Jair Cuadro Cubides Cód: 72268781
DISTRIBUCIÓN UNIFORME DISCRETA 1. La variable X tiene una distribución uniforme sobre los enteros 7 ≤ x ≤ 10. Determine la media y la varianza de X. (
( )
)
)
((
( )
2. La variable X tiene una distribución uniforme sobre los enteros 15 ≤ x ≤ 40. Determine la media y la varianza de X. ( )
(
)
)
((
( )
)
3. En un proceso de recubrimiento se toman varias mediciones del espesor, hasta la centésima de milímetro más cercana. Las mediciones están distribuidas de manera uniforme, con valores 12; 13; 14, 15; 16 y 17. Para este proceso, calcule la media y la varianza del espesor del recubrimiento. Interprete la media. ( )
(
)
( )
)
((
5. Se mide la longitud de varias placas de vidrio, hasta la décima de milímetro más cercana. Las longitudes están distribuidas de manera uniforme, con valores que están espaciados una décima de milímetro comenzando en 320,0 y continuando hasta 320,9. Calcule la media y la varianza de las longitudes. Interprete la media. ( )
(
)
)
((
( )
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL 1. Utilizando la fórmula binomial, calcule las siguientes probabilidades binomial: (a) b(2; 7; 0, 4). ( ) (
)
( )(
) (
)
0.2612736
(b) b (4; 4; 0, 9). ( ) (
)
( )(
) (
)
0,6561
(c) P (2 ≤ X < 4) cuando n = 3 y p = 0, 2. ∑
( )(
) (
)
∑
( )(
) (
)
=0,096 – 0.008 = 0.088
(d) P (2 ≤ X) cuando n = 11, p = 0, 5 y si X toma sólo valores no negativos. ( ) ( ) ( ) 0,005371094 2. Por la tabla binomial, se encuentra las siguientes probabilidades: (a) B (3; 5; 0, 3). = 0.969 (b) b (8; 10; 0, 4).= 0.998 (c) b(12; 15; 0, 5).= 0.996 (d) P(X ≤ 3) Para n = 5 y p = 0, 7. = 0.163 (e) P (4 ≤ X ≤ 9) Para n = 25 y p = 0, 6 = P(X
9) – P (X
) = 0.013–0.000= 0.013
(f) P (5 ≤ X) Para n = 10 y p = 0, 8.= 1 – 0.033= 0.967 (g) P (14 < X < 20) Para n = 20 y p = 0, 9. = 0.988
3. Una semilla tiene un porcentaje de germinación del 83%. Si se siembran 12 semillas, ¿Cuál es la probabilidad de que germinen (a) todas, (b) 10, (c) a lo más 2, (d) al menos 10? P = 0.83 a) P (X= 12) = B(12;12;0.83) = 0.10689001 b) P ( X=10) = B(10;12;0.83) = 0.29595297 c) P (X ≤ 2) = B(2;12;0.83) = 0.0000009166 d) P (X
10) = 1 - P (X< 10) = 1 – P (X≤ 9) = 1 - B (9; 12; 0.83) = 1 - 0.202056244 = 0.7979437
4. De un cargamento de 100 artículos, se sabe que el 10% de los artículos están defectuosos. Se eligen al azar con reemplazo y sin orden 20 artículos del cargamento y se examinan. Sea X la variable aleatoria que representa al número de artículos defectuosos encontrados. Construya la función de probabilidad de X, calcule la media (interprétela) y la varianza. P = 0.10 n = 100 P(X
) = 0.001170987 ( ) (
( )
) (
)
5. Un agente de seguros piensa que en un contacto concreto, la probabilidad de conseguir una venta es 0,4. Sea X la variable aleatoria que representa al número de ventas que consigue. Si tiene cinco contactos directos y para cada uno la probabilidad conseguir una venta es 0,4: P (CV)= 0.4 (a) Construya la función de probabilidad. P(X=CV) = 0.4 (b) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de éxitos este entre 2 y cuatro (ambos Inclusive)? P (2 X
