luego bab −1 = a5 . Consideremos ahora b2. Si b2 ∈ Kb , entonces b ∈ K, lo que es imposible. Por tanto b2 ∈ K . Veamos los diferentes casos: i) b2 = e. Entonces G  D6 . ii) b2 = a . Entonces |b| = 12, ya que b12 = (b 2 )6 = a 6 = e y G = b, lo que es una contradicción. iii) b2 = a 2 . Entonces (a−1 )2 = (bab−1 )2 = bab−1 bab −1 = ba2b−1 = bb2b−1 = b2 = a2 , esto es, a4 = e, lo que es imposible. iv) b2 = a3 . Entonces G  Q3 . v) b2 = a4 . Entonces (a−1 )4 = (bab−1 )4 = (ba)4 b−1 = bb 2 b−1 = b 2 = a 4 , esto es, a2 = e, lo que es imposible. vi) b2 = a5 . Entonces |b| = 12, ya que b12 = (b2 )6 = (a5 )6 = e y G = b, lo que es una contradicción.

Índice alfabético aplicación de incidencia, 3 arbol árbol generador, 29 árbol, 29 arista, 3 aristas, 4 paralelas, 3 bosque, 29 camino, 11 cerrado, 11 de Euler, 15 de Hamilton, 18 simple, 11 caras, 22 centralizador, 65 centro, 65 ciclo, 11 ciclos disjuntos, 39 circuito, 11 euleriano, 15 hamiltoniano, 18 clase de conjugación, 66 de conjugación, 65 clase lateral, 56 a derecha, 49 a izquierda, 49 coloración, 27 componentes conexas, 14 conjugación, 65 de subgrupos, 66 conjunto cociente, 49 contracción, 24 simple, 24 digrafo, 4 divisores elementales, 71 elemento neutro, 31 simétrico, 31

estabilizador, 64 Fórmula de clases, 66 de Euler, 23 factores invariantes, 72 grado de una cara, 24 de vértice, 5 entrante, 5 saliente, 5 grafo, 3 bipartido, 20 completo, 20 camino simple, 4 ciclo, 4 completo, 8 conexo, 14 dirigido, 4 disconexo, 14 dual, 26 euleriano, 15 hamiltoniano, 18 plano, 22 regular, 7 simple, 3 grafos isomorfos, 5 grupo, 31 abeliano, 31 alternado, 43 cíclico, 48, 52 cociente, 57 cuaternio, 37 finitamente generado, 48 finito, 33 lineal general, 35 simple, 55 homomorfismo de grupos, 57 índice, 50 isomorfismo de grafos, 5 de grupos, 59

88

lazo, 3 mapa, 22 matriz de adyacencia, 9 de incidencia, 10 número cromático, 27 normalizador, 66 operación asociativa, 31 binaria, 31 conmutativa, 31 órbita, 64 orden de grafo, 3 de un elemento, 52 de un grupo, 33 de una permutación, 40 p-grupo, 66 p-subgrupo de Sylow, 67 permutación, 38 polinomio cromático, 27 raíces de la unidad, 37 recorrido, 11 retículo de subgrupos, 47 subconjunto fijo, 64 subgrupo, 46 generado, 48 propio, 46 trivial, 46 tamaño, 3 transposición, 41 vértice, 3 aislado, 3 final, 4 inicial, 4 vértices, 4 adyacentes, 3 incidentes, 3

ÍNDICE ALFABÉTICO

J.L.Bueso - Álgebra discreta y de grupos

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