ispitiikolokvijifesb

MATEMATIKA 2 (110) 1. KOLOKVIJ - TEST 1. (20 bodova) Izraˇ cunajte integral



ln x dx  . x 1 − 4 ln x − ln x 2

2. (20 bodova) Izraˇcunajte nepravi integral (ili ustanovite njegovu divergenciju)



0

dx

2 arctg(−2)

4sin x + 3 cos x + 5

. x2

3. (20 bodova) Izraˇ cunajte duljinu luka krivulje y = , od x = 0 do 2 x = 1. 4. (20 bodova) Objasnite kako definiramo odredjeni integral i ˇsto je Riemannova suma. Odredite Riemannovu sumu za funkciju f (x) = x na intervalu [0 , b] i pokaˇzite da u limesu dobivamo



b

x dx = 0

b2

2

.

5. (20 bodova) Iskaˇ zite i dokaˇ zite osnovni teorem integralnog raˇcuna.

ˇ RJESENJA ZADATAKA 1.

ln x + 2 +c 5



− 1 − 4 ln x − ln2 x − 2 arcsin √

2. Integral divergira. 3.

√2 + ln(1 + √2) 2

Elektrotehnika i informacijska tehnologija (110) 2005/06

1. kolokvij iz Matematike 2

Ime i prezime

1.

1.

2.

3.

4.

5.

b) (10 bodova) Izračunati vrijednost integrala I

Ocjena

 . +1  2sin + 3 cos =

a) (10 bodova) Izračunati vrijednost integrala I =

√

2. (15 bodova) Izračunati vrijednost integrala I =



6.

dx x3

2

x

2

x dx.

2

3

√

4 − x2 dx.

0

3. (15 bodova) Izračunati površinu lika omeđenog krivuljama y = 2x2 i y = 3 − x2 . 4. (15 bodova) Odrediti volumen tijela koje nastaje rotacijom lika omeđenog krivuljama y = x 3 , x = 0 i y = 8, oko osi x. 5

5. (15 bodova) Primjenom trapezne formule (n = 6) izračunati



dx

ln x

.

2

6. (20 bodova) a) Dokazati Newton - Leibnitzovu formulu. b) Izvesti formulu za računanje duljine luka ravninske krivulje u Kartezijevim koordinatama i polarnim koordinatama.

1

1. kolokvij - Rješenja

|x + 1| − 16 ln |x − x + 1| + √13 arctg 2x√−3 1 + c,

1. (a)

I

=

1 ln 3

(b)

I

=

x 1 2 sin + 3 3 2



3

+ c.

√3

2π + . 3 2

2.

I

3.

P

= 4.

4.

V

=

5.

I

=



2

768π . 7

= 2.608.

1

MATEMATIKA 2 (110) ˇ RJESENJA 1. KOLOKVIJA 07. 04. 2006. ZADACI



1. (20 bodova) Izraˇcunajte

dx

1 + e−

x

.

2. (20 bodova) Izraˇ cunajte nepravi integral



0

−π

sin x dx . 1 + cos x

√

3. (20 bodova) Izraˇcunajte povrˇsinu lika omedenog kruˇznicom x2 + y 2 = 1 i pravcem y = −x + 1 koji se nalazi u 1. kvadrantu.

ˇ RJESENJA 1. x + ln(1 + e − ) + c x

2. 3.

√

−2 2 π

4

−

1 2


110, grupa 1, 2006/07. Ime i prezime

1.

1.

a) (10 bodova) Izračunati I = b) (10 bodova) Izračunati I =

2.

3.

 √  5−4

4.

dx

x x2 dx sin x (2cos 2 x

−



5.

Ocjena

.

− 1) .

+∞


 0

x



dx.

(x2 + 1) 3

3. (20 bodova) Odrediti volumen tijela koje nastaje rotacijom krivulje y = ln x, oko osi x, za x ∈ [1, 2]. π




f ( x) dx gdje

0

je f ( x) =



sin x x

1,

, x>0 . x= 0


1

Matematika 2, 110, grupa 1

1. (a) (b)

I = arcsin

I =

3

+ C.

cos x x √12 ln | 11 −+ √√22 cos | + 12 ln | 11 +− cos | + C. x cos x

2.

I = 1.

3.

V = π 2 ln 2

4.

I



x+2


2

− 4 ln 2 + 2 .

≈ 1.83.

1



1.

1.

2.

3.

4.



5.

 (x + x) arctg x dx.  sin x   dx. b) (10 bodova) Izračunati I = cos x sin 

Ocjena

3

a) (10 bodova) Izračunati I =

2

2

x

2

+∞


1

x2 + 4 x + 8

dx.

0

3. (20 bodova) Izračunati površinu lika omeđenog krivuljama y = x 3 , y = i osi x.

2

−x

+2

1

4. (15 bodova) Primjenom trapezne formule izračunati

 0

2

√ dx 1−x

2

ako je n = 6.

5. (25 bodova) a) Dokazati formulu za parcijalnu integraciju u neodređenom integralu. b) Definirati određeni integr al i navesti mu osnovna svojstva.

Rješenja: 1.

1 1 1 a) I = (x2 + 1) 2 arctg x − x3 − x + C . 4 12 4 cos x − 1 2 b) I = 2 ln + + C. cos x cos x

2. I = 3. P = 4. I

π

8

 

.

√

4 2 3

 

− 17 . 12

≈ 0.52404.

1



1.

1.


2.

3.

 √  5−4

4.

dx

x x2 dx sin x (2cos 2 x

−



5.

Ocjena

.

− 1) .

+∞


 0

x



dx.

(x2 + 1) 3

3. (20 bodova) Odrediti volumen tijela koje nastaje rotacijom krivulje y = ln x, oko osi x, za x ∈ [1, 2]. π




f ( x) dx gdje

0

je f ( x) =



sin x x

1,

, x>0 . x= 0


1

Matematika 2, 110, grupa 1

1. (a) (b)

I = arcsin

I =

3

+ C.

cos x x √12 ln | 11 −+ √√22 cos | + 12 ln | 11 +− cos | + C. x cos x

2.

I = 1.

3.

V = π 2 ln 2

4.

I



x+2


2

− 4 ln 2 + 2 .

≈ 1.83.

1



1.

1.

2.

3.

4.



5.

 (x + x) arctg x dx.  sin x   dx. b) (10 bodova) Izračunati I = cos x sin 

Ocjena

3


2

2

x

2

+∞


1

x2 + 4 x + 8

dx.

0

3. (20 bodova) Izračunati površinu lika omeđenog krivuljama y = x 3 , y = i osi x.

2

−x

+2

1

4. (15 bodova) Primjenom trapezne formule izračunati

 0

2

√ dx 1−x

2

ako je n = 6.

5. (25 bodova) a) Dokazati formulu za parcijalnu integraciju u neodređenom integralu. b) Definirati određeni integr al i navesti mu osnovna svojstva.

Rješenja: 1.

1 1 1 a) I = (x2 + 1) 2 arctg x − x3 − x + C . 4 12 4 cos x − 1 2 b) I = 2 ln + + C. cos x cos x

2. I = 3. P = 4. I

π

8

 

.

√

4 2 3

 

− 17 . 12

≈ 0.52404.

1

120 , 130, 140

1. kolokvij iz Matematike 2, 2006/07

Ime i prezime

1.

1.

2.

a) (10 bodova) Izračunati integral I = b) (10 bodova) Izračunati integral I =

3.

4.



5.



sin2 x cos x ln sin xdx.



√

Ocjena

dx . 4 + 2 x − x2 + 2




0

−∞

dx . x2 − 2 x + 4

3. (20 bodova) Odrediti površinu lika omeđenog krivuljom y = y = x − 1 i osi x .

√

x + 1 ,pravcem

4. (15 bodova) Primjenom trapezne formule, za n = 3, izvesti približnu formulu za duljinu luka astroide x = a cos3 t, y = a sin3 t od t = 0 do t = 2 π

5. (25 bodova) a) Definirajte primitivnu funkciju i neodređeni integral. Dokažite da se primitivne funkcije razlikuju do na konstantu. Navedite svojstva neodređenog integrala. b) Kako računamo neprave integrale prvog tipa?

Rješenja: 1.

a) I =

1 1 sin 3 x ln sin x − sin 3 x + C . 3 9

 √4 + 2x − x + 2    − 2 arctg √4 + 2x − x + 2 + C .  b) I = 2 ln  √  2 4 + 2x − x + 2 + x  x 2

2

2. I =

3. P = 4. I

√π

3 3

.

10 . 3

≈ 1.36a.

2

110 - grupa 1


Ime i prezime 1.

2.

3.

4.



Ocjena

1. Izračunati: a) (10 bodova)

 ln(ln x) x

dx,

b) (20 bodova)

 2.

dx

sin x − tg x

.

a) (15 bodova) Izračunati ∞



x



dx.

(x + 1) 3

0

2

b) (15 bodova) Izračunati površinu lika omeđenog krivuljama x = 3+2 y − y 2 i x + y = 3. 3. (15 bodova) Koristeći trapeznu formulu, n = 4, izračunati vrijednost integrala 1

√

sin xdx.

0

4.

a) ( 15 bodova) Dokazati Newton-Leibnitzovu formulu. b) (10 bodova) Izvesti formulu za računanje površine ravninskog lika u polarnim koordinatama.

Rješenja: 1.

a) ln x [ln (ln x) − 1] + C, 1 1 x b) + ln tg + C. 2 2 2 4 tg 2

 x

2.

a) 1. 9 b) . 2

3. 0.61853.

   

110 - grupa 2


Ime i prezime

1.

2.

3.

4.



5.

Ocjena

1. Izraˇ cunajte a) (10 bodova) I = b) (20 bodova) I =

 

sin3 x dx. cos4 x √ x+2 √ dx. x−4 x+5 +∞

2. (15 bodova) Konvergira li nepravi integral I =

 0

√1 4 3

x

dx?

1 3. (20 bodova) Izraˇcunajte povrˇ sinu lika omedenog krivuljama y = 2 , y = x i y = 4 x na dva naˇcina: integrirajući po varijabli x i integrirajući po varijabli y . Nacrtajte sliku. 5

4. (10 bodova) Simpsonovom formulom pribliˇ zno izraˇ cunajte integral

 √x ln x dx za 4

broj podintervala 2 n = 8. 5. (25 bodova)

a) Formulirajte i dokaˇzite teoreme o supstituciji u neodredenom integralu. b) Definirajte odredeni integral neprekidne funkcije f : [a, b] novna svojstva odredenog integrala.

Rjeˇ senja: 1.

1 − 1 + C. 3cos 3 x cos x √ √ b) I = 2 x + 6ln x − 4 x + 5 + 14 arctg

a) I =



2. I = + 3. P = 4. I

(ne konvergira).

∞ 11 2

.

≈ 3.1890.



√x − 2 + C .

→ R.

Navedite os-

120 , 130, 140


Ime i prezime 1.

2.

3.

4.

5.

P

Ocjena

1. (20 bodova) Riješite neodre†eni integral

Z

3x2 + 4x + 1 2x3 + 5x2 + 9 dx:

2. (20 bodova) Riješite nepravi integral 1

Z 0

dx

p (1  x

x)

:

3. (20 bodova) Izraµcunajte volumen tijela koje nastaje rotacijom x = osi x na intervalu x 2 [0 ; 1] :

p

y

3

oko

4. (15 bodova) Pomoću Simpsonove formule za 2n = 6 izraµcunajte pribliµznu vrijednost integrala 1

Z

dx

1 + x2

:

0

5. (25 bodova)a) De…nirajte primitivnu funkciju i neodre†eni integral. Navedite i dokaµzite osnovna svojstva neodre†enog integrala. b) Formulirajte i dokaµzite teoreme o supstituciji u odre†enom integralu.

Rješenja: 1. I =

5 12

1 ln (2x2  x + 3) + 6p823 arctg 4px + 23 ln jx + 3j + c 23

2. I =  3. V =

9 5

4. I  0 :464



I=



dx x4 + 4 x2 + 3

√ √

2

I=

4 − x2 dx

0

2

2x

x = (y − 1)

−y−2=0

1 2 π

2

I=

arctg x − +1

125 48

1 √

2

3

arctg

√x

3

+C

110 - grupa 2

1. meduispit iz Matematike 2, 2008/09

Ime i prezime 1.

2.

3.

bonus



1. Rijeˇsite integrale: a) (25 bodova )

 

x2 + 2 x + 3 dx , x2 − 3x + 2

π

b) (25 bodova )

x2 sin x dx.

0

2. (25 bodova) Odredite povrˇsinu ravninskog lika omedenog parabolom y 2 = 4x i pravcem y = 2x − 4. 3.

a) ( 10 bodova) Definirajte primitivnu funkciju i dokaˇzite da je derivabilna primitivna funkcija odredena do na aditivnu konstantu. b) (15 bodova ) Vrijede li tvrdnje i obrazloˇzite zaˇsto: • 2



sin

x dx = 0; x2 + 1

−2

• ako je derivacija funkcije f neprekidna na [1 , 3], onda je



3 

f (x)dx = f (3) − f (1); 1

• ako je funkcija f neprekidna na [ a, b] i f (x) ≥ 0, onda je b



f (x) dx =

a

Rjeˇ senja 1.

a) I = x + ln |x − 2| − 6 ln |x − 1| + C b) I = π 2 − 4

2. P = 9



b

f (x) dx. a



I= a a



x5 + 1 dx. x3(x2 x + 1)

−

∈ R, a > 1



2

a

a

1 x ln2 x

1 dx = . 4 y = ln(cos x)

x=0

I =x a=e l = ln

√3.

1

1

x

2x2

− −

2

x=

. 6

π

| − x + 1| − √3arctg √−

+ 12 ln x2

2x

3

1

+C

130, 140


Ime i prezime 1.

2.

3.

bonus

P

1. Riješite neodre†eni integral (a) (20 bodova)

Z xe 2

2

x

dx;

(b) (20 bodova)

Z

cos3 x dx: sin2 x

2. (a) (20 bodova) Izraµcunajte površinu lika ome†enog krivuljom y = ln x i pravcima x = e, y = 0: (b) (15 bodova) Primjenom trapezne formule, za n = 5, izraµcunajte pribliµznu vrijednost integrala 1

Zp

1  x2 dx:

0

Rješenja: 1. (a) (b)

2e ( x + 4x + 8) + C   sin x + C x

2

2

1

sin x

2. (a) P = 1 (b)

1 50

19 + 2p24 + 2p21  0:95926216

110 gr1


Ime i prezime

1.

Z

2.

3.

P

1. (a) ( 7 bodova) Riješite neodre†eni integral x3 + 2 x2 d x: x2  5x + 4

(b) ( 5 bodova) Izraµcunajte vrijednost integrala

Z



4

ctg2 2x dx:



8

2. (8 bodova) Izraµcunajte površinu lika ome†enog krivuljama y = x2  2 x i y = 4  x2 .

Rješenja:

1. a) I =

x

2

2

+ 7x + 32 ln jx  4j  ln jx  1j + C

b) I = 12  2. P = 9



8

110 gr2


Ime i prezime

1.

2.

3.

P

1. (a) ( 7 bodova) Riješite neodre†eni integral

Z

x2 e



x

2

dx:

(b) ( 5 bodova) Izraµcunajte vrijednost integrala +1

Z 0

px x+ 1 dx: 2

3

2. (8 bodova) Izraµcunajte površinu lika ome†enog krivuljamay = 9  x2 , y = 8x i y = 52 x u prvom kvadrantu.

Rješenja:

1. a) I = 2e b) I = 1 2. P =

17 3



x

2

(x2 + 4x + 8) + C

110 gr3


Ime i prezime

1.

Z

2.

3.

bonus

1. (a) ( 7 bodova) Riješite neodre†eni integral ln (x + 1) dx x2

(b) ( 3 boda ) Izraµcunajte vrijednost integrala

Z

1

e dx 1 + e2 x

x

0

2. (10 bodova) Odredite duljinu luka krivulje zadane parametarski sa x =

t6

6

y = 2

izme†u sjecišta s koordinatnim osima.

Rješenja:

1. a) I = ln jxj 

+1

x

x

b) I = arctg (e)  2. l =

13 3

ln jx + 1j + C 

4

t4

4

P

130

1. KolokvijizMatematike2,2009/2010

ime i prezime

1.

1. (a) (5 bodova) Izraµcunajte I=

(b) (5 bodova) Izraµcunajte I=

Z

Zx

2

2.

3.

P

+ 2x + 1 dx: x2  x

dx : 4sin x + 3 cos x + 5

2. (a) (4 boda) Izraµcunajte

Z

1

I=

xe dx: x

0

(b) (6 bodova) Izraµcunajte površinu lika ome†enog parabolom y =  x2  x + 2 i pravcem y = 2:

3.

Z

(5 bodova) Parcijalna integracija. Ilustrirajte postupak rješavanjem integrala I=

Rješenja:

1. (a) I = x  ln jxj + 4ln jx  1j + C 1 (b) I = +C tg 2 + 2 x

2. (a) I = 1  1 6

(b) P = :

2 e

arctg xdx:

130-Grupa 1, 140

1. kolokvij iz Matematike 2, 2009/10.

Ime i prezime

1.a) 1.b) 2.a) 2.b)

1. a) (5 bodova) Izračunati



3.



Ocjena

x2 ln xdx.

b) (5 bodova) Izračunati x+2 dx. x2 + 6x + 13

 2. a) (4 bodova) Izračunati 1



√

3x2 x3 + 1dx.

0

b) (6 bodova) Izračunati površinu ravninskog lika omeđenog krivuljama x

y=e

, y = 2 i x = 0. 3. (5 bodova) Što je o dreeni, a što neodreeni integral? Svojim rijeima objasnite osnovne razlike tih integrala te opišite pojam primitivne funkcije. Na primjeru funkcije f (x) = x , u intervalu od x = 0 do x = 4 objasnite geometrijsko znaenje odreenog integrala. 2

1

Rješenja:

1 3 x ( 1 + 3 ln x) + C . 9 1 1 x+3 2 b) 2 ln x + 6x + 13 2 arctg 2 + C . 2 a) 2 2 1 . 3 b) 2 ln2 1.

1. a)

−

|

2.

√ −  −

|−

2

130 - grupa 1


Ime i prezime 1.

2.

3.

4.



1. (6 bodova) Izračunati I=



1

1 − (3x + 5) dx. (3x + 5) + (3x + 5) 2

2

1

3

3

2. (5 bodova) Izračunati π

3

I=



sin x dx. cos4 x

0

3. (7 bodova) Izračunati površinu lika omeđenog jednim poluvalom sinusoide y = sin x i pravcem y = 12 . Skicirati sliku. 4. (7 bodova) Izvesti formulu za izračunavanje volumena rotacijskog tijela koje nastaje rotacijom krivulje, zadane u Kartezijevim koordinatama, oko osi x. Primjenom dobivene formule izračunati volumen kugle koja se dobije rotacijom gornje polukružnice, radijusa 4 i s centrom u ishodištu koordinatnog sustava, oko osi x. Skicirati sliku.

Rješenja:

 (3x + 5) 1. I = 2 − 5 6

√ 6

5

2 arctg 3x + 5 + C .