4) = B (4; 5; 0.4) –B (2; 5; 0.4) = 0.307
(c) ¿Cuál es la probabilidad de al menos un éxito? P (X 1) = 1 – P (X ) = 1 – P (X = 0) = 1 – 0.078 = 0.922 (d) Calcule la media, la varianza y la desviación estándar. ( ) ( )
( (
) )
√ ( ) = 1.936
6. Con el propósito de establecer el grado de aceptación de su producto, una empresa selecciona una muestra de 1.000 consumidores de una población de 1.000.000, de forma tal que cada uno de los elementos de la población tiene la misma probabilidad de ser seleccionado. A cada consumidor seleccionado se le pregunta si prefiere el producto producido por esta empresa o no. ¿Es este un experimento binomial? Explique su respuesta. Si es un experimento binomial porque para exista un experimento binomial su resultado en particular no puede involucrarse sobre el resultado para cualquier otro experimento, en este caso se cumple ya que se efectúan independientemente. 7. Un lote de 25 computadores llega a un distribuidor, el cual selecciona aleatoriamente y sin reemplazo, 5 computadores para verificar si están defectuosos o no. El distribuidor ignora que 3 de los 25 están defectuosos. ¿Es este un experimento binomial? Justifique su respuesta. Este no es un experimento binomial porque para que sea binomial el resultado de cualquier experimento en particular no debe influir sobre el resultado de cualquier otro experimento. 8. El examen TELP consta de 150 preguntas de elección múltiple y hay 4 opciones en cada una de ellas. Si muchas personas que no saben inglés, realizan el examen, calcule la media de las calificaciones obtenidas. ( )( ) P= n= 4 9. De una producción de 2.000 tornillos, se sabe que el 5% están defectuosos. Supongamos que se selecciona una muestra al azar de 20 tornillos. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de tornillos defectuosos en la muestra no exceda a 3? n = 20 p = 0.05 P(X 3) = 0.984; con las tablas. (b) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de tornillos defectuosos en la muestra es por lo menos 6? P(X 6) = 1- P(X< 6)= 1- P(X 5) = 1- 1.000 = 0 (c) ¿Cuál es la probabilidad de que el número de tornillos defectuosos en la muestra sea estrictamente mayor que 2, pero menor o igual de 6? P(X
2) = 1- 0.925 = 0.075
(d) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los 20 tornillos esté defectuoso? P(X
) = 0.358; con las tablas.
(e) Calcule e interprete el valor esperado y la desviación estándar del número de tornillos defectuosos en la muestra. ( )
( √
)(
) √
(
)= √
= 0.97467
10. En un peaje se cobra 1.500 pesos por cada bus de transporte público y 2.500 pesos por carros particulares. Supongamos que durante las horas diurnas, 70% de todos los vehículos son buses de transporte públicos. Si 15 vehículos pasan por el peaje durante un período particular diurno, ¿cuál es el ingreso de cuotas esperado? (Sugerencia: sea X el número de buses de transporte público, entonces, el ingreso de cuotas h es una función lineal de X.) P = 0.70; n= 15 ( )
H(X) = 15X + 0.70
(
)(
)
Los ingresos por los 15 vehículos durante un periodo de tiempo partículas son del 10.5.
