Laboratorio N° 02: Respuesta en Frecuencia de los Filtros Activos Yeltsin Antony Alan Sotelo Camones Facultad de Ingeniería Ingeniería Eléctrica Eléctrica y Electrónica, Electrónica, Universidad Nacional de Ingeniería Ingeniería
Lima, er!
I.
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• •
4. -a funci%n de transferencia ser puede obtener experimentalmente a esto se le conoce como identificaci%n Enco Encont ntra rarr exper xperim imen enta talm lmen ente te la resp respue uest staa de del sistema. frecuencia de los filtros pasa bajo, pasa alto y pasa banda. Disear los filtros acti!os. "omprobar los resultados mediante soft#are y reali$ar la simulaci%n de los filtros acti!os. II.
A
OBJETIVOS
&'(D)*E(TO TE+I"O
An"lisis en el dominio dominio de la #recuencia #recuencia $ Función de trans#erencia trans#erencia
-a funci%n de transferencia de un sistema lineal in!ariante en el tiem tiempo po se pu pued edee defi defini nirr como como la rela relaci ci%n %n de la transformada de -aplace de una salida y la transformada de -apla -aplace ce de una entrad entradaa asumie asumiendo ndo ue las con condic dicion iones es iniciales son nulas. Este modelo matem/tico no proporciona informaci%n acerca de la estructura interna del sistema, solo brinda informaci%n externa es decir, la respuesta a una determinada excitaci%n sin tomar en cuenta el estado inicial del sistema.
Y ( s) U ( s)
m
=
+ bm− s m− … +b n− n− s + bn− s … + a
b m s + bm−1 s n
an s + bn−1
m−1
2
2
1
0
2
2
0
Obser!ations0 1. (orm (ormal alme ment ntee m es es meno menorr ue ue n. 2. )unue )unue se obtie obtiene ne de la relaci% relaci%nn de una entra entrada da y una una salida salida es inde indepe pend ndie ient ntee de ella ella,, es deci decirr es un unaa prop propie ieda dadd intr3nseca del sistema.
%es&uesta en #recuencia$ #recuencia$
Se conoce por respuesta en frecuencia, a la respuesta de un sistema, en r56imen permanente, cuando se utili$a como seal seal de entrad entradaa una excita excitaci% ci%nn senoid senoidal al de amplit amplitud ud constante y de frecuencia !ariable desde cero 7asta infinito. Tal cual se !a a demostrar, la respuesta de un sistema -TI ante este tipo de excitaci%n, es otra senoidal de la misma frecuencia ue la entrada, pero ue difiere en amplitud y fase. Ventajas0 1. -a facil facilida idadd experi experimen mental tal de de reali reali$a. $a. 2. a &DT en el dominio frecuencia se obtiene reempl reempla$a a$ando ndo la !ariab !ariable le s de -aplac -aplacee por j8. j8. -a nue!a nue !a funci% funci%n, n, 9:j8;, 9:j8;, es una funci funci%n %n de !ariab !ariable le compleja, cuya representaci%n en m%dulo y ar6umento expresar/, la amplificaci%n o atenuaci%n del euipo y el desfase introducido a una determinada frecuencia "onsiderando un -TI de la forma0
Sera excitada por0
− jw
jw
y ss (t )=k 1 e + k 2 e
x( t )= Asen ( w t )
Determinaremos los coeficientes0 )plicando la transformada de -aplace tenemos ue0
X ( s)=
G( s )=
Aw 2
s +w N ( s )
k 1=
2
funcionde transferencia
D( s )
Y ( s)= X (s ) G( s)
N ( s) D( s )
A G (− jw )
−2 j
{
jw
y ss (t )= A ∙ im G( jw ) e
}
)u3 se muestra la ra$%n por la cual de manera pr/ctica solo se rempla$a s por j#.