2. I = 73 . 3. P =

√3 −

π

3

.

+

√

3x + 5 + 3

√ 3

   

√ 3x + 5 √ − 3x + 5 −ln 3x + 5 + 1 + 2 6

3

 

130-Grupa 2, 140


Ime i prezime 1.

1. (6 bodova) Izračunati I=

√

2.

3.

4.



dx . x(x − 1)

2. (5 bodova) Izračunati π

6

I=

 0

sin x cos x cos2 x − sin2 x

dx.

3. (7 bodova) Odrediti površinu ravninskog lika omeđenog krivuljama y = i y = 2 . Skicirati sliku.

1 1+x2

2

x

4. (7 bodova) Primjenom parametarskih jednadžbi izračunati duljinu luka kružnice (kojoj je središte u ishodištu koordinatnog sustava) omeđenog kutovima t1 = 6 i t2 = , na način da najprije skicirate zadani problem, zatim pomoću skice i 3 svojstava određenog integrala izvedete potrebnu formulu te ju onda primjenite na zadanu krivulju. π

π

Rješenja: 1. I = ln

2. I = 3. P =

1 2

 √√ −   √

π

2

x 1 + C. x+1

1− 1 3

− .

2 . 2

MATEMATIKA 2 (110) 2. KOLOKVIJ - TEST

1. (20 bodova) Odredite opće rjeˇsenje diferencijalne jednadˇzbe y (ex + 1) + y = 0 



i partikularno rjeˇsenje koje zadovoljava poˇcetne uvjete y (0) = −2, y (0) = 4 . 

2. (20 bodova) Odredite opće rjeˇsenje diferencijalne jednadˇzbe: (a) ( x2 y 2 − x4 )dy + ( y 4 − x2y 2 )dx = 0 (b) (2 xy 2 + y sin x)dx + (2 x2 y − cos x)dy = 0 3. (20 bodova) Rijeˇ site sustav diferencijalnih jednadˇzbi dx dt dy dt

= x + 2y + t = 2x + y + t.

4. (20 bodova) Izvedite opće rjeˇsenje diferencijalne jednadˇzbe 

y + p(x)y = q (x)

metodom varijacije konstante gdje su p(x) i q (x) zadane funkcije. 5. (20 bodova) Objasnite detaljno kako se generiraju rjeˇsenja homogene linearne diferencijalne jednadˇzbe n-tog reda sa konstantninm koeficijentima (obrazloˇzite ˇsto je karakteristiˇ cna jednadˇzba i kako rjeˇsenja ovise o njezinim korjenima).

ˇ RJESENJA ZADATAKA

1. (a) y = c 1 (x − e x ) + c2 , y = 2(x − e x ) −

−

x

2. (a) y = cx − 1 (b) x2 y 2 − y cos x = c 3.

x = c 1e

−t

1 1 + c 2 e3t − t − , 3 9

y = −c1 e

−t

1 1 + c 2e3t − t − 3 9



Ime i prezime

1.

2.

3.

4.

5.



6.

Ocjena

1. ( 20 bodova) Biolozi su napunili jezero sa 400 riba i pretpostavili da je kapacitet jezera 10000 riba. Broj riba se utrostručio nakon jedne godine. (a) Naći izraz koji određuje veličinu populacije riba nakon t-godina pretpostavljajući da veličina populacije zadovoljava logističku jednadžbu. (b) Koliko će vremena trebati da veliči na populacije naraste na 5000 riba? 2. (20 bodova) Odrediti opće rješenje diferencijalne jednadžbe x3 y + 3x2 y = sin x, te partikularno rješenje koje zadovoljava početni uvjet y (π ) = 0. 

3. (20 bodova) Eulerovom metodom s korakom 0.1 odrediti približnu vrijednost y (0.5) gdje je y (x) rješenje početnog problema y = x 2 + y 2 , y (0) = 1 . 

4. (20 bodova) Odrediti opće rješenje diferencijalne jednadžbe y −4y + 5y = e 2 , te provjeriti linearnu nezavisnost partikularnih rješenja pripadne homogene diferencijalne jednadžbe. 

5. (20 bodova) Riješiti sustav diferencijalnih jednadžbi dy dx dz dx

= 4y − z = 2z + y.

1



x


1. (a)

P

10000 − P

= 0.0417 · e1.18t ,

(b) t = 2.6926. cos x c 2. y (x) = − 3 + 3 , x

x

c = −1.

3. y (0.5) = 1 .83706. 4. y (x) = e 2x (1 + c1 cos x + c2 sin x). 5. y (x) = e 3x (c1 + c2x),

z (x) = e 3x (c1 − c2 + c2 x).

1

MATEMATIKA 2 (110 - grupa 2) ˇ RJESENJA 2. KOLOKVIJA 12. 05. 2006. ZADACI 1. (20 bodova) Odredite opće rjeˇsenje diferencijalne jednadˇzbe xy + 2y + x5 y 3 ex = 0, 

te sva njena singularna rjeˇsenja. 2. (20 bodova) Odredite opće rjeˇsenje diferencijalne jednadˇzbe (2y + x + yey )dy + ( ex + y )dx = 0, te partikularno rjeˇsenje koje zadovoljava poˇcetni uvjet y (0) = 1 . 3. (20 bodova) Rijeˇ site sustav diferencijalnih jednadˇzbi dz dx dy dx

= y + ex = z + x 2 ex .

ˇ RJESENJA y 2 = x 4 (2ex + c) 1. Opće rjeˇsenje: Singularno rjeˇsenje: y = 0 −

2. Opće rjeˇsenje: ex + xy + y 2 + ( y − 1)ey = c Partikularno rjeˇsenje: ex + xy + y 2 + (y − 1)ey = 2 3. z = c 1 ex + c 2 e

−x

y = c 1 ex − c2 e

−x

1 6  + 16

+x

x2 −



1 3 x x+ e 4 4

x3 + 1 x2 + 1 x + 3 ex

4

4

4





1.

2.

3.

4.

5.



Ocjena

1. (20 bodova) Vrijeme poluraspada kemijskog elementa Ra (radij - 226) je 1602 godine. Radioaktivni raspad modelira n je populacijskom jednadžbom. Laboratorij raspolaže sa 20 grama radija. Izračunati: 226

a) Koliko će radija - 226 laboratorij imati nakon 50 godina? b) Nakon koliko će godina laboratorij raspolagati masom od 5g radija?   2. (20 bodova) Odrediti opće rješenje diferencijalne jednažbe (1 + x ) + 2xy dx− (1+ x )dy = 0, te partikularno rješenje koje zadovoljava početni uvjety (1) = 0 . 2 2

2

3. (20 bodova) Odrediti opće rješenje diferencijalne jednadžbe y + y = 5x + 2e , te provjeriti linearnu nezavisnost partikularnih rješenja. 

4. (20 bodova) Naći ortogonalne trajektorije familije krivulja je a konstanta.



x

y 2 = −2ax3 , gdje

5. (20 bodova) Definirati egzaktnu diferencijalnu jednadžbu. Što je integrirajući faktor i kako ga tražimo? Da li je jednadžba x y + 2 xyy = 3x egzaktna? 2



Rješenja: 1. a) m(50) = 19 .57g. b) t = 3204 .57. 2. y(x) = (x + C )(1 + x ), C = −1, y (x) = (x − 1)(x + 1). 2

3. y(x) = C + C 1

2

2

e

−x

2

5 + x2 − 5x + e . 2 x

2

4. 2x + 3y = C .

Rezultati kolokvija bit će objavljeni u četvrtak, 24.05.2007. u 11h . Zadaće možete pogledati također u četvrtak, 24.05.2007, od 11h do 12 h br. 112.

1

u sobi



1.

2.

3.

4.

5.



Ocjena

1. ( 20 bodova) U rezervatu maksimalnog pretpostavljenog kapaciteta2000 nalazilo se u određenom trenutku 300 ptica. Broj ptica udvostručio se nakon jedne godine. (a) Nađite izraz koji određuje veličinu populacije ptica nakon t-godina pretpostavljajući da veličina populacije zadovoljava logističku jednadžbu. (b) Koliko će vremena trebati da veličina populacije naraste na 1000 ptica? 2. (20 bodova) Odredite opće rješenje diferencijalne jednadžbe (2x + 1)



1 x2 + x + 4

−y





= 2y.

3. (20 bodova) Odredite opće rješenje diferencijalne jednadžbe 



y + 3 y = 3xe

−3x

,

te provjerite linearnu nezavisnost partikularnih rješenja pripadne homogene diferencijalne jednadžbe. 4. (20 bodova) Odredite opće rješenje sustava diferencijalnih jednadžbi dy dx dz dx

= y+z = x + y + z,

a zatim i ono koje zadovoljava početne uvjete y(0) = 1 , z (0) = 0 . 5. (20 bodova) Definicija (obične) diferencijalne jednadžbe reda n. Što je njeno rješenje? Koje su vrste rješenja?

Rezulatati kolokvija

bit će objavljeni u četvrtak, 24.05.2007. Zadaće možete pogledati u vrijeme konzultacija.

1

u 11h .

Rješenja

1. (a)

P

2000 − P

= 0.17647 · e0.8873·t ,

(b) t = 1.9549. 2. y (x) =

1 ln x2 + x + 4 + C . 2x + 1

 

 



3. y (x) = C 1 + C2e−3x + e−3x −

x2

2

1 2 x +x , 4 3 5 1 2 yp (x) = + e2x − x +x , 8 8 4

4. y (x) = C 1 + C2 e2x −

 

−

x

3



.

1 2 x −x−1 , 4 3 5 1 2 z (x) = − + e2x + x −x−1 . 8 8 4

z (x) = − C1 + C2 e2x +

 

1

 

 



1.

2.

3.

4.

5.



Ocjena

1. (20 bodova) Vrijeme poluraspada kemijskog elementa Ra (radij - 226) je 1602 godine. Radioaktivni raspad modelira n je populacijskom jednadžbom. Laboratorij raspolaže sa 20 grama radija. Izračunati: 226

a) Koliko će radija - 226 laboratorij imati nakon 50 godina? b) Nakon koliko će godina laboratorij raspolagati masom od 5g radija?   2. (20 bodova) Odrediti opće rješenje diferencijalne jednažbe (1 + x ) + 2xy dx− (1+ x )dy = 0, te partikularno rješenje koje zadovoljava početni uvjety (1) = 0 . 2 2

2

3. (20 bodova) Odrediti opće rješenje diferencijalne jednadžbe y + y = 5x + 2e , te provjeriti linearnu nezavisnost partikularnih rješenja. 

4. (20 bodova) Naći ortogonalne trajektorije familije krivulja je a konstanta.



x

y 2 = −2ax3 , gdje

5. (20 bodova) Definirati egzaktnu diferencijalnu jednadžbu. Što je integrirajući faktor i kako ga tražimo? Da li je jednadžba x y + 2 xyy = 3x egzaktna? 2



Rješenja: 1. a) m(50) = 19 .57g. b) t = 3204 .57. 2. y(x) = (x + C )(1 + x ), C = −1, y (x) = (x − 1)(x + 1). 2

3. y(x) = C + C 1

2

2

e

−x

2

5 + x2 − 5x + e . 2 x

2

4. 2x + 3y = C .

Rezultati kolokvija bit će objavljeni u četvrtak, 24.05.2007. u 11h . Zadaće možete pogledati također u četvrtak, 24.05.2007, od 11h do 12 h br. 112.

1

u sobi



1.

2.

3.

4.

5.



Ocjena

1. ( 20 bodova) U rezervatu maksimalnog pretpostavljenog kapaciteta2000 nalazilo se u određenom trenutku 300 ptica. Broj ptica udvostručio se nakon jedne godine. (a) Nađite izraz koji određuje veličinu populacije ptica nakon t-godina pretpostavljajući da veličina populacije zadovoljava logističku jednadžbu. (b) Koliko će vremena trebati da veličina populacije naraste na 1000 ptica? 2. (20 bodova) Odredite opće rješenje diferencijalne jednadžbe (2x + 1)



1 x2 + x + 4

−y





= 2y.




y + 3 y = 3xe

−3x

,

te provjerite linearnu nezavisnost partikularnih rješenja pripadne homogene diferencijalne jednadžbe. 4. (20 bodova) Odredite opće rješenje sustava diferencijalnih jednadžbi dy dx dz dx

= y+z = x + y + z,

a zatim i ono koje zadovoljava početne uvjete y(0) = 1 , z (0) = 0 . 5. (20 bodova) Definicija (obične) diferencijalne jednadžbe reda n. Što je njeno rješenje? Koje su vrste rješenja?

Rezulatati kolokvija

bit će objavljeni u četvrtak, 24.05.2007. Zadaće možete pogledati u vrijeme konzultacija.

1

u 11h .

Rješenja

1. (a)

P

2000 − P

= 0.17647 · e0.8873·t ,

(b) t = 1.9549. 2. y (x) =

1 ln x2 + x + 4 + C . 2x + 1

 

 



3. y (x) = C 1 + C2e−3x + e−3x −

x2

2

1 2 x +x , 4 3 5 1 2 yp (x) = + e2x − x +x , 8 8 4

4. y (x) = C 1 + C2 e2x −

 

−

x

3



.

1 2 x −x−1 , 4 3 5 1 2 z (x) = − + e2x + x −x−1 . 8 8 4

z (x) = − C1 + C2 e2x +

 

1

 

 


120, 130, 140, 2006/07. Ime i prezime

1.

2.

3.

4.



5.

Ocjena

◦

1. (20 bodova) Temperatura u Vašem omiljenom kafiću je 25 C . Konobar je donio na stol naručenu kavu ( temperature 95 C ). Nakon 5 minuta probali ste ju popiti, ali Vam je bila prevruća ( 60 C ). ◦

◦

a) U ugodnom razgovoru prošlo je još 15 minuta. Na koliko se stupnjeva za to vrijeme ohladila kava? b) Nakon koliko minuta (od trenutka kada ju je konobar donio na stol) ste trebali popiti kavu, ako ju volite piti ohlađenu na 40 C ? ◦

2. (20 bodova) Odrediti opće rješenje diferencijalne jednažbe 

xy + 2y = cos x,

te partikularno rješenje koje zadovoljava početni uvjet y( ) = 0 . π

2

3. (20 bodova) Odrediti opće rješenje diferencijalne jednadžbe y − 7y + 12y = −e4 , 



x

4. (20 bodova) Eulerovom metodom s korakom 0.5 izračunati približnu vrijednost y (2) ako je y = y (x) rješenje početnog problema y = x − y sin(πx ), y (0) = 1 . 

5. (20 bodova) Homogena linearna diferencijalna jednadžba drugog reda s konstantnim koeficijentima. Što je njena karakteristična jednadžba i kakvog je oblika njeno opće rješenje ovisno o vrsti rješenja karakteristične jednadžbe? Rješenja:

1. a) T = 29.375 C b) t = 11.112 min ◦

2. opće rješenje:

y=

1 2

(x sin x + cos x + c)

x

1 π (x sin x + cos x − ) x2 2 + c2 e4 − xe4

partikularno rješenje: y = 3. opće rješenje: 4. y = 2.625 4

y = c 1 e3

x

x

x



1000 200 t

500

x3 y + 3x2 y = sin x, 

y (π ) = 0





y + 2y + y =

dx dt dy dt

√

xe

−x

,

= 2x + y = 4y − x. 2

P

0.98t

1000 − P = 0.25 · e t = 1.41 y= y=

cos x

−

x3

4 x e 15 5 2

+

−x

c x3

+ Be

yP = −x

x(t) = c 1 e3t + c2 te3t ,

cos x

−

+ Axe

x3

1

−

x3

−x

y (t) = (c1 + c2 ) e3t + c2 te3t .

110 - grupa 2


Ime i prezime

1.

2.

3.

4.

5.



Ocjena

1. (20 bodova) Pronadite krivulju koja prolazi toˇckom (0, 1) i zadovoljava diferencijalnu jednadˇzbu (1 − x2 )y + 2xy − 4x = 0. 2. (20 bodova) Odredite opće rjeˇ senje diferencijalne jednadˇzbe y =

xy . x2 − y 2

3. (20 bodova) Rijeˇsite diferencijalnu jednadˇzbu y  − y = e x + 1.

4. (20 bodova) Odredite opće rjeˇ senje sustava diferencijalnih jednadˇzbi

 

dy dx

= 4y + z

dz dx

=z

, −

2y − sin x

te partikularno rjeˇ senje uz uvjete y (0) = 0 i z (1) = 0. 5. (20 bodova) Objasnite metodu varijacije konstanti za rjeˇsavanje linearnih diferencijalnih jednadˇzbi prvog i drugog reda.

Rjeˇ senja: 1. yP = x 2 + 1 −

2. y = C e

2 x 2y2

1 3. y = C 1 ex + C2 e−x + xex − 1. 2 1 1 3x 2x 4. y = C 1 e + C2 e − 10 sin x − 10 cos x, 1 3 z = −C1 e3x − 2C2 e2x + sin x + cos x. 2 10

120 / 130 / 140


Ime i prezime

1.

2.

3.

4.

5.

P

Ocjena

1. (20 bodova) Odredite opće rješenje dif. jednad µzbe y 0 = y 2  y  x2 y 0

kao i partikularno rješenje uz uvjet y (0) =

1.



2. (20 bodova) Odredite opće rješenje Bernoullijeve dif. jednadµzbe y0  y

sin x + y 2 sin x = 0: cos x

3. (20 bodova) Odredite opće rješenje dif. jednad µzbe y 00 + 3y 0 = 3 xe3x :

4. (20 bodova) Eulerovom metodom s korakom 0 :4 izraµcunajte pribliµznu vrijednost y (2) ako je y = y (x) rješenje po µcetnog problema dy = (3  y )(y + 1), dx

y (0) = 0.

Rezultate zaokruµzite na dvije decimale. 5. (20 bodova) Opišite populacijsku i logistiµcku diferencijalnu jednadµzbu, njihova rješenja i primjene.

Rješenja:

1. y =

1 1C earctgx

2. y =

4cos x C cos 2x

3. yh = C 1 + C2 e 4. y (2)  3:04

yp =

;

3

x

;

1 12earctgx

yp =



1 2

x2 e3x ;

y = y h + yp



y − 

2

3

x+1

y = (x + 1) ,

y (0) = 0 .

ln 

y cos y + sin y = x + 1 , λ = λ (x)

y + y = x 2 + 1. 

+ C (x + 1) 2 C = − 12 (sin y − x) = C

y= x

(x+1)4 2

y = C 1 cos x + C2 sin x + x2 − 1

110 - grupa 2


Ime i prezime 1.

1.

2.

3.

bonus



a) ( 25 bodova) Metodom varijacije konstante rijeˇsite linearnu diferencijalnu jednadˇzbu x dy = y dx + ln x dx. Odredite njeno partikularno rjeˇsenje uz uvjet y (1) = 0. b) (25 bodova ) Rijeˇsite diferencijalnu jednadˇzbu 

xy = y ln

y . x

2. (30 bodova) Rijeˇsite diferencijalnu jednadˇzbu y + 3 y − 4y = xe −x . 