11. Un jefe de producción sabe que el 4% de 200 artículos producidos en cierto tipo de máquina tiene algún defecto. Se examinan cinco de estos artículos. ¿Cuál es la probabilidad de que (a) ninguno, (b) dos, (c) al menos dos de estos artículos tengan un defecto? a) P(X = 0) = 0,815372698 b) P (X = 2) = 0,014155776 c) P(X 2) = 1 – P(X = 0.830
) = 1 - 0,169869312
12. Una empresa se dedica a la instalación de nuevos paquetes computacionales. Se ha comprobado que en el 10% de 250 instalaciones es necesario volver para realizar algunas modificaciones. En una semana determinada se realizaron 10 instalaciones. Asumir independencia en los resultados de esas instalaciones. p=0.10 n=10 (a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea necesario volver en cinco casos? P(X= 5) = 0,999853097 b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea necesario volver en ninguno los casos? P(X = 0) = 0,34867844
c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea necesario volver en más de un caso? P (X
1) = 0,7360; con las tablas
13. En cierto cultivo de peces, el 40% de los peces son de la especie Pecius y el otro 60%, de la especie Pecelius. Peces de la especie Pecius produce peces de la especie Pecius 29% de las veces, mientras que peces de la especie Pecelius produce peces de la especie Pecius 26% de las veces. Suponga que se seleccionan al azar 10 peces. n=10 a) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente cinco de esos peces provengan de la especie Pecius y produzcan peces de la especie Pecius? P= 0.29 P (X = 5) = ( )(
) (
)
0, 09325718
b) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente cinco de esos peces sean de la especie Pecius? P = 0.40 ) ( P (X = 5) = ( )( ) 0,20065812 14. Al realizar una entrevista a un grupo de personas con el fin de ingresar en un programa de televisión, se encuentra que 25% de las personas no cumplen con los requisitos requeridos. De las siguientes 15 personas entrevistadas, encuentre la probabilidad de que P=0.25 (a) Menos de cuatro, P(X < 4) =0.686, por tablas. (b) de cuatro a siete, P( ) = 0,983 – 0.686 = 0.297 (c) más de seis no cumplan con los requisitos requeridos. P(X > 6) = 0,94337969 15. Una investigación en cierto país arrojó que aproximadamente 60% cree el actual presidente de ese país está haciendo las cosas bien. ¿Cuál es la probabilidad de que al menos cinco de las siguientes diez personas seleccionadas al azar sean de esta opinión? p=0.60 P(X<5) = 0.367
n=10
16. Se sabe que 30% de las vacas vacunadas con un suero quedan protegidos de cierta enfermedad. Sí se vacunan 20 vacas, encuentre la probabilidad de que n=20
p=0.30
(a) ninguna, P(X= 0) = 0.001 (b) menos de dos, P(X<2) = 0,03548313 (c) más de tres contraigan la enfermedad. P(X >3) = 0,1070868
DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA Y DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA
1. Una pareja desea tener exactamente dos niñas en su familia. Tendrán hijos hasta que se satisfaga esta condición. Suponiendo que la probabilidad de que el hijo nazca varón es igual a 0.5, p= 0.5;
r=2
(a) ¿cuál es la probabilidad de que la familia tenga k hijos varones? (
)
)(
(
) (
)
(
)(
)
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que la familia tenga 4 hijos? ( ) ( )( ) ( )( ) (c) ¿Cuál es la probabilidad de que la familia tenga a lo más 4 hijos? (
)
(
(
)
)
( 0.688
)
(
)
(
)
(d) ¿Cuántos varones se esperaría que tenga esta familia? ( ) ( ) (e) ¿Cuántos hijos se esperaría que tenga esta familia? ( ) ( )
(
)
(
)
2. Las etiquetas en los frascos de los medicamentos se examinan con un lector óptico para comprobar que están debidamente adheridas a las botellas. Suponga que la probabilidad de descubrir una etiqueta mal adherida es 0,0001. p = P (éxitos) = 0.0001 (a) Calcule la probabilidad de que el proceso detecte una etiqueta con tales características en el primer ensayo. (
)
(
)
(b) Calcule la probabilidad de que el proceso descubra por primera vez una etiqueta mal adherida en diezmilésima botella. (
)
(
(
)
)(
)
(c) Encuentre el valor esperado y la desviación estándar del número de etiquetas examinadas hasta que se encuentra una etiqueta mal adherida. ( )
(
)
La desviación estándar es √