Aw 2 s +w
∙
2 j
y k 2=
y ss (t )= A ∙ ¿ G ( jw )∨ sen ( wt + ϕ( jw ))
-a salida ser/ de la forma0
Y ( s)=
A G( jw )
'iagrama de (ode
-os dia6ramas de Bode son 6r/ficas semilo6ar3tmicas de la ma6nitud :en decibeles; y de la fase :en 6rados; de una funci%n de transferencia en funci%n de la frecuencia :espuesta en frecuencia;. j ϕ G( jw) =¿ G( jw )∨ e ( )
2
jw
¿ G( jw )∨¿ G( w) d!=20log ¿ "onsideraremos un sistema estable con polos p i de tal modo ue0 Y ( s)=
Y ( s)=
N ( s) D( s )
∙
ϕ (w )=arctan
Aw (s − jw )( s + jw )
k 1
+
k 2
( s − jw ) ( s + jw )
+ ∑ polos simples + ∑ p
−1
y ss (t )= L
[
k 1
+
k 2
( s − jw ) ( s + jw )
]
(
#m {G ( jw ) }
ℜ {G( jw ) }
)
A) Filtros activos
)unue existen muc7as formas de clasificarlos nosotros los clasificaremos se6=n la selecti!idad de frecuencia del filtro, el cual es el modo m/s com=n de clasificaci%n0 1. &iltros pasa baja0 -a fi6ura muestra una respuesta en frecuencia de un t3pico filtro pasa bajas. El ran6o de frecuencias de este filtro se di!ide en tres /reas. -a pasa banda ue se extiendo desde frecuencia cero :D"; 7asta la frecuencia de borde f pass y la banda de rec7a$o se extiendo desde f stop 7asta infinito. Estas dos /reas est/n separadas por la banda de transici%n ue se extiende desde f pass 7asta f stop. Tambi5n es necesario indicar la 6anancia en la re6i%n pasa banda como ) pass y la 6anancia en la banda de rec7a$o )stop .
Empleando Op>amp el circuito para un amplificador de pasa altas es de la forma0
4. &iltros pasa banda0 -as especificaciones para un filtro pasa banda reuiere un par m/s de descripciones. 'n filtro pasa banda permitir/ el paso de una banda de frecuencia mientras aten=a las frecuencias por encima y por debajo de esta banda. En este caso la pasa banda existe entre las frecuencias de borde f pass1 y f pass2. . 'n filtro pasa banda posee dos re6iones de rec7a$o de frecuencia donde se atenuaran las seales.
Empleando Op>amp un filtro pasa bajas con un solo polo tiene el si6uiente esuema0
2. &iltros pasa alta0 En este caso la re6i%n pasa banda se extiende de f pass 7asta infinito, mientras ue la banda de rec7a$o se exitende desde ? 7asta f stop, al i6ual ue el anterior la banda de transici%n comprende entre f stop y f pass. )demas especificamos los !alores de a pass y a stop. @. &iltros rec7a$a banda0 'na descripci%n directa para esta especie es ue cumple la funci%n in!ersa de un filtro pasa banda.
() *&+am& -. $
III. ES<'EST)S A <E9'(T)S 0 1. ¿Definir la característica de transferencia del filtro en el doinio de Laplace! -as caracter3sticas de transferencia de un filtro de cualuiera de las clases mostradas anteriormente nos brindan informaci%n entre la relaci%n ue existe entre la salida del filtro y la seal de entrada, En 6eneral cualuier filtro puede representarse como una caja ne6ra a la cual se le asi6na una funci%n de transferencia ue no es m/s ue la relaci%n entre la entrada y la salida en funci%n de la !ariable de -aplace.
