Unidad 9 2. Expresa cada una de las transformaciones lineales siguientes como una sucesión de expansiones, compresiones, reflexiones y cortes (se da la representación matricial de la tra nsformación lineal). lineal).
2 1 5 0 3 2 b) 1 4 3 6 c) 4 2 a)
3. Encuentra la matriz de las siguientes rotaciones y di si se puede expresar como producto de extensiones, compresiones, compresiones, cortes y reflexiones ref lexiones.. a b
180o 270o
9.2. Isometrías En unidades anteriores estudiamos espacios vectoriales con producto interno y norma. Vamos ahora a estudiar las transformaciones lineales entre estos espacios vectoriales. Primero probaremos una propiedad de las matrices referente al producto interno.
Teorema 9.3. Sea A una matriz de orden m n. Sean x ∈ R n, y ∈ R m vectores cualesquiera, entonces A ( x) y x ( At y)
Observa que la parte derecha de la igualdad corresponde al producto interno de Rn, mientras que la parte izquierda corresponde al producto interno de Rm. Este teorema nos indica que el producto de matrices conserva el producto interno. Recordemos algunos resultados vistos en u nidades anteriores: si A es una matriz de n n.
342
Álgebralineal 1) Una matr iz A es ortogonal si es invertible y A –1 = At . 2) Una matriz A es ortogonal si y sólo si las columnas de A son una base ortonormal de Rn. Si tenemos una transformación lineal T: Rn matricial A es ortogonal, entonces:
Rn cuya representación
(Tx Ty ) Ax Ay x ( A Ay ) x (A 1Ay ) x (Iy ) x y t
En particular si x = y, Tx
Tx = x x de donde
Tx
x .
Definamos estas t ransformaciones especiales:
Definición 9.8. Sea T: R n R n una transformación lineal, entonces T se llama isometría si para cada x en R n se tiene que T x x .
Ejemplo 9 1. Sea T: R2 R2 una transformación lineal definida por
T
1 1 x 2 2 x y 1 1 y 2 2
vamos a probar que T es isometría.
Sea x = tanto
x1 entonces y 1
1 1 1 1 x1 2 2 x1 2 x1 2 y1 T 1 por y1 2 12 y1 12 x1 12 yy1
1 x1 1 y1 1 x1 1 y1 2 2 2 2 T(x) T(x) 1 x1 1 y1 1 x1 1 y1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 x1 y1 x1 y1 = = x12 + y12 = 2 2 2 2
x • x
343
Unidad 9 De donde podemos asegurar que T es isometría. Combinando el hecho de que las isometrías son transformaciones lineales, se tiene el siguiente resultado:
Teorema 9.4. Sea T: R n R n una isometría, entonces
i) T (x) T ( y ) -
ii) T(x)
x
=
-
y
T(y) = x y
Este teorema nos indica que una isometría preserva la magnitud de un vector y el producto interno o escalar. Recordemos que el producto interno de dos vectores es un escalar. Si la transformación lineal tiene una representación matricial ortogonal, entonces es una isometría. El siguiente resultado nos dice que las isometrías se caracterizan por tener representaciones matriciales ortogonales.
Teorema 9.5. Una transformación lineal T: R n R n es isometría si y sólo si su representación matricial es ortogonal.
Tomaremos la isometría del ejemplo anterior para probar que su representación matricial es or togonal.
Ejemplo 10 Sea T: R2 R2 una transformación lineal definida por 1 1 x 2 2 x T ; por el ejemplo 9 sabemos que es una y 1 1 y 2 2 isometría. Vamos a probar que su representación matr icial
344
Álgebralineal
A =
1 2 1 2
1 2 es ortogonal. 1 2
La matriz inversa de A es A –1 ortogonal.