3. El 10% de los motores armados en una fábrica de montaje están defectuosos. Si se seleccionan en forma aleatoria uno por uno y se prueba, calcule la probabilidad de localizar el tercer motor sin defecto (a) en el quinto ensayo, (b) en el quinto ensayo o antes. P=0.10; r =3 a) P(X= 5) = (
b) P(X 5) = P(X=0) + ( (
)
(
)
(
) (
)(
)
)
(
)
(
) (
)
(
) (
P(X 5) =0.03809
) ) +
( (
)+P(X = 5) = ) (
)
(
) (
)
4. De acuerdo con un estudio geológico, en un pozo de exploración petrolera hay 0,2 de probabilidad de encontrar petróleo. Calcule la probabilidad de localizar petróleo por primera vez en el tercer pozo que se perfore. p=0.2; r= 1 ) = 0.1024
P(X= 3)= (0.2)(
5. Nubia y Jorge deciden tener hijos hasta que tengan cuatro del mismo sexo. Si se supone que la probabilidad de que nazca varón es de 0,5, ¿cuál es la función de probabilidad del número de hijos de Nubia y Jorge? r=4, p= 0.5 P(X= k) = (
) (
)(
)
(
)(
)
6. Tres hermanos y sus respectivas esposas deciden tener hijos hasta que cada familia tenga dos niñas. (a) ¿Cuál es la función de probabilidad del número total de varones nacidos de los hermanos? ( )
)(
(
)
(b) ¿Cuál es la esperanza del número total de varones nacidos de los hermanos y cómo se compara con el número esperado de varones nacidos de cada hermano? (
( )
)
7. Encuentre la probabilidad de que una persona que lanza tres monedas obtenga sólo caras o sellos por segunda vez en el sexto lanzamiento. r=3; p=0.5 (
)
)(
(
) (
)
8. Se sabe que en cierto proceso de fabricación, en promedio, uno de cada 100 artículos está defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de que el sexto artículo que se inspecciona sea el primer defectuoso que se encuentra. (
)
(
)(
)
9. Si la probabilidad de que un ladrón sea atrapado en un robo cualquiera es 0,20. ¿Cuál es la probabilidad de que lo capturen por primera vez en su cuarto robo? ( ) ( )( ) 10. Si 0,05 es la probabilidad de que cierto instrumento de medición sufra una desviación excesiva, ¿cuál es la probabilidad de que el sexto de los instrumentos probados sea el primero en mostrar esa desviación? ( ) ( )( ) 11. Un tirador experto da en el blanco el 95% de las veces. ¿Cuál es la probabilidad de que falle por primera vez en su decimoquinto disparo? ( ) ( )( ) 12. Los expedientes de una compañía de albercas indican que la probabilidad de que una de sus nuevas albercas requiera reparación en el plazo de un año es 0,20. ¿Cuál será la probabilidad de que la sexta alberca construida en un año determinado sea la primera en requerir reparación en ese lapso? ( ) ( )( )
DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA
1. Se tiene un lote de 100 artículos de los cuales 12 están defectuosos ¿Cuál es la probabilidad de que haya 3 defectuosos en una muestra de 10? N = 100; M= 12; k=3; n=10 ( )( ) ( ) ( )
( )( ) (
)
2. Lotes de 40 componentes cada uno se denominan aceptables si no contienen más de tres defectuosos. El procedimiento para muestrear el lote consiste en seleccionar 5 componentes al azar y rechazar el lote si se encuentra un componente defectuoso. N=40; n=5 a) ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre exactamente 1 defectuoso en la muestra, si hay 3 defectuosos en todo el lote? M=3; k=1 ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
b) Encuentre la media y la varianza de la variable aleatoria. ( )
( )(
)
3. Una caja contiene, al comienzo de un experimento, 2 bolas blancas y 4 bolas negras. Ahora se sacan n = 3 bolas aleatoriamente, sin reemplazo. Determinar la probabilidad de que entre las 3 bolas sacadas haya: (a) 1 negra, N= 6; M= 4; n= 3; k= 1 (
( )(
)
)
( )( )
( )
( )
(b) 2 negras, N= 6; M= 4; n= 3; k= 2 (
( )(
)
)
( )( )
( )
( )
(c) 3 negras, N= 6; M= 4; n= 3; k= 3 (
)
( )(
)
( )
( )( ) ( )
(d) determine la distribución de probabilidad de X. N= 6; M= 4; n= 3 k
P(X = k) ( )( )
1
( )
( )( ) 2
( )
( )( ) 3
( )
4. Una cantidad de 60 componentes eléctricas están sujetas a un control de calidad. Fue encontrado que 48 de las componentes no estaban defectuosas y las componentes que quedaban sí lo estaban. Si una muestra aleatoria de 15 componentes son escogidas de este lote, ¿cuál es la probabilidad de que: N = 60; M = 48; n = 15 (a) exactamente 11 de ellas sean defectuosas,
(
)
( )(
)
( )( )
( )
( )
(b) a lo más 3 de ellas no estén defectuosas? (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )
( )
( )
( )
5. El consejo de cierta universidad consiste de 66 senadores, 38 de los cuales son de la facultad de ciencias, 28 de los cuales son de la de artes. Si un comité de 16 senadores fue escogido aleatoriamente, entonces, determine la probabilidad de que el comité tenga por lo menos 2 senadores de la facultad de arte. N= 66; M=16; n=28; k=2 ( ) ( [ (
)
(
( )( )
( )( )
( )
( )
)
]
)
6. Una compañía recibe un pedido de 20 artículos. Dado que la inspección de cada artículo es cara, se sigue la política de analizar una muestra de 6 artículos de cada envío (seleccionada sin reemplazo y sin orden), aceptando la remesa si no hay más de un artículo defectuoso en la muestra. ¿Cuál es la probabilidad de que sea aceptado un pedido con cinco artículos defectuosos? (
)
(
)
(
( )
( )( )
( )
( )
) 0.516
(
)
7. Una caja con 24 calculadoras contiene 4 que están defectuosas. Si se eligen al azar 4 de esa caja (sin reemplazo y sin importar el orden), ¿cuál es la probabilidad de que: (a) ¿tres estén defectuosas? (
( )(
)
)
( )( )
( )
( )
(b) ¿a lo más una esté defectuosa? (
)
(
)
( )( )
( )( )
( )
( )
(
)
(c) ¿por lo menos dos estén defectuosas? (
)
(
)
=
(
)
= 0.115
(d) Calcule la media, la varianza y la desviación estándar del número de calculadoras defectuosas entre las 4 seleccionadas. ( ) ( )
(
(
)( )(
) )(
)
√ 8. Se embarcan abanicos eléctricos en lotes de diez. Antes de aceptar un lote, un inspector elige tres de esos abanicos y los inspecciona. Si ninguno de los abanicos probados está defectuoso, el lote se acepta; si uno o más salen con defectos, revisan todo el lote. Suponga que hay dos abanicos deficientes. ¿Cuál es la probabilidad de que se necesite un 100% de inspección? N=10; M=3 (
)
( )( ) ( )
9. En un almacén hay diez impresoras, de las cuales cuatro están defectuosas. Un cliente selecciona, sin reemplazo, cinco impresoras al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que las cinco estén en buen estado. (
)
( )(
)
( )( )
( )
( )
DISTRIBUCIÓN DE POISSON 1) Los sábados por la mañana, los clientes entran en una pequeña tienda de un centro comercial suburbano a una tasa esperada de 0,50 por minuto. Halle la probabilidad de que el número de clientes que entran en un intervalo específico de 10 minutos es: ( ) (a) 3, (
)
(b) a lo sumo 3. (
)
(
)
(
)
(
)
(
)
2) Un estudio indica que el número de huelgas anuales en una determinada empresa con 2.000 empleados, se puede representar por una distribución de Poisson con media = 0, 4. Sea X la variable aleatoria que representa al número de huelgas. Ahora, con esta información y con ayuda de la tabla de Poisson del apéndice, podemos calcular probabilidades para números concretos de huelgas anuales:
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya huelga? (
)
(
)
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya 3 huelgas? (
)
(
)
(c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de una huelga en un año? (
)
(
)
3) (Líneas de espera o colas) La distribución de Poisson ha resultado ser muy útil en problemas de líneas de espera o colas. Los clientes llegan a una máquina fotocopiadora a una tasa media de 2 cada 5 minutos. En la práctica, se pueden representar los procesos de llegada de esta clase mediante una distribución de Poisson. Asumiendo que este es el caso, representaremos por X el número de llegadas de clientes en un período de cinco minutos, con lo cual X tiene distribución de Poisson con media = 2.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que no haya llegadas en un período de cinco minutos? ( ) ( ) (b) ¿Cuál es la probabilidad de que haya 1 llegada? (
)
(
)
(c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya estrictamente más de dos llegadas? (
)
(
)
4) El número promedio de partículas radiactivas que pasan a través de un contador durante un milisegundo en un experimento de laboratorio es 4. ¿Cuál es la probabilidad de que entren entre 3 y 6 (inclusive) partículas al contador en un milisegundo determinado? (
)
(
(
)
) (
( )
)
5) Suponga que el número X de tormentas eléctricas observadas en cierta región durante un periodo de 6 meses tiene una distribución de Poisson con = 9.
(a) Calcule P(X ≤ 11), P (7 ≤ X ≤ 12) y P(X ≥ 13). ( (
)
)
(
)
(
)
(
)
(
)
= (
)
(
)
(
)
(b) ¿Cuántas tormentas eléctricas se espera que se podrán ver durante un período de seis meses, y cuál es la desviación estándar del número observado de tormentas eléctricas?
( )
( )
6) El número de cartas perdidas en el correo en un día tiene un promedio de 4. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día determinado:
(a) se pierdan a lo más dos cartas en el correo? ( (b) se pierdan tres cartas en el correo? ( ) ( ) (c) se extravíen cuatro o cinco? P(
X 5) = P(X =(
(
) (
)
)
0.238
(
)
) )
(
)
(
(
) )
(
)
(d) al menos desaparezca una carta en el correo? (
)
(
)
7) En un lote de 1.000 bombillas fabricadas por una compañía, 10 son defectuosas. Utilice la aproximación de la distribución binomial por la de Poisson para calcular la probabilidad de que en una muestra de 20 bombillas: n=20; p=
(a) 2, (
(b) 0, (
)
)
(
)
(
(
)
(
(
)
) )
(c) por lo menos 3 sean defectuosas. (
)
(
)
DISTRIBUCIÓN UNIFORME CONTINUA
1) La eficiencia de una cierta componente eléctrica X se puede considerar como una variable aleatoria continua que está distribuida uniformemente entre 0 y 100 unidades. ¿Cuál es la probabilidad de que X: (a) esté entre 60 y 80 unidades, (
)
∫
(b) sea más pequeña que 90 unidades? (
)
∫
2) Suponga que el tiempo de reacción X (en minutos) a cierto medicamento tiene una distribución uniforme continua en el intervalo *−5, 5+. Calcule la probabilidad de que la temperatura de reacción: (a) sea estrictamente menor que 0 (
)
(b) se encuentre entre −2,5 y 2,5. (
)
∫
(c) se encuentre entre k y k + 4 si k satisface −5 < k < k + 4 < 5. (
)
∫
3) El tiempo X (minutos) para que un profesor prepare un cuestionario tiene una distribución uniforme continua en el intervalo [20, 40]. a) Escriba la función de densidad, la función de distribución acumulada y trace sus respectivas gráficas.