+ bm−2 s m−2 …+ b0 = n n −1 n−2 U ( s) an s + bn−1 s + bn−2 s … + a0 Y ( s)
m
b m s + bm−1 s
m−1
2. Funci"n de transferencia de un filtro pasa ba#os de prier $ se%undo orden.
( ) =
A ( s)
$2 1+ $3
1 + $1 % 1 s
A ( s)=
1 1
+ s % ( $ + $ ) + $ $ % % s
2
1
1
2
1
2
1
2
Obser!aci%n0 *ientras mayor se n mejor ser/ la aproximaci%n a un filtro ideal. A&ro/imación de C1evys1ev$
-os filtros "7ebys7e! maximi$an la tasa de corte de la banda de transici%n, al precio de introducir ri$os en la banda de paso, como se muestra en la 6r/fica.
&. Diferencias 's iportantes entre los filtro activos apro(iados )*essel+ ,-eb$s-ev+ *utterort-/ A&ro/imación de (utter0ort1
Donde 0 n 0 Orden del filtro. #c0 &recuencia de corte. "uando deri!amos 2n>1 !eces la funci%n de transferencia esta resulta cero en el ori6en de coordenadas, lo cual indica una cur!a tan plana como sea posible. 'na cur!a Butter#ort7 se denomina m/ximamente plana, se !uel!e al6o abrupta cerca de la frecuencia de corte y pasa a una tasa final de >2?n dBdec en la banda de rec7a$o.
Donde0 "n 0
A&ro/imación (essel)
En 6eneral los filtros introducen un cambio de fase de u5 depende de las frecuencias. Si este cambio !aria en forma lineal con ella, el efecto es tan solo retrasar la seal una cantidad constante. Sin embar6o, si la fase !aria en forma no lineal, diferentes componentes de frecuencia de la entrara experimentaran retrasos diferentes, por lo ue la seal ue no sean sinodales tendr/n una distorsi%n de fase si6nificati!a al propa6arse a tra!5s de los filtros. En 6eneral, entre m/s abrupta sea la caracter3stica de banda de transici%n m/s 6rande ser/ la distorsi%n.
-os filtros Bessel, ue tambi5n se le conoce como filtros T7omson, maximi$an el retraso de la banda de paso al i6ual ue los filtros Butter#ort7 maximi$an la ma6nitud de esta. El resultado es la caracter3stica casi lineal dentro de la banda de paso, si bien al precio de tener una caracter3stica de ma6nitud con menor pendiente en la banda de transici%n
&iltro pasa banda0
&iltro pasa alta0
Obser!aciones0 El filtro Bessel presenta mayor linealidad ue los filtro "7e!ys7e!. . Diseo de los filtros :
. Frecuencia de corte de filtro pasa ba#o $ factor de calidad de los filtros pasa banda $ pasa alto. 1. &iltro pasa bajo0 "onsideramos como frecuencias de corte se6=n el modelo0 f CG.H FC$ f -G@? C$ 2. El factor de calidad del filtro pasabandas es de 0 G1 4. El factor de calidad del filtro pasa altas es de 0 G 2. 3. Diseo de un filtro pasa ba#o de ° orden de *utterort- con una frecuencia de corte de 04-5
Del cuadro casi de manera directa podemos obtener la funci%n de transferencia del filtro pasa bajo 0
s (¿¿ 2 + 0.6180 s + 1 )( s 2+ 1.618 s + 1 )( s + 1 ) & ( s)=
1
¿
Esta ser3a la funci%n normali$ada bastar3a reempla$ar0 jw s= wc
&iltro pasa banda0
6. 7n donde se aplican los filtro activos en el capo de las telecounicaciones. -os filtros son una componente muy importante de todo sistema de comunicaci%n tanto en la fase de transmisi%n como en la etapa del receptor, estos filtros nos permiten aislar el ruido producido antes, durante y lue6o de la transmisi%n
IV. &iltro pasa bajo0
SI*'-)"I+( &iltro pasa banda0
*8*L89RAF;A 1K 2K 4K @K
&undamentals of Si6nals and Systems, Benoit Boulet )puntes de e6ulaci%n )utom/tica, "arlos