ˇ je obiˇcna diferencijalna jednadˇzba prvog reda i ˇsto je njeno 3. (20 bodova) Sto rjeˇsenje? Napiˇsite izvod za opće rjeˇsenje linearne diferencijalne jednadˇzbe prvog reda (homogene i nehomogene).

Rjeˇ senja 1.

a) y = − ln x − 1 + Cx, yp = − ln x + x − 1 b) y = x eCx +1

2. y = C 1 ex + C2 e−4x −

1 6

x+

1 36



e −x



y (2) = 1

2xydx + (x2 − 3y 2)dy = 0 y (1) = 2 y = 1 + 3 x − 2y 

y − 6y + 9y = xe 



−x

x2 y − y 3 = c x2 y − y 3 = 3 y = 2x − 3

1

+ ce 2 y = 2 x − 14 + 34 e2 − x

4

3

y = c 1e3 + c2 xe3 + x

x

1 32

e

−x

(2x + 1)

−2x

.

110 gr1


Ime i prezime

1.

2.

3.

1. (a) ( 7 bodova) Odredite opće rješenje diferencijalne jednadµzbe y  y tg x = 0

1 ; cos x

te partikularno rješenje uz poµcetni uvjet y (0) = 0. (b) ( 5 bodova) Odredite opće rješenje diferencijalne jednadµzbe



2xy2 + y sin x dx + 2x2 y  cos x dy = 0:







2. (8 bodova) Odredite opće rješenje diferencijalne jednadµzbe y + 4y + 8y = x e2x : 00

0

Rješenja:

1. a) opće rješenje y =

x cos x

+

partikularno rješenje yp =

C cos x

x cos x

b) x2 y 2  y cos x = C 2. y = e

2

x

(C1 co s 2x + C2 si n 2x) +



1 20

x

1 50



e2x

P

110 gr2


Ime i prezime

1.

2.

3.

Σ

1. a) (5 bodova) Vrijeme poluraspada kemijskog elementa226Ra (radij-226) je 1602 godine. Radioaktivni raspad modeliran je populacijskom jednadžbom. Laboratorij raspolaže s 20 grama radija. Izračunajte koliko će radija-226 laboratorij imati nakon 50 godina.

b) (5 bodova) Riješite diferencijalnu jednadžbu

2. (10 bodova) Riješite diferencijalnu jednadžbu y (0)

1i

y

(0)

y

xy

y

4y

cos x uz početni uvjet

4y

e

2x

y(

3

uz početne uvjete

1.

3. (5 bodova) Opišite postupak rješavanja linearne diferencijalne jednadžbe n-tog reda s konstantnim koeficijentima.

Rješenja:

1. a)

b)

m(50)

1

y

19.57 (sin x 1)

x 2

2.

y

e

2x

3xe

2x

x

2

e

2x

2

)

0.

110 gr2


Ime i prezime

1.

2.

3.

Σ

1. a) (5 bodova) Eulerovom metodom s korakom 0.4 izračunajte približnu vrijednost y(2) ako

y ( x) rješenje početnog problema

je y

dy dx

y )( y 1) , y(0)

(3

0.

(Rezultate zaokružite na dvije decimale.) b) (7 bodova) Riješite diferencijalnu jednadžbu dy

2. (8 bodova) Riješite diferencijalnu jednadžbu y

y (0)

y

(x2

2x

2 y )dx uz uvjet y(0)

e x uz početne uvjete y (0)

2.

3. (5 bodova) Što su singularna rješenja diferencijalne jednadžbe i kako ih tražimo?

Rješenja:

1. a) y (2) b) y

2.

y

3.04 1 2

5 ex 4

(x

2

1e 4

x

x

1 2

)

1 4

1 xe x 2

e

2x

1i

0.

130-Grupa 1, 140


Ime i prezime 1.a)

1.

1.b)

2.a)

2.b)

3.



Ocjena

a) (5 bodova) Kultura bakterija u početku ima 500 bakterija. Stopa rasta je proporcionalna broju bakterija. Nakon 2 sata populacija je narasla na 2000 jedinki. Odrediti broj bakterija nakon 5 sati. b) (5 bodova) Odrediti opće rješenje diferencijalne jednadžbe 

x + xy + y (y + xy ) = 0.

2.

a) (5 bodova) Odrediti opće rješenje diferencijalne jednadžbe 

y +

y = − x2 , x+1

i partikularno rješenje ako je y (1) = 1 . b) (5 bodova) Odrediti opće rješenje diferencijalne jednadžbe y − 4y + 4 y = e 2 . 



x

3. (5 bodova) Objasniti metodu varijacije konstanti za rješavanje linearnih diferencijalnih jednadžbi prvog i drugog reda.

Rješenja: 1.

a) P (5) = 16000 . b) x + y − ln C (x + 1)( y + 1) = 0 .

2.

a)

4 3 1 −1x − 1x + C , x+1 4 3



b) y (x) =

1 2

x2 + Ax + B

 

C=

e2 . x

1

31 12

.

130, 140 - ZADAĆA 1

2. kolokvij iz Matematike 2, 2010/11. Ime i prezime 1.

2.

3.

4.



1. (5 bodova) Odrediti opće rješenje diferencijalne jednadžbe xy



= y ln

te partikularno rješenje uz početni uvjet

y , x

y (1)

= 1.

2. (6 bodova) Odrediti opće rješenje diferencijalne jednadžbe

(x2 + 2xy − y 2 )dx + (x2 − 2xy − y 2 )dy = 0. 3. (7 bodova) Odrediti opće rješenje diferencijalne jednadžbe y



+ 5y = (14 x + 9)e2x . 

4. (7 bodova) Zapisati opći oblik linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda. Kako glasi njoj pripadna homogena diferencijalna jednadžba? Metodom varijacije konstanti izvedite formulu za rješavanje linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda.

Rješenja: 1. ln xy = 3

2.

x

3.

y

3

xc

+ 1, c = −1.

+ x 2 y − xy 2 −

=

c1

+ c 2e

−5x

y3

3

= c.

+ xe 2x.

130, 140 - ZADAĆA 2

2. kolokvij iz Matematike 2, 2010/11. Ime i prezime 1.

2.

3.

4.






y x +y 2

2



− 1 dx −

x dy = 0. x2 + y 2

2. (6 bodova) Odrediti opće rješenje diferencijalne jednadžbe y 2 + x2 y = xyy , 



te partikularno rješenje uz početni uvjet y (3) = 4 . 3. (7 bodova) Odrediti opće rješenje diferencijalne jednadžbe y − 3y + 2y = e 3 (x2 + x). 



x

4. (7 bodova) Zapisati opći oblik linearne diferencijalne jednažbe drugog reda. Kako glasi njoj pripadna homogena diferencijalna jednažba? Na koji način provjeravamo linearnu nezavisnost dvaju rješenja te jednažbe? Dokazati tvrdnju da je svaka linearna kombinacija ( C1 y1 + C2 y2 ) dvaju rješenja linearne homogene DJ-e također rješenje te jednažbe.

Rješenja: 1. arctg

x − x = C. y y

3 y −4 x

x

3x

2. y = C 1 e , y = 4e 3. y = C 1 e + C2 e2 x

x

.

 + 1

2



x2 − x + 1 e3 . x

MATEMATIKA 2 (110) 3. KOLOKVIJ - TEST z

f x, y

1. (20 zbom x2 +bodova) 2 y 2 + z 2 =Zadana 7 i toˇcje kafunkcija T (1, 1, z0 ), z=0 >(0. ) implicitno jednadˇ (a) Odredite jednadˇzbu tangencijalne ravnine i normale u toˇcki T . (b) Nadite Taylorov razvoj do ukljuˇcivo ˇclanova 2. reda oko toˇcke T . 2. (20 bodova) Koja je toˇcka skupa K = { (x, y ) ∈

R

2

: 1 ≤ x ≤ 4, 1 ≤ y ≤ 4}

najbliˇza toˇcki T (2, 6)? 3. (20 bodova) Neka je V tijelo odredeno nejednakostima

z >= x + y , z >= 1 i z <= 4. 2

(a) Izraˇcunajte

2

zdxdydz .

V

(b) Izraˇcunajte volumen tijela V. 4. (20 bodova) (a) Kako glasi Schwartzov teorem? (b) Izraˇcunajte mjeˇsovite parcijalne derivacije ∂2 e ∂x∂y

x y

i

∂2 e . ∂y∂x x y

5. (20 bodova) (a) Ako variable x i y zavise o varijablama u i v (x = x (u, v ) i y = y (u, v )), kako se raˇcunaju parcijalne derivacije ∂f ∂u

i

∂f ∂v

za funkciju f (x, y )? (b) Pokaˇ zite da funkcija u(x, t) = cos( ωt + kx ) zadovoljava diferencijalnu jednadˇzbu ∂ 2u ∂t

2

−

ω2 ∂2u k 2 ∂x 2

= 0.

ˇ RJESENJA ZADATAKA

1. z0 = 2 x−1

y−1 z−2 1 = 2 = 2 5 (b) 2 − 12 (x − 1) − (y − 1) − 16 (x − 1)2 − 14 (x − 1)(y − 1) − 34 (y − 1)2

(a) x + 2 y + 2 z = 7,

2. T (2, 4) 3. (a) 21 π 15π (b) 2



Ime i prezime

1.

2.

3.

4.



5.

Ocjena

1. ( 20 bodova) Odrediti područje definicije funkcije f (x, y ) =

x + 2 y − x2 − y 2 + 8) +

ln(2



y − x. x

Skicirati rješenje u koordinatnom sustavu. 2. (20 bodova) Za funkciju z = z (x, y ), zadanu implicitno sa 2x2 + y 2 + z 2 = 4, odrediti totalni diferencijal prvog reda u točki T (1, 1, z0 ), z0 > 0 , i jednadžbu pripadajuće tangencijalne ravnine. 3. (20 bodova) Odrediti kvadar najvećeg volumena čija prostorna dijagonala iznosi D. Koliki je taj volumen? 4. (20 bodova) Uvođenjem polarnih koordinata izračunati



(x2 + y 2 + 1)dxdy,

P

pri čemu je područje P dio kruga x2 + y 2 ≤ 1 za koji je x + y ≥ 0. 2

5. (20 Izračunati volumen tijela omeđenog plohama z = 2. z = bodova)

1



2

x +y +1 i


2

2

2

D(f ) = {(x, y) ∈ R : (x − 1) + (y − 1) ≤ 9, 2. dz (T ) = −2dx − dy , 2x + y + z − 4 = 0. √ √ √ √ D 3 D 3 D 3 D 3 1.

3. T



4. I = 5. V =

3

,

3

,

3



3

,

V =

3π . 4 4π . 3

1

9

.

y

− x ≥ 0}. x

MATEMATIKA 2 (110 - grupa 2) ˇ RJESENJA 2. KOLOKVIJA 12. 05. 2006. ZADACI 1. (20 bodova) Odredite opće rjeˇsenje diferencijalne jednadˇzbe xy + 2y + x5 y 3 ex = 0, 

te sva njena singularna rjeˇsenja. 2. (20 bodova) Odredite opće rjeˇsenje diferencijalne jednadˇzbe (2y + x + yey )dy + ( ex + y )dx = 0, te partikularno rjeˇsenje koje zadovoljava poˇcetni uvjet y (0) = 1 . 3. (20 bodova) Rijeˇ site sustav diferencijalnih jednadˇzbi dz dx dy dx

= y + ex = z + x 2 ex .

ˇ RJESENJA y 2 = x 4 (2ex + c) 1. Opće rjeˇsenje: Singularno rjeˇsenje: y = 0 −

2. Opće rjeˇsenje: ex + xy + y 2 + ( y − 1)ey = c Partikularno rjeˇsenje: ex + xy + y 2 + (y − 1)ey = 2 3. z = c 1 ex + c 2 e

−x

y = c 1 ex − c2 e

−x

1 6  + 16

+x

x2 −



1 3 x x+ e 4 4

x3 + 1 x2 + 1 x + 3 ex

4

4

4





1.

2.

3.

4.

5.



Ocjena

1. (20 bodova) Odredite i nacrtajte područje definicije funkcije 2

f ( x, y ) =

Izračuanjte

2



√1 − x + 4 − y ln (x + y ) 2

.

∂f ∂f i . ∂x ∂y

2. (20 bodova) Odredite ekstreme funkcije z = 6 − 4x − 3y uz uvjet x2 + y 2 = 1. 3. (20 bodova) Izračunajte



xydxdy,

S

gdje je S područje omeđeno elipsom

x2

4

+

y2

16

= 1 u prvom kvadrantu.

4. (20 bodova) Izračunajte volumen tijela omeđenog plohama z = x 2 + (y − 1)2 i z

x2

=5− − 5. (20 bodova)

y2

.

a) Definirajte p ojam limesa i neprekidnosti funkcije dvije varijable. b) Objasnite nužne i dovoljne uvjete ekstre ma funkcije dvije varijable.

Rezulatati kolokvija bit će objavljeni u srijedu, 13.6. u 11 sati .

Zadaće možete pogledati također u srijedu, 13.6. od 11 do 12 sati u sobi 112 .

1

Rješenja

{

1. Df = (x, y ) x

∂f = ∂x

2. Tmin

√−− 4

y2

4 3  ,

5 5

2

2

√1−−x2 y

∂f = ∂x

2

2

ln (x2

2

2



− 45 , − 35

2x x2 +y

2

ln2 (x2 + y )

, Tmax

2

− √ 1 − x +  4 − y  ln (x + y ) √ 1 − x +  4 − y  + y) −

ln (x + y )



.

3. I = 8. 4. V =

2

∈ R : −1 ≤ x ≤ 1, −2 ≤ y ≤ 2, y = 1 − x , y > −x },

81π . 16

1

2

,

1

x2 +y

.



1.

2.

3.

4.



5.

Ocjena

1. (20 bodova) Odrediti područje definicije funkcije z (x, y ) =



ln

4 x2 + y 2

Skicirati dobiveni rezultat. Izračunati

+



x2 + y 2 − 1.

∂z (x, y ) ∂z (x, y ) i . ∂x ∂y

2. (20 bodova) Naći i ispitati lokalne ekstreme funkcije f (x, y ) = x + 2y uz uvjet x2 + y 2 = 5. 3. (20 bodova) Neka je P četverokut s vrhovima A(2, 0), B (0, 1), C (−2, 0) i D (0, −1). Postaviti granice u integralu



f (x, y ) dxdy te izračunati integral

P

za f (x, y ) = e x+y .

4. (20 bodova) Primjenom trostrukog integrala izračunati volumen tijela određenog nejednažbama x2 + y 2 ≤ 1, z ≥ 0 i z ≤ y + 2. 5. (20 bodova) a) Kada kažemo da je funkcija dvije varijable derivabilna, a kada da je diferencijabilna u točki? U kakvom su odnosu ta dva pojma? b) Definicija i geometrijska interpretacija dvostrukog integrala neprekidne nenegativne funkcije.

Rješenja:

∂z x 1. Domena funkcije je kružni vijenac 1 ≤ x +y ≤ 4, ∂x = − x2 + y 2 2

x ∂z y , =− 2 x + y2 x2 + y 2 − 1 ∂y





ln

4 x2 + y 2

2

− 12



+

y



x2 + y 2 − 1

.

ln

4 x2 + y 2

2. Minimum se postiže u točki T1 (−1, −2), a maksimum u točki T2 (1, 2). 3. I =



4 2 1 e + 2 3 e

−e−

1 e



.

4. V = 2π . 1

− 12



+



1.

2.

3.

4.

5.



Ocjena

1. (20 bodova) Odredite i nacrtajte područje definicije funkcije 2

f ( x, y ) =

Izračuanjte

2



√1 − x + 4 − y ln (x + y ) 2

.

∂f ∂f i . ∂x ∂y

2. (20 bodova) Odredite ekstreme funkcije z = 6 − 4x − 3y uz uvjet x2 + y 2 = 1. 3. (20 bodova) Izračunajte



xydxdy,

S

gdje je S područje omeđeno elipsom

x2

4

+

y2

16

= 1 u prvom kvadrantu.

4. (20 bodova) Izračunajte volumen tijela omeđenog plohama z = x 2 + (y − 1)2 i z

x2

=5− − 5. (20 bodova)

y2

.

a) Definirajte p ojam limesa i neprekidnosti funkcije dvije varijable. b) Objasnite nužne i dovoljne uvjete ekstre ma funkcije dvije varijable.

Rezulatati kolokvija bit će objavljeni u srijedu, 13.6. u 11 sati .

Zadaće možete pogledati također u srijedu, 13.6. od 11 do 12 sati u sobi 112 .

1

Rješenja

{

1. Df = (x, y ) x

∂f = ∂x

2. Tmin

√−− 4

y2

4 3  ,

5 5

2

2

√1−−x2 y

∂f = ∂x

2

2

ln (x2

2

2



− 45 , − 35

2x x2 +y

2

ln2 (x2 + y )

, Tmax

2

− √ 1 − x +  4 − y  ln (x + y ) √ 1 − x +  4 − y  + y) −

ln (x + y )



.

3. I = 8. 4. V =

2

∈ R : −1 ≤ x ≤ 1, −2 ≤ y ≤ 2, y = 1 − x , y > −x },

81π . 16

1

2

,

1

x2 +y

.



1.

2.

3.

4.



5.

Ocjena

1. (20 bodova) Odrediti područje definicije funkcije z (x, y ) =



ln

4 x2 + y 2

Skicirati dobiveni rezultat. Izračunati

+



x2 + y 2 − 1.

∂z (x, y ) ∂z (x, y ) i . ∂x ∂y

2. (20 bodova) Naći i ispitati lokalne ekstreme funkcije f (x, y ) = x + 2y uz uvjet x2 + y 2 = 5. 3. (20 bodova) Neka je P četverokut s vrhovima A(2, 0), B (0, 1), C (−2, 0) i D (0, −1). Postaviti granice u integralu



f (x, y ) dxdy te izračunati integral

P

za f (x, y ) = e x+y .

4. (20 bodova) Primjenom trostrukog integrala izračunati volumen tijela određenog nejednažbama x2 + y 2 ≤ 1, z ≥ 0 i z ≤ y + 2. 5. (20 bodova) a) Kada kažemo da je funkcija dvije varijable derivabilna, a kada da je diferencijabilna u točki? U kakvom su odnosu ta dva pojma? b) Definicija i geometrijska interpretacija dvostrukog integrala neprekidne nenegativne funkcije.

Rješenja:

∂z x 1. Domena funkcije je kružni vijenac 1 ≤ x +y ≤ 4, ∂x = − x2 + y 2 2

x ∂z y , =− 2 x + y2 x2 + y 2 − 1 ∂y





ln

4 x2 + y 2

2

− 12



+

y



x2 + y 2 − 1

.

ln

4 x2 + y 2

2. Minimum se postiže u točki T1 (−1, −2), a maksimum u točki T2 (1, 2). 3. I =



4 2 1 e + 2 3 e

−e−

1 e



.

4. V = 2π . 1

− 12



+

120, 130, 140


Ime i prezime

1.

2.

3.

4.

5.



Ocjena

1. (20 bodova) Odredite i skicirajte područje definicije funkcije y−x

f (x, y ) =

Odredite

∂f ∂x

i

∂f ∂y



.

+ ln(1 − x2 − y 2 ).

x

2. (20 bodova) Odredite ekstreme funkcije f (x, y ) =

uz uvjet

1

x2

+

1

y2

1 x

+

1 y

= 12 .

3. (20 bodova) Izračunajte površinu lika omeđenog krivuljom y = y = x , y = 2x u prvom kvadrantu.

2

x

i pravcima

4. (20 bodova) Izračunajte integral



e−x

2

−y 2

dxdydz

V

ako je V tijelo omeđeno sa z = x 2 + y 2 i z = 2. 5. (20 bodova) a) Definicija i geometrijska interpretacija prvih parcijalnih derivacija u točki funkcije dvije varijable. b) Računanje dvostrukog integrala na pravokutniku (Fubinijev teorem) i na općem (omeđenom) skupu.

Rješenja:

1. Df = {(x, y ) : x > 0 , y ≥ x, x2 + y 2 < 1 } ∪ {(x, y ) : x < 0 , y ≤ x, x2 + y 2 < 1 }, ∂f y =− 2 ∂x 2x



x y−x

−

∂f 2x 1 , = 1 − x2 − y 2 ∂y 2x



x 2y . − y−x 1 − x2 − y 2

2. Minimum se postiže u toč ki T1 (−2, −2), a maksimum u točki T2 (2, 2). 3. P = l n 2. 4. I = π e−2 + 1 .







f ( x, y ) = ln [ x ln (x − y )] . dz dt

z = e xy , x = e t , y = ln t z = x 3 + 3 xy 2 − 15x − 12y y = 2−x

y 2 = 4x + 4 z = 3 − x2 − y 2 z=0

3

{(x, y ) ∈ R : y < x , x > 0 , y < x − 1 ili y < x, x < 0 , y > x − 1} dz 1 = ln tee ln t et + et ee ln t t

dt

T1 (2, 1)

64 3 9π 2

t

t

t

T1 (−2, −1)

110 - grupa 2


Ime i prezime

1.

2.

3.

4.



5.

Ocjena

1. (20 bodova) Pronadite jednadˇzbu tangencijalne ravnine na plohu

 xy + 8y

z = ln 1 + x2 + y 2 +



2

u toˇcki T (1, 1, zT ). 2. (20 bodova) Pronadite i ispitajte lokalne ekstreme funkcije f (x, y ) = 2x3 + y 2 − 3x2 y + y .

3. (20 bodova) Zamijenite poredak integracije u dvostrukom integralu x+2

0

  dx

−1

f (x, y )dy.

1−x2 2

2

4. (20 bodova) Izraˇ cunajte volumen tijela omedenog valjkom x + 4y = 4 i ravninama z = 0 i z = x + 2. 5. (20 bodova) a) Definirajte lokalne ekstreme funkcije dvije varijable i navedite nuˇzne i dovoljne uvjete za njihovo postojanje. b) Definirajte trostruki integral. Kako ga raˇcunamo u sluˇ caju kada je podruˇcje integracije kvadar, a kako kada je to neki omedeni podskup prostora?

Rjeˇ senja: 1. 5x + 21y − 6z − 6 ln3 − 8 = 0 1 1 1 2. Stacionarne toˇcke: T1 (0, − ), T2 (1, 1) i T3 (− , − ). f ima lokalni minimum u 2 3 3 1 T ,− 1 (0 2) 1

3.

 0

4. 4π

−

dy

√

1

−

−1

y

f (x, y )dx+

2

0

  dy

1

y −2

f (x, y )dx.

120 130 140


Ime i prezime

1.

2.

3.

4.

P

5.

Ocjena

1. (20 bodova) a) (10 bodova) Odredite i skicirajte podru µcje de…nicije funkcije f ( x; y ) =

p

y 2  4x : ln (x2 + y 2  1)

b) (10 bodova) Odredite potpuni diferencijal funkcije f ( x; y ) = ln x2  y 2 :





2. (20 bodova) Odredite maksimalni volumen pravokutne kutije bez poklopca koja se moµze napraviti od komada kartona površine 12 m2 . Pokaµzite da je dobiveni volumen zaista maksimalan! 3. (20 bodova) Odredite površinu lika koji je ome†en pravcima y = x i x = 0 te krivuljama x2 + y2 = 2 x i x2 + y 2 = 4x: Skica obavezna! 4. (15 bodova) Prona†ite i ispitajte lokalne ekstreme funkcije f ( x;y;z ) = x 2 + y 2 + z 2  xy + x  2z:

5. (25 bodova) a) De…nirajte lokalne ekstreme funkci je triju varijabli i navedite nu µzne i dovoljne uvjete za njihovo postojanje. b) De…nirajte dvostruki integral. Kako ga ra µcunamo u slu µcaju kada je podru µcje integracije pravokutnik, a kako kada je to neki ome†eni podskup ravnine? Rješenja:

1.



a) Df = (x; y ) 2 (a) d2 f =

2

R

: y 2  4 x;

2x2 2y 2 d2 x (x2 y 2 )2



x2 + y 2 > 1 ;

8xy dxdy (x2 y 2 )2



x2 + y 2 6 =2



2x2 +6y 2 2 d y (x2 y 2 )2

2. V = 4 m3 3. P =

3 4



3 2

4. Funkcija ima lokalni minimum u toµcki T  23 ;  13 ; 1 .





110 - grupa 1


Ime i prezime 1.

2.

3.

4.

bonus



1. (25 bodova) Pronadite ekstreme funkcij e f (x, y ) = x 3 + y 3 uz uvjet x + y = 2.

2. (20 bodova) Postavite granice u integralu



f (x, y ) dx dy u oba poretka

D

integracije ako je D podruˇcje odredeno nejednadˇzbama y

≤ x+4

, y

≥ −2x − 2

i x2

≤ 9 − (y − 1)2.

3. (30 bodova) Izraˇ cunajte volumen tijela omedenog plohama z = x2 + y 2 i 2y + z = 3.

4. (25 bodova) Definirajte pojam limesa, neprekidnosti i prve parcijalne derivacije funkcije dvije varijable. Izraˇcunajte prve parcijalne derivacije funkcije f ( x, y ) = ln(x2 y ).

Rjeˇ senja 1. U toˇcki T (1, 1) funkcija f ima minimum ( λ = 0



x+4

3



2. I = −2 dx −2x−2 f (x, y ) dy + =

2

dy

−2

3. V = 8π

√9−( −1) y

− 12 y −1

√

 0

2

f (x, y ) dx +

−3).

2

1+ 9−x

dx

4 2



√

1− 9−x2

dy

f (x, y ) dy =

√9−( −1) y

y −4

2

f (x, y ) dx

110 – grupa 2


Ime i prezime ____________________________ 1.

2.

3.

4.

bonus

Σ

1. (25 bodova) Pronađite ekstreme funkcije f ( x, y ) = ( x − 1) 2 + 2 y 2 . 2. (20 bodova) Postavite granice u integralu i izračunajte dvostruki integral

∫∫ xy dxdy D

ako je D područje omeđeno nejednadžbama x ≥ 0; y ≥ 0 ; x + y ≤ 1. 3. (30 bodova) Izra čunajte volumen tijela omeđenog plohama z = 4 − y 2 i z = y 2 + 2 , te ravninama x = −1 i x = 2 .

Rješenja: 1.

f min = 0 za točku T (1,0) 1

2.

1− x

1

0

0

1− y

1

∫ dy ∫ xydy = ∫ dy ∫ xydx = 24 0

3. V = 8

0



f (x, y ) = x + y z = x2 + y 2 x+y= 1

z=0

x2 + y 2 = 4 x = 0 y = 0 x2 + y 2 = 6x

x2 + y 2 = 4 x y = x

y=

√1

x 3

√

√

T1 (− 2, − 2) V =

1 6

P =

5 4



π

3

+2−

√  3

√ √

T2 ( 2,

2).

 f : R2 f ( x, y ) = x 2 + xy + y 2



1

dx 0



 dy  2

0

V =

7 12

fmin =

1

−

y

2 y

3

f ( x, y ) dx +

 dy  3

2

1 3

−

y.

f ( x, y ) dy. 2x

z = x 2 + 2y 2 ,

y = 2x,

x = 1.

T (1, 0) y

2x

R

3x

z = x 2 + y 2,

y = x,

−

→

f ( x, y ) dx

110 gr1


Ime i prezime

1.

2.

3.

P

1. (a) ( 8 bodova) Odredite i skicirajte podruµcje de…nicije funkcije f (x; y ) =

Odredite

@f @x

i

p1  x

y : ln (x + y ) 2

2

@f . @y

(b) ( 5 bodova) Odredite ekstreme funkcije f (x; y ) = 1 + x + y uz uvjet x2 + y 2 = 1. 2. (7 bodova) Izraµcunajte volumen tijela ome†enog plohama y = 0, y = x, x2 + y 2 = 2 x, z = 0 i z = 2.

Rješenja:

1. a) Df = f(x; y ) 2

R

2

:  x2 < y < 1  x2 g

@f x (x2 + y )ln( x2 + y )  2x (1  x2  y ) = ; @x 1  x2  y (x2 + y ) ln2 (x2 + y )

p

@f  (x2 + y )ln( x2 + y )  2 (1  x2  y ) = @y 2 1  x2  y (x2 + y ) ln2 (x2 + y )

p



b) T1  p12 ;  p12 2. V =

 2

+1



je minimum, T2



p1

2

; p12



je maksimum

110 gr3


Ime i prezime

1.

2.

3.



1. (7 bodova) Odredite ekstreme funkcije f (x, y ) = 2( x+y ) uz uvjet x2 +y 2 = 32. 2. (a) ( 5 bodova) Promijenite poredak integriranja u dvostrukom integralu 1

4x

 



f (x, y ) dy dx.

x

0

(b) ( 8 bodova) Izračunajte volumen tijela omeđenog plohama z = (x − 1)2 + y 2 i z = 2 − 2x. 3. (5 bodova) Kako glase općenite formule za zamjenu varijabli kod dvostrukog integrala? Izvedite formule za prijelaz iz Kartezijevih u polarne koordinate. Rješenja: T1 = (−4, −4), a lokalni maksimum je u točki

1. Lokalni minimum je u točki T2 = (4, 4). y

1

2. a)

  0

4

1

y/4

b) V =

π

2

1

  

f (x, y ) dx dy +

.

y/4



f (x, y ) dx dy .

130 - grupa 2


Ime i prezime 1.

2.

3.



1. (a) (5 bodova) Odredite i skicirajte područje definicije funkcije f (x, y ) = ln

√4 − x ln(x + y) . 2

2

(b) (5 bodova) Odredite lokalne ekstreme funkcije f (x, y ) = x 3 + y 2

− 6xy − 39x + 18y + 20 .

2. (a) (4 boda) Odredite granice integracije u oba poretka za integral I=



f (x, y )dxdy

S

ako je S odsječak parabole y = x2 omeđen tom parabolom i pravcem y = 4. (b) (6 bodova) Izračunajte primjenom dvostrukog integrala površinu lika omeđenog krivuljama y = 9 x 2 , x 0, y = 8x i y = 52 x. Skicirajte sliku!

−

≥

Rješenja:

{

1. (a) Df = (x, y )

2

2

∈ R : −2 < x < 2 , y > 1 − x }

(b) Lokalni minimum se postiže u točki ekstrem 2

2.

4

4

√y

    (a) I = dx f (x, y )dy = dy x2

−2

(b) P =

17 3

.

0

T1 (5, 6), a u točki

−√ y

f (x, y )dx

T2 (1,

−6) nije

130-Grupa 1, 140


Ime i prezime

1.a) 1.b) 2.a) 2.b)

3.

Ocjena



1. a) (5 bodova) Odrediti p odručje definicije funkcije z (x, y ) =



ln

4 + x + y2 2



x2 + y 2 − 1.

Skicirati rješenje u koordinatnom sustavu. b) (5 bodova) Ispitati da li funkcija z (x, y ) = x 3 + 3xy 2 − 15x − 12y

ima ekstreme i, ako ima, odrediti vrijednosti tih ekstrema i točke u kojima ih funkcija ostvaruje. 2. a) (5 bodova) Izračunati dvostruki integral I=



x dx dy

D

ako je područje D određeno nejednakostima x2 + y 2 ≤ 4, x2 + y 2 ≥ 1, x ≥ 0 i y ≥ 0. Skicirati sliku. b) (5 bodova) Odrediti površinu lika omeđenog pravcima y = 0, y = x i kružnicom x2 + y 2 = 2x. 3. (5 bodova) Napisati granice integracije, u oba redoslijeda, za integral I= f (x, y ) dP po području P ako je

 P



P = (x, y ) ∈

2

R

| 0 ≤ x ≤ 2,

0 ≤ y ≤ 4,

Što, za ovako zadani P , predstavlja integral

dP

 P

1

y ≤ −x2 + 4 .

geometrijski?



130-Grupa 1, 140


Rješenja:

1.

a) Domena funkcije z je skup (x, y) ∈ R2 |1 ≤ x2 + y 2 ≤ 4 . b) Funkcija z postiže svoj minimum z = −28 u točki (2 , 1) i svoj maksimum z = 28 u točki (−2, −1).



7

2. a)

I=

b)

P =

I=

 

2

3.

0

.

3π 4

1 + . 2

−x2 +4 0



f (x, y ) dy dx ,

4

I=

√

4−y

  0

2

0

f (x, y ) dx dy .

130, 140


Ime i prezime

1.

2.

3.

4.



1. (4 boda) Odrediti totalni diferencijal prvog reda funkcije z (x, y ) = xe

−y x

y2.

2. (6 bodova) Odrediti vrijednost integrala I=



x2 dx dy y2

S

ako je lik S omeđen krivuljama

x = 2, y = x

i y=

1

x

.

3. (8 bodova) Izračunati volumen tijela omeđenog eliptičnim paraboloidom z − 1 = 2x2 + y 2 , ravninom x + y = 1 i koordinatnim ravninama. R R

2

R

n

bodova) 4. (7 Što su funkcija elementi nskupova , i ? ?Odrediti Što podrazumjevamo pod izrazom ’ f je realna realnih varijabli’ po dručje definicije funkcije f (x, y ) = arcsin(3 − x2 − y 2 ).

Rješenja:

1. 2. 3.

dz dx

= (y 2 +

I = V =

9 4

.

3 4

.

y3 x

)e

−y x

dx + (2xy − y 2 )e

−y x

dy .

110, grupa I

Završni ispit iz MATEMATIKE 2, 21. lipnja 2006.

Imeiprezime:

Dio:

1.

2.

3.

(zaokružite dio gradiva koji odgovarate)

1

2 3

1.dio 4

Σ

1

2.dio 2

3

Σ

3.dio 1 2

3

Σ

Ocjena

Za pozitivnu ocjenu potrebno je dobiti barem 50 bodova iz svakog dijela gradiva. Rezultati i upisivanje ocjena: ponedjeljak, 26. lipnja 2006. u 10h u sobi br. 119. 1. dio

1. (20 bo dova) Izračunati vrijedno st integrala I=



(x2 + 3 x + 5) cos(2x)dx.

2. (30 bo dova) Izračunati vrijedno st integrala 1

I=



xdx . x2 + 3 x + 2

0

3. (30 bodova) Izračunati površinu lika određenog nejednadžbama x 2 + y 2 Skicirati sliku.

4. (20 bodova) Izvesti formule za računanje duljine luka ravninskih krivulja u Kartezijevim i polarnim koordinatama. Rješenja:

1 1 1. I = (x2 + 3x + 5) sin(2 x) + (2x + 3) cos(2x) 2 4 9 2. I = ln . 8

√

3 3 π 3. P = 4 + 3 .

1

− 14 sin(2x) + c.

2

≤ 2 y , y ≤ 2 − 2x .

110, grupa I


2. dio

1. (30 bodova) Odrediti partikularno rješenje diferencijalne jednadžbe dy = (x2 + 2x

− 2y)dx,

ako je y (0) = 0 . 2. (30 bodova) Naći opće rješenje difer encijalne jednadžbe y + y = 1 metodom varijacije sin x konstanti. 

3. (40 bo dova) Pretpostavimo da p opulacija raste prema logistič kom modelu sa kapacitetom 6000 i k = 0.0015 po godini. (a) Napisati logističku diferencijalnu jednadžbu za ove podatke. (b) Ako je početna populaci ja 1000 izračunati populaciju nakon 50 godina. Rješenja:

1. y (x) = 2. y (x) =

1 2x2 + 2x 4



−1+ e

x

−2

.

x cos x + sin x ln sin x + A sin x + B cos x.

− 3. P = 1066 .

· |

|

2

110, grupa I


3. dio

1. (40 bodova) Odrediti i skicirati područje definicije funkcije f (x, y ) =

1+

−

− ln x2

y 2 + 4x

x y

.

Izračunati derivaciju ∂f u točki (2, 1). ∂x

2. (30 bodova) Odrediti ekstreme funkcije z = 6 dovoljne uvjete. 3. (30 bodova) Izračunati vrijednost integrala

− 4x − 3y uz uvjet x

{

D = (x, y )

2

∈R

:1

≤x

2

+y

2

2

≤e ,

x

≤ y }.

Rješenja:

1.

∂f (2, 1) = ∂x

2. Tmin =

√ − 41ln+ √32 . 2

4 3  ,

5 5

, Tmaks =



4 , 5

− −



3 , zmin = 1, zmaks = 11. 5

3. I = π .

3

+ y 2 = 1. Provjeriti

x2 + y 2 ) dxdy ako je područje D zadano x2 + y 2

 ln( D

sa

2

Matematika II (110 – grupa B)

21.06.2006

Imeiprezime:

Brojindeksa:

Zaokruˇ zite koji dio gradiva polaˇ zete:

I

II

III

Σ

III.1 III.2 III.3

BODOVI I.1

I.2

I.3

Σ

II.1 II.2 II.3

Σ

Napomena: za pozitivnu ocjenu iz svakog dijela gradiva potrebno je imati najmanje 50% bodova.

Objava rezultata i upis ocjena u ponedjeljak 26.06.2006 u 13 sati, soba 118.

1

I DIO 1. (20 bodova) Izraˇcunajte integrale: (a)

 sin(ln√ )

x dx

1

(b)

x 1 + 4 x2 dx

0

2. (20 bodova) Odredite volumen tijela koje nastaje rotacijom lika omedenog parabolom y = x 2 i pravcem y = x oko osi y. 3. (20 bodova) Definirajte primitivnu funkciju. Dokaˇzite da su funkcije F (x) i G(x) primitivne funkcije funkcije f (x) ako is samo ako je

neki C

F (x) = G(x) + C za

∈ R. II DIO

1. (20 bodova) Odredite opće rjeˇsenje diferencijalne jednadˇzbe (x2 − 3y 2 )dx + 2 xydy = 0, te partikularno rjeˇsenje koje zadovoljava poˇcetni uvjet y (2) = 1 . 2. (20 bodova) Odredite opće rjeˇsenje diferencijalne jednadˇzbe y



− 2y



+ y = 4ex sin x.

3. (20 bodova) Izvedite sva rjeˇsenje guˇsenog harmoniˇckog oscilatora x + µx + 

ω 2 x = 0 u ovisnosti o konstantama µ i ω .

2



III DIO 1. (20 bodova) (a) Odredite i skicirajte podruˇcje definicije funkcije f (x, y ) =



arcsin

x2 + y 2

2

− π6 .

(b) Izraˇcunajte minimalno oploˇsje pravokutne kutije bez poklopca volumena 32 m3 . 2. (20 bodova) Neka je D podruˇcje omedeno krivuljama y = x −6 i y 2 = x . Napiˇsite



f (x, y )dxdy u oba poretka integracije i izraˇ cunajte povrˇsinu podruˇcja D.

D

3. (20 bodova) (a) Iskaˇ zite teorem o dovoljnim uvjetima za postojanje ekstrema funkcije f (x, y ). (b) Iskaˇ zite teorem o uvjetnim ekstremima funkcije f (x, y ) (kada traˇzimo ekstrem funkcije f (x, y ) uz uvjet g (x, y ) = 0).

3

ˇ MATEMATIKA 2 (110) - RJESENJA 21. 06. 2006.

I DIO

1. (a)

x

 sin(ln x) − cos(ln x) + c

2 1 (b) (5 5 12

√

2. V =

− 1)

π

6 II DIO

1. Opće rjeˇsenje: y 2

2

−x

= cx 3

Partikularno rjeˇsenje: y 2 2. y = c 1ex + c2 xex

2

−x

=

−38 x

3

4ex sin x

− III DIO

1. (a)

2

{(x, y) ∈ R : 1 ≤ x

2

+ y2

(b) O = 48

√

x

4

2.



f (x, y )dxdy =

  √ − x

f (x, y )dxdy =

D

P = 125 6

  dy

−2

y2

f (x, y ) dx

x

  dx

4

y +6

3



√

9

f (x, y ) dy +

dx

0

D

≤ 2}

x−6

f (x, y )dy

110, grupa I

Završni ispit iz MATEMATIKE 2, 5. srpnja 2006.

Imeiprezime:

Dio:

1.

2.

3.


1

2 3

1.dio 4

Σ

1

2.dio 2

3

Σ

3.dio 1 2

3

Σ

Ocjena

Za pozitivnu ocjenu potrebno je imati barem 50 bodova iz svakog dijela gradiva.

REZULTATI i upisivanje ocjena: PETAK, 7. srpnja 2006. u 12:00h u sobi br. 119. 1. dio

1. (20 bo dova) Izračunati vrijedno st integrala I=



dx

sin x(2 + cos x)

.

2. (30 bo dova) Izračunati vrijedno st integrala ln 5

I=



√

ex ex − 1 dx. ex + 3

0

3. (30 bodova) Izračunati volumen tijela koje nastaje rotacijom lika omeđnog krivuljama y = x 3 , x = 0, y = 8 oko osi x. Skicirati sliku. 2

4. (20 b odova) Primjenom trapezne formule izračunat i vrijednost integrala I =

 1

za n = 5. Rješenja:

1. I =

1 (1 − cos x)(2 + cos x)2 ln + c. 6 (1 + cos x)3

2. I = 4

 

π.

 

− 768 3. V = π. 7 4. I

≈ 0.00876.

1

sin

1 x2

dx

110, grupa I


2. dio




1 2

y − xy 3



dx + xdy = 0. x

2. (30 bodova) Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe y rješenje uz uvjete y (1) = 0 , y (1) = e . 





− 2y + y = ex , te partikularno

3. (40 bodova) Ribolov velikog lista u Tihom oceanu modeliran je diferencijalnom jeddy y = ky 1 − , gdje je y (t) biomasa (ukupna masa članova populacije) dt K u kilogramima u vremenu t (mjereno u godinama). Procijenjeni kapacitet iznosi K = 8 · 107 kg i k = 0.71 po godini.

nadžbom





(a) Ako je y (0) = 2 · 107kg odrediti biomasu godinu dana kasnije.

(b) Koliko će vremena trebat i da biomasa postigne vrijednost od 4 · 107 kg? Rješenja:

1 2 1. y (x) = x + cx2 . 2. y (x) = e x (−x + x ln x + Ax + B ), 3. (a) y (1) = 3 .23 · 107 ,

y (x) = e x (1 − x + x ln x).

(b) t = 1.55 god.

2

110, grupa I


3. dio


Izračunati derivaciju

∂ 2 f (x, y )



2

x − x2 − y 2 − ln arcsin

u točki

y . x



,1

1 . 2

∂y∂x

2. (30 bodova) Odrediti ekstreme funkcije z =

1 x

+

1 y

uz uvjet

1 x2

+

1 y2

= 1. Provjeriti

dovoljne uvjete. 3. (30 bodova) Izračunati vrijednost integrala I =

 

x2 + y 2 dxdydz pri čemu je V

V

tijelo omeđeno plohama z = (x − 1)2 + y 2 , z = −2x + 5. Skicirati sliku. Rješenja:

∂ 2f 1. ∂y∂x

 1

2. Tmin = 3. I =

1,

2

√

8(9 − π 3) = . 3π 2 ,

−√2 −√2,

128 π. 15

Tmaks =

√2 √2, ,

3

zmin =

−√2, z

maks

=

√2.

     







      









  

 







  



      !  "    # "    !  " #$##%"   "  & '



 



 (# &) $ !           

 (# &) $  !   !  %&'  (  & !            



) (# &)  * !   +! $, " -$ ./&0" +!

   (# &) 1 2 3 +! $"        







 ! 3  ! $        

 (# &) 43  +!5 $"                 

) (# &)  2 3 +! $"       

   (# &) 1 !!  +                 

  !  



 (# &) $ ! ! ( $" 





       

    

) (# &) 6  + "!   '       



   



   1 7" +  3  

! +     $   "!   

)

ˇ MATEMATIKA 2 (110) - RJESENJA 05. 07. 2006. I DIO

|

|

1. ln t + 1 + 2. l =

√2 2

2 t+2

+c

(4 + π ) II DIO 2

1. Opće rjeˇsenje: y =

x

+

c

xex x2 Partikularno rjeˇsenje: y = x e

2. x = c 1e3t + c2 e−t

− 12 te

c 2 e −t +

y = c 1 e3t

−

ex

1

−t

te−t

1

e −t

−4

2

III DIO

√ √ √ √ 1. T (0, 0) nema odluke, T ( 2, − 2) i T (− 2, 2) su lokalni minimumi 1

2. V =

2

3π 4

3

110, grupa I

1. popravni ispit iz MATEMATIKE 2, 30. kolovoza 2006.

Imeiprezime:

Dio:

1.

2.

3.


1

2 3

1.dio 4

Σ

1

2.dio 2

3.dio 1 2

Σ

3

3

Σ

Ocjena


REZULTATI i upisivanje ocjena: PETAK, 1. rujna 2006. u 13:00h u sobi br. 119. 1. dio

1. (30 bodova) Izračunati integral I=



x ln(x4 + 4) dx.

2. (30 b odova) Izračunati vrijednost nepra vog integrala ∞

I=



dx . x2 + 4 x + 9

−∞

3. (20 bodova) Izračunati duljinu jednog luka cikloide x = r(ϕ gdje je r konstanta.

− sin ϕ), y = r(1 − cos ϕ),

4. (20 bodova) Izrecite i dokažite Newton - Leibnitzovu formulu. Rješenja: 2

1. I =

−x

2. I =

√π5 .

+

x2

2

ln(x4 + 4) + 2 arctg

x2

2

+ c.

3. l = 8r. 2. dio


1 +  e

x y

dx + e

x y



1

− xy



dy = 0.

2. (40 b odova) Metodom varijacije konstanti riješiti diferencijalnu jednadžbu

− 2y + y = ex . x

y 



1

110, grupa I

1. popravni ispit iz MATEMATIKE 2, 30. kolovoza 2006.

3. (30 bodova) Kultura bakterija u po četku ima 500 bakterija. Stopa rasta je proporcional na broju bakterija. Nakon 2h populacija je narasla na 2000 jedinki. (a) Odrediti izraz koji određuje broj bakterija nakon t sati. (b) Odrediti broj bakterija nako n 5 sati. Rješenja:

1.

x 1 +e = . y cy x y

2. y (x) = e ( x + A + Bx) + xe ln x . x

−

x

||

3. P (5) = 16000 . 3. dio



∂ 2 f (x, y ) ∂x∂y

u točki

2 − 1

x2

−y

2

y x

+ ln .

, 12

 . 2

2. (30 bo dova) Odrediti ekstremn e vrijednosti funkcije z = x 4 + y 4

− 2x

2

+ 4xy

2

− 2y .

3. (30 bodova) Izračunati volumen tijela određenog koordinatnim ravninama, ravninama x = 4, y = 4 i rotacijskim paraboloidom z = x 2 + y 2 + 1. Rješenja:

1. Prvi i treći kvadrant koordinatnog sustava, bez koordinatnih osi. 2. Minimum z =

−8 postiže se u točkama (√2, −√2), (−√2, √2).

2 3. V = 186 . 3

2

     







 







  



  



      !  "    #$ "       ! %&     " 



     ' !



     

   () ! ' *   +              

   ,'  -         . /    





  





  

 . . 

     0 ) * .! '" 



 

  

    

 ! *  ! '          0 ) * .! '" 

  

  

      0"  *  .! '"             1   .!   ) *



     0  .     



 



        

              ' !

         





    !      

  2        1  

 !       ' ! 





 





   '   3  !'   . "!  ! 



      4 


I DIO

1. e3

x



1 2 19 x + x 3 9

− 10 27



+c

2. P = 3

II DIO

1 x+1



Partikularno rjeˇ senje: y =

−

1. Op´ ce rjeˇ senje: y =

−

x4 x3 + +c 4 3 x4 x3 1 + x+1 4 3







2. y = cos x ln cos x + x sin x + A sin x + B cos x

|

|

III DIO

1. T1



√6

1 3 , , 4 4 4

2. V =

8 9



je minimum, T1



− 14 , −

√6 4

,

− 34



je maksimum

110, grupa I

2. popravni ispit iz MATEMATIKE 2, 13. rujna 2006.

Imeiprezime:

Dio:

1.

2.

3.


1

2 3

1.dio 4

1

Σ

2.dio 2

3

3.dio 1 2

Σ

3

Σ

Ocjena


REZULTATI i upisivanje ocjena: ponedjeljak, 18. rujna 2006. u 13:00h u sobi br. 119. 1. dio

1. (30 bodova) Izračunati integral x3 dx . x12 + 1



I=

2. (30 b odova) Izračunati vrijednost nepra vog integrala 0

I=



3

ex

+2ln x

dx.

−∞ 3. (20 bo dova) Izračunati površin u lika omeđenog krivuljama y = x 3

−x i y=x

2

+ x.

4. (20 bodova) Izvedite formule za računanje površine ravninskog lika u polarnim koordinatama. Rješenja:

1. I =

1 ln x4 + 1 12

|

| − 241 ln |x − x 8

4

4

|

+1 +

√1 arctg 2x√−3 1 + c. 4 3

1 2. I = . 3 3. P =

37 . 12

2. dio




y2 x2

− 2xy − 1



dx

−



y2 2y + x2 x



−1

dy = 0.

2. (40 b odova) Metodom varijacije konstanti riješiti diferencijalnu jednadžbu 1 y  4y  + 4 y = e2x . 2

−

1

110, grupa I


3. (30 bodova) Kroz koje će se vrijeme temperatura tijela zagrijanog na 170◦ C sniziti do ◦ ◦ 40 C ako je temperatura prostorije 25 C , a za prvih 15 minuta tijelo se ohladi do 90◦ C ? Rješenja:

1.

y+x = c. y 2 + x2

2. y (x) =



2

− x4



+ A e2x +

1 2

x+B



xe2x .

3. t = 42.4 min. 3. dio

1. (40 bodova) Odrediti i skicirati područje definicije funkcije f (x, y ) = arcsin


∂ 2 f (x, y ) u točki ∂x∂y

y

− 1 + 2y − y − x . x 2

2

 √ 1 . 1

2

,

2

y

e . 2. (30 bo dova) Odrediti ekstremn e vrijednosti funkcije z = x + y 3. (30 bodova) Izračunati volumen tijela omeđenog stošcem z 2 = x2 + y 2 i rotacijskim paraboloidom 4z = x 2 + y 2 .



Rješenja:

∂2f

1.

 √ 1 1

2

,

∂x∂y

=

−2.

2. (0, 2) lokalni minimum.

−

3. V =

32π . 3

2

√

Matematika II (110 – grupa 2)

13.09.2006

Imeiprezime:

Brojindeksa:

BODOVI I.1

I.2

I.3

Σ

II.1 II.2 II.3

Σ

III.1 III.2 III.3

Σ


Objava rezultata i upis ocjena : ponedjeljak 18.09.2006 u 12 sati, soba 118.

1

I DIO 1. (20 bodova) Izraˇ cunajte integral

 3 cos xdx. x

2. (20 bodova) Izraˇ cunajte duljinu luka krivulje y = ln x od x =

√3 do x = √8.

3. (20 bodova) Kako glasi Rolleov teorem? Iskaˇ zite i dokaˇ zite Langrageov teorem o srednjoj vrijednosti za integral.

II DIO 1. (20 bodova) Odredite opće rjeˇsenje diferencijalnih jednadˇzbi: (a) ( xy2 + x)dx + ( x2 y 

(b) y +

y = x

−xy

− y)dy = 0

2

2. (20 bodova) Rijeˇ site sustav diferencijalnih jednadˇzbi dx dt dy dt

− 7x −2x − 5y.

= y =

3. (20 bodova) Izvedite izraz za rjeˇsenje diferencijalne jednadˇzbe y + p(x)y = q (x) 

koja zadovoljava poˇcetni uvjet y (x0 ) = y 0 .

2

III DIO 1. (20 bodova) Odredite lokalne ekstreme funkcije f (x, y ) = e

x2 −y 2

−

i ispitajte dovoljne uvjete. 2. (20 bodova) Izraˇ cunajte integral



y 2 sin2 xdxdy

S

{

ako je S = (x, y)

π

∈ R : − 2 ≤ x ≤ π2 , 2

0

≤ y ≤ 3cos x } i nacrtajte podruˇcje

integracije. 3. (20 bodova) Kako glasi teorem o dovoljnom uvjetu za postojanje ekstrema f x, y

funkcije (

T0

) u toˇcki

x0 , y0

=(

) (koristeći parcijalne derivacije drugog reda).

3


I DIO

1.

3x (sin x + cos x ln3) +c 1 + (ln 3) 2

2. l = 1 +

1 3 ln 2 2

II DIO

1. (a) y 2 + 1 =

c

1 − x2

(b) y = (x2 + cx)−1 2. x = e −6t (c1 cos t + c 2 sin t), y = e −6t [(c1 + c 2 )cos t + ( c2 − c1 )sin t]

III DIO

1. T (0, 0) je lokalni maksimum 2.

12 5

Matematika II (110 – grupa 2)

27.09.2006

Imeiprezime:

Brojindeksa:

Zaokruˇ zite koji dio gradiva polaˇ zete:

I

II

III

BODOVI 1A

1B

1C

Σ

2A

2B

2C

Σ

3A

3B

3C

Σ


1

I DIO 1. (20 bodova) Izraˇ cunajte integral

 e ln(1 + e ) dx. x

x

2. (20 bodova) Napiˇsite povrˇ sinu paralelograma s vrhovima A(0, 0), B (7, 0), C (9, 4) i D (2, 4) pomoću integrala i izraˇcunajte dobiveni izraz. 3. (20 bodova) Dokaˇ zite teorem: Ako je f : [a, b]

→

R

neprekidna funkcija, tada

je d dx



x

f (t) dt = f (x),

x ∈ (a, b).

a

II DIO 1. (20 bodova) Odredite opće rjeˇsenje diferencijalnih jednadˇzbi: y

y



x

(a) y = e + x (b) y



−

y

2x − 1 x2

=1

2. (20 bodova) Odredite opće rjeˇsenje diferencijalne jednadˇzbe y



−

2y + y = e 4 . 

x

3. (20 bodova) Izvedite opće rjeˇsenje diferencijalne jednadˇzbe y + p(x)y = q (x). 

2

III DIO 1. (20 bodova) Zadana je funkcija f (x, y ) =

ln(9 − x2 − y 2 )

y

−

x2 + 4

.

(a) Odredite i skicirajte podruˇcje definicije funkcije f . (b) Odredite jednadˇzbu tangencijalne ravnine u toˇcki T (0, 0). 2. (20 bodova) Izraˇcunajte volumen tijela omedenog plohama 2z = x 2 + y 2

i

y + z = 4.

3. (20 bodova) Zadana je transformacija varijabli x = ar cos(t), y = br sin(t) gdje je r

∈

[0, 1] i t

∈

[0, 2π ]. Odredite Jacobijan transformacije i napiˇsite kako se

integral funkcije f (x, y ) raˇcuna u novim varijablama r i t.

3


I DIO

1. (1 + e )[ln(1 + e ) − 1] + c x

x

2. P = 28

II DIO

1. (a) y = − x lnln



c x

(b) y = x 2 1 + ce

1 x



2. y = c 1 e + c2 e + 1 e 4 9 x

x

x

III DIO

1. (a) {(x, y ) ∈ R2 : y > x2 + 4 , x2 + y 2 < 9 } 16 (b) y + z =9 ln 9 2. V =

81π 4

110, grupa 1


Imeiprezime:

Dio:

1.

2.

3.

(zaokružite dio gradiva koji odgovarate) 1.dio 2 3

1

Σ

2.dio 2

1

3

Σ

3.dio 1 2

3

Σ

Ocjena

1. dio

1. (40 bodova) a) Izračunati I = b) Izračunati I =

 

x4 + 1 x3 x2 + x x ctg x dx. sin2 x

−

− 1 dx.

2. (30 bodova) Izračunati površinu lika omeđenog krivuljama tivnim smjerom osi x.

y = x3 , y =

−x

2

+ 2 i pozi-

3. (30 bodova) a) Izreći i dokazati Newton-Leibnitzovu formulu. b) Kako glasi Teorem srednje vrije dnosti za određeni integral? Koja je geometrijska interpretacija tog teorema? Rješenja:

1. (a) I = (b) I 2. P =

x2

2

+x

1 =−

√

4 2 3

− 12 ln |x x

2 sin2 x

2

+1

+ ctg x

| − arctg x + ln |x − 1| + C .

+

C.

17 − 12 .

2. dio

1. (30 bodova) Odrediti partikularno rješenje diferencijalne jednadžbe dy = (x2 + 2x

− 2y)dx.

ako je y (0) = 0 . 2. (40 bodova) Odrediti opće rješenje diferencijalne jednadžbe y  + 3 y  = 3xe−3 , x

te provjeriti linearnu nezavisnost partikularnih rješenja pripadne homogene diferencijalne jednadžbe. 1

110, grupa 1


3. (30 bodova) Kroz koje će se vrijeme temperatura kolača, zagrijanog na 170 C, sniziti na 40 C ako je temperatura prostorije 25 C i ako se za prvih 15 minuta kolač ohladio na 90 C? 







Rješenja:

1. y (x) = 2. y (x) =

1

x2 + 2 x

2 4 

2

− x2 − x3

1+e

−

−2x

.

e−3 + Ae−3 + B . x

x

3. dio

1. (30 bodova) Naći i ispitati lokalne ekstreme funkcije f (x, y ) = 2x3 + y 2 + 6 x2 y 2. (40 bodova) Izračunati volumen tijela omeđenog plohama (x

2

− 1)

− 2y .

2

+ y = z i 2 x + z = 2.

3. (30 bo dova) Kako p omoću Jakobijana vršimo zamjenu varijabli u trostrukom integralu? Rješenja: 2

T1 (0, 1) funkcija ima minimum, a u točkama T2 1. U ekstrema.

2. I =

π

3

1

,

3

T3

1

1

2

,4

 − , −  funkcija nema

2

Rezultati ispita bit će objavljeni u utorak, 19.06.2007. u 13h . Zadaće možete pogledati također u utorak, 19.06.2007, od 13h do 14 h u sobi br. 112.

2

110, grupa 1

2. završni ispit iz MATEMATIKE 2, 9. srpnja 2007.

Imeiprezime:

Dio:

1.

2.

3.


1

Σ

1

2.dio 2

3

Σ

1

3.dio 2

3

Ocjena

Σ

Rezultati i upisivanje ocjena: srijeda, 11. srpnja 2007. u 12h u sobi br. 119. 1. dio

1.

a) (20 bodova) Izračunajte I =



b) (20 bodova) Izračunajte I =



dx

(1 + x2 )2

.

√1

2

0

√

x 1 − x4 dx.

2. (30 bodova) Izračunajte volumen tijela koje nastaje rotacijom lika omeđenog krivuljama y = x 2 i y = 1 oko osi y . 3. (30 bodova) a) Dokažite formulu za parcijalnu integraciju. b) Izvedite formulu za duljinu luka ravninske krivulje u polarnim koordinat ama. 2. dio

1. (30 bodova) Odredite opće rješenje diferencijalne jednadžbe (ln x + y sin x) dx + (cos y − cos x) dy = 0. 2. (40 bodova) Odredite opće rješenje diferencijalne jednadžbe 



y + 4 y + 4y = e

2x

−

ln x, 

te partikularno rješenje koje zadovoljava početne uvjete y (0) = 1 i y (0) = 1 . 

3. (30 bodova) Opišite Eulerovu metodu. Za jednadžbu y = x + 1 izračunajte y (1), ako je y (0) = 1 , uz korak ∆x = 0.5. Kolika je greška u odnosu na točno rješenje?

1

110, grupa 1


3. dio

1. (30 bodova) Odredite i nacrtajte područje definicije funkcije f ( x, y ) =

Izračunajte

(1 − x − y ) (4 − x − y ). 2

2

2

2

∂f . ∂x

2. (40 bodova) Izračunajte



yzdV,

(V )

pri čemu je V tijelo omeđeno plohama z = x 2 + (y − 1)2 i z = 4. 3. (30 bo dova) Kako pomoću Jakobijana vršimo zamjen u varijabli u dvostrukom integralu?

2

110, grupa 2


Imeiprezime:

Dio:

1.

2.

3.


1

2 3

1.dio 4

Σ

2.dio 2

1

3.dio 1 2

Σ

3

Σ

3

Ocjena

Za pozitivnu ocjenu potrebno je dobiti barem 50 bodova iz svakog dijela gradiva. Rezultati i upisivanje ocjena: četvrtak, 21. lipnja 2007. u 10h u sobi br. 118. 1. dio


1.

b) (20 bodova) Izračunati I =

 √  5−4

dx

.

x − x2 dx . sin x (2 cos2 x − 1)

2. (30 bodova) Izračunati površinu lika omeđenog krivuljama y = 0.

y = ln x2 + 1 , y = ln(2 x) i





3. (30 bodova) 2. dio

1. (30 bodova) Odrediti opće rješenje diferencijalne jednadžbe dy + cos x (y − sin x) dx = 0.

2. (40 bodova) Odrediti opće rješenje diferencijalne jednadžbe 



y + y = 5x + 2 e , x

te provjerite linearnu nezavisnost partikularnih rješenja pripadne homogene diferencijalne jednadžbe. 3. (30 bodova) 3. dio

1. (30 bodova) Zadana je funkcija z = arctg

 x y

i točka T (2 , 1). Nađite dz i d2 z u točki

T.

2. (40 bodova) Izračunajte volumen tijela omeđenog plohama z = x2 + (y − 1)2 i z = 5 − x2 − y 2 . 3. (30 bodova)

1

110, GRUPA 2


Imeiprezime:

Dio:

1.

2.

3.


1

1

Σ

2.dio 2

3

Σ

3.dio 1 2

3

Σ

Ocjena

1. dio

1. (40 bodova)Izračunati: a)

I=

b)

I=

√ √ √

x ln2 xdx.

3

4 − x2 dx.

0

2. (30 bodova) Izračunati duljinu luka krivulje y = ln(sin x) od točke s apscisom x = 1

π

π

3

do

točke s apscisom x = . 2

2

3. (30 bodova) Što geometrijski predstavlja Riemannova suma neprekidne funkcije koja na a, b] poprima pozitivne vrijednosti, a što funkcije koja poprima pozitivne i segmentu negativne [vrijednosti? Ilustrirati skicom. Rješenja:



2√ 3 4 8 x ln2 x − ln x + 3 3 9

1. (a)



+ C.

√

2π 3 + . 3 2

(b) 1 2

2. l = ln 3. 2. dio

1. (30 bodova) Odrediti partikularno rješenje diferencijalne jednadžbe x3 y  + 3 x2 y = sin x,

za koje vrijedi y(π) = 0. 2. (40 bodova) Riješiti sustav diferencijalnih jednadžbi dy =y+z dx dz = x + y + z. dx

1

110, GRUPA 2


3. (30 bodova) Kako se rješavaju nepotpune diferencijalne jednadžbe drugog reda? Rješenja:

1. y(x) = −

1 x3

x − cos . x 3

2x 1

2. y(x) = C + C

2

e

1

2

− 4(x

2x

+ x), z (x) = C 2 e

−C

1

1 2 + 4 (x − x − 1).

3. dio

1. (30 bodova) Odrediti i skicirati područje definicije funkcije f (x, y ) = te iuračunati derivaciju 2. (40 bodova) Izračunati I

∂f ∂x

1+

u točki (2, 1).

  = z

x2 + y 2 dxdydz ako je V

4

x − x2 − y 2

ln



x y

,

područje omeđeno cilindrom

V

x2 + y 2 = 2x

i ravninama y = 0, z = 0 i z = 3.

3. (30 bodova) Teoremi o nužnim i dovoljnim uvjetima za lokalni ekstrem funkcije tri varijable. Rješenja:

1.

∂f (2, 1) ∂x

2.

I = 8.

≈ −5.57.

Rezultati ispita

bit će objavljeni u

ponedjeljak 16. srpnja 2007.

2

u 12h.

Grupa: 110

Popravni ispit iz MATEMATIKE 2, 03. rujna 2007.

Imeiprezime:

Dio:

1.

2.

3.


1

Σ

1

2.dio 2

3

3.dio 1 2

Σ

3

Σ

Ocjena

1. dio

1. (40 bodova) Izračunati: a)

I=



√x + 2 √ dx. x − x 2

π

2

b)

I=



dx

4sin x + 3 cos x + 5

.

0

2. (30 bodova) Izračunati volumen tijela koje nastaje rotacijom jednog luka cikloide x = a (t − sin t), y = a (1 − cos t) oko osi x. 1

3. (30 bodova) Kako definiramo nepravi integral i kako ga rješavamo? Riješite



xα dx

u

0

ovisnosti o parametru α. Rješenja:

1. (a) 2 ln |

√x − 1| − ln |x + √x + 1| − √2

3

arctg

√ √

2 x+1 + C, 3

1 (b) . 6

2.

V = 5 π 2 a3 .

2. dio


dy dx

=

1

.

x sin y + 2 sin(2y )

2. (40 bodova) Pretpostavimo da populacija raste prema logističkom modelu sa kapacitetom 6000 i k = 0.0015 po godini. a) Napisati logističku diferencijalnu jednadžbu za ove podatke. b) Ako je početna populacija 1000, izračunati populaciju nakon 50 godina. 3. (30 bodova) Kada je diferencijalna jednadžba egzaktna? Što je integrirajući faktor i kako ga tražimo? Da li je jednadžba ( x − y )dy + 2xydx = 0 egzaktna? Da li ima integrirajući faktor? 2

2

1

Grupa: 110


Rješenja:

1. x(y) = −4(cos y − 1) + C e− 2.

cos y

.

P = 1065 .79.

3. dio

1. (30 bodova) √ Naći √ jednadžbu tangencijalne ravnine i normale na plohu x + 3y + 4z = 12 u točki T ( 2, 2, zT > 0) . 2

2. (40 bodova) Izračunati I = x2 + y 2 + z 2

 

2

2

3 2

1 + ( x2 + y 2 + z 2 ) dxdydz ako je V kugla

V

≤ 1.

3. (30 bodova) Kako glase nužni i dovoljni uvjeti lokalnih ekstrema funkcije dviju varijabli? Analizirajte ektreme funkcije f (x, y) = y . 2

Rješenja:

1.

√

2.

I=

√

12 = 0 ,

2x + 3 2y + 4 z

√

8π (2 2 9

Rezultati ispita

− 1).

−

− 2 = y − √2 = z − 1 . √2 3√2 4

x

i upisivanje ocjena: u četvrtak, 06.

2

rujna 2007. u 11h u sobi br. 119

.

110


Imeiprezime:

Dio:

1.

2.

3.


1

Σ

1

2.dio 2

3

Σ

1

3.dio 2

3

Σ

Ocjena

Za pozitivnu ocjenu potrebno je dobiti barem 50 bodova iz svakog dijela gradiva. 1. dio

1. a) (20 bodova) Izračunajte I =



b) (20 bodova) Izračunajte I =



xtg2 x dx.

π

0

2

2sincosx −x sin x dx. 2

2. (30 bodova) Izračunajte površinu lika omeđenog nejednadžbama y ≥ x

2

,y

2

≤ 2x

i y ≤ 4x.

3. (30 bodova) a) Izrecite i dokažite Newton-Leibnitzovu formulu. b) Izrecite i dokažite teorem srednje vrijednosti za određeni integral. 2. dio

1. (30 bodova) Odredite opće rješenje diferencijalne jednadžbe 

y =

y x2 + . x y




y + 2y + y =

√x · e

−x

,

te provjerite linearnu nezavisnost partikularnih rješenja pripadne homogene diferencijalne jednadžbe. 3. (30 bodova) Što je polje smjerova diferencijalne jednadžbe? Skicirajte polje smjerova u nekoliko točaka za jednadžbu y = 2x + y . 

1

110


3. dio

1. (30 bodova) Nađite i ispitajte lokalne ekstreme funkcije f ( x, y ) = e

x−y

2. (40 bodova) Izračunajte volumen tijela omeđenog plohama z = 1 − x

2

x − 2y . 2

−y

2

2

i y + z = 1.

3. (30 bodova) Kako računamo masu tijela gustoće ρ pomoću trostrukog integrala? Izračunajte masu kocke čije su stranice duge 1, ako je gustoća zadana funkcijom f ( x, y ) = x . Rezultati i upisivanje o cjena: grupa 1: četvrtak, 20. rujna 2007. u 12h u sobi br. 119, grupa 2: ponedjeljak, 24. rujna 2007. u 11h u sobi br. 118.

2

120, 130, 140


Imeiprezime:

Dio:

1.

2.

3.


1

2 3

1.dio 4

Σ

1

2.dio 2

3

3.dio 1 2

Σ

3

Σ

Ocjena

Za pozitivnu ocjenu potrebno dobiti barem 50 bodova iz 11h svakog dijela Rezultati i upisivanje ocjena: je četvrtak, 21. lipnja 2006. u u sobi br.gradiva. 118. 1. dio

1.


x2 − x − 1 dx. x4 + 2 x3 + 2 x2 cos x dx. 2sin x − sin2 x

 



2. (30 bodova) Izračunati površinu lika omeđenog krivuljama y = ln x, y = ln(6 − x) i osi apscisa. 3. (30 b odova) Kada je binomni integra l elementarno rješiv i kako ga rješavamo? Rješenja:

1 3 + arctg (x + 1) + C . 2x 2 (b) I = arcsin (sin x − 1) + C .

1. (a) I =

2. P = 6l n 3 − 4. 2. dio

1. (30 b odova) Odrediti opće rješenje diferencijalne jednadžbe 

y =

y−

x + y 2

x

2

,

te partikularno rješenje koje zadovoljava uvjet y (3) = 4. 2. (40 b odova) Odrediti opće rješenje diferencijalne jednadžbe y − 2y + y = 



ex . x2

3. (30 bodova) Kako rješavamo homogene diferencijalne jednadžbe prvog reda? Rješenja:

120, 130, 140


1. opće rješenje: y +

x + y 2

2

= c , partikularno rješenje: y =

81 − x2 . 18

2. y (x) = Ae x + Bxex − ex (ln x + 1). 3. dio

x 1. (30 b odova) Odrediti totalni difere ncijal drugog reda funkci je z = x ln . y

2. (40 bodova) Izračunati

 ln(x + y )dxdy ako je S...e 2

2

2



x2 + y 2  e4 .

S

3. (30 bodova) Teoremi o nužnim i dovoljnim uvjetima za lokalni ekstrem funkci je dvije varijable. Rješenja:

x x 2 1. d2 z = − ( dx)2 − dxdy + 2 ( dy )2 . y y y

2. I = π 3e4 − e2 .





Σ

Σ

I=

 

e−

√x

Σ

dx

1

I=

dx x4 + 4 x2 + 3

0

x x=

−1

x= 1

−2e− √x + 1 + C π π I= − √ 8 12 3  2π  √ I= 10 10 − 1 27 I=

√x

y  + 4 y  + 4y = e −2x ln x.

dx + 3x + y = 0 dt dy x + y = 0, dt

−

x (0) = 1

y (0) = 1

y = x3

dy = 15 dx x=1

y (x) = e −2x



x2

2

ln x

1

1

2

4

− 34 x

2

+ Ax + B

− 3y,

y (0) = 0



x = e −2t (c1 + c2 t) y = e −2t ( c2 t

− −c −c )

x = e −2t (1

− 2 t)

x2

2

y = e −2t (2t + 1)

y2

16 + 9 (4, 3, z0 ) , z0

1

z2

−

8 =0

≥0 y=

1 x2 + 1

y=

x2

2 3

f ( x,y,z ) = x 2 + y 2

3x + 4 y 6z = 0 x 4 y 3 z 4 = = 3 4 6

−

P =

π

2

− 13

−

−

−

−

−z

2

110

2. zavrˇsni ispit iz MATEMATIKE 2, 14. srpnja 2008.

Imeiprezime:

Dio:

1.

2.

3.

(zaokruˇ zite dio gradiva koji odgovarate)

1

2

1.dio 3 Σ

1

2

3

2.dio Σ

1

2

3

3.dio Σ O cjena

1. dio

1. Izraˇ cunajte integrale: a) (20 bodova)

arcctg e



e

x

dx;

x

0

b) (20 bodova)



3

x

e

+2ln

x

dx.

−∞

2. (30 bo dova) Pronadite volumen tijela koje nastaje rotacijom astroide x = a cos3 t, y = a sin3 t oko osi y . ˇ su nepravi integrali prve i druge vrste i kako ih raˇcunamo? 3. (30 bodova) Sto 2. dio

1. (30 bodova) Odredite opće rjeˇ senje diferencijalne jednadˇzbe 2

2

2

x − xy + y  dx +x dy = 0. 2. (40 bodova) Odredite opće rjeˇ senje diferencijalne jednadˇzbe y  + y =

1 . cos3 x

3. (30 bodova) Opiˇ site populacijsku diferencijalnu jednadˇzbu i izvedite njeno rjeˇsenje. Kultura bakterija u poˇcetku ima 500 bakterija. Stopa rasta je proporcionalna bro ju bakterija. Nakon 2h populacija je narasla na 2000 jedinki. Odredite izraz koji odreduje broj bakterija nakon t sati. Odredite broj bakterija nakon 5 sati.

110

2. zavrˇsni ispit iz MATEMATIKE 2, 14. srpnja 2008.

3. dio

1. (35 bodova) Broj 2 prikaˇzite u obliku umnoˇska dvaju pozitivnih brojeva tako da njihov zbroj bude ˇsto manji. Provjerite dovoljne uvjete. 2. (35 bodova) Izraˇcunajte volumen tijela omedenog plohama z = x 2 +y 2 , z = 2 x2 + y 2 i ravninom z = 4.



3. (30 bodova) Definirajte dvostruki integral. Kako ga raˇ cunamo u sluˇcaju kada je podruˇcje integracije pravokutnik, a kako kada je to neki omedeni podskup ravnine? Koje su osnovne primjene dvostrukog integrala?

Rjeˇ senja: 1. dio

arcctg e

x

1.

a) I = − b) I =

2. V =

e

x

−x+

1 ln 1 + e2 2

1 3



x

32a3 π 105

2. dio

1. y = x tg (C

− ln x)

2. y = A sin x + B cos x + 3. dio

1. 2 = x · y = 2. V = 4 π

√ √ 2 · 2;

sin 2 x cos x

−

1 2cos x

+C



110


Imeiprezime:

Dio:

1.

2.

3.

(zaokruˇ zite dio gradiva koji odgovarate)

1

2

1.dio 3 Σ

1

2

3

2.dio Σ

1

2

3.dio Σ O cjena

3

Rezultati i upisivanje ocjena: grupa I - ˇ cetvrtak, 11. rujna 2008. u 12 h u sobi br. A803; grupa II - ponedjeljak, 15. rujna 2008. u 12 h u sobi br. A804. 1. dio

1. (35 bodova) Izraˇcunajte integral

dx . sin x (2 + cos x − 2sin x)



2. (35 bodova) Izraˇ cunajte povrˇ sinu lika odredenog s 3 4

y ≤ − x2 + 5

,

y≥

1 2 x 2

i

y ≥ 2.

Nacrtajte sliku. 3. (30 bodova) a) Izvedite univerzalnu trigonometrijsku supstituciju; b) Dokaˇ zite Newton-Leibnitzovu formulu. 2. dio

1. (30 bodova) Rijeˇsite diferencijalnu jednadˇzbu dy y + = −xy2 . dx x 2. (40 bodova) Pokaˇ zite da je diferencijalna jednadˇzba



1−

y x2 + y 2



dx +

x dy = 0 x2 + y 2

totalni diferencijal neke funkcije, te izraˇ cunajte njeno partikularno rjeˇ senje koje zadovoljava uvjet y(1) = 1. 3. (30 bodova) Kako glasi Eulerova metoda za rjeˇ savanje diferencijalnih jednadˇzbi? Dajte primjer.

110


3. dio

1. (35 bodova) Medu parabolama oblik a y = a + bx + x2 odredite onu za koju odredeni integral 1

f (a, b) =



a + bx + x2

0

2

 dx

ima najmanju vrijednost. Provjerite dovoljne uvjete. 2. (35 bodova) Izraˇcunajte integral √

2

 0

dx

2x

 0

−

2

3

x

dy

  z

x2 + y 2 dz

0

prelaskom na centralne cilindriˇcne koordinate. 3. (30 bodova) Definirajte limes, neprekidnost i parcijalne derivacije za funkcije viˇse varijabli.

Rjeˇ senja: 1. dio x x x 1. I = 1 ln | tg | + 5 ln | tg − 3| − ln | tg − 1| + C 3 2 3 2 2

2. P = 8 2. dio

1. y =

1 x2 + C x

2. x − arctg

x π = 1− y 4

3. dio

1. y =

1 − x + x2 ; 6

2. I = 8

Σ

Σ

I=



I=



Σ

dx

sin x sin(2 x)

1

√

1 2

x−1

2 x − x2

dx

x = a (t − sin t) y = a (1 − cos t)

I= I= I=

 

1 1 + sin x ln 4 1 − sin x

√

3 2

−1

x

 1  − 2sin x + C

64πa 2 3

x dy + 2y = x3 . dx y

e . x x

y





− 2y + y =

y 4 = cx

−8

4 + x 9

y (x) = e (x ln x − x + Ax + B ) x

x

z = x2 + y2 y=

1

√

x+4

2

+

y =x+

y

3 1 2

=1 y=1

3 f ( x,y,z ) = x 2 + y 2 − z 2

T(

18 12 , ) 13 13

P = 9

8

120, 130, 140


Imeiprezime:

Dio:

1.

2.

3.


1

Σ

1

2.dio 2

3

1

Σ

3.dio 2

3

Ocjena

Σ

1. dio

1. (a) (20 bodo va) Izračunati I=



(x2 + 3x + 5) cos(2x) dx.

(b) (20 bodova) Izračunati vrijednost integrala 1

I=



x dx . x2 + 3x + 2

0

2. (30 bodova) Izračunati volumen tijela koje nastaje rotacijom lika omeđenog krivuljama y = x i y = 1 oko osi y . 2

3. (30 bodova) Što je neodređeni, a što određeni integral i u kakvoj su vezi? 2. dio

1. (30 bodova) Odrediti opće rješenje diferencijalne jednadžbe dy = (x2 + 2x − 2y )dx,

te partikularno rješenje ako je y (0) = 0 . 1

2. (40 bodova) Naći opće rješenje diferencijalne jednadžbe y + y = metodom varijacije sin x konstanti. 

3. (30 bodova) Što je obična diferencijalna jednadžba reda vrste rješenja razlikujemo?

n? Što su njena rješenja i koje

120, 130, 140


3. dio

1. (a) (20 bodova) Odrediti i skicirati područje definicije funkcije f (x, y ) =

2 − x − y + ln y . 2

2

x

(b) (20 bodova) Odredite totalni diferencijal drugog reda te funkcije. 2. (30 bodova) Izračunati

I=



z dx dy dz

ako je V tijelo

V

određeno nejednakostima z ≥ x + y , z ≥ 1, i z ≤ 4. Skicirati sliku. 2

2

3. (30 bodova)Definirajte trostruki integral. Kako ga računamo u slučaju kada je područje integracije kvadar, a kako kada je to neki omeđeni podskup prostora? Rješenja 1. dio

1. (a) (b)

I=

2.

π

V =

1 2

(x2 + 3x + 5) sin (2x) + 14 (2x + 3) cos (2x) − 14 si n (2x) + C

I = ln

9 8

2

2. dio

1. y (x) = (2x + 2x − 1 + e 1 4

2

−2x

)

2. y (x) = −x cos x + sin x · ln |sin x| + A sin x + B cos x 3. dio

1. Prvi i treći kvadrant koordinatne ravnine, bez koordinatnih osi 2.

I = 21 π

Σ

Σ

I=

Σ



dx x3 + 1

√ √ 3

I=

4

−x

2

dx

0

y = 2x2

y=3

−x

2

2

 0

√xdx− 1 3

x3 y  + 3 x2 y = sin x, y (π ) = 0

y 

− 4y + 5y = e

y  = 15 x=1

1

1

2

4

f (x, y ) =

− 3y,

ln(2

x + 2y



2x

,

y (0) = 0

−x −y 2

2

+ 8) +



y

− x. x

(x2 + y 2 + 1) d x dy,

D

D

x2 + y 2

≤1

x+y

≥0

I =

1 ln x + 1 3

|

√

| − 16 ln |x − x + 1| + √13 arctg 2x√−3 1 + c 2

2π 3 I = 3 + 2 P =4

y (x) =

− cosx x + xc 3

3

c=

−1

y (x) = e 2x (1 + c1 cos x + c2 sin x)

D(f ) = {(x, y) ∈ R π I = 34

2

: (x

− 1)

2

+ (y

2

− 1) ≤ 9,

y

− x ≥ 0} x

Σ

Σ

I= I=

 ∞

Σ

x3 + x + 2 dx x2 + 7x + 12 dx x2 + 4 x + 5

−∞ x = 13 t3

−t

y = t2 + 2

t=0

t= 3 f ( x)

f ( x) f : [a, b]

≥0

→R x + xy + y  (y + xy ) = 0

y  y (0) = 0 y  (0) = 1

f (x, y ) = ∂f ∂x

√1 − x

−

+ 4 ln(x2 + y ) 2

− 8y + 16y = e

y2

4x

.

∂f ∂y

 arctg S

y 2 = 1 x2 + y 2 = 9

y=

√

3

3

y dxdy x

x y=

√3S

x2 +

I=

x2

2

− 7x + 6 6 ln |x + 4| − 28ln |x + 3|

I =π l = 12

x+y

− ln c(x + 1)(y + 1) = 0

y (x) = xe 4x

I=

π2

6



1 1+ x 2



Σ

Σ

I=

 

Σ

x ln(x4 + 4) d x

5

I=

4

(5d− x

5

x)2 x2 + y 2 = 2x x2 + y 2 = 4x

y=x

y=0

(1 + x2 )y  y (1) = 0

2 2

− 2xy = (1 + x )

y  + 4 y = 8 sin(2 x)

P (x, y ) dx + Q(x, y ) dy = 0

f (x, y ) =

1+

−

− ln x2

x y

∂f ∂x

(2, 1)

 √− 1

I=

0

1

0

x2

(4

2

2

− x − y ) dx dy

y 2 + 4x

I=

−x

I=

5 3

P =3



2

+

π +1

4

2

x2

2

ln(x4 + 4) + 2 arctg

y (x) = c 1 cos(2x) + c2 sin(2x)

D(f ) = {(x, y) ∈ R 7π 8

+c

2



y (x) = x (1 + x2 ) + cx2 + c y (x) = (x

I=

x2

2

: x > 0,

− 1)(x

2

+ 1)

− 2x cos(2x) y > 0,

y = x,



(x 2)2 +y 2

−

≤ 4}

∂f (2, 1) = ∂x

√ −41ln+ √32 2

Σ

Σ

I=

Σ

 x sin x cos(2x)dx x2

4

x= 0

I=

−

P =

x cos(3x)

6

√

2π 3

+

+

sin(3x) 18

+

x cos x

2

√

−

sin x 2

3

y  = G (x, y )

−

3 2 2 x y 2

2

+C

2

+ 2x +

y3

3

=C

2

2

 − 3x y − y  dy = 0.

+ 2 dx

y  + y 

4

y2

6 4

x − 3xy

x4

+

− 2y = 8 sin (2x) .

=1

y = √13 x

y (x) = Ae x + Be −2x

−

6 5

sin (2x)

2 5

cos(2 x)

f ( x, y ) = f ( x, y ) =

 xydxdy (x

− 1)

2

+ y2

x2 + ( y

≤1

2

arcsin



arcsin x−x y

−

x y x

D

D

− 1) ≤ 1 f (x, y ) = y 2

{

Df = (x, y ) df (x, y ) = I=

1 6

∈R √

2 x2

2

2

≤ 0, x ≤ y } ∪ {(x, y) ∈ R : x > 0, y ≥ 0, x ≥ y }   dx − √ dy −( ) −( )

: x < 0, y

arcsin

y x−y x

1

1

x−y x

2

2x

arcsin

x−y x

1

x−y x

2

Σ

√

Σ

x ln2 x dx

29

(x



(x

3

Σ

− 2)

− 2)

2 3

2 3

+3

dx

x = a cos3 t 3

y = a sin t

√

2 3 2 x ln x 3 3 3 I =8 + π 2 I=

√

− 89

√

x3 ln x +

√

16 3 x +C 27

l = 6a

2

2



y=y

2

2

y + xy  y + x − yx 

y +

1

x

2

=0

ln x x







xy = y ln

y x

x2

− 2x − y − 2y + 2 ln | xy −+ 11 | = C 2

y= y=

1

1 ln x + 1 + C x

xeC

1

1

x+1

C1

−

eC

1

2

x+1

+ C2

C1

f (x, y ) =



x

− √y

D x

≥0

y



≥0

x2 + y 2

dx dy dz

V

B (1, 0, 0) C (0, 2, 0) D (0, 0, 4)

{

2

P = I=

π

4 4 3

∈R

2

≥0, y ≥0, y ≤x } 1 df (x, y ) =  √ dx − 4√y1x − √y dy 2 x− y Df = (x, y )

:x

x2 + y 2

≤4 V

≥1 A(0, 0, 0)

Σ

Σ

Σ

  4sin− ++23 cos

dx x x+5 x dx x2 x + 1

−

r = a (1 + cos φ)

P =

1 +C +2 2

I=

− tg

I=

− 21 ln

x

x2



−x+1

 + √3arctg √2  3

x

− 12



3π 2 a 2

3

2x dy = 2x − y dx (2x + y + 1) dx − (4x + 2 y − 3) dy = 0





dx + 3x + y = 0 dt dy x+y = 0 dt

−

x(0) = 1 y (0) = 1

(x2 − y 2 )dy + 2 xydx = 0

y=

2 3 C x +√ 7 x

C = (2x + y

− 1) e −2 x

y

x(t) = C 1 e−2t + C2 te−2t y (t) = ( C1 C2 ) e−2t x(t) = e −2t 2te−2t y (t) = e −2t + 2te−2t

f (x, y ) = x 2 ln y ∂f ∂u

∂f ∂v

x=

y

≤ x + 4 y ≥ −2x − 2

 

x2 + y + z 2

V

x2 + z 2 = 1

∂f 2u = 2 ln(3u ∂u v 0

 √   = −2

2

dy

−2

I=

−2x−2

2

− 2v) + v2(33uu− 2v) √

3

f (x, y ) dy +

9−(y −1)

− 12 y −1

3π 2

y = 3u

− 2v

3



x2

dx dy dz

D

≤ 9 − (y − 1)2 V

y=0 y=1

x+4

dx

u v

f (x, y ) dx dy

D



t

u v



I=

− C2te−2

− −

−

2

f (x, y ) dx

 0

∂f = ∂v

2



√

1− 9−x2

4

 +

dy

ln(3u − 2v ) −

2

1+ 9−x

dx

2

− 2vu3

f (x, y ) dy =

√9−( −1) y



y −4

2

f (x, y ) dx

2u2 v 2 (3u

− 2v )

Σ

Σ



Σ

dx x+

√

x2 + x + 1

x2 y2 + 2 =1 2 a b

y



−

y = x ln x x ln x

2x cos2 y dx + 2y − x2 sin2 y dy = 0 T (1, 0)







y +y =

1 sin x

y = x+1 

y (0) = 1

∆ x = 0 .5

y (1)

f (x, y ) = x3 + y 3 y

e

  dy

1

− 3xy

f (x, y ) dx

ln y

z = x2 + y 2

2y + z = 3

110


Imeiprezime:

1

2

Dio: 1. 2. 3. (zaokruˇzite dio gradiva koji odgovarate)

1.dio 3 Σ

1

2

3

2.dio Σ

1

2

3

4

3.dio Σ O cjena

1. dio 1. Rijeˇsite integrale: (a) (15 bodova)



b) (20 bodova)



ln

π

3

1+x dx. 1−x

sin3 x dx. cos4 x

0

2. (35 bodova) Odredite duljinu luka krivulje zadane parametarski et sin t od t = 0 do t = ln π .

x = et cos t, y =

ˇ je to binomni inte gral? Kada je binomni integral eleme ntarno 3. (30 bodova) Sto rijeˇsiv? Navedite primjer elementarno rijeˇsivog binomnog integrala i rijeˇ site ga.

Rjeˇ senja: 1.

a)

x2

2 4 b) . 3

2. l =

√

ln

 

 

x−1 1+ x 1 + ln + x + C. 1−x 2 x+1

2 (π − 1).

2. dio 1. Odredite opća rjeˇsenja diferencijalnih jednadˇzbi: xy

y

x2 y 2

a) (25 bodova) 2  + + 3 = 0. b) (25 bodova) (2x + e −y ) dx + (cos y − xe−y ) dy = 0. 2. (30 bodova) Metodom varijacije konstanti odredite opće rjeˇsenje diferencijalne jednadˇzbe: √ y  + 2 y  + y = xe−x 3. (20 bodova) Kako se rjeˇsavaja diferencijalna jednadˇzba drugog reda oblikaF (x, y  , y  ) = 0? Navedite primjer takve jednadˇzbe i rijeˇ site je.

110


Rjeˇ senja: 1.

a) y =

1

√x . − y b) x + xe + sin y = C . x2 +C

2

2. y = e −x (Ax + B ) +

4 15

5

x 2 e−x .

3. dio 1. (25 bodova) Odredite ekstreme funkcije f ( x, y ) = 6 − 4x − 3y uz uvjet x 2 + y 2 = 1. 2. (25 bodova) Odredite povrˇ sinu lika omedenog parabolama y 2 = 10x + 25 i y 2 = −6x + 9. Skica obavezna. 3. (25 bodova) Odredite volumen tijela omedenog sferom x2 +y 2 +z 2 = 4 i paraboloidom x2 + y 2 = 3 z . 4. (25 bodova) Definirajte dvostruki integral. Po definiciji izraˇcunajte vrijednost 1 2

integrala



xdxdy .

0 0

Rjeˇ senja: 1. Tmin

 4 3 , . − ,

5 5

2.

16 √ 15. 3

3.

7π . 3

Tmax

4 5

, − 35 .



Σ

Σ

I=

Σ

x2 + 12x 18 dx. x(x2 6x + 18)

 11

−

−

y= x

≥ 1. I=

I=

2



− ln |x| + 6ln |x − 6x + 18| + 14arctg √ √ P = 2 3 − ln(2 + 3) I=

1 2

0

x−3 3

1 x ln2 x

dx.

+C

1 ln 2

y (0) =

−1

(x + 2y )y = 1. 

x + 2y + 1 y = 2x + 4y + 3 

y + y = sin x. 

1 x

y=x y=4 x

−

x= 1 (4x 8

y

−2(y + 1) + C e x = −2(y + 1)

+ 8y + 5) + 18 ln(4x + 8y + 5) = x + C

y = c 1 cos x + c2 sin x

−

x 2

cos x

f (x, y ) = ln( xy ) +



ln

9 x2 + y 2

+



x2 + y 2

− 4.

∂f ∂x

u(x,y,z ) = x 3

x2 + y 2

Df = (x, y )

{

2

∈R

:4

≤1 z ≥0 ≤x

2

+ y2

z+y

− 3x + y

+ z2

− yz.

≤2

≤ 9, xy > 0} T1 (1, 0, 0)

V = 2π

2

∂f ∂x

=

1 x

−

−1 x (ln x2 +9 y2 ) 2 (x2 +y 2 )

T2 ( 1, 0, 0)

−

+

√

x x2 +y 2 −4

Σ

Σ

Σ

I=



I=

x cos3 xdx.



e2 e

dx. . x ln x y = x2 y = x2 /2

y = 2x.

I = 13 x sin3 x + 19 co s 3x + C I = ln2 P =4

2

2

2

3

3x + 6xy  dx + 6x y + 4y  dy = 0. dy dx

− xy = x

y (ex + 1) + y = 0. 



x3 + 3x2 y 2 + y 4 = C y = x 2 + Cx y = C1 (x

x

−e

−

) + C2

f

   f (x, y) = x + y − 1 + ln 4 − x − y , 2

I=

2

2

2

  1 − x − y dxdy, 2

2

(S )

x2 + y 2 = 1.

S

1)2 + y 2 = z

(x 2x + z = 2.

Df = (x, y) df =

{

I = 23 π V =

π

2

√

x 2

2

∈R

x +y

2

1

−

−

: x2 + y 2

−

2x 4−x2 −y 2

2

2

≥ 1 x + y < 4} dx +

√

y

2

x +y

2

1

−

−

2y 4−x2 −y 2



dy

120, 130, 140


Imeiprezime:

Dio: 1. 2. 3. (zaokružite dio gradiva koji odgovarate)

1.dio 2 3

1

Σ

2.dio 2

1

3

Σ

3.dio 2 3

1

4

Σ

1. dio

1. (25 bodova) Izračunajte I=



x3 + 1 dx. x 3x + 2 2

−

2

2. (a) (25 bodova) Izračunajte duljinu luka krivulje x = 12 ( y2 ordinatama y = 1 i y = e. (b) (25 bodova) Izračunajte



1

I=

√

x2 1

− ln y) između točaka sa

− x dx. 2

0

Rješenja: 1. I =

2

x

2

| − 2| − 2 ln |x − 1| + C

+ 3x + 9 ln x 1 4

2

2. (a) l = (e + 1) (b) I =

π

16

2. dio

1. (a) (25 bodova) Riješite diferencijalnu jednadžbu dovođenjem na egzaktnu 2

(x

2

− 3y )dx + 2xydy = 0.

(b) (25 bodova) Odredite opće rješenje diferencijalne jednadžbe, te partikularno rješenje uz početni uvjet y (1) = 1

−

xy



− x +y 1 = x.

120, 130, 140


2. (30 bodova) Odredite opće rješenje diferencijalne jednadžbe y + 2y = x 2 + 2. 

Rješenja: 1. (a)

−1

+ x 3 y2 = C −

x

x (b) Opće rješenje: y = x+1 (x + ln x + C ) x partikularno rješenje: y = x+1 (x + ln x

2. y = c 1

√ cos 2x + c

2

√ sin 2x +

1 2

− 3)

(x2 + 1)

3. dio

1. (20 bodova) Odredite i ispitajte ekstreme funkcije f (x, y ) = 2( x + y ) uz uvjet x 2 + y 2 = 32. 2. (30 bodova) Izračuna jte površinu lika S = (x, y )

{

∈R

2

: (x

− 3)

2

+ (y + 1) 2

≤ 4 , y ≥ 0 }.

3. (25 bodova) Primjenom trostrukog integrala izračunajte volumen tijela omeđenog plohom z 2 + 4y 2 = 4, i ravninama x = 0, x = z + 2.

Rješenja: 1. Minimum se postiže u toč ki T1 ( 4, 4), a maksimum u točki T2 (4, 4). 2. P =

4π 3

− √3

3. V = 4π.

− −

Σ

Σ

I=



I=

I=

1 3

2

ln ((xx+1) +2)

2

P =

1 6

I=

ek

|x−2| |x−1|

Σ

x2 − x + 2 dx. x4 − 5x2 + 4



y = x 2 − 3x + 2 x ∞

e−kx dx

k > 0.