( )
{
F(x) = { ∫ F(x)
f(x) 𝟏 𝟐
1
t x 20
20
40
40
b) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de preparación exceda a 35 minutos? (
)
∫
c) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de preparación se encuentre a 2 minutos del tiempo medio? P(X= 4) =
∫
d) Para cualquier k tal que 25 < k < k + 2 < 35, ¿cuál es la probabilidad de que el tiempo de preparación esté entre k y k + 2 minutos? (
)
∫
4) Suponga que se puede reservar una sala grande de conferencias para cierta compañía por no más de 6 horas. Si embargo, el uso de la sala de conferencias es tal que muy a menudo tienen lugar conferencias largas y cortas. De hecho, se puede suponer que la duración de una conferencia tiene una distribución uniforme en el intervalo [0, 6]. ¿Cuál es la probabilidad de que cualquier conferencia dada dure al menos tres horas? 𝐏(𝐗 ≥ 𝟑) = 𝟏− 𝐏(𝐗 ≤ 𝟐) = 𝟏− ∫
DISTRIBUCIÓN NORMAL, APROXIMACIÓN NORMAL A LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Y DE POISSON
1. Si X es una variable normal con media 90 y desviación estándar 20, calcule las siguientes probabilidades. (a)
P(X ≤ 100)
(
)
(b)
P(X ≤ 80)
(
)
(b)
(d) (e)
(
(
)
(
)
(
)
)
) (
)
)
(
)
(
P (85 ≤ X ≤ 95)
(f) P (|X − 90| ≤ 10)
(
)
P (80 ≤ X)
)
(
P (65 ≤ X ≤ 100) (
(
(
(
)
)
)
(
)
2. Dada una distribución normal estándar, encuentre el área bajo la curva que está (a) a la izquierda de Z = 2, 43 El área bajo la curva normal correspondiente a la distribución estándar Z = 2,43 es igual a 0.9925 (b) a la derecha de Z = −1, 89 El área bajo la curva normal correspondiente a la distribución estándar Z = -1,89 es igual a 0.0294 (c) entre Z = −1, 16 y Z = −0, 64;
El área bajo la curva normal correspondiente a la distribución estándar Entre Z = -1,16 y Z = -0.64 es igual a 0.1381 (d) de izquierda de z = −1, 03; Z = -1.03 es igual a 0.1515 (e) de derecha de Z = 0, 96; Z = 0.96 es igual a 0.8315 (f) entre Z = −1, 48 y Z = 1, 35. De bajo de curva Entre Z = -1,48 y Z = 1.35 es igual a 0.8421 3. Encuentre los siguientes puntos percentiles para la distribución normal estándar e intérprete cada uno de sus resultados: 91-ésimo, 9-ésimo, 75-ésimo, 25-ésimo, 6-ésimo. 4. Se regula una máquina despachadora de café para que sirva un promedio de 200 mililitros por vaso. Si la cantidad de bebida se distribuye normalmente con una desviación estándar de 15 mililitros, (a) ¿qué fracción de los vasos contendrán más de 191 mililitros? ( ) P (X ≥ 191) = 1- ( ) (b) ¿Cuál es la probabilidad de que un vaso contenga entre 209 y 224 mililitros? (
) (
( )
) (
(
)
)
(c) ¿Cuántos vasos probablemente se derramarán si se utilizan vasos de 230 mililitros para las siguientes 1.000 bebidas? (d) ¿Por debajo de qué valor obtendremos un 25% de las bebidas más pequeñas? ( (
)
(
(
))
) (
)
5. Un investigador científico reporta que unos cocodrilos vivirán un promedio de 40 meses cuando sus dietas se restringen prácticamente y después se enriquecen con vitaminas y proteínas. Suponga que la vida de tales cocodrilos se distribuyen normalmente con una desviación estándar de 6,3 meses, encuentre la probabilidad de que un cocodrilo dado viva (a) más de 37 meses; (b) menos de 49 meses; (c) entre 37 y 49 meses. a) P(X 37) = b)
(
(
))
(
))
(
)
(
)
c) P(X< 49) = d)
(
e)
(
(
) ) )
(
( (
) )
5. La vida promedio de cierta maquinaria eléctrica es 10 años con una desviación estándar de dos años. El fabricante reemplaza gratis todas las maquinarias que fallen dentro del tiempo de garantía. Si está dispuesto a reemplazar sólo 3% de las maquinarias que fallan y si la duración de una maquinaria sigue una distribución normal, ¿de qué duración debe ser la garantía que ofrezca? (
)
(
(
(
))
) (
)