=
1 2 1 2
1 2 = At . Por lo tanto A es 1 2
¿Cómo se caracteri zan las isometrías de R2 en R2? Sea T: R2 R 2 una isometría, y sean e1 = (1, 0) y e 2 = (0, 1) los vectores de la base canónica. Sabemos que estos vectores son ortonormales, es decir, su magnitud es 1 y su producto interno es 0. Como T es una isometría, conserva el producto interno y las magnitudes, por lo tanto las imágenes de estos vectores T(e1) y T(e 2) son también un conjunto ortonormal. Un vector unitario en R2 puede escribirse usando las siguientes equivalencias (ver rotaciones) x = cos y = sen donde es el ángulo que forma el vector con el semieje positivo x.
Para encontrar la representación matricial de T necesitamos las imágenes de los vectores e1 y e2. T(e1) = (cos sen y T(e2) = (cos , sen ).
345
Unidad 9 Como son or togonales,
de donde
cos cos ( cos cos sen sen sen sen ( ) = sen cos cos sen Sin embargo cos
sen
entonces
cos cos ( sen sen sen ( ) = cos por tanto T(e1) = (cos
sen
y T(e2) = (cos
, sen ) = (– sen , cos ).
Con estos vectores formamos la representación matricial de T: cos sen A = sen cos Notemos que esta matriz es la representación de una rotación. Sin embargo, si tomamos como base los vectores u1 = (1, 0) y u2 = (0, –1) que también son ortogonales, tendremos como representación matricial la matriz de una ref lexión seguida de una rotación: El siguiente resultado nos confirma estos hallazgos:
Teorema 9.6. Si T: R2 R2 es una isometría, entonces T es:
i) una transformación de rotación, o ii) una reflexión respecto al eje x seguida de una rotación.
Ejemplo 11 Consideremos la transformación lineal T definida por 1 1 x 2 2 x T . Por el ejemplo 9 sabemos que es una isometría. y 1 1 y 2 2 Vamos ahora a probar que es una rotación o una reflexión seguida de una rotación.
346
Álgebralineal Si recordamos un poco de trigonometría, en un triángulo rectángulo 1 equilátero, el sen 45 o = cos 45 o = , por tanto 2
1 2 1 2
1 2 = 1 2
cos 45 sen 45 1 0 cos 45 sen 45 sen 45 cos 45 0 1 sen 45 cos 45
que corresponden a las matrices de una ref lexión seguida de una rotación. Las isometrías t ienen propiedades interesantes:
Teorema 9.7. Si T: R n R n es una isometría, entonces
i)
Si {u1, u2, ..., un} es un conjunto ortogonal, entonces {T(u1), T(u2), ..., T(un)}es un conjunto ortogonal. ii) T es un isomorfismo. iii) T preserva ángulos.
Es importante hacer notar que si T es un isomorfismo, no necesariamente es una isometría.
Ejemplo 12 Sea T: R2 R2 la transformación lineal definida por T( x) = 2 x. Consideremos el vector v = (1, 0), entonces v sin embargo T v
T ( v ) T ( v ) i
vv
12
22
02 2
(2, 0) (2, 0) i
02 1 ,
de donde podemos asegurar que T no conserva longitudes, y por tanto no es una isometría. También podríamos haber hecho el siguiente análisis: La representación matricial de T respecto a la base canónica es pero
2 0
0
1 2 0
0 2 0
2 0
0
,
2
que representan una expansión a lo largo del eje
2 0 1
347
Unidad 9 x con c = 2 seguido de una expansión a lo largo del eje y con c = 2, y por lo tanto no corresponde a ninguna de las caracterizaciones de las isometrías y es isomorfo porque R 2 a R 2 son de la misma di mensión.
Ejercicio 2 1. Di si la transformación lineal T: R3 R3 definida por cos 0 sen T(x) =
cos sen 0 0
1
0 x es una isometría.
2. Di si las siguientes matrices representan isometrías y di si es rotación o rotación seguida de ref lexión: a)
0 1 1 0
b)
cos sen sen cos
c)
1 0
0
1
Ejercicios resueltos 1. Escribe la re presentación matricial de la reflexión con respecto al eje y y bosqueja la región obten ida al aplicar la transformación al rectáng ulo:
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