−1

+C

k

y

y = e x +

y +

y . x

y + y 2 = 0. x+1

y  sin y = 2y 2 cos y.

.

y

ln cx = −e− x y=

1 (1+x)[ln(1+x)+c]

y = arcctg(c1 x + c2 )

f (x, y ) = ex−y (x2 − 2y 2 ). y = y = 4x

1 x

y = 2x

x2 + y 2 = z x2 + y 2 = 2x x= 0 y= 0 z= 0

T1 (0, 0) P = ln V =

√

3π . 4

2

T2 (−4, −2)

Σ

Σ

I=



Σ

e−2x cos5 xdx. y = x2

x = 0, x = 3

y = 0.

I=

∞

− 3x + 2

2

xe−x dx.

0

1 0

6xdx

 I=

1 −2x e (5sin5 29

P = I=

x

− 2cos5 x) + C

11 6 1 2

y =

−

x+y 3 . x y+1

−

y (1) =

0 xy  + ( x + 1)y = 3x2 e−x .

y 

− y − 6y = 13 cos2 x.

F (y, y  , y  ) =

0

2 arctg xy− −1

y=

e−x

−

1 2

(x3

x

ln 1)

 −  + 1 = ln c(x − 1) y 2 2 x 1

−

−

y = −41(5co s 2x + si n 2x) + c1 e3x + c2 e−2x

f (x, y ) = I=

1 0

3x 2x

 dx  2

√

√

1−x2 + 4−y 2 ln(x2 +y )

f (x, y )dy

2

x + y = 2z

x+ z = 4. F (x, y ) = xy 2

x3

−

+

{

2 0

 dy 

V =

81π . 4

dx

=0

Df = (x, y ) I=

dy

x2 y

2

y

2 y

3

2

2

∈ R : |x| ≤ 1, |y| ≤ 2, y > −x , y = 1 − x } f (x, y )dx +

3 2

 dy 

1 y

3

f (x, y )dx

110 a


1. dio

1. (7 bodova) Izraµcunajte

Z

x3 + 1 dx: x 3x + 2 2



2. Izraµcunajte (a) ( 6 bodova)

Z

1

p  x dx:

x2 1 0

(b) ( 7 bodova) duljinu luka krivulje x = y = 1 i y = e.

1 2

2



y2 2

 ln y

 izme†u toµcaka sa ordinatama

Rješenja:

1. I =

x2 2

j  2j  2 ln jx  1j + C

+ 3x + 9 ln x

2. (a) I =

 16

(b) l = 14 (e2 + 1) 2. dio

1. (7 bodova) Odredite opće rješenje diferencijalne jednadµzbe

 x +y 1 = x; te partikulatno rješenje uz poµcetni uvjet y (1) = 1. xy

0

2. (8 bodova) Riješite sustav diferencijalnih jednadµzbi dx = 3 dt dy dt

 2y

= 2x

 2t:

Rješenja:

1. opće rješenje: y =

x x+1

( x + ln x + C ), partikularno rješenje: y =

2. x (t) = C 1 co s 2t + C2 si n 2t + t, y (t) = C 1 si n 2t

 C co s 2t + 1 2

x x+1

(x + ln x

 3)

110 a


3. dio

1. (8 bodova) Odredite podruµcje de…nicije funkcije f zadane sa f (x; y ) =

i njen totalni diferencijal.

p

x2 + y 2

2

2

 1 + ln 4  x  y 

2. (a) ( 5 bodova) Prelaskom na polarne koordinate izraµcunajte

ZZ p

1

S

x y ; 2

2

gdje je S podru µcje ome†eno kruµznicom x 2 + y 2 = 1 . (b) ( 7 bodova) Izraµcunajte volumen tijela ome†enog plohama z 2 + 4y 2 = 4, x = 0, x = z + 2.

Rješenja:

1. Df = (x; y )

f

df =

x

p

2. (a) I =

2

x2 +y2 1

2 3

(b) V = 4

2

R

:1

x

2

2x



2

4x

y



2

+ y2 < 4

g

 d + p x

y x2 +y2 1

2y



2

4x

y



2

d

y

110 b


1. dio

1. (7 bodova) Izraµcunajte

Z

x2 + 3 ln 2x dx:



2. Izraµcunajte (a) ( 6 bodova) nepravi integral

Z1 0

dx : x2 + x + 4

(b) ( 7 bodova) duljinu luka krivuljex 2 + y 2 = 2 x izme†u toµcaka A (1; 1) i B

Rješenja:

1. I =



x3

3

2. (a) I = p215 (b) l =

 

+ 3x ln j2xj 

5



2

x3

9

 3x + C

 arctg p115



6

2. dio

1. (7 bodova) Odredite opće rješenje diferencijalne jednadµzbe y0 

y = x ln x; x ln x

te partikularno rješenje uz poµcetni uvjet y (e) = 0 . 2. (8 bodova) Riješite sustav diferencijalnih jednadµzbi dy = y+z dx dz = x + y + z: dx Rješenja:

1. opće rješenje: y =



x2

2



+ C ln x, partikularno rješenje: y =



x2

2



e2 2

2. y (x) = C 1 + C2 e2x  14 (x2 + x), z (x) = C 2 e2x  C1 + 14 (x2  x  1)

 ln

x

 p . 3 2

;

3

2

110 b


3. dio

1. (8 bodova) Odredite lokalne ekstreme funkcijef zadane sa f ( x; y ) = 2 x2  xy  3x + y 2 + 1:

2. (a) ( 5 bodova) Promijenite poredak integriranja u dvostrukom integralu 1

Z dZ

2

y

y

0

f (x; y ) dx:

y

Rješenja:

1. T

6

; 37

 , 7

(a) I =

f (T ) =  27 lokalni minimum 1

RdR

(b) V =

0

25 32

x

x

0

f (x; y ) dy +

2

2

R d R 1

x

0

x

f (x; y ) dy

130 - grupa 2


Imeiprezime:


1.dio 2 3

1

1

Σ

2.dio 2

3

1

Σ

3.dio 2

3

Σ

Ocjena

1. dio 1. (a) (6 bodova) Izračunajte

√ √x x dx.

1+

I=



I=



3

(b) (6 bodova) Izračunajte 1

4x2 dx. 2x + 1

0

2. (8 bodova) Izračunajte površinu lika omeđenog krivuljama y = x 2 + x + 1, x = 0, x = 1, y = 0. 3. (5 bodova) Primitivna funkcija. Newton Leibnizova formula.

Rješenja:

√

1. (a) I = 2 x +

6 5

√ 6

x5 + C

(b) I = 12 ln 3 2. P =

11 . 6

2. dio

1. (a) (5 bodova) Odredite opće rješenje diferencijalne jednadžbe y



y =e + x

y . x

(b) (7 bodova) Odredite opće rješenje egzaktne diferencijalne jednadžbe (1 + x

x + y )dx + (yx + y − y)dy = 0. 2

2

2

2


xy + y



− x = 0.

3. (5 bodova) Singularno rješenje diferencijalne jednadžbe. 1

130 - grupa 2


Rješenja: 1. (a) y = (b) x + 2. y =

2

x

4

−x ln(ln √( + ) x2 y 2

C x

)

3

3

−

y2

2

=C

+ C1 ln x + C2 .

3. dio

1. (a) (5 bodova) Odredite xz.

∂z ∂z i ako je z = f (x, y ) implicitno zadana funkcija xy +yz = ∂x ∂y

(b) (7 bodova) Izračunajte volumen tijela omeđenog plohama x + y + z = 6, z = 0, y = 0, y = x, x = 3.

 0 ≤ x ≤ 1  2. (8 bodova) Izračunajte integral x y (y + z )dxdydz ako je V...  00≤≤zy≤≤xyx . 3 2

V

3. (5 bodova) Fubinijev teorem.

Rješenja: 1. (a)

∂z ∂x

=

(b) V = 2. I =

y −z ∂z , x−y ∂y

=

x+z x−y

27 2

32 1100 .

2

130,140...GRUPA 1


Imeiprezime:

1.a) 1.b)


1.dio 2.

2.dio 1.a) 1 .b) 2.

Σ

3.

1. dio 1. (a) (5 bodova) Izračunati



(b) (7 bodova) Izračunati



Σ

3.

√x − 2 √x √x 3

2

4

+1

3.dio 1.a) 1 .b)

2.

Σ

3.

dx.

1

x3 x+2

dx.

−1

2. (8 bodova) Odrediti duljinu luka krivulje y = ln x, u granicama od x =

√

3 do x =

√

8.

3. (5 bodova) Usporediti primjenu metode supstitucije kod rješavanja neodređenog i kod rješavanja određenog integrala.

2. dio 1. (a) (5 bodova) Odrediti opće rješenje diferencijalne jednadžbe (y +

√xy)

dx = x dy .

(b) (7 bodova) Odrediti opće rješenje egzaktne diferencijalne jednadžbe 2x 1 + x2 y dx x2 y dy = 0.

 

−



−



−

2. (8 bodova) Odrediti opće rješenje diferencijalne jednadžbe (1 + x2 )y + 2xy = 6x2 + 2. 



3. (5 bodova) Kakve jednadžbe nazivamo diferencijal nim jednadžbama? Provjeriti da li je y (x) = cx c2 , (c je konstanta), op će rješenje diferencijalne jednadžbe ( y )2 xy + y = 0 te pokazati da je y = x4 njeno singularno rješenje. 

−

2

−



3. dio 1.

∂z ∂z i ako je z = f (x, y ) funkcija implicitno zadana sa ∂x ∂y 3 3 3 x + 2 y + z = 3xyz + 2y 3.

a) (5 bodova) Odrediti

−

b) (7 bodova) Izračunati volumen tijela omeđenog sljedećim plohama: y = 0, z = 0, 3x + y = 6, 3 x + 2 y = 12 i x + y + z = 6. 2. (8 bodova) Prelaskom na sferne koordinate izračunati vrijednost integ rala x2 + y 2 + z 2 dxdydz ako je područje V određeno nejednakostima 0

  V

0≤y

≤

√

1 − x2

 i 0≤z ≤ 1−x −y . 2

≤x≤

1,

2

3. (5 bodova) Objasniti, po analogiji na koju formulu koja vrijedi za funkcije jedne varijable, računamo parcijalne derivacije funkcija više varijabli? Izračunati uxx ako je u(x,y,z ) = x y . z

1

130,140...GRUPA 1


Rješenja: 1. dio

4 24 1. (a) I = x x x 5 17 26 b) I = 8ln3 . 3

√ − 4

√

12

x5 +

4√ 3 x + C. 3 4

−

2. l = 1 + 1 ln 3 . 2 2

2. dio

√

1. (a) x ln(cx) = 2 xy. 2 2 b) x2 + x y = C. 3

·





−

3 2

2. y (x) = x 2 + C1 arctg x + C2 .

3. dio 1. (a)

∂z x2 = ∂x xy

b) V = 12. 2. I =

π

8

− yz , ∂z z

−

2

∂y

=

6y2 − 3xz − 2 . 3(xy z 2)

−

.

2

130, 140

Popravni ispit iz Matematike 2, 2009/10

Ime i prezime 1.



1. (a) (10 bodova) Izračunajte

2.

3.

4.

5.



x3 + 2 x2 dx. x2 5 x + 4

−

(b) (5 bodova) Izračunajte volumen tijela koje nastaje rotacijom oko osi X pseudotrapeza omeđenog grafom krivulje x = y 2 , pravcima x = 4 i x = 9. Skica obavezna! 2. (15 bodova ) Metodom varijacije konstanti odredite opće rješenje diferencijalne jednadžbe 1 y +y = . cos x 

3. (a) (7 bodova) Odredite i skicirajte prirodno područje definicije funkcije f (x, y ) = ln( x2 + y 2 + 4x 5). (b) ( 8 bodova ) Odredite

∂f ∂x

−i

∂f ∂y

ako je f (x, y ) =

x+y

√ 3

4. (15 bodova) Postavite granice integracije u integralu

.

 f (x,y,z )dxdydz

x2 −y

V

ako je V piramida s vrhovima A(0, 0, 0), B (2, 0, 0), C (0, 3, 0), D (0, 0, 6). 5. (a) (5 bodova) Primitivna funkcija. Newton-Leibnizova formula. (b) (5 bodova) Linearna aproksimacija funkcije f (x, y ) u ( x0 , y0 ). (c) (5 bodova) Fubinijev teorem.

Rješenja: 1. (a) I =

x2

(b) V =

| − 4| − ln |x − 1| + C

+ 7 x + 32 ln x

2 65π

.

2

|

|

2. y = c 1 cos x + c2 sin x + cos x ln cos x + x sin x

√{

3. (a) Df = (x, y ) ∂f ∂x

(b)

=

0

∈R √

3− 32 x 0

2

: (x + 2) + y 2 > 9

x2 −y − 23 x(x+y )(x2 −y ) 3

 dx  2

4. I =

3

2

(x2 −y )2



−2 3

,

∂f ∂y

6−3x−2y

dy

0

f (x,y,z )dz.

√} 3

=

x2 −y + 13 (x+y )(x2 −y )

√ 3

(x2 −y )2

−2 3

130,140


Imeiprezime:

Dio: 1. 2. 3. (zaokružite dio gradiva koji polažete)

1.dio 1234

Σ

1

2

2.dio 3 4

3.dio Σ

12

3 4

Σ

1. dio 1. (4 boda) Izračunati I =



√ 4

√x x3 + 1

dx.

1

2. (8 bodova) Izračunati I =

x3 dx. x6 + 2 x3 + 1

 0

3. (6 bodova) Odrediti oplošje tijela nastalog rotacijom oko osi između sjecišta s pravcima x = 23 i x = 23 .

x luka krivulje y = x3

−

4. (7 bodova) Zapisati Newton-Leibnitzov teorem pa objasniti što zaključujemo iz tog teorema o rješavanju određenih integrala. Izračunati površinu između grafa funkcije y = sin x i x-osi u granicama od x = 0 do x = π . 2. dio 1. (4 boda) Odrediti opće rješenje diferencijalne jednadžbe: cos y dx = (x +2cos y )sin y dy . 2. (6 bodova) Odrediti opće rješenje diferencijalne jednadžbe: yy  = (y  )2 (y  )3 , te partikularno rješenje uz uvjete: y (1) = 1, y  (1) = 1. 3. (8 bodova) Odrediti opće rješenje diferencijalne jednadžbe: y  + 3 y  = 3xe−3x .

−

−

4. (7 bodova) Zapisati populacijsku i logističku diferencijalnu jednažbu, objasniti oznake u tim jednažbama te obrazložiti kakve zakonitosti (ili konkretne situacije) su formulirane tim modelima. 3. dio 1. (6 bodova) Odrediti ekstreme funkcije z = 6

− 4x − 3y uz uvjet x

2

+ y 2 = 1.

2. (4 boda) Odrediti jednažbu tangencijalne ravnine i normale na plohu (z 2 x2)xyz y 5 = 5 u točki T (1, 1, 2). √ 2 2x x 3 − 3. (8 bodova) Riješiti integral dx dy z x2 + y 2 dz prelaskom na cilindrične

−

−

2





0

0

  0

koordinate. 4. (7 bodova) Kako glasi Fubinijev teorem i što nam on omogućava? U integralu



f (x, y ) dxdy ,

D

gdje je D = (x, y ) R2 : 1 y 1 , 0 redoslijeda i skicirati područje integracije.

{

∈

− ≤ ≤

2

≤ x ≤ y }, postaviti granice integracije u oba

130,140


Rješenja: 1. dio

√

√

1. I =

4 3

2. I =

− 16 + 19 ln2 + 9√π 3 .

3. O =

4

2π 27

x3

− ln

4

 125  27

−1

x3 + 1

 +

C.

.

2. dio

− cos(2y). 2. C ln y + y = x + C , −2 ln y + y = x .  x x 3. y (x) = C + C e− + e− −2 −3 . 1. 2x cos y = C 1

2

2

3x

1

3x

2

3. dio 1. I = 8. 2. 2x + y + 11 z 3. Tmaks



− 2. − 25 = 0 , x −2 1 = y −1 1 = z 11

− 45 , − 35



, Tmin

4 3 ,

5 5

.

130, 140


Ime i prezime 1.a)

1.b)

2.a)

2.b)

3.a)

3.b)

4.



1. (a) (10 bodova) Izračunati



x arctg x dx. (1 + x2 )2

(b) (10 bodova) Izračunati volumen tijela koje nastaje rotacijom lika omeđenog krivuljom y = x 3 + 1, pravcima x = 0 i y = 2 oko osi y. Skica obavezna! 2. (a) ( 10 bodova) Metodom varijacije konstanti odrediti opće rješenje diferencijalne jednadžbe 1 y + 4y = . sin2 x 

(b) ( 10 bodova) Kultura bakterija u početku ima 500 bakterija. Stopa rasta je proporcionalna broju bakterija. Nakon 2 sata populacija je narasla na 2000 jedinki. Odrediti broj bakterija nakon 5 sati. 3. (a) (10 bodova) Odrediti i skicirati prirodno područje definicije funkcije ∂f f (x, y ) = arcsin( x y ) + ln( ex ey ). Odrediti ∂x i ∂f . ∂y

−

−

(b) ( 10 bodova) Izračunati volumen tijela omeđenog plohama x2 + y 2 = 1, z = x2 + y 2 i z = 0. Skica obavezna!



4. (a) ( 5 bodova) Objasniti na koji način smo definirali određeni integral, u granicama od a do b, neke omeđene funkcije f : [a, b] R te koja primjena određenog integrala proizlazi iz geometrijske interpretacije te definicije. Obavezna je skica i pojašnjenja svih oznaka koje koristite.

→

(b) ( 5 bodova) Zapisati opći oblik linearne diferencijalne jednažbe drugog reda. Na koji način provjeravamo linearnu nezavisnost dvaju rješenja te jednažbe? Dokazati tvrdnju da je svaka linearna kombinacija ( C1 y1 + C2 y2 ) dvaju rješenja linearne homogene DJ-e također rješenje te jednažbe. (c) (su 5 bodova) Navesti(objasniti koje smo oznake) primjene. dvostrukog integrala učiliacije i kojete njihove formule Skicirati područje integr promjeniti poredak integracije u sljedećem integralu 1

 0

1

5

x dx



x2

2

ey dy.

130, 140


Rješenja:

1. (a) I = (b) V =

x 4(1+x2 )

x2 −1 4(1+x2 )

+

arctg x + C .

3π . 5

2. (a) y = (

−

1 2

ctg x

− x + B )sin2 x + (A − ln |sin x|)cos2 x.

(b) P (5) = 16000 . 3. (a) Df = (x, y ) R2 : x 1 < y < x , ∂f 1 1 = + e e e , ∂f = ∂x ∂y

{ √

(b) V =

∈

1−(x−y )

2π

1

0

0

x

x

2

−

−

r

 dϕ  r dr  dz = 0

√

y

2π . 3

}

−

1−(x−y )2

−

ey . ex −ey

ispitiikolokvijifesb

Recommend Documents