6. Los coeficientes de inteligencia de 600 aspirantes a cierta beca escolar en una universidad extranjera se distribuyen aproximadamente normal con media de 115 y desviación estándar de 12. Si la universidad requiere un coeficiente de inteligencia de al menos 95, ¿cuántos de estos aspirantes serán rechazados sobre esta base sin importar sus otras calificaciones? (
a) P(X 95) =
(
(
))
)
7. Si el diámetro de una llanta de cierto tipo de auto está normalmente distribuido, ¿cuál es la probabilidad de que el diámetro de una llanta seleccionado al azar esté (a) dentro de 1,5; (b) a más de 2,5; (c) entre 1 y 2 desviaciones estándar de su valor medio? a)
(
)
b)
(
)
c) P(
X
(
) = P(X
)
) – P(X
(
)
) = 0.9772 – 0.8413 = 0.1359
10. Supóngase que el contenido real de frascos para cierto tipo de vacuna está distribuido normalmente con media de 137,2 gramos y una desviación estándar de 1,6 gramos. El contenido establecido era 135 gramos. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que un solo frasco contenga más que el contenido establecido? P(X
(
)=
(
(
))
)
(b) Entre 10 frascos seleccionados al azar, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos 8 contengan más del contenido establecido? P(X
(
)=
)
(c) Si se supone que la media permanece en 137,2 gramos, ¿a qué valor tendría que haberse cambiado la desviación estándar para que 95% de todos los frascos contengan más de lo establecido? (
)
(
(
(
)) ) (
)
11. Una determinada empresa puede comprar materia prima a dos proveedores diferentes y está interesada en el contenido de impurezas del producto. Una revisión de los registros de cada proveedor indica que los niveles de impurezas contenidos en sendas remesas de producto siguen distribuciones normales con media y desviación típica contenidas en la tabla de abajo. La empresa está especialmente preocupada porque el contenido de impurezas no exceda el 4%, y comprará al proveedor que con más probabilidad cumpla con este requisito. ¿Qué proveedor habrá que elegir?
(
)
(
(
(
))
) (
( (
)
(
(
)
))
) (
)
12. Supongamos que el peso de paquetes enviados de cierto modo es una variable aleatoria con distribución normal con valor medio de 10 libras y desviación estándar de 2 libras. El servicio de paquetería desea establecer un valor de peso k, más allá del cual habrá cargo extra. ¿Cuál valor de k es tal que 99% de todos los paquetes pesen por lo menos 1 libra abajo del peso con cargo extra? (
)
(
(
(
))
) (
)
DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL
1. Suponga que un sistema contiene cierto tipo de componente cuyos tiempo de falla en años está dado por X. La variable aleatoria X se modela mediante la distribución exponencial con tiempo medio para la falla = 1/5. Si se instalan cinco de estos componentes en diferentes sistemas, ¿cuál es la probabilidad de que al menos dos aún funcionen al final de ocho años? (
)
(
)
⁄
(
)
2. Sea X la distancia en centímetros que un estudiante de bachillerato puede saltar en una prueba de salto largo. Suponga que X tiene una distribución exponencial con parámetro = 0, 01386. (a) ¿Cuál es la probabilidad de que la distancia esté entre 100 y 200 centímetros? P( X ) = F(2 ) – F( ) ( ) ( ) [ ] [ ] (b) ¿Cuál es la probabilidad de que la distancia sea mayor que la distancia promedio en más de 2 desviaciones estándar? ( ) ( ) 3. Suponga que el tiempo gastado (en horas) por un automóvil para llegar a un destino determinado sigue una distribución exponencial con parámetro = 0, 93. (a) ¿Cuál es tiempo gastado esperado por un automóvil y cuál es la desviación estándar del tiempo gastado por un automóvil? √ (
)
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo gastado por un automóvil exceda 3,0? ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo gastado por un automóvil se encuentre entre 1,0 y 3,0? ( ) ( ) (
)
F (3, ) – F ( ) ( ) ( ) [ ] [ ] (c) ¿Cuál valor se excede por sólo 10% en todos los tiempos gastados por un automóvil? ( )
(
)
(
